Download PDF
ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS E SUAS
VARIANTES UTILIZANDO O ALGORITMO DE
BUSCA HARMÔNICA
EMANNUEL JULIÃO FERNANDES
FORTALEZA, SETEMBRO DE 2009
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS E SUAS
VARIANTES UTILIZANDO O ALGORITMO DE
BUSCA HARMÔNICA
EMANNUEL JULIÃO FERNANDES
FORTALEZA, SETEMBRO DE 2009
ads:
i
EMANNUEL JULIÃO FERNANDES
DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS E SUAS
VARIANTES UTILIZANDO O ALGORITMO DE
BUSCA HARMÔNICA
Como requisito parcial a obtenção do grau de
MESTRE EM ENGENHARIA ELÉTRICA,
Apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Elétrica da UNIVERSIDADE
FEDERAL DO CEARÁ - UFC (BRASIL).
Orientador: Prof. José Almeida do Nascimento, Dr.
Co-Orientador: Prof. José Carlos Teles, Dr.
Fortaleza-Ceará
Setembro de 2009
F399d Fernandes, Emannuel Julião
Despacho econômico com perdas e suas variantes utilizando o algoritmo
de busca harmônica / Emannuel Julião Fernandes, 2009.
93 f. ; il. color. enc.
Orientador: Prof. Dr. José Almeida do Nascimento
Co-orientador: Prof. Dr. José Carlos Teles
Área de concentração: Planejamento e Operação de Sistemas Elétricos de
Potência.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Centro de
Tecnologia. Depto. de Engenharia Elétrica, Fortaleza, 2009.
1. Despacho econômico. 2. Algoritmo de busca harmônica. 3. Algoritmo
de busca harmônica melhorado. 4. Metaheurísticas. 5. Otimização. I.
Nascimento, José Almeida (orient.). II. Teles, José Carlos (co-orient.) III.
Universidade Federal do Ceará – Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica. IV. Título.
CDD 621.3
iv
Dedico este trabalho aos meus três maiores amores:
DEUS e seus representantes em minha vida, MEUS PAIS, Fátima e Fernandinho!
v
Agradecimentos
A Deus, pelo fôlego de vida, pela saúde e paz com a qual tenho sido
grandemente abençoado até aqui. Ele é o meu sentido da vida.
Ao meu professor e orientador José Almeida, pela ajuda, por ter acreditado
em meu potencial e pela confiança em meu trabalho e escolha do tema, o meu muito
obrigado.
Aos professores, especialmente o Arthur, Aílson, Antunes, José Carlos,
Otacílio e Laurindinha pelos ótimos professores que são, obrigado.
Ao meu amigo indiano Saloman Danaraj, da escola de engenharia da Arábia
Saudita, pelo valoroso direcionamento e apoio, pela liberalidade e atenção com as
quais respondeu cada um dos meus e-mails. O amigo mais distante fisicamente,
mas o mais próximo nesse período de trabalho acadêmico. Muitíssimo obrigado
amigo, nunca esquecerei sua ajuda.
A meus pais, Fátima e Fernandinho, e meu irmão, Neto, pelo amor, afeto,
cuidado, apoio e amizade dispensadas durante todos os meus dias de vida, o meu
eterno amor e gratidão.
A minhas tias Zuleide, Mazé, padrinhos Dora e Arnaldo, e toda a família,
pelas palavras de incentivo e pelos bons presságios. Abraços carinhosos.
Ao Adriano Aron pelo apoio constante e valioso, amizade e consideração.
Amigo mais que especial.
Ao Rubens, Vandilberto, Ana Lúcia, Nélber, Fátima, Lívia e colegas do DEE
pelos bons momentos divididos entre aulas, trabalhos e no laboratório de Energia
Eólica. Obrigado.
Aos desenvolvedores e colaboradores do GNU/LINUX, pelo sistema poderoso
com o qual desenvolvi o trabalho. Obrigado.
Ao vulgo “Vasco da Xerox”, agradeço pela disponibilização dos fiados, o meu
abraço.
“Posso não estar fazendo tudo o que deveria ser feito,
mas, com certeza, estou fazendo muito mais do que posso.”
Emannuel Fernandes
vi
“Sonho com os dias em que os homens levantar-se-ão e compreenderão,
finalmente, que são feitos para viverem como irmãos.”
Martin L. King Jr.
vii
Resumo
FERNANDES, Emannuel J. Despacho econômico com perdas e suas variantes
utilizando o Algoritmo de Busca Harmônica. Dissertação de Mestrado,
Universidade Federal do Ceará – UFC, 2009, 93p.
Este trabalho objetiva apresentar a aplicação de um novo algoritmo de
otimização, denominado Busca Harmônica (HS), na solução do problema do
Despacho Econômico (ED) e suas variantes. A busca harmônica é uma técnica
metaheurística que tem sua inspiração na maneira como os músicos improvisam
suas melodias durante a execução de uma música. O HS é um algoritmo simples
que traz consigo características de várias técnicas de inteligência computacional
atuais como o armazenamento de informação de soluções anteriores, é capaz de
variar, do começo ao fim do algoritmo, as taxas de exploração e convergência e
trabalha com vários vetores simultaneamente, uma população de soluções. Porém,
melhorias desse novo algoritmo compreendem simplicidade de implementação e
escalabilidade para variações do problema abordado, poucos parâmetros a serem
ajustados e convergência em menor número de iterações. O algoritmo proposto é
testado em vários casos, com variados graus de dificuldade, propostos na literatura.
Dentre eles, na agregação ao problema de despacho clássico, foram analisados os
efeitos de pontos de válvula, zonas de operação proibidas, limites de rampa, reserva
de giro, opções de múltiplos combustíveis e despacho econômico-ambiental.
Comparações de desempenho com outros algoritmos mostram que o algoritmo HS é
capaz de apresentar resultados comparáveis aos algoritmos atualmente utilizados
na abordagem desse problema em específico.
Palavras-chave: Despacho Econômico, Algoritmo de Busca Harmônica,
Algoritmo de Busca Harmônica Melhorado, Metaheurísticas, Otimização.
viii
Abstract
FERNANDES, Emannuel J. Economic Dispatch with losses and variants using
the Harmony Search Algorithm. Master's thesis, Universidade Federal do Ceará –
UFC, 2009, 93p.
This work aims to present the application of a new optimization algorithm,
called Harmonic Search (HS), for solving the Economic Dispatch problem (ED) and
variants. The harmonic search is a metaheuristic technique which has inspiration in
how the musicians improvise their tunes during the songs performances. The HS is a
simple algorithm that brings features of different computational intelligence
techniques as the current storage of information from previous solutions, is able to
vary, from beginning to the end of the algorithm, the rates of exploitation and
convergence and works with several vectors simultaneously, a population of
solutions. However, improvements of the new algorithm include simplicity of
implementation and scalability for variations of the problem, few parameters to be
adjusted and convergence in fewer iterations. The proposed algorithm is tested in
several cases, with varying degrees of difficulty, proposed in the literature. Among
them we explore, in addition to the problem of classical dispatch, the valve-point
effects, prohibited operating zones, ramp rate limits, spinning reserve, multiple fuel
options and economic-environmental dispatch. Comparisons of performance with
other algorithms show that the HS algorithm is able to produce results comparable to
those currently used in addressing this particular problem.
Keywords: Economic Dispatch, Harmonic Search Algorithm, Improved
Harmonic Search Algorithm, Metaheuristics, Optimization.
Sumário
Agradecimentos v
Resumo vii
Abstract viii
Sumário ix
Índice de Ilustrações xi
Índice de Tabelas xii
Lista de Abreviaturas e Siglas xiii
Lista de Símbolos xiv
1 Introdução 1
1.1 Despacho Econômico da Geração 2
1.2 Estado da Arte 4
1.3 Organização do Trabalho 6
2 Despacho Econômico da Geração 7
2.1 Modelo do Despacho Econômico Básico 8
2.2 Inclusão das Perdas da Rede no Modelo 10
2.3 Modelo do Despacho Econômico Clássico 13
2.4 Inclusão das Restrições dos Geradores no Modelo 13
2.4.1 Limites máximo e mínimo de geração 14
2.4.2 Pontos de válvula 14
2.4.3 Zonas de operação proibidas 16
2.4.4 Limites de rampa 17
2.4.5 Unidades Multi-combustível 18
2.4.6 Reserva de giro 19
2.4.7 Despacho Econômico/Ambiental 20
2.5 Considerações finais 23
3 Algoritmo de Busca Harmônica 24
3.1 Breve resumo de técnicas Metaheurísticas 25
3.2 Motivação do Algoritmo Busca Harmônica 26
3.3 Funcionamento Básico do algoritmo Busca Harmônica 30
3.3.1 Inicialização das variáveis e parâmetros 31
3.3.2 Inicialização da memória harmônica 33
x
3.3.3 Improvisação de uma nova harmonia 33
3.3.4 Atualização da memória harmônica 34
3.3.5 Critério de parada 35
3.4 Algoritmo de busca harmônica melhorado 35
3.5 Algoritmo utilizado neste trabalho 37
3.5.1 Inicialização das variáveis e parâmetros 39
3.5.2 Inicialização da memória harmônica 40
3.5.3 Demais passos 41
3.6 Considerações finais 41
4 Simulações e Resultados 42
4.1 Caso teste: 3 unidades geradoras 42
4.2 Caso teste: 6 barras/3 geradores e pontos de válvula 45
4.3 Caso teste: IEEE 30 barras/6 geradores 48
4.4 Caso teste: 15 geradores, limites de rampa e zonas proibidas 54
4.5 Caso teste: 6 geradores, limites de rampa e zonas proibidas 58
4.6 Caso teste: 15 geradores, zonas proibidas e reserva de giro 62
4.7 Caso teste: 10 geradores, pontos de válvula e multi-combustível 67
4.8 Caso teste: IEEE 30 barras, Despacho Econômico/Ambiental 72
4.9 Considerações finais 79
5 Conclusões e Trabalhos Futuros 80
Apêndice A - Código Fonte Modificado 82
A.1 main.m 82
Referências 85
Anexos 90
Anexo A – Fórmula geral de perdas 90
Anexo B – Material em CD 93
xi
Índice de Ilustrações
Figura 2.1: Curvas típicas de entrada/saída de uma unidade térmica 9
Figura 2.2: Funções de custo típicas: (a)quadrática, (b) cúbica e (c) linear em partes 9
Figura 2.3: Modelagem das perdas: (a) Representação explícita e (b) Barra única 11
Figura 2.4: Exemplo de função de custo com 5 pontos de válvula 15
Figura 2.5: Função de custo com zonas de operação proibidas 16
Figura 2.6: Possíveis operações: (a)regime estacionário, (b)aumento na geração e (c)
diminuição na geração 17
Figura 2.7: Funções de custo multi-combustível: Unidade 1 linear em partes, e Unidade 2
quadrática em partes 19
Figura 3.1: Uma taxonomia simplificada para algoritmos biologicamente inspirados 25
Figura 3.2: Anaogia entre uma improvisação real (acima) e uma improvisação no algoritmo
HS (abaixo) 28
Figura 3.3: Comparação entre a memória real e a memória harmônica (HM) 29
Figura 3.4: Fluxograma do algoritmo Busca Harmônica 31
Figura 3.5: Gráfico do PAR e bw do início ao fim do algoritmo 37
Figura 3.6: Fluxograma do algoritmo utilizado neste trabalho, o algoritmo IHS 38
Figura 4.1: Sistema teste de 6 barras e 3 geradores 45
Figura 4.2: Curva de carga de um dia - caso IEEE 30 barras 50
Figura 4.3: Diagrama unifilar do sistema IEEE 30 barras/6 geradores 50
Figura 4.4: HMCR dinâmica seguindo comportamento de uma reta, desde seu extremo
mínimo ao seu extremo máximo 64
Figura 4.5: Comportamento do custo no decorrer das improvisações 72
Figura 4.6: Evolução do custo de geração para os 3 casos de despacho: econômico puro,
ambiental puro e econômico/ambiental 75
Figura 4.7: Evolução dos níveis de emissão para os 3 casos de despacho: econômico puro,
ambiental puro e econômico/ambiental 75
Figura 4.8: Evolução do custo total, geração e custos de emissão, para os 3 casos de
despacho: econômico puro, ambiental puro e econômico/ambiental 76
xii
Índice de Tabelas
Tabela 1.1: Matriz de oferta de energia elétrica – 2008 1
Tabela 1.2: Resumo atual de todos os empreendimentos de usinas nacionais – 2009 2
Tabela 4.1: Capacidades e coeficientes dos geradores, caso 3 geradores 42
Tabela 4.2: Comparação entre algoritmos, Programação Dinâmica e Busca Harmônica,
para o caso 3 geradores 44
Tabela 4.3: Dados dos geradores, caso 6 barras/3 geradores 45
Tabela 4.4: Comparação entre GA e HS no caso 6 barras/3 geradores 47
Tabela 4.5: Dados dos geradores: caso IEEE 30 barras/6 geradores 48
Tabela 4.6: Custo total da geração. Comparativo entre resultados obtidos de diferentes
algoritmos 51
Tabela 4.7: Melhores resultados do ACSA - IEEE 30 barras/6 geradores 53
Tabela 4.8: Melhores resultados do HS - IEEE 30 barras/6 geradores 53
Tabela 4.9: Dados de geradores: caso 15 geradores com limites de rampa e zonas de
operação proibidas 54
Tabela 4.10: Novos limites das unidades devido a restrição dos limites de rampa 56
Tabela 4.11: Resultados do algoritmo Busca Harmônica: Caso 15 unidades, limites de
rampa e zonas de operação proibida 57
Tabela 4.12: Dados de geradores: caso 6 geradores com limites de rampa e zonas de
operação proibidas em todas as unidades 59
Tabela 4.13: Novos limites das unidades devido a restrição dos limites de rampa 60
Tabela 4.14: Resultados para o caso 6 barras, limites de rampa e zonas proibidas 61
Tabela 4.15: Dados de geradores: caso 15 geradores com limites de rampa, zonas
de operação proibidas e reserva de giro 62
Tabela 4.16: Comparação entre diferentes algoritmos aplicados ao caso teste de 15
geradores, zonas proibidas e reserva de giro 66
Tabela 4.17: Dados de geradores, pontos de válvula e multi-combustíveis 68
Tabela 4.18: Resultados da comparação entre o HS e o SDE para demanda variável 70
Tabela 4.19: Análise das soluções encontradas pelo HS para 50 execuções do algoritmo 71
Tabela 4.20: Dados das emissões dos geradores: caso IEEE 30 barras/6 geradores 73
Tabela 4.21: Pior, médio e melhor custo total para os três casos de despacho 77
Tabela 4.22: Melhores resultados de custo nos três casos em 5 tentativas 78
xiii
Lista de Abreviaturas e Siglas
ACSA ...........Algoritmo de Busca Colônia de Formigas/Ant Colony Search Algorithm
ACO ..........................Otimização por Colônia de Formigas/Ant Colony Optimization
AG/GA ............................................................Algoritmos genéticos/Genetic Algorithms
AGE .....................................................................Algoritmos Genéticos com Elitismo
baseMVA ......................................................................................Potência Base do Sistema
BT/TS .......................................................................................Busca Tabu/Tabu Search
bw ........................................................................................Valor de Ajuste de Nota
CO
2
..............................................................................................Dióxido de Carbono
DP/PD ......................................................Dinamic Programmig/Programação Dinâmica
ED ou DE .......................................................................Problema de Despacho Econômico
gn ................................................................................................Número da iteração
HGA .............................................................................Algoritmos Genéticos Híbridos
HM ..............................................................Memória Harmônica/Harmonic Memory
HMCR ....................................................Taxa de Consideração da Memória Harmônica
HMS .........................................................................Tamanho da Memória Harmônica
HOP ....................................................................................Redes Neurais de Hopfield
HS/BH ......................................................................Harmony Search/Busca Harmônica
HSS .....................................................................................Busca Híbrida Estocástica
IHS/BHM ................................. Improved Harmony Search/ Busca Harmônica Melhorado
Iter-λ ....................................................................................................Iteração Lambda
LP/PL ............................................................Linear Programming/Programação Linear
LR .........................................................................................Relaxação Lagrangeana
NI .....................................................................................Número de Improvisações
NLP ........................................... NonLinear Programming /Programação Não-Linear
NO
x
............................................................................................Óxidos de Nitrogênio
PAR ........................................................................................Taxa de Ajuste de Notas
PSO ....................Otimização por Nuvem de Partículas/Particle Swarm Optimization
PV ..................................................................................................Pontos de Válvula
SA .............................................................................................Simulated Annealing
SDE .................................................................Evolução Diferencial Auto-Adaptativo
SO
x
.................................................................................................Óxidos de Enxofre
UC ou AU .....................................................Unit Commitment/Agendamento de Unidades
xiv
Lista Símbolos
a
....................................................................................Coeficiente da curva de custo, em u.m.
Ei
a
...................................................................... Coeficiente 'a' de emissão do i-ésimo gerador
[]
abcef
................................................................Matriz com os coeficientes dos combustíveis
[] [] []
ceb,a
......................... Vetores com os dados da função de custo de todos os geradores
eaedaca,ba,aa,
................Vetores com os dados da função ambiental de todos os geradores
alfa
............................................. Fator de ponderação entre despacho econômico e ambiental
[]
B
................................................................................................................ Matriz B de perdas
0
B
.................................................................................................................Vetor B0 de perdas
00
B
.......................................................................................................Constante B00 de perdas
ij
B
.........................................................................Elemento de índice ij da matriz B de perdas
0j
B
............................................................................................... j-ésimo elemento do vetor B0
b
........................................................................... Coeficiente da curva de custo, em u.m./MW
Ei
b
...................................................................... Coeficiente 'b' de emissão do i-ésimo gerador
bw
.......................................................................................Largura de banda do ajuste de nota
mín
bw
.....................................................................Valor mínimo utilizado para ajuste de notas
máx
bw
.................................................................... Valor máximo utilizado para ajuste de notas
()
gnbw
...................................................Valor utilizado para ajuste das notas na iteração atual
c
..........................................................................Coeficiente da curva de custo, em u.m./MW²
Ei
c
...................................................................... Coeficiente 'c' de emissão do i-ésimo gerador
2
CO
............................................................................................................. Dióxido de carbono
Ei
d
...................................................................... Coeficiente 'd' de emissão do i-ésimo gerador
[] [ ]
fee
.....................................Vetores de funções de custo se presente os pontos de válvula
Ei
e
...................................................................... Coeficiente 'e' de emissão do i-ésimo gerador
()
xf
..................................................................................................Função Objetivo Genérica
()
Gii
PF
.....................................Função de Custo relativa a potência gerada do i-ésimo gerador
()
i
PF
ˆ
............................................................... Nova Função de custo com a inclusão dos PV's
C
F
.................................................................................................. Função de custo econômico
total
C
F
..................................................Função de custo total do despacho econômico/ambiental
E
F
.................................................................................................... Função de custo ambiental
()
GiEi
PF
............................................................Função de custo de emissão do i-ésimo gerador
total
F
...............................................................................Função objetivo total a ser minimizada
gn
........................................................................................................Número da iteração atual
H
M
............................................................................................................Memória Harmônica
HMCR
................................................................Taxa de consideração da memória harmônica
HMS
…………………………………………………………Tamanho da memória harmônica
xv
hr
........................................................................................................................................Hora
[]
mflimites
..............Matriz com os limites máximo e mínimo de geração de cada combustível
MW
.......................................................................................................................... Megawatts
MBtu
.......................................................................................MegaBtu (British Thermal Unit)
n
.....................................................................Número de geradores disponíveis para despacho
N
..........................................................................................Número de variáveis do problema
NI
...................................................................................Número de Improvisações (iterações)
x
No
.......................................................................................................... Óxidos de Nitrogênio
P
.....................................................Vetor de potências dos n geradores, símbolo simplificado
total
D
P
...................................................................................................Demanda total do sistema
G
P
.......................................... Vetor com n elementos, potência despachada para cada gerador
Gi
P
.....................................................................Potência gerada pela i-ésima unidade geradora
perdas
P
....................................................................................................................Perdas da rede
P
AR
.......................................................................................................Taxa de ajuste de notas
mín
PAR
.........................................................................Menor probabilidade de ajuste de notas
máx
PAR
..........................................................................Maior probabilidade de ajuste de notas
()
gnPAR
....................................................... Probabilidade de ajuste de nota em cada geração
R
P
............................................................................................................Gerador de Referência
PV
.................................................................................................................Pontos de Válvula
[]
p0
..................................................................................................Vetor de despacho anterior
máxi,míni,
P,P
..................................................................... Limites mínimo e máximo de geração
mínGi,máxGi,
PP −
........................................................................................Amplitude de geração
[]
rgmax
....................Vetor de limites máximos de reserva de giro individuais de cada gerador
[]
Smax
.................................................Vetor com a máxima reserva de giro para cada unidade
i
S
........................................................................................Reserva de giro da i-ésima unidade
máxi,
S
................................................ Máxima reserva de giro permitida para a i-ésima unidade
x
So
................................................................................................................Óxidos de Enxofre
R
S
..............................................................................Reserva de giro demandada pelo sistema
Ton
..............................................................................................................................Toneladas
unidadeszp
..........................Vetor explicitando quais as unidades operando na zona proibida
[]
URDR
......................................................... Matriz com os limites de rampa de cada unidade
hu.m./
.........................................................................................Unidades monetárias por hora
x
............................................................................Conjunto de todas as variáveis do problema
i
x
.................................................................................................. i-ésima variável do problema
i
X
...........................................................Conjunto de valores possíveis para a i-ésima variável
w
................................................................................... Fator de custo de controle de emissões
Wh
...............................................................................................................................Watt.hora
[]
zp
..............................................Matriz com as zonas de operação proibidas de cada unidade
α
..........................................................Peso associado a consideração do despacho econômico
xvi
i
α
.............................................................................Constante Indicadora de pontos de válvula
()
α−1
....................................................Peso associado a consideração do despacho ambiental
ψ
........................................................Conjunto de unidades com zonas de operação proibidas
Ψ
…………………………………………………Conjunto de todas as unidades despacháveis
1 INTRODUÇÃO
Objetivos do capítulo. Explanar os objetivos do trabalho e justificar o assunto, propor a tese,
apresentar o estado da arte e descrever a organização do trabalho.
A operação de sistemas elétricos de potência é um campo estratégico atrelado ao
desenvolvimento setorial e ao planejamento das políticas públicas para o crescimento e
atendimento à demanda energética de qualquer país no cenário atual e futuro.
O presente trabalho abordará uma das ferramentas de operação econômica dos
sistemas de potência, o despacho econômico de geração termelétrica.
Conforme o balanço energético nacional (MME, 2008), Tabela 1.1, enquanto a
geração hidrelétrica, detentora de 81,6% da oferta de energia elétrica no País, teve uma
retração no fornecimento de energia entre os anos de 2007 e 2008 de 2,4%, a geração
termelétrica teve crescimento vertiginoso, a saber: (i) 13,1% de crescimento na geração
termonuclear, (ii) 91% para o gás natural, (iii) 20,4% para o carvão mineral, (iv) 20% para a
biomassa, etc. Essas estatísticas apontam para um maior cuidado com a manutenção dos
níveis dos reservatórios com a adoção de fontes alternativas de energia, principalmente as
termelétricas e outras fontes de energia renováveis.
Tabela 1.1: Matriz de oferta de energia elétrica – 2008
(www.mme.gov.br – BEN resenha preliminar)
2
O panorama de expansão da capacidade de geração termelétrica vem se confirmando
devido ao custo de instalação, manutenção e operação das usinas, bem menor se comparado
ao custo de empreendimentos hidrelétricos. Além disso, por apresentar um menor impacto
ambiental causado pela implantação, implicando em um menor tempo para aprovação do
projeto e liberação dos recursos. Tal fato pode ser comprovado na Tabela 1.2 extraída do
banco de informações de geração (BIG) do site da ANEEL (ANEEL, 2009), onde apresenta,
para os empreendimentos outorgados para construção de termelétricas, uma potência total
associada de 11.308.887kW contra 4.376.208kW de empreendimentos outorgados para
construção de hidrelétricas. Portanto, percebe-se que um melhor controle dos recursos
energéticos, neste caso os de origem termelétrica, é de vital importância para a manutenção de
um sistema elétrico de potência capaz de fornecer energia com qualidade, de forma
ininterrupta e com a responsabilidade devida à administração racional desse recurso
indispensável à vida moderna. Com essa motivação o presente trabalho é então proposto e
desenvolvido.
Tabela 1.2: Resumo atual de todos os empreendimentos de usinas nacionais – 2009
(www.aneel.gov.br
– BIG fontes de energia exploradas no Brasil).
Resumo da Situação Atual dos Empreendimentos
Fonte de Energia Situação Potência Associada (kW)
45 empreendimento(s) de fonte Eólica outorgada 2.300.823
11 empreendimento(s) de fonte Eólica em construção 308.350
35 empreendimento(s) de fonte Eólica em operação 547.684
1 empreendimento(s) de fonte Fotovoltaica outorgada 5.000
1 empreendimento(s) de fonte Fotovoltaica em operação 20
235 empreendimento(s) de fonte Hidrelétrica outorgada 4.376.208
99 empreendimento(s) de fonte Hidrelétrica em construção 11.929.941
805 empreendimento(s) de fonte Hidrelétrica em operação 78.049.799
1 empreendimento(s) de fonte Maré outorgada 50
150 empreendimento(s) de fonte Termelétrica outorgada 11.308.877
74 empreendimento(s) de fonte Termelétrica em construção 7.109.413
1260 empreendimento(s) de fonte Termelétrica em operação 26.471.698
1.1 Despacho econômico de geração
O Problema do despacho econômico tem uma função importante na operação dos
sistemas de potência. Essencialmente, ele é um problema de otimização e consiste em
distribuir a demanda total de potência solicitada pela rede, junto com as perdas da rede, entre
as unidades de geração disponíveis de forma que o custo total da geração seja minimizado.
3
Variantes do problema têm sido propostas na literatura com o intuito de tornar a sua
modelagem cada vez mais próxima das condições operativas reais (CHOWDHURY;
RAHRNAN, 1990; YALCINOZ; SHORT, 1997; SUM-IM, 2004; KAROL; NASCIMENTO;
SAAVEDRA, 2008).
Atualmente as técnicas que fazem uso de métodos de inteligência computacional,
conhecidas como Metaheurísticas (LEE; EL-SHAKAWI, 2008), têm suplantado as técnicas
de otimização clássicas, conhecidas como Determinísticas (BRONSON; NAADIMUTHU,
1997), em vários aspectos como: (i) facilidade de desenvolvimento, (ii) convergência
facilitada e (iii) adaptabilidade às variantes de qualquer problema. Tendo em vista essa
tendência, o objetivo deste trabalho é apresentar um algoritmo promissor, denominado Busca
Harmônica (GEEM; KIM; LOGANATHAN, 2001), na resolução do problema do despacho e
em uma ampla gama de suas variações.
A importância do problema estudado pode ser percebida quando especificada em
termos quantitativos. Por exemplo, considere o caso em que uma dada planta de geração
fornece 10.000.000kW durante uma hora a uma média de custo de 0,05 real/kWh. Caso os
consumidores comprem essa energia a 0,06 real/kWh, o lucro obtido pelo fornecedor seria de
100.000 reais/hora, ou seja, 876.000.000 reais/ano. Porém, se o despacho conseguisse reduzir
em 1% o custo da produção, ou seja, 0,0005 real/hora de lucro adicional, o fornecedor teria
um lucro adicional anual de 43.800.000 reais/ano, que poderia ser revertido para o produtor,
ser repassado em forma de descontos ao consumidor ou investido em melhorias no
fornecimento do serviço.
A metodologia proposta consistirá na introdução e implementação do algoritmo de
busca harmônica como uma alternativa às técnicas atuais de abordagem do problema. Embora
todas as atuais abordagens não tenham garantias de que o ótimo global será encontrado,
soluções sub-ótimas cada vez melhores são encontradas de forma recorrente dando
credibilidade aos métodos que utilizam técnicas de inteligência computacional.
O objetivo geral é validar a aplicação do método, que faz uso do algoritmo de busca
harmônica, proposto para tratar esse problema em específico através de resultados obtidos por
simulação computacional em comparação com métodos que usam outros algoritmos descritos
na literatura, como algoritmos genéticos (AG) (WALTERS; SHEBLE, 1993), nuvem de
partículas (PSO) (GAING, 2003) e colônia de formigas (ACO) (SUM-IM, 2004), dentre
outros. Os testes serão feitos utilizando vários sistemas diferentes, com características
diversas e variados graus de dificuldade para comprovação da eficácia do método em
conseguir resultados tão bons quanto e até superiores aos métodos atualmente mais populares.
4
1.2 Estado da Arte
A relevância econômica e o constante desenvolvimento de novas técnicas de
abordagem do problema, bem como a inclusão cada vez mais freqüente de características que
tornam os modelos mais próximos dos reais, faz do despacho econômico um problema
amplamente estudado e com uma bibliografia de longa data (CHOWDHURY; RAHRNAN,
1990).
Ainda que distante de uma descrição completa do estado da arte, aqui está apresentada
uma breve descrição de trabalhos que tem sua importância ressaltada pelo momento histórico
em que foram publicados e pela tendência atual de utilização de métodos de inteligência
computacional.
Chowdhury & Rahrnan (1990) trazem um compêndio de todos os trabalhos publicados
entre 1977 até 1988. Classificam as abordagens ao problema em quatro grupos: (i) fluxo de
potência ótimo, devido a inserção do fluxo de carga em conjunto com técnicas de otimização
do despacho econômico, (ii) despacho econômico com relação ao controle automático de
geração, devido a consideração das variações instantâneas da carga, (iii) o despacho dinâmico,
devido a incorporação das previsões para um curto intervalo de tempo, geralmente 24 horas, e
(iv) o despacho com fontes alternativas de energia. Em todos os casos presentes nesse artigo
os algoritmos de otimização são limitados a condições que atendam as restrições das técnicas
matemáticas disponíveis na época. Por exemplo, o método do gradiente reduzido e o método
de Newton (WOOD, WOLLENBERG, 1996). Concluindo, os autores prevêem a inserção de
mais restrições no problema, levando a dificuldade do problema a níveis de difícil solução
pelas técnicas matemáticas disponíveis na época. Atualmente, com a inclusão de técnicas que
fazem uso de heurística, as restrições matemáticas são facilmente contornadas.
Wong & Fung (1993) introduzem uma das primeiras técnicas estocásticas na
abordagem do problema do despacho, Simulated Annealing (TAN, 2008). Na época, as
técnicas de programação quadrática estavam em evidência e técnicas de programação
dinâmica já ensaiavam a direção das pesquisas para métodos mais flexíveis na busca por
soluções (MOMOH, 2001). O método de Wong & Fung incluiu as perdas da rede com a
utilização de um gerador de balanço, cuja potência flutua para acomodar as perdas calculadas
pela fórmula de Kron, e desenvolve um método para encontrar o valor desse gerador de
balanço de forma exata através de uma equação do segundo grau. O método apresenta várias
vantagens em relação aos métodos convencionais, restritos a encontrar soluções somente em
espaços de busca convexos, contínuos e diferenciáveis em todo domínio, como a facilidade de
5
incorporar restrições, a obtenção de uma solução exata, embora possa não ser a solução ótima
do problema visto que métodos baseados em inteligência computacional não têm como
garantir a descoberta do ótimo global, pois não possuem prova matemática para tal, sendo
capazes de acomodar outras características nas funções de custo sem impedimentos de
complexidade matemática. Estes fatores levaram os pesquisadores a dar maior atenção a
métodos não determinísticos a partir de então.
Walters & Sheble (1993) exploram o uso de algoritmos genéticos (AG) (GEN;
CHENG, 1999) na abordagem do problema com a inclusão de uma melhoria na modelagem
dos geradores, antes de difícil solução pelas técnicas convencionais. Os pontos de válvula
representam uma característica intrínseca aos geradores de unidades termelétricas, na
modelagem matemática do gerador tais pontos incluem uma perturbação oscilatória senoidal
que é facilmente tratada por essa nova metodologia. Após esse artigo, a popularidade dos
algoritmos genéticos cresceu de forma acentuada entre pesquisadores correlatos, e melhorias
na metodologia foram sendo incorporadas na medida em que outras características dos
geradores iam sendo incluídas.
Yalcinoz & Short (1997) apresentaram melhorias no uso de redes neurais (HAYKIN,
1999) para abordar o problema do despacho em grandes proporções, com um número elevado
de geradores. Os resultados mostraram que a técnica foi capaz de manipular até 240 geradores
em um número bastante reduzido de iterações, mas não teve desdobramentos para modelagens
mais aprimoradas das características dos geradores, mostrando sua eficiência apenas no
problema do despacho clássico de grande porte, porém com resultados promissores.
Sum-im (2004) apresentou outro algoritmo recente na busca de soluções cada vez
melhores para o problema, o algoritmo colônia de formigas (ACO) (DORIGO; STUTZLE,
2001). Baseado no fato de as formigas sempre encontrarem o menor caminho entre o
formigueiro e a fonte de comida, esse algoritmo imita as características peculiares de
comunicação das formigas através de trilhas de feromônios na condução do método para a
solução de problemas de minimização. Resultados equivalentes aos encontrados pelos
algoritmos genéticos e programação quadrática foram encontrados pelo método colônia de
formigas.
Gaing (2003) incluiu várias características não-lineares dos geradores como taxas
limites de rampa, zonas de operação proibidas e funções de custo não-suaves com uma
abordagem heurística nova baseada na simulação do comportamento de sistemas sociais
simplificados, algoritmo nuvem de partículas (PSO) (CLERC, 2006). O artigo representa a
tendência das técnicas de inteligência computacional atuais em seguir padrões evolutivos,
6
cujo precursor foi o desenvolvimento dos algoritmos genéticos inspirado na teoria da
evolução natural das espécies de Darwin. O PSO foi capaz de prover soluções de qualidade
aos casos de teste utilizados.
Concluindo, Karol et al. (2008) reforçam que os métodos GA e PSO são os mais
populares atualmente na resolução do problema do despacho econômico com suas variantes.
Reforçam também que algoritmos simples e de rápida implementação podem ser utilizados
em competição com os mais tradicionais, realçando a tendência de que quanto mais simples o
ajuste de parâmetros de um algoritmo melhor ele será, pois ele pode ser aproveitado para
aplicações práticas pelas concessionárias de energia elétrica com escalabilidade, facilidade de
manutenção e adaptação a novas situações, com a segurança de que a obtenção de soluções
cada vez mais próximas das ótimas globais será encontrada.
1.3 Organização do Trabalho
O presente trabalho constará de mais quatro capítulos além do Capítulo 1, a
introdução. O Capítulo 2 traz o detalhamento e modelagem do problema, modelagem esta que
insere vários tipos de restrições dos geradores e do sistema e a inclusão das perdas da rede
como parte da potência demandada. O Capítulo 3 explana sobre o método de Busca
Harmônica e de recentes melhorias propostas na literatura que potencializam suas
características, junto com a descrição de seus parâmetros e funcionamento. O Capítulo 4
apresenta os resultados da aplicação do algoritmo a vários casos de teste e uma comparação
dos resultados obtidos com as técnicas mais atuais encontradas na literatura. E no Capítulo 5,
uma conclusão é apresentada, assim como a motivação para trabalhos futuros é introduzida.
2 DESPACHO ECONÔMICO DA GERAÇÃO
Objetivos do capítulo. Explicar e modelar o problema do despacho básico aumentando a sua
complexidade com a inclusão de variantes, incluindo as perdas da rede.
Despacho econômico (ED, Economic Dispatch) é um problema de operação de sistemas de
potência (WOOD; WOLLENBERG, 1996) cuja solução consiste em dividir a alocação da
demanda da rede elétrica entre os vários geradores disponíveis de forma que o custo total de
produção da energia seja minimizado. Dependendo da fonte de energia usada para produzir
eletricidade (por exemplo, carvão, gás natural, óleo diesel, urânio e água de reservatórios), os
geradores apresentarão custos diferentes de produção. Sabendo que os custos das fontes
energéticas variam com o tempo e cenário econômico, o despacho econômico é um problema
recorrente e de fundamental importância num cenário de livre mercado de energia elétrica,
pois qualquer acréscimo de lucro pode ser revertido para os investidores, refletir numa melhor
prestação do serviço e até chegar ao consumidor em forma de descontos tarifários.
Em termos gerais, o ED de unidades termelétricas é um subproblema de outro problema, o
agendamento de unidades
(UC, Unit Commitment) (MOMOH, 2001). O UC, além de tratar da
alocação da demanda entre os geradores disponíveis num dado instante de tempo, que é o ED,
aborda o fato de que a geração econômica de energia depende de um agendamento de escala
de geradores que estarão ligados ou desligados, baseado numa previsão de carga em um
horizonte de tempo determinado, levando em conta o custo associado a ligar e desligar cada
um dos geradores envolvidos, ou então apenas mantê-los aquecidos após seu período de
despacho com vistas a um novo despacho. Em outras palavras, o UC gera um conjunto de
possíveis planos de operação econômica em um horizonte pré-definido, posteriormente o
despacho é utilizado para verificar a viabilidade da solução e selecionar a estratégia de
planejamento mais econômica (EXPOSITO; CONEJO; CANIZARES, 2008).
O presente trabalho restringe-se a estudar o problema do despacho de usinas termelétricas,
de forma que o despacho característico das usinas hidrelétricas não é abordado.
Uma solução para o problema do despacho consiste em descobrir a potência de todos os
geradores disponíveis que levam o custo do despacho ao mínimo. Uma vez definido o
despacho disponível para um dado sistema em um dado intervalo de tempo, pelo menos um
gerador se mantém como gerador que responde acomodando-se às variações de demanda da
8
rede, o gerador de regulação ou balanço. Se a demanda aumenta, a potência gerada deve
aumentar. Dessa maneira, válvulas de vapor ou água dos geradores envolvidos no despacho
devem abrir mais, atuando de forma inversa ocorre se a demanda da rede diminuir, quando se
devem fechar válvulas dos geradores envolvidos.
A forma como o desbalanço de potência é sentido, se o gerador de balanço não tiver um
controle automático de geração robusto, fazendo uso do controlador de velocidade, ocorre
através da variação da velocidade do rotor do mesmo e freqüência de saída. Se a carga for
maior que a geração, os rotores dos geradores tendem a diminuir a velocidade e a freqüência
de geração também cairá, caso contrário a velocidade e a freqüência tendem a crescer acima
da nominal. É esse comportamento que motiva o estudo de estabilidade dos sistemas de
potência, visto que o efeito corretivo a ser tomado em casos de instabilidade podem muitas
vezes gerar mais instabilidade.
2.1 Modelo do Despacho Econômico Básico
Devido a gastos com combustível, salários de funcionários e custos de manutenção e
operação, sabe-se que, associado à geração de cada unidade, existe um custo relativo a
produção dessa energia. Portanto, uma função de custo do i-ésimo gerador dentre os geradores
despacháveis, )(
Gii
PF , pode ser definida para cada gerador caracterizando seu custo em
u.m./h (unidades monetárias por hora) devido a uma dada quantidade de potência produzida
em MW, representada por
Gi
P , durante uma hora.
Fazendo-se uma série de testes em estado permanente em uma dada planta de energia para
vários níveis de entrada de combustível e coletando os dados de potência de saída pode-se
desenvolver a curva de entrada/saída (B’RELLS et al., 1983).
A curva de custo,
)/..()( hmuxFMWP , pode ser traçada convertendo-se a curva de
calor/potência ou entrada/saída da unidade geradora (NOYOLA; GRADY; VIVIANI, 1990),
)/()( hMBtuxHMWP para a curva de calor/potência com ordenada em MBtu/hora, e
multiplicando-a pelo custo da quantidade de combustível necessária para cada 1MBtu de calor
gerado, como mostra a Figura 2.1 (a) e (b).
9
Figura 2.1: Curvas típicas de entrada/saída de uma unidade térmica.
A função de custo das unidades geralmente é expressa como uma função quadrática,
cúbica ou linear por partes, como mostra a Figura 2.2. Um exemplo de uma função de custo
quadrática típica seria da forma
)
2
GiGiGii
cP+bP+a=PF
, com
Gi
P
sendo a potência gerada
pela i-ésima unidade em
MW
, e onde
a
,
b
e
c
são os coeficientes característicos da unidade
geradora em
u.m.
,
MWu.m./
e
2
/MWu.m.
, respectivamente.
Figura 2.2: Funções de custo típicas: (a) Quadrática, (b) Cúbica e (c) Linear em partes.
Considerando um sistema de potência e
n
geradores prontos para o despacho, seu custo
total de produção é dado pela equação 2.1.
() ( )
Gi
n
=i
iGC
PF=PF
∑
1
(2.1)
sendo
10
G
P
, um vetor com os níveis de geração,
Gi
P
, dos
n
geradores despacháveis;
()
Gii
PF
, a função de custo associada ao i-ésimo gerador.
Se a demanda total do sistema é
total
D
P
e as perdas da rede não são levadas em
consideração, ou são consideradas uma constante somada à demanda da carga, que é o
Despacho Básico, então, todos os geradores devem contribuir com potência para suprir tal
demanda, veja essa relação na equação 2.2.
total
D
n
=i
Gi
P=P
∑
1
(2.2)
Portanto, matematicamente estabelecido, o problema do despacho econômico básico
consiste em minimizar o custo total (equação 2.1) satisfazendo a equação do balanço de
potência (equação 2.2), que é a restrição de igualdade do problema.
2.2 Inclusão das perdas da rede no modelo
Todo sistema de potência apresenta o efeito das perdas de energia nas linhas de
transmissão e distribuição. Quanto maior e mais interconectado o sistema, onde a potência é
transmitida através de longas distâncias com baixa densidade de carga, maior será o efeito das
perdas nas linhas de transmissão. Essa potência desperdiçada no atendimento às cargas
também é fornecida pelos geradores em despacho. Logo, tais perdas devem ser incluídas no
problema como uma espécie de demanda da rede. Desprezar esse efeito é uma consideração
que não deve ser feita em estudos de despacho reais.
A maneira mais precisa de incluir as perdas consiste em representar a rede elétrica com
todas as suas variáveis, como é feito nos estudos de fluxo de carga, considerando as restrições
da rede, limites superior e inferior das tensões nas barras e as restrições de geração de reativos
dos geradores. Tal método de despacho considera características simplificadas de geradores,
sofre problemas de convergência, escalabilidade e tempo de processamento, sendo
considerado como uma análise importante para problemas de despacho on-line,
complementando o despacho prévio, também conhecido como pré-despacho. O algoritmo que
aborda esse problema é conhecido como fluxo de carga ótimo e utiliza a representação
explícita da rede, como na Figura 2.3 (a) (MOMOH, 2001).
11
Figura 2.3: Modelagem das perdas: (a) Representação explícita da rede e (b) Modelo barra única, perdas em
função da geração.
O método aproximado, que é utilizado nesse trabalho, representa o efeito das perdas da
rede como uma função geralmente quadrática das potências de saída dos geradores. Essa
relaxação das restrições da rede, com as perdas da rede definidas a partir dos níveis de
geração, é conhecida como modelo de barra única (SAADAT, 2002), ou seja, uma extensão
do despacho básico, conforme Figura 2.3 (b).
Uma prática comum entre os pesquisadores da área é a inclusão das perdas pelo método
aproximado utilizando a equação 2.3, chamada de Fórmula de Perdas de Kron (LUKMAN;
BLACKBURN, 2001) e também conhecida por Fórmula de Perdas pela Matriz B (WOOD;
WOLLENBERG, 1996). Existe também a conhecida Fórmula de Kron simplificada, ou
Fórmula de perdas de George, que não faz uso dos termos
0
B
e
00
B
, considerados nulos
(LUKMAN; BLACKBURN, 2001).
]
000
B+PB+PBP=P
T
T
perdas
(2.3)
sendo
P
, vetor de geração com todos os geradores da barra única;
[]
B
, matriz quadrada de mesma dimensão que
P
;
12
0
B
, vetor de mesmo comprimento que
P
;
00
B
, constante de perdas da rede.
A obtenção das quantidades
[]
B
,
0
B
e
00
B
é feita através de um estudo de fluxo de carga
do sistema, onde é gerada uma massa de dados composta de potências geradas pelos diversos
carregamentos e pelos seus respectivos valores de perdas. De posse desses dados, métodos de
regressão não-linear são utilizados para obtenção da matriz, vetor e constante de perdas.
Os parâmetros de perdas podem ser considerados constantes para o estudo em questão
desde que as condições e parâmetros da rede não variem substancialmente com relação aos
casos da rede utilizados para a geração da massa de dados que deu origem aos parâmetros.
Maiores detalhes sobre a obtenção das matrizes de perdas da rede são dados no Anexo A
(COSTA, 2008) e uma dedução mais detalhada segundo B’rells et al. (1983).
Objetivando uma fórmula de representação mais simples num algoritmo computacional, a
equação 2.3 pode ser reescrita em forma de somatórios, vide equação 2.4.
00
1
0j
11
B+PB+PBP=P
j
n
=i
jij
n
=i
n
j=
iperdas
∑∑∑
(2.4)
sendo
i
P
e
j
P
, i-ésimo e j-ésimo elemento do vetor de geração
P
;
ij
B
, elemento de índice ij da matriz
[
]
B
;
0j
B
, j-ésimo elemento do vetor
0
B
;
00
B
, constante de perdas da rede;
n
, número de geradores.
Abaixo tem-se um exemplo de matrizes de perdas da rede para um caso qualquer de
análise de despacho econômico de geração de um sistema com seis geradores (MATLAB
R2006b, propriedade de The Mathworks®, Inc. e associados).
13
B = [0,0017 0,0012 0,0007 -0,0001 -0,0005 -0,0002
0,0012 0,0014 0,0009 0,0001 -0,0006 -0,0001
0,0007 0,0009 0,0031 0,0000 -0,0010 -0,0006
-0,0001 0,0001 0,0000 0,0024 -0,0006 -0,0008
-0,0005 -0,0006 -0,0010 -0,0006 0,0129 -0,0002
-0,0002 -0,0001 -0,0006 -0,0008 -0,0002 0,00150]
B0 = [-0,0003908 -0,0001297 0,0007047 0,0000591 0,0002161 -0,0006635]
B00 = 0,056
2.3 Modelo do despacho econômico clássico
Com a incorporação das perdas na modelagem do despacho básico, conhecido como
despacho econômico clássico, pode-se estabelecer o problema de forma mais adequada às
condições dos sistemas reais. O problema do despacho econômico clássico consiste em
minimizar o custo total, equação 2.1, satisfazendo a nova equação do balanço de potência, que
leva em consideração as perdas da rede, equação 2.5.
perdas
total
D
n
=i
Gi
P+P=P
∑
1
(2.5)
sendo
perdas
P
obtido, como visto, através da equação 2.4.
As dificuldades de solucionar o problema aumentam na medida em que as perdas são
calculadas a partir dos valores de geração atuais, que não são conhecidos a priori. Portanto, a
dificuldade está na existência da correlação entre o vetor com os níveis de geração atuais,
P
,
e o resultado das perdas devidas a esse vetor de geração,
perdas
P
. Tal dificuldade será vencida
com a definição de um gerador de balanço na rede, que será explicado posteriormente (Seção
3.5.2).
2.4 Inclusão das restrições dos geradores no modelo
Para considerar uma modelagem mais realista e precisa do comportamento da função de
custo em unidades geradoras reais, funções de custo não-suaves, com formas variadas, com
descontinuidades e não-diferenciabilidades são incorporadas ao problema do despacho.
Algumas destas características são: limites de geração, influência dos pontos de válvula,
zonas de operação proibidas, limites de rampa, unidades que operam com múltiplos
combustíveis, reservas de giro e restrições ambientais.
14
2.4.1 Limites máximo e mínimo de geração
A primeira restrição incorporada nos problemas de despacho foi a dos limites mínimo e
máximo de geração das unidades. A restrição do limite mínimo baseia-se no fato de que uma
unidade para começar a produzir potência necessita já estar aquecida e consumindo certa
quantidade de combustível, os custos referentes a esse processo são incorporados ao problema
do
UC
(custo de start-up ou inicialização da unidade termelétrica), estando então apta a
entregar sua quantidade mínima de potência. A restrição do limite máximo de potência refere-
se a uma operação instável e forçada das partes mecânicas da máquina devido a trepidação e
aquecimento excessivos quando opera além de certo limite de geração.
A modelagem matemática dessa característica é feita considerando que cada gerador
acrescentará duas restrições adicionais ao modelo (WOOD; WOLLENBERG, 1996). As
restrições de desigualdade referentes aos limites máximo e mínimo de geração de cada
unidade são mostradas na equação 2.6, abaixo.
máxGi,GiminGi,
PPP
≤
≤
,
∀
Ψi
∈
(2.6)
sendo
minGi,
P
e
máxGi,
P
, os respectivos limites mínimo e máximo do i-ésimo gerador;
n,=Ψ 1,...
, conjunto de geradores prontos para o despacho.
2.4.2 Pontos de válvula
Quando em operação, se é necessário aumentar a potência de saída de uma unidade
termelétrica, uma maior quantidade de vapor deve ser injetada na turbina. Os efeitos que
ocorrem quando se inicia a abertura de válvulas de admissão de vapor na turbina produzem
ondulações na função de custo da unidade, pois existe uma variação na quantidade de
combustível injetado durante esse transitório, ou até mesmo uma mudança de combustível
injetado para aquele nível de geração. Tais pontos onde ocorre a abertura dessas válvulas são
conhecidos como “pontos de válvula”
(
)
PV
(WALTERS; SHEBLE, 1993). Uma modelagem
baseada na teoria de controle para os comportamentos de abertura dessas válvulas são
apresentados por Vittal (1999).
15
A Figura 2.4 mostra um gráfico de função de custo com influência dos
PV
. Repare como a
abertura das válvulas modifica a forma da curva de custo da unidade. A Figura mostra a
abertura de 5 válvulas, em cada uma delas a função de custo se modifica de uma forma que
não deve ser desprezada.
Figura 2.4: Exemplo de função de custo com 5 pontos de válvula.
A modelagem da função de custo com influência de múltiplos
PV
é feita mediante a
inclusão de um termo não-linear senoidal na função de custo original, equação 2.1, de cada
gerador considerado. A nova função de custo de cada gerador será conforme a equação 2.7
(WALTERS; SHEBLE, 1993).
()
)
)
)
|
|
imíni,iiiii
PPfeα+PF=PF −sin
ˆ
(2.7)
sendo
()
i
PF
, função de custo original sem a consideração dos
PV
;
()
i
PF
ˆ
, nova função de custo com a inserção do efeito dos
PV
;
{}
0,1=α
i
, caso a i-ésima unidade apresente
PV
,
{
}
1=α
i
, caso não apresente,
{
}
0=α
i
;
i
e
e
i
f
, coeficientes que caracterizam a forma dos
PV
, mudando amplitude e período,
respectivamente.
16
2.4.3 Zonas de operação proibidas
As zonas de operação proibidas são impostas pelas características operativas do gerador ou
de equipamentos auxiliares a eles, tais como caldeiras, bombas de alimentação, dentre outras,
conforme Orero & Irving (1996).
Existem ainda as zonas de operação proibidas devido a características de ponto de válvula
não modeláveis. Portanto, é preferível não operar a unidade em tais regiões (YALCINOZ;
SHORT, 1997).
Unidades com zonas de operação proibidas têm sua região de operação,
máxi,míni,
P,P
,
dividida em várias sub-regiões isoladas, as regiões de operação possível, vide Figura 2.5. Tal
configuração faz o problema ter um espaço não-convexo de soluções, que representa um
acréscimo significativo no grau de dificuldade de solução.
Figura 2.5: Função de custo com zonas de operação proibidas.
A representação matemática dessa peculiaridade operativa é feita com a modificação da
restrição de limites máximos e mínimos de operação, vide equação 2.6. Portanto, obtém-se
um aumento na quantidade de restrições de desigualdade proporcional ao número de zonas de
operação proibidas, e as zonas possíveis de operação estão descritas na equação 2.8.
máxi,i
superi,
i
n
infi,
j
i
superi,
j
infi,
imíni,
PPP
PPP
PPP
≤≤
≤≤
≤≤
−1
1
i
n,,=j ...2,3
(2.8)
17
sendo
i
n
, o número de zonas de operação proibidas;
infi,
P
1
, o limite inferior da primeira zona proibida da i-ésima unidade;
superi,
i
n
P
, o limite superior da n-ésima zona proibida da i-ésima unidade.
Percebe-se que o espaço de busca de soluções foi completamente estratificado, impondo ao
algoritmo uma flexibilidade adicional e a exigência de uma forte capacidade exploratória.
2.4.4 Limites de rampa
Na operação cotidiana de despacho econômico de geradores o sistema já está em operação
e vários geradores estão despachando energia para a rede. Nestas condições, o problema
consiste em sair de uma condição de operação inicial e chegar a um despacho para o horizonte
de tempo considerado.
Devido a aspectos construtivos, é fato que a mudança no nível de geração de um estado de
despacho para outro não ocorre instantaneamente. As variações na potência de saída de uma
unidade geradora ocorrem continuamente e cada unidade geradora tem valores máximos de
acréscimo e de decréscimo de potência por hora. Esses valores são conhecidos como limites
de rampa, devido ao fato de essas variações de potência seguirem a forma de rampa, vide
Figura 2.6.
Figura 2.6: Possíveis operações: (a) regime estacionário, (b) aumento na geração e (c) diminuição na geração.
18
Matematicamente, de acordo com Yalcinoz & Short (1997) e Karol et al. (2008), os limites
de rampa são modelados como na equação 2.9.
iimáxi,iiimíni,
UR+P,PmínPDRP,Pmáx
00
≤≤−
(2.9)
sendo,
0
i
P
, a potência do despacho anterior da i-ésima unidade;
i
UR
e
i
DR
, os respectivos limites de rampa no aumento (upper rate) e diminuição (down
rate) da geração.
2.4.5 Unidades Multi-combustível
Tradicionalmente, cada gerador apresenta apenas uma função de custo de combustível.
Porém, existem termelétricas que podem trabalhar com mais de um combustível, por
exemplo, gás natural e óleo, segundo Lin & Viviani (1984).
Considerando que, dependendo do nível de geração, um determinado combustível pode ser
mais econômico que outro, a curva de custo de uma dada unidade termelétrica multi-
combustível será particionada em segmentos, cada um com sua respectiva função de custo
correspondente ao combustível utilizado.
A Figura 2.7 representa a curva de custo de duas unidades distintas que possuem os
mesmos limites máximo e mínimo de geração. A função de custo da unidade 1 foi modelada
como linear em partes, e a da unidade 2 como quadrática em partes. Em ambas as curvas a
mudança de combustível com a chegada em determinado nível de geração diminui o custo da
unidade naquele intervalo de forma bastante expressiva se comparado ao comportamento do
combustível anterior.
A modelagem matemática dessa variante do problema do despacho foi descrita por LEE &
El-Sharkawi (2008), e é reproduzida na equação 2.10. Vale ressaltar que essa modelagem
também pode ser utilizada quando a unidade geradora não é multi-combustível, porém sua
função é mais bem representada em intervalos.
19
()
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤
≤≤
− máxi,imáxi
iimáxiimáximáx
i2ii1
ii2ii2i2
i1imíni,
ii1ii1i1ii
PPPse
Pc+Pb+a
PPPse
Pc+Pb+a
PPPse
Pc+Pb+a=PF
)1(
2
2
2
MM
(2.10)
sendo,
ij
a
,
ij
b
e
ij
c
, os coeficientes de custo da i-ésima unidade no j-ésimo nível de geração.
A equação 2.10 mostra que o limite superior de potência de uma dada função de custo é o
limite inferior da função de custo seguinte. Portanto, se há
n
combustíveis, ter-se-á
n
funções de custo associadas aos seus respectivos intervalos de geração.
Figura 2.7: Função de custo multi-combustível quadrática em partes.
2.4.6 Reserva de giro
Reserva de giro para engenheiros de sistemas de potência é um conceito semelhante ao do
capital de giro para os administradores. Ambos os termos dizem respeito a um recurso
sobressalente necessário para manter o sistema em operação segura.
20
Caso uma falha ou falta em alguma unidade geradora ocorra, e a reserva de giro exista, o
sistema poderá suprir a energia que não está mais disponível através da elevação da geração
em outras unidades da rede que foram deixadas propositalmente com folgas suficientes. Tais
folgas propositais são denominadas de reservas de giro de cada unidade (WOOD;
WOLLENBERG, 1996).
Algumas termelétricas não são consideradas em problemas com reserva de giro. As que
possuem zonas de operação proibidas não podem ser utilizadas para tal finalidade, pois caso
seja requerido desta unidade um aumento de geração para efetuar um balanço de carga, tal
geração pode cair em uma dessas faixas indesejáveis de operação. Termelétricas que possuam
grandes limites de rampa também não são consideradas por não poderem responder a uma
solicitação de balanço de geração em tempo aceitável.
Segundo Wang et al. (2007), essa restrição de segurança pode ser expressa
matematicamente pela equação 2.11.
(){}
()
ψi=S
ψΨiS,PPmín=S
SS
i
máxi,imáxi,i
R
Ψi
i
∈∀
−∈∀−
≥
∑
∈
0
(2.11)
sendo,
i
S
, a reserva de giro da i-ésima unidade;
R
S
, a reserva de giro demandada pelo sistema;
Ψ
, o conjunto de todas as unidades despacháveis;
ψ
, o conjunto de unidades com zonas de operação proibidas;
máxi,
S
, a máxima reserva de giro permitida para a i-ésima unidade.
2.4.7 Despacho Econômico/Ambiental
Nos últimos anos, as restrições ambientais começaram a se tornar parte importante do
planejamento e operação dos sistemas elétricos de potência. Ou seja, o despacho econômico
21
deve, além de minimizar o custo de geração, levar também a uma minimização das emissões
de poluentes liberados na atmosfera a partir da queima do combustível pelas termelétricas.
Portanto, a consideração da diminuição de emissões no processo de geração de energia
elétrica deve ser encarada como um dos aspectos a ser levado com responsabilidade e
seriedade. Essa tendência de preservação do meio ambiente levou a incorporação do despacho
ambiental ao problema do despacho econômico de geração (TALAQ; EL-HAWARY, 1994).
Um salto em complexidade foi incluso, com a inserção dessa característica, pelo fato de o
despacho, agora econômico-ambiental, se tornar um problema de otimização multiobjetivo
(DRÉO, 2006). Essa variante do problema do despacho proporciona uma dificuldade ainda
maior, pois os dois objetivos considerados são conflitantes: a minimização do custo implica
no aumento das emissões de poluentes, enquanto que a minimização das emissões ocasiona
um aumento no custo final do despacho.
A emissão total pode ser diminuída pela redução dos principais poluentes que são: óxidos
de nitrogênio (
x
No
), óxidos de enxofre (
x
So
) e o dióxido de carbono (
2
CO
). A função
objetivo que minimiza as emissões totais pode ser expressa em uma equação linear como a
soma das emissões desses principais poluentes obtidos a partir da potência ativa de saída da
termelétrica, uma abordagem generalista assim é dificilmente encontrada na literatura.
Para uma visão mais geral a respeito do problema do despacho econômico/ambiental, suas
abordagens e considerações, uma leitura introdutória e bastante interessante consiste no artigo
escrito por Talaq & El-Hawary (1994).
O presente trabalho considerará apenas as emissões de óxidos de nitrogênio,
x
No
, como
representante das emissões de poluentes, valendo ressaltar que a adição de outros poluentes
pode ser feita de maneira similar a feita nessa abordagem, apenas somando algebricamente o
custo obtido por cada poluente separadamente. A formulação do problema de despacho
econômico consiste em minimizar o custo econômico, vide equação 2.1, satisfazendo a
equação completa do balanço de potência, vide equação 2.5.
A formulação do problema de despacho ambiental, mostrado por Talaq & El-Hawary,
consiste em minimizar o custo ambiental, que é um custo associado com a quantidade de
emissões em
hrTon
/
multiplicado por um fator
w
, conhecido como fator de custo de
controle de emissões em
Tonu.m.
/
. Existem várias formas de se considerar os custos relativos
22
a emissões de poluentes, representados por
w
, todas elas tentam conceber uma valoração
monetária do prejuízo causado pela emissão dos poluentes, seja pela avaliação dos gastos para
se minimizar os índices dos tais poluentes, estimação dos danos causados no presente ou no
futuro, ou decisões políticas. A medida quantitativa da emissão de
x
No
é dada como função
da saída de potência ativa do gerador em
hrTon
/
; ou seja, a soma de uma função quadrática
com uma exponencial, de acordo com a equação 2.12 e equação 2.13.
() ( )
Gi
n
=i
EiGE
PFw=PF
∑
1
(2.12)
()
)
GiEiEiGiEiGiEiEiGiEi
Ped+Pc+Pb+a=PF exp
2
(2.13)
Sendo,
G
P
, um vetor com os níveis de geração,
Gi
P
, dos
n
geradores despacháveis;
Ei
a
,
Ei
b
,
Ei
c
,
Ei
d
e
Ei
e
, os coeficientes de emissão do i-ésimo gerador;
()
GiEi
PF
, a função de custo de emissão do i-ésimo gerador.
A formulação do problema completo, abordada neste trabalho, segue a mesma abordagem
feita por Slimani & Bouktir (2007). Esta consiste na junção das duas funções objetivo, a do
despacho econômico e a do despacho ambiental, em uma única função objetivo com a
inserção de pesos complementares,
α
e
)
α
−
1
, que refletem a relevância do despacho
econômico em relação ao despacho ambiental, respectivamente. Se
1=α
o despacho é
econômico puro, se
0=α
o despacho é ambiental puro, se
10 ≤≤ α
o despacho é
econômico-ambiental.
A função objetivo total a ser minimizada é descrita na equação 2.14, e o custo total
associado ao despacho resultante da minimização do custo da geração mais emissões está
descrito na equação 2.15.
(
)
ECtotal
Fα+αF=F
−
1
(2.14)
EC
total
C
F+F=F
(2.15)
23
sendo
total
C
F
, a função de custo total do despacho econômico/ambiental;
C
F
e
E
F
representam o respectivo custo econômico e ambiental;
α
, fator de ponderação entre os despachos,
10
≤
≤
α
;
total
F
, a função objetivo total a ser minimizada.
Lembrando que o problema do despacho econômico-ambiental pode vir associado a todas
as restrições consideradas anteriormente, as restrições impostas pelas características dos
geradores e as restrições de operação da rede elétrica.
2.5 Considerações finais
Uma explanação detalhada do problema do despacho econômico de geração foi feita nesse
capítulo. Iniciou-se com o modelo do despacho econômico básico e através da inserção das
perdas da rede nesse modelo definiu-se o despacho econômico clássico. Logo em seguida
foram apresentadas as variantes mais populares do problema do
ED
no que diz respeito a
uma modelagem mais realista dos geradores. Os limites máximos de geração, pontos de
válvula, as zonas de operação proibidas, limites de rampa, as unidades multi-combustível,
reserva de giro e o despacho econômico-ambiental, todas essas variantes foram modeladas e
equacionadas para serem alvo de aplicação do algoritmo de busca harmônica, que será
detalhadamente explicado no capítulo seguinte.
3 ALGORITMO DE BUSCA HARMÔNICA
Objetivos do capítulo. Apresentar este promissor método de otimização, ressaltar suas
similaridades e diferenças com outras técnicas metaheurísticas, entender suas características
principais e detalhar suas melhorias.
O algoritmo de otimização conhecido como Busca Harmônica, criado por Geem et al.
(2001), poderia ser apresentado com o seguinte slogan: “Um processo de busca pela melhor
harmonia musical”. Mas qual a relação entre harmonia musical e otimização? Essa pergunta
será respondida no decorrer do capítulo.
Muitos problemas em vários campos, bem como o problema do despacho econômico, são
solucionáveis com a utilização de algum algoritmo de otimização.
As técnicas matemáticas tradicionais de otimização, como programação linear (
LP
,
Linear Programming), programação não-linear (
NLP
, Nonlinear Programming) e
programação dinâmica (
D
P
, Dynamic Programming) têm sido utilizadas com freqüência em
problemas de otimização (BRONSON; NAADIMUTHU, 1997). Todas as três técnicas
garantem a descoberta da solução ótima global, a melhor solução possível, porém apenas para
modelos simples e ideais. Portanto, para problemas mais realistas, esses algoritmos
apresentam dificuldades. Conforme Geem et al. (2001), na
LP
existe a desvantagem de ter
que simplificar e linearizar o problema, podendo ocorrer a perda de características
fundamentais do problema nesse processo. A
D
P
sofre em problemas de explosão
combinatorial, pois com um número grande de variáveis seu tempo de execução é levado a
níveis impraticáveis.
Na tentativa de contornar as desvantagens apresentadas pelas técnicas puramente
matemáticas, também chamadas de determinísticas, técnicas heurísticas baseadas em
simulações foram desenvolvidas nas últimas décadas.
As técnicas heurísticas permitem que soluções próximas da ótima global sejam
encontradas em um tempo de execução relativamente curto, com pouco consumo de recursos
de máquina, ou seja, computadores pessoais adequam-se perfeitamente a esse fim. Tais
técnicas permitem modelagens mais precisas e podem ser utilizadas sem a necessidade do
conhecimento de complexidades matemáticas, nem ajuste rigoroso de parâmetros ou escolha
de variáveis iniciais de difícil predição.
25
Desde 1970 muitos algoritmos heurísticos tem sido desenvolvidos combinando
aleatoriedade com comportamento semelhante ao de fenômenos observados na natureza, essa
característica levou ao surgimento da expressão “metaheurísticas” (DRÉO, 2006). Uma
possível taxonomia, mesmo que não considere todos os algoritmos, pois existem muitos e a
cada dia surgem mais, com a similaridade dos algoritmos inspirados na natureza pode ser
observada na Figura 3.1.
Figura 3.1: Uma taxonomia simplificada para algoritmos biologicamente inspirados.
3.1 Breve resumo das técnicas Metaheurísticas
Um dos métodos mais antigos e que sempre foi visto com bons olhos pelos pesquisadores
foi primeiramente sugerido por Glover (1977), e tornou-se conhecido, após várias melhorias
implementadas por diversos trabalhos posteriores, como algoritmo de Busca Tabu (
TS
, Tabu
Search). O algoritmo foi extensivamente usado na obtenção de soluções ótimas para vários
problemas. A idéia básica era explorar o espaço de soluções através de uma seqüência de
movimentos. Cada movimento melhor que o anterior era armazenado, sendo o anterior
descartado. Paralelo a isso, para escapar de ótimos locais, uma lista de movimentos tabu é
mantida, tais movimentos não são repetidos até serem esquecidos.
Em 1983, Kirkpatrick et al. (1983) propôs um algoritmo novo, o Recozimento Simulado
(
SA
, Simulated Annealing). Este algoritmo foi inspirado no processo de formação, natural ou
induzida, de cristais em materiais que são primeiramente aquecidos, para promover
mobilidade às moléculas para permitir a formação de cristais, e depois gradualmente
26
resfriados até o equilíbrio térmico ser alcançado. Desde então muitos problemas de
engenharia foram resolvidos satisfatoriamente por esse tipo de algoritmo.
Outros métodos, agrupados como métodos de computação evolucionários, foram
inspirados no princípio da evolução das espécies de Darwin. Nesse princípio a sobrevivência
das espécies depende da sua adaptação ao meio, sendo que os indivíduos mais adaptados
sobrevivem e serão capazes de transmitir suas boas características aos descendentes através de
herança genética. Os créditos são atribuídos a Goldberg (1989). A vertente mais popular é
conhecida como algoritmos genéticos, sua característica marcante é a capacidade de avaliação
de muitas soluções simultaneamente.
O trabalho de Kennedy & Eberhart (1995) propôs um método que foi inspirado no
comportamento social de bandos de aves e cardumes de peixes, a otimização por enxame de
partículas (
PSO
,Particle Swarm Optimization). Devido ao fato desse algoritmo ser baseado
na evolução de uma população de soluções, parece ser semelhante aos algoritmos genéticos,
porém difere deste por não apresentar operadores evolucionários, como crossover e mutação.
Métodos metaheurísticos baseados em simulação destacam-se na habilidade em percorrer
espaços de busca de soluções e geralmente superam as desvantagens dos métodos
matemáticos tradicionais. Baseado nesse fato é exposto um algoritmo simples que é capaz de
prover soluções tão boas quanto e, em alguns casos, até melhores que as dos algoritmos atuais
com facilidade e confiabilidade demonstrada por experimentação.
3.2 Motivação do Algoritmo Busca Harmônica
Conforme visto anteriormente, os métodos heurísticos atuais imitam fenômenos naturais.
Recozimento Simulado imita o resfriamento gradual de metais, Busca Tabu inspira-se na
memória humana, os Algoritmos Evolucionários simulam a teoria da evolução, dentre outros.
Levando em consideração todas as aplicações de sucesso dos algoritmos biologicamente
inspirados, Lee & Geem (2005) desenvolveram um novo algoritmo metaheurístico que reflete
a busca por uma harmonia perfeita entre instrumentos musicais quando músicos executam
uma canção (por exemplo, músicos em uma apresentação de Jazz ou Blues). O algoritmo
ficou conhecido como Busca Harmônica (
HS
, Harmony Search).
27
Os músicos, principalmente aqueles que precisam improvisar durante a música, utilizam
seus talentos e inteligência na busca pela harmonia perfeita em uma canção. Primeiramente,
os músicos já têm em mente um conjunto de acordes e notas que serão executados no decorrer
da música. Entretanto, na busca por uma melhor harmonia, eles começam a improvisar novos
acordes e notas (acorde é um conjunto de notas tocadas simultaneamente). Essa improvisação
pode considerar o conhecimento musical dos instrumentistas ou pode ser uma improvisação
completamente nova. Logo em seguida os músicos fazem uma avaliação se aquela nota ou
acorde improvisado é melhor que aquele que era usado anteriormente. Caso a avaliação da
improvisação seja positiva, ela passa a incorporar o conjunto de novas notas e acordes na
execução da melodia. Portanto, a possibilidade de se fazer uma melhor harmonia cresce na
medida em que um número de tentativas de improvisação vai sendo feito, pois a memória dos
músicos ficará repleta de combinações de acordes e notas de sucesso.
Como o algoritmo
HS
é aplicado a um problema de otimização? Em qualquer problema
de otimização, tem-se um conjunto de variáveis, que serão os instrumentos artificiais dos
músicos, que precisam ser combinadas para a obtenção da solução ótima global ou solução
próxima a ela, a harmonia perfeita. Uma memória, chamada de memória harmônica (
H
M
,
Harmony Memory), é inicializada e preenchida com soluções possíveis para o problema,
imitando o conjunto de notas que os músicos já têm em mente antes da execução da música.
Na busca por uma melhor solução tenta-se uma nova solução considerando combinações entre
valores das variáveis que estão na
H
M
ou tenta-se combinações completamente novas,
semelhante à improvisação feita pelos músicos reais. Logo em seguida essa nova solução é
avaliada através da função objetivo do problema e, caso seja melhor do que qualquer das
soluções presentes na
H
M
, a nova solução substitui a anterior. Pode-se perceber que a
possibilidade de se encontrar novas soluções cada vez melhores cresce com o número de
iterações, pois a
H
M
vai sendo preenchida por soluções cada vez melhores, ocasionando a
convergência do algoritmo.
A Figura 3.2 traz uma analogia entre uma improvisação feita pelos músicos e uma
improvisação feita pelo algoritmo de otimização Busca Harmônica. Os músicos improvisam
uma combinação das notas Dó e Mi com o acorde Sol e avaliam na mente se a combinação foi
boa, o desenvolvedor da técnica chama esse processo de estimação estética. O algoritmo
apresenta uma solução,
[
]
5,03,0;1,0;
, e a avalia em uma função objetivo.
28
Figura 3.2: Analogia entre uma improvisação real (seção superior da figura) e uma improvisação no
algoritmo HS (seção inferior) (LEE; GEEM, 2005)
.
O componente fundamental do algoritmo é a
H
M
. A Figura 3.3 mostra a estrutura da
H
M
relativa a uma banda de Jazz composta por um saxofone, um contrabaixo acústico e um
violão. Inicialmente, existe uma quantidade de notas na memória de cada músico: saxofonista,
{
}
SolMi,Dó,
; contrabaixo,
{
}
RéSol,Si,
; e guitarrista,
{
}
DóFá,Lá,
. Se o saxofonista
retira aleatoriamente uma nota da memória
{
}
SolMi,Dó,
, por exemplo a
{
}
Sol
, o
contrabaixista retira
{}
Si
de
{
}
RéSol,Si,
e o violinista retira
{
}
Dó
de
{
}
DóFá,Lá,
, esta
nova harmonia representa o acorde
7
C
(Dó com sétima). E se essa harmonia é melhor do que
a pior harmonia presente na
H
M
, a nova harmonia é incluída e a pior harmonia é excluída da
H
M
. Esse procedimento é repetido até uma harmonia excepcional ser encontrada no
conjunto de iterações.
A mesma Figura 3.3, com ênfase às variáveis do problema de otimização, mostra que cada
músico tem seu instrumento e cada instrumento representa uma variável do problema. Os
músicos geralmente improvisam valores diferentes para as notas simultaneamente com vistas
a gerar melhores harmonias.
29
Figura 3.3: Comparação entre a memória real dos músicos e a memória harmônica (HM) do algoritmo (LEE;
GEEM, 2005).
A Figura 3.3 mostra as variáveis
1
x
,
2
x
e
3
x
em comparação aos instrumentos musicais, e
mostra que já existem valores conhecidos como soluções para o problema. Por exemplo, em
um problema qualquer que envolva a otimização de um caminho em milímetros,
{
}
{
}
mmmmmm=xxx 600,700,100
32,1,
, tais valores se encontram na
H
M
, similar à
memória dos músicos, de cada variável e essa combinação sabe-se que é uma solução. Ao
iniciar o algoritmo, na improvisação de uma nova solução, a primeira variável escolhida é
mm=x 100
1
tirada de seu conjunto na
H
M
,
{
}
mmmmmm 500,300,100
, a segunda
variável é escolhida da mesma maneira como
mm=x 500
2
tirada de
{
}
mmmmmm 200,500,700
e a última variável é escolhida sem levar em consideração a
H
M
, imitando o processo criativo do músico, como
mm=x 50
3
. Ao avaliar essa possível
solução na função objetivo (equação matemática a ser minimizada), e perceber que ela é
melhor do que a pior combinação presente na
H
M
, ela é adicionada e a pior é retirada da
H
M
.
30
Vale ressaltar que existem três formas de um músico improvisar um acorde ou nota durante
o processo de improvisação (LEE; GEEM, 2005), a saber:
1. Tocar uma nota extraída de sua memória, ou da HM no caso do algoritmo, pois já
existem garantias de que ela se encaixa ao problema em questão;
2. Tocar uma nota adjacente a uma nota presente em sua memória fazendo uso das
escalas musicais. No caso do algoritmo, isso é feito através de um valor extraído da
HM, porém ajustado matematicamente;
3. Tocar uma nota completamente aleatória, porém pertencente ao tom da música (o
tom da musica restringe o conjunto de todas as notas musicais disponíveis àquelas
notas que apresentam semelhança musical entre si). Ou seja, o algoritmo gera um
valor aleatório para a variável, mas sendo um valor que é possível no atendimento
às restrições do problema.
3.3 Funcionamento Básico do Algoritmo de Busca Harmônica
Observe o fluxograma do algoritmo básico na Figura 3.4, novamente de acordo com Lee &
Geem (2005), no qual são apresentados os principais parâmetros e ações do método de Busca
Harmônica. A listagem detalhada dos passos e a explicação do papel das variáveis no
algoritmo será mostrada nas Seções 3.3.1 a 3.3.5.
A Figura 3.4 mostra os seguintes passos, que serão descritos em detalhes mais adiante, a
saber:
(1) Inicialização das variáveis do problema e dos parâmetros do algoritmo;
(2) Inicialização da memória harmônica;
(3) Improvisação de uma nova harmonia;
(4) Atualização da memória harmônica;
(5) Repetição dos passos (3) a (4) até o critério de parada ser alcançado;
31
Figura 3.4: Fluxograma do algoritmo de busca harmônica (LEE; GEEM, 2005)
3.3.1 Inicialização das variáveis e parâmetros
Considere um problema de otimização genérico formulado da seguinte maneira, equação
3.1:
()
N,,=i,XxasujeitoxfMinimize
ii
...1,2
∈
(3.1)
sendo,
()
xf
, a função objetivo genérica;
N
, o número de variáveis no problema;
x
, o conjunto de variáveis (
i
x
) do problema;
i
X
, o conjunto de valores possíveis para a variável
i
x
.
32
O problema definido na equação 3.1 representa um problema genérico de otimização.
Além disso, são inicializadas as variáveis inerentes ao próprio algoritmo de busca, a saber:
NI
, o número máximo de iterações;
P
AR
, a taxa de ajuste de notas;
HMS
, o tamanho da memória harmônica;
HMCR
, a taxa de consideração da memória harmônica.
3.3.2 Inicialização da Memória Harmônica
A memória harmônica, mostrada pela Figura 3.3 é uma matriz onde cada linha representa
uma possível solução e onde as soluções são organizadas em ordem decrescente de avaliações
através da função objetivo do problema, onde os vetores com avaliação melhor, que
minimizam a função de custo, são posicionados nas linhas superiores da
H
M
. A
representação matemática da memória harmônica,
H
M
, é dada pela equação 3.2.
121
11
1
1
2
1
1
22
1
2
2
2
1
11
1
1
2
1
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−−
−
−
HMS
N
HMS
N
HMSHMS
HMS
N
HMS
N
HMSHMS
NN
NN
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx=HM
L
L
MMMMM
L
L
(3.2)
sendo que: o número da coluna é representado pelo índice inferior de cada elemento da
matriz; o total de colunas é igual ao número de variáveis,
N
; o número da linha está
representado pelo índice superior de cada elemento e o total de linhas é igual ao tamanho da
memória harmônica,
HMS
(Harmony Memory Size).
Observe que a inicialização da memória harmônica requer que cada linha seja composta
por uma solução possível para o problema, satisfazendo todas as restrições do problema,
quaisquer que sejam elas. No início do algoritmo a memória harmônica é preenchida com
soluções geradas aleatoriamente.
33
3.3.3 Improvisação de uma nova harmonia
Improvisar uma nova harmonia significa criar um novo vetor, por exemplo,
()
'x,,'x,'x=x'
N
...
21
, que satisfaz as características do problema, baseado nas três regras já
mencionadas: consideração da memória, consideração da memória com ajuste de notas ou
seleção aleatória.
A variável
HMCR
(Harmony Memory Consideration Rate), que varia entre
0
e
1
, é a taxa
ou probabilidade de escolher um valor para uma variável de decisão a partir da
H
M
,
enquanto
()
HMCR−1
é a probabilidade de escolher qualquer um de todos os possíveis
valores para a mesma variável. Em outras palavras,
HMCR
reflete a importância da
H
M
no
processo de escolher um novo valor para uma variável. Portanto, baseado nessa taxa, pode-se
considerar ou não a atribuição de uma variável a partir de valores da memória harmônica.
A verificação dessa probabilidade é feita gerando-se um número randômico uniforme,
aquele em que, entre os extremos de 0 a 1, qualquer valor tem igual probabilidade de ocorrer.
Caso esse número gerado seja inferior a
HMCR
, considera-se a escolha da variável a partir da
H
M
. Caso o número randômico gerado seja superior a
HMCR
escolhe-se um valor de todos
os possíveis para a referida variável.
Na consideração da memória, o valor da primeira variável de decisão,
'x
1
, é escolhido
aleatoriamente a partir de qualquer um dos valores presentes na
H
M
para aquela variável, ou
seja, do conjunto
{
}
HMS
x,,x
1
1
1
…
. As outras variáveis são escolhidas da mesma maneira. A
Representação matemática desse comportamento está de acordo com a equação 3.3.
{}
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−∈
…∈←
HMCRdadeprobabilicomX'x
HMCRdadeprobabilicom
x,,x,x'x'x
ii
HMS
iiiii
1
21
(3.3)
sendo,
'x
i
, o i-ésimo elemento do novo vetor improvisado.
i
X
, o conjunto de valores possíveis para a variável, inclusive valores presentes na
H
M
,
em conformidade com as restrições do problema.
34
Além disso, para cada novo elemento escolhido a partir da
H
M
existe uma taxa ou
probabilidade de ele ser modificado, ou seja, de ter sua nota ajustada. Essa operação utiliza o
parâmetro
P
AR
(Pitch Adjusting Rate), que é a taxa de ajuste de nota. Sua utilização é
formulada a seguir na equação 3.4.
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
←
PARdadeprobabilicom
NÃO
PARdadeprobabilicom'xnotadaAjuste
i
1
,
SIM,
(3.4)
sendo o valor
()
PAR−1
a probabilidade de deixar
'x
i
inalterado. Caso a decisão de ajuste de
nota seja
SIM
,
'x
i
é ajustado da maneira descrita na equação 3.5.
)
bwrand±'x'x
ii
∗
←
(3.5)
sendo,
()
bwrand± ∗
, termo aleatório com
50%
de probabilidade de gerar soma ou subtração;
()
rand
, um número randômico uniforme entre 0 e 1;
bw
(bandwidth), uma constante de ajuste de nota.
Mais adiante, na seção que trata sobre o algoritmo de busca harmônica melhorado, o
procedimento utilizado para fazer as constantes
P
AR
e
bw
atualizarem-se no decorrer das
iterações será apresentado (vide Seção 3.4). Inclusive uma melhoria do algoritmo proposta
por este trabalho para variar a
HMCR
no decorrer das iterações será introduzida.
3.3.4 Atualização da Memória Harmônica
A nova harmonia improvisada é então avaliada na função objetivo, equação a ser
minimizada no problema de otimização. Caso a nova harmonia seja melhor do que a pior
harmonia presente na
H
M
, essa pior harmonia é retirada e a nova harmonia é introduzida na
H
M
. Logo em seguida, é feita uma organização das harmonias em ordem decrescente de
avaliação da função objetivo; ou seja, as harmonias melhor avaliadas estarão no topo e as
piores na base da
H
M
, prontas para serem retiradas caso uma melhor harmonia seja
encontrada.
35
3.3.5 Critério de parada
Caso o critério de parada não seja alcançado, ocorre a repetição dos passos (3) a (4), da
Figura 3.4, até o critério de parada ser alcançado. O critério de parada pode ser um número de
iterações sem melhoria do melhor valor da HM, ou um número pré-fixado de iterações,
critério este utilizado no presente trabalho.
3.4 Algoritmo de Busca Harmônica Melhorado
O algoritmo de busca harmônica melhorado (
IHS
, Improved Harmony Search) foi
desenvolvido por Mahdavi et al. (2007). Propondo um melhoramento substancial no
algoritmo original, a exploração no início da busca é reforçada e um refinamento das soluções
no processo final de convergência é obtido.
Conforme visto, de uma forma indireta, os parâmetros
P
AR
e
bw
ajudam o algoritmo a
encontrar soluções globalmente e localmente melhores, respectivamente. Porém não foi dada
nenhuma atenção especial ao ajuste desses parâmetros. Como visto, eles são definidos como
constantes do início ao fim do algoritmo básico. Na proposta do
IHS
esses parâmetros são
atualizados com o decorrer das iterações.
O algoritmo
IHS
propõe fazer esses parâmetros variarem dinamicamente dentre seus
limites mínimo e máximo conforme a equação 3.6, para o
P
AR
, e equação 3.7 para o
bw
.
() ( )
NI
gn
PARPAR+PAR=gnPAR
mínmáxmín
−
(3.6)
sendo
gn
, o número da iteração atual.
NI
, o número total de iterações (improvisações).
mín
PAR
, a menor probabilidade de ajuste de notas, parâmetro definido pelo usuário.
máx
PAR
, a maior probabilidade de ajuste de notas, parâmetro definido pelo usuário.
()
gnPAR
, a probabilidade de ajuste de nota em cada geração
gn
.
36
A variação do
P
AR
descreve a forma de uma reta saindo da menor probabilidade de ajuste
de notas,
mín
PAR
, no início do algoritmo, e vai aumentando essa probabilidade até chegar ao
máximo,
máx
PAR
, no final do algoritmo. O objetivo é melhorar a convergência do algoritmo
para sua chegada o mais próximo possível do ótimo global no final do processo, porém seu
sucesso depende de como o parâmetro
bw
se comporta, conforme equação 3.7.
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
máx
mín
L
máx
bw
bw
=L
,
gn
bw=gnbw
ln
NI
e
(3.7)
sendo,
mín
bw
, o valor mínimo utilizado para ajuste de notas;
máx
bw
, o valor máximo utilizado para ajuste de notas;
()
gnbw
, o valor utilizado para ajuste das notas na iteração
gn
.
Da maneira descrita pela equação 3.7, o parâmetro
bw
varia dinamicamente desde
máx
bw
até
mín
bw
seguindo uma curva exponencial decrescente. Isso significa que o ajuste de notas
no início das iterações é feito com grandes parcelas, pois
bw
é grande, melhorando a
capacidade exploratória do algoritmo. Ao final do processo iterativo o ajuste de notas é feito
com pequenas parcelas, levando o algoritmo a refinar as melhores soluções encontradas.
A Figura 3.5 mostra um gráfico desses parâmetros no decorrer das iterações. Baseado
nessa figura pode-se ver o comportamento simultâneo das variáveis
P
AR
e
bw
. Enquanto
P
AR
cresce linearmente,
bw
decresce exponencialmente. Ou seja, no início do algoritmo o
ajuste de notas é feito com menor probabilidade, mas com passo de ajuste máximo, pois parte-
se de localizações aleatórias no espaço de busca e tem-se neste momento a valorização da
exploração. No fim do algoritmo, já com a convergência em curso, não se precisa mais
explorar tanto o espaço de busca, mas precisam-se refinar as soluções encontradas; portanto
tem-se uma maior probabilidade de ajustar as notas com um passo de ajuste mínimo. Segundo
o autor do IHS e de acordo com este trabalho, essa abordagem se mostrou bastante eficaz.
37
Figura 3.5: Gráfico de PAR e bw do início ao fim do algoritmo.
3.5 Algoritmo utilizado neste trabalho
O algoritmo de busca utilizado no presente trabalho foi o
IHS
descrito na subseção
anterior, que é o próprio
HS
com o incremento da variação dinâmica dos parâmetros
P
AR
e
bw
. O fluxograma utilizado é dado na Figura 3.6.
Vale ressaltar que em três casos de aplicação presentes no Capítulo 4, Seções 4.6, 4.7 e 4.8,
foi introduzida uma pequena modificação para melhorar a exploração do espaço de soluções,
que é a atualização dinâmica da
HMCR
no decorrer das iterações. Esta modificação está
descrita em detalhes quando de seu uso, na Seção 4.6.
De uma forma resumida, o algoritmo pode ser dividido em dois procedimentos:
Inicialização e Iterações. A inicialização abrange os passos (1) e (2) da Figura 3.6, enquanto
que as iterações compreendem os passos (3), (4) e (5) da mesma figura.
Vale ressaltar que embora o algoritmo apresente forte heurística em seu processo de
execução, a busca é guiada pela memória harmônica que mantém a rota da minimização do
custo. O algoritmo foge de ótimos locais através dos parâmetros HMCR, PAR e bw,
progressivamente se aproximando do ótimo global.
38
Figura 3.6: Fluxograma do algoritmo utilizado neste trabalho (IHS) (MAHDAVI; FESANGHARY, 2007).
39
3.5.1 Inicialização das variáveis e parâmetros
No Passo (1) a única meta é estabelecer o problema, definir a função de custo, e inicializar
as variáveis e parâmetros requeridos pelo programa.
A função de custo ou objetivo é dada pela equação 2.1, respeitando-se a forma da função
de custo de cada unidade térmica no problema, se é linear, quadrática ou cúbica, etc. E as
variáveis inicializadas são listadas a seguir:
baseMVA
, a potência de base da rede;
total
D
P
, a potência total demandada pela rede;
[]
B
,
0
B
e
00
B
, quantidades definidas na equação 2.3;
[] [] []
ceb,a
, vetores com os dados da função de custo de todos os geradores;
[] [ ]
fee
, vetores de funções de custo se presente os pontos de válvula;
minGi,
P
e
máxGi,
P
, limites mínimo e máximo definidos na equação 2.6;
[]
mflimites
, matriz com os limites máximo e mínimo de geração com cada combustível,
uma linha para cada unidade;
[]
abcef
, matriz com os coeficientes dos combustíveis, uma linha por gerador;
unidadeszp
, vetor explicitando quais unidades apresentam zonas proibidas;
[]
zp
, matriz com as zonas de operação proibidas de cada unidade, conforme equação 2.8;
[]
URDR
, matriz com os limites de rampa de cada unidade, um por linha;
[]
p0
, vetor de despacho anterior, caso
URDR
seja considerada, equação 2.9;
SR
, a reserva de giro demandada pelo sistema de potência;
[]
rgmax
, vetor com os limites máximos de reserva de giro individuais de cada gerador;
40
[]
Smax
, vetor com a máxima reserva de giro para cada unidade, conforme equação 2.11;
daca,ba,aa,
e
ea
, vetores com os dados da função ambiental de todos os geradores;
w
, fator de custo associado com as emissões de poluentes;
alfa
, fator de ponderação entre despacho econômico e ambiental.
3.5.2 Inicialização da Memória Harmônica
No Passo (2) temos a inicialização da
H
M
com vetores solução que satisfaçam todas as
restrições do problema, vide Seção 2.4, inclusive o balanço de potência, vide equação 2.5.
O balanço de potência é satisfeito através do uso do artifício do gerador de balanço,
descrito por Tippayachai et al. (2002). Nessa abordagem define-se um gerador de referência
R
P
, em nosso caso o gerador com maior amplitude de geração, ou seja, maior valor de
mínGi,máxGi,
PP
−
.
A potência de saída do gerador de balanço pode ser expressa pela equação 3.8. A equação
2.4, que representa as perdas como função da geração de todas as unidades geradoras, pode
ser reescrita em função do gerador de balanço como na equação 3.9.
∑
≠
−
N
Ri=i
iPerdasDR
PP+P=P
1,
(3.8)
C+BP+AP=P
RRperdas
2
(3.9)
sendo,
RR
B=A
, elemento da matriz
ij
B
com
R=j=i
;
R0
N
Ri=i
iRi
N
Rj=j
jRj
B+BP+PB=B
∑∑
≠≠ 1,1,
, agora utilizando
ij
B
e
i0
B
;
00
1,1, 1,
B+PB+PBP=C
N
Ri=i
ii0
N
Ri=i
N
Rj=j
jiji
∑∑∑
≠≠≠
, utilizando
ij
B
,
i0
B
e
00
B
.
41
Substituindo a equação 3.9 na equação 3.8, e organizados os termos em função de
R
P
,
pode-se chegar na equação 3.10.
()
01
1,
2
=PP+PB+AP
N
Ri=i
iDRR
∑
≠
−−
(3.10)
Agora a equação 3.10 é quadrática na variável
R
P
, portanto a saída de potência da unidade
de balanço é a solução da referida equação (TIPPAYACHAI; ONGSAKUL; NGAMROO,
2002).
Com um número igual a
HMS
vetores de solução em mãos, os mesmos devem ser
avaliados pela função objetivo e organizados em ordem decrescente de avaliação, utilizando a
função de custo total, equação 2.1.
3.5.3 Demais Passos
Os Passos (3), (4) e (5) são seguidos de acordo com as Subseções 3.3.3, 3.3.4 e 3.3.5,
levando em consideração as modificações introduzidas no desenvolvimento do IHS, vide
Seção 3.4, pois são modificações utilizadas no trabalho.
Para uma melhor visão geral do algoritmo desenvolvido, na Seção A – Código Fonte do
Apêndice, uma versão modificada do arquivo “Main”, do programa desenvolvido por este
trabalho para problemas de Despacho Econômico com o algoritmo de Busca Harmônica, é
apresentado. Vale ressaltar que não é o código-fonte completo do programa, mas apenas um
esboço do programa geral utilizando o algoritmo de busca harmônica para fins didáticos. Os
códigos fonte do programa para todos os casos de teste encontram-se no cd que acompanha
essa dissertação.
3.6 Considerações Finais
No presente capítulo foi descrito o algoritmo de busca harmônica, onde foram definidas e
explicadas suas variáveis e parâmetros e foi mostrada a componente fundamental do
algoritmo, a memória harmônica. Além disso, foi apresentado o algoritmo utilizado no
presente trabalho que é o de busca harmônica melhorado e a forma de cálculo do gerador de
balanço, necessária para a inicialização da
HM
e improvisação de qualquer vetor solução. No
próximo capítulo aplicaremos o
HS
ao
E
D e suas variantes e os resultados serão avaliados.
4 SIMULAÇÕES E RESULTADOS
Objetivos do capítulo. Validação dos resultados obtidos pelo algoritmo desenvolvido neste
trabalho em comparação com os resultados de algoritmos estado da arte na área. Proposta de
outros casos de teste para comparação deste trabalho com trabalhos futuros.
Para comprovação e validação da presente técnica foram feitas simulações com alguns
casos-base propostos na literatura (as referências estarão explícitas no decorrer do capítulo).
Vale ressaltar que muitos artigos de publicações conceituadas no meio acadêmico não vêm
com os dados, ou os trazem de maneira incompleta. Portanto, os casos aqui apresentados são
resultados de garimpagem dentre dezenas de artigos, mas que serão suficientes para mostrar a
eficácia e confiabilidade dos resultados apresentados pelo algoritmo de busca harmônica.
4.1 Caso teste: 3 unidades geradoras
Esse caso de teste foi retirado do artigo clássico de Liang & Glover (1992), que utilizou
uma técnica de otimização que foi bem aceita pelos pesquisadores correlatos na década de 90,
a Programação Dinâmica (BRONSON; NAADIMUTHU, 1997).
O caso foi aqui levado a teste apenas para verificação de resultados com a literatura, pois
esse caso teste não apresenta complexidades matemáticas em sua formulação. Portanto, a
análise deste caso ficará restrita à comparação dos resultados finais do despacho.
O sistema apresenta três unidades geradoras, com funções de custo cúbicas da forma
()
32
GiGiGiGii
dP+cP+bP+a=PF
, e utiliza uma representação simplificada das perdas
considerando apenas a matriz
ij
B
, sendo que
0j
B
e
00
B
são considerados nulos. Os dados dos
geradores são mostrados na Tabela 4.1, e a matriz de perdas na equação 4.1, ambos extraídos
do mesmo artigo (LIANG; GLOVER, 1992).
Tabela 4.1: Capacidades e coeficientes dos geradores, caso 3 geradores.
Gerador
míni,
P
máxi,
P
i
a
i
b
i
c
i
d
1
100 500 11,20 5,10238 -0,0026429 3,33333exp(-5)
2
100 500 -632,0 13,01 -0,0305714 3,33333exp(-5)
3
200 1000 147,144 4,28997 0,00030845 -1,7677exp(-7)
43
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×××
×××
×××
−−−
−−−
−−−
556
556
665
104,5101,0107,5
101,0101,5105,0
107,5105,0107,5=B
ij
(4.1)
O algoritmo foi aplicado a esse caso munido dos seguintes parâmetros, definidos
experimentalmente e conforme recomendações descritas no artigo de Lee & Geem (LEE;
GEEM; 2005):
HMS = 12; % tamanho da memoria harmônica (HM)
HMCR = 0,90; % taxa de consideração da HM, considero a HM
em 90% das improvisações
PARmin = 0,30; % taxa de ajuste de notas, no início do algoritmo
considera-se ajustar 30% das notas improvisadas
PARmax = 0,99; % no final do algoritmo ajusta-se 99% das notas
improvisadas
BWmin = 0,01; % intervalo de ajuste de notas, passo inicial de
0,01 MW e passo final de 10MW
BWmax = 10;
NI = 1000; % num de improvisacoes (parada do HS)
baseMVA =1; % matriz B de perdas não está em pu
demanda_de_potência =1400 % valor em MW
O resultado do algoritmo, com apenas uma execução (1000 iterações) do mesmo, e a
comparação com o resultado do artigo original estão discriminados na Tabela 4.2.
Observando a tabela, está claro que o algoritmo Programação Dinâmica (
D
P
) alcançou uma
solução com custo de
u.m.6642,26
, enquanto que o algoritmo Busca harmônica (
HS
)
convergiu para uma solução melhor, custo de
u.m.16638,93130
. Embora a solução
encontrada pelo
HS
tenha implicado em um aumento de perdas no sistema, ainda assim é
uma solução que apresenta economia de
u.m.3,328699
em relação ao DP.
44
Tabela 4.2: Comparação entre Programação Dinâmica e Busca Harmônica para o caso 3 geradores.
VARIÁVEIS
MÉTODO
Programação Dinâmica Busca Harmônica
()
MWP
1
360,2 362,770282
()
MWP
2
406,4 100,000001
()
MWP
3
676,8 999,999999
()
MWP
i
∑
1443,4 1462,770282
()
MWP
perdas
43,4 62,770282
()
u.m.TotalCusto
6642,26
6638,931301
()
stempo
0,5 12,0
.
A única vantagem do
D
P
sobre o
HS
foi o tempo de computação, porém esse é um
parâmetro relativo, pois depende das capacidades de hardware e software da máquina na qual
os testes foram realizados. Por este motivo, tal comparação temporal será evitada no decorrer
dos testes, mas convém ressaltar que o presente trabalho foi realizado em uma máquina AMD
Athlon 900MHz, 1GB de RAM, rodando o sistema operacional Linux Debian Etch e
utilizando o software MATLAB R2006b, propriedade de The Mathworks®, Inc. e associados.
Uma outra observação conveniente é sobre as casas decimais das respostas obtidas. Os
resultados mostrados neste trabalho apresentarão um mínimo de 6 casas decimais obtidas pela
execução do algoritmo, visto que resultados como os mostrados pelo algoritmo
D
P
acima,
com uma casa decimal, são passíveis de erros grosseiros, pois um erro na segunda casa
decimal representa uma diferença, em termos de potência, da ordem de
kW
que logicamente
tem um custo considerável associado e que não pode ser desprezado. Desprezar essas frações
de
MW
implica em desconsiderar custos que representarão prejuízos sem tamanho em longo
prazo.
45
4.2 Caso teste: 6 barras / 3 geradores e pontos de válvula
Os dados para este caso de teste são providos pelo clássico livro de Wood & Wollenberg
(1996), páginas 31, 32, 112 e 117. O mesmo caso foi abordado por Walters & Sheble (1993)
utilizando algoritmos genéticos, com a desconsideração das perdas da rede, porém,
aumentando um pouco a sua complexidade com a inclusão do efeito dos pontos de válvula. A
Figura 4.1 mostra um diagrama equivalente monofásico para este sistema teste.
Os dados para esse sistema estão descritos na Tabela 4.3. No artigo original os autores
citam a inclusão das perdas da rede, porém não mostram nenhum resultado obtido para esse
sistema com pontos de válvula e perdas da rede, com isso as perdas foram desconsideradas.
Tabela 4.3: Capacidades e coeficientes dos geradores, caso 6 barras/3 geradores.
Gerador
míni,
P
máxi,
P
i
a
i
b
i
c
i
e
i
f
1
150 600 561 7,92 0,001562 300 0,0315
2
100 400 310 7,85 0,00194 200 0,042
3
50 200 78 7,97 0,00482 150 0,063
Figura 4.1: Sistema teste de 6 barras e 3 geradores (WOOD; WOLLENBERG, 1996).
46
O algoritmo foi aplicado a esse caso munido dos seguintes parâmetros:
HMS = 6; % tamanho da memoria harmônica (HM) igual ao
dobro do número de geradores
HMCR = 0,90; % taxa de consideração da HM
PARmin = 0,30; % taxas de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
BWmin = 0,1; % intervalo de ajuste de notas
BWmax = 10;
NI = 2000; % num de improvisacoes (parada do HS)
baseMVA = (-); % Não foi utilizada a matriz B de perdas
demanda_de_potência = 850 % valor em MW
A Tabela 4.4 faz o comparativo dos métodos Algoritmos Genéticos (
GA
, Genetic
Algorithms) e Busca Harmônica (
HS
) para o caso apresentado. A comparação segue
apresentando as últimas iterações do
GA
, para que fique clara a forma como o resultado final
foi conseguido. Observe que existem três colunas para o
GA
e apenas uma para o
HS
. Pode-
se perceber do comportamento do algoritmo
GA
que não foi utilizado um cálculo exato de
balanço de potência entre os geradores, mas sim penalização para soluções em desacordo com
o balanço (equação 2.2), pois soluções anteriores à final mostram um desbalanço entre
potência gerada e a demanda, que é
MW=P
d
850
. Tal forma de cálculo de perdas, além de
estar aproximando-as, ainda aproxima a obtenção da satisfação da restrição mais importante
do problema, o balanço de potência.
Outra desvantagem é que, no processo de convergência do
GA
, este algoritmo desvia-se da
solução ótima global, e converge para uma solução inferior. O mesmo não acontece com o
HS
, visto que este respeita o balanço de potência em todas as possíveis soluções
demonstrando confiabilidade durante todo o processo. Além do que o
HS
provê um
47
refinamento da solução final muito melhor do que o
GA
, pois aproxima-se mais da solução
ótima global com custo total de
u.m.94477598228,81025
contra os
u.m.8237,6
do
GA
.
Conforme visto, novamente uma precisão muito grande é enfatizada nos resultados do
HS
.
Tabela 4.4: Comparação entre GA e HS no caso 6 barras/3 geradores.
VARIÁVEIS
MÉTODO
Alg. Gen.
iter.(n-2)
Alg. Gen.
iter.(n-1)
Alg. Gen.
iter.(n)
Busca Harmônica
()
MWP
1
398,7 392,1 300,0 449,2218494255919
()
MWP
2
399,6 307,4 400,0 251,0405078339511
()
MWP
3
50,1 149,7 150,0 149,7376427404570
()
MWP
i
∑
848,4 850,2 850,0 850,000000000000000
()
u.m.TotalCusto
8240,3 8425,7 8237,6
8228,810259447759
()
stempo
- - 16 22,51
Apenas como uma forma de contrastar o poder de convergência dos algoritmos, a
configuração final da memória harmônica para o
HS
no caso listado na Tabela 4.4, onde o
primeiro vetor-linha descreve a solução ótima encontrada, é mostrada a seguir:
H
M
= 449,2218494255919 251,0405078339511 149,7376427404570
449,2218494255919 251,0405078339511 149,7376427404570
449,2218494255919 251,0405078339511 149,7376427404570
449,2159793999280 251,0405078339511 149,7435127661209
449,2159793999280 251,0405078339511 149,7435127661209
449,2159793999280 251,0405078339511 149,7435127661209
Fazendo uma análise entre a
H
M
acima e as três colunas do
GA
na Tabela 4.4, em termos
de repetição de melhores soluções no decorrer do processo de convergência, mais um ponto
positivo para o
HS
é ressaltado, mostrando um processo de convergência bastante refinado,
visto que as últimas improvisações retornaram a mesma solução ótima repetidamente.
48
4.3 Caso teste: IEEE 30 barras / 6 geradores
Esse caso é bastante interessante, pois, embora seja simples em formulação, devido aos
geradores não apresentarem nenhuma característica peculiar, o sistema exige muito do
algoritmo utilizado, pois os testes são feitos aumentando-se o carregamento do sistema até
próximo a seu limite. Algoritmos capazes de sobrepujar tais características têm, pelo menos,
enorme habilidade de se adequar ao espaço de busca, mesmo sendo bastante restrito, no
processo de convergência. Além do mais, os sistemas de teste do IEEE são bastante
respeitados por apresentarem características muito próximas de sistemas reais, com
dificuldades propositadamente inclusas no sistema.
Os dados para esse sistema foram tirados do artigo citado por Sum-Im (2004) e são
apresentados na Tabela 4.5, para os dados dos geradores, e na equação 4.2, para as matrizes
de perdas da rede.
Tabela 4.5: Dados dos geradores: caso IEEE 30 barras/6 geradores.
Gerador
míni,
P
máxi,
P
i
a
i
b
i
c
1
50 200 0,0 2,00 0,00375
2
20 80 0,0 1,75 0,01750
3
15 50 0,0 1,00 0,06250
4
10 35 0,0 3,25 0,00834
5
10 30 0,0 3,00 0,00250
6
12 40 0,0 3,00 0,00250
[]
0,1407
0,00360,00120,00280,00430,00160,0001
0,25680,00070,03660,06490,02680,0345
0,00070,16010,07200,09830,00400,0076
0,03660,07200,19190,10540,01280,0077
0,06490,09830,10540,25860,00090,0027
0,02680,00400,01280,00090,16390,1062
0,03450,00760,00770,00270,10620,21790,01
00
0j
=B
=B
=B
ij
−−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−−
−−−−−
−−
−−∗
(4.2)
49
O algoritmo foi aplicado a esse caso munido dos seguintes parâmetros:
HMS = 12; % tamanho da memoria harmônica (HM), igual
ao dobro do número de geradores
HMCR = 0,90; % taxa de consideração da HM
PARmin = 0,30; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
BWmin = 0,1; % intervalo de ajuste de notas
BWmax = 10;
NI = 2000; % num de improvisacoes (parada do HS)
baseMVA =10; % para uso no cálculo de perdas
demanda_de_potência =[200;250;280;300;350;400] % valor em MW
O sistema do IEEE foi testado com o algoritmo
HS
, porém o problema apresentado pelo
artigo de Sum-Im (2004) foi abordado de forma modificada. O autor do artigo fez a
comparação de seu algoritmo
ACSA
(Ant Colony Search Algorithm) (DORIGO; STUTZLE,
2004), com
GA
e com o método clássico iteração-lambda (
λiter −
) (WOOD;
WOLLENBERG, 1996). Visto que o problema não apresenta complexidades em relação a
características dos geradores, o problema foi estendido para atender a uma curva de carga
diária, mas sem alteração das funções de custo dos geradores durante esse intervalo, pois o
preço de combustível foi considerado constante. Ou seja, é o mesmo problema do despacho
convencional, mas considerando diversas demandas, pois a carga varia no decorrer do
horizonte de 24 horas, esse tipo de despacho é considerado como uma forma de despacho
dinâmico.
A curva de carga é mostrada na Figura 4.2 e o diagrama unifilar do sistema, apenas para
efeito de visualização da topologia do mesmo, na Figura 4.3.
50
Figura 4.2: Curva de carga de um dia (SUM-IM, 2004)
Figura 4.3: Diagrama unifilar do sistema IEEE 30 barras/6 geradores (SUM-IM, 2004)
51
A Figura da curva de carga mostra claramente que a menor demanda ocorre no fim da
noite e madrugada, das 23 às 6h, e a maior demanda do sistema ocorre entre 20 e 22h. Tal fato
é bem característico de sistemas reais.
No referido artigo, os três algoritmos são avaliados comparativamente,
λiter −
,
GA
e
ACSA
. A tabela com seus resultados será reproduzida, contudo foi incluída uma coluna para
os resultados do
HS
.
A Tabela 4.6 mostra o custo total em atender as demandas de energia,
{
}
400350;300;280;250;200;=P
D
retornados por cada algoritmo citado no artigo,
juntamente com o valor retornado pelo
HS
. Tal custo total é calculado multiplicando-se o
custo do despacho obtido pelos algoritmos, que é para uma dada demanda por hora, pelo
número de horas em que foi preciso atender aquele valor de demanda.
Tabela 4.6: Custo total da geração. Comparativo entre resultados obtidos de diferentes algoritmos.
()
MWP
D
H
oras
N.de
λIter −
GA
ACSA
HS
200
8 4108,16 4109,448 4108,163
4108,162713702259
250
2 1341,88 1342,62
1341,853
1341,864184949008
280
3 2308,02 2310,357
2307,838
2307,988071482329
300
1 838,18 838,918 838,063
837,9871890350604
350
8 8200,88 8158,832
8158,255
8158,371512928048
400
2 2455,98
2455,74
2455,908 2455,879211773890
()
u.m.
CustoTotal
- 19253,1 19215,92 19210,08 19210,25311848352
Na Tabela 4.6, linhas 2 a 7, os custos de despacho total para cada intervalo temporal de
demanda são apresentados. Em negrito destacam-se os melhores resultados dentre os
algoritmos descritos e algumas conclusões iniciais podem ser tomadas. Em todos os casos de
demanda os métodos
ACSA
e
HS
foram superiores aos métodos
λIter −
e
GA
, exceto para
o caso de
400=P
D
, onde o
GA
mostrou um resultado melhor. Porém, o custo total diário,
linha 8 da tabela, que reflete a soma dos custos do algoritmo em uma bateria de valores de
demanda distintos, refletem que os algoritmos
ACSA
e
HS
foram superiores aos demais,
52
com leve vantagem para o
ACSA
. Porém esse não é um resultado definitivo, pois outras
análises devem ser levadas em consideração para afirmar qual algoritmo teve o melhor
desempenho. O balanço entre potência gerada e demanda da rede, incluindo as perdas, é uma
restrição primordial a ser respeitada para o problema do despacho e deve ser investigada.
Uma nova tabela, Tabela 4.7, apresenta os mesmos valores constantes na tabela de
resultados experimentais do
ACSA
, retirados do artigo de Sum-Im (2004), e a Tabela 4.8
apresenta os resultados experimentais do
HS
, ambos em detalhes. Baseado nessas tabelas
investigaremos a capacidade dos algoritmos em gerar soluções confiáveis com relação a
restrição de balanço, vide equação 2.5. Observando a Tabela 4.7, é fácil perceber que o
algoritmo
ACSA
deixa muito a desejar com relação a restrição do balanço de potência. A
soma total das potências geradas deve atender as perdas da rede e a demanda de carga,
conforme já discutido. Portanto, com o algoritmo retornando as potências despachadas,
colunas 2 a 7 da tabela, aplicando tais valores na fórmula de perdas da rede, equação 2.4, para
estimar as perdas associadas a esses níveis de geração, verifica-se a coluna 9, e logo em
seguida obtém-se o balanço, pois a geração total menos as perdas deve ser igual à demanda da
rede, coluna 10.
O algoritmo
ACSA
conseguiu ser superior ao
HS
devido ao fato de que em cada um dos
seus resultados a geração total menos as perdas foi menor que a potência demandada da rede,
conforme mostra a coluna 10, ainda da Tabela 4.7, comparada com a coluna 1, que é a
potência real demandada. O erro resultante desse algoritmo está mostrado, na coluna 11 da
mesma tabela, em
kW
.
Claramente, o custo associado a essa sutil, porém relevante redução de demanda,
ocasionada pela falta de precisão do algoritmo
ACSA
, não pode ser desprezado como assim
foi feito. Esse detalhe revelou como conseqüência os melhores resultados do
ACSA
com
relação ao
HS
.
O
ACSA
foi superior ao
HS
justamente para os casos de demanda onde o erro de precisão
do
ACSA
foi mais grosseiro, demandas de
250
,
280
e
350
MW
, com seus respectivos
erros de
488,51
,
283,56
e
423,9
kW
.
()
MW
P
D
()
MW
P
G1
()
MW
P
G2
()
MW
P
G3
()
MW
P
G4
()
MW
P
G5
()
MW
P
G6
()
MW
P
Gi
∑
()
MW
P
Perdas
calculado
D
PerdasGi
P
PP
≡
−
∑
(
)
calculado
DD
PP
KWerro
−
200
123,6477 33,6388 15,4189 10,0000 10,0000 12,0000 204,7054 4,775850329650999 199,9295496703490
70,45
250
147,6930 38,7914 16,8616 10,0000 21,5396 21,5396 256,4252 6,913712384801527 249,5114876151985
488,51
280
155,9482 40,5603 17,3569 10,0000 30,0000 33,9222 287,7876 8,071155106156825 279,7164448938432
283,56
300
168,0135 43,1474 18,0808 10,0000 30,0000 40,0000 309,2417 9,398414870441128 299,8432851295589
156,71
350
200,000 52,2329 20,6252 19,6734 30,0000 40,0000 362,5315 12,955191173251805 349,5763088267482
423,69
400
200,000 80,0000 29,8920 35,0000 30,0000 40,0000 414,8920 14,900445924310404 399,9915540756896
8,44
.
()
MW
P
D
()
MW
P
G1
()
MW
P
G2
()
MW
P
G3
()
MW
P
G4
()
MW
P
G5
()
MW
P
G6
()
MW
P
Gi
∑
()
MW
P
Perdas
calculado
D
PerdasGi
P
PP
≡
−
∑
()
calculado
DD
PP
KWerro
−
200
119,1005592640930 34,5266473167548 16,6844006046128 10,0000214505859 12,2305287161873 12,0001260316518 204,5422833838856 4,542283383885718 199,9999999999999
0,000000000
250
133,5152012078063 38,0009006804426 17,9455057378139 10,0008890471481 29,9992242063918 26,6171348340607 256,0788557136634 6,078855713663373 250,0000000000001
0,000000000
280
147,2074918720125 41,3222410067162 19,1001938593358 10,0005650469709 29,9989030094337 39,9913407374477 287,6207355319168 7,620735531916666 280,0000000000001
0,000000000
300
160,8869345680679 44,5953555509073 20,2492602539425 13,1536788677088 29,9998460518632 39,9946498931768 308,8797251856665 8,879725185666489 300,0000000000000
0,000000000
350
188,9463424577195 51,4521562896121 22,5186596596933 28,9888899263213 29,9967260028338 39,9945843265923 361,8973586627723 11,897358662772191 3,500000000000001
0,000000000
400
199,9977968566643 77,7891684033648 31,9446262388650 34,9991579507239 29,9975093595078 39,9975985762715 414,7258573853973 14,725857385397296 400,0000000000000
0,000000000
Tabela 4.7: Melhores resultados experimentais do ACSA - IEEE 30 barras/6 geradores.
Tabela 4.8: Melhores resultados experimentais do HS - IEEE 30 barras/6 geradores
54
Observando a Tabela 4.8, podemos notar que o algoritmo
HS
revela sua precisão em
encontrar resultados que satisfazem a restrição do balanço de potência de forma rigorosa.
Perceba na última coluna da tabela que o erro foi nulo para todos os casos de demanda do
problema proposto. Portanto, os melhores resultados podem ser atribuídos ao algoritmo
HS
.
4.4 Caso teste: 15 geradores, limites de rampa e zonas proibidas
Os dados desse caso teste estão disponíveis no artigo de Gaing (2003). A Tabela 4.9
apresenta os dados dos geradores e a equação 4.3 apresenta as matrizes de perdas da rede.
Tabela 4.9: Dados de geradores: 15 geradores com limites de rampa e zonas proibidas.
Gerador
míni,
P
máxi,
P
i
a
i
b
i
c
UR
DR
0
P
bidasZonasProi
1
150 455 671 10,1 0,000299 80 120 400 -
2
150 455 574 10,2 0,000183 80 120 300 [185 225] [305 335]
[420 450]
3
20 130 374 8,8 0,001126 130 130 105 -
4
20 130 374 8,8 0,001126 130 130 100 -
5
150 470 461 10,4 0,000205 80 120 190
1
[180 200] [305 335]
[390 420]
6
135 460 630 10,1 0,000301 80 120 400 [230 225] [365 395]
[430 455]
7
135 465 548 9,8 0,000364 80 120 350 -
8
60 300 227 11,2 0,000338 65 100 95 -
9
25 162 173 11,2 0,000807 60 100 105 -
10
25 160 175 10,7 0,001203 60 100 110
-
11
20 80 186 10,2 0,003586 80 80 60
-
12
20 80 230 9,9 0,005513 80 80 40
[30 40] [55 65]
13
25 85 225 13,1 0,000371 80 80 30
-
14
15 55 309 12,1 0,001929 55 55 20
-
15
15 55 323 12,4 0,004447 55 55 20
-
1
O autor divulgou uma errata posterior informando o erro de tipografia. O valor que consta no artigo é 90, e foi
alterado para 190, constante na tabela.
55
[ ]
00550
006400067000320000000017000390000600002000020000300001000010002800002000010
128300094000280002800168000880007200078000080000300003000260002800002000010
009400578001010000400038000110001200005000020001700024000010011100010000030
002800101001030000100004000090000700001000000000200002000010002600004000040
002800004000010005400001000340002500036000070000100002000000000000000000020
016800038000040000100140000270002100023000050001100007000110001700004000030
00880001100009000340002700200001160007900009000080
0013000320001200004000050
007200012000070002500021001160012900082000150000500010000290000800002000030
007800005000010003600023000790008200168000170000600012000500000000001000010
000800002000000000700005000090001500017000150000000003000110000100000000010
0003
00017000020000100011000080000500006000000001600014000040000900002000010
000300024000020000200007000130001000012000030001400090000070001300005000030
002600001000010000000011000320002900050000110000400007000340000100000000010
002800111000260000000017000120
000800000000010000900013000010007600013000070
000200010000040000000004000040000200001000000000200005000000001300015000120
000100003000040000200003000050000300001000010000100003000010000700012000140
,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,
,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,
,
,,,,,,,,,,,,,,,
00
0i
=B
=B
=B
ij
−−−−−−−−−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−−−−
−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−−−−−
Esse é um caso onde a complexidade do problema aumenta significativamente com a
consideração do número de unidades a serem despachadas, 15 geradores, com os limites de rampa
de cada um deles inclusos e as zonas proibidas presentes na operação de 4 geradores.
O algoritmo foi aplicado a esse caso munido dos seguintes parâmetros:
HMS = 30; % tamanho da memoria harmônica (HM)
HMCR = 0,90; % taxa de consideração da HM
PARmin = 0,30; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
BWmin = 0,1; % intervalo de ajuste de notas
BWmax = 10;
NI = 2000; % num de improvisacoes (parada do HS)
baseMVA =100; % para uso no cálculo de perdas
demanda_de_potência =2630, 2650, 2670 e 2700 % valor em MW
56
Como a robustez do algoritmo
HS
só pode ser avaliada em um problema um pouco mais
elaborado, este caso teste será bastante importante para demonstrar as capacidades do
algoritmo proposto. Esse tipo de problema é conhecido na literatura como problema de
otimização multimodal, devido a presença de multiplas soluções ótimas locais criadas pela
divisão do espaço de soluções em muitos subespaços, devido à presença das restrições de
zonas de operação proibidas e limites de rampa.
Os resultados do teste do sistema utilizando o algoritmo
HS
deveriam ser comparados aos
dois algoritmos desenvolvidos pelo autor do artigo original:
AGE
e
PSO
. Porém, o referido
artigo, para esse caso de 15 geradores, e somente ele, foi alvo de críticas pela comunidade
científica. Ocorreu posterior retratação do autor (GAING, 2004). Contudo, como as respostas
do autor não esclarecerem satisfatoriamente os erros encontrados nas soluções obtidas por
seus algoritmos para este caso específico de 15 unidades, pois algumas correções geraram
novos erros, os dados do problema são usados apenas como um desafio ao algoritmo
HS
,
para verificar a sua escalabilidade com a elevação do grau de dificuldade e prover resultados
confiáveis que possam servir de parâmetro de comparação para trabalhos futuros nessa área.
Inicialmente, a consideração dos limites de rampa no problema diminui o espaço de busca
por soluções, pois não é qualquer valor de saída de potência que a unidade geradora pode
despachar em tempo viável, conforme Subseção 2.4.4. O novo espaço de soluções fica
definido conforme Tabela 4.10. O fato do espaço de soluções ter se tornado menor não
diminui a complexidade do problema, ao contrário, reforça a dificuldade apresentada pela
restrição das zonas de operação proibidas, pois em um espaço menor de soluções, tal restrição
ganha redobrada importância na medida em que o algoritmo não pode gerar soluções que
recaiam em tais zonas, agora mais destacadas.
Tabela 4.10: Novos limites das unidades geradores devido a restrição dos limites de rampa.
li
m
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
7
P
8
P
9
P
10
P
11
P
12
P
13
P
14
P
15
P
mín
280
180
20
20
150
280
230
60
25
25
20
20
25
15
15
máx
455
380
130
130
270
460
430
160
162
160
80
80
85
55
55
Da Tabela 4.11 podem ser extraídas diversas informações derivadas do comportamento do
HS
na busca da solução ótima para o problema proposto. Observe que as únicas unidades
que apresentam zonas de operação proibidas, geradores 2, 5, 6 e 12, tiveram tais restrições
respeitadas para todos os valores de demanda de potência, o que pode ser verificado
57
comparando-se as linhas correspondentes às unidades na Tabela 4.11 com os limites
mostrados na Tabela 4.9, última coluna.
Tabela 4.11: Resultados do HS: Caso 15 unidades, limites de rampa e zonas proibidas.
()
MW
Potência
deSaídas
PotênciadeDemandas
2630MW=P
D
2650MW=P
D
2670MW=P
D
2700MW=P
D
1
P
454,9755802826343 454,1525958475513 454,8228545038558 454,9879199593337
2
P
379,4070890114594 379,3417018056688 379,9582321571256 379,9819033586245
3
P
129,9438203821286 129,9818670282034 129,9828899345246 129,9757886922301
4
P
129,9653554759027 129,9590244642555 129,9930483839185 129,9842676611651
5
P
266,8377893707818 266,4603027205602 269,5681856945368 269,8950757672111
6
P
459,9097731860437 459,9458628531878 459,8632279390745 459,9688538405021
7
P
429,8150990911778 429,9553336344203 429,9147571941587 429,9799908409224
8
P
76,2919707526631 60,0470613702263 73,6703961804453 109,5253774018924
9
P
25,1392289614000 36,0464919241509 25,0699516323792 37,6060527869853
10
P
98,0602616480132 120,6597271733165 133,9715950752206 116,7267848714293
11
P
74,1587145807305 79,4454175292965 79,8661738566441 79,9761455512829
12
P
79,9643484317755 79,8881205705994 79,9408805438964 79,9796600506434
13
P
25,0001243998306 25,0213298417742 25,0060427974254 25,0836793128877
14
P
15,1355618806508 15,0018464444794 15,0020000373169 15,0177200185220
15
P
15,0374740383863 15,0358558332081 15,0322720671097 15,0892657398801
∑
Gi
P
2659,642191493578 2680,942539040899 2701,662507997632 2733,778485853512
Perdas
P
29,642191493580540 30,942539040896182 31,662507997633231 33,778485853511029
()
u.m.Custo
32637,71811100319 32869,03589138741 33095,16672883795 33460,81152033948
calculado
D
P
2629,999999999998 2650,000000000003 2669,999999999999 2700,000000000001
58
Percebe-se também que as soluções retornadas pelo algoritmo respeitam os limites de
rampa de todas as unidades despachadas. Observa-se que os valores encontrados pelo
algoritmo na Tabela 4.11 pertencem aos novos limites inferiores e superiores, devido às
restrições de rampa, descritos na Tabela 4.10, para todas as 15 unidades despachadas.
Maiores detalhes podem ser extraídos do comportamento empírico das soluções. Por
exemplo,
1211764321
PeP,P,P,P,P,P,P
foram levados à potência máxima, levando a entender
que tais unidades apresentam custo incremental menor do que as demais, ou seja, são as
unidades que devem ter sua potência de saída preferivelmente aumentada quando ocorre
aumento da demanda do sistema, devido a seu custo ser relativamente menor quando
comparado com as outras unidades. Outra informação importante é sobre as unidades que
foram levadas à potência mínima,
151413
PeP,P
, que são as unidades que preferivelmente
devem manter sua produção de energia a níveis mínimos devido ao alto custo incremental
comparado às outras unidades. Essa informação, o custo incremental para esse sistema, não
poderia ser extraída pelos métodos clássicos (iteração-λ, gradiente, Newton), devido à
necessidade que esses métodos têm em derivar as funções de custo das unidades geradoras
para obtenção dessa informação. Ou seja, se a função não for contínua e diferenciável em todo
o espaço de soluções, a abordagem matemática convencional se torna excessivamente
complexa e de difícil, ou até impossível, implementação.
Em suma, pode-se afirmar que esse problema mostrou-se bastante interessante, pois
permitiu investigar como o algoritmo
HS
se comporta com o aumento no número de
restrições e de geradores. O próximo caso teste diminuirá a complexidade em termos de
unidades geradoras, mas aumentará o número de zonas proibidas, estratificando ainda mais o
espaço de busca para o problema. Neste estudo, após as simulações serem feitas, ficou patente
que o grau de dificuldade aumenta mais quando ocorre maior segmentação do espaço de
soluções e não quando se aumenta a quantidade de geradores, visto que se o espaço de
soluções for convexo, sem descontinuidades e não-diferenciabilidades, os métodos clássicos
estão aptos a encontrar a solução ótima global em tempo substancialmente inferior aos
métodos heurísticos/metaheurísticos.
4.5 Caso teste: 6 geradores, limites de rampa e zonas proibidas
Agora, analisa-se um caso com maior número de zonas de operação proibidas e com
limites de rampa, mas apresentando um menor número de geradores, apenas 6 unidades.
59
É importante ressaltar que apesar do número de geradores ser reduzido, o número de zonas
de operação proibidas aumentou, estando presentes no regime operacional de todos os 6
geradores.
Os dados desse caso teste, como no caso teste anterior, estão disponíveis no artigo descrito
por Gaing (2003). A Tabela 4.12 apresenta os dados dos geradores e das restrições pelas quais
os mesmos estão sujeitos, e a equação 4.4 apresenta as matrizes de perdas da rede
2
.
Tabela 4.12: Dados de geradores: caso 6 geradores com limites de rampa e zonas de operação proibidas em
todas as unidades.
Gerador
míni,
P
máxi,
P
i
a
i
b
i
c
UR
DR
0
P
ProibidasZonas
1
100 500 240 7,0 0,0070 80 120 440 [210 240] [350 380]
2
50 200 200 10,0 0,0095 50 90 170 [90 110] [140 160]
3
80 300 220 8,5 0,0090 65 100 200 [150 170] [210 240]
4
50 150 200 11,0 0,0090 50 90 150 [80 90] [110 120]
5
50 200 220 10,5 0,0080 50 90 190 [90 110] [140 150]]
6
50 120 190 12,0 0,0075 50 90 110 [75 85] [100 105]
[]
0,0056
0,66350,21610,05910,70470,12970,3908101,0
0,01500,00020,00080,00060,00010,0002
0,00020,01290,00060,00100,00060,0005
0,00080,00060,00240,00000,00010,0001
0,00060,00100,00000,00310,00090,0007
0,00010,00060,00010,00090,00140,0012
0,00020,00050,00010,00070,00120,0017
00
3
0j
=B
=B
=B
ij
−−−×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−−
−−−
−−
−−
−−−
−
(4.4)
2
O autor divulgou uma errata posterior informando um erro de tipografia:
0,0056
00
=B
. A correção já foi
computada na matriz de perdas.
60
O algoritmo foi aplicado a esse caso munido dos seguintes parâmetros:
HMS = 12; % tamanho da memoria harmônica (HM)
HMCR = 0,90; % taxa de consideração da HM
PARmin = 0,30; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
BWmin = 0,1; % intervalo de ajuste de notas
BWmax = 10;
NI = 2000; % num de improvisacoes (parada do HS)
baseMVA =100; % para uso no cálculo de perdas
demanda_de_potência =1263 % valor em MW
Os resultados do teste do sistema utilizando o algoritmo
HS
foram comparados aos
resultados obtidos pelo autor em seus dois algoritmos,
AGE
e
PSO
, desenvolvidos pelo
mesmo com o propósito de contrastar as soluções. Os resultados do algoritmo
HS
anexados
aos resultados do
AGE
e
PSO
estão expostos na Tabela 4.14.
Novamente a presença de limites de rampa provoca a redução do espaço de soluções, vide
Tabela 4.13, e a presença dos pontos de válvula faz com que o algoritmo tenha que ter um boa
capacidade de adaptação para ser capaz de fugir de zonas inviáveis de operação de geradores.
Tabela 4.13: Novos limites das unidades geradores devido a restrição dos limites de rampa.
↓
Novo
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
mini,
P
320 80 100 60 100 50
máxi,
P
500 200 265 150 200 120
Tabela 4.14: Resultados para o caso 6 barras, limites de rampa e zonas proibidas.
61
()
MW
Potência
deSaídas
elitismo
comGenéticos
Algoritmos
onOptimizati
Swarm
Particle
Harmônica
Busca
1
P
474,8066 447,4970 447,4906387259003
2
P
178,6363 173,3221 173,3070381182494
3
P
262,2089 263,4745 263,4453505119945
4
P
134,2826 139,0594 139,0729035133049
5
P
151,9039 165,4761 165,4896786513735
6
P
74,1812 87,1280 87,1525770115551
∑
Gi
P
1276,03 1276,01 1275,958186532378
Perdas
P
13,0217 12,9584 12,958186532378429
()
u.m.Custo
15459,0 15450,0
15449,89953665525
calculado
D
P
1263,0083 1263,0516 1263,000000000000
Os resultados são bastante claros e reforçam pontos positivos que vem se repetindo no
decorrer dos casos de teste analisados até aqui. Da comparação, para os resultados de cada
gerador, da Tabela 4.14 com a Tabela 4.13, as restrições de limites de rampa são satisfeitas
por todos os três métodos. Comparando os valores retornados por todos os algoritmos, em
cada linha que apresenta geração, na Tabela 4.14, com as zonas de operação proibidas, Tabela
4.12 na última coluna, nota-se que todos os algoritmos também superaram a dificuldade das
zonas de operação proibidas. Porém, a característica principal que deve ser enfatizada numa
simulação computacional de despacho é a capacidade do algoritmo em encontrar a solução de
custo mínimo, o ótimo global ou resultado mais próximo deste em problemas de otimização.
Portanto, ao ser realizada a comparação do
PSO
com o
HS
, verifica-se que os mesmos
tiveram habilidade suficiente para rastrear a solução ótima global, porém o
HS
implementado
neste trabalho apresentou uma sutil vantagem devido a obrigação de respeitar rigorosamente o
balanço de potência, vide última linha da Tabela 4.14, e prover respostas com a precisão
requerida pelo problema.
62
4.6 Caso teste: 15 geradores, zonas proibidas e reserva de giro
Esse caso torna-se interessante para análise, devido ao número de geradores e devido à
complexidade adicional que a inclusão da reserva de giro agrega ao problema. Pelo fato da
não inclusão das perdas da rede, que conforme já visto, é uma das características que levam o
algoritmo utilizado por esse trabalho a ser potencialmente superior aos demais, torna o
problema ainda mais adverso. O caso está descrito no artigo de El-Gallad et al. (2002) e
apresenta o despacho dos mesmos 15 geradores da Seção 4.4, porém com suaves
modificações. Os dados para este problema estão presentes no mesmo artigo, mas serão
reproduzidos aqui para prover facilidade no acesso aos mesmos. A Tabela 4.15 traz os dados
dos geradores, zonas de operação proibidas e limites máximos de ociosidade que podem ser
computados como reserva de giro para cada unidade geradora.
Tabela 4.15: Dados de geradores: caso 15 geradores com limites de rampa, zonas de operação proibidas e
reserva de giro.
Gerador
míni,
P
máxi,
P
i
a
i
b
i
c
ProibidasZonas
máx
R.giro
1 150 455 671,03 10,07 0,000299 - 50
2 150 455 574,54 10,22 0,000183 [185 225] [305 335] [240 450] 0
3 20 130 374,59 8,80 0,001126 - 30
4 20 130 374,59 8,80 0,001126 - 30
5 105 470 461,37 10,40 0,000205 [180 200] [260 335] [390 420] 0
6 135 460 630,14 10,10 0,000301 [230 225] [365 395] [430 455] 0
7 135 465 548,20 9,87 0,000364 - 50
8 60 300 227,09 11,21 0,000338 - 50
9 25 162 173,72 11,21 0,000807 - 30
10 20 160 175,95 10,72 0,001203 - 30
11 20 80 186,86 10,21 0,003586 - 20
12 20 80 230,27 9,90 0,005513 [30 55] [65 75] 0
13 25 85 225,28 13,12 0,000371 - 20
14 15 55 309,03 12,12 0,001929 - 40
15 15 55 323,79 12,41 0,004447 - 40
63
O artigo provedor dos dados de teste desse caso apresentou uma limitação muito severa
que comprometeu a visualização da potencialidade de seu algoritmo na aquisição de
resultados, pois teve que definir
a priori
a potência de saída de alguns geradores e pré-fixar a
sobra de sua capacidade no atendimento da reserva de giro total do sistema. O autor do artigo
fixou a saída das unidades geradoras
14
e
15
em
15MW
para liberar o restante da capacidade
desses geradores,
80MW
, para compor a reserva de giro. Portanto, o artigo original despacha
apenas 13 geradores dos 15 existentes, e precisa somente alocar
120M
W
dentre as
ociosidades das 13 unidades geradoras restantes para compor a reserva de giro de
200M
W
.
O algoritmo desenvolvido na demonstração do algoritmo proposto,
HS
, não fará essa
limitação e não despachará nenhuma das unidades
a priori
. Portanto, o algoritmo deverá ser
capaz de despachar as 15 unidades geradoras e alocar dentre elas os
200M
W
de reserva de
giro, considerando os limites máximos de ociosidade alocada como reserva para cada
unidade, e atender aos
2650M
W
de potência demandada pela carga, lembrando que as perdas
foram desconsideradas para esse caso apenas por não terem sido levadas em conta no artigo
original.
Um melhoramento no algoritmo foi desenvolvido para abordar de forma mais incisiva esse
problema, pois o mesmo apresentou dificuldades para apresentar resultados compatíveis com
os apresentados pelo artigo original, pois estava necessitando de muitas iterações. O algoritmo
utilizado sem alterações chegou a precisar de 30000 improvisações (iterações) para fornecer
bons resultados para esse caso, pois sua solução ótima global acabava levando alguns
geradores para o limite de zona proibida e outros ao limite de geração. O melhoramento
consistiu em favorecer a diversificação das soluções, considerando uma
HMCR
menor no
início das iterações, e posteriormente aumentando a convergência no decorrer do curso das
iterações, considerando uma
HMCR
crescente até o seu limite máximo. Portanto, fomenta-se
uma taxa de consideração da memória harmônica dinâmica, sendo que esse dinamismo
seguirá o comportamento de uma reta partindo da
HMCR
mínima até a
HMCR
máxima. O
comportamento da variação desse parâmetro do algoritmo está mostrado graficamente, na
Figura 4.4.
64
Figura 4.4: HMCR dinâmica seguindo comportamento de uma reta, desde seu extremo mínimo ao seu
extremo máximo.
O algoritmo foi aplicado a esse caso munido dos seguintes parâmetros:
HMS = 30; % tamanho da memoria harmônica (HM)
HMCRmin = 0,75; % taxa de consideração da HM
HMCRmax = 0,95;
PARmin = 0,01; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
BWmin = 0,01; % intervalo de ajuste de notas
BWmax = 10;
NI = 5000; % num de improvisacoes (parada do HS)
baseMVA = -; % sem cálculo de perdas
demanda_de_potência = 2650 % valor em MW
Observe que o número de improvisações do algoritmo teve que ser aumentado de 2000
improvisações, valor utilizado em todos os casos de teste até aqui, para 5000 improvisações
devido aos esforços necessários para a aproximação do ótimo global desse caso de teste
desafiador.
65
Os resultados e as comparações presentes no artigo provedor dos dados desse caso de teste
foram mantidos, ou seja, a comparação dos algoritmos
PSO
, com algoritmos baseados na
rede neural de Hopfield
)(HOP
(HAYKIN, 1999), e com um algoritmo clássico adaptado ao
problema,
L
R
(
Lagrangian Relaxation
) (WOOD; WOLLENBERG, 1996), está mostrada na
Tabela 4.16. Esta mostra os resultados para cada um dos algoritmos, lembrando que todos
eles, exceto o
HS
, diminuíram a complexidade do problema fixando a potência de saída de
dois geradores e incorporando sua sobra ociosa na composição da reserva de giro do sistema.
A linha referente ao custo total do despacho é o dado mais importante contido na Tabela
4.16, porém deve ser considerado com cuidado, pois todas as restrições do problema devem
ser satisfeitas para que o custo advindo do despacho das unidades tenha validade.
Aparentemente o algoritmo
2
HOP
obteve maior sucesso na obtenção da solução do
problema mais próxima do ótimo global, obteve um custo mínimo de
u.m.
32538,4
3
. Porém
seu resultado não é confiável por não ser suficientemente preciso, visto que obteve um erro na
demanda prevista que fez com que a mesma diminuísse de
300k
W
, observe a linha de erro da
tabela, tal fato explica o custo menor, pois uma menor demanda a ser atendida implica
diretamente em um menor custo.
Dessa maneira, percebe-se que os dois algoritmos,
PSO
e
HS
, foram competentes o
suficiente para rastrear a solução mais próxima da ótima global. Ambos os algoritmos
obtiveram valores muito próximos para as saídas de cada um dos geradores sob despacho. O
PSO
conseguiu ser infimamente superior, com um custo inferior apenas na casa dos
centavos, porém com a desvantagem da violação, mesmo que pequena, da restrição do
balanço de carga. O
HS
foi o mais completo em seu resultado, visto que foi tão bom quanto
os outros algoritmos, com erro nulo no atendimento a restrição do balanço de geração. O
HS
não teve nenhuma unidade geradora previamente despachada, e nenhuma pré-alocação de
reserva de giro, ainda assim chegou aos mesmos resultados dos algoritmos sob análise,
comprovando que possui enorme flexibilidade e desempenho na exploração do espaço de
busca.
3
1
HOP
e
2
HOP
são algoritmos desenvolvidos por autores distintos e citados por El-
Gallad, maiores informações vide artigo original (EL-GALLAD; et al., 2002)
.
66
Tabela 4.16: Comparação entre diferentes algoritmos aplicados ao caso teste de 15 geradores, zonas proibidas
e reserva de giro.
()
MW
Potência
deSaídas
L
R
1
HOP
2
HOP
PSO
HS
HS
i
S
1
P
450 454,6976 449,4 449,208 448,3717806100961 6,628219
2
P
450 454,6976 450 450 450,0791143892652 0
3
P
130 129,3512 130 129,999 129,9959815567819 0,004018
4
P
130 129,3512 130 129,999 129,9976673412057 0,002332
5
P
335 244,9966 335 335,001 335,0263657012945 0
6
P
455 459,6919 455 455,787 456,5295597347256 0
7
P
465 464,6916 464,9 464,998 464,9839947968380 0,016005
8
P
60 60,0938 60 60,002 60,0024843749828 50
9
P
25 25,0496 25 25 25,0008044918911 30
10
P
20 89,1023 20 20 20,0081044925764 30
11
P
20 20,0338 20 20 20,0001236919526 20
12
P
55 63,1815 55 55,002 55,0036364979162 0
13
P
25 25,0527 25 25 25,0000293515849 20
14
P
15 15,0044 15 15 15,0003297293188 39,99967
15
P
15 15,0044 15 15 15,0000232395700 39,99997
∑
Gi
P
2650 2650,0002 2649,3 2649,996 2650,000000000000 236,6502
()
u.m.Custo
32549,8 32568
32538,4 32545 32545,05267623943 -
()
KWerro
0 -0,2
300 4 0,00000000000 -
67
Reiterando, para enfatizar a capacidade de exploração do algoritmo
HS
e torná-lo capaz
de explorar as regiões de contorno do espaço de busca, que são as regiões de limites mínimos
ou máximos de geração e as regiões limite das zonas de operação proibidas, foi necessário
variar a taxa de consideração da memória harmônica,
HMCR
de 75% a 95%, variar a taxa de
ajuste de notas,
P
AR
de 1% a 99%, e aumentar o número de improvisações. Tais ajustes
adicionais foram fáceis de ser implementados e suficientes para a presente aplicação.
4.7 Caso teste: 10 geradores, pontos de válvula e multi-combustível
Considerando que o presente trabalho mostra inúmeros casos de variantes do despacho
econômico clássico tendo em vista uma maior consideração das especificidades das unidades
geradoras termelétricas incorporadas ao modelo do problema, um caso bastante importante
será analisado dentro desse contexto. O problema do despacho econômico considerando os
efeitos de pontos de válvula ocasionados por unidades que operam com múltiplos
combustíveis será investigado nessa seção.
A utilização dos vários combustíveis ocorre em faixas bem definidas de capacidade de
geração de potência. A modificação do combustível utilizado, de uma faixa de operação para
outra, junto com a consideração das demais válvulas de injeção de combustível são os fatores
responsáveis pelo efeito dos pontos de válvula desse caso de teste. O sistema em estudo
consta de 10 geradores, cada um deles modelado com a inclusão dos pontos de válvula, e das
funções de custo associadas a cada intervalo de geração e seu respectivo combustível. A
descrição do caso e os dados dos geradores encontram-se no artigo de Balamurugan &
Subramanian (2007) e estão representados na Tabela 4.17 para facilitar o seu acesso a futuros
trabalhos.
Algumas considerações precisam ser feitas com relação aos dados da Tabela 4.17. Na
primeira coluna os 10 geradores estão numerados de 1 a 10, a seguir vem a segunda coluna
que apresenta, no máximo, três tipos de combustível para cada unidade geradora. A unidade 1
só utiliza os dois primeiros combustíveis, e a unidade 9 dispõe de três tipos de combustíveis,
porém só utiliza os tipos de combustível 1 e 3. As colunas três e quatro traz os limites mínimo
e máximo, respectivamente, de utilização de cada um dos três tipos de combustíveis para cada
unidade geradora. O intervalo entre as colunas cinco e nove, inclusive, apresenta os
coeficientes das funções de custo de cada um dos geradores. Por fim, nas últimas duas
colunas, os limites mínimos e máximos de cada unidade termelétrica são mostrados.
68
Tabela 4.17: Dados de geradores, pontos de válvula e multi-combustíveis.
Ger.i
Comb.j
mín
ji,
P
máx
ji,
P
ji,
a
ji,
b
ji,
c
ji,
e
ji,
f
mín
i
P
máx
i
P
1
100 196
26,97 -0,3975 0,002176 0,02697 -3,975
2
196 250
21,13 -0,3059 0,001861 0,02113 -3,059
1
3
- - - - - - -
100 250
1
157 230
118,4 -1,269 0,004194 0,1184 -12,69
2
50 114
1,865 -0,03988 0,001138 0,001865 -0,3988
2
3
114 157
13,65 -0,1980 0,001620 0,01365 -1,980
50 230
1
200 332
39,79 -0,3116 0,001457 0,03979 -3,116
2
388 500
-59,14 0,4864 0,0000117 -0,05914 4,864
3
3
332 388
-2,875 0,03389 0,0008035 -0,002876 0,3389
200 500
1
99 138
1,983 -0,03114 0,001049 0,001983 -0,3114
2
138 200
52,85 -0,6348 0,002758 0,05285 -6,348
4
3
200 265
266,8 -2,338 0,005935 0,2668 -23,38
99 265
1
190 338
13,92 -0,08733 0,001066 0,01392 -0,8733
2
338 407
99,76 -0,5206 0,001597 0,09976 -5,206
5
3
407 490
-53,99 0,4462 0,0001498 -0,05399 4,462
190 490
1
138 200
52,85 -0,6348 0,002758 0,05285 -6,348
2
85 138
1,983 -0,03114 0,001049 0,001983 -0,3114
6
3
200 265
266,8 -2,338 0,005935 0,2668 -23,38
85 265
1
200 331
18,93 -0,1325 0,001107 0,01893 -1,325
2
331 391
43,77 -0,2267 0,001165 0,04377 -2,267
7
3
391 500
-43,35 0,3559 0,0002454 -0,04335 3,559
200 500
1
99 138
1,983 -0,03114 0,001049 0,001983 -0,3114
2
138 200
52,85 -0,6348 0,002758 0,05285 -6,348
8
3
200 265
266,8 -2,338 0,005935 0,2668 -23,38
99 265
1
213 370
88,53 -0,5675 0,001554 0,08853 -5,675
3
130 213
14,23 -0,01817 0,0006121 0,01423 -0,1817
9
3
370 440
14,23 -0,01817 0,0006121 0,01423 -0,1817
130 440
1
200 362
13,97 -0,09938 0,001102 0,01397 -0,9938
2
407 490
-61,13 0,5084 0,0000416 -0,06113 5,084
10
3
362 407
46,71 -0,2024 0,001137 0,04671 -2,024
200 490
69
O algoritmo
HS
utilizado para esse caso consta da mesma melhoria desenvolvida no caso
de teste anterior, Subseção 4.6, indicada na Figura 4.4. Com os parâmetros para o
HS
mostrados a seguir, o problema do despacho consiste em dividir, da forma mais econômica
possível, a demanda do sistema entre as 10 unidades geradoras considerando os diversos
combustíveis e computando os efeitos dos pontos de válvula. As perdas da rede não foram
consideradas por não constarem nos dados do artigo original. Uma observação importante é
que quando o problema do despacho não apresenta os dados referentes às perdas da rede, não
significa que as mesmas foram desprezadas. As perdas podem ser consideradas uma constante
para aquele nível de carga e serem incluídas na demanda da rede.
O algoritmo foi aplicado estando equipado com os seguintes parâmetros:
HMS = 20; % tamanho da memoria harmonica (HM)
HMCRmin = 0,75; % taxa de consideracao da HM
HMCRmax = 0,95;
PARmin = 0,01; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
NI = 5000; % num de improvisacoes (parada do HS)
BWmin = 0,001; % intervalo ajuste de notas
BWmax = 10;
Os melhores resultados do algoritmo
HS
, obtidos nas 5 primeiras tentativas de execução
do programa, foram comparados com os melhores resultados do algoritmo desenvolvido pelo
autor do artigo de referência, evolução diferencial auto-adaptativa (
SDE
), visto que foi o
algoritmo mais bem sucedido nos testes que foram realizados. A comparação foi feita
simulando uma mobilidade da demanda da rede, assumindo os valores de
MW
2400
,
MW
2500
,
MW
2600
e
MW
2700
. Esses resultados também estão presentes no artigo de
Balamurugan e Subramanian (2007) e estão reproduzidos na íntegra na Tabela 4.18. Ressalta-
se que os resultados desse artigo são bons como parâmetro de comparação por ser um dos
artigos mais recentes a utilizar esse caso-teste.
70
Tabela 4.18: Resultados da comparação entre o HS e o SDE para demanda variável.
MW=P
D
2400
MW=P
D
2500
Ger.
Comb.
()
MWSDE
(
)
MWHS
Comb.
(
)
MWSDE
()
MWHS
1
1 189,1794 188,4817330216911 2 205,2313 208,3001156683800
2
1 202,5519 201,3132023631133 1 207,7488 205,0273402848878
3
1 255,5954 253,4390486442666 1 263,3244 264,5657339904791
4
3 231,4428 230,7713389153097 3 235,3396 237,4892305098284
5
1 242,5304 247,4311842835226 1 258,8721 257,2334830293509
6
3 234,4029 232,5175671993670 3 236,2802 235,3396376800978
7
1 250,3072 254,5407776083477 1 270,7378 269,8987058352857
8
3 232,5187 231,7115378071376 3 235,6083 236,5492084984899
9
1 321,5026 319,2918313285272 1 331,4680 331,4668866530978
10
1 239,9736 240,5017788287169 1 255,3914 254,1296578501025
Custo
- 481,8628
481,8327577141638
- 526,3232
526,3230011624538
MW=P
D
2600
MW=P
D
2700
Ger.
Comb.
()
MWSDE
(
)
MWHS
Comb.
(
)
MWSDE
()
MWHS
1
2 218,2263 217,6155576297401 2 218,9403 220,5526841661309
2
1 211,7117 211,7120621416900 1 212,7204 212,9493503402729
3
1 276,7690 275,6045149854623 1 282,6327 279,6541211494524
4
3 239,3707 236,9519349992379 3 239,7738 238,0269373100055
5
1 275,6483 277,8716897806546 1 277,4606 276,1958538259133
6
3 240,1769 236,6831535373593 3 240,1769 239,3706242475781
7
1 285,9984 287,9527158179132 1 287,2932 290,1137741817154
8
3 238,1582 238,9673202186756 3 239,9082 240,4453073295523
9
1 341,8984 346,4092215412125 3 426,0885 429,1518767700982
10
1 272,0419 270,2318293480542 1 275,0054 273,5394706792810
Custo
- 574,5388
574,5263341266476
- 623,9225
623,8392480411453
71
Com o objetivo de mostrar, mais claramente, uma avaliação do comportamento global do
algoritmo, por se tratar de um algoritmo não determinístico, foi feita uma análise em 50
execuções do algoritmo para cada valor de demanda e foram extraídas as informações da
melhor e da pior solução, e da média das soluções. A Tabela 4.19 mostra o comparativo dos
resultados sem explicitar os valores de potência dos geradores devido a restrições de espaço.
Como pode ser observada, a Tabela 4.18 mostra a impressão dos resultados dos dois
algoritmos para quatro casos de demanda de potência. Essa tabela reflete os melhores valores
de custo, em
hru.m./
, encontrados pelo
SDE
e os melhores resultados encontrados pelo
HS
nas 5 primeiras tentativas. Em todos os casos de demanda o algoritmo
HS
encontrou o menor
valor de custo para o despacho das 10 unidades termelétricas, comprovando sua capacidade
em prover soluções de alta qualidade.
Tabela 4.19: Análise das soluções encontradas pelo HS para 50 execuções do algoritmo.
()
MW
Demanda
()
hru.m.
CustoPior
/
()
hru.m.
MédioCusto
/
()
hru.m.
CustoMelhor
/
2400 482,1404314058294 481,9524912132732 481,7952095213379
2500 526,6491782742025 526,4545119481521 526,3214756192500
2600 574,9557076611135 574,6762117776959 574,4870334214569
2700 624,0895714577442 623,9577381139338 623,8670226030846
A Tabela 4.19 mostra que para todos os casos, exceto aquele cuja demanda é de
MW
2700
, a execução do algoritmo
HS
em 50 tentativas
4
conseguiu reduzir ainda mais os
custos apresentados na Tabela 4.18. Nota-se ainda, na Tabela 4.19, que a diferença entre o
pior custo e o menor custo é ínfima, inferior a
u.m.
1
em cada um dos casos. Essa
confiabilidade do algoritmo ficou patente nos resultados do cálculo do custo médio resultante
das 50 iterações. Na coluna 3 da mesma tabela, a diferença entre o custo médio e o menor
custo para cada caso é da ordem de grandeza de
u.m.
0,1
.
Para completar a análise, a Figura 4.5 apresenta um gráfico que demonstra o
comportamento do custo nas iterações do
HS
para o caso de
MW
2700
de demanda.
4
A comparação do comportamento médio entre
HS
e
SDE
não pode ser feita, pois o artigo
original não realizou tal análise
.
72
Figura 4.5: Comportamento do custo no decorrer das improvisações (iterações).
A Figura 4.5 expressa claramente o comportamento do algoritmo à medida que as
improvisações vão sendo criadas e a Memória Harmônica vai sendo atualizada. Ocorre um
comportamento agressivo de convergência no início do processo iterativo, dentro das
primeiras mil improvisações, devido a grande variabilidade do algoritmo em criar soluções
com maior aleatoriedade. Isso ocorre, pois, no início do processo, existe uma menor
consideração da Memória Harmônica, baixo
HMCR
, um probabilidade de ajuste de notas,
P
AR
, pequeno, mas com um grande valor de ajuste,
bw
. A seguir, observa-se um processo
de refinamento da solução final, que ocorre nas iterações seguintes, devido a uma maior
consideração da memória harmônica, alto
HMCR
, uma maior probabilidade de ajuste de
notas,
P
AR
chegando a 100%, e um valor de ajuste de notas pequeno, esse baixo
bw
é
utilizado para variar as melhores soluções para soluções vizinhas próximas convergindo para
próximo ou para o próprio ótimo global.
4.8 Caso teste: IEEE 30 barras, despacho econômico/ambiental
Nesse caso investigar-se-á a aplicação do algoritmo de busca
HS
na variante do despacho
econômico que considera a diminuição das emissões de poluentes na atmosfera. O despacho
econômico/ambiental é um problema de otimização multiobjetivo dos mais recentes na
literatura e que vem ganhando notoriedade devido a atenção da comunidade internacional às
73
questões ambientais, cujos objetivos são a minimização do custo e a minimização das
emissões simultaneamente.
Devido a dificuldade em encontrar artigos, sobre o problema de despacho
econômico/ambiental incluindo as perdas da rede, que forneçam os dados de seus casos de
teste, foi proposto nessa seção um caso em que os dados foram extraídos de dois artigos. O
sistema de teste IEEE 30 barras e 6 geradores, citado por Sum-Im (2004), foi apresentado na
subseção 4.3, e dos respectivos dados desse exemplo far-se-á uso da Tabela 4.5 para os dados
dos geradores, e equação 4.2 para as matrizes de perdas da rede.
Os dados da função de emissões de poluentes de cada gerador foram extraídos do artigo
citado em Slimani & Bouktir (2007) para o mesmo caso teste, IEEE 30 barras e 6 geradores, e
estão reproduzidos na Tabela 4.20. A demanda do sistema é
MW=P
D
283,4
, e o fator de
custo para controle de emissões é
Tonu.m.=w
/550,66
.
Tabela 4.20: Dados das emissões dos geradores: caso IEEE 30 barras/6 geradores.
Gerador
2
10
−
⋅
i
a
4
10
−
⋅
i
b
6
10
−
⋅
i
c
4
10
−
⋅
i
d
2
10
−
⋅
i
e
1
4,091 -5,554 6,49 2,0 2,857
2
2,543 -6,047 5,638 5,0 3,333
3
4,258 -5,094 4,586 0,01 8,0
4
5,326 -3,55 3,38 20,0 2,0
5
4,258 -5,094 4,586 0,01 8,0
6
6,131 -5,555 5,151 10,00 6,667
Os parâmetros de ajuste do algoritmo para este caso estão descritos a seguir:
HMS = 12; % tamanho da memoria harmonica (HM)
HMCRmin = 0,75; % taxa de consideracao da HM
HMCRmax = 0,95;
PARmin = 0,01; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0,99;
74
NI = 5000; % num de improvisacoes (parada do BH)
BWmin = 0,001; % intervalo ajuste de notas
BWmax = 10;
A Figura 4.6, Figura 4.7 e Figura 4.8 mostram, respectivamente, a evolução da
minimização das funções objetivo para os casos de despacho econômico puro,
1
=α
,
despacho ambiental puro,
0
=α
, e despacho econômico/ambiental,
0,5=α
, que significa
ponderação igual aos dois despachos, econômico e ambiental, simultaneamente. O algoritmo
foi executado apenas uma vez para cada valor de
α
, o que significa que esses valores obtidos
poderiam ser melhores, mas devido a indisponibilidade de parâmetros de comparação optou-
se por não rodar, nas análises a posteriores, mais que cinco vezes o algoritmo para cada caso.
A partir da Figura 4.6, é perceptível que, para o caso de despacho ambiental puro,
0
=α
, o
custo de geração apresenta maior valor dentre os três tipos de despacho, ou seja, é mais
custoso, do ponto de vista da geração de energia, manter os geradores menos poluentes
despachando a maior parte da carga, por isso que tal custo ficou em torno de
hu.m.
/891
. O
custo intermediário de geração está associado com o despacho econômico/ambiental,
0,5=α
,
acomodando-se num patamar de
hu.m.
/792
. O menor custo de geração está associado,
como era de se esperar, ao caso de despacho econômico puro,
1
=α
, onde se estabilizou na
faixa de
hu.m.
/780
.
Na Figura 4.7, é fato que o maior nível de emissões deveu-se a execução do despacho
econômico puro, visto que tal exigência ecológica não é levada em consideração. No
despacho econômico puro o custo de geração foi minimizado, porém as emissões se
mantiveram no mais alto nível,
hTon
/0,310
. Como esperado, o despacho econômico
ambiental ficou novamente com o valor intermediário de emissões, algo próximo a
hTon
/0,257
. E o nível mínimo de poluição, obtido obviamente pelo despacho ambiental,
minimizou as emissões a uma escala de
hTon
/0,217
.
75
Figura 4.6: Evolução do custo de geração para os 3 casos de despacho: econômico puro, ambiental puro e
econômico/ambiental.
Figura 4.7: Evolução dos níveis de emissão para os 3 casos de despacho: econômico puro, ambiental puro e
econômico/ambiental.
76
Figura 4.8: Evolução do custo total, geração e custos de emissão, para os 3 casos de despacho: econômico
puro, ambiental puro e ecomômico/ambiental.
Conforme mostrado na Figura 4.8, o custo total, que é a soma do custo de geração com
uma valoração monetária do prejuízo causado pela emissão dos poluentes, o custo ambiental,
mostrou-se bem maior quando apenas o objetivo de minorar as emissões é considerado, o
custo total ficou por volta de
hu.m.
/1010
. Quando analisado o custo total referente ao
despacho econômico puro, obtém-se uma redução significativa no valor apresentado pelo
despacho apenas ambiental, o custo total do despacho econômico puro foi de
aproximadamente
hu.m.
/951
. Por fim, o custo total para o caso do despacho
econômico/ambiental, que representa um compromisso em minimizar o custo de geração e a
quantidade de emissões simultaneamente, apresenta o menor valor, fixando-se em
hu.m.
/934
.
Em suma, pode-se perceber que existe um paradigma entre minimizar o custo ou as
emissões de poluentes. O menor custo de despacho mostrou-se ser o mais prejudicial a
natureza. O despacho que conseguiu ser mais ecologicamente correto acarretou no mais alto
custo. E o despacho que fez uso de ambas as considerações, ambientais e econômicas,
comprovadamente apresentou um custo benefício bastante satisfatório, visto que apresentou
77
custo próximo ao do despacho econômico puro, conforme a Figura 4.8, mas respeitando a
necessidade em diminuir as emissões de poluentes, conforme Figura 4.7.
Foi possível, através da análise acima, perceber que o algoritmo
HS
desenvolvido no
presente trabalho, adaptado a um caso de otimização multiobjetivo, foi capaz de otimizar o
problema fazendo com que a diferença entre o custo total do despacho econômico/ambiental
com relação ao despacho econômico puro fosse, para esse caso, inferior a
hu.m
/20
.
Na Tabela 4.21, uma análise da execução do algoritmo
HS
em 5 tentativas para cada caso
de despacho, variando-se o
α
entre as constantes já descritas, é disponibilizada apresentando
os resultados da melhor e da pior solução, e da média das soluções.
As melhores soluções obtidas dentre as 5 tentativas estão detalhadas na Tabela 4.22, na
qual os melhores valores de geração para os casos de despacho econômico puro, ambiental
puro e econômico/ambiental são mostrados. Além disso, são também disponibilizados os
valores de perdas da rede, custos de geração, taxas de emissão e custos totais para os três
casos.
Tabela 4.21: Pior, médio e melhor custo total para os três casos de despacho.
α
()
hru.m.CustoPior
/
)
hru.m.MédioCusto
/
()
hru.m.CustoMelhor
/
0,0 1011,637512949724 1011,155223211771 1010,970134513811
0,5 934,0138024198488 934,0136936256397 934,0135793272104
1,0 951,6728835732581 951,5973491799657 951,5406244009807
As análises que foram feitas trazem todas as considerações comuns a casos de despacho
econômico/ambiental. A Tabela 4.22 mostra claramente os disparates presentes entre a
execução do despacho econômico ou ambiental, atendendo satisfatoriamente ambos objetivos
no despacho econômico/ambiental. Em resumo, o menor custo de geração, a maior quantidade
de energia perdida na rede de transmissão e o maior nível de emissões ocorre no despacho
puramente econômico. O impacto ambiental quantificado financeiramente contribuiu para que
esse despacho não fosse, no geral, o mais econômico, do ponto de vista do custo total. O
maior custo de geração, a menor quantidade de perdas da rede e o menor nível de emissões
ocorrem no despacho puramente ambiental. Tal despacho apresenta o maior custo total, pois
78
não considera a minimização do custo operacional das usinas. O despacho
econômico/ambiental foi o único que alcançou de forma coerente o atendimento a todas as
necessidades do sistema. Perceba que este despacho obteve um custo de geração razoável, um
quantidade de emissões bem abaixo do despacho tradicional, uma diminuição das perdas da
rede, conseqüentemente um alívio do carregamento das linhas de transmissão, e um menor
custo total de geração, objetivando o foco no capital e na preservação do meio ambiente.
Tabela 4.22: Melhores resultados para o algoritmo nos três casos de
α
em 5 tentativas.
()
MW
Potência
deSaídas
1=α
econômico
,
Despacho
0,5
/
=α
ambiental,econômico
Despacho
0=α
ambiental,
Despacho
1
P
149,89742927958383 116,87904242032802 68,469066828281271
2
P
42,031753722611668 50,977355187225349 71,065332189987345
3
P
19,330439261921434 23,470410103432865 49,999972644388436
4
P
10,000009173829181 29,022873665220910 34,999807210353822
5
P
29,999906665002261 29,999962576528599 29,999969624980704
6
P
39,999904856883717 39,113666905323164 32,897519152059822
()
hu.m.
geração
deCusto
/
780,79476035613061 792,33730689909248 891,12608059357979
()
hTon
emissões
deNível
/
0,31007493561335525 0,25728448121911524 0,21763711531658622
()
hu.m.
Total
Custo
/
951,54062440098073 934,01357932721044 1010,9701345138111
()
MW
P
Perdas
7,859442959832048 6,063310858058744 4,031667650051407
79
4.9 Considerações finais
O decorrer deste capítulo proveu 8 casos de teste em que o algoritmo de busca harmônica
estudado neste trabalho foi experimentado. Casos em que problemas de variados graus de
complexidade, com a incorporação de cada uma das variantes do problema do
ED
explanados no capítulo 2, isoladas ou em conjunto, foram satisfattoriamente solucionados
pelo
HS
. Em cada um dos casos o algoritmo
HS
foi testado e apresentou resultados tão bons
quanto às técnicas de inteligência computacional tradicionais ou mesmo as mais atuais,
alcançando resultados tão bons quanto e até melhores que os outros algoritmos mencionados.
Na Seção 4.6 foi necessário desenvolver uma melhoria no
IHS
para melhorar a sua
capacidade exploratória e diminuir assim a quantidade de iterações para a obtenção da
convergência do algoritmo, a variação dinâmica da taxa de consideração da memória
harmônica,
HMCR
. O sucesso da melhoria foi tamanho que reduziu o número de iterações de
30000 para apenas 5000 e foi mantida nos casos posteriores à Seção 4.6.
5 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS
Objetivos do capítulo. Conclusões, considerações finais e propostas para trabalhos futuros.
O presente trabalho apresentou as variantes do problema de despacho econômico de
geração mais comuns reportados na literatura de uma maneira simples e direta, demonstrando
o grande número de variantes existentes graças a necessidade cada vez mais urgente de
incorporar características reais de operação dos geradores como fatores relevantes na
operação de sistemas elétricos de potência. Tal fato é impulsionado pela formação do
mercado livre de energia, onde a diminuição do custo deve ser uma meta pois o setor ficará
cada vez mais competitivo. Dentre os casos observados, foram investigadas, na agregação ao
problema de despacho clássico, a inserção de pontos de válvula, zonas de operação proibidas,
limites de rampa, reserva de giro ou reserva girante, unidades multi-combustível e despacho
econômico/ambiental. Vale ressaltar que o assunto não se esgota no presente trabalho, visto
que outros casos de despacho como o despacho dinâmico e econômico/ambiental, ambos
abordados aqui em suas versões simplificadas, tem outras modelagens que não foram
investigadas neste trabalho. E uma recente inovação seria a incorporação de usinas eólicas e
outras fontes alternativas de energia no despacho, visto a crescente disseminação de tais
tecnologias diante do apelo internacional por fontes de energia limpa e renovável.
Um algoritmo de busca metaheurístico foi apresentado e que até então não tinha sido
aplicado aos problemas de despacho econômico clássico e suas variantes, o algoritmo de
busca harmônica (
HS
). Foi apresentada a inspiração do algoritmo, a analogia com o processo
de desenvolvimento musical, o desenvolvimento matemático do mesmo, suas características
principais comparadas com outros algoritmos atuais e uma melhoria proposta neste trabalho
para o tratamento de casos que apresentam uma maior dificuldade de convergência, que foi a
implementação de uma variação dinâmica da taxa de consideração da memória harmônica,
HMCR
, seguindo o comportamento linear de um valor mínimo a um valor máximo.
Em suma, o
HS
é um algoritmo simples de ser implementado, que guarda características
poderosas, como diversas qualidades de algoritmos da atualidade, mas sem incorporar as suas
respectivas desvantagens. Por exemplo, o
HS
incorpora o armazenamento de informação de
soluções anteriores como o algoritmo de Busca Tabu, é capaz de variar, do começo ao fim do
algoritmo, as taxas de exploração e convergência de forma similar ao algoritmo Recozimento
Simulado e trabalha com vários vetores simultaneamente, uma população de soluções, tal qual
81
os Algoritmos Genéticos. Porém, melhorias dessa nova proposta de algoritmo compreendem
simplicidade de implementação e escalabilidade para variações do problema, poucos
parâmetros a serem ajustados e convergência em menor número de iterações.
A conclusão final e mais importante, expectativa bem sucedida do presente trabalho
compreendeu a sucessão de casos de teste, retirados de variados artigos abordando o problema
do despacho, que apresentando as mais diversas técnicas, determinísticas ou estocásticas,
heurísticas ou metaheurísticas, clássicas ou estado da arte, tiveram resultados menos
promissores do que os resultados do algoritmo
HS
. Dentre os algoritmos colocados sob
análise encontraram-se: Programação Dinâmica, Algoritmos genéticos, Algoritmos Genéticos
com Elitismo e Híbrido, Colônia de Formigas, Iteração-λ, Enxame de Partículas, Redes
Neurais, Relaxação Lagrangeana, Busca Híbrida Estocástica e Busca Tabu. Vale ressaltar que
o algoritmo de busca harmônica apresentou como principais vantagens a convergência
confiável, pois em apenas um dos casos de todos os estudados precisou-se modificar o
algoritmo para melhorar sua convergência, obtenção de soluções tão boas quanto e até
melhores do que várias técnicas atuais, precisão no cálculo das soluções em concordância
com as restrições do problema, e adaptabilidade a diversas variantes do problema do despacho
com relativa facilidade.
A excelência da aplicação do algoritmo de busca harmônica ao problema do despacho e
suas variantes deveu-se principalmente a facilidade de implementação, por ser, dentre outros
fatores, um algoritmo metaheurístico e estocástico, a robustez de seus resultados, devido a
obtenção dos melhores resultados em todos os casos de teste abordados, e a escalabilidade do
mesmo graças a sua simplicidade e características de convergência rápida, boa capacidade
exploratória do espaço de busca e um prover um refinamento final das soluções.
Como proposta para trabalhos futuros estão a análise de outros casos de despacho mais
recentes ou menos populares que não foram abordados aqui, como os descritos no início desse
capítulo, a incorporação de um caso de teste gerado a partir de dados de sistemas de potência
brasileiros, o uso do
HS
no problema de agendamento de unidades, no despacho on-line ou
no fluxo de carga ótimo.
APÊNDICE A – CÓDIGO FONTE MODIFICADO
Descrição. Abaixo segue o código fonte modificado do programa utilizado nesta
dissertação. O mesmo foi desprovido de algumas partes constantes no programa original com
o propósito de facilitar o entendimento do algoritmo de Busca Harmônica, e não a de permitir
a reprodução do mesmo, pois os códigos-fonte do programa para todos os casos de teste do
presente trabalho encontram-se inclusos no cd.
A.1 main.m
%%%%%%%%%% INICIALIZACAO %%%%%%%%%%
clear
clear all
clc
format long
% Dados %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
[unidadespd,B,B0,B00,unidadespv,f,e,unidadeszp,zp,mwlimites,c,b,a,Pd,baseMVA] =
data();
% Parametros do Algoritmo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
m = length(b); % numero de geradores
HMS = 12; % tamanho da memoria harmonica (HM)
HM = zeros(HMS,m); % defino a memoria harmonica
HMCR = 0.90; % taxa de consideracao da HM
PARmin = 0.30; % taxa de ajuste de notas
PARmax = 0.99;
NI = 2000; % num de improvisacoes (parada do HS)
BWmin = 1; % intervalo ajuste de notas
BWmax = 10;
% Defino qual gerador sera o de balanco
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
83
capacidade = define_balanco(mwlimites,m);
[C,I] = max(capacidade);
% Inicializa harmonias randomicas para preencher a HM
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
[harmonias] =
gera_harmonias(m,HMS,mwlimites,unidadeszp,zp,Pd,unidadespd,B,B0,B00,baseMVA,I
);
% Avalia o desempenho das mesmas
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
custos = desempenho(harmonias,unidadespv,f,e,c,b,a,m,mwlimites);
% Organiza em ordem decrescente as harmonias criando a HM inicial
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
HM = organiza(harmonias,custos,m)
%%%%%%%%%% LACO DE ITERACOES %%%%%%%%%%
for p=1:NI
PAR = PARmin + (PARmax - PARmin)*(p/NI);
BW = BWmax*exp(log(BWmin/BWmax)*(p/NI));
% Improvisa uma nova harmonia
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
[harmonia] =
nova_harmonia(unidadespd,B,B0,B00,baseMVA,Pd,m,HMCR,HMS,HM,PAR,BW,mwli
mites,unidadeszp,zp,I);
% Avaliacao do desempenho
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
custo1 = desempenho(harmonia,unidadespv,f,e,c,b,a,m,mwlimites);
custo2 = desempenho(harmonias(HMS,:),unidadespv,f,e,c,b,a,m,mwlimites);
84
% Atualizacao da HM
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
if custo1 < custo2
HM(HMS,:) = harmonia;
end
harmonias = HM;
% Avalia o desempenho da mesma
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
custos = desempenho(harmonias(HMS,:),unidadespv,f,e,c,b,a,m,mwlimites);
% Organiza em ordem decrescente as harmonias criando a HM
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
HM = organiza(harmonias,custos,m)
end
%%%%%%%%%% IMPRESSAO DOS RESULTADOS %%%%%%%%%%
baseMVA
demanda = Pd
HM(1,:)
potencias_geradas = sum(HM(1,:))
perdas_de_potencia = ploss_eval(HM(1,:),B,B0,B00,baseMVA)
custo_total_final = custo_total(HM(1,:),unidadespv,f,e,c,b,a,m,mwlimites)
REFERÊNCIAS
ANEEL. Fontes de energia exploradas no País – BIG (Banco de informações de geração).
Disponível em: <http://www.aneel.gov.br/aplicacoes/capacidadebrasil/FontesEnergia.asp?>,
acesso em 31/8/2009.
BALAMURUGAN, R.; SUBRAMANIAN, S. “Self-Adaptive Differential Evolution Based
Power Economic Dispatch of Generators with Valve-Point Effects and Multiple Fuel
Options”. International Journal of Computer Science and Engineering 1;1; pp. 10-17, Winter
2007.
B'RELLS, W. F. Operação econômica e planejamento. 2
nd
ed. Santa Maria, Edições UFSM,
1983.
BRONSON, R.; NAADIMUTHU, G. Schaum's Outline of theory and problems of
operations research. 2
nd
ed. McGraw-Hill, 1997.
CHOWDHURY, B. H.; RAHRNAN, S. “A review of recent advances in economic
dispatch”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 5, No. 4, pp. 1248-1259, November
1990.
CLERC, M. Particle Swarm Optmization. ISTE Ltd., 1 edition, 2006.
COSTA, A. S. http://www.labspot.ufsc.br/~simoes/osee/osee.html, acessado em novembro
de 2008.
DRÉO, J. et al. Metaheuristics for Hard Optimization. Springer Verlag, 1 edition, 2006.
DORIGO, M.; STUTZLE, T. Ant Colony Optimization., MIT Press, 1 edition, 2004.
EL-GALLAD, A.; EL-HAWARY, M.; SALLAM, A.;, KALAS, A. “Swarm Optimizer For
Constrained Economic Dispatch With Prohibited Operating Zones”. Proceedings of the
IEEE Canadian Conference On Electrical & Computer Engineering, pp. 78-81, 2002.
EXPOSITO, A. G.; CONEJO, A. J.; CANIZARES, C. Eletric Energy Systems: Analysis
and Operation. CRC Press Taylor & Francis Group, 1 edition, 2008.
86
GAING, Z.-L. “Particle swarm optimization to solving the economic dispatch
considering the generator constraints”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 18, N°
3, pp. 1187-1195, August 2003.
GAING, Z.-L.; “Closure to 'Discussion of ‘Particle Swarm Optimization to Solving the
Economic Dispatch Considering the Generator Constraints'”. IEEE Transactions on
Power Systems, Vol. 19, N° 4, pp. 2122-223, November 2004.
GEEM, Z. W.; KIM, J. H.; LOGANATHAN, G.V. “A New Heuristic Optimization
Algorithm: Harmony Search”. Simulation 2001, 76:2; pp. 60-68, 2001,
http://sim.sagepub.com/cgi/content/abstract/76/2/60.
GEN, M.; CHENG, R. Genetic Algorithms and Engineering Optimization. Wiley-
Interscience, 1 edition, 1999.
GLOVER, F. “Heuristics for Integer Programming Using Surrogate Constraints”.
http://leeds-faculty.colorado.edu/glover/SS-TS 1977 Heuristics for IP using surrogate.pdf,
acessado em 01/01/2009, 1977.
GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning.
Addison-Wesley Professional, 1 edition, 1989.
HAYKIN, S. Neural Networks: A comprehensive foundation. Prentice Hall International, 2
edition, 1999.
KAROL, W. R. C. B. de O.; NASCIMENTO, N. T. Jr.; SAAVEDRA, O. R. “An
Evolutionary Approach for the Solution of the Economic Dispatch Considering
Generation Constraints”. IEEE Latin America Transactions, Vol. 6, N° 1, pp. 42-50, March
2008.
KENNEDY, J.; EBERHART, R. “Particle Swarm Optimization”. Neural Networks,
Proceedings., IEEE International Conference on, Vol. 4, pp. 1942-1948, 1995.
KIRKPATRICK, S.; GELATT, C. D.; VECCHI, M. P. “Optimization by Simulated
Annealing”, Science, New Series, Vol. 220, N° 4598, pp. 671-680, 1983.
87
LEE, K. S.; GEEM, Z. W. “A new meta-heuristic algorithm for continuous engineering
optimization: harmony search theory and practice”. Comput. Methods Appl. Mech.
Engrg. 194, pp. 3902–3933, 2005.
LEE K. Y.; EL-SHARKAWI, M. A. Modern Heuristic Optimization Techniques: Theory
and Applications to Power Systems. IEEE Press Series on Power Engineering, 1 edition,
2008.
LIANG, Z.-X.; GLOVER, J. D. “A zoom Feature for a Dynamic Programming Solution to
Economic Dispatch Including Transmission Losses”. IEEE Transactions on Power
Systems, Vol. 7, N° 2, pp. 544-550, May 1992.
LIN, C. E.; VIVIANI, G. L. “Hierarchical economic dispatch for piecewise quadratic cost
functions”. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 6, pp.
1170-1175, June 1984.
LUKMAN, D.; BLACKBURN, T.R. “Modified Algorithm of Load Flow Simulation for
Loss Minimization in Power Systems”. Power Electronics and Drive Systems. Proceedings.,
4th IEEE International Conference on, pp. 84-88 vol.1, 2001.
MAHDAVI, M.; FESANGHARY, M.; DAMANGIR, E. “An improved harmony search
algorithm for solving optimization problems”. Applied Mathematics and Computation 188,
pp. 1567–1579, 2007.
MME. BEN, Balanço energético nacional 2008 - Resenha Preliminar. Disponível em:
<http://www.mme.gov.br/mme/galerias/arquivos/publicacoes/BEN/3_-
_Resenha_Energetica_2008/Resenha_energetica_-_2008-V4_-_25-05-09.pdf>, acesso em
31/8/2009.
MOMOH, J. A. Electric Power System Applications of Optimization. New York, Marcel
Dekker, Inc., 2001.
NOYOLA, A. H.; GRADY, W. M.; VIVIANI, G. L. “An optimized procedure for
determining incremental heat rate characteristics”. IEEE Transactions on Power Systems,
Vol. 5, N° 2, pp. 376-383, May 1990.
88
ORERO, S.O.; IRVING, M.R. “Economic dispatch of generators with prohibited
operating zones: a genetic algorithm approach”. IEE Proc. Gener. Transm. Distrib., Vol.
143, No. 6, pp. 529-534, november 1996.
SAADAT, H; SAADAT, H. Power system analysis.. McGraw-Hill Primis Custom
Publishing; 2 edition, 2002
SLIMANI, L.; BOUKTIR, T. “Economic Power Dispatch of Power System with Pollution
Control using Multiobjective Ant Colony Optimization”. International Journal of
Computational Intelligence Research. ISSN 0973-1873 Vol.3, N° 2, pp. 145-153, 2007.
SUM-IM, T. “Economic Dispatch by Ant Colony Search Algorithm”. Proceedings of the
2004, lEEE Conference on Cybernetics and intelligent Systems, Singapore, pp. 416-421, 1-3
December, 2004.
TAN, C. M. Simulated annealing. In-Tech Publisher, 1 edition, 2008.
TALAQ, J. H.; EL-HAWARY, M. E. “A Summary of Environmental/Economic Dispatch
Algorithms”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 9, N° 3, 1508-1516, August 1994.
TIPPAYACHAI, J.; ONGSAKUL, W.; NGAMROO, I. “Parallel Micro Genetic Algorithm
for Constrained Economic Dispatch”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 17, N° 3,
pp. 790-797, August 2002.
VIJAY VITTAL, A. R. B. Power Systems Analysis. Prentice Hall, 2° edition, 1999.
WALTERS, D. C.; SHEBLE, G. B. “Genetic Algorithm solution of economic dispatch
with valve point loading”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 8, No. 3, pp, 1325-
1332, August 1993.
WANG, S.-K.; CHIOU, J.-P.; LIU, C.-W. “Non-smooth/non-convex economic dispatch by
a novel hybrid differential evolution algorithm”. IET Gener. Transm. Distrib., 1, (5), pp.
793–803, 2007.
WONG, K.P.; FUNG, C.C. “Simulated annealing based economic dispatch algorithm”.
IEE Proceedings-C, Vol. 140, No. 6, pp. 509-515, November I993.
89
WOOD, A. J.; WOLLENBERG, B. F. Power Generation, Operation, and Control. Wiley-
Interscience, 2 edition, 1996.
YALCINOZ, T.; SHORT, M.J. “Large-scale economic dispatch using an improved
Hopfield Neural Network”. IEE Proc. Gener. Transm. Distrib., Vol. 144, No. 2, pp 181-185,
March 1997.
ANEXO A – FÓRMULA GERAL DE PERDAS
(COSTA, A. S. http://www.labspot.ufsc.br/~simoes/osee/osee.html, novembro de 2008)
91
92
ANEXO B – MATERIAL EM CD
Acessando o material em CD
O artigo dessa dissertação deve conter um envelope com o CD no espaço abaixo.
A versão digital dessa dissertação e os demais arquivos presentes no CD, como todos os
artigos que serviram como referências utilizadas nesse trabalho, estão todos na versão PDF.
Instale um leitor de PDF's antes de tentar abrir os arquivos contidos nesse CD.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo