( PDF ) Estudo do acoplamento spin-órbita de multipartículas confinadas em pontos quânticos semicondutores.

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Estudo do Acoplamento Spin-

Orbita de

Multipart

ıculas Conﬁnadas em Pontos

anticos Semicondutores

BRUNO BARBOSA RODRIGUES

UBERL

ANDIA

25 DE FEVEREIRO DE 2009

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL

ANDIA

Programa de P

os - Graduac¸

ao - INFIS

Bruno Barbosa Rodrigues

Estudo do Acoplamento Spin-

Orbita de Multipart

ıculas Conﬁnadas em

Pontos Qu

anticos Semicondutores

UBERL

ANDIA

25 DE FEVEREIRO DE 2009

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL

ANDIA

Programa de P

os - Graduac¸

ao - INFIS

Bruno Barbosa Rodrigues

Estudo do Acoplamento Spin-

Orbita de Multipart

ıculas Conﬁnadas em

Pontos Qu

anticos Semicondutores

Dissertac¸

ao apresentada ao Programa de

os-graduac¸

ao em F

ısica da Universidade

Federal de Uberl

andia, como requisito par-

cial para obtenc¸

ao do t

ıtulo de mestre em F

ısica.

Area de Concentrac¸

ao: F

ısica da Mat

eria

Condensada

Orientador:

Prof. Dr. Qu Fanyao

UBERL

ANDIA

25 DE FEVEREIRO DE 2009

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

R696e Rodrigues, Bruno Barbosa, 1983-

Estudo do acoplamento spin-órbita de multipartículas confinadas em

pontos quânticos semicondutores / Bruno Barbosa Rodrigues. - 2009.

113 f. : il.

Orientador: Qu Fanyao.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Uberlândia, Progra-

ma de Pós-Graduação em Física.

Inclui bibliografia.

1. 1. Física - Teses. 2. Pontos quânticos - Teses. I. Fanyao, Qu. II. Uni-

versidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em Física.

III. Título.

CDU: 53

Elaborado pelo Sistema de Bibliotecas da UFU / Setor de Catalogação e Classificação

”O temor do Senhor

e o princ

ıpio do

saber, mas os loucos desprezam a

sabedoria e o ensino.”

Salom

Agradecimentos

Muitos foram os que contribu

ıram para a realizac¸

ao deste projeto. Destaco no entanto

alguns, n

ao necessariamente os mais importante, mas os que foram essenciais, em momentos

precisos, para a consolidac¸

ao desta conquista.

Primeiramente e sobretudo agradec¸o a Deus pela oportunidade e capacidade de aprender,

dando-me forc¸as e coragem para enfrentar os desaﬁos e buscar a realizac¸

ao de meus sonhos,

nunca deixando que eu me abatesse pelas quedas e tristezas, me conservando na humildade.

Ao professor Qu Fanyao , pela orientac¸

ao e incentivo, pelos ensinamentos, amizade e prin-

cipalmente pela conﬁanc¸a depositada em mim.

A minha m

ae, que com a sua experi

encia e dedicac¸

ao pessoal, me ajudou a enxergar a

soluc¸

ao para muitos problemas enfrentados, al

em de compreender os v

arios momentos em que

ao pude estar presente.

A equipe do Grupo NanoScience da UFU, em especial ao aluno de doutorado e amigo

Damaso por estar sempre disposto a ajudar e discutir novas id

eias e projetos.

A Giselle, aluna

de mestrado, e aos alunos de IC Ren

e, Let

ıcia e Maryzaura.

Aos amigos de mestrado pelo essencial apoio em momentos dif

ıceis, pelas madrugadas e

ﬁnais de semana que passamos estudando, e tamb

em pelos momentos de descontrac¸

ao, espe-

cialmente, Igor, Roberto, Wagner, Hanna, Charley, Ginetom e Fl

avio Augusto.

A L

ucia, secret

aria da P

os-Graduac¸

ao do Instituito de F

ısica, bem como todos os outros

funcion

arios do Instituto, que desempenham muito bem seu trabalho,

as vezes indo al

em das

oprias responsabilidades para nos ajudar.

Aos meus colegas de trabalho da CEMIG, que entenderam e me apoiaram nos v

arios mo-

mentos em que cheguei cansado para trabalhar ap

os algumas noites estudando e pesquisando,

especialmente ao Tiago Leonel,

Alvaro, Eurico e Amarildo.

Aos colegas da Universiteit van Amsterdam e do NUPRO pelo apoio tecnol

ogico que via-

bilizou a defesa desta dissertac¸

ao via videoconfer

encia, especialmente c¸ Profa. Elenna, e ao

Engenheiro Edmundo. Aos meus amigos de Lyon Diego, Rodrigo, Tiago, Aion, Dorian, Ja-

kub, Tomas, Jianbo, Mickael, Ibrahim e Franck, pelos momentos de descontrac¸

ao que sempre

revigoravam as minhas energias para continuar trabalhando.

As Ag

encias de Formento Fapemig e CNPq, pelo apoio ﬁnanceiro.

Finalmente,

a todos aqueles que colaboraram direta ou indiretamente na realizac¸

ao deste

projeto.

Meus sinceros agradecimentos.

Resumo

O acoplamento Spin-

Orbita (SO)

e um efeito que relaciona os orbitais espaciais com o grau

de liberdade de spin das part

ıculas. Como resultado, a din

amica de spin

e afetada, fazendo

com que operac¸

oes bin

arias de qubits (an

alogo qu

antico do bit, unidade basica de informac¸

em linguagem computacional) tornem-se mais complexas. Al

em disso, o acoplamento Spin-

Orbita produz decoer

encia do spin e relaxac¸

ao devido

a emiss

ao de f

onons limitando o tempo

de operac¸

ao de um qubit. Por isso,

e de primordial import

ancia determinar os par

ametros que

determinam a interac¸

ao Spin-

Orbita, de modo que seja poss

ıvel controlar e manipular o spin

das part

ıculas.

Para dois el

etrons conﬁnados em um QD, observamos a transic¸

ao entre estados de spin

polarizado triplete e n

ao-polarizado singlete. A interac¸

ao Spin-

Orbita gera um anticruzamento

entre os estados de spin singlete e os estados de spin polarizado triplete, enquanto que o estado

triplete n

ao polarizado preserva o cruzamento.

Observamos tamb

em que a interac¸

ao Spin-

Orbita

e fortemente dependente tanto do n

umero

de part

culas conﬁnadas quanto da sua carga (positiva ou negativa). Como exemplo, veriﬁcamos

que esta interac¸

e muito mais forte (da ordem de meV) para dois el

etrons do que para um

exciton (ordem de dezenas de µeV), esta

ultima obtendo somente correc¸

oes de segunda ordem

na sua energia. Al

em disso, a quantidade de el

etrons em cada orbital do QD (camada aberta ou

fechada) pode alterar drasticamente a interac¸

ao Spin-

Orbita. Desta maneira, este efeito pode

ser controlado eletricamente. Analisamos tamb

em a estrutura hiperﬁna de

excitons claros e

escuros.

Palavras-Chave: Pontos Qu

anticos, Acoplamento Spin-

Orbita, Multiel

etrons,

Excitons,

Excitons Carregados.

Abstract

Spin-orbit (SO) coupling provides a way for orbital degrees of freedom to inﬂuence spin

states. As a result the spin dynamics is affected, thus making spin qubit (quantum version of

bit, basic unit of information in the computational language) operations more complex. Fur-

thermore, spin-orbit coupling leads to spin decoherence and relaxation due to phonons, thus

limiting the operation time. Therefore, it is highly desirable to determine the parameters which

govern the Spin-Orbit interaction so that one can control and manipulate the spin of particles.

For the two electrons case, we observed the transition between spin polarized triplet and

spin non-polarized singlet states. The spin-orbit interaction leads to an anticrossing between

singlet and spin polarized triplet states, while the spin non-polarized triplet state remains unaf-

fected.

We also found that the Spin-Orbit interaction to be strongly dependent upon both the num-

ber of particles and their charge (positive or negative). For instance, the Spin-Orbit effect is

much stronger for two electrons than for one exciton, which only induces the second order cor-

rection in the energy of the exciton. Furthermore, the ﬁlling of electronic shells of QD (closed

and open shell conﬁgurations) can dramatically change the Spin-Orbit interaction leading to a

competition with electron-electron interaction. Hence the Spin-Orbit interaction can be control-

led electrically. We also analyzed the hyperﬁne interaction between bright and dark excitons.

Keywords: Quantum Dots, Spin-Orbit Coupling, Multielectrons, Excitons, Charged Exci-

tons.

Lista de Figuras

1.1 (a) Diagrama esquem

atico de uma heteroestrutura de semicondutores [13]. O

potencial negativo aplicado pelo eletrodo lateral pressiona o QD no sentido

de reduzir o di

ametro de conﬁnamento (linhas tracejadas). (b) Diagrama de

energia correspondente. (c) Microscopia Eletronica de Varredura em QDs

com v

arias formas e altura m

edia de 0.5µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3

1.2 Desenho Esquem

atico do SFET proposto por Datta e Das [16]. . . . . . . . . p. 4

2.1 Desenho esquem

atico de um QD automontado (do ingl

es SAD - Self-

Assembled Dot) [10] de In

1−x

As/GaAs em formato de lente. No canto

superior esquerdo o gr

aﬁco do potencial de conﬁnamento lateral. . . . . . . . p. 9

2.2 Func¸

oes de onda para o oscilador harm

onico unidimensional (a) e densidade

de probabilidade das respectivas func¸

oes de onda (b). . . . . . . . . . . . . . p. 12

2.3 Espectro de energia de uma part

ıcula conﬁnada em um potencial parab

olico

bidimensional versus o campo magn

etico. Os vinte primeiros estados de

energia s

ao mostrados que, para B = 0, apresentam degeneresc

encia for-

mando os orbitais.

hω

=6meV e g = −4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.4 Vis

ao tridimensional do potencial de conﬁnamento n

ao-parab

olico com de-

talhe para as superf

ıcies equipotenciais na parte inferior do gr

aﬁco. A parte

parab

olica

e caracterizada por ω

= 1meV e os par

ametros que deﬁnem a

parte n

ao-parab

olica s

ao γ = 1 e D = 10a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.5 Esquema qualitativo da estrutura de bandas com a mistura entre HH e LH e o

gap gerado pela interac¸

ao SO em um semicondutor Bulk do tipo Zinc Blende. p. 16

3.1 Ciclo de autoconsist

encia para c

alculos usando M

etodo de Hartree-Fock de

camada aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3.2 Estados de spin para o

exciton, considerando transic¸

oes de spin com taxas W

e W

para el

etrons e buracos, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

5.1 Espectro de energia de um el

etron sujeito a um potencial de conﬁnamento

=2meV e sem interac¸

ao SO (α = β = 0). No canto superior esquerdo a

ampliac¸

ao do gr

aﬁco demonstrando o cruzamento dos n

ıveis de energia em

B =0,4T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

5.2 Efeito da interac¸

ao SO sobre a evoluc¸

ao dos n

ıveis de energia para um

etron sujeito a um potencial de conﬁnamento ω

=2meV (α =6meV

A e

β =10meV

A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

5.3 Quebra da degeneresc

encia e deslocamento dos n

ıveis de energia do primeiro

( esquerda), segundo ( centro) e terceiro ( direita) estados para B =0T com a

inserc¸

ao da interac¸

ao SO, e os par

ametros de conﬁnamento s

ao os mesmos da

Figura 5.1 e as constantes de acoplamento SO s

ao α =6meV

A e β =10meV

A. p. 39

5.4 Espectro de energia de dois el

etrons sujeitos a um potencial de conﬁnamento

=5meV e sem interac¸

ao SO (α = β = 0). No canto superior direito a

ampliac¸

ao do gr

aﬁco demonstrando a degeneresc

encia dos n

ıveis de energia

para B =0T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

5.5 Relac¸

ao entre a diferenc¸a de energia dos orbitais 1 e 2 e o potencial de conﬁ-

namento ω

para 2 el

etrons em um QD sem campo magn

etico e sem interac¸

SO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

5.6 Espectro de energia para 2 el

etrons em um QD com ω

=5meV e com

interac¸

ao SO (α =6meV

A e β =10meV

A) em func¸

ao do campo magn

etico.

No canto superior direito a ampliac¸

ao do gr

aﬁco enfatizando a quebra de

degeneresc

encia para B =0T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

5.7 Espectro de energia para dois el

etrons em um QD com ω

=5meV em func¸

do campo magn

etico para β =10meV

A e diversos valores para a constante

de acoplamento SO α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

5.8 Energias de excitac¸

ao para 2 el

etrons nas conﬁgurac¸

oes singlete-triplete. Os

par

ametros utilizados foram ω

=5meV, α =6meV

A e β =10meV

A. . . . . p. 46

5.9 Evoluc¸

ao dos n

ıveis de energia para δ

=0 (a) e δ

=0 (b). . . . . . . . . . . p. 47

5.10 Estrutura ﬁna do

exciton (termos de troca e correlac¸

ao e Zeeman) com m

0.067,m

= 0.25, g

= −0.44, g

= 25, δ

= 0.2meV, δ

= 0.05meV e ω

1meV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

5.11 Evoluc¸

ao da energia do estado fundamental do

exciton com m

= 0.067,m

0.25, g

= −0.44, g

= 25, ω

= 1meV, δ

= 0.2meV e δ

= 0.05meV . . . . p. 48

Lista de Tabelas

3.1 Autoestados do

exciton na presenc¸a de campo magn

etico. . . . . . . . . . . . p. 29

Sum

ario

1 Introduc¸

ao p. 1

1.1 Pontos Qu

anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 1

1.2 Vis

ao geral da pesquisa atual em Spin-

Orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3

1.3 Unidades At

omicas Efetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

2 Estrutura Eletr

onica de uma Part

ıcula em um QD p. 6

2.1 Segunda Quantizac¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6

2.1.1 Notac¸

ao e Deﬁnic¸

oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6

2.1.2 Operadores de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7

2.2 Conﬁnamento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

2.3 N

ıveis de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

2.4 Conﬁnamento N

ao-Parab

olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.5 Buracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

3 Interac¸

ao de Multipart

ıculas p. 17

3.1 Determinante de Slater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

3.2 M

etodo de HF Irrestrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

3.2.1 Algoritmo de Soluc¸

ao das Equac¸

oes de HF . . . . . . . . . . . . . . p. 22

3.2.2 M

etodo de Conﬁgurac¸

ao de Interac¸

ao . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3.3

Exciton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

3.3.1 Aus

encia de campo magn

etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

3.3.2 Presenc¸a de campo magn

etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

4 Interac¸

ao Spin-

Orbita p. 30

4.1 Origem F

ısica da Interac¸

ao SO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

4.2 Assimetria na estrutura cristalina: Interac¸

ao BIA . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

4.3 Assimetria espacial: Interac¸

ao SIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

4.4 An

alise dos acoplamentos SO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

4.5 Efeito Spin-Orbita de

excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

5 Resultados p. 35

5.1 Interac¸

ao SO de um El

etron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

5.2 Interac¸

ao SO de 2 El

etrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

5.3 Interac¸

ao Spin-

Orbita de

Excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

6 Conclus

oes e Trabalhos Futuros p. 50

6.1 Conclus

oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

6.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

Refer

encias Bibliogr

aﬁcas p. 52

1 Introduc¸

Este trabalho tem como objetivo estudar os efeitos da interac¸

ao Spin-

Orbita (SO) em

part

ıculas conﬁnadas em um ponto qu

antico (utilizaremos a abreviac¸

ao QD, que vem da ex-

press

ao em ingl

es Quantum Dot) lateral de GaAs/AlGaAs atrav

es do modelo de um potencial

harm

onico proposto por Fock [1] e Darwin [2]. Este potencial, com soluc¸

ao anal

ıtica para o es-

pectro de energia, permite o tratamento de el

etrons e buracos sem interac¸

ao de subbanda, sendo

que a interac¸

ao de multipart

ıculas e

excitons carregados ser

a tratada com o aux

ılio do M

etodo

de Hartree-Fock de camada aberta [1, 3, 4, 5].

Neste cap

ıtulo ser

ao abordadas as principais caracter

ısticas dos QDs bem como uma vis

geral da pesquisa atual sobre SO em QDs semicondutores. O sistema de unidades at

omicas

efetivas, utilizado para c

alculos em sistemas nanoestruturados,

e descrito no ﬁnal deste cap

ıtulo.

1.1 Pontos Qu

anticos

Os QDs [6, 7, 8] podem ser deﬁnidos como estruturas no estado s

olido capazes de conﬁ-

nar el

etrons e buracos em todas as dimens

oes espaciais e s

ao classiﬁcados como sistemas me-

sosc

opicos, pois suas dimens

oes s

ao compar

aveis com os comprimentos caracter

ısticos do ma-

terial de que eles s

ao fabricados, que s

ao maiores que as dimens

oes at

omicas mas pequenos

o suﬁciente para que seja necess

ario o tratamento qu

antico destas estruturas. S

ao frequen-

temente modelados como caixas tridimensionais onde as paredes atuam como potenciais de

conﬁnamento, geralmente produzidos eletrostaticamente por eletrodos ou criados por um for-

mato apropriado de crescimento do material, como a Epitaxia de Feixe Molecular [9] ou o

Crescimento Auto Organizado [10]. As dimens

oes t

ıpicas dos QDs s

ao da ordem de 1 a 100nm,

que resultam em diferentes n

ıveis de quantizac¸

ao dos portadores de cargas armadilhados: o

gap de energia entre n

ıveis

e tipicamente da ordem de microeletronvolts (µeV) at

e dezenas de

milieletronvolts (meV).

Neste sentido, os QDs s

ao comparados a

atomos naturais, onde os el

etrons s

ao conﬁnados

pelo potencial atrativo do n

ucleo, e seus n

ıveis de energia s

ao bem deﬁnidos. Esta analogia

e muito

util, e os QDs s

ao geralmente chamados de ”

atomos artiﬁciais”. Existem, no entanto,

diferenc¸as entre

atomos naturais e artiﬁciais. Primeiramente, QDs podem conﬁnar tanto el

etrons

como buracos, enquanto

atomos naturais podem conﬁnar apenas el

etrons, devido ao seu poten-

cial positivo do n

ucleo que

e atrativo apenas para portadores de carga negativa. Em segundo

lugar, o conﬁnamento lateral em QDs

e geralmente bem comportado e pode ser controlado, en-

quanto que o potencial de Coulomb possui uma singularidade no n

ucleo e

e ﬁxado pelo n

umero

de pr

otons do

atomo. Finalmente, QDs possuem uma separac¸

ao entre n

ıveis (da ordem de de-

zenas de meV) menor do que a separac¸

ao m

edia entre n

ıveis em

atomos naturais (da ordem de

eV).

Os QDs laterais [11] que ser

ao abordados neste trabalho s

ao criados por um g

as de el

etrons

bidimensional (Two-Dimensional Electron Gas - 2DEG), formado na interface de 2 semicon-

dutores dos tipos III-IV (neste caso a inteface ser

a de GaAs/AlGaAs) com um conﬁnamento

lateral adicional produzido por eletrodos. Este conﬁnamento lateral ir

a inﬂuenciar diretamente

a distribuic¸

ao dos n

ıveis de energia, com contribuic¸

oes tanto para os termos de energia cin

etica

como de interac¸

ao Coulombiana entre as part

ıculas conﬁnadas. Na Figura 1.1 temos o dia-

grama esquem

atico de uma heteroestrutura de semicondutores. O QD est

a localizado entre as

duas barreiras de AlGaAs onde, neste caso, el

etrons podem ser tunelados dos estados ocupados

no sorvedouro atrav

es do QD para estados desocupados na fonte. O potencial entre a fonte e o

sorvedouro V

(do ingl

es source-drain), determina a diferenc¸a na Energia de Fermi entre os

dois eletrodos.

Esta dissertac¸

e organizada como se segue. No Cap. 1 faremos uma breve introduc¸

sobre a pesquisa em Spin-

Orbita e introduziremos o sistema de Unidades At

omicas Efetivas. O

Cap. 2

e dedicado a uma descric¸

ao do problema de uma part

ıcula conﬁnada em um QD lateral e

a introduc¸

ao da notac¸

ao da Segunda Quantizac¸

ao. No Cap. 3 estendemos a an

alise para o caso

de Multipart

ıculas, com a introduc¸

ao do M

etodo de Hartree-Fock e uma descric¸

ao do estado

exciton. O Cap. 4 aborda a Interac¸

ao de Spin-

Orbita, tema central deste trabalho, com uma

descric¸

ao sucinta sobre sua origem e seus efeitos sobre QDs laterais. No Cap. 5 encontramos

os resultados deste trabalho e as conclu

oes e trabalhos futuros s

ao enumerados no Cap. 6.

Figura 1.1: (a) Diagrama esquem

atico de uma heteroestrutura de semicondutores [13]. O po-

tencial negativo aplicado pelo eletrodo lateral pressiona o QD no sentido de reduzir o di

ametro

de conﬁnamento (linhas tracejadas). (b) Diagrama de energia correspondente. (c) Microscopia

Eletronica de Varredura em QDs com v

arias formas e altura m

edia de 0.5µm.

1.2 Vis

ao geral da pesquisa atual em Spin-

Orbita

Recentemente, o interesse em QDs semicondutores tem crescido bastante. A spintr

onica

[12] e a computac¸

ao qu

antica [14, 15] s

ao as aplicac¸

oes mais not

aveis e promissoras destes dis-

positivos pois, nesta escala de tamanho,

e poss

ıvel manipular cada part

ıcula (e seu spin) indivi-

dualmente obtendo dispositivos que poder

ao revolucionar a microeletr

onica como

e conhecida

atualmente [16, 17].

A correta interpretac¸

ao dos fen

omenos que envolvem os muitos corpos em sistemas me-

sosc

opicos tem sido um desaﬁo para f

ısicos te

oricos e experimentais no mundo todo atualmente.

Entender as regras que deﬁnem o movimento dessas part

ıculas signiﬁca poder desenvolver dis-

positivos conﬁ

aveis que s

ao at

e cem vezes menores que os atuais dispositivos eletr

onicos, o que

representa um aumento consider

avel na capacidade de armazenamento de dados e na velocidade

de processamento dos mesmos.

Muitos dispositivos em spintr

onica, idealizados pela possibilidade de inserir e manipular

portadores de carga dentro de QDs, s

ao baseados no acoplamento SO, como

e o caso dos tran-

sistores de efeito de campo de spin (Spin Field Effect Transistor - SFET) [18]. Na Fig. 1.2

temos o desenho esquem

atico do SFET proposto por Datta e Das [16], onde a fonte e o detector

de spin s

ao metais ferromgn

eticos ou semicondutores, com momentos magn

eticos paralelos.

Os el

etrons com vetor de onda k e spins polarizados s

ao injetados e movem-se balisticamente

por um canal formado por um g

as de el

etrons bidimensional colocado em um plano normal a n,

onde os spins sofrem rotac¸

oes devido ao acoplamento SO, sendo selecionados no outro eletrodo

de acordo com a orientac¸

ao ﬁnal dos seus spins. A intensidade do efeito SO pode ser controlada

atrav

es de um potencial vari

avel aplicado no topo do canal.

Figura 1.2: Desenho Esquem

atico do SFET proposto por Datta e Das [16].

Entretanto, a interac¸

ao SO ainda

e um tema novo dentro do contexto da spintr

onica, pois

apesar de ter sido predita teoricamente na d

ecada de 1950, foi observada experimentalmente

em poc¸os qu

anticos semicondutores do tipo III-IV somente em 1992 [19]. Desde ent

ao, di-

versos trabalhos est

ao sendo desenvolvidos por v

arios grupos de pesquisa em todo o mundo

com resultados interessantes, como a descoberta de efeitos SO em geometrias sim

etrias, devido

a acoplamento intersubbanda entre estados conﬁnados [20] e tamb

em a observac¸

ao de Efeito

Hall Qu

antico Fracional (Fractional Quantum Hall Effect - FQHE) [21].

1.3 Unidades At

omicas Efetivas

Esta sec¸

e dedicada

a deﬁnic¸

ao do Sistema de Unidades que foi utilizado em todos os

alculos num

ericos que deram origem aos resultados listados no Cap

ıtulo 5. As unidades

omicas efetivas simpliﬁcam bastante as equac¸

oes e tamb

em os c

alculos computacionais, na

medida em que evitam que os programas de computador trabalhem na ordem de grandeza dos

valores qu

anticos usuais (

h = 1,05 ×10

−34

Js, por exemplo). No entanto, haveria uma perda

de generalidade muito grande caso as equac¸

oes fossem escritas diretamente neste Sistema, pois

todas as informac¸

oes relativas ao car

ater qu

antico do sistema est

ao inseridas na constante de

Planck. Al

em disso, par

ametros como a carga e a massa do el

etron desaparecem das equac¸

oes,

tornando-as n

ao-familiar para quem n

ao est

a acostumado com esta notac¸

ao. Desta forma, ser

padronizado que as equac¸

oes ser

ao escritas no Sistema Internacional de Unidades e todos os

alculos ser

ao realizandos no Sistema de Unidades At

omicas Efetivas (Effective Atomic Units -

EAU).

Em Unidades At

omicas Efetivas, a carga do el

etron (e), a massa efetiva do el

etron (m

) e a

constante reduzida de Planck (

h)possuem o mesmo valor:

e = m

h = 1. (1.1)

Como para o GaAs m

= 0,067m

, m

0,067

ser

a o par

ametro utilizado para o c

alculo da

massa dos buracos pesado e leve (HH - heavy-hole e LH - light-hole), respectivamente dentro

da aproximac¸

ao da massa efetiva.

O Raio de Bohr possui a seguinte relac¸

ao:

∗

(1.2)

e a energia efetiva Rydberg,

Ry =

∗

(1.3)

assumem os valores a

=97,9

A e 2Ry =5,93meV para os valores de massa efetiva e ε do GaAs.

Apesar de tanto Ry quanto meV serem bastante difundidas como unidades de energia para

sistemas at

omicos, o resultado ﬁnal da energia ser

a apresentado em meV.

2 Estrutura Eletr

onica de uma Part

ıcula

em um QD

2.1 Segunda Quantizac¸

O objetivo deste trabalho

e a investigac¸

ao de fen

omenos que envolvem muitas particulas in-

teragentes. Uma descric¸

ao completa deste problema requer a soluc¸

ao da Equac¸

ao de Scr

odinger

para muitas part

ıculas, o que

e impratic

avel analiticamente. Faz-se ent

ao necess

ario a utilizac¸

de t

ecnicas aproximadas (como o M

etodo de Hartree-Fock ou a Teoria do Funcional da Densi-

dade) e trabalhar com uma representac¸

ao mais conveniente das func¸

oes de onda. Desta maneira,

a Segunda Quantizac¸

ao simpliﬁca bastante a discuss

ao do problema de muitas part

ıculas, com as

seguintes vantagens: seus operadores j

a incorporam a estat

ıstica de Fermi (como este trabalho

trata apenas de f

ermions, a discuss

ao ser

a restrita a part

ıculas que obedecem

a estat

ıstica de

Fermi) e oferece uma simplicidade na montagem das matrizes que permite a clara visualizac¸

de termos nulos diminuindo o esforc¸o computacional. Para a notac¸

ao, a Segunda Quantizac¸

diminui o n

umero de

ındices nas vari

aves das func¸

oes de onda para multipart

ıculas e, ﬁnal-

mente, facilita a express

ao da func¸

ao de densidade que carrega toda a informac¸

ao f

ısica do

estado fundamental das part

ıculas. Por estes motivos, ser

ao desenvolvidas nesta sec¸

ao as prin-

cipais propriedades da Segunda Quantizac¸

ao, al

em de algumas aplicac¸

oes b

asicas para melhor

entendimento.

2.1.1 Notac¸

ao e Deﬁnic¸

oes

Na Notac¸

ao de Dirac [22], a Equac¸

ao de Schr

odinger independente do tempo

e escrita

como:



= ε



(2.1)

onde



representa a func¸

ao de onda normalizada no estado i e ε

o autovalor do Hamiltoniano

H. Todo operador em Mec

anica Qu

antica deve obedecer

as regras de comutac¸

ao e, em geral, se

X e Y s

ao operadores, XY = Y X. Entretanto (para uma discuss

ao mais detalhada deste assunto,

recomendamos a Refer

encia [23]):

X (Y Z) = (XY ) Z = XY Z (2.2)

(XY)

†

= Y

†

(2.3)

Sendo assim, foram deﬁnidos dois operadores da Segunda Quantizac¸

ao, o de criac¸

ao a

†

o de aniquilac¸

ao a, juntamente com o estado de v

acuo



que signiﬁca a aus

encia de part

ıculas

no sistema. Fisicamente, o operador a

†

cria uma part

ıcula no estado i enquanto o operador a

destr

oi uma part

ıcula. O operador n

umero a

†

fornece a quantidade de part

ıculas no estado i.

Desta maneira, para preservar a simetria da func¸

ao de onda, estes operadores devem obedecer

as seguintes regras:



a,a

†



= 1 (2.4)

†

a = N (2.5)

[N,a] = −a (2.6)



N,a

†



= −a

†

(2.7)



†



a = a



†

a −1



(2.8)



†



†

= a

†



†

a −1



(2.9)

A aplicac¸

ao destas propriedades no estado



resulta em:



= 0 (2.10)







†



√





(2.11)

†



√

n + 1



(2.12)



√

n −1



(2.13)

†



= n



(2.14)



†



√

n + 1δ

m.n+1





√

nδ

m.n−1

(2.15)

2.1.2 Operadores de Spin

A interac¸

ao de SO

e, como o pr

oprio nome j

a diz, um efeito relacionado ao spin e

orbita da

part

ıcula. Desta maneira, ser

ao exploradas as facilidades da Segunda Quantizac¸

ao no tratamento

da vari

avel de spin da func¸

ao de onda. Para o caso de sistemas de spin

, as func¸

oes de onda

↑



para o spin up e

↓



para o spin down e o operador σ

ao expressados respectivamente em

notac¸

ao matricial por (

h = 1 por simplicidade):

↑







↓







(2.16)



1 0

0 −1



(2.17)

E f

acil veriﬁcar que σ

↑



↑



e σ

↓



= −

↓



. Os operadores de spin ﬂip σ

(σ

±iσ

) alteram o estado de spin da seguinte maneira:

↑



= 0, σ

↓



↑



(2.18)

−

↑



↓



, σ

−

↓



= 0 (2.19)

As demais propriedades dos operadores de Segunda Quantizac¸

ao bem como sua formulac¸

para multipart

ıculas ser

ao tratadas ao longo do texto.

2.2 Conﬁnamento lateral

Existem v

arios m

etodos de se produzir QDs, mas o mais utilizado consiste em conﬁnar as

part

ıculas em uma direc¸

ao (que chamaremos de z ) (Figura 2.1) atrav

es de um Poc¸o Qu

antico de

espessura muito ﬁna e depois aplicar um conﬁnamento lateral V (x,y) restringindo o movimento

nas 3 direc¸

oes. Nete caso, os QDs possuir

ao o formato de uma lente, com as dimens

oes trans-

versais bem maiores do que a sua espessura. Desta maneira o movimento das part

ıculas pode

ser considerado bidimensional e estas estruturas s

ao comumente chamadas de Pontos Qu

anticos

Laterais. Dependendo do m

etodo utilizado para a criac¸

ao do QD, o potencial de conﬁnamento

pode ser aproximado por um modelo, que pode ser Gaussiano,

V (x, y) = V

exp



−

+ y

)



, (2.20)

onde ω

e a frequ

encia caracter

ıstica do potencial de conﬁnamento, ou parab

olico

V (x, y) = k



+ y



. (2.21)

Figura 2.1: Desenho esquem

atico de um QD automontado (do ingl

es SAD - Self-Assembled

Dot) [10] de In

1−x

As/GaAs em formato de lente. No canto superior esquerdo o gr

aﬁco do

potencial de conﬁnamento lateral.

Neste trabalho ser

a utilizado o potencial parab

olico, que fornece uma boa aproximac¸

ao para

1 QD. No tratamento de QDs acoplados, utiliza-se o potencial Gaussiano [24], com gaussianas

deslocadas de acordo com as posic¸

oes relativas entre os centros dos pontos qu

anticos. Ser

considerado tamb

em um campo magn

etico B=[0,0,B] perpendicular ao plano no qual o poten-

cial

e deﬁnido (plano xy por convenc¸

ao). Neste caso o Hamiltoniano de uma part

ıcula

e dado

por:

∗



p −



∗

+ gµ

Bσ (2.22)

onde m

∗

e e s

ao a massa efetiva e a carga do el

etron, respectivamente e c

e a velocidade da luz.

ultimo termo do hamiltoniano

e o termo de Zeeman, com g sendo o fator de Land

e ou fator

giromagn

etico, µ

∗

o magneton de Bohr, e σ = ±

a componente z do spin do el

etron.

Como o termo de Zeeman depende somente da parte de spin da func¸

ao de onda, o mesmo ser

omitido nos c

alculos que se seguem, retornando com o mesmo no in

ıcio da pr

oxima sec¸

ao.

Este problema foi resolvido analiticamente por Fock [1] e Darwin [2] de maneira indepen-

dente e

e por essa raz

ao que o espectro de energia de uma part

ıcula

e conhecido como Espectro

de Fock-Darwin. Estes autores resolveram este problema no espac¸o real. Seguiremos aqui um

caminho diferente [25], utilizando a

agebra dos operadores criac¸

ao e aniquilac¸

ao [23]. Desen-

volvendo o produto not

avel



p +



e considerando que o campo B = [0, 0, B]

e gerado pelo

potencial vetor A =

B[−y,x,0] (lembrando que p e A s

ao operadores):



p +



= p

(−p

y + p

x) +

(−yp

+ xp

) +



+ y



As regras de comutac¸

ao entre os operadores posic¸

ao e momento [x

, p

] = i

hδ

i j

, implicam

em xp

= p

x e yp

= p

y, deﬁnindo as frequ

encias c

ıclotron e h

ıbrida abaixo

∗

(2.23)

= ω

(2.24)

e a componente z do operador momento angular

= xp

−yp

(2.25)

o Hamiltoniano pode ser escrito da seguinte forma:

H =

∗

. (2.26)

Agora introduzindo as vari

aveis complexas:

z = x −iy, z

∗

= x + iy;

∂

= ∂

+ i∂ y, ∂

∗

= ∂

−i∂ ;

e escrevendo a posic¸

ao e o momento em termos dessas vari

aveis:

x =

(z + z

∗

), y =

(z −z

∗

);

∂



∂

+ ∂

∗



, ∂



∂

−∂

∗



os manipular estas relac¸

oes e utilizar p = −i

h∇ a Eq. 2.26 pode ser representada em vari

aveis

complexas da seguinte maneira:

H = −

∗



∂

∗



∗

(zz

∗

) −

hω



z∂

−z

∗

∂

∗



. (2.27)

O pr

oximo passo

e deﬁnir uma unidade de comprimento para o potencial efetivo l

e f



∗

. Esta grandeza indica o grau de conﬁnamento das part

ıculas dentro do ponto qu

antico,

ou seja, quanto menor esta grandeza com relac¸

ao ao raio de Bohr efetivo do material, maior o

conﬁnamento. Na aus

encia de potencial de conﬁnamento, o comprimento magn

etico

e deﬁnido

como l



∗

. As novas vari

aveis adimensionais z

(∗)

novo

= z

(∗)

antigo

e f

e ∂

(∗)

z(novo)

= l

e f

∂

(∗)

z(antigo)

ser

ao utilizadas no Hamiltoniano lembrando que, caso a part

ıcula possua uma massa e diferente

(como no caso dos buracos), l

e f

e ω

dever

ao ser modiﬁcados pois ambos dependem de m

∗

H =

hω



∗

−∂

∂

∗



−

hω



z∂

−z

∗

∂

∗



(2.28)

A partir deste ponto as potencialidades do formalismo da Segunda Quantizac¸

ao ser

ao ex-

ploradas com a introduc¸

ao dos operadores criac¸

ao e aniquilac¸

ao, cujas propriedades j

a foram

examinadas na Sec¸

ao anterior:

a =



√

2∂

∗



; a

†



∗

√

−

√

2∂



b =



∗

√

2∂



; b

†



√

−

√

2∂

∗



(2.29)

Explicitando as coordenadas em func¸

ao dos operadores escada e substituindo no Hamilto-

niano (de maneira an

aloga ao procedimento que chegou na Eq. 2.27), e deﬁnindo as frequ

encias

caracter

ısticas de dois osciladores independentes ω

= ω

, obtemos:

H =

hω



†

a +



hω

−



†

b +



(2.30)

Em analogia com o Oscilador Harm

onico [26], os autoestados deste Hamiltoniano (tamb

chamados de estados Fock-Darwin) podem ser escritos como:



√

n!m!



†





†





, (2.31)

sendo n,m os n

umeros qu

anticos (n,m=0,1,2,...) do Oscilador Harm

onico e



o estado de

acuo.

Figura 2.2: Func¸

oes de onda para o oscilador harm

onico unidimensional (a) e densidade de

probabilidade das respectivas func¸

oes de onda (b).

De acordo com a sec¸

ao anterior, o Hamiltoniano 2.30 atuando no autoestado 2.31 fornece a

energia deste estado, que

e dada por:

ε (m,n) =

hω



n +



hω

−



m +



. (2.32)

Na aus

encia de potencial de conﬁnamento n

ao-parab

olico e interac¸

ao SO, o sistema apre-

senta simetria circular e o operador momento angular projetado ao longo do eixo de simetria

(Eq. 2.25)

e conservado. Na base apresentada acima, a matriz de l

e diagonal e seus elementos

ao dados por [27]:





= (m −n) δ

m,m



n,n



. (2.33)

2.3 N

ıveis de Landau

O termo de Zeeman, omitido na sec¸

ao anterior por conveni

encia, pode agora ser inclu

ıdo.

Este termo revela um outro grau de liberdade da part

ıcula, o spin, que n

ao pode ser obser-

vado nas coordenadas espaciais. Por isso os autoestados devem ser descritos por tr

es n

umeros

anticos:

nmσ



, sendo σ = ±

o n

umero qu

antico que descreve a componente z do spin.

Com a inclus

ao deste termo, as autofunc¸

oes e autoenergias passam a ser:

nmσ



√

n!m!



†





†



00χ



(2.34)

ε (n,m, σ ) =

hω



n +



hω

−



m +



+ gµ

Bσ. (2.35)

Na aus

encia de campo magn

etico ω

= ω

−

= ω

, fazendo com que os n

ıveis de energia

apresentem degeneresc

encia (ou seja, a energia ser

a a mesma para valores iguais de N = n+m).

Estes n

ıveis ser

ao chamados de orbitais, onde o primeiro ser

a denominado s com n = m = 0 e

diferentes valores de σ. O segundo orbital, denominado p, possui 2 estados (n,m) = (0,1) e

(n,m) = (1,0), cada um deles duplamente degenerado com relac¸

ao ao spin. O terceiro orbi-

tal p possui 3 estados (n,m) = (2,0), (1,1) e (0,2) e a cada novo orbital a degeneresc

endia

e acrescida de 2 (por causa do spin) mas a separac¸

ao entre eles continua sendo

hω

. Com

o aumento do campo magn

etico, ω

aumenta e ω

−

diminui. O termo de Zeeman exerce uma

func¸

ao importante, causando a separac¸

ao de n

ıveis com orientac¸

oes de spin distintas. Desta ma-

neira, todas as degeneresc

encias s

ao removidas. Observa-se que para certos valores de campo

magn

etico, ocorre o cruzamento (do ingl

es crossing) de n

ıveis pertencentes a orbitais distintos.

Este fen

omeno sofrer

a fortes alterac¸

oes com a introduc¸

ao do acoplamento de SO.

Para um campo magn

etico forte (ω

 ω

) h

a a formac¸

ao dos N

ıveis de Landau, onde os

estados s

ao separados pela energia c

ıclotron

hω

≈

hω

. Na Figura 2.3 observa-se a evoluc¸

dos n

ıveis de energia ε (n,m,σ) em func¸

ao do campo magn

etico. Neste c

alculo foi considerado

hω

= 6meV e o fator de Land

e g = −4.4, valores caracter

ısticos para QDs verticais de GaAs e

o fator g foi multiplicado por 10 para que a abertura dos n

ıveis pelo efeito Zeeman possa ﬁcar

mais vis

ıvel.

Existe uma outra forma de se expressar os n

ıveis de energia de Fock-Darwin, utilizando os

umeros qu

anticos principal e azimutal, que s

ao deﬁnidos por N = m + n e R = m −n respecti-

vamente, onde:

ε (N,R, σ ) =

hω

(N + 1) −

hω

R + gµ

Bσ. (2.36)

Esta mudanc¸a

e pr

atica para valores pequenos de campo magn

etico, onde o espectro de

energia consiste de N = (0,1,2,...) orbitais separados por

hω

, com seus n

ıveis numerados de

acordo com o n

umero qu

antico de momento angular L = n −m para el

etrons (para buracos,

L = m −n) e separados por

hω

0 2 4 6 8

1 2

1 8

2 4

3 0

3 6

4 2

4 8

5 4

6 0

3º NL

2º NL

E n e r g i a ( m e V )

Campo Magnético (T)

1º Nível de Landau

Figura 2.3: Espectro de energia de uma part

ıcula conﬁnada em um potencial parab

olico bidi-

mensional versus o campo magn

etico. Os vinte primeiros estados de energia s

ao mostrados que,

para B = 0, apresentam degeneresc

encia formando os orbitais.

hω

=6meV e g = −4.4.

2.4 Conﬁnamento N

ao-Parab

olico

Conﬁnamentos parab

olicos perfeitos s

ao artif

ıcios matem

aticos para que uma soluc¸

anal

ıtica seja encontrada. No caso de QDs, a parte n

ao-parab

olica do conﬁnamento exerce

uma func¸

ao importante nos n

ıveis de energia do Espectro Fock-Darwin. Para inserir uma

contribuic¸

ao qu

artica, um ﬁo semicircular de “di

ametro” D

e idealizado interceptando o QD

de maneira que os seus centros coincidam. Desta maneira, um potencial n

ao-parab

olico H

pode ser inserido:

∗



x −



(2.37)

onde ω

e a frequ

encia do potencial de conﬁnamento, γ

e um par

ametro que controla a inten-

sidade da parte n

ao-parab

olica e D

e o di

ametro do ﬁo, um par

ametro que controla a forma da

parte n

ao parab

olica do potencial de conﬁnamento.

Figura 2.4: Vis

ao tridimensional do potencial de conﬁnamento n

ao-parab

olico com detalhe para

as superf

ıcies equipotenciais na parte inferior do gr

aﬁco. A parte parab

olica

e caracterizada por

= 1meV e os par

ametros que deﬁnem a parte n

ao-parab

olica s

ao γ = 1 e D = 10a

2.5 Buracos

em dos el

etrons presentes na banda de conduc¸

ao, os buracos na banda de val

encia s

ao o

segundo tipo de portadores que podem ser conﬁnados em um ponto qu

antico. Como o ponto

antico

e um objeto cujas dimens

oes s

ao compar

aveis com as constantes de rede caracter

ısticas

dos semicondutores [28], um modelo de bandas n

e o m

etodo mais interessante para descre-

ver suas propriedades eletr

onicas. Neste caso,

e mais apropriado descrever o QD como uma

perturbac¸

ao do campo peri

odico do cristal, e encontrar a estrutura eletr

onica do buraco (el

etron)

pela Aproximac¸

ao da Massa Efetiva (Effective-Mass Approximation - EMA) [29, 30]. A apli-

cabilidade da EMA est

a condicionada a uma pequena variac¸

ao do potencial perturbativo em

dist

ancias interat

omicas.

O problema de aprisionamento de el

etrons e buracos

e complexo. Obviamente que o po-

tencial el

etrico que conﬁna el

etrons ir

a repelir buracos, o que obriga os f

ısicos experimentais

a criarem outros mecanismos que possam aprisionar os 2 tipos de part

ıculas simultaneamente,

como a interdifus

ao [31]. O el

etron e o buraco podem no entanto, coexistir devido

a atrac¸

ao cou-

lombiana entre as part

ıculas. Este par neutro

e chamado de

exciton e ser

a tratado com detalhes

no Cap

ıtulo 3.

Ao contr

ario do que acontece com el

etrons na banda de conduc¸

ao, uma descric¸

ao completa

dos buracos na banda de val

encia requer a inclus

ao de duas subbandas, cujos ramos s

ao chama-

dos de buraco pesado (heavy-hole - HH, com spin= ±

) e buraco leve ( light-hole - LH, com

spin= ±

). Como os orbitais at

omicos da banda de val

encia s

ao do tipo p, sua massa efetiva

e isotr

opica (como ocorre com el

etrons), com m

∗



deﬁnindo a din

amica ao longo do plano

xy e m

∗

⊥

no eixo de simetria z. Entretanto, m

∗

⊥

poder

a ser desprezada para o caso dos QDs

tratados aqui, inclusive os acoplamentos entre HH e LH, devido ao forte conﬁnamento el

etrico

e magn

etico, al

em do pequeno gap de energia do QD [32]. Al

em do mais, a interac¸

ao de SO

faz com que a abertura das subbandas seja maior que o espac¸amento entre os n

ıveis dentro de

cada subbanda [33], como pode ser observado na Figura 2.5 que representa a estrutura ﬁna de

um semicondutor Bulk composto por

atomos dos grupos III e IV com uma estrutura cristalina

tipo Zinc Blende.

Figura 2.5: Esquema qualitativo da estrutura de bandas com a mistura entre HH e LH e o gap

gerado pela interac¸

ao SO em um semicondutor Bulk do tipo Zinc Blende.

3 Interac¸

ao de Multipart

ıculas

A completa descric¸

ao de QDs como

atomos artiﬁciais requer um tratamento do problema

de muitas part

ıculas interagentes, assim como em um

atomo. Este problema requer a soluc¸

ao da

Equac¸

ao de Schr

odinger para multipart

ıculas, considerando todas as interac¸

oes como potencial

de Coulomb entre pares de el

etrons, el

etrons e buracos e entre buracos. Analiticamente isto

imposs

ıvel. Desta maneira,

e necess

ario encontrar uma soluc¸

ao aproximada para o problema.

A interac¸

ao de muitas part

ıculas conﬁnadas em QDs foi estudada por Quang [34], onde s

analisadas as transic¸

oes interbanda para el

etrons e buracos em presenc¸a de campo magn

etico,

e Hawrylak [35] que investigou os fatores que controlam as propriedas

opticas de QDs . No

entanto, nenhum destes trabalhos considera os efeitos de SO. Trabalhos recentes como o de

Golovach [36], que apresenta resultados interessantes para a relac¸

ao entre a carga de um QD e

seus acoplamentos de spin, e Shahbazyan [37] que descreve a mistura entre

excitons claros e

escuros via acoplamento SO s

ao o ponto de partida para o desenvolvimento deste trabalho. Estes

exemplos ilustram como a interac¸

ao SO de multipart

ıculas est

a em pleno desenvolvimento,

apresentando-se como uma

area promissora de pesquisas dentro da spintr

onica.

Neste cap

ıtulo, discutiremos com mais detalhe os M

etodos de Hartree-Fock (HF), e

Conﬁgurac¸

ao de Interac¸

ao (CI) ou Diagonalizac¸

ao Exata, utilizados para o tratamento de mul-

tipart

ıculas. No entanto, outros m

etodos como a Teoria do Funcional da Densidade (em ingl

Density Functional Theory - DFT) [38, 39], Spin Density Functional Theory - SDFT [40] e

Car-Parrinello Molecular Dynamics - CPMD [41] tamb

em s

ao bastante utilizados para o tra-

tamento de multipart

ıculas. Mas para este caso n

e necess

ario disp

or de m

etodos t

ao elabo-

rados pois o c

alculo ser

a restrito a no m

aximo dois portadores de carga, sistema que adquire

boa converg

encia apenas com a utilizac¸

ao da teoria de HF de camada aberta. Ser

ao abordados

tamb

em os conceitos importantes para a elaborac¸

ao destes m

etodos como a antissimetria da

func¸

ao de onda eletr

onica e o Determinante de Slater. No ﬁnal do cap

ıtulo, ser

a apresentado

um algoritmo para a resoluc¸

ao do c

alculo autoconsistente baseado no m

etodo de HF de camada

aberta.

3.1 Determinante de Slater

Quando houver refer

encia a coordenadas de part

ıculas, estar

a adotado que trata-se da

composic¸

ao de coordenadas espaciais e de spin. Caso seja necess

ario fazer refer

encia, a co-

ordenada espec

ıﬁca ser

a mencionada. Sendo assim,

ϕ (x)



representa a func¸

ao de onda de

coordenadas espaciais e de spin (chamda de orbital de spin), (x = (x,y,z,σ)),

ϕ (r)



a func¸

de onda somente de coordenadas espaciais (r =(x, y,z)) e

↑



↓



a func¸

ao de onda para

a coordenada de spin. A func¸

ao de onda de N part

ıculas

e deﬁnida como

ϕ (x

,...,x

)



Part

ıculas fermi

onicas devem possuir autofunc¸

oes antissim

etricas, ou seja, que mudam de sinal

com a troca de coordenadas de duas part

ıculas. Esta antissimetria

e a forma matem

atica do

Princ

ıpio de exclus

ao de Pauli: duas part

ıculas n

ao podem possuir as mesmas coordenadas,

ou seja, dois f

ermions n

ao podem ocupar o mesmo orbital de spin.

Nesta notac¸

ao, o Princ

ıpio de Exclus

ao de Pauli, que

e independente da Mec

anica Qu

antica,

pode ser representado pela igualdade, trocando x

por x





,...x

,...,x



= −





,...x

,...,x



. (3.1)

Na aproximac¸

ao de part

ıculas n

ao-interagentes, ou sujeitas a um campo m

edio, a func¸

de onda de N-part

ıculas

ϕ (x

,...,x

)



pode ser descrita como um produto de N-func¸

oes de

onda de uma part

ıcula

)



no orbital de spin i e coordenada x

ϕ (x

,...,x

)



)

|

)



...

)



(3.2)

que

e chamada de produto de Hartree [3]. Os produtos de Hartree n

ao satisfazem o princ

ıpio

de antissimetria e portanto representam um sistema completamente n

ao correlacionado de N-

etrons por exemplo, e por isso insatisfat

orio para o modelo adotado, pois as correlac¸

oes s

parte importante deste trabalho.

Uma maneira de de antissimetrizar o produto de Hartree foi proposta por Slater [42] que,

considerando a indistinguibilidade das part

ıculas, escreveu a func¸

ao de onda de N-part

ıculas

como uma combinac¸

ao linear dos produtos de Hartree atrav

es de um determinante, conhecido

por determinante de Slater, que

e consistente com o formalismo da Segunda Quantizac¸

ao e

deﬁnido como se segue:

ϕ (x

,...,x

)



√



)

 |

)



...

)



)

 |

)



...

)



)

 |

)



...

)





. (3.3)

As linhas no determinantes s

ao organizadas por el

etrons: primeira linha x

, segunda linha

, etc., e as colunas s

ao organizadas por spin-orbitais: primeira coluna ϕ

, segunda coluna ϕ

etc. Trocar as coordenadas de 2 el

etrons corresponde a trocar duas linhas do determinante de

Slater, o que muda o sinal do determinante. Se dois el

etrons ocupam o mesmo orbital de spin,

duas colunas do determinante ser

ao iguais, fazendo com que o determinante se anule.

E conve-

niente introduzir uma notac¸

ao compacta

ϕ (x

,...,x

)



),ϕ

),··· , ϕ

)



onde a constante de normalizac¸

ao est

a impl

ıcita e somente os termos da diagonal principal

ao mostrados.

3.2 M

etodo de HF Irrestrito

O M

etodo de HF

e uma aproximac¸

ao cujo objetivo principal

e transformar um problema

complicado de interac¸

ao entre muitas part

ıculas em um problema menos complicado de uma

part

ıcula onde a interac¸

aos de Coulomb

e tratada como um campo m

edio. Este campo m

edio de

HF ou, de maneira equivalente, o campo “sentido” pelo i−

esimo el

etron, depende dos orbitais

de spin dos outros el

etrons, ou seja, o operador depende de suas autofunc¸

oes. Desta maneira, as

equac¸

oes n

ao s

ao lineares e devem ser resolvidas iterativamente pelo m

etodo autoconsistente.

Abordaremos diretamente o caso irrestrito, ou de camada aberta, onde os el

etrons podem

estar desemparelhados. Em problemas de camada aberta, existem duas aproximac¸

oes: i) a ca-

mada aberta restrita, onde todos os el

etrons, exceto aqueles que explicitamente ocupam camada

aberta, ocupam orbitais de camada fechada; ii) uma formulac¸

ao mais geral e simples de se

trabalhar,

e a camada aberta irrestrita, onde todos os el

etrons ocupam orbitais de camada aberta.

O interesse aqui

e encontrar um conjunto de spin orbitais que melhor se aproxime do estado

fundamental do sistema de N-part

ıculas a ser estudado. O Hamiltoniano do sistema de N-

etrons

e dado por:

H =

∑

i=1

∑

i< j

εr

i j

(3.4)

onde H

e o Hamiltoniano de uma part

ıcula, onde est

ao impl

ıcitos os termos de energia cin

etica

e o potencial de conﬁnamento e o segundo termo representa a interac¸

ao Coulombiana entre os

etrons. Dada uma func¸

ao de onda normamizada





que satisfac¸a as condic¸

oes de contorno

apropriadas (geralmente

e requerido que a func¸

ao de onda se anule no inﬁnito), ent

ao o valor

esperado

e o limite m

ınimo para a Energia. Partindo do pressuposto de que a Energia

e um

funcional do orbital de spin, o seu valor esperado

e dado por:

E [



ϕ] =







. (3.5)

Assumindo que E [



ϕ]

e um funcional de



ϕ, pois o seu valor depende da forma desta func¸

ao,

que por sua vez depende de outras vari

aveis independentes. Variando



ϕ por um valor arbitr

ario

e pequeno, implica uma variac¸

ao em E, tal que se:



ϕ →



ϕ + δ



ϕ (3.6)

faz com que a Energia sofra uma alterac¸

ao da seguinte maneira:

E [



ϕ + δ



ϕ] =





ϕ + δ



ϕ + δ





= E [



ϕ] +

{









}

+ ···

= E [



ϕ] + δE + ··· (3.7)

onde δ E

e uma variac¸

ao em E. O Princ

ıpio Variacional para o estado fundamental aﬁrma que

a Energia deste estado deﬁnido por uma func¸

ao de onda aproximada

e sempre mais alta. Desta

maneira, a Energia

e uma medida da qualidade da func¸

ao de onda obtida: quanto menor a

Energia, melhor

e a func¸

ao de onda. Obter um valor de



ϕ para o qual E [



ϕ] seja um m

ınimo

e a

base do M

etodo Variacional. Considerando esta func¸

ao de onda como uma combinac¸

ao linear,





= c



(3.8)

e impondo a condic¸

ao de que esta func¸

ao continue normalizada, isto

∑

i, j

∗



||ψ



−1 = 0. (3.9)

obtemos o resultado que se segue com a introduc¸

ao do M

etodo dos multiplicadores de Lagrange,

para que o v

ınculo da normalizac¸

ao possa ser levado em considerac¸

ao de modo que o novo

Funcional deva ser minimizado com relac¸

ao aos coeﬁcientes c

∑

δ c

∗



∑

i, j

i j

−ES

i j



= 0 (3.10)

onde H

i j



|H|ψ



. A expans

ao linear de





continua sendo normalizada, por

em n

necessariamente ortogonal, de modo que



||ψ



= S

i j

representa o overlap entre as func¸

oes

de base. Com a introduc¸

ao do vetor coluna c que cont

em os elementos c

, este conjunto de

equac¸

oes pode ser escrito em uma notac¸

ao matricial como se segue:

Hc = ESc (3.11)

onde este

e um problema de autovalores para a matriz H. Aplicando este formalismo para o

Hamiltoniano de N-el

etrons (Equac¸

ao 3.4) com spin up e down:

↑

= Sε

↑

(3.12)

↓

= Sε

↓

(3.13)

Estas s

ao as chamadas Equac¸

oes de Pople-Nesbet [43]. As matrizes ε

↑

e ε

↓

ao matrizes

diagonais das energias dos orbitais. As matrizes quadradas C

↑

e C

↓

em em suas colunas os co-

eﬁcientes das expans

oes dos spin orbitais ϕ

↑

e ϕ

↓

. Estas equac¸

oes s

ao resolvidas iterativamente

e simultaneamente, uma vez que elas est

ao unidas pelos operadores Fock:

↑

= H

↑

∑



↑

−K

↑



↓

∑

↓

(3.14)

↓

= H

↓

∑



↓

−K

↓



↑

∑

↑

(3.15)

onde J

representa a interac¸

ao de Coulomb e K

a interac¸

ao de troca e correlac¸

ao ou exchange.

O somat

orio em i

e feito at

e N

↑

e N

↓

, que representam o n

umero de orbitais de spin ocupa-

dos por el

etrons de spin up e down respectivamente. A introduc¸

ao de orbitais de spin n

ao-

ocupados representa uma evoluc¸

ao que agrega tanto um aumento na precis

ao do resultado

como a incorporac¸

ao de um modelo mais ﬁsicamente correto, que

e chamado de M

etodo de

Conﬁgurac¸

ao de Interac¸

ao, e ser

a descrito sucintamente no ﬁnal desta Sec¸

ao. Para maior cla-

reza, vamos explicitar os dois termos deﬁnidos anteriormente em integrais para que suas ca-

racter

ısticas e diferenc¸as possam ser enfatizadas. O termo de interac¸

ao de Coulomb

e cl

assico

e representa a atrac¸

ao (repuls

ao) que a part

ıcula i na posic¸

ao 2 exerce sobre a part

ıcula j na

posic¸

ao 1 caso elas tenham sinais opostos (mesmo sinal):

↑

(1)ϕ

↑

(1) =





∗↑

(2)

↑

(2)



↑

(1) (3.16)

e independente do spin da part

ıcula, ou seja, qualquer que seja a orientac¸

ao relativa do spin das

part

ıculas i e j, este termo permanece n

ao-nulo. Para a interac¸

ao de correlac¸

ao, entretanto, n

existe uma an

alise cl

assica. Esta interac¸

ao est

a diretamente ligada ao Princ

ıpio de Exclus

ao de

Pauli, j

a que a sua forma, dada pela Equac¸

ao abaixo, possui diferentes resultados dependendo

da orientac¸

ao relativa entre o spin das part

ıculas i e j nas posic¸

oes 1 e 2.

↑

(1)ϕ

↑

(1) =





∗↑

(2)

↑

(2)



↑

(1) (3.17)

Em outras palavras, part

ıculas com o mesmo spin t

em o seu movimento correlacionado, im-

pedindo que elas ocupem o mesmo orbital. Este termo de correlac¸

ao e troca tamb

em elimina

o problema de auto-interac¸

ao, ou dupla contagem, no qual a interac¸

ao Coulombiana de uma

part

ıcula consigo mesma

e anulada pelo respectivo termo de correlac¸

ao e troca.

Uma interpretac¸

ao mais profunda para o aparecimento destas integrais de correlac¸

ao e troca

pode ser obtida considerando o caso de duas part

ıculas do ponto de vista energ

etico. Para

um sistema de dois el

etrons com spins paralelos, a probabilidade de que ambos estejam no

mesmo ponto no espac¸o

e zero, enquanto que em um sistema contendo dois el

etrons com spins

antiparalelos, esta probabilidade

e n

ao-nula. Desta maneira,

e razo

avel esperar que a Energia da

conﬁgurac¸

ao com spins paralelos seja menor do que a outra, com spins antiparalelos, quando

a repuls

ao Coulombiana

e considerada. Este resultado pode ser veriﬁcado diretamente, uma

vez que o termo K

faz com que a Energia assuma um valor menor para sistemas com spins

paralelos, atestando que o aparecimento das integrais de correlac¸

ao e troca na Energia

e uma

comprovac¸

ao de que, mesmo dentro da aproximac¸

ao de um

unico determinante de Slater para

a func¸

ao de onda, o movimento de el

etrons com spin paralelo

e correlacionado.

3.2.1 Algoritmo de Soluc¸

ao das Equac¸

oes de HF

O procedimento para resolver as equac¸

oes de HF

e o m

etodo b

asico de soluc¸

ao iterativa para

qualquer problema autoconsistente. Um valor inicial

e dado para os coeﬁcientes da expans

da func¸

ao de onda em orbitais de spin. Com esse valor, j

e poss

ıvel montar uma forma inicial

de F

↑

e F

↓

. Assim que a primeira iterac¸

ao acontece, os coeﬁcientes obtidos como resultado

do c

alculo ir

ao formar novos orbitais de spin e novos valores para os operadores F

↑

e F

↓

. Por

causa da depend

encia entre as duas Equac¸

oes 3.12 e 3.13, n

e poss

ıvel obter uma soluc¸

autoconsistente independente para cada uma. Elas devem ser resolvidas simultaneamente. Ao

ﬁnal de cada iterac¸

ao, a energia da iterac¸

ao anterior

e subtra

ıda do novo valor e comparada

com um fator de toler

ancia δ que pode ser ajustado de acordo com a precis

ao desejada. Desta

maneira o c

alculo

e executado at

e que a converg

encia seja atingida.

Com os coeﬁcientes ﬁnais dos orbitais de spin

e poss

ıvel saber qual o estado fundamental

do conjunto de part

ıculas considerando os efeitos de interac¸

ao de Coulomb e interac¸

ao de troca

e correlac¸

ao. Na Figura 3.1 temos um ﬂuxograma do procedimento utilizado no M

etodo de

alculo autoconsistente.

, C

↓↑



↓↑

(inicial)



Resolve det



↓↑

−Sε

↓↑





Calcula C

↓↑(i+1)



↓↑(i+1)

−C

↓↑(i)

≤ δ

N ˜ao

Sim



Calcula os novos F

↓↑

Observ

aveis do sistema

Figura 3.1: Ciclo de autoconsist

encia para c

alculos usando M

etodo de Hartree-Fock de camada

aberta.

3.2.2 M

etodo de Conﬁgurac¸

ao de Interac¸

A aproximac¸

ao de HF, apesar de muito bem-sucedida, apresenta suas limitac¸

oes. Como

exemplo, HF prediz resultados qualitativamente incorretos para potenciais de ionizac¸

ao e n

capaz de descrever com precis

ao os processos de dissociac¸

ao de mol

eculas. Para isso, vamos

descrever o M

etodo de Conﬁgurac¸

ao de Interac¸

ao (CI) que, apesar de conceitualmente simples,

pode se tornar bastante complexo computacionalmente. A id

eia b

asica

e diagonalizar o Ha-

miltoniano de N-el

etrons em uma base de combinac¸

oes de determinantes de Slater. Em outras

palavras, a func¸

ao de onda exata

e representada como uma combinac¸

ao linear das func¸

oes de

onda de N-el

etrons. Em um limite onde esta base de fuc¸

oes de onda

e completa, o que inclui

ao somente o estado fundamental mas tamb

em os estados excitados, n

os obtemos a energia

exata do sistema [44]. Na pr

atica, entretanto, s

e poss

ıvel trabalhar com um n

umero ﬁnito de

func¸

oes de onda, mas que j

a proporciona uma evoluc¸

ao com relac¸

ao ao M

etodo de HF. Como

o objetivo

e minimizar a Energia, o M

etodo de CI faz isso mais efetivamente gerando um valor

menor do que o valor E

obtido pelo M

etodo de HF. A diferenc¸a entre estes dois valores

corr

= E

−E

(3.18)

e chamada de Energia de Correlac¸

ao e representa uma correc¸

ao n

ao relativ

ıstica para a Energia

de HF quando permitimos que os el

etros se repilam mutuamente em todas as suas conﬁgurac¸

oes

poss

ıveis.

Como uma primeira aproximac¸

ao para a func¸

ao de onda dos orbitais de spin, consideramos



que

e a soluc¸

ao do c

alculo autoconsistente para N

↑

↓

etrons e expandimos esta func¸

em determinates que ir

ao diferir de



da seguinte maneira:



= c



∑



∑



+ ... (3.19)

onde

∑



e o primeiro estado excitado onde uma part

ıcula no estado a(ocupado)

e pro-

vida para o primeiro estado vazio r,

∑





representa um estado onde duas part

ıculas nos

estados a e b s

ao promovidas para os estados excitados r e s respectivamente e assim, por suces-

sivas expans

oes em estados excitados, podemos construir um determinante de Slater da func¸

de onda expandida



para multipart

ıculas.

3.3

Exciton

e, por deﬁnic¸

ao, um estado ligado de um el

etron e um buraco, tamb

em chamado

de par el

etron-buraco. Em QDs semicondutores, esta conﬁgurac¸

e observada com um el

etron

na banda de conduc¸

ao e um buraco na banda de val

encia. Este tipo de excitac¸

ao interbanda

tem atra

ıdo muita atenc¸

ao ultimamente, pois acredita-se ser ela a respons

avel por novos efeitos,

como o desvio para o vermelho nas transic¸

oes interbanda de el

etrons em

excitons carregados

negativamente [45]. Teoria da Perturbac¸

ao foi utilizada no trabalho de Warburton [46] para

analisar as diferenc¸as entre interac¸

oes el

etron-el

etron e el

etron-buraco. Apesar de ser simples e

produzir bons resultados para conﬁnamento forte, esta aproximac¸

ao n

ao leva em considerac¸

a mistura de estados de 1 el

etron devido

a interac¸

ao de Coulomb e, portanto, omite qualquer

estrutura ﬁna. Esta estrutura ﬁna

e dif

ıcil de ser observada em experimentos devido

a n

ao-

homogeneidade das amstras de QDs, mas pode tornar-se muito importante em experimentos de

absorc¸

ao de um QD isolado. Al

em disso, esta teoria n

ao se aplica ao regime de conﬁnamento

fraco, onde a interac¸

ao de Coulomb

e compar

avel com a separac¸

ao dos n

ıveis de energia de um

etron no QD.

arios trabalhos anteriores consideraram o caso de

excitons em QDs [47, 48, 49]. Ener-

gias de ligac¸

ao de

excitons carregados foram calculadas por Lelong e Bastard [50] para QDs

onicos e hemisf

ericos utilizando m

etodos variacionais. O

exciton ser

a estudado neste trabalho

utilizando-se o m

etodo de Hartree-Fock irrestrito descrito na Sec¸

ao anterior.

O estado fundamental do

exciton em QD laterais

e quatro vezes degenerado e seus estados

ao associados

a banda de val

encia do buraco pesado, separando-se em dois brac¸os principais:

±1



claro (opticamente ativo) e

±2



escuro (opticamente inativo) pela interac¸

ao de troca e

correlac¸

ao de curto alcance, onde ±1 e ±2 representam o spin total dos portadores em um

exciton. Quando um el

etron ou buraco altera o seu estado de spin, ocorrem transic¸

oes entre os

estados claros e escuros. Uma alterac¸

ao sequencial do estado de spin de um el

etron e um buraco

resulta em uma transic¸

ao entre os estados claros

±1



, conforme Figura 3.2.

Figura 3.2: Estados de spin para o

exciton, considerando transic¸

oes de spin com taxas W

e W

para el

etrons e buracos, respectivamente.

Foi estudado o

exciton neutro conﬁnado em um QD lateral. Considerando seus estados

escuro (|M|= 2) e claro (|M|= 1), tentamos observar acoplamento SO entre estes estados, onde

o momento total

e conservado mas os estados com momento angular M = S

e,z

+ J

e,z

diferentes

ao misturados. Para estudar o

exciton conﬁnado em um QD, o Hamiltoniano foi dividido em

5 partes:

H = H

+ H

pot

+ H

(3.20)

onde H

representa os termos de energia cin

etica do el

etron e do buraco, H

pot

representa o

potencial coulombiano entre o el

etron e o buraco, que possui o mesmo m

odulo da interac¸

ao e−

e, H

representa a interac¸

ao de exchange ou troca e correlac¸

ao (adotaremos o termo interac¸

de troca e correlac¸

ao) entre os spins do el

etron e do buraco, H

e a interac¸

ao de Zeeman e H

a interac¸

ao SO para o

exciton. Deste ponto em diante, ser

ao abordados dois regimes diferentes:

na aus

encia e presenc¸a de campo magn

etico. Veriﬁca-se que o termo de troca e correlac¸

ao sofre

signiﬁcativas mudanc¸as para o

exciton com relac¸

ao ao caso el

etron-el

etron.

3.3.1 Aus

encia de campo magn

etico

Como os termos de energia cin

etica e potencial ja foram desenvolvidos e calculados previa-

mente, n

ao ser

ao repetidos aqui. A estrutura ﬁna do

exciton na aus

encia de campo magn

etico

governada pela interac¸

ao de correlac¸

ao e troca, que acopla o spin do el

etron e do buraco. Para

o c

alculo desta interac¸

ao, divide-se o problema em duas partes: interac¸

ao de curto alcance e

de longo alcance. Para a interac¸

ao de curto alcance, foi utilizado o m

etodo desenvolvido por

Kesteren et al [77] para poc¸os qu

anticos sim

etricos. Como os QDs tratados aqui s

ao do tipo

lente, a mesma an

alise pode ser aplicada. Contudo, a an

alise foi restrigida ao caso de QDs com

simetria de rotac¸

ao no plano xy. A forma geral da interac¸

ao de troca e correlac¸

ao para o

exciton

formado por um buraco com spin J

e um el

etron com spin S

e dada por:

= −

∑

i=x,y,z



h,i

e,i

+ b

h,i

e,i



. (3.21)

A direc¸

ao z foi escolhida como a direc¸

ao de crescimento do QD. A separac¸

ao entre buraco

leve e buraco pesado

e grande comparada com o efeito da estrutura ﬁna, de modo que somente

e considerada a interac¸

ao entre el

etron e buraco pesado. As bases utilizadas s

ao as seguintes

para el

etrons e buracos, respectivamente,



h,z





,±



(3.22)

e,z





,±



. (3.23)

Com esses estados, quatro

excitons s

ao formados, que s

ao degenerados quando a compo-

nente de spin no Hamiltoniano

e desconsiderada. Estes estados s

ao caracterizados pelas suas

projec¸

oes do momento angular M = S

e,z

+ J

h,z

. Os estados utilizados e os operadores de spin

ao descritos abaixo e tamb

em suas propriedades importantes, que ser

ao utilizadas para calcular

a matriz do H



⇑



⊗

↓



(3.24)

−1



⇓



⊗

↑



(3.25)



⇑



⊗

↑



(3.26)

−2



⇓



⊗

↓



(3.27)

e,x

↑



↓



, S

e,x

↓



↑



(3.28)

e,y

↑



↓



, S

e,y

↓



= −

↑



(3.29)

e,z

↑



↑



, S

e,z

↓



= −

↓



(3.30)

h,x

⇑



⇓



, J

h,x

⇓



⇑



(3.31)

h,y

⇑



⇓



, J

h,y

⇓



= −

⇑



(3.32)

h,z

⇑



⇑



, J

h,z

⇓



= −

⇓



(3.33)

h,x

⇑



h,x

⇑



⇓



, J

h,x

⇓



h,x

⇓



⇑



(3.34)

h,y

⇑



h,y

⇑



27i

⇓



, J

h,y

⇓



h,y

⇓



= −

27i

⇑



(3.35)

h,z

⇑



h,z

⇑



⇑



, J

h,z

⇓



h,z

⇓



= −

⇓



(3.36)

Estas deﬁnic¸

oes n

ao s

ao triviais e foram desenvolvidas utilizando-se as regras matriciais

para os operadores de spin. A aproximac¸

ao de n

ao-acoplamento entre buraco leve e pesado

signiﬁca a omiss

ao das componentes x e y lineares em J

. Desta maneira, a matrix de troca e

correlac¸

ao tem a forma:







0 0

0 0 −δ

0 0 δ

−δ







(3.37)

onde as seguintes abreviac¸

oes foram utilizadas: δ

, δ

−b

) e δ

+ b

). Esta matriz possui algumas propriedades interessantes: primeiramente, pelo fato de

ser uma matriz tipo bloco diagonal, veriﬁca-se que n

ao existe acoplamento entre estados claro e

escuro devido ao Hamiltoniano de troca e correlac¸

ao. Tamb

em, devido aos termos fora da dia-

gonal, veriﬁca-se que existe hibridizac¸

ao dentro dos estados claro e escuro. A hibridizac¸

ao do

estado claro, no entanto, n

ao ser

a considerada aqui, uma vez que o ponto qu

antico

e sim

etrico

e b

= b

, o que resulta em δ

= 0.

Do resultado acima, observa-se que os estados com |M| = 1 s

ao autoestados do Hamilto-

niano de troca e correlac¸

ao e que ser

a necess

ario utilizar uma combinac¸

ao linear dos estados

com |M| = 2. A princ

ıpio, deﬁne-se:



−1



(3.38)



(3.39)



√

(



−2



) (3.40)



√

(



−

−2



). (3.41)

O principal efeito da interac¸

ao de troca e correlac¸

ao de curto alcance

e separar os estados

exciton em um par de claros e escuros. J

a a parte de longo alcance exerce duas func¸

oes:

contribui para a abertura dos n

ıveis em claro e escuro e, adicionalmente, causa quebra de dege-

nersc

encia para os estados claros, mas somente em estruturas com quebra de simetria. Portanto,

ser

a desconsiderada a interac¸

ao de longo alcance para o caso do QD sim

etrico, sendo que esta

interac¸

ao tamb

em n

ao inﬂuencia os estados do

exciton claro.

3.3.2 Presenc¸a de campo magn

etico

Com a inserc¸

ao de campo magn

etico, ser

a analisado o quarto termo do Hamiltoniano

(Equac¸

ao 3.20), chamado de interac¸

ao de Zeeman. A forma geral desta interac¸

ao para um

campo magn

etico B = (B

) de modulo e orientac¸

ao arbitrarios

(B) = −µ

∑

i=x,y,z



e,i

−2κ

h,i

−2q

h,i



, (3.42)

onde µ

e o magneton de Bohr, q

e κ

ao os par

ametros da banda de val

encia no Hamiltoniano

de Luttinger-Kohn (κ

 q

) [78].

Neste trabalho, ser

a aplicado o campo magn

etico somente na direc¸

ao de crescimento do

QD (direc¸

ao z), e considerando a relac¸

ao J

h,z

derivada anteriormente, obtem-se:

) = −µ



e,z

−

h,z



(3.43)

onde g

h,z

= 6κ

e o fator g do buraco na direc¸

ao z

. Desta maneira, a matriz que descreve

a interac¸

ao Zeeman

e dada por:

) =









e,z

+ g

h,z



0 0 0

0 −



e,z

+ g

h,z



0 0

0 0 −



e,z

−g

h,z



0 0 0



e,z

−g

h,z









(3.44)

Para facilitar a notac¸

ao, deﬁne-se abaixo func¸

oes que dependem do campo magn

etico B

sendo que esta depend

encia dar

a origem

a depend

encia n

ao-linear na abertura Zeeman para

o estado escuro. Esta depend

encia

e gerada pela hibridizac¸

ao deste estado, veriﬁcada pela

interac¸

ao de troca e correlac¸

ao do spin do

exciton.

= µ



e,z

+ g

h,z



, β

= −µ



e,z

−g

h,z



(3.45)





1 +





1 +







−

(3.46)

Desta maneira, os autovalores ir

ao depender de β

, β

. N

representa a constante de

normalizac¸

ao da func¸

ao de onda:

Autovalor Autovetor

(δ

+ β

)



−1



(δ

−β

)



−





= N









1 +



−2





−





= N

−







−



1 +



−2





Tabela 3.1: Autoestados do

exciton na presenc¸a de campo magn

etico.

Para nanoestrutras semicondutoras, particularmente poc¸os qu

anticos, depend

encias n

ao-lineares do efeito Zee-

man com o campo magn

etico foram observadas, ou seja, o fator g n

ao pode ser tratado como constante. A origem

ısica deste comportamento

e a forte alterac¸

ao da mistura de bandas pelo campo magn

etico que determina, desta

maneira, a intensidade do fator g. Em geral, o fator g dos el

etrons e buracos

e deﬁnido como uma extrapolac¸

linear da quebra de degeneresc

encia dos n

ıveis de spin para campo magn

etico zero. Para QDs automontados com

alta simetria, entretanto, os trabalhos existentes na literartura atualmente tratam a depend

encia do efeito Zeeman

em B como linear para o

exciton [79, 80]. Assim, utilizaremos g

e,z

e g

h,z

como constantes por toda a faixa de

aplicac¸

ao do campo magn

etico B.

4 Interac¸

ao Spin-

Orbita

Os efeitos de acoplamento SO s

ao de grande import

ancia para a din

amica dos spin das

part

ıculas conﬁnadas em QDs semicondutores [51]. O tempo de decoer

encia T

e limitado por

dois tipos de processos: (i) processos de troca de spin (spin-ﬂip) e (ii) processos de defasamento.

O tempo de relaxac¸

ao T

e determinado somente por processos de spin-ﬂip e

e tipicamente

muito longo em QDs semicondutores (entre 100µs e 1s) [52]. A interac¸

ao SO

e respons

avel

pela relaxac¸

ao do spin (1/T

), limitando o tempo de coer

encia para T

≤ 2T

Na Sec¸

ao 1 ser

a abordada a origem dos efeitos de SO e quais os crit

erios para a sua

observac¸

ao. Os c

alculos que originaram as express

oes do Hamiltoniano n

ao ser

ao detalha-

dos, pois exigem conhecimento da Mec

anica Qu

antica Relativ

ıstica (para maiores detalhes, ver

Sakurai [53]), o que est

a fora do escopo deste trabalho.

Nas Sec¸

oes 2 e 3 ser

ao explorados com detalhes o mecanismo que governa das Interac¸

oes

de Dresselhaus e Rashba, suas causas e efeitos. Tamb

em foi considerado o c

alculo das respec-

tivas constantes e m

etodos experimentais para sua determinac¸

ao. No ﬁnal deste cap

ıtulo ser

abordado o problema da interac¸

ao SO sobre multipart

ıculas.

4.1 Origem F

ısica da Interac¸

ao SO

O efeito Spin-

Orbita (SO) tem sua origem f

ısica na interac¸

ao do spin de uma part

ıcula com o

seu orbital. Como exemplo de interac¸

ao SO, tem-se a separac¸

ao dos n

ıveis de energia at

omicos

devido

a interac¸

ao eletromagn

etica entre o spin do el

etron e o campo el

etrico gerado pelo n

ucleo

atomo ao redor do qual o el

etron se movimenta. Partindo da parte n

ao-relativ

ıstica do Ha-

miltoniano de Dirac

, o termo de SO emerge naturalmente e possui a seguinte forma:

L ·S =

σ ·(p ×∇V ), (4.1)

A Equac¸

ao de Dirac [53]

e uma equac¸

ao de onda que descreve part

ıculas de spin 1/2 em um formalismo

consistente com os princ

ıpios da Mec

anica Qu

antica e da Relatividade Restrita.

onde σ = (σ

,σ

)

e o vetor das matrizes de Pauli, p

e o operador momento e V

e o potencial

de Coulomb que, para o caso at

omico

e gerado pelos pr

otons do n

ucleo.

Em Estado S

olido, a an

alise da Equac¸

ao de Schr

odinger para el

etrons em um potencial

peri

odico requer um esforc¸o consider

avel. Em geral, c

alculos de estruturas de bandas para

etrons s

ao baseados no m

etodo k ·p e na aproximac¸

ao da func¸

ao envelope. Para estruturas

com simetria de invers

ao no espac¸o e no tempo (ε

(k) = ε

(−k)), os estados de spin s

ao de-

generados na aus

encia de campo magn

etico (degeneresc

encia de Kramer). Entretanto, quando

o potencial sob o qual os portadores de carga se movimentam possui assimetria de invers

ao, a

degeneresc

encia do spin

e removida mesmo para B =0.

Em semicondutores quase bidimensionais e heteroestruturas, a quebra da degeneresc

encia

do spin pode ser conseq

encia da assimetria de invers

ao BULK (BIA - Bulk Inversion Asim-

metry), e da assimetria de invers

ao de estrutura (SIA - Structure Inversion Asimmetry) causada

pelo potencial de conﬁnamento. Ambos os casos ser

ao explorados detalhadamente nas sec¸

oes

subseq

uentes.

4.2 Assimetria na estrutura cristalina: Interac¸

ao BIA

Na d

ecada de 1950, G. Dresselhaus foi o primeiro a enfatizar que a interac¸

ao spin-

orbita

trazia importantes mudanc¸as nos n

ıveis de energia de el

etrons no bulk de alguns semicondu-

tores bin

arios. Neste trabalho [54], ele discutiu os efeitos que esta interac¸

ao ocasionava ex-

clusivamente em materiais com simetria zincblende. Ao contr

ario de materiais que cristalizam

na mesma c

elula unit

aria do Diamante, como acontece com Sil

ıcio e o Germ

anio, materiais

bin

arios com estrutura zincblende n

ao possuem um centro de invers

ao espacial, uma vez que

podemos visualizar esta rede como sendo uma rede c

ubica de faces centradas simples de

atomos

de um semicondutor tipo III entrelac¸ada com uma rede similar composta por

atomos do tipo V,

por exemplo. A perda de invers

ao espacial leva a uma quebra da degeneresc

encia do spin de

etrons e de buracos nesses materiais. Semelhante

a interac¸

ao Zeeman, esta interac¸

ao SO pro-

duz uma abertura nos n

ıveis de spin (spin-splitting) que gera a quebra de degeneresc

encia nos

ıveis de energia desses portadores, mesmo na aus

encia de campo magn

etico externo. Diante

da relev

ancia desse trabalho essa interac¸

ao recebeu o nome de interac¸

ao Dresselhaus ou sim-

plesmente interac¸

ao BIA, derivada da express

ao Bulk Inversion Asymmetry.

Esta interac¸

ao, c

ubica nas componentes do momento linear para o semicondutor BULK,

descrita pelo Hamiltoniano que acopla o spin da part

ıcula com as componentes do momento

linear. Para el

etrons na banda de conduc¸

ao, esse Hamiltoniano pode ser decomposto na forma,

= H

+ H

, (4.2)

onde o primeiro termo

e linerar nas componentes (p

, p

), o segundo

e quadr

atico e o ter-

ceiro c

ubico. Para QDs laterais com simetria axial, ser

a utilizado, por simplicidade, somente a

contribuic¸

ao linear [57, 58, 59] deﬁnida como se segue:

= −

e f

(σ

+ σ

−

) (4.3)

onde l

e f



h/m

∗

representa o comprimento efetivo ou raio de Fock-Darwin e ω

= ω

a freq

encia h

ıbrida deﬁnidos previamente no Cap

ıtulo 2.

O acoplamento entre momento linear e spin ﬁca evidente pelos operadores momento p

±ip

e spin σ

= σ

±iσ

cujas propriedades s

ao dadas pelas Eqs. 2.18 e 2.19. Por sua

vez, o par

ametro de acoplamento BIA, β , mede individualmente a intensidade da contribuic¸

Dresselhaus no espectro eletr

onico de cada QD. Neste trabalho, os termos quadr

aticos e c

ubicos

ser

ao desconsiderados pois eles acoplam apenas estados com ∆m = ±2 e ∆m = ±3, o que torna

os efeitos produzidos por estes termos muito pequenos quando comparados com o termo linear

que acopla estados com ∆m = ±1. Desta maneira, H

= H

para os objetivos deste trabalho.

No caso de QDs laterais, o par

ametro de acoplamento SO de Dresselhaus

e dado por [55]:

β = γ

√

∗

Ry (4.4)

onde E

e o gap de energia do semicondutor, γ

e a constante de acoplamento SO, a

e o raio

de Bohr efetivo e Ry

e a energia efetiva de Rydeberg, respectivamente. No Cap

ıtulo Resultados

todas as constantes relativas ao Sistema de Unidades At

omicas Efetivas ser

ao explicitadas. O

par

ametro d

e inversamente proporcional

a m

edia da componente z da func¸

ao de onda d

−2





∂





, onde ϕ

(z)

e a func¸

ao de onda do estado fundamental de um poc¸o qu

antico

vertical.

O termo de Dresselhaus

e fortemente dependente da geometria de crescimento (orientac¸

da heterointerface com relac¸

ao aos eixos de simetria do cristal). Os valores do par

ametro de

Dresselhaus dependem do material que forma a interface e, para estruturas de GaAs/AlGaAs

ao da ordem de 1 ∼ 50meV

A [56, 59, 60].

4.3 Assimetria espacial: Interac¸

ao SIA

em da interac¸

ao SO induzida pela assimetria estrutural inerente em alguns semicondu-

tores, existe um outro tipo de interac¸

ao produzida por assimetria espacial, induzida por um

campo el

etrico uniforme. Esta interac¸

ao tamb

em provoca alterac¸

oes no comportamento do

spin das part

ıculas em QDs, por conseq

encia dessa assimetria de invers

ao estrutural, ou sim-

plesmente SIA, derivado de Structure Inversion Asymmetry. Este fen

omeno, primeiramente

explorado por Rashba [61] na d

ecada de 1970, tem a forma geral:

iα

e f

(σ

−

−σ

−

) (4.5)

onde α

e o par

ametro de acoplamento SIA. Em geral, essa interac¸

ao ocorre em heteroestruturas

com alguma assimetria espacial, inclusive em poc¸os quadrados de natureza assim

etrica ou sob

a ac¸

ao de um campo el

etrico. Geralmente, α

e admitido como proporcional

a m

edia do campo

etrico que cruza a interface,





= −



∂

+V )



. Semelhante ao termo de Dresselhaus, o

par

ametro de Rashba pode ter uma grande faixa de valores, dependendo da forma do potencial

de conﬁnamento do poc¸o ao longo da direc¸

ao z e tamb

em da densidade do g

as de el

etrons

bidimensional.

4.4 An

alise dos acoplamentos SO

Para analisar os acoplamentos SO entre os orbiais de spin,

e mais f

acil escrever os Hamilto-

nianos de Rashba e Dresselhaus no formalismo da Segunda Quantizac¸ao, onde as propriedadas

de ortogonalidade das func¸

oes de onda ser

ao utilizadas.Observando que p

em func¸

ao dos ope-

radores criac¸

ao e aniquilac¸

ao tem a forma:

= i



†

−b



+ θ



†

+ b



(4.6)

−

= −i



a −b

†



+ θ



a + b

†



(4.7)

onde θ

2ω

[55], o Hamiltoniano tem a forma:

= σ



−λ

†

+ λ

−



+ σ

−



a −λ

−

†



(4.8)

= σ



a −λ

−

†



+ σ

−



†

−λ

−



(4.9)

onde foram deﬁnidos os par

ametros:

= iβ

1 ±θ

e f

(4.10)

= α

1 ±θ

e f

(4.11)

Aplicando estes Hamiltonianos nas func¸

oes de onda dos dois Osciladores Harm

onicos (Eq

2.34), observa-se que o termo de Dresselhaus (Eq. 4.8) acopla o estado

n,m,σ



com os estados

n,m ∓1,σ ±1



n ±1,m,σ ±1



, enquanto que o termo de Rashba (Eq. 4.9) acopla o estado

n,m,σ



com os estados

n ±1,m,σ ±1



n,m ∓1,σ ±1



. Dependendo da magnitude relativa

entre os coeﬁcientes α e β, o efeito geral da interac¸

ao SO no espectro

e separar e elevar os n

ıveis

de energia causando anticruzamento de acordo com as regras de selec¸

ao do acoplamento SO.

4.5 Efeito Spin-Orbita de

excitons

A interac¸

ao SO de

excitons ser

a descrita pelos Hamiltonianos abaixo:

= −β



+ σ

−



(4.12)

= iβ



−

−σ

−



(4.13)

onde a Eq. 4.12

e o termo de SO para o el

etron na banda de conduc¸

ao e possui a mesma

forma da Eq. 4.3 para o termo de Dresselhaus. J

a para o caso do buraco, a Eq. 4.13 possui

uma forma parecida com a Eq. 4.5 para o termo de Rashba do el

etron, no entanto ela foi

derivada utilizando-se uma metodologia diferente, haja visto que el

etron e buraco encontram-se

em regi

oes diferentes (Γ

na banda de conduc¸

ao e Γ

na banda de val

encia respectivamente).

Esta equac¸

ao foi obtida considerando-se apenas a interac¸

ao linear entre buraco pesado na banda

de val

encia.

5 Resultados

Neste cap

ıtulo ser

ao apresentados os principais resultados obtidos para os c

alculos de efei-

tos causados pelo potencial de conﬁnamento n

ao-parab

olico para 1 el

etron e do acoplamento

SO em QDs laterais de GaAs/AlGaAs. Os resultados est

ao divididos em sec¸oes, descritas su-

cintamente nos par

agrafos abaixo.

Na Sec¸

ao 1, o Hamiltoniano de 1 el

etron

e analisado, incluindo-se o efeito da n

ao paraboli-

cidade do potencial de conﬁnamento e as interac¸

oes de SO de Rashba e Dresselhaus. As regras

de selec¸

ao para obtenc¸

ao de acoplamento entre n

ıveis de energia s

ao deﬁnidas, bem como o

valor cr

ıtico do campo magn

etico para o qual ocorre o ponto de cruzamento entre os estados s

e p.

Na Sec¸

ao 2, mais um el

etron

e inserido e a evoluc¸

ao dos estados singlete e triplete

e ana-

lisada. Neste caso existem estados que apresentam anti-cruzamento e outros em que o cru-

zamento

e preservado, revelando o car

ater seletivo da interac¸

ao SO com relac¸

ao ao spin. Os

efeitos n

ao-parab

olicos do potencial de conﬁnamento n

ao s

ao tratados neste caso e nos demais

para que seja evidenciado a real contribuic¸

ao do acoplamento SO na evoluc¸

ao dos n

ıveis de

energia.

Na Sec¸

ao 3, o problema da interac¸

ao SO do buraco

e tratado dentro da aproximac¸

ao da

massa efetiva e tamb

em desconsiderando a interac¸

ao entre subbandas de HH e LH. Somente a

interac¸

ao do HH

e analisada, como foi justiﬁcado no Cap

ıtulo 2, Sec¸

ao Buracos [33].

A Sec¸

ao 4

e dedicada ao estudo da interac¸

ao SO em

excitons, um par el

etron-buraco gerado

por excitac¸

optica. Pesquisas recentes [37] com

excitons demonstraram que o acoplamento

SO pode causar uma mistura entre

excitons claros ou opticamente ativos (bright excitons) e

excitons escuros (dark excitons) que n

ao s

ao opticamente ativos. Estes resultados s

ao de grande

interesse pois podem ser conﬁrmados por experimentos de absorc¸

ao de

excitons [62, 63].

5.1 Interac¸

ao SO de um El

etron

A matriz do Hamiltoniano de um el

etron em Segunda Quantizac¸

ao:

∑

i,σ

iσ

†

iσ

+ γ

∑

i, j,σ

i j

†

iσ

jσ

+ α

∑

i, j,σ ,σ



i jσσ



†

iσ

jσ



+ β

∑

i, j,σ ,σ



i jσσ



†

iσ

jσ



gµ

∑

i,σ

σc

†

iσ

(5.1)

onde i, j s

ındices compostos que signiﬁcam o conjunto de n

umeros qu

anticos n,m. O ope-

rador criac¸

ao (aniquilac¸

ao) c

†

iσ

) → c

†

nmσ

) cria (aniquila) um el

etron em um estado

nmσ



com uma energia ε

iσ

. O segundo termo da equac¸

ao acima

e a vers

ao na Segunda

Quantizac¸

ao da Eq. 2.37, com h

i jσσ





iσ|H

|jσ





→



nmσ|H





. Analogamente, o

terceiro e quarto termo s

ao as vers

oes em Segunda Quantizac¸

ao dos Hamiltonianos de interac¸

SO Eq. 4.3 e Eq. 4.5, h

(D,R)

i jσσ





iσ|H

(D,R)

|jσ





→



nmσ|H

(D,R)





, e o

ultimo termo

a interac¸

ao Zeeman.

Os termos de energia cin

etica, potencial de conﬁnamento parab

olico e interac¸

ao de Zee-

man possuem soluc¸

ao anal

ıtica dada pelo espectro Fock-Darwin. O potencial de conﬁna-

mento n

ao-parab

olico, juntamente com os termos de Rashba e Dresselhaus foram resolvidos

por diagonalizac¸

ao num

erica do Hamiltoniano aplicado numa base truncada de doze estados de

uma part

ıcula. Juntando as 2 soluc¸

oes, ser

ao apresentados os resultados desta sec¸

ao.

Inicialmente, a base utilizada para o problema de 1 el

etron conﬁnado em um QD de

GaAs/AlGaAs:



00 ↑

 |



00 ↓



01 ↑

 |



01 ↓



10 ↑

 |



10 ↓



02 ↑

 |



02 ↓



11 ↑

 |



11 ↓



20 ↑

 |



20 ↓



Nesta base, o espectro Fock-Darwin

e dado pela Figura 5.1 onde observa-se a evoluc¸

ao dos

ıves de energia em func¸

ao do campo magn

etico. O el

etron ﬁcou conﬁnado sob um potencial

=2meV e observa-se que o efeito Zeeman (g = −0,44)

e relevante para este caso. No canto

superior esquerdo est

a detalhado o cruzamento entre os n

ıveis dos orbitais



Figura 5.1: Espectro de energia de um el

etron sujeito a um potencial de conﬁnamento

=2meV e sem interac¸

ao SO (α = β = 0). No canto superior esquerdo a ampliac¸

ao do

aﬁco demonstrando o cruzamento dos n

ıveis de energia em B =0,4T.

A Figura 5.2 representa o espectro para 1 el

etron conﬁnado (ω

=2meV) em 1 QD de

GaAs/AlGaAs com as contribuic¸

oes Rashba (α =6meV

A) e Dresselhaus (β =10meV

A). A

intensidade das constantes de acoplamento foi deﬁnida baseando-se em valores m

edios encon-

trados [65] para estruturas de GaAs/AlGaAs. Observa-se um anticruzamento entre os estados

s e p em B =0,4T causado pela ac¸

ao combinada das interac¸

oes Rashba e Dresselhaus. Mais

precisamente, a interac¸

ao de Dresselhaus

e respons

avel pela hibridizac¸

ao dos estados

10 ↑



11 ↓



enquanto o termo de Dresselhaus promove o acoplamento entre os estados

10 ↓



11 ↑



Figura 5.2: Efeito da interac¸

ao SO sobre a evoluc¸

ao dos n

ıveis de energia para um el

etron

sujeito a um potencial de conﬁnamento ω

=2meV (α =6meV

A e β =10meV

A).

A Figura 5.3 conﬁrma a degeneresc

encia dos orbitais s, p e d na aus

encia de campo

magn

etico e sem acoplamento SO e a sua quebra com a introduc¸

ao dos termos de SO. Tamb

observa-se um deslocamento dos valores de energia da ordem de alguns µeV para valores me-

nores nos estados s e p e um aumento no valor da energia para o estado d. Estes resultados

conﬁrmam a suposic¸

ao inicial de que a interac¸

ao SO

e independente da aplicac¸

ao de um campo

magn

etico externo, sendo este campo mag

etico gerado pelo movimento relativo do el

etron com

relac¸

ao ao gradiente de potencial el

etrico aplicado na direc¸

ao transversal ao plano do QD e

aus

encia de simetria de invers

ao da estrutura zincblende do semicondutor.

Figura 5.3: Quebra da degeneresc

encia e deslocamento dos n

ıveis de energia do primeiro ( es-

querda), segundo ( centro) e terceiro ( direita) estados para B =0T com a inserc¸

ao da interac¸

SO, e os par

ametros de conﬁnamento s

ao os mesmos da Figura 5.1 e as constantes de acopla-

mento SO s

ao α =6meV

A e β =10meV

5.2 Interac¸

ao SO de 2 El

etrons

O Hamiltoniano do sistema interagente composto por dois el

etrons no formalimo da Se-

gunda Quantizac¸

ao:

∑

i=1,2

(i)

+ α

∑

i, j,k,l

σ,σ



i j

†

iσ

jσ



†

kσ



lσ

(5.2)

onde o primeiro termo

e o somat

orio dos Hamiltonianos para 1 el

etron e o

ultimo termo

e a

interac¸

ao de Coulomb, cujos elementos de matriz da interac¸

ao de dois corpos s

ao dados por

i j



i; j

εr

k; l



. Esta matriz pode ser explicitada de outra forma utilizando-se a expans

de Fourier de

e depois aplicando a

agebra dos operadores escada (Equac¸

ao 2.29) [66]:

i j

→



(1,2)



√

2π

(−1)

√

min(n

)

∑







min(m

)

∑







min(n

)

∑







min(m

)

∑









−1



×Γ



+ k



. (5.3)

A func¸

ao δ de Kronecker conﬁrma a conservac¸

ao do momento angular com R

−n

) + (m

−n

) e R

= (m

−n

) + (m

−n

). O par

ametro α

e introduzido

como uma constante heur

ıstica para levar em considerac¸

ao a blindagem do potencial de Cou-

lomb pelos eletrodos met

alicos ao redor do QD.

Para o caso de 2 el

etrons conﬁnados em 1 QD, foi utilizado uma base truncada de estados

s e p, que j

e suﬁciente para se observar os efeitos de SO. Os 7 estados de menor energia,

enumerados de maneira em que o Hamiltoniano possa ser dividido em 2 subespac¸os de Hilbert

(o primeiro com 5 estados e o segundo com 2 estados) foram deﬁnidos considerando-se as

poss

ıves combinac¸

oes que resultem em uma func¸

ao de onda antissim

etrica:



⊗

S = 0,S

= 0



, (5.4)



⊗

S = 1,S

= −1



, (5.5)



⊗

S = 1,S

= +1



, (5.6)



⊗

S = 1,S

= −1



, (5.7)



⊗

S = 1,S

= +1



, (5.8)



⊗

S = 1,S

= 0



, (5.9)



⊗

S = 1,S

= 0



. (5.10)

A parte espacial das func¸

oes de onda sim

etrica e antissim

etricas,



0,0



⊗

0,0



√

[

0,0



⊗

1,0



−

1,0



⊗

0,0



] (5.11)



√

[

0,0



⊗

0,1



−

0,1



⊗

0,0



]

e a parte de spin, conhecida como estado singlete e tripletes,

S = 0,S

= 0



↑↓



−

↓↑



√

(5.12)

S = 1,S

= −1



↓↓



(5.13)

S = 1,S

= 0



↑↓



↓↑



√

(5.14)

S = 1,S

= +1



↑↑



(5.15)

Considerando o Hamiltoniano da Eq. 5.2, a Energia Cin

etica e potencial de conﬁnamento

ser

ao calculados pelo espectro Fock-Darwin de cada um dos el

etrons. O potencial de Coulomb

a gerar os termos de interac¸

ao direta e de troca e correlac¸

ao e, em unidades de V

√

e f

ter

ao os seguintes valores [55]: para os dois el

etrons no orbital s haver

a somente a contribuic¸

direta V



0,0



0,0



0,0



= 1; para a interac¸

ao entre 1 el

etron no orbital s e

o outro no orbital p poder

a haver, dependendo das orientac¸

oes dos spins, contribuic¸

oes direta



0,1



0,0



0,1





1,0



0,0



1,0



= 0,75 e de troca e correlac¸



0,1



0,0

0,1



0,0





1,0



0,0

1,0



0,0



= 0,25; para os dois el

etrons

no orbital p tamb

em haver

a contribuic¸

oes direta V



1,0



1,0



1,0



= 0,6875 e,

dependendo da orientac¸

ao dos spins, de troca e correlac¸

ao V



1,0



0,1

1,0



0,1



0,1875.

Para 2 el

etrons sem SO e na base descrita acima, o espectro de energia evoluir

a com o

campo magn

etico como mostrado a Figura 5.4. Observa-se claramente o cruzamento (crossing)

dos n

ıveis de energia, principalmente do estado



que permanece como o de menor energia

de B = 0T at

e B = 0,55T , valor para o qual o estado



passa a ser o fundamental. Para

B = 0T observa-se tamb

em a degeneresc

encia dos orbitais, que ser

a quebrada com a introduc¸

da interac¸

ao de SO.

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8

1 2 , 5

1 3 , 0

1 3 , 5

1 4 , 0

0 , 0 0 0 , 0 1 0 , 0 2 0 , 0 3 0 , 0 4 0 , 0 5

1 3 , 2 5

1 3 , 3 0

1 3 , 3 5

1 3 , 4 0

1 3 , 4 5

1 3 , 5 0

E n e r g i a ( m e V )

Campo Magnético (T)

|S>

Ponto Quântico com 2 elétrons sem SO

Figura 5.4: Espectro de energia de dois el

etrons sujeitos a um potencial de conﬁnamento

=5meV e sem interac¸

ao SO (α = β = 0). No canto superior direito a ampliac¸

ao do gr

aﬁco

demonstrando a degeneresc

encia dos n

ıveis de energia para B =0T.

E not

avel a contribuic¸

ao dos termos da interac¸

ao de Coulomb (direta e de troca e correlac¸

ao)

na disposic¸

ao dos n

ıveis de energia para multipart

ıculas. Considerando B =0T, a diferenc¸a de

energia entre o segundo estado (quatro vezes degenerado) e primeiro

e E

−E

= ω

−

sendo V



πω

. Desta maneira, observa-se claramente como o aumento no potencial de

conﬁnamento modiﬁca a ordenac¸

ao crescente dos n

ıveis de energia. Na Figura 5.5, veriﬁca-se

que h

a um valor m

ınimo de ω

, abaixo do qual o estado



e o fundamental.

0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0

- 0 , 1 2

- 0 , 1 0

- 0 , 0 8

- 0 , 0 6

- 0 , 0 4

- 0 , 0 2

0 , 0 0

0 , 0 2

0 , 0 4

0 , 0 6

0 , 0 8

∆E ( m e V )

(meV)

-E

=2,32871 meV

Influência do Potencial de Confinamento

B=0T

Figura 5.5: Relac¸

ao entre a diferenc¸a de energia dos orbitais 1 e 2 e o potencial de conﬁnamento

para 2 el

etrons em um QD sem campo magn

etico e sem interac¸

ao SO.

O Hamiltoniano de SO para dois el

etrons, que est

a inserido no somat

orio de Hamiltonianos

de 1 part

ıcula da Eq. 5.2 tem a seguinte forma expl

ıcita:

−1

e f

∑

i=1,2



β p

(i)

−iα p

(i)

−



(i)



β p

(i)

−

+ iα p

(i)



(i)

−



, (5.16)

que, aplicado na base descrita pelas Eqs. 5.4 a 5.10, ir

a produzir os acoplamentos entre os

estados singlete e triplete de acordo com o que ser

a apresentado nos gr

aﬁcos abaixo.

Na Figura 5.6

e mostrado o espectro para 2 el

etrons conﬁnados (ω

=5meV) em 1 QD

de GaAs/AlGaAs com as contribuic¸

oes Rashba (α =6meV

A) e Dresselhaus (β =10meV

A).

Pode-se notar que os termos de SO induzem anticruzamento de alguns n

ıveis de energia. No

entando, nem todos os pontos de cruzamento s

ao acoplados pela contribuic¸

ao do Hamiltoniano

de SO. Veriﬁca-se que as regras de selec¸

ao para 2 el

etrons s

ao diretamente relacionadas com as

transic¸

oes triplete-singlete. O estado singlete sofre acoplamento SO com os estados



mas

ao com o estado



, como pode ser veriﬁcado pelo cruzamento destes dois n

ıveis.

Como era de se esperar [36], a degeneresc

encia dos orbitais foi quebrada para B =0T, como

pode ser veriﬁcado pelo detalhe no canto superior direito da Figura 5.6. No entanto, apenas um

ıvel de energia foi deslocado, o que vem demonstrar mais uma vez o car

ater bastante seletivo

da interac¸

ao SO para 2 el

etrons. Contudo, como a base utilizada foi truncada no primeiro n

ıvel

de energia acima deste mostrado,

e poss

ıvel que outros estados tamb

em sofram quebra de de-

generesc

encia. Para conﬁrmar esta aﬁrmac¸

ao, o m

etodo dever

a ser expandido para pelo menos

mais 2 n

ıveis de energia. Para 2 el

etrons, a inserc¸

ao de mais n

ıveis de energia deve ser feita

com uma an

alise pr

evia da distribuic¸

ao dos estados, pois v

arias combinac¸

oes s

ao permitidas

e, para que o resultado seja conﬁ

avel, todas as conﬁgurac¸

oes de mais baixa energia devem ser

consideradas, al

em da correta ordenac¸

ao dos estados. A reordenac¸

ao dos estados evidencia a

quantidade de subespac¸os de Hilbert presentes na conﬁgurac¸

ao adotada.

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8

1 2 , 5

1 3 , 0

1 3 , 5

1 4 , 0

0 , 0 0 0 , 0 1 0 , 0 2 0 , 0 3 0 , 0 4 0 , 0 5

1 3 , 2 5

1 3 , 3 0

1 3 , 3 5

1 3 , 4 0

1 3 , 4 5

|S>

E n e r g i a ( m e V )

Campo Magnético (T)

|S>

Ponto Quântico com 2 elétrons e SO

Figura 5.6: Espectro de energia para 2 el

etrons em um QD com ω

=5meV e com interac¸

SO (α =6meV

A e β =10meV

A) em func¸

ao do campo magn

etico. No canto superior direito a

ampliac¸

ao do gr

aﬁco enfatizando a quebra de degeneresc

encia para B =0T.

No gr

aﬁco abaixo, veriﬁca-se como a variac¸

ao do par

ametro α pode alterar a abertura dos

ıveis de energia e separar mais ainda os estados singlete e triplete. Este par

ametro pode ser

alterado facilmente atrav

es do campo el

etrico aplicado em relac¸

ao ao eixo z, promovendo um

gradiente de potencial nesta direc¸

ao. Veriﬁcamos tamb

em uma grande diminuic¸

ao na energia

para campo zero do orbital s em func¸

ao do par

ametro α e conseq

uente aumento na separac¸

entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, que n

ao foi percebida antes com a

escolha de α =6meV. Desta maneira, as transic¸

oes singlete-triplete podem ser controladas,

dando maior conﬁabilidade a este dispositivo como um poss

ıvel candidato a qubit.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

12,4

12,6

12,8

13,0

13,2

13,4

13,6

13,8

14,0

Figura 5.7: Espectro de energia para dois el

etrons em um QD com ω

=5meV em func¸

ao do

campo magn

etico para β =10meV

A e diversos valores para a constante de acoplamento SO α.

A Figura 5.8 apresenta a energia de excitac¸

ao para os 3 primeiros estados acima do fun-

damental, considerando-se o acoplamento SO. Fica evidenciado que o estado triplete



sofre acoplamento e, desta maneira, n

ao passa pelo ponto de transic¸

ao singlete-triplete como

acontece com os estados



. Nesta an

alise simpliﬁcada, o estado de spin polarizado

−



aco-

pla com o estado



devido

a contribuic¸

ao Rashba do Hamiltoniano de SO, enquanto o estado

de spin polarizado



acopla com



devido

a contribuic¸

ao Dresselhaus do Hamiltoniano de

SO.

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8

0 , 0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

0 , 4

0 , 5

0 , 6

0 , 7

0 , 8

0 , 9

1 , 0

∆E ( m e V )

Campo Magnético (T)

∆E

Energia de Excitação na presença de SO

Figura 5.8: Energias de excitac¸

ao para 2 el

etrons nas conﬁgurac¸

oes singlete-triplete. Os

par

ametros utilizados foram ω

=5meV, α =6meV

A e β =10meV

5.3 Interac¸

ao Spin-

Orbita de

Excitons

Antes de comec¸armos a calcular os efeitos de SO sobre o

exciton, ser

a necess

ario fazer um

tratamento detalhado da sua estrutura ﬁna, que ser

a respons

avel pelo desdobramento dos n

ıveis

de energia degenerados em dois brac¸os principais, claro e escuro. Depois desta investigac¸

ao,

poderemos saber como os n

ıveis de energia evoluem com a aplicac¸

ao do campo magn

etico e

como o efeito SO pode alterar esta evoluc¸

ao.

A estrutura ﬁna resume-se aos termos de troca e correlac¸

ao e Zeeman do Hamiltoniano.

Veriﬁca-se qual a real contribuic¸

ao dos termos δ

e δ

, dentro da faixa de valores experimentais

encontrados para o GaAs [69].

Em primeiro lugar, ser

ao analisadas separadamente as contribuic¸

oes de cada termo.

Veriﬁca-se pela Figura 5.3 a que o termo δ

promove uma abertura no n

ıvel de energia e

conseq

uente quebra da degeneresc

encia na aus

encia de campo magn

etico para o estado escuro.

Ele tamb

e o respons

avel pelo car

ater n

ao-linear do termo de Zeeman no Hamiltoniano,

como podemos veriﬁcar na evoluc¸

ao dos estados



. Pela Figura 5.3 b, observa-se que

o termo δ

provoca um desolcamento nos n

ıveis de energia dos estados claros com relac¸

ao aos

estados escuros. Por comparac¸

ao com o efeito gerado por δ

, veriﬁca-se que ambos os estados

ao afetados por um valor n

ao nulo de δ

. Isto j

a era esperado, conforme podemos veriﬁcar pela

disposic¸

ao dos temos na matriz de troca e correlac¸

ao da Eq. 3.37.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

Figura 5.9: Evoluc¸

ao dos n

ıveis de energia para δ

=0 (a) e δ

=0 (b).

Na Figura 5.10, veriﬁca-se que o termo de troca e correlac¸

ao promove uma quebra da

degeneresc

encia dos estados na aus

encia de campo magn

etico, que esta associada

as variaveis

e δ

. Por sua vez, a interac¸ao de Zeeman, que atua de forma n

ao-linear no estado escuro,

promove o cruzamento dos n

ıveis para um valor de campo n

ao-nulo. Desta maneira, poderemos

analisar a interac¸

ao SO considerando os efeitos da estrutura ﬁna.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

Figura 5.10: Estrutura ﬁna do

exciton (termos de troca e correlac¸

ao e Zeeman) com m

0.067,m

= 0.25, g

= −0.44, g

= 25, δ

= 0.2meV, δ

= 0.05meV e ω

= 1meV.

Na Figura 5.11, observa-se a contribuic¸

ao da estrutura ﬁna para evoluc¸

ao dos n

ıveis de

energia com todos os termos do Hamiltoniano (Equac¸

ao 3.20), sem a qual os quatro n

ıveis

seriam degenerados. Veriﬁca-se que o resultado

e bastante signiﬁcativo e estes efeitos n

podem ser desconsiderados.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Figura 5.11: Evoluc¸

ao da energia do estado fundamental do

exciton com m

= 0.067,m

= 0.25,

= −0.44, g

= 25, ω

= 1meV, δ

= 0.2meV e δ

= 0.05meV

Observa-se que existe um cruzamento entre estados claro e escuro para um valor de campo

magn

etico aproximado de B =1,15T. Entretanto, n

ao observa-se alterac¸

ao ou mistura dos es-

tados pela aplicac¸

ao dos termos de SO para o

exciton. Veriﬁca-se que, pelas func¸

oes de base

utilizadas, n

ao existe mistura entre estados claro e escuro gerada pelo efeito SO. Entretanto,

como o caso analisado possui alta simetria tanto do ponto de vista do QD quanto da aplicac¸

do campo magn

etico, acredita-se que a situac¸

ao poder

a n

ao mais ser a mesma para outras geo-

metrias. Existem, ent

ao, tr

es possibilidades para a obtenc¸

ao de mistura entre estados claro e

escuro pelo efeito SO:

i) - Utilizac¸

ao de QDs n

ao-sim

etricos, onde pode-se ter a mistura tamb

em entre os

excitons

claros.

ii) - Utilizac¸

ao de um campo magn

etico fora do eixo de simetria do QD, com componentes

ao longo dos eixos x e y e

iii) - C

alculo dos acoplamentos entre n

ıveis excitados para o

exciton. Esta possibilidade iria

aumentar bastante a complexidade do sistema em quest

ao, uma vez que existem restric¸

oes para

os valores de momento angular total do

exciton que devem ser obedecidas.

6 Conclus

oes e Trabalhos Futuros

6.1 Conclus

oes

Utilizando a t

ecnica de diagonalizac¸

ao num

erica do Hamiltoniano de 1 part

ıcula, sujeita a

um campo magn

etico na direc¸

ao z e um conﬁnamento do tipo parab

olico, observou-se os efeitos

da interac¸

ao Spin-

Orbita para 1 el

etron e veriﬁcou-se o anticruzamento de estados dentro das

regras de selec¸

ao para o acoplamento Spin-

Orbita, bem como a quebra da degeneresc

encia dos

ıveis de energia na aus

encia de campo magn

etico.

Os efeitos de Spin-

Orbita para dois el

etrons mostraram a transic¸

ao do estado fundamental

de singlete para o spin polarizado triplete com o aparecimento de um minigap de energia no

ponto de anticruzamento entre estes estados. Contudo, o estado triplete n

ao-polarizado n

apresentou acoplamento Spin-

Orbita com o estado singlete, n

ao sendo poss

ıvel desta maneira

evitar o cruzamento destes n

ıveis.

As energias de excitac¸

ao dos estados triplete



−



apresentaram comportamento

previsto pelo modelo adotado, ou seja, foram perturbadas pelo acoplamento Spin-

Orbita.

Os estados claro e escuro do

exciton n

ao foram afetados pela aplicac¸

ao do acoplamento

SO, abrindo caminho para modelos mais elaborados na tentativa de explicar as transic¸

oes entre

estados claro e escuro.

6.2 Trabalhos Futuros

Seguindo a mesma linha de c

alculo, pretende-se calcular as taxas de relaxac¸

ao de

excitons

via f

onons ac

usticos. A implementac¸

ao deste c

alculo n

ao ir

a acrescentar grande esforc¸o compu-

tacional aos c

alculos j

a realizados, contudo, ser

a de grande import

ancia para a completa an

alise

do acoplamento Spin-

Orbita para construc¸

ao de um qubit baseado em

excitons.

Outro tema que pode ser trabalhado, dentro da mesma

otica de efeitos de decoer

encia em

estados de spin,

e a interac¸

ao Spin Nuclear [70]. Estudos demonstraram que a polarizac¸

do spin do n

ucleo pode aumentar a energia de transic¸

optica de

excitons carregados. Como

resultado, as regras de selec¸

ao para estados em um QD podem ser controladas pelo ordenamento

ferromagn

etico dos spin nucleares.

Dando segmento ao estudo, mas j

a com uma implementac¸

ao tanto matem

atica quanto com-

putacional diferente, pretende-se expandir o problema para o caso de multibandas, com o aux

ılio

do M

etodo k •p de multibandas. Assim, as interac¸

oes entre LH e HH poder

ao ser consideradas

e o estudo poder

a ser expandido para QDs de gap elevado.

Refer

encias Bibliogr

aﬁcas

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