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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
CAIO DORNELES CUNHA
CONTROLADOR EM MODO DUAL ADAPTATIVO ROBUSTO -
DMARC.
NATAL
2008
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CONTROLADOR EM MODO DUAL ADAPTATIVO ROBUSTO -
DMARC.
Tese de Doutorado submetida ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica do
Centro de Tecnologia da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte, em cumprimento às
exigências para obtenção do grau de Doutor
em Ciências, na área de Automação e Sistemas
de Energia Elétrica.
Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo
Co-orientador: Prof. Dr. Francisco das Chagas
Mota
NATAL
2008
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Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
Cunha, Caio Dorneles.
Controlador em modo dual adaptativo robusto - DMARC / Caio
Dorneles Cunha. – Natal, RN, 2008.
181 f : il.
Orientador: Aldayr Dantas de Araújo.
Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.
1. Sistemas de controle – Tese. 2. Controlador adaptativo – Tese. 3.
Sistemas de controle automático – Tese. I. Araújo, Aldayr Dantas de. II.
Título.
RN/UF/BCZM CDU 681.513(043.2)
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CONTROLADOR EM MODO DUAL ADAPTATIVO ROBUSTO - DMARC
Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica do
Centro de Tecnologia da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte, em cumprimento às
exigências para obtenção do grau de Doutor
em Ciências, na área de Automação e Sistemas
de Energia Elétrica.
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BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________________________________
Prof. D. Sc. Aldayr Dantas de Araújo.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
_______________________________________________________________________
Prof. D. Sc. Francisco das Chagas Mota
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
_______________________________________________________________________
Prof. D. D’Etat Liu Hsu
Universidade Federal do Rio de Janeiro
______________________________________________________________________
Prof. D. Sc. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
______________________________________________________________________
Prof. Dr. David Simonetti Barbalho
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
À memória do meu grande amigo Judinor Aguirres Guerra Júnior (Bimbo) que nos deixou
durante o desenvolvimento deste trabalho. Àquele que como amigo era mais que um irmão e
como irmão, não genético, mas por escolha, era mais que um amigo.
Aos meus pais Francisco Gurgel Cunha e Terezinha Dorneles Cunha, a vocês todo o meu
amor e reconhecimento.
À minha esposa, amiga, amada e conselheira Nilziane Liberato e às nossas filhas
Beatriz Liberato Cunha e Mariah Liberato Cunha, base sólida de muito amor, carinho
e alegria, sustentáculo das minhas conquistas.
Aos meus irmãos e amigos que tanto torceram e me deram força durante os momentos
mais árduos.
AGRADECIMENTOS
Ao professor Aldayr Dantas de Araújo pelo excelente tema proposto, pela amizade,
confiança, incentivo e orientação dada na concepção deste trabalho.
Ao professor Francisco das Chagas Mota pelo apoio, amizade e pelas contribuições na
co-orientação deste trabalho.
À minha família pelo amor, alegria, paciência, apoio e incentivo.
Aos meus amigos e companheiros que tanto reclamaram a minha ausência durante o
período final da concepção deste trabalho, porém sempre presentes nos momentos agoniantes.
Aos amigos do DEE e do DCA pelo apoio e incentivo.
Enfim, a todos aqueles que diretamente ou indiretamente contribuíram para a
elaboração e conclusão deste trabalho.
RESUMO
Neste trabalho é apresentada uma proposta de um controlador, denominado
Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto (DMARC), que estabelece uma ligação entre
um controlador adaptativo por modelo de referência (MRAC) e um controlador adaptativo por
modelo de referência e estrutura variável (VS-MRAC). A idéia básica é incorporar as
vantagens de desempenho transitório do controlador VS-MRAC com as propriedades de
regime permanente do controlador MRAC convencional. São desenvolvidos dois algoritmos
básicos para o controlador DMARC. No primeiro o ajuste do controlador é feito, em tempo
real, através da variação de um parâmetro na lei de adaptação. No segundo algoritmo a lei de
controle é gerada, utilizando o modelo Takagi-Sugeno da lógica nebulosa, para obter uma
composição ponderada das leis de controle do MRAC e do VS-MRAC. Em ambos os casos, o
esquema combinado de controle é mostrado ser robusto às incertezas paramétricas e
perturbações externas, além de apresentar um desempenho rápido e pouco oscilatório durante
o transitório e um sinal de controle suave em regime permanente.
Palavras-chave:
• Controle em Modo Dual. Controle Adaptativo. Modelo de Referência. Sistemas com
Estrutura Variável.
ABSTRACT
The so-called Dual Mode Adaptive Robust Control (DMARC) is proposed. The
DMARC is a control strategy which interpolates the Model Reference Adaptive Control
(MRAC) and the Variable Structure Model Reference Adaptive Control (VS-MRAC). The
main idea is to incorporate the transient performance advantages of the VS-MRAC controller
with the smoothness control signal in steady-state of the MRAC controller. Two basic
algorithms are developed for the DMARC controller. In the first algorithm the controller's
adjustment is made, in real time, through the variation of a parameter in the adaptation law. In
the second algorithm the control law is generated, using fuzzy logic with Takagi-Sugeno’s
model, to obtain a combination of the MRAC and VS-MRAC control laws. In both cases, the
combined control structure is shown to be robust to the parametric uncertainties and external
disturbances, with a fast transient performance, practically without oscillations, and a
smoothness steady-state control signal.
Keywords:
• Dual Mode Control. Adaptive Control. Reference Model. Variable Structure Systems.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 – Diagrama de Blocos do MRAC 25
Figura 2.2 – Condição de deslizamento para o VS-MRAC 32
Figura 2.3 – Diagrama de Blocos do DMARC 40
Figura 2.4 –
Evolução de
μ
em função do erro de saída
42
Figura 2.5 – Plano de fase para uma planta de primeira ordem com r = 0 45
Figura 2.6 – Plano de fase para uma planta de primeira ordem com r = 1 46
Figura 3.1 – Estrutura do MRAC com planta desconhecida 50
Figura 3.2 – Estrutura do MRAC com parâmetros ideais 53
Figura 4.1 – Geração dos sinais auxiliares filtrados do VS-MRAC compacto 61
Figura 4.2 –
Diagrama de blocos do VS-MRAC compacto ( ) 1−=
*
nN
72
Figura 4.3 – Diagrama de blocos para o Lema 4.1 75
Figura 4.4 – Diagrama de blocos do VS-MRAC compacto com filtros de valor
médio para a geração dos controles equivalentes ( ) 1−=
*
nN
84
Figura 4.5 – Diagrama de blocos para o Lema 4.3 84
Figura 5.1 – Sistema de inferência Takagi-Sugeno de primeira ordem 97
Figura 5.2 – Funções de pertinência Gaussianas para o DMARC-TS 99
Figura 5.3 – Diagrama de blocos do DMARC utilizando a estrutura do
VS-MRAC compacto para ( ) 1≥
*
n 1−=
*
nN
100
Figura 5.4 –
Evolução de
μ
em função do erro de saída
103
Figura 5.5 – Sistema de Acionamento para o controle de velocidade de um
motor de indução 106
Figura 5.6 –
Desempenho do MRAC com Fator
σ
110
Figura 5.7 – Desempenho do VS-MRAC 111
Figura 5.8 – Diagrama de blocos para o DMARC ajustado por lógica nebulosa 112
Figura 5.9 –
Funções de pertinência das entradas e
0
e de, e da saída
μ
113
Figura 5.10 –
Algoritmo para o cálculo de
μ
do controlador DMARC usando
lógica nebulosa
114
Figura 5.11 –
Desempenho do algoritmo DMARC com Fator
σ
115
Figura 5.12 – Desempenho do algoritmo DMARC-TS 116
Figura 5.13 – Diagrama de blocos da implementação do controlador DMARC 118
Figura 5.14 – Resultado da implementação do controlador DMARC 119
Figura 5.15 – Resultado da implementação do controlador DMARC-TS 120
Figura 5.16 – Modelo do motor DC 121
Figura 5.17 –
Desempenho do MRAC com Fator
σ
123
Figura 5.18 – Desempenho do VS-MRAC (simulação inicial) 124
Figura 5.19 – Desempenho do VS-MRAC 125
Figura 5.20 – Desempenho do DMARC 126
Figura 5.21 – Desempenho do DMARC-TS 126
Figura 6.1 – Diagrama do esquema de controle do DMARC-TS 140
Figura 6.2 – Diagrama do DMARC usando filtro em avanço para
implementação de
(
)
sL
154
Figura 6.3 – Diagrama do DMARC-TS usando filtro em avanço para
implementação de
(
)
sL
155
Figura 6.4 – DMARC Algoritmo 1: Saídas da planta e do modelo e sinal de
controle 158
Figura 6.5 – Erro de saída do Algoritmo 1 do DMARC 158
Figura 6.6 – Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo 2 do
DMARC 159
Figura 6.7 – Erro de saída do Algoritmo 2 do DMARC 159
Figura 6.8 – Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo
DMARC-TS com modificação B-MRAC 160
Figura 6.9 – Erro de saída do DMARC-TS com modificação B-MRAC 160
Figura 6.10 – Composição dos sinais de controle no DMARC-TS com
modificação B-MRAC 161
Figura 6.11 – Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo 1 do
DMARC 163
Figura 6.12 – Erro de saída do Algoritmo 1 do DMARC 163
Figura 6.13 – Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo 2 do
DMARC 164
Figura 6.14 – Erro de saída do Algoritmo 2 do DMARC 164
Figura 6.15 – Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo
DMARC-TS com modificação B-MRAC 165
Figura 6.16 – Erro de saídas do DMARC-TS com modificação B-MRAC 165
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Algoritmo de controle MRAC convencional 56
Tabela 4.1 – Algoritmo de controle VS-MRAC 68
Tabela 4.2 – Algoritmo de controle VS-MRAC compacto 72
Tabela 5.1
–
Algoritmo de controle DMARC para n
*
≥
2
101
Tabela 5.2
–
Comportamento de
μ
com relação à condição de escorregamento
104
Tabela 5.3 – Parâmetros elétricos do motor de indução utilizados na prática 107
Tabela 5.4 –
Variações em r(t), d(t) e em durante as simulações
p
_
k
124
Tabela 6.1 – Valores de f para os diversos algoritmos MRAC modificados 144
Tabela 6.2
–
Algumas possíveis representações para
(
)
0
e
μ
153
Tabela 6.3 – Variações em r e d
e
durante as simulações 157
Tabela 6.4
–
Parâmetros utilizados nas simulações da planta de grau relativo
unitário 157
Tabela 6.5
–
Parâmetros utilizados nas simulações da planta com grau relativo
n*>1 162
LISTA DE ABREVIATURAS
B-MRAC: Controle Binário Adaptativo por Modelo de Referência (binary model
reference adaptive control)
DMARC: Controle em Modo Dual Adaptativo Robusto (dual mode adaptive robust
control)
DMARC-TS: Controle em Modo Dual Adaptativo Robusto Utilizando o Modelo Takagi-
Sugeno (dual mode adaptive robust control-Takagi-Sugeno)
ERP: Estritamente Real Positivo
LI: localmente integrável no sentido de Lebesgue
LKY: Lema de Kalman-Yakubovic
MIMO: Múltiplas entradas múltiplas saídas, multivariável (multiple-input-multiple-
output)
MRAC: Controle adaptativo por modelo de referência (model-reference adaptive
control)
SISO: Única entrada única saída, monovariável (single-input-single-output)
VSC: Controle a estrutura variável (variable structure control)
VS-MRAC: Controle Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável (variable
structure model reference adaptive control)
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO
15
1.1
OBJETIVO
19
1.2
NOTAS PRELIMINARES
19
1.2.1 Notações e Definições
20
1.2.2 Organização do texto e contribuições desta Tese
21
2
INTRODUÇÃO AOS CONTROLADORES: MRAC, VS-
MRAC, B-MRAC E DMARC
23
2.1 CONTROLADOR ADAPTATIVO POR MODELO DE
REFERÊNCIA – MRAC
25
2.2 CONTROLADOR ADAPTATIVO POR MODELO DE
REFERÊNCIA E ESTRUTURA VARIÁVEL - VS-MRAC
32
2.3 CONTROLADOR BINÁRIO ADAPTATIVO POR MODELO
DE REFERÊNCIA – B-MRAC
35
2.4 CONTROLADOR EM MODO DUAL ADAPTATIVO
ROBUSTO – DMARC
40
2.4.1 Análise de regulação no plano de fase
42
2.5 CONCLUSÕES
46
3 CONTROLADOR MRAC
48
3.1 INTRODUÇÃO
48
3.2 ESTRUTURA DE CONTROLE DO MRAC
48
3.3 MRAC CONVENCIONAL
55
3.4 COMENTÁRIOS
58
4 CONTROLADOR VS-MRAC
60
4.1 VS-MRAC COM 2≥
*
n
60
4.2 VS-MRAC COMPACTO COM 2≥
*
n
69
4.2.1
Efeito na Incerteza em
p
k
73
4.2.2 Efeito dos Filtros de Valor Médio na Geração dos Controles
Equivalentes
83
4.3 CONCLUSÕES
90
5 CONTROLADOR DMARC – HISTÒRICO
92
5.1 DMARC PARA PLANTAS COM 1=
∗
n
93
5.1.1 Algoritmo DMARC – Versão Original
93
5.1.2 Algoritmo DMARC Utilizando o Modelo Difuso Takagi-Sugeno
95
5.3 DMARC PARA PLANTAS COM 2≥
∗
n
99
5.4 USO DO DMARC E DMARC-TS NO CONTROLE DE
VELOCIDADE DE UM MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO
104
5.5 SIMULAÇÕES COM O VS-MRAC, DMARC E DMARC-TS
PARA O CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM MOTOR DE
CORRENTE CONTÍNUA
121
5.6 CONCLUSÕES
127
6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO DMARC E DMARC-TS
128
6.1 DMARC PARA PLANTAS COM 1=
∗
n
128
6.1.1 DMARC - Algoritmo 1
128
6.1.2 DMARC - Algoritmo 2
133
6.2 DMARC TAKAGI-SUGENO PARA PLANTAS COM 1=
∗
n
140
6.3 DMARC PARA PLANTAS COM 1>
∗
n
154
6.4 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES
156
6.4.1
DMARC – Planta 1=
*
n
156
6.4.2
DMARC – Planta
1>
*
n
162
6.5 CONCLUSÕES
166
7
CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
167
7.1 CONTINUAÇÕES NATURAIS PARA ESTE TRABALHO
169
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
170
APÊNDICE - PUBLICAÇÕES REFERENTES A ESTA TESE
180
Seção 1 – Introdução
15
1 INTRODUÇÃO
A teoria de controle tem sido de fundamental importância no progresso tecnológico
em diversas áreas nas últimas décadas. Sistemas de controle automático têm sido utilizados
em aplicações diversas, desde um simples controle de temperatura de aparelhos
condicionadores de ar, até processos mais sofisticados como em sistemas robóticos, projetos
de aviões e programas espaciais.
Nesta Tese, assume-se que o objeto de controle, denominado de planta, pode ser
modelado matematicamente por equações diferenciais ordinárias. No entanto, a planta a ser
modelada pode apresentar uma dinâmica muito complexa ou parcialmente conhecida com
parâmetros desconhecidos ou variáveis no tempo.
Dentre as diversas técnicas de controle aplicáveis a problemas onde as plantas
possuem essas características encontram-se (Cunha, 2004): controle adaptativo, controle ,
controle a estrutura variável, controle neural, controle nebuloso, controle por aprendizado, etc.
O controle adaptativo por modelo de referência é considerado uma das principais abordagens
da área de controle adaptativo.
∞
H
Com o controlador adaptativo por modelo de referência (Model-reference Adaptive
Control - MRAC) convencional, que usa leis integrais de adaptação (Narendra e Valavani,
1978; Narendra, Lin e Valavani, 1980), a saída da planta segue um modelo de referência
especificado. O erro entre a saída da planta e a saída do modelo é utilizado por um algoritmo
de adaptação para ajustar os parâmetros do controlador. Assim, a dinâmica da planta é forçada
a seguir a dinâmica do modelo. O algoritmo convencional apresenta problemas de
estabilidade sob condições não ideais como, por exemplo, na presença de distúrbios externos
(Ioannou e Kokotovic, 1984; Rohrs, Valavani, Athans e Stein, 1985; Sastry e Bodson, 1989),
e um comportamento transitório não aceitável (Hsu e Costa, 1987a; Rohrs, Younce e Harvey,
1989). Mesmo com as modificações para aumentar a robustez do algoritmo convencional
(fator
σ
, normalização, etc.) (Ioannou e Sun, 1996), em geral o transitório é lento e
oscilatório.
Alguns trabalhos foram desenvolvidos com o intuito de melhorar o desempenho
transitório do controlador MRAC. Uma estratégia apresentada por (Narendra e
Balakrishinam, 1994 e 1997) para o controlador MRAC indireto, utiliza o chaveamento entre
múltiplos modelos da planta, conectados em paralelo, e seus respectivos controladores. O
controlador a ser usado em cada instante é escolhido através de um determinado índice de
Seção 1 – Introdução
16
desempenho dependente do erro de estimação de cada respectivo modelo. A mesma estratégia
foi estendida para sistemas discretos (Narendra e Xiang, 2000) e em (Cheng e Narendra, 2001
e Fu e Chai, 2007) com a utilização de redes neurais como identificador não linear. Outro
método consiste em modificar a lei de controle utilizada pelo sistema MRAC tradicional,
adicionando-se um termo para compensar o erro de estimação (Sun, 1993; Sun, Olbrot e Polis,
1994; Papadakis e Thomopoulos, 1996; Costa, 1999).
Uma alternativa para melhorar o desempenho transitório consiste na utilização de um
controlador a estrutura variável (variable structure control - VSC) (Emelyanov, 1970; Itkis,
1976; Utkin, 1977, 1978, 1983, 1987, 1992, 1993) que se baseia em uma função de
chaveamento das variáveis de estado da planta. Esta função de chaveamento força uma
trajetória a permanecer sobre uma superfície deslizante, tornando o sistema insensível a
incertezas paramétricas e perturbações. Essa robustez é freqüentemente o principal objetivo
do controle de modos deslizantes. Entretanto, há necessidade da medição de todas as variáveis
de estado da planta, o que torna difícil sua implementação prática. Ainda, pode ocorrer o
indesejável fenômeno de “chattering”, causado por não-idealidades, como pequenos atrasos
ou dinâmica não modelada da planta ou do relé, levando ao denominado modo deslizante real
(Utkin, 1992).
Algumas estratégias propostas enfocam a possibilidade de combinar controle a
estrutura variável (VSC) e controle adaptativo, para melhorar a robustez e os desempenhos
dos esquemas de controle resultantes (ver, por exemplo, (Hsu e Costa, 1989; Fu, 1990, 1991;
Narendra e Boskovic, 1992; Hsu, Araújo e Costa, 1994; Su, Stepanenko e Leung, 1995;
Chien, Sun, Wu e Fu, 1996; Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997; Bartolini e Ferrara, 1999)). No
trabalho de (Narendra e Boskovic, 1992), a lei de controle sugerida é caracterizada por um
termo adaptativo mais um termo que depende de uma aproximação contínua de uma função
, sendo estes dois termos regidos pelo erro de saída. O efeito da componente VSC da
lei de controle desaparece assintoticamente de forma que o seu objetivo é melhorar a resposta
transitória da planta controlada. Em (Bartolini e Ferrara, 1999) uma lei de controle a estrutura
variável combinada com uma lei adaptativa é utilizada em um esquema adaptativo de
alocação de pólos. Neste esquema, uma planta de grau relativo maior que um e de ganho de
alta freqüência desconhecido é transformada, por um compensador de primeira ordem em
paralelo com a planta, em uma denominada planta aumentada com grau relativo unitário e
ganho de alta freqüência conhecido.
()
⋅sign
Seguindo o conceito de combinar controle a estrutura variável (VSC) e controle
adaptativo, Hsu e Costa propuseram um controlador adaptativo por modelo de referência e
Seção 1 – Introdução
17
estrutura variável (Variable Structure Model-Reference Adaptive Control - VS-MRAC) para
sistemas lineares com uma entrada e uma saída (Single-Input-Single-Output - SISO),
utilizando a estrutura do controle por modelo de referência do MRAC, com medições apenas
da entrada e saída da planta (Narenda e Valavani, 1978; Narenda, Lin e Valavani, 1980;
Sastry, 1984), e leis chaveadas, como no VSC, para o sinal de controle (Hsu e Costa, 1989;
Hsu, 1990). O esquema foi, então, estendido para o caso geral de plantas com grau relativo
arbitrário (Hsu, Araújo e Costa, 1994; Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997; Peixoto, Lizarralde e
Hsu, 2002; Nunes, Hsu e Lizarralde, 2006) e para sistemas multivariáveis (Multiple-Input-
Multiple-Output – MIMO) (Cunha, Hsu, Costa e Lizarralde, 2003).
Apesar do bom desempenho transitório do controlador VS-MRAC, o sinal de controle
em geral tem um nível elevado e apresenta um chaveamento em alta freqüência, conhecido
como fenômeno de “chattering”. O efeito de “chattering” pode ser reduzido através da
introdução de uma região linear na função de chaveamento (função relé) (Araújo, 1993; Hsu,
Araújo e Costa, 1994) e/ou usando um filtro de saída no sinal de controle (Hsu, 1990; Peixoto,
Hsu e Lizarralde, 2002). Entretanto, a introdução de regiões lineares nas funções de
chaveamento leva ao surgimento de erro em regime permanente que pode ser diminuído com
a introdução de um compensador PI. Já a introdução do filtro de saída tem um efeito similar
ao aumento do grau relativo da planta, aumentando a complexidade do algoritmo de controle.
Uma nova abordagem para a suavização do sinal de controle surgiu recentemente, com a
introdução de modos deslizantes de ordem superior (Levant, 2003), generalizando o conceito
de modos deslizantes convencionais. A idéia é aumentar artificialmente o grau relativo do
sistema, eliminando por completo o efeito de “chattering”. Exemplos desta técnica podem ser
encontrados em (Bartolini, Ferrara e Usai, 1998, 1999; Bartolini, Levant, Pisano e Usai 2002;
Levant, 2003). Para suavizar os problemas encontrados na implementação prática de sistemas
a estrutura variável alguns autores têm proposto a incorporação do uso de metodologias de
sistemas inteligentes em controladores de modos deslizantes, dentre as quais se encontra o
controle nebuloso (ver, por exemplo, (Ishiame, Furukawa, Kawamoto e Taniguchi, 1993;
Hung, 1993; Kaynak, Erbatur e Ertugrul, 2001; Morris, Dash e Basu, 2003; Yau e Chen,
2006; Sadati e Talazas, 2006)). Ainda, recentemente, alguns trabalhos têm mostrado que o
efeito de “chattering” também pode ser reduzido pela discretização do controle equivalente de
um sistema a estrutura variável contínuo no tempo (Su, Drakunov e Özgüner, 2000; Lin e Su,
2004).
A partir da teoria de controle binário (Emelyanov, 1987), Hsu e Costa propuseram um
Controlador Binário Adaptativo por Modelo de Referência (Binary Model Reference Adaptive
Seção 1 – Introdução
18
Control - B-MRAC) para plantas com grau relativo (n
*
) igual a 1 (Hsu e Costa, 1990) e,
posteriormente, sua generalização para plantas com grau relativo arbitrário (Hsu e Costa,
1994). No B-MRAC é utilizada uma lei gradiente de adaptação de alto ganho com projeção, a
qual com um ganho fixo suficientemente elevado tende ao VS-MRAC.
Mesmo com as diversas técnicas de suavização do sinal de controle aplicável ao VS-
MRAC, o sistema resultante baseia-se em síntese de sinal em lugar de adaptação paramétrica.
Assim, se a planta é invariante no tempo, lentamente variante no tempo ou não tem freqüentes
saltos de variações, parece mais razoável a escolha de um esquema de adaptação que combine
adaptação paramétrica com um esquema de estrutura variável. Do esquema de controle
resultante, esperam-se as boas propriedades transitórias do controle de estrutura variável e as
desejáveis propriedades de regime permanente dos controladores de parâmetros adaptativos.
O Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto (Dual Mode Adaptive Robust
Control DMARC), objetivo desta Tese, teve sua motivação a partir do artigo (Hsu e Costa,
1989). Nele, apenas para efeito de análise, os autores apresentaram uma lei de adaptação que
quando um determinado parâmetro é igual a um, tem-se uma lei integral com certa
normalização e modificação sigma, e quando é igual a zero torna-se a síntese de sinal do
controlador VS-MRAC.
A idéia, então, é variar este parâmetro em tempo real de forma a se ter um algoritmo
entre o VS-MRAC e o MRAC com fator sigma e normalização, no qual o problema de
“chattering” possa ser minimizado enquanto são mantidas as propriedades transitórias de
resposta rápida e pouco oscilatória.
A proposta do DMARC é que a transição entre o VS-MRAC e o MRAC seja feita de
forma suave à medida que o sistema evolua, usando o VS-MRAC durante o transitório e
tendendo ao MRAC à medida que o sistema se aproxima do regime permanente. O objetivo é
conseguir um sistema robusto, com desempenho rápido e pouco oscilatório (características do
VS-MRAC), e um sinal de controle suave em regime permanente (características do MRAC).
Uma versão inicial do DMARC apresentada em (Cunha, Araújo, Barbalho e Mota,
2002, 2005) é usada na implementação do controle de velocidade de um motor de indução
trifásico. A escolha do parâmetro que define no DMARC o controlador a ser usado (VS-
MRAC, MRAC e as versões intermediárias), é feita utilizando-se lógica nebulosa de forma a
se ter uma transição suave entre os dois algoritmos. O erro de saída e sua variação foram
utilizados como as variáveis lingüísticas de entrada e os termos Pequeno (P), Médio (M) e
Grande (G) foram utilizados para denotarem os valores assumidos pelas variáveis de entrada.
Em outro trabalho (Mota e Araújo, 2002) utiliza-se o modelo Takagi-Sugeno (Takagi e
Seção 1 – Introdução
19
Sugeno, 1985) para ponderar as leis de adaptação do MRAC e VS-MRAC. Esta ponderação,
aplicada à lei de controle, se assemelha a uma combinação convexa das leis de controle do
MRAC e VS-MRAC apresentada em (Sanner e Slotine, 1992; Hsu e Real, 1997).
Nesta Tese serão abordadas duas versões para o DMARC. Na primeira, a transição
entre o VS-MRAC e o MRAC é feita pela variação de um parâmetro (parâmetro
μ
) na lei de
adaptação. Na segunda, a lei de controle é composta pelas ponderações das leis de um
controlador MRAC e de um controlador VS-MRAC, fazendo-se uso do modelo da lógica
nebulosa Takagi-Sugeno. O algoritmo é, então, denominado de controlador em modo dual
adaptativo robusto Takagi-Sugeno (Dual Mode Adaptive Robust Control-Takagi-Sugeno -
DMARC-TS). Em ambas as versões, quando esse parâmetro (parâmetro
μ
) se aproxima de
zero o algoritmo tende ao VS-MRAC, quando se aproxima do valor unitário tende ao
MRAC, com os valores intermediários representando o estado de transição entre eles.
1.1 OBJETIVO
O objetivo desta Tese é desenvolver algoritmos, que combinem controladores MRAC
com controladores VS-MRAC, tirando proveito das boas características transitórias do VS-
MRAC, e mantendo a suavidade de controle em regime permanente do controlador MRAC
sem degradar, no entanto, as propriedades de estabilidade.
São consideradas duas abordagens para o controlador DMARC: na primeira um
controlador MRAC é ajustado, em tempo real, por uma lei integral de adaptação com
modificação sigma, que durante o transitório se aproxima à síntese de sinal do VS-MRAC e
na segunda é feita uma composição ponderada, por meio de lógica nebulosa, das leis de um
controlador VS-MRAC e um controlador MRAC. A motivação nas duas abordagens consiste
em combinar as boas propriedades dos controladores MRAC e VS-MRAC.
1.2 NOTAS PRELIMINARES
Nesta seção são desenvolvidas as notações e algumas considerações que serão
utilizadas ao longo do desenvolvimento desta Tese.
Seção 1 – Introdução
20
1.2.1 Notações e Definições
♦ O símbolo “s” denota tanto a variável complexa da Transformada de Laplace
quanto o operador diferencial
dt
d
no domínio do tempo, dependendo do
contexto.
A
♦ Os auto valores máximos e mínimos de uma matriz são denotados por
()
A
min
λ
()
A
max
λ
e , respectivamente.
)
n
tx ℜ∈♦ A norma L
∞e
de um
sinal é definida como (Ioannou e Sun 1996)
(
)
τ
τ
xsupx
t
t
≤≤
∞
=
0
:
♦ Adota-se a representação mista do domínio do tempo (espaço de estado) com o
domínio da freqüência (Transformada de Laplace e operadores). No entanto,
são resguardados os seguintes conceitos. A saída de um sistema linear
invariante no tempo com função de transferência
y
(
)
sG e entrada u é dada por
. Para estável, considera-se sua realização de estado, possivelmente
não mínima, expressa por
()
usG
()
sG
BuAxx
+
=
&
DuCxy
+
=
, .
Seja a resposta ao impulso de
()
tg
(
)
sG e o transitório devido ao estado
inicial de
(
do sistema homogêneo
0
y
)
0
0
x
00
Axx =
&
, .
00
Cxy =
(
)
0
⋅ O estado é denominado de estado transitório. O símbolo
0
x são
representações dos termos transitórios. Então
Seção 1 – Introdução
21
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
tytutgxAtCtusGty
0
*0exp +=+=
)
onde é um termo exponencial que representa a resposta homogênea do
sistema ( ).
()
ty
0
()
0≡tu
♦ Um operador é de ordem
()
sG
(
)
τ
O se e somente se
)
τ
τ
sG
lim
0→
existe, onde
()
sG
é uma norma do tipo L .
∞
♦ Define-se
ω
-pequeno no sentido médio quadrático como (Ioannou e Sun 1996):
Seja ,
[
)
n
x ℜ→∞,0:
)
+
ℜ→∞,0:
ω
e
Lx
2
∈
e
L
1
∈
ω
onde , e considere o
conjunto
( ) ()() ()
{
}
0,,|,
10
≥∀+≤=
∫∫
++
TtcdcdxxxS
Tt
t
Tt
t
T
ττωτττωω
onde são constantes finitas. Diz-se que
ω
é pequeno no sentido médio
quadrático se
0,
10
≥cc
)
ω
Sx ∈ .
♦ Adota-se a definição de Filipov para equações diferenciais com lado direito
descontínuo (Filipov, 1964).
♦ Utiliza-se a abreviatura “LI” para denotar localmente integrável no sentido de
Lebesgue.
1.2.2 Organização do texto e contribuições desta Tese
Este texto é organizado como segue:
Seção 1 – Introdução
22
♦ Na seção 2 encontra-se uma introdução ao controlador DMARC. A abordagem
é feita para o caso de ordem igual a 1 (grau relativo n
*
= 1). O estudo começa
com o desenvolvimento do controlador adaptativo por modelo de referência
(MRAC), em seguida é feita a análise do controlador VS-MRAC, do
controlador B-MRAC, finalizando com o controlador DMARC. A Seção 2.4.1
surge como a primeira contribuição desta Tese.
♦ Na seção 3 é apresentada a estrutura básica de um sistema baseado em um
modelo de referência. É desenvolvido o esquema adaptativo com apenas
medições de entrada e saída da planta que é comum aos demais controladores.
♦ Na seção 4 é revisado o controlador VS-MRAC seguindo a estrutura proposta
em (Araújo, 1993; Hsu, Araújo e Costa, 1994; Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997).
♦ Na seção 5 é apresentado um histórico do controlador DMARC. Nesta seção
também é vista uma nova abordagem para o controlador, desenvolvido por
(Mota e Araújo, 2002), que utiliza lógica nebulosa, mais especificamente o
modelo de Takagi-Sugeno (Takagi e Sugeno, 1985), para ponderar as leis de
adaptação do MRAC e VS-MRAC. Resultados práticos e de simulações são
apresentados. As Seções 5.3 e 5.5 são contribuições desta Tese.
♦ Na seção 6, são feitas modificações nos algoritmos DMARC, e no DMARC
baseado no modelo Takagi-Sugeno (DMARC-TS), para a análise de
estabilidade dos controladores. Esta Seção é contribuição desta Tese.
♦ Na seção 7 são apresentadas as conclusões sobre o trabalho realizado e são
propostas as continuações naturais desta linha de pesquisa.
♦ As publicações realizadas durante o desenvolvimento desta Tese são
relacionadas no apêndice.
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
23
2 INTRODUÇÃO AOS CONTROLADORES: MRAC, VS-MRAC,
B-MRAC E DMARC
No controle adaptativo, os parâmetros do controlador variam, se adaptando
continuamente às mudanças dos parâmetros da planta, a fim de obter estabilidade, robustez e
resposta desejada.
As plantas consideradas em controle adaptativo são, em geral, descritas por modelos
matemáticos com parâmetros desconhecidos ou com incertezas. O controlador adaptativo é
projetado para que algumas especificações de desempenho sejam atendidas e consiste, em
uma de suas formas mais usuais, de uma estrutura de controle parametrizada e um mecanismo
de aprendizagem ou adaptação. Uma abordagem que é de interesse prático é a que pressupõe
que somente medições da entrada e saída da planta são disponíveis (Narendra e Valavani,
1978; Goodwin e Sin, 1984; Goodwin e Mayne, 1987). A função do modelo de referência é
especificar o comportamento desejado para a planta. O erro entre as saídas da planta e do
modelo é utilizado por um algoritmo de adaptação para ajustar os parâmetros do controlador
de tal forma que este erro tenda a zero, permitindo, assim, o rastreamento assintótico do
modelo. Em geral, o algoritmo de adaptação baseia-se em uma lei do tipo integral (Narendra,
Lin e Valavani, 1980) e o sistema resultante apresenta problemas bem conhecidos de
estabilidade sob condições não ideais como, por exemplo, na presença de distúrbios externos
(Ioannou e Kokotovic, 1984; Rohrs, Valavani, Athans e Stein, 1985), e um comportamento
transitório inaceitável (Hsu e Costa, 1987b; Rohrs, Younce e Harvey, 1989).
Controle a estrutura variável constitui outra abordagem para solucionar o problema de
controle de sistemas com incertezas (Emelyanov, 1970; Itkis, 1976; Utkin, 1977, 1978) e
caracteriza-se pela utilização de uma lei de controle que chaveia, de acordo com uma dada
regra, entre um conjunto de funções possíveis das variáveis de estado da planta, mudando,
assim, a estrutura do sistema em malha fechada. Uma motivação para esta abordagem consiste
na possibilidade de combinar propriedades úteis de cada uma das estruturas do sistema
realimentado. Um outro aspecto é a possibilidade adicional de serem obtidas trajetórias que
descrevem um novo tipo de movimento (não característico de nenhuma das estruturas)
denominado modo deslizante. Este tipo de movimento é invariante em relação às incertezas
limitadas da planta (Drazenovic, 1969) e, então, o controle por modos deslizantes tem se
tornado em uma das formas mais usuais de utilização da teoria de sistemas a estrutura
variável. Em geral, as funções de chaveamento são projetadas para que as trajetórias do
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
24
sistema alcancem e mantenham-se em uma superfície (superfície de deslizamento) que
especifica um comportamento desejado para a dinâmica da planta. Esta abordagem tem sido
usada na resolução de um grande número de problemas de controle e em (De Carlo, Zak e
Matthews, 1988), (Utkin, 1993) e (Adamy e Flemming, 2004) encontra-se uma visão dos
principais aspectos teóricos e aplicações.
Na busca de um controlador que tornasse o sistema em malha fechada robusto (no
sentido de preservar a estabilidade) em relação às incertezas da planta e com um desempenho
transitório significativamente melhor que os obtidos com algoritmos baseados em
identificação de parâmetros, (Hsu e Costa, 1987b e 1989) desenvolveram o denominado
controlador Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável (VS-MRAC). Para o
caso n*=1, de uma forma relativamente simples, foi usada uma lei de adaptação a estrutura
variável em substituição à lei de adaptação integral. A idéia básica foi tornar o erro entre as
saídas da planta e do modelo de referência, uma superfície deslizante no espaço de estado do
erro do sistema.
Um algoritmo de controle, denominado de Controle Binário Adaptativo por Modelo
de Referência (B-MRAC), por se basear na teoria de controle binário, desenvolvida por
Emelyanov (Emelyanov, 1987), foi apresentado em (Hsu e Costa, 1990) para o caso de n*=1.
Esse algoritmo tem a característica de ser um controlador adaptativo que tende a um
controlador a estrutura variável, quando o ganho de adaptação, fixo, for assumido
suficientemente elevado. Um algoritmo B-MRAC para o caso de grau relativo arbitrário foi
apresentado em (Hsu e Costa, 1994).
O controlador DMARC para o caso de n
*
=1 foi inicialmente formulado com a lei de
adaptação sugerida em (Hsu e Costa, 1989). Um parâmetro, nessa lei de adaptação, determina
se o controlador é um MRAC ou um VS-MRAC, quando assumido igual a um ou a zero,
respectivamente. Desta forma, os autores justificam que o VS-MRAC pode ser visto como um
MRAC, com fator de esquecimento e uma normalização no termo de adaptação, onde tanto o
esquecimento quanto a adaptação, crescem ilimitadamente, ou seja, são instantâneos.
Nesta primeira versão do DMARC é utilizada a lei de adaptação sugerida em (Hsu e
Costa, 1989). O parâmetro que define a estratégia de controle (controle por adaptação
paramétrica ou controle a estrutura variável) é ajustado em tempo real, com o intuito de obter
bom desempenho transitório, característico do VS-MRAC e um sinal de controle suave,
característico do MRAC. Alguns trabalhos foram desenvolvidos com esta versão, sendo o
ajuste desse parâmetro feito através do uso da lógica nebulosa (Cunha, Araújo, Barbalho e
Mota, 2000, 2001, 2002, 2005).
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
25
Para plantas com grau relativo arbitrário, o DMARC é desenvolvido de forma
semelhante ao B-MRAC. Utiliza-se a estrutura de controle do VS-MRAC, com a exceção de
que o sinal de controle, aplicado à planta, é gerado com a utilização da lei de adaptação do
DMARC para o caso de n
*
=1 (Cunha e Araújo, 2004a, 2004b).
Nas versões posteriores do DMARC (Cunha, Araújo e Mota, 2005, 2006, 2007), a lei
de adaptação foi modificada de forma a se obter estabilidade para o sistema.
Nesta seção é revisto, de uma forma introdutória, o desenvolvimento e a análise de
estabilidade, para plantas de ordem igual a 1, dos algoritmos de controle MRAC, VS-MRAC
e B-MRAC. Também, é apresentado o controlador DMARC na sua versão inicial.
2.1 CONTROLADOR ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA –
MRAC
Nos controladores VS-MRAC, B-MRAC e DMARC é utilizada a mesma estrutura do
controlador MRAC, de forma que o desenvolvimento inicial, apresentado nesta seção, é
comum a todos os controladores em questão.
No MRAC o desempenho desejado para a planta é definido por um modelo de
referência. O diagrama de blocos do controlador MRAC está mostrado na Figura 2.1.
MODELO DE
REFERÊNCIA
PLANTA
MECANISMO DE AJUSTE
DOS PARÂMETROS DO
CONTROLADOR
CONTROLADOR
r
u
y
m
y
- e
0
+
Figura 2.1: Diagrama de blocos do MRAC.
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
26
Nesta seção supõe-se que a modelagem de uma planta para um determinado ponto de
operação, leva a um modelo de primeira ordem, cuja função de transferência será representada
por
()
p
p
as
k
sW
+
=
(2.1)
onde e são conhecidos com incertezas e apresentam variações dependendo do ponto de
operação. Supõe-se que a planta é controlável e observável e tem uma única entrada u e uma
única saída y.
p
k
p
a
A função de transferência para o modelo de referência deve ser estritamente real
positiva e definida com o mesmo grau relativo n* = 1 (excesso de pólos) do modelo nominal
da planta (2.1), sendo dada por
()
m
m
as
k
sM
+
=
k >0 e a >0 (2.2)
m m
tendo r como entrada e y
m
como saída. Ainda, k e k
p m
devem ter o mesmo sinal (assumidos
aqui positivos, sem perda de generalidade).
O objetivo do MRAC é que a planta siga o modelo especificado (condição de casamento
1
),
ou seja,
r
y
r
y
m
=
(2.3)
O sinal de controle fornecido pelo controlador necessita, para sua implementação, da
saída da planta e da referência tendo a forma
ryu
21
θ
θ
+
=
(2.4)
onde
θ
1
e
θ
2
são os parâmetros do controlador.
1
Nesta Tese é utilizado o termo “casamento” como uma tradução ao termo em inglês “matching”
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
27
As saídas da planta e do modelo (vide Figura 2.1) são dadas por
()
u
as
k
usWy
p
==
(2.5)
p
+
()
r
as
k
rsMy
m
m
m
+
==
(2.6)
respectivamente.
metros da planta são conhecidos com exatidão, tem-se os valores dos
parâme
c içã
em (2.5) e usando (2.6) e (2.3) encontra-se para e as
express
Se os parâ
tros do controlador
∗
1
θ
e
∗
2
θ
para os quais a saída da planta converge para a saída do
modelo, conhecida como ond o de “casamento”. Porém, se esses parâmetros são
desconhecidos ou conhecidos com incertezas, torna-se necessária uma adaptação dos
parâmetros do controlador.
Substituindo (2.4)
∗
1
θ
∗
2
θ
ões
p
mp
k
aa
−
=
∗
1
θ
(2.7)
p
m
k
k
=
∗
2
θ
(2.8)
vetor de parâmetros adaptativos é definido como O
]
T
,
21
θθθ
=
(2.9)
o vetor regressor, com informações da saída da planta e da referência, como
]
T
ry,=
ω
(2.10)
e o erro de saída, especificado como o erro entre a saída da planta e a saída do modelo de
referência, como
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
28
m
yye
−
=
0
(2.11)
A apunov, as hipóteses de que o modelo é análise de estabilidade usa a teoria de Ly
estritam nte real positivo (ERP) e k
m
e k
p
são positivos, e aplica o Lema de Kalman-
Yakub
= 1pk
m
(2.12)
Sendo o vetor de parâmetros da condição de “casamento” dado por ,
define-se
(2.13)
s derivadas das saídas da planta e do mode
respectivamente, como
e
ovitch . Segundo este Lema, se o modelo é ERP, existem um p > 0 e um q > 0 tais que
⎧
=⇒−=− qpaq2pa2
mm
⎩
⎨
T
],[
*
2
*
1
*
θθθ
=
*
~
θθθ
−=
A lo podem ser encontradas de (2.5) e (2.6),
(2.14)
ukyay
pp
+
−
=
&
rkyay
mmmm
+
−
=
&
(2.15)
O sinal de controle da equação (2.4) pode ser escrito na forma
(2.16)
a qual leva a
ωθωθωθωθ
TTTT
u
**
+−==
ryu
T *
2
*
1
~
θθωθ
++= (2.17)
Assim, substituindo (2.17) em (2.14) encontra-se a equação
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
29
r
~
)(
*
2
*
1
θωθθ
p
T
ppp
kkykay ++−−=
&
(2.18)
que, levando em consideração a condição de casamento, equa
escrita em função dos parâmetros do modelo como segue:
ções (2.7) e (2.8), pode ser
rk
k
yay
m
T
m
m
++−=
ωθ
θ
~
*
&
2
(2.19)
Derivando em relação ao tempo (2.11) e utilizando (2.15) e (2.19) tem-se a expressão:
ωθ
θ
T
m
m
eae
*
00
+−=
&
(2.20)
k
~
2
té aqui, esse desenvolvimento é comum a todos o
que, nenhuma menção foi feita com relação à lei de adaptação a ser utilizada.
o controlador MRAC a lei de adaptação é do tipo integral, dada por
A s controladores em estudo, uma vez
N
ωγθ
e−=
&
;
γ
>0. (2.21)
0
Seja a seguinte função definida positi a candidata à função de Lyapunov va um
)(
2
),(
*
2
2
00
θθ
γθ
θ
T
peeV +=
~~
11
~
(2.22)
com p > 0. A derivada no tempo desta função, ao longo de (2.
20) e (2.21) é
θθ
γθ
θ
&
&
),(
*
2
000
T
epeeV +=
&
~~
1
~
(2.23)
Supondo constante, e é dado pela equação (2.21).
equação (2.23), encontra-se
θθ
&
&
=
~
*
θ
Usando, então, (2.21) e (2.20) na
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
30
ωγθωθ
00
2
0
1
e
~
e
~
k
pepa)(V
T
*
T
*
m
m
−+−=
&
(2.24)
γθθ
θ
22
0
~
,e
Utilizando-se o lema de Kalman-Yakubovitch, equação (2.12), concluí-se que
(2.25)
a qual é uma função semidefinida negativa. Isso implica que
0)
~
,(
2
00
≤−= qeeV
θ
&
)(
0VtV
)
≤
e, portanto, que
e são uniformemente limitados. Sendo o modelo de
uniform ente limitado, y
m
também é uniformemente limitado. Assim de (2.11) e de (2.10)
0
e
θ
~
referência estável e r, por hipótese,
em
segue que y e
ω
são uniformemente limitados.
Para mostrar que
0
0
→e
quando
∞
→t
, é necessário a utilização do Lema de
Barbalat, enunciado a seguir:
Lema de Barbalat: Se uma função diferenciável
(
)
tf tem um limite finito quando
()
&
ente continua, então
∞→t
, e se
tf
é uniformem
)
&
quando .
Para a aplicação do lema de Barbalat, é ne idade
uniform
é tão . U xaminar a derivada da função
0→tf ∞→t
cessária a verificação da continu
e da função
()
tf
&
. Em muitos casos esta verificação, a partir da definição formal
2
, não
óbvia ma abordagem conveniente é e
(
)
tf
&
.
Precisamente, uma condição simples e suficiente para uma função diferenciável ser
uniformemente contínua é que sua derivada seja limitada (vide (Slotine, 1991) pag.123).
Para aplicar o Lema de Barbalat na função,
)
~
,(
0
θ
eV
&
verifica-se a sua continuidade
uniforme. Assim, derivando-se no tempo
)
~
,(
0
θ
eV
&
(equação(2.25)) e usando (2.20) tem-se
()
)
~
(2
~
*
2
2
θ
θ
k
m
−=
&&
(2.26)
,
000
ωθ
eeaqeV
T
m
2
Definição 3.2.4, pag 73 de (Ioannou e Sun, 1996)
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
31
U em-se que V
&&
é uniformemente ma vez que e
ω
são uniformemente limitados, t
limitado. Conseqüentemente, é uniformemente contínua. Aplicando o Lema de Barbalat
conclu a
,
θ
~
0
e
V
&
i-se que
0
→e
qu ndo
0
∞
→t
. Logo o ponto de equilíbrio
⎥
⎦
⎤
=
⎥
⎥⎢
0
0
0
θ
é globalmente
estável, mas não pode ser garan a estabilidade assintótica global.
Portanto, pela análise de estabilidade usando a teoria de Lyapunov, no caso em que k
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎣
⎡
~
e
tida
e a
p
são constantes,
a origem é um ponto de equilíbrio globalmente estável com ,
tudo, se a entrada for
suficie
p
porém não se pode garantir estabilidade assintótica global. Con
0
0
→e
ntemente rica em freqüências (Ioannou e Sun, 1996), pode-se garantir estabilidade
assintótica global, ou seja,
∗
→
θθ
, com
]
T
,
∗∗
∗
=
θθθ
e, conseqüentemente
0→e
No MRAC, o algoritmo é baseado em estimação dos parâmetros e contém leis de
adaptação integrais (equação (2.11)), o que resulta na falta de robustez à dinâmica não
modelada e distúrbios exter annou
21 0
.
nos (Io e Kokotovic, 1984; Rohrs, Valavani, Athans e Stein,
1985). Para aumentar a robustez no MRAC foi proposta uma lei de adaptação com
modificação
σ
(Ioannou e Kokotovic, 1984), a qual garante no mínimo estabilidade local na
presença de dinâmica não modelada e/ou distúrbios limitados. Essa lei é dada por
ωγσθθ
0
e−−=
&
(2.27)
sendo o primeiro termo do lado direito da igualdade interpretado como um fator de
esquecimento e o segundo termo, um fator de a
conseguida posteriormente por Ioannou e Tsakalis (Ioannou e Tsakalis, 1986), com
levado a conclusões similares ao caso invariante no
tempo.
prendizagem. Estabilidade global foi
normalização do termo de aprendizado na lei de adaptação com modificação
σ
dado na
equação (2.27). A introdução da normalização, no entanto, pode levar a transitórios de
adaptação excessivamente lentos.
O estudo anterior foi desenvolvido com a hipótese de que os parâmetros da planta são
invariantes no tempo. Para plantas que apresentam k
e a
p p
lentamente variáveis com o tempo
(caso quase estático) simulações têm
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
32
2.2 CONTROLADOR ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA E
ESTRUTURA VARIÁVEL - VS-MRAC
cipalmente no caso em que são usados como
controladores de modos deslizantes, apresentam robustez a variações dos parâmetros da
planta
ontrolador VSC. Aqui a superfície deslizante é definida
por
e
Os controladores a estrutura variável, prin
e distúrbios, e, em geral, com resposta transitória mais rápida. A necessidade de
medição de todas as variáveis de estado da planta, no entanto, se apresenta como uma
dificuldade na sua implementação prática. No intuito de se conseguir um sistema de controle
robusto, com bom desempenho transitório e com medições apenas da entrada e saída da
planta, Hsu e Costa (Hsu e Costa, 1989) (ver também (Hsu, 1990)) apresentaram um sistema
de controle adaptativo (VS-MRAC) no qual as leis integrais de adaptação do MRAC
convencional foram substituídas por leis a estrutura variável no mecanismo de adaptação. Os
algoritmos originais foram aperfeiçoados nos trabalhos de (Araújo e Hsu, 1990), (Araújo,
1993) e (Hsu, Araújo e Costa, 1994).
No VS-MRAC utiliza-se a mesma estrutura de controle do MRAC, porém com um
sinal de controle chaveado como no c
0=
e a condição de deslizamento é
00
ee
&
<0 (Figura 2.2).
0
0
0
<e
0
0
>e
0
0
>e
&
0
0
=
e
0
0
<e
&
→ | ←
Figura 2.2: Condição de deslizamento para o VS-MRAC.
As leis integrais de adaptação são substituídas por leis chaveadas da forma
)
yesgn
011
θθ
−=
,
*
1
1
>
θθ
)
resgn
022
θθ
−=
*
22
>
θθ
,
(2.28)
De forma semelhante ao MRAC, escolhe-se uma função definida positiva candidata a
função de Lyapunov como
2
00
2
1
)( peeV =
, p > 0 (2.29)
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
33
A derivada temporal desta função, ao longo da solução do sistema (2.20) é
)
000
epeeV
&
&
=
(2.30)
derivada do erro é dada pela equação (2.20)
A , a qual substituída em (2.30) resulta
ωθ
θ
0
2
0
0
epepa)e(V
*
m
+−=
(2.31)
2
~
k
T
m
&
bserva-se que
O
rθyθrθyθωθ
T *
2
*
121
~
−−+= (2.32)
e, com o uso da lei de adaptação dada pela equação (2.28), to
rna-se
])()([
~
*
10
_
201
yrresgnyyesgn
T
θθθθωθ
+++−=
*
2
r
(2.33)
evando o resultado de (2.33) a (2.31) e considerando que o pr
função por ela própria resulta em seu módulo, encontra-se
L oduto do sinal de uma
][)(
0
*
0
*
101
*
2
2
00
yeye
pk
epaeV
m
m
θθ
θ
+−−=
&
202
rere
θθ
++
(2.34)
que, juntamente com o Lema de Kalman-Yakubovitch, equação (2.12), leva
a
][
1
)(
02020101
*
2
00
θ
**
2
rereyeyeqeeV
θθθθ
+++−−=
&
(2.35)
omo k
m
e k
p
têm o mesmo sinal, supostos positivos, é positi
lei de chaveamento, equação (2.28),
C vo. Pela condição da
*
2
θ
*
11
θθ
>
e
*
22
θθ
>
, pode-se concluir que
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
34
0)(
2
00
<−≤ qeeV
&
(2.36)
. Dessa forma po ente
assinto amente estável e que
que é uma função definida negativa de-se dizer que
0
0
=e
é globalm
tic
0)(lim
0
=
∞→t
te
(2.37)
condição de deslizamento pode ser verificada fazendo p = 1 nas equações (2.30) e
(2.34), ou seja,
A
{}
ωθΔ
θθθθ
θ
θθθθ
θ
θθθθ
θ
m
m
m
m
m
m
m
kekeee
ry
k
eae
reyereye
k
eaee
rereyeye
k
e
eae
201000
*
22
*
11
*
2
00
0
*
20
*
10201
*
2
2
000
0
*
2020
*
101
*
2
2
000
])()[(
][
][
−≤
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+−−−=
++−−+−≤
−−−−+−=
&
&
&
(2.38)
com ,
0
2
2
>=
∗
θ
m
k
k
),min(0
*
22
*
11
θθθθθΔ
−−<<
m
0
1
>k
ry +=
ω
, e .
e
0>> c
ω
e como
0)(lim
0
=
∞→
te
t
S
tem-se que
0
00
<
ee
&
0
tt ≥
∀
, , finito (2.39)
o que significa dizer que a condição de deslizamento é obtida em tempo finito. Ainda, da
última linha de (2.38)
0
t
0
'
0
>≥ ce
&
,
00
ttt
s
≥≥
∀
, e finitos (2.40)
uperfície de deslizamento também é atingida em tempo finito.
0s 0
t t
Portanto, a s
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
35
Da equação (2.28) vê-se que
i
θ
deve ser dimensionado de forma a lev
consideração as incertezas nos parâmetros da planta. Assim, para o caso em que os
parâme
ar em
tros da planta são variantes no tempo, se a condição
)(sup
)(sup
*
202
*
101
t
t
t
t
θθ
θθ
>
>
>
>
(2.41)
é satisfeita, simulações têm levado às mesmas conclusões do caso invariante no tempo.
Apesar de não se poder garantir que , uma vez que aqui não se trata de
adaptação paramétrica e sim de um tema é robusto para
desde
que
∗
→
θθ
a lei chaveada de controle, o sis
perturbações desconhecidas e uniformemente limitadas atuando na entrada da planta,
()
t
seja maior que uma determinada con positiva (Hsu e Costa, 1989) (
ω
stante
(
)
t
ω
é
uma norma do vetor regressor
()
t
ω
).
A principal desvantagem do VS-MRAC é o chaveamento do sinal de controle com
uma freqüência bastante alta (“chattering”) e isto pode levar a dificuldades na implem ão
prática.
entaç
ÊNCIA – B-MRAC
um esquema de controle denominado de Controle Binário
Adaptativo por Modelo de Referência (B-MRAC) (Hsu e Costa, 1990). O B-MRAC consiste
de uma
2.3 CONTROLADOR BINÁRIO ADAPTATIVO POR MODELO DE
REFER
A partir da teoria de controle binário, desenvolvida por Emelyanov (Emelyanov,
1987), Hsu e Costa desenvolveram
lei gradiente de adaptação com projeção do vetor de atualização sobre a base do hiper-
plano para alguma bola finita de
θ
(vide (Hsu e Costa, 1994)). A lei de adaptação é a mesma
do MRAC com fator
σ
(equação (2.27)), com a exceção de que
σ
representa o fator de
projeção, especificado por
⎩
⎨
⎧
<<
=
,0ouse,0
eq
M
σ
σθ
σ
θ
;
2
0
ωθγ
σ
T
e−
=
(2.42)
≥≥ ,0ese,
eqeq
M
σθ
θ
θ
eq
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
36
*
θ
θ
>M
onde
é uma constante.
A lei de adaptação para uma planta de primeira ordem é dada por
(2.43)
sendo os termos
iiii
e
ωγθσθ
0
−−=
&
; i=1,2
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥≥
<<
=
,0ese,
,0ouse,0
,,
,
ieqiiieq
ieqii
i
σθθσ
σθθ
σ
,
2
0
,
θ
ω
θ
γ
σ
ii
ieq
e
−
=
,
*
ii
θθ
>
, i=1,2 (2.44)
e forma similar ao MRAC, é escolhida como candi a funçã
seguinte função definida positiva
D data o de Lyapunov, a
)
~~1
(
1
)
~
,(
*
2
00
θθθ
T
peeV +=
(2.45)
2
2
γθ
com
p > 0. A derivada no tempo desta função ao longo de (2.20) e (2.43) é
θθ
γθ
θ
&
&
&
~~
1
)
~
,(
*
2
000
T
epeeV +=
(2.46)
constante, e é dado pela equação (2.
(2.20) na equação (2.46), encontra-se
Supondo 43). Usando, então, (2.43) e
θθ
&
&
=
~
*
θ
()
ωγσθθ
γθ
ωθ
θ
θ
00
2
0
1
e
~
e
~
k
p)
~
,e(V
T
*
T
*
m
+−+−=
&
(2.47)
22
0
epa
m
Utilizando o Lema de Kalman-Yakubovitch, equação (2.12), conclui-se que
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
37
σθθ
γθ
θ
T
qeeV
~
1
)
~
,(
*
2
2
00
−−=
&
()
[
]
*
2
1
*
2
2
0
1
iii
i
i
qe
θθθσ
γθ
−−−=
∑
=
()
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−−−=
∑
=
2
*
2
2
*
2
1
*
2
2
0
2
1
2
11
iiii
i
i
qe
θθθθσ
γθ
(2.48)
Analisando o termo entre colchetes, observa-se que ele é positivo para todo
tal que
i
θ
*
iii
θθθ
>≥
*
ii
θθ
>
. Por definição para e, como
0
=
i
σ
para
0≥
i
σ
ii
θθ
<
o somatório
em (2.48) é maior ou igual a zero. Assim, da equação (2.48) obtém-se
0)
~
,(
2
00
≤−≤ qeeV
θ
&
(2.49)
que é uma função
semidefinida positiva. Conclui-se, ass
im, que
)()
0VtV ≤ , e portanto, que
0
e
e
θ
~
são uniformemente limitados. De forma sim o modelo de
também é
lim
Lema de Barbalat para se garantir
e
como ca
ilar à análise do MRAC, com
referência estável e
r, por hipótese, uniformemente limitado, y
m
uniformemente
itado e, segue que
y e
ω
são uniformemente limitados.
Devido à descontinuidade de
σ
, não se pode garantir a continuidade uniforme de
)(
0
θ
~
,eV
&
a partir de (2.49). Isto impossibilita a aplicação do
0→
quando
∞→t
. No entanto, escolhendo-se a seguinte função definida positiva
ndidata a função de Lyapunov
que
0
θθθ
T
V
2
1
)(
=
(2.50)
e tomando sua derivada no tempo, ao longo da soluçã
11
0
iiii
(2.51)
Utilizando-se a definição de
o de (2.20) e (2.43), encontra-se
()
∑
−−==
2
2
)(
T
eV
ωγθθσθθθ
&
&
=
, dada na equação (2.44), em (2.51) encontra-se
ieq,
σ
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
38
∑
−=
2
2
)()(V
θσσθ
&
=
1
i
iii,eq
(2.52)
e, com
ii
θθ
≥
para , conclui-se que o conjunto o
0)(
,
≤−
iieq
σ
σ
ii
θθ
≤
é positivamente
,
θθ
~
~
T
é uma co
invariante e, conseqüentemente
uniformemente limitado por nstante. Assim, a
equação (2.45) pode ser reescrita como
))((
2
1
1
2
00
−
+=
γθ
Ope)
~
,e(V
2
0
1
0
2
1
)()
~
,( peOeV =−
−
γθ
(2.53)
onde significa da ordem de
O )(⋅ )(
⋅
. Usando (2.53) em (2.49) tem-se
)]()
~
,([)
~
,(
2
1
1
0
2
00
2
0
−
−−≤
γθθ
OeVqeeVpe
&
)]()
~
,([)
~
,(
1
00
−
−−≤
γθθ
OeV
p
q
eV
&
)()
~
,()
~
,(
1
00
−
+−≤
γθθ
O
p
q
eV
p
q
eV
&
(2.54)
cuja so leva a
lução
)()0(
1
2
0
2
0
−
−
+≤
γ
Oeeke
p
q
(2.55)
onde
k a constante positiva. Conclui-se assim, que o erro de saída converge para um
é um
conjunto residual da ordem de
⎟
⎟
⎞
⎜
⎛
1
O
. Para
⎠
⎜
⎝
γ
γ
suficientemente elevado, esse conjunto
residual torna-se suficientemente pequeno, se aproximando de zero quando
∞→
γ
. Até aqui,
como no MRAC, não se pode garantir a estabilidade assintótica global do sis ntretanto,
se
tema. E
γ
é elevado e o sinal de referência é rico em freqüências, tem-se a convergência
exponencial de
θ
para
*
θ
e, conseqüentemente de
0
e
para zero. Assim, se o sinal de
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
39
referência é rico em freqüências e
γ
é suficientemente elevado, o sistema é globalmente
(uniformemente) exponencialmente estável (Hsu e Costa, 1990).
Uma análise interessante do B-MRAC pode ser feita, reescrevendo a equação (2.43)
como
]
ioii,i
e
ωθσθγ
+−
=
−
0
1
&
, i=1,2 (2.56)
com
σγσ
1−
=
, e expresso da forma
ii,
0
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥−
<
=
ii
i
ii
ii
i,
,
e
,
θθ
θ
ωθ
θθ
σ
se
se0
2
0
0
,
*
ii
θθ
>
, i=1,2 (2.57)
No lim
, tem-se que e 0
1
→
−
γ
é determinado como a solução de
ite quando
∞→
γ
i
θ
0
00
=
+
iii,
e
ω
θ
σ
, i=1,2 (2.58)
Para
0
0
≠
i
e
ω
a equação (2.58) terá solução quando
0
0
≠
i,
σ
. De (2.57) e considerando que o
nto
conju
ii
θ
é positivamente invariante, tem-se q
θ
≤
ue
2
0
ii
e
0
i
i,
θ
ω
θ
σ
ulta em
−=
, o qual substituído em
(2.58), res
01
0
2
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
i
i
i
e
ω
θ
θ
, i=1,2 (2.59)
cuja so é
lução
ii
θθ
=
.
sso, se
Além di
0
0
≠
i,
σ
, de (2.44) tem-se que
0>
i
σ
e, como , conclui-se
que
i,
ii,
σγσ
1
0
−
=
2
, ou seja,
0
i
e
ω
σ
. Substituindo esse tado em (2 e
0>
0
i
i
i,
θ
θ
=
resul .58), tem-s
0
σ
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
40
ii
i
ii
e
e
ωθ
θ
ωθ
0
2
0
−=
, i=1,2 (2.60)
Como
ii
θθ
=
, a equação (2.60) se resume na equação (2.28), que é a lei chaveada do VS-
MRAC.
Pode-se dizer, assim, que o B-MRAC se resume ao VS-MRAC, quando o ganho de
adaptação cresce ilimitadamente.
2.4 CONTROLADOR EM MODO DUAL ADAPTATIVO ROBUSTO –
DMARC
O DMARC foi projetado inicialmente, utilizando a lei de adaptação proposta por Hsu
e Costa (Hsu e Costa 1989). Esta lei de adaptação permite a obtenção de um comportamento
próximo do VS-MRAC ou do MRAC (com fator
σ
e uma normalização) e situações
intermediárias dependendo da escolha de um determinado parâmetro. A novidade é que no
DMARC, este parâmetro é ajustado em tempo real, tendo como objetivo se aproximar do
controlador VS-MRAC quando o erro de saída do sistema é considerado elevado ou do
controlador MRAC quando o erro de saída é considerado pequeno. Objetiva-se, desta forma,
tirar vantagem do bom comportamento transitório do VS-MRAC, e da suavidade do sinal de
controle em funcionamento quase estacionário do MRAC.
O DMARC encontra-se esquematizado na Figura 2.3.
Modelo de
Referência
Lei chaveada
ou
Lei de adaptação
Planta
y
m
u
y
e
0
r
μ
-
+
Figura 2.3: Diagrama de blocos do DMARC.
Controlador
θ
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
41
A lei de adaptação foi modificada, posteriormente, para se adequar ao uso das funções
de Lyapunov, na análise de estabilidade.
Considere a seguinte lei de adaptação
(2.61)
iiii
e
ωσγσθθμ
0
−−=
&
onde
ω
= [
ω
1
,
ω
2
]
T T
= [y , r]
(2.62)
i
i
i
e
ω
θ
γ
0
=
∗
i
θ
,
i
θ
i =1,2 >
Quando
μ
→ 0,
iii
e
ω
σ
γ
σθ
0
0
−
−
=
é dado pela solução de
i
θ
que juntamente com a
equação (2.61) se resumem em (2.28), que são as leis chaveadas do algoritmo VS-MRAC. A
equação (2.61) pode ser reescrita como
iiii
e
ωγ
μ
σ
θ
μ
σ
θ
0
−−=
&
(2.63)
Analisando a equação (2.63), observa-se que quando
μ
→ 0, o fator de esquecimento
tende a infinito, de onde se conclui que o VS-MRAC não tem memória. O termo de
aprendizagem também cresce ilimitadamente, de onde se pode dizer que no VS-MRAC a
adaptação, ou o aprendizado, é instantâneo.
Quando
μ
= 1, a equação (2.61) se resume em
(2.64)
iiii
e
ωσγσθθ
0
−−=
&
que é a lei de adaptação do MRAC com fator
σ
e uma certa normalização do termo de
aprendizado.
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
42
2.4.1 Análise de regulação no plano de fase
Uma das possíveis formas para a transição do controlador DMARC, entre o VS-
MRAC e o MRAC, é feita ajustando-se o parâmetro
μ
segundo a expressão
l
2
0
e
e
−
=
μ
(2.65)
onde é o erro de saída e
l é um parâmetro a ser ajustado.
0
e
μ
=
e
0
e
0
e
2
l
1
VS-MRAC
VS-MRAC
MRAC
função de
l
Figura 2.4: Evolução de
μ
em função do erro de saída.
Observa-se, da Figura 2.4 (ou equação (2.65)), que quando , aproximando-se
do MRAC na condição de regime permanente. Quando
1μ →
0
0
→e
0
e
cresce, dentro de um certo limite
estipulado por
l (vide Figura 2.4),
μ
assume um valor suficientemente pequeno, tendendo o
algoritmo ao VS-MRAC durante o transitório. O parâmetro tem a importante função de
determinar a forma como se dá a transição entre o MRAC e o VS-MRAC. Quanto menor o
valor de
l maior a ação do VS-MRAC em função de , como visto na Figura 2.4.
l
0
e
Para motivar a análise de estabilidade do DMARC, considere um sistema de primeira
ordem especificado pelas equações (2.7) a (2.11) onde, por simplicidade, ,
aa
p
= 1
=
=
mp
kk
,
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
43
e 1
2
=
θ
θ
é um escalar. Assim, a planta e o modelo de referência são dados, respectivamente,
por
; y , u ∈
ℜ
; a ∈
ℜ
(2.66) uayy
+
−
=
&
; y
ryay
mmm
+
−=
&
m
, r ∈
ℜ
; a
m
>0 ∈
ℜ
(2.67)
A lei de adaptação (2.61) e (2.62) é
)yesgn(
0
θσσθθμ
−−=
&
(2.68)
e a lei de controle é
. (2.69) ryu
+
=
θ
No modo regulação ( r = 0),
0
=
m
y ye
=
0
, e uma realização para o erro de saída é
escrita como segue
)
00
eaθe
−
=
&
()
θθσθ
+−=
l
&
2
0
e
e
4
1
>
ε
,
εθ
+> a
, ou
(2.70)
θσθ
ˆˆ
2
0
l
&
e
e−= ,
θθθ
+=
ˆ
)
0
ˆ
,0
0
==
θ
e
Nota-se que o sistema possui um ponto de equilíbrio em
, cuja análise
linearizada, em torno desse ponto de equilíbrio, caracteriza-o como um nó estável.
Definindo a função candidata a função de Lyapunov como
22
0
ˆ
2
1
2
1
θ
σ
+= eV
(2.71)
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
44
tem-se para sua derivada em relação ao tempo ao longo de (2.70)
()
l
&
2
0
e
222
eθeθeaθV
ˆˆ
00
−++−=
. (2.72)
Analisando (2.72), nota-se que para tem-se . Nota-se que quanto menor
for o valor de
l maior será a ação do algoritmo VS-MRAC no espaço de (vê Figura 2.4).
Assumindo, por hipótese
0
ˆ
≤θ 0<V
&
0
e
2
0
2
0
ee
e
>
l
10
≤
< l , tem-se que . Assim, para implica que
e, conseqüentemente, . Desta forma, a equação (2.72) pode ser reescrita como
1
ˆ
≥θ
θθ
ˆˆ
2
≥ 0<V
&
)
2
0
22
0
eθθeaθV
ˆˆ
−++−≤
&
. (2.73)
No intervalo , o segundo termo do lado direito de (2.73) é positivo. Porém, a
função
1
ˆ
0 <<
θ
)
2
θθ
ˆˆ
−
2
1
ˆ
=θ
possui um máximo em . Assim, da equação (2.73) tem-se
2
0
eaθV
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−≤
4
1
&
. (2.74)
2
0
2
0
ee
e
>
l
, de (2.72) vê-se que apenas no ponto 0=V
&
Com esse resultado e, como
0
ˆ
0,
0
==
θ
e
e para todo espaço em torno dele. Como é radialmente ilimitada,
conclui-se que
0<V
&
0>V
0
ˆ
0,
0
==
θ
e
é globalmente assintoticamente estável.
Apesar da semelhança da lei de adaptação do DMARC (equação (2.68)) com a lei de
adaptação com modificação
σ
(equação (2.27)), devido à estabilidade assintótica global da
origem no espaço de estado, espera-se que para esse controlador não haja possibilidade do
surgimento do fenômeno de “bursting”.
Na Figura 2.5 é apresentado o plano de fase para r = 0, com cinco condições iniciais
distintas. Observa-se a convergência para
0
ˆ
0,
0
==
θ
e
independente da condição inicial. Os
dados utilizados na simulação foram:
2
−
=
a
1
=
m
a
, , , e 2,3=
θ
1,0=l 1,0=
σ
. Os
resultados das simulações para r = 0 encontram-se na Figura 2.5.
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
45
Figura 2.5: Plano de fase para uma planta de primeira ordem com r = 0.
Com os mesmos dados anteriores foram feitas simulações para r =1 e os resultados
encontram-se na Figura 2.6. Nesse caso, como a referência é persistentemente excitante,
observam-se as convergências de
θ
para ( 0
~
=
θ
*
θ
) e do erro de saída para zero.
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
46
Figura 2.6: Plano de fase para uma planta de primeira ordem, r = 1.
Foi visto anteriormente que, ao contrário do MRAC, a estabilidade assintótica global
pode ser demonstrada para o VS-MRAC sem exigência sobre riqueza de sinal. Porém, se por
um lado o VS-MRAC exibe propriedades excelentes de invariância, robustez e convergência,
por outro, requer ação de controle excessiva, e sua implementação prática pode apresentar
dificuldades. Enquanto o controle a estrutura variável e modos deslizantes requer freqüência
infinita de chaveamento do sinal de controle, o DMARC pode fixar uma restrição explícita
para a taxa de mudança dos parâmetros ajustáveis. Os problemas de chaveamento podem ser
aliviados fazendo-se uso de um DMARC, o qual fornece um sinal suave em regime
permanente, característico do controle adaptativo, enquanto são mantidas as boas
propriedades transitórias e de invariância inerentes aos sistemas a estrutura variável.
2.5 CONCLUSÕES
Nesta seção é feita uma introdução ao controlador MRAC que possui uma lei de
adaptação integral, o que resulta na falta de robustez à dinâmica não modelada e distúrbios
externos. Uma modificação na lei de adaptação (modificação
σ
), garante estabilidade local na
presença de dinâmica não modelada e/ou distúrbios externos. Acrescentando-se uma
Seção 2 – Introdução aos Controladores MRAC, VS-MRAC, B-MRAC e DMARC
47
normalização no termo de aprendizado e mantendo-se a modificação
σ
, o sistema torna-se
globalmente estável. A introdução da normalização pode levar a transitórios de adaptação
demasiadamente lentos. Apesar do comportamento transitório não ser totalmente aceitável,
em algumas situações, o sinal de controle é suave, tornando-o adequado para a condição de
regime permanente.
O controlador VS-MRAC utiliza a estrutura do controlador MRAC, com a substituição
das leis de adaptação integrais por leis chaveadas, características do controle a estrutura
variável. O controlador VS-MRAC é globalmente assintoticamente estável. O sistema é
robusto para perturbações desconhecidas e uniformemente limitadas, com excelente resposta
transitória. Embora apresente um bom desempenho transitório, o VS-MRAC possui um sinal
de controle, em geral, elevado e com chaveamento em alta freqüência (“chattering”), o que
pode dificultar sua implementação prática.
No B-MRAC é utilizada uma lei de adaptação com projeção, a qual, com um alto
ganho de adaptação, tende à lei chaveada do controlador VS-MRAC. O controlador é
globalmente assintoticamente estável se o ganho de adaptação é suficientemente elevado e o
sinal de controle é rico em freqüências. Uma rápida resposta transitória requer um alto ganho
de adaptação, podendo levar a picos iniciais elevados no sinal de controle.
O DMARC é um algoritmo entre o VS-MRAC e o MRAC com modificação
σ
e uma
normalização no termo de aprendizado. A transição entre o VS-MRAC e o MRAC é feita, em
tempo real, através da variação de um parâmetro (
μ
), na lei de controle, procurando
incorporar as vantagens de cada uma das estratégias. Assim, tem-se um controlador com as
boas características transitórias do VS-MRAC (rapidez e poucas oscilações) e as boas
características de regime permanente do MRAC (sinal de controle suave).
Uma contribuição inicial desta Tese surge na Seção 2.4.1, onde é feita uma análise
preliminar do controlador DMARC no plano de fase. Neste caso usou-se uma função
gaussiana para representar o parâmetro
μ
.
Seção 3 - Controlador MRAC
48
3 CONTROLADOR MRAC
Na Seção anterior foram abordados os controladores MRAC, VS-MRAC e o DMARC
para uma planta de ordem 1. Os três controladores apresentam a mesma estrutura do controle
adaptativo por modelo de referência com leis de adaptação que podem ser integrais (MRAC),
a estrutura variável (VS-MRAC) ou ambas (DMARC). Nesta Seção é desenvolvida a
estrutura de controle do MRAC, considerando os casos de grau relativo unitário e grau
relativo n*>1. A abordagem apresentada segue (Araújo, 1993) e está baseada nos trabalhos de
(Narendra e Valavani, 1978), (Narendra, Lin e Valavani, 1980) e (Sastry, 1984). O objetivo
principal desta Seção é introduzir a nomenclatura e a estrutura de controle que serão utilizadas
nas Seções posteriores.
3.1 INTRODUÇÃO
A técnica de controle adaptativo MRAC é considerada uma das principais abordagens
na área do controle adaptativo (Astrom e Wittenmark, 1995) e, em particular, os algoritmos
que utilizam somente medições da entrada e saída da planta para realizar o ajuste dos
parâmetros do controlador são de especial interesse prático. O objetivo do MRAC é gerar um
sinal de controle de forma que a saída do sistema em malha fechada se aproxime da saída de
um modelo de referência especificado (rastreamento). O esquema de controle é destinado,
teoricamente, a plantas invariantes no tempo com parâmetros desconhecidos e é caracterizado
por um controlador parametrizado com um mecanismo de adaptação.
3.2 ESTRUTURA DE CONTROLE DO MRAC
Considere uma planta com parâmetros incertos, monovariável (SISO), linear e
invariante no tempo (LTI) com função de transferência racional e estritamente própria dada
por
)
()
sD
sN
ksW
p
p
p
=)(
(3.1)
com entrada u e saída y, onde:
Seção 3 - Controlador MRAC
49
♦ é o ganho de alta freqüência.
p
k
♦ é um polinômio Mônico de grau n.
()
sD
p
♦ é um polinômio Mônico de grau m.
()
sN
p
mn*n
−
=
♦ O grau relativo é dado por .
O modelo de referência tendo a entrada r e a saída y
m
caracterizado pela função de
transferência
)
()
sD
sN
ksM
m
m
m
=)(
(3.2)
onde:
♦ é o ganho de alta freqüência.
m
k
♦ é um polinômio Mônico.
()
sD
m
♦ é um polinômio Mônico.
()
sN
m
♦ O grau relativo é o mesmo da planta. *n
Tem-se como objetivo determinar u tal que o erro de saída
m
yye
−
=
0
(3.3)
tenda a zero assintoticamente ou para um pequeno conjunto residual em torno da origem, para
condições iniciais arbitrárias e sinais de referência arbitrários, contínuos por parte e
uniformemente limitados r(t).
São feitas as seguintes hipóteses:
(
)
sN
p
H.1 - a planta é controlável e observável ( e são coprimos) com
grau[ ]=n e grau[
()
sD
p
()
sD
p
(
)
sN
p
]=m, n e m conhecidos;
H.2 - sinal(k ) = sinal(k
p m
), positivos por simplicidade;
(
)
sWH.3 - é Hurwitz (
()
sN
p
é de fase mínima);
H.4 - o modelo de referência tem o mesmo grau relativo da planta ( );
mnn
*
−=
H.5 - apenas realimentação de saída da planta é usada para gerar u.
São usados os seguintes filtros de entrada e saída da planta (Narendra e Valavani, 1978)
Seção 3 - Controlador MRAC
50
(3.4)
⎭
⎬
⎫
+=
+=
gyvv
guvv
22
11
Λ
Λ
&
&
)
Λ
−
sIdet
(
)
sN
m
onde e pertencem a , e
1−
ℜ
n
1
v
2
v
Λ
é escolhido tal que é fator de .
Define-se o vetor regressor como
]
rvyv
TTT
21
=
ω
(3.5)
O controle é, então, parametrizado da forma
)
)
ttu
T
ωθ
= (3.6)
() () () ()
)
[
ttttt
n
T
vn
T
v
T
221
θθθθθ
=
]
onde é o vetor de parâmetros adaptativos. Na Figura 3.1 está
representada essa estrutura de controle.
+
M(s)
y
m
e
0
r
W(s)
y
+
+
-
d
e
+
+
+
+
+
+
u
n2
θ
(
)
gsI
1−
−
Λ
T
v1
θ
T
v2
θ
(
)
gsI
1−
−
Λ
n
θ
Figura 3.1: Estrutura do MRAC com planta desconhecida.
Sabe-se que, sob as hipóteses anteriores, existe um único vetor constante tal que a
função de transferência da planta, sem perturbação na entrada (d
*
θ
e
=0), em malha fechada, (com
), de r para y, é M(s) (condição de “casamento”)(Ioannou e Sun, 1996, Seção
6.3.12). Obviamente somente pode ser conhecido se a planta for conhecida. Quando isto
ωθ
T
*
u =
*
θ
Seção 3 - Controlador MRAC
51
não é o caso
()
t
θ
)
0
0
→te
é adaptado até que quando t → ∞ e eventualmente (sob condições
de riqueza de sinal) .
()
*
t
θθ
→
Seja [ A, b, h
T
] uma realização mínima da planta especificada em (3.1) e o
respectivo vetor de estado. Então, temos a seguinte representação no espaço de estado da
planta:
n
x ℜ∈
e
dbbuAxx
+
+
=
&
(3.7)
xhy
T
=
Define-se o vetor de estado do sistema formado pela planta e pelos filtros de entrada e
saída da planta como
TTTT
vvxX
21
= , o que leva à seguinte representação no
espaço de estado:
22 −
ℜ∈
n
X
(3.8)
e
dbubXAX
000
′
++=
&
onde
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Λ
Λ=
0
00
00
0
T
gh
A
A
, e
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
′
0
0
0
b
b
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
g
b
b
O vetor regressor
ω
pode ser escrito como:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
r
r
ω
ω
onde e . X
v
y
v
r
Ω=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
1
ω
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=Ω
I
h
I
T
00
00
00
Definindo-se
T
vn
T
v
T
r
21
θθθθ
=
, o sinal de controle ideal é então, especificado como:
Seção 3 - Controlador MRAC
52
ωθ
T
**
u =
rXu
*
n
T
*
r
*
2
θθ
+Ω=
Em (3.8) somando e subtraindo o termo encontra-se
*
ub
0
]
()() ()
e
*
*
n
*
n
*
n
T
*
r
dbuu
c
b
br
c
b
bX
c
A
bAX
0
2
202000
1
Ω
′
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
θ
θθθ
3213214434421
&
(3.9)
X
T
c
h
hy
T
321
00=
resultando na seguinte representação, em malha fechada, do sistema planta mais filtros de
entrada e saída
()
e
*
*
n
ccc
dbuubrbXAX
0
2
1
′
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
θ
&
(3.10)
Xhy
T
c
=
onde
♦
[]
00
T
T
c
hh =
♦
Ω+=
T
*
rc
bAA
θ
00
♦
[]
*
n
*
T
*
r
,...,
121 −
=
θθθ
♦
02
bb
*
nc
θ
=
0
2
>=
p
m
*
n
k
k
θ
♦
Na condição de controle ideal ( e
*
uu =
0
=
e
d
), a função de transferência de r para y
deve ser igual a M. Assim, [ ] é uma realização, possivelmente não mínima, detetável
e estabilizável de M(s) (Sastry, 1984), ou seja, o modelo de referência pode ser representado
como
T
ccc
h,b,A
Seção 3 - Controlador MRAC
53
23 −
ℜ∈+=
n
mcmcm
X,rbXAX
&
(3.11)
m
T
cm
Xhy =
Definindo o vetor de erro de estado por e = X - X
m
, tem-se a seguinte realização de
estado para o erro
)
e
*
*
n
c
c
dbuu
b
eAe
0
2
′
+−+=
θ
&
(3.12)
ehe
T
c
=
0
(
)
0
1
bAsIhW
c
T
cd
′
−=
−
)
Definindo-se ,
1
2
−
=
**
n
k
θ
como a função de transferência entre a
perturbação d e o erro de saída , quando e
)
d
*
d
WMkW
)
1−
=
*
uu =
0
e
tem-se que:
ed
**
dWuuMke +−=
0
(3.13)
ed
**
dWuuMke
)
+−=
0
Relembrando que na condição de controle ideal ( e ), a função de
transferência de r para y deve ser igual a M, o erro de saída dado por (3.13) pode ser
representada pelo diagrama de blocos da Figura 3.2
*
uu =
0=
e
d
M(s)
y
m
e
0
r
W(s)
y
+
-
+
+
+
G
2
*
(s)
G
1
*
(s)
k
*
W
d
d
e
+
+
(
)
**
uuk −
M(s)
*
n2
θ
+
+
r
d
e
+
W
d
-1
*
u
+
Figura 3.2: Estrutura do MRAC com parâmetros ideais.
Seção 3 - Controlador MRAC
54
onde:
m
p
*
n
*
k
k
k ==
2
1
θ
. ♦
()
()
()
()
gsI
s
sN
sG
T
*
v
*
1
1
1
1
−
Λ−=
Λ
=
θ
.
♦
()
()
()
()
*
n
T
*
v
*
gsI
s
sN
sG
θθ
+Λ−=
Λ
=
−1
2
2
2
.
♦
(
)
sN
2
(
)
s
Λ
(
)
sG
*
1
♦
Grau[ ]=n-2, grau[
()
sN
1
]=n-1 e grau[ ]=n-1. Portanto, é
estritamente própria e
(
)
sG
*
2
é própria.
Observando-se o diagrama de blocos da Figura 3.2, vê-se que a perturbação na entrada
da planta pode ser deslocada (como mostrado na figura), de forma a se obter um diagrama
equivalente, desde que seja observada a seguinte igualdade
(3.14)
*
d
GW
1
1−=
Utilizando a álgebra de diagrama de blocos no retângulo tracejado da Figura 3.2,
correspondente a , observa-se que na condição de casamento ( e
()
sM
*
uu =
0
=
e
d
), a
seguinte equação deve ser satisfeita
()
(
)
() () ()
sGsWsG
sW
sM
**
*
n
21
2
1 −−
=
θ
(3.15)
A partir de (3.15), nota-se que para ocorrer o perfeito casamento entre o modelo de referência
e a planta, o controlador ( e
()
sG
*
1
(
)
sG
*
2
) deverá não só alocar os pólos em malha fechada,
como também substituir os zeros da planta pelos zeros do modelo. Este cancelamento de
zeros leva à restrição de que a planta seja de fase mínima.
Até aqui nenhuma ressalva foi feita com relação ao grau relativo da planta.
Seção 3 - Controlador MRAC
55
3.3 MRAC CONVENCIONAL
O caso n
*
=1 apresenta uma prova relativamente simples para a estabilidade global do
sistema devido à possibilidade de se escolher um modelo ERP (Estritamente Real Positivo).
Para n
*
≥ 2 torna-se necessária a introdução de um sinal auxiliar no sistema de controle
(Monopoli, 1974), com a finalidade de se obter um erro aumentado regido por um operador
ERP. Considere um polinômio L(s) de grau N=n
*
-1 de forma que M(s)L(s) seja uma função
de transferência ERP.
Seja o sinal auxiliar
ωθθ
11
12
−−
+
−= LuLMLy
T
na
(3.16)
*
n2
1
θ
onde
θ
2n+1
e
θ
são estimativas para e (parâmetros de casamento), respectivamente. O
erro aumentado é definido como
*
θ
)
aama
yeyyye
−
=
−
−
=
0
(3.17)
Da expressão de e
0
(3.9) obtém-se
)
)
ωθ
θ
ωθ
θ
11
22
0
11
−−
−=−= LuLMLuMe
T
*
*
n
T
*
*
n
(3.18)
Para garantir a estabilidade global do sistema adaptativo (Narendra, Lin e Valavani,
1980) propuseram a seguinte modificação em y
a
()
)
)
[
]
ωωαωθθθ
1111
12
−−−−
+
+−= LLeLLMLy
T
a
TT
na
,
α
> 0 (3.19)
O erro aumentado assume a forma
()
)
)( )
[]
ωωαθωθθθωθ
θ
11
2
11
12
1
2
1
−−−−
+
−
−−+= LLeLL
~
L
~
MLe
T
a
*
n
TT
n
T
*
n
a
(3.20)
Seção 3 - Controlador MRAC
56
onde
()()
)
)
)
c
T
cc
T
c
bAsIhsLbAsIhsLsM
′
−=−=
−− 11
(3.21)
T
ccc
h,b,A
′
é uma realização não mínima de M(s)L(s). No espaço de estado tem-se
Ou seja,
()
)
)( )
[]
ωωαθωθθθωθ
θ
11
2
11
12
1
2
−−−−
+
−
∗
−−+
′
+= LLeLL
~
L
~
b
xAx
T
a
*
n
TT
n
T
n
c
ece
&
(3.22)
e
T
ca
xhe =
Para atualizar
θ
(t) e
θ
(t) são usadas as seguintes leis integrais de adaptação
2n +1
ωθ
1−
−= Le
a
&
(3.23)
ωθθθ
11
12
−−
+
−= LLe
TT
an
&
Assim o MRAC convencional pode ser resumido como segue na Tabela 3.1.
Tabela 3.1. Algoritmo de controle MRAC convencional.
ωθ
T
u =
()
)
)
[
]
ωωαωθθθ
1111
12
−−−−
+
+−= LLeLLMLy
T
a
TT
na
,
α
> 0
e
a
= e
0
- y
a
()
ωθθθ
ωθ
11
12
1
−−
+
−
−=
−=
LLe
Le
TT
an
a
&
&
Na análise de estabilidade através da teoria de Lyapunov, é comum o uso de funções
definidas positivas como candidatas a funções de Lyapunov, do tipo .
Normalmente, o sistema é modelado através de funções de transferência ERP, de forma a ser
possível o uso do Lema de Kalman-Yakubovich (LKY). Para esses sistemas enunciaremos o
Lema a seguir:
PxxV
T
=
Seção 3 - Controlador MRAC
57
Lema 3.1: Seja o sistema SISO (single input- single output)
)
)
es
usMsy
=
onde M(s) é uma função de transferência ERP (Estritamente Real Positiva) com entrada u
e
e
saída y
, cuja representação no espaço de estado é
s
e
buAxx
+
=
&
xcy
T
s
=
.
PxxV
T
2
1
=
Então para a função definida positiva dada por
, tem-se que:
i)
.
se
T
yuQxxV +−=
&
ii)
Se é tal que , então, assintoticamente, quando .
e
u 0<
se
yu 0→
s
y ∞→t
iii)
Ainda no mínimo exponencialmente.
0→
s
y
Prova:
Pelo Lema de Kalman-Yakubovich (LKY), sendo M(s) ERP ∃ P=P
T
>0 e Q=Q
T
>0 tal que
e . Então, a derivada em relação ao tempo de V ao longo da solução
do sistema é
QAPPA
TT
2−=+ cPb =
)]()[(
2
1
)(
2
1
e
T
e
TTTTTT
PbuxPxubPAxxPxAxxPxPxxV +++=+=
&&
&
se
T
e
T
e
TTTT
yuQxxcuxxucxPAxPAxV +−=+++= )]()([
2
1
&
resultando em i). Agora, se
0
<
se
yu
tem-se que é definida negativa,
concluindo-se que e, conseqüentemente , tendem a zero assintoticamente, o que prova o
ítem ii).
0<+−=
se
T
yuQxxV
&
e
x
s
y
De ii), se e usando a desigualdade de Rayleigh tem-se que
0<
se
yu
2
xyuQxxV
Qminse
T
λ
−<−−=
&
2
xV
Pmax
λ
≤
e .
Pmax
V
x
λ
≥
2
0>>−
Pmax
Qmin
V
V
λ
λ
&
0
2
>>− xV
Qmin
λ
&
e o que leva a . Então
Desta forma,
VV
Pmax
Qmin
λ
λ
−<
&
, garantindo a convergência exponencial de e conseqüentemente para
zero ■
e
x
s
y
Seção 3 - Controlador MRAC
58
Para o MRAC, a prova de estabilidade global do sistema adaptativo, e da convergência
para zero de , e baseia-se na função de Lyapunov
()
te
a
()
ty
a
()
te
0
()
)
2
1212
2
1
2
1
++
++=
n
*T*
e
T
ene
~
k
~~
kPxx
~
,
~
,xV
θθθθθ
cuja derivada em relação ao tempo, ao longo de (3.22) e (3.23), (com o auxílio do Lema 3.1
(i) para o primeiro termo do lado direito da equação) é
()
)
)
ωωαθθ
112
12
−−
+
−−= LLeQxx
~
,
~
,xV
T
ae
T
ene
&
(3.24)
12 +ne
~
,
~
,x
θθ
a qual é, somente, semi-definida negativa no espaço
. O termo com
α
em (3.24)
garante que
θ
&
~
∈ , constituindo-se em um fato central para o restante da prova.
n
L
2
2
A convergência de
θ
para requer, adicionalmente, que a excitação seja rica em
freqüências. Sastry apresentou uma condição explícita para a convergência de
*
θ
θ
para em
termos de raias espectrais do sinal de referência
*
θ
(
)
tr (Sastry, 1984).
3.4 COMENTÁRIOS
No MRAC, o algoritmo é baseado na estimação dos parâmetros e contém leis integrais
de adaptação (equação (3.23)), o que resulta na falta de robustez à dinâmica não modelada e
distúrbios externos (Ioannou e Kokotovic,1984; Rohrs e outros, 1985).
Uma significativa contribuição, para o caso de n
*
=1, foi feita por (Ioannou e
Kokotovic, 1984) com a introdução do fator σ na lei de adaptação, tornando-a da forma
(3.25)
ωσθθ
0
eΓ−−=
&
a qual garante, no mínimo, estabilidade local na presença de dinâmica não modelada e/ou
distúrbios externos. Estabilidade global foi obtida depois por (Ioannou e Tsakalis, 1986),
retendo a modificação anterior e introduzindo normalização no termo
ω
0
e
. O primeiro termo
Seção 3 - Controlador MRAC
59
do lado direito da igualdade pode ser interpretado como um fator de esquecimento e o
segundo termo, um fator de aprendizagem.
A introdução de normalização, no entanto, pode levar a transitórios de adaptação
demasiadamente lentos e mesmo com a excitação rica em freqüências, a qualidade do
transitório de adaptação (quando
(
)
t
θ
está distante de
(
)
t
*
θ
) não é uniforme e a convergência
dos parâmetros adaptativos é muito lenta. Apesar do comportamento transitório não ser
totalmente aceitável, em algumas situações, o sinal de controle é suave, tornando-o adequado
para a condição de regime permanente.
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
60
4. CONTROLADOR VS-MRAC
A estratégia de controle adaptativo do VS-MRAC utiliza a estrutura do controlador
MRAC, da seção anterior, com leis de adaptação a estrutura variável para os parâmetros de
adaptação, com realimentação apenas da saída da planta. Para o caso de grau relativo unitário,
foi desenvolvida de uma forma relativamente simples, uma lei a estrutura variável em
substituição à lei de adaptação integral do MRAC (Hsu e Costa, 1987, 1989). O erro de saída
()
0
0
≡te se torna uma superfície deslizante no espaço de estado do sistema. Para o caso de
2≥
*
n
dificuldades adicionais surgem, uma vez que não se pode escolher um modelo de
referência ERP. Para solucionar este problema, é utilizado um operador
()
sL
para compensar
o grau relativo excedente da planta, escolhido de forma que a função de transferência
()()
sLsM seja ERP. Uma cadeia de erros auxiliares foi então, introduzida de forma a se
conseguir o rastreamento do modelo (Hsu, 1990; Hsu, Araújo e Costa, 1994; Hsu, Lizarralde
e Araújo, 1997). Mais recentemente, para compensar o grau relativo da planta, foi proposta
uma realização aproximada do operador
)
sL (não-causal), por um compensador utilizando
um filtro linear em avanço (Peixoto, Lizarralde e Hsu, 2002). Em (Nunes, Hsu e Lizarralde,
2006) o compensador é gerado por uma combinação convexa de um filtro linear em avanço e
de diferenciadores exatos, baseados em modos deslizantes de ordem superior (Levant, 2003).
Nesta seção, seguindo (Araújo; 1993), é revisado o desenvolvimento do VS-MRAC proposto
em (Hsu, 1990) e o algoritmo VS-MRAC compacto apresentado em (Hsu, Araújo e Costa,
1994) e (Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997) cuja estrutura será utilizada no desenvolvimento do
DMARC com 2≥
*
n .
4.1 VS-MRAC COM
2≥
*
n
O VS-MRAC foi desenvolvido por (Hsu e Costa, 1989) no intuito de buscar um
controlador robusto em relação às incertezas da planta e com um desempenho transitório
significativamente melhor que os obtidos com os algoritmos baseados em identificação de
parâmetros. Para o caso de
1=
*
n , a solução foi substituir as leis integrais de adaptação por
leis de adaptação a estrutura variável, tornando o erro de saída
()
0
0
≡te uma superfície
deslizante no espaço de estado do erro do sistema. A lei de adaptação é dada por
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
61
()
ωθ
0
esgn
_
Θ−=
(4.1)
onde
()
i
diag
θ
=Θ ,
*
i
i
_
θθ
> , n,...,i 21= e
)
)()
]
T
n
esgn,...,esgnesgn
20100
ωωω
=
.
Para o caso de
n
*
≥ 2 (Hsu, 1990), é necessária a introdução de uma cadeia de erros
auxiliares para o rastreamento do modelo. São feitas as hipóteses H.1-H.5 da seção 3.2 e
adiciona-se:
H.6 - incertezas paramétricas uniformemente limitadas.
Considere um polinômio
L(s) de grau 1−=
*
nN , de forma que M(s)L(s) seja uma
função de transferência ERP, definido como
)
)
)
sL...sLsL
N1
=
; 1−=
*
nN
()
)
i
ssL
δ
+
=
,
ℜ
∈
i
δ
e 0>
i
δ
; N,...,i 1
=
Sejam os seguintes sinais filtrados (vide Figura 4.1)
)
ωξ
1
1
−
+
=
Nii
L...L , 110
−
=
N,...,,i
ω
ξ
=
N
)
uL...L
NiN
1
1
−
+
=
χ
, 110
−
=
N,...,,i
u
N
=
χ
Reescrevendo a equação do erro de saída com a nova nomenclatura dos sinais
auxiliares tem-se
)
000
ξθχ
T
***
kkMLe −= (4.2)
1
N
L
−
1
2
L
−
1
1
L
−
1
1
ξ
χ
ωξ
χ
1
0
1
0
−
−
=
=
L
uL
2
2
ξ
χ
N
N
u
ξω
χ
=
=
1N
1N
−
−
ξ
χ
Figura 4.1: Geração dos sinais auxiliares filtrados do VS-MRAC compacto.
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
62
O sinal adicional
a
y , que também pode ser interpretado como uma predição de
0
e
(Hsu, Araújo e Costa, 1994), é redefinido, a partir de (3.16), como
0000
ξθχκ
T
a
MLy −= ;
ωθ
T
N
u = (4.3)
onde
N
θ
corresponde a
θ
,
0
κ
corresponde a
12 +n
θ
e um novo vetor de parâmetros foi
introduzido em contrapartida a
θ
θ
12 +n
. Comparando-se (4.2) com (4.3), tem-se
0
κ
e
0
θ
como
estimativas de
*
k
e
**
k
θ
, respectivamente.
Assim, o erro aumentado
()
aama
yeyyye
−
=
−
−
=
0
, torna-se o erro de predição e assume a
forma
)
0000200
ξθχκθξθχ
T*
n
T
**
a
MLke −−−= (4.4)
Como
M
L é ERP determina-se leis chaveadas para
0
κ
e
0
θ
tais que
)
0→te
a
quando
∞→t , eventualmente através da superfície deslizante
)
0
≡
te
a
.
Utilizando-se o Lema 3.1 com
as
ey
=
,
()
000000
ξθχκξθχ
T
T
**
e
ku −−−= tem-se
que
)
a
T
a
T
**
se
eekyu
000000
ξθχκξθχ
−−−=
()
a
T
a
T
**
aanomanom
*
se
eekeekekkyu
0000000
ξθξθχκχχ
+−−+−=
(4.5)
onde
nom
k é um valor nominal para
*
k
. As seguintes leis são definidas:
)
ajj
esgn
000
ξθθ
−= ; n,...,j 21
=
(4.6a)
)
noma
kesgnk +=
00
χκ
(4.6b)
com os limitantes superiores
*
j
*
j
k
θθ
>
0
; n,...,j 21
=
(4.7a)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
63
nom
*
kkk −>
(4.7b)
de forma que 0
<
se
yu e, conseqüentemente,
)
0→te
a
quando
∞
→t .
Com estas definições, observando-se (4.7b), (4.6b) e a manipulação feita em (4.5),
k
pode ser visto como um limite para a incerteza em
*
k , enquanto
nom
k é um valor nominal
para
*
k
.
Para mostrar que
()
0≡te
a
é uma superfície deslizante alcançada em tempo finito,
considera-se a seguinte representação por variáveis de estado do sistema (4.4) (usa-se (3.21))
)
0000200
ξθχκθξθχ
T*
n
T
*'
c
*
ece
bkxAx −−−+=
&
e
T
ca
xhe =
(4.8)
Verifica-se de (4.8) com o uso de (4.6) e (4.7) que
)
]
000
ξθΔχΔ
mbeaaaa
kkxkeee +−≤
&
(4.9)
onde 0
>
a
k , 0>
b
k ,
nom
*
kkkk −−≤<
Δ
0 e
*
j
*
j
n,...,j
m
kmin
θθθΔ
−≤<
=
0
21
0
0
.
Portanto, se a condição (4.7) é satisfeita,
e
x e
a
e tendem a zero no mínimo
exponencialmente e, se
0
0000
>≥+ ck
m
ξθΔχΔ
, então 0
<
aa
ee
&
e
aaa
eee
λ
−<
&
com 0>
λ
0
tt ≥∀ ,
0
t finito. Conclui-se então, que
)
0
≡
te
a
é uma superfície deslizante e é alcançada
em tempo finito.
Neste caso, o controle equivalente, é especificado por
()
000000
ξθχξθχκ
T
**
eq
T
k −→− (4.10)
Para o modo deslizante ideal (
()
0
≡
te
a
),
)
)
txtx
*
ee
= , onde
(
)
tx
*
e
é uma solução de
)
*
ec
T
c
'
c
T
c
'
c
*
e
xAhbhbIx
1−
−=
&
,
)
00 =
*
e
T
c
xh
(4.11)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
64
Necessita-se, agora, definir a lei de chaveamento para
)
N
θ
θ
de forma a se obter
()
ωθωθ
T
*
eq
T
→ e, consequentemente, o rastreamento do modelo. Para tal, são introduzidas
duas cadeias de parâmetros auxiliares (
i
θ
; N,...,,i 10
=
e
i
χ
; 110 −
=
N,...,,i ) e uma cadeia
de erros auxiliares (
i
e
′
; N,...,,i 10= ,
a
ee
=
′
0
). Os erros auxiliares são definidos de forma a
serem regidos pelas funções de transferência ERP
)
sL
i
1−
. Assim, as leis de chaveamento para
i
θ
e
i
κ
são escolhidas com o intuito de se obter 0→
′
i
e , eventualmente através das
correspondentes superfícies deslizantes 0
≡
′
i
e .
Sejam os parâmetros
*
j
*
ji
k
θθ
> ; n,...,j 21
=
; N,...,,i 10
=
*
jjN
θθ
> ; n,...,j 21
=
(4.12)
nom
*
kkk −>
e os sinais
i
T
iiii
u
ξθχκ
−= , 110
−
=
N,...,,i
ωθξθ
T
NN
T
NN
u −=−=
(4.13)
onde
)
iijiji
esgn
′
−=
ξθθ
; n,...,j 21
=
; 110 −
=
N,...,,i
)
NNjNjN
esgn
′
−=
ξθθ
;
n,...,j 21
=
(4.14)
)
nomiii
kesgnk +
′
=
χκ
; 110
−
=
N,...,,i
Os erros auxiliares são definidos como
()
)
ii
eq
ii
uLue
1
1
−
−
−=
′
;
110
−
=
N,...,,i
()
111 −−−
+−=
′
Nnom
*
eq
NnomNN
kkue
χχ
(4.15)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
65
onde
()
*
eq
i
u
é o controle equivalente associado ao modo deslizante
(
)
0≡
′
te
i
.
Estes erros podem ser reescritos como
)
ii
*
ni
T
*
ii
*
i
uLke
πθξθχ
+−−=
′
−
2
1
; 110
−
=
N,...,,i
NN
T
*
NN
*
N
uLke
πξθ
+−−=
′
−1
(4.16)
ou, considerando que
()
ii
ssL
δ
+= , N,...,i 1
=
ii
*
ni
T
*
i
*
iii
ukee
πθξθχδ
+−−+
′
−=
′
2
&
; 110
−
=
N,...,,i
NN
T
*
N
*
NNN
ukee
πξθδ
+−−+
′
−=
′
&
(4.17)
onde
i
π
( N,...,i 1= ) são sinais que tendem exponencialmente a zero, definidos como
)
*
ec
T
cc
T
c
*
n
xAhbhL
1
211
−
′
=
θπ
1−
=
iii
L
π
π
; N,...,i 2
=
(4.18)
A definição de
i
π
envolve o operador
i
L , portanto, para que
i
π
tenda
exponencialmente para zero , deve-se utilizar
)
*
eq
⋅ ao invés de
(
)
eq
⋅
na expressão do erro
auxiliar
i
e
′
.
Para se analisar a convergência dos erros auxiliares escolhe-se
()
2
2
1
ii
eeV
′
=
′
; N,...,i 1
=
(4.19)
e encontra-se
()
()
iijiij
n
j
jiijiiinomiiiii
ekekeekkekeeV
πξθξθχχδ
′
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
+
′
+
′
−+
′
−
′
−=
′
∑
=
***
2
1
*2
&
;
11
−
=
N,...,i
(4.20)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
66
()
NNjNNj
n
j
jNNjNNiN
ekeekeeV
πξθξθδ
′
+
′
+
′
−
′
−=
′
∑
=
**
2
1
*2
&
Ainda, de (4.17), (4.14) e (4.12)
()
i
*
imiiiiiii
kkeeee
πξθΔχΔδ
++−
′′
=
′′
&
; 11
−
=
N,...,i
N
*
NmN
*
NNNNN
kkeeee
πξθΔδ
+−
′′
=
′′
&
(4.21)
onde
*
j
*
ji
n,...,j
mi
kmin
θθθΔ
−≤<
= 21
0 e
*
jjN
n,...,j
mN
min
θθθΔ
−≤<
= 21
0 .
Também, a partir de (4.17) com
N
uu
−
=
e
ω
ξ
=
N
, de (3.12) com 0=d e definindo-
se
Nc
ebee
′
−= , encontra-se
)
NcNcNcc
bkebIAeAe
πδ
*
−
′
++=
&
(4.22)
Analisando-se (4.22), como
c
A é exponencialmente estável e
N
e
′
e
N
π
tendem
exponencialmente para zero, conclui-se que
)
te
e consequentemente
()
te
tendem a zero
exponencialmente. Como
()
)
tehte
T
c
=
0
,
(
)
te
0
também tende a zero exponencialmente.
Desde que,
ωθ
T
NN
uu =−= , com
'
NNjNjN
esgn
ξθθ
−= , todas variáveis de estado do
sistema são
e
L
∞
. Na verdade, a correspondente inclusão diferencial é da forma
{} ()
tgXAX +∈
&
, sendo
X
o vetor de estado correspondente à planta mais os filtros. Todos
elementos
A do conjunto matricial
{
}
A
satisfazem a
1
KA ≤
e
)
2
Ktg ≤
, 0≥∀t . Assim
()
tX não pode crescer mais que uma função exponencial e, consequentemente, os resultados
de convergência para os erros auxiliares e para o erro de saída são válidos independentemente
de
ω
(Hsu, 1990).
O algoritmo de controle, desenvolvido até agora, foi denominado de VS-MRAC
(Araújo, 1993) e encontra-se resumido na Tabela 4.1.
O VS-MRAC possui as seguintes propriedades (Hsu, 1990):
a)
Todos os sinais do sistema são uniformemente limitados;
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
67
b)
os erros
i
e
′
(
N,...,,i 10= ) convergem para zero, no mínimo exponencialmente, e o
erro de saída
e
0
converge a zero exponencialmente; os resultados da convergência
independem de
r(t);
c)
se
ii
c)t( >
ξ
, 0>
i
c , é válida
i
tt ≥
∀
,
i
t finito, então existe
isi
tt ≥
finito, tal que
()
0=
′
te
i
,
si
tt ≥∀ ,
N,...,,i 10=
;
d)
se um distúrbio desconhecido e uniformemente limitado
()
td
e
, d)t(d
e
≤ , atua
na entrada da planta, todos os sinais no sistema permanecem uniformemente
limitados e o erro de saída é ulteriormente limitado por
dk
d
, 0>
d
k ;
e)
se em d) também temos i
∀
, dc)t(
ii
>
ξ
,
i
tt ≥
∀
,
i
t finito e
i
c uma constante
positiva adequada, então, a propriedade c) é válida e o erro de saída converge
exponencialmente a zero como em b).
As propriedades (d) e (e), referentes aos efeitos de distúrbios na entrada da planta, são
consideradas, escrevendo-se a partir de (3.13)
dLuMke
n
T
~
2
**
0
∗
+−=
θωθ
(4.22)
onde
ed
dWd
~
L =
. Desta forma reescreve-se (4.2) como
)
d
~
kkMLe
T
***
+−=
000
ξθχ
(4.23)
e com
a
y dado por (4.3), tem-se
)
dMLke
n
T
n
T
a
~
*
20000
*
20
*
0
*
θξθχκθξθχ
+−−−= (4.24)
Como definido na seção 3.2,
)
0
1
bAsIhW
c
T
cd
′
−=
−
)
é a função de transferência entre a
perturbação
d e o erro de saída
0
e , quando
ωθ
T
**
uu == (vide Equação (3.13) e Figura 3.2).
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
68
Sendo
*
n o grau relativo de
d
W
)
e
M
inversamente estável,
)
d
*
d
WMkW
)
1−
= é uma função de
transferência própria e estável e
d
~
e d
~
L são uniformemente limitados. Portanto,
()
d
~
ku
T
**
eq
+−→
000
ξθχ
()
d
~
L...Lku
ii
T
*
i
*
eq
i 1
+−→
ξθχ
; 11
−
=
N,...,i (4.25)
()
)
d
~
Lu
*
nN
T
*
eq
N
T
N
eq
2
θξθξθ
+→=
Uma análise similar ao caso sem perturbação pode ser feita e, se a condição
dc
ii
≥
ξ
(
i
tt ≥∀ , 0>
i
c ) é satisfeita, todos os erros auxiliares convergem no mínimo
exponencialmente para zero e o erro de saída converge exponencialmente para zero.
Tabela 4.1: Algoritmo de controle VS-MRAC
.
i
T
iiii
u
ξθχκ
−= ; 110
−
=
N,...,,i
N
T
NN
u
ξθ
−=
N
uu −=
[]
0
uMLy
a
=
ama
yeyye
−
=−=
0
a
ee =
′
0
()
)
ii
eq
ii
uLue
1
1
−∗
−
−=
′
; 110
−
=
N,...,,i
()
111 −−−
+−=
′
Nnom
*
eq
NnomNN
kkue
χχ
)
iijiji
esgn
′
−=
ξθθ
; n,...,j 21
=
; N,...,,i 10
=
()
nomiii
kesgnk +
′
=
χκ
;
110
−
=
N,...,,i
*
j
*
ji
k
θθ
> ; n,...,j 21
=
; N,...,,i 10
=
*
jjN
θθ
>
;
n,...,j 21
=
nom
*
kkk −>
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
69
4.2 VS-MRAC COMPACTO COM
2≥
*
n
A partir do VS-MRAC, foi desenvolvido o VS-MRAC compacto, onde são
necessários apenas
*
n
relés de amplitude modulada, ao invés dos
()
112 −+nn
*
do
VS-MRAC. As amplitudes das funções de modulação dos relés podem ser reduzidas, se é
conhecido algum modelo nominal para a planta. Neste caso, pode-se determinar um vetor de
parâmetros nominais
nom
θ
(idealmente
*
nom
θθ
=
) de forma que o limitante superior é
projetado para vencer a incerteza entre
*
θ
e
nom
θ
.
Um aspecto relevante, foi a constatação de que a análise de estabilidade para plantas
com ganho de alta freqüência (
p
k ) desconhecido, poderia ser sensivelmente simplificada,
considerando
p
k
conhecido e considerando o efeito da incerteza de
p
k
, como um distúrbio na
entrada da planta. A rejeição de distúrbios na entrada da planta pode ser facilmente resolvida
com o VS-MRAC (ver final da seção 4.1). As funções de modulação são projetadas (supondo
p
k conhecido) de tal forma que o distúrbio, correspondente à incerteza em
p
k , seja rejeitado.
Define-se
ωθωθ
T
nom
T
u += (4.26)
onde
nom
θ
é um vetor de parâmetros nominal obtido com algum modelo nominal da planta.
Idealmente,
*
θθ
=
nom
e, neste caso,
θ
representa a incerteza entre
*
θ
e
nom
θ
. Desta forma, o
valor de
θ
é dado por
nom
*
θθθ
−= . O erro de saída é, então, reescrito a partir de (3.13)
(com
ωθ
T
**
u =
e 0=
e
d ) e (4.26) como
ωθωθωθ
T
*T
nom
T*
Mke −+=
0
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=
−−
ωθθωθ
11
0
L
k
k
L
k
k
MLke
T
nom
T
*
nom
*
T
nom
*
nom
(4.27)
Os seguintes parâmetros são definidos:
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
70
♦ 0>
nom
k é um valor nominal para
m
p
*
n
*
k
k
/k
==
2
1
θ
e, assume-se
nom
k ≠ 0 .
♦ 0>=
nom
*
k
k
ρ
, no caso ideal
ρ
= 1.
♦ 1−=
−
=
ρκ
nom
nom
*
k
kk
.
Então, de (4.26) tem-se que
00
111
ξθχωθωθ
T
nom
T
nom
T
LuLL −=−=
−−−
, resultando em
0000
ξρθξθθρρχ
T
nom
T
nom
T
*
nom
MLke −−−=
(4.28)
onde o operador
)
sL de grau 1−=
*
nN é escolhido de forma que
()()
sLsM seja uma função
de transferência ERP.
Define-se a predição do erro de saída como
()
)
000000
11
ξθκξθχκ
T
nom
T
noma
MLky +−−+=
ωθξθξθχκ
T
nom
TT
nomnoma
uLMLky −+−−=
−1
0000
(4.29)
onde
()
1
0
+
κ
e
0
θ
são estimativas para
ρ
e
T
nom
T
*
θθρ
− , respectivamente.
Define-se o erro de predição a partir de (4.28) e (4.29) como
()
()
]
0000000
11
ξθκρξθξθθρχκρ
T
nom
TT
nom
T
*
noma
MLke −−−+−−−−=
()
()
)
00000000
1
ξθθρξθχρξθξθχκ
T
nom
T
*T
nom
TT
nomnoma
MLke −−−−++−−=
(4.30)
Vê-se que o erro de predição é regido pelo operador
ML que é ERP. Pelo Lema 3.1,
definindo-se a candidata a função de Lyapunov
a
T
a
PeeV = , para que o erro de predição tenda
a zero deve-se ter
()
()
)
01
00000000
<−−+−−+−−
a
T
nom
T
*
a
T
a
T
noma
T
nomnom
eeeek
ξθθρξθξθχρξθχκ
(4.31)
Para satisfazer a desigualdade em (4. 31) determina-se os sinais
0
κ
e
0
θ
como
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
71
000
ξθχκ
T
noma
esgnk −= ,
κ
>k
, 1
−
=
ρ
κ
jajj
esgn
000
ξθθ
−= ,
nom,j
*
jj
θθρθ
−>
0
; n,...,j 21
=
(4.32)
Assim, o sinal de controle que faz com que
a
e tenda para zero assintoticamente, é dado por
000000
ξθξθχκ
TT
nom
u −−=
(4.33)
Definem-se então, os seguintes sinais
i
T
ii
T
nomiii
u
ξθξθχκ
−−= ; 110
−
=
N,...,,i
N
T
NN
u
ξθ
−= (4.34)
e, adicionalmente os seguintes parâmetros
*
jnom,jji
θθρθ
−> ; n,...,j 21
=
; N,...,,i 10
=
*
jnom,jjN
θθθ
−> ; n,...,j 21
=
(4.35)
κ
>k
A redução do número de relés é obtida reescrevendo (4.34) com o uso de (4.33) como segue
i
n
j
jijii
T
nomii
esgnku
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
∑
=
2
1
ξθξθχ
;
110
−
=
N,...,,i
;
n,...,j 21
=
N
n
j
jNjNN
esgnu
′
−=
∑
=
2
1
ξθ
; n,...,j 21
=
(4.36)
Usando (4.33) e fazendo
nomN
uuu
+
−
=
em (4.29), a predição do erro de saída é
colocada da seguinte forma
Nnoma
uLuMLky
1
0
−
−= (4.37)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
72
Tem-se, então, o algoritmo para o VS-MRAC compacto resumido na Tabela 4.2 e sua
representação em diagrama de blocos ilustrada na Figura 4.2.
Tabela 4.2: Algoritmo de controle VS-MRAC compacto
.
nomN
uuu +−=
)
]
Nnoma
uLuMLky
1
0
−
−=
()
aama
yeyyye
−
=
−
−=
0
a
ee =
′
0
()
)
ii
eq
ii
uLue
1
1
−∗
−
−=
′
; N,...,,i 10
=
∑
=
+−=
n
j
jijii
T
nomii
kf
2
1
ξθξθχ
; 110
−
=
N,...,,i
∑
=
=
n
j
jNjNN
f
2
1
ξθ
()
iii
esgnfu
′
= ; N,...,,i 10
=
0
e
'
N
e
()
*
eq
u
0
)
*
eq
N
u
1−
1
1 L/
L/1
)
*
eq
.
nom,n2
θ
nom,n
θ
()
*
eq
.
'
e
1
MLk
nom
N
L/1
Figura 4.2: Diagrama de blocos do VS-MRAC compacto ( 1
−=
*
nN ).
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
73
Observação: Nota-se da Figura 3.1, que existe um sinal de controle ideal na presença de um
distúrbio limitado na entrada da planta dado por
dWu
d
T
**
−=
ωθ
, que garante o perfeito
casamento entre a saída da planta e a saída do modelo. Assim, é razoável restringir a classe de
sinais de controle admissíveis a serem considerados a sinais que obedecem à desigualdade
(
)
(
)
δω
ω
ktsupktusup
tt
+≤
; t
∀
(4.38)
onde
ω
k e
δ
k são constantes positivas. Esta condição é coerente com a função de modulação
N
f apresentada na Tabela 4.2 e garante que todos os sinais do sistema pertencem ao L
∞
e.
4.2.1 Efeito na Incerteza em
p
k
Com o intuito de simplificar as demonstrações de estabilidade do VS-MRAC, um fato
importante foi a constatação de que a análise de estabilidade se torna razoavelmente
simplificada quando se conhece
p
k . Sabe-se também que o VS-MRAC é capaz de rejeitar
distúrbios limitados na entrada da planta (propriedades (d) e (e) do VS-MRAC). Desta forma
o efeito da incerteza em
p
k é incorporado como um distúrbio na entrada da planta. As funções
de modulação dos relés são, então, formuladas (supondo
p
k
conhecido) de tal forma que este
distúrbio seja rejeitado (Hsu e Lizarralde, 1992).
Considere uma planta com função de transferência
)
()
sd
sn
k
p
p
p
onde
p
k
é o ganho
de alta freqüência. Se
kkk
np
Δ
+= , onde
n
k é algum valor nominal de
p
k e
k
Δ
é a incerteza
em
p
k , pode-se escrever
)
()
[]
uu
sd
sn
ky
p
p
n
Δ
+=
uukku
n
κΔΔ
==
−1
(4.39)
Desta forma, a incerteza em
p
k é considerada através do distúrbio u
Δ
. Note que não se
dispõe de nenhum limitante superior para
u
Δ
, uma vez que ele depende do sinal de controle
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
74
u . Porém, desde que a condição de casamento é satisfeita, pode-se supor que a desigualdade
em (4.38) é atendida, o que garante que todos os sinais do sistema pertencem ao
L
∞
e.
Ainda,
u
Δ
não é necessariamente uma função de t (no sentido usual) quando ocorre o deslizamento.
Denota-se
()
tu
Δ
, como uma função localmente integrável (no sentido de Lebesgue) o que é
equivalente a
u
Δ
no sentido de controle equivalente ao longo de qualquer solução de Filipov
do sistema em malha fechada. Em se tratando de sistemas descritos por equações diferenciais
com lado direito descontínuo, é assumida a definição de Filippov, que estende a teoria de
Lyapunov para sistemas descontínuos (Filippov, 1964).
Observação: Neste contexto, o vetor
*
θ
é obtido da planta
)
()
sd
sn
k
p
p
p
e o vetor
*
nom
θ
da planta
()
()
sd
sn
k
p
p
n
. Para esta última planta, tem-se
m
n
nomn
nom
k
k
k
==
*
,2
*
1
θ
.
A convergência dos erros auxiliares (
i
e
′
; N,...,,i 10
=
) para zero em tempo finito pode
ser verificada a partir do Lema a seguir (Hsu, Araújo e Lizarralde, 1993).
Lema 4.1: Considere a seguinte relação entrada-saída
()
)
)
)
)
[
]
ttdtusHte
iiiii
π
+
+
−
=
′
(4.40)
onde
()
te
i
′
é o sinal de saída,
)
sH
i
é uma função de transferência ERP e estritamente
própria,
()
td
i
é uma função LI,
(
)
t
i
π
é uma função LI exponencialmente decrescente, ou
seja,
()
t
ii
i
eRt
λ
π
−
=
para alguns escalares positivos
i
R e
i
λ
,
)
tu
i
é uma função de entrada
descontínua dada por
() ()
)
)
tesgntftu
iii
′
= e
(
)
tf
i
é uma função de modulação do relé
( Figura 4.3 ).
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
75
()
td
i
(
)
s
i
H
(
)
tf
i
()
t
i
π
()
te
i
′
()
tu
i
Figura 4.3: Diagrama de blocos para o
Lema 4.1.
Se
0≥∀t
,
() ()
iii
tdtf
ε
+≥ ,
i
ε
é uma constante positiva arbitrária, então
)
te
i
′
vai
para zero em algum tempo 0
≥
si
t e permanece zero para todo
si
tt ≥ .
Prova: Considere a seguinte representação por variáveis de estado de (4.40)
)
iiiiiii
dubxAx
π
+
+
−
+
=
&
i
T
ii
xhe =
′
(4.41)
Definindo-se a função candidata à função de Lyapunov
i
T
ii
PxxV
2
1
= ; 0>=
T
PP (4.42)
tem-se pelo Lema 3.1 e usando
)
)
)
)
tesgntftu
iii
′
=
)
iiiiii
T
ii
edefQxxV
′
++
′
−−=
π
&
; 0>=
T
QQ (4.43)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
76
Se
0≥∀t ,
iii
df
ε
+≥
, 0>
i
ε
, então, 0<−<
i
T
ii
QxxV
&
(0≠
i
x ) em algum tempo
finito 0≥=
si
tt (por hipótese,
i
π
tende exponencialmente para zero). Logo,
i
x tende a zero
exponencialmente e
()
te
i
′
tende, no mínimo exponencialmente para zero.
Para verificar se 0=
′
i
e é uma superfície deslizante, a seguinte desigualdade é escrita a
partir de (4.41)
)
[]
iiiiiiiii
dfKxKeee
π
++−
′
=
′′
21
&
;
i
K
1
, 0
2
>
i
K (4.44)
Como
i
x converge para zero exponencialmente, existe um tempo 0>
i
T finito tal que
i
Tt ≥∀ , 0<
′
−<
′′
iiii
eee
ε
&
, com 0>
i
ε
(0
≠
′
i
e ). Portanto 0=
′
==
ii
T
ii
exhs é uma superfície
deslizante e é alcançada em tempo finito (
0<
′
−<
′′
iiii
eee
ε
&
é a condição de alcançabilidade).
Assim o sinal
()
te
'
i
alcança zero em algum tempo 0≥≥
isi
Tt e permanece em zero para todo
si
tt ≥ . ■
Considerando o caso em que o ganho de alta freqüência é conhecido e que existe um
distúrbio na entrada da planta, os erros auxiliares são dados por
]
ed
*
nomnom
*
nom
dWuuLuMLke +−+−=
′
−1
00
()
)
ii
*
eq
ii
uLue
1−
+=
′
; N,...,i 1
=
(4.45)
onde
ru
*
nom,nr
T
*
r
*
nom
2
θωθ
+= é a lei de controle ideal que garante o perfeito casamento entre a
planta
()
()
sd
sn
k
p
p
n
e o modelo de referência.
Uma representação em variáveis de estado para
0
e
′
pode ser dada por
ed
*
nomnomc
*
nomece
dWuuLubkxAx +−+−
′
+=
−1
0
&
e
T
c
xhe =
′
0
(4.46)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
77
Depois de algumas manipulações algébricas recursivas ( N,...,,i 21= ) em (4.45)
encontra-se
()
)
ied
*
nomnomNiiii
dWuuL...LuLe
π
++−+−=
′
−
+
−
1
1
1
;
N,...,i 1
=
Ned
*
nomnomNNN
dWuuuLe
π
++−+−=
′
−1
(4.47)
onde
)
]
*
ec
T
cc
T
c
*
nom,n
xAhbhL
1
211
−
′
=
θπ
1−
=
iii
L
π
π
; N,...,i 2
=
(4.48)
e
*
e
x é uma solução de
)
*
ec
T
cc
T
cc
*
e
xAhbhbIx
1−
′′
−=
&
,
)
00 =
*
e
T
c
xh (4.49)
Desta forma, pelo Lema 4.1, pode-se definir as funções de modulação dos relés como
()
()
ied
*
nomnomNii
dWuuL...Lf
ε
++−≥
−
+
1
1
, 0>
i
ε
; 10 −
=
N,...,i
Ned
*
nomnomN
dWuuf
ε
++−≥ ; 0>
N
ε
(4.50)
fazendo com que os erros auxiliares
i
e
′
( N,...,i 0
=
) tendam a zero em tempo finito.
A análise de estabilidade do sistema é feita, considerando o erro de saída do sistema
(3.12) e (3.13) para a planta nominal com distúrbio de entrada
e
d . Neste caso, tem-se a
entrada
()
tu dada por
nomN
uuu
+
−= ; ru
*
nom,n
T
nom,rnom
2
θωθ
+= (4.51)
ou seja
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
78
ed
*
nomnomNc
*
nomc
dWuuubkeAe +−+−+=
&
ehe
T
c
=
0
(4.52)
A expressão
ed
*
nomnomN
dWuuu +−+− , pode ser explicitamente determinada de
(4.47). Desta forma, de (4.52), definindo
Nc
*
nom
ebkee
′
−=
tem-se
)
]
NcNcNc
*
nomc
bebIAkeAe
πδ
−
′
++=
&
(4.53)
Como
C
A é exponencialmente estável e
)
te
N
′
e
(
)
t
N
π
tendem exponencialmente para
zero,
()
te e, conseqüentemente,
)
te tendem exponencialmente para zero. Sendo
() ()
tehte
T
c
=
0
, conclui-se que
()
te
0
também tende exponencialmente para zero.
Nas Equações dos erros auxiliares (4.45), são considerados distúrbios genéricos na
entrada da planta e, segundo o Lema 4.1, funções de modulação adequadas podem ser
encontradas para os relés, de forma a rejeitar este distúrbio.
Agora, considera-se o caso de distúrbios que resultam da incerteza no conhecimento
de
p
k dados por (4.39). De forma análoga a (3.14), define-se a seguinte relação
)
)
sGsW
*
nom,d
1
1−= (4.54)
onde
() ( )
gsIsG
T
*
nom,v
*
nom,
1
11
−
−=
Λθ
com
1
1
−
ℜ∈
n*
nom,v
θ
e
)
sG
*
nom,
1
é a contribuição do filtro da
entrada
u para a condição de casamento quando a planta é nominal com
p
k conhecido.
Sendo o sinal de controle dado por
nomN
uuu
+
−
=
( ru
*
nom,nr
T
nom,rnom
2
θωθ
+= ) e u
Δ
definido como em (4.39) e
d
W como em (4. 53), tem-se para os erros auxiliares
{
}
uGuuLuMLke
*
nom,
*
nomnom
*
nom
1
1
00
1−+−+−=
′
−
κ
()
)
]
{
}
i
*
nom,
*
nomnomNiiii
uGuuL...LuLe
πκ
+−+−+−=
′
−
+
−
1
1
1
1
1; N,...,i 1
=
[
]
{
}
N
*
nom,
*
nomnomNNN
uGuuuLe
πκρ
+−+−+−=
′
−
1
1
1
(4.55)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
79
Considerando o caso em que se conhece um valor nominal para o ganho de alta
freqüência (
n
k ), um modelo nominal para a planta pode ser especificado como
()
()
()
sd
sn
ksW
p
p
nn
=
. Da Figura 3.2 substituindo os termos
)
*
.
por
)
*
.
nom
, pode-se determinar, de
uma forma semelhante a (3.15), os parâmetros de casamento para a planta nominal (
*
nom
uu = e
0=
e
d ) da forma
()
)
() () ()
sGsWsG
sW
sM
nomnnom
n
nomn
*
,2
*
,1
*
,2
1 −−
=
θ
(4.56)
Para a planta nominal
m
n
nomn
nom
k
k
k
==
*
,2
*
1
θ
e se
n
k é conhecido,
nomnom
kk =
*
. Por definição
nom
k
k
*
=
ρ
e considerando que
n
k é conhecido tem-se
n
p
m
n
m
p
k
k
k
k
k
k
k
k
nom
===
*
*
ρ
e,
consequentemente,
()
(
)
()
()
sW
sd
sn
ksW
p
p
nn
1−
==
ρ
. Com este resultado comparando-se (3.15)
com (4.56), as seguintes relações são observadas
♦
*
n
*
nom,n
22
ρθθ
= .
♦
**
nom,
GG
11
=
.
♦
*
2
*
,2
nnomn
GG
ρ
= .
♦
uGyGru
n
*
1
*
2
*
2
*
++=
θ
; uGyGru
nomnomnomnnom
*
,1
*
,2
*
,2
*
++=
θ
logo uGuu
***
nom
1
κρ
−= .
♦
*
nom
k
no algoritmo para
p
k conhecido é equivalente a
nom
k para o algoritmo
p
k
desconhecido.
Os erros auxiliares tornam-se então
)
{
}
*
nomnomnom
uuuuLuMLke −+−+−=
′
−
ρκ
1
00
()
)
)
]
{
}
i
*
nomnomNiiii
uuuuL...LuLe
πρκ
+−+−+−=
′
−
+
−
1
1
1
; N,...,i 1
=
N
*
nomNNN
uuuLe
πρρ
11 −−
+−+−=
′
(4.57)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
80
ou, usando a nomenclatura dos sinais auxiliares da Figura 4.1
)
{
}
00000
ξθθρξθχκ
T
*T
nom
T
nomnom
uMLke −+−+−=
′
()
{
}
ii
T
*T
nomi
T
nomiiii
uLe
πξθθρξθχκ
+−+−+−=
′
−1
; N,...,i 1
=
]
N
T
*T
nomNNN
uLe
πρωθθρ
11 −−
+−+−=
′
(4.58)
Com este resultado, pelo Lema 4.1, define-se as seguintes condições para as funções
de modulação:
)
ii
T
*T
nomi
T
nomii
f
εξθθρξθχκ
+−+−≥ , 0>
i
ε
; N,...,i 1
=
N
T
*T
nomN
f
εωθθ
+−= , 0>
N
ε
(4.59)
Assim, utilizando-se os majorantes da Equação (4.35), tem-se uma possível
implementação para as funções de modulação como segue:
iji
n
j
jii
T
nomii
kf
εξθξθχ
++−≥
∑
=
2
1
, 0>
i
ε
; N,...,i 1
=
Nj
n
j
jNN
f
εωθ
+=
∑
=
2
1
, 0>
N
ε
(4.60)
De uma forma mais genérica, pode-se considerar que em adição ao distúrbio causado
pelo não conhecimento do ganho de alta freqüência, tem-se um distúrbio externo
uniformemente limitado na entrada da planta obedecendo a desigualdade
)
)
tdtd
ee
≤ ;
0≥
∀
t
(4.61)
As funções de modulação de (4.60) são especificadas de modo que os distúrbios,
resultantes do desconhecimento de
p
k , sejam rejeitados. O distúrbio adicional na entrada da
planta pode ser também rejeitado, adicionando-se às funções de modulação de (4.60) os
termos responsáveis pela rejeição da perturbação na entrada da planta, especificados nas
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
81
funções de modulação de (4.50). Assim, as seguintes desigualdades para as funções de
modulação são estabelecidas:
()
()
iedNii
T
T
nomi
T
nomii
dWLLf
εξθθρξθχκ
++−+−≥
−
+
1
1
*
... , 0>
i
ε
; N,...,,i 10=
Ned
T
*T
nomN
dWf
εωθθ
++−= , 0>
N
ε
(4.62)
Observa-se que para a implementação das funções de modulação de (4.62) é
necessário determinar sinais majorantes para os sinais
i
z ( N,...,,i 10
=
) definidos como
()
edNii
dWL...Lz
1
1
−
+
= ; N,...,,i 10
=
edN
dWz
=
(4.63)
Usando a Equação (3.14) e o fato de que
**
nom,
GG
11
= , tem-se
()
)
e
*
Nii
dGL...Lz
1
1
1
1−=
−
+
; N,...,,i 10
=
e
*
N
dGz
1
1−=
(4.64)
Os pólos da função de transferência
*
G
1
são conhecidos e dados por
()
gsIdet
1−
−
Λ
.
Desta forma, os majorantes de
i
z ( N,...,,i 10
=
), podem ser determinados pelo seguinte Lema
(Ioannou e Tsakalis, 1986; Hsu, Araújo e Lizarralde, 1993).
Lema 4.2: Considere a seguinte relação entrada e saída
)
e
dsWz
=
(4.65)
onde
()
sW
é uma função estritamente própria e estável, z e
e
d são sinais escalares e
σ
uma
constante positiva que satisfaz a relação
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
82
)
j
j
pRemin≤≤
σ
0
(4.66)
onde
j
p
são os pólos de
()
sW .
Considere, também, um sinal
)
td
ˆ
tal que
() ()
td
s
td
ˆ
σ
σ
+
= (4.67)
onde
()
td é um limitante instantâneo superior de
)
td
e
, ou seja,
)
)
tdtd
e
≥ ; 0≥
∀
t (4.68)
Então existe uma constante positiva
c
tal que
)
)
exptd
ˆ
ctz +≤ ; 0≥
∀
t (4.69)
onde
exp é um termo que depende das condições iniciais e tende exponencialmente para zero
com uma taxa de descaimento
σ
.
Prova: Reporte-se a (Ioannou e Tsakalis, 1986). ■
Agora, se for incluído o termo exponencial do lema 4.2 nos sinais
i
π
das equações dos
erros auxiliares e se for utilizado um majorante constante para a perturbação
e
d , ou seja,
)
dtd
e
≤ ; 0≥
∀
t ; 0≥d (4.70)
usando-se o Lema 4.1, as funções de modulação podem ser implementadas, a partir de (4.60)
como
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
83
iiji
n
j
jii
T
nomii
dckf
εξθξθχ
+++−≥
∑
=
2
1
, 0>
i
ε
; N,...,i 1
=
NNj
n
j
jNN
dcf
εωθ
++≥
∑
=
2
1
, 0>
N
ε
(4.71)
onde as constantes
i
c (110
−
= N,...,,i ) e
N
c são os ganhos máximos no domínio da
freqüência das funções de transferência
)
)
*
Ni
GL...L
1
1
1
1−
−
+
e
(
)
*
G
1
1− , respectivamente.
Assim, considerando o distúrbio na entrada da planta dado por
)
)
tdutd
e
+
=
Δ
(4.72)
com
u
Δ
especificado em (4.39) e
)
td
e
obedecendo a (4.67), tem-se pelo Lema 4.1 que se as
condições de (4.70) são satisfeitas, todos os erros auxiliares
i
e
′
( N,...,i 0
=
) tendem a zero em
tempo finito. Procedendo de forma semelhante ao caso em que se tinha, apenas, uma
perturbação limitada na entrada da planta (Equações (4.51)-(4.53)), conclui-se que
)
te
0
também tende exponencialmente para zero.
4.2.2 Efeito dos Filtros de Valor Médio na Geração dos Controles Equivalentes
Na análise da convergência dos erros auxiliares e da estabilidade do sistema feita em
(Hsu, 1990), foi suposto que os sinais
)
*
eq
⋅ eram mensuráveis com erros que, juntamente com
suas derivadas, tendiam a zero quando
∞
→t . Na prática, os controles equivalentes são
implementados por intermédio de filtros de valor médio (como ilustrado na Figura 4.4) e os
efeitos destes filtros, nas propriedades de convergência dos erros auxiliares e na estabilidade
do sistema, devem ser considerados.
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
84
MODELO
PLANTA
RELÉ
r
y
a
y
u
u
0
u
1
+
_
+
_
+
+
+
_
+
_
_
+
RELÉ
d
e
f
N
-
y
m
+
+
+
0
e
N
e
′
MLk
nom
1
1
L/
L/1
N
L/
1
u
N
_
nom,n2
θ
nomn,
θ
f
1
f
0
RELÉ
1
e
′
1
/1 F
N
F/1
0
e
′
+
Figura 4.4: Diagrama de blocos do VS-MRAC compacto com filtros de valor médio para a
geração dos controles equivalentes ( 1
−=
*
nN ).
Na análise de convergência dos erros auxiliares
i
e
′
( N,...,i 0
=
) necessita-se do
Lema 4.1 e adicionalmente do Lema 4.3 enunciado a seguir:
Lema 4.3: Considere a seguinte relação entrada-saída (Figura 4.5)
()
)
)
)
]
)
)
tttdtusLte
iiii
πβ
+++=
′
−1
(4.73)
(
)
s
-1
i
L
(
)
tf
()
td
()
te
'
i
()
tu
i
(
)
(
)
tt
i
π
β
+
Figura 4.5: Diagrama de blocos para o Lema 4.3.
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
85
onde
()
te
i
′
é o sinal de saída,
()
)
ii
ssL
δ
+
=
(0>
i
δ
),
(
)
td
i
é uma função LI,
()
t
β
e
(
)
t
i
π
são
funções absolutamente contínuas e
(
)
t
i
π
é exponencialmente decrescente, ou seja,
()
t
ii
i
eRt
λ
π
−
≤ para alguns escalares
i
λ
e
i
R ,
)
tu
i
é uma função de entrada descontínua
dada por
()
)()()
tesgntftu
ii
′
−=
e
)
tf é uma função LI positiva.
Se
0≥∀t
,
() ()
tdtf ≥ , então, os sinais
(
)
te
i
′
e
)
)
ttee
ˆ
ii
β
−
′
=
: são limitados por
i
e
ˆ
e
() ()
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++≤
′
>
−−
0
20
t
t,mint
ii
tsupReee
ˆ
te
ii
β
λαα
(4.74)
Prova: A demonstração baseia-se no Lema da comparação (Filippov, 1964). Para uma
demonstração ver (Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997). ■
A implementação dos controles equivalentes é feita usando-se filtros passa-baixa com
freqüências de corte suficientemente elevada (filtros de valor médio). Os filtros possuem
função de transferência da forma
)
sF
ii
τ
1−
, onde
)
)
1
+
=
ssF
ii
τ
(0>
i
τ
) são polinômios
estritamente Hurwitz com constante de tempo
i
τ
suficientemente pequenas (Utkins, 1978).
Considera-se o caso em que o ganho de alta freqüência é conhecido e que existe uma
perturbação geral de entrada dada por
)
)
)
)
tdtutdtdd
eeu
+
=
+
=
κ
as equações dos erros auxiliares são expressas, a partir de (4.45) substituindo
()
*
1
eq
i
u
−
por
()
1
1
−
−
ii
uF , da seguinte forma
dWuuLuMLke
dnomnomnom
+−+−=
′
− *1
0
*
0
(
)
(
)
iiiii
uLuFe
1
1
1 −
−
−
−=
′
;
N,...,i 1
=
(4.75)
onde
ru
nomnr
T
nomnom
*
,2
**
θωθ
+= é o controle ideal que fornece a condição de casamento para a
planta nominal
()
()
()
sd
sn
ksW
p
p
nn
=
com 0
=
e
d .
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
86
A equação dinâmica que governa
0
e
′
pode ser representada por
dWuuLubkxAx
dnomnomcnomece
+−+−
′
+=
− *1
0
*
&
e
T
c
xhe =
′
0
(4.76)
A partir de (4.52) a equação dinâmica que governa o erro de saída do sistema
0
e ,
considerando que existe uma perturbação geral de entrada
() ()
)
)
tdtutdtdd
eeu
+
=+
=
κ
pode ser expressa como
]
dWuuubkeAe
dnomnomNcnomc
+−+−+=
**
&
ehe
T
c
=
0
(4.77)
A seguir, se introduz uma nova notação para os sinais, da forma:
♦
r
T
nomrnom
U
ωθ
,
=
logo rUu
nomnnomnom ,2
θ
+
=
.
♦
r
T
nomrnom
U
ωθ
*
,
*
=
logo
rUu
nomnnomnom
*
,2
**
θ
+=
.
♦
r
T
r
U
ωθ
**
= logo rUu
n
*
2
**
θ
+= .
♦
dWr
k
UUU
dnomn
nom
nomnom
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=
,2
*
*
1
θ
.
♦ rUuu
nomnnomN ,2
θ
+
+
−= .
Desta forma os erros auxiliares podem ser expressos a partir de (4.75) da seguinte
forma:
)
ULuMLke
nom
1
0
*
0
−
−−=
′
(
)
(
)
iiiii
uLuFe
1
1
1 −
−
−
−=
′
;
N,...,i 1
=
(4.78)
A equação dinâmica que governa o erro de saída do sistema (4.77) é reescrita da forma
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
87
)
]
UubkeAe
Ncnomc
−−+=
*
&
ehe
T
c
=
0
(4.79)
Das relações obtidas na condição de casamento do modelo nominal da planta
(Equação (4.56)) tem-se que
uGuu
***
nom 1
κρ
−= e
*
n
*
nom,n 22
ρθθ
= . Desenvolvendo estas
expressões e utilizando a nova notação encontra-se a expressão
uGUU
nomnom
*
,1
**
κρ
+= .
Levando em conta que
)
)
)
)
tdtutdtdd
eeu
+
=
+
=
κ
, encontra-se para o sinal
U
a
expressão
Nd
UUU
κρ
+=
(4.80)
()
ednomn
nom
nomnomd
dWr
k
UUU −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=
,2
*
*
1
ρθρρ
(4.81)
A convergência dos erros auxiliares e a análise de estabilidade a seguir são reportadas
de (Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997).
Considerando (4.80) e (4.81) e após algumas manipulações algébricas recursivas em
(4.78), os erros auxiliares podem ser reescritos como
)
ULuMLke
*
nom
1
00
−
−−=
′
)
ieiN,ii,iii
ULFuLe
0
1
1
1
1
1
ππ
++−−=
′
−
+
−−
; 11
−
=
N,...,i
[
]
NeNuNdN,NNN
UFuLe
0
1
1
1
ππκβρ
++++−=
′
−−
(4.82)
onde
∏
=
=
j
ik
kj,i
LL (
1
=
j,i
L
se
j
i > ), de forma semelhante
∏
=
=
j
ik
kj,i
FF e
)
NNN,N,uN
ULFF
11
11
1
−−
−=
β
()
()
11
1
1
1
1
1
11 −−
−
−
−
=
−
+−
′
+=
′
=
∑
ii,eiij
i
j
i,ji,jei
eFLeFL
ππ
;
0
1
≡
e
π
)
()
0
1
10
eLMFk
N,ii,
*
nomi
′
=
−
π
.
(4.83)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
88
Observação: Em (Hsu, 1990), uma das restrições na análise de convergência estava
relacionada com a necessidade da ordem dos filtros ser maior ou igual a 2. É suficiente, no
entanto, o uso de filtros de primeira ordem. A principal razão está na Equação (4.73), a qual
trata )(
i
π
β
+ como uma perturbação de saída, enquanto
)
td é uma perturbação de entrada.
Ainda, com
i
F de ordem 1, os termos
β
e
π
de (4.83) são absolutamente contínuos, uma vez
que o operador em
β
é estritamente próprio e os operadores em
π
são próprios.
Denotando-se
EX
P
e
0
EX
P
como termos da forma
()
at
ezK
−
0
e
)
at
ezK
−
0
0
respectivamente, onde
K
e a são constantes genéricas e definindo-se ⋅ como sendo
∞
L o
resultado da análise de convergência dos erros auxiliares é enunciada no seguinte Teorema:
Teorema 4.1: Considere os erros auxiliares (4.82). Se a condição (4.38) é satisfeita e as
funções de modulação dos relés satisfazem
)
0≥
∀
t a
()
)
ULFf
Niii
*
1
,1
1
,1
−
+
−
≥ ; 11
−
=
N,...,i
dN,N
U*Ff
1
1
−
≥
(4.84)
então, os erros auxiliares
i
e
′
( 11
−
= N,...,i ) tendem a zero, no mínimo, exponencialmente.
Além disso,
)
te
i
′
,
)
0
EXPtx
e
≤
()
)
EXPtCKte
eNN
+≤
τκ
2
(4.85)
e
()
t
i
e
π
,
)
0
0
EXPt
i
≤
π
; N,...,i 1
=
)
)
0
EXPtCKt
NuN
+≤
β
τβ
(4.86)
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
89
com
()
)
tsuptC
t
ω
=
1
;
)
)
red
MtCMtC
+
=
1
θ
(4.87)
onde
θ
M ,
red
M ,
N
K
β
,
eN
K são constantes positivas e
ii
τ
τ
max
=
.
Prova: Ver (Hsu, Lizarralde e Araújo, 1997) ■
Na análise de estabilidade do sistema, com o objetivo de se considerar todas as
condições iniciais, constrói-se o vetor de estado
z do sistema composto pelos subsistemas
(4.76), (4.77) e (4.82). Denota-se como
0
FL
x o vetor de estado correspondente a:
1−
L em
(4.76),
1
1
1
1
−
+
−
N,ii,
LF em (4.82),
d
W na expressão da definição de U e todos os operadores
restantes associados com
uN
β
,
ei
π
e
i0
π
em (4.82). Desde que todos estes operadores são
estáveis, existem constantes positivas
FL
K
e
FL
α
tais que
)
0
00
FL
t
FLFL
xeKx
FL
α
−
≤ (4.88)
O seguinte vetor de estado é definido:
()
T
N
T
T
e,e,zz
′
=
0
;
)
)
T
FLN
T
e
T
x,e,...,e,xz
0
11
0
−
′′
=
(4.89)
É conveniente reescrever a Equação (4.82) para
N
e
′
da forma
[]
NeNuNNNN
UuLe
0
1
ππβ
+++−−=
′
−
;
()
ULFF
NN,N,uN
11
11
1
−−
−=
β
(4.90)
onde, de forma similar a (4.86),
uN
β
pode ser limitado por
)
tC (definido em (4.87)).
A estabilidade do sistema completo referente aos erros é enunciada no seguinte
Teorema:
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
90
Teorema 4.2: Considere o sistema completo referente aos erros composto pelos subsistemas
(4.76), (4.77) e (4.82). Assume-se que a condição em (4.38) é satisfeita e que as funções de
modulação satisfazem às desigualdades de (4.84). Então para
0>
τ
(
()
ii
max
τ
τ
= ) o sistema
completo referente aos erros com estado
z
como definido em (4.89) é globalmente
exponencialmente estável em relação a um conjunto residual da ordem de
τ
, ou seja, existem
constantes positivas
K
e a tal que
()
)
)
τ
OzKetz
ta
+≤
−
0
,
)
0z
∀
, 0≥
∀
t (4.91)
Prova: Ver (Hsu, Lizarralde e Araújo 1997) ■
Assim, com os filtros de valor médio utilizados para gerar o controle equivalente, a
estabilidade global exponencial é obtida em relação a um pequeno conjunto residual no
espaço de estado do erro.
4.3 CONCLUSÕES
Nesta seção foi feita uma revisão do controlador VS-MRAC com grau relativo 2≥
*
n .
No controlador inicial denominado de VS-MRAC foi introduzida uma cadeia de erros
auxiliares necessária para se conseguir o rastreamento do modelo. Uma análise do algoritmo
I/O VS-MRAC leva à conclusão de que o sistema é globalmente assintoticamente estável e
que o erro de saída tende exponencialmente a zero. Uma nova versão do algoritmo,
denominada de VS-MRAC compacto, foi desenvolvida reduzindo-se o número de relés de
amplitude modulada, cujas amplitudes podem ser reduzidas, se é conhecido algum modelo
nominal para a planta. O efeito do desconhecimento do ganho de alta freqüência da planta é
incorporado como um distúrbio na entrada da planta e as funções de modulação dos relés são
projetadas de forma que este distúrbio seja rejeitado. Na análise de estabilidade inicial, supõe-
se que os controles equivalentes
)
*
eq
⋅ são mensuráveis com erros que, junto com suas
respectivas derivadas, tendem a zero quando
∞
→t (Hsu, 1990). Na prática, os controles
equivalentes são implementados por intermédio de filtros de valor médio com constantes de
tempo
i
τ
suficientemente pequenas. Os efeitos destes filtros são considerados e, a estabilidade
Seção 4 – Controlador VS-MRAC
91
global exponencial é obtida, em relação a um pequeno conjunto residual no espaço de estado
do erro.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
92
5 CONTROLADOR DMARC – HISTÓRICO
O controlador DMARC teve sua origem a partir da lei de adaptação proposta por (Hsu
e Costa, 1989) e (Hsu, 1990). Os autores propuseram uma lei de adaptação que, dependendo
da escolha de um determinado parâmetro, o algoritmo de controle torna-se um algoritmo
MRAC com fator sigma e um fator de normalização ou, no limite (quando o parâmetro tende
a zero), torna-se o algoritmo de controle VS-MRAC. Desta forma, enfatiza-se a correlação
existente entre o VS-MRAC e o MRAC com fator sigma e normalização.
No controlador MRAC, mesmo com as modificações sigma e a introdução da
normalização, em geral os transitórios de adaptação são lentos e oscilatórios. Contudo, apesar
do comportamento transitório não ser totalmente aceitável, em algumas situações, o sinal de
controle é suave e de pequena amplitude, tornando-o apropriado para a condição de regime
permanente.
No controlador VS-MRAC, são utilizadas leis chaveadas, como nos sistemas com
estrutura variável, para o sinal de controle, acarretando em um bom desempenho transitório.
Porém, em geral, devido às imperfeições existentes nos mecanismos de chaveamento, tem-se
o indesejável fenômeno de “chattering” que é o chaveamento do sinal de controle em alta,
porém finita, freqüência. Esta excessiva ação do sinal de controle pode tornar difícil a
implementação do VS-MRAC.
O controlador DMARC foi idealizado com o intuito de aglutinar o bom desempenho
transitório do VS-MRAC e as boas características em regime permanente do MRAC. A idéia
básica foi fazer com que o parâmetro da lei de adaptação proposta em (Hsu e Costa, 1989)
variasse em tempo real, aproximando-se do controlador VS-MRAC durante o transitório e do
controlador MRAC quando em regime permanente. Desta forma, tem-se como objetivo
conseguir um sistema de controle robusto, com desempenho rápido e pouco oscilatório
(características do VS-MRAC), e sinal de controle suave em regime permanente
(características do MRAC).
Nesta seção é feito um breve histórico da evolução do algoritmo DMARC.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
93
5.1 DMARC PARA PLANTAS COM 1=
∗
n
Como mencionado anteriormente, objetiva-se no DMARC que a transição na lei de
controle seja feita à medida em que o sistema evolui, ajustando-se o parâmetro
μ
, em tempo
real, de forma a se ter uma ação de controle mais efetiva do VS-MRAC durante o período
transitório e tendendo a uma ação mais predominante do MRAC quando o sistema se
aproxima do regime permanente. Necessita-se, então, definir como se processar esta transição.
5.1.1 Algoritmo DMARC – Versão Original
Na seção 2.4 foi esquematizado o DMARC para uma planta de primeira ordem. A lei
de adaptação, inicialmente proposta, é expressa pela Equação (2.61). Para uma planta de grau
relativo é utilizada a mesma estrutura do MRAC desenvolvida na Seção 3 e a lei de
adaptação (Equação (2.61)) é então reescrita como
1=
∗
n
(5.1)
ωσσθθμ
0
eΓ−−=
&
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Γ
i
i
e
diag
ω
θ
0
onde ,
*
ii
θθ
>
, i = 1,..., 2n.
De forma análoga à seção 2.4, tem-se que:
♦ Se
μ
→ 0,
ω
σθ
0
0 e
Γ
−
−
=
θ
é dado pela solução de que juntamente com a
definição de Γ resulta em
()
ωθ
0
esgnΘ−=
)
i
diag
θ
=Θ
n,...,i 21
=
(5.2)
*
ii
θθ
>
; , ,
que é a lei de adaptação chaveada do VS-MRAC (Equação 4.1).
♦ Se
μ
= 1, a Equação (5.1) se resume em
(5.3)
ωσσθθ
0
eΓ−−=
&
que é a lei de adaptação do MRAC com fator
σ
e uma certa normalização do
termo de aprendizado.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
94
Uma característica importante da lei de adaptação dada pela Equação (5.1) é que o
conjunto
θθ
≤
é positivamente invariante. Esta propriedade pode ser facilmente verificada
para
θθ
=
utilizando a Equação (5.2), onde tem-se que . Para 0=
μ
0≠
μ
, define-se a
função candidata a função de Lyapunov como
()
θθθ
T
V
2
1
=
(5.4)
cuja derivada no tempo, ao longo de (5.1) resulta em:
() ()
()
)
∑∑
==
−−≤+−=
n
i
ii
n
i
iiii
esgnV
2
1
22
2
1
0
2
1
θθ
μ
σ
ωθθθ
μ
σ
θ
&
(5.5)
A desigualdade em (5.5) é obtida completando-se o quadrado do termo dentro do somatório.
Vê-se de (5.5) que para
(
)
0≤
θ
V
&
ii
θθ
≥
θθ
≤
, garantindo que o conjunto tem-se é
positivamente invariante.
É também interessante considerar o caso em que
p
μ
μ
=
é pequeno, porém diferente
de zero. De (5.1) pode-se escrever
()
ωθθ
σ
μ
0
esgn
eqeq
p
Θ−=+
&
(5.6)
onde o subscrito “eq” significa que o vetor
eq
θ
é o valor filtrado, através de um filtro passa
baixa, do vetor de parâmetros chaveados
)
ω
0
esgnΘ−
. Usando-se ao invés de
eq
θ
(
ω
0
esgnΘ−
)
, na lei de adaptação do VS-MRAC, corresponde a se ter um atraso no
mecanismo de chaveamento. Neste caso (sendo
σ
μ
p
suficientemente pequeno) o modo
deslizante ideal dá lugar a pequenas e rápidas oscilações, porém de freqüência finita, ao redor
da superfície de deslizamento
0
0
=
e
(Hsu e Costa, 1989). Apesar do atraso no mecanismo de
chaveamento, tem-se a vantagem de que a filtragem em
(
ω
0
esgnΘ−
)
implica em uma
suavização no sinal de controle.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
95
A primeira idéia de sintonia do DMARC foi a utilização da lógica nebulosa para a
determinação do parâmetro
μ
. Na teoria da lógica nebulosa, introduzida por Zadeh (Zadeh,
1965), os elementos não possuem uma classificação exata e sim pertencem a um conjunto
com fronteiras nebulosas (difusas), ou seja, a passagem de uma classe para outra se dá de uma
forma gradual e não abrupta. Os algoritmos que usam a lógica nebulosa se baseiam em
modelos linguísticos da forma:
Se {um conjunto de condições é satisfeito} então {um conseqüente é aferido}.
Neste modelo lingüístico, pressupõe-se uma boa experiência humana nas formulações
das regras do tipo se antecedende então {consequente} e na aferição desse consequente. No
caso da escolha do parâmetro
μ
do DMARC, tal experiência é adquirida através de
simulações com diversos valores de
μ
. O fato que motivou a utilização da lógica nebulosa na
sintonia do DMARC foi a forma suave como se dá a variação do parâmetro
μ
e,
consequentemente, a transição entre os controladores VS-MRAC e MRAC.
A priori, foram definidas duas variáveis determinantes na escolha do parâmetro
μ
que
são: o erro de saída , o qual indica o quanto a saída da planta está distante da saída do
modelo de referência, e a sua derivada que indica a rapidez com que o sistema se aproxima ou
se afasta da superfície de deslizamento
0
e
0
0
=
e
. Define-se então, o período transitório como o
instante em que o erro de saída é considerado relativamente elevado. O período em que o erro
de saída e a sua variação são avaliados suficientemente pequenos é definido como regime
permanente. Com esta abordagem foram feitas simulações e a implementação do controle de
velocidade de um motor de indução trifásico que são apresentados na Seção 5.4. Na Seção 5.5
são feitas simulações para o controle de posição de um motor de corrente contínua.
Em todas as simulações é utilizado o método numérico de Euler.
5.1.2 Algoritmo DMARC Utilizando o Modelo Difuso Takagi-Sugeno
O modelo difuso do tipo Takagi-Sugeno (TS), também conhecido como Takagi-
Sugeno-Kang (TSK), tem a característica especial de que está associado a um conjunto de
regras que têm variáveis lingüísticas como antecedentes e funcionais como conseqüentes
(Takagi e Sugeno, 1985; Sugeno e Kang, 1988). Um possível conjunto de regras para este
modelo é da forma:
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
96
Regra 1: SE u
1
é B
11
E u
2
é B
12
E ... E u
n
é B
1n
112121111
rub...ububy
nn
+
+
+
+
=
ENTÃO
Regra 2: SE u
1
é B
21
E u
2
é B
22
E ... E u
n
é B
2n
222221212
rub...ububy
nn
+
+
+
+
=
ENTÃO
...
Regra m: SE u E u E ... E u
1
é B
m1 2
é B
m2 n
é B
mn
mnmnmmm
rub...ububy
+
+
+
+
=
2211
ENTÃO
onde B
i,j
( ) são termos lingüísticos, definidos como conjuntos difusos de
referência sobre o espaço de entrada X
n,...,j;m,...,i 11 ==
), correspondente às variáveis de entrada un,...,j 1
=
(
j j
Cada saída y( ), de um sistema MISO ( do inglês, Multiple Input Single Output).n,...,j 1=
i
( ) , correspondente à regra i, pode ser vista como uma função linear da entrada um,...,i 1=
j
( ), onde os parâmetros bn,...,j 1= n,...,j;m,...,i 11
=
=
( ) são valores reais
i,j
A saída resultante do modelo, y, é definida pela média ponderada das saídas
individuais, y, de cada regra da forma:
i
∑
∑
=
=
=
m
i
i
m
i
ii
y
y
1
1
μ
μ
(5.7)
1
é o nível de ativação da i-ésima regra, dado poronde
i
μ
(
)
(
)
ninii
uBuB ∧∧= ...
11
μ
onde BB
ij
(u ) representa o grau de pertinência da entrada u no conjunto B
ij
.
j j
B
No modelo Takagi-Sugeno, em sua forma mais usual, y m,...,i 1
=
(
i
) é uma função
polinomial de u
j
( ). Quando este polinômio é de primeira ordem o sistema de
inferência nebuloso é denominado modelo nebuloso TS de primeira ordem. Este modelo foi
proposto inicialmente por (Takagi e Sugeno, 1985; Sugeno e Kang, 1988). Quando a saída de
cada regra, y
n,...,j 1=
( ), é uma função constante, o sistema de inferência resultante é um m,...,i 1=
i
1
O símbolo “∧” representa uma norma triangular utilizada para a implementação do conectivo “E” nos
antecedentes das regras (usualmente o operador min ou o produto algébrico).
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
97
modelo nebuloso TS de ordem zero, que pode ser visto como um caso especial de um modelo
de Mamdani no qual cada conseqüente é especificado por uma função singleton.
u
1
u
2
B
11
B
22
B
21
B
12
12121111
rububy
+
+
=
21
2211
μμ
μ
μ
+
+
=
yy
y
22221212
rububy
+
+
=
Figura 5.1: Sistema de inferência Takagi-Sugeno de primeira ordem.
Como exemplo, é ilustrado na Figura 5.1 um modelo Takagi-Sugeno de primeira
ordem, tendo como variáveis de entrada u
1
e u , uma saída y e as seguintes regras:
2
Regra 1: SE u
1
é B
11
E u
12121111
rububy
+
+
=
2
é B
12
ENTÃO
Regra 2: SE
u
1
é B
21
E u
22221212
rububy
+
+
=
2
é B
22
ENTÃO
Os valores de
μ
1
e
μ
2
representam os níveis de ativação das Regras 1 e 2, respectivamente
calculados utilizando o operador min aplicado a
(
)
(
)
2211
uBuB
iii
∧
=
μ
; i=1,2.
A saída resultante é dada pela média ponderada das saídas de cada regra, como
21
2211
μμ
μ
μ
+
+
=
yy
y
(5.8)
Baseado no modelo Takagi-Sugeno, (Mota e Araújo, 2002) propuseram uma
interpolação das leis de adaptação do MRAC e VS-MRAC. Esta estratégia de controle é
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
98
denominada de Controle em Modo Dual Adaptativo Robusto utilizando o modelo Takagi-
Sugeno (DMARC-TS). Por simplicidade é utilizado o modelo Takagi-Sugeno de ordem zero
tendo como única variável lingüística de entrada, o erro de saída do sistema . São definidos
os conjuntos nebulosos P (pequeno) e G (grande) para a entrada . As funções de pertinência
são do tipo Gaussiana, que permitem uma transição mais suave no valor da pertinência.
0
e
0
e
De uma forma intuitiva, tem-se que quando (em valor absoluto) for pequeno
(período estacionário) utiliza-se a lei de adaptação do MRAC e quando for considerado
grande (período transitório) utiliza-se a lei chaveada do VS-MRAC. Sendo a lei de adaptação
para o VS-MRAC dada pela Equação (5.2) e a do MRAC dada pela Equação (5.3) com a
matriz Γ constante, define-se as seguintes regras:
0
e
Regra 1: SE
0
e
é P ENTÃO
() ( ) ( )
∫
−−
−=
t
tt
AC
deeeet
0
0
Γ0
τωθθ
στσσ
Regra 2: SE
0
e
é G ENTÃO
)
)
ωθ
0
esgnt
VS
Θ−=
)
i
diag
θ
=Θ
()
i
diag
γ
=Γ
; n,...,i 21
=
onde, , constante, , .
0>
i
γ
*
ii
θθ
>
As funções de pertinência para a varíavel de entrada nos conjuntos nebulosos de
referência P e G são funções Gaussianas expressas por:
0
e
()
l
2
0
0
e
p
ee
−
=
μ
(5.9)
()
l
2
0
1
0
e
g
ee
−
−=
μ
(5.10)
onde é um parâmetro a ser ajustado. Na Figura 5.2 encontram-se ilustradas as duas funções
de pertinência para .
l
1=l
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
99
Figura 5.2: Funções de pertinência Gaussianas para o DMARC-TS.
A determinação do parâmetro
(
)
t
θ
, para o DMARC-TS, é feita a partir da Equação
(5.8) fazendo-se
()
ty
θ
=
)
ty
AC
θ
=
1
)
ty
VS
θ
=
2
()
02
e
g
μ
μ
=
)
01
e
p
μ
μ
=
, , , , e considerando
que
() ()
1
00
=
+ ee
gp
μ
μ
. Desta forma obtém-se
()
)
)
)
)
tetet
VSgACp
θ
μ
θ
μ
θ
00
+
=
(5.11)
5.3 DMARC PARA PLANTAS COM 2≥
∗
n
A proposta do DMARC é que quando a saída do sistema se afasta da saída
especificada pelo modelo, o DMARC tem o intuito de atuar como o VS-MRAC requerendo,
em geral, uma excessiva ação de controle. A suavização do sinal de controle é feita
considerando-se que quando a saída do sistema está bem próxima da saída desejada, o
controlador tende a diminuir a ação do VS-MRAC aumentando a do MRAC. Espera-se que
nesta situação de regime quase estacionário, a ação mais próxima do MRAC atue com
oscilações razoavelmente atenuadas e com sua boa característica relativa ao sinal de controle.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
100
Apesar do DMARC ser considerado um MRAC que em uma condição extrema (
μ
=0)
torna-se um VS-MRAC, todo transitório, quer seja provocado por distúrbios externos ou
condições iniciais, deve ser restabelecido através de uma maior ação do VS-MRAC. Às
versões intermediárias do DMARC (que são MRACs com fator de esquecimento e
aprendizado ajustáveis) e, no limite, quando
μ
=1 (MRAC com fator de esquecimento e
aprendizado fixos) é incumbida a função de aliviar e suavizar o sinal de controle. Baseado
nesses fatos é sugerido o uso da estrutura do VS-MRAC compacto para
n
*
≥
2 (Figura 4.1) de
forma similar a (Hsu e Costa, 1994). Nessa estrutura vê-se que cada malha interna, regida
pelo erro (i=0,1,...,N-1), tem como entrada um controle equivalente que é um sinal filtrado.
Dessa forma, a suavização do sinal de controle pode ser feita, utilizando-se o DMARC na
malha regida pelo erro , a qual é responsável pela geração do sinal de controle a ser
aplicado à planta.
i
e
′
N
e
′
0
e
′
1
e
′
N
e
′
(
)
*
eq
N
u
1−
()
*
eq
u
0
Figura 5.3: Diagrama de blocos do DMARC utilizando a estrutura do VS-MRAC compacto
para ( ).
1≥
*
n 1−=
*
nN
Desde que é ERP, é intuitivo se pensar no uso da lei de adaptação do
DMARC para n
)s/(L
NN
δ
+=
−
1
1
*
=1 (Equação (5.1)) para o parâmetro
θ
N.
Neste caso, tem-se como erro de
rastreamento , vetor regressor
ω
e o limitante superior
nomjijN ,
*
θθθ
−>
N
e
′
, j=1,...,2n. Como
no VS-MRAC com n
*
≥
2, o sinal de controle a ser aplicado à planta deve ser
nomN
uuu
+
−=
(ver(Hsu, 1990)) e o algoritmo de controle é o mesmo da Tabela 4.2, exceto que u
N
é
calculado a partir das expressões
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
101
ωσθθμ
NN
N
eΓ−−=
•
(5.12)
ωθ
T
NN
u −=
O diagrama de blocos representativo do DMARC para n
*
≥
2 está ilustrado na
Figura 5.3 e o seu correspondente algoritmo de controle encontra-se na Tabela 5.1.
Analisando as duas últimas expressões da Tabela 5.1, vê-se que quando 0→
μ
ωθ
'
NNN
esgnΘ−=
(
)
n,N,NN
...diag
21
θθ
=Θ
, e, como
ω
ξ
=
N
, tem-se para
N
u
)
)
)
'
NN
T
N
esgnsgnu
ωω
Θ=
(
)
'
N
T
NN
esgnu
ωθ
=
'
NNN
esgnfu =
que é o resultado das duas últimas expressões do VS-MRAC da Tabela 4.2.
Tabela 5.1: Algoritmo de controle DMARC para n
*
≥
2.
nomN
uuu +−=
)
Nnoma
uLuMLky
1
0
−
−=
aa
yee −=
0
a
ee =
′
0
()
(
)
ii
*
eq
ii
uLue
1
1
−
−
−=
′
, i = 0,1,...,N
i
T
ii
T
nomii
kf
ξθξθχ
+−=
_
,
()
iii
esgnfu
′
=
; i = 0,1,...,N-1
ωσσθθμ
NNN
e
′
Γ−−=
&
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Γ
i
i,N
e
diag
ω
θ
0
ωθ
T
NN
u −=
, ,
*
ii,N
θθ
>
;i = 1,..., 2n.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
102
Precisa-se, agora, definir como o DMARC, através do parâmetro
μ
, fará a transição
entre os dois controladores, VS-MRAC e MRAC. Uma vez que no VS-MRAC todos os erros
(i=0,1,...,N-1) convergem para zero exponencialmente, se tende a zero
exponencialmente e o modo deslizante ideal é atingido em todas superfícies deslizantes
i
e
′
N
e
′
0
=
′
i
e
desde o instante inicial, o erro de saída converge exponencialmente a zero (Araújo, 1993).
Esse fato conduz à utilização do erro
N
e
′
para reger o parâmetro
μ
responsável pela
ponderação do DMARC.
No ajuste do DMARC é importante que as transições entre os controladores MRAC e
VS-MRAC se dê de uma forma suave e contínua. Desta forma, sugere-se a utilização da
função de pertinência para a entrada nebulosa erro de saída do DMARC-TS (Equação (5.9)),
aplicada a . Ou seja, define-se o parâmetro
μ
como
N
e
′
(5.13)
l/e
N
e
2
′
−
=
μ
0→
′
N
e
onde l é um parâmetro a ser ajustado. Observa-se que quando ,
μ
→ 1 aproximando-
se do MRAC. Quando se torna razoavelmente elevado,
μ
assume um valor
suficientemente pequeno, tendendo ao VS-MRAC. O parâmetro tem a importante função
de determinar a forma como se dá a transição entre o MRAC e o VS-MRAC. Quanto menor o
valor de
l maior a ação do VS-MRAC em função de
N
e
′
l
N
e
′
, como visto na Figura 5.4.
O erro a partir do qual é feita a transição do VS-MRAC para o MRAC é determinado,
então, pelo parâmetro
l . O compromisso entre rapidez de resposta (VS-MRAC) e sinal suave
em regime permanente (MRAC) fica a critério da escolha do parâmetro l.
A expressão (5.13) determina como o parâmetro
μ
deve ser ajustado, à medida que o
erro evolui no tempo. Uma característica importante de (5.13) pode ser vista a partir da
sua derivada no tempo, cujo resultado é dado por
N
e
′
NN
ee
&
l
&
′′
−=
μ
μ
2
(5.14)
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
103
l
2
N
e
e
′
−
=
μ
N
e
′
Figura 5.4: Evolução de
μ
em função do erro de saída.
0
=
′
N
e
Considerando que
μ
é positivo e, sendo a superfície de deslizamento e
a condição de escorregamento para o VS-MRAC, vê-se, pela análise de (5.14), que
o parâmetro
0<
′′
NN
ee
&
μ
só pode crescer (tendendo ao MRAC) quando a condição de escorregamento
for satisfeita. Se a condição de escorregamento não for satisfeita, o
μ
decresce (tendendo ao
VS-MRAC) e este decréscimo é tão mais rápido quanto menor for o parâmetro
l . Com um
valor de
l suficientemente pequeno, o algoritmo de controle funciona como VS-MRAC até
um valor bem pequeno de . Desta forma, uma ação mais efetiva do controlador MRAC só
tem lugar quando o sistema atinge um regime quase estacionário, donde se presupõe que as
oscilações (inerente do MRAC) são atenuadas e o efeito do chaveamento do sinal de controle,
na proximidade da superfície de deslizamento (
N
e
′
0
=
′
N
e
) é suavizado.
A análise do comportamento de
μ
, em relação à condição de deslizamento, encontra-se
estruturada na Tabela 5.2.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
104
Tabela 5.2: Comportamento de
μ
com relação à condição de escorregamento.
0>
μ
&
0<
′
′
NN
ee
&
μ
aumenta (aproxima-se do MRAC)
condição de escorregamento satisfeita
0
<
μ
&
0>
′
′
NN
ee
&
μ
diminui (aproxima-se do VS-MRAC)
condição de escorregamento não satisfeita
0
=
μ
&
0=
′
′
NN
ee
&
μ
constante, controlador fixo
superfície de escorregamento alcançada
5.4 USO DO DMARC E DMARC-TS NO CONTROLE DE VELOCIDADE
DE UM MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO
Com o objetivo de analisar o comportamento do controlador DMARC e DMARC-TS
foram feitas simulações e implementações para o controle de velocidade de um motor de
indução trifásico.
Os motores de indução têm gradativamente ocupando o espaço que antes era destinado
aos motores de corrente contínua (CC) no tocante a acionamentos de alto desempenho
(Leonhard, 1996). Entre as vantagens em relação à máquina CC destacam-se robustez, baixo
custo, menor freqüência de manutenção e, no caso de motor com rotor em gaiola de esquilo, a
ausência de contatos deslizantes. Por não possuir comutador, o que diminui a possibilidade de
faiscamento, os motores de indução, mais especificamente os de rotor em gaiola de esquilo,
podem ser usados em ambientes com um certo grau de risco a incêndios e explosões. No
entanto, na máquina CC o controle de velocidade se dá de uma forma bastante simples, uma
vez que o torque e o fluxo podem ser impostos à máquina de uma forma desacoplada, ou seja,
estabelecido o fluxo, o conjugado pode ser controlado através da corrente de armadura. Este
fato fazia com que os motores CC fossem os preferidos em acionamentos de alto desempenho.
Na década de 70, porém, Blashcke propôs a técnica de controle vetorial, baseada na
orientação dada pelo campo do rotor, aplicada a motores de indução (Blashcke, 1972; Garcia,
1990; Larrea, 1993). A grande novidade foi a escolha do fluxo do rotor como referência do
eixo d, o que tornou possível projetar um sistema de controle desacoplado semelhante ao da
máquina CC, quando o motor é alimentado por fontes de corrente ideais. Com o controle
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
105
vetorial o motor de indução, por ter uma menor inércia de rotor, alcança a velocidade desejada
mais rapidamente, apresentando, assim, um melhor desempenho transitório.
Neste esquema de controle, um elemento importante de incerteza é o valor da
constante de tempo rotórica que varia com as condições de operação, alterando o desempenho
do sistema de controle projetado (perda de eficiência da máquina).
Na modelagem do motor de indução utiliza-se a técnica vetorial baseada na orientação
dada pelo campo do rotor, a qual pressupõe que a corrente do estator é imposta à máquina
(Blashcke, 1972; Garcia, 1990; Larrea, 1993). Essa técnica tem sido considerada a mais
eficiente no sentido de tornar o desempenho da máquina de indução similar ao da máquina de
corrente contínua e, por se basear no modelo dinâmico da máquina, apresenta um excelente
desempenho transitório. O controle orientado pelo campo do rotor ainda se subdivide em
direto ou indireto, dependendo da forma como é feita a estimação do fluxo do rotor. No
método direto o fluxo é controlado em malha fechada, utilizando-se estimadores de fluxo na
obtenção do sinal de realimentação, enquanto que no indireto o fluxo é controlado em malha
aberta, baseado na relação de escorregamento da máquina e na posição do rotor. No método
direto a utilização de bons estimadores minimiza os efeitos das variações paramétricas da
máquina. Já o indireto é bastante sensível a essas variações, principalmente à variação da
constante rotórica (Bose, 2000).
A implementação com exatidão do método de controle orientado pelo campo tem
motivado o uso, em alguns trabalhos, de estratégias baseadas em identificação paramétrica
(Nen, Schmitt, Karakaxis e Manias, 1995; Bueno e Aller, 1996; Shyu, Shieh e Liu, 1996).
Também, têm sido usadas estratégias, com modos deslizantes, por apresentarem
insensibilidade às variações paramétricas da planta (Sabanovic e Izosimov, 1981; Ho e Sen,
1990; Soto e Yeung, 1995; Bose, 1985). Os métodos de controle adaptativo e/ou robusto, os
quais se aplicam a sistemas que apresentam incertezas paramétricas, podem ser inseridos
nesse contexto.
Aqui, adota-se, pela sua simplicidade, o controle vetorial indireto orientado pelo
campo do rotor (COI) e é utilizado o controlador DMARC para superar o problema das
incertezas paramétricas.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
106
Sistema de Acionamento
O sistema de acionamento, utilizado na implementação do controlador DMARC, é
mostrado na Figura 5.5. Ele é composto por um motor de indução de 0,25HP, alimentado por
um inversor trifásico VSI/PWM com controle de corrente por janela de histerese. No controle
de corrente são usados sensores de efeito Hall para a medição das correntes de duas fases do
motor. Um microcomputador recebe a velocidade do motor, através do sinal de um
tacogerador e, utilizando um software de controle implementado em linguagem C (Borland,
1988), envia o sinal necessário para o inversor.
Motor
de indução
Pentium
100 MHz
Tacogerador
Inversor
Freio
de Pron
y
i
s1
v
∝
i
s2
r
r
1s
i
2s
i
3s
i
Figura 5.5: Sistema de Acionamento para o controle de velocidade de um motor de
indução.
Parâmetros do Motor de Indução
Nas simulações e na implementação foi utilizado um motor de indução trifásico classe
“B” de 0,25 HP, com 4 pólos, velocidade nominal de 1725 rpm (180,64 rad/s), tensões
nominais 380 V / 220 V para ligação Y e
Δ, respectivamente, com freqüência nominal de 60
Hz. As correntes nominais são de 1,26 A em 220 V (ligação
Δ) e 0,726 A em 380 V (ligação
Y). O rotor é do tipo gaiola de esquilo. O conjugado nominal é de 1,02 N.m.
Os parâmetros elétricos do motor foram obtidos através de ensaios de curto-circuito e
de circuito aberto e confrontados com os dados fornecidos pelo fabricante. Os dados estão
apresentados na Tabela 5.3.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
107
Tabela 5.3: Parâmetros elétricos do motor de indução utilizados na prática.
R
Resistências dos enrolamentos do estator
29,5012 Ω
s
L
Indutâncias próprias dos enrolamentos do estator 0,0534 + 1,0417 = 1,0951 H
s
R
Resistências dos enrolamentos do rotor
17,8384Ω
r
L
Indutâncias próprias dos enrolamentos do rotor 0,0637 + 1,0417 = 1,1054 H
r
L
Indutâncias mútuas entre os enrolamentos do
estator e do rotor
1,0417 H
m
Também foi fornecido pelo fabricante o momento de inércia do motor, cujo valor é
24
Kg.m10.5
−
=J
Tendo em vista que o motor é alimentado por um inversor do tipo fonte de tensão
(Voltage Source Inverter – VSI), com modulação por largura de pulso (Pulse Width
Modulation - PWM) e controlado por corrente, é possível impor correntes ao motor,
simplificando o modelo da máquina. Essas considerações levam a um modelo de primeira
ordem para o motor.
A expressão do conjugado eletromagnético, para um dado ponto de operação, pode ser
representada por:
rd
r
m
t
L
L
Pk
ψ
3
2
=
)
sqte
iktT
=
; (5.15)
onde:
é o fluxo do rotor segundo o eixo direto, mantido constante. ♦
rd
ψ
♦ P é o número de pólos magnéticos do motor.
♦ L
m
e L são parâmetros especificados na Tabela 5.3.
r
♦
t
k
é uma constante.
♦ é a componente do vetor corrente de estator sobre o eixo em quadratura com o
fluxo do rotor.
sq
i
Supondo o motor em vazio, sem conjugado de carga, a sua dinâmica mecânica é
especificada por:
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
108
ω
ω
B
dt
d
JtT
e
+=)(
(5.16)
onde
J é o momento de inércia do rotor e B o coeficiente de atrito viscoso entre o eixo e os
mancais da máquina.
Aplicando a Transformada de Laplace em (5.16), encontra-se:
)()()( sBJssT
e
ω
+
=
(5.17)
A entrada da planta (motor) é a componente do vetor corrente de estator e a saída é
a velocidade do rotor
ω
. A função de transferência da planta é, então, determinada a partir das
Equações (5.15) e (5.17) resultando em
sq
i
()
p
p
t
sq
as
k
sW
J
B
s
J
k
si
s
+
==
+
=
)(
)(
ω
(5.18)
Em condições nominais é constante e assim, aplicando-se o Teorema do Valor
Final em (5.18) tem-se
sq
i
B
ik
s
i
J
B
s
J
k
slim
sqtsq
t
0s
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
→
∞
ω
(5.19)
A constante é determinada em (Cunha, 2001)
.
t
k
N.m/A899,1
=
t
k
(5.20)
Uma vez especificado
k
t
, encontra-se B através de (5.19) como
(5.21)
s/Kg.m10.65,5
23−
=B
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
109
Os parâmetros da função de transferência da planta (motor) ficam, finalmente,
determinados a partir de (5.18) como sendo:
-1
a = B / J = 11,30 s
p
(5.22)
2 -1
k
p
=
k / J = 3798 (A s ) .
t
Portanto, a função de transferência da planta é dada por:
()
30,11
3798
+
=
s
sW
(5.23)
Parâmetros do Modelo de Referência
A constante de tempo do modelo de referência foi escolhida próxima da constante de
tempo da planta. Tentou-se, dessa forma, evitar sinais de controle mais elevados do que os
que seriam necessários para um modelo com dinâmica mais rápida. Por simplicidade foi
escolhido um ganho de alta freqüência unitário. Com essas considerações o modelo fica
determinado pelos parâmetros
- 1
a
m
= 12 s
(5.24)
– 1
k
m
= 12 s
que corresponde à função de transferência
()
12
12
+
=
s
sM
(5.25)
Simulação com o Algoritmo MRAC
Com a planta e o modelo determinados, foram feitas várias simulações para o
algoritmo MRAC com a utilização do programa MATLAB (Hanselman e Littlefield, 1999). A
simulação que resultou em um melhor desempenho é apresentada na Figura 5.6. Nesta
simulação utiliza-se o MRAC com modificação
σ
cuja lei de adaptação é dada pela Equação
(3.25). O fator de esquecimento usado foi
σ
= 1,667 (ajustado por simulações, a partir do
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
110
conhecimento da banda passante da planta e de estimativas da taxa de variação dos
parâmetros da planta), e o ganho de adaptação
γ
= 0,001. O passo de integração utilizado foi
h = 0,0001s. As respostas para a velocidade da planta (y) e do modelo (y
m
) em rpm estão
plotadas na parte superior da Figura 5.6.
A componente da corrente de estator é o sinal de controle
u (dado em ampères) e
encontra-se plotada na parte inferior da Figura 5.6. Para verificar o comportamento do
controlador na presença de um distúrbio externo, foi colocada uma perturbação fixa de 30%
da carga nominal do motor no instante
t= 0,2s. O motor é simulado a partir de uma velocidade
inicial de 90 rad/s.
sq
i
Figura 5.6: Desempenho do MRAC com Fator
σ
.
Simulação com o Algoritmo VS-MRAC
Os parâmetros do VS-MRAC podem ser determinados a partir da condição de
“matching”, Equações (2.7) e (2.8), as quais levam a:
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
111
A.s10.8,1
4
*
1
−
−=
θ
(5.26)
A.s10.2,3
3
*
2
−
=
θ
Pela condição da lei de adaptação paramétrica, Equação (2.28) da seção 2 (
*
_
11
θθ
>
e
*
_
22
θθ
>
), foram escolhidos os parâmetros
A.s10.2
4
1
−
=
θ
(5.27)
A.s10.4
3
2
−
=
θ
A simulação foi feita, com o VS-MRAC, utilizando as leis chaveadas dadas em (2.39).
Analogamente à simulação feita com o MRAC, foi colocada uma perturbação fixa de 30% da
carga nominal do motor no instante
t= 0,2s, e a velocidade inicial do motor foi assumida
como 90 rad/s.
Figura 5.7
: Desempenho do VS-MRAC.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
112
Na Figura 5.7 estão plotadas na parte superior as velocidades da planta (
y) e do
modelo (
y
m
) em rpm. Na parte inferior está plotado o sinal de controle u = em A.
sq
i
Comparando-se os resultados das simulações feitas com o MRAC e o VS-MRAC
(Figuras 5.6 e 5.7), nota-se que a saída da planta converge para a saída do modelo de
referência de uma forma rápida e praticamente sem oscilações, além de ter sido, praticamente,
insensível à perturbação de entrada, comprovando o bom desempenho transitório e a robustez
do VS-MRAC. No MRAC o transitório é mais lento e oscilatório e apresenta uma pequena
oscilação, na presença da perturbação de entrada, comparado com o transitório do VS-MRAC.
O sinal de controle do MRAC é suave em regime estacionário, enquanto o VS-MRAC
apresenta uma excessiva ação do sinal de controle, referente à alta freqüência de
chaveamento.
Simulação com o Algoritmo DMARC
Na Figura 5.8 é esboçado, em diagrama de blocos, o esquema do controlador DMARC
ajustado por lógica nebulosa.
Modelo de
Referência
r
COI
+
Motor de Indução
y
m
y =
ω
Controlador
θ
-
+
Lei chaveada
ou
Lei de adaptação
μ
d/dt
Algoritmo
Nebuloso
r
rd
ψ
u=
r
sq
i
0
e
0
e
&
Figura 5.8: Diagrama de blocos para o DMARC ajustado por lógica nebulosa.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
113
São usadas como variáveis lingüísticas de entrada o erro de saída (
e
0
) e sua derivada
(
de). Os rótulos atribuídos às variáveis são Pequeno, Médio e Grande. As funções de
pertinência das variáveis lingüísticas das entradas
e
μ
0
e de e da saída , são apresentadas na
Figura 5.9.
μ
Figura 5.9: Funções de pertinência das entradas
e
0
e de, e da saída .
μ
μ
0
e
μ
de
μ
O método de inferência TVFI foi escolhido por ser o método que requer menor esforço
computacional e menor espaço em memória para uma implementação em tempo real (Sencer
e Baris, 1995). A lógica nebulosa se apresenta como uma sub-rotina no algoritmo de controle.
Na Figura 5.10 encontra-se, em diagrama de blocos, o algoritmo para a obtenção do
parâmetro
μ
, através da lógica nebulosa.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
114
Função Centróide
calcula o centro de
gravidade da saída
μ
C
(
P
,
M
,
G
)
Funções de
pertinências
de e
0
e de
Função Achami
Calcula
μ
e
0
e
μ
de
nos
rótulos P, M e G.
e
0
de
μ
e
0
(P,M,G)
μ
de
(P,M,G)
Matriz de Regras R
e
0
⇓ de⇒
P M G
P
G M P
M
P M P
G
P P P
Funções de pertinências
da saída
μ
P,M e G.
Saída
μ
defuzzyficada
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
∑
() ( )()
∑
=
=
=
=
=
31
31
0
31
31
0
,j
,i
de
,j
,i
de
j,iemin
j,iRC.j,iemin
μμ
μμ
μ
saída
μ
defuzzyficada
Figura 5.10: Algoritmo para o cálculo de
μ
do controlador DMARC usando lógica
nebulosa.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
115
Nas simulações com o DMARC o fator de esquecimento foi mantido o mesmo da
simulação com o MRAC, ou seja,
σ
=1,667. Os parâmetros e
1
θ
2
θ
são os mesmos utilizados
nas simulações com o VS-MRAC e especificados em (5.27).
Nas Figura 5.11 são
mostrados os resultados da simulação feita com o algoritmo
DMARC
. As mesmas condições das simulações com o MRAC e o VS-MRAC foram
mantidas. Na parte superior da Figura 5.11 estão plotadas as velocidades da planta (
y) e do
modelo (
y
m
) em rpm e na parte inferior o sinal de controle u = .
sq
i
Figura 5.11: Desempenho do algoritmo DMARC com Fator
σ
.
Simulações semelhantes também foram feitas com o DMARC-TS, mantendo as
mesmas condições das simulações com os controladores anteriores. O fator de esquecimento
σ
e os parâmetros e
1
θ
2
θ
são os mesmos utilizados na simulação do DMARC. O parâmetro
da função de pertinência escolhido foi
1
=
l e o ganho de adaptação . Os resultados
são ilustrados na Figura 5.12.
5
105
−
= .
γ
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
116
Figura 5.12: Desempenho do algoritmo DMARC-TS.
Os resultados das simulações com o DMARC (Figura 5.11) e DMARC-TS (Figura
5.12) são bastante semelhantes e comprovam a filosofia do controlador proposto, que é a
incorporação do bom desempenho transitório do VS-MRAC e as boas características em
regime permanente do MRAC. Observa-se que, de forma similar ao VS-MRAC, tanto no
DMARC como no DMARC-TS, a saída da planta converge rapidamente para a saída do
modelo de referência, praticamente sem oscilações, com boa rejeição à perturbação de
entrada. É também observado um sinal de controle suave e de pequena magnitude. O
resultado é um controlador robusto (com relação à rejeição de perturbação de entrada) com
um bom desempenho transitório (inerente ao VS-MRAC) e um sinal de controle suave, em
regime estacionário (inerente ao MRAC).
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
117
Implementação do DMARC em um Motor de Indução trifásico.
No sistema de acionamento utilizado para obtenção dos resultados experimentais
(Figura 5.5), o motor é alimentado por um inversor VSI/PWM com controle de corrente. Esse
inversor funciona como uma fonte de corrente, reproduzindo os sinais das correntes de
referência, calculados pelo algoritmo de controle, para alimentação do motor de indução. Na
abordagem por controle vetorial indireto orientado pelo campo do rotor, o controle da
velocidade do motor poderá ser feito apenas pela corrente (Equação 5.18), onde o sobre-
escrito (
r
sq
i
r
) representa os valores de referência gerados pelo algoritmo de controle.
A velocidade do motor é convertida em uma tensão por intermédio de um tacogerador
acoplado ao seu eixo. A saída do tacogerador é uma tensão alternada cuja freqüência e valor
eficaz são proporcionais à velocidade do motor. Essa tensão alternada é atenuada, retificada e
filtrada (eliminando os ruídos de medição) gerando uma tensão contínua proporcional à
velocidade do motor. Uma placa de interface A/D transforma esta tensão contínua em um
sinal digital para o microcomputador. A placa de interface A/D-D/A trabalha com tensões de
0 a +10V e, assim, o sinal de tensão retificado, proporcional à velocidade, é ajustado para esta
faixa. No microcomputador, um algoritmo de controle, escrito em linguagem “C”, calcula as
correntes de referência e, através de um conversor D/A, estas correntes são fornecidas a um
VSI/PWM para a alimentação do motor.
Como a placa de interface A/D-D/A trabalha com tensões de 0 a +10V e as correntes
de referência, geradas a partir do algoritmo de controle, são alternadas, um nível DC deve ser
adicionado para compensar o ciclo negativo das correntes de referência. A interface D/A da
placa possui apenas duas saídas e, então, apenas duas correntes de referência, geradas pelo
algoritmo de controle, podem ser enviadas. Como o circuito é trifásico equilibrado, a terceira
corrente pode ser obtida pelo valor negativo da soma das outras duas. Assim, projetou-se um
circuito para subtrair o nível DC adicionado às duas correntes de referência geradas pelo
controlador, e criar a terceira corrente de referência.
Nesta experiência, foi medido o intervalo de amostragem referente ao tempo de
processamento do algoritmo de controle e de conversões A/D - D/A, cujo resultado foi
h = 0,00132s. Através de simulações, com o passo de integração igual ao intervalo de
amostragem, foi encontrado um novo valor para o fator de esquecimento dado por
σ
= 0,05.
O diagrama de blocos da experiência prática encontra-se na Figura 5.13.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
118
No ensaio prático o motor e o modelo de referência partem com velocidades iniciais
nulas. A referência é inicialmente assumida como 1000 rpm, depois de um certo tempo
aumenta-se o valor para 1200 rpm, em seguida reduz-se para 800 rpm e finalmente retorna-se
para 1000 rpm. Depois é introduzida uma perturbação de aproximadamente 30 % da carga
nominal durante alguns segundos. A planta segue o modelo de referência com a velocidade
tendendo para a referência especificada em cada caso (o ganho do modelo é unitário). O efeito
da perturbação só é percebido (Figura 5.14) pelo aumento do sinal de controle durante o
intervalo de tempo em que a carga é aplicada. O desempenho transitório é bastante rápido e
sem oscilações, corroborando com os resultados obtidos em simulações.
O resultado do ensaio prático encontra-se na Figura 5.14, onde as velocidades do
modelo de referência e da planta estão em rpm e o sinal de controle
u =
i
em mA.
sq
VSI /
PWM
v
s1
v
s2
v
s3
i
s1
i
s2
i
MOTOR
+
TACOGERADO
RETIFICADOR
+
FILTRO
v(t)
∝
ω
v
cc
∝
s
3
R
ω
CONVERSOR
A / D
MICRO-
COMPUTADOR
(
ALGORITMO
)
CONVERSOR
D / A
-
+
+
-
I
cc
I
cc
r
1s
i
+
I
cc
r
2s
i
+
I
cc
r
1s
i
r
3s
i
r
2s
i
-
-
r
3s
i
r
2s
i
r
1s
i
Figura 5.13: Diagrama de blocos da implementação do controlador DMARC.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
119
Figura 5.14: Resultado da implementação do controlador DMARC.
A aplicação prática do Controlador DMARC-TS foi feita por (Sousa, 2004). O sistema
de acionamento é o mesmo apresentado na Figura 5.5, com a exceção de que o computador
foi substituído por um Pentium 700 MHz.
O parâmetro da função de pertinência escolhido foi
, o fator de esquecimento
00010,
=
γ
e o ganho de adaptação . Os parâmetros 1000
=
σ
1=l
e são os mesmos especificados em (5.27).
1
θ
2
θ
No ensaio realizado, o motor e o modelo de referência partem com velocidades iniciais
nulas. A referência é inicialmente especificada para 1000 rpm e mantido este valor até
aproximadamente 8 segundos, instante em que a referência é aumentada para 1300 rpm. Entre
8 segundos e 13 segundos, a referência é mantida em 1300 rpm. No 13° segundo a referência
é reduzida para 1100 rpm e mantida neste valor até o final do ensaio, instante correspondente
a 26 segundos. Uma perturbação de aproximadamente 30 % da carga nominal é introduzida,
no último estágio, durante alguns segundos. De forma semelhante ao ensaio utilizando o
DMARC, a planta segue o modelo de referência com a velocidade tendendo para a saída do
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
120
modelo de referência especificada em cada caso. Os resultados são semelhantes ao DMARC
no que se refere à resposta transitória e a suavização do sinal de controle.
2
O resultado
do ensaio prático com o DMARC-TS, encontra-se ilustrado na Figura
5.15, onde as velocidades do modelo de referência e da planta estão em rpm e o sinal de
controle
u = tem o seu valor em A multiplicado por 100.
sq
i
Figura 5.15: Resultado da implementação do controlador DMARC-TS.
2
O resultado apresentado foi extraído de (Sousa, 2004), para ilustrar o funcionamento do DMARC-TS. Como,
tanto a interface gráfica utilizada, como os dados de ensaio e o computador são diferentes não se pode fazer uma
melhor análise comparativa entre o DMARC e o DMARC-TS.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
121
5.5 SIMULAÇÕES COM O VS-MRAC, DMARC E DMARC-TS PARA O
CONTROLE DE POSIÇÃO DE UM MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA
Para avaliar o desempenho do DMARC foram feitas simulações do controle de
posição de um motor de corrente contínua. Utiliza-se um modelo de terceira ordem (ver
Figura 5.16) onde
u é a tensão de entrada aplicada ao circuito de armadura, i
a
é a corrente de
armadura,
η
é a velocidade de rotação, y é a posição angular do eixo (transformada por um
sistema de engrenagem),
m é um torque provocado por uma perturbação na carga e d é um
distúrbio fictício introduzido para a verificação dos resultados teóricos.
São assumidos os seguintes valores nominais para os parâmetros (Feller e Benz,1987):
♦ r
a
= 0,22Ω.
♦ T
a
= 0,05s.
♦ T
m
= 0,5s.
♦ T
y
= 0,2s.
A planta é então representada pela seguinte função de transferência
()
()
200020
102
2
3
++
=
sss
kx
sW
p
onde se permite que
p
k
varie entre 2,5 e 10, tendo-se, assim o caso onde n
*
=3 e o ganho de
alta freqüência desconhecido (a mudança desde ganho modifica significativamente
θ
*
). O
modelo de referência é especificado por
a
r
1
1sT
1
a
+
sT
1
m
sT
1
y
i
a
d
y u
η
+
+
+
+
+
-
m
Fi
g
ura 5.16: Modelo do motor DC.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
122
()
()
3
4
5555
10
,s
sW
+
=
e os sinais v
1
e v
2
com a mesma dinâmica do modelo, ou seja,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=Λ
1113090
10
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3090
0
g
Foi escolhido o polinômio
L(s) como
)
)
)
)
2
21
5555,ssLsLsL +==
tornando, assim, mais simples o operador
ML.
Os parâmetros do controlador para o VS-MRAC COMPACTO determinados a partir
de
θ
*
e da incerteza em são:
p
_
k
)
1100000 ==
nom
T
nom
k;;;;;;
θ
()
1011752607510513 ,i;,;,;;;,;,
T
i
==
θ
(5.28)
()
111155120150050756
2
,k;,;,;;;,;,
T
==
θ
Para se obter os controles equivalentes devemos especificar os filtros de valor médio
de acordo com a largura da banda de passagem do sistema em malha fechada (
5555,
b
=
ω
).
Para gerar os controles equivalentes foram usados os seguintes filtros de segunda
ordem (Araújo, 1993)
() ( )
]
1
2
1
12
−
−
++= sssF
iii
ξττ
()
1
400
−
=
πτ
i
; i = 1,2 70,
=
ξ
,
Em todas as simulações, é utilizado o método de Euler. Para se ter idéia do
comportamento dos controladores MRAC e VS-MRAC para esse controle específico, foram
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
123
feitas inicialmente simulações utilizando os dois controladores, com
p
k
=5 e r(t)=0,1
mantidos constantes. As condições iniciais foram tais que
)
3
1020
−
= .y e o passo de
integração
. Os resultados das simulações com o MRAC encontram-se nas Figuras
5.17 e com o VS-MRAC na Figura 5.18.
s10
5−
=h
Verifica-se no MRAC um transitório demasiadamente longo e oscilatório (em relação
ao VS-MRAC), porém com sinal de controle suave e de baixa magnitude em regime
permanente. O VS-MRAC apresenta um transitório rápido e pouco oscilatório, porém com
sinal de controle de alta freqüência.
Figura 5.17: Desempenho do MRAC com fator
σ
.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
124
Figura 5.18: Desempenho do VS-MRAC (simulação inicial).
Nas simulações subseqüentes foram feitas modificações na referência
r(t), na
perturbação
d(t) e no ganho , conforme apresentadas na Tabela 5.4
p
_
k
Tabela 5.4: Variações em
r(t), d(t) e em durante as simulações.
p
_
k
Para 0s
≤ t< 0,2s
p
_
k
r(t) = 0,1 d(t) = 0,03
= 5
Para 0,2s≤ t< 0,4s
p
_
k
r(t) = 0 d(t)= 0
= 10
Para 0,4s ≤ t≤ 0,6s
p
_
k
r(t) = 0,1 d(t)= 0,03
= 2,5
Nas simulações com o VS-MRAC são utilizados os parâmetros definidos em (5.28) e
os resultados encontram-se na Figura 5.19.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
125
Figura 5.19: Desempenho do VS-MRAC.
Nas simulações com o DMARC, o parâmetro
μ
é determinado pela Equação (5.13),
com
l=5.10
-9
. Para evitar erro numérico, o valor de
μ
é limitado inferiormente por
, de forma que
μ
pode assumir valores no intervalo
6
101
−
= .
p
μ
1≤
≤
μ
μ
p
. São utilizados os
mesmos parâmetros das simulações com o VS-MRAC (Equação (5.28)) e o fator de
esquecimento dado por
σ
=0,05. Os resultados encontram-se ilustrados na Figura 5.20.
Para o DMARC-TS, são escolhidos para as funções de pertinência o parâmetro
, o ganho de adaptação , o fator de esquecimento
5
10.1
−
=l
2
105.=
γ
500=
σ
e os parâmetros
restantes são os mesmos utilizados nas simulações com o VS-MRAC (Equação (5.28)). No
caso do DMARC-TS vê-se, pela Equação (5.17), que não há necessidade de se limitar o valor
de
μ
na determinação do vetor de parâmetros
(
)
t
θ
. Neste caso
μ
pode assumir qualquer valor
no intervalo
1≤≤
μ
μ
p
. Na Figura 5.21 são apresentados os resultados de simulação com o
DMARC-TS.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
126
Figura 5.20: Desempenho do DMARC.
Figura 5.21: Desempenho do DMARC-TS.
Seção 5 – Controlador DMARC- Histórico
127
O VS-MRAC apresentou uma pequena oscilação, atingindo o regime permanente em
um tempo consideravelmente pequeno. Também, apresentou robustez à perturbação de carga
e à variação paramétrica. Entretanto, necessitou de um sinal de controle com freqüência de
chaveamento muito elevada.
Conforme pode ser verificado pelas simulações, tanto o algoritmo DMARC como o
algoritmo DMARC-TS proporcionaram um transitório rápido e com uma pequena oscilação,
com robustez em relação à variação paramétrica e à perturbação externa, semelhante ao VS-
MRAC. Também apresentaram um sinal de controle com uma boa suavização em relação ao
sinal do VS-MRAC.
Como desejado, o controlador DMARC conseguiu incorporar as vantagens do VS-
MRAC durante o transitório e as boas características de regime permanente do MRAC.
5.6 CONCLUSÕES
Nesta seção foi feito um histórico do desenvolvimento do controlador DMARC. Foi
mostrado que o DMARC surgiu com a idéia de variar em tempo real o parâmetro
μ
da lei de
adaptação (5.1), proposta em (Hsu e Costa, 1989). Uma versão inicial do DMARC teve
origem com o uso da lógica nebulosa para ajustar o parâmetro
μ
, de forma a se ter uma
transição suave entre os controladores MRAC e VS-MRAC. Esta técnica foi usada no
controle de velocidade de um motor de indução trifásico em (Cunha, 2001). Uma versão
inicial do DMARC-TS foi desenvolvida por (Mota e Araújo, 2002) utilizando o modelo
Takagi-Sugeno da lógica nebulosa para interpolar as leis de adaptação do MRAC e VS-
MRAC. O resultado da aplicação da versão inicial do DMARC-TS no controle de velocidade
de um motor de indução trifásico, foi extraído de (Souza, 2004). Verificou-se que tanto o
DMARC como o DMARC-TS propiciam transitórios rápidos e pouco oscilatórios e sinal de
controle suave em regime permanente.
Na Seção 5.3, a partir da estrutura de controle do VS-MRAC compacto da seção 4.2,
foi desenvolvimento um algoritmo de controle DMARC para plantas com n*>1. Esta mesma
estrutura pode ser usada para o controlador DMARC-TS. Os resultados de simulação para o
controle de posição de um motor CC, para os controladores VS-MRAC, DMARC e DMARC-
TS são apresentados na Seção 5.5. Os resultados mostram que tanto o DMARC e o DMARC-
TS tiveram um transitório rápido com uma pequena oscilação e apresentaram uma boa
suavização do sinal de controle em relação ao VS-MRAC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
128
6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DO DMARC E DMARC-TS
Através de simulações e aplicações práticas, verificou-se o bom desempenho das
versões iniciais dos controladores DMARC e DMARC-TS, em relação às variações
paramétricas, perturbações externas e comportamento transitório, além de apresentarem uma
boa suavização do sinal de controle em regime permanente. Intuitivamente, espera-se que o
DMARC e o DMARC-TS possuam boas características de estabilidade. No caso do DMARC,
por se tratar de um controlador que faz uma transição suave entre dois controladores
conhecidamente robustos (VS-MRAC e MRAC com modificação sigma e uma
normalização). No caso do DMARC-TS, por se tratar de uma composição ponderada da ação
de controle dos dois controladores VS-MRAC e MRAC.
Para uma análise de estabilidade, usando a teoria de Lyapunov, são necessárias
algumas modificações nas leis de adaptação. Estas modificações, no entanto, devem preservar
as mesmas características dos controladores iniciais. A análise de estabilidade é feita, para
ambos os controladores DMARC e DMARC-TS para plantas cuja modelagem leva a um
modelo de grau relativo n*=1. Um novo algoritmo, diferente do desenvolvido na Seção 5.3, é
apresentado para o caso de grau relativo n*≥2.
6.1 DMARC PARA PLANTAS COM 1=
∗
n
No controlador DMARC é proposta uma ligação entre o MRAC e o VS-MRAC
através de uma única lei de adaptação. Para a prova de estabilidade a lei de adaptação inicial
(Equações (2.61) e (5.1)) foi modificada. Basicamente, foi adicionado um termo na lei de
adaptação de forma a se poder eliminar os termos de sinais indefinidos, que aparecem na
derivada da função de Lyapunov. A idéia das ponderações da lógica nebulosa do tipo Takagi-
Sugeno (Mota e Araújo, 2002; Takagi e Sugeno, 1985) é incorporada em uma única
expressão. Posteriormente, uma nova modificação na lei de adaptação foi feita, possibilitando
melhores resultados na análise de estabilidade. As duas versões do DMARC são apresentadas
a seguir.
6.1.1 DMARC - Algoritmo 1
Considera-se a seguinte lei de adaptação:
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
129
)
ωμγωσμσθθμ
00
1 ee −Γ−−−=
&
(6.1)
onde 0>
γ
,
0>
σ
e
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=Γ
i
i
e
diag
ω
θ
0
,
*
ii
θθ
> , i = 1, 2n.
Define-se o fator
σ como:
⎩
⎨
⎧
≠<
=
contráriocasoemconstante
0ese0
,σ
μMθ,
c
θ
σ
(6.2)
onde
θ
θ
2=M com
*
ii
θθ
> , i = 1, 2n. (6.3)
A mesma análise feita na seção 2.4 continua válida. Quando
μ
→ 0, nota-se que a
Equação (6.1) se resume à Equação (2.28), ou seja, ao algoritmo VS-MRAC. A Equação (6.1)
pode ser reescrita como
()
[]
ωγμσμ
μ
θ
μ
σ
θ
0
1
1
eI+Γ−−−=
&
, 0e0 >>
σ
γ
(6.4)
Ainda, quando
μ
→ 0, observa-se que o fator de esquecimento tende a infinito, implicando
que o VS-MRAC não tem memória. O termo de aprendizagem também cresce
ilimitadamente, de onde conclui-se que no VS-MRAC a adaptação é instantânea.
Quando
1=
μ
, a Equação (6.1) se resume à (2.27) que é a lei de adaptação do MRAC
com fator
σ
.
A lei de adaptação com fator sigma, no entanto, pode apresentar o indesejável
fenômeno de "bursting", identificado por (Hsu e Costa, 1987). Apesar da semelhança do
DMARC com a lei de adaptação com fator sigma, nota-se da Equação (6.4), que o fator de
esquecimento é variável como em (Narendra e Annaswamy, 1987) que é livre de “bursting”, e
dependendo da forma como se ajusta o parâmetro
μ
, o algoritmo DMARC pode atuar o mais
próximo possível do controlador VS-MRAC. Estes fatores contribuem para a ausência do
fenômeno de “bursting” no DMARC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
130
O ajuste do parâmetro
μ
, no DMARC, é feito de forma que o controlador só se
aproxima de uma ação mais predominante de um controlador MRAC quando o erro de saída é
suficientemente pequeno já tendendo ao regime permanente. Assim, é introduzido o termo
()
μ
−1 na Equação (6.1) de forma que a não linearidade, provocada pela função sgn
(representada pelo termo Γ), é gradativamente reduzida, a medida que
μ
→ 1, suavizando o
sinal de controle em regime permanente. Desta forma, objetiva-se aproveitar as boas
características durante o transitório dos controladores VS-MRAC e, a suavidade do sinal de
controle do MRAC, em regime permanente.
Nesta Tese, para plantas com 1=
∗
n , o parâmetro
μ
é ajustado de acordo com a
expressão
l/e
e
2
0
−
=
μ
(6.5)
As características, desta primeira versão modificada do DMARC é apresentada no
Teorema a seguir:
Teorema 6.1: Seja o sistema composto pelas equações da planta, modelo e erro de saída
(3.7-3.13). Considere as hipóteses H1-H5 descritas na seção 3.2
. Se a lei de adaptação é dada
pelas Equações (6.1-6.5), e o sinal de controle pela Equação (3.6), todos os sinais do sistema
sem perturbação na entrada (d
e
=0) são uniformemente limitados.
Prova:
Escolhe-se a função definida positiva como candidata a função de Lyapunov
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
γθ
θθ
θ
*
n
T
T
~
~
Pee
~
,eV
2
2
1
(6.6)
Pelo lema de Kalman-Yakubovitch (
QPAPA
c
T
c
2−=+ ,
cc
hPb
=
, 0>=
T
PP e 0>=
T
QQ )
e, considerando que
0
eehhe
T
cc
T
== , encontra-se para a derivada no tempo ao longo da
solução de (6.1) e (3.12) (com 0
=
e
d )
()
()
[]
ωeμθ
γμθ
θ
~
σ
Qeeθ
~
e,V
T
T
0
*
2n
Γ1−+−−=
&
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
131
que, juntamente com as definições dos parâmetros de (6.1) resulta em
()
() ()
[]
ωesgnμθ
γμθ
θ
~
σ
Qeeθ
~
e,V
T
T
0
*
2n
1 Θ−+−−=
&
(6.7)
onde
() ( ) ( )
[]
T
n
esgn...esgnesgn
20100
ωωω
= e
)
i
diag
θ
=Θ , i=1,...,2n.
A Equação (6.7) é reescrita como
()
)
()
4434421
&
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−−=
θ
θθθ
F
θ
γμθ
σ
Qeeθ
~
e,V
T
*T
*
2n
(6.8)
onde
() ()
ωesgnμ
0
1 Θ−=
θ
e define-se
()
)
)
θθθθ
+−= θF
T
*
.
Desenvolvendo
()
θ
F , tem-se
()
()
[]
)
]
)
*
T
*
T
*T*
T
*
θθF
θθθθθθθθθθθ
+−+−+−+=
2
1
2
1
2
1
(6.9)
Verifica-se, pela definição de
θ
, que
ii
θθ ≤ , uma vez que
10
≤
≤
μ
e, como
*
ii
θθ
>
, tem-se
de (6.8) e (6.9) que
()
)
θθθθ
TTT
γμθ
σ
Qeeθ
~
e,V −−−≤
*
2n
2
&
(6.10)
Assim, pelas definições de
σ
e
θ
M , dadas pelas Equações (6.2) e (6.3), pode-se concluir que
0≤−≤ Qee
~
,eV
T
θ
&
(6.11)
De (6.6) e (6.10) conclui-se que e,
θ
~
e, por conseguinte,
0
e e
θ
pertencem ao L
∞
. Sendo
T
mm
T
m
T
m
vyv
21
=
ω
um elemento do vetor regressor correspondente ao modelo de referência e
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
132
considerando que r ∈ L
∞
e M(s) é estável, tem-se que
m
ω
∈ L
∞
.
Como definidos na seção
3.2,
TTT
r
vyv
21
=
ω
e Ω é uma matriz constante obedecendo a relação e
mr
Ω+=
ω
ω
, de onde
se conclui que x, v
1
e v
2
∈ L
∞
. Desde que
r
T
r
T
ωω
= e ωθu
T
= , conclui-se que
ω
e u ∈ L
∞
,
concluindo-se a prova. ■
Assim, com o Algoritmo 1 do DMARC consegue-se, apenas, demonstrar que todos os
sinais do sistema em malha fechada são uniformemente limitados.
Uma vez que o DMARC torna-se o VS-MRAC quando
0→
μ
, é de se esperar que
sejam obtidos resultados semelhantes ao do VS-MRAC, se no Teorema 6.1, o valor de
μ
for
constante com 0→
μ
ao invés de (6.5).
Assim, se 0→
μ
, a Equação (6.1) se resume à (5.2) e, no limite tem-se para (6.7)
)
)
() ()
]
4444434444421
&
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
Θ−+−−−=
θ
θθ
μ
μ
G
ωesgnμθlim
γθ
σ
Qeeθ
~
e,V
T
*T
0
0
*
2n
1
1
(6.12)
Definindo-se
()
()
() ()
[]
ωesgnμθG
T
*
0
1 Θ−+−=
θθθ
tem-se o seguinte limite
()
]
() ()
[]
ωesgnμθθθ
μ
limθG
μ
lim
T
*
μμ
0
00
1
11
Θ−+−=
→→
() ()
]
() ()
[]
ωesgnμθωesgn
μ
limθG
μ
lim
T
*
μμ
00
00
11
Θ−−Θ−=
→→
() () ()
]
ωesgnθμ
μ
limθG
μ
lim
*TT
μμ
0
00
11
Θ−−−=
→→
θθ
onde
*
i
*
diag
θ
=Θ , i=1,...,2n. Assim,
() () ()
]
0
11
0
00
>Θ+=
→→
ωesgnμ
μ
limθG
μ
lim
*T
μμ
θθ
pois
*
ii
θθ
> , i=1,...,2n. Desta forma, tem-se para (6.12)
0≤−≤ Qee
~
,eV
T
θ
&
(6.13)
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
133
De (3.12) com 0
=
e
d , como
c
A é estável e u ∈ L
∞
,
conclui-se que
e
&
∈ L
∞
. Seja QeeW
T
= ,
desde que
W
&
∈ L
∞
,
tem-se que W é uniformemente contínua. De (6.11) chega-se a
()
∫
∞<
∞→
t
t
dWlim
0
ττ
para alguma condição inicial, o que implica em
0=
∞→
elim
t
, concluindo-se que 0
0
=
∞→
elim
t
.
Observação: Um aspecto prático da implementação do DMARC deve ser considerado a
partir da observação da Equação (6.2). Para evitar erro numérico, o valor de
μ
, que se
encontra no denominador, é limitado inferiormente por um valor
p
μ
convenientemente
pequeno.
6.1.2 DMARC - Algoritmo 2
Uma nova proposta para o DMARC é feita, reescrevendo (6.2) como
() ()
ωγωμ
μ
σ
θ
μ
σ
θ
00
1 eesgn
pp
−Θ−−−=
&
, 0e0 >>
σ
γ
(6.14)
com
n
...diag
21
θθ
=Θ ,
()
)
)
]
T
n
esgn...esgnesgn
20100
ωωω
=
e
σ
uma constante.
Considerando que o termo
p
μ
deve ser limitado inferiormente e, quanto menor for o
seu valor mais o DMARC se aproxima do VS-MRAC, sugere-se que o parâmetro
p
μ
permaneça fixo, em seu valor limite suficientemente pequeno, com o parâmetro
μ
variando
de acordo com a Equação (6.5). Simplificando um pouco mais a Equação (6.14), tem-se
)
)
ωγωμσσθθμ
00
1 eesgn
p
−Θ−−−=
&
, 0e0 >>
p
μ
γ
(6.15)
onde o produto
γ
μ
p
é representado apenas por
γ
, uma vez que tanto
p
μ
como
γ
são
constantes de projeto.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
134
O efeito de uma perturbação limitada na entrada da planta pode ser rejeitado
adicionando-se ao sinal de controle uma componente a estrutura variável, tornando o sinal de
controle da forma
)
0
esgndu
T
−=
ωθ
(6.16)
onde
d é um limitante superior para a perturbação de entrada desconhecida. Quando um
limitante superior para a perturbação não é conhecido, este pode ser determinado
adaptativamente como sugerido em (Feng, 1994). A introdução do sinal adicional a estrutura
variável (Equação (6.16)), é capaz de rejeitar completamente a perturbação de entrada porém,
traz consigo o indesejável fenômeno de “chattering”. Seguindo-se o mesmo princípio
utilizado na lei de adaptação para o DMARC (Equações (6.1) e (6.15)), o termo
)
μ
−
1 é
multiplicado à componente a estrutura variável do sinal de controle para reduzir o
chaveamento, a medida que o erro de saída se aproxima de zero. Desta forma, se consegue
atenuar o “chattering” no sinal de controle. A Equação (6.16) é reescrita, então, como
)
)
0
1 esgndu
T
μωθ
−−= (6.17)
onde
()
l
2
0
0
e
ee
−
=
μ
. Neste caso, a perturbação não é totalmente rejeitada mas, seu efeito é
sensivelmente reduzido escolhendo-se
l razoavelmente pequeno.
As características deste algoritmo DMARC são enunciadas no seguinte Teorema:
Teorema 6.2:
Seja o sistema composto pelas Equações da planta, modelo e erro de saída
(3.7-3.13). Considere as hipóteses H1-H5 descritas na seção 3.2
. Se a lei de adaptação é dada
pelas Equações (6.15) e (6.5), o sistema terá as seguintes características:
♦
Se o sinal de controle é dado pela Equação (3.6)
i) Todos os sinais em malha fechada são uniformemente limitados.
ii) Existem constantes positivas
α
e
2
c tais que
(
)
te e
(
)
t
~
θ
convergem exponencialmente
para o conjunto residual definido como:
()
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
2
2
2
2
2
2
1
θ
σ
α
θ
γθ
dc
θ
~
e,V|
~
,eD
*
n
e
R
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
135
onde
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
θθ
γθ
μ
θ
~~
Pee
~
,eV
T
*
n
p
T
2
2
1
.
iii)
()
te e
()
t
~
θ
são
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
d
e
σ
2
pequenos no sentido médio quadrático. Ou seja,
)
te e
()
t
~
θ
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
e
σ
2
com
()
tdd
ee
> .
♦ Se o sinal de controle é modificado e expresso pala Equação (6.17)
iv)
()
te e
()
t
~
θ
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
σ
l e o conjunto residual do item (ii) torna-se
()
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
e
γθ
θ
~
e,V|
~
,eD
,
R
l
2
21
50
2
*
2n
θ
σ
α
θ
onde
()
tdWd
ed
> (Equação (3.13)) e l é satisfatoriamente pequeno.
Prova: A prova segue os passos da prova do Teorema 1. Escolhe-se a função definida
positiva como candidata a função de Lyapunov
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
θθ
γθ
μ
θ
~~
Pee
~
,eV
T
*
n
p
T
2
2
1
(6.18)
Pelo lema de Kalman-Yakubovitch (
QPAPA
c
T
c
2−=+ ,
cc
hPb
=
, 0>=
T
PP e 0>=
T
QQ )
e, considerando que
0
eehhe
T
cc
T
== , encontra-se para a derivada no tempo ao longo das
soluções de (3.12) e (6.15)
()
()
[]
() ()
[]
ω
σ
0
*
2n
00
1
2
1
esgnμθθ
~
γθ
dbPePedbQeeθ
~
e,V
T
e
T
T
e
T
Θ−+−
′
+
′
+−=
&
()
() () ()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Θ−++−
′
+−=
444344421
&
θ
σ
ωesgnμθθ
~
θ
~
γθ
PebdQeeθ
~
e,V
*T
T
e
T
0
*
2n
0
1
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
136
()
)
θθ
~
θ
~
γθ
edceeθ
~
e,V
T
*
n
e
T
Qmin
+−+−≤
2
1
1
σ
λ
&
onde
() ()
ωesgnμθ
*
0
1 Θ−+=
θ
,
Qmin
λ
é o mínimo auto valor da matriz Q,
)
i
T
i
Pbmaxc
01
′
=
,
n...,,i 21= e
n
e...eee
221
1
+++=
3
. Completando-se os quadrados para os termos em e e
θ
~
tem-se
()
2
2
*
2n
2
2
2222
θ
γθ
θ
~
θ
~
γθ
dcee
θ
~
e,V
*
n
T
e
T
Qmin
σσ
λ
+−+−≤
&
()
2
2
2
2
2
2222
θ
γθ
dcθ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,V
*
n
e
T
*
n
p
p
T
Pmax
Pmax
Qmin
σ
μ
μ
σλ
λ
λ
++−−≤
&
() ()
2
2
2
2
2
2
θ
σ
α
γθ
dc
θ
~
e,Vθ
~
e,V
*
n
e
++−≤
&
onde,
Qmin
cc
λ
2
12
= ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
pPmax
Qmin
,min
μ
σ
λ
λ
α
,
)
tdd
ee
> e
i
i
θθ
2< .
Assim, se
()
0
2
2
2
2
2
2
1
V
γθ
dc
θ
~
e,V
*
n
e
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
θ
σ
α
, tem-se que
0
~
≤θe,V
&
. Então, todas as soluções
de (6.15) e (3.12) são uniformemente limitadas. Seguindo o mesmo procedimento do
Teorema 6.1, conclui-se que todos os sinais em malha fechada são uniformemente limitados e
que
()
te e
()
t
~
θ
convergem exponencialmente para o conjunto residual definido em (ii).
Da expressão
()
2
2
*
2n
2
2
2
222
θ
σσ
λ
γθ
θ
~
θ
~
γθ
dc
ee
θ
~
e,V
*
n
T
e
T
Qmin
+−+−≤
&
obtém-se a seguinte desigualdade
3
Nesse caso particular usa-se a norma 1 para o vetor erro. Nos demais casos utiliza-se a norma Euclidiana
(Ioannou e Sun 1996, pág. 69).
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
137
()
()
()
()
]
TtVtVT
γθ
dcd
~~
deec
~
,e
~
,e
*
n
e
Tt
t
T
Tt
t
T
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
++
θθ
θ
σ
τθθτ
2
4
2
2
2
20
4
2
3
cT
γ
dcd
~~
dee
e
Tt
t
T
Tt
t
T
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤+
∫∫
++
σ
τθθτ
, 0≥
∀
t e 0>T
onde
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
γθ
,minc
Qmin
*
2n
0
σ
λ
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
2
2
0
3
41
θ
*
n
θ
,cmax
c
c
e
()
()
()
()
]
TtVtVsup
c
c
~
,e
~
,e
t
+−=
θθ
0
4
2
.
Desse modo, e e
θ
~
pertencem a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
e
σ
2
, resultando em (iii).
Para analisar o efeito da perturbação com a introdução do sinal adicional a estrutura
variável na lei de controle, reescreve-se (3.12) e (3.13) da forma:
)
ed
*
*
n
c
c
dWuu
b
eAe +−+=
2
θ
&
ehe
T
c
=
0
(6.19)
Observação: Quando um limitante superior para a perturbação de entrada
)
tdd
ee
> é
conhecido, o valor de
)
tdWd
ed
> pode ser obtido através de uma versão filtrada de
e
d ,
como mostrado no Lema 4.2.
Escolhe-se a mesma candidata a função de Lyapunov dada em (6.18) e segue-se os
mesmos passsos da prova do Teorema 6.2. Desta forma,
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
θθ
γθ
μ
θ
~~
Pee
~
,eV
T
*
n
p
T
2
2
1
Pelo lema de Kalman-Yakubovitch ( QPAPA
c
T
c
2−=+ ,
cc
hPb
=
, 0>=
T
PP e 0>=
T
QQ )
e, considerando que
0
eehhe
T
cc
T
== , encontra-se para a derivada no tempo ao longo da
solução de (6.15) e (6.19).
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
138
()
()
[]
() ()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Θ−++−+−−+−=
444344421
&
θ
σ
μ
ωesgnμθθ
~
θ
~
γθ
edWed
θ
Qeeθ
~
e,V
*T
ed
T
0
*
2n
00
*
2n
11
1
()
]
)
()
θ
σ
μ
+−++−−= θ
~
θ
~
γθ
ed
θ
edWed
θ
Qeeθ
~
e,V
T
*
n
ed
T
2
0
*
2n
00
*
2n
11
&
(6.20)
Analisando-se a expressão
00
2
0
eee
e
l
−
=
μ
verifica-se que esta possui um máximo em
2
0
l
=e
cujo valor é
()
()
l
2
50
00
,
e
eemax
−
=
μ
(6.21)
Considerando que
i
i
θθ
2< , utilizando o resultado (6.210) e completando o quadrado para o
termo em
θ
~
na Equação (6.20), tem-se
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−≤
−
d
e
γθ
θ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,V
,T
T
Qmin
l
&
2
21
2
50
2
*
2n
*
2n
θ
σσ
λ
Somando e subtraindo
θα
~
,eV
encontra-se
() ()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−≤
−
d
e
γθ
θ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,Vθ
~
e,V
,
p
T
Pmax
Qmin
T
l
&
2
21
2
1
2
50
2
*
2n
*
2n
θ
σ
αμσα
λ
λα
e escolhendo-se
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
pPmax
Qmin
,min
μ
σ
λ
λ
α
2
resulta
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−≤
−
d
e
γθ
θ
~
e,Vθ
~
e,V
,
l
&
2
21
50
2
*
2n
θ
σ
α
(6.22)
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
139
Assim, se
()
0
50
2
*
2n
2
21
Vd
e
γ
θ
θ
~
e,V
,
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
−
l
θ
α
, tem-se que
0
~
≤θe,V
&
. Portanto, todas as
soluções de (6.14) e (6.18) são uniformemente limitadas, todos os sinais em malha fechada
são uniformemente limitados e
(
)
te
e
(
)
t
~
θ
convergem exponencialmente para o conjunto
residual definido em (iv).
Nota-se de (6.22), que o efeito da perturbação é razoavelmente reduzido à medida que
se diminui o valor de
l e totalmente rejeitado quando 0
=
l . Quando 0→l , tem-se que
0
2
0
→=
−
l
e
e
μ
, e a Equação (6.17) se resume à Equação (6.16), cujo termo adicional é um
termo a estrutura variável pura, isto é, sem suavização.
Da expressão
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−≤
−
d
e
γθ
θ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,V
,T
T
Qmin
l
&
2
21
2
50
2
*
2n
*
2n
θ
σσ
λ
se obtém as seguinte desigualdades:
()
()
()
()
]
TtVtVTd
e
γθ
d
~~
deek
~
,e
~
,e
,
Tt
t
T
Tt
t
T
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
++
∫∫
θθ
θ
σ
τθθτ
l
2
21
50
2
*
2n
0
21
kTd
γ
kd
~~
dee
Tt
t
T
Tt
t
T
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤+
∫∫
++
l
σ
τθθτ
, 0≥
∀
t e 0>T .
onde
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
γθ
,mink
Qmin
*
2n
0
σ
λ
,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
2
50
*
2n0
1
2
2
1
θ
,
e
max
θk
k
,
e
()
()
()
()
[]
TtVtVsup
k
k
~
,e
~
,e
t
+−=
θθ
0
2
1
.
Isto significa que e e
θ
~
pertencem a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
σ
l . ■
Observa-se, deste resultado, que a pertinência de e e
θ
~
ao L
2
se torna mais próxima, à medida
que
∞→
γ
e 0→l .
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
140
6.2 DMARC TAKAGI-SUGENO PARA PLANTAS COM
1=
∗
n
Na seção 5, foi apresentada uma proposta para o DMARC-TS, onde os parâmetros do
controlador são determinados utilizando ponderações das leis de adaptação do controlador
MRAC e do controlador VS-MRAC, baseado na lógica nebulosa, usando o modelo Takagi-
Sugeno (Mota e Araújo, 2002).
Nesta seção ao invés das ponderações dos parâmetros do controlador, gerados pelas
leis do MRAC e do VS-MRAC, são utilizadas ponderações dos seus respectivos sinais de
controle, como esquematizado na Figura 6.1. Esta abordagem se assemelha à combinação
convexa dos sinais de controle gerados por um esquema adaptativo e um esquema a estrutura
variável, apresentada em (Sanner e Slotine, 1992) e (Hsu e Real, 1997).
M(s)
W(s)
Leis do
MRAC
y
m
y
e
0
+
+
+
-
u(t)
d
e
(t)
+
+
μ
−1
μ
u
vs
u
mr
r(t)
f(t)
Figura 6.1: Diagrama do esquema de controle do DMARC-TS.
A lei de controle, nesse caso, é dada por
)
vsmr
uuu
μ
μ
−
+
=
1 (6.23)
onde
mr
u é o sinal gerado pelo MRAC,
vs
u é a lei de controle gerada pelo VS-MRAC e
μ
é a
função de pertinência do modelo Takagi-Sugeno, especificada em (6.5). Vê-se que, para
0=
μ
, erro muito elevado, tem-se
vs
uu
=
com ação total do controlador VS-MRAC.
Quando 1=
μ
, erro tendendo a zero, tem-se
mr
uu
=
com ação pura do controlador MRAC.
O sinal de controle a estrutura variável do VS-MRAC é escrito reduzindo-se o número
de relés como segue
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
141
)
0
esgnu
T
vs
ωθ
−=
(6.24)
onde
[]
T
n
...
221
ωωωω
=
e
*
i
i
θθ
>
, i=1,...,2n.
As leis de adaptação a serem utilizadas no MRAC, podem ser convenientementes
ajustadas, para o uso das funções de Lyapunov. Uma vantagem do DMARC-TS, em relação
ao DMARC, é a possibilidade de se usar as diferentes leis de adaptação, convenientemente
modificadas, para o esquema adaptativo do MRAC. Assim, considera-se a convencional lei
gradiente de adaptação modificada como
ωμγθ
0
e−=
&
(6.25)
Na ausência de perturbação na entrada da planta, a utilização da lei de adaptação
(6.25) no esquema do DMARC-TS garante o erro de saída zero em regime permanente. As
características para o DMARC-TS, para o sistema sem perturbação e com (6.25) no esquema
DMARC-TS são enunciadas no seguinte Teorema:
Teorema 6.3: Seja o sistema composto pelas Equações da planta, modelo e erro de saída (3.7-
3.13). Considere as hipóteses H1-H5 descritas na seção 3.2
. Se o esquema de controle do
DMARC-TS é especificado pelas Equações (6.23-6.25) e (6-5), o sistema sem perturbação na
entrada ( 0=
e
d ) terá as seguintes características:
i) Todos os sinais em malha fechada são uniformemente limitados.
ii)
()
0→te quando ∞→t .
Prova: Escolhe-se a seguinte função definida positiva como candidata a função de Lyapunov
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
γθ
θθ
θ
*
2
~
~
2
1
~
,
n
T
T
PeeeV (6.26)
cuja derivada no tempo, ao longo de (6.19) (com 0
=
e
d ) e (6.25) é
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
142
()
)
()
ωμγ
θ
ωθ
0
2
0
*
2
~
1
~
e
γθ
eu
θ
Qeeθe,V
*
n
T
T
*
n
T
−+−+−=
&
(6.27)
Substituindo o sinal de controle dado em (6.23) e (6.24) tem-se
()
()()
[]
()
ωμθθωθωμμθ
0
*
2
0
*
0
2
1
sgn1
1
~
e
θ
ee
θ
Qeeθe,V
T
T
*
n
T
T
T
*
n
T
−−−Θ−−+−=
&
resultando em
()
()
)
01
1
~
0
*
0
2
≤+−−−=
ωθωθμ
ee
θ
Qeeθe,V
T
T
*
n
T
&
(6.28)
0≤−= Qeeθ
~
e,V
T
&
(6.29)
De (6.26) e (6.29) conclui-se que
e, θ
~
e, por conseguinte,
0
e e
θ
pertencem ao L
∞
.
Seguindo
o mesmo procedimento do Teorema 1, conclui-se (i).
Procede-se de forma semelhante ao item (ii) do Teorema 1. De (6.19) com 0
=
e
d ,
como
c
A é estável e u ∈ L
∞,
conclui-se que
e
&
∈ L
∞.
Seja QeeW
T
= , desde que W
&
∈ L
∞,
conclui-se que W é uniformemente contínua. De (6.29) tem-se que
()
∫
∞<
∞→
t
t
dWlim
0
ττ
para alguma condição inicial, o que implica em
)
0=
∞→
telim
t
, concluindo-se que
)
0
0
=
∞→
telim
t
o que resulta em (ii). ■
Analisa-se agora, o caso de uma perturbação limitada,
(
)
td
e
, na entrada da planta. No
controlador VS-MRAC, uma perturbação limitada na entrada da planta é rejeitada
adicionando-se à função de modulação do relé um limitante superior da perturbação. O sinal
de controle a estrutura variável do VS-MRAC (Equação (6.24)) é então, reescrito como segue
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
143
)
0
esgndu
T
vs
+−=
ωθ
(6.30)
onde
()
tdWd
ed
> .
No DMARC-TS, porém, a componente do sinal de controle correspondente ao VS-
MRAC, não é capaz de rejeitar completamente a perturbação de entrada, devido à ponderação
aplicada a esta componente. Por outro lado, no controlador MRAC, a lei gradiente de
adaptação pura é conhecidamente não robusta, em relação a perturbações e dinâmica não
modelada. Neste caso, deve-se incorporar à lei de adaptação (6.25) alguma das modificações
propostas na literatura que garante robustez ao sistema MRAC. A lei de adaptação (6.25) é,
então, modificada para
ωμγθ
0
ef −−=
&
(6.31)
onde
f representa o efeito de uma das modificações para garantir robustez ao sistema
MRAC. Dependendo do algoritmo a ser usado,
f pode ser escolhida como: modificação
σ
-fixo (Ioannou e Kokotovic 1984), modificação
σ
-chaveado (Ioannou, 1984), modificação
0
e (Narendra e Annaswamy, 1987) , ou incorporado ao B-MRAC (Hsu e Costa, 1994), dentre
outros. As modificações propostas a estas leis, para uso no DMARC-TS, são as seguintes:
♦ Modificação
σ
-fixo
ωμγσθθ
0
e−−=
&
;
0>
σ
e 0>
γ
(6.32)
♦ Modificação
σ
-chaveado
ωμγσθθ
0
e−−=
&
; 0>
σ
e
0>
γ
(6.33)
onde
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
θ
θ
θσ
θ
σ
M,
M,
seconstante
se0
0
,
*
M
θ
θ
≥ .
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
144
♦ Modificação
0
e
ωμγθμσθ
00
ee −−=
&
; 0>
σ
e 0>
γ
(6.34)
♦ B-MRAC
ωμγμσθθ
0
e−−=
&
; 0>
γ
(6.35)
onde,
⎩
⎨
⎧
≥≥
<<
=
,0ese,
,0ouse,0
eqeq
eq
M
M
σθσ
σθ
σ
θ
θ
;
2
0
θ
ωθγ
σ
T
eq
e−
=
e
*
M
θ
θ
≥
.
A partir de (6.31) os valores correspondentes de
f para os algoritmos (6.32), (6.33),
(6.34) e (6.35) são resumidos na Tabela 6.1.
Tabela 6.1: Valores de
f para os diversos algoritmos MRAC modificados.
ALGORITMO A MODIFICAR VALOR DE
f RESTRIÇÃO
σ
-fixo
σθ
0>
σ
σ
-chaveado
σθ
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
θ
θ
θσ
θ
σ
M,
M,
se
se0
0
;
*
M
θ
θ
≥
Modificação
0
e
σθμ
0
e
0>
σ
B-MRAC
μ
σ
θ
⎩
⎨
⎧
≥≥
<<
=
,0ese,
,0ouse,0
eqeq
eq
M
M
σθσ
σθ
σ
θ
θ
;
2
0
θ
ωθγ
σ
T
eq
e−
=
e
*
M
θ
θ
≥
Para a análise de estabilidade do DMARC-TS, com os precedentes algoritmos de
adaptação para o MRAC, é utilizada a seguinte candidata à função de Lyapunov
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
γθ
θθ
θ
*
n
T
T
~
~
Pee
~
,eV
2
2
1
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
145
cuja derivada no tempo, ao longo das soluções de (6.19) e (6.31), com o auxílio do Lema de
Kalman-Yakubovitch (seguindo-se o mesmo procedimento do Teorema 6.2), é dada por
)
]
()
fθ
~
γθ
ed
θ
edWed
θ
Qeeθ
~
e,V
T
*
n
ed
T
2
0
*
2n
00
*
2n
111
−++−−=
μ
&
Utilizando-se o resultado de (6.21) encontra-se
() ()
fθ
~
γθ
d
e
θ
Qeeθ
~
e,V
T
*
n
,
T
2
50
*
2n
1
2
1
−+−≤
−
l
&
(6.36)
Considerando-se que
()
)
∑∑∑
===
−≥−++=+=+
n
i
*
ii
n
i
*
ii
*
ii
*
ii
n
i
i
*T
~~~~~~~
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
θθθθθθθθθθθθ
)
2
2
1
2
1
*T*T
~~~~
θθθθθθ
−≥+ (6.37)
A Equação (6.36) pode ser reescrita para cada algoritmo modificado como segue
♦ Modificação
σ
-fixo
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−≤
−
d
e
γθ
θ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,V
,
*
T
T
Qmin
l
&
2
2
1
2
50
2
*
2n
*
2n
θ
σσ
λ
(6.38a)
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−≤
−
d
e
γ
θ
θ
~
e,Vθ
~
e,V
,
*
l
&
2
1
50
2
*
2n
θ
σ
α
(6.38b)
onde
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
σ
λ
λ
α
,min
Pmax
Qmin
2
.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
146
♦ Modificação
σ
-chaveado
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−≤
−
d
e
γθ
θ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,V
,
*
T
T
Qmin
l
&
2
2
1
2
50
2
0
*
2n
*
2n
0
θ
σσ
λ
(6.39a)
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−≤
−
d
e
γ
θ
θ
~
e,Vθ
~
e,V
,
*
l
&
2
1
50
2
0
*
2n
θ
σ
α
(6.39b)
()
d
e
θ
eeθ
~
e,V
,
T
Qmin
l
&
2
1
50
*
2n
−
+−≤
λ
(6.39c)
onde
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
2
σ
λ
λ
α
,min
Pmax
Qmin
e em (6.38a) foi considerado que
θθσθθσ
TT
~
~
0
≥ .
♦ Modificação
0
e
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−≤
−
d
γ
e
θ
θ
~
θ
~
γθ
eeθ
~
e,V
*
,T
T
Qmin
2
50
*
2n
*
2n
2
2
1
2
θ
σσ
λ
l
&
(6.40a)
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−≤
−
d
γ
e
θ
θ
~
e,Vθ
~
e,V
*
,
2
50
*
2n
2
1
θ
σ
α
l
&
(6.40b)
onde
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
σ
λ
λ
α
,min
Pmax
Qmin
2
.
♦ Modificação B-MRAC
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−≤
−
d
e
θ
~~
θ
eeθ
~
e,V
,
*TT
Qmin
l
&
2
2
1
2
50
2
*
2n
*
2n
θ
γ
μσ
θθ
γ
μσ
λ
(6.41a)
()
d
e
θ
eeθ
~
e,V
,
T
Qmin
l
&
2
1
50
*
2n
−
+−≤
λ
(6.41b)
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
147
As características do DMARC-TS com as modificações (6.32-6.35) são enunciadas no
seguinte Teorema:
Teorema 6.4: Seja o sistema composto pelas Equações da planta, modelo e erro de saída (3.7-
3.13). Considere as hipóteses H1-H5 descritas na seção 3.2. Se o esquema de controle do
DMARC-TS é especificado pelo sinal de controle dado pela Equação (6.23), onde o
parâmetro
μ
é dado pela Equação (6.5), o sinal a estrutura variável pela Equação (6-30), e as
leis de adaptação do esquema adaptativo modificadas pelas Equações (6.32-6.35), o sistema
terá as seguintes propriedades:
i) Todos os sinais em malha fechada são uniformemente limitados.
ii) O sistema é robusto em relação a uma perturbação limitada
e
d inserida na entrada da
planta, no sentido de que todos os sinais em malha fechada permanecem uniformemente
limitados.
iii) Em adição, tem-se para cada modificação:
♦ Modificação
σ
fixo:
a)
e e
θ
~
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
σ
l com
ed
dWd > e l arbitrariamente pequeno.
b) Existe uma constante positiva
α
tal que
)
te e
()
t
~
θ
convergem
exponencialmente para o conjunto residual definido como:
()
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
e
γθ
θ
~
e,V|
~
,eD
,
*
R
l
2
11
50
2
*
2n
θ
σ
α
θ
onde
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
γθ
θθ
θ
*
2
~
~
2
1
~
,
n
T
T
PeeeV .
c)
Se
Pmax
Qmin
λ
λ
σ
2
0 <<
, então existe uma constante
ρ
independente de
σ
tal que o
vetor de erro de estado
(
)
te converge exponencialmente para o conjunto
residual
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
148
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
e
γθ
e|eD
,
*
e
l
2
11
50
2
*
2n
2
θ
σ
ρ
com uma taxa de
t
e
σ
−
.
♦ Modificação
σ
chaveado:
a)
e e
θ
~
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
0
σ
l com
ed
dWd > e
l
arbitrariamente pequeno.
b)
Existe uma constante positivas
α
tal que
(
)
te
e
()
t
~
θ
convergem
exponencialmente para o conjunto residual definido como:
()
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
e
γθ
θ
~
e,V|
~
,eD
,
*
R
l
2
11
50
2
0
*
2n
θ
σ
α
θ
onde
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
γθ
θθ
θ
*
2
~
~
2
1
~
,
n
T
T
PeeeV .
c)
Se
Pmax
Qmin
λ
λ
σ
2
0
0
<< , então existe uma constante
ρ
independente de
σ
tal que
o vetor de erro de estado
(
)
te converge exponencialmente para o conjunto
residual
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
e
γθ
e|eD
,
*
e
l
2
11
50
2
0
*
2n
2
θ
σ
ρ
com uma taxa de
t
e
σ
−
. sendo
Qmin
λ
o mínimo autovalor de Q e
Pmax
λ
o máximo
autovalor de P.
♦ Modificação
0
e :
a)
e e
θ
~
∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
γ
dS
1
l
com
ed
dWd > e
l
arbitrariamente pequeno.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
149
b)
Existem constantes positivas
α
e
2
c tais que
()
te e
()
t
~
θ
convergem
exponencialmente para o conjunto residual definido como:
()
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
γ
e
θ
θ
~
e,V|
~
,eD
*
,
R
2
50
*
2n
2
11
θ
σ
α
θ
l
onde
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
γθ
θθ
θ
*
2
~
~
2
1
~
,
n
T
T
PeeeV .
c)
Se
Pmax
Qmin
λ
λ
σ
2
0 <<
, então existe uma constante
ρ
independente de
σ
tal que o
vetor de erro de estado
(
)
te
converge exponencialmente para o conjunto
residual
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
γ
e
θ
e|eD
*
,
e
2
50
*
2n
2
2
11
θ
σ
ρ
l
com uma taxa de
t
e
σ
−
. sendo
Qmin
λ
o mínimo autovalor de Q e
Pmax
λ
o
máximo autovalor de P.
♦ Modificação B-MRAC:
a)
Se
)
θ
θ
M≤0
, então,
)
θ
θ
Mt ≤
0≥
∀
t ;
b)
2
e converge exponencialmente para um conjunto residual da ordem de
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
dO l
γ
1
.
Prova: Considera-se inicialmente os algoritmos modificados, (6.32-6.34). A partir de (6.26),
os itens (i) e (ii) para os algoritmos modificados (6.32-6.34), vêm diretamente de (6.38b),
(6.39b) e (6.40b), respectivamente. De (6.38a), (6.39a) e (6.40a) e seguindo-se os passos do
Teorema 6.2, chega-se aos resultados dos item (iii-a e b) para os três algoritmos.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
150
Agora, analisa-se o algoritmo modificado (6.32) (
σ
fixo). Sendo
Qmin
λ
o mínimo
autovalor de Q e
Pmax
λ
o máximo autovalor de P, se
Pmax
Qmin
λ
λ
σ
2
0 <<
(6.42)
então, de
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
σ
λ
λ
α
,min
Pmax
Qmin
2
tem-se que
σ
α
=
(6.43)
e o conjunto residual
R
D , do item (iii-b) aumenta com o decréscimo de
σ
. Entretanto, um
menor conjunto residual para
()
te pode ser obtido reescrevendo-se (6.38b) a partir de (6.38a)
como
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−≤
−
d
e
γθ
eθ
~
e,Vθ
~
e,V
,
Pmax
Qmin
l
&
2
21
2
50
2
*
2n
2
θ
σ
σ
λ
λα
Claramente, se
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
>
−
d
e
γθ
e
,
PmaxQmin
l
2
21
2
2
50
2
*
2n
2
θ
σ
σλλ
então
0<θ
~
e,V
&
e, conseqüentemente, existe uma constante
ρ
, independente de
σ
, tal que
()
te
converge exponencialmente para o conjunto residual
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+<=
−
d
e
γθ
e|eD
,
e
l
2
211
50
2
*
2n
2
θ
σ
ρ
com uma taxa de
t
e
σ
−
, implicando em (iii-c) para o algoritmo (6.32).
Analisando-se o algoritmo modificado (6.33) (
σ
chaveado), de forma similar se
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
151
Pmax
Qmin
λ
λ
σ
2
0
0
<<
(6.44)
então, de
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
2
σ
λ
λ
α
,min
Pmax
Qmin
tem-se que
0
σ
α
=
(6.45)
Seguindo o mesmo procedimento desenvolvido para algoritmo (6.32), a partir de (6.39a) e
(6.39b) conclui-se (iii-c) para o algoritmo (6.33).
Para o algoritmo modificado (6.34) (modificação
0
e ), de (6.40a) e (6.40b), fazendo-se
a consideração (6.42) conclui-se (6.44). Reescreve-se (6.40b) a partir de (6.40a) como
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−≤
−
d
γ
e
θ
eθ
~
e,Vθ
~
e,V
*
,
Pmax
Qmin
2
50
*
2n
2
2
1
2
θ
σ
σ
λ
λα
l
&
nota-se que, se
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
>
−
d
γ
e
θ
e
*
,
PmaxQmin
2
50
*
2n
2
2
1
2
2
θ
σ
σλλ
l
então
0<θ
~
e,V
&
e, com o mesmo procedimento desenvolvido para algoritmo (6.32), se
conclui (iii-c) para o algoritmo (6.34).
Considera-se agora, o algoritmo modificado B-MRAC (6.35). Define-se para o
parâmetro
θ
, a seguinte candidata à função de Lyapunov
()
θθθ
T
V
2
1
≤
cuja derivada no tempo ao longo da solução de (6.35) e utilizando a definição de
eq
σ
(vide
Tabela 6.1) é
()
)
)
)
θσσμθσσμθ
VV
eqeq
−−=−−= 2
2
&
(6.46)
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
152
Pela definição de
σ
(Tabela 6.1), vê-se que, para
θ
θ
M≥
tem-se
0≥−
eq
σ
σ
, e,
consequentemente
()
0≤−−=
θθσσμθ
T
eq
V
&
,
θ
∀
tal que
θ
θ
M≥ (6.47)
Assim, o conjunto
θ
θ
M≤ é positivamente invariante o que resulta em (iii-a).
Deste resultado, conclui-se que
θθ
~
~
T
é uniformemente limitado por uma constante.
Ou seja, existe um tempo finito
i
Tt
=
, 0≥
i
T tal que qualquer trajetória descrita por
θ
entra
na bola definida por
θθ
θ
=≤ M , e nela permanece. Neste caso pode-se dizer que
θθθθθθ
2≤+≤−=
**
~
(6.48)
Então, de (6.26) fazendo-se uso de (6.48), tem-se a desigualdade
()
γθ
θ
λθ
*
n
Pmax
e
~
,eV
2
2
2
2
2
1
+≤
(6.49)
Explicitando a desigualdade (6.49) em função de
2
e
e utilizando o resultado em (6.41b),
encontra-se
() ()
d
e
θ
θ
~
e,Vθ
~
e,V
,
*
nPmax
Qmin
Pmax
Qmin
l
&
2
1
4
2
50
*
2n2
2
−
++−≤
γθλ
θλ
λ
λ
()
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−≤
dθ
~
e,Vθ
~
e,V l
&
γ
αα
1
21
(6.50)
onde,
Pmax
Qmin
λ
λ
α
2
1
= ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
2
1
4
50
*
2n2
2
2
,
*
nPmax
Qmin
e
θ
,max
θλ
θλ
α
, sendo
Qmin
λ
o mínimo autovalor de Q e
Pmax
λ
o máximo autovalor de P. Este resultado, implica na propriedade (iii-b) do algoritmo
modificado (6.35) (modificação B-MRAC), concluindo-se, assim, a prova. ■
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
153
Verifica-se nas demonstrações dos Teoremas, mais especificamente na Equação
(6.21), que a escolha da função que define o parâmetro (ou função de pertinência)
)
0
e
μ
é de
grande importância na dimensão do conjunto residual para o qual o sistema converge.
Obviamente, existem outras funções que podem ser escolhidas para representar
)
0
e
μ
,
satisfazendo as condições desejadas, que são:
♦ Quando 0
0
→e ⇒
)
1
0
→e
μ
♦ Quando ∞→
0
e ⇒
)
0
0
→e
μ
♦
()
ρμ
≤
00
ee , onde 0>
ρ
e suficientemente pequeno
Algumas das possíveis representações para
)
0
e
μ
satisfazendo as condições
especificadas são apresentadas na Tabela 6.2.
Tabela 6.2: Algumas possíveis representações para
()
0
e
μ
.
()
0
e
μ
)
)
00
eemax
μ
l
2
0
e
e
−
, 0>l
e suficientemente pequeno.
l
2
50,
e
−
l
0
e
e
−
, 0>l
e suficientemente pequeno.
l
1−
e
2
0
1
1
e
β
+
, 0>
β
e suficientemente elevado.
β
2
1
0
1
1
e
β
+
, 0>
β
e suficientemente elevado.
β
1
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
154
6.3 DMARC PARA PLANTAS COM
1>
∗
n
Na seção 5.1, foi utilizada a estrutura do VS-MRAC compacto, para desenvolver o
controlador DMARC para 1
>
∗
n (vide Figura 5.3). Nesta seção, será apresentado um
algoritmo mais simples utilizando a estrutura do VS-MRAC com compensador linear
(Peixoto, Lizarralde e Hsu, 2002; Nunes, Hsu e Lizarralde, 2006). Nesta estrutura usa-se um
operador
()
sL (não-causal), para compensar o grau relativo excedente da planta. Como o
modelo de referência é conhecido, pode-se escolher o operador
)
sL , de grau relativo 1
−
*n ,
de forma que a função de transferência
)
sML seja estritamente real positiva (ERP). No
entanto, por ser não causal, a implementação de tal operador não é possível. A sua realização
é feita, então, de forma aproximada através de um compensador composto por um filtro linear
em avanço, com a seguinte função de transferência
()
)
()
sF
sL
sL
a
τ
= (6.51)
onde
() ( )
l
ssF 1+=
ττ
, é um polinômio Hurwitz em s
τ
, de grau 1
−
≥ *nl e
()
10 =F
.
Usando esta estrutura, o controlador para plantas com grau relativo
1>*n é, então,
esquematizado como mostrado na Figura 6.2.
0
e
(
)
()
sF
sL
τ
Figura 6.2: Diagrama do DMARC usando filtro em avanço para implementação de
)
sL .
Nota-se de (6.51) que a medida que
τ
tende a zero, a função de transferência
()
()
()
l
a
s
sL
sL
1+
=
τ
, se aproxima de
)
sL , compensando assim, de forma aproximada, o grau
relativo da planta.
O sinal de erro auxiliar
0
e , da Figura 6.2, é dado pela expressão
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
155
)
00
esLe
a
=
(6.52)
Desta forma, de (3.13), (6.51) e (6.52), considerando que
F
F
F
1
1
1 −
−=
tem-se
]
Uu
*
UuMLke
ββ
+++=
0
(6.53)
onde
*
n
*
k
2
1
θ
= ,
ed
T
*
dWU +−=
ωθ
e
u
F
F
MLk
*
u
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
1
β
(6.54)
U
F
F
MLk
*
U
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
1
β
(6.55)
O erro auxiliar é, então, visto como um sistema modelado por uma função de
transferência ERP com perturbações nos canais de entrada e saída. Ainda, o operador
()()
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
sF
sF
sLsM
τ
τ
1
é estável e estritamente próprio.
De forma semelhante, o controlador DMARC-TS é estruturado como ilustrado no
diagrama de blocos da Figura 6.3.
M(s)
W(s)
La(s)
Leis do
MRAC
y
m
y
e
0
0
e
+
+
+
-
u(t)
d
e
(t)
+
+
)1(
2
0
l
e
e
−
−
l
2
0
e
e
−
u
vs
u
mr
r(t)
f(t)
Figura 6.3: Diagrama do DMARC-TS usando filtro em avanço para implementação de
)
sL .
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
156
Nota-se que as estruturas de controle do DMARC e DMARC-TS (Figuras 6.2 e 6.3,
respectivamente) são as mesmas diferenciando-se na geração do sinal de controle. Assim, as
Equações (6.53) a (6.55) são válidas para os dois controladores, com seus respectivos sinais
de controle.
Na Seção 6.4.2, serão apresentadas simulações para o controle de posição do mesmo
motor CC da Seção 5.5, com o intuito de avaliar o desempenho do DMARC e DMARC-TS
com filtro em avanço para implementação de
)
sL .
6.4 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES
Nesta seção são apresentadas simulações para ilustrar o funcionamento do DMARC,
com os algoritmos propostos. Os resultados de simulações dos diversos algoritmos do
DMARC-TS são muito semelhantes e, por isso, apresenta-se apenas a versão DMARC-TS
com modificação B-MRAC.
6.4.1 DMARC – Planta 1=
*
n
Considera-se a planta de segunda ordem e grau relativo unitário expressa pela função
de transferência
()
()
2
1
1
−
+
=
s
s
sW
O modelo de referência é especificado por
()
()()
31
2
++
+
=
ss
s
sM
Foram escolhidos os filtros da entrada e saída como
Λ= - 2 e g = 2
Os parâmetros
*
θ
e
θ
são respectivamente
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
157
()
T
;;;, 15650 −=
∗
θ
e
)
T
;;;, 26760=
θ
As simulações são feitas, sob as condições apresentadas na Tabela 6.3, usando-se um passo de
integração 0010,h = .
Tabela 6.3: Variações em r e d
e
durante as simulações.
INTERVALO REFERÊNCIA PERTURBAÇÃO
0 ≤ t< 1
r(t) = 1 d
e
(t) = 0,5
1 ≤ t< 2
r(t) = -1 d
e
(t) = 0,0
2 ≤ t< 10
r(t) = 1 d
e
(t) = 0,5
Nos algoritmos de controle DMARC, para compensar o efeito da perturbação de
entrada, a lei de controle é dada por
)
)
0
1 esgndu
T
μωθ
−−=
onde o parâmetro
μ
é ajustado segundo a função
()
l
2
0
0
e
ee
−
=
μ
. Os parâmetros utilizados
nas simulações são apresentados na Tabela 6.4.
Tabela 6.4: Parâmetros utilizados nas simulações da planta de grau relativo unitário.
PARÂMETRO
ALGORITMO
σ
l
γ
d
P
μ
DMARC Algoritmo 1 1
5
10
−
150
0,5
3
105
−
.
DMARC Algoritmo 2 1
5
10
−
150
0,5
3
105
−
.
DMARC-TS
Modificação B-
MRAC
2
10
−
4
10
−
150 0,5
–
Os resultados de simulações encontram-se ilustrados nas Figuras 6.4 e 6.5 para o
Algoritmo 1 do DMARC, nas Figuras 6.6 e 6.7, para o Algoritmo 2 do DMARC e nas
Figuras 6.8, 6.9 e 6.10 para o Algoritmo DMARC-TS com modificação B-MRAC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
158
Figura 6.4: DMARC Algoritmo 1: Saídas da planta e do modelo e sinal de controle.
Figura 6.5: Erro de saída do Algoritmo 1 do DMARC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
159
Figura 6.6: Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo 2 do DMARC.
Figura 6.7: Erro de saída do Algoritmo 2 do DMARC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
160
Figura 6.8: Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo DMARC-TS com
modificação B-MRAC.
Figura 6.9: Erro de saída do DMARC-TS com modificação B-MRAC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
161
Nota-se que os resultados obtidos são semelhantes nos três algoritmos simulados. A
rápida convergência do erro de rastreamento demonstra o bom desempenho transitório do
sistema controlado. A suavidade do sinal de controle também é observada em todas as
simulações e, pelas condições impostas nas simulações, o sistema se mostra robusto em
relação a perturbações na entrada da planta.
Na Figura 6.10, pode-se observar a composição dos sinais de controle durante a
evolução do sistema. Nota-se, que a componente do sinal de controle do controlador VS-
MRAC, tem sua maior ação no instante inicial e nos instantes do chaveamento da referência e
perturbação, se confundindo com o próprio sinal do DMARC-TS. Este papel, por sua vez, é
assumido pelo sinal de controle do controlador MRAC, quando o sistema se aproxima do
regime permanente, onde o sinal de controle do controlador VS-MRAC praticamente se
anula. Este comportamento é o idealizado na proposição do controlador DMARC, ou seja, a
ação efetiva do VS-MRAC nos transitórios e a ação de controle do MRAC em regime
permanente.
Figura 6.10: Composição dos sinais de controle no DMARC-TS com modificação B-MRAC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
162
6.4.2 DMARC – Planta 1>
*
n
Os novos algoritmos do DMARC e DMARC-TS são utilizados na simulação do
controle de posição do motor de corrente contínua da Seção 5.5, que é modelado como um
sistema de terceira ordem e grau relativo 3=
*
n . A planta será simulada sobre as mesmas
condições apresentadas na Tabela 5.4. O modelo de referência, os filtros de entrada e saída e
as condições iniciais são as mesmas especificadas na Seção 5.5. A estrutura de controle é a
apresentada na figura 6.1. As leis de adaptação e de controle são as mesmas utilizadas para o
caso 1=
*
n , substituindo-se, apenas, o erro de saída
0
e pelo sinal de erro auxiliar
0
e .
Os parâmetros utilizados nas simulações encontram-se na Tabela 6.5.
Tabela 6.5: Parâmetros utilizados nas simulações da planta com grau relativo n*>1.
PARÂMETROS
ALGORITMO
h
τ
l
σ
l
γ
d
P
μ
DMARC
Algoritmo 1
4
10
− 4
10
−
3 1 0,01 15 0,04 0,05
DMARC Algoritmo 2
4
10
− 4
10
−
3 1 0,01 15 0,04 0,05
DMARC-TS Modificação
B-MRAC
4
10
− 4
10
−
3 0,1 2,5 1000 0,04 -
As Figuras 6.11 e 6.12 ilustram os resultados das simulações feitas com o Algoritmo 1
do DMARC, as Figuras 6.13 e 6.14, com o Algoritmo 2 do DMARC e as Figuras 6.15, e 6.16
com o Algoritmo DMARC-TS com modificação B-MRAC.
Conclusões semelhantes, ao caso anterior (
1=
*
n ) podem ser tiradas. Os Algoritmos 1
e 2 do DMARC apresentaram comportamentos semelhantes, com relação ao erro de
rastreamento e ao sinal de controle, com uma vantagem, quase imperceptível, em favor do
Algoritmo 2 do DMARC. O algoritmo DMARC-TS mostrou-se mais sensível em relação ao
chaveamento da referência, da perturbação e da variação do ganho de alta freqüência. No
entanto, o DMARC-TS apresenta erro de rastreamento em regime permanente, quando
simulado em um tempo maior, praticamente nulo. Enfim, os três algoritmos propostos
apresentaram os requisitos de transitório rápido e pouco oscilatório e sinal de controle suave
em regime permanente. Além disso, mostraram robustez à perturbação de entrada.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
163
Figura 6.11: Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo 1 do DMARC.
Figura 6.12: Erro de saída do Algoritmo 1 do DMARC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
164
Figura 6.13: Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo 2 do DMARC.
Figura 6.14: Erro de saída do Algoritmo 2 do DMARC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
165
Figura 6.15: Saídas da planta e do modelo e sinal de controle do Algoritmo DMARC-TS com
modificação B-MRAC.
Figura 6.16: Erro de saída do DMARC-TS com modificação B-MRAC.
Seção 6 - Análise de estabilidade do DMARC e DMARC-TS
166
6.5 CONCLUSÕES
Nesta seção, foram desenvolvidos alguns algoritmos para os controladores DMARC e
DMARC-TS. Os bons resultados de simulações e aplicações práticas motivaram a busca de
modificações nos algoritmos iniciais que garantissem estabilidade ao sistema. Para plantas
com n*=1, foram feitas análises de estabilidade com os algoritmos propostos.
O Algoritmo 1 do DMARC constitui-se na primeira modificação feita e, os resultados
da análise de estabilidade garantem, apenas, que todos os sinais do sistema em malha fechada
são limitados. Com o Algoritmo 2 do DMARC garante-se que todos os sinais do sistema em
malha fechada são limitados e
(
)
te e
(
)
t
~
θ
convergem exponencialmente para um pequeno
conjunto residual, mesmo na presença de perturbação de entrada.
Foram desenvolvidos quatro algoritmos para o DMARC-TS, a partir de modificações
das leis de adaptação dos controladores MRAC. Os controladores obtiveram resultados
semelhantes de análise de estabilidade, com todos os sinais do sistema em malha fechada
uniformemente limitados e com
(
)
te
e
(
)
t
~
θ
convergindo exponencialmente para um pequeno
conjunto residual, mesmo na presença de perturbação de entrada.
Nos resultados de simulações, os algoritmos apresentaram, semelhantemente, resposta
rápida, praticamente sem oscilações e sinal de controle suave.
Para o caso de plantas com n*>1, foi usada a estrutura do VS-MRAC com
compensador linear, para desenvolver o DMARC e DMARC-TS, tornando os algoritmos de
controle mais simples que os apresentados na Seção 5.3. Nos resultados das simulações o
DMARC e DMARC-TS apresentaram transitório rápido e pouco oscilatório e sinal de
controle suave em regime permanente. Além disso, pelas condições impostas na simulação,
mostraram-se robustos em relação à perturbação de entrada. O algoritmo DMARC-TS
mostrou-se mais sensível em relação ao chaveamento da referência, da perturbação e da
variação do ganho de alta freqüência.
Seção 7 – Conclusões e Perspectivas Futuras
167
7. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Nesta Tese foram desenvolvidos dois controladores denominados DMARC e
DMARC-TS, os quais seguem a filosofia de combinar controle a estrutura variável e controle
adaptativo, no intuito de se obter as boas qualidades inerentes de cada estratégia de controle.
Desta forma, objetivou-se a utilização do controlador VS-MRAC durante o período
transitório, quando o erro de saída é elevado, tendendo ao controlador MRAC quando o erro
de saída se torna suficientemente pequeno, caracterizando o regime permanente.
A idealização do controlador DMARC surgiu com a lei de adaptação (5.1), que foi
apresentada em (Hsu e Costa, 1989), apenas para efeito de análise (vide Seção 5.1.1). A
primeira proposta para o DMARC foi a de utilizar a lei de adaptação (5.1), fazendo o
parâmetro
μ
variar em tempo real, possibilitando-se, assim, a interpolação entre o MRAC e o
VS-MRAC. Para que a transição entre os controladores se desse de uma forma suave, foi
utilizada a lógica nebulosa para ajustar o parâmetro
μ
. Através de simulações e da aplicação
prática no controle de velocidade de um motor de indução, o controlador mostrou-se ser capaz
de atingir o objetivo proposto, ou seja, bom desempenho transitório, inerente do VS-MRAC e
boa suavidade do sinal de controle em regime permanente, característica do MRAC. Na
análise de estabilidade, a lei de adaptação (5.1) foi modificada para (6.1), onde a idéia das
ponderações da lógica nebulosa do tipo Takagi-Sugeno são unificadas em uma única lei de
adaptação, garantindo que todos os sinais do sistema em malha fechada fossem
uniformemente limitados. Para o ajuste do parâmetro
μ
foi proposta uma função gaussiana
com adequadas características apresentadas na Tabela 5.2. Posteriormente, utilizando-se a lei
de adaptação modificada (6.14) juntamente com o sinal de controle dado em (6.17), pôde-se
mostrar que o sistema em malha fechada converge para um pequeno conjunto residual,
mesmo na presença de uma perturbação uniformemente limitada na entrada da planta.
No DMARC-TS, a lei de controle é composta pelas ponderações das leis de um
controlador MRAC e de um controlador VS-MRAC, fazendo-se uso do modelo da lógica
nebulosa Takagi-Sugeno. Esta abordagem baseia-se no trabalho de (Mota e Araújo, 2002)
onde os autores utilizaram o modelo Takagi-Sugeno para ponderar as leis de adaptação do
MRAC e VS-MRAC. A vantagem do DMARC-TS em relação ao DMARC é a possibilidade
de escolher diferentes leis adaptativas para o controlador MRAC. Inicialmente, é feita a
análise de estabilidade, com a lei gradiente de adaptação convencional modificada (6.25),
garantindo que todos os sinais do sistema em malha fechada sejam uniformemente limitados e
Seção 7 – Conclusões e Perspectivas Futuras
168
que o erro de saída converge para zero quando
∞
→t
, na ausência de perturbação externa. A
lei de adaptação (6.24) é então ajustada para incluir alguma das modificações que dão
robustez ao esquema MRAC. As modificações analisadas com adequadas alterações são:
modificação
σ
-fixo (Ioannou e Kokotovic 1984), modificação
σ
-chaveado (Ioannou, 1984),
modificação (Narendra e Annaswamy, 1987) e BMRAC (Hsu e Costa, 1994). De forma
semelhante ao DMARC, mostra-se, para cada algoritmo modificado, que o sistema em malha
fechada converge para um pequeno conjunto residual, mesmo na presença de uma perturbação
uniformemente limitada na entrada da planta.
0
e
Os controladores propostos, DMARC e DMARC-TS, apresentaram resultados muito
semelhantes tanto em relação a estabilidade e robustez, quanto aos resultados de simulações,
onde o objetivo de bom desempenho transitório, devido ao VS-MRAC, e suavidade do sinal
de controle em regime permanente, intrínseco do MRAC, foram obtidos.
Em suma, as principais contribuições deste trabalho foram:
a. o desenvolvimento de algoritmos de controle adaptativos, baseados em
modelo de referência, capazes de levar a um bom desempenho transitório,
similar a um controlador a estrutura variável, porém sem apresentar o
fenômeno de “chattering”.
b. a adequação da lei de adaptação (5.1), proposta em (Hsu e Costa, 1989),
com a variação em tempo real do parâmetro
μ
, utilizando-se os conceitos de
lógica nebulosa do modelo Takagi-Sugeno, possibilitando ajustar o
controlador DMARC, a partir de uma única lei de adaptação (equações (6.1)
e (6.14)). Também, com a utilização do sinal adicional a estrutura variável
(6.16), livre de “chattering”, pôde-se rejeitar a perturbação na entrada da
planta.
A lei de adaptação (5.11) foi utilizada em (Elshafei e Karray, 2005),
porém com o parâmetro
0
=
μ
, resumindo-se à síntese de sinal do VS-
MRAC.
c. com a utilização das ponderações nas lei de controle do VS-MRAC e do
MRAC utilizando o modelo Takagi-Sugeno, ao invés das ponderações nas
Seção 7 – Conclusões e Perspectivas Futuras
169
leis adaptativas, como em (Mota e Araújo, 2002), foi possível com
adequadas modificações estabelecer uma análise de estabilidade.
d. a robustez do sistema em malha fechada, com relação a perturbações
externas na entrada da planta, são estabelecidas através de modificações
propostas nas leis de adaptação do controlador MRAC.
7.1 CONTINUAÇÕES NATURAIS PARA ESTE TRABALHO
Os seguintes tópicos de pesquisa aparecem como propostas para continuidade deste
trabalho:
1. A análise de estabilidade foi feita para plantas com . Uma continuação
natural é a generalização para o caso de plantas com .
1=
∗
n
1>
∗
n
2. A extensão do DMARC e DMARC-TS para sistemas não lineares e/ou
multivariáveis.
3. Análise de estabilidade no caso de dinâmica não modelada.
4. A aplicação prática do controlador DMARC e/ou DMARC-TS em um sistema
com geradores síncronos interligados da CHESF, utilizando técnicas de
desacoplamento.
5. Comparação entre as estruturas de controle para o DMARC e DMARC-TS no
caso de n*>1, apresentadas nas Seções 5.3 e 6.3.
Referências Bibliográficas
170
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Adamy, J. e Flemming, A. (2004), “Soft variable-structure controls: a survey”, Automatica
40(11), 1821-1844.
Araújo, A.D. e Hsu, L. (1990), “Further Developments in Variable Structure Adaptive Con-
trol Based Only on Input/Output Measurements”, Proceedings of the 11th IFAC World
Congress, Tallinn, Vol.4, pp. 293-298.
Araújo, A. D. (1993), “Contribuição à Teoria de Controle Adaptativo por Modelo de
Referência e Estrutura Variável: Uma Abordagem Entrada/Saída”, Tese de Doutorado,
Programa de Engenharia Elétrica, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.
Åström, K. J. e Wittenmark, B. (1995), “Adaptive Control, Addison-Wesley Pub. Co.
Bartolini, G. e Ferrara, A. (1999), “On the Parameter Convergence Properties of a Combined
VS/Adaptive Control Scheme During Sliding Motion”, IEEE Trans. Aut. Contr. 44(1),
70-76.
Bartolini, G., Ferrara, A. e Usai, E. (1998), “Chattering Avoidance by Second-Order Sliding
Mode Control”, IEEE Trans. Aut. Contr. 43(2), 241-246.
Bartolini, G., Levant, A., Pisano, A., e Usai, E. (2002), “Higher-order sliding modes for
output-feedback control of nonlinear uncertain systems”, In X. Yu, e J. X. Xu (Eds.),
Variable structure systems: Towards the 21st century, Lecture Notes in Control and
Information Sciences, Vol. 274, pp. 83-108, Berlin, Springer.
Blashcke, F. (1972), “The Principle of Field Orientation as Applied to the New Transvector
Closed Loop Control System for Rotating Field Machines”, Siemens Review, pp. 217–
220.
Borland (1988), “Borland International Reference Guide – Turbo C 2.0”, Vol. 1 e 2, EUA,
1988.
Bose, B.K. (1985), “Sliding Mode Control of Induction Motor”, Conference Records of the
IEEE Industustrial Application Annual Meeting, pp. 479–486.
Referências Bibliográficas
171
Bose, B.K. (2000), “High Performance Control of Induction Motor Drive”, New
Technologies, Department of Electrical Engineering, The University of Tennessee,
Knoxville, U.S.A.
Bueno, A., Aller, J., (1996) “Adaptive Control of Induction Machine by Oriented Field Using
Neural Networks”, International Conference on Electric Machines, September 1996,
Vigo, Espanha, pp. 223-228
Cheng, L. e Narendra, K. S. (2001), “Nonlinear Adaptive Control Using Neural Networks”,
Automatica 37, 1245-1255.
Chien, C. J, Sun, K. C., Wu, A. C. e Fu, L. C. (1996), “A Robust MRAC Using Variable
Structure Design for Multivariable Plants”, Automatica 32(6), 833-848.
Costa, R. R. (1999), “Improving Transient Behavior of Model-Reference Adaptive Control”,
Proc. of the American Control Conference, San Diego, California, pp. 576-580.
Cunha, C. D. (2001), “Controlador Dual Adaptativo Robusto para um Motor de Indução
Trifásico”, Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica, UFRN, Rio Grande do Norte.
Cunha, C.D., Araújo, A.D. (2004a), “A Dual-Mode Adaptive Robust Controller For Plants
With Arbitrary Relative Degree”, Proceedings of the 8th International Workshop on
Variable Structure Systems, Vilanova i la Geltru, Espanha.
Cunha, C.D., Araújo, A.D. (2004b). “Controlador de Modo Dual Adaptativo Robusto Para
Plantas Com Grau Relativo Arbitrário”, Anais do XV Congresso Brasileiro de
Automática, Gramado, RS.
Cunha, C. D., Araújo, A. D., Barbalho, D. S., Mota, F. C. (2005), “A Dual-Mode Adaptive
Robust Controller Applied to the Speed Control of a Three-Phase Induction Motor”,
Asian Journal of Control 7(2), 197-201.
Cunha, C. D., Araújo, A.D. e Mota, F.C. (2005), “Controlador em Modo Dual Adaptativo
Robusto para Plantas com Grau Relativo Unitário: Prova de Estabilidade”, Anais do
VII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Luís, Maranhão.
Cunha, C. D., Araújo, A.D. e Mota, F.C. (2006), “A Dual-Mode Adaptive Robust Controller
for Plants with Relative Degree One: Stability Analysis”, Proceedings of the American
Control Conference, Minneapolis, Minnesota, EUA, Vol. 1, pp. 1-6.
Referências Bibliográficas
172
Cunha, C. D., Araújo, A. D., Mota, F. C. (2007), “Controlador em Modo Dual Adaptativo
Robusto para Plantas com Grau Relativo Unitário: Prova de Estabilidade”, Revista da
Sociedade Brasileira de Automática 2, 1-9.
Cunha, C. D., Araújo, A.D., Barbalho, D.S. e Mota, F.C. (2000), “Controlador Binário para
um Motor de Indução Trifásico”, Anais do IV Congresso Brasileiro de
Eletromagnetismo, Natal - Rio Grande do Norte, Vol. 1, pp. 29-34.
Cunha, C.D., Araújo, A.D., Barbalho, D.S., Mota, F.C. (2001), “Ajuste de um Controlador
Dual Adaptativo Robusto para um Motor de Indução Trifásico Utilizando Lógica
Nebulosa”, Anais do V Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Canela - Rio
Grande do Sul.
Cunha, C. D., Araújo A. D., Barbalho, D. S., Mota, F. C. (2002), “A Dual-Mode Adaptive
Robust Controller Applied to the Speed Control of a Three-Phase Induction Motor”,
Proceedings of the 7
th
International Workshop in Variable Structure Systems,
Sarajevo-Bósnia and Herzegovina, Vol. 1, pp. 253-264.
Cunha, J. P. V. S. (2004), “Controle de Sistemas Multivariáveis Incertos por Realimentação
de Saída e Modo Deslizante”, Tese de Doutorado, Programa de Engenharia Elétrica,
COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro.
Cunha, J. P. V. S., Hsu, L., Costa, R. R. e Lizarralde, F. (2003), “Output-Feedback Model-
Reference Sliding Mode Control of Uncertain Multivariable Systems”, IEEE Trans.
Aut. Contr. 48(12), 2245-2250.
De Carlo, R.A., Zak, S.H. e Matthews, G.P. (1988), “Variable Structure Control of Nonlinear
Multivariable Systems: A Tutorial”, Proceedings of the IEEE 76(3), 212-232.
Drazenovic, B. (1969). “The Invariance Conditions in Variable Structure Systems”,
Automática, Vol. 5, pp. 287-295.
Elshafei, A. L. e Karray, F. (2005), “Variable-Structure-Based Fuzzy-Logic Identification of a
Class of Nonlinear Systems”, IEEE Trans. Contr. Syst. Techn. 13(4), 646-653.
Emelyanov, S.V. (1970). “Theory of Variable Structure Systems”, Nauka Publishers, Moscou.
Emelyanov, S.V. (1987). “Binary Automatic Control Systems”, MIR Publishers, Moscou (En-
glish Translation).
Referências Bibliográficas
173
Erbatur, K. e Kawamura, K. (2002). “Chattering Minimization Via On-Line Boundary Layer
Thickness Tuning”, Proceedings of the 7
th
International Workshop on Variable
Structure Systems, Sarajevo, Bosnia and Hezergovina, Vol. 1, pp. 291-298.
Feller, P. e Benz, U. (1987), “Sliding Mode Position Control of a DC Motor”, Proceedings of
the 10
th
IFAC World Congress, Vol. 3, pp. 333-338.
Feng, G (1994). “New Robust Model Reference Adaptive Control Algorithm”, IEE Proc.
Contr. Theory Appl. 141(3), 177-1805.
Filipov, A. F. (1964), “Differential Equations with Discontinuous Right Hand Sides”, Am.
Math. Soc. Transl. 42, 199-231.
Fu, L. C. (1990), “A New Robust Model Reference Adaptive Control Using Variable
Structure Adaptation for Plants with Relative Degree Two”, Proceedings of the
American Control Conference, pp. 73-78.
Fu, L. C. (1991), “New Approach to Robust Model Reference Adaptive Control for a Class of
Plants”, International Journal of Control 53(6), 1359-1375.
Fu, Y. e Chai, T. (2007), “Nonlinear Multivariable Adaptive Control Using Multiple Models
and Neural Networks”, Automatica 43, 1101–1110
Garcia, G. O. (1990). “Controle de Velocidade de Motor de Indução Usando as Técnicas de
Campo Orientado Indireto e Escorregamento Controlado”. Dissertação de Mestrado,
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro.
Goodwin, G.C. e Mayne, D.Q. (1987). “A Parameter Estimation Perspective of Continuous
Time Model Reference Adaptive Control”, Automática 23(1), 57-70.
Goodwin, G.C. e Sink, K.S. (1984), “Adaptive Filtering Prediction and Control”, Prentice-
Hall Inc., New Jersey.
Hanselman, D e Littlefield, B., (1999), “MATLAB
®
5 Versão do Estudante - Guia do
Usuário”. Makron Books.
Ho, E. Y. Y. e Sen, P. O. (1990), “A Microcontroller-Based Induction Motor Drive System
Using Variable Structure Strategy with Decoupling”. IEEE Trans. Ind. Eíectron.
3(37), 227-235.
Referências Bibliográficas
174
Hsu, L. (1990), “Variable Structure Model Reference Adaptive Control Using Only Input and
Output Measurements - General Case”. IEEE Trans. Aut. Contr. 35(11), 1238-1243.
Hsu, L., Araújo, A. D. e Costa, R. R. (1994), “Analysis and Design of I/O Based Variable
Structure Adaptive Control”. IEEE Trans. Aut. Contr. 39(1), 4-21.
Hsu, L., Araújo, A. D. e Lizarralde, F. (1993), “New Results on Input/Output Variable
Structure Model-Reference Adaptive Control (I/O VS-MRAC): Design and Stability
Analysis, Proceedings of the American Control Conference, San Francisco, USA.
Hsu, L. e Costa, R. R. (1987a), “Adaptive Control with Discontinuous
σ
-Factor and Satura-
tion for Improved Robustness”. International Journal of Control, 45(3), 843-859.
Hsu, L. e Costa, R. R. (1987b), “Bursting Phenomena in Continuos-Time Adaptive Systems
with a σ-Modification, IEEE Trans. Aut. Contr. AC- 32(1), 84-86.
Hsu, L. e Costa, R. R. (1989), “Variable Structure Model Reference Adaptive Control Using
Only Input and Output Measurements - Part I”, International Journal of Control, 49
(2), 399-416.
Hsu, L. e Costa, R. R. (1990), “A Binary Control Aproach to Design Globally Exponentially
Stable Systems”, Proceedings of the 7
th
International Conference on Systems
Engineering, Las Vegas.
Hsu, L. e Costa, R.R.(1994), “B-MRAC: Global Exponential Stability with a New Model
Reference Adaptive Controller Based on Binary Control Theory”, Control Theory and
Advanced Technology, 10(4), Part I, 619-668.
Hsu, L. e Lizarralde, F. (1992), “Redesign and Stability Analysis of Input/Output Variable
Structure Model-Reference Adaptive Control (I/O VS-MRAC) Systems, Proceedings
of the American Control Conference, Chicago, USA.
Hsu, L., Lizarralde, F. e Araujo, A. D, (1997), “New Results on Output-Feedback Variable
Structure Model-Reference Adaptive Control: Design and Stability Analysis”, IEEE
Trans. Aut. Contr. 42 (3), 386-393
Referências Bibliográficas
175
Hsu, L. e Real, J. A. (1997), “Dual Mode Adaptive Control with Gaussian Networks”,
Proceedings of the 36
th
Conference on Decision and Control, San Diego, California,
USA, pp. 4032-4037.
Hung, J. C. (1993), “Chattering Handling for Variable Structure Control Systems”,
Proceedings of the Industrial Electronics Control and Instrumentation, Maui, HI, USA,
Vol. 3, pp. 1968-1972.
Ioannou, P.A. (1984), “Robust Adaptive Control”, Proceedings of the American Control
Conference, San Diego, CA, USA.
Ioannou, P.A. e P.V. Kokotovic (1984), “Robust Redesign of Adaptive Control”. IEEE Trans.
Aut. Contr. 29(3), 202-211.
Ioannou, P. A. e Sun, J. (1996), “Robust Adaptive Control”, Prentice- Hall.
Ioannou, P.A. e Tsakalis, K.S. (1986), “A Robust Direct Adaptive Controller”. IEEE Trans.
Aut. Contr. 31(11), 1033-1043.
Ishiame, A., Furukawa, T., Kawamoto, S. e Taniguchi, T. (1993),” Sliding Mode Controller
Design Based on Fuzzy Inference for Nonlinear Systems”, IEEE Trans. Ind. Electron.
40(1), 23-36.
Itkis, U. (1976), “Control Systems of Variable Structure”. John Wiley, N.Y.
Kaynak, O., Erbatur, K. e Ertugrul. M. (2001), “The Fusion of Computationally Intelligent
Methodologies and Sliding-Mode Control-A Survey”. IEEE Trans. Ind. Electron. 48,
(1), 4-17.
Larrea, I. A. S. (1993), “Estudo Comparativo dos Métodos de Controle Vetorial para Motores
de Indução”. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro-Rio.
Leonhard, W. (1996), “Control of Electrical Drives”. Springer-Verlag, segunda edicão.
Levant, A. (2003), “Higher-Order Sliding Modes, Differentiation and Output-Feedback
Control”, International Journal of Control, 76(9/10), 924-941.
Referências Bibliográficas
176
Lin, C. F. e Su, W. C. (2004), “A Total Chattering-Free Sliding Mode Control for Sampled-
Data Systems”, Proceeding of the American Control Conference, Boston,
Massachusetts, Vol. 1, pp. 1940-1945.
Monopoli, R.V. (1974), “Model Reference Adaptive Control with an Augmented Error
Signal”, IEEE Trans. Aut. Contr. 19(5), 474-484.
Morris, S., Dash, P. K. e Basu, K. P. (2003), “A Fuzzy Variable Structure Controller for
STATCOM”, Electric Power Systems Research 65, 23-34.
Mota, F.C. e Araújo, A.D. (2002). “Proposta de um Controlador Dual Adaptativo Robusto
Utilizando o Modelo de Takagi-Sugeno”, Anais do XI Congresso Brasileiro de
Automática, Canela - RS, pp. 173-177.
Narendra, K.S. e, Anaswamy, A.M. (1984), “A New Adaptive Law for Robust Adaptation
without Persistent Excitation”, IEEE Trans. Aut. Contr. 32(2), 134-145.
Narendra, K. S. e Balakrishinam, J. (1994), “Improving Transient Response of Adaptive
Control Systems using Multiple Models and Switching”, IEEE Trans. Aut. Contr.
39(9), 1861-1866.
Narendra, K. S. e Balakrishinam, J. (1997), “Adaptive Control Using Multiple Models”,
IEEE Trans. Aut. Contr. 42(2), 171-187.
Narendra, K. S. e Boskovic, J. D. (1992), “A Combined Direct, Indirect, and Variable
Structure Method for Robust Adaptive Control”, IEEE Trans. Aut. Contr. 37(2), 262-
268.
Narendra, K.S., Lin, Y.H. e Valavani, L.S. (1980), “Stable Adaptive Controller Design, Part
II: Proof of Stability”. IEEE Trans. Aut. Contr. 25(3), pp. 440-448.
Narendra, K.S. e Valavani, L.S. (1978), “Stable Adaptive controller Design – Part I - Direct
Control”. IEEE Trans. Aut. Contr. 23(4), pp. 570-583.
Narendra, K. S. e
Xiang, C. (2000), “Adaptive Control of Discrete-Time Systems Using
Multiple Models”, IEEE Trans. Aut. Contr. 45(9), 1669-1686.
Referências Bibliográficas
177
Nen, C., Schmitt, W., Karakaxis, K. e Manias, S.N., (1995), “Adaptive control system for a
field-oriented induction motor drive”, Proceedings of the IEEE International
symposium on Industrial Electronics, pp. 309-314.
Nunes, E. V. L., Hsu, L. e Lizarralde, F. (2006), “Output-Feedback Sliding Mode Control for
Global Asymptotic Tracking of Uncertain Systems using Locally Exact
Differentiators”, Proceedings of the American Control Conference, Minneapolis,
Minnesota, USA, pp. 5407-5412.
Papadakis, I. N. M. e Thomopoulos, S. C. A. (1996), “Improved Performance Model
Reference Adaptive Control with Parameter Mismatch Compensation”, IEEE Trans.
Aut. Contr. 41(2), 224-228.
Peixoto, A. J., Lizarralde, F. e Hsu, L. (2002), “Further Results on Smooth Sliding Control of
Uncertain Systems”, Proceedings of the American Control Conference, Anchorage,
Alaska, pp. 2380-2385.
Rohrs, C.E., Valavani, L.S., Athans, M. e Stein, G. (1985), “Robustness of Continuos-Time
Adaptive Control Algorithms in the Presence of Unmodeled Dynamics”, IEEE Trans.
Aut. Contr. 30(9), 881-889.
Rohrs, C. E., Younce, R. e Harvey, S. (1989), “Unacceptable Transients in Adaptive
Controllers”, SIAM Conference on Control in the 90’s: Achievements, Opportunities
and Challenges, San Francisco.
Sabanovic, A. e Izosimov, D. B. (1981), “Application of Sliding Modes to Induction Motor
Control”. IEEE Trans. Ind. Applications 1(17), 41-49.
Sadati, N e Talazas, A. (2006), “Variable Structure Control with Adaptive Fuzzy Sliding
Surface”, Journal of Vibration and Control 12(11), 1251-1270.
Sanner, R. N. e Slotine, J. (1992), “Gaussian Networks for Direct Adaptive Control”, IEEE
Trans. Neural Networks 3(6), 837-863.
Sastry, S. S. (1984), “Model-Reference Adaptive Control: Stability, Parameter Convergence
and Robustness”, IMA J Mathematical Control and Information 1, 27-66.
Sastry, S.S. e Bodson, M. (1989), “Adaptive Control: Stability Convergence and Robustness”,
Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall.
Referências Bibliográficas
178
Sencer, Yeralan e Baris, Tan (1995), “Fuzzy-Logic Control as an Industrial Control Language
for Embedded Controlers”, de “Design and Implementation of Manufacturing
Systems”, editores Hamid R. Parsaei e Mohammad Jamshidi, Prentice Hall , pp. 107-
140.
Shyu, K.K., Shieh, H.J. e Liu, C.C., (1996) “Adaptive Field-Oriented Control of Induction
Motor with Rotor Flux Observation”, Proceeding of the 22nd Annual International
Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, Taipei, Taiwan, pp.1204-1209.
Slotine, J. J. E. e Li, W. (1991), “Applied Nonlinear Control”, Prentice Hall international,
New Jersey, USA.
Soto, R. e Yeung, K. S. (1995), “Sliding-Mode Control of an Induction Motor Without Flux
Measurement”, IEEE Trans. Ind. Applications 31(4),744-750.
Sousa, R. E. F. (2004), “Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto Utilizando o
Modelo de Takagi - Sugeno para o Controle de Velocidade de um Motor de Indução
Trifásico”, Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica, UFRN, Rio Grande do Norte.
Su, C. Y., Stepanenko, Y. e Leung, T. P. (1995), “Combined Adaptive and Variable Structure
Control for Constrained Robots”, Automatica 31(3), 483-488.
Su, W.C., Drakunov, S.V. e Özgüner, Ü. (2000), “An O(T
2
) Boundary Sliding Mode for
Sampled_Data Systems”, IEEE Trans. Aut. Contr. 45(3), 482-485.
Sugeno, M. e Kang, G. T. (1988),
“Structure Identification of Fuzzy Model”, Fuzzy Sets and
Systems 28(1), 15-31.
Sun, J. (1993), “A Modified Model Reference Adaptive Control Scheme for Improved
Transient Performance”, IEEE Trans. Aut. Contr. 38(8), 1255-1259.
Sun, J., Olbrot, A. W. e Polis, M. P. (1994), “Robust Stabilization and Robust Performance
Using Model Reference Control and Modeling Error Compensation”, IEEE Trans.
Aut. Contr. 39(3), 630-635.
Takagi, T. e Sugeno, M. (1985), “Fuzzy Identification of Systems and its Applications to
Modeling and Control”, IEEE Trans. Syst., Man. Cybern., 15(1), 173-177.
Referências Bibliográficas
179
Utkin, V. I. (1977), “Variable Structure Systems with Sliding Modes”, IEEE Trans. Aut.
Contr. 22(2), 212-222.
Utkin, V. I. (1978), “Sliding Modes and Their Application in Variable Structure Systems”,
Mir Publishers, Moscow.
Utkin, V .I. (1983), “Variable Structure Systems: Present and Future”, Automation and
Remote Control 44(9), Part. 1, 1105-1120.
Utkin, V .I. (1987), “Discontinuous Control Systems: State of Art in Theory and
Applications”, Proceedings of the 10th IFAC World Congress, Munich, Vol. 1, pp. 75-
94.
Utkin, V. I. (1992), “Sliding Modes in Control and Optimization”, Springer-Verlag.
Utkin, V. I. (1993), “Sliding Mode Control Design: Principles and Applications to Electric
Drives”. IEEE Trans. Ind. Electron. 1(40), 23-36.
Yau, H. T e Chen, C. L. (2006), “Chattering-Free Fuzzy Sliding-Mode Control Strategy for
Uncertain Chaotic Systems”, Chaos, Solitons and Fractals, 30, 709–718
Zadeh, L. A. (1965), “Fuzzy Sets”, J. Inform. and Contr. 8, 338-353.
Apêndice - Publicações Referentes a esta Tese
180
APÊNDICE - PUBLICAÇÕES REFERENTES A ESTA TESE
PERIÓDICOS
1. Cunha, C. D., Araújo, A. D., Mota, F. C. (2007), “Controlador em Modo Dual
Adaptativo Robusto para Plantas com Grau Relativo Unitário: Prova de Estabilidade”,
Revista da Sociedade Brasileira de Automática 18(2), 223-233.
2. Cunha, C. D., Araújo, A. D., Barbalho, D. S., Mota, F. C. (2005), “A Dual-Mode
Adaptive Robust Controller Applied to the Speed Control of a Three-Phase Induction
Motor”, Asian Journal of Control 7(2), 197-201.
CONGRESSOS
1. Cunha, C. D., Araújo, A. D., Mota, F. C. (2006), “A Dual-Mode Adaptive Robust
Controller for Plants with Relative Degree One: Stability Analysis”, Proceedings of
the American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, EUA, Vol. 1, pp. 1-6.
2. Cunha, C. D., Araújo, A. D., Mota, F. C. (2005), “Controlador em Modo Dual
Adaptativo Robusto para Plantas com Grau Relativo Unitário: Prova de Estabilidade”,
Anais do VII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Luís, Maranhão,
Vol. 1.
3. Cunha, C. D. , Araújo, A. D. (2004a), “A Dual-Mode Adaptive Robust Controller for
Plants with Arbitrary Relative Degree”, Proceedings of the 8
th
International Workshop
on Variable Structure Systems, Vilanova i la Geltrú, Espanha.
4. Cunha, C. D., Araújo, A. D. (2004b), “Controlador em Modo Dual Adaptativo
Robusto para Plantas com Grau Relativo Arbitrário”, Anais do XV Congresso
Brasileiro de Automática, Gramado, RS.
Apêndice - Publicações Referentes a esta Tese
181
5. Cunha, C. D., Araújo, A. D. , Barbalho, D. S. ; Mota, F. C. (2002), “A Dual-Mode
Adaptive Robust Controller Applied to the Speed Control of a Three-Phase Induction
Motor”, Proceedings of the 7
th
International Workshop on Variable Structure Systems,
Sarajevo, Bosnia & Herzegovina, Vol. 1, pp. 253-264.
ACEITO PARA PUBLICAÇÃO EM PERIÓDICO (Preliminarmente)
1. Cunha, C. D., Araújo, A. D. (2008), “Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto
para Plantas com Grau Relativo Arbitrário”. Revista da Sociedade Brasileira de
Automática.
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