Download PDF
ads:
Estudo Num´erico sobre a Determina¸c˜ao de
Parˆametros em um S´olido El´astico-Linear e
Incompress´ıvel
Edmar Borges The´ophilo Prado
Orientador: Prof. Dr. Adair Roberto Aguiar
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ads:
Edmar Borges The´ophilo Prado
ESTUDO NUM
´
ERICO SOBRE A DETERMINAC¸
˜
AO DE
PAR
ˆ
AMETROS EM UM S
´
OLIDO EL
´
ASTICO-LINEAR E
INCOMPRESS
´
IVEL
Disserta¸c˜ao apresentada `a Escola de Enge-
nharia de S˜ao Carlos da Universidade de S˜ao
Paulo, como parte dos requisitos para a ob-
ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Engenharia
de Estruturas.
Orientador: Prof. Dr. Adair Roberto Aguiar
S
˜
AO CARLOS
Junho de 2008
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE
TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO,
PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento
da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP
Prado, Edmar Borges Theóphilo
P896e Estudo numérico sobre a determinação de parâmetros em
um sólido elástico-linear e incompressível / Edmar Borges
Theóphilo Prado ; orientador Adair Roberto Aguiar. –- São
Carlos, 2008.
Dissertação (Mestrado-Programa de Pós-Graduação e Área
de Concentração em Engenharia de Estruturas) –- Escola de
Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo,
2008.
1. Elasticidade linear clássica. 2. Método dos
elementos finitos. 3. Problema-inverso. 4. Tecidos
biológicos. 5. Elastografia. I. Título.
Dedicat´oria
Aos meus pais e ao meu irm˜ao, Romulo,
por todo o apoio e compreens˜ao para que este trabalho
pudesse ser realizado.
iii
iv
Agradecimentos
Aos meus pais pelas oportunidades concedidas e pelo apoio incondicional `as mi-
nhas decis˜oes. Ao meu irm˜ao e acima de tudo grande amigo, Romulo, por apoiar-me nos
momentos dif´ıceis.
Ao professor Adair Roberto Aguiar pela orienta¸c˜ao, dedica¸c˜ao e compreens˜ao das
minhas limita¸c˜oes ao longo de toda esta pesquisa.
`
A CAPES pelo suporte financeiro e a todos os funcion´arios do Departamento de
Engenharia de Estruturas por contribuir direta, ou, indiretamente para a realiza¸c˜ao deste
trabalho.
Gostaria de agradecer, em especial, ao Rodrigo Paccola por disponibilizar e auxi-
liar na utiliza¸c˜ao do p´os-processador gr´afico por ele desenvolvido, contribuindo de forma
significativa para melhorar a qualidade de apresenta¸c˜ao dos resultados.
Ao colega e grande amigo Marlos pela troca de id´eias e pelo apoio nos momentos
dif´ıceis. Novamente ao Marlos e ao colega e amigo Rog´erio Carrazedo pelo aux´ılio na
utiliza¸c˜ao do LaTeX.
Ao grande amigo Antˆonio Carlos pela amizade e o companherismo vindos desde
o tempo da gradua¸c˜ao e sua colabora¸c˜ao para que eu tivesse acesso a alguns materiais de
leitura necess´arios ao desenvolvimento desta pesquisa.
Aos colegas e amigos de mestrado Saulo, Ronaldo, Edson Leonel e Eduardo Toledo
pelo aux´ılio no uso do software Ansys. Aos meus colegas e amigos Jes´us Garcia e Manoel
Dˆenis pela amizade e troca de id´eias.
Um agradecimento especial se faz necess´ario aos meus grandes amigos Michell
Macedo Alves e Maximiliano Azambuja (companheiros de rep´ublica) e ao Luiz Vieira por
todo o apoio que prestaram quando cheguei em S˜ao Carlos.
v
vi
Resumo
PRADO, E. B. T. (2008). Estudo Num´erico sobre a Determina¸c˜ao de Parˆametros em um
S´olido El´astico-Linear e Incompress´ıvel. Disserta¸c˜ao (Mestrado) – Escola de Engenharia
de S˜ao Carlos, Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, 2008.
A teoria de elasticidade linear cl´assica ´e utilizada no modelamento de problemas da F´ısica
M´edica relacionados com a determina¸c˜ao de parˆametros el´asticos de tecidos biol´ogicos a
partir da medi¸c˜ao in vivo, ou, in vitro dos deslocamentos, ou, das deforma¸c˜oes. Basea-
dos em observa¸c˜oes experimentais, as quais revelam que os tecidos biol´ogicos anˆomalos
tˆem comportamento mecˆanico diferente dos tecidos biol´ogicos sadios, os pesquisadores
tˆem modelado estes tecidos como s´olidos el´astico-lineares, isotr´opicos, heterogˆeneos e in-
compress´ıveis. Neste trabalho, analisa-se uma classe de problemas planos relacionados `a
determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ de tecidos biol´ogicos e prop˜oe-
se um procedimento num´erico n˜ao-iterativo para obter solu¸c˜oes aproximadas para estes
problemas a partir de campos de deslocamentos conhecidos de ensaios poss´ıveis de serem
realizados em laborat´orio. Os ensaios s˜ao est´aticos e s˜ao simulados numericamente via
M´etodo dos Elementos Finitos. Apresentam-se resultados obtidos das distribui¸c˜oes de µ
em cilindros retos, longos e de sec¸c˜ao retangular contendo inclus˜oes cil´ındricas circulares
centradas, ou, excˆentricas. Consideram-se inclus˜oes mais, ou, menos r´ıgidas do que o
meio el´astico circundante. Adicionalmente, os resultados obtidos no presente trabalho
s˜ao comparados com resultados de outros pesquisadores que utilizam ensaios dinˆamicos.
Neste sentido, dois casos de inclus˜ao circular centrada s˜ao resolvidos com as condi¸c˜oes de
contorno adaptadas do caso dinˆamico para o caso est´atico. Resolve-se finalmente o caso
de uma inclus˜ao de forma geom´etrica complexa e seis vezes mais r´ıgida do que o entorno.
O cilindro contendo esta inclus˜ao est´a submetido `as condi¸c˜oes de contorno propostas neste
trabalho e tamb´em `a condi¸c˜ao de contorno adaptada do caso dinˆamico. Em todos os casos
analisados os resultados s˜ao satisfat´orios, apesar do emprego de uma quantidade reduzida
de elementos finitos na reconstru¸c˜ao de µ. Deve-se ressaltar que nenhum m´etodo de regu-
lariza¸c˜ao foi utilizado para tratar os deslocamentos obtidos dos ensaios simulados. Este
trabalho ´e de grande interesse na detec¸c˜ao de tumores cancer´ıgenos, tais como tumores
nos seios e na pr´ostata, e no diagn´ostico diferenciado de tecidos biol´ogicos.
Palavras-chave: elasticidade linear cl´assica; m´etodo dos elementos finitos; problema in-
verso; tecidos biol´ogicos; elastografia.
vii
viii
Abstract
PRADO, E. B. T. (2008). A Numerical Study about the Determination of Parameters in
an Incompressible and Linearly Elastic Solid. M.Sc Dissertation – S˜ao Carlos School of
Engineering, University of S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, 2008.
The theory of classical linear elasticity is used to model of problems in Medical Physics
that are related to the determination of elastic parameters of biological tissues from the
measurement in vivo, or, in vitro of either displacements or strains. Based on experi-
mental observations, which indicate that the abnormal biological tissues have different
mechanical behavior from normal biological tissues, researchers have modeled these tis-
sues as an incompressible, heterogeneous, and isotropic linear elastic solid. In this work
a class of plane problems related to the determination of the shear elastic modulus µ
of biological tissues is examined. A non-iterative numerical procedure to obtain an ap-
proximate solution to these problems from known displacement fields is proposed. The
displacement fields are obtained from experiments that are possible to reproduce in labo-
ratory. The experiments are quasi-static and are simulated numerically using the Finite
Element Method. Results for the distribution of µ in long, straight cylinders of rectangu-
lar cross-sections, containing either centered or eccentric circular inclusions that are more,
or, less stiff than the surrounding elastic medium, are presented. Additionally, the results
obtained in this study are compared with results of other researchers who use dynamical
experiments. In this sense, two cases of centered circular inclusions are solved by using
an adaptation of the dynamical case to the static case. Finally, the case of an inclusion
with a complex geometry that is six times more rigid than the surrounding medium is
solved. In all cases analyzed, the results are satisfactory, despite the fact that they were
obtained with a reduced number of finite elements. It should be noted that no method of
regularization has been used to treat the displacement data obtained from the simulated
experiments. This work is of great interest in the detection of cancerous tumours, such
as those in the breasts and in the prostate, and in the differential diagnosis of biological
tissues.
Key-words: classical linear elasticity; finite element method; inverse problem; biological
tissues; elastography.
ix
x
Lista de Figuras
Figura 1 As configura¸c˜oes de referˆencia e deformada de um corpo B. . . . . . . . . . . . 13
Figura 2 Deforma¸c˜ao de um corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 3 Plano S seccionando corpo deformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 4 Barra reta engastada e composta de duas partes com propriedades mate-
riais e geom´etricas distintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 5 Esquema simples ilustrando o problema direto e o problema inverso. . . 32
Figura 6 Esquema geral para a solu¸c˜ao de problemas inversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 7 Id´eia do Processo de Regulariza¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 8 Ensaios para a determina¸c˜ao de µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 9 Processo de gera¸c˜ao de elastogramas de deforma¸c˜ao e do m´odulo el´astico
ao cisalhamento do tecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 10 Instrumenta¸c˜ao para gerar elastograma a partir da compress˜ao de um
corpo de prova denominado phantom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 11 Phantom indicado pela seta no centro da ilustra¸c˜ao em posi¸c˜ao de pr´e-
deforma¸c˜ao no sistema elastogr´afico experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 12 Fluxograma para ilustrar os conceitos b´asicos e estrat´egias de processa-
mento de sinais de m´etodos elastogr´aficos coerentes e incoerentes. . . . . . 59
Figura 13 Da esquerda para a direita: sonograma longitudinal, elastograma e foto-
grafia de um corte longitudinal de um rim ovino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 14 Ensaios para a obten¸c˜ao dos campos de deslocamento independentes e das
for¸cas resultantes sobre as bordas da chapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 15 Barra prism´atica de comprimento unit´ario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 16 Fun¸c˜oes de base quando |j −i| > 1 em que os suportes de N
i
e N
j
n˜ao se
sobrep˜oem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 17 Lado esquerdo: Descri¸c˜ao local do e-´esimo elemento. Lado direito: Des-
cri¸c˜ao global do e-´esimo elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
xi
Figura 18 Numera¸c˜ao dos elementos e coordenadas dos n´os da malha. . . . . . . . . . . . 79
Figura 19 Nota¸c˜ao: X denota valores diferentes de zero na matriz de rigidez e no
vetor de for¸cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 20 Matriz de loca¸c˜ao para os dados propostos acima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 21 Diagrama de fluxo de algoritmo para a montagem das matrizes K e F. 83
Figura 22 Representa¸c˜ao dos dom´ınio B e do dom´ınio de aproxima¸c˜ao por elementos
finitos quadrilaterais, B
h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 23 Elemento retangular com fun¸c˜oes de forma bilineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 24 Diagrama de fluxo elementar do programa desenvolvido para a deter-
mina¸c˜ao de parˆametros el´asticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 25 Malha uniforme em (a) e redes deformadas por tra¸c˜ao-compress˜ao em (b)
e por cisalhamento em (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Figura 26 Exemplo de malha n˜ao uniforme de elementos finitos com inclus˜ao cen-
trada de raio r = 6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 27 Diferen¸ca entre a deforma¸c˜ao calculada pelo ANSYS 5.5 e o valor anal´ıtico
para os raios (a) r = 2 mm e (b) r = 6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 28 Distribui¸c˜ao da press˜ao reativa no cilindro com inclus˜ao de 6 mm de raio
e C
R
= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 29 Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de
tra¸c˜ao-compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do
problema de cisalhamento. Caso de inclus˜ao circular centrada com C
R
=
0 e r = 6 mm. Utilizaram-se as malhas 1, 3 e 5 da Tab.2 . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 30 Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 0: (a) Valor de referˆencia;
(b) a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 2, respectiva-
mente, para inclus˜ao circular centrada com C
R
= 0 e r = 6 mm. . . . . . . 109
Figura 31 Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de
tra¸c˜ao-compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do
problema de cisalhamento. Caso de inclus˜ao circular centrada com C
R
=
6 e r = 6 mm. Utilizaram-se as malhas 1,3 e 5 da Tab.2 . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 32 Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 6: (a) Valor de re-
xii
ferˆencia; (b) a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 2,
respectivamente, para inclus˜ao circular centrada com C
R
= 6, r = 6 mm. 112
Figura 33 Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de
tra¸c˜ao-compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do
problema de cisalhamento. Caso de inclus˜ao circular excˆentrica com C
R
= 0 e r = 6 mm. Utilizaram-se as malhas 1, 3 e 5 da Tab.3 . . . . . . . . . . . 114
Figura 34 Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 0: (a) Valor de referˆencia;
(b) a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 3, respectiva-
mente, para inclus˜ao circular excˆentrica com C
R
= 0, r = 6 mm. . . . . . . 115
Figura 35 Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de
tra¸c˜ao-compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do
problema de cisalhamento. Caso de inclus˜ao circular excˆentrica com C
R
= 6 e r = 6 mm. Utilizaram-se as malhas 1, 3 e 5 da Tab.3 . . . . . . . . . . . 116
Figura 36 Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 6: (a)Valor de referˆencia;
(b) a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 3, respectiva-
mente, para inclus˜ao circular excˆentrica com C
R
= 6, r = 6 mm. . . . . . . 117
Figura 37 Erro relativo m´aximo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia no cilindro
versus malha de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 38 Erro relativo m´aximo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia na inclus˜ao
versus malha de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 39 Erro relativo m´aximo em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia de µ no cilindro
versus C
R
para r = 2 mm e r = 6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Figura 40 Erro relativo m´aximo em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia de µ na inclus˜ao
versus C
R
para r = 2 mm e r = 6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 41 Resultados da reconstru¸c˜ao de µ com C
R
= 0, 1, 2, 4, 6 de (a) a (e),
respectivamente, para uma inclus˜ao excˆentrica de raio r = 2 mm. . . . . . 123
Figura 42 Resultados da reconstru¸c˜ao de µ com C
R
= 0, 1, 2, 4, 6 de (a) a (e),
respectivamente, para uma inclus˜ao excˆentrica de raio r = 6 mm. . . . . . 124
Figura 43 Resultados de µ para diferentes erros adicionados quando a inclus˜ao tem
raio r = 6 mmm e est´a centrada em um cilindro de sec¸c˜ao quadrada de 50
mm de lado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Figura 44 Resultado da reconstru¸c˜ao de µ: (a)valor de referˆencia; (b) inclus˜ao cen-
xiii
trada de raio r = 2 mm com C
R
= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 45 Resultado da reconstru¸c˜ao de µ: (a)valor de referˆencia, (b) inclus˜ao cen-
trada de raio r = 6 mm com C
R
= 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Figura 46 Detalhes da reconstru¸c˜ao de µ via malha 5 da Tab. (2) para o cilindro e
a inclus˜ao centrada com C
R
= 6 e r = 6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 47 Reconstru¸c˜ao de µ no cilindro reto de sec¸c˜ao de 50 mm de lado com
inclus˜ao excˆentrica de raio r = 6 mm e C
R
= 6, combinando os ensaios
de compress˜ao uniaxial e de cisalhamento proposto por Park e Maniatty
(2006) adaptado ao caso est´atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Figura 48 Resultado da reconstru¸c˜ao de µ; (a) valor de referˆencia, (b) condi¸c˜oes de
Park e Maniatty (2006), (c) condi¸c˜oes de contorno propostas no presente
trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Figura 49 Tetraedro de tens˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Figura 50 Paralelep´ıpedo de dimens˜oes infinitesimais com vetores tens˜ao. . . . . . . . . 145
xiv
Lista de Tabelas
Tabela 1 Casos de problemas para uma barra composta por dois materiais . . . . . 30
Tabela 2 Malhas de elementos finitos para o cilindro reto com inclus˜ao centrada. 105
Tabela 3 Malhas de elementos finitos para o cilindro reto com inclus˜ao excˆentrica. 113
Tabela 4 Erros aleat´orios introduzidos nos campos de deslocamento e valores m´edios
do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento (µ) na inclus˜ao centrada. . 126
xv
xvi
Lista de Siglas
EdUERJ Editora da Universidade do Estado do Rio de Janeiro
MEF M´etodo dos Elementos Finitos
MEC M´etodo dos Elementos de Contorno
EPD Estado Plano de Deforma¸c˜ao
EPDH Equa¸c˜ao Diferencial Parcial Hiperb´olica
PI Problema Inverso
MMQ M´etodo dos M´ınimos Quadrados
xvii
xviii
Lista de S´ımbolos
µ M´odulo de elasticidade ao cisalhamento
λ Parˆametro de Lam´e
B Dom´ınio de an´alise
π Press˜ao reativa
n
el
N´umero de elementos finitos da malha
xix
xx
Sum´ario
Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Revis˜ao Bibliogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Detec¸c˜ao de Inclus˜oes e Identifica¸c˜ao de Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Conceitos B´asicos da Mecˆanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 For¸ca e Tens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Elasticidade Linear Cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 O Problema Direto para a Determina¸c˜ao do Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Formula¸c˜ao Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Formula¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Problemas Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Considera¸c˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Exemplos de Problemas Inversos em Elasticidade Linear Cl´assica . . . . . . . . . . 28
4.2 Classifica¸c˜ao dos Problemas Inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 M´etodos de Solu¸c˜ao e Regulariza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
xxi
4.3.1 Solu¸c˜ao com o uso do m´etodo SVD (Singular Value Decomposition) e Li-
mita¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 Solu¸c˜ao por M´ınimos Quadrados e Limita¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 M´etodos de Regulariza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 O Problema Inverso de Determina¸c˜ao de Parˆametros El´asticos . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.1 Formula¸c˜ao Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.2 Considera¸c˜oes sobre a Unicidade de Solu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.3 Formula¸c˜ao Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Elastografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1 Fundamentos da Elastografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 O Processo Elastogr´afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 M´etodos de Processamento de Elastogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.2 Aplica¸c˜oes da Elastografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Proposi¸c˜ao de Experimentos em Elastografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.1 Considera¸c˜oes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.2 Ensaios Biaxial de Tra¸c˜ao-Compress˜ao e de Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Formula¸c˜ao Num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Aspectos B´asicos do M´etodo dos Elementos Finitos-MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.1 Formula¸c˜ao Forte, ou, Cl´assica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.2 Formula¸c˜ao Fraca, ou, Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.3 M´etodo de Aproxima¸c˜ao de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.1.4 Sistema de Equa¸c˜oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.5 Fun¸c˜oes de Forma Lineares por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.6 Propriedades da Matriz K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.7 O MEF do Ponto de Vista do Elemento - Coordenadas Locais e Globais. . . . 76
6.1.8 A Matriz de Rigidez e o Vetor de For¸ca de um Elemento Gen´erico . . . . . . . . . 79
xxii
6.1.9 A Montagem da Matriz Global de Rigidez e do Vetor de For¸ca. . . . . . . . . . . . 81
6.1.10 A Resolu¸c˜ao do Sistema de Equa¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 O Problema Direto Discreto via MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 MEF Aplicado ao Problema de Determina¸c˜ao de Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . 88
7 Apresenta¸c˜ao e Discuss˜ao de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1 Cilindro Reto de Sec¸c˜ao Retangular com Inclus˜ao Cil´ındrica de Sec¸c˜ao Circular 101
7.2 Influˆencia da Malha de Elementos Finitos no Problema Direto Discreto . . . . . . 102
7.3 Influˆencia da Malha de Elementos Finitos no Problema Inverso Discreto . . . . . 104
7.4 Influˆencia do C
R
na Convergˆencia do Problema Inverso Discreto . . . . . . . . . . . . 119
7.5 Compara¸c˜ao do M´etodo Proposto com o M´etodo de Park e Maniatty (2006) . . 122
7.5.1 Apresenta¸c˜ao e Resultados do M´etodo de Park e Maniatty (2006) . . . . . . . . . 122
7.5.2 Adapta¸c˜ao do Ensaio de Park e Maniatty (2006) ao Caso Est´atico . . . . . . . . . 126
7.6 Influˆencia dos Ensaios na Determina¸c˜ao de Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.1 Inclus˜ao Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.2 Inclus˜ao Excˆentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.6.3 Inclus˜ao Cil´ındrica com Sec¸c˜ao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8 Conclus˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1 Sugest˜oes para a Continua¸c˜ao da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Apˆendice A -- O Tensor Tens˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Apˆendice B -- Equivalˆencia entre as Formas Forte (S) e Fraca (W ) . . . . . . 147
xxiii
xxiv
1
1 Introdu¸c˜ao
Esta disserta¸c˜ao apresenta um procedimento num´erico para a determina¸c˜ao do
m´odulo de elasticidade ao cisalhamento, µ, em um s´olido el´astico-linear, heterogˆeneo,
incompress´ıvel e sob estado plano de deforma¸c˜ao a partir do campo de deslocamento
conhecido no interior do s´olido.
O procedimento num´erico baseia-se no m´etodo dos elementos finitos aplicado na
formula¸c˜ao fraca das equa¸c˜oes de equil´ıbrio que governam os deslocamentos do s´olido em
dois experimentos cl´assicos da mecˆanica. Os dois experimentos s˜ao escolhidos de forma
a garantir que, sem o conhecimento das for¸cas atuantes no contorno, µ seja determinado
com a exce¸c˜ao de quatro constantes (BARBONE; GOKHALE, 2004).
Neste trabalho, o s´olido ´e um cilindro reto, longo e de sec¸c˜ao transversal retan-
gular que est´a submetido aos ensaios de tra¸c˜ao-compress˜ao e de cisalhamento, conforme
descrito na Se¸c˜ao 5.
Nos ´ultimos anos houve o desenvolvimento de modalidades de diagn´ostico por
imagem, tais como o ultra-som, imagem por ressonˆancia magn´etica (MRI) e tomogra-
fia computadorizada por raios-x com o prop´osito de auxiliar o diagn´ostico por imagem
de les˜oes em tecidos biol´ogicos, originando um novo m´etodo para an´alise de imagens, a
elastografia (OPHIR et al., 1991, 1999; PARK; MANIATTY, 2006). Este m´etodo permite a
identifica¸c˜ao de estruturas com diferentes n´ıveis de rigidez em um meio el´astico tomando
por base informa¸c˜oes sobre os campos de deslocamento no interior do corpo. O procedi-
mento num´erico proposto neste trabalho permite quantificar estes n´ıveis de rigidez.
O procedimento proposto pode ser empregado tamb´em na an´alise de problemas
de engenharia que necessitam o conhecimento de propriedades el´asticas de materiais sem
o uso de t´ecnicas invasivas, tais como a investiga¸c˜ao geol´ogica de ´areas para a prospec¸c˜ao
de petr´oleo e g´as, na detec¸c˜ao de inclus˜oes em membros estruturais aeron´auticos, navais,
etc (RAMM, 2005; ISAKOV, 2006; KIRSCH, 1996; BONNET; CONSTATINESCU, 2005).
2
1.1 Motiva¸c˜ao
Em problemas de interesse tanto da engenharia estrutural como da medicina, a
impossibilidade de inspe¸c˜oes invasivas, seja porque a estrutura encontra-se em servi¸co,
seja porque a an´alise necessita ser feita em tecido vivo, motiva o desenvolvimento de uma
metodologia de an´alise remota.
Nota-se de alguns procedimentos propostos na literatura (BONNET; CONSTATI-
NESCU, 2005; JI et al., 2003; KALLEL et al., 1998; OPHIR et al., 1999), para a determina¸c˜ao
de parˆametros el´asticos, os quais est˜ao fundamentados no MEF, ou, no MEC por meio de
experimentos quase-est´aticos, ou, dinˆamicos, uma lacuna na determina¸c˜ao quantitativa
dos resultados obtidos, uma vez que as avalia¸c˜oes finais est˜ao baseadas em resultados
qualitativos de an´alise da imagem.
Assim, esta pesquisa justifica-se ao apresentar um procedimento est´atico n˜ao-
iterativo de avalia¸c˜ao n˜ao-invasiva para a determina¸c˜ao das constantes el´asticas de mate-
riais lineares, isotr´opicos e incompress´ıveis.
Quest˜oes relacionadas `as condi¸c˜oes de contorno tamb´em s˜ao discutidas neste tra-
balho, pois o problema de determina¸c˜ao de parˆametros em um s´olido el´astico-linear pode
n˜ao ter solu¸c˜ao ´unica para condi¸c˜oes de contorno que sejam poss´ıveis de serem impostas
em ensaios de laborat´orio. Neste caso, condi¸c˜oes adicionais devem ser fornecidas.
Soma-se ao exposto acima que a principal vantagem apresentada pela metodologia
proposta ´e a de possibilitar a determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento, µ,
no interior de um corpo el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel, a partir de campos de
deslocamento conhecido no interior do corpo e de resultantes de for¸cas conhecidas sobre
partes complementares do contorno. Deste modo, nos problemas de engenharia acima,
pode-se adaptar a metodologia proposta para determinar a localiza¸c˜ao e forma de falhas,
ou, inclus˜oes no substrato prejudiciais ao bom desempenho estrutural. No campo da
aplica¸c˜ao m´edica, tecidos biol´ogicos poder˜ao ser analisados, tendo-se suas propriedades
el´asticas calculadas e, assim, avaliando-se a sanidade do tecido em exames preventivos.
1.2 Objetivos
O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e propor um procedimento num´erico para a
determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento em um s´olido el´astico, isotr´opico
e incompress´ıvel, sob estado plano de deforma¸c˜ao, no contexto da teoria de elasticidade
3
linear cl´assica.
O procedimento num´erico baseia-se em uma metodologia de elementos finitos que
utiliza ambos, o conhecimento de campos de deslocamento no interior do s´olido medidos
por meio de t´ecnicas n˜ao-invasivas e o conhecimento de for¸cas resultantes atuantes no con-
torno do s´olido. Deste modo, o trabalho representa uma contribui¸c˜ao para a determina¸c˜ao
´unica de parˆametros el´asticos em estruturas biol´ogicas e de engenharia.
Outros objetivos tamb´em foram alcan¸cados, tais como o estudo, o entendimento
e a proposi¸c˜ao dos problemas direto e de determina¸c˜ao de parˆametros com as corretas
condi¸c˜oes de contorno; o estudo de m´etodos experimentais utilizados na obten¸c˜ao dos
campos de deslocamento interno de materiais como a ultra-sonografia; a proposi¸c˜ao de
experimentos simples e exeq¨u´ıveis em laborat´orio; a utiliza¸c˜ao de programas simb´olicos
como o Mathematica, linguagem de programa¸c˜ao como o Fortran, e pacotes comerciais
de elementos finitos como o Ansys.
1.3 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao
Na Se¸c˜ao 2 apresenta-se uma revis˜ao bibliogr´afica sobre o estado da arte na ´area
de determina¸c˜ao de parˆametros materiais em tecidos biol´ogicos.
Na Se¸c˜ao 3 apresentam-se os fundamentos te´oricos da teoria de elasticidade linear
cl´assica, a qual serve para formular o problema direto de determina¸c˜ao de deslocamentos
nas formas forte e fraca e tamb´em o problema inverso de determina¸c˜ao de parˆametros,
este ´ultimo apresentado na Se¸c˜ao 4. O problema direto consiste em determinar os campos
de deslocamento e de press˜ao π que satisfa¸cam simultaneamente as equa¸c˜oes de equil´ıbrio
para um material el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel, a restri¸c˜ao cinem´atica de
dilata¸c˜ao volum´etrica nula e as condi¸c˜oes de contorno. Aqui o m´odulo de elasticidade
ao cisalhamento, µ, ´e conhecido. O problema de determina¸c˜ao de parˆametros, tamb´em
chamado de problema inverso, consiste em determinar µ e π que satisfa¸cam as mesmas
equa¸c˜oes de equil´ıbrio para um campo de deslocamento conhecido, o qual satisfaz a res-
tri¸c˜ao cinem´atica de dilata¸c˜ao volum´etrica nula. Em geral, este problema n˜ao tem solu¸c˜ao
´unica.
Na Se¸c˜ao 4 apresenta-se uma introdu¸c˜ao `a teoria de problemas inversos. A-
presentam-se uma classifica¸c˜ao destes problemas e alguns m´etodos de regulariza¸c˜ao que
permitem obter solu¸c˜ao ´unica para a classe de problemas tratados neste trabalho. Ao
final desta se¸c˜ao, encontram-se as formula¸c˜oes forte e fraca do problema inverso de deter-
4
mina¸c˜ao de parˆametros el´asticos. Apresenta-se tamb´em uma discuss˜ao sobre a unicidade
de solu¸c˜ao deste problema inverso no contexto da teoria de elasticidade linear cl´assica
apresentada na Se¸c˜ao 3.
Na Se¸c˜ao 5 apresenta-se uma vis˜ao geral sobre as t´ecnicas aplicadas em elastogra-
fia. Apresentam-se tamb´em alguns problemas que podem ser realizados em laborat´orio e
que permitem a determina¸c˜ao dos parˆametros el´asticos de forma ´unica.
Na Se¸c˜ao 6 apresenta-se a fundamenta¸c˜ao te´orica do M´etodo de Elementos Fi-
nitos (MEF), o qual ´e aplicado nas solu¸c˜oes aproximadas dos problemas direto e inverso
descritos acima. Apresenta-se tamb´em a formula¸c˜ao do procedimento desenvolvido com
um fluxograma do c´odigo computacional para resolver os problemas de determina¸c˜ao de
parˆametros.
Na Se¸c˜ao 7 apresentam-se e discutem-se resultados obtidos das solu¸c˜oes aproxi-
madas de problemas bidimensionais propostos nas se¸c˜oes anteriores. Comparam-se estes
resultados aos resultados obtidos por outros pesquisadores, os quais empregam metodolo-
gias distintas na determina¸c˜ao dos parˆametros el´asticos. Estas metodologias baseiam-se
em experimentos dinˆamicos, ao inv´es de est´aticos, para a obten¸c˜ao de campos de deslo-
camento.
Na Se¸c˜ao 8 apresentam-se as pricipais conclus˜oes sobre a pesquisa desenvolvida
e algumas sugest˜oes para trabalhos futuros.
5
2 Revis˜ao Bibliogr´afica
Nesta se¸c˜ao realiza-se uma revis˜ao bibliogr´afica de trabalhos relevantes na ´area de
determina¸c˜ao de parˆametros el´asticos em tecidos biol´ogicos. Observa-se desta revis˜ao que
a maioria da referˆencias s˜ao dos ´ultimos dez anos e que os autores s˜ao de diferentes ´areas
do conhecimento, tais como medicina e engenharia. O assunto ´e, portanto, de interesse
atual e multidisciplinar.
2.1 Detec¸c˜ao de Inclus˜oes e Identifica¸c˜ao de Parˆametros
O mais antigo problema de identifica¸c˜ao de parˆametros que se tem not´ıcia diz res-
peito `a pergunta “Arquimedes, esta coroa ´e de ouro?”, feita pelo rei H´ıeron ao matem´atico
grego nascido em Siracusa em 287 a.C. (SILVA NETO, 2005).
Pode-se imaginar pergunta semelhante em muitas aplica¸c˜oes atuais, tais como
na determina¸c˜ao de propriedades el´asticas de tecidos biol´ogicos. No caso de tumores
cancer´ıgenos, observa¸c˜oes experimentais revelam que os tecidos biol´ogicos anˆomalos tˆem
comportamento mecˆanico diferente dos tecidos biol´ogicos sadios (FUNG, 2004; OPHIR et
al., 1991; LIU et al., 2003). Este comportamento ´e utilizado no diagn´ostico do cˆancer
de mama, pois os tumores malignos apresentam rigidez diferente da rigidez dos tecidos
sadios (SARVAZYAN, 1993; SARVAZYAN et al., 1998; KROUSKOP et al., 1998). De fato,
cerca da metade de todos os casos de cˆancer de mama detectados nos Estados Unidos no
per´ıodo 1988-1990 foram descobertos pelo pr´oprio paciente ao apalpar os seios e constatar
a presen¸ca de um n´odulo em seus seios (REEVES et al., 1995).
Uma t´ecnica utilizada na F´ısica M´edica para a detec¸c˜ao de tumores cancer´ıgenos
consiste em pressionar levemente uma sonda ultra-sˆonica sobre uma superf´ıcie externa
do corpo humano, ocasionando deforma¸c˜ao da parte do corpo localizada em uma regi˜ao
pr´oxima da ´area pressionada (OPHIR et al., 2002). A deform¸c˜ao dever ser pequena para
que o comportamento n˜ao-linear do tecido biol´ogico seja ignorado e, assim, este possa ser
tratado como um s´olido el´astico-linear (MRIDHA;
¨
ODMAN, 1986).
6
Ao se medir o campo de deslocamento nesta regi˜ao, determina-se o campo de
deforma¸c˜ao infinitesimal, o qual est´a relacionado ao campo de tens˜ao atrav´es da Lei de
Hooke generalizada. Ao se impor a condi¸c˜ao de que o corpo deve satisfazer as leis de ba-
lan¸co da Mecˆanica do Cont´ınuo, obt´em-se express˜oes para a determina¸c˜ao dos parˆametros
el´asticos da parte do corpo sob an´alise. Os valores destes parˆametros dependem do ponto
material; especialmente se os tumores cancer´ıgenos estiverem dispersos no tecido biol´ogico
sadio.
O exame de toque ainda ´e o m´etodo padr˜ao usado por profissionais da ´area m´edica
para determinar a presen¸ca de les˜oes da mama e pr´ostata. Em muitos casos, por´em,
mesmo havendo diferen¸ca de rigidez entre o tecido lesionado e o tecido sadio, a les˜ao pode
n˜ao ser detectada devido ao seu tamanho reduzido, ou, devido `a sua localiza¸c˜ao em regi˜oes
muito profundas do corpo, mesmo com o aux´ılio dos exames de ultra-som convencionais
(OPHIR et al., 2001).
O procedimento aqui desenvolvido insere-se no estudo de problemas de elasto-
grafia, termo cunhado por Ophir et al. (1991), cujo in´ıcio data dos primeiros anos da
d´ecada de 1990. A elastografia tem como objetivo determinar de forma quantitativa as
deforma¸c˜oes e a distribui¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento em tecidos moles
por meio da an´alise de imagem obtida com o aux´ılio de aparelhos de ultra-som.
Em um contexto mais amplo, o problema elastogr´afico ´e um problema inverso,
pois trata da determina¸c˜ao de parˆametros a partir de campos de deslocamento. A im-
portˆancia dos problemas inversos est´a em encontrar propriedades desconhecidas de um
meio s´olido pela oberva¸c˜ao da resposta deste meio a um sinal de sondagem. Assim, a
teoria dos problemas inversos serve de base te´orica para a detec¸c˜ao remota de inclus˜oes,
vazios e trincas e para a avalia¸c˜ao n˜ao-destrutiva de estruturas biol´ogicas e de engenharia
(RAMM, 2005).
O uso de equipamentos modernos, tais como os aparelhos de ultra-som utilizados
em Elastografia, permite a capta¸c˜ao dos campos de deslocamento internos do corpo em
regi˜oes de interesse de modo que n˜ao se fique restrito ao conhecimento apenas de dados
referentes `a fronteira do dom´ınio de an´alise, tal como ocorre em muito problemas inversos
de investiga¸c˜ao de parˆametros.
Zhu, Hall e Jiang (2003) apresentam uma discuss˜ao sobre duas t´ecnicas de ultra-
som utilizadas na reconstru¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ em tecidos
biol´ogicos, os quais s˜ao considerados incompress´ıveis. A primeira t´ecnica utiliza um vibra-
dor em contato com a superf´ıcie externa do corpo para propagar ondas de baixa freq¨uˆencia
7
para o interior do corpo. Medindo-se a velocidade de propaga¸c˜ao de ondas de cisalha-
mento, ou, o comprimento destas ondas, estima-se µ via sistema de equa¸c˜oes que fornecem
a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao da onda em termos de seus cossenos diretores. V´arios fatores
podem, no entanto, influenciar na precis˜ao das medi¸c˜oes, limitando a aplicabilidade da
t´ecnica. Dentre os fatores, destacam-se ru´ıdos de medi¸c˜oes elevados, baixa resolu¸c˜ao
espacial, dificuldade de propaga¸c˜ao da energia das ondas de cisalhamento atrav´es dos
contornos do tecido.
Com rela¸c˜ao `a categoria dos m´etodos de compress˜ao est´aticos, a distribui¸c˜ao de µ
´e estimada das deforma¸c˜oes internas e de medidas de for¸cas impostas no contorno. Pode-
se fazer a medi¸c˜ao dos deslocamentos internos, por exemplo, segundo as t´ecnicas descritas
em Ophir et al. (1991) e Kybic e Smutek (2005). Al´em da medi¸c˜ao dos deslocamentos
internos para estimar a distribui¸c˜ao do m´odulo de Young, ´e necess´ario o conhecimento
das for¸cas no contorno. Na pr´atica, as for¸cas n˜ao podem ser medidas ponto a ponto no
contorno. As resultantes destas for¸cas podem, contudo, ser facilmente obtidas em partes
complementares do contorno segundo Zhu, Hall e Jiang (2003).
No trabalho realizado por Zhu, Hall e Jiang (2003) utiliza-se o m´etodo dos ele-
mentos finitos e faz-se um relaxamento das condi¸c˜oes de contorno para tornar o m´etodo
mais pr´atico quando da reconstru¸c˜ao do m´odulo el´astico ao cisalhamento para materiais
considerados el´astico-lineares, isotr´opicos e incompress´ıveis.
Este autores realizam um ´unico experimento para obter o campo de distribui¸c˜ao
de µ. Devido a isto, os autores n˜ao conseguem mostrar a unicidade de solu¸c˜ao para um
´unico campo de deslocamento advindo da compress˜ao do corpo sob an´alise. Os autores
ressaltam, no entanto, que o processo de minimiza¸c˜ao empregado utilizando os m´ınimos
quadrados conduz sempre a uma ´unica solu¸c˜ao alg´ebrica. Zhu, Hall e Jiang (2003) ainda
utilizam uma rede de elemetos finitos uniforme por considerar n˜ao ser poss´ıvel predizer a
forma das inclus˜oes imersas no substrato.
Aqui, deseja-se obter uma ´unica solu¸c˜ao da distribui¸c˜ao do parˆametro material no
interior do corpo. Assim, resulta naturalmente a quest˜ao: se existe uma distribui¸c˜ao do
parˆametro material e esta ´e ´unica, qual ´e o n´umero m´ınimo de experimentos necess´arios
para prover dados em quantidade suficiente para determinar univocamente o m´odulo de
elasticidade ao cisalhamento?
A quest˜ao precedente ´e tratada em Barbone e Gokhale (2004). Estes autores
consideram um material el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel ocupando um dom´ınio
bidimensional, o qual corresponde a uma chapa retangular em EPD, e apresentam uma
8
discuss˜ao sobre a determina¸c˜ao do m´odulo el´astico quando o corpo ´e submetido a for¸cas
quase-est´aticas e dinˆamicas. Em particular eles mostram que a equa¸c˜ao que rege o pro-
blema de determina¸c˜ao de parˆametros para materiais el´astico-lineares, isotr´opicos e in-
compress´ıveis em dom´ınio bidimensional ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial de segunda
ordem do tipo hiperb´olica, EPDH, com coeficientes vari´aveis.
Barbone e Gokhale (2004) apresentam ent˜ao a formula¸c˜ao de dois problemas
cl´assicos da mecˆanica, tra¸c˜ao-compress˜ao biaxial e cisalhamento simples que fornecem
dois campos de deslocamento. As caracter´ısticas da EPDH para determina¸c˜ao de µ do
problema de tra¸c˜ao-compress˜ao biaxial n˜ao s˜ao paralelas `as caracter´ısticas da EPDH do
problema de cisalhamento. Assim, estes problemas s˜ao denominados de problemas linear-
mente independentes. Com rela¸c˜ao as caracter´ısticas da equa¸c˜ao diferencial hiperb´olica,
Barbone e Gokhale (2004) afirmam que estas s˜ao paralelas ao eixos de deforma¸c˜oes prin-
cipais.
A substitui¸c˜ao do campo de deforma¸c˜ao do problema de tra¸c˜ao-compress˜ao bi-
axial na equa¸c˜ao que rege o problema de determina¸c˜ao de parˆametros deve obdecer a
solu¸c˜ao geral do problema inverso. Esta solu¸c˜ao geral ´e composta de duas fun¸c˜oes ar-
bitr´arias, f (x) e g(y). A substitui¸c˜ao do campo de deforma¸c˜ao do problema de cisalha-
mento nesta mesma equa¸c˜ao que rege o problema de determina¸c˜ao de parˆametros tamb´em
deve obedecer a solu¸c˜ao geral do problema inverso. Deste procedimento resultam duas
equa¸c˜oes que satisfazem a solu¸c˜ao geral do problema inverso. Substituindo-se a solu¸c˜ao
geral do problema inverso na equa¸c˜ao resultante do problema de cisalhamento obt´em-
se que as derivadas de segunda ordem das fun¸c˜oes arbitr´arias, f(x) e g(y), s˜ao iguais e
constantes. Integrando estas constantes para encontrar as fun¸c˜oes f(x) e g(y) mostra-se
que resultam na determina¸c˜ao de µ com exce¸c˜ao de quatro constantes arbitr´arias. Es-
tas constantes podem ser obtidas com poucas informa¸c˜oes adicionais; por exemplo, pelo
conhecimento de µ em quatro pontos distintos do dom´ınio.
Barbone e Gokhale (2004) optam pelo estudo considerando o material incom-
press´ıvel diferentemente de McLaughlin e Yoon (2004) que consideram o estudo da de-
termina¸c˜ao de µ para o caso compress´ıvel. Barbone e Gokhale (2004) dizem que a in-
compressibilidade ´e mais apropriada na aproxima¸c˜ao do problema de imagem de tecidos
moles, pois na compressibilidade, ou, pr´oximo a esta, o problema inverso ´e altamente
sens´ıvel aos pequenos erros de medi¸c˜ao da dilata¸c˜ao (∇ · u), enquanto que, assumindo a
hip´otese de incompressibilidade, o problema inverso ´e insens´ıvel a estes erros.
No trabalho de Barbone e Gokhale (2004) menciona-se a necessidade de uma
9
quantidade determinada de informa¸c˜oes a priori sobre o contorno e de forma n˜ao arbitr´aria
para obter a distribui¸c˜ao de µ no dom´ınio bidimensional, assumindo-se ainda uma varia¸c˜ao
suave de µ e obedecendo `as equa¸c˜oes de equil´ıbrio e compatibilidade restritivas para
materiais incompress´ıveis no regime el´astico.
Barbone e Gokhale (2004) mencionam ainda que para um ´unico campo de deslo-
camento exige-se uma grande quantidade de informa¸c˜oes relacionadas ao pr´oprio m´odulo
de elasticidade ao cisalhamento. O conhecimento de tais informa¸c˜oes a priori no problema
inverso poderia permitir ent˜ao que apenas um ´unico campo de deslocamentos viesse a ser
suficiente para determinar a solu¸c˜ao de forma ´unica (BARBONE; BAMBER, 2002). Por´em,
na pr´atica do diagn´ostico por imagem prescrever as duas fun¸c˜oes arbitr´arias, f(x) e g(y),
obtidas da solu¸c˜ao geral no caso de um ´unico campo de deslocamentos n˜ao ´e fact´ıvel.
Barbone e Oberai (2007) consideram alguns problemas de identifica¸c˜ao dos parˆa-
metros de Lam´e, fornecendo a solu¸c˜ao exata para o caso compress´ıvel. Foram considerados
problemas, por exemplo, em que o parˆametro de Lam´e λ ´e conhecido a priori e µ ´e
determinado de um ´unico campo de deforma¸c˜ao a menos de uma constante. Quando λ →
∞ tem-se a instabilidade dos resultados com erros muito amplificados na determina¸c˜ao
de µ; mais precisamente, o valor do erro pode implicar em µ multiplicado por um fator
de 1000 (mil) vezes o valor de referˆencia. O valor de referˆencia ´e o valor da propriedade
el´astica conhecido no problema direto.
Outro exemplo foi trocar λ, conhecido a priori, por µ, e da´ı determinar λ de
um ´unico campo de deforma¸c˜ao, o que resultou na determina¸c˜ao de λ a menos de uma
constante. Finalmente, Barbone e Oberai (2007) consideram o caso em que nenhum
destes dois parˆametros s˜ao conhecidos a priori, por´em sabe-se o coeficiente de Poisson, ν,
e pede-se que sejam determinados µ e λ de um ´unico campo de deforma¸c˜ao. Novamente
os resultados da determina¸c˜ao de µ e λ s˜ao dependentes de uma constante quando se
utiliza um ´unico campo de deslocamento. Todas as considera¸c˜oes neste trabalho sup˜oem
conhecida a densidade com os deslocamentos dependentes do tempo.
Park e Maniatty (2006) apresentam um procedimento para a determina¸c˜ao do
m´odulo de elasticidade ao cisalhamento que utiliza o M´etodo dos Elementos Finitos, sem
recorrer a processos iterativos, em que o corpo ´e submetido a for¸cas dinˆamicas. Utilizou-
se neste trabalho um ´unico ensaio dinˆamico. A abordagem do trabalho ´e computacional.
Pode-se citar como um exemplo de processo iterativo para a busca de µ o trabalho desen-
volvido por Doyley, Meaney e Bamber (2000).
Em Park e Maniatty (2006), fez-se o experimento de cisalhamento com um ´unico
10
pulso de excita¸c˜ao de baixa freq¨uˆencia utilizado para estimular o tecido, medindo-se os
campos de deslocamento a partir de um sistema de ultra-som de alta velocidade. O experi-
mento de cisalhamento ´e realizado engastando-se a base do corpo cuja sec¸c˜ao transversal
do s´olido ´e um quadrado de 50 mm de lado. Aplicam-se for¸cas tangenciais na borda
superior com amplitudes m´aximas de 1 mm. As bordas laterais s˜ao mantidas livres de
carregamento. O corpo se encontra em estado plano de deforma¸c˜oes.
O algoritmo desenvolvido por Park e Maniatty (2006) ´e testado e simulado com o
uso de uma malha de elementos finitos muito refinada que fornece para o problema direto
dados que est˜ao pr´oximos da solu¸c˜ao exata. Assim, o problema inverso que ´e resolvido
com uma malha mais grosseira, mas tamb´em regular, utiliza os deslocamentos obtidos nos
pontos coincidentes da malha refinada. Os autores adicionam ru´ıdo para que se verifique
a validade do procedimento em uma situa¸c˜ao real, a qual est´a sujeita a erros de medidas
nos campos de deslocamento.
Este estudo apresentado por Park e Maniatty (2006) pretende tamb´em mostrar a
importˆancia de se considerar os termos de press˜ao hidrost´atica, os quais s˜ao desprezados
em diversos trabalhos como, por exemplo, em Oliphant et al. (2001). Nestes trabalhos,
para desprezar os termos de press˜ao a justificativa ´e que estes termos est˜ao associados
com as ondas longitudinais (compress˜ao) que possuem comprimento muito grande quando
comparadas com as ondas de cisalhamento. No entanto, esta justificativa ´e v´alida somente
para meios homogˆeneos e n˜ao se aplica aos meios heterogˆeneos como, por exemplo, os
tecido moles.
O problema de identifica¸c˜ao de parˆametros em Park e Maniatty (2006) ´e resolvido
como um problema de otimiza¸c˜ao. Foi escolhido o m´etodo de m´ınimos quadrados para
obter a solu¸c˜ao ´otima entre os deslocamentos calculados e os medidos experimentalmente.
Estes autores mencionam, no entanto, que os parˆametros de pondera¸c˜ao da fun¸c˜ao campo
de deslocamento a ser minimizada podem n˜ao ser ´otimos e que seriam investigados pos-
teriormente. No entanto, bons resultados s˜ao obtidos para µ quando comparados com a
literatura e mostram n˜ao s´o o efeito do ru´ıdo na reconstru¸c˜ao do m´odulo el´astico, mas
que µ dependente da ´area da inclus˜ao e de sua rigidez em rela¸c˜ao `a rigidez do meio cir-
cundante. Mostra-se tamb´em neste trabalho a necessidade de se considerar os termos de
press˜ao.
Park e Maniatty (2006) discutem ainda o fato de que regi˜oes situadas imediata-
mente atr´as da inclus˜ao n˜ao s˜ao bem detectadas quando se utilizam os m´etodos baseados
nas equa¸c˜oes de Helmholtz, sendo t´ıpico encontrar nos resultados para estas regi˜oes um
11
grande ru´ıdo. N˜ao obstante, a reconstru¸c˜ao do m´odulo el´astico com o uso de filtros espe-
ciais para dados coletados das medi¸c˜oes podem provocar a perda da detectabilidade de
inclus˜oes atr´as de outras inclus˜oes. Por este motivo, os autores n˜ao utilizaram filtro de
regulariza¸c˜ao para os dados. Park e Maniatty (2006) afirmam ainda que as equa¸c˜oes de
Helmoholtz n˜ao s˜ao boas aproxima¸c˜oes nestas regi˜oes devido `a heterogeneidade.
O algoritmo desenvolvido por Park e Maniatty (2006) tem a necessidade da dife-
renciabilidade do campo de deslocamento. Neste algoritmo requer-se as trˆes componentes
do campo de deslocamento e tamb´em seus gradientes por se tratar de um m´etodo de
invers˜ao direta.
Fran¸ca (2007) apresenta uma formula¸c˜ao inversa para resolver o problema de
determina¸c˜ao de µ em inclus˜oes circulares para um material el´astico-linear e istotr´opico.
Ao corpo ´e aplicado um carregamento quase-est´atico em tens˜ao plana levando-o a adquirir
uma configura¸c˜ao deformada com um campo de deslocamentos axiais associado. O campo
de deslocamento obtido ´e ent˜ao regularizado com a utiliza¸c˜ao de fun¸c˜oes de penaliza¸c˜ao
e de regulariza¸c˜ao de Tikhonov. O processo de invers˜ao empregado para obter µ na
inclus˜ao ap´os a regulariza¸c˜ao ´e iterativo utilizando-se o algor´ıtmo de Levenberg-Marquardt
e informa¸c˜oes a priori a cerca dos parˆametros el´asticos. Destaca-se que o m´odulo de
elasticidade ao cisalhamento na matriz ´e conhecido a priori para solu¸c˜ao do problema
inverso. Tamb´em s˜ao obtidas solu¸c˜oes com o m´etodo de invers˜ao estat´ıstica, sendo que
para obter µ utiliza-se o algor´ıtmo de Metropolis-Hastings. Os resultados obtidos s˜ao
considerados bons quando comparados com os resultados da literatura.
Com rela¸c˜ao aos m´etodos expl´ıcitos, ou, de invers˜ao direta, em sua maioria n˜ao
s˜ao m´etodos gerais, existindo mais um interesse acadˆemico do que um esquema meto-
dol´ogico geral a ser seguido (CAMPOS VELHO, 2002; KIRSCH, 1996; ENGL; HANKE; NEU-
BAUER, 2000; RAMM, 2005; SILVA NETO; MOURA NETO, 2005; LIU; HAN, 2003). Ge-
ralmente estes m´etodos de invers˜ao direta s˜ao sens´ıveis a erros nas medi¸c˜oes dos dados.
Portanto, em se tratando de dados experimentais opta-se por m´etodos de regulariza¸c˜ao
e suaviza¸c˜ao consagrados na literatura a fim de reduzir o mal comportamento das ma-
trizes geradas para a invers˜ao, citando-se, como exemplo, o m´etodo de regulariza¸c˜ao de
Tikhonov, filtro Tikhonov, m´etodos de molifica¸c˜ao, etc.
12
13
3 Conceitos B´asicos da Mecˆanica
Nesta se¸c˜ao apresentam-se os conceitos b´asicos de cinem´atica, for¸ca, rela¸c˜oes
constitutivas e leis de balan¸co, os quais ser˜ao aplicados na determina¸c˜ao de parˆametros
el´asticos. Maiores detalhes sobre a teoria podem ser encontrados em Gurtin (1981) e
Aguiar e Fosdick (1993).
3.1 Cinem´atica
Seja B uma regi˜ao regular e compacta em R
3
e seja X um ponto material perten-
cente a B. Uma deforma¸c˜ao de B ´e um mapeamento suave y : B → R
3
com det ∇y > 0,
onde ∇(•) = ∂(•)/∂X. O ponto x = y(X) ´e o lugar ocupado por X na deforma¸c˜ao y,
conforme ilustrado na Fig. 1.
Figura 1: As configura¸c˜oes de referˆencia e deformada de um corpo B.
14
O campo
F = ∇y (3.1)
´e um membro do conjunto Lin de todas as transforma¸c˜oes lineares de R
3
em R
3
e ´e
conhecido como o gradiente de deforma¸c˜ao; se P ´e uma parte de B com dimens˜oes infi-
nitesimais, ent˜ao det F ´e a raz˜ao entre o volume de y(B) e o volume de P e representa o
valor local da dilata¸c˜ao volum´etrica de B. A deforma¸c˜ao ´e isoc´orica se
det F − 1 = 0. (3.2)
Em aplica¸c˜oes, ´e conveniente trabalhar com o tensor de deforma¸c˜ao de Cauchy-
Green `a direita, definido por
C = F
T
F. (3.3)
Segue de (3.2) e (3.3) que deforma¸c˜oes isoc´oricas satisfazem
det C − 1 = 0. (3.4)
Em termos do campo de deslocamento u : B → R
3
, definido pela rela¸c˜ao
u = y − X (3.5)
e ilustrado na Fig. 2, obt´em-se de (3.1), (3.3) e (3.5) que
C − 1 = (∇u)
T
+ ∇u + (∇u)
T
∇u, (3.6)
onde 1 ∈ Lin ´e o tensor identidade. Esta diferen¸ca ´e uma medida do desvio de forma entre
uma dada deforma¸c˜ao e uma deforma¸c˜ao de corpo r´ıgido, para a qual C = 1. Devido a
isto, ´e comum introduzir o tensor deforma¸c˜ao de Green-Saint Venant
E =
1
2
(C − 1). (3.7)
15
Figura 2: Deforma¸c˜ao de um corpo.
Assumindo pequenas deforma¸c˜oes, segue de (3.6) e (3.7) que
E = ∇
s
u + O(|∇
s
u|
2
), (3.8)
onde
∇
s
u =
1
2
(∇u)
T
+ ∇u
, (3.9)
´e a parte sim´etrica do tensor ∇u e O(·) ´e um s´ımbolo de ordem que satisfaz lim
ε→0
O(ε
2
)
ε
2
<
∞. Na teoria de elasticidade linear, despreza-se o termo de ordem superior em (3.8).
Agora, seja (e
1
, e
2
, e
3
) uma base ortonormal associada a um sistema de co-
ordenadas cartesianas retangulares com origem em O (sistema CCR), conforme ilus-
trado na Fig. 2. Neste sistema de coordenadas, X = X
i
e
i
e x = x
i
e
i
, onde X
i
e x
i
,
i = 1, 2, 3, s˜ao as componentes de X e x, respectivamente. Uma vez que x = y(X),
tem-se ent˜ao que x
i
= y
i
(X
1
, X
2
, X
3
), onde y
i
= y · e
i
, i = 1, 2, 3. Al´em disso, u = u
i
e
i
e
∇
s
u = ε
ij
e
i
⊗e
j
, onde
1
2
(
∂u
i
∂X
j
+
∂u
j
∂X
i
) = ε
ij
s˜ao as componentes de deforma¸c˜ao infinitesimal
e (e
i
⊗ e
j
)e
k
= δ
jk
e
i
, i, j, k = 1, 2, 3, define o produto tensorial entre e
i
e e
j
.
16
3.2 For¸ca e Tens˜ao
For¸cas representam a a¸c˜ao de um corpo sobre o outro. Esta a¸c˜ao pode se mani-
festar por contato entre partes de um corpo, ou, entre um corpo e o meio exterior a este.
Aqui, consideram-se trˆes tipos de for¸ca, a saber:
i) for¸cas de contato entre partes distintas de um corpo;
ii) for¸cas de contato exercidas sobre o contorno de um corpo pelo meio ex-
terior a este;
iii) for¸cas de corpo exercidas sobre todos os pontos de um corpo pelo meio
exterior, tais como a for¸ca gravitacional da Terra.
As for¸cas de contato i) e ii) s˜ao tamb´em chamadas for¸cas de superf´ıcie internas
e externas, respectivamente, pois s˜ao transmitidas atrav´es de uma superf´ıcie de contato.
Seja x um ponto arbitr´ario no interior de y(B) e seja S um plano contendo x e
que divide y(B) nas partes y(B
1
) e y(B
2
), conforme ilustrado na Fig. 3.a. Na superf´ıcie
da face plana que pertence a y(B
1
) atuam for¸cas de contato internas que correspondem `a
a¸c˜ao da parte y(B
2
) sobre a parte y(B
1
). Seja n o vetor normal unit´ario exterior `a face
plana e seja ∆F a resultante no ponto x da for¸ca de contato que atua em uma superf´ıcie
de ´area ∆A ao redor do ponto x. A express˜ao
t = lim
∆A→0
∆F
∆A
define o vetor tens˜ao t no ponto x.
Pela hip´otese de Cauchy (GURTIN, 1981), o vetor tens˜ao ´e independente da su-
perf´ıcie que passa pelo ponto x, desde que a normal a esta superf´ıcie seja a mesma normal
em x do plano S e que a superf´ıcie seja suave no ponto x. Assume-se, portanto, que
t = t (x, n) . (3.10)
Por outro lado, as for¸cas de corpo, medidas por unidade de volume em x ∈ y(B),
s˜ao representadas pelo mapeamento b : y(B) → R
3
, onde x → b(x) ´e cont´ınuo.
Assume-se que t e b est˜ao consistentes com o balan¸co de momentum linear
17
Figura 3: Plano S seccionando corpo deformado.
∂y(P )
t (n) dS +
y(P)
b dV = 0, (3.11)
onde P ´e uma parte arbitr´aria de B e y(P) est´a em equil´ıbrio, e com o balan¸co de momento
de momentum linear
∂y(P )
r ∧ t (n) dS +
y(P)
r ∧ b dV = 0, (3.12)
onde “∧” denota o produto vetorial. Apesar de existir a dependˆencia expl´ıcita em x de
t, b e r nas express˜oes (3.11) e (3.12), esta foi omitida.
As leis de balan¸co (3.11) e (3.12), juntamente com a hip´otese de Cauchy (3.10),
garantem a existˆencia de um campo tensorial suave e sim´etrico T, o tensor tens˜ao de
Cauchy, tal que
t (x, n) = T (x) n (3.13)
para todo versor n e para qualquer ponto x ∈ y(B).
Substituindo (3.13) nas leis de balan¸co (3.11) e (3.12), utilizando o teorema da
divergˆencia e considerando P arbitr´ario para que se fa¸ca uso do teorema da localiza¸c˜ao
(GURTIN, 1981), pode-se mostrar que
18
T = T
T
e
div T (x) + b (x) = 0 para todo x ∈ y (B) . (3.14)
Um procedimento alternativo comumente empregado em engenharia, (TIMOSHENKO;
GOODIER, 1980), para obter as express˜oes (3.13) e (3.14) ´e apresentado no Apˆendice A.
3.3 Elasticidade Linear Cl´assica
Assume-se que na configura¸c˜ao n˜ao deformada, y(X) = X para todo X em B, a
tens˜ao residual ´e nula, ou seja, T = 0. Neste caso e considerando a teoria de pequenas
deforma¸c˜oes, pode-se considerar que todas as grandezas dependem de X (ao inv´es de
x = y(X)).
Em particular, reescreve-se (3.13) na forma
t (X, n) = T (X) n, ∀ X ∈ B (3.15)
e considera-se que a equa¸c˜ao de equil´ıbrio (3.14) ´e satisfeita em B, ou seja,
div T(X) + b(X) = 0, ∀ X ∈ B. (3.16)
No sistema CCR, X =
3
i=1
X
i
e
i
e a equa¸c˜ao vetorial 3.16 ´e reescrita em termos de suas
componentes, dadas por
3
j=1
∂T
ij
∂X
j
+ b
i
= 0, em B, i = 1, 2, 3. (3.17)
Al´em disso, segue de (3.4) juntamente com (3.7) que deforma¸c˜oes isoc´oricas sa-
tisfazem
tr E = 0, (3.18)
onde, aqui,
19
E = ∇
s
u, (3.19)
´e o tensor deforma¸c˜ao infinitesimal, o qual ´e obtido de (3.7) juntamente com (3.6) ao se
desprezar termos de ordem superior, O(|∇u|
2
).
Um corpo incompress´ıvel oferece uma resistˆencia interna infinita a mudan¸cas
locais de volume ao ser deformado. Para um material el´astico-linear e isotr´opico, a rela¸c˜ao
constitutiva de um corpo incompress´ıvel ´e dada por
T = −π1 + 2 µ(X)∇
s
u, (3.20)
onde µ : B → R ´e o m´odulo de elasticidade ao cisalhamento. A dependˆencia expl´ıcita de µ
em X na rela¸c˜ao (3.20) representa uma poss´ıvel heterogeneidade material. Para tal corpo,
qualquer campo de deslocamento deve satisfazer a restri¸c˜ao de dilata¸c˜ao volum´etrica nula,
dada por
tr ∇
s
u ≡ div u = 0 (3.21)
a qual foi obtida de (3.18) juntamente com (3.19). A tens˜ao de Cauchy ´e ent˜ao determi-
nada do campo de deslocamento e do tensor esf´erico arbitr´ario −π1, onde π ´e chamado
parte reativa de T, ou tamb´em, press˜ao reativa.
3.4 O Problema Direto para a Determina¸c˜ao do Deslocamento
Na Se¸c˜ao 3.4.1 considera-se o problema direto, o qual consiste em determinar os
campos de deslocamento u: B → R
2
e de press˜ao π: B → R que satisfa¸cam ambas, a res-
tri¸c˜ao cinem´atica (3.21) e a equa¸c˜ao de equil´ıbrio (3.26), onde µ ´e conhecido, juntamente
com as condi¸c˜oes de contorno (3.23).
Adianta-se que o problema inverso tratado na Se¸c˜ao 4.4 consiste em determinar
o m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ : B → R e o campo de press˜ao π : B → R
que satisfa¸cam a equa¸c˜ao de equil´ıbrio (3.26), onde u ´e conhecido. Obviamente, o termo
∇
s
u satisfaz a restri¸c˜ao cinem´atica (3.18) e u satisfaz a condi¸c˜ao (3.23.b). Assume-se, no
entanto, que a condi¸c˜ao de contorno (3.23.a) n˜ao ´e conhecida.
Na Se¸c˜ao 3.4.2 apresenta-se uma formula¸c˜ao integral do problema direto que per-
mite introduzir na Se¸c˜ao 6 uma formula¸c˜ao num´erica baseada no M´etodo dos Elementos
20
Finitos para o c´alculo aproximado dos campos u e π.
3.4.1 Formula¸c˜ao Forte
Deseja-se resolver a equa¸c˜ao diferencial parcial
div T + b = 0 em B (3.22)
juntamente com condi¸c˜oes de contorno da forma
Tn = g sobre Γ
g
,
u = ¯u sobre Γ
u
,
(3.23)
onde n ´e a normal exterior a Γ
g
e ambos Γ
g
e Γ
u
s˜ao partes regulares do contorno de B,
∂B, tal que
∂B = Γ
g
∪ Γ
u
, ∅ =
o
Γ
g
∩
o
Γ
u
. (3.24)
O c´ırculo acima de Γ denota conjunto aberto. Lembra-se da Se¸c˜ao 3.3 que na teoria de
Elasticidade Linear Cl´assica todas as grandezas envolvidas est˜ao definidas na configura¸c˜ao
n˜ao deformada B.
Por simplicidade, assume-se que b = 0. Se Γ
u
= 0, ent˜ao g deve satisfazer a
condi¸c˜ao de equil´ıbrio global
∂B
g dA = 0, (3.25)
a qual ´e necess´aria para a existˆencia de solu¸c˜oes.
No caso de material isotr´opico e incompress´ıvel, lembra-se da Se¸c˜ao 3.3 que a
rela¸c˜ao constitutiva ´e dada por (3.20) e que o campo de deslocamento deve satisfazer a
restri¸c˜ao (3.21).
Substituindo a express˜ao (3.20) na equa¸c˜ao de equil´ıbrio (3.22), sem b, e na
condi¸c˜ao de contorno (3.23.a), obt´em-se o problema de achar o campo de deslocamento
u : B → R
3
e o campo de press˜ao π : B → R que satisfa¸cam as equa¸c˜oes (3.21) e
−∇π + 2 div (µ ∇
s
u) = 0 em B,
(3.26)
21
juntamente com as condi¸c˜oes de contorno
−πn + 2 µ (∇
s
u) n = g sobre Γ
g
,
u = ¯u sobre Γ
u
.
(3.27)
A formula¸c˜ao acima ´e chamada formula¸c˜ao forte (HUGHES, 1987).
Neste trabalho, o corpo est´a em estado plano de deforma¸c˜ao paralelo ao plano
X
1
X
2
em um sitema C.C.R. (X
1
, X
2
, X
3
), de modo que as componentes de u neste sistema
de coordenadas s˜ao dadas por
u
i
= u
i
(X
1
, X
2
), i = 1, 2, u
3
= 0. (3.28)
Al´em disso, o corpo B ´e uma regi˜ao regular em R
2
, com Γ
g
e Γ
u
denotando novamente
partes complementares do contorno ∂B.
O problema de valor de contorno associado ao estado plano de deforma¸c˜ao do
corpo consiste em achar u : B → R
2
e π : B → R que satisfa¸cam as equa¸c˜oes diferenciais
(3.26) juntamente com as condi¸c˜oes de contorno (3.27).
Na pr´oxima se¸c˜ao apresenta-se uma formula¸c˜ao integral do problema direto que
permite construir um procedimento num´erico simples e eficiente para o c´alculo de u na
Se¸c˜ao 6.2.
3.4.2 Formula¸c˜ao Fraca
Seja agora L
2
(B) o conjunto de todas as fun¸c˜oes quadrado-integr´aveis, ou seja,
L
2
(B) = {ϕ : B → R; |ϕ|
0
< ∞}, (3.29)
onde a norma |•|
0
´e dada por
|ϕ|
0
B
|ϕ|
2
dA
1
2
≡ [(ϕ, ϕ)
0
]
1
2
. (3.30)
Seja (H
1
(B))
2
um espa¸co de Hilbert definido por
(H
1
(B))
2
= {v : B → R
2
; v
1
< ∞}, (3.31)
22
onde a norma •
1
e a semi-norma |•|
1
s˜ao dadas por
v
1
B
(v · v + ∇v · ∇v) dA
1
2
≡ (v, v)
1
2
1
, (3.32)
|v|
1
B
(∇v · ∇v) dA
1
2
, (3.33)
respectivamente.
Seja u ∈ (H
1
(B))
2
um deslocamento cinematicamente admiss´ıvel, de modo que
u = ¯u sobre Γ
u
, e seja v : B → R
2
uma fun¸c˜ao vetorial que satisfa¸ca v = 0 sobre Γ
u
.
Sejam tamb´em A o conjunto de todos os deslocamentos admiss´ıveis e V o conjunto de
todas as varia¸c˜oes admiss´ıveis.
Utilizam-se estas defini¸c˜oes para obter a forma integral das equa¸c˜oes (3.26) no
caso plano. Para isto, toma-se o produto interno da equa¸c˜ao (3.26.a) com um elemento
arbitr´ario v ∈ V, integra-se sobre B ⊂ R
2
e aplica-se o teorema da divergˆencia sobre a
equa¸c˜ao resultante, lembrando que ∇π = div(π1) e que Tn = g sobre Γ
g
. Multiplica-se
tamb´em a equa¸c˜ao (3.26.b) por um elemento arbitr´ario p ∈ L
2
(B) e integra-se a equa¸c˜ao
resultante sobre B ⊂ R
2
.
O problema de valor de contorno pode ent˜ao ser reformulado como segue: Achar
u ∈ A e π ∈ L
2
(B) tal que
a (u, v) − b (π, v) = (g, v) , ∀v ∈ V,
b (p, u) = 0, ∀p ∈ L
2
(B) ,
(3.34)
onde
a (u, v) = 2
B
µ ∇
s
u · ∇
s
v dA,
b (π, u) =
B
π tr∇
s
u dA.
(3.35)
A formula¸c˜ao acima ´e chamada formula¸c˜ao fraca (HUGHES, 1987).
Introduz-se agora uma formula¸c˜ao alternativa de (3.34) juntamente com (3.35)
que fornece um procedimento num´erico simples e eficiente para o c´alculo aproximado de
u e π. Para isto, seja
23
c(π, p) =
1
2
B
π p dA. (3.36)
Para ε > 0, considere o problema de achar u
ε
∈ S e π
ε
∈ L
2
(B) tal que
a (u
ε
, v) − b (π
ε
, v) = (g, v) , ∀ v ∈ V,
εc(π
ε
, p) + b (p, u
ε
) = 0 ∀ p ∈ L
2
(B) .
(3.37)
Uma vez que p ´e arbitr´ario, pode-se resolver a segunda equa¸c˜ao para π
ε
e substitu´ı-lo na
primeira equa¸c˜ao. Obt´em-se assim o problema de achar u
ε
∈ S tal que
a (u
ε
, v) −
ˆ
b (u
ε
, v) = (g, v) , ∀v ∈ V, (3.38)
onde
ˆ
b (u
ε
, v) =
2
ε
B
(tr ∇
s
u
ε
)(tr ∇
s
v) dA. (3.39)
A formula¸c˜ao deste problema ´e equivalente `a formula¸c˜ao fraca do problema de valor de
contorno para um material el´astico-linear compress´ıvel, para o qual
T = λ divu 1 + 2 µ ∇
s
u, (3.40)
onde λ e µ s˜ao as constantes de Lam´e, sendo que λ ´e tomado constante e igual a 2 ε
−1
neste trabalho.
´
E bem conhecido da teoria de elasticidade linear cl´assica que para ε > 0
e µ > 0 o problema de achar ambos u
ε
∈ S que satisfa¸ca (3.38) juntamente com (3.39)
e π
ε
∈ L
2
(B) que satisfa¸ca (3.37.b) tem uma ´unica solu¸c˜ao que converge para a solu¸c˜ao
(u, π) de (3.34) juntamente com (3.35) `a medida que ε → 0.
No caso especial de µ constante e da condi¸c˜ao de contorno na forma u = 0 sobre
Γ
u
, ´e poss´ıvel obter a seguinte estimativa de erro para ε pequeno:
u − u
ε
0
α
1
ε,
π − π
ε
0
α
2
ε,
(3.41)
onde α
1
, α
2
s˜ao constantes positivas que n˜ao dependem de ε, (veja, por exemplo, Mer-
cier (1979)). As estimativas (3.41) verificam-se essencialmente porque as duas condi¸c˜oes
abaixo s˜ao satisfeitas:
24
a (v, v) +
ˆ
b (v, v) 2 µ v
2
1
, ∀v ∈ V,
inf
p ∈ L
2
(B)
sup
v ∈ V
ˆ
b (v, v)
v
1
p
0
β,
(3.42)
onde β ´e uma constante positiva independente de ε. A condi¸c˜ao (3.42.b) ´e conhecida
como a condi¸c˜ao LBB (HUGHES, 1987).
25
4 Problemas Inversos
Este cap´ıtulo apresenta conceitos gerais de problemas inversos e algumas clas-
sifica¸c˜oes para situar o leitor no contexto do estudo de problemas de determina¸c˜ao de
parˆametros, os quais pertencem a uma classe de problemas inversos.
4.1 Considera¸c˜oes Gerais
A distin¸c˜ao entre o que seja um problema direto, ou, inverso para um dado
fenˆomeno est´a ligada `a nossa interpreta¸c˜ao de causa e efeito (CAMPOS VELHO, 2002).
Segundo este autor, ´e atribu´ıdo a O. M. Alifanov, proeminente pesquisador russo na
´area de problemas inversos, a afirma¸c˜ao “a solu¸c˜ao de um problema inverso consiste em
determinar causas baseado na observa¸c˜ao dos seus efeitos”.
Do ponto de vista pr´atico, convenciona-se chamar problema direto `aquele em que
o estudo antecedeu-se historicamente. Tal ambig¨uidade sobre a defini¸c˜ao de problema
direto, ou, inverso pode ser exemplificada do seguinte modo: Se o modelo direto ´e expresso
por Au = f, o modelo inverso pode ser representado por A
−1
f = u. Por outro lado,
definindo-se B ≡ A
−1
, o problema direto ´e representado por Bf = u, enquanto que
o problema inverso ´e representado por B
−1
u = f. Logo, qual ´e o problema inverso?
(CAMPOS VELHO, 2002).
O termo problema inverso, PI, deve-se ao astrof´ısico georgiano V. A. Ambart-
sumian (CAMPOS VELHO, 2002). No entanto, Engl, Hanke e Neubauer (2000) fornecem
uma defini¸c˜ao bastante abrangente dizendo que resolver um problema inverso ´e determinar
causas desconhecidas a partir de efeitos desejados, ou, observados, devendo-se notar ainda
que a ´area de projeto ´otimo, ou, projeto inverso tamb´em est´a inclu´ıda nesta defini¸c˜ao.
Deve-se atentar para o fato de que, em geral, as observa¸c˜oes s˜ao imprecisas (da-
dos contaminados com ru´ıdos, ou, erros experimentais) e incompletas. Diferentemente,
problemas diretos requerem um conhecimento completo das causas para a determina¸c˜ao
26
dos efeitos (CAMPOS VELHO, 2002).
Tamb´em ´e preciso ter em mente que causas, em um modelo matem´atico, s˜ao
as condi¸c˜oes iniciais e de contorno, termos de fontes, ou, sumidouro e propriedades do
sistema analisado. Efeitos s˜ao as propriedades calculadas a partir de um modelo direto,
como o campo de temperatura, concentra¸c˜ao, corrente el´etrica, etc.
Matematicamente, problemas inversos pertencem `a classe de problemas mal-
postos. Segundo Hadamard (1952), um problema bem-posto satisfaz as trˆes propriedades
abaixo:
1.Existˆencia de solu¸c˜ao;
2.Unicidade de solu¸c˜ao;
3.Estabilidade da solu¸c˜ao, ou seja, a solu¸c˜ao tem uma dependˆencia cont´ınua (suave)
com os dados de entrada.
Logo, o problema ´e dito mal-posto se alguma das condi¸c˜oes acima n˜ao ´e satisfeita.
Problemas discretos e finitos s˜ao chamados mal-condicionados, se a condi¸c˜ao (3) n˜ao se
cumpre (SILVA NETO; MOURA NETO, 2005). Em geral, um problema inverso n˜ao satisfaz
a nenhuma das condi¸c˜oes de Hadamard; maiores detalhes em Kirsch (1996), Morozov
(1984), Romanov (1987), Tikhonov (1977) e Tikhonov e Goncharskis (1987).
O requerimento de estabilidade ´e importante. Se um problema n˜ao ´e est´avel,
ent˜ao ´e praticamente imposs´ıvel calcular a solu¸c˜ao porque uma medida ou c´alculo num´erico
´e polu´ıdo por um erro inevit´avel: os dados do problema sempre ser˜ao perturbados por
sinais aleat´orios. Se a solu¸c˜ao de um problema n˜ao depende continuamente dos dados,
ent˜ao, em geral, a solu¸c˜ao computada n˜ao tem semelhan¸ca com a solu¸c˜ao real (KIRSCH,
1996).
Se n˜ao for poss´ıvel obter as informa¸c˜oes que possibilitaram o c´alculo dos dados
no problema direto e que servir˜ao de entrada no problema inverso, ent˜ao n˜ao existe meio
para gerar esta informa¸c˜ao perdida.
Sendo assim, as condi¸c˜oes envolvidas na solu¸c˜ao de um problema inverso depen-
dem de informa¸c˜oes a respeito da existˆencia de solu¸c˜ao, a estabilidade desta e a unicidade.
Neste contexto, a falta de informa¸c˜ao para obten¸c˜ao da solu¸c˜ao de um problema inverso
n˜ao pode ser remediada com a utiliza¸c˜ao de um “artif´ıcio” matem´atico (KIRSCH, 1996).
27
Exemplos simples podem ser usados para ilustrar os conceitos acima mencionados.
Por exemplo, considere a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do 1
o
grau:
2x − 8 = 0.
O problema (direto) alg´ebrico acima tem a solu¸c˜ao ´unica x = 4. O problema
alg´ebrico inverso relativo `a equa¸c˜ao anterior pode ser expresso por
ax + b = 0
onde a e b s˜ao coeficientes a determinar quando x = 4. No caso deste problema inverso a
solu¸c˜ao n˜ao ´e ´unica.
O problema de estabilidade ´e exemplificado por uma equa¸c˜ao alg´ebrica do 2
o
grau:
ax
2
− 2x + 1 = 0. (4.1)
Se a = 1, a equa¸c˜ao polinomial (4.1) possui a raiz dupla x = 1. Introduzindo um erro
de 1% no coeficiente a, de modo que a = 1, 01, as ra´ızes da equa¸c˜ao (4.1) s˜ao dadas por
x
1
= 1 + 0, 1 i e x
2
= 1 −0, 1 i, sendo i a unidade dos n´umeros imagin´arios. Ou seja, com
1% de ru´ıdo em a, a equa¸c˜ao (4.1) n˜ao tem mais solu¸c˜ao no campo dos n´umero reais.
Mesmo apresentando um franco desenvolvimento, a ´area de estudo de problemas
inversos ´e um cap´ıtulo recente na ciˆencia. H´a leg´ıtimos problemas inversos que n˜ao eram
reconhecidos como tal. Contudo, existem v´arias outras ´areas da ciˆencia que est˜ao correla-
cionadas com esta nova ´area, seja pela natureza do objetivo de estudo, seja pelo ponto de
vista metodol´ogico (CAMPOS VELHO, 2002). A lista a seguir apresenta as ´areas correlatas
aos problemas inversos:
1.Identifica¸c˜ao de Sistemas;
2.Controle
´
Otimo em Sistemas Estoc´asticos;
3.
´
Algebra Linear Computacional em Problemas de Posto Incompleto;
4.Reconstru¸c˜ao de Imagens;
5.Teoria de Filtragem;
28
6.Assimila¸c˜ao/Inicia¸c˜ao de Dados;
7.Teoria de Estima¸c˜ao.
Quanto ao tipo de causa a ser determinada, esta pode ser usada para classificar
os problemas inversos (CAMPOS VELHO, 2002). Estas classifica¸c˜oes ser˜ao apresentadas
nas Se¸c˜oes 4.1.1 e 4.2.
4.1.1 Exemplos de Problemas Inversos em Elasticidade Linear Cl´assica
Comenta-se a seguir dois problemas inversos em engenharia estrutural, salien-
tando pontos relevantes do problema direto e do problema inverso no contexto da elasti-
cidade linear cl´assica.
Considere o caso de uma barra composta por dois materiais, conforme ilustrado
na Fig. 4, na qual pode-se observar na extremidade esquerda a vincula¸c˜ao que impede
os deslocamentos nas dire¸c˜oes X
1
e X
2
e a rota¸c˜ao no plano X
1
X
2
em torno do ponto
1. Na extremidade direita, a barra n˜ao sofre restri¸c˜oes em deslocamentos. Note ainda
que o ponto 2 representa uma sec¸c˜ao transversal que divide a barra em duas partes com
propriedades materiais e geom´etricas distintas entre si.
Para este exemplo, surgem diversas condi¸c˜oes no que diz respeito ao conhecimento
dos dados a priori, resultando em diferentes tipos de sistemas classificados com rela¸c˜ao
ao n´umero de inc´ognitas a resolver e o n´umero de equa¸c˜oes dispon´ıveis na solu¸c˜ao do
problema inverso.
Estes casos encontram-se na Tab. 1. Nesta tabela, os dados est˜ao dispostos
do seguinte modo: Na primeira coluna no lado esquerdo da tabela encontram-se casos
relativos `a Fig. 4; as demais colunas contˆem os dados dispon´ıveis e os dados que se desejam
calcular para cada caso. Na primeira linha encontram-se os dados para o problema direto,
o qual corresponde ao primeiro caso. As demais linhas contˆem os casos de problemas
inversos.
Para exemplificar dois casos da Tab. 1, ser´a utilizado a seguir o M´etodo dos
Elementos Finitos na solu¸c˜ao de problemas unidimensionais, sendo este explicado com
maiores detalhes na Se¸c˜ao 6.1. A inten¸c˜ao aqui ´e montar o sistema a ser resolvido e as
discuss˜oes geradas pelo conhecimento de um dado, ou, a falta deste, sem se preocupar com
o entendimento do m´etodo num´erico neste momento. Sendo assim, assuma as express˜oes
elementares para uma ´unica barra reta submetida `a for¸cas em suas extremidades como
29
segue:
k
i
−k
i
−k
i
k
i
u
j
u
j+1
=
f
j
f
j+1
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , (n + 1), (4.2)
onde
k
i
=
E
i
A
i
l
i
. (4.3)
Os sub´ındices i e j representam o n´umero de intervalos na barra e os pontos,
denominados n´os, que dividem os intervalos, respectivamente.
(2.21)
and
(2.22)
Details about the assembly of the matrices of the members can be found in
any FEM textbook (e.g., Liu and Quek, 2003).
Using the boundary condition, u
1
= 0, Equation 2.20 becomes
(2.23)
2.2.1 Forward Problem
First examine the conventional forward problem with the conditions given
in Table 2.1. Solving Equation 2.23 for the displacements gives
(2.24)
Using the first equation in Equation 2.20, the reaction force at node 1 is
found to be
(2.25)
FIGURE 2.3
A straight bar made of two uniform cross-sectional bar members clamped at node 1. The bar
is subjected to forces f
2
at node 2 and f
3
at node 3.
E
1
, A
1
, l
1
f
3
u
2
1 2
u
1
u
3
f
2
E
2
, A
2
, l
2
3
k
EA
l
1
11
1
=
k
EA
l
2
22
2
=
ˆˆ ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
kk k
kk
u
u
f
f
12 2
22
2
3
2
3
+−
−
=
u
u
kk k
kk
f
f
kk
k
kk
kk
f
f
k
2
3
12 2
22
1
2
3
11
1
12
12
2
3
1
11
1
1
=
+−
−
=
+
=
−
ˆˆ ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
fff
k
f
kk
k
f
23
1
2
12
2
3
1
+
()
+
+
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
fku ff
112 23
=− =− +
()
ˆ
ˆ
ˆˆ
© 2003 by CRC Press LLC
16
Figura 4: Barra reta engastada e composta de duas partes com propriedades materiais e
geom´etricas distintas.
Fonte: Liu e Han (2003).
As equa¸c˜oes governantes do sistema para a Fig. 4 s˜ao obtidas da montagem dos
dois membros da barra com o uso de (4.2) e (4.3). Para o caso discreto, obt´em-se
k
1
−k
1
0
−k
1
k
1
+ k
2
−k
2
0 −k
2
k
2
u
1
u
2
u
3
=
f
1
f
2
f
3
, (4.4)
onde
k
1
=
E
1
A
1
l
1
,
k
2
=
E
2
A
2
l
2
.
(4.5)
Utilizando a condi¸c˜ao de contorno u
1
= 0, pode-se reescrever (4.4) na forma
ˆ
k
1
+
ˆ
k
2
−
ˆ
k
2
−
ˆ
k
2
ˆ
k
2
u
2
u
3
=
ˆ
f
2
ˆ
f
3
. (4.6)
30
Tabela 1: Casos de problemas para uma barra composta por dois materiais
Casos
Condições
de
Contorno
Parâmetros
Geométricos
Parâmetros
da
Propriedade
do Material
Causas
Externas
(Forças)
Efeitos
(Deslocamentos,
Freqüência
Natural/Modos)
Problema Direto
u
1
= 0
A
1
= Â
1
, l
1
= l
1
A
2
= Â
2
, l
2
= l
2
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= Ê
2
f
2
= f
2
f
3
= f
3
u
2
= ?
u
3
= ?
Problema Inverso
Caso I-1
igual-posto
u
1
= 0
A
1
= Â
1
, l
1
= l
1
A
2
= Â
2
, l
2
= l
2
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= Ê
2
f
2
= ?
f
3
= ?
u
2
= û
2
u
3
= û
3
Problema Inverso
Caso I-2
sub-posto
u
1
= 0
A
1
= Â
1
, l
1
= l
1
A
2
= Â
2
, l
2
= l
2
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= Ê
2
f
2
= ?
f
3
= ?
u
3
= û
3
Problema Inverso
Caso II-1
igual-posto
u
1
= 0
A
1
= Â
1
, l
1
= l
1
A
2
= Â
2
, l
2
= l
2
Ê
1
= ?
Ê
2
= ?
f
2
= f
2
f
3
= f
3
u
2
= û
2
u
3
= û
3
Problema Inverso
Caso II-2
sobre-posto
u
1
= 0
A
1
= Â
1
, l
1
= l
1
A
2
= Â
2
, l
2
= l
2
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= ?
f
2
= f
2
f
3
= f
3
u
2
= û
2
u
3
= û
3
Problema Inverso
Caso III-1
igual-posto
u
1
= 0
A
1
= ? , l
1
= l
1
A
2
= ? , l
2
= l
2
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= Ê
2
f
2
= f
2
f
3
= f
3
u
2
= û
2
u
3
= û
3
Problema Inverso
Caso III-2
igual-posto
u
1
= 0
A
1
= Â
1
, l
1
= ?
A
2
= Â
2
, l
2
= ?
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= Ê
2
f
2
= f
2
f
3
= f
3
u
2
= û
2
u
3
= û
3
Problema Inverso
Caso IV-
igual-posto
u
1
= ?
f
1
= ?
A
1
= Â
1
, l
1
= l
1
A
2
= Â
2
, l
2
= l
2
Ê
1
= Ê
1
Ê
2
= Ê
2
f
2
= f
2
f
3
= f
3
u
2
= û
2
u
3
= û
3
Fonte: Adaptado de Liu e Han (2003).
31
O Problema Direto
Inicialmente, para a estrutura que se apresenta na Fig. 4, deve-se realizar uma
discuss˜ao elementar sobre a solu¸c˜ao do problema direto. Resolvendo a equa¸c˜ao (4.6) para
os deslocamentos dados e considerando as condi¸c˜oes presentes na Tab. 1, segue que
u
2
u
3
=
ˆ
k
1
+
ˆ
k
2
−
ˆ
k
2
−
ˆ
k
2
ˆ
k
2
−1
ˆ
f
2
ˆ
f
3
=
=
1
ˆ
k
1
1
ˆ
k
1
1
ˆ
k
1
ˆ
k
1
+
ˆ
k
2
ˆ
k
1
ˆ
k
2
ˆ
f
2
ˆ
f
3
=
1
ˆ
k
1
ˆ
f
2
+
ˆ
f
3
1
ˆ
k
1
ˆ
f
2
+
ˆ
k
1
+
ˆ
k
2
ˆ
k
2
ˆ
f
3
.
(4.7)
Tomando a primeira equa¸c˜ao de (4.4), encontra-se a for¸ca de rea¸c˜ao no n´o 1, a
qual ´e dada por
f
1
= −
ˆ
k
1
× ˆu
2
= −
ˆ
f
2
+
ˆ
f
3
. (4.8)
Mostra-se que, conhecidos os parˆametros geom´etricos, as condi¸c˜oes de contorno
e as causas externas, pode-se determinar unicamente os deslocamentos na barra reta. A
solu¸c˜ao que se apresenta em (4.7) pode ser escrita na forma geral como segue:
Y = S
ˆ
X, (4.9)
onde
Y =
u
2
u
3
(4.10)
´e o vetor de deslocamentos,
ˆ
X =
ˆ
f
2
ˆ
f
3
(4.11)
´e o vetor de for¸cas e
S =
1
ˆ
k
1
1
ˆ
k
1
1
ˆ
k
1
ˆ
k
1
+
ˆ
k
2
ˆ
k
1
ˆ
k
2
(4.12)
´e a matriz de flexibilidade, a qual depende das propriedades do material e dos parˆametros
32
geom´etricos do sistema.
No problema direto, o vetor
ˆ
X ´e um vetor de entrada, S ´e uma matriz de trans-
forma¸c˜ao e o vetor Y ´e o vetor de sa´ıda, como ilustrado na Fig. 5.
Se a equa¸c˜ao (4.4) for resolvida sem o uso das condi¸c˜oes de contorno, o problema
direto ´e mal-posto e n˜ao apresenta solu¸c˜ao ´unica. Al´em disso, se k
1
e k
2
forem iguais a
zero, a equa¸c˜ao (4.7) ainda n˜ao poder´a prover solu¸c˜ao ´unica. O ponto fundamental aqui ´e
que o problema direto tamb´em pode ser mal-posto, sendo neste caso usualmente chamado
de n˜ao bem-definido (LIU; HAN, 2003).
Figura 5: Esquema simples ilustrando o problema direto e o problema inverso.
Fonte: Adaptado de Liu e Han (2003).
Pretende-se agora, ap´os a discuss˜ao acima sobre as condi¸c˜oes para a obten¸c˜ao de
solu¸c˜ao do problema direto, selecionar dois casos na Tab. 1 para discutir alguns aspectos
relacionados `as solu¸c˜oes de problemas inversos.
1.Problema Inverso II-1: Identifica¸c˜ao de Propriedade do Material com
Solu¸c˜ao
´
Unica (N´umero de Equa¸c˜oes Igual ao N´umero de Inc´ognitas)
Considere agora o caso do problema inverso II-1, com suas respectivas condi¸c˜oes
apresentadas na Tab. 1. Neste caso, conhece-se todas as vari´aveis com exce¸c˜ao
dos m´odulos de Young dos dois membros da barra. Os m´odulos E
1
e E
2
est˜ao
relacionados `as constantes k
1
e k
2
atrav´es de (4.5).
33
Tendo em vista a discuss˜ao que segue abaixo, pode-se escrever a equa¸c˜ao matricial
(4.6) na forma
ˆ
f
2
ˆ
f
3
 
ˆ
Y
=
ˆu
2
ˆu
2
− ˆu
3
0 −ˆu
2
+ ˆu
3

ˆ
S
k
1
k
2
 
X
. (4.13)
Neste tipo de problema, a matriz de transforma¸c˜ao
ˆ
S depende dos deslocamentos
medidos. O vetor de sa´ıdas ´e o vetor de for¸cas externas e o vetor de entrada cont´em
as propriedades do material e os parˆametros geom´etricos do sistema.
Resolvendo a equa¸c˜ao matricial (4.13) para a entrada X, tem-se
X =
ˆ
S
−1
ˆ
Y, (4.14)
onde
ˆ
S
−1
=
1
ˆu
2
1
ˆu
2
0
1
−ˆu
2
+ˆu
3
. (4.15)
Substituindo (4.15) em (4.14), obt´em-se
X =
1
ˆu
2
ˆ
f
2
+
ˆ
f
3
1
ˆu
3
−ˆu
2
ˆ
f
3
. (4.16)
Usando a express˜ao (4.16) juntamente com (4.5), determinam-se os m´odulos de
Young dos dois membros da barra, os quais s˜ao dados por
E
1
E
2
=
ˆ
l
1
ˆ
A
1
k
1
ˆ
l
2
ˆ
A
2
k
2
=
ˆ
l
1
ˆ
A
1
ˆu
2
ˆ
f
2
+
ˆ
f
3
ˆ
l
2
ˆ
A
2
(ˆu
3
−ˆu
2
)
ˆ
f
3
. (4.17)
Neste ponto, dicutem-se as condi¸c˜oes para que a equa¸c˜ao (4.15) apresente solu¸c˜ao.
Assim, se ˆu
2
= ˆu
3
, n˜ao ´e poss´ıvel determinar E
2
, e se ˆu
2
= 0, n˜ao ´e poss´ıvel
determinar E
1
. Este fato revela um ponto importante sobre os problemas inversos:
existem situa¸c˜oes nas quais o processo de solu¸c˜ao falha.
Al´em disso, quando ˆu
2
(ou, ˆu
2
− ˆu
3
) ´e muito pequeno e incorreto, pode-se ver
facilmente que o erro em estimar E
1
(ou, E
2
) pode ser significativo e at´e mesmo
inst´avel (uma pequena mundan¸ca no valor de ˆu
2
poderia resultar em uma grande
mudan¸ca em E
1
). N˜ao obstante, revela-se deste fato outro ponto importante a
34
respeito dos problemas inversos: os erros na solu¸c˜ao podem ser ampliados, ou, a
solu¸c˜ao pode ser inst´avel. Esta instabilidade ´e respons´avel pela m´a-coloca¸c˜ao dos
problemas inversos. Segundo Liu e Han (2003), classifica-se este tipo de problema
como problema inverso mal-posto do Tipo II.
Para a discuss˜ao seguinte, defina posto de uma matriz A ∈ R
m×n
, sendo m × n as
dimens˜oes desta matriz, como o segue
posto (A) = m´ın {n
L
, n
C
},
onde n
L
e n
C
s˜ao, respectivamente, os n´umeros de linhas e colunas linearmente
independentes da matriz A.
Em outras palavras, o rank de uma matriz A, m × n, ´e a dimens˜ao da maior
submatriz quadrada B n˜ao singular (B = 0) que puder ser obtida de A.
Diz-se que o posto da matriz A ´e completo quando posto (A) ´e igual `a menor das
dimens˜oes de A; caso contr´ario, o posto da matriz ´e chamado deficiente (GOLUB;
LOAN, 1996).
Retornando `a discuss˜ao anterior, a causa da m´a-coloca¸c˜ao de um problema inverso
´e o posto da matriz de transforma¸c˜ao
ˆ
S na equa¸c˜ao (4.13). Isto ´e visto claramente
quando ˆu
2
= 0, ou, ˆu
2
= ˆu
3
, pois neste caso
ˆ
S tem o posto igual a 1, ou seja, o posto
da matriz ´e deficiente segundo a defini¸c˜ao acima. Fisicamente, esta m´a-coloca¸c˜ao
est´a no fato de E
2
n˜ao ser sens´ıvel a qualquer medida que produza ˆu
2
= ˆu
3
, porque
tal medida n˜ao causar´a deforma¸c˜ao na parte `a direita da barra reta. Portanto, n˜ao
existe maneira de determinar E
2
se estes forem os valores medidos. Similarmente,
E
1
n˜ao ´e sens´ıvel a qualquer medi¸c˜ao que produza ˆu
2
= 0, porque tal medida n˜ao
provocar´a qualquer deforma¸c˜ao na parte `a esquerda da barra reta.
Como as inc´ognitas e as vari´aveis conhecidas s˜ao iguais em n´umero, este problema
´e dito igual-posto, ou, determinado. Observe que um sistema igual-posto n˜ao ga-
rante necessariamente a estabilidade da solu¸c˜ao para o problema inverso devido `a
possibilidade de m´a-coloca¸c˜ao do Tipo II de problema inverso que se mencionou
previamente (LIU; HAN, 2003).
Observe que a m´a-coloca¸c˜ao do Tipo II no problema direto ocorre quando a solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao (4.7) tem como condi¸c˜oes k
1
, ou, k
2
igual a zero. Veja a discuss˜ao
anterior sobre a solu¸c˜ao do problema direto para maiores detalhes.
35
2.Problema Inverso II-2: Identifica¸c˜ao de Propriedade do Material com
Solu¸c˜ao N˜ao-
´
Unica (N´umero de Equa¸c˜oes Superior ao N´umero de Inc´ognitas)
Neste caso E
1
=
ˆ
E
1
, onde
ˆ
E
1
´e conhecido. O sistema (4.6) pode ser reescrito na
forma matricial
(ˆu
2
− ˆu
3
)
ˆ
A
2
ˆ
l
2
(−ˆu
2
+ ˆu
3
)
ˆ
A
2
ˆ
l
2

ˆ
S
ˆ
E
2

X
=
ˆ
f
2
− ˆu
2
ˆ
E
1
ˆ
l
1
ˆ
A
1
ˆ
f
3

ˆ
Y
. (4.18)
Observa-se que este sistema ´e do tipo sobre-determinado, porque para uma inc´ognita
existem duas equa¸c˜oes. Para obter a entrada X, ´e necess´ario realizar a invers˜ao da
matriz de transforma¸c˜ao
ˆ
S, cuja dimens˜ao ´e 2 × 1, encontrando-se a solu¸c˜ao
X =
ˆ
S
−g
ˆ
Y (4.19)
onde
ˆ
S
−g
´e uma matriz inversa generalizada de
ˆ
S
2×1
, a qual pode ser obtida com o
uso do M´etodo dos M´ınimos Quadrados, MMQ, como segue
ˆ
S
−g
=
ˆ
S
T
ˆ
S
−1
ˆ
S
T
. (4.20)
O que se deseja enfatizar neste ponto ´e o fato de sistemas sobre-determinados po-
derem ser mal-postos. Claramente, ´e poss´ıvel ver isto da equa¸c˜ao (4.18) quando
ˆu
2
= ˆu
3
. Em tais casos, E
2
n˜ao ´e definido e poder´a ser inst´avel ao se usar os dados
de ˆu
2
e ˆu
3
com ru´ıdos, ou seja, um t´ıpico problema inverso do Tipo II mal-colocado.
Para uma vis˜ao mais geral sobre outros problemas inversos que surgem no con-
texto da elasticidade linear, em especial os que se referem `a identifica¸c˜ao de parˆametros,
sugere-se a leitura do trabalho desenvolvido por Bonnet e Constatinescu (2005).
4.2 Classifica¸c˜ao dos Problemas Inversos
Como havia sido adiantado na Se¸c˜ao 4.1, pode-se classificar os problemas inver-
sos conforme a causa a ser determinada, ou, segundo Liu e Han (2003), pelo tipo de
m´a-coloca¸c˜ao do sistema a ser resolvido, conforme apresentado na Tab. 1. A seguir
apresentam-se algumas classifica¸c˜oes:
1.Quanto `a natureza matem´atica do m´etodo:
36
Expl´ıcito (invers˜ao direta)
Impl´ıcito
2.Quanto `a natureza estat´ıstica do m´etodo:
Aqui a express˜ao “natureza estat´ıstica” deve ser entendida como o grau de conhe-
cimento da solu¸c˜ao obtida pelo m´etodo empregado. Deste modo, tem-se
Determinista
Estoc´astico (veja maiores explana¸c˜oes sobre este m´etodo em Tarantola (2005))
Observe que as classifica¸c˜oes 1 e 2 est˜ao ligadas aos m´etodos de solu¸c˜ao do PI.
3.Quanto `a natureza da solu¸c˜ao:
Estima¸c˜ao de parˆametros
Estima¸c˜ao de fun¸c˜ao
Esta classifica¸c˜ao foi formulada por Beck, Blackwell e Clair (1985).
4.Segundo (SILVA NETO; MOURA NETO, 2000) e (SILVA NETO, 2005):
Esta classifica¸c˜ao est´a baseada na dimens˜ao do modelo do fenˆomeno f´ısico (problema
direto – PD) e na dimens˜ao de quantidade a ser estimada (problema inverso – PI)
se finita (f), ou infinita (∞).
Tipo-1 Estima¸c˜ao de um n´umero finito de parˆametros em um modelo de di-
mens˜ao finita (PD-f e PI-f); por exemplo a solu¸c˜ao de um sistema de n equa¸c˜oes a
m inc´ognitas. Os problemas inversos do tipo reconstru¸c˜ao de imagens s˜ao exemplos
de PI do Tipo-1.
Tipo-2 Estima¸c˜ao de um n´umero finito de parˆametros em um modelo de di-
mens˜ao infinita (PD-∞ e PI-f). Como exemplo de dimens˜ao infinita tem-se o caso
de um problema de valor inicial para uma equa¸c˜ao diferencial parcial. Se o objeto a
ser estimado for de dimens˜ao finita, esta dimens˜ao ser´a dada por alguns parˆametros,
ou, constantes do modelo.
Tipo-3 Estima¸c˜ao de um n´umero infinito de parˆametros, ou, de uma fun¸c˜ao em
um modelo de dimens˜ao infinita (PD-∞ e PI-∞).
Na classifica¸c˜ao do item 4 pode-se classificar a estima¸c˜ao de parˆametros como do
Tipo-2, ou, Tipo-3. A estima¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua ´e sempre um problema do Tipo-3
(CAMPOS VELHO, 2002).
37
4.3 M´etodos de Solu¸c˜ao e Regulariza¸c˜ao
S˜ao v´arios os m´etodos utilizados para resolver problemas inversos, (CAMPOS VE-
LHO, 2002), dentre os quais citam-se:
1.Invers˜ao direta;
2.Decomposi¸c˜ao em valores singulares;
3.M´ınimos quadrados e variantes (m´ınimos quadrados ponderados);
4.M´etodos de regulariza¸c˜ao;
5.M´etodos variacionais;
6.Outros (molifica¸c˜ao, m´etodos bayesianos, filtros digitais, redes neurais, etc).
O procedimento num´erico desenvolvido nesta pesquisa utiliza um m´etodo de
pseudo-invers˜ao baseado na Decomposi¸c˜ao em Valores Singulares mencionado no ´ıtem
2 da lista anterior. Na Se¸c˜ao 4.3.1 encontram-se maiores detalhes sobre este m´etodo.
Liu e Han (2003) descrevem um procedimento geral para resolver problemas in-
versos. O procedimento consiste nos passos apresentados no fluxograma da Fig. 6, os
quais est˜ao descritos brevemente a seguir.
∗ Defini¸c˜ao do problema - definir a finalidade e os objetivos do projeto, com
uma an´alise sobre os recursos e o tempo dispon´ıveis. Uma estrat´egia global e exeq¨u´ıvel
deve ser determinada para mais tarde ser efetivamente executada. Deve-se realizar tenta-
tivas a qualquer momento para (1) reduzir o n´umero de inc´ognitas a serem inversamente
identificadas e (2) definir claramente os parˆametros a serem utilizados. Estas duas tentati-
vas podem levar a uma redu¸c˜ao efetiva ds possibilidades de problemas inversos mal-postos
(por exemplo, condi¸c˜oes de contorno mal definidas) e assim, aumentar a chance de sucesso
e melhorar a eficiˆencia e a precis˜ao da opera¸c˜ao de invers˜ao.
∗ Formula¸c˜ao do modelo direto - um modelo f´ısico deve ser estabelecido para
capturar a f´ısica do problema definido. Os resultados, ou, efeitos do sistema devem ser
sens´ıveis aos parˆametros do sistema a serem inversamente identificados. Os parˆametros
dever˜ao ser independentes dos resultados, ou, dos efeitos do sistema. Impor condi¸c˜oes
adicionais pode contribuir para a boa coloca¸c˜ao de problemas inversos. Modelos ma-
tem´aticos e computacionais devem ser desenvolvidos para resolver o problema direto.
38
Podem-se empregar m´etodos computacionais padr˜oes, tais como o MEF (M´etodo dos
Elementos Finitos), MDF (M´etodo das Diferen¸cas Finitas), MVF (M´etodo dos Volumes
Finitos), m´etodos sem malhas, solucionadores de ondas, etc.
∗ An´alise da sensibilidade entre os dados de entrada e os dados de sa´ıda
(resultados)- Certifique-se de que os resultados do problema e os parˆametros (incluindo
os dados de entrada) para serem inversamente identificados est˜ao bem correlacionados.
Garantir a alta sensibilidade dos resultados para os parˆametros ´e uma das estrat´egias mais
eficazes para reduzir m´as-posi¸c˜oes nos est´agios futuros da an´alise inversa. A an´alise deve
ser realizada utilizando o modelo direto criado sem a necessidade de experimentos que
possam ser dispendiosos. Baseado na an´alise da sensibilidade, pode-se fazer modifica¸c˜oes
no modelo direto e nas escolhas dos parˆametros.
∗ Concep¸c˜ao do experimento - decidir sobre os m´etodos de medi¸c˜ao, tipo
de equipamento para ensaios e grava¸c˜ao e an´alise de dados. O n´umero de medi¸c˜oes,
ou, leituras deve ser, pelo menos, maior do que o n´umero de inc´ognitas a ser inver-
samente identificadas, o que pode conduzir a um problema igual-posto. Um sistema
sobre-determinado (utilizando mais sa´ıdas), ´e geralmente preferido, de forma a melho-
rar a propriedade do sistema de equa¸c˜oes e reduzir a m´a-coloca¸c˜ao do problema. Uma
formula¸c˜ao sobre-determinada pode acomodar normalmente n´ıveis mais elevados de con-
tamina¸c˜ao por ru´ıdos em dados experimentais. No entanto, sistemas com um n´umero
de equa¸c˜oes muito maior do que o n´umero de inc´ognitas podem resultar numa sa´ıda de
dados com reprodutibilidade pobre, podendo ser verificados mais tarde pela computa¸c˜ao
da reprodutibilidade dos dados de sa´ıda ap´os a obten¸c˜ao da solu¸c˜ao inversa.
∗ Minimiza¸c˜ao dos erros de medi¸c˜ao (por exemplo, por meio de filtragem) -
erros na medi¸c˜ao de dados devem ser eliminados, tanto quanto poss´ıvel, porque eles podem
acionar as m´as-coloca¸c˜oes do problema, fazendo com que os erros possam ser ampliados
na solu¸c˜ao inversa, ou mesmo, resultar em uma solu¸c˜ao inst´avel. Existe a possibilidade de
utilizar filtros adequadamente concebidos para filtrar os erros antes que dados de medi¸c˜ao
sejam usados para a an´alise inversa.
∗ An´alise inversa, ou, obten¸c˜ao da solu¸c˜ao inversa - se o sistema pode ser
formulado em uma matriz de forma expl´ıcita, a inversa generalizada (veja Golub e Loan,
1996) da matriz do sistema pode ser efetuada de modo a obter a solu¸c˜ao inversa. Para
sistemas complexos que n˜ao podem ser formulados em uma matriz na forma expl´ıcita,
um funcional de erro sempre pode ser estabelecido por meio de uma norma apropriada,
e t´ecnicas de otimiza¸c˜ao/minimiza¸c˜ao devem ser utilizadas para a pesquisa da solu¸c˜ao
39
que minimiza a norma do erro. Pode-se usar t´ecnicas de regulariza¸c˜ao apropriadas para
problemas inversos mal-postos. T´ecnicas de regulariza¸c˜ao s˜ao muito importantes para
obter solu¸c˜oes est´aveis para problemas inversos mal-postos. Observe tamb´em que a uti-
liza¸c˜ao de algumas das t´ecnicas de regulariza¸c˜ao deve ser o ´ultimo recurso para sanar as
m´as-coloca¸c˜oes do problema. Alguns efeitos colaterais ir˜ao ocorrer ao se usar muitos dos
m´etodos de regulariza¸c˜ao. Al´em disso, o uso inadvertido destas t´ecnicas de regulariza¸c˜ao
pode tamb´em levar a resultados completamente incorretos.
∗ Verifica¸c˜ao da solu¸c˜ao - isto ´e importante para garantir que a solu¸c˜ao
inversa obtida ´e fisicamente plaus´ıvel. Todos os m´etodos poss´ıveis com o apropriado
julgamento de engenharia dever˜ao ser empregados para certificar-se de que a solu¸c˜ao
obtida ´e confi´avel. Verifica¸c˜oes sobre a reprodutibilidade dos dados de sa´ıda e de entrada
das matrizes podem dar algumas indica¸c˜oes sobre a qualidade da solu¸c˜ao. Podem ser
necess´arias modifica¸c˜oes das estrat´egias experimentais e de invers˜ao, sendo poss´ıvel repetir
os passos anteriores at´e que a solu¸c˜ao inversa seja satisfat´oria. Note que podem-se realizar
muitas verifica¸c˜oes computacionais com a necessidade de verifica¸c˜oes experimentais na fase
final.
4.3.1 Solu¸c˜ao com o uso do m´etodo SVD (Singular Value Decomposition)
e Limita¸c˜oes
Considere o modelo linear discreto expresso por d = Gm, onde d = [d
1
, d
2
, . . . , d
D
]
T
´e o vetor de dados, ou, observa¸c˜oes, m = [m
1
, m
2
, . . . , m
M
]
T
´e o vetor de parˆametros a
ser determinado e
G =
g
11
.
.
.
. . . g
1M
.
.
.
g
D1
. . . g
DM
´e uma matriz D ×M.
Se D = M a solu¸c˜ao formal ´e dada pela invers˜ao direta: m= G
−1
d. Na pr´atica,
por´em, a matriz G ´e freq¨uentemente quase-singular, ou, mesmo singular e o procedimento
´e inaplic´avel (CAMPOS VELHO, 2002). Para avaliar como uma matriz mal condicionada
pode levar a uma degenera¸c˜ao da solu¸c˜ao do PI, realiza-se a decomposi¸c˜ao de G em valores
singulares (SVD). Veja maiores detalhes em Golub e Loan (1996). Assim,
40
Figura 6: Esquema geral para a solu¸c˜ao de problemas inversos.
Fonte: Adaptado de Liu e Han (2003).
41
G= U [diag(ω
j
)] V
T
= U Ω V
T
,
onde U e V s˜ao matrizes quadradas ortogonais, isto ´e: U
T
U = I
D ×D
e V
T
V = I
M×M
. As
colunas de U s˜ao autovetores de G
T
G. Os ω
j
s˜ao autovalores ordenados (ω
1
≥ ω
2
≥ ... ≥ ω
M
)
da matriz G
T
G. A inversa da matriz G ´e dada por
G
−1
= V
diag(ω
−1
j
)
U
T
.
Inicialmente, defina o espa¸co nulo de uma matriz G ∈ R
m×n
, denotado por N(G),
como o conjunto de vetores x tais que Gx = 0, ou, de outro modo,
N(G) = {x ∈ R
n
: Gx = 0}.
Se G ´e uma matriz quase singular, ou seja, existe r > 0 tal que ω
r+1
≈ ω
r+2
≈
... ≈ ω
M
≈ 0, ent˜ao, aproximadamente, posto (G) = r e dim(N(G)) = M − r. Erros
experimentais em d (erros de arredondamento, etc) ser˜ao muito amplificados e conta-
minar˜ao a solu¸c˜ao inversa. A an´alise pode ser repetida para problemas indeterminados
(D < M) . A indetermina¸c˜ao neste caso aparecer´a de forma expl´ıcita na decomposi¸c˜ao de
G:
G= U
diag(ω
j
)
0
V
T
,
implicando que a inversa de G n˜ao existe.
4.3.2 Solu¸c˜ao por M´ınimos Quadrados e Limita¸c˜oes
Consieram-se as trˆes t´ecnicas abaixo.
a) M´etodo de M´ınimos Quadrados (padr˜ao). Se a matriz G ´e singular ou quase-
singular, uma abordagem natural (mas n˜ao ´unica e nem sempre a mais correta) ´e determi-
nar a solu¸c˜ao do sistema Gm= d pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados. Segundo (CAMPOS
VELHO, 2002) deseja-se determinar o ponto de m´ınimo ˆm do problema de minimiza¸c˜ao
min
m
d − Gm
2
2
,
onde, do exposto anteriormente, d ´e o vetor de dados. Uma condi¸c˜ao necess´aria para a
42
existˆencia de ˆm ´e que G ˆm = d. Esta condi¸c˜ao pode ser escrita na forma
ˆm =
G
T
G
−1
G
T
d = G
+
d,
onde G
+
´e a inversa generalizada de Moore-Penrose, tamb´em chamada de pseudo-inversa
(veja Golub e Loan (1996)). Antes de prosseguir, ´e importante destacar algumas ob-
serva¸c˜oes relevantes:
1.Se N (G) = {0}, ent˜ao ˆm existe e ´e ´unico para sistemas lineares.
2.Se os erros associados `as medidas experimentais d forem independentes, aditivos e
gaussianos, ˆm corresponde ao estimador de m´axima verossimilhan¸ca
1
. Resumindo:
M´axima Verossimilhan¸ca + Hip´otese Gaussiana = M´ınimos Quadrados.
b) M´ınimos Quadrados Ponderados.
´
E somente uma generaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao
custo J (m) expressa como segue:
ˆm ⇒ min
m
d − Gm
2
W
,
ou,
J (m) = (d − Gm)
T
W (d − Gm)
onde a matriz W ´e a matriz diagonal dos pesos que definem a contribui¸c˜ao relativa de
cada erro individual ao erro total. W ´e uma matriz sim´etrica e positiva definida, com
dimens˜ao D × D (CAMPOS VELHO, 2002).
Dois importantes casos de problemas lineares finitos que podem ser resolvidos
com as t´ecnicas apresentadas nas Se¸c˜oes 4.3.1 e 4.3.2 s˜ao:
- Problemas indeterminados(D < M): solu¸c˜ao ´e dada pela norma m´ınima de
m´ınimos quadrados: M´ınimos Quadrados + min
m
T
m
.
- Problemas mal-condicionados: Este ´e o caso mais simples: se ω
r+1
≈ ω
r +2
≈
... ≈ ω
M
≈ 0. A solu¸c˜ao ´e obtida fixando-se ω
−1
r +1
= . . . = ω
−1
M
= 0 e obtendo-se a inversa
generalizada, por exemplo, via m´ınimos quadrados, ou, SVD (CAMPOS VELHO, 2002).
1
O m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca ´e utilizado para estimativa dos valores dos parˆametros da
distribui¸c˜ao que maximiza a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca ´e baseada na fun¸c˜ao
densidade de probabilidade conhecida para uma dada distribui¸c˜ao (veja maiores detalhes em Cordeiro
(1992)).
43
4.3.3 M´etodos de Regulariza¸c˜ao
No caso particular de sistemas lineares indeterminados (D < M), a solu¸c˜ao pro-
posta apresenta o termo adicional m
T
m. A partir deste caso pode-se generalizar: para
resolver problemas mal-postos ´e necess´ario fornecer informa¸c˜ao adicional. Na d´ecada de
60 v´arios pesquisadores tamb´em notaram este fato. No entanto, o destaque ´e dado ao tra-
balho de Tikhonov (1963), que iniciou uma formula¸c˜ao geral para problemas mal-postos,
chamada regulariza¸c˜ao, ou, m´etodo de regulariza¸c˜ao (CAMPOS VELHO, 2002).
O m´etodo de regulariza¸c˜ao consiste em determinar a solu¸c˜ao aproximada mais
suave compat´ıvel com os dados de observa¸c˜ao para um certo n´ıvel de ru´ıdo (CAMPOS
VELHO, 2002). A busca da solu¸c˜ao mais suave (regular) ´e uma informa¸c˜ao adicional que
transforma o problema mal-posto em um problema bem-posto, conforme ilustrado na Fig.
7.
2.3 Métodos de Regularização
Vimos que no caso particular de sistemas lineares indeterminados (D<M) a solução
proposta apresenta um termo adicional: m
T
m - a norma L
2
do vetor de parâmetros! Isto
pode ser generalizado: para resolver problemas mal-postos é necessário fornecer
informação adicional! Na década de 60 vários pesquisadores também notaram este fato.
Nomes como V.K. Ivanov (1962), D.L. Phillips (1962) e S. Twomey (1963) merecem
destaque, mas foi com o trabalho de Andrei Nikolaevich Tikhonov em 1963, o início de
uma formulação geral para problemas mal-postos, chamada regularização ou método de
regularização. O Prof. Tikhonov foi um matemático proeminente e trabalhou no
prestigioso Instituto de Matemática Steklov da Academia Russa de Ciências (matemáticos
como A.N. Krylov, D.K. Faddeev, L.S. Pontryagin, S.L. Sobolev, A.N. Kolmogorov, A.A.
Markov, formam uma pequena lista de importantes cientistas do mesmo Instituto), tendo
trabalhos importantes em topologia, análise funcional, matemática computacional e física-
matemática.
O método da regularização consiste na determinação da solução aproximada mais
suave compatível com os dados de observação, para certo nível de ruído. A busca da
solução mais suave (regular) é uma informação adicional, que transforma o problema mal-
posto num problema bem-posto (ver Figura 2).
Figura 2: Idéia básica do método da regularização.
Na implementação matemática do método o PI é formulado como um problema de
otimização com restrições:
( )
[ ]
ρ
δ
≤−
∈
uOfuA
Uu
a sujeito min
2
2
(14)
onde A(u)=f
δ
representa o modelo direto e Ω[u] é o operador de regularização (Tikhonov e
Arsenin, 1977). A técnica dos multiplicadores de Lagrange permite colocar na mesma
função custo os objetivos de fidelidade dos parâmetros com o modelo direto e a de
regularidade (suavidade) exigida da quantidade desconhecida:
( )
[ ]
{
}
min
2
2
ufuA
Uu
Ωα
δ
+−
∈
(15)
Problema
mal-posto
Informação
a priori
Problema
bem-posto
Realidade
física
+
Figura 7: Id´eia do Processo de Regulariza¸c˜ao.
Fonte: Campos Velho(2002).
Formula-se o PI como um problema de otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes:
min
u ∈ U
A(u) − f
δ
2
2
sujeito a
Ω [u] ≤ ρ,
onde δ ´e um limite para os erros de medi¸c˜ao, Au = f
δ
representa o modelo direto e Ω [u]
´e o operador de regulariza¸c˜ao (TIKHONOV; GONCHARSKIS, 1987). A t´ecnica dos multi-
plicadores de Lagrange permite reunir na mesma fun¸c˜ao custo os objetivos de fidelidade
dos parˆametros com o modelo direto e a regularidade (suavidade) exigida da quantidade
44
desconhecida (CAMPOS VELHO, 2002). Utilizando esta t´ecnica, reescreve-se o problema
de minimiza¸c˜ao na forma
min
u ∈ U
A(u) − f
δ
2
2
+ α Ω [u]
,
onde α ´e o parˆametro de regulariza¸c˜ao. Deve ser observado que se α → 0 o termo de
fidelidade dos dados na fun¸c˜ao objetivo ´e superestimado, enquanto que se α → ∞ toda a
informa¸c˜ao contida no modelo matem´atico ´e perdida (CAMPOS VELHO, 2002).
4.4 O Problema Inverso de Determina¸c˜ao de Parˆametros El´asticos
Esta se¸c˜ao trata do problema inverso de determina¸c˜ao de parˆametros e traz al-
gumas considera¸c˜oes sobre a unicidade da solu¸c˜ao.
4.4.1 Formula¸c˜ao Forte
Assim, o problema inverso consiste em determinar o m´odulo de elasticidade ao
cisalhamento µ : B → R e o campo de press˜ao π : B → R que satisfa¸cam a equa¸c˜ao de
equil´ıbrio (3.26), onde E est´a relacionado a um campo de deslocamento u atrav´es de (3.19),
sendo u conhecido. Obviamente, E satisfaz a restri¸c˜ao cinem´atica (3.21) e u satisfaz a
condi¸c˜ao (3.23.b). Assume-se, no entanto, que a condi¸c˜ao de contorno (3.23.a) n˜ao ´e
conhecida. Esta formula¸c˜ao do problema inverso ´e dita forte uma vez que as equa¸c˜oes
governantes deste problema devem ser atendidas em todos os pontos de B juntamente
com o seu contorno ∂B. Na Se¸c˜ao 4.4.3 ´e apresentada uma formula¸c˜ao fraca do problema
inverso.
4.4.2 Considera¸c˜oes sobre a Unicidade de Solu¸c˜ao
Considere que B ´e a sec¸c˜ao transversal de um cilindro reto e longo sob estado
plano de deforma¸c˜ao (EPD) paralelo ao plano desta sec¸c˜ao. Assuma que ambos, o m´odulo
de elasticidade ao cisalhamento µ : B → R e a press˜ao π : B → R s˜ao campos suaves.
Seja ent˜ao (e
1
, e
2
, e
3
) uma base ortonormal em R
3
associada a um sistema de
coordenadas cartesianas retangulares com a origem em O (sistema CCR). Os vetores e
1
,
e
2
s˜ao paralelos ao plano que cont´em B, enquanto que e
3
´e paralelo ao eixo do cilindro
reto. Neste sistema de coordenadas, um ponto do cilindro ´e representado por X + X
3
e
3
,
45
onde X = X
1
e
1
+ X
2
e
2
∈ B e X
i
∈ R, i = 1, 2, 3. Al´em disso, u = υ
1
e
1
+υ
2
e
2
,
onde υ
i
∈ R, i = 1, 2, e E =
2
i,j=1
ε
ij
e
i
⊗ e
j
, onde e
i
⊗ e
j
´e o produto tensorial
entre e
1
e e
2
, o qual ´e definido por (e
i
⊗ e
j
) e
k
= δ
j k
e
i
, e segue de (3.19) que
ε
ij
1
2
∂ υ
i
∂X
j
+
∂ υ
j
∂X
i
. Segue de (3.21) que ε
22
= −ε
11
, uma vez que o cilindro est´a
sob EPD.
Tomando o rotacional de (3.26.a), elimina-se π e obt´em-se a equa¸c˜ao diferencial
L [ µ]
∂
2
∂ X
2
1
−
∂
2
∂ X
2
2
( µ ε
12
) − 2
∂
2
∂ X
1
∂ X
2
( µ ε
11
) = 0, (4.21)
onde L [µ] ´e um operador linear em µ.
Agora, considera-se uma transforma¸c˜ao invers´ıvel de coordenadas, possivelmente
n˜ao-linear, dada por X
i
=
ˆ
X
i
( η
1
, η
2
), i = 1, 2, onde ( η
1
, η
2
) s˜ao as coordenadas
em um novo sistema, de modo que η
i
= η
i
( X
1
, X
2
), i = 1, 2. Introduzindo esta
transforma¸c˜ao em (4.21), obt´em-se
L [ˆµ]
ˆε
12
∂η
1
∂X
1
2
− 2 ˆε
11
∂η
1
∂X
1
∂η
1
∂X
2
− ˆε
12
∂η
1
∂X
2
2
∂
2
ˆµ
∂ η
2
1
+
+
ˆε
12
∂η
2
∂X
1
2
− 2 ˆε
11
∂η
2
∂X
1
∂η
2
∂X
2
− ˆε
12
∂η
2
∂X
2
2
∂
2
ˆµ
∂ η
2
2
+
+2
ˆε
12
∂η
2
∂X
1
∂η
1
∂X
1
− ˆε
11
∂η
1
∂X
1
∂η
2
∂X
2
+
∂η
2
∂X
1
∂η
1
∂X
2
− ˆε
12
∂η
2
∂X
2
∂η
1
∂X
2
∂
2
ˆµ
∂ η
1
∂ η
2
+
+ L
1
[ˆµ] ,
(4.22)
onde µ = ˆµ ( η
1
, η
2
), ε
ij
= ˆε
ij
(η
1
, η
2
), i, j = 1, 2, e L
1
[ˆµ] ´e um operador linear que
cont´em somente termos de ordem inferior a 2 em ˆµ. Assumindo que ˆε
12
= 0, examina-
se o caso em que os dois primeiros coeficientes da express˜ao (4.22) s˜ao nulos, ou seja,
examinam-se as equa¸c˜oes
ˆε
12
∂η
i
∂X
1
2
− 2 ˆε
11
∂η
i
∂X
1
∂η
i
∂X
2
− ˆε
12
∂η
i
∂X
2
2
= 0, i = 1, 2. (4.23)
As solu¸c˜oes destas equa¸c˜oes s˜ao dadas por
∂η
i
∂X
1
∂η
i
∂X
2
=
ˆε
11
±
√
∆
ˆε
12
, ∆ (ˆε
11
)
2
+ (ˆε
12
)
2
, i = 1, 2. (4.24)
46
O operador L ´e chamado hiperb´olico se ∆ > 0 (WEINBERGER, 1965). Observe de (4.24)
juntamente com o Jacobiano da transforma¸c˜ao de coordenadas que esta condi¸c˜ao ´e ne-
cess´aria para que a transforma¸c˜ao seja invers´ıvel. Uma vez que E =
2
i,j=1
ε
ij
e
i
⊗ e
j
=
0, ∆ > 0 e, portanto, a equa¸c˜ao que governa a distribui¸c˜ao de µ no cilindro, dada por
(4.21), ´e hiperb´olica. Analisa-se agora algumas conseq¨uˆencias desta conclus˜ao.
Sem perda de generalidade, reescreve-se (4.24) na forma
∂η
1
∂X
1
∂η
1
∂X
2
=
ˆε
11
+
√
∆
ˆε
12
,
∂η
2
∂X
1
∂η
2
∂X
2
=
ˆε
11
−
√
∆
ˆε
12
. (4.25)
Ao longo de uma reta η
i
= ¯η
i
, i = 1, 2, onde ¯η
i
∈ R ´e constante, tem-se que
d η
i
=
∂η
i
∂X
1
d X
1
+
∂η
i
∂X
2
d X
2
= 0. Segue desta express˜ao que
∂η
i
∂X
1
∂η
i
∂X
2
= −
d X
2
d X
1
, i = 1, 2. (4.26)
Substituindo (4.26) em (4.25), obt´em-se
dX
2
dX
1
= −
ε
11
+
√
∆
ε
12
,
dX
2
dX
1
= −
ε
11
−
√
∆
ε
12
, (4.27)
onde ∆ ´e dado por (4.24.b) e ε
ij
= ε
ij
( X
1
, X
2
). As express˜oes (4.27) s˜ao equa¸c˜oes
diferenciais ordin´arias de primeira ordem em uma das vari´aveis; por exemplo, X
2
. In-
tegrando (4.27) com respeito `a outra vari´avel, X
1
, obt´em-se as curvas X
2
= X
21
( X
1
)
e X
2
= X
22
( X
1
), as quais correspondem `as retas η
1
= ¯η
1
e η
2
= ¯η
2
, respectiva-
mente. As express˜oes (4.27) fornecem tamb´em as inclina¸c˜oes das retas tangentes `as curvas
X
2
= X
2 1
( X
1
) e X
2
= X
22
( X
1
). Denota-se por β
1
e β
2
os ˆangulos correspondentes
a estas inclina¸c˜oes.
Por outro lado, as deforma¸c˜oes principais de E em um dado ponto X = X
1
e
1
+
X
2
e
2
s˜ao dadas por ε
1
=
√
∆ e ε
2
= −
√
∆ e as dire¸c˜oes principais correspondentes
s˜ao dadas por
α
1
= atan
ε
1
− ε
11
ε
12
, α
2
= α
1
−
π
2
. (4.28)
Observe de (4.27.b) e do exposto no par´agrafo anterior que
47
β
2
(ε
1
− ε
11
)
ε
12
tan α
1
e que, portanto, a reta tangente `a curva X
22
( X
1
) ´e paralela `a dire¸c˜ao principal corres-
pondente a ε
1
. Similarmente,
β
1
(ε
1
+ ε
11
)
ε
12
tan α
2
e a reta tangente `a curva X
21
( X
1
) ´e paralela `a dire¸c˜ao principal correspondente a ε
2
.
O exposto acima est´a de acordo com o que foi visto na Se¸c˜ao 2.1, em que Bar-
bone e Gokhale (2004) afirmam que as caracter´ısticas da equa¸c˜ao diferencial hiperb´olica
s˜ao paralelas ao eixos de deforma¸c˜oes principais para os dois problemas linearmente in-
dependentes, tra¸c˜ao-compress˜ao biaxial e cisalhamento. Quando estes problemas s˜ao
combinados resultam na determina¸c˜ao de µ com exce¸c˜ao de quatro constantes arbitr´arias.
Consideram-se agora dois ensaios poss´ıveis de serem realizados em laborat´orio.
Deseja-se elucidar o fato de que µ n˜ao pode ser determinado de um ´unico ensaio quando
Γ
g
= ∅ em (3.24), ou seja, quando o carregamento ´e desconhecido e somente o campo de
deslocamento ´e conhecido em cada ensaio. Para isto, considere um cilindro reto de sec¸c˜ao
transversal retangular sob EPD perpendicular ao eixo do cilindro. O material do cilindro
´e el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel. Submete-se o cilindro aos ensaios biaxial de
tra¸c˜ao-compress˜ao e de cisalhamento, os quais est˜ao ilustrados na Fig. 8. Observe desta
figura que
¯
X
i
, i = 1, 2, s˜ao os comprimentos dos lados do cilindro, e que τ
1
e τ
2
s˜ao os
m´odulos das for¸cas resultantes que atuam sobre os lados verticais do cilindro nos ensaios
biaxial (ensaio I) e de cisalhamento (ensaio II), respectivamente.
Assume-se que os campos de deforma¸c˜ao obtidos de ambos os ensaios s˜ao ho-
mogˆeneos e dados por
Ensaio I : ε
(I)
11
( X
1
, X
2
) = − ε
(I)
22
( X
1
, X
2
) = ¯ε
1
, ε
(I)
12
( X
1
, X
2
) = 0, (4.29)
Ensaio II : ε
(II)
11
( X
1
, X
2
) = ε
(II)
22
( X
1
, X
2
) = 0, ε
(II)
12
( X
1
, X
2
) = ¯ε
2
. (4.30)
Claramente, os campos de deforma¸c˜ao (4.29) e (4.30) satisfazem a restri¸c˜ao (3.21)
identicamente e referem-se ao mesmo estado de cisalhamento simples se ¯ε
1
= ¯ε
2
. Neste
caso, as dire¸c˜oes principais associadas a estes campos de deforma¸c˜ao est˜ao relacionadas
entre si por uma rota¸c˜ao de eixos de 45 graus. Al´em disso, infere-se que π = 0, pois
48
lembra-se do exposto na Se¸c˜ao 3.3 que π representa a rea¸c˜ao do corpo a mudan¸cas de
volume. Este conhecimento a priori de π n˜ao ´e utilizado na exposi¸c˜ao a seguir, pois
deseja-se mostrar que, conhecendo-se somente o campo de deforma¸c˜ao, µ n˜ao pode ser
determinado de um ´unico ensaio.
Figura 8: Ensaios para a determina¸c˜ao de µ.
Substituindo o campo de deforma¸c˜ao (4.29) em (4.21) e resolvendo para µ, obt´em-
se
µ ( X
1
, X
2
) = φ
(I)
1
( X
1
) + φ
(I)
2
( X
2
) , (4.31)
onde φ
(I)
i
, i = 1, 2, s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de seus argumentos e n˜ao podem ser deter-
minadas unicamente do ensaio I.
Considera-se agora a transforma¸c˜ao de coordenadas linear
η
1
( X
1
, X
2
) =
√
2
2
( X
1
+ X
2
) , η
2
( X
1
, X
2
) =
√
2
2
( −X
1
+ X
2
) , (4.32)
a qual corresponde a uma rota¸c˜ao de 45
o
entre os eixos de coordenadas no sistema
( X
1
, X
2
) e os eixos de coordenadas no sistema ( η
1
, η
2
). Substituindo o campo de
deforma¸c˜ao (4.30) juntamente com (4.32) em (4.22) e resolvendo para µ no novo sistema
49
de coordenadas, obt´em-se
ˆµ ( η
1
, η
2
) = φ
(II)
1
( η
1
) + φ
(II)
2
( η
2
) , (4.33)
onde φ
(II)
i
, i = 1, 2, s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias dos seus argumentos e, similarmente ao
exposto no par´agrafo anterior, n˜ao podem ser determinadas unicamente do ensaio II.
Para obter (4.33), verificou-se que L
1
[ˆµ] = 0.
Se, no entanto, realiza-se ambos os ensaios sobre o mesmo cilindro reto e substitui-
se (4.31), obtido do ensaio I, juntamente com o campo de deforma¸c˜ao (4.30) do ensaio
II em (4.21), obt´em-se uma express˜ao para µ que depende somente de quatro constantes
arbitr´arias. Esta express˜ao ´e dada por
µ ( X
1
, X
2
) = µ
0
+ µ
1
X
1
+ µ
2
X
2
+ µ
3
X
2
1
+ X
2
2
, (4.34)
onde µ
i
∈ R, i = 0, ..., 3, s˜ao constantes a determinar. A express˜ao (4.34) ´e apresentada
por Barbone e Gokhale (2004) para elucidar o fato de que µ n˜ao pode ser determinado
de um ´unico ensaio quando somente o campo de deslocamento ´e conhecido.
Substituindo (4.34) em (3.16), desprezando a for¸ca de corpo b(X) e resolvendo
para os campos de press˜ao π
1
e π
2
dos ensaios I e II, respectivamente, obt´em-se
π
1
( X
1
, X
2
) = 2 ε
1
µ
1
X
1
− µ
2
X
2
+ µ
3
X
2
1
−X
2
2
+ ˆπ
1
, (4.35)
π
2
( X
1
, X
2
) = 2 ε
2
µ
2
X
1
+ µ
1
X
2
+ 2 µ
3
X
1
X
2
+ ˆπ
2
, (4.36)
onde ˆπ
i
∈ R, i = 1, 2, s˜ao constantes a determinar.
Assume-se agora que as for¸cas resultantes τ
i
, i = 1, 2, (veja Fig. 8) s˜ao conhe-
cidas de, por exemplo, medi¸c˜oes experimentais. Integrando (3.13) sobre partes comple-
mentares de ∂ B e utilizando (3.20), obt´em-se o sistema de equa¸c˜oes abaixo.
Ensaio I: O campo de deforma¸c˜ao para este ensaio ´e dado por (4.29). Assim,
50
τ
1
=
¯
X
2
0
(− π + 2 µ ¯ε
1
) (0, X
2
) dX
2
=
¯
X
2
0
(− π + 2 µ ¯ε
1
)
¯
X
1
, X
2
dX
2
,
¯
X
1
¯
X
2
τ
1
=
¯
X
1
0
(− π
1
− 2 µ ¯ε
1
) ( X
1
, 0) dX
1
=
¯
X
1
0
(− π
1
− 2 µ ¯ε
1
)
X
2
,
¯
X
1
dX
1
.
(4.37)
Ensaio II: O campo de deforma¸c˜ao para este ensaio ´e dado por (4.30). Assim,
τ
2
= 2 ¯ε
2
¯
X
2
0
µ (0, X
2
) dX
2
= 2 ¯ε
2
¯
X
2
0
µ
¯
X
1
, X
2
dX
2
,
0 =
¯
X
2
0
π (0, X
2
) dX
2
=
¯
X
2
0
π
¯
X
1
, X
2
dX
2
,
¯
X
1
¯
X
2
τ
2
= 2 ¯ε
2
¯
X
1
0
µ ( X
1
, 0) dX
1
= 2 ¯ε
2
¯
X
1
0
µ
X
2
,
¯
X
1
dX
1
,
0 =
¯
X
1
0
π ( X
1
, 0) dX
1
=
¯
X
1
0
π
X
1
,
¯
X
2
dX
1
.
(4.38)
Substituindo (4.34) – (4.36) em (4.37) – (4.38), obt´em-se um sistema de equa¸c˜oes sobre-
determinado para a determina¸c˜ao dos coeficientes µ
i
, i = 0, . . . , 3, e ˆπ
i
, i = 1, 2. A
solu¸c˜ao deste sistema ´e dada por
2 µ
0
=
τ
2
ε
2
¯
X
2
=
τ
1
ε
1
¯
X
2
, µ
1
= µ
2
= µ
3
= 0, ˆπ
1
= ˆπ
2
= 0. (4.39)
Segue de (4.34) – (4.36) que µ ´e constante (portanto, o cilindro ´e homogˆeneo)
e que π
i
= 0, i = 1, 2, o que est´a consistente com o nosso conhecimento a priori dos
campos de press˜ao para estes ensaios.
O procedimento utilizado para a determina¸c˜ao de µ a partir dos campos de
deforma¸c˜ao conhecidos (4.29) e (4.30) e das for¸cas resultantes sobre partes complementares
dos lados do cilindro pode ser generalizado para o caso em que o cilindro n˜ao ´e homogˆeneo.
Neste caso, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de equil´ıbrio (3.26) para os campos µ e π
i
, i = 1, 2, n˜ao
´e trivial e exige a utiliza¸c˜ao de m´etodos num´ericos que possibilitem construir aproxima¸c˜oes
para estes campos. Na pr´oxima se¸c˜ao apresenta-se uma formula¸c˜ao fraca do problema de
determina¸c˜ao de µ e π
i
, i = 1, 2, que, juntamente com o M´etodo dos Elementos Finitos
51
(MEF), possibilita a constru¸c˜ao destas aproxima¸c˜oes.
4.4.3 Formula¸c˜ao Fraca
Novamente, lembra-se da Se¸c˜ao 4.4.1 que o problema inverso consiste em determi-
nar µ : B → R e o campo de press˜ao π : B → R que satisfa¸cam a equa¸c˜ao de equil´ıbrio
(3.26), onde o termo ∇
s
u satisfaz a restri¸c˜ao cinem´atica (3.21) e est´a relacionado ao
campo de deslocamento u por meio de (3.19). Assume-se que u ∈ A ´e conhecido e que
Γ
g
= ∅ em (3.24). Assume-se tamb´em que for¸cas resultantes s˜ao conhecidas em r partes
complementares de ∂ B, de modo que
R
i
=
∂
i
B
(− π 1 + 2 µ E) n
i
d L, i = 1, 2, ..., r, (4.40)
onde ∂ B ≡
r
i=1
∂
i
B, ∂
i
B
∂
j
B = ∅ para i = j, e n
i
´e a normal exterior a ∂
i
B.
Obviamente,
r
i=1
R
i
= 0.
A formula¸c˜ao fraca do problema inverso consiste em achar µ ∈ L
2
( B) e π ∈
L
2
( B) que satisfa¸cam
−
B
π tr ∇
s
v dA + 2
B
µ ∇
s
u · ∇
s
v dA = 0, ∀ v ∈ V, (4.41)
juntamente com as express˜oes (4.40). Segue da discuss˜ao realizada na Se¸c˜ao 4.4.2 que a
solu¸c˜ao deste problema n˜ao pode ser determinada de um ´unico campo de deslocamento.
Ainda segundo esta discuss˜ao, assume-se o conhecimento de dois campos de deslocamento,
u
1
∈ A e u
2
∈ A, linearmente independentes. Considera-se ent˜ao o problema da
determina¸c˜ao de µ ∈ L
2
( B) e π
i
∈ L
2
( B), i = 1, 2, que satisfa¸cam (4.40) e (4.41)
para os campos de deslocamento u
i
, i = 1, 2, respectivamente.
52
53
5 Elastografia
5.1 Fundamentos da Elastografia
No estudo de tecidos biol´ogicos o parˆametro de rigidez n˜ao pode ser medido dire-
tamente (OPHIR et al., 1999). Um est´ımulo mecˆanico precisa ser propagado no interior do
tecido de modo a provocar movimentos internos deste. T´ecnicas de ultra-som, resonˆancia
magn´etica, ou, alguma outra modalidade de diagn´ostico por imagem s˜ao ent˜ao utilizadas
para medir estes movimentos.
Existem dois grandes grupos de m´etodos de medi¸c˜ao baseados em ultra-som:
1.M´etodos ditos quase-est´aticos em que uma compress˜ao ´e aplicada ao tecido e as
componentes do tensor deforma¸c˜ao s˜ao estimadas (OPHIR et al., 1991, 2001; KALLEL
et al., 1998; DOYLEY; MEANEY; BAMBER, 2000).
2.M´etodos em que se aplicam ao tecido vibra¸c˜oes de baixa freq¨uˆencia e se inspeciona
o comportamento resultante do tecido (WU et al., 2006).
O mais importante ´e o fato de que em ambos os m´etodos os deslocamentos locais
do tecido s˜ao estimados do intervalo entre dois sinais de eco, um de pr´e e outro de p´os-
compress˜ao, cujo gradiente axial ´e ent˜ao computado para estimar e exibir a deforma¸c˜ao
local.
Sendo assim, elastografia ´e um m´etodo n˜ao-invasivo que utiliza as imagens de pr´e
e p´os-compress˜ao de tecidos, para a determina¸c˜ao de campos de deslocamentos internos
que possibilitem inferir as propriedades el´asticas destes tecidos.
Uma hip´otese restritiva que se utiliza na t´ecnica elastogr´afica ´e a analogia de um
modelo f´ısico simplificado de molas para predizer o comportamento mecˆanico de tecidos
moles isotr´opicos e homogˆeneos. Basicamente, o comportamento considerado para estes
tecidos ´e semelhante ao de um sistema com trˆes molas colocadas em s´erie, cada qual
54
identificada com uma constante el´astica, e submetidas a uma for¸ca de compress˜ao. Caso
as constantes el´asticas sejam iguais, ap´os a compress˜ao, as molas apresentar˜ao as mesmas
deforma¸c˜oes. Detalhes dessa hip´otese encontram-se em Ophir et al. (1991) e Ophir e
Yazdi (1992).
No caso de tecidos moles, se uma regi˜ao possui uma inclus˜ao, mesmo que esta
apresente uma constante el´astica bem maior do que o entorno, ´e prov´avel que sofra uma
contra¸c˜ao. Em elastografia, o fato fundamental ´e que a inclus˜ao sofre uma contra¸c˜ao
diferente do meio circundante, permitindo a sua identifica¸c˜ao.
Em Fung (2004), encontra-se a justificativa para a afirma¸c˜ao dada acima, uma vez
que dependendo de sua composi¸c˜ao estrutural os tecidos possuem propriedades mecˆanicas
vari´aveis. Sendo assim, quando submetidos a for¸cas similares, as partes dos tecidos que
possuem m´odulos el´asticos menores deformam-se mais do que as partes que apresentam
m´odulos el´asticos maiores.
No que tange `a diferencia¸c˜ao de estruturas com m´odulos el´asticos distintos, a
elastografia apresenta um grande potencial de vir a se tornar um excelente m´etodo com-
plementar aos exames j´a existentes, principalmente `aqueles convencionais (ultra-som, to-
mografia computadorizada, ou, ressonˆancia magn´etica) em que tais estruturas n˜ao podem
ser distiguidas, ou, s˜ao consideradas invis´ıveis a estes m´etodos (OPHIR et al., 2001).
5.2 O Processo Elastogr´afico
A elastografia difere de alguns m´etodos vibracionais em aspectos importantes,
dentre os quais mencionam-se:
1.A tens˜ao aplicada ao tecido n˜ao ´e vibrat´oria, mas sim quase-est´atica. Isto tende a
evitar problemas devido `as reflex˜oes, ondas estacion´arias e modos permanentes que
possam ser criados no tecido e, em conseq¨uˆencia, venham a interferir na qualidade
da imagem.
2.A tens˜ao uni-axial quase-est´atica que se aplica reduz a complexidade da equa¸c˜ao
viscoel´astica do movimento unidimensional. Esta equa¸c˜ao possui a forma
M
d
2
x
dt
2
+ R
dx
dt
+ Kx = F
0
e
iωt
. (5.1)
A equa¸c˜ao (5.1) cont´em os termos de in´ercia M, de viscosidade R e de rigidez K,
55
sendo ainda x o deslocamento, F
0
a amplitude da for¸ca e ω a freq¨uˆencia vibracional
angular. A forma reduzida mais simples ´e a equa¸c˜ao Hookeana Kx = F
0
; desde que
ω = 0, os termos de velocidade e acelera¸c˜ao sejam desprez´ıveis. Em princ´ıpio, isto
permite isolar e extrair o parˆametro de rigidez local do tecido (K) da medi¸c˜ao da
for¸ca diferencial aplicada F
0
e as conseq¨uentes mudan¸cas locais no deslocamento x.
Para o caso cont´ınuo, a equa¸c˜ao equivalente torna-se εE = σ, onde ε ´e o m´odulo
el´astico, E ´e a deforma¸c˜ao e σ ´e a tens˜ao aplicada.
3.Os n´ıveis m´edios de deforma¸c˜ao produzidos no tecido s˜ao normalmente muito pe-
quenos (da ordem de 0,1%, ou, 0,001). Dentro destes n´ıveis, a equa¸c˜ao Hookeana
´e considerada v´alida. Chegou-se a estes n´ıveis de deforma¸c˜ao atrav´es de estudos de
rela¸c˜ao tens˜ao-deforma¸c˜ao lineares em g´eis e tecidos musculares in vivo feitos por
Mridha e
¨
Odman (1986), cuja validade estendeu-se at´e n´ıveis de deforma¸c˜ao de 2,5%
(ou 0,025). Estas deforma¸c˜oes s˜ao pequenas para manter as distor¸c˜oes no tempo
de mudan¸ca dos sinais de eco (antes das corre¸c˜oes) a um m´ınimo; por conseguinte
mantendo um baixo n´ıvel de ru´ıdo de descorrela¸c˜ao no elastograma. Ao se fazer
as corre¸c˜oes adequadas, no entanto, ´e poss´ıvel aumentar a tens˜ao aplicada e obter
ganhos no contraste da imagem, respeitando os limites dos m´etodos de corre¸c˜ao,
sendo isto talvez o mais importante segundo Ophir et al. (1999).
4.A elastografia ´e capaz de produzir imagens de alta resolu¸c˜ao (elastogramas) (OPHIR
et al., 1991, 2001). O termo “elastograma” ´e utilizado como um descri¸c˜ao gen´erica
de todos os diferentes tipos de imagens que mostram alguns parˆametros que est˜ao
relacionados com o comportamento el´astico, ou, natureza do tecido. Nesse sentido,
elastogramas s˜ao descritos como imagens que exibem deforma¸c˜oes axiais, ou, late-
rais, a distribui¸c˜ao do m´odulo el´astico ao cisalhamento, ou, o coeficiente de Poisson
nos tecidos.
O processo geral para a produ¸c˜ao de elastogramas convencionais pode ser descrito
como o que se apresenta na Fig. 9. O processo inicia-se com a distribui¸c˜ao do contraste
do m´odulo tissular e finaliza com um elastograma da distribui¸c˜ao do m´odulo el´astico ao
cisalhamento correspondente, sendo o tecido submetido a processos de compress˜ao quase
est´aticos e restrito a condi¸c˜oes de contorno mecˆanicas. A obten¸c˜ao do elastograma do
m´odulo de elasticidade ao cisalhamento por meio da solu¸c˜ao do problema inverso ´e um
ponto de contribui¸c˜ao ´otima ao processo (OPHIR et al., 1999).
Deve-se a Ophir et al. (1991), Ophir e Yazdi (1992) a idealiza¸c˜ao da instru-
menta¸c˜ao para obter os elastogramas tal qual se apresenta na Fig. 10. Resumidamente,
56
Figura 9: Processo de gera¸c˜ao de elastogramas de deforma¸c˜ao e do m´odulo el´astico ao
cisalhamento do tecido.
Fonte: Adaptado de (OPHIR et al., 1999).
o sistema ´e composto de uma estrutura r´ıgida com um motor acoplado. O membro axial
possui duas extremidades, sendo a primeira acoplada ao motor e podendo-se variar a
posi¸c˜ao axial com o uso deste. A segunda extremidade do membro axial liga-se ao emis-
sor de ultra-som que transmite as ondas ultra-sˆonicas por meio de uma superf´ıcie que ´e
dita sonicamente acoplada ao corpo alvo, ou, phantom. Um transmissor ´e conectado ao
emissor, ou, fonte de ultra-som e a um receptor de seq¨uˆencia de sinais de ecos vindas do
corpo alvo em resposta aos sinais transmitidos pela fonte no corpo alvo. Um digitaliza-
dor conectado ao receptor e oper´avel digitaliza as seq¨uˆencias de ecos e um processador
conectado ao digitalizador, e tamb´em oper´avel, converte a seq¨uˆencia de sinais de eco em
um perfil de deforma¸c˜ao.
A Fig. 11 apresenta um exemplo de montagem experimental para ensaio de corpos
de prova em elastografia in vitro presente no trablho de Doyley, Meaney e Bamber (2000).
Estes autores mesmo tendo feito um ensaio com carregamento quase-est´atico, uma vez
que a deforma¸c˜ao total aplicada na dire¸c˜ao vertical de 2% foi dividida em passos de 0, 2%,
regularam o receptor de ultra-som para gera¸c˜ao dos quadros de imagens, denominados
frames, para um carregamento dinˆamico. Deste modo foi poss´ıvel obter mais detalhes
sobre cada passo de carga e o comportamento do phantom. Este aparato experimental
57
Figura 10: Instrumenta¸c˜ao para gerar elastograma a partir da compress˜ao de um corpo
de prova denominado phantom.
Fonte: Adaptado de (OPHIR; YAZDI, 1992).
est´a de acordo com o esquema que se apresenta na Fig. 10.
Citando Yang e Huang (2003), pode-se dar outro exemplo de estudo com phan-
toms. Estes autores prop˜oem uma outra metodologia na an´alise de comportamento de ma-
teriais usando t´ecnicas de correla¸c˜ao cruzada; por exemplo, fun¸c˜oes de correla¸c˜ao cruzada
por partes, para estimar o perfil de deforma¸c˜ao axial nestes phantoms. Adicionalmente,
usam o que se denomina filtro harmˆonico secund´ario, do qual obt´em-se o sinal de eco
secund´ario, para aux´ılio na obten¸c˜ao do perfil de deforma¸c˜oes em casos dinˆamicos, tanto
para phantoms homogˆeneos como para aqueles formados por dois materiais distintos. As
metodologias mais correntes que se empregam em an´alise de elastogramas est˜ao listadas
na pr´oxima subse¸c˜ao.
5.2.1 M´etodos de Processamento de Elastogramas
As t´ecnicas mencionada abaixo s˜ao usualmente empregadas na an´alise de elasto-
gramas para a obten¸c˜ao dos campos de deslocamento.
1.T´ecnicas de Correla¸c˜ao - A elastografia padr˜ao utiliza a t´ecnica de correla¸c˜ao cruzada
coerente, ou, fun¸c˜ao correla¸c˜ao cruzada por partes para estimar os deslocamentos em
58
Figura 11: Phantom indicado pela seta no centro da ilustra¸c˜ao em posi¸c˜ao de pr´e-
deforma¸c˜ao no sistema elastogr´afico experimental.
Fonte: Doyley, Meaney e Bamber (2000).
tecidos e a deforma¸c˜ao dos tecidos com o uso subseq¨uente de um operador gradiente.
Enquanto que os m´etodos de estimativas ditos coerentes tˆem a vantagem de serem
altamente precisos, os estimadores ditos incoerentes s˜ao menos precisos, por´em mais
robustos, al´em de facilitar o seu uso pr´atico. Um gr´afico de fluxo ilustra os conceitos
b´asicos de ambas as t´ecnicas elastogr´aficas, coerente e incoerente, na Fig. 12.
2.M´etodos Baseados na Fase - Utilizam a mudan¸ca de fase dos sinais de eco do trans-
dutor de ultra-som para medir os pequenos deslocamentos do tecido.
3.Estimador de Deforma¸c˜ao por M´ınimos Quadrados.
4.M´etodo Butterfly Search - M´etodo determin´ıstico baseado na desigualdade de Schwartz
para determina¸c˜ao de deslocamentos vindos de um envelope de sinais complexos, ou
seja, faz a an´alise de mais de dois pares de linhas A
1
por vez.
1
Em processamento de imagem pode-se descrever um par de linhas do seguinte modo: seja um fundo
branco com linhas pretas e espa¸cadas. Ser´a considerado um par de linhas a uni˜ao da linha preta com o
espa¸co em branco que a intercala de outra linha preta. Quando os fot´ografos dizem “linhas de defini¸c˜ao”,
est˜ao falando destes pares de linhas por mil´ımetros da imagem. Na televis˜ao e v´ıdeo, um par de linhas
´e igual a duas linhas da tevˆe, ou, pixels, de defini¸c˜ao. Veja mais detalhes em Koyama (2006). Em
Elastografia um par de linhas A ´e o conjunto formado pelos sinais de pr´e e de p´os-deforma¸c˜ao adquiridos
pelo transdutor de recep¸c˜ao (YANG; HUANG, 2003). Sendo assim, para o processamento de imagem, o
par ´e formado de linhas do mesmo quadro, enquanto que em elastografia o par ´e formado de elementos
vindos de quadros distintos.
59
Figura 12: Fluxograma para ilustrar os conceitos b´asicos e estrat´egias de processamento
de sinais de m´etodos elastogr´aficos coerentes e incoerentes.
Fonte: Adaptado de Hoyt (2005).
60
5.Estimadores de Deforma¸c˜ao Espectral - M´etodos usados para estimativa direta da
deforma¸c˜ao sem o uso de operadores gradientes amplificadores de ru´ıdos na an´alise,
podendo a deforma¸c˜ao ter seu c´alculo feito por correla¸c˜ao cruzada espectral, ou, por
mudan¸ca do centr´oide espectral. Pode-se citar como exemplo de uso destes m´etodos
o trabalho de Hoyt (2005).
6.A T´ecnica Block Matching - Os padr˜oes de speckles pr´e e p´os-deforma¸c˜ao constituem
o que se de define como block matching. Esta t´ecnica consiste em comparar regi˜oes,
ou, kernels, no mapa de pr´e-deforma¸c˜ao com regi˜oes de mesmo tamanho no mapa
de p´os-deforma¸c˜ao. O tamanho do kernel, na t´ecnica block matching, ´e um dos
principais parˆametros para melhorar a precis˜ao das medidas de deslocamento. Esta
compara¸c˜ao ´e feita pela minimiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao custo, detre as quais citam-
se:
* SAD (Sum Absolute Differences)
* SSD (Sum Square Differences)
* NCC (Normal Cross-Corelation)
A fun¸c˜ao custo NCC ´e a que fornece os melhores resultados por reter mais in-
forma¸c˜oes do sinal; por´em, ´e a que apresenta o maior custo computacional quando
comparadas com as fun¸c˜oes SAD e SSD. J´a as fun¸c˜oes custo SAD e SSD possuem
desempenho muito semelhante. Um breve resumo sobre estas t´ecnicas aplicadas no
processamento de elastogramas ´e apresentado em Neves (2007).
Maiores detalhes sobre procedimentos para a medi¸c˜ao de campos de deslocamentos
com o uso de ultra-som encontram-se nos trabalhos de Hall e Zhu (2003) e Radulescu
(2007).
5.2.2 Aplica¸c˜oes da Elastografia
Segundo Ophir et al. (2001), a elastografia pode ser aplicada a qualquer sistema
de tecidos que seja acess´ıvel por ultra-som e que possa ser sujeito a pequenas compress˜oes
est´aticas. Esta compress˜ao pode ser aplicada externamente, ou, internamente. A elasto-
grafia ´e aplicada na an´alise in vivo de imagens de mama, pr´ostata e tecidos vasculares.
Muitos estudos in vitro demostram o potencial da elastografia no estudo de imagens da
anatomia normal. Demonstra-se o potencial de utilidade da elastografia tamb´em em mo-
nitora¸c˜ao terapˆeutica t´ermica.
61
Como exemplo, a Fig. 13 apresenta a anatomia normal de um rim ovino, cuja
imagem elastogr´afica apresenta uma riqueza de detalhes muito superior `a imagem de ultra-
som em modo B convencional para diferencia¸c˜ao das estruturas do tecido que comp˜oem
o ´org˜ao, perdendo somente em detalhes para a fotografia.
Sonograma Elastograma Fotografia
Figura 13: Da esquerda para a direita: sonograma longitudinal, elastograma e fotografia
de um corte longitudinal de um rim ovino.
Fonte: http://www.uth.tmc.edu/schools/med/rad/elasto/.
5.3 Proposi¸c˜ao de Experimentos em Elastografia
5.3.1 Considera¸c˜oes Iniciais
Esta se¸c˜ao trata da proposi¸c˜ao de alguns experimentos para a determina¸c˜ao
das constantes de Lam´e de forma ´unica. Em geral, o problema da determina¸c˜ao dos
parˆametros el´asticos ´e mal-posto, pois as equa¸c˜oes governantes s˜ao do tipo hiperb´olico e
n˜ao se conhecem os valores destes parˆametros no contorno do corpo. Demonstra-se em
Barbone e Gokhale (2004), no entanto, que a realiza¸c˜ao de diferentes ensaios mecˆanicos so-
bre o mesmo corpo, com a conseq¨uente determina¸c˜ao de diferentes campos de deforma¸c˜ao,
´e suficiente para a determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ de um corpo
el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel sob EPD e sob condi¸c˜oes particulares de carre-
gamento. Segundo estes autores, a realiza¸c˜ao de dois experimentos que produzam campos
de deslocamento linearmente independentes entre si ´e suficiente para determinar µ com
exce¸c˜ao de quatro constantes. Se quatro experimentos forem utilizados, ent˜ao µ ´e deter-
minado com exce¸c˜ao de uma constante.
Neste trabalho consideram-se os ensaios biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao e de cisa-
lhamento de um cilindro reto sob EPD perpendicular ao seu eixo para a determina¸c˜ao
62
do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ. Considera-se que o material do cilindro
´e el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel. Estes ensaios est˜ao descritos na pr´oxima
se¸c˜ao.
Deste modo, os experimentos propostos visam a medi¸c˜ao do campo de desloca-
mento utilizando, por exemplo, a t´ecnica desenvolvida por Neves (2007), com a deter-
mina¸c˜ao do campo de deforma¸c˜ao infinitesimal correspondente, o qual ´e proporcional `a
rigidez interna do material. Logo, ao se relacionar as deforma¸c˜oes com as tens˜oes por meio
da Lei de Hooke Generalizada e ao se impor a condi¸c˜ao de que o corpo deve satisfazer as
leis de balan¸co da Mecˆanica do Cont´ınuo, obtˆem-se express˜oes para a determina¸c˜ao de µ.
5.3.2 Ensaios Biaxial de Tra¸c˜ao-Compress˜ao e de Cisalhamento
Os ensaios biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao e de cisalhamento em um corpo isento
de inclus˜oes fornecem campos de deforma¸c˜ao uniformes, conforme visto na Se¸c˜ao 4.4.2.
Al´em disso, estes ensaios fornecem campos de deslocamento linearmente independentes
(BARBONE; GOKHALE, 2004).
Considera-se um cilindro reto, longo e de sec¸c˜ao retangular, cuja largura ´e
¯
X
1
=
50 mm, a altura ´e
¯
X
2
= 50 mm contendo uma inclus˜ao cil´ındrica reta, longa de sec¸c˜ao
circular de raio r, o qual pode assumir os valores 0, 2, 4 e 6 mm. O cilindro reto est´a sob
estado plano de deforma¸c˜ao (EPD) paralelo ao plano X
1
X
2
. Assume-se que a for¸ca de
corpo ´e nula. Estes problemas, devido `a presen¸ca da inclus˜ao, n˜ao fornecem os campos de
deslocamento uniformes, resultando em varia¸c˜ao dos termos de press˜ao ao longo de todo
o dom´ınio.
Inicialmente, consideram-se os dois ensaios ilustrados na Fig. 14. No lado es-
querdo mostra-se o ensaio biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao. Neste caso, o carregamento
sobre as bordas da chapa ´e dado por
i)
¯
X
2
0
T e
1
dX
2
= τ
1
e
1
sobre X
1
= 0 e X
1
=
¯
X
1
,
ii)
¯
X
1
0
T e
2
dX
1
= −
¯
X
1
¯
X
2
τ
1
e
2
sobre X
2
= 0 e X
2
=
¯
X
2
,
(5.2)
onde τ
i
, i = 1, 2, s˜ao resultantes de for¸ca, por unidade de comprimento na dire¸c˜ao axial
do cilindro reto, obtidas experimentalmente.
63
No lado direito da Fig. 14 mostra-se um ensaio de cisalhamento para o qual o
carregamento sobre as bordas do cilindro reto ´e dado por
i)
¯
X
2
0
T e
1
dX
2
= τ
2
e
2
sobre X
1
= 0 e X
1
=
¯
X
1
,
ii)
¯
X
1
0
T e
2
dX
1
=
¯
X
1
¯
X
2
τ
2
e
1
sobre X
2
= 0 e X
2
=
¯
X
2
,
(5.3)
onde F ´e uma for¸ca resultante, por unidade de comprimento na dire¸c˜ao axial do cilindro
reto, obtida experimentalmente.
Al´em das for¸cas resultantes, estes ensaios possibilitam obter dois campos de des-
locamento independentes segundo Barbone e Gokhale (2004). Estes campos de deslo-
camento s˜ao obtidos experimentalmente atrav´es de t´ecnicas experimentais discutidas na
Se¸c˜ao 5. Neste trabalho, utiliza-se o programa de elementos finitos ANSYS 5.5 para si-
mular os dois ensaios a) e b) da Fig. 14 e para calcular as for¸cas resultantes τ
1
e τ
2
. As
condi¸c˜oes nas bordas do cilindro reto para realizar estas simula¸c˜oes s˜ao dadas a seguir.
i) Ensaio biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao:
a)Bordas Verticais:
u
1
(0, X
2
) = 0, u
1
¯
X
1
, X
2
= ¯ε
1
¯
X
1
,
(e
2
· T e
1
) (0, X
2
) = (e
2
· T e
1
)
¯
X
1
, X
2
= 0.
(5.4)
b)Bordas Horizontais:
u
2
(X
1
, 0) = 0, u
2
X
1
,
¯
X
2
= −¯ε
1
α
2
,
(e
1
· T e
2
) (X
1
, 0) = (e
1
· T e
2
)
X
1
,
¯
X
2
= 0.
(5.5)
Ensaio de cisalhamento:
a)Bordas Verticais
u
1
(0, X
2
) = u
1
¯
X
1
, X
2
= 2 ¯ε
2
X
2
,
u
2
(0, X
2
) = u
2
¯
X
1
, X
2
= 0,
(5.6)
64
b)Bordas Horizontais
u
2
(X
1
, 0) = u
2
X
1
,
¯
X
2
= 0,
u
1
(X
1
, 0) = u
1
X
1
,
¯
X
2
= 2 ¯ε
2
¯
X
2
,
(5.7)
Figura 14: Ensaios para a obten¸c˜ao dos campos de deslocamento independentes e das
for¸cas resultantes sobre as bordas da chapa.
Na pr´oxima se¸c˜ao apresenta-se a formula¸c˜ao num´erica utilizada na obten¸c˜ao de
valores aproximados para µ e π a partir de campos de deslocamento conhecidos.
65
6 Formula¸c˜ao Num´erica
Na Se¸c˜ao 6.1 apresentam-se os conceitos b´asicos sobre o m´etodo dos elementos
finitos (MEF) para o caso unidimensional. Na Se¸c˜ao 6.2 desenvolve-se a formula¸c˜ao
discreta via MEF para o problema direto bidimensional. A Se¸c˜ao 6.3 apresenta o MEF
aplicado ao estudo da determina¸c˜ao de µ e π utilizando os conceitos desenvolvidos nas
se¸c˜oes anteriores.
6.1 Aspectos B´asicos do M´etodo dos Elementos Finitos-MEF
Nesta se¸c˜ao apresentam-se conceitos b´asicos do M´etodo dos Elementos Finitos
(MEF), a partir da formula¸c˜ao fraca apresentada na Se¸c˜ao 3. Para facilitar a exposi¸c˜ao,
consideram-se somente problemas uni-dimensionais lineares.
Os principais constituintes do M´etodo dos Elementos Finitos cl´assico para a
solu¸c˜ao de um problema de valor de contorno s˜ao:
i. A formula¸c˜ao variacional, ou, fraca do problema;
ii. A aproxima¸c˜ao das equa¸c˜oes variacionais correspondentes utilizando s´erie
finita de fun¸c˜oes cont´ınuas com suportes que tendem a pontos `a medida que o n´umero de
termos na s´erie tende ao infinito.
6.1.1 Formula¸c˜ao Forte, ou, Cl´assica
Considere uma barra prism´atica de comprimento unit´ario sujeita a um carrega-
mento axial de intensidade b(X), conforme ilustrado na Fig. 15. A barra ´e homogˆenea com
m´odulo de elasticidade E. Sob as hip´oteses de pequenos deslocamentos e deforma¸c˜oes,
tem-se que
66
σ = E u (Lei de Hooke) ,
σ
,X
+ b = 0 (Equa¸c˜ao de equil´ıbrio) ,
(6.1)
no intervalo aberto ]0, 1[, onde σ ´e a tens˜ao normal `a se¸c˜ao transversal da barra, u ´e o
campo de deslocamento que se deseja calcular e (·)
,X
denota diferenciac˜ao com respeito a
X ∈ ]0, 1[, de modo que σ
,X
= dσ/dX.
Figura 15: Barra prism´atica de comprimento unit´ario.
Assuma que b : ]0, 1[ → R ´e uma fun¸c˜ao escalar suave e definida no intervalo
fechado [0, 1]. Tomando E = 1 e eliminando σ entre as duas equa¸c˜oes de (6.1), obt´em-se
u
,XX
+ b = 0 em ]0, 1[ . (6.2)
Al´em da equa¸c˜ao (6.2), deve-se impor condi¸c˜oes em u, ou, em suas derivadas no
contorno da barra para determinar u de forma ´unica em [0, 1]. Aqui, assume-se que u
deve satisfazer
u (1) = g,
−u
,X
(0) = f,
(6.3)
onde, por raz˜oes ´obvias, as condi¸c˜oes de contorno do tipo (6.3) conduzem ao chamado
problema de valor de contorno de dois pontos. A formula¸c˜ao forte deste problema ´e dada
abaixo.
(S)
Dados b : [0, 1] → R suave e g e f constantes, achar u : [0, 1] → R tal que
u
,XX
+ b = 0 em ]0, 1[
u (1) = g,
−u
,X
(0) = f.
(6.4)
A solu¸c˜ao exata de (S) ´e dada por
67
u (X) = g + (1 − X) f +
1
X
Y
0
b (Z) dZ
dY. (6.5)
6.1.2 Formula¸c˜ao Fraca, ou, Variacional
Para obter a forma fraca, ou, variacional de (S), necessita-se caracterizar duas
classes de fun¸c˜oes. A primeira ´e a classe de fun¸c˜oes admiss´ıveis, a qual ´e composta de
fun¸c˜oes que satisfazem a condi¸c˜ao de contorno u(1) = g. A outra condi¸c˜ao de contorno,
dada por −u
,X
(0) = f n˜ao ´e requerida na defini¸c˜ao. Imp˜oe-se tamb´em que
1
0
[u
2
+ (u
,X
)
2
]dX < ∞, (6.6)
onde u ´e uma fun¸c˜ao admiss´ıvel.
As fun¸c˜oes que satisfazem (6.6) s˜ao denominadas fun¸c˜oes H
1
em (0, 1). Assim, o
conjunto de fun¸c˜oes admiss´ıveis ´e dado por
γ ≡
u|u ∈ H
1
, u (1) = g
. (6.7)
A segunda classe de fun¸c˜oes ´e chamada classe de fun¸c˜oes de teste e ´e dada por
ς ≡
w|w ∈ H
1
, w(1) = 0
. (6.8)
Ambas as defini¸c˜oes, (6.7) e (6.8), s˜ao particulariza¸c˜oes para o caso unidimensi-
onal das defini¸c˜oes de A e V, respectivamente, introduzidas na Se¸c˜ao 3.4.
Em termos das defini¸c˜oes anteriores, pode-se agora estabelecer uma forma fraca
apropriada, (W ), do problema de valor de contorno (S).
(W )
Dados b : [0, 1] → R suave e f constante, achar u ∈ γ tal que
1
0
w
,X
u
,X
dX =
1
0
w b dX + w (0) f, ∀w ∈ ς.
(6.9)
Mostra-se no Apˆendice B que as formula¸c˜oes forte (S) e fraca (W ) s˜ao equivalentes.
A condi¸c˜ao de contorno u
,X
(0) = f n˜ao aparece na defini¸c˜ao de γ em (6.7). No
entanto, observe de (6.9) que esta condi¸c˜ao aparece naturalmente na formula¸c˜ao fraca
(W ). Por este motivo, esta condi¸c˜ao ´e chamada condi¸c˜ao de contorno natural. Por outro
68
lado, a condi¸c˜ao de contorno u(1) = g faz parte da defini¸c˜ao de γ em (6.7). Por este
motivo, esta condi¸c˜ao ´e chamada condi¸c˜ao de contorno essencial.
O M´etodo dos Elementos Finitos permite obter uma solu¸c˜ao aproximada do pro-
blema (W) em (6.9). A id´eia b´asica do m´etodo ´e aproximar γ e ς por conjuntos de fun¸c˜oes
convenientes de dimens˜oes finitas.
Introduz-se agora algumas defini¸c˜oes que ser˜ao utilizadas a seguir na apresenta¸c˜ao
do M´etodo dos Elementos Finitos. Sejam, portanto,
a (w, u) =
1
0
w
,X
u
,X
dX, (6.10)
(w, b) =
1
0
w b dX. (6.11)
formas bilineares sim´etricas. Claramente, a(·, ·) e (·, ·) s˜ao sim´etricos, pois, dadas as
fun¸c˜oes u, v ∈ H
1
,
a (u, v) = a (v, u)
(u, v) = (v, u)
(6.12)
Al´em disso, dadas as constantes c
1
, c
2
∈ R e as fun¸c˜oes u, v, w ∈ H
1
, as express˜oes (6.10)
e (6.11) s˜ao bilineares, pois elas satisfazem as rela¸c˜oes
a (c
1
u + c
2
v, w) = c
1
a (u, w) +c
2
a (v, w) , a (u, c
1
v + c
2
w) = c
1
a (u, v) + c
2
a (u, w)
(c
1
u + c
2
v, w) = c
1
(u, w) +c
2
(v, w) , (u, c
1
v + c
2
w) = c
1
(u, v) + c
2
(u, w)
Em termos de (6.10) e (6.11), a equa¸c˜ao variacional (6.9) toma a forma
a (w, u) = (w, b) + w (0) f, ∀ w ∈ ς. (6.13)
6.1.3 M´etodo de Aproxima¸c˜ao de Galerkin
Descreve-se agora um m´etodo para obter solu¸c˜oes aproximadas de (W ) em (6.9).
O primeiro passo no desenvolvimento do m´etodo ´e construir subconjuntos de dimens˜oes
finitas de γ e ς, os quais s˜ao denotados por γ
h
e ς
h
, respectivamente. O ´ındice h refere-se
69
`a associa¸c˜ao de γ
h
e ς
h
com uma divis˜ao, ou, discretiza¸c˜ao do dom´ınio ]0, 1[, a qual ´e
parametrizada por um comprimento caracter´ıstico h.
Uma vez que
γ
h
⊂ γ, ς
h
⊂ ς, (6.14)
segue de (6.7), (6.8) e (6.14) que se u
h
∈ γ
h
e se w
h
∈ ς
h
, ent˜ao
u
h
(1) = g, w
h
(1) = 0 (6.15)
Claramente, os conjuntos ς e ς
h
s˜ao espa¸cos lineares de fun¸c˜oes, pois se c
1
e c
2
s˜ao constantes e v e w est˜ao em ς, ent˜ao c
1
v + c
2
w tamb´em est´a em ς. Contudo, essas
propriedades n˜ao s˜ao claramente compartilhadas por γ e γ
h
devido `a n˜ao homogeneidade
das condi¸c˜oes de contorno. Por exemplo, se u
1
e u
2
s˜ao membros de γ, ent˜ao u
1
+ u
2
/∈ γ,
uma vez que u
1
(1) +u
2
(1) = g + g = 2g, em viola¸c˜ao `a defini¸c˜ao de γ. Os conjuntos γ e
γ
h
s˜ao chamados espa¸cos lineares afins.
Assume-se dado o conjunto υ
h
. Por conseguinte, para cada membro v
h
∈ ς
h
,
constr´oi-se uma fun¸c˜ao u
h
∈ γ
h
tal que
u
h
= v
h
+ g
h
, (6.16)
onde g
h
´e uma fun¸c˜ao conhecida que satisfaz a condi¸c˜ao de contorno essencial
g
h
(1) = g. (6.17)
Note de (6.17) que (6.16) satisfaz tamb´em as requeridas condi¸c˜oes de contorno:
u
h
(1) = v
h
(1) + g
h
(1) = g. (6.18)
Assim, define-se γ
h
como o conjunto de todas as fun¸c˜oes da forma (6.16).
Tomando u
h
∈ γ
h
e w
h
∈ ς
h
, escreve-se a equa¸c˜ao variacional (6.13) na forma
a
w
h
, u
h
=
w
h
, b
h
+ w
h
(0) f, ∀ w
h
∈ ς
h
. (6.19)
Substituindo (6.16) em (6.19) e utilizando a bilinearidade de a(·, ·), obt´em-se:
70
a
w
h
, v
h
=
w
h
, b
+ w
h
(0) f − a
w
h
, g
h
, ∀ w
h
∈ ς
h
. (6.20)
O lado direito consiste de termos associados com dados fornecidos, ou seja, b, g,
e f. A equa¸c˜ao (6.20) ´e usada para obter v
h
, a parte desconhecida de u
h
. Obt´em-se assim
a formula¸c˜ao de Galerkin do problema (W ) em (6.9) como segue:
(G)
Dados b : [0, 1] → R suave e f constante, achar v
h
∈ ς
h
tal que
a
w
h
, v
h
=
w
h
, b
+ w
h
(0) f − a
w
h
, g
h
, ∀ w
h
∈ ς
h
.
(6.21)
Note que (G) ´e uma vers˜ao discreta de (W ) que utiliza uma cole¸c˜ao finita ς
h
de fun¸c˜oes de base cont´ınuas. Denomina-se a equa¸c˜ao (6.20) de Equa¸c˜ao de Galerkin.
Ver-se-´a a seguir que o m´etodo de Galerkin fornece um sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas
lineares que permite determinar v
h
∈ ς
h
.
6.1.4 Sistema de Equa¸c˜oes Lineares
Seja
0 = X
1
< X
2
< . . . < X
n+1
= 1 (6.22)
uma parti¸c˜ao do intervalo [0, 1] em sub-intervalos
I
j
= (X
j
, X
j+1
), j = 1, 2, . . . , n, (6.23)
de comprimento
h
j
= X
j+1
− X
j
, j = 1, 2, . . . , n. (6.24)
Os subintervalos s˜ao chamados elementos finitos do dom´ınio, ou simplesmente,
elemento. Note de (6.24) que o comprimento dos elementos n˜ao s˜ao necessariamente
iguais. O parˆametro da malha, h, ´e geralmente tomado como sendo o comprimento
m´aximo de um subintervalo (isso ´e, h = max h
i
, i = 1, 2, . . . , n). Assim, uma malha
refinada possui h pequeno. Se os comprimentos dos subintervalos s˜ao iguais, ent˜ao h =
1/n.
71
Considere agora fun¸c˜oes N
i
, i = 1, 2, . . . , n + 1, com a propriedade
N
i
(X
j
) = δ
ij
, i, j = 1, 2, . . . , n + 1, (6.25)
onde δ
ij
´e o delta de Kronecker. Estas fun¸c˜oes s˜ao chamada fun¸c˜oes de forma.
Claramente, N
i
∈ ς para i = 1, 2, . . . , n, e uma fun¸c˜ao w
h
∈ ς pode ser repre-
sentada na forma
w
h
(X) =
n
i=1
c
i
N
i
(X) . (6.26)
Al´em disso, pode-se representar g
h
na forma
g
h
(X) = g N
n+1
(X) , (6.27)
de modo a satisfazer (6.17).
Com essas defini¸c˜oes, uma fun¸c˜ao admiss´ıvel u
h
∈ γ
h
pode ser escrita como
u
h
= v
h
+ g
h
=
n
i=1
d
i
N
i
+ g N
n+1
, (6.28)
onde os d
i
’s s˜ao parˆametros a determinar. Substituindo (6.26), (6.27) e (6.28) na equa¸c˜ao
de Galerkin (6.21) tem-se
a
n
i=1
c
i
N
i
,
n
j=1
c
j
N
j
=
n
i=1
c
i
N
i
, b
+
n
i=1
c
i
N
i
(0)
f − a
n
i=1
c
i
N
i
, g N
n+1
(6.29)
Com o uso da bilinearidade de ambos, a(·, ·) e (·, ·), (6.29) torna-se
0 =
n
i=1
c
i
G
i
, (6.30)
onde
G
i
=
n
j=1
a (N
i
, N
j
) d
j
− (N
i
, b) − N
i
(0) f − a (N
i
, N
n+1
) g (6.31)
72
Uma vez que os c
i
’s s˜ao arbitr´arios em (6.30), pois w
h
´e arbitr´ario, segue de (6.30)
e (6.31) que G
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n. Isto implica de (6.31) que
n
j=1
a (N
i
, N
j
) d
j
= (N
i
, b) − N
i
(0) f − a (N
i
, N
n+1
) g, i = 1, 2, . . . , n. (6.32)
Note que todos os termos s˜ao conhecidos em (6.32), exceto d
j
, j = 1, . . . , n. As
equa¸c˜oes (6.32) constituem um sistema de n equa¸c˜oes a n inc´ognitas. Este sistema pode
ser escrito em uma forma mais concisa como segue.
Sejam
K
ij
= a (N
i
, N
j
) , (6.33)
e
F
i
= (N
i
, b) + N
i
(0) f − a
N
i
, N
n+1
g (6.34)
para i, j = 1, 2, . . . , n. Ent˜ao, (6.32) torna-se
n
j=1
K
ij
d
j
= F
i
, i = 1, 2, . . . , n. (6.35)
Agora, defina as matrizes
K =
K
11
K
12
. . . K
1n
K
21
K
22
. . . K
2n
. . .
. . .
. . .
K
n1
K
n2
. . . K
nn
, (6.36)
73
F =
F
1
F
2
.
.
.
F
n
, (6.37)
e
d =
d
1
d
2
.
.
.
d
n
. (6.38)
As defini¸c˜oes (6.36)-(6.38) permitem escrever (6.35) na forma matricial
Kd = F. (6.39)
Chama-se K de matriz de rigidez, F de vetor for¸ca e d de vetor deslocamento.
O problema de Galerkin (G) em (6.21) pode ent˜ao ser escrito na forma abaixo.
(M)
Dados a matriz K e o vetor F, achar o vetor d tal que
Kd = F.
Uma vez que K ´e invers´ıvel, a solu¸c˜ao de (M) ´e d = K
−1
F. Conhecido d, obt´em-se a
solu¸c˜ao u
h
de (G) em qualquer ponto X ∈ [0, 1] empregando (6.28). Por conveniˆencia,
reescreve-se (6.28) na forma
u
h
(X) =
n+1
i=1
d
i
N
i
, (6.40)
onde d
i+1
≡ g.
Ressalta-se que a solu¸c˜ao de (G) ´e uma solu¸c˜ao aproximada de (W ). Conseq¨uen-
temente, a equa¸c˜ao diferencial e as condi¸c˜oes de contorno naturais s˜ao aproximadamente
74
satisfeitas. A qualidade da aproxima¸c˜ao depende da escolha dos N
i
’s e do n´umero de
parti¸c˜oes n.
6.1.5 Fun¸c˜oes de Forma Lineares por Partes
Neste trabalho, consideram-se fun¸c˜oes de forma lineares por partes, as quais s˜ao
definidas por
N
i
(X) =
(X − X
i−1
)
h
i−1
, X
i−1
X X
i
,
(X
i+1
− X)
h
i
, X
i
X X
i+1
,
0, caso contr´ario,
(6.41)
para os n´os interiores, ou seja, para i = 2, 3, . . . , n, e
N
1
(X) =
(X
2
− X)
h
1
, X
1
X X
2
,
0, caso contr´ario,
N
n+1
(X) =
(X − X
n
)
h
n
, X
n
X X
n+1
0, caso contr´ario,
(6.42)
para os n´os do contorno.
Note de ambos, (6.41) e (6.42), que as fun¸c˜oes de forma s˜ao cont´ınuas com deri-
vadas cont´ınuas por partes e satisfazem a propriedade (6.25).
6.1.6 Propriedades da Matriz K
Observe de (6.41) e (6.42) que a fun¸c˜ao de forma N
i
´e nula fora da vizinhan¸ca do
n´o X
i
, conforme ilustrado na Fig. 16. De fato,
K
ij
=
1
0
N
i,X
N
j,X
dX = 0 para |j − i| > 1, (6.43)
resultando em uma matriz K esparsa.
Observe de (6.43) que K ´e semi-diagonal, pois os seus valores diferentes de zero
est˜ao em uma banda sobre a diagonal principal, ou seja,
75
Figura 16: Fun¸c˜oes de base quando |j −i| > 1 em que os suportes de N
i
e N
j
n˜ao se
sobrep˜oem.
Fonte: Adaptado de Hughes (1987).
K =
K
11
K
12
0 ··· 0
K
21
K
22
K
23
0
0 K
32
K
33
K
34
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0 K
n−2,n−3
K
n−2,n−2
K
n−2,n−1
.
.
.
.
.
. 0 K
n−1,n−2
K
n−1,n−1
K
n−1,n
0 ··· 0 K
n,n−1
K
n,n
(6.44)
Matrizes semi-diagonais do tipo mostrado em (6.44) tˆem vantagens significativas,
uma vez que os elementos nulos fora da banda n˜ao s˜ao armazenados e nem operados
pelos computadores. Em geral, a matriz de rigidez obtida do m´etodo de elementos finitos
possui uma banda estreita. Esta propriedade permite armazenar somente os elementos
diferentes de zero, o que conduz `a solu¸c˜oes com menos custo computacional.
Observe de (6.33) juntamente com (6.10) que a matriz K ´e sim´etria, uma vez que
a(·, ·) ´e sim´etrico, e positiva definida, pois se w
h
(X) =
n
i=1
c
i
N
i
(X) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria
de ς (portanto, com coeficientes arbitr´arios c
i
), ent˜ao
n
i=1
n
j=1
c
i
a (N
i
, N
j
) c
j
= a
n
i=1
c
i
N
i
,
n
j=1
c
j
N
j
= a
w
h
, w
h
0. (6.45)
Se a(w
h
, w
h
) = 0, ent˜ao w
h
deve ser constante em ]0, 1[. Uma vez que w
h
∈ ς, w
h
(1) = 0.
Portanto,
0 = w
h
(X) =
n
i=1
c
i
N
i
(X) (6.46)
76
para w
h
constante em ]0, 1[. Admitindo que o conjunto {N
i
} ´e uma base para ς (veja,
por exemplo, Johnson (1987)), segue de (6.46) que c
i
= 0 para i = 1, 2, . . . , n. Portanto,
verifica-se a igualdade em (6.45) somente se w
h
= 0.
Segue do exposto acima que K possui n auto-valores reais e positivos (HOFFMAN;
KUNZE, 1971). Portanto, K ´e invers´ıvel, ou seja, existe K
−1
tal que KK
−1
= K
−1
K = 1,
onde 1 ´e a matriz identidade.
6.1.7 O MEF do Ponto de Vista do Elemento - Coordenadas Locais e
Globais.
At´e o momento, adotou-se o ponto de vista global, segundo o qual consideram-se
as fun¸c˜oes de forma como definidas em todo o dom´ınio do problema de valor de contorno.
Este ponto de vista global ´e muito usado para estabelecer as propriedades matem´aticas
do M´etodo dos Elementos Finitos.
Agora, deseja-se discutir o ponto de vista local, o qual, neste estudo, corresponde
ao estudo do elemento finito no intervalo [X
i
, X
i+1
]. Este ponto de vista ´e tradicional em
engenharia e ´e muito usado na implementa¸c˜ao computacional do M´etodo dos Elementos
Finitos e no desenvolvimento de elementos finitos.
Come¸ca-se o tratamento do ponto de vista local com uma quest˜ao: O que ´e um
elemento finito?
Tenta-se dar uma resposta em termos do espa¸co de fun¸c˜oes lineares por partes
definido acima. Para isto, apresenta-se a descri¸c˜ao global de um elemento finito atrav´es
das componentes:
(g1) Dom´ınio:
X
i
, X
i+1
,
(g2) N´os:
X
i
, X
i+1
,
(g3) Graus de liberdade:
d
i
, d
i+1
,
(g4) Fun¸c˜oes de forma:
N
i
, N
i+1
,
(g5) Fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao:
u
h
(X) = N
i
(X) d
i
+N
i+1
(X) d
i+1
, X ∈
X
i
, X
i+1
.
Cada elemento finito contendo as componentes (g1) a (g5) pode ser mapeado em
um ´unico elemento finito cuja descri¸c˜ao, chamada local, cont´em as seguintes componentes:
77
(l1) Dom´ınio: [ξ
1
, ξ
2
] ,
(l2) N´os: {ξ
1
, ξ
2
},
(l3) Graus de liberdade: {d
1
, d
2
},
(l4) Fun¸c˜oes de forma: {N
1
, N
2
},
(l5) Fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao: u
h
(ξ) = N
1
(ξ) d
1
+N
2
(ξ) d
2
Na Fig. 17 ilustram-se as descri¸c˜oes local e global do e-´esimo elemento de uma
malha de elementos finitos.
Figura 17: Lado esquerdo: Descri¸c˜ao local do e-´esimo elemento. Lado direito: Descri¸c˜ao
global do e-´esimo elemento.
Fonte: Adaptado de Hughes (1987).
Relacionam-se os dom´ınios da descri¸c˜ao global e local por uma transforma¸c˜ao
afim ξ :
X
i
, X
i+1
→ [ξ
1
, ξ
2
], tal que ξ (X
i
) = ξ
1
e ξ (X
i+1
) = ξ
2
. Padroniza-se este
procedimento na pr´atica tomando ξ
1
= −1 e ξ
2
= +1. Ent˜ao, representa-se ξ pela
express˜ao
ξ (X) = c
1
+ c
2
X (6.47)
sendo c
1
e c
2
constantes a determinar do sistema de equa¸c˜oes
78
−1 = c
1
+ c
2
X
i
,
+1 = c
1
+ c
2
X
i+1
.
(6.48)
Solucionando este sistema, chega-se a
ξ (X) =
2X − X
i
− X
i+1
h
i
, (6.49)
onde lembra-se de (6.24) que h
i
= X
i+1
−X
i
. O mapeamento inverso de (6.49) ´e dado por
X (ξ) =
h
i
ξ − X
i
− X
i+1
2
. (6.50)
Na seq¨uˆencia, adota-se a nota¸c˜ao convencional, segundo a qual os sub-´ındices
a, b, c, . . . pertencem ao sistema de numera¸c˜ao local. Os sub-´ındices i, j, k, . . . pertencem ao
sistema de numera¸c˜ao global. Para controlar a prolifera¸c˜ao de nota¸c˜oes, usa-se a mesma
nota¸c˜ao para o sistema local e global (por exemplo, d
a
e d
i
, ou, N
a
e N
i
). Se houver
perigo de confus˜ao, introduzir-se-´a um sobre-´ındice e para denotar uma quantidade com
descri¸c˜ao local associada ao elemento e (por exemplo, d
e
a
= d
i
, N
e
a
(ξ) = N
i
(X
e
(ξ)), sendo
X
e
: [ξ
1
, ξ
2
] → [X
e
1
, X
e
2
] =
X
i
, X
i+1
, etc.).
Em termos de ξ, as fun¸c˜oes de forma na descri¸c˜ao local, N
a
, s˜ao dadas por
N
a
(ξ) =
(1 + ξ
a
ξ)
2
, a = 1, 2. (6.51)
Utilizando (6.51), reescreve-se (6.50) na forma
X
e
(ξ) =
2
a=1
N
a
(ξ) X
e
a
, (6.52)
onde X
e
1
= X
i
e X
e
2
= X
i+1
.
Assim, a express˜ao (6.52) tem a mesma forma das fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao (l5).
Para referˆencia futura, notam-se os seguintes resultados:
N
a,ξ
=
ξ
a
2
=
(−1)
a
2
, (6.53)
X
e
,ξ
=
h
e
2
, (6.54)
79
onde h
e
= X
e
2
− X
e
1
e
ξ
e
,ξ
=
X
e
,ξ
−1
=
2
h
e
. (6.55)
6.1.8 A Matriz de Rigidez e o Vetor de For¸ca de um Elemento Gen´erico
Realiza-se agora uma parti¸c˜ao do intervalo com n
el
elementos, numerados como
na Fig. 18. Evidentemente, para o modelo uni-dimensional, n
el
= n. Seja e a vari´avel
´ındice para os elementos; ent˜ao 1 e n
el
.
Figura 18: Numera¸c˜ao dos elementos e coordenadas dos n´os da malha.
Fonte: Adaptado de Hughes (1987).
Agora, segue de (6.33) e (6.34) que
K
ij
= a (N
i
, N
j
) =
1
0
N
i,X
N
j,X
dX, (6.56)
F
i
= (N
i
, b) + δ
i1
f − a
N
i
, N
n+1
g =
=
1
0
N
i
b dX + δ
i1
f −
1
0
N
i,X
N
n+1,x
dX g.
(6.57)
´
E poss´ıvel escrever as integrais sobre [0, 1] em (6.56) e (6.57) como a soma de
integrais sobre os elementos do dom´ınio. Deste modo resulta as express˜oes seguintes
K =
n
el
e=1
K
e
, K
e
=
K
e
ij
, (6.58)
80
F =
n
el
e=1
F
e
F
e
= [F
e
i
] , (6.59)
onde
K
e
ij
=
Ω
e
N
i,X
N
j,X
dX (6.60)
F
e
i
=
Ω
e
N
i
b dX + δ
i1
f −
Ω
e
N
i,X
N
n+1 ,X
dX g,
(6.61)
e Ω
e
≡ [X
e
1
, X
e
2
]. Observe de (6.58) e (6.59) que pode-se construir K e F, respectivamente,
pela soma das contribui¸c˜oes das matrizes K
e
e vetores F
e
definidos sobre os elementos.
Pela defini¸c˜ao dos N
i
’s em (6.41) e (6.42), segue de (6.60) e (6.61) que
K
e
ij
= 0, se i = e, ou, i = e + 1, ou j = e, ou, j = e + 1 (6.62)
e
F
e
i
= 0, se i = e, ou, i = e + 1. (6.63)
A situa¸c˜ao para um dado elemento e apresenta-se na Fig. 19. Na pr´atica, somente
os termos diferentes de zeros, indicados por X na Fig. 19, s˜ao armazenados. Para esse
prop´osito, ´e muito ´util definir a matriz de rigidez para o e-´esimo elemento e, k
e
, e o vetor
for¸ca do elemento e, f
e
, como segue:
k
e
= [k
e
ab
]

2×2
, f
e
= [f
e
a
]

2×1
,
onde
k
e
ab
=
Ω
e
N
a,x
N
b,x
dx
f
e
a
=
Ω
e
N b dx +
δ
a1
f se e = 1,
0 se e = 2, 3, . . . , n
el
− 1,
−k
e
a2
g se e = n
el
.
Aqui, definem-se k
e
e f
e
com respeito `a ordena¸c˜ao local e K
e
e F
e
com respeito
81
`a ordena¸c˜ao global.
Para determinar onde as componentes k
e
e f
e
ser˜ao armazenados em K
e
e F
e
,
respectivamente, requerem-se informa¸c˜oes adicionais a serem discutidas no pr´oximo ´ıtem.
131
Coluna Coluna
(e) (e + 1)
↓ ↓
K
e
=
0 ··· ··· ··· ··· 0
.
.
.
.
.
. ··· ···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. X X
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. X X
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ··· ···
.
.
.
.
.
.
0 ··· ··· ··· ··· 0

n×n
← Linha (e) →
← Linha (e + 1) →
F
e
=
0
.
.
.
X
X
.
.
.
0

n×1
Figura G.8 X.s indica termos diferentes de zero; todos os outros termos s˜ao zeros.
Aqui ke e fe s˜ao definidos com respeito `a ordena¸c˜ao local, onde Ke e Fe s˜ao
definidos com respeito `a ordena¸c˜ao global. Para determinar onde os componentes ke e fe
ir˜ao ficar em K e F, respectivamente, requer informa¸c˜oes adicionais. Isso ´e discutido no
item seguinte.
G.13. A Montagem da Matriz Global de Rigidez e do Vetor
Independente. Em um programa computacional de elementos finitos, existe a
tarefa de uma subrotina de elementos finitos para produzir ke e fe, e=1,2,...,nel, dos dados
fornecidos e para prover a sub-rotina de montagem necessita-se de informa¸c˜ao adicional
tal que os termos em ke e fe possam ser adicionados em loca¸c˜oes apropriadas em K e
F, respectivamente. Estas informa¸c˜oes para montagem s˜ao armazenadas em uma matriz
chamada LM, a matriz de localiza¸c˜oes. Constroe-se uma matriz LM para o problema
acima considerado. As dimens˜oes de LM s˜ao nel, o n´umero de n´os dos elementos, pelo
n´umero de elementos; no caso presente, os n´umeros s˜ao 2 e nel, respectivamente. Dando
um n´umero particular de graus de liberdade e um n´umero de elementos (diga-se a e e,
respectivamente), o valor retornado pela matriz LM ´e correspondente ao n´umero global
das equa¸c˜oes, A, isso ´e
A = LM (a, e) =
e se a = 1
e + 1 se a = 2
A matriz completa LM ´e mostrada na figura G.9 esse ´e o modo usado para
Figura 19: Nota¸c˜ao: X denota valores diferentes de zero na matriz de rigidez e no vetor
de for¸cas.
Fonte: Adaptado de Hughes (1987).
6.1.9 A Montagem da Matriz Global de Rigidez e do Vetor de For¸ca.
Em um programa computacional de elementos finitos, uma sub-rotina produz
k
e
e f
e
, e = 1, 2, . . . , n
el
, dos dados fornecidos. A sub-rotina de montagem necessita
de informa¸c˜ao adicional, tal que se possa adicionar os termos em k
e
e f
e
nas posi¸c˜oes
apropriadas em K
e
e F
e
, respectivamente. Armazenam-se estas informa¸c˜oes para mon-
tagem em uma matriz chamada M
L
, a matriz de localiza¸c˜oes. Constr´oi-se uma matriz
M
L
para o problema considerado abaixo. As dimens˜oes de M
L
s˜ao n
en
, o n´umero de n´os
dos elementos, pelo n´umero de elementos. Por exemplo, considere os valores n
en
= 2 e
n
el
, respectivamente. Dado o grau de liberdade a e o elemento e, o valor retornado pela
matriz M
L
´e correspondente ao n´umero global da equa¸c˜ao, A, do sistema formado por
Kd = F. Para a = 1 e a = 2, obt´em-se
A = M
L
(a, e) =
e se a = 1,
e + 1 se a = 2.
(6.64)
82
A matriz completa M
L
´e mostrada na Fig. 20. Note que M
L
(2, n
el
) = 0. Isto
indica que o grau de liberdade 2 do elemento de n´umero n
el
´e prescrito e n˜ao ´e uma
inc´ognita na equa¸c˜ao da matriz global. Portanto, os termos k
n
e
l
12
, k
n
e
l
21
, k
n
e
l
22
e f
n
e
l
2
n˜ao s˜ao
montados em K e F, respectivamente.
()
Elemento
1
123
Nó
123 1
1
Local
234 1
2
2
≤≤
−
×
−
⎧
⎨
⎩
=


el
en el
e, 1 e n
el el
nn
en
…e…n n
…e…n n
…e+ … n 0
n
Figura 20: Matriz de loca¸c˜ao para os dados propostos acima.
Fonte: Adaptado de Hughes (1987).
Como um exemplo, deseja-se adicionar a contribui¸c˜ao do e-´esimo elemento, onde
1 ≤ e ≤ n
el−1
, para as matrizes K e F. Utilizando M
L
, obt´em-se
K
ee
← K
ee
+ k
e
11
K
e,e+1
← K
e,e+1
+ k
e
12
K
e+1,e
← K
e+1,e
+ k
e
21
K
e+1,e+1
← K
e+1,e+1
+ k
e
22
F
e
← F
e
+ f
e
1
F
e+1
← F
e+1
+ f
e
2
(6.65)
onde a seta (←) denota “´e substituido por”. Devido `a simetria, k
e
21
n˜ao ser´a montado na
pr´atica.
Para o elemento n
el
, tem-se apenas
K
nn
← K
nn
+ k
n
el
11
,
F
n
← F
n
+ f
n
el
1
.
(6.66)
Tendo-se em mente este procedimento, pode-se esbo¸car um modelo de algoritmo para
montar K e F na Fig. 21. O fluxograma da Fig. 21 d´a uma id´eia de como s˜ao empregados
estes conceitos na Se¸c˜ao 6.3 para a montagem das matrizes do problema de determina¸c˜ao
de parˆametros.
83
Figura 21: Diagrama de fluxo de algoritmo para a montagem das matrizes K e F.
Fonte: Adaptado de Hughes (1987).
84
6.1.10 A Resolu¸c˜ao do Sistema de Equa¸c˜oes
Os problemas discretizados pelo M´etodo de Elementos Finitos recaem em grandes
sistemas lineares da forma
a
11
x
1
+a
12
x
2
+ . . . a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+ . . . a
2n
x
n
= b
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
x
1
+a
n2
x
2
+ . . . a
nn
x
n
= b
n
(6.67)
Matricialmente, o sistema (6.67) ´e reescrito como
AX = B
onde
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
, B =
b
1
b
2
.
.
.
b
n
, X =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
. (6.68)
Em (6.68), A ´e a matriz de coeficientes, B ´e vetor dos termos independentes e X ´e o vetor
das inc´ognitas.
Diversos m´etodos num´ericos est˜ao dispon´ıveis para a resolu¸c˜ao de um sistema
linear. Destacam-se as duas classes abaixo devido `a facilidade de implementa¸c˜ao compu-
tacional e `a simplicidade matem´atica:
M´etodos Diretos (Baseados no Escalonamento de Matrizes):
- M´etodo de Jordan;
- M´etodo de Gauss;
- M´etodo da Pivota¸c˜ao Parcial e
- M´etodo da Pivota¸c˜ao Completa.
M´etodos Iterativos:
- M´etodo de Jacobi;
- M´etodo de Gauss-Seidel e
- M´etodo SOR (Successive Over Relaxation).
85
Certos casos extremos podem exigir a an´alise de sistemas mal-condicionados e
refinamento de sistemas lineares que n˜ao s˜ao abrangidos pelos m´etodos expostos acima.
Menciona-se, por exemplo, o procedimento descrito na Se¸c˜ao 6.3, o qual fornece um
programa para a obten¸c˜ao de parˆametros el´asticos em um dom´ınio bidimensional. O
programa emprega rotinas de decomposi¸c˜ao em valores singulares (SVD) e Inversa Ge-
neralizada da matriz final, delineadas na Se¸c˜ao 4.3, a qual cont´em os coeficientes para a
determina¸c˜ao dos parˆametros el´asticos.
Antes de fornecer a formula¸c˜ao em elementos finitos para o problema inverso,
pretende-se na Se¸c˜ao 6.2 apresentar a formula¸c˜ao discreta do problema direto em elemen-
tos finitos para o caso bidimensional. Esta formula¸c˜ao ´e semelhante ao que foi explicado
at´e o momento para a formula¸c˜ao num´erica unidimensional em elementos finitos. Isto per-
mitir´a ao leitor familiarizar-se mais com o procedimento desenvolvido via MEF quando
for desenvolvida a formula¸c˜ao para o problema inverso.
6.2 O Problema Direto Discreto via MEF
Deseja-se obter aproxima¸c˜oes para as solu¸c˜oes u
ε
∈ S do problema direto dado
por (3.38) e (3.39). Na Se¸c˜ao 6.3 emprega-se abordagem an´aloga para obter as solu¸c˜oes
µ ∈ L
2
(B) e π
i
∈ L
2
(B), i = 1, 2, do problema inverso formulado na Se¸c˜ao 4.4.3.
Para este fim, constr´oi-se um dom´ınio de discretiza¸c˜ao B
h
composto de m su-
bregi˜oes K
k
∈ R
2
, k = 1, 2, ..., m, n˜ao vazias, de modo que
B
h
≡
m
k=1
K
k
, (6.69)
onde K
k
1
K
k
2
, k
1
= k
2
, ´e vazio, um ponto, ou, uma reta. O sub-´ındice “h” em (6.69)
refere-se a um comprimento caracter´ıstico do conjunto {K
k
}, o qual pode ser tomado
como o raio do c´ırculo circunscrito `a subregi˜ao K
k
de maior ´area. Deseja-se construir um
dom´ınio de discretiza¸c˜ao B
h
que aproxime B `a medida que h → 0; ou seja, para algum
X ∈ ∂B, desejamos que lim
h→0
|X − Y| = 0 para Y ∈ ∂B
h
, onde |•| ´e a norma Euclidiana
usual em R
2
.
Assume-se que a subregi˜ao K
k
, k = 1, 2, ..., m, cont´em um conjunto de ˆn pontos,
ou, n´os
ˆ
N
k
≡
ˆ
X
k 1
,
ˆ
X
k 2
, . . . ,
ˆ
X
k ˆn
. Sobre cada subregi˜ao K
k
introduz-se um conjunto
de fun¸c˜oes de base normalizadas {ˆϕ
k i
: K
k
→ R, i = 1, 2, ..., ˆn} tal que
86
ˆϕ
k i
ˆ
X
k j
= δ
i j
, i, j = 1, 2, ..., ˆn, (6.70)
onde
ˆ
X
k i
´e o i-´esimo n´o de K
k
. Estas fun¸c˜oes de base permitem definir um conjunto de
fun¸c˜oes cont´ınuas sobre K
k
, dado por
ˆ
P
k
=
ˆϕ: K
k
→ R|ˆϕ (X) =
ˆn
j = 1
ˆα
j
ˆϕ
j
(X) , ∀ (ˆα
1
, ˆα
2
, ..., ˆα
ˆn
) ∈ R
ˆn
. (6.71)
Para uma dada fun¸c˜ao ˆϕ (X) ∈
ˆ
P
k
, est´a claro de (6.71) que ˆα
i
= ˆϕ (X
i
) s˜ao escalares que
formam o conjunto de graus de liberdade
ˆ
Σ
k
= {ˆϕ (X
ki
) , i = 1, 2, ..., ˆn}. Note que ˆα
i
´e similar a d
i
definido em 6.1.7 para o caso unidimensional.
`
A ordena¸c˜ao
K
k
,
ˆ
P
k
,
ˆ
Σ
k
chama-se elemento finito Lagrangeano e ao conjunto de elementos finitos definidos sobre
B
h
chama-se malha de elementos finitos. Estes conceitos est˜ao de acordo com o explicado
na Se¸c˜ao 6.1 para o caso unidimensional.
O conjunto
ˆ
X
k i
, k = 1, 2, ..., m, i = 1, 2, ..., ˆn
possui n n´os distintos que defi-
nem o conjunto N ≡ {X
1
, X
2
, ..., X
n
} ∈ B
h
, de modo que, para j ∈ {1, 2, ..., n}, existem
k ∈ {1, 2, ..., m} e i ∈ {1, 2, ..., ˆn} tal que X
j
=
ˆ
X
k i
. Define-se agora o conjunto de fun¸c˜oes
{ϕ
j
: B
h
→ R, j = 1, 2, ..., n} tal que ϕ
j
(X) = ˆϕ
k i
(X) para X ∈ K
k
∩B
h
, j = 1, 2, ..., n,
i = 1, 2, . . . , ˆn. Al´em disso, assume-se continuidade de ϕ
j
atrav´es da borda comum a dois
elementos adjacentes. Assim, ϕ
j
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em B
h
que satisfaz ϕ
j
(X
i
) = δ
ij
.
De fato, o conjunto destas fun¸c˜oes ´e uma base de dimens˜ao finita sobre B
h
que permite
introduzir o conjunto de fun¸c˜oes cont´ınuas definido por
P =
ϕ: B
h
→ R|ϕ (X) =
n
j = 1
α
j
ϕ
j
(X) , ∀ (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ R
n
. (6.72)
Utilizando (6.72), introduz-se o espa¸co finito-dimensional V
h
como segue
V
h
=
v ∈
C
0
(B
h
)
2
: v ∈ ( (B
h
))
2
, v = 0 sobre Γ
hu
, (6.73)
onde C
0
(B
h
) ´e o conjunto de fun¸c˜oes cont´ınuas definidas sobre B
h
e seu contorno ∂B
h
≡
Γ
hg
∪ Γ
hu
,
o
Γ
hg
∩
o
Γ
hu
= ∅. Aqui, Γ
hg
e Γ
hu
s˜ao partes complementares de ∂B
h
sobre as
quais atuam aproxima¸c˜oes de g, g
h
, e de
¯
u,
¯
u
h
, respectivamente. Observe de (6.73) e da
defini¸c˜ao de V na Se¸c˜ao 3.4.2 que V
h
⊂ V se B
h
⊂ B.
87
Note de (6.72) e (6.73) que uma fun¸c˜ao v
h
∈ V
h
´e representada por
v
h
(X) =
2 n
i = 1
ϑ
i
w
i
(X) , X ∈ B
h
∪ ∂B
h
, (6.74)
onde ϑ
i
∈ R e w
i
∈ R
2
´e dado por
w
2 i − 1
= (ϕ
i
, 0) , w
2 i
= (0, ϕ
i
) , i = 1, 2, . . . , n, (6.75)
com ϕ
i
sendo a fun¸c˜ao de base associada ao i-´esimo n´o X
i
. Observe de (6.74) e (6.75)
que v
h
(X
i
) = (ϑ
2 i−1
, ϑ
2 i
) para i = 1, 2, ..., n. Denomina-se ϑ
i
de grau de liberdade do
campo v
h
. Assim, considerando que cada n´o em N tem dois graus de liberdade e que
v
h
∈ V
h
, decomp˜oe-se o conjunto completo de 2 n graus de liberdade em dois conjuntos
complementares de inteiros, Z
∗
e Z, tais que ϑ
i
= 0, ∀ i ∈ Z
∗
, e Z ≡ {1, 2, ..., n} \Z
∗
.
De maneira similar ao realizado com o conjunto V
h
, introduz-se o conjunto A
h
definido por
A
h
=
v ∈
C
0
(B
h
)
2
: v ∈ ( (B
h
))
2
, v =
¯
u
h
sobre Γ
hu
. (6.76)
Observe de (6.72) e (6.76) que um deslocamento u
h
∈ A
h
´e representado por
u
h
(X) =
2 n
i = 1
υ
i
w
i
(X) , X ∈ B
h
∪ ∂B
h
, (6.77)
onde, para cada ´ındice i ∈ Z
∗
, o valor correspondente de υ
i
´e prescrito e dado por υ
i
= ¯υ
i
.
Neste trabalho, B
h
= B e K
k
, k = 1, 2, . . . , m, s˜ao quadril´ateros cujos n´os
est˜ao localizados nos v´ertices destes quadril´ateros. O problema direto discreto associado
ao espa¸co V
h
e obtido da formula¸c˜ao de penalidades em (3.38) e (3.39) consiste em achar
o deslocamento u
h
∈ A
h
tal que
a (u
h
, v
h
) +
ˆ
b (u
h
, v
h
) = (g
h
, v
h
) , ∀v
h
∈ V
h
, (6.78)
onde a (•, •) ´e dado por (3.35.a) e
ˆ
b (•, •) ´e dado por (3.39). Lembra-se da Se¸c˜ao 3.4 que
no problema direto os parˆametros el´asticos µ em (3.35.a) e ε em (3.39) s˜ao conhecidos.
Uma vez que u
h
´e dado por (6.77) e v
h
´e dado por (6.74), onde os coeficientes ϑ
i
,
i = 1, 2, ..., n, s˜ao arbitr´arios, pode-se reescrever (6.78) na forma
88
n
j=1
(κ
ij
+ ˆκ
ij
) υ
j
= γ
i
, i ∈ Z, (6.79)
onde
κ
ij
2
B
µ ∇
s
w
i
· ∇
s
w
j
dA, ˆκ
ij
2
ε
B
(tr ∇
s
w
i
) (tr ∇
s
w
j
) dA, (6.80)
γ
i
(g
h
, w
i
) . (6.81)
Assume-se que as fun¸c˜oes de base normalizadas em (6.70) s˜ao bilineares, ou seja,
estas fun¸c˜oes s˜ao polinˆomios de primeiro grau em cada uma das coordenadas. Resolve-se
o problema direto discreto com o pacote de elementos finitos ANSYS 5.5. Este pacote
permite gerar malhas de elementos finitos sobre geometrias complexas e possui uma bi-
blioteca ampla de elementos finitos. Em particular, utiliza-se o elemento finito PLANE42
devido `a simplicidade da sua formula¸c˜ao.
Utiliza-se a formula¸c˜ao discreta apresentada acima para simular numericamente
os ensaios que fornecem os dois campos de deslocamento u
1
e u
2
necess´arios para a
determina¸c˜ao de µ, conforme descrito no final da Se¸c˜ao 4.4.3. Estas simula¸c˜oes fornecem
tamb´em as for¸cas resultantes R
1
i
e R
2
i
da forma (4.40) sobre partes complementares ∂
j
B
de ∂B ≡
r
j=1
∂
j
B.
6.3 MEF Aplicado ao Problema de Determina¸c˜ao de Parˆametros
Nesta se¸c˜ao discute-se um procedimento num´erico baseado no MEF que foi de-
senvolvido e implementado com o objetivo de determinar os parˆametros el´asticos para
o conjunto de experimentos ilustrados na Fig. 14. Para isto, considera-se um material
el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel. Seja V = {v ∈ (H
1
(B))
2
: v|
∂B
= 0}, com
B ⊂ R
2
e considere 2 experimentos linearmente independetes, tendo-se q = 1, 2 para os
termos de press˜ao, π.
Portanto, pode-se expressar ainda no caso cont´ınuo desconsiderando-se as for¸cas
de corpo e relembrando da Se¸c˜ao 3.4.2 de (3.34) e (3.35) para material incompress´ıvel
89
como segue:
B
(−π
q
tr ∇
s
v + 2 µ E
q
· ∇
s
v)dA = 0, ∀v ∈ V (6.82)
Analogamente ao que foi realizado no caso uni-dimensional, aproxima-se v na
forma
v =
2n
i=1
v
i
w
i
, (6.83)
onde (v
2j−1
, v
2j
), j = 1, 2, . . . , n, ´e o deslocamento no n´o j e
w
2j−1
= (ϕ
j
, 0), w
2j
= (0, ϕ
j
), j = 1, . . . , n,
com ϕ
j
, j = 1, 2, . . . , n, sendo a fun¸c˜ao de forma.
Os gradientes sim´etricos de w
j
calculam-se como segue:
∇
s
w
2j−1
=
∂ϕ
i
∂X
1
1
2
∂ϕ
i
∂X
2
1
2
∂ϕ
i
∂X
2
0
,
∇
s
w
2j
=
0
1
2
∂ϕ
i
∂X
1
1
2
∂ϕ
i
∂X
1
∂ϕ
i
∂X
2
.
(6.84)
Substituindo (6.83) em (6.82), obt´em-se
B
h
−π
q
tr ∇
s
2n
i=1
w
i
v
i
+ 2 µ E
q
· ∇
s
2n
i=1
w
i
v
i

dA = 0. (6.85)
Uma vez que o tra¸co de um tensor ´e um operador linear e que o produto escalar
entre dois tensores ´e linear com respeito a cada um dos seus argumentos, obt´em-se de
(6.85) que
2n
i=1
B
h
(−π
q
tr ∇
s
w
i
+ 2 µE
q
· ∇
s
w
i
) dA
v
i
= 0, ∀v
i
∈ R. (6.86)
A equa¸c˜ao (6.86) ´e v´alida para valores arbitr´arios de v
i
; portanto,
90
B
h
(−π
q
tr ∇
s
w
i
+ 2µE
q
· ∇
s
w
i
) dA = 0, i = 1, . . . , 2n. (6.87)
Defina o conjunto
L
h
= {µ
h
: B
h
→ R : µ
h
´e cont´ınuo por partes sobre B
h
}. (6.88)
Um elemento µ
h
∈ L
h
´e representado por
µ
h
(X) =
m
k = 1
µ
k
τ
k
(X) , X ∈ B
h
∪ ∂B
h
, (6.89)
onde lembra-se da Se¸c˜ao 6.2 que m ´e o n´umero de elementos finitos na malha, µ
k
∈ R e
τ
k
´e uma fun¸c˜ao de base escalar constante por partes, a qual assume valor unit´ario sobre
o elemento K
k
e ´e nula sobre B
h
\K
k
.
Utilizando-se (6.89) pode-se escrever as aproxima¸c˜oes
ˆn
µ
l=1
µ
l
τ
l
e
ˆn
π
l=1
π
q
l
ˇϕ
l
para o
m´odulo µ e para os termos de press˜ao (q = 1, 2), respectivamente, onde µ
l
e π
q
l
s˜ao
parˆametros a determinar, ˆn
µ
e ˆn
π
fornecem o n´umero de graus de liberdade para as
aproxima¸c˜oes de µ e π
q
, respectivamente, e τ
l
e ˇϕ
l
s˜ao fun¸c˜oes de formas. Neste trabalho,
τ
l
= ˇϕ
l
. Substituindo estas aproxima¸c˜oes em (6.87), resulta
B
h
−
ˆn
l=1
π
q
l
τ
l
tr ∇
s
w
i
+ 2
ˆn
l=1
µ
l
τ
l
E
q
· ∇
s
w
i
dA = 0, i = 1, . . . , 2n, (6.90)
onde ˆn = ˆn
µ
= ˆn
π
.
Novamente, utilizando a linearidade do operador tra¸co e do produto escalar, segue
de (6.90) que
ˆn
l=1
B
h
[−(π
q
l
τ
l
) tr∇
s
w
i
+ 2 (µ
l
τ
l
) E
q
· ∇
s
w
i
] dA
= 0, i = 1, . . . , 2n. (6.91)
Agora, seja B
h
=
m
j=1
k
j
a uni˜ao de todos os elementos finitos k
j
que formam a
malha sobre o dom´ınio de an´alise, similar a (6.72), conforme ilustrado na Fig. 22. Segue
91
de (6.91) que
ˆn
l=1
m
j=1
k
j
[−(π
q
l
τ
l
) tr∇
s
w
i
+ 2 (µ
l
τ
l
) E
q
· ∇
s
w
i
] dA
= 0, i = 1, . . . , 2n. (6.92)
Figura 22: Representa¸c˜ao dos dom´ınio B e do dom´ınio de aproxima¸c˜ao por elementos
finitos quadrilaterais, B
h
.
Lembrando novamente que τ
l
, l = 1, 2, . . . , ˆn, ´e constante por partes, de modo
que ˆn =n
el
e que
τ
l
(X
1
) =
1 se X
1
∈ k
l
,
0, caso contr´ario.
(6.93)
Inserindo (6.93) em (6.92), obt´em-se
n
el
l=1
−π
q
l
k
l
tr ∇
s
w
i
dA + 2 µ
l
k
l
E
q
· ∇
s
w
i
dA
= 0. (6.94)
Com o intuito de clarificar mais as id´eias expostas acima para o caso bidimensio-
nal, segue um desenvolvimento matricial das express˜oes apresentadas at´e a determina¸c˜ao
dos termos locais das matrizes dos elementos.
92
Exemplo 1
Assim, considere uma malha formada por um elemento finito quadrilateral com
quatro n´os, um em cada v´ertice do retˆangulo, com dois graus de liberdade em cada n´o,
conforme ilustrado na Fig. 23. Este elemento ocupa todo o dom´ınio bidimensional sem
inclus˜oes. O leitor deve notar que a constru¸c˜ao das fun¸c˜oes de forma para este elemento
bidimensional com fun¸c˜oes de forma bilineares segue da multiplica¸c˜ao da fun¸c˜ao de forma
linear em X
1
pela fun¸c˜ao de forma linear em X
2
, sendo estas j´a explicadas no estudo
unidimensional da Se¸c˜ao 6.1.
Figura 23: Elemento retangular com fun¸c˜oes de forma bilineares.
Agora, controem-se as fun¸c˜oes de forma bilineares sobre o elemento para cada n´o
indicado na Fig. 23. Estas fun¸c˜oes s˜ao dadas por
ϕ
1
=
1 +
X
1
X
2
LH
−
X
1
L
−
X
2
H
δ
1 j
,
ϕ
2
=
1 −
X
1
X
2
LH
+
(X
1
− L)
L
δ
2 j
,
ϕ
3
=
X
1
X
2
LH
δ
3 j
,
ϕ
4
=
1 −
X
1
X
2
LH
+
(X
2
− H)
H
δ
4 j
,
(6.95)
onde δ
i j
, i, j = 1, 2, 3, 4, ´e o delta de Kronecker.
93
A matriz local de cada elemento finito para a resolu¸c˜ao dos parˆametros el´asticos
mantendo-se separados o problema biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao e o problema de cisalha-
mento, tem a forma:
Coef π
1

Coef π
2

Coef µ

i
1
2
j
3
4
k
5
6
l
7
8
i
9
10
j
11
12
k
13
14
l
15
16
α
1 1
0 α
1 3
α
2 1
0 α
2 3
α
3 1
0 α
3 3
α
4 1
0 α
4 3
α
5 1
0 α
5 3
α
6 1
0 α
6 3
α
7 1
0 α
7 3
α
8 1
0 α
8 3
0 α
9 2
α
9 3
0 α
10 2
α
10 3
0 α
11 2
α
11 3
0 α
12 2
α
12 3
0 α
13 2
α
13 3
0 α
14 2
α
14 3
0 α
15 2
α
15 3
0 α
16 2
α
16 3
(6.96)
94
O c´alculo de cada termo em (6.96) encontra-se na forma matricial a seguir:
Coef π
1

Coef π
2

Coef µ

i
1
2
j
3
4
k
5
6
l
7
8
i
9
10
j
11
12
k
13
14
l
15
16
−
tr∇
s
w
1
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
1
dA
−
tr∇
s
w
2
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
2
dA
−
tr∇
s
w
3
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
3
dA
−
tr∇
s
w
4
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
4
dA
−
tr∇
s
w
5
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
5
dA
−
tr∇
s
w
6
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
6
dA
−
tr∇
s
w
7
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
7
dA
−
tr∇
s
w
8
dA 0 2
E
1
· ∇
s
w
8
dA
0 −
tr∇
s
w
1
dA 2
E
2
· ∇
s
w
1
dA
0 −
tr∇
s
w
2
dA 2
E
2
· ∇
s
w
2
dA
0 −
tr∇
s
w
3
dA 2
E
2
· ∇
s
w
3
dA
0 −
tr∇
s
w
4
dA 2
E
2
· ∇
s
w
4
dA
0 −
tr∇
s
w
5
dA 2
E
2
· ∇
s
w
5
dA
0 −
tr∇
s
w
6
dA 2
E
2
· ∇
s
w
6
dA
0 −
tr∇
s
w
7
dA 2
E
2
· ∇
s
w
7
dA
0 −
tr∇
s
w
8
dA 2
E
2
· ∇
s
w
8
dA
Enfatiza-se ainda que na concep¸c˜ao da matriz local do elemento retangular bi-
linear reservou-se as primeiras oito linhas para o problema de tra¸c˜ao-compress˜ao e as
demais linhas para os termos associados ao problema de cisalhamento. O sobre-´ındice
em π da forma matricial anterior indica a coluna da matriz local em que se localizar´a o
coeficiente multiplicador das press˜oes dos ensaios propostos, 1 e 2, respectivamente.
95
Exemplo 2
Agora, considere uma malha de 16 elementos finitos retangulares. O primeiro
elemento desta malha, por exemplo, pode ter os valores nodais das fun¸c˜oes de forma
calculados em cada n´o analogamente ao calculado para o Exemplo 1 e s˜ao dadas no caso
do primeiro elemento da malha por
ϕ
1
=
1 +
X
1
X
2
LH
16
−
X
1
4
−
X
2
4
δ
1 j
,
ϕ
2
=
1 −
X
1
X
2
LH
16
+
X
1
−
L
4
L
δ
2 j
,
ϕ
3
=
X
1
X
2
LH
16
δ
3 j
,
ϕ
4
=
1 −
X
1
X
2
LH
16
+
X
2
−
H
4
H
4
δ
4 j
.
(6.97)
onde δ
i j
, i, j = 1, 2, 3, 4, ´e o delta de Kronecker.
As derivadas da fun¸c˜ao de forma obtidas com rela¸c˜ao `as dire¸c˜oes X
1
e X
2
para
cada fun¸c˜ao de forma ϕ
i
, i = 1, 2, 3, 4 em (6.97) s˜ao dadas por
ϕ
1,X
1
= 1 +
16
LH
X
2
−
4
L
ϕ
1,X
2
= 1 +
16
LH
X
1
−
4
L
ϕ
2,X
1
= 1 +
16
LH
X
2
+
4
L
ϕ
2,X
2
= 1 +
16
LH
X
1
ϕ
3,X
1
=
16
LH
X
2
ϕ
3,X
2
=
16
LH
X
1
ϕ
4,X
1
=
16
LH
X
2
ϕ
4,X
2
=
16
LH
X
1
+
4
H
96
A ´area do elemento finito resulta em
A
1
=
LH
16
.
Para cada elemento, cujo n´umero ´e indicado pelo ´ındice sobrescrito, calcula-se
os coeficientes da matriz local padr˜ao e eliminam-se aqueles que perten¸cam aos graus de
liberdade de n´os que est˜ao sobre o contorno do corpo.
Desse modo, para o exemplo proposto acima pode-se escrever (6.96) para o pri-
meiro elemento que possui dois lados pertencentes ao contorno. Apresenta-se a seguir a
lista dos coeficientes α
i j
, para cada n´o, que por pertencerem ao contorno (neste caso, n´os
i, j, e l) ser˜ao eliminados na aloca¸c˜ao global:
n´o (i) − α
1
1 1
, α
1
2 1
, α
1
9 2
, α
1
10 2
, α
1
1 3
, α
1
2 3
, α
1
9 3
, α
1
10 3
n´o (j) − α
1
3 1
, α
1
4 1
, α
1
11 2
, α
1
12 2
, α
1
11 3
, α
1
12 3
n´o (l) − α
1
7 1
, α
1
8 1
, α
1
15 2
, α
1
16 2
, α
1
15 3
, α
1
16 3
Do exposto, conclui-se que ´e necess´ario computar apenas os termos do n´o k deste
elemento. A seguir, como ilustra¸c˜ao, apresentam-se os c´alculos dos coeficientes α
1
5 1
e α
1
5 3
,
pertencentes ao referido n´o como segue
α
1
5 1
= −
K
1
tr∇
s
w
5
dA = −
X
2
=
H
4
X
2
=0
X
1
=
L
4
X
1
=0
∂ϕ
3
∂X
1
dX
1
dX
2
= −
X
2
=
H
4
X
2
=0
X
1
=
L
4
X
1
=0
16
LH
X
2
dX
1
dX
2
= −
X
2
=
H
4
X
2
=0
16
LH
X
2
X
1
X
1
=
L
4
X
1
=0
dX
2
= −
X
2
=
H
4
X
2
=0
16
LH
X
2
L
4
dX
2
= −
16
H
X
2
2
2
1
4
X
2
=
H
2
X
2
=0
= −
2
H
H
2
16
= −
H
8
⇒
α
1
5 1
= −0, 125
e
97
α
1
5 3
= −2
K
1
E
I
· ∇
s
w
5
dA
= 2
X
2
=
H
4
X
2
=0
X
1
=
L
4
X
1
=0

ε
I
X
1
X
1
ε
I
X
1
X
2
ε
I
X
1
X
2
ε
I
X
2
X
2
·
∂ϕ
3
∂X
1
1
2
∂ϕ
3
∂X
2
1
2
∂ϕ
3
∂X
2
0

dX
1
dX
2
= 2
X
2
=
H
4
X
2
=0
X
1
=
L
4
X
1
=0
ε
I
X
1
X
1
∂ϕ
3
∂X
1
+ ε
I
X
1
X
2
∂ϕ
3
∂X
2
dX
1
dX
2
= 2
X
2
=
H
4
X
2
=0
10
−3
L
16
LH
X
2
X
1
X
1
=
L
4
X
1
=0
dX
2
= 2
X
2
=
H
4
X
2
=0
10
−3
L
16
LH
X
2
L
4
dX
2
= 2
10
−3
L
16
LH
X
2
2
2
L
4
X
2
=
H
4
X
2
=0
= 2
10
−3
L
16
LH
H
2
32
L
4
= 2 10
−3
1
8
⇒
α
1
5 3
= 0, 250 ×10
−3
.
A formula¸c˜ao do problema inverso e o procedimento de montagem do sistema
obtido pelo m´etodo dos elementos finitos pode ent˜ao ser resumido da seguinte maneira.
O problema inverso discreto associado aos espa¸cos L
h
e V
h
e obtido da formula¸c˜ao fraca
em (4.41) consiste em achar µ
h
∈ L
h
e π
i
h
∈ L
h
, i = 1, 2, que satisfa¸cam
−
B
π
i
h
tr ∇
s
v
h
dA + 2
B
µ
h
∇
s
u
i
· ∇
s
v
h
dA = 0, ∀v
h
∈ V
h
,
R
i
j
=
∂
j
B
−π
i
h
1 + 2 µ
h
∇
s
u
i
n
j
d L.
(6.98)
Uma vez que B
h
= B neste trabalho, assume-se que cada parte ∂
j
B ´e dada pela
uni˜ao de bordas dos elementos pr´oximos ao contorno de B
h
, ou seja, ∂
j
B =
p ∈Z
j
D
p
,
onde D
p
´e a borda do elemento K
p
contida em ∂
j
B e Z
j
´e o conjunto de n´umeros inteiros que
identificam os elementos com bordas contidas em ∂
j
B. Utilizando (6.89), pode-se escrever
µ
h
=
m
k = 1
µ
k
τ
k
e π
i
h
=
m
k = 1
π
i
k
τ
k
, i = 1, 2, onde µ
k
∈ R e π
i
k
∈ R, k = 1, 2, ..., m, s˜ao
coeficientes a determinar. Uma vez que u
i
, i = 1, 2, s˜ao da forma (6.77) e v
h
´e dado por
(6.74), onde os coeficientes ϑ
i
, i = 1, 2, ..., n, s˜ao arbitr´arios, pode-se reescrever (6.98)
na forma
98
2 m
q=1
α
i
pq
ω
i
q
= 0, p ∈ Z,
q ∈ Z
j
β
i
q
ω
i
q
= R
i
j
, j = 1, 2, . . . , r,
(6.99)
respectivamente, onde i = 1, 2, e
α
i
p (2q−1)
2
K
q
∇
s
u
i
· ∇
s
w
p
dA, α
i
p (2q)
−
K
q
tr ∇
s
w
p
dA,
β
i
2q−1
2
D
q
∇
s
u
i
n
q
dA, β
i
2q
−
D
q
n
q
dA,
ω
i
2q−1
µ
q
, ω
i
2q
π
i
q
.
(6.100)
Para calcular os coeficientes α
i
p q
desenvolveu-se um programa para determina¸c˜ao
dos parˆametros el´asticos em linguagem FORTRAN, vers˜ao FORTRAN 10.1.
O c´alculo de cada α
i
p q
depende da escolha do tipo de elemento finito, do conhe-
cimento dos campos de deslocamento e geometria do dom´ınio de an´alise para montar a
matriz global do problema, ou, matriz de loca¸c˜ao M
L
. Veja os exemplos 1 e 2 descritos
anteriormente para recordar como estes termos s˜ao calculados no presente trabalho.
Ap´os a coloca¸c˜ao e reordena¸c˜ao de todos os coeficientes da matriz do elemento
finito para os n´os interiores adicionou-se a esta matriz as linhas correspondentes `as
condi¸c˜oes de contorno sendo que os coeficientes s˜ao colocados na matriz para cada lado
do cilindro. Por exemplo, considere um lado qualquer da se¸c˜ao retangular. Tem-se para
o problema 1 os coeficientes relativos ao contorno ocupando as primeiras duas linhas
cont´ıguas e em seguida adicionam-se os coeficientes do problema 2 e assim sucessivamente
at´e completar as dezesseis linhas relativas `as partes complementares do contorno.
O endere¸camento de cada coeficiente na coluna da matriz global ´e feito segundo
o n´umero do elemento, tal que um elemento α qualquer ser´a representado por α
3j−i
j
, i =
2, 1, 0; j = 1, 2, . . . , m, onde 3j − i ´e o n´umero da coluna e j ´e o n´umero do elemento finito
a que o coeficiente α pertence, finalizando a montagem da matriz global para invers˜ao.
A matriz global resultante para invers˜ao tem a dimens˜ao 4 × n´umero de n´os
mais dezesseis equa¸c˜oes relacionadas ao equil´ıbrio das resultantes de for¸cas em partes
do contorno por 3 × n´umero de elementos no caso de se adotar elementos retangulares
bilineares.
99
Em geral, o sistema linear formado por (6.99) e (6.100) ´e sobre-determinado. Para
resolver este sistema ´e necess´ario utilizar t´ecnicas especiais de invers˜ao. Aqui, utilizamos
um algoritmo de pseudo-invers˜ao, ou, invers˜ao generalizada via decomposi¸c˜ao SVD (Sin-
gular Value Decomposition; veja Golub e Loan (1996). Este algoritmo foi implementado
utilizando rotinas do IMSL 10.1 para FORTRAN 10.1.
Os principais dados de entrada destas rotinas s˜ao os coeficientes R
i
j
, a matriz W,
que ´e uma composi¸c˜ao da matrizes locais dadas por (6.96), formada pelos coeficientes
que multiplicam ω
i
q
no sistema (6.99) e (6.100), as dimens˜oes de W e uma tolerˆancia que
fornece a maior matriz quadrada n˜ao singular de W. Neste trabalho, a tolerˆancia ´e um
n´umero n˜ao-negativo abaixo do qual um valor singular de W ´e considerado nulo. Os
valores singulares de W s˜ao a ra´ızes quadradas dos autovalores do produto da transposta
de W pelo pr´oprio W e s˜ao ordenados em ordem decrescente. O n´umero de valores
singulares n˜ao-nulos ´e igual ao posto de W. Um estudo preliminar da influˆencia da
tolerˆancia sobre os valores de µ permitiu concluir que, para tolerˆancias menores do que
10
−8
, todos os valores obtidos para µ eram fisicamente plaus´ıveis e diferiam pouco entre
si.
A seguir, na Fig. 24, apresenta-se o esquema geral do programa desenvolvido
para a determina¸c˜ao dos parˆametros el´asticos. Ainda sobre o programa desenvolvido,
fez-se os arquivos de entrada para resolver o problema inverso de determina¸c˜ao de µ com
o aux´ılio do software ANSYS 5.5, o qual serviu para gerar a malha de elementos finitos.
Adicionalmente, arquivos que comp˜oem dados essenciais `a solu¸c˜ao do problema
inverso, tais como o conhecimento dos campos de deslocamentos nodais, as for¸cas re-
sultantes em partes complementares do contorno e as deforma¸c˜oes nestas partes foram
determinados a partir da solu¸c˜ao do problema direto tamb´em com o aux´ılio deste software,
colocando-se os campos de deslocamento no arquivo principal de entrada.
Ressalta-se do exposto acima que o procedimento para resolver µ e a press˜ao no
problema inverso ´e do tipo n˜ao iterativo, ou seja, os parˆametros el´asticos s˜ao determinados
sem que haja necessidade da atualiza¸c˜ao dos valores destes para atender a um erro m´ınimo
cujo prop´osito ´e servir de crit´erio de parada.
Outro aspecto que merece ser lembrado ´e quanto `a escolha do tipo de elemento
finito quadrilateral com quatro pontos de integra¸c˜ao para o deslocamento. O autor do
presente trabalho utilizou o elemento finito mencionado acima devido `a simplifica¸c˜ao
proporcionada nos c´alculos, mas poderia ter sido usado o elemento finito tipo P 2 que ´e
livre de qualquer efeito tabuleiro de xadrez, (veja Tab. A.1 em Aguiar e Fosdik, 1993).
100
Figura 24: Diagrama de fluxo elementar do programa desenvolvido para a determina¸c˜ao
de parˆametros el´asticos.
101
7 Apresenta¸c˜ao e Discuss˜ao de Resultados
7.1 Cilindro Reto de Sec¸c˜ao Retangular com Inclus˜ao Cil´ındrica
de Sec¸c˜ao Circular
Para resolver os dois problemas diretos, tra¸c˜ao-compress˜ao biaxial e cisalhamento,
simulam-se a realiza¸c˜ao dos ensaios em laborat´orio como experimentos propostos na Se¸c˜ao
5.3.2. Em ambos, (5.4) e (5.5), assume-se que ¯ε
1
= 0,01. Em (5.7), assume-se que ¯ε
2
=
0, 01. Assume-se tamb´em que o cilindro reto ´e quase-incompress´ıvel com coeficiente de
Poisson ν
C
= 0,499999 e com m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ
C
= 36 KPa.
Ressalta-se que ν
C
= 0,499999 ´e um valor t´ıpico encontrado na literatura para tecidos
moles (MANDUCA, 2005). A inclus˜ao tamb´em ´e quase-incompress´ıvel com ν
I
= ν
C
e
µ
I
= C
R
µ
C
, onde C
R
pode assumir os valores 0, 1, 2, 4 e 6. Ressalta-se que C
R
= 0
corresponde a um furo no cilindro; neste caso, adotou-se ν
I
= 0,3 e C
R
= 10
−25
ao inv´es
de com ν
I
= 0,499999 e C
R
= 0, respectivamente para efeito de simula¸c˜ao via ANSYS
5.5. Ressalta-se tamb´em que C
R
> 1 corresponde a uma inclus˜ao mais r´ıgida do que a
chapa.
Segue do exposto acima que, para o caso de C
R
= 1 (s´olido homogˆeneo), as
solu¸c˜oes de equil´ıbrio dos problemas diretos s˜ao dadas por:
i) u(X
1
, X
2
) = ¯ε
1
X
1
e
1
− ¯ε
1
X
2
e
2
(tra¸c˜ao-compress˜ao),
ii) u(X
1
, X
2
) = 2 ¯ε
2
X
2
e
1
(cisalhamento).
(7.1)
Para ambas as solu¸c˜oes homogˆeneas em (7.1), note que tr ∇
s
u = 0. Ou seja, se o
s´olido ´e homogˆeneo, a dilata¸c˜ao volum´etrica ´e nula independentemente do material ser
incompress´ıvel, ou, n˜ao. Observe de ii) que
102
(e
1
· T e
1
) (0, X
2
) = (e
1
· T e
1
) (α
1
, X
2
) = 0 sobre as bordas verticais,
(e
2
· T e
2
) (X
1
, 0) = (e
2
· T e
2
) (X
1
, α
2
) = 0 sobre as bordas horizontais.
Portanto, se a inclus˜ao estiver distante das bordas do cilindro, pode-se assumir que estas
rela¸c˜oes s˜ao aproximadamente satisfeitas no caso de C
R
= 1.
No problema direto resolvido numericamente pelo Ansys 5.5 existem res´ıduos de
for¸cas de cisalhamento influenciando o problema biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao, mesmo
no caso de C
R
= 1. J´a no problema de cisalhamento, aparecem res´ıduos de for¸cas de
tra¸c˜ao e de compress˜ao. Conseq¨uentemente, as resultantes de for¸cas correspondentes a
estes res´ıduos n˜ao s˜ao identicamente nulas. Espera-se que estes res´ıduos tendam a zero `a
medida que a malha ´e refinada, pois observa-se de (5.4 .b) e (5.5 .b) que eles s˜ao nulos no
problema cont´ınuo.
Neste trabalho consideram-se todas as 16 equa¸c˜oes relacionadas `a imposi¸c˜ao das
for¸cas resultantes no contorno, mesmo as residuais. O objetivo em manter as for¸cas
residuais na formula¸c˜ao do problema inverso ´e simular, por exemplo, erros de medi¸c˜ao.
7.2 Influˆencia da Malha de Elementos Finitos no Problema Direto
Discreto
A influˆencia da malha de elementos finitos pˆode ser verificada da resolu¸c˜ao do
problema direto para o cilindro reto de sec¸c˜ao quadrada de 50 mm de lado. Considerou-
se o caso C
R
= 1 com uma malha uniforme e duas outras malhas n˜ao uniformes para os
raios r = 2 mm e r = 6 mm. As condi¸c˜oes nas bordas do cilindro para os experimentos
de tra¸c˜ao-compress˜ao e de cisalhamento simples s˜ao dadas por (5.4)–(5.7).
Apresenta-se na Fig. 25.(a) a malha uniforme obtida do pacote computacional
ANSYS 5.5 e nas figuras 25.(b), (c) as deforma¸c˜oes por tra¸c˜ao-compress˜ao e cisalhamento
simples. As linhas cont´ınuas indicam a posi¸c˜ao indeformada do cilindro. Os valores das
deforma¸c˜oes calculadas s˜ao constantes em todo o cilindro e s˜ao representadas nas figuras
25.(b), (c) por uma ´unica cor. Verificou-se que a diferen¸ca entre o valor calculado pelo
ANSYS e o valor anal´ıtico dado por (7.1) para a deforma¸c˜ao ´e desprez´ıvel
Agora, consideram-se dois cilindros retos contendo uma inclus˜ao circular centrada
em cada cilindro. Os raios das inclus˜oes s˜ao r = 2 mm e r = 6 mm, respectivamente.
103
1) Influência da Rede
a) Malha Uniforme
(a)
(b)
(c)
b)Malha Irregular
Diferença entre a deformação de cisalhamento analítica e o calculado pelo ANSYS,
quando CR=1, r= 2mm com rede 32-32-4 en (a). Em (b) quando CR=1, r=6mmm e
malha 32-32-10 em (b).
Figura 25: Malha uniforme em (a) e redes deformadas por tra¸c˜ao-compress˜ao em (b) e
por cisalhamento em (c).
104
Considera-se ainda que o cilindro ´e homogˆeneo, de modo que C
R
= 1. Utilizando o ANSYS
5.5, constr´oi-se uma malha de elementos finitos para cada cilindro, conforme ilustrado na
Fig. 26. Observe desta figura que a malha n˜ao ´e uniforme.
Figura 26: Exemplo de malha n˜ao uniforme de elementos finitos com inclus˜ao centrada
de raio r = 6 mm.
Utilizando malhas n˜ao uniformes resolveu-se numericamente o par de problemas
diretos descritos acima para cada cilindro. A Fig. 27 mostra as diferen¸cas entre as
deforma¸c˜oes cisalhantes calculadas pelo ANSYS 5.5 e a deforma¸c˜ao cisalhante (4.30.b) no
caso do problema de cisalhamento simples para C
R
= 1, com inclus˜oes de raio 2 mm em
(a) e raio 6 mm em (b). As legendas `a direita de cada caso apresentam os valores m´ınimo
e m´aximo nos extremos da escala de cores. O menor valor ´e indicado em vermelho e o
maior valor ´e indicado em azul. Observe destas legendas que os valores apresentados nas
escalas devem ser multiplicados por 10
−7
. Note da Fig. 27.(b) que as diferen¸cas s˜ao
pequenas, mas percept´ıveis. As maiores diferen¸cas ocorrem em (b) para o caso r = 6 mm.
7.3 Influˆencia da Malha de Elementos Finitos no Problema In-
verso Discreto
Quando da reconstru¸c˜ao do m´odulo el´astico ao cisalhamento, µ, e tamb´em dos
termos de press˜ao, fez-se uso de uma seq¨uˆencia de malhas n˜ao uniformes de elementos
finitos. Na Tab. 2 apresentam-se o n´umeros de n´os e de elementos para o caso de inclus˜ao
centrada com raio de 6 mm para um cilindro reto de sec¸c˜ao quadrada de lado 50 mm.
Algumas das malhas geradas no ANSYS 5.5 presentes na Tab. 2 apresentam
problemas com a raz˜ao de aspecto dos elementos. Uma an´alise preliminar demonstrou,
no entanto, que estes erros s˜ao localizados, tendo uma regi˜ao de influˆencia que n˜ao afeta
105
b)Malha Irregular
Diferença entre a deformação de cisalhamento analítica e o calculado pelo ANSYS,
quando CR=1, r= 2mm com rede 32-32-4 en (a). Em (b) quando CR=1, r=6mmm e
malha 32-32-10 em (b).
VALORES X 1E-7
(a)
VALORES X 1E-7
(b)
Figura 27: Diferen¸ca entre a deforma¸c˜ao calculada pelo ANSYS 5.5 e o valor anal´ıtico
para os raios (a) r = 2 mm e (b) r = 6 mm.
Tabela 2: Malhas de elementos finitos para o cilindro reto com inclus˜ao centrada.
Inclus˜ao Centrada, r = 6 mm
n´umero de n´os n´umero de elementos
malha 1 803 738
malha 2 1016 951
malha 3 1148 1083
malha 4 1380 1315
malha 5 1544 1479
consideravelmente a determina¸c˜ao de µ.
Inicialmente, considera-se uma inclus˜ao circular de raio 6 mm centrada no cilindro
reto de sec¸c˜ao quadrada com lado de 50 mm. Consideram-se tamb´em as condi¸c˜oes nas
bordas dadas por (5.4)–(5.7), com ¯ε
1
e ¯ε
2
iguais a 0.01 em ambos os ensaios. Obteve-se
para o caso em que o C
R
= 1, ou seja, para o caso em que o material da inclus˜ao ´e igual
ao material do cilindro, os resultados apresentados na Fig. 28 para as press˜oes reativas.
Neste caso, ambos os problemas correspondem a um estado de cisalhamento puro, o que
implica que ambas as press˜oes s˜ao nulas.
A Fig. 28 apresenta os resultados das press˜oes em escala de cores com o uso
do programa desenvolvido neste trabalho. Na Fig. 28.(a) mostram-se os resultados das
press˜oes para o ensaio biaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao. Na Fig. 28.(b) mostram-se os resul-
tados das press˜oes para o ensaio de cisalhamento. Cada figura possui uma legenda com
valores m´ınimo e m´aximo.
106
Pressões
a) Tração-Compressão Biaxial
b) Cisalhamento
Figura 28: Distribui¸c˜ao da press˜ao reativa no cilindro com inclus˜ao de 6 mm de raio e C
R
= 1.
Observando as figuras 28.(a)–(b), nota-se da leitura das legendas que os valores
oscilam pr´oximo a zero. Verificou-se que os valores extremos de oscila¸c˜ao tanto na Fig.
28.(a) como na Fig. 28.(b) s˜ao inferiores a 7×10
−5
vezes o valor das tens˜oes calcula-
das pelo ANSYS no problema direto para ambos os ensaios. Portanto, os valores das
press˜oes apresentadas nestas figuras est˜ao em conformidade com os resultados anal´ıticos
apresentados acima.
Considerando o mesmo cilindro reto de se¸c˜ao quadrada, submetido `as mesmas
condi¸c˜oes nas bordas dadas por (5.4)–(5.7), com uma inclus˜ao centrada de raio r = 6 mm
e C
R
= 0, resolveu-se o problema da determina¸c˜ao de π e µ para as malhas da Tab 2.
Utilizando escala de cores, mostra-se no lado esquerdo da Fig. 29, ou seja, Fig.
29.(a1), (b1) e (c1), a distribui¸c˜ao da press˜ao obtida para o ensaio de tra¸c˜ao-compress˜ao
com as malhas 1, 3 e 5 da Tab 2. Similarmente, mostra-se no lado direito da Fig. 29, ou
seja, 29.(a2), (b2) e (c2), a distribui¸c˜ao de press˜ao obtida para o ensaio de cisalhamento.
Pode-se ver claramente que o uso da malha menos refinada, correspondendo `as figuras (a1)
e (a2), n˜ao forneceu uma distribui¸c˜ao precisa de press˜ao. Nota-se, entretanto, do conjunto
de figuras (a1)–(c1) e (a2)–(c2) que existe uma seq¨uˆencia convergente de distribui¸c˜oes de
press˜ao `a medida que a malha ´e refinada. Al´em disso, os valores calculados aqui est˜ao de
bom acordo com valores calculados pelo Ansys 5.5 no problema direto.
Deve-se notar tamb´em que nos problemas de cisalhamento e de tra¸c˜ao-compres-
s˜ao o campo de press˜ao ´e homogˆeneo somente quando C
R
= 1. Nos demais casos em que
C
R
= 1 o campo da press˜ao no problema de tra¸c˜ao-compress˜ao indica um estado de cisa-
lhamento. Este estado est´a em um plano paralelo ao plano do cilindro reto, rotacionado
107
de aproximadamente 45
o
no sentido anti-hor´ario com C
R
= 0.
´
E rec´ıproca a afirma¸c˜ao
para o problema de cisalhamento com C
R
= 0, por´em a rota¸c˜ao do plano ´e de aproxi-
madamente 45
o
no sentido hor´ario. Estes fatos apoiam a id´eia de que as configura¸c˜oes
apresentadas na Fig. 29 est˜ao corretas.
Chama-se a aten¸c˜ao neste ponto para o fato de que, para as demais figuras desta
subse¸c˜ao, preferiu-se, por quest˜oes de maior riqueza de detalhes, colocar a escala de cores
invertida para C
R
> 1, como pode ser observado das leituras das escalas que acompanham
suas respectivas figuras.
A Fig. 30.(a) apresenta os valores de referˆencia de µ para a inclus˜ao de raio 6
mm centrada com C
R
= 0. No extremo inferior da legenda da Fig. 30.(a) encontra-se o
valor de referˆencia zero para a inclus˜ao e no extremo superior da legenda encontra-se o
valor de referˆencia 36 kPa para a chapa. Os valores de referˆencia s˜ao constantes na chapa
e na inclus˜ao. Nas figuras 30.(b), (c), (d), (e) e (f) encontram-se os valores de µ obtidos
das solu¸c˜oes num´ericas. Note que as legendas de cada figura variam.
Pode-se notar na Fig. 30 que a seq¨uˆencia de resultados obtidos para µ converge
para o valor de referˆencia mostrado na Fig. 30.(a) `a medida que o n´umero de elementos
finitos na malha aumenta.
Deve-se notar ainda da Fig. 30.(e) que o aumento do n´umero de elementos
resultou em uma pequena regi˜ao afetada pela raz˜ao de aspecto deficiente dos elementos
pr´oximos ao c´ırculo da inclus˜ao. Esta deficiˆencia ocorre devido ao fato de que o ˆangulo
entre dois lados adjacentes de um elemento ´e muito fechado (pr´oximo de 0
o
). Esta
regi˜ao contendo elementos com raz˜ao de aspecto deficiente n˜ao afetou substancialmente
a constru¸c˜ao de uma seq¨uˆencia convergente para µ.
Observa-se tanto nas figuras das press˜oes quanto nas figuras de µ um efeito do tipo
tabuleiro de xadrez (HUGHES, 1987). No entanto, os c´alculos para as malhas uniformes
e para as malhas n˜ao uniformes resultam em um coeficiente de travamento r ≈ 2 em
ambos os experimentos. O coeficiente r ´e a raz˜ao entre o n´umero total de equa¸c˜oes de
deslocamentos ap´os as imposi¸c˜oes de contorno dividido pelo n´umero total de restri¸c˜oes de
incompressibilidade. Este coeficiente indica a tendˆencia ao efeito tabuleiro de xadrez. Se
r ≤ 1, o elemento finito est´a sujeito ao travamento, se r < 2, existem muitas restri¸c˜oes de
incompressibilidade. Se r > 2 ent˜ao existem poucas restri¸c˜oes de incompressibilidade. A
condi¸c˜ao ´otima ocorre quando r = 2.
Isto indica que para o tipo de elemento finito adotado, quadrilateral com um n´o
108
2)Inclusão Centrada
Cr=0 r=6
PRESSOES
(a1)
(a2)
(b1)
(b2)
(c1)
(c2)
Figura 29: Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de tra¸c˜ao-
compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do problema de cisalha-
mento. Caso de inclus˜ao circular centrada com C
R
= 0 e r = 6 mm. Utilizaram-se as
malhas 1, 3 e 5 da Tab.2
109
MODULO ELÁSTICO AO CISALHAMENTO CR=0
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 30: Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 0: (a) Valor de referˆencia; (b)
a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 2, respectivamente, para inclus˜ao
circular centrada com C
R
= 0 e r = 6 mm.
110
por v´ertice e dois graus de liberdade em cada n´o para o campo de deslocamento, o efeito
percebido nas figuras 29 e 30 n˜ao deve ser significativo na determina¸c˜ao dos parˆametros
el´asticos a menos das regi˜oes pr´oximas ao contorno, ou, `a inclus˜ao.
Agora considere o caso de uma inclus˜ao centrada com r = 6 mm e C
R
= 6.
Resultados num´ericos obtidos para este caso permitiram gerar as figuras 31 e 32, as quais
est˜ao apresentadas abaixo.
A Fig. 31 foi obtida de forma an´aloga `a Fig. 29. Um detalhe que deve ser notado
´e a troca de sinais das press˜oes, ou seja, as regi˜oes com press˜oes negativas na Fig. 29 tem
agora valores positivos na Fig. 31 e vice-versa. Isto se explica pelo fato de que antes a
inclus˜ao era menos r´ıgida do que o cilindro reto e agora ocorre justamento o contr´ario.
Obteve-se a Fig. 32 de forma an´aloga `a Fig. 30. Deve-se notar que a escala de
cores foi invertida por raz˜oes de detalhes de valores, pois agora a inclus˜ao ´e mais r´ıgida
do que o cilindro reto. Os valores conhecidos, ou, de referˆencia para a chapa e inclus˜ao
s˜ao 36 kPa e 216 kPa, respectivamente, e est˜ao apresentados na Fig. 32.(a).
A Fig. 32.(b) mostra a distribui¸c˜ao de µ no cilindro reto. Observe a grande
diferen¸ca de valores no cilindro e na inclus˜ao e como se distanciam dos valores de referˆencia
na Fig. 32.(a). No entanto, quando se aumenta o n´umero de elementos esta varia¸c˜ao
diminui. A Fig. 32.(f), correspondente `a malha mais refinada, mostra que µ do cilindro
e da inclus˜ao convergem para seus respectivos valores de referˆencia. Nota-se ainda que a
geometria da inclus˜ao foi corretamente identificada.
Considera-se agora o caso de uma inclus˜ao excˆentrica com raio r = 6 mm e
centro em (x,y)=(37,5 mm; 37,5 mm). Optou-se por utilizar as malhas n˜ao uniformes de
elementos finitos apresentadas na Tab. 3 para obter a reconstru¸c˜ao de µ e das press˜oes.
Todas as figuras que ser˜ao apresentadas at´e o final desta subse¸c˜ao foram obtidas
de modo similar ao que foi explicado para as figuras anteriores nas reconstru¸c˜oes das
press˜oes e de µ. Deve-se notar que valem todas as observa¸c˜oes anteriores desta se¸c˜ao
sobre a constru¸c˜ao das legendas, no que concerne `a divis˜ao e `a cor das escalas, quando a
inclus˜ao ´e menos r´ıgida do que o cilindro reto e vice-versa.
Os resultados para as press˜oes em um cilindro reto contendo uma inclus˜ao circular
de raio r = 6 mm e excˆentrica simulando um furo com C
R
= 0 (ou seja, um cilindro com
furo circular excˆentrico) est˜ao apresentados na Fig. 33. Nela, pode-se notar mais uma vez
que o refino da malha fornece resultados qualitativamente condizentes para as press˜oes
obtidas da solu¸c˜ao do problema inverso utilizando os ensaios de tra¸c˜ao-compress˜ao e
111
Cr=6 r=6
PRESSOES
(a1)
(a2)
(b1)
(b2)
(c1)
(c2)
Figura 31: Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de tra¸c˜ao-
compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do problema de cisalha-
mento. Caso de inclus˜ao circular centrada com C
R
= 6 e r = 6 mm. Utilizaram-se as
malhas 1,3 e 5 da Tab.2
112
MODULO ELÁSTICO AO CISALHAMENTO CR=6
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 32: Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 6: (a) Valor de referˆencia; (b)
a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 2, respectivamente, para inclus˜ao
circular centrada com C
R
= 6, r = 6 mm.
113
Tabela 3: Malhas de elementos finitos para o cilindro reto com inclus˜ao excˆentrica.
Inclus˜ao Excˆentrica, r = 6 mm
n´umero de n´os n´umero de elementos
malha 1 733 668
malha 2 931 866
malha 3 1077 1012
malha 4 1218 1153
malha 5 1535 1470
cisalhamento simulados numericamente.
Na pr´oxima seq¨uˆencia, mostrada na Fig. 34, est˜ao os resultados da reconstru¸c˜ao
de µ para o cilindro com furo circular excˆentrico da Fig. 33. Note que o valor de µ
converge para o valor de referˆencia que se encontra na Fig. 34.(a).
Agora, considera-se o caso de um cilindro com inclus˜ao excˆentrica de raio r = 6
mm e com C
R
= 6. A Fig. 35 apresenta os valores da reconstru¸c˜ao das press˜oes para este
caso. Note que, `a medida que a malha ´e refinada, os valores de press˜ao tendem no lado
superior direito do cilindro a um estado de press˜oes semelhante ao verificado na Fig. 31
para o mesmo C
R
no caso centrado.
A Fig. 36 apresenta em (a) os valores de referˆencia de µ. Estes valores de
referˆencia s˜ao novamente 36 kPa para µ do cilindro e 216 kPa para µ da inclus˜ao. De (b)
a (f) mostram-se as reconstru¸c˜oes dos valores de µ. Os valores de µ obtidos em regi˜oes
pr´oximas `a inclus˜ao e ao contorno est˜ao distantes do valor de referˆencia quando a malha ´e
menos refinada. Observe, no entanto, da seq¨uˆencia apresentada na Fig. 36 que os valores
de µ obtidos pr´oximo ao encontro dos lados junto `a inclus˜ao sofrem atenua¸c˜ao `a medida
que a malha ´e refinada. A atenua¸c˜ao pode ser notada principalmente quando o n´umero de
elementos finitos aproximadamente dobra, ao passar do n´umero de elementos da malha 1
para o n´umero de elementos da malha 5 na Tab. 3.
Observa-se das figuras 36.(b)–(f) que artefatos esp´urios no encontro da borda
vertical direita com a borda horizontal superior tendem a desaparecer `a medida que a
malha ´e refinada. Observa-se ainda que o efeito semelhante do tabuleiro de xadrez est´a
significativamente atenuado na Fig. 36.(f).
Agora, defina o erro relativo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia no cilindro
(fora da inclus˜ao) para cada elemento finito como segue
114
INCLUSAO EXCENTRICA
2) Cr=0 r=6
PRESSOES
(a1)
(a2)
(b1)
(b2)
(c1)
(c2)
Figura 33: Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de tra¸c˜ao-
compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do problema de cisalha-
mento. Caso de inclus˜ao circular excˆentrica com C
R
= 0 e r = 6 mm. Utilizaram-se as
malhas 1, 3 e 5 da Tab.3
115
MODULO ELÁSTICO AO CISALHAMENTO CR=0
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 34: Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 0: (a) Valor de referˆencia; (b)
a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 3, respectivamente, para inclus˜ao
circular excˆentrica com C
R
= 0, r = 6 mm.
116
Cr=6 r=6
PRESSOES
(a1)
(a2)
(b1)
(b2)
(c1)
(c2)
Figura 35: Lado esquerdo: Reconstru¸c˜ao das press˜oes (Pa) obtidas do problema de tra¸c˜ao-
compress˜ao. Lado direito: Reconstru¸c˜ao das press˜oes obtidas do problema de cisalha-
mento. Caso de inclus˜ao circular excˆentrica com C
R
= 6 e r = 6 mm. Utilizaram-se as
malhas 1, 3 e 5 da Tab.3
117
MODULO ELÁSTICO AO CISALHAMENTO CR=6
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 36: Resultados da reconstru¸c˜ao de µ (Pa) para C
R
= 6: (a)Valor de referˆencia; (b)
a (f): Reconstru¸c˜ao de µ com as malhas 1 a 5 da Tab. 3, respectivamente, para inclus˜ao
circular excˆentrica com C
R
= 6, r = 6 mm.
118
E
C
=
|µ
R
C
− µ
C
|
µ
R
C
100 %, (7.2)
onde µ
R
C
´e o valor de referˆencia de µ no cilindro e µ
C
´e o valor aproximado de µ no cilindro
(calculado numericamente).
Analogamente, o erro relativo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia na inclus˜ao
para cada elemento finito ´e dado por
E
I
=
|µ
R
I
− µ
I
|
µ
R
I
100 %, (7.3)
onde µ
R
I
´e o valor de referˆencia de µ na inclus˜ao e µ
I
´e o valor aproximado de µ na inclus˜ao.
Considera-se novamente o caso da inclus˜ao centrada (vide Fig. 32.(a)) de raio r =
6 mm com valor de referˆencia 36 kPa no cilindro e C
R
= 6. Para cada malha de elementos
finitos na Tab. 2, calculou-se o erro relativo m´aximo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia
no cilindro utilizando a express˜ao (7.2). Estes erros s˜ao apresentados na Fig. 37, cujos
valores do erro relativo m´aximo de µ est˜ao apresentados no eixo das ordenadas em escala
logar´ıtimica e a numera¸c˜ao da malha de elementos finitos na Tab. 2 est´a apresentada no
eixo das abcissas.
Similarmente, repetiu-se o procedimento descrito acima para o caso em que a
inclus˜ao ´e excˆentrica com C
R
= 6 (vide Fig. 36.(a)), considerando as malhas de elementos
finitos da Tab. 3. Os valores dos erros m´aximos no cilindro apresentam-se tamb´em na
Fig. 37.
Pode-se perceber na Fig. 37 que o erro decai de forma r´apida com o aumento
do n´umero de elementos finitos no cilindro reto de sec¸c˜ao quadrada. Apenas a malha 5
com inclus˜ao excˆentrica apresenta um pequeno aumento do erro relativo. Este aumento
pode ter ocorrido porque ao se construir a malha n˜ao uniforme com o uso do ANSYS 5.5,
dois elementos finitos no cilindro apresentaram raz˜ao de aspecto deficiente e houve uma
mensagem de alerta. N˜ao foi poss´ıvel modificar a forma destes elementos na malha para
melhorar o c´alculo da soluc˜ao aproximada do problema direto.
De modo an´alogo `a descri¸c˜ao da Fig. 37, calculou-se o erro relativo m´aximo de
µ na inclus˜ao utilizando a express˜ao (7.3) para os casos de inclus˜ao centrada e excˆentrica
com valor de referˆencia 216 kPa na inclus˜ao, ou seja, C
R
= 6. Os valores dos erros
m´aximos para cada malha das tabelas 2 e 3 permitiram construir a Fig. 38, onde os
valores do erro relativo m´aximo de µ est˜ao apresentados no eixo das ordenadas em escala
119
Convergência no Cilindro Reto
1
10
100
1000
12345
Malhas
Erro Relativo Máximo (%)
Inclusão Centrada Inclusão Excêntrica
Figura 37: Erro relativo m´aximo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia no cilindro versus
malha de elementos finitos.
logar´ıtimica e a numera¸c˜ao da malha de elementos finitos est´a apresentada no eixo das
abcissas.
Observa-se da Fig. 38 que, tanto para a inclus˜ao excˆentrica quanto para a inclus˜ao
centrada, o erro relativo m´aximo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia sofre decr´escimo
com o refinamento da malha. O decr´escimo do erro que ocorre entre a malha 4 e a malha
5 ´e impercept´ıvel na Fig. 38 para os dois casos porque o aumento do n´umero de elementos
finitos foi pequeno. O erro relativo m´aximo de µ na inclus˜ao centrada ´e inferior a 1% e
encontra-se em torno de 5% no caso da inclus˜ao excˆentrica, considerando o mesmo C
R
=
6.
7.4 Influˆencia do C
R
na Convergˆencia do Problema Inverso Dis-
creto
Para saber qual a influˆencia da varia¸c˜ao do C
R
sobre o aumento do erro relativo
m´aximo na chapa e na inclus˜ao, resolveram-se os problemas de determina¸c˜ao de µ con-
siderando as condi¸c˜oes de prescri¸c˜ao de deslocamento em todo o contorno em ambos os
experimentos para duas inclus˜oes circulares excˆentricas com raios r = 2 mm e r = 6 mm,
120
Convergência na Inclusão
0
1
10
100
12345
Malhas
Erro Relativo Máximo (%)
Inclusão Centrada Inclusão Excêntrica
Figura 38: Erro relativo m´aximo de µ em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia na inclus˜ao versus
malha de elementos finitos.
fazendo C
R
= 0, 1, 2, 4 e 6. Considera-se ainda a malha mais refinada para cada raio.
Assim, o valor de referˆencia de µ na inclus˜ao tamb´em varia, assumindo os valores 0, 36,
72, 144 e 216 kPa.
Para a inclus˜ao com raio r = 2 mm, utilizou-se uma malha n˜ao uniforme com
1240 n´os e 1175 elementos. J´a para o raio r = 6 mm, utilizou-se uma malha n˜ao uniforme
com 1535 n´os e 1470 elementos, sendo esta a malha 5 da Tab. 3.
Na Fig. 39 mostram-se os valores dos erros relativos m´aximos versus os valores
de C
R
. Os c´alculos para gerar esta figura s˜ao an´alogos aos realizados para gerar a Fig 7.2.
No entanto, ao inv´es de considerar que a malha sofre varia¸c˜ao, considerou-se que C
R
´e o
valor vari´avel para gerar cada curva. Nota-se claramente na Fig. 39 que quanto maior a
inclus˜ao e maior o C
R
, mais rapidamente os valores calculados para µ se distanciam do
valor de referˆencia de µ no cilindro.
J´a no caso da inclus˜ao, visto na Fig. 40 com os erros relativos m´aximos versus
os valores de C
R
, nota-se um distanciamento n˜ao t˜ao acentuado do valor de referˆencia de
µ na inclus˜ao.
´
E interessante observar que, para o raio r = 2 mm, o comportamento ´e do
tipo parab´olico enquanto que para r = 6 mm, o comportamento ´e pr´oximo ao linear.
121
Estudo do CR (Cilindro Reto)
0
5
10
15
20
25
30
123456
C
R
Erro Relativo Máximo (%)
r = 2 mm
r = 6 mm
Figura 39: Erro relativo m´aximo em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia de µ no cilindro versus
C
R
para r = 2 mm e r = 6 mm.
A Fig. 41 mostra os valores de µ reconstru´ıdos para cada C
R
considerado acima
para o raio r = 2 mm. As cores das legendas de cada resultado representam a varia¸c˜ao do
valor de µ para cada C
R
. A varia¸c˜ao de cor ´e dada pelo p´os-processador gr´afico utilizado
para captar os detalhes de cada caso, o que explica as maiores varia¸c˜oes de cores quando
os valores extremos est˜ao mais pr´oximos um do outro. Verifica-se que a varia¸c˜ao de µ em
fun¸c˜ao do C
R
est´a em concordˆancia com os valores nas curvas deste caso apresentados
nas figuras 39 e 40.
O mesmo pˆode ser feito para a inclus˜ao excˆentrica com r = 6 mm, resultando na
Fig. 41. Em (a) houve mudan¸ca da escala de cores para gerar uma visualiza¸c˜ao melhor
da varia¸c˜ao de µ no cilindro reto de sec¸c˜ao quadrada. Compare a Fig. 41.(b) com a Fig.
42.(b) e note que para o raio r = 6 mm os valores de µ sofrem maiores varia¸c˜oes apesar
das duas figuras serem para o mesmo C
R
. Observe que quanto mais distante de 1 o valor
de C
R
, mais significativo se tornam as diferen¸cas, ocasionando artefatos esp´urios entre a
inclus˜ao e o encontro das bordas vertical direita e borda superior.
Deve-se notar tamb´em que nas figuras 41.(a) e 42.(a), cujo C
R
= 0, ocorrem
valores negativos para µ na inclus˜ao onde µ deveria ser nulo. Estes valores, no entanto,
s˜ao pequenos quando comparados com os valores de referˆencia de µ no cilindro. A raz˜ao
entre estes valores negativos m´aximos de µ na inclus˜ao e os valores de referˆencia de µ no
122
Estudo do CR (Inclusão)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
123456
C
R
Erro Relativo Máximo (%)
r = 2 mm
r = 6 mm
Figura 40: Erro relativo m´aximo em rela¸c˜ao ao valor de referˆencia de µ na inclus˜ao versus
C
R
para r = 2 mm e r = 6 mm.
cilindro ´e menor do que 5×10
−3
, para ambos os casos.
7.5 Compara¸c˜ao do M´etodo Proposto com o M´etodo de Park e
Maniatty (2006)
7.5.1 Apresenta¸c˜ao e Resultados do M´etodo de Park e Maniatty (2006)
Relembrando da Se¸c˜ao 2, Park e Maniatty (2006) apresentam um m´etodo para a
determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento baseado em elementos finitos sem
recorrer a processos iterativos em que o corpo ´e submetido a for¸cas dinˆamicas. Utilizou-se
neste trabalho um ´unico ensaio dinˆamico. Assim, considere o problema de determina¸c˜ao
de parˆametros resolvido por Park e Maniatty (2006) e um ´unico problema de cisalhamento
dinˆamico para uma inclus˜ao centrada de raio r = 6 mm em um cilindro de sec¸c˜ao quadrada
de 50 mm de lado e C
R
= 6. O problema direto com as condi¸c˜oes de contorno para
encontrar u(X) e a press˜ao π(X) no problema de cisalhamento no dom´ınio Ω ´e dado em
nota¸c˜ao indicial por
123
3)Estudo do CR
r=2
rede32-32-4
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 41: Resultados da reconstru¸c˜ao de µ com C
R
= 0, 1, 2, 4, 6 de (a) a (e), respecti-
vamente, para uma inclus˜ao excˆentrica de raio r = 2 mm.
124
ESTUDO DO CR
r=6
rede32-32-10
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 42: Resultados da reconstru¸c˜ao de µ com C
R
= 0, 1, 2, 4, 6 de (a) a (e), respecti-
vamente, para uma inclus˜ao excˆentrica de raio r = 6 mm.
125
[µ (u
i,j
+ u
j,i
)]
,j
+ π
,i
= −ρ ω
2
u
i
em Ω
π = λ u
k,k
em Ω
u
i
= ˆu
i
sobre ∂ Ω
1i
[µ (u
i,j
+ u
j,i
) + π δ
ij
] n
j
=
ˆ
T
i
sobre ∂ Ω
2i
onde µ(X) ´e o m´odulo de elasticidade dependente da posi¸c˜ao, ρ ´e a densidade, ω ´e a
freq¨uˆencia angular da excita¸c˜ao harmˆonica e λ(X) ´e um parˆametro material de Lam´e. Os
sub-´ındices indicam as coordenadas cartesianas, cuja repeti¸c˜ao indica a soma. A derivada
espacial ´e indicada por (·)
,
.
O valor da deforma¸c˜ao por cisalhamento ´e 0,01 na m´axima amplitude. O deslo-
camento na amplitude m´axima ´e de 1 mm, uma vez que o ensaio ´e dinˆamico.
A Fig. 43 apresenta imagens extra´ıdas de Park e Maniatty (2006). Nesta figura
est˜ao colocados, da esquerda para a direita, os resultados de µ quando os campos de
deslocamento s˜ao propositalmente afetados com um erro, cujos valores adotados s˜ao 0%,
1%, 3% e 5%.
O deslocamento calculado no problema direto foi obtido em um quadrado de 40
mm de lado centrado no interior do cilindro de 50 mm de lado, ou seja, retirou-se faixa
ao longo de todo o per´ımetro do contorno.
Shear modulus reconstruction in dynamic elastography 3709
Figure 6. Reconstructed images of shear modulus for different levels of added error and inclusion
sizes. The size (radius) in mm and the standard deviation of the added Gaussian random noise is
indicated on top of each image. All dimensions of images are in mm and the unit of the colourbar
is kPa.
by minimizing the function in (15). In all cases, α
1
= 1000,α
2
= 0.01, and α
3
= 10. As
mentioned before, since α
1
enforces the divergence to be small, it is taken to be the largest
parameter, and since α
3
enforces the smoothed displacements to be near the ‘measured’
displacement, it is also taken to be large, but not as large as α
1
. Furthermore, since α
2
applies a
penalty on the gradient of the displacement field to smooth the data, it is taken to be a relatively
small number so as to smooth the data without altering it too much. The precise choice of the
weighting parameters was found not to have a strong effect on the solution, and the choice
used here may not be the optimal choice. Then the system in (14) is formed and solved.
Figure 6 shows the reconstructions for each case, and table 1 provides more quantitative
results. First, considering figure 6, in all cases, the inclusion is well detected; however, the
edges are smoothed some and the magnitude of the shear modulus in the inclusion is slightly
under-predicted. This is due to the smoothing of the displacement field and the coarseness
of the discretization. Artefacts can also be seen running diagonally through the domains,
becoming more pronounced at higher levels of error. This is due both to the coarseness of
the mesh and to instabilities in the solution for the hydrostatic stress. This will be discussed
further in the next section with regard to the multiple inclusion case. Table 1 lists the per cent
error in the ‘measured’ displacement data, E
u
m
, in the smoothed displacement displacement
data used in the inversion algorithm, E
u
h
, and in the reconstructed shear modulus, E
µ
.In
addition, it also lists the average reconstructed shear modulus in the inclusion, µ
inc
avg
, for each
case. The per cent error in the ‘measured’ displacement data is described in (19) and (20).
E
u
h
is defined as
E
u
h
=
u
¯
u
(21)
Figura 43: Resultados de µ para diferentes erros adicionados quando a inclus˜ao tem raio
r = 6 mmm e est´a centrada em um cilindro de sec¸c˜ao quadrada de 50 mm de lado.
Fonte: Extra´ıdo de Park e Maniatty (2006).
A Tab. 4 apresenta na primeira coluna os valores do erro aleat´orio m´edio intro-
duzido no campo de deslocamento e na segunda coluna apresenta o correspondente valor
m´edio de µ calculado na inclus˜ao e denotado por µ
inc
m´ed
.
126
Tabela 4: Erros aleat´orios introduzidos nos campos de deslocamento e valores m´edios do
m´odulo de elasticidade ao cisalhamento (µ) na inclus˜ao centrada.
Park e Maniatty (2006)
(2500 Elementos)
Erro Introduzido no Campo de Deslocamento (%) µ
inc
m´ed
(kPa)
0 191,2
1 184,4
3 182,1
5 164,0
7.5.2 Adapta¸c˜ao do Ensaio de Park e Maniatty (2006) ao Caso Est´atico
Nesta se¸c˜ao resolve-se o problema de determina¸c˜ao de µ combinando o ensaio
de compress˜ao uniaxial, ficando as bordas verticais do cilindro reto de sec¸c˜ao retangular
livres de for¸cas aplicadas, com o ensaio de cisalhamento proposto por Park e Maniatty
(2006) adaptado ao caso est´atico. Para isto, considera-se somente a amplitude m´axima
do deslocamento na borda superior do cilindro reto. Utiliza-se o ensaio de compress˜ao
uniaxial, ao inv´es do problema de tra¸c˜ao-compress˜ao, porque a inten¸c˜ao ´e n˜ao interferir
com a condi¸c˜ao de borda vertical livre adotada por Park e Maniatty (2006).
Assim, as condi¸c˜oes nas bordas do cilindro para os dois problemas diretos resol-
vidos s˜ao dadas a seguir:
i) Ensaio de compress˜ao uniaxial:
a)Bordas Verticais:
(T e
1
) (0, X
2
) = (T e
1
) (α
1
, X
2
) = 0.
(7.4)
b)Bordas Horizontais:
u
2
(X
1
, 0) = 0, u
2
(X
1
, α
2
) = −¯ε
1
α
2
,
(e
1
· T e
2
) (X
1
, 0) = (e
1
· T e
2
) (X
1
, α
2
) = 0.
(7.5)
O valor de ¯ε
1
em (7.5), ´e 0,01.
Ensaio de cisalhamento de Park e Maniatty (2006) adaptado ao caso est´atico:
a)Bordas Verticais:
127
(T e
1
) (0, X
2
) = (T e
1
) (α
1
, X
2
) = 0.
(7.6)
b)Bordas Horizontais:
u
2
(X
1
, 0) = u
2
(X
1
, α
2
) = 0,
u
1
(X
1
, 0) = 0, u
1
(X
1
, α
2
) = 2 ¯ε
2
α
2
.
(7.7)
O valor de ¯ε
2
em (7.7) ´e 0,01.
Considere uma inclus˜ao circular centrada de raio r = 2 mm e com C
R
= 2. Na Fig.
44 apresentam-se os valores de referˆencia de µ em (a) e a reconstru¸c˜ao de µ em (b). Os
valores de referˆencia s˜ao 36 kPa para µ do cilindro e 72 kPa para µ da inclus˜ao. Observe
da Fig. 44.(a) que estes s˜ao os valores extremos da legenda. A malha n˜ao uniforme de
elementos finitos utilizada para reconstruir µ possui 1311 n´os e 1246 elementos. Observe
que a maior varia¸c˜ao ocorre nas bordas verticais, as quais est˜ao livres de carregamento.
Nestas bordas observa-se o efeito tabuleiro de xadrez.
Park&Maniatty -Centrado
r=2,CR=2
rede 32-32-4
(a)
(b)
r=6,CR=6
rede 32-32-10
(a)
(b)
Figura 44: Resultado da reconstru¸c˜ao de µ: (a)valor de referˆencia; (b) inclus˜ao centrada
de raio r = 2 mm com C
R
= 2.
Agora, considera-se uma inclus˜ao circular centrada de raio r = 6 mm e com C
R
=
6. Na Fig. 45 apresentam-se os valores de referˆencia de µ em (a) e a reconstru¸c˜ao de µ em
(b). Valem as mesmas observa¸c˜oes feitas sobre os valores da legenda da Fig. 44.(a) para
a Fig. 45.(a). Construiu-se a Fig. 45.(b) utilizando uma malha n˜ao uniforme de 1544 n´os
e 1479 elementos. Esta ´e a malha 5 da Tab. 2 utilizada para construir uma seq¨uˆencia
convergente de valores aproximados de µ na Se¸c˜ao 7.3. Observe desta figura que n˜ao h´a
128
o efeito tabuleiro de xadrez ao longo das bordas verticais. Lembre-se do exposto acima
que este efeito ´e vis´ıvel na Fig. 44.(b).
Pode-se comparar os resultados mostrados na Fig. 45 em que se utilizou dois
problemas no c´odigo computacional desenvolvido nesta pesquisa e os valores m´edios de µ
dados na Tab. 4 da Se¸c˜ao 7.5.1, cujos resultados s˜ao de Park e Maniatty (2006). Uma
an´alise feita para a inclus˜ao neste caso demostrou que o valor de µ calculado numerica-
mente que est´a mais distante do valor de referˆencia de µ na inclus˜ao ´e o valor 213,933
kPa, que corresponde ao valor m´ınimo. Este valor ´e novamente mais pr´oximo do valor
de referˆencia de µ na inclus˜ao do que qualquer valor m´edio apresentado na Tab. 4. Este
fato aponta para a necessidade de mais de um problema para se obter a reconstru¸c˜ao de
µ com maior precis˜ao.
Park&Maniatty -Centrado
r=2,CR=2
rede 32-32-4
(a)
(b)
r=6,CR=6
rede 32-32-10
(a)
(b)
Figura 45: Resultado da reconstru¸c˜ao de µ: (a)valor de referˆencia, (b) inclus˜ao centrada
de raio r = 6 mm com C
R
= 6.
7.6 Influˆencia dos Ensaios na Determina¸c˜ao de Parˆametros
7.6.1 Inclus˜ao Centrada
Retomando, para compara¸c˜ao, a malha 5 da Tab. 2 com as condi¸c˜oes nas bordas
do cilindro reto dadas por (5.4)–(5.7) e o caso de inclus˜ao centrada com raio 6 mm e C
R
=
6, obteve-se a Fig. 46 que ´e um detalhamento da Fig. 32.(f).
A Fig. 46 apresenta no lado direito detalhes da distribui¸c˜ao de µ no cilindro
(excluindo a inclus˜ao). O valor m´ınimo ´e 34,235 kPa e o m´aximo ´e 37,777 kPa. No lado
direito da Fig. 46 apresenta-se a distribui¸c˜ao de µ na inclus˜ao. O valor m´ınimo ´e 214,500
129
kPa e o m´aximo ´e 216,014 kPa. O efeito tabuleiro de xadrez ´e percept´ıvel devido ao maior
grau de detalhamento proporcionado na obten¸c˜ao das figuras utilizando os limites superior
e inferior da distribui¸c˜ao de µ para cada regi˜ao (cilindro e inclus˜ao) separadamente. Uma
compara¸c˜ao preliminar com outras malhas da Fig. 32 revelou, no entanto, que o efeito do
tabuleiro de xadrez ´e atenuado quando a malha ´e refinada.
Variação do módulo elástico na chapa e na inclusão rede 5 (detalhes)
Chapa
Inclusão
Figura 46: Detalhes da reconstru¸c˜ao de µ via malha 5 da Tab. (2) para o cilindro e a
inclus˜ao centrada com C
R
= 6 e r = 6 mm.
No cilindro reto de sec¸c˜ao quadrada o valor de µ calculado que est´a mais pr´oximo
do valor de referˆencia, 36 kPa, ´e o valor m´ınimo com erro relativo, segundo (7.2), igual a
4,90 %. O valor m´aximo de µ calculado no cilindro reto apresenta erro relativo de 4,93
%. J´a na inclus˜ao, o valor mais pr´oximo do valor de referˆencia 216 kPa ´e o valor m´aximo
com erro relativo, segundo (7.3), igual a 6,5×10
−5
%. O valor m´ınimo de µ na inclus˜ao
apresenta erro relativo de 7×10
−3
%.
Estes valores atestam que µ foi determinado com precis˜ao em todo o dom´ınio.
Aqui, nenhuma parte do contorno foi retirada para eliminar perturba¸c˜oes do campo de
deslocamento, ou, porque se assumiu que a distribui¸c˜ao de µ no contorno ´e semelhante `a
distribui¸c˜ao de µ pr´oximo ao contorno.
Agora comparando os valores mencionados logo acima para µ da inclus˜ao com os
valores da Tab. 4, nota-se que o valor m´ınimo na inclus˜ao apresentado na Fig. 46 est´a
mais pr´oximo do valor de referˆencia do que o valor m´edio de µ encontrado no problema
de Park e Maniatty (2006) quando estes autores consideram um erro de 0% adicionado
no campo de deslocamento apresentado na Fig. 43.
130
7.6.2 Inclus˜ao Excˆentrica
A Fig. 47 apresenta um cilindro reto de se¸c˜ao quadrada com inclus˜ao excˆentrica
de raio r = 6 mm e C
R
= 6. Para construir esta figura utilizou-se uma malha de 1380 n´os
e 1315 elementos. Veja ainda nesta figura o aparecimento de artefatos esp´urios nas bordas
verticais livres. Este pode ser um indicativo de que n˜ao impor restri¸c˜oes nas bordas do
cilindro leve a uma determina¸c˜ao de µ com menos precis˜ao no contorno.
Figura 47: Reconstru¸c˜ao de µ no cilindro reto de sec¸c˜ao de 50 mm de lado com inclus˜ao
excˆentrica de raio r = 6 mm e C
R
= 6, combinando os ensaios de compress˜ao uniaxial e
de cisalhamento proposto por Park e Maniatty (2006) adaptado ao caso est´atico.
7.6.3 Inclus˜ao Cil´ındrica com Sec¸c˜ao Complexa
Novamente, os valores conhecidos para o cilindro reto de sec¸c˜ao quadrada e in-
clus˜ao s˜ao 36 kPa e 216 kPa, respectivamente. Utilizou-se o programa desenvolvido neste
trabalho de pesquisa para solucionar o problema de determina¸c˜ao de parˆametros com
rela¸c˜ao `as condi¸c˜oes de contorno propostas no trabalho de Park e Maniatty (2006), adap-
tadas ao caso est´atico, juntamente com compress˜ao uniaxial. Tamb´em resolveu-se o pro-
blema da determina¸c˜ao de µ com o programa desenvolvido considerando as condi¸c˜oes nas
bordas da chapa dadas por (5.4)–(5.7). Estes resultados foram reunidos na Fig. 48.
A Fig. 48.(a) apresenta o valor de referˆencia de µ constante para o cilindro e o
valor de referˆencia de µ constante para a inclus˜ao. Estes valores aparecem nos extremos
da legenda desta figura.
A Fig. 48.(b) apresenta a reconstru¸c˜ao de µ considerando uma inclus˜ao cil´ındrica
de sec¸c˜ao geom´etrica complexa com C
R
= 6 e localizada pr´oxima do contorno, utilizando
131
as condi¸c˜oes nas bordas do cilindro dadas por (7.4)–(7.7).
Note que a reconstru¸c˜ao utilizando o cisalhamento proposto por Park e Maniatty
(2006) e adaptado ao caso est´atico juntamente com a compress˜ao uniaxial levam `a recons-
tru¸c˜ao de µ em regi˜oes pr´oximas ao contorno de forma menos precisa. Isto ocorre porque
as condi¸c˜oes de contorno s˜ao mais severas, com descontinuidades nas fun¸c˜oes de tens˜ao,
visto que as laterais est˜ao livres da aplica¸c˜ao de for¸cas, e some a estas condi¸c˜oes a pre-
sen¸ca de uma inclus˜ao bem mais r´ıgida do que o substrato pr´oximo aos lados do cilindro
de sec¸c˜ao quadrada. J´a no caso das condi¸c˜oes dadas por (5.4)–(5.7), tra¸c˜ao-compress˜ao
e cisalhamento, este efeito acontece com uma magnitude consideravelmente menor como
pode ser visto na Fig. 48.(c).
INCLUSÃO DE FORMA QUALQUER
CR=6
rede 28-28-livre
Park &Maniatty
(a)
(b)
(c)
(a)Park&Maniatty e (b) Prado&Aguiar
Figura 48: Resultado da reconstru¸c˜ao de µ; (a) valor de referˆencia, (b) condi¸c˜oes de Park
e Maniatty (2006), (c) condi¸c˜oes de contorno propostas no presente trabalho
132
Deve-se observar, no entanto, que os erros relatados anteriormente s˜ao significa-
tivos no contorno, onde ocorrem com magnitude consider´avel para as condi¸c˜oes de Park
e Maniatty (2006), adaptadas ao caso est´atico, na primeira coluna de elementos em cada
parte do contorno livre. Isto sugere que uma melhor discretiza¸c˜ao possa minimizar estes
erros na determina¸c˜ao do m´odulo el´astico nestas partes do contorno. Observando as figu-
ras 48.(b) e 48.(c) quase n˜ao se nota a presen¸ca de artefatos na regi˜ao central do cilindro
gerados pela presen¸ca da inclus˜ao de geometria complexa pr´oxima ao contorno, o que
demonstra novamente o potencial do m´etodo desenvolvido na determina¸c˜ao do m´odulo
el´astico, mesmo em condi¸c˜oes mais severas.
Destaca-se ainda que todas as malhas de elementos finitos utilizadas na obten¸c˜ao
do m´odulo µ s˜ao inferiores em n´umero de elementos finitos em rela¸c˜ao `as malhas utili-
zadas, por exemplo, no trabalho de Zhu, Hall e Jiang (2003) em que se utilizam 25.000
elementos finitos e 32 graus de liberdade em cada n´o para os deslocamentos em uma rede
uniforme de elementos finitos quadrilaterais. Estes autores simulam o caso de duas in-
clus˜oes excˆentricas cuja diferen¸ca de rigidez entre o cilindro e as inclus˜oes ´e de trˆes vezes.
O n´umero m´aximo de elementos no presente trabalho ´e de 1479 elementos em uma rede
n˜ao uniforme (ou seja, cerca de 15 vezes menos elementos) e utiliza 2 graus de liberdade
em cada n´o para os deslocamentos.
133
8 Conclus˜ao
O procedimento num´erico desenvolvido no presente trabalho ´e uma nova ferra-
menta para a determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento de um material
el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel. Uma vez que os tecidos biol´ogicos moles s˜ao
considerados quase incompress´ıveis e tˆem sido modelados sob leis lineares quando se aplica
uma deforma¸c˜ao inferior a 2,5%, o procedimento desenvolvido neste trabalho torna-se uma
ferramenta com grande potencial de aplica¸c˜ao no diagn´ostico de poss´ıveis tumores imersos
no tecido sadio e na identifica¸c˜ao de diferentes tecidos compondo um determinado ´org˜ao
a partir do conhecimento de campos de deslocamento internos do corpo em conjunto com
as resultantes de for¸cas em partes complementares do contorno.
Verificou-se a influˆencia da escolha de malhas n˜ao-uniformes de elementos finitos
quadrilaterais, com dois graus de liberdade em cada n´o, para aproximar o campo de
deslocamento do meio el´astico. A utiliza¸c˜ao destas malhas fornece erros localizados, em
regi˜oes discretizadas por elementos finitos com lados adjacentes que formam ˆangulos muito
fechados entre si. Estes erros n˜ao prejudicam de forma significativa a determina¸c˜ao dos
valores do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ.
Estudaram-se os casos de inclus˜ao circular centrada e inclus˜ao circular excˆentrica,
permitindo verificar a dependˆencia de µ em rela¸c˜ao `a regi˜ao abrangida pela inclus˜ao
(atrav´es da considera¸c˜ao de diferentes raios), a sua posi¸c˜ao e tamb´em a influˆencia da
rigidez da inclus˜ao no meio bidimensional. Constatou-se pelas figuras apresentadas na
Se¸c˜ao 7 que os maiores erros ocorrem para inclus˜oes excˆentricas com raio r = 6 mm e com
a maior raz˜ao de rigidez, C
R
.
Os valores m´aximo e m´ınimo de µ obtidos na inclus˜ao centrada com raio r = 6
mm e C
R
= 6 e utilizando os experimentos propostos neste trabalho foram comparados
com o valor m´edio na inclus˜ao para o mesmo caso centrado resolvido por Park e Maniatty
(2006). Verificou-se que o valor mais pr´oximo ao valor de referˆencia, dado pelo valor
m´ınimo de µ na inclus˜ao, ´e menor do que o valor m´edio de µ obtido para a mesma regi˜ao
134
no trabalho de Park e Maniatty (2006) no caso mais favor´avel, ou seja, quando o erro
aleat´orio ´e zero. Isto indica que os erros obtidos com os experimentos propostos neste
trabalho s˜ao menores do que os obtidos em Park e Maniatty (2006).
Compararam-se tamb´em os valores m´ınimo e m´aximo da reconstru¸c˜ao de µ na
inclus˜ao centrada de raio r = 6 mm e C
R
= 6 utilizando os experimentos de compress˜ao
uniaxial e o cisalhamento proposto por Park e Maniatty (2006), adaptado ao caso est´atico,
com os valores m´edios de µ na inclus˜ao obtidos por Park e Maniatty (2006). Calcularam-
se os valores m´ınimo e m´aximo na inclus˜ao, cuja distribui¸c˜ao de µ ´e apresentada na Fig.
45.(b). O valor mais pr´oximo do valor de referˆencia de µ na inclus˜ao ´e dado pelo valor
m´ınimo e este ´e menor do que qualquer valor m´edio apresentado na Tab.4. Este fato
aponta ainda para a necessidade de mais de um problema para obter a reconstru¸c˜ao de µ
com maior precis˜ao.
Estudou-se tamb´em o caso de inclus˜ao de forma complexa localizada pr´oxima ao
contorno, cujos resultados obtidos foram bastante satisfat´orios e atestam o potencial do
procedimento desenvolvido. Em todos o casos analisados nesta pesquisa os valores da
reconstru¸c˜ao de µ foram satisfat´orios quando comparados com seus respectivos valores
de referˆencia. Os valores obtidos de µ utilizando o programa desenvolvido nesta pesquisa
para resolver o problema inverso apresentam erros menores quando comparados com os
valores obtidos para µ na literatura.
Al´em disso, observou-se das figuras apresentadas na Se¸c˜ao 7 que o efeito esp´urio
do tabuleiro de xadrez diminui com o refino da malha. Este efeito ´e mais evidente pr´oximo
`as regi˜oes do contorno do corpo e depende das condi¸c˜oes de deslocamento e de carrega-
mento nas bordas do cilindro reto e da presen¸ca de elementos finitos com raz˜oes de aspecto
deficientes. No entanto, n˜ao houve preju´ızo significativo na determina¸c˜ao de µ, eviden-
ciando que o m´etodo de invers˜ao adotado para obter a solu¸c˜ao desta constante el´astica
mostrou-se adequado, mesmo sem o uso de t´ecnicas de regulariza¸c˜ao dos dados de entrada.
Os gr´aficos dos erros m´aximos versus o tipo de malha utilizada mostram dimi-
nui¸c˜ao dos erros com o aumento do n´umero de elementos finitos.
8.1 Sugest˜oes para a Continua¸c˜ao da Pesquisa
O procedimento num´erico proposto nesta disserta¸c˜ao forneceu resultados satis-
fat´orios relacionados `a determina¸c˜ao do m´odulo de elasticidade ao cisalhamento µ de um
s´olido el´astico-linear, isotr´opico e incompress´ıvel sob estado plano de deforma¸c˜ao (EPD).
135
Estes resultados foram obtidos com malhas pouco refinadas, contendo menos de 5.000
elementos, quando comparadas `as malhas utilizadas por outros autores (e.g. Park e Ma-
niatty (2006)). Al´em disso, a raz˜ao de aspecto deficiente e o efeito esp´urio do tabuleiro
de xadrez contribu´ıram negativamente na obten¸c˜ao destes resultados.
Os resultados satisfat´orios indicam, portanto, que o procedimento num´erico pro-
posto nesta disserta¸c˜ao possui grande potencial de aplica¸c˜ao na determina¸c˜ao de parˆametros
materiais em s´olidos viscoel´asticos. Apresentam-se a seguir algumas sugest˜oes para a re-
aliza¸c˜ao deste potencial.
1.No caso de material el´astico-linear incompress´ıvel, utilizar elemento finito adequado
para melhor aproximar a restri¸c˜ao tr ∇
s
u = 0 na formula¸c˜ao discreta do problema
direto. Espera-se que a utiliza¸c˜ao de um elemento mais adequado evite o apareci-
mento do efeito esp´urio do tabuleiro de xadrez.
2.Utiliza¸c˜ao de pacote num´erico espec´ıfico para a gera¸c˜ao de malhas n˜ao-uniformes
que contenham todos os elementos finitos com raz˜oes de aspecto satisfat´orios. Neste
trabalho, utilizou-se o gerador de malhas do ANSYS 5.5, o qual forneceu malhas
com elementos finitos que tinham raz˜oes de aspecto deficientes.
3.Otimiza¸c˜ao do programa de elementos finitos para possibilitar a utiliza¸c˜ao de malhas
refinadas contendo um n´umero elevado de elementos.
4.Investigar a influˆencia das condi¸c˜oes de contorno em termos das resultantes de for¸cas
sobre as solu¸c˜oes dos problemas de determina¸c˜ao de parˆametros. Em particular,
investigar a unicidade e a estabilidade de cada uma destas solu¸c˜oes. Obviamente,
estas condi¸c˜oes asseguram a existˆencia de solu¸c˜oes, pois estas foram obtidas de forma
aproximada neste trabalho.
5.Considerar rela¸c˜oes constitutivas n˜ao-lineares que permitam a an´alise de proble-
mas de determina¸c˜ao de parˆametros materiais em tecidos moles, para os quais as
deforma¸c˜oes s˜ao grandes. Neste trabalho, a rela¸c˜ao constitutiva ´e linear e est´a
limitada a deforma¸c˜oes inferiores a 2,5%.
6.Desenvolver c´odigo computacional considerando outros estados de deforma¸c˜ao al´em
do EPD.
136
137
Referˆencias
AGUIAR, A.; FOSDICK, R. (1993) The Penalty Method and the Numerical Solution of
Plane Problems in Nonlinear Elastostatics. Research Report. University of Minnesota
Supercomputing Institute. Minneapolis, MN 55455.
ANSYS Vers˜ao 5.5 (1998) Documentation. ANSYS, Inc.
BARBONE, P. E.; BAMBER, J. C. (2002) Quantitative elasticity imaging: what can and
cannot be inferred from strain images. Physics in Medicine and Biology, n. 47, p.
2147-2164.
BARBONE, P. E.; GOKHALE, N. H. (2004) Elastic modulus imaging: on the unique-
ness and nonuniqueness of the elastography inverse problem in two dimensions. Inverse
Problems, n. 20, p. 283-296.
BARBONE, P. E.; OBERAI, A. A. (2007) Elastic modulus imaging: some exact solutions
of the compressible elastography inverse problem. Physics in Medicine and Biology,
n. 52, p. 1577-1593.
BECK, J.; BLACKWELL, B.; CLAIR, C. R. J. S. (1985) Inverse Heat Conduction:
Ill-Posed Problems. New York: John Wiley & Sons.
BONNET, M.; CONSTATINESCU, A. (2005) Inverse problems in elasticity. Inverse
Problems, n. 21, p. R1-R50.
CAMPOS VELHO, H. F. (2002) Problemas inversos: conceitos b´asicos e aplica¸c˜oes.
Nova Friburgo: Notas do mini-curso apresentado no VEMC, IPRJ-UERJ.
CORDEIRO, G. (1992) Introdu¸c˜ao `a Teoria de Verossimilhan¸ca. Rio de Janeiro:
[s.n.]. Livro Texto do 10
o
Simp´osio Nacional de Probabilidade e Estat´ıstica.
DOYLEY, M. M.; MEANEY, P. M.; BAMBER, J. C. (2000) Evaluation of an intera-
tive reconstruction method for quantitative elastography. Physics in Medicine and
Biology, n. 45, p. 1521-1540.
ENGL, H. W.; HANKE, M.; NEUBAUER, A. (2000) Regularization of Inverse Pro-
blems. Dordrechtt, The Netherlands: Klunwer Academic Publishers.
138
FRANC¸ A, G. F. M. (2007) Uma Formula¸c˜ao Inversa para Elastografia. Disserta¸c˜ao
(Mestrado), Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Julho.
FUNG, Y. C. (2004) Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. 2. ed.
New York, NY, USA: Springer.
GOLUB, G. H.; LOAN, C. F. V. (1996) Matrix Computation. Third edition. Balti-
more, USA: The Johns Hopkins University Press. (Johns Hopkins Series in the Mathe-
matical Sciences).
GURTIN, E. M. (1981) An Introduction to Continuum Mechanics. New York,
USA: Academic Press. (Mathematics in Science and Egineering, v. 158).
HADAMARD, J. (1952) Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Diffe-
rential Equations. New York, USA: Dover Publications.
HALL, T. J.; ZHU, Y. (2003) Us Pat 6,508,768 b1. January.
HOFFMAN, K.; KUNZE, R. (1971) Linear Algebra. [S.l.]: Englewood Cliffs, N.J. :
Prentice-Hall.
HOYT, K. L. (2005) Spectral Strain Estimation Techniques for Tissue Elasticity
Imaging. Tese (Doutorado) – Drexel University, June.
HUGHES, T. J. R. (1987) The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic
Analysis. Englewood Cliffs, New Jersey, EUA: Prentice-Hall, Inc..
ISAKOV, V. (2006) Inverse Problems for Partial Differential Equations. Second
edition. New York, USA: Springer. (Applied Mathematical Sciences, v. 127).
JI, L. et al. (2003) Interior elastodynamics inverse problems: shear wave speed recons-
truction in transient elastography. Inverse Problems, n. 19, p. S1-S19.
JOHNSON, C. (1987) Numerical solution of partial differential equations by the
finite element method. Cambridge: Cambridge University.
KALLEL, F. et al. (1998) Elastographic imaging of low-contrast elastic modulus distri-
butions in tissue. Ultrasound in Med. & Biol., v. 24, n. 3, p. 409-425.
KIRSCH, A. A (1996) Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Pro-
blems. Berlim: Springer. (Applied Mathematical Sciences, v. 120).
KOYAMA, T. (2006) Optics in digital still cameras. In: NAKAMURA, J. (Ed.). Image
Sensor and Signals Processing for Digital Still Cameras. Boston, USA: Taylor &
139
Francis. cap. 2, p. 21-51.
KROUSKOP, T. A. et al. (1998) Elastic moduli of breast and prostate tissues under
compression. Ultrason. Imaging, n. 20, p. 260-274.
KYBIC, J.; SMUTEK, D. (2005) Estimating elastic properties of tissues from standard 2D
ultrasound images. In: Walker, W. F.; Emelianov, S. Y. (Ed.). Medical Imaging 2005:
Ultrasonic Imaging and Signal Processing. Edited by Walker, William F.; Emelianov,
Stanislav Y. Proceedings of the SPIE, Volume 5750, pp. 184-195 (2005). [S.l.: s.n.].
(Presented at the Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE) Conference,
v. 5750).
LIU, G. R.; HAN, X. (2003) Computational Inverse Techniques in Non Destruc-
tive Evaluation. Boca Raton, Florida, USA: CRC Press.
LIU, H. T. et al. (2003) Analytic modeling of breast elastography. Medical Physics, v.
30, n. 9, p. 2340-2349.
MANDUCA, A. (2005) Analysis of dynamic magnetic resonance elastography data. In:
LANDINI, L.; POSITANO, V.; SANTARELLI, M. (Ed.). Advanced Image Proces-
sing in Resonance Imaging. Boca Raton, Florida, USA: Taylor & Francis/CRC,
(Signal Processing and Communications, v. 27). cap. 14, p. 451-477.
MCLAUGHLIN, J. R.; YOON, J. R. (2004) Unique identifability of elastic parameters
from time-dependent interior displacement measurement. Inverse Problems, n. 20, p.
25-45.
MERCIER, B. (1979) Inequations variationnelles de la mecanique. [S.l.]: Orsay:
Universite de Paris-Sud.
MOROZOV, V. A. (1984) Methods for Solving Incorrectly Posed Problems. New
York, USA: Springer-Verlag.
MRIDHA, M.;
¨
ODMAN, S. (1986) Noninvasive method for the assessment of subcutane-
ous edema. Med. Biol. Eng. Comput., v. 24, n. 4, p. 393-398.
NEVES, L. P. (2007) Otimiza¸c˜ao do Algoritmo de Block Matching Aplicado a
Estudos Elastogr´aficos. Disserta¸c˜ao (Mestrado) – Universidade de S˜ao Paulo FFCLRP
Departamento de F´ısica e Matem´atica, Ribeir˜ao Preto, SP.
OLIPHANT, T. E. et al. (2001) Complex-valued stiffness reconstruction for magnetic
resonance elastography by algebraic inversion of the differential equation. Magnetic
Resonance in Medicine, n. 45, p. 299-310.
140
OPHIR, J. et al. (1999) Elastography: Ultrasonic estimation and imaging of elastic
properties of tissues. In: Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers.
[S.l.: s.n.]. v. 213 (H), p. 203-233. [convidados].
OPHIR, J. et al. (2002) Elastography: imaging the elastic properties of soft tissues with
ultrasound. Journal of Medical Ultrasonics, v. 29, n. 4, p. 155-171. [Convidados].
OPHIR, J. et al. (1991) Elastography: a quantitative method for imaging the elasticity
of biological tissues. Ultrason. Imaging, n. 13, p. 111-134.
OPHIR, J. et al. (2001) Optical and acoustical imaging of biological media: Elastography.
C.R.Acad Sci. Paris-Applied Physics (Biophysics), t.2, p. 1193-1212.
OPHIR, J.; YAZDI, Y. (1992) Us Pat. 5,107,837. April.
PARK, E.; MANIATTY, A. M. (2006) Shear modulus reconstruction in dynamic elasto-
graphy: time harmonic case. Physics in Medicine and Biology, n. 51, p. 3697-3721.
RADULESCU, E. G. (2007) Apparatus and method for optimezed search for
displacement estimation in elasticity imaging. United States Patent Application
Publication, n. US2007/0167772A1, July.
RAMM, A. G. (2005) Inverse Problems Mathematical and Analytical Techniques
with Applications to Engineering. Boston, USA: Springer.
REEVES, M. J. et al. (1995) Determinants of breast cancer detection among wisconsin
(united states) women, 1988-1990. Cancer-Causes-Control, n. 6, p. 103-111.
ROMANOV, V. (1987) Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht, The
Netherlands: VNU Science Press BV.
SARVAZYAN, A. (1993) Shear acoustic properties of soft biological tissues in medical
diagnostics. The Journal of the Acoustical Society of America, ASA, v. 93, n. 4,
p. 2329-2330.
SARVAZYAN, A. et al. (1998) Shear wave elasticity imaging: a new ultrasound techno-
logy for medical diagnostics. Ultrasound in Med. & Biol., n. 24, p. 1419-1435.
SILVA NETO, A. J. (2005) Problemas inversos: Aplica¸c˜oes em engenharia e medi-
cina. Nova Friburgo: Material Apresentado no Projeto Quartas Cient´ıficas, Instituto
Polit´ecnico, UERJ.
SILVA NETO, A. J.; MOURA NETO, F. D. (2005) Problemas Inversos - Conceitos
Fundamentais e Aplica¸c˜oes. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: EdUERJ.
141
SILVA NETO, A. J.; MOURA NETO, F. D. (2000) Escolha de modelos - problemas
inversos em engenharia. In: Congresso Nacional de Matem´atica Aplicada e Com-
putacional, SBMAC, Santos (SP), Brasil. Mini-curso.
TARANTOLA, A. (2005) Inverse Problems Theory and Methods for Model Pa-
rameter Estimation. Philadelphia, USA: SIAM.
TIKHONOV, A. N. (1963) Solution of incorrectly formulated problems and the regulari-
zation method. Soviet Math Dokl 4, p. 1035-1038. English translation of Dokl Akad
Nauk SSSR 151, 1963, p. 501-504.
TIKHONOV, A. N. (1977) Solutions of Ill-Posed Problems. New York, USA: Halsted
Press. (Scripta Series in Mathematics).
TIKHONOV, A. N.; GONCHARSKIS, A. V. (1987) Ill-Posed Problems in the Na-
tural Sciences. Moscow, USSR: MIR Publishers. (Advances in Science and Technology
in the USSR., Mathematics and Mechanics Series).
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. (1980) Teoria da Elasticidade. 3a edi¸c˜ao. ed.
Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois.
WEINBERGER, H. F. (1965) A First Course in Partial Differential Equations
with Complex Variables and Transform Methods. Waltham, Massachusetts-USA:
Blaisdell Publishing Company.
WU, Z. et al. (2006) Sonoelastographic imaging of interference patterns for estimation of
shear velocity distribution in biomaterials. The Journal of the Acoustical Society
of America, ASA, v. 120, n. 1, p. 535-545.
YANG, S. K.; HUANG, Y.C. (2003) Use of the second harmonic in strain imaging: A
phantom study. Biomedical Engineering-Applications, Basis & Communicati-
ons, v. 15, n. 2, p. 68-76.
ZHU, Y.; HALL, T. J.; JIANG, J. (2003) A finite-element approach for young’s modulus
reconstruction. IEEE Transactions on Medical Imaging, v. 22, n. 7, p. 890-901.
142
143
AP
ˆ
ENDICE A -- O Tensor Tens˜ao
A Fig. 49 apresenta um tetraedro de dimens˜oes infinitesimais retirado de um
corpo deformado y(B) e com o ponto x em um de seus v´ertices. O volume do tetraedro
aproxima-se de zero `a medida que o plano inclinado que cont´em a face ABC aproxima-se
do ponto x.
Seja t
i
≡ t(−e
i
), i = 1, 2, ou, 3, o vetor tens˜ao atuante na face i correspondente
e seja t
n
o vetor tens˜ao atuante na face ABC, conforme ilustrado na Fig. 49.
Figura 49: Tetraedro de tens˜oes.
Seja ∆A
i
a ´area da face i correspondente para i = 1, 2, 3 e seja ∆A a ´area do
plano inclinado ABC. Uma vez que o tetraedro est´a em equil´ıbrio, o somat´orio das for¸cas
resultantes atuando sobre as faces ´e nulo, ou seja,
144
t
1
∆A
1
+ t
2
∆A
2
+ t
3
∆A
3
+ t
n
∆A = 0. (A.1)
O vetor unit´ario n que define o plano inclinado passando por ABC ´e dado por
n = n
1
e
1
+ n
2
e
2
+ n
3
e
3
, (A.2)
onde n
i
, i = 1, 2, 3, s˜ao cossenos diretores dados por
n
i
=
∆A
i
∆A
.
(A.3)
Resolvendo (A.3) para ∆A
i
, i = 1, 2, 3, e substituindo ∆A
i
ns express˜oes corres-
pondentes em (A.1), obt´em-se
t
n
= t
1
n
1
+ t
2
n
2
+ t
3
n
3
. (A.4)
Uma vez que n
i
= e
i
· n, pode-se reescrever (A.4) na forma
t
n
= T n, (A.5)
onde, utilizando a soma impl´ıcita,
T = t
i
⊗ e
i
(A.6)
´e o tensor tens˜ao de Cauchy. Note de (A.6) que T n˜ao depende de n, o que implica de
(A.5) que t
n
´e linear em n.
Em particular, observe de (A.6) que T e
i
= t
i
para i = 1, 2, 3, onde t
i
´e dado
pelas suas componentes normal e tangenciais T
ij
, j = 1, 2, 3, na forma
t
i
= T
ij
e
j
. (A.7)
Segue, portanto, de (A.6) e (A.7) que a representa¸c˜ao tensorial de T na base {e
1
, e
2
, e
3
}
´e dada por
145
T = T
ij
e
j
⊗ e
i
. (A.8)
Matricialmente, T ´e representado por
[T] =
T
11
T
12
T
13
T
21
T
22
T
23
T
31
T
32
T
33
. (A.9)
Considere agora um paralelep´ıpedo de dimens˜oes infinitesimais extra´ıdo da vizi-
nhan¸ca de um ponto x ∈ y(B), conforme ilustrado na Fig. 50. Os vetores tens˜ao atuantes
em cada face do cubo tamb´em est˜ao mostrados na Fig. 50. Sejam b = b
i
e
i
a for¸ca de
corpo por unidade de massa e ρ a densidade de massa em x. Uma vez que o corpo est´a
em equil´ıbrio, tem-se que a resultante de todas as for¸cas atuantes sobre o paralelep´ıpedo
deve ser zero, ou seja,
[t
1
(x + ∆x
1
e
1
) − t
1
(x)] ∆x
2
∆x
3
+ [t
2
(x + ∆x
2
e
2
) − t
2
(x)] ∆x
1
∆x
3
+
[t
3
(x + ∆x
3
e
3
) − t
3
(x)] ∆x
1
∆x
2
+ ρ b∆x
1
∆x
2
∆x
3
= 0,
(A.10)
onde ∆x
i
, i = 1, 2, 3, s˜ao os comprimentos dos lados do paralelep´ıpedo.
Figura 50: Paralelep´ıpedo de dimens˜oes infinitesimais com vetores tens˜ao.
146
Dividindo a equa¸c˜ao (A.10) por ∆x
1
∆x
2
∆x
3
e tomando o limite quando ∆x
i
→ 0,
i = 1, 2, 3, obt´em-se
∂t
1
∂x
1
+
∂t
2
∂x
2
+
∂t
3
∂x
3
+ ρb = 0 (A.11)
Substituindo (A.7) em (A.11) obt´em-se
∂T
ji
∂x
j
+ ρ b
i
= 0, i = 1, 2, 3. (A.12)
As equa¸c˜oes (A.12) podem ser escritas na forma vetorial
div T + ρ b = 0 (A.13)
onde div T ´e definido por a · div T = div (T
T
a) para a ∈ R
3
constante.
A equa¸c˜ao (A.13) deve ser satisfeita em todos os pontos x ∈ y(B) para que o
corpo esteja em equil´ıbrio.
147
AP
ˆ
ENDICE B -- Equivalˆencia entre as Formas Forte
(S) e Fraca (W )
Mostra-se aqui que as formula¸c˜oes forte (S), dada por (6.4), e fraca, dada por
(6.9), s˜ao equivalentes. Isso se estabelece assumindo que todas as fun¸c˜oes envolvidas s˜ao
suaves.
Proposi¸c˜ao:
a) Seja u uma solu¸c˜ao de (S). Ent˜ao u ´e tamb´em uma solu¸c˜ao de (W ).
b) Seja u uma solu¸c˜ao de (W ). Ent˜ao u ´e tamb´em uma solu¸c˜ao de (S).
Prova Formal:
a) Assuma que u ´e uma solu¸c˜ao de (S), ent˜ao pode-se escrever
0 = −
1
0
w (u
,XX
+ b) dX (B.1)
para qualquer w ∈ ς. Integrando (B.1) por partes resulta em
0 =
1
0
w
,X
u
,X
dX −
1
0
w b dX − w u
,X
|
1
0
. (B.2)
Rearranjando (B.2) e usando ambos, −u
,X
(0) = f e w (1) = 0, resulta em
1
0
w
,X
u
,X
dX =
1
0
w f dX + w (0) f. (B.3)
Al´em disso, u(1) = g e, portanto, u est´a em γ. Por fim, desde que u tamb´em
satisfa¸ca (B.3) para todo w ∈ ς, u ´e uma solu¸c˜ao de (W ).
b) Agora, assuma que u ´e uma solu¸c˜ao de (W ). Ent˜ao u ∈ γ, e
148
1
0
w
,X
u
,X
dX =
1
0
w b dX + w (0) f
para todo w ∈ υ. Integrando por partes e usando w(1) = 0, resulta em
0 =
1
0
w (u
,XX
+b) dX+w (0) [u
,X
(0) +f] (B.4)
Para provar que u ´e uma solu¸c˜ao de (S), ´e suficiente mostrar que (B.4) implica
nas Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange:
i. u
,XX
+ b = 0 em ]0, 1[,
ii. u
,X
(0) + f = 0
Primeiro, prova-se (i). Defina w em (B.4) por
w = φ (u
,XX
+b) , (B.5)
onde φ ´e suave, φ(X) > 0 para todo X ∈ Ω =]0, 1[ e φ(0) = φ(1) = 0. Por exemplo,
pode-se tomar φ(X) = X(1 − X), o qual satisfaz todos os requisitos estipulados. Segue
que w(1) = 0 e ent˜ao w ∈ ς. Assim, (B.5) define uma fun¸c˜ao de ς. Substituindo (B.5) em
(B.4) resulta em
0 =
1
0
φ (u
,XX
+b)
2

0
dX + 0. (B.6)
Uma vez que φ > 0 em ]0, 1[, segue de (B.6) que (i) deve ser satisfeito. Agora
que se tem estabelecido (i), passa-se a usar (B.4) para provar (ii). Desse modo, segue de
(B.4) que
0 = w (0) [u
,X
(0) +f] . (B.7)
Nota-se que n˜ao h´a qualquer restri¸c˜ao no valor de w em X = 0. Portanto, pode-se
escolher w tal que w(0) = 0. Ent˜ao (ii) est´a tamb´em satisfeita, a qual completa a prova
da proposi¸c˜ao.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo