Novamente, este resultado pode ser obtido de hip´oteses mais fracas, se R
µν
k
µ
k
ν
≥ 0
em todo ponto de uma geod´esica completa nula µ e se existir ao menos um ponto r ∈ µ no
qual R
µν
k
µ
k
ν
> 0 ou k
[δ
C
µ]νλ[ρ
k
α]
k
ν
k
λ
= 0, ent˜ao µ possuir´a um par de pontos conjugados.
Um espa¸co-tem po (M, g
µν
) ´e dito satisfazer a condi¸c˜ao gen´erica nula se toda geod´esica
nula possuir ao menos um ponto onde R
µν
k
µ
k
ν
> 0 ou k
[δ
C
µ]νλ[ρ
k
α]
k
ν
k
λ
= 0.
Lema 2.3.7 Suponha que (M, g
µν
) satisfa¸ca a condi¸c˜ao gen´erica nula e R
µν
k
µ
k
ν
≥ 0
para todo k
µ
nulo, assumindo que a congr uˆencia seja hipersuperf´ıcie ortogonal. Ent˜ao,
toda geod´esica nula completa possui um par de pontos conjugados.
Pontos conjugados indicam quando uma geod´esica nula µ conectando p e q pode ser
variada resultando uma curva do tipo tempo entre esses pontos. Pode-se demonstrar que:
Lema 2.3.8 Seja µ uma curva causal suave e sejam p, q ∈ µ distin tos. Ent˜ao, n˜ao
existir´a uma fam´ı lia a um parˆametro de curvas causais suaves λ
α
conectando p e q com
λ
0
= µ e λ
α
do tipo tempo para todo α > 0 (ou seja, µ n˜ao pode ser suavemente defor-
mada numa curva do tipo tempo) se e somente se µ for uma geod´esica nula sem pontos
conjugados a p ao longo de µ entre p e q.
A no¸c˜ao de conjuga¸c˜ao tamb´em pode ser definida para um ponto e uma superf´ıcie
bidimensional do tipo espa¸co S. Em cada ponto q ∈ S existir˜ao precisamente dois vetores
nulos direcionados para o futuro k
µ
1
e k
µ
2
que s˜ao ortogonais a S. Se S for orient´avel,
podemos fazer uma escolha cont´ınua de k
µ
1
e k
µ
2
sobre S e assim definir duas fam´ılias de
geod´esicas nulas, fam´ılia que entra e fam´ılia que sai. Vamos nos referir a cada uma dessas
fam´ılias como congruˆencias apesar de cada uma gerar apenas uma hipersuperf´ıcie nula
em vez de gerar uma regi˜ao aberta do espa¸co-tempo. Assumindo ˆω
µν
= 0, a expans˜ao
θ e o cisalhamento ˆσ
µν
est˜ao bem definidos, pois todos os vetores desvio ortogonais aos
vetores tangentes k
µ
est˜ao inclu´ıdos na congruˆencia. Seja µ uma geod´esica nula em uma
dessas congruˆencias. Um ponto p ∈ µ ´e dito ser conjugado a S se ao longo de µ existir
um vetor desvio ˆη
µ
da congruˆencia que ´e n˜ao nulo em S mas se anula em p. Temos ent˜ao:
Lema 2.3.9 Seja (M, g
µν
) um espa¸co-tempo satisfazendo R
µν
k
µ
k
b
≥ 0 para todo k
a
nulo.
Seja S uma subvariedade bidimensional do tipo espa¸co suave tal que a expans˜ao θ das
geod´esicas nulas saindo atinja um valor negativo θ
0
em q ∈ S. Ent˜ao, dentro do intervalo
do parˆametro afim λ ≤ 2/|θ
0
|, existir´a um ponto p conjugado a S ao longo da geod´esica
nula que sai µ passando por q.
O seguinte teorema pode ser obtido:
Lema 2.3.10 Seja S uma subvariedade bidimensional do tipo espa¸co suave e seja µ uma
curva causal suave de S a p. Ent˜ao, a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que µ n˜ao
possa ser suavemente deformada numa curva do tipo tempo conectando S e p ´e que µ seja
uma geod´esica nula ortogonal a S sem pontos conjugados a S entre S e p.
Como conseq¨uˆencia deste teorema (e resultados apresentados na introdu¸c˜ao) obt´em-se
o seguinte teorema.
Lema 2.3.11 Seja (M, g
µν
) um espa¸co-tempo globalmente hiperb´olico e seja K uma sub-
variedade bidimensional de M compacta e orient´avel. Ent˜ao, todo p ∈
˙
I
+
(K) est´a numa
geod´esica nula direcionada para o futuro come¸cando em K que ´e ortogonal a K e n˜ao
possui pontos conjugados a K entre K e p.
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