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Universidade Federal do Cear´a
Centro de Ciˆencias
Departamento de F´ısica
Doutorado em F´ısica
ESTUDO DO DESEMPENHO DE FILTROS
´
OPTICOS INTERFEROM
´
ETRICOS:
INTERFER
ˆ
OMETRO MACH-ZEHNDER DE
FIBRA
´
OPTICA E RESSONADOR
´
OPTICO
EM ANEL.
Jos´e Luiz Sousa Lima
TESE DE DOUTORADO
Fortaleza
10 de mar¸co de 2006
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Universidade Federal do Cear´a
Centro de Ciˆencias
Departamento de F´ısica
Jos´e Luiz Sousa Lima
ESTUDO DO DESEMPENHO DE FILTROS
´
OPTICOS
INTERFEROM
´
ETRICOS: INTERFER
ˆ
OMETRO MACH-ZEHNDER
DE FIBRA
´
OPTICA E RESSONADOR
´
OPTICO EM ANEL.
Trabalho apresentado ao Programa de Doutorado em
F´ısica do Departamento de F´ısica da Universidade Federal
do Cear´a como requisito parcial para obten¸c˜ao do grau de
Doutor em F´ısica.
Orientador: Prof. Dr. Antˆonio S´ergio Bezerra Sombra
Fortaleza
10 de mar¸co de 2006
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Esta tese ´e dedicada `a minha querida m˜ae Francisca Sousa
Lima e, ”in memoriam”, `a meu querido Pai Francisco Vidal
de lima, por terem proporcionado `a seus filhos muito mais
do eles pr´oprios tiveram na vida.
AGRADECIMENTOS
Quero expressar o meu especial agradecimento ao professor e orientador Dr. Antˆonio
S´ergio Bezerra Sombra por sua dedica¸c˜ao na elabora¸c˜ao, acompanhamento e conclus˜ao
do projeto de tese.
Agrade¸co a todos os colegas que comp˜oem a equipe de pesquisa do laborat´orio Locem
e tamb´em a todos os que, direta ou indiretamente, colaboraram com a realiza¸c˜ao desse
trabalho.
Em particular agrade¸co `a coordena¸c˜ao de p´os-gradua¸c˜ao do departamento de f´ısica
da Universidade Federal do Cear´a que tem como atual gestor o professor Dr. Jos´e Soares
Andrade Jr. e ao chefe do departamento o professor Dr. Jos´e Ramos Gon¸calves.
Finalmente agrade¸co ao aux´ılio financeiro da Funda¸c˜ao Cearense de Apoio ao Desen-
volvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico (FUNCAP) e ao seu grande apoio na forma¸c˜ao de
novos mestres e doutores no estado do Cear´a.
iv
A curiosidade constante pela resolu¸c˜ao de novos proplemas ´e atributo
seguro do homem altamente inteligente.
—DR. JOS
´
E REIS (Homem de ciˆencia (m´edico), jornalista e professor)
RESUMO
Este trabalho relata um estudo num´erico das caracter´ısticas ´opticas de um inter-
ferˆometro Mach-Zehnder disposto em uma configura¸c˜ao com quatro est´agios e um resso-
nador ´optico em anel. O interferˆometro Mach-Zehnder foi constru´ıdo numa vers˜ao com
fibra comum e outra com fibra de dispers˜ao decrescente considerando um perfil de dis-
pers˜ao linear. O ressonador ´optico em anel foi constu´ıdo com um guia de onda cujo o
´ındice de refra¸c˜ao n˜ao linear foi moldado com um perfil linear crescente. A transmiss˜ao
e o fator de compress˜ao dos pulsos de sa´ıda s˜ao analisados nos regimes de soliton e
quasi-soliton para ambos os dispositivos.
Os resultados mostraram que a transmiss˜ao do interferˆometro Mach-Zehnder ´e for-
temente dependente da potˆencia de entrada em ambos os regimes. O n´ıvel de crosstalk
tamb´em ´e dependente da potˆencia de entrada e da dispers˜ao da fibra. Para potˆencias de
entrada altas, o n´ıvel de crosstalk ´e mais baixo para o dispositivo com fibra de dispers˜ao
decrescente no regime de soliton . Para esta configura¸c˜ao, o n´ıvel de crosstalk m´ınimo
encontrado (-22 dB) foi para a potˆencia normalizada de entrada P = 2,7. No regime de
quasi-soliton, em geral, o n´ıvel de crosstalk m´ınimo ´e mais baixo para o interferˆometro
Mach-Zehnder com fibra de dispers˜ao decrescente em potˆencias de entrada altas, mas com
a possibilidade de se obter um n´ıvel de crosstalk menor para o dispositivo utilizando fibra
comum. A raz˜ao de extin¸c˜ao ´e tamb´em muito dependente da potˆencia de entrada e sofre
degenera¸c˜ao quando a potˆencia de entrada aumenta. Para potˆencias de entrada baixas,
o interferˆometro Mach-Zehnder apresenta uma raz˜ao de extin¸c˜ao melhor em potˆencias de
vi
resumo vii
entrada mais altas no regime de soliton. No regime de quasi-soliton, a melhor raz˜ao de
extin¸c˜ao ´e obtida para o interferˆometro Mach-Zehnder com fibra comum em potˆencias
de entrada altas. Pode-se dizer que a opera¸c˜ao do dispositivo como uma chave ´optica
n˜ao melhora com o uso de fibra de dispers˜ao decrescente. Entretanto, para opera¸c˜ao
de multiplex/demultiplex, o interferˆometro Mach-Zehnder constru´ıdo com fibra de dis-
pers˜ao decrescente mostrou melhoramentos no n´ıvel de crosstalk no regime de soliton e,
dependendo da potˆencia de entrada, tamb´em no regime de quasi-soliton.
No estudo do ressonador ´optico em anel foi encontrado que a perda do guia de onda
que forma a cavidade anelar diminui a transmiss˜ao em ambos os regimes, mas mant´em
o mesmo comportamento n˜ao linear. O uso de um ´ındice de refra¸c˜ao n˜ao linear com
um perfil linear crescente leva `a compress˜ao ou alargamento temporal, dependendo da
potˆencia de entrada, no regime de soliton. No regime de quasi-soliton n˜ao foi observado
deforma¸c˜ao temporal dos pulsos de sa´ıda. Isto indica que, em m´edia, os pulsos de sa´ıda
est˜ao com a mesma dura¸c˜ao temporal que os pulsos de entrada. Os resultados tamb´em
mostraram que h´a um aumento da transmiss˜ao quando um ´ındice de refra¸c˜ao n˜ao linear
com um perfil linear crescente ´e usado. Assim, o decr´escimo na transmiss˜ao associado `a
perda do guia de onda pode ser evitado. As caracter´ısticas de transmiss˜ao e a forma dos
pulsos ´opticos de sa´ıda do interferˆometro Mach-Zehnder e do ressonador ´optico em anel
ser˜ao de interesse em circuitos ´opticos e sistemas de comunica¸c˜oes totalmente ´opticos no
futuro.
Palavras-chave: Interferˆometro Mach-Zehnder; Ressonador em Anel; Soliton; Quasi-
Soliton; Fibra com Dispers˜ao Decrescente; N´ıvel de Crosstalk; Raz˜ao de Extin¸c˜ao; Fator
de Compress˜ao.
ABSTRACT
The nonlinear optical characteristics of a four-stage Mach-Zehnder interferometer and
an optical ring resonator operating in soliton and quasi-soliton regime are investigated
numerically. The Mach-Zehnder interferometer was constructed with ordinary telecom-
munication fiber and dispersion decreasing fiber considering a linear profile. The optical
ring resonator waveguide was modeled with a nonlinear refractive index considering a
increase linear profile. The transmission and compression factor of the switched pulses
are analyzed.
Results showed that the soliton and quasi-soliton transmissions of the four-stage Mach-
Zehnder interferometer are strongly dependent of the pump power. The crosstalk level is
dependent on the pump power and the dispersion of the fiber. For high pump power the
crosstalk is lower for the device with dispersion decreasing fiber in soliton regime. For
this configuration the minimum crosstalk level (-22 dB) is obtained for pump power P
= 2.7. In the quasi-soliton regime, in general the minimum crosstalk level is also lower
for the four-stage Mach-Zehnder with dispersion decreasing fiber for high pump power
but it is possible to obtain the minimum crosstalk level for the device with ordinary
telecommunication fiber for high pump power. The extinction ratio is also very dependent
on the pump power. It also degenerates with the increase of the pump power. For low
pump power the four-stage Mach-Zehnder with ordinary telecommunication fiber and
dispersion decreasing fiber presents a better extinction ratio compared to high pump
power in soliton regime. In the quasi-soliton regime the better extinction ratio is obtained
viii
abstract ix
for the four-stage Mach-Zehnder with ordinary telecommunication fiber for high pump
power. One can say that the operation of the device as an optical switch is not improving
with the use of the dispersion decreasing fiber. However, for the multiplex/demultiplex
operation, the proposed four-stage Mach-Zehnder constructed with dispersion decreasing
fiber is showing improvements in the crosstalk levels in the soliton regime and, depending
on the pump power, in the quasi-soliton regime as well.
In the optical ring resonato study it was found that the ring waveguide loss lead
to decrease of the short pulse transmission in both regimes, but maintaining the same
nonlinear behaviour. The use of a nonlinear refractive index with linear increase profile
lead to pulse compression or broadening, depending on pump power, in the soliton regime.
In the quasi-soliton regime, it was observed no switched pulse deformation. This is an
indication that the switched pulses have the same time duration of the input pulses in
average. The results also showed that the transmission increases when the nonlinear
refractive index with linear increase profile is used. Thus, the transmission decrease
associated to the waveguide loss can be avoided. The transmission characteristics and
optical pulse shaping of the four-stage Mach-Zehnder and optical ring resonato will be of
interest in optical circuits and the all-optical communication systems in future.
Keywords: Mach-Zehnder Interferometer; Ring Resonator; Soliton; Quasi-Soliton;
Dispersion Decreasing Fiber; Crosstalk; Extinction Ratio; Compression Factor.
SUM
´
ARIO
Cap´ıtulo 1—Introdu¸c˜ao 1
Cap´ıtulo 2—Acopladores 4
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Modelo Matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Onda
´
Optica de Baixa Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Chaveamento Linear de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Cap´ıtulo 3—Interferˆometro Mach-Zehnder 15
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Princ´ıpio de Opera¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 Interferˆometro Mach-Zehnder de Est´agio
´
Unico . . . . . . . . . . 17
3.2.2 Interferˆometro Mach-Zehnder com M´ultiplos Est´agios . . . . . . . 18
3.3 Modelo Num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Resultados e Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Cap´ıtulo 4—Ressonador
´
Optico em Anel 43
x
sum
´
ario xi
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Teoria B´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Modelo Num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Resultados e Discuss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Cap´ıtulo 5—Conclus˜oes e Perspectivas 60
5.1 Conclus˜oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Sugest˜oes para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Apˆendice A—Equa¸c˜ao N˜ao Linear de Schr¨odinger 64
Apˆendice B—Solitons em Fibras
´
Opticas 66
Apˆendice C—M´etodo de Fourier de Passo Dividido 71
Apˆendice D—Trabalhos Publicados 74
D.1 Trabalhos Decorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
D.2 Trabalhos Relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
D.3 Outras Publica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Referˆencias Bibliogr´aficas 76
LISTA DE FIGURAS
2.1 Esquema de um acoplador direcional constru´ıdo de fibra. . . . . . . . . . 4
2.2 Fra¸c˜ao de potˆencia transferida para a segunda fibra em fun¸c˜ao de κ
0
z para
trˆes valores de δβ
0
/κ
0
quando uma onda CW ´e lan¸cada em uma das fibras
em z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Interferˆometro Mach-Zehnder constru´ıdo pela interconex˜ao de dois acopla-
dores direcionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Diagrama esquem´atico para um MZI em cascata. . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Diagrama de blocos de um MZI com quatro est´agios. . . . . . . . . . . . 20
3.4 Transmiss˜ao linear de cada est´agio de um MZI com quatro est´agios cen-
trada na freq¨uˆencia ω
0
= 2πc/λ
0
com λ
0
= 1550 nm. . . . . . . . . . . . 21
3.5 Largura temporal em fun¸c˜ao da potˆencia para o soliton fundamental. . . 23
3.6 Transmiss˜ao da sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro
valores de β no regime de soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Transmiss˜ao da sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro
valores de β no regime de quasi-soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 Fator de compress˜ao dos pulsos na sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de en-
trada para quatro valores de β no regime de soliton. . . . . . . . . . . . . 28
3.9 Fator de compress˜ao dos pulsos na sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de en-
trada para quatro valores de β no regime de quasi-soliton. . . . . . . . . 28
xii
LISTA DE FIGURAS xiii
3.10 (a) Fator de compress˜ao dos pulsos de sa´ıda em fun¸c˜ao do parˆametro β
para potˆencia de entrada P = 1, 08 no regime de soliton. (b) Transmiss˜ao
em fun¸c˜ao do parˆametro β para potˆencia de entrada P = 1, 08 no regime
de soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.11 Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores de
β no regime de soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.12 Espectro de freq¨uˆencia do pulso na sa´ıda 1 para β = 3 no regime de soliton
e potˆencia de entrada (a) P = 0, 25 e (b) P = 1, 30. . . . . . . . . . . . . 33
3.13 Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de entrada diferen-
tes no regime de soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.14 Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores de
β no regime de quasi-soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.15 Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de entrada diferen-
tes no regime de quasi-soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.16 Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro
valores de β no regime de soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.17 Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de en-
trada diferentes no regime de soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.18 Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro
valores de β no regime de quasi-soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.19 Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de en-
trada diferentes no regime de quasi-soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Modelo de um ressonador ´optico em anel usando um acoplador direcional. 43
4.2 Intensidade de sa´ıda em fun¸c˜ao do atraso de fase por volta β
L para uma
finesse de 60. Outros parˆametros s˜ao: L = 0,5 cm, α = 0 , 45 dB/cm e
ρ = 0, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
LISTA DE FIGURAS xiv
4.3 Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da freq¨uˆencia assumindo uma onda CW de en-
trada centrada no comprimento de onda λ
0
= 1550 nm para trˆes diferentes
valores de perda. Outros parˆametros s˜ao: L = 0, 5 cm, κ = 0, 95, β
1
=
50 ps/cm, β
2
= γ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 (a) Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para pulsos com perfil
de soliton, para quatro valores de perda diferentes. (b) Transmiss˜ao em
fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para pulsos com perfil de quasi-soliton, para
quatro valores de perda diferentes. Outros parˆametros s˜ao: L = 0,5 cm e
κ = 0,95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para um ORR com n˜ao
linearidade com perfil linear e perda α = 0,45 dB/cm, considerando pulsos
de entrada com (a) perfil de soliton e (b) perfil de quasi-soliton, para trˆes
valores de β. Outros parˆametros s˜ao: L = 0,5 cm e κ = 0,95. . . . . . . . 53
4.6 Fator de compress˜ao m´edio em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para trˆes
valores de β e perda α = 0,45 dB/cm, para pulsos de entrada com perfil
de (a) soliton e (b) quasi-soliton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.7 Perfil do pulso de entrada e dos pulsos de sa´ıda para β = 1, 3 e 5, com
potˆencia de entrada P = 0,19, no regime de soliton. (a) Espa¸co de tempo.
(b) Espa¸co de freq¨uˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Perfil do pulso de entrada e dos pulsos de sa´ıda para β = 1, 3 e 5, com
potˆencia de entrada P = 1,50, no regime de soliton. (a) Espa¸co de tempo.
(b) Espa¸co de freq¨uˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Representa¸c˜ao esquem´atica de um AWG M × N. . . . . . . . . . . . . . 62
B.1 Propaga¸c˜ao de um soliton fundamental numa fibra. . . . . . . . . . . . . 68
B.2 Propaga¸c˜ao de um soliton de segunda ordem numa fibra. . . . . . . . . . 68
B.3 Intensidade em fun¸c˜ao do tempo normalizado para um soliton negro. . . 70
LISTA DE TABELAS
3.1 Potˆencias de entrada para o primeiro m´ınimo de transmiss˜ao para os quatro
valores de β. S (soliton), QS (quasi-soliton). . . . . . . . . . . . . . . . . 27
xv
CAP
´
ITULO 1
INTRODUC¸
˜
AO
Os dispositivos de chaveamento totalmente ´opticos tˆem se tornado objetos de grande
interesse de investiga¸c˜ao cient´ıfica devido a sua importˆancia para sistemas de comu-
nica¸c˜oes totalmente ´opticos, tais como sistema de multiplexa¸c˜ao por divis˜ao de compri-
mento de onda (WDM)
1
e sistema de multiplexa¸c˜ao por divis˜ao de comprimento de onda
compacto (DWDM)
2
, os quais requerem baixa energia de ativa¸c˜ao, alta compacta¸c˜ao e
respostas r´apidas. Nesses tipos de sistemas, os filtros ou chaves ´opticas s˜ao os componen-
tes mais fundamentais. Em redes WDM, cada ponto de interconex˜ao precisa ter v´arias
fun¸c˜oes como subtrair um sinal desejado, adicionar um novo sinal ou passar todos os sinais
de chegada para o pr´oximo n´o. Para esses prop´ositos, alguns tipos de dispositivos tˆem
sido apresentados, os quais s˜ao baseados em acopladores direcionais n˜ao lineares [1, 2],
interferˆometro Fabry-Perot [3], filtro acusto-´optico [4, 5], interferˆometro Mach-Zehnder
[6, 7], ressonador ´optico em anel [8, 9]. Entre os filtros, os filtros de interferˆometro
Mach-Zehnder e o ressonador ´optico em anel s˜ao os candidatos potenciais, desde que
apresentam perdas baixas, s˜ao extremamente seletivos espectralmente e tˆem baixo custo
de fabrica¸c˜ao. Al´em disso, o interferˆometro Mach-Zehnder e o ressonador ´optico em anel
possuem outras importantes aplica¸c˜oes no campo da ´optica n˜ao linear as quais s˜ao ci-
tadas nos cap´ıtulos 3 e 4. Portanto, ´e importante conhecer como os efeitos n˜ao lineares
afetam o desempenho dos dispositivos, com a finalidade de entender as potencialidades
em aplica¸c˜oes ´opticas, assim como as caracter´ısticas fundamentais.
1
Sigla do inglˆes Wavelength-Division Multiplexed.
2
Sigla do inglˆes Dense Wavelength-Division Multiplexed.
1
introduc¸
˜
ao 2
Os acopladores s˜ao os blocos estruturais utilizados em processos ´opticos. Eles s˜ao
os elementos principais de interconex˜ao para a constru¸c˜ao de uma variedade de redes
de distribui¸c˜ao que empregam fibras ´opticas. Eles podem ser usados para multiple-
xar/demultiplexar os sinais ´opticos de uma fibra para outras fibras. Para a maioria das
redes de comunica¸c˜ao, o desempenho dos elementos de acoplamento, mais do que as
caracter´ısticas de transmiss˜ao das linhas de fibra, limita o rendimento das redes e deter-
mina qual configura¸c˜ao deve ser adotada. Portanto, os acopladores desempenham uma
fun¸c˜ao muito importante em sistemas de comunica¸c˜ao de fibra ´optica. O cap´ıtulo 2 ´e
destinado a uma revis˜ao da teoria dos acopladores direcionais considerando apenas a sua
caracter´ıstica linear, pois o estudo de suas caracter´ısticas n˜ao lineares est´a fora do escopo
deste trabalho. Al´em disso, os acopladores s˜ao os elementos b´asicos para a constru¸c˜ao do
interferˆometro Mach-Zehnder e o ressonador ´optico em anel.
A resposta espectral de um interferˆometro Mach-Zehnder ´e senoidal e portanto ´e ina-
propriada para uso pr´atico. Afim de se obter uma banda de freq¨uˆencia mais estreita,
um dispositivo formado por interferˆometros Mach-Zehnder em cascata ´e utilizado. Al´em
disso, quando os interferˆometros Mach-Zehnder s˜ao usados para filtros ou chaves, a mag-
nitude da raz˜ao de extin¸c˜ao representa uma fun¸c˜ao importante na redu¸c˜ao do n´ıvel de
crosstalk do canal adjacente. No cap´ıtulo 3, a caracter´ıstica de transmiss˜ao de um inter-
ferˆometro Mach-Zehnder disposto em uma configura¸c˜ao em cascata com quatro est´agios
´e investigada numericamente. O dispositivo ´e constru´ıdo com fibra de telecomunica¸c˜ao
comum e, em outra vers˜ao, com fibra de dispers˜ao decrescente considerando um perfil
linear. As transmiss˜oes e o fator de compress˜ao dos pulsos de sa´ıda s˜ao analisados em
fun¸c˜ao da potˆencia de entrada. Considera-se o dispositivo operando no regime de soliton
quando os pulsos de entrada tˆem um perfil de soliton e no regime de quasi-soliton quando
os pulsos de entrada tˆem um perfil de quasi-soliton. A escolha desse tipo de pulso se deve
a suas aplica¸c˜oes em sistemas de comunica¸c˜oes de longa distˆancia [10].
Um componente importante em sistemas de comunica¸c˜oes ´opticas ´e o multiplexador
introduc¸
˜
ao 3
add-drop, o qual permite que os sinais sejam adicionados ou subtra´ıdos de um sinal WDM.
Os requisitos para esses filtros incluem alta finesse, largura de banda plana, baixa perda
de inser¸c˜ao, baixo crosstalk entre os sinais adicionados e os sinais que est˜ao trafegando, e
baixo crosstalk entre os sinais adicionados e os sinais subtra´ıdos. Os filtros baseados em
ressonadores em anel com caracter´ısticas espectrais e baixa perda de inser¸c˜ao satisfazem
esses fortes requisitos. No cap´ıtulo 4, a caracter´ıstica de transmiss˜ao de um ressonador
´optico em anel ´e investigada numericamente. O guia de onda que forma a cavidade anelar
utiliza um ´ındice de refra¸c˜ao n˜ao linear modelado com um perfil linear crescente e perda
vari´avel. A transmiss˜ao e o fator de compress˜ao m´edio dos pulsos de sa´ıda s˜ao analisados
em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada. Considera-se tamb´em o dispositivo operando nos
regimes de soliton e quasi-soliton.
O cap´ıtulo 5 faz um balan¸co final do trabalho e exp˜oe as principais conclus˜oes desse
estudo. O cap´ıtulo apresenta tamb´em algumas sugest˜oes para trabalhos futuros.
CAP
´
ITULO 2
ACOPLADORES
2.1 INTRODUC¸
˜
AO
Acopladores s˜ao dispositivos que consistem de duas portas de entrada e duas portas
de sa´ıda como mostra a figura 2.1. Eles podem ser constru´ıdos juntando-se duas fibras
´opticas paralelamente, [11], ou usando guias de ondas planares em ´optica integrada, [12].
Sua fun¸c˜ao ´e dividir coerentemente um campo ´optico incidente em uma das portas de
entrada e direcion´a-lo para as portas de sa´ıda. Como a onda incidente pode ser conduzida
para duas dire¸c˜oes diferentes, o dispositivo ´e chamado acoplador direcional. A quantidade
de potˆencia do sinal incidente, transferida para as portas de sa´ıda, pode ser controlada
pela constante de acoplamento, pelo comprimento de intera¸c˜ao ou pelo casamento de fase
entre os sinais de entrada. Devido ao fato do dispositivo exibir fenˆomeno n˜ao linear do
tipo Kerr, o nome acoplador direcional n˜ao linear ´e geralmente empregado, [13].
Os acopladores direcionais s˜ao os principais componentes usados na constru¸c˜ao dos
interferˆometros Mach-Zehnder e ressonador em anel, os quais s˜ao analisados nos cap´ıtulos
Figura 2.1. Esquema de um acoplador direcional constru´ıdo de fibra.
4
2.1 introduc¸
˜
ao 5
3 e 4. Sua estrutura tem sido extensivamente estudada devido ao grande n´umero de
aplica¸c˜oes em processos ´opticos, principalmente em sistemas de telecomunica¸c˜oes, pois os
acopladores ´opticos podem operar em velocidades muito maiores do que os acopladores
eletrˆonicos ou optoeletrˆonicos, [14] - [16].
Duas teorias tˆem sido empregadas nos estudos dos acopladores: a teoria do modo
normal e a teoria do modo acoplado. A teoria do modo normal considera o acoplador,
o qual ´e constru´ıdo de duas fibras monomodo, como um guia de onda bimodal que
suporta dois modos normais: o modo par com uma distribui¸c˜ao de campo sim´etrica
e o modo ´ımpar com uma distribui¸c˜ao de campo assim´etrica. Ou seja, o acoplador ´e
considerado um dispositivo de um ´unico elemento que suporta dois modos (conhecidos
como supermodos,[17]). A transferˆencia de potˆencia ´optica entre os dois n´ucleos ´e ent˜ao
descrita pela diferen¸ca de fase relativa entre os dois supermodos adquirida durante a
propaga¸c˜ao, [18].
A teoria do modo acoplado considera o acoplador como um dispositivo de elemento
duplo, com cada um de seus elementos suportando um modo. Os dois elementos s˜ao
as duas fibras ´opticas monomo do e o modo que suporta cada elemento ´e a distribui¸c˜ao
do campo propagante efetivo, em contraste com os supermodos, cuja combina¸c˜ao linear
representa a distribui¸c˜ao do campo efetivo e n˜ao os pr´oprios supermodos, [19]. A trans-
ferˆencia de potˆencia ´optica entre os dois n´ucleos ´e explicada como acoplamento de campo
evanescente entre os modos dos n´ucleos individuais do acoplador.
Este cap´ıtulo ´e dedicado a uma an´alise introdut´oria sobre a caracter´ıstica linear dos
acopladores de fibra. Na se¸c˜ao 2.2 ´e apresentado o modelo matem´atico, que representa o
problema f´ısico, no contexto da teoria do modo acoplado. Esta teoria fornece uma melhor
id´eia f´ısica para a natureza da propaga¸c˜ao porque ela mostra separadamente os modos
efetivos que se propagam dentro de cada fibra monomodo que comp˜oe o acoplador. Na
se¸c˜ao 2.3 ´e discutido a propaga¸c˜ao de uma onda cont´ınua (CW)
1
de baixa potˆencia e na
1
Sigla do inglˆes Continue Wave.
2.2 modelo matem
´
atico 6
se¸c˜ao 2.4 ´e discutido a propaga¸c˜ao de pulsos.
2.2 MODELO MATEM
´
ATICO
O modelo geral que descreve a propaga¸c˜ao de pulsos dentro de um acoplador de
campo evanescente ´e formulado pelas equa¸c˜oes n˜ao lineares de Schr¨odinger acopladas
que podem ser escritas como [15, 20],
i
∂A
1
∂z
+ β
01
A
1
+ iβ
11
∂A
1
∂t
−
β
21
2
∂
2
A
1
∂t
2
+ (γ
1
|A
1
|
2
+ C
12
|A
2
|
2
)A
1
+ κ
01
A
2
+ iκ
11
∂A
2
∂t
−
κ
21
2
∂
2
A
2
∂t
2
= 0, (.)
i
∂A
2
∂z
+ β
02
A
2
+ iβ
12
∂A
2
∂t
−
β
22
2
∂
2
A
2
∂t
2
+ (γ
2
|A
2
|
2
+ C
21
|A
1
|
2
)A
2
+ κ
02
A
1
+ iκ
12
∂A
1
∂t
−
κ
22
2
∂
2
A
1
∂t
2
= 0, (.)
onde β
0n
, β
1n
, β
2n
e κ
0n
, κ
1n
, κ
2n
, s˜ao os coeficientes das resp ectivas expans˜oes de Taylor
em torno da freq¨uˆencia central ω
0
:
β
n
(ω) = β
0n
+ (ω − ω
0
)β
1n
+
1
2
(ω − ω
0
)
2
β
2n
+ ..., (.)
κ
n
(ω) = κ
0n
+ (ω − ω
0
)κ
1n
+
1
2
(ω − ω
0
)
2
κ
2n
+ ..., (.)
onde os coeficientes β
jn
e κ
jn
com n = 1, 2, s˜ao respectivamente definidos como:
β
jn
=
d
j
β
n
dω
j
ω=ω
0
, κ
jn
=
d
j
κ
n
dω
j
ω=ω
0
. (.)
Os coeficientes β
0n
, β
1n
e β
2n
s˜ao, respectivamente, o n´umero de onda calculado em
ω = ω
0
, o inverso da velocidade de grupo e a dispers˜ao de velocidade de grupo (GVD)
2
,
enquanto κ
0n
, κ
1n
e κ
2n
s˜ao, respectivamente, o coeficiente de acoplamento linear, a dis-
2
Sigla do inglˆes Group Velocity Dispersion.
2.2 modelo matem
´
atico 7
pers˜ao intermodal e um termo de ordem mais alta sem nome espec´ıfico na literatura
cient´ıfica. O subscrito n refere-se ao pulso A
n
que se propaga dentro do n´ucleo n. Os
coeficientes γ
1
, γ
2
, C
12
e C
21
s˜ao termos n˜ao lineares que, para fibras monomodo de SiO
2
,
adquirem os seguintes valores, [21, ver apˆendice A]:
C
11
= C
22
=
n
2
ω
0
cA
eff
= γ, C
12
= C
21
= C
XP M
. (.)
Os coeficientes γ e C
XP M
est˜ao relacionados respectivamente com os efeitos de auto mo-
dula¸c˜ao de fase (SPM)
3
e modula¸c˜ao de fase-cruzada (XPM)
4
. Adotando a transforma¸c˜ao
A
n
= U
n
exp
i
β
01
+ β
02
2
z
, n = 1, 2, (.)
T = t −
β
11
+ β
12
2
z (.)
as equa¸c˜oes de modo acoplado ficam
i
∂U
1
∂z
+
δβ
0
2
U
1
+ i
δβ
1
2
∂U
1
∂T
−
β
21
2
∂
2
U
1
∂T
2
+ (γ|U
1
|
2
+ C
XP M
|U
2
|
2
)U
1
+ κ
01
U
2
+ iκ
11
∂U
2
∂T
−
κ
21
2
∂
2
U
2
∂T
2
= 0, (.)
i
∂U
2
∂z
−
δβ
0
2
U
2
− i
δβ
1
2
∂U
2
∂T
−
β
22
2
∂
2
U
2
∂T
2
+ (γ|U
2
|
2
+ C
XP M
|U
1
|
2
)U
2
+ κ
02
U
1
+ iκ
12
∂U
1
∂T
−
κ
22
2
∂
2
U
1
∂T
2
= 0, (.)
onde δβ
0
= β
01
−β
02
e δβ
1
= β
11
−β
12
. Assim, fica evidente que δβ
0
e δβ
1
representam a
diferen¸ca de velocidade de fase e diferen¸ca de velocidade de grupo, respectivamente, entre
os dois pulsos propagantes. Quando os dois pulsos coincidem em comprimento de onda,
estes dois termos se anulam desde que as duas fibras tenham as mesmas caracter´ısticas
3
Sigla do inglˆes Self-Phase Modulation.
4
Sigla do inglˆes Cross Phase Modulation.
2.2 modelo matem
´
atico 8
geom´etricas e materiais. Aplicando a seguinte transforma¸c˜ao `as Eqs. (.) e (.):
τ =
T
T
0
, ξ =
z
Z
0
, u
i
=
U
i
U
0
, (.)
obt´em-se a forma normalizada das equa¸c˜oes de modo acoplado. As quantidades T
0
, Z
0
e U
0
s˜ao o tempo de referˆencia, a distˆancia e a amplitude, respectivamente, que s˜ao
escolhidas convenientemente. Comumente T
0
coincide com a largura temporal do pulso
de entrada, U
0
com sua amplitude inicial e Z
0
com o comprimento de dispers˜ao. Ent˜ao,
o sistema de Eqs. (.) e (. ) sob a transforma¸c˜ao (.) fica
i
∂u
1
∂ξ
+ ∆β
0
u
1
+ i∆β
1
∂u
1
∂τ
+
D
1
2
∂
2
u
1
∂τ
2
+ (NL
SP M
|u
1
|
2
+ NL
XP M
|u
2
|
2
)u
1
+ K
01
u
2
+ iK
11
∂u
2
∂τ
+
K
21
2
∂
2
u
2
∂τ
2
= 0, (.)
i
∂u
2
∂ξ
− ∆β
0
u
2
− i∆β
1
∂u
2
∂τ
+
D
2
2
∂
2
u
2
∂τ
2
+ (NL
SP M
|u
2
|
2
+ NL
XP M
|u
1
|
2
)u
2
+ K
02
u
1
+ iK
12
∂u
1
∂τ
−
K
22
2
∂
2
u
1
∂τ
2
= 0. (.)
Considerando o acoplador sim´etrico, ou seja, com os dois n´ucleos idˆenticos e os pulsos
propagantes operando no mesmo comprimento de onda, ent˜ao os dois pulsos n˜ao sofrer˜ao
diferen¸ca de velocidade de fase ou velocidade de grupo. Considerando tamb´em que de-
vido a separa¸c˜ao dos n´ucleos a modula¸c˜ao de fase cruzada ´e extremamente fraca [18, 21],
podemos fazer o coeficiente NL
XP M
igual a zero. Um ´ultimo ajuste refere-se aos coefi-
cientes K
21
e K
22
os quais s˜ao usualmente muito pequenos comparados com o resto dos
coeficientes [19]. Assim, sob todas essas suposi¸c˜oes, o sistema de equa¸c˜oes acopladas Eqs.
(.) e (.) reduz-se a
i
∂u
1
∂ξ
+
D
2
∂
2
u
1
∂τ
2
+ NL
SP M
|u
1
|
2
u
1
+ K
0
u
2
+ iK
1
∂u
2
∂τ
= 0, (.)
i
∂u
2
∂ξ
+
D
1
2
∂
2
u
1
∂τ
2
+ NL
SP M
|u
1
|
2
u
1
+ K
0
u
2
+ iK
1
∂u
2
∂τ
= 0, (.)
2.3 onda
´
optica de baixa pot
ˆ
encia 9
onde
D = −
β
2
Z
0
T
2
0
, NL
SP M
= U
2
0
Z
0
γ, K
0
= κ
0
Z
0
e K
1
= κ
1
Z
0
T
0
. (.)
Ademais, se Z
0
e U
0
forem escolhidos tal que
Z
0
=
T
2
0
|β
2
|
e U
2
0
=
|β
2
|
γT
2
0
, (.)
ent˜ao, para o caso de dispers˜ao anˆomala (β
2
< 0) o conjunto de termos na Eq. (.)
resulta em
D = 1, NL
SP M
= 1, K
0
=
κ
0
T
2
0
|β
2
|
e K
1
=
κ
1
T
0
|β
2
|
. (.)
Neste caso, as Eqs. (.) e (. ) tomam a seguinte forma normalizada
i
∂u
1
∂ξ
+ K
1
∂u
2
∂τ
+
1
2
∂
2
u
1
∂τ
2
+ |u
1
|
2
u
1
+ K
0
u
2
= 0, (.)
i
∂u
2
∂ξ
+ K
1
∂u
1
∂τ
+
1
2
∂
2
u
2
∂τ
2
+ |u
2
|
2
u
2
+ K
0
u
1
= 0. (.)
As Eqs. (.) e (.), por serem mais convenientes, s˜ao freq¨uentemente encontradas
na literatura cient´ıfica no estudo de propaga¸c˜ao de pulsos ultra-r´apidos em acopladores,
[22].
2.3 ONDA
´
OPTICA DE BAIXA POT
ˆ
ENCIA
Para uma onda CW incidente em uma das portas de entrada de um acoplador direcio-
nal de fibra, os termos dependentes do tempo nas Eqs. (.) e (.) podem ser igualados
a zero. Os termos n˜ao lineares tamb´em podem ser desprezados por serem muito peque-
nos devido a baixa potˆencia do sinal. Ent˜ao as equa¸c˜oes de modo acoplado simplesmente
2.3 onda
´
optica de baixa pot
ˆ
encia 10
ficam
i
dU
1
dz
+
δβ
0
2
U
1
+ κ
01
U
2
= 0, (.)
i
dU
2
dz
−
δβ
0
2
U
2
+ κ
02
U
1
= 0. (.)
Diferenciando a Eq. (.) e eliminando dU
2
/dz usando a Eq. (.), obt´em-se a seguinte
equa¸c˜ao para U
1
d
2
U
1
dz
2
+ κ
2
e
U
1
= 0, (.)
onde o coeficiente de acoplamento efetivo κ
e
´e definido como
κ
e
=
1
2
4κ
2
0
+ δβ
2
0
, κ
0
=
√
κ
01
κ
02
. (.)
A mesma equa¸c˜ao do tipo oscilador harmˆonico ´e tamb´em obtida para U
2
utilizando o
mesmo procedimento. Considerando uma ´unica onda CW incidente em uma das portas
tal que U
1
(0) = U
0
e U
2
(0) = 0, a solu¸c˜ao das Eqs. (.) e (.) ´e dada por
U
1
(z) = U
0
[cos(κ
e
z) + i(δβ
0
/2κ
e
)sen(κ
e
z)], (.)
U
2
(z) = U
0
(iκ
02
/κ
e
)sen(κ
e
z). (.)
Estas solu¸c˜oes mostram que embora U
2
= 0 em z = 0, h´a alguma transferˆencia de potˆencia
para a segunda fibra quando a onda se propaga dentro do acoplador. A figura 2.2 mostra
a raz˜ao |U
2
/U
0
|
2
em fun¸c˜ao de z para alguns valores de δβ
0
/κ
0
. Em todos os casos, a
transferˆencia de potˆencia ocorre de forma peri´odica. A m´axima potˆencia ´e transferida
em uma distˆancia tal que κ
e
z = mπ/2, onde m ´e um inteiro. A menor distˆancia na
qual a potˆencia m´axima ´e transferida para a segunda fibra ´e chamada de comprimento
de acoplamento e ´e dada por L
c
= π/(2κ
e
).
A potˆencia que sai nas duas portas de sa´ıda de um acoplador de fibra depende do
2.3 onda
´
optica de baixa pot
ˆ
encia 11
0 2 4 6 8 10
Distância Normalizada
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fração de Potência
0.1
1.5
4.0
Figura 2.2. Fra¸c˜ao de potˆencia transferida para a segunda fibra em fun¸c˜ao de κ
0
z para trˆes
valores de δβ
0
/κ
0
quando uma onda CW ´e lan¸cada em uma das fibras em z = 0.
comprimento L do acoplador e das potˆencias injetadas nas portas de entrada. Para um
acoplador sim´etrico, a solu¸c˜ao geral da Eq. (.) pode ser escrita na seguinte forma de
matriz
U
1
(L)
U
2
(L)
=
cos(κ
0
L) isen(κ
0
L)
isen(κ
0
L) cos(κ
0
L)
U
1
(0)
U
2
(0)
. (.)
Como o acoplador n˜ao tem perda, o determinante da matriz de transferˆencia no lado
direito ´e unit´ario. Normalmente, somente um sinal ´e injetado na porta de entrada. As
potˆencias de sa´ıda, P
1
= |U
1
|
2
e P
2
= |U
2
|
2
, s˜ao ent˜ao obtidas da Eq. (.) fazendo
U
2
(0) = 0 e s˜ao dadas por
P
1
(L) = P
0
cos
2
(κ
0
L), P
2
(L) = P
0
sen
2
(κ
0
L), (.)
onde P
0
≡ U
2
0
´e a potˆencia incidente na primeira porta de entrada. Assim, o acoplador
funciona como um divisor de potˆencia e a raz˜ao de divis˜ao depende do parˆametro κ
0
L.
Se o comprimento do acoplador for escolhido tal que κ
0
L = π/4 ou L = L
c
/2, a
potˆencia ´e igualmente dividida entre as duas portas de sa´ıda. Esses acopladores s˜ao ci-
tados como acopladores 50:50 ou acopladores 3dB. Acopladores com L = L
c
transferem
2.4 chaveamento linear de pulsos 12
toda a potˆencia de entrada para a segunda fibra (designado como estado cruzado), en-
quanto toda a potˆencia retorna para a mesma fibra quando L = 2L
c
(designado como
estado direto).
´
E importante notar que um acoplador direcional introduz um desloca-
mento de fase relativo de π/2 entre as duas portas de sa´ıda, como indica o fator i no
termo da diagonal secund´aria na matriz de transferˆencia da Eq. (.).
2.4 CHAVEAMENTO LINEAR DE PULSOS
Para o caso de pulsos de baixa potˆencia, os efeitos n˜ao lineares podem ser desprezados
mas os efeitos de dispers˜ao devem ser inclu´ıdos. Para acopladores sim´etricos com duas
fibras idˆenticas, δβ
0
= 0 e δβ
1
= 0 nas Eqs. (.) e (.). Usando κ
01
= κ
02
≡ κ
0
e
β
21
= β
22
≡ β
2
, as equa¸c˜oes de modo acoplado ficam
i
∂U
1
∂z
−
β
2
2
∂
2
U
1
∂T
2
+ κ
0
U
2
= 0, (.)
i
∂U
2
∂z
−
β
2
2
∂
2
U
2
∂T
2
+ κ
0
U
1
= 0, (.)
onde β
2
est´a relacionado com a dispers˜ao de velocidade de grupo (GVD) em cada fibra.
Introduzindo o comprimento de dispers˜ao L
D
= T
2
0
/|β
2
|, onde T
0
refere-se `a largura
temporal do pulso, os efeitos de GVD s˜ao desprezados se o comprimento do acoplador
L L
D
. Na pr´atica, L ´e compar´avel ao comprimento de acoplamento (L
c
= π/2κ
0
),
ent˜ao o efeito GVD n˜ao afetar´a o acoplador para κ
0
L
D
1. Se L
D
excede 1 km para
pulsos com T
0
> 1 ps, onde L
c
< 1 m, os efeitos de GVD ficam importantes somente
para pulsos ultracurtos (T
0
< 0,1 ps). Quando o termo de GVD nas Eqs. (.) e
(.) ´e desprezado, as equa¸c˜oes resultantes ficam idˆenticas `aquelas aplic´aveis a onda
CW. Assim, pulsos ´opticos de picosegundos se comportam da mesma maneira que ondas
CW. Mais especificamente, suas energias s˜ao transferidas periodicamente para a fibra
vizinha quando tais pulsos incidem em uma das portas do acoplador.
2.4 chaveamento linear de pulsos 13
A an´alise acima mo difica-se um p ouco se a dependˆencia com a freq¨uˆencia do coeficiente
de acoplamento κ(ω) for considerada. Isto equivale a incluir os termos κ
1n
e κ
2n
da Eq.
(.). Ent˜ao as Eqs. (.) e (.) se modificam para
i
∂U
1
∂z
−
β
2
2
∂
2
U
1
∂T
2
+ κ
0
U
2
+ iκ
1
∂U
2
∂T
−
κ
2
2
∂
2
U
2
∂T
2
= 0, (.)
i
∂U
2
∂z
−
β
2
2
∂
2
U
2
∂T
2
+ κ
0
U
1
+ iκ
1
∂U
1
∂T
−
κ
2
2
∂
2
U
1
∂T
2
= 0, (.)
onde foi usado κ
11
= κ
12
≡ κ
1
e κ
21
= κ
22
≡ κ
2
. Para pulsos ultracurtos, o termo κ
2
pode
ser desprezado. O termo de GVD tamb´em pode ser desprezado se κ
0
L
D
>> 1. Fazendo
ent˜ao β
2
= 0 e κ
2
= 0, as Eqs. (.) e ( . ) podem ser resolvidas analiticamente, [19].
O resultado fica
U
1
(z, T ) =
1
2
[U
0
(T −κ
1
z)e
iκ
0
z
+ U
0
(T + κ
1
z)e
−iκ
0
z
], (.)
U
2
(z, T ) =
1
2
[U
0
(T −κ
1
z)e
iκ
0
z
− U
0
(T + κ
1
z)e
−iκ
0
z
], (.)
onde U
0
(T ) representa a forma do pulso de entrada em z = 0. Quando κ
1
= 0, a solu¸c˜ao
reduz-se para
U
1
(z, T ) = U
0
(T )cos(κ
0
z), U
2
(z, T ) = U
0
(T )sen(κ
0
z). (.)
A Eq. (.) mostra que o pulso comuta entre as duas fibras, enquanto mant´em sua
forma, quando o coeficiente de acoplamento n˜ao depende da freq¨uˆencia. Entretanto,
quando κ
1
´e considerado, a Eq. (.) mostra que o pulso se dividir´a em dois pulsos de
menor intensidade depois de se propagar por alguns poucos comprimentos de acoplamento
e a separa¸c˜ao entre eles aumentar´a com a propaga¸c˜ao. Este efeito chamado de dispers˜ao
intermodal ´e similar em natureza `a disp ers˜ao de polariza¸c˜ao de modo, a qual ocorre
em fibras birefringentes, [21]. Em acopladores de fibra, este efeito torna-se de interesse
2.5 conclus
˜
ao 14
quando o comprimento de acoplamento L >> L
c
e a largura temporal do pulso ´e ∼ 1 ps
ou menor.
2.5 CONCLUS
˜
AO
Quando duas fibras s˜ao colocadas pr´oximas uma da outra, como mostrado na figura
2.1, a onda ´optica incidente em uma das portas acopla de uma fibra para outra. Isto
ocorre porque a propaga¸c˜ao dos modos nas fibras associadas ´e um pouco diferente da
propaga¸c˜ao dos modos em uma ´unica fibra, devido a presen¸ca da outra. Para o caso
de uma onda CW de baixa potˆencia lan¸cada em uma das fibras, ocorre transferˆencia
de potˆencia para a segunda fibra de maneira peri´odica, cujo per´ıodo ´e um m´ultiplo de
π/2 como mostra as Eqs. (.) e (.). Na ausˆencia de dispers˜ao, quando as duas
fibras s˜ao idˆenticas, um pulso lan¸cado em uma das fibras transfere-se completamente
para outra e retorna para a primeira fibra, tamb´em periodicamente, e mantendo sua
forma como mostra a Eq. (.). Se o coeficiente de acoplamento depender da freq¨uˆencia
do pulso, ent˜ao o pulso se divide em dois pulsos de menor intensidade que se propagam
separadamente como mostra as Eqs. (.) e (.).
CAP
´
ITULO 3
INTERFER
ˆ
OMETRO MACH-ZEHNDER
3.1 INTRODUC¸
˜
AO
Um interferˆometro Mach-Zehnder (MZI)
1
de fibra ´optica ´e constru´ıdo conectando-se
dois acopladores de fibra ´optica em s´erie, como mostra a figura 3.1. O primeiro aco-
plador divide o sinal de entrada em duas partes. Estas partes se propagam nos bra¸cos
de fibra do dispositivo e adquirem deslocamentos de fase diferentes se os bra¸cos tiverem
comprimentos diferentes. Ao alcan¸carem o segundo acoplador, elas se recombinam in-
terferometricamente e s˜ao transmitidas pelas duas portas de sa´ıda. Este dispositivo tem
a mesma funcionalidade que o interferˆometro de Sagnac [23], mas com a vantagem que
nenhum sinal ´e refletido de volta para as portas de entrada. Assim, um MZI pode ser
desbalanceado simplesmente usando-se comprimentos diferentes para os dois bra¸cos de
fibra, j´a que os dois campos ´opticos em seu interior percorrem caminhos separados fisi-
1
Sigla do inglˆes Mach-Zehnder Interferometer.
Figura 3.1. Interferˆometro Mach-Zehnder constru´ıdo pela interconex˜ao de dois acopladores
direcionais.
15
3.1 introduc¸
˜
ao 16
camente. Entretanto, essa caracter´ıstica deixa o interferˆometro suscept´ıvel a flutua¸c˜oes
ambientais, tais como a press˜ao e a temperatura.
Os MZI’s s˜ao usados para uma grande variedade de aplica¸c˜oes. A maioria delas ´e
baseada na habilidade de um MZI produzir grandes mudan¸cas no estado de sa´ıda com
pequenas varia¸c˜oes no ´ındice de refra¸c˜ao em um de seus bra¸cos. Entre as aplica¸c˜oes
mais comuns est˜ao os multiplexadores/demultiplexadores e os filtros, [24] - [30]. Os
MZI’s s˜ao ´uteis para realizar filtros de banda larga. Por exemplo, os MZI’s podem
ser usados para separar os comprimentos de onda nas bandas de 1300 nm e 1550 nm.
Os filtros de banda estreita s˜ao obtidos colocando-se um certo n´umero de MZI’s em
cascata, [31]. Em princ´ıpio, a obten¸c˜ao de um crosstalk muito bom pode ser alcan¸cado
se os comprimentos de onda s˜ao espa¸cados de modo que os comprimentos de onda n˜ao
desejados ocorram pr´oximos onde a fun¸c˜ao de transferˆencia de potˆencia se anula. Na
pr´atica, os comprimentos de onda n˜ao podem ser fixados precisamente (por exemplo, os
comprimentos de onda flutuam com o tempo ou devido `a varia¸c˜oes de temperatura), e o
n´ıvel de crosstalk est´a longe da situa¸c˜ao ideal.
Os MZI’s tamb´em podem ser usados como filtros sintoniz´aveis, onde a sintonia ´e
realizada pela varia¸c˜ao da temperatura de um dos bra¸cos do dispositivo, [6, 32]. Isto
provoca a varia¸c˜ao do ´ındice de refra¸c˜ao daquele bra¸co, a qual afeta a rela¸c˜ao de fase
entre os dois bra¸cos causando assim um comprimento de onda diferente para ser acoplado
na sa´ıda. O tempo de sintonia requerido ´e da ordem de v´arios milisegundos.
Assim, devido a sua variedade de aplica¸c˜oes, os MZI’s tˆem atra´ıdo consider´avel in-
teresse. Al´em disso, os MZI’s apresentam baixas perdas, s˜ao extremamente seletivos
espectralmente e tˆem baixo custo. Quando s˜ao usados como filtros ou chaves ´opticas, a
magnitude da raz˜ao de extin¸c˜ao representa uma fun¸c˜ao importante na redu¸c˜ao do n´ıvel
de crosstalk do canal adjacente. Portanto, neste cap´ıtulo ´e apresentado um estudo de
um filtro ´optico constru´ıdo com quatro MZI’s dispostos em cascata. As caracter´ısticas
analisadas s˜ao: a transmiss˜ao, o fator de compress˜ao dos pulsos de sa´ıda, o n´ıvel de
3.2 princ
´
ıpio de operac¸
˜
ao 17
crosstalk e a raz˜ao de extin¸c˜ao. Na se¸c˜ao 3.2 ´e apresentado o princ´ıpio de opera¸c˜ao de
um MZI. Em seguida, na se¸c˜ao 3.3 ´e descrito o modelo num´erico que foi utilizado na
simula¸c˜ao computacional. A se¸c˜ao 3.4 apresenta os resultados obtidos com a simula¸c˜ao e
a an´alise dos mesmos. Na se¸c˜ao 3.5 ´e feito um resumo do que foi estudado e apresentadas
as principais conclus˜oes.
3.2 PRINC
´
IPIO DE OPERAC¸
˜
AO
3.2.1 Interferˆometro Mach-Zehnder de Est´agio
´
Unico
Um MZI com acopladores direcionais age como um filtro de supress˜ao de canal
2
, [31].
Para entender a sua caracter´ıstica de chaveamento linear, considere o caso no qual uma
onda CW com potˆencia P
0
= |A
0
|
2
incide na entrada 1 do dispositivo. Ent˜ao, usando a
matriz de transferˆencia da Eq. (.), o campo ´optico de sa´ıda do primeiro acoplador
fica
A
1
= A
0
cos(κl), (.)
B
1
= iA
0
sen(κl), (.)
onde κ e l s˜ao respectivamente a constante e o comprimento de acoplamento. Se o
primeiro acoplador ´e um acoplador 3-dB com κl = π/4, as raz˜oes de divis˜ao do sinal
s˜ao A
1
= A
0
/
√
2 e B
1
= iA
0
/
√
2. Depois de passar pelos bra¸cos do interferˆometro, os
campos ´opticos de entrada A
2
e B
2
para o segundo acoplador s˜ao dados por
A
2
= A
1
exp(−iβ
L) =
A
0
√
2
exp(−iβ
L), (.)
B
2
= B
1
exp(−iβ
L − iβ
∆L) = −i
A
0
√
2
exp(−iβ
L − iβ
∆L), (.)
2
Channel Dropping Filter.
3.2 princ
´
ıpio de operac¸
˜
ao 18
onde β
´e a constante de propaga¸c˜ao do guia de onda, L ´e o comprimento dos bra¸cos e
∆L ´e a diferen¸ca de comprimento entre os dois bra¸cos. Aplicando novamente a matriz
de transferˆencia Eq. (.), os campos ´opticos na sa´ıda do segundo acoplador ser˜ao
A
3
= iA
0
sen
β
∆L
2
exp
−iβ
L − iβ
∆L
2
, (.)
B
3
= iA
0
cos
β
∆L
2
exp
−iβ
L − iβ
∆L
2
, (.)
onde foi assumido que o segundo acoplador tamb´em ´e um acoplador 3-dB. Ent˜ao, as
transmiss˜oes T
1
e T
2
para a porta direta e para a porta cruzada s˜ao dadas por
T
1
=
|A
3
|
2
|A
0
|
2
= sen
2
β
∆L
2
, (.)
T
2
=
|B
3
|
2
|A
0
|
2
= cos
2
β
∆L
2
(.)
Assim, a diferen¸ca de caminho ∆L entre os dois bra¸cos ´e o parˆametro chave que ca-
racteriza a transmiss˜ao de um MZI. As Eqs. (.) e (.) mostram que a resposta do
dispositivo ´e peri´odica em freq¨uˆencia e que um sinal ser´a 100 % chaveado sempre que
β
∆L = 2mπ, onde m ´e um n´umero inteiro. A separa¸c˜ao em freq¨uˆencia ∆f
p
entre dois
picos sucessivos de transmiss˜ao ´e conhecido como free-spectral range e ´e dado por
∆f
p
=
c
n
g
∆L
, (.)
onde c ´e a velocidade da luz no v´acuo e n
g
´e o ´ındice de grupo do guia de onda.
3.2.2 Interferˆometro Mach-Zehnder com M´ultiplos Est´agios
Os sistemas ´opticos WDM requerem filtros que selecionem individualmente canais
com comprimentos de onda espec´ıficos. Portanto, um filtro com alta finesse ´e necess´ario
3.2 princ
´
ıpio de operac¸
˜
ao 19
Figura 3.2. Diagrama esquem´atico para um MZI em cascata.
para selecionar cada canal em um sinal WDM. Isto pode ser conseguido colocando-se
v´arios MZI’s em cascata [31], como mostra a figura 3.2. Cada est´agio do dispositivo tem
a mesma diferen¸ca de caminho ´optico ∆L, entretanto, o comprimento dos acopladores
direcionais entre os est´agios n˜ao precisa ser idˆentico. Se a diferen¸ca de fase relativa em
cada est´agio for um m´ultiplo de 2π, o dispositivo age como um longo acoplador com o
comprimento total de
L
tot
=
L
i
, (.)
onde os L
i
s˜ao os comprimentos dos acopladores individuais (i = 1, 2, ..., N + 1 para um
filtro com N est´agios), e o coeficiente de acoplamento κ ´e assumido ser o mesmo para
cada acoplador nos diferentes est´agios. Assim, o comprimento total L
tot
dever´a ser igual a
um comprimento de acoplamento (κL
tot
= π/2) para uma transferˆencia total de potˆencia
para a porta cruzada.
O princ´ıpio de opera¸c˜ao dos MZI’s em cascata pode ser descrito utilizando-se as
matrizes de transmiss˜ao para o MZI e os acopladores. Se os campos ´opticos de entrada
nos guias 1 e 2 da figura 3.2 forem dados por A
1
e A
2
, respectivamente, o i-´esimo acoplador
3.3 modelo num
´
erico 20
Figura 3.3. Diagrama de blocos de um MZI com quatro est´agios.
´e caracterizado pela sua matriz de transferˆencia T
c
(L
i
), Eq.(.), ent˜ao
A
3
A
4
saida
= T
c
(L
i
)
A
1
A
2
entrada
=
cos(κL
i
) isen(κL
i
)
isen(κL
i
) cos(κL
i
)
A
1
A
2
entrada
.(.)
A matriz de transmiss˜ao para a se¸c˜ao de dois bra¸cos do MZI ´e dada por
T
MZ
=
exp(iβ
∆L/2) 0
0 exp(−iβ
∆L/2)
, (.)
onde foi omitido o termo de fase comum. A transmiss˜ao para o filtro com N est´agios fica
A
3
A
4
saida
= T
c
(L
N+1
) ... T
MZ
T
c
(L
2
)T
MZ
T
c
(L
1
)
A
1
A
2
entrada
. (.)
As transmiss˜oes de potˆencia para o caso em que as entradas s˜ao A
1
= A
0
e A
2
= 0 s˜ao
T
1
=
|A
3
|
2
|A
0
|
2
, (.)
T
2
=
|A
4
|
2
|A
0
|
2
. (.)
3.3 modelo num
´
erico 21
-4 -3 -2
-1
0
1
2 3 4
ω − ω
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Transmissão (dB)
1
2
3
4
Figura 3.4. Transmiss˜ao linear de cada est´agio de um MZI com quatro est´agios centrada na
freq¨uˆencia ω
0
= 2πc/λ
0
com λ
0
= 1550 nm.
3.3 MODELO NUM
´
ERICO
O sistema analisado nesse cap´ıtulo ´e um MZI com quatro est´agios como mostra o
diagrama de blocos da figura 3.3. Cada MZI na cascata ´e formado por dois acopladores
direcionais de 3-dB e a diferen¸ca de caminho para o k-´esimo MZI ´e assumido ser 2
k−1
∆L,
para k = 1,2,3 e 4. O primeiro MZI da cascata ´e interligado ao segundo atrav´es da porta
direta. Os demais s˜ao interligados atrav´es da porta cruzada. Dessa forma, a transmiss˜ao
linear T
2
do dispositivo, conforme as Eqs. (.) e (.), fica
T
2
=
|A
4
|
2
|A
0
|
2
= sen
2
β
∆L
2
cos
2
β
∆L
cos
2
2 β
∆L
cos
2
4 β
∆L
, (.)
quando as entradas s˜ao A
1
= A
0
e A
2
= 0. A transmiss˜ao linear de cada MZI nos
diferentes est´agios do dispositivo ´e mostrada na figura 3.4. A freq¨uˆencia central ω
0
=
2πc/λ
0
, onde c ´e a velocidade da luz no v´acuo e λ
0
´e o comprimento de onda central
3.3 modelo num
´
erico 22
calculado para λ
0
= 1550 nm. Pode-se notar que a adi¸c˜ao de cada est´agio causa um
estreitamento na banda de transmiss˜ao do filtro. Contudo, o objetivo principal ´e estudar
o comportamento n˜ao linear do dispositivo quando pulsos ultracurtos s˜ao injetados na
entrada I
1
do primeiro MZI da cascata.
A propaga¸c˜ao de pulsos ultracurtos nos bra¸cos do dispositivo, os quais s˜ao formados
de fibras ´opticas, ´e governada pela equa¸c˜ao n˜ao linear de Schr¨odinger que em sua forma
normalizada ´e dada por, [21, ver apˆendice A],
i
∂u
∂ξ
+
β
2
(z)
2
∂
2
u
∂τ
2
+ |u|
2
u = 0, (.)
onde ξ e τ s˜ao o comprimento e o tempo normalizados, respectivamente, em unidade de
soliton com ξ = z/L
D
e τ = t/T
0
, sendo o comprimento de dispers˜ao L
D
= T
2
0
/|β
2
| e T
0
´e a largura temporal do pulso de entrada. O parˆametro β
2
(z) ´e a dispers˜ao de velocidade
de grupo em cada bra¸co de cada est´agio do interferˆometro e seu valor inicial foi escolhido
tal que |β
2
(0)| = 20 ps
2
/km. A varia¸c˜ao de β
2
(z) ao longo de um comprimento L de fibra
´e expresso em termos do parˆametro β e ´e dado por
β
2
(z) =
1 − β
βL
z + 1. (.)
Note que neste perfil linear normalizado, o coeficiente de dispers˜ao β
2
decresce mono-
tonicamente de 1 at´e 1/β depois de um comprimento L de fibra. Este tipo de fibra ´e
chamada de fibra com dispers˜ao decrescente (DDF)
3
, [23], e tem sido sugerida para me-
lhorar a transmiss˜ao em sistemas de comunica¸c˜oes baseados em solitons, [33, 34]. Aqui,
a escolha de um perfil linear se deve ao fato de que esse ´e o perfil mais simples de se
implementar. Para β = 1, significa que a dispers˜ao ´e constante e portanto o dispositivo
´e constru´ıdo com fibra ´optica comum.
3
Sigla do inglˆes Dispersion Decreasing Fiber.
3.3 modelo num
´
erico 23
0.2 0.4
0.6
0.8
1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
Potência normalizada
0
2
4
6
8
10
T/T
0
Figura 3.5. Largura temporal em fun¸c˜ao da potˆencia para o soliton fundamental.
O perfil temporal dos pulsos de entrada ´e da forma (ver apˆendice B),
u
i
(ξ, τ) = A
i
sech(A
i
τ), (.)
chamado de perfil de soliton fundamental e
u
i
(ξ, τ) = A
i
sech(τ), (.)
para perfil de quasi-soliton. Note que para o soliton fundamental, a largura temporal
do pulso e conseq¨uentemente a banda de freq¨uˆencia dependem da potˆencia de entrada
como mostra a figura 3.5. Por outro lado, no perfil de quasi-soliton, a largura temporal e
a banda de freq¨uˆencia permanecem constantes. Para calcular numericamente a evolu¸c˜ao
dos pulsos ao se propagarem no dispositivo, foi utilizado o m´etodo de Fourier de passo
dividido (ver apˆendice C) por ser o m´etodo que resolve a Eq.(.) com menor esfor¸co
computacional, visto que se trata de um dispositivo longo, pois o comprimento dos bra¸cos
3.3 modelo num
´
erico 24
de fibra L ´e igual a z
0
para cada MZI na cascata, onde z
0
´e o per´ıodo do soliton o qual ´e
dado por (ver apˆendice B),
z
0
=
π
2
L
D
=
π
2
T
2
0
|β
2
|
≈
T
2
F W HM
2|β
2
|
. (.)
Para T
F W HM
= 10 ps e |β
2
(0)| = 20 ps
2
/km, o comprimento L = 2500 m. Este
comprimento equivale a um per´ıodo de soliton quando A
i
= 1 nas Eqs. (.) e (.)
e portanto foi o comprimento escolhido para os bra¸cos de fibra do dispositivo. Assim, o
pulso sofrer´a os efeitos da dispers˜ao e da n˜ao linearidade ao se propagar em cada est´agio
do interferˆometro.
As caracter´ısticas analisadas foram a transmiss˜ao, o n´ıvel de crosstalk, a raz˜ao de
extin¸c˜ao e o fator de compress˜ao do pulso de sa´ıda. Considerando a porta de sa´ıda como
sendo a sa´ıda 2, O
2
, do quarto MZI da cascata e que os pulsos s˜ao injetados na entrada
1, I
1
, a transmiss˜ao ´e definida como a raz˜ao entre a energia do pulso de sa´ıda em O
2
pela
energia do pulso de entrada em I
1
, assim
T =
+∞
−∞
|u
2
(ξ, τ)|
2
dt
+∞
−∞
|u
1
(0, τ)|
2
dt
=
O
2
I
1
. (.)
Neste caso, a energia que emerge na sa´ıda 1, O
1
, ser´a considerada um sinal indesejado,
ou seja, o crosstalk. Portanto, o n´ıvel de crosstalk X
dB
ser´a definido como a raz˜ao entre
a energia emergindo em O
1
pela energia de entrada em I
1
, que em unidades dB fica
X
dB
= 10 log
10
+∞
−∞
|u
1
(ξ, τ)|
2
dt
+∞
−∞
|u
1
(0, τ)|
2
dt
X
dB
= 10 log
10
O
1
I
1
. (.)
A raz˜ao de extin¸c˜ao de uma chave liga/desliga ´e definida como a raz˜ao entre a energia
de sa´ıda no estado desligado pela energia de sa´ıda no estado ligado, [35]. Para o caso
3.4 resultados e discuss
˜
ao 25
do MZI de quatro est´agios, a raz˜ao de extin¸c˜ao XR
dB
foi definida como a raz˜ao entre a
energia emergindo na sa´ıda 2, O
2
, pela energia emergindo na sa´ıda 1, O
1
, que em unidades
dB ´e dada por
XR
dB
= 10 log
10
+∞
−∞
|u
2
(ξ, τ)|
2
dt
+∞
−∞
|u
1
(ξ, τ)|
2
dt
= 10 log
10
O
2
O
1
. (.)
O fator de compress˜ao alcan¸cado depois da propaga¸c˜ao do pulso de entrada no dis-
positivo ´e definido como a raz˜ao entre a largura temporal a meia altura da potˆencia de
pico, τ
0
, do pulso de entrada pela largura temporal a meia altura da potˆencia de pico, τ
2
,
do pulso de sa´ıda em O
2
, ou seja,
C =
τ
0
τ
2
. (.)
A potˆencia de pico P
0
do pulso de entrada ´e calculada por, [21],
P
0
= N
2
|β
2
|
γT
2
0
≈ N
2
|β
2
|
3, 108γT
2
F W HM
, (.)
onde N representa a ordem do soliton e γ ´e o coeficiente de n˜ao linearidade. Utilizando
γ = 20 W
−1
km
−1
e os mesmos valores para β
2
e T
F W HM
mencionados anteriormente,
obt´em-se para N = 1 a potˆencia de referˆencia P
0
≈ 31 mW . Assim, todas as potˆencias
dos gr´aficos das se¸c˜oes seguintes foram normalizadas pela potˆencia de referˆencia P
0
.
3.4 RESULTADOS E DISCUSS
˜
AO
A figura 3.6 mostra a transmiss˜ao da sa´ıda 2, Eq. (.), em fun¸c˜ao da potˆencia de
entrada para quatro valores do parˆametro β e pulsos de entrada com perfil de soliton,
Eq. (.). Pode-se notar que, com o aumento da potˆencia de entrada, a tendˆencia da
transmiss˜ao ´e decrescente para todas as situa¸c˜oes consideradas. Nota-se tamb´em que
3.4 resultados e discuss
˜
ao 26
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Potência de entrada normalizada
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Transmissão
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.6. Transmiss˜ao da sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores de
β no regime de soliton.
para potˆencias muito baixas, at´e P ≈ 0, 5, todas as situa¸c˜oes apresentam praticamente
a mesma transmiss˜ao. Outra observa¸c˜ao ´e que para β = 1, a transmiss˜ao decresce
lentamente at´e aproximadamente P = 3, 5, e a partir deste ponto, tem-se uma queda
mais acentuada da transmiss˜ao. Com o aumento do valor de β, as curvas de transmiss˜ao
apresentam um declive muito maior, reduzindo assim a potˆencia de entrada necess´aria
para atingir o primeiro m´ınimo de transmiss˜ao.
Um comportamento semelhante tamb´em ´e observado na figura 3.7, a qual mostra a
transmiss˜ao da sa´ıda 2, Eq. (.), em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores
do parˆametro β e pulsos de entrada com perfil de quasi-soliton, Eq. (.). Observa-se
que para β = 1 e β = 3, a transmiss˜ao inicialmente tende a aumentar atingindo um ponto
de m´aximo. A partir de ent˜ao, a transmiss˜ao tende a decrescer, sendo mais suave para
β = 1 e mais acentuada para as outras situa¸c˜oes. Observa-se tamb´em que a curva de
transmiss˜ao se inicia com T ≈ 0, 85 para β = 1 e T ≈ 0, 80 para os demais valores de β.
3.4 resultados e discuss
˜
ao 27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Transmissão
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.7. Transmiss˜ao da sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores de
β no regime de quasi-soliton.
A tabela 3.1 mostra os valores da potˆencia de entrada necess´aria para o primeiro m´ınimo
de transmiss˜ao, para os quatro valores de β, nos regimes de soliton e quasi-soliton. No
regime de soliton, a potˆencia de entrada ´e menor para um valor de β maior, embora com
uma transmiss˜ao um pouco acima de zero. Por outro lado, no regime de quasi-soliton,
tem-se uma potˆencia de entrada menor para um valor de β mais baixo, embora tamb´em
com uma transmiss˜ao um pouco acima de zero.
O fator de compress˜ao (C) dos pulsos de sa´ıda, Eq. (.), em fun¸c˜ao da potˆencia
de entrada para pulsos com perfil de soliton ´e mostrado na figura 3.8. Pode-se notar
β S QS
1 P > 5, 00 P = 2, 80 (T = 0, 50)
3 P = 3, 00 (T = 0, 00) P = 2, 60 (T = 0, 14)
5 P = 2, 25 (T = 0, 05) P = 3, 40 (T = 0, 09)
10 P = 2, 00 (T = 0, 15) P = 3 , 50 (T = 0, 05)
Tabela 3.1. Potˆencias de entrada para o primeiro m´ınimo de transmiss˜ao para os quatro valores
de β. S (soliton), QS (quasi-soliton).
3.4 resultados e discuss
˜
ao 28
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5
Potência de entrada normalizada
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Fator de compressão ( C )
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.8. Fator de compress˜ao dos pulsos na sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para
quatro valores de β no regime de soliton.
0
0.25 0.5 0.75
1
1.25 1.5 1.75
2
2.25 2.5
Potência de entrada normalizada
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
Fator de compressão ( C )
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.9. Fator de compress˜ao dos pulsos na sa´ıda 2 em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para
quatro valores de β no regime de quasi-soliton.
3.4 resultados e discuss
˜
ao 29
que, para todas as situa¸c˜oes consideradas, o fator de compress˜ao decresce a medida que
aumenta a potˆencia de entrada, exceto para β = 10, onde o pulso recupera a largura
temporal inicial, C = 1, em torno de P = 1, 08 (T = 0, 70) e, a partir deste ponto, a
curva volta a decrescer indicando que o pulso de sa´ıda est´a temporalmente mais largo que
o pulso de entrada. Portanto, de um modo geral, a figura 3.8 revela que para todos os
valores de β considerados, o pulso de sa´ıda ´e sempre mais largo que o pulso de entrada,
visto que todas as curvas est˜ao abaixo da linha horizontal pontilhada . Para β = 3 e
β = 5 o efeito ´e ainda mais forte a partir de P = 1, 30.
A figura 3.9 apresenta o mesmo estudo para os pulsos de entrada com perfil de quasi-
soliton. Diferentemente do caso anterior, com o aumento da potˆencia de entrada, o fator
de compress˜ao tende a aumentar para todos os β at´e atingir um ponto de m´aximo. Para
β = 1 e β = 10, a figura mostra que existem regi˜oes onde os pulsos de sa´ıda est˜ao mais
estreitos do que os pulsos de entrada (C > 1). Para potˆencias em torno de P = 0, 94
(T = 0, 93) e P = 2, 00 (T = 0, 47), o fator de compress˜ao se encontra em torno de C = 1
para β = 10, com compress˜ao m´axima (C = 1, 62) em torno de P = 1, 60 (T = 0, 56).
Para β = 1, o fator de compress˜ao C = 1 em torno de P = 1, 43 (T = 0, 87) e atinge um
m´aximo de compress˜ao (C = 1, 34) em torno de P = 2, 05 (T = 0, 73). Com rela¸c˜ao a
β = 3 e β = 5, os pulsos de sa´ıda est˜ao sempre mais largos que os pulsos de entrada. A
curva para β = 5 mostra tamb´em que entre as potˆencias P = 1, 25 e P = 2, 28, o fator
de compress˜ao ´e praticamente constante, ficando em torno de C = 0, 84. Contudo, em
ambos os regimes, o dispositivo sempre apresenta pulsos de sa´ıda bastante distorcidos,
embora seja poss´ıvel obter pulsos de sa´ıda sem distor¸c˜ao (C = 1) para algumas potˆencias
de entrada como foi citado acima.
Outra maneira de se obter pulsos de sa´ıda sem distor¸c˜ao ´e ajustar o parˆametro β
como sugere a figura 3.10(a). Ela mostra o fator de compress˜ao em fun¸c˜ao do parˆametro
β para a potˆencia de entrada P = 1, 08 no regime de soliton. Essa potˆencia foi escolhida
atrav´es dos gr´aficos da figura 3.8, onde se constata que em torno de P = 1, 08, o fator
3.4 resultados e discuss
˜
ao 30
1 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12
β
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
Fator de compressão ( C )
P = 1,08
(a)
1 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12
β
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
Transmissão
P = 1,08
(b)
Figura 3.10. (a) Fator de compress˜ao dos pulsos de sa´ıda em fun¸c˜ao do parˆametro β para
potˆencia de entrada P = 1, 08 no regime de soliton. (b) Transmiss˜ao em fun¸c˜ao do parˆametro
β para potˆencia de entrada P = 1, 08 no regime de soliton.
3.4 resultados e discuss
˜
ao 31
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Crosstalk (dB)
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.11. Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores de β no
regime de soliton.
de compress˜ao C = 1 para β = 10, como visto anteriormente. Nota-se que o fator de
compress˜ao para esta potˆencia ´e bastante dependente do parˆametro β at´e β = 8 , 7. A
partir deste ponto, β n˜ao tem mais nenhuma influˆencia sobre C e o pulso de sa´ıda est´a
com a mesma largura do pulso de entrada (C = 1). Por outro lado, a varia¸c˜ao de β
causa uma redu¸c˜ao na transmiss˜ao, havendo uma estabiliza¸c˜ao em torno de T = 0, 68
para β ≥ 8, 7, como mostra a figura 3.10(b).
A an´alise da sa´ıda 1, O
1
, ´e feita atrav´es do n´ıvel de crosstalk, ou seja, toda energia
emergindo em O
1
ser´a considerada um sinal indesejado como definido na Eq. (.). A
figura 3.11 mostra o n´ıvel de crosstalk para os quatro valores de β escolhidos e pulsos de
entrada com perfil de soliton, Eq. ( .). Para pequenas potˆencias de entrada, P < 0, 25,
o n´ıvel de crosstalk ´e inferior a -30 dB para todos os valores de β. Isto est´a de acordo
com a figura 3.6 a qual mostra que, praticamente, toda a energia de entrada est´a presente
na sa´ıda 2 (T ≈ 1). Entretanto, o aumento da potˆencia de entrada ocasiona tamb´em um
3.4 resultados e discuss
˜
ao 32
aumento no n´ıvel de crosstalk para todos os valores de β.
Algumas observa¸c˜oes importantes podem ser feitas a partir das curvas da figura 3.11.
A primeira ´e que, para β = 1, todas as curvas apresentam um ponto de m´aximo em torno
de P = 1, 30 (T = 0, 58), enquanto que, para β = 1, a curva continua crescendo at´e atingir
seu ponto de m´aximo em P = 4, 20 (T = 0, 50), cujo o n´ıvel de crosstalk ´e -3,09 dB. Isto
significa que metade da energia de entrada est´a presente na sa´ıda 1 e a outra metade est´a
sendo transmitida na sa´ıda 2, como mostra a figura 3.6 que foi analisada anteriormente.
A segunda observa¸c˜ao ´e que, para potˆencias abaixo de P = 1, 75, o dispositivo apresenta
um n´ıvel de crosstalk menor, operando com fibra comum (dispers˜ao constante, β = 1).
Acima dessa potˆencia, o n´ıvel de crosstalk ´e menor quando o dispositivo opera com DDF
(β = 1). Um detalhe interessante ´e que o n´ıvel de crosstalk mais baixo ´e observado para
β = 3 em P = 2, 73 (-22,8 dB). De acordo com a figura 3.6, T = 0, 02 para esta potˆencia,
significando, portanto, que praticamente toda a energia de entrada est´a sendo desviada
para as portas n˜ao conectadas do dispositivo.
A figura 3.12 mostra o espectro de freq¨uˆencia do pulso emergindo na sa´ıda 1, no regime
de soliton, para duas potˆencias diferentes e β = 3. Pode-se notar que, para P = 0, 25,
figura 3.12(a), a banda de freq¨uˆencia do pulso est´a inteiramente dentro da banda de
freq¨uˆencia do filtro, resultando em um baixo n´ıvel de crosstalk. No entanto, com o
aumento da potˆencia de entrada para P = 1, 30, figura 3.12(b), a banda de freq¨uˆencia do
pulso na sa´ıda 1 est´a fora da banda de freq¨uˆencia do filtro, resultando em um aumento
do n´ıvel de crosstalk. As duas situa¸c˜oes est˜ao em conformidade com a figura 3.11. Na
figura 3.13 tem-se o n´ıvel de crosstalk em fun¸c˜ao do parˆametro β para quatro potˆencias
de entrada diferentes (P = 1, 0, 2, 0, 3, 0 e 4, 0) com pulsos de entrada com perfil de
soliton. Essas potˆencias foram escolhidas com o objetivo de avaliar o comportamento
do n´ıvel de crosstalk com a varia¸c˜ao de β, n˜ao tendo, portando, nenhuma dependˆencia
com os gr´aficos anteriores. Observa-se que, para potˆencias baixas (P = 1, 0 e P = 2, 0),
o n´ıvel de crosstalk ´e quase constante quando β varia. Em m´edia, tem-se em torno de
3.4 resultados e discuss
˜
ao 33
-1
-0.75 -0.5 -0.25
0
0.25 0.5 0.75
1
ω − ω
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Intensidade (dB)
Filtro
Pulso
β = 3.0
P = 0.25
(a)
-1
-0.75 -0.5 -0.25
0
0.25 0.5 0.75
1
ω − ω
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Intensidade (dB)
Filtro
Pulso
β = 3.0
P = 1.30
(b)
Figura 3.12. Espectro de freq¨uˆencia do pulso na sa´ıda 1 para β = 3 no regime de soliton e
potˆencia de entrada (a) P = 0, 25 e (b) P = 1, 30.
3.4 resultados e discuss
˜
ao 34
1 2 3 4
5
6
7
8 9 10 11 12
β
-25
-22.5
-20
-17.5
-15
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
Crosstalk (dB)
P = 1.0
P = 2.0
P = 3.0
P = 4.0
Figura 3.13. Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de entrada diferentes no
regime de soliton.
-10 dB quando P = 1, 0 e -12 dB quando P = 2 , 0, considerando para esta ´ultima, a
faixa compreendida entre β = 4 e β = 12. Olhando agora para as potˆencias mais altas
(P = 3, 0 e P = 4, 0), percebe-se que o n´ıvel de crosstalk ´e bastante dependente de β.
Outra caracter´ıstica das curvas ´e que h´a um valor ´otimo de β para se obter um m´ınimo
do n´ıvel de crosstalk. Por exemplo, para P = 4, 0 o n´ıvel de crosstalk m´ınimo est´a em
torno de -22 dB quando β ≈ 2, 21, enquanto que, este mesmo n´ıvel est´a em torno de -5
dB quando β = 1. Isto mostra que o uso de uma DDF pode reduzir o n´ıvel de crosstalk
em 17,5 dB para a potˆencia de entrada P = 4, 0.
Apesar das curvas de transmiss˜ao nos regimes de soliton e quasi-soliton terem um
comportamento relativamente semelhante, o n´ıvel de crosstalk apresenta um compor-
tamento um pouco diferente para ambos os regimes. Na figura 3.14 tem-se o n´ıvel de
crosstalk em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para os quatro valores de β escolhidos e
pulsos de entrada com perfil de quasi-soliton. Observa-se que, o aumento da potˆencia de
3.4 resultados e discuss
˜
ao 35
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-15
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
0
Crosstalk (dB)
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.14. Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores de β no
regime de quasi-soliton.
1 2 3 4
5
6
7
8 9 10 11 12
β
-15
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
0
Crosstalk (dB)
P = 1.0
P = 2.0
P = 3.0
P = 4.0
Figura 3.15. Crosstalk (X
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de entrada diferentes no
regime de quasi-soliton.
3.4 resultados e discuss
˜
ao 36
entrada causa uma certa flutua¸c˜ao no n´ıvel de crosstalk, sendo que, a varia¸c˜ao ´e maior
quando o valor de β ´e menor. A figura mostra tamb´em que, para potˆencias menores que
P = 1, 97, o n´ıvel de crosstalk ´e menor para valores de β tamb´em menores. Contudo, o
n´ıvel de crosstalk oscila entre -5,16 dB (β = 1) e -14,40 dB (β = 3), o qual ´e considerado
um n´ıvel muito alto se comparado com o regime de soliton onde se consegue -30 dB para
potˆencias de entrada muito baixas e -22,8 dB (β = 3) em potˆencias mais altas.
O n´ıvel de crosstalk em fun¸c˜ao do parˆametro β para quatro potˆencias de entrada
diferentes (P = 1, 0, 2 , 0, 3, 0 e 4, 0), com pulsos de entrada com perfil de quasi-soliton,
´e mostrado na figura 3.15. Essa figura realmente comprova que os n´ıveis de crosstalk
no regime de quasi-soliton s˜ao bem maiores do que aqueles conseguidos no regime de
soliton, figura 3.13. O gr´afico para P = 1, 0 ´e o mesmo em ambos os regimes, visto
que esta potˆencia se refere a potˆencia de normaliza¸c˜ao P
0
≈ 31mW quando |A|
2
= 1
nas Eqs. (.) e (.). Para P = 2, 0, o n´ıvel de crosstalk ´e quase constante na faixa
entre β = 5 e β = 12, ficando em torno de -5,60 dB, e apresenta uma pequena flutua¸c˜ao
para β < 5. Esse comportamento tamb´em foi observado no regime de soliton, mas com
n´ıvel de crosstalk bem mais baixo (∼ -12 dB, ver figura 3.13). Para potˆencias mais altas,
P = 3, 0 e P = 4, 0, o n´ıvel de crosstalk ´e bastante dependente do parˆametro β, situa¸c˜ao
apresentada tamb´em no regime de soliton.
A raz˜ao entre as energias que emergem nas portas de sa´ıda 1 e 2 foi definida como
a raz˜ao de extin¸c˜ao ( XR
dB
), Eq. (.). Para um alto desempenho de chaveamento do
dispositivo, XR
dB
deve ter um valor muito alto. A figura 3.16 mostra XR
dB
em fun¸c˜ao
da potˆencia de entrada para os quatro valores de β, quando pulsos com perfil de soliton
s˜ao injetados na porta de entrada 1. Como pode ser visto, para potˆencias de entrada
muito baixas (P < 0, 25), XR
dB
´e maior do que 20 dB, mas decresce muito rapidamente
com o aumento da potˆencia de entrada. Isto significa que o aumento da potˆencia de
entrada leva a um aumento da potˆencia na sa´ıda 1, o qual ocasiona uma diminui¸c˜ao
da raz˜ao de extin¸c˜ao. Este resultado tamb´em est´a de acordo com a figura 3.11, pois o
3.4 resultados e discuss
˜
ao 37
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-5
0
5
10
15
20
25
30
Razão de extinção (dB)
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.16. Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores
de β no regime de soliton.
aumento da potˆencia na sa´ıda 1 leva a um aumento do n´ıvel de crosstalk como foi visto
anteriormente. Pode ser visto tamb´em que, para β = 1 o dispositivo apresenta raz˜ao de
extin¸c˜ao mais alta do que para os outros valores de β, at´e P ≈ 3, 7.
A figura 3.17 mostra XR
dB
em fun¸c˜ao do parˆametro β para quatro valores de potˆencias
de entrada (P = 1, 2, 3 e 4). Pode-se ver que, para potˆencias baixas ( P = 1 e P = 2),
XR
dB
tende a decrescer com o aumento de β mas de uma maneira suave. Entretanto,
para potˆencias mais altas (P = 3 e P = 4), XR
dB
´e bastante dependente do parˆametro
β. Isto significa que, em potˆencias baixas, o uso de fibra com dispers˜ao constante (β = 1)
´e mais apropriado para se obter um valor maior de XR
dB
. J´a com potˆencias mais altas,
deve-se ajustar o valor de β para se conseguir maximizar XR
dB
. Por exemplo, Para
P = 4, XR
dB
apresenta seu maior valor em torno de β = 8 (7 dB).
Considerando agora a figura 3.18, onde se tem a raz˜ao de extin¸c˜ao em fun¸c˜ao da
potˆencia de entrada para os quatro valores de β escolhidos e pulsos de entrada com perfil
3.4 resultados e discuss
˜
ao 38
1 2 3 4
5
6
7
8 9 10 11 12
β
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Razão de extinção (dB)
P = 1.0
P = 2.0
P = 3.0
P = 4.0
Figura 3.17. Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de entrada
diferentes no regime de soliton.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-5
0
5
10
15
20
Razão de extinção (dB)
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
β = 10.0
Figura 3.18. Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para quatro valores
de β no regime de quasi-soliton.
3.4 resultados e discuss
˜
ao 39
1 2 3 4
5
6
7
8 9 10 11 12
β
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Razão de extinção (dB)
P = 1.0
P = 2.0
P = 3.0
P = 4.0
Figura 3.19. Raz˜ao de extin¸c˜ao (XR
dB
) em fun¸c˜ao de β para quatro potˆencias de entrada
diferentes no regime de quasi-soliton.
de quasi-soliton, nota-se que inicialmente, em potˆencias muito baixas (P < 0, 5 para
β = 1 e P < 1, 0 para β = 1), XR
dB
tende a aumentar com o aumento da potˆencia de
entrada. Em seguida, a tendˆencia ´e decrescer o valor de XR
dB
com o aumento da potˆencia
de entrada. Uma particularidade ocorre na curva para β = 1. Esta curva apresenta dois
picos mais proeminentes. Um est´a em torno de P = 1, 0 (11 dB) e o outro em torno de
P = 3, 8 (10 dB). Assim, de uma forma geral, β = 1 apresenta melhor raz˜ao de extin¸c˜ao
do que β = 1.
A figura 3.19 mostra a raz˜ao de extin¸c˜ao em fun¸c˜ao do parˆametro β para quatro
potˆencias de entrada diferentes e pulsos de entrada com perfil de quasi-soliton. Observa-
se que, para todas as potˆencias consideradas, XR
dB
tende a decrescer com o aumento
de β. Conseq¨uentemente, como mostra a figura, o valor ´otimo do parˆametro β para
potˆencias baixas (P = 1, 0 e P = 2, 0) est´a em torno de β = 1 e para potˆencias altas, este
valor se desloca um pouco, sendo β = 1, 65 (7,30 dB) para P = 3, 0 e β = 1, 23 (11,47
3.5 conclus
˜
ao 40
dB) para P = 4, 0.
3.5 CONCLUS
˜
AO
Neste cap´ıtulo foi apresentado um estudo num´erico da propaga¸c˜ao de pulsos ´opticos
ultracurtos em um interferˆometro Mach-Zehnder de quatro est´agios. O dispositivo uti-
liza bra¸cos de fibra com dispers˜ao constante (β = 1) e fibra com dispers˜ao decrescente
(β = 1), considerando um perfil linear. Os resultados mostraram que a caracter´ıstica da
transmiss˜ao ´e predominantemente n˜ao linear, tanto no regime de soliton como no regime
de quasi-soliton. Observou-se tamb´em que o uso de DDF ocasiona um r´apido decr´escimo
da transmiss˜ao, em ambos os regimes, se comparado com o MZI constru´ıdo com fibra
comum. Isto pode ser explicado pelo fato da dispers˜ao decrescer ao longo dos est´agios
do dispositivo. Dessa forma, o efeito de SPM se torna mais preponderante, causando um
alargamento na banda espectral do pulso. Conseq¨uentemente, quando a banda do pulso
ultrapassa a banda do filtro, as freq¨uˆencias que estiverem fora da banda do filtro ser˜ao
chaveadas para as portas n˜ao conectadas entre os est´agios, levando assim a uma redu¸c˜ao
da transmiss˜ao.
Com rela¸c˜ao ao fator de compress˜ao, os resultados mostraram que, de um modo geral,
os pulsos de sa´ıda est˜ao sempre mais largos do que os pulsos de entrada (C < 1) quando
a potˆencia de entrada aumenta, no regime de soliton. Mas que ainda ´e poss´ıvel obter
C = 1, para alguma potˆencia de entrada, ajustando o valor de β. Portanto, para esse
regime, o dispositivo tem a caracter´ıstica de produzir pulsos mais largos do que os pulsos
de entrada.
No regime de quasi-soliton foi observado um comportamento um pouco diferente
quanto ao fator de compress˜ao. Quando o dispositivo opera com dispers˜ao constante
(β = 1), o pulso de sa´ıda se apresenta mais largo (C < 1) at´e P = 1, 43 e, a partir de
ent˜ao, o pulso de sa´ıda ´e mais estreito (C > 1). Isto tem rela¸c˜ao com o fato de que o
3.5 conclus
˜
ao 41
perfil de quasi-soliton tem largura temporal independente da potˆencia de entrada, que
para este estudo foi escolhido o valor de 10 ps. Como a dispers˜ao ´e constante, o efeito
n˜ao linear, que tem a caracter´ıstica de compensar o efeito causado pela dispers˜ao [21],
se torna mais predominante com o aumento da potˆencia de entrada. Assim, observa-se
um crescimento na curva de compress˜ao at´e seu ponto m´aximo em torno de P = 2, 05
(C = 1, 34). Isto n˜ao ocorre no regime de soliton devido `a largura temporal desse pulso
depender da potˆencia de entrada. Para β = 1, ainda se referindo ao regime de quasi-
soliton, a n˜ao linearidade parece atuar mais fracamente devido `a redu¸c˜ao na potˆencia de
transmiss˜ao. Contudo, pode-se reduzir a potˆencia de entrada necess´aria para se obter
C = 1, ajustando o valor de β, como mostra a curva para β = 10 na figura 3.9.
Quanto ao n´ıvel de crosstalk, foi observado que, no regime de soliton, para potˆencias
de entrada acima de P = 1, 7, o disp ositivo apresenta n´ıvel de crosstalk mais baixo
para valores de β = 1. Os resultados mostraram tamb´em que o n´ıvel de crosstalk ´e
bastante dependente de β para potˆencias de entrada mais altas e que, para cada potˆencia
de entrada, existe um valor ´otimo para β de modo a reduzir o n´ıvel de crosstalk. No
regime de quasi-soliton, o dispositivo apresenta curvas de crosstalk bastante oscilantes.
Foi observado que, para todos os valores de β, inicialmente o n´ıvel de crosstalk tende
a aumentar, apresentando um n´ıvel mais baixo para β = 1, para potˆencias de entrada
abaixo de P = 1, 97. Isto est´a de acordo com o que foi discutido sobre o fator de
compress˜ao. Inicialmente o pulso de sa´ıda est´a bem mais largo do que o pulso de entrada,
mas a medida que a potˆencia de entrada aumenta, o dispositivo produz pulsos mais
estreitos e isso leva ao aumento do n´ıvel de crosstalk.
Como foi visto anteriormente no regime de soliton, com o aumento da potˆencia de
entrada, a tendˆencia da transmiss˜ao ´e diminuir e o n´ıvel de crosstalk ´e aumentar. Por
conseguinte, a raz˜ao de extin¸c˜ao tende a decrescer, pois ela representa a raz˜ao entre as
energias transmitidas nas sa´ıdas 1 e 2. Entretanto, de um modo geral, o dispositivo
apresenta uma raz˜ao de extin¸c˜ao melhor para β = 1. Isto acontece justamente devido
3.5 conclus
˜
ao 42
ao fato de que a transmiss˜ao decresce muito mais lentamente para β = 1 do que para
os demais valores de β, com o aumento da potˆencia de entrada. Outra caracter´ıstica
importante ´e que a raz˜ao de extin¸c˜ao mostrou-se ser muito dependente do parˆametro β
para potˆencias mais altas (P = 3 e P = 4), enquanto que, para potˆencias mais baixas
(P = 1 e P = 2) ela decresce de uma maneira mais suave. No regime de quasi-soliton,
de um modo geral, o dispositivo tamb´em apresenta uma raz˜ao de extin¸c˜ao melhor para
β = 1. Do mesmo modo que no regime de soliton, isto ocorre porque a transmiss˜ao
para β = 1 decresce mais lentamente do que para os outros valores de β. Neste regime,
tamb´em foi observado que h´a um valor ´otimo de β para se obter uma raz˜ao de extin¸c˜ao
m´axima para cada potˆencia de entrada.
CAP
´
ITULO 4
RESSONADOR
´
OPTICO EM ANEL
4.1 INTRODUC¸
˜
AO
Um ressonador ´optico em anel (ORR)
1
´e formado conectando-se uma das portas
de sa´ıda de um acoplador 2 × 2, a uma das portas de entrada como mostra a figura 4.1.
Se o acoplador direcional tem uma constante de acoplamento grande, a luz confinada
no anel passar´a da porta 2 para a porta 3 e continuar´a circulando. Similarmente, a luz
introduzida na porta de entrada 1 passar´a principalmente para a porta 4. Este tipo de
dispositivo pode ser constru´ıdo em uma variedade de tamanhos, com o comprimento do
anel variando de metros a micrometros, podendo ser integrado em material semicondutor
[36], ou constru´ıdo com fibra ´optica padr˜ao [37], o qual permite que suas propriedades
possam ser estudadas de uma maneira sistem´atica.
Os ressonadores em anel tˆem se destacado como dispositivos muito ´uteis em sistemas
1
Sigla do inglˆes Optical Ring Resonator.
Figura 4.1. Modelo de um ressonador ´optico em anel usando um acoplador direcional.
43
4.1 introduc¸
˜
ao 44
de comunica¸c˜oes totalmente ´opticas. Portanto, muitas aplica¸c˜oes tˆem sido propostas e de-
monstradas. A principal aplica¸c˜ao ´e a demultiplexa¸c˜ao de canais muito pouco espa¸cados
em sistemas WDM, [8]. Um filtro ´e necess´ario para separar o canal que ser´a exclu´ıdo
daqueles que passar˜ao sem ser afetados. Os filtros de escoamento de canais baseados em
ressonadores em anel s˜ao de grande interesse devido a sua compacta¸c˜ao e alta seletivi-
dade de comprimento de onda. Canais com espa¸camentos muito pr´oximos (por exemplo
25 GHz e 50 GHz) precisam de filtros com respostas mais agudas e raz˜ao de estado li-
gado/desligado de mais do que 20 dB para separar os canais sem introduzir crosstalk
dos outros canais. Os ressonadores em anel tˆem se apresentado como fortes candidatos
a este prop´osito, [38]. Recentemente, muitas outras aplica¸c˜oes tˆem sido demonstradas
utilizando ressonadores em anel. Dentre elas pode-se destacar laseres [39, 40], disposi-
tivos de chaveamento [36, 41], moduladores [42, 43], biosensores [44, 45], e conversores
anal´ogico-digital [46].
Esse cap´ıtulo ´e dedicado ao estudo num´erico da caracter´ıstica de transmiss˜ao de um
ressonador ´optico em anel, causada pela varia¸c˜ao na potˆencia de entrada de pulsos ´opticos
com perfil de soliton e perfil de quasi-soliton .
´
E analisado tamb´em o fator de compress˜ao
m´edio dos pulsos de sa´ıda. Nessa an´alise, o campo ´optico de sa´ıda ´e tratado estritamente
como uma superposi¸c˜ao do campo ´optico de entrada e dos campos em circula¸c˜ao no anel.
Na se¸c˜ao 4.2 ´e apresentada a teoria b´asica de um ressonador ´optico em anel operando com
onda CW. A se¸c˜ao 4.3 descreve o modelo num´erico utilizado na simula¸c˜ao computacional
e apresenta todos os parˆametros fixos e os vari´aveis. Na se¸c˜ao 4.4 s˜ao apresentados os
resultados obtidos e as respectivas discuss˜oes. Finalmente, na se¸c˜ao 4.5 ´e feito um resumo
de todo o estudo do cap´ıtulo e apresentadas as principais conclus˜oes.
4.2 teoria b
´
asica 45
4.2 TEORIA B
´
ASICA
Considere o caso no qual o comprimento do anel L ´e ajustado para interferˆencia
construtiva entre as componentes acoplando na porta 3 provenientes da p orta 1 e 2.
Uma pequena fra¸c˜ao de luz da porta 2 para a porta 4 interferir´a destrutivamente com
a luz acoplando da porta 1 para a porta 4. O campo circulante aumentar´a at´e que
uma situa¸c˜ao de equil´ıbrio seja alcan¸cada. No estado de equil´ıbrio, as rela¸c˜oes entre as
amplitudes complexas E
i
de entrada e sa´ıda depois da intera¸c˜ao no acoplador, usando a
Eq. (.), s˜ao
E
3
= (1 − ρ)
1/2
[E
1
cos(κ
0
l) + i E
2
sen(κ
0
l)], (.)
E
4
= (1 − ρ)
1/2
[i E
1
sen(κ
0
l) + E
2
cos(κ
0
l)],
onde κ
0
, l e ρ denotam o coeficiente de acoplamento do acoplador direcional, o compri-
mento de acoplamento e o coeficiente de perda de intensidade fracional, respectivamente.
Os campos E
2
e E
3
est˜ao relacionados por
E
2
= E
3
exp(−αL + iβ
L), β
= nω/c, (.)
onde α ´e o coeficiente de atenua¸c˜ao do guia de onda, n ´e o ´ındice de refra¸c˜ao, ω ´e a
freq¨uˆencia ´optica e c ´e a velocidade da luz. As Eqs. (.) e (.) podem ser resolvidas
para E
4
/E
1
e E
3
/E
1
em termos de ρ, κ
0
l, αL e β
L. Para uma situa¸c˜ao de ressonˆancia, ´e
necess´ario que as partes real e imagin´aria de E
4
/E
1
se anulem, produzindo duas condi¸c˜oes
de ressonˆancias,[47]. A primeira ´e
β
L = 2mπ − π/2, (.)
4.2 teoria b
´
asica 46
onde m ´e um n´umero inteiro. Note que, da Eq. (.), o acoplador direcional tem um
deslocamento de fase π/2, portanto a fase total ao longo do anel ´e 2mπ. A segunda
condi¸c˜ao requer que a constante de acoplamento κ do acoplador direcional seja ajustada
para um valor de ressonˆancia dado por
κ
r
= (1 − ρ) exp(−2αL). (.)
Note que 1 − κ
r
´e a perda de intensidade fracional por volta. Com este valor de acopla-
mento, as Eqs. (.) e (.) produzem as intensidades de circula¸c˜ao e de sa´ıda:
E
3
E
1
2
=
(1 − ρ)(1 − κ
r
)
(1 + κ
r
)
2
− 4κ
r
sen
2
β
L
2
−
π
4
, (.)
E
4
E
1
2
= (1 − ρ)
1 −
(1 − κ
r
)
2
(1 + κ
r
)
2
− 4κ
r
sen
2
β
L
2
−
π
4
, (.)
O desempenho de um ressonador ´e caracterizado pelo free spectral range (FSR) e pela
finesse F. O FSR ´e o espa¸co de freq¨uˆencia entre dois picos sucessivos de transmiss˜ao
m´ınima. A transmiss˜ao ser´a m´ınima sempre que β
L = 2mπ − π/2, onde m ´e um
n´umero inteiro. As freq¨uˆencias que satisfazem esta condi¸c˜ao correspondem aos modos
longitudinais do ressonador. O FSR ´e obtido usando a condi¸c˜ao de casamento de fase
[β
(ω + 2πF RS) − β
(ω)] = 2π, (.)
e ´e aproximadamente dado p or F SR = v
g
/L = c/nL, onde v
g
= 1/β
1
´e a velocidade de
grupo. A figura 4.2 mostra a caracter´ıstica da transmiss˜ao de sa´ıda de um ressonador
quando β
L varia. A finesse ´e a agudeza dos picos de ressonˆancia e ´e definida como a
raz˜ao entre o FSR e a largura total `a meia altura do pico m´aximo ∆f. Igualando a Eq.
4.2 teoria b
´
asica 47
2mπ − π/2 2(m+1)π − π/2
β′L
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

E
4
2
E
1
Figura 4.2. Intensidade de sa´ıda em fun¸c˜ao do atraso de fase por volta β
L para uma finesse
de 60. Outros parˆametros s˜ao: L = 0,5 cm, α = 0, 45 dB/cm e ρ = 0, 0.
(.) `a 1/2|E
3
/E
1
|
2
max
, obt´em-se ∆f como
∆f =
c
nL
1 −
2
π
sen
−1
1 −
(1 − κ
r
)
2
4κ
r
1/2
. (.)
Para κ
r
pr´oximo `a unidade, ∆f pode ser aproximado, utilizando expans˜ao em s´erie de
Taylor, para
∆f
∼
=
c
nL
(1 − κ
r
)
π
√
κ
r
. (.)
Assim, a finesse F ´e portanto
F =
F SR
∆f
=
π
√
κ
r
1 − κ
r
. (.)
Isto ´e semelhante `a finesse de um ressonador Fabry-Perot, formado por dois espelhos
idˆenticos com espa¸camento L e reflectividade R, a qual ´e dada por F = π
√
R/(1 − R).
4.3 modelo num
´
erico 48
4.3 MODELO NUM
´
ERICO
Considere um ressonador ´optico em anel como mostrado na figura 4.1. O campo
´optico de sa´ıda E
4
consiste da superposi¸c˜ao entre o campo de entrada E
1
transmitido
atrav´es do acoplador e das componentes em circula¸c˜ao no ressonador, o qual ´e expresso
pela Eq. (.) por
E
4
= i
√
κE
1
+ (1 − κ)
1/2
E
2
, (.)
onde κ = sen
2
(κ
0
l) ´e a constante de acoplamento do acoplador. Note que a perda no
acoplador foi desprezada, ρ = 0. A forma final da intensidade de sa´ıda normalizada pela
intensidade de entrada ´e expressa pela transmiss˜ao T como
T =
E
4
E
1
2
=
1
n
n
E
4
E
1
2
, (.)
onde n ´e o n´umero de vezes que o campo E
2
circula na cavidade anelar.
O campo ´optico de entrada E
1
´e assumido ser da forma
E
1
= Asech(At) e E
1
= Asech(t), (.)
onde o primeiro tem o perfil de soliton e o segundo tem o perfil de quasi-soliton (ver
apˆendice B). O campo E
1
, depois da intera¸c˜ao de modo acoplado, se propaga ao longo
do comprimento L de z = 0 a z = L. A equa¸c˜ao diferencial que descreve a evolu¸c˜ao da
amplitude modal complexa A no guia de onda que forma a cavidade anelar ´e descrita por
(ver apˆendice A)
∂A
∂z
+ β
1
∂A
∂t
+
i
2
β
2
∂
2
A
∂t
2
+
α
2
A = iγ|A|
2
A, (.)
onde os efeitos de perda α, dispers˜ao crom´atica β
1
e β
2
, e n˜ao linearidade γ est˜ao inclu´ıdos.
Neste estudo, o comprimento do guia de onda foi escolhido para ser L = 0, 5 cm e
a constante de acoplamento do acoplador direcional κ = 0, 95. Utilizando um ´ındice de
4.3 modelo num
´
erico 49
refra¸c˜ao n = 1, 5, resulta num F SR = 400 GHz. Os outros parˆametros escolhidos s˜ao
β
1
= 5, 0 ps/mm, β
2
= −1010, 7 ps
2
/mm e γ = γ
0
Q(z), onde γ
0
= 0, 3142 W
−1
mm
−1
e
Q(z) ´e expresso pelo perfil linear
Q(z) =
(β − 1)
L
z + 1. (.)
Observe que o coeficiente Q cresce uniformemente de 1 at´e um valor final β depois de
um comprimento L. O uso de um perfil n˜ao linear tem sido sugerido para recuperar o
comportamento de chaveamento sem perda em acopladores direcionais com perda, [48].
A escolha de um perfil linear se deve ao fato de que esse perfil ´e o mais simples de
implementa¸c˜ao.
O fator de compress˜ao m´edio dos pulsos de sa´ıda ´e definido como
C
m
=
1
n
n
T
0
T
n
, (.)
onde T
0
´e a largura temporal do pulso de entrada e T
n
´e a largura temporal do pulso de
sa´ıda depois de cada volta na cavidade. A potˆencia de normaliza¸c˜ao P
0
dos pulsos de
entrada ´e calculada por (ver apˆendice B)
P
0
=
|β
2
|
γ
0
T
2
0
∼
=
3, 11|β
2
|
γ
0
T
2
F W HM
, (.)
onde T
F W HM
´e a largura temporal a meia altura do pico m´aximo. Usando T
F W HM
= 100
ps e os parˆametros mencionados anteriormente, P
0
≈ 10,02 mW.
A investiga¸c˜ao num´erica do modelo formulado acima foi realizada pela simula¸c˜ao
direta da Eq. (.), utilizando o m´etodo de Fourier de passo dividido (ver apˆendice C),
no intervalo 0 < z < L do guia de onda que forma a cavidade anelar. Para cada potˆencia
de entrada foram realizadas 800 intera¸c˜oes a fim de verificar a transmiss˜ao e o fator de
compress˜ao m´edio dos pulsos de sa´ıda.
4.4 resultados e discuss
˜
ao 50
-15
-10
-5
0
5
10
15
Freqüência (GHz)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Transmissão
α = 0.15 dB/cm
α = 0.25 dB/cm
α = 0.45 dB/cm
Figura 4.3. Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da freq¨uˆencia assumindo uma onda CW de entrada cen-
trada no comprimento de onda λ
0
= 1550 nm para trˆes diferentes valores de perda. Outros
parˆametros s˜ao: L = 0, 5 cm, κ = 0 , 95, β
1
= 50 ps/cm, β
2
= γ = 0.
4.4 RESULTADOS E DISCUSS
˜
AO
A figura 4.3 mostra a transmiss˜ao de um ORR em fun¸c˜ao da freq¨uˆencia, consi-
derando como pulso de entrada uma onda CW centrada no comprimento de onda λ
0
=
1550 nm, para trˆes valores diferentes de perda do guia de onda que forma a cavidade ane-
lar. Como esperado, conforme a Eq. (.), o aumento da perda do anel, causa um maior
decr´escimo da transmiss˜ao no estado de ressonˆancia. Observa-se tamb´em um aumento na
largura de banda de freq¨uˆencia do dispositivo, de ∆ω ≈ 2,54 GHz para aproximadamente
4,40 GHz, conforme a Eq. (.), onde ∆ω = 2π∆f. A importˆancia da largura de banda
do dispositivo ´e exatamente filtrar freq¨uˆencias no pulso de entrada que estejam dentro
dessa banda. Conforme foi visto no cap´ıtulo anterior, os pulsos com perfil de soliton
tˆem uma banda de freq¨uˆencia vari´avel, dependendo da potˆencia de entrada, enquanto os
pulsos com perfil de quasi-soliton tˆem uma banda de freq¨uˆencia fixa.
4.4 resultados e discuss
˜
ao 51
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Transmissão (dB)
α = 0.0 dB/cm
α = 0.15 dB/cm
α = 0.25 dB/cm
α = 0.45 dB/cm
(a)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Transmissão (dB)
α = 0.00 dB/cm
α = 0.15 dB/cm
α = 0.25 dB/cm
α = 0.45 dB/cm
(b)
Figura 4.4. (a) Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para pulsos com perfil de
soliton, para quatro valores de perda diferentes. (b) Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da potˆencia de
entrada para pulsos com perfil de quasi-soliton, para quatro valores de perda diferentes. Outros
parˆametros s˜ao: L = 0,5 cm e κ = 0,95.
4.4 resultados e discuss
˜
ao 52
A figura 4.4(a) mostra a caracter´ıstica da transmiss˜ao de um ORR em fun¸c˜ao da
potˆencia de entrada considerando pulsos de entrada com perfil de soliton, para quatro
valores diferentes de perda do anel. Observa-se que o aumento no valor da perda diminui o
valor da transmiss˜ao conforme o esperado. Entretanto, nota-se tamb´em que a transmiss˜ao
´e bastante n˜ao linear. Para um dispositivo sem perda, α = 0, a transmiss˜ao aumenta
com o aumento da potˆencia de entrada e logo se estabiliza no valor m´aximo. A presen¸ca
da perda leva a transmiss˜ao a passar por um ponto de m´ınimo e em seguida por um
ponto de m´aximo na regi˜ao de baixa potˆencia (0 < P < 2,5) para todos os outros valores
de perda considerados. Para α = 0,45 dB/cm, o m´ınimo em transmiss˜ao ocorre em
torno de P = 0,16, seguido de um m´aximo em torno de P = 0,66. Quando os pulsos de
entrada tˆem perfil de quasi-soliton, figura 4.4(b), a perda tamb´em causa uma diminui¸c˜ao
no valor da transmiss˜ao, por´em n˜ao se observa flutua¸c˜oes na curva de transmiss˜ao. A
transmiss˜ao apenas aumenta n˜ao linearmente quando a potˆencia de entrada aumenta.
Como a situa¸c˜ao ´e a mesmo para os dois regimes, soliton e quasi-soliton, o comportamento
diferente neste caso est´a relacionado ao fato de que o soliton tem uma banda de freq¨uˆencia
dependente da potˆencia de entrada enquanto o quasi-soliton mant´em uma banda de
freq¨uˆencia fixa.
A figura 4.5(a) mostra a caracter´ıstica da transmiss˜ao em fun¸c˜ao da potˆencia de
entrada considerando um dispositivo constru´ıdo com um guia de onda com n˜ao linearidade
γ com perfil linear, Eq. (.), para trˆes valores diferentes do parˆametro β e perda
α = 0,45 dB/cm. Observa-se que o aumento do parˆametro β leva a um aumento da
transmiss˜ao, apresentando assim um efeito de compensa¸c˜ao da perda do dispositivo.
Entretanto, o mesmo comportamento n˜ao linear ainda est´a presente. A figura 4.5(b)
mostra a mesma situa¸c˜ao para pulsos de entrada com perfil de quasi-soliton. Observa-
se tamb´em que o aumento do parˆametro β apenas leva ao aumento da transmiss˜ao,
conservando a mesma caracter´ıstica n˜ao linear.
A figura 4.6(a) mostra o fator de compress˜ao m´edio, Eq. (.), em fun¸c˜ao da potˆencia
4.4 resultados e discuss
˜
ao 53
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Transmissão (dB)
β = 5.0
β = 3.0
β = 1.0
(a)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Transmissão (dB)
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
(b)
Figura 4.5. Transmiss˜ao em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para um ORR com n˜ao linearidade
com perfil linear e perda α = 0,45 dB/cm, considerando pulsos de entrada com (a) perfil de
soliton e (b) perfil de quasi-soliton, para trˆes valores de β. Outros parˆametros s˜ao: L = 0,5 cm
e κ = 0,95.
4.4 resultados e discuss
˜
ao 54
0
0.25 0.5 0.75
1
1.25 1.5 1.75
2
2.25 2.5
Potência de entrada normalizada
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Fator de compressão médio (C
m
)
β = 5.0
β = 3.0
β = 1.0
(a)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 5
Potência de entrada normalizada
0.9
0.95
1
1.05
1.1
Fator de compressão médio (C
m
)
β = 1.0
β = 3.0
β = 5.0
(b)
Figura 4.6. Fator de compress˜ao m´edio em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para trˆes valores de
β e perda α = 0,45 dB/cm, para pulsos de entrada com perfil de (a) soliton e (b) quasi-soliton.
4.4 resultados e discuss
˜
ao 55
de entrada para trˆes valores diferentes do parˆametro β e perda α = 0,45 dB/cm, para
pulsos de entrada com perfil de soliton. Observa-se que para β = 1, o qual significa que
a n˜ao linearidade γ = γ
0
(constante), o fator de compress˜ao m´edio permanece em torno
de 1. Isto significa que, em m´edia, os pulsos de sa´ıda tˆem a mesma largura temporal
dos pulsos de entrada, permanecendo assim independente da potˆencia de entrada. Para
β = 1, os pulsos de sa´ıda apresentam compress˜ao ou alargamento dependendo da potˆencia
de entrada, mas somente em baixa potˆencia. Por exemplo, para β = 3, os pulsos de sa´ıda
apresentam compress˜ao no intervalo de potˆencia P = 0,16 e P = 0,32, com C
m
≈ 1,3.
Para potˆencias no intervalo de P = 0,32 e P = 0,75, o efeito ´e de alargamento. Para
β = 5, obt´em-se fator de compress˜ao m´edio um pouco maior, C
m
= 1,9 em torno de
P = 0,16. Quando a potˆencia de entrada ´e mais alta, P > 1,0, os pulsos de sa´ıda
apresentam a mesma dura¸c˜ao temporal que os pulsos de entrada, C
m
= 1. Para o regime
de quasi-soliton, figura 4.6(b), os pulsos de sa´ıda apresentam sempre a mesma dura¸c˜ao
temporal que os pulsos de entrada, portanto o fator de compress˜ao m´edio ´e independente
da potˆencia de entrada e do parˆametro β.
As figuras 4.7(a) e 4.7(b) mostram o perfil de intensidade m´edia do pulso de entrada
e dos pulsos de sa´ıda para a potˆencia P = 0,19, no dom´ınio do tempo e da freq¨uˆencia
respectivamente, para um pulso de entrada com perfil de soliton. Esta potˆencia est´a
associada com o primeiro m´ınimo observado na curva de transmiss˜ao da figura 4.4(a).
Para esta potˆencia de entrada, a compress˜ao m´edia ´e em torno de 1,19 para β = 3
e 1,60 para β = 5, a qual corresponde a 16% e 37% de compress˜ao respectivamente.
Portanto, o aumento da n˜ao linearidade no guia de onda que forma a cavidade anelar,
leva a compress˜ao do pulso de sa´ıda, mas com uma certa distor¸c˜ao no perfil temporal
para β = 5 (veja a figura 4.7(a)). Pode-se notar pela figura 4.7(b) que o pulso de sa´ıda
para β = 3 e β = 5 tem uma banda em freq¨uˆencia com a presen¸ca de asas laterais, e
portanto maior energia que o pulso de sa´ıda para β = 1.
As figura 4.8(a) e 4.8(b) mostram a mesmo situa¸c˜ao mas para uma potˆencia de entrada
4.4 resultados e discuss
˜
ao 56
-0.5
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5
Tempo (ns)
-5
-4
-3
-2
-1
0
Intensidade normalizada (dB)
Entrada
Saída (β = 1)
Saída (β = 3)
Saída (β = 5)
(a)
-0.05
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
0.05
Freqüência (THz)
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Intensidade normalizada (dB)
Entrada
Saída (β = 1)
Saída (β = 3)
Saída (β = 5)
(b)
Figura 4.7. Perfil do pulso de entrada e dos pulsos de sa´ıda para β = 1, 3 e 5, com potˆencia
de entrada P = 0,19, no regime de soliton. (a) Espa¸co de tempo. (b) Espa¸co de freq¨uˆencia.
4.4 resultados e discuss
˜
ao 57
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Tempo (ns)
-5
-4
-3
-2
-1
0
Intensidade normalizada (dB)
Entrada
Saída (β = 1)
Saída (β = 3)
Saída (β = 5)
(a)
-0.05
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
0.05
Freqüência (THz)
-10
-8
-6
-4
-2
0
Intensidade normalizada (dB)
Entrada
Saída (β = 1)
Saída (β = 3)
Saída (β = 5)
(b)
Figura 4.8. Perfil do pulso de entrada e dos pulsos de sa´ıda para β = 1, 3 e 5, com potˆencia
de entrada P = 1,50, no regime de soliton. (a) Espa¸co de tempo. (b) Espa¸co de freq¨uˆencia.
4.5 conclus
˜
ao 58
P = 1,5. Para essa potˆencia, o fator de compress˜ao m´edio ´e igual a 1, significando que
o pulso de sa´ıda n˜ao sofre nenhum tipo de deforma¸c˜ao no seu perfil temporal (figura
4.8(a)). Mas olhando a figura 4.8(b), observa-se que o aumento do parˆametro β causa um
alargamento na banda de freq¨uˆencia dos pulsos de sa´ıda, embora os pulsos n˜ao apresentem
as asas laterais. Conclui-se ent˜ao que o perfil linear de n˜ao linearidade est´a provocando
um aumento na transmiss˜ao do dispositivo. Este efeito est´a recuperando o decr´escimo da
transmiss˜ao associado com a perda.
Assim, no regime de soliton, a presen¸ca de um perfil linear de n˜ao linearidade provoca
uma compress˜ao ou alargamento dos pulsos de sa´ıda para potˆencias abaixo de P = 1,0.
Operando o dispositivo em potˆencias mais altas, obt´em-se uma compress˜ao m´edia em
torno de 1, indicando que os pulsos de sa´ıda tˆem a mesma dura¸c˜ao temporal dos pulsos
de entrada. No regime de quasi-soliton, os pulsos de sa´ıda apresentam sempre fator de
compress˜ao m´edio igual a 1, indicando portanto que o perfil de n˜ao linearidade exerce
pequena influˆencia na forma temporal desses pulsos. Entretanto, em ambos os regimes, o
perfil de n˜ao linearidade tende a compensar a perda de transmiss˜ao causada pela perda
do dispositivo.
4.5 CONCLUS
˜
AO
Neste cap´ıtulo foi apresentado um estudo num´erico da propaga¸c˜ao de pulsos
´opticos ultracurtos em ressonador ´optico em anel. O dispositivo abordado utiliza um
guia de onda, que forma a cavidade anelar, com diferentes valores de p erda e um perfil
de n˜ao linearidade crescente conforme a Eq. (.). Foram analisados a caracter´ıstica de
transmiss˜ao e o fator de compress˜ao m´edio, de acordo com as Eqs. (.) e (.) respec-
tivamente, em fun¸c˜ao da potˆencia de entrada para os regimes de soliton e quasi-soliton.
Os resultados mostram que, em ambos os regimes, o aumento da perda do guia de
onda que forma a cavidade anelar, causa a redu¸c˜ao da transmiss˜ao do dispositivo, mas
4.5 conclus
˜
ao 59
mant´em o mesmo comportamento n˜ao linear. Por outro lado, a utiliza¸c˜ao de um per-
fil linear crescente de n˜ao linearidade, faz com que haja um aumento da transmiss˜ao,
tamb´em mantendo o mesmo comportamento n˜ao linear. Isto indica que o perfil linear
pode compensar a perda do guia de onda.
No regime de soliton, os pulsos de sa´ıda apresentaram deforma¸c˜ao temporal em
potˆencias de entrada abaixo de P < 1,0, para valores de β = 3 e β = 5. Como mostra a
figura 3.5, nessa faixa de potˆencia, o pulso est´a muito largo temporalmente. Conseq¨uen-
temente, sua banda em freq¨uˆencia ´e muito estreita conforme ´e mostrado na figura 4.7(b).
O efeito SPM tem a caracter´ıstica de contrabalan¸car a dispers˜ao em fibras sem perda,
[21]. Mas, como a n˜ao linearidade est´a crescendo e o guia de onda tem perda alta, esse
equil´ıbrio n˜ao ocorre e o resultado ´e um pulso de sa´ıda com deforma¸c˜ao temporal em
rela¸c˜ao ao pulso de entrada. Entretanto, para potˆencias de entrada mais altas (P > 1, 0),
os pulsos de entrada est˜ao mais estreitos temporalmente e mais largos espectralmente,
como mostram as figuras 4.8(a) e 4.8(b). Mas, como apenas uma pequena fra¸c˜ao de
potˆencia do pulso de entrada se propaga no guia de onda, esse pequeno pulso que sofre
os efeitos n˜ao lineares, ao se combinar com o pr´oximo pulso de entrada, n˜ao ´e suficiente
para causar distor¸c˜ao temporal nos pulsos de sa´ıda.
No regime de quasi-soliton, os pulsos de sa´ıda n˜ao apresentaram deforma¸c˜ao tem-
poral (C
m
= 1) com a varia¸c˜ao do parˆametro β, e nem com a varia¸c˜ao da potˆencia
de entrada. Isto pode estar relacionado com o fato de que o soliton tem uma banda
de freq¨uˆencia dependente da potˆencia de entrada, enquanto o quasi-soliton mant´em sua
banda de freq¨uˆencia fixa, ou seja, independente da potˆencia.
CAP
´
ITULO 5
CONCLUS
˜
OES E PERSPECTIVAS
5.1 CONCLUS
˜
OES GERAIS
Este trabalho apresentou um estudo num´erico sobre as caracter´ısticas n˜ao lineares
dos interferˆometros Mach-Zehnder disposto numa configura¸c˜ao em cascata com quatro
est´agios e o ressonador ´optico em anel. No interferˆometro Mach-Zehnder foi utilizado
fibra com dispers˜ao decrescente com um perfil linear enquanto o ressonador ´optico em
anel foi modelado um ´ındice de refra¸c˜ao n˜ao linear do anel tamb´em com perfil linear.
Os dispositivos foram analisados nos regimes de soliton e quasi-soliton pela varia¸c˜ao da
potˆencia do pulso de entrada.
Com rela¸c˜ao ao interferˆometro Mach-Zehnder, os resultados mostraram que, nesta
configura¸c˜ao, a transmiss˜ao do dispositivo decresce quando a potˆencia de entrada au-
menta, em ambos os regimes. Quando se usa fibra com dispers˜ao decrescente, a dimi-
nui¸c˜ao na transmiss˜ao ´e ainda mais r´apida `a medida que a potˆencia de entrada aumenta,
para o perfil linear considerado, tamb´em em ambos os regimes. Entretanto, operando
no regime de soliton, o n´ıvel de crosstalk apresentou valores mais baixos para β = 1 em
potˆencias mais altas. Nesse regime, quando a dispers˜ao ´e constante, o n´ıvel de crosstalk
apresentou uma tendˆencia a aumentar quando a potˆencia de entrada aumenta. Portanto,
ajustando o valor de β e a potˆencia de entrada ´e poss´ıvel obter uma redu¸c˜ao significativa
no n´ıvel de crosstalk. Operando no regime de quasi-soliton, o dispositivo apresentou um
n´ıvel de crosstalk bastante oscilante, entretanto, em potˆencias baixas onde a transmiss˜ao
´e maior, o n´ıvel de crosstalk se mostrou mais baixo para β = 1. Isto indica que, em
60
5.1 conclus
˜
oes gerais 61
potˆencias mais baixas, o uso de fibra com dispers˜ao decrescente piora o n´ıvel de crosstalk
nesse regime.
Uma vez que a transmiss˜ao tende a diminuir quando a potˆencia de entrada aumenta,
a raz˜ao de extin¸c˜ao tamb´em mostrou o mesmo comportamento, para todos os valores de
β estudados, no regime de soliton. Ou seja, nesse regime, o dispositivo apresentou uma
melhor raz˜ao de extin¸c˜ao operando com dispers˜ao constante. No regime de quasi-soliton,
o dispositivo tamb´em apresentou uma melhor raz˜ao de extin¸c˜ao operando com dispers˜ao
constante, mas com o surgimento de picos nas regi˜oes de potˆencias baixas e altas. Isto
ocorre porque o n´ıvel de crosstalk apresenta pontos de m´ınimos nestas regi˜oes como foi
visto anteriormente.
A an´alise dos pulsos de sa´ıda demonstrou que, em geral, os pulsos est˜ao mais largos do
que os pulsos de entrada, no regime de soliton, para todos os valores de β considerados,
mas ainda sendo poss´ıvel obter fator de compress˜ao C = 1 ajustando o valor do parˆametro
β. Neste regime, o aumento da potˆencia de entrada ocasionou obten¸c˜ao de pulsos de sa´ıda
cada vez mais largos. No regime de quasi-soliton, o dispositivo apresentou compress˜ao
dos pulsos de sa´ıda em algumas faixas de potˆencias dependendo do valor do parˆametro
β.
Com referˆencia ao ressonador ´optico em anel, o dispositivo apresentou redu¸c˜ao na
transmiss˜ao quando a perda na cavidade anelar aumenta, em ambos os regimes, mas
mantendo a mesma caracter´ıstica n˜ao linear. Entretanto, a utiliza¸c˜ao de um ´ındice de
refra¸c˜ao n˜ao linear modelado com um perfil linear crescente, ocasionou um aumento na
transmiss˜ao. Isto indica que o uso de um perfil linear crescente pode compensar a redu¸c˜ao
da transmiss˜ao relacionada com a perda.
Quanto a an´alise do fator de compress˜ao m´edio dos pulsos de sa´ıda, o dispositivo
apresentou compress˜ao ou alargamento temporal no regime de soliton em potˆencias muito
baixas (P < 1), podendo ser maior ou menor dependendo do valor do parˆametro β. Em
potˆencias mais altas, n˜ao foi observado deforma¸c˜ao temporal dos pulsos de sa´ıda. Isto
5.2 sugest
˜
oes para trabalhos futuros 62
Figura 5.1. Representa¸c˜ao esquem´atica de um AWG M × N.
indica que, na m´edia, os pulsos de sa´ıda tˆem a mesma dura¸c˜ao temporal que os pulsos
de entrada para essas p otˆencias. No regime de quasi-soliton, os pulsos de sa´ıda n˜ao
apresentaram deforma¸c˜ao temporal em rela¸c˜ao aos pulsos de entrada.
Portanto, tendo em vista que as caracter´ısticas de transmiss˜ao e a forma dos pulsos
´opticos em dispositivos ´opticos de chaveamento s˜ao de grande interesse em um futuro
pr´oximo, este trabalho contribui cientificamente para o aperfei¸coamento e desenvolvi-
mento de tais dispositivos.
5.2 SUGEST
˜
OES PARA TRABALHOS FUTUROS
Ambos os dispositivos ´opticos os quais foram objetos deste estudo s˜ao pe¸cas de
fundamental importˆancia em comunica¸c˜oes totalmente ´opticas, especialmente em redes
de chaveamento totalmente ´opticas. Portanto, existe um grande interesse em se conhe-
cer cada vez melhor suas caracter´ısticas n˜ao lineares. A an´alise apresentada aqui pode
ser complementada com novos estudos destes dispositivos utilizando outros perfis de dis-
pers˜ao e n˜ao linearidade, como por exemplo, um perfil exponencial, hiperb´olico ou Gaus-
siano. Para o caso do MZI em cascata, ainda pode-se utilizar um MZI constru´ıdo com
fibra comum, mas com diferentes valores de dispers˜ao para cada est´agio do dispositivo.
5.2 sugest
˜
oes para trabalhos futuros 63
Tamb´em pode-se estudar os dispositivos com outros tamanhos.
Outra sugest˜ao seria acoplar um ressonador em anel em um dos bra¸cos do inter-
ferˆometro Mach-Zehnder [49] e estudar as caracter´ısticas de transmiss˜ao. O ressonador
em anel intensifica a contribui¸c˜ao n˜ao linear e fornece uma diferen¸ca de fase π a qual ´e
necess´aria para o chaveamento. O objetivo dessa configura¸c˜ao ´e reduzir a potˆencia de
chaveamento.
Uma proposta de trabalho interessante seria estender o estudo sobre o interferˆometro
Mach-Zehnder para o Arrayed waveguide grating (AWG) [50], o qual ´e um dispositivo
semelhante ao interferˆometro Mach-Zehnder. A figura 5.1 mostra uma representa¸c˜ao
esquem´atica de um AWG M × N. Ele consiste de um conjunto de guias de onda de
entrada seguido por um acoplador de espa¸co livre ou regi˜ao de propaga¸c˜ao livre. Este
acoplador ´e seguido por um arranjo de guias de onda que agem como uma grade entre os
dois acopladores. O comprimento de cada guia de onda no arranjo ´e acrescido por uma
quantidade fixa ∆L com respeito ao precedente.
Finalmente, como ´ultima sugest˜ao para complementa¸c˜ao desse trabalho, seria en-
contrar uma solu¸c˜ao anal´ıtica que se ajustasse as curvas de transmiss˜ao geradas pela
simula¸c˜ao num´erica.
AP
ˆ
ENDICE A
EQUAC¸
˜
AO N
˜
AO LINEAR DE SCHR
¨
ODINGER
A equa¸c˜ao que descreve a evolu¸c˜ao de um pulso ´optico dentro de uma fibra monomodo
na presen¸ca de dispers˜ao e n˜ao linearidade ´e dada por [21]:
∂A
∂z
+ β
1
∂A
∂t
+
i
2
β
2
∂
2
A
∂t
2
−
1
6
β
3
∂
3
A
∂t
3
= iγ|A |
2
A −
α
2
A, (.)
onde A = A(z, t) representa a fun¸c˜ao de modula¸c˜ao da amplitude do campo el´etrico do
pulso. O parˆametro α ´e a atenua¸c˜ao. Os parˆametros β
1
, β
2
e β
3
s˜ao coeficientes de uma
expans˜ao em s´erie de Taylor da constante de fase β(ω) em torno de uma freq¨uˆencia central
ω
0
e est˜ao relacionados aos efeitos de dispers˜ao. Assim β
1
= 1/v
g
, onde v
g
´e a velocidade
de grupo na qual o pulso se move, β
2
´e a dispers˜ao de segunda ordem conhecida como
dispers˜ao de velocidade de grupo e β
3
´e a dispers˜ao de terceira ordem. O parˆametro γ
governa o efeito n˜ao linear chamado de auto modula¸c˜ao de fase e ´e definido como
γ =
n
2
ω
0
cA
eff
, (.)
onde n
2
´e o coeficiente n˜ao linear do ´ındice de refra¸c˜ao, c ´e a velocidade da luz no v´acuo
e A
eff
´e conhecido como a ´area efetiva do n´ucleo da fibra sendo definido como
A
eff
=
(
|F (x, y)|
2
dxdy)
2
|F (x, y)|
4
dxdy
, (.)
onde a fun¸c˜ao F(x,y) ´e a distribui¸c˜ao modal para o modo fundamental da fibra.
64
equac¸
˜
ao n
˜
ao linear de schr
¨
odinger 65
Na Eq. ( .) podemos fazer β
3
= 0 se a largura espectral do pulso ∆ω << ω
0
, e
utilizando a transforma¸c˜ao T = t − β
1
z obtemos
∂A
∂z
+ i
β
2
2
∂
2
A
∂T
2
+
α
2
A = iγ|A|
2
A. (.)
A Eq. (.) ´e conhecida como equa¸c˜ao n˜ao linear de Schr¨odinger devido a sua semelhan¸ca
com a equa¸c˜ao de Schr¨odinger com um termo de potencial n˜ao linear. Esta equa¸c˜ao e
suas v´arias vers˜oes s˜ao aplicadas n˜ao somente em problemas de propaga¸c˜ao de pulsos
´opticos em meios n˜ao lineares, mas tamb´em em diferentes ´areas como f´ısica de plasma,
dinˆamica de fluidos, propaga¸c˜ao de ondas em atmosfera [20, 51], entre outras.
AP
ˆ
ENDICE B
SOLITONS EM FIBRAS
´
OPTICAS
Solitons ou ondas solit´arias s˜ao pulsos que se propagam por uma longa distˆancia,
sem atenua¸c˜ao e mudan¸ca na sua forma. Isto ocorre devido a dependˆencia do ´ındice de
refra¸c˜ao do meio, `a intensidade do pulso, compensar perfeitamente o efeito de dispers˜ao
de velocidade de grupo (GVD) [52]. A equa¸c˜ao n˜ao linear de Schr¨odinger (ver apˆendice
A) descreve a propaga¸c˜ao de solitons em fibras ´opticas. Desprezando as perdas da fibra,
a equa¸c˜ao ´e dada por
i
∂A
∂z
=
β
2
2
∂
2
A
∂T
2
− γ|A|
2
A. (.)
Para estudarmos solu¸c˜oes do tipo soliton para a Eq. (.), ´e ´util introduzirmos as se-
guintes vari´aveis adimensionais
U =
A
√
P
0
, ξ =
z
L
D
, τ =
T
T
0
, (.)
onde T
0
´e a largura temporal do pulso, P
0
´e a potˆencia de pico do pulso e L
D
´e o
comprimento de dispers˜ao definido como
L
D
=
T
2
0
|β
2
|
. (.)
Assim, substituindo a Eq. (.) na Eq. (.), resulta em
i
∂U
∂ξ
− sgn(β
2
)
1
2
∂
2
U
∂τ
2
+ N
2
|U|
2
U, (.)
66
solitons em fibras
´
opticas 67
onde sgn (β
2
) = +1 ou -1, dependendo se β
2
´e positivo (GVD normal) ou negativo (GVD
anˆomalo). O parˆametro N ´e definido como
N
2
= γP
0
L
D
=
γP
0
T
2
0
|β
2
|
. (.)
Ainda introduzindo u = NU como uma amplitude normalizada e escolhendo sgn(β
2
) =
-1, a Eq. (.) toma a seguinte forma normalizada
i
∂u
∂ξ
+
1
2
∂
2
u
∂τ
2
+ |u|
2
u = 0. (.)
Esta equa¸c˜ao tem sido resolvida analiticamente utilizando o m´etodo do espalhamento
inverso [53], [54]. Os resultados principais mostram que quando um pulso de entrada na
forma
u(0, τ) = Nsech(τ) (.)
´e lan¸cado numa fibra, sua forma permanece inalterada durante a propaga¸c˜ao quando N
= 1, e segue um padr˜ao peri´odico para valores inteiros de N > 1 de modo que o pulso
de entrada ´e recuperado em ξ = mπ/2, onde m ´e um inteiro. O pulso correspondendo
a N = 1 ´e chamado de soliton fundamental, e para outros valores inteiros de N s˜ao
chamados de soliton de ordem superior. Mesmo quando N n˜ao ´e inteiro, a forma¸c˜ao de
soliton tamb´em pode ocorrer. Em particular, o soliton fundamental pode ser formado
para valores de N no intervalo de 0,5 a 1,5, [55]. O per´ıodo do soliton z
0
´e definido como
a distˆancia na qual o soliton de ordem superior recupera sua forma original de entrada,
ent˜ao
z
0
=
π
2
L
D
=
π
2
T
2
0
|β
2
|
≈
T
2
F W HM
2|β
2
|
, (.)
onde foi usado ξ = z/L
D
e T
F W HM
= 1, 763T
0
representa a largura temporal do pulso
a meia altura do pico m´aximo. A figura B.1 mostra o comportamento do perfil de
solitons em fibras
´
opticas 68
Figura B.1. Propaga¸c˜ao de um soliton fundamental numa fibra.
Figura B.2. Propaga¸c˜ao de um soliton de segunda ordem numa fibra.
solitons em fibras
´
opticas 69
intensidade ao longo de z de um soliton fundamental (N = 1) e a figura B.2 mostra a
evolu¸c˜ao de um soliton de segunda ordem (N = 2) sobre um per´ıodo de soliton.
A Eq. (.) tamb´em pode ser diretamente resolvida supondo-se a existˆencia de
solu¸c˜oes que sejam separ´aveis nas vari´aveis ξ e τ, ou seja,
u(ξ, τ) = T (τ) exp(iKξ). (.)
Quando a Eq. (.) ´e substitu´ıda na Eq. (.), a fun¸c˜ao T (τ) ´e encontrada para satisfazer
a seguinte equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem,
1
2
d
2
T
dτ
2
+ T
3
− KT = 0 (.)
Esta equa¸c˜ao pode ser resolvida multiplicando 2(dT/dτ) e integrando sobre τ . O resultado
fica
(dT/dτ)
2
= 2KT
2
− T
4
+ C, (.)
onde C ´e uma constante de integra¸c˜ao. Utilizando a condi¸c˜ao de contorno na qual T e
dT/dτ se anulam em |τ| = ∞, encontra-se C = 0. A constante K ´e determinada pela
condi¸c˜ao de contorno T = 1 e dT/dτ = 0 no pico do soliton , assumindo que nesse ponto
τ = 0. Dessa forma encontra-se que K = 1/2. Logo, a Eq. (.) ´e facilmente integrada
e obt´em-se T (τ ) = sech(τ). Portanto, a solu¸c˜ao completa fica
u(ξ, τ) = sech(τ) exp(iξ/2). (.)
Esta solu¸c˜ao mostra que o pulso de entrada adquire um deslocamento de fase ξ/2 ao se
propagar ao longo de uma fibra, mas sua amplitude permanece inalterada. Devido a esta
propriedade, o soliton tem sido extensamente estudado e verificado experimentalmente,
[56] - [58].
solitons em fibras
´
opticas 70
-4 -3 -2
-1
0
1
2 3 4
τ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|u|
2
Figura B.3. Intensidade em fun¸c˜ao do tempo normalizado para um soliton negro.
A Eq. (.) tamb´em pode ser resolvida para o caso em que sgn(β
2
) = +1 (GVD
normal). Aplicando o mesmo procedimento anterior, ou seja, supondo solu¸c˜oes do tipo
da Eq. (.), o resultado para u(ξ, τ) seria dado por
u(ξ, τ) = tanh(τ) exp(iξ/2). (.)
O perfil de intensidade desta solu¸c˜ao exibe uma depress˜ao em plano uniforme como
mostra a figura B.3.
´
E esta depress˜ao que permanece inalterada durante a propaga¸c˜ao
dentro da fibra. Por esta raz˜ao ela ´e chamada de soliton negro, enquanto a solu¸c˜ao da
Eq. (.) ´e chamada de soliton luminoso.
AP
ˆ
ENDICE C
M
´
ETODO DE FOURIER DE PASSO DIVIDIDO
Os m´etodos anal´ıticos n˜ao se aplicam facilmente a muitas equa¸c˜oes de propaga¸c˜ao n˜ao
lineares. Freq¨uentemente ´e necess´ario recorrer a simula¸c˜oes computacionais em busca de
solu¸c˜oes aproximadas que sirvam de inspira¸c˜ao intuitiva para as solu¸c˜oes anal´ıticas. H´a
casos, por exemplo na pesquisa de solitons, em que o progresso anal´ıtico se beneficiou
de experimentos num´ericos. Entre os muitos tipos de m´etodos empregados para resolver
equa¸c˜oes de propaga¸c˜ao, os m´etodos espectrais de passo dividido s˜ao os mais comuns,
[59] - [61].
Para resolver numericamente a equa¸c˜ao n˜ao linear de Schr¨odinger, o m´etodo mais
utilizado ´e o m´etodo de Fourier de passo dividido. Este m´etodo ´e o que leva menos
tempo computacional quando a solu¸c˜ao varia lentamente com o tempo, [62]. O m´etodo
consiste em separar uma pequena distˆancia da propaga¸c˜ao em duas partes, uma linear e
outra n˜ao linear, e trat´a-las separadamente. A parte linear ´e freq¨uentemente integrada
no espa¸co espectral onde o propagador linear ´e um operador multiplicativo em vez de
um operador diferencial. O algoritmo de transformada de Fourier ´e utilizado sempre
que se entra ou sai deste espa¸co. Um obst´aculo deste m´etodo ´e que os campos devem
permanecer localizados em ambas as faixas, espacial e espectral. Outra dificuldade ´e que
cada simula¸c˜ao deve ter condi¸c˜oes de contorno peri´odicas em cada dire¸c˜ao transversa. Isto
significa que uma simula¸c˜ao que se expande durante a propaga¸c˜ao pode eventualmente
interagir com uma c´opia dela mesma.
O m´etodo pode ser facilmente entendido escrevendo as equa¸c˜oes de propaga¸c˜ao como
71
m
´
etodo de fourier de passo dividido 72
equa¸c˜oes de operadores
∂
−→
A
∂z
= (
L +
N)
−→
A . (.)
O operador
L representa os termos lineares da equa¸c˜ao de propaga¸c˜ao e o operador
N
cont´em os termos n˜ao lineares. Considerando que todos os campos se propagam na
dire¸c˜ao z, as solu¸c˜oes para esta equa¸c˜ao podem ser formalmente escritas como
−→
A (z + h) = exp [(
L +
N)h]
−→
A (z). (.)
Assim, a propaga¸c˜ao do vetor
−→
A pode supostamente ser escrita como um procedimento
de dois passos.
−→
A (z + h) ≈ exp[
Lh]exp[
Nh]
−→
A (z). (.)
O primeiro passo ´e a propaga¸c˜ao n˜ao linear, onde o propagador n˜ao linear ´e calculado
usando os campos em z. O passo linear ´e normalmente efetuado no espa¸co espectral. Al-
guns cuidados s˜ao necess´arios no passo da propaga¸c˜ao linear para identificar corretamente
as freq¨uˆencias positivas e negativas. Devido as condi¸c˜oes iniciais peri´odicas assumidas
no algoritmo da transformada de Fourier, as freq¨uˆencias precisam ser interpretadas na
correta zona de Brillouin centrada em 0. A transformada de Fourier requer que o n´umero
de pontos de dados seja uma potˆencia de 2. Como consequˆencia, a amplitude das compo-
nentes de freq¨uˆencia positiva m´axima e freq¨uˆencia negativa m´ınima s˜ao as mesmas. Pode
ser visto que esta componente na extremidade da zona de Brillouin ´e sempre uma fun¸c˜ao
cosseno. No prop´osito de ter uma resolu¸c˜ao adequada no espa¸co espectral, a largura da
condi¸c˜ao inicial quando comparada ao n´umero do comprimento transverso usado, pode
ter que ser relativamente pequena.
O erro na aproxima¸c˜ao feita na Eq.(.) pode ser estimado pela formula de Baker-
m
´
etodo de fourier de passo dividido 73
Campbell-Haussdorff [63],
exp[
Lh] exp[
Nh] = exp[h(
L +
N) +
h
2
2
[
L,
N] +
h
3
12
[
L −
N, [
L,
N]] + ...]. (.)
Neste esquema de passo dividido ´e observado um termo de erro da ordem de h
2
. Pode-se
melhorar a ordem deste erro escrevendo a evolu¸c˜ao do passo numa forma simetrizada,
−→
A (z + h) ≈ exp[
h
2
L] exp[h
N] exp[
h
2
Lh]
−→
A (z). (.)
Usando duas vezes a f´ormula de Baker-Campbell-Haussdorff verifica-se que o primeiro
termo de erro ´e da ordem de h
3
. A complica¸c˜ao desta express˜ao ´e que o operador
N,
que depende dos seus pr´oprios campos, ´e calculado incompleto entre os passos. Isto ´e
uma dificuldade porque os valores dos campos em z + h/2 n˜ao podem ser conhecidos sem
primeiro fazer algum tipo de propaga¸c˜ao do ponto z. Se a n˜ao linearidade ´e bastante
pequena,
N pode ser aproximado evoluindo os campos somente com o operador
L de z
a z + h/2. Ent˜ao o operador n˜ao linear em z + h/2 pode ser aproximado usando esses
campos evolu´ıdos linearmente.
AP
ˆ
ENDICE D
TRABALHOS PUBLICADOS
D.1 TRABALHOS DECORRENTES
- J.L.S. Lima, C.S.N. Rios, M.G. da Silva, C.S. Sobrinho, E.F. de Almeida, and A.S.B.
Sombra, Crosstalk and contrast ration studies of a four stage Mach-Zehnder optical fiber
demultiplexer, Optical Fiber Technology, Vol. 11, pp. 167-179, 2005.
- J.L.S. Lima, K.D.A. Sab´oia, J.C. Sales, E.F. de Almeida, and A.S.B. Sombra, Optical
short pulse switching chacaracteristics of ring resonator , submetido ao IEE Proceedings
in Optoelectronics, 2005.
D.2 TRABALHOS RELACIONADOS
- M.G. da Silva, A.M. Bastos, C.S. Sobrinho, J.L.S. Lima, E.F. Almeida, and A.S.B.
Sombra, Optical crosstalk in a periodically inhomogeneous nonlinear dispersion directional
fiber coupler, Optical Fiber Technology, Vol. 11, pp. 180-192, 2005.
- C.S. Sobrinho, M.V.N. de Oliveira, J.L.S. Lima, M.G. da Silva, E.F. Almeida, and
A.S.B. Sombra, Numerical analysis of the crosstalk on an integrated acousto-optic tunable
filter (AOTF) for network applications, Fib er and Integrated Optics, Vol.23, No. 5, pp.
345-363, 2004.
- C.S. Sobrinho, J.L.S. Lima, E.F. Almeida, and A.S.B. Sombra, Acusto-optic tunable
filter (AOTF) with increasing nonlinearity and loss, Optics Communication, Vol. 208,
No. 4-6, pp. 415-426, 2002.
74
d.3 outras publicac¸
˜
oes 75
- C.S. Sobrinho, J.L.S. Lima, and A.S.B. Sombra, Interchannel crosstalk on the
acousto-optic tunable filter (AOTF) for network apllications, Microwave and Optical Te-
chnology Letters, Vol. 35, No. 3, pp. 230-235, 2002.
D.3 OUTRAS PUBLICAC¸
˜
OES
- C.F. Wehmann, L.M. Fernandes, C.S. Sobrinho, J.L.S. Lima, M.G. da Silva, E.F.
Almeida, J.A. Medeiros Neto and A.S.B. Sombra, Analysis of the four wave mixing ef-
fect (FWM) in a dispersion decreasing fiber (DDF) for a WDM system, Optical Fiber
Technology, Vol. 11, pp. 306-318, 2005.
- A.M. Melo, J.L.S. Lima, R.S. Oliveira, and A.S.B. Sombra, Photonic time-division
multiplexing (OTDM) using ultrashort picosecond pulses in a terahertz optical asymmetric
demultiplexer (TOAD), Optics Communication, Vol.205, No. 4-6, pp. 299-312, 2002.
-A.M. Melo, J.L.S. Lima, and A.S.B. Sombra, Time-division multiplexing (OTDM)
using picosecond solitons in a terahertz optical asymmetric demultiplexer (TOAD), Optics
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Vol. 20, No. 3, pp. 82-87, 1999.
- J.L.S. Lima and A.S.B. Sombra, Soliton and quasi-soliton switching in nonlinear
optical loop mirror (NOLM) constructed from dispersion decreasing fiber (DDF), Optics
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