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FERNANDO ROCHA PINTO
O ENSINO DO CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO POR MEIO DE
SOFTWARES GRÁFICO-VISUAIS: CRIAÇÃO DE DESENHOS DIGITAIS
POR ALUNOS INICIANTES DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
Belo Horizonte
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
CEFET – MG
2009
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1
FERNANDO ROCHA PINTO
O ENSINO DO CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO POR MEIO DE
SOFTWARES GRÁFICO-VISUAIS: CRIAÇÃO DE DESENHOS DIGITAIS
POR ALUNOS INICIANTES DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas
Gerais, como requisito parcial à obtenção do título
de Mestre em Educação Tecnológica.
Área de concentração: Educação Tecnológica
Orientador: Prof. Dr. Heitor Garcia de Carvalho
Belo Horizonte
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
CEFET – MG
2009
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PINTO, Fernando Rocha
O ensino do conceito matemático de função por meio de softwares
gráfico-visuais: criação de desenhos digitais por alunos iniciantes do
curso de administração. / Fernando Rocha Pinto. 2009.
153 p.
Orientador: Heitor Garcia de Carvalho
Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais.
Inclui bibliografia.
1. Tecnologia da informação – Teses. 2. Ensino de função. 3.
Software graficador. 4. Desenhos digitais. 5. Área empresarial.
I. Garcia Carvalho, Heitor. II. Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais. III. Título.
3
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
Dissertação de Mestrado apresentada por Fernando Rocha Pinto, em 25 de março
de 2009, ao Curso de Mestrado em Educação Tecnológica do CEFET-MG, cuja
defesa foi aprovada pela banca examinadora constituída pelos professores:
_________________________________________
Prof. Dr. Heitor Garcia de Carvalho
(Orientador)
_________________________________________
Profª. Drª. Marger da Conceição Ventura Viana
Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP
_________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares
CEFET – MG
Visto e permitida a impressão
Belo Horizonte, 25 de março de 2009.
Prof. Dr. João Bosco Laudares
Coordenador do Curso de Mestrado em Educação Tecnológica
4
“La palabra o la lengua, escrita o hablada, no parece
desempeñar papel alguno, en absoluto, en el mecanismo
del curso de mis pensamientos. Los elementos psíquicos
fundamentales del pensamiento son determinados signos e
imágenes, más o menos claras, que pueden ser
reproducidos y combinados a voluntad”.
( Albert Einstein )
5
Agradecimentos
Ao meu pai (
in memoriam
), pela vida, pelos exemplos de hombridade,
honestidade, fraternidade, e por mais uma série de coisas que, se aqui fossem
escritas, não caberiam neste espaço tão reduzido.
À minha mãe, pela vida, pelo exemplo de resignação e pelo amor materno.
À minha esposa, Paulina Pepe, pelo amor, dedicação, compreensão e exemplo de
luta, bem como pela fundamental ajuda ao longo deste trabalho.
Ao Prof. Doutor Heitor Garcia de Carvalho, que acreditou em meu potencial para a
pesquisa no curso de mestrado em Educação Tecnológica.
A todos os professores deste curso de mestrado, em especial, ao Prof. Dr. Jerônimo
Coura Sobrinho e ao Prof. Dr. Fábio Wellington Orlando da Silva, pareceristas do
meu projeto de pesquisa, pelas excelentes observações que muito contribuíram para
minha dissertação.
À Profª. Drª. Marger da Conceição Ventura Viana, da UFOP e ao Prof. Dr. João
Bosco Laudares por suas críticas e sugestões e participação na Banca de Defesa.
A todos os meus ex-alunos, em especial aos sujeitos desta pesquisa, pela
disponibilidade, compreensão e diversas demonstrações de carinho por minha
pessoa.
Ao Prof. Ms. Renato Francisco Reis, pelo apoio estatístico e pelas palavras de
incentivo.
Aos professores Omar Malet (Secretaria de
Educación de la Ciudad de Buenos
Aires)
, Mariano González (PUC – Lima), Marta Tenutto (portal argentino Nuestra
Aldea), Carlos Vitor (Universidade Severino Sombra), Maria Lucia Muruci (UFRJ) e
Abrahan Arcavi (
Weizmann Institute of Science –
Tel Aviv) e Pedro Paulo
Scandiuzzi (UNESP) por terem enviado textos a respeito das funções matemáticas e
à Edith Ackermann (Massachussets
Institute of Technology – MIT), pe
lo envio de
um
paper (C
onstrucionismo de Seymour Papert).
Ao Prof. Dr. Fernando Lomônaco, do Departamento de Psicologia da USP, por ter
disposto de seu precioso tempo para me enviar uma cópia da dissertação Profª.
Nilva Ragazzi (
in memoriam
).
Às pessoas que, torceram por mim, dentre elas, Feijó, Shirlei, Regina, Haroldo,
Vanusa, Ivan, Teófilo, Ronaldo, André, Sérgio, Elenice, Edgar, Fátima, Lourdes,
Jacy, Lúcia e Michelle.
6
RESUMO
O conceito de função possui muita importância para a Matemática, sendo integrador
de vários outros conteúdos do currículo, porém, a sua aprendizagem não ocorre de
maneira eficaz, o que sugere a aplicação de metodologias alternativas que possam
favorecer a sua apreensão pelos estudantes. Esta pesquisa, ancorada na
perspectiva do Construcionismo de Papert, estudou a apreensão do conceito
matemático de função por meio da utilização de software gráfico-visual, bem como a
possibilidade da criação de desenhos digitais que pudessem ser associados, a partir
da observação de suas formas, aos conceitos do dia-a-dia das empresas, tais como
custo, receita, lucro, oferta, demanda, além de outros. A coleta de dados realizou-se
em três turmas de alunos iniciantes – uma do período matutino e duas do noturno –
do curso superior de Administração de uma faculdade de médio porte, localizada em
Contagem, na Região Metropolitana da Grande Belo Horizonte. Foram aplicados
questionários estruturados, dentre eles, uma escala de atitudes frente à Matemática
a partir do modelo proposto por Rensi Likert, um teste de sondagem e um pós-teste.
A análise e apresentação dos dados se deram por meio das técnicas usuais da
estatística descritiva, a partir do pacote estatístico SPSS e da planilha Excel,
utilizando-se médias, desvios-padrão, tabelas e gráficos. Os resultados obtidos
demonstraram que a visualização – associada à utilização de software graficador –
produziu uma significativa melhora na aprendizagem da Matemática, tendo
favorecido especialmente o entendimento do conceito de função, tornando possível
a construção de desenhos digitais plenos em significados, alguns destes
relacionados ao cotidiano empresarial.
Palavras-chave: Função, visualização, software graficador, desenhos digitais,
funções econômicas.
7
ABSTRACT
The function concept is very important to Mathematics, because it integrates several
other concepts of curricula, but its learning does not happen in an effective way,
which suggests the application of methodologies to facilitate their apprehension by
the students. This research was anchored by the Papert´s Constructionism and
studied the learning of the mathematical concept of function by the use of a graphical
software, as well as the possibility of the creation of a digital drawings that can be
associated, from the observation of its shapes, to the concepts of the day by day of
the companies, such as the cost, revenue, profit, supply, demand, besides others.
The collection of data took place in three classes of students, one of matutinal period
and two of the nocturne period, from a Administration course in a medium size
college located in Contagem – a city located in the Metropolitan Region of the Great
Belo Horizonte – and counted with structured questionnaires, besides a scale of
attitudes towards the Mathematics according to the Rensi Likert model, an initial test
and a final test. The data was analyzed and presented by the descriptive statistic
techniques of SPSS and Excel packages by the use of averages, standard deviation,
tables and graphs. The results have demonstrated that the visualization, when it is
associated with the use of some graphical program, produces a significant
improvement in the learning of the mathematics, besides favoring the understanding
of the function concept and taking possible the construction of some digital drawings,
whose meanings can be related to the tasks of the companies.
Keywords: Function, visualization, graphic software, digital drawings, economic
functions.
8
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 01: A Tartaruga LOGO ..................................................................................28
Figura 02: Gráficos das funções y = 2(x + 4) e y = 3x + 4.........................................53
Figura 03: Esquema de interdependência entre atitude e comportamento ...............65
Figura 04: Estatísticas das três turmas ....................................................................75
Figura 05: Produção discente: Situações e emoções .............................................115
Figura 06: Produção discente: Degraus para o conhecimento................................116
Figura 07: Produção discente: Bandeira do Brasil ..................................................117
Figura 08: Produção discente: Administração em Blocos .......................................118
Figura 09: Produção discente: Malacabada ............................................................119
Figura 10: Planificação de um cubo ........................................................................125
Gráfico 01 – Sistema Cartesiano de Eixos X e Y –
ANTES e DEPOIS
..........................77
Gráfico 02 – Localização de pontos no formato (x, y) –
ANTES e DEPOIS
...................78
Gráfico 03 – Conceito de Variável –
ANTES e DEPOIS
................................................79
Gráfico 04 – Conceito de Incógnita –
ANTES e DEPOIS
...............................................79
Gráfico 05 – Conceito de Função –
ANTES e DEPOIS
.................................................80
Gráfico 06 – Conceito de Domínio da Função –
ANTES e DEPOIS
..............................81
Gráfico 07 – Conceito de Imagem da Função –
ANTES e DEPOIS
..............................81
Gráfico 08 – Tabela de Valores X e Y –
ANTES e DEPOIS
...........................................82
Gráfico 09 – Gráfico da Função –
ANTES e DEPOIS
....................................................82
Gráfico 10 – Função Crescente –
ANTES e DEPOIS
....................................................83
Gráfico 11 – Função Decrescente –
ANTES e DEPOIS
................................................83
Gráfico 12 – Função Constante –
ANTES e DEPOIS
....................................................84
Gráfico 13 – Zeros da Função –
ANTES e DEPOIS
......................................................84
Gráfico 14 – Extremo da Função –
ANTES e DEPOIS
..................................................85
Gráfico 15 – Software Graficador –
ANTES e DEPOIS
..................................................86
Gráfico 16 – Já havia utilizado algum software para traçar gráficos (...).................101
Gráfico 17 – Utilizar software para traçar gráficos auxilia no aprendizado (...) .......103
FIGURAS
GRÁFICOS
9
Gráfico 18 – Criar desenhos a partir do Graphmatica auxiliou no (...).....................104
Gráfico 19 – Seu conhecimento matemático (...) ....................................................105
Gráfico 20 – A utilização de técnicas de visualização teve influência no (...)?........121
Gráfico 21 – Associação de gráficos com funções empresariais ...........................122
Gráfico 22 – Função polinomial do 2º grau (V/F) ....................................................122
Gráfico 23 – Parábola exibindo um ponto extremo de máximo...............................123
Gráfico 24 – Oferta e Demanda – Break Even Point...............................................123
Gráfico 25 – Utilização de imagem para auxiliar a linha de raciocínio ...................124
Gráfico 26 – Aprende melhor quando o material apresentado está... ....................124
Gráfico 27 – Planificação de um cubo.....................................................................125
Quadro 01: Significados das siglas da Escala de Likert (não forçada) .....................64
Quadro 02: Médias referentes a cada um dos 18 itens da Escala ............................74
Quadro 03: Valores do Alpha de Cronbach em cada turma......................................76
Quadro 04: Siglas referentes ao grau de conhecimentos prévios sobre a
matemática das funções.........................................................................76
Quadro 05: Resultado do Teste de Sondagem – Turma ADM-1-M...........................90
Quadro 06: Resultado do Teste de Sondagem – Turma ADM-1-N-A .......................90
Quadro 07: Resultado do Teste de Sondagem – Turma ADM-1-N-B .......................90
Quadro 08: Resultado geral exibido por questão pela totalidade dos alunos............91
Quadro 09: Comparação entre a escrita matemática e a escrita de programação .102
Tabela 01 – Diferenças entre as tendências instrucionista e construtivista de
ensino....................................................................................................32
Tabela 02 – Faixa Etária ..........................................................................................61
Tabela 03 – Atuação Profissional .............................................................................63
Tabela 04 – Onde você utiliza o Graphmatica ........................................................102
Tabela 05 – Dificuldade de utilização do Graphmatica ..........................................103
Tabela 06 – Achou importante colorir com o Paint? ...............................................104
Tabela 07 – O PaintBrush é um sotfware ...............................................................105
QUADROS
TABELAS
10
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO..........................................................................................................12
CAPÍTULO I
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA........................................................................................................18
1.1 Técnica, Tecnologia, Educação Tecnológica .....................................................18
1.2 O computador.....................................................................................................22
1.3 Educação Matemática por meio da educação tecnológica ................................24
1.4 O Construcionismo e o ensino da Matemática...................................................27
1.5 O computador no ensino da Matemática............................................................33
1.6 A respeito da imagem ........................................................................................35
1.7 Visualização de uma função no ensino da Matemática......................................40
1.8 O ensino do conceito matemático de função......................................................43
1.9 A importância de se ensinar função ..................................................................49
1.10 O estudo das funções por meio de software graficador ..................................51
1.11 Alertas quanto à utilização excessiva das técnicas de visualização ................52
CAPÍTULO II
METODOLOGIA DA PESQUISA..............................................................................59
2.1 O local, os sujeitos, o universo e a amostra da pesquisa.................................61
2.2 Escala de Rensi Likert......................................................................................63
2.2.1 O que é uma atitude........................................................................................65
2.2.2 As escalas de atitudes....................................................................................66
2.2.3 Atitudes relacionadas à Matemática...............................................................67
2.3 Grau de conhecimentos prévios sobre a matemática das funções ...................68
2.4 Aulas no laboratório de informática...................................................................69
2.5 Utilização dos softwares Graphmatica e PaintBrush.........................................69
2.6 Pós-teste: a visualização das funções...............................................................71
CAPÍTULO III
ANÁLISE, INTERPRETAÇÃO E DISCUSSÃO DOS DADOS..................................72
3.1 Escala de Likert – atitudes dos alunos com relação à matemática ...................72
11
3.2 Percepção sobre conhecimentos matemáticos:
ANTES e DEPOIS
.......................76
3.2.1 Apresentação e análise dos resultados: conhecimentos
ANTES e DEPOIS
......77
3.2.2 Considerações acerca dos conhecimentos declarados pelos alunos:
ANTES e DEPOIS
...............................................................................................86
3.3 Teste de Sondagem ...........................................................................................88
3.3.1 1ª Questão: valor numérico............................................................................91
3.3.2 2ª Questão: localização de pontos no plano ..................................................91
3.3.3 3ª Questão item “a”: equação de 1º grau .......................................................92
3.3.4 3ª Questão item “b”: equação de 2º grau .......................................................92
3.3.5 4ª Questão: sistemas de equações................................................................93
3.4 Utilização dos softwares Graphmatica e PaintBrush.........................................93
3.4.1 A primeira aula no laboratório de informática.................................................93
3.4.2 A segunda aula no laboratório de informática ................................................96
3.4.3 Colorização dos desenhos ...........................................................................99
3.4.4 Graphmatica e PaintBrush: um binômio analisado........................................100
3.4.5 A criação dos desenhos digitais...................................................................106
3.4.6 Exemplos da produção discente ..................................................................114
3.5 Pós-teste: a visualização de funções .............................................................120
CONSIDERAÇÕES FINAIS....................................................................................126
REFERÊNCIAS.......................................................................................................135
APÊNDICES
A – Escala de Likert: Atitudes em relação à Matemática ........................................144
B – Grau de conhecimento prévio sobre a matemática das funções ....................145
C – Teste de Sondagem .........................................................................................147
D – Utilização dos softwares Graphmatica e PaintBrush ........................................148
E – Pós-teste: a visualização das funções .............................................................150
F – Verificação do grau de conhecimento posterior sobre a matemática das
funções..............................................................................................................152
12
INTRODUÇÃO
“One... fact must astonish us, or rather would astonish us if we were not
too much accustomed to it. How does it happen that there are people who
do not understand mathematics? If the science invokes only the rules of
logic, those accepted by all well-formed minds…, how does it happen that
there are so many people who are entirely impervious to it?” (POINCARÉ).
De acordo com Machado (1989), a origem da palavra matemática é grega,
significando “o que se pode aprender”. Por conseguinte, esta palavra poderia ser
utilizada de maneira geral ou específica, pois conseguiria representar uma série de
situações e conhecimentos. É também o referido autor que defende que é de
fundamental importância para uma sociedade o ensino da matemática. Mais ainda,
sustenta a posição de que uma pessoa desprovida de conhecimentos matemáticos –
mesmo que rudimentares – poderia ser considerada como possuidora de pouca
alfabetização, porque mesmo conseguindo comunicar-se com seus semelhantes e
também com o ambiente, lhe faltaria a percepção matemática. Assim, uma pessoa
que houvesse sido “apresentada” à matemática, aos seus conceitos fundamentais,
poderia ser considerada como uma pessoa incompleta para a vida em uma
sociedade qualquer.
É comum que se defenda tal idéia. Afinal de contas, a matemática é parte da cultura
do ser humano, sendo, por conseqüência, um bem cultural de grande valor, algo a
ser preservado e, também desenvolvido ao longo do tempo. Ela pode ser utilizada
em qualquer campo de atuação, dessa maneira possui um caráter universal. Porém,
é bastante comum que tal entendimento não seja compartilhado por todos, posto
que a matemática é percebida, muitas vezes, por um bom número de pessoas,
como algo destituído de qualquer sentido prático
1
, logo alijado do cotidiano, um
emaranhado de fórmulas e equações de difícil compreensão. De acordo com
Machado (1989), esta visão distorcida da matemática tem feito com que ela se
confunda com a Meteologia, ou seja, com o estudo de algo inútil, portanto, sem
interesse, o que gera a necessidade de se discutir os problemas que tal
entendimento produz durante o estabelecimento das relações na sala de aula,
quando os atores, professores e alunos, dramatizam o seu ensino e a sua
aprendizagem na escola. A matemática é, em sua essência, um corpo de
1
Isso fica muito evidente quando se solicita que os alunos informem a respeito das suas concepções referentes
à matemática.
13
conhecimentos que se prestam ao desenvolvimento da razão e, portanto, do
raciocínio.
Assim, a partir da experiência de se lecionar há mais de dezessete anos em cursos
superiores de escolas da Região Metropolitana de Belo Horizonte (RMBH) ligados
às áreas empresariais, especialmente no curso de Administração, pôde-se perceber
que a maioria dos alunos possui baixos índices de assimilação do conceito
matemático de função
2
. Conforme atestam Macintyre (2004) e Santos Filho (2003),
este assunto não é de fácil entendimento por parte de alunos dos vários níveis de
ensino e tal situação se repete no ensino superior. Assim, a busca de novas
abordagens para o ensino de função deve-se ao fato de que nos cursos da área
empresarial – Administração, Economia, Ciências Contábeis, dentre outros – a
dificuldade de apreensão do mencionado tema persiste. Mesmo quando os
discentes conseguem perceber que determinadas situações do seu próprio cotidiano
– especialmente as ligadas ao mundo do trabalho – podem ser modeladas por
intermédio de funções matemáticas, ainda assim parece existir certa resistência ao
seu aprendizado. Discussões realizadas na área da Educação Matemática, como as
que podem ser encontradas nas dissertações de mestrado dos pesquisadores
mencionados acima, dão conta da necessidade de se buscar novas estratégias para
abordar o ensino de função. De acordo com Macintyre (2004), no início do 1º
período dos cursos de Administração, os alunos, de uma maneira geral, ainda não
percebem a forte presença da Matemática no cotidiano das empresas, o que faz
com que eles apresentem uma atitude de medo, por estarem novamente estudando
algo do qual não possuem boas lembranças: o tema função. Segundo essa autora, é
desejável que a aprendizagem aconteça com certa sensação de prazer por parte
dos discentes, o que poderia ser alcançado com a utilização de novas tecnologias,
especialmente do computador. Logo, seria possível, ao professor, proporcionar um
aprendizado prazeroso aos seus alunos. A autora atenta, porém, para o fato de que
o professor, quando utilizar um software em suas aulas, deverá estar alerta para não
2
Se para um dado valor de “x” for possível calcular, de maneira única, um valor correspondente para “y”, por
meio da utilização de uma lei matemática (previamente definida) que associa o “y” ao “x”, então se diz que existe
uma relação de dependência matemática (funcional) entre essas letras; fica assim definida uma função “y” de “x”,
simbolizada pela expressão “y = f(x)” – notação criada, no século XVIII, pelo matemático suíço Leonard Euler –
que pode ser lida de qualquer uma das seguintes maneiras: “y” é uma função de “x”, ou simplesmente, por “y” é
igual a “f” de “x”. assim, é possível afirmar que “x gera y”. Para efeitos de simplificação, assume-se que ambas as
letras representam números reais, ou seja, elementos do conjunto ℜ.
14
incorrer no erro de tornar a aprendizagem de seus alunos em algo meramente
instrucional, sem qualquer vínculo com a prática diária.
As aulas de matemática têm estado carentes de elementos motivadores do seu
ensino, o que faz com que os alunos fiquem à margem de todo o processo,
perdendo a chance – talvez única em suas vidas – de entenderem a matemática. De
acordo com o que ensina Papert (1985, p. 68), a “Nossa cultura educacional fornece
aos estudantes de matemática poucos recursos para que eles entendam o que
estão aprendendo”. Essa dissertação, mesmo que desprovida da pretensão de
originalidade, poderá sugerir um novo olhar sobre a utilização de softwares no
ensino da matemática, bem como novas abordagens que possam ampliar o
interesse dos estudantes pelo estudo da disciplina.
A pesquisa reflete a postura do autor em sala de aula, quando este procura fazer
com que os seus alunos, em uma perspectiva construcionista, alcancem o
conhecimento, este, fruto de um fazer constante, no qual os discentes interagem
com a máquina computador, com o software graficador, com a matemática das
funções, uma ajudando a outra, em uma constante troca de conhecimentos.
Esse estudo poderia ser um indicativo de que é possível colocar os alunos para
criarem as suas próprias produções
3
, os seus próprios desenhos digitais. O mérito
fica para os alunos, quando estes, a partir da utilização de um software de fácil
manuseio, conforme atestam Santos Filho (2003), Barufi (2002) e Piermattei y
Gotelli (2004), extremamente simples – como é o Graphmatica, além do PaintBrush
– um aplicativo do Windows, também de fácil manipulação – conseguem criar figuras
plenas em significação, posto que de acordo com a concepção de Neiva Júnior
(1986) a uma imagem é sempre possível conferir uma representação, um
significado.
3
A idéia básica que amparou tal fato pode ser encontrada no construcionismo que, assumindo os ideais do
construtivismo, avança sobre este, ao deixar para o aluno o comando de todo o processo.
Assim, esta pesquisa
procurou seguir uma parte das orientações do construcionismo, não tendo se prendido a uma pedagogia
tradicionalista.
15
Procurou-se, também, realizar uma matemática de cunho experimental. D’Ambrosio
(2005, p. 95) explica que “Para muitos isso soa estranho. Matemática experimental?
O caráter experimental da matemática foi removido do ensino e isso pode ser
reconhecido como um dos fatores que mais contribuíram para o mau rendimento
escolar”. A citação desse eminente matemático paulista é proposital, especialmente
porque ela conduz à necessidade de que desejar que as licenciaturas em
Matemática possam garantir uma formação inicial bem melhor, para o futuro
professor de matemática.
D’Ambrosio (2005, p. 106), ao defender a experimentação na sala de aula de
matemática, bem como uma maior interação entre o professor e os seus alunos,
afirma que “De fato, o professor-pesquisador vem se mostrando como o novo perfil
do docente. Pesquisador em ambas as direções: buscar o novo, junto com seus
alunos, e conhecer o aluno, em suas características emocionais e culturais”. E a
prática desse renomado pesquisador é fiel à sua maneira de entender que novos
caminhos precisam ser trilhados, sendo confirmada pelas publicações de sua autoria
no campo da educação matemática, além da sua própria atuação como docente. No
entendimento do mencionado pesquisador, um professor, ao ensinar, aprende com
seus alunos e, mais ainda, nesse caminhar diário, junto com os seus alunos, o
docente encontra a realização plena de sua missão como educador.
Como hipótese básica dessa pesquisa, considerou-se que a utilização de softwares
gráfico-visuais na criação de desenhos digitais construídos a partir de funções
matemáticas, mediada por softwares gráfico-visuais, pode favorecer a apreensão do
conceito de função por alunos iniciantes do curso superior de Administração, além
de facilitar a associação daquilo que foi criado com as situações cotidianas das
empresas, explicáveis, teoricamente, por meio dos conceitos de custo, receita, lucro,
Break Even Point (BEP), juro, dentre outros. A busca por uma aplicação do conceito
de função é possível e, no caso desta pesquisa, pertinente, pois, de acordo com
D’Ambrosio (2005, p. 98), “Praticamente tudo o que se nota na realidade dá
oportunidade de ser tratado criticamente com um instrumental matemático”.
O objetivo desta pesquisa é o de promover a compreensão do conceito matemático
de função utilizando desenhos digitais construídos por meio de softwares gráfico-
16
visuais. Nesse sentido, procura-se discutir, inicialmente, as formas mais comuns de
apresentação do conceito matemático de função. A seguir, introduz-se a construção
de desenhos digitais, a partir da técnica da visualização, no sentido de se verificar a
possibilidade de os alunos associá-los às funções da área econômica – e, portanto,
às situações do cotidiano empresarial – especialmente os modelos de funções
polinomiais de grau “n”. Ademais, foram utilizadas retas da forma x = a, algumas
curvas cônicas elementares – elipse, circunferência, parábola – bem como funções
de outras naturezas, distintas da polinomial, tais como as do tipo transcendental –
exponencial, logarítmica – além das funções dos tipos racional, modular e de
composições entre todas elas, favorecendo o processo de experimentação por parte
dos alunos.
Dessa maneira, as questões básicas que motivam essa pesquisa tocam algumas
das prováveis situações que ocorrem quando os alunos, sujeitos da pesquisa, ao
utilizarem o computador e alguns softwares gráfico-visuais, buscam uma melhor
assimilação do conceito de função, interpretando, geometricamente, os gráficos que
constroem. Tais questões são relacionadas a seguir:
a) como um software graficador pode auxiliar no processo de construção e posterior
análise de uma função matemática?
b) como a Visualização pode influenciar no aprendizado das funções matemáticas?
c) como o traçado de gráficos de funções, mediado por um ambiente informatizado,
pode contribuir para a construção de desenhos digitais?
d) como é possível associar elementos dos desenhos digitais às situações do
cotidiano empresarial?
Para alcançar os objetivos propostos e buscar responder às questões básicas da
pesquisa, este trabalho encontra-se organizado da seguinte forma: no capítulo um
são discutidos alguns aspectos referentes à educação matemática em termos da
educação tecnológica e a forte influência desta sobre a primeira. No capítulo dois
apresenta-se a metodologia aqui utilizada, a partir dos instrumentos de coleta de
dados que contribuíram para esta pesquisa, informando-se a respeito dos sujeitos
desse estudo, da escala de atitudes com relação à matemática – Escala de Likert –
e dos programas informáticos – Graphmatica e Paint Brush – que serviram para
17
construir e colorir os desenhos digitais. A análise, a interpretação e a discussão dos
dados, realizadas à luz dos teóricos que sustentam toda a discussão dessa
dissertação são abordadas no capítulo três.
Finalmente, encerra-se este trabalho, apresentando-se as considerações finais que,
é importante salientar, não possuem qualquer tipo de pretensão de terem “esgotado”
o tema tratado ao longo da dissertação, visto que certamente existem vários outros
caminhos que não foram percorridos, e nem levados em consideração quando da
coleta de dados. Tal omissão, porém, deveu-se a motivos práticos, dentre eles
destacam-se o “tamanho” do trabalho e a exigüidade de tempo. Sugere-se, então,
que novos estudos sejam realizados levando-se em consideração os vieses aqui
ausentes.
Dentre algumas das limitações desta pesquisa, motivadas pelo exíguo prazo de sua
realização, podem ser citadas as seguintes:
a) não se buscou analisar as imagens geradas pelos alunos a partir de teorias
psicológicas ou psicanalíticas, já que um dado desenho, tendo sido criado por um
ser humano, existiu, antes, na mente de seu criador, na forma de uma imagem
mental, o que significa que esta já se encontra impregnada de uma série de
elementos da própria cultura do sujeito;
b) a análise se baseou, apenas, no ponto de vista matemático das funções
aplicadas à área empresarial;
c) não foram levadas em consideração elementos culturais das pessoas envolvidas
na pesquisa e;
d) o corpo teórico matemático restringiu-se às funções mais simples, comuns a um
1º período de um curso de Administração, porém essa pesquisa poderá ser
utilizada em uma futura expansão da idéia da utilização de funções dotadas de
um grau maior de complexidade, em turmas de alunos que estejam em cursos e
em semestres mais avançados.
18
CAPÍTULO I
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
1.1 Técnica, Tecnologia, Educação Tecnológica
A técnica não é algo contemporâneo. Ela sempre esteve presente no mundo, até
mesmo em épocas bastante distantes da atual. Dos seus primórdios, o homem, em
sua necessidade diária de obter alimentos, por meio da caça de animais, para
garantir a sua sobrevivência e a de sua própria espécie, até os dias de hoje, quando
já não tem mais a necessidade de empunhar algum tipo de objeto – uma pedra ou
uma lança, por exemplo – e, literalmente, “sair para caçar”, vem criando, para si, os
mais variados artefatos, dos simples e rudimentares, porém eficientes e eficazes,
aos já bastante complexos, dotados de um grau bem elevado de tecnicismo.
Tal disposição para a criação, prerrogativa do animal homem, mostrou-se
fundamental para que a sua caminhada pelo planeta fosse coroada de êxitos.
Vargas (1999) defende que, apesar de ser forte a possibilidade de que os
hominídeos
4
já utilizavam a pedra como um instrumento, tal ato não era coordenado
por uma vontade de melhoria da forma do objeto. Para este autor, foi o chamado
homo
5
erectus, já muito tempo após os hominídeos, quem passou a utilizar a pedra
com fins específicos – por exemplo, ele percebeu que poderia mudar o formato de
uma pedra para poder utilizá-la em algum tipo de tarefa diária – e é justamente esse
detalhe que caracteriza a mudança do ser, em sua condição básica, para a condição
de um ser que começa a ter alguma influência em seu próprio destino. Produzir
alterações nos objetos de uso diário caracteriza-se, segundo o mesmo autor, como o
“primeiro estágio da verdadeira técnica” (Ibidem, p. 7). A ação de tornar o objeto
apto a ser utilizado de mais de uma maneira, o gerar a sua operacionalidade, já
significa a existência de uma “inteligência operativa, habilidade e coordenação das
mãos – das quais resulta a simetria do instrumento e a distinção entre instrumentos
4
Este termo indica um ser que possui algumas características que lembram as dos humanos, porém em estágio
de desenvolvimento intelectual bastante inferior destes.
5
Conforme o Dicionário Eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa, versão 2.0a, de abril/2007, essa é a
designação utilizada para fazer referência ao grupo dos primatas antropóides do gênero Homo.
19
de golpe, de corte e de penetração, como verdadeiras inovações técnico-culturais”
(VARGAS, 1999, p. 7).
Da técnica para a tecnologia, o caminho foi bastante longo. Com o passar do tempo,
o homem, um ser dotado de grande inventividade, desenvolveu uma grande
diversidade de técnicas, criando objetos e modificando-os, de maneira reflexiva,
conseguiu avançar, melhorando sua maneira de trabalhar a agricultura, o que lhe
possibilitou colheitas mais constantes.
Já no Renascimento, à medida que o conhecimento humano crescia se percebia
que as ações realizadas durante os trabalhos, por mestres e aprendizes, poderiam
ser explicadas por teorias científicas (Vargas, 1999) e que isso acabaria
possibilitando a modernização da técnica. Também de acordo com este autor, foi
com a Revolução Industrial, na Inglaterra, e com o surgimento da Engenharia, na
França, que, finalmente, a tecnologia entrou em cena, de início, apenas como uma
simples disciplina acadêmica que procurava estudar e sistematizar os processos
técnicos, porém, com o tempo, “ela vai-se desdobrando em pesquisa sobre as
propriedades dos materiais de construção ou dos industriais” (Ibidem, p. 12). Assim,
com o passar dos anos, a Tecnologia especializou-se, até que no início do século
XX, com o advento da indústria eletrônica, e já utilizando teorias e métodos
científicos, ela finalmente se firmou. Com o avanço da microeletrônica, bem como da
informática, alcançou um extraordinário desenvolvimento, chegando ao ponto de
estar presente na vida de uma imensa parcela da população mundial.
Apesar disso, ainda existem muitas pessoas, em quase todo o planeta, que estão
alijadas da tecnologia. Em particular, no caso da informática, existe a exclusão
digital
6
– na qual as pessoas são excluídas do acesso à informática – ou seja, em
pleno século XXI, ainda é marcante a presença da chamada brecha digital
7
, que
divide o mundo contemporâneo em dois pólos, um deles com fácil acesso às
tecnologias da informática, e o outro, totalmente desprovido daquelas facilidades
tecnológicas.
6
“A palavra digital nos leva à associação imediata ao computador” (PEREIRA, 2007, p. 16).
7
De acordo com Lévy (1999), a metáfora da “brecha digital” se impõe em um mundo dito globalizado. Apesar de
a globalização ser um fenômeno mundial recente, suas conseqüências ainda não foram completamente
estudadas.
20
Apenas para situar um momento histórico, e de acordo com Bazzo, Pereira e
Linsingen (2000, p. 19), as primeiras escolas técnicas de nível superior que
apareceram na França, nos séculos XVII e XVIII, foram: “a Academia Real de
Arquitetura, fundada em 1671, a Escola de Pontes e Estradas, implantada em 1747,
e a Escola de Minas, de 1783”, o que comprova que a tecnologia não é algo tão
recente assim.
Ainda de acordo com as informações obtidas em Bazzo, Pereira e Linsingen (2000),
as novidades daquelas instituições ficavam por conta de uma maior preocupação
com o lado científico dos ensinamentos e com o devido acompanhamento das
inovações técnicas que surgiam. Seria desejável que a escola estivesse associada
às empresas, incluindo, o mundo do trabalho, posto que
a educação tecnológica situa-se simultaneamente no âmbito da educação e
qualificação, da ciência e tecnologia, do trabalho e produção, enquanto
processos interdependentes na compreensão e construção do progresso
social reproduzidos na esfera do trabalho, da produção e da organização da
sociedade (BASTOS, 1997, apud GRINSPUN, 1999, p. 22).
Grinspun (1999), debatendo a relação entre a educação e a educação tecnológica,
sustenta que não se deve menosprezar as facilidades tecnológicas existentes á
disposição da educação e, mais ainda, que a sua utilização nas escolas deverá ser,
sempre, precedida de uma séria reflexão por parte dos educadores. Deve-se,
portanto,
discutir a tecnologia na educação e a relação tecnologia-educação como
uma relação significativa no mundo atual. Temos diferentes formas de
educar e diversos procedimentos para alcançar nossos objetivos; não
podemos desconhecer a tecnologia, nem subestimá-la ou superestimá-la
em termos da educação (GRINSPUN, 1999, p. 19).
Já que se vive em um mundo que se encontra imerso em tecnologia, é preciso que o
homem seja educado no sentido de unir, à sua própria sensibilidade, o saber
tecnológico (Grinspun, 1999).
A respeito da presença da tecnologia nas sociedades, e não sem uma percepção
bastante aguçada sobre os seus efeitos sobre as pessoas, as empresas e a
economia mundial, é Kotler (2000) quem ensina que
21
a tecnologia gerou maravilhas como a penicilina, a cirurgia no coração e a
pílula anticoncepcional. Gerou também horrores como a bomba de
hidrogênio, o gás asfixiante e a submetralhadora. Gerou ainda benefícios
duvidosos como o automóvel e os vídeosgames.
Cada nova tecnologia é uma força de “destruição criativa”. Os transistores
derrubaram a indústria de válvulas, a xerografia derrubou a indústria de
papel-carbono, os automóveis afetaram as estradas de ferro e a televisão
afetou os jornais. Em vez de migrarem para as novas tecnologias, muitas
empresas antigas lutaram contra elas ou as desprezaram – e seus negócios
declinaram.
A taxa de crescimento da economia é afetada pelo número de novas
tecnologias importantes que são desenvolvidas. Infelizmente, as
descobertas tecnológicas não surgem uniformemente ao longo do tempo –
a indústria ferroviária gerou muitos investimentos no setor de transportes,
que foram declinando até o surgimento da indústria automobilística. Mais
tarde, o rádio atraiu muitos investimentos no setor de comunicação, que
também foram declinando até o advento da televisão. No intervalo entre
grandes inovações, a economia pode estagnar (KOTLER, 2000, p. 171).
E já que a ferramenta essencial da tecnologia é a matemática, então, nesse
momento faz-se pertinente a afirmação de D’Ambrosio (2005), quando este,
preocupado com os rumos da ciência, da tecnologia, da educação e das sociedades,
afirma que “Minha ciência e meu conhecimento estão subordinados ao meu
humanismo. Como educador matemático procuro utilizar aquilo que aprendi como
matemático para realizar minha missão de educador” (Ibidem, p. 14-15). A citação
acima sugere a necessidade de cada setor da sociedade brasileira refletir sobre o
tipo de tecnologia que utiliza.
Associada à ciência, a tecnologia apresenta-se como uma necessidade imperiosa do
mundo contemporâneo. Ambas têm sido parceiras no processo de resolução de uma
série de problemas, antes enfrentados pelas sociedades. Nesse sentido é Sagan
(1981) quem defende a ciência e a tecnologia, ao sustentar que
la ciencia y la tecnología pueden ser causantes de algunos de nuestros
problemas, pero lo indudable es que constituyen un elemento esencial de
toda solución previsible para los mismos, ya sea a nivel nacional o a nivel
planetario (SAGAN, 1981, p. 28).
A tecnologia mudou, radicalmente, as relações das pessoas com os utensílios
cotidianamente utilizados por elas. Da mais elementar operação de um forno elétrico
em uma cozinha – ao se preparar a comida diária – até a utilização de um caixa
eletrônico por um correntista de uma agência bancária, as pessoas se percebem
como usuárias de vários artefatos tecnológicos cuja função é, via de regra, minimizar
22
o trabalho de realização de tarefas cotidianas. É preciso, porém, garantir que a
tecnologia seja uma aliada do homem, nunca um “objeto de dominação ou até de
alienação” (GRINSPUN, 1999, p. 18).
1.2 O computador
De acordo com o Houaiss e Villar (2007), o computador é “o que computa,
calculador, calculista”; também é a “máquina destinada ao processamento de dados;
dispositivo capaz de obedecer a instruções que visam produzir certas
transformações nos dados, com o objetivo de alcançar um fim determinado”. De
acordo com tais propriedades, começa-se a entender a grande importância que uma
máquina dessa natureza tem para o ser humano.
De acordo com Lévy (2001), o computador completa uma listagem de quatro
elementos – os outros três são: o fogo, a arte e a escrita – que, na sua ótica,
concentram os “atributos que emergem da animalidade” (Ibidem, p. 143) do Homo
sapiens, quais sejam: a linguagem, a técnica, a religião. Cada um daqueles quatro
elementos seria, na concepção daquele teórico, uma espécie de catalisador do
processo de hominização, um motor de mudança.
Lévy (2001), discorrendo sobre o fenômeno da atual maior aproximação entre os
países, proporcionada, também, pela informática, por meio de seu representante
máximo – o computador – faz a apologia do uso dessa máquina, além de sustentar
que
o computador é, ao mesmo tempo, máquina de ler e máquina de escrever,
museu virtual planetário e biblioteca mundial, tela de todas as imagens e
máquina de pintar, instrumento de música universal e câmara de eco ou de
metamorfose de todos os sons. Para ele convergem os dados de todas as
câmeras, de todos os microfones, de todos os medidores e sensores
imagináveis. É um olho perfeitamente esférico cujos milhares de captadores
retinianos cobrem progressivamente a superfície da Terra. É uma orelha
unidirecional estendida na direção das estrelas, na qual ressoa o conjunto
dos sons do planeta. É um cérebro cujos axônios hipertextuais propiciam a
comunicação de todos os pensamentos. Ele é a cidade, o mercado e a
biblioteca universal. O computador é o espelho do mundo e a infinidade de
seus estímulos possíveis. Ele regula agora todas as instalações técnicas, se
pulveriza em todas as máquinas, todos os veículos. Pilotando seus
nanorobôs, ele entrará logo em todos os corpos e materiais a fim de
transmutá-los (LÉVY, 2001, p. 146-147).
23
Eis como a máquina computador se insere na sociedade e, como conseqüência, na
vida das pessoas. É um caminho sem volta, pois não se pretende deixar de lado o
que já se conseguiu e voltar a viver de maneira minimalista, porém há que se refletir
a respeito da inserção do computador em todos os setores. É preciso, porém,
garantir que a tecnologia seja uma aliada do homem, nunca um “objeto de
dominação ou até de alienação” (GRINSPUN, 1999, p. 18).
Além disso, é de importância fundamental que haja um compromisso ético, da parte
da própria sociedade, de que todos tenham acesso á informática. É preciso
combater a exclusão digital, sob pena de se perder uma geração inteira, posto que o
mundo se torna, a cada dia, mais tecnológico, um mundo no qual o computador
possui um papel importantíssimo em todos os setores. Relativamente a essa
questão, Pereira (2007) ensina que
embora o Brasil esteja entre os 12 países mais bem-posicionados em
relação à inclusão digital, apenas 5% da população utilizam os serviços de
rede, havendo ainda grande déficit de meios físicos para acesso à Internet,
pouco conteúdo em português (85% deles são em inglês), número muito
pequeno de telecentros para uso público da Internet e metas muito tímidas
conquistadas pelos projetos governamentais de informatização das escolas
públicas (Ibidem, p. 21).
Este autor tem razão quando informa que o baixo índice de acesso aos serviços
informatizados – incluindo a própria Internet – no Brasil, é fruto de uma realidade
social que, ainda, se sustenta em um modelo de desigualdade. E os diversos
setores da sociedade brasileira, incluindo o da educação, acompanham tal quadro.
Vogt (2001) já afirmava, no início do século XXI, que “somente 3% das 165 mil
escolas de ensino fundamental estão conectadas à Internet”. Porém, essa situação
vem tem gerado ações, no sentido de se combater a exclusão digital no país. É
Hamu (2008) quem informa que o Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT)
8
mantém um programa de inclusão digital que
pode ser resumido em: oferta de instrumentos, meios e facilidades, para os
menos favorecidos, facilitando o acesso às oportunidades de emprego,
geração de renda ou melhoria da renda através da melhor qualificação
profissional e com isto transformar cidadãos brasileiros, hoje à margem, em
participantes ativos do processo de desenvolvimento econômico e social
(HAMU, 2008).
8
Órgão federal, criado em 15/03/1985, pelo Decreto 91.146, conforme o site
<http://www.mct.gov.br/index.php/content/view/105.html>. Acesso em: 21/10/2008.
24
Dessa maneira, o governo do Brasil tenta atacar o mencionado problema a partir de
ações destinadas a fazer com que o cidadão menos favorecido, social e
economicamente, consiga obter acesso aos diversos bens e serviços relacionados à
área da informática.
1.3 Educação matemática por meio da educação tecnológica
A Educação Matemática
9
é uma área de estudo bastante recente. Diferentemente
das suas outras duas vertentes, bem mais tradicionais – a Matemática Pura e a
Matemática Aplicada – o campo de interesse da Educação Matemática abarca a
diversidade das situações produzidas pela interação entre os seres humanos
envolvidos – alunos, professores, demais profissionais da educação – a disciplina
Matemática, a escola, a sociedade, interações essas que fornecem muitos frutos
para a pesquisa. Dessa maneira, uma pesquisa em Educação Matemática pode
lançar mão de quaisquer outros campos de atuação do homem – especialmente
quando estes se encontram envolvidos com os processos de ensino e de
aprendizagem – para estudar, de maneira global, algum tipo de evento educativo.
A convivência entre dois vieses da educação – o da tecnologia e o da matemática –
pode, de fato, ser considerada como um fator determinante para se alavancar o
progresso de uma sociedade. Seus agentes, o educador tecnológico e o educador
matemático, estarão sempre ligados, logo, trabalhando juntos, pois suas ações já
não mais poderão ser entendidas como distintas, uma da outra. E tal só acontece
porque a sociedade moderna já não se sustenta sem a tecnologia. Dessa maneira,
aqueles dois tipos de profissionais se colocam, como atestam Miranda e Laudares
(2007, p. 72), “a serviço da formação e da capacitação do homem para sua inserção
social no mundo do trabalho e sua integração cultural, para viver numa sociedade
impregnada da ciência e da técnica, numa constante evolução”. Eis o suporte de
uma sociedade tecnologicamente transformada, ou seja, a sociedade informacional,
9
De acordo com Pais (2002, p. 10), “A educação matemática é uma grande área de pesquisa educacional, cujo
objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino e à
aprendizagem da matemática, nos diversos níveis de escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou
prática”.
25
fruto do binômio tecnologia-educação, sendo suportada por meio de uma forte
interação entre tecnologia e educação, uma simbiose que tem dado bons e
interessantes resultados.
Os computadores estão realmente modificando as concepções a respeito de uma
série de coisas, dentre elas, a educação. Conforme assegura Martí (1997), em
particular, nos países ditos de 1º mundo, percebe-se que existe uma maior facilidade
de acesso ao computador, incluindo em escolas, posto que
son muchos los centros que utilizan ordenadores, son numerosos los
proyectos educativos que contemplan una progresiva utilización de los
ordenadores en la práctica educativa y cada vez son más numerosos los
alumnos y los profesores que están acostumbrados a utilizar el ordenador
como medio didáctico (MARTÍ, 1997, p. 10).
O mencionado autor informa que nos últimos quinze anos (a partir de 1982, até
1997) as pesquisas não deram conta de responder às questões relacionadas à
inserção do computador na educação – de uma maneira geral, o que inclui o ensino
da matemática – mostrando que, já naquela época era comum se pensar em uma
educação matemática que estivesse – ou que pudesse estar – suportada pelo
computador. E aquele autor, afirma que “estamos convencidos de que una
utilización educativa que saque partido de las potencialidades de la informática
modificará sustancialmente la manera de aprender y de enseñar” (MARTÍ, 1997, p.
10), o que demonstra um pensamento positivista em direção à utilização da máquina
computador em qualquer área educacional, incluindo, é claro, a matemática. Assim,
a informática encontra-se como que entranhada na educação, seja em laboratórios
de informática, seja para realizar atividades administrativas, ou ainda, em algumas
poucas escolas, dentro da sala de aula, auxiliando o trabalho diário do professor.
Porém, se o professor não for um profissional afeito às Novas Tecnologias da
Informação e da Comunicação (NTIC) se perderá a chance de um trabalho
associado à informática. Nesse caso, não haverá qualquer tipo de progresso se o
docente, o responsável pela condução dos trabalhos na sala de aula, não se engajar
em um a proposta dessa natureza.
26
Barros (2006, p. 328), comentando a respeito das facilidades introduzidas na área
do ensino, por intermédio das chamadas Novas Tecnologias, salienta que
as ferramentas sofisticadas de que dispomos hoje, como os computadores
com alto desempenho para o processamento de imagens, os programas
gráficos, (...), devem ser incorporados ao ensino, agregando sofisticação
aos exercícios, sem contudo, deixar que percamos o foco dos conceitos
mais importantes para a formação do aluno (Ibidem, p. 328).
Entretanto, não se está defendendo aqui que o professor tome para si todas as
tarefas rotineiras em um laboratório de informática, mas é preciso que ele se envolva
de forma mais efetiva, no sentido de propor situações que sejam realmente
desafiadoras para seus alunos. Seria até mesmo desejável, de acordo com Santos
Filho (2003) que o professor estivesse melhor preparado para enfrentar algumas das
dificuldades corriqueiras que resultam da utilização de um laboratório de informática,
tais como conhecer um pouco mais o sistema Windows – ou outro, caso a escola
utilize plataformas de software não-proprietário, distintas do que se percebe, muitas
vezes, como um padrão em escolas especialmente da rede privada de ensino – e os
softwares mais comuns, incluindo um editor de textos, uma planilha eletrônica, além
de aplicativos para tratamento de imagens e de apresentação. Esta pequena
listagem deverá ser suficiente para que se conduza, a contento, e pelo menos do
ponto de vista operacional, uma aula em um ambiente informatizado.
Como uma “aula informatizada” possui a característica de ser bastante diferente da
costumeira tranqüilidade de uma aula tradicional, no ambiente padrão, ou seja, na
sala de aula, no tocante a se saber e se poder prever quase tudo o que ali acontece,
muitos professores preferem não utilizar o computador em suas aulas. Outros,
conforme Penteado (2004), preferem as soluções já prontas, previsíveis, utilizando
um software que foi criado especificamente para realizar alguma tarefa, o que faz
com que os alunos acabem perdendo o interesse, tanto pelo programa quanto pelo
conteúdo que se está estudando, após saber tudo o que o programa faz, posto que
a “novidade” rapidamente é absorvida pelos estudantes. Há, porém, que se
considerar que, de acordo com Martí (1997, p. 143), “El aprendizaje de las
matemáticas se presta más que ningún outro aprendizaje a ser mediatizado por el
médio informático”.
27
Ao se buscar motivos pelos quais um professor se interessa por utilizar o
computador para ensinar matemática é possível que se encontre que tal ocorre
porque a matemática e a informática possuem linguagens que se baseiam em
sistemas simbólicos bastante parecidos. Martí (1997), discutindo justamente esse
aspecto, informa que
matemática y lenguaje son dos sistemas simbólicos con muchos puntos en
común. Ambos utilizan conceptos con un elevado grado de abstracción
simbolizados muchas veces con una notación propia y alejada del lenguaje
natural y ambos están basados en reglas rigurosas de deducción y cálculo
(MARTÍ, 1997, p. 142).
Porém, deve-se informar que aqueles dois sistemas simbólicos, para serem
corretamente operados, necessitam de regras rigorosas – a sintaxe de cada um
deles – o que pode acarretar enganos por parte dos seus usuários.
1.4 O Construcionismo e o ensino da Matemática
Seymour Papert foi o criador do Construcionismo. Para poder desenvolver suas
idéias, juntou-se a um grupo de pessoas, para trabalhar na criação de um software
que ficou conhecido como Logo
10
. Esse programa acabou contribuindo bastante
para se fazer do ensino da matemática algo contextualizado, quando cada tarefa
que se solicita ao aluno passa a ser para ele, na verdade, um projeto que deverá ser
realizado a partir de linhas de programação escritas pelo próprio aluno. A primitiva
versão do software era utilizada para fazer movimentar, a partir de comandos da
Linguagem Logo, um dispositivo mecânico cujas trajetórias – os resultados de seus
deslocamentos – eram impressas em um suporte, por exemplo, uma folha comum
de papel, podendo representar os mais variados formatos geométricos. Na ilustração
seguinte são mostradas duas crianças em uma alegre atividade, frente àquela
novidade mecânica, parecendo estar se divertindo, enquanto a utilizam.
10
Em 2004 havia uma versão que ficou conhecida como Logo Gráfico – uma versão melhorada da inicial – que
apresentava, na tela, uma pequena “tartaruga”, e esta interagia com o usuário (Maltempi, 2004). Atualmente, já
em pleno século XXI, já existe uma versão do Logo em 3D, em ambiente gráfico, que simula os movimentos em
três dimensões. A partir do site http://www.stager.org/logo.html é possível fazer download de uma versão
freeware desse programa.
28
Figura 01 – A Tartaruga LOGO
Fonte: PAPERT, 1980, p. II.
A ilustração passa a idéia de que as crianças estão desenhando a figura
11
de um
“animalzinho”, provavelmente um urso, ou mesmo, a popular imagem do rato Mickey
Mouse, uma das mais famosas criações do universo fantástico de Walt Disney.
Dessa maneira, Papert fez com que o computador se transformasse em uma
ferramenta “que viabiliza a criação de situações mais propícias, ricas e específicas
para a construção de conhecimento” (MALTEMPI, 2004, p. 265 apud BICUDO e
BORBA, 2004), o que deslocou o aluno da sua tradicional posição de mero
observador e o conduziu a uma nova postura: a de um participante ativo durante
todo o processo.
Na teoria de Maltempi (2004) apud Bicudo e Borba (2004), será à luz do
construcionismo que se conseguirá estudar as influências da informática na
educação, posto que nesse contexto o aluno torna-se um construtor quando gera
uma produção a partir do computador – favorecendo que os seus produtos
possam ser mostrados a outras pessoas e sobre os quais se possa
conversar, (...), dessa forma o aprendiz pode explicitar suas idéias e gerar
um registro de seus pensamentos, os quais podem ser utilizados para se
atingir níveis cognitivos mais elevados (MALTEMPI, 2004, p. 270).
E esse fazer produz, no estudante, uma reflexão a respeito da sua obra, tornando
possível compará-la com aquelas que foram criadas por seus colegas de sala, e
11
De acordo com o livro I, do The Elements, escrito por Euclides, “A figure is that which is contained by any
boundary or boundaries”. A obra do geômetra grego pode ser encontrada na Internet, em
<http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/bookI/bookI.html#guide>, acesso em 04/06/2007.
29
será dessa maneira que ocorrerão os processos de significação e (re)significação de
toda a produção daquela turma de alunos.
Para Maltempi (2004) apud Bicudo e Borba (2004), os estudos a respeito da
utilização do computador no ensino da matemática podem ser considerados a partir
do construtivismo, quando o aprendizado é algo que acontece de forma ativa, e “os
aprendizes ‘colocam a mão na massa’ (hands-on) no desenvolvimento de projetos,
ao invés de ficarem sentados atentos à fala do professor” (Ibidem, p. 265), ou a
partir do construcionismo, quando se permite que o aprendiz tenha um maior
“controle sobre a definição e resolução de problemas” (Opus citatum).
Escorando-se nesse princípio, ainda é Maltempi (2004) apud Bicudo e Borba (2004),
quem, mesmo reconhecendo a força da proposta construcionista, por meio de seu
primeiro representante de peso, o Logo, sustenta a idéia de que
nas últimas décadas, a linguagem Logo foi o “produto” construcionista mais
explorado por matemáticos e pedagogos, mas devido às dificuldades
impostas pela programação, à inaptidão do Logo em trabalhar certas áreas
do conhecimento e às novas ferramentas e oportunidades que o avanço
tecnológico vem oferecendo a cada ano, o que impele pesquisas em novas
direções, atualmente o Logo não atrai mais o interesse de tantos
pesquisadores e professores (MALTEMPI, 2004, p. 280).
Percebe-se que a concepção do autor acima mencionado, é a de que o software
Logo
12
estaria, talvez, fadado ao esquecimento. Tal situação pode ter acontecido
devido a uma provável falta de habilidade dos próprios professores em conduzir um
projeto dessa natureza, não conseguindo manejar o Logo da maneira conveniente.
Pode-se entender isso, facilmente, pois a quantidade de programas que conseguem
fazer coisas muito interessantes na área da educação – incluindo o ensino da
Matemática – e que pode ser “baixada” da Internet, tem aumentado
consideravelmente, Dessa forma, para o aluno, deve parecer bem mais simples e
rápido utilizar programas que necessitam, apenas, de alguns poucos cliques sobre
um ou outro ícone, para se obter um resultado, do que se dar ao trabalho de
escrever algumas linhas de programação para obter um resultado que, muitas
vezes, poderá ser bastante inferior – por exemplo, do ponto de vista da imagem
obtida – ao que se poderia conseguir no caso anterior.
12
Pode-se obter mais informações a respeito do Logo e dos trabalhos de Seymour Papert acessando-se o site
do MIT Media Lab, no seguinte endereço eletrônico: www.media.mit.edu.
30
O construcionismo de Papert enfatiza as construções particulares do indivíduo, indo
além do construtivismo de Piaget. No caso específico da criança, o conhecimento
que ela adquire foi construído a partir de suas próprias experiências, incluindo
aquelas relacionadas ao meio. Ackerman
13
(2004), discutindo algumas das
distinções existentes entre ambas as teorias, afirma que
the distinction holds, and that integrating both views can enrich our
understanding of how people learn and grow. Piaget’s constructivism offers
a window into what children are interested in, and able to achieve, at
different stages of their development. (…) Papert’s constructionism, in
contrast, focuses more on the art of learning or “learning to learn”, and on
the significance of making things in learning (ACKERMANN, 2004, p. 1).
Outras diferenças poderiam ser assinaladas em estudos diferenciados, porém, o que
se pode perceber é que o construcionismo avança alguns passos além do
construtivismo, posto que a pessoa aprende de forma ativa, ou seja, enquanto ela
aprende, constrói um conhecimento. Além disso, o uso da imaginação descritiva
14
joga um papel fundamental na construção dos significados e das representações,
quando o aluno, diante de um desenho digital de sua própria elaboração, cria
significados para a figura, buscando, em sua mente, em sua memória de eventos,
alguma significação para aquilo que criou. O que certamente corrobora o
ensinamento de Ackermann (2004, p. 13), quando esta pesquisadora sustention que
“The uses of projective imagination are at play in many forms of symbolic activities,
from drawing to scientific modeling, from remote chats in social virtual environments,
to reading and writing”. O ambiente virtual favorece, sobremaneira, em uma
perspectiva construcionista, o despertar do conhecimento.
É também Martí (1997) quem defende o construcionismo, porém, informando que
para se fazer uma reflexão a respeito da inserção de computadores na educação, de
maneira mais geral, não apenas no caso da matemática, é preciso que se aplique o
conceito de construcionismo mediado, no qual, se pode perceber uma importância
do meio computador no processo de aquisição do conhecimento por alunos e
professores, em uma dinâmica interpessoal – que se faz presente em qualquer
13
A professora Edith Ackermann é pesquisadora convidada de uma série de universidades do mundo, incluindo
o Massachusetts Institute of Technology (MIT).
14
Conforme Houaiss (2007), “imaginação” é: uma “faculdade que possui o espírito de representar imagens”;
“capacidade de evocar imagens de objetos anteriormente percebidos”; “capacidade de formar imagens originais”;
“faculdade de criar a partir da combinação de idéias, criatividade”.
31
situação educacional – e da tarefa que se propõe que seja realizada pelos
estudantes.
Gómez, Zúñiga e Morales (2002), assinalam que a aprendizagem, desde cedo, se
dá em um contexto social, posto que é sempre inserido nele que
aprendemos en una situación social, es decir, a partir de la interacción que
tenemos con el medio y las personas que nos rodean. De la interacción, no
sólo resultan aprendizajes a nivel cognitivo, sino afectivo que nos permiten
desarrollar actitudes frente al trabajo y hacia la vida mismo. Atendiendo esta
premisa, el ambiente de aprendizaje que se diseñe debe promover la
interacción permanente. Los estudiantes pueden trabajar en parejas o en
grupo, lo importante es la interacción con los demás. Porque ésta hace
posible el aprendizaje de actitudes, valores e información específica que el
adulto es incapaz de proporcionale (GÓMEZ, ZÚÑIGA e MORALES, 2002,
p. 5).
Assim, o aluno deve, sempre, ser entendido, pelo professor, como um ser social e,
mais ainda, que o conhecimento do estudante não se inicia com a sua entrada em
uma escola formal, pois ele já traz um conhecimento anterior que é bastante rico e
representa uma boa parte da sua própria visão de mundo.
No caso da presente pesquisa, o aluno se expressa por meio de seus desenhos
digitais, aprofunda-se no estudo das funções matemáticas, reflete sobre as suas
criações, percebe que seus erros fazem parte de sua caminhada em seu processo
de aprendizagem da matemática e, por último, entende que o conhecimento surge
como fruto do seu esforço, da sua busca, ou seja, entende que aprende.
Sandholtz, Ringstaff e Dwyer (1997, p. 30) comentando algumas das diferenças
entre a maneira tradicional de se ministrar uma aula – de forma apenas
instrucionista – e a maneira considerada como construtivista, apresentam, na
seqüência, uma pequena tabela (01) objetivando contrapor ambas as práticas de
ensino. Convém observar que os mesmos autores concluem que a maneira
construtivista supera a instrucionista, porque consegue ajudar o aluno a aprender de
forma melhor o conhecimento, pois nessa tendência os alunos trabalham juntos na
construção dos conceitos e, com isso, sentem-se partícipes – e não meros
observadores. Porém, não existe processo de mudança desprovido de risco. Muitas
vezes, a única certeza é a incerteza.
32
Tabela 01 - Diferenças entre as tendências instrucionista e construtivista de ensino
Instrução Construção
01
Atividade em sala de aula
Centrada no professor
Didática
Centrada no aluno
Interativa
02
Papel do professor
Contador de fatos
Sempre o especialista
Colaborador
Às vezes o aprendiz
03
Papel do aluno
Ouvinte
Sempre o aprendiz
Colaborador
Às vezes o especialista
04
Ênfase instrucional
Fatos
Memorização
Relações
Indagação e invenção
05
Conceito de conhecimento
Acúmulo de fatos Transformação de fatos
06
Demonstração de êxito
Quantidade Qualidade da compreensão
07
Avaliação
De acordo com a norma
Itens de múltipla escolha
De acordo com o critério
Pastas e desempenho
08
Uso da tecnologia
Exercício de repetição
e prática
Comunicação, colaboração,
acesso à informação, expressão
Fonte: SANDHOLTZ, RINGSTAFF e DWYER, 1997, p. 30
É importante afirmar a necessidade atual da presença da tecnologia nas escolas,
especialmente porque todos os setores da sociedade estão sendo informatizados,
porém, não se deve esquecer que a sua utilização em turmas de alunos deve ser
precedida de reflexão. Deve-se poder garantir que a sua implementação não
significará apenas uma nova maneira de se apresentar os velhos conteúdos
programáticos e, mais ainda, que ela realmente influirá positivamente nos processos
cognitivos dos alunos, favorecendo que estes potencializem a sua aprendizagem.
Atualmente, as escolas americanas já estão informatizadas, sendo muito difícil a
ocorrência da situação de total escassez de tratamento computacional em qualquer
uma das disciplinas do currículo, em qualquer grau de ensino. Não há mais qualquer
dúvida com relação à presença da informática na educação, não só nas escolas
americanas, mas em uma expressiva massa de escolas do mundo. O computador
chegou para ficar, isso já não mais se discute. O que se pretende, em pleno início do
século XXI, é que o computador realmente favoreça os processos cognitivos do
aluno.
33
1.5 O computador no ensino de matemática
Atualmente, boa parte da comunidade de educadores matemáticos já entende que a
visualização, por meio da utilização do computador, possui grande relevância para o
ensino da matemática, entretanto, conforme Miranda e Laudares (2007), é comum
que na mesma comunidade também existam aqueles que sustentam não haver
qualquer tipo de necessidade de se utilizar o computador no ensino de certas
disciplinas, tais como Cálculo, Geometria ou mesmo Álgebra, apesar de
reconhecerem que no caso do Cálculo Numérico ou da Estatística os softwares têm
a sua importância, porém, apenas para minimizar o trabalho maçante com cálculos
laboriosos.
É também importante que se entenda que, às vezes, a utilização da informática em
uma turma de alunos poderá não dar bons resultados, principalmente se o software
empregado for do tipo tutorial, aquele que serve apenas para a realização de tarefas
rotineiras, sem um apelo intelectual de relevância.
A visualização, no campo do ensino da matemática, é defendida por Lozano (2007),
quando este autor informa que
el término visualización hace referencia a la forma de representar
información, en un contexto particular. Así, la gráfica de una función
matemática corresponde a una de las formas de visualizar dicha función, sin
ser por supuesto, la única. Por ejemplo, la ecuación misma que define la
función puede entenderse como una forma de visualización, o un intervalo de
la función puede representarse mediante una tabla en la cual solo algunos
puntos son tenidos en cuenta. Este último caso es interesante porque
evidencia un aspecto importante: por lo general, las formas de visualizar
información representan solo un subconjunto de ésta (LOZANO, 2007, p. 1).
O autor acima sustenta que é possível entender a visualização de uma maneira mais
ampla, já que a sua presença pode ser detectada mesmo em meras representações
escritas – uma equação, por exemplo – não havendo, assim, a obrigatoriedade da
existência de uma imagem para que se possa dizer que a visualização se faz
presente. Nesse sentido, pode-se afirmar que todo texto já representa um elemento
visual, ou seja, uma situação de visualidade.
34
Estudos têm sido realizados no sentido de se verificar se existe alguma preferência,
da parte dos alunos, em utilizar técnicas de visualização para resolver problemas de
matemática. Presmeg (1999) informa que Krutetskii (1976) realizou estudos para
tentar verificar o porquê da escolha de alguns alunos pela visualização e concluiu
que havia uma grande variação, em termos individuais, pela preferência da
visualização, mas que também visual methods may both enable and constrain the
mathematical problem solving of students. He suggested that students who prefer to
use visual methods (his geometric type) manifest a certain imbalance in their
thinking” (PRESMEG, 1999, p. 151).
Pensando dessa maneira, então é possível perceber que a maneira pela qual um
estudante tem acesso ao conhecimento, em uma aula, possa variar de acordo com a
sua maneira própria de captar e processar a informação, para que, logo em seguida,
a transforme em conhecimento.
Almeida (2005), analisando os estilos de aprendizagem de estudantes de
engenharia, a partir das teorias de Felder e Silverman (1988)
15
, informa que um
aluno que utiliza o estilo visual consegue captar as informações com maior facilidade
se elas forem veiculadas por meio de “desenhos, figuras, diagramas, esboços,
fluxogramas, esquemas, mapas e demonstrações” (Ibidem, p. 76) e que, além disso,
este aluno “retém pouco o que lhe é dado por escrito ou falado” (Ibidem, p. 76).
Sugere-se, portanto, que estudos sejam realizados no sentido de se verificar a
presença de alunos visualizadores em uma turma na qual o professor trabalhará
durante o período letivo, o que lhe poderá fornecer dados riquíssimos a respeito das
maneiras pelas quais seus alunos aprendem. Da mesma forma sugere-se que novas
experiências sejam realizadas, a partir das idéias de Krutetskii (1976), com a
participação de estudantes que, após terem sido diagnosticados como
visualizadores, a partir da teoria dos estilos de aprendizagem, possam fornecer
pistas para que se entenda melhor as possíveis influências das técnicas da
visualização no ato de se aprender especificamente temas importantes da
matemática.
15
Almeida (2005) utilizou, em sua pesquisa, o modelo teórico devido aos pesquisadores Felder e Silverman.
Outras informações podem ser obtidas consultando-se a seguinte obra: FELDER e SILVERMAN. Learning and
teaching styles in engineering education. Eng. Education, v. 78, n. 7, p. 674-681, 1988.
35
Tais sugestões se sustentam, pois conforme Arcavi (2003), a visualização, antes
somente utilizada como mera ilustração de algum fato matemático, já começa a ser
entendida como uma forte aliada na compreensão da linha de raciocínio do aluno,
bem como na resolução de problemas e nas demonstrações matemáticas.
1.6 A respeito da imagem
“Quando tirávamos o chapéu para cumprimentar alguém na rua,
reproduzíamos, sem saber, o gesto de cavaleiros medievais. Nosso
presente nunca está sozinho; os fantasmas do passado acompanham a
nossa ignorância” (NEIVA JÚNIOR, 1986, p. 7).
Platão, em sua obra A República, informava que a imagem seria, a princípio, a
“sombra”, depois reflexos na superfície de um lago ou na de corpos opacos. É
curioso como o conceito de imagem refere-se, em um primeiro momento, a algo do
qual não se pode distinguir detalhes, posto que uma sombra não se deixa perceber
de forma natural (a escuridão não emite luz branca, logo, o que sob ela se encontra
não é perceptível), apenas o seu contorno é que pode ser observado, já que o seu
interior encontra-se imerso em uma negritude completa. Talvez Platão quisesse
comunicar o seu sentimento de total desconfiança com relação às sombras: já que
não existem detalhes de um objeto, elas não representariam, de forma real, o objeto.
Para Platão, a imagem sombra é enganadora, pois esconde os atributos do objeto.
Porém, o filósofo admite que o reflexo possa vir a ser motivo de reflexão filosófica.
A imagem é companheira do homem desde os primórdios deste. Os desenhos
encontrados em cavernas
16
- os de Lascaux são os mais famosos do mundo –
exibem, de maneiras semelhantes, em cada caso, a necessidade do homem –
mesmo que ainda desprovido de uma linguagem – de exibir os seus feitos,
representar o ambiente no qual vive, representar por meio de “tintas” – misturas de
areia e pó de rochas – as suas imagens mentais, as suas concepções de vida, de
sobrevivência diária, enfim, a sua arte. As imagens representadas em pinturas
rupestres, exibem semelhanças, é óbvio, pois estão associadas às situações do
16
Desenhos rupestres são comuns em muitas cavernas espalhadas pelo mundo. Dentre as mais citadas,
encontram-se a de Lascaux (em França) e a de Altamira (em Espanha). No Brasil estes desenhos são também
bastante comuns, podendo ser encontrados em vários sítios arqueológicos, dentre eles, o da Serra do Cipó (em
Minas Gerais) e o de Xingó (em Sergipe).
36
cotidiano do homem primitivo: o seu lado caçador, o registro de seus feitos, enfim,
de sua memória.
Joly (2006), comentando a respeito das representações imagéticas, cita um dos
dogmas do cristianismo, o caso da criação do ser humano, como uma obra de Deus,
o criador, aquele que criou o homem à sua própria imagem. A mesma autora
salienta que
este termo, imagem, aqui fundador, deixa de evocar uma representação
visual, para evocar uma semelhança. O homem-imagem de uma perfeição
absoluta para a cultura judaico-cristã une o mundo visível de Platão,
sombra, ‘imagem’ do mundo ideal e inteligível, aos fundamentos da filosofia
ocidental. Do mito da caverna à Bíblia, aprendemos que nós mesmos
somos imagens, seres que se parecem com o Belo, o Bem, o Sagrado
(JOLY, 2006, p.16).
Ao conferir ao homem o caráter de um ser criado por intermédio de uma divindade, o
cristianismo assume, assim, a carga de um dogma que se perpetuará por toda a
história, mantendo a idéia de perfeição inerente ao ser humano, posto que este é
uma criação de um ser supremo, portanto, também perfeito, já que um ser da
natureza de Deus jamais poderia criar alguma coisa que, também, não levasse
consigo, a aura da perfeição.
Dessa maneira, o homem deixou os seus “rastros” no tempo, muitos deles contando
feitos heróicos, lutas diárias pela sobrevivência, uma luta constante contra monstros
– seres de maiores dimensões do que o homem – que, de uma maneira ou de outra,
dividiam o espaço de uma terra em formação. Estes desenhos contavam histórias,
comunicavam mensagens, assim podem ser entendidos como “precursores da
escrita” (JOLY, 2006, p.17).
Também de acordo com Joly (2006), muitos dos desenhos eram realizados sobre
pedra, sobre barro, sobre a própria pele. Foi no início do Paleolítico – e isso
continuou até os tempos modernos – que as pedras foram utilizadas como suportes
para conter os desenhos. Dessa maneira, as pedras podiam ser desenhadas ou
pintadas, gravadas ou talhadas. Segundo informa Joly (Ibidem, p. 18), considera-se,
atualmente, a seguinte classificação:
37
a) Petrograma – pedra desenhada ou pintada e;
b) Petroglifo – pedra gravada ou talhada.
Será na arte que a imagem
17
assumirá o seu papel mais representativo no campo
dos significados, em pinturas, desenhos, esculturas, além de outras manifestações
do campo artístico. Assim, a imagem significa “uma representação visual”, uma
característica extremamente forte no mundo contemporâneo, visto que “vive-se,
atualmente, em uma sociedade visual”. E a arte aliou-se à computação e, por
conseqüência, à Matemática, dando início ao que hoje se conhece como Arte
Computacional, uma área tão complexa que não é fácil estabelecer em que
momento se está operando com a arte – da maneira convencional pela qual se
entende a arte – e em que momento se está fazendo computação.
Independentemente do tipo de pesquisa que se realize, quando o objeto de estudo
for a imagem de natureza digital, será muito importante que sejam bem definidas as
interfaces entre o “ato criador” e as “ferramentas computacionais” que favoreçam o
surgimento dos desenhos digitais. Quanto à apropriação do termo imagem pela
Matemática é Joly (2006) quem informa que ele
(...) pode ter um sentido específico e um sentido mais comum: uma imagem
matemática é uma representação diferente de um mesmo objeto ao qual ela
é equivalente e não idêntica. É o mesmo objeto visto sob outro ângulo: uma
anamorfose e uma projeção geométrica podem ser exemplos dessa ‘teoria
das representações’. Mas a matemática também usa ‘imagens’ como
gráficos, figuras, ou a imagem numérica, para representar visualmente
equações e fazer as formas evoluírem, observar suas deformações e
procurar as leis que as regem. Leis que podem se referir a fenômenos
físicos e, por sua vez, explicá-los (JOLY, 2006, p. 25).
O conceito de imagem, na matemática é bastante amplo, podendo representar
desde a figura de algum desenho até um conceito, como no caso do conjunto
imagem, este constituído pelos valores calculados para a variável Y, na relação
funcional da forma Y = f(x). E as imagens, quando criadas a partir da utilização de
um software graficador de funções matemáticas são virtuais, porque propõem
mundos simulados, portanto, ilusórios (JOLY, 2006).
17
Não se pretendeu, nesta pesquisa, escrever um tratado sobre a arte e suas manifestações, mas o que se
pretendeu, para efeitos da pesquisa, é discutir, de maneira rápida, o conceito de imagem. Uma apresentação
histórica, mesmo que rápida, da imagem poderá servir para que o leitor desta pesquisa possa alinhar o seu
pensamento com o do autor.
38
Atualmente, tem sido bastante comum a afirmação de que se vive em uma
sociedade dominada pela informação, logo, boa parte daquilo que se consegue
conhecer do mundo é percebido por intermédio da visão. Também a realidade
intuída por uma pessoa é também fruto de suas próprias concepções de mundo, o
que coloca a necessidade imperativa de se estar atento às maneiras pelas quais se
percebe o mundo. Em particular, quando se estuda como a informação matemática
é recebida por uma pessoa, percebe-se que com relação às maneiras usuais de
transmissão do conhecimento, a visualidade ocupa um lugar fundamental. Sobanski
(2002) sustenta que praticamente 75% do aprendizado acontece por meio da visão
quando ensina que se uma pessoa não for portadora de algum tipo de necessidade
especial relacionada à visão, então uma boa percentagem do seu aprendizado
acontece por meios visuais.
Depois de recebida, uma imagem passa por um processo de codificação, de
significação, por parte do receptor. Após isso a imagem pode sofrer um – ou mais de
um – processo de (re)significação, de acordo com a visão de mundo de quem a
recebeu. Assim, uma imagem pode possuir vários significados – ou seja, ela é
sempre polissêmica – de acordo com a inteligência que a observa, portanto sua
compreensão será função de fatores culturais condicionantes. Porém, é de suma
importância que os professores saibam distinguir as imagens úteis daquelas que não
servem para um dado objetivo. Há que se ter certos critérios quando da escolha das
imagens que terão finalidades educativas. Porém, como ter a certeza de que a
escolha foi realizada de forma corretas? E, mais ainda, como saber se uma
determinada imagem que foi escolhida não está mascarando algum tipo de
conhecimento? Daqui, segue-se uma nova questão, derivada da anterior: A imagem
também teria o poder de ocultar a verdade? Supondo que a resposta dessa última
questão seja sim, estão deve-se estar bastante atento ao alerta do filósofo francês,
com relação à imagem, especialmente a imagem primeira, aquela que inicialmente
se percebe.
Bachelard (1996) aconselha que se tenha o devido cuidado ao se buscar a verdade
quando esta ainda se encontra incógnita, sob o “manto” de uma imagem, que sejam
levados em consideração os obstáculos epistemológicos – e a imagem inicial,
segundo o mencionado autor, é um deles – que podem desviar o observador da
39
verdade. Dado ao exposto, aquele pensador francês enfatiza que “é preciso passar
primeiro da imagem para a forma geométrica e, depois, da forma geométrica para a
forma abstrata, ou seja, seguir a via psicológica normal do pensamento científico”
(Ibidem, p. 11).
Após satisfeita a condição bachelardiana, é possível se pensar que a imagem venha
a ser um elemento facilitador da apreensão de quaisquer conceitos, incluindo os
matemáticos. Se usada em meios informáticos, a imagem poderá potencializar os
seus efeitos na área da educação, inclusive favorecendo a formação do “espírito
criativo” dos alunos. É comum que se persiga a condição de criatividade na escola,
parece óbvio que ela deva ser incentivada constantemente nas escolas, pois tornou-
se em um “diferencial” bastante perseguido atualmente, especialmente naquelas
instituições de ensino que possuem estudantes que se destinam a ocupar cargos de
comando em diversas áreas das empresas.
É uma artista plástica de renome internacional, além de escritora, que fornece uma
boa sustentação teórica para a idéia de que é necessário privilegiar a criatividade de
alunos, quando afirma que:
(...) no nível da tecnologia moderna e das complexidades de nossa
sociedade, exige-se dos indivíduos uma especialização extraordinária. Esta,
todavia, pouco tem de imaginativo. De um modo geral, restringe-se,
praticamente em todos os setores de trabalho, a processos de
adestramento técnico, ignorando no indivíduo a sensibilidade e a
inteligência espontânea de seu fazer. Isso, absolutamente, não corresponde
ao ser criativo (OSTROWER, 1987, p. 38).
A mesma autora afirma que: “O vício de considerar que a criatividade só existe nas
artes, deforma toda a realidade humana” (OSTROWER, 1987, p. 39). Dessa forma,
entendendo-se que a utilização de elementos visuais – nesse caso, imagens digitais
de forte apelo estético – poderia facilitar a interlocução da Matemática com outras
áreas, incluindo a área empresarial, repleta de potenciais “situações matemáticas”,
seria uma boa tática tentar se obter a criatividade – seguida da aprendizagem – a
partir de instrumentos visuais, tais como fotografias, pinturas, desenhos.
Outros autores já escreveram sobre a clara aproximação entre a Matemática, a Arte,
a Ciência e a Tecnologia. Machado (2001) dá alguns exemplos das diversas
40
interações entre estas três áreas e conclui que as tão difundidas divisões entre elas
não podem nem mesmo ser definidas com absoluta precisão, ao informar que:
exemplar nesse sentido é o belo livro de Douglas Hofstadter (1980)
denominado Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, em que o autor
(pesquisador em Inteligência Artificial) investiga a natureza do processo
humano de pensamento a partir da identificação de uma curiosa similitude
estrutural existente entre certas peças musicais de Bach, algumas gravuras
de Escher e os teoremas matemáticos de Gödel (MACHADO, 2001, p.12).
E foi Hofstadter (1989) quem criou o conceito de strange loop, algo assim como um
“movimento sem fim”, indo e voltando sobre si mesmo, sem uma definição final;
parece que esse autor, ao criar a idéia de “laço estranho” quis dar a entender que as
áreas mencionadas acima se interpenetram, em um movimento constante, uma
alimentando a outra, em um processo infinito e, mais ainda, que semelhante
processo ocorreria com possibilidades infinitas de interação.
1.7 Visualização de uma função no ensino de matemática
Nos Estados Unidos da América, desde a publicação das orientações curriculares
pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), no ano de 1989, o
conceito de função é entendido como importante para ser ensinado nas escolas de
nível médio (Ponte, 1992), o que significa que os estudantes devem ser expostos à
variadas situações, nas quais o referido conceito possa ser utilizado, especialmente
naquelas que estão relacionadas ao cotidiano dos alunos. Apesar disso, o ensino
das funções ficou muito marcado pela forte utilização de manipulações algébricas –
situação semelhante a do Brasil – e cálculos numéricos, que faziam com que o
conceito que se desejava obter ficasse escondido em meio a tantas operações
numéricas e algébricas.
Assim, o uso do computador e, mais especificamente, de um software capaz de
realizar cálculos matemáticos a grandes velocidades, fez com que o ensino de
função pudesse ser realizado com maior ênfase na sua compreensão, deixando de
lado boa parte da antiga importância que se dava aos processos repetitivos de
cálculo. Além disso, por meio de um software convenientemente escolhido pode-se
41
simular situações nas quais o próprio programa realiza cálculos, deixando por conta
do usuário a tomada de decisão. Isso já é comum em várias empresas, daí a
necessidade de se preparar melhor o aluno iniciante de um curso superior que se
destina ao competitivo mercado de trabalho empresarial. Sob o ponto de vista de
Ponte (1992), tendo a máquina para cuidar dos cálculos sobrará tempo para que a
pessoa possa conjecturar, testar hipóteses e fazer generalizações.
Diante do atual quadro do ensino brasileiro, é importante que o professor diversifique
suas técnicas e metodologias nos momentos em que estiver ensinando Matemática.
Uma delas, que tem se tornado possível – e bastante popular – com o advento das
NTIC é a visualização. Esta técnica faz uso do computador como uma ferramenta
básica, assim sendo, utiliza softwares dotados das mais variadas funcionalidades.
Nos últimos decênios o desenvolvimento de novos métodos para visualizar
informações passou a ser fundamental em algumas áreas de atuação
18
do ser
humano, o que fez com que se tornasse imperativa a melhoria dos métodos de
análise e interpretação da imagem. Na ótica de Cazorla (2002), utilizar técnicas de
visualização favorece a apresentação e a compreensão de dados, além de promover
um melhor entendimento dos conceitos da Matemática.
No caso particular do ensino do assunto função é essencial que a sua assimilação
aconteça de forma natural, para que seja possível conduzir uma turma de alunos a
novos conhecimentos, alguns deles dependentes daquele conceito. Isso fará com
que os discentes entendam a necessidade de fortalecer os alicerces de seu
conhecimento, posto que este será de extremo valor na seqüência dos seus
estudos.
A utilização de um software gráfico-visual (mais especificamente, um software
graficador) poderá ser fundamental no auxílio do aprendizado do tema Função, além
de facilitar, sobremaneira, o traçado dos gráficos e a criação de uma série de
desenhos digitais
19
. Tais imagens poderão ser utilizadas pelo professor como uma
ferramenta alternativa para lograr o seu propósito de promover a otimização do
18
Estatística, Economia, Engenharia, Medicina, Geologia, Astronáutica, além de muitas outras.
19
De acordo com Sangiacomo (1996, p. 49), um desenho digital pode ser entendido como qualquer tipo de
intervenção (de um simples rabisco a algo mais elaborado) realizada sobre a área de edição de uma tela, a partir
de um suporte computacional.
42
processo de assimilação do conceito matemático de função por parte dos seus
alunos. Nesse sentido, entende-se que uma imagem tem a capacidade de tornar-se
um elemento potencializador da aprendizagem de conceitos matemáticos, o que
vem de encontro às idéias defendidas por Guzmán (1996), Cazorla (2002),
Piermattei e Gotelli (2004) e Pinto (2003 e 2007).
Na visão de Gómez, Moreno e Veses (2002), a Visualização passou a ter destaque
no momento de se organizar os currículos dos vários níveis de ensino. Em todo o
mundo, diversas organizações ligadas à educação, tais como o NCTM,
apresentaram propostas de incorporação de técnicas de visualização ao ensino da
Matemática. Esses autores asseguram que
as capacidades ligadas à visualização são de interpretação, representação
e organização do espaço; interpretação e representação de fenômenos
físicos ou aleatórios; organização, representação e interpretação dos dados
estatísticos, análise e fruição dos aspectos estéticos da realidade
circundante (GÓMEZ, MORENO e VESES, 2002, p.3).
Tal posicionamento sinaliza para a importância de se passar a considerar, de forma
efetiva, a utilização de elementos imagéticos na sala de aula, o que concorda com
as idéias defendidas por Pinto (2003), porém, tal procedimento deverá ser feito sem
atropelos e, principalmente, sem imposições. Conforme ensina Gardner (1995)
20
, a
inteligência se apresenta em vários tipos, por conseguinte, nem todos os alunos de
uma turma, serão visualizadores, o que justifica o alerta acima mencionado. Apesar
disso, utilizar uma imagem para ensinar Matemática justifica-se, também, pela
percepção do momento atual: vive-se uma “civilização da imagem”. E essa
constatação remete à discussão de Costa (2005), que sustenta que, diariamente, as
pessoas são bombardeadas por uma infinidade de estímulos visuais. A todo instante
alguém observa uma imagem e, por intermédio de sua própria experiência de vida,
constrói significados para ela. Nesse processo de observação poderá ocorrer, até
mesmo, uma (re)construção de significados daquela imagem, o que propiciará uma
(re)leitura, uma (re)significação do que se construiu inicialmente. O que se percebe
atualmente é que as NTIC se converteram em excelentes ferramentas de produção
e disseminação do conhecimento, logo, de aprendizagem. A partir da utilização de
20
Este autor defende, em sua teoria, a existência de alguns tipos de inteligência, dentre elas uma que estaria
ligada ao visual.
43
potentes softwares de edição, tornou-se possível a (re)criação de uma imagem,
fazendo com que o processo de (re)significação pudesse ser (re)elaborado e assim,
repetido ad infinitum.
A influência e a necessidade da imagem na sociedade são defendidas por Neiva
Júnior (1986), quando este sustenta que o ser humano, no momento em que recebe
o estímulo visual de uma imagem, faz uso de seus processos mentais para associá-
lo às diversas significações, produtos de sua própria experiência social. Ou seja, os
significados atribuídos a uma determinada imagem, por uma pessoa, não passam de
frutos de suas próprias representações mentais, codificações produzidas pelo
imaginário humano. Merleau-Ponty (1960, p. 19) apud Aranha (2008, p. 20)
comunga com Neiva Júnior (1986) e vai mais além, quando afirma que “só se vê
aquilo que se olha”. Assim, tais códigos podem ser analisados a partir de “uma
componente”
21
visual que, por meio de sua utilização, torna possível a produção dos
mais variados significados, sendo estes, porém, dependentes do ato de ver e,
também, do imaginário do próprio observador/fruidor/criador/fruidor; ou seja, o
sujeito, após observar algo, frui este algo, o recria e, obviamente, desfruta de sua
nova criação. Pode-se, portanto, afirmar que a elaboração de significados é uma
construção social, ou seja, ela será dependente da vivência, logo da experiência, da
pessoa que a elaborou.
1.8 O ensino do conceito matemático de função
É comum observar-se que os métodos tradicionais de ensino ainda estão bastantes
presentes nas escolas brasileiras, posto que o modelo tradicional vem sendo
criticado ao longo das últimas décadas por Kline (1976), Machado (1989), Valente
(1993), Sangiacomo (1996), Macintyre (2004), Santos Filho (2003), Pinto (2003),
dentre outros.
21
A palavra componente foi aqui utilizada precedida do artigo indefinido uma, para que seja possível captar o
sentido matemático que se lhe impôs, semelhante ao usado quando da utilização dos vetores, que são entidades
matemáticas compostas de três componentes: módulo, direção e sentido.
44
Como sinaliza Kline (1976), “(...) o método tradicional de ensinar resulta francamente
num único tipo de aprendizagem: memorização” (Ibidem, 1976, p. 22), o que não se
deveria desejar como resultado de uma metodologia.
A metodologia tradicional de ensino da Matemática – centrada no professor – na
qual os alunos são meros receptores do conhecimento, ainda tem uma presença
marcante nas escolas, o que tem gerado a situação de total controle, por parte do
professor, do processo de seqüenciação da disciplina, incluindo o da apresentação
dos conteúdos matemáticos. No caso específico das funções matemáticas, isso
também acontece. O que se tem relatado na literatura (Macintyre, 2004; Santos
Filho, 2003; Flores, 2004; Arcavi, 2003) é que o docente, ao introduzir o assunto em
turmas dos ensinos fundamental, médio ou superior, lança mão de quatro formas de
apresentação do conceito de função:
a) a forma verbal;
b) a forma analítica;
c) a forma tabular; e
d) a forma gráfica.
Para Tinoco (2004, p. 36), “O uso da linguagem oral e escrita deverá auxiliar a
passagem de uma dessas formas de representação para a outra”. Isso poderia ser
explicado, talvez, pelo fato de que muitos dos autores de livros didáticos de
Matemática, quando escrevem o Manual (ou Livro) do Professor optam por sugerir
que os seus colegas docentes utilizem essas mesmas formas quando estiverem
lecionando o tema função. Geralmente, o que varia, de autor para autor, é a
seqüência de exploração de cada uma delas.
Dante (2002), Giovanni e Bonjorno (1992), Giovanni, Bonjorno e Giovanni Júnior
(1994), Pierro Neto (1993) e Silva, Silva e Silva (1999) e Guelli e Lima (1987), todos
estes, autores de obras didáticas de Matemática utilizadas em todo o Brasil,
apresentam, em seus livros dedicados ao ensino daquela disciplina, um tratamento
padrão com relação à abordagem escolhida para se apresentar o conceito de
função. A variação é muito pequena, de uma para outra obra, e o que se pode
45
perceber é que é mais comum que o mencionado conceito matemático seja iniciado
a partir da seguinte seqüência:
a) verbalização, momento no qual o professor discorre sobre algumas situações
práticas do cotidiano que indicam variações, a base do conceito de função;
b) modo analítico, quando o professor comenta que uma função possui uma
representação matemática que lhe confere um grau maior de clareza e,
principalmente, de certeza, já que agora se torna possível determinar um valor da
variável dependente a partir de um valor da variável independente;
c) modo tabular, momento no qual uma tabela (ou, mesmo, um quadro) é
preenchida com os valores determinados a partir do modo analítico e;
d) modo gráfico, quando o professor desenha, na lousa, uma figura que representa
os “lugares geométricos” de uma série de pontos, estes, determinados a partir do
modo tabular.
Na prática diária da sala de aula, o que acontece é que o docente, após apresentar
verbalmente a definição formal de função, por intermédio de exemplos construídos a
partir da utilização de algumas situações práticas, tais como o cálculo do valor a ser
pago por uma corrida de táxi ou pelas compras feitas em uma loja, ou ainda pelo
tempo gasto por um automóvel para percorrer uma determinada distância, exibe
algumas funções utilizando a forma analítica
22
, sendo elas denotadas, na maioria
das vezes, pela letra “y”, ou ainda, pelo símbolo f(x). Em seguida, o professor
informa que uma função assume valores numéricos reais
23
de acordo com
determinados valores – também números reais – escolhidos para o argumento
24
, “x”,
o que já serve como uma boa introdução ao que virá logo em seguida: a construção
de uma tabela numérica, organizada a partir do processo acima descrito, ou seja, de
acordo com as escolhas feitas para a variável independente – simbolizada, em geral,
pela letra “x” – serão calculados os respectivos valores da variável dependente, “y”,
o que abrirá o caminho para o próximo passo, que acontece quando o professor
22
Fórmulas expressas algebricamente, nas quais várias operações matemáticas aparecem indicadas
simbolicamente por meio dos característicos sinais de operações básicas, além de potências e raízes.
23
Ao se fixar x = a, com a∈ℜ, a expressão f(a) indicará o valor assumido pela função, no ponto “a”.
24
Conforme o Dicionário Eletrônico Houaiss, versão 2,0a, de abril/2007, o termo “argumento”, em Matemática,
refere-se ao “elemento sobre o qual se aplica uma operação, uma função etc., esp. a variável independente de
uma função”.
46
utiliza a representação gráfica, construindo os pares ordenados
25
, no formato geral
(x,y), determinados a partir da tabela inicial. Na verdade, cada um desses pares de
números exibirá a posição de um ponto, no sistema cartesiano de eixos
perpendiculares, ou seja, “x” e “y” representarão as coordenadas de localização de
pontos no plano – este, indicado também por ℜ X ℜ, ou ainda, ℜ
2
– sendo “x” a
abscissa e “y” a ordenada. Em termos visuais, aquele agrupamento – alinhado ou
não – de pontos no plano formará uma figura geométrica
26
que será, então,
chamada de gráfico da função. Tal distribuição determinará, conforme Baruffi (2002),
os “lugares geométricos” ocupados pelo conjunto de pontos do plano que satisfazem
a uma determinada propriedade, ou ainda, segundo Acuña (2005), os pontos
exibirão o “rastro” deixado pela função sobre o plano, à medida que “x” percorrer o
domínio – conjunto de valores permitidos para “x” – da função. Finalmente, os
valores apresentados na tabela numérica serão utilizados, pelo professor, para o
traçado de uma linha reta, inclinada ou não, ou mesmo de uma curva, que deverá
ser entendida como a representação geométrica do gráfico da função y = f(x). Logo,
é comum afirmar-se que o resultado visual da tabela é um gráfico, e que neste
estarão representadas, explicitamente, o(s) comportamento(s) da função discutida
na sala de aula.
Porém, o processo manual de se esboçar um gráfico de uma função matemática,
por meio da produção de um desenho
27
, utilizando-se lápis, régua e/ou esquadro, é
uma maneira bastante lenta de construção, o que faz com que também se tornem
bastante morosas a leitura e a análise das informações veiculadas pelo gráfico.
Ademais, não se pode desconsiderar o fato de que existem dificuldades inerentes ao
próprio ato de se desenhar sobre determinados suportes – em especial, sobre a
lousa ou sobre o papel – pois isso quase sempre gera uma série de imperfeições no
desenho. Tais “defeitos” podem, na maioria das vezes, conduzir os alunos a
realizarem análises matemáticas pouco precisas, pouco confiáveis – logo, passíveis
de incorreções – o que termina por fazer com que alguns deles, além de perderem o
interesse por continuar o trabalho manual de graficação, deixem de assimilar, da
25
O referido par de números é ordenado porque estão dispostos segundo uma ordem fixa: primeiro o “x” (a
variável independente) e depois o “y” (a variável dependente, ou função).
26
Figura geométrica, na concepção de Sangiacomo (1996, p. 49), significa um objeto geométrico, uma criação,
algo que possui como seu representante, um desenho.
27
A palavra “desenho” foi usada no sentido de que um gráfico de uma função que possui apenas uma variável
independente não passa de uma linha, uma curva criada a partir de condições de existência pré-estabelecidas.
47
maneira esperada pelo professor, o conceito de função. Dessa maneira, construir
um gráfico a partir do processo tradicional é uma ação marcada por uma série de
defeitos de construção que, certamente ocasionam erros grosseiros durante a
interpretação das informações matemáticas contidas na figura.
Diante do exposto, sugere-se a utilização de um software graficador
28
de funções
matemáticas, a princípio, no sentido de: a) eliminar as imperfeições mais grosseiras
durante o trabalho de se desenhar, manualmente, o gráfico; b) favorecer uma melhor
visualização do gráfico da função; e c) contribuir para um melhor entendimento do
conceito de função.
Espera-se que a abordagem que utiliza um software graficador facilite a construção,
observação e posterior análise do gráfico obtido. O uso de um programa dessa
natureza, além de propiciar uma melhor visualização do gráfico da função, poderá
favorecer um melhor entendimento das características fundamentais da função que
estiver sendo estudada em um dado momento.
Durante as aulas o professor apresenta uma série de gráficos para que sejam
analisados pelos alunos. A esperança do docente é que os discentes percebam a
importância desse tipo de apresentação. Assim, as representações geométricas de
funções matemáticas que regem os comportamentos de crescimento ou de
decrescimento, e que dão origem à determinação de zeros, assíntotas e extremos,
são comuns no cotidiano da sala de aula. A imagem de um gráfico construído
permite que se proceda a uma leitura das informações contidas nele. Dessa
maneira, a visualização de um gráfico passa a ter destaque para ambos os sujeitos
envolvidos no processo de ensino-aprendizagem: o professor e o aluno. Pode-se
afirmar que a utilização da Visualização
29
permite maior clareza na análise gráfica de
situações modeladas por funções matemáticas. Porém, é importante que se tenha
muito cuidado com as naturais limitações da máquina, e ter sempre em mente que a
última palavra deve ser, sempre, da teoria que sustenta uma determinada prática.
28
Um software graficador é um programa capaz de traçar gráficos de funções matemáticas, no Plano (em duas
dimensões) ou no Espaço (em três dimensões). Em termos da Visualização é possível afirmar que um software
graficador é, também, um software gráfico-visual.
29
O termo foi grafado com letra maiúscula por tratar-se de um campo de estudo da Educação Matemática.
48
Autores como Arcavi (2003) e Gómez, Moreno e Veses (2002) enfatizam a
necessidade de se utilizar técnicas de Visualização em todos os níveis de ensino,
pois estas podem se transformar em ferramentas fundamentais para o processo de
aquisição de conceitos matemáticos.
Associado à estratégia de utilização de softwares gráfico-visuais, sugere-se adotar
um enfoque artístico-estético na leitura e análise das imagens geradas, propiciando
a criação, por parte dos alunos, de desenhos digitais, por meio de entidades
geométricas elementares (pontos, retas e curvas abertas ou fechadas),
determinadas por relações matemáticas diversas, além de funções definidas em
domínios previamente fixados
30
. Em termos imagéticos, os desenhos serão, de
acordo com o posicionamento de Neiva Júnior (1986), plenos em significados. Além
disso, a cada etapa da construção será sempre possível que o aluno defina um novo
rumo para o desenho – o que mudará o seu formato final – e tal fato ilustrará a idéia
daquele autor de que é possível, a todo o momento, proceder a uma (re)construção
de significados.
Assim, desenhar com o computador, além de apresentar as funções com uma “nova
roupagem”, favorecerá o surgimento/desenvolvimento de um olhar mais crítico dos
alunos, propiciando-lhes a percepção de que cada linha do desenho poderá
associar-se a uma situação matemática de variação (crescimento, decrescimento),
ou não (no caso de uma função constante) e que pontos do desenho poderão ser
entendidos como intersecções, extremos, zeros, etc., o que suscitará o
entendimento de que existe uma relação muito próxima entre os desenhos criados
por eles e o assunto que estão estudando na sala de aula, nesse caso, o tema
função. Este fato corrobora a idéia defendida pelas autoras Piermattei e Gotelli
(2004), de que a Matemática pode ser percebida como algo muito próximo de certas
manifestações artísticas do ser humano, em especial do desenho, da pintura e até
mesma da escultura.
Após a criação dos desenhos digitais por meio de um software graficador, mostra-se
aos alunos que é possível associar todo o material produzido por eles – linhas retas,
30
Eventualmente, pode-se utilizar a expressão matemática “x = a“, sendo “a” um número real, que produz uma
linha reta paralela ao eixo das ordenadas – eixo dos Y – o que contraria a definição usual de função. Também é
possível que sejam utilizadas relações matemáticas que geram circunferências, elipses, hipérboles, dentre outras
curvas geradas por composições de funções.
49
linhas curvas, interseções, contornos, formatos – às já tradicionais representações,
por meio de gráficos no Plano, de conceitos da área empresarial, tais como: “custo,
receita, lucro, oferta, demanda, juro, depreciação, BEP”, além de outros. A maneira
pela qual o aluno constrói a associação do seu desenho com alguma situação na
empresa mereceria um estudo mais aprofundado, no qual fossem pudessem ser
realizados experimentos envolvendo a Psicologia e uma série de testes que, na
presente pesquisa, não puderam ser feitos, por uma série de motivos, dentre eles, o
da já usual limitação de tempo.
1.9 A importância de se ensinar função
A idéia de função está relacionada à necessidade do ser humano de “registrar
regularidades observadas em fenômenos e generalizar leis ou padrões” (TINOCO,
2004, p. 32), o que já serve como um indicativo de sua associação com o cotidiano
das pessoas.
O conceito de função é muito importante para a seqüência dos estudos de um aluno,
em qualquer nível de ensino que ele esteja. Sabendo modelar, matematicamente,
algumas das situações práticas mais comuns, por meio daquele conceito, o
estudante poderá ser apresentado a temas mais avançados de Matemática. No caso
do aluno em que ele estuda o 1º semestre de um curso superior que esteja
relacionado com a área empresarial, o conhecimento das funções triviais é de vital
importância, posto que delas necessitará para analisar uma série de situações de
variação, tais como: oferta, demanda, custo, receita, lucro, depreciação, juros
simples e compostos, dentre vários outros.
A introdução do estudo das funções e de seus gráficos, em uma turma de alunos é
um momento crítico, tanto para os alunos quanto para os professores. Quando se
estuda o tema função, faz-se necessário apresentar as variações ocorridas por meio
de gráficos, o que sugere o valor de se conhecer os seus traçados. Serão os
gráficos que indicarão, em termos visuais, essas variações, ficando a cargo do
discente a correta interpretação dos traçados das curvas obtidas por meio das leis
50
matemáticas de formação que regem cada uma delas. Será a partir da análise de
seus extremos, intervalos de crescimento, de decrescimento, ou mesmo de
constância que as situações empresariais se tornarão explícitas.
Sob o ponto de vista de Eisemberg (1992) apud Vásquez e Naucalpan (1998, p. 45),
conhecer o conceito de função é crucial para que o aluno entenda a matemática e,
assim sendo, deve-se considerar, como de grande relevância, a tarefa de
sensibilizar o estudante para o estudo de situações nas quais a presença das
variações é bastante evidente, o que o conduz à apreensão daquele importante
conceito.
Hitt (1996) ensina que para se ter a certeza de que um determinado conceito foi
aprendido da maneira correta por um discente, é necessário que este consiga
transitar entre as diversas representações aceitas para aquele conceito.
Considerando o caso específico do conceito de função, faz-se necessário que o
discente o compreenda nos formatos verbal, analítico, tabular e gráfico. Sugere-se,
portanto, que em futuras pesquisas, sejam verificadas a maior ou a menos facilidade
de trânsito entre estes quatro formatos representativos do conceito de função de
alunos e de professores que estejam em efetivo exercício, bem como em
postulantes ao cargo de professor – caso dos alunos das licenciaturas em
Matemática. Talvez isso lance uma luz sobre a questão da apresentação, em sala
de aula, do conceito de função, além do poder se transformar em um indicador para
os futuros professores que escreverão seus livros didáticos.
Hitt (1995) apud Vásquez e Naucalpan (1998, p. 53), discursando a respeito da
importância de se exibir aos alunos, situações referenciadas pelas quatro formas
usuais de se apresentar as funções matemáticas, informam que é preciso utilizar
processos de visualização paralelamente aos processos analíticos, para que sejam
evitados os erros comuns, que acontecem por culpa da pouca experiência dos
alunos com o novo conceito.
Além disso, já que a máquina computador, por questões óbvias, possui limitações de
construção, não se deve perder de vista que a última palavra deverá ser, sempre, da
teoria. O caso típico de tal situação acontece quando se solicita a um programa
51
graficador que exiba o gráfico de uma função exponencial elementar, na forma
x
y a
=
, sendo
0
a
>
e
1
a
≠
. A função exponencial é estritamente positiva, o que
significa que ela nunca se anula, logo a curva do gráfico da função exponencial
estará sempre acima do eixo dos X – eixo das abscissas – e o software deverá exibir
essa situação. Porém, o que se observa é que em muitos programas graficadores –
incluindo o próprio Graphmatica – uma parte da curva aparece literalmente “deitada”
sobre o eixo dos X, o que contraria, de vez, a teoria. O professor deverá, sempre,
alertar seus alunos sobre tal erro. A simples ativação da ferramenta zoom, uma ou
mais vezes, mostrará que a curva exponencial encontra-se acima do eixo dos X,
comprovando, assim, o que diz a teoria. Faz-se necessário que o aluno entenda que
existem limitações da própria máquina que, se não forem consideradas, poderão
conduzi-lo a, até mesmo, duvidar daquilo que aprendeu na teoria.
1.10 O estudo das funções por meio de software graficador
Uma proposta que está explícita nesta pesquisa é a criação de desenhos digitais,
por meio da utilização de funções matemáticas, nos ambientes do Graphmatica e
PaintBrush, respectivamente, um software graficador e um software de colorização
das imagens criadas pelo primeiro. Assim, espera-se que a utilização dos dois
programas, associada ao conhecimento sobre o conceito de função, bem como
sobre a matemática empresarial, seja capaz de produzir, além de uma melhor
compreensão do conceito matemático de função, também uma grande diversidade
de imagens que deverão ser entendidas como possuidoras de significados, estes,
construídos pelos alunos, os verdadeiros “donos” das imagens, posto que, de acordo
com as idéias do construcionismo, são os artífices das próprias criações. É
importante frisar que, na perspectiva construcionista, os alunos não se limitam a
ouvir e a observar o professor, ao contrário, trabalham ativamente na construção dos
seus desenhos digitais, discutindo entre si, aprendendo a cada instante, posto que
“A aprendizagem ativa é preferencial à aprendizagem passiva, meramente receptiva”
(PÓLYA, 1959, p. 61).
52
1.11 Alertas quanto à utilização excessiva das técnicas da visualização
É de fundamental importância fazer um alerta a respeito da visualização e, tal
proceder, se deve a uma consciência profissional, posto que colegas de magistério
poderão vir a ter essa pesquisa em mãos algum dia e, mais ainda, estarão com os
seus olhares atentos para os detalhes aqui apresentados.
É comum que alguma linha metodológica seja instaurada em uma ou mais
instituições de ensino, sem, talvez, um cuidado de se refletir a respeito da inclusão –
poder-se-ia dizer intrusão – de um novo pensar, de um novo agir. A experiência tem
demonstrado, conforme informam Santos Filho (2003), Barufi (2002), Sangiacomo
(1996), Flores (2004), dentre outros, e a prudência sugere que assim se deve
proceder, que se torna necessário um grande cuidado ao se analisar uma técnica
nova, antes que ela seja levada para a sala de aula. No caso da utilização de
softwares de cunho educacional
31
,o cuidado deverá ser redobrado, pois nada é pior
do que um professor que, na ânsia de apresentar inovações a seus alunos, leva-os à
sala do laboratório de informática e, sem mesmo ter tido um único contato com o
software que utilizará, conduz a sua aula sem um rumo, um “norte” a ser seguido, o
que acarreta uma série de desacertos, além de desencontros entre ele e seus
alunos. Assim sendo, uma experiência dessa natureza talvez não consiga produzir
algum resultado útil para os discentes. Felizmente, tal comportamento não é
costumeiro na maioria das escolas.
Tall (1994), discutindo a utilização de softwares gráfico-visuais no ensino da
matemática das funções, narra um episódio que é bastante significativo para que se
tenha o devido cuidado com o tipo de conhecimento que se está produzindo para os
estudantes. O caso era relacionado com a resolução de equações matemáticas de
1º grau. O fato se deu com a resolução da equação
3 4 2( 4)
x x
+ = +
. Em lugar de
se utilizar os procedimentos usuais da álgebra, ou seja, ao invés de se proceder à
31
Na perspectiva dessa pesquisa, não se dirá “software educacional”, posto que se assim se procedesse, ficaria
implícito, nessa fala, que o software, por si só, teria a capacidade de educar.
53
restauração da equação – no sentido de Al-Kowarism
32
– e, então, encontrar a sua
solução, ou seja,
4
x
=
, o professor achou mais “ilustrativo” utilizar um software
graficador de funções. Assim, considerou que o problema de resolver a equação
acima era similar ao de se buscar o ponto (único) de intersecção (ver fig. 02) entre
os gráficos das funções
3 4
y x
= +
e
2( 4)
y x
= +
, o que é lógico do ponto de vista
matemático, especialmente da geometria analítica.
Figura 02: gráficos das funções y = 2(x + 4) e y = 3x + 4
Fonte: O autor (por meio do Graphmatica, versão 2.0e)
Assim, o relator da experiência – o professor Tall – não teceu qualquer comentário a
respeito do valor de y, o que é de se estranhar, já que os alunos estavam resolvendo
um sistema de duas equações com duas incógnitas; logo, a sua solução, quando ela
existe, é da forma
( , )
x y
, ou seja, ela é um par ordenado de números que
representa um ponto comum entre as duas retas. Já que um “x” fora calculado,
então dever-se-ia calcular o “y”, e o raciocínio utilizado pelos estudantes, muitas
vezes, é este. Desse modo, a solução procurada,
4
x
=
, foi obtida, porém a partir de
um método gráfico, ao invés da tradicional álgebra. Não há qualquer inconveniente
de se utilizar um método gráfico para resolver uma equação – inclusive essa é uma
das técnicas pelas quais equações são resolvidas – mas o que se pode discutir,
nesse caso, é se existe alguma relevância em se proceder assim.
Hunter, Monaghan e Roper (1993) apud Tall (1994) realizaram um experimento na
sala de aula, com alunos que haviam sido treinados a resolver equações a partir da
32
O matemático árabe Al-Kowarism foi um hábil calculista do século IX d.C., cujo tratado, após traduzido,
recebeu o título de “Algoritmi de Numero Indorum”. Nesta obra, o autor mostra como se formam os números e
quais são os procedimentos necessários para se realizar operações com eles.
54
utilização de um software graficador: o Derive
33
. Estes autores discorrem a respeito
de uma pesquisa levada a cabo em uma turma formada por 17 (dezessete) alunos,
que já haviam sido treinados para resolver equações de 1º grau, porém no ambiente
do Derive. Os autores solicitaram aos alunos que resolvessem, sem utilizar aquele
software, o exercício:
O relato dos autores assegura que aqueles alunos não conseguiram resolver o
exercício da maneira usual, a partir de uma simples substituição da letra “v” pelo
valor “1”, seguida da operação, também bastante simples, “1 + 3”, o que faria com
que eles chegassem à solução do exercício, ou seja, “u = 4”. A discussão que se
pode instaurar aqui está relacionada com a questão da simplicidade, já que para se
calcular o valor de “u”, a partir do processo de substituição, o caminho mais
elementar seja mesmo o da “substituição”. Já o outro, o processo gráfico, pressupõe
uma série de outros conhecimentos que subjazem à situação dada, senão, perceba-
se que nesse caso serão necessários conhecimentos muito mais elaborados do que
no anterior, quais sejam:
a) deve-se conhecer o sistema cartesiano de eixos e o que são coordenadas de um
ponto;
b) deve-se saber como localizar, por meio de duas coordenadas, um ponto no
plano;
c) deve-se conhecer, mesmo que de forma rudimentar, algo a respeito de função;
d) é preciso saber um pouco sobre a geometria analítica da reta e, principalmente,
e) deve-se perceber que se está realizando um procedimento analógico, posto que
se está associando aquela situação gráfica à resolução de uma equação de 1º
grau.
É desejável, da parte do docente, que seus alunos consigam realizar a seqüência
acima, porém, utilizar um software para, exclusivamente, resolver uma equação de
1º grau não seria realmente necessário, especialmente porque uma simples
33
O Derive é um software proprietário, no estilo shareware, que traça gráficos de funções e, portanto, também
pode ser utilizado para resolver equações, a partir da idéia de “intersecção” entre as curvas obtidas.
Calcular o valor de , em + 3, para
o caso de 1
u u v v
= =
55
substituição solucionaria o exercício, ou seja, bastaria o conhecimento de que a
expressão matemática “u = v + 3” assume infinitos valores, um para cada valor
específico de “v”. E isso é parte da noção de função, mas dependendo do grau de
ensino no qual o aluno esteja não se deve proceder dessa maneira.
Outra questão que se poderia colocar seria: por que utilizar a visualização de
gráficos para se resolver uma equação tão simples? Tal procedimento seria
interessante e válido caso o exercício não passasse de uma ilustração do fato de
que o software é capaz de resolver, pelo método gráfico, uma série de equações,
incluindo aquelas para as quais o método algébrico é desaconselhável e até mesmo
não bem definido. O processo de visualização gráfica poderia ser muito útil no caso
de se precisar resolver uma equação do tipo
2 2
x
x
=
, que em cada lado da
igualdade há uma relação matemática (à esquerda, a relação é exponencial; a da
direita é linear). É óbvio que o software elimina todo o trabalho de cálculo numérico,
mas isso, por si só, não é um elemento a ser entendido como a garantia de que o
aluno irá compreender o tópico que está sendo estudado.
Talvez isso aconteça porque o aluno ainda não tenha conseguido entender que cada
entidade matemática possui uma representação: analítica ou algébrica e visual. E
alguns procedimentos de cálculo são mais comuns a certos objetos matemáticos.
Uma equação, por exemplo, existe para estabelecer uma igualdade entre dois
membros, ambos separados pelo sinal de igualdade. E no imaginário dos alunos, o
que deve ser feito com ela? “Resolver”, essa é a resposta. Como? “Por meio de um
procedimento algébrico”. Pouca é a ênfase dada à resolução gráfica de uma
equação. Além disso, quase nenhum autor – pensando-se no caso do Brasil – de
obras didáticas menciona, em seus livros, essa possibilidade, daí a natural
estranheza dos alunos. No caso comentado os alunos foram treinados na técnica
gráfica, o que significa – apesar de não haver qualquer menção sobre isso na
referência consultada – que os professores que a utilizaram tiveram que vencer uma
“estranheza” inicial da parte dos estudantes.
O baixo grau de reconhecimento de objetos matemáticos é bastante comum nas
escolas brasileiras. Usando-se o caso do assunto função, pode-se citar Alson (1998,
p. 95) que, ao discorrer a respeito do sentido que um gráfico pudesse ter para um
56
aluno, afirmou que “ellos no suelen reconocer, por la forma del gráfico, de cual
función se trata. La gráfica, para ellos, no ‘significa’”. Assim, os alunos, em geral,
não conseguem reconhecer, no objeto gráfico, a idéia de que ali está uma
representação de uma função. Também se deve enfatizar que um gráfico representa
uma relação entre duas variáveis, o que significa, ao nível imagético, que existem
relações entre os pontos gerados pelo Graphmatica. Espera-se que o estudante
compreenda os comportamentos das funções mais comuns às práticas
empresariais, e que elas também são aplicáveis ao cotidiano alheio às empresas.
Seria também desejável que o discente desenvolvesse um olhar mais crítico com
relação ao tema função, incluindo a geração, leitura e interpretação dos gráficos. No
caso da construção de gráficos por meio de softwares graficadores – ou seja,
softwares gráfico-visuais – é papel do professor que o aluno tenha sempre em
mente que aquilo que rege todo o processo é a teoria, esta, a principal semente do
conhecimento. Deve-se lembrar que será sempre dela a última palavra. Ao professor
caberá mais um trabalho, qual seja o de orientar o aluno – este, motivo de boa parte
da discussão a respeito da educação – sobre como captar, processar, significar e
(re)significar o conhecimento, possibilitando que o discente enfrente e vença toda
sorte de obstáculos, dentre eles, os que Bachelard (1996) chamou, bem
apropriadamente, de obstáculos epistemológicos, entraves ao ato do conhecer,
porém, também faróis que anunciam – ou que poderão anunciar – toda uma geração
revolucionária de novos conhecimentos.
Diversos autores, dentre eles, Flores (2004), Acuña (2005) e Barufi (2002),
comentam que os alunos cometem erros quando constroem e analisam gráficos de
funções no plano (R X R). As dificuldades vão desde o baixo grau de conhecimento
a respeito do conceito de função até a pouca afeição à disciplina Matemática. A
compreensão da linguagem dos gráficos é fundamental para um estudante,
especialmente se ele está inserido em algum curso da área de exatas, o que não
poupa aquele que cursa alguma carreira ligada às humanidades ou às sociais. No
caso particular do aluno do curso superior de Administração, entende-se que o seu
maior ou menor traquejo com os chamados métodos quantitativos será determinante
em sua atuação nas empresas, com especial atenção se o discente trabalha em
empresas que fazem uso massivo – e de forma bastante explícita – a Matemática
57
Financeira ou a Estatística. Ambas as disciplinas são cruciais nos momentos em que
se deve tomar uma decisão, o que terá impacto direto na sua sobrevivência futura.
E o estudo das funções matemáticas joga um importante papel na formação de tais
profissionais, assim, é preciso que se cuide do seu ensino, a partir do ensino médio,
quiçá, antes mesmo, no ensino fundamental. É importante que se enfatize o conceito
de função, para que o aluno entenda sua importância no conjunto do conhecimento
de matemática que ele está absorvendo na escola. Além disso, devem-se
apresentar situações do cotidiano que possam ser modeladas com as funções
básicas – linear, quadrática, exponencial – o que irá favorecer maior consciência do
assunto tratado.
O que acontece, porém, na maioria das vezes, é que tal praticidade não é nem
mesmo questionada na sala de aula, de acordo com Macintyre (2004), Santos Filho
(2003) e Barufi (2002), o que causa distorções no ensino das funções. É comum, ao
se perguntar a um aluno “O que é uma função?” ouvir a resposta “Ah! É aquilo que
tem f de x,..., sei lá!”, o que mostra que a aprendizagem não aconteceu.
Bell e Janvier (1981) apud Flores (2004, p. 198) afirmam que “muchos estudiantes
tratan con las funciones de una forma puntual: es decir, pueden trazar y leer puntos,
pero no reflexionan sobre el comportamiento de la función en intervalos definidos o
en forma global”, o que comprova que o entendimento do conceito não se fez
presente.
No caso específico da representação gráfica de uma função cada traçado deve ser
sucedido por uma reflexão a respeito da função, especialmente seus intervalos de
crescimento, decrescimento, constância, ou seja, deve-se compreender o
comportamento da função para valores específicos da variável independente. De
acordo com Flores (2004) para se analisar um gráfico de uma função necessita-se
utilizar, além do trabalho algorítmico, um determinado grau de visualização. O
mesmo autor, ao discutir as diferenças entre o trabalho visual e o trabalho
algorítmico, salienta que “el pensamiento visual implica procesos cognitivos
superiores a los que demanda aquél” (Ibidem, 2004, p. 198). É óbvio que existem
diferenças entre um e outro viés, porém a natureza dotou o ser humano da
58
capacidade de utilizar cada um, separadamente, ou ambos, em conjunto, o que
permite ao aluno resolver algum tipo de problema de acordo com a sua
característica própria. O que ainda é necessário conhecer, a respeito do ser
humano, é em que medida a utilização de ambos os processos facilita – ou não – a
resolução de um determinado problema. Outra questão, que vem à reboque da
anterior, é se existem problemas que são melhor resolvidos por um ou por outro
processo.
59
CAPÍTULO II
METODOLOGIA DA PESQUISA
A metodologia constará, em um primeiro momento, de um estudo bibliográfico dos
elementos conceituais, a partir da leitura dos teóricos que sustentarão as discussões
nela presentes, bem como das obras adicionais que “gravitam” em torno do tema.
Além disso, há necessidade de se realizar uma pesquisa de campo, visto que ela
permitirá verificar a hipótese levantada nesse projeto. Para tanto, recorre-se à
Lakatos e Marconi (2001), que ensinam que esse tipo de pesquisa
é aquela utilizada com o objetivo de conseguir informações e/ou
conhecimentos acerca de um problema, para o qual se procura uma
resposta, ou de uma hipótese, que se queira comprovar, ou, ainda,
descobrir novos fenômenos ou as relações entre eles (LAKATOS e
MARCONI, 2001, p. 186).
A pesquisa, tendo sido realizada em um determinado local e em uma determinada
época, possui caráter tanto sociológico quanto histórico. Assim, a sociologia
34
surge
para também explicar fenômenos que ocorrem ao longo do tempo nas diversas
sociedades. E todo esse emaranhado de dados somente interessa ao sociólogo – e,
por conseqüência, aos estudiosos de outras áreas – porque ele sabe que o que
pesquisa, independentemente do campo de estudo a que originalmente o tema
pertence, não passa de um fato social, ou de um conjunto deles (BOUDON, 1989).
Logo, não se pode compreender um ato qualquer sem que se lhe observe como um
ato social. Diante dessa assertiva, um dos procedimentos empregados neste
trabalho, foi método quantitativo que, consoante a Boudon (op. cit.), as pesquisas
quantitativas
podem ser definidas como as que permitem recolher, num conjunto de
elementos, informações comparáveis entre um elemento e outro. Essa
comparabilidade das informações é que permite, a seguir, as enumerações e,
de modo mais geral, a análise quantitativa dos dados (Ibidem, p. 24).
Considerando-se a variedade de instrumentos de coleta e análise de dados na área
das Ciências Sociais, optou-se pela realização de uma pesquisa de campo devido à
34
Conforme Boudon (1989), “sociologia” é um termo que foi cunhado pelo estudioso francês Augusto Comte,
quando do seu estudo das leis que regem a evolução das sociedades humanas.
60
gama de produção de conhecimentos para a construção do saber, bem como dos
avanços dos métodos educativos, em especial, os da Matemática.
A respeito dos tipos dessa modalidade de pesquisa, Trípodi et al (1975) apud
Lakatos e Marconi (2001) destacam três, os quais são: quantitativo-descritivos,
exploratórios e experimentais. Nesse caso, a primeira modalidade está em
conformidade com os parâmetros desejados neste estudo, conforme se pode
verificar nas palavras dos autores:
quantitativo-descritivos – consiste em investigação de pesquisa empírica
cuja principal finalidade é o delineamento ou análise das características
de fatos ou fenômenos, a avaliação de programas, ou o isolamento de
variáveis principais ou chave. Qualquer um desses estudos pode utilizar
métodos formais, que se aproximam dos projetos experimentais,
caracterizados pela precisão e controles estatísticos, com a finalidade de
fornecer dados para a verificação de hipóteses. Todos eles empregam
artifícios quantitativos tendo como objetivo a coleta sistemática de
dados sobre populações, programas, ou amostras de populações e
programas. Utilizam-se várias técnicas como entrevistas, questionários,
formulários etc. e empregam procedimentos de amostragem (TRÍPODI,
1975, p. 42-71). (grifo nosso)
Assim, o autor fornece mais um dado essencial sobre a grande diversidade de
possibilidades de se aplicar a pesquisa de campo, posto que este pode ser utilizado
em várias situações e em diversas áreas da atuação humana. Logo, um estudo pode
ser desenvolvido a partir de uma pesquisa de campo, visto que este possui um
amplo espectro de aplicação aos fenômenos sociais, incluindo aqueles que se
desenrolam em ambientes educacionais.
Dessa maneira, não se deve ignorar que de acordo com as variáveis escolhidas pelo
pesquisador é natural que surjam comparações entre elas, pois, de outra forma,
jamais se poderia proceder a uma análise estatística dos dados.
Deve-se, porém, estar alerta para um tipo de engano que pode acontecer, quando o
pesquisador infere, após a análise estatística dos dados, que existe uma relação de
causa e efeito entre as variáveis. Pode ser que tal causalidade não esteja presente
(BOUDON, 1989). Este autor informa que “Durkheim
35
foi o primeiro a ter
compreendido que uma relação estatística não pode ser interpretada como relação
35
Em sua obra Le suicide, publicada em 1897, Émile Durkheim apresenta este alerta.
61
causal senão com muito cuidado” (BOUDON, 1989, p. 46). O que ocorre, na
verdade, é que o grau de complexidade da análise estatística de um fenômeno
social estará sempre relacionado à natureza da pesquisa, pois quanto mais profunda
esta for, maior será a demanda pelos métodos estatísticos.
Como conseqüência, para se cumprirem os objetivos aqui propostos e em
concordância com a natureza desta pesquisa, foram executadas as seguintes as
fases da metodologia, as quais são discorridas nos subitens 4.1 a 4.6.
2.1 O local, os sujeitos, o universo e a amostra da pesquisa
A pesquisa foi realizada na Faculdade X, uma escola de médio porte que pertence à
rede privada de ensino e que está localizada na região de Contagem, esta,
pertencente à RMBH. Quanto aos sujeitos, o universo da pesquisa será constituído
por três turmas de alunos iniciantes (alunos de 1º Período) do curso superior de
Administração, uma do turno matutino e duas do noturno. Informa-se que a escola
foi chamada de “Faculdade X” por solicitação da diretoria da época da realização da
pesquisa.
Inicialmente, procedeu-se à identificação do perfil dos sujeitos, mediante a coleta de
apenas duas informações básicas: idade e atuação profissional. Informa-se,
também, que não foi interesse da pesquisa categorizar os sujeitos pelo gênero.
O que se verificou foi que cada turma era formada, em média
36
, por 40 (quarenta)
alunos, com a faixa etária variando dos 18 (dezoito) anos até os 48 (quarenta e oito)
anos, considerando-se todos os estudantes que responderam ao instrumento de
coleta de dados.
Tabela 02: Faixa Etária
Menor 18 18-22 23-27 28-32 33-36 37-41 42 ou mais
1 25 24 17 15 6 6 94
1,06% 26,59% 25,53% 18,08%
15,96%
6,39% 6,39% 100%
Fonte: O autor
36
A quantidade de alunos em cada sala de aula oscilou durante o período da pesquisa.
62
Mais da metade dos alunos encontravam-se entre 18 e 27 anos, o que concordou
com a pesquisa recente de Macintyre (2004), porém, existe uma quantidade
intermediária de estudantes cujas idades oscilavam entre 28 e 36 anos, em geral,
profissionais que buscavam uma formação de nível superior, após muitos anos
longe da escola formal. Além disso, havia um grupo – que começa a aumentar
gradativamente nas faculdades particulares – de pessoas com idades acima dos 37
anos, muitas delas na faixa dos quarenta, o que significa que também os
profissionais já atuantes do mercado de trabalho buscam sua formação
complementar em uma escola de nível superior. É uma procura pelo tão sonhado
diploma, documento que lhe foi negado durante boa parte de sua vida.
Assim sendo, a amplitude da amostra, para a variável “idade”, foi de 30 (trinta)
37
anos, o que indicou que boa parte dos estudantes, especialmente no caso das duas
turmas do período noturno, era composta de alunos com uma media de idade mais
alta, se comparada com a média observada para os alunos do turno matutino.
Diálogos travados com os alunos do período noturno comprovaram que muitos deles
se sentiam “fora” da idade para estarem freqüentando uma escola. Alguns chegaram
até mesmo a se afirmarem como velhos para ainda estarem estudando, porém, por
necessidade profissional ou mesmo por vontade própria de vencer um desafio
pessoal, diziam que continuariam o curso até o final. Nesse momento é importante
salientar que apesar dessa situação ser bastante comum nas escolas de países
tidos como “em desenvolvimento”, não foi objetivo da pesquisa buscar respostas
para tais situações. Procurou-se, apenas, identificar quantos alunos estavam nessa
condição e quantos não estavam.
Uma grande parte dos alunos pesquisados informou estar trabalhando em grandes
empresas. Outros informaram que trabalhavam em empresas de médio porte, o que
concordou com os resultados obtidos por pesquisas anteriores, como a de Macintyre
(2004). Um número razoável de alunos trabalhava em pequenas empresas e uma
quantidade semelhante não estava trabalhando em empregos formais. Já o número
das que trabalhavam em empresas familiares era muito baixo. Um dado interessante
é que nenhum dos alunos se identificou como aposentado.
37
O número que representa a Amplitude foi calculado da maneira usual, ou seja, 48 – 18 = 30.
63
Tabela 03: Atuação Profissional
Emp.
Fam.
Peq.
Emp.
Média
Emp.
Gde.
Porte
Conta
Próp.
Emp.
Formal
Emp.
Infor.
Desemp.
Aposent.
S/R
6 13 18 35 5 11 5 13 0 1
Fonte: O autor
O que se verificou, em conversas informais, foi que para muitas daquelas pessoas
possuir um título universitário era importante. Algumas desejavam promoções nas
empresas onde trabalhavam, outras para se candidatarem a cargos por meio de
concursos públicos e, outras, ainda, para possuir uma qualificação de nível superior
e, então, melhorarem de vida, ou seja, ascenderem socialmente.
2.2 Escala de Rensi Likert
“Medid lo que es medible y haced medible aquello que no es”.
(Galileo Galilei)
Na opinião de Uriza (1995) conhecer o que pensa o aluno sobre a matemática é útil
para o professor durante todo o seu trabalho de sala de aula, logo fundamental
durante o processo de interação no decorrer do período letivo. Não basta conhecer
os conteúdos que se irá lecionar, é de capital importância que o professor entenda a
problemática envolvida no ato de se ensinar. Buscar a relação do saber que se
explora no ambiente da escola com o cotidiano do aluno é outra missão para o
professor. Até que ponto as suas explicações são entendidas pelo aluno? Que tipo
de relação o aluno faz entre os diversos conteúdos que recebe na escola? Que tipo
de atitudes o aluno tem para com a Matemática? E para com o seu professor? E
para com a sua escola? Estas são perguntas cujas respostas podem ser buscadas
durante o ato educativo, por quem milita na sala de aula, jamais por burocratas dos
ministérios de educação, seja esta de qualquer país.
Assim, como uma das fases previstas na metodologia do projeto inicial que deu
origem a essa dissertação era conhecer os sentimentos e as atitudes dos alunos
com relação à disciplina Matemática, aplicou-se um instrumento pertinente para se
coletar os dados que serviriam de apoio ao que se pretendia. Assim, para se
verificar o grau de interesse dos discentes pela matéria, bem como conhecer o seu
64
posicionamento frente a esse ramo do conhecimento, utilizou-se um instrumento de
coleta de dados que é conhecido como escala de Likert
38
.
Tal instrumento, no formato de Likert, foi aplicado como sendo não forçado
39
,
contendo 18 (dezoito) afirmações, cada uma delas com cinco alternativas para
resposta – devendo o aluno escolher apenas uma delas – conforme o que se segue:
Quadro 01 – Significado das siglas da Escala de Likert (Não forçada)
CT
CONCORDO TOTALMENTE
CP
CONCORDO PARCIALMENTE
IN
ESTOU INDECISO
(
A
)
DP
DISCORDO PARCIALMENTE
DT
DISCORDO TOTALMENTE
Cada um dos cinco itens listados acima terá uma pontuação, de acordo com a
natureza da afirmação, consonante com o que foi utilizado pelo próprio autor da
escala. A seguir, será realizada uma verificação da consistência da escala, por
intermédio do cálculo – e posterior análise – do coeficiente Alpha de Cronbach. O
software escolhido para realizar a tarefa proposta será o Statistical Package for the
Social Sciences (SPSS), na versão 15.0.
A escala de Likert é muito utilizada em pesquisas, destacando-se as de cunho
social. Entende-se que o objetivo principal dessa escala, cuja natureza é somativa, é
o de transformar dados qualitativos em dados quantitativos, a partir da utilização de
valores numéricos que deverão ser adicionados, de uma maneira pré-determinada e
bem definida, para cada um dos sujeitos da pesquisa. Os totais obtidos
representariam, então, os graus de concordância ou de discordância do aluno em
cada um dos itens
40
da escala, que consiste de um grupo de afirmações sobre as
quais os respondentes devem assinalar as distintas graduações atitudinais. A partir
da análise das respostas é feito um tratamento estatístico que visa medir a
consistência interna da escala, bem como o seu grau de validade. Para isso, podem
38
Rensi Likert (1903-1981) foi um psicólogo americano, criador de uma escala para a medição de atitudes. Seu
instrumento de medição ficou conhecido como Escala de Likert.. De acordo com Silva (2001, p. 256), era “um
pesquisador do comportamento humano nas organizações, e fundou o Instituto par Pesquisa Social na
Universidade de Michigan. Seus estudos tiveram um efeito duradouro sobre a teoria organizacional e sobre o
estudo da liderança”.
39
Diz-se que um teste de atitudes (do tipo Likert) é não forçado quando há uma alternativa que permite ao
respondente não emitir uma opinião sobre certa afirmação do teste. No caso desta pesquisa a alternativa que
traduz essa situação é indicada por “IN” , ou seja, “estou indeciso(a)”.
40
Cada item é, na verdade, uma questão do questionário.
65
ser utilizadas algumas técnicas estatísticas associadas, tais como a correlação entre
variáveis, os testes de hipóteses, dentre outras.
2.2.1 O que é uma atitude
Sheth (2001), conta que “o psicólogo Gordon Allport
41
escreve que atitudes são
predisposições aprendidas, para responder a um objeto ou uma classe de objetos,
de uma maneira consistentemente favorável ou desfavorável”, o que concorda com
a idéia de que, no caso dos sujeitos dessa pesquisa, o que se procurou foi verificar
qual era o sentimento nutrido por eles em relação à matemática.
Assim, a partir do conhecimento das atitudes de um determinado grupo é possível
estudar o comportamento daquele grupo e, conhecendo-se o comportamento é
possível se determinar o conjunto inicial de atitudes. O esquema a seguir, que pode
ser observado na figura abaixo, exibe a interdependência entre a atitude e o
comportamento.
Figura 03: Esquema de interdependência entre atitude e comportamento.
Fonte: O autor
Kotler (2000) ensina que “Uma atitude corresponde a avaliações, sentimentos e
tendência de ação duradoura, favorável ou não, a algum objeto ou idéia (...). As
atitudes levam as pessoas a se comportar de maneira razoavelmente coerente em
relação a objetos semelhantes” (Ibidem, p. 197).
O que o autor quis dar a entender é que as atitudes se entranham nas pessoas. E
isso talvez permita que ocorra, como conseqüência de tal permanência das atitudes,
alguma dificuldade nos momentos em que certas convicções de uma pessoa são
abaladas por algum acontecimento. Mesmo nesse caso, as pessoas não mudam
41
Não foi encontrada qualquer referência bibliográfica a respeito dessa pessoa. Porém, realizando-se uma
consulta em sites da Internet, foram encontradas referências de um psicólogo americano, nascido no estado de
Indiana, que sugerem tratar-se da referida pessoa.
66
suas atitudes e nem mesmo se sentem inclinadas a deixá-las de lado de uma
maneira fácil.
2.2.2 As escalas de atitudes
Baquero (1983) explica que a escala de Likert é um tipo de teste psicométrico, pois
consegue produzir análises de atitudes por meio de questionários que são, portanto,
analisados por normas rigorosas, de tipo quantitativo. Com relação ao mencionado
instrumento, Natalício (1967) apud Ragazzi (1976) afirmam que, historicamente, os
questionários foram os primeiros instrumentos de coleta das atitudes e, mais ainda,
que foram Allport e Hartiman (1925) quem elaboraram pela primeira vez afirmações
nas quais os respondentes deveriam indicar graus de favorabilidade, ou ainda de
desfavorabilidade, com relação ao objeto da pesquisa – a atitude para com um
determinado objeto. Além disso, métodos verbais foram utilizados no sentido de se
obter respostas em pesquisas atitudinais (MURPHY, MURPHY e NEWCOMB, 1937
apud Ragazzi, 1976). Após a segunda grande guerra as escalas de atitudes passam
a ser bem menos utilizadas (COLLINS, 1970 apud RAGAZZI, 1976).
Ainda recorrendo a Ragazzi (1976), as escalas de atitudes que foram propostas
eram as mais diversas, dentre elas, destacam-se as escalas de Thurstone
(composta de intervalos aparentemente iguais), a de Likert (de tipo somativa), a de
Distância Social, de Borgadus, e a de Diferencial Semântico, de Osgood. A autora
ensina que
inúmeros autores tem discutido as várias escalas de medidas, sua
importância, o tratamento estatístico adequado, seus aspectos favoráveis e
desfavoráveis, suas limitações e vantagens, bem como as comparações
entre elas e implicações quanto aos processos de precisão e validade das
mesmas (RAGAZZI, 1976, P. 34),
o que indica que não há, entre os pesquisadores, uma unanimidade com relação ä
utilização de tais escalas. Baquero (1983) assinala que na década de 80, nos
Estados Unidos da América, acreditava-se que as aptidões não eram inatas, mas,
sim, habilidades em desenvolvimento, dependentes de fatores ambientais.
67
Conforme citado anteriormente, a escala de Likert é somativa (também se diz que
ela é “somatória”) o que significa que serão obtidos totais referentes a cada um dos
seus itens, a partir das alternativas assinaladas pelo respondente.
No caso da presente pesquisa, a escala é composta de 18 (dezoito) itens, cada um
deles contendo 5 (cinco) alternativas, em um intervalo variando de “discordo
totalmente” a “concordo totalmente”, havendo a alternativa mediana, “estou
indeciso(a)”, o que garante que o(a) respondente tenha a opção de se mostrar
indiferente a uma determinada afirmação constante da escala. É comum que alguns
autores critiquem a alternativa mediana, conhecida, também, por “ponto neutro”, o
que pode ser comprovado pelo comentário de Ragazzi (1976), quando esta afirma
que
a interpretação do ponto neutro (indecisão) é bastante ambígua. O ponto
neutro pode ser produto de dois resultados, relacionados a duas atitudes
muito diferentes. Pode surgir de uma posição neutra na maioria ou em todos
os itens, ou ainda, é oriundo de uma posição muito favorável em alguns
itens e muito desfavorável em outros. Pode-se pensar também, que o ponto
neutro possa ser sinônimo de ausência total da atitude que está sendo
medida (sic) (RAGAZZI, 1976, p. 42).
Empiricamente é possível estabelecer, de acordo com Algarabel (2004, p. 5), uma
fórmula para se determinar as pontuações para cada um dos itens da escala – ou
afirmativas – de acordo com as duas situações, seja a de concordância, seja a de
discordância a um determinado item, escrevendo-se
( 1)
i m o
P P P
= + −
, donde:
i
P
: puntuación transformada en el íten invertido lista para calcular la puntuación
total en el cuestionario;
m
P
: puntuación máxima que puede darse al íten;
o
P
: puntuación original obtenida en el íten invertido.
2.2.3 Atitudes relacionadas à Matemática
A matemática tem sido considerada como a grande vilã do ensino e vários fatores
parecem contribuir para que esse estereótipo se perpetue no imaginário da
sociedade. O que se pensa a respeito dessa disciplina vem sendo continuamente
68
estudado no mundo inteiro. Assim, torna-se de interesse o estudo das atitudes
42
dos
alunos com relação à matemática, em qualquer nível de ensino. Seriam elas
aprendidas ao longo da trajetória do estudante? Se isso for verdade, então qual é o
papel do professor nesse particular? Skemp (1971, p. 114) apud Ragazzi (1976, p.
53) afirma que “atitude quanto ao ensino da Matemática é adquirida e não inata”, o
que significa que o professor tem um papel fundamental na formação da atitude do
seu aluno com relação à matemática. Ragazzi (1976, p. 53) completando a fala
acima, assegura que “Assim, atitudes de perplexidade, desgosto e desespero são
produtos de atitudes oriundas em professores incompetentes, enquanto que,
atitudes de prazer, interesse e dedicação espontânea são produtos de bons
métodos de ensino”.
É importante destacar que “a formação de atitudes negativas no estudo da
Matemática contribui eficazmente para entravar o processo de integração da
personalidade do educando” (RAGAZZI, 1976, p. 54), o que pode fazer com que o
estudante, em um ato desesperado, busque alternativas para a sua aprovação na
disciplina.
2.3 Grau de conhecimentos prévios sobre a matemática das funções
O propósito deste teste foi o de verificar o grau de conhecimento matemático dos
alunos antes que se iniciassem as aulas do semestre letivo a respeito do assunto
função. Nele, os participantes deveriam demonstrar se conhecem ou não a
matemática no que diz respeito às funções, por isso, é importante informar que
neste questionário não se pretendeu associar a resposta das questões ao real
conhecimento matemático do tema pelo aluno, o que significa que reconhecer a
existência de um assunto não implica em se ter conhecimento matemático sobre ele.
Seria preciso cruzar os dados depois, com os resultados obtidos em provas escritas
dos alunos, o que não foi feito. O que se pretendeu foi apenas verificar se havia
42
Ainda são poucas as referências a respeito de escalas de atitudes no Brasil, o que já era confirmado, por
Ragazzi (1976, p. 61), quando afirmava que “No Brasil, a literatura psicológica a respeito das atitudes é bastante
limitada”. Na época em que realizou a sua pesquisa, Ragazzi somente encontrou um trabalho sobre o tema,
publicado no periódico The Journal of Educational Research, em setembro de 1964.
69
algum tipo de lembrança do aluno a respeito daqueles temas com os quais,
teoricamente, o estudante já havia tido contato no ensino fundamental e/ou no
ensino médio.
2.4 Aulas no laboratório de informática
Cada uma das três turmas participou de duas aulas no laboratório de informática. As
aulas, com duração de 100 min cada, objetivaram, em um primeiro momento, o
aprendizado dos principais comandos do Graphmatica, bem como a observação, no
computador, das propriedades específicas de vários tipos de funções. Isso significa
dizer que as propriedades de todas elas puderam ser visualizadas (aqui, os alunos
“viram”, no monitor, o que a teoria “sustenta”), além de discutidas, relativamente aos
comportamentos – crescimento, constância, decrescimento. Em um segundo
momento, os alunos, já familiarizados com o programa, passaram a utilizar as
funções matemáticas para a construção dos seus desenhos, a partir daquele
software, bem como iniciaram o processo de colorização das figuras, utilizando o
aplicativo PaintBrush, o que conferiu às imagens um caráter, além de matemático,
também estético.
2.5 Utilização dos softwares Graphmatica e PaintBrush
Como software graficador de funções matemáticas, selecionou-se o Graphmatica
43
,
na versão 2.0e, em ambiente Windows, com interface traduzida para o idioma
Espanhol, para a geração dos desenhos digitais. Sua escolha deveu-se ao fato de
que esse programa possui grande facilidade de manuseio e uma interface bastante
“amigável” para com o usuário. Além disso, porque ele já é utilizado em algumas
escolas, conforme atestam Santos Filho (2003), Pongelupe (2004) e Barufi (2002),
43
Graphmatica 2.0e para Win 32 – Copyright © – 2005 – kSofft., Inc., 14/12/2005. Disponível em:
interface traduzida para alguns idiomas, através de um trabalho colaborativo realizado por professores de vários
países. A versão utilizada nesta pesquisa foi traduzida para o idioma Espanhol pelos professores argentinos
Jesús Garrido e Guillermo Hansen.
70
sendo assim bastante útil para a pesquisa em questão. Desse modo, quando são
utilizadas funções matemáticas definidas em um determinado Domínio
44
,
previamente escolhido, torna-se possível simular desenhos – de forma simples,
porém não necessariamente pouco rigorosa – na tela de edição do Graphmatica.
Como parte da metodologia da criação de desenhos digitais será utilizado um
software básico que consiga incluir cores nas figuras criadas. Esse procedimento é
devido ao fato de que os alunos, em geral, sentem a vontade de incluir cores nos
desenhos. Tal necessidade poderia ser explicada, a partir da ótica dos discentes,
por sua concepção de que as imagens criadas por eles devem produzir um efeito
visual impactante. Eles costumam afirmar, no ambiente da sala de aula, e também
no Laboratório de Informática, que o uso das cores faz com que os seus desenhos
fiquem bem mais atraentes, mais... “bonitos”. Tal concepção encontra amparo em
Barros (2006), que sustenta que as cores são elementos facilitadores do processo
criativo do ser humano.
Para que houvesse coerência com a proposta inicial desta pesquisa – a de se
trabalhar com um software elementar dotado de um mínimo de funcionalidades
gráficas, por conseguinte, com poucos recursos visuais – a escolha do programa a
ser utilizado na colorização dos desenhos digitais recaiu sobre o aplicativo Microsoft
Paint
45
(também chamado de PaintBrush ou, mais simplesmente, de Paint), que
funciona em ambiente Windows e é de fácil manuseio pelos alunos.
A Faculdade X utiliza o Windows XP, Service Pack 2 em todos os seus
computadores. As máquinas disponíveis para uso de funcionários, professores e
alunos são todas do tipo Personal Computer (PC) e estão distribuídas pelos dois
laboratórios de informática atualmente em funcionamento, sendo um em cada andar
do prédio.
44
O domínio de uma função é um conjunto numérico constituído por todos os valores permitidos para a variável
independente (x); estes valores irão gerar os diversos valores da variável dependente (y). Também é comum
definir-se domínio como sendo o “campo de definição” da função.
45
Microsoft
Paint, versão 5.1 (compilação 2600.xpsp_sp2_gdr.050301-1519 : Service Pack 2). Esse software
também pode ser enquadrado na categoria de “gráfico-visual”, porém, não é um programa específico para se
traçar gráficos de funções matemáticas.
71
2.6 Pós-teste: a visualização das funções
A determinação qualitativa e quantitativa do conhecimento adquirido a respeito do
tema função fundou-se na aplicação de um instrumento de avaliação individual – o
pós-teste – composto de 9 (nove) questões, elaboradas a partir da perspectiva da
visualização, no qual se buscava verificar se o aluno havia aprendido o conceito de
função e se ele conseguiria reconhecer situações empresarias por intermédio da
observação de gráficos de funções polinomiais de 1º e 2º graus. Salienta-se que três
das questões eram diretamente relacionadas às habilidades da criação de imagens
mentais e aprendizagem por meio da percepção de imagens nos momentos em que
se capta e se assimila o conhecimento.
72
CAPÍTULO III
ANÁLISE, INTERPRETAÇÃO E DISCUSSÃO DOS DADOS
3.1 Escala de Likert – atitudes dos alunos com relação à Matemática
A Escala de Likert foi aplicada nas três turmas de alunos iniciantes. No sentido de se
identificar cada uma delas, apresentam-se suas denominações a partir de números
indicativos de salas de aula. Assim, a turma do período matutino ficou representada
pela designação Sala 208 e as duas turmas do período noturno foram designadas
por Sala 209 e Sala 211.
Inicialmente, desejava-se determinar as atitudes dos discentes com relação à
disciplina matemática, ou seja, interessou-se por saber se eles gostavam, ou não, da
mencionada disciplina. Informa-se que nenhum dos sujeitos da pesquisa já havia
sido aluno do pesquisador e nem mesmo haviam estudado anteriormente na
Faculdade X. Dessa maneira, é possível afirmar que a coleta de dados foi realizada
de forma não tendenciosa.
Após as devidas explicações fornecidas aos estudantes presentes – em cada turma
e, portanto, em cada dia reservado à aula – iniciaram-se os trabalhos de resolução,
por parte dos sujeitos, do instrumento de coleta. Ato contínuo, procedeu-se à
tabulação dos dados, decidindo-se pela apresentação dos resultados por turma.
Decidiu-se apresentar, nesse estudo, algumas considerações por turma e, a seguir,
proceder a uma análise global, considerando-se o universo dos 114 estudantes.
Relativamente aos itens da escala, informa-se que os itens 1, 4, 5, 8, 9, 11, 15, 16 e
18 foram considerados como positivos (+), ou seja, representam atitudes favoráveis
frente ao objeto de estudo (no caso, o gosto pela matemática). Já os itens 2, 3, 6, 7,
10, 12, 13, 14 e 17 foram considerados como negativos ( – ), ou seja, representam
atitudes desfavoráveis á matemática.
73
a) Análise dos resultados – sala 208 – turno matutino
Os alunos dessa sala entendem não possuir facilidade nos momentos em que
resolvem exercícios de matemática, não demonstrando facilidade de assimilação de
conteúdos matemáticos. Tal resultado corrobora os resultados obtidos pela pesquisa
de Ragazzi (1976). Além disso, também não conseguem sentir algum tipo de
sensação prazerosa nos momentos em que assistem as aulas de matemática,
quando resolvem exercícios, o que confirma o posicionamento de Macintyre (2004) e
Santos Filho (2003).
b) Análise dos resultados – sala 209 – turno noturno
Mesmo entendendo que não possuem um bom desempenho durante a resolução de
exercícios de matemática, os alunos sinalizaram, por meio de suas respostas, que
possuem uma moderada tendência a gostar da matemática. E as médias obtidas
nos itens da escala sugerem isso. Em particular, conseguem perceber a importância
da mencionada disciplina na sua vida profissional, o que pode ser comprovado ao se
analisar a média aritmética das pontuações observadas nas respostas dadas pelos
sujeitos para o item 18 da escala de atitudes.
c) Análise dos resultados – sala 211 – turno noturno
Os estudantes sentem algum grau de tensão durante os procedimentos matemáticos
na sala de aula, o que sugere a existência de experiências traumáticas com a
matemática em períodos anteriores (na época em que faziam o curso médio), o que
corrobora resultados de pesquisas anteriores, tais como as de Macintyre (2004) e
Pinto e Costa (1998). Porém, conseguem entender que a matemática é de grande
importância para se obter uma melhor colocação no mercado de trabalho.
74
Quadro 02 : Médias referentes a cada um dos 18 itens da escala
Estadísticos descriptivos
114 3,93
114 2,98
114 3,92
114 3,18
114 3,32
114 3,11
114 3,40
114 3,07
114 2,97
114 3,89
114 3,08
114 3,23
114 4,16
114 4,11
114 4,67
114 3,39
114 3,01
114 4,68
114
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
Q11
Q12
Q13
Q14
Q15
Q16
Q17
Q18
N válido (según lista)
N Media
Fonte: Escala de Likert
A Escala de Likert foi aplicada apenas uma vez, não tendo acontecido, portanto, o
reteste – a reaplicação – do instrumento em algum momento posterior. Também não
se verificou se as atitudes dos alunos se mantiveram ou se alteraram ao longo
daquele semestre letivo.
A seguir são exibidas as estatísticas (fig. 04), uma para cada turma de alunos,
representando os resultados obtidos após a utilização do software SPSS. Nelas
podem ser observadas as médias, modas e desvios, para cada um dos 18 itens da
escala.
75
Figura 04 – Estatísticas das três turmas
Fonte: Escala de Likert
Sala 208
Estatísticas ref. a Escala de Likert
Sala 209
Estatísticas ref. a Escala de Likert
Sala 211
Estatísticas ref. a Escala de Likert
76
O teste de fiabilidade da escala, representado pelo cálculo do coeficiente alpha de
Cronbach, foi aplicado de forma separada, para cada uma das três turmas, e
forneceu os valores exibidos abaixo.
Quadro 03: Valores do alpha de Cronbach em cada turma
Salas Alpha
Leitura
Sala 208
0,936 Novecentos e trinta e seis milésimos
Sala 209
0,904 Novecentos e quatro milésimos
Sala 211
0,929 Novecentos e vinte e nove milésimos
Fonte: O autor
Quando o alpha de Cronbach foi calculado para o total de alunos que responderam
ao instrumento (114 pessoas), obteve-se um valor aproximadamente igual a 0,933
(novecentos e trinta e três milésimos), um número muito próximo de 1 (um), o que
garantiu a fiabilidade do instrumento.
3.2 Percepção sobre conhecimentos matemáticos: antes e depois
Os índices aqui informados não deverão ser considerados como representativos de
situações gerais, apesar de muitas vezes corroborarem resultados de pesquisas
anteriores. Para se compreender melhor como foi tal avaliação, o quadro a seguir
exibe os respectivos significados das siglas constantes do instrumento de coleta de
dados.
Quadro
04: Siglas ref. grau de conhecimentos prévios
sobre a matemática das funções
S
IGLAS E SEUS RESPECTIVOS SIGNIFICADOS
DT Desconheço Totalmente CB Conheço Bem
CMP
Conheço Muito Pouco CMB Conheço Muito Bem
CR Conheço Razoavelmente
Fonte: Pesquisa sobre o grau de conhecimentos prévios sobre a matemática das funções
Além disso, deve-se considerar que esse questionário, inicialmente constituído de 67
itens, sofreu uma redução drástica, passando, em uma análise inicial, para 22 itens
e, posteriormente, para 15 itens que, então, foram aqui analisados. O critério
utilizado foi o de se manter apenas os itens que representavam maior grau de
77
relevância para a pesquisa. Além disso, levou-se em conta a limitação de tempo
estabelecida para uma dissertação.
Informa-se que na fase ANTES havia um total de 128 alunos e que na fase DEPOIS
esse número reduziu-se a 104, por motivos alheios ao controle do pesquisador. O
que ocorreu pode ser entendido como um reflexo da atual situação pela qual
passam as escolas da rede particular de ensino com relação à formação e
manutenção de suas turmas de alunos ao longo de cada semestre letivo.
3.2.1 Apresentação e análise dos resultados: conhecimentos antes e depois
Considerou-se que a simples lembrança de algo já estudado indica um grau
(relativo) de conhecimento sobre um determinado tópico. Nessa ótica, uma resposta
do tipo DT (Desconheço Totalmente) pode ser entendida como a ausência total de
contato do aluno com aquele tópico ou, ainda, como a indicação de que o estudante,
mesmo já o tendo estudado, não possui qualquer tipo de conhecimento matemático
relevante a respeito. Assim sendo, os índices apresentados deverão ser analisados
com a devida cautela, o que não invalida a sua importância no conjunto da presente
pesquisa.
a) Quanto ao sistema cartesiano de eixos X e Y
Gráfico 01: Sistema cartesiano de eixos X e Y – ANTES e DEPOIS
78
Observou-se que na fase ANTES 60,16% (CB+CMB+CR) informaram conhecer o
sistema cartesiano de eixos, o que se configurou como uma situação razoavelmente
boa, posto que conhecer o tema é importante para o traçado os gráficos. Na fase
DEPOIS, aquele índice subiu para 90,38%, caracterizando, por parte dos sujeitos,
uma atitude de entendimento daquele item. Além disso, 39,84% (fase ANTES)
desconheciam ou conheciam muito pouco o tema (DT+CMP), um índice já
preocupante, se analisado na ótica da necessidade de se conhecer o sistema
cartesiano para um bom entendimento da representação gráfica de uma função.
Verificou-se que na fase DEPOIS este índice se reduziu para 9,62%.
b) Quanto à localização de pontos no formato (x,y)
Gráfico 02: Localização de pontos no formato (x, y) – ANTES e DEPOIS
Analisando o resultado obtido verificou-se que na fase ANTES, 58,59%
(CR+CB+CMB) manifestaram possuir conhecimento sobre o item, o que sugere
certa lógica de concordância quando tal índice é comparado com o do item anterior.
Na fase DEPOIS ocorreu um índice de 90,38%, indicando que houve um ganho de
conhecimento por parte dos discentes. O mesmo aconteceu com o índice daqueles
que desconhecem ou conhecem muito pouco o tema (DT+CMP), em torno de
41,41%, da fase ANTES e 9,62% na fase DEPOIS, o que, de novo, parece
concordar com o que ocorreu no item anterior.
79
c) Quanto ao conceito de variável
Gráfico 03: Conceito de variável – ANTES e DEPOIS
A idéia de variação está presente no cotidiano das pessoas, o que significa que o
conceito de variável já é bem conhecido pelos alunos. Os índices das fases ANTES
(81,25%) e DEPOIS (97,11%) foram ambos altos com relação a algum grau de
conhecimento do conceito, bem como foram baixos relativamente ao nenhum
conhecimento. Para os alunos que inicialmente apresentaram dificuldade (17,97%)
com o conceito de variável, percebeu-se que, após utilizarem um software
graficador, tiveram um ganho em seu aprendizado, o que fez com que o índice dos
que não conheciam o conceito ficasse bem baixo (1,92%). É importante salientar
que não é incomum que, mesmo em livros didáticos do ensino médio, a exemplo de
Guelli e Lima (1987), se utilize a palavra variável, ao invés da palavra incógnita,
quando se discutem as equações.
d) Quanto ao conhecimento sobre incógnita
Gráfico 04: Conceito de incógnita – ANTES e DEPOIS
80
Neste caso, apenas 48,44% (ANTES) dos entrevistados informaram possuir
conhecimento acima do mínimo a respeito do conceito de incógnita, o que já era de
se esperar, posto que ocorre uma confusão da parte dos estudantes com relação a
esse termo e o termo variável. Com a utilização do software graficador percebeu-se
que aquele índice variou para 89,42% (DEPOIS), o que se constituiu em um
aumento significativo. Relativamente aos alunos que informaram conhecer pouco ou
nada (51,56% na fase ANTES) sobre o termo incógnita, verificou-se que na fase
DEPOIS tal índice diminuiu para 10,58%.
e) Quanto ao conhecimento sobre função
Gráfico 05: Conceito de função – ANTES e DEPOIS
O resultado da fase ANTES demonstrou que 62,49% dos estudantes conhecem
pouco (CMP) ou desconhecem totalmente (DT) o conceito de função. Assim, apenas
37,51% (na fase ANTES) informaram ter algum tipo de conhecimento
(CR+CB+CMB) do tema, o que sugere que o professor inicie algum tipo de trabalho
para atacar o problema. Na fase DEPOIS percebeu-se que aqueles índices
variaram, respectivamente, para 5,77% e 94,23%, o que significou uma grande
variação percentual, sugerindo que a utilização de técnicas de visualização,
portanto, representaram uma influência positiva na aprendizagem dos discentes.
81
f) Quanto ao conhecimento sobre domínio de uma função
Gráfico 06: Conceito de domínio de uma função – ANTES e DEPOIS
Na fase ANTES o índice ficou muito alto para quem não conhecia ou conhecia muito
pouco (DT+CMP) o tema domínio da função, ou seja, 62,50%. Os restantes 37,50%
apenas se sentiam razoavelmente confortáveis com aquele assunto (CR+CB+CMB).
Na fase DEPOIS, a partir da utilização do software graficador, os novos resultados
foram respectivamente 14,42% e 85,58%, o que sugeriu a existência da concepção,
da parte dos alunos, de haver melhorado seus conhecimentos referentes ao assunto
em questão.
g) Quanto ao conhecimento sobre imagem de uma função
Gráfico 07: Conceito de imagem de uma função – ANTES e DEPOIS
No resultado apresentado acima, apenas 32,81% (CMB+CR+CB), na fase ANTES,
afirmaram conhecer algo sobre o tema imagem de uma função. Assim, 67,19% o
conheciam pouco ou nada. Já na fase DEPOIS, observou-se que os índices foram,
respectivamente, de 83,65% e de 16,35%, o que sugere que a utilização da
visualização favoreceu o aprendizado daquele assunto.
82
h) Quanto ao conhecimento sobre tabela de uma função
Gráfico 08: Tabela de uma função – ANTES e DEPOIS
Verificou-se que na fase ANTES 56,25% conheciam muito pouco (CMP) ou nada
(DT) sobre o tema. Já 43,75% afirmaram conhecer razoavelmente (CR), ou bem
(CB+CMB), o assunto. Na fase DEPOIS pôde-se perceber que o primeiro índice caiu
para 9,62% e que o segundo subiu para 90,38%. Conhecer bem o processo de
elaboração de uma tabela, a partir de uma função matemática, auxilia o aluno na
compreensão daquele conceito, o que confirma o posicionamento de autores tais
como Santos Filho (2003), Macintyre (2004), Arcavi (2003) e Presmeg (1999).
i) Quanto ao conhecimento sobre gráfico de uma função
Gráfico 09: Gráfico de uma função – ANTES e DEPOIS
Com relação ao tema gráfico da função, percebeu-se que 36,73% (fase ANTES)
afirmaram conhecer pelo menos razoavelmente o assunto (CR+CB+CMB), porém,
63,27% o conheciam muito pouco ou mesmo nada (CMP + DT). Na fase DEPOIS
verificou-se que os alunos demonstraram conhecer aquele tema e, mais ainda, que
eles possuíam habilidade para sua análise, posto que 91,34% deles entendiam o
tema e apenas 8,66% tinham entendimento básico ou nulo sobre o assunto.
83
Qualquer aluno iniciante de um curso superior, especialmente aquele que necessita
modelar situações práticas por meio de funções matemáticas, necessita entender,
minimamente, o tópico em questão.
j) Quanto ao conhecimento sobre função crescente
Gráfico 10: Função crescente – ANTES e DEPOIS
Com relação a esse tópico, 44,53% (na fase ANTES) afirmaram conhecê-lo pelo
menos um pouco (CR+CB+CMB), sendo que 55,47% o conheciam muito pouco
(CMP) ou, então, o desconheciam por completo (DT). Na fase DEPOIS percebeu-se
que 94,23% informaram possuir conhecimento sobre o assunto, o que fez com que
apenas 5,77% ainda se mostrassem com muito pouco – ou mesmo nenhum –
conhecimento a respeito daquele assunto. Salienta-se que existe a necessidade de
que um aluno iniciante conheça o comportamento de crescimento de uma função.
k) Quanto ao conhecimento sobre função decrescente
Gráfico 11: Função decrescente – ANTES e DEPOIS
84
Aconteceu com o tópico função decrescente a mesma situação já observada para o
comportamento de crescimento de uma função, ou seja, 44,54% (na fase ANTES)
afirmaram conhecer pelo menos um pouco sobre o assunto (CR+CB+CMB). Além
disso, 55,46% o conheciam muito pouco (CMP), ou mesmo nada (DT). Na fase
DEPOIS, o primeiro índice subiu para 94,23% e o segundo caiu para 5,77%.
Ressalta-se, aqui, a importância de tal tópico para um aluo iniciante.
l) Quanto ao conhecimento sobre função constante
Gráfico 12: Função constante – ANTES e DEPOIS
Para a função constante 41,41% (na fase ANTES) informaram conhecê-la, de
minimamente até muito bem (CR+CB+CMB), já 58,59% afirmaram conhecê-la muito
pouco (CMP) ou mesmo nada (DT). Na fase DEPOIS percebeu-se que o primeiro
índice subiu para 89,41% e o segundo baixou para 10,59%. Uma provável
explicação para esse fato seria a pouca familiaridade dos alunos com situações
conservativas, ou seja, aquelas circunstâncias nas quais algo não varia ao longo de
um determinado período, como ocorre com o custo fixo em uma empresa.
m) Quanto ao conhecimento sobre zeros da função
Gráfico 13: Zeros da função – ANTES e DEPOIS
85
Na fase ANTES, apenas 35,94% afirmaram conhecer, pelo menos razoavelmente
(CR+CB+CMB), o assunto “Zeros da Função”, o que significa que 64,06% afirmaram
conhecer muito pouco ou mesmo nada sobre o tema.
Na fase DEPOIS o primeiro índice aumentou para 83,65% e o segundo baixou para
16,35%, o que indicou ter ocorrido um aumento da percepção de conhecimento a
respeito daquele tópico, o que se configurou como uma situação desejável, visto que
alunos iniciantes necessitam resolver equações em situações diversas durante o
curso superior.
n) Quanto ao conhecimento sobre extremo da função
Gráfico 14: Extremo da função – ANTES e DEPOIS
Relativamente ao tema extremo da função, o índice de 78,90% (na fase ANTES) foi
bastante alto de alunos que conheciam muito pouco (CMP) ou mesmo nada (DT)
sobre o assunto. Completando o total dos alunos que responderam ao questionário,
apenas 21,10% afirmaram possuir, no mínimo, algum tipo de conhecimento sobre o
tema (CR+CB+CMB).
Na fase DEPOIS tal situação passou a ser, respectivamente, 22,12% e 77,88%,
indicando uma sensível melhora da situação inicial. É importante salientar que para
alunos iniciantes de um curso superior, conhecer a idéia de extremo de uma função
auxilia bastante nos casos em que necessitam determinar pontos nos quais alguma
situação é “ótima”, como no caso da maximização da receita ou mesmo na
minimização do custo.
86
o) Quanto ao conhecimento sobre software graficador de funções
Gráfico 15: Software graficador – ANTES e DEPOIS
Na fase ANTES verificou-se que 51,57% dos estudantes afirmaram possuir
conhecimentos pelo menos razoáveis sobre o tema (CR+CB+CMB), o que mostra
que pouco mais da metade deles conhecia o que é um software graficador de
funções matemáticas. Além disso, 44,53% informaram conhecer muito pouco (CMP)
ou mesmo desconhecer (DT) o que é um software graficador. Tal fato não deixa de
ser preocupante, pois a informática atualmente encontra-se disseminada na
sociedade. Na fase DEPOIS, aqueles índices sofreram variações, sendo,
respectivamente, 74,04% para o nível de conhecimento do grau mínimo para o
máximo e 15,38% para o grupo representado pela soma (DT+CMP). Informa-se que
na fase ANTES 3,9% dos alunos não responderam ao instrumento de coleta e que
na fase DEPOIS este índice aumentou para 10,58%.
3.2.2 Considerações acerca dos conhecimentos declarados pelos alunos:
antes e depois
A partir da análise dos dados coletados no instrumento relativo às percepções de
conhecimentos dos alunos sobre tópicos relacionados ao conceito de função
percebeu-se haver concordância dos resultados obtidos com os de outras
pesquisas, tais como as de Macintyre (2004), Santos Filho (2003), Arcavi (2003) e
Bagni (2004), o que sugere que a maioria dos discentes chega ao curso superior
com problemas de falta de base matemática em assuntos tradicionalmente
entendidos como elementares no conjunto dos temas da Matemática, porém houve
um ganho razoável na compreensão em cada um dos tópicos analisados.
87
Uma provável explicação do que se verificou é a seguinte: com o avanço daquele
semestre letivo, os sujeitos da pesquisa recebiam informações de conteúdo
matemático ao longo das aulas, o que certamente influenciou a percepção dos
discentes sobre o seu grau de conhecimento, o que contribuiu para a variação dos
índices relativos às respostas obtidas quando da reaplicação do instrumento.
Além disso, o contato constante dos alunos com o Graphmatica possibilitou reforçar
os seus conhecimentos, não somente com relação ao uso do mencionado programa,
mas também com a matemática das funções. A facilidade de manuseio daquele
software, já estudada por Santos Filho (2003) e Barufi (2002), permitiu que os
discentes conseguissem perceber mais rapidamente cada detalhe matemático –
domínio, imagem, zero, extremo – que necessitavam entender nos momentos de
construção dos desenhos digitais.
Todos os itens do instrumento de coleta estavam fortemente relacionados ao
assunto função, de acordo com o que se percebe nos livros didáticos, tais como os
de Guelli e Lima (1987) e Silva (1999). O Graphmatica consegue determinar as
soluções de equações polinomiais com muita facilidade, apresentando suas
soluções por meio de retas paralelas ao eixo Y, o que significa afirmar que,
visualmente, o programa apresenta retas da forma x = a, sendo “a” um número real.
O que se observou, no decorrer daquele semestre letivo, foi que os índices
relacionados aos conhecimentos adquiridos cresceram, de forma gradual ou, até
mesmo, muito rapidamente.
Como conseqüência da utilização das técnicas da visualização – por meio de um
software graficador – houve uma substancial diminuição da confusão que se cometia
relativamente aos conceitos de incógnita e de variável; as equações de 1º grau
tiveram os seus índices de conhecimento variando para quase o dobro dos iniciais,
sendo que os índices relativos ao que se categorizou como desconhecimento total
(DT) caíram bastante, sendo que em um ou outro caso caíram para zero (0%); o que
se obteve para o caso das equações de 2º grau serviu para corroborar o resultado
inicial, no qual o índice de conhecimento já poderia ser considerado como bom; os
sistemas de equações puderam ser resolvidos por meio do Graphmatica, o que
facilitou bastante os trabalhos de análise das suas soluções que, então, passaram a
88
ser entendidas como posições relativas de duas retas, como usualmente se faz
quando se leciona a geometria analítica da reta.
O que se percebeu, na fase DEPOIS, foi que temas tradicionais do estudo das
funções, conforme entendido por Guelli e Lima (1987), Silva (1999) e Barufi (2002),
quais sejam, representação tabular, domínio, imagem, representação gráfica, zero,
extremo da função, apresentaram uma melhor pontuação na concepção conheço
razoavelmente (CR), o que já representou um avanço com relação à situação
anterior. Os comportamentos usuais das funções – constância, decrescimento e
crescimento – apresentaram índices muito próximos, uns dos outros, nas opções
CR, CB e CMB, significando, portanto, pouquíssimas diferenças percentuais.
3.3 Teste de Sondagem
A aplicação do Teste de Sondagem (TS) aconteceu devido à necessidade de se
verificar a real situação – de conhecimento ou desconhecimento – dos alunos com
relação a alguns tópicos da matemática elementar, já que seriam utilizados na
seqüência do estudo do tema função.
Observou-se que o TS, resolvido de forma individual pelos alunos
42
, não apresentou
qualquer tipo de surpresa, o que confirmou resultados anteriores, tais como os de
Macintyre (2004), Santos Filho (2003), Arcavi (2003), Bagni (2004), dentre outros.
Assim, já havia certa expectativa com relação a esse fato, pois, ainda no início do
semestre letivo de 2008, quando foi solicitado que os estudantes escrevessem a
redação de “próprio punho”, para se posicionarem frente à matemática, o que foi
apresentado por eles, ou seja, o feedback dos alunos, não foi motivo para surpresa,
posto que corroborava resultados obtidos por aqueles autores, em épocas distintas.
Relativamente à correção dos exercícios constantes do TS, o que se obteve
comprovou o que já haviam verificado as recentes pesquisas de Macintyre (2004) e
42
Deve-se informar que como o TS foi aplicado no 1º dia de aula do semestre, nem todos os alunos estavam
presentes. Por causa disso, as quantidades de instrumentos de coleta de dados não foram as mesmas em cada
momento. Tal situação é bastante comum em escolas da rede privada de ensino que, muitas vezes, têm certa
dificuldade para formar suas turmas e cada processo seletivo.
89
Santos Filho (2003), inclusive com relação aos sentimentos dos alunos em
momentos de realização de uma “prova de matemática” – isso, certamente, fez
aflorar lembranças antigas nos estudantes, muitas delas não tão agradáveis – o que
sugeria a necessidade de se realizar, na sala de aula, um trabalho de revisão dos
assuntos básicos de matemática, antes mesmo que fosse introduzido o tema função.
O mencionado TS foi elaborado com quatro questões, sendo que a 1ª delas versava
sobre o Valor Numérico de uma expressão algébrica que era constituída por quatro
variáveis, porém, todas elas pré-fixadas numericamente, com valores inteiros
(positivos ou negativos); a 2ª questão solicitava que o respondente localizasse dois
pontos, A e B, em um sistema cartesiano de eixos perpendiculares; a 3ª questão
possuía dois itens, “a” e “b”, sendo que no item “a” solicitava-se que fosse resolvida
uma equação de 1º grau e, no item “b” a solicitação era para a resolução de uma
equação do 2º grau (nesta questão não foram fornecidas as já tradicionais duas
fórmulas para a resolução, a do “delta” e a do “x”, o que causou certo desconforto
para muitos dos alunos); a 4ª questão pedia que se resolvesse um sistema de duas
equações lineares, cada uma delas contendo duas incógnitas, x e y, no formato
padrão. Solicitou-se que os estudantes evitassem deixar questões “em branco”, pois
se desejava analisar toda e qualquer produção da parte deles. Após as explicações
necessárias dadas aos alunos e com a concordância geral, o TS pôde ser iniciado.
Antes de se corrigir o TS, decidiu-se categorizar a apresentação dos resultados por
meio de 3 (três) tipos de valoração:
a) Certo – para o caso da resolução estar totalmente correta;
b) Parcial – para o caso da questão ter sido resolvida parcialmente correta;
c) Errado – para o caso da resolução estar totalmente incorreta;
Outra escolha foi não separar os resultados por gênero, visto que tal não fez parte
da proposta da pesquisa. Além disso, os totais seriam apresentados em tabelas, por
turma, ademais de um total geral. Porém, a análise dos resultados seria realizada a
partir do total de alunos das três turmas. A Faculdade X adota a seguinte
classificação, com relação às designações de suas turmas:
90
a) Turma ADM-1-M (1º período, do turno matutino);
b) Turma ADM-1-N-A (1º período, do turno noturno, turma A);
c) Turma ADM-1-N-B (1º período, do turno matutino, turma B).
Após a correção do TS os resultados obtidos foram os seguintes:
a) Turma ADM-1-M (composta de 33 estudantes) – Sala 208
Quadro 05: Resultado do Teste de sondagem – Turma ADM – 1 – M
Questão Certo % Parcial % Errado %
1ª 7 21,21 21 63,64 5 15,15
2ª 10 30,30 1 3,03 22 66,67
3ª – a 19 57,58 1 3,03 13 39,39
3ª – b 6 18,18 1 3,03 26 78,79
4ª 4 12,12 0 --- 29 87,88
b) Turma ADM-1-N-A (composta de 44 estudantes) – Sala 209
Quadro 06: Resultado do Teste de sondagem – Turma ADM – 1 – N A
Questão Certo % Parcial % Errado %
1ª 13 29,55 24 54,55 7 15,90
2ª 6 13,64 3 6,82 35 79,54
3ª – a 20 45,45 2 4,55 22 50,00
3ª – b 6 13,64 1 2,27 37 84,09
4ª 5 11,36 4 9,10 35 79,54
c) Turma ADM-1-N-B (composta de 48 estudantes) – Sala 211
Quadro 07: Resultado do Teste de sondagem – Turma ADM – 1 – N B
Questão Certo % Parcial % Errado %
1ª 2 4,17 37 77,08 9 18,75
2ª 3 6,25 3 6,25 42 87,50
3ª – a 14 29,17 7 14,58 27 56,25
3ª – b 2 4,17 2 4,17 44 91,66
4ª 3 6,25 5 10,42 40 83,33
O resultado geral (das 3 turmas) foi resumido no próximo quadro 08, a seguir.
91
Quadro 08: Resultado geral exibido por questão pela totalidade dos alunos
QUESTÃO CERTO % PARCIAL % ERRADO % Total %
1ª
22
17,6 82 65,6 21 16,8 100%
2ª
19
15,2 07 5,6 99 79,2 100%
3ª - a
53
42,4 10 8,0 62 49,6 100%
3ª - b
14
11,2 04 3,2 107 85,6 100%
4ª
12
9,6 09 7,2 104 83,2 100%
Fonte: Teste de Sondagem
O que se pôde perceber, a partir dos resultados do TS, é que houve uma quantidade
muito maior de erros do que de acertos, o que comprovou resultados de pesquisas
anteriores, tais como a de Macintyre (2004), Barufi (2002), que afirmam que os
alunos realmente chegam à escola superior com poucos conhecimentos básicos de
matemática. Tal situação poderia se tornar em um problema para os estudantes, já
que necessitariam daqueles conhecimentos durante as aulas sobre função e,
também, na seqüência do curso de Administração.
3.3.1 1ª Questão: Valor numérico
A 1ª questão, relativa ao valor numérico de uma expressão algébrica, também
revelou situações de pouco conhecimento a respeito da ordem correta de resolução
das operações, bem como sobre as tradicionais regras dos sinais. Porém, todas as
três turmas apresentaram uma grande freqüência de resoluções parciais, quando se
comparou com os acertos e os erros. Em apenas uma das turmas aconteceu um
índice que ultrapassou (mas bem pouco) os 25% de acerto, e isso se deu em uma
turma do período noturno.
3.3.2 2ª Questão: Localização de pontos no plano
92
A 2ª questão, relacionada à localização de dois pontos em um sistema cartesiano de
eixos, por meio do conhecimento de suas coordenadas, no formato
( ; )
x y
,
apresentou um alto índice de erros, ultrapassando a soma das categorias “certo” e
“parcial”, o que poderia ser um indicativo de futuros problemas para se localizar os
lugares geométricos dos pontos que formarão os gráficos das funções.
3.3.3 3ª Questão – item “a”: Equação de 1º grau
A 3ª questão, item “a”, relativa à resolução de uma equação de 1º grau com uma
incógnita, teve um resultado bastante representativo, posto que, das equações que
aparecem no ensino fundamental e no ensino médio, a de 1º grau é reconhecida
como a de maior simplicidade em termos de sua resolução. Assim, as quantidades
de resoluções corretas, nas três turmas, ou foram muito parecidas umas com as
outras ou um pouco maior que as quantidades das resoluções incorretas. Já as
resoluções do tipo “parcial” foram muito poucas, o que sugere que ou o aluno sabe
resolver uma equação de 1º grau ou não sabe, havendo pouco espaço para o meio
termo. Porém, não se pode generalizar tais observações, posto que estas foram
resultantes de uma situação específica, obtidas em determinadas turmas de uma
escola específica, ou seja, não se poderá generalizar o que foi ali observado para
todas as turmas de todas as escolas. Este mesmo TS, se aplicado em alunos de
outras escolas poderia apresentar resultados completamente diferentes dos que
foram obtidos nessa pesquisa.
3.3.4 3ª Questão – item “b”: Equação de 2º grau
Na 3ª questão, item “b”, relacionada à resolução de uma equação do 2º grau, a
quantidade de erros foi muito grande em todas as três turmas. Esse tipo de equação
aparece em muitos momentos ao longo do curso superior de Administração, daí a
necessidade do seu conhecimento pelos alunos iniciantes. Em especial, tal equação
será utilizada em algumas das situações práticas empresariais, como por exemplo,
93
quando for necessário se determinar os custos, as receitas e os lucros. Em alguns
casos, a simples “retirada” dos valores de “a, b, c”, para compor o padrão
2
0
ax bx c
+ + =
, não aconteceu da forma correta, apresentando, portanto alguns
enganos (ocorreram algumas dúvidas, tais como: qual dos números seria o “a”, ou
qual seria o “b”). Além dos erros já mencionados, também foram verificados os
mesmos tipos de erros da questão de número 1, o que comprovou o pouco traquejo
dos alunos quando da manipulação numérica.
3.3.5 4ª Questão: Sistemas de equações
Finalmente, a 4ª questão, relativa à resolução de um sistema de duas equações
lineares, com duas incógnitas, mostrou ser a que maior quantidade de erros
apresentou, totalizando, nas três turmas, 29 + 40 + 35 = 104 (cento e quatro) erros,
o que sugere que tal assunto não é muito bem entendido pelos estudantes. As
prováveis raízes desse problema poderiam estar no ensino fundamental, quando se
inicia o seu estudo, ainda de maneira simplificada, ou mesmo no ensino médio,
quando o seu estudo acompanha o tópico de matrizes e determinantes. Tal
deficiência, então, apareceria no momento em que os alunos iniciassem os seus
cursos superiores.
3.4 Utilização dos softwares Graphmatica e PainBrush
3.4.1 A primeira aula no laboratório de informática
Conforme previsto na metodologia, aconteceu o primeiro encontro no laboratório de
informática, para cada uma das três turmas de alunos iniciantes, com presença total
dos alunos. Para a maioria deles, aquele momento era especial, visto que nunca
haviam estado em uma aula daquela natureza, ainda mais na disciplina Matemática.
Já para alguns poucos, a utilização de um ambiente informatizado para a assistência
94
a uma aula não era novidade, pois à época do ensino médio estes alunos assistiram
a algumas aulas em laboratórios de informática.
Primeiramente foram dadas algumas informações básicas a respeito de como ligar o
PC, acessar o Windows por meio de uma senha – o que já era do conhecimento dos
discentes – e, finalmente, acessar o ambiente do Graphmatica. Como o tempo
previsto para a aula era de 100 min, decidiu-se que os primeiros 20 min seriam
utilizados para informar, aos discentes, os objetivos daquela aula, bem como para
dar o suporte necessário aos alunos que ainda tinham pouca experiência com o uso
do computador. Quando todas as dúvidas já haviam sido resolvidas iniciou-se a
apresentação dos comandos principais do software, procurando-se exibir a forma de
se escrever corretamente cada um dos comandos do programa, especialmente no
caso de ser necessário o uso das potências, raízes, quocientes e valores absolutos.
Em geral, foram explicados os procedimentos básicos para os tipos mais comuns de
funções matemáticas e também os cuidados que deveriam ser tomados com os
domínios e as imagens. Além disso, ensinou-se como alterar algumas das opções
básicas do programa, dentre elas: largura das linhas dos gráficos; escala a ser
utilizada nos eixos horizontal (X) e vertical (Y); quantidade máxima de gráficos por
sessão e; tipo de papel gráfico. Cabe salientar a desenvoltura dos alunos no
momento de se buscar conhecer as funcionalidades do Graphmatica, já que, por
diversas vezes, muitos estudantes conseguiam obter os resultados de maneira mais
rápida, inclusive por caminhos alternativos ao do professor.
Também foram gastos 20 min (vinte minutos) reforçando a teoria – já ministrada na
sala de aula – que sustenta o conceito de função, porém, a partir do suporte do
Graphmatica, o que gerou uma série de comentários da parte dos alunos, pois eles
percebiam a rapidez com que o programa desenhava os gráficos e exibia as
respectivas tabelas numéricas. Muito daquilo que os alunos falavam relacionava-se
ao período em que cursar o ensino médio, uma época na qual se gastava muito
tempo na construção das tabelas e dos gráficos.
A seguir, foram gastos 10 min (dez minutos) para apresentar o aplicativo PaintBrush,
ou ainda, Paint, que foi escolhido previamente pelo pesquisador para ser utilizado no
processo de colorização dos desenhos digitais. Discutiram-se, especialmente, as
95
funcionalidades da paleta de ícones, cada um destes, responsável por uma
determinada atividade. Como tal paleta é constituída de poucos ícones, o tempo
reservado para a sua apresentação e discussão foi bastante reduzido.
Finalmente, os últimos 50 min foram utilizados para que os alunos pudessem
praticar o que aprenderam durante os momentos anteriores. A partir desse
momento, os estudantes iniciaram a construir os seus próprios desenhos digitais, o
que gerou a necessidade de se criar, também, títulos para as figuras produzidas. Foi
também solicitado que os alunos enviassem, para o endereço eletrônico
dois arquivos contendo os seus desenhos, para posterior
análise pelo professor. Um deles, na extensão “documento” (doc), contendo uma
cópia da figura, as funções e equações utilizadas em sua confecção, além do nome
do aluno e o código identificador da sua turma. E um outro, na extensão jpeg, ou
então, bmp, contendo a imagem originalmente criada, gravada a partir do ambiente
do Paint.
O fato de se ter solicitado o envio por e-mail das funções e das equações utilizadas
deveu-se à necessidade de o professor precisar reproduzir cada uma das imagens
enviadas pelos alunos para, em seguida, poder escolher algumas das mais
representativas do ponto de vista matemático-empresarial.
É digno de nota o fato de que quando o aluno observa a sua própria criação,
experimenta, certamente, duas sensações bastante marcantes: uma grande
satisfação pessoal, especialmente pelo fato de também poder sentir-se criador de
algo e, é claro, uma surpresa, pelo fato de que aquele “algo” foi criado a partir da
matemática. E essa segunda sensação possui um efeito devastador sobre as
antigas concepções dos discentes a respeito da matemática.
As sensações acima descritas possuem sustentação teórica em Aristóteles (1966) e
também em Falabella (1987), especialmente quando esta autora sustenta que “Ao
prazer de ver a imitação e nela reconhecer determinado objeto, soma-se o da
possibilidade de aquisição de um conhecimento” (Ibidem, p. 18) e, mais ainda,
quando cita a fala do antigo sábio grego, qual seja: “Efetivamente tal é o motivo por
que se deleitam as pessoas perante as imagens: olhando-as aprendem a discorrer
96
sobre o que seja cada uma delas” (ARISTÓTELES, 1966, p. 71 apud FALABELLA,
1987, p. 18).
Na verdade, cada desenho criado é pura imitação de alguma representação, uma
peça do imaginário do discente, o que mostra que, ao longo do processo de criação,
ocorre o que preconiza Neiva Júnior (1986) com relação à “construção de
significados” pelas pessoas, quando estas estão em contato com uma imagem.
Além disso, o que subjaz à situação descrita é a forte presença de uma tecnologia
informatizada que não deverá, jamais, ser desprezada, pois está na base de uma
grande maioria dos processos que são demandados pela sociedade moderna. E a
escola, como parte integrante dessa sociedade, também possuirá as suas próprias
demandas tecnológicas, o que sinaliza para a necessidade de uma formação
tecnicista das pessoas, especialmente daqueles profissionais que trabalharão na
área empresarial.
3.4.2 A segunda aula no laboratório de informática
De acordo com a metodologia aplicada nessa pesquisa, realizou-se a segunda aula
no laboratório de informática, após terem se passado oito semanas da aula anterior.
Esse período, que pode parecer longo, deveu-se ao fato dos laboratórios da
Faculdade X serem utilizados em duas situações principais: a primeira, quando ele
está repleto apenas de alunos, em seus afazeres usuais, tais como trabalhos
escolares e uso da Internet; a segunda, quando acontece uma aula que tenha sido
requisitada e reservada, previamente, por algum docente.
A segunda aula no laboratório de informática transcorreu de forma tranqüila. Os
alunos foram informados, mais uma vez, a respeito dos principais comandos do
Graphmatica e os ícones do Paint, porém o tempo necessário para tais informações,
dessa vez, não passou de 15 min (quinze minutos), ficando todo o restante do tempo
da aula para os trabalhos dos alunos na confecção dos desenhos. A cada desenho
criado, um título lhe era associado, bem como surgiam os conceitos matemático-
empresariais. Ora eram retas paralelas, da forma geral “y = a”, que indicavam custos
97
fixos em algumas empresas fictícias, ora eram linhas que se cruzavam e, portanto,
lembravam associações com o BEP, situação empresarial entendida como de
equilíbrio (a receita igual ao custo, ou ainda, a oferta igual à demanda). Os desenhos
que exibiam curvas com as concavidades voltadas para cima, ou para baixo,
serviam de modelos para que fossem discutidos, respectivamente, o custo mínimo e
o lucro máximo daquelas empresas virtuais.
Entretanto, nem só de funções triviais os alunos se valeram, pois aqueles que eram
possuidores de mentes mais curiosas iniciaram uma intensa busca pelas inovações,
ousando criar formatos novos de funções e, também, alterando as configurações
iniciais – consideradas como “padrão” pelo professor – e, então, obtendo novos
traçados, muitos deles de interpretação imediata não trivial. Novamente, ao final dos
trabalhos, cada estudante enviou dois arquivos para um mesmo endereço eletrônico,
dois arquivos, nos mesmos moldes dos anteriores, quando da realização da primeira
aula.
Ao se observar uma turma de alunos criando os seus desenhos digitais é possível
criar associações de tal situação com a área artística. Dessa maneira, a partir de
uma analogia com um fato da história da arte, mais precisamente na Alemanha, no
início do século XX, pode-se proceder como Albers
43
, cujo método de ensino na
Bauhaus
44
era o da “experiência e erro”. Os exercícios apareciam como desafios
para os alunos, mesmo antes de estes estudarem alguma teoria a respeito, de
maneira que os educandos deveriam proceder às experimentações, até que se
deparassem com as respostas aos questionamentos iniciais. Esse mesmo
procedimento aconteceu durante ambas as aulas no laboratório de informática,
especialmente nos momentos de exploração dos alunos, ao tentarem combinações
de funções, já que “(...) a abertura para o novo, que envolve a tentativa e o erro, tem
sido a maior aliada da criatividade e da evolução do homem” (BARROS, 2006, p.
326). Não se deve, jamais, proibir o aluno de experimentar, pois é no experimento
que ele poderá encontrar um novo caminho, uma nova via para alcançar o seu
objetivo. Apesar do fato de que a mencionada autora é oriunda da área da educação
43
Josef Albers (1888-1976) – antigo professor da Bauhaus.
44
Bauhaus foi uma escola de ensino e produção de arte muito famosa no século XX. Foi fundada em 1919,
tendo funcionado por quatorze anos, até que foi extinta pelos nazistas, em 1933 (Barros, 2006). Na Bauhauss
estudaram e, posteriormente, lecionaram muitos dos principais artistas europeus.
98
artística, e não da matemática, é possível, por meio de outra analogia, afirmar que
os seus ensinamentos sugerem que o professor deve inspirar e incentivar o aluno a
aprender com as suas próprias investigações (BARROS, 2006). Assim, o ato de se
produzir um desenho digital, em ambiente computacional, é também um ato criativo.
Não importa que o aluno cometa enganos ao longo das suas experiências. Deve-se
permitir a livre associação de idéias, a livre construção de funções e composições de
funções, no sentido de se verificar o resultado final apresentado pelo Graphmatica.
Sugere-se, também, que se propicie as condições para que o aluno faça as
alterações necessárias nas funções, de acordo com a sua própria conveniência. E
interesse. Nesses momentos, por paradoxal que possa parecer, o aluno também
estará aprendendo, também estará pesquisando e, dentro de certos limites, ele
estará criando.
Logo, é perfeitamente possível se afirmar que a utilização de um software graficador
de funções introduz o educando em um novo mundo, abrindo-lhe portas – antes
fechadas pelos métodos tradicionais de ensino – e proporcionando-lhe o despertar
de suas potencialidades criativas. Até mesmo Goethe (1808) apud Barros (2006),
em pleno início do século XIX, em sua controvertida obra Doutrina das Cores
45
,
lançada em 1808, afirmava que “qualquer relação nova que vem à luz, qualquer
nova técnica, mesmo inadequada, e até o erro são úteis, estimulantes e
indispensáveis para o futuro”. Mais uma vez, pode-se entender esse pensamento no
tocante ao trabalho dos alunos em um laboratório de informática, pois, inicialmente,
quando ainda estão em fase de aprendizagem das funcionalidades do software
Graphmatica, muitos deles acabam se enveredando pelos caminhos da
experimentação, as vezes incorrendo em erros – alguns deles bastante grosseiros,
outros mais simples – porém, deve-se entender que esse é um caminho inevitável e
não se deve culpá-los por tê-lo seguido. Na verdade, durante as experimentações é
possível compreender, com maior clareza, alguns dos processos criativos que os
discentes utilizam.
45
Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832), poeta alemão, autor de uma controvertida obra sobre as cores, o
livro Doutrina das cores. Este livro afrontava, claramente, as idéias defendidas por Isaac Newton – em sua obra
Optica – e é, ainda, considerada como composta de conceitos errôneos a respeito das cores e, é claro, dos
fenômenos da luz. Goethe não concordava com a explicação física de Newton para a luz e chegou a realizar
uma série de experimentos que, de acordo com o que se entende por ciência, jamais poderiam ser levados em
consideração pela comunidade científica.
99
Poder-se-ia esperar que fosse possível começar o estudo da matemática em uma
turma de alunos iniciantes, como se o 1º semestre fosse uma espécie de Vorkurse
46
– um curso da antiga Bauhaus, criado com a concepção de ser introdutório, uma
etapa inicial pela qual o ingressante daquela escola de arte deveria,
incondicionalmente, passar. Seu objetivo fundamental era a libertação da
criatividade e da subjetividade do aluno. Nas palavras de Barros (2006, p. 44), o
Vorkurse era “um meio de libertação do potencial latente criativo. Assim, de forma
análoga, um aluno iniciante do curso de Administração passaria por algo
semelhante.
3.4.3 Colorização dos desenhos
Durante as aulas no laboratório de informática uma pergunta era sempre feita pelos
alunos: “Que cores eu deverei utilizar para criar algum tipo de impacto visual com o
meu desenho?” Esta questão ocorreu sempre que o aluno iniciava o processo de
colorização dos seus desenhos e é fruto do imaginário do estudante que, ansioso
por “causar uma boa impressão” com os seus desenhos digitais, sente grande
necessidade de, neles, incluir cores. À luz da teoria de Bachelard (1996), aquele
sentimento sugere grande preocupação, por parte dos discentes, em tornar
geométrica as suas representações que, inicialmente, foram construídas em suas
mentes, ou seja, o que ocorre é que o ser humano parece ter a necessidade de
geometrizar o seu pensamento, as suas imagens mentais. Assim, a figura,
finalmente construída no computador, foi antes precedida pela imagem mental
daquilo que se pretendeu exibir. Com relação às cores, foi Kandinsky
47
, um antigo
pintor russo, quem defendeu a idéia de que cada cor possui um estreito
relacionamento com alguma forma geométrica. Em uma de suas análises a respeito
desse tema, Kandisnky sustentava que a cor amarela – tida como uma cor quente –
estaria associada ao triângulo; a azul – uma cor mais fria – estaria relacionada ao
círculo; a vermelha – a cor mais quente dentre todas as outras – estaria relacionada
ao quadrado. Por conseguinte, é possível e correta, para Kandisnky, a afirmação de
que as cores se relacionam ao emocional das pessoas, ou seja, aos seus
46
O Vorkurse era um curso preliminar, criado por Josef Albers (1888-1976), um antigo professor da Bauhaus.
47
Wassily Kandinsky (1866-1944) – antigo pintor russo.
100
temperamentos (BARROS, 2006). É possível encontrar uma identificação da
vontade dos sujeitos dessa pesquisa de colorizar seus desenhos digitais com o
próprio sentido de existência da cor. Para Itten (s.d.) apud Barros, 2006, a cor
somente possui sentido (significado) e conteúdo (sua presença) porque o ser
humano é capaz de percebê-la. Este autor defende a idéia de que aquilo que se
chama de cor é o que se pode distinguir por meio do aparelho visual (efeito
cromático), no caso, o próprio pigmento, pois este possui realidade físico-química.
3.4.4 Graphmatica e do Paint: um binômio analisado
Este instrumento de coleta procurou conhecer as concepções dos estudantes com
relação ao Graphmatica e ao Paint. O questionário elaborado continha questões que
deveriam ser respondidas pela totalidade dos alunos, entretanto, como acontece em
qualquer ambiente escolar, alguns deles faltaram nos dias de aplicação, o que fez
com que o total de alunos presentes diminuísse para 94 (noventa e quatro).
Ressalta-se que não serão apresentadas as análises de todos os itens do
instrumento de coleta de dados, tendo-se decidido discutir os tópicos de maior
relevância para o conjunto da pesquisa.
É importante salientar que nenhum dos alunos possuía qualquer tipo de dificuldade
para operar com o computador, com relação ao Windows XP ou ao pacote Office,
ambos entendidos aqui como suportes aos trabalhos que foram realizados no
ambiente do laboratório de informática. Tal comprovação sugeriu a possibilidade de
que muitos dos estudantes já haviam tido algum tipo de experiência com o Paint, já
que este aplicativo acompanha o pacote do Windows desde o lançamento de sua
primeira versão pela empresa Microsoft.
Quando questionados se já haviam utilizado algum tipo de programa específico para
estudar as funções por meio de sua representação gráfica, verificou-se que ocorreu
uma freqüência muito alta para a resposta “não”. Tal fato serviu para exibir a
realidade brasileira referente à utilização da tecnologia nas escolas. Pesquisas
101
recentes, como as de Macintyre (2004), Santos Filho (2003) e Carvalho (2000), têm
mostrado que o computador está, muitas vezes, bem longe da sala de aula e isso
também se deve ao fato de sua ausência em boa parte dos cursos de licenciatura
em matemática que estão em atividade no Brasil, o que sugere, de acordo com
Pongelupe (2004), que se o licenciando não utilizou o computador durante o seu
curso, fatalmente irá reproduzir essa mesma situação quando estiver lecionando.
Adverte-se que tal resultado parece contradizer um item particular do instrumento
anterior, ou seja, o relativo à percepção de conhecimento a respeito de software
graficador, que gerou um índice de 51,57% de afirmação. O que pode ter ocorrido
nesse caso foi que mesmo nunca tendo utilizado um software graficador de funções
matemáticas do tipo do Graphmatica os alunos já utilizavam freqüentemente o
Excel, que também é capaz de construir gráficos. Assim, conjectura-se que as
diferenças de funcionalidade dos dois programas podem ter sido responsáveis pelo
fato de os alunos terem se confundido nos dois momentos em que responderam aos
dois instrumentos.
Gráfico 16: Já havia utilizado algum software para traçar gráficos de funções?
A respeito do local – ou locais – onde os alunos utilizaram o Graphmatica, a maior
freqüência recaiu sobre o próprio ambiente escolar – laboratórios de informática da
Faculdade X – o que é bastante natural, visto que nas empresas onde trabalhavam
há uma prática bastante comum, que é a de não permitir
48
a instalação/utilização de
softwares estranhos ao ambiente empresarial, o que é bastante compreensível,
especialmente do ponto de vista da segurança digital das empresas. Constatou-se
que alguns poucos estudantes utilizavam aquele programa em suas residências, ou,
ainda, em seu local de trabalho, o que supõe ter havido concordância da parte de
48
Tal prática é bastante compreensível, dada a atual situação de inseguridade do meio informático, no qual toda
uma família de vírus, trojans, spywares “povoam” a Internet, o que significa que a empresa precisa manter os
seus dados a salvo de tais infestações. E uma boa maneira de a empresa fazer isso é evitando que seus
funcionários instalem programas alheios às suas atividades.
102
uma ou outra empresa – ou, ainda, pode ser que a pessoa, estando em seu local de
trabalho, utilizasse o Graphmatica em um notebook de sua propriedade. A pesquisa,
porém, não buscou identificar tais detalhes. A tabela a seguir exibe os resultados
obtidos a partir da aplicação do instrumento.
Tabela 04: Onde você utiliza o Graphmatica
Residência
Trabalho
Casa e Trab. Lab. Faculdade Outro Local S/R
20 1 7 80 0 1
Fonte: O autor
O grau de dificuldade de utilização do Graphmatica pelos alunos obedeceu a uma
escala de intensidades, numerada de 1 (um) – indicando baixíssima intensidade –
até 5 (cinco) – indicando altíssima intensidade – e mostrou que 15,95% dos alunos
afirmaram que o programa tinha muita facilidade de utilização, entretanto, 84,05%
deles entendiam que o software apresentava algum tipo de dificuldade de manuseio,
talvez por causa do idioma espanhol – no qual a interface estava escrita – ou
mesmo pela linguagem usual da programação – o que pode ser entendido como um
resultado bastante comum, especialmente pelo fato de se estar utilizando um
programa distinto daqueles que geralmente fazem parte do universo das empresas.
Para exemplificar um tipo de dificuldade relacionado à linguagem, foram exibidas no
quadro abaixo algumas diferenças entre a notação matemática e a notação da
linguagem de programação.
Quadro 09: Comparação entre a escrita matemática e a escrita de programação
Linguagem da matemática Linguagem de programação
2
x
^ 2
x
a.b
*
a b
x
( )
abs x
x
( )
sqrt x
Fonte: O autor
Como ensinam Bradfield e Moredock (1964), “A Matemática é, por sua própria
natureza, matéria altamente simbólica. Suas origens verificam-se no
desenvolvimento por nossos ancestrais de símbolos para representar quantidades e
coleções de objetos” (Ibidem, p. 124). Dessa maneira acontece uma espécie de
conflito entre uma notação e outra, o que gera um determinado grau de desconforto
103
da parte dos estudantes. A tabela a seguir exibe os índices relativos aos graus de
intensidade da dificuldade de se operar com a escrita no ambiente do Graphmatica.
Tabela 05: Dificuldade de utilização do Graphmatica
1 2 3 4 5
23 28 28 14 1 94
24,47% 29,79% 29,79% 14,89% 1,06% 100%
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e PaintBrush
Com relação à questão da utilização do software e a sua correlação com a
aprendizagem do conceito matemático de função pôde-se perceber que a quase
totalidade dos discentes concordou que sim, posto que entenderam que utilizar um
programa para traçar gráficos fez com que apreendessem aquele mencionado
conceito. Tal resultado corroborou o pensamento de autores de pesquisas
anteriores, dentre eles, Santos Filho (2003), Presmeg (1999), Arcavi (2003), Flores
(2004) e Macintyre (2004) que acreditam que o software já se tornou uma
ferramenta essencial no processo de se traçar gráficos e, mais ainda, que aquela
ferramenta auxilia a aprendizagem do tema função.
Gráfico 17: Utilizar software para traçar gráficos auxilia no aprendizado de Função?
A questão referente ao item – também dicotômico – que procurou verificar se havia
alguma correlação entre a criação dos desenhos digitais e a aprendizagem do
conceito de função, verificou-se que quase todos os alunos responderam “sim”.
Pouco menos de 12% deles ou responderam “não” ou, simplesmente, deixaram de
responder, sendo que desses 9,57% responderam, categoricamente, “não”. Informa-
se que não houve qualquer pesquisa sobre se os alunos eram ou não
visualizadores, de acordo com a classificação apresentada por Felder (1988) apud
Almeida (2005), assim, não foi possível afirmar quais deles eram visualizadores e
quais não possuíam tal habilidade.
104
Gráfico 18: Criar desenhos a partir do Graphmatica auxiliou no aprendizado de função?
Os resultados obtidos nos dois últimos itens discutidos pareceram estar em
concordância, já que suas porcentagens estão muito próximas, o que sugere uma
situação de complementaridade entre eles. Mais ainda, tal resultado indicou que as
concepções dos estudantes relativas à utilização de um programa graficador e a
conseqüente criação dos desenhos digitais estão em sintonia.
Relativamente ao processo de colorização dos desenhos, a partir do ambiente do
Paint, verificou-se que tal ação é importante para os alunos, pois estes sentem a
necessidade de exibir as suas criações para os colegas de sala e também para os
seus familiares e amigos, o que demonstra o contentamento pelas “obras” criadas. A
possibilidade de se variarem as cores, ao simples clicar de um mouse, favorece o
surgimento do sentimento de surpresa por parte dos alunos durante a montagem
dos desenhos, já que “el arte da esa posibilidad de acceder a la sorpresa si se tiene
la sensibilidad para dejarse asombrar por aquellas creaciones que regocijan los
sentidos con el goce estético de la forma y el color” (PIERMATTEI e GOTELLI, 2004,
p. 13). E é, enfim, a arte presente no ato de se desenhar que, aliada à matemática
das funções, motiva os estudantes em seus momentos de construção dos desenhos.
Tabela 06: Achou importante colorir com o Paint?
Sim Não S/R
81 11 2 94
86,17% 11,70% 2,13% 100%
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paint
Quando questionados sobre o manuseio do Paint, 94% dos alunos declararam que o
aplicativo é de fácil manipulação, já que a diferença entre as alternativas “fácil” e
“difícil”, em termos percentuais, é tão significativa que parece dispensar qualquer
105
tipo de análise. Acredita-se que isso se deveu ao fato de o programa já ser bastante
conhecido de todas as pessoas que utilizam o Windows – e os seus respectivos
aplicativos – posto que o Paint acompanha aquele gerenciador de sistema de
propriedade da empresa Microsoft desde o lançamento da sua primeira versão,
ainda no século XX.
Tabela 07: O PaintBrush é um software...
...Fácil utilizar ...Difícil utilizar
88 6 94
93,62% 6,38% 100%
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paint
Com referência ao item que pretendeu conhecer a concepção dos discentes
relacionada ao seu conhecimento matemático – se este se ampliou, ou não – o que
se verificou foi que a resposta, mais uma vez, se concentrou na alternativa “se
ampliou”, gerando um índice de quase 97,87%. Assim, um número bastante
expressivo de estudantes concordou que ao utilizar um software graficador de
funções perceberam um aumento do seu conhecimento da matemática.
Com relação aos 2,13% dos que não crêem que houve algum acréscimo ao seu
conhecimento matemático, isso pode ter acontecido porque ocorreu algum tipo de
dificuldade com o manuseio do Graphmatica. A existência de tal índice, mesmo que
ele seja muito baixo quando comparado com o índice daqueles que conseguiram
tirar proveito do uso do mencionado programa, deve ser discutida, já que nem todos
os alunos aprendem matemática – ou qualquer outro assunto – de forma idêntica.
Para cada linha metodológica haverá uma determinada reação dos alunos.
Gráfico 19: Seu conhecimento matemático...
De maneira geral, a produção de desenhos digitais, a partir do Graphmatica e
também do PaintBrush, representou, para muitos dos sujeitos da pesquisa uma
106
espécie de redenção, algo assim como um alívio frente a uma estrutura teórica que,
em tempos passados, lhes aparecia como aterrorizante, uma real fonte de desgosto
vista como desprovida de interesse e sem qualquer tipo de aplicação prática.
Em conversas informais, os alunos se sentiam como “iniciantes em um mundo novo”
– conforme palavras de um deles – posto que suas experiências com a matemática
das funções apenas havia começado. A cada nova função digitada na área de
edição do Graphmatica surgia na tela do monitor um traçado diferente, situação que
causava momentos de surpresa durante as aulas no laboratório de informática, o
que indica que “la capacidad de sorprenderse de un principiante es fabulosa (...)
aunque las matemáticas dan una imagen de perfección y orden, en la realidad
creativa se puede poner de manifiesto una deliciosa anarquia mental y conceptual”
(PIERMATTEI e GOTELLI, 2004, p. 13).
Assim sendo, tomando por base as idéias do construcionismo de Papert (1985) e
dos trabalhos daqueles estudiosos que as utilizam – Ackermann (2004), Uriza
(1995), Presmeg (1985) e Arcavi (2003), dentre outros – é possível se afirmar que o
computador propicia a entrada dos alunos em um novo mundo, repleto de
possibilidades e de esperanças, um mundo que se constrói matematicamente, com
a ajuda de softwares específicos.
3.4.5 A criação dos desenhos digitais
O trabalho de criação dos desenhos digitais pelos alunos se constituiu em um fazer
histórico. Cada figura mostrou-se plena em significados, o que corroborou o que
sustenta Neiva Júnior (1986). Além disso, é possível que uma mesma imagem
produza sentidos distintos, o que sugere a não neutralidade do conhecimento, pois
este não é elaborado de maneira casual, ou ainda, neutra. Dentre o conjunto de
significados que se pode conferir a uma imagem, privilegiou-se, nessa pesquisa, a
associação dos desenhos digitais às diversas situações do cotidiano empresarial, o
que aproxima a matemática pura – o abstrato – com a matemática aplicada – o
concreto.
107
Jota (1989, p. 7) entende que “como linguagem de comunicação e expressão, a arte
do desenho antecede em muito a escrita. O que é a escrita se não a combinação de
pequenos símbolos desenhados?”. Assim, é bem lógico afirmar-se que ao criarem
desenhos digitais, os alunos estão se aproximando das barreiras que separam a
matemática da manifestação artística do desenho – aqui concebido como produzido
da maneira tradicional, sem a utilização do computador – tornando as distâncias
entre aqueles limites cada vez menores.
Um aluno, quando utiliza o computador para criar os seus desenhos digitais o faz de
acordo com uma série de procedimentos – já assimilados por ele – que o levam à
resolução de seu problema: criar desenhos utilizando funções matemáticas em um
ambiente de edição proporcionado por um software graficador. Assim, quando se
encontra em frente a um monitor, para começar o seu trabalho, ele se dá conta de
todo um conjunto de situações que o conduzirá à concretização do seu objetivo. Ele
deverá resolver uma série de operações matemáticas elementares para determinar
as equações que utilizará no processo de criação do seu desenho. Muitas vezes o
trabalho se inicia em um momento anterior ao do uso do computador, pois o
discente precisará decidir que tipo de figura irá desenhar, se ela terá apenas lados
retos, ou se terá curvas. Dessa maneira, durante a construção do esboço, ele
deverá decidir se utilizará folhas brancas de rascunho – para os seus cálculos – ou
uma folha de papel quadriculado, ou mesmo milimetrado, para localizar, no sistema
cartesiano de eixos XY, os pontos que servirão de base para as linhas do seu
desenho digital.
As muitas interações com algum tipo selecionado de programa gráfico-visual
proporcionarão, ao estudante, a oportunidade de uma maior aproximação com a
Matemática e, em particular, com o tema função. De maneira gradativa, o aluno vai
construindo o seu desenho, o que corrobora a idéia básica da teoria construtivista
49
,
que considera o sujeito cognoscente e o seu objeto de conhecimento (WALDEGG,
1998), colocando o primeiro como o responsável pelo seu próprio conhecimento, o
que não significa que ele estará sozinho durante o processo. Além disso, a ação
49
De acordo com Waldegg (1998), toda e qualquer teoria que se diga construtivista trata de explicar como o
conhecimento se dá, além de explicar em que condições essa produção de conhecimento acontece.
108
também corrobora a teoria construcionista, já que como ensina Ackermann (2004), o
engajamento do aluno, ao seu projeto de construção, lhe possibilita ampliar o próprio
conhecimento.
Neste momento é importante frisar que a pesquisa não procurou investigar, ao nível
psicológico, como o aluno aprende a desenhar utilizando as funções matemáticas,
mas, sim, procurou verificar a possibilidade desse sujeito, devidamente assessorado
por um software graficador, além do seu (pré)-conhecimento sobre o tema função,
conseguir criar desenhos digitais e, a seguir, gerar significados para eles, ou seja,
sentidos, representações, relacionadas às situações empresariais.
O aluno se vê, durante o semestre letivo, frente à situação de ter que analisar uma
imagem – por exemplo, um desenho digital criado de acordo com as condições
desta pesquisa – para, em seguida, fazer a transferência conceitual, da figura que
está observando, para a matemática e, finalmente, para alguma situação
empresarial. Essa seqüência de passos faz com que o estudante, não só entenda o
conceito de função, que subjaz aos seus desenhos, mas também com que ele
perceba que é sempre possível
50
trazer, para a sala de aula, o cotidiano das
empresas.
Assim, a imagem que o estudante observa – o seu desenho – transforma-se em
outra imagem, esta de natureza mental, a de alguma situação comum ao dia-a-dia
de uma empresa. E a maneira pela qual a imagem inicial se transforma, a partir de
procedimentos intelectuais, em novas imagens é bastante interessante, o que
sugere a necessidade de, em outro estudo, utilizar as teorias da Psicologia.
Não se pode deixar de relatar que durante os trabalhos erros são cometidos pelo
aluno, porém, quando eles acontecem, os efeitos são logo percebidos visualmente,
já que o software responde aos comandos digitados. De qualquer maneira, um erro
também possui a capacidade de trazer algum tipo de conhecimento – logo,
crescimento intelectual – ao aluno. Afinal de contas, o que acontece, na maioria das
vezes, é que o estudante está, talvez pela primeira vez em sua vida estudantil, em
50
Sugere-se um trabalho futuro, no qual a modelagem matemática lance mão de desenhos digitais, em um
ambiente computacional mediado por softwares mais “potentes”, do ponto de vista de suas funcionalidades e
possibilidades de tratamento gráfico.
109
contato com um trabalho que o desafia, ao ponto de ser necessário exercitar ao
máximo a sua capacidade de criar soluções, uma das bases do Construcionismo de
Papert. E isso pode ser conseguido em uma aula de Matemática, bastará que o
aluno tenha a sua curiosidade e criatividade devidamente desafiadas. Em um
ambiente dessa natureza, conduzido e gerenciado por alunos e professores, torna-
se possível que a avaliação
51
aconteça de maneira bem distinta da tradicional
52
,
passando a ser algo bastante diferente daquilo que já se pratica em ambientes
tradicionais de sala de aula.
Com relação às avaliações punitivas, estas ainda são uma realidade em boa parte
das escolas. É, pois, Waldegg (1998) quem alerta para o fato de que
los procesos de evaluación requieren una revisión, si se les enmarca en un
enfoque pedagógico constructivista. La evaluación, desde esta perspectiva,
debe ser vista como una componente más del proceso de aprendizaje, una
oportunidad para que el alumno aprenda y no sólo, como tradicionalmente
ha sido, un instrumento de certificación o de sanción (WALDEGG, 1998, p.
49).
O que esta autora quer dizer é que toda e qualquer situação, resultante da interação
“professor–aluno”, deverá ser entendida como uma oportunidade a mais para que a
aprendizagem aconteça e que, além disso, é de fundamental importância que se
reconheça que aquele que ensina (o professor), também aprende com o outro (o
aluno), ou seja, que essa é definitivamente uma relação de troca entre ambos os
sujeitos que participam de um ato educativo.
Vários autores têm discutido questões relacionadas aos erros cometidos pelos
alunos, em provas e durante as aulas. Há uma década, os professores defendiam a
criação de cursos paralelos de reciclagem
53
para alunos que não estavam “indo
bem” nas aulas de matemática. Buitrago e Pérez (1998), estudando as causas do
alto índice de reprovação de alunos de cursos ligados à tecnologia, em disciplinas
de matemática nas escolas da Venezuela, propunham, como alternativa ao
51
O que implica a necessidade de se conferir uma pontuação ao aluno.
52
Aquela na qual existem provas quase sempre individuais e os erros cometidos pelos alunos são, via de regra,
punidos com a perda de pontos.
53
Dada à conotação depreciativa que a palavra “reciclagem” carrega consigo, quando é utilizada em educação,
atualmente prefere-se o termo “reeducação”, havendo até mesmo a forma “(re)educação”,conforme Pinto e
Costa (1998).
110
problema, a criação de um programa de estudos independentes, que serviria como
uma espécie de atualização dos conhecimentos matemáticos dos estudantes.
Entretanto, há que se considerar que esse procedimento não leva em consideração
os momentos históricos nos quais cada um dos conceitos matemáticos estava sendo
(ou foi) construído. São famosos os casos de erros cometidos em diversos assuntos
– incluindo os da própria matemática – ao longo dos séculos, pelas brilhantes
mentes de matemáticos famosos. Basta uma consulta à história da matemática para
se perceber isso. A respeito do exposto, é Martínez (1998) quem afirma que
la historia de la ciencia muestra que los errores son fuente de conocimiento,
son el punto de partida de nuevas teorías e incluso la marca de muchos
prestigiados científicos. Para muestra basta un botón, recordemos que
grandes matemáticos como Diofanto, Stevin, Descartes, McLaurin, Euler,
D’Alambert, Carnot, Laplace e incluso Cauchy rechazaron como válidos a
los números negativos. Sin enbargo, en la escuela básica éstos se manejan
como si fueran algo muy familiar. Los errores provocados por esas
concepciones limitadas ahora resultan simplezas (MARTÍNEZ, 1998, p. 87).
O erro traz uma forte necessidade de reflexão com relação à maneira pela qual a
avaliação ocorre, ou deveria ocorrer. Na concepção de Pinto e Costa (1998), o erro
que é cometido por um aluno, quando entendido a partir da ótica construtivista,
passa a ser um elemento útil para a análise da seqüência de eventos que
culminaram com aquela incorreção. E tal análise pode se tornar uma nova fonte de
aprendizagem para o aluno; para o professor, ela será importante para poder
repensar seus objetivos, bem como redefinir, se for o caso, o conteúdo programático
de sua disciplina.
De acordo com tais pensamentos, o trabalho de se desenhar com o computador, a
partir do Graphmatica, é entendido pelos estudantes e também pelo professor como
uma ótima chance de se observar, na prática, a efervescência de pensamentos
durante a realização das operações de idealização e construção dos desenhos.
Assim, é Hebenstreint (1987) apud Gravina e Santarosa (1998, p. 8) quem sustenta
que “O computador permite criar um novo tipo de objeto – os objetos ·concreto-
abstratos·. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser
manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções
mentais”. Apesar de um desenho ser uma representação estática, ele pode ser
111
manipulado e gerar mais de uma situação final, o que pode induzir, no observador,
uma noção de movimento aparente.
O ambiente computacional permite que seja possível a realização de uma “grande
variedade de experimentos em pouco tempo, diferentemente da manipulação
concreta. É a primazia da ação favorecendo o processo de investigação e abstração,
com a conseqüente construção de conceitos e relações” Gravina e Santarosa (1998,
p. 9), o que significa que durante os trabalhos de criação dos desenhos pelos alunos
o pensamento abstrato tornar-se-á muito importante nas elaborações dos desenhos,
constituindo-se em uma parte essencial de cada um dos projetos.
Também se deve considerar que, conforme salientam Miranda e Laudares (2007, p.
73), “todas as aplicações de um computador podem ser vistas como uma aplicação
de um modelo matemático simples ou complexo”, o que confirma a necessidade de
se proceder a uma completa revisão dos atuais currículos, especialmente aqueles
que estão na base da formação dos alunos que estudam em cursos relacionados às
ciências, exatas e sociais.
Diferentemente dos programas do tipo Computer Aided Instruction (CAI), o
Graphmatica torna-se uma ferramenta bastante útil na (re)elaboração do
conhecimento pelos alunos quando estes trabalham na construção dos seus
desenhos digitais. Apesar de o programa possuir uma interface dotada de recursos
essenciais para se trabalhar com assuntos de Análise Matemática considerados
mais “densos” – derivadas, integrais, equações diferenciais – o Graphmatica não é
um programa com grandes funcionalidades de multimídia (som, animação, por
exemplo), o que faz com que os estudantes sintam a necessidade de buscar
alternativas para apresentar as suas imagens, sendo uma delas a utilização de
sentenças matemáticas, com o intuito de gerar “desenhos”, a partir de leis
matemáticas previamente definidas. Tais sentenças são, na verdade, delimitações
do Domínio (eixo horizontal) e da Imagem (eixo vertical).
Para exemplificar tal necessidade, pode-se citar o caso de se precisar desenhar um
esquadro, um objeto ainda bastante utilizado nas escolas, do ensino fundamental ao
ensino superior. Na “programação” do esquadro devem ser levados em conta vários
112
conhecimentos matemáticos, especialmente os da área da Geometria Analítica no
Plano. Os alunos necessitarão determinar os segmentos de reta que comporão a
figura completa do esquadro – um triângulo inscrito em outro, ou seja, “dentro” de
outro – o que implica ser preciso determinar as inclinações das retas suportes
54
e,
além disso, ambos os triângulos deverão ser congruentes. O maior deles poderá ser
entendido como sendo uma transformação do menor, mantendo a mesma inclinação
no lado considerado como sendo a hipotenusa do triângulo – o que implica a
necessidade de se determinar a inclinação comum aos dois triângulos por meio da
utilização da fórmula para o cálculo do coeficiente angular de uma reta. Aqui,
podem-se fazer paralelos com a Trigonometria, com a Álgebra e com a própria
Geometria, além da Aritmética.
O atrativo visual dos atuais programas de computador pode se tornar uma armadilha
para um professor que, por algum motivo, presta pouca atenção ao fato de que seus
alunos – em geral, jovens – não possuem a maturidade matemática necessária para
não se sentirem iludidos com “efeitos visuais mirabolantes”. Nesse sentido, o
Graphmatica é, ainda, um programa muito importante, pois é quase que totalmente
desprovido de tais funcionalidades visuais. Assim, deve-se levar em conta que ao se
analisar uma imagem criada por um aluno, a partir do ambiente do Graphmatica, não
se pode esquecer o fato de que o discente utilizou uma boa dose de sua própria
criatividade. Desenhar com o computador permite, ao estudante, entrar em um novo
mundo, o da criação de imagens, desde um ponto de vista estético.
Para Gravina e Santarosa (1998), os alunos sentem que são desafiados – suas
capacidades cognitivas são desafiadas – portanto, deixam aquela postura já
tradicional da sala de aula, ou seja, a passividade, e passam a agir, sentindo-se
engajados em um projeto de criação individual ou coletivo, o que lhes transmite o
prazer de descobrir que são capazes de criar algo a partir de estruturas matemáticas
que, antes, não passavam de um amontoado de fórmulas e cálculos, agora, algo
que possui muitos significados para eles. Assim, os estudantes transformam-se, indo
de meros espectadores a agentes de sua própria mudança. Dessa maneira, o
conhecimento é alcançado a partir das ações dos principais atores, ou seja, os
alunos.
54
Uma reta suporte é a reta que conterá o segmento de reta que se constituirá em um dos lados do triângulo.
113
Quando da criação dos desenhos digitais, por parte dos alunos, é importante que
não se perca de vista a sua geometria, ou seja, a sua forma, principalmente quando
se pretende que os alunos se sintam mais a vontade durante os trabalhos com as
funções matemáticas. Quando o desenho é criado a partir de funções polinomiais de
1º grau e de retas da forma
x a
=
percebe-se que, apesar de haver um trabalho
muito grande dos alunos, por meio dos pares de pontos, pois necessitam determinar
as equações das retas e, a seguir, escrever cada um dos domínios (indicando os
limites inferior e superior da variável independente “X”), pode-se afirmar que os
procedimentos são de natureza elementar.
Com relação às formas presentes nos dos desenhos digitais é relevante citar que
elas podem, também, ser analisadas por meio dos conhecimentos elementares da
geometria estudada na escola de nível fundamental ou mesmo de nível médio, pois
é ela que, de acordo com Sharipov (1998),
describes the structure of our everyday material environment. In very ancient
ages people learned to discriminate some primitive constituents in the large
variety of forms they observe in the world surrounding them. These are a
point, a straight line and a segment of it, a plane, a circle, a cylinder, a ball,
and some others. People began to study their properties. Geometers of the
Ancient Greece succeeded in it better than others. They noted that the
properties of the simplest geometric forms are not a collection of facts, but
they are bound to each other by many logical bonds. Some of these
properties can be deduced from some others (SHARIPOV, 1998, p. 6).
A percepção das formas dos objetos que estão presentes ao redor de uma pessoa é
um tipo de conhecimento que se adquire muito cedo, em idade muito baixa,
enquanto ainda se é uma criança. Da simples observação dos formatos dos objetos
é possível se entender as diferenças entre elas e, com o tempo, acaba-se por
perceber que a forma característica – seja ela natural, ou moldada – de um objeto
quase sempre está relacionada à sua função, ou seja, à sua funcionalidade em
algum contexto.
Ao criar os seus desenhos o aluno também está exercitando a sua capacidade de
escolha, tomando a decisão por trilhar o caminho que melhor lhe convier. Nesse
momento, o professor não pode interferir nas escolhas feitas pelo aluno, pois se
assim proceder – e isso, infelizmente, muitas vezes acontece – desviará o aluno de
114
seu caminho original, previamente escolhido. É, pois, de grande relevância, que se
deixe para o aluno o poder de decisão, portanto, não faz qualquer sentido o
professor ficar se perguntando o porquê de o aluno ter seguido um determinado viés
e não algum outro, já que “As causas que levam um ator social a agir de certo modo
não coincidem, necessariamente, com as razões que ele dá para isso, e, por outro
lado, que as conseqüências de seus atos podem escapar-lhe inteiramente”
(BOUDON, 1989, p. 17).
3.4.6 Exemplos da produção discente
Como resultado do trabalho desenvolvido durante todo o semestre letivo, os alunos,
trabalhando a sua imaginação, aplicaram o conhecimento matemático até então
adquirido em suas respectivas criações. A seguir, exibem-se cinco delas.
115
Figura 05: Produção discente: Situações e Emoções
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paintbrush
116
Figura 06: Produção discente: Degraus para o conhecimento
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paintbrush
117
Figura 07: Produção discente: Bandeira do Brasil
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paintbrush
118
Figura 08: Produção discente: Administração em Blocos
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paintbrush
119
Figura 09: Produção discente: Malacabada
Fonte: Pesquisa sobre a utilização dos softwares Graphmatica e Paintbrush
120
Para finalizar essa exposição, apresenta-se uma citação de Lima (1994) que retrata,
fidedignamente, o sentido de se explorar – por meio dessa pesquisa – a imagem e a
possibilidade de sua associação com as experiências dos discentes na área
empresarial, posto que “no desenho que o aluno apresenta pode-se ler sua
bagagem cultural e, a partir desta leitura é possível discernir conteúdos de ciência,
tecnologia e estética (...)” (Ibidem, 1994, p. 5).
3.5 Pós-Teste: Visualização de funções
A importância da aplicação do Pós-Teste, na fase final da pesquisa, se impôs devido
à necessidade de verificar se os alunos conseguiriam associar as funções
matemáticas elementares às diversas situações do cotidiano empresarial.
A coleta de dados foi conduzida para verificar se a visualização influenciou, ou não,
no aprendizado das funções matemáticas. Responderam a este instrumento um total
de 102 (cento e dois) alunos. Em cada uma das três turmas foram prestadas todas
as informações necessárias antes que os estudantes iniciassem a resolução do
instrumento de coleta. Informa-se, também, que não houve qualquer tipo de dúvida –
ou mesmo incidente – que merecesse ser aqui assinalada durante os momentos em
que o pós-teste foi aplicado nas três turmas.
Quando questionados a respeito da relação existente entre a utilização das técnicas
de visualização – gráficos gerados e criação de desenhos digitais – e a
aprendizagem do assunto função, as respostas concentraram-se, quase todas, na
alternativa “sim”, o que sugeriu que a visualização, quando transformada em
ferramenta para o ensino daquele conceito matemático, consegue produzir, nos
alunos, a sensação de aprendizagem. Tal
resultado confirmou os que foram obtidos
em pesquisas recentes, tais como as de Hitt (2006), Arcavi (2003) e Presmeg
(1999).
121
Gráfico 20: A utilização de técnicas de visualização teve influência no aprendizado de Função?
Relativamente à associação dos gráficos da função polinomial do 1º grau, ocorreu
um resultado bastante inesperado. Foram consideradas as situações “errado, meio
certo e certo” para efeitos de totalizações. O que se percebeu foi que o item A
apresentou um total de erros maior do que os relacionados aos acertos; no item B
houve um pouco mais de acertos totais do que erros; no item C o total dos acertos
foi bastante significativo; no item D houve um expressivo número de erros, quando
comparados com os relativos aos acertos. Tais números sugeriram que as
associações dos gráficos às situações empresariais ainda não estavam totalmente
solidificadas. Informa-se que se consideraram acertos parciais dos tipos “custo e não
custo total, ou ainda, custo variável”. Outra situação que pode ter influenciado em
algum sentido o relativo baixo grau de acertos é o fato de que na Faculdade X os
alunos do 1º período ficam sobrecarregados com tarefas relacionadas ao Trabalho
Interdisciplinar (TI), que demanda visitas às empresas, elaboração de questionários,
coletas de dados, escrita de relatórios e do TI, além da elaboração de banners
promocionais, dentre outras atividades comuns às disciplinas que cursavam na
época da realização dessa pesquisa. Isso tudo afasta, de certa maneira, o aluno do
estudo da matemática, o que certamente contribuiu, acredita-se, para a queda do
acompanhamento normal daquela disciplina durante o semestre letivo. Por outro
lado, isso pode indicar que é necessário atuar, mais efetivamente, na análise e
interpretação dos gráficos, inclusive considerando situações diversas daquelas em
que um tipo particular de gráfico surge. Tais resultados concordam com resultados
obtidos em pesquisas anteriores, tais como as de Macintyre (2004), Flores (2004),
Barufi (2002) e Arcavi (2003), que sustentam que devem ser trabalhadas, na sala de
aula, e de maneira constante, aquelas situações nas quais a análise de gráficos seja
uma prática necessária para se obter informações a respeito da função.
122
Gráfico 21: Associação de gráficos com funções empresariais
No caso da questão relativa à função polinomial do 2º grau, mesmo considerando-se
que este seja um assunto tradicionalmente mais “difícil” de ser entendido pelos
alunos – conforme atestam Santos Filho (2003) e Barufi (2002) – os resultados
obtidos foram mais animadores do que no caso anterior, posto que o índice de
acerto, em cada item, sempre superou o de erros, o que sugere ter havido um maior
grau de assimilação daquela função.
Gráfico 22: Função Polinomial do 2º grau
A questão relativa à parábola com a sua concavidade voltada para baixo, exibindo
um ponto extremo de natureza “máximo”, teve um alto índice de acertos, o que
comprovou que por meio da visualização é possível associar um ponto daquele tipo
123
a uma situação de lucro máximo em uma empresa. A função quadrática pode, de
acordo com Silva (1999), prestar-se a tal finalidade.
Gráfico 23: Parábola exibindo um ponto extremo de máximo
A próxima questão também apresentou um alto índice de acertos, o que comprovou
que um ponto de interseção entre duas curvas pode representar uma situação de
equilíbrio – conforme Silva (1999) – do tipo “oferta igual à demanda”.
Gráfico 24: Oferta e Demanda – Break Even Point
Quando questionados sobre se a utilização de uma imagem pode favorecer um
aluno em sua linha de raciocínio, os estudantes (90) responderam positivamente,
pois se verificou um índice quase três vezes maior da resposta “sim” do que da
resposta “não” (12). Esta foi uma questão dicotômica e é importante salientar que tal
resultado não significa, necessariamente, que a maioria dos alunos seja do tipo
visualizador, de acordo com a teoria de Felder (1988).
124
Gráfico 25: Utilização de imagem para auxiliar a linha de raciocínio
Quando perguntados sobre a maneira pela qual aprendem, 79,4% dos alunos
responderam que tal acontece quando o material de estudo lhes é apresentado tanto
na forma de texto quanto na forma de figura. Felder (1988) destaca que existem
alunos que utilizam ambas as habilidades nos momentos em que estão resolvendo
problemas. Já Lozano (2007) sustenta que a habilidade para se captar informação, a
partir da leitura de um texto, não passa de mais uma forma de visualização. Dessa
maneira, entendeu-se que os resultados obtidos corroboraram as idéias daqueles
autores.
Gráfico 26: Aprende melhor quando o material está...
A última questão do instrumento de coleta apresentou uma situação de planificação
de um cubo. Exibiu-se a figura de um cubo, em sua posição já tradicional, porém,
apresentando seis letras distintas, cada uma delas inscrita em uma de suas faces.
Ao lado daquele cubo, desenhou-se a sua planificação, porém, com uma de suas
faces em branco, ou seja, faltando a letra. Dessa maneira, solicitava-se que os
125
estudantes indicassem qual das letras estaria ali inscrita e, mais ainda, em qual
posição ela estaria. O que se verificou foi que 64,71% dos alunos acertaram tanto a
letra – P – quanto a sua posição – invertida – enquanto que 35,29% erraram ou a
letra, ou a sua posição, incluídos aqui os estudantes que mesmo acertando a letra
não acertaram a sua posição, ou vice-versa. Assim, o que se considerou como certo
foi a simultaneidade de acertos.
Gráfico 27: Planificação de um Cubo
A pesquisa de Adánez e Velasco (2002) discutiu a habilidade espacial que uma
pessoa precisa ter para conseguir resolver uma dada situação problemática que
exige, para sua solução, a utilização de processos – mentais – de visualização.
Figura 10: Planificação de um Cubo
Fonte: ADÁNEZ e VELASCO, jun. 2002.
Dessa maneira, para se resolver o exercício relacionado à planificação do cubo, a
pessoa deverá ser capaz de realizar construções mentais que, a partir de uma
seqüência finita de transformações, a conduzirão a acertar tanto a letra, quanto a
posição desta, em uma das faces do cubo.
126
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A disciplina matemática é possuidora de grande importância quando analisada pelo
conjunto dos seus conteúdos considerados como elementares, posto que um aluno
precisa conhecê-los ao longo de sua vida acadêmica. É a matemática que serve de
ferramenta para muitas outras disciplinas de qualquer currículo que se organize. Em
maior ou em menor medida lá estará ela, ajudando a explicar conceitos,
esclarecendo dúvidas, lançando novas questões, enfim, fornecendo uma
considerável porção do suporte necessário para que as outras áreas do
conhecimento humano se fortaleçam. Mesmo possuindo tal importância, por vezes
são as outras áreas que contribuem para que a matemática seja estudada.
No caso particular da informática, esta torna possível o estudo de diversos assuntos
matemáticos a partir de ambientes informatizados. Esta pesquisa se enveredou por
esse viés, buscando responder às questões relativas à apreensão do conceito
matemático de função, quando são utilizadas técnicas de visualização facilitadas por
softwares de tipo gráfico-visuais.
A partir da constatação de que o assunto função possui grande importância para o
estudo de diversas áreas de estudo da matemática e, mais ainda, de que a sua
apreensão por parte dos estudantes não ocorre da forma que se desejaria, decidiu-
se estudar a possibilidade de tal aprendizagem acontecer quando utilizada a
informática. Três turmas de alunos iniciantes do curso de Administração da
Faculdade X, localizada na região de Contagem-MG, se constituíram nos sujeitos da
pesquisa. Duas turmas estudavam no período noturno e uma no período matutino.
Procurou-se discutir o ensino do conceito matemático de função, mediado pelo
software Graphmatica, um programa graficador de funções, e pelo Paint, um
aplicativo que funciona a partir do gerenciador Windows. Além disso, buscou-se
determinar se é possível criar desenhos digitais por meio de funções matemáticas e
se tais figuras poderiam ser associadas às situações cotidianas da área empresarial.
127
O que se verificou, após a realização da coleta de dados e de sua respectiva
análise, foi que aqueles alunos chegaram ao 1º período do curso de Administração
com uma série de defasagens relativas aos conteúdos matemáticos necessários
para a seqüência do curso. Assim, fez-se necessário atuar na base matemática do
aluno, posto que esta deveria ser reforçada. Também se verificou que grande parte
deles nunca havia utilizado, anteriormente, um programa de computador
55
para o
estudo da Matemática.
Relativamente à utilização básica do computador – Windows e Office – percebeu-se
que todos os alunos já possuíam algum tipo de experiência com a mencionada
máquina, em suas residências ou em outros locais, demonstrando uma razoável
desenvoltura no seu manejo, o que facilitou o trabalho de aprendizagem dos dois
softwares utilizados ao longo daquele semestre letivo.
Além disso, como todas as salas de aula da faculdade X possuem um computador
ligado à internet – para uso dos professores – algumas das aulas foram realizadas
com esse suporte. Dessa maneira, foi possível discutir as situações mais comuns ao
assunto função a partir da manipulação do software Graphmatica, o que,
certamente, contribuiu para reforçar os conhecimentos dos estudantes relativos ao
mencionado assunto.
A análise e a apresentação dos dados coletados pelos instrumentos de pesquisa
foram realizadas por meio das técnicas elementares da Estatística Descritiva.
Procurou-se identificar e analisar as variáveis básicas dos grupos de alunos (o
gênero, se é trabalhador, o tipo da empresa), tratando-se de categorizar os sujeitos
da pesquisa quanto a algumas situações de interesse educacional, tais como: o
nível de conhecimento prévio, o conhecimento adquirido ou reforçado, a assimilação
do conceito de função, o entendimento dos softwares utilizados, a criação de
desenhos digitais e as associações dos desenhos aos conceitos da área
empresarial.
55
Alguns alunos do grupo pesquisado chegaram ao ensino superior sem nunca terem antes utilizado uma
máquina calculadora durante as aulas de matemática, situação que se repetiu com relação ao computador.
128
Salienta-se que nos dias em que os instrumentos de coleta iniciais – Escala de
Likert, conhecimentos prévios e teste de sondagem – foram aplicados, os sujeitos da
pesquisa não haviam tido qualquer outro tipo de contato com o pesquisador, o que
garantiu a não interferência nos resultados que foram obtidos após as correções das
questões. O que se percebeu, após as correções e tabulações daqueles dois últimos
instrumentos, foi que os estudantes demonstraram possuir poucos conhecimentos
dos tópicos da matemática relacionada ao conceito de função, bem como sobre a
que estava envolvida nos cinco exercícios, posto que foram cometidos muitos erros
durante a sua resolução.
As duas aulas no laboratório de informática foram fundamentais para que o conceito
de função, após apresentado naquele ambiente, pudesse ser melhor assimilado
pelos estudantes. Considerando-se a totalidade dos sujeitos da pesquisa, o que se
observou foi que quase todos eles nunca haviam antes estudado qualquer assunto
de matemática por meio do computador. No caso específico do assunto função, os
discentes relataram que nunca haviam tido contato com um software graficador. Isso
não representou qualquer tipo de problema, já que na primeira aula perseguiu-se o
objetivo de apresentar os comandos básicos do Graphmatica, incluindo a sua
notação. De certa maneira, tal comprovação foi até mesmo útil, pois foi possível
ensinar a utilização de um sistema de representação gráfica de funções
matemáticas para mentes curiosas, portanto, interessadas na aprendizagem
daquele programa. Tal fato foi decisivo para que se mantivesse naquela aula e, em
certa medida na segunda aula, o grau de interesse por aprender a trabalhar com
aquela ferramenta informática.
A partir das funções matemáticas foi possível construir gráficos naquele ambiente
informatizado, o que propiciou, sob certas condições, criar um tipo de desenho
possuidor de uma natureza digital, construído a partir de linhas retas e curvas
resultantes da aplicação de leis matemáticas bem definidas. Dessa maneira, após a
primeira aula no laboratório de informática, os alunos iniciaram a criação dos
desenhos digitais a partir das funções matemáticas. O interesse foi geral, visto que
muitos se sentiram motivados a buscar novos conhecimentos matemáticos. De
especial interesse foi o caso de um grupo de alunos que, desejando diversificar os
seus traçados, perceberam que deveriam ampliar os seus conhecimentos de
129
geometria analítica e que, para isso, deveriam estudar as equações de algumas
curvas que não eram tratadas usualmente naquele primeiro curso de matemática
das funções na Faculdade X, quais sejam: circunferência, elipse, hipérbole. Como
fruto desse interesse foi criada pelo grupo uma personagem – chamada por eles de
Malacabada – o que motivou o autor da pesquisa a incluir a mencionada figura nesta
dissertação como um dos exemplos das criações dos estudantes.
Outras curvas também foram utilizadas pela totalidade dos estudantes, motivados
que passaram a estar pelo tópico relacionado à composição de funções, o que
permitiu o traçado de curvas bastante distintas das que usualmente são discutidas
por alunos iniciantes daquela escola.
Entendeu-se, portanto, que o conceito de função foi assimilado por um número
razoável de alunos, visto que suas produções corresponderam à utilização de temas
associados às funções, tais como: domínio, imagem, gráficos, extremos, zeros,
dentre outros. Apesar de ainda persistirem algumas dificuldades por parte de alguns
estudantes, estas poderiam ser conseqüências de experiências anteriores relativas
ao estudo do tópico função.
Quando da eleição do software graficador de funções, dentre os diversos programas
– livres, freewares, sharewares, pagos – disponíveis na Internet para download, a
escolha recaiu sobre o Graphmatica, pelo fato de este ser um programa bastante
simples em termos do seu manuseio por um usuário, apesar de não possuir muitas
funcionalidades do ponto de vista gráfico. Outro fator que também foi importante
nesse processo foi o fato de o autor da pesquisa já utilizar aquele programa há mais
de dez anos, sempre em turmas de alunos iniciantes de cursos da área empresarial.
Mesmo assim, a coleta de dados mostrou que pouco menos de 20% entendiam que
o programa era muito fácil de ser manuseado. Isso produziu um índice de mais de
80% de alunos que responderam ter sentido algum tipo de dificuldade para operar
com aquele software. Contudo, o que se percebeu, a partir do mesmo instrumento
de coleta, foi que as dificuldades acabaram sendo resolvidas pelos próprios
discentes ao longo do semestre letivo, posto que ao serem questionados em
momentos posteriores sobre a utilização de um software graficador responderam
130
que tal fato favoreceu o traçado dos gráficos, bem como propiciou um melhor
entendimento do conceito de função.
Um subproduto da utilização do Graphmatica foi a resolução de equações e
sistemas de equações, posto que o mencionado software consegue apresentar as
soluções por meio de retas da forma x = a, sendo “a” um número real. Assim, o que
se constatou foi que muitas das dificuldades apresentadas pelos alunos, quando da
resolução do Teste de Sondagem, puderam ser sanadas a partir da utilização
daquele programa.
Relativamente à utilização do Paint, o que se percebeu foi que este aplicativo
transformou-se em uma espécie de pincel para que os estudantes pudessem
conferir cores aos seus desenhos digitais, não tendo surgido qualquer tipo de
questão que merecesse ser mencionada em termos de possíveis problemas com o
seu manuseio. Dessa maneira, entendeu-se que a quase totalidade dos discentes
utilizou o Paint para colorir as suas imagens. Registra-se, também, o fato de que
alguns alunos testaram mais de uma forma de colorização dos seus desenhos a
partir do aplicativo, apresentando resultados com diversos matizes, já que os
desenhos criados, por serem digitais, podiam ser manipulados a vontade.
Verificou-se que as técnicas de visualização proporcionaram subsídios para que os
estudantes pudessem assimilar melhor o conceito matemático de função, uma vez
que estiveram, ao longo da pesquisa, em contato com o software gerador dos
gráficos no plano – ou seja, em duas dimensões – e, também, dos desenhos digitais,
além do aplicativo Paint, a ferramenta de desenho utilizada para colorizar os
desenhos.
Quando questionados sobre a utilização do computador, a quase totalidade dos
alunos informou que isso foi fundamental para que compreendessem o assunto
função. Apesar de não se ter sido um objetivo da pesquisa verificar se os alunos
eram ou não eram visualizadores, resolveu-se incluir um item a respeito disso no
instrumento de coleta. O que se verificou foi que quase 80% dos estudantes
afirmaram que aprendiam melhor quando o material que lhes era apresentado
estava, simultaneamente, na forma de texto e de imagem. Assim, menos de 19% se
131
declararam como visualizadores, ou seja, aqueles estudantes entendiam melhor
algum conteúdo quando este lhes era apresentado a partir de imagens.
Entretanto, quando questionados a respeito da associação dos gráficos com as
situações usuais da área empresarial, os estudantes apresentaram – em uma ou em
outra questão – um índice mais alto de erros do que de acertos, o que pode ter sido
causado pelo fato de ainda ser uma novidade para eles a situação de se estudar o
assunto função de forma associada aos conceitos do cotidiano das empresas.
Dessa maneira, o que se pode concluir a respeito de tais resultados é que existe a
necessidade de se reforçar, ao longo de um semestre letivo, o estudo da análise e
da interpretação dos gráficos das funções e, mais ainda, as analogias destes com as
situações matemáticas comuns à área empresarial devem ser melhor exploradas
pelo professor. Conjectura-se que uma maior exposição dos alunos às técnicas da
visualização propiciará maior grau de apreensão da matemática das funções.
A partir dos depoimentos dos alunos com relação ao ensino de matemática que
tiveram quando ainda eram estudantes dos ensinos fundamental e médio, pôde-se
perceber que vários deles chegaram ao ensino superior com a concepção de que a
matemática não passa de um amontoado de cálculos e de regras que lhes serviriam
como suporte. Acredita-se que tal fato poderia explicar a pouca maturidade – em
matemática – daqueles estudantes que iniciaram aquele curso de Administração.
Além disso, o que se percebeu, após a análise dos instrumentos de coleta foi que os
alunos, após terem passado por um ensino de matemática sem qualquer perspectiva
de praticidade, na época do ensino médio, ainda não compreendiam bem o papel
daquela disciplina no mencionado curso superior.
Ao longo da pesquisa, procurou-se estabelecer relações entre as figuras geradas
pelos estudantes e os principais conceitos da área empresarial, tais como custo,
receita, lucro, oferta, demanda, BEP – ou, ainda, ponto de equilíbrio – dentre outros.
O que se pôde averiguar, ao longo da pesquisa, foi que os alunos passaram a
entender melhor o conceito de função, e tal fato foi determinante para a
comprovação da hipótese inicial. Os discentes perceberam que os desenhos criados
pelo Graphmatica e colorizados pelo PaintBrush, poderiam representar situações
132
comuns às empresas, no que diz respeito às associações que conseguiram intuir, na
maioria das vezes, com as formas presentes nas suas figuras. Perceberam, por
exemplo, que uma linha reta ascendente (inclinada positivamente) em um
determinado desenho poderia representar o custo variável, ou o custo total, para um
determinado produto fabricado; já uma linha reta descendente (inclinada
negativamente) representaria uma situação de depreciação. Já uma reta paralela ao
eixo das abscissas poderia indicar o custo fixo de uma empresa. Nesse sentido,
passa a ser válido associar as formas de um desenho digital às formas usuais dos
gráficos matemáticos, estes, resultantes da matematização – por meio de
modelagens matemáticas convenientes – das situações típicas do cotidiano
empresarial, tais como as já mencionadas anteriormente. A partir dessa
constatação, foi natural a percepção, por parte dos alunos, de que a concavidade de
uma parábola – ora voltada para cima, ora para baixo – podia ser utilizada para
representar duas situações importantes da área empresarial, quais sejam: o custo
mínimo e o lucro máximo. Já uma reta paralela ao eixo das abscissas poderia indicar
o custo fixo de uma empresa.
Verificou-se, portanto, que as técnicas de visualização tornaram-se muito úteis na
identificação dos tópicos relacionados às funções, tais como o domínio, a imagem,
os extremos, as situações de crescimento, decrescimento e constância, os zeros, os
intervalos, dentre outros.
Com relação às dificuldades apresentadas por alguns alunos, destaca-se que esta
pesquisa não pretendeu verificar se elas aconteceram como uma conseqüência da
utilização do computador, ou seja, não se procurou determinar se o contato do aluno
com aquela máquina agudizou algum tipo de deficiência já presente no aluno. Um
estudo dessa natureza demandaria um tempo maior de pesquisa e técnicas
diferenciadas de coleta e tratamento estatístico dos dados.
É importante salientar que no momento da construção de um desenho digital ocorre
– do ponto de vista pedagógico – uma situação de ruptura com a tradição do
fracasso matemático, sustentada, muitas vezes, pela pedagogia tradicional, quando
esta insiste na afirmação de que o erro não representa algo positivo, antes, porém,
uma situação que joga por terra todo o esforço do discente e lhe confere uma
133
sentença definitiva: “Você errou!”. Contudo, a moderna pedagogia já aceita o erro
como uma componente do processo de ensino-aprendizagem, considerando que tal
incorreção é algo natural, estando presente no percurso do aluno e, mais ainda, que
o erro pode ser utilizado como mais uma ferramenta metodológica para se construir
o conhecimento do estudante.
A partir dessa maneira progressista de entender a aprendizagem, não se pode
deixar de aqui registrar a importância que passa a ter, para um aluno, o fato de ele
conseguir acabar com a sua anterior incompetência matemática e, motivado, vencer
o desafio de, talvez pela primeira vez em sua vida estudantil, compreender um
determinado tópico da matemática. Este é o sentimento que muitos deles nutrem
quando estão no laboratório de informática construindo os seus desenhos digitais,
figuras que, de simples garatujas iniciais, de interesse reduzido, se transformam em
desenhos repletos de significados, dentre eles, os matemáticos, além dos
relacionados às práticas usuais da área empresarial. Isso pôde ser percebido de
maneira evidente durante as aulas no laboratório de informática, quando o aluno se
voltava para um colega e explicava, de forma detalhada, o(s) significado(s) daquilo
que havia desenhado a partir do ambiente do Graphmatica. A voz carregada de
emoção, por causa da “descoberta” realizada, era a comprovação de que o
conhecimento havia sido alcançado por ele. Não há como reproduzir tal situação por
meio de palavras, é preciso ter estado presente naquele momento, tão especial
segundo a concepção do estudante. Assim, um software graficador pode vir a tornar-
se bastante útil no processo de construção do conhecimento do conceito de função,
porque além de tudo o que já foi aqui exposto, um programa dessa natureza
também reduz, significativamente, todo aquele trabalho mecânico, comuns às
etapas que levam à construção dos gráficos, além de favorecer a análise e a
interpretação das figuras exibidas na tela de um computador.
Uma reflexão final, como conseqüência dessa pesquisa, é a de que se faz
necessário que o docente de Matemática que se interesse pela utilização de algum
software gratificador de funções – e na Internet podem ser encontrados muitos –
teste alguns deles e, antes que os utilize com os seus alunos, escolha aquele que
melhor se adaptará á realidade escolar na qual todos os atores do estudo estarão
inseridos.
134
Sugere-se, para o caso de futuros estudos, a utilização de ambientes informatizados
de aprendizagem que sejam possuidores de melhores recursos técnicos, incluindo
softwares dotados de maiores potencialidades, especialmente porque a produção de
desenhos digitais observada nas turmas de alunos que foram sujeitos da pesquisa
foi realizada por meio de dois programas bastante simples, mesmo assim, ela se
mostrou diversificada, plena em significados.
Como sugestão para futuros trabalhos, sugere-se uma ampliação da atual pesquisa,
que conduzisse os estudantes à produção de desenhos digitais a partir de softwares
mais “poderosos”, tais como o Maple, ou o Mathematica, ou ainda, o Matlab. Assim,
poder-se-ia considerar a utilização de diversos outros tópicos, dentre a imensa
diversidade deles, existentes na Matemática Superior, por meio das modernas
técnicas de visualização. Nesse novo campo de possibilidades, buscar-se-ia uma
nova abordagem metodológica para o ensino da matemática, o que poderia tornar
possível integrar, em um projeto único de trabalho, e em ambientes informatizados,
aquela disciplina à Arte e a outras áreas do conhecimento, posto que a matemática
sempre consegue desempenhar o papel de representadora – em termos
quantitativos – a práxis do ser humano. Possibilidades... estas existirão sempre!
Um trabalho de pesquisa de cunho científico tem alguma importância se consegue
deixar pistas que possam ser seguidas por outros pesquisadores, para que se
amplie a luz sobre um determinado assunto, contribuindo, dessa maneira, ao
crescimento da ciência, posto que algum conhecimento terá sido produzido.
Entende-se, portanto, sem qualquer tipo de ufanismo, que o objetivo maior de um
trabalho dessa natureza é o de contribuir para a melhoria da condição de vida do ser
humano, já que é para ele – e somente para ele – que tais esforços devem/deveriam
ser consumidos. Nesse sentido, espera-se, de forma honesta e natural, que a
presente pesquisa possa servir, em alguma medida, para honrar o objetivo acima.
Que ela possa contribuir para a discussão do ensino do conceito de função a partir
de um olhar não apenas matemático, mas também estético, cuidando, entretanto, de
não deixar de lado o necessário rigor acadêmico, este, fundamental em qualquer
estudo dessa natureza que venha a ser realizado.
135
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figura geométrica. Uma engenharia didática com o auxílio do Cabri-géomètre.
Dissertação de mestrado. São Paulo: PUC-SP, 1996.
SANTOS FILHO, Constantino Veríssimo dos. Conceito de função: uma abordagem
do processo ensino-aprendizagem utilizando-se o computador como recurso
didático. Dissertação de mestrado, Belo Horizonte: CEFET/MG, 2003.
SHARIPOV, R. A. Foundations of geometry for university students and high-
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Marketing: as melhores práticas. Porto Alegre: Bookman, 2001.
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matemática. Dissertação de mestrado. São Paulo: USP, 1976.
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Mathematics. Plenary Presentation at the commission Internationale pour L`Etude et
L`amelioration de L`Ensignement des Mathematiques. Toulouse, France, July, 1994.
TINOCO, Lucia A. de A. Construindo o conceito de função. 5. ed., Rio de Janeiro:
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MARCONI, Marina de Andrade. Fundamentos de Metodologia Científica. 4. Ed.
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Educación. Tercera época, vol. 10, n. 5, Invierno. Universidad Pedagógica Nacional.
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VALENTE, José Armando (org.). Computadores e conhecimento, Campinas:
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VOGT, Carlos. Informação e simulacro. 2001. Disponível em:
<http://www.comciencia.br/reportagens/socinfo/info01.htm>. Acesso em: 11/12/2007.
WALDEGG, Guillermina Cassanova. Principios constructivistas para la educación
matemática. In: Memorias del III Congreso Iberoamericano de Educación
Matemática., p. 37-42, Caracas, Venezuela, 1998.
144
APÊNDICE A
ESCALA DE ATITUDES EM RELAÇÃO À MATEMÁTICA
TIPO / MODELO: LIKERT / NÃO FORÇADA – Professor: Fernando Rocha Pinto
Aluno(a): _________________________________________________________________
Sexo: masculino ( ) feminino ( ) Data Nascimento: _____ / _____ / ____
Prezado(a) aluno(a):
As frases abaixo expressam as atitudes e/ou sentimentos das pessoas para com a
Matemática. Por gentileza, compare-as com os seus próprios sentimentos. Cada frase
deverá ser graduada por meio de uma sigla, conforme a listagem abaixo. Se você concorda
totalmente com uma dada frase, então escreva “CT”; se concorda parcialmente escreva
“CP”; se estiver indeciso escreva “IN”; se discordar apenas parcialmente escreva “DP”; se
discordar totalmente escreva “DT”.
Abaixo, é apresentado um resumo de tais siglas, em um Quadro de Atitudes/Sentimentos.
CT
C
ONCORDO
T
OTALMENTE
CP
C
ONCORDO
P
ARCIALMENTE
IN
E
STOU
I
NDECISO
(A)
DP
D
ISCORDO
P
ARCIALMENTE
DT
D
ISCORDO
T
OTALMENTE
Espera-se que você indique, com o maior grau de exatidão possível, o seu próprio
sentimento em relação à Matemática. O professor agradece a sua colaboração.
1. A Matemática é muito interessante e eu gosto de estudar essa matéria. _______
2. Eu sinto sempre uma grande tensão em uma aula de Matemática. _______
3. Não gosto de Matemática e me assusta ter que estudar essa matéria. _______
4. A Matemática tem o poder de me fascinar. _______
5. A Matemática estimula a minha vontade de estudá-la mais. _______
6. Quando tento estudar Matemática me dá um “branco” e não consigo pensar direito. _______
7. Estudar Matemática me deixa inquieto, além de impaciente. _______
8. Estudar qualquer assunto de Matemática me deixa feliz. _______
9. Tenho facilidade para aprender qualquer assunto de Matemática. _______
10. Quando vou para uma aula de Matemática sinto-me inseguro, além de irritado. _______
11. Eu gosto realmente de Matemática e estudo essa matéria com prazer. _______
12. Ser obrigado a resolver um exercício de Matemática me faz ficar nervoso. _______
13. Eu jamais gostei de Matemática e ter que estudá-la me deixa bastante chateado. _______
14. Eu penso que não sou capaz de aprender Matemática. _______
15. Quando resolvo algum exercício de Matemática eu me sinto bastante satisfeito. _______
16. Minha reação frente à Matemática é sempre positiva, pois gosto muito dessa matéria. _______
17. Eu não tenho um bom desempenho quando estudo assuntos de Matemática. _______
18. Saber Matemática é fundamental para eu me colocar no mercado de trabalho. _______
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
19. Sempre fico ansioso quando é preciso utilizar qualquer tipo de gráfico matemático. _______
20. Não tenho problemas para estudar qualquer assunto que envolve gráficos matemáticos. _______
21. Irrita-me precisar utilizar formas ou figuras para resolver certos exercícios matemáticos. _______
22. Acho importante utilizar o computador nas aulas de Matemática. _______
23. Eu sempre tive dificuldade de utilizar imagens para resolver exercícios de Matemática. _______
24. Eu sempre fui bom em usar os gráficos para estudar as funções matemáticas. _______
25. O assunto função é muito fácil e eu sempre gostei de estudá-lo. _______
26. Nunca fui bom para estudar as funções e os gráficos, pois eu jamais entendi isso. _______
145
APÊNDICE B
GRAU DE CONHECIMENTOS PRÉVIOS SOBRE A MATEMÁTICA DAS FUNÇÕES
1º PERÍODO DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DA FACULDADE “X”
Caro(a) Aluno(a):
Esta atividade tem por objetivo verificar o grau de conhecimento matemático dos alunos de 1º Período do curso
de Administração, da Faculdade X, ANTES que se iniciem as aulas sobre o assunto FUNÇÃO. Este instrumento
de coleta de dados é parte integrante de pesquisa, já em andamento, no Programa de Mestrado em Educação
Tecnológica do CEFET-MG, de autoria do Professor Fernando Rocha Pinto. Por questões éticas, os nomes dos
alunos serão omitidos durante todo o processo, inclusive na fase de elaboração e defesa da dissertação de
mestrado. O que se pede, aos alunos, é que estes dêem as suas respostas com extrema sinceridade.
Q
UADRO DE
A
TITUDES E SEUS RESPECTIVOS SIGNIFICADOS
DT Desconheço Totalmente CB Conheço Bem
CMP
Conheço Muito Pouco CMB Conheço Muito Bem
CR Conheço Razoavelmente
Cada item relacionado abaixo deverá ser avaliado com relação aos significados descritos no
Q
UADRO DE
A
TITUDES
, marcando-se um único “X” no item escolhido.
TEMAS DT CMP
CR CB CMB
O
PERAÇÕES
B
ÁSICAS
01
As quatro Operações
02
Potenciação
03
Radiciação
04
Números Negativos
05
Regras de Sinais
S
ISTEMA
C
ARTESIANO DE
E
IXOS
06
Sistema de Eixos X e Y
07
Par ordenado
08
Localização de pontos no formato (x,y)
09
Coordenada
10
Abscissa
11
Ordenada
V
ARIÁVEL E
E
XPRESSÃO
A
LGÉBRICA
12
Variável
13
Expressões Algébricas
14
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica
E
QUAÇÕES E
I
NEQUAÇÕES
15
Incógnita
16
Equações de 1º grau
17
Equações de 2º grau
18
Sistemas de equações
19
Inequações de 1º grau
20
Inequações de 2º grau
Continua...
146
Continuação...
TEMAS DT CMP CR CB CMB
C
ONHECIMENTOS SOBRE
F
UNÇÃO
21
Variável Independente
22
Variável Dependente
23
Conceito de Função
24
Escrita de uma Função
25
Domínio da Função
26
Imagem da Função
27
Tabela de valores X e Y
28
Gráfico da Função
29
Desenho do Gráfico
30
Análise do Gráfico
31
Inclinação de uma reta
32
Função Crescente
33
Função Decrescente
34
Função Constante
35
Zeros da Função
36
Concavidade de uma curva
37
Extremo da Função
38
Ponto de Mínimo
39
Ponto de Máximo
A
PLICAÇÃO DAS
F
UNÇÕES NA
Á
REA
E
MPRESARIAL
40
Aplicações das funções
41
Custo Fixo
42
Custo Unitário
43
Custo Variável
44
Custo Total
45
Preço de Venda
46
Receita Total
47
Lucro Unitário
48
Lucro Total
49
Oferta
50
Demanda
51
Depreciação
P
ARTE
T
ÉCNICA
52
Computador
53
Teclado
54
Mouse
55
Software
56
Software graficador
57
Word Pad
58
Word
59
Paint
60
Desenho com o computador
P
ARTE
A
RTÍSTICA
61
Arte
62
Artes Visuais
63
Arte com o computador
64
Desenho
65
Figura
66
Figura Geométrica
67
Imagem
Agradeço sua colaboração e coloco-me à disposição para quaisquer tipos de esclarecimentos.
Prof. Fernando Rocha Pinto
147
APÊNDICE C
TESTE DE SONDAGEM
FACULDADE “X” - CURSO DE ADMINISTRAÇÃO – 1º SEMESTRE DE 2007
PROFESSOR: Fernando Rocha Pinto
Este teste é individual e sem consulta – (Não use calculadora)
O professor agradece a sua participação.
O professor agradece a sua participação. O professor agradece a sua participação.
O professor agradece a sua participação.
*******************************************************************************************
1ª.) Calcule o valor numérico da expressão algébrica abaixo, sabendo-se
que
6 , 4 , 20 , 8
a b c d
= − = = − =
.
2 61
4( )
b a
d c b
− +
+ −
2ª.) Localize no Sistema de Coordenadas Cartesianas os pontos A e B,
sabendo-se que suas coordenadas são:
Ponto de abscissa igual a 2 e or
denada igual a 5
Ponto ( 1 , 1 )
A
B
−
3ª.) Calcule “X” em cada uma das equações a seguir.
a)
20 2 8 53
x x
− + = −
b)
2
2 15 0
x x
+ − =
4ª.) Resolva o sistema de equações abaixo.
2 3 1
3
x y
x y
+ =
− + = −
*******************************************************************************************
a) Em qual dos exercícios você utilizou alguma fórmula matemática?
b) Você sentiu dificuldade(s) para resolver as questões?
c) Durante os exercícios você conseguiu reconhecer todos os termos matemáticos
presentes nos enunciados das questões? Se NÃO, qual (ou quais) deles?
148
APÊNDICE D
PESQUISA SOBRE A UTILIZAÇÃO DOS SOFTWARES GRAPHMATICA E PAINTBRUSH
Prezado(a) Aluno(a): Este instrumento de coleta de dados é parte integrante da pesquisa, em
andamento, do Programa de Mestrado em Educação Tecnológica do CEFET-MG, de autoria do
Professor Fernando Rocha Pinto, cuja intenção é conhecer as concepções dos alunos de 1º Período
do curso de Administração da Faculdade X sobre o software Graphmatica.
Por gentileza, responda às questões a seguir, identificando com um “X” a alternativa que melhor
representar a sua concepção. Espera-se que suas respostas sejam dadas com extrema sinceridade.
01-) Classifique, de 1 a 5, o seu interesse pela disciplina Matemática.
( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5
02-) Você já havia utilizado anteriormente algum software para traçar gráficos de Funções matemáticas?
( ) Sim Qual? __________________________ Em qual(quais) série(s) de ensino? __________________
( ) Não
03-) Ter usado o Graphmatica favoreceu a sua aprendizagem do conceito matemático de FUNÇÃO?
( ) Sim, porque .......................................................................................................................................................
( ) Não, porque ......................................................................................................................................................
04-) Em que local você utiliza (ou utilizou) o Graphmatica?
( ) apenas em minha residência
( ) apenas em meu local de trabalho
( ) em minha residência e também em meu local de trabalho
( ) apenas no Laboratório de Informática da Faculdade Senac Minas
( ) em outro local onde? ______________________________________________________________
05-) A interface (ícones, comandos, idioma, etc.) do Graphmatica favorece a sua utilização pelo usuário?
( ) Sim, porque .......................................................................................................................................................
( ) Não, porque ......................................................................................................................................................
06-) Classifique, de 1 a 5, a facilidade de utilização do Graphmatica.
( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5
07-) Classifique, de 1 a 5, a dificuldade de utilização do Graphmatica.
( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5
Aluno (a):
( ) Masculino ( ) Feminino
Faixa Etária:
( ) menor de 18 anos
( ) de 18 a 22 anos
( ) de 23 a 27 anos
( ) de 28 a 32 anos
( ) de 33 a 36 anos
( ) de 37 a 41 anos
( ) 42 anos ou mais
Atuação Profissional:
( ) trabalho em uma empresa familiar
( ) trabalho em uma pequena empresa
( ) trabalho em uma média empresa
( ) trabalho em uma empresa de grande porte
( ) trabalho por conta própria
( ) emprego formal ( ) emprego informal
( ) estou desempregado(a)
( ) estou aposentado(a)
149
08-) Você utilizou o MANUAL do Graphmatica enviado para o e-mail da turma?
( ) Sim ( ) Não
09-) O software Graphmatica satisfez às suas expectativas?
( ) Sim, porque .......................................................................................................................................................
( ) Não, porque .......................................................................................................................................................
10-) Em sua opinião, utilizar um software para traçar gráficos de funções matemática auxilia o(a) aluno(a)
a aprender melhor o conceito matemático de Função?
( ) Sim, porque .......................................................................................................................................................
( ) Não, porque ......................................................................................................................................................
11-) O fato de você ter utilizado o Graphmatica te auxiliou a aprender o conceito de Função?
( ) Sim, porque .......................................................................................................................................................
( ) Não, porque ......................................................................................................................................................
12-) Em sua opinião, CRIAR DESENHOS a partir do Graphmatica foi importante para o seu próprio
aprendizado do conceito matemático de Função?
( ) Sim, porque ........................................................................................................................................................
( ) Não, porque .......................................................................................................................................................
13-) Por gentileza, atribua uma NOTA (de 1 a 10) para o software Graphmatica.
_____________
14-) Você acha importante COLORIR com o PaintBrush os desenhos que são criados pelo Graphmatica?
( ) Sim, porque .......................................................................................................................................................
( ) Não, porque ......................................................................................................................................................
15-) Em sua opinião, o PaintBrush é um software:
( ) Fácil de ser utilizado
( ) Difícil de ser utilizado
16-) Por gentileza, atribua uma NOTA (de 1 a 10) para o software PaintBrush.
_____________
17-) Em sua opinião, neste semestre o seu conhecimento matemático . . .
( ) Se ampliou, porque ...........................................................................................................................................
( ) Permaneceu o mesmo, porque ........................................................................................................................
18-) Por gentileza, aponte os pontos positivos e negativos da disciplina Matemática neste semestre.
Pontos positivos:
Pontos negativos:
19-) Para finalizar, critique a disciplina Matemática (cursada por você neste semestre) e, a seguir,
apresente sugestões para a sua melhoria, para o segundo semestre de 2007.
Agradeço, sinceramente, a sua participação nesta pesquisa.
Prof. Fernando Rocha Pinto
150
APÊNDICE E
PÓS-TESTE: A VISUALIZAÇÃO DAS FUNÇÕES
NOME: _________________________________________________________________________
O objetivo deste teste é verificar a sua aprendizagem sobre as funções, em termos da
Visualização
...
É importante enfatizar que caso você não consiga responder a alguma questão, deverá deixá-la em
branco, porém, por gentileza, escreva o(s) motivo(s) pelo(s) qual(is) não conseguiu resolvê-la e, ao final
desse teste, indique, por meio de um número, a quantidade de questões que você deixou sem resposta.
I
NFORMAÇÕES BÁSICAS SOBRE O
(
A
)
ALUNO
(
A
):
S
EXO
: M ( ) F ( )
I
DADE
: ____
E
STÁ
E
MPREGADO
? Sim ( ) Não ( ) E
M QUAL SETOR
?:
1. Em sua opinião, o fato de o professor ter utilizado técnicas de Visualização, durante
algumas das aulas de Matemática, teve algum tipo de influência no seu aprendizado do
conceito de FUNÇÃO?
( ) Sim ( ) Não - Justifique: ________________________________________________
Nas questões de n.º 4, 5, 6 e 7, marque com um “X” a alternativa que julgar correta.
( VOCÊ DEVERÁ JUSTIFICAR TODAS AS SUAS RESPOSTAS )
2. Para cada um dos esboços abaixo, identifique uma situação empresarial.
3. O gráfico abaixo representa uma função quadrática da forma y = a x
2
+ bx + c , sendo a ≠ 0.
Marque F para Falso ou V para Verdadeiro em cada um dos itens a seguir.
( ) A função se anula nos pontos “b” e “c”.
( ) A função possui um ponto extremo (máximo).
( ) A função vale a quando x = 0.
( ) A função é sempre crescente.
4. A parábola abaixo, construída no ambiente do Graphmatica, poderá representar, na prática,
a situação de:
a) receita constante b) custo mínimo
c) custo fixo d) lucro máximo
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
151
5. A figura ao lado, desenhada no ambiente do Graphmatica exibe dois
gráficos muito comuns na área econômica: a oferta e a demanda.
Portanto, pode-se afirmar que o ponto de intersecção entre as duas
retas representa o:
a) break even point b) custo fixo
c) lucro negativo d) lucro positivo
6. Considere o esboço abaixo, que representa um desenho digital gerado no ambiente do
Graphmatica, por meio de funções matemáticas. Associe-o às situações comuns da área
empresarial, por meio de um texto.
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
_______________________________________________
7. Quando você necessita resolver um exercício de Matemática, é comum que utilize uma imagem
para auxiliá-lo em sua linha de raciocínio?
SIM, porque: __________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
NÃO, porque: __________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
8. Você crê que aprende melhor quando o material que lhe é apresentado está:
a) na forma de uma figura (diagrama, desenho, fotografia, pintura)
b) na forma de um texto
c) em ambas as formas?
9. A figura da esquerda representa um CUBO e a da direita, a sua planificação, ou seja, cada uma
das seis faces do cubo pode ser desenhada na forma de um quadrado. Observe as seis letras do
cubo e também a maneira que cada uma foi desenhada no cubo. Se você tiver que escrever as seis
letras nos seis quadrados da planificação, QUAL letra deverá ser escrita no lugar do “ponto de
interrogação” e, mais ainda, COMO ela deverá ser desenhada?
Fonte: ADÁNEZ e VELASCO, jun. 2002.
Muito Obrigado!
Prof. Fernando Rocha Pinto
152
APÊNDICE F
VERIFICAÇÃO DO GRAU DE CONHECIMENTO POSTERIOR SOBRE A MATEMÁTICA DAS FUNÇÕES
1º PERÍODO DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DA FACULDADE “X”
Caro(a) Aluno(a):
Esta atividade tem por objetivo verificar o grau de conhecimento matemático dos alunos de 1º Período do curso
de Administração, da Faculdade X, DEPOIS que se iniciem as aulas sobre o assunto FUNÇÃO. Este instrumento
de coleta de dados é parte integrante de pesquisa, já em andamento, no Programa de Mestrado em Educação
Tecnológica do CEFET-MG, de autoria do Professor Fernando Rocha Pinto. Por questões éticas, os nomes dos
alunos serão omitidos durante todo o processo, inclusive na fase de elaboração e defesa da dissertação de
mestrado. O que se pede, aos alunos, é que estes dêem as suas respostas com extrema sinceridade.
Q
UADRO DE
A
TITUDES E SEUS RESPECTIVOS SIGNIFICADOS
DT Desconheço Totalmente CB Conheço Bem
CMP
Conheço Muito Pouco CMB Conheço Muito Bem
CR Conheço Razoavelmente
Cada item relacionado abaixo deverá ser avaliado com relação aos significados descritos no
Q
UADRO DE
A
TITUDES
, marcando-se um único “X” no item escolhido.
TEMAS DT CMP
CR CB CMB
O
PERAÇÕES
B
ÁSICAS
01
As quatro Operações
02
Potenciação
03
Radiciação
04
Números Negativos
05
Regras de Sinais
S
ISTEMA
C
ARTESIANO DE
E
IXOS
06
Sistema de Eixos X e Y
07
Par ordenado
08
Localização de pontos no formato (x,y)
09
Coordenada
10
Abscissa
11
Ordenada
V
ARIÁVEL E
E
XPRESSÃO
A
LGÉBRICA
12
Variável
13
Expressões Algébricas
14
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica
E
QUAÇÕES E
I
NEQUAÇÕES
15
Incógnita
16
Equações de 1º grau
17
Equações de 2º grau
18
Sistemas de equações
19
Inequações de 1º grau
20
Inequações de 2º grau
Continua...
153
Continuação...
TEMAS DT CMP CR CB CMB
C
ONHECIMENTOS SOBRE
F
UNÇÃO
21
Variável Independente
22
Variável Dependente
23
Conceito de Função
24
Escrita de uma Função
25
Domínio da Função
26
Imagem da Função
27
Tabela de valores X e Y
28
Gráfico da Função
29
Desenho do Gráfico
30
Análise do Gráfico
31
Inclinação de uma reta
32
Função Crescente
33
Função Decrescente
34
Função Constante
35
Zeros da Função
36
Concavidade de uma curva
37
Extremo da Função
38
Ponto de Mínimo
39
Ponto de Máximo
A
PLICAÇÃO DAS
F
UNÇÕES NA
Á
REA
E
MPRESARIAL
40
Aplicações das funções
41
Custo Fixo
42
Custo Unitário
43
Custo Variável
44
Custo Total
45
Preço de Venda
46
Receita Total
47
Lucro Unitário
48
Lucro Total
49
Oferta
50
Demanda
51
Depreciação
P
ARTE
T
ÉCNICA
52
Computador
53
Teclado
54
Mouse
55
Software
56
Software graficador
57
Word Pad
58
Word
59
Paint
60
Desenho com o computador
P
ARTE
A
RTÍSTICA
61
Arte
62
Artes Visuais
63
Arte com o computador
64
Desenho
65
Figura
66
Figura Geométrica
67
Imagem
Agradeço sua colaboração e coloco-me à disposição para quaisquer tipos de esclarecimentos.
Prof. Fernando Rocha Pinto
Livros Grátis
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Milhares de Livros para Download:
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