( PDF ) Estimação de modelos ARIMA/ARIMAX e aplicação em inferência de perdas de propano

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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica e de

Computa¸c˜ao

Estima¸c˜ao de Modelos ARIMA/ARIMAX e

Aplica¸c˜ao em Inferˆencia de Perdas de

Propano

Wany Leydiane Souza de Andrade

Orientador: Prof. Dr. Luiz Aﬀonso H. Guedes de Oliveira

Natal, RN, julho de 2009

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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica e de

Computa¸c˜ao

Estima¸c˜ao de Modelos ARIMA/ARIMAX e

Aplica¸c˜ao em Inferˆencia de Perdas de

Propano

Wany Leydiane Souza de Andrade

Orientador: Prof. Dr. Luiz Aﬀonso H. Guedes de Oliveira

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao

Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia

El´etrica e de Computa¸c˜ao da UFRN (´area de

concentra¸c˜ao: Engenharia de Computa¸c˜ao)

como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do

t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias.

N´umero de ordem PPgEE: M237

Natal, RN, julho de 2009

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Estima¸c˜ao de Modelos ARIMA/ARIMAX e

Aplica¸c˜ao em Inferˆencia de Perdas de

Propano

Wany Leydiane Souza de Andrade

Disserta¸c˜ao de Mestrado aprovada em 16 de julho de 2009 pela banca examinadora com-

posta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Luiz Aﬀonso H. Guedes de Oliveira (orientador) . . . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. F´abio Meneghetti U. de Ara´ujo (examinador interno) . DCA/UFRN

Prof. Dr. Jorge Dantas de Melo (examinador interno) . . . . . . . . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. Diego Rodrigo Cabral Silva (examinador externo) . . . . . . CEFET-RN

Dedicat´oria

A minha fam´ılia, respons´avel pelo

alicerce da minha educa¸c˜ao, dedico

mais esta conquista.

Agradecimentos

A Deus.

Ao meu orientador, professor Luiz Aﬀonso, sou enormemente grata pela orienta¸c˜ao.

Ao professor F´abio Meneghetti e ao engenheiro Jos´e Medeiros A. J´unior, por disponibili-

zarem o Estudo de Caso utilizado nesta disserta¸c˜ao.

Aos colegas de laborat´orio, pelas contribui¸c˜oes e sugest˜oes.

Aos demais amigos e familiares, pelo incentivo e compreens˜ao durante esta jornada.

Ao CNPq, pelo apoio ﬁnanceiro.

Resumo

Nesta disserta¸c˜ao de mestrado realiza-se um estudo sobre s´eries temporais, que cont´em

uma descri¸c˜ao das principais t´ecnicas existentes para an´alise de s´eries temporais lineares,

detalhando-se mais profundamente os modelos ARIMA e ARIMAX. Os modelos ARIMA

e ARIMAX destinam-se `a modelagem de s´eries temporais que podem ser representadas

por equa¸c˜oes lineares, sejam elas estacion´arias ou n˜ao-estacion´arias.

Dentro do processo de estima¸c˜ao do modelo ARIMA/ARIMAX, usam-se v´arias t´ec-

nicas combinadas, em diferentes partes desse processo, como: Crit´erio de Informa¸c˜ao

de Akaike para a escolha das ordens e atrasos do modelo e o algoritmo Recursive Least

Squares para estimar os coeﬁcientes do modelo.

O problema a ser abordado nesta disserta¸c˜ao consiste em, de posse apenas de amostras

de uma s´erie temporal no dom´ınio do tempo, e de uma entrada (ou v´arias) do sistema

gerador dessa s´erie temporal, estimar um modelo que represente adequadamente essa s´erie,

com o menor erro poss´ıvel em rela¸c˜ao `a s´erie real e `a s´erie ajustada pelo modelo.

Os principais resultados desta disserta¸c˜ao s˜ao a implementa¸c˜ao e valida¸c˜ao de algorit-

mos para determina¸c˜ao de ordens, coeﬁcientes e atrasos dos modelos ARIMA/ARIMAX.

Outro resultado refere-se `a estima¸c˜ao do modelo e `a realiza¸c˜ao de inferˆencias para a s´erie

temporal do estudo de caso, a s´erie de Perdas de Propano no topo da coluna deetaniza-

dora de uma Unidade de Processamento de G´as Natural. As estima¸c˜oes realizadas sobre a

sa´ıda da s´erie do estudo de caso funcionar˜ao como um sensor de software capaz de indicar

a perda de propano nessa coluna em caso de ausˆencia de um sensor de hardware para tal

ﬁnalidade.

Palavras-chave: S´eries Temporais, Tendˆencia, Sazonalidade, Modelos ARIMA, Mo-

delos ARIMAX, Previs˜ao de S´eries Temporais.

Abstract

In this master’s thesis, it’s made a study about time series, that has a description of

the principal techniques to linear time series analysis, it’s shown with details the ARIMA

and ARIMAX models. The ARIMA and ARIMAX models are destinated to modeling of

time series which can be represented for linear equations, independently if the time series

is stationary or non-stationary.

In the process of ARIMA/ARIMAX models estimation, many techniques are used

together, in diﬀerent parts of this process, like: Akaike’s Information Criteria (AIC) to

choose the orders and delays of the model and Recursive Least Squares (RLS) algorithm

to estimate the model’s coeﬃcients.

The problem to be approched in this master’s thesis is, having only samples of a time

serie in the time domain and one (or more) entries of the generator system of this serie,

to estimate a model that properly represents this time serie, with the minor error possible

in relation to the real serie and the serie generated by the model.

The principal results of this dissertation are the implementation and validation of the

algorithms to determination of orders, coeﬃcients and delays of the ARIMA/ARIMAX

models. Another result refers to the model estimation and the inferences for the time

serie of the case study, the time serie of propane loss at the top of the column called

deetanizadora, in a natural gas processing unit. The inferences made on the exit of the

serie of case study will work as a software sensor able to indicate the propane loss in this

column in the absence of a hardware sensor for this purpose.

Keywords: Time Series, Tendency, Seasonality, ARIMA Models, ARIMAX Models,

Time Series Prevision.

Conte´udo

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xix

Lista de Siglas xxi

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais 5

2.1 S´eries Temporais N˜ao-estacion´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Outras Transforma¸c˜oes Pr´evias para S´eries Temporais . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Modelos para S´eries Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Tendˆencias, Sazonalidades, Ciclos, Aleatoriedade e Outliers . . . . . . . . . 10

2.5 Modelos de Suaviza¸c˜ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 S´eries Temporais Sem Tendˆencia e Sem Sazonalidade . . . . . . . . 14

2.5.1.1 M´edias M´oveis Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1.2 Suaviza¸c˜ao Exponencial Simples . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.2 S´eries Temporais Com Tendˆencia e Sem Sazonalidade . . . . . . . . 16

2.5.2.1 Suaviza¸c˜ao Exponencial de Holt . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.3 S´eries Temporais Com Tendˆencia e Sazonalidade . . . . . . . . . . . 17

2.5.3.1 Suaviza¸c˜ao Exponencial Sazonal de Holt-Winters (para sa-

zonalidade aditiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.3.2 Suaviza¸c˜ao Exponencial Sazonal de Holt-Winters (para sa-

zonalidade multiplicativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Modelos ARIMA e ARIMAX 21

3.1 Modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Caracter´ısticas do Modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Modelos AR e ARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3 Modelos MA e IMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4 Modelo ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Modelo ARIMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 ARIMAX e suas Subdivis˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Modelo SARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Modelo NARMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX 31

4.1 Sele¸c˜ao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Estima¸c˜ao das Ordens do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao (FAC) e Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao Par-

cial (FACP) Estimadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike (CIA) . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2.1 CIA para Modelos ARIMA e ARIMAX . . . . . . . . . . 34

4.2.2.2 CIA para Modelos AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2.3 CIA para Modelos SARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2.4 Outras Equa¸c˜oes para CIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2.5 Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike Modiﬁcado . . . . . . . 37

4.2.3 Crit´erio de Informa¸c˜ao Bayesiano (CIB) . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 M´etodo de M´axima Verossimilhan¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.2 RLS - Recursive Least Squares (M´ınimos Quadrados Recursivos) . . 40

4.3.3 ELS - Extended Least Squares (M´ınimos Quadrados Estendidos) . . 43

4.4 Diagn´ostico do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1 Teste de Autocorrela¸c˜ao Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.2 Teste de Autocorrela¸c˜ao Cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.3 Adicionando Novos Termos ao Modelo ARIMA/ARIMAX . . . . . 47

4.5 Previs˜oes com o Modelo ARIMA e ARIMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5.1 Transforma¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Etapas da Modelagem e M´etodos Escolhidos para o Sistema . . . . . . . . 50

5 Testes e Resultados Preliminares 55

5.1 Problemas T´ecnicos Enfrentados Durante a Fase de Implementa¸c˜ao do Sis-

tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Estouro de Pilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Ambiente Computacional Desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Estudo de Caso 77

7 Conclus˜oes 95

7.1 Contribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Referˆencias 97

Lista de Figuras

1.1 S´erie Temporal ﬁct´ıcia da taxa de varia¸c˜ao do d´olar em dias. . . . . . . . . 2

2.1 Exemplo de um processo estoc´astico (um conjunto de vari´aveis aleat´orias). 5

2.2 Uma vari´avel aleat´oria com uma fun¸c˜ao densidade de probabilidade corres-

pondente (para um valor de t ﬁxado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Uma s´erie temporal em fun¸c˜ao do tempo (para um valor de ω ﬁxado). . . . 6

2.4 Diagrama de subdivis˜oes do modelo ARIMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 O processo gerador da s´erie temporal juntamente com o sistema estimador

da s´erie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Fluxograma : constru¸c˜ao de um modelo ARIMA/ARIMAX. . . . . . . . . 23

4.1 Componentes do RLS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Algoritmo RLS (WIKIPEDIA, 2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Algoritmo ELS (FERRARI, 2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Fluxograma estendido: constru¸c˜ao de um modelo ARIMA/ARIMAX. . . . 51

5.1 Gr´aﬁco contendo os valores originais da s´erie de teste que simula o com-

portamento de um modelo ARIMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMA estimados pelo

Algoritmo ELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIMA. . . . . . . . 59

5.4 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo Z

t−1

do modelo ARIMA. . . . . . . . . . 59

5.5 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−1

do modelo ARIMA. . . . . . . . . . 60

5.6 Autocorrela¸c˜oes Estimadas dos Res´ıduos do modelo ARIMA. . . . . . . . . 60

5.7 Valores previstos utilizando o modelo ARIMA e valores reais da S´erie Tem-

poral Fict´ıcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8 Gr´aﬁco contendo os valores originais da s´erie de teste que simula o com-

portamento de um modelo ARIMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.9 Gr´aﬁco contendo os valores da Entrada Ex´ogena 1 do modelo ARIMAX. . 63

5.10 Gr´aﬁco contendo os valores da Entrada Ex´ogena 2 do modelo ARIMAX. . 63

5.11 Ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMAX estimados pelo

Algoritmo ELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.12 Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIMAX. . . . . . . 65

5.13 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo Z

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 65

5.14 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 66

5.15 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . . 66

5.16 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 67

5.17 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . . 67

5.18 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 68

5.19 Autocorrela¸c˜oes Estimadas dos Res´ıduos do modelo ARIMAX. . . . . . . . 68

5.20 Valores estimados utilizando o modelo ARIMAX e valores reais da S´erie

Temporal Fict´ıcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.21 Tela inicial do sistema de gera¸c˜ao de modelos ARIMA/ARIMAX. . . . . . 71

5.22 Detalhe da tela do sistema de gera¸c˜ao de modelos ARIMA/ARIMAX ap´os

os arquivos carregados contendo as entradas ex´ogenas. . . . . . . . . . . . 73

5.23 Tela do sistema de gera¸c˜ao de modelos ap´os a gera¸c˜ao de um modelo ARI-

MAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.24 Detalhe da tela do sistema de gera¸c˜ao de modelos ap´os a gera¸c˜ao de um

modelo ARIMAX, mostrando a exibi¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo gerado. 75

6.1 Colunas da planta de produ¸c˜ao de GLP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 S´erie Temporal de Perdas de Propano (dada em 10

−6

∗Fra¸c˜ao Molar) . . . . 80

6.3 Entrada Ex´ogena 1 - Vaz˜ao de Reﬂuxo (dada em Kg.Mole/h) . . . . . . . 80

6.4 Entrada Ex´ogena 2 - Temperatura (dada em graus Celsius) . . . . . . . . . 81

6.5 Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIX. . . . . . . . . 81

6.6 Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIMAX. . . . . . . 82

6.7 S´erie Temporal de Perdas de Propano ap´os duas diferen¸cas. . . . . . . . . . 82

6.8 Gr´aﬁco da S´erie Real diferenciada versus S´erie gerada pelo modelo ARIMAX. 83

6.9 Ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMAX estimados pelo

Algoritmo ELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.10 Autocorrela¸c˜oes Estimadas dos Res´ıduos do modelo ARIMAX. . . . . . . . 85

6.11 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo Z

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 86

6.12 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 86

6.13 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−2

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 87

6.14 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−3

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 87

6.15 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−4

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 88

6.16 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−5

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 88

6.17 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−6

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 89

6.18 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−5

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 89

6.19 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . . 90

6.20 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−1

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 90

6.21 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−2

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 91

6.22 Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−3

do modelo ARIMAX. . . . . . . . . 91

6.23 Erros Relativos de Inferˆencia (em percentuais). . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.24 Erros Relativos Percentuais de Inferˆencias sobre um novo conjunto de dados

da s´erie temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

xix

Lista de Tabelas

4.1 Comportamento da FAC e FACP de v´arios modelos ARIMA. . . . . . . . . 34

5.1 Valores do CIA das combina¸c˜oes de ordens (p,q). . . . . . . . . . . . . . . 57

xxi

Lista de Siglas

AR Auto-Regressive

ARA Alto do Rodrigues-A

ARI Auto-Regressive Integrated

ARIMA Auto-Regressive Integrated with Moving Average

ARIMAX Auto-Regressive Integrated with Moving Average and Exogenous

inputs

ARIX Auto-Regressive Integrated with Exogenous inputs

ARMA Auto-Regressive with Moving Average

ARMAX Auto-Regressive with Moving Average and Exogenous inputs

ARX Auto-Regressive with Exogenous inputs

CAM Canto do Amaro

CIA Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike

CIB Crit´erio de Informa¸c˜ao Bayesiano

ELS Extended Least Square

EQM Erro Quadr´atico M´edio

FAC Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao

FACE Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao Estendida

FACP Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao Parcial

FACV Fun¸c˜ao de Autocovariˆancia

FV Fun¸c˜ao de Verossimilhan¸ca

GLP G´as Liquefeito de Petr´oleo

IDE Integrated Development Environment

IMA Integrated with Moving Average

IMAX Integrated with Moving Average and Exogenous inputs

JDK Java Development Kit

JVM Java Virtual Machine

LGN L´ıquido de G´as Natural

LMS Least Mean Square

MA Moving Average

MAX Moving Average with Exogenous inputs

NARMAX Non-linear Auto-Regressive with Moving Average and Exogenous

inputs

PETROBRAS Petr´oleo Brasileiro S/A

RLS Recursive Least Square

SARIMA Seasonal Auto-Regressive Integrated with Moving Average

SQE Soma dos Quadrados dos Erros

UPGN Unidade de Processamento de G´as Natural

1 Introdu¸c˜ao

Uma s´erie temporal ´e uma seq

uˆencia de observa¸c˜oes de uma cole¸c˜ao de vari´aveis

quaisquer ordenadas ao longo do tempo. Embora seja mais comum a ordena¸c˜ao das

s´eries ao longo de unidades de tempo, como por exemplo dias, meses ou anos, tamb´em

´e poss´ıvel que a sua ordena¸c˜ao seja constru´ıda ao longo de outras unidades, como por

exemplo volume, latitude, longitude, espa¸co, entre outros (MORETIN; TOLOI, 2004).

Em virtude da deﬁni¸c˜ao anterior, percebe-se que em uma s´erie temporal a ordena¸c˜ao

´e crucial, e as observa¸c˜oes vizinhas s˜ao dependentes, como ser´a veriﬁcado mais adiante.

Como exemplos de s´eries temporais de nosso cotidiano, temos: valores de temperaturas

m´edias (dadas por exemplo em graus cent´ıgrados) di´arias de uma capital brasileira; valores

de precipita¸c˜oes atmosf´ericas mensais de uma cidade; valores anuais do Produto Interno

Bruto de um pa´ıs; valores dos pre¸cos di´arios de a¸c˜oes da empresa Petr´oleo Brasileiro S/A

(PETROBRAS); etc.

A Figura 1.1 ilustra uma s´erie temporal ﬁct´ıcia de observa¸c˜oes da vari´avel taxa de va-

ria¸c˜ao do valor do d´olar, exibida em forma de um gr´aﬁco. Os valores das taxas de varia¸c˜ao

do d´olar s˜ao representados em n´umeros reais e a s´erie ´e ordenada no dom´ınio do tempo (a

unidade de tempo utilizada ´e dia). A s´erie temporal ﬁct´ıcia possui 78 amostras, ordenadas

do dia 18/08/2007 ao dia 03/11/2007. A exibi¸c˜ao da s´erie temporal em forma de gr´aﬁcos

permite a veriﬁca¸c˜ao visual, por especialistas, de caracter´ısticas importantes da s´erie, tais

como estacionariedade, tendˆencia e sazonalidade, que ser˜ao descritos posteriormente nesta

disserta¸c˜ao.

Neste trabalho, a an´alise das s´eries temporais ser´a realizada no dom´ınio do tempo, e

n˜ao ser´a abordada a an´alise no dom´ınio da freq

uˆencia. Quando se faz uma an´alise de uma

s´erie temporal, pode-se estar interessado em v´arios objetivos diferentes, como (MORETIN;

TOLOI, 2004):

• Descobrir o mecanismo que gerou a s´erie temporal;

• Descrever o comportamento da s´erie (se existe tendˆencia, sazonalidade, ciclos, out-

liers, etc);

• Encontrar rela¸c˜oes da s´erie com outras s´eries temporais;

• Fazer previs˜ao de valores futuros, e

• Fazer estima¸c˜ao dos valores de sa´ıda, apenas de posse dos valores de entrada.

Dada uma s´erie temporal Z, para representar um valor observado da s´erie temporal

em um instante de tempo, utiliza-se Z

, onde t cont´em um instante de tempo representado

2 1 Introdu¸c˜ao

Figura 1.1: S´erie Temporal ﬁct´ıcia da taxa de varia¸c˜ao do d´olar em dias.

em uma unidade de tempo qualquer (podendo ser ano, mˆes, dia, horas de um dia, entre

outros) e Z

cont´em o valor da s´erie temporal no instante de tempo t. O valor de Z

pode

ser representado em unidades de medida diferentes, dependendo da vari´avel que a s´erie

temporal representa, como por exemplo, graus celsius para representar temperaturas, reais

para representar valores de a¸c˜oes de uma empresa, etc. Tendo-se como exemplo a s´erie

temporal (Z) de temperatura m´edia di´aria de uma capital brasileira, e como instante de

tempo t o dia 01-03-2007, a temperatura m´edia observada ´e representada em

C (graus

celsius):

01−03−2007

= 32

Uma s´erie temporal pode ser classiﬁcada em discreta ou cont´ınua, e essa classiﬁca¸c˜ao

refere-se aos valores que a s´erie temporal pode assumir, uma s´erie discreta armazena va-

lores enumer´aveis, como n´umero de cirurgias realizadas, enquanto que uma s´erie cont´ınua

pode assumir qualquer valor real, como a temperatura de uma cidade (MORETIN; TOLOI,

2004).

Esta classiﬁca¸c˜ao refere-se tamb´em `as unidades de tempo nas quais as observa¸c˜oes s˜ao

coletadas. Se t pertence a um conjunto ﬁnito e enumer´avel, como por exemplo o conjunto

dos dias do ano, a s´erie ´e discreta, se pertencer ao conjunto R (n´umeros reais) a s´erie

ser´a cont´ınua. Como exemplo do segundo caso, temos o conjunto de registro de mar´e em

um porto. Este conjunto forma uma s´erie temporal cont´ınua, porque existe o registro da

mar´e em todos os instantes (representado por um n´umero real) ao longo do intervalo de

um dia, o espa¸co de tempo das observa¸c˜oes ´e cont´ınuo (MORETIN; TOLOI, 2004).

J´a as s´eries temporais discretas podem ser sub-classiﬁcadas em (MORETIN; TOLOI,

2004):

1 Introdu¸c˜ao 3

• Inerentemente discreta: S˜ao s´eries temporais cujas observa¸c˜oes s´o existem no espa¸co

de tempo discreto, como a cada dia, a cada mˆes, etc. Como exemplo, tem-se a

s´erie de ´ındices di´arios da Bolsa de Valores de S˜ao Paulo, onde as observa¸c˜oes s˜ao

coletadas a cada per´ıodo de um dia;

• S´erie cont´ınua discretizada: S˜ao s´eries temporais cont´ınuas que s˜ao transformadas

em s´eries discretas, atrav´es de sua amostragem a per´ıodos de tempo ﬁxos. Por

exemplo, a s´erie de registro de mar´es pode ser discretizada pegando-se seu valores

a cada per´ıodo de uma hora;

• S´erie de valores acumulados: S˜ao s´eries temporais discretas que s˜ao formadas acumu-

lando-se valores em intervalo de tempo iguais. Por exemplo, a s´erie temporal de

precipita¸c˜ao atmosf´erica anual de uma cidade ´e formada somando-se as observa¸c˜oes

de precipita¸c˜ao atmosf´erica desta cidade durante um ano inteiro.

Por´em uma s´erie Z

pode conter v´arios valores, bem como t n˜ao necessariamente

representa o tempo, mas pode representar outra vari´avel (ou at´e mesmo um conjunto

delas). Como exemplo, tem-se:

= [Z

, Z

t = (tempo, latitude, longitude)

onde Z

´e um vetor de dimens˜ao rx1, e as trˆes componentes representam respectivamente

a altura, a temperatura e a press˜ao, e t ´e um vetor de dimens˜ao px1 contendo os valo-

res: tempo, latitude, longitude. Segundo Moretin e Toloi (2004), diz-se que esta s´erie ´e

multivariada (r = 3) e tamb´em multidimensional (p = 3).

A seguir, tem-se algumas caracter´ısticas que s˜ao particulares aos dados de uma s´erie

temporal (ANSUJ; ALMEIDA; SANTOS, 2005):

• Observa¸c˜oes correlacionadas s˜ao mais dif´ıceis de analisar e requerem t´ecnicas espe-

c´ıﬁcas;

• Fatores complicadores como presen¸ca de tendˆencias e varia¸c˜ao sazonal ou c´ıclica

podem ser dif´ıceis de estimar ou remover;

• A sele¸c˜ao de modelos pode ser bastante complicada, e as ferramentas podem ser de

dif´ıcil interpreta¸c˜ao;

•

E mais dif´ıcil de lidar com observa¸c˜oes perdidas e dados discrepantes devido `a na-

tureza seq

uencial.

Assim, no contexto de s´eries temporais, os principais objetivos desta disserta¸c˜ao s˜ao:

• O desenvolvimento de um ambiente computacional para a determina¸c˜ao de s´eries

temporais monovariadas e monodimensionais, descritas por modelos do tipo Auto-

Regressive Integrated with Moving Average (ARIMA) e Auto-Regressive Integrated

with Moving Average and Exogenous inputs (ARIMAX), incorporando as etapas de:

4 1 Introdu¸c˜ao

– Escolha do tipo do modelo, que pode ser escolhido pelo usu´ario do ambiente;

– Determina¸c˜ao das ordens e atrasos do modelo, utilizando-se o Crit´erio de In-

forma¸c˜ao de Akaike (CIA);

– Determina¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo, utilizando os algoritmos Recursive

Least Squares (RLS) e Extended Least Squares (ELS);

• Aplica¸c˜ao desses algoritmos para obten¸c˜ao de modelos ARIMA/ARIMAX adequa-

dos `a estima¸c˜ao de valores de perdas de propano no topo da coluna deetanizadora

de uma Unidade de Processamento de G´as Natural. Assim, o modelo obtido funci-

onar´a como um sensor de software, que ir´a fazer a inferˆencia daquele valor apenas

de posse dos valores de vaz˜ao de reﬂuxo e temperatura na coluna deetanizadora.

O restante desta disserta¸c˜ao est´a organizada de acordo com os seguintes cap´ıtulos:

O Cap´ıtulo 2 detalha processos estoc´asticos e s´eries temporais, e suas principais carac-

ter´ısticas como estacionariedade, tendˆencia e sazonalidade, al´em de dar uma vis˜ao geral

dos modelos mais utilizados para modelar as s´eries temporais. O Cap´ıtulo 3 detalha os

modelos de interesse neste trabalho, que s˜ao os modelos ARIMA e ARIMAX. O Cap´ıtulo

4 aborda as etapas envolvidas no processo de cria¸c˜ao do modelo ARIMA/ARIMAX para

uma s´erie temporal. O Cap´ıtulo 5 apresenta alguns testes realizados com s´eries temporais

ﬁct´ıcias e seus resultados pr´evios, com o prop´osito de valida¸c˜ao dos algoritmos desenvolvi-

dos. O Cap´ıtulo 6 cont´em um estudo de caso que trata-se de uma s´erie temporal de perdas

de propano em uma unidade de processamento de g´as natural, sobre a qual ser´a utilizado

o ambiente computacional aqui desenvolvido para a realiza¸c˜ao de estima¸c˜oes de valores

de perda na referida unidade. E por ﬁm, o Cap´ıtulo 7 cont´em as principais conclus˜oes do

trabalho.

2 Processos Estoc´asticos e S´eries

Temporais

Um processo estoc´astico ´e uma fam´ılia Z = {Z(t), t ∈ T }, onde T ´e um conjunto

arbitr´ario, tal que, para cada t ∈ T , Z(t) ´e uma vari´avel aleat´oria, e toda a fam´ılia de

vari´aveis aleat´orias ´e deﬁnida num mesmo espa¸co de probabilidades (MORETIN; TOLOI,

2004).

O conjunto T pode ser o conjunto dos inteiros Z, o conjunto dos reais R ou o que

geralmente ´e utilizado: o conjunto dos inteiros positivos Z+. Para um dado t, Z(t) ´e uma

vari´avel aleat´oria do tipo Real.

Como, para t ∈ T , Z(t) ´e uma vari´avel aleat´oria deﬁnida sobre Ω, ent˜ao Z(t) ´e na

verdade uma fun¸c˜ao de dois argumentos, Z(t, ω), onde t ∈ T , ω ∈ Ω, e Ω ´e o conjunto

dos valores poss´ıveis de probabilidade de um evento de uma vari´avel aleat´oria (MORETIN;

TOLOI, 2004).

Figura 2.1: Exemplo de um processo estoc´astico (um conjunto de vari´aveis aleat´orias).

A Figura 2.1 ilustra um processo estoc´astico, que ´e constitu´ıdo por um conjunto de

vari´aveis aleat´orias, onde f

(z) ´e a fun¸c˜ao de densidade de probabilidade da vari´avel

aleat´oria Z(t, ω), e t ∈ T . A fun¸c˜ao de densidade de probabilidade de uma vari´avel

6 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

aleat´oria ´e a derivada da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao desta vari´avel aleat´oria, ou seja:

(z) =

(z)

(2.1)

Figura 2.2: Uma vari´avel aleat´oria com uma fun¸c˜ao densidade de probabilidade corres-

pondente (para um valor de t ﬁxado).

Figura 2.3: Uma s´erie temporal em fun¸c˜ao do tempo (para um valor de ω ﬁxado).

A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F

(z) ´e uma fun¸c˜ao cumulativa de uma vari´avel aleat´oria, e

esta fun¸c˜ao ´e constru´ıda de acordo com a seguinte equa¸c˜ao:

(z) = P {Z ≤ z} (2.2)

onde Z ´e uma vari´avel aleat´oria, {Z ≤ z} ´e um evento (expresso em n´umero real) da

vari´avel aleat´oria Z, sendo que z (min´usculo) pode variar de −∞ a +∞, e P {Z ≤ z} ´e a

2.1 S´eries Temporais N˜ao-estacion´arias 7

probabilidade do evento {Z ≤ z} ocorrer. Para cada t ∈ T , temos uma vari´avel aleat´oria

Z(t, ω) com uma fun¸c˜ao de densidade de probabilidade (f

(z)), como pode ser visto na

Figura 2.2, enquanto que para cada ω ∈ Ω, obt´em-se uma fun¸c˜ao de t que ´e uma trajet´oria

do processo, que tamb´em ´e conhecida por S´erie Temporal, como pode ser visto na Figura

2.3.

Um processo estoc´astico pode ser estacion´ario ou n˜ao-estacion´ario. Uma deﬁni¸c˜ao

intuitiva de processo estacion´ario diz respeito ao processo que se desenvolve no tempo de

modo que a escolha de uma origem dos tempos n˜ao ´e importante, ou seja, as caracter´ısticas

de Z(t + τ), ∀ τ, s˜ao as mesmas de Z(t) (MORETIN; TOLOI, 2004).

2.1 S´eries Temporais N˜ao-estacion´arias

As s´eries temporais podem ser analisadas de acordo com a sua estacionariedade. Uma

s´erie temporal estacion´aria ´e uma s´erie cujos dados ao longo do tempo se mantˆem ao redor

de um valor m´edio (a m´edia ´e constante). Enquanto uma s´erie temporal n˜ao-estacion´aria

´e aquela cujos dados ao longo do tempo n˜ao se mantˆem ao redor de um valor m´edio,

mas ao inv´es disto apresentam uma tendˆencia (negativa ou positiva) e/ou apresentam

sazonalidade ou ciclo (MORETIN; TOLOI, 2004).

S´eries Temporais que apresentam a caracter´ıstica de n˜ao-estacionariedade necessitam

de uma transforma¸c˜ao pr´evia para torn´a-la uma s´erie estacion´aria. Para isso ´e reali-

zada uma opera¸c˜ao de diferencia¸c˜ao na s´erie original. Pode-se diferenciar uma s´erie uma

vez, duas vezes, ou n vezes, por´em na maioria dos casos apresentados na literatura, uma

diferencia¸c˜ao j´a ´e suﬁciente para torn´a-la estacion´aria, e em casos mais raros duas dife-

rencia¸c˜oes j´a resolvem o problema, n˜ao sendo necess´ario mais que duas diferencia¸c˜oes em

s´eries temporais (MORETIN; TOLOI, 2004). Quando a s´erie for discreta no tempo, utiliza-se

a opera¸c˜ao de diferen¸ca para reobter a estacionariedade da s´erie.

Dada uma s´erie temporal Z

, com N valores, a s´erie resultante de uma diferen¸ca W

com (N − 1) valores, ser´a igual a:

∆Z

= W

= Z

− Z

t−1

para t = 2...N , onde ∆ representa a opera¸c˜ao de diferen¸ca.

A segunda diferen¸ca de Z

ser´a igual a:

∆(∆Z

) = ∆W

= V

= W

− W

t−1

, para t = 3, ..., N

Assim a s´erie temporal W

conter´a um valor a menos que Z

, e V

conter´a dois valores

a menos que Z

, por´em os instantes de tempo t continuam os mesmos.

8 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

2.2 Outras Transforma¸c˜oes Pr´evias para S´eries Tem-

porais

Al´em da diferencia¸c˜ao/diferen¸ca, existem outras transforma¸c˜oes que podem ser re-

alizadas na S´erie Temporal, de acordo com as caracter´ısticas da mesma, antes de se

encontrar um modelo adequado para ela. Em algumas casos como em s´eries temporais

ﬁnanceiras, pode ser preciso realizar uma transforma¸c˜ao n˜ao-linear com a ﬁnalidade de

tornar a variˆancia da s´erie constante, al´em de posteriormente realizar a transforma¸c˜ao de

diferencia¸c˜ao/diferen¸ca (MORETIN; TOLOI, 2004).

O fenˆomeno de n˜ao-constˆancia na variˆancia ´e denominado de volatilidade na literatura

de s´eries temporais e pode ser tratado atrav´es de transforma¸c˜oes nos dados (como por

exemplo a aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao logar´ıtmica na s´erie), segundo Ehlers (2005).

Supondo uma s´erie, por exemplo, que possua uma variˆancia crescente, ´e indicado pela

literatura que seja realizada uma transforma¸c˜ao logar´ıtmica na mesma, como:

= log(Z

) (2.3)

para todo t.

E importante ter em mente que, uma vez que a s´erie temporal sofreu uma transforma-

¸c˜ao pr´evia qualquer, o modelo encontrado para modelar a s´erie na verdade ´e um modelo

da s´erie transformada e n˜ao um modelo da s´erie original.

Segundo Moretin e Toloi (2004), alguns autores conclu´ıram que transforma¸c˜oes n˜ao

melhoram a qualidade da previs˜ao. Outros veriﬁcaram que dados transformados tˆem

pouco efeito na melhoria da previs˜ao. J´a outros mostram que as previs˜oes dos anti-

logaritmos dos dados transformados s˜ao estimadores viesados e portanto, deveriam ser

ajustados.

As previs˜oes viesadas tˆem o sentido de que as previs˜oes realizadas em uma s´erie tem-

poral que foi diferenciada ou sofreu outra transforma¸c˜ao, n˜ao correspondem a previs˜oes

reais daquela s´erie, pois correspondem a previs˜oes realizadas com base nos dados diferen-

ciados ou transformados (dados diferentes da s´erie temporal original). Para tornar essas

previs˜oes v´alidas (n˜ao-viesadas) para a s´erie temporal original ´e necess´ario submeter as

previs˜oes a transforma¸c˜oes inversas `as que foram aplicadas na s´erie temporal original.

Portanto, se a s´erie foi diferenciada, as previs˜oes ser˜ao integradas. Por exemplo, se a s´erie

foi transformada de acordo com a fun¸c˜ao logar´ıtmica, as previs˜oes ser˜ao transformadas de

acordo com a fun¸c˜ao exponencial. Caso esta transforma¸c˜ao n˜ao seja realizada, as previ-

s˜oes resultantes poder˜ao ser viesadas, como descrito anteriormente, e assim poder˜ao n˜ao

corresponder `a realidade.

Apesar de n˜ao melhorar a qualidade das previs˜oes, a transforma¸c˜ao de diferencia-

¸c˜ao/diferen¸ca ´e ´util quando ´e preciso eliminar a tendˆencia existente na s´erie temporal.

Por exemplo, em s´eries temporais que possuem tendˆencia e sazonalidade, ´e preciso elimi-

nar a tendˆencia antes de realizar algum tipo de teste de existˆencia de sazonalidade, sendo

esta elimina¸c˜ao realizada atrav´es da diferencia¸c˜ao/diferen¸ca. Caso a existˆencia de sazo-

nalidade seja conﬁrmada, a diferencia¸c˜ao/diferen¸ca realizada na s´erie temporal original

elimina o efeito da tendˆencia sobre ela e torna poss´ıvel analisar a sua parte sazonal de

2.3 Modelos para S´eries Temporais 9

forma independente, podendo assim, por exemplo, estimar um modelo SARIMA para a

s´erie temporal.

2.3 Modelos para S´eries Temporais

Existem diversos modelos que representam as s´eries temporais, e esses modelos se

dividem entre os modelos param´etricos, onde a an´alise da s´erie se d´a no dom´ınio do tempo

e o modelo cont´em um n´umero ﬁnito de parˆametros, e os modelos n˜ao-param´etricos, que

em geral a an´alise da s´erie se d´a no dom´ınio da freq

uˆencia (MORETIN; TOLOI, 2004).

Neste trabalho ser˜ao utilizados apenas os modelos param´etricos, pois a an´alise da s´erie

ser´a realizada no dom´ınio do tempo.

Entre os modelos param´etricos mais utilizados temos:

Modelos de Erro ou Regress~ao: Modelo da forma Z

= f(t) + a

, para t = 1, ..., N,

onde f(t) ´e chamado sinal e a

´e um ru´ıdo. Esta ´e uma forma geral para modelos de

regress˜ao, por´em f(t) pode assumir formas diferentes, podendo ser: uma constante;

uma fun¸c˜ao linear; um polinˆomio em t (de baixo grau); ou um polinˆomio harmˆonico

(com combina¸c˜oes lineares de seno e cosseno).

Modelos Estruturais: que permitem uma variabilidade nas componentes tendˆencia, sa-

zonalidade e n´ıvel do modelo.

Modelos n~ao-lineares: descreve s´eries que n˜ao podem ser descritas por modelos li-

neares. Como exemplo de modelo n˜ao-linear, tem-se o modelo Non-linear Auto-

Regressive with Moving Average and Exogenous inputs (NARMAX).

Modelos ARIMA: modelos gerais capazes de representar processos lineares estacion´arios,

processos lineares n˜ao-estacion´arios homogˆeneos e processos de mem´oria longa.

utilizado para s´eries cujos valores atuais dependem apenas de seus valores passados

e/ou valores passados de um ru´ıdo aleat´orio, mais um ru´ıdo aleat´orio no instante

atual (com m´edia zero e variˆancia constante). Engloba os modelos Auto-Regressive

(AR), Auto-Regressive Integrated (ARI), Moving Average (MA), Integrated with Mo-

ving Average (IMA) e Auto-Regressive with Moving Average (ARMA).

Modelos ARIMAX: modelos similares aos modelos ARIMA, por´em, adicionalmente, pos-

suem entradas ex´ogenas. Engloba os modelos Auto-Regressive with Exogenous in-

puts (ARX), Auto-Regressive Integrated with Exogenous inputs (ARIX), Moving

Average with Exogenous inputs (MAX), Integrated with Moving Average and Exoge-

nous inputs (IMAX) e Auto-Regressive with Moving Average and Exogenous inputs

(ARMAX).

Modelos SARIMA: modelo Seasonal Auto-Regressive Integrated with Moving Average (SA-

RIMA), corresponde a um modelo ARIMA mais uma componente sazonal.

Como podemos ver, v´arios modelos lineares derivam do modelo geral ARIMAX. O

diagrama da Figura 2.4 mostra as subdivis˜oes do modelo ARIMAX. Assim, o modelo

ARIX ´e um modelo ARIMAX sem a parte de m´edia m´ovel, o modelo IMAX ´e um modelo

10 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

ARIMAX sem a parte auto-regressiva, o modelo ARMAX ´e um modelo ARIMAX sem

diferencia¸c˜ao/diferen¸ca na s´erie e o modelo ARIMA ´e um modelo ARIMAX sem a parte

ex´ogena (n˜ao possui entrada(s) ex´ogena(s)).

Figura 2.4: Diagrama de subdivis˜oes do modelo ARIMAX.

Nesta disserta¸c˜ao, estamos interessados em modelos do tipo ARIMA e ARIMAX.

2.4 Tendˆencias, Sazonalidades, Ciclos, Aleatoriedade

e Outliers

Uma s´erie Z

, ..., Z

pode ser escrita como uma fun¸c˜ao de quatro componentes indi-

viduais: sazonalidade, tendˆencia, ciclo e aleatoriedade.

Z = f(S, T, C, E)

onde, em um per´ıodo t, S corresponde `a componente sazonal; T `a tendˆencia; C ´e a

componente de ciclo e E ´e a componente aleat´oria (SILVA, 2004).

Uma s´erie com tendˆencia signiﬁca que ela n˜ao possui os seus valores ﬂutuando ao

redor de um valor ﬁxo, mas possui um aumento ou decl´ınio gradual nestes valores (SILVA,

2004).

2.4 Tendˆencias, Sazonalidades, Ciclos, Aleatoriedade e Outliers 11

J´a os ciclos, bem como a sazonalidade, s˜ao altera¸c˜oes que acontecem nos valores da

s´erie temporal de acordo com o tempo, e essas altera¸c˜oes se repetem a cada intervalo ﬁxo

de tempo, que pode ser semestralmente, anualmente, etc (SILVA, 2004).

Assume-se que a componente aleat´oria ´e supostamente um ru´ıdo branco, com m´edia

zero e variˆancia constante (SILVA, 2004).

Existe uma certa chance de se confundir a deﬁni¸c˜ao de sazonalidade com a de ciclo.

Basicamente varia¸c˜oes sazonais s˜ao varia¸c˜oes de aumento ou diminui¸c˜ao ocorridas durante

o espa¸co de tempo, de um ano por exemplo, e que seguem algum evento, como as esta¸c˜oes

do ano, ou per´ıodos de safra e entressafra de algum produto. Enquanto que o ciclos s˜ao

repeti¸c˜oes de valores que acontecem em intervalos de tempo bem deﬁnidos, podendo ser

deﬁnido quando um ciclo se fecha e outro se inicia. Os ciclos podem ser di´arios, anuais,

sazonais, etc.

Outliers s˜ao valores muito discordantes presentes em s´eries temporais. A presen¸ca de

outliers pode ter impactos negativos na an´alise de s´eries temporais, como por exemplo,

interferir na estima¸c˜ao dos coeﬁcientes dos parˆametros de modelos ARIMA/ARIMAX,

fazendo-se com que valores incorretos sejam estimados (PALMA, 1998). Esta interferˆencia

na estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo acontece porque nas s´eries temporais as obser-

va¸c˜oes vizinhas ou adjacentes s˜ao correlacionadas, fazendo com que um valor discrepante

em um instante de tempo interﬁra no valor de v´arios valores subseq

uentes no modelo

ARIMA/ARIMAX estimado. Em s´eries que contˆem outliers, a melhor abordagem a ser

utilizada para o problema em quest˜ao ´e tentar limitar a inﬂuˆencia desses outliers na mo-

delagem das s´eries temporais. Uma forma de limitar essa inﬂuˆencia, na fase de estima¸c˜ao

dos coeﬁcientes do modelo, ´e atribuindo-se pesos pequenos `as observa¸c˜oes discordantes.

Entretanto, os estudos sobre outliers em s´eries temporais, incluindo estudos sobre m´etodos

de detec¸c˜ao e acomoda¸c˜ao, ainda s˜ao escassos, principalmente devido `a sua complexidade

(PALMA, 1998).

Existem v´arios m´etodos para se estimar a tendˆencia presente nas s´eries temporais.

Entre eles temos (MORETIN; TOLOI, 2004):

1. Tendˆencia Polinomial: Encontra-se uma fun¸c˜ao (polinomial, exponencial, log´ıstica,

etc) que se ajusta bem aos dados da s´erie temporal, e a partir dela encontra-se a

fun¸c˜ao que representa a tendˆencia. Ex. Se a fun¸c˜ao polinomial Z

= B

+ B

.t + a

representa uma dada s´erie temporal, e considerando-se que esta s´erie possui apenas

tendˆencia (´e livre de sazonalidade), ent˜ao temos que: Z

= T

. Logo, a tendˆencia

´e encontrada por: T

= B

+ B

.t.

2. Suaviza¸c˜ao: Com este m´etodo, a tendˆencia no instante t ´e estimada utilizando-se

2v + 1 valores da s´erie temporal, sendo v valores anteriores a t, v valores posteriores

a t, e o valor Z

. Esse m´etodo pode-se subdividir em:

(a) M´edias m´oveis:

(2v + 1)



j=−v

t+j

(2.4)

12 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

(b) Medianas:

= mediana(Z

t−v

, Z

t−v+1

, ..., Z

t+v

) (2.5)

3. Diferen¸cas:

E realizada a diferen¸ca da s´erie para eliminar a tendˆencia (n˜ao para

estim´a-la). Por´em para se eliminar a tendˆencia, o n´umero de diferen¸cas deve ser

igual a m, onde m ´e o grau do polinˆomio que representa a tendˆencia. Por exemplo:

Se Z

= B

+ B

.t + a

(s´erie com tendˆencia) ap´os uma diferen¸ca temos: ∆(Z

) =

+ a

− a

t−1

(s´erie sem tendˆencia).

Existem tamb´em v´arios testes para veriﬁcar se uma s´erie cont´em ou n˜ao tendˆencia.

E importante salientar que caso uma s´erie contenha tendˆencia e sazonalidade ´e preciso

eliminar a sazonalidade antes de realizar o teste de existˆencia de tendˆencia, e o contr´a-

rio tamb´em: ´e preciso eliminar a tendˆencia antes de realizar o teste de existˆencia de

sazonalidade (MORETIN; TOLOI, 2004).

Uma vez que j´a foi deﬁnido o que ´e sazonalidade, ´e importante ressaltar algumas de

suas caracter´ısticas. Suponha uma s´erie mensal cujos valores apresentam um comporta-

mento parecido a cada per´ıodo de um ano. Provavelmente esta s´erie possui sazonalidade,

com per´ıodo de um ano. Em s´eries como esta, os valores de meses sucessivos (dentro de

um mesmo ano) s˜ao relacionadas; e os valores de anos sucessivos (para um mesmo mˆes)

tamb´em s˜ao relacionados.

No caso em que a componente sazonal n˜ao variar muito de ano para ano, representa-se

a s´erie temporal como: Z

= T

+ S

+ a

, para i = 1...n´umero de anos e j = 1, ..., 12,

onde S

´e uma constante, existindo uma constante para cada mˆes do ano (MORETIN;

TOLOI, 2004).

No caso em que a componente sazonal variar de ano para ano, representa-se a s´erie

temporal como: Z

= T

+ S

+ a

, para i = 1...n´umero de anos e j = 1, ..., 12, onde S

´e a componente sazonal do ano i e mˆes j (MORETIN; TOLOI, 2004).

Entre os m´etodos de estima¸c˜ao de sazonalidade temos (MORETIN; TOLOI, 2004):

1. M´etodo de Regress˜ao: Que ´e adequado para s´eries que apresentam sazonalidade

determin´ıstica (ou seja, que pode ser prevista a partir de meses anteriores). Temos

que:



j=0

(2.6)



j=1

(2.7)

= T

+ S

+ a



j=0

+ S



j=1

+ a

(2.8)

onde m ´e a ordem do polinˆomio que representa a tendˆencia, N ´e o n´umero de

2.4 Tendˆencias, Sazonalidades, Ciclos, Aleatoriedade e Outliers 13

amostras da s´erie temporal, D

´e o valor da matriz D na linha t e coluna j, sendo

que a matriz D ´e constru´ıda com as ordens N por 11, e o valor de D na posi¸c˜ao da

linha t e coluna j ser´a:







1 se per´ıodo t corresponde ao mˆes j;

−1, se per´ıodo t corresponde ao mˆes 12;

0, caso contr´ario.

Nx11







··· D

11,1

··· D

11,2

··· D

11,N







Em forma matricial, tem-se:

Z = Cβ + Dα + a (2.9)

onde:

Nx1













, C

Nx(m+1)







1 1 ··· 1

1 2 ··· 2

1 N ··· N







(m+1)x1













, α

11x1













, a

Nx1













A Equa¸c˜ao 2.10 pode ser escrita tamb´em na forma descrita abaixo:

Z = Xγ + a (2.10)

onde:

X = [ C : D ] , γ =





···





de modo que a matriz X ser´a formada pela matriz C concatenada com a matriz

D. Logo, X ter´a N linhas por m + 12 colunas (correspondentes ao resultado de

(m+1) colunas de C somadas a 11 colunas de D). Enquanto que ˆγ (γ estimado) ´e

encontrado por:

ˆγ = [X



−1



Z (2.11)

2. M´etodo de m´edias m´oveis: Que ´e adequado para s´eries com sazonalidade estoc´astica

(ou seja, que varia com o tempo). Temos que:

= T

+ S

+ a

(2.12)

onde j = 1, ..., 12

14 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

= Y

− Y (2.13)

onde Y

representa a m´edia do mˆes j, para j = 1...12 (j representa os meses de

janeiro a dezembro, respectivamente), e ´e dada por:

Y =



j=1

(2.14)



i=1

(2.15)

= Z

−

(2.16)

onde Y ´e a s´erie temporal Z menos a tendˆencia estimada

T . Y

´e o valor da s´erie

temporal (sem tendˆencia) observada no ano i, para i = 1, ..., p anos, e no mˆes j,

para j = 1, ..., 12 meses e n

´e a quantidade de amostras da s´erie no mˆes j.

2.5 Modelos de Suaviza¸c˜ao Exponencial

Estes modelos fazem parte da categoria de Modelos de Erro ou Regress˜ao, citada an-

teriormente. Modelos de Suaviza¸c˜ao tratam-se de um conjunto de modelos onde valores

de pico de uma s´erie temporal s˜ao considerados ru´ıdos, e esses extremos devem ser su-

avizados. Nesses modelos, essa s´erie suavizada cont´em os valores bases da s´erie, e esses

valores s˜ao utilizados para predi¸c˜ao dos valores futuros (MORETIN; TOLOI, 2004).

Por´em al´em dos ru´ıdos, existem em algumas s´eries temporais outras componentes im-

portantes: a tendˆencia e a sazonalidade. Para a predi¸c˜ao dos valores futuros, ´e necess´ario

antes detectar se essas duas componentes est˜ao presentes a s´erie, e em caso positivo, elas

devem ser removidas.

2.5.1 S´eries Temporais Sem Tendˆencia e Sem Sazonalidade

Um dos modelos dessa classe ´e o modelo para s´eries localmente constantes, ou seja,

que n˜ao possuem tendˆencia nem sazonalidade. Esse modelo cont´em apenas um n´ıvel mais

um ru´ıdo aleat´orio (MORETIN; TOLOI, 2004):

= µ

+ a

(2.17)

para t = 1, ..., N.

2.5 Modelos de Suaviza¸c˜ao Exponencial 15

Dado este modelo, existem v´arias t´ecnicas de suaviza¸c˜ao da s´erie temporal, como

m´edia m´ovel simples e suaviza¸c˜ao exponencial simples.

2.5.1.1 M´edias M´oveis Simples

Nesse procedimento ´e calculada uma m´edia aritm´etica com os ´ultimos s valores da

s´erie, que v˜ao de Z

t−s+1

at´e Z

, onde t ´e o instante cujo valor suavizado est´a sendo

calculado (MORETIN; TOLOI, 2004):

Suavizado(t) =

+ Z

t−1

+ ... + Z

t−s+1

)

(2.18)

Este valor ´e calculado para t = 1, ..., N (tamanho da s´erie). O conjunto de todos esses

valores ´e a s´erie temporal suavizada.

As vantagens deste m´etodo s˜ao a simplicidade e a ﬂexibilidade com o ajuste do parˆa-

metro s e sua caracter´ıstica de ser aplic´avel a s´eries com poucas observa¸c˜oes.

Como desvantagens, tem-se: aplica¸c˜ao limitada apenas para s´eries estacion´arias; ar-

mazenamento de (s − 1) observa¸c˜oes; diﬁculdade de escolher o melhor s.

A previs˜ao de dados futuros ´e realizada a partir da seguinte equa¸c˜ao:

(h) =

Suavizado(t), onde

(h) representa o valor da previs˜ao da s´erie temporal Z no ins-

tante de tempo t + h, sendo t o ´ultimo instante de tempo da s´erie temporal no qual

tem-se o valor conhecido da s´erie. Por isso, diz-se que foi realizada uma previs˜ao h passos

(ou unidades de tempo) no futuro, contados a partir do instante de tempo base que ´e t

(MORETIN; TOLOI, 2004).

Na t´ecnica de m´edias m´oveis simples, percebe-se que a predi¸c˜ao ser´a a mesma para

todos os valores de h: o valor suavizado no instante t. Logo,

(h) =

(h + 1) =

(h + 2) = ... .

O comportamento deste m´etodo depende da escolha de s. Para s´eries muito aleat´o-

rias deve-se usar s igual ou pr´oximo de N, para que seja calculada a m´edia de todos os

valores da s´erie. Caso contr´ario, usa-se um valor pr´oximo de 1 para s, para que apenas al-

guns valores mais recentes sejam utilizados para prever valores futuros (MORETIN; TOLOI,

2004).

2.5.1.2 Suaviza¸c˜ao Exponencial Simples

Este m´etodo corresponde a uma m´edia ponderada, cujos pesos das observa¸c˜oes mais

novas s˜ao maiores que os pesos das observa¸c˜oes mais antigas (MORETIN; TOLOI, 2004).

Neste m´etodo, temos a equa¸c˜ao:

= α

t−1



k=0

((1 − α)

t−k

) + (1 − α)

(2.19)

para t = 1, ..., N, onde Z

´e o valor suavizado exponencialmente e α ´e a constante de

suaviza¸c˜ao que deve estar entre 0 e 1. Quanto menor for α, as observa¸c˜oes passadas ter˜ao

16 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

maior peso e como conseq

uˆencia, as previs˜oes s˜ao mais est´aveis `as observa¸c˜oes aleat´orias.

Por outro lado, quanto maior for α, as observa¸c˜oes recentes ter˜ao maior peso (MORETIN;

TOLOI, 2004).

Para realizar a predi¸c˜ao, temos que:

(h) = Z

, ∀h > 0.

Este m´etodo tem a vantagem da simplicidade, f´acil implementa¸c˜ao, ﬂexibilidade gra¸cas

`a constante de suaviza¸c˜ao e n˜ao necessita armazenar muitas informa¸c˜oes.

A desvantagem deste m´etodo reside na diﬁculdade em determinar o melhor valor da

constante de suaviza¸c˜ao.

2.5.2 S´eries Temporais Com Tendˆencia e Sem Sazonalidade

Um modelo para s´eries temporais que apresentam tendˆencia mas n˜ao possuem sazo-

nalidade ´e descrito por:

= µ

+ a

+ T

(2.20)

para t = 1, ..., N, onde µ

´e o n´ıvel; T

´e a componente de tendˆencia e a

´e o ru´ıdo aleat´orio

com m´edia zero e variˆancia constante (MORETIN; TOLOI, 2004).

2.5.2.1 Suaviza¸c˜ao Exponencial de Holt

Este m´etodo de suaviza¸c˜ao para s´eries com tendˆencia, possui duas constantes de su-

aviza¸c˜ao, uma (A) que atua no n´ıvel do modelo, e outra (C) que atua na tendˆencia do

mesmo, ambas com valores entre 0 e 1. A equa¸c˜ao do valor suavizado ´e (MORETIN; TOLOI,

2004):

= AZ

+ (1 − A)(Z

t−1

) (2.21)

para t = 2, ..., N, onde:

= C(Z

− Z

t−1

) + (1 − C)

t−1

(2.22)

para t = 2, ..., N, onde

T ´e a componente de tendˆencia estimada. Os valores de Z

s˜ao calculados para t ≥ 2. Para t ≥ 3, s˜ao utilizadas as Equa¸c˜oes 2.21 e 2.22, enquanto

que para t = 2, s˜ao utilizados os valores iniciais aproximados seguintes (MORETIN; TOLOI,

2004):

= Z

− Z

(2.23)

= Z

(2.24)

As previs˜oes s˜ao realizadas a partir da equa¸c˜ao:

(h) = Z

+ h

(2.25)

2.5 Modelos de Suaviza¸c˜ao Exponencial 17

Para se determinar as duas constantes de suaviza¸c˜ao, deve-se escolher os valores A

e C tais que o erro quadr´atico m´edio (EQM) de previs˜ao seja o menor poss´ıvel. O erro

quadr´atico m´edio de previs˜ao ´e deﬁnido como a esperan¸ca da diferen¸ca entre o valor real e

o valor previsto da s´erie elevada ao quadrado, como mostrado na Equa¸c˜ao 2.26 (MORETIN;

TOLOI, 2004).

EQM(

(h)) = E(Z

t+h

−

(h))

(2.26)

As vantagens deste m´etodo s˜ao as mesmas do m´etodo de Suaviza¸c˜ao Exponencial

Simples, al´em de poder ser aplicado a s´eries com tendˆencia.

A desvantagem deste m´etodo ´e a diﬁculdade na escolha das constantes de suaviza¸c˜ao.

2.5.3 S´eries Temporais Com Tendˆencia e Sazonalidade

Um modelo para s´eries temporais que apresentam tendˆencia e sazonalidade ´e descrito

por:

= µ

+ a

+ T

(2.27)

para t = 1, ..., N. Ou:

= µ

+ a

+ T

+ S

(2.28)

para t = 1, ..., N, onde µ

´e o n´ıvel, T

´e a componente de tendˆencia, S

´e a componente de

sazonalidade e a

´e o ru´ıdo aleat´orio com m´edia zero e variˆancia constante. O modelo 2.27

considera a sazonalidade multiplicativa e a tendˆencia aditiva. O modelo 2.28 considera a

sazonalidade e a tendˆencia aditivas (MORETIN; TOLOI, 2004).

2.5.3.1 Suaviza¸c˜ao Exponencial Sazonal de Holt-Winters (para sazonalidade

aditiva)

Este m´etodo de suaviza¸c˜ao para s´eries com tendˆencia e sazonalidade, possui trˆes

constantes de suaviza¸c˜ao, uma (A) que atua no n´ıvel do modelo, uma (C) que atua na

tendˆencia, e outra (D) que atua na sazonalidade, todas com valores entre 0 e 1. A equa¸c˜ao

do valor suavizado ´e dada por (MORETIN; TOLOI, 2004):

= A(Z

−

t−s

) + (1 − A)(Z

t−1

) (2.29)

para t = (s + 1), ..., N. Onde s ´e chamado de per´ıodo e indica que o comportamento da

s´erie temporal ´e semelhante a cada s instantes de tempo. Tem-se ainda:

= C(Z

− Z

t−1

) + (1 − C)

t−1

(2.30)

para t = (s + 1), ..., N.

= D(Z

− Z

) + (1 − D)

t−s

(2.31)

18 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

para t = (s + 1), ..., N.

A previs˜ao ´e realizada a partir da seguinte equa¸c˜ao:

(h) = Z

+ h

t+h−s

(2.32)

para h = 1, ..., s. E:

(h) = Z

+ h

t+h−2s

(2.33)

para h = s+1, ..., 2s e assim sucessivamente para h = 2s +1, ..., 3s, para h = 3s+1, ..., 4s,

etc.

Os valores iniciais s˜ao:

(



k=1

)

(2.34)

para j = 1, ..., s.



k=1

(2.35)

= 0 (2.36)

2.5.3.2 Suaviza¸c˜ao Exponencial Sazonal de Holt-Winters (para sazonalidade

multiplicativa)

Este m´etodo de suaviza¸c˜ao para s´eries com tendˆencia e sazonalidade, tamb´em possui

trˆes constantes de suaviza¸c˜ao, uma (A) que atua no n´ıvel do modelo, uma (C) que atua

na tendˆencia, e outra (D) que atua na sazonalidade, todas com valores entre 0 e 1. A

equa¸c˜ao do valor suavizado ´e dado por (MORETIN; TOLOI, 2004):

= A



t−s



+ (1 − A)(Z

t−1

) (2.37)

para t = (s + 1), ..., N. Onde s ´e chamado de per´ıodo e indica que o comportamento da

s´erie temporal ´e semelhante a cada s instantes de tempo. Tem-se ainda:

= C(Z

− Z

t−1

) + (1 − C)

t−1

(2.38)

para t = (s + 1), ..., N.

= D





+ (1 − D)

t−s

(2.39)

para t = (s + 1), ..., N.

A previs˜ao ´e realizada a partir da seguinte equa¸c˜ao:

(h) = (Z

+ h

)

t+h−s

(2.40)

2.5 Modelos de Suaviza¸c˜ao Exponencial 19

para h = 1, ..., s. E:

(h) = (Z

+ h

)

t+h−2s

(2.41)

para h = (s+1), ..., 2s e assim sucessivamente para h = 2s+1, ..., 3s, para h = 3s+1, ..., 4s,

etc.

Os valores iniciais s˜ao:

(



k=1

)

(2.42)

para j = 1, ..., s.



k=1

(2.43)

= 0 (2.44)

As vantagens desses dois m´etodos s˜ao as mesmas do m´etodo de suaviza¸c˜ao exponencial

de Holt, adicionando-se a vantagem de ser aplicada a s´eries com tendˆencia e sazonalidade

(MORETIN; TOLOI, 2004).

A desvantagem ´e a diﬁculdade em escolher os melhores valores para as trˆes constantes

de suaviza¸c˜ao, que podem ser escolhidas usando o EQM. Os valores que gerarem o menor

EQM ser˜ao os escolhidos (MORETIN; TOLOI, 2004).

20 2 Processos Estoc´asticos e S´eries Temporais

3 Modelos ARIMA e ARIMAX

Existem diversas t´ecnicas e modelos para an´alise de s´eries temporais, entre as mais

comumente usadas temos a an´alise de Fourier, an´alise de Wavelets, Modelos ARIMAX

e suas subdivis˜oes, Modelos Estruturais para S´eries de Tempo e Redes Neurais. A es-

colha de qual t´ecnica utilizar e o respectivo modelo vai depender do que se espera da

an´alise da s´erie (por exemplo, se o objetivo ´e realizar previs˜oes ou se ´e importante ter a

ocorrˆencia dos dados no dom´ınio do tempo, ent˜ao algumas dessas t´ecnicas n˜ao suprir˜ao

estas necessidades), da complexidade de cada t´ecnica e das caracter´ısticas que cada s´erie

individualmente possui (como possuir estacionariedade ou n˜ao). Neste trabalho foram

escolhidos os modelos ARIMA e ARIMAX porque s˜ao menos complexos que outros como

o modelo NARMAX, por exemplo, al´em de serem modelos muito difundidos e que s˜ao

capazes de resolver adequadamente muitos problemas, incluindo problemas com s´eries

temporais n˜ao-estacion´arias.

Assim, os modelos adotados neste trabalho s˜ao utilizados para modelar a sa´ıda de um

processo linear. A sa´ıda desse processo linear corresponde a uma s´erie temporal, enquanto

que as entradas deste processo s˜ao o ru´ıdo branco (com m´edia zero e variˆancia constante)

e uma ou mais entradas ex´ogenas. Esse processo pode ser visto na Figura 3.1.

Figura 3.1: O processo gerador da s´erie temporal juntamente com o sistema estimador da

s´erie.

Na Figura 3.1 tem-se uma representa¸c˜ao do processo gerador da s´erie temporal, a

partir das entradas, bem como o sistema estimador de um modelo para representar tal

s´erie temporal.

22 3 Modelos ARIMA e ARIMAX

Os processos nos quais existe entrada ex´ogena ser˜ao modelados atrav´es do modelo

ARIMAX, e os processos nos quais n˜ao existe entrada ex´ogena (ou ela n˜ao ´e conhecida)

ser˜ao modelados atrav´es do modelo ARIMA.

E importante lembrar que quando a entrada

ex´ogena do sistema n˜ao ´e conhecida, o processo de estima¸c˜ao do modelo torna-se mais

complexo, tendo como alimenta¸c˜ao para o sistema estimador do modelo apenas os valores

da s´erie temporal, e tendo que estimar os valores do ru´ıdo.

3.1 Modelo ARIMA

Um dos modelos lineares mais utilizados para an´alise de s´eries temporais no dom´ınio

do tempo ´e o modelo ARIMA(p,d,q). Modelos ARIMA s˜ao modelos auto-regressivos

integrados de m´edias m´oveis. O nome ´e dado em virtude deste modelo conter uma parte

do modelo AR e outra parte do modelo MA (ambos ser˜ao descritos nesta se¸c˜ao), e se

a s´erie original for transformada por uma (ou mais) diferencia¸c˜ao, ent˜ao a s´erie original

ser´a uma integra¸c˜ao da s´erie diferenciada. O modelo ´e representado da seguinte forma:

ARIMA(p,d,q), onde p ´e a ordem da parte AR do modelo, q ´e a ordem da parte MA do

modelo, e d ´e o n´umero de diferen¸cas que foram realizadas nos dados at´e que a s´erie se

tornasse estacion´aria (se a s´erie original j´a ´e estacion´aria, ent˜ao d=0) (MORETIN; TOLOI,

2004).

Os passos para a constru¸c˜ao do modelo que melhor se ajusta aos dados da s´erie

temporal s˜ao descritos no ﬂuxograma da Figura 3.2.

Os quatro passos do ﬂuxograma s˜ao descritos a seguir:

Sele¸c˜ao :

E realizada a sele¸c˜ao do melhor tipo do modelo a ser usado: AR (que ´e repre-

sentado por ARIMA(p, 0, 0)), MA (que ´e representado por ARIMA(0, 0, q)), ARI

(que ´e representado por ARIMA(p, d, 0)), IMA (que ´e representado por ARIMA(0,

d, q)), ARMA (que ´e representado por ARIMA(p, 0, q)) ou ARIMA completo (que

´e representado por ARIMA(p, d, q)).

Estima¸c˜ao da ordem : Estimar as ordens do modelo (ordem da diferen¸ca necess´aria,

ordem da parte AR e a ordem da parte MA).

Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes :

E realizada a estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo j´a

selecionado.

Diagn´ostico :

E realizado um diagn´ostico do modelo, a ﬁm de veriﬁcar se o modelo ´e

adequado, ou seja, representa bem a s´erie temporal. Caso o modelo n˜ao seja ade-

quado, voltar ao passo de Sele¸c˜ao. Caso contr´ario, termina a execu¸c˜ao do algoritmo

e o modelo est´a pronto para ser usado para diversas ﬁnalidades, como por exemplo,

previs˜ao.

A fase mais cr´ıtica deste processo ´e o passo de estima¸c˜ao das ordens. Pessoas diferentes

podem achar diferentes modelos para uma mesma s´erie temporal, ent˜ao se deseja criar

um modelo para previs˜ao, deve-se escolher o modelo cujo erro de previs˜ao seja o menor

poss´ıvel, e assim por diante, sempre escolhendo o modelo que oferece o melhor desempenho

na fun¸c˜ao para a qual este foi criado (MORETIN; TOLOI, 2004). Todas estas etapas ser˜ao

melhor detalhadas no cap´ıtulo 4.

3.1 Modelo ARIMA 23

Figura 3.2: Fluxograma : constru¸c˜ao de um modelo ARIMA/ARIMAX.

24 3 Modelos ARIMA e ARIMAX

Embora as etapas do ﬂuxograma da Figura 3.2 tenham sido descritas como sendo para

a cria¸c˜ao de um modelo ARIMA, as mesmas tamb´em s˜ao aplicadas `a cria¸c˜ao do modelo

ARIMAX. Para a cria¸c˜ao do modelo ARIMAX, al´em da estima¸c˜ao das ordens e coeﬁcien-

tes contidos no modelo ARIMA, deve-se estimar tamb´em as ordens e os coeﬁcientes das

entradas ex´ogenas.

O modelo ARIMA ´e destinado para s´eries temporais n˜ao-estacion´arias, mas que to-

mando-se d diferen¸cas da s´erie (com d ﬁnito), esta torna-se estacion´aria. Esse tipo de

s´erie ´e conhecida como s´erie n˜ao-estacion´aria homogˆenea (MORETIN; TOLOI, 2004).

Uma vez que a s´erie n˜ao-estacion´aria homogˆenea Z

foi diferenciada d vezes, ela se

transformou em uma s´erie estacion´aria W

= ∆

, e podemos represent´a-la como um

modelo ARMA(p,q) da forma:

= φ

t−1

+ φ

t−2

+ ... + φ

t−p

+ a

− θ

t−1

− ... − θ

t−q

(3.1)

onde p ´e a ordem da parte auto-regressiva e q ´e a ordem da parte de m´edias m´oveis do

modelo (MORETIN; TOLOI, 2004).

Quando o parˆametro d > 0, sup˜oe-se que µ, a m´edia de W

, ´e igual a zero e portanto

n˜ao ´e necess´ario adicionar um termo constante `a s´erie. Caso contr´ario, existem duas

possibilidades: ou retira-se a m´edia da s´erie antes de sua modelagem, e coloca-a novamente

no ﬁnal, ou deve-se adicionar um termo constante θ

ao modelo, e este dever´a ser estimado,

juntamente com os outros coeﬁcientes do modelo (MORETIN; TOLOI, 2004).

3.1.1 Caracter´ısticas do Modelo ARIMA

A entrada a

do modelo ´e supostamente um ru´ıdo branco. Uma entrada a

´e conside-

rada um ru´ıdo branco se (MORETIN; TOLOI, 2004):

• Cont´em m´edia zero;

• Cont´em variˆancia constante;

• Cont´em covariˆancia nula E[ε

.ε

t−s

] = E[ε

t−j

.ε

t−j−s

] = L = 0, para todo valor de s.

3.1.2 Modelos AR e ARI

O modelo AR ´e um modelo que possui apenas a parte auto-regressiva (Auto-Regressive)

do modelo ARIMA mais geral. Um modelo auto-regressivo de ordem p ´e representado

por AR(p), ou equivalentemente ao modelo ARIMA(p,0,0), sendo p a ordem do modelo,

e assume a forma:

Z = φ

t−1

+ φ

t−2

+ ... + φ

t−p

+ a

(3.2)

onde

= Z

− µ.

J´a o modelo ARI ´e um modelo que possui apenas a parte auto-regressiva (Auto-

Regressive) do modelo ARIMA mais geral, e a s´erie precisou de d diferen¸cas para se

tornar estacion´aria. Um modelo auto-regressivo integrado de ordem p ´e representado por

3.1 Modelo ARIMA 25

ARI(p,d), ou equivalentemente ao modelo ARIMA(p,d,0), sendo p a ordem do modelo, e

assume a forma:

= φ

t−1

+ φ

t−2

+ ... + φ

t−p

+ a

(3.3)

onde W

= ∆

(d diferen¸cas de Z

Para ambos os modelos, temos que µ ´e a m´edia da s´erie (se a s´erie for estacion´aria),

ou n˜ao tem signiﬁcado espec´ıﬁco (se a s´erie for n˜ao-estacion´aria).

3.1.3 Modelos MA e IMA

O modelo MA ´e um modelo que possui apenas a parte de m´edias m´oveis (Moving

Average) do modelo ARIMA mais geral. Um modelo de m´edias m´oveis de ordem q ´e

representado por MA(q), ou equivalentemente ao modelo ARIMA(0,0,q), sendo q a ordem

do modelo, e assume a forma:

= a

− θ

t−1

− ... − θ

t−q

(3.4)

onde

= Z

− µ.

J´a o modelo IMA ´e um modelo que possui apenas a parte m´edias m´oveis (Moving

Average) do modelo ARIMA mais geral, e a s´erie precisou de d diferen¸cas para se tornar

estacion´aria. Um modelo de m´edias m´oveis integrado de ordem q ´e representado por

IMA(d,q), ou equivalentemente ao modelo ARIMA(0,d,q), sendo q a ordem do modelo, e

assume a forma:

= a

− θ

t−1

− ... − θ

t−q

(3.5)

onde W

= ∆

(d diferen¸cas de Z

Para ambos os modelos, temos que µ ´e a m´edia da s´erie (se a s´erie for estacion´aria),

ou n˜ao tem signiﬁcado espec´ıﬁco (se s´erie ´e n˜ao-estacion´aria).

3.1.4 Modelo ARMA

O modelo ARMA ´e o modelo auto-regressivo (Auto-Regressive) e de m´edias m´oveis

(Moving Average) combinados em um s´o. Esse modelo ´e aplic´avel para s´eries temporais

estacion´arias, ou seja, n˜ao necessita de diferen¸cas (d = 0). Representa-se este modelo

como ARMA(p,q), sendo p a ordem da parte auto-regressiva, e q a ordem da parte de

m´edias m´oveis do modelo. Equivalentemente, podemos represent´a-lo como um modelo

ARIMA(p,0,q) mais geral, esse modelo assume a forma (MORETIN; TOLOI, 2004):

= φ

t−1

+ φ

t−2

+ ... + φ

t−p

+ a

− θ

t−1

− ... − θ

t−q

(3.6)

onde

= Z

− µ; e µ ´e a m´edia da s´erie (para s´erie estacion´aria).

26 3 Modelos ARIMA e ARIMAX

3.2 Modelo ARIMAX

O modelo ARIMAX ´e similar ao modelo ARIMA descrito anteriormente. A diferen¸ca ´e

que o modelo Auto-Regressivo (Auto-Regressive) Integrado (Integrated) de M´edias M´oveis

(Moving Average) e Entradas Ex´ogenas (Exogenous inputs) possui, al´em dos parˆametros

auto-regressivos e de m´edias m´oveis, a entrada ex´ogena (FERRARI, 2006). Desta forma,

para o modelo ARIMAX, existir´a mais um termo a se estimar, r, que corresponde `a ordem

da equa¸c˜ao que representa a entrada ex´ogena.

As etapas da constru¸c˜ao de um modelo ARIMAX s˜ao os mesmos descritos na Figura

3.2.

Na classe de modelos ARIMAX, tem-se um modelo mais simples denominado AR-

MAX, onde n˜ao s˜ao realizadas opera¸c˜oes de diferen¸cas nos valores da s´erie temporal e

nem na(s) entrada(s) ex´ogena(s). O modelo ARMAX ´e um modelo ARIMAX simpliﬁ-

cado, e assume a forma (FERRARI, 2006):



j=0

t−j

= b



j=1

t−j



j=0

t−j

(3.7)

para t = 0, ±1, ±2, ..., onde:

• Z ´e um vetor de sa´ıdas observ´aveis (corresponde aos pontos da s´erie temporal);

• X ´e um vetor de entradas observ´aveis;

• a ´e um vetor de elementos que caracterizam ru´ıdos aleat´orios n˜ao observ´aveis.

Assumindo-se que:

• Z e X s˜ao estacion´arios;

• a tem m´edia zero e variˆancia σ

No caso da s´erie temporal n˜ao ser estacion´aria, ´e necess´ario realizar a mesma quanti-

dade de diferen¸cas na sa´ıda e na entrada. Neste caso, utiliza-se o modelo ARIMAX, que

assume a forma (FERRARI, 2006):



j=0

∆

t−j

= b



j=1

∆

t−j



j=0

t−j

(3.8)

O modelo ARIMAX pode ser generalizado para representar mais de uma entrada.

3.2.1 ARIMAX e suas Subdivis˜oes

De conhecimento do modelo ARIMA e suas subdivis˜oes vistas na se¸c˜ao anterior, pode-

se construir, por analogia, os modelos ARX, ARIX, MAX e IMAX, que s˜ao deriva¸c˜oes do

modelo ARIMAX.

3.3 Modelo SARIMA 27

3.3 Modelo SARIMA

O Modelo SARIMA ´e composto por um modelo ARIMA mais uma componente que

representa a sazonalidade presente na s´erie temporal (MORETIN; TOLOI, 2004).

Quando ´e realizada a detec¸c˜ao de uma componente sazonal em uma s´erie temporal

analisada, esta sazonalidade pode ser de dois tipos: determin´ıstica ou estoc´astica.

Quando a sazonalidade encontrada ´e determin´ıstica, com per´ıodo de 12 meses (su-

pondo uma s´erie temporal mensal e com sazonalidade anual), esta s´erie pode ser modelada

por (MORETIN; TOLOI, 2004):

= µ

+ N

(3.9)

onde µ

´e uma fun¸c˜ao determin´ıstica peri´odica cujos valores s˜ao iguais para cada t



t + i ∗ 12 (para i = 0, 1, ...); N

´e um processo estacion´ario modelado por um modelo

ARMA(p,q).

Segundo Moretin e Toloi (2004), N

satisfaz a equa¸c˜ao:

φ(B)N

= θ(B)a

(3.10)

onde (B) ´e um vetor de operadores de atraso B, ou seja, (B

= N

t−12

, a

´e um ru´ıdo

branco e µ

tem sua solu¸c˜ao dada por:

= µ +



j=1

[α

cos

(2πjt)

+ β

sin

(2πjt)

] (3.11)

onde µ, α

, β

s˜ao constantes desconhecidas.

Aplicando-se a diferen¸ca sazonal (1 − B

) `a Equa¸c˜ao 3.9, tem-se:

(1 − B

= (1 − B

)µ

+ (1 − B

(3.12)

como µ

= µ

t−12

, temos:

(1 − B

= (1 − B

(3.13)

E ﬁnalmente, substituindo-se 3.10 em 3.13, tem-se:

φ(B)W

= θ(B)(1 − B

(3.14)

onde W

= (1 − B

J´a a sazonalidade estoc´astica ´e identiﬁcada atrav´es da an´alise da fun¸c˜ao de autocor-

rela¸c˜ao (FAC) e da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao parcial (FACP) da s´erie (FAC e FACP ser˜ao

detalhadas na subse¸c˜ao 4.2.1), que s˜ao diferentes de zero apenas nos m´ultiplos do pe-

r´ıodo de sazonalidade. A sazonalidade estoc´astica pode ser modelada da seguinte forma

(MORETIN; TOLOI, 2004):

= µ

+ N

(3.15)

28 3 Modelos ARIMA e ARIMAX

onde µ

agora ´e um processo estoc´astico. Tem-se que:

(1 − B

)µ

= Y

(3.16)

onde Y

´e um processo estoc´astico. Novamente aplicando-se o operador (1−B

) `a Equa¸c˜ao

3.15, e de acordo com 3.16, tem-se:

(1 − B

= Y

+ (1 − B

(3.17)

com φ

(B)Y

= θ

(B)a

e φ

(B)N

= θ

(B)ε

. Onde a

e ε

s˜ao ru´ıdos brancos inde-

pendentes.

Moretin e Toloi (2004) demonstram que a Equa¸c˜ao 3.17 ´e equivalente `a:

Φ(B

)∆

= Θ(B

)α

(3.18)

onde:

Φ(B

) = 1 − Φ

− ... − Φ

12P

: operador auto-regressivo sazonal de ordem P e

estacion´ario;

Θ(B

) = 1 − Θ

− ... − Θ

12Q

: operador de m´edias m´oveis sazonal de ordem Q e

invert´ıvel;

∆

= (1 − B

): operador diferen¸ca sazonal;

∆

= (1 − B

)

: onde D indica o n´umero de diferen¸cas sazonais realizadas;

: pode ser um ru´ıdo branco.

Como descrito anteriormente, α

pode ser ou n˜ao um ru´ıdo branco, em caso positivo, a

FAC de Z

´e zero para todas as posi¸c˜oes n˜ao-sazonais e o modelo 3.17 ´e chamado de modelo

sazonal puro (MORETIN; TOLOI, 2004). Por´em, se α

n˜ao for um ru´ıdo branco e satisﬁzer

um modelo ARIMA(p,d,q) (ϕ(B)α

= θ(B)a

), sendo ϕ(B) = (1−B)

φ(B) e a

um ru´ıdo

branco, Moretin e Toloi (2004) demonstram que Z

satisfaz o modelo denominado ARIMA

sazonal multiplicativo, ou seja, SARIMA(p, d, q)x(P, D, Q)

, a seguir:

φ(B)Φ(B

)(1 − B

)

(1 − B)

= θ(B)Θ(B

(3.19)

com θ(B) = 1 − θ

B − ... − θ

e φ(B) = 1 − φ

B − ... − φ

3.4 Modelo NARMAX

O modelo NARMAX (Non-linear Auto-Regressive with Moving Average and Exoge-

nous inputs) ´e um modelo n˜ao-linear, ao contr´ario dos modelos vistos neste cap´ıtulo,

por´em ´e um modelo linear em seus parˆametros.

Devido `a caracter´ıstica n˜ao-linear, o modelo NARMAX ´e capaz de representar s´eries

temporais que apresentam um comportamento dinˆamico mais complexo do que aque-

les modelados pelos modelos ARIMAX. Em contrapartida, a estima¸c˜ao de um modelo

3.4 Modelo NARMAX 29

NARMAX ´e muito mais dispendiosa que os modelos lineares j´a vistos, al´em do que, alguns

passos do processo de cria¸c˜ao do modelo NARMAX ainda n˜ao est˜ao bem estabelecidos

(AGUIRRE; RODRIGUES; J

ACOME, 1998).

Na cria¸c˜ao de um modelo NARMAX, s˜ao seguidas as mesmas etapas da cria¸c˜ao de um

modelo linear ARIMA/ARIMAX, descritas na Figura 3.2 (na etapa de sele¸c˜ao, deve-se

escolher o modelo NARMAX), o que muda s˜ao as t´ecnicas utilizadas em cada uma dessas

etapas.

No modelo NARMAX, todo conhecimento pr´evio existente sobre a s´erie deve ser uti-

lizado para a escolha da estrutura do modelo adequada (AGUIRRE; RODRIGUES; J

ACOME,

1998).

A estrutura do modelo NARMAX mono-vari´avel assume a forma:

= F

t−1

, Z

t−2

, . . . , Z

t−n

, X

t−b−1

, . . . , X

t−b−n

, a

t−1

, a

t−2

, . . . , a

t−n

) + a

(3.20)

para t = 1, ..., N. Onde F

´e uma fun¸c˜ao n˜ao-linear; L representa o grau de n˜ao-

linearidade; Z

´e a sa´ıda, com atraso m´aximo n

; X

´e a entrada, com atraso m´aximo

; e a

´e um ru´ıdo aditivo, com atraso m´aximo n

; b ´e o retardo do sistema (AGUIRRE;

RODRIGUES; J

ACOME, 1998).

A fun¸c˜ao F

n˜ao ´e conhecida, e deve ser estimada de forma a representar adequada-

mente toda a dinˆamica do sistema real. Os modelos polinomiais e racionais s˜ao conside-

rados bons modelos para aproximar a fun¸c˜ao F

. Um modelo polinomial de grau L que

pode ser usado para representar o modelo NARMAX descrito em 3.20 assume a forma

(AGUIRRE; RODRIGUES; J

ACOME, 1998):

= θ



+ . . . +



. . .



l−1

...i

. . . U

+ a

(3.21)

onde U

= Z

t−1

, U

= Z

t−2

, . . . , U

= X

t−d

, . . . , U

= a

t−1

, . . . , U

= a

t−n

Temos ainda que: n = n

+ n

e θ

s˜ao os coeﬁcientes a serem estimados.

A quantidade m´axima de termos de um modelo NARMAX polinomial pode crescer

muito `a medida que o valor de L cresce e em fun¸c˜ao dos atrasos n

, n

e n

tamb´em.

Por´em, se utiliz´assemos todos esses termos obter´ıamos um modelo muito grande. Assim,

´e aconselh´avel reduzir o n´umero de parˆametros, por´em garantindo que o modelo ainda

represente bem a dinˆamica da s´erie temporal. Para isso utiliza-se uma t´ecnica conhecida

como detec¸c˜ao de estrutura, capaz de selecionar os termos que s˜ao realmente importantes

para o modelo, e que devem ser inclu´ıdos no mesmo (AGUIRRE; RODRIGUES; J

ACOME,

1998).

Os modelos NARMAX polinomiais s˜ao lineares com rela¸c˜ao aos seus coeﬁcientes.

Desta forma, os coeﬁcientes podem ser estimados usando qualquer t´ecnica de estima¸c˜ao

30 3 Modelos ARIMA e ARIMAX

de coeﬁcientes para modelos lineares, como os algoritmos Least Mean Square (LMS) ou

Recursive Least Square (RLS). Maiores detalhes sobre os modelos NARMAX podem ser

encontrados em (AGUIRRE; RODRIGUES; J

ACOME, 1998), pois estes modelos est˜ao fora do

escopo desta disserta¸c˜ao.

4 Etapas da Modelagem para

Modelo ARIMA/ARIMAX

Este cap´ıtulo descreve com maiores detalhes as etapas de modelagem de uma s´erie

temporal representada por modelos ARIMA e ARIMAX. As variantes do modelo ARIMA:

ARMA, AR, MA, etc, bem como o modelo ARIMAX e seus variantes seguem as mesmas

etapas gerais de modelagem descritas na Figura 3.2, apresentada no cap´ıtulo anterior. A

seguir essas etapas s˜ao analisadas em detalhes.

4.1 Sele¸c˜ao do Modelo

Nesta fase de sele¸c˜ao ´e realizada a escolha da melhor estrutura a ser usada para mo-

delar a s´erie temporal, por exemplo, o modelo ARIMA, ARMA, ARIMAX ou NARMAX.

Esta escolha ´e realizada com base no conhecimento pr´evio que se tem a respeito da s´e-

rie temporal em quest˜ao, escolhendo-se a categoria cujas caracter´ısticas sejam aplic´aveis

`aquela s´erie.

Neste trabalho, utiliza-se sempre o modelo ARIMA(p,d,q) (ou ARIMAX(p,d,r,q), se

existem entradas ex´ogenas) como estrutura, independente da s´erie ser estacion´aria ou n˜ao.

Como n˜ao se tem conhecimento pr´evio se a s´erie temporal ´e auto-regressiva ou de m´edias

m´oveis ou ambas, esta informa¸c˜ao s´o ser´a descoberta na fase de estima¸c˜ao das ordens do

modelo, motivo pelo qual ´e usado o modelo ARIMA (ou ARIMAX) geral.

4.2 Estima¸c˜ao das Ordens do Modelo

Nesta etapa, o primeiro passo a ser executado ´e veriﬁcar se a s´erie precisa de alguma

transforma¸c˜ao pr´evia para estabilizar a sua variˆancia (MORETIN; TOLOI, 2004).

No segundo passo, ´e preciso veriﬁcar se a s´erie precisa ser diferenciada ou n˜ao. N˜ao

se deve diferenciar a s´erie mais vezes do que ela necessita para tornar-se estacion´aria.

Analisando-se a variˆancia ´e poss´ıvel escolher o parˆametro d adequadamente, pois a vari-

ˆancia da s´erie diminui para uma diferencia¸c˜ao/diferen¸ca adequada e aumenta para uma

diferencia¸c˜ao/diferen¸ca excessiva. Para isso, analisa-se a variˆancia da s´erie original e de-

pois a variˆancia da s´erie com a primeira diferen¸ca. Se a variˆancia da s´erie com primeira

diferen¸ca diminuiu de valor, ent˜ao s´erie deve ser diferenciada pelo menos uma vez (d = 1

por enquanto), se a variˆancia aumentou, ent˜ao a s´erie ´e estacion´aria, e d = 0. Em se-

32 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

guida, compara-se a variˆancia da s´erie com uma diferen¸ca e a s´erie com duas diferen¸cas.

Se a variˆancia da s´erie com duas diferen¸cas diminuiu, ent˜ao a s´erie ser´a diferenciada duas

vezes (d = 2), caso contr´ario, a s´erie j´a tornou-se estacion´aria com uma diferen¸ca apenas,

e d = 1. Na pr´atica, a maior parte das s´eries se tornam estacion´arias com no m´aximo

d = 2, por isso neste trabalho ´e utilizado esse valor como limite m´aximo de d (MORETIN;

TOLOI, 2004).

Uma vez que descobriu-se o melhor valor para d, a partir de agora passa-se a trabalhar

com a s´erie diferenciada, caso d = 0. O pr´oximo passo ´e utilizar uma t´ecnica para a escolha

das outras ordens dos modelos ARIMA/ARIMAX. A seguir s˜ao apresentadas algumas das

principais t´ecnicas de determina¸c˜ao da ordem de modelos ARIMA/ARIMAX.

4.2.1 Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao (FAC) e Fun¸c˜ao de Autocorre-

la¸c˜ao Parcial (FACP) Estimadas

Uma das formas de se encontrar as ordens do modelo ´e calculando-se e analisando-se

as autocorrela¸c˜oes e autocorrela¸c˜oes parciais estimadas da s´erie.

A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao estimada ´e calculada por:

, j = 1, ..., N (4.1)

onde c

´e a fun¸c˜ao de autocovariˆancia (FACV) estimada, sendo calculada por:

N−j



t=1

[(Z

− Z)(Z

t+j

− Z)], j = 0, 1, ..., N − 1 (4.2)

onde Z =



t=1

´e a m´edia amostral da s´erie, e r

−j

= r

(MORETIN; TOLOI, 2004).

E necess´ario saber se uma r

´e considerada nula ou n˜ao. Para isso, utiliza-se um

intervalo de conﬁan¸ca aproximado, no qual r

´e diferente de zero se (MORETIN; TOLOI,

2004):

| r

|> 2ˆσ(r

), j > q (4.3)

onde ˆσ(r

) ´e a variˆancia de r

Existe tamb´em a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao parcial estimada,

, que tamb´em ´e uma

fun¸c˜ao utilizada na etapa de identiﬁca¸c˜ao da ordem do modelo ARIMA. A FAC e FACP

s˜ao utilizadas para identiﬁca¸c˜ao da ordem do modelo ARIMA exclusivamente, pois n˜ao s˜ao

capazes de identiﬁcarem as ordens das entradas ex´ogenas presentes no modelo ARIMAX.

De acordo com Moretin e Toloi (2004), denota-se por φ

o j-´esimo coeﬁciente de um

modelo AR(k), de forma que φ

seja o ´ultimo coeﬁciente. Vejamos:

= φ

j−1

+ φ

j−2

+ ... + φ

j−k

(4.4)

para j = 1, ..., k, onde ρ

´e a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao e como n˜ao conhecemos seu valor,

usamos o seu valor estimado (r

), obtido pela Equa¸c˜ao 4.1.

Para cada j = 1, ..., k, tem-se uma Equa¸c˜ao 4.4 diferente e o conjunto delas ´e conhecido

4.2 Estima¸c˜ao das Ordens do Modelo 33

como equa¸c˜oes de Yule-Walker, cuja representa¸c˜ao matricial ´e descrita abaixo:







1 ρ

··· ρ

k−1

1 ρ

··· ρ

k−2

k−1

k−2

k−3

··· 1













···













···







(4.5)

Resolvendo as equa¸c˜oes de Yule-Walker para k = 1, 2, ..., tem-se:

= ρ

(4.6)



1 ρ



1 ρ



− ρ

1 − ρ

(4.7)



1 ρ



1 ρ



(4.8)

Logo, de forma geral,

´e calculada da seguinte forma:

| P

∗

| P

(4.9)

onde P

´e a matriz de autocorrela¸c˜oes e P

∗

´e a matriz P

com a ´ultima coluna substitu´ıda

pelo vetor de autocorrela¸c˜oes.

A FACP estimada,

, ´e considerada diferente de zero se (MORETIN; TOLOI, 2004):

√

, j > p (4.10)

Para descobrir se a s´erie deve ser representada por um modelo ARI(p,d,0), IMA(0,d,q)

ou ARIMA(p,d,q), calcula-se e analisa-se o comportamento da FAC e da FACP da s´erie

diferenciada, e compara-se com o comportamento dos trˆes modelos acima citados, que

est˜ao descritos na Tabela 4.1. Se a FAC e FACP da s´erie tiverem seus comportamentos

semelhantes aos comportamentos do modelo ARIMA(p,d,0) ou ARIMA(0,d,q), ent˜ao as

ordens p e q do modelo ser˜ao estimadas tamb´em de acordo com os comportamentos descri-

tos na Tabela 4.1. Se a FAC e FACP da s´erie tiverem seus comportamentos semelhantes

aos comportamentos do modelo ARIMA(p,d,q), ent˜ao a estima¸c˜ao das ordens p e q n˜ao

´e t˜ao simples e estas n˜ao poder˜ao ser estimadas pela mesma tabela (MORETIN; TOLOI,

2004).

Analisar a FAC e a FACP pode dar ind´ıcios de que o modelo trata-se de um ARIMA,

mas n˜ao d´a ind´ıcios sobre os melhores valores para p e q. Para este modelo, ´e indicado

34 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

Tabela 4.1: Comportamento da FAC e FACP de v´arios modelos ARIMA.

Modelo FAC

FACP

ARIMA(p,d,0) Decai de acordo com exponencias

e/ou sen´oides amortecidas.

E in-

ﬁnita em extens˜ao.

Diferente de zero, para as posi¸c˜oes

≤ p, e igual a zero, para as posi¸c˜oes

> p (p ser´a o ordem do modelo).

ARIMA(0,d,q) Finita em extens˜ao. O corte acon-

tece ap´os a posi¸c˜ao q (q ser´a a or-

dem do modelo).

Decai de acordo com exponencias

e/ou sen´oides amortecidas.

E inﬁ-

nita em extens˜ao.

ARIMA(p,d,q) Decai de acordo com exponencias

e/ou sen´oides amortecidas ap´os a

posi¸c˜ao (q − p).

E inﬁnita em ex-

tens˜ao.

Decai de acordo com exponencias

e/ou sen´oides amortecidas.

E inﬁ-

nita em extens˜ao.

utilizar a Fun¸c˜ao de Autocorrela¸c˜ao Estendida (FACE). Esse m´etodo n˜ao ser´a abordado

aqui, maiores detalhes sobre o mesmo podem ser encontrados em (MORETIN; TOLOI, 2004).

4.2.2 Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike (CIA)

O crit´erio de informa¸c˜ao de Akaike ´e um m´etodo utilizado para estimar as melhores

ordens de um modelo. Quando ´e aplicado `a estima¸c˜ao das ordens de um modelo ARIMA,

o CIA escolhe o modelo cujas ordens p e q minimizam a equa¸c˜ao:

CIA(p, q) = ln ˆσ

p,q

+ (p + q)

C(N)

(4.11)

O CIA ´e um m´etodo baseado em uma fun¸c˜ao penalizadora, onde N ´e o n´umero de

amostras da s´erie temporal, C(N ) ´e uma fun¸c˜ao do tamanho da s´erie e ln ´e o operador de

logaritmo natural (com base igual ao n´umero e). O termo (p + q)

C(N)

da Equa¸c˜ao 4.11 ´e

o termo penalizador, e aumenta a medida que as ordens do modelo aumentam; enquanto

que ˆσ

p,q

´e a variˆancia do erro de modelagem (erro de predi¸c˜ao de um passo `a frente ou

res´ıduo), tamb´em chamada de variˆancia residual, e diminui `a medida que as ordens do

modelo aumentam. Assim, este m´etodo tenta equilibrar essas duas medidas (MORETIN;

TOLOI, 2004).

4.2.2.1 CIA para Modelos ARIMA e ARIMAX

Ser˜ao escolhidas como ordens do modelo, o par de valores (p,q) que minimizam o valor

CIA(p,q) da Equa¸c˜ao 4.12:

CIA(p, q) = N ln ˆσ

N − d

2(p + q + 1) + N ln 2π + N (4.12)

4.2 Estima¸c˜ao das Ordens do Modelo 35

onde ˆσ

´e o estimador de m´axima verossimilhan¸ca de σ

(que ´e a variˆancia do ru´ıdo equi-

valente `a parte de m´edias m´oveis do modelo) e d ´e o n´umero de diferencia¸c˜oes/diferen¸cas

(MORETIN; TOLOI, 2004).

No entanto, a Equa¸c˜ao 4.12 n˜ao pode ser utilizada para a estima¸c˜ao das ordens de

todos os tipos de modelo. A equa¸c˜ao do CIA sofrer´a pequenas modiﬁca¸c˜oes de acordo

com o modelo para o qual o mesmo ser´a utilizado. A Equa¸c˜ao 4.12, por exemplo, ser´a

utilizada se a s´erie temporal ´e n˜ao-estacion´aria e sofreu diferencia¸c˜ao/diferen¸ca. Se a s´erie

´e estacion´aria, a equa¸c˜ao do CIA ser´a (MORETIN; TOLOI, 2004):

CIA(p, q) = N ln ˆσ

+ 2(p + q + 2) + N ln 2π + N (4.13)

Por´em, quando se deseja comparar v´arios modelos diferentes para a mesma s´erie (neste

caso o valor de N n˜ao muda), os dois ´ultimos termos das Equa¸c˜oes 4.12 e 4.13 podem

ser retirados. As duas novas equa¸c˜oes ser˜ao, respectivamente, iguais a (MORETIN; TOLOI,

2004):

CIA(p, q) = N ln ˆσ

N − d

2(p + q + 1) (4.14)

CIA(p, q) = N ln ˆσ

+ 2(p + q + 2) (4.15)

As Equa¸c˜oes 4.14 e 4.15 s˜ao calculadas para todas as combina¸c˜oes de p e q, 0 ≤ p ≤ P

e 0 ≤ q ≤ Q, onde os valores de P e Q s˜ao escolhidos de acordo com a equa¸c˜ao a seguir

(MORETIN; TOLOI, 2004):

P = Q = ln N (4.16)

onde N ´e o n´umero de amostras da s´erie temporal.

Segundo Moretin e Toloi (2004), ´e natural a suposi¸c˜ao de que as ordens p e q estimadas

para um modelo se tornem maiores `a medida que N aumenta e em geral, os limites

superiores P e Q s˜ao encontrados em fun¸c˜ao de N. Alguns autores sugerem que seja

utilizado como limite superior para as ordens do modelo, o valor de (ln N)

, com 0 ≤

α ≤ ∞. Para maiores detalhes ver (MORETIN; TOLOI, 2004) e suas referˆencias. Nesta

disserta¸c˜ao utilizou-se P = Q = (ln N)

com α = 1 que ´e equivalente `a Equa¸c˜ao 4.16.

Pode-se ainda reescrever a equa¸c˜ao de CIA para s´eries estacion´arias conforme a equa-

¸c˜ao:

CIA(p, q) = ln ˆσ

p,q

2(p + q)

(4.17)

onde comparando-se com a Equa¸c˜ao 4.15, trocou-se o termo N ln ˆσ

por ln ˆσ

p,q

, e realizou-

se uma simpliﬁca¸c˜ao no termo penalizador. Segundo Moretin e Toloi (2004), os valores

que minimizam a Equa¸c˜ao 4.17 s˜ao os mesmos que minimizam a Equa¸c˜ao 4.15.

Para a combina¸c˜ao de ordens (p,q) que se est´a analisando no momento, ´e gerado um

modelo com as ordens p e q, os seus coeﬁcientes s˜ao estimados e ent˜ao este modelo ´e

utilizado para prever valores para a s´erie temporal. Os valores previstos por este modelo

s˜ao comparados com os valores reais da s´erie, e a diferen¸ca entre eles ´e chamada de erro

de modelagem. Ap´os calculados os erros de modelagem para todos os valores previstos ´e

calculada a variˆancia dos erros de modelagem (ˆσ

p,q

), cujo valor ´e substitu´ıdo na Equa¸c˜ao

4.17 e juntamente com os valores de p, q e N vai gerar o ´ındice CIA(p,q). O ´ındice

CIA(p,q) ´e calculado para v´arias combina¸c˜oes diferentes de ordens (p,q) e a combina¸c˜ao

36 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

de ordens que ser´a escolhida para o modelo ser´a aquela que minimizar o valor do ´ındice.

Embora o CIA apresentado nesta se¸c˜ao contenha apenas as ordens p e q, j´a que ´e

aplicado `a estimativa das ordens do modelo ARIMA, o CIA pode ser estendido para

ser aplicado tamb´em na estimativa das ordens do modelo ARIMAX, bastando para isso

somar as ordens das entradas ex´ogenas do modelo junto com as ordens (p + q) do termo

penalizador.

4.2.2.2 CIA para Modelos AR

Para o caso do modelo utilizado ser um modelo AR, a equa¸c˜ao do CIA ser´a (MORETIN;

TOLOI, 2004):

CIA(p) = N ln ˆσ

+ 2p (4.18)

para p ≤ P e P = ln N.

Existem ainda outras equa¸c˜oes para o c´alculo do CIA que foram criados com o intuito

de melhorar a qualidade da estima¸c˜ao das ordens, diminuindo-se para isso, a probabilidade

de sele¸c˜ao de ordens maiores que as verdadeiras da s´erie temporal, ou seja, superestima¸c˜ao

das ordens.

Um equa¸c˜ao proposta com o intuito de diminuir a probabilidade de superestimar a

ordem de um modelo AR ´e a equa¸c˜ao abaixo (MORETIN; TOLOI, 2004):

CIA

(p) = CIA(p) +

2(p + 1)(p + 2)

(N − p + 2)

(4.19)

para p ≤ P e P = ln N.

Por´em, o CIA

mostrou-se ´util apenas quando N ´e um n´umero pequeno ou quando o

valor de P ´e uma fra¸c˜ao “moderadamente grande” de N (MORETIN; TOLOI, 2004).

Uma outra equa¸c˜ao proposta para melhorar a qualidade da estima¸c˜ao da ordem de

um modelo AR ´e o CIA

CIA

(p) = N ln ˆσ

+ αp (4.20)

para p ≤ P e P = ln N.

Segundo Moretin e Toloi (2004), a probabilidade de sele¸c˜ao da ordem correta do

modelo utilizando-se o CIA

aumenta `a medida que o valor de α cresce, e um valor

consistente para ser utilizado em α, seria:

α = 2 ln (ln N) (4.21)

4.2.2.3 CIA para Modelos SARIMA

Quando se trata de modelagem utilizando modelos SARIMA, o CIA a ser utilizado

ser´a:

CIA(p, q, P, Q) = −2 log L + 2a (4.22)

4.2 Estima¸c˜ao das Ordens do Modelo 37

onde a ´e o n´umero de coeﬁcientes do modelo (a = p + q + P + Q), p ´e a ordem da parte

auto-regressiva, q ´e a ordem da parte de m´edias m´oveis, P ´e a ordem da parte auto-

regressiva sazonal e Q ´e a ordem da parte de m´edias m´oveis sazonal e L ´e a fun¸c˜ao de

verossimilhan¸ca utilizando os a coeﬁcientes estimados.

Por´em, Barbiero (2003) sugere a utiliza¸c˜ao de uma aproxima¸c˜ao da Equa¸c˜ao 4.22, por

quest˜oes computacionais. A equa¸c˜ao aproximada ´e mostrada abaixo:

CIA(p, q, P, Q)

∼

N(1 + log 2π) + N log σ

+ 2a (4.23)

onde a ´e o n´umero de coeﬁcientes do modelo (a = p + q + P + Q), p ´e a ordem da parte

auto-regressiva, q ´e a ordem da parte de m´edias m´oveis, P ´e a ordem da parte auto-

regressiva sazonal e Q ´e a ordem da parte de m´edias m´oveis sazonal e N ´e o n´umero de

observa¸c˜oes da s´erie e σ

´e a variˆancia residual (MEDEIROS, 2006).

4.2.2.4 Outras Equa¸c˜oes para CIA

Outras equa¸c˜oes para o c´alculo do CIA encontrados na literatura, que podem ser

aplicados a modelos ARIMA e ARIMAX s˜ao:

CIA = log

SQE

+ 2

(4.24)

onde SQE ´e a Soma dos Quadrados dos Erros (SQE) de ajuste do modelo `a s´erie temporal,

b ´e o n´umero de coeﬁcientes do modelo, e N ´e o n´umero de observa¸c˜oes da s´erie (HOFLER,

2001).

CIA =

−2 log F V

+ 2

(4.25)

onde b ´e o n´umero de coeﬁcientes do modelo, FV ´e a Fun¸c˜ao de Verossimilhan¸ca (FV)

utilizando os b coeﬁcientes estimados, e N ´e o n´umero de observa¸c˜oes da s´erie (HOFLER,

2001).

CIA = N ln σ

erro

+ 2b (4.26)

onde b ´e o n´umero de coeﬁcientes do modelo, σ

erro

´e a variˆancia do erro de modelagem

utilizando os b coeﬁcientes estimados, e N ´e o n´umero de observa¸c˜oes da s´erie (MEDEIROS,

2006).

4.2.2.5 Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike Modiﬁcado

O crit´erio de informa¸c˜ao de Akaike utilizado nesta disserta¸c˜ao para a estima¸c˜ao das

ordens do modelo ARIMAX foi modiﬁcado de forma a estimar, al´em das ordens p, q e

r, os atrasos c de cada entrada ex´ogena presente no modelo. A diferen¸ca do CIA para o

CIA modiﬁcado ´e que o primeiro calcula o valor de Akaike com base na soma das ordens

p, q e r do modelo (considerando sempre o atraso igual a zero e todos os termos da parte

ex´ogena presentes), enquanto que o CIA modiﬁcado calcula o valor de Akaike com base na

soma das ordens p, q e a quantidade de termos da parte ex´ogena do modelo, r



, conforme

38 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

pode ser visto na equa¸c˜ao modiﬁcada do CIA (Equa¸c˜ao 4.27). Isto possibilita a estima¸c˜ao

do atraso da(s) entrada(s) ex´ogena(s) do modelo ARIMAX.

CIA(p, q, r, c) = N ln ˆσ

p,q,r,c

+ 2(p + q + r



) (4.27)

onde c ´e o atraso da entrada ex´ogena, ˆσ

p,q,r,c

´e a variˆancia residual estimada para o

modelo criado com as ordens p, q, r e atraso c; r



corresponde `a quantidade de termos

ex´ogenos presentes no modelo ARIMAX.

E importante ter em mente que r pode ser

um ´unico n´umero (caso o modelo possua apenas uma entrada ex´ogena) ou pode ser um

vetor contendo s ordens (caso o modelo possua s entradas ex´ogenas), neste ´ultimo caso,

a quantidade de termos de todas as s entradas ex´ogenas ser˜ao somadas para formar o

n´umero r



. O atraso c tamb´em pode ser um ´unico valor ou um vetor contendo os atrasos

de todas as entradas ex´ogenas.

De maneira similar ao CIA, no CIA modiﬁcado a Equa¸c˜ao 4.27 ´e calculada para todas

as combina¸c˜oes de p, q e r, para 0 ≤ p ≤ P , 0 ≤ q ≤ Q e 0 ≤ r ≤ R, onde os valores de

P , Q e R s˜ao escolhidos de acordo com a equa¸c˜ao a seguir:

P = Q = R = ln N (4.28)

onde ln ´e o operador de logaritmo natural (com base igual ao n´umero e), e N ´e o n´umero

de amostras da s´erie temporal.

Por exemplo, suponha um modelo que possua uma entrada ex´ogena X com os se-

guintes termos: X

t−1

, X

t−2

e X

t−3

, ou seja, a ordem r = 3 (r ´e a quantidade de termos

da entrada ex´ogena) e o atraso c = 1 (c ´e o atrasador do primeiro termo da entrada

ex´ogena). Utilizando-se o CIA para estimar a ordem r deste modelo, este estimaria r = 4

e o modelo conteria os termos X

t−0

, X

t−1

, X

t−2

e X

t−3

, ou seja, conteria o termo X

t−0

equivocadamente. O CIA modiﬁcado testa v´arios atrasos c diferentes para um mesmo

valor de ordem r, e assim identiﬁca qual desses atrasos gerou o modelo com o melhor

ajuste `a s´erie temporal. Para o mesmo exemplo anteriormente citado, utilizando-se o CIA

modiﬁcado, este estimaria a ordem r = 3 e atraso c = 1, e portanto o modelo conteria

apenas os termos X

t−1

, X

t−2

e X

t−3

, como conseq

uˆencia disto ter´ıamos tamb´em r



= 3

(quantidade de termos da parte ex´ogena do modelo).

Ao utilizar-se o CIA ´e necess´ario armazenar, durante a sua execu¸c˜ao e ap´os o seu

t´ermino, os valores de p, q e r que apresentaram os menores valores para a equa¸c˜ao do CIA.

Entretanto, ao utilizar-se o CIA modiﬁcado ´e necess´ario armazenar al´em dos valores de p,

q e r que minimizaram a Equa¸c˜ao 4.27, uma matriz contendo a informa¸c˜ao dos termos de

todas as entradas ex´ogenas que fazem parte do modelo ARIMAX. A partir dessa matriz

sabe-se os atrasos (c) de cada entrada ex´ogena. Embora o CIA modiﬁcado necessite

armazenar mais informa¸c˜oes que o CIA, este armazenamento n˜ao traz nenhum preju´ızo

ao m´etodo CIA modiﬁcado em termos de tempo de processamento quando comparado ao

CIA.

O CIA modiﬁcado foi o m´etodo escolhido e utilizado neste trabalho. A escolha se

justiﬁca pelo m´etodo ser simples, eﬁciente e poder ser aplicado aos modelos ARIMA e

ARIMAX. As equa¸c˜oes do CIA que foram implementadas no ambiente computacional

para esta disserta¸c˜ao foram a Equa¸c˜ao 4.26 e a Equa¸c˜ao 4.27, para serem aplicados aos

modelos ARIMA e ARIMAX, respectivamente.

4.3 Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes do Modelo 39

4.2.3 Crit´erio de Informa¸c˜ao Bayesiano (CIB)

O m´etodo CIB, assim como o CIA, tamb´em ´e um m´etodo baseado em uma fun¸c˜ao

penalizadora (MORETIN; TOLOI, 2004).

Neste caso, escolhe-se o modelo cujas ordens (p, q) minimizam a equa¸c˜ao (MORETIN;

TOLOI, 2004):

CIB(p, q) = ln ˆσ

p,q

+ (p + q)

ln N

(4.29)

para um modelo ARIMA.

Para aplic´a-lo ao modelo ARIMAX basta adicionar o vetor r contendo as ordens de

todas as entradas ex´ogena (r

, r

, etc) no c´alculo. Por exemplo:

CIB(p, q, r) = ln ˆσ

p,q,r

+ (p + q + r

+ r

+ ...)

ln N

(4.30)

4.3 Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes do Modelo

Nesta fase, identiﬁca-se os coeﬁcientes do modelo anteriormente identiﬁcado. Vale

relembrar que se o modelo for ARIMA(p,d,0) ou ARIMA(0,d,q), s´o ´e necess´ario identiﬁcar

os coeﬁcientes da parte auto-regressiva ou da parte de m´edias m´oveis, respectivamente.

Se o modelo for ARIMAX(p,d,0,r) ou ARIMAX(0,d,q,r), s´o ´e necess´ario identiﬁcar os

coeﬁcientes da parte auto-regressiva ou da parte de m´edias m´oveis, respectivamente, al´em

da parte de entradas ex´ogenas.

Assim, ser˜ao estimados (p + q + 1) coeﬁcientes (p coeﬁcientes para a parte AR; q

coeﬁcientes para a parte MA; e 1 para o termo a

). Se a m´edia da s´erie µ

n˜ao for igual

a zero, adiciona-se uma constante ao modelo (θ

), somando-se (p + q + 2) coeﬁcientes a

serem estimados, neste ´ultimo caso.

4.3.1 M´etodo de M´axima Verossimilhan¸ca

Dados φ= (φ

, ..., φ

) e θ= (θ

, ..., θ

), o m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca torna-se

equivalente a minimizar a fun¸c˜ao:

∗

(η) =



t=1

(η | W, W

∗

, a

∗

) (4.31)

onde η=(φ, θ), ou seja, ´e a combina¸c˜ao de coeﬁcientes que se est´a testando no momento.

∗

e a

∗

s˜ao os valores iniciais estimados de W e a respectivamente, W s˜ao os valores

reais da s´erie (diferenciada, se d > 0), a s˜ao os ru´ıdos da s´erie e N ´e o n´umero de

amostras da s´erie (MORETIN; TOLOI, 2004). Detalhando-se a Equa¸c˜ao 4.31, temos que

(η | W, W

∗

, a

∗

) signiﬁca o valor de a no instante de tempo t elevado ao quadrado,

calculado atrav´es da Equa¸c˜ao 4.34 para o conjunto de coeﬁcientes η, utilizando-se os

valores da s´erie W e os valores iniciais W

∗

e a

∗

Para calcular S

∗

, ser˜ao necess´arios valores iniciais estimados de a

e W

, chamados de

40 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

∗

e W

∗

, valores estes que n˜ao temos conhecimento. Uma forma de resolver este problema,

´e estimar os valores iniciais (n˜ao conhecidos) de a

e W

como sendo sua m´edia, que s˜ao

E(a

) = 0 e E(W

) = W , respectivamente (MORETIN; TOLOI, 2004).

Para cada combina¸c˜ao de valores de coeﬁcientes η diferente, calcula-se o valor de a

atrav´es da Equa¸c˜ao 4.34, para t = 1, ..., N, usando-se os valores iniciais estimados a

∗

e W

∗

e os valores W

da s´erie temporal. Depois de todos os a

, ..., a

calculados, substitui-se

seus valores na Equa¸c˜ao 4.31 e encontra-se o valor de S

∗

(η).

Ap´os calculados os valores de S

∗

para todas as combina¸c˜oes dos coeﬁcientes φ e θ, no

intervalo de (-1,1), os coeﬁcientes escolhidos ser˜ao aqueles que minimizaram S

∗

(MORETIN;

TOLOI, 2004).

4.3.2 RLS - Recursive Least Squares (M´ınimos Quadrados Re-

cursivos)

O RLS ´e um algoritmo que estima recursivamente os coeﬁcientes do modelo de um

ﬁltro, de tal forma que, no ﬁnal de sua execu¸c˜ao, tem-se um conjunto de coeﬁcientes

estimados tais que, a soma do quadrado dos erros (diferen¸ca entre o sinal esperado e o

sinal obtido pelo ﬁltro) seja o m´ınimo (least squared) poss´ıvel (WIKIPEDIA, 2005).

Um ﬁltro pode ser modelado segundo a equa¸c˜ao a seguir:

Z(n) = H

B(n) (4.32)

onde B(n) ´e o vetor contendo os sinais de entrada do ﬁltro, Z(n) ´e o sinal de sa´ıda do

ﬁltro, H

´e o vetor transposto de H

e H

´e o vetor contendo os pesos do ﬁltro na

itera¸c˜ao n (WIKIPEDIA, 2005).

A id´eia por tr´as do algoritmo RLS ´e sempre minimizar uma fun¸c˜ao custo C (geralmente

usa-se o erro quadr´atico entre o sinal desejado e o sinal obtido), atrav´es da escolha do

melhor conjunto de pesos H

para a entrada atual, e sempre atualizar o ﬁltro a medida

que uma nova entrada chega. Assim, a cada instante de tempo (n + 1, por exemplo), um

novo conjunto de pesos H

n+1

´e estimado, com base no conjunto de pesos H

do instante

anterior (WIKIPEDIA, 2005). O algoritmo ´e chamado recursivo, devido ao fato de que o

novo valor de H

, depende apenas do H

n−1

(anterior) mais uma diferen¸ca (∆). Como

vemos na equa¸c˜ao abaixo:

= H

n−1

+ ∆H

n−1

(4.33)

A Figura 4.1 ilustra o funcionamento do RLS, onde a cada instante de itera¸c˜ao n, o

erro e(n) ´e calculado (e(n) = Z(n) −

Z(n)), e a partir deste erro e outros parˆametros, um

algoritmo de atualiza¸c˜ao gera um ∆H

, que somado aos pesos atuais H

, dar˜ao origem

aos novos pesos H

n+1

O algoritmo RLS pode ser facilmente adaptado para ser utilizado com s´eries tempo-

rais, para encontrar os coeﬁcientes de um modelo ARX ou AR que represente uma s´erie.

Quando o algoritmo RLS ´e aplicado a uma s´erie temporal, B(n) ser´a um vetor contendo

valores passados da s´erie, al´em dos valores das entradas ex´ogenas e um valor constante,

Z(n) ser´a equivalente a

(o valor da s´erie temporal no instante n previsto pelo modelo

ARX), Z(n) ser´a equivalente a Z

(o valor da s´erie temporal no instante n) e o ﬁltro

4.3 Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes do Modelo 41

Figura 4.1: Componentes do RLS.

representar´a o modelo ARX, onde os pesos contidos no vetor H

ser˜ao os coeﬁcientes

desse modelo.

Todos os passos do algoritmo RLS s˜ao sumarizados no Algoritmo descrito na Figura

4.2.

As primeiras linhas do algoritmo contˆem os parˆametros e vari´aveis utilizadas pelo

RLS, bem como as vari´aveis recebidas e as retornadas pelo algoritmo. Logo ap´os, temos

as inicializa¸c˜oes de algumas dessas vari´aveis.

Os passos 1 a 8 descritos na Figura 4.2 contˆem o algoritmo RLS propriamente dito.

Em cada itera¸c˜ao n (n = 1, ..., N), o vetor B(n) ´e montado de acordo com a seguinte

seq

uˆencia:

B(n) =







B(1)

B(2)

B(m)













n−1

n−2

n−p

n−atraso

n−(atraso

+1)

n−r

n−atraso

n−(atraso

+1)

n−r

n−atraso

n−(atraso

+1)

n−r

bias







42 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

Parˆametros :

m : quantidade de coeﬁcientes a serem estimados;

λ : fator de esquecimento. O λ ´e um valor ﬁxo a ser escolhido. Quanto menor, menor

´e a contribui¸c˜ao de amostras antigas do calculo de H

, ou seja, menos ﬂutua¸c˜oes nos

valores dos pesos H

. Quanto maior seu valor, ocorre o oposto;

δ : Valor usado para inicializar a matriz P(0). δ deve ter um valor alto, como 10

por exemplo;

N : n´umero de amostras da s´erie temporal;

P(n) : matriz (m)x(m);

B(n) : matriz de entrada (m)x(1);

: matriz de pesos (m)x(1);

: matriz H

transposta;

Z(n) : matriz de sa´ıda desejada (1)x(1);

g(n) : matriz de ganhos (m)x(1);

α(n) : matriz que possui o erro entre as sa´ıdas desejada e obtida (1)x(1);

Inicializa¸c˜oes :

λ : valor ﬁxo entre 0 < λ ≤ 1;

=0;

P(0)=δ

−1

I (onde I ´e uma matriz identidade (m)x(m));

n = 1;

In´ıcio:

1. Itera¸c˜ao = n

2. Monte : B(n) =







B(1)

B(2)

B(m)







3. Calcule : α(n) = Z(n) − H

n−1

B(n)

4. Calcule : g(n) = P (n − 1)B(n)λ + B

(n)P (n − 1)B(n)

−1

5. Calcule : P (n) = λ

−1

P (n − 1) − g(n)B

(n)λ

−1

P (n − 1)

6. Atualize os pesos : H

= H

n−1

+ g(n)α(n)

7. Se n = N e H

n˜ao convergiu: incrementa n e volte ao passo 1. Sen˜ao : v´a ao

passo 8.

8. Termina a execu¸c˜ao do algoritmo e retorna os pesos ﬁnais : H

Resultados:

na itera¸c˜ao N);

Figura 4.2: Algoritmo RLS (WIKIPEDIA, 2005).

4.3 Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes do Modelo 43

onde Z

´e o valor da s´erie temporal no instante n; X

´e o valor da entrada ex´ogena i

no instante n; s ´e a quantidade de entradas ex´ogenas existentes; m ´e a quantidade de

coeﬁcientes a serem estimados; p ´e a ordem da parte AR do modelo; r

´e a ordem da

entrada ex´ogena i do modelo; atraso

´e o atraso da entrada ex´ogena i do modelo e bias

´e um termo constante que pode ou n˜ao aparecer no modelo ARX (caso o bias n˜ao fa¸ca

parte do modelo, o seu valor estimado ser´a igual a zero).

No passo 3, ´e realizado o c´alculo de α(n), que nada mais ´e que a diferen¸ca entre o

valor desejado (que corresponde `a pr´opria s´erie temporal) e o valor estimado pelo modelo

com os coeﬁcientes H

n−1

. No passo 4 ´e calculada a matriz de ganhos (g(n)), no passo 5 ´e

calculada a nova matriz P (n) (que ser´a utilizada na pr´oxima itera¸c˜ao do algoritmo). No

passo 6, a matriz de pesos H

´e atualizada com base na pr´opria matriz H

n−1

(pesos da

itera¸c˜ao anterior). Os pesos da matriz H

representam todos os coeﬁcientes do modelo

ARX.

A condi¸c˜ao de parada do algoritmo ´e quando a matriz H

tiver convergido ou quando

n atinge o valor de N, porque depois da itera¸c˜ao n = N n˜ao se tem mais conhecimento

dos valores das entradas ex´ogenas e nem da s´erie temporal. Caso uma das condi¸c˜oes

de parada tenha sido atingida, ent˜ao o algoritmo termina a sua execu¸c˜ao e retorna como

resultado a matriz H

(pesos da itera¸c˜ao n). Caso contr´ario, o valor de n ´e incrementado,

e a execu¸c˜ao do algoritmo volta ao passo 1.

As vantagens de se usar o algoritmo RLS s˜ao: simplicidade, pois n˜ao precisa inverter

matrizes; independˆencia, pois o RLS depende apenas de seus sinais, n˜ao ´e dependente

do conhecimento de suas estat´ısticas; e velocidade, pois converge para o resultado ´otimo

rapidamente.

4.3.3 ELS - Extended Least Squares (M´ınimos Quadrados Es-

tendidos)

O algoritmo RLS n˜ao pode ser utilizado para estimar os coeﬁcientes de um modelo que

possui a parte de m´edias m´oveis, como por exemplo o ARIMA ou ARIMAX, porque nestes

modelos existem ru´ıdos cuja dinˆamica n˜ao s˜ao conhecidas mas precisam ser estimadas,

j´a que s˜ao inclu´ıdas no pr´oprio modelo. Para estes dois tipos de modelo, usa-se em

substitui¸c˜ao ao algoritmo RLS, o algoritmo ELS, que como o pr´oprio nome sugere, ´e uma

extens˜ao do algoritmo RLS.

O algoritmo ELS tem seu funcionamento similar ao do RLS, por´em o ELS tamb´em

estima os valores dos ru´ıdos presentes na s´erie temporal. O funcionamento do ELS pode

ser sumarizado no algoritmo descrito na Figura 4.3. O algoritmo est´a descrito para ser uti-

lizado com o modelo ARIMAX, mas pode ser adaptado para o modelo ARIMA, bastando

para isso desprezar as entradas ex´ogenas.

As primeiras linhas do algoritmo descrito na Figura 4.3 contˆem os parˆametros e vari´a-

veis utilizadas pelo ELS, bem como as vari´aveis recebidas e as retornadas pelo algoritmo.

Logo ap´os, temos as inicializa¸c˜oes de algumas dessas vari´aveis. Os passos 1 a 11 contˆem

o algoritmo ELS propriamente dito. Inicialmente no passo 1, ´e realizada a estima¸c˜ao da

matriz Harx

(diferente de H

, que cont´em os coeﬁcientes do modelo ARIMAX) como

se o modelo fosse um ARX (ou seja, a matriz B(n) ser´a montada sem os valores de ru´ıdos

44 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

Parˆametros :

m : quantidade de coeﬁcientes a serem estimados;

ˆa(n) : matriz de ru´ıdos da s´erie que ser˜ao estimados pelo ELS;

λ : fator de esquecimento. O λ ´e um valor ﬁxo a ser escolhido. Quanto menor, menor

´e a contribui¸c˜ao de amostras antigas do calculo de H

, ou seja, menos ﬂutua¸c˜oes nos

valores dos pesos H

. Quanto maior seu valor, ocorre o oposto;

δ : Valor usado para inicializar a matriz P(0). Deve ter um valor alto, como 10

;

N : n´umero de amostras da s´erie temporal;

P(n) : matriz (m)x(m);

B(n) : matriz de entrada (m)x(1);

: matriz de pesos (m)x(1);

: matriz H

transposta;

Harx

: matriz de coeﬁcientes do modelo ARX (n´umero de termos do modelo

ARX)x(1);

Harx

: matriz Harx

transposta;

Z(n) : matriz de sa´ıda desejada (1)x(1);

g(n) : matriz de ganhos (m)x(1);

α(n) : matriz que possui o erro entre as sa´ıdas desejada e obtida (1)x(1);

Inicializa¸c˜oes :

λ : valor ﬁxo entre 0 < λ ≤ 1;

=0;

P(0)=δ

−1

I (onde I ´e uma matriz identidade (m)x(m));

n = 1;

In´ıcio:

1. Estime os parˆametros de um modelo ARX, ou seja, estime os valores da matriz

Harx

2. Calcule os ru´ıdos ˆa(n) = Z(n) − Harx

B(n) para os valores passados necess´arios

3. Itera¸c˜ao = n

4. Monte : B(n) =







B(1)

B(2)

B(m)







5. Calcule : α(n) = Z(n) − H

n−1

B(n)

6. Calcule : g(n) = P (n − 1)B(n)λ + B

(n)P (n − 1)B(n)

−1

7. Calcule : P (n) = λ

−1

P (n − 1) − g(n)B

(n)λ

−1

P (n − 1)

8. Atualize os pesos : H

= H

n−1

+ g(n)α(n)

9. Calcule os ru´ıdos ˆa(n) = Z(n) − H

B(n) para os valores passados necess´arios

10. Se n = N e H

n˜ao convergiu: incrementa n e volte ao passo 3. Sen˜ao : v´a ao

passo 11.

11. Termina a execu¸c˜ao do algoritmo e retorna os pesos ﬁnais : H

Resultados:

na itera¸c˜ao N);

Figura 4.3: Algoritmo ELS (FERRARI, 2006).

4.3 Estima¸c˜ao dos Coeﬁcientes do Modelo 45

n−1

, a

t−2

, etc). No passo 2, os ru´ıdos iniciais necess´arios para a execu¸c˜ao do algoritmo

ELS s˜ao estimados. O ru´ıdo ser´a a diferen¸ca entre o valor desejado (que ´e o valor da s´erie

temporal) e o valor estimado pelo modelo ARX (cujos coeﬁcientes foram estimados no

passo 1). Inicialmente os ru´ıdos s˜ao calculados com base em um modelo ARX e n˜ao um

modelo ARIMAX porque se utiliz´assemos este ´ultimo, precisar´ıamos de valores de ru´ıdos

mais antigos ainda, os quais n˜ao tem-se conhecimento (FERRARI, 2006).

A partir do passo 3, o algoritmo ELS ´e similar ao RLS. Em cada itera¸c˜ao n (n =

1, ..., N), o vetor B(n) ´e montado de acordo com a seguinte seq

uˆencia:

B(n) =







B(1)

B(2)

B(m)













n−1

n−2

n−p

ˆa

n−0

ˆa

n−1

ˆa

n−q

n−atraso

n−(atraso

+1)

n−r

n−atraso

n−(atraso

+1)

n−r

n−atraso

n−(atraso

+1)

n−r

bias







Onde Z

´e o valor da s´erie temporal no instante n; X

´e o valor da entrada ex´ogena i no

instante n; ˆa

´e o valor do ru´ıdo no instante n que foi estimado pelo ELS; s ´e a quantidade

de entradas ex´ogenas existentes; m ´e a quantidade de coeﬁcientes a serem estimados; p ´e

a ordem da parte AR do modelo; q ´e a ordem da parte MA do modelo; r

´e a ordem da

entrada ex´ogena i do modelo; atraso

´e o atraso da entrada ex´ogena i do modelo e bias

´e um termo constante que pode ou n˜ao aparecer no modelo ARX (caso o bias n˜ao fa¸ca

parte do modelo, o seu valor estimado ser´a igual a zero). No passo 3, se n = 1, ent˜ao os

ru´ıdos ˆa(n) utilizados s˜ao os ru´ıdos iniciais calculados no passo 2 do algoritmo.

No passo 5, ´e realizado o c´alculo de α(n), que nada mais ´e que a diferen¸ca entre o

valor desejado (que corresponde `a pr´opria s´erie temporal) e o valor estimado pelo modelo

com os coeﬁcientes H

n−1

No passo 6 ´e calculada a matriz de ganhos (g(n)) e no passo 7 ´e calculada a nova matriz

P (n) (que ser´a utilizada na pr´oxima itera¸c˜ao do algoritmo). No passo 8, a matriz de pesos

46 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

´e atualizada com base na pr´opria matriz H

n−1

(pesos da itera¸c˜ao anterior). Os pesos

da matriz H

representam todos os coeﬁcientes do modelo ARIMAX, com exce¸c˜ao do

coeﬁciente do termo a

t−0

. Este coeﬁciente n˜ao ´e estimado pelo algoritmo ELS porque seu

valor ´e ﬁxo e igual a 1,0.

No passo 9, os ru´ıdos necess´arios para a pr´oxima itera¸c˜ao do algoritmo s˜ao estimados.

O ru´ıdo, neste ponto, ser´a a diferen¸ca entre o valor desejado (que ´e o valor da s´erie

temporal) e o valor estimado pelo modelo ARIMAX (cujos coeﬁcientes foram estimados

no passo 8) (FERRARI, 2006).

O algoritmo p´ara quando a matriz H

tiver convergido ou quando n atinge o valor

de N, porque depois da itera¸c˜ao n = N n˜ao se tem mais conhecimento dos valores das

entradas ex´ogenas e nem da s´erie temporal. Caso uma das condi¸c˜oes de parada tenha sido

atingida, ent˜ao o algoritmo termina a sua execu¸c˜ao e retorna como resultado a matriz H

(pesos da itera¸c˜ao n). Caso contr´ario, o valor de n ´e incrementado, e a execu¸c˜ao do

algoritmo volta ao passo 3.

As vantagens do algoritmo ELS s˜ao as mesmas do algoritmo RLS.

4.4 Diagn´ostico do Modelo

Uma vez que foi constru´ıdo um modelo para representar a s´erie temporal, o pr´oximo

passo ´e fazer o diagn´ostico deste modelo, ou seja, veriﬁcar se ele modela adequadamente

os dados da s´erie temporal.

Na maioria dos casos, quando um modelo n˜ao ´e adequado para representar uma s´erie

temporal, deve-se optar por um outro modelo com mais parˆametros que o anterior, ou seja,

com uma ordem superior. Se a variˆancia residual deste novo modelo ´e signiﬁcativamente

menor que a variˆancia residual do modelo pr´evio, signiﬁca que o novo modelo se ajusta

melhor aos dados da s´erie temporal que o modelo pr´evio (MORETIN; TOLOI, 2004).

Nesta etapa do processo de modelagem, al´em de diagnosticar se um modelo ´e adequado

ou n˜ao a um s´erie temporal, pode-se tamb´em dar ind´ıcios de quais parˆametros devem

ser adicionado ao modelo preliminar, no caso de este ter sido diagnosticado como n˜ao

adequado `a s´erie temporal (MORETIN; TOLOI, 2004).

A seguir, tem-se alguns testes que s˜ao ´uteis para diagnosticar se um modelo ARIMA/

ARIMAX ´e adequado ou n˜ao `a uma s´erie temporal:

4.4.1 Teste de Autocorrela¸c˜ao Residual

Este teste baseia-se na autocorrela¸c˜ao estimada dos res´ıduos.

De posse dos vetores φ e θ, que correspondem respectivamente aos coeﬁcientes da

parte auto-regressiva e de m´edias m´oveis do modelo ARIMA, escolhidos na etapa de

estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo, calcula-se ˆa

, chamados de res´ıduos estimados.

Onde ˆa

pode ser calculado por (MORETIN; TOLOI, 2004):

ˆa

= W

− φ

t−1

− ... − φ

t−p

+ θ

t−1

+ ... + θ

t−q

(4.34)

4.4 Diagn´ostico do Modelo 47

onde W

= ∆

Se o modelo encontrado for adequado, ˆa

dever´a ser aproximadamente n˜ao correlaci-

onado, assim como a

o ´e. Pode-se calcular as autocorrela¸c˜oes residuais de ˆa

, ˆr

, atrav´es

da seguinte equa¸c˜ao (MORETIN; TOLOI, 2004):

ˆr



t=k+1

ˆa

t−k



t=1

ˆa

(4.35)

onde N ´e o n´umero de amostras da s´erie original (sem diferencia¸c˜ao/diferen¸ca) e n = N−d.

Para um modelo adequado, ´e suposto que: ˆr

 0 (para todos os ˆr

). Um bom

limite para considerar ˆr

 0 ´e o valor ±2/

√

n (MORETIN; TOLOI, 2004). Assim, se

−2/

√

n ≤ ˆr

≤ 2/

√

n, ˆr

pode ser considerado igual a zero.

Se algum valor de ˆr

estiver fora deste limite, o modelo n˜ao ´e adequado, pois isso

indica uma quebra de comportamento de ru´ıdo branco em ˆa

, lembrando-se que para

valores pequenos de k, estes limites subestimar˜ao a signiﬁcˆancia de qualquer discrepˆancia

(MORETIN; TOLOI, 2004).

O teste de autocorrela¸c˜ao residual tamb´em pode ser aplicado a modelos ARIMAX,

bastando para isso adicionar do lado direito da Equa¸c˜ao 4.34, os termos do modelo ARI-

MAX que correspondem `as entradas ex´ogenas com os seus sinais invertidos.

4.4.2 Teste de Autocorrela¸c˜ao Cruzada

Este teste baseia-se na correla¸c˜ao cruzada entre o valor atual de ˆa

e os valores ante-

riores da s´erie.

A fun¸c˜ao de correla¸c˜ao cruzada ´e calculada por (MORETIN; TOLOI, 2004):

ˆs



t=k+1

ˆa

t−k

− Z)

[



t=1

ˆa



t=1

/(Z

− Z/)

]

1/2

(4.36)

para k = 1, 2, ... . Onde Z

´e o valor da s´erie temporal no instante t, Z ´e o valor m´edio

da s´erie e ˆa

´e calculado pela Equa¸c˜ao 4.34.

Se o modelo for adequado `a s´erie, ent˜ao ˆa

e Z

t−k

s˜ao n˜ao-correlacionados, ou seja, a

correla¸c˜ao cruzada entre eles deve ser igual a zero, para k ≥ 1. A correla¸c˜ao cruzada ˆs

´e signiﬁcativamente diferente de zero se | ˆs

√

(exceto para valores pequenos de k)

(MORETIN; TOLOI, 2004).

O teste de autocorrela¸c˜ao cruzada tamb´em pode ser aplicado a modelos ARIMAX.

4.4.3 Adicionando Novos Termos ao Modelo ARIMA/ARIMAX

A an´alise da fun¸c˜ao de correla¸c˜ao cruzada (ˆs

) e da autocorrela¸c˜ao residual (ˆr

) atrav´es

de gr´aﬁcos nos d´a bons ind´ıcios de quais termos devem ser adicionados ao modelo pr´evio,

a ﬁm de torn´a-lo adequado `a s´erie temporal.

48 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

Se o modelo mostrou-se inadequado, primeiramente deve-se incluir novos termos auto-

regressivos ao modelo. Se algum valor ˆs

´e signiﬁcativamente diferente de zero, ent˜ao

deve-se adicionar um termo auto-regressivo com atraso k, φ

t−k

, ao modelo pr´evio.

Deve-se testar, ∀k, se algum valor ˆs

´e signiﬁcativamente diferente de zero (MORETIN;

TOLOI, 2004).

Depois de inserir termos auto-regressivos, para as posi¸c˜oes em que o ˆs

for considerada

diferente de zero, deve-se analisar ˆr

. Se | ˆr

| possui valor signiﬁcativamente diferente de

zero, ent˜ao um termo de m´edias m´oveis, θ

t−k

tamb´em dever´a ser adicionado ao modelo

(MORETIN; TOLOI, 2004).

Moretin e Toloi (2004) ressaltam que se termos de m´edias m´oveis s˜ao adicionados na

fase de sele¸c˜ao do modelo, a interpreta¸c˜ao de valores grandes de | s

| n˜ao ´e t˜ao ´obvia.

4.5 Previs˜oes com o Modelo ARIMA e ARIMAX

De posse dos valores de uma s´erie temporal Z= Z

, Z

, ..., Z

, nos instantes t = 1, ..., t,

a previs˜ao ´e realizada para valores Z

t+h

, onde h ≥ 1 (chamado de horizonte de previs˜ao)

e o instante t (o instante cujo valor da s´erie ´e o ´ultimo de que temos conhecimento) ´e

chamado de origem de previs˜ao (MORETIN; TOLOI, 2004).

O valor previsto de Z

t+h

´e expresso por:

(h).

Supomos que W

= ∆

e de agora em diante usaremos W

no lugar de Z

O valor W

t+h

, escrito na forma de equa¸c˜oes de diferen¸cas ´e:

t+h

= φ

t+h−1

+ ... + φ

t+h−p

− θ

t+h−1

− ... − θ

t+h−q

+ a

t+h

(4.37)

A previs˜ao

(h) ´e a esperan¸ca condicional de W

t+h

([W

t+h

]), dadas as amostras da

s´erie nos instantes anteriores. Assim, a previs˜ao

(h), ou seja, h passos a frente, expresso

na forma de equa¸c˜oes de diferen¸cas, e tomando a esperan¸ca condicional, ´e (MORETIN;

TOLOI, 2004):

(h) = φ

t+h−1

] + ... + φ

t+h−p

] − θ

t+h−1

] − ... − θ

t+h−q

] + [a

t+h

] (4.38)

onde os valores das esperan¸cas s˜ao:

• [W

t+k

] =

(k) , para k > 0;

• [W

t+k

] = W

t+k

, para k ≤ 0;

• [a

t+k

] = 0 , para k > 0;

• [a

t+k

] = a

t+k

, para k ≤ 0.

Vale salientar aqui algumas observa¸c˜oes acerca da Equa¸c˜ao de previs˜ao 4.38 (MORE-

TIN; TOLOI, 2004):

1. Os termos de m´edias m´oveis desaparecem para h > q;

4.5 Previs˜oes com o Modelo ARIMA e ARIMAX 49

2. Para calcular

(h), precisamos de

(h − 1),

(h − 2), ..., que s˜ao calculados

recursivamente;

3. Na pr´atica s´o um n´umero ﬁnito de amostras passadas ´e conhecido. Logo, a previs˜ao

´e E[W

t+h

| W

, W

t−1

, ..., W

], que ´e diferente da previs˜ao ´otima, que seria E[W

t+h

, W

t−1

, ...]. Mas a previs˜ao com amostras ﬁnitas ´e uma boa aproxima¸c˜ao da

previs˜ao ´otima, para um valor grande de t;

4. O erro da previs˜ao a um passo ´e e

(1) = Z

t+1

−

(1).

A Equa¸c˜ao de previs˜ao 4.38 ´e aplic´avel ao modelo ARIMA. A previs˜ao

(h) para o

modelo ARIMAX ´e descrito na Equa¸c˜ao 4.39.

(h) = φ

t+h−1

] + ... + φ

t+h−p

] − θ

t+h−1

] − ... − θ

t+h−q

] + [a

t+h

]

+ϕ

t+h−c

] + ... + ϕ

t+h−(c

−1)

]

+ϕ

t+h−c

] + ... + ϕ

t+h−(c

−1)

]

+...

+ϕ

t+h−c

] + ... + ϕ

t+h−(c

−1)

(4.39)

onde X

cont´em os valores da entrada ex´ogena i, ϕ

´e o vetor de coeﬁcientes dos termos da

entrada ex´ogena i, r

´e a ordem da entrada ex´ogena i no modelo,c

´e o atraso da entrada

ex´ogena i, s ´e a quantidade de entradas ex´ogenas e os valores das esperan¸cas s˜ao:

• [W

t+k

] =

(k) , para k > 0;

• [W

t+k

] = W

t+k

, para k ≤ 0;

• [a

t+k

] = 0 , para k > 0;

• [a

t+k

] = a

t+k

, para k ≤ 0;

• [X

t+k

] = X

t+k

∀k, onde o ´ındice i identiﬁca as entradas ex´ogenas.

Algumas observa¸c˜oes acerca da Equa¸c˜ao de previs˜ao 4.39 s˜ao:

1. Os termos de m´edias m´oveis desaparecem para h > q;

2. Para calcular

(h), precisamos de

(h − 1),

(h − 2), ..., que s˜ao calculados

recursivamente;

3. Na pr´atica s´o um n´umero ﬁnito de amostras passadas ´e conhecido. Logo, a previs˜ao

´e E[W

t+h

| W

, W

t−1

, ..., W

], que ´e diferente da previs˜ao ´otima, que seria E[W

t+h

, W

t−1

, ...]. Mas a previs˜ao com amostras ﬁnitas ´e uma boa aproxima¸c˜ao da

previs˜ao ´otima, para um valor grande de t;

4. O erro da previs˜ao a um passo ´e e

(1) = Z

t+1

−

(1);

5. Sup˜oe-se que as entradas ex´ogenas futuras, ou seja, as entradas ex´ogenas a partir

do instante de origem de previs˜ao, s˜ao conhecidas.

50 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

4.5.1 Transforma¸c˜oes

Como visto no cap´ıtulo 2, algumas s´eries necessitam de transforma¸c˜oes especiais para

estabilizar o valor da variˆancia, al´em das diferencia¸c˜oes/diferen¸cas. Este tipo de transfor-

ma¸c˜ao ´e muito comum em s´eries econˆomicas, onde usualmente usa-se a fun¸c˜ao log para

transformar a s´erie original.

Para s´eries que sofrem algum tipo de transforma¸c˜ao, ´e preciso ter em mente que as

previs˜oes realizadas n˜ao correspondem `as previs˜oes para a s´erie original, logo ´e preciso

realizar a transforma¸c˜ao inversa `aquela realizada na s´erie original, sobre as previs˜oes (se

esta for invert´ıvel). Por exemplo, e a s´erie original Z

sofreu a seguinte transforma¸c˜ao:

= ln Z

(4.40)

ent˜ao a inversa ´e:

= e

(4.41)

e a previs˜ao para Z

t+h

seria:

(h) = e

(h)

(4.42)

4.6 Etapas da Modelagem e M´etodos Escolhidos para

o Sistema

A Figura 4.4 mostra todas as etapas do processo de cria¸c˜ao do modelo ARIMA/

ARIMAX, detalhando-se, em cada etapa deste processo, as t´ecnicas que foram escolhidas

e implementadas nesta disserta¸c˜ao.

• Sele¸c˜ao:

Na etapa de sele¸c˜ao, o usu´ario selecionar´a o modelo a ser criado: modelo ARIMA

ou ARIMAX. O passo de sele¸c˜ao deve ser feito pelo usu´ario e n˜ao de forma au-

tomatizada porque somente este pode saber se o processo linear que deu origem `a

s´erie temporal possui entrada(s) ex´ogena(s). Se o processo linear possuir entrada(s)

ex´ogena(s), ent˜ao o usu´ario deve selecionar o modelo ARIMAX. Caso n˜ao existam

entradas ex´ogenas, o usu´ario deve selecionar o modelo ARIMA.

• Estima¸c˜ao da ordem:

Na etapa de estima¸c˜ao da ordem ´e realizado um teste de estacionariedade sobre a

s´erie temporal, baseado no c´alculo da variˆancia da s´erie temporal, da primeira e

da segunda diferen¸cas da s´erie. Caso a variˆancia da s´erie temporal seja menor que

as variˆancias da primeira e segunda diferen¸cas da s´erie, ent˜ao a s´erie temporal ´e

estacion´aria e n˜ao precisa sofrer nenhuma opera¸c˜ao de diferen¸ca. Caso contr´ario, ´e

realizada a primeira ou a segunda opera¸c˜ao de diferen¸ca sobre a s´erie, de acordo com

a que apresentar a menor variˆancia. Optou-se por n˜ao realizar nenhuma transfor-

ma¸c˜ao sobre a s´erie, como a opera¸c˜ao de diferen¸ca ou a transforma¸c˜ao logar´ıtmica

(com o intuito de estabilizar a variˆancia da s´erie), porque a qualidade das previs˜oes

realizadas n˜ao sofre nenhuma melhoria em fun¸c˜ao desta transforma¸c˜ao (MORETIN;

4.6 Etapas da Modelagem e M´etodos Escolhidos para o Sistema 51

Figura 4.4: Fluxograma estendido: constru¸c˜ao de um modelo ARIMA/ARIMAX.

52 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

TOLOI, 2004). Ap´os o passo de veriﬁca¸c˜ao da estacionariedade da s´erie, e sua dife-

ren¸ca, caso seja necess´ario, ´e realizada a estima¸c˜ao das melhores ordens do modelo

ARIMA/ARIMAX. Para o modelo ARIMAX ser˜ao estimadas as ordens para a parte

auto-regressiva, a parte de m´edias m´oveis do modelo e a parte de entrada(s) ex´o-

gena(s), enquanto que se o modelo ARIMA foi selecionado, ser˜ao estimadas as ordens

para a parte auto-regressiva e a parte de m´edias m´oveis do modelo (neste caso a

ordem da parte ex´ogena ser´a igual a zero).

Para a estima¸c˜ao destas ordens ´e utilizado o m´etodo CIA, se o modelo ´e ARIMA,

ou o CIA modiﬁcado, se o modelo ´e ARIMAX. O CIA modiﬁcado foi implementado

nesta disserta¸c˜ao para que o m´etodo pudesse, al´em das ordens do modelo, estimar

tamb´em os atrasos da(s) parte(s) ex´ogena(s) do modelo ARIMAX. Suponha que

X represente uma entrada ex´ogena de um modelo ARIMAX qualquer, o primeiro

termo da parte ex´ogena do modelo ARIMAX geralmente ´e o termo com atraso igual

a zero, ou seja, X

t−0

, e os termos seguintes ser˜ao X

t−1

, X

t−2

, etc. O atraso igual a

zero em um sistema real sugere que a entrada ex´ogena de um instante t tem reﬂexo

na sa´ıda do sistema no mesmo instante t, o seu reﬂexo ´e instantˆaneo. Por´em, na

pr´atica, isto pode n˜ao acontecer, uma entrada ex´ogena de um instante de tempo t

tem reﬂexo na sa´ıda do sistema no instante t + 1, ou no instante t + 2, etc. Por

exemplo, se uma entrada ex´ogena em um instante de tempo t tem reﬂexo na sa´ıda

do sistema dois instantes depois (t + 2), ent˜ao tem-se que no modelo ARIMAX o

atraso da entrada ex´ogena ser´a igual a dois, o primeiro termo da parte ex´ogena deste

modelo ser´a o termo com atraso igual a dois (X

t−2

) e os termos seguintes ser˜ao X

t−3

t−4

, etc. Portanto, o crit´erio de informa¸c˜ao de Akaike modiﬁcado estima para o

modelo ARIMAX, al´em das ordens do modelo (p, q e r), os atrasos c de todas as

entradas ex´ogenas presentes no modelo.

• Estima¸c˜ao dos coeﬁcientes:

Uma vez que as melhores ordens para o modelo foram estimadas, tem-se que estimar

os coeﬁcientes de cada termo do modelo. Para realizar esta estima¸c˜ao ´e utilizado um

dos dois algoritmos: o RLS ou o ELS. O RLS ´e utilizado para estimar os coeﬁcientes

de modelos que n˜ao possuem a parte de m´edias m´oveis, sendo eles os modelos: AR,

ARI, ARIX e ARX. Se o modelo a ser modelado possuir a parte de m´edias m´oveis,

utiliza-se o algoritmo ELS para estimar os coeﬁcientes do modelo, uma vez que o

ELS ´e uma extens˜ao do RLS que permite a estima¸c˜ao dos valores de ru´ıdo existentes

na s´erie temporal.

• Diagn´ostico:

Na etapa de diagn´ostico s˜ao realizados dois testes: o teste de autocorrela¸c˜ao resi-

dual e o teste de autocorrela¸c˜ao cruzada. O teste de autocorrela¸c˜ao residual calcula

as autocorrela¸c˜oes residuais do modelo e veriﬁca se algum destes valores ´e signi-

ﬁcativamente diferente de zero. Caso algum valor de autocorrela¸c˜ao residual seja

signiﬁcativamente diferente de zero, isto sugere que o modelo n˜ao ´e adequado para

representar a s´erie temporal, bem como sugere que seja adicionado ao modelo um

termo de m´edias m´oveis com atraso igual `a posi¸c˜ao na qual a autocorrela¸c˜ao residual

se mostrou diferente de zero. Caso todas as autocorrela¸c˜oes residuais sejam iguais

ou pr´oximas de zero, o modelo ´e adequado para a s´erie temporal at´e o momento,

por´em o teste de autocorrela¸c˜ao cruzada ainda deve ser realizado.

4.6 Etapas da Modelagem e M´etodos Escolhidos para o Sistema 53

O teste de autocorrela¸c˜ao cruzada calcula as correla¸c˜oes cruzadas do modelo e veri-

ﬁca se algum destes valores ´e signiﬁcativamente diferente de zero. Caso algum valor

de correla¸c˜ao cruzada seja signiﬁcativamente diferente de zero, isto sugere que o mo-

delo n˜ao ´e adequado para representar a s´erie temporal, bem como sugere que seja

adicionado ao modelo um termo auto-regressivo com atraso igual `a posi¸c˜ao na qual

a correla¸c˜ao cruzada foi diferente de zero. Caso todas as correla¸c˜oes cruzadas sejam

iguais ou pr´oximas de zero, o modelo ´e adequado para a s´erie temporal, segundo o

teste de autocorrela¸c˜ao cruzada.

Se os dois testes (autocorrela¸c˜ao residual e autocorrela¸c˜ao cruzada) detectem que

o modelo ´e adequado, ent˜ao conclui-se que o modelo ´e realmente adequado para

representar a s´erie temporal e pode ser utilizado a partir de ent˜ao para a realiza¸c˜ao de

predi¸c˜oes. Caso contr´ario, s˜ao adicionados termos auto-regressivos e/ou de m´edias

m´oveis ao modelo e volta-se `a primeira etapa do processo de modelagem (a sele¸c˜ao),

onde a partir da´ı todos os passos s˜ao repetidos at´e que se encontre um modelo

adequado `a s´erie temporal.

54 4 Etapas da Modelagem para Modelo ARIMA/ARIMAX

5 Testes e Resultados

Preliminares

Neste cap´ıtulo ser˜ao mostradas as t´ecnicas que foram implementadas para esta dis-

serta¸c˜ao e os problemas enfrentados durante suas implementa¸c˜oes. Todas as etapas da

cria¸c˜ao do modelo ARIMA/ARIMAX foram implementadas usando a linguagem de pro-

grama¸c˜ao Java. Foi utilizado como ambiente de desenvolvimento o NetBeans Integrated

Development Environment (IDE) vers˜ao 6.0 e o Java Development Kit (JDK) vers˜ao

1.6. Ser˜ao apresentados em seguida os resultados preliminares de gera¸c˜ao de modelos

ARIMA/RIMAX para s´eries temporais ﬁct´ıcias para prop´osito de valida¸c˜ao e por ﬁm

ser´a mostrada a interface gr´aﬁca do ambiente computacional desenvolvido.

A primeira etapa na modelagem de uma s´erie, seguindo as etapas descritas no Cap´ı-

tulo 4, ´e veriﬁcar se a s´erie necessita de alguma transforma¸c˜ao pr´evia do tipo logar´ıtmica.

Se as s´eries temporais a serem trabalhadas forem s´eries econˆomicas, esta transforma¸c˜ao ´e

necess´aria para estabilizar a sua variˆancia. Em seguida, ´e realizado um teste na s´erie, a

ﬁm de veriﬁcar se a s´erie precisa ou n˜ao precisa ser diferenciada (s´erie estacion´aria), ana-

lisando para isso a sua variˆancia. E em caso positivo, deﬁne-se a quantidade de diferen¸cas

necess´arias (parˆametro d) para torn´a-la estacion´aria. Entretanto, nesta disserta¸c˜ao optou-

se por n˜ao utilizar a s´erie transformada para criar o modelo, uma vez que este tipo de

transforma¸c˜ao n˜ao interfere na qualidade das previs˜oes e ainda geram previs˜oes viesadas,

como j´a foi discutido anteriormente.

O m´etodo utilizado na etapa de estima¸c˜ao das ordens (p e q) do modelo, foi o CIA,

uma vez que este se mostrou mais eﬁciente, no acerto das ordens do modelo, do que com

o uso de FAC, FACP e FACE juntas.

Na etapa de estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo, utilizou-se o M´etodo de M´axima

Verossimilhan¸ca. Este m´etodo mostrou-se ineﬁciente, uma vez que o mesmo analisa todas

as combina¸c˜oes poss´ıveis dos coeﬁcientes do modelo e quando aplicado a modelos mais

complexos (com uma ordem grande e/ou com v´arias entradas ex´ogenas), a quantidade

de combina¸c˜oes testadas pelo m´etodo cresce exponencialmente. Por exemplo, para um

modelo ARIMA(2,0,3), o m´etodo de m´axima verossimilhan¸ca estimar´a 5 coeﬁcientes dife-

rentes (o coeﬁciente do termo a

n˜ao ´e estimado porque ´e sempre igual a 1, 0), construindo

para isso v´arias combina¸c˜oes de coeﬁcientes, variando-se o valor de cada coeﬁciente no

intervalo [−1, 1], em passos de 0, 1, totalizando 21 valores poss´ıveis. Para este modelo

ARIMA, seriam testadas 4.084.101 combina¸c˜oes diferentes de coeﬁcientes e conseq

uen-

temente 1.801.088.541 itera¸c˜oes na execu¸c˜ao do m´etodo. Se o modelo proposto for um

ARIMAX(2,0,3,[2,1]), ent˜ao a quantidade de coeﬁcientes a serem estimados ser´a igual a

10, e o n´umero de itera¸c˜oes na execu¸c˜ao do m´etodo sobe para 16.679.880.978.201.

56 5 Testes e Resultados Preliminares

Um dos problemas gerados com o uso deste m´etodo, foi o estouro do tamanho da

heap, em tempo de execu¸c˜ao, da Java Virtual Machine (JVM). Este problema ser´a melhor

detalhado na se¸c˜ao seguinte. Diante disto, optou-se por substituir o M´etodo de M´axima

Verossimilhan¸ca pelos algoritmos RLS e ELS. Estes ´ultimos se mostraram m´etodos velozes,

eﬁcientes na estima¸c˜ao dos coeﬁcientes corretos, bem como n˜ao apresentaram problemas

em tempo de execu¸c˜ao, enfrentados com o m´etodo inicial.

Para o diagn´ostico do modelo, foi utilizado o Teste de Autocorrela¸c˜ao Residual jun-

tamente com o Teste de Autocorrela¸c˜ao Cruzada. Se o modelo se mostra adequado, est´a

pronto para ser utilizado para realizar previs˜oes da s´erie (j´a que previs˜ao ´e o principal ob-

jetivo deste trabalho). Caso contr´ario, utiliza-se os resultados desses testes tamb´em para

modiﬁcar o modelo, adicionando-se novos termos ao modelo previamente constru´ıdo. Vale

relembrar que se o modelo previamente estimado tiver termos de m´edias m´oveis (ou seja,

o parˆametro q > 0), a interpreta¸c˜ao de valores grandes de | s

| n˜ao ´e t˜ao ´obvia (MORETIN;

TOLOI, 2004), e portanto termos auto-regressivos n˜ao ser˜ao adicionados ao modelo.

Caso o modelo tenha sido modiﬁcado, atualiza-se as ordens do modelo. Ap´os isto,

estima-se novamente os coeﬁcientes do modelo, e em seguida realiza-se novo diagn´ostico

na s´erie, e assim sucessivamente, at´e encontrar um modelo adequado.

Ser˜ao apresentados agora os resultados preliminares do sistema de gera¸c˜ao de modelos

ARIMA e ARIMAX aplicado a s´eries temporais ﬁct´ıcias que foram constru´ıdas apenas

para a realiza¸c˜ao de testes de valida¸c˜ao de todos os m´etodos utilizados no processo de

estima¸c˜ao de um modelo ARIMA/ARIMAX. Essas s´eries ﬁct´ıcias foram criadas a partir

de dados de produ¸c˜ao de petr´oleo de duas esta¸c˜oes de transferˆencia da PETROBRAS,

chamadas de Canto do Amaro (CAM) e Alto do Rodrigues-A (ARA), ambas no Rio

Grande do Norte.

Nos resultados que ser˜ao apresentados, tem-se uma an´alise de v´arios aspectos do sis-

tema de gera¸c˜ao de modelo ARIMA/ARIMAX, quando aplicado `as s´eries de teste. Entre

estes aspectos temos: a exatid˜ao da escolha das ordens do modelo e de seus coeﬁcientes,

a capacidade do modelo gerado pelo sistema de representar os dados da s´erie temporal,

bem como a qualidade das previs˜oes sobre a s´erie. Todos esses aspectos ser˜ao avaliados a

ﬁm de validar os m´etodos que foram implementados no sistema.

Inicialmente, ser´a analisada a gera¸c˜ao de um modelo ARIMA. A s´erie para teste

criada com as caracter´ısticas de um modelo ARIMA tem m´edia 3,48, n˜ao possui entradas

ex´ogenas e possui um ru´ıdo aleat´orio de m´edia 0,0 e desvio padr˜ao 0,5. Esta s´erie cont´em

228 dados, ordenados por dias que v˜ao de 01/08/2007 at´e 16/03/2008. O modelo gerador

da s´erie ´e um modelo ARIMAX(1,0,1,0), onde o ´ultimo valor refere-se `a ordem da(s)

entrada(s) ex´ogena(s) que neste caso ´e igual a zero, uma vez que a s´erie temporal n˜ao

possui entradas ex´ogenas. Neste caso tem-se que o modelo gerador ARIMAX(1,0,1,0) ´e

equivalente ao modelo ARIMA(1,0,1), de ordens p = 1, q = 1, e d = 0. O modelo gerador

desta s´erie temporal ´e:

= 0, 8Z

t−1

+ a

+ 0, 5a

t−1

(5.1)

onde Z

´e a s´erie temporal sem diferen¸cas e a

´e o ru´ıdo aleat´orio.

Os dados da s´erie temporal de teste podem ser vistos no gr´aﬁco da Figura 5.1.

Ap´os informados ao sistema todos os dados dispon´ıveis da s´erie temporal de teste,

tem-se a gera¸c˜ao do modelo que, segundo o sistema, ´e o modelo que melhor representa

5 Testes e Resultados Preliminares 57

Figura 5.1: Gr´aﬁco contendo os valores originais da s´erie de teste que simula o compor-

tamento de um modelo ARIMA.

esta s´erie. A s´erie foi tratada como se fosse uma s´erie estacion´aria para que fosse poss´ıvel

veriﬁcar se as ordens e coeﬁcientes do modelo gerado foram estimados corretamente. Para

a estima¸c˜ao das ordens p e q do modelo ARIMA ´e utilizado o m´etodo CIA, que testa v´arias

ordens variando de 1 a 5 (onde 5 ´e igual ao ln(228) e 228 ´e o n´umero de amostras da

s´erie dispon´ıveis). A Tabela 5.1 mostra o valor do CIA de todas as combina¸c˜oes de ordens

testadas. Para a estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo ARIMA ´e utilizado o m´etodo ELS

com o fator de esquecimento (λ) igual a 0,98 e a matriz de covariˆancia (δ) inicial igual a

Tabela 5.1: Valores do CIA das combina¸c˜oes de ordens (p,q).

(p,q) 1 2 3 4 5

1 2.308,81 2.311,27 2.313,33 2.315,08 2.318,35

2 2.310,82 2.312,99 2.319,98 2.317,79 2.320,07

3 2.312,87 2.314,89 2.317,21 2.319,15 2.323,96

4 2.314,91 2.316,92 2.318,95 2.321,29 2.323,33

5 2.316,93 2.318,86 2.320,91 2.322,81 2.325,31

Os ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMA n˜ao s˜ao conhecidos e ne-

cessitam ser estimados pelo algoritmo ELS. Esses valores estimados podem ser vistos na

Figura 5.2.

Comparando as estima¸c˜oes das ordens do modelo para esta s´erie temporal ﬁct´ıcia,

temos que as ordens estimadas se utiliz´assemos a FAC, FACP e FACE juntas seriam

ARIMA(1,3), enquanto que utilizando-se o CIA as ordens encontradas foram ARIMA(1,1),

58 5 Testes e Resultados Preliminares

Figura 5.2: Ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMA estimados pelo Algo-

ritmo ELS.

onde as ordens (1,1) foram retiradas da Tabela 5.1 e correspondem `as ordens que apre-

sentaram o CIA de menor valor. O CIA apresentou resultados melhores na estima¸c˜ao das

ordens do modelo, por isto esta t´ecnica foi escolhida para ser utilizada nesta disserta¸c˜ao

ao inv´es da FAC, FACP e FACE.

Quando aplicado `a s´erie temporal ﬁct´ıcia descrita anteriormente, o sistema gerou um

modelo ARIMA(1,0,1) descrito na Equa¸c˜ao 5.2:

= 0, 81Z

t−1

+ a

+ 0, 5a

t−1

(5.2)

O sistema tamb´em apresenta um gr´aﬁco contendo duas s´eries juntas: a s´erie temporal

de teste e a s´erie temporal gerada pelo modelo ARIMA estimado pelo sistema. A partir

deste gr´aﬁco ´e poss´ıvel visualizar a qualidade do ajuste do modelo matem´atico `a s´erie

temporal de teste. Este gr´aﬁco pode ser visto na Figura 5.3.

As Figuras 5.4 e 5.5 mostram a convergˆencia dos coeﬁcientes dos termos Z

t−1

e a

t−1

respectivamente, em fun¸c˜ao do n´umero de itera¸c˜oes do algoritmo ELS. A convergˆencia do

termo a

n˜ao ´e mostrada porque este termo ´e ﬁxo e sempre igual a 1,0.

Analisando-se os resultados obtidos pelo sistema, percebe-se que o modelo gerado

cont´em as mesmas ordens do modelo que gerou a nossa s´erie temporal de teste, o que

signiﬁca que todas as ordens do modelo foram estimadas corretamente. Com rela¸c˜ao

aos coeﬁcientes do modelo, os coeﬁcientes estimados foram exatamente os coeﬁcientes do

modelo que gerou a s´erie temporal, com exce¸c˜ao do coeﬁciente do termo Z

t−1

, cujo valor

do coeﬁciente ´e 0,8 no modelo gerador da s´erie, enquanto que o sistema estimou um valor

aproximado de 0,81. Portanto, conclui-se que os valores dos coeﬁcientes estimados contˆem

5 Testes e Resultados Preliminares 59

boa exatid˜ao.

Figura 5.3: Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIMA.

Figura 5.4: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo Z

t−1

do modelo ARIMA.

Analisando-se visualmente a Figura 5.3, veriﬁca-se um bom ajuste entre as duas s´eries

apresentadas, de onde conclui-se que o modelo ARIMA gerado pelo sistema representa

60 5 Testes e Resultados Preliminares

Figura 5.5: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−1

do modelo ARIMA.

Figura 5.6: Autocorrela¸c˜oes Estimadas dos Res´ıduos do modelo ARIMA.

5 Testes e Resultados Preliminares 61

bem os dados da s´erie temporal de teste. Mas apenas a veriﬁca¸c˜ao visual n˜ao ´e suﬁciente

e nem precisa para concluirmos que o modelo ´e adequado `a s´erie temporal, para isso

tem-se a fase de Diagn´ostico. Ap´os o modelo ter sido gerado pelo sistema, foi efetuado

o diagn´ostico do mesmo realizando o teste de autocorrela¸c˜ao residual, que analisa as

autocorrela¸c˜oes estimadas dos res´ıduos, que podem ser vistas na Figura 5.6. Segundo o

gr´aﬁco da Figura 5.6, para j = 4 a autocorrela¸c˜ao residual extrapolou o limite de ±2/

√

dando ind´ıcios de que um termo a

t−4

deveria ser adicionado ao modelo para torn´a-lo

adequado, tornando-se um modelo ARIMA(1,0,4). Por´em, analisando-se as variˆancias

residuais dos dois modelos, veriﬁcou-se que elas s˜ao muito pr´oximas e portanto, segundo

Moretin e Toloi (2004), deve-se escolher o modelo ARIMA(1,0,1) pois este possui ordens

menores. Desta forma, conclui-se que o modelo 5.2 ´e adequado para representar a s´erie

temporal de teste.

Depois do modelo ARIMA ter sido diagnosticado como adequado, o modelo est´a apto

para ser utilizado, como por exemplo em aplica¸c˜ao de previs˜ao. Foram realizadas previs˜oes

de 7 valores para esta s´erie temporal de teste, utilizando-se os horizontes de previs˜ao

h = 1, ..., 7 e a origem das previs˜oes em 16/03/2008. Os valores previstos, bem como

os valores reais da s´erie neste per´ıodo de tempo, podem ser vistos na Figura 5.7. O erro

absoluto m´edio das previs˜oes em rela¸c˜ao `a s´erie real foi de 0,412 e o maior erro absoluto foi

de 1,230. Um outro ´ındice que pode ser usado na veriﬁca¸c˜ao da qualidade da previs˜ao ´e a

correla¸c˜ao cruzada. O c´alculo da correla¸c˜ao cruzada entre a s´erie prevista e a s´erie real d´a

uma medida da rela¸c˜ao entre as duas. Se as duas s´eries s˜ao correlacionadas positivamente

elas movem-se na mesma propor¸c˜ao e dire¸c˜ao, sendo que quanto mais forte for a rela¸c˜ao

entre elas, mais pr´oximo de 1,0 ser´a a correla¸c˜ao cruzada. O valor da correla¸c˜ao cruzada

calculada entre os valores reais da s´erie e os valores previstos pelo modelo foi de 0,729.

Figura 5.7: Valores previstos utilizando o modelo ARIMA e valores reais da S´erie Temporal

Fict´ıcia.

62 5 Testes e Resultados Preliminares

Agora ser´a analisada a gera¸c˜ao de um modelo ARIMAX. A s´erie para teste criada com

as caracter´ısticas de um modelo ARIMAX tem m´edia 235.978,20, possui duas entradas

ex´ogenas e possui um ru´ıdo aleat´orio de m´edia 0,0. Esta s´erie cont´em 228 dados, ordenados

por dias que v˜ao de 01/08/2007 at´e 16/03/2008. As entradas ex´ogenas tamb´em possuem

228 valores ordenados no mesmo intervalo de dias da s´erie temporal. O modelo gerador da

s´erie ´e um modelo ARIMAX(1,0,1,[2,2]), onde o ´ultimo valor refere-se a um vetor contendo

as ordens das entradas ex´ogenas. Este modelo cont´em ordens p = 1, q = 1, e d = 0, al´em

das ordens das entradas ex´ogenas, r

= 2 e r

= 2, com seus respectivos atrasos c

= 0

= 0. O modelo gerador da s´erie tamb´em pode ser representado como ARIMAX(1,0,1,[2-

0,2-0]), onde ao inv´es de indicar as ordens das entradas ex´ogenas [r

]=[2,2], indica as

suas ordens seguidas de seus atrasos [r

− c

]=[2-0,2-0]. O modelo gerador desta

s´erie temporal ´e:

= 0, 8Z

t−1

+ a

− 0, 7a

t−1

+ 1, 0X

+ 0, 6X

t−1

+ 0, 9X

+ 1, 0X

t−1

(5.3)

onde Z

´e a s´erie temporal sem diferen¸cas, a

´e o ru´ıdo aleat´orio e X

e X

s˜ao a entrada

ex´ogena 1 e a entrada ex´ogena 2, respectivamente.

Os dados da s´erie temporal de teste podem ser vistos no gr´aﬁco da Figura 5.8, e os

valores das duas entradas ex´ogenas podem ser vistos nas Figuras 5.9 e 5.10.

Figura 5.8: Gr´aﬁco contendo os valores originais da s´erie de teste que simula o compor-

tamento de um modelo ARIMAX.

Ap´os informados ao sistema todos os dados dispon´ıveis da s´erie temporal de teste,

tem-se a gera¸c˜ao do modelo que, segundo o sistema, ´e o modelo que melhor representa

esta s´erie. A s´erie foi tratada como se fosse uma s´erie estacion´aria para que fosse poss´ıvel

veriﬁcar se as ordens e coeﬁcientes do modelo gerado foram estimados corretamente. Para

a estima¸c˜ao das ordens do modelo ARIMAX ´e utilizado o m´etodo CIA, que testa v´arias

5 Testes e Resultados Preliminares 63

Figura 5.9: Gr´aﬁco contendo os valores da Entrada Ex´ogena 1 do modelo ARIMAX.

Figura 5.10: Gr´aﬁco contendo os valores da Entrada Ex´ogena 2 do modelo ARIMAX.

64 5 Testes e Resultados Preliminares

ordens variando de 1 a 5 (onde 5 ´e igual ao ln(228) e 228 ´e o n´umero de amostras da s´erie

dispon´ıveis). Para a estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo ARIMAX ´e utilizado o m´etodo

ELS com o fator de esquecimento (λ) igual a 0,90 e a matriz de covariˆancia (δ) inicial

igual a 10

Figura 5.11: Ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMAX estimados pelo

Algoritmo ELS.

Os ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMAX tamb´em n˜ao s˜ao conhe-

cidos e necessitam ser estimados pelo algoritmo ELS. Esses valores estimados podem ser

vistos na Figura 5.11.

Quando aplicado `a s´erie temporal ﬁct´ıcia descrita anteriormente, o sistema apresentou

os seguintes resultados:

Ordens e Atrasos do Modelo ARIMAX: ARIMAX(1,0,1,[2-0,2-0])

Modelo ARIMAX gerado:

= 0, 8Z

t−1

+ a

− 0, 58a

t−1

+ 1, 0X

+ 0, 6X

t−1

+ 0, 9X

+ 1, 0X

t−1

(5.4)

O sistema apresenta um gr´aﬁco contendo duas s´eries juntas: a s´erie temporal de teste

e a s´erie temporal gerada pelo modelo ARIMAX estimado pelo sistema, a partir do qual ´e

poss´ıvel visualizar a qualidade do ajuste do modelo matem´atico `a s´erie temporal de teste.

O ajuste da s´erie temporal gerada pelo modelo ARIMAX `a s´erie temporal de teste pode

ser visto na Figura 5.12.

As Figuras 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18 mostram a convergˆencia dos coeﬁcientes

dos termos Z

t−1

, a

t−1

, X

t−1

, X

e X

t−1

, respectivamente, em fun¸c˜ao do n´umero de

itera¸c˜oes do algoritmo ELS. A convergˆencia do termo a

n˜ao ´e mostrada porque este termo

5 Testes e Resultados Preliminares 65

´e ﬁxo e sempre igual a 1,0.

Figura 5.12: Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIMAX.

Figura 5.13: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo Z

t−1

do modelo ARIMAX.

Analisando-se os resultados obtidos pelo sistema, percebe-se que o modelo gerado

cont´em as mesmas ordens do modelo que gerou a nossa s´erie temporal de teste, o que

66 5 Testes e Resultados Preliminares

Figura 5.14: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−1

do modelo ARIMAX.

Figura 5.15: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

do modelo ARIMAX.

5 Testes e Resultados Preliminares 67

Figura 5.16: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−1

do modelo ARIMAX.

Figura 5.17: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

do modelo ARIMAX.

68 5 Testes e Resultados Preliminares

Figura 5.18: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−1

do modelo ARIMAX.

Figura 5.19: Autocorrela¸c˜oes Estimadas dos Res´ıduos do modelo ARIMAX.

5.1 Problemas T´ecnicos Enfrentados Durante a Fase de Implementa¸c˜ao do Sistema 69

signiﬁca que todas as ordens do modelo foram estimadas corretamente. Com rela¸c˜ao

aos coeﬁcientes do modelo, todos os coeﬁcientes estimados foram exatamente iguais aos

coeﬁcientes do modelo que gerou a s´erie temporal, exceto o termo a

t−1

que foi estimado

como -0,58, enquanto que o valor real ´e -0,7. Essa diferen¸ca no coeﬁciente do termo a

t−1

pode ser justiﬁcada pelo fato de que os ru´ıdos aleat´orios n˜ao s˜ao conhecidos e necessitam

ser estimados pelo sistema, que acaba gerando valores de ru´ıdos aproximados aos reais

mas n˜ao exatos. Portanto, com base em todos os coeﬁcientes estimados, conclui-se que os

seus valores estimados contˆem boa exatid˜ao.

Analisando-se visualmente a Figura 5.12, veriﬁca-se um bom ajuste entre as duas

s´eries apresentadas, de onde conclui-se que o modelo ARIMAX gerado pelo sistema re-

presenta bem os dados da s´erie temporal de teste. Por´em apenas a veriﬁca¸c˜ao visual n˜ao

´e suﬁciente e nem precisa para concluirmos que o modelo ´e adequado `a s´erie temporal,

para isso tem-se a fase de Diagn´ostico. Ap´os o modelo ter sido gerado pelo sistema, foi

efetuado o diagn´ostico do mesmo realizando-se o teste de autocorrela¸c˜ao residual, que

analisa as autocorrela¸c˜oes estimadas dos res´ıduos, que podem ser vistas na Figura 5.19.

Segundo o gr´aﬁco da Figura 5.19, para j = 25 a autocorrela¸c˜ao residual extrapolou o

limite de ±2/

√

n, dando ind´ıcios de que um termo a

t−25

deveria ser adicionado ao mo-

delo para torn´a-lo adequado, tornando-se um modelo ARIMAX(1,0,25,[2-0,2-0]). Por´em,

analisando-se as variˆancias residuais dos dois modelos, veriﬁcou-se que elas s˜ao muito pr´o-

ximas e portanto, segundo Moretin e Toloi (2004), o modelo ARIMAX(1,0,1,[2-0,2-0]) ´e

preferido. Desta forma, conclui-se que o modelo 5.4 ´e adequado para representar a s´erie

temporal de teste.

Depois de o modelo ARIMAX ter sido diagnosticado como adequado, o modelo est´a

apto para gerar previs˜oes sobre a s´erie temporal. Foram realizadas previs˜oes de 7 valores

para esta s´erie temporal de teste, utilizando-se os horizontes de previs˜ao h = 1, ..., 7 e a

origem das previs˜oes em 16/03/2008. Os valores estimados, bem como os valores reais da

s´erie neste per´ıodo de tempo, podem ser vistos na Figura 5.20. O erro absoluto m´edio das

previs˜oes em rela¸c˜ao `a s´erie real foi de 0,698 e o maior erro absoluto foi de 0,951. O valor

da correla¸c˜ao cruzada calculada entre os valores reais da s´erie e os valores previstos pelo

modelo foi de 0,999, revelando-nos a qualidade da previs˜ao, uma vez que o valor m´aximo

para a correla¸c˜ao cruzada ´e 1,0.

5.1 Problemas T´ecnicos Enfrentados Durante a Fase

de Implementa¸c˜ao do Sistema

Durante a fase de implementa¸c˜ao do sistema, incluindo a implementa¸c˜ao dos m´etodos

de an´alise de s´eries temporais, deparou-se com alguns problemas t´ecnicos que por algumas

vezes tornaram invi´avel a utiliza¸c˜ao, no sistema, de determinado m´etodo ou algoritmo

encontrados na literatura para o processamento de s´eries temporais. Dentre os problemas

enfrentados, tem-se por exemplo o estouro de pilha.

70 5 Testes e Resultados Preliminares

Figura 5.20: Valores estimados utilizando o modelo ARIMAX e valores reais da S´erie

Temporal Fict´ıcia.

5.1.1 Estouro de Pilha

Todos os m´etodos foram implementados na Linguagem Java, que cont´em a JVM.

Cabe aqui uma r´apida explana¸c˜ao sobre a JVM. Para executar um programa escrito na

linguagem Java em um computador ou outro dispositivo, ´e necess´ario existir uma JVM

instalada no mesmo. Quando ´e realizada a compila¸c˜ao de um c´odigo Java, o bytecode

(que ´e um c´odigo intermedi´ario) ´e gerado e a JVM ´e uma m´aquina virtual (ou imagin´aria)

que executa as instru¸c˜oes do bytecode operacional. A JVM ´e uma esp´ecie de camada

intermedi´aria entre o programa Java e o Sistema, e gra¸cas a ela ´e poss´ıvel executar c´o-

digo Java em qualquer plataforma, independentemente da plataforma na qual o c´odigo

foi gerado (ALECRIM, 2004). Cada instˆancia da JVM aloca um espa¸co de mem´oria

chamado de heap, que ´e compartilhado entre todas as suas threads. Heap ´e usada em

tempo de execu¸c˜ao para guardar temporariamente todos os objetos de classes e arrays

criados. O tamanho m´aximo padr˜ao da heap depende da implementa¸c˜ao da JVM (va-

riam de 16MB a 64MB), por´em todas as implementa¸c˜oes permitem que o valor m´aximo

e m´ınimo da heap sejam modiﬁcados. Sempre que o espa¸co necess´ario para executar uma

aplica¸c˜ao ´e maior que o tamanho m´aximo da heap, a JVM lan¸ca uma exce¸c˜ao chamada

“java.lang.OutOfMemoryError: Java Heap Space”. Este erro era apresentado durante

a execu¸c˜ao do m´etodo de escolha dos coeﬁcientes do modelo, chamado de m´etodo de

m´axima verossimilhan¸ca. Quando a exce¸c˜ao “java.lang.OutOfMemoryError: Java Heap

Space”ocorre, n˜ao h´a como liberar espa¸co para continuar a aplica¸c˜ao, porque os dados con-

tidos na heap podem ser ainda necess´arios para a execu¸c˜ao do resto do m´etodo. Portanto

a melhor solu¸c˜ao seria aumentar o tamanho m´aximo da heap para um valor satisfat´orio

para a aplica¸c˜ao. Por´em, na nossa aplica¸c˜ao, o valor satisfat´orio para o tamanho da heap

5.2 Ambiente Computacional Desenvolvido 71

era superior ao tamanho m´aximo que o Netbeans 6.0.1 permitia conﬁgurar para a heap.

Ent˜ao a solu¸c˜ao encontrada foi utilizar outro m´etodo para encontrar os coeﬁcientes do

modelo, e o m´etodo de M´axima Verossimilhan¸ca foi substitu´ıdo pelos m´etodos RLS e ELS

com muito sucesso, por que solucionou o problema de gera¸c˜ao de exce¸c˜oes anteriormente

descrito e apresentou resultados em tempo computacional inferior ao m´etodo de m´axima

verossimilhan¸ca.

5.2 Ambiente Computacional Desenvolvido

Figura 5.21: Tela inicial do sistema de gera¸c˜ao de modelos ARIMA/ARIMAX.

Ser´a apresentado a seguir o sistema de gera¸c˜ao dos modelos ARIMA/ARIMAX. O

sistema possui uma tela inicial onde o usu´ario do mesmo ir´a informar o arquivo que

cont´em os dados da s´erie temporal atrav´es do bot˜ao “Abrir Dados da S´erie”, como pode

ser visto na Figura 5.21. O arquivo contendo os dados da s´erie temporal deve ser um

arquivo .txt ou .csv. Os formatos aceitos para este arquivos s˜ao:

• O arquivo pode conter uma coluna apenas com os valores da s´erie temporal, orde-

nados no tempo, e sem cabe¸calho;

• O arquivo pode conter duas colunas separadas por tabula¸c˜ao ou por espa¸co, a pri-

meira contendo os timestamps e a segunda contendo os valores da s´erie temporal,

ordenadas por ordem crescente do timestamp, sendo a primeira linha deste arquivo

destinado ao cabe¸calho contendo o t´ıtulo de cada coluna;

• Os valores da s´erie temporal dentro do arquivo devem ser sempre n´umeros reais,

com as casas decimais separadas por ponto (e n˜ao por v´ırgula);

72 5 Testes e Resultados Preliminares

• O timestamp da s´erie temporal cont´em trˆes formatos poss´ıveis:

– Ano: o timestamp ´e um n´umero inteiro representando um ano. Ex.: 1998;

– Mˆes/Ano: o timestamp ´e um n´umero inteiro representando um mˆes, separado

por barra (/) ou h´ıfen (-), seguido de um n´umero inteiro representando um

ano. Ex.:01/1998 e 01-1998;

– Dia/Mˆes/Ano: o timestamp ´e um n´umero inteiro representando um dia, sepa-

rado por barra (/) ou h´ıfen (-), seguido de um n´umero inteiro representando

um mˆes, separado por barra (/) ou h´ıfen (-), seguido de um n´umero inteiro

representando um ano. Ex.:01/11/1998 e 01-11-1998.

Ap´os selecionado o arquivo de dados da s´erie temporal, deve-se selecionar um dos ti-

pos de modelo a ser criado: ARIMA ou ARIMAX, de acordo com a presen¸ca de entradas

ex´ogenas na s´erie. Se a s´erie temporal n˜ao possui entradas ex´ogenas, deve-se selecionar

o modelo ARIMA. Se a s´erie possui entradas ex´ogenas, deve-se selecionar o modelo ARI-

MAX.

E extremamente importante que o usu´ario selecione corretamente o tipo do modelo,

para a obten¸c˜ao de um modelo correto para a s´erie temporal, uma vez que a informa¸c˜ao

de que existe ou n˜ao entradas ex´ogenas n˜ao pode ser deduzida pelo sistema.

Caso o modelo selecionado tenha sido o modelo ARIMA, o usu´ario pode clicar no

bot˜ao “Gerar Modelo” para que o sistema estime um modelo para a s´erie temporal que foi

anteriormente carregada.

Caso o modelo selecionado tenha sido o modelo ARIMAX, o usu´ario deve informar o

n´umero de entradas ex´ogenas, e em seguida o usu´ario deve selecionar um arquivo contendo

os dados das entradas ex´ogenas, sendo um arquivo separado para cada entrada ex´ogena.

Por exemplo, se a s´erie cont´em duas entradas ex´ogenas, o usu´ario deve digitar 2 no

n´umero de entradas ex´ogenas, em seguida deve clicar no bot˜ao “Abrir Entradas Ex´ogenas”

e selecionar o arquivo contendo os dados da primeira entrada ex´ogena e clicar em “Abrir”

(existente na janela de busca) para que o primeiro arquivo seja carregado. Em seguida, a

janela de busca ser´a aberta novamente, onde o usu´ario deve selecionar o arquivo contendo

os dados da segunda entrada ex´ogena e clicar em “Abrir” para que o segundo arquivo seja

carregado. A tela do sistema ap´os estes passos pode ser vista na Figura 5.22. Ap´os todos

os arquivos carregados, o usu´ario pode clicar no bot˜ao “Gerar Modelo” para que o sistema

estime um modelo para a s´erie temporal que foi anteriormente carregada.

Ap´os alguns minutos, o sistema retornar´a na tela `a direta, o modelo mais apropriado `a

s´erie temporal carregada, contendo informa¸c˜oes das ordens do modelo e seus coeﬁcientes,

como pode ser visto nas Figuras 5.23 e 5.24. Al´em disso s˜ao exibidos v´arios gr´aﬁcos que

descrevem as caracter´ısticas da s´erie: o gr´aﬁco da s´erie com seu valores reais, o gr´aﬁco

da s´erie ap´os sofrer uma ou duas diferen¸cas (caso a s´erie seja n˜ao-estacion´aria), o gr´aﬁco

com a autocorrela¸c˜ao residual, o gr´aﬁco com a autocorrela¸c˜ao cruzada, entre outros.

Ap´os a gera¸c˜ao do modelo pelo sistema, o usu´ario pode optar por realizar previs˜oes da

s´erie temporal, para isso o usu´ario deve clicar no bot˜ao “Gerar Previs˜oes”. Os valores da

previs˜ao ser˜ao mostrados em um novo gr´aﬁco intitulado “Previs˜oes da S´erie Temporal”.

5.2 Ambiente Computacional Desenvolvido 73

Figura 5.22: Detalhe da tela do sistema de gera¸c˜ao de modelos ARIMA/ARIMAX ap´os

os arquivos carregados contendo as entradas ex´ogenas.

74 5 Testes e Resultados Preliminares

Figura 5.23: Tela do sistema de gera¸c˜ao de modelos ap´os a gera¸c˜ao de um modelo ARI-

MAX.

5.2 Ambiente Computacional Desenvolvido 75

Figura 5.24: Detalhe da tela do sistema de gera¸c˜ao de modelos ap´os a gera¸c˜ao de um

modelo ARIMAX, mostrando a exibi¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo gerado.

76 5 Testes e Resultados Preliminares

6 Estudo de Caso

Para o estudo de caso os modelos ARIMAX ser˜ao utilizados para inferir valores de

perda de propano em uma planta de produ¸c˜ao de G´as Liquefeito de Petr´oleo (GLP). Nesta

planta s˜ao utilizados controladores que ajustam o etano e i-pentano presentes na compo-

si¸c˜ao do GLP produzido por uma Unidade de Processamento de G´as Natural (UPGN)

(BESERRA et al., 2008).

O g´as natural proveniente de campos de produ¸c˜ao passa por v´arias etapas diferentes

em uma planta de processamento de tal g´as. Na primeira etapa ´e realizada a remo¸c˜ao de

´agua e elementos oxidantes e ap´os isto, o g´as ´e transportado para colunas de destila¸c˜ao

fracionada. Na planta em estudo, existem duas colunas de destila¸c˜ao de petr´oleo, a

deetanizadora e a debutanizadora, ambas compostas por trˆes partes: uma coluna, um

condensador e um refervedor (BESERRA et al., 2008). Essas colunas s˜ao respons´aveis

por realizar a separa¸c˜ao do g´as natural, ou g´as in natura, em v´arios compostos ou sub-

produtos, atrav´es do processo de destila¸c˜ao. Como cada elemento que constitui o g´as

possui temperaturas de ebuli¸c˜ao diferentes, atrav´es da adi¸c˜ao ou subtra¸c˜ao de calor ´e

poss´ıvel separar os seus componentes (BESERRA et al., 2008).

Na Figura 6.1 podem ser vistas as colunas de destila¸c˜ao fracionada: a primeira ´e a

deetanizadora, que ´e respons´avel pela produ¸c˜ao de G´as de Venda ou G´as Industrial (pro-

duto de topo) e L´ıquido de G´as Natural (LGN) (produto de fundo), a segunda coluna ´e

a debutanizadora, que ´e respons´avel pela produ¸c˜ao do GLP (produto de topo), composto

por propanos e butanos, e de C5+, ou gasolina natural (produto de fundo). O controle

de quanto ´e produzido de cada sub-produto ´e garantido pela atua¸c˜ao conjunta dos con-

troladores relacionados `a vaz˜ao de reﬂuxo, `a temperatura de fundo e ao n´ıvel da coluna

(BESERRA et al., 2008).

Detalhando-se um pouco mais a planta da Figura 6.1, tem-se o fornecimento da carga

de entrada da coluna deetanizadora. Essa carga de entrada ´e constante e constitu´ıda de

g´as natural, que ´e um g´as composto por hidrocarbonetos (C1+). Na coluna deetaniza-

dora, uma parte do produto de fundo, composto por C3+ e uma pequena quantidade

de C2, conhecido por LGN, sai desta coluna e ´e transportado `a coluna debutanizadora.

Uma outra parte do LGN passa por um processo de aquecimento em um reboiler e depois

retorna `a coluna deetanizadora (BESERRA et al., 2008). Segundo Beserra et al. (2008), um

controlador de temperatura ajusta a abertura de uma v´alvula que regula a vaz˜ao de ´oleo

t´ermico que passa por esse reboiler, enquanto que um controlador de n´ıvel ajusta uma

outra v´alvula que regula o ﬂuxo de LGN que ´e fornecido para a coluna debutanizadora.

J´a o produto de topo da coluna deetanizadora passa por um trocador de calor e ´e trans-

portado a um vaso de condensado. Um controlador de press˜ao regula a abertura de uma

v´alvula determinando desta forma a quantidade de g´as residual que ser´a liberado para

78 6 Estudo de Caso

Figura 6.1: Colunas da planta de produ¸c˜ao de GLP.

comercializa¸c˜ao. A partir do n´ıvel presente em um controlador de n´ıvel, um controlador

de ﬂuxo ajusta a abertura da v´alvula que regula o ﬂuxo de LGN que retornar´a do vaso

de condensado `a coluna deetanizadora (BESERRA et al., 2008).

Na coluna debutanizadora, uma parte do produto de fundo, a gasolina natural, ´e

comercializada, enquanto que outra parte passa pelo processo de aquecimento em um

reboiler e retorna `a mesma coluna. Um controlador ´e respons´avel por regular a vaz˜ao de

´oleo t´ermico que passa pelo reboiler. Enquanto isso, um controlador de press˜ao ajusta a

abertura da v´alvula que regula a quantidade de produto de topo que ´e transportado de um

vaso de condensado, passando por um air-cooler. Este air-cooler ´e respons´avel por passar

o g´as para o estado l´ıquido. Um outro controlador regula a abertura da v´alvula de reﬂuxo

que controla o ﬂuxo de uma parte do GLP contido no vaso de condensado que retornar´a

`a coluna debutanizadora, enquanto que a outra parte do GLP do vaso de condensado

´e extra´ıdo do topo da coluna debutanizadora para ser comercializado (BESERRA et al.,

2008).

Dentre os produtos produzidos pela Unidade de Processamento de G´as Natural, o que

possui mais valor econˆomico ´e o GLP, produzido pela coluna debutanizadora (BESERRA

et al., 2008). A coluna deetanizadora produz como produto de topo alguns compostos de

menor valor econˆomico que o GLP, por´em produz tamb´em res´ıduos de propano (C3), que ´e

um composto valioso e que n˜ao deveria existir na produ¸c˜ao de topo de tal coluna, gerando

assim desperd´ıcios e perdas no sentido econˆomico, uma vez que um composto de alto

valor ser´a vendido por um pre¸co inferior ao que deveria. Diante deste problema, prop˜oe-

se neste estudo de caso a utiliza¸c˜ao de um modelo ARIMAX para realizar inferˆencias sobre

os valores de fra¸c˜ao molar do propano (C3) que s˜ao produzidos indevidamente no topo

da coluna deetanizadora da planta de produ¸c˜ao de GLP, utilizando-se como entradas

ex´ogenas os valores de vaz˜ao de reﬂuxo e temperatura desta coluna, enquanto que a

6 Estudo de Caso 79

s´erie temporal observada ser´a a perda de propano (C3) no topo da coluna deetanizadora.

Atrav´es da inferˆencia do propano (C3) produzido no topo dessa coluna, ser´a poss´ıvel

interferir nas entradas de forma a diminuir a perda deste composto ao m´ınimo poss´ıvel, e

conseq

uentemente, diminuir o desperd´ıcio.

Vale salientar que neste estudo de caso n˜ao dispomos da medi¸c˜ao real dos valores

de perda de propano na UPGN no topo da coluna debutanizadora. As colunas aqui

utilizadas foram simuladas computacionalmente em um software comercial de processos

qu´ımicos, chamado HYSYS (BESERRA et al., 2008), e essas simula¸c˜oes foram utilizadas na

gera¸c˜ao do modelo ARIMAX. Desta forma, ao inv´es de dizer que s˜ao realizadas“previs˜oes”

sobre os dados, dizemos que s˜ao realizadas “inferˆencias” sobre os mesmos, pois n˜ao tem-se

conhecimento dos valores reais da perda de propano.

A seguir, ser´a apresentado o melhor modelo obtido pelo ambiente computacional para

a S´erie Temporal de Perdas de Propano no topo da coluna deetanizadora, que ser´a referen-

ciada a partir de agora como S´erie Temporal de Perdas de Propano apenas. Inicialmente

foram coletados do sistema HYSYS um conjunto de amostras da s´erie de Perdas de Pro-

pano, al´em dos dois conjuntos de dados das entradas ex´ogenas correspondentes, sendo

a primeira entrada, X

, a vaz˜ao de reﬂuxo e a segunda entrada, X

, a temperatura. A

vaz˜ao de reﬂuxo ´e dada em Kg.Mole/h e a temperatura ´e dada em graus Celsius. J´a a

S´erie Temporal de Perdas de Propano ´e dada em fra¸c˜ao molar e possu´ıa originalmente

valores muito pequenos da ordem de 10

−3

, portanto foi feito um pr´e-processamento sobre

os dados da s´erie, multiplicando-os por 10

, logo s´erie temporal ´e dada em 10

−6

∗fra¸c˜ao

molar.

Ap´os este pr´e-processamento, foi realizada uma separa¸c˜ao no conjunto de dados da

s´erie e das entradas ex´ogenas. Originalmente estes conjuntos continham 299 amostras,

das quais 250 foram utilizadas para estimar o modelo e as outras 49 foram utilizadas para

a realiza¸c˜ao de inferˆencias.

Pelo fato do estudo de caso em quest˜ao possuir entradas ex´ogenas, optou-se por esti-

mar um modelo do tipo ARIMAX. Optou-se por n˜ao fazer qualquer transforma¸c˜ao pr´evia

na s´erie do tipo logar´ıtmica, nem utilizar a s´erie diferenciada para criar o modelo, uma

vez que este tipo de transforma¸c˜ao n˜ao melhora a qualidade das previs˜oes, pelo contr´ario,

torna necess´ario um processamento extra pois gera previs˜oes viesadas.

A S´erie Temporal de Perdas de Propano utilizada para a estima¸c˜ao do modelo cont´em

250 valores que foram amostrados a cada 30 segundos (ou 0,5 minutos), sendo a s´erie

ordenada por minutos que v˜ao de 0 a 124,5, vistos no gr´aﬁco da Figura 6.2. Os valores

das duas entradas ex´ogenas podem ser vistos nas Figuras 6.3 e 6.4. Para esta s´erie foram

gerados dois modelos: um contendo termos de m´edias m´oveis, ARIMAX(1,0,6,[1-5,4-0]),

e outro sem termos de m´edias m´oveis, ARIX, que pode ser entendido como um modelo

ARIMAX com a ordem q = 0, ou seja, ARIMAX(1,0,0,[1-5,4-0]). Dentre esses dois mo-

delos, o modelo ARIMAX apresentou um ajuste melhor que o modelo ARIX, uma vez

que a soma dos erros absolutos do primeiro foi de 82,67 e do segundo foi de 260,09. A

qualidade das inferˆencias do modelo ARIX tamb´em foi inferior `aquela apresentada pelo

ARIMAX, pois o modelo ARIX apresentou erro absoluto m´edio e maior erro absoluto das

inferˆencias iguais a 34,41 e 52,64 respectivamente, enquanto que o ARIMAX apresentou

erro absoluto m´edio e maior erro absoluto das inferˆencias iguais a 29,29 e 50,31 respectiva-

mente. Atrav´es da compara¸c˜ao dos resultados dos modelo ARIX e ARIMAX em rela¸c˜ao

80 6 Estudo de Caso

ao ajuste `a s´erie e `as inferˆencias, optou-se pela utiliza¸c˜ao do modelo ARIMAX. O ajuste

do modelo ARIX pode ser visto na Figura 6.5 e o ajuste do modelo ARIMAX pode ser

visto na Figura 6.6.

Figura 6.2: S´erie Temporal de Perdas de Propano (dada em 10

−6

∗Fra¸c˜ao Molar)

Figura 6.3: Entrada Ex´ogena 1 - Vaz˜ao de Reﬂuxo (dada em Kg.Mole/h)

6 Estudo de Caso 81

Figura 6.4: Entrada Ex´ogena 2 - Temperatura (dada em graus Celsius)

Figura 6.5: Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIX.

82 6 Estudo de Caso

Figura 6.6: Gr´aﬁco da S´erie Real versus S´erie gerada pelo modelo ARIMAX.

Figura 6.7: S´erie Temporal de Perdas de Propano ap´os duas diferen¸cas.

6 Estudo de Caso 83

Figura 6.8: Gr´aﬁco da S´erie Real diferenciada versus S´erie gerada pelo modelo ARIMAX.

Foi gerado tamb´em um modelo a partir da Serie Temporal de Perdas de Propano

com diferen¸cas. Foi realizado um teste de estacionariedade da s´erie e veriﬁcou-se que esta

´e n˜ao-estacion´aria, ent˜ao foram realizadas duas diferen¸cas at´e que a mesma se tornasse

estacion´aria. A s´erie temporal estacion´aria resultante das duas diferen¸cas ´e mostrada na

Figura 6.7 e para esta s´erie o modelo estimado foi o ARIMAX(1,2,1,[1-0,2-1]). O ajuste do

modelo ARIMAX com parˆametro d = 2 pode ser visto na Figura 6.8, onde veriﬁca-se que

a qualidade do ajuste foi inferior ao apresentado pelo modelo ARIMAX sem diferen¸cas

(d = 0) na s´erie. Desta forma optou-se por escolher como modelo para a S´erie Temporal de

Perdas de Propano o modelo ARIMAX com d = 0, uma vez este apresentou melhor ajuste

que o modelo com diferen¸cas e n˜ao apresenta o problema de gerar inferˆencias viesadas.

Assim, ap´os os testes, o sistema indicou o modelo ARIMAX(1,0,6,[1-5,4-0]) descrito

na Equa¸c˜ao 6.1:

= 0, 99Z

t−1

+ 1, 0a

+ 0, 03a

t−1

+ 0, 33a

t−2

+ 0, 15a

t−3

+ 0, 11a

t−4

+ 0, 19a

t−5

+0, 13a

t−6

− 0, 13X

t−5

+ 2, 35X

− 1, 37X

t−1

− 0, 42X

t−2

−0, 01X

t−3

(6.1)

onde Z

´e a s´erie temporal sem diferen¸cas, a

´e o ru´ıdo aleat´orio estimado, X

´e a en-

trada ex´ogena 1 (vaz˜ao de reﬂuxo) e X

´e entrada ex´ogena 2 (temperatura), ambas n˜ao

diferenciadas.

Para a estima¸c˜ao das ordens do modelo ARIMAX, o m´etodo CIA testou v´arias ordens

variando de 1 a 6 (onde 6 ´e igual ao ln(250) e 250 ´e o n´umero de amostras da s´erie

dispon´ıveis). Para a estima¸c˜ao dos coeﬁcientes do modelo ARIMAX foi utilizado o m´etodo

84 6 Estudo de Caso

Figura 6.9: Ru´ıdos correspondentes `a parte MA do modelo ARIMAX estimados pelo

Algoritmo ELS.

ELS com matriz de covariˆancia (δ) inicial igual a 10

. Para o fator de esquecimento (λ)

do algoritmo ELS foi utilizado o valor 1,0, o que signiﬁca que as amostras mais recentes e

menos recentes da s´erie temporal ser˜ao igualmente ponderadas. Os ru´ıdos correspondentes

`a parte MA do modelo ARIMAX n˜ao s˜ao conhecidos e foram estimados pelo algoritmo

ELS. Esses valores estimados podem ser vistos na Figura 6.9.

A Figura 6.6 mostra a S´erie Temporal de Perdas de Propano juntamente com a s´erie

temporal gerada pelo modelo ARIMAX estimado pelo sistema. A partir deste gr´aﬁco ´e

poss´ıvel visualizar a qualidade do ajuste do modelo matem´atico `a s´erie temporal, mos-

trando um bom ajuste entre as duas s´eries, de onde conclui-se que o modelo ARIMAX

gerado pelo sistema representa bem os dados da s´erie temporal. Para fazer o diagn´ostico

do modelo, se o modelo ´e adequado `a s´erie temporal, a veriﬁca¸c˜ao visual auxilia mas n˜ao

´e suﬁciente. Para isso foi efetuado o diagn´ostico do mesmo realizando o teste de auto-

correla¸c˜ao residual, que analisa as autocorrela¸c˜oes estimadas dos res´ıduos, que podem ser

vistas na Figura 6.10. Analisando-se o gr´aﬁco da Figura 6.10, veriﬁca-se que em j = 7 a

autocorrela¸c˜ao residual extrapolou o limite de ±2/

√

n, dando ind´ıcios de que um termo

t−7

deveria ser adicionado ao modelo para torn´a-lo adequado. O valor de j = 1 tamb´em

extrapolou o limite mas n˜ao foi adicionado porque este termo j´a est´a presente no modelo.

O termo a

t−7

foi adicionado na primeira itera¸c˜ao do teste de diagn´ostico, a cada itera¸c˜ao

apenas um termo ´e adicionado ao modelo e ent˜ao o gr´aﬁco de autocorrela¸c˜ao residual

´e recalculado para este modelo e novamente veriﬁcado. Ao ﬁnal de todas as itera¸c˜oes,

ou seja, quando n˜ao haviam mais termos a serem adicionados, chegou-se ao modelo ﬁnal:

ARIMAX(1,0,9,[1-5,4-0]). O modelo ARIMAX(1,0,6,[1-5,4-0]) apresentou a somat´oria dos

erros absolutos de ajuste igual a 82,67 enquanto que o modelo ARIMAX(1,0,9,[1-5,4-0])

obteve a somat´oria dos erros absolutos de ajuste igual a 80,92, onde conclui-se que este

6 Estudo de Caso 85

´ultimo modelo possui um melhor ajuste `a s´erie temporal. Por´em, o maior erro absoluto

e o erro absoluto m´edio encontrados nas inferˆencias do modelo ARIMAX(1,0,6,[1-5,4-0])

foram de 50,31 e 29,29 respectivamente, enquanto que o maior erro absoluto e o erro

absoluto m´edio encontrados nas inferˆencias do modelo ARIMAX(1,0,9,[1-5,4-0]) foram de

54,25 e 29,68 respectivamente. Desta forma, conclui-se que o modelo ARIMAX(1,0,6,[1-

5,4-0]) obteve uma qualidade de inferˆencia superior `a do modelo ARIMAX(1,0,9,[1-5,4-0])

porque seus erros absolutos foram menores. Al´em disso, analisando-se as variˆancias resi-

duais dos modelos ARIMAX(1,0,6,[1-5,4-0]) e ARIMAX(1,0,9,[1-5,4-0]), respectivamente

1,36 e 1,32, veriﬁcou-se que elas s˜ao muito pr´oximas e portanto, segundo Moretin e Toloi

(2004), o modelo ARIMAX(1,0,6,[5,3]) ´e preferido para representar a s´erie temporal de

Perdas de Propano. O teste de autocorrela¸c˜ao cruzada n˜ao foi realizado uma vez que, se-

gundo Moretin e Toloi (2004), quando o modelo pr´evio estimado cont´em termos de m´edias

m´oveis a interpreta¸c˜ao de valores grandes desta autocorrela¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao ´obvia.

Figura 6.10: Autocorrela¸c˜oes Estimadas dos Res´ıduos do modelo ARIMAX.

As Figuras 6.11 a 6.22 mostram a convergˆencia dos coeﬁcientes de cada termo do

modelo em fun¸c˜ao do n´umero de itera¸c˜oes do algoritmo ELS. A convergˆencia do termo a

n˜ao ´e mostrada porque este termo ´e ﬁxo e sempre igual a 1,0.

Depois do modelo ARIMAX ter sido diagnosticado como adequado, o modelo est´a

apto para gerar inferˆencias sobre a s´erie temporal. Foram realizadas inferˆencias de 49

valores para esta s´erie temporal, utilizando-se os horizontes h = 1, ..., 49 e a origem das

inferˆencias em t = 124, 5. Os erros relativos de inferˆencia (em percentuais) podem ser

vistos na Figura 6.23. O erro relativo m´edio de inferˆencia (em percentual) foi de 1,71% e

o maior erro relativo de inferˆencia (em percentual) foi de 2,92%.

Al´em das inferˆencias descritas no par´agrafo anterior, utilizou-se o modelo gerado para

realizar inferˆencias sobre um outro conjunto de dados da s´erie temporal de perdas de

86 6 Estudo de Caso

Figura 6.11: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo Z

t−1

do modelo ARIMAX.

Figura 6.12: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−1

do modelo ARIMAX.

6 Estudo de Caso 87

Figura 6.13: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−2

do modelo ARIMAX.

Figura 6.14: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−3

do modelo ARIMAX.

88 6 Estudo de Caso

Figura 6.15: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−4

do modelo ARIMAX.

Figura 6.16: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−5

do modelo ARIMAX.

6 Estudo de Caso 89

Figura 6.17: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo a

t−6

do modelo ARIMAX.

Figura 6.18: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−5

do modelo ARIMAX.

90 6 Estudo de Caso

Figura 6.19: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

do modelo ARIMAX.

Figura 6.20: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−1

do modelo ARIMAX.

6 Estudo de Caso 91

Figura 6.21: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−2

do modelo ARIMAX.

Figura 6.22: Gr´aﬁco de convergˆencia do termo X

t−3

do modelo ARIMAX.

92 6 Estudo de Caso

Figura 6.23: Erros Relativos de Inferˆencia (em percentuais).

propano, conjunto este completamente diferente daquele que foi utilizado para a estima¸c˜ao

do modelo. Foram geradas 299 inferˆencias (utilizando-se os horizontes h = 1, ..., 299 e a

origem das inferˆencias em t = 124, 5) e o erro relativo m´edio percentual de tais inferˆencias

foi de 1,72%. Os erros relativos de inferˆencia (em percentuais) deste novo conjunto de

dados podem ser vistos na Figura 6.24.

Figura 6.24: Erros Relativos Percentuais de Inferˆencias sobre um novo conjunto de dados

da s´erie temporal.

Entre as conclus˜oes obtidas com o estudo de caso, tem-se: a veriﬁca¸c˜ao da n˜ao-

estacionariedade da s´erie temporal, a estima¸c˜ao do tipo de modelo mais adequado `a s´erie,

sendo ele o ARMAX, a estima¸c˜ao das ordens e dos coeﬁcientes do modelo, bem como a

6 Estudo de Caso 93

identiﬁca¸c˜ao dos regressores das entradas ex´ogenas com atrasos, o diagn´ostico do modelo,

cuja conclus˜ao foi de que o modelo ´e adequado `a s´erie e representa bem a sua dinˆamica,

e por ﬁm, a gera¸c˜ao das inferˆencias sobre a s´erie com erro relativo percentual m´edio de

1,71%, que ´e considerado um erro relativo percentual baixo.

94 6 Estudo de Caso

7 Conclus˜oes

Foram realizadas nesta disserta¸c˜ao todas as etapas de Identiﬁca¸c˜ao de modelos ARIMA

/ARIMAX, desde o teste de estacionariedade, a sele¸c˜ao do modelo linear a ser utilizado

para a s´erie, a estima¸c˜ao das ordens e dos coeﬁcientes do modelo, bem como a estima¸c˜ao

dos regressores das entradas ex´ogenas com atrasos (utilizando-se o Crit´erio de Informa-

¸c˜ao de Akaike Modiﬁcado). Foram realizados ao ﬁnal, testes de diagn´ostico do modelo

estimado e inferˆencias dos dados da s´erie temporal.

Todas as etapas descritas no par´agrafo anterior foram implementadas na linguagem

de programa¸c˜ao Java, e deram origem a um sistema que recebe como entradas uma s´erie

temporal e suas entradas ex´ogenas, caso existam, e gera como sa´ıda o modelo estimado

pelo sistema, al´em de diversos gr´aﬁcos relacionados `a s´erie, como por exemplo: o gr´aﬁco

da s´erie ap´os a realiza¸c˜ao de diferen¸cas, os gr´aﬁcos de convergˆencia dos coeﬁcientes do

modelo estimado, o gr´aﬁco da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao estimada dos res´ıduos e o gr´aﬁco

do erro relativo percentual da predi¸c˜ao ou inferˆencia.

Todos as etapas implementadas foram validadas com v´arias s´eries temporais ﬁct´ıcias

para modelos ARIMA e ARIMAX.

Ap´os todas as etapas validadas, o sistema foi aplicado ao Estudo de Caso: a S´erie

Temporal de Perdas de Propano (C3) no topo da coluna deetanizadora de uma Unidade

de Processamento de G´as Natural. N˜ao h´a como veriﬁcar se as ordens e os coeﬁcientes

do modelo encontrados para a s´erie temporal do estudo de caso s˜ao corretos porque n˜ao

se tem conhecimento do modelo real de tal s´erie. Por´em esta falta de conhecimento n˜ao

gera preju´ızos `a nossa aplica¸c˜ao, uma vez que o objetivo principal da estima¸c˜ao do modelo

para a s´erie do estudo de caso ´e a utiliza¸c˜ao deste modelo para gerar inferˆencias da s´erie.

As inferˆencias geradas pelo modelo ARIMAX estimado pelo sistema apresentaram er-

ros relativos percentuais que variaram de 0,08% a 2,92%, sendo o erro relativo m´edio (em

percentual) igual a 1,71%. Esses valores demonstram que o modelo estimado ´e adequado

`a s´erie e gerou inferˆencias de boa qualidade, ou seja, com baixo erro relativo percentual.

Desta forma, o modelo ARIMAX estimado poder´a ser utilizado como um sensor de soft-

ware capaz de estimar os valores de Perda de Propano na coluna deetanizadora sempre

que um sensor de hardware n˜ao estiver dispon´ıvel.

7.1 Contribui¸c˜oes

As principais contribui¸c˜oes desta disserta¸c˜ao s˜ao:

96 7 Conclus˜oes

• A modiﬁca¸c˜ao realizada no Crit´erio de Informa¸c˜ao de Akaike, que possibilita a esti-

ma¸c˜ao das ordens e tamb´em dos atrasos das entradas ex´ogenas do modelo ARIMAX;

• A realiza¸c˜ao de todas as etapas da metodologia de modelagem;

• O desenvolvimento de um sistema para modelagem de s´eries temporais implemen-

tado na linguagem de programa¸c˜ao Java;

• A aplica¸c˜ao do sistema desenvolvido para solucionar o problema do estudo de caso.

7.2 Trabalhos Futuros

Como trabalho futuro, pretende-se continuar com o estudo de modelos para s´eries

temporais com o foco em modelos n˜ao-lineares chamados NARMAX.

Referˆencias

AGUIRRE, L. A. Introdu¸c˜ao `a Identiﬁca¸c˜ao de Sistemas - T´ecnicas Lineares e N˜ao-

lineares Aplicadas a Sistemas Reais. 3. ed. Belo Horizonte, MG: Editora UFMG, 2007.

AGUIRRE, L. A.; RODRIGUES, G. G.; J

ACOME, C. R. F. Identiﬁca¸c˜ao de sistemas

n˜ao-lineares utilizando modelos NARMAX polinomiais - uma revis˜ao e novos resultados.

SBA Controle & Automa¸c˜ao, v. 9, n. 2, 1998.

ALECRIM, E. M´aquina Virtual Java (Java Virtual Machine). 2004. Acessado em:

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