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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Marcio Antonio da Silva
Currículos de Matemática no Ensino Médio:
em busca de critérios para escolha e organização de conteúdos
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2009
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Marcio Antonio da Silva
Currículos de Matemática no Ensino Médio:
em busca de critérios para escolha e organização de conteúdos
Tese apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título
de Doutor em Educação Matemática, sob a
orientação da Professora Doutora Célia Maria
Carolino Pires.
São Paulo
2009
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Banca Examinadora
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científi
cos, a reprodução total
ou parcial desta tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: ___________________________ Local e Data: ______________
Aos meus pais, Antonio e Nanci.
À minha esposa Flavia.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela inspiração, e por todas as conquistas de minha vida, frutos de
suas promessas e bênçãos.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES), pela bolsa de estudos que proporcionou maior tranquilidade na
realização desta pesquisa.
Ao coordenador do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Professor Doutor
Saddo Ag Almouloud, pela confiança dada a mim ao destinar uma bolsa de
estudos da CAPES para que pudesse realizar todo o curso. Espero que a bolsa
de estudos que será liberada com a conclusão dessa pesquisa, muito antes do
prazo determinado, possa ajudar outros doutorandos a concretizarem seus
sonhos.
À Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires, muito mais que uma
orientadora, foi minha conselheira e amiga que confiou no meu trabalho e me deu
autonomia para que pudesse expressar minhas opiniões. Seu sucesso é um
grande exemplo para que eu possa seguir minha carreira de pesquisador.
À Professora Doutora Silvia Dias Alcântara Machado que, desde as aulas
do mestrado, sempre demonstrou uma enorme coerência e seriedade ao tratar e
se referir às pesquisas em Educação Matemática. Suas observações carinhosas
sobre o meu trabalho e seu incentivo fizeram com que pudesse redobrar minhas
forças para terminar essa tese.
Ao Professor Doutor Benedito Antonio da Silva, com quem aprendi a gostar
ainda mais de História da Matemática, graças às aulas nas tardes de terça-feira.
Sua metodologia brilhante fazia com que as discussões aflorassem entre os
integrantes do grupo de doutorandos e eu aprendi muito com isso. Muito obrigado
por sua seriedade, profissionalismo e exemplo de professor e pesquisador.
Ao Professor Doutor Antonio Vicente Marafioti Garnica, cujos artigos me
influenciam e me movem a estudar mais sobre Filosofia da Educação Matemática.
Fico impressionado com sua produtividade e espero, um dia, conseguir uma
pequena fração de toda essa inspiração. Muito obrigado pelas observações feitas
no exame de qualificação.
Ao Professor Doutor Nilson José Machado que participou da minha
formação desde as aulas de “Prática de Ensino de Matemática”, na Universidade
de São Paulo. Seus livros, artigos e pesquisas são fontes de inspiração e
recursos quase inesgotáveis de reflexões a respeito do que buscamos para o
ensino de Matemática. Obrigado por aceitar participar das minhas bancas
examinadoras de mestrado e doutorado.
Aos professores do programa de estudos pós-graduados em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, pelas observações,
motivações e ideias, que contribuíram para minha pesquisa e para minha
formação. Em especial, gostaria de agradecer a dois professores que ministraram
aulas no doutorado e tiveram participação marcante na minha formação de
pesquisador, além do Professor Doutor Benedito Antonio da Silva, a quem já
agradeci: Professor Doutor Ubiratan D’Ambrosio, por suas inesquecíveis aulas de
“Tópicos da História e Filosofia da Matemática” com as quais pude refletir e
enxergar a Matemática de uma outra forma, e a Professora Doutora Janete Bolite
Frant pelas aulas de “Teorias da Educação Matemática”, mas, sobretudo pelas
palavras carinhosas com as quais sempre se referiu a mim. Essas palavras me
deram o incentivo necessário para continuar e, agora, concluir meu trabalho.
Aos meus pais, Antonio e Nanci, pelo carinho, incentivo, amor e dedicação
com que sempre me educaram. Suas vidas são exemplares e sempre servirão de
inspiração e motivação para que eu nunca desista dos meus sonhos. Vocês são
exemplos de abnegação e desprendimento e a prova inequívoca de que ainda é
possível viver pautados na honestidade e justiça.
A Flávia, pelo amor e dedicação, mas, sobretudo, pela paciência com que
conduziu estes últimos anos, suportando vários finais de semana que, na
verdade, deixaram de existir pela enorme quantidade de trabalhos com os quais
me comprometi a entregar. Essa tese também é sua.
Aos colegas professores, coordenação e direção das duas instituições de
ensino nas quais trabalho – Colégio Civitatis e Universidade Metodista de São
Paulo – agradeço o incentivo e compreensão.
RESUMO
Essa tese trata dos Currículos de Matemática no Ensino Médio brasileiro
buscando reflexões sobre critérios para escolha e organização de conteúdos, pois
as orientações oficiais e grande parte das pesquisas já realizadas em nosso país
não enfocam explicitamente quais seriam os fundamentos norteadores para
selecionar temas matemáticos.
A pesquisa é metodologicamente caracterizada como um ensaio teórico,
pois buscamos com a argumentação, através do aporte teórico apresentado, a
defesa da asserção de que é necessário buscar critérios para escolha e
organização de conteúdos matemáticos para o Ensino Médio e que estes devem
levar em conta características culturais e os objetivos próprios de cada
comunidade, para atender aos objetivos de uma escola comprometida com a
busca pela igualdade, por meio da transformação social e, ao mesmo tempo,
valorizando os conhecimentos científicos construídos por várias civilizações, ao
longo da história da humanidade.
Para isso, olhamos para a Filosofia da Matemática com a intenção de
compreendermos como certas tendências e concepções sobre conceitos e sobre
a própria Matemática podem ser explicadas, refletimos sobre o trabalho de
William Doll Jr. e seus critérios curriculares em uma perspectiva pós-moderna,
nos apropriamos do conceito de Educação Matemática Crítica, segundo
Skovsmose e analisamos os fatores sociais e culturais de um currículo.
No aspecto organizacional, enfatizamos a importância de quebrar o
paradigma linear, ainda presente nos currículos de Matemática, construindo uma
disposição pautada na ideia de rede.
Sintetizamos nossas reflexões por meio de oito proposições a respeito de
quais seriam os critérios para escolha e organização de um currículo crítico e pós-
moderno: riqueza, recursão, relações, rigor, reflexão, realidade, responsabilidade
e ressignificação.
Finalmente, em decorrência dos nossos estudos, concluímos que os
Currículos de Matemática para o Ensino Médio devem apresentar esta ciência na
sua plenitude, com todos os seus campos de pesquisa e variedade de eixos
articuladores, mostrando que a inaplicabilidade de alguns conteúdos em situações
reais não diminui a importância dos mesmos, diferente do que atualmente é feito,
ao nosso ver, seccionando a Matemática e apresentando-a de maneira
incompleta, proporcionando, apenas aos alunos que seguirão seus estudos na
Educação Superior, a oportunidade de vê-la e estudá-la na riqueza de suas
interconexões.
Palavras-chave: Educação Matemática; currículos de Matemática; Ensino
Médio; organização curricular; critérios de seleção e organização curricular.
ABSTRACT
This work focus on the Mathematics Curricula for the Brazilian Ensino
Médio, analyzing the criteria used in order to select and organize contents, once
official orientations, as well as much of the research already carried out in our
country, do not focus explicitly on what the guiding fundaments for selecting
mathematic themes would be.
The research is methodologically characterized as a theoretical essay, once
we aim, using the argumentation, through the theoretical support, at the idea that it
is necessary to search for criteria to select and organize mathematical contents to
Ensino Médio, and they should take into consideration cultural features and the
objectives of each community in order to fulfill the objectives of a school that aims
equality through social transformation and, at the same time, valuing scientific
knowledge built through many civilizations throughout the history of Humankind.
In order to accomplish that, we look at Philosophy of Mathematics so we
can understand how certain tendencies and conceptions about some concepts
and the Mathematics itself can be explained; we think about William Doll Jr’s work
and his curricular criteria in a post-modern perspective; we use the concept of
Critical Mathematical Education, following Skovsmose and we analyze the social
and cultural factors of a curriculum.
As far as the work organization is concerned, we emphasize the importance
of breaking with the linear paradigm, which is still present in the Mathematics
curricula, building a disposition based on net ideas.
We resume our ideas through eight propositions concerning what the
criteria to select and organize a critical and post-modern curricula would be:
richness, recursion, relations, rigor, reflection, reality, responsibility and
resignification.
Finally, throughout our studies, we have concluded that Mathematics
Curricula for Ensino Médio must present this science in its main plenitude, with all
its research areas, reflecting that the inefficiency of certain contents in real
situations do not make them less important, which is different from what has been
currently done, as far as we are concerned, once Mathematics is divided and
presented in an incomplete way. This creates an opportunity only for students who
will keep on their studies in Educação Superior to study Mathematics in its
richness and interconnections.
Key-words: Mathematics Education; Mathematics Curricula; Ensino Médio;
curriculum organization; curricular criteria for selection and organization.
RESUMEN
Esta tesis aborda los currículos de Matemáticas en el Ensino Médio
brasileño buscando reflexiones sobre los criterios de selección y organización de
contenidos, pues las organizaciones oficiales y la gran mayoría de los estudios ya
realizados en nuestro país no se aborda explícitamente lo que podrían ser los
fundamentos para la selección de temas matemáticos.
La metodología de la investigación se describe como un ensayo teórico, ya
que buscamos con la argumentación, a través de la contribución teórica
presentada, la defensa de la afirmación de que es necesario encontrar criterios de
selección y organización de los contenidos matemáticos del Ensino Médio y que
ellos deben tener en cuenta objetivos y características culturales de cada
comunidad, para alcanzar los objetivos de una escuela comprometida con la
búsqueda de la igualdad a través de los cambios sociales y, al mismo tiempo, la
valoración de los conocimientos construidos por diferentes civilizaciones a lo largo
de la historia de la humanidad .
Para ello, analizamos la filosofía de las matemáticas con la intención de
comprender cómo ciertas tendencias e ideas sobre los conceptos y sobre las
propias matemáticas se pueden explicar, pensamos en la obra de William Doll Jr y
sus criterios curriculares en una perspectiva postmoderna, apropiándonos del
concepto de Educación Matemática Crítica, según Skovsmose, y analizamos los
factores sociales y culturales en un currículo.
En el aspecto de organización, enfatizamos la importancia de romper con el
paradigma lineal, que sigue presente en los currículos de matemáticas,
construyendo un diseño basado en la idea de red.
Resumimos nuestras reflexiones a través de ocho propuestas acerca de
cuáles son los criterios para la selección y organización de un currículo crítico y
post-moderno: la riqueza, la recursividad, las relaciones, el rigor, la reflexión, la
realidad, la responsabilidad, y resignificación.
Por último, como resultado de nuestros estudios, se concluye que los
currículos de Matemáticas para el Ensino Médio deben presentar esta ciencia en
su plenitud, con todos sus campos de investigación y la variedad de los ejes
articuladores, lo que demuestra que la inaplicabilidad de algunos contenidos en
situaciones reales no deben disminuir la importancia de ellos, diferentemente de
lo que se hace actualmente, en nuestra opinión, al seccionar las Matemáticas y
presentándola de manera incompleta, lo que permite sólo a los estudiantes que
intentan seguir sus estudios en el Ensino Superior, la oportunidad de verla y
estudiarla en la riqueza de sus interconexiones.
Palabras-clave: Educación Matemática; currículos de matemáticas; Ensino
Médio; la organización curricular, criterios de selección y organización curricular.
SUMÁRIO
C A P Í T U L O 1 – A P R E S E N T A Ç Ã O D A P E S Q U I S A ............ 1
1.1 Hipóteses e Tese.................................................................................. 11
1.2 Objetivos............................................................................................... 14
1.3 Problemática e Problema de Pesquisa .............................................. 17
1.4 Reflexões Teórico-Metodológicas ...................................................... 19
C A P Í T U L O 2 – A P O R T E S T E Ó R I C O S ..................................... 28
2.1 Contribuições da Filosofia .................................................................. 33
2.1.1. A Escola Platônica........................................................................ 33
2.1.2. Aristóteles ..................................................................................... 38
2.1.3. Escolas Filosóficas do século XIX .............................................. 41
2.1.3.1. O Logicismo ........................................................................... 41
2.1.3.2. O Formalismo......................................................................... 45
2.1.3.3. O Intuicionismo...................................................................... 50
2.1.4. Contribuições dessa análise para a reflexão sobre o Currículo
de Matemática......................................................................................................... 55
2.2. Contribuições da Educação................................................................ 57
2.2.1. Pré-modernismo ........................................................................... 58
2.2.2. Concepção de Currículo, segundo Tyler .................................... 61
2.2.3. Modernismo................................................................................... 65
2.2.4 Pós-modernismo........................................................................... 68
2.2.5. Contribuições dessa análise para a reflexão sobre o Currículo
de Matemática......................................................................................................... 72
2.3. Contribuições da Educação Matemática............................................ 74
2.3.1 Educação Crítica........................................................................... 74
2.3.2. Currículo Crítico............................................................................ 75
2.3.2.1. Aplicabilidade do conteúdo .................................................. 76
2.3.2.2. Interesses por detrás do assunto......................................... 77
2.3.2.3. Pressupostos por detrás do assunto................................... 79
2.3.2.4. Funções do assunto.............................................................. 82
2.3.2.5. Limitações do assunto.......................................................... 89
2.3.3. Tese da familiaridade X Tese da dicotomia................................ 91
2.3.4. Alternativas para implementação de um currículo democrático..
..................................................................................................................... 93
2.3.5. Contribuições dessa análise para a reflexão sobre o Currículo
de Matemática......................................................................................................... 96
2.4. Contribuições da Antropologia........................................................... 97
2.4.1. Diferentes concepções sobre cultura ......................................... 98
2.4.2. A quebra de paradigmas ............................................................ 101
2.4.3. A Cultura Matemática ................................................................. 102
C A P Í T U L O 3 – A O R G A N I Z A Ç Ã O C U R R I C U L A R ...... 109
3.1. Diferentes concepções sobre conhecimento.................................. 110
3.2. Algumas formas de organizar o currículo ............................................ 114
3.3. Origens filosóficas da organização curricular e o papel da
Matemática nessas estruturas ............................................................................. 125
3.3.1. A ordenação comteana ...................................................................... 126
3.3.2. O círculo piagetiano............................................................................ 131
3.3.3. A árvore cartesiana ............................................................................. 131
3.4. A organização curricular linear................................................................ 134
3.5. A organização curricular em rede ...........................................................138
3.6. Considerações sobre a implementação de um currículo crítico de
Matemática organizado em rede.......................................................................... 142
3.7. Sintetizando com o uso de uma metáfora ............................................ 144
3.8. Conclusões parciais....................................................................................146
C A P Í T U L O 4 – B U S C A N D O C O N C E I T U A L I Z A Ç Õ E S E
O B J E T I V O S P A R A O C U R R Í C U L O D E M A T E M Á T I C A
N O E N S I N O M É D I O .......................................................................... 148
4.1. Reflexões e tentativas de definição de um currículo......................... 148
4.2. Reflexões sobre alguns objetivos para o Currículo de Matemática ....
........................................................................................................................... 153
4.2.1. Compreender a estrutura lógica da Matemática ......................... 155
4.2.2. Compreender a natureza da prova.................................................. 156
4.2.3. Tornar-se interessado em Matemática........................................... 159
4.2.4. Conhecer fatos, princípios e algoritmos matemáticos..............160
4.2.5. Desenvolver uma atitude de investigação.................................... 164
4.2.6. Desenvolver a consciência sobre a importância da Matemática
no cotidiano........................................................................................................... 167
4.2.7. Desenvolver a consciência sobre a importância da Matemática
nas ciências básicas e aplicadas ....................................................................170
4.2.8. Realizar cálculos com rapidez e exatidão..................................... 178
4.2.9. Desenvolver uma abordagem sistemática para a resolução de
problemas ..............................................................................................................179
4.3. Conclusões parciais....................................................................................183
C A P Í T U L O 5 – C R I T É R I O S P A R A E S C O L H A E
O R G A N I Z A Ç Ã O D E C O N T E Ú D O S M A T E M Á T I C O S
N O E N S I N O M É D I O .......................................................................... 186
5.1. Critérios predominantemente seletivos.................................................186
5.1.1. Riqueza ................................................................................................... 187
5.1.2. Reflexão.................................................................................................. 190
5.1.3. Realidade................................................................................................192
5.1.4. Responsabilidade ................................................................................194
5.2. Critérios predominantemente organizacionais ................................... 196
5.2.1. Recursão ................................................................................................197
5.2.2. Relações................................................................................................. 200
5.2.3. Rigor........................................................................................................ 203
5.2.4. Ressignificação.................................................................................... 205
5.3. Revisitando os critérios em busca de um núcleo matemático comum
207
5.3.1. Eixo da Álgebra e Teoria dos Números .........................................208
5.3.2. Eixo da Álgebra Linear ....................................................................... 210
5.3.3. Eixo da Análise..................................................................................... 210
5.3.4. Eixo da Estatística e Probabilidade ................................................212
5.3.5. Eixo da Geometria ............................................................................... 214
5.3.6. Eixo da Lógica ......................................................................................215
CONCLUSÕES................................................................................................ 217
REFERÊNCIAS ............................................................................................... 226
1
C A P Í T U L O 1
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
1. APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
Uma pesquisa busca agregar ou organizar conhecimentos aos que a
humanidade construiu ao longo de várias gerações. Em especial, uma tese é
conduzida para contribuir de forma significativa e inédita com o campo de
conhecimento enfocado. Esse ineditismo não significa, necessariamente, inventar,
criar ou construir nova teoria ou fundamento em determinado campo de pesquisa,
mas sim uma colaboração importante e factível:
Exige-se da tese de doutorado contribuição suficientemente
original a respeito do tema pesquisado. Ela deve representar um
progresso para a área científica em que se situa. Deve fazer
crescer a ciência. Quaisquer que sejam as técnicas de pesquisa
aplicadas, a tese visa demonstrar argumentando e trazer uma
contribuição nova relativa ao tema abordado (SEVERINO, 2002,
p. 151).
Nossa pesquisa busca dar essa contribuição à Educação Matemática ao
voltar nosso olhar para o Ensino Médio da educação brasileira. Escolhemos essa
etapa da Educação Básica por entender que ainda há um estatuto bastante
indefinido no cenário nacional, com objetivos abrangentes que poderiam ser
contemplados de maneira variada. Esse olhar será direcionado para os Currículos
de Matemática no Ensino Médio e, em particular, para a reflexão sobre critérios
para escolha e organização de conteúdos.
Sem dúvida, a temática que abordaremos nesta tese representa uma das
mais importantes tendências de pesquisa em Educação Matemática. Kilpartrick
(1994) citado por Fiorentini e Lorenzato (2007), se refere às “mudanças
curriculares” como uma das sete tendências temáticas na Educação Matemática
mundial, durante a década de 1990
1
. Especificamente sobre essa tendência,
Fiorentini e Lorenzato (Ibid.) relacionam uma série de interesses de pesquisa a
1
As outras seis tendências temáticas são: processos ensino-aprendizagem da Matemática; utilização de
Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) no ensino e na aprendizagem da Matemática; prática
docente, crenças, concepções e saberes práticos; conhecimentos e formação/desenvolvimento profissional do
professor; práticas de avaliação; contexto sociocultural e político do ensino-aprendizagem da Matemática.
2
partir dessa temática, entre eles, mencionam que “no Brasil, os estudos
curriculares relativos ao Ensino Fundamental têm sido mais frequentes, havendo
poucos estudos relativos ao currículo de Matemática no Ensino Médio” (p. 44).
O interesse pelos Currículos de Matemática continua em alta na atual
década, em eventos nacionais
2
e internacionais
3
. No entanto, quando buscamos,
nos anais destes eventos citados, trabalhos que discutam a seleção de temas
matemáticos que compõem os currículos, encontramos poucas contribuições
sobre o assunto. Também na formação inicial e continuada de professores de
matemática esse tema não é alvo de reflexão.
Também encontramos poucos trabalhos relacionados ao Currículo de
Matemática no Ensino Médio, resultados de pesquisas de Mestrado e Doutorado.
Analisando o Banco de Teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal
de Nível Superior (CAPES)
4
, encontramos oito dissertações de mestrado
5
e
apenas três teses de doutorado
6
sobre o tema, apontando a necessidade de
novos trabalhos que (re)orientem os caminhos para escolha e organização de
conteúdos matemáticos no Ensino Médio.
No âmbito governamental, em um período de oito anos, foram publicados
três documentos oficiais com orientações sobre os Currículos do Ensino Médio,
que serviram e servem, em tese, como norteadores dos professores,
coordenadores e dirigentes escolares. São eles: Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio (1999), PCN+ Ensino Médio: Orientações
2
No III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), ocorrido em outubro de
2006 em Águas de Lindóia (SP), um dos grupos de trabalho intitulado “Educação Matemática nas séries
finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio” encaminhou proposta para que fosse criado o subgrupo
“Organização e desenvolvimento curricular”, coordenado pelas professoras doutoras Célia Maria Carolino
Pires (PUC/SP) e Cláudia Lisete Groenwald (ULBRA/RS). Já no IX Encontro Nacional de Educação
Matemática (ENEM), ocorrido em julho de 2007, na cidade de Belo Horizonte, o assunto foi discutido em
uma mesa redonda intitulada “O Currículo de Matemática na Educação Básica”.
3
O 11º Congresso Internacional em Educação Matemática (ICME 11), ocorrido na cidade de Monterrey, no
México, em julho de 2008, apontou para a importância deste assunto, pois, dos trinta e oito grupos de estudo
existentes, dois trataram especificamente de temas curriculares: Topic Study Group 25 – The role of
mathematics in the overall curriculum; Topic Study Group 35: Research on mathematics curriculum
development. No mesmo evento, dos vinte e oito grupos de discussão, três deles se referiam diretamente ao
tema Currículo: Discussion Group 1: Curriculum reform: movements, processes and policies; Discussion
Group 4: Reconceptualizing the mathematics curriculum; Discussion Group 16: The evaluation of
mathematics teachers and curricula within educational systems.
4
Disponível em < http://servicos.capes.gov.br/capesdw>.
5
Drechsel (1987), Mignoni (1994), Godoy (2002), Sena (2002), Cerqueira (2003), Pasquini (2003), Angelo
(2006) e Costa (2006).
6
Pires (1995), Bria (2001) e Oliveira (2005).
3
educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (2002) e
Orientações curriculares para o Ensino Médio (2006).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) são
publicados, em 1999, atendendo às novas exigências do Ensino Médio
decorrentes da publicação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
(LDBEN), publicada em 1996.
Esse documento menciona a necessidade de dar continuidade, no Ensino
Médio, aos estudos realizados no nível fundamental e, além disso, preparar os
estudantes para que possam continuar aprendendo ao longo da vida. Para essa
formação, é necessário estimular a autonomia e a capacidade de realizar
pesquisas.
Movidos por dois argumentos – o uso da tecnologia e a preparação para o
trabalho – os autores da proposta enfatizam que as práticas escolares devem
privilegiar as habilidades e os procedimentos dos alunos. Aliás, essa é uma
característica fundamental deste documento: os conteúdos em si são colocados
em um plano inferior de importância quando comparados aos valores, habilidades
e atitudes dos alunos.
Essencial é a atenção que devemos dar ao desenvolvimento de
valores, habilidades e atitudes desses alunos em relação ao
conhecimento e às relações entre colegas e professores. A
preocupação com esses aspectos da formação dos indivíduos
estabelece uma característica distintiva desta proposta, pois
valores, habilidades e atitudes são, a um só tempo, objetivos
centrais da educação e também são elas que permitem ou
impossibilitam a aprendizagem, quaisquer que sejam os
conteúdos e as metodologias de trabalho (BRASIL, 1999b, p. 42).
Nesta proposta, a Matemática, juntamente com a Biologia, a Física e a
Química, integram uma área denominada de “Ciências da Natureza, Matemática e
suasTecnologias”. Buscando uma interconexão entre estas diversas disciplinas,
são eleitas diversas competências e habilidades comuns e outras competências e
habilidades específicas da Matemática. No entanto, o documento oficial não deixa
claro o que são competências e habilidades, embora sugiram que estejam ligadas
à ideia de inserção no processo produtivo e, consequentemente, preparação para
o mundo do trabalho.
4
Os autores concluem que competências relacionadas ao mundo do
trabalho e à formação cidadã são a mesma coisa, ou seja, não distinguem
objetivos específicos para um ou para outro, justificando o papel social da
educação por meio da valorização de competências para o desenvolvimento
produtivo:
O novo paradigma emana da compreensão de que, cada vez
mais, as competências desejáveis ao pleno desenvolvimento
humano aproximam-se das necessárias à inserção no processo
produtivo. Segundo Tedesco, aceitar tal perspectiva otimista seria
admitir que vivemos “uma circunstância histórica inédita, na qual
as capacidades para o desenvolvimento produtivo seriam
idênticas para o papel do cidadão e para o desenvolvimento
social”. Ou seja, admitindo tal correspondência entre as
competências exigidas para o exercício da cidadania e para as
atividades produtivas, recoloca-se o papel da educação como
elemento de desenvolvimento social (BRASIL, 1999a, p. 12).
Os PCNEM estabelecem que elementos essenciais para a escolha de um
núcleo comum de Matemática para o Ensino Médio devem levar em conta o
desenvolvimento de atitudes e habilidades, bem como a importância da
contextualização e da interdisciplinaridade (Id., 1999b, p. 43).
Já os PCN+ Ensino Médio: Orientações educacionais complementares aos
Parâmetros Curriculares Nacionais, publicados em 2002, em consonância com o
documento anterior, valorizam as competências e habilidades dos alunos,
explicitado por meio de três conjuntos de competências: representação e
comunicação; investigação e compreensão; e contextualização sócio-cultural
(BRASIL, 2002, p. 23).
Uma das características marcantes presentes nestas orientações é a
articulação entre três áreas – Ciências da Natureza e Matemática, Ciências
Humanas, Linguagens e Códigos – organizando e interligando as disciplinas, por
meio dos três eixos de competências já mencionados:
[...] a área das Ciências da Natureza e da Matemática se articula
com a área de Linguagens e Códigos, sobretudo através do
desenvolvimento das competências de representação e
comunicação, e com a área de Ciências Humanas, especialmente
pelo desenvolvimento das competências de contextualização
sócio-cultural. [...] as várias disciplinas da área [Ciências da
Natureza e da Matemática] igualmente se interligam por essas
5
duas competências gerais e também pela de investigação e
compreensão (Id., Ibid., p. 23).
Talvez pela crítica relacionada à falta de uma definição clara sobre o
conceito de competência e, consequentemente, da concepção de habilidades, os
autores do documento ressaltam que “não há receita, nem definição única ou
universal, para as competências, que são qualificações humanas amplas,
múltiplas e que não se excluem entre si; ou para a relação e a distinção entre
competências e habilidades” (Id., Ibid., p. 15). Mesmo sem definir o conceito de
competência utilizado, nem o de habilidade, os autores conseguem estabelecer
uma relação entre os dois, afirmando que as habilidades são competências
específicas:
Pode-se, de forma geral, conceber cada competência como um
feixe ou uma articulação coerente de habilidades. Tomando-as
nessa perspectiva, observa-se que a relação entre umas e outras
não é de hierarquia. Também não se trata de gradação, o que
implicaria considerar habilidade como uma competência menor.
Trata-se mais exatamente de abrangência, o que significa ver
habilidade como uma competência específica. Como metáfora,
poder-se-ia comparar competências e habilidades com as mãos e
os dedos: as primeiras só fazem sentido quando associadas às
últimas (Id., Ibid., p. 15).
Novamente, o desenvolvimento das competências representa um
importante objetivo ao determinar a escolha dos conteúdos a serem trabalhados
no nível médio. Os autores se referem a esses conteúdos como sendo “um
conjunto de temas que possibilitam o desenvolvimento das competências
almejadas com relevância científica e cultural e com uma articulação lógica das
ideias e conteúdos matemáticos” (Id., Ibid., p. 120). Estes temas escolhidos, por
sua vez, são divididos em três eixos ou temas estruturadores que constituem um
núcleo comum a ser ensinado: (1) Álgebra: números e funções; (2) Geometria e
medidas e (3) Análise de dados.
Dentro de cada eixo são propostas algumas unidades temáticas, ou seja,
conteúdos específicos que deverão ser trabalhados para atingirem as
competências mencionadas anteriormente. A explicitação dos conteúdos parece
representar uma grande diferença em relação ao documento anterior, chegando a
estabelecer a divisão dos conteúdos por ano, como mostra o quadro a seguir:
6
Eixos 1ª série 2ª série 3ª série
Álgebra:
números e
funções
Noção de função;
funções analíticas e
não-analíticas;
análise gráfica;
sequências
numéricas; função
exponencial ou
logarítmica.
Trigonometria do
triângulo retângulo.
Funções seno,
cosseno e
tangente.
Trigonometria do
triângulo qualquer e
da primeira volta.
Taxas de variação
de grandezas.
Geometria e
medidas
Geometria plana:
semelhança e
congruência;
representações de
figuras.
Geometria
espacial: poliedros;
sólidos redondos;
propriedades
relativas à posição;
inscrição e
circunscrição de
sólidos.
Métrica: áreas e
volumes;
estimativas.
Geometria analítica:
representações no
plano cartesiano e
equações;
intersecção e
posições relativas
de figuras.
Análise de
dados
Estatística:
descrição de dados;
representações
gráficas.
Estatística: análise
de dados.
Contagem.
Probabilidade.
Fonte: Brasil (2002, p. 128)
Tirando esse traço marcante relacionado à clarificação dos conteúdos a
serem trabalhados e quando devem ser abordados, o documento parece reforçar
o anterior, também pautado na importância da contextualização e
interdisciplinaridade.
Especificamente no último documento, Orientações curriculares para o
Ensino Médio, publicado em 2006, os autores salientam que “visando à
contribuição ao debate sobre as orientações curriculares, este documento trata de
três aspectos: a escolha de conteúdos; a forma de trabalhar os conteúdos; o
projeto pedagógico e a organização curricular” (BRASIL, 2006, p. 69).
Após a leitura dessa orientação oficial mais recente, constatamos a forma
prescritiva como determinados conteúdos são propostos e, principalmente,
verificamos que alguns argumentos para o ensino ou não de determinado assunto
são inconsistentes.
A única referência explícita a possíveis critérios para escolha de conteúdos
apresenta um conjunto de termos que aparecem no discurso de professores de
7
Matemática, como problemas do cotidiano, modelagem, demonstrações e História
da Matemática, porém de forma evasiva e pouco objetiva:
Para a escolha de conteúdos, é importante que se levem em
consideração os diferentes propósitos da formação matemática na
educação básica. Ao final do ensino médio, espera-se que os
alunos saibam usar a Matemática para resolver problemas
práticos do quotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas
do conhecimento; compreendam que a Matemática é uma ciência
com características próprias, que se organiza via teoremas e
demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento
social e historicamente construído; saibam apreciar a importância
da Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico (Id.,
Ibid., p. 69).
O tom imperativo utilizado no documento oficial fica evidente quando, por
exemplo, lemos as orientações sobre como abordar o tema “números complexos”:
“devem ser apresentados como uma histórica necessidade de ampliação do
conjunto de soluções de uma equação, tomando-se, para isso, uma equação bem
simples, a saber,
2
1 0
x
+ =
” (Id., Ibid., p. 71). A necessidade histórica de
ampliação do conjunto de soluções de uma equação remonta ao Renascimento
italiano e às obras de Girolamo Cardano, Niccolò Fontana (Tartaglia) e Raphael
Bombelli, entre outros, e não tem relação com a equação citada. Além disso,
parece que a única justificativa para o ensino deste conteúdo reside no fato de
explorarmos a ampliação do conjunto dos números reais. Isso não deixa de ser
verdade, porém poderíamos justificar, com o mesmo argumento, o ensino dos
números inteiros (como ampliação dos naturais), dos números racionais (como
ampliação dos inteiros) e dos reais (como ampliação dos racionais). Por isso,
entendemos que argumentos como esse são depreciativos ao próprio tema.
Em um outro exemplo, desta vez sobre o tema “vetores”, fica explícita outra
argumentação frágil sobre a importância de determinados conteúdos em
detrimento de outros:
É desejável, também, que o professor de Matemática aborde com
seus alunos o conceito de vetor, tanto do ponto de vista
geométrico (coleção dos segmentos orientados de mesmo
comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado
pelas suas coordenadas). Em particular, é importante relacionar
as operações executadas com as coordenadas (soma,
multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. A
inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de
8
Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é
um tópico matemático importante, mas que está presente no
ensino médio somente nas aulas de Física (Id., Ibid., p. 77, grifo
nosso).
A menção de que “vetores” é um tópico importante parece justificar seu
ensino, juntamente com o fato de ser abordado atualmente nas aulas de Física.
Ao invés de aproveitarem o tema para promover a interdisciplinaridade, os
autores do documento oficial excluem o assunto “vetores” das aulas de Física e o
colocam nas de Matemática.
Uma página depois, o documento dita o que deve ser suprimido no ensino
de Matemática:
Quanto à resolução de sistemas de equação 3 X 3, a regra de
Cramer deve ser abandonada, pois é um procedimento custoso
(no geral, apresentado sem demonstração, e, portanto de pouco
significado para o aluno), que só permite resolver os sistemas
quadrados com solução única. Dessa forma, fica também
dispensado o estudo de determinantes (Id., Ibid., p. 78, grifo
nosso).
A justificativa para o abandono do ensino dos determinantes é sua
aplicação restrita. Porém, sabemos que ao trabalhar com vetores (assunto
valorizado no documento oficial), os determinantes são importantes ferramentas,
pois os utilizamos para calcular o produto vetorial. Na Geometria Analítica os
determinantes também são utilizados para o cálculo de áreas e volumes, além da
verificação da posição relativa entre retas e planos. Seria uma ótima oportunidade
para contextualizar a Matemática dentro da própria Matemática e relacioná-la com
a Física, abordando aspectos algébricos e geométricos em um mesmo conteúdo.
O fato é que, de modo geral, nos documentes recentes o foco maior refere-
se à abordagem dos conteúdos – “contextualização” e “interdisciplinaridade” são
termos muito utilizados – contudo, sobre a seleção de conteúdos há pouco debate
e a organização linear ainda é predominante. Mesmo acerca de termos como
“contextualização” e “interdisciplinaridade”, o documento busca exemplos
pontuais, sem deixar claro a concepção dos autores sobre esses conceitos.
A impressão é a de que não há qualquer tipo de divergência sobre o que se
deve ser ensinado, até mesmo nesta etapa da escolaridade, em que a
diversidade de interesses dos estudantes é bastante acentuada.
9
É evidente que, para abordar esses aspectos, precisamos realizar escolhas
e, para fazê-las, é necessário buscar critérios. Ao buscarmos tais critérios,
acabamos por expressar neles nossas crenças e opiniões decorrentes do tipo de
“lentes” que utilizamos para enxergar o mundo. Portanto, temos consciência de
que a construção de fundamentos implica assumir posições e correr riscos. Mas
não é justamente essa a proposta de escrever uma tese, senão mergulhar no
mundo da pesquisa, buscando uma autonomia enquanto pesquisador em
formação? Acreditamos que sim e firmamos, desde já, o compromisso de
compartilhar as experiências vivenciadas ao longo do caminho da pesquisa que
realizaremos sobre a temática “Currículos de Matemática no Ensino Médio”, em
busca de referências que possam contribuir para a reflexão da seleção e
organização de temas ou conteúdos, seja qual for a expressão que quisermos
utilizar para nos referir a conceitos ensinados (ou com a intenção de ensinar) aos
alunos em sala de aula.
Tendo apresentado um esboço do que pretendemos com nossa tese,
precisamos de um caminho que nos conduza. Caminho que também implica
escolhas pessoais e coletivas relacionadas à metodologia, à fundamentação
teórica, entre outras. Escolhas que são compartilhadas, sugeridas, defendidas e
refutadas à medida que outras “lentes” influenciam decisivamente uma pesquisa
como essa. Muito além de uma questão de forma, escrevemos na primeira
pessoa do plural por compreendermos que esses caminhos sejam compartilhados
e influenciados diretamente pela orientadora, pelo grupo de pesquisa, além da
formação e experiência profissional vivenciada por todos.
Temos consciência de que a escolha de outros caminhos poderia nos levar
a outros critérios e esperamos que outros pesquisadores façam isso, ampliando a
discussão e promovendo debates e comparações. Por enquanto, o campo do
currículo de Matemática mostra-se fértil para discussões desse tipo, apontando a
necessidade de novas pesquisas.
É nesse contexto que se situa nosso interesse temático, inserido no grupo
de pesquisa intitulado “Desenvolvimento Curricular em Matemática e Formação
de Professores”, que tem como líder a Professora Doutora Célia Maria Carolino
Pires. Mais especificamente, em um projeto de pesquisa denominado “Construção
de trajetórias hipotéticas de aprendizagem e implementação de inovações
curriculares em Matemática no Ensino Médio”, que tem como motivação a
10
necessidade de desenvolver propostas de apoio à inovação curricular na área de
Matemática para o Ensino Médio.
Tal projeto inclui pesquisas de doutorado
7
e mestrado
8
, cabendo aos
doutorandos pesquisar fundamentos teóricos sobre diferentes aspectos dos
currículos de Matemática, tais como: polarização entre aplicações práticas e
especulações teóricas, contextualização, interdisciplinaridade e caracterização
histórica dos currículos de Matemática. Nosso trabalho, como vimos, dedica-se
especificamente ao estudo de critérios para escolha e organização de conteúdos
Já o objetivo das dissertações de mestrado, no grupo, é o de construir,
discutir e avaliar para diferentes objetivos de aprendizagem do Ensino Médio,
apresentadas nos documentos curriculares mais recentes, trajetórias hipotéticas
de aprendizagem (THA), que consistem de objetivos para a aprendizagem dos
estudantes, de tarefas matemáticas que serão usadas para promover a
aprendizagem dos estudantes e do levantamento de hipóteses sobre o processo
de aprendizagem dos estudantes, segundo Simon (1995). Essas THA procuram
envolver resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, abordagens
interdisciplinares e aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a
situações do cotidiano em diversas áreas de conhecimento, conforme prescrições
curriculares atuais.
Na sequência, apresentaremos os marcos iniciais e os primeiros percursos
de nossa investigação, inspirados em interesses, motivações e curiosidades
pessoais e direcionados aos interesses do grupo de pesquisa no qual
trabalhamos.
7
Doutorandos e seus temas: Arlete Aparecida Oliveira de Almeida – Da polarização entre aplicações e
especulações teóricas nos currículos de matemática do ensino médio, às possibilidades de articulação.
Harryson Junio Lessa Gonçalves – A Interdisciplinaridade no Currículo de Matemática de Ensino Médio;
Márcia Maioli – Contextualização no Currículo de Matemática de Ensino Médio; Denise Franco Capello
Ribeiro – Trajetória histórica dos livros didáticos de Geometria editados para os primeiros cursos do Ensino
Médio brasileiro; Maryneusa Cordeiro Otone Silva – Currículos de Matemática do Ensino Médio, no período
de 1930 a 1960.
8
Mestrandos e seus temas: Alexandra Garrote Angiolin – Funções exponenciais; Américo Augusto Barbosa
– Funções trigonométricas; Ana Lúcia Viveiros Freitas – Isometrias e Geometria Plana; Antonio Celso
Tonnetti – Estatística; Maria de Fátima Aleixo de Luna – Geometria Plana; José Manoel Vitolo – Variação
de Grandezas e funções, funções polinomiais do 1º grau e funções constantes; Márcia Aparecida Nunes
Mesquita – Funções polinomiais do segundo grau; Patrick Oliveira de Lima – Funções logarítmicas; Vivaldo
de Souza Bartolomeu – Dos números naturais aos números reais; Denílson Gonçalves Pereira – Geometria
Analítica; Rubens de Souza Cabral Junior – Combinatória e probabilidade; Alan de Carlo Antonio Silva.
Sistemas de Inequações.
11
1.1 Hipóteses e Tese
Sintetizando nossas considerações iniciais, agregadas à pesquisa
bibliográfica preliminar, embora constatando que a produção a respeito do tema
“Currículos de Matemática no Ensino Médio” é insuficiente, podemos inferir
algumas hipóteses que nortearão nossa pesquisa:
1. As finalidades de grande parte dos temas matemáticos abordados no
Ensino Médio foram pouco ou nunca discutidas. Os conteúdos são definidos pela
tradição em detrimento de quaisquer outras motivações. Acreditamos que,
estudando-se algumas escolas filosóficas clássicas da Matemática, poderemos
encontrar a proveniência desses fatos e concluir que muitas das práticas e
discursos atuais consistem em ecos históricos dessas escolas da Filosofia da
Matemática.
2. Como já dissemos, o Ensino Médio brasileiro, ao longo das últimas
décadas, ora busca a formação técnica ora a formação cidadã; ora a formação
para estudos posteriores ora preocupa-se com a promoção da igualdade social.
Assim, nas orientações curriculares, ora dominam objetivos referentes à própria
Matemática ora é enfatizada a aplicabilidade dessa ciência que determina a
importância de determinado conceito matemático pela resposta dada à pergunta:
“Para que serve?”. Compreendemos que a questão é muito mais complexa que
simplesmente buscar aplicações para assuntos.
3. De modo geral, a Matemática é apresentada, no Ensino Médio, como
uma ciência inequívoca, infalível, capaz de demonstrar tudo a qualquer um que se
disponha a conhecer suas fundamentações axiomáticas. A capacidade de
compreendê-la plenamente parece estar intimamente ligada a características
pessoais como “talento”, “dom” e “genialidade”, entre outras. Pouco ou nunca são
feitas referências à Matemática como uma ciência falível e “em aberto”. Por esse
ponto de vista, a Matemática é literalmente singular: quando citamos Geometria,
automaticamente nos referimos à Euclidiana; quando tratamos de Lógica,
imaginamos imediatamente as dualidades certo-errado, falso-verdadeiro, sim-não
da Lógica Clássica aristotélica. Precisamos de espaço no currículo para tratar da
importância de apresentar as diversas Lógicas, Geometrias e Álgebras, para citar
apenas alguns exemplos, constituintes da Matemática atual.
12
4. Voltando nosso olhar para a Educação Matemática, encontramos
trabalhos voltados a aspectos organizacionais e metodológicos que constituem
grandes contribuições para as discussões curriculares. Contudo, ainda não se
tratou de uma questão que nos parece anterior: antes de organizar os temas ou
traçar diferentes metodologias para desenvolver esses conteúdos em sala de
aula, como selecionar, dentre um rol gigantesco de temas, quais devem ser
tratados no Ensino Médio, atendendo as especificidades dos alunos brasileiros, e
mais, as características peculiares de cada comunidade.
5. Quando nos referimos à formação crítica dos cidadãos para
transformação da realidade na qual vivemos e promoção da igualdade social dos
povos, a Matemática é vista como disciplina com importância inferior a outras
como, por exemplo, Geografia, História e Sociologia. Se por um lado, a
Matemática foi, e ainda é usada como instrumento para obtenção de mão de obra
que objetiva o progresso científico para que algumas nações tirem proveito
econômico disso, por outro lado ela pode ser utilizada como promotora da
equidade. Para isso, precisamos construir um currículo que leve em conta essas
características.
6. Acreditamos que uma proposta curricular perde boa parte de sua força
de convencimento ao ser publicada sem oferecer espaço para que as
necessidades locais de comunidades diversas sejam ouvidas e/ou que se
esclareça que as propostas de caráter nacional, estadual se dediquem à
discussão sobre o que constitui uma formação básica para cada nível de ensino,
deixando espaço para a criação de projetos locais. Embora existam problemas
globais que devam ser atacados pela realização de projetos também globais, as
demandas locais nem sempre são respeitadas ou compartilhadas para que uma
solução seja construída. Para que isso ocorra, é necessário compreender e
respeitar as diferentes características culturais, não buscando juízos de valores,
mas contemplando essas diferenças com o respeito necessário para a promoção
da paz e da igualdade entre os povos.
7. Ao analisarmos as obras de alguns autores que pesquisam sobre o
Currículo verificamos que mencionam critérios que devem orientar a elaboração
de uma proposta curricular. Acreditamos que seja possível apropriarmo-nos
desses critérios e dirigí-los à Matemática especificamente, buscando avaliar a
pertinência de determinados conteúdos no Ensino Médio.
13
8. Quanto aos aspectos organizacionais de um currículo, é importante
compreender a própria constituição da disciplina “Matemática” e como ela se
localizava em relação às outras disciplinas. Questões relativas à
pluridisciplinaridade, à interdisciplinaridade e à transdisciplinaridade devem ser
discutidas se pretendemos compreender os temas potencialmente “ricos” de
serem abordados em projetos dessa natureza. Aliás, o atual papel da Matemática
em projetos interdisciplinares, além de muitas vezes ser extremamente artificial,
acaba restrito ao uso da Estatística e tabulação de dados que serão interpretados
por outras disciplinas.
9. Ainda no aspecto organizacional, salientamos que tanto as formulações
prescritivas para a Matemática como os materiais instrucionais que as
acompanham mantêm as marcas da concepção linear que manifestam
concepções ultrapassadas sobre o que é conhecimento. Propostas de
organização curricular em espiral, em rede, devem ser consideradas inclusive no
processo de propor critérios de seleção sobre o que será ensinado.
A partir dessas hipóteses, buscaremos construir um aporte teórico que as
sustentem ou que as refutem e, pelas questões envolvidas, precisaremos navegar
por vários mares em busca de fundamentações consistentes para nossas
proposições iniciais: o mar da Filosofia da Matemática, o mar da Educação e dos
autores que versam sobre currículo, o mar da Educação Matemática, o mar da
organização curricular, o mar da pluridisciplinaridade, da interdisciplinaridade e da
transdisciplinaridade, o mar da Antropologia, entre outros.
De qualquer maneira, cabe voltarmos ao conceito inicial de tese e
refletirmos mais um pouco sobre as características peculiares desta forma de
trabalho científico:
A tese teórica, ao contrário [da dissertação], além de expor e
explicar, tem como seu propósito principal argumentar para
justificar e persuadir. A tese argumenta com objetivo de encontrar
razões, chamadas evidências, a fim de provar a veracidade ou a
falsidade de ideias ou posições, mostrando o raciocínio pelo qual
chegamos a conclusões. De modo especial, a tese faz uso da
argumentação, como processo de debate e de persuasão, a fim
de convencer sobre uma ideia ou posição (SALVADOR, 1981, p.
37)
14
Começamos, portanto, a buscar alternativas para construção do nosso
aporte teórico e dos próximos capítulos que pretenderão sustentar ou refutar as
hipóteses que temos, além de defender nossa tese de que é necessário buscar
critérios para escolha e organização de conteúdos matemáticos para o Ensino
Médio e que estes devem levar em conta características culturais e os objetivos
próprios de cada comunidade, para atender aos objetivos de uma escola
comprometida com a busca pela igualdade, por meio da transformação social e,
ao mesmo tempo, valorizando os conhecimentos científicos construídos por várias
civilizações, ao longo da história da humanidade.
Propor critérios implica o desafio de escolher, na ampla gama de
possibilidades de temas matemáticos, quais serão oferecidos aos estudantes.
Isso envolve a análise das finalidades do ensino de Matemática numa dada etapa
da escolaridade, mas também compreende um mergulho mais profundo sobre
como se enxerga a Matemática e como se escolhe a sua possível contribuição
para a formação dos jovens. Salientamos que a escolha de temas não significa,
necessariamente, descartar alguns e incluir outros, mas uma forma de
apresentarmos os temas em uma outra organização, com conexões que façam
sentido e apresentem a Matemática de maneira completa, ainda que não da
maneira pormenorizada como é feita atualmente.
1.2 Objetivos
Conduzindo o leitor à compreensão dos principais objetivos desta
pesquisa, consideramos oportuno mencionar as finalidades do Ensino Médio,
propostas na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
9
:
“I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos
adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o
prosseguimento de estudos; II - a preparação básica para o
trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo,
de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas
condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III - o
aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a
formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do
pensamento crítico; IV - a compreensão dos fundamentos
científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a
teoria com a prática, no ensino de cada disciplina” (Brasil, 1996,
p.13-14).
9
Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional.
15
Como é possível observar, a legislação brasileira indica diferentes
finalidades para essa etapa da escolaridade, anunciando a complexidade a ser
enfrentada na organização curricular no Ensino Médio.
Assim, um tema imperativo a ser discutido em nosso trabalho é a reflexão
sobre as próprias finalidades do Ensino Médio, já mencionadas anteriormente, no
que se refere, por um lado, “a preparação básica para o trabalho” e “a
compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos”,
por outro lado “o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a
formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento
crítico” (BRASIL, 1996, p.13-14). Em uma apreciação inicial sobre estas palavras,
compreendemos que são objetivos amplos, porém distintos, pois de um lado
devemos preparar o aluno para o trabalho, o que pode significar apenas o
domínio de conjuntos de ações mecânicas e repetitivas, implicando um ensino
tecnicista, por outro lado propõe o desenvolvimento da formação ética, autonomia
intelectual e pensamento crítico, trazendo indícios do que ao nosso ver deve ser a
principal preocupação, não só do Ensino Médio, mas de toda a Educação:
promover a reflexão crítica a respeito de como utilizar os conhecimentos
aprendidos em prol da construção de uma sociedade mais justa e igualitária em
oportunidades e condições mínimas para uma vida digna. Saber como ponderar
estas doses de conhecimentos científicos e reflexivos no currículo de Matemática,
representa um desafio eminente e um claro objetivo ao refletirmos sobre critérios
para escolha e organização de conteúdos.
No que se refere especificamente ao ensino de Matemática, essas
questões se inserem em debates como, por exemplo, os que discutem
“matemática formal” versus “matemática prática”, “matemática neutra” versus
“matemática crítica”.
Nesse sentido consideramos relevante trazer contribuições para colocar
foco na busca de critérios para escolha e organização de conteúdos matemáticos
que podem ser explorados no Ensino Médio, analisando os temas
tradicionalmente ensinados e a organização curricular presente nesta etapa
escolar e explorando novas ideias, potencialmente interessantes para as
reflexões sobre o que, por que e como ensinar e aprender.
Evidentemente não objetivamos constituir critérios prescritivos que
determinem o que é certo ou errado, o que deve ou não ser ensinado, o que
16
aprofundar e o que omitir, mas sim contribuir para uma discussão que deve ser
feita de forma ampla pela sociedade, pelos gestores, pela comunidade de
educadores matemáticos e dentro de cada instituição escolar, pelos grandes
responsáveis pela tarefa educativa, os professores.
Os “currículos e seus conteúdos mínimos”, conforme determina o artigo
nono da Lei nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e
bases da educação nacional, é tarefa partilhada entre União, Estados, Distrito
Federal e Município:
Art. 9º A União incumbir-se-á de: [...] (IV) estabelecer, em
colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios,
competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino
fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus
conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica
comum.
As questões envolvidas nessa determinação legal foram o alvo inicial de
nossas preocupações e questionamentos: o que significam essas diretrizes, o que
pode ser entendido como formação básica comum?
Pires (2008) discute os processos de organização e desenvolvimento
curricular no Brasil, destacando as duas grandes reformas curriculares ocorridas
no Brasil, na primeira metade do século XX, que instituíram programas nacionais
obrigatórios a serem seguidos por todas as escolas da época: A reforma
Francisco Campos, em 1931 e a reforma Gustavo Capanema, em 1942. Sobre o
caráter de centralização ou descentralização, a autora destaca que “os programas
nacionais obrigatórios explicitados ao tempo das reformas Campos e Capanema
foram sendo substituídos por guias/propostas não obrigatórios elaborados pelas
secretarias estaduais e secretarias municipais de educação, ao longo das
décadas de 70/80” (Ibid., p. 25). Com a publicação das Diretrizes Curriculares
Nacionais para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio, pelo Conselho
Nacional de Educação e também com a publicação dos Parâmetros Curriculares
Nacionais, pelo Ministério da Educação, atendendo às prescrições da Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN), a União retoma sua função
de “coordenadora dos currículos da Educação Básica”, embora os documentos
curriculares se posicionem como orientadores do que deve ser
ensinado/aprendido na Educação Básica brasileira.
17
Ainda que o artigo nono da LDBEN, citado anteriormente, indique a
necessidade de especificar conteúdos mínimos para a Educação Básica brasileira
e que estes conteúdos mínimos devem ser estabelecidos em conjunto com os
Estados e Municípios, há muita polêmica sobre o assunto, motivada por questões
como: é possível estabelecer temas comuns que atendam às mais variadas
demandas nacionais? Estes conteúdos mínimos estão explicitados nesses
documentos? Como se dá a participação dos Estados e Municípios nesse
processo? Que espaço é reservado à escola na elaboração curricular? Quais são
os critérios para escolha de conteúdos?
A respeito desses questionamentos, Pires (2008) reflete sobre inquietações
que especialistas convidados para elaborar orientações curriculares (no caso os
PCN do Ensino Fundamental) tiveram:
Como construir referências nacionais de modo a enfrentar antigos
problemas da educação brasileira e ao mesmo tempo, enfrentar
novos desafios colocados pela conjuntura mundial e pelas novas
características da sociedade, como a urbanização crescente? O
que significa indicar pontos comuns do processo educativo em
todas as regiões mas, ao mesmo tempo, respeitar as diversidades
regionais, culturais e políticas existentes, no quadro de
desigualdades da realidade brasileira? Como equacionar
problemas referentes à possibilidade de acesso aos centros de
produção de conhecimento, tanto das áreas curriculares quanto
da área pedagógica, e que se refletem na formação dos
professores que colocaram as ideias curriculares em prática? Que
Matemática deve ser ensinada às crianças e jovens de hoje e com
que finalidade? De que modo teorias didáticas e metodológicas
devem ser incorporadas ao debate curricular, sem que sejam
distorcidas e tragam prejuízos à aprendizagem dos alunos? (p.
26).
Nas tentativas de delimitação de nosso problema de pesquisa, deparamo-
nos com estas mesmas questões e, não vemos como excluí-las do escopo do
nosso trabalho, pois elas são parte integrante dos objetivos desta tese.
1.3 Problemática e Problema de Pesquisa
Laville e Dionne (1999) refletem sobre as diferenças conceituais entre duas
expressões muito interessantes, a saber, “problemática sentida” e “problemática
racional”. Entendemos que cabe, neste momento, pontuar o que os autores
mencionam a este respeito:
18
A problemática é o conjunto dos fatores que fazem com que o
pesquisador conscientize-se de um determinado problema, veja-o
de um modo ou de outro, imaginando tal ou tal eventual solução.
O problema e sua solução em vista não passam da ponta de um
iceberg, ao passo que a problemática é a importante parte
escondida. Uma operação essencial do pesquisador consiste em
desvendá-la.
Essa operação de desvendamento consiste, mais precisamente,
em jogar o mais possível de luz sobre as origens do problema e
as interrogações iniciais que concernem a ele, sobre sua natureza
e sobre as vantagens que se teria em resolvê-lo, sobre o que se
pode prever como solução e sobre o modo de aí chegar.
Na saída, portanto, acha-se uma problemática sentida, imprecisa
e vaga; na chegada, uma problemática consciente e objetivada,
uma problemática racional (p. 98, grifo nosso).
Até aqui, cremos que o leitor já está convencido que existe uma
problemática sentida instaurada. Além dos três documentos oficiais publicados
como Parâmetros e/ou Orientações Curriculares para o Ensino Médio, pudemos
verificar a existência de artigos e algumas dissertações de mestrado e teses de
doutorado que apontam para a existência de sintomas demonstrando esta
“problemática sentida”: o que e por quê devemos ensinar e o que e por quê não
devemos ensinar aos nossos alunos na Matemática do Ensino Médio?
Como já dissemos anteriormente, o caminho que nos levou ao problema de
pesquisa, ao contrário do que tradicionalmente ocorre, conduziu-nos de uma
preocupação inicial, pontual e específica para questionamentos amplos, porém
com temática bem delimitada. A grande amplitude destes questionamentos é
justificada, em boa parte, pela imensa gama de fatores envolvidos ao
ponderarmos sobre quais assuntos deveriam ser abordados para todos os
estudantes do Ensino Médio brasileiro. É possível realizar este trabalho ou
podemos estabelecer, sem análises prévias, que um currículo deve ser
descentralizado, implicando a impossibilidade de propostas abrangentes? Cremos
nesta possibilidade, embora tenhamos certeza de que fatores sociais e culturais
sempre estarão associados às propostas curriculares.
Crendo na possibilidade de refletir e propor critérios, construímos uma
trajetória penosa, porém absolutamente necessária, de caminhar da temática à
construção de perguntas de pesquisa e, finalmente, ao problema de pesquisa
(BOOTH; COLOMB; WILLIAMS, 2000).
19
Nossas perguntas iniciais resumiam-se a interesses diversos dentro da
temática do currículo de Matemática no Ensino Médio: por que ensinar ou por que
não ensinar determinado conteúdo nesta etapa do ensino? Por que as
orientações curriculares oficiais não esclarecem sob quais critérios refletiram
sobre os conteúdos sugeridos? Tais critérios existem ou os elaboradores destes
parâmetros fundamentam-se em suas convicções pessoais enquanto
pesquisadores e, desta maneira, seriam guiados pela tradição na escolha de
conteúdos? Seria possível analisar a tendência implícita nos documentos
governamentais no que diz respeito ao fato dos tópicos mais valorizados estarem
relacionados à aplicação tecnicista, enfatizando o saber-fazer, ou revelam um
caráter propedêutico, simplesmente justificando o seu ensino para fundamentar
uma “base” comum a ser desenvolvida no Ensino Superior? Como determinados
conteúdos foram inseridos no currículo de Matemática do Ensino Médio? Estão lá
simplesmente por tradição, ou seja, várias gerações propagam este conhecimento
como sendo importante, sem a prévia análise do contexto histórico, social e
cultural no qual vivemos?
Em busca de uma problemática racional, consistente e objetiva (LAVILLE;
DIONNE, 1999), expressamos nosso problema de pesquisa por meio de uma
questão: Quais os critérios para a seleção e organização de conteúdos de
Matemática no Ensino Médio, considerando que, para selecioná-los e organizá-
los, devemos levar em conta os aspectos organizacionais, metodológicos, sociais
e culturais envolvidos no processo?
1.4 Reflexões Teórico-Metodológicas
Inicialmente, gostaríamos de refletir sobre a utilização da palavra
“reflexões” ao invés de “fundamentação” teórico-metodológica. Acreditamos e
justificaremos que esta pesquisa é classificada como qualitativa, envolvendo uma
investigação teórica que contemplará vários campos do conhecimento, como
Filosofia, Educação, Educação Matemática e Antropologia, além da própria
Matemática e sua História. Esta utilização da teoria para justificar nosso ponto de
vista provoca uma reflexão metodológica a respeito, justificada, e não
fundamentada, pelas características de um ensaio teórico. Insistimos na não
utilização da palavra “fundamentação” por discordar, no caso específico deste
20
ensaio, que a escolha inadequada da metodologia poderia anular nossos
resultados, inclusive por esta razão achamos que a expressão “teórico-
metodológicas” seja mais adequada que simplesmente “metodológicas” e
justificaremos esta outra escolha mais adiante. No entanto, deve ficar claro que
acreditamos na necessidade de fundamentação de certas pesquisas, inclusive
qualitativas. Senão vejamos, como seria possível realizar uma investigação
caracterizada como estudo de caso, sem que o mesmo seja fundamentado
claramente? Se esta fundamentação fosse inconsistente, implicaria a perda de
todas as informações e interpretações realizadas e comprometeria as conclusões
obtidas.
Após esta pequena justificativa inicial, alegamos que nossa pesquisa
qualitativa pode ser assim classificada por seguir os cinco critérios clássicos
enunciados por Lüdke e André (1986, p. 11-13):
(1) A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural como sua fonte direta de
dados e o pesquisador como seu principal instrumento: nos apropriamos da
expressão “ambiente natural”, dentre os mais variados sentidos que ela poderia
expressar, como o ambiente vivenciado pelo doutorando, sua orientadora e o
grupo de pesquisa no qual estão inseridos. Cada um compartilhando com o(s)
outro(s) sua experiência, com uma dinâmica de conhecimentos teóricos e
práticos. Esta experiência a qual nos referimos rompe com as dicotomias
professor/pesquisador e teoria/prática, pois contempla a vivência nos “ambientes
naturais” dos filósofos, dos educadores matemáticos, dos elaboradores dos
currículos de Matemática ou daqueles professores que se sentem incomodados
com o fato de não saberem justificar os porquês de ensinarem determinados
assuntos, talvez também não encontrando argumentos convincentes para
justificarem o próprio ensino da Matemática. Compreendemos que esta pesquisa
tem o “pesquisador como seu principal instrumento”, pois o rigor, ao contrário dos
métodos cartesianos, não está no método, mas no próprio pesquisador.
Convivendo com outros, na iminência da possibilidade de ver
brotar um ponto de vista que enriqueça o meu, procuro por modos
de ver, os analiso, os rebato, os sustento. Faço surgir concepções
e considerações integradoras, refutadoras, conservadoras, etc., a
partir do diálogo que sustento com os que falam sobre as coisas
que me deixam perplexo e que, por esse motivo, tematizo.
Recolho informações e as decomponho, interpreto, analiso, re-
21
contextualizando-as. Vou até o outro para que ele possa me dizer
o que sabe, o que ele me diz escrevendo, exercitando-se no
aparente paradoxo da comunicação. (GARNICA, 1999, p. 64).
(2) Os dados coletados são predominantemente descritivos: acreditamos
que seja importante discutir a questão semântica, sobremaneira em um trabalho
como este, em que a análise do conteúdo será um dos focos. Ainda que não
altere o caráter qualitativo da pesquisa (cremos que até o reforçaria), nos
detemos na análise da expressão “dados coletados” por nos causar a sensação
de prontos, acabados, sem dinâmica. Neste sentido, o movimento seria do
pesquisador, ao relacionar dados estanques. Cremos, sim, em dados construídos.
Aliás, a própria palavra “dado” remete a ideia de algo pronto, evidente, que não
demanda esforços, sabemos que não é assim. Talvez a melhor palavra para
descrever o que efetivamente buscamos, enquanto pesquisadores, seria
“informação”, pois a pesquisa envolve uma construção articulada obtida pela
análise de situações, fenômenos, acontecimentos, fatos, ou até mesmo pela
opinião do outro, que nada mais são que informações relevantes e significativas
para uma ou mais pessoas, podendo constituir uma cultura própria.
Interpretamos que “dados” ou “informações”, no contexto desta pesquisa,
seriam os documentos oficiais (parâmetros, diretrizes, etc.) e a própria teoria
envolvida na elaboração e condução desta pesquisa. Mas documentos e teorias
não existem independentemente desta pesquisa e, portanto, não bastaria “coletar”
estes “dados” e responder ao nosso problema de pesquisa. Acreditamos em outra
perspectiva, aquela em que as informações, ainda que prontas, representam
diversos contextos e cada interpretação das mesmas é uma apropriação pessoal
ou coletiva, e como tal, não pode ser considerada falsa ou verdadeira, mas sim
confrontada à luz das teorias existentes, as quais também se revitalizariam ou
não, dependendo das escolhas feitas. Portanto, acreditamos em dados criados,
não no sentido de inventados, mas como já dissemos, no sentido de construídos.
Por este prisma, a teoria se funde à metodologia, justificando o título deste tópico.
Estas contribuições teóricas ao nosso trabalho não ocorreram de maneira linear,
embora a leitura da tese possa conduzir o leitor a achar isto. As ideias, questões,
inquietações, referências, variáveis vêm à tona ou se esvaecem quando
confrontadas com o problema e com os objetivos da pesquisa. A descrição da
trajetória, do movimento da pesquisa, dos resultados parciais e sua relação com a
22
resposta ao problema que formulamos deverá ser enunciada nas conclusões.
Todas estas partes que nos recusamos chamar de etapas, se interligarão fazendo
o que compreendemos ser a descrição da construção dos dados.
(3) A preocupação com o processo é muito maior que com o produto: esta
forma de descrever a pesquisa posiciona o leitor e o conduz pelos mesmos
questionamentos do pesquisador e propõe uma concordância com o escritor a
respeito das conclusões obtidas, caracterizando a importância do processo em
relação ao produto, já que somente pela validação do primeiro podemos nos
convencer sobre o segundo. A relação não é de causa e efeito, mas de assegurar
que as conclusões obtidas em todo o processo serão apenas sistematizadas no
final do trabalho. Espera-se que, antes de iniciar a leitura dos produtos obtidos, o
leitor já tenha uma posição a respeito, não só por suas convicções tácitas ou
explícitas, mas pela ação convincente do pesquisador durante o processo.
O produto desta pesquisa, manifestado na forma de assertivas
cuja pretensão é dar ao possível leitor indicativos das
compreensões do pesquisador, é secundário ao processo de
geração desse produto. Nessa trajetória de compreensões estão
entrelaçados os pré-supostos existenciais de quem investiga e os
dados recolhidos nas descrições (e, portanto, esforço de
compartilhar significados atribuídos). O produto é, portanto, uma
reelaboração de compreensões tornado compreensão mais
fecunda, mais elaborada que, tornada pública, vê-se na situação
de um novo esforço de atribuição de significado que um outro
pesquisador, por sua vez, pode reelaborar. Tal é esse processo
interminável. Tal é a natureza de uma abordagem de pesquisa na
qual “a preocupação com o processo é muito maior do que com o
produto”. (GARNICA, 1999, p. 67).
Compreender a relação entre o processo e o produto poderia nos levar a
uma concepção dicotômica sobre os mesmos, mas, como veremos adiante, a
ideia pós-moderna de Ciência nos parece mais viável – aquela na qual em vários
momentos o caos se instaura e leva a uma nova auto-organização.
(4) O “significado” que as pessoas dão às coisas e à sua vida é foco de
atenção especial pelo pesquisador: sentimos a necessidade imediata de
compreender o que seriam “significado”, “pessoas”, “coisas” e “vida” no contexto
desta tese. Entretanto, pensamos que a preocupação maior não deve ser esta,
mas compreender a importância da argumentação, pois poderíamos reduzir este
critério metodológico a convencer o leitor que, em nossa pesquisa, buscamos
23
incessantemente justificativas para a própria existência da Matemática enquanto
disciplina escolar, atribuindo significados a ela, sejam de tendência prática ou
teórica ou uma relação que rompa esta dicotomia. Estes significados serão
construídos através da contribuição de vários campos de conhecimento, como a
Filosofia, a História, a Sociologia, a Antropologia e, é claro, a Matemática. O
próprio movimento Educação Matemática constitui uma área que dialoga com
todos estes outros campos, tornando nosso trabalho mais prazeroso, porém não
menos trabalhoso.
Assim, o significado que os elaboradores dos currículos oficiais atribuem à
importância maior, menor ou nula de um determinado conteúdo matemático ecoa
no significado que os professores manifestam através de sua prática, chegando
aos alunos que, muitas vezes, não enxergam razão alguma para aprender
determinado assunto. Não estamos de modo algum defendendo o utilitarismo
imediato do ensino de Matemática, mas apenas uma forma de justificá-lo.
Ao mesmo tempo, como pesquisadores, buscamos que os leitores de
nossas pesquisas possam compartilhar as reflexões que fazemos, em um
caminho de concordância que agregará mais voluntários ao exército de ideias e
concepções que defendemos. O próprio ato de “defender uma tese” está
impregnado de significados e convencimentos. Compartilhamos com os três
princípios metodológicos enunciados por Latour (2000) que vêm ao encontro do
que escrevemos até aqui, e vão muito além disso:
Primeiro, desistir de qualquer discurso ou opinião sobre ciência
feita e, em lugar disso, seguir os cientistas em ação; segundo,
desistir de qualquer decisão sobre a subjetividade ou a
objetividade de uma afirmação com base simplesmente no exame
dessa afirmação e, em vez disso, acompanhar sua história
tortuosa, de mão em mão, durante a qual cada um o transforma
mais em fato ou mais em artefato, finalmente, abandonar sua
suficiência da Natureza como principal explicação para o
encerramento das controvérsias e, em vez disso, contabilizar a
longa e heterogênea lista de recursos e aliados que os cientistas
estavam reunindo para tornar a discordância impossível (p. 169).
(5) A análise dos dados tende a seguir um processo indutivo: este processo
revela que a interpretação deve ter um papel central na pesquisa qualitativa. Cada
afirmação, carregada de vivências pessoais, gera a busca pela generalização ou
pela categorização, não como nas pesquisas quantitativas mensuráveis que
24
conduzem ao crivo da lógica aristotélica rotulando como verdadeiro ou falso,
verdade ou mentira, certo ou errado, mas classificando no sentido de buscar
afinidades, categorias que, a priori, não seriam ligadas por uma linha de
pensamento. Inicialmente, por exemplo, pensamos em começar analisando a
história do desenvolvimento de conceitos matemáticos. Contudo, durante a
pesquisa uma análise se fez mais necessária: a análise das escolas filosóficas da
Matemática que ilustram os tipos de justificativas que encontramos atualmente
para seu ensino. Juntamente com estas lentes apontadas para vários campos,
também sentimos a obrigação de conhecer e estudar profundamente o que a
atual orientação curricular oficial menciona. E como relacionar tudo isto? Não
sabemos antecipadamente, pois neste processo de indução, buscamos relações
no caminho, no processo, auto-organizando o que parece uma torre de Babel e,
sobretudo, descobrindo relações inimagináveis antes do início da ação e cortando
vínculos que, aparentemente possuíam afinidades.
Apresentadas as escolhas metodológicas, anunciamos a intenção de nosso
trabalho, que é a de aprofundar o tema “Currículos de Matemática para o Ensino
Médio” no que se refere à definição de critérios para seleção e organização de
conteúdos, à luz de teorias elaboradas sobre o assunto.
A definição e a transparência de critérios nos parece uma condição
importante para qualificar os debates entre diversos atores do processo de
organização e desenvolvimento curricular, além de ampliar a participação efetiva
dos professores, a quem compete levar em conta também as especificidades dos
contextos em que atuam, a fim de escolher e organizar os conteúdos matemáticos
que trabalharão com seus alunos.
Nossa tese é um ensaio teórico, na medida que pretende envolver
profundamente aspectos relativos à nossa interpretação sobre a problemática
existente, acerca dos Currículos de Matemática no Ensino Médio:
O trabalho científico pode ainda assumir a forma de ensaio. Em
nossos meios, este tipo de trabalho é concebido como um estudo
bem desenvolvido, formal, discursivo e concludente, consistindo
em exposição lógica e reflexiva e em argumentação rigorosa com
alto nível de interpretação e julgamento pessoal. No ensaio há
maior liberdade por parte do autor, no sentido de defender
determinada posição sem que tenha de se apoiar no rigoroso e
objetivo aparato de documentação empírica e bibliográfica
(SEVERINO, 2002, p. 152-153).
25
Embora haja um caráter de independência dos pesquisadores, sugerido em
um trabalho caracterizado como ensaio teórico, fundamentaremos nossa posição
em autores que se dedicam ao assunto, mas procuraremos ir além, buscando
relacionar estas teorias em prol dos critérios que enunciaremos. Para a
determinação destes, consideraremos aspectos relacionados à seleção dos
conteúdos, apoiando-nos em Doll Jr. (1997), em seu conceito de currículo e nos
seus quatro R’s
10
propostos para um currículo pós-moderno, em contraponto com
os três R’s
11
criados no final do século XIX e início do século XX visando às
necessidades de uma sociedade industrial em desenvolvimento (Doll Jr., 1997, p.
190). Na realidade, pretendemos considerar a possibilidade de análise destes
critérios, segundo a visão de um educador matemático, ou seja, adaptando-os e
ampliando-os com a finalidade de buscar critérios para escolha de conteúdos
específicos de Matemática.
Tornando nossas reflexões mais plausíveis, contemplaremos os aspectos
sociais e culturais e, como já ressaltamos, valorizaremos por demais estas
influências. Para tanto, utilizaremos as ideias utilizadas por Skovsmose (2001)
sobre Educação Matemática Crítica. A grosso modo, este movimento surgiu na
década de 1980, preocupando-se fundamentalmente com os aspectos políticos e
a relação de poder existentes na Educação Matemática, derivada da análise
existente anteriormente no cerne da própria Educação. Como cita o professor
Marcelo Borba, no prefácio de Skovsmose (2001), esta corrente estuda questões
como: a quem interessa que a Educação Matemática seja organizada dessa
maneira? Para quem a Educação Matemática deve estar voltada? Como evitar
preconceitos nos processos analisados pela Educação Matemática que sejam
nefastos para grupos de oprimidos como trabalhadores, negros, “índios” e
mulheres? Nossa tese voltar-se-á principalmente à análise e discussão da
primeira questão enunciada por Borba, analisando criticamente os conteúdos
considerados “tradicionais” na Educação Básica brasileira, mais especificamente
no Ensino Médio.
Porém, cabe-nos também a tarefa de analisar criticamente a própria
Educação Matemática Crítica, pois refletindo sobre a necessidade de atender às
especificidades de cada grupo cultural, não podemos criar um preconceito às
10
Riqueza, recursão, relações e rigor.
11
Reading – leitura, wRiting – escrita e aRithmetic – Aritmética.
26
avessas, ou seja, tratarmos de maneira preconceituosa alguns grupos oprimidos,
como os citados por Borba. Valorizamos uma “Matemática” própria dessas
comunidades, mas, ao mesmo tempo, tiramos a oportunidade de acesso ao
poder, por não abordarmos a “Matemática” ligada à minoria que detém o prestígio
e o domínio social, político e econômico.
É provável que, além dos aspectos sociais e culturais, devamos nos
preocupar em apresentar a Matemática em aspectos que são comuns a todos,
intimamente ligada à Ciência de referência, ou seja, à própria Matemática, mesmo
sabendo que isso implique imposição de uma cultura sobre outra. Neste caso, a
imposição, embora soe como autoritarismo, pode representar uma possibilidade
de busca de equidade social, relativamente ao conhecimento.
Mas por onde começar? Eis uma questão que parece ser um desafio para
o início desta viagem. Que teorias, que teóricos? São várias possibilidades e o
caminho deve ser iniciado, mas em qual direção?
Essa reflexão foi intensa e demorada, pois mesmo sabendo que fugíamos
a todo o momento de um caminho linear, o trabalho de ir e vir seria realizado
várias vezes em decorrência de nossos diálogos com inúmeros autores.
No entanto, uma escolha inicial deveria ser feita e optamos pela Filosofia
da Matemática. A análise das escolas filosóficas da Matemática muito contribuirá
para uma visão ampla do que pretendemos analisar e será extremamente útil a
fim de buscar e refletir sobre nossos critérios. Afinal de contas, poderemos
encontrar, nas escolas clássicas da Filosofia da Matemática, influências na
configuração atual do currículo de Matemática no Ensino Médio. Para tanto,
utilizamos vários autores, dentre eles, Bicudo (2003), Machado (2001b) e Silva
(1999, 2007). Por que não optamos pela Filosofia da Educação Matemática?
Como já dissemos, precisamos realizar escolhas e, ao nosso ver, a Filosofia da
Matemática poderia justificar a presença de alguns conteúdos matemáticos e,
inclusive, formas “eficazes” de ensiná-los. Como veremos, a crença de algumas
escolas filosóficas da Matemática parece estar viva na prática profissional dos
professores de Matemática e na própria concepção de Matemática dos
elaboradores de documentos curriculares oficiais que orientam e propõem
diretrizes para o ensino desta ciência. Todavia, seria interessante uma pesquisa
que analisasse de maneira mais profunda a influência da Filosofia da Educação
Matemática nos currículos de Matemática e até na prática docente.
27
Outro aspecto levado em conta será o organizacional. Como ponto de
partida, utilizaremos a ideia de Currículo de Matemática em rede, trabalhada por
Pires (2000). Para esta autora, as ideias de hipertexto, exploradas no campo de
tecnologia, e definidas por Pierre Lévy como uma metáfora do conhecimento,
representam novas maneiras de vislumbrar o pensar e o conviver:
Novas maneiras de pensar e conviver estão sendo elaboradas no
mundo das telecomunicações e da informática. As relações entre
os homens, o trabalho, a própria inteligência dependem, na
verdade, da metamorfose incessante dos dispositivos
informacionais de todos os tipos. Escrita, leitura, visão, audição,
criação, aprendizagem são capturados por uma informática cada
vez mais avançada. Não se pode mais conceber a pesquisa
científica sem uma aparelhagem complexa que redistribui as
antigas divisões entre experiência e teoria. Emerge, neste final de
século XX, um conhecimento por simulação que os
epistemologistas ainda não inventariaram. Lévy (1993 apud
PIRES, 2000, p. 119).
Os modos de tecer esta rede de conhecimentos, dentro da Matemática e,
evidentemente, levando em consideração outras disciplinas, faz com que
busquemos vários recursos metodológicos para torná-los eficazes: o uso de
jogos, de materiais de construção e manipulação, a incorporação didática da
História da Matemática, a utilização de recursos tecnológicos, a modelagem
matemática e o trabalho com projetos são alguns indicadores destas
possibilidades e serão levados em conta nesta pesquisa.
28
C A P Í T U L O 2
APORTES TEÓRICOS
2. APORTES TEÓRICOS
Inicialmente, ao pensarmos sobre quais princípios nos orientariam à
escolha de conteúdos de Matemática para o Ensino Médio, o primeiro impulso foi
olharmos para o senso comum ou talvez até para nossa intuição e ponderarmos
acerca de algumas questões relacionadas à importância de certos temas e,
principalmente, como justificar a importância do ensino da própria Matemática.
Infiltrando nesta intuição, que muitas vezes nos leva à superficialidade e ao
erro, mas também certos de que uma tese não se constitui apenas de unir vários
recortes teóricos em busca da perfeição, mas sim expor de maneira clara e
sincera o processo de criação, evolução (às vezes involução), conhecimentos que
eram espontâneos, vagos e aos poucos se tornaram firmes, consistentes,
arriscamo-nos a expor um primeiro ensaio sobre considerações referentes ao uso
da Matemática no cotidiano, sua aplicabilidade e a tão falada e discutida
contextualização.
Refletimos sobre como o uso cotidiano implica o emprego quase diário de
conceitos matemáticos. Contudo, quais os conceitos que, efetivamente, utilizamos
no dia-a-dia? Sem dúvida, cálculo de tempo, como quanto tempo levo de minha
casa ao trabalho ou estimativa de qual hora preciso programar o despertador para
chegar ao compromisso sem atrasos, faz parte da nossa rotina. Quando dizemos
que faz parte da “nossa” rotina, referimo-nos ao contexto social e à comunidade
na qual estamos inseridos, ou seja, a aplicação ou o uso cotidiano de algo implica
que devemos levar em conta a componente social na análise deste processo. No
entanto, questões relativas à contagem ou aos diversos significados dos números
em nossa sociedade, embora sejam vivenciadas cotidianamente, são pouco
exploradas no ensino formal. A ideia de que os números de telefone são códigos
e possuem significados, ou seja, não são escolhidos aleatoriamente, pois o
primeiro número identifica a operadora de telefonia, o prefixo identifica o bairro e a
região na qual o aparelho foi instalado (no caso de telefonia fixa), é um exemplo
disso. Outro exemplo pode ser encontrado na numeração das casas e
apartamentos das cidades: a numeração das casas normalmente representa sua
29
distância em relação ao início do logradouro, além de sua localização do lado da
rua (par ou ímpar) e a numeração dos apartamentos identifica o andar em que
está localizada a unidade e a posição dentro do próprio andar. Como vemos, o
número aparece relacionado a medidas de comprimento ou localização espacial,
mas será que encontramos muitas outras ideias relacionadas à Matemática no
cotidiano? Achamos que, até mesmo os exemplos citados anteriormente, embora
indiscutivelmente presentes em boa parte das sociedades do mundo
contemporâneo, são “internalizados” sem a necessidade de uma educação
formal.
Talvez a única prática que certamente utilizamos diariamente é a
argumentação que está intimamente ligada à língua materna e, portanto, à própria
Matemática
12
. No entanto, ao invés de relacioná-la com a língua materna, por
vezes os alunos relacionam a Matemática a uma língua estrangeira, nova,
aprendida tardiamente. Vista desta forma, a Matemática só faria sentido em seu
caráter utilitário, pois normalmente aprendemos uma língua diferente da materna
somente quando sentimos uma necessidade explícita, ou seja, para uma
aplicação. Seria, portanto, no cotidiano que deveríamos buscar justificativa para
ensinar ou não determinado conteúdo matemático?
Sobre contextualização, podemos inicialmente analisar sua origem latina
da palavra contextus, do verbo contexere que significa “entrelaçar, reunir
tecendo”, derivado de texere (tecer). Contexto, portanto, pode ser considerado um
entrelaçar de assuntos, categorias, como contexto histórico, contexto matemático,
contexto de outras disciplinas, contexto interdisciplinar, contexto transdisciplinar,
etc. Em nossa opinião foge um pouco ao que é natural, espontâneo, pois
pressupõe o uso do trabalho para que esta reunião ocorra. No ensino da
Matemática, pode ser feito em situações reais ou dentro da própria Matemática,
tecendo uma rede de significados entre vários assuntos diferentes. Na
contextualização de fatos “reais”, sentimo-nos um pouco confusos ao limitar
claramente a diferença entre contextualizar e aplicar, já que ao contextualizarmos
a Matemática em algum outro campo, como a Física, estamos também aplicando-
na.
12
Machado (2001a) detalha a impregnação mútua entre a Língua Materna e a Matemática.
30
A aplicabilidade da Matemática pode ser feita quando a utilizamos como
ferramenta para resolver determinado problema ou situação real. Entendemos
que a palavra “real” é de importância substancial para superarmos certos
exemplos fantasiosos que estão longe de representarem aplicações da
Matemática, muito menos situações do cotidiano. Como ilustração, imaginemos
que a situação a seguir fosse apresentada aos alunos como aplicação do
Teorema de Pitágoras: “Um pedreiro apoiou sua escada em um muro para
realizar um trabalho. Supondo que a extremidade da escada apoiada no chão
fique a três metros da parede e a extremidade da escada apoiada na parede fique
a quatro metros do chão, calcule o comprimento da escada”. Ora, qualquer aluno
com capacidade de análise crítica, ironizaria esta situação indicando que seria
muito mais fácil medir o comprimento da escada a realizar as outras duas
medições indicadas no texto. Além disto, esta situação provoca uma reflexão que
analisaremos com maior profundidade em outro momento, mas achamos
oportuno apontar a esta altura: o resultado em forma de teorema que a escola
pitagórica concebeu, ao invés de privilegiar o cálculo do terceiro lado de um
triângulo retângulo a partir da medida dos outros dois, tinha a função original de
obter triângulo retângulos, ou seja, atualmente exploramos apenas um sentido do
teorema: “Se um triângulo é retângulo, então o quadrado da medida do
comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos
comprimentos dos catetos”. Mas não exploramos o sentido no qual os pitagóricos
tinham maior interesse na época: “Se, em um triângulo, o quadrado da medida do
maior lado for igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados,
então o triângulo é retângulo”. É necessário, portanto, compreender a origem e a
evolução dos conceitos matemáticos historicamente.
Quando citamos as propriedades parabólicas utilizadas nas antenas de
mesmo nome, nos faróis de automóveis ou nos espelhos, apenas mostramos a
possível aplicabilidade deste conteúdo, embora quase todo o projeto de ensino
deste tema envolva a localização dos focos, semi-eixos, etc., deixando de lado os
cálculos, muito semelhantes, realizados no campo denominado Óptica na Física.
Parece que o foco dos espelhos na aula de Óptica nada tem a ver com o foco da
parábola das aulas de Geometria Analítica. Quando falamos em
interdisciplinaridade, muito mais do que buscar e criar projetos centralizados em
temas, precisaríamos iniciar pelas correlações de linguagens e conteúdos entre
31
Física e Matemática, por exemplo. A característica que citamos de iniciar um novo
conteúdo com um “toque” de aplicações também nos parece ser o mote quando
ao tratar do contexto histórico. A utilização da História da Matemática se confunde
com a justificativa de aplicar ou contextualizar a própria Matemática.
Outro fator que distancia a Matemática de suas aplicações é que,
normalmente, o estudo e a modelagem de problemas reais não são tão simples,
intuitivos e, para alguns professores, estão longe de representarem um modelo
didático apropriado para apresentar um novo conteúdo. Neste momento, cabe
refletirmos sobre os aspectos metodológicos envolvidos na organização e
apresentação do currículo efetivamente. O modelo de aula de Matemática,
amplamente vivenciado por boa parte dos alunos da Educação Básica, em que a
sequência – definição, exemplos simples, exercícios de aplicação, exercícios de
fixação e problemas – estes últimos normalmente ficando como “dever” de casa
(o que causa uma grande frustração nos alunos que não conseguem resolvê-los),
parece impor ao professor uma ordem linear e crescente de dificuldade e
complexidade para ensinar determinado assunto. A metodologia de resolução de
problemas propicia uma mudança nesta sequência e define a resolução de
problemas como origem do trabalho, sendo, portanto, necessariamente
contextualizado, seja na sua aplicabilidade (caso de vários exemplos trabalhados
na Modelagem Matemática), seja dentro do próprio contexto matemático.
Este pequeno ensaio empírico mostra o quão confusas e caóticas estavam
nossas ideias ao nos depararmos com termos muito utilizados, porém pouco
refletidos, já que a todo momento lemos e ouvimos estas expressões
(contextualização, aplicação e cotidiano) relacionadas ao ensino da Matemática.
Em boa parte destes discursos, estas palavras confundem-se e misturam-se
chegando a ponto de dizer que a “Matemática deve ser aplicada e contextualizada
no cotidiano”.
Aliás, estas justificativas não podem ser as únicas nem, talvez, as
principais para argumentar a inserção ou exclusão de um conteúdo matemático
presente no currículo do Ensino Médio. A própria análise da História da
Matemática mostra que a evolução da ciência não se deu, necessariamente, pela
existência de problemas práticos que demandariam soluções matemáticas
específicas e a criação de ferramentas para resolvê-los.
32
Acreditar que a principal justificativa para ensinar determinado tema reside
na sua aplicabilidade ou no seu uso cotidiano só faria empobrecer o ensino da
Matemática, por submetê-la a serviço de problemas localizados no tempo e no
espaço e que, portanto, ficariam a mercê de necessidades específicas e
extremamente pontuais.
Compreendemos que a Matemática, enquanto uma linguagem universal,
deva ser apresentada como uma infinidade de conexões que independem de
contextualizações, a não ser àquelas que se referem à própria aplicabilidade de
um conteúdo ou conceito dentro de outro, o que, ao nosso ver, é um outro modo
de compreender o que é contextualização – não meramente o uso prático em
uma profissão ou atividade específica, mas a utilização e ligação de determinado
assunto com outros.
Também devemos compreender que a Matemática é uma ciência que não
possui respostas prontas para todos os problemas e, como veremos, algumas
vezes não possui arsenal suficiente para atacar alguns campos e solucionar
determinadas questões que permanecem em aberto por séculos. Cabe, portanto,
apresentar ao aluno do Ensino Médio o trabalho do próprio matemático, como um
cientista que busca conjecturas e tenta demonstrá-las dentro da especificidade de
seu trabalho, seguindo as regras, axiomas e teoremas que, ora ampliam de modo
empolgante sua seara, ora restringem de maneira frustrante seu trabalho. Não
raramente, o trabalho do matemático não é reconhecido “socialmente” de maneira
imediata e esse não pode ser o seu objetivo principal.
Para aprofundarmos estas discussões, tratando-as de maneira acurada,
propomos um estudo de alguns campos e teorias que fazem parte do próprio
movimento Educação Matemática para servir-nos de aporte visando aos critérios
que pretendemos determinar. Inicialmente, olharemos para a Filosofia da
Matemática com a intenção de compreendermos como certas tendências e
concepções sobre conceitos e sobre a própria Matemática podem ser explicadas.
Depois refletiremos sobre o trabalho de William Doll Jr. e seus critérios
curriculares em uma perspectiva pós-moderna. Em seguida, nos apropriaremos
de um dos conceitos mais difundidos e discutidos atualmente: A Educação Crítica
refletida no meio da Educação Matemática. Finalmente analisaremos os fatores
sociais e culturais de um currículo, pois, como já dissemos no início desta tese,
essas influências não podem ser ignoradas quando pensamos em propostas
33
curriculares, por isso pretendemos analisar e refletir sobre estas forças
representativas e, até mesmo, como as mesmas podem representar obstáculos
na implementação de novas propostas.
2.1 Contribuições da Filosofia
Anteriormente, utilizamos várias palavras em um sentido empírico,
carregadas de senso comum e sem fundamentação teórica para tanto. Servindo-
nos da análise de algumas escolas filosóficas e das respectivas correntes do
pensamento matemático como pano de fundo, utilizaremos a Filosofia da
Matemática como instrumento para analisar de que maneira certas práticas
escolares atuais são ecos dessas tendências clássicas propagadas por filósofos e
matemáticos. Corroboramos o pensamento de Silva (1999):
O ponto de vista que quero defender com essas reminiscências é
bem simples, não há prática ou teoria pedagógica que não seja,
de modo consciente ou não, influenciada, quando não
determinada, por uma concepção filosófica sobre a natureza da
Matemática. O educador precisa necessariamente responder às
questões filosóficas fundamentais sobre o estatuto do objeto
matemático, sobre a natureza da verdade matemática, sobre o
caráter do método matemático, sobre a finalidade da Matemática,
sobre o estatuto do conhecimento matemático enfim, antes de
criar teorias, estabelecer objetivos, elaborar estratégias, desenhar
métodos ou qualquer outra atividade teórica ou prática cuja
finalidade última seja o ensino de Matemática. Ele tem apenas
duas escolhas neste assunto, responder estas questões através
da reflexão filosófica, ou respondê-las ingenuamente,
incorporando de modo acrítico, assistemático e fragmentário
pontos de vista ou meros preconceitos que lhe cruzem o caminho.
Assim, a Filosofia da Matemática deve, necessariamente, estar
presente em qualquer reflexão sistemática e crítica cujo foco seja
a Educação Matemática, em particular a própria Filosofia da
Educação Matemática, se por isto entendermos a reflexão
filosófica a qual cabe responder, entre outras questões, o por quê
que antecede o como da educação pela e para a Matemática. (p.
57-58).
2.1.1. A Escola Platônica
Iniciaremos nossa jornada filosófica na Grécia Antiga, mais
especificamente no século IV a.C., na cidade de Atenas que, na época, era o
grande centro do pensamento grego. A Escola Platônica, como ficou conhecida,
34
reunia a riqueza filosófica derivada de Sócrates, encarnada no seu mais
conhecido discípulo: Platão. A ideia de Matemática, para os platônicos, era muito
diferente da qual concebemos atualmente, pois na época não se pensava neste
campo de conhecimento, mas sim em um conjunto de conhecimentos que
incluíam estudos de Aritmética, Geometria, Estereometria (cálculo de volumes de
sólidos) e Astronomia. O essencial, no entanto, era a primazia dada pelos gregos
à Geometria, da qual todo o pensamento matemático era derivado. A Aritmética,
por exemplo, era concebida como parte da própria Geometria, como ficava
evidente nos trabalhos apresentados dois séculos antes da Escola Platônica,
pelos pitagóricos, que representavam geometricamente sequências numéricas,
conhecidas posteriormente como números figurados. Inclusive, expressões como
“quadrados perfeitos” surgem neste contexto, embora a associação da expressão
“elevado ao quadrado” muitas vezes passe desapercebida por professores e
alunos, perdendo uma ótima oportunidade de comentar sobre a ideia original da
potenciação com expoente igual a dois, que consistia no cálculo da área de um
quadrado de lado determinado. O mesmo vale para a expressão “elevado ao
cubo”. Imaginamos que os alunos podem se perguntar: “Mas afinal de contas, no
meio de tantos números e potências, onde estará o quadrado e o cubo?”.
No entanto, a importância do trabalho de Platão que enfocaremos está
relacionada à forma de expor suas convicções sobre realidade, repercutindo
imediatamente na maneira como compreendemos a própria Matemática. O
pensamento platônico distinguia claramente dois mundos: “um mundo
transcendente perfeito e imutável – o mundo do ser, atemporal e eterno – e outro
imperfeito e corruptível – o mundo imanente do vir-a-ser, imerso no tempo e no
torvelinho da transformação incessante, este em que nós vivemos” (SILVA, 2007,
p. 38). No primeiro universo, devido à incapacidade de acessá-lo concretamente,
só podemos fazê-lo através da razão e do entendimento. Na segunda apreciação
que faz, Platão enfatiza a possibilidade de alcançá-lo pelos sentidos. Por
exemplo, o objeto matemático triângulo só existe neste mundo idealizado e
perfeito, não no universo sensível ao ser humano, pois não podemos “construir”,
“desenhar”, “sentir”, “ver” um triângulo. Alguns educadores matemáticos também
distinguem a ideia de objeto matemático e sua representação, embora Platão não
usasse estes termos. Duval (2003) cita esta distinção necessária como sendo
35
uma das razões fundamentais para justificar a importância dos registros de
representações semióticas:
[...] os objetos matemáticos, começando pelos números, não são
objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de
instrumentos. O acesso aos números está ligado à utilização de
um sistema de representação que os permite designar (p. 14).
Mas esta citação está longe de querer provocar alguma analogia, pelo
contrário, remontamos às ideias de Platão para provocar uma distinção
fundamental: Duval utiliza a representação e as transformações de
representações como necessárias para ascendermos ao objeto matemático.
Platão abominava qualquer tentativa de ingresso neste mundo perfeito através
dos sentidos, inclusive através das representações, como o desenho, por
exemplo. Tal era sua veneração por este tipo de pensamento puro e imaculado de
qualquer contaminação de golpes sensíveis que, para ser admitido na Academia
Platônica o aspirante deveria possuir vasto conhecimento geométrico, já que este
estava ligado intimamente às próprias considerações filosóficas relevantes na
época que, em comum, possuíam a compreensão e indagação sobre questões
deste universo imperceptível e inacessível, a não ser pelo intelecto. Dizem,
inclusive, que nos portões de entrada de sua academia, estava escrito “ninguém
averso à Geometria pode entrar”, tal era a importância considerada a este tipo de
pensamento (LINTZ, 1999, p. 101).
Este racionalismo de Platão, como ficaram conhecidos filosoficamente os
juízos por ele idealizados, chega à crença de que os conceitos e objetos
matemáticos existem a priori, ou seja, independem da criatividade e do trabalho
do ser humano. Por este ponto de vista, a Matemática não é criada, mas sim
descoberta. Acreditamos que este tipo de pensamento encontra remanescências
até os dias de hoje, nas convicções de que a Matemática é uma ciência pronta,
acabada, e que os matemáticos nada tem a fazer senão descobrí-la em sua
totalidade e, a partir desta descoberta integral, resta o prazer de admirá-la, ainda
que sem a possibilidade de percepção sensorial. O pensamento platônico vai de
encontro ao que acredita Duval e os atuais estudos em Educação Matemática,
pois, ao contrário de Platão, proclamam a necessidade de compreender os
objetos matemáticos através de suas representações e ainda a importância de
36
contemplar (inclusive sensorialmente) as mais ricas e numerosas formas de
representá-los.
O platonismo, no entanto, influenciou e provocou convicções em alguns
sobre a certeza de que, sobre qualquer afirmação matemática, podemos
demonstrar sua validade ou sua falsidade. Para Platão, se ainda não obtemos
resposta para alguma asserção, é porque ainda não “descobrimos” a Matemática
envolvida para julgá-la correta ou não. Esta Matemática, no entanto, já existe, a
priori, e cabe a nós o trabalho de desvendá-la por completo. Acreditamos que até
a demonstração do Teorema da Incompletude, feito por Gödel, o qual
detalharemos mais a frente, a postura dos matemáticos, embora muitos não
considerassem a Matemática como sendo algo a ser descoberto, era de que
existiria alguma forma para solucionar qualquer problema em aberto, inclusive
alguns trabalharam a vida toda sobre poucos problemas tentando desvendá-los
como um grande desafio que justificaria sua obsessão por encontrar uma solução
adequada. Talvez esta concepção de matemáticos como descobridores de um
mundo inacessível aos sentidos, e a possibilidade de passar a vida dedicando-se
ao penoso trabalho de resolver um problema em aberto (alguns deles que até
hoje não foram solucionados, após séculos de estudos), transmita à sociedade
uma imagem dos matemáticos como seres obstinados, totalmente desligados da
realidade e produzindo algo que não proporcionará nenhum bem à comunidade a
qual estão inseridos, já que a Matemática transitaria apenas no universo das
ideias e do intelecto.
A Escola Platônica também foi o berço de muitas ideias conceituais da
própria Matemática. Um dos mais conhecidos discípulos de Platão foi Eudoxo de
Cnido que nasceu por volta de 408 a.C. e deixou grandes contribuições aos seus
seguidores, principalmente com sua Teoria das Proporções e com o Método da
Exaustão. A Teoria das Proporções foi exposta no livro V dos Elementos de
Euclides:
Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a
segunda e a terceira para a quarta se, quando equimúltiplos
quaisquer são tomados da primeira e da terceira e equimúltiplos
quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são
ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que,
os últimos equimúltiplos considerados em ordem correspondente
(HEALTH, 1981 apud BOYER, 1974, p. 62).
37
Isto significa, em linguagem matemática atual, que
a c
b d
=
se, e somente se,
dados inteiros
m
e
n
sempre que
ma nb
<
, então
mc nd
<
; se
ma nb
=
, então
mc nd
=
; se
ma nb
>
, então
mc nd
>
. Esta definição, embora pareça simples e até
ingênua nos dias atuais, representa uma grande revolução no pensamento
matemático grego, pois dá conta de resolver o grande impasse existente na
época: lidar com os problemas causados pela constatação das grandezas
incomensuráveis e aceitá-los.
Já o Método da Exaustão, também trabalhado por Eudoxo e considerado
uma produção da Escola Platônica, deu conta de outra questão fundamental que
atormentava os pensadores gregos: como lidar com o infinito? Hoje sabemos que
Arquimedes utilizava habilmente o que chamou de Método Geométrico para
realizar demonstrações por dupla redução ao absurdo. Para tanto, utilizava
postulados que, segundo Boyer (1974), o próprio Arquimedes atribuía a Eudoxo
sua formulação. São eles: (1) “Por repetidas adições a si mesmo, o excesso pelo
qual o maior de duas áreas excede a menor pode exceder qualquer área finita
dada” e (2) “Dadas duas grandezas distintas, se da maior se subtrai mais que sua
metade, e do restante mais que sua metade, e assim por diante, acabará
restando uma grandeza menor que a menor das grandezas” (ÁVILA, 1986, p. 38-
39).
O leitor deve ter observado que estas afirmações representam os primeiros
indícios do que, após cerca de dois milênios, ficaria conhecido como Cálculo
Diferencial e Integral. Porém, existe uma diferença fundamental nesta concepção
de infinito quando comparada àquela formalizada no século XVII. Como Ávila
(1986) bem menciona, os teoremas (1) e (2) podem ser escritos, respectivamente,
nas formas: (3) “Dadas as grandezas
a
e
b
existe um múltiplo de
a
que supera
b
, isto é,
na b
>
” e (4) “Dadas as grandezas
a
e
b
, existe um submúltiplo de
b
menor que
a
, isto é,
b
a
n
<
”. Mas qual seria a diferença primordial entre o conceito
de Eudoxo e aquele formulado aproximadamente vinte séculos depois? Para
Eudoxo as grandezas devem ser tomadas a priori para que possamos encontrar
um múltiplo ou submúltiplo que satisfaça as condições mencionadas. Utilizando
linguagem atual, poderíamos afirmar que Eudoxo construía sua teoria firmado na
concepção de infinito potencial, ou seja, a ideia de que o infinito poderia ser obtido
38
a partir de condições iniciais estabelecidas, como fica clara ao utilizar a expressão
“dadas a grandeza”. Esta concepção é muito diferente da atual formalização do
conceito de limite: “Sejam
f
uma função e
p
um ponto do domínio de
f
ou
extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de
f
. Dizemos que
f
tem limite
L
, em
p
, se, para todo
0
ε
>
dado, existir
0
δ
>
tal que, para todo
f
x D
∈ ,
(
)
0 x p f x L
δ ε
< − < ⇒ − <
” (GUIDORIZZI, 2001, p. 72). Embora sutil, a
diferença da expressão “dadas as grandezas” e “para todo” é essencial, pois a
segunda envolve a ideia de infinito atual, ou seja, podemos tratar todos os casos
como tento uma propriedade específica, ao invés de averiguarmos um repertório
de números.
Eudoxo e, portanto, a Escola Platônica incluindo, é claro, o próprio Platão,
em muito contribuíram para vários aspectos da Matemática. O que discutimos são
as implicações dos pensamentos filosóficos e das ideias propagadas pelo
platonismo, até hoje encontradas e inclusive muito difundidas.
2.1.2. Aristóteles
Prosseguindo nossa viagem filosófica, analisaremos as colaborações de
Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.), discípulo de Platão e mestre de Alexandre, o
grande (356 a.C. – 323 a.C.). Aristóteles é considerado o pai da Lógica e
detalharemos, logo à frente, suas contribuições neste campo, ao discutirmos o
movimento filosófico conhecido como formalismo. Ponderaremos, neste ponto,
sobre o juízo de Aristóteles em relação aos objetos matemáticos, comparando-o
com o de seu mestre Platão.
Aristóteles acreditava que a Matemática ocupava-se, assim como as
ciências empíricas, do estudo e análise de objetos, a priori, para em seguida tirar
destes as propriedades (geométricas ou aritméticas) que constituiriam uma
espécie de abstração, transformando-os em objetos matemáticos. Nesta maneira
de compreensão, poderíamos olhar para uma janela, para uma porta, para um
caderno e extrair desses objetos empíricos, concretos, materiais, a propriedade
matemática que nos interessa, por exemplo, todos têm forma retangular. O objeto
matemático “retângulo” é, portanto, uma abstração dos modelos ou
representações que podem ser sentidos. No entanto, janela, porta e caderno não
possuem apenas a propriedade de “terem forma retangular”, mas várias outras,
39
como por exemplo, o tipo do material do qual são compostas, a resistência, as
medidas, etc. O matemático se interessaria, dentro desta perspectiva, por extrair
do objeto o que lhe é mais valioso naquele momento.
Mas esta aparente prisão ao real não limitaria o trabalho do matemático ao
que é sensível a ele? Parece-nos que Aristóteles também indagou-se sobre esta
questão e, para ele, o mundo da realidade ou aquilo que podemos classificar ou
atribuir propriedades, vai um pouco além do que simplesmente pode ser visto.
Também podemos construir ou imaginar a construção daquilo que é possível ser
construído. Imaginemos, por exemplo, como constatar, dentro desta perspectiva
construível, o número “um trilhão”. Como esse número não aparecia na “prática”
da sociedade grega (e muito pouco na nossa também), deveríamos duvidar de
sua existência ao utilizarmos uma lógica de que só podemos nos referir ao que é
visto. Podemos, no entanto, declarar que esta construção é possível por adições
sucessivas de números menores. Da mesma forma, Aristóteles acreditava, por
exemplo, na possibilidade de calcular a área de um círculo por aproximações
através da construção de polígonos inscritos e circunscritos a ele, assim como fez
Eudoxo por meio do seu Método da Exaustão. Com essa técnica, Aristóteles se
apropriava do mesmo conceito utilizado pelos platônicos: conceber apenas a
característica de infinito atual, ou seja, embora pudéssemos construir polígonos
inscritos e circunscritos para se aproximar da área real do círculo, jamais
conseguiríamos obter a medida exata, já que a construção de um polígono com
“infinitos lados” é impossível. A própria ideia de infinito atual está ligada à
convicção aristotélica, fundamentada na possibilidade ou não de construção ou
representação dos objetos matemáticos.
Outra característica fundamental do pensamento aristotélico, e que
entendemos ser de grande valia para o nosso estudo sobre o currículo, é seu
parecer sobre a Matemática como ciência dedutiva, construída linearmente a
partir de axiomas:
Aristóteles a entendia [a Matemática] como um edifício
logicamente estruturado de verdades encadeadas em relações de
consequência lógica a partir de pressupostos fundamentais não
demonstrados. Essa concepção foi exemplarmente realizada em
Os Elementos de Euclides, em que a partir de um conjunto
mínimo de axiomas de natureza geral, e postulados específicos,
deriva-se todo um corpo de verdades aritméticas e geométricas
(SILVA, 2007, p. 50).
40
Acreditamos que muitas das ideias referentes ao currículo linear, como a
necessidade dos chamados pré-requisitos, ou seja, as convicções de que a
Matemática é uma ciência que precisa de um alicerce forte para ser construída e
que é impossível ensinar algum assunto sem que muitos outros sejam
aprendidos, parecem refletir este caráter importado inadequadamente da lógica
aristotélica de construção da própria Matemática.
No quadro apresentado a seguir, fazemos uma breve síntese das
diferenças e semelhanças entre o pensamento platônico e o pensamento
aristotélico que tanto influenciaram gerações de pensadores e, acreditamos,
influenciam também as convicções dos matemáticos dos dias atuais, inclusive na
escolha e organização dos conteúdos matemáticos a serem ensinados na escola.
QUADRO 1– PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DAS FILOSOFIAS DA
MATEMÁTICA DE PLATÃO E ARISTÓTELES.
Características Para Platão Para Aristóteles
Sobre os objetos
Matemáticos.
Existem
independentemente de
quaisquer sujeitos e
outros objetos.
Os objetos matemáticos
existem
independentemente do
sujeito, mas não de
objetos reais.
Sobre o conhecimento
matemático.
É puramente intelectual e
não requer a participação
essencial dos sentidos.
É intelectual, porém
envolve,
necessariamente, os
sentidos.
Sobre a verdade
matemática.
Independe do sujeito e
da atividade matemática.
Depende em algum grau
do matemático e de sua
atividade, quando se
trata de objetos
matemáticos possíveis.
Sobre a percepção dos
objetos matemáticos.
Toma-se consciência dos
objetos matemáticos por
algo semelhante a uma
“visão intelectual” (os
olhos da alma), ou
intuição de caráter
matemático, que conduz
ao reino celeste dos
domínios matemáticos.
Para intuir ou perceber
objetos matemáticos é
preciso abstraí-los.
Sobre a aplicação da
Matemática ao mundo
real.
A Matemática aplica-se
ao mundo real porque
esse mundo participa das
formas ideais.
A aplicabilidade da
Matemática não é um
mistério: ela já é uma
ciência (racional) de
aspectos abstratos do
mundo empírico.
Fonte: Silva (2007, p. 53-56).
41
2.1.3. Escolas Filosóficas do século XIX
Antes de continuar nosso estudo, vislumbrando agora as grandes correntes
do pensamento matemático que despontaram na segunda metade do século XIX
– o Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo – cabe um apontamento histórico
sobre os fatos precedentes a estes acontecimentos: esta tríplice distribuição de
pensamentos ocorre no período da chamada crise dos fundamentos matemáticos,
destacada pela criação da moderna teoria dos conjuntos de Cantor. Também
cabe-nos ressaltar que, embora sejam diferentes formas de conceber o
pensamento matemático, estas linhas filosóficas possuem algumas crenças
comuns, impregnadas no senso comum dos dias atuais. Os matemáticos
pertencentes a estas correntes eram unânimes ao reservar à Matemática um
posto único no conjunto do conhecimento humano. Também compartilhavam da
opinião de que ela não está aberta à experimentação empírica, já que constitui a
própria razão que antecede a experiência. A validação não é interna, tendo seus
princípios e verdades inquestionáveis, a não ser pela própria Matemática. Porém,
uma vez validadas internamente, estas crenças não estão sujeitas à revisão.
Como podemos constatar, este caráter inabalável e inquestionável da Matemática
como “A Rainha das Ciências
13
” está presente nos discursos da atualidade. O que
questionamos, no entanto, é como justificá-la enquanto disciplina escolar, através
de sua importância, seja contextualizada, seja aplicada, seja no cotidiano, seja no
seu desenvolvimento puro, seja na grandiosa possibilidade de interconexões
entre seus temas e também nas conexões com outras ciências, mas, de qualquer
forma, buscando desmistificá-la e tirá-la do pedestal que a torna quase inatingível
para meros mortais.
Vamos agora verificar os aspectos pontuais de cada uma das três escolas
filosóficas citadas até aqui, sempre buscando analogias com situações atuais que
justificariam o ensino ou não de determinados conteúdos, enfocando as
contribuições filosóficas para o Currículo de Matemática no Ensino Médio.
2.1.3.1. O Logicismo
O Logicismo é um pensamento matemático derivado de uma escola que
defende que a Matemática é redutível à Lógica, ou seja, os membros desta
13
“A Matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas”. Frase atribuída
ao matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855).
42
doutrina acreditam que todas as proposições matemáticas podem ser expressas
na terminologia da Lógica e todas as proposições matemáticas verdadeiras são
expressões de verdades lógicas (MACHADO, 2001b, p.27). A Lógica Formal
estuda as diferentes formas de argumentos válidos (dedução, indução, hipótese,
inferência, etc.) e as diferentes formas de determinação do que é verdadeiro ou
falso, determinando matematicamente uma conclusão a partir de um conjunto de
premissas.
Historicamente, existe um consenso de que a Lógica Formal teve a origem
de seus estudos sistemáticos com Aristóteles
14
(384 a.C. – 322 a.C.), que teve
sua obra, chamada Órganon, imortalizada e conhecida como uma importante
coleção de trabalhos sobre Lógica. O que escapa a muitos autores e achamos
fundamental observar nesta tese é que, pelo ponto de vista atual (ou mesmo dos
séculos XIX e XX), ficamos cegos a uma importante concepção aristotélica que
parece não ser levada em conta pelos matemáticos que adotam a visão logicista:
Aristóteles distinguia dois tipos de lógica – a lógica inorgânica e a lógica orgânica.
A primeira é aquela conhecida até os dias atuais e da qual a Lógica Formal e o
Ocidente se apropriaram. Porém, destacamos da Lógica orgânica um ponto
pouco estudado e até ignorado atualmente:
A Lógica de Aristóteles é uma tentativa de sistematizar o ato de
conhecer do organismo “homem” e, portanto, é fundamental
que nos recordemos aqui da noção de organismo e suar partes,
organogenia, estrutura e organograma, pois, de outro modo,
jamais colocaremos a lógica do Estagirita em sua perspectiva
correta. Portanto, ela não só é a lógica de linguagem falada
apenas, domínio da lógica inorgânica, mas também é a lógica dos
princípios que se liga à estrutura do organismo humano e é,
portanto domínio da lógica orgânica. (LINTZ, 1999, p. 110).
Aristóteles conceitualiza axioma como uma “verdade evidente por si
mesma” e o distingue de postulado afirmando que este é apenas uma proposição
aceita por convenção em uma determinada ciência ou ramo do conhecimento.
Mas é na sua definição para silogismo que aparece claramente sua lógica
orgânica. Em Analytica Priora ele afirma que “um silogismo é uma exposição em
que, certas coisas sendo ditas, outras delas decorrem por necessidade, isto é,
elas produzem o consequente e, assim nenhum termo adicional é requerido para
14
Para mais detalhes sobre Lógica Formal, ver o capítulo 2 de Machado e Cunha (2005).
43
que a consequência se faça necessária”. Para Lintz (1999) as afirmações
“decorrem por necessidade” e “a consequência se faça necessária” indicam que
estas decorrências são sentidas como tal, refletindo ações inerentes ao
organismo do homem.
Outra grande contribuição histórica para a Teoria da Lógica Formal foi
dada, no século XVII, por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). Leibniz
estudou Direito, Teologia, Filosofia e, é claro, Matemática na universidade. Só não
obteve o grau de doutor em Direito por sua pouca idade, pois tinha apenas vinte
anos, mesmo assim, conquistou este título na Universidade de Altdorf em
Nüremberg, onde lhe foi oferecido o cargo de professor de direito, o qual ele
recusou (BOYER, 1974, p. 275). Seu trabalho como diplomata,
consequentemente suas muitas viagens a trabalho, e sua formação e educação
herdada de seus pais, o fizeram um homem de grande cultura, capacidade
argumentativa e facilidade de promover e manter relações interpessoais.
Possivelmente, estas qualidades o ajudaram no convencimento da Real Society
sobre a conturbada questão do mérito da “descoberta” do Cálculo Diferencial e do
Cálculo Integral, ou melhor, da relação inversa entre dois conceitos (derivada e
integral), descoberta por ele e por seu contemporâneo Isaac Newton (1643 –
1727). Provavelmente, seus profundos conhecimentos e sua formação em Direito,
além da qualidade de filósofo, o fizeram vislumbrar a possibilidade de desenvolver
e contribuir para a Matemática no campo da Lógica. Em 1666, mesmo ano que
lidou com a frustração de não obter seu título de doutor em Direito pela pouca
idade, Leibniz publicou De Arte Combinatoria, reduzindo discussões lógicas a
uma série de símbolos com propriedades relacionais entre eles, desenvolvendo
uma espécie de álgebra da lógica.
Símbolos universais ou ideogramas deveriam ser introduzidos
para o pequeno número de conceitos fundamentais necessários
ao pensamento, e ideias compostas deveriam ser formadas desse
“alfabeto” dos pensamentos humanos como as fórmulas são
desenvolvidas em Matemática. O próprio silogismo deveria ser
reduzido a uma espécie de cálculo expresso num simbolismo
universal inteligível em todas as línguas. A verdade e o erro
seriam apenas questão de cálculo correto ou errado dentro do
sistema, e terminariam as controvérsias filosóficas. (BOYER,
1974, p. 280).
44
Leibniz sabia que seria possível reduzir noções aritméticas à Lógica, mas,
somente no século XIX, o matemático, lógico e filósofo alemão Friedrich Ludwig
Gottlob Frege (1848 – 1925) efetivamente conseguiu “logicizar” a Matemática.
Após a redução de toda a Matemática à teoria dos números naturais, o próximo
passo foi reduzí-la ao menor número de premissas e axiomas possíveis, dos
quais pudessem desenvolvê-la. Este trabalho foi feito por Giuseppe Peano (1858
– 1932) que propôs três ideias primitivas na aritmética – zero, número e sucessor
– além de supor cinco proposições primitivas: (1) zero é um número; (2) o
sucessor de qualquer número é um número; (3) dois números diferentes nunca
têm o mesmo sucessor; (4) zero não é sucessor de nenhum número e (5)
qualquer propriedade que pertença a zero e também ao sucessor de qualquer
número que tenha essa propriedade pertence a todos os números (princípio da
indução matemática). (RUSSELL, 2007, p.21-23).
Como veremos novamente, mais adiante nesta tese, ao versarmos sobre a
transição do Modernismo para o Pós-Modernismo, o século XIX foi marcante para
a Matemática, dentre outros motivos, por finalmente formalizar, após tantas
tentativas históricas, uma Teoria dos Conjuntos que pudesse “operar” e
“operacionalizar” a Lógica Formal, assim como fez Frege. Ocorre que, a suposta
consistência desta teoria, paradoxalmente deixaram-na exposta a inúmeras
tentativas de contradizê-la ou negá-la. Nessa época, são enunciados vários
paradoxos que contrariam a estrutura matemática vigente, como o de Burali-Forti,
em 1897, e o de Cantor, em 1899. Porém, nenhum deles ficou tão conhecido
como o “Paradoxo de Russell
15
”, enunciado em 1902 e que produziu várias
metáforas a fim de facilitar sua compreensão. Uma dessas metáforas é
reproduzida a seguir:
Consideremos o conjunto cujos elementos são os catálogos de
livros. Diremos que um catálogo é normal se ele não se incluir
entre os livros que cita; se ele se incluir, será anormal.
Consideremos, agora, o conjunto de todos os catálogos normais e
organizemos o catálogo de todos os catálogos normais. Este
catálogo será normal ou anormal? Se ele for normal, ele não se
incluirá, por definição deste atributo e, portanto, deverá se incluir
uma vez que é o catálogo de todos os catálogos normais, sendo,
15
Seja N o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si próprio e seja
X
um conjunto
qualquer. Então: XXNX
∉
⇔
∈
. Para o caso NX
=
tem-se a contradição:
NNNN
∉
⇔
∈
(EVES, 2004, p. 674-675).
45
consequentemente, anormal. Se ele for anormal, ele se incluirá e,
portanto, será normal, uma vez que só inclui os normais. E agora?
(MACHADO, 2001b, p. 27).
Afora o lado histórico desta corrente filosófica, após a análise desses fatos
matemáticos e seus personagens ilustres, podemos olhar para o Currículo de
Matemática e constatar que muitos paradoxos também surgem da tentativa de
construir sequências bem definidas de conteúdos logicamente e linearmente
construídos, assim como Russell testificou dentro da própria Matemática.
Como construir ou montar sequências lineares se o pensamento e
conhecimento não o são? Como pensar na construção do “edifício matemático”
bem alicerçado em ideias e premissas, assim como fez Peano, se nem tudo
depende necessariamente deste alicerce para se constituir em um conhecimento
matemático e, mais, como fazê-lo em uma sala de aula onde outras variáveis
interferem na construção do conhecimento e estas não possuem “caráter”
puramente matemático, como as componentes culturais e sociais? Deixemos
estas questões em aberto, pelo menos por enquanto.
2.1.3.2. O Formalismo
Seguindo nosso breve estudo sobre as raízes filosóficas da Matemática
presentes no Currículo, analisaremos uma segunda vertente, muito presente até
os dias atuais, no pensamento e na ação de professores e elaboradores de
currículos: o Formalismo.
Podemos iniciar nossa breve história sobre essa escola filosófica
analisando o trabalho marcante de dois grandes matemáticos que revolucionaram
o pensamento geométrico no início do século XIX: o russo Nikolai Ivanovich
Lobachewsky (1793 – 1856) e o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826
– 1866). A grande contribuição destes eminentes cientistas relaciona-se a uma
das grandes características dos filósofos gregos: a tentativa de formalizar a
Matemática existente na época (ainda que o próprio termo Matemática não
existisse na época, mas não entraremos neste mérito) e o rigor com que tratavam
este assunto. Um dos célebres gregos que se ocupou desta questão foi Euclides
(360 a.C. – 295 a.C.) através de sua conhecidíssima obra intitulada “Os
Elementos”. Como sabemos, qualquer sistema formal não é totalmente
justificável, ou seja, devemos partir de premissas consideradas verdadeiras a
46
priori, portanto não sendo necessária sua demonstração. A partir destes axiomas
ou postulados toda uma nova teoria pode ser construída demonstrando-se
proposições a partir de um certo número de afirmações primitivas. Estas
afirmações demonstradas a partir de verdades absolutas e “indemonstráveis”
chamamos de teoremas. Ocorre que Euclides enuncia um teorema que foi alvo de
inúmeros estudos e representou um grande obstáculo aos seus sucessores, por
mais de dois milênios: “Se uma reta t corta duas outras r e s (todas num mesmo
plano) de modo que um dos pares dos ângulos colaterais internos tem soma
inferior a dois ângulos retos, então as retas r e s, quando prolongadas
suficientemente, se cortam do lado de t em que se encontram os referidos
ângulos colaterais internos”. Um outro enunciado deste mesmo teorema, muito
mais fácil de compreender, foi proferido pelo matemático escocês John Playfair
(1748 – 1819): “Por um ponto fora de uma reta não se pode traçar mais que uma
reta paralela à reta dada”. No entanto, a questão importante para nós não é
compreender, muito menos demonstrar este teorema, até porque é impossível
demonstrá-lo! É aí que reside o grande enigma que intrigou várias gerações de
interessados na resolução desta chave para compreensão da Geometria.
Finalmente na primeira metade do século XIX, Lobachewsky e Riemann
demonstram que o Teorema de Euclides, na verdade, é um axioma, ou seja, toda
a Geometria Euclidiana é construída admitindo-se que esta proposição seja
verdadeira e mais, é possível demonstrar a impossibilidade de demonstrá-la.
Desta maneira, sabidamente este antigo “teorema” passa para a história como o
Quinto Postulado de Euclides.
O final do século XIX e o início do século XX caracterizou-se por um
período de intensa atividade de uma Matemática “profissional”, ou seja, a
existência de uma área bem delimitada e caracterizada pela existência de
encontros e publicações que, como sabemos hoje, identificam ações
representativas de um campo de conhecimento científico.
Dentre estas ações, destacamos a realização, em 1900, do segundo
congresso internacional de Matemática, em Paris. Bem diferente da primeira
versão, este congresso entra para a história com a conferência de abertura,
realizada por David Hilbert. Ele lista vinte e três problemas que orientaram os
trabalhos de grandes pesquisadores matemáticos do século que se iniciava.
47
Estas implicações também influenciam o mundo da Matemática, bem como
seu ensino, já que após os grandes acontecimentos científicos ocorridos, o ensino
dela era sinônimo de avanço tecnológico e certeza de bons resultados
econômicos e políticos. Surge a Educação Matemática como disciplina, apoiada
em iniciativas como: a fundação, em Genebra, da revista L’enseignement
mathématique, dirigida por Henry Fehr e Charles-Ange Laisant, cuja primeira
publicação ocorre em 1900; a edição do livro “Matemática elementar de um ponto
de vista avançado”, por Felix Klein (1849-1925) e a fundação, em Roma, da
Comissão Internacional de Instrução Matemática (IMUK/ICMI), sob liderança de
Felix Klein, durante o Congresso Internacional de Matemáticos, entre outros.
A partir da consolidação da Educação Matemática como campo de
pesquisa e ensino, em contrapartida com a preocupação com o formalismo
matemático existente no início do século XX, começam a surgir os primeiros
conflitos sobre como ensinar esta Ciência. John Dewey (1859-1952) faz críticas
ao formalismo existente no ensino. John Perry, na Reunião da British Association
(Glasgow), em 1901, já aponta para o fato de não podermos “excluir”
matematicamente alguns alunos em prol de outros talentosos. Grace C. Young
(1868-1944) e William H. Young (1879-1932), escrevem sobre a importância do
concreto, e na utilização de matérias manipuláveis no ensino de Matemática,
principalmente Geometria. Eliakim H. Moore (1862-1932) revela a importância da
interdisciplinaridade, propondo o ensino de Matemática e Física, integrados em
Laboratório. Felix Klein (1849-1925) comenta a importância da relação professor-
aluno no ensino de Matemática e o fundamental papel da intuição, das
conjecturas, das hipóteses, para estimular o interesse dos alunos. Verificamos,
portanto, que estas questões e discussões são extremamente atuais!
Este estruturalismo marca uma nova forma de descrever a Matemática
como uma Ciência em busca de uma maior integração. Os vinte e três problemas,
enunciados por Hilbert, no início do século XX, orientaram o caminho por onde as
pesquisas seguiriam durante todo aquele século. As representações ganharam
força e a visualização foi deixada de lado, pois a Matemática atinge um ponto
onde nem tudo pode ser representado visualmente. A dimensão infinita, os
espaços abstratos, a Topologia, são exemplos de campos, dentro da própria
Matemática, desenvolvidos naquele tempo.
48
A busca pela aceitação destas ideias estruturalistas da Matemática inspira
alguns matemáticos franceses a criarem, em 1934, o grupo Nicolas Bourbaki,
publicando uma série de fascículos intitulados “Élements de mathématiques”,
publicação interrompida pela Segunda Guerra Mundial, porém prosseguida após
o término da mesma. Essa tentativa de estruturar o ensino de Matemática
sustentada, em boa parte, pela Teoria dos Conjuntos, influencia o movimento
internacionalmente conhecido como M.M.M. (Movimento Matemática Moderna), e
torna-se um exemplo clássico da materialização das ideias formalistas aplicadas
ao ensino, que repercutiram durante muitos anos, inclusive no Brasil.
Antes mesmo de sua marcante participação no Segundo Congresso
Internacional de Matemática, Hilbert, crendo na possibilidade de estruturação total
da Matemática, englobando Análise, Álgebra e Geometria em poucos axiomas
que, no seu entender, facilitariam e descreveriam tudo o que a humanidade já
havia produzido nesta área, tentou fazê-lo na obra “Fundamentos da
Geometria
16
”, publicada em 1899, onde ele definiu conceitos primitivos (ponto,
reta e plano) e formulou 20 axiomas.
Posteriormente, Hilbert provou que os seus axiomas de Geometria seriam
consistentes se a Aritmética fosse consistente. Consistente significa a
possibilidade de demonstrar qualquer proposição matemática a partir de alguns
axiomas existentes. Ocorre que, em 1931, Kurt Gödel provou que em qualquer
sistema formal da Aritmética há sempre proposições cuja veracidade ou falsidade
não podem ser provadas a partir dos axiomas do sistema. Este resultado não só
frustrou o sonho de Hilbert, como também representou uma verdadeira
apunhalada nas ideias formalistas. Mais adiante, entraremos em maiores detalhes
sobre as consequências do trabalho de Gödel para a Matemática, para a Filosofia
e para a Educação Matemática.
Sintetizando, podemos afirmar que os formalistas procuravam esvaziar o
discurso matemático de qualquer referência, significado ou verdade, reduzindo-o
a um discurso vazio em que “não sabemos do que estamos falando nem se aquilo
que falamos é verdade”, como escreve Russell. Segundo Silva (1999) “os
formalistas têm muitas dificuldades em explicar como, sendo a Matemática o que
eles creem ser, ela pode ter qualquer utilidade na nossa descrição de um mundo
16
Grundlagen der Geometrie.
49
objetivo, como parece ser o caso nas aplicações da Matemática às Ciências
empíricas e à nossa vida quotidiana” (p. 49).
As repercussões desta escola para a Educação Matemática, para a prática
pedagógica dos professores em sala de aula e, principalmente, para a elaboração
de Currículos de Matemática foram inevitáveis e marcantes. Ao nosso ver, a ideia
de conceber a Matemática como uma linguagem estruturada e ensiná-la desde os
primeiros anos da educação formal da criança não é ruim. Aliás, já dissemos
nesta pesquisa que abordar a Matemática como impregnada à Língua Materna,
como nos mostra Machado (2001a), é algo mais natural do que imaginamos. O
problema é compreender a própria Matemática dentro das diversas perspectivas
filosóficas que se contrapõem. Afinal de contas, esbarramos na questão filosófica
atual que intrigou, sendo inclusive título de um livro dos grandes matemáticos
Richard Courant e Herbert Robbins (2000) e intriga vários especialistas, sendo
também mencionada por Silva (1999): “O que é isto, a Matemática?”.
Como já vimos, o próprio Movimento Matemática Moderna representou
claramente as aspirações dos formalistas, porém teve como consequencia um
fracasso retumbante, entre outros motivos, pela inexpressiva repercussão que
encontrou junto aos professores. Cabe-nos, portanto, encontrar uma alternativa
factível, real e concreta, não do ponto de vista matemático, mas no sentido de ser
possível realizá-la. Já que este movimento infecundo pode ser amplamente
estudado no presente, cabe-nos aprender com o passado para não incorrer nos
mesmos erros.
Será que existem professores, elaboradores de Currículos e matemáticos
formalistas até os dias atuais? Achamos que a resposta evidente é sim, e não
precisamos de pesquisa para comprovar isto. Ao constatarmos discursos tidos
como senso comum, como os relacionados por Machado (2001a): “A Matemática
é exata”, “a Matemática é abstrata”, “a capacidade para a Matemática é inata”, “a
Matemática justifica-se pelas aplicações práticas” e “a Matemática desenvolve o
raciocínio”, percebemos que a ideia formalista está presente em algumas destas
afirmativas e também na concepção linear de currículo.
50
2.1.3.3. O Intuicionismo
A terceira classe de pensadores filosóficos que estudaremos é a escola
intuicionista. O intuicionismo é derivado da corrente filosófica construtivista que
teve início com as reflexões do filósofo alemão Immanuel Kant (1724 – 1804).
Para Kant, as proposições matemáticas podem ser classificadas como analíticas
ou sintéticas. “Segundo ele, um enunciado analítico é aquele em que a
representação denotada pelo sujeito do enunciado contém a representação
denotada pelo predicado, ou seja, a ideia que fazemos do sujeito contém
necessariamente a ideia que fazemos do predicado” (SILVA, 2007, p. 96). Por
exemplo, na frase “todo inseto é um animal”, é uma asserção analítica, pois o
enunciado “ser inseto” contém nossa representação de “ser animal”. Da mesma
maneira, a afirmativa “nenhum homem morto está vivo”, pode ser classificada na
mesma categoria, pois o significado atribuído a “não morto” contém (neste caso é
idêntico) a assertiva “vivo”. Já as proposições sintéticas são aquelas nas quais “os
significados expressos pelos termos do enunciado (o sujeito e o predicado) não
estão entre si numa relação de subordinação (SILVA, 2007, p. 97). Por este
conceito, afirmar que a frase “o gato é pardo” relaciona dois significados que não
são dependentes. Ser gato ou ser pardo, não possuem relação de subordinação.
Aqui reside o pensamento essencial de Kant e sua concepção matemática, pois
ele acreditava que enunciados matemáticos seriam sintéticos a priori, ou seja,
verdades universais que, diferentemente das experimentações empíricas, feitas a
posteriori, por outras ciências como a Física, a Química e a Biologia, não
poderiam nos levar a conclusões conflitantes e independeriam das condições e do
contexto em que o experimento foi realizado, ou seja, são verdades e ponto final.
Mas o que seria a experimentação empírica que Kant propõe para se
assegurar da veracidade ou falsidade de uma afirmação matemática?
Procedimentos experimentais de verificação poderiam ser utilizados para este fim.
Para isto, ele propõe o uso das construções com régua e compasso na Geometria
e procedimentos de contagem na Aritmética. Desta maneira, poderíamos aceitar,
por exemplo, que “1 + 1 = 2” meramente através da contagem e que a afirmação
“num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes” pode ser acatada
através da construção do triângulo e posterior verificação da congruência dos
ângulos.
51
Mas o que diferencia a concepção que Kant tem dos processos empíricos
matemáticos daqueles realizados nas outras ciências? Em Física, por exemplo,
ao constatarmos que a água passa do seu estado líquido para o sólido, a zero
grau Celsius, como a experimentação é feita a posteriori, não temos como
argumentar que isto ocorrerá sempre. Mas, na Matemática, Kant propõe que os
objetos matemáticos sejam definidos a priori, dando um caráter transcendente a
este campo de conhecimento. Mas por quê? Talvez pelo fato de não podermos
jamais atingir os objetos matemáticos, a não ser por suas representações, ao
contrário das ciências físicas, químicas e biológicas, mas é certo que a questão
envolvida neste projeto é a fé.
Inspirado pelas ideias de Kant, o matemático holandês Luitzen Egbertus
Jan Brouwer (1881 – 1966) cria o movimento intuicionista, acreditando que a
Matemática “nasce das experiências mentais essencialmente incomunicáveis de
uma consciência viva inserida no tempo, e da lógica como um cânone de
princípios formais a priori que se impõem ao pensamento independentemente da
matéria com que este se ocupa” (SILVA, 1999, p. 47-48).
Para Brouwer, a interpretação de tempo contínuo fugia à intuição, fazendo-
o conceber a Matemática como dividida em sucessivos instantes, caracterizando
sua ideia de supervalorização das variáveis discretas em detrimento das
contínuas. Da mesma maneira, só poderia aceitar, intuitivamente, a ideia de
infinito como potencial, divergindo sobremaneira do seu rival Hilbert e, por
consequência, de toda a tendência formalista:
Sequências temporais discretas podem, todavia, ser refinadas.
Entre dois instantes do tempo há sempre um instante
intermediário, e assim indefinidamente. A consciência desse
processo de refinamento é nada menos que a intuição do contínuo
matemático. É digno de nota que o contínuo da intuição, para
Brouwer, não e um conjunto infinito de pontos dado de uma vez
por todas, mas um processo de geração de sequências finitas de
pontos, que a cada momento nos dá apenas uma quantidade finita
delas, mas que está sempre gerando novas sequências e dando
prosseguimento àquelas já iniciadas. (SILVA, 2007, p. 150).
Outro fator discordante dos intuicionistas, desta vez demarcando suas
distinções em relação aos logicistas, foi a anulação do chamado princípio do
52
terceiro excluído
17
. A legitimação deste princípio incorreria em dizer que todo o
teorema matemático é solúvel, ou seja, é possível demonstrar sua validade ou a
negação da mesma. Para Brouwer, esta validação ficaria restrita a quando fosse
possível examinar exaustivamente todos os casos ou quando houvesse uma
regra clara para geração dos infinitos elementos, como o princípio da indução
finita. Em outros contextos em que a infinidade aparece sem regras de
construtibilidade, a comprovação do princípio não é aceita como, por exemplo, o
teorema “existem infinitos números primos”. Ironicamente, Gödel demonstraria
justamente o que, para Brouwer, era uma crença, ou seja, a impossibilidade de
demonstrar todas as asserções matemáticas.
Outra crença intuicionista residia no fato da distinção clara e extremamente
dissociada entre os objetos matemáticos e a linguagem matemática:
O ponto de vista do Intuicionismo é, pois, o de que a Matemática é
uma construção de entidades abstratas, a partir da intuição do
matemático, e tal construção prescinde de uma redução à
linguagem especial que é a Lógica ou de uma formalização
rigorosa em um sistema dedutivo. Admitem os intuicionistas a
utilidade dos sistemas formais, mas os consideram produtos
acessórios resultantes de uma atividade autônoma, construtiva. E,
com certo desprezo, atribuem à linguagem matemática uma
função essencialmente pedagógica (MACHADO, 2001b, p. 40)
Do ponto de vista curricular, podemos analisar criticamente várias
propostas sendo pautadas em ideias ou ideais intuicionistas. Ainda que não
saibam, vários alunos também trabalham desta forma, como Kant acreditava,
partindo de experimentações a priori e generalizando, muitas vezes de maneira
inadequada, alguma proposição. Sabemos que a intuição falha, muitas vezes,
quando tratamos de afirmações matemáticas e suas respectivas demonstrações,
mas não podemos negar que as ideias intuicionistas, ou parte delas, podem
proporcionar um enriquecimento às discussões curriculares.
Acreditamos que os alunos devem saber até onde a intuição pode serví-los
e até onde a intuição pode enganá-los. Mas a fim de que este tipo de discussão
ocorra ou para que o aluno tenha argumentos e experiências para debater e
refletir sobre, devemos apresentar um rol de exemplos, contra-exemplos,
17
Para qualquer afirmação A, temos uma demonstração de A ou uma demonstração da negação de A. Em
linguagem simbólica: AAA
¬
∨
∀
:
53
demonstrações, provas e até “mostrações” (resolvemos chamar desta maneira a
experimentação a priori dos intuicionistas seguidas pelas generalizações e pela fé
existente nesta transição).
Aliás, fé parece algo que, atualmente, mantemos muito afastada da
Matemática. Quando estudamos, ou pelo menos lemos sobre a história de vida de
alguns filósofos que “faziam” Matemática e também professavam sua fé e suas
crenças, através das religiões mais difundidas ou de seitas secretas, observamos
que soa como uma prática ultrapassada.
Convidamos o leitor a fazer uma pequena reflexão. Todos aqueles que se
interessam por Matemática e, principalmente, por sua história, conhecem o Último
Teorema de Fermat (UTF) e toda a história acerca do “talvez” blefe utilizado pelo
francês Pierre de Fermat (1601 – 1665). O mundo ficou atônito ao saber que o
matemático britânico Andrew Wiles obteve uma solução para este problema,
passando-o do posto de conjectura para teorema. Embora saibamos enunciar
este teorema, poucos sabem efetivamente demonstrá-lo, porém quase todos
acreditam que Wiles o fez, no final do século passado. O que envolve nosso ato
de crer que Wiles realizou este feito sendo que poucas pessoas no mundo podem
evidenciar esta proeza? Nada senão a crença, a fé, ou seja, acreditar em algo
que não podemos fazer, nem compreender. O que diferencia esta mesma fé que
temos na demonstração de Wiles sobre o UTF da crença nas afirmações
sintéticas a priori de Kant e Brouwer? Talvez o fato das nossas serem a posteriori.
Aproveitando o fato de discutirmos algumas questões relativas às
demonstrações matemáticas e o uso da intuição, achamos importante mencionar
que as novas vertentes da Filosofia da Matemática possuem algumas tendências
que incluem a utilização da intuição e a superação ou desmistificação do caráter
quase divino da Matemática, sobre a qual não pode pairar nenhum tipo de dúvida,
muito menos a possibilidade de submetê-la a verificações e revisões. Apenas
para exemplificar o quanto este caráter de infalibilidade torna-se cada vez mais
evidente, mencionamos o famoso Teorema das Quatro Cores. Este Teorema
nasce com a conjectura formulada, em 1852, pelo matemático inglês Francis
Guthrie (1831 – 1899) de que seria possível colorir um mapa de países reais ou
imaginários, de forma que países com fronteira comum tenham cores diferentes,
utilizando para tanto apenas quatro cores. Apenas em 1976, com a ajuda de um
computador IBM 360, em Urbana (Illinois), Kenneth Appel e Wolfgang Haken
54
demonstraram que, realmente, assim como Guthrie havia conjecturado, o número
mínimo de cores que se deveria usar era quatro.
A questão, no entanto, não está no detalhamento de qual teoria foi utilizada
para a demonstração, mas no método utilizado. Appel e Haken utilizaram um
computador para varrer todas as 1482 configurações possíveis, processo que
durou mais de mil horas, utilizando computadores de alta velocidade (SOUSA,
2001). Esta verificação pode ser considerada uma prova matemática? Após a
apresentação deste exame minucioso de todos os casos possíveis, vários
matemáticos sentiram-se incomodados pelo fato de não encontrarem uma
demonstração “formal” e rigorosa, segundo os critérios formalistas. Até hoje
ninguém conseguiu demonstrar este teorema, senão pelo uso computacional
como ferramenta.
Este caráter quase empírico das demonstrações e a ideia de utilizar os
computadores como recursos para validar resultados intuídos demonstram como
a Filosofia da Matemática lida atualmente com questões que as três escolas
filosóficas – logicismo, formalismo e intuicionismo – fugiam, corroborando a
mesma crença de que a Matemática não está aberta à verificação empírica, muito
menos sujeita à revisão.
Achamos que o empírico, a tentativa, o erro, o sentido que a Matemática
deve fazer dentro da própria Matemática e, inclusive, as demonstrações
“rigorosas”, devem ser experimentadas pelos alunos. Contudo, deve ficar claro
como o caminho foi construído e que nem tudo é verdadeiro ou falso, certo ou
errado, pois depende do sistema lógico axiomático que adotamos. Então, por que
estudar somente a Geometria Euclidiana ou, um pouco menos radical, por que
não citar outra Geometria que não seja a euclidiana? Por que, ao demonstrar
algum teorema utilizando a técnica da redução por absurdo, comentar que a
lógica utilizada, neste caso, é a formal aristotélica e aproveitar a oportunidade
para comentar algo sobre outros tipos de lógica nas quais nem tudo tem apenas
duas opções como, aliás, quase tudo em nossas vidas?
Estamos convencidos de que, para discutir todas estas questões, faz-se
necessária a discussão da História da Matemática como eixo articulador,
indagador e questionador no ensino de Matemática, tornando-a mais humana,
falível, sujeita a novos questionamentos a todo o momento. Como um aluno pode
surpreender-se, nos dias atuais, ao saber que existem problemas matemáticos
55
em aberto? Provavelmente, se isso ocorre, é porque jamais conheceram parte da
história desta Ciência.
Se hoje perguntamos quais os critérios para a escolha de conteúdos no
Ensino Médio, logo mais, caso não ocorram estas reflexões e mudanças dentro
do Currículo de Matemática, poderemos mudar a questão para quais os critérios
para justificar o ensino de Matemática na escola, pois o próprio caráter de Ciência
já foi questionado, e isto não ocorreu há pouco tempo:
Alguns filósofos vão um pouco mais longe, recusando à
Matemática sequer o privilégio de ser uma ciência. E esta
tendência não é assim tão recente, Poincaré já havia retirado da
Geometria o caráter de ciência. Para ele uma particular Geometria
seria apenas um instrumento mais ou menos útil para a
organização de nossa experiência do espaço real ou nossos
conceitos abstratos de espaço. Hoje, os filósofos de orientação
pragmatista ou não-pragmatista questionam os próprios conceitos
tradicionais de verdade, conhecimento e ciência, privando-os de
seu papel privilegiado diante de outras tentativas humanas de
organizar de modo eficiente nossa experiência do mundo, como a
arte ou a religião. Não há por quê não contestar também a
pretensão científica da Matemática, estendendo para toda ela o
que Poincaré pensava apenas da Geometria (SILVA, 1999, p. 55).
Paramos, neste momento, diante de uma reflexão sobre a importância
desta pesquisa. Não imaginávamos que, durante este trajeto, poderíamos
repensar, ou melhor, redimensionar sua relevância. Ao justificarmos ou
buscarmos critérios para seleção de conteúdos estamos, ao mesmo tempo,
buscando parte da justificativa do próprio ensino de Matemática. Não queremos
entrar em detalhes sobre a história das disciplinas escolares, mas o que está em
jogo é muito mais que escolher conteúdos adequadamente – é compreender
como a Matemática se justifica como disciplina escolar, levando em conta,
principalmente, sua história.
2.1.4. Contribuições dessa análise para a reflexão sobre o
Currículo de Matemática
Relacionar as contribuições das grandes escolas filosóficas e sua presença
nos Currículos de Matemática não é tarefa simples, mas vislumbramos algumas
possibilidades que passamos a apresentar.
56
Podemos conjecturar que o racionalismo platônico ainda está presente nas
práticas escolares, por meio de ações que manifestem o caráter da Matemática
como ciência a ser descoberta e não criada. Isso causa uma falsa impressão nos
alunos de que a Matemática é um corpo de conhecimentos fechado e imutável.
Pelo contrário, a Matemática deveria ser apresentada às novas gerações como
ciência aberta e falível, explorando todas as possibilidades de acesso às suas
representações para melhor compreendê-la.
Já em Aristóteles, identificamos a origem da característica dedutiva da
Matemática, muito presente nas concepções de alunos e professores, realizada a
partir de axiomas que sustentam a teoria. Estas construções, muitas vezes,
contrariando a experimentação que o próprio Aristóteles tanto prezava, são
apresentadas no Ensino Médio sem uma prévia manifestação, por parte dos
alunos, de suas conjecturas e verificações pessoais sobre a validade de
determinada proposição. Por essa perspectiva, em alguns momentos, o processo
e as técnicas de demonstração tornaram-se protagonistas do trabalho matemático
em sala de aula.
Dentre as escolas clássicas da Filosofia da Matemática, compreendemos
que o Logicismo foi a que traz menores repercussões às práticas escolares
atuais. A própria Lógica parece tratada com certo desdém quando comparada a
outros campos da Matemática abordados no Ensino Médio. Daí surge uma
questão que nos intriga e parece justificar, em parte, a complexidade com que as
demonstrações são encaradas pelos alunos: se as provas são tão importantes e
devem ser apresentadas aos estudantes desde o Ensino Fundamental para se
acostumarem à linguagem matemática, por que o próprio ensino da Lógica não é
valorizado, já que as técnicas demonstrativas se utilizam dela como instrumento?
Aliás, sobre qual lógica estamos falando? Parece incontestável que, ao
mencionarmos Lógica, nos referimos à Aristotélica Clássica, porém sabemos que
atualmente os matemáticos construíram outros sistemas axiomáticos lógicos,
como a Lógica Fuzzy e a Lógica Paraconsistente. Não seria possível abordá-los
na Educação Básica?
As ideias formalistas, como vimos, marcaram o currículo de Matemática por
décadas através do Movimento Matemática Moderna e, por que não dizer,
produzem repercussões até os dias atuais, porém com menor intensidade, pois o
discurso contemporâneo parece privilegiar o utilitarismo da Matemática no
57
cotidiano das pessoas. De qualquer modo, entendemos que a grande
repercussão formalista que causou maior prejuízo às práticas atuais não está
relacionada aos conteúdos em si, mas à organização dos mesmos. A disposição
linear do currículo parece encontrar raízes profundas no discurso desta escola
filosófica que era firmado na construção da Matemática de maneira linear,
partindo de axiomas. Talvez, dessa forma de construtividade formalista, também
tenha surgido o paradigma referente à suposta necessidade de ensinar do mais
simples ao mais complexo.
Na contramão do formalismo, o intuicionismo que apregoava a
experimentação a priori, parece presente na rotina escolar, talvez até pela própria
impotência gerada nos alunos pela não compreensão das ideias formalistas.
Algumas metodologias de ensino de Matemática parecem firmadas nessa
premissa e apregoam a necessidade dos alunos estabelecerem conjecturas
através de experimentações. No entanto, o papel do professor complementa o
processo inacabado do aluno, refutando ou demonstrando a veracidade das
conjecturas, através de demonstrações ou contra-exemplos. Assim como o papel
do professor em uma metodologia como essa, entendemos que cada escola
filosófica possui características que podem ser agregadas ao que
compreendemos ser um bom currículo de Matemática para o Ensino Médio,
porém recontextualizadas em um novo momento histórico.
Para compreendermos melhor esse novo momento histórico que vivemos
e, de que maneira as próprias ideias sobre o currículo foram modificadas no
século passado, estudaremos detalhadamente as contribuições da Educação
para nossa pesquisa, mais especificamente as contribuições do professor William
E. Doll Jr.
2.2. Contribuições da Educação
Ao estudarmos os cenários filosóficos que representaram verdadeiros
berços de muitas das atuais práticas que também influenciaram e influenciam a
construção de currículos de Matemática, verificamos que estas escolas se situam
em momentos históricos completamente distintos do atual, com objetivos
diferentes, sendo necessário, portanto, refletirmos sobre quais seriam as
contribuições fornecidas por esses filósofos, adaptando-as à realidade vigente.
58
Também vimos, na introdução desta tese, que são escassos os trabalhos
de educadores matemáticos brasileiros relacionados às questões curriculares
referentes à seleção de conteúdos. Dessa forma, pretendemos refletir a esse
respeito, no campo da Educação, buscando trabalhos internacionais sobre o
currículo que abordem a seleção e a organização dos conteúdos. Dirigindo nosso
olhar ao campo de pesquisa da Educação, realizando uma busca por algum autor
que abordasse questões curriculares do ponto de vista organizacional e seletivo,
com relação aos assuntos tratados por determinada disciplina escolar,
encontramos as pesquisas de Doll Jr. Um dos critérios que nos levou a escolher
esse autor, além dos já citados, reside no fato dele realizar ponderações
utilizando a História e, portanto, refletindo sobre questões que remontam ao
período das escolas filosóficas clássicas da Matemática, o qual já estudamos.
O professor William E. Doll Jr., atualmente professor adjunto da University
of Victoria, B. C., publicou em 1993 a obra intitulada “A Post-Modern Perspective
on Curriculum”, traduzida e publicada em português, em 1997, com o título
“Currículo: uma perspectiva pós-moderna”.
Nesta obra, Doll Jr. reflete sobre o conceito de currículo nos diferentes
cenários históricos do pensamento ocidental, mostrando a transição entre os
períodos conhecidos como pré-modernismo, modernismo e pós-modernismo. O
pré-modernismo compreende a história da civilização ocidental até as três
grandes revoluções ocorridas no século XVIII: Industrial, Americana e Francesa,
que abriram espaço para as grandes mudanças ocorridas no mundo e
transformaram o cenário científico do século XIX, caracterizado pela necessidade
incessante de buscar uma harmonia Matemática, no que diz respeito à descrição
dos fenômenos físicos, principalmente àqueles relacionados ao Cosmos.
2.2.1. Pré-modernismo
A título ilustrativo, podemos realizar uma breve jornada através dos
conceitos pré-modernistas, relacionando-os com os pensamentos e as conquistas
matemáticas obtidas por grandes personagens históricos. Iniciemos mencionando
o misticismo dos grandes pensadores gregos envolvidos na Escola Pitagórica
(580-500 a.C.) e a maravilhosa e riquíssima relação entre Aritmética e Geometria,
através do simbolismo existente no pentagrama e suas proporções áureas, ou na
59
procura pela representação geométrica de sequências de números, buscando
uma harmonia, simetria e trabalhando com sequências numéricas e verificando a
existência de padrões, o que, como veremos, recomendam os estudos atuais
sobre currículo que o próprio Doll Jr. enfatiza.
Também devemos lembrar da escola Sofista (480 a.C.) e sua quase
obsessão por solucionar três problemas que ficaram conhecidos historicamente, e
só provou-se a impossibilidade de sua resolução após mais de dois milênios: a
quadratura do círculo, que consistia em se construir um quadrado de mesma área
que a de um círculo dado; a duplicação do cubo, que versava sobre como se
construir um cubo de volume duplo ao de um outro previamente dado e a
trissecção de um ângulo, que abordava a possibilidade de se construir um ângulo
igual a um terço de um ângulo dado, utilizando-se os instrumentos conhecidos na
época. A escola Platônica (387 a.C.) teve em seu maior representante, Platão, a
justiça representada como um senso de equilíbrio ou proporção. Na Matemática,
Eudoxo de Cnido (390 – 338 a.C.) apresenta seu Método da Exaustão, que não
poderia ter um nome mais adequado devido à forma como se calculava a área de
figuras não retilíneas, fincando as estacas do que ficaria conhecido, cerca de vinte
séculos depois, como um dos interesses do Cálculo Integral. Contemporâneos de
Platão, Euclides e Arquimedes também demonstraram sua preocupação com uma
visão de Ciência fechada, enunciando tentativas bem sucedidas de formalização
da Matemática, através de métodos e enunciados geniais, estudados até os dias
atuais.
Essa tendência cientificista do pensamento ocidental prolongou-se até a
Europa dos séculos XVI e XVII. Copérnico escreve sua tese de doutorado
defendendo que a Terra gira em torno do Sol, porém seu trabalho não se torna
popular. Stevin desenvolve estudos sobre Estática, representando grandes
progressos na Arquitetura e construção de catedrais. Kepler, por sua vez, estuda
o movimento dos astros no céu e encontra na cidade de Praga, reinada pelo
tolerante Rudolf II, um oásis para prosseguir seus estudos com outros grandes
cientistas “exilados”, entre eles, Tycho Brahe. Alguns séculos adiante, Isaac
Newton apropria-se das ideias de Kepler, ampliando-as e generalizando-as e,
após o surgimento das sociedades científicas, propõe a ideia brilhante de que as
massas se atraem, publicando sua mais famosa obra intitulada Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica (do latim: "Princípios Matemáticos da Filosofia
60
Natural", também chamado de Principia ou Principia Mathematica). Galileu Galilei
explica os movimentos acelerados através de equações e busca relações com os
trabalhos de Kepler e Copérnico, publicando em italiano e propiciando que o povo
tenha acesso à ciência. Contrariando a igreja, é submetido à inquisição. Seu
mérito não estava na originalidade, mas sim na capacidade de reunir e publicar os
vastos conceitos existentes em sua época.
Outro grande matemático que viveu a efervescência da primeira metade do
século XVII foi René Descartes, francês fascinado pela arte da guerra, pelos
estudos e desenvolvimento de métodos, pelo misticismo (comprovado
recentemente através de seu envolvimento com a Cabala e a Ordem Rosacruz).
A ótima situação financeira de sua família permitiu que vivesse grandes
aventuras, estudando outras culturas e buscando respostas que revolucionaram a
Matemática, como a criação da Geometria Analítica, resultado da fusão entre a
Geometria, desenvolvida pelos gregos da Antiguidade, e a Álgebra, idealizada
pelo povo árabe.
Doll Jr. observa uma forte marca destes pensadores, principalmente
Descartes, nas propostas curriculares que influenciaram a Educação na América
do século XX. Senão vejamos: Descartes (1637) enuncia quatro regras
metodológicas para conduzir a razão na busca da verdade:
Primeira regra: Aceitar apenas o que se apresenta para a mente
“tão clara e distintamente” que a sua verdade é auto-evidente.
Segunda regra: Dividir cada dificuldade “em tantas partes quanto
possível” para uma solução mais fácil.
Terceira regra: “Pensar de maneira ordenada” , como os antigos
geômetras com suas “longas cadeias de raciocínio”, sempre
prosseguindo gradualmente, daquilo que é “mais simples e fácil de
compreender” para o mais complexo.
Quarta regra: Revisar tudo o que foi dito acima, para ter “certeza
de que nada foi omitido”. (DESCARTES, 1637 apud DOLL, 1997,
p. 46).
Como veremos a seguir, esse pensamento retrata fielmente o modo como
os conceitos matemáticos eram produzidos e desenvolvidos, desde Euclides na
elaboração dos Elementos que influenciam até hoje o “método” difundido para
ensino de Geometria, e também influenciaram o movimento conhecido como
Modernismo que trouxeram consequências para a construção de currículos de
Matemática, repercutindo até os dias atuais.
61
2.2.2. Concepção de Currículo, segundo Tyler
Um grande representante das ideias modernistas aplicadas ao Currículo, e
que difundiu esta concepção, foi Ralph Tyler que, em 1950, publicou a obra Basic
Principles of Curriculum Instruction. Trata-se, segundo ele, de uma síntese das
ideias precedentes sobre o currículo – de Franklin Bobbitt, W. W. Charters, John
Dewey, Boyd Bode, Harold Rugg e Henry Harap (DOLL JR., 1997, p. 68).
Veremos, no entanto, que o trabalho de Dewey, por exemplo, vai de encontro às
propostas e conceitos enunciados por Tyler, representando concepções para
além do seu tempo.
Tyler enuncia quatro questões que expressam e simbolizam uma estrutura
caracterizada como linear, de causa-efeito, mostrando sua concepção
modernista.
1. Que objetivos educacionais deve a escola procurar atingir?
2. Que experiências educacionais podem ser oferecidas que
tenham probabilidade de alcançar esses propósitos?
3. Como organizar eficientemente essas experiências
educacionais?
4. Como podemos ter certeza de que esses objetivos estão sendo
alcançados? (TYLER, 1979, p. 1).
Para Doll Jr., a ênfase da ideia de Tyler sobre Currículo está na escolha
dos objetivos. “De fato, Tyler afirma que a seleção de objetivos não só é o
primeiro ato que deve ser realizado no planejamento do currículo, como é também
a chave de todo o processo” (DOLL JR., 1997, p. 69). Esta afirmação corrobora o
trabalho de Cunha (1998) que fundamenta sua metodologia por meio da análise
de conteúdo, segundo os conceitos de Bardin (1977), realizada na obra Princípios
Básicos de Currículo e Ensino, de Tyler, a fim de explicitar os elementos internos
veiculados em sua concepção. Esta autora concluiu que, embora Tyler não
enuncie claramente qual é seu entendimento de currículo, é possível analisar sua
visão a respeito, através da análise de conteúdo de seu texto. Assim como Doll
Jr., Cunha também aponta o destaque que Tyler dá à palavra “objetivos” notando
que a mesma aparece em 81,41% das páginas da obra, com uma média de 3,55
palavras por página, indicando, assim, um predomínio absoluto em relação às
demais (Tabela 1).
62
Tabela 1 – Demonstrativo das Palavras Básicas Constitutivas da Concepção de Currículo
Subjacente à Obra de Ralph Tyler
Frequências
Palavras
Nº de páginas em que
a palavra aparece
Percentual
Nº de vezes em que a
palavra aparece/obra
Média palavra / página
Currículo 56 49,55% 110 1,00
Objetivo 92 81,41% 402 3,55
Experiência 60 53,09% 235 2,07
Comportamento 54 47,78% 158 1,39
Programa 39 34,51% 79 0,69
Eficiência/Eficácia 37 32,74% 58 0,51
Conteúdo 36 32,73% 89 0,78
Interesse 34 30,08% 89 0,78
Avaliação 23 20,35% 103 0,91
Fonte: Cunha (1998).
Prosseguindo em busca de uma compreensão implícita para a definição
que Tyler daria ao currículo, Cunha buscou uma palavra recorrente que pudesse
ilustrar a ideia de elaboração, de planejamento de fases, já que havia concluído
que, antes da elaboração, Tyler estava preocupado com os objetivos de um
currículo. A palavra encontrada foi “programa” e, após a análise desta palavra em
seu contexto frasal, foram detectadas as categorias expressas na tabela 2,
concluindo que, para Tyler, a essência da concepção de currículo é o programa
educacional.
Tabela 2 – Categorias Relativas à Palavra Programa em seu Contexto Frasal na Obra de
Ralph Tyler
Palavra Categorias
Frequências (número
de ocorrências)
Frequências (em %)
Educacional 28 35,44
De ensino 16 20,26
Sem adjetivação 13 16,45
Escolar 05 6,33
De avaliação 05 6,33
Curricular 04 5,05
De treinamento 02 2,54
PROGRAMA
Total 02 2,54
63
Palavra Categorias
Frequências (número
de ocorrências)
Frequências (em %)
Nuclear 02 2,54
Individual 01 1,26
PROGRAMA
De matemática 01 1,26
T O T A L 79 100
Fonte: Cunha (1998).
Cunha ainda detecta cinco vulnerabilidades presentes nesta obra de Tyler:
1ª - Sistematizar princípios básicos de currículo sem assumir explicitamente
o que este significa.
2ª - Preocupar-se com o planejamento do currículo, sem ter previamente
interpretado, considerado e analisado o que o currículo é, como, aliás, Tyler
propõe no início da obra e não cumpre.
Esta vulnerabilidade se evidencia na análise feita por Cunha (Ibid.),
expressa na tabela 3. Observa-se que, apesar de citar 114 vezes a palavra
currículo, em 97,37% das vezes que o faz, seu objeto de preocupação é com o
planejamento curricular. Praticamente não considera uma reflexão sobre o
conceito do currículo em si e, mesmo assim, nas únicas três vezes que o fez foi
para declarar intenções que não se cumpriram.
Tabela 3 – Demonstrativo das Categorias Básicas da Palavra Currículo na Obra de Ralph
Tyler em Relação ao seu Objeto de Problematização.
Palavra Categorias Subcategorias Frequências
Número de
ocorrências
Porcentagem
Planejamento em si 71 62,28
Aspectos internos do planejamento 16 14,04
Exemplos de planejamento 15 13,15
Processo do
Planejamento
Consideração de estudos que
embasam o planejamento
09 7,89
Subtotal:
111 97,37
Que é
Explicitação da intenção de
problematizar
03 2,69
CURRÍCULO
Problematizado
em relação ao:
Currículo em si Total: 114 100
Fonte: Cunha (1998).
64
3ª - Existência de relações diretas entre objetivos e avaliação, ignorando as
relações entre avaliação e experiência. Ora, se a função da avaliação é apenas a
de verificar se os objetivos foram ou não alcançados, ela apenas considera os
aspectos declarados do processo e ignora todos os aspectos latentes que
possam ocorrer com base na dinamicidade das experiências.
4ª - Referência ao “bom currículo”, embora em nenhuma parte da obra
Tyler discuta a questão de valores. O que seria um currículo bom? A análise dos
resultados demonstrou, conforme pode ser observado na tabela 1, uma grande
incidência das palavras eficiência e eficácia, sugerindo que um currículo bom é
aquele que é eficaz, ou seja, atinge seus objetivos.
5ª - Esta vulnerabilidade detectada é aquela que diz mais respeito ao
nosso trabalho, pois trata da questão do conteúdo. A preocupação de Tyler neste
sentido é evidenciada no esforço que faz para demonstrar a sua não importância,
a ponto de camuflá-lo e colocá-lo embutido, como elemento acessório dos
objetivos. Esta afirmação pode ser comprovada através da análise da tabela 4,
mostrando que das 89 vezes em que citou a palavra conteúdo, em 77 vezes está
associada, de modo direto, aos objetivos. Existe, portanto, uma ausência de
reflexão sobre as relações entre conhecimento escolar e poder.
Tabela 4 – Demonstrativo das Categorias e Sub-Categorias Relativas à Palavra Conteúdo
na Obra de Ralph Tyler, tomada em seu Contexto Frasal.
Palavra Categorias Subcategorias Frequências
Número de
ocorrências
Porcentagem
De modo explícito, incorporado a estes 49 55,06
Fazendo parte
dos objetivos
De modo exemplificativo, explicando
como se faz a incorporação ao seu
objetivo
28 31,46
Subtotal:
77 86,52
Ênfase no conteúdo em si 03 3,37
Elemento nuclear
em si, com:
Ênfase em exemplos 09 10,11
Subtotal:
12 13,48
CONTEÚDO
Percebido
como:
Total: 89 100
Fonte: Cunha (1998).
65
Desta maneira, Cunha propõe uma definição de currículo tyleriana:
Assim, currículo é um programa educacional que tem nos
objetivos sua fase mais importante, porque devem direcionar o
comportamento que se espera que os alunos modifiquem com
base em seus interesses. Devem ser selecionadas e organizadas
experiências que serão meios para o alcance dos objetivos. A
avaliação deve mensurar se houve o alcance desses com
eficiência e eficácia. (CUNHA, 1998).
As palavras destacadas apresentam grande incidência na análise feita e
sugerem a importância que Tyler concede a elas.
2.2.3. Modernismo
É claro que devemos compreender a obra de Tyler no contexto histórico
que caracterizou o século XIX e a primeira metade do século XX. As ideias
iluministas semeadas pela Inglaterra encontram terreno fértil na França do século
XVIII, onde grandes pensadores, como Montesquieu (1689 – 1755), Voltaire
(1694 – 1778) e Rousseau (1712 – 1778), as disseminam pelo mundo. As
Enciclopédias são criadas e tornam-se armas ideológicas contra o clero e o
Absolutismo, representando instrumentos ideais para a disseminação dos
conceitos Iluministas. Podemos citar, por exemplo, a publicação da coleção
Encyclopédie, de Diderot e D’alembert, entre 1751 e 1772. Nesse contexto de
efervescência no ideário mundial, as três grandes revoluções (Industrial,
Americana e Francesa) ocorridas no final do século XVIII implicaram grandes
transformações na estrutura do pensamento e nas atitudes dos homens da época.
Adam Smith, considerado o pai da Economia moderna, publica em 1776 “A
Riqueza das Nações”, obra em que são enunciadas as ”Leis de Mercado” que
influenciaram várias gerações de economistas e são consideradas, até hoje,
referência para estudo dessa Ciência.
O sistema de fábrica é implementado na Inglaterra do século XVIII,
instigada pela intenção da burguesia em aumentar os lucros e atingir novos
mercados, aumentando a produção. O sistema de manufatura, em que o
produtor-artesão é independente para realizar o trabalho a seu tempo, servindo-
se dos instrumentos que dispõe e conhecendo todas as etapas do processo de
fabricação, é trocado subitamente pelo sistema de fábrica, no qual o trabalhador-
66
assalariado torna-se dependente dos horários estipulados previamente, servindo
à máquina e conhecendo uma ou poucas etapas do processo de produção. A
sociedade divide-se entre os donos do capital ou donos do tempo (burguesia
capitalista) e os donos do trabalho ou escravos do relógio (massa proletária). Esta
dinâmica é maravilhosamente ilustrada na obra prima de Charles Spencer Chaplin
Jr. (1889 – 1977) intitulada Modern Times (Tempos Modernos), filme lançado em
1936.
A sociedade industrial impõe novos conceitos de certo e errado, de feio e
belo e uma nova moral começa a tomar corpo a partir do século XVIII. A nova
mentalidade valoriza a pontualidade, a disciplina. O trabalhador independente que
trabalha em seu próprio ritmo é considerado vagabundo. Nas cidades, os que não
trabalhavam como assalariados e que resistiam ao trabalho dependente são
presos e internados. Das fábricas, a disciplina chega às escolas. Aos alunos é
imposto o uniforme; em classe todos são dispostos em fileiras de cadeiras, tendo
à frente o mestre sempre vigilante, como o contramestre nas fábricas.
A eficiência técnica, especialmente na linha de montagem,
aumentou a produtividade durante as décadas de 1920, 1930 e
1940. As escolas adotaram este modelo de linha de montagem
como um modelo de múltiplos propósitos, e as salas de aula com
vários níveis deram lugar a níveis de série separados, mas
contíguos. O dia escolar holístico foi fragmentado em unidades
temporais separadas de 35 a 45 minutos. Essa fatoração foi
trazida para as escolas públicas pela U. S. Steel Company,
quando ela estabeleceu a cidade-modelo de Gary, Indiana, nas
praias do Lago Michigan, nos primeiros anos deste século. Ao
padronizar o tempo instrucional, o superintendente Wirt podia
assegurar que todas as salas estavam sendo utilizadas
eficientemente. Assim, a U. S. Steel Company colocou relógios
mecanizados em todas as salas de aula. (DOLL JR., 1997, p. 59).
A Matemática e as Ciências, em geral, passam a representar ferramentas
importantes neste contexto. Compreendê-las significava poder, compreensão de
técnicas, aplicações na economia e até na ideologia, como Malthus (1766 –
1834), um economista britânico que propõe o controle da natalidade para
controlar a miséria, utilizando o conceito errôneo (uma vez que não considerou
uma variável fundamental: o avanço tecnológico na Agricultura) de que
populações crescem em Progressões Geométricas enquanto que seus recursos
crescem em Progressões Aritméticas. De ferramenta para a compreensão do
67
Universo e aplicação nas grandes navegações, a Matemática passa ao
utilitarismo dos cálculos e técnicas para maximizar lucros, minimizar custos,
calcular salários, etc.
As consequências destas revoluções não ficaram somente no ideário do
ser humano – provocaram também grandes mudanças na forma de compreender
a Educação, na forma de como implementá-la oficialmente e, principalmente, na
escolha dos conteúdos, bem como nas opções e nas definições curriculares da
época. O quadro 2, apresentado a seguir, mostra as características específicas de
cada revolução e os efeitos provocados na Educação.
QUADRO 2 – Características das revoluções do século XVIII e suas
consequências para a Educação.
Revolução Industrial Revolução Americana Revolução Francesa
• Educação para o
treinamento de
recursos humanos
especializados.
• Do trabalho manual
(pás e enxadas) para
o trabalho tecnológico
(tratores e máquinas
diversas).
• A educação não
consegue
acompanhar o ritmo
de transformações e
não consegue
preparar todos para o
trabalho.
• Educação para a
produção local
(agricultura e minas).
• Escola única para
todos.
• Ler, escrever e
calcular.
• Ideia de
Universidades locais.
• Educação para a
igualdade de
oportunidades para
todos alcançarem
cargos burocráticos e
administrativos.
• Criação de um
sistema de testes,
abertos à população,
para “filtrar” pessoas
do povo para
ocuparem cargos
públicos.
Não é à toa que, na Matemática, o século XIX foi conhecido como o século
de ouro, por seu desenvolvimento, rigor e fundamentação: Cauchy e Weierstrass
contribuíram para a formalização da Matemática através de uma nova definição
para o conceito de continuidade de uma função; Lobachevski e Bolyai
68
desenvolveram Geometrias não-Euclidianas; Peano criou uma teoria axiomática
para os números naturais, construindo-os a partir de princípios rigorosos; Cantor
produziu uma aritmética dos conjuntos infinitos, entre outros grandes matemáticos
que se destacaram.
2.2.4 Pós-modernismo
O movimento cultural e científico conhecido como Pós-modernismo surge
como um turbilhão de transformações nas ideias científicas existentes até então,
provocando uma nova revolução no pensamento do ser humano e,
consequentemente, nos meios educacionais e curriculares.
A ideia de "pós-modernismo" surgiu pela primeira vez no mundo
hispânico, na década de 1930, uma geração antes de seu
aparecimento na Inglaterra ou nos EUA. Perry Anderson,
conhecido pelos seus estudos dos fenômenos culturais e políticos
contemporâneos, em "As Origens da Pós-Modernidade" (1999),
conta que foi um amigo de Unamuno e Ortega, Frederico de Onís,
que imprimiu o termo pela primeira vez, embora descrevendo um
refluxo conservador dentro do próprio modernismo. Mas coube ao
filósofo francês Jean-François Lyotard, com a publicação "A
Condição Pós-Moderna" (1979), a expansão do uso do conceito.
Em sua origem, pós-modernismo significava a perda da
historicidade e o fim da "grande narrativa" - o que, no campo
estético, significou o fim de uma tradição de mudança e ruptura, o
desaparecimento da fronteira entre alta cultura e da cultura de
massa e a prática da apropriação e da citação de obras do
passado. A perspectiva pós-moderna questiona o pressuposto de
uma consciência unitária, auto-centrada e portanto, construída
sobre utopias, universalismos, narrativas mestras, que se
consubstanciaram a partir do Iluminismo. Nesta mesma linha,
questiona tanto as posições teórico metodológicas positivistas
como as marxistas. Na área educacional, o currículo na
perspectiva humanista, na tecnicista e toda tentativa de currículo
emancipatório das pedagogias críticas são questionados. (SILVA,
2006, p. 4825).
Segundo Doll Jr. (1997), o conceito de caos é uma ótima analogia para
compreender as diferenças dos paradigmas pré-moderno, moderno e pós-
moderno. Considera que, atualmente, ainda estamos imbuídos do pensamento
modernista e, portanto, a visão de caos, como contrário de ordem, caracteriza
este tipo de conceito, assim como todas as antíteses possíveis – bem/mal,
certo/errado, possível/impossível – ignorando todo um espectro possível de
possibilidades entre estes extremos. Já à luz de uma perspectiva pré-moderna, o
caos representa a matéria-prima a partir da qual foi constituída a ordem, como
69
uma transição natural, a necessidade desta transformação possibilita a
interdependência entre caos e ordem, deixando claro que a primeira representa o
início e a última o fim. Para o currículo, esta concepção foi amplamente utilizada
pelo movimento conhecido como progressista ou liberal, no qual acreditava-se
que, um ambiente rico, ainda que confuso, permitiria e até provocaria a emersão
da criatividade.
Na Matemática, a transição do modernismo para o pós-modernismo foi um
movimento caracterizado pela passagem de um cenário alicerçado em certezas e
formalizações irrepreensíveis para outro caracterizado pelas incertezas e pelos
paradoxos, como uma repetição histórica dos contra-sensos enunciados por
gregos como Zenão de Eleia. Um dos primeiros matemáticos a evidenciar estes
disparates foi Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918). Nascido em
São Petesburgo, foi um dos responsáveis pela formalização da moderna Teoria
dos Conjuntos. A partir destas formalizações, constatou-se que seria possível
enunciar paradoxos que originaram interessantes metáforas para representá-los,
como a formulada a seguir: “Em uma aldeia existe um barbeiro que afirma que
barbeia todas e somente as pessoas da aldeia que não barbeiam a si mesmas.
Quem barbeia tal barbeiro?”. Como se não bastasse a perplexidade frente a estas
questões, Kurt Gödel (1906 – 1978), um matemático austríaco, naturalizado
estadunidense, enuncia o que ficou conhecido historicamente como Teorema da
Incompletude, em 1931. Trocando em miúdos, Gödel havia provado que todo
sistema axiomático é necessariamente incompleto, isto é, incapaz de permitir as
provas de todas as verdades da área em estudo, ou seja, provou que em
qualquer sistema formal consistente da Aritmética existem sempre proposições
cuja veracidade ou falsidade não podem ser provadas a partir dos axiomas do
sistema. Para se ter uma vaga ideia da revolução no pensamento provocado pela
“descoberta” de Gödel, basta que nos coloquemos na posição de um eminente
matemático que, em 1931, após trabalhar durante anos na tentativa de
demonstrar alguma hipótese conhecida na época, como por exemplo, a
Conjectura de Goldbach
18
que diz que qualquer número par maior que dois pode
ser escrito como soma de dois números primos, descobre que o problema é muito
18
Christian Goldbach nasceu em Königsberg, Prússia, em 18 de Março de 1690 e faleceu em Moscou, no dia
20 de Novembro de 1764. Conheceu pessoalmente muitos matemáticos famosos, incluindo Leibniz,
Leonhard Euler e Nicolau Bernoulli.
70
maior que simplesmente demonstrar a validade ou não desta afirmação, mas
saber se é possível fazê-lo, mesmo dentro da nova limitação descortinada por
Gödel. Este exemplo é brilhantemente descrito na obra ficcional de Doxiadis
(2001).
O caos agora é visto de uma outra maneira, como interação contínua entre
a ordem e a massa primal, na qual a criatividade encontra ambiente propício para
ocorrer, “entre a imaginação livre e a habilidade disciplinada” (DOLL JR., 1997, p.
105).
E o currículo nesta perspectiva pós-moderna? O filósofo e pedagogo
estadunidense John Dewey (1859 - 1952), embora tenha vivenciado a
efervescência do movimento modernista, como já dissemos, pensava além do seu
tempo, refletindo na sua obra muitas características e reflexões que vieram à tona
com o pós-modernismo. No que se refere ao currículo, Dewey considerava uma
nova maneira de expressar a estrutura curricular, não através de padrões
estanques, sem movimento, com início, meio e fim pré e bem definidos, mas
como um processo, com movimento próprio e sua dinâmica que conduz à
transformação contínua: “O pensamento em si é um processo [...] ele está em
contínua mudança enquanto a pessoa pensa” (DEWEY, 1933 apud DOLL JR.,
1997, p.153). Integrante e uma das maiores expressões do movimento
educacional filosófico conhecido como “Educação Progressista”, Dewey, ao
contrário dos outros membros desta corrente de pensamento, não via o processo
como separado do produto, muito menos como superior a ele. Desta forma,
destacava a importância do pensamento reflexivo e da reflexão como sendo um
veículo pelo qual ocorre a transformação.
Alfred North Whitehead (1861 - 1947) foi um filósofo e matemático britânico
citado por Doll Jr. como um pensador profundamente imbuído do espírito pós-
modernista. As contribuições de Whitehead para o Currículo são imensas e pouco
exploradas, senão algumas citações amplamente divulgadas que caricaturaram
suas ideias, como:
“Não ensine assuntos demais [...] Aquilo que você ensinar, ensine
cuidadosamente [...] Faça com que as ideias introduzidas na
educação de uma criança sejam poucas e importantes, e faça
com que elas sejam lançadas em todas as combinações
possíveis” (WHITEHEAD, 1929 apud DOLL JR., 1997, p. 158)
71
No entanto, dentre as grandes contribuições oferecidas, neste trabalho
ressaltaremos a verdadeira paixão de Whitehead pela compreensão e
ponderação sobre a realidade. Ao contrário de Newton e suas leis que mediam,
calculavam e quantificavam forças, distâncias e outras grandezas de um Universo
constituído a priori, Whitehead interessava-se pelas relações entre as partes
constituintes deste Universo e as contínuas mudanças que caracterizavam este
processo. A realidade não é um fenômeno que podemos “congelar” e estudá-lo
como instantes divisíveis, mas como uma experiência contínua que deve ser
vivenciada através do maior número de combinações possíveis de ideias,
produzindo significado.
No quadro 3, resumimos as principais características de um “Currículo Pós-
moderno” quando comparado às concepções de Tyler, marcas do modernismo:
QUADRO 3 – Características do Currículo no Modernismo e no Pós-
Modernismo.
Modernismo Pós-Modernismo
Fins são externos ao processo. Fins surgem do próprio processo.
Ênfase na descoberta, não na criação. Ênfase na criatividade, não na
descoberta.
Ordenamento linear: objetivos
preestabelecidos, seleção e
direcionamento de experiências,
avaliação.
Disposição em rede: objetivos, seleção
e direcionamento de experiências são
hipóteses que deverão ser
reconstruídas e negociadas durante o
processo. A avaliação direciona esta
reconstrução e negociação.
Distinção entre objetivos educacionais
e objetivos curriculares.
Os objetivos educacionais e
curriculares são sintonizados e
direcionados para a comunidade na
qual serão aplicados.
O conhecimento é transmitido,
transferido.
O conhecimento é transformado.
Doll Jr. (1997) propõe critérios para um currículo destinado a promover
uma visão pós-moderna:
72
Que critérios poderíamos usar para avaliar a qualidade de um
currículo pós-moderno – um currículo gerado, não pré-definido,
indeterminado, mas limitado, explorando o “fascinante reino
imaginativo da risada de Deus”, e constituído por uma rede
sempre crescente de “universidades locais”? Eu sugiro que os
quatro Rs de Riqueza, Recursão, Relações e Rigor poderiam
servir para este propósito. (grifo nosso, p. 192).
Estes quatro Rs se contrapõem aos três Rs de Reading (Leitura), Writing
(Escrita) e Arithmetic (Aritmética) que caracterizavam a ênfase do currículo nos
Estados Unidos frente às necessidades decorrentes da Segunda Revolução
Industrial, dominadas pelo modelo fordista e o taylorismo.
Neste trabalho, propomos uma reflexão mais profunda sobre os quatro Rs
de Doll Jr. aplicados à Educação Matemática, propondo-os como fundamentos
iniciais para análise de conteúdos de Matemática para o Ensino Médio. Por isso
mesmo, optamos por esmiuçá-los no capítulo específico sobre a escolha e
organização de conteúdos matemáticos.
2.2.5. Contribuições dessa análise para a reflexão sobre o
Currículo de Matemática
O conceito pós-moderno de currículo e os parâmetros objetivos, por meio
dos quais Doll Jr. se posiciona, trazem repercussões importantes para nosso
trabalho.
O modernismo, caracterizado no campo curricular pelas ideias de Tyler,
ainda influencia as práticas escolares atuais. Ainda que as propostas curriculares
orientem para outro caminho, a força modernista de um discurso arraigado à
ordem positivista parece seduzir uma escola preocupada com a uniformização de
conceitos, metodologias e avaliações. Talvez isso ocorra pela maneira
razoavelmente simples com que o Estado consegue controlar os processos
relacionados ao ensino e à aprendizagem nos quatro cantos de um país de
dimensões continentais, como o Brasil.
Um aparente paradoxo acaba tornando-se um obstáculo para a definição
do que pretendemos para um currículo pós-moderno: por um lado, o Estado,
através dos documentos oficiais, incentiva a criação de propostas diferenciadas,
metodologias alternativas e uma escola centrada na promoção da aprendizagem.
Por outro lado, o mesmo Estado precisa de um instrumento de controle para
73
avaliar suas instituições de ensino e seus professores e, para isso, uniformiza a
educação a fim de controlar o que se está ensinando em determinado período do
ano letivo. A superação deste paradoxo reside no estabelecimento claro dos
limites de interferência do Estado sobre as escolas e a necessidade de criação,
por parte das instituições de ensino, de propostas curriculares que atendam às
necessidades locais, pois acreditamos que uma escola deve ser um núcleo de
transformação da comunidade local e, consequentemente, da sociedade em que
vivemos.
Do ponto de vista da organização do currículo, Doll Jr., ao propor que o
conceito de caos seja esclarecedor para a compreensão do que seria um
currículo pós-moderno, acaba por determinar uma nova forma de
compreendermos como devemos buscar critérios organizacionais basilares para
um currículo de Matemática no Ensino Médio. O caos, citado por Doll Jr, está
intimamente associado à ideia de fractalidade. Através da Teoria dos Fractais
podemos partir de simples figuras geométricas e, por comandos iterativos,
chegarmos à representação de figuras extremamente complexas, muitas delas
semelhantes a imagens representativas da natureza. Se olharmos para a figura
inicial, o primeiro passo do processo iterativo, não imaginamos o qual complexo
pode se tornar tal desenho. Da mesma maneira, se olharmos para a reprodução
final do processo repetitivo, não imaginaremos o quão simples era o formato
inicial.
Essa metáfora parece elucidativa sobre o que compreendemos a respeito
da organização curricular pós-moderna: o aparente caos existente na
coordenação entre diferentes conteúdos pode ser melhor compreendido quando
olhamos para cada parte, separadamente. Entendemos que o atual currículo de
Matemática no Ensino Médio assemelha-se a uma colcha de retalhos ou,
utilizando a metáfora fractal, como imagens que não sofreram o processo de
iteração de tal forma que não podemos compreender sua verdadeira forma. A
Matemática apresentada deveria ser oferecida por completo, ainda que não
mencionemos todos os detalhes das iterações ocorridas. Entretanto, o que vemos
no ensino de Matemática, nesta etapa da educação oficial, é uma espécie de
preparação para o Ensino Superior, como se só os privilegiados estudantes que
optassem por estudos posteriores na área das Ciências Exatas pudessem
74
compreender a Matemática como um todo, na complexidade de suas interligações
e nos variados campos que a compõem.
2.3. Contribuições da Educação Matemática
Seguindo nesta construção de subsídios para propormos critérios de
escolha e organização de conteúdos para o Ensino Médio brasileiro, estudaremos
as contribuições da Educação Crítica (EC), analisando sua origem e,
principalmente, a colaboração do educador matemático dinamarquês Ole
Skovsmose e sua apreciação a respeito da Educação Matemática Crítica (EMC).
Obviamente, faremos nossos estudos explorando e aproveitando todos os
aspectos que o professor Ole aborda, relativamente ao Currículo de Matemática.
Esperamos que muitas reflexões mencionadas neste tópico da tese possam nos
inspirar na elaboração das propostas que nortearão nossos critérios que serão
detalhados nos próximos capítulos.
2.3.1 Educação Crítica
A Educação Crítica nasce inspirada nos ideais de sociedade de Karl Marx,
fortalecidos na criação da Escola de Frankfurt, na década de 1920, quando vários
filósofos discutiam as ideias marxistas aplicadas à educação, em uma época na
qual a sociedade vivenciava uma nova revolução industrial e um modernismo que
preconizava o tecnicismo educacional, como já discutimos anteriormente. Os três
temas que caracterizariam a Escola de Frankfurt foram enunciados por Max
Horkheimer, em 1931, no discurso inaugural no Institut für Sozialforschung:
O primeiro [...] sugere a necessidade de reespecificação “das
grandes questões filosóficas” em um programa de pesquisa
interdisciplinar. O segundo tema, mais implícito, mas tornado mais
claro em outros ensaios, é uma proposta de rejeição do marxismo
ortodoxo e sua substituição por um entendimento reconstruído do
projeto de Marx. O terceiro enfatiza a necessidade de uma teoria
social que explique o conjunto de interconexões (mediações) que
torna possível a reprodução e transformação da sociedade, da
economia, da cultura e da consciência (HELD, 1980 apud
SKOVSMOSE, 2001a, p. 15-16).
Podemos expressar alguns princípios fundamentais sobre os quais a EC foi
pautada. Talvez um grande educador para ilustrar estes aspectos centrais seja
75
Paulo Freire. Freire (1996) cita o papel do professor, neste contexto crítico, como
sendo um esforço de produzir significado àquilo que se ensina, não como
transmissor de conhecimentos, mas respeitando e ouvindo o aluno para que o
mesmo produza seu conhecimento a partir de todas as suas experiências
pessoais e vivenciais. Por outro lado, não em uma hierarquia vertical, o aluno
também deve ter o empenho de envolver-se neste processo de aprendizagem,
trazendo seus conhecimentos e relacionando-os a outros, em um movimento de
interdependência com o professor.
Na verdade, meu papel como professor, ao ensinar o conteúdo a
ou b, não é apenas o de me esforçar para, com clareza máxima,
descrever a substantividade do conteúdo para que o aluno o fixe.
Meu papel fundamental, ao falar com clareza sobre o objeto, é
incitar o aluno a fim de que ele, com os materiais que ofereço,
produza a compreensão do objeto em lugar de recebê-la, na
íntegra, de mim. Ele precisa se apropriar da inteligência do
conteúdo para que a verdadeira relação de comunicação entre
mim, como professor, e ele, como aluno se estabeleça. É por isso,
repito, que ensinar não é transferir conteúdo a ninguém, assim
como aprender não é memorizar o perfil do conteúdo transferido
no discurso vertical do professor. Ensinar e aprender têm que ver
com o esforço metodicamente crítico do professor de desvelar a
compreensão de algo e com o empenho igualmente crítico do
aluno de ir entrando como sujeito em aprendizagem, no processo
de desvelamento que o professor ou professora deve deflagrar.
Isso não tem nada que ver com a transferência de conteúdo e fala
da dificuldade mas, ao mesmo tempo, da boniteza da docência e
da discência (p. 118-119).
A palavra “crítico”, utilizada por Freire, está longe de representar ideia de
julgamento, censura ou desaprovação, mas sim muito mais próxima de significar
examinar, avaliar, distinguir o que realmente seria fundamental como
conhecimento em nossa ou em qualquer outra sociedade, levando em conta o
tempo em que vivemos, o caminho que percorremos e, principalmente, o que
pretendemos para o próximo, hoje e no futuro.
2.3.2. Currículo Crítico
Da mesma forma que a Educação Crítica pode estabelecer uma nova visão
do processo de ensino-aprendizagem e das relações e papéis de professores e
alunos nesta ação, também podemos utilizar esta corrente de pensamento para
76
buscar reflexões específicas quando o assunto é o currículo. Skovsmose (2001a)
propõe questões para a discussão do que seria um currículo crítico:
(1) A aplicabilidade do assunto: quem o usa? Onde é usado? Que
tipos de qualificação são desenvolvidos na Educação
Matemática? (2) Os interesses por detrás do assunto: que
interesses formadores de conhecimento estão conectados a esse
assunto? (3) Os pressupostos por detrás do assunto: que
questões e que problemas geraram os conceitos e os resultados
na Matemática? Que contextos têm promovido e controlado o
desenvolvimento? (4) As funções do assunto: que possíveis
funções sociais poderia ter o assunto? Essa questão não se
remete primariamente às aplicações possíveis, mas à função
implícita em uma Educação Matemática nas atitudes relacionadas
a questões tecnológicas, nas atitudes dos estudantes em relação
a suas próprias capacidades etc. (5) As limitações do assunto: em
quais áreas e em relação a que questões esse assunto não tem
qualquer relevância? (p. 19).
No entanto, entendemos que seja necessário aprofundar ou esclarecer
algumas destas questões do ponto de vista e da concepção pós-moderna de
currículo e segundo a concepção que temos do que seria um currículo crítico de
Matemática.
2.3.2.1. Aplicabilidade do conteúdo
Sobre a aplicabilidade do conteúdo, compreendemos a necessidade de
saber por “quem” ou “onde” um assunto é usado, porém a questão chave seria
“como ele é aplicado?”, não em termos de fins do assunto, mas buscando
compreender se esta aplicação justifica seu ensino, na medida que, atualmente,
os currículos de Matemática no Ensino Médio brasileiro são praticamente os
mesmos em todas as escolas, pois têm orientações governamentais centrais.
Embora estes parâmetros não pretendam impor uma prática única, acabam
determinando, ainda que indiretamente, os conteúdos ensinados tradicionalmente
e, em boa parte das vezes, também sequencialmente. Nas escolas técnicas, por
exemplo, esta aplicabilidade é explícita, já que o próprio curso responde às
perguntas “quem” e “onde” é utilizado? Seria este o motivo do desempenho
destacado dos alunos destes colégios? É sabido que, nas avaliações oficiais das
várias instâncias governamentais, os alunos das escolas técnicas federais, por
exemplo, apresentam desempenho satisfatório, mesmo com um currículo menos
77
propedêutico e mais aplicado, diferentemente do que lhes é cobrado nas
avaliações às quais eles se submetem.
Ao pensarmos na questão “como ele é aplicado?”, estamos interessados
em uma dimensão da aplicação pouco explorada por Skovsmose, é claro que
propositadamente, já que sua preocupação fundamental é a aplicabilidade para
uma reflexão social do papel da Matemática. Porém, não podemos deixar de lado
a aplicabilidade da Matemática na própria Matemática. Longe de uma posição
platônica de conceber a Matemática como um mundo ideal, impossível de
articular-se com o mundo “real”, pensamos que é importante ao aluno e ao
professor estabelecerem um diálogo matemático que convença pela própria
argumentação matemática. Justificar, por exemplo, o ensino de funções
exponenciais, não faz sentido para alguém que o faz somente citando sua
possível aplicação na Biologia, ao compreendermos certos padrões de
crescimento de uma cultura de bactérias. Talvez este exemplo, isoladamente,
interessaria somente a um futuro biólogo, com certeza uma minoria.
Isoladamente, como pode propor um currículo de Matemática que busca
justificativas para o ensino de determinado assunto da aplicabilidade do mesmo e,
muitas vezes, se sustenta em aplicações ingênuas, esse exemplo empobrece o
tema tratado, mas se compreendermos que este padrão de desenvolvimento de
uma cultura de bactérias está realmente ocorrendo em uma comunidade e
pretendemos calcular seu poder de contaminação, contrapondo-o com algum
censo governamental a respeito da capacidade de atendimento nos hospitais
públicos, juntamente com a quantidade de médicos especialistas, agentes de
saúde e outros profissionais que poderiam combater estes focos infecciosos, esta
aplicabilidade estaria justificada do ponto de vista de um currículo crítico. No
entanto, por outro prisma, poderíamos justificar a serventia deste assunto dentro
da própria Matemática, compreendendo os padrões estabelecidos e justificando,
de maneira empírica, porém convincente, o por quê do resultado ser igual a um,
quando elevamos determinado número ao expoente zero.
2.3.2.2. Interesses por detrás do assunto
Referente aos interesses por detrás do assunto, Skovsmose faz referência
aos “interesses formadores de conhecimento”. Seria possível construir variadas
78
interpretações para esta expressão, portanto achamos necessário esmiuçar,
inicialmente, o que é conhecimento.
Para Skovsmose (2007a) conhecimento e justificativas são noções
relacionadas. Na Lógica Formal Aristotélica, como já detalhamos anteriormente
nesta pesquisa, só havia duas possibilidades para uma afirmação: verdadeira ou
falsa. A crise dos fundamentos e a possibilidade de construção de outras lógicas,
que talvez expressassem melhor a realidade e as variadas nuances existentes
entre o “certo” e o “errado”, entre o “sim” e o “não”, proporcionaram uma nova
forma de vislumbrar a Matemática e o mundo. Skovsmose preconiza a
necessidade de compreendermos o conhecimento em ação, pois uma ação não
pressupõe justificativas da veracidade ou falsidade de uma determinada
proposição, mas uma gama de possibilidades, como: razoável, lícita, adequada e
justa (p. 224). Faria sentido, neste cenário, determinar qual ação “justa” justificaria
o conhecimento e os assuntos ensinados, implicando a reflexão sobre questões
éticas e abrangentes, compreendendo as necessidades, as influências, os
poderes e as ideologias envolvidas em nosso cenário globalizado. Deste modo,
entendemos por “interesses formadores de conhecimento”, a compreensão e,
principalmente, a reflexão sobre todas estas variáveis envolvidas na tomada de
uma decisão sobre os assuntos “eleitos” como primordiais no ensino de
Matemática.
Esses “interesses por detrás do assunto” são retomados por Skovsmose,
quando ele enuncia o que chama de tese do currículo: “Os princípios
fundamentais da estruturação do currículo são derivados delas ou estão de
acordo com as relações de poder dominantes na sociedade” (2001a, p. 31). Estas
relações de poder, incluindo todos os “interesses” já mencionados no parágrafo
anterior, podem estar imersas em determinada organização curricular. Para
sustentar sua tese, Skovsmose cita Apple (1982) que exemplifica com um fato
ocorrido nos Estados Unidos, nas décadas de 1950 e 1960, o qual parece se
repetir atualmente na opção de várias escolas privadas brasileiras por materiais
didáticos pré-preparados, como os elaborados por cursos pré-vestibulares:
A introdução original do material pré-preparado foi estimulada por
uma rede específica de forças políticas, culturais e econômicas,
originalmente nos anos 50 e 60 nos Estados Unidos. As visões de
acadêmicos de que professores não tinham preparação adequada
79
nas áreas curriculares mais importantes tornaram “necessária” a
criação do que foi chamado material-à-prova-de-professor. O
clima de guerra fria (criado e estimulado em grande parte pelo
Estado) levou a um foco na produção eficiente de cientistas e
técnicos, tanto quanto numa força de trabalho estável; isso, a
“garantia” dessa produção por meio do currículo escolar, passou a
ter importância cada vez maior (p. 150).
É claro que não podemos afirmar que atualmente, nas escolas particulares,
exista uma preocupação com a produção de cientistas e técnicos, pois o enfoque
da nossa sociedade não está mais fundamentado na visão modernista que
preconizava o tecnicismo em detrimento à própria compreensão do que se estava
ensinando e aprendendo. No entanto, cabe-nos refletir sobre a interferência
centralizadora de algumas instituições e, porque não dizer, do próprio Estado,
sobre as ações docentes e, principalmente, sobre o que os alunos devem
aprender (em determinados casos, também como ensinar, através do “manual do
professor”). Achamos, portanto, que também seja necessária a discussão sobre
até que ponto é importante manter o caráter centralizador e vertical sobre as
decisões curriculares no país e nos Estados, e como é possível que uma decisão
ou orientação seja difundida por milhares de escolas, em uma profusão de
culturas, gostos, especificidades e necessidades.
No caráter exploratório e, sobretudo, crendo que uma tese, justificada
metodologicamente como qualitativa, deve ser refletida e criada no caminho,
achamos por bem incluir um capítulo específico para discutir questões inerentes
ao próprio currículo, como as concepções e os objetivos que adotaremos como
“abarcadores” dos pontos de vista mais relevantes de cada teoria já mencionada.
2.3.2.3. Pressupostos por detrás do assunto
Sobre os pressupostos e a compreensão dos problemas e necessidades
que suscitaram o surgimento de determinados assuntos, compreendemos que
seja necessário o estudo histórico analítico que leve em conta, entre outras
coisas, o contexto social, político e econômico da criação e do desenvolvimento
de determinado conceito matemático.
Nesse caso, não é possível olhar para a Matemática como um campo
isolado, protegido por uma redoma blindada por sua suposta exatidão, ignorando
os interesses em jogo. Portanto, é imprescindível compreender a História da
80
Matemática não como uma cronologia de fatos e acontecimentos que justificam a
evolução de conceitos específicos ou, pior ainda, como uma lista de feitos e
“descobertas” realizadas por alguns seres iluminados pela benção divina,
ignorando as incertezas, inseguranças e impossibilidades envolvidas.
A História da Matemática deve ser compreendida no contexto da época e
da localização dos fatos ocorridos. Esta visão histórica contextualizada no
espaço-tempo e a compreensão dos fatores que inspiraram a criação de objetos
matemáticos é condição necessária, porém não suficiente, para alguém que
pretenda escolher ou avaliar os conteúdos matemáticos a serem ensinados na
escola, ou apenas especificamente no Ensino Médio, como abordamos nesta
tese. Somente com esta visão, podemos recontextualizar ou ressignificar (para
utilizar a palavra que explicaremos e aprofundaremos mais à frente) socialmente
os assuntos tratados.
Na tentativa de clarificar essas ideias, mencionaremos o assunto
logaritmos, investigando a compreensão das necessidades da época do seu
surgimento e as atuais aplicações. Cabe ressaltar que Machado (2001a, p. 71-72)
cita este assunto como um exemplo de transmutação de significados práticos ao
longo de várias épocas.
No século XV e XVI, Portugal e Espanha tornam-se grandes potências
mundiais. As grandes navegações passaram a ser tratadas com grande
importância pelo Estado, proporcionando o nascimento de grandes projetos que
revolucionam a história da humanidade. Com o objetivo de alcançar o oriente,
contornando a costa africana, os ibéricos descobrem um novo continente: a
América. As navegações impulsionam o estudo da Astronomia e da própria
Matemática, buscando nestas ciências as ferramentas necessárias para otimizar
as viagens e os planos de mapear o globo terrestre com precisão. As caravelas
portuguesas cruzam oceanos e conquistam muito mais que terras – conquistam
fornecedores e admiradores nos quatro cantos. Com a descoberta de novas
terras, novos povos e novas culturas, a Europa muda novamente sob um novo
modo de pensar a utilização dos recursos naturais, por exemplo.
Os logaritmos surgem neste contexto de grandes revoluções no
pensamento e na própria concepção de mundo do homem europeu, influenciados,
entre outros fatores, pela aceitação do sistema heliocêntrico de Copérnico, pelo
sucesso das Grandes Navegações (concretizado definitivamente pela
81
circunavegação do globo por Magalhães, em 1521), pela publicação do novo
mapa do mundo, em 1569, por Gerhard Mercator, pelo desenvolvimento da
Mecânica de Galileu e pela apresentação das leis de Kepler (MAOR, 2006, p. 17).
A criação dos logaritmos deve-se ao trabalho do escocês John Napier
(1550 – 1617) que, em 1614, publica Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio,
no qual cita que seu trabalho, analisado do ponto de vista matemático, produz
uma grande facilidade nos cálculos da época, ao transformar multiplicações e
divisões, respectivamente, em adições e subtrações:
Percebendo que não há nada mais trabalhoso na prática da
Matemática, nem que mais prejudique e atrapalhe os
calculadores, do que as multiplicações, as divisões, as extrações
do quadrado e do cubo dos números muito grandes [...] comecei a
considerar em minha mente através de que tipo de arte certa e
rápida poderia remover essas dificuldades (NAPIER, 1614 apud
MAOR, 2006, p. 15)
Não entraremos no mérito de como isto foi feito, só mencionaremos que
várias tábuas de logaritmos foram criadas e, posteriormente, muito consultadas a
fim de determinar os resultados de cálculos multiplicativos envolvendo números
com várias ordens. A questão não é como, mas por que este conhecimento foi
desenvolvido e teve grande aplicação. Verificamos, no caso específico dos
logaritmos, as necessidades sociais, políticas e econômicas que representaram
fatores determinantes para o que chamaremos de necessidades utilitárias.
É óbvio que nem todos os conceitos ou criações matemáticas são
desenvolvidos pelas necessidades utilitárias, mas o entendimento dos fatores que
constroem o cenário para este nascimento proporciona uma visão ampliada sobre
o que Skovsmose chama de “pressupostos por detrás do assunto”.
Ainda sobre os logaritmos, é inconcebível utilizá-lo no ensino atual como
facilitador para cálculos multiplicativos, pois as novas tecnologias proporcionam
acesso a vários instrumentos que fazem o que nossos antepassados sonhavam:
calcular rápida e eficientemente. No entanto, os logaritmos podem ser utilizados
para calcular, por exemplo, em quanto tempo um determinado capital dobraria
seu valor, aplicado a uma taxa de juros pré-determinada. Porém, no contexto
crítico de um currículo de Matemática, este cálculo simplesmente não produz
nenhuma reflexão social, nem conduz a uma ação transformadora, apenas
82
calcula friamente um determinado número que, sem a significação necessária do
professor e do aluno, não representará nada além de alguns dígitos estampados
em uma calculadora. Refletir sobre estes resultados em um projeto maior, como
de produção de um orçamento doméstico para as famílias dos alunos envolvidos,
compreendendo a dinâmica e a política dos juros praticados pelo governo, suas
consequências e influências diretas na vida de todos e, principalmente, como
economizar e, através destas economias, propiciar a multiplicação do capital da
comunidade, representaria uma ação que justificaria a inserção de um tema como
logaritmos no currículo de Matemática.
2.3.2.4. Funções do assunto
Continuando nosso ensaio sobre as questões relacionadas a um currículo
crítico de Matemática, enunciadas por Skovsmose, analisaremos as funções do
assunto, como não sendo as aplicações possíveis, mas seu impacto social de
aplicabilidade, ou seja, quais as consequências do seu uso.
Neste ponto, paramos para refletir sobre outro campo do conhecimento que
parece produzir avanços nesta questão: a Biologia. Entendemos que os estudos
deste campo, ainda que controversos, abrangendo questões éticas sobre
aplicações das novas tecnologias envolvidas nos laboratórios de todo o mundo,
apontam para grandes avanços no que pretendemos que seja, para a
Matemática, um movimento ou uma discussão análoga às realizadas em Bioética,
levando em conta o homem e as condições éticas para uma vida humana. A
palavra "Bioética" é enunciada por Van Rensselder Potter, da Universidade de
Wisconsin, Madison, na obra Bioethics: bridge to the future, publicada em janeiro
de 1971. Porém, apenas seis meses mais tarde, em 1° de julho do mesmo ano,
Andre Hellegers introduz o mesmo termo, com caráter inédito, ao fundar o Joseph
and Rose Kennedy Institute for the Study of Human Reproduction and Bioethics
(NEVES, 1996).
É claro que circunscrever a questão ética a um campo de conhecimento
pode fazer com que caiamos em uma prática de ditar juízos de valor sobre o que
pode ser feito ou não e, pelo menos no que concerne às discussões desta tese,
não estamos interessados nisto. Como Cardoso (1998) sugere:
83
Contudo, se reflexões e debates sobre o tema ficarem
circunscritos a uma área do conhecimento como bioética,
fisicoética, quimicoética corremos o risco de acreditarmos que a
superação do impasse se dará por um “código de ética” de
pesquisa científica e de manipulação técnica nos moldes dos
códigos de ética profissionais. Não estaríamos, assim
procedendo, em busca de um receituário que nos determinasse o
que pode ou não fazer, e que nos livrasse da responsabilidade
ética pessoal inalienável? Dessa forma, perde-se a radicalidade
da questão e acaba-se por limitar os problemas éticos no campo
das questões mais imediatas (p. 1-2).
Não seria adequado, portanto, forjar um novo termo, talvez “Matemática
Ética” para justificar a necessidade de refletir sobre a importância das questões
éticas bem como as consequências do seu uso. Entendemos que, por tratar-se de
um trabalho centralizado no estudo do currículo, o importante é aceitar que esta
reflexão seja necessária e, sobretudo, levá-la em conta ao formularmos nossos
critérios.
O interessante é perceber como parece que existe uma comoção
generalizada em torno das discussões éticas envolvendo a Biologia, como as do
projeto Genoma, a questão do uso de células tronco, a possibilidade de criar
clones a partir de seres vivos, etc. Mas não notamos esta mesma intensidade
quando o assunto é Matemática.
Skovsmose (2007a) não faz considerações explícitas quanto à ética, porém
utiliza a expressão “má-fé” que significaria não reconhecer que a Matemática é
posta em ação, considerando-a como sendo de “mãos limpas” (p. 171). Para
exemplificar esse conceito, o autor cita a “má-fé” do matemático inglês Godfrey
Harold Hardy (1877 – 1947), evidenciada pelo fato de ignorar a relevância de
seus estudos, e da Matemática como um todo, nos campos tecnológicos, sociais,
políticos e econômicos:
Nunca fiz nada de “útil”. Nenhuma descoberta minha fez ou tem
probabilidade de fazer, direta ou indiretamente, para o bem ou
para o mal, a menor diferença para o conforto da vida neste
mundo. Ajudei a formar outros matemáticos, mas matemáticos
iguais a mim, e o trabalho deles, na medida em que eu os auxiliei,
foi tão inútil quanto o meu. A julgar por todos os critérios práticos,
o valor da minha vida na Matemática é nulo; e fora da Matemática
é bem reduzido, de qualquer maneira. Tenho apenas uma chance
de escapar a um veredito de nulidade completa, caso julguem que
criei algo que vale a pena criar. Que criei algo é inegável; a
questão é o valor da minha criação (HARDY, p. 140, 2000).
84
Parece que Hardy é um bom exemplo do que seria considerar a
Matemática como sendo de “mãos limpas”, ou seja, a concepção inaceitável desta
ciência como determinante para a ação (explicaremos melhor o que é Matemática
em ação mais adiante) e, consequentemente, para a tomada de decisões.
Se o conhecimento útil, tal como o definimos a título provisório, é
aquele conhecimento que, agora ou num futuro relativamente
próximo, tem boa probabilidade de contribuir para o conforto
material da humanidade, deixando de lado a pura e simples
satisfação intelectual, então a maior parte da Matemática superior
é inútil. A geometria e a álgebra modernas, a teoria dos números,
a teoria dos agregados e funções, a relatividade, a mecânica
quântica – nenhuma delas resiste a essa prova, e não há nenhum
matemático de verdade cuja vida possa ser justificada com base
nesse fundamento. Se essa é a prova, Abel, Riemann e Poincaré
desperdiçaram suas vidas; a contribuição que deram para o
conforto humano foi ínfima e o mundo seria um lugar igualmente
feliz sem eles (HARDY, p. 126-127).
É curioso notar que Hardy terminou a escrita de sua obra “A
Mathematician’s Apology” em 1940, como consta no Prefácio deste livro. Cinco
anos mais tarde, em 6 de agosto de 1945, em plena Segunda Guerra Mundial,
Hardy pode ver o poder de destruição da má aplicação não só da Matemática,
mas de quase todos os campos de conhecimento citados por ele no fragmento
anterior, quando a primeira bomba atômica feita pelo homem destruiu a cidade
japonesa de Hiroshima. Três dias depois, o fato se repetiu, desta vez em
Nagasaki.
Porém, sabemos que Hardy enxergava, à sua forma, as consequências
poderosas do mau uso científico na guerra. O curioso é notar como ele fazia a
distinção entre a Matemática que produzia consequências e aquela que seria
“inofensiva”. Para isto, argumentava que existiam duas matemáticas: a “trivial” ou
“escolar” que tem muitas utilidades e reconhecidamente provoca impacto social
de aplicabilidade, como diria Skovsmose, e a chamada Matemática “de verdade”
dos matemáticos de verdade e é, segundo Hardy, “inútil e inofensiva”.
Desta maneira, Hardy torna-se isento de todo caráter de aplicabilidade da
“sua” Matemática “de verdade”, pois categoriza tudo o que pode provocar uma
consequência social, política, econômica, ou seja, tudo o que possui, direta ou
indiretamente, uma aplicação possível, é classificado por ele como uma espécie
85
de Matemática de categoria inferior, notadamente aquela que é ensinada na
escola.
Há uma conclusão confortadora a que o matemático de verdade
chega facilmente. A Matemática de verdade não tem nenhum
efeito sobre a guerra. Ninguém descobriu ainda nenhum propósito
bélico a que possam servir a teoria dos números ou a da
relatividade, e parece muito improvável que alguém o faça no
futuro próximo. É verdade que há certos ramos da Matemática
aplicada, como a balística e a aerodinâmica, que foram
desenvolvidos deliberadamente para a guerra e que exigem uma
técnica bastante elaborada; talvez seja difícil chamá-los “triviais”,
mas nenhum deles tem o direito de ser classificado como
Matemática “de verdade”. De fato, são hediondamente feios e
intoleravelmente aborrecidos. Nem Littlewood conseguiu tornar a
balística respeitável. E, se ele não conseguiu, quem vai
conseguir? Assim, o matemático de verdade tem a consciência
limpa, não há nada que possa se contrapor ao valor que seu
trabalho possa ter; a Matemática, como eu disse em Oxford, é
uma ocupação “inofensiva e inocente” (HARDY, 2000, p. 130-
131).
Portanto, se considerássemos apenas essas ideias, nossa pesquisa estaria
apenas enfocando o que Hardy chamou de Matemática “trivial”, pois está ligada
àquela ensinada na escola, ou seja, uma categoria inferior que nada tem a ver
com o trabalho dos matemáticos. Porém, acreditamos que boa parte da
Matemática “de verdade”, como ele chama, ou seja, aquela que não possui
aplicabilidade e, portanto, nenhuma sorte de consequências, pode estar na
própria Educação Básica, fazendo parte do que Hardy chamou de Matemática
“escolar”. Cabe-nos analisar qual seria esta Matemática “inútil” e “inofensiva” que
ainda está nos currículos de Matemática e se realmente existe este tipo de
Matemática na Educação Básica, mais especificamente no Ensino Médio.
Utilizamos esta pequena reflexão sobre o trabalho de Hardy para ilustrar a
referência de Skovsmose à possibilidade de considerar a Matemática como sendo
de “mãos limpas” e vimos que, segundo este autor, isto implicaria não reconhecer
a Matemática como posta em ação. Mas o que seria Matemática em ação?
Ao contrário de Hardy, Skovsmose afirma que a Matemática está em todo
lugar. Podemos nos referir a ela simplesmente como a Matemática pura, talvez
analogamente ao que Hardy chamou de Matemática verdadeira, mas também
podemos relacioná-la “à Matemática aplicada, à Matemática da Engenharia, às
86
técnicas matemáticas imersas na cultura, à Matemática das ruas, aos cálculos de
todo tipo” (2007a, p. 113).
Talvez a principal diferença concernente à opinião que estes dois autores
possuem da Matemática está no antagonismo sobre as relações entre
conhecimento matemático e poder. Como já vimos, Hardy enfatiza que a
Matemática “de verdade” que ele fazia não compactuava com aplicabilidades,
muito menos relacionava-se com o poder, a não ser que este poder fosse
compreendido como egocêntrico e desprovido de qualquer outra coisa que não
apenas o próprio campo de conhecimento matemático, visto como um clube
fechado nos quais os sócios são mentes brilhantes providas do dom de enxergar
o mundo do ideário matemático. Dentro deste clube existe uma luta pelo poder, e
as armas são a capacidade de “descobrir” a maior quantidade e a mais
respeitável Matemática que possa impressionar o outro, da mesma forma como o
próprio Hardy reconheceu o poder do seu colega matemático Ramanujan. Já
Skovsmose enxerga esta relação de maneira diametralmente oposta, e aborda
três aspectos da Matemática em ação como sugestões para modos de ver as
conexões entre Matemática e o poder:
(a) Por meio da Matemática é possível estabelecer um espaço de
situações hipotéticas na forma de alternativas (tecnológicas)
possíveis para uma situação presente. Entretanto, esse espaço
pode ter sérias limitações. (b) Por meio da Matemática, na forma
de raciocínio hipotético, é possível investigar detalhes particulares
de uma situação hipotética, mas esse raciocínio também pode
incluir limitações e, portanto, incertezas para justificar as escolhas
tecnológicas. (c) Como parte da compreensão das tecnologias, a
própria Matemática se torna parte da realidade e inseparável de
outros aspectos da sociedade. O racional se torna real, ainda que
nada indique que o real se torne racional (2007a, p. 128).
Certamente concordamos com o parecer de Skovsmose sobre as relações
fundamentais existentes entre Matemática e o poder e a relação da tecnologia e
seu uso no atual cenário mundial. Entretanto, parece existir uma contradição ou,
nas palavras de Skovsmose, um “paradoxo da razão”, enunciado por D’Ambrosio
(1994 apud SKOVSMOSE, 2007a):
Nos últimos cem anos, vimos enormes avanços no nosso
conhecimento da natureza e no desenvolvimento de novas
tecnologias. E, todavia, esse mesmo século nos mostrou um
87
comportamento humano desprezível. Meios sem precedentes de
destruição em massa, de insegurança, novas doenças terríveis,
fome injustificável, abuso de droga, e decadência moral igualada
somente pela destruição ambiental. Muitos desses paradoxos têm
a ver com a ausência de reflexões e considerações dos valores
acadêmicos, particularmente nas disciplinas científicas, tanto na
pesquisa, como na educação. Muitos dos meios de alcançar
essas maravilhas e também esses horrores da ciência e da
tecnologia têm a haver com os avanços da matemática (p. 141).
Como lemos, D’Ambrosio provoca uma reflexão necessária sobre o
progresso, a tecnologia e o papel da ciência neste contexto pós-moderno. Para
este autor, fica evidente que a Matemática é algo muito mais amplo que a visão
restrita de Hardy. Porém, Skovsmose faz uma comparação que, ao nosso ver,
parece representar um deslize:
Embora Hardy mantenha uma perspectiva “de mãos limpas” a
respeito da Matemática, ele observa que a ciência natural
“trabalha para o mal tanto quanto para o bem”, afirmação essa
que concorda com a de D’Ambrosio sobre “horrores e maravilhas”
(2007a, p. 142).
Achamos que o leitor já deve ter compreendido o que entendemos ser uma
pequena falha de Skovsmose, pois ao se referir à Matemática como “trabalhando
para o mal tanto quanto para o bem”, Hardy referia-se à Matemática escolar, ou
trivial, não fazendo menção da “sua” Matemática “de verdade”, isenta de qualquer
julgamento ou aplicabilidade.
De qualquer modo, entendemos que toda esta discussão sobre o quarto
ponto mencionado por Skovsmose (2001a) acerca das questões relacionadas
com um currículo crítico, ou seja, as funções do assunto, apontam para a
necessidade de buscar critérios ligados à reflexão sobre o conteúdo e à realidade
potencial surgida a partir da abordagem deste conteúdo, em busca de uma saída
para superar o paradoxo da razão, fazendo com que a Matemática escolar, ainda
que considerada por alguns matemáticos
19
como de segunda categoria, seja
profundamente influenciada por discussões sobre sua aplicabilidade tecnológica e
as consequências do uso destas tecnologias e do progresso advindo de supostos
19
Utilizamos o conceito de “matemático” como sendo o profissional que faz matemática “de verdade”, como
Hardy acreditava. No entanto, concordamos com o ponto de vista dos personagens “Estudante” e
“Professora” de Chevallard; Bosch; Gascón (2001) que não concebem a condição de matemático, senão
como uma relação entre duas ou mais pessoas. Por este ponto de vista, ninguém é matemático a priori, mas
se faz matemático para alguém desde que resolva ou ensine Matemática a este alguém.
88
avanços científicos dentro de uma perspectiva de avanço social, justo,
democrático e que promova a igualdade.
Detalharemos estes critérios posteriormente, mas a título ilustrativo,
tentaremos esboçar, ainda que precariamente, o que seriam os critérios reflexão e
realidade. Imaginemos um conteúdo ou um assunto (como Skovsmose chama)
abordado tradicionalmente no Ensino Médio: a analogia ou aplicabilidade da curva
descrita pelo gráfico de uma função do segundo grau e o movimento descrito por
um corpo em um lançamento oblíquo, desprezando-se a ação do ar. Para
exemplificar este assunto, muitas vezes nos deparamos com uma abordagem que
utiliza o modelo do canhão que dispara uma bala descrevendo um movimento
parabólico para explicar o movimento balístico. Notadamente esta situação é
justificada como aplicação da Matemática, e mais, é acentuada a virtude de
explorar conceitos desta ciência com a de outra: a Física. Mas dentro do que
procuraremos chamar de reflexão, reside a necessidade de compreendermos
qual o impacto social, ou melhor, qual a função da Matemática que um aluno pode
imaginar ao receber este exemplo. Talvez a Matemática aplicada à guerra, à
destruição, à morte, etc. Seria exagero tal suposição? Será que não existem
outros modelos “reais”, supondo que a realidade do aluno e a realidade que
queremos para a Matemática nada tenham a ver com as aplicações que
mencionamos anteriormente? Precisamos, pois, discutir profundamente a questão
da realidade e da reflexão ao apontarmos assuntos a serem apresentados,
discutidos e estudados no Ensino Médio.
Antes que o leitor nos pergunte: “como abordar então este assunto?”,
gostaríamos de apresentar a alternativa de tratá-lo por meio da modelagem para
o uso em tecnologias modernas, como o lançamento de satélites na órbita
terrestre. Mesmo assim, deveríamos refletir e ponderar sobre várias “realidades”
decorrentes desta aplicação: lançar satélites para quê? Espionar o território alheio
em busca de informações militares estratégicas ou mapear, de tempos em
tempos, áreas desmatadas de uma região e, posteriormente, tratar estas
informações estatisticamente em busca de ações que previnam novos atos de
devastação e que punam ou eduquem os responsáveis?
89
2.3.2.5. Limitações do assunto
Sobre as limitações do assunto, compreendemos existir um ponto chave
para esta consideração, que é analisar e avaliar criticamente os conteúdos
propostos atualmente e perguntar, como Skovsmose (2001a): “em quais áreas e
em relação a quais questões esse assunto não tem qualquer relevância?” (p. 19).
Entretanto, podemos ampliar a dupla possibilidade de classificar um conteúdo
como não tendo ou tendo relevância para a construção de um matiz de
possibilidades, verificando a aplicabilidade e a significância de um assunto para
alunos do Ensino Médio.
Defendemos que a justificativa do ensino de determinados tópicos da
Matemática, apenas por sua aplicabilidade, produz diferentes significados para
diferentes pessoas. Cada profissão, por exemplo, tem suas necessidades
específicas e parece-nos que estas necessidades são atendidas no Ensino
Superior ou Técnico, voltado diretamente à formação específica para exercício do
trabalho.
Sabemos que Skovsmose não se refere a este tipo de relevância
profissional, mas constatamos que algumas aplicações ingênuas são lançadas
como possíveis justificativas para um currículo crítico, mesmo visando a uma
formação geral para a futura preparação ao trabalho.
Podemos citar, por exemplo, que os números complexos servem para
modelar o perfil da asa de um avião, sendo úteis para o estudo aerodinâmico e,
portanto, sendo objetos de estudo do Engenheiro Aeronáutico. Eles também são
úteis no estudo de circuitos, na corrente e na tensão elétrica, na potência, na
impedância, na equação de onda que rege o movimento dos elétrons, na equação
de normalização que tem um papel importante na Mecânica Quântica, entre
outras aplicações que fazem parte do rol de conhecimentos que um Engenheiro
Elétrico deve estudar. Perguntamos, no entanto: excluindo-se estes profissionais,
será que tais argumentos justificariam o ensino deste tema no Ensino Médio, visto
que a maioria dos estudantes não serão futuros Engenheiros? Defendemos que
não, e jamais poderíamos justificar a relevância de um tema pela serventia
profissional que, para poucos, será justificada em estudos posteriores, pois
incorreríamos no erro crasso que, infelizmente, torna-se discurso multiplicado por
90
muitos professores, aos seus alunos, pelas várias salas de aula de Matemática no
Brasil e no mundo: “Aprendam isto, pois será muito importante futuramente”.
Outro exemplo de aplicações inocentes e, diríamos mais, inconsistentes,
baseia-se na aplicação da função logarítmica para analisar a magnitude de um
terremoto, através do uso da Escala Richter. Além de não representar nenhum
aspecto significativo da realidade brasileira, já que os poucos abalos sísmicos que
ocorrem neste país são de baixa magnitude, a compreensão e análise dos
resultados meramente representam uma curiosidade que se esvai com o tempo,
assim como tantos outros assuntos estudados na escola e desprovidos de
significado para o estudante. Não estamos afirmando que o ensino de logaritmos
deva ser retirado do currículo de Matemática do Ensino Médio, até porque já
fizemos menção da importância deste tema e de como poderia ser abordado
utilizando, inclusive, aspectos importantes da História da Matemática. Porém,
defendemos que a justificativa para que este tema permaneça não seja feita por
meio de exemplos que tentem apenas mostrar sua aplicabilidade em situações
pontuais e sem maiores reflexões.
Vimos dois contra-exemplos, porém nenhum deles representa alternativa,
somente modelos a evitar. Na tentativa de ilustrar um exemplo adequado,
façamos inicialmente um caminho inverso: partamos de temas, ou formas de
abordar temas, que pretendemos evitar em busca de alternativas que justifiquem
seu uso. Senão, vejamos, alguns livros didáticos do Ensino Médio estão
recheados de exemplos, normalmente no capítulo destinado ao tratamento de
tópicos de Trigonometria, onde se exemplifica seu “uso” para calcular a largura de
um rio através do cálculo envolvendo semelhança de triângulos ou relações
trigonométricas no triângulo retângulo. Confessamos ao leitor que refletimos
durante um bom tempo sobre este tema e não conseguimos imaginar para que
fim e quem calcularia o comprimento de um rio com tal precisão. Mas se
queremos tanto abordar as particularidades de um rio, imaginemos e estudemos
algo que provoca grande impacto ambiental na fauna e flora brasileira: o uso dos
rios como ferramentas para obtenção de energia através das usinas hidrelétricas.
O estudo do represamento, as transformações de energias envolvidas, os efeitos
gerados pelo represamento da água fluvial sobre a população que habitava o
entorno do rio e o quanto pagamos pela energia recebida em nossas casas, são
91
alguns dos assuntos e questões que, ao nosso ver, possuem grande relevância
na atual realidade brasileira.
2.3.3. Tese da familiaridade X Tese da dicotomia
As contribuições de Skovsmose estendem-se à discussão da consideração
da experiência do próprio aluno no planejamento do currículo. Para tanto, o autor
enuncia duas teses que representam o antagonismo de posições existentes a
respeito. De um lado, a tese da familiaridade estabelece uma transição “muito
suave e contínua entre a linguagem ordinária e as estruturas conceituais da
Matemática” (2001a, p. 47). Em contrapartida, temos a tese da dicotomia:
Linguagem ordinária e linguagem matemática constituem dois
jogos completamente diferentes e independentes. Conceitos
matemáticos são criados em um contexto especial, e o
planejamento educacional é forçado a relacionar os dois jogos de
linguagem um com o outro (Ibid., p. 74).
Vislumbramos a tese da familiaridade na proposta que Machado (2001a)
defende de que a Matemática e a Língua Materna relacionam-se por meio de uma
impregnação mútua, porém com algumas especificidades. Nesta obra, Machado
conduz o leitor a explorar e analisar três objetivos principais: (1) esclarecer as
razões da inclusão da Matemática nos currículos escolares; (2) caracterizar o fato
de que, entre a Matemática e a língua materna, existe um paralelismo nas
funções que desempenham nos currículos, uma complementaridade nas metas
que perseguem, uma imbricação nas questões básicas relativas ao ensino de
ambas; (3) explicitar as formas de abordagem dos conteúdos matemáticos
usualmente tratados nos currículos escolares, revelando a impregnação mútua
existente entre a Matemática e a língua materna. (Ibid., p. 19-22). Na conclusão
de sua tese, Machado revela indícios do que poderia vir a ser o nascimento de
novas ideias e a defesa de novos ideais dentro das teorias curriculares de
Matemática:
Essa semente, no entanto, deverá aguardar condições mais
propícias de germinação, no que poderia vir a constituir um novo
trabalho. No presente, resta ainda a perseguição do último
objetivo dentre os três anunciados no início, qual seja a
explicitação de formas de abordagem dos conteúdos matemáticos
92
usualmente tratados nos currículos escolares que levem em conta
a impregnação que até aqui pretendemos caracterizar, utilizando-
a organicamente no sentido da superação das dificuldades mais
frequentes com o ensino de Matemática (Ibid, p. 130).
Em seguida, propõe a reflexão sobre dois conteúdos específicos – a
Geometria e o Cálculo – argumentando sobre a impregnação mútua existente
entre estes assuntos e a língua materna.
Mas o que diferencia a impregnação mútua de Machado da tese da
familiaridade de Skovsmose? Acreditamos que, embora Machado vislumbre um
panorama muito mais amplo que a aplicação ou aceitação desta impregnação
mútua dentro dos tradicionais conteúdos abordados na Educação Básica, ele
sabia e já conjecturava sobre possíveis ampliações do seu trabalho em ensaios
futuros. Já em 1989, afirmava que talvez o principal, ou o mais emergente objetivo
a ser alcançado, seria efetivamente explicitar as formas de abordagem dos
conteúdos tradicionais relacionando-os com a língua materna. Será que isto está
feito, duas décadas mais tarde? Achamos que não, e devemos fazer muito para
tornar este trabalho factível. Julgamos que a realização do terceiro objetivo,
mencionado por Machado, ajudaria a alcançar os outros dois, tornando evidente e
explícita a justificativa para a própria existência da Matemática nos currículos
escolares e a importância imbricada da língua materna.
Já a tese da familiaridade contempla os dois primeiros objetivos
enunciados por Machado, porém não busca justificativas para os conteúdos
tradicionalmente ensinados, presentes nos currículos de Matemática. Cremos
que, por este caminho, negaríamos a existência de boa parte, senão todos os
temas abordados no Ensino Médio, pois o currículo levaria em conta toda a
experiência do aluno, o que poderia significar a supervalorização da prática
enquanto saber-fazer. Parece-nos que, nesta visão, o caminho seria dos
interesses e conhecimentos dos alunos em direção ao conhecimento matemático,
servindo-se deste para aquilo que é importante. Na visão de Machado, o caminho
seria em sentido duplo, pois o conteúdo matemático se justificaria por sua
embricação com a própria língua materna, fazendo com que o sentido dos
conhecimentos matemáticos adquiridos ou reconfigurados, a partir de novas
experiências e significados vivenciados, existissem naturalmente, assim como
aprendemos a falar e formalizamos este ato na escola, ampliando nosso rol de
93
ações através da escrita, por exemplo. Desta maneira, não faria sentido descartar
conteúdos por sua inutilidade social, seja ela prática ou teórica, pois seria o
mesmo que abolir um conjunto de palavras do nosso dicionário ou simplesmente
não ensiná-las por não serem utilizadas frequentemente ou por não fazerem parte
da nossa realidade. Além disso, a posição radical de uma “educação matemática
baseada na experiência”, como se refere Skovsmose (2001a, p. 46) sugere que
até aqui trilhamos um caminho em uma direção equivocada, ou seja, ignorando
completamente a vivência discente em prol de um interesse político existente e,
desta maneira, devemos retraçar nosso rumo em busca da Matemática que
verdadeiramente importa, ou seja, aquela que serve ao aluno e à sociedade. Mas
será que uma mudança tão drástica não abalaria o próprio caráter hegemônico
que a Matemática, enquanto disciplina escolar, possui atualmente perante a
sociedade? Construir um currículo fundamentado na experiência e vivência do
aluno não provocaria hesitações de como ensinar e sobre o que ensinar? Se
estas questões já são extremamente discutidas atualmente, mesmo com um
currículo centralizado e orientado para todo o país, como fazê-lo dentro desta
proposta “personalizada” de total fundamentação na experiência do aluno?
Cremos que, da mesma forma como parece utópica a tentativa de explorar
todas as relações possíveis entre a Matemática e a experiência de nossos alunos,
personalizando seu ensino, também contemplamos a impossibilidade de tratá-la
como uma linguagem desfigurada de sentido e totalmente impessoal, como
acreditavam os filósofos formalistas, através da tentativa de aplicar suas ideias
pelo Movimento Matemática Moderna. Portanto, concordamos com Skovsmose
sobre a necessidade permanente de evitar que o currículo de Matemática incorra
novamente no erro de caminhar para a tese da dicotomia.
2.3.4. Alternativas para implementação de um currículo
democrático
Para Skovsmose (2001a, p. 48-49), o currículo de Matemática bem
estruturado pode implicar uma obstrução para as atividade de aprendizagem,
incorporando aspectos não-democráticos. O autor cita como D’Ambrosio (1985)
trata dessa questão:
94
A Matemática “aprendida” elimina a assim chamada Matemática
“espontânea”. Um indivíduo que lida perfeitamente bem com
números, operações, formas e noções geométricas, quando
enfrenta uma abordagem completamente nova e formal para os
mesmos fatos e necessidades, cria uma barreira psicológica, que
cresce como uma barreira entre os diferentes modos de
pensamento numérico e geométrico (p. 472).
Parece-nos que, a todo o momento, o autor busca argumentos para
defender a implicação direta entre currículo estruturado, caracterizando-o como
instruções governamentais ditadas verticalmente no sentido dos “elaboradores
curriculares” para o aluno, e a consequência da inexistência de democracia neste
processo. No entanto, como alternativa, Skovsmose (2001a, p. 49) propõe a
adoção de uma abordagem etnomatemática, citando D’Ambrosio (1984):
Temos de aprender a linguagem deles [pessoas de diferentes
ambientes culturais], sua lógica, sua história e sua evolução, sua
ciência e sua tecnologia, a fim de estar a par de seus motivos e de
suas metas finais [...]. Mas, ao mesmo tempo, a Matemática nas
escolas deverá ser tal que facilite o conhecimento, o
entendimento, a incorporação e a compatibilização da prática
popular conhecida e corrente dentro do currículo. Em outras
palavras, o reconhecimento e a incorporação da etnomatemática
dentro do currículo (p. 32).
Assim como D’Ambrosio, também confiamos na possibilidade da tornar
compatível a experiência vivencial dos estudantes com a prática popular
conhecida e corrente dentro do currículo, entendida como os tradicionais
conteúdos propostos, porém esvaziados de sentido e compreensão contextual.
Skovsmose, dentro desta proposta experiencial, sinaliza para a importância
da utilização de materiais abertos de ensino-aprendizagem, visando à construção
do que chama de situações abertas. Dentre as características destes materiais,
podemos citar: (1) o material tem a ver com um tópico de relevância subjetiva
para os estudantes; (2) o material inicia uma variedade de atividades, que não
são pré-estruturadas nem completamente fixadas; (3) várias decisões têm de ser
tomadas relacionadas ao processo de ensino-aprendizagem, e as decisões
normalmente necessitam de uma discussão entre professor e estudantes (2001a,
p. 51). Novamente, observamos claramente a abertura que o autor enfatiza na
construção de propostas e a variedade de reflexões inerentes a esta prática, tanto
por parte do professor, quanto pelos alunos. No entanto, é interessante observar
95
a reflexão de Skovsmose sobre uma contradição que surge ao modelarmos
problemas reais e concretizarmos ou representarmos assuntos matemáticos
através do uso de materiais abertos:
Enfrentamos um problema quando temos sucesso no
desenvolvimento de materiais abertos: é possível construir
conhecimento crítico trabalhando nesse projeto? E deparamos
com um outro problema quando temos sucesso no
desenvolvimento de materiais “libertadores”: será possível evitar
demasiada pré-estruturação da situação, demasiadas aulas
expositivas, para construir esse estoque complicado do
conhecimento real obviamente necessário para entender as
funções de um modelo real? Material aberto poderia resultar em
situações abertas e democráticas – porém “libertação” não está
garantida, e material “libertador” poderia resultar em entendimento
crítico –, mas a abertura não é garantida. (Ibid., p. 53).
Portanto, entendemos que o próprio autor demonstra a limitação de sua
proposta. Não podemos imaginar, como em um mundo utópico, que não surjam
restrições e fatores complicadores ao modelarmos ações educativas,
principalmente envolvendo conceitos matemáticos, através da execução de
projetos contextualizados.
Não mais referindo-nos ao uso específico de materiais, mas à proposta de
modelar determinados assuntos utilizando-se da Matemática como ferramenta,
Bassanezi (2004, p. 37-38) aponta três tipos de obstáculos que podem aparecer
ao adotarmos esta abordagem em cursos regulares: os obstáculos instrucionais
referem-se à questão temporal envolvida nos chamados “programas” curriculares,
que consistem em uma lista de conteúdos previamente determinados. Projetos
deste tipo demandariam tempo maior para discussão e a previsão do número de
aulas tornar-se-ia praticamente impossível. Além do mais, alguns professores
discutem a primazia da aplicação matemática em outras áreas, alegando que
desta forma a Matemática seria deixada em segundo plano. A modelagem
também seria um obstáculo para os estudantes, pois a mudança da rotina do
ensino tradicional para essa nova metodologia poderia provocar apreensão, temor
e apatia nos alunos. Não poucas vezes constatamos que, ao serem submetidos a
atividades instigantes que provocam reflexão e atitude participativa, o aluno,
acostumado a metodologias habituais, acaba esperando que o professor o
conduza às respostas esperadas, sendo incapaz de construí-las por conta
96
própria. Por último, representaria um obstáculo para os próprios professores, pois
muitos não se sentem capacitados a se aventurarem “por mares nunca dantes
navegados”, como diria Camões, por falta de conhecimento do processo ou por
medo de se exporem em situações adversas e incertas, nas quais nem sempre a
resposta é conhecida antecipadamente pelo mestre.
Não somos contrários ao uso da modelagem, tampouco nossas posições
vão de encontro ao que sugere Skovsmose, até por que salientamos que as
contribuições deste autor são parte da teoria que sustentará nossas
considerações sobre os critérios de seleção e organização dos conteúdos para o
Ensino Médio. No entanto, discordamos de qualquer posição radicalista, pois
entendemos que existem ações que não são modificadas pela força científica
teórica, mas pela prática transformadora que demanda esforço, mas, sobretudo
tempo, muito tempo. Assim como Machado propôs, há cerca de vinte anos, a
necessidade de buscar a compreensão da Matemática, assim como dos seus
conteúdos para justificar o seu ensino e, assim como Skovsmose propõe que
essa justificação seja feita levando em conta uma reflexão profunda sobre quais
assuntos provocariam não simplesmente uma aplicação tecnicista de saber-fazer,
mas uma ponderação crítica sobre como poder-transformar, também acreditamos
e apostamos nestas sugestões. Cabe-nos refletir para apresentarmos uma
proposta factível e ponderada, isenta de posições extremadas e firmadas na
certeza de que toda modificação implica um processo gradual de
desenvolvimento, desde que alicerçada no convencimento de que é possível
realizá-la.
2.3.5. Contribuições dessa análise para a reflexão sobre o
Currículo de Matemática
Fundamentados nos argumentos expostos até aqui, concluímos que a
utilização do conceito de currículo crítico, segundo as concepções de Skovsmose,
na formulação de nossos critérios para seleção e organização de conteúdos, é
importante, pois acreditamos que a importância dos conteúdos matemáticos deva
ser discutida. Entretanto, não podemos negar o aspecto excessivamente utilitário
dado, por Skovsmose, aos conceitos matemáticos. Se esse fosse o nosso único
aporte, com certeza, reduzíramos nosso rol de possibilidades a pouquíssimos
97
conteúdos. Talvez a própria disciplina “Matemática” teria sua importância reduzida
se comparada com a atual. Talvez nem existisse disciplina escolar nessa
concepção, pois os projetos representariam o papel principal neste cenário,
deixando às ciências a função de servir a estes projetos de acordo com as
necessidades específicas de cada um.
A promoção da igualdade e a transformação da sociedade em que vivemos
deve ser um objetivo não só do Ensino Médio, porém não pode ser o único
critério. Alguns temas matemáticos não possuem as características mencionadas
por Skovsmose, mesmo assim, podem e devem ser abordados por atenderem a
outras normas.
Portanto, achamos que um currículo de Matemática deva atender,
concomitantemente, a duas dimensões distintas que justificam sua importância
por diferentes aspectos: uma dimensão crítica, em que a escolha do conteúdo fica
submetida à utilização ou não em projetos que visam à transformação da
sociedade; uma dimensão puramente matemática, voltada muito mais a questões
organizacionais, em que a importância dos conteúdos se justifica pela variedade
de conexões imagináveis entre os variados temas possíveis de serem abordados.
De qualquer modo, o respeito às propostas, crenças e problemas locais
acarreta um exercício necessário de ouvir a comunidade e compreendê-la como
uma cultura singular que não pode ser preconceituosamente julgada por ser
apenas diferente. Precisamos, portanto, navegar no mar da Antropologia para
compreender as contribuições que a conceituação de cultura pode trazer para a
formulação de nossos critérios. É o que faremos no próximo tópico.
2.4. Contribuições da Antropologia
No século XIX, a Filosofia influenciava grandemente as pesquisas em
Educação, preocupando-se com questões do gênero “como ensinar” e
preocupando-se mais com os professores e suas práticas metodológicas. Até
que, no final do século mencionado, a Psicologia passou a exercer grande
influência, ganhando espaço nos estudos educacionais. A questão nesse
momento passou a voltar-se para “como aprender” e a lente dos pesquisadores
dirigiu-se aos aprendizes. Já na década de mil novecentos e sessenta, com o
advento da Guerra Fria e a dualidade capitalismo – comunismo no centro das
98
discussões mundiais, as pesquisas em Educação receberam grande impacto da
Sociologia. A ideia principal era de que um aluno não poderia ser estudado
genericamente e o meio social em que ele vive exerceria grande influência no seu
aprendizado. Atualmente, desde a queda do Muro de Berlim, em 1989, a
Antropologia e os chamados estudos culturais marcam muitos trabalhos em
Educação, pregando que a cultura é um fator de distinção dos povos.
Sem dúvida, as pesquisas em Educação Matemática recebem influência de
todos estes campos de estudo – Filosofia, Psicologia, Sociologia, Antropologia,
entre outros – e sabemos que uma tese que envolve o estudo do currículo de
Matemática não pode deixar de levar em conta aspectos culturais e sociais e a
influência dos mesmos na constituição, delimitação e organização de conteúdos
escolares. Iniciemos compreendendo melhor o que é cultura, como poderíamos
definí-la e qual o impacto dessa definição para os estudos curriculares.
2.4.1. Diferentes concepções sobre cultura
Segundo Kuper (2002) a primeira definição de cultura, dentro de um
conceito antropológico, foi dada pelo inglês Edward Burnett Tylor, em 1871, no
seu livro Primitive Culture. Para Tylor:
Cultura, ou civilização, em seu sentido etnográfico amplo, é um
todo complexo que abrange conhecimento, crença, arte, princípios
morais, leis, costumes e quaisquer outras aptidões e hábitos
adquiridos pelo homem como membro da sociedade (TYLOR,
1871 apud KUPER, 2002, p. 83).
Nos anos finais do século XIX, nenhuma nova definição de cultura foi
formulada, diferente do que aconteceu nas duas primeiras décadas do século XX,
quando seis novas definições para esse conceito foram enunciadas e cento e
cinquenta e sete formulações, advindas de diferentes concepções sobre cultura,
surgiram entre 1920 e 1950 (KUPER, 2002, p. 84). Isso mostra que, ao invés de
convergirem para uma elaboração consensual sobre o que é cultura, os
antropólogos produziam cada vez mais distinções sobre o mesmo termo, o que
provocava grandes discordâncias.
No início da segunda metade do século XX, dois renomados antropólogos
estadunidenses, Alfred Kroeber e Clyde Kluckhohn, promoveram um novo juízo
99
sobre o significado de cultura, analisando as cento e sessenta e quatro definições
enunciadas até então, e verificando, através de tabelas de classificação por
categorias, que muitos destes conceitos estavam ligados a concepções
etnocêntricas, com as quais não concordavam. Aliás, o etnocentrismo é um
fenômeno que parece estar presente até os dias de hoje, pois consiste na
supervalorização da cultura que vivenciamos e a tendência em achar que esta é a
melhor forma de viver, pensar e agir:
O fato de que o homem vê o mundo através de sua cultura tem
como consequência a propensão em considerar o seu modo de
vida como o mais correto e o mais natural. Tal tendência,
denominada etnocentrismo, é responsável em seus casos
extremos pela ocorrência de numerosos conflitos sociais (LARAIA,
2006, p. 72-73).
De fato, as ideias de Kroeber e Kluckhohn se diferenciavam dos seus
antecessores, inclusive da concepção de Tylor, por admitirem a possibilidade de
analisar uma cultura a partir de padrões de comportamento e, sobretudo, através
da comunicação das ideias culturais a partir de símbolos. Tylor não buscava
análises culturais, apenas descrições ligadas à convicção de que cultura está
associada aos atos ou instituições próprias de determinada sociedade.
Desta maneira, Kroeber e Kluckhohn introduzem uma ideia pioneira a fim
de barrar o etnocentrismo existente, por meio de uma análise relativista para
avaliar os valores de outras culturas. Também buscam uma nova definição:
Culture consists of patterns, explicit and implicit, of and for
behavior acquired and transmitted by symbols, constituting the
distinctive achievements of human groups, including their
embodiments in artifacts; the essential core of culture consists of
traditional (i.e. historically derived and selected) ideas and
especially their attached values
20
(KROEBER; KLUCKHOHN,
1952, p. 181).
Diferente da visão humanista de Kroeber e Kluckhohn que implicava a
aceitação da estrutura social como parte integrante de uma cultura, Talcott Edgar
Frederick Parsons possuía uma visão antropológica pragmática, incorrendo na
20
Cultura consiste de padrões, explícitos e implícitos, de comportamento adquirido e transmitido por
símbolos, constituindo realizações próprias de grupos humanos, incluindo suas personificações em artefatos;
o núcleo essencial da cultura consiste de ideias tradicionais (isto é, historicamente obtidos e selecionados) e,
especificamente, dos valores a elas vinculados.
100
necessidade de separação entre estrutura social e cultura e, por conseguinte, a
Sociologia e a Antropologia. Kuper (2002) cita Kroeber e Kluckhohn (1952, p. 15)
para tornar claras as diferenças existentes entre as ideias destes pesquisadores e
a visão Parsoniana:
Nossa insatisfação com Parsons provavelmente deve-se ao fato
de seu esquema estar tão completamente centrado na “ação”.
Isso deixa pouco espaço para determinados tópicos da
investigação antropológica: arqueologia, antropologia histórica em
geral, difusão, certos aspectos de mudança de cultura, entre
outros[...]. Somos contrários, particularmente, à sua ideia de incluir
nos “sistemas sociais” elementos abstratos que achamos que
devem ser considerados parte da totalidade da cultura (p. 82-83).
Em 1958, Kroeber e Parson publicam uma espécie de acordo diplomático e
científico para estabelecer e definir as fronteiras entre os campos de estudo
relativos à Antropologia e à Sociologia, implicando o êxito da visão parsoniana
sobre os ideais de Kroeber e Kluckhohn:
Achamos conveniente definir o conceito de cultura de forma mais
restrita do que a tradição antropológica norte-americana tem feito,
restringindo sua referência a um conteúdo transmitido e criado e a
padrões de valores, ideias e outros sistemas simbólicos
significativos como fatores na formação do comportamento
humano e dos produtos desse comportamento. Por outro lado,
sugerimos que o termo sociedade – ou, de forma mais geral,
sistema social – seja usado para designar o sistema relativo
específico de interação entre indivíduos e coletividades
(KROEBER; PARSONS, 1958 apud KUPER, 2002, p. 98).
O triunfo de Parsons fez com que, do seu trabalho na Universidade de
Harvard, ainda na década de 1950, muitos jovens antropólogos despontassem
como semeadores deste temporário consenso científico sobre a cultura e seu
campo de ação. Kuper (Ibid.) destaca dois jovens parsonianos como grandes
representantes desta geração: Clifford Geertz e David Schneider.
Geertz (1989) define cultura como sendo uma teia de significados que o
homem teceu ou tece. Dessa forma, uma escola pode ser vista como uma
instituição com uma cultura particular. Já Schneider (1976) exclui a ideia de
normatizar uma cultura. Para este antropólogo:
101
Cultura contrasta com normas no sentido de que as normas estão
orientadas para padrões de ação, ao passo que a cultura constitui
um corpo de definições, premissas, postulados, pressuposições,
proposições e percepções sobre a natureza do universo e do lugar
que o homem ocupa nele (p. 202-203).
Ironicamente, Geertz, que era um filho da escola parsoniana, tornou-se um
pesquisador de referência, defendendo a ideia de que o principal objetivo dos
antropólogos seria interpretar a cultura e não explicá-la cientificamente. Esta
corrente defendida por Geertz é, em boa parte, semelhante à visão humanista
defendida, entre outros, por Kroeber e Kluckhohn.
2.4.2. A quebra de paradigmas
Após esse breve histórico acerca das concepções de cultura, pretendemos
exemplificar alguns paradigmas quebrados ao longo de anos de pesquisas sobre
cultura e sua relação com algumas teorias amplamente propagadas.
Laraia (2006), por exemplo, discorre sobre dois tipos de determinismos que
já não servem mais como justificativas para mostrar diferenças de comportamento
entre os seres humanos. São eles: o determinismo biológico e o determinismo
geográfico.
O determinismo biológico está atrelado à ideia de que alguns povos ou
raças possuem capacidades inatas por herdá-las de seus ancestrais. Por esta
perspectiva, por exemplo, Adolf Hitler, em parte da primeira metade do século XX,
justificaria sua tese, alicerçada na discriminação de judeus, negros, homossexuais
e ciganos, por uma suposta superioridade da raça alemã sobre estas. Após a
catástrofe do Holocausto, a UNESCO
21
publica, em 1950, um documento
reiterando a inexistência de dados científicos que comprovem que as diferenças
genéticas hereditárias constituiriam um fator de diferenciação cultural. Também
decorrentes desse tipo de determinismo, acentuam-se características biológicas
atribuídas à diferenciação entre homens e mulheres no trabalho, como
justificativas para exclusão ou discriminação. Laraia (2006) discorre sobre alguns
contra-exemplos para quebrar esse paradigma:
A verificação de qualquer sistema de divisão sexual do trabalho
mostra que ele é determinado culturalmente e não em função de
21
United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization.
102
uma racionalidade biológica. O transporte de água para a aldeia é
uma atividade feminina no Xingu (como nas favelas cariocas).
Carregar cerca de vinte litros de água sobre a cabeça implica, na
verdade, um esforço físico considerável, muito maior do que o
necessário para o manejo de um arco, arma de uso exclusivo dos
homens. Até muito pouco tempo, a carreira diplomática, o quadro
de funcionários do Banco do Brasil, entre outros exemplos, eram
atividades exclusivamente masculinas. O exército de Israel
demonstrou que a sua eficiência bélica continua intacta, mesmo
depois da maciça admissão de mulheres soldados (p. 19).
Outra característica marcante que muitos utilizam como diferenciador
cultural está na localização geográfica onde determinada sociedade insere-se e,
portanto, na ideia de que fatores como o clima, o relevo, a hidrografia e até
mesmo a vegetação local interfeririam em características culturais. Este
determinismo geográfico, segundo Laraia (Ibid.), ganhou popularidade no final do
século XIX e início do século XX pelos trabalhos de vários geógrafos, entre eles o
eminente professor da Universidade de Yale, Ellsworth Huntington, com a
publicação de seu livro intitulado Civilization and Climate, em 1915.
Vários antropólogos, já na década de 1920, refutam posições como as de
Huntington, através de vários exemplos. Laraia (Ibid.) cita, a título ilustrativo, o
caso dos índios que vivem dentro dos limites do Parque Nacional do Xingu:
Os xinguanos propriamente ditos (Kamayurá, Kalapalo, Trumai,
Waurá, etc.) desprezam toda a reserva de proteínas existentes
nos grandes mamíferos, cuja caça lhes é interditada por motivos
culturais, e se dedicam mais intensamente à pesca e caça de
aves. Os Kayabi, que habitam o Norte do Parque, são excelentes
caçadores e preferem justamente os mamíferos de grande porte,
como a anta, o veado, o caititu, etc. (p. 23).
2.4.3. A Cultura Matemática
A partir da quebra desses paradigmas determinísticos, podemos inferir
sobre a existência e conservação de outros, dentro da própria Matemática,
determinando uma cultura Matemática que, ao nosso ver, não poderia ser
universalizada. Aliás, a própria expressão “cultura Matemática” possui diversos
contextos, pois podemos nos referir à cultura matemática escolar, à cultura
matemática dos matemáticos, à cultura matemática dos índios de uma tribo que
nunca teve contato com a cultura dita “civilizada” que, ao nosso ver, já expressa
103
uma forma de preconceito e etnocentrismo. Podemos, portanto, falar de
“Matemáticas” como diversas formas culturais de conceber essa forma de
expressão ou essas maneiras de explicar, aprender, conhecer, lidar com
(Mathema) modos, estilos, artes e técnicas (Tica).
Bishop (1999) elenca seis atividades matemáticas que se desenvolveriam
em todas as culturas: contar, localizar, medir, desenhar, jogar e explicar. Para o
autor:
Todas estas actividades están motivadas por necesidades
relacionadas con el entorno y, al mismo tiempo, ayudan a motivar
estas necesidades. Todas ellas estimulan diversos procesos
cognitivos y son estimuladas por éstos, y argumentaré que todas
son importantes, tanto por separado como en interacción, para el
desarrollo de ideas matemáticas en cualquier cultura. Además,
todas implican unos tipos especiales de lenguaje y de
representación. Todas ayudan a desarrollar la tecnología
simbólica que llamamos “matemáticas” (p. 43).
Entretanto, não seria essa tentativa de universalizar a cultura matemática,
ainda que buscando atividades extremamente amplas em seus usos e
reconhecidamente necessárias na maioria dos povos que conhecemos, um novo
determinismo, como o biológico e o geográfico, caracterizado por Laraia?
Sobre contar, por exemplo, Frank et al. (2008) publicaram um artigo
revelando resultados interessantes de uma pesquisa realizada com a tribo Pirahã,
localizada na Amazônia brasileira. Os pesquisadores mostraram que este grupo
indígena não dispõe de um método linguístico para expressar quantidades exatas.
Nem mesmo o conceito de unidade é utilizado por esse povo. O estudo sugere
que o conceito de linguagem, para caracterizar precisamente uma quantidade, é
uma invenção cultural que pode ser classificada como uma “tecnologia cognitiva”
(p. 1).
De fato, precisamos nos despir de todo preconceito com relação às
necessidades que temos ligadas à contagem. Culturas diferentes possuem
necessidades e valores diferentes e, portanto, o processo de contagem pode ser
extremamente valorizado ou, em contrapartida, simplesmente inexistir.
Classificar ou eleger certas atividades como universais, exigiria, a priori, o
conhecimento universal sobre todas as culturas, o que nos parece impossível.
Podemos inferir sobre alguns aspectos valorizados em “nossa” cultura, mas não
104
nos apropriarmos do que consideramos importante para justificar a necessidade
de ensinarmos ou apresentarmos certo conhecimento para uma comunidade que
não valoriza e não tem necessidade de utilizar esse novo saber. Porém, nada
impede que elejamos determinados conteúdos que constituam uma base comum
para o ensino, pois estes representam uma construção histórica e cultural de
determinada sociedade. Ora, não seria isso uma imposição? Defendemos que,
dependendo do ponto de vista, podemos interpretar este fato apenas como sendo
o aprendizado de uma nova cultura. A questão principal, no entanto, não é essa,
mas qual cultura seria tomada como referência? Sustentaremos o argumento de
que essa cultura de referência deva ser a própria ciência de referência, neste
caso, a Matemática.
Contudo, podemos concluir também que as diferenças culturais sobre a
concepção de Matemática produzem diferentes significados para diferentes
comunidades. Por exemplo, para um pesquisador matemático, a Matemática pode
ser considerada apenas algo abstrato que somente possui fins relacionados à
aplicação em pesquisas deste campo de estudo. Para corroborar esse fato, basta
lembrarmos das convicções de Hardy, já mencionadas nesta pesquisa. Já a
Matemática escolar pode ser desvalorizada por esse mesmo grupo, pois tem
objetivos distintos daqueles valorizados por profissionais matemáticos. Para
estes, dentro de sua cultura própria, talvez o grande fim do ensino de Matemática
seja realmente desenvolver novas pesquisas que produzam nova Matemática,
como já vimos ocorrer em movimentos de reorientação curricular, como o
Movimento Matemática Moderna e, mais recentemente, parece ser um dos
principais objetivos do grande montante financeiro investido pelo Governo Federal
nos projetos relacionados às Olimpíadas de Matemática.
Dentro de uma mesma sala de aula, também podemos encontrar diversas
expectativas decorrentes de culturas diversificadas. Resolver alguns problemas
matemáticos propostos pelo docente pode significar, para um aluno, apenas a
necessidade imediata de se livrar de aborrecimentos futuros com o professor;
para outro, pode significar a necessidade de manter seu prestígio de ótimo aluno
e satisfazer as expectativas de seus colegas e mestres.
Conteúdos matemáticos também representam diferentes ideias para
grupos sociais distintos. Por exemplo, aprender números complexos pode
representar uma condição para um adolescente de família abastada acessar o
105
Ensino Superior nos melhores cursos e nas melhores universidades do país; para
outro jovem pode servir como teoria a ser aplicada, sem mais demora, em sua
formação técnica, como cursos de elétrica e eletrônica, nos quais os números
complexos são utilizados para elucidar conceitos no estudo de circuitos, na
corrente e na tensão elétrica, na potência e na impedância; finalmente, para outro
estudante, esse conteúdo pode significar apenas um grande aborrecimento por
total falta de oportunidade de alcançar esses objetivos já mencionados. Para
estes, a sugestão da possibilidade de ascensão social, através do aprendizado de
determinados conteúdos, pode soar como ofensa, diante da realidade em que
vivem e a concorrência desigual com outros, da mesma faixa etária, em situação
privilegiada, que inclui condições de acesso a lazer, cultura, habitação,
alimentação e saúde.
Essa reflexão parece vir ao encontro dos estudos promovidos por Miguel e
Vilela (2008) ao examinarem essas diferentes formas de realizar atividades
matemáticas dentro de um contexto que abrange as pesquisas das práticas
escolares, utilizando a teoria da aprendizagem situada de Lave:
Nessa perspectiva que nos tem inspirado, quando falamos em
processos de mobilização de cultura matemática, deixamo-nos de
nos referir à matemática como um corpo homogêneo e universal
de conhecimentos e passamos a falar em matemáticas no plural.
E tais matemáticas passam a ser vistas como aspectos de
atividades humanas realizadas com base em um conjunto de
práticas sociais, tais como aquelas realizadas pelos matemáticos
profissionais, pelos professores de matemática, pelas diferentes
comunidades constituídas com base em vínculos profissionais,
bem como pelas pessoas em geral em suas atividades cotidianas.
Exemplos de estudos nessa direção são aqueles que vêm sendo
realizados por Jean Lave e seus colaboradores (p. 112).
Jean Lave parte de pesquisas que apontam para a ausência de
transposição entre práticas culturais distintas. Como vimos, essas diferenças
podem estar ligadas a diferentes objetivos, crenças, valores, realidades sociais,
econômicas e culturais, entre outras, independentemente de aspectos
concernentes à localização geográfica ou à hereditariedade biológica.
Interessante notar que, mesmo que pudéssemos transferir esta prática cultural,
produzindo, por exemplo, uma correspondência de significados entre a prática
não-escolar e a prática escolar (apenas para citar uma forma de transferência
106
possível), teríamos que nos contentar com um êxito localizado naquele
determinado tempo e espaço, pois estas práticas culturais implicam mutações
temporais e espaciais:
As diferentes situações, inclusive as variadas ocasiões
subjetivamente experienciadas como a “mesma”, são, em vez
disso, consideradas aqui como transformações de meios de
estruturação, que assumem uma forma concreta pela articulação
mutuamente constitutiva, e cujo peso relativo varia de lugar para
lugar e de tempo a tempo. (LAVE, 2002, p. 97 apud MIGUEL;
VILELA, 2008, p. 113).
Miguel e Vilela (2008) também citam a expressão “comunidade de prática”,
criada por Lave e Wenger, com a finalidade de “designar um sistema de
atividades realizadas por um grupo de pessoas que compartilham compreensões
sobre aquilo que fazem e sobre os significados dessas ações no âmbito da
comunidade” (p. 115). Importante destacar que Wenger não utiliza a palavra
“prática” com a intenção de valorizá-la excessivamente em relação à teoria
subjacente:
O conceito de prática conota fazer algo, mas não simplesmente
fazer algo em si mesmo e por si mesmo; é fazer algo em um
contexto histórico e social que outorga uma estrutura e um
significado ao que fazemos. Em termos gerais, o emprego que
faço aqui do conceito de prática não pertence a nenhum dos lados
das dicotomias tradicionais que separam a ação do conhecimento,
o manual do mental, o concreto do abstrato (WENGER, 2001, p.
71-72 apud MIGUEL; VILELA, 2008, p. 115).
O exame de práticas de mobilização de cultura matemática, seja de cunho
não-escolar, como pesquisado por Lave, seja escolar, como refletido por Miguel e
Vilela, nos conduz a repensar a imensa quantidade de pesquisas feitas no campo
da Cognição, da Neurociência, entre outros, e, sendo mais ousados, diríamos que
as considerações acerca de trabalhos inseridos em linhas de pesquisa
relacionadas ao ensino-aprendizagem deveriam contemplar estes aspectos
situados no tempo e espaço de uma comunidade de prática específica. Talvez,
problemas de pesquisa relacionados à busca da sequência didática “perfeita”,
para facilitarem o ensino de determinado conceito ou as práticas que maximizem
a aprendizagem de certos conteúdos matemáticos, sejam substituídos pela
107
compreensão dos significados atribuídos à Matemática por determinadas
comunidades de prática e como ocorre a mobilização destas culturas
matemáticas:
Ainda que os estudos realizados por Lave incidam sobre práticas
não-escolares que mobilizam cultura matemática, eles nos
parecem de grande valia para se entender também as práticas
tipicamente escolares. Além disso, eles nos abrem a possibilidade
de se investigar os processos escolares a partir de novos
elementos quase sempre ausentes nos estudos de natureza
psicológica acerca da aprendizagem escolar e também aqueles
relativos à formação de professores, quais sejam, os referentes a
valores, a identidades e a relações de poder (MIGUEL; VILELA,
2008, p. 115).
Miguel e Vilela também mencionam aspectos a serem considerados ao
estudarmos e refletirmos a respeito das práticas de mobilização de cultura
matemática relacionando outras questões concernentes às relações de poder e à
natureza e as finalidades sociais da instituição (Ibid., p. 117). De fato, a reflexão
sobre esses assuntos nos leva a questionar a validade de promover orientações
curriculares centralizadoras condicionadas por poucos que delimitam a prática de
muitos. Até que ponto os elaboradores de currículo conhecem e reconhecem a
existência dessas comunidades e toda a complexidade e variedade cultural
existente? Até que ponto os professores, que normalmente se desdobram em
inúmeras aulas semanais em diferentes escolas e, provavelmente, lidando com
diferentes comunidades de prática, conseguem gerir esta enorme quantidade de
variáveis e mobilizações culturais processadas durante suas aulas?
Encerramos nossa construção do aporte teórico, em busca de um
referencial que nos conduza à enunciação dos critérios que permitirão refletir
sobre o papel de determinados conteúdos, por que os ensinamos e quais as
perspectivas futuras para elaboração de um currículo de Matemática que leve em
conta todos os fatores amplamente discutidos até aqui.
No próximo capítulo, encorajados pelas reflexões estabelecidas através
dessas contribuições teóricas, propomos algumas questões que serão discutidas
neste caminho em busca da formulação de critérios para escolha de conteúdos de
Matemática no Ensino Médio: quais seriam as concepções sobre o que é
conhecimento, a partir das questões refletidas até aqui? Qual seria o papel da
própria Matemática, enquanto disciplina, ao discutir questões tão amplas de
108
caráter social, político, econômico e cultural? Seria necessária a manutenção
desta forma de disciplinaridade escolar? Propostas interdisciplinares ou
transdisciplinares seriam mais adequadas? Como organizar um currículo nesta
perspectiva crítica, porém também atendendo aos propósitos da própria
Matemática, enquanto ciência acadêmica cujos conhecimentos específicos não
podem ser ignorados ou deixados para um segundo plano?
109
C A P Í T U L O 3
A ORGANIZAÇÃO CURRICULAR
3. A ORGANIZAÇÃO CURRICULAR
Após a construção de um aporte teórico para abordar questões
relacionadas ao que seria um currículo de Matemática para o Ensino Médio
brasileiro, seus objetivos e como delineá-lo em uma perspectiva que se
harmonize aos pressupostos refletidos até aqui, passaremos a uma análise sobre
sua organização, compreendendo inicialmente as estruturações possíveis das
próprias disciplinas escolares para, em seguida, focalizarmos a Matemática, se é
que conseguiremos apenas olhar para esta disciplina, pois isto já implica uma
posição que supõe a possibilidade de vislumbrá-la de maneira independente das
outras disciplinas, e mais, acarreta em uma postura de assumir que a Matemática,
enquanto disciplina escolar, deve ser mantida e estudada como campo de
conhecimento pelos alunos o que, como já vimos, não é uma posição unânime,
mesmo dentre matemáticos eminentes como Poincaré.
Embora os aspectos organizacionais do currículo estejam intimamente
relacionados à escolha dos temas a serem trabalhados em determinada etapa do
ensino, achamos conveniente tratar destas questões em um capítulo específico.
Inicialmente, analisaremos como pensamentos distintos a respeito da ideia
de conhecimento trazem consequências distintas na organização curricular e, até
mesmo, convicções destoantes sobre o próprio conceito de currículo. Na
sequência, analisaremos como algumas palavras que aparecem frequentemente
no discurso de educadores, como multidisciplinar, interdisciplinar e
transdisciplinar, podem contribuir para enriquecimento de um currículo crítico e
pós-moderno. Em seguida, voltaremos novamente nosso olhar à Filosofia, dessa
vez para compreendermos a Matemática enquanto disciplina escolar e também
enquanto ciência, pesquisando sobre a origem da grande importância dada a ela
nos cursos regulares das escolas de todo o mundo. Por último, analisaremos a
organização do currículo de Matemática atual e como alguns autores tornaram-se
referências ao vislumbrarem uma forma mais intuitiva de dispor os assuntos
abordados do que a maneira linear praticada até os dias atuais.
110
3.1. Diferentes concepções sobre conhecimento
Antes de iniciar este processo, faremos breves considerações a respeito do
que acreditamos ser a matéria-prima quando tratamos de organizar um currículo:
o conhecimento. Independente de olharmos para todo o currículo escolar
elaborado por agentes educacionais, políticos ou professores ou, em outra
perspectiva, olharmos simplesmente para o currículo de Matemática de uma série
específica, trabalharemos as possíveis maneiras de mediar a relação estudante-
professor-conhecimento, levando-se em conta a cultura e a sociedade nas quais
estes personagens estão envolvidos.
Para D’Ambrosio (1999) conhecimento “é o conjunto dinâmico de saberes e
fazeres acumulado ao longo da história de cada indivíduo e socializado no seu
grupo” (p. 105). Com o objetivo de vislumbrar esta dinâmica complexa, o autor
sugere o que chamou de ciclo do conhecimento:
A realidade [entorno natural e cultural] informa [estimula,
impressiona] indivíduos e povos que em consequência geram
conhecimento para explicar, entender, conviver com a realidade, e
que é organizado intelectualmente, comunicado e socializado,
compartilhado e organizado socialmente, e que é então
expropriado pela estrutura de poder institucionalizado como
sistemas [normas, códigos], e mediante esquemas de transmissão
e de difusão, é devolvido ao povo mediante filtros [sistemas] para
sua sobrevivência e servidão ao poder (p. 106).
O autor prossegue distinguindo dois tipos de organizações: a escola onde
se transmite e se cria conhecimento com objetivos mais imediatos e a academia
que tem a preocupação essencial voltada a elevar o homem. Em seguida, reflete
sobre a forma e organização deste conhecimento devolvido ao povo pelas
chamadas “estruturas de poder”:
O conhecimento, uma vez expropriado pelas estruturas de poder
vai sendo convenientemente fragmentado em disciplinas e áreas
de competência para justificar ações setoriais no exercício do
poder. Naturalmente, essa fragmentação, como todo método,
desencoraja crítica. Assim, o conhecimento, que foi gerado e
organizado para satisfazer os anseios de sobrevivência e de
transcendência, e essa fase inclui crítica, é devolvido, já elaborado
e organizado aos seus geradores, para que os mesmos
sobrevivam e sirvam ao poder (p. 106).
111
Apple (2000) defende incisivamente seu parecer a respeito da falta de
neutralidade dos conhecimentos na elaboração de um currículo e sua seleção
decorrente de interesses dos mais diferentes setores de uma sociedade
organizada:
O currículo nunca é apenas um conjunto neutro de
conhecimentos, que de algum modo aparece nos textos e nas
salas de aula de uma nação. Ele é sempre parte de uma tradição
seletiva, resultado da seleção de alguém, da visão de algum modo
acerca do que seja conhecimento legítimo. É produto das tensões,
conflitos e concessões culturais, políticas e econômicas que
organizam e desorganizam um povo (p. 59).
Giroux (1981), citado por Frankenstein (2005) critica o conhecimento na
concepção positivista, concebendo-o não como uma construção social, mas
estáticos e desprendidos de juízos de valores, opiniões, ideias, sentimentos, ou
seja, se pudéssemos classificá-los diante da dualidade razão-emoção, diríamos
que este pensamento está totalmente vinculado ao primeiro:
Questões concernentes à construção social do conhecimento e os
interesses constitutivos subjacentes à seleção, organização e
avaliação de fatos brutos são encobertos pela hipótese de que
conhecimento é objetivo e livre de valor. Informação ou dados
trazidos do mundo subjetivo da intuição, insight, filosofia e
subestruturas teoréticas não científicas não são reconhecidos
como sendo relevantes. Valores, então, aparecem como sendo
impostos pelos fatos, são vistos, no melhor dos casos, como
interessantes, e, no pior, como reação irracional, subjetiva e
emocional (p. 43-44).
Adotando a mesma visão de D’Ambrosio, oriunda da Pedagogia Crítica,
Frankenstein (2005) menciona as convicções de Paulo Freire a respeito de
conhecimento com o seu dinamismo próprio, porém dependente do ser humano
para produzir significado e ser reconhecido como tal. Ao contrário dos positivistas
que parecem manifestar uma ideia platônica frente à existência do conhecimento
perfeito e acabado por si só, as ideias de Freire nos conduzem à necessidade de
interações relacionais humanas, cheias de imperfeições sim, mas também
impregnadas do calor das significações que fazem todo sentido e trazem o
verdadeiro prazer altruísta de aprender coletivamente.
112
Já Machado (2005) desenvolve suas ideias referentes ao conhecimento de
maneira metafórica. Mais à frente, analisaremos o uso destas metáforas,
principalmente no que diz respeito a aspectos estritamente organizacionais do
currículo, mas neste ponto gostaríamos de salientar a importância que o autor
concede à relação conhecimento-inteligência e ao desenvolvimento de
competências. Como dois dos objetivos gerais de sua obra (MACHADO, 2005), o
autor enfatiza:
Relacionar as concepções de conhecimento e de inteligência,
sublinhando recentes transformações no significado da
inteligência, que tende a ser caracterizada como um espectro de
competências;
Contribuir para a elaboração da noção do conhecimento como
uma rede de significações, uma imagem metafórica de
importância crescente nos terrenos da epistemologia e da
didática, examinando a importância da metáfora como instrumento
cognitivo fundamental no processo de construção das teias de
significados (p. 17).
É importante salientarmos e conceituarmos a ideia de competência,
mencionada por Machado (Ibid.) que, como veremos, produzirá diferentes
concepções sobre conhecimento e, consequentemente, sobre a própria maneira
de organizar um currículo de Matemática.
O conceito de competência é definido por Perrenoud como sendo uma
capacidade de mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de
situação (2000, p. 15). Esse conceito pode ser aplicado aos alunos, professores,
formadores de professores e outros profissionais, porém não deve ser confundido
com o conceito que, normalmente, as empresas utilizam para designar um
profissional competente. Para o sociólogo suíço, não é correto falarmos de um
professor competente ou incompetente, mas de um perfil de competências que
varia de profissional para profissional. Em Silva (2004a) mencionamos a influência
marcante deste conceito nas Diretrizes Curriculares para Formação de
Professores de Matemática. Macedo (2002) analisa outros documentos oficiais do
MEC para a formação inicial de professores e argumenta que o conceito de
competência tem sido utilizado como mobilizador de conhecimentos:
Tendo em vista a indissolúvel relação entre competência e
situações contextuais, as competências seriam construídas na
113
prática social concreta. Parece simples imaginar como os sujeitos
se tornam, pela prática partilhada, competentes em diferentes
domínios de atividades cotidianas. A dificuldade parece residir em
como experiências escolares podem ser planejadas para construir
competências situacionais. Defendo que tentativas de
planejamento curricular têm afastado a noção de competência da
complexidade que a caracteriza, instrumentalizando-a (p. 120).
Lopes (2002) verifica as mesmas influências nos Parâmetros Curriculares
para o Ensino Médio, ressaltando a oposição ideológica presente nesta postura à
Educação Crítica:
Defendo que a potencialidade crítica do discurso sobre integração
curricular dominante na história do currículo encontra-se
significativamente minimizada nos PCNEM, a partir de sua
hibridização com discursos produzidos em matrizes teóricas
diversas, especialmente aquelas associados ao currículo por
competências, cuja matriz encontra sintonia com as teorias da
eficiência social (Bobbitt e Charters). Ao hibridizarem tais
discursos, os PCNEM recontextualizam, na acepção de Bernstein,
os discursos sobre currículo integrado e sobre disciplinaridade,
abrindo espaço para perspectivas ideológicas conservadoras,
contraditórias com a perspectiva crítica de currículo. Nesse
sentido, a utilização do discurso sobre integração curricular,
marcado por uma associação com o discurso da perspectiva
crítica tem sobretudo a função de legitimar as propostas
curriculares oficiais, contribuindo para garantir seu suposto caráter
inovador (p. 147).
Vimos, a partir da concepção de conhecimento de alguns autores, posições
aparentemente distintas: D’Ambrosio assume a defesa de conhecimento ligado à
ideia de poder instituído e ferramenta para sobreviver e servir; Machado associa
conhecimento e inteligência à construção ou mobilização de competências.
Parece-nos que a escolha por uma ou outra apreciação conceitual sobre o
conhecimento traz implicações acerca da forma de organizar o conhecimento
escolar. A partir da análise de Pinar et al. (1996), Lopes (2002) situa três grandes
matrizes do pensamento curricular clássico: (a) currículos por competências,
organizado em módulos; (b) currículo centrado nas disciplinas de referência
(discipline-centered curriculum); (c) currículo centrado nas disciplinas ou matérias
escolares (subject-centered curriculum) (p. 149).
114
3.2. Algumas formas de organizar o currículo
Independente de nossa posição, analisaremos algumas formas de
possíveis organizações curriculares escolares mencionadas anteriormente. Uma
delas parte do pressuposto da existência de disciplinas que se relacionarão de
alguma forma, contemplando os conteúdos selecionados. Estas formas de
relacionar as disciplinas podem abranger verdadeiras muralhas constituídas entre
os campos de conhecimento, priorizando a segmentação, até outras
configurações que permitem o diálogo e uma convivência harmoniosa entre todas
ou algumas das disciplinas existentes na prática escolar.
Zabala (1998) classifica estas relações disciplinares em três graus
distintos, de acordo com a intensidade relacional existente entre elas:
A multidisciplinaridade é a organização de conteúdos mais
tradicional. Os conteúdos escolares são apresentados por
matérias independentes umas das outras. O conjunto de matérias
ou disciplinas é proposto simultaneamente, sem que apareçam
explicitamente as relações que podem existir entre elas. Trata-se
de uma organização somativa.
A interdisciplinaridade é a interação entre duas ou mais
disciplinas, que pode ir desde a simples comunicação de ideias
até a integração recíproca dos conceitos fundamentais e da teoria
do conhecimento, da metodologia e dos dados da pesquisa. Estas
interações podem implicar transferências de leis de uma disciplina
para outra e, inclusive, em alguns casos dão lugar a um novo
corpo disciplinar, como a bioquímica ou a psicolinguística.
Podemos encontrar esta concepção na configuração das áreas de
Ciências Sociais e Ciências Experimentais no Ensino Médio e da
área de Conhecimento do meio no Ensino Fundamental.
A transdisciplinaridade é o grau máximo de relações entre as
disciplinas, daí que supõe uma integração global dentro de um
sistema totalizador. Este sistema favorece uma unidade
interpretativa, com o objetivo de constituir uma ciência que
explique a realidade sem parcelamento. Atualmente, constitui
mais um desejo do que uma realidade. De certa maneira seria o
objetivo da Filosofia. Nesta concepção, e vencendo as distâncias
lógicas, poderíamos situar o papel das áreas na Educação Infantil
e nas séries iniciais do Ensino Fundamental, onde uma
aproximação global de caráter psicopedagógico determina certas
relações de conteúdos com pretensões integradoras (p. 143-144).
No entanto, as definições da forma como são enunciadas parecem trazer
uma clareza e precisão que nos causam uma falsa impressão da dificuldade de
classificar estas palavras ou relações disciplinares, em boa parte devido à
excessiva utilização das mesmas. Pombo (2003) ressalta que estas palavras
115
estão gastas e o senso comum parece distorcer a percepção delas. Para mostrar
a amplitude da palavra interdisciplinar, por exemplo, a autora discorre sobre
quatro contextos amplamente difundidos e pouco refletidos que resumimos a
seguir:
1) Contexto epistemológico: relativo às práticas de transferência de
conhecimentos entre disciplinas e seus pares.
2) Contexto pedagógico: ligado às questões do ensino, às práticas
escolares, às relações entre professor, aluno e saber.
3) Contexto mediático: concernente ao uso do termo pela mídia que
promove debates sobre problemas quaisquer através do ajuntamento
de especialistas de diversas áreas, como se a simples união de áreas
tornasse enriquecedora uma discussão.
4) Contexto empresarial e tecnológico: referente à reunião de equipes
com o objetivo de trabalhar na concepção, planificação e produção de
algo para venda no mercado.
Pombo (2003) propõe uma tentativa de definir, por analogias geométricas e
físicas, quais as características que poderiam diferenciar pluridisciplinar
22
,
interdisciplinar e transdisciplinar. A grande diferença entre a aproximação que a
autora faz destes conceitos e o rigor simplório de Zabala (1998) está na crença da
primeira em uma classificação sutil, não subdividida, mas realizada em matizes
que possuem várias nuances e, no segundo, a atitude de dividir, classificar,
inclusive exemplificando com diferentes níveis de ensino. A figura a seguir
descreve a proposta de Pombo (2003):
22
Pombo (2003), por razões etimológicas, utiliza a palavra pluridisciplinar para se referir ao que Zabala
(1998) chamou de multidisciplinar.
116
Podemos observar que, em todas as propostas de relações disciplinares,
mesmo aquelas que talvez tivéssemos algum preconceito sobre a existência de
relações intensas, está subjacente a ideia de aproximação ou união em torno de
um assunto ou de um fim comum.
Se esta proposta tivesse aceitação entre a comunidade daqueles
que pensam estas questões, teríamos aqui uma forma simples de
nos entendermos. Quando estivéssemos a falar de
pluridisciplinaridade ou de multidisciplinaridade, estaríamos a
pensar naquele primeiro nível que implica pôr em paralelo,
estabelecer algum mínimo de coordenação. A
interdisciplinaridade, pelo seu lado, já exigiria uma convergência
de pontos de vista. Quanto à transdisciplinaridade, ela remeteria
para qualquer coisa da ordem da fusão unificadora, solução final
que, conforme as circunstâncias concretas e o campo específico
de aplicação, pode ser desejável ou não. Em algumas
circunstâncias, poderá ser importante a fusão das perspectivas;
noutras, essa finalidade poderá ser excessiva ou mesmo perigosa.
Isto é, não há na proposta que apresentei qualquer intuito de
apontar um caminho progressivo que avançasse do pior ao
melhor. Pelo contrário, entre uma lógica de multiplicidades para
que apontam os prefixos multi e pluri e a aspiração à
homogeneização para que, inelutavelmente, aponta o prefixo trans
enquanto passagem a um estádio qualitativamente superior, o
prefixo inter, aquele que faz valer os valores da convergência, da
complementaridade, do cruzamento, parece-me ser ainda o
melhor (Id., Ibid., p. 6).
Portanto, fica evidente que qualquer tentativa artificial de integração entre
disciplinas, não visando a um objetivo comum, não pode ser classificada nem
como proposta pluridisciplinar. No entanto, a ideia de paralelismo subjacente a
esta proposta de envolvimento disciplinar pressupõe trabalhos que, embora
almejando o mesmo alvo, não aproveitam as várias intersecções existentes entre
as disciplinas em prol de um desenvolvimento na mente do aluno de que
problemas reais não podem ser compartimentados em diversas ciências, mas
estudados em sua plenitude de complexidade, envolvendo as mais diversas áreas
e, dentro da própria Matemática, os mais diversos conteúdos.
Em nossa prática profissional na Educação Básica vimos, por diversas
vezes, tentativas de execução de projetos ditos interdisciplinares. A maior parte
destes planos constitui uma tentativa de contemplar todas as disciplinas em torno
de algum tema considerado relevante pelos próprios professores. Isto já constitui,
segundo Beane (1995 apud HARGREAVES et al., 2002), uma forma de
117
integração curricular ilegítima, pois não parte dos interesses e das preocupações
dos estudantes. De qualquer forma, mesmo que partíssemos dos interesses e
anseios discentes, estas experiências constituem-se, muitas vezes, em contextos
mediáticos e até mesmo empresariais, como vimos na classificação de Pombo.
Isto porque cada disciplina parece “entrar” no projeto com contribuições quase
sempre pouco refletidas e sem sentido. O tema normalmente é escolhido como o
assunto “da vez”, propagado e difundido amplamente pela mídia: Copa do Mundo,
Olimpíadas, Ano Internacional do (...), Comemoração de (...) anos de (...), etc. A
partir dessa escolha, cada disciplina apresenta sua justificativa ou relevância
inserida no tema escolhido, porém como um pretexto simplório para tratar de um
assunto tradicionalmente estudado e, normalmente, com a mesma metodologia
adotada caso o projeto não estivesse ocorrendo. Vemos isso, também, na enorme
quantidade de reportagens despejadas aos montes em datas comemorativas ou
em eventos esportivos: em ano de Copa do Mundo de Futebol ou Olimpíada já
nos preparamos para uma avalanche de informações sobre o país sede.
Recebemos informações sobre tudo, desde os hábitos alimentares até tradições
folclóricas e, depois de alguns dias, a nação tão propagada cai no esquecimento
dos meios de comunicação, sendo trocada por outra após quatro anos e um novo
evento. A escola parece apropriar-se desta forma mediática de trabalho, fazendo
o mesmo nos projetos “interdisciplinares”. E o papel da Matemática parece voltar-
se ao propósito tolo de utilizar-se da Estatística para organizar toda e qualquer
informação na forma de tabelas e gráficos de todos os tipos.
Também o contexto empresarial parece imperar nos momentos em que os
professores insistem em criar as chamadas avaliações interdisciplinares que,
normalmente, podem ser traduzidas como uma coleção de questões das mais
variadas disciplinas, discorrendo sobre um tema específico. Seria cômico, se não
fosse trágico, ver os alunos percorrendo um trajeto durante todo um bimestre /
semestre / ano, através dos conteúdos estanques, descontextualizados e
incomunicáveis entre as disciplinas e, de repente, em uma avaliação que
normalmente não se constitui como parte do processo, mas como fim do mesmo,
os estudantes passam por um processo avaliativo que procura acobertar a
divergência interdisciplinar ou tirar o peso na consciência dos docentes sobre a
relevância do trabalho realizado. É claro que uma avaliação desse tipo causa uma
118
enorme confusão na mente dos alunos, pois os mesmos percebem que se trata
de algo artificial e sem propósito.
Ainda sobre a integração curricular das disciplinas, Hargreaves et al. (2002)
realizaram um estudo, na década de 1990, com vinte e nove professores
canadenses de 7ª e 8ª séries
23
para observar o juízo que estes construíram sobre
as mudanças inseridas na nova política curricular, verificar como modificavam
suas práticas influenciados pelas novas orientações oficiais e quais as condições,
apoios e processos seriam necessários para que essas práticas fossem
implementadas efetivamente (p. 22). Embora nossa tese não contemple o Ensino
Fundamental, como a pesquisa citada, achamos que uma reflexão curricular
aprofundada requer um olhar também para o ensino precedente e subsequente,
compreendendo a educação não como uma sucessão de inícios, meios e fins,
mas como um caminho com objetivos e complexidade progressivos.
Nessa investigação, Hargreaves et al. (2002) verificaram que os
professores escolhiam temas para formarem suas unidades integradas,
influenciados pelo princípio da relevância dos tópicos
24
. A análise dos dados
obtidos pelo grupo de pesquisadores apontou para a categorização desses temas
em três grupos: a relevância para o trabalho, a relevância para o desenvolvimento
pessoal e para os relacionamentos e a relevância para contextos sociais e
políticos (p. 86). É curioso notar que a primeira forma de relevância apontada
parece refletir muito mais preocupações que vem ao encontro de objetivos
perseguidos pelo Ensino Médio brasileiro e não com inquietações de estudantes
na faixa etária de 13-14 anos de idade.
Sobre a relevância para o trabalho, Hargreaves et al. (2002) argumentam
que, embora os educadores devam conscientizar-se da realidade inevitável
relacionada à preocupação com a colocação profissional e a preparação para a
execução de um ofício, são necessárias reflexões éticas sobre as desigualdades
sexuais, étnicas e culturais relacionadas à ocupação de cargos bem remunerados
e diferenças salariais entre profissionais que ocupam o mesmo posto e sobre as
formas de propaganda e a influência no consumo desenfreado e inconsciente. A
23
Equivalente aos dois últimos anos do Ensino Fundamental brasileiro.
24
Alguns temas e tópicos incluíam: as comunidades indígenas, o anti-racismo, o ano internacional da família,
os conflitos e mudanças, as escolhas e definição de objetivos, a coordenação de uma campanha política, os
ciclos de vida e relacionamentos, a construção de laços, as imagens, as perspectivas globais e o impacto da
propaganda.
119
conclusão parece apontar para uma abordagem crítica muito tímida, por parte dos
docentes, ao se referirem ao mundo empresarial. Em uma das atividades citadas,
um professor menciona uma parceria inusitada com uma empresa fabricante de
massas para promover seu projeto que hoje é amplamente difundido no mundo
todo como as “pontes de macarrão”:
Eu tinha utilizado uma unidade sobre anúncios a respeito da
construção de pontes com meus alunos e, então, apresentei a
ideia para o pessoal. Uma professora reuniu-se com um membro
da comunidade, que se reuniu com engenheiros e com uma
fábrica de massas, e mudamos de unidade, passamos de um
projeto que utilizava palitos de pirulitos e palitos de dentes para
um que utilizaria massas, a fim de que a empresa concordasse
em nos patrocinar. Apresentamos o projeto para a equipe, o
reescrevemos e o preparamos como uma unidade longa.
Dividimos as crianças em grupos de quatro, com diferentes
papéis. Elas tinham que comprar massa e terra e construir uma
ponte com o objetivo de que a ponte que aguentasse o maior peso
venceria. Incorporamos muita integração nisso em todo o
currículo: artes visuais, alfabetização, geografia, história, ciências.
Por seis dias, basicamente fechamos a escola e reorganizamos o
horário. As crianças trabalharam todos os dias, das 9 horas da
manhã até às 11 h 15 min, e, em um dia, elas realizaram
atividades durante a hora do almoço e durante a tarde. Elas
exerciam atividades nas companhias construindo pontes. Então,
fizemos um jantar com massas patrocinadas pela companhia e
realizamos uma cerimônia de premiação para elas. Funcionou
realmente muito bem (Id., Ibid., p. 89-90).
Sobre essa parceria comercial e a influência do meio profissional na
construção e abordagem de um currículo, Hargreaves et al. (2002) afirmam:
A relevância para o mundo do trabalho é, e deveria ser, um
importante componente do ensino, do aprendizado e da
integração curricular para os jovens que estão começando a
pensar seriamente sobre sua futura vida profissional pela primeira
vez. Porém, excursões em parcerias e agendas empresariais
podem gerar um problema ético, no qual a independência e a
integridade educacionais podem se perder. Os professores
vendem suas almas educacionais por um punhado de massa ou
produtos comerciais semelhantes? Como podem os professores
obterem sucesso na construção de parcerias construtivas,
mantendo também a sua integridade educacional? (p. 90).
Acrescentaríamos algumas indagações: o que um projeto que enfoca a
construção de pontes de macarrão acrescentaria na criação de uma identidade
120
profissional de um jovem que não pretende se envolver em nenhuma atividade
ligada às Engenharias? Se a intenção é apresentar aos jovens uma nova
profissão, como ficariam aqueles que já sabem, de antemão, que não pretendem
exercê-la? Qual o objetivo principal desta atividade? Aprender conteúdos físicos
na prática? Em caso afirmativo, como seria a institucionalização deste saber, ou
seja, como e quão complexo seria conceituar o porquê de uma ponte suportar
mais peso que outra e como e quanto os alunos, após uma atividade tão
instigante, sentir-se-iam à vontade e estimulados a refletirem sobre o processo,
diante de um quadro-negro ou de uma explicação teórica por parte do professor?
O objetivo seria simplesmente desenvolver a habilidade de trabalhar
colaborativamente em um projeto? Neste caso, qual o papel da Física ou das
disciplinas envolvidas?
Este exemplo mostra como devemos relativizar a importância de
determinados projetos, não os julgando simplesmente pelo fato de serem
interdisciplinares ou aplicados ou até mesmo envolvendo a comunidade local.
Parece existir uma espécie de compulsão em buscar alternativas ao atual ensino
tradicional, utilizando a criatividade para a invenção de projetos que não fazem
sentido. Por ingenuidade ou total falta de senso crítico (talvez os dois), esses
projetos são copiados e rapidamente parecem representar uma alternativa
milagrosa às práticas tradicionais, como se novidade fosse sinônimo de
qualidade. Curioso notar que, os documentos oficiais que poderiam apresentar
novidades com qualidade, ao serem publicados e amplamente divulgados, às
vezes até através de cursos de formação continuada, não provocam essa mesma
reação convincente nos professores.
Hargreaves et al. (2002) apontam um segundo tópico classificado como
relevante: o desenvolvimento pessoal e para os relacionamentos. Esse tema
desperta grande interesse por parte dos adolescentes na faixa etária pesquisada
no Canadá e, acreditamos, essa importância também seria valorizada entre os
jovens do Ensino Médio brasileiro, pois consiste na valorização e problematização
de questões que envolvem família, incluindo o estudo histórico de suas origens,
possíveis caminhos percorridos pelos ancestrais em busca de uma vida mais
digna e quais as motivações que provocaram mudanças, sejam simplesmente
regionais ou até mesmo econômicas, culturais e sociais, o papel dos pais como
formadores de personalidade, atitudes e valores e os problemas advindos destes
121
relacionamentos, como separação, crises financeiras provocadas pelo
desemprego e como superá-los, sempre visando ao futuro papel deste jovem
como pai ou mãe integrante de uma nova família.
Além da preocupação com os laços familiares e a formação de um cidadão
que constituirá uma nova família fundamentada em valores éticos e no bom
senso, a escola deve cuidar para que os relacionamentos interpessoais sejam
estreitados e aprimorados tanto para prepará-los para a vida profissional quanto,
e principalmente, para a vida familiar e o convívio com a diferença e a prática da
tolerância. Resumindo este tópico de relevância:
No mundo pós-moderno de mudanças diversas e de valores
culturais conflitantes, tornar o currículo relevante para o
desenvolvimento pessoal e para os relacionamentos sociais dos
estudantes é uma tarefa intelectualmente difícil e emocionalmente
sensível. Ainda assim, abordando, em vez de evitando ou
diminuindo essas diferenças, os professores são capazes de
referir-se à família como um marco significativo para muitos outros
aspectos do aprendizado e para o aprimoramento do
conhecimento e do entendimento da família e dos
relacionamentos dos estudantes com suas famílias passadas,
presentes e futuras ao mesmo tempo (Id., Ibid., p. 95).
No entanto, o que omitimos até aqui foi que o ano de 1994 foi designado
pela Organização das Nações Unidas com o tema “Ano Internacional das
Famílias” e por isso muitos professores pesquisados por Hargreaves et al. (2002),
na mesma época, citaram este assunto como sendo valioso. Seria tão presente
nas salas de aula atualmente? Cremos que não, porém enfatizamos os resultados
deste projeto como tentativa de levantar novamente este debate dentro de um
currículo crítico que privilegia questões sociais, étnicas, culturais, nas quais a
família tem um papel central.
Acreditamos que o terceiro tema – relevância para contextos sociais e
políticos – é o que mais se harmoniza na ideia que temos sobre um currículo
crítico e transformador. Não que as outras propostas e relevâncias identificadas e
categorizadas pelos pesquisadores canadenses não sejam fecundas, mas
acreditamos nas propostas centradas e problematizadas em torno de questões
desta natureza. Hargreaves et al. (2002) também encontraram professores, como
nós, preocupados com as questões sociais, promovendo a igualdade, a
acessibilidade, o direito à liberdade e a promoção da cidadania. As unidades
122
pensadas com este propósito eram, na maioria das vezes, constituídas por
problemas ou dados reais, situados no próprio espaço físico da escola ou em
comunidades e países distantes. Em um dos experimentos realizados,
professores e alunos projetaram rampas para que os cadeirantes pudessem
acessar todos os andares da escola:
Estávamos fazendo uma unidade sobre invenções com o intuito
de que as crianças desenvolvessem uma inovação que seria
benéfica para portadores de necessidades especiais. No andar
superior do nosso laboratório de ciências, fazemos muitos
experimentos na sacada, Há um degrau grande, que é irregular, O
desafio que apresentamos às crianças, as quais estavam
estudando forças em ciências foi: “Como poderíamos desenvolver
uma inovação ou produzir uma invenção que permitisse que
alguém em uma cadeira de rodas tivesse acesso à sacada?”.
Sendo assim, no curso de Projetos e Tecnologia, eles elaboraram
os planos. Falamos sobre as forças que envolvem a aula de
ciências. Eles utilizaram algumas máquinas simples. Em Projetos
e Tecnologia, os estudantes construíram um modelo da estrutura.
Acrescentamos a matemática. Pedi que eles calculassem a força
envolvida, testando, em seguida, tudo (Id., Ibid., p. 95).
Além da preocupação com a inclusão social, a compreensão de problemas
envolvendo países distantes e a comparação com a realidade canadense também
proporcionaram a criação de interessantes propostas para integração curricular
entre as disciplinas, porém criaram uma espécie de bloqueio para uma autocrítica
sobre a realidade local, como uma cegueira social relativa aos problemas da
própria região em que os estudantes viviam, principalmente quando o assunto
abordado era política, injustiça social, pobreza e racismo:
O uso da relevância política pelos professores no currículo
integrado não foi algo totalmente livre de problemas. Embora
questões de desigualdade, preconceito e injustiça social tenham
sido confrontadas em várias das unidades integradas, por eles
desenvolvidas, esses problemas, em geral, estavam distantes em
tempo e espaço da sociedade em que os estudantes viviam. Elas
representavam as desigualdades e as injustiças de outras
pessoas, em culturas longínquas e em épocas distantes. Era
como se o currículo integrado apresentasse um grande mito
nacional – do Canadá, como um paraíso ou refúgio seguro das
injustiças e das desigualdades que outros povos sofreram em
outros países ou em outras épocas. A nação e a comunidade local
não estavam presentes como lugares que geravam seus próprios
tipos de injustiças e desigualdades – pobreza crescente,
marginalização de povos indígenas, desigualdades raciais e
123
preconceitos relacionados com o gênero no local de trabalho, e
assim por diante. A nação não estava presente como fonte de
problemas políticos e sociais, mas como um santuário protegido
deles. Nesse sentido, apesar do currículo integrado ser bravo e
crítico ao estabelecer vínculos com a sociedade, ele parece
silenciar em muitas das mais controversas questões sociais e
políticas atuais, as quais seriam relevantes à vida presente e
futura dos estudantes. Se os professores de adolescentes podem
aplicar o pensamento social crítico a sociedades que não a sua, é
importante que utilizem o currículo integrado para criticar as
realidades sociais de seu próprio país, e não apenas de outras
sociedades que vieram antes ou que soa distantes dele. Como diz
o renovado teórico cultural Edward Said (1994, p. 57): “Faz parte
da moralidade não se sentir em casa na casa de alguém” (Id.,
Ibid., p. 100).
Estes exemplos de temas e projetos trabalhados, ainda que não sejam
específicos do Ensino Médio, mostram a enorme variedade de possibilidades de
trabalho envolvendo várias disciplinas em torno de objetivos comuns. Ao nosso
ver, estes temas podem envolver desde aspectos ditos teóricos, porém que fazem
com que os alunos tomem consciência da relação complexa e ampla existente
entre as disciplinas que aprendem na escola, ultrapassando a visão
compartimentada das matérias escolares onde a realidade não se faz presente,
mas também deve proporcionar, ainda que não seja abordado em todas as aulas,
reflexões sobre problemas sociais, econômicos, políticos e étnicos da própria
comunidade. É claro que ninguém deve ser privado do direito de discutir questões
globais e, em uma era na qual as informações são obtidas e difundidas em tempo
real, parece ingênuo colocar esses debates em segundo plano, porém não
podemos omitir, como constatado na pesquisa citada, nossos problemas
domésticos.
Ainda estudando os graus e formas de relações entre as disciplinas, não
voltando-nos simplesmente à Matemática, pelo menos por enquanto, destacamos
uma alternativa para trabalhar os conteúdos de maneira transdisciplinar,
evidenciada por Zabala (1998) e chamada de métodos globalizados. Assim como
Pombo (2003) destacou o caráter de fusão das disciplinas em torno de um foco
principal, Zabala também distingue a transdisciplinaridade como necessariamente
o reconhecimento ou elaboração de um problema real sobre o qual as disciplinas
tornam-se submissas. O aluno torna-se protagonista do processo, evidenciando
seus interesses e os conteúdos servem como ferramentas para obter respostas a
124
seus questionamentos ou para realização de um projeto. Parece-nos evidente que
as disciplinas não são negadas, mas possuem papéis distintos do propedêutico
caráter disciplinar dos atuais conteúdos escolares.
Zabala (1998) salienta a existência de diversos métodos globalizados,
apontando que as disciplinas contribuem com diferentes funções em cada um
deles. Como ilustração, o autor destaca quatro métodos conhecidos no meio
educacional:
Os centros de interesse de Decroly, os quais, partindo de um
núcleo temático motivador para o aluno e seguindo o processo de
observação, associação e expressão, integram diferentes áreas
do conhecimento.
O método de projetos de Kilpatrick, que basicamente consiste na
elaboração e produção de algum objeto ou montagem (uma
máquina, um audiovisual, um viveiro, uma horta escolar, um
jornal, etc.).
O estudo do meio do MCE (Movimento de Cooperazione
Educativa de Italia), que busca que meninos e meninas construam
o conhecimento através da sequência do método científico
(problema, hipótese, experimentação).
Os projetos de trabalhos globais, em que, com o fim de conhecer
um tema, tem que se elaborar um dossiê como resultado de uma
pesquisa pessoal ou em equipe (p. 146).
O autor realça a função social de cada método citado dentro de uma
perspectiva crítica de ensino. Nos centros de interesse, a prioridade é formar
cidadãos para conhecimento e relação com o grupo social no qual estão
inseridos. O método de projetos evidencia o trabalho colaborativo, a construção
solidária visando a um objetivo comum, ainda que simplesmente material, muito
diferente do ensinar visando a um “saber-fazer” tecnicista voltado, por exemplo,
simplesmente ao mercado de trabalho. O estudo do meio inspira uma formação
científica voltada à formação e desenvolvimento do “hábito democrático” (Id., Ibid.,
p. 153) vivenciado através de experiências científicas voltadas à transformação,
através da observação, avaliação e escolhas críticas. Por último, mas não menos
importante, os projetos de trabalhos globais propõem-se como facilitadores no
processo de organização, compreensão e análise crítica das informações
espalhadas caoticamente em nossa sociedade globalizada, estimulando a
possibilidade de que o estudante compreenda a melhor forma de “aprender a
aprender”, não crendo ser possível determinar técnicas para maximizar o
125
aprendizado de alguém, mas confiando que cada ser humano é capaz de
descobrir uma maneira eficiente, levando em conta sua realidade, incluindo nesta
realidade uma enorme gama de variáveis que mudam constantemente.
3.3. Origens filosóficas da organização curricular e o papel da
Matemática nessas estruturas
Até aqui, neste capítulo, analisamos as diversas formas de organizar um
currículo, não só salientando as várias disciplinas em diferentes graus de relações
– pluri, inter e trans – e as diferentes estratégias de abordagens possíveis,
algumas partindo das disciplinas em direção à modelagem e resolução de
problemas outras partindo de problemas reais e aproveitando as disciplinas e
seus conteúdos como recursos para resolvê-los. Firmamos nossa posição na
necessidade de manutenção das disciplinas escolares, pois compreendemos que
o significado das mesmas é fundamental, não se deixando destruir pelos desvios
a que conduziu uma excessiva fragmentação disciplinar como a que enfrentamos,
em tempos atuais. Ao mesmo tempo, entendemos que o professor especialista é
personagem fundamental em uma formação comprometida com a abordagem e
aprofundamento de conceitos, científicos ou não. O problema é como a
articulação entre os vários professores especialistas será feita, pois as disciplinas
são naturalmente harmonizadas ao abordarmos problemas reais. Todas elas
estão imbricadas em relações complexas, muitas vezes tornando-se artificial a
tentativa de separar os assuntos para estudá-los separadamente.
Mas e o papel da Matemática nesse emaranhado de disciplinas em busca
da construção de teias que possam caracterizar relações significativas? É claro
que poderíamos refletir sobre a necessidade, antes da discussão do pluri, inter e
transdisciplinar, de questionarmos a própria disciplinaridade, ou seja, discutirmos
como os conteúdos matemáticos estão organizados, relacionados e articulados.
Faremos isto mais adiante, trazendo a ideia de currículo em rede para nosso
trabalho, analisando conteúdos eminentemente matemáticos, embora possamos
utilizar esta concepção, como veremos, para contextos pluri, inter e
transdisciplinares. Agora, analisaremos questões que nos intrigaram grandemente
durante a escrita deste trabalho voltado à análise crítica de um currículo de
Matemática e da organização e estabelecimento de seus conteúdos: por que a
126
Matemática é tão valorizada socialmente a ponto de ter, comparativamente com
as outras disciplinas, papel de destaque no currículo escolar? Como a Matemática
se articula com as outras disciplinas na constituição de projetos interdisciplinares,
por exemplo? Essas ideias refletem algum conceito filosófico ou mesmo
matemático, historicamente aceito e que repercute até os dias de hoje?
Podemos começar por responder a última pergunta, cuja resposta é sim.
Como Machado (2005) afirma: “[...] toda organização disciplinar é resultante de
uma reflexão mais abrangente, de natureza epistemológica, no interior de um
sistema filosófico que a prefigura, em grandes linhas, o tom e a cor de cada
componente” (p. 182). Prosseguindo, Machado (Ibid.) analisa três ordenações
filosóficas para as Ciências que reverberam atualmente em nossa configuração
disciplinar escolar: a ordenação comteana, o círculo piagetiano e a árvore
cartesiana. Examinaremos estas classificações com o olhar crítico de quem
investiga estes fatos históricos buscando características curriculares
organizacionais.
3.3.1. A ordenação comteana
Impossível falar de ordenação comteana sem delinear sobre seu autor.
Isidore Auguste Marie François Xavier Comte (1798 – 1857) foi um eminente
filósofo francês, nascido no conturbado período pós-revolucionário e um brilhante
estudante da famosa École Polytechnique, em Paris. Comte contribuiu e
influenciou sobremaneira o pensamento filosófico do século XIX com sua Filosofia
Positiva, com a qual buscou enunciar princípios para orientar uma sociedade
organizada. Para direcionar estes princípios, buscava uma forma de ordenação
das Ciências para o ensino das mesmas.
Questões atuais e extremamente polêmicas foram debatidas na época por
este eminente filósofo, como o dilema pesquisa-ensino, ou seja, a pesquisa
especializada, embora promova o progresso científico, nos conduz a uma
obscuridade da visão e compreensão do todo (SILVA, 1994, p. 71). A importância
e a função social da Ciência torna-se uma das marcas do trabalho de Comte,
criando a Sociologia.
Este conjunto de ideias Comteanas, conhecido posteriormente como
Positivismo, foi fundamentado em dois grandes pilares: o próprio método positivo
127
e a classificação hierárquica das ciências. O segundo, como veremos, traz
grandes contribuições ao nosso trabalho, pois constitui-se e fundamenta-se na
ideia e necessidade de ordenar as Ciências e, consequentemente, as atuais
disciplinas escolares, de tal forma que o ensino torne-se eficiente para atingir as
metas estabelecidas por Comte do que seria o verdadeiro espírito positivo. Esta
hierarquia também foi prevista para a própria Matemática, pois Comte estabelecia
uma divisão nesta Ciência em Matemática abstrata (Álgebra) e Matemática
concreta, constituída pela Geometria e pela Mecânica (SILVA, 1994, p. 72). O
formalismo filosófico do século XX, impregnado do rigor matemático e da
ausência do empirismo geométrico e mecânico, além do fracasso de Hilbert ao
tentar unificar os diferentes campos da Matemática e estruturá-la completamente,
como já vimos no tópico destinado à análise das contribuições filosóficas ao
nosso aporte teórico, pode ter contribuído para que a preocupação com o ensino
da Geometria fosse deixada ao segundo plano. Embora mera especulação, e
tendo a clareza de que nosso objetivo não é inferir sobre os motivos que levaram
a Geometria a ser omitida, não no currículo prescrito, mas sim no currículo
praticado nas salas de aula atualmente, podemos conjecturar sobre a
possibilidade de influência das ideias filosóficas de Comte o qual atribuía à
Geometria uma prática desvalorizada em escolas filosóficas posteriores.
Silva (Ibid., p. 73) expõe quatro propriedades gerais
25
e duas leis
(possibilidade de tipificar o pensamento humano em três níveis
26
e a chamada lei
enciclopédica, que consistiu na hierarquização das ciências), apresentadas por
Comte, que caracterizam a filosofia positiva. Esta segunda lei enciclopédica nos
interessará demais, pois foi através dela que o filósofo francês estabelece uma
classificação das ciências a partir de uma classificação dos fenômenos:
25
(1) o estudo da ciência positiva nos fornece o único meio racional de por em evidência as leis lógicas do
espírito; (2) a filosofia positiva deve conduzir a uma transformação do nosso sistema de educação; (3) o
ensino científico pode ser considerado como a base da educação geral verdadeiramente racional. Mas o
estudo das ciências não tem apenas o objetivo de transformar a educação, mas deve também ser o suporte
para o desenvolvimento de ciências especializadas; (4) a filosofia positiva pode ser considerada a única base
sólida da reorganização da sociedade.
26
Nível 1: teológico ou fictício. Nível 2: metafísico ou abstrato. Nível 3: científico ou positivo.
128
Como o leitor já deve ter percebido, Comte não explicita a Matemática em
sua hierarquização, alegando que a ausência justifica-se pela sua grande
importância. No entanto, Silva (Ibid., p. 74) afirma que, na verdade, ele teve
dificuldade em classificar a Matemática por causa de seu objeto de estudo,
estabelecendo um dilema ou duas perspectivas: de um lado aproximava-se da
Física, como ciência natural e, de outro lado, como uma lógica, fundamentada em
um método que poderia servir como a grande base para a estrutura da Filosofia
Positiva. Foi assim que Comte assumiu a Matemática, como ponto de partida, ou
base de sua filosofia. Em suas palavras:
On parvient ainsi graduellement à découvrir l' invariable hiérarchie,
à la fois historique et dogmatique, également scientifique et
logique, des six sciences fondamentales, la mathématique, l'
astronomie, la physique, la chimie, la biologie et la sociologie, dont
la première constitue nécessairement le point de départ exclusif et
la dernière le seul but essentiel de toute la philosophie positive,
envisagée désormais comme formant, par sa nature, un système
vraiment indivisible, où toute décomposition est radicalement
artificielle, sans être d' ailleurs nullement arbitraire, tout s' y
rapportant finalement à l' humanité, unique conception pleinement
universelle. L' ensemble de cette formule encyclopédique,
exactement conforme aux vraies affinités des études
correspondantes, et qui d' ailleurs comprend évidemment tous les
éléments de nos spéculations réelles, permet enfin à chaque
intelligence de renouveler à son gré l' histoire générale de l' esprit
positif, en passant, d' une manière presque insensible, des
moindres idées mathématiques aux plus hautes pensées sociales.
Il est clair, en effet, que chacune des quatre sciences
intermédiaires se confond, pour ainsi dire, avec la précédente
O conjunto dos fenômenos compreende
Corpos não orgânicos
Corpos orgânicos
Física inorgânica
Física orgânica
Fenômenos gerais do universo Fenômenos dos corpos
terrestres
Indivíduo
Espécie
Astronomia
Física da terra
Física
Química
Biologia Sociologia
129
quant à ses plus simples phénomènes, et avec la suivante quant
aux plus éminents. Cette parfaite continuité spontanée deviendra
surtout irrécusable à tous ceux qui reconnaîtront, dans l' ouvrage
ci-dessus indiqué, que le même principe encyclopédique fournit
aussi le classement rationnel des diverses parties constituantes de
chaque étude fondamentale, en sorte que les degrés dogmatiques
et les phases historiques peuvent se rapprocher autant que l'
exige la précision des comparaisons ou la facilité des transitions
27
(COMTE, 1844, p. 160-161).
Portanto, a organização ordenada de Comte é hierarquizada em:
Matemática, Astronomia, Física, Química, Biologia e Sociologia. Com o mesmo
objetivo organizacional das ciências, visando a evitar crises e revoluções, como
as ocorridas na Filosofia do século XVIII, Comte também pretendia dar à
Matemática essa boa arrumação. Para ele, a verdadeira Matemática inicia-se com
Descartes e a fusão que realizou entre a Geometria e a Álgebra, criando a
Geometria Analítica. Talvez daí a importância ou justificativa para o seu ensino
até os dias atuais, característica marcante no currículo de Matemática do Ensino
Médio.
Comte lidava com várias dicotomias dentro do próprio campo matemático
que parecem ecoar até hoje. Uma delas era a diferenciação que fazia entre a
Matemática abstrata (Aritmética, Álgebra e Análise) e a Matemática concreta
(Geometria e Mecânica). Para o filósofo, havia um matemático que retratava
muito bem uma possível forma de conciliar estas duas visões aparentemente
distintas – tratava-se de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830). Fourier
apresentou, entre tantos trabalhos brilhantes, um modelo teórico para explicar o
fenômeno do calor através de equações diferenciais. Para ele, a Matemática é
27
Chega-se, assim, de modo gradual, a descobrir a invariável hierarquia, a um tempo histórica e dogmática,
igualmente científica e lógica, das seis ciências fundamentais, a Matemática, a Astronomia, a Física, a
Química, a Biologia e a Sociologia, das quais a primeira constitui necessariamente o ponto de partida
exclusivo e a última o fim único e essencial de toda a filosofia positiva, encarada daqui por diante como
formando, por sua natureza, um sistema verdadeiramente indivisível, onde toda decomposição é radicalmente
artificial, sem ser, aliás, de nenhum modo, arbitrária, pois tudo nele se refere enfim à Humanidade, única
concepção plenamente universal. O conjunto desta fórmula enciclopédica, exatamente conforme às
verdadeiras afinidades dos estudos correspondentes, compreendendo, além disso, sem nenhuma dúvida, todos
os elementos de nossas especulações reais, permite enfim a cada inteligência renovar à sua vontade a história
geral do espírito positivo, ao passar, de modo quase insensível, das mais insignificantes ideias matemáticas
aos mais altos pensamentos sociais. É claro, com efeito, que cada uma das quatro ciências intermediárias se
confunde, por assim dizer, com a precedente quanto aos seus fenômenos mais simples e com a seguinte
quanto aos mais eminentes. Esta perfeita continuidade espontânea se tornará sobretudo irrecusável a todos
que reconhecerem, na obra acima indicada, que o mesmo princípio enciclopédico fornece também a
classificação racional das diversas partes constituintes de cada estudo fundamental, de sorte que os degraus
dogmáticos e as fases históricas se podem exprimir tanto quanto o exige a precisão das comparações ou a
facilidade das transições.
130
uma ciência instrumental que serve às demais e sem a qual não há possibilidade
de progresso científico. Essa interpretação abstrata de um fenômeno concreto
exerceu fascínio sobre Comte e parecia caminhar na contramão das
características da Matemática em meados do século XIX que privilegiava a
separação entre a Matemática teórica e suas aplicações.
Outra distinção encontrada no trabalho de Comte e denominada por Silva
(1994) de “Matemática exemplar versus Matemática especializada” (p. 76) pode
ser caracterizada por uma questão que parece intrigante para nós também e já
destacada, nesta tese, ao ressaltarmos o papel da modelagem matemática no
ensino: se por um lado os problemas reais ou específicos são motivadores e
trazem inúmeros exemplos, por outro são normalmente exemplos difíceis de
serem manipulados matematicamente, devido à complexidade dos dados
envolvidos e as diversas variáveis existentes nesta análise. Para ilustrar este
problema, Silva (Ibid.) menciona um outro matemático que exercia verdadeiro
fascínio em Comte com sua concepção algebrista, considerada como um ótimo
instrumento para se ensinar Matemática, mas não apropriada a aplicações:
Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813).
O tratamento puramente algébrico dado aos problemas de Análise,
negando os infinitésimos, fizeram de Lagrange uma espécie de promotor de uma
Matemática ideal para o ensino, fundamentada em um algebrismo excessivo,
porém admirado por Comte. Seria esse um outro motivo para verificarmos o atual
privilégio que a Álgebra possui sobre a Geometria no currículo praticado nas salas
de aula? Não queremos criar polêmicas que saiam de nosso foco principal,
tampouco temos a possibilidade de confirmar as afirmações que fizemos sobre a
possível vantagem que temas algébricos levam sobre os geométricos em sala de
aula. Apenas levantamos conjecturas que podem ser esmiuçadas em pesquisas
posteriores.
De qualquer maneira, é inegável a contribuição e influência de Comte na
concepção da Matemática enquanto disciplina escolar e suas relações com as
outras ciências e, consequentemente, com as outras disciplinas escolares e a
interdisciplinaridade existente, eminentemente ordenada e sequenciada. Em
nossa opinião, muitas das ideias de currículo linear dentro da própria Matemática
ou perpassando as disciplinas podem ser atribuídas a essa tentativa filosófica de
concatenar assuntos em ordem crescente de complexidade e aplicabilidade. O
131
que nos espanta e parece muito atual, além de vir ao encontro de nossas ideias, é
a preocupação de Comte com a função social das ciências e, por conseguinte,
com a função social do próprio ensino.
3.3.2. O círculo piagetiano
Segundo Machado (2005), Jean Piaget também vislumbrou possibilidade
de relacionar as diferentes ciências no chamado círculo piagetiano, abordado na
apresentação de sua obra “Epistemologia Genética”. Assim como Comte, Piaget
também acreditava ser a Matemática, juntamente com a Lógica, o ponto de
partida de um encadeamento científico que, embora fosse gerado ciclicamente,
apenas disfarçava a concatenação comteana. Matemática, Lógica, Física,
Biologia, Psicologia Experimental e Sociologia, estas duas últimas fundindo-se na
chamada Psicossociologia, a qual conduziria novamente à Matemática, fechando
um ciclo e iniciando outro.
Não obstante o fato de o Círculo piagetiano ter características
mais plausíveis do que as da hierarquia comteana, ele apenas
disfarça a linearidade que pretendia ultrapassar. E o
privilegiamento de uma particular concepção de Matemática,
situada inteiramente no âmbito dos objetos e procedimentos da
Lógica Formal, sinaliza no sentido de um certo tipo de articulação
disciplinar, muito mais próxima da de Comte do que, por exemplo,
da que resulta da imagem cartesiana da Árvore do Conhecimento
(MACHADO, 2005, p. 184).
3.3.3. A árvore cartesiana
A árvore do conhecimento, mencionada por Machado, torna-se, ao nosso
ver, a concepção, dentre as três estudadas, que concede maior privilégio à
Matemática, não a colocando como início de um processo de concatenação entre
ciências, mas, metaforicamente, como alimento necessário para nutrir os diversos
ramos desta árvore. Descartes apoiava-se na convicção da possibilidade, quase
divina, de explicar e resolver problemas complexos através de seu método
estruturado na forma de quatro leis:
O primeiro era o de nunca aceitar algo como verdadeiro que eu
não conhecesse claramente como tal; ou seja, de evitar
cuidadosamente a pressa e a prevenção, e de nada fazer constar
132
de meus juízos que não se apresentasse tão clara e distintamente
a meu espírito que eu não tivesse motivo algum de duvidar dele.
O segundo, o de repartir cada uma das dificuldades que eu
analisasse em tantas parcelas quantas fossem possíveis e
necessárias a fim de melhor solucioná-las.
O terceiro, o de conduzir por ordem meus pensamentos, iniciando
pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, para
elevar-me, pouco a pouco, como galgando degraus, até o
conhecimento dos mais compostos, e presumindo até mesmo
uma ordem entre os que não se precedem naturalmente uns aos
outros.
E o último, o de efetuar em toda parte relações metódicas tão
completas e revisões tão gerais nas quais eu tivesse a certeza de
nada omitir (DESCARTES, 1637, p. 11).
A parte do caráter metodizador de Descartes, muitas de suas ideias
tornam-se inspiradoras, surpreendentemente polêmicas e atuais. Uma delas é
que, ao contrário de Comte, que acreditava na possibilidade remota de encontrar
aptidões para o ensino e para a pesquisa reunidas na mesma pessoa (SILVA,
1994, p. 77), Descartes achava que “o ensino deve reproduzir a dinâmica de
produção do conhecimento, de modo que seja uma nova descoberta (para o
aluno). Aprender é (re)descobrir antes do que se deixar convencer pela prova”
(BATTISTI, 2005, p. 21).
Para este grande filósofo e matemático francês, a construção do
conhecimento pode ser feita através de uma similaridade à dinâmica da
construção e validação de um saber científico. No entanto, devemos nos ater aos
cuidados necessários para que essa percepção seja validada, não simplesmente
pela força rigorosa das demonstrações matemáticas, mas pelo convencimento.
Esse incômodo registrado em sua experiência pessoal com a Matemática fica
claro no trecho de um de seus textos:
Quando primeiramente me apliquei às disciplinas matemáticas, li
logo integralmente a maior parte das coisas que habitualmente os
seus promotores ensinam [...]. Mas, tanto numa como noutra, não
tive a sorte de me virem às mãos autores capazes de me
satisfazerem plenamente; lia neles, certamente, muitas coisas
acerca dos números, cujo cálculo me fazia constatar a verdade;
quanto às figuras, havia muitas coisas que, de alguma maneira,
eles me metiam pelos olhos adentro e que eram o resultado de
consequências rigorosas; mas, por que é que era assim e como lá
se chegava não me parecia que o revelassem suficientemente à
mente (DESCARTES, 1985 apud BATTISTI, 2005, p. 17).
133
Estas sensações vivenciadas por Descartes tornaram-no um questionador
da forma sequenciada e linear apresentada por clássicos do formalismo
matemático, como “Os Elementos” de Euclides. Acreditamos que esse brilhante
estudioso já cria na ideia, ainda que incipiente, de conhecimento como ligações
muito mais complexas do que simplesmente a linearidade de uma demonstração
lógica.
Ao reproduzirmos essa visão [dos Elementos de Euclides] nos
manuais e nas atividades de ensino, o que passou a valer é que o
que é logicamente mais simples e independente também passou a
ser visto como temporal e cognitivamente anterior ao mais
complexo e dependente, de sorte que o ensino também deveria
seguir esse mesmo pré-requisito de ordenação e sequência.
Assim, quando se diz que A vem antes de B, isso quer dizer, não
somente que A seja mais simples, logicamente anterior e
independente de B, mas também que A será pré-requisito para o
conhecimento de B e deve, portanto, ser ensinado anteriormente a
B (BATTISTI, 2005, p. 19).
Também acreditava que, ao invés de partirmos de conceitos mais simples
para os mais abstratos e complicados, iniciamos por problemas, sobretudo por
aqueles que nos interessam, que são significativos dentro de nossa realidade:
[...] a noção fundamental na produção do conhecimento (e na
aprendizagem) é a noção de problema e não a de implicação. O
que temos em mão, desde sempre, são problemas e não
elementos simples, a partir dos quais se poderia deduzir o mais
complexo. Tal como acontece em outros âmbitos de nossa vida, é
o problema que nos é dado. Ao físico é oferecido um corpo caindo
e não a lei da queda dos corpos; ao médico, a doença e não a
cura ou seu agente causador; ao matemático, o círculo e não seu
princípio gerador ou unificador (BATTISTI, 2005, p. 19).
Compartilhamos com as reflexões de Battisti e acrescentamos que a ideia
curricular de pré-requisito, como encadeamento lógico e necessário de um
assunto para outro, é questionada por Descartes, ao ponderar sobre questões
envolvendo a quebra de paradigmas acerca da concepção linear de
conhecimentos para uma convicção de que estas ligações são mais complexas e
com ramificações numerosas, o que talvez possamos chamar atualmente de
conhecimento em rede.
134
3.4. A organização curricular linear
Os mitos que foram criados a respeito do conhecimento, ligando-os à ideia
de acumulação e linearidade dos conteúdos pré-determinados em sequências
rígidas, não admitindo nenhuma modificação na sua forma de sucessão de etapas
moldadas e rigorosamente estruturadas, podem ser apresentados através de três
metáforas esclarecedoras:
A metáfora do balde, em que o conhecimento é acumulado ao longo do
tempo de vida e a avaliação é como uma vareta que mede o quanto alguém
conhece sobre algo, caracterizando a ideia impregnada em muitos ambientes
escolares de que conhecimento é algo que pode ser transferido e estocado.
O papel do professor, nessa concepção, é de transmissor de um
conhecimento que existe para poucos (saber científico) e, após sua apresentação
aos alunos, cabe aos mesmos valorizarem-no e assimilá-lo. A não compreensão é
vista como problema do estudante, que desvaloriza a oportunidade que teve de
“receber” os conhecimentos “despejados” em sua mente. Ao professor sempre
cabe a primazia de ser o detentor de um saber e ao aluno o privilégio de tomar
ciência desses saberes. Não existe transformação, não existe valorização de
conhecimentos espontâneos e experienciais, pois, como o líquido sendo
despejado dentro de um balde, parte-se do zero. A avaliação é criteriosa, sendo
comuns notas atribuídas com precisão de centésimos de ponto.
A metáfora do edifício apregoa a necessidade de uma boa base ou de um
alicerce sólido para poder construir o “edifício do conhecimento”. É muito comum
no discurso de educadores a ênfase dada a essa característica linear do currículo.
Em geral, dizem que a Matemática é semelhante a um grande edifício, e a
construção de cada andar depende da solidez do alicerce e da edificação dos
andares precedentes. Como se não bastasse, outra comparação comum é a de
que outras disciplinas, como a Língua Portuguesa, História e Geografia
comparam-se a condomínios de casas cuja construção de uma não depende da
outra.
Essa convicção, além de reforçar a ideia de linearidade dos conteúdos
Matemáticos, ainda os desvinculam de suas possíveis relações e a impregnação
mútua manifesta com a Língua Materna
28
. Pires (2000) destaca alguns
28
Ver Machado (2001a).
135
depoimentos colhidos entre professores de Matemática sobre o que é o
conhecimento, revelando as características, mencionadas até aqui, de
linearidade:
“Conhecimento é o acúmulo de informações que são passadas
ao indivíduo durante toda a sua vida”.
“Conhecimento é como uma escala na qual vamos avançando no
decorrer da vida, a partir da acumulação de experiências”.
“É tudo que aprendemos no decorrer de nossas vidas, não só nas
matérias específicas, mas também no dia-a-dia”.
“É o domínio e o desenvolvimento pleno de atividades ligadas a
um determinado assunto”.
“É a capacidade de retenção, acumulação, armazenamento e
distribuição das informações dadas ao indivíduo, com o intuito de
torná-lo capaz de absorver todas as experiências de vida”.
“É um conjunto de dados reais ou fictícios, acumulados por meio
de uma experiência vivida pela pessoa ou adquiridos por leituras,
teorias, etc.”.
“É por meio de conhecimento que acumula, que cada pessoa
interpreta sua realidade”.
“Conhecimento é toda experiência acumulada adquirida”.
“É o acúmulo de dados que são guardados na memória a partir
de experiências vividas pela pessoa”.
“É o que o indivíduo consegue acumular na mente, após
experimentações”.
“Conhecimento é descobrimento, é contato com algo
desconhecido”.
“Conhecimento é sabedoria, experiência de vida, intelectualidade,
que se acumula vivendo”.
“Conhecimento é construído por cada indivíduo em interação com
os outros membros da sociedade em que vive” (grifo nosso, p.
71).
Outros aspectos interessantes parecem brotar ao analisarmos as
afirmações desses professores. Embora as ideias de conhecimento ligadas à
acumulação, retenção e armazenamento são patentes, também encontramos
muitas afirmações ligadas à concepção de conhecimento inerente ao cotidiano e
à experiência e vivência pessoal. Parece que a palavra conhecimento está
associada ao saber não-escolar e que os conteúdos tradicionalmente ensinados
não se classificariam como tais. De qualquer modo, esse juízo característico no
discurso destes professores reforça a tese de que a linearidade impera na prática
e na reflexão docente.
A terceira metáfora, representativa do conhecimento linear, é a da cadeia
de elos, na qual um conhecimento depende de outro e não é possível deixar um
elo de fora, pois caso isso ocorra, será impossível continuar a construção de
136
novos conhecimentos sem que esse elo seja refeito. É evidente a ideia de pré-
requisito nesse modelo, embora devamos esclarecer que acreditamos que é
indiscutível o fato de alguns conteúdos respeitarem uma ordem pré-definida.
Vejamos, por exemplo, como seria possível abordar gráficos de funções de
qualquer tipo, sem que o aluno tenha obtido informações suficientes a respeito do
que é um plano cartesiano e como um ponto pode ser representado no mesmo.
Entretanto, é injustificável a maneira de pensar e de agir de certos professores
que, ao se depararem com estudantes que jamais tiveram a oportunidade de
saber o que significa um plano cartesiano, alegam ser impossível ensinar a
representação gráfica de uma função. Embora seja indispensável abordar esses
tópicos preliminares, é possível fazê-lo, desde que se coloque de lado o apego
extremo ao cumprimento do planejamento do tempo para as aulas da semana, do
mês, do bimestre ou, até mesmo, do ano letivo, e favoreça o conhecer
profundamente o pouco em detrimento do nada conhecer o todo.
Pires (Ibid., p. 68) exemplifica esse condicionamento de alguns conteúdos
constituintes de programas, inclusive oficiais, expressões claras da ideia de
linearidade que pode ser rompida em uma visão que compreende o conhecimento
como um enredar de significados e nós interligados por interesses e vivências
pessoais.
→ Números menores que 10; números menores que 100;
números menores que 1000.
→ Operações: adição, subtração, multiplicação e divisão (ou
adição, multiplicação, subtração e divisão).
→ Geometria: ponto, reta, plano, espaço (ou espaço, plano, reta e
ponto).
→ Medidas: comprimento, área, volume (ou volume, área,
comprimento).
→ Conjuntos, relações, funções (ou conjuntos, funções e
relações).
→ Representação fracionária dos racionais e, depois,
representação decimal (ou vice-versa).
→ Monômios, binômios, trinômios, polinômios (ou outra ordem).
→ Grandezas discretas ou grandezas contínuas (ou vice-versa).
→ Triângulos, quadriláteros, polígonos (ou outra ordem).
→ Limites, derivadas, integrais (ou outra ordem).
→ Semelhança, Teorema de Pitágoras.
Estes onze temas poderiam ser trabalhados de maneira muito mais
enriquecedora para os aprendizes, caso fossem exploradas as relações
137
existentes entre eles e ficassem claras as situações similares que provocariam
generalizações e outras evidenciariam as exceções que, muitas vezes, parecem
sem significado para o estudante que não compreende a Matemática como um
todo.
Sobre a Geometria, por exemplo, é curioso perceber que o privilégio, até
pouco tempo, era dado à Euclidiana Plana, deixando os estudos relativos à
Geometria Espacial para um momento em que o aluno tivesse a experiência
necessária no plano para “ampliar” seu conhecimento para o espaço. Ora, o que é
mais natural, significativo e concreto: aprender Geometria Espacial ou Geometria
Plana? Vivemos em um mundo tridimensional e, portanto, seria muito mais
expressivo para o estudante perceber as formas existentes no mundo real e no
seu cotidiano para poder, a partir delas, construir conceitos ligados à planificação
desses objetos concretos que nada mais são que representações de conceitos
matemáticos.
Ainda sobre a Geometria, é interessante observar que, muitas situações
práticas não necessitam do “rigoroso mundo da Matemática” nem recorrem a ele.
Por exemplo, na Geometria Euclidiana todo aluno sabe que a menor distância
entre dois pontos é uma reta e ninguém contesta essa verdade matemática. No
entanto, quando resolvemos aplicar essa ideia a problemas práticos, esbarramos
em variáveis que não são previsíveis: como calcular a distância entre a origem e
destino de um táxi que levará um turista do aeroporto local até um hotel localizado
no centro de uma grande metrópole? Como calcular a distância percorrida por um
avião que sai do Aeroporto Internacional de Guarulhos, em São Paulo, com
destino ao Aeroporto Internacional Charles de Gaulle, em Paris? Certamente, a
resposta para essas questões não está no simples cálculo da distância em linha
reta, entre dois pontos, pois envolvem variáveis adicionais a serem consideradas.
A intenção de relacionar esse pequeno fato nos ajuda a evidenciar que a
Matemática, embora estruturalmente formal e fundamentada em axiomas e
postulados, está sujeita às adaptações e variações necessárias quando
confrontada com um problema real.
Poderíamos tornar esse problema mais complexo ainda e perguntar ao
leitor como escolher a rota que possui a menor distância para percorrer dez
cidades localizadas em um determinado estado brasileiro. Com uma boa dose de
paciência e uma falta de ocupação enorme, poderíamos testar cada uma das três
138
milhões, seiscentos e vinte e oito mil e oitocentas rotas possíveis
29
. É evidente
que ninguém faria isso e parece mais evidente ainda que muitos especialistas
buscam uma solução para que um computador realize todos esses testes e nos
responda qual seria o melhor caminho para percorrer a menor distância, o que
implicaria a economia de tempo e combustível. Na verdade, este problema ficou
conhecido historicamente como “O Problema do Caixeiro-Viajante” e foi
apresentado inicialmente na década de 1930, pelo matemático vienense Karl
Menger (DEVLIN, 2004, p. 158). Esta questão de como encontrar uma rota ótima
para qualquer número de cidades envolvidas inspirou a criação de um problema
na Ciência da Computação e, por conseguinte, na Matemática, que permanece
aberto até os dias de hoje e faz parte dos problemas do milênio
30
:
É uma pergunta sobre o quão eficientemente podem os
computadores solucionar problemas. A ciência da computação
divide as tarefas computacionais em duas categorias: tarefas do
tipo P podem ser realmente efetuadas em uma máquina; tarefas
do tipo E podem levar milhões de anos para serem terminadas.
Infelizmente, a maioria das grandes tarefas computacionais que
surgem na indústria e no comércio cai em uma terceira categoria,
NP, que parece ser um meio termo entre P e E. Mas é realmente?
Será que NP poderia ser uma versão disfarçada de P? Muitos
especialistas acreditam que P e NP não são iguais (isto é, tarefas
computacionais do tipo NP não são como tarefas computacionais
do tipo P). Mas, após trinta anos de esforços, ninguém parece
conseguir provar nem que NP e P são, nem que não são a mesma
coisa. Uma solução positiva teria impacto significativo na indústria,
no comércio e na comunicação eletrônica, incluindo a rede
mundial de computadores (Id., Ibid., p.17-18).
3.5. A organização curricular em rede
Toda essa discussão surgiu a partir das reflexões realizadas sobre a forte
ideia existente de linearidade no currículo. Voltemo-nos agora ao cerne desta
argumentação, investigando um novo papel para o conhecimento, inspirado em
ideias de várias ciências e vários autores: a organização em rede.
29
10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3.628.800
= × × × × × × × × × =
30
Clay Mathematics Institute (CMI), de Cambridge, Massachusetts, que se dedica ao crescimento e
disseminação do conhecimento matemático, divulgou, no final do século passado, que constituiu um fundo
de 7 milhões de dólares destinado a premiar soluções de sete problemas de Matemática, correspondendo 1
milhão de dólares para cada um dos problemas. Os problemas foram escolhidos por especialistas, e são
questões importantes da Matemática que resistem há muitos anos às tentativas de solução.
139
O uso de metáforas para justificar certos fenômenos científicos aparece em
vários contextos. Machado (2005), por exemplo, cita Thompson (1990) que
propõe a ideia comparativa da evolução universal como um gigantesco organismo
biológico.
Pires (2000) cita Sternberg (1990, p. 4) que estabelece várias metáforas
explicativas para teorias da inteligência. Entre elas, Pires (Ibid.) destaca o
trabalho de Gardner (1994), que através de sua compreensão diversa de
inteligência, rompe a caracterização unitária de inteligência atrelada normalmente
às competências para resolver problemas lógico-matemáticos.
No campo tecnológico, Lévy (1993), como citamos no início desta tese,
define e explora a ideia de hipertexto. Consideramos que essa concepção,
embora relativamente nova, reflete a maneira natural com a qual o conhecimento
pode ser construído e as informações acessadas. Senão vejamos: quando
realizamos alguma pesquisa em livros não seguimos um caminho linear, ou seja,
não lemos o livro todo buscando extrair apenas alguns assuntos específicos. É
óbvio que não estamos nos referindo a leitura de um romance, embora vários
autores, inclusive lançando mão de novas linguagens utilizadas por cineastas,
quebram a linearidade da leitura, conduzindo o leitor a caminhos que evitam a
sequencialidade, realizando uma complexa montagem das cenas ou, até mesmo,
interpretando a condução do enredo de diferentes formas.
A ideia de hipertexto fica ainda mais explícita quando nos referimos à rede
mundial de computadores: a Internet. Ao buscarmos determinadas informações,
podemos seguir vias diversas. Em um primeiro momento podemos procurar por
sítios de busca e, após uma breve pesquisa, surpreendermo-nos com novos
assuntos interessantes, mudando o rumo pré-determinado e, após isso,
possivelmente voltamos ao que estávamos procurando inicialmente, até
encontrarmos o que queríamos. Mas afinal, qual o melhor caminho? Ou qual o
caminho correto? Sabendo-se o endereço da página que estamos interessados, o
tempo seria menor, mas a quantidade de informações também seria bem menor.
Seguir um caminho mais longo poderia trazer uma quantidade de informações
maior. Portanto, não existe caminho correto, existem diversos caminhos, cada um
com sua riqueza de informações e possibilidades.
Machado (2005) cita seis princípios ao qual Lévy recorre para caracterizar
o hipertexto: o princípio da metamorfose evidencia a constante transformação
140
existente nas informações constituintes da rede; o princípio da heterogeneidade
ressalta as diferentes formas de relacionar dois ou mais nós dessa rede,
caracterizado pela multiplicidade de sensações provadas através de vários meios
(sons, leituras textuais, figuras, etc.); o princípio de multiplicidade e de encaixe
das escalas traz relações interessantes sobre a “fractalidade” de uma rede,
caracterizando o caos na perspectiva pós-moderna, como Doll Jr. acredita e já
enunciamos nesta tese; o princípio da exterioridade salienta a impossibilidade de
existência de uma rede presa à sua unicidade sem a adição de elementos
externos que sirvam como propulsores de transformações e interconexões entre
várias redes; o princípio da topologia ignora o princípio euclidiano de distância e
caracteriza-se pela variedade de possibilidade de ligações entre os nós
constituintes de uma ou mais redes; finalmente, o princípio da mobilidade dos
centros evidencia a ausência de nós principais caracterizados a priori.
Poderíamos pensar sobre nós mais importantes dentro de caminhos percorridos,
mas estes poderiam variar em diferentes contextos e para diferentes pessoas.
As consequências da reflexão destes princípios para o currículo parecem
promissoras, contudo, algumas questões aparecem a partir destas leituras e
ponderações: já que parece evidente a ideia de transformação, multiplicidade e
mobilidade, como buscar critérios e organizar um currículo, já que o mesmo pode
selecionar informações e representar nós que estão em constante mutação nesta
rede de conteúdos matemáticos? A resposta pode decepcionar o mais radical
leitor que imagina a possibilidade, ao nosso ver utópica, de um currículo
permanentemente aberto ou até mesmo a inexistência de um currículo justificada
pela necessidade de construí-lo a partir das significações oportunas realizadas
em âmbitos locais. Acreditamos na necessidade de hierarquização preliminar de
certas rotinas que constituiriam verdadeiros mapas orientadores dos docentes. É
óbvio que, como qualquer viajante, poderíamos assumir uma postura aventureira
ou receosa, mas aí entraria o papel fundamental do professor, e cabe a ele avaliar
os possíveis caminhos, aproveitando-se dos conhecimentos tácitos de cada aluno
e articulando uma rota hipotética, passível de reformulações:
No que tange às disciplinas, a metáfora da rede nem de longe
tende a mitigar sua importância. De fato, nos processos
cognitivos, sempre serão necessários ordenamentos,
procedimentos algorítmicos, hierarquias, ainda que o
141
conhecimento não possa ser caracterizado apenas por estes
elementos constitutivos, isoladamente ou em conjunto.
Analogamente, afirmar-se a flexibilidade das fronteiras
disciplinares não significa que as disciplinas tornam-se
dispensáveis; seguramente elas não o são. Parafraseando o
poeta, são demais os perigos desta rede de significações, com
sua multiplicidade de nós e de vias de interligação, sobretudo para
aqueles que nela “navegam” com entusiasmo e paixão; são
inúmeras as possibilidades de vagar à toa, de se perder. Para
enfrentar tais perigos, sempre será necessário um mapeamento
que oriente e articule os caminhos a seguir, que apresente um
espectro não-hierárquico e acentrado de opções. O quadro de
disciplinas fornece naturalmente um tal mapeamento (MACHADO,
Ibid., p. 155).
Aliás, mesmo que a Matemática deixasse de ser uma cadeira oficial na
Educação Básica, justificada talvez por uma suposta transversalidade
educacional, isto não significaria que sairia da prática escolar. Por exemplo, Juliá
(2002) menciona que, embora oficialmente as cátedras oficiais apareçam na
primeira metade do século XVII, na Companhia de Jesus, já no final do século
XVI, vários conteúdos matemáticos eram ensinados, geralmente na cátedra de
Filosofia. A autora salienta que, dentre os matemáticos jesuítas que lutaram pela
oficialização da Matemática, enquanto disciplina escolar, destacou-se Christophe
Clavius:
Isso quer dizer que se textos oficiais e definitivos da Companhia
não previram um professor de matemática, isto é, uma cátedra
específica, não se ensinou essa disciplina? As pesquisas recentes
mostram, ao contrário, que o ensino de matemática foi muito mais
precoce e desenvolvido do que se acreditava. O cruzamento de
dados prosopográficos, recolhidos a partir dos catálogos da
Companhia, com a lista dos correspondentes que discutem
questões matemáticas com Christophe Clavius, fez aparecer uma
série de personalidades jesuítas que desempenharam tarefas
administrativas no Instituto, mas que eram, ao mesmo tempo,
matemáticos de primeira linha. Observa-se, então, que muito
antes da criação de cátedras oficiais, um ensino de matemática de
alto nível pôde se desenvolver nos colégios (JULIÁ, 2002, p. 48-
49)
Graças à defesa, feita por Clavius, da necessidade de uma disciplina
escolar específica para abordar assuntos matemáticos e a consequente formação
de professores para trabalhar nessa cátedra oficial, a autora infere que o
progresso do ensino de Matemática deve ter ocorrido em outras províncias da
Companhia, embora seja raro encontrar fontes que comprovem essa conjectura.
142
3.6. Considerações sobre a implementação de um currículo
crítico de Matemática organizado em rede
Vimos várias facetas da organização curricular. Das possibilidades mais
hierarquizadas e disciplinares até os projetos transversais que parecem criticar a
própria existência das disciplinas. Apontando nossa lupa para a Matemática
dentro desse contexto, verificamos as diversas alternativas, mas fica evidente a
necessidade de superação do modelo linear calcado em metáforas como a do
balde, da cadeia de elos e do edifício do conhecimento. A ideia de rede como
metáfora para o conhecimento pode ser adaptada tornando-a uma alternativa
para mostrar a Matemática com toda sua riqueza de interligações dentro dela
própria e com os outros campos do conhecimento. Torna-se necessário discutir
as questões metodológicas envolvidas, ou seja, como colocar estas ideias em
prática?
Parece-nos que a resolução de problemas soluciona muito bem a questão
da quebra da linearidade em busca da ideia de rede de conhecimentos, mas
como abordar a rede de conteúdos dentro de uma perspectiva curricular crítica?
Achamos que a resposta passa pela resolução de problemas que suscitem
discussões de grande alcance e revelem debates éticos sobre questões sociais,
políticas, econômicas e culturais, entre outras.
Entretanto, nem tudo são rosas, e acreditamos que a proposta de
formulação de um currículo de Matemática fundamentado puramente nas ideias
da educação crítica esbarra em uma questão fundamental. Embora acreditemos
que a metodologia a ser trabalhada deva ser na forma de projetos, abordando
resolução de problemas, defendemos a ideia de que a Matemática e,
consequentemente, seu ensino e o papel social da mesma ficam restritos a um
campo extremamente limitado. Ousaríamos dizer que, restringiríamos seus
conteúdos a alguns tópicos de Estatística Básica, conceitos simples de
proporções, construções de gráficos (o que poderia ser feito por computadores),
Matemática Financeira (também com a possibilidade do uso computacional) e as
operações fundamentais.
A questão central é: estaríamos desvalorizando o papel dos processos
matemáticos de construção de conhecimentos, valorizando e tornando
protagonistas desta ação os resultados obtidos para que os mesmos sirvam como
143
argumentos para provocarem e estimularem reflexões críticas e, por conseguinte,
transformações de toda ordem em uma sociedade qualquer? Qual o papel dos
conhecimentos chamados de puramente matemáticos neste processo? Ou não
seriam conhecimentos reconhecidos àqueles que foram construídos por séculos,
em diferentes civilizações, por culturas distintas, constituindo a própria
Matemática como ciência e, agora, sob a justificativa de inaplicabilidade em
contextos sociais, desprezaríamos ou limitaríamos seus estudos à Educação
Superior ou talvez nem a esta? Achamos que é preciso encontrar um equilíbrio,
com uma boa dose de bom senso, entre a aplicabilidade da Matemática, incluindo
projetos que vislumbrariam a análise crítica de situações e dados reais para gerar
transformação social e objetivando a promoção da igualdade entre cada ser
humano e seus semelhantes e, ao mesmo tempo, a necessidade de apresentar a
Matemática na sua essência, teórica, pura, como uma construção histórica, uma
linguagem estruturada com padrões bem definidos.
Também poderíamos meditar sobre uma proposta crítica factível: como
seria implementada? O que ou quais conteúdos poderiam ser abordados em doze
anos de Educação Básica? Fazendo uma rápida estimativa de que a Matemática
ocuparia cinco aulas semanais, cinquenta aulas por bimestre, duzentas aulas por
ano, concluiríamos que um aluno, ao final do Ensino Médio, teria percorrido um
longo caminho por duas mil e quatrocentas aulas de Matemática de cinquenta
minutos cada. Haja temas críticos e polêmicos para serem abordados em toda
essa trajetória! Mesmo concebendo essa possibilidade, de que maneira faríamos
com alunos dos primeiros anos, na faixa etária, por exemplo, de seis a nove anos
de idade? Teriam maturidade para discutir assuntos relativos a uma Pedagogia
Crítica? O que aprenderiam nesta fase da Educação? É certo que no Ensino
Médio, o foco desta tese, seria mais fácil promover tais discussões, mas será que
todos os professores de Matemática teriam maturidade para discutir tais
questões? Qual o tempo que estes professores teriam, dentro da carga horária
semanal altíssima que possuem atualmente, para refletirem, lerem, ouvirem e
aprofundarem questões sociais, econômicas, éticas e políticas?
Não queremos, de maneira alguma, desestimular tentativas de
implementações da Educação Matemática Crítica em sala de aula, pois inclusive
acreditamos que esse trabalho é essencial e deve ser contemplado em qualquer
orientação curricular oficial ou não-oficial, porém todos os exemplos mencionados
144
por vários autores dedicados intensamente a este processo demonstram relatos
de experiências que praticamente ignoram ou subestimam o conhecimento
Matemático e valorizam sua aplicabilidade a situações tão específicas que
tornariam desnecessário até seu ensino. No entanto, acreditamos que esses
projetos serviriam como temas transversais necessários para que a escola
caminhasse em direção à formação de cidadãos críticos, que pratiquem sua
cidadania de forma responsável e firmada em conhecimentos socialmente aceitos
e também em outros historicamente reconhecidos e, portanto, necessariamente
importantes para qualquer sociedade que valorize seu passado.
3.7. Sintetizando com o uso de uma metáfora
Para concluir este tópico, façamos um breve exercício sobre todas estas
discussões envolvendo metáforas do conhecimento, concepções a respeito de
conhecimentos para transformar ou conhecimentos construídos e validados
histórica e socialmente, discorrendo a respeito, simplesmente a título de
exemplificar e na tentativa de elucidar qualquer parágrafo que porventura tenha
ficado obscuro, com uma outra metáfora que chamaremos de metáfora culinária.
A arte e a técnica de cozinhar pode ter vários objetivos, desde a simples
necessidade de sobrevivência até o prazer de conhecer e provar novos sabores e
ter novas experiências. Chamaremos de conhecimento culinário tudo o que é
relativo ao ato de planejar, até provar, algum alimento que necessite de
preparação, sendo que o mesmo pode ser construído de múltiplas formas.
Podemos conhecer a culinária através de familiares, amigos, ou qualquer
pessoa que faça parte de nosso círculo social e de convívio íntimo – este ponto
de vista implicaria valorizar o conhecimento social e cultural, pois é evidente que
diferentes culturas e sociedades produzem e valorizam diferentes refeições,
chamadas normalmente de pratos regionais. Este conhecimento é influenciado,
portanto, por fatores locais: uma comunidade de pescadores, por exemplo, criará
hábitos alimentares relacionados à ingestão rotineira de peixes e frutos do mar.
Ao mesmo tempo, certos hábitos alimentares estão relacionados a fatores
sazonais, pois determinados frutos e verduras são disponibilizados para consumo
em alguns poucos meses do ano.
145
Outra forma de elaboração do conhecimento, ainda à luz da metáfora
culinária, é através de livros especializados, catálogos ou até mesmo pela rede
mundial de computadores (internet). Dessa maneira, o conhecimento é
selecionado através da preferência pessoal de cada um, mas impregnado da
influência cultural e de aspectos sociais, locais e temporais. Ao ler a informação a
respeito de uma receita que nos interessa, podemos estabelecer uma série de
possibilidades a partir deste ato até o de serví-lo, passando por adaptações e
transformações que poderão ser realizadas a partir da influência da
disponibilidade ou não de um grande número de variáveis (tempo, ingredientes,
dinheiro, etc.).
Também poderíamos optar, embora seja bem menos frequente, pela
matrícula em um curso específico com um grande chefe de cozinha que nos
ensinaria os “segredos” para preparar uma refeição saborosa. O que
caracterizaria essa experiência a fim de diferenciá-la das outras já mencionadas?
Talvez o aspecto “científico”, ainda que obtido de maneira muitas vezes empírica,
que o instrutor dá ao conhecimento que possui e procura compartilhar com seus
aprendizes, tais como, técnicas para cortar carne ou desossar frango, misturas
que combinam ou não, identificar pelo aroma o tempo de cozimento, etc.
Finalmente, poderíamos citar o papel importante de um profissional que
analisa os alimentos e pondera sobre as maneiras saudáveis ou não de combiná-
los e sobre as dietas mais adequadas para cada tipo de indivíduo. Os
nutricionistas exercem este papel crítico sobre o conhecimento culinário. No
entanto, mesmo sabendo o que faz bem ou não para a saúde, muitas pessoas
ignoram este conhecimento científico crítico em prol do que consideram trazer
mais satisfação a suas vidas.
Cada um destes personagens e destas escolhas pessoais, em busca de
conhecimentos culinários, possui fatores positivos e negativos. A própria cultura
regional pode, ao ser respeitada, provocar efeitos negativos na criação de hábitos
alimentares, o que pode conduzir a uma diminuição na expectativa de vida de
determinada comunidade. Entretanto, mesmo sabendo as implicações de uma
alimentação desregrada, parece que a maioria das pessoas não se preocupa com
isso, e a análise crítica a respeito dessa realidade parece não produzir significado
para a maioria.
146
Por meio dessa metáfora, procuramos estabelecer as seguintes relações: o
conhecimento culinário poderia muito bem representar o próprio conhecimento
matemático que pode ser construído pela relação social com outras pessoas,
pode ser obtido para resolver uma questão prática, pode ser adquirido na escola,
através de conhecimentos científicos e valorizando os próprios conhecimentos
espontâneos vivenciados até um dado momento da vida do estudante, e pode ser
também analisado de maneira crítica, buscando transformações sociais, políticas
e econômicas. No entanto, de maneira nenhuma podemos afirmar que apenas um
destes conhecimentos é valido ou deve ser valorizado em detrimento de outro(s).
O papel do nutricionista, por exemplo, não pode ser imposto sob o pretexto
de ensinar a melhor maneira de se alimentar a determinado grupo social, pois
implicaria desrespeitar os aspectos culturais, locais e temporais seguidos por uma
comunidade. Essa consciência deve nascer das necessidades específicas de um
determinado povo e não imposto por educadores. O programa Etnomatemática,
ao nosso ver, representa a maneira sensível e respeitosa de problematizar e
atender à necessidade do próximo, seja cultural, seja social, seja política, seja
econômica, buscando soluções, mas valorizando a riqueza existente. No entanto,
entendemos que algumas propostas relativas à Educação Matemática Crítica,
diferentemente da Etnomatemática, acabam propondo aspectos radicais que, se
não fossem extremamente pensados e personalizados para determinado público,
causariam efeito justamente oposto aos objetivos propostos inicialmente.
Logicamente não nos referimos às diversas propostas amplamente divulgadas por
especialistas como Ole Skovsmose, Marilyn Frankenstein, Paulo Gerdes, Ubiratan
D’Ambrosio, Arthur Powell, entre muitos outros conceituados educadores
matemáticos, mas nos referimos às possíveis interpretações e contextualizações
dessas propostas ao serem realizadas em proporções gigantescas, como no caso
do Brasil todo.
3.8. Conclusões parciais
Parece que encerramos este capítulo com a constatação de que a busca
por critérios para seleção e organização de conteúdos não pode ser feito por meio
de um método cartesiano que nos leve a concluir se determinado tópico é
147
fundamental ou não. Acabamos de evidenciar que muitos aspectos
condicionariam uma decisão à análise de fatores sociais, culturais e, porque não,
cognitivos, desde que estes elementos, e muitos outros que não mencionamos,
sejam analisados conjuntamente. De qualquer maneira, se as orientações
governamentais centralizadoras existem, deveriam, ao menos, mencionar essa
complexa relação existente e, mais, promover a reflexão local – seja em uma
cidade, seja em uma escola, seja em uma sala de aula – das diversas práticas
culturais matemáticas existentes.
Talvez o hiato existente entre o currículo prescrito e o currículo praticado
possa ser causado pela grande discrepância existente entre as orientações feitas
pelos elaboradores dos currículos oficiais e a prática dos professores de
Matemática. Essas variações entre o que os elaboradores recomendam e o que
os professores fazem podem ser justificadas, em parte, pelas diferentes práticas
culturais envolvidas e a inexistência de mobilização e significação entre estas
práticas quando transpostas entre realidades com objetivos tão distintos e, muitas
vezes, até antagônicos.
No próximo capítulo analisaremos variadas concepções sobre o currículo,
realizadas por diversos autores em períodos distintos, buscando a construção de
nossa definição para um currículo crítico e pós-moderno. Também verificaremos
como alguns tradicionais objetivos da disciplina Matemática para o Ensino Médio
podem ser discutidos à luz dessa perspectiva que propomos.
148
C A P Í T U L O 4
BUSCANDO CONCEITUALIZAÇÕES E OBJETIVOS PARA O
CURRÍCULO DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO
4. BUSCANDO CONCEITUALIZAÇÕES E OBJETIVOS PARA O
No capítulo anterior construímos subsídios organizacionais em busca dos
almejados critérios para seleção de conteúdos, focando nosso olhar para o
Ensino Médio. No caminho por esta busca, achamos conveniente situar o leitor
dentro das atuais propostas no que concerne à definição, construção e
implementação de um currículo de Matemática. Este trabalho, longe de
representar uma tarefa tranquila, requer, além de uma boa dose de pesquisa,
reflexões pessoais sobre o assunto, reproduzindo crenças, vivências e
experiências individuais.
Iniciaremos buscando enunciar as tentativas de definição de um currículo
analisando as obras de vários autores. Seguiremos em busca da compreensão ou
clarificação do termo “conteúdo”, tão desvalorizado atualmente, provavelmente
pelo incômodo refletido pelo seu uso no passado recente.
Também proporemos uma reflexão sobre alguns objetivos para o ensino de
Matemática, relacionados por professores em uma pesquisa internacional.
Embora seja uma análise realizada na década passada, acreditamos que muitos
dos objetivos mencionados permanecem até hoje como um ideal a ser buscado
pelos docentes. Esses exemplos nos ajudarão a refletir sobre questões
amplamente presentes no discurso dos professores de Matemática, como a
importância das provas e demonstrações, a resolução de problemas, as
investigações matemáticas, o uso da Matemática no cotidiano, entre outros.
Entretanto, analisaremos esses assuntos com criticidade para verificarmos até
que ponto cada finalidade mencionada pode ser também considerada um
propósito válido para construção de um currículo crítico e pós-moderno.
4.1. Reflexões e tentativas de definição de um currículo
Vimos, no tópico destinado às contribuições de Doll, que Cunha (1998)
sugere, através de suas pesquisas, uma aproximação para a definição de
currículo, segundo as ideias de Tyler: “currículo é um programa educacional que
149
tem nos objetivos sua fase mais importante, porque devem direcionar o
comportamento que se espera que os alunos modifiquem com base em seus
interesses. Devem ser selecionadas e organizadas experiências que serão meios
para o alcance dos objetivos. A avaliação deve mensurar se houve o alcance
desses com eficiência e eficácia”. A convicção de Tyler sobre a necessidade de
estabelecer e conduzir um programa para atingir os objetivos preestabelecidos,
mensurando esta eficiência através das avaliações, ilustra o caráter modernista,
voltado às técnicas e à obtenção de resultados mensuráveis, que caracterizaram
o período histórico em que a ênfase na educação como “linha de montagem” e a
escola como uma indústria refletiam as necessidades econômicas, sociais e
culturais de uma época.
No mesmo sentido, Ochs (1974 apud LEWY, 1979) refere-se ao uso da
palavra currículo com os seguintes significados:
Este termo é frequentemente usado para designar igualmente o
programa de uma determinada matéria e de uma determinada
série, o programa de uma dada matéria para um ciclo inteiro de
estudos ou o programa total de diferentes matérias para um ciclo
inteiro ou mesmo para todos os ciclos. Além disso, o termo
“currículo” é algumas vezes usado num sentido mais amplo para
abranger as várias atividades educacionais por meio das quais o
conteúdo é transmitido, assim como os materiais usados e os
métodos empregados (p. 6).
Esses significados estão impregnados de características prescritivas,
caracterizadas pela possibilidade em determinar o que deve ser ensinado em
séries ou ciclos, independentemente das peculiaridades do público ao qual estas
matérias serão “transmitidas”. Aliás, a ideia de transmissão de conteúdos
caracteriza uma simbologia forte do conceito que o autor tem sobre conhecimento
e a forma como o mesmo pode ser “adquirido” ou “comunicado”.
Grundy (1987 apud SACRISTÁN, 2000) nos conduz a uma concepção
ampla de currículo, negando a possibilidade de conceituá-lo, já que devemos
compreendê-lo como uma construção cultural, ao invés de uma prescrição:
O currículo não é um conceito, mas uma construção cultural. Isto
é, não se trata de um conceito abstrato que tenha algum tipo de
existência fora e previamente à experiência humana. É, antes, um
modo de organizar uma série de práticas educativas (p. 14).
150
Essas práticas educativas vão muito além da escolha de conteúdos,
organização e metodologias envolvidas neste processo. Consistem, também, em
escolhas sociais realizadas dentro de um espaço e tempo definidos, constituindo,
portanto, os interesses, implícitos ou explícitos, característicos de uma sociedade,
envolvendo aspectos sociais e políticos. Segundo Bernstein (1980 apud
SACRISTÁN, 2000):
As formas através das quais a sociedade seleciona, classifica,
distribui, transmite e avalia o conhecimento educativo considerado
público refletem a distribuição do poder e dos princípios de
controle social.
[...] o currículo define o que se considera o conhecimento válido,
as formas pedagógicas, o que se pondera como a transmissão
válida do mesmo, e a avaliação define o que se considera como
realização válida de tal conhecimento (p. 47).
Essa ideia de mediação e controle de poder, envolvida na construção de
um currículo, vem ao encontro do pensamento de Skovsmose, já enfatizado no
segundo capítulo. Por este ponto de vista, ao selecionarmos um conteúdo ou
buscarmos critérios para a escolha dos mesmos, estaríamos exercendo uma
atuação política com implicações sociais. A princípio, estas consequências
parecem exageradas, pois ao refletirmos sobre os atuais conteúdos
tradicionalmente abordados no Ensino Médio, fica difícil imaginarmos quais as
motivações ou qual o jogo de poder envolvido e as motivações que levaram à
escolha destes assuntos. No entanto, podemos analisar algumas características
de certos conteúdos e a forma como eles são apresentados e visualizar, ainda
que precariamente, as intenções subjacentes.
Imaginemos, por exemplo, um rol de conteúdos de Matemática para o
Ensino Médio que enfatize aspectos tecnicistas e a aplicabilidade desta ciência no
mundo do trabalho. Estaríamos diante de uma tendência política, social e cultural
que enfatiza a prioridade para o uso imediato da Matemática em prol do
desenvolvimento tecnológico, sacrificando a própria compreensão Matemática
enquanto campo de estudo. Esse uso, conforme nos alerta Skovsmose, pode ser
desprovido de reflexão sobre suas consequências, assim como um operário que
integra a linha de montagem de uma indústria pode ignorar as outras etapas da
produção, não possuindo compreensão do todo e dos fins de seu trabalho.
Caracterizaríamos o que Doll Jr. designou por currículo moderno.
151
Analisando este emaranhado de influências, Sacristán (2000) sintetiza esta
complexidade, buscando uma tentativa de definir currículo:
Numa primeira aproximação e concretização do significado amplo
que nos sugere, propomos definir o currículo como o projeto
seletivo de cultura, cultural, social, política e administrativamente
condicionado, que preenche a atividade escolar e que se torna
realidade dentro das condições da escola tal como se acha
configurada (p. 34).
Tal como a amplitude dessa definição, uma proposta curricular construída
para um país de proporções continentais como o Brasil requer um cuidado
extremo para não mutilar a cultura de comunidades tão variadas, ricas em
costumes, hábitos, crenças, objetivos e aspirações sociais. Seria possível, então,
escolher conteúdos que perpassem toda essa variedade cultural e deem conta de
atingir cada cultura, compreendendo toda sua multiplicidade de significados e
contextos? Achamos que é possível orientar, caracterizando esta orientação não
como condução, mas como informação. Informar sobre as consequências de se
tomar um ou outro rumo, informar sobre as pesquisas existentes e,
principalmente, seus resultados e potenciais usos na prática em sala de aula,
informar sobre a necessidade de perceber a escola como uma cultura própria,
única, que deve buscar seus interesses e sua “seleção” do que é mais importante
e do que não lhe cabe utilizar, das propostas e orientações governamentais.
Entendemos que seja isso o que Sacristán propõe como “projeto seletivo de
cultura [...] que se torna realidade dentro das condições da escola tal como se
acha configurada”.
D’Ambrosio (1996, p. 68) define currículo como sendo “a estratégia para a
ação educativa”. Essa proposta é igualmente ampla, como não poderia deixar de
ser, pois o autor avalia e pondera sobre a grande variedade de escalas existentes
e a consequencia das escolhas realizadas e de sua organização “como reflexo
das prioridades nacionais e do interesse dos grupos que estão no poder” (Id.,
2005, p. 63).
Para D’Ambrosio (1996) o planejamento de um currículo implica a escolha
adequada de ternas que envolvam objetivos, conteúdos e métodos. Uma seleção
inadequada pode trazer consequências irreparáveis:
152
Claramente, objetivos, conteúdos e métodos são solidários.
Podemos exemplificar essa observação recorrendo à análise do
que se passou com a chamada matemática moderna. Uma das
razões mais fortes do seu fracasso foi o fato de terem sido
alterados conteúdos sem uma adequada reformulação de
objetivos e de métodos. E, sem dúvida, as dificuldades de
implementação do uso de calculadoras e computadores nas
escolas esbarram com a insistência de se querer manter os
conteúdos e os objetivos tradicionais: habilidade em operações e
resolução de problemas-tipo. Calculadoras e computadores
devem ser acompanhados por uma reformulação de conteúdos,
deixando de lado coisas que só se justificam por estar no
programa há muito tempo, e passando para coisas modernas, que
não poderiam ser abordadas sem essa tecnologia. E o objetivo
não é, naturalmente, ter alguém capacitado a repetir coisas
desligadas da realidade de hoje, isto é, passar em testes e
exames que são absolutamente artificiais (p. 68-69).
Para ilustrar esta ideia, utiliza uma analogia com a própria Matemática,
recorrendo a uma representação cartesiana:
Dentro da enorme variabilidade de escolhas possíveis no espaço
representado por D’Ambrosio, nos perguntamos se é possível estipular uma
hierarquia inicial, ainda que provisória, a fim de tentarmos buscar critérios
consistentes para a escolha dos conteúdos. Isso não significa que devemos
começar nossa escolha pelos conteúdos, estabelecendo, na sequência, objetivos
e metodologias adequadas. Achamos que, nesta representação tridimensional,
poderíamos iniciar pelos objetivos que nos levariam a critérios para a escolha de
conteúdos e, após serem definidos, gerariam reflexões sobre as metodologias
Conteúdos
Objetivos
Métodos
(O, C, M)
153
mais adequadas. A representação gráfica deste esquema de pensamento pode
ser resumida na ilustração a seguir:
Portanto, não podemos definir os conteúdos, muito menos os critérios para
a escolha dos mesmos, sem uma análise clara dos objetivos a serem atingidos
pelos alunos no Ensino Médio brasileiro. Isto implica estabelecer prioridades para
que determinemos qual será nosso enfoque daqui adiante: enfatizaremos as
aplicações matemáticas cotidianas, as aplicações para o mundo do trabalho, a
aplicação da Matemática dentro da própria Matemática ou outros objetivos além
destes? Como já dissemos anteriormente, seria possível atender objetivos tão
amplos com conteúdos tão específicos e para uma demanda gigantesca de
alunos em um país de dimensões continentais? Em busca de uma resposta ou de
algum indício do que seria mais adequado enfatizar como alvo para o ensino de
Matemática, faremos uma análise de algumas pesquisas internacionais.
4.2. Reflexões sobre alguns objetivos para o Currículo de
Matemática
Beaton el al. (1996, apud BROWN, 1999, p. 78) apontam, após análise dos
resultados do Terceiro Estudo Internacional de Matemática e Ciências (TIMS
31
),
que o índice de professores do ensino secundário de Matemática que vinculam o
êxito em Matemática de seus alunos à relação dessa disciplina escolar com a
31
Third International Mathematics Survey.
Objetivo
Critérios para escolha dos
conteúdos
Conteúdos
Métodos
154
aplicabilidade da mesma em situações cotidianas, varia de 20% em alguns países
para 80% em outros.
Burstein (1992, apud BROWN, 1999) divulga uma lista de objetivos
elencados por professores de Matemática de vários países, durante o Segundo
Estudo Internacional de Matemática (SIMS
32
), revelando preocupações comuns
de várias culturas relacionadas às metas para o ensino de Matemática:
1 – To understand the logical structure of mathematics; 2 – To
understand the nature of proof; 3 – To become interested in
mathematics; 4 – To know mathematical facts, principles, and
algorithms; 5 – To develop an attitude of inquiry; 6 – To develop an
awareness of the importance of mathematics in everyday life; 7 –
To perform computations with speed and accuracy; 8 – To develop
an awareness of the importance of mathematics in the basic and
applied sciences; 9 – To develop a systematic approach to solving
problems
33
(p. 78-79).
Achamos que um bom caminho para projetar critérios que orientem a
escolha e organização de conteúdos de Matemática no Ensino Médio é partir de
uma análise crítica de objetivos que parecem constituir, de fato, uma boa amostra
do que os professores de Matemática entendem que seriam metas para o ensino
da Matemática.
Então, a partir daqui, faremos essa análise salientando que os objetivos
elencados não foram escolhidos por nós, mas serão ponto de partida para
ponderar sobre algumas questões e concepções acerca dos currículos que
parecem ecoar na prática profissional do professor de Matemática nas salas de
aula do Ensino Médio brasileiro, inclusive.
Acreditamos que destes nove objetivos, apenas quatro (números 5, 6, 8 e
9) proporcionam a possibilidade de discussão sobre o papel social da Matemática.
No entanto, não menosprezamos os outros objetivos por não representarem
especificamente aspectos relacionados a um currículo crítico, segundo a
concepção de Skovsmose (2001a). O que pretendemos é buscar reflexões a
respeito do que pretendemos para a construção de currículos de Matemática que
32
Second International Mathematics Survey.
33
1 – Compreender a estrutura lógica da Matemática; 2 – Compreender a natureza da prova; 3 – Tornar-se
interessado em Matemática; 4 – Conhecer fatos, princípios e algoritmos matemáticos; 5 – Desenvolver uma
atitude de investigação; 6 – Desenvolver a consciência sobre a importância da Matemática no cotidiano; 7 –
Realizar cálculos com rapidez e exatidão; 8 – Desenvolver a consciência sobre a importância da Matemática
nas ciências básicas e aplicadas; 9 – Desenvolver uma abordagem sistemática para a resolução de problemas.
155
levem em conta, tanto objetivos relacionados à transformação social, quanto
ligados à própria Matemática, enquanto ciência de referência da disciplina
escolar.
4.2.1. Compreender a estrutura lógica da Matemática
A nosso ver, esse objetivo primeiro, traçado pelos professores, parece
reproduzir a ideia de que a Matemática é uma ciência imutável e firmada na lógica
aristotélica, na qual toda pergunta poderia ser respondida de apenas duas formas:
sim ou não. Como vimos, essa meta parece transparecer uma característica
formalista marcante, que pode ser interpretada pelos alunos como verdades que
caem do céu e na qual as justificativas e provas ou devem ser aceitas ou são
muito difíceis de serem compreendidas pela maioria.
É verdade que a estrutura axiomática da teoria proporciona uma riqueza de
possibilidades na qual se debruçam os matemáticos para construí-la. É verdade,
também, que podemos adotar, e isso implica escolher, um sistema de axiomas
que melhor se adapte ao problema que pretendemos resolver. No caso da
Geometria, por exemplo, durante muitos séculos a Euclidiana foi aceita como
verdade inabalável sobre a qual parecia pairar, cada vez mais, a ideia de que
novas possibilidades de teoremas não eram necessárias, já que a teoria estava
fechada, imutável e fortemente construída. Porém, motivados pelo trabalho de
astrônomos e devido às grandes navegações dos séculos XV e XVI, verificou-se
que a Geometria Euclidiana não era bem vinda em certas aplicações como, por
exemplo, quando desejo calcular distância entre dois pontos situados em uma
superfície esférica, sabendo-se que a curva descrita entre esses dois pontos deve
estar totalmente contida na própria superfície esférica. Podemos, nesse caso, a
partir de outro sistema axiomático, construir novas Geometrias, verificar a
validade ou não de certos teoremas quando são transferidos de um tipo de
Geometria para outra. Isso seria compreender as possibilidades e limitações da
Matemática e, principalmente, o papel de arquiteto criativo que exerce o
matemático ao construir nova Matemática a partir de necessidades práticas ou
pela genial percepção teórica sobre o que já foi construído.
Enfim, achamos que a grande questão reside na necessidade de
colocarmos este objetivo no plural: ao invés de “compreender a estrutura lógica
156
da Matemática”, diríamos “compreender as estruturas lógicas das Matemáticas”.
Aliás, curiosamente, nas línguas francesa, inglesa e espanhola a palavra
“Matemática” já aparece no plural, diferentemente do que ocorre na língua
portuguesa.
Além disso, devemos fazer com que nossos alunos compreendam que as
Matemáticas, embora estruturadas em axiomas, possuem limitações,
questionamentos que podem ser respondidos ou não, como Gödel demonstrou e
já analisamos nessa tese.
Conhecer e refletir sobre essa dimensão muito mais complexa que as
Matemáticas exercem e proporcionam ao serem articuladas, comparadas,
construídas e desafiadas representa um objetivo de um currículo de Matemática
para o Ensino Médio.
4.2.2. Compreender a natureza da prova
Mesmo a discussão de objetivos aparentemente estruturais, como
“compreender a natureza da prova”, pode ganhar aspectos novos dos tradicionais
e questionáveis métodos rigorosos que, como já examinamos anteriormente,
podem ser contestáveis desde que não haja uma discussão sobre as várias
lógicas existentes e os métodos válidos em cada uma delas, embora saibamos
que, tradicionalmente, somente a lógica aristotélica é tratada. Métodos de
demonstração como “redução ao absurdo”, fundamentados nesta lógica
tradicional, ganham ar de rigor absoluto e indiscutível. Hanna et al. (2004), por
exemplo, investigaram como os estudantes utilizam conceitos e argumentos da
Estática para compreensão e produção de demonstrações de teoremas
geométricos, como o fato das medianas de um triângulo de interceptarem em um
único ponto, o baricentro, que é o centro de gravidade deste triângulo. A
conclusão destes autores revela que o suporte da Física auxilia os alunos na
compreensão e produção de significados consistentes para suas demonstrações
geométricas. De fato, assim como já discutimos anteriormente, o ensino de
Matemática, pela própria característica desta ciência, parece abandonar ou
desprezar as tentativas empíricas de justificar suas verdades absolutas. Portanto,
acreditamos que o suporte empirista de outras ciências pode ajudar a Matemática
no difícil caminho de produção de significados para alguns conceitos, como a
157
demonstração “experimental” ilustrada nas figuras a seguir, desenvolvida por
Hanna et al. (Ibid., p. 82-83):
Figura 1 – Triângulo com massas
iguais nos vértices A, B e C.
Figura 2 – As massas A e B são
movimentadas para o ponto médio de
AB.
Em outro artigo, Hanna e Sidoli (2007) fazem um breve levantamento,
dentro da perspectiva da Filosofia da Matemática, sobre as formas em que a
visualização pode ser útil para justificar e explicar alguns aspectos de
demonstrações matemáticas. Os autores apontam três correntes filosóficas que
parecem discordar sobre o papel da visualização na justificativa de provas
matemáticas. Francis (1996), por exemplo, defende a posição de que a
visualização tem um papel auxiliar no desenvolvimento da prova, como a
utilização de computadores para este fim. No entanto, distingue claramente o
papel limitador desta ferramenta em relação ao rigor metodológico desenvolvido
pela própria Matemática. Outros autores, como Casselman (2000), defendem que
o recurso visual pode servir como parte integrante da prova, exemplificando o uso
de animações gráficas para mostrar, por exemplo, propriedades relativas à
conservação de áreas que podem auxiliar na visualização da famosa
demonstração de Euclides para o Teorema de Pitágoras (HANNA; SIDOLI, p. 74-
75, 2007). Contrários a estas duas correntes, Barwise e Etchemendy (1991, 1996)
defendem a visualização como prova matemática, alegando que esquemas,
figuras, mapas e imagens podem ser utilizados como argumentos rigorosos
dentro de uma perspectiva que valorize tais representações. Dentre os filósofos
que corroboram esta forma de conceber a demonstração está Brown (1997,
1999). Para ele, “algumas ‘figuras’ não são realmente figuras, mas janelas para o
158
céu de Platão” (BROWN, 1999 apud HANNA; SIDOLI, 1999, p. 77), fazendo uma
alusão ao “mundo” matemático ideal do platonismo e a necessidade de acessá-lo
através das representações.
Como vimos, as demonstrações matemáticas possuem defensores
ferrenhos com posições diametralmente opostas. Esta divergência, no entanto,
parece-nos que mais ajuda do que confunde o trabalho de planejar e refletir sobre
o papel da prova em um currículo de Matemática para o Ensino Médio. Embora
tenha um papel secundário, pois cremos que a importância primordial deve ser
dada ao significado que o aluno dá para os seus conhecimentos espontâneos
após reconceituá-lo através da Matemática, achamos que é necessária a clareza,
para o estudante, de que a Matemática é construída sobre uma lógica, mas
fundamentalmente sobre o convencimento. Para o aluno, portanto, deveria ficar
claro que a intuição é limitada e pode trair nossas convicções, sendo primordial
construir, comunicar, conjecturar, debater, convencer ou ser convencido da
validade ou não de uma determinada afirmação matemática. Estas táticas ou
técnicas de convencimento, ainda que sejam desprezadas pelo rigor matemático,
devem constituir uma relação entre pessoas que produzem e constroem uma
linguagem própria, assim como na Língua Portuguesa as gírias são eficazes para
que determinadas pessoas de uma comunidade se comuniquem e, ao mesmo
tempo, são marginalizadas e desprezadas pela língua formal. De qualquer forma,
neste caso, a comunicação se constitui e o objetivo é atingido, embora os próprios
elementos que estabelecem o diálogo possam reconhecer que o mesmo está
longe de representar o uso correto da língua. No caso da Matemática, os alunos
também devem ter a consciência de que o convencimento, muitas vezes realizado
através da visualização ou da utilização de softwares de Geometria Dinâmica,
pode comunicar ideias e intuir para a elaboração de uma linguagem rigorosa que
efetivamente seja aceita como demonstração. Não nos cabe nesta tese, portanto,
um juízo de valores sobre as formas de demonstração aceitáveis, mas sim
argumentar que o significado que o aluno produz, seja através de diagramas,
figuras, uso da tecnologia, tabelas e outros recursos, deve ser valorizado e
validado ou não pelo professor.
O papel da demonstração, em um currículo pós-moderno, vai além da
concepção formalista de partir de axiomas e hipóteses e, através de técnicas,
apresentar a prova de uma tese. A demonstração também implica convencimento,
159
comunicar-se matematicamente de maneira adequada, saber até onde a intuição
falha e quando e mesma intuição pode servir como estímulo para a proposição de
conjecturas.
4.2.3. Tornar-se interessado em Matemática
“Tornar-se interessado em Matemática” é outro objetivo mencionado e,
embora não seja um fim explicitamente social e transformador, pode refletir um
sinal da transformação que um currículo de Matemática é capaz de provocar ao
preocupar-se com a inserção e participação do estudante em um mundo que, há
pouco tempo, era marcado pela participação de alguns poucos como
transmissores de um conhecimento elitista que incorria na segregação,
classificação e seriação. Por este ponto de vista ultrapassado, porém ainda
resistente nas salas de aula, cabia ao professor sábio transferir seu conhecimento
“acumulado” de uma ciência pronta e não desafiadora para seus alunos que se
sentiriam honrados por terem a oportunidade de presenciar o despejar de saberes
do mestre em suas “mentes vazias”. A participação do aluno estaria, nesta
compreensão, limitada às provas escritas, como normalmente são chamadas
essas maneiras de aferir a “quantidade” de saberes “acumulados”, desprezando a
característica transformadora que os próprios saberes provocam em outros que já
vivenciamos.
Despertar o interesse do aluno no mundo matemático implica o
reconhecimento e valorização dos conhecimentos e saberes que todo o ser
humano possui, independente da instituição escolar. Essa experiência deve ser
moldada, transformada, enriquecida através do conhecimento dito científico,
tornando-se significativo para o discente. A sala de aula não deve ser um lugar de
transmissão, mas sim de mediação, confrontação e comunicação de ideias que
devem ser validadas ou não pelo professor. Assim como em um debate, a
capacidade de comunicar-se através da Matemática expõe uma das
necessidades mais esperadas a serem atingidas em uma educação que objetiva
a transformação social e uma consciência libertadora.
“Atitude” é uma palavra que representa essa forma de caracterizar a
necessidade de participação plena dos alunos na construção de atividades
matemáticas. Atitude como postura intelectual, social e cultural, em que a apatia
160
da aula em forma de palestra, na qual o professor discursa e o aluno ouve, não
tem mais vez. Dentro da proposta que valoriza a atitude e a participação
democrática de todos, o aluno tem um papel fundamental, argumentando,
conjecturando, compartilhando suas ideias em grupos, colaborando com os
colegas e expressando-se de maneira adequada. Porém, o rigor matemático deve
ser observado nas formas de expressão que cabem ao aluno, pois não queremos
ter uma postura populista e demagógica de defender que toda e qualquer
expressão, ainda que incorreta, deva ser valorizada pelo professor. O papel
docente torna-se de importância fundamental neste contexto, pois o mesmo
deverá se expor, diferentemente do modelo de aula “pronta” com exercícios
previamente escolhidos e resolvidos pelo mestre que jamais erra. Cabe ao
professor a tarefa de reflexão-matemática-na-ação, validando ou não as
conjecturas expostas, provocando novas inquietações nos alunos e dirigindo o
andamento da aula para os objetivos estabelecidos.
Um novo desafio toma forma ao imaginarmos como seriam as propostas
avaliativas de atitudes, quebrando paradigmas que vinculam ou privilegiam a
forma de expressão escrita dos alunos. Da mesma maneira que, ainda que
intuitivamente, sabemos se determinada pessoa conhece um assunto específico e
o nível de profundidade desse conhecimento, através de como ela se expressa
verbalmente sobre, também poderíamos pensar em alternativas de reconhecer,
avaliar e valorizar a forma como nossos estudantes verbalizam seus saberes.
4.2.4. Conhecer fatos, princípios e algoritmos matemáticos
O objetivo quarto – conhecer fatos, princípios e algoritmos matemáticos –
parece representar um dos propósitos mais técnicos da lista, repercutindo as
características mecanicistas do ensino voltado ao saber fazer e não à reflexão.
Embora o saber fazer deva ser valorizado e exercitado, defendemos que esta
finalidade está longe de representar um currículo comprometido com
transformações e reflexões sociais. Atualmente, notamos que as preocupações
com problematizações práticas, que acabam modelando matematicamente
situações reais, ocorrem mais no Ensino Fundamental que no Médio.
Compreendemos que deva ser justamente o contrário, pois a modelagem de
problemas econômicos, sociais, do meio ambiente e de saúde, entre outros,
161
exigem um conhecimento profundo de determinados conteúdos matemáticos
muitas vezes apenas tratados no Ensino Superior. Um dos papéis mais
importantes da Matemática no Ensino Fundamental seria justamente discutir, com
os alunos, alguns princípios e algoritmos de maneira a produzir sentido na prática
matemática e, principalmente, relacionar vários temas e áreas como Álgebra e
Geometria, semeando nas crianças e adolescentes o valor da Matemática como
ciência que possui uma infinidade de possibilidades de construção, justificativa e
correlações entre as diversas sub-áreas que a compõe.
Já no Ensino Médio, os algoritmos devem ser ferramentas para a resolução
de problemas e não o assunto principal a ser tratado. Não cabe, portanto, a
divisão compartimentada que ocorre em escolas que adotam materiais didáticos
que privilegiam o trabalho matemático dividido em diversas frentes, enfatizando o
objetivo principal de preparar o estudante para os exames vestibulares para
ingresso no curso superior. Aliás, essa característica cruel de prorrogar
indefinidamente a explicação do sentido da própria Matemática parece
transbordar nesse tipo de proposta, caracterizada por frases como “vocês
entenderão a importância deste conteúdo e o aplicarão mais à frente”. Afinal,
quando a Matemática fará sentido, neste jogo de suspense que leva uma vida
inteira?
Imaginemos, por exemplo, o ensino do gráfico de funções quadráticas,
tradicional e exaustivamente trabalhado nas salas de aula do Ensino Médio.
Normalmente, os professores, apoiando-se nos textos de livros didáticos que em
muito pouco mudam a forma de tratamento deste tema, propõem uma
investigação inicial, normalmente da função
(
)
2
f x x
=
, através da construção de
alguns pontos no plano cartesiano, como mostra a figura a seguir:
162
x
f(x) = x²
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Após a construção destes sete pontos (
(
)
3,9
− ;
(
)
2,4
− ;
(
)
1;1
− ;
(
)
0,0
;
(
)
1,1
;
(
)
2,4
e
(
)
3,9
), normalmente traça-se uma parábola por estes, sem maiores
justificativas do porquê, assim como a figura a seguir:
x
f(x) = x²
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Como este tema é usualmente abordado após funções afins, os alunos
podem crer que a melhor maneira de “ligar” os pontos é com segmentos de reta,
como na figura a seguir:
163
x
f(x) = x²
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ou ainda, algum aluno que tenha participação ativa nas aulas, tendo por
hábito características investigativas, poderia propor que alguma forma, como a
figura a seguir, por exemplo, poderia também representar um gráfico que passa
pelos sete pontos traçados. O que garantiria, então, que o gráfico realmente é
uma parábola?
x
f(x) = x²
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Curioso notar que a figura anterior não é simplesmente um rabisco
qualquer desenhado no plano cartesiano, mas a representação matemática de
164
uma função
34
que pode ser obtida através de recursos computacionais, a saber:
(
)
2 3 4
5 6 2 3
4 5 6
0,652372 2,37072cos 1,127 cos 1,33051cos 1,37085cos
0,930384cos 1,4814cos 0,00330797sen 0,42804
7sen 0,170106sen
0,964201sen 0,200897sen 1,76296sen
f x x x x x
x x x x x
x x x
= − + − +
− + + + −
+ + +
Então, o que justificaria e convenceria nossos alunos de que o gráfico
obtido realmente se trata de uma parábola? Recursos computacionais como
elemento coadjuvante para este convencimento? Acreditamos que não, pois
apenas mudaríamos o foco da crença que o aluno deveria ter: inicialmente era o
professor e, agora, o computador. Em qualquer uma das duas formas, os
estudantes não têm uma prova matemática da figura a ser obtida. A ferramenta
necessária para a justificação deste fato é o Cálculo Diferencial, usualmente
tratado apenas no Ensino Superior.
Portanto, podemos concluir que existe um paradoxo importante a ser
discutido em outras pesquisas: se por um lado existem vários trabalhos
publicados exaltando a importância e o papel das demonstrações no ensino de
Matemática, por outro lado, os conteúdos tradicionalmente apresentados no
Ensino Médio possuem exemplos, como o que tratamos aqui, em que os
algoritmos e fatos matemáticos são mostrados sem possibilidade de prova,
apenas utilizando a crença do aluno de que o que o professor diz é uma verdade
indiscutível e, às vezes, utilizando softwares gráficos que mobilizam a crença dos
alunos para um programa computacional que, para eles, jamais erra.
4.2.5. Desenvolver uma atitude de investigação
Sobre “desenvolver uma atitude de investigação”, como já dissemos
anteriormente, representa o primeiro objetivo, dentre as metas listadas pelos
professores secundários durante o SIMS, que possibilita alguma reflexão sobre a
prática da Matemática tendo como objetivo a transformação social. Entretanto,
podemos conceber investigação como uma metodologia específica, amplamente
divulgada pelo professor João Pedro da Ponte, do Departamento de Educação da
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
Diferentemente dos exercícios e problemas que, embora difiram quanto ao
rol de estratégias conhecidas pelos alunos a priori, pois o primeiro implica um
34
Função obtida através função “FindFit” do software Mathematica 5.2 da Wolfram Research, Inc.
165
conhecimento de recursos prévios que levarão à solução e o segundo abrange a
inexistência de caminho para a resolução de uma situação, ambos possuem uma
solução bem definida e conhecida pelo professor. O trabalho dos alunos, nestes
dois contextos, possui características distintas, porém o trabalho do professor
coincide no sentido de validar ou não uma solução que já lhe é familiar. Já no
caso da investigação matemática, as situações são mais abertas. Caberá ao
aluno a iniciativa de elaborar conjecturas e validá-las ou não, e ao professor
caberá refletir matematicamente na ação, proporcionando questionamentos para
instigar os estudantes à elaboração de testes e demonstrações de suas
hipóteses.
Esta metodologia proporciona a simulação da criação matemática
profissional, ou seja, traz para o ambiente escolar a legítima forma de trabalhar,
construir e fazer Matemática dos matemáticos acadêmicos.
O conceito de investigação matemática, como atividade de
ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito
da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma
poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um
matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na
realização de provas e refutações, mas também na apresentação
de resultados e na discussão e argumentação como os seus
colegas e o professor (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2005, p.
23).
Parece-nos que esta proposta está voltada à mudança do papel tradicional
do professor como transmissor de conhecimento. Voltamos às considerações
realizadas sobre o papel da modelagem matemática e os obstáculos enunciados
por Bassanezi (2004, p. 37-38) e já comentados nesta tese. Concluímos que, boa
parte destas reflexões também servem para a investigação matemática, sendo
uma delas a questão da gestão do tempo e o planejamento realizado. Sabemos
que os professores têm grande preocupação com a administração e controle dos
conteúdos ministrados, preocupando-se com o cumprimento dos mesmos a
qualquer preço. Parece ainda imperar o conceito da transmissão de
conhecimento, no qual as turmas desalinhadas, neste verdadeiro esquema
atacadista de ensino, podem ser culpadas e castigadas pela sua vagarosidade.
A realização de investigações na aula de Matemática implica que
menos tempo seja destinado para outras atividades. Ora, o tempo
166
é um fator que todo professor tem de ponderar na sua prática,
exigindo a tomada de decisões. Diante dos objetivos que se
propõe atingir com os seus alunos, ele, melhor do que ninguém,
pode decidir o que fazer. A realização de uma investigação requer
sempre certo tempo, mas o que se gasta nas primeiras
experiências de investigação e nas primeiras ocasiões em que se
procura discutir os resultados obtidos, pode ser superado mais
tarde, porque os alunos já estão mais à vontade com este tipo de
atividade, sabendo aquilo que se espera deles. Além disso, o
trabalho efetuado no âmbito de uma investigação, em torno de
determinado conteúdo matemático, pode revelar-se de tal forma
produtivo que o professor já não vê a necessidade de voltar a
trabalhá-lo, ganhando assim tempo para dedicara outro assunto
(PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2005, p. 140-141).
O privilégio, nesse caso, não é necessariamente dos conteúdos, mas das
investigações a serem realizadas. Como as conjecturas dos alunos dão margem a
muitas possibilidades, o professor pode dirigir situações que contemplem
conteúdos diversos, dentro de uma multiplicidade de possibilidades para inter-
relacioná-los.
Entretanto, no bojo questionador desta pesquisa, indagamos se a pura
atividade matemática profissional possui características sociais importantes e
quais seriam elas. Sabemos que muitas teorias matemáticas levam à prática,
porém a motivação primordial do matemático está longe de provocar ou construir
estudos que sejam imediatamente colocados em exercício, demonstrando uma
intenção explícita de modificar a realidade social, política e econômica. É certo,
por exemplo, que a Teoria dos Jogos Não-cooperativos de John Forbes Nash Jr.
35
não obteve aplicação prática instantânea, porém em 1994 rendeu-lhe o prêmio
Nobel de Economia, juntamente com o húngaro John C. Harsanyi e o alemão
Reinhard Selten. Esta lacuna temporal entre a teoria e a descoberta de uma
prática que a tornasse socialmente importante foi de quase meio século. Portanto,
torna-se simplório o pensamento de que uma prática investigativa do aluno,
dentro da própria Matemática, o levaria a descobertas da função social da própria
Matemática. Como já dissemos anteriormente, parece que esta função
perscrutadora cabe ao Ensino Fundamental e, ao Ensino Médio, caberia, entre
outras coisas, o papel da investigação matemática social, utilizando-se ou
aprendendo conceitos necessários para uma análise aprofundada de situações e
35
A vida e obra de Nash foi parcialmente descrita no filme A Beautiful Mind (Uma Mente Brilhante) da
Universal Studios, que rendeu aos seus produtores vários prêmios internacionais, incluindo o Oscar de
melhor filme, em 2001.
167
problemas em vários campos, como saúde, meio-ambiente, transporte, entre
outros, buscando soluções, mas, sobretudo alternativas e reflexões sobre o
impacto de decisões políticas sobre a realidade social.
Concluindo, reconhecemos a importância do objetivo mencionado como
desenvolver a atitude de investigação. Contudo, devemos diferenciar duas formas
de trabalhá-la, sendo que a primeira é mais importante, dentro do que
acreditamos ser um currículo que ansiamos: (1) investigação matemática como
apuração, crítica, elaboração de alternativas e implementação de projetos que
objetivam a transformação da sociedade na qual estamos integrados; (2)
investigação matemática como elaboração de conjecturas com posterior
verificação e demonstração de sua validade, dirigindo nossas lentes somente
para a Matemática, como uma averiguação sistemática de seus padrões,
implicações e inter-relações.
4.2.6. Desenvolver a consciência sobre a importância da
Matemática no cotidiano
O objetivo “desenvolver a consciência sobre a importância da Matemática
no cotidiano” nos inspira a formular algumas questões fundamentais para
iniciarmos esta discussão: Afinal, qual é esta “Matemática cotidiana”? Esta
Matemática está inserida no cotidiano de qualquer pessoa? Se pensarmos em um
currículo geral, amplo, feito para um grande número de pessoas e para um país
que apresenta uma grande diversidade cultural, como o Brasil, por exemplo,
existe alguma possibilidade de trabalhar questões que estão presentes no
cotidiano de todos, ou seja, existe uma Matemática para todos? Pensando
especificamente no currículo de Matemática no Ensino Médio, foco desta tese,
que abrange estudantes na faixa etária entre quinze e dezessete anos de idade,
qual seria a Matemática cotidiana destes jovens? Seria coerente justificar a
Matemática no cotidiano, dando exemplos de sua aplicação tecnológica e
profissional, sendo que a grande maioria destes jovens jamais aplicará estes
conhecimentos, seja na tecnologia, seja na profissão que escolherão?
Outra questão que merece destaque, antes de pensarmos na presença da
Matemática no dia-a-dia, é o volume de informações decorrentes do avanço e
construção de nova Matemática a cada momento. O progresso tecnológico e
168
industrial, iniciado no século XIX, mas com considerável expansão no século XX,
proporcionou uma ênfase na aplicação matemática com fins econômicos e
políticos. O trabalho dos matemáticos “puros”, embora possa ser, em um primeiro
momento, classificado como de aplicação imediata discutível, por um lado fornece
a possibilidade de ampliação de campos de estudo e temas dentro da própria
Matemática, com pesquisas cada vez mais minuciosas – por outro lado, amplia-se
também a matéria-prima para que os matemáticos “aplicados”, economistas,
sociólogos, entre outros profissionais percebam e construam novas ferramentas
para modelar fenômenos diversos, desde naturais, como as aplicações na
meteorologia, passando por econômicos, como o cálculo do nível de risco em
aplicações financeiras, incluindo a recomendação ou não de investimentos em
países através de cálculos matemáticos, até indicadores sociais, como o IDH
(Indicador de Desenvolvimento Humano), que mede as desigualdades sociais
existentes em um país e utiliza, no cálculo de sua fórmula, a ideia de logaritmo
(MONTEIRO, 2008). Para Anderson (1999):
Driven by all kinds of demands, from innovative industries to arms
developments and hi-tech projects such as the space race,
mathematicians are pushing forward the boundaries of their
subject to the extent that no individual can be knowledgeable
about more than a part. A striking feature of this is the
mathematization of subjects which, 20 or so years ago, would
have been generally thought of as having little scope for such
treatment: biology, medicine, and the life sciences are examples.
This creates its own dilemma for professional practitioners of
mathematics: on the one hand, the subject is expanding beyond
the capability of the ordinary person to understand and appreciate
– on the other, this remoteness is an obstacle to persuading the
ordinary person that mathematics at a more elementary level is a
worthwhile activity for them to become engaged in
36
(p. 19).
Ainda que nos preocupemos somente com quais conteúdos ensinar, essa
escolha deve ser cada vez mais criteriosa, pois o volume de assuntos e
possibilidades de abordagem da Matemática amplia-se demasiadamente. Se
36
Impulsionados por todos os tipos de demandas, das indústrias progressistas ao desenvolvimento
armamentista e projetos de tecnologia de ponta, tais como a corrida espacial, os matemáticos estão fazendo
avançar as fronteiras do seu campo, na medida em que nenhum indivíduo pode ser instruído sobre mais de
uma parte. Uma característica marcante disto é a matematização das matérias que, 20 ou mais anos atrás,
teria sido geralmente considerada como tendo pouco espaço para tal tratamento: biologia, medicina,
medicina, ciências da vida são exemplos. Isto cria o seu próprio dilema para os profissionais praticantes da
matemática: por um lado, o tema está se expandindo para além da capacidade do cidadão comum entendê-la
e apreciá-la - por outro lado, este distanciamento é um obstáculo para convencer o cidadão comum que a
Matemática em um nível mais elevado que o elementar é uma atividade que vale a pena comprometer-se.
169
refletirmos sobre os conceitos matemáticos abordados no Ensino Médio, veremos
que estamos examinando assuntos extremamente antigos que, embora possam
ser classificados como fundamentais ou de extrema importância, implicam a
ignorância de outros temas mais recentes. Podemos citar, como exemplo, a
Geometria Euclidiana, com seus mais de dois milênios de existência, e a não
menção, no currículo, da Geometria Hiperbólica ou da Geometria Esférica que,
passado mais de um século de sua formulação por Lobachewsky (1793 – 1856) e
Riemann (1826 – 1866), ainda não encontram espaço até mesmo em alguns
currículos de cursos de Matemática no Ensino Superior.
Além da antiguidade dos assuntos versados, é necessário compreender se
são e como são utilizados atualmente, talvez compreendendo sua origem
histórica. A Geometria Analítica, por exemplo, foi originalmente introduzida no
currículo da École Polytechnique pelo francês Gaspard Monge (1746 – 1818) que
foi um dos criadores desta instituição. Tanto o planejamento curricular quanto a
implementação desta Escola Politécnica francesa estão contextualizadas dentro
do cenário político da época, em que Napoleão Bonaparte era o centro de
influências. A educação francesa pós-revolução tinha o caráter tecnicista, voltado
à preparação e classificação de pessoas para ocuparem cargos públicos.
Atualmente, ainda sentimos esta influência no currículo do Ensino Médio
brasileiro, justificando alguns conteúdos pela sua importância nos concursos para
admissão no Ensino Superior público. A Geometria Analítica é importante, pois
representa uma possibilidade efetiva de articulação entre Álgebra e Geometria,
rompendo o caráter compartimental da Matemática. Porém, ligar este assunto ao
cotidiano através de justificativas como a forma parabólica de antenas ou faróis
de automóveis, a forma elíptica do movimento realizado pela Terra em torno do
Sol ou o uso da forma hiperbólica para construção de telescópios de reflexão,
parecem aplicações curiosas destes temas, estando longe de representar práticas
significativas e cotidianas. Não questionamos a utilidade e adequação de
mencionar esses fatos durante o ensino de Cônicas, porém representarão apenas
informações isoladas.
170
4.2.7. Desenvolver a consciência sobre a importância da
Matemática nas ciências básicas e aplicadas
Além da compreensão histórica dos temas que ensinamos, devemos
ponderar sobre as supostas aplicações profissionais decorrentes do
conhecimento matemático. Para esta reflexão, propomos adiantarmos a
discussão sobre o objetivo: “Desenvolver a consciência sobre a importância da
Matemática nas ciências básicas e aplicadas”. Esta finalidade parece ter uma
interpretação deturpada, enfatizando apenas aspectos de aplicações voltadas ao
mundo do trabalho. Sobre isto, enfocando a chamada TI (Tecnologia da
Informação) que nos parece um assunto que virou curso e profissão devido à
enorme importância dada ao setor tecnológico no final do século passado até
hoje. Clayton (1999, p. 27) pondera a respeito do que considera ser o papel da
Educação Matemática nesta avalanche de avanços tecnológicos:
My conclusions lead me to suggest that an important aim of
mathematics education should be to make students properly
aware of the value of mathematical modelling in a wide range of
situations, and to train them how to apply IT tools most effectively.
The benefits that will accrue are essential for the survival and
future growth of commerce, industry, and science, and there are
opportunities for them to be realized at every level of employment.
To help our young people acquire the necessary skills and use
them profitably in their later employment, I hope that schools and
colleges will be enabled and encouraged to maintain a balanced
mathematics syllabus that includes:
- Mathematical techniques and analysis methods taught in
contexts that show how they can be used.
- The principles and application of mathematical modelling.
- Numerical methods including direct simulation, and the use of
appropriate technology.
- The effects of uncertainty – how they can be measured and
analysed
37
.
37
Minhas conclusões levam-me a sugerir que um objetivo importante da educação matemática é que os
alunos devem ser devidamente conscientes do valor da modelagem matemática, em uma ampla gama de
situações, e para treiná-los a aplicar ferramentas de TI mais eficazes. Os benefícios que irão acumular são
essenciais para a sobrevivência e o crescimento futuro do comércio, indústria e ciência, e há oportunidades
para que sejam realizadas em todos os níveis de emprego.
Para ajudar os nossos jovens a adquirirem as competências necessárias e utilizá-las proveitosamente mais
tarde em seu trabalho, espero que os colégios e faculdades capacitem e promovam a manutenção de um
Currículo de Matemática equilibrado que inclua:
- Técnicas matemáticas e métodos de análise ensinados em contextos que mostrem como eles podem ser
usados.
- Princípios e aplicações de modelagem matemática.
- Métodos Numéricos incluindo simulação direta, com o uso de tecnologia adequada.
- Os efeitos da incerteza - como eles podem ser medidos e analisados.
171
Discordamos da posição que inclui a ênfase na aprendizagem de técnicas,
métodos e da própria Modelagem Matemática para benefício e crescimento do
comércio, indústria e ciência, imaginando um proveito futuro dos estudantes nos
empregos que ocuparão. Aliás, prover os universitários da maior quantidade de
ferramentas e ensinar como utilizá-las em seu trabalho no menor tempo possível
de formação parece ser uma tendência muito presente nas diretrizes e currículos
de cursos do Ensino Superior. Questões éticas, sociais e políticas são deixadas
de lado e, muitas vezes, não ocupam nenhum espaço nos cursos superiores, pois
a prioridade está no saber-fazer. Como em uma linha de montagem, as
universidades estão preparando para as empresas, mas será que as empresas
estão satisfeitas com a qualidade, ou melhor, com a cultura geral dos egressos de
cursos superiores?
Precisamos voltar-nos à origem histórica das Universidades que remonta
aos árabes e a fundação das primeiras instituições voltadas ao estudo de obras
gregas desprezadas pelos cristãos. Entre estas, podemos citar a Universidade de
Karueein, localizada em Fez, no Marrocos e fundada em 859 e a Univerdade de
Al-Azhar (Cairo, Egito), fundada em 988. Após as Cruzadas, surge a necessidade
de elaboração de novas Universidades, porque as obras tomadas dos árabes,
pelos cristãos, não tinham espaço nos mosteiros. Este espaço para estudo e
encontro entre pagãos e cristãos, ou seja, a valorização do conhecimento, da
história, de outras sociedades e culturas, parece estar longe do caráter imediatista
de aplicabilidade no mundo do trabalho, existente nas atuais instituições de
ensino superior. Não queremos que os objetivos das universidades projetados há
mais de dez séculos voltem a ser praticados, mas salientamos que é essencial
valorizarmos a existência de um currículo que promova uma cultura geral que dê
conta, minimamente, de explicar o contexto no qual vivemos, para compreensão
crítica das transformações, reflexões e discussões que se façam necessárias,
assim no trabalho como em qualquer outro campo de nossas vidas.
Se verificamos esse problema no Ensino Superior, imaginemos essa
justificativa de preparar para a vida profissional logo no Ensino Médio.
Excetuando-se as escolas técnicas, cujo objetivo é claro e indiscutível, as escolas
que propõem uma formação geral acabam privilegiando justificativas como as
mencionadas por Clayton. Poderíamos, por exemplo, utilizar como único
argumento para ensino de números complexos sua serventia no estudo de
172
circuitos, na corrente e na tensão elétrica, na potência, na impedância, na
equação de onda que rege o movimento dos elétrons, na equação de
normalização que tem um papel importante na Mecânica Quântica, entre outras
aplicações? Quem, com exceção dos futuros Engenheiros Elétricos, ficará
motivado com tal defesa? E, mesmo os futuros Engenheiros Elétricos, por que
aprenderão estas aplicações já que serão submetidos a muitas outras no Ensino
Superior? A influência do discurso “aprendam isto porque será importante mais
tarde” não surte efeito, pelo contrário, soa como uma falta de justificativa para o
que se está pretendendo ensinar.
Depois de tantas críticas sobre o quê não fazer, devemos propor uma
alternativa, ou mais modestamente, tentar apontar um caminho, ainda que um
esboço do que seria uma proposta. Na tentativa de integrar os objetivos 6 e 8,
enxergamos esta necessidade de conexão entre a Matemática e o mundo real
como uma justificativa para integrar o homem ao seu meio, tornando-o mais que
um cidadão, mas um ser atuante através de sua crítica e influência sobre os
poderes que delegam seus deveres e direitos. Questionar, fiscalizar e reformular
os direitos e deveres de um membro de uma sociedade demanda uma Educação
Matemática firmada além de conceitos matemáticos ou aplicações técnicas, uma
vez que requer uma interpretação da realidade para transformá-la ou reafirmá-la.
Diariamente, somos bombardeados por uma quantidade enorme de
índices, números, resultados de cálculos que poucos conhecem suas origens,
muito menos o caráter ético da suas formulações. Como assim? Caráter ético de
formulações matemáticas? Isso mesmo! Vejamos, por exemplo, como é calculado
o ICMS (imposto sobre operações relativas à circulação de mercadorias e sobre
prestações de serviços de transporte interestadual, intermunicipal e de
comunicação) da energia elétrica consumida por cada residência, cobrado no
Estado de São Paulo, mensalmente. A taxa paga pode ser calculada pela fórmula:
ICMS = (I x A) / (100% – A), onde I = importe da conta (em R$), A = alíquota do
ICMS. O "Importe" é a parcela da conta de energia elétrica resultado da aplicação
das tarifas respectivas (de demanda e consumo) sobre a demanda faturável e o
consumo total medido, ou seja, (kW x R$) + (kWh x R$).
Vejamos um exemplo do que ocorre atualmente: suponhamos que o
“importe”, ou seja, o que efetivamente será cobrado pelo consumo exclusivo da
energia elétrica consumida, seja de R$ 100,00. Suponhamos, também, que a
173
residência enquadra-se na alíquota de 25% do ICMS. Poderíamos concluir que o
imposto a ser pago seria de R$ 25,00, ou seja, 25% de R$ 100,00. Mas utilizando
a fórmula existente na Lei Estadual n. 6374, de 01/03/89, chegamos aos
seguintes cálculos: ICMS = (I x A) / (100% – A) = (100 x 25%) / (100% – 25%) =
R$ 33,33. Ou seja, a alíquota é de 25%, mas pagamos cerca de 33% de imposto.
Por que essa tarifa não foi contestada até hoje? Na verdade, várias ações
judiciais foram impetradas e muitos consumidores conseguiram o ressarcimento
da cobrança indevida paga até a publicação de decisão judicial. O fato do
desconhecimento, por parte da maioria da população, faz com que pensemos
sobre a necessidade de discutirmos com nossos alunos questões semelhantes,
que dizem respeito a todos. Caberia esse tipo de questão dentro dos três anos do
Ensino Médio? Ou será que não conseguiremos cumprir o conteúdo? Aliás, onde
está o conteúdo? Como podemos pensar nesse tipo de abordagem sem uma
explicitação clara da Matemática contida nestas referências?
Pensamos que educar o consumidor implica diretamente questões
matemáticas, embora não trate os conteúdos da maneira tradicional como fomos
ensinados. Quebrar este paradigma pode ser um exemplo esclarecedor sobre o
que compreendemos ser uma Matemática para todos. Educar o consumidor
significa, portanto, habilitá-lo a realizar as comparações necessárias e interpretar
informações, nem sempre bem intencionadas, fornecidas pelas empresas na
forma de rótulos, etiquetas, propagandas, etc. Para Nieves Álvarez (2002):
[...]a educação do consumidor não é mais (nem menos) do que
uma tentativa, bem como qualquer outra atividade docente, de
aproximar nossos alunos ao conhecimento do meio, fazê-los
descobrir seus códigos e ser capazes de interpretá-los, adquirindo
os mecanismos que permitem a resolução de problemas e
utilizando como ferramentas instrumentais os conteúdos das
áreas de ensino. Significa aprender a “ler” as mensagens que nos
apresenta a sociedade de consumo, que a educação do
consumidor é simplesmente um trabalho de alfabetização em um
campo em que a maioria das pessoas é muito analfabeta, em uma
sociedade de consumo que fundamenta uma parte importante de
seu sucesso na ignorância do consumidor. (p. 176).
Assim como nesse exemplo, podemos enumerar vários outros que
serviriam de análise para discussões como a desigualdade social, racial, de
gênero, acesso à educação e o perfil econômico dos estudantes que ingressam
174
no Ensino Superior, custo de vida em diferentes cidades e sua relação com o
salário médio local, diferentes índices de inflação e como são calculados, etc.
Também achamos ser fundamental a inserção da Matemática Financeira
como uma forma de educar os estudantes para planejarem seu futuro. Essa
preocupação parece em sintonia com os resultados da pesquisa realizada por
Gainsburg (2008) com 62 professores de Matemática, sendo 28 do middle
school
38
e 34 do high school
39
. O objetivo era verificar a compreensão e o uso que
estes professores fazem, em suas aulas, das conexões possíveis da Matemática
com o mundo real. A tabela a seguir reflete uma das categorizações de análise
feita por Gainsburg, em que os professores citam os contextos “reais” em que
utilizam a Matemática:
Contexto
Número de
Professores (de um
total de 62) que
mencionaram
Projetos estruturais ou de interiores 14
Compras / Preços / Comer fora de casa 13
Assuntos Bancários / Orçamentários 10
Automóveis e outras formas de transporte 10
Esportes / Jogos 8
Artigos Domésticos 7
Mapas / Plantas / Topografia / Agrimensura 6
Física / Astronomia 5
Características Pessoais dos Estudantes / Hábitos 4
Trabalho / Salário 4
Arte / Espelhos 3
Programas de Televisão / Filmes / Culinária /
Medicamentos / Investigações Criminais /
Recenseamento / Montanha-russa / Fogos de Artifício
1 ou 2 cada
Esta pesquisa, ao nosso ver, traz resultados importantes, pois demonstra o
quanto os professores ainda sentem-se presos aos tradicionais problemas, muitos
deles encontrados em diversos livros didáticos, ao buscarem vínculos com a
realidade. Um exemplo disso é o contexto mais citado pelos professores: Projetos
38
Equivalente ao Ensino Fundamental – Ciclo II brasileiro.
39
Equivalente ao Ensino Médio brasileiro
175
estruturais ou de interiores. Gainsburg (Ibid.) revela que um exemplo típico citado
é ‘‘Finding how much carpet would be needed for a room
40
’’ (p. 206).
Como já afirmamos, questões financeiras são mencionadas 23 vezes,
incluindo compras, preços, refeições fora de casa, assuntos bancários e
orçamentários. Cabe uma pergunta: quanto do tempo das aulas de Matemática no
Ensino Médio é destinado a estas discussões, dentro das atuais orientações
curriculares? E os outros assuntos mencionados por estes professores? É claro
que devemos observar, e isto deve ser reconhecido, a componente cultural
envolvida nestas respostas. Quando um professor busca conexões com a
realidade, busca a sua realidade e de seus alunos e por isso podemos concluir
que, se esta pesquisa fosse realizada em diversas cidades brasileiras, o resultado
poderia ser diferente, com características regionais marcantes. Na pesquisa de
Gainsburg notamos claramente algumas citações que corroboram com o que
afirmamos, tais como “espelhos”, “investigações criminais”, “montanha-russa” e
“fogos de artifício”.
Na mesma pesquisa, Gainsburg analisou as respostas dos professores a
pergunta: “When I make connections to real situations or objects, the idea most
often comes from (choose one)
41
” (Ibid, p. 207). A tabela abaixo revela as
respostas dos professores:
Fonte
Número de
professores
(55 responderam)
Do Livro Didático do curso.
4
De Outro Recurso Curricular.
1
Da minha cabeça, baseado em minhas próprias ideias ou
experiências.
46
Do meu desenvolvimento profissional (seminários ou
encontro).
2
De colegas.
2
De outras fontes.
0
Não se aplica – raramente ou nunca conecto a
Matemática com situações ou objetos reais.
0
40
Encontrar quanto tapete seria necessário para um quarto.
41
Quando faço conexões com situações ou objetos reais, a ideia que vem mais frequentemente (escolha um).
176
Concluímos que os professores, pelo menos na pesquisa citada,
demonstram utilizarem ideias próprias para realizar a conexão da Matemática
com a realidade. Se outras pesquisas confirmarem este resultado, deveremos
enfatizar a realidade social e cultural docente para que estas ligações sejam
efetivas e eficientes. Discutiremos, mais a frente, o abismo que acreditamos
existir entre o currículo prescrito e o currículo praticado, e defenderemos a tese de
que um dos fatores que conduzem a esta lacuna é o obscurantismo existente nas
prescrições oficiais, ignorando a realidade social e cultural dos professores.
Uma alternativa para esta ignorância da diversidade de práticas docentes
existentes em um país com dimensões continentais é proporcionar espaços para
troca de experiências e elaboração de atividades e propostas que contemplem a
realidade local. Embora polêmico, o Projeto “Folhas” da Secretaria de Estado da
Educação do Governo do Paraná proporciona uma possibilidade de participação
efetiva dos professores locados nas escolas estaduais. Cada projeto que o
professor pode submeter aos pareceristas responsáveis pela análise deve ter no
máximo doze páginas. A proposta é iniciar a atividade com um problema que
provoque a busca e utilização de alguns conteúdos necessários para resolução
da situação sugerida.
O problema decorrente deste projeto pode ser a criação de uma verdadeira
colcha de retalhos, com propostas e objetivos distintos. Cada professor se serviria
das atividades que lhe parecessem mais atraentes, possivelmente ignorando os
objetivos em prol de atividades agradáveis aos alunos. No entanto, devemos
reconhecer que uma proposta como essa pode servir como motivação para que
escolas localizadas em uma mesma comunidade possam elaborar livros didáticos
em conjunto, viabilizando propostas que contemplem questões, situações e
problemas locais, derivadas da prática e realidade vivenciada por cada aluno,
professores e dirigentes de ensino participantes destas instituições.
Portanto, acreditamos que os objetivos: “desenvolver a consciência sobre a
importância da Matemática no cotidiano” e “desenvolver a consciência sobre a
importância da Matemática nas ciências básicas e aplicadas” devem contemplar
muito mais os aspectos relevantes de nossa sociedade do que simplesmente
visar ao mundo do trabalho e o avanço tecnológico. Aplicar a Matemática no
cotidiano em prol da construção de uma visão crítica sobre aspectos sociais,
econômicos e políticos, envolvendo questões e debates sobre políticas públicas
177
relacionadas à saúde, ao meio ambiente, transportes nas grandes cidades,
saneamento básico, orientação e educação sexual, entre outras muitas querelas.
Na verdade, sentimos a necessidade de que sejam colocadas em prática as
propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, publicados em
1998, nas quais são incluídos seis temas chamados de transversais – Ética,
Orientação Sexual, Meio Ambiente, Saúde, Pluralidade Cultural, Trabalho e
Consumo – que deveriam nortear projetos interdisciplinares e propostas que
validassem e aglutinassem os conteúdos matemáticos, antes estanques, nesta
nova proposta integradora.
Uma das alternativas metodológicas seria a utilização tão enfatizada,
porém pouco vivenciada, dos jornais e revistas na sala de aula. Realizamos uma
pesquisa com alunos de Licenciatura em Matemática (SILVA, 2006), buscando
notícias que provocassem e motivassem a realização de trabalhos
interdisciplinares bem como a motivação para a abordagem de tópicos tratados
tradicionalmente nas aulas de Matemática.
Podemos citar um exemplo realizado por um dos grupos de licenciandos
que participaram da pesquisa unificando os temas Saúde e Orientação Sexual,
explorando uma reportagem que tinha como manchete “São Paulo terá mutirão
para exame de DNA”. O artigo abordava o número de laudos emitidos e famílias
atendidas pelo Instituto de Medicina Social e de Criminologia antes e após o
mutirão realizado. Isso abriria inúmeras possibilidades de trabalho, além da
própria Matemática, verificando a possibilidade de integração com Biologia.
Em uma reportagem denominada “Três anos de Guerra (Iraque)”, outro
grupo descobriu uma série de temas transversais, já que alguns quadros
apresentados como “Números da guerra” propiciaram um trabalho rico de ser
explorado. Um mapa revelava porcentagens de grupos étnicos e religiosos
existentes no Iraque, claramente abordando questões de pluralidade cultural, um
gráfico de colunas destacava a evolução da mortalidade infantil naquele país e a
razão de iraquianos com acesso a água potável (1 em cada 5 antes da invasão e
1 em cada 3 na época da publicação), mostrando a utilização de temas como
Saúde. Número de mortos, reféns executados, e presos em Abu Ghraib (prisão
onde houve torturas) instigariam a discussão da Ética. Os dados de produção de
petróleo, seguidos por um gráfico de colunas sobre a evolução das exportações
de barris por dia, proporcionariam uma análise detalhada com ajuda de outras
178
disciplinas como Geografia e História, aliado ao tema “Trabalho e Consumo”.
Outro dado impressionante mostra que os contribuintes americanos pagaram US$
315 bilhões pelos custos da guerra e o presidente Bush ainda solicitava outros
US$ 72,4 bilhões extras.
Questões como estas requerem um grande conhecimento geral por parte
do professor para validar as conjecturas dos alunos, propiciar debates oferecendo
informações adicionais àquelas oferecidas pelos órgãos de imprensa, enriquecer
as aulas com fatos pertencentes a outras disciplinas escolares das quais ele não
é especialista. Preocupações com a formação inicial e continuada de professores
e políticas públicas que incentivem os docentes a terem tempo e recursos
financeiros para acessarem meios que possibilitem a ampliação e discussão dos
conhecimentos que possuem são necessidades básicas, caso pretendamos
formular e instituir um currículo de Matemática que também promova estas
questões.
4.2.8. Realizar cálculos com rapidez e exatidão
O objetivo “realizar cálculos com rapidez e exatidão” retrocede às
instruções da década de 1970, presentes nas orientações curriculares
estadunidenses que privilegiavam, no contexto social, suprir as necessidades do
sistema de produção capitalista, caracterizado por um ensino de Matemática
voltado às técnicas, centrados nem no professor nem no aluno, mas na instrução
e repetição dos passos necessário para que o aluno resolva uma questão. Os
livros didáticos eram recheados de regras e macetes, facilitando e exaltando a
memorização. Até hoje, junto a pais e até a alguns educadores, esta metodologia
apresenta repercussões, como no sucesso e expansão de escolas voltadas ao
ensino do chamado “Método Kumon”, por exemplo.
A ideia de um perito em Matemática como sendo alguém que realiza
cálculos rapidamente parece fazer parte de uma espécie de senso comum
coletivo, no qual pouco se valoriza a interpretação e relação dos resultados
destas operações com outras informações. Da mesma forma, parece que a
valorização do conhecimento memorizado de capitais de países também é
valorizado na Geografia, assim como as datas de acontecimentos célebres são
conhecimentos enaltecidos em História e saber qual a grafia correta para
179
determinada palavra é objetivo primordial do ensino da Língua Materna (basta ver
o sucesso dos populares concursos de soletração).
Não somos contra a realização de cálculos de maneira rápida e eficiente,
embora as calculadoras possam ser úteis para este fim, na maior parte das vezes
que efetivamente necessitamos de um resultado no dia-a-dia, mas acreditamos
que este não deva ser considerado um objetivo primordial de um currículo que
busca muito mais que promover o saber-fazer. O cálculo mental, por exemplo,
deve ser incentivado desde as primeiras séries da educação escolar formal e no
Ensino Médio também tem o seu papel, podendo ser ampliado, por exemplo, para
a obtenção de raízes de equações sem que todo o processo seja explicitado no
quadro. Mas o fundamental é que, se estamos resolvendo uma equação, deve
ficar claro que o objetivo principal não é resolvê-la simplesmente, mas mostrar
aos alunos (e os professores devem acreditar nisto também!) que podemos
utilizá-la como parte da resolução de problemas e questões cruciais que
envolvem a interpretação crítica e possivelmente a transformação justificada do
mundo no qual vivemos, a começar por nossa escola e nossa comunidade local.
4.2.9. Desenvolver uma abordagem sistemática para a resolução
de problemas
Finalmente, o objetivo “Desenvolver uma aproximação sistemática para a
resolução de problemas” surge como nossa meta preferencial e, portanto, deve
ser claramente descrita na proposta que pretendemos defender.
Várias orientações curriculares mundiais preveem a resolução de
problemas como metodologia ou procedimento para tornarem o ensino de
Matemática mais investigativo e menos mecanizado. Stacey (2005) faz um estudo
comparativo sobre o papel da resolução de problemas nos documentos
curriculares oficiais da Austrália, Reino Unido, Estados Unidos e Cingapura. O
autor enfatiza que, desde 1990, os currículos australianos e do Reino Unido são
orientados por metas a serem atingidas. Em 1994, a publicação do “National
Profile”, pelo Australian Education Council, dividiu o currículo da Austrália em seis
blocos, sendo cinco relativos à divisão do conteúdo (número, álgebra, espaço,
medidas, probabilidade e dados
42
) e um bloco procedimental, intitulado
42
Number, algebra, space, measurement, chance and data.
180
“trabalhando matematicamente
43
”. Neste bloco procedimental que, notadamente
por sua função dentro do currículo já se distingue dos demais, aparece a
novidade de incluir nas metas e objetivos as atitudes e procedimentos dos alunos,
como a sua confiança de aplicar a Matemática em situações diversas, a
persistência, a criatividade e a capacidade de trabalhar cooperativamente e de
forma independente. Por sua vez, este bloco procedimental é dividido em outros
seis subgrupos, cabendo a um deles o espaço reservado à resolução de
problemas: investigando, conjecturando, usando estratégias para resolver
problemas, aplicando e verificando, usando a linguagem matemática e
trabalhando no contexto (Ibid, p. 343).
Nos Estados Unidos, os “Principles and Standards for School Mathematics”
publicados, em 2000, pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
orientam a estrutura curricular da Matemática escolar naquele país. Assim como o
currículo australiano, o estadunidense também possui cinco blocos referentes à
estrutura dos conteúdos matemáticos, porém distingue-se do australiano por
possuir outras cinco normas processuais específicas: resolução de problemas,
argumentação e prova, comunicação, conexões e representação. Diferentemente
do “National Profile”, os “Standards” promovem a resolução de problemas à
condição de um processo com várias vertentes e possibilidades (Ibid, p. 344).
Já os documentos curriculares do Reino Unido são organizados em quatro
blocos, sendo três referentes aos conteúdos (número e Álgebra; forma, espaço e
medidas; manuseio de dados
44
) e um quarto bloco chamado de “utilização e
aplicação da Matemática
45
”, que é subdividido em três componentes: resolução
de problemas, comunicando e argumentando. Similar aos “Standards”
estadunidense, a resolução de problemas é um elemento do currículo, em vez de
objetivo subjacente a ele.
Nos três casos estudados por Stacey, a importância das situações-
problema e os caminhos que levam à elucidação destas conjecturas matemáticas
são classificados ou relacionados em subgrupos que fazem parte de um bloco
procedimental ou processual.
43
Working Mathematically.
44
Number and algebra; Shape, space and measures; Handling data.
45
Using and applying mathematics.
181
O papel da resolução de problemas nas orientações curriculares de
Cingapura é claramente diferente, pois o objetivo central do projeto curricular
cingapurense é permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de resolver
problemas matemáticos através da inter-relação entre cinco componentes que
serão aperfeiçoados com o propósito de alcançar a meta central estabelecida. A
figura a seguir mostra como o currículo cingapurense estabelece a resolução de
problemas como fim essencial da Educação Matemática nas escolas:
Fonte: Stacey (2005, p. 345).
Também defendemos um currículo de Matemática centrado na resolução
de problemas e não como mero coadjuvante ou como simples estratégia ou
metodologia para auxiliar o ensino, mas como protagonista de um processo que
deve privilegiar a criatividade, a autonomia e o trabalho cooperativo. Muito além
das propostas cartesianas de Pólya, em que o enfoque é o produto, pensamos
que a preocupação primordial esteja localizada no processo que envolve a
resolução de problemas.
Em um currículo crítico, podemos questionar: Qual a origem e a finalidade
do problema escolhido? Possui relação com a realidade social, cultural,
Atitudes
Metacognição
Habilidades
Processos
Conceitos
Apreço
Interesse
Confiança
Perseverança
Checar sua
própria opinião
Competências cognitivas
Heurísticas
Estimação
Aproximação
Cálculo Mental
Comunicação
Uso de ferramentas
Manipulação aritmética
Manipulação algébrica
Manuseio de dados
Resolução de
Problemas
Matemáticos
Numérico, Geométrico, Algébrico, Estatístico
182
econômica da comunidade para o qual é proposto? Motiva discussões sobre
como pôr em prática determinada técnica (muitas vezes relacionada com
aplicações profissionais) ou também discute a finalidade das próprias técnicas?
Promove a máxima do “melhor resultado no menor tempo”, reproduzindo os ideais
de organizações empresariais ou estimula o refletir e a criatividade, ainda que
para isto necessite de demorada ponderação? Para D’Ambrosio (2007):
Our aim, as educators, is not to give continuity to this kind of
World: to prepare for War, to protect ourselves from fellow human
beings, to increase the accumulation of our gains at the expense
of decreasing the natural resources. I don’t see my mission as an
educator to prepare new generations of docile citizens that
continue to accept and behave in this pattern. I want the new
generations to be creative and finding ways to Peace in all its
dimensions: Military, Social, Environmental. They need creativity to
propose the new and not to be good reproducers of the old
46
(p.
516).
O autor propõe uma nova forma de pensar e resolução de problemas,
compreendendo algumas transições conceituais: (1) do problema determinado
aos problemas identificados; (2) do trabalho individual ou trabalho cooperativo; (3)
de problemas com solução única aos problemas abertos e (4) das soluções
exatas às soluções aproximadas (Id., Ibid., p. 517). Acreditamos que esta
concepção possa ser bem compreendida se adaptarmos os estudos de Ponte
sobre Investigações Matemáticas, mas modificando seu enfoque principal. Ao
invés de pensarmos na proposta de situações abertas para reprodução do
trabalho do matemático dentro da sala de aula, podemos situar estas sugestões
dentro de um contexto sociocultural que promova um rompimento das tradicionais
propostas e produza reflexões que levem à interpretação variada e coletiva em
busca de soluções criativas que possam transformar nossa realidade.
Talvez devamos nos preocupar mais em ouvir nossos alunos ao invés de
estabelecermos critérios de como resolver problemas para ensiná-los e orientá-
los nesta tarefa. Problemas podem ser compreendidos, entretanto, sua solução
depende da criatividade e esta criatividade é intrínseca ao ser humano, não pode
46
O nosso objetivo, como educadores, não é o de dar continuidade a este tipo de Mundo: a preparar para a
guerra, nos proteger dos demais seres humanos, para aumentar a acumulação de nossos ganhos em
detrimento da diminuição dos recursos naturais. Não vejo a minha missão como educador para preparar
novas gerações de dóceis cidadãos que continuam a aceitar e agir neste padrão. Quero que as novas gerações
sejam criativas e encontrem caminhos para a Paz em todas as suas dimensões: Militar, Social, Ambiental.
Elas precisam de criatividade para propor o novo, e não serem bons reprodutores do velho.
183
ser ensinada como um compêndio, mas deve ser estimulada e o docente tem
papel crucial ao criar um ambiente propício para a sua manifestação. A
experimentação, o erro, a imaginação, o improviso e o imponderável têm um peso
neste “novo” conceito para resolução de problemas.
What we may need is a sort of reconceptualization of the idea of
Problem Solving. Instead of focalizing guidelines to solve
problems, more attention must be given to the teacher-student
relations. To give voice to the student when faced with a
challenging situation and to listen becomes more important than to
teach students how to solve problems
47
(D’Ambrosio, Ibid., p. 518).
4.3. Conclusões parciais
Fizemos um grande percurso em busca de objetivos que pudessem definir
um currículo de Matemática. É claro que buscamos uma aproximação, pois não
temos a intenção de enunciar um conceito tão complexo e de influências diversas.
Buscamos reflexões de alguns autores e aprofundamos uma discussão sobre
uma série de fins para o ensino de Matemática, relacionados por professores com
formação matemática e pertencentes a países distintos, durante o Segundo
Estudo Internacional de Matemática (SIMS). Reconhecemos que esse foi apenas
um caminho de vários que poderíamos seguir. Uma alternativa, por exemplo,
seria enunciar nossos próprios objetivos em busca de um currículo crítico de
Matemática, carregado pelo aporte teórico que já enunciamos anteriormente,
porém ignoraríamos um aspecto fundamental: a voz do professor que atua em
sala de aula e seu pensamento sobre o ensino de Matemática. É certo que o
estudo apresentado por Burstein (1992, apud BROWN, 1999) não é recente, mas
será que tal estudo constituir-se-ia muito diferente se repetíssemos esta pesquisa
nos dias atuais? Achamos que as mudanças, caso existissem, seriam poucas,
mas cabe uma pesquisa específica a este respeito. Talvez, continuando esse
exercício de elucubrações, já fizemos as adaptações necessárias ao nosso
tempo, quando refletimos atentamente sobre cada objetivo proposto,
relacionando-os com novas tecnologias, investigações matemáticas,
contextualização, cotidiano, modelagem matemática, etc. O importante é que
47
O que nós precisamos é de uma espécie de reconceitualização da ideia de resolução de problemas. Em vez
de focalizarmos diretrizes para resolver problemas, há que dar mais atenção às relações professor-aluno. Dar
voz aos alunos quando confrontados com uma situação desafiadora e ouví-los torna-se mais importante que
ensinar os alunos a resolver problemas.
184
pudemos nos aproximar de uma explicação ou teorização de um aspecto
fundamental do ensino de Matemática: o que é e quais são os objetivos de um
currículo de Matemática?
Vimos e concordamos com Grundy (1987 apud SACRISTÁN, 2000) que
currículo é uma construção cultural. Também corroboramos com Bernstein (1980
apud SACRISTÁN, 2000) para quem currículo define o que se considera o
conhecimento válido. Estas afirmações ganham força com as considerações de
Sacristán (2000), para o qual o currículo é um projeto seletivo de cultura,
cultural, social, política e administrativamente condicionado. Construção,
consideração e projeto seletivo envolvem escolhas que devem ser realizadas
mutuamente, entre educadores (teóricos, elaboradores de currículo, professores,
dirigentes escolares) e comunidade (alunos, pais de alunos, funcionários das
escolas, habitantes que residem no entorno da instituição escolar).
Em um currículo crítico, essas escolhas devem ter o rigor suficiente para
problematizar práticas não-escolares, pressupondo uma ideia de currículo escolar
“como vivência atual e situada de experiências de problematização de práticas
socioculturais extra-escolares” (MIGUEL, 2008, p. 12). Aliás, a problematização,
em nossa opinião, implica uma nova concepção de resolução de problemas para
a Educação Matemática, assim como D’Ambrosio (2007) sugeriu.
Os objetivos que priorizamos em uma postura contemporânea, ou melhor,
pós-moderna de compreensão e análise dos fins do ensino de Matemática foram:
Desenvolver uma atitude de investigação; Desenvolver a consciência sobre a
importância da Matemática no cotidiano; Desenvolver a consciência sobre a
importância da Matemática nas ciências básicas e aplicadas; Desenvolver uma
aproximação sistemática para a resolução de problemas. Isto não significa que os
outros objetivos devam ser omitidos, mas muito provavelmente reexaminados e
readaptados para um novo contexto que valoriza os conhecimentos populares ou
cotidianos e não apenas os conhecimentos ditos científicos e escolares.
Entretanto, não podemos ignorar que o conhecimento matemático, dito
científico, ainda que não conduza a nenhuma prática imediata nem a uma
transformação social, também deve ser valorizado e deve ter espaço garantido
em um Currículo de Matemática que propõe a valorização de todo a espécie de
saberes. A contextualização, neste caso, se justifica pela imensa gama de
interconexões que podemos realizar ao ensinarmos que a Matemática é um
185
campo de estudo com várias imbricações e não formada por compartimentos
estanques. Sua história, valorizando aspectos culturais, sociais, políticos e
econômicos, pode também conduzir a transformações, compreendendo que os
conteúdos ensinados foram constituídos para um determinado fim e buscando um
entendimento de qual seria este objetivo nos dias atuais.
Concluindo, assumimos a postura de Knijnik (2004) para que possamos
estabelecer proporções apropriadas de doses compostas por saberes populares e
por saberes acadêmicos ou científicos:
Na perspectiva etnomatemática que assumo, não há, no entanto,
um relativismo exacerbado, uma visão ingênua da potencialidade
de tais saberes populares no processo pedagógico, o que poderia
conduzir a uma glorificação dos saberes populares com a
consequente guetização dos grupos subordinados. Ao contrário,
no processo educativo as inter-relações entre os saberes
populares e os acadêmicos foram qualificadas, possibilitando que
os adultos e jovens que dele participaram, concomitantemente
compreendessem de modo mais aprofundado sua própria cultura
e tivessem também acesso à produção científica e tecnológica
contemporânea (p. 232).
Novamente, constatamos a necessidade de buscar saberes acadêmicos,
nas palavras de Knijnik, e não somente promover um currículo crítico de
Matemática, segundo Skovsmose. Concluímos que esse conhecimento da ciência
de referência deve representar uma dimensão importante e pode ser única, pois
representa uma produção científica e tecnológica contemporânea, fruto de uma
cultura, é verdade, mas que deve proporcionar a oportunidade de todos
conhecerem-na e compartilhá-la.
No próximo capítulo proporemos alguns critérios que, por mais
abrangentes que possam ser considerados, nos levam a atingir os objetivos
pretendidos por esta pesquisa. Mas, desde já, fica claro que não existem
conteúdos mágicos que deem conta, talvez como até acredite Bishop, de
compatibilizar a universalização do ensino de Matemática e produzir um currículo
que respeite aspectos culturais de todos os grupos sociais existentes.
186
C A P Í T U L O 5
CRITÉRIOS PARA ESCOLHA E ORGANIZAÇÃO DE
CONTEÚDOS MATEMÁTICOS NO ENSINO MÉDIO
5. CRITÉRIOS PARA ESCOLHA E ORGANIZAÇÃO DE
Neste capítulo, pretendemos relacionar ou refletir sobre quatro R’s
mencionados por Doll Jr (1997) – riqueza, recursão, relações e rigor – em
contrapartida aos três R’s propostos pela sociedade estadunidense – reading,
writing, arithmetic – motivados pela supervalorização da sociedade industrial no
final do século XIX e entrada do século XX.
Sabemos que, embora cite alguns exemplos, Doll Jr (Ibid.) faz poucas
referências a como imagina seus critérios aplicados ao ensino de Matemática.
Pretendemos, portanto, nos apropriar desses critérios, fazendo as adaptações
necessárias para a construção de um currículo de Matemática.
Além disso, propomos outros quatro critérios, inspirados pelas reflexões
feitas até aqui e influenciados, em boa parte, pelas ponderações feitas por
Skovsmose sobre Educação Matemática Crítica. Esses critérios são: reflexão,
realidade, responsabilidade e ressignificação.
Esses oito critérios foram divididos em dois grandes blocos, sendo o
primeiro deles relacionado à seleção dos conteúdos – riqueza, reflexão, realidade
e responsabilidade – e o segundo referente à organização curricular – recursão,
relações, rigor e ressignificação.
Embora alguns desses critérios pudessem apresentar tanto caráter seletivo
quanto organizacional, fizemos essa opção levando em conta as principais
característica de cada um.
A seguir, apresentaremos nosso conceito sobre cada bloco, detalhando
cada critério e as respectivas contribuições de cada um para nossa pesquisa.
5.1. Critérios predominantemente seletivos
Buscar critérios para seleção de conteúdos matemáticos no Ensino Médio
é um dos principais objetivos dessa pesquisa. Portanto, após várias contribuições
teóricas e reflexões a respeito do que compreendemos ser um currículo crítico e
187
pós-moderno, enunciaremos respostas às questões: como selecionar? O que
selecionar?
A primeira questão pode ser respondida a partir de uma reflexão profunda
sobre quatro características que consideramos preponderantes ao elaborarmos
currículos de Matemática: deve ser rico; deve ser refletido e, ao mesmo tempo,
provocar reflexões significativas; deve estar ligado à realidade; deve ser
desenvolvido e colocado em prática com responsabilidade.
Já a resposta à segunda questão torna-se decorrência imediata da
ponderação sobre esses quatro critérios mencionados que serão detalhados a
seguir.
5.1.1. Riqueza
Doll Jr. (1997) se refere ao seu critério “riqueza” manifestando a
profundidade e, ao mesmo tempo, abertura que uma proposta curricular deve ter
e as negociações feitas entre professores e alunos:
Este termo [riqueza] se refere à profundidade do currículo, a suas
camadas de significado, a suas múltiplas possibilidades ou
interpretações. Para que os alunos e professores transformem e
sejam transformados, um currículo precisa ter a “quantidade certa”
de indeterminância, anomalia, ineficiência, caos, desequilíbrio,
dissipação, experiência vivida (p. 192).
O autor também menciona que a riqueza de um currículo está intimamente
ligada às “problemáticas, perturbações e possibilidades” (Ibid., p. 192-193)
inerentes a ele. Parece-nos que esta posição caracteriza uma negação à ideia de
currículo como uma camisa de força que limita as possibilidades de criação e
combinação dos temas.
Ao buscarmos critérios, estamos norteando, dirigindo a imensa gama de
possibilidades para uma adaptação a cada situação e não descartando
conteúdos, a priori, sem uma ponderação sobre as potencialidades de adequação
do mesmo às múltiplas práticas escolares possíveis, incluindo projetos que
atendam à especificidade e à demanda de determinada comunidade. Dessa
maneira, interpretamos que a expressão “quantidade certa”, mencionada por Doll
Jr., refere-se à necessidade de estabelecer proporções apropriadas entre a
Matemática Crítica e uma Matemática que não dependa exclusivamente de
188
questões ligadas à aplicabilidade para ganhar uma importância maior, ou seja,
devemos dosar projetos que utilizem os conteúdos matemáticos como
ferramentas de resolução de problemas ligados à realidade social, mas, ao
mesmo tempo, devemos valorizar os conteúdos puramente matemáticos, que
despertem nos alunos o interesse por investigar, de maneira teórica, a ciência
Matemática, similarmente ao trabalho dos próprios matemáticos que, contrário ao
que os estudantes possam imaginar, são extremamente criativos em busca de
novas construções que conduzam a novas teorias.
A dose de “indeterminância, anomalia, ineficiência, caos, desequilíbrio,
dissipação, experiência vivida”, citada por Doll Jr., possui duas dimensões, ao
nosso ver, quando pensamos nos currículos de Matemática: uma vinculada com a
aplicabilidade crítica da Matemática e outra relacionada à própria ciência de
referência.
Na primeira dimensão, ligada à aplicabilidade crítica da Matemática, os
conteúdos estariam a serviço da problemática envolvida para solucionar
determinada questão. Portanto, não poderiam ser selecionados antes da própria
determinação das situações que seriam estudadas. E mais, durante o processo
de resolução, outros conteúdos poderiam ser abordados ou deixados de lado,
desde que fique clara a aplicabilidade ou não dos mesmos. Nessa dimensão, o
termo “crítico” que utilizamos refere-se às características que Skovsmose (2001a)
descreveu ao definir um currículo crítico.
Na segunda dimensão, como está ligada diretamente à ciência de
referência, os conteúdos, temas e eixos podem ser escolhidos de tal maneira que
apresentem a Matemática por completo, ou seja, a riqueza da própria Matemática,
em toda a sua pluralidade, relações entre seus vários campos de pesquisa,
falibilidade e aberta a novas construções. Portanto, não seria contraditório com
aquilo que descrevemos até aqui, escolher conteúdos universais, pois o objetivo
seria mostrar o sentido da ciência de referência nas ligações existentes entre os
diversos conteúdos matemáticos apresentados. Mas onde estaria a
indeterminância, a anomalia, a ineficiência, o caos, o desequilíbrio, a dissipação e
a experiência vivida, mencionados por Doll Jr.? Mesmo determinando eixos
universais, caberia a cada escola e, mais especificamente, a cada professor de
Matemática, escolher a profundidade com que abordaria e apresentaria a ciência
Matemática aos seus alunos.
189
Exemplificando como o critério “riqueza” poderia emergir nas diversas
disciplinas, Doll Jr. (Ibid.) refere-se à Matemática abordando somente a questão
da exploração e busca por padrões, utilizando os computadores como
possibilidade para atingir esse objetivo:
A Matemática – um assunto em que a aritmética computacional
desempenha apenas um pequeno papel – adquire sua forma de
riqueza ao “brincar com padrões”. Obviamente, isso pode ser feito
par excellence com os computadores – instrumentos que qualquer
currículo matematicamente rico deveria possuir – mas os
computadores não são uma condição sine qua non. Podemos ver
padrões, desenvolvê-los e brincar com eles em simples
combinações numéricas (como nas séries de Fibonacci) ou na
geometria euclidiana ou fractal. Separar um quadrado em
triângulos retos é um exemplo do primeiro; o triângulo de
Sierpinski é um exemplo do último. Em todos os níveis, do jardim
de infância à Universidade, a Matemática pode ser tratada
significativamente como “brincar com padrões” (p. 193).
Além do estudo de padrões, acreditamos que esse critério pode ser
explorado no caráter invertível de números, funções e matrizes, por exemplo,
produzindo analogias e analisando as consequências deste fato para enunciar
propriedades, conjecturas que podem ou não se tornar teoremas.
A simetria também poderia ser tratada como um bloco que não ficaria
reduzido simplesmente à Geometria, mas, por exemplo, no estudo de matrizes
quadradas e no cálculo de determinantes. A própria relação de simetria existente
entre o gráfico de determinada função e a relação inversa existente entre elas já
produz uma riqueza de interconexões dos conteúdos que justificaria, em parte,
sua importância para o ensino. Por exemplo, as funções exponenciais e
logarítmicas que são inversas e, cujos gráficos, são simétricos em relação ao eixo
das bissetrizes dos quadrantes ímpares.
Ainda abordando esse critério, os teoremas podem representar uma fonte
que explorará a riqueza de suas formulações. As diferenças existentes entre as
linguagens proposicionais "... e ...", "... ou ...", "não...", "se ... então ...", "... se, e
somente se, ...", "... sempre que ...", "... equivalente a ...", "... portanto ...", podem
ser estudadas e esmiuçadas. É interessante notar que, em alguns casos, parece
haver um vício ao explorar o teorema enunciado na forma “... se, e somente se,
...” em apenas um sentido, como já abordamos, no início do capítulo dois, sobre a
190
insistência de abordar o Teorema de Pitágoras no sentido em que, justamente,
não é o historicamente mais importante.
Outra dimensão do quão rico um currículo pode ser está relacionada à
prática do professor em sala de aula. Em uma metodologia de investigação
matemática, como já vimos, a abertura de possibilidades de trabalho que o
professor possui ao realizar esse procedimento e a enorme quantidade de
possíveis respostas que os alunos podem produzir, geram uma grandiosa rede de
possibilidades para construir uma prática enriquecedora que, ao nosso ver,
também compõe um currículo que atende ao critério “riqueza”.
5.1.2. Reflexão
A reflexão pretende integrar ao Currículo de Matemática a ideia de que o
trabalho matemático possui várias dimensões, além da simples inferência do
trabalho purista do matemático e da conclusão de que a Matemática é uma
ciência aberta e não possui nem possuirá, como Gödel demonstrou, resposta
para todas as questões que ainda não foram respondidas. Talvez Ponte, Brocado
e Oliveira (2005) tenham trazido essa reflexão na dimensão puramente
matemática para a sala de aula, fazendo com que os alunos refletissem e
trabalhassem de maneira semelhante aos pesquisadores matemáticos, porém
falta uma dimensão essencial: refletir sobre o papel social da Matemática como
transformadora da sociedade em que vivemos ou que buscamos viver.
Os trabalhos de Etnomatemática podem representar uma alternativa ao
trazerem reflexões como essas, aplicadas a contextos específicos e, geralmente,
promovidos em comunidades que representam minorias excluídas. A reflexão,
portanto, seria um componente necessário para que cada comunidade pudesse
debater, a partir de problemas locais, quais os conteúdos necessários para uma
investigação profunda que possa implicar soluções ou a determinação de
caminhos para políticas públicas voltadas ao respeito ao direito do próximo.
Essa reflexão poderia ser ampla, como o tratamento do problema do
trânsito nas grandes cidades, o pagamento de impostos, a divisão do orçamento
público, o impacto do desmatamento, as diferenças em relação a salários e custo
de vida em várias regiões, determinando segregações de sexo, raça, credo,
escolaridade, etc. Também pode e deve ser local, como resolver o problema da
191
coleta seletiva de lixo de uma comunidade; verificar a otimização do serviço de
atendimento do posto público local, através do estudo do número de
atendimentos, profissionais disponíveis, exames agendados, etc.; em regiões
interioranas, verificar o impacto local na economia, no meio ambiente, no
transporte, no emprego, de grande plantações, como o caso da soja na região
Centro-Oeste do Brasil, que produzem um grande impacto na comunidade local,
visando a lucros que são divididos por poucos.
É claro que existe uma dimensão desse critério que não pode ser prevista
antecipadamente, mas algumas respostas e possibilidades surgirão da prática
escolar. A criatividade dos professores é um elemento essencial para que, a partir
de problemas locais e a reflexão sobre as diversas possibilidades de abordagem
dos mesmos, seja possível escolher os conteúdos mais apropriados.
Ao nosso ver, portanto, esse critério tem de passar por uma reflexão
coletiva para que se pense em diversificadas formas de ligações entre os nós da
rede de significados produzidas por determinado conteúdo. Quando
mencionamos “reflexão coletiva” não nos referimos a propostas centralizadoras,
mas a uma espécie de portfolio coletivo, que os professores pudessem consultar
e adaptar a experiência do colega à sua realidade.
Embora pareça um critério óbvio para escolha de conteúdos, pois um
conteúdo deveria ser ministrado a partir de uma reflexão prévia a respeito da
importância do mesmo, sabemos que nem sempre isso ocorre. Vários temas
parecem se repetir nas várias orientações curriculares oficiais e nos livros
didáticos de Matemática, ou “aparecem” ou “somem” e a justificativa se restringe
ao aspecto da limitação do tempo para justificar a exclusão de um assunto, ou à
mera aplicabilidade em um contexto específico para justificar a inclusão de um
novo tema. A reflexão que mencionamos é um processo mais profundo que deve
ouvir especialistas de várias áreas como a própria Matemática, a Educação
Matemática, a Psicologia Cognitiva, a Neurociência, entre outras, e buscar uma
justificativa consensual sobre a importância de determinado assunto e os
períodos mais adequados, dentre os doze anos da Educação Básica, para
realizar a abordagem desse conteúdo.
192
5.1.3. Realidade
Sem dúvida, essas reflexões se relacionam a outro critério que
mencionamos: a realidade. A realidade, a qual nos referimos, possui também
diferentes dimensões, pois está inserida dentro dos contextos culturais, sociais,
econômicos, entre outros fatores, nos quais a comunidade está inserida. Cada
problema refletido localmente traça um mapa da realidade de determinado grupo
social. Esses problemas podem ser modelados e resolvidos, não no sentido de
buscar uma solução única e bem determinada matematicamente, mas criando
alternativas, possibilidades, dentro do que é possível e, principalmente, utilizando
o bom senso e o interesse dos envolvidos em prol daqueles que quase nunca são
ouvidos. Parece-nos que a Modelagem Matemática é uma proposta que sugere
aquilo que pretendemos, porém em uma dimensão novamente diferente da qual
pretendemos. A modelagem busca a matematização de problemas reais,
utilizando conteúdos matemáticos na “prática”. Nossa intenção é modelar
problemas sociais, de interesse das comunidades locais ou de uma nação inteira.
É claro que isso, em boa parte das vezes, é um desafio complexo e que envolve
discussões mais profundas que vão além do campo da Matemática, mas isso
pode ser uma virtude e não um defeito.
Nos livros didáticos de Matemática encontramos exemplos de problemas
que procuram manifestar uma suposta praticidade na utilização de conceitos para
resolver questões “reais”. Skovsmose (2007) menciona a expressão “realidade
virtual” creditada a Christiansen (1994, 1997) para caracterizar exercícios
propostos que, embora utilizem aplicações onde realmente a Matemática está
compreendida – como cálculos de preços, áreas, porcentagens, velocidade
média, etc. – essas informações aparecem de maneira artificial, com dados
inventados ou manipulados de maneira a facilitar os cálculos ou, até mesmo,
facilitar o trabalho de professor, pois os remove da zona de risco trazendo-os para
a aprazível zona de conforto
48
, para que os números não causem complicações
que demandarão maior tempo e esforço.
Evidentemente acreditamos que problemas com dados criados e, inclusive,
exercícios, também têm papel fundamental no ensino de Matemática, porém deve
ficar claro ao aluno e ao professor o objetivo a que se presta cada atividade
48
Para detalhes sobre a noção de zona de risco e zona de conforto, ver Penteado e Skovsmose (2008).
193
mencionada e que, modelizar um problema real requer, na maioria das vezes,
lidar com dados e conceitos bem mais complexos.
A realidade parece ser o critério que enfatiza mais fortemente questões
ligadas à aplicabilidade. Sem dúvida, a prioridade, nesse caso, é dos projetos
interdisciplinares e não dos conteúdos em si. A partir dos planejamentos de ações
locais, os professores buscariam conteúdos para dar conta de resolver um
problema específico. Portanto, sob esse prisma, a importância de determinado
assunto estaria, necessariamente, vinculada às necessidades locais. Porém,
como acreditamos ser possível estabelecer uma agenda de necessidades e
problemas globais a serem resolvidos, seria possível, conjuntamente, construir
um rol de projetos relacionados a questões ambientais e de sustentabilidade, para
citar apenas dois.
Fica clara a necessidade de projetos que transpassariam várias disciplinas,
talvez inspirando-se no princípio da relevância dos tópicos, pesquisado por
Hargreaves et al. (2002), já citado nessa tese. Aliás, essa ideia não é nova e já foi
implementada no Brasil, pelo menos no papel, como a proposta de seis temas
transversais (ética, orientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural,
trabalho e consumo), publicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais, em 1998,
ou a proposta conhecida como “Movimento de Reorientação Curricular”,
desenvolvida pela Secretaria Municipal de Educação de São Paulo, no período de
1989 a 1992, que optou por “temas geradores” para desenvolver projetos
interdisciplinares. Esses temas (transporte, moradia, saúde, saneamento básico,
trabalho, lazer e convivência) foram escolhidos pelas escolas, buscando
responder questões como: que conteúdos são melhores, para quem? Quais as
relações existentes entre os conteúdos veiculados na escola e a realidade do
educando? Qual a relação entre a escola e a vida e a significação daquela para
esta? (PIRES, 2000, p. 52-53). Por que não deu certo é uma ótima questão a ser
analisada antes de se implementar uma nova versão de um desses documentos
oficiais, mas não é difícil saber que, conhecendo-se como as políticas públicas
são feitas no nosso país, um governo acaba desfazendo o que o anterior
construiu e isso traz grandes prejuízos quando buscamos projetos a longo prazo.
194
5.1.4. Responsabilidade
Quanto ao critério “responsabilidade”, pensamos que está ligado ao uso
dos conteúdos. Como já mencionamos nesta pesquisa, a Matemática pode ser
utilizada com vários fins e objetivos. Cabe aos elaboradores dos currículos e aos
professores utilizarem a Matemática para fins pacíficos e de promoção da
igualdade social. Por exemplo, pensarmos no ensino do que se convencionou
chamar “movimento balístico” e justificar a aplicação do estudo de gráficos de
determinadas funções quadráticas para justificar o alcance de um projétil lançado
contra um navio inimigo deve suscitar uma discussão, até interdisciplinar, sobre
questões relacionadas ao uso das ciências para fins militares. Sabemos que o
próprio ensino de Matemática no Brasil foi alicerçado no estudo e na aplicação
militar bélica. Também o ensino de Matemática Financeira poderia proporcionar a
elaboração de projetos que envolvam o debate sobre a taxa de juros e outras
variáveis econômicas que podem implicar um aumento da diferença social em
nosso país.
Embora este critério não implique, em um primeiro momento, escolha de
conteúdos, também podemos utilizá-lo para este fim. Conteúdos que se justificam
apenas para questões tecnológicas podem ser suprimidos em detrimento
daqueles que se justificam por analisarem problemas, compararem dados
relativos a diferentes realidades sociais e criarem alternativas para solução.
Inicialmente, poderíamos ressaltar que a Matemática Financeira e a Estatística
possuem uma situação privilegiada neste contexto, pois proporcionam
ferramentas que estabelecem verdadeiras alavancas para a promoção da
cidadania e um olhar crítico para o mundo em que vivemos. Mas não ficamos
presos a isso, depende da criatividade e, principalmente, no quão aguçado nosso
olhar crítico pode tornar-se ao observar as situações que nos cercam. Podemos
pensar em calcular áreas para verificar o quanto de piso deveremos comprar na
loja de materiais de construção, mas não só isso, também para calcular o quanto
de terra nativa foi devastada na Amazônia e qual a solução para esse problema.
Podemos pensar em calcular volumes para verificar a razão existente entre o
volume da esfera e o volume do cilindro circunscrito a ela, mas não só isso,
também para verificar o volume de madeira extraído ilegalmente de nossas
florestas e por quanto é vendido o metro cúbico deste material. Em poucas
195
palavras, diríamos que a Matemática não deve representar uma forma de
alienação e uma ciência totalmente descomprometida com a realidade na qual
vivemos, pelo contrário, deve servir como instrumento para mobilização social em
prol da construção de um país mais justo e igual para todos. O Movimento
Matemática Moderna pretendia, entre outros objetivos subjacentes, fornecer mão
de obra qualificada para o avanço científico e tecnológico, por que não ambicionar
a formação de cidadãos para construírem uma sociedade que proporcione
oportunidades e direitos iguais a todos?
Do ponto de vista puramente matemático, a “responsabilidade” consiste na
escolha de conteúdos que possam ser trabalhados em sua plenitude,
estabelecendo relações com outros e com eles mesmos, neste caso em níveis
mais complexos de dificuldade. Afirmarmos essa necessidade motivados pela
sensação que temos de ser a Matemática do Ensino Médio uma “história contada
pela metade” ou um filme no qual o espectador fica privado de assistir ao final.
Senão vejamos, ensinamos matrizes e determinantes, mas suprimimos todo o
restante da Álgebra Linear; ensinamos funções, mas encobrimos resultados
importantes do Cálculo Diferencial e Integral; ensinamos Geometria Euclidiana e
nem mencionamos a existência de outras Geometrias; demonstramos usando a
prova por redução ao absurdo, mas omitimos a informação que essa
demonstração está ligada apenas à lógica clássica.
Enfim, a responsabilidade de mostrar a Matemática por inteiro, sem rodeios
e sem subestimar a capacidade de nossos alunos é, não só um critério de
seleção de conteúdos, mas também um objetivo a ser alcançado na educação
média. Afinal de contas, um aluno no terceiro ano do Ensino Médio não teria
capacidade para aprender Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear, mas um
estudante no primeiro ano da Universidade passa a ter essa capacidade? É claro
que o Ensino Médio não poderia tratar, por exemplo, de todos os temas,
teoremas, definições, propriedades do Cálculo Diferencial e Integral e da Álgebra
Linear, mas aí entra a escala que já citamos, ou seja, a capacidade de sintetizar e
falar sobre um determinado assunto sem preocupações excessivas com o
detalhamento do mesmo.
Infelizmente, parece que, para alguns, seria uma transgressão tratar
desses assuntos de maneira superficial, talvez dessa concepção se origina o
currículo de Matemática segmentado que vemos hoje no Ensino Médio. Parece
196
que o pensamento atual é: “já que não é possível tratar de tudo vamos quebrá-los
em níveis diferentes e anos diferentes”.
Será que o atual currículo de Matemática no Ensino Médio possui esse
caráter de responsabilidade? Até que ponto um aluno tem a oportunidade de
conhecer “as Matemáticas” e suas ricas relações entre seus variados campos? As
construções do século passado não podem tornar-se conteúdos tratados na
Educação Básica? Quantos séculos esperaremos para que geometrias não-
euclidianas, lógicas não-euclidianas e outros temas sejam incorporados ao
currículo? Até quando ficaremos discutindo apenas sobre a inclusão de fractais
como novo conteúdo de Matemática na Educação Básica, como se fosse uma
grande revolução? Apenas disciplinas como a Biologia, História, Geografia
continuarão a tratar de assuntos da atualidade? Essas são apenas algumas
provocações para que possamos debater esse critério e não termos medo de
inovarmos e reconstruirmos um currículo de Matemática crítico e pós-moderno.
5.2. Critérios predominantemente organizacionais
Uma seleção de conteúdos variados exige uma grande atenção com a
organização curricular. Esta organização deve dar conta, não só da articulação
dos conteúdos, mas do tempo previsto para as aulas de Matemática dos três anos
do Ensino Médio. Embora, aparentemente, a escolha dos conteúdos feitas pelos
quatro critérios enunciados anteriormente possa nos levar a um grande número
de assuntos a serem tratados, quando comparado às propostas tradicionais, a
profundidade de tratamento dos mesmos pode ser uma chave para que o tempo
trabalhe a favor dos professores em sala de aula.
A estrutura organizacional do currículo de Matemática para o Ensino Médio
deve estar firmada na concepção de rede. Entretanto, é importante citar que isso
não implica escolhas aleatórias de conteúdos, sem a devida análise sobre a
necessidade de utilização de um determinado conceito quando outro for tratado.
Assim, por exemplo, temas como o Cálculo Diferencial e Integral podem introduzir
diversos conteúdos, como o estudo dos gráficos de funções de uma ou duas
variáveis. É claro que existem alguns elos de ligação que serviriam como
articuladores de vários eixos e temas. Julgamos que o mais consistente deles é o
conceito de função, pois permearia vários assuntos, assim como as
197
representações gráficas bidimensionais e tridimensionais também poderiam servir
como vínculos consistentes.
Refletiremos, a partir daqui, sobre quatro critérios que resumem nosso
ponto de vista com relação aos principais fatores relativos à organização de
currículos de Matemática para o Ensino Médio. São eles: recursão, relações, rigor
e ressignificação.
5.2.1. Recursão
Para apresentar o critério “recursão”, Doll Jr. (Ibid.) utiliza, novamente, uma
analogia com a computação e associada à iteração:
Recursão – Derivada de recorrer, ocorrer novamente, a recursão é
normalmente associada à operação matemática da iteração. Na
iteração uma fórmula é “aplicada” repetidamente, com o resultado
de uma equação sendo o input para a próxima. Em y = 3x + 1, um
y de 4 (se o x = 1) torna-se o próximo x, e o novo y de 13 torna-se
o próximo x, e assim por diante. Nessas iterações, existe tanto
estabilidade quanto mudança; a fórmula permanece a mesma, as
variáveis mudam (de maneira ordenada, mas muitas vezes
impredizível) (p. 194).
Entendemos que o exemplo mencionado pelo autor não é o mais adequado
para refletir a riqueza que surge a partir do desenvolvimento de métodos
recursivos. Vários algoritmos são intensamente utilizados pelos alunos e a
possibilidade de transformá-los em uma linguagem computacional poderia
representar uma alternativa para as práticas escolares. Entre esses algoritmos
poderíamos citar alguns: verificar se um determinado número inteiro é primo,
relacionar quais e quantos são os divisores de um número, apresentar um número
natural como produto de fatores primos (realizar a fatoração), etc.
Sem dúvida, o estudo, a busca e a criação de processos de recursão faz
com que a Matemática ofereça uma linguagem que torna possível ao computador,
por exemplo, realizar uma série de instruções recorrentes que, seguindo uma
ordem lógica e padronizada por linguagens de programação específicas, produz
um novo mundo ao qual temos acesso como simples usuários, muitas vezes sem
imaginar o que há por detrás de um sítio na internet ou um programa gráfico que
corrige fotos digitais, por exemplo. Constatar como a linguagem matemática é
poderosa para produzir algoritmos computacionais pode representar uma
198
excelente forma de reconhecimento da necessidade de um rigor de linguagem
muito mais convincente do que utilizar esse rigor simplesmente como estratégia
para demonstrar um teorema, por exemplo.
A utilização de softwares, como planilhas eletrônicas, oferece uma
infinidade de recursos para explorar a iteração. Outros, como o Logo, trabalham a
característica de instruções recursivas na construção de polígonos através da
utilização de propriedades geométricas e comandos específicos do programa, por
exemplo.
Voltando nosso olhar para características organizacionais dos currículos
recursivos, podemos relacionar o pensamento de Doll Jr. (Ibid.) com as ideias de
currículo em rede, a qual já nos referimos, nessa tese, nos tópicos 3.4.5 e 3.4.6.
Quando o autor cita que, em um currículo que valoriza a recursão, “não existe
nenhum início ou final fixo” (p. 194) parece corroborar as propriedades
enunciadas por Lévy ao tratar do hipertexto e, por conseguinte, a ideia de
currículo em rede. Portanto, conteúdos que proporcionam uma relação ampla com
vários outros conteúdos tendem a se destacarem dos demais.
No aspecto metodológico, esse critério também traz repercussões, ao
constatarmos a distinção patente que Doll Jr. (Ibid.) destaca entre as palavras
“recursão” e “repetição”:
A diferença funcional entre a repetição e a recursão está no papel
que a reflexão desempenha em cada uma. Na repetição, a
reflexão desempenha um papel negativo; ela interrompe o
processo. Existe uma certa automaticidade na repetição que
mantém o mesmo processo em andamento – de novo e de novo e
de novo, como nos exercícios de Aritmética com a apresentação
de cartões ou nos exercícios de tênis com uma máquina que
arremessa bolas. Na recursão, a reflexão desempenha um papel
positivo; para que os pensamentos se conectem com eles
mesmos, como na experiência secundária de Dewey refletindo
sobre a experiência primária, ou na inteligência reflexiva de Piaget
refletindo sobre a inteligência prática, é necessário, como disse
Bruner, que recuemos naquilo que estamos fazendo, que “nos
distanciemos de alguma maneira” dos nossos próprios
pensamentos (p. 195).
Podemos aproveitar a analogia feita pelo autor relacionando exercícios
com repetição e estendendo-a para estabelecer uma convergência entre recursão
e a necessária reflexão subjacente a esse processo, bem como a resolução de
199
problemas. No entanto, cabe apontar que discordamos da posição de Doll Jr.
quando se refere à repetição como desempenhando um papel negativo e
interrompendo o processo. No ensino de Matemática, assim como no aprendizado
de uma nova língua, a repetição tem um papel importante e os exercícios, ainda
que repetitivos na estratégia de resolução, desempenham função primordial para
aprimorar o rol de conhecimentos e, porque não dizer, técnicas. É claro que a
dose de repetição deve ser muito bem planejada e nunca exagerada, pois não
acreditamos em “fixação” de conhecimentos. Já a resolução de problemas, por
não possuir estratégia ou técnica de resolução conhecida, a priori, proporciona a
possibilidade de uma reflexão ampla, distanciada da mera aplicação de um
conteúdo específico, exigindo estratégias mais complexas e a mobilização de
diversos conceitos aprendidos anteriormente, no que concordamos com Doll Jr.
que essa metodologia implicaria o critério de recursão.
Em nossa opinião, um currículo deve contemplar, entre outras coisas, o
estabelecimento de formas e objetivos para um projeto que recupere alunos que
não atingiram um desempenho satisfatório durante determinado período de aulas.
Agora sim, neste sentido, acreditamos que a repetição desempenha papel
negativo, pois a mera reprodução de aulas e metodologias soa mais como
castigo do que como oportunidade para o aluno. O modelo de “currículo em
espiral” de Bruner (1960) parece representar uma ótima alternativa para projetos
como esse. Nessa proposta, cada conteúdo sempre será revisitado em um novo
contexto, em níveis de dificuldade crescentes. Portanto, um critério para organizar
um conjunto de conteúdos determinados em um planejamento anual, por
exemplo, seria iniciar por possíveis conteúdos que, ao serem abordados, no início
do ano letivo, pudessem ser retomados em outros temas. É claro que não
estamos defendendo a criação e cumprimento de “listas” rígidas ou grades ou,
ainda, sequências lineares de conteúdos. Defendemos a criação de diversas
possibilidades de trabalho que representariam variadas alternativas ao professor,
cabendo a ele a escolha ou criação de nova proposta refletida sob o conceito de
currículo em espiral.
200
5.2.2. Relações
O terceiro “R” dos critérios de Doll Jr. (Ibid.) tem a sua importância
caracterizada em duas dimensões: a pedagógica e a cultural. A primeira aborda
características envolvidas nas relações dentro do currículo e a segunda versa
sobre traços específicos da cultura global na qual o currículo está inserido.
Embora com qualidades distintas, o autor salienta que uma complementa a outra,
sendo fundamental a compreensão da combinação existente entre essas duas
maneiras de abordar o critério “relações” para enriquecer um currículo classificado
como pós-moderno.
Sobre as relações pedagógicas, Doll Jr. (Ibid.) reserva ao tempo um papel
de protagonista nesse processo. Essa relação “currículo-tempo” deve ser
combinada de maneira a maximizar o sucesso do processo que conduz à
aprendizagem. A palavra “maximizar”, no entanto, não pode ser interpretada da
maneira como ainda encontramos refletida na prática profissional de professores
e na atitude excessivamente pragmática de algumas instituições que privilegiam o
cumprimento do “programa” em detrimento à efetiva aprendizagem de seus
alunos. Maximizar significa aproveitar todas as oportunidades de enriquecimento
do currículo ao longo do tempo. Isso implica, entre outras coisas, sensibilidade do
professor para conhecer e reconhecer as reais necessidades dos seus alunos,
respeitando as peculiaridades e a “velocidade” na qual eles se desenvolvem de
acordo com as relações professor-alunos estabelecidas.
Por isso, o currículo não pode ser entendido como uma sequência linear de
conteúdos que devem ser cumpridos nos bimestres e anos pré-determinados e no
número de aulas previstas para dar conta de determinado tema. Isso implica a
sensibilidade do professor em escolher a escala, ou seja, a profundidade que os
conteúdos serão abordados a partir do conhecimento dos seus alunos. Aqui cabe
apontar que entendemos por “conhecimento dos alunos” muito mais que o
reconhecido através de uma avaliação diagnóstica, mas a compreensão dos
problemas, aspirações e desejos desses estudantes perante suas comunidades.
Assim, respeitando as características peculiares de cada aluno, turma ou
escola, um currículo deve ser repensado, reformulado e reavaliado
constantemente. A mudança não significa que algo deu errado e devemos buscar
novas alternativas, mas sim que estamos sensíveis ao que ocorre nas práticas
201
cotidianas, nos comentários, expressões, dúvidas e aflições de nossos alunos. A
mudança é necessária e, para isso, não existe receita pronta nem orientação
curricular seguida como coletânea de conselhos e preceitos.
Aliás, a mudança é inevitável, a questão é a qualidade dessa mudança.
Cabe ao professor, na sala de aula, e aos professores, na escola e comunidade
em que atuam, criarem estruturas curriculares que atendam às necessidades
específicas dos alunos que estão aos seus cuidados. Para Doll Jr:
As condições, situações e relações estão sempre mudando; o
presente não recria o passado (embora certamente seja
influenciado por ele), e o presente também não determina o futuro
(embora seja um influenciador). Assim, também, a estrutura
curricular operando no início do curso é inevitavelmente diferente
da estrutura curricular operando no final do curso. A questão não
é a diferença, mas o grau ou qualidade da diferença – se a
diferença é uma diferença que faz uma diferença (Ibid., p. 196).
Parece-nos que, em geral, no Brasil, caminhamos na contramão do que
apontamos até aqui, por meio da massificação do ensino, materializada no
suposto controle advindo de avaliações padronizadas nacionalmente (Enem,
Saeb, Prova Brasil, Enade, Provão, Censo Escolar, Censo da Educação Superior,
etc.) e nos livros didáticos que acabam servindo como instrumentos de
uniformização do ensino. Sobre os livros didáticos, Doll Jr. (Ibid.) expressa uma
posição interessante com a qual convergimos:
O livro didático[...] é visto como algo a ser revisado, não como
algo a ser seguido. Ele é a base a partir da qual ocorre a
transformação. Numa estrutura pós-moderna, o currículo precisa
ser criado (auto-organizado) pela comunidade da sala de aula,
não pelos autores dos livros didáticos (p. 196).
Não significa que devemos deixar os livros didáticos de lado, longe disso.
Como o próprio autor cita, poderíamos utilizá-lo como algo a ser avaliado e
criticado e modificado. Jornais, revistas e outras mídias também poderiam ser
fonte de uma consulta crítica, buscando erros, verificando inconsistências. Vemos
muitas atividades indicando a utilização de jornais e revistas como fonte para o
ensino, mas poucas sugerindo um olhar crítico sobre as informações que lá estão
e, inclusive, as imprecisões que surgem das informações publicadas.
202
Parece-nos, contudo, que a questão abordada é o papel do professor
nesse currículo preocupado com a variedade de relações existentes. Da mera
transmissão de conhecimentos, que não faz mais sentido na era da informação,
ao papel de mediador, colocando-se entre a informação e o aluno, despertando a
criação e o desenvolvimento de um senso crítico:
Como professores, não podemos, não devemos transmitir
diretamente a informação; em vez disso, desempenhamos o ato
de ensinar quando ajudamos os outros a negociar passagens
entre seus construtos e os nossos, entre os nossos e os dos
outros. É por isso que Dewey diz que ensinar é um processo
interativo com a aprendizagem sendo um subproduto dessa
interação (Id., Ibid., p. 197).
Para finalizar nossas considerações apoiadas no conceito de “relações”
para um currículo pós-moderno, segundo Doll Jr., gostaríamos de citar que esse
autor se refere a “relacionamentos culturais” para caracterizar outro fator de
distinção entre o período moderno e pós-moderno. No modernismo a relação
entre as pessoas era fundamentada no espírito competitivo e individualista.
Talvez as grandes catástrofes ecológicas ocorridas no período recente serviram
para despertar no homem a necessidade de estabelecer projetos coletivos, sob a
pena de ver a própria autodestruição da humanidade de algo não for feito
urgentemente.
Portanto, além da perspectiva local, pontual, característica, apregoada na
dimensão pedagógica, devemos ter uma consciência do quanto podemos, por
meio de nossas ações, influenciarmos o próximo, e constatarmos que algumas
questões devem ser tratadas por todos, preocupados com a sociedade e o bem
estar coletivo:
Somente agora, desde a última década, começamos a
desenvolver uma consciência cósmica e interrelacional. O desafio
deste reconhecimento é duplo: por um lado, respeitar o caráter
local das nossas percepções e, por outro, perceber que as nossas
perspectivas locais estão integradas numa matriz cultural,
ecológica e cósmica muito mais ampla. O nosso progresso e a
nossa existência – como indivíduos, como comunidades, como
uma raça, como uma espécie, como uma forma de vida –
dependem da nossa capacidade de criar uma harmonia
complementar entre essas duas perspectivas (Ib., Ibid., p. 198).
203
Achamos que essa maneira de pensar traz implicações preciosas para a
definição de um currículo centralizado ou descentralizado. Atualmente pensamos
em projetos curriculares nacionais para que sejam adaptados, e suas formulações
repensadas, regionalmente, ou seja, estabelecemos projetos globais para
incentivo da criação de propostas locais. Acreditamos que o sentido deva ser
duplo: em um sentido, projetos curriculares que nasçam localmente, com
preocupações comuns aos membros que constituem uma determinada
comunidade. A partir desses, uma orientação global pode ser articulada para
eleger as inquietações recorrentes em diversas comunidades que, estas sim,
refletiriam o pensamento e os anseios coletivos; no outro sentido, orientações
comuns, principalmente relacionadas a questões específicas da ciência de
referência são reorganizadas localmente, atendendo às especificidades de cada
escola e sala de aula. Projetos de Educação Matemática Crítica também podem
ser propostos no âmbito nacional, porém não como cartilha a ser obrigatoriamente
seguida, mas como um rol de propostas e de sugestões a serem reavaliadas e
adaptadas à realidade local.
5.2.3. Rigor
O quarto critério de Doll Jr., o rigor, é considerado por ele, de certa
maneira, como o mais importante. Interpretamos que a extensão desse critério vai
além de aspectos organizacionais do currículo, mas atinge aspectos
metodológicos, relacionados à avaliação e vinculados estreitamente com a prática
e as condições de trabalho dos docentes, como veremos.
Para Doll Jr., o rigor, em uma estrutura pós-moderna, não pode agregar
elementos de apenas um conceito histórico desenvolvido por determinada
civilização, mas uma combinação de todos esses:
O rigor iniciou, pelo menos no sentido escolástico, com o Q.E.D.
dos jesuítas – Quod Est Demonstratum (Assim é demonstrado) –
a partir do poder dedutivo de sua lógica com base aristoteliana.
Descartes rejeitou essa lógica, substituindo-a por suas ideias
“claras e distintas” – das quais nenhuma pessoa sensata poderia
duvidar, aquelas que ele recebeu de Deus, mas também aquelas
que ele “via” com o olho da mente. Portanto, o rigor passou de
uma lógica aristoteliana-euclidiana para percepções e concepções
profundamente sentidas. Os empiricistas ingleses quiseram mudar
novamente o rigor, afastando-o dos estados subjetivos, por mais
204
atraentes que fossem pessoalmente, e aproximando-o do objetivo
e do observável. Aqui o rigor entrou num mundo que podia ser
medido e manipulado. O nosso atual conceito de rigor tem
elementos de todas essas tendências – lógica escolástica,
observação científica e precisão matemática (DOLL JR., 1997, p.
198-199).
Nesse contexto, procedimentos, avaliações e resultados não devem ser
interpretados sem levar em conta o caráter de indeterminância envolvido no
processo. Para Doll Jr. (Ibid.), a indeterminância não significa desarmonia. Parece
haver uma ordem caótica, por mais paradoxal que possa parecer, que explicaria
como a influência do processo poderia causar um desequilíbrio no currículo,
seguido de um replanejamento, e um novo equilíbrio:
[...] ela (a indeterminância) leva em conta uma gama de
possibilidades a partir das quais surgem as realizações. A
realização que surge no desenvolvimento depende do próprio
processo de interação, da mistura de intedeterminância com
determinância (p. 199).
Ao nosso ver, como também constatamos no critério anterior, um currículo
deve estar aberto à especificidade de cada comunidade, cada escola. Uma
orientação curricular deve, necessariamente, ser construída para dar margem a
interpretações, não ditando regras, nem apresentando receitas. Uma proposta
curricular tem de ser sedutora o suficiente para atrair os professores a adaptarem-
na, a reescreverem-na e a reformularem-na, não representando um pedantismo
acadêmico ditado de “cima para baixo”.
Assim, o rigor também pode ser definido em termos de mistura –
da indeterminância com a interpretação. A qualidade da
interpretação, sua riqueza, depende de quão inteiramente e quão
bem nós desenvolvemos as várias alternativas apresentadas pela
indeterminância. Nesta nova estrutura para o rigor – combinar a
complexidade da indeterminância com a Hermenêutica da
interpretação – parece necessário estabelecer uma comunidade,
uma comunidade crítica mas apoiadora. Tal comunidade é,
acredito, o que Dewey achava que uma escola deveria ser (Id.,
Ibid., p. 199).
Em um currículo de Matemática, o rigor nos remete a novas ou diferentes
conceitualizações como a prova e demonstração. Em uma estrutura pós-
moderna, compreendemos que não seja possível reduzí-las apenas às
205
tradicionais demonstrações fundamentadas e firmadas nos axiomas. As
conjecturas podem e devem ser defendidas ou refutadas com o uso do
convencimento. A discussão sobre até onde a intuição ajuda e quando atrapalha
deve ser incorporada às aulas de Matemática para que os estudantes sintam a
necessidade (ou não) de firmar suas convicções em estruturas formais da
linguagem matemática.
O rigor como sinônimo de rigidez e imutabilidade já transparece nas
práticas avaliativas de muitos docentes, mensurando com precisão de centésimos
de pontos a qualidade da resposta de um aluno a uma questão. Porém, não
acreditamos no rigor dessas avaliações, muitas vezes punitivas, que podem servir
como instrumento de controle (da disciplina, por exemplo). Na proposta curricular
que acreditamos, o rigor avaliativo representaria uma necessidade, por parte do
professor, de tomar decisões, replanejar, traçar novos objetivos e repensar as
estratégias metodológicas em conjunto com alunos, coordenação e direção. Não
é possível admitir que o plano de aulas, o cronograma e os objetivos, planejados
no início do ano letivo, permaneçam imutáveis com o passar do tempo. O
planejamento inicial, tradicionalmente realizado pelas escolas, antes do início das
aulas regulares, é o menos importante, pois apenas trabalhará com hipóteses
que, na maioria das vezes, não se sustentam.
O replanejamento deve ser contínuo e, para isso, os professores devem ter
condições de trabalho adequadas, ou seja, dedicação exclusiva à determinada
escola, preferencialmente na própria comunidade em que vive. Gostaríamos de
pontuar fortemente nossa convicção: condições de trabalho adequadas para os
professores, ou seja, tempo para preparar as aulas, atender aos alunos e à
comunidade e replanejar suas ações são premissas para implementação de um
currículo que atenda aos critérios mencionados nessa tese.
5.2.4. Ressignificação
Finalmente, também pretenderemos utilizar o termo “ressignificação”
(embora saibamos que sequer existe nos dicionários de língua portuguesa) para
expressar a imensa importância que creditamos à História da Matemática como
um campo de estudo que pode fornecer grandes subsídios a organização
curricular da Matemática.
206
Seguí [200-] apresenta dez razões para utilizar a História da Matemática
nas aulas da Educação Básica. São elas: facilitar, ao professor, o uso de
materiais e recursos didáticos que podem favorecer o aprendizado de seus
alunos; descobrir o lado aprazível da Matemática que pode influir favoravelmente
na motivação dos estudantes; valorizar atitudes como esforço, trabalho e
humildade, refletidos pelos grandes matemáticos; valorizar a participação das
mulheres nesta disciplina estigmatizada como predominantemente masculina;
permitir a aprendizagem com a “ajuda” dos grandes sábios de outros tempos;
mostrar que a Matemática é uma ciência viva que muda e se aperfeiçoa com o
tempo; permitir uma visão mais humana desta ciência contribuindo para que os
alunos não se sintam frustrados pelos seus erros, pelo contrário, possam
aprender com os mesmos; verificar que é possível encontrar métodos alternativos
para resolver o mesmo problema, pois os métodos de resolução não são únicos;
contribuir ao avaliar a utilidade dessa disciplina na resolução de problemas
práticos e, por fim, mostrar que a Matemática tem papel fundamental na
construção da cultura humana. Esses e muitos outros argumentos poderiam
justificar a inserção da História da Matemática, não apenas como introdução ou
apêndice das aulas e dos textos didáticos de Matemática, mas como eixo
estrutural do curso.
Além disso, podemos justificar boa parte dos temas abordados
tradicionalmente no Ensino Médio desde que sejam bem posicionados dentro de
um contexto histórico próprio. Por exemplo, o cálculo de volumes de sólidos
geométricos poderia ser enriquecido desde que ligado à história da Matemática
na Grécia Antiga e a brilhante dedução, atribuída a Arquimedes, de que a razão
entre o volume da esfera e o volume do cilindro circunscrito era de dois para três,
por uma maneira nada convencional. Contar e refletir sobre estas e outras
histórias parece-nos um papel fundamental do professor, pois dá conta de
contemplar objetivos do ensino de Matemática em duas perspectivas distintas:
uma delas é caracterizar o papel que determinado assunto tinha quando foi criado
e contextualizá-lo atualmente. Será que ainda temos razões para ensinar e
aprender determinado tema? Se não temos, ainda assim seu ensino pode ser
justificado pelo enriquecimento de estudar uma outra cultura, situada em um outro
tempo. Outra dimensão do estudo da história é mostrar um lado “humano” da
207
Matemática, como uma construção científica, porém social, com valores
atribuídos e influências das mais variadas.
Além da importância do papel da História da Matemática, a ressignificação
assume papel fundamental para recontextualizar um tema dentro de outro
conteúdo. Assim, por exemplo, é fundamental que o professor retome o conceito
de função ao tratar da Geometria Analítica e explique a diferença conceitual entre
a equação
2
y x
=
e a função
(
)
2
f x x
=
. Embora tenham a mesma representação
gráfica, são objetos matemáticos diferentes e, no caso do gráfico de uma função,
possuem restrições que não são consideradas no caso da Geometria Analítica (a
representação gráfica da equação
2
x y
=
é um exemplo disso, ou seja, essa não é
a representação gráfica de uma função). Compreender esses diferentes contextos
e conceitos matemáticos também faz parte de um currículo que produz novos
significados e relações enriquecedoras entre variados temas abordados.
Imaginar, como acontece nas práticas tradicionais do Ensino Médio, que
um conteúdo possa ser apresentado em apenas um bimestre ou até em apenas
algumas semanas e jamais tratado novamente é uma grande ilusão se
esperamos efetivamente que o aluno aprenda. Os conteúdos devem ser
ressignificados em outros temas, produzindo grandes redes de significados e
contextualizados, dentro da própria Matemática, de maneiras diversas.
Assim, um critério importante para organizarmos os vários conteúdos é
verificar o quanto cada um pode ser explorado pelos demais ou o quanto um
grupo de conteúdos pode ser interligado por relações significativas. Se um tema
não possui interconexões com outros, podemos desconfiar de sua importância,
pelo menos quando a questão envolvida é se deve ou não ser ensinado na
Educação Básica, pois caso fosse abordado ficaria isolado e descontextualizado
dos demais.
5.3. Revisitando os critérios em busca de um núcleo matemático
comum
Após a análise dos oito critérios que buscamos para seleção e organização
de conteúdos de Matemática no Ensino Médio, concluímos que uma dimensão do
currículo deveria estar ligada aos conteúdos puramente matemáticos e que estes
poderiam constituir um núcleo comum da Matemática no nível médio de ensino.
208
Citaremos alguns conteúdos que atenderiam aos critérios mencionados,
analisando-os dentro dos eixos da Álgebra e Teoria dos Números, Álgebra Linear,
Análise, Estatística e Probabilidade, Geometria e Lógica. Esses eixos podem ser
ampliados ou reduzidos, dependendo do ponto de vista com o qual
compreendemos a Matemática do Ensino Médio.
A escolha, no entanto, foi motivada pelo fato desses eixos representarem
boa parte dos conteúdos que são tradicionalmente ensinados. Isso não significa
que somos conservadores, pelo contrário, queremos com isso deixar ainda mais
claro como o atual currículo de Matemática no Ensino Médio é: retalhado e
maçante.
5.3.1. Eixo da Álgebra e Teoria dos Números
Da Álgebra e Teoria dos Números, além da compreensão do significado
conceitual de equações, inequações e vários resultados da aritmética, o que
tradicionalmente ocorre no Ensino Fundamental, a grande característica seria
compreender como propriedades e definições tomam força quando olhamos para
estruturas algébricas como grupos, anéis e corpos.
Propriedades como associativa, comutativa, transitiva, distributiva,
existência do elemento neutro e do inverso multiplicativo parecem não gerar
grandes reflexões nos alunos. A postura dos estudantes é aceitar essas
propriedades como axiomas, pois, em geral, são apresentadas apenas quando se
referem aos conjuntos numéricos. Um dos únicos contra-exemplos mostrados no
Ensino Médio é quando o tema “operações com matrizes” é tratado e, mais
especificamente, o tópico “multiplicação de matrizes”, pois, neste caso, algumas
propriedades não são válidas, como a comutativa.
Com a abertura a novas possibilidades de apresentação de definições que,
normalmente só são apresentadas no Ensino Superior, é possível mostrar a
riqueza de exemplos e contra-exemplos que a Matemática oferece e o quanto o
rigor de suas definições pode ser fundamental para classificarmos e organizarmos
os resultados obtidos.
É óbvio que não queremos trazer o curso de Álgebra do Ensino Superior
para o Ensino Médio, pois, ainda que os assuntos sejam semelhantes, a
profundidade necessariamente é diferente, ou seja, a escala escolhida é outra.
209
A Teoria dos Números, além de sustentar algumas definições e exemplos
de estruturas algébricas, poderia relacionar-se diretamente com a ideia de
recursão, utilizando para isso algoritmos computacionais. Como os estudantes já
estão habituados nessa fase do ensino a diversos algoritmos, como para
obtenção do mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, quais e quantos
divisores têm um determinado número, qual a sua decomposição em fatores
primos, etc., poderíamos utilizar algum tipo de linguagem de programação simples
para produzir programas que fizessem esse trabalho, de maneira similar à
utilização do software “Logo” para obtenção de instruções recorrentes que
produzem desenhos geométricos.
Essa prática tem por objetivo mostrar aos alunos o poder da linguagem
matemática, sua relação com outros tipos de linguagem, como a de programação
computacional e a própria língua materna. Além disso, mostrar a limitação de uma
ou outra linguagem ao analisarmos e tentarmos verificar a validade de afirmações
como “existem infinitos números primos”, em que a linguagem computacional
nada pode fazer, mas a linguagem matemática sim, através de demonstrações
que poderiam ser exploradas em sala de aula. Em contrapartida, o exemplo do
“Teorema das quatro cores”, ao qual já nos referimos nessa tese, poderia
demonstrar o quanto os recursos computacionais são bem-vindos e podem
produzir novas concepções sobre o que é uma demonstração matemática.
A ressignificação que mencionamos como um dos critérios de organização
curricular aparece no estudo da Álgebra ao mencionar e tratar os métodos de
resolução de equações de terceiro e quarto graus e como os matemáticos
demonstraram a impossibilidade de enunciar uma fórmula geral para o cálculo de
equações com grau maior que quatro. Mas, afinal, por que boa parte do programa
de Matemática do Ensino Médio fica debruçado sobre questões relativas às
equações do primeiro e segundo grau? Talvez por existir uma linearidade em
relação ao seu ensino em achar que a aprendizagem é otimizada quando se
aprende do mais simples ao mais complexo quando, na verdade, o processo e as
estratégias de resolução são as mesmas para equações de qualquer grau.
Ainda sobre a História da Matemática e a importância de tratá-la nas aulas,
nossa proposta incluiria os fatos relativos à tentativa de resolução dos três
problemas clássicos, enunciados pela escola grega sofista, já mencionados
anteriormente nessa tese. A Álgebra e o trabalho dos matemáticos no século XIX
210
possibilitaram um fim a essa discussão, mostrando a impossibilidade de realizar a
construção proposta nos problemas.
5.3.2. Eixo da Álgebra Linear
Outro tema que se apresenta completamente inacabado no Ensino Médio é
a Álgebra Linear. Matrizes são ensinadas sem qualquer motivação inicial;
determinantes são vistos com três objetivos: um recurso para resolução de
sistemas lineares (Regra de Cramer), como meio para determinar se um sistema
é possível e determinado e como procedimento a fim de verificar se uma matriz é
invertível. Já os vetores quase não são mencionados e, até bem pouco tempo
atrás, eram apenas abordados nas aulas de Física.
Sem dúvida, uma apresentação de temas incompletos como esses só faz
sentido para aqueles poucos privilegiados que retomarão e aprofundarão o
assunto em estudos posteriores. O estudo de matrizes, determinantes, vetores e
sistemas lineares é enriquecido caso seja relacionado à ideia de combinações
lineares, dependência e independência linear, espaços e bases vetoriais.
Os conceitos de grupos e corpos da Álgebra também podem ser utilizados
na definição de espaço vetorial, por exemplo. Além disso, a verificação dos oito
axiomas que definem se um conjunto não-vazio V é ou não um espaço vetorial
sobre um corpo K, representa uma outra forma dos estudantes verificarem
exemplos e contra-exemplos de aplicabilidade de certas propriedades algébricas
sobre variados conjuntos, não só os numéricos. Novamente reiteramos nossa
posição cuidadosa de definir esses conceitos matemáticos apenas a título de
ilustração aos alunos e verificar alguns casos em que a os axiomas são válidos e,
em outros, alguns deles não são satisfeitos. Não cabe entrar em detalhes
rigorosos de demonstrações ou casos muito específicos, pois não queremos
reinventar o Movimento Matemática Moderna!
Outro conceito que poderia ser tratado, caso houvesse tempo e os
professores achassem conveniente, seria o de Transformações Lineares, pois
trata-se de mais um tipo de função, corroborando nossa afirmação sobre o papel
da função como protagonista dentre os conteúdos matemáticos do Ensino Médio.
5.3.3. Eixo da Análise
211
A Análise aborda o assunto que achamos ser o mais importante no Ensino
Médio: o conceito de função. Infelizmente, as funções são tratadas e ordenadas
de maneira a segmentar um conceito em vários casos a serem estudados. Por
que desmembrar as funções polinomiais, por exemplo, em vários casos e sempre
começando pela do primeiro grau? Por que estudar simplesmente as funções de
uma variável real? Não encontramos uma justificativa plausível e defendemos que
o estudo de funções do primeiro e segundo graus seja apenas casos específicos
do estudo de funções polinomiais. Para que isso ocorra devemos obter
ferramentas que justifiquem, entre outros aspectos, como se comporta uma
função polinomial, ou seja, como buscar os pontos de mínimo, máximo, intervalos
de crescimento e decrescimento, etc. Portanto, é fundamental fornecer aos alunos
as ferramentas do Cálculo Diferencial, pois as derivadas nos ajudarão no
processo de análise do gráfico de uma função polinomial, inclusive as do primeiro
e segundo graus, deixando de lado macetes e regras para encontrar os “zeros” da
função e os intervalos de crescimento e decrescimento através do sinal do
coeficiente do termo de maior grau.
Acreditamos que, concomitantemente, os alunos podem ser expostos a
exemplos referentes a funções de duas variáveis reais e, portanto, gráficos
tridimensionais, além da ampliação do campo real ao campo complexo. Para que
isso aconteça, seria recomendável que a Geometria Analítica fosse apresentada
como importante ferramenta para compreensão e análise de gráficos,
principalmente tridimensionais. Cada exemplo bidimensional poderia ser
apresentado com seu similar tridimensional, também encontrando referências nas
equações gerais da Geometria Analítica. Por exemplo, o gráfico de uma reta no
plano seria abordado simultaneamente com gráficos de um plano no espaço e,
para enriquecer ainda mais as relações estabelecidas, esses dois seriam
relacionados à equação geral da reta e do plano, verificando as diferenças de
representação na Geometria Analítica e no gráfico de uma função. Da mesma
forma, o gráfico de uma parábola no plano seria comparado ao gráfico de um
paraboloide no espaço e, lançando mão de curvas de nível, seria fundamental o
estudo da equação geral da circunferência na Geometria Analítica. O quanto
aprofundar dependeria dos estudantes e caberia ao professor determinar a escala
adequada.
212
Além disso, o conceito de derivada abordado como taxa de variação
proporcionaria uma gama de possibilidades de trabalhos interdisciplinares com
Física, por exemplo.
Além das funções polinomiais, as logarítmicas e exponenciais podem ser
abordadas através da relação inversa existente entre elas e a consequente
simetria dos seus gráficos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Aliás,
aproveitamos para mencionar que a escala logarítmica é mais apropriada que a
escala aritmética, quando aplicada em gráficos de índices financeiros, por
exemplo.
Mas achamos descabido tratarmos de derivadas sem falarmos do Teorema
Fundamental do Cálculo e a grande história envolvendo Newton e Leibniz. Por
isso, para contextualizar esses temas historicamente e relacionar dois conceitos
que podem ser compreendidos como inversos (derivada e integral), achamos
fundamental conceituar o Cálculo Integral e sua importância na aplicação, por
exemplo, do cálculo de áreas e volumes. Dessa maneira, alguns volumes de
sólidos tradicionalmente apresentados no Ensino Médio, como o da esfera e do
cone, poderiam ser demonstrados sem maiores problemas.
Como vimos até aqui, alguns temas matemáticos são abordados no Ensino
Médio somente através de casos particulares, fazendo com que as
generalizações se tornem inacessíveis aos estudantes. Parece que o mesmo
ocorre com o estudo de progressões geométricas e aritméticas, pois são apenas
casos específicos de sequências, assim como o cálculo da soma dos infinitos
termos de uma progressão geométrica cuja razão é maior que –1 e menor que 1
também é um caso específico de série convergente. O estudo de padrões deve
ser enriquecido para além do minimalismo de abordar somente progressões. Para
isso, poderíamos tratar assuntos como sequências e séries, mencionando alguns
critérios de convergência e divergência. Também seria uma ótima oportunidade
para citar a sequência de Fibonacci e a série harmônica, como elementos
históricos a partir dos quais interessantes aplicações foram desenvolvidas.
5.3.4. Eixo da Estatística e Probabilidade
Em geral, quando vemos o papel que a Matemática exerce em projetos
interdisciplinares, seja qual for o tema, parece que quase sempre encontramos a
213
Estatística. Realmente esse é um papel importante da Matemática e a
aplicabilidade estatística parece inegável, porém não pode representar a mais
importante, nem a única razão para utilizá-la nas salas de aula do Ensino Médio.
As questões abordadas pela Estatística, quando pensamos em um
currículo crítico e pós-moderno, deve levar em consideração o tipo de variável a
ser analisada: discreta ou contínua, quantitativa ou qualitativa. Cada escolha
exigirá uma análise específica e uma forma de apresentar os dados, através de
gráficos adequados, utilizando-se preferencialmente de recursos computacionais
para isso. O conceito de função novamente se faz presente, principalmente
quando analisamos e tratamos as variáveis contínuas.
A discussão sobre a análise dos dados deve ser crítica o suficiente para
verificar até que ponto basta olhar as medidas de tendência central (média, moda
e mediana) e quando devemos atentar à interpretação das medidas de dispersão
(amplitude, desvio padrão e variância). Nessa perspectiva, é necessário
apresentar gráficos e interpretações feitas em diversos veículos de comunicação,
como jornais, programas de televisão, etc., para que ocorra uma discussão sobre
os erros, premeditados ou não, quando a Estatística é utilizada com fins de
convencimento sobre determinado assunto.
Ao contrário da Estatística Descritiva, a Estatística Indutiva deve ser
explorada como uma aplicação da Teoria das Probabilidades e, portanto,
interligadas naturalmente.
Da origem histórica com a troca de cartas entre Pascal e Fermat, versando
sobre a divisão de prêmios de um jogo de cartas interrompido abruptamente à
atualidade dos avançados cálculos relacionados às ciências atuariais, toda a
variedade possível de exploração desse tema deve ser considerada por
professores engajados na apresentação da Matemática como ciência dinâmica e
em constante evolução.
Aliás, sobre a origem histórica, hoje encontramos indícios consistentes de
que, na verdade, essa raiz reside nos trabalhos de Arquimedes e a criação, por
parte desse gênio, de um quebra-cabeça chamado Stomachion, similar ao
Tangram chinês, só que, ao invés de apenas sete peças, é formado por quatorze
que juntas, assim como o Tangram, formam um quadrado. Hoje sabemos que
Arquimedes propôs e resolveu um problema relacionado a esse puzzle: de
quantas maneiras diferentes podemos dispor as quatorze peças de tal forma que
214
construamos um quadrado? Hoje sabemos, através de recursos computacionais,
que ao todo temos 17152 possibilidades diferentes (NETZ; NOEL, 2007). Esta
seria uma boa deixa para que os professores discutam com seus alunos sobre a
evolução da pesquisa em História da Matemática e sua importância para a
compreensão de conceitos.
5.3.5. Eixo da Geometria
Quando planejamos um bloco específico dedicado à Geometria dentro do
currículo de Matemática no Ensino Médio, devemos mencionar três
características presentes nas atuais orientações oficiais e que devem ser
evitadas: a insuficiente relevância dada à Geometria Espacial em comparação à
Geometria Plana, a carência de propostas que tratem sobre a Geometria das
Transformações e a inexistência de sugestões de abordagens de outros sistemas
axiomáticos geométricos, além do Euclidiano.
Sobre a Geometria Espacial, acreditamos que é muito mais intuitivo
abordá-la se comparada com a Geometria Plana, portanto, como vários outros
temas ministrados no Ensino Médio, esse é mais um que parece sustentar-se na
ideia de que devemos partir do mais “simples” (supostamente o plano) para o
mais “complexo” (supostamente o espaço). Novamente sustentamos nossa
posição de quebrar essa linearidade e instituir procedimentos aparentemente
caóticos, mas que, ao serem analisados em sua totalidade, assim como um
fractal, possuem uma organização definida. O estudo dos sólidos geométricos,
além de ser mais intuitivo, proporciona a possibilidade de abordar medidas
unidimensionais, como a altura dos sólidos ou o comprimento de suas arestas;
bidimensionais, como a área da superfície dos mesmos; e tridimensionais, como o
volume do próprio sólido.
Já sobre a maneira de enfocar alguns conceitos geométricos fundamentais,
como congruência e semelhança, deveria ser realizada utilizando a Geometria
das Transformações, através, por exemplo, da utilização de reflexões por
determinado eixo de simetria, translações, rotações em relação a determinado
ponto e homotetias em relação a um ponto. Interessante verificar que novamente
o conceito de função aparece neste novo contexto, pois a Transformação
Geométrica nada mais é que uma função com características peculiares.
215
O conceito de simetria também representa um importante tema a ser
abordado e aproveitado para mostrar o quanto a Geometria está presente no
cotidiano, seja nas artes, através da pintura; na estética, pela relação existente
entre simetria e beleza; na publicidade, com sua presença nos logotipos, etc.
Além de representarem maneiras mais intuitivas de tratarem conceitos
geométricos fundamentais, como congruência, simetria e semelhança de figuras,
essa forma de enfocar o assunto representa uma alternativa à tradicional
construção axiomática feita pelos gregos. Aliás, é fundamental apresentar aos
estudantes outras maneiras de gerar novas Geometrias e algumas características
de seus sistemas axiomáticos. Esses sistemas axiomáticos poderiam ser
simulados em softwares de Geometria Dinâmica, proporcionando aos alunos a
possibilidade de visualizar, por exemplo, como seria o desenho de uma reta ou de
um triângulo segundo os princípios determinados por outros postulados
geométricos.
5.3.6. Eixo da Lógica
A Lógica representa uma outra maneira de explorar a imbricação existente
entre a linguagem matemática e a língua materna. As argumentações podem ser
analisadas de maneira mais rigorosa, concluindo sua consistência ou a presença
de falácias.
Essa consistência argumentativa deve servir como ferramental para
demonstrar uma conjectura: implicações, equivalências e contradições devem ser
compreendidas em todo o seu rigor que constrói teorias ou destrói conjecturas
através da enunciação de contra-exemplos.
Esse campo matemático é tão pouco relacionado à própria Matemática que
não é incomum os alunos duvidarem que problemas que requerem soluções que
utilizem apenas raciocínio lógico simples buscam na Matemática sua solução,
afinal de contas não possuem números! Também não é raro encontrar estudantes
que buscam na intuição a única estratégia de resolver problemas deste tipo.
Neste caso, cabe novamente utilizar o convencimento como arma para verificar
até que ponto a intuição falha.
Do ponto de vista crítico, seria importante analisar discursos vinculados a
órgãos de imprensa sob a perspectiva argumentativa. São vários exemplos de
216
premissas inconsistentes sob as quais são formuladas diversas teses que
acabam convencendo o interlocutor por pura falta de conhecimento básico sobre
este tema.
As próprias teorias desenvolvidas no campo da Educação Matemática já
propõem formas inovadoras de realizar essas análises. Através da pesquisa feita
por Castro et al. (2004), verificamos como a teoria do Modelo da Estratégia
Argumentativa pode trazer contribuições no que diz respeito à análise de
argumentações, seguindo os seguintes passos:
• Reconstrução de sequências coerentes de raciocínios.
• Preenchimento dos espaços implícitos.
• Identificação dos significados relevantes produzidos (representações).
• Caracterização dos argumentos através de esquemas.
• Montagem dos esquemas.
• Interpretação dos esquemas.
Os exemplos analisados na pesquisa citada foram do artigo escrito pela
Professora Sueli Druck, presidente da Sociedade Brasileira de Matemática, e do
Professor Rômulo Lins, que publica uma réplica ao primeiro artigo analisado.
Estes dois artigos são analisados através dos processos de montagem de
representações, contribuindo para a continuidade dos debates sobre a produção
dos sentidos.
Além disso, assim como na Geometria, a diversidade de postulados e
sistemas axiomáticos também deve ser revelada aos alunos. As diversas lógicas
existentes servem como exemplos da pluralidade matemática e o enorme rol de
possibilidades de olhar para a Matemática. Apenas para citarmos algumas,
podemos mencionar as lógicas: temporais, modais, trivalentes, polivalentes,
fuzzy, indutivas e paraconsistentes. Alguns autores já escreveram a respeito
(MACHADO; CUNHA, 2005) e a incorporação desses temas no currículo do
Ensino Médio é uma questão de boa vontade e preparação adequada dos
professores.
217
CONCLUSÕES
6. CONCLUSÕES
Foi um longo caminho percorrido e compartilhado com o leitor em busca de
critérios para escolha e organização de conteúdos matemáticos no Ensino Médio.
Estes critérios sintetizam o que pesquisamos e concluímos como ações
fundamentais para constituir um currículo de Matemática que busque atender as
finalidades do Ensino Médio, mas, sobretudo, contemple o que pretendemos para
a formação de um jovem cidadão na sociedade atual. Como dissemos no início,
tivemos de realizar escolhas que fundamentassem e justificassem nossas
decisões.
Da Filosofia da Matemática vimos que boa parte das práticas escolares
ainda é influenciada pelas ideias formalistas, temperadas com pitadas de
intuicionismo. A falibilidade da Matemática é pouco ou quase nunca discutida e
talvez nem os próprios professores acreditem que a Matemática possa ser
incompleta e falível. O rigor das demonstrações fundamentadas na lógica clássica
é, muitas vezes, o princípio norteador do curso de Matemática durante o Ensino
Médio. Por encontrar muitas dificuldades em propor essa forma de ensino, os
professores acabam por deixar de lado o rigor da linguagem matemática para
optarem por maneiras de ensino de conteúdos através de receitas que consistem
em listas de passos a serem seguidos pelos alunos. Daí surgem características
como a linearidade na organização curricular, metodologias positivistas, etc.
Talvez também, resultado dessa influência, surja a busca e preferência por
conteúdos que seguem esse padrão de proporcionar mais fórmulas prontas para
exercitar e menos oportunidades de relacionar temas variados.
Também nos apropriamos das ideias de Doll Jr. e suas concepções sobre
o que seria um currículo pós-moderno. No nosso entendimento, além dos critérios
em si, adaptados ao contexto matemático, a ideia de fractalidade do currículo e a
existência de uma aparente desorganização caótica que se auto-organiza
evidenciando padrões foram conceitos importantes que aproveitamos para nossa
pesquisa.
Além do conceito de fractalidade, outro aspecto relacionado à organização
curricular, refletido nessa pesquisa, nos mostrou que, muito mais que quebrar
padrões lineares, devemos tratar a Matemática ou “as Matemáticas” por inteiro,
218
ainda que não com a profundidade desejada por muitos. Estabelecendo uma
analogia com o ensino de Geografia, parece que estamos educando nossos
alunos, durante anos, apenas verificando minuciosamente as características de
um país qualquer. Nos referimos a outras nações apenas quando mencionamos
as fronteiras do país em questão. Também nos referimos ao clima, à vegetação e
ao relevo dessa região específica, porém somente isso. Não revelamos aos
alunos o restante do mundo. O ensino de Matemática se parece com isso:
ensinamos alguns temas profundamente sem mostrarmos a Matemática como um
todo, ainda que superficialmente. Achamos que seria mais oportuno apresentar o
“mapa-múndi” da Matemática, ainda que não seja compreendida com a
profundidade esperada, mas para que possamos nos localizar e reparar nas
diversas relações e influências “intercontinentais”, ainda que não nos
preocupemos em conhecer detalhes de determinados “países”.
Vimos que é necessária a superação do clássico conceito de currículo de
Tyler, no qual os objetivos direcionam e modificam comportamentos dos alunos e
a avaliação é vista como um fim do processo. Em um currículo pós-moderno os
objetivos são modificados, inclusive pela resposta que os alunos fornecem
através de avaliações, que neste caso são meios pelos quais os objetivos podem
ser renegociados.
O conhecimento, por este ponto de vista com o qual concordamos, é
dinâmico, produz e reproduz significados à medida que é construído, e não
transmitido. O professor atua como mediador do processo de construção
curricular que não acaba na publicação de documentos. Aliás, o currículo não é
constituído apenas pelas orientações oficiais publicadas, mas, sobretudo, pelas
interpretações e produções de significados diversos realizados por cada escola,
por cada professor e por cada aluno.
Inspirados por essas considerações, acerca da conceitualização pós-
moderna de currículo, analisamos alguns objetivos para o ensino de Matemática,
buscando algumas reflexões importantes. Podemos resumir nossas conclusões a
respeito, estabelecendo metas a serem atingidas por um currículo de Matemática
no Ensino Médio: (1) compreender que a Matemática é uma ciência em aberto e
falível; (2) compreender que as provas matemáticas devam ter um novo
significado, não somente privilegiando as técnicas de demonstrações formais,
mas valorizando a comunicação matemática e o estabelecimento de conjecturas
219
que podem ser admitidas ou refutadas através, por exemplo, do uso de softwares
específicos; (3) despertar a curiosidade e a atitude investigativa nos alunos,
fazendo com que a pesquisa sobre a veracidade ou falsidade de uma conjectura
leve ao estabelecimento de ricas conexões entre variados temas; (4) mostrar que
aspectos fundamentalmente teóricos da Matemática podem produzir uma
aplicabilidade futura, assim como problemas práticos também inspiram os
matemáticos a construírem ferramentas teóricas que deem conta de os
resolverem. A teoria não se justifica pela prática, nem vice-versa e (5)
proporcionar processos de problematização para desenvolver atitudes
colaborativas e criativas nos alunos para resolver determinada situação.
O conceito de currículo crítico também representou importante contribuição
ao nosso trabalho, já que abriu uma nova janela para a compreensão da
importância da Matemática como ciência que pode e deve transformar a
sociedade em que vivemos. Em diversos momentos históricos da humanidade o
Estado serviu-se da Matemática visando à formação de cientistas competentes o
suficiente para aprimorar os recursos tecnológicos. Essa luta pelo domínio
científico escondia, na verdade, interesses econômicos e militares, pois a
primazia sob uma tecnologia de ponta representava uma grande ameaça às
outras nações. Para ilustrar esse fato, basta lembrarmos do exemplo da criação
da bomba atômica e a hegemonia estadunidense associada a esse fato. No
campo curricular, o Movimento Matemática Moderna também foi inspirado, entre
outros fatores, pela necessidade dos Estados Unidos produzirem um número
significativo de cientistas que pudessem competir com a temida concorrência da
União Soviética.
Nessa nova perspectiva de construção de um currículo critico, o Estado
não se serve da Matemática, mas a Matemática promove transformações na
sociedade e, por conseguinte, no próprio Estado. O perigo é tornar a própria
Matemática refém da suas utilizações práticas transformadoras, ou seja, buscar
apenas conteúdos que tenham aplicações práticas objetivando a promoção da
igualdade entre os povos.
No entanto, a Educação Matemática Crítica é uma dimensão necessária,
porém não única, em um currículo de Matemática. Dessa maneira, uma opção
seria descortinar o currículo de Matemática sob dois panoramas: o crítico, através
da criação de conexões interdisciplinares, como vimos nos trabalhos de
220
Hargreaves et. al. (2002), porém com a distinção fundamental de, na nossa
proposta, a primazia ficar para temas da comunidade, pois os grandes problemas
podem e devem ser resolvidos localmente e, a segunda perspectiva, relativa
diretamente à ciência de referência da disciplina escolar Matemática, através de
conteúdos que apresentassem aos alunos a história de construção desta ciência,
inclusive com a incompletude e pluralidade existente nela.
Como dissemos, a dimensão crítica do currículo de Matemática deveria
buscar respostas aos anseios e problemas comunitários. Atualmente, as
propostas oficiais que buscam alternativas para implementar algo parecido se
resumem à implementação de “temas” geradores ou transversais que
representariam uma espécie de amostra de problemas recorrentes de várias
comunidades. Ao nosso ver, a centralização das orientações curriculares acaba
produzindo documentos que, por buscarem generalizações de problemas que são
específicos por natureza, acabam por não representarem as próprias
comunidades e, portanto, transparecem artificialidade e até arrogância. Em cada
escola, os professores, coordenadores, a direção e a comunidade residente no
entorno da instituição de ensino devem delimitar para quais problemáticas
devemos buscar soluções em sala de aula, por meio do conhecimento,
compreendido como um entendimento dinâmico, significativo e producente de
transformações eficazes para a humanidade, como acredita D’Ambrosio (1999).
Como vimos no aporte teórico relacionado às contribuições da Antropologia
à nossa pesquisa, o respeito pelas culturas é fundamental e, portanto, é preciso
respeitar e proporcionar um espaço para que cada escola produza projetos
específicos. Ainda que haja uma imposição estatal sobre as ações que devem ser
realizadas dentro de cada escola, sabemos que uma coisa é o currículo prescrito
outra é o currículo praticado. Para que exista sintonia entre essas duas partes,
deve haver muito diálogo, análise de propostas e, sobretudo, convencimento.
Aliás, o convencimento também é uma estratégia para promover a disseminação
de uma cultura para outros povos, além da curiosidade. Então, por que não
desenvolvemos o currículo de Matemática sempre buscando convencer nossos
estudantes sobre a importância da própria Matemática e despertar neles uma
curiosidade sobre essa ciência, para que a “cultura dos professores” interaja de
maneira satisfatória com a “cultura dos alunos”?
221
Já o que chamamos de dimensão relativa à ciência de referência, ou seja,
a construção de currículos de Matemática que tenham como referência principal a
própria Matemática, fazendo as transposições didáticas necessárias, poderia
representar uma tentativa de criar um núcleo comum de conteúdos a serem
abordados nas escolas, porém através de metodologias e periodicidade que
caberiam a cada professor adaptar à sua realidade.
Ao contrário de Bishop (1999), que caracterizou seis ações que
constituiriam uma espécie de cultura matemática geral – contar, localizar, medir,
desenhar, jogar e explicar – a nossa ideia foi produzir uma forma de apresentar a
ciência Matemática aos alunos, em seus mais variados campos de atuação, mas,
sobretudo, ligados aos campos de pesquisa atuais, como fizemos por meio dos
eixos apresentados no capítulo anterior.
Da mesma forma que Ponte, Brocado e Oliveira (2005) construíram uma
metodologia que acaba reproduzindo, em sala de aula, a dinâmica de trabalho
dos matemáticos, acreditamos que os conteúdos matemáticos considerados
universais devem brotar da fonte de pesquisa dos matemáticos atuais.
Salientamos que ainda não nos referimos à seleção de conteúdos, mas à fonte da
qual beberemos para buscar esses conteúdos a serem selecionados.
Mas já não fazemos isso? Todos os conteúdos matemáticos ministrados no
Ensino Médio já não são resultados da produção científica conduzida pelos
matemáticos? Achamos que a grande influência não reside nas pesquisas atuais,
mas remontam há séculos e, em alguns casos, há milênios. Fundamentamos boa
parte dos conteúdos ensinados atualmente no conhecimento da civilização grega,
construído há mais de dois milênios, complementado com as ideias algébricas
dos árabes e, buscando a integração entre esses assuntos através da Geometria
Analítica de Descartes, idealizada há quase quatro séculos.
Existe um fenômeno interessante que precisa ser mais bem estudado: por
que as ciências exatas escondem seu caráter atual e dinâmico aos alunos da
Educação Básica, ao contrário das ciências humanas e biológicas que utilizam a
atualidade como fonte de recursos para a sala de aula? Estamos apenas
subestimando os estudantes, ao justificarmos que a dificuldade no ensino de
Matemática seria ainda maior ao ensinarmos aos alunos temas que atualmente
são apenas abordados na Educação Superior e, em cursos específicos de
Ciências Exatas. A quantidade de informações e a variedade de relações
222
estabelecidas nas ciências humanas é enorme, nem por isso o ensino ou a
aprendizagem ficam prejudicados. Assim como o ensino de Matemática, o ensino
de Física também parece apresentar esse mesmo cuidado excessivo ao tratar de
temas aparentemente sofisticados e que revolucionaram a ciência do século
passado, como a Teoria da Relatividade, a Teoria do Caos, etc. Parece que só
podemos abordar esses assuntos se o fizermos com todos os detalhes possíveis
e qualquer omissão representaria uma heresia à ciência!
Embora façamos distinção entre dimensão crítica e dimensão ligada à
ciência de referência, não avaliamos esta última como sendo “neutra”, pois
entendemos que qualquer conteúdo presente no currículo, ainda que não possua
justificativa explícita para sua presença, reproduz objetivos implícitos e, portanto,
não podem ser considerados neutros, pois são objetivos de qualquer maneira.
Assim, a presença de conteúdos puramente matemáticos como aparecem hoje,
embora possam parecer “neutros”, refletem um caráter propedêutico da
Matemática no Ensino Médio, ou seja, a preocupação de preparar alunos para
estudos posteriores e formar cientistas que desenvolvam tecnologia para
benefício, em geral somente econômico, da nação.
Talvez o que chamamos de “dimensão ligada à ciência de referência” foi o
que Hardy (2000) chamou de “Matemática de verdade”, porém ele a caracterizava
como não sendo escolar e como sendo neutra. Discordamos de ambas as
afirmações. Talvez também seja o que Knijnik (2004) denominou de “saberes
acadêmicos”, os quais deveriam ser dosados e inter-relacionados com os
“saberes populares”, talvez o que chamamos de “dimensão crítica”. Ratificamos
as idéias desta pesquisadora.
Quando concluímos que a Matemática deve ser estudada por inteiro,
inclusive abordando temas puramente matemáticos, ou como chamamos, ligados
à ciência de referência, não estamos pensando em objetivos propedêuticos. Pelo
contrário, concluímos que não faz sentido ensinar Matemática, no nível médio,
como preparação para estudos posteriores, pois apresentando a Matemática por
inteiro, ainda que superficialmente, caberia aos níveis superiores de ensino o
aprofundamento dos conteúdos e não a apresentação dos mesmos, como ocorre
hoje. Isso minimizaria o choque que muitos alunos sentem ao constatarem que a
Matemática do Ensino Superior é muito diferente da apresentada no Ensino
Médio, pois alguns ainda justificam sua escolha por cursos voltados às ciências
223
exatas meramente pela facilidade com que eles têm de realizar cálculos com
rapidez, achando que a Matemática se reduz a isso! Não é a toa que os alunos
têm essa opinião, pois, como vimos, esse foi um dos objetivos para o ensino de
Matemática mencionado pelos professores na pesquisa que analisamos no
capítulo quatro desta tese (realizar cálculos com rapidez e exatidão) e, ao nosso
ver, este é um objetivo totalmente descabido.
Aliás, este assunto suscita algumas questões que poderiam ser analisadas
com mais cuidado em pesquisas futuras: como é feita a articulação do Ensino
Fundamental para o Ensino Médio? E a articulação entre a Matemática do Ensino
Médio e a Matemática do Ensino Superior? Ao nosso ver, embora cada fase
tenha características e objetivos peculiares, existem variadas formas de tratar e,
até mesmo, conceber a Matemática nessas diferentes etapas do ensino, o que
pode gerar grande confusão para os alunos. Portanto, orientações curriculares
devem minimamente integrar o Ensino Fundamental ao Médio, não sendo
recomendado que as propostas oficiais sejam feitas sem que os objetivos dos
consultores responsáveis pelos projetos sejam convergentes.
Para a escolha e organização dos conteúdos, propusemos oito critérios
que resumem as posições dos autores que serviram como aportes teóricos dessa
pesquisa: (1) a “riqueza” privilegia a escolha de conteúdos que mostrem o quão
rica a própria Matemática é e como a relação teoria-prática pode ser dosada de
maneira eficiente, compreendendo essa relação como única e não dicotômica.
Aplicações ingênuas e supérfluas, como exemplificamos várias vezes durante a
pesquisa, não demonstram a riqueza como característica matemática, pelo
contrário, empobrecem o seu ensino e desestimulam seu aprendizado; (2) a
“reflexão” favorece a seleção de assuntos que sirvam ao interesse de
determinada comunidade e, sob este aspecto os conteúdos seriam escolhidos
apenas após a escolha ou eleição das problemáticas locais e, por outro aspecto,
a “reflexão” significa que o processo de escolha deva ser uma decisão
fundamentada em pareceres de diversos especialistas de vários campos
científicos, como a Matemática, a Educação Matemática, a Psicologia Cognitiva, a
Neurociência, entre outros; (3) a “realidade”, intrinsecamente ligada ao critério
anterior, beneficia a opção por temas que possam ser modelados através de uma
situação real. No entanto, essas situações reais não podem representar
aplicabilidades simplórias, mas problematizações que constituam verdadeiros
224
anseios sociais, podendo estes serem locais, como questões relativas à
construção de um açude, em uma comunidade localizada no interior do Nordeste,
ou globais, como as consequências do efeito estufa na temperatura global; (4) a
“responsabilidade” privilegia a prioridade de pontos do conteúdo matemático que
possam ser utilizados para analisar, comparar, estimar e resolver problemas
sociais e, não somente para aplicações tecnológicas, como parece ser a intenção
do Estado em algumas reformas curriculares. Além disso, esse critério busca
estimular a opção por tópicos matemáticos da atualidade, mostrando o caráter
dinâmico de construção dessa ciência; (5) a “recursão”, primeiro critério
fundamentalmente organizacional, busca no clássico modelo de currículo em
espiral de Bruner (1960) a inspiração para propor que os conteúdos devem ser
dispostos de maneira que possam ser retomados à medida com que os
estudantes avancem os seus estudos, de tal maneira que possam ser abordados
em outros contextos, mas não revistos, como simples repetição; (6) as “relações”
estabelecem duas preocupações ao organizarmos um currículo: de um lado, a
gestão do tempo para contemplar os assuntos propostos e, para isso, cada
professor deve conhecer seus alunos e eleger a profundidade ou a escala ideal
com a qual abordará os conteúdos propostos, por outro lado, para além da
perspectiva pontual de cada sala de aula, a preocupação com o bem estar
coletivo deve determinar momentos para refletir sobre problemáticas comuns a
todos, através de projetos que sejam constituídos em sentido duplo: dos
problemas locais para discussões globais e dos anseios universais para debates
locais; (7) o “rigor” está ligado a procedimentos, avaliações e, principalmente, à
interpretação de resultados inseridos em um novo contexto ligado à
indeterminância e à interpretação. O sentido de “rigor” em uma estrutura pós-
moderna não tem o mesmo estatuto do modernismo. Os resultados devem ser
interpretados levando-se em conta um grande número de variáveis envolvidas no
processo de ensino e aprendizagem. Por isso, o rigor curricular pós-moderno
pode ser exatamente o contrário do que convencionalmente imaginamos, em
geral – exatidão e intolerância; (8) a “ressignificação” dá à História da Matemática
sua devida importância em uma proposta curricular que deve ser organizada
levando-se em conta a elaboração histórica da própria ciência, não como
acessório das aulas de Matemática, mas como articuladora e esclarecedora do
processo pelo qual o conhecimento matemático foi construído. Além disso, esse
225
critério privilegia a organização de conteúdos que possam ser abordados
novamente em outros temas, destacando a variedade de representações e
contextualizações matemáticas dentro da própria Matemática.
Novas pesquisas, nova realidade, um mundo pós-moderno, porém o
currículo de Matemática continua linear, maçante, buscando justificativas
inconsistentes para o ensino de um ou outro tema e tornando o ensino cada vez
mais retalhado, distorcendo a própria Matemática. Felizmente, ou infelizmente, a
sociedade parece considerar, como um axioma, que a disciplina escolar
“Matemática” é importante, sem a necessidade de provas que confirmem a
veracidade desse fato. Não fosse esse credo social, a própria existência ou
importância dessa disciplina poderia ser colocada em xeque.
É curioso e perturbador constatar que equipes formadas por educadores
matemáticos e matemáticos possam elaborar propostas que mais parecem
reafirmar o que existe, reduzindo as novas pesquisas e tendências nacionais e
internacionais a meros chavões que são repetidos pelos professores e
coordenadores, sem a necessária reflexão a respeito e, pior, sem a mudança
efetiva nas práticas docentes.
Essa tendência de uniformização do ensino também uniformiza os alunos,
como se todos tivessem as mesmas expectativas e fossem integrantes de uma
mesma cultura. É verdade que o processo de globalização nos tornou mais
próximos, porém continuamos sendo diferentes. Infelizmente, essa diferença não
é apenas cultural, mas econômica e social e, esse fato sim, deve ser combatido.
Cremos que estamos invertendo os objetivos: nos igualando onde deveríamos ser
diferentes e nos distinguindo cada vez mais onde deveríamos ser iguais.
A essência de nossa proposta está na efetiva apresentação da ciência
Matemática aos alunos, com toda sua pluralidade, podendo ser trabalhada das
mais diversas maneiras, dependendo da comunidade de prática na qual estamos
inseridos, e que a Matemática possui uma força transformadora que pode
promover uma revolução, não só no currículo escolar, mas em toda a sociedade,
desde que trabalhada de maneira integrada às outras ciências, assim como
ocorre naturalmente na realidade, promovendo a igualdade de condições entre os
povos. Essa aspiração é antiga, remonta às ideias iluministas do século XVIII,
porém nunca foi tão atual, principalmente se pensarmos que a Matemática
também pode exercer papel fundamental para essa conquista.
226
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