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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA
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IBA
CENTRO DE CI
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ENCIAS EXATAS E DA NATUREZA
COORDENAC¸
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AO DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM F
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ISICA
T´ıtulo da Tese
Estudo Cl´assico e Quˆantico do Movimento de uma
Part´ıcula Carregada na Presen¸ca de Intera¸c˜oes
Gravitacionais, Eletromagn´eticas e Escalares
por
Alessandro L´ucio Cavalcanti de Oliveira
Jo˜ao Pessoa - Para´ıba - Brasil
julho, 2007
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA
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PROGRAMA DE P
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OS-GRADUAC¸
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COORDENAC¸
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AO DE P
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AO EM F
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ISICA
Alessandro L´ucio Cavalcanti de Oliveira
Estudo Cl´assico e Quˆantico do Movimento de uma Part´ıcula
Carregada na Presen¸ca de Intera¸c˜oes Gravitacionais,
Eletromagn´eticas e Escalares
Tese de Doutorado apresentada `a coordena¸c˜ao
do programa de p´os-gradua¸c˜ao em f´ısica da
Universidade Federal da Para´ıba como parte
dos requisitos para a obten¸c˜ao do grau de
Doutor em F´ısica
Orientador: Eugˆenio Ramos Bezerra de Mello
Jo˜ao Pessoa - Para´ıba - Brasil
julho, 2007
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Aos meus pais.
Agradecimentos
Primeiro a Deus que me deu for¸cas para superar as dificuldades tanto no ˆambito
pessoal quanto no acadˆemico.
Ao meu orientador, Eugˆenio Ramos Bezerra de Mello.
Aos meus irm˜aos.
Ao amigo Clezivaldo Pontes.
Ao CNPq pelo aux´ılio financeiro durante a execu¸c˜ao do trabalho.
RESUMO
Nesta tese analisamos o movimento de uma part´ıcula bosˆonica carregada e
massiva, em espa¸cos-tempos associados a defeitos topol´ogicos gravitacionais, tais
como a corda c´osmica e o monopolo global, do ponto de vista cl´assico e quˆantico. Em
adi¸c˜ao ao campo gravitacional, consideramos que v´arios tipos de intera¸c˜oes estejam
presentes no sistema. Desta forma, desenvolvemos uma an´alise t˜ao abrangente
quanto poss´ıvel. De modo a encontramos solu¸c˜oes exatas para as equa¸c˜oes de
movimento, admitimos que as fontes das intera¸c˜oes extras estejam superpostas aos
defeitos topol´ogicos. Do ponto de vista quˆantico, encontramos solu¸c˜oes de estados
ligados e espalhados, fornecendo os espectros de energia, e ˆangulos de mudan¸ca de
fase, respectivamente.
Palavras Chaves: Monopolo Magn´etico; Monopolo Global; Cordas C´osmicas;
Kaluza-Klein.
ABSTRACT
In this thesis we analyse the motion of massive charged bosonic particle, in
spacetimes associated with gravitational topological defects like cosmic string and
global monopole, under classic and quantum point of view. In addition to the
gravitational fields, we consider various kinds of interaction be present in the system.
In this way, we develop an analysis as general as possible. In order to obtain exact
solutions to the motion equations, we admit that the sources of the extra interactions
are superposed to the topological defects. Under quantum point of view, we find
solutions associated with bond and scattering states, providing the energy spectrum
and phase shifts respectively.
Keywords: Magnetic Monopole; Global Monopole; Cosmic String; Kaluza-Klein.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Mecˆanica Quˆantica em Espa¸cos Curvos 5
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica Relativ´ıstica . . . . . . . 6
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos . . . . . 11
1.3.1
´
Algebra Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de um Campo
Eletromagn´etico e Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Monopolos Magn´eticos e Defeitos Topol´ogicos 22
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Monopolos Magn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Monopolo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Monopolo de Wu-Yang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Teoria de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Monopolo de Gross-Perry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Defeitos Topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Quebra Espontˆanea de Simetria de Gauge . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Corda C´osmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7
SUM
´
ARIO 8
2.4.3 V´ortices Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.4 Monopolo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.5 Monopolo Global na Mat´eria Condensada . . . . . . . . . . . 48
2.4.6 Monopolo Global em Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Monopolo Composto na Teoria de Kaluza-Klein 51
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Monopolo Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica do Sistema Carga El´etrica-
Dyon no Cone 67
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Harmˆonicos Monopolares Cˆonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2 Equa¸c˜ao Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Oscilador Harmˆonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Part´ıcula de Spin-0 na Presen¸ca de Defeitos Topol´ogicos
Gravitacionais 87
5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica . . . . . . . . 90
5.2.1 Harmˆonicos Monopolares Cˆonicos na Presen¸ca do Potencial
de Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Equa¸c˜ao Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global . . . . . . . 102
5.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Departamento de F´ısica - UFPB
SUM
´
ARIO 9
Conclus˜oes 110
Apˆendices 114
A Harmˆonicos Monopolares Cˆonicos 115
B Fun¸c˜ao Hipergeom´etrica Confluente 120
Bibliografia 123
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Lista de Figuras
2.1 Experiˆencia de Aharanov-Bohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Potˆencial V (φ) com µ
2
> 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Potencial V (φ) com µ
2
< 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 D´efcit de ˆangulo planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Introdu¸c˜ao
Em diversos modelos te´oricos que descrevem a evolu¸c˜ao do universo, ´e admitido
que o mesmo sofreu mudan¸cas de fase. Dependendo da topologia da variedade do
v´acuo de um determinado modelo, diferentes tipos de defeitos topol´ogicos podem ter
surgido. Fisicamente, estes defeitos s˜ao formados a partir da quebra espontˆanea de
simetria de gauge deste modelo. Os defeitos topol´ogicos gravitacionais mais f´aceis de
serem detectados s˜ao: as cordas c´osmicas, que s˜ao defeitos lineares, e os monopolos,
que s˜ao objetos esfericamente sim´etricos.
Nesta Tese, adotaremos modelos simplificados para estes defeitos. Neste sentido
admitiremos que as cordas c´osmicas s˜ao linhas retas sem dimens˜ao transversal, e
os monopolos objetos pontuais. As modifica¸c˜oes na geometria do espa¸co-tempo
associada a estes objetos podem ser fornecidas atrav´es dos elementos de linha abaixo:
• Para a corda c´osmica alinhada na dire¸c˜ao do eixo z, em coordenadas cil´ındricas
[1], temos:
ds
2
= −dt
2
+ dρ
2
+ b
2
ρ
2
dθ
2
+ dz
2
, (1)
onde ρ ∈ [0, ∞), ´e a distˆancia perpendicular ao eixo z, θ ∈ [0, 2π), o ˆangulo
azimutal, e t, z ∈ (−∞, ∞). O parˆametro b que ´e menor que a unidade depende
da escala de energia onde a simetria de gauge ´e quebrada.
• Para o monopolo global, na origem do sistema, em coordenadas esf´ericas [2],
1
Introdu¸c˜ao 2
temos:
ds
2
= −dt
2
+
dr
2
α
2
+ r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdϕ
2
) , (2)
onde r ´e a distˆancia radial, θ ∈ [0, π), o ˆangulo polar, ϕ ∈ [0, 2π), o ˆangulo
azimutal. O parˆametro α que ´e menor que unidade, est´a associado a escala de
energia onde se d´a a quebra de simetria global de gauge.
Embora estas m´etricas n˜ao apresentem potencial Newtoniano, elas modificam a
topologia do espa¸co-tempo de modo a influenciar o movimento cl´assico e quˆantico
dos campos de mat´eria.
Esta Tese, tem como um dos objetivos principais, estudar o movimento quˆantico
de campos nessas variedades, admitindo a presen¸ca de intera¸c˜oes n˜ao-gravitacionais,
entre estes campos e potenciais externos.
Especificamente, analisamos o movimento quˆantico de part´ıculas bosˆonicas,
definidas nas variedades da corda c´osmica e do monopolo global, de acordo com os
objetivos acima mencionados. Admitindo ainda a presen¸ca de monopolos magn´eticos
e dyons superpostos aos defeitos gravitacionais, analisamos a posibilidade do sistema
apresentar estados ligados [3, 4].
Outro t´opico tamb´em analisado, foi no contexto do formalismo de Kaluza e Klein
[5, 6]. Como ´e sabido, esse formalismo se prop˜oe a unificar o eletromagnetismo e
a gravita¸c˜ao. A conjectura de Kaluza ´e que os graus de liberdade associados aos
campos de gauge, podem ser acomodados nas novas componentes do tensor m´etrico
em um espa¸co-tempo com dimens˜ao maior do que quatro. No caso espec´ıfico da
teoria de gauge abeliana, apenas uma dimens˜ao extra ´e suficiente.
H´a alguns anos, Gross e Perry [7], e Sorkin [8], apresentaram para as equa¸c˜oes de
Einstein penta-dimensional, no vazio, solu¸c˜oes que correspondem a um monopolo
de Wu e Yang [9]. Por outro lado, Banerjee et al [10] estederam a an´alise sobre
Departamento de F´ısica - UFPB
Introdu¸c˜ao 3
monopolos globais para espa¸cos-tempos de dimens˜oes superiores no contexto da
teoria de Kaluza-Klein. Nosso objetivo, neste caso, foi o de encontrar solu¸c˜oes para
as equa¸c˜oes de Einstein, nesse formalismo, que unificasse o monopolo magn´etico de
Wu e Yang com o monopolo global [11]. Estudamos ainda o movimento cl´assico
relativ´ıstico de uma part´ıcula carregada nessa variedade. Mostramos que o seu
movimento est´a confinado a uma superf´ıcie cˆonica, cujo ˆangulo polar ´e definido
em termos do produto da carga el´etrica da part´ıcula, e, pela carga magn´etica do
monopolo, g.
Esta Tese est´a organizada da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1, faremos uma
revis˜ao sobre mecˆanica quˆantica em espa¸cos-tempos curvos. Com esta finalidade,
faremos uma breve retrospectiva hist´orica sobre mecˆanica quˆantica, e uma exposi¸c˜ao
dos elementos geom´etricos mais importantes para a formula¸c˜ao da mesma em espa¸cos
curvos, tais como os tensores m´etricos fundamentais, e os s´ımbolos de Christoffel,
necess´arios para definirmos a derivada covariante no sentido gravitacional. No
cap´ıtulo 2, faremos uma revis˜ao sobre monopolos magn´eticos e defeitos topol´ogicos,
que s˜ao objetos que surgem em um formalismo de teoria de campos cl´assica a
partir da quebra espontˆanea de simetria de gauge. Neste cap´ıtulo revisaremos
tamb´em o formalismo de Kaluza-Klein que unifica as teorias da gravita¸c˜ao e
do eletromagnetismo em um espa¸co-tempo penta-dimensional. No cap´ıtulo 3,
apresentaremos uma solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes de Einstein em cinco dimens˜oes,
na presen¸ca de campos de mat´eria, que corresponde a um monopolo magn´etico
superposto a um monopolo global, a qual denominamos monopolo composto. No
cap´ıtulo 4, analisaremos o movimento quˆantico n˜ao-relativ´ıstico de uma part´ıcula
carregada interagindo com um dyon superposto a uma corda c´osmica idealizada.
O nosso objetivo ´e investigar como a prese¸ca da corda c´osmica modifica algumas
quantidades f´ısicas tais como, o espectro de energia do sistema, e o ˆangulo de
mudan¸ca de fase para estados espalhados. No cap´ıtulo 5, analisamos o movimento
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Introdu¸c˜ao 4
quˆantico relativ´ıstico de uma part´ıcula massiva carregada bosˆonica na presen¸ca de
um dyon, de um fluxo magn´etico tipo Aharonov-Bohm e um potencial escalar, no
espa¸co-tempo produzido por uma corda c´osmica idealizada e por um monopolo
global pontual, separadamente. Assumiremos que o dyon e o fluxo magn´etico linear
est˜ao superpostos a ambos os defeitos gravitacionais; al´em disso, duas configura¸c˜oes
espec´ıficas para o potencial escalar ser˜ao consideradas: (i) o potencial proporcional
ao inverso da distˆancia radial, 1/r, e (ii) o potencial variando linearmente com
a distˆancia radial, r. Com estes potenciais obteremos solu¸c˜oes exatas para as
equa¸c˜oes de Klein-Gordon fornecendo o espectro de energia asociado aos estados
ligados, e o ˆangulo de mudan¸ca de fase para estados espalhados. Finalmente,
apresentamos de forma suscinta nossas conclus˜oes sobre os resultados mais relevantes
encontrados por n´os, os quais foram descritos nos cap´ıtulos 3, 4 e 5. Al´em disso,
no apˆendice A, apresentamos os harmˆonicos monopolares cˆonicos, que constituem
uma generaliza¸c˜ao dos harmˆonicos monopolares de Wu e Yang. No apˆendice B,
apresentamos ainda as fun¸c˜oes hipergeom´etricas confluentes que est˜ao presentes em
v´arios pontos desta tese.
Adotaremos nesta tese o sistema de unidades em que = c = 1, a menos que
seja explicitamente colocado. Para as constantes que codificam a corda c´osmica e o
monopolo global, usaremos a nota¸c˜ao b e α, respectivamente. Usaremos tamb´em a
assinatura +2 para o tensor m´etrico.
Departamento de F´ısica - UFPB
Cap´ıtulo 1
Mecˆanica Quˆantica em Espa¸cos
Curvos
1.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo desenvolveremos o estudo sobre mecˆanica quˆantica em espa¸cos-
tempos curvos. Com esta finalidade, faremos uma breve revis˜ao hist´orica sobre
mecˆanica quˆantica e uma exposi¸c˜ao dos elementos geom´etricos mais importantes
para a formula¸c˜ao da mesma em espa¸cos curvos, tais como os tensores m´etricos
fundamentais, e os s´ımbolos de Christoffel, necess´arios para definirmos a derivada
covariante no sentido gravitacional. O estudo de mecˆanica quˆantica em espa¸cos
curvos ´e de fundamental interesse quando desejamos analisar o movimento de
part´ıculas elementares em regi˜oes espaciais com campos gravitacionais intensos, ou
na vizinhan¸ca de defeitos topol´ogicos gravitacionais tais como a corda c´osmica e o
monopolo global, que ser˜ao estudados no pr´oximo cap´ıtulo.
5
1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica Relativ´ıstica 6
1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica
Relativ´ıstica
At´e o final do s´eculo XIX, por volta de 1890, os f´ısicos estavam satisfeitos com as
teorias existentes. A mecˆanica newtoniana, a termodinˆamica, o eletromagnetismo,
etc, eram suficientes para descrever todos os fenˆomenos f´ısicos at´e ent˜ao conhecidos.
Com o avan¸co das t´ecnicas experimentais, criou-se uma certa inquieta¸c˜ao na
comunidade cient´ıfica, pois come¸caram a observar novos fenˆomenos como a radia¸c˜ao
de corpo negro, o efeito fotoel´etrico, o espectro de emiss˜ao quantizado do ´atomo de
hidrogˆenio, etc, que n˜ao eram explic´aveis pelas teorias anteriormente citadas. Da´ı
surgiu a necessidade de se criar uma nova teoria nascendo destas forma a mecˆanica
quˆantica. A equa¸c˜ao de movimento para tal teoria [12] foi proposta por Schr¨odinger
em 1927, sendo a mesma dada por
ˆ
Hψ = −
2
2m
∇
2
ψ + V ψ = i
dψ
dt
, (1.1)
onde ´e a constante de Planck e m ´e a massa da part´ıcula. Esta equa¸c˜ao pode
ser obtida via formula¸c˜ao hamiltoniana fazendo p → ˆp =
i
∇ e E →
ˆ
E = i
d
dt
no
operador hamiltoniano,
ˆ
H, que ´e dado por
ˆ
H =
ˆ
E =
ˆp
2
2m
+
ˆ
V . (1.2)
A fun¸c˜ao de onda, ψ, obtida a partir da equa¸c˜ao (1.1) n˜ao nos d´a nenhuma
informa¸c˜ao f´ısica sobre o sistema, entretanto, seu m´odulo ao quadrado, |ψ|
2
, ´e
interpretado como a densidade de probabilidade de encontrar-mos a part´ıcula em
algum lugar do espa¸co.
Como toda teoria cl´assica, a mecˆanica quˆantica tamb´em satisfaz o princ´ıpio de
Departamento de F´ısica - UFPB
1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica Relativ´ıstica 7
covariˆancia frente as transforma¸c˜oes de Galileu, (1.3), que s˜ao dadas por:
1
x
′
= x − vt ,
y
′
= y ,
z
′
= z ,
t
′
= t .
(1.3)
Uma outra teoria que, na ´epoca, teve grande impacto na comunidade cient´ıfica
foi a teoria especial da relatividade, proposta por Einstein em um trabalho publicado
em 1905.
Intrigado com o fato das equa¸c˜oes de Maxwell n˜ao serem invariantes frente as
transforma¸c˜oes de Galileu, em adi¸c˜ao ao fato de n˜ao ter sido detectada nenhuma
diferen¸ca ao se medir a velocidade da luz em diferentes dire¸c˜oes, (experiˆencia de
Michelson-Morley), Einstein foi levado a construir uma nova teoria mecˆanica `a qual
ele baseou nos seguintes postulados:
• As leis f´ısicas devem ser as mesmas em qualquer sistema de referenciais
inerciais;
• A velocidade da luz no v´acuo, c, ´e constante e igual em todas as dire¸c˜oes.
Observamos que tanto a mecˆanica newtoniana, quanto a quˆantica apresentam
invariˆancia por transforma¸c˜oes de Galileu; entretanto, as equa¸c˜oes de Maxwell
apresentam invariˆancia sob transforma¸c˜oes de Lorentz (1.4). Por outro lado, apenas
as transforma¸c˜oes de Lorentz satifazem o segundo postulado de Einstein, ou seja,
preservam a invariˆancia da velocidade da luz no v´acuo frente a qualquer referencial
inercial. Desta forma, devem ser estas as transforma¸c˜oes que s˜ao compat´ıveis com
1
Essas transforma¸c˜oes se referem `as coordenadas de um ponto em dois referenciais inerciais que
movem-se relativamente com velocidade v ao longo da dire¸c˜ao x.
Departamento de F´ısica - UFPB
1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica Relativ´ıstica 8
os postulados de Einstein:
x
′
= γ (x − vt) ,
y
′
= y ,
z
′
= z ,
t
′
= γ
t −
v
c
2
x
.
(1.4)
sendo
γ =
1
1 −
v
2
c
2
. (1.5)
Tais transforma¸c˜oes tem como caso limite, para baixas velocidades, as
transforma¸c˜oes de Galileu, e a teoria relativ´ıstica, que ´e invariante sob estas
transforma¸c˜oes, tem como caso limite a teoria newtoniana. Da mesma forma que a
teoria newtoniana, a mecˆanica quˆantica tamb´em precisou ser reformulada.
Como primeira tentativa de se obter uma teoria quˆantica relativ´ıstica ´e natural
considerar o hamiltoniano de uma part´ıcula livre relativ´ıstica [13], dada por:
E = H =
p
2
c
2
+ m
2
c
4
, (1.6)
e escrever o an´alogo quˆantico relativ´ıstico de (1.1) por:
i
∂ψ
∂t
=
√
−
2
c
2
∇
2
+ m
2
c
4
ψ . (1.7)
O problema com tal equa¸c˜ao ´e que ela apresenta a raiz quadrada de um operador
diferencial do seu lado direito. Se expandirmos tal raiz, obteremos uma equa¸c˜ao
contendo todas as potˆencias do operador diferencial, e desta forma teremos uma
teoria n˜ao-local. Tais teorias s˜ao muito dif´ıceis de se trabalhar e constituem uma
vers˜ao n˜ao atrativa da teoria de Schr¨odinger, na qual as coordenadas espa¸co e tempo
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1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica Relativ´ıstica 9
aparecem de forma assim´etrica. Com o interesse de simplificar o problema, do ponto
de vista matem´atico, remove-se a raiz quadrada do operador (1.6), escrevendo
H
2
= p
2
c
2
+ m
2
c
4
. (1.8)
Desta forma, usando o fato que se [A, B] = 0, Aψ = Bψ implica que A
2
ψ = B
2
ψ,
obtemos
−
2
∂
2
ψ
∂
2
t
=
−
2
c
2
∇
2
+ m
2
c
4
ψ , (1.9)
que pode ser reescrita como
✷ −
mc
2
ψ = 0 , (1.10)
onde
✷ ≡
∂
∂x
µ
∂
∂x
µ
=
1
c
2
∂
2
∂t
2
−
∇
2
, (1.11)
sendo x
µ
= (x
o
= ct, x
1
, x
2
, x
3
) e x
µ
= (x
o
= −ct, x
1
, x
2
, x
3
).
Ao elevar o operador (1.7) ao quadrado, com o intuito de obter uma equa¸c˜ao
mais simples, introduziu-se uma dificuldade extra, que s˜ao as solu¸c˜oes com energia
negativa. Esta dificuldade ´e eventualmente superada quando se interpreta tais
solu¸c˜oes como estando associadas a antipart´ıculas. A existˆencia destas antipart´ıculas
d˜ao um forte suporte experimental para este procedimento, entretanto, ao se escrever
uma equa¸c˜ao de continuidade para (1.10), obtemos uma express˜ao para a densidade
de probabilidade que n˜ao ´e positiva definida. Desta forma, a equa¸c˜ao (1.10), que
´e conhecida como equa¸c˜ao de Klein-Gordon, ´e momentaneamente deixada de lado
com o intuito de se obter uma equa¸c˜ao de primeira ordem na derivada temporal
que admita uma interpreta¸c˜ao probabil´ıstica como no caso de Schr¨odinger. Esta
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1.2 Revis˜ao Hist´orica Sobre Mecˆanica Quˆantica Relativ´ıstica 10
equa¸c˜ao foi proposta em 1928 por Dirac, que utilizou um formalismo matricial para
possibilitar a fatora¸c˜ao do operador Hamiltoniano, sendo dada por
i
∂ψ
∂x
o
= (α · p + βmc) ψ (1.12)
onde α = (α
1
, α
2
, α
3
) e β s˜ao matrizes 4 × 4 que satisfazem as seguintes rela¸c˜oes
alg´ebricas
α
i
α
k
+ α
k
α
i
= 2δ
ik
,
α
i
β + βα
i
= 0, (1.13)
α
2
i
= β
2
= 1.
Embora a equa¸c˜ao (1.12) forne¸ca uma densidade de probabilidade positiva
definida, ela tamb´em apresenta solu¸c˜oes com energia negativa. Desta forma,
concluiu-se que estes problemas s˜ao inerentes as teorias relativ´ısticas e, neste caso,
a equa¸c˜ao de Klein-Gordon, (1.10), continua sendo uma forte candidata para uma
teoria relativ´ıstica.
Atualmente, a equa¸c˜ao de Klein-Gordon ´e entendida como sendo uma teoria
relativ´ıstica que descreve a dinˆamica de part´ıculas bosˆonicas de spin zero, enquanto
que, a equa¸c˜ao de Dirac ´e entendida como sendo aquela que descreve a dinˆamica de
part´ıculas fermiˆonicas de spin 1/2.
Neste ponto retornaremos a equa¸c˜ao de Klein-Gordon, pois, nosso objetivo ´e
estudar o movimento quˆantico de part´ıculas bosˆonicas de spin zero, em espa¸cos-
tempo curvos na presen¸ca de campos eletromagn´eticos externos.
Departamento de F´ısica - UFPB
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 11
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de
Campos Externos
Com o desenvolvimento da mecˆanica relativ´ıstica verificou-se que a velocidade
da luz no v´acuo, c, ´e um limite da natureza, ou seja, nenhuma informa¸c˜ao se propaga
com velocidade superior a da luz no v´acuo. Desta forma, surge um problema quanto
a teoria da gravita¸c˜ao, pois, neste caso, a velocidade de propaga¸c˜ao da informa¸c˜ao
´e infinita. Assim, Einstein, em 1916, propˆos uma nova teoria gravitacional onde a
geometria do espa¸co-tempo ´e determinada pela distribui¸c˜ao de mat´eria e energia, em
outras palavras, a distribui¸c˜ao de mat´eria e energia diz como deve ser a geometria
do espa¸co-tempo. A equa¸c˜ao proposta por Einstein para tal teoria ´e dada por
R
µν
−
1
2
g
µν
R = 8πGT
µν
(1.14)
onde R
µν
´e o tensor de Ricci obtido a partir do tensor de Riemann, R = g
νµ
R
µν
´e o
escalar de curvatura e T
µν
´e o tensor energia-momento.
Com a consolida¸c˜ao desta teoria advinda da verifica¸c˜ao experimental a partir de
fenˆomenos tais como o ”red shift”, o desvio do peri´elio de merc´urio, etc, surgiu a
seguinte pergunta: como o campo gravitacional influencia um sistema quˆantico?
Visto que o campo gravitacional, nesta teoria, se traduz em termos de geometria,
ent˜ao o que faremos na verdade ´e estudar o comportamento de sistemas quˆanticos
em uma geometria que ´e determinada a partir da distribui¸c˜ao de mat´eria e energia.
Contudo, faremos antes uma breve revis˜ao sobre ´algebra tensorial que ´e a ferramenta
matem´atica necess´aria para abordar-mos este assunto.
Departamento de F´ısica - UFPB
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 12
1.3.1
´
Algebra Tensorial
Como vimos anteriormente, as equa¸c˜oes que descrevem sistemas f´ısicos devem
ser covariantes frente a um determinado tipo de transforma¸c˜ao de coordenadas.
No caso das teorias newtoniana e da mecˆanica quˆantica cl´assica temos covariˆancia
frente as transforma¸c˜oes de Galileu, enquanto que, no caso da relatividade especial
e da mecˆanica quˆantica relativ´ıstica temos covariˆancia frente as transforma¸c˜oes de
Lorentz. J´a no caso da relatividade geral a situa¸c˜ao n˜ao muda, sendo que neste
caso ´e exigido que as equa¸c˜oes sejam covariantes frente a transforma¸c˜oes gerais de
coordenadas. Desta forma, tal teoria deve ser construida em uma forma tensorial
de modo a ser covariante frente a qualquer transforama¸c˜ao de coordenadas.
Consideremos a transforma¸c˜ao de coordenadas
{x}
T
→ {x
′
}| x
′µ
= x
′µ
({x}) , µ = 1, 2, 3, ..., n. (1.15)
Vamos admitir que esta transforma¸c˜ao seja invers´ıvel, ou seja,
{x
′
}
T
−1
→ {x}| x
µ
= x
µ
({x
′
}) , µ = 1, 2, 3, ..., n. (1.16)
A condi¸c˜ao necess´aria para que isto aconte¸ca ´e que as fun¸c˜oes x
′µ
({x}) sejam
cont´ınuas junto com suas derivadas primeiras em uma regi˜ao, R, do espa¸co V
n
, e
que o Jacobiano
J ≡
∂x
′µ
∂x
µ
= 0 (1.17)
em todo ponto de R. Estas transforma¸c˜oes s˜ao chamadas transforma¸c˜oes
admiss´ıveis.
Consideremos agora o diferencial dx
µ
. Este objeto constitui um vetor
deslocamento de um ponto P
1
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) a um ponto P
2
(x
1
+dx
1
, x
2
+dx
2
, ..., x
n
+
Departamento de F´ısica - UFPB
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 13
dx
n
). A lei de tranforma¸c˜ao para tal quantidade ´e dada por
dx
′µ
=
∂x
′µ
∂x
ν
dx
ν
(1.18)
Desta forma, definimos um vetor contravariante como sendo um objeto V
µ
que
frente a uma transforma¸c˜ao {x} → {x
′
} obedece a seguinte lei de transforma¸c˜ao:
V
′µ
=
∂x
′µ
∂x
ν
V
ν
. (1.19)
Por outro lado, se considerarmos o gradiente de uma fun¸c˜ao escalar, ∂
µ
φ(x),
vemos que a lei de transforma¸c˜ao para esta quantidade ´e dada por:
∂
′
µ
φ
′
(x
′
) =
∂
x
′µ
φ(x) =
∂x
ν
∂x
′µ
∂
ν
φ(x) . (1.20)
Neste caso, definimos um vetor covariante, V
µ
, como sendo um objeto que, frente
a uma transforma¸c˜ao geral de coordenadas, {x} → {x
′
}, obedece a seguinte lei de
transforma¸c˜ao:
V
′
µ
=
∂x
ν
∂x
′µ
V
ν
. (1.21)
Como generaliza¸c˜ao, podemos definir um campo tensorial, ou simplesmente um
tensor, como sendo um conjunto de fun¸c˜oes T
µ
1
µ
2
...µ
k
ν
1
ν
2
... ν
l
que frente a uma transforma¸c˜ao
geral de coordenadas, obedece a seguinte lei de transforma¸c˜ao:
T
′µ
1
µ
2
...µ
k
ν
1
ν
2
... ν
l
(x
′
) =
∂x
′µ
1
∂x
α
1
...
∂x
′µ
k
∂x
α
k
∂x
β
1
∂x
′ν
1
...
∂x
β
l
∂x
′ν
l
T
α
1
α
2
...α
k
β
1
β
2
...β
l
(x) . (1.22)
O tensor definido acima ´e um tensor mixto do tipo (k, l), ou seja, ´e de ordem k
contravariante e de ordem l covariante. Assim, temos que um escalar, φ(x), ´e um
tensor de ordem zero, enquanto que os vetores covariante, V
µ
, e contravariante, V
µ
,
Departamento de F´ısica - UFPB
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 14
s˜ao tensores de ordem um.
Da equa¸c˜ao (1.22) deduz-se um teorema muito importante: Se todas as
componentes de um tensor se anula em um sistema de coordenadas, elas
necessariamente se anular˜ao em todos os sistemas admiss´ıveis de coordenadas.
Este teorema tem um significado profundo na formula¸c˜ao das leis f´ısicas.
Estabelece que se uma certa lei implica a anula¸c˜ao das componentes de um tensor
em um sistema de coordenadas, as regras de transforma¸c˜ao das componentes de um
tensor, garantem que se anular˜ao em todos os sistemas de coordenadas admiss´ıveis.
Na verdade a no¸c˜ao de invariˆancia e universalidade das leis f´ısicas, s˜ao as pedras
fundamentais sobre as quais se edifica a f´ısica.
Estabelecendo uma ´algebra para tais objetos ´e poss´ıvel construir tensores a partir
de outros tensores.
• Adi¸c˜ao
: Consideremos dois tensores, de mesmo tipo (k, l), A
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
e B
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
.
Podemos construir um terceiro tensor do mesmo tipo dos dois adicionando-os:
A
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
+ B
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
= C
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
. (1.23)
• Produto Externo
: Podemos multiplicar dois tensores, um do tipo (k, l) e
outro do tipo (p, q) resultando em um do tipo (k + p, l + q):
A
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
B
α
1
...α
p
β
1
... β
q
= C
µ
1
...µ
k
α
1
...α
p
ν
1
... ν
l
β
1
...β
q
. (1.24)
• Contra¸c˜ao de
´
Indices
: Dado um tensor do tipo (k, l), podemos obter um
outro do tipo (k − 1, l − 1) pelo processo de contra¸c˜ao de ´ındices. Para
exemplificarmos consideremos um tensor do tipo (3, 2):
A
αβγ
να
= B
βγ
ν
. (1.25)
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1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 15
Como exemplo de um tensor de segunda ordem podemos considerar, no caso de
termos uma variedade Riemanniana, o tensor m´etrico, g
µν
. A lei de transforma¸c˜ao
para tal objeto pode ser obtida fazendo uma transforma¸c˜ao geral de coordenadas,
x
µ
→ x
′µ
(x
µ
), no elemento de linha ds
2
= g
µν
dx
µ
dx
ν
. Como esta quantidade ´e
invariante sob transforma¸c˜ao geral de coordenadas, obtemos:
g
′
µν
=
∂x
α
∂x
′µ
∂x
β
∂x
′ν
g
αβ
. (1.26)
Visto que tensores de segunda ordem admitem uma representa¸c˜ao matricial,
podemos usar tal representa¸c˜ao para construir o tensor m´etrico inverso, g
µν
, de
modo que:
g
µα
g
αν
= δ
µ
ν
(1.27)
onde δ
µ
ν
´e a delta de Kronecker, (matriz identidade).
Se definirmos dx
µ
≡ g
µν
dx
ν
, o elemento de linha pode ser reescrito como
ds
2
= dx
µ
dx
µ
. Desta forma, temos:
dx
λ
= g
λµ
g
µν
dx
ν
= g
λµ
dx
µ
. (1.28)
Com isto, vemos que o tensor m´etrico tem a propriedade de baixar e levantar
´ındices. Esta propriedade possibilita a constru¸c˜ao de uma representa¸c˜ao covariante
para vetores contravariantes e vice-versa.
V
µ
= g
µν
W
ν
, W
µ
= g
µν
V
ν
. (1.29)
Utilizando o tensor m´etrico ´e possivel ainda construir um conjunto de fun¸c˜oes
que s˜ao de grande utilidade no desevolvimento do c´alculo tensorial. Estas fun¸c˜oes
s˜ao obtidas a partir de combina¸c˜oes das derivadas parciais do tensor m´etrico, e s˜ao
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1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 16
dadas por:
[µν, α] ≡
1
2
∂g
µα
∂x
ν
+
∂g
να
∂x
µ
−
∂g
µν
∂x
α
, µ, ν, α = 0, 1, 2, ..., n − 1. (1.30)
Tais fun¸c˜oes s˜ao chamadas s´ımbolos de Christoffel de primeira esp´ecie. Podemos
obter ainda um outro conjunto de fun¸c˜oes com a ajuda do tensor m´etrico
contravariante, g
µν
, da seguinte maneira:
Γ
β
µν
≡ g
βα
[µν, α] , (1.31)
que s˜ao chamadas s´ımbolos de Christoffel de segunda esp´ecie.
Embora tais fun¸c˜oes sejam obtidas a partir do tensor m´etrico, elas n˜ao se
transformam como um tensor frente a uma transforma¸c˜ao geral de coordenadas.
A lei de transforma¸c˜ao para estas fun¸c˜oes ´e dada por:
[µν, λ]
′
=
∂x
α
∂x
′µ
∂x
β
∂x
′ν
∂x
γ
∂x
′λ
[αβ, γ] +
∂
2
x
α
∂x
′µ
∂x
′ν
∂x
β
∂x
′λ
g
αβ
, (1.32)
para os s´ımbolos de Christoffel de primeira esp´ecie, e
Γ
′λ
µν
=
∂x
′λ
∂x
ρ
∂x
α
∂x
′µ
∂x
β
∂x
′ν
Γ
ρ
αβ
+
∂
2
x
α
∂x
′µ
∂x
′ν
∂x
′λ
∂x
α
,
′
(1.33)
para os s´ımbolos de Christoffel de segunda esp´ecie.
Fica evidente, a partir da lei de transforma¸c˜ao dos s´ımbolos de Christoffel, que a
derivada parcial de um tensor, geralmente, n˜ao ´e um tensor. A excess˜ao ocorre nos
casos em que temos um campo escalar, tensor de ordem zero, e um campo vetorial,
tensor de ordem um, quando a transforma¸c˜ao de coordenadas ´e afim, ou seja,
x
′µ
= c
µ
ν
x
ν
, (1.34)
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1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 17
onde c
µ
ν
´e uma constante. Entretanto, no caso de uma transforma¸c˜ao geral de
coordenadas, a derivada parcial de um campo vetorial covariante, V
µ
, se transforma
como segue:
∂V
′
µ
∂x
′ν
=
∂x
α
∂x
′µ
∂x
β
∂x
′ν
∂V
α
∂x
β
+
∂
2
x
α
∂x
′ν
∂x
′µ
V
α
. (1.35)
Usando (1.33) e a lei de transforma¸c˜ao para um vetor covariante, V
′
µ
=
∂x
ν
∂x
′µ
V
ν
,
podemos reescrever a express˜ao acima, de modo que:
∂V
′
µ
∂x
′ν
− Γ
′λ
µν
V
′
λ
=
∂x
α
∂x
′µ
∂x
β
∂x
′ν
∂V
α
∂x
′β
− Γ
λ
αβ
V
λ
. (1.36)
Vemos que tal quantidade se transforma como um tensor covariante de segunda
ordem. Desta forma, podemos definir a derivada covariante de um vetor covariante,
∇
ν
V
µ
, como sendo dada por:
∇
ν
V
µ
= V
µ;ν
=
∂V
µ
∂x
′ν
− Γ
λ
µν
V
λ
. (1.37)
De maneira an´aloga, podemos definir a derivada covariante de um vetor
contravariante, ∇
ν
V
µ
. Tal opera¸c˜ao resulta num tensor mixto de segunda ordem,
sendo a mesma dada por:
∇
ν
V
µ
= V
µ
;ν
=
∂V
µ
∂x
′ν
+ Γ
µ
λν
V
λ
. (1.38)
As defini¸c˜oes (1.37) e (1.38) podem ser facilmente generalizadas para o caso em
que temos um tersor mixto do tipo (k, l). Definimos a derivada covariante de um
Departamento de F´ısica - UFPB
1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 18
tensor mixto, A
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
, como sendo:
∇
α
A
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
= ∂
α
A
µ
1
...µ
k
ν
1
... ν
l
− Γ
λ
ν
1
α
A
µ
1
...µ
k
λ ν
2
... ν
l
− Γ
λ
ν
2
α
A
µ
1
...µ
k
ν
1
λ... ν
l
− ··· − Γ
λ
ν
l
α
A
µ
1
...µ
k
ν
1
... λ
+ Γ
µ
1
λα
A
λ µ
2
...µ
k
ν
1
... ν
l
+ Γ
µ
2
λα
A
µ
1
λ...µ
k
ν
1
... ν
l
+ ··· + Γ
µ
k
λα
A
µ
1
... λ
ν
1
... ν
l
. (1.39)
1.3.2 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de um Campo
Eletromagn´etico e Gravitacional
A dinˆamica de um campo escalar, ϕ(x), ´e governada pela equa¸c˜ao de Klein-
Gordon. Nesta se¸c˜ao tentaremos apresentar a mesma, admitindo a intera¸c˜ao deste
campo com os campos de gauge e gravitacional. Incorporar tais intera¸c˜oes, implica
em modifica¸c˜oes que esta equa¸c˜ao do campo dever´a sofre que visam tornar a mesma
covariante por transforma¸c˜oes de gauge e por transforma¸c˜oes gerais de coordenadas.
A equa¸c˜ao de Klein-Gordon pode ser obtida a partir da densidade de
Lagrangiana, L(x), para o campo escalar, sendo a mesma dada por:
L(x) = −η
ab
∂
a
ϕ
∗
(x)∂
b
ϕ(x) − m
2
ϕ
∗
(x)ϕ(x) , (1.40)
onde η
ab
´e o tensor m´etrico correspondente ao espa¸co-plano. A inclus˜ao do campo
de gauge, A
a
, deve ser feita de modo a manter a densidade de lagrangiana, dada
acima, invariante sob transforma¸c˜oes de gauge. Isto pode ser obtido mediante a
redefini¸c˜ao do conceito de derivada,
∂
a
→ D
a
= ∂
a
+ ieA
a
, (1.41)
onde A
a
´e o quadri-vetor potencial eletromagn´etico, e e ´e a carga el´etrica do campo
de gauge, o que implicitamente introduz o acoplamento entre o campo de mat´eria e
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1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 19
o campo de gauge. Este acoplamento, chamado de acoplamento m´ınimo, ´e do tipo
J
a
A
a
, onde a densidade de corrente de mat´eria, J
a
, ´e fun¸c˜ao do tipo do campo de
mat´eria.
Desta forma, temos que a densidade de lagrangiana ser´a dada por
L(x) = −η
ab
[D
a
ϕ(x)]
∗
D
b
ϕ(x) − m
2
ϕ
∗
(x)ϕ(x) (1.42)
A partir das equa¸c˜oes de Euler-Lagrange, para o campo ϕ(x), obtemos a equa¸c˜ao
de Klein-Gordon,
D
a
D
a
− m
2
ϕ(x) = 0 . (1.43)
Consideraremos agora a situa¸c˜ao em que temos apenas a intera¸c˜ao do campo
escalar com o campo gravitacional.
Vimos anteriormente que, de acordo com a teoria da relatividade geral, a
geometria de um espa¸co-tempo ´e determinada pelo conteudo de mat´eria e energia
do mesmo, ou seja, quando a gravita¸c˜ao esta presente, um espa¸co-tempo curvo ´e
necess´ario para acomodar o campo gravitacional.
A generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Klein-Gordon, para incluirmos a intera¸c˜ao do
campo escalar com o campo gravitacional, ´e obtida usando como guia o princ´ıpio
da covariˆancia geral que pode ser enunciado da seguinte forma: As equa¸c˜oes que
descrevem as leis da f´ısica devem ter a mesma forma em todos os sistemas de
coordenadas. De acordo com este princ´ıpio a maneira mais simples de incluir a
intera¸c˜ao gravitacional na teoria consiste em tornar a equa¸c˜ao de campo covariante
(equa¸c˜ao de Klein-Gordon). Esta generaliza¸c˜ao ´e feita trocando-se a derivada
ordin´aria, ∂
µ
, pela derivada covariante gravitacional, D
µ
, no formalismo de campo
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1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 20
livre.
∂
µ
→ D
µ
. (1.44)
Tal intera¸c˜ao com o campo gravitacional ´e chamada de acoplamento m´ınimo.
Com isto, a equa¸c˜ao do campo escalar, neste caso, ser´a dada por
D
µ
D
µ
− m
2
ϕ(x) = 0 , (1.45)
ou ainda
1
√
−g
∂
µ
√
−g g
µν
∂
ν
− m
2
ϕ(x) = 0 , (1.46)
onde g = det(g
µν
).
De fato, podemos verificar que a equa¸c˜ao de Klein-Gordon, escrita nessa forma,
´e covariante sob transforma¸c˜oes gerais de coordenadas.
Uma outra generaliza¸c˜ao covariante da equa¸c˜ao do campo escalar ´e dada por
D
µ
D
µ
− ξR − m
2
ϕ(x) = 0 , (1.47)
onde R = R
µ
µ
´e o escalar de curvatura do espa¸co-tempo, sendo R
µν
o tensor de Ricci,
e ξ uma constante de acoplamento arbitr´aria entre a geometria e o campo. O caso
ξ = 0 corresponde ao acoplamento m´ınimo e ξ = 1/6 corresponde ao acopolamento
conforme em quatro dimens˜oes.
A situa¸c˜ao mais geral ´e aquela em que o campo escalar est´a interagindo com
os campos gravitacional e eletromagn´etico. Neste caso a equa¸c˜ao de campo dever´a
ser modificada apropriadamente. Vimos que, quando a intera¸c˜ao eletromagn´etica ´e
considerada, faz-se necess´ario reescrever a equa¸c˜ao de Klein-Gordon, substituindo
a derivada ordin´aria, ∂
µ
, pela derivada covariante no sentido eletromagn´etico,
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1.3 Equa¸c˜ao de Klein-Gordon na Presen¸ca de Campos Externos 21
∂
µ
+ ieA
µ
, de modo a torn´a-la covariante por transforma¸c˜oes de gauge. Isto deve-se
ao fato que a teoria eletromagn´etica ´e invariante frente a estas transforma¸c˜oes. No
caso em que o campo ϕ(x) est´a interagindo com o campo gravitacional, devemos
trocar a derivada ordin´aria, ∂
µ
, pela derivada covariante gravitacional, D
µ
, de modo
a tornar a equa¸c˜ao de campo covariante covariante por transforma¸c˜oes gerais de
coordenadas. Esta troca deve ser feita para que o princ´ıpio da covariˆancia geral seja
satisfeito. No caso em que o campo ϕ(x) est´a interagindo, simultaneamente, com
os campos eletromagn´etico e gravitacional, as duas condi¸c˜oes citadas anteriormente
devem ser satisfeitas. Combinando estas duas condi¸c˜oes, a prescri¸c˜ao para incluir as
intera¸c˜oes eletromagn´etica e gravitacional ´e efetuar a troca da derivada ordin´aria,
∂
µ
, por D
µ
= ∂
µ
+ieA
µ
na equa¸c˜ao (1.47). Desta forma, a equa¸c˜ao de Klein-Gordon
generalizada ´e dada por:
1
√
−g
D
µ
√
−g g
µν
D
ν
− ξR − m
2
ϕ(x) = 0 . (1.48)
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Cap´ıtulo 2
Monopolos Magn´eticos e Defeitos
Topol´ogicos
2.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo faremos uma breve retrospectiva das id´eias que nortearam o
postulado da poss´ıvel existˆencia na natureza de uma das part´ıculas que tem mais
intrigado os f´ısicos nos ´ultimos setenta e cinco anos: O monopolo magn´etico. Desde
a sua primeira formula¸c˜ao por P. M. Dirac em 1931 [14], passando por Wu e
Yang em 1975 [9], os monopolos magn´eticos tiveram suas existˆencias concebidas
com o objetivo de fornecer uma simetria dual `as equa¸c˜oes de Maxwell para o
eletromagnetismo. Em 1974, G. t‘Hooft e A. M. Polyakov [15], independentemente,
deram um grande avan¸co `a teoria dos monopolos magn´eticos. Eles mostraram
que para teorias de gauge n˜ao-Abelianas que apresenta uma quebra espontˆanea
de simetria, configura¸c˜oes topologicamente est´aveis de monopolos magn´eticos
inevitavelmente ocorrem. Nesse sentido, todas as teorias de grande unifica¸c˜ao
adotadas para descrever o nosso universo, necessariamente contem monopolos. Uma
vez formados, esses objetos continuam existindo at´e os dias de hoje.
22
2.2 Monopolos Magn´eticos 23
Em 1982, D. Gross e M. Perry [7], e Sorkin [8], encontram, a partir das solu¸c˜oes
das equa¸c˜oes de Einstein, a possibilidade dos monopolos magn´eticos existirem em
espa¸cos-tempos planos de dimens˜oes superiores, no contexto do formalismo de
Kaluza-Klein em cinco dimens˜oes.
Mais recentemente, no contexto de teorias grande unificadas, Barriola e Vilenkin
[2], adotaram o modelo proposto por t’Hooft e Polyakov, na ausˆencia de campos de
gauge, e estudaram a influˆencia de solu¸c˜oes topologicamente est´aveis na geometria do
espa¸co-tempo quadri-dimensional. Esses objetos foram denominados por monopolos
globais. A an´alise sobre tais monopolos tamb´em foi estendida para espa¸cos-tempos
de dimens˜oes superiores no contexto de Kaluza-Klein por Banerjee et al [10].
Embora nenhum desses objetos, mopolos magn´eticos, ou locais, e monopolos
globais, tenham sido ainda detectados na natureza, existem muitas pesquisas a
n´ıvel teorico e experimental [16, 17, 18], desenvolvidas no sentido de analisar as
propriedades desses objetos e suas intera¸c˜oes com a mat´eria.
2.2 Monopolos Magn´eticos
Os estudos sobre monopolos magn´eticos tiveram in´ıcio em 1896 quando Poincar`e
[19], inspirado num trabalho sobre movimento anˆomalo de raios cat´odicos na
presen¸ca de uma agulha magnetizada, investigou o movimento de uma carga na
presen¸ca de um polo magn´etico. Em 1904, J. J. Thomson [20, 21, 22, 23] verificou
que um sistema constituido por uma carga el´etrica, e, e um monopolo magn´etico,
g, separados por uma distˆancia
R possuem um momento angular,
L, que pode ser
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2.2 Monopolos Magn´eticos 24
obtido integrando a densidade de momento do campo est´atico
L =
(dr)r ×
P =
(dr)r ×
E ×
B
4πc
=
1
4πc
(dr)r ×
er
r
3
×
g(r −
R)
|r −
R|
3
=
eg
c
ˆ
R . (2.1)
Aplicando o m´etodo de quantiza¸c˜ao semi-cl´assica ao momento angular, obtemos
L ·
ˆ
R =
eg
c
= n
2
, n = 0, ±1, ±2, ... (2.2)
que ´e conhecida como condi¸c˜ao de quantiza¸c˜ao de Dirac, condi¸c˜ao esta que ser´a
obtida mais tarde no contexto da mecˆanica quˆantica. Com isto, a natureza
discretizada da carga el´etrica surge naturalmente como consequˆencia da existˆencia
dos monopolos magn´eticos.
2.2.1 Monopolo de Dirac
Embora tais estudos tenham sido realizados, n˜ao havia sido estabelecida uma
teoria para os monopolos. S´o em 1931 esta teoria surgiu, sendo a mesma proposta
por P. M. Dirac [14]. Ele admitiu a existˆencia de densidades de carga e corente
magn´etica, ρ
m
e
J
m
, em adi¸c˜ao as respectivas densidades el´etricas, ρ
e
e
J
e
, de modo
a tornar as equa¸c˜oes de Maxwell sim´etricas. Com isto, estas equa¸c˜oes tornam-se
∇ ·
E = 4πρ
e
,
∇ ×
B =
1
c
∂
E
∂t
+
4π
c
J
e
,
∇ ·
B = 4πρ
m
, −
∇ ×
E =
1
c
∂
B
∂t
+
4π
c
J
m
.
(2.3)
Podemos ver que (2.3) ´e invariante por tranforma¸c˜ao de dualidade global, ou seja,
se E denota qualquer quantidade el´etrica, tal como
E, ρ
e
ou
J
e
, enquanto M denota
qualquer quantidade magn´etica, tal como
B, ρ
m
ou
J
m
, as qua¸c˜oes de Maxwell s˜ao
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2.2 Monopolos Magn´eticos 25
invariantes sob
E → M, M → −E (2.4)
ou de maneira mais geral,
E → E
′
= E cos θ + Msen θ, M → M
′
= Mcos θ − E sen θ (2.5)
onde θ ´e um ˆangulo real constante. Como consequˆencia desta invariˆancia, podemos
observar que se todas as part´ıculas tiverem a mesma raz˜ao entre a carga el´etrica e
a carga magn´etica existir´a um θ = arctan(g/q), onde q e g s˜ao, respectivamente, as
cargas el´etrica e magn´etica associadas `as part´ıculas, tal que ρ
m
= 0 e
J
m
= 0, e seria
apenas uma quest˜ao de conven¸c˜ao dizer que uma part´ıcula tem carga el´etrica e n˜ao
carga magn´etica. Neste caso, as equa¸c˜oes de Maxwell ficam escritas, conforme s˜ao
usualmente conhecidas.
Na realidade o que esperamos ´e que as raz˜oes entre as cargas el´etrica e magn´etica
das part´ıcuas sejam diferentes, havendo assim a possibilidade da existˆencia de
monopolos magn´eticos.
Para que a equa¸c˜ao
∇ ·
B = 4πρ
m
seja satisfeita, ´e necess´ario que o potencial
vetor,
A, seja singular em alguma regi˜ao do espa¸co, j´a que
B =
∇×
A. Desta forma,
Dirac admitiu que o mesmo apresenta uma linha de singularidade, chamada linha de
Dirac. Admitindo que esta linha esteja sobre o eixo −z, em coordenadas esf´ericas,
o potencial vetor ser´a dado por:
A = g
1 − cos θ
r sen θ
ˆ
φ . (2.6)
(Observamos que esta express˜ao n˜ao est´a definida para θ = π.)
O campo magn´etico gerado por este potencial, para pontos fora da linha de
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2.2 Monopolos Magn´eticos 26
singularidade, ´e ent˜ao
B = g
ˆr
r
2
, (2.7)
que ´e semelhante ao campo el´etrico gerado por uma carga puntual.
Podemos pensar na linha de singularidade como sendo semelhante a um solen´oide
semi-infinito e muito fino, cuja extremidade corresponde ao polo que produz o
campo (2.7). Embora n˜ao exista nenhum experimento cl´assico capaz de detect´a-lo,
poderiamos fazˆe-lo utilizando um processo indireto conhecido como efeito Aharanov-
Bohm. Este efeito consiste na an´alise de interferˆencia em que a fun¸c˜ao de onda ψ de
um feixe de el´etrons adquire uma fase devido a presen¸ca do solen´oide, confinando
um campo magn´etico, colocado entre as fendas de um experimento de fenda dupla,
como mostra a figura (2.1). O padr˜ao de interferˆencia formado no anteparo deve-se `a
Fonte
1
2
S
Figura 2.1: Experiˆencia de Aharanov-Bohm.
superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes de onda dos feixes de el´etrons que passam pelos caminhos
1 e 2 respectivamente. Assim, a densidade de probabilidade de encontrarmos os
el´etrons em algum ponto do anteparo, na ausˆencia do solen´oide, ser´a dada por:
P = |ψ
1
+ ψ
2
|
2
, (2.8)
onde ψ
1
e ψ
2
s˜ao as fun¸c˜oes de onda dos feixes que passam pelos caminhos 1 e 2
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2.2 Monopolos Magn´eticos 27
respectivamente. Ao introduzirmos o solen´oide as novas fu¸c˜oes de onda apresentam
fases adicionas, e
iS
1
e e
iS
2
, associadas `as integrais de caminho do potencial vetor
A
ao longo das trajet´orias dos el´etrons. Desta forma, a densidade de probabilidade, ir´a
depender de ∆S = S
1
−S
2
= eΦ, onde e ´e a carga do el´etron, e Φ o fluxo magn´etico
atrav´es do solen´oide, que para o campo (2.7) ´e 4πg. Assim, a nova densidade de
probabilidade ser´a:
P = |ψ
1
e
i4πeg
+ ψ
2
|
2
(2.9)
Portanto, se o solen´oide estiver em movimento, poderemos detect´a-lo observando
as mudan¸cas nas franjas de interferˆencia no anteparo. Esta detec¸c˜ao s´o n˜ao seria
poss´ıvel se o fator de fase que aparece multiplicando ψ
1
fosse igual a unidade, ou
seja, e
i4πeg
= 1. Assim obtemos a condi¸c˜ao de quantiza¸c˜ao de Dirac:
ge =
n
2
, n ∈ Z , (2.10)
onde usamos o sistema natural de unidades, isto ´e, = c = 1.
Se esta condi¸c˜ao for satisfeita, n˜ao existe nenhum experimento capaz de detectar
a existˆencia do solen´oide. Como dissemos anteriormente, este ´e um dos resultados
mais interessantes desta teoria, pois, neste caso a quantiza¸c˜ao da carga el´etrica surge
como consequˆencia da existˆencia de uma carga magn´etica.
2.2.2 Monopolo de Wu-Yang
Embora a teoria de Dirac seja boa para descrever os monopolos, ela apresenta o
problema da linha de singularidade. Assim, em 1975, Wu e Yang [9] apresentaram
uma nova formula¸c˜ao para descrever o monopolo onde o potencial vetor est´a livre de
singularidades. Eles discreveram o espa¸co ℜ
3
atrav´es de duas regi˜oes R
a
e R
b
que se
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2.2 Monopolos Magn´eticos 28
superp˜oem e cobrem todo o espa¸co, e definiram o potencial vetor
A em cada regi˜ao
livre de singularidades. Usando coordenadas esf´ericas com o monopolo na origem,
eles escolheram:
R
a
: 0 ≤ θ <
1
2
π + δ, r > 0, 0 ≤ φ < 2π ,
R
b
:
1
2
π − δ < θ ≤ π, r > 0, 0 ≤ φ < 2π ,
R
ab
:
1
2
π − δ < θ <
1
2
π + δ, r > 0, 0 ≤ φ < 2π ,
(2.11)
com 0 < δ ≤
1
2
π, sendo R
ab
a regi˜ao de superposi¸c˜ao.
As componentes n˜ao nulas do potencial vetor em cada regi˜ao s˜ao
(A
φ
)
a
= g(1 − cos θ) , (A
φ
)
b
= −g(1 + cos θ) ,
(2.12)
sendo g a carga do monopolo. Na regi˜ao de superposi¸c˜ao, R
ab
, as componentes n˜ao
nulas do potencial vetor se relacionam segundo uma transforma¸c˜ao de gauge
(A
φ
)
a
= (A
φ
)
b
+
i
e
S∂
φ
S
−1
, (2.13)
onde S = e
2iqφ
´e o fator de fase da transforma¸c˜ao de gauge e q = eg = n/2 no
sistema natural de unidades = c = 1.
1
Finalmente, podemos observar que a express˜ao para o campo magn´etico, dada
por
B =
∇ ×
A , (2.14)
1
Schwinger [24] e Zwanziger [25], generalizaram a condi¸c˜ao de Dirac para permitir a
possibilidade do monopolo apresentar carga el´etrica. A an´alise quˆantica de duas part´ıculas com
cargas el´etrica e magn´etica (q
1
, g
1
) e (q
2
, g
2
) fornecem a rela¸c˜ao q
1
g
2
−q
2
g
1
= n/2. Esta condi¸c˜ao
de quantiza¸c˜ao apenas determina a diferen¸ca entre as duas cargas el´etricas.
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 29
aplicada a cada regi˜ao separadamente, fornece
B = g
ˆr
r
2
. (2.15)
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger na presen¸ca do monopolo de Wu-Yang
depende fortemente do conceito de se¸c˜ao. Para isto introduziremos de forma breve
este conceito: Vamos admitir que o espa¸co ℜ
3
seja coberto por sub-espa¸cos que se
superp˜oem de tal forma que a uni˜ao destes sub-espa¸cos seja igual ao ℜ
3
. Uma se¸c˜ao
´e um objeto matem´atico que assume express˜oes diferentes nas diversas sub-regi˜oes,
entretanto, na regi˜ao de superposi¸c˜ao elas se relacionam segundo um fator de fase
de gauge. No caso espec´ıfico, tratado acima, o ℜ
3
fica descrito pelas sub-regi˜oes
dadas em (2.11). Assim a equa¸c˜ao de Schr¨odinger deve ser escrita nas duas regi˜oes
apresentando, desta maneira, solu¸c˜oes distintas. Sejam ψ
a
e ψ
b
as solu¸c˜oes em R
a
e
R
b
, ent˜ao, na regi˜ao de superposi¸c˜ao R
ab
, teremos:
ψ
a
= Sψ
b
. (2.16)
onde S ´e o mesmo que aparece em (2.13).
2.3 Teoria de Kaluza-Klein
Em 1921 T. Kaluza [5] propˆos um formalismo tensorial para unificar a gravita¸c˜ao
e o eletromagnetismo em uma estrutura geom´etrica de uma variedade penta
dimensional.
A id´eia b´asica ´e que o espa¸co-tempo possui cinco dimens˜oes, onde quatro
s˜ao tipo-espa¸co e uma tipo-tempo. Desta forma, admitindo que as componentes
do tensor m´etrico, g
AB
, independem da quinta coordenada, x
5
, ou seja, que
∂
5
g
AB
= 0, condi¸c˜ao esta chamada de condi¸c˜ao de cilindricidade, verificamos que
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 30
as componentes extras do tensor m´etrico, g
5µ
, se transformam como um campo
vetorial de gauge. Assim, Kaluza identificou g
5µ
como sendo proporcional ao quadri-
potencial vetor eletromagn´etico o qual passa a ser parte integrante da geometria. O
elemento de linha em cinco dimens˜oes, ´e dado por
2
ds
2
= g
AB
(x
µ
) dx
A
dx
B
. (2.17)
Desta forma, o tensor m´etrico pode ser expresso como
g
AB
=
g
(4)
µν
g
µ5
g
5ν
g
55
. (2.18)
Em virtude da condi¸c˜ao de cilindricidade, os s´ımbolos de Christoffel de primeira
esp´ecie para g
AB
ser˜ao dados por
2Γ
λµν
= g
λµ,ν
+ g
νλ,µ
− g
µν,λ
,
2Γ
λµ5
= g
5λ,µ
− g
µ5,λ
,
2Γ
5µν
= g
5µ,ν
+ g
ν5,µ
,
2Γ
5µ5
= g
55,µ
,
2Γ
55ν
= g
55,ν
,
2Γ
555
= 0 .
(2.19)
O tensor de Riemann ´e
R
K
LMN
= ∂
M
Γ
K
LN
− ∂
N
Γ
K
LM
+ Γ
K
JM
Γ
J
LN
− Γ
K
JN
Γ
J
LM
. (2.20)
Com o intuito de explicar o fato da quinta dimens˜ao n˜ao ser observada
2
Adotaremos que ´ındices latinos mai´usculos podem assumir valores 0, 1, 2, 3, 5, ´ındices gregos
0, 1, 2, 3 e ´ındices latinos min´usculos 1, 2, 3. Assumiremos tamb´em que a assinatura de g
AB
´e
(−, +, +, +, +).
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 31
experimentalmente, em 1926, Oscar Klein [6] propˆos que a quinta dimens˜ao tenha
uma topologia circular. Neste caso a coordenada x
5
´e peri´odica com per´ıodo
0 ≤ x
5
≤ 2πR, onde R ´e o raio do c´ırculo S
1
. Desta maneira, o espa¸co global
tem uma topologia M
4
× S
1
. Em outras palavras o que Klein fez foi associar
um pequeno c´ırculo a cada ponto do espa¸co-tempo quadri-dimensional. Esta ´e a
chamada compactifica¸c˜ao de Kaluza-Klein.
A a¸c˜ao de Einstein-Hilbert, em cinco dimens˜oes, ´e dada por
S = −
1
16πG
k
d
5
x
−g
(5)
R
(5)
(2.21)
onde R
(5)
(g
AB
) ´e o escalar de curvatura em cinco dimens˜oes da m´etrica g
AB
, e G
K
´e a constante gravitacional em cinco dimen¸c˜oes.
Na ausˆencia de fontes as equa¸c˜oes de movimento s˜ao naturalmente R
AB
= 0. A
suposi¸c˜ao de Kaluza-Klein ´e que o v´acuo correto da teoria ´e o espa¸co M
4
×S
1
, isto
´e, o produto do espa¸co de Minkowski quadri-dimensional com um c´ırculo de raio R.
Uma outra possibilidade seria que o v´acuo da teoria fosse o espa¸co de Minkowski
penta-dimensional M
5
. Como na relatividade geral n˜ao podemos comparar a energia
destas duas solu¸c˜oes o ´unico crit´erio ´e a estabilidade. Classicamente ambos os v´acuos
s˜ao est´aveis, contudo Witten mostrou [26] que M
4
× S
1
´e um ”falso v´acuo”que
decai quanticamente para M
5
. Entretanto, este v´acuo pode ser estabilizado com a
introdu¸c˜ao de campos fermiˆonicos [26].
Uma outra abordagem mais moderna sobre a dependˆencia das quantidades f´ısicas
com a quinta coordenada, x
5
, ´e admitir que as mesmas podem ser expandidas em
s´erie de Fourier como segue
g
AB
(x
µ
, x
5
) =
+∞
n=−∞
g
(n)
AB
(x
µ
)e
inx
5
/R
, (2.22)
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 32
onde todos os modos com n = 0 ter˜ao energia maior que hc/R .
3
Desta
maneira, a teoria efetiva para baixas energias pode ser obtida considerando que
a m´etrica, g
AB
, ´e independente de x
5
. Com estas condi¸c˜oes a teoria ´e invariante
sob transforma¸c˜oes gerais de coordenadas, x
µ
→ x
′µ
(x
ν
), que sejam independentes
de x
5
. Em adi¸c˜ao a estas transforma¸c˜oes, temos uma transforma¸c˜ao de gauge local
U(1), x
5
→ x
5
+ Λ(x
µ
), sob a qual g
µ5
(x) se transforma como um campo vetorial de
gauge
g
µ5
(x) → g
µ5
(x) + g
55
(x)∂
µ
Λ . (2.23)
Desta maneira, a teoria para baixas energias seria uma teoria da gravidade
quadri-dimensional mais uma teoria de gauge U (1), ou seja, o eletromagnetismo, com
modo n˜ao massivo de g
µν
(g
µ5
) correspondendo ao graviton (f´oton). Para exibirmos
a teoria de baixa energia escrevemos a m´etrica como segue
g
AB
=
g
µν
+ A
µ
A
ν
V A
µ
V
A
ν
V V
, g
AB
=
g
µν
−A
µ
−A
ν
V
−1
+ A
λ
A
λ
,
g
5
= det g
AB
= det g
µν
· V ≡ g
4
V ,
ds
2
= g
µν
dx
µ
dx
ν
+ V (dx
5
+ A
µ
dx
µ
)
2
. (2.24)
onde os campos g
µν
(x
α
), A
µ
(x
α
) e V (x
α
) se transformam como um tensor, um vetor
e um escalar, respectivamente, sob transforma¸c˜oes gerais de coordenadas.
O escalar de curvatura em cinco dimens˜oes, R
(5)
, pode ser expresso em termos
do escalar de curvatura quadri-dimensional, R
(4)
, do tensor intensidade de campo,
3
O raio do c´ırculo na quinta dimens˜ao, R, n˜ao pode ser determinado pelas equa¸c˜oes cl´assicas
de movimento, visto que qualquer c´ırculo ´e plano. Mostraremos posteriormente que uma an´alise
quˆantica pode fornecer uma estimativa para o valor deste raio.
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 33
F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
, e do campo escalar V , por:
R
(5)
= R
(4)
+
1
4
V F
µν
F
µν
−
2
V
1/2
✷V
1/2
(2.25)
Desta maneira, a teoria efetiva para baixas energias ´e descrita pela a¸c˜ao quadri-
dimensional,
S = −
1
16πG
d
4
x
−g
(4)
V
1/2
R
(4)
+
1
4
V F
µν
F
µν
(2.26)
onde desprezamos a contribui¸c˜ao de V , por ser um termo de superf´ıcie, e
G =
G
K
2πR
(2.27)
´e a constante gravitacional newtoniana.
O raio R da quinta dimens˜ao pode ser determinado, numa an´alise quˆantica, a
partir da carga el´etrica. Consideremos um campo escalar complexo φ cuja a¸c˜ao ´e
S =
d
5
x
√
−g
5
(∂
A
φ)(∂
B
φ
†
)g
AB
. Admitindo que φ pode ser expandido em s´erie de
Fourier,
φ(x
µ
, x
5
) =
+∞
n=−∞
φ
(n)
(x
µ
)e
inx
5
/R
, (2.28)
obtemos para o integrando:
(∂
A
φ)(∂
B
φ
†
)g
AB
=
+∞
n=−∞
∂
µ
+ i
n
R
A
µ
φ
(n)
2
+ V
−1
n
2
R
2
|φ
(n)
|
2
+ ... (2.29)
Desta forma, verificamos que o campo se comporta como uma part´ıcula carregada
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 34
com carga
4
q
(n)
=
√
16πGn/R e massa µ = n/R. Assim,
α =
e
2
4πc
=
4G
c
3
R
2
, R =
2
√
α
G
c
3
∼
=
3.7 × 10
−32
cm . (2.30)
Consideremos agora uma part´ıcula teste de massa m. Sua a¸c˜ao ´e dada por
S = µ
dτ
g
AB
dx
A
dτ
dx
B
dτ
1/2
, (2.31)
e o movimento ´e descrito por uma geod´esica em cinco dimens˜oes
d
2
x
A
dτ
2
+ Γ
A
BC
dx
B
dτ
dx
C
dτ
= 0 . (2.32)
Desde que o espa¸co-tempo possua um vetor de Killing,
K = K
A
∂
∂x
A
=
∂
∂x
5
(2.33)
temos ent˜ao que K
A
dx
A
dτ
´e uma constante de movimento. Desta forma, uma primeira
integral da equa¸c˜ao (2.32) ´e
K
A
dx
A
dτ
= V
dx
5
dτ
+ A
µ
dx
µ
dτ
≡
q
µ
. (2.34)
As outras equa¸c˜oes ser˜ao dadas por
µ
d
2
x
µ
dτ
2
+ Γ
µ (4)
αβ
dx
α
dτ
dx
β
dτ
= qF
µ
ν
dx
ν
dτ
+
q
2
2µ
∂
µ
V
V
2
. (2.35)
Identificamos o lado direito da equa¸c˜ao acima como sendo a for¸ca de Lorentz, se
q
√
16πG for a carga da part´ıcula, mais um termo de intera¸c˜ao com o campo escalar
V .
4
Devemos observar que o campo de gauge A
µ
que aparece em (2.24) n˜ao ´e o campo f´ısico o qual
´e dado por A
F
µ
= (16πG)
−1
A
µ
.
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 35
2.3.1 Monopolo de Gross-Perry
Gross e Perry [7], e Sorkin [8] apresentaram uma solu¸c˜ao tipo soliton
5
para as
equa¸c˜oes cl´assicas de campo na teoria de Kaluza-Klein, em cinco dimens˜oes, que
correspode a um monopolo magn´etico.
Em quatro dimens˜oes, utilizando uma assinatura Minkowiskana, as equa¸c˜oes
R
µν
= 0 n˜ao apresentam solu¸c˜oes solitˆonicas [27]. Contudo, isto n˜ao ´e verdade no
caso do n´umero de dimens˜oes espaciais ser maior que trˆes. Sabemos que as teorias
de gauge abelianas admitem a existˆencia do monopolo de Dirac. Como a teoria
de Kaluza-Klein cont´em o eletromagnetismo, experamos que elas admitam tamb´em
solu¸c˜oes com carga magn´etica.
Para construir tais solu¸c˜oes os autores citados acima, consideraram a m´etrica
est´atica com ∂/∂t como vetor de Killing, ou seja,
∂g
AB
∂t
= 0, e consideraram tamb´em
que g
0A
= δ
0A
para termos uma m´etrica ultra-est´atica. Desta forma, na ausˆencia de
fontes, temos que as equa¸c˜oes de campo ser˜ao dadas por
R
AB
= 0 . (2.36)
A solu¸c˜ao solitˆonica mais simples para o monopolo magn´etico ´e uma
generaliza¸c˜ao da solu¸c˜ao Taub-NUT euclideana auto-dual [28] que ´e descrita pelo
seguinte elemento de linha:
ds
2
= −dt
2
+ V (dr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sen
2
θdφ
2
) +
1
V
dx
5
+ 4m(1 − cos θ)dφ
2
,(2.37)
com
V (r) = 1 +
4m
r
, m ≥ 0 , (2.38)
5
Solitons s˜ao solu¸c˜oes n˜ao singulares das equa¸c˜oes cl´assicas de campo que representam um
aglomerado de mat´eria e/ou energia espacialmente localizado e topologicamente est´avel.
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 36
onde (r, θ, φ) s˜ao as coordenadas polares esf´ericas. O sub-espa¸co resultante ao
fazermos dt = 0 ´e o instanton Taub-NUT. Teriamos uma singularidade coordenada
em r = 0, chamada singularidade NUT, entretanto esta singularidade est´a ausente
se x
5
for peri´odica com per´ıodo 16πm [29]. Como queremos que esta solu¸c˜ao se
aproxime do v´acuo para r grande devemos identificar 2πR com 16πm. Desta forma,
encontramos
m =
R
8
=
√
πG
2e
. (2.39)
O campo de gauge, A
µ
, ´e exatamente o de um monopolo de Dirac
A
φ
= 4m(1 − cos θ) , (2.40)
e fornece o seguinte campo magn´etico
B =
∇ ×
A =
1
V (r)
4m
r
2
ˆr . (2.41)
Este campo de gauge apresenta uma linha de singularidade partindo da posi¸c˜ao do
monopolo, em r = 0, at´e o infinito. Tal singularidade ser´a artificial se o per´ıodo
de x
5
for igual a 16πm. Este ´e o an´alogo geom´etrico da quantiza¸c˜ao de Dirac. A
m´etrica ´e regular no semi-eixo θ = 0, mas apresenta uma singularidade em θ = π
visto que o termo (1 − cos θ) n˜ao se anula. Usando a mudan¸ca de coordenadas
¯x
5
= x
5
+ 8mφ, temos:
dx
5
+ 4m(1 − cos θ)dφ = d¯x
5
− 8mdφ + 4m(1 − cos θ)dφ
= d¯x
5
− 4m(1 + cos θ)dφ , (2.42)
ou seja, a transforma¸c˜ao de gauge muda a linha de singularidade e a m´etrica torna-se
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2.3 Teoria de Kaluza-Klein 37
regular em θ = π mas n˜ao em θ = 0. Desta maneira, podemos usar duas cartas:
(t, r, θ, φ, x
5
) para cobrir o hemisf´erio norte e (t, r, θ, φ, ¯x
5
) para cobrir o hemisf´erio
sul. Como x
5
e φ s˜ao peri´odicas com per´ıodo 2πR e 2π respectivamente, devemos
ter que 2πR = 16πm.
A carga magn´etica do monopolo est´a fixada pelo raio, R, do c´ırculo de Kaluza-
Klein. Se considerarmos o campo magn´etico f´ısico,
B
F
= (16πG)
−1/2
B, temos:
g =
4m
√
16πG
=
R
2
√
16πG
=
1
2e
. (2.43)
Desta maneira vemos que o monopolo tem unidades de carga de Dirac, e que o
parˆametro m est´a associado `a carga magn´etica.
Gross e Perry tamb´em apresentaram uma solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein, no
v´acuo, em cinco dimens˜oes, R
AB
= 0, que corresponde a m´ultiplos monopolos. Esta
solu¸c˜ao apresenta um elemento de linha similar ao (2.37), o qual ´e dado por
ds
2
= −dt
2
+ V (dr
2
+ r
2
dΩ
2
) +
1
V
[dx
5
+ A
l
dx
l
]
2
, (2.44)
com
V (r) = 1 +
N
l=1
4m
|r −r
l
|
. (2.45)
Tal solu¸c˜ao define uma variedade regular com N s´olitons em repouso em r = r
l
.
Contanto que m =
1
8
R, n˜ao h´a singularidade em r = 0 ou r = r
l
. Eles ainda
calcularam a massa para a configura¸c˜ao de monopolos e mostraram que a mesma ´e
igual a NM. Isto claramente descreve uma configura¸c˜ao est´atica de N monopolos
n˜ao interagentes.
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 38
2.4 Defeitos Topol´ogicos
Defeitos topol´ogicos s˜ao objetos que surgem em teoria de campos a partir da
quebra espontˆanea de simetria de gauge de um sistema f´ısico, que apresenta um
conjunto de estados de v´acuo degenerados. Algums destes defeitos, tais como
monopolos, cordas c´osmicas, paredes de dom´ınio, etc, podem ter sido formados nas
transi¸c˜oes de fase que ocorreram nos momentos iniciais da hist´oria do Universo. Na
Astrof´ısica estes objetos tornam-se relevantes no contexto de forma¸c˜ao de grandes
estruturas [30]. Objetos an´alogos, tais como desloca¸c˜oes, desclina¸c˜oes, v´ortices em
h´elio l´ıquido, etc, s˜ao tamb´em encontrados em sistemas de mat´eria condensada onde
s˜ao um fenˆomeno muito estudado [31].
A id´eia b´asica ´e que as simetrias de gauge associadas a estas teorias, resultaram
de um grupo de Lie de simetria maior, G, ap´os uma s´erie de quebras espontˆaneas
de simetria, tais como o grupo da teoria de grande unifica¸c˜ao:
G −→ H −→ SU
C
(3) × SU(2) × U
Y
(1) −→ SU
C
(3) × U
EM
(1) .
No contexto cosmol´ogico, isto implica que o Universo primitivo passou por uma
s´erie de transi¸c˜oes de fase onde as simetrias foram espontaneamente quebradas
surgindo assim os defeitos topol´ogicos.
2.4.1 Quebra Espontˆanea de Simetria de Gauge
Consideremos a densidade Lagrangiana para um campo escalar complexo, φ(x),
dada a seguir:
L = (∂
ν
φ)(∂
ν
φ
∗
) − V (φ) . (2.46)
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 39
onde o potencial V (φ) ´e dado por:
V (φ) = µ
2
φφ
∗
+ λ(φφ
∗
)
2
. (2.47)
Podemos ver que L ´e invariante por uma transforma¸c˜ao global de gauge
φ(x) → φ
′
(x) = e
iα
φ(x) (2.48)
onde x
µ
representa um quadri-vetor posi¸c˜ao e α ´e uma constante arbitr´aria.
O termo de energia cin´etica em L ´e positivo e ser´a nulo apenas se φ = cte. Assim,
o estado fundamental ser´a dado pelo m´ınimo de V (φ).
Para que V (φ) seja limitado inferiormente ´e necess´ario que se tenha λ > 0. Desta
forma, teremos duas situa¸c˜oes distintas:
1. Na primeira situa¸c˜ao mostrada na Fig. 2.2 temos µ
2
> 0. Neste caso o m´ınimo
do potencial ocorre para φ
0
= 0, n˜ao apresentando assim quebra espontˆanea
de simetria de gauge.
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
–10
10
y
–15
–10
–5
5
10
15
x
Figura 2.2: Potˆencial V (φ) com µ
2
> 0.
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 40
2. Na segunda situa¸c˜ao mostrada na Fig. 2.3 temos µ
2
< 0. O m´ınimo
do potencial ´e obtido para φ
0
= 0 sendo infinitamente degenerado, o que
possibilita uma quebra espontˆanea de simetria, pois o estado fundamental n˜ao
preserva a mesma simetria da Lagrangeana.
–20000
20000
40000
–10
10
y
–15–10–5
51015
x
Figura 2.3: Potencial V (φ) com µ
2
< 0.
Por conveniˆencia, para o caso (2), podemos escrever V (φ) a menos de uma
constante como sendo
V (φ) = λ(φφ
∗
− C
2
)
2
, (2.49)
de modo que |φ
0
|
2
= C
2
fornece V (φ
0
) = 0, que representa o estado de mais baixa
energia do sistema.
O v´acuo, estado de mais baixa energia, de V (φ) ser´a dado por
φ
0
= Ce
iα
o
(2.50)
onde C =
|µ
2
|
2λ
e α
o
´e um n´umero real arbitr´ario.
Se aplicarmos a transforma¸c˜ao global de gauge (2.48) em (2.50), verificamos que
a fase do estado fundamental ´e modificada para α + α
o
. Ou seja, o v´acuo n˜ao possui
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 41
a mesma simetria da Lagrangeana. Visto que todos os sistemas f´ısicos alcan¸cam o
equil´ıbrio no v´acuo, dizemos que ocorreu uma quebra espontˆanea de simetria.
Como todos os estados de v´acuo s˜ao equivalentes, j´a que eles podem ser obtidos
um a partir do outro aplicando a transforma¸c˜ao (2.48), podemos escolher α
o
= 0.
Assim, o campo pode ser representado por:
φ = C +
1
√
2
(ξ + iχ), (2.51)
onde ξ e χ s˜ao campos reais com valores esperados no v´acuo nulos. Substituindo
(2.51) na densidade de Lagrangeana (2.46), teremos:
L =
1
2
(∂
ν
ξ)
2
+
1
2
(∂
ν
χ)
2
− 2λC
2
ξ
2
− L
int
, (2.52)
onde o termo de intera¸c˜ao L
int
inclui termos c´ubicos e de ordem superior em ξ
e χ. Da express˜ao acima podemos ver que o campo ξ adquire uma massa dada
por m
2
ξ
= 4λC
2
= 2|µ
2
| e o campo χ n˜ao tem massa o qual ´e chamado de b´oson
de Goldstone. Vemos que, inicialmente o grupo de simetria global de gauge era
U(1), o qual foi espontˆaneamente quebrado. O surgimento do b´oson de Goldstone
´e uma consequˆencia da quebra espontˆanea de simetria global de gauge que pode ser
expressa no seguinte teorema:
”Teorema de Goldstone: Dado um grupo de simetria cont´ınua qualquer, para
cada gerador deste grupo quebrado, num processo de quebra espontˆanea de simetria,
aparece um b´oson escalar sem massa”.
2.4.2 Corda C´osmica
Uma corda c´osmica ´e um objeto que pode ser obtido a partir de uma distribui¸c˜ao
infinitamente concentrada de mat´eria, com densidade linear de massa µ. No caso
em que tal distribui¸c˜ao est´a localizada sobre o eixo z o tensor energia-momento, em
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 42
coordenadas cil´ındricas, ´e dado por
T
µ
ν
= µ diag(1, 0, 0, 1)δ
(2)
(ρ), (2.53)
onde δ
(2)
(r) ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac em duas dimens˜oes.
Queremos que a distribui¸c˜ao acima, (2.53), gere uma geometria com simetria
cil´ındrica. Desta forma, o elemento de linha mais geral, em coordenadas polares
cil´ındricas (ρ, φ, z), apresentando tal simetria e uma invariˆancia por um boost de
Lorentz na dire¸c˜ao z e t, ser´a dado por
ds
2
= −A
2
(ρ)dt
2
+ dρ
2
+ B
2
(ρ)dφ
2
+ A
2
(ρ)dz
2
. (2.54)
Substituindo (2.53) e (2.54) nas equa¸c˜oes de Einstein, dadas abaixo:
R
µ
ν
−
1
2
g
µ
ν
R = 8πGT
µ
ν
, (2.55)
obtemos um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais, n˜ao lineares, cuja solu¸c˜ao fornece o
seguinte elemento de linha
ds
2
= −dt
2
+ dρ
2
+ b
2
ρ
2
dϕ
2
+ dz
2
, (2.56)
onde b = 1 − 4Gµ e G a constante gravitacional newtoniana. A quantidade Gµ
tem grande importˆancia na teoria de cordas, pois, ela caracteriza a intensidade da
intera¸c˜ao gravitacional e seu valor, obtido a partir de Teorias de Grande Unifica¸c˜ao
(GUT), ´e da ordem de 10
−6
ou 10
−7
.
A geometria acima descrita apresenta muitas caracter´ısticas interessantes, tais
como:
• ausˆencia de potencial gravitacional newtoniano, embora, isto n˜ao implique na
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 43
ausˆencia de efeitos gravitacionais [32];
• d´eficit de ˆangulo planar igual a ∆ϕ = 8πGµ [33];
• pode atuar como lente gravitacional [30];
• an´alogo gravitacional do efeito Aharonov-Bohm [34];
• auto-intera¸c˜ao eletrost´atica [35].
Figura 2.4: D´efcit de ˆangulo planar.
Uma outra caracter´ıstica que iremos destacar ´e a auto-intera¸c˜ao eletrost´atica
sobre a qual uma part´ıcula eletricamente carregada fica sujeita quando colocada
nesse espa¸co-tempo. A origem desta auto-intera¸c˜ao encontrasse na geometria cˆonica
desse espa¸co-tempo que deforma as linhas de campo el´etrico da part´ıcula fazendo
com que a mesma fique sujeita a uma auto-for¸ca.
O potencial de auto-intera¸c˜ao ´e dado por [38]
U =
K(b)
ρ
, (2.57)
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 44
onde
K(b) = q
2
κ(b)
2
, (2.58)
sendo q a carga da part´ıcula. O fator num´erico κ(b) ´e um n´umero positivo para
b < 1 e nulo para b = 1.
2.4.3 V´ortices Abelianos
Na se¸c˜ao anterior obtivemos o elemento de linha associado a uma corda c´osmica,
que descreve um espa¸co-tempo com um d´efcit angular planar. Nesta se¸c˜ao,
apresentaremos o modelo de Niesen-Olesen para v´ortices abelianos
6
que, no contexto
da relatividade geral, gera uma extrutura geom´etrica semelhante a de uma corda
c´osmica, sendo assim, um forte candidato para descrevˆe-las.
Em 1973, Nielsen e Olesen mostraram que ´e poss´ıvel obter v´ortices a partir de
uma teoria relativ´ıstica de campos [36]. Eles usaram a densidade de lagrangiana do
modelo Abeliano de Higgs, dada por
L = −
1
4
F
µν
F
µν
+
1
2
(D
µ
φ)
∗
(D
µ
φ) −
1
4
λ
φφ
∗
−
m
2
λ
, (2.59)
onde D
µ
= ∂
µ
− ieA
µ
´e a derivada covariante, F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
´e o tensor
intensidade de campo e λ ´e a constante de auto-acoplamento. Podemos ver que
esta densidade de lagrangiana apresenta uma simetria local de gauge U(1). As
configura¸c˜oes de v´ortices podem ser obtidas a partir do ansatz
A
o
= 0,
A = A(ρ)
ˆ
θ, φ(ρ, θ) = f(ρ)e
inθ
, ρ
2
= x
2
+ y
2
, (2.60)
o qual representa um fluxo de campo magn´etico ao longo do eixo-z. O n´umero
6
V´ortices s˜ao configura¸c˜oes de campos magn´eticos lineares formando uma extrutura tipo tubo.
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 45
n ´e um inteiro chamado vorticidade. Analisando as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange,
verificamos que as fun¸c˜oes A(ρ) e f(ρ) admitem as seguintes formas assint´oticas,
A(ρ) →
n
eρ
e f(ρ) → 1 , (2.61)
para grandes valores de ρ e
A(ρ) → ρ
2|n|+1
e f(ρ) → f
o
ρ
|n|
, (2.62)
para ρ tendendo a zero.
Garfinkle, em 1985, estudou os efeitos gravitacionais associados aos v´ortices de
Nielsen-Olesen [37]. Com esta finalidade, ele usou o tensor energia-momento, T
µν
,
obtido a partir da densidade de lagrangiana (2.59), no contexto da relatividade geral,
como fonte das equa¸c˜oes de Einstein. Admitindo que a variedade apresenta simetria
cil´ındrica, ele escreveu o elemento de linha como segue:
ds
2
= −e
a
dt
2
+ dρ
2
+ e
c
dθ
2
+ e
b
dz
2
, (2.63)
onde os parˆametros a, b e c s˜ao fun¸c˜oes de ρ satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes de
contorno:
a(0) = b(0) = 0 , lim
ρ→0
e
c
ρ
2
= 1 . (2.64)
Posteriormente, Linet [38], em 1986, tomando o limite em que os parˆametros
e, λ → ∞ mantendo a raz˜ao e
2
/8λ = cte, mostrou que o tensor energia momento
utilizado por Garfinkle fornece a mesma distribui¸c˜ao da express˜ao (2.53). Assim, a
estrutura gerada por tais v´ortices ´e an´aloga a de uma corda c´osmica.
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 46
2.4.4 Monopolo Global
Monopolos globais s˜ao objetos pesados formados na transi¸c˜ao de fase de um
sistema composto por um tripleto de campos escalares auto-aclopados, φ
a
(x) onde
a = 1, 2, 3, cuja simetria global original O(3) ´e espontaneamente quebrada para
U(1).
O modelo mais simples para tais objetos foi proposto por Barriola e Vilenkin [2],
o qual ser´a representado pela seguinte densidade de lagrangiana
L = −
1
2
(∂
ν
φ
a
)(∂
ν
φ
a
) −
λ
4
(φ
a
φ
a
− η
2
)
2
. (2.65)
A configura¸c˜ao do campo que descreve o monopolo ´e
φ
a
= ηf(r)
x
a
r
, (2.66)
onde x
a
x
a
= r. Para termos quebra espontˆanea de simetria de gauge, devemos
impor a condi¸c˜ao de que no infinito, φ
a
φ
a
→ η
2
, onde η ´e a escala de energia onde
se d´a a quebra de simetria. Assim, devemos impor a condi¸c˜ao de que f(r)
r→∞
−→ 1.
A m´etrica est´atica mais geral com simetria esf´erica pode ser escrita como
ds
2
= −B(r)dt
2
+ A(r)dr
2
+ r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
) . (2.67)
Das equa¸c˜oes de Euler-Lagrange obtemos a seguinte equa¸c˜ao para o campo f (r)
na m´etrica (2.67):
1
A
f
′′
+
2
Ar
+
1
2B
B
A
′
f
′
−
2f
r
2
− λη
2
f(f
2
− 1) = 0 , (2.68)
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 47
onde a linha indica uma derivada com respeito a vari´avel r.
O tensor energia-momento T
ν
µ
associado ao campo de mat´eria ´e obtido a partir
da seguinte express˜ao:
T
ν
µ
=
∂L
∂(∂
ν
φ
a
)
(∂
µ
φ
a
) − δ
ν
µ
L . (2.69)
Na m´etrica (2.67) as componentes n˜ao nulas de T
ν
µ
ser˜ao dadas por:
T
t
t
= −η
2
f
2
r
2
+
(f
′
)
2
2A
+
λ
4
η
2
(f
2
− 1)
2
,
T
r
r
= −η
2
f
2
r
2
−
(f
′
)
2
2A
+
λ
4
η
2
(f
2
− 1)
2
, (2.70)
T
θ
θ
= T
ϕ
ϕ
= −η
2
(f
′
)
2
2A
+
λ
4
η
2
(f
2
− 1)
2
.
Fora do n´ucleo do monopolo f(r) ∼ 1 e o tensor energia-momento pode ser
aproximado por
T
t
t
∼ T
r
r
∼ −
η
2
r
2
, T
θ
θ
= T
ϕ
ϕ
∼ 0 . (2.71)
A solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein ficam dadas por
ds
2
= −dt
2
+
dr
2
α
2
+ r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
) , (2.72)
onde α
2
= 1 − 8πGη
2
< 1. Admitindo o tensor m´etrico acima para todo o espa¸co,
o mesmo descreve um defeito topol´ogico pontual idealizado.
O espa¸co-tempo descrito por (2.72) tem algumas caracter´ısticas muito
interessantes, como por exemplo:
• o espa¸co-tempo n˜ao ´e plano, ou seja, R = R
ν
ν
= 2
(1−α
2
)
r
2
;
• n˜ao apresenta potencial newtoniano, pois g
tt
= −1;
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2.4 Defeitos Topol´ogicos 48
• a superf´ıcie θ =
π
2
tem a geometria de um cone com deficit angular ∆ϕ =
8π
2
Gη
2
;
• o ˆangulo s´olido de uma esfera de raio unit´ario ´e 4πα
2
, portanto menor do que
4π. Assim existe um deficit de ˆangulo s´olido igual a δΩ = 32π
2
Gη
2
;
• como T
00
∼ η
2
/r
2
, fora do monopolo global a energia total diverge linearmente
para grandes distˆancias, E(r) ∼ 4πGη
2
0
r.
2.4.5 Monopolo Global na Mat´eria Condensada
Como foi mencionado anteriormente muitos dos sistemas que surgem em mat´eria
condensada apresentam estrutura cristalina semelhante aos defeitos topol´ogicos
encontrados em gravita¸c˜ao. Um exemplo t´ıpico ´e o cristal com desloca¸c˜ao e
desclina¸c˜ao que s˜ao defeitos lineares. Contudo o modelo mais adequado para tal
analogia surge no superfluido
3
He − A [39].
As quasi-part´ıculas em
3
He − A s˜ao f´ermions quirais e n˜ao-massivos. Sob
condi¸c˜oes espec´ıficas estes f´ermios s˜ao relativ´ısticos e seu espectro ´e dado por
E
2
(k) − g
ij
(k
i
− eA
i
)(k
j
− eA
j
) = 0, (2.73)
onde
→
A
= k
F
ˆ
l ´e o potencial vetor do campo eletromagn´etico induzido, k
F
´e o momento
de Fermi e
ˆ
l ´e um vetor unit´ario no espa¸co dos momentos.
O tensor m´etrico do espa¸co efetivo que governa o movimento dos f´ermions ´e dado
por
g
ij
= c
2
⊥
(δ
ij
− l
i
l
j
) + c
2
l
i
l
j
, g
00
= −1. (2.74)
Departamento de F´ısica - UFPB
2.4 Defeitos Topol´ogicos 49
onde c
⊥
e c
= v
F
(c
⊥
≪ c
) ´e a velocidade da ”luz” propagando-se transversalmente
a
ˆ
l e ao longo de
ˆ
l, respectivamente.
Para o caso espec´ıfico onde
ˆ
l = ˆr, n´os temos:
ds
2
= −dt
2
+
1
α
2
dr
2
+ r
2
dθ
2
+ r
2
sen
2
θdφ
2
(2.75)
sendo α
2
=
c
2
c
2
⊥
> 1. Neste caso n´os temos uma variedade an´aloga ao espa¸co-tempo
do monopolo global, por´em, com um excesso de ˆalgulo s´olido.
2.4.6 Monopolo Global em Kaluza-Klein
Com o intuito de obter uma solu¸c˜ao que contenha um defeito tipo monopolo
global em cinco dimens˜oes, Banerjee et al em [10], adotaram a densidade de
lagrangiana (2.65), definida no espa¸co-tempo de cinco dimens˜oes, e a configura¸c˜ao
para o campo de mat´eria dada em (2.66). Eles admitiram ainda que o elemento de
linha, em coordenadas esf´ericas, ´e dado por
dˆs
2
= −B(r)dt
2
+ A(r)dr
2
+ C(r)r
2
dΩ
2
+ D(r)dΨ
2
. (2.76)
Com isto, eles encontraram para as equa¸c˜oes de Einstein em cinco dimens˜oes, na
regi˜ao fora do monopolo global, onde f(r) ≈ 1, uma fam´ılia de solu¸c˜oes para o
tensor m´etrico:
B(r) =
α
2
−
2GM
r
a
, A(r) =
α
2
−
2GM
r
−(a+b)
,
C(r) =
α
2
−
2GM
r
(1−a−b)
, D(r) =
α
2
−
2GM
r
b
, (2.77)
onde M ´e uma constante de intega¸c˜ao, e a e b s˜ao dois parˆametros adimensionais
que obedecem a condi¸c˜ao de consistˆencia a
2
+ ab + b
2
= 1. Assim, diferentemente do
Departamento de F´ısica - UFPB
2.4 Defeitos Topol´ogicos 50
resultado encontrado por Barriola e Vilenkin em quatro dimens˜oes, neste formalismo
o crit´erio de unicidade da solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein ´e perdido. Temos ainda
que para o caso particular em que a = 1 e b = 0, podemos entender a solu¸c˜ao acima
como uma extens˜ao penta-dimensional da solu¸c˜ao de Barriola e Vilenkin [2], que ´e
dada por:
dˆs
2
= −
α
2
−
2GM
r
dt
2
+
α
2
−
2GM
r
−1
dr
2
+ r
2
dΩ
2
+ dΨ
2
. (2.78)
Departamento de F´ısica - UFPB
Cap´ıtulo 3
Monopolo Composto na Teoria de
Kaluza-Klein
3.1 Introdu¸c˜ao
No cap´ıtulo anterior fizemos uma breve revis˜ao sobre os modelos de Gross-Perry e
Banerjee, que tratam de monopolos magn´etico Abeliano e global em cinco dimens˜oes,
respectivamente. Neste cap´ıtulo apresentaremos uma nova solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes
de Einstein em cinco dimens˜oes na presen¸ca de campos de mat´eria, que corresponde
a uma generaliza¸c˜ao dos trabalhos anteriormente citados. Esta solu¸c˜ao [11] descreve
um monopolo composto, ou seja, um monopolo magn´etico Abeliano na variedade
de um monopolo global em cinco dimens˜oes, e apresenta como casos particulares os
resultados de Gross-Perry, quando admitimos a ausˆencia de campos de mat´eria, e
de Banerjee et al, quando admitimos a ausˆencia de carga magn´etica.
51
3.2 Monopolo Composto 52
3.2 Monopolo Composto
Para obtermos uma solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes de Einstein em cinco dimens˜oes que
apresente tanto monopolo global quanto monopolo magn´etico, devemos introduzir
campos de mat´eria e de gauge em nosso modelo. Assim, da mesma forma que
Banerjee et al, consideraremos que o campo de mat´eria ´e descrito pela densidade
de lagrangiana (2.65), agora definida no espa¸co-tempo de cinco dimens˜oes, sendo a
mesma dada por:
L = −
1
2
ˆg
AB
(∂
A
φ
a
)(∂
B
φ
a
) −
λ
4
(φ
a
φ
a
− η
2
(5)
)
2
. (3.1)
com a = 1, 2, 3 e η
(5)
representando a escala de energia onde se d´a a quebra de
simetria. Vamos admitir para o campo de Goldstone o seguinte ansatz:
φ
a
= η
(5)
f(r)
x
a
r
, (3.2)
onde x
a
x
a
= r
2
. A m´etrica est´atica mais geral com simetria esf´erica pode ser escrita
como
dˆs
2
= ˆg
AB
dˆx
A
dˆx
B
= −B(r)dt
2
+ A(r)dr
2
+ r
2
C(r)
dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
+ D(r)[dΨ + h(θ)dφ]
2
. (3.3)
Escrevemos abaixo as express˜oes para os tensores ˆg
AB
e ˆg
AB
na forma matricial:
ˆg
AB
=
−B(r) 0 0 0 0
0 A(r) 0 0 0
0 0 r
2
C(r) 0 0
0 0 0 r
2
C(r) sen
2
θ + D(r)h
2
(θ) D(r)h(θ)
0 0 0 D(r)h(θ) D(r)
. (3.4)
Departamento de F´ısica - UFPB
3.2 Monopolo Composto 53
e
ˆg
AB
=
−
1
B(r)
0 0 0 0
0
1
A(r)
0 0 0
0 0
1
r
2
C(r)
0 0
0 0 0
1
r
2
C(r) sen
2
θ
−h(θ)
r
2
C(r) sen
2
θ
0 0 0
−h(θ)
r
2
C(r) sen
2
θ
1
D(r)
+
h
2
(θ)
r
2
C(r) sen
2
θ
. (3.5)
Podemos agora calcular as componentes do tensor energia-momento, T
AB
, na
m´etrica (3.3), considerando a densidade de lagrangiana (3.1) como uma fonte
externa. Desta forma, as componentes n˜ao nulas ser˜ao dadas por:
ˆ
T
00
= −η
2
(5)
B(r)
f
′2
(r)
2A(r)
+
f
2
(r)
r
2
C(r)
+
λη
2
(5)
4
(f
2
(r) − 1)
2
,
ˆ
T
11
= −η
2
(5)
f
′2
(r)
2
− A(r)
f
2
(r)
r
2
C(r)
−
λη
2
(5)
4
A(r)(f
2
(r) − 1)
2
,
ˆ
T
22
= η
2
(5)
r
2
C(r)
f
′2
(r)
2A(r)
+
λη
2
(5)
4
(f
2
(r) − 1)
2
,
ˆ
T
33
= h(θ)T
34
+ η
2
(5)
r
2
C(r) sen
2
θ
f
′2
(r)
2A(r)
+
λη
2
(5)
4
(f
2
(r) − 1)
2
,
ˆ
T
34
= T
43
= η
2
(5)
D(r)h(θ)
f
′2
(r)
2A(r)
+
f
2
(r)
r
2
C(r)
+
λη
2
(5)
4
(f
2
(r) − 1)
2
,
ˆ
T
44
= η
2
(5)
D(r)
f
′2
(r)
2A(r)
+
f
2
(r)
r
2
C(r)
+
λη
2
(5)
4
(f
2
(r) − 1)
2
.
(3.6)
A equa¸c˜ao para o campo de Higgs na m´etrica (3.3) d´a origem a seguinte equa¸c˜ao
diferencial radial:
1
A(r)
f
′′
(r) +
2
A(r)r
+
1
2B(r)C
2
(r)D(r)
B(r)C
2
(r)D(r)
A(r)
′
f
′
(r)
−
2
C(r)r
2
f(r) − λη
2
(5)
f(r)
f
2
(r) − 1
= 0 . (3.7)
No espa¸co plano quadri-dimensional a equa¸c˜ao diferencial similar n˜ao tem solu¸c˜ao
Departamento de F´ısica - UFPB
3.2 Monopolo Composto 54
anal´ıtica; contudo foi mostrado em [2] que para distˆancias radiais r maiores que o
n´ucleo do monopolo, δ ≃ λ
−1/2
η
−1
, f(r) ≃ 1, e para r → 0, f(0) = 0. Observamos
que no presente contexto as mesmas condi¸c˜oes de contorno podem ser aplicadas
para a fun¸c˜ao f(r). Desta forma, devemos analisar o sistema completo na regi˜ao
fora do n´ucleo do monopolo global. Assim, nestas condi¸c˜oes, as componentes do
tensor energia-momento tornam-se:
ˆ
T
00
= −η
2
(5)
B(r)
r
2
C(r)
,
ˆ
T
11
= η
2
(5)
A(r)
r
2
C(r)
,
ˆ
T
22
= 0 ,
ˆ
T
33
= η
2
(5)
h
2
(θ)D(r)
r
2
C(r)
,
ˆ
T
34
= η
2
(5)
h(θ)D(r)
r
2
C(r)
,
ˆ
T
44
= η
2
(5)
D(r)
r
2
C(r)
.
(3.8)
A partir de (3.8) podemos calcular o tra¸co do tensor energia-momento,
ˆ
T =
ˆg
AB
ˆ
T
AB
, o qual ´e dado por:
ˆ
T =
3η
2
(5)
C(r)r
2
. (3.9)
Acoplando (3.8) e (3.9) as equa¸c˜oes de Einstein em cinco dimens˜oes,
ˆ
R
AB
= 8πG
K
ˆ
T
AB
−
ˆg
AB
3
ˆ
T
, (3.10)
onde G
K
´e a constante gravitacional penta-dimensional, encontramos que as ´unicas
componentes n˜ao nulas do tensor de Ricci s˜ao:
R
22
= α
2
− 1 , R
33
= (α
2
− 1) sen
2
θ , (3.11)
sendo α
2
= 1−8πG
K
η
2
(5)
. A constante de acoplamento gravitacional est´a relacionada
com a constante newtoniana, G, pela express˜ao:
G
K
= 2πRG . (3.12)
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3.2 Monopolo Composto 55
Definindo a escala de energia η
(5)
=
η
(4)
√
2πR
, re-obtemos para o parˆametro α a mesma
express˜ao dada anteriormente pelo modelo de Barriola e Vilenkin.
Para completarmos nossa an´alise, devemos encontra solu¸c˜oes para as fun¸c˜oes
B(r), A(r), C(r), D(r) e h(θ) compat´ıveis com os resultados acima. Como queremos
que nossa solu¸c˜ao seja uma generaliza¸c˜ao da solu¸c˜ao Taub-NUT Euclideana auto-
dual na presen¸ca de um monopolo global, devemos ter B(r) = 1. Contudo, ela deve
aproximar-se assintoticamente da extens˜ao penta-dimensional da solu¸c˜ao de Barriola
e Vilenkin encontrada na Ref. [10], ent˜ao, α
2
deve ser um fator multiplicativo.
Embora a existˆencia da carga magn´etica dependa da topologia do espa¸co-tempo,
neste caso, baseado em an´alises anteriores sobre defeitos topol´ogicos compostos [40],
podemos inferir que a presen¸ca do monopolo global n˜ao modifica a configura¸c˜ao do
monopolo magn´etico.
Abaixo, exibiremos de forma sucinta o procedimento adotado para encontrarmos
A(r), C(r), D(r) e h(θ), compat´ıveis com o sistema que estamos analisando:
(a) Na ausˆencia de monopolo global, ou seja, fazendo α = 1, as solu¸c˜oes encontradas
por Gross e Perry [7], s˜ao:
A(r) = C(r) =
1
D(r)
= 1 +
4m
r
, e h(θ) = 4m(1 − cos θ) . (3.13)
(b) Na ausˆencia de monopolo magn´etico, ou seja, fazendo m = 0, Banerjee et al [10]
mostraram que:
B(r) =
α
2
−
2GM
r
a
, A(r) =
α
2
−
2GM
r
−(a+b)
,
C(r) =
α
2
−
2GM
r
(1−a−b)
, D(r) =
α
2
−
2GM
r
b
. (3.14)
Para o caso em que a constante de integra¸c˜ao, M, ´e nula, e fazendo a = 1, b = 0 e
Departamento de F´ısica - UFPB
3.2 Monopolo Composto 56
redefinindo a vari´avel temporal, encontramos o seguinte elemento de linha:
dˆs
2
= −dt
2
+
1
α
2
dr
2
+ r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
) + dΨ
2
. (3.15)
que ´e a vers˜ao penta-dimensional da solu¸c˜ao de Barriola e Vilenkin [2] para o
monopolo global pontual.
(c) No caso geral, que ´e o que trataremos aqui, vamos nos basear nos resultados
anteriores. Inicialmente tomando o ansatz,
A(r) =
γ
1
α
2
V (r) , C(r) = γ
2
V (r) , D(r) =
γ
3
V (r)
, (3.16)
e
h(θ) = 4m(1 − cos θ) . (3.17)
onde γ
1
, γ
2
e γ
3
s˜ao constantes arbitr´arias. A partir do tensor de Riemann, (2.20),
podemos obtemos o tensor de Ricci pela contra¸c˜ao do primeiro com o terceiro ´ındices.
O mesmo ´e dado por:
R
M
LMN
= R
LN
= ∂
M
Γ
M
LN
− ∂
N
Γ
M
LM
+ Γ
M
JM
Γ
J
LN
− Γ
M
JN
Γ
J
LM
. (3.18)
Usando a express˜ao acima encontramos que a componente R
00
= 0 e que R
11
´e
dada por:
R
11
=
1
2rV (r)
r
d
2
V (r)
dr
2
+ 2
dV (r)
dr
. (3.19)
Entretanto, de acordo com (3.11), essa componente deve ser nula, o que implica que
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3.2 Monopolo Composto 57
V (r) tem a seguinte forma
1
:
V (r) = 1 +
4mb
r
. (3.20)
Substituindo a express˜ao acima nas equa¸c˜oes de Einstein, vemos que para obter
R
22
e R
33
n˜ao-nulos devemos ter: b
2
α
2
= 1 e γ
1
= γ
2
= γ
3
= γ. A solu¸c˜ao desejada
´e b = 1/α, j´a que para b = −1/α, o tensor m´etrico apresenta uma singularidade em
r = 4m/α. Desta forma, encontramos que:
A(r) =
γ
α
2
1 +
4m
αr
, C(r) = γ
1 +
4m
αr
,
D(r) = γ
1 +
4m
αr
−1
, h(θ) = 4m(1 − cos θ) ,
(3.21)
para qualquer valor do parˆametro γ.
2
Assim, somos levados a pensar que, da
mesma forma que Banerjee , temos uma familia de solu¸c˜oes. Felizmente isto n˜ao ´e
verdade aqui, pois, fazendo uma transforma¸c˜ao de escala global no tensor m´etrico,
ˆg
AB
→ γ
−1
ˆg
AB
e redefinindo a coordenada temporal apropriadamente, o seguinte
elemento de linha ´e obtido:
dˆs
2
= −dt
2
+ V (r)
dr
2
α
2
+ r
2
(dθ
2
+ sen
2
θdφ
2
)
+ V (r)
−1
(dΨ + 4m(1 − cos θ)dφ)
2
(3.22)
com
V (r) = 1 +
4m
αr
. (3.23)
Desta forma, vemos que a introdu¸c˜ao do monopolo magn´etico neste cen´ario imp˜oe
que a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein, diferentemente de Banerjee que tinha uma
1
De fato, a solu¸c˜ao para R
11
= 0, implica que V (r) = ˜a +
˜
b
r
. Entretanto, sem preda de
generalidade podemos escolher ˜a = 1 e redefinir
˜
b = 4mb.
2
O conjunto completo de equa¸c˜oes de campo obtidas de (3.10) apresentam expres˜oes muito
extensas. Por esta raz˜ao decidimos n˜ao inclu´ı-las aqui.
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3.2 Monopolo Composto 58
fam´ılia de solu¸c˜oes, ´e ´unica. Assim, a geometria fica determinada sendo a mesma
dada pelo elemento de linha (3.22).
Esta solu¸c˜ao apresenta algumas propriedades relevantes associadas aos
monopolos global e magn´etico:
• pode ser considerada como uma extens˜ao penta-dimensional da solu¸c˜ao
de Barriola e Vilenkin, no sentido de que a se¸c˜ao espacial apresenta
assintoticamente um ˆangulo s´olido Ω = 4πα
2
, consequentemente menor que o
ˆangulo s´olido ordin´ario, e
• tamb´em apresenta um monopolo magn´etico Abeliano.
Como foi mostrado por Gross e Perry [7], o campo de gauge associado com o
monopolo magn´etico
A
φ
= 4m(1 − cos θ) , (3.24)
apresenta uma singularidade em θ = π. Entretanto, esta singularidade ´e dependente
do gauge se o per´ıodo da coordenada compactificada Ψ for igual a 16πm. Esta ´e
a descri¸c˜ao geom´etrica da quantiza¸c˜ao de Dirac. Adotando este per´ıodo para a
coordenada extra, ´e poss´ıvel usar o formalismo de Wu e Yang para descrever o
quadri-vetor potencial, A
µ
, associado ao monopolo magn´etico Abeliano sem linha
de singularidade. Usando coordenadas esf´ericas, com o monopolo na origem, as
´unicas componentes n˜ao-nulas do potencial vetor s˜ao
(A
φ
)
a
= 4m(1 − cos θ) , R
a
: 0 ≤ θ <
1
2
π + δ ,
(A
φ
)
b
= −4m(1 + cos θ) , R
b
:
1
2
π − δ < θ ≤ π ,
(3.25)
com 0 < δ < π/2. Na regi˜ao de superposi¸c˜ao, R
ab
, as componentes n˜ao-nulas est˜ao
relacionadas por uma transforma¸c˜ao de gauge. Usando o fator de normaliza¸c˜ao
apropriado [7], podemos re-escrever o potencial vetor acima em termos do potencial
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3.2 Monopolo Composto 59
f´ısico, A
F
φ
:
√
16πG(A
F
φ
)
a
=
√
16πG
(A
F
φ
)
b
+
i
e
S∂
φ
S
−1
, (3.26)
onde S = e
2iqφ
, q = eg = n/2 em unidades = c = 1, sendo g a carga do
monopolo. Em termos do potencial vetor n˜ao-f´ısico esta transforma¸c˜ao de gauge
corresponde a subtrair a quantidade 8m, que compensa a mudan¸ca na quinta
coordenada Ψ
′
= Ψ + 8mφ. Tamb´em devemos dizer que o mesmo tensor de Ricci
(3.11) ´e obtido para ambas as express˜oes do potencial vetor.
Antes de finalizarmos esta se¸c˜ao, trˆes observa¸c˜oes importantes sobre a solu¸c˜ao
devem ser feitas:
(i) A fun¸c˜ao radial V (r) que aparece no elemento de linha (3.22) difere da similar
encontrada por Gross e Perry pelo fator α que aparece multiplicando a coordenada
radial no denominador.
O campo magn´etico associado a tal monopolo pode ser obtido utilizando a
seguinte base tetrada:
e
(a)
i
= diag
√
V
α
,
√
V r,
√
V r sen θ
, e
i
(a)
= diag
α
√
V
,
1
√
V r
,
1
√
V r sen θ
,(3.27)
que satisfaz a rela¸c˜ao
e
(a)
i
e
(b)
j
η
ab
= g
ij
, (3.28)
onde η
ab
= (1, 1, 1), corresponde a parte espacial da m´etrica de Minkowski, e g
ij
´e
dado por
g
ij
= diag
V (r)
α
2
, V (r)r
2
, V (r)r
2
sen
2
θ
. (3.29)
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3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga 60
Nesta base a componente n˜ao-nula do potencial vetor ser´a dada por
A
(3)
= A
(3)
= e
(3)
i
A
i
=
g(1 − cos θ)
√
V r sen θ
. (3.30)
Assim, o campo magn´etico ser´a
B =
∇ ×
A =
e
(1)
1
ˆr e
(2)
2
ˆ
θ e
(3)
3
ˆ
φ
∂
r
∂
θ
∂
φ
0 0 A
(3)
=
1
V (r)
4m
r
2
ˆr = −
1
√
V
∇V (r) , (3.31)
que assintoticamente d´a origem ao monopolo magn´etico de Dirac usual. Contudo,
podemos ver, calculando o fluxo magn´etico total sobre uma superf´ıcie esf´erica
concˆentrica ao monopolo, que
Φ
B
=
B · d
S =
2π
0
π
0
1
V (r)
4m
r
2
V (r)r
2
sen θdθdφ = 4m(4π); (3.32)
(ii) mudando o sinal de m em V (r), obtemos uma outra solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes
de campo;
(iii) finalmente, queremos enfatizar que as solu¸c˜oes encontradas para as
componentes do tensor m´etrico s˜ao v´alidas apenas na regi˜ao exterior ao monopolo
global.
3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga
Como foi dito anteriormente, o elemento de linha (3.22) ´e uma extens˜ao penta-
dimensional da solu¸c˜ao de Barriola e Vilenkin na presen¸ca de um monopolo
magn´etico Abeliano. O movimento cl´assico de uma part´ıcula teste massiva nesta
variedade pode ser analisado diferenciando o elemento de linha citado acima em
Departamento de F´ısica - UFPB
3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga 61
rela¸c˜ao a algum parˆametro afim ξ:
L = −
˙
t
2
+
1 +
4m
αr
˙r
2
α
2
+ r
2
(
˙
θ
2
+ sen
2
θ
˙
φ
2
)
+
1 +
4m
αr
−1
(
˙
Ψ + 4m(1 − cos θ)
˙
φ)
2
. (3.33)
Visto que a Lagrangiana acima n˜ao depende explicitamente das coordenadas t,
Ψ e φ, trˆes constantes de movimento podem ser identificadas:
˙
t = a , (3.34)
V
−1
(r)
˙
Ψ + 4m(1 − cos θ)
˙
φ
= κ , (3.35)
e
V (r)r
2
sen
2
θ
˙
φ + V
−1
(r)
˙
Ψ + 4m(1 − cos θ)
˙
φ
4m(1 − cos θ) = h . (3.36)
A equa¸c˜ao (3.36) pode ser re-escrita de forma mais simples se usarmos a
defini¸c˜ao da constante κ dada em (3.35). Adotando a nota¸c˜ao dada no trabalho
de Gross Perry, esta constante ´e a raz˜ao da carga da part´ıcula teste pela sua
massa: κ = Q/M. Incluindo em (3.36) a defini¸c˜ao para a carga magn´etica f´ısica e
identificando Q
√
16πG como a carga el´etrica f´ısica da part´ıcula, podemos identificar
a componente-z do momento angular total conservado associado com a carga da
part´ıcula nesta variedade como:
J
z
= M
¯
h = V (r)Mr
2
sen
2
θ
˙
φ − q cos θ , (3.37)
onde
¯
h = h −
4mQ
M
e q = eg. Temos ainda que
˙
φ =
dφ
dt
dt
dξ
= ωa , (3.38)
Departamento de F´ısica - UFPB
3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga 62
onde ω =
dφ
dt
´e a velocidade angular azimutal usual.
Assim, a express˜ao (3.37) pode ser re-escrita como
J
z
= M
¯
h = V (r)M
F
r
2
sen
2
θω − q cos θ , (3.39)
onde M
F
= aM ´e a massa f´ısica da part´ıcula.
As equa¸c˜oes de movimento cl´assicas para as vari´aveis polar e radial podem ser
obtidas a partir das equa¸c˜oes de Euler-Lagrange, e impondo que a Lagrangiana
acima ´e uma constante ǫ. Esta constante pode ser 0, 1 e −1, respectivamente, se a
geod´esica associada ao movimento da part´ıcula for nula, para part´ıculas sem massa,
tipo-espa¸co ou tipo-tempo. Finalmente estas equa¸c˜oes s˜ao:
¨
θ +
2
r
+
V
′
(r)
V (r)
˙r
˙
θ − sen θ cos θ
˙
φ
2
−
4mκ sen θ
V (r)r
2
˙
φ = 0 , (3.40)
e
V (r)
α
2
˙r
2
+ V (r)r
2
˙
θ
2
+ V (r)r
2
sen
2
θ
˙
φ
2
+ κ
2
V (r) = ǫ + a
2
. (3.41)
Schwinger et al [24] mostraram que o momento angular total conservado,
associado a uma part´ıcula eletricamente carregada na presen¸ca de um monopolo
magn´etico, ´e dado por
J =
l − qˆr , (3.42)
com
l sendo o momento angular orbital ordin´ario.
3
Como
J · ˆr = −q, o movimento
da part´ıcula est´a confinado a um cone com a metade do ˆangulo polar θ
0
dado por:
cot θ
0
=
|q|
l
. (3.43)
3
De fato, foi H. Poincar´e [41] quem primeiro investigou o movimento cl´assico de um el´ectron
na presen¸ca de um polo magn´etico. J. Schwinger e colaboradores generalizaram esta an´alise para
dois dyons.
Departamento de F´ısica - UFPB
3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga 63
Isto quer dizer que uma escolha particular do sistema de coordenadas foi adotado,
e neste sistema a dire¸c˜ao do eixo-z ´e paralela ao vetor
J. O vetor momento angular
ordin´ario
l ´e dado em termos do vetor unit´ario
ˆ
θ:
l = l
ˆ
θ. No presente caso, que
estamos analisando, podemos observar que θ = cte ´e solu¸c˜ao de (3.40) desde que
˙
φ = −
4mQ
MV (r)r
2
cos θ
=
−q
MV (r)r
2
cos θ
. (3.44)
Este resultado ´e compat´ıvel com o que esper´avamos no sentido que o movimento da
part´ıcula aqui est´a tamb´em vinculado a um cone.
4
Contudo, fazendo uma escolha
espec´ıfica para o sistema de coordenadas podemos inferir, de (3.44), que o primeiro
termo do lado direito de (3.37) corresponde a componente z do momento angular
total conservado nesta variedade e consequentemente
˙
φ =
l
MV (r)r
2
sen θ
. (3.45)
Finalmente, a equa¸c˜ao de movimento relacionando a coordenada radial com o
ˆangulo azimutal pode ser obtida combinado (3.41) e (3.45) como segue:
˙r
2
˙
φ
2
=
dr
dφ
2
=
α
2
sen
2
θV (r)r
4
l
2
(ǫ + a
2
)M
2
− Q
2
V (r)
− α
2
sen
2
θr
2
. (3.46)
Definindo uma nova vari´avel u = 1/r podemos expressar a equa¸c˜ao acima numa
forma mais simples:
du
dφ
2
= A − Bu − Cu
2
, (3.47)
com
A =
α
2
M
2
J
2
(ǫ + a
2
) −
Q
2
M
2
, (3.48)
4
Em particular para r → ∞, V (r) → 1, assim a express˜ao acima reproduz a velocidade
angular associada a uma part´ıcula carregada no espa¸co-tempo plano na presen¸ca de um monopolo
magn´etico.
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3.3 An´alise Cl´assica do Movimento de uma Carga 64
B =
4mαM
2
J
2
(ǫ + a
2
) − 2
Q
2
M
2
, (3.49)
e
C =
q
2
+ α
2
l
2
J
2
. (3.50)
Adimitindo que a solu¸c˜ao de (3.47) tem a forma:
u(φ) = D + E cos(λφ) , (3.51)
Encontramos que as constantes s˜ao dadas por:
D = −
2mM
2
α
q
2
+ α
2
l
2
ǫ + a
2
− 2
Q
2
M
2
, (3.52)
E
2
=
4m
2
M
4
α
2
(q
2
+ α
2
l
2
)
2
ǫ + a
2
− 2
Q
2
M
2
2
+
α
2
M
2
q
2
+ α
2
l
2
ǫ + a
2
−
Q
2
M
2
(3.53)
e
λ
2
=
q
2
+ α
2
l
2
J
2
, (3.54)
que ´e menor que a unidade.
Dos resultados acima, vemos que s´o teremos trajet´orias n˜ao ligadas para a
equa¸c˜ao de movimento, isto ´e, que r → ∞, se |E| ≥ |D|, o que implica na condi¸c˜ao
ǫ + a
2
− Q
2
/M
2
≥ 0. Desta maneira, a trajet´oria da part´ıcula teste est´a confinada
a um cone, tendo sua coordenada radial aumentando sem limite.
Podemos re-escrever a condi¸c˜ao acima da seguinte maneira:
ǫ + a
2
1 −
αm
2
p
4M
2
F
≥ 0 , (3.55)
onde M
F
= aM ´e a massa f´ısica, m
p
=
c
G
∼
=
2, 17 · 10
−5
g ´e a massa de Planck, e
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3.4 Conclus˜oes 65
α =
e
2
4πc
´e a constante de estrutura fina.
Analisando esta condi¸c˜ao verificamos que se a linha de mundo da part´ıcula for
tipo-espa¸co, ǫ > 0, teremos M
F
<
√
α
2
m
p
. Entretanto, se a linha de mundo for
tipo-tempo, ǫ < 0, que ´e o caso de part´ıculas f´ısicas, teremos M
F
>
√
α
2
m
p
.
Verificamos ent˜ao que apenas no caso em que o intervalo ´e tipo-espa¸co, ǫ > 0,
a massa f´ısica da part´ıcula ser´a menor que a massa de Planck, m
p
≈ 10
−5
g. No
caso em que o intervalo ´e tipo-tempo, ǫ < 0, a massa f´ısica da part´ıcula ter´a que ser
maior que a massa de Planck, m
p
≈ 10
−5
g, que tem um valor extremamente auto
se comparado com a massa de uma part´ıcula fundamental.
3.4 Conclus˜oes
Neste cap´ıtulo apresentamos uma solu¸c˜ao exata para as equa¸c˜oes de Einstein
em cinco dimens˜oes que descreve um monopolo composto, ou seja, um monopolo
magn´etico Abeliano na variedade de um monopolo global pontual. Nossa solu¸c˜ao ´e
uma generaliza¸c˜ao dos resultados anteriores obtidos por Gross e Perry, e Barnerjee
et al. O ´ultimo no limite em que M = 0.
A solu¸c˜ao apresentada por Gross e Perry corresponda a uma configura¸c˜ao de
monopolo magn´etico pontual. A nossa solu¸c˜ao, por outro lado, ´e v´alida apenas
na regi˜ao fora do monopolo global. Admitindo uma configura¸c˜ao para o monopolo
global, podemos ver que como g
00
= −1, a massa gravitacional associada a nossa
solu¸c˜ao ´e nula, embora ela possua uma massa inercial finita.
Como dissemos, nossa solu¸c˜ao para as componentes do tensor m´etrico e da fun¸c˜ao
radial V (r), foram obtidas na regi˜ao fora do n´ucleo do monopolo. Em um sistema
contendo apenas monopolo global no espa¸co-tempo quadri-dimensional, as solu¸c˜oes
exatas para as equa¸c˜oes de movimento, considerando a regi˜ao pr´oxima ao n´ucleo do
monopolo, podem apenas ser obtidas numericamente [42, 43]. Assim, n˜ao experamos
Departamento de F´ısica - UFPB
3.4 Conclus˜oes 66
encontrar para este sistema mais geral solu¸c˜oes anal´ıticas.
A despeito da nossa solu¸c˜ao para o tensor m´etrico (3.21) apresentar uma
dependˆencia explicita com o parˆametro arbitr´ario a, n˜ao podemos afirmar que
encontramos uma fam´ılia de solu¸c˜oes independentes. Os fatores que aparecem nas
suas componentes podem ser absorvidos a partir de uma redefini¸c˜ao do sistema
de coordenadas. Consequentemente, todos os invariantes dessa variedade n˜ao
dependem do mesmo.
Por c´alculo direto, encontramos que o ˆangulo s´olido associado a se¸c˜ao espacial
de (3.22) apresenta uma dependˆencia radial. Este fato ´e consequˆencia do efeito de
longo alcance da fun¸c˜ao V (r) = 1 + 4m/αr. O ˆangulo s´olido ´e:
Ω = 4πα
2
1
1 +
2m
αr
V
−1/2
(r) ln(1 +
αr
2m
(1 + V
1/2
(r))
2
, (3.56)
que assitoticamente reproduz o resultado j´a conhecido para o espa¸co-tempo gerado
pelo monopolo global.
Neste cap´ıtulo, tamb´em analisamos as trajet´orias cl´assicas de uma part´ıcula
carregada massiva nessa variedade. Para isso definimos uma Lagrangiana a partir
da derivada do elemento de linha (3.22) por um parˆametro afim. Encontramos as
constantes de movimento, e a solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao da trajet´oria. Observamos
que, como no caso tri-dimensional plano, o movimento da part´ıcula est´a confinado
a uma superf´ıcie cˆonica, podendo afastar-se indefinidamente do monopolo. Para
finalizarmos, gostariamos de salientar que para que a linha de mundo da part´ıcula
seja tipo-tempo ´e preciso que a massa da mesma seja superior `a massa de Planck.
Departamento de F´ısica - UFPB
Cap´ıtulo 4
An´alise Quˆantica
N˜ao-Relativ´ıstica do Sistema
Carga El´etrica-Dyon no Cone
4.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo estudaremos o movimento quˆantico n˜ao-relativ´ıstico de uma
part´ıcula carregada interagindo com um dyon superposto a uma corda c´osmica
idealizada. Nosso objetivo ´e investigar como a prese¸ca da corda c´osmica modifica
algumas quantidades f´ısicas tais como, o espectro de energia do sistema, e o ˆangulo
de mudan¸ca de fase para estados espalhados.
A an´alise que ser´a desenvolvida aqui pode ser aplicada tanto em f´ısica de
altas energias como tamb´em em sistemas de mat´eria condensada. Ser´a mostrado
que defeitos lineares em s´olidos desordenados ou em cristais l´ıquidos chamados
desclina¸c˜oes podem ser tratados, sob um ponto de vista geom´etrico, como tendo
uma estrutura m´etrica semelhante a de uma corda c´osmica. Assim, considerando
a possibilidade de um dyon estar superposto a uma corda c´osmica ou a uma
67
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 68
desclina¸c˜ao, o sistema aqui estudado pode ser relevante para fornecer informa¸c˜oes
sobre o movimento quˆantico de uma part´ıcula carregada movendo-se no cosmos, e
tamb´em para o movimento desta part´ıcula em nossa vizinhan¸ca.
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica
Neste cap´ıtulo faremos uma an´alise quˆantica n˜ao-relativ´ıstica do movimento de
uma part´ıcula carregada interagindo com um dyon no espa¸co-tempo de uma corda
c´osmica idealizada. Com o intuito de tornar o problema abord´avel, do ponto de vista
matem´atico, consideraremos que o dyon est´a superpostos a corda c´osmica. Al´em
disso, adotaremos tamb´em o formalismo de Wu-Yang para descrever o potencial
vetor associado ao campo magn´etico do dyon, no qual o mesmo apresenta uma
express˜ao livre de singularidades.
O espa¸co-tempo produzido por uma corda c´osmica idealizada, ao longo do eixo-z,
em coordenadas esf´ericas, ´e descrito pelo seguinte elemento de linha:
ds
2
= −dt
2
+ dr
2
+ r
2
dθ
2
+ b
2
r
2
sin
2
θdφ
2
, (4.1)
onde o parˆametro b ´e o mesmo que aparece em (2.56).
1
De acordo com a an´alise feita por Wu e Yang [44], a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de
Schr¨odinger na presen¸ca do potencial vetor (2.12) n˜ao ser´a uma fun¸c˜ao ordin´aria, e
sim, uma se¸c˜ao. A solu¸c˜ao assume valores Ψ
a
e Ψ
b
em R
a
e R
b
(2.11), e satisfaz a
transforma¸c˜ao de gauge
Ψ
a
= SΨ
b
, (4.2)
na regi˜ao de superposi¸c˜ao R
ab
.
1
O elememto de linha (4.1) pode ser obtido a partir do elemento de linha em coordenadas
cil´ındricas pela mudan¸ca de coordenadas: ρ = r sen θ e z = r cos θ.
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4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 69
No espa¸co curvo a equa¸c˜ao de Schr¨odinger ´e dada por
−
1
2M
D
2
+ V
Ψ = i∂
t
Ψ , (4.3)
onde
D
2
=
1
g
(3)
D
i
g
(3)
g
ij
D
j
(4.4)
sendo D
i
= ∂
i
−ieA
i
, a derivada covariante no sentido eletromagn´etico, V o potencial
Coulombiano, M a massa da part´ıcula e g
(3)
o determinante das componentes
espaciais do tensor m´etrico, ou seja, g
(3)
= det(g
ij
).
Admitindo a existˆencia de estados estacion´arios, Ψ(r, t) = e
−iEt
Ψ
E
(r), e
substituindo (4.4) em (4.3), obtemos
−
1
2M
1
g
(3)
(∂
i
− ieA
i
)
g
(3)
g
ij
(∂
j
− ieA
j
)
+ V (r)
Ψ
E
(r) = EΨ
E
(r) . (4.5)
Para resolvermos a equa¸c˜ao acima utilizaremos o procedimento usual o qual
consiste em escrevermos a solu¸c˜ao na forma fatorada abaixo:
Ψ
E
(r) = R(r)Y (θ, φ) . (4.6)
Substituindo (4.6) em (4.5), e usando o tensor m´etrico dado em (4.1), obtemos duas
equa¸c˜oes diferenciais para as fun¸c˜oes R(r) e Y (θ, φ), que s˜ao dadas abaixo:
1
sin θ
∂
θ
[sin θ∂
θ
Y (θ, φ)] +
1
b
2
sen
2
θ
∂
2
φ
Y (θ, φ) −
2ieA
φ
b
2
sen
2
θ
∂
φ
Y (θ, φ) −
e
2
A
2
φ
b
2
sen
2
θ
Y (θ, φ) = −2MλY (θ, φ) (4.7)
Departamento de F´ısica - UFPB
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 70
e
d
dr
r
2
dR(r)
dr
− 2Mr
2
(V (r) − E) R(r) = 2MλR(r) , (4.8)
onde λ ´e uma constante que foi introduzida para separar a equa¸c˜ao diferencial
original em duas equa¸c˜oes desacopladas.
4.2.1 Harmˆonicos Monopolares Cˆonicos
Inicialmente analisaremos a equa¸c˜ao diferencial envolvendo as vari´aveis
angulares. Para obtermos uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao (4.7), temos que considerar
a mesma nas regi˜oes R
a
e R
b
separadamente. Seguindo o procedimento adotado em
[44], podemos escrever
Y (θ, φ) = Θ(θ)e
i(m±q)φ
, (4.9)
onde o sinal positivo (negativo) em (4.9) refere-se as regi˜oes R
a
(R
b
). m ´e o n´umero
quˆantico magn´etico e q = eg = n/2.
Substituindo (2.12) e (4.9) em (4.7), e introduzindo uma nova vari´avel x = cos θ,
obtemos para ambas as regi˜oes a segunte equa¸c˜ao diferencial
(1 − x
2
)
d
2
Θ(x)
dx
2
− 2x
dΘ(x)
dx
−
(m + qx)
2
b
2
(1 − x
2
)
Θ(x) = −
¯
λΘ(x) (4.10)
com
¯
λ = 2Mλ e −1 ≤ x ≤ 1.
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima, pode ser expressa em termos dos polinˆomios de
Jacobi P
σβ
n
(x) como mostrado explicitamente no Apˆendice A. Para n˜ao termos uma
leitura muito t´ecnica neste ponto forneceremos apenas a solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao
Departamento de F´ısica - UFPB
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 71
(4.10), que ´e dada por
Θ(x) = (1 − x)
σ
2
(1 + x)
β
2
P
σ,β
n
(x) , (4.11)
onde
P
σ,β
n
(x) =
(−1)
n
2
n
n!
(1 − x)
−σ
(1 + x)
−β
d
n
dx
n
(1 − x)
σ+n
(1 + x)
β+n
, (4.12)
com
m
b
=
m
b
, q
b
=
q
b
, σ = m
b
+ q
b
, β = m
b
− q
b
, e n = 0, 1, 2... (4.13)
Assim, a constante de desacoplamento das equa¸c˜oes ser´a dada por
¯
λ
b
= l
b
(l
b
+ 1) − q
2
b
, (4.14)
com
l
b
= n + m
b
. (4.15)
Na express˜ao acima, (4.15), observamos que l
b
n˜ao ´e um n´umero inteiro.
Entretanto, podemos obter uma rela¸c˜ao entre os n´umeros l
b
, l e m observando que
n ´e um n´umero inteiro. Tal express˜ao ´e dada por
l
b
= l + |m|
1
b
− 1
(4.16)
Finalmente os harmˆonicos monopolares cˆonicos, na regi˜ao R
a
, ser˜ao dados por:
Y
q
b
l
b
,m
b
(θ, φ)
a
= N
q
b
,l
b
(1 − x)
σ
2
(1 + x)
β
2
P
σ,β
n
(x)e
i(m+q)φ
, (4.17)
Departamento de F´ısica - UFPB
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 72
onde N
q
b
,l
b
´e uma constante de normaliza¸c˜ao igual a:
N
q
b
,l
b
=
1
√
2πb
(2n + σ + β + 1)n!Γ(n + σ + β + 1)
2
σ+β+1
Γ(n + σ + 1)Γ(n + β + 1)
1/2
. (4.18)
Em R
b
os harmˆonicos monopolares cˆonicos tˆem express˜ao similar trocando
apenas q por −q no fator exponencial.
4.2.2 Equa¸c˜ao Radial
Uua vez tendo obtido a express˜ao para λ =
¯
λ
b
2M
, vamos agora analisar a equa¸c˜ao
diferencial radial (4.8). A energia potencial eletrost´atica de intera¸c˜ao entre a
part´ıcula carregada e o dyon, ´e dada por
V (r) = −
eQ
r
(4.19)
onde −e ´e a carga da part´ıcula e Q a carga do dyon. Substituindo R(r) =
u(r)
r
,
temos:
d
2
u(r)
dr
2
+
2ME + 2M
eQ
r
−
¯
λ
b
r
2
u(r) = 0 , (4.20)
onde
¯
λ
b
= 2Mλ = l
b
(l
b
+ 1) − q
2
b
. (4.21)
Estamos interessados em investigar como a presen¸ca do defeito linear, isto ´e,
a corda c´osmica, modifica o espectro de energia do sistema, e tamb´em o fator
de fase associado aos estados espalhados. Desta forma, devemos investigar (4.20)
considerando estados ligados, E < 0, e estados espalhados, E > 0.
Departamento de F´ısica - UFPB
4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 73
Estados Ligados
Consideremos estados de energia negativa, ou estados ligados. Para obtermos
uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao (4.20) devemos primeiramente fazer a an´alise assint´otica
para r → 0 e r → ∞. Assim, podemos escrever a solu¸c˜ao na forma
u(r) = e
−κr
(2κr)
(1+
√
1+4
¯
λ
b
)/2
F (r) . (4.22)
Substituindo (4.22) em (4.20), obtemos uma equa¸c˜ao diferencial para F (r) que tem
como solu¸c˜ao as fun¸c˜oes hipergeom´etricas confluentes,
1
F
1
.
2
Desta forma, a solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao radial ser´a dada por
u(r) = Ce
−κr
(2κr)
(1+
√
1+4
¯
λ
b
)/2
×
1
F
1
1
2
+
1
2
1 + 4
¯
λ
b
− γ; 1 +
1 + 4
¯
λ
b
; 2κr
, (4.23)
onde
κ =
√
−2ME , γ =
MeQ
κ
. (4.24)
O comportamento da fun¸c˜ao hipergeom´etrica,
1
F
1
, para grandes argumentos ´e
dado por
1
F
1
(a, c; z) −→
Γ(c)
Γ(c − a)
(−z)
−a
+
Γ(c)
Γ(a)
e
z
z
a−c
. (4.25)
Desta forma, para termos estados ligados devemos impor que a fun¸c˜ao acima seja
um polinˆomio de grau N. Isto pode ser obtido fazendo a = −N. Assim, obtemos a
2
No Apˆendice B apresentaremos a equa¸c˜ao diferencial obedecida pelas fu¸c˜oes hipergeom´etricas
confluentes,
1
F
1
, e algumas de suas propriedades mais relevantes que utilizaremos aqui.
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4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 74
condi¸c˜ao,
1
2
+
1
2
1 + 4
¯
λ
b
− γ = −N com N = 0, 1, 2 ..., (4.26)
que fornece o seguinte espectro de energia:
E
q
N,l,m
= −
M(eQ)
2
2
N +
1
2
+
1
2
(2l
b
+ 1)
2
− 4q
2
b
−2
. (4.27)
O espectro de energia acima, (4.27), depende do n´umero quˆantico magn´etico
m. Desta forma, vemos que a introdu¸c˜ao da corda c´osmica reduz o grau de
degenerecˆencia dos n´ıveis de energia. Isto ocorre porque o sistema n˜ao apresenta
mais simetria esf´erica. Adicionalmente, temos que l
b
≥ q
b
= q/b, ent˜ao, l ≥ q/b.
Assim, para q = 1/2, a energia mais baixa ´e obtida quando N = 0, l = 3/2 e
m = ±1/2 .
3
Consequentemente, o grau de degenerecˆencia deste estado ´e 2. Com a
introdu¸c˜ao de um potencial extra podemos remover esta degenerecˆencia. Entretanto,
tal potencial s´o ser´a considerado ap´os apresentarmos as auto-fun¸c˜oes devidamente
normalizadas, que s˜ao dadas por
Ψ
q
N,l,m
(r) = C
q
N, l, m
e
−κr
r
(2κr)
1
2
+
1
2
√
1+4
¯
λ
b
×
1
F
1
−N; 1 +
1 + 4
¯
λ
b
; 2κr
Y
q
b
l
b
,m
b
(θ, φ) . (4.28)
onde a constante de normaliza¸c˜ao C
q
N,l,m
´e
|C
q
N,l,m
|
2
=
2kΓ(N +
(2l
b
+ 1)
2
− 4q
2
b
+ 1)
Γ(1 +
(2l
b
+ 1)
2
− 4q
2
b
)
2
(2N +
(2l
b
+ 1)
2
− 4q
2
b
+ 1)N!
. (4.29)
Embora o espa¸co-tempo produzido por uma corda c´osmica idealizada seja
localmente plano [45], globalmente ele n˜ao ´e. Tal fato ´e respons´avel pela existˆencia de
3
Na verdade para b ≪ 1, o valor mais baixo para l pode ser maior que 3/2.
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4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 75
uma auto-intera¸c˜ao eletrost´atica repulsiva, induzida sobre uma part´ıcula carregada
pontual nesse espa¸co-termpo [38, 33].
4
Um longo fio r´ıgido apresentando uma
densidade de carga e corrente paralelo ao defeito topol´ogico tamb´em fica submetido
a uma auto-intera¸c˜ao eletrost´atica e magnetost´atica [46]. No caso de uma part´ıcula
carregada pontual, a auto-intera¸c˜ao repulsiva ´e dada por
U(ρ) =
e
2
L(b)
2ρ
=
e
2
L(b)
2r sen θ
, (4.30)
onde ρ ´e a distˆancia entre a carga e a corda, e L(b) uma constante positiva para
b < 1, dada em termos da integral abaixo [33]
L(b) =
1
bπ
∞
0
coth(x/b) − b coth(x)
sinh(x)
. (4.31)
Utilizando teoria de perturba¸c˜ao degenerada, a corre¸c˜ao de primeira ordem para
os n´ıveis de energia devido ao potencial perturbativo ´e dada por [12]
h
11
h
12
h
21
h
22
c
1
c
2
= ∆E
(1)
c
1
c
2
, (4.32)
onde h
ij
= Ψ
q
{i}
|U(ρ)|Ψ
q
{j}
.
Devemos agora calcular a corre¸c˜ao para a energia do estado fundamental no caso
em que q = 1/2. Devido a simetria azimutal, os elementos fora da diagonal s˜ao todos
nulos. Assim, temos
h
11
= 3/2, −1/2, 1/2|U|3/2, −1/2, 1/2 (4.33)
4
A auto-intera¸c˜ao eletrost´atica sobre uma part´ıcula carregada no espa¸co-tempo de uma corda
c´osmica, ´e uma consequˆencia da distor¸c˜ao dos campos el´etricos causada pelo d´efict angular planar
produzido pelo defeito. Esta auto-intera¸c˜ao ´e proporcional ao inverso da distˆancia da part´ıcula at´e
a corda c´osmica.
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4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 76
e
h
22
= 3/2, 1/2, 1/2|U|3/2, 1/2, 1/2 . (4.34)
Substituindo as fun¸c˜oes de onda correspondentes aos estados Ψ
1/2
0,3/2,±1/2,1/2
≡
|3/2, ±1/2, 1/2 em (4.33) e (4.34), obtemos, ap´os algums passos intermedi´arios
para b = 0.999, os seguintes resultados:
∆E
(1)
1
= h
11
= 0.177Me
2
Q
2
L(0.999) (4.35)
e
∆E
(1)
2
= h
22
= 0.161Me
2
Q
2
L(0.999) , (4.36)
onde L(0.999) = 3.9 × 10
−4
.
Podemos ver que a auto-intera¸c˜ao eletrost´atica levanta a degenerecˆencia do
estado fundamental associada ao sistema. Entretanto, s´o ´e poss´ıvel consider´a-la
como uma perturba¸c˜ao ao sistema.
Antes de concluirmos esta subse¸c˜ao, gostariamos de chamar a aten¸c˜ao para o
fato que a express˜ao obtida para o espectro de energia (4.27), para o caso em
que b = 1, n˜ao coincide com o limite n˜ao-relativ´ıstico dos resultados dados em
[47, 48] despresando a energia de repouso. Apenas tomando q = 0 em (4.27), essa
concordˆancia ´e observada.
Estados Espalhados
Consideremos agora estados de energia positiva. Neste caso, as solu¸c˜oes
correspondentes podem ser obtidas das anteriores fazendo apenas κ = −ik, conforme
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4.2 An´alise Quˆantica N˜ao-Relativ´ıstica 77
mostrado abaixo:
u(r) = Ce
ikr
(kr)
(1+
√
1+4
¯
λ
b
)/2
1
F
1
1
2
+
1
2
1 + 4
¯
λ
b
− iǫ; 1 +
1 + 4
¯
λ
b
; −2ikr
(4.37)
onde
k =
√
2ME , ǫ =
MeQ
k
. (4.38)
O parˆametro mais importante para o calculo da amplitude de espalhamento ´e
o ˆangulo de mudan¸ca de fase, δ
l
, que pode ser obtido a partir do comportamento
assint´otico da fun¸c˜ao de onda espalhada para grandes valores de kr. Assim, o
comportamento assint´otico de (4.37) ´e dado a partir do comportamento assint´otico
de
1
F
1
, que pode ser encontrado no Apˆendice B. Ap´os alguns c´alculos intermedi´arios
encontramos:
u(r) ≈ C cos
kr + ǫ ln(2kr) − π/4 − π/2
1
2
1 + 4
¯
λ
b
+ γ
l
. (4.39)
A partir da expres˜ao acima vemos que o ˆangulo de mudan¸ca de fase apresenta
duas contribui¸c˜oes distintas:
5
i) A primeira devida ao potencial Coulombiano
δ
(1)
l
= γ
l
= argΓ
1
2
+
1
2
1 + 4
¯
λ
b
+ iǫ
(4.40)
que desaparece se fizermos Q = 0, e
ii) a outra da modifica¸c˜ao do n´umero quˆantico angular efetivo, λ
l
, devido a geometria
5
O termo logaritmico em (4.39) ´e consequˆencia do longo alcance da intera¸c˜ao Coulombiana.
Como esse fator n˜ao depende da an´alise de ondas parciais e varia lentamente com a distˆancia, o
mesmo n˜ao pode ser considerado como uma contribui¸c˜ao para δ
l
[49, 12].
Departamento de F´ısica - UFPB
4.3 Oscilador Harmˆonico 78
da variedade e tamb´em do acoplamento entre a carga el´etrica da part´ıcula com o
campo magn´etico do dyon
δ
(2)
l
=
l + 1 −
1 + 4
¯
λ
b
2
π
4
. (4.41)
Assim, o ˆangulo de mudan¸ca de fase completo ´e dado pela soma de ambas as
fases
δ
l
= δ
(1)
l
+ δ
(2)
l
. (4.42)
4.3 Oscilador Harmˆonico
´
E sabido que defeitos topol´ogicos lineares s˜ao tamb´em encontrados em sistemas
de mat´eria condensada. Como exemplo, podemos citar os v´ortices em superfluidos
[50], e desloca¸c˜oes e desclina¸c˜oes em s´olidos desordenados ou cristais l´ıquidos [51].
Cordas c´osmicas e desclina¸c˜oes s˜ao defeitos lineares que mudam a topologia do
meio de maneira similar. De fato, a similaridade entre esses dois objetos vai al´em da
topologia. Para algumas aplica¸c˜oes ambas as esp´ecies de defeitos podem ser tratadas
utilizando o mesmo m´etodo geom´etrico [52]. O defeito linear desclina¸c˜ao pode ser
obtido pela remo¸c˜ao (desclina¸c˜ao positiva) ou inser¸c˜ao (desclina¸c˜ao negativa) de
material na forma de cunha. Considerando o defeito infinitamente longo e estando
na dire¸c˜ao do eixo−z, o tensor m´etrico tridimensional efetivo associado com o cristal
tem a mesma estrutura de uma corda c´osmica. Em coordenadas esf´ericas tal tensor
pode ser dado pelo seguite elemento de linha:
dl
2
= dr
2
+ r
2
dθ
2
+ b
2
r
2
sen
2
θdφ
2
, (4.43)
Departamento de F´ısica - UFPB
4.3 Oscilador Harmˆonico 79
onde b ´e dado por b = 1 + σ/2π sendo σ o ˆangulo que define a cunha [52].
6
O sistema f´ısico que iremos investigar nesta se¸c˜ao ´e constituido por uma
part´ıcula carregada e um dyon. Admitiremos tamb´em a existˆencia de um potencial
harmˆonico isotr´opico extra agindo sobre a part´ıcula. Esse sistema pode ser relevante
para investigar o movimento de uma part´ıcula carregada em um cristal l´ıquido
que apresente uma desclina¸c˜ao atravessando um dyon. O potencial harmˆonico ´e
introduzido para fornecer estados ligados ao sistema mesmo havendo uma intera¸c˜ao
Coulombiana repulsiva entre a part´ıcula e o dyon.
Considerando essa situa¸c˜ao espec´ıfica, substituimos a energia potencial abaixo
V (r) =
1
2
Mω
2
r
2
−
eQ
r
, (4.44)
em (4.8). Assim, a equa¸c˜ao diferencial radial torna-se:
d
2
u(r)
dr
2
+
2ME − M
2
ω
2
r
2
+ 2M
eQ
r
−
λ
b
r
2
u(r) = 0 , (4.45)
com
λ
b
= l
b
(l
b
+ 1) − q
2
b
. (4.46)
Com o intuito de analisarmos (4.45) definiremos uma nova vari´avel admensional
ρ =
√
Mωr e, em seguida, analizaremos o comportamento desta equa¸c˜ao nas regi˜oes
ρ ≈ 0 e ρ → ∞. Assim, observando o comportamento da fun¸c˜ao de onda nessas
6
Alguns anos atr´as, Ruijgrok at al [53] analisaram a possibilidade de forma¸c˜ao de estados ligados
de um monopolo magn´etico a um n´ucleo atˆomico ou a uma mol´ecula. Nesse trabalho os autores
encontraram, usando a aproxima¸c˜ao de Born-Oppenheimer, um potencial ´atomo-monopolo efetivo
atrativo e consequentemente provaram a existˆencia de estados ligados entre o monopolo de Dirac
e o ´atomo de hidrogˆenio.
Departamento de F´ısica - UFPB
4.3 Oscilador Harmˆonico 80
regi˜oes, podemos escrever a solu¸c˜ao como segue:
u(ρ) = ρ
(1+
√
1+4λ
b
)/2
e
−ρ
2
/2
F (ρ) , (4.47)
onde F (ρ) ´e uma fun¸c˜ao desconhecida que satisfaz a seguite equa¸c˜ao diferencial
ρF
′′
(ρ) + (β − 2ρ
2
)F
′
(ρ) + (δρ − a)F (ρ) = 0 , (4.48)
com
β = 1 +
1 + 4λ
b
, δ = γ − 2 −
1 + 4λ
b
(4.49)
e
a = −2eQ
M
ω
, γ =
2E
ω
. (4.50)
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial (4.48) para F (ρ) pode ser obtida adotando o
m´etodo de Frobenius [54]
F (ρ) =
∞
k=0
c
k
ρ
k
. (4.51)
Substituindo esta s´erie em (4.48), obtemos a seguinte rela¸c˜ao de recorrˆencia
c
k+2
=
a
(k + 2)(k + 1 + β)
c
k+1
+
2k − δ
(k + 2)(k + 1 + β)
c
k
, (4.52)
e
c
1
=
a
β
c
0
. (4.53)
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4.3 Oscilador Harmˆonico 81
A an´alise completa de uma equa¸c˜ao diferencial similar a (4.48), foi desenvolvida por
Ver¸cin [54] e Ver¸cin et al [55], investigando o problema de dois anyons movendo-se
em um plano com intera¸c˜ao Coulombiana, na presen¸ca de um campo magn´etico
uniforme externo. Contudo, Furtado et al [56], analisando o espectro de energia
de um el´etron ou de um buraco na presen¸ca de um campo magn´etico utilizando a
teoria de defeitos de Katanaev e Volovich [52], tamb´em encontraram uma equa¸c˜ao
diferencial que apresenta uma estrutura similar. Al´em disso, E. R. Bezerra de Mello
e V. B. Bezerra [57], analisaram o problema de duas part´ıculas carregadas movendo-
se sobre um cone na presen¸ca de um campo magn´etico uniforme est´atico com uma
intera¸c˜ao Coulombiana adicional, tamb´em obtiveram uma equa¸c˜ao diferencial radial
cuja solu¸c˜ao pode ser encontrada usando o procedimento introduzido por Ver¸cin.
Vamos agora procurar por solu¸c˜oes exatas para (4.48) que representem estados
ligados. As mesmas s˜ao obtidas impondo a condi¸c˜ao de que a s´erie para F (ρ) termine
em algum valor finito de k. Seja n o valor m´aximo para k. Essa imposi¸c˜ao implica
que as condi¸c˜oes
δ = 2n (4.54)
e
c
n+1
= 0 (4.55)
devem ser satisfeitas simultaneamente. Admitindo que c
0
= 1 e usando (4.52)
encontramos:
c
2
=
a
2
2β(β + 1)
−
δ
2(β + 1)
c
3
=
a
3
3!β(β + 1)(β + 2)
−
aδ
3!(β + 1)(β + 2)
+
a(2 − δ)
3!β(β + 2)
. (4.56)
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4.3 Oscilador Harmˆonico 82
Como exemplo, ivestigaremos, agora, o caso onde F
n
(ρ) ´e um polinˆomio de graus
1 e 2.
i) No caso em que n = 1, temos:
δ = 2 . (4.57)
Assim, a fun¸c˜ao F
1
(ρ) ser´a
F
1
(ρ) = 1 +
a
β
ρ , (4.58)
e os auto-valores de energia ser˜ao dados por
E
l,m
=
2 +
√
1 + 4λ
b
2
ω . (4.59)
A condi¸c˜ao c
2
= 0 implica que a
2
= βδ = 2β. Consequentemente a frequˆencia
angular do oscilador harmˆonico ser´a dada pela equa¸c˜ao
ω
l,m
=
2Me
2
Q
2
1 +
√
1 + 4λ
b
. (4.60)
Finalmente, as energias associadas com estes estados s˜ao
E
l,m
= e
2
Q
2
M
4 +
√
1 + 4λ
b
1 +
√
1 + 4λ
b
. (4.61)
ii) Para o caso em que n = 2, teremos:
δ = 4 . (4.62)
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4.3 Oscilador Harmˆonico 83
Desta forma, a fun¸c˜ao F
2
(ρ) ser´a
F
2
(ρ) = 1 +
a
β
ρ +
a
2
β
− δ
ρ
2
2(β + 1)
, (4.63)
e os auto-valores de energia ser˜ao dados por
E
l,m
=
3 +
√
1 + 4λ
b
2
ω . (4.64)
A condi¸c˜ao c
3
= 0 implica que a
2
= 4(2β + 1). Neste caso a frequˆencia angular do
oscilador ´e
ω
l,m
=
Me
2
Q
2
3 + 2
√
1 + 4λ
b
. (4.65)
A energia ´e ent˜ao dada por
E
l,m
=
e
2
Q
2
M
2
6 +
√
1 + 4λ
b
3 + 2
√
1 + 4λ
b
. (4.66)
Dos resultados acima, podemos ver que: (i) O espectro de energia associado
ao sistema ´e composto por valores positivos. (ii) Como o produto eQ aparece
ao quadrado, os valores da frequˆencia angular que correspondem a auto-valores
exatos de energia s˜ao os mesmos para valores positivos e negativos deste produto.
A diferen¸ca aparece apenas nas fun¸c˜oes de onda. (iii) Podem existir infinitas
solu¸c˜oes em s´erie para F (ρ) com comportamento fisicamente aceit´avel [55], contudo
os valores poss´ıveis para a energia podem apenas ser obtidos numericamente. (iv)
Finalmente, queremos mencionar que, como no caso estudado na ´ultima se¸c˜ao, as
energias associadas ao sistema dependem do n´umero quˆantico azimutal m.
Consideraremos, agora, o caso particular onde n˜ao temos intera¸c˜ao Coulombiana,
ou seja, Q = 0. Neste caso, o dyon torna-se um monopolo magn´etico. Assim, a
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4.3 Oscilador Harmˆonico 84
equa¸c˜ao de movimento torna-se
d
2
u(r)
dr
2
+
2ME − M
2
ω
2
r
2
−
λ
b
r
2
u(r) = 0 . (4.67)
A solu¸c˜ao regular geral ´e obtida em termos das fun¸c˜oes hipergeom´etricas:
R(r) = C
l,m
e
−
Mω
2
r
2
r
1
2
(−1+
√
1+4λ
b
)
×
1
F
1
1
2
+
√
1 + 4λ
b
4
−
b
4
, 1 +
√
1 + 4λ
b
2
; Mωr
2
, (4.68)
onde C
l,m
´e uma constante de normaliza¸c˜ao. Para termos estados ligados a fun¸c˜ao
hipergeom´etrica deve tornar-se um polinˆomio de grau N. Isto ´e obtido pela
imposi¸c˜ao
1
2
+
√
1 + 4λ
b
4
−
b
4
= −N . (4.69)
Esta equa¸c˜ao fornece a condi¸c˜ao de quˆantiza¸c˜ao para a energia do sistema que ´e
dada por
E
q
N,l,m
=
1 +
√
1 + 4λ
b
2
+ 2N
ω . (4.70)
Fazendo q = 0 and b = 1 na equa¸c˜ao acima, re-obtemos o espectro de
energia associado ao oscilador harmˆonico isotr´opico tri-dimensional. Finalmente,
reescrevemos abaixo as solu¸c˜oes completas para as fun¸c˜oes de ondas ligadas.
Ψ
q
l,m
(r) = C
l,m
e
−
Mω
2
r
2
r
1
2
(−1+
√
1+4λ
b
)
×
1
F
1
−N, 1 +
√
1 + 4λ
b
2
; Mωr
2
Y
q
b
l
b
,m
b
(θ, φ) . (4.71)
Departamento de F´ısica - UFPB
4.4 Conclus˜ao 85
4.4 Conclus˜ao
Neste cap´ıtulo analisamos o movimento quˆantico n˜ao-relativ´ıstico de uma
part´ıcula carregada na presen¸ca de um dyon superposto a uma corda c´osmica
idealizada. Duas situa¸c˜oes f´ısicas espec´ıficas foram investigadas:
• Na primeira consideramos apenas a intera¸c˜ao eletromagn´etica entre a part´ıcula
carregada e o dyon. Neste caso, podemos observar que o espectro de energia
associado a estados ligados ´e semelhante ao de um ´atomo tipo hidrogen´oide.
Contudo, al´em da dependˆencia da energia com os n´umeros quˆanticos principal
e angular, N e l, respectivamente, surge tamb´em uma dependˆencia extra com
o n´umero quˆantico magn´etico m. Este fato ´e uma consequˆencia direta da
presen¸ca da corda c´osmica que reduz o grau de degenerecˆencia associado ao
n´ıvel quˆantico espec´ıfico. Tamb´em investigamos a fun¸c˜ao de onda associada a
estados espalhados. Analisando seu comportamento assint´otico para grandes
valores de kr, observamos que o ˆangulo de mudan¸ca de fase apresenta duas
contribui¸c˜oes distintas: (i) uma devido a intera¸c˜ao Coulombiana e a outra (ii)
devido a modifica¸c˜ao do n´umero quˆantico angular efetivo.
• Na segunda situa¸c˜ao consideramos a presen¸ca de um potencia harmˆonico
isotr´opico agindo sobre a part´ıcula. A presen¸ca deste potencial faz com
que todos os estados de energia sejam ligados, at´e mesmo na presen¸ca do
potencial Coulombiano repulsivo. De fato, com r → ∞ ambos os potenciais
centr´ıfugo e Coulombiano de (4.45) tendem a desaparecer enquanto que o
potencial harmˆonico cresce sem limite. Tamb´em neste caso o espectro de
energia depende do n´umero quˆantico m. Como aplica¸c˜ao final investigamos
o problema onde o potencial Coulombiano ´e retirado. Nesse caso tamb´em
encontramos o espectro de energia.
Departamento de F´ısica - UFPB
4.4 Conclus˜ao 86
Antes de finalizarmos esta breve conclus˜ao, gostariamos de fazer mais um
coment´ario sobre o primeiro sistema analizado. A presen¸ca da corda c´osmica
modifica o espectro de energia tipo-hidrogenoide de maneira significativa. A raz˜ao
disto est´a nos poss´ıveis valores que o n´umero quˆantico angular ordin´ario pode
assumir. Na ausˆencia da corda c´osmica, l = |q|, |q| + 1, |q| + 2, ...; contudo
na presen¸ca da mesma, o menor valor para l ´e maior que |q|. Usando o resultado
(4.27) para o espectro de energia ´e poss´ıvel ver que para q = 1/2, h´a um aumento de
68.6% no valor da energia para o n´ıvel mais baixo considerando b = 0.999, enquanto
que para q = 1 o aumento ´e de 66.4%.
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Cap´ıtulo 5
Part´ıcula de Spin-0 na Presen¸ca
de Defeitos Topol´ogicos
Gravitacionais
5.1 Introdu¸c˜ao
A influˆencia do campo gravitacional sobre sistemas quˆanticos tem chamado a
aten¸c˜ao em f´ısica de part´ıculas a muitos anos. Desta maneira, a an´alise do ´atomo
de hidrogˆenio no espa¸co curvo foi considerada em [58, 59, 60]. Em [59] foi mostrado
que o desvio no espectro de energia causado pela curvatura local ´e diferente do usual
desvio Doppler gravitacional. Por outro lado, esse desvio s´o ´e apreci´avel na regi˜ao
de campo gravitacional forte. Recentemente a an´alise da influˆencia da topologia do
espa¸co-tempo sobre o espectro de energia do ´atomo de hidrogˆenio foi considerado dos
pontos de vista n˜ao-relativ´ıstico [61] e relativ´ıstico [62]. Nestes trabalhos o ´atomo de
hidrogˆenio ´e colocado num espa¸co-tempo produzido por uma corda c´osmica linear
idealizada, e um monopolo global pontual. Diferentemente das an´alises anteriores,
nestas recentes investiga¸c˜oes o espectro de energia associado ao ´atomo de hidrogˆenio
87
5.1 Introdu¸c˜ao 88
pode ser calculado exatamente.
O sistema f´ermion-dyon foi analisado em [47, 48] do ponto de vista relativ´ıstico
no espa¸co-tempo plano. Neste trabalho foi mostrado que o espectro de energia
associado com este sistema ´e similar ao do ´atomo de hidrogˆenio se o produto
entre a carga el´etrica da part´ıcula, e, e a carga magn´etica do monopolo, g, for
um n´umero inteiro. A an´alise quˆantica n˜ao-relativ´ıstica de uma part´ıcula carregada
na presen¸ca de um monopolo magn´etico no espa¸co-tempo de um monopolo global foi
desenvolvida por n´os em [63], considerando o efeito de auto-intera¸c˜ao eletrost´atica
sobre a part´ıcula carregada causado pela topologia n˜ao trivial do espa¸co-tempo [64].
Contudo, o sistema part´ıcula carregada-dyon foi analisado num espa¸co-tempo cˆonico
numa abordagem n˜ao-relativ´ıstica [3]. Neste tarabalho, tanto o monopolo magn´etico
quanto o dyon est˜ao superpostos ao respectivo defeito topol´ogico.
A prescri¸c˜ao adotada para introduzir o potencial quadri-vetor eletromagn´etico,
A
µ
, nas equa¸c˜oes de Dirac e Klein-Gordon ´e atrav´es do acoplamento m´ınimo.
Nesta prescri¸c˜ao, o operador diferencial quadri-vetorial P
µ
= i∂
µ
´e modificado para
P
µ
−→ P
µ
−eA
µ
. A algum tempo atr´as, Dosch, Jansen e M¨uller em [65], admitiram
que o acoplamento m´ınimo n˜ao ´e a ´unica maneira de acoplar um potencial a equa¸c˜ao
de Dirac. Eles sugeriram que um potencial n˜ao-eletromagn´etico pode ser levado em
considera¸c˜ao modificando o termo de massa como M −→ M + S(r, t), sendo S(r, t)
chamado de potencial escalar. Este novo formalismo foi usado por Soff, M¨uller,
Rafelski e Greiner, em [66], para analisar a equa¸c˜ao de Dirac na presen¸ca de um
potencial Coulombiano e um potencial escalar est´atico proporcional ao inverso da
distˆancia radial, ou seja, S ∝ 1/r. Recentemente a introdu¸c˜ao da auto-intera¸c˜ao
eletrost´atica sobre uma part´ıcula carregada no espa¸co-tempo de uma corda c´osmica
[38, 33] foi usada em [67] e [68] para analisar seu movimento quˆantico relativ´ıstico.
Neste trabalho analisamos o movimento quˆantico relativ´ıstico de uma part´ıcula
massiva carregada de spin−0 na presen¸ca de um dyon, de um fluxo magn´etico tipo
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5.1 Introdu¸c˜ao 89
Aharonov-Bohm e um potencial escalar, no espa¸co-tempo produzido por uma corda
c´osmica idealizada e por um monopolo global pontual, separadamente. Assumiremos
que o dyon e o fluxo magn´etico linear est˜ao superpostos a ambos os defeitos
gravitacionais; al´em disso, duas configura¸c˜oes espec´ıficas para o potencial escalar
ser˜ao consideradas: (i) o potencial ´e proporcional ao inverso da distˆancia radial,
1/r, e (ii) o potencial variando linearmente com a distˆancia radial, r. Com estes
potenciais obteremos solu¸c˜oes exatas para as equa¸c˜oes de Klein-Gordon fornecendo
o espectro de energia asociado aos estados ligados, e o ˆangulo de mudan¸ca de fase
para estados espalhados. Em [69], Villalba, usando a equa¸c˜ao de Dirac, analisou o
movimento quˆantico relativ´ıstico de uma part´ıcula massiva carregada de spin−1/2
na presen¸ca dos potenciais Coulombiano e escalar, do campo magn´etico de um
monopolo e de um fluxo tipo Aharonov-Bohm. Considerando que o potencial
escalar se acopla ao campo modificando o termo de massa na equa¸c˜ao de Dirac
fazendo M ir para M + S(r), com S(r) = −
α
′
r
, o autor encontrou uma express˜ao
alg´ebrica para o espectro de energia. Ele mostrou que no caso espec´ıfico em que o
potencial Coulombiano est´a ausente, o espectro de energia assume valores positivos
e negativos.
A equa¸c˜ao de Klein-Gordon para uma part´ıcula massiva carregada, na presen¸ca
dos potenciais eletromagn´etico e escalar, apresentam a seguinte forma:
[D
2
− ξR − (M + S(r))
2
]Ψ(x) = 0 , (5.1)
onde o operador diferencial acima ´e dado por
D
2
=
1
√
−g
D
µ
(
√
−g g
µν
D
ν
) , (5.2)
com D
µ
= ∂
µ
− ieA
µ
. Al´em disso g = det(g
µν
) e S(r) ´e o potencial escalar. Note
que introduzimos um acoplamento n˜ao-m´ınimo entre o campo e a geometria: ξR.
Departamento de F´ısica - UFPB
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 90
Os campos eletromagn´eticos que devemos considerar s˜ao devido ao dyon e ao fluxo
de Aharonov-Bohm. Neste caso o quadri-vetor potencial, em coordenadas esf´ericas,
´e dado por:
A
µ
= (A
0
, 0, 0, A
φ
) , (5.3)
sendo
A
φ
=
Φ
B
2π
+ A
g
φ
. (5.4)
Φ
B
denotando o fluxo de Aharonov-Bohm, e A
g
φ
dado por (2.12). O potencial
Coulombiano produzido pela carga el´etrica, Q, do dyon ´e:
A
0
(r) =
Q
r
. (5.5)
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda
C´osmica
Devido a simetria esf´erica associada ao potencial vetor (2.12) e tamb´em ao
potencial escalar considerado, decidimos analisar o sistema part´ıcula carregada-dyon
usando coordenadas esf´ericas. Neste sistema de coordenadas o tensor associado ao
espa¸co-tempo produzido por uma corda c´osmica idealizada ´e:
ds
2
= −dt
2
+ dr
2
+ r
2
dθ
2
+ b
2
r
2
sin
2
θdφ
2
. (5.6)
Assim, neste espa¸co-tempo, o operador diferencial (5.2) torna-se
Departamento de F´ısica - UFPB
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 91
D
2
= −(∂
t
− ieA
0
)
2
+
1
r
2
∂
r
(r
2
∂
r
) +
1
r
2
sin θ
∂
θ
(sin θ∂
θ
)
+
(∂
2
φ
− 2ieA
φ
∂
φ
− e
2
A
2
φ
)
b
2
r
2
sin
2
θ
. (5.7)
De maneira an´aloga ao mencionado no cap´ıtulo 4, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de
Klein-Gordon na presen¸ca do campo de um monopolo magn´etico n˜ao ser˜ao fun¸c˜oes
ordin´arias, ao inv´es disso, se¸c˜oes, ou seja, as solu¸c˜oes assumem valores Ψ
a
e Ψ
b
em
R
a
e R
b
, e satisfazem a transforma¸c˜ao de gauge
Ψ
a
= SΨ
b
, (5.8)
na regi˜ao de superposi¸c˜ao R
ab
.
Para analisarmos o movimento quˆantico da part´ıcula, admitiremos que a fun¸c˜ao
de onda, solu¸c˜ao de (5.1), tem a forma geral
Ψ(x) = e
−iEt
R(r)Y (θ, φ) , (5.9)
sendo E a auto-energia da part´ıcula.
Substituindo (5.9) e (5.7) em (5.1), e lembrando que o escalar de curvatura, R, se
anula para este espa¸co-tempo, obtemos duas equa¸c˜oes diferenciais: (i) uma equa¸c˜ao
associada `as vari´aveis angulares,
1
sin θ
∂
θ
(sin θ∂
θ
) +
(∂
2
φ
− 2ieA
φ
∂
φ
− e
2
A
2
φ
)
b
2
sin
2
θ
Y (θ, φ) = −λY (θ, φ) (5.10)
e, ii) uma outra equa¸c˜ao para a fun¸c˜ao radial,
1
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
−
λ
r
2
+ (M + S(r))
2
− (E + eA
0
)
2
R = 0 . (5.11)
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 92
Em ambas as equa¸c˜oes λ ´e um fator constante introduzido para separar as equa¸c˜oes
diferenciais originais.
5.2.1 Harmˆonicos Monopolares Cˆonicos na Presen¸ca do
Potencial de Aharonov-Bohm
Para obtermos solu¸c˜oes para (5.10), devemos considerar esta equa¸c˜ao nas regi˜oes
R
a
e R
b
separadamente. Seguindo o procedimento usual podemos assumir que
Y (θ, φ) = Θ(θ)e
i(m±q)φ
, (5.12)
onde os sinais positivo (negativo) se referem as regi˜oes R
a
(R
b
). m ´e o n´umero
quˆantico magn´etico e q = eg.
A solu¸c˜ao de (5.10) na ausˆencia do campo magn´etico de Aharonov-Bohm, foi
obtida em [3] e reproduzida nesta tese no apˆendice A. Como vimos esta solu¸c˜ao ´e
uma generaliza¸c˜ao dos hamˆonicos monopolares definidos por Wu e Yang em [44] para
o espa¸co-tempo cˆonico. Reproduziremos abaixo algums passos adotados para obter
a solu¸c˜ao no presente caso, ou seja, na presen¸ca de um fluxo magn´etico ao longo
da corda c´osmica. Substituindo (5.12) em (5.10), e introduzindo uma nova vari´avel
x = cos θ, obtemos para ambas as regi˜oes R
a
e R
b
a mesma equa¸c˜ao diferencial
(1 − x
2
)
d
2
Θ(x)
dx
2
− 2x
dΘ(x)
dx
−
(m
Φ,b
+ q
b
x)
2
(1 − x
2
)
Θ(x) = −λΘ(x) , (5.13)
onde
1
q
b
=
q
b
, e m
Φ,b
=
m − (
¯
N + ǫ)
b
. (5.14)
1
Em nosso desenvolvimento definimos a raz˜ao do fluxo Φ
B
pelo fluxo quˆantico, φ
0
= 2π/e, por
Φ
B
Φ
0
=
¯
N + ǫ, sendo
¯
N um n´umero inteiro e 0 < ǫ < 1.
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 93
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial acima pode ser expressa em termos dos polinˆomios
de Jacobi [70] por
Θ(x) = (1 − x)
σ/2
(1 + x)
β/2
P
σ,β
n
(x) , (5.15)
sendo P
σ,β
n
(x) os polinˆomios de Jacobi de grau n expressos por
P
σ,β
n
(x) =
(−1)
n
2
n
n!
(1 − x)
−σ
(1 + x)
−β
d
n
dx
n
(1 − x)
σ+n
(1 + x)
β+n
, (5.16)
com
σ = m
Φ,b
+ q
b
, β = m
Φ,b
− q
b
, n = l
Φ,b
− m
φ,b
. (5.17)
O auto-valores de (5.13) s˜ao dados por
λ ≡ λ
φ,b
= l
φ,b
(l
φ,b
+ 1) − q
2
b
, (5.18)
sendo
l
Φ,b
= l − (
¯
N + ǫ) +
1
b
− 1
m − (
¯
N + ǫ)
. (5.19)
Como l
φ,b
(l
φ,b
+ 1) ≥ q
2
b
devemos ter l
φ,b
≥
q
b
. Desta forma, os valores poss´ıveis
de l s˜ao l = |q| +
¯
N + 1, |q| +
¯
N + 2 ....
Finalmente a solu¸c˜ao normalizada de (5.10), na regi˜ao R
a
, ´e
Y
q
b
l
b
,m
b
(θ, φ) = N
q
b
,l
b
(1 − x)
σ/2
(1 + x)
β/2
P
σ,β
n
(x)e
i(m+q)φ
, (5.20)
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 94
com a constante de normaliza¸c˜ao sendo dada por
N
q
b
,l
b
=
1
√
2πb
(2n + σ + β + 1)n!Γ(n + σ + β + 1)
2
σ+β+1
Γ(n + σ + 1)Γ(n + β + 1)
1/2
. (5.21)
Assim, os harmˆonicos monopolares cˆonicos na presen¸ca do fluxo magn´etico de
Aharonov-Bohm obedece a equa¸c˜ao de auto-valores
L
2
q
b
Y
q
b
l
Φ,b
, m
Φ,b
(θ, φ) = l
Φ,b
(l
Φ,b
+ 1)Y
q
b
l
Φ,b
, m
Φ,b
(θ, φ) , (5.22)
sendo
L
2
q
b
= −
1
sin θ
∂
θ
(sin θ∂
θ
) −
1
b
2
sin
2
θ
(∂
φ
− ieA
φ
)
2
+ q
2
b
. (5.23)
5.2.2 Equa¸c˜ao Radial
Tendo em m˜aos os valores do parˆametro λ ≡ λ
φ,b
= l
φ,b
(l
φ,b
+1)−q
2
b
, retornaremos
agora a an´alise da equa¸c˜ao radial (5.11). Esta an´alise ser´a desenvolvida nas duas
pr´oximas subse¸c˜oes considerando duas configura¸c˜oes diferentes para o potencial
escalar. Neste ponto, queremos chamar a aten¸c˜ao para o fato de que com estas
configura¸c˜oes podemos obter solu¸c˜oes exatas para a equa¸c˜ao diferencial radial.
Al´em disso, estas configura¸c˜oes podem ser consideradas para analisar o movimento
relativ´ıstico de uma part´ıcula na presen¸ca de um potencial de auto-intera¸c˜ao devido
a geometria do espa¸co-tempo, e na presen¸ca de um oscilador harmˆonico isotr´opico.
Potencial Escalar S(r) =
η
C
r
Considerando que o potencial escalar ´e tipo Coulombiano,
S(r) =
η
C
r
, (5.24)
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 95
a equa¸c˜ao radial apresenta a seguinte forma:
1
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
+
e
2
Q
2
− η
2
C
− λ
φ,b
r
2
+ 2
eQE − Mη
C
r
+ E
2
− M
2
R = 0 . (5.25)
Para este caso o sistema pode apresentar estados ligado e espalhado.
No primeiro caso, que corresponde a estados ligados, ´e necess´ario que E < M,
que o produto eQ seja uma quantidade positiva e que o parˆametro η
C
< eQ .
2
Admitindo esta situa¸c˜ao, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao radial ´e expressa em termos das
fun¸c˜oes hipergeom´etricas:
R(r) = e
−kr
(kr)
s
b
−1
1
F
1
s
b
+
ν
2
, 2s
b
; 2kr
, (5.26)
com
µ
φ,b
= λ
φ,b
+ η
2
C
− e
2
Q
2
, ν = 2
Mη
C
− eQE
k
, k
2
= M
2
− E
2
(5.27)
e
s
b
=
1
2
+
1 + 4µ
φ,b
2
. (5.28)
Devido ao comportamento divergente da fun¸c˜ao hipergeom´etrica
1
F
1
para
grandes valores de seu argumento, estados ligados podem ser obtidos apenas se
imposermos que esta fun¸c˜ao seja um polinˆomio de grau N. Neste caso a solu¸c˜ao da
equa¸c˜ao radial, (5.26), vai a zero no infinito. Esta condi¸c˜ao ´e obtida impondo que
s
b
+
ν
2
= −N , N = 0, 1, 2, 3, ... . (5.29)
2
Se assumirmos que o produto eQ ´e uma quantidade negativa, o parˆametro η
C
seria uma
quantidade negativa e seu m´odulo maior que |eQ|
E
M
. Neste caso, o valor de η
C
depender´a da raz˜ao
da energia pela massa da part´ıcula, situa¸c˜ao esta que n˜ao consideraremos aqui.
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 96
Combinando convenientemente as equa¸c˜oes dadas em (5.27) e (5.29), obtemos
3
(s
b
+ N)
√
M
2
− E
2
= eQE − η
C
M . (5.30)
Esta equa¸c˜ao fornece a condi¸c˜ao de quantiza¸c˜ao para o espectro de energia da
part´ıcula:
E
N,φ,b
= M
eQη
C
± (N + s
b
)
e
2
Q
2
− η
2
C
+ (N + s
b
)
2
e
2
Q
2
+ (N + s
b
)
2
. (5.31)
Vemos que a energia depende de todos os parˆametros do sistema. Vemos tamb´em
que a condi¸c˜ao e
2
Q
2
+ (N + s
b
)
2
> η
2
C
, ´e automaticamente obedecida, uma vez que
admitimos que eQ > η
C
; desta forma o espectro de energia obtido ´e real, compat´ıvel
com o esperado. Um outro fato que devemos chamar a aten¸c˜ao ´e para o duplo sinal,
±, dentro dos colchetes. Este fato ´e uma consequˆencia explicita da existˆencia do
potencial escalar.
Duas situa¸c˜oes particulares merecem ser mencionadas: (i) η
C
= 0, que
corresponde a presen¸ca de estados ligados devido ao potencial Coulombiano do dyon
apenas. Neste caso o espectro de energia torna-se
E = M
1 +
e
2
Q
2
(N + s
b
)
2
−1/2
. (5.32)
O sinal negativo dentro dos colchetes em (5.31) foi discartado pois ´e incompat´ıvel
com a condi¸c˜ao (5.30).
A segunda possibilidade ´e dada por (ii) Q = 0, que corresponde a ausˆencia do
potencial Coulombiano do dyon. Neste caso os estados ligados s˜ao devido a presen¸ca
3
Uma express˜ao semelhante foi obtida por Soff et al em [66] e por Villalba em [69], usando a
equa¸c˜ao de Dirac para analisar o movimento quˆantico de uma part´ıcula carregada na presen¸ca dos
potenciais Coulombiano e escalar.
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 97
do potencial escalar e o espectro de energia torna-se
E = ±M
1 −
η
2
C
(N + s
b
)
2
1/2
. (5.33)
Neste caso ambos os sinais para a energia s˜ao permitidos, e solu¸c˜oes com energia
negativa tornam-se aceit´aveis.
Ap´os esta an´alise, vamos estudar estados espalhados. Estados espalhados podem
ser obtidos impondo a condi¸c˜ao E > M na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial radial.
Neste caso, temos:
R(r) = e
iκr
(κr)
s
b
−1
1
F
1
s
b
+
iν
2
, 2s
b
; −2iκr
, (5.34)
onde
κ
2
= E
2
− M
2
, ν = 2
Mη
C
− eQE
κ
. (5.35)
A partir do comportamento assint´otico de R(r) para κr >> 1, ´e poss´ıvel obter
a express˜ao do ˆangulo de mudan¸ca de fase, δ
l
, o parˆametro mais importante para
o c´alculo da amplitude de espalhamento. O comportamento da fun¸c˜ao radial para
grandes valores do seu argumento ´e
R(r) ≈
1
κr
cos
κr −
ν
2
ln(2κr) + γ
l
−
π
2
s
b
, (5.36)
onde
γ
l
= arg Γ
s
b
+
iν
2
. (5.37)
Assim, podemos ver que o ˆangulo de mudan¸ca de fase apresenta duas
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5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 98
contribui¸c˜oes distintas
4
:
(i) Uma devido aos potenciais Coulombiano e escalar
δ
(1)
l
= γ
l
= arg Γ
s
b
+
iν
2
, (5.38)
que desaparece para Q = η
C
= 0, e
(ii) a outra, da modifica¸c˜ao do n´umero quˆantico angular efetivo, λ
φ,b
, causada pela
geometria do espa¸co-tempo, pela intera¸c˜ao com os campos el´etricos e magn´eticos do
dyon, pelo campo magn´etico do fluxo de Aharonov-Bohm, e finalmente devida ao
potencial escalar:
δ
(2)
l
=
π
2
(l + 1 − s
b
) . (5.39)
Assim, o ˆangulo de mudan¸ca de fase completo ´e dado pela soma de ambas as fases
δ
l
= δ
(1)
l
+ δ
(2)
l
. (5.40)
Potencial Escalar S(r) = η
L
r
Neste caso a equa¸c˜ao diferencial radial (5.11) torna-se
1
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
+
e
2
Q
2
− λ
φ,b
r
2
+ 2
eQE
r
− 2Mη
L
r − η
2
L
r
2
+ E
2
− M
2
R = 0 .(5.41)
A equa¸c˜ao acima ´e similar a equa¸c˜ao n˜ao-relativ´ıstica que governa o movimento
quˆantico de uma part´ıcula carregada na presen¸ca de um dyon e de um potencial
harmˆonico isotr´opico extra
5
. Desta maneira, o parˆametro η
L
pode ser identificado
4
O termo logar´ıtmico em (5.36) ´e consequˆencia do longo alcance das intera¸c˜oes Coulombiana
e escalar. Como elas n˜ao dependem da an´alise das ondas parciais e variam suavemente com a
distˆancia, elas n˜ao podem ser consideradas como uma contribui¸c˜ao para δ
l
[49, 12].
5
No cap´ıtulo 4, investigamos o movimento quˆantico n˜ao-relativ´ıstico de uma part´ıcula carregada
na presen¸ca de um dyon, e de um potencial harmˆonico isotr´opico.
Departamento de F´ısica - UFPB
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 99
como Mω, sendo ω a frequˆencia cl´assica do oscilador. Introduzindo uma nova fun¸c˜ao
R(r) = u(r)/r e definindo uma nova vari´avel admensional z =
√
η
L
r, a equa¸c˜ao
acima torna-se
d
2
u
dz
2
+
e
2
Q
2
− λ
φ,b
z
2
+
2eQE
η
1/2
L
z
−
2M
η
1/2
L
z − z
2
+
E
2
− M
2
η
L
u = 0 . (5.42)
Para investigarmos as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial acima, ´e conveniente
analisar seu comportamento nas regi˜oes z → 0 e z → ∞. Fazendo isto, verificamos
que u(z) apresenta a forma geral abaixo:
u(z) = z
β/2
e
−z(z+c)/2
F (z) , (5.43)
com
c =
2M
η
1/2
L
, β = 1 +
1 + 4(λ
φ,b
− e
2
Q
2
) (5.44)
e F (z) satisfazendo a seguinte equa¸c˜ao diferencial
zF
′′
(z) + (β − cz − 2z
2
)F
′
(z) − [a
1
+ a
2
z]F (z) = 0 , (5.45)
com
a
1
=
cβ
2
−
2eQE
η
1/2
L
e a
2
= β −
E
2
η
L
. (5.46)
As solu¸c˜oes de (5.45) podem ser obtidas admitindo uma expans˜ao em s´erie para
fun¸c˜ao desconhecida:
F (z) =
∞
k=0
d
k
z
k
. (5.47)
Departamento de F´ısica - UFPB
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 100
Substituindo a s´erie acima em (5.45), obtemos as seguintes rela¸c˜oes de recorrˆencias:
d
1
=
a
1
β
d
0
(5.48)
e
d
k+2
=
(k + 1)c + a
1
(k + 2)(k + 1 + β)
d
k+1
+
2k + a
2
(k + 2)(k + 1 + β)
d
k
. (5.49)
Admitindo d
0
= 1 e usando (5.49), obtemos:
d
2
=
a
1
(c + a
1
) + a
2
β
2β(β + 1)
d
3
=
(2c + a
1
)(c + a
1
)a
1
3!β(β + 1)(β + 2)
+
(2c + a
1
)a
2
β
3!β(β + 1)(β + 2)
+
a
1
(2 + a
2
)
3β(β + 2)
. (5.50)
Conforme explicado anteriormente, podemos obter uma classe especial de
solu¸c˜oes exatas, que representem estados ligados, admitindo uma express˜ao
polinomial de F (z). Sendo n a ordem de tal polinˆomio, duas condi¸c˜oes diferentes
devem ser satisfeitas simultaneamente: a
2
= −2n e d
n+1
= 0. Desta maneira, temos
d
n+2
= d
n+3
= ... = 0. A condi¸c˜ao a
2
= −2n fornece o espectro de energia para o
sistema, E
2
n
= (β + 2n)η
L
, e a condi¸c˜ao d
n+1
= 0 uma equa¸c˜ao alg´ebrica satisfeita
por valores espec´ıficos do parˆametro η
L
.
Como aplica¸c˜ao desse formalismo vamos considerar o caso mais simples, onde a
fun¸c˜ao F ´e um polinˆomio de primeira ordem. Neste caso, temos:
(i) A condi¸c˜ao a
2
= −2 imp˜oe que
F (z) = 1 +
a
1
β
z . (5.51)
Departamento de F´ısica - UFPB
5.2 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo da Corda C´osmica 101
As energias associadas a estes estados s˜ao
E
1
= ±
(β + 2)η
L
. (5.52)
Neste ponto gostariamos de chamar a aten¸c˜ao para o fato que nesta an´alise
relativ´ıstica as energias da part´ıcula diferem do caso n˜ao relativ´ıstico tratado na
se¸c˜ao 4.3. Aqui as energias podem ser negativas.
(ii) A condi¸c˜ao d
2
= 0 restringe os valores poss´ıveis que o parˆametro η
L
pode
assumir. Para este caso os valores poss´ıveis s˜ao
η
±
L
=
(β + 2)M
2
2
2e
2
Q
2
[(β + 1)
2
+ 1] + β
2
[2e
2
Q
2
(β + 2) − β]
2
±
2eQ(β + 1)
2(2e
2
Q
2
+ β
2
)
[2e
2
Q
2
(β + 2) − β]
2
. (5.53)
Destes resultados podemos ver que: (i) Dois valores distintos para η
L
s˜ao
positivos, consequentemente, o espectro de energia ´e duas vezes maior que no caso
em que temos uma solu¸c˜ao. (ii) As solu¸c˜oes para estados ligados existem tanto para
valores positivos quanto para valores negativos do produto eQ; al´em disso, a energia
depende do parˆametro b que codifica a presen¸ca da corda c´osmica, e da raz˜ao do
fluxo de Aharonov-Bohm pelo fluxo quˆantico,
Φ
2π/e
. (iii) Finalmente, queremos dizer
que existem infinitas solu¸c˜oes em s´erie para F (z) com comportamento fisicamente
aceit´avel [55], contudo, para estes casos o espectro de energia pode apenas ser obtido
numericamente.
Departamento de F´ısica - UFPB
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global 102
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do
Monopolo Global
O tensor m´etrico para o espa¸co-tempo produzido por um monopolo global
pontual ´e dado por
ds
2
= −dt
2
+
dr
2
α
2
+ r
2
(dθ
2
+ sin
2
θdφ
2
) . (5.54)
Neste espa¸co-tempo o operador diferencial (5.2) ´e dado por
D
2
= −(∂
t
− ieA
0
)
2
+
α
2
r
2
∂
r
(r
2
∂
r
) −
−
1
r
2
−
1
sin θ
∂
θ
(sin θ∂
θ
) −
1
sin
2
θ
∂
2
φ
+
2ieA
φ
sin
2
θ
∂
φ
+
e
2
A
2
φ
sin
2
θ
= −(∂
t
− ieA
0
)
2
+
α
2
r
2
∂
r
(r
2
∂
r
) −
L
2
q
r
2
, (5.55)
L
2
q
sendo o operador definido em (5.23) tomando b = 1, cujas auto-fun¸c˜oes s˜ao os
hamˆonicos monopolares na presen¸ca do fluxo de Aharonov-Bohm, dado em (5.20).
Vamos admitir para as fun¸c˜oes de onda a seguinte forma:
Ψ(x) = e
−iEt
R(r)Y
q
l
φ
,m
φ
(θ, φ) . (5.56)
Substituindo (5.55) e (5.56) em (5.1), e considerando para o escalar de curvatura
R = 2(1 − α
2
)/r
2
, obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial radial
α
2
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
−
λ
φ
+ 2ξ(1 − α
2
)
r
2
+ (M + S(r))
2
− (E + eA
0
)
2
R = 0 , (5.57)
com λ
φ
= l
φ
(l
φ
+ 1) − q
2
.
Como na se¸c˜ao anterior devemos considerar, separadamente, duas configura¸c˜oes
Departamento de F´ısica - UFPB
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global 103
distintas para o potencial escalar.
Potencial Escalar S(r) =
η
C
r
Considerando que o potencial escalar ´e tipo Coulombiano
6
S(r) =
η
C
r
(5.58)
a equa¸c˜ao diferencial radial torna-se:
1
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
+
e
2
Q
2
− η
2
C
− 2ξ(1 − α
2
) − λ
φ
α
2
r
2
+
+ 2
eQE − Mη
C
α
2
r
+
E
2
− M
2
α
2
R = 0 . (5.59)
Este sistema tamb´em apresenta estados ligados e espalhados.
Os estados ligasdos s˜ao obtidos se assumirmos que E < M e η
C
< eQ, sendo
eQ uma quantidade positiva. Admitindo esta situa¸c˜ao a solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao
diferencial radial acima ´e
R(r) = e
−kr
(kr)
s
α
−1
1
F
1
s
α
+
ν
2
, 2s
α
; 2kr
, (5.60)
com
µ
φ,α
=
λ
φ
+ η
2
C
+ 2ξ(1 − α
2
) − e
2
Q
2
α
2
, ν = 2
Mη
C
− eQE
α
2
k
, k
2
=
M
2
− E
2
α
2
(5.61)
e
s
α
=
1
2
+
1 + 4µ
φ,α
2
. (5.62)
6
Foi mostrado em [64] que a auto-intera¸c˜ao eletrost´atica em uma part´ıcula carregada colocada
no espa¸co-tempo de um monopolo global ´e dada por U =
K(α)
r
, sendo K(α) uma quantidade
positiva para α < 1, e r a distˆancia radial da carga ao monopolo.
Departamento de F´ısica - UFPB
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global 104
Como na an´alise anterior, para obtermos estados ligados ´e necess´ario que a fun¸c˜ao
hipergeom´etrica torne-se um polinˆomio de grau N. Esta condi¸c˜ao ´e obtida impondo
que
s
α
+
ν
2
= −N . (5.63)
Combinando convenientemente as equa¸c˜oes dadas em (5.61) e (5.63), obtemos:
α
2
(s
α
+ N)
√
M
2
− E
2
= eQE − η
C
M , (5.64)
que fornece a condi¸c˜ao de quantiza¸c˜ao para o espectro de energia do sistema:
E = M
eQη
C
± α
2
(N + s
α
)
e
2
Q
2
− η
2
C
+ α
4
(N + s
α
)
2
e
2
Q
2
+ α
4
(N + s
α
)
2
. (5.65)
Duas situa¸c˜oes distintas podem ser analisadas: (i) Considerando η
C
= 0. Neste
caso, o potencial Coulombiano atrativo do dyon fornece o seguinte espectro de
energia
E = M
1 +
e
2
Q
2
α
4
(N + s
α
)
2
−1/2
. (5.66)
A segunda possibilidade ´e dada por (ii) Q = 0. Neste caso o potencial escalar pode
ligar a part´ıcula se η
C
< 0, e o espectro de energia ´e dado por
7
E = ±M
1 −
η
2
C
α
4
(N + s
α
)
2
1/2
. (5.67)
Os estados espalhados podem ser obtidos admitindo que E > M na equa¸c˜ao
7
The same considerations about the sign of the energy spectrum mentioned in the last section
take place in this analysis.
Departamento de F´ısica - UFPB
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global 105
diferencial radial. A respectiva solu¸c˜ao ´e obtida fazendo k = −iκ em (5.60), sendo
a mesma dada por:
R(r) = e
iκr
(κr)
s
α
−1
1
F
1
s
α
+
iν
2
, 2s
α
; −2iκr
. (5.68)
O comportamento assint´otico desta fun¸c˜ao para κr >> 1 ´e dado por
R(r) ≈
1
κr
cos
κr −
ν
2
ln(2κr) + γ
l
−
π
2
s
α
(5.69)
sendo
γ
l
= arg Γ
s
α
+
iν
2
. (5.70)
Como na se¸c˜ao anterior, este comportamento assint´otico indica que o ˆangulo de
mudan¸ca de fase, δ
l
, apresenta duas contribui¸c˜oes distintas:
(i) Uma devido aos potenciais Coulombiano e escalar
δ
(1)
l
= γ
l
= arg Γ
s
α
+
iν
2
. (5.71)
e
(ii) a outra devida a modifica¸c˜ao do n´umero quˆantico angular causada pela
geometria do espa¸co-tempo, pela intera¸c˜ao eletromagn´etica e pela presen¸ca do
potencial escalar
δ
(2)
l
=
π
2
(l + 1 − s
α
) . (5.72)
Finalmente o ˆangulo de mudan¸ca de fase completo ´e dado por
δ
l
= δ
(1)
l
+ δ
(2)
l
. (5.73)
Departamento de F´ısica - UFPB
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global 106
Potential Escalar S(r) = η
L
r
Para este caso a equa¸c˜ao diferencial radial torna-se
1
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
−
µ
φ,α
r
2
−
2eQE
α
2
r
+
2Mη
α
α
r + η
2
α
r
2
−
E
2
− M
2
α
2
R = 0 , (5.74)
com
µ
φ,α
=
λ
φ
+ 2ξ(1 − α
2
) − e
2
Q
2
α
2
, η
α
=
η
L
α
. (5.75)
Introduzindo uma nova fun¸c˜ao R(r) = u(r)/r e definindo uma vari´avel admensional
z =
√
η
α
r, temos
d
2
u
dz
2
−
µ
φ,α
z
2
−
2eQE
α
2
η
1/2
α
z
+
2M
αη
1/2
α
z + z
2
−
E
2
− M
2
α
2
η
α
u = 0 . (5.76)
Para obtermos o espectro de energia para a equa¸c˜ao diferencial acima ´e necess´ario
analisar seu comportamento assint´otico para z −→ 0 e z −→ ∞. Depois disso,
expressamos a fun¸c˜ao u(z) em termos de uma fun¸c˜ao desconhecida F (z) como segue:
u(z) = z
β/2
e
−z(z+c)/2
F (z) , (5.77)
onde
c =
2M
αη
1/2
α
, e β = 1 +
1 + 4µ
φ,α
. (5.78)
Substituindo (5.77) em (5.76) obtemos uma equa¸c˜ao diferencial radial para a fun¸c˜ao
desconhecida F (z) dada abaixo:
zF
′′
(z) + (β − cz − 2z
2
)F
′
(z) − [a
1
+ a
2
z]F (z) = 0 , (5.79)
Departamento de F´ısica - UFPB
5.3 An´alise Quˆantica no Espa¸co-Tempo do Monopolo Global 107
com
a
1
=
cβ
2
−
2eQE
α
2
η
1/2
α
e a
2
= β −
E
2
α
2
η
α
. (5.80)
Usando o m´etodo de Frobenius para resolver (5.79),
F (z) =
∞
k=0
d
k
z
k
, (5.81)
achamos as seguintes rela¸c˜oes de recorrˆencia:
d
1
=
a
1
β
d
0
(5.82)
e
d
k+2
=
(k + 1)c + a
1
(k + 2)(k + 1 + β)
d
k+1
+
2k + a
2
(k + 2)(k + 1 + β)
d
k
. (5.83)
Impondo que a fun¸c˜ao F (z) seja um polinˆomio de grau n, duas condi¸c˜oes devem
ser satisfeitas: a
2
= −2n e d
n+1
= 0. Aplicaremos este procedimento para obter a
fun¸c˜ao de onda e as respectivas energias para o caso onde F (z) ´e um polinˆomio de
primeira ordem. Neste caso, temos:
F (z) = 1 +
a
1
β
z . (5.84)
Da primeira condi¸c˜ao, a
2
= −2, obtemos
E
1
= ±
α(β + 2)η
L
(5.85)
Departamento de F´ısica - UFPB
5.4 Conclus˜ao 108
e da segunda condi¸c˜ao, d
2
= 0, obtemos
η
±
L
= α
(β + 2)M
2
2
2e
2
Q
2
[(β + 1)
2
+ 1] + α
2
β
2
[2e
2
Q
2
(β + 2) − α
2
β]
2
±
2eQ(β + 1)
2(2e
2
Q
2
+ α
2
β
2
)
[2e
2
Q
2
(β + 2) − α
2
β]
2
. (5.86)
Como podemos ver, dois valores distintos para o parˆametro η
L
s˜ao poss´ıveis. Cada
um fornece diferentes fun¸c˜oes de onda e energias. Al´em disso, a energia tamb´em
depende do parˆametro α que codifica a presen¸ca do monopolo global, da raz˜ao
Φ
2π/e
e do acoplamento ξ. Como na an´alise anterior, estados ligados existem para ambos
os sinais do produto eQ.
5.4 Conclus˜ao
Neste cap´ıtulo analisamos o movimento quˆantico relativ´ıstico de uma part´ıcula
carregada de spin−0 na presen¸ca de um dyon, um campo magn´etico de Aharonov-
Bohm e um potencial escalar espec´ıfico, S(r), no espa¸co-tempo de uma corda
c´osmica e de um monopolo global. Para ambos os espa¸cos-tempo, o dyon e
o potencial escalar est˜ao superpostos ao defeito topol´ogico gravitacional. Dois
potenciais escalares radiais espec´ıficos s˜ao considerados: (i) potencial proporcional
ao inverso da distˆancia, S(r) = η
C
/r, e (ii) potencial proporcional a distˆancia radial,
S(r) = η
L
r. Para ambos os casos encontramos solu¸c˜oes exatas para as equa¸c˜oes de
Klein-Gordon. No caso espec´ıfico do espa¸co-tempo da corda c´osmica encontramos os
harmˆonicos monopolares cˆonicos na presen¸ca de um fluxo magn´etico de Aharonov-
Bohm. Para o espa¸co-tempo do monopolo global, esta solu¸c˜ao ´e prontamente obtida
fazendo o fator, associado a corda c´osmica, igual a unidade. Finalmente para ambos
os espa¸cos-tempo a fun¸c˜ao radial foi obtida.
Com rela¸c˜ao ao potencial escalar tipo Coulombiano, encontramos estados ligados
Departamento de F´ısica - UFPB
5.4 Conclus˜ao 109
e espalhados. A partir de nossos resultados podemos ver que o espectro de energia
associado a estados ligados depende dos parˆametros que codificam a presen¸ca dos
defeitos topol´ogicos, das cargas magn´etica e el´etrica do dyon, da raz˜ao do fluxo
magn´etico de Aharonov-Bohm pelo fluxo quˆantico, e finalmente da constante de
acoplamento do potencial escalar.
Analisando o comportamento assint´otico da fun¸c˜ao de onda associada a estados
espalhados, encontramos o ˆangulo de mudan¸ca de fase, δ
l
, e mostramos a
dependˆencia deste com os parˆametros acima mencionados. Vimos que o mesmo
apresenta duas contribui¸c˜oes distintas: (i) uma devida aos potenciais escalar e
Coulombiano, e a outra (ii) devida a modifica¸c˜ao no n´umero quˆantico angular
efetivo.
Para o potencial escalar linear, observamos que o sistema s´o apresenta estados
ligados. Admitindo uma expans˜ao em s´erie para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial
radial, pudemos encontrar as auto-energias do sistema.
Departamento de F´ısica - UFPB
Conclus˜oes
Nesta Tese desenvolvemos as an´alises cl´assicas e quˆanticas do movimento de uma
part´ıcula bosˆonica carregada nos espa¸cos-tempos gerados pelos defeitos topol´ogicos
gravitacionais, monopolo global e corda c´osmica. Do ponto de vista cl´assico,
encontramos a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein em um espa¸co-tempo penta-
dimensional no contexto do formalismo de Kaluza-Klein na presen¸ca de fontes
externas associada a um monopolo global. Encontamos ainda a equa¸c˜ao da trajet´oria
de uma part´ıcula massiva e carregada nessa variedade. Do ponto de vista quˆantico,
estudamos os movimentos dessa part´ıcula em quatro dimens˜oes no formalismo
n˜ao-relativistico, via equa¸c˜ao de Schr¨odinger, e no relativ´ıstico, via equa¸c˜ao de
Klein-Gordon. Estudamos as solu¸c˜oes associadas a estados ligados e espalhados,
encontrando, repectivamente, os espectros de energia e os ˆangulos de mudan¸ca de
fase. Abaixo, elencamos mais detalhadamente nossos principais resultados, os quais
constituem a nossa contribui¸c˜ao pessoal.
Nossa primeira an´alise desenvolvida foi no contexto do formalismo de Kaluza-
Klein. Obtivemos a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein em cinco dimens˜oes,
considerando como fonte o tensor energia-momento associado ao monopolo global
[11]. A solu¸c˜ao expl´ıcita para tais equa¸c˜oes, na regi˜ao fora do n´ucleo do monopolo,
corresponde a um monopolo magn´etico de Dirac na variedade de um monopolo
global, o qual denominamos por monopolo composto (3.22). A solu¸c˜ao para o tensor
m´etrico corresponde a um espa¸co com curvatura n˜ao-nula, campo mag´etico, e sec¸c˜ao
110
Conclus˜oes 111
espacial apresentando um d´eficit de ˆangulo s´olido. Essa solu¸c˜ao tem como casos
limites: (i) a solu¸c˜ao de Gross-Perry [7], e Sorkin [8], no caso em que α = 1, isto ´e,
na ausˆencia do monopolo global, e (ii) a solu¸c˜ao de Banerjee et al [10], no caso em que
g = 0, ou seja, na ausˆencia do monopolo magn´etico de Dirac. Estudamos tamb´em o
movimento cl´assico de uma part´ıcula carregada nessa variedade, e mostramos que o
mesmo est´a restrito a uma superf´ıcie cˆonica cujo ˆangulo polar ´e definido em termos
do produto da carga el´etrica da part´ıcula, e, pela carga magn´etica do monopolo,
g. Obtivemos ainda a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao radial, expressando a coordenada r em
termos da vari´avel angular azimutal, φ: r = r(φ). Mostramos que a coordenada
radial cresce indefinidamente.
Outro t´opico abordado, foi o do estudo do movimento quˆantico n˜ao-relativ´ıstico,
via equa¸c˜ao de Schr¨odinger, de uma part´ıcula carregada no espa¸co-tempo de uma
corda c´osmica na presen¸ca de um dyon, isto ´e, uma part´ıcula que porta cargas
el´etrica e magn´etica simultaneamente [63]. De modo a tornarmos o problema
trat´avel do ponto de vista matem´atico, permitindo a obten¸c˜ao de solu¸c˜oes exatas
para as equa¸c˜oes, consideramos o dyon superposto `a corda c´osmica. Inicialmente
foi considerada a equa¸c˜ao associada `as coordenadas angulares. Mostramos que as
solu¸c˜oes correspondem aos harmˆonicos monopolares cˆonicos, os quais dependem dos
n´umeros quˆanticos do momento angular, l, da sua proje¸c˜ao, m, do produto da carga
el´etrica da part´ıcula pela carga magn´etica, q = eg, al´em do parˆametro que codifica a
presen¸ca da corda, b. Essas solu¸c˜oes, Y
q
b
l
b
m
b
(θ, ϕ), s˜ao generaliza¸c˜oes dos harmˆonicos
monopolares de Wu e Yang [44]. Ap´os resolvermos o problema de auto-valores
referente a parte angular, retornamos as equa¸c˜oes radiais. Assim, analisamos os
seguintes casos:
• Estados ligados: Verificamos que o espectro de energia depende, al´em dos
n´umeros quˆanticos principal e angular, N e l, surge uma dependˆencia extra
com o n´umero quˆantico magn´etico, m. Consequˆentemente, a presen¸ca da
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Conclus˜oes 112
corda perfurando o dyon reduz o grau de degenerecˆencia dos n´ıveis de energia.
A raz˜ao para tal redu¸c˜ao deve-se ao fato do sistema n˜ao apresenta simetria
esf´erica.
• Estados espalhados: Nesse caso, obtivemos os ˆangulos de mudan¸ca de fase,
δ
l
. Verificamos que o mesmo apresenta duas contribui¸c˜oes distintas: (i) uma
devida ao potencial Coulombiano, que desaparece ao fazermos Q = 0, e (ii)
a outra devida a modifica¸c˜ao do n´umero quˆantico angular efetivo, λ
l
, gerada
pela geometria n˜ao-trivial da variedade, e tamb´em do acoplamento entre a
carga el´etrica da part´ıcula com o campo magn´etico do dyon. O ˆangulo de
mudan¸ca de fase completo ´e dado pela soma das duas contribui¸c˜oes.
Em seguida, consideramos a possibilidade da existˆencia de um potencial harmˆonico
isotr´opico extra agindo sobre a part´ıcula. Verificamos que a presen¸ca desse potencial
faz com que todos os estados de energia do sistema sejam ligados, mesmo na presen¸ca
de um potencial Coulombiano repulsivo. Isto acontece porque quando r → ∞ os
potenciais centrifugo e Coulombiano tendem a desaparecer, enquanto que o potencial
harmˆonico cresce sem limite. Nesse caso obtivemos solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao radial
via expans˜ao em s´erie de potˆencias, sendo que, a rela¸c˜ao de recorrˆencia obtida
envolve trˆes dos coeficientes consecutivos da s´erie. Este fato n˜ao nos permite obter
uma express˜ao geral para as energias do sistema, o que nos obriga a analisar cada
caso separadamente.
A outra an´alise desenvolvida foi o do estudo do movimento quˆantico relativ´ıstico,
via equa¸c˜ao de Klein e Gordon, de uma part´ıcula carregada na presen¸ca de um
dyon, de um campo magn´etico de Aharonov-Bohm e um potencial escalar, S(r),
nos espa¸cos-tempos de uma corda c´osmica e de um monopolo global [4]. Da mesma
forma que no caso n˜ao-relativ´ıstico, tamb´em consideramos o dyon e o potencial
escalar superpostos aos defeitos gravitacionais. Duas configura¸c˜oes espec´ıficas para
o potencial escalar s˜ao consideradas: (i) o potencial proporcional ao inverso da
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Conclus˜oes 113
distˆancia, S(r) = η
C
/r, e (ii) o potencial proporcional `a distˆancia, S(r) = η
L
r.
Para ambos os casos encontramos as solu¸c˜oes exatas das equa¸c˜oes de movimento.
No caso espec´ıfico do espa¸co-tempo da corda c´osmica, encontramos inicialmente
as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial associada `as vari´aveis angulares, os harmˆonicos
monopolares cˆonicos na presen¸ca do fluxo magn´etico de Aharonov-Bohm. Para o
espa¸co-tempo do monopolo global, essas solu¸c˜oes s˜ao prontamente obtidas fazendo
o parˆametro que codifica a presen¸ca da corda c´osmica igual a unidade. Finalmente,
para ambos os espa¸cos-tempos, a fun¸c˜ao radial ´e tamb´em analisada.
• Para o primeiro potencial escalar, fornecemos os estados ligados e espalhados.
A partir dos resultados obtidos podemos ver que o espectro de energia
associado aos estados ligados depende dos parˆametros que codificam a presen¸ca
dos defeitos, das cargas magn´etica e el´etrica do dyon, da raz˜ao do fluxo
magn´etico de Aharonov-Bohm pelo fluxo quˆantico,
Φ
2π/e
, e finalmente da
intensidade do potencial escalar. A intera¸c˜ao magn´etica modifica o n´umero
quˆantico angular, λ
l
, e as intera¸c˜oes el´etrica e escalar atuam no sentido de
produzir estados ligados. Analisando o comportamento assint´otico para as
fun¸c˜oes de onda espalhadas podemos apresentar o ˆangulo de mudan¸ca de fase,
δ
l
, e mostrar como o mesmo depende dos parˆametros acima mencionados. De
fato, o ˆangulo de mudan¸ca de fase apresenta duas contribui¸c˜oes distintas: uma
devida aos potenciais Coulombiano e escalar, e a outra, devida a modifica¸c˜ao
do n´umero quˆantico angular efetivo.
• Para o segundo potencial escalar, observamos que o mesmo fornece uma
equa¸c˜ao diferencial radial semelhante `a obtida no formalismo n˜ao-relativ´ıstico
para uma part´ıcula carregada na presen¸ca de um oscilador harmˆonico
isotr´opico. Para esse potencial o sistema n˜ao apresenta estados espalhados,
ou seja, todos os estados s˜ao ligados, mesmo quando o potencial Coulombiano
´e repulsivo. Admitindo uma expans˜ao em s´erie para a fun¸c˜ao radial ´e poss´ıvel
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Conclus˜oes 114
obter uma solu¸c˜ao exata para os estados ligados e suas respectivas auto-
energias. Como uma aplica¸c˜ao deste m´etodo, encontramos as fun¸c˜oes de onda
e as respectivas auto-energias para o estado fundamental. Vimos que dois
estados diferentes de energia s˜ao obtidos para diferentes valores do parˆametro
η
L
dados em (5.53) e (5.86).
Dentre os objetivos de incluir um potencial escalar extra no sistema part´ıcula
carregada-dyon, est´a o de invertigar a influˆencia do movimento quˆantico relativ´ıstico
devido: (i) a presen¸ca da auto-intera¸c˜ao n˜ao-eletromagn´etica sobre a part´ıcula
induzida pela distor¸c˜ao dos campos el´etricos causada pela topologia n˜ao-trivial do
espa¸co-tempo, e (ii) a presen¸ca de um potencial harmˆonico isotr´opico extra agindo
sobre a part´ıcula. Esse ´ultimo foi introduzido apenas para fornecer estados ligados
entre a part´ıcula carregada e o dyon.
Neste ponto gostariamos de finalizar dizendo que monopolos ou dyons n˜ao
foram ainda diretamente detectados em laborat´orios. Entretanto, experimentos em
grandes aceleradores est˜ao em andamento com o objetivo de detect´a-los diretamente
[16]. Al´em disso, procuras indiretas foram propostas tamb´em em [17, 18]. A
possibilidade de estados ligados entre um n´ucleo atˆomico ou uma mol´ecula, tamb´em
foi analisada em [53]. Assim, a presen¸ca desses objetos no cosmos, em aceleradores
ou em composi¸c˜ao com muitos ´atomos n˜ao est´a completamente descatada. Este
trabalho tem o objetivo de fornecer algumas contribui¸c˜oes para a investiga¸c˜ao do
movimento quˆantico relativ´ıstico de uma part´ıcula carregada na presen¸ca desses
objetos, admitindo sua existˆencia na natureza. Desta maneira, a an´alise desse
sistema em um espa¸co-tempo geral pode ser ´util para entender sua dinˆamica e
consequˆencias em F´ısica de Part´ıculas.
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Apˆendice A
Harmˆonicos Monopolares Cˆonicos
Neste apˆendice apresentaremos os harmˆonicos monopolares cˆonicos, Y (θ, φ), que
constituem uma generaliza¸c˜ao dos Harmˆonicos Monopolares de Wu-Yang [44]. A
equa¸c˜ao diferencial para tais fun¸c˜oes, dada abaixo (A.1), aparece no estudo de certos
sistemas quˆanticos quando a estrutura do espa¸co-tempo, em que o sistema f´ısico est´a
inserido, ´e cˆonica (2.56):
1
sen θ
∂
θ
[ sen θ∂
θ
Y (θ, φ)] +
1
b
2
sen
2
θ
∂
2
φ
Y (θ, φ) −
2ieA
φ
b
2
sen
2
θ
∂
φ
Y (θ, φ) −
e
2
A
2
φ
b
2
sen
2
θ
Y (θ, φ) = −2MλY (θ, φ) . (A.1)
Como a componente do potencial vetor, A
φ
, ´e proveniente de um monopolo
magn´etico, sendo dada por
A
φ
|
a
= g(1 − cos θ) , A
φ
|
b
= −g(1 + cos θ) , (A.2)
devemos considerar a equa¸c˜ao (A.1) nas regi˜oes R
a
e R
b
, (2.11), separadamente.
Para obtermos a solu¸c˜ao de (A.1) devemos adotar o procedimento usado por Wu-
115
116
Yang em [44] e assumir que
Y (θ, φ) = Θe
i(m±q)φ
, (A.3)
onde o sinal positivo(negativo) em (A.3) refere-se as regi˜oes R
a
(R
b
). m ´e o n´umero
quˆantico magn´etico e q = eg.
Substituindo (A.2) e (A.3) em (A.1), e introduzindo uma nova vari´avel x = cos θ,
obtemos para ambas as regi˜oes R
a
e R
b
a seguinte equa¸c˜ao diferencial
(1 − x
2
)
d
2
Θ(x)
dx
2
− 2x
dΘ(x)
dx
−
(m + qx)
2
b
2
(1 − x
2
)
Θ(x) = −
¯
λΘ(x) , (A.4)
com
¯
λ = 2Mλ. Como a equa¸c˜ao (A.4) apresenta dois pontos sigulares regulares, em
x = ±1, devemos analisar o comportamento da solu¸c˜ao na vizinhan¸ca dos mesmos.
Isto pode ser feito definindo uma nova vari´avel ξ = 1 ∓ x, e adotando o m´etodo de
Frobenius, via expans˜ao em s´erie abaixo:
Θ(ξ) = ξ
s
∞
n=0
a
n
ξ
n
. (A.5)
Analisando separadamente os dois pontos singulares regulares, encontramos que:
para ξ = 1 − x, s =
m+q
2b
, e para ξ = 1 + x, s =
m−q
2b
. Isto nos permite escrever a
solu¸c˜ao na forma
Θ(x) = (1 − x)
m+q
2b
(1 + x)
m−q
2b
G(x) , (A.6)
Substituindo a express˜ao acima em (A.4), encontramos a seguinte equa¸c˜ao
diferencial para a fun¸c˜ao G(x):
(1 − x
2
)
d
2
G(x)
dx
2
− 2[q
b
+ (m
b
+ 1)x]
dG(x)
dx
− [m
2
b
+ m
b
− q
2
b
−
¯
λ]G(x) = 0 . (A.7)
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117
Definindo uma nova vari´avel z =
x+1
2
, ´e poss´ıvel encontrar uma solu¸c˜ao para a
equa¸c˜ao na forma de uma expans˜ao s´erie
G(z) =
∞
k=0
a
k
z
k
. (A.8)
Com isto, obtemos a seguinte rela¸c˜ao de recorrˆencia
a
k+1
=
(k + 1 + β + σ)k + γ
(k + 1 + β)(k + 1)
a
k
, (A.9)
onde
m
b
=
m
b
, q
b
=
q
b
, σ = m
b
+ q
b
, β = m
b
− q
b
, (A.10)
e
γ = m
2
b
+ m
b
− q
2
b
−
¯
λ . (A.11)
Para termos uma solu¸c˜ao polinomial aceit´avel, devemos obrigar que a s´erie
termine em algum valor finito de k. Considerando k = n, com n = 0, 1, 2, 3, ·
encontramos que:
¯
λ = l
b
(l
b
+ 1) − q
2
b
(A.12)
com
l
b
= n + m
b
. (A.13)
Na obten¸c˜ao dos polinˆomios associados de Legendre, P
m
n
(x), sup˜oe-se que o
n´umero m ´e um inteiro n˜ao-negativo. Contudo, usando a f´ormula de Rodrigues para
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118
definir esta fun¸c˜ao, esta limita¸c˜ao pode ser relaxada. Em nosso desenvolvimento
supomos que m ± q ´e tamb´em um n´umero inteiro n˜ao-negativo. Como o n´umero
n em (A.13) n˜ao depende do parˆametro b, podemos obter uma rela¸c˜ao entre os
n´umeros quˆanticos l
b
, l e m, que ´e dada por:
l
b
= l + |m|
1
b
− 1
. (A.14)
Substituindo (A.12) em (A.7), obtemos a equa¸c˜ao diferencial dos polinˆomios de
Jacobi, cuja solu¸c˜ao ´e [70]:
P
σ,β
n
(x) =
(−1)
n
2
n
n!
(1 − x)
−σ
(1 + x)
−β
d
n
dx
n
(1 − x)
σ+n
(1 + x)
β+n
. (A.15)
Desta forma, a solu¸c˜ao de (A.1), em R
a
, ´e
Y
q
b
l
b
,m
b
(θ, φ)
a
= N
q
b
,l
b
(1 − x)
σ
2
(1 + x)
β
2
P
σ,β
n
(x)e
i(m+q)φ
, (A.16)
onde
N
q
b
,l
b
=
1
√
2πb
(2n + σ + β + 1)n!Γ(n + σ + β + 1)
2
σ+β+1
Γ(n + σ + 1)Γ(n + β + 1)
1/2
. (A.17)
Em R
b
os harmˆonicos monopolares cˆonicos possuem uma express˜ao similar bastando
trocar q por −q.
Assim, os harmˆonicos monopolares cˆonicos obedecem a seguinte equa¸c˜ao de auto-
valores
L
2
q
b
Y
q
b
l
b
,m
b
= l
b
(l
b
+ 1)Y
q
b
l
b
,m
b
, (A.18)
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119
com
L
2
q
b
= −
1
sen θ
∂
θ
[ sen θ∂
θ
] −
1
b
2
sen
2
θ
∂
2
φ
+
2ieA
φ
b
2
sen
2
θ
∂
φ
+
e
2
A
2
φ
b
2
sen
2
θ
+ q
2
b
. (A.19)
Devido a l
b
(l
b
+ 1) ≥ q
2
b
, temos que l
b
≥
|q|
b
. No caso b = 1, Wu e Yang [44]
mostraram que os valores mais baixos para l e m s˜ao l = |q|, |q| + 1, |q| + 2, ... e
m = −l, −l + 1, ... l.
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Apˆendice B
Fun¸c˜ao Hipergeom´etrica
Confluente
Neste apˆendice apresentaremos, de forma detalhada, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
hipergeom´etrica confluente que ´e encontrada em v´arios cap´ıtulos desta tese.
Apresentaremos tamb´em a representa¸c˜ao integral destas solu¸c˜oes e sua forma
assint´otica.
A equa¸c˜ao hipergeom´etrica confluente, dada abaixo (B.1), ´e uma equa¸c˜ao
diferencial de segunda ordem que apresenta dois pontos singulares: um regular em
x = 0 e outro irregular em x = ∞. Esta equa¸c˜ao
xy
′′
(x) + (c − x)y
′
(x) − ay(x) = 0 , (B.1)
apresenta duas solu¸c˜oes linearmente independentes. A solu¸c˜ao regular na origem,
x = 0, ´e dada por:
y
1
(z) =
1
F
1
(a, c; x) = M(a, c; x)
= 1 +
a
c
x
1!
+
a(a + 1)
c(c + 1)
x
2
2!
+ ..., c = 0, −1, −2, .... (B.2)
120
121
Tal solu¸c˜ao ´e convergente para todo x finito e torna-se um polinˆomio de grau n
quando o parˆametro a ´e zero ou um n´umero inteiro negativo, ou seja, a = −n.
A segunda solu¸c˜ao, que ´e singular na origem, ´e dada por:
y
2
(z) = U(a, c; x) =
π
sen πc
M(a, c; x)
(a − c)!(c − 1)!
−
x
1−c
M(a + 1 − c, 2 − c; x)
(a − 1)!(1 − c)!
, c = 2, 3, 4, .... (B.3)
Estas solu¸c˜oes admitem representa¸c˜oes integrais, as quais s˜ao dadas por:
M(a, c; x) =
Γ(c)
Γ(a)Γ(c − a)
1
0
e
xt
t
a−1
(1 − t)
c−a−1
dt , ℜ(c) > ℜ(a) > 0, (B.4)
U(a, c; z) =
1
Γ(a)
∞
0
e
−xt
t
a−1
(1 + t)
c−a−1
dt , ℜ(x) > 0 , ℜ(a) > 0 . (B.5)
Com o intuito de obtermos a expans˜ao assint´otica para a fun¸c˜ao
1
F
1
(a, c; z),
no caso em que o argumento ´e imagin´ario, ´e conveniente escrever esta fun¸c˜ao na
seguinte forma [49]:
1
F
1
(a, c; z) = W
1
(a, c; z) + W
2
(a, c; z) , (B.6)
onde W
1
(a, c; z) e W
2
(a, c; z) s˜ao solu¸c˜oes separadamente da equa¸c˜ao (B.1), e s˜ao
dadas por:
W
1
(a, c; z) =
Γ(c)
Γ(c − a)
(−z)
−a
g(a, a − b + 1; −z) , (B.7)
W
2
(a, c; z) =
Γ(c)
Γ(a)
e
z
z
a−c
g(1 − a, b − a; z) , (B.8)
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122
g(α, β; z)
z→∞
−→ 1 +
αβ
z1!
+
α(α + 1)β(β + 1)
z
2
2!
+ .... (B.9)
J´a a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (B.1) que ´e irregular na origem pode ser escrita na
seguinte forma:
U(a, c; z) = iW
1
(a, c; z) − iW
2
(a, c; z) . (B.10)
Esta solu¸c˜ao ´e necess´aria quando o potencial considerado no problema n˜ao se extende
at´e a origem.
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