( PDF ) Cosmologia dominada pela eletrodinâmica semi-clássica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB

PROGRAMA DE P

OS-GRADUAC¸

AO EM F

ISICA E

MATEM

ATICA APLICADA

Dissertac¸

ao de Mestrado

Cosmologia Dominada pela

Eletrodinˆamica Semi-Cl´assica

Grasiele Batista dos Santos

Orientador: Prof. Dr. Renato Klippert

Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica e Matem´atica

Aplicada como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em

Ciˆencias em F´ısica e Matem´atica Aplicada.

Itajub

a, Marc¸o de 2008.

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Livros Grátis

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Milhares de livros grátis para download.

Ao grande companheiro de todos os momentos, Eduardo Bittencourt.

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente ao mestre, ﬂor n o lodo, Renato Klippert, pela paciˆencia e

exemplo.

Ao meu pai, Antˆonio Joaquim dos Santos, que sempre me motivou, e acreditou em

mim.

Aos colegas, especialmente a uma grande amizade (maternidade?) nascida nestes dois

anos, M´arcia Regina Guedes.

Ao professor Vitorio de Lorenci, que desde o p rimeiro ano da gradua¸c˜ao me ensinou o

qu˜ao bela ´e a natureza.

A CAPES pelo apoio ﬁnanceiro.

Resumo

A lagrangeana efetiva de Heisenberg-Euler ´e utilizada como fonte para a geometria de

Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker. Utiliza-se uma ab ordagem perturbativa nos in-

variantes do campo, s˜ao analisadas aproxima¸c˜oes de ordem superior `a segunda ordem.

Mostra-se que a expans˜ao perturbativa da lagrangeana em potˆencias do invariante escalar

F ´e tal que, quando aproximada at´e ordens pares, d´a origem a solu¸c˜oes cosmol´ogicas

regulares, enquanto que aproxima¸c˜oes at´e ordens ´ımpares geram solu¸c˜oes singulares.

Abstract

The eﬀective Heisenberg-Euler lagrangian is considered as a source for de Friedmann-

Lemaˆıtre-Robertson-Walker (FLRW) geometry in a semiclassical analysis. A perturbative

approach on the ﬁeld invariants is used and approximations up to higher than second order

are analyzed. We show in this work that the lagrangian expansion is such that, when

approximated up to even orders and applied to a spatially homogeneous and isotropic

metric structure, generates regular cosmological solutions. When approximated up to

odd orders, the expansion as source of Einstein’s equations generates singular solutions.

iii

Conte´udo

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Singularidades 4

2.1 Caracteriza¸c˜ao das Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Congruˆencias Geod´esicas Causais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Pontos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Curvas de M´aximo Comprimento e Teoremas de Singularidade . . . . . . . 14

3 Lagrangeana Efetiva Para a QED 17

3.1 QED em campos eletromagn´eticos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Lagrangeana Efetiva de Heisenberg-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Modelo de FLRW N˜ao Singular 20

4.1 Universo Singular de Einstein-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Modelo N˜ao-Singular Para o Universo de FLRW . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Aproxima¸c˜oes de Ordem Superior 26

5.1 Universo Singular de Terceira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Universo N˜ao-Singular de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3 Solu¸c˜ao Qualitativa em Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Conclus˜ao 35

A Expans˜ao da lagrangeana de Heisenberg-Euler 36

Bibliograﬁa 38

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Logo depois do surgimento da teoria da relatividade geral, as primeiras solu¸c˜oes exatas

mostraram que o universo deve ter sido originado em uma ´epoca num tempo ﬁnito no

passado de densidade e curvatura inﬁnitas se a mat´eria que ele cont´em obedece as equa¸c˜oes

de movimento da relatividade geral, juntamente com as hip´oteses de homogeneidade e

isotropia. Mas na ´epoca essa anomalia n˜ao foi levada a s´erio pelo fato de acreditar-se que

ela surgia devido ao alto grau de simetria exigido nas condi¸c˜oes assumidas na resolu¸c˜ao

da equa¸c˜oes, e n˜ao seria portanto caracter´ıstica intr´ınseca da relatividade geral.

Por volta das d´ecadas de 60 e 70, Hawking, Penrose e Geroch [1] mostraram, por meio

de uma an´alise rigorosa das propriedades globais de um espa¸co-tempo geral, que sob certas

condi¸c˜oes plaus´ıveis ﬁsicamente como a positividade da energia e condi¸c˜oes sobre causali-

dade, singularidades tais como a da origem do universo s˜ao caracter´ısticas inevit´aveis de

uma grande classe de teorias de gravita¸c˜ao. A existˆencia destas singularidades su rge na

forma de geod´esicas nulas ou do tip o tempo incompletas. Mas n˜ao se sabe a estrutura ou

natureza das singularidades preditas pelos teoremas de singularidade. Por exemplo, n˜ao

se sabe se as densidades e curvaturas necessariamente divergir˜ao ao longo das trajet´orias

caindo nestas singularidades.

No que se segue usa-se a deﬁni¸c˜ao de espa¸co-tempo como sendo uma variedade pseudo-

Riemanniana orientada quadri-dimensional dotada de uma geometria com assinatura Lo-

rentziana positiva +2 [isto ´e, (-, +, +, +)].

Faz-se necess´aria a introdu¸c˜ao de algumas deﬁni¸c˜oes [2] com rela¸c˜ao `a estrutura causal

do espa¸co-tempo para o entendimento do cap´ıtulo seguinte.

Curvas causais inextens´ıveis s˜ao trajet´orias que n˜ao possuem pontos terminais futu-

ros ou passados. Uma curva causal inextens´ıvel deve ir ao inﬁnito, ou terminar numa

singularidade, ou ainda pode ﬁcar conﬁnada em um conjunto compacto.

Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo arbitr´ario, e seja um ponto p ∈ M. Ent˜ao, existe

uma vizinhan¸ca normal convexa de p, isto ´e, um conjunto aberto U com p ∈ U tal que

para todos q, r ∈ U existe uma ´unica geod´esica γ conectando q e r e permanecendo

inteiramente em U. Al´em disso, para tal vizinhan¸ca, I

(p)|

´e o conjunto constitu´ıdo

de todos os pontos alcan¸cados pelas geod´esicas do tipo tempo direcionadas para o futuro

come¸cando em p e contidas em U. Desta forma I

(p)|

denota o futuro cronol´ogico de p

no espa¸co-tempo (U, g

µν

). Deﬁne-se o conjunto

(p)|

como sendo a fronteira topol´ogica

do conjunto I

(p)|

Um conjunto S ⊂ M, M uma variedade, ´e dito acronal se n˜ao existirem p, q ∈ S tais

que q ∈ I

(p)|

, isto ´e, se I

(S) ∩ S = ∅.

Para um conjunto S fechado e acronal, deﬁne-se borda como o conjunto de pontos

p ∈ S tais que toda vizinhan¸ca aberta O de p contenha um ponto q ∈ I

(p), um ponto

r ∈ I

−

(p) e uma curva d o tipo tempo λ que liga r a q e n˜ao intercepta S.

Seja S um conjunto fechado e acronal (p ossivelmente com borda). Deﬁne-se o dom´ınio

futuro de dependˆencia de S, denotado por D

(S), por

(S) = {p ∈ M|toda curva causal inextens´ıvel para o passado que passa

por p intercepta S} .

O dom´ınio passado de dependˆencia, D

−

(S), ´e deﬁnido da mesma forma, trocando futuro

por passado na deﬁni¸c˜ao acima. Agora, o dom´ınio de dependˆencia de S, denotado por

D(S) ´e deﬁnido como

D(S) = D

(S) ∪ D

−

(S) . (1.1)

Um conjunto acronal fechado Σ para o qual D(Σ) = M ´e chamado superf´ıcie de

Cauchy.

Um espa¸co-tempo (M, g

µν

) que possui uma superf´ıcie de Cauchy ´e dito ser globalmente

hiperb´olico.

Um espa¸co-tempo (M, g

µν

) ´e dito fortemente causal se para todo p ∈ M e tod a vi-

zinhan¸ca O de p, existir uma vizinhan¸ca V de p contida em O tal que nenhuma curva

causal intercepte V mais do que uma vez.

Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo fortemente causal e sejam p, q ∈ M. Deﬁne-se C(p, q)

como o conjunto das curvas causais cont´ınuas, direcionadas para o futuro de p a q, onde

curvas que diferem somente por uma reparametriza¸c˜ao s˜ao consideradas a mesma curva.

Deﬁne-se uma topologia em C(p, q) da seguinte maneira. Para cada U ⊂ M aberto, deﬁna

O(U) ⊂ C(p, q) por

O(U) = {λ ∈ C(p, q)|λ ⊂ U} . (1.2)

Desta forma, deﬁne-se esta topologia chamando de abertos em C(p,q) aos conjuntos

O(U) expressos como

O = ∪ O(U) . (1.3)

Deﬁne-se C(Σ, q) como o conjunto das curvas causais cont´ınuas direcionadas para o

futuro de Σ a q e deﬁne-se uma topologia em C(Σ, q) da mesma forma como em C(p, q).

No modelo de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker (FLRW), as equa¸c˜oes de Eins-

tein implicam que se ρ + 3p > 0 para todos os instantes de tempo, onde ρ ´e a densidade

total de energia e p a press˜ao, haver´a uma singularidade no instante t = 0 a qual pode ser

identiﬁcada como a origem do universo. Se ρ + p > 0 para todos os instantes de tempo

ent˜ao ao longo das trajet´orias direcionadas para o passado que encontram esta singula-

ridade, ρ → ∞ e tamb´em o escalar de curvatura R

→ ∞. Desta forma, todas as

geod´esicas causais direcionadas para o passado s˜ao incompletas, no sentido de que cair˜ao

na singularidade dentro de um intervalo ﬁnito do parˆametro aﬁm.

A existˆencia de singularidades onde os escalares de curvatura e densidades divergem

implica uma patologia intr´ınseca em tais espa¸cos-tempos onde as leis da f´ısica n˜ao s˜ao

aplic´aveis. A existˆencia de geod´esicas incompletas implica que um observador pode desa-

parecer repentinamente do espa¸co-tempo depois de um intervalo ﬁnito de tempo-pr´oprio.

Singularidades podem o correr sem que haja mau comportamento da curvatura. Um

exemplo simples ´e o espa¸co-tempo de Minkowski com um ponto retirado. Com este

“buraco” no espa¸co-temp o, existir˜ao geod´esicas do tipo tempo caindo nele e que ser˜ao

portanto incompletas. Por´em essa ´e uma situa¸c˜ao artiﬁcial que po de ser evitada exigindo

que o espa¸co-tempo seja inextens´ıvel, ou seja, n˜ao possa ser isometricamente imerso num

espa¸co-tempo maior como um subconjunto pr´oprio. Em [3] s˜ao apresentadas detalhada-

mente t´ecnicas necess´arias para determinar quando ´e poss´ıvel estender um espa¸co-tempo.

H´a muitas propostas de solu¸c˜oes cosmol´ogicas isentas da singularidade inicial, baseados

em diversos mecanismos tais como constante cosmol´ogica [4], acoplamento n˜ao-m´ınimo [5],

lagrangeanas n˜ao lineares envolvendo termos quadr´aticos na curvatura [6], modiﬁca¸c˜oes

na estrutura geom´etrica do espa¸co-tempo [7] entre outras.

Neste trabalho utilizou-se a lagrangeana efetiva para a eletrodinˆamica quˆantica de

Heisen-

berg-Euler [8] como fonte para as equa¸c˜oes de Einstein. A an´alise ´e feita atrav´es de uma

expans˜ao em s´erie nos invariantes do campo, generalizando a eletrodinˆamica de Maxwell.

A segunda ordem po de ser veriﬁcada experimentalmente atrav´es do fenˆomeno de bi-

refringˆencia [9]. Uma revis˜ao completa sobre a lagrangeana efetiva de Heisenberg-Euler

pode ser encontrada em [10].

Este trabalho segue da seguinte maneira. O segundo cap´ıtulo faz uma an´alise dos

teoremas de singularidade. O terceiro cap´ıtulo d´a uma intro d u¸c˜ao `a QED e apresenta

a lagrangeana de Heisenberg-Euler. O quarto cap´ıtulo apresenta o modelo de FLRW

com a lagrangeana at´e segunda ordem como fonte, gerando uma solu¸c˜ao regular, isto

´e, sem a presen¸ca da singularidade primordial. No quinto cap´ıtulo s˜ao apresentados

resultados in´editos considerando termos de ordem superior na expans˜ao como fonte para

as equa¸c˜oes de Einstein. S˜ao consid erados termos at´e sexta ordem, sendo que em cada

termo a regularidade da solu¸c˜ao ´e analisada, obtendo-se um estudo detalhado sobre o

comportamento da s´erie, o qual ´e complementado por argumentos qualitativos aplic´aveis

a todas as ordens.

Uma observa¸c˜ao a respeito da nota¸c˜ao: ´ınd ices latinos do meio do alfabeto correm de

1 a 3, ´ındices gregos variam de 0 a 3.

Cap´ıtulo 2

Singularidades

Este cap´ıtulo visa a discuss˜ao dos teoremas de singularidade [11], que atestam que as

singularidades s˜ao caracter´ısticas intr´ınsecas das solu¸c˜oes cosmol´ogicas. Esses teoremas

aﬁrmam que universos n˜ao singulares s˜ao incompat´ıveis com a teoria da Relatividade

Geral, assumindo que certas condi¸c˜oes de energia sejam satisfeitas pela mat´eria e outras

condi¸c˜oes sejam asseguradas no espa¸co-tempo.

A predi¸c˜ao das singularidades mostra que nas condi¸c˜oes extremas esperadas perto

destas outras for¸cas devem ser levadas em considera¸c˜ao, os aspectos quˆanticos da mat´eria

tˆem um papel fundamental n o tratamento a ser dado ao est´agio inicial do universo.

2.1 Caracteriza¸c˜ao das Singularidades

Intuitivamente, uma singularidade no espa¸co-tempo ´e um ponto onde a curvatura

diverge, ou ocorre alguma anomalia da m´etrica. Uma abordagem natural na Relatividade

Geral ´e considerar o espa¸co-tempo como consistindo de uma variedade M e uma m´etrica

deﬁnida em toda a variedade. Desta forma, a singularidade do Big-Bang da solu¸c˜ao de

Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker n˜ao ´e considerada como parte da variedade, ou

seja, n˜ao pode ser considerada como um “lugar” no espa¸co-tempo.

A caracteriza¸c˜ao das singularidades atrav´es da divergˆencia da curvatura n˜ao ´e satis-

fat´oria, visto que h´a v´arias possibilidades de comportamentos patol´ogicos, envolvendo a

curvatura ou escalares formados a partir dela. A proposta mais apropriada ´e utilizar os

buracos deixados pela remo¸c˜ao das singularidades como crit´erio para a presen¸ca delas. Es-

tes buracos seriam detectados pela existˆencia de geod´esicas que teriam comprimento aﬁm

ﬁnito, ou seja, existiriam geod´esicas que s˜ao inextens´ıveis em ao menos uma dire¸c˜ao mas

que possuem um intervalo ﬁnito do parˆametro aﬁm; tais geod´esicas s˜ao ditas incompletas.

Desta maneira, poder´ıamos deﬁnir um espa¸co-tempo inextens´ıvel como sendo singular

se possuir ao menos uma geod´esica incompleta. Podemos classiﬁcar uma singularidade

por uma geod´esica incompleta de acordo com:

i. um escalar constru´ıdo polinomialmente de R

αβγ

e de suas derivadas covariantes

diverge ao longo da geod´esica (singularidade do escalar de curvatura).

ii. uma componente de R

αβγ

ou de suas derivadas covariantes numa t´etrada paralela-

mente propagada diverge ao longo da geod´esica (singularidade da curvatura parale-

lamente propagada).

iii. nem (i) nem (ii) ocorrem (singularidade de n˜ao-curvatura).

H´a v´arias obje¸c˜oes a esta deﬁni¸c˜ao de singularidades atrav´es da incompletude de

geod´esicas. No entanto, ´e intuitivo ﬁsicamente que espa¸cos-tempos que s˜ao incomple-

tos com rela¸c˜ao `a geod´esicas nulas ou do tipo tempo sejam considerados singulares pois,

neste caso, seria poss´ıvel que uma part´ıcula caindo livremente ou um f´oton acabasse

sua existˆencia dentro de um intervalo de tempo ﬁnito, ou come¸casse sua existˆencia num

tempo ﬁnito no passado. Mesmo sem uma deﬁni¸c˜ao satisfat´oria de singularidades, seria

justiﬁc´avel caracterizar tais espa¸cos-tempos como singulares.

2.2 Congruˆencias Geod´esicas Causais

Seja M uma variedade e seja um conjunto O ⊂ M aberto. Uma congruˆencia em O ´e

uma fam´ılia de curvas tais que por cada ponto p ∈ O passe precisamente uma curva desta

fam´ılia. Desta forma, os vetores tangentes `a congruˆencia formam um campo vetorial em

O. A congruˆencia ´e dita regular se o correspondente campo vetorial for regular.

Consideremos uma congruˆencia de geod´esicas do tipo tempo, parametrizadas pelo

tempo pr´oprio τ , tal que o campo vetorial ξ

dos vetores tangentes seja normalizado,

= −1. O campo correspondente

µν

= ∇

(2.1)

ser´a puramente espacial, isto ´e,

µν

= B

νµ

= 0. (2.2)

Considere uma su bfam´ılia regular a um parˆametro γ

(τ) de geod´esicas da congruˆencia.

O vetor desvio ´e deﬁnido por (∂/∂s)

e representa um deslocamento para uma geod´esica

inﬁnitesimalmente pr´oxima. Seja η

o vetor desvio ortogonal de γ

para esta subfam´ılia.

Ent˜ao η

representa um deslocamento espacial inﬁnitesimal de γ

para uma geod´esica

pr´oxima. Temos que a derivada de Lie de η

na dire¸c˜ao de ξ

se anula

= 0, (2.3)

ent˜ao

∇

= η

∇

= B

. (2.4)

Desta maneira, B

mede a falha de η

em ser paralelamente transportado na dire¸c˜ao

de ξ

. Um observador na geod´esica γ

veria as geod´esicas vizinhas se alongando e girando

pela a¸c˜ao do mapa linear B

Deﬁnimos a m´etrica espacial h

µν

por

µν

= g

µν

+ ξ

. (2.5)

Assim, h

= g

µλ

λν

´e o operador proje¸c˜ao sobre o subespa¸co do espa¸co tangente perpen-

dicular a ξ

Deﬁnimos a expans˜ao θ, o cisalhamento σ

µν

e a vorticidade ω

µν

da congruˆencia por

θ = B

µν

= B

(µν)

−

θh

µν

= B

[µν]

; (2.6)

onde os parˆenteses signiﬁcam simetria nos ´ındices e os colchetes indicam anti-simetria.

Desta forma, B

µν

´e composto como

µν

θh

µν

+ σ

µν

+ ω

µν

. (2.7)

A evolu¸c˜ao temporal destes parˆametros ´e dada por

∇

θ = −

− σ

µν

+ ω

µν

− R

λρ

∇

µν

= −

θσ

µν

− σ

µλ

− ω

µλ

µν

(σ

λρ

− ω

λρ

) + C

λνµρ

µν

∇

µν

= −

θω

µν

− 2σ

[ν

µ]λ

; (2.8)

onde

µν

´e a parte espacial sem tra¸co de R

µν

= h

µλ

νρ

λρ

−

µν

λρ

, (2.9)

e C

λνµρ

´e o tensor de Weyl.

A primeira d as equa¸c˜oes (2.8) ´e conhecida como equa¸c˜ao de Raychaudhury. Anali-

semos o ´ultimo termo do lado direito desta equa¸c˜ao. Usando as equa¸c˜oes de Einstein

podemos escrever

µν

= 8π



µν

−

T g

µν



= k



µν



. (2.10)

O termo T

µν

representa ﬁsicamente a densidade de energia da mat´eria medida por

um observador cuja quadri-velocidade ´e ξ

. Acredita-se que, para a mat´eria cl´assica, essa

densidade ´e n˜ao-negativa:

µν

≥ 0, ∀ξ

do tipo tempo. (2.11)

Esta hip´otese ´e conhecida como condi¸c˜ao fraca de energia. Assume-se tamb´em que

(condi¸c˜ao forte de energia):

µν

≥ −

T, ∀ξ

do tipo tempo. (2.12)

O tensor T

µν

´e sim´etrico em seus dois ´ındices, mas como g

µν

n˜ao ´e positivo d eﬁnido,

o mapa linear T

que leva vetores em vetores n˜ao ´e necessariamente diagonaliz´avel. No

entanto, todos os tensores momentum-energia que representam o que pode ser considerado

ﬁsicamente como mat´eria, isto ´e, que podem ser tratados como ﬂuidos perfeitos, s˜ao

diagonaliz´aveis, podendo ser escritos como

µν

= ρt

+ p

, (2.13)

onde t

, x

, y

, z

´e uma base ortonormal, com t

do tipo tempo. O autovalor ρ pode

ser interpretado pelo observador t

como a densidade de energia de repouso da mat´eria,

enquanto os autovalores p

, p

e p

s˜ao chamadas de press˜oes principais.

Neste caso a condi¸c˜ao fraca de energia lˆe-se

ρ ≥ 0, ρ + p

≥ 0 , (2.14)

e a condi¸c˜ao forte de energia ´e equivalente a

ρ +



≥ 0 e ρ + p

≥ 0. (2.15)

Se as equa¸c˜oes de Einstein s˜ao v´alidas, e se a condi¸c˜ao forte de energia ´e satisfeita

pelo tensor T

µν

, ent˜ao o ´ultimo termo da equa¸c˜ao de Raychaudhuri ser´a n˜ao-positivo. Se

a conguˆencia ´e hipersuperf´ıcie ortogonal, temos ω

µν

= 0, e o terceiro termo se anula. O

segundo termo, −σ

µν

, ´e n˜ao-positivo. Desta forma

dθ

dτ

≤ 0, (2.16)

o que implica

d(θ

−1

)

dτ

≥

, (2.17)

e ent˜ao

−1

(τ) ≥ θ

−1

τ, (2.18)

onde θ

´e o valor inicial de θ. Suponhamos que θ

seja negativo, ou seja, a congruˆencia

est´a inicialmente convergindo. Ent˜ao a equa¸c˜ao (2.18) implica que θ

−1

deve assumir o

valor 0, isto ´e, θ → −∞, dentro de um intervalo de tempo pr´oprio τ ≤ 3/|θ

|. Assim est´a

demonstrado o seguinte lema.

Lema 2.2.1 Seja ξ

o campo tangente a uma congruˆencia geod´esica do tipo tempo hi-

persuperf´ıcie ortogonal. Suponha que R

µν

≥ 0, o que de fato ser´a se as equa¸c˜oes

de Einstein forem v´alidas e a condi¸c˜ao forte de energia for satisfeita pela mat´eria. Se

a expans˜ao θ assumir um valor negativo θ

em qualquer ponto de uma geod´esica da con-

gruˆencia, ent˜ao θ → −∞ ao longo dessa geod´esica dentro de um intervalo de tempo

pr´oprio τ ≤ 3/|θ

Para congruˆencias geod´esicas nulas, a parametriza¸c˜ao ´e feita atrav´es do parˆametro

aﬁm λ, mas neste caso n˜ao h´a maneira natural de normalizar o campo vetorial tangente

`a congruˆencia κ

No caso da congruˆencia do tipo tempo, nos restringimos a vetores desvio η

ortogo-

nais a ξ

. H´a duas raz˜oes para essa escolha: (1) ξ

∇

(ξ

) = ξ

∇

= ξ

∇

= 0 ⇒ ξ

´e constante ao longo da geod´esica, e o comportamento da parte n˜ao

ortogonal n˜ao ´e interessante. (2) Vetores desvio que diferem somente por um m´ultiplo

de ξ

representam um deslocamento para a mesma geod´esica pr´oxima. A ortogonalidade

ﬁxa uma condi¸c˜ao de gauge natural em η

No caso da congruˆencia geod´esica nula, estas restri¸c˜oes para a escolha do vetor desvio

ainda se aplicam, mas s˜ao agora independentes, pois κ

´e nulo e portanto ortogonal a si

mesmo. Desta forma, a classe de vetores desvio interessantes ﬁsicamente se reduz a um

subespa¸co de dimens˜ao dois, como ser´a descrito a seguir.

Seja V

o espa¸co tangente no ponto p ∈ M. Os vetores tangentes em V

que s˜ao

ortogonais a um dado campo vetorial nulo κ

formam um subespa¸co de dimens˜ao trˆes que

chamaremos

. Deﬁnimos

como o espa¸co vetorial das classes de equivalˆencia de vetores

, onde x

, y

∈

s˜ao d itos equivalentes se existir c ∈ IR tal que x

− y

= cκ

Ent˜ao

´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao dois.

Um vetor t

∈ V

n˜ao d´a origem naturalmente a um vetor em

, porque n˜ao h´a

maneira natu ral de decompˆo-lo como a soma d e um vetor em

e um vetor que n˜ao

pertence a

. Entretanto, se t

∈

, isto ´e, se t

= 0, ent˜ao t

d´a origem a um vetor

∈

, tomando sua classe de equivalˆencia. Por outro lado, um vetor dual µ

∈ V

∗

d´a

origem a um vetor dual ˜µ

∈

∗

restringindo sua a¸c˜ao a vetores de

. No entanto, ˜µ

d´a origem a um vetor dual ˆµ

∈

∗

se e somente se ˜µ

= µ

= 0.

De forma mais geral, um tensor T

...µ

A evolu¸c˜ao destes parˆametros ´e dada por

dθ

dλ

= −

− ˆσ

µν

ˆσ

µν

+ ˆω

µν

ˆω

µν

− R

λρ

∇

ˆσ

µν

= −θˆσ

µν

λνµρ

∇

ˆω

µν

= −θˆω

µν

. (2.22)

Usando as equa¸c˜oes de Einstein obtemos agora

µν

= kT

µν

. (2.23)

Desta maneira, tudo o que ´e necess´ario para que o ´ultimo termo da primeira das

equa¸c˜oes (2.22) seja n˜ao positivo ´e que T

µν

≥ 0. Se a condi¸c˜ao forte de energia, dada

pela equa¸c˜ao (2.12), for satisfeita, ent˜ao para todo ξ

do tipo tempo temos

µν

−

T ξ

≥ 0

e, por continuidade, a condi¸c˜ao T

µν

≥ 0 ser´a verdadeira para todo κ

nulo. De forma

an´aloga, se a condi¸c˜ao fraca de energia ´e satisfeita, ent˜ao por continuidade a condi¸c˜ao

acima tamb´em ser´a satisfeita. Para um T

µν

diagonaliz´avel, a condi¸c˜ao necess´aria e suﬁci-

ente para que a equa¸c˜ao seja satisfeita para todo vetor nulo κ

´e

ρ + p

≥ 0, (i = 1, 2, 3). (2.24)

Obtemos, desta forma, o seguinte resultado.

Lema 2.2.2 Seja κ

um campo tangente a uma dada congruˆencia geod´esica nula hiper-

superf´ıcie ortogonal. Suponha que R

µν

≥ 0, como de fato ser´a se as equa¸c˜oes de

Einstein forem satisfeitas no espa¸co-te mpo e a condi¸c˜ao forte ou fraca de energia forem

satisfeitas pela mat´eria. Se a expans˜ao θ toma um valor negativo θ

em qualquer ponto

de uma geod´esica na congruˆencia, ent˜ao θ → −∞ ao longo dessa geod´esi ca dentro de um

intervalo do parˆametro aﬁm λ ≤ 2/|θ

2.3 Pontos Conjugados

Seja M uma variedade na qual uma conex˜ao est´a deﬁnida, e seja γ uma geod´esica com

campo tangente v

. Uma solu¸c˜ao η

da equa¸c˜ao do desvio geod´esico

∇

) = −R

µνρ

(2.25)

denomina-se campo de Jacobi em γ. Um par de pontos distintos p, q ∈ γ s˜ao ditos

conjugados se existir um campo de Jacobi η

n˜ao identicamente nulo mas tal que se

anula em p e q. Desta forma, intuitivamente, p e q s˜ao conjugados se uma geod´esica

inﬁnitesimalmente pr´oxima interceptar γ em ambos os pontos q e p.

Seja γ uma geod´esica do tipo tempo com tangente ξ

e seja p ∈ γ. Consideremos

a congruˆen cia de todas as geod´esicas do tipo tempo passando por p (esta congruˆencia ´e

obviamente singular em p), ent˜ao todo campo de Jacobi que se anula em p ´e um vetor

desvio para essa congruˆencia. Veremos que um ponto q ∈ γ estando no futuro de p ´e

conjugado a p se e somente se a expans˜ao θ dessa congruˆencia se aproximar de −∞ em

q. Para isto, ´e conveniente introduzir uma base ortonormal de vetores espaciais e

, e

ortogonais a ξ

e paralelamente propagados ao longo de γ. Como as componentes dos

vetores desvio η

para esta congruˆencia satisfazem as equa¸c˜oes diferenciais lineares

dτ

= −R

αβν

, (2.26)

o valor de η

num instante qualquer τ deve depender linearmente das condi¸c˜oes iniciais

(0) e dη

/dτ(0) em p. Como, por constru¸c˜ao, η

(0) = 0, temos

(τ) = A

(τ)

dη

dτ

(0) . (2.27)

Substituindo na equa¸c˜ao (2.26), vˆe-se que a matriz A

(τ) satisfaz a equa¸c˜ao

dτ

= −R

αβσ

. (2.28)

Tem-se tamb´em que A

(0) = 0 e dA

/dτ(0) = δ

. Agora, q ser´a conjugado a p se e

somente se existir uma condi¸c˜ao inicial n˜ao trivial para a qual η

= 0 em q. Pela equa¸c˜ao

(2.27), isto ocorrer´a se e somente se det A

= 0 em q. Ou seja, det A

= 0 ´e a condi¸c˜ao

necess´aria e suﬁciente para que exista um ponto conjugado a p.

A matriz A

se relaciona com o campo tensorial B

µν

atrav´es da rela¸c˜ao, em nota¸c˜ao

matricial,

B =

dτ

−1

. (2.29)

Consequentemente

θ = trB =

d(l n|detA|)

dτ

. (2.30)

Como A satisfaz a equa¸c˜ao diferencial (2.28), d(det A)/dτ n˜ao pode se torn ar inﬁnito ao

longo de γ. Desta forma, se θ → −∞ em q, segue da equa¸c˜ao (2.30) que det A → 0 em

q. Agora, se det A → 0 em q, segue que θ → −∞ em q. Assim ﬁca demonstrado que a

condi¸c˜ao necess´aria e suﬁciente para que q seja conjugado a p ´e que tenhamos θ → −∞

em q para a congruˆencia emanando de p.

Pode ser demonstrado que numa vizinhan¸ca normal convexa de p as geod´esicas da con-

gruˆencia s˜ao ortogonais `a superf´ıcie de tempo pr´oprio constante τ ao longo das geod´esicas

e, pela ´ultima das equa¸c˜oes (2.8), se ω

µν

se anula num instante de tempo qualquer, deve

se anular para todo instante de tempo.

Lema 2.3.1 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo satisfazendo R

µν

≥ 0 para todo ξ

tipo tempo. Seja γ uma geod´esica do tipo tempo e seja p ∈ γ. Suponha que a congruˆencia

de geod´esicas do tipo tempo com ω

µν

= 0 emanando de p seja tal que θ assuma o valor

negativo θ

em r ∈ γ. Ent˜ao dentro do intervalo de tempo pr´oprio τ ≤ 3/|θ

| a partir de

r ao longo de γ existir´a um ponto q conjugado a p (assumindo que γ se estenda at´e tal

ponto).

A existˆencia de um par de pontos conjugados numa geod´esica completa do tipo tempo

pode ser demonstrada por hip´oteses mais fracas do que as da proposi¸c˜ao acima. Se

µν

≥ 0 em todo lugar ao longo da geod´esica e R

µν

> 0 em um ponto r ∈ γ,

ent˜ao pode-se mostrar que (para p suﬁcientemente longe de r) a expans˜ao da congruˆencia

emanando de p deve ser negativa em r. Ent˜ao p ter´a um ponto conjugado q em γ.

Entretanto, mesmo que R

µν

= 0 em todo ponto de γ, se os termos de curvatura no

lado direito da equa¸c˜ao (2.8) forem n˜ao nulos em r ∈ γ, ent˜ao σ

µν

n˜ao pode se anular

numa vizinhan¸ca de r. Como −σ

µν

tamb´em aparece no lado direito da equa¸c˜ao de

Raychaudhuri, de maneira an´aloga ´e estabelecida a existˆencia de pontos conjugados. Logo,

tudo o que ´e exigido para a existˆencia de pontos conjugados em γ ´e que R

µν

≥ 0 em

todo ponto de γ e R

µνλρ

= 0 em pelo menos um ponto de γ.

Um espa¸co-tempo (M, g

µν

) ´e dito satisfazer a condi¸c˜ao gen´erica do tipo tempo se cada

geod´esica com campo tangente ξ

possuir ao menos um ponto no qual R

µν

= 0.

Lema 2.3.2 Seja (M, g

µν

) satisfazendo a condi¸c˜ao gen´erica do tipo tempo e suponha

µν

≥ 0 para todo ξ

do tipo t empo, assumindo que a congruˆencia seja hipersuperf´ıcie

ortogonal, isto ´e, ω

µν

= 0. Ent˜ao, toda geod´esica completa do tipo tempo possui um par

de pontos conjugados.

Consideremos agora a rela¸c˜ao entre pontos conjugados e as propriedades de compri-

mento extremo de geod´esicas. Sejam os pontos p, q ∈ M e considere uma fam´ılia a um

parˆametro de curvas suaves do tipo tempo λ

(t) de p a q, onde o parˆametro t ´e escolhido

tal que para todo α tenhamos λ

(a) = p, λ

(b) = q. O comprimento de cada curva ´e dado

por

τ(α) =



f(α, t)dt, (2.31)

onde f = (−T

)

1/2

, sendo T

os vetores tangentes (∂/∂t)

Lema 2.3.3 Seja γ uma curva suave do tipo tempo conectando dois pontos p e q ∈ M.

Ent˜ao a con di¸c˜ao necess´aria e suﬁcie nte para que γ maximize localmente o tempo pr´oprio

entre p e q sob varia¸c˜oes suaves a um parˆametro ´e que γ seja uma geod´esica sem pontos

conjugados a p entre p e q.

Uma no¸c˜ao semelhante de conjuga¸c˜ao ao longo de uma geod´esica pode ser estabelecida

entre um ponto e uma hipersuperf´ıcie inextens´ıvel do tipo espa¸co suave Σ. Deﬁnimos

primeiramente o tensor curvatura extr´ınseca K

µν

de Σ. Seja ξ

o campo vetorial tangente

unit´ario da congruˆen cia geod´esica do tipo tempo ortogonal a Σ. O tensor K

µν

´e deﬁnido

como

µν

= ∇

= B

νµ

. (2.32)

Este tensor ´e puramente espacialriia e sor electava ´e i

onde h

µν

´e deﬁnido pela equa¸c˜ao (2.5), e a equa¸c˜ao geod´esica foi usada no ´ultimo passo.

Agora, h

µν

´e a m´etrica espacial induzida nas hipersuperf´ıcies de tempo pr´oprio constante

a partir de Σ ao longo da congruˆencia geod´esica ortogonal a Σ. Desta forma, K

µν

mede

a taxa de varia¸c˜ao da m´etrica espacial ao longo da congruˆencia.

O tra¸co da curvatura extr´ınseca ser´a denotado por K,

K ≡ h

µν

. (2.34)

Desta forma, temos que

K = θ , (2.35)

onde θ ´e a expans˜ao da congruˆencia geod´esica.

Um ponto p numa geod´esica γ da congruˆencia geod´esica ortogonal a Σ ´e dito ser

conjugado a Σ ao longo de γ se existir um vetor desvio ortogonal η

da congruˆencia que

seja n˜ao-nulo em Σ mas se anule em p. Resulta, de forma an´aloga ao caso de pontos

conjugados, a seguinte proposi¸c˜ao.

Lema 2.3.4 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo satisfazendo R

µν

≥ 0 para todo ξ

tipo tempo. Seja Σ uma hipersuperf´ıcie inextens´ıvel do tipo espa¸co com K = θ < 0

num ponto q ∈ Σ. Ent˜ao dentro do intervalo de tempo pr´oprio τ ≤ 3/|K| a partir de q

existir´a um ponto p conjugado a Σ ao longo da geod´esica γ ortogonal a Σ e passando por

q, assumindo que γ se estenda a tal ponto.

O seguinte teorema pode ser demonstrado.

Lema 2.3.5 Seja γ uma curva do tipo tempo suave conectando um ponto p ∈ M a um

ponto q de uma hipersuperf´ıcie suave do tipo espa¸co Σ. Ent˜ao, a condi¸c˜ao necess´aria

e suﬁciente para que γ maximize localmente o tempo pr´oprio entre p e Σ sob varia¸c˜oes

suaves a um parˆametro ´e que γ seja uma geod´esica ortogonal a Σ sem pontos conjugados

a Σ entre Σ e p.

Tratemos agora do caso de geod´esicas nulas. Para qualquer campo de Jacobi η

numa

geod´esica nula µ com vetor tangente k

, temos

∇

)] = 0 , (2.36)

o que implica que η

n˜ao pode se anular em dois pontos distintos p, q ∈ µ, a men os

que k

= 0 em todo ponto de µ. Al´em disso, se η

for um campo de Jacobi, ent˜ao

+(a+bλ)k

, com a e b constantes, tamb´em o ser´a. Desta forma, p e q ser˜ao conjugados

se e somente se existir um campo de Jacobi η

que difere de zero somente por um m´ultiplo

de k

em ambos p e q. Assim, ao longo de uma geod´esica nula µ, dois pontos p e q ser˜ao

conjugados se e somente se um vetor ˆη

V satisﬁzer a equa¸c˜ao de desvio geod´esico e

se anular em p e q.

O seguinte resultado ´e obtido.

Lema 2.3.6 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo que satisfaz R

µν

≥ 0 para todo k

nulo.

Seja µ uma geod´esica nula e seja p ∈ µ. Suponha que a expans˜ao da congruˆe ncia geod´esica

nula com ω

µν

= 0 emanando de p atinja um valor negativo θ

em r ∈ µ. Ent˜ao, dentro

do intervalo do parˆametro aﬁm λ ≤ 2/|θ

| a partir de r, existir´a um ponto q conjugado a

p ao longo de µ, assumindo que µ se estenda a tal ponto.

Novamente, este resultado pode ser obtido de hip´oteses mais fracas, se R

µν

≥ 0

em todo ponto de uma geod´esica completa nula µ e se existir ao menos um ponto r ∈ µ no

qual R

µν

> 0 ou k

[δ

µ]νλ[ρ

α]

= 0, ent˜ao µ possuir´a um par de pontos conjugados.

Um espa¸co-tem po (M, g

µν

) ´e dito satisfazer a condi¸c˜ao gen´erica nula se toda geod´esica

nula possuir ao menos um ponto onde R

µν

> 0 ou k

[δ

µ]νλ[ρ

α]

= 0.

Lema 2.3.7 Suponha que (M, g

µν

) satisfa¸ca a condi¸c˜ao gen´erica nula e R

µν

≥ 0

para todo k

nulo, assumindo que a congr uˆencia seja hipersuperf´ıcie ortogonal. Ent˜ao,

toda geod´esica nula completa possui um par de pontos conjugados.

Pontos conjugados indicam quando uma geod´esica nula µ conectando p e q pode ser

variada resultando uma curva do tipo tempo entre esses pontos. Pode-se demonstrar que:

Lema 2.3.8 Seja µ uma curva causal suave e sejam p, q ∈ µ distin tos. Ent˜ao, n˜ao

existir´a uma fam´ı lia a um parˆametro de curvas causais suaves λ

conectando p e q com

= µ e λ

do tipo tempo para todo α > 0 (ou seja, µ n˜ao pode ser suavemente defor-

mada numa curva do tipo tempo) se e somente se µ for uma geod´esica nula sem pontos

conjugados a p ao longo de µ entre p e q.

A no¸c˜ao de conjuga¸c˜ao tamb´em pode ser deﬁnida para um ponto e uma superf´ıcie

bidimensional do tipo espa¸co S. Em cada ponto q ∈ S existir˜ao precisamente dois vetores

nulos direcionados para o futuro k

e k

que s˜ao ortogonais a S. Se S for orient´avel,

podemos fazer uma escolha cont´ınua de k

e k

sobre S e assim deﬁnir duas fam´ılias de

geod´esicas nulas, fam´ılia que entra e fam´ılia que sai. Vamos nos referir a cada uma dessas

fam´ılias como congruˆencias apesar de cada uma gerar apenas uma hipersuperf´ıcie nula

em vez de gerar uma regi˜ao aberta do espa¸co-tempo. Assumindo ˆω

µν

= 0, a expans˜ao

θ e o cisalhamento ˆσ

µν

est˜ao bem deﬁnidos, pois todos os vetores desvio ortogonais aos

vetores tangentes k

est˜ao inclu´ıdos na congruˆencia. Seja µ uma geod´esica nula em uma

dessas congruˆencias. Um ponto p ∈ µ ´e dito ser conjugado a S se ao longo de µ existir

um vetor desvio ˆη

da congruˆencia que ´e n˜ao nulo em S mas se anula em p. Temos ent˜ao:

Lema 2.3.9 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo satisfazendo R

µν

≥ 0 para todo k

nulo.

Seja S uma subvariedade bidimensional do tipo espa¸co suave tal que a expans˜ao θ das

geod´esicas nulas saindo atinja um valor negativo θ

em q ∈ S. Ent˜ao, dentro do intervalo

do parˆametro aﬁm λ ≤ 2/|θ

|, existir´a um ponto p conjugado a S ao longo da geod´esica

nula que sai µ passando por q.

O seguinte teorema pode ser obtido:

Lema 2.3.10 Seja S uma subvariedade bidimensional do tipo espa¸co suave e seja µ uma

curva causal suave de S a p. Ent˜ao, a condi¸c˜ao necess´aria e suﬁciente para que µ n˜ao

possa ser suavemente deformada numa curva do tipo tempo conectando S e p ´e que µ seja

uma geod´esica nula ortogonal a S sem pontos conjugados a S entre S e p.

Como conseq¨uˆencia deste teorema (e resultados apresentados na introdu¸c˜ao) obt´em-se

o seguinte teorema.

Lema 2.3.11 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo globalmente hiperb´olico e seja K uma sub-

variedade bidimensional de M compacta e orient´avel. Ent˜ao, todo p ∈

(K) est´a numa

geod´esica nula direcionada para o futuro come¸cando em K que ´e ortogonal a K e n˜ao

possui pontos conjugados a K entre K e p.

2.4 Curvas de M´aximo Comprimento e Teoremas de

Singularidade

Nesta se¸c˜ao usaremos argumentos globais envolvendo compacidade dos espa¸cos de cur-

vas causais C(p, q) e C(Σ, p) para provar a existˆencia de curvas de m´aximo comprimento

em espa¸cos-tempos globalmente hiperb´olicos.

O comprimento τ de uma curva causal suave λ entre os pontos p e q ∈ M com tangente

= (∂/∂t)

´e dado pela f´ormula

τ[λ] =



(−T

)

1/2

dt . (2.37)

E necess´ario generalizar essa deﬁni¸c˜ao para curvas causais cont´ınuas para que τ esteja

deﬁnida para todas as curvas de C(p, q). Seja ent˜ao

C(p, q) o subconjunto de C(p, q)

formado pelas curvas suaves do tipo tempo, com a topologia induzida por C. Ent˜ao

C(p, q) ´e denso em C(p, q), isto ´e, toda curva causal cont´ınua pode ser expressa como um

limite de uma sequˆencia de curvas suaves do tipo tempo. Se τ for cont´ınua em

C(p, q),

pode-se estendˆe-la para uma fun¸c˜ao cont´ınua em C(p, q) fazendo

τ[µ] = lim

n→∞

τ[λ

] , (2.38)

onde {λ

} ´e uma sequˆencia em

C(p, q) que se aproxima da curva causal cont´ınua µ ∈

C(p, q). Entretanto, τ n˜ao ´e cont´ınua em

C(p, q): arbitrariamente perto de qualquer

curva do tipo tempo na topologia de C(p, q) ´e poss´ıvel encontrar uma curva “zigzag”do

tipo temp o su ave de comprimento arbitrariamente perto de zero. No entanto, a fun¸c˜ao

τ ´e semicont´ınua superiormente em

C(p, q), isto ´e, para to d o λ ∈

C(p, q), dado ǫ > 0,

existe uma vizinhan¸ca aberta O ⊂

C(p, q) de λ tal que para todo λ

′

∈ O tem-se τ[λ

′

] ≤

τ[λ] + ǫ. Se τ for semicont´ınua superiormente em

C(p, q), podemos estendˆe-la a uma

fun¸c˜ao semicont´ınua superiormente em C(p, q) da seguinte forma. Para µ ∈ C(p, q) e

O ⊂ C(p, q) uma vizinhan¸ca aberta de µ, deﬁnimos

T [O] = sup{τ[λ]|λ ∈ O, λ ∈

C(p, q)} , (2.39)

onde sup denota a menor das cotas superiores. Ent˜ao deﬁnimos

τ[µ] = inf{T [O]|O uma vizinhan¸ca aberta de µ} , (2.40)

onde inf denota a maior das cotas inferiores. Assim, o que nos permite extender a deﬁni¸c˜ao

de τ a C(p, q) ´e expresso no seguinte resultado.

Lema 2.4.1 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo fortemente causal. Sejam p e q ∈ M com

q ∈

(p). Ent˜ao, τ ´e semicont´ınua superiormente em

C(p, q).

Podemos deﬁnir C(Σ, p) para qualquer conjunto acronal Σ num espa¸co-tempo for-

temente causal. Analogamente ao caso tratado acima, po d emos aﬁrmar que τ ´e semi-

cont´ınua sup eriormente no espa¸co

C(Σ, p) de curvas suaves do tipo tempo de Σ a p.

Desta forma, τ pode ser estendida a uma fun¸c˜ao semicont´ınua superiormente deﬁnida em

todo espa¸co C(Σ, p).

Na se¸c˜ao ant erior foi visto que a condi¸c˜ao necess´aria e suﬁciente para que uma curva

suave maximizasse localmente o comprimento entre dois pontos ou entre um ponto e

uma hip er superf´ıcie era que fosse uma geod´esica sem pontos conjugados. Agora que a

deﬁni¸c˜ao de τ foi estendida para curvas cont´ınuas, pode haver a possibilidade de que

uma curva cont´ınua n˜ao suave entre dois pontos ou entre um ponto e uma hipersuperf´ıcie

possa ter comprimento maior ou igual ao da geod´esica. Mas h´a um resultado que garante

que isso n˜ao acontece. Pode-se mostrar que em qualquer vizinhan¸ca normal convexa

U, a ´unica geod´esica γ conectando dois pontos causalmente relacionados r, s ∈ U tem

comprimento estritamente maior que qualquer outra curva causal suave conectando esses

dois pontos. Desta forma, pela semicontinuidade sup erior, qualquer curva causal cont´ınua,

µ, conectando r e s ∈ U deve satisfazer τ [µ] ≤ τ[γ]. Segue o seguinte resultado.

Lema 2.4.2 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo fortemente causal. Sejam p, q ∈ M onde

q ∈ J

(p), e considere a fun¸c˜ao τ deﬁnida em C(p, q). U ma condi¸c˜ao necess´aria para

que τ atinja seu valor m´aximo em γ ∈ C(p, q) ´e que γ seja uma geod´esica sem pontos

conjugados a p entre p e q.

Analogamente, segue:

Lema 2.4.3 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo fortemente causal. Seja p ∈ M, seja Σ uma

hipersuperf´ıcie do tipo espa¸co suave e acronal, e considere a fun¸c˜ao τ deﬁnda em C(Σ, p).

Uma condi¸c˜ao necess´aria para que τ atinja seu valor m´aximo em γ ∈ C(Σ, p) ´e que γ

seja uma geod´esica ortogonal a Σ sem pontos conjugados a Σ entre Σ e p.

Estes resultados n˜ao garantem a existˆencia de um valor m´aximo para τ , mas os

pr´oximos teoremas mostram que o valor m´aximo ´e sempre atingido pela fun¸c˜ao τ em

espa¸cos-tempos globalmente hiperb´olicos.

Lema 2.4.4 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo globalmente hiperb´olico. Sejam p, q ∈ M

onde q ∈ J

(p). Ent˜ao, existe uma curva γ ∈ C(p, q) para a qual τ atinje seu val0.183792(a)0.179708(u)-448.36(v)-0.175 11.9551 Tf9.917581(i)-0.371669(n505)-0.18175(i)-0.034(1(s)0.255267(t)-0.22664(e)-0.179708(m)/R181384(p)49.8077(o)-446.f65.0336 0 Td[(C)-0.338.17594/R18 11.9551 Tf9.23359 0 Td[(()-0.147034]TJ/R30 11.9551 Tf4.55391 0 Td[(p)-0.161329(;)-166.107(q)-0.236888]TJ/R18 11.9551 Tf16.7391 0 Td[())-0.147034]TJ/R75 11.9551 Tf9.91758 0 Td[(p)49.815753]TJ-449.95 -14.4426*[(L)-0.101086(e)-0.1-98057(8 )-0.1431749.95(m)0.247099(a)-374.537(2)0.148055(.)0.0827066(4)0.148055(.)0.0827066(4)0.147034]TJ/R75 11.5551 Tf69.9473 0 Td[(S)-0.307342(e)-0.18175(j)-0.37269(a)0.131718]TJ/R18 11.9551 Tf26.8734 0 Td[(()-0.1457.09TJ/R30 11.9551 Tf4.55391 0 Td[(M)-49.4248(;)-166.112(g)-0.147034]TJ/R47 7.97011 Tf22.7625 -1.79102 Td[()-0.54525]TJ/R18 11.9551 Tf10.2867 1.79102 Td[())-0.147034]TJ/R75 11.9551 Tf9.78281 0 Td[(u)0.289255850-0.240972(a)0.130697]TJ33718267(p)49.82(a)0.130697(¸)449.985(c)-0.183792(o)-304.736(s)0.255267(u)t)-0.216467(e)-0.18175(m)-0.243014(p)49.8077(o)-446.997(g)-0.183792(l)4]T.69206(o)0.130697(b)49.5035(a)0.130697(l)0.0673906(m)-0.243014(e)-0.18175(n)-0.306321(t)-0.216467(e)-447.306(h)0.130697(i)-4]T.2499(p)49.7975(e)-0.183792(rb)-0.179708(´)499.993(o)0.1399.993ico. Sejap

Para provar este teorema, sup˜oe-se que h´a uma curva λ do tipo tempo direcionada para

o passado, a partir de Σ, com comprimento aﬁm maior que 3/|C|. Seja p um ponto em

λ estando al´em do comprimento 3/|C| a partir de Σ. Pelo lema 2.4.5, existe uma curva

de m´aximo comprimento γ de p a Σ, a qual claramente deve p ossuir comprimento maior

que 3/|C|. Pelo lema 2.4.3, γ deve ser uma geod´esica sem pontos conjugados entre Σ

e p. Entretanto, isto contradiz o lema 2.3.4 que implica que γ deve possuir um ponto

conjugado entre Σ e p. Logo, a curva λ original n˜ao pode existir.

A hip´otese de hiperbolicidade global pode ser removida, desde de que uma nova

hip´otese seja adicionada: Σ deve ser compacta. A conclus˜ao tamb´em ´e enfraquecida

no sentido de que ao menos uma geod´esica do tipo tempo direcionada para o passado

deve ser incompleta, e n˜ao necessariamente todas as geod´esicas do tipo tempo.

Teorema 2.4.2 Seja (M, g

µν

) um espa¸co-tempo fortemente causal com R

µν

≥ 0 para

todo ξ

do tipo tempo hipersuperf´ıcie ortogonal, o que de fato ocorre se as equa¸c˜oes de

Einstein s˜ao v´alidas e a condi¸c˜ao forte de energia ´e satisfeita pela mat´eria. Suponha que

exista uma hipersuperf´ıcie S do tipo espa¸co suave, acronal, sem borda e compacta tal que

para toda congruˆencia geod´esica normal direcionada para o passado a partir de S tenhamos

K < 0 em todo ponto de S. Seja C o valor m´aximo de K, desta forma K ≤ C < 0 em

todo lugar de S. Ent˜ao, ao menos uma geod´esica do tipo tempo inextens´ıvel direcionada

para o passado a partir de S n˜ao possui comprimento maior que 3/|C|.

Cap´ıtulo 3

Lagrangeana Efetiva Para a QED

3.1 QED em campos eletromagn´eticos externos

A lagrangeana que descreve o sistema interagente de f´otons, el´etrons e p´ositrons ´e

dada por

L = L

+ L

−

+ L

int

, (3.1)

onde as lagrangeanas livres L

+ L

−

para f´otons e el´etrons s˜ao expressas em termos do

campo de Dirac Ψ(x) e do campo A

(x) como [12]

−

Ψ(x)(iγ

∂

− m

)Ψ(x) , (3.2)

= −

µν

(x)F

µν

(x) + termo de ﬁxa¸c˜ao de gauge , (3.3)

onde γ

s˜ao as matrizes de Dirac 4x4,

Ψ(x) = Ψ

†

(x)γ

e F

µν

= ∂

− ∂

´e o tensor

do campo eletromagn´etico.

O princ´ıpio do acoplamento m´ınimo d´a origem `a lagrangeana de intera¸c˜ao

int

= −e

Ψ(x)γ

Ψ(x)A

(x) , (3.4)

usando  = c = 1.

Um campo eletromagn´etico externo ´e incorporado adicionando-se ao campo quˆantico

na equa¸c˜ao (3.4) um vetor potencial externo n˜ao quantizado A

tal que a intera¸c˜ao

total se torna

int

+ L

int

= −e

Ψ(x)γ

Ψ(x)[A

(x) + A

(x)] . (3.5)

A teoria quˆantica de campos ´e deﬁnida atrav´es de integrais funcionais para a fun¸c˜ao

parti¸c˜ao da mecˆanica quˆantica

Z[A

] =



[DΨD

ΨDA

]exp





x(L + L

int

)



, (3.6)

a ser integrada sobre todas as ﬂutua¸c˜oes eletromagn´eticas e campos grassmanianos. A

quantidade normalizada Z[A

] d´a a amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-v´acuo na presen¸ca do

campo eletromagn´etico externo cl´assico,

< out, 0|0, in >=

Z[A

]

Z[0]

, (3.7)

onde |0, in > ´e o estado inicial do v´acuo no instante de tempo t = t

−

→ −∞ e < out, 0|

´e o estado ﬁnal de v´acuo no instante t = t

→ ∞.

Selecionando apenas os diagramas de Feynman irredut´ıveis a uma part´ıcula na ex-

pans˜ao pertur bativa de Z[A

], obt´em-se a a¸c˜ao efetiva como um funcional de A

∆S

] ≡ −i ln < out, 0|0, in > . (3.8)

Sob a hip´otese de que o campo externo A

(x) varia pouco numa regi˜ao ﬁnita do

espa¸co-tempo, podemos obter uma lagrangeana efetiva aproximadamente local ∆L

tal que

∆S

] ∼



x∆L

] ∼ V ∆t∆L

] , (3.9)

onde V ´e o volume espacial e ∆t = t

− t

−

. Para ∆t → ∞, a amplitude de transi¸c˜ao

v´acuo-v´acuo assume a forma

< out, 0|0, in >= e

−i(∆ǫ

−iΓ/2)∆t

, (3.10)

onde ∆ǫ

= ǫ

) − ǫ

(0) ´e a diferen¸ca entre as energias do v´acuo na presen¸ca e na

ausˆencia do campo, Γ ´e a taxa de decaimento do estado de v´acuo e ∆t o intervalo de

tempo no qual o campo pode ser n ˜ao nulo.

A probabilidade de que o v´acuo permane¸ca como ´e na presen¸ca do campo eletro-

magn´etico externo cl´assico ´e dada por

| < out, 0|0, in > |

= e

−2Im∆S

]

. (3.11)

3.2 Lagrangeana Efetiva de Heisenberg-Euler

O c´alculo da corrente associada ao v´acuo do campo de uma part´ıcula carregada envolve

a constru¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green para o campo da part´ıcula no campo eletromagn´etico

prescrito. Esta corrente do v´acuo pode ser exibida como uma varia¸c˜ao de uma a¸c˜ao,

a qual ´e adicionada ao campo de Maxwell na descri¸c˜ao do comportamento dos campos

eletromagn´eticos no v´acuo. Em [13] esta quest˜ao ´e resolvida de forma a preservar a

invariˆancia de gauge caracter´ıstica `a QED. As equa¸c˜oes de movimento da part´ıcula, cujas

solu¸c˜oes s˜ao resolvidas usando o tempo pr´oprio como parˆametro, envolvem somente as

intensidades do campo eletromagn´etico.

Para campos constantes, a renormaliza¸c˜ao da intensidade do camp o e da carga resulta

uma fun¸c˜ao de lagrange modiﬁcada que difere da do campo de Maxwell por termos que

implicam num comportamento n˜ao linear do campo.

Introduzimos o escalar

F =

µν

− E

) (3.12)

e o pseudoescalar

G =

µν

∗

µν



E ·



B . (3.13)

Deﬁnimos a quantidade

X =



2(F + iG) =



(B + iE)

A langrangeana vem dada [13] ﬁnalmente por

L = −F −

8π



∞

dss

−3

exp −m



(es)

Re cosh esX

Im cosh esX

− 1 −

(es)



, (3.14)

que resulta, em aproxima¸c˜ao at´e segunda ordem, restabelecendo as constantes  e c,

L =

− B

) +

2α

(/mc)

45mc



− B

)

+ 7(



E ·





. (3.15)

onde α = e

/4πc.

As quantidades f´ısicas que caracterizam o campo est˜ao contidas no tensor momentum-

energia

= δ

L − 2



∂L

∂F

µλ



νλ

= −(F

µλ

νλ

− δ



∂L

∂F



+ δ



L − F

∂L

∂F

− G

∂L

∂G



. (3.16)

O tensor de Maxwell

µ(M)

= F

µλ

νλ

−

λκ

(3.17)

´e obtido de L = −F, a aproxima¸c˜ao de campo fraco da equa¸c˜ao (3.14).

Cap´ıtulo 4

Modelo de FLRW N˜ao Singular

A generaliza¸c˜ao da eletrodinˆamica de Maxwell ´e utiliza

de Einstein que

˙ρ + 3(ρ + p )

= 0, (4.3)

= −

(ρ + 3p), (4.4)

onde k ´e a constante gravitacional de Einstein e o ponto representa a derivada de Lie com

respeito ao campo vetorial v

As equa¸c˜oes (4.3) e (4.4) admitem uma integral primeira

ρ =





. (4.5)

A eletrodinˆamica de Maxwell gera um universo singular no modelo de FLRW. Este

fato ´e consequˆencia direta dos teoremas de singularidade, e segue de uma an´alise da lei

de conserva¸c˜ao da energia e da equa¸c˜ao de Raychaudhuri [15]. Como as se¸c˜oes espaciais

da geometria FLRW s˜ao isotr´opicas, campos eletromagn´eticos podem gerar tal universo

somente se um procedimento de m´edias for adotado [16]. A m´edia espacial volum´etrica

de uma quantidade X num instante t ´e dada por

= lim

V →V



√

−g d

onde V =



√

−g d

e V

´e o volume dependente do tempo d e todo o espa¸co.

N˜ao h´a dire¸c˜ao privilegiada no espa¸co para os camp os el´etrico E

e magn´etico B

portanto

= 0 ,

= 0 . (4.6)

Por outro lado, em geral tem-se



E ·



µν

. (4.7)

onde h

µν

est´a deﬁnido em (2.5).

O tensor momentum-energia associado `a lagrangeana de Maxwell ´e dado por

µν

= −



µ α

F g

µν



, (4.8)

onde F = 4F, sendo F o escalar deﬁnido em (3.12). Usando as m´edias dadas acima,

segue que a equa¸c˜ao (4.8) se reduz `a conﬁgura¸c˜ao de um ﬂuido perfeito com densidade de

energia ρ

e press˜ao p

como

µν

= −(ρ

+ p

) v

− p

µν

, (4.9)

onde

= 3p

+ B

). (4.10)

Como t anto a densidade de energia quanto a press˜ao s˜ao quantidades positivas deﬁni-

das para todo instante de tempo resulta, observando a equa¸c˜ao (4.4), a natureza singular

do universo de FLRW. As equa¸c˜oes de Einstein levam a [17]

A(t) =



t − ǫt

, (4.11)

onde A

´e uma constante arbitr´aria. Vˆe-se claramente da equa¸c˜ao (4.11) que no instante

t = 0 surge a singularidade A = 0.

4.2 Modelo N˜ao-Singular Para o Universo de FLRW

O modelo proposto em [14] considera a generaliza¸c˜ao da lagrangeana de Maxwell de

acordo com a express˜ao (3.14) at´e termos de segunda ordem nos invariantes F e

G = −4G = −4



E ·



B ,

onde G ´e dado em (3.13), tal que

L = −

F + β F

+ γ G

. (4.12)

O signiﬁcado f´ısico dos parˆametros β e γ pode ser identiﬁcado no trabalho de Schwinger

conforme a expans˜ao at´e segunda ordem (no tensor de Maxwell F

µν

) como um m´ultiplo

num´erico positivo de e

/m

. Fazendo β = γ = 0 obt´em-se a eletrodinˆamica de

Maxwell. Termos que envolvem o produto F G n˜ao s˜ao inclu´ıdos para preservar a pa-

ridade.

O tensor momentum-energia para uma teoria n˜ao linear do eletromagnetismo ´e dado

por

µν

= 4 L

αν

+ (L − GL

) g

µν

, (4.13)

onde L

representa a derivada parcial da lagrangeana com respeito ao invariante F e L

a derivada parcial com respeito ao invariante G.

Como o modelo ´e relevante apenas no est´agio inicial do universo, onde a mat´eria ´e

identiﬁcada com um plasma primordial [18], faz-se E

= 0 e



E ·



B = 0 nas equa¸c˜oes

(4.7), o que ﬁsicamente signiﬁca que n˜ao havia polariza¸c˜ao el´etrica no universo. Como

o processo de tomar m´edias ´e independente das equa¸c˜oes de campo eletromagn´etico, as

equa¸c˜oes (4.6) e (4.7) s˜ao utilizadas para se obter uma an´alogo da equa¸c˜ao (4.9) para o

caso n˜ao linear.

A m´edia do tensor momentum-energia ´e identiﬁcada como sendo a de um ﬂuido perfeito

com as seguintes express˜oes para a densidade de energia e press˜ao

(1 − 8 β B

), (4.14)

(1 − 40 β B

). (4.15)

Inserindo as equa¸c˜oes acima na equa¸c˜ao (4.3) resulta



1 − 16βB





+ 2



= 0 , (4.16)

que, integrando, implica na rela¸c˜ao

B =

, (4.17)

onde H

´e uma constante. Substituindo as equa¸c˜oes (4.17) e (4.14) em (4.5) obt´em-se

6 A



1 −

8βH



− ǫ. (4.18)

Como o lado esquerdo desta equa¸c˜ao ´e n˜ao negativo segue que, independente do valor de

ǫ, para β > 0, o fator de escala A(t) n˜ao pode ser arbitrariamente pequeno.

A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e dada implicitamente por

c t = ±



A(t)



−

8βkH

− ǫ

, (4.19)

onde A(0) = A

Para o caso euclidiano (ǫ = 0), a express˜ao acima resulta

= H



(k c

+ 12 β). (4.20)

Da equa¸c˜ao (4.17), a magnitude m´edia B do campo magn´etico evolui com o tempo na

forma

k c

+ 12 β

. (4.21)

A express˜ao (4.20) ´e singular para β < 0 pois existe um instante t =



−12β/k c

para o qual A(t) ´e arbitrariamente p equeno. Para β > 0, em t = 0, o raio do universo

atinge um valor m´ınimo dado por

min

= H



8 β. (4.22)

A constante H

´e a ´unica constante livre do modelo. O comportamento n˜ao singular do

fator de escala ´e mostrado na ﬁgura 4.1.

A densidade de energia dada pela equa¸c˜ao (4.14) atinge seu valor m´aximo ρ

max

1/64β no instante t = t

dado por



12 β

. (4.23)

Para valores menores de t a densidade de energia decresce, anulando-se em t = 0, enquanto

a press˜ao se torna negativa, como pode ser visto pela ﬁgura 4.2. Somente para instantes

de tempo t < 3t

os efeitos n˜ao lineares s˜ao relevantes. A solu¸c˜ao dada pela equa¸c˜ao

(4.20) se aproxima da solu¸c˜ao dada em (4.11) para valores grandes de t.

t / t

min

A (t) / A

0.5

1.5

2.5

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10

Figura 4.1: Comportamento n˜ao-singular do fator de escala. A

min

e t

s˜ao dados pelas

equa¸c˜oes (4.22) e (4.23). A express˜ao cl´assica correspondente ´e representada pela linha

pontilhada, com A

= A

min

O tensor momentum-energia (4.13) n˜ao possui tra¸co nulo para β = 0. Desta forma, a

equa¸c˜ao de estado p

= p

(ρ

) possui um termo adicional quintessencial [19] proporcional

`a constante β, dado por

−

β B

. (4.24)

A an´alise da consistˆencia deste modelo ´e feita atrav´es da an´alise da equa¸c˜ao para a

densidade de energia, equa¸c˜ao (4.14). A condi¸c˜ao a ser satisfeita ´e

1 − 8βB

≥ 0 . (4.25)

Na hist´oria do universo descrito por esse modelo, a m´edia espacial da intensidade do

campo magn´etico B

´e globalmente regular, e ´e limitada por cima no valor exato ond e a

igualdade em (4.25) ´e v´alida. Por´em, esta igualdade ´e um limite extremo para a expans˜ao

realizada na lagrangeana, pois nesta conﬁgura¸c˜ao o termo de corre¸c˜ao se iguala ao termo

corrigido.

Logo, do ponto de vista da consistˆencia matem´atica, ou seja, para assegurar a con-

vergˆen cia da s´erie, torna-se necess´ario o c´alculo de termos de ordem superior, que ser´a

realizado no pr´oximo cap´ıtulo.

-5

-4

-3

-2

-1

-10 -5 5 10

p /

max

ρ /ρ

Figura 4.2: Dependˆencia temporal da densidade de energia eletromagn´etica ρ

e press˜ao

Cap´ıtulo 5

Aproxima¸c˜oes de Ordem Superior

No cap´ıtulo que segue convencionou-se utilizar ilustrativamente o valor das constantes

iguais a um, em particular a constante gravitacional. Tal conven¸c˜ao n˜ao modiﬁca a an´alise

feita, a escolha evita somente uma predominˆancia acentuada da tricurvatura escalar sobre

os demais termos da equa¸c˜ao de movimento para o fator de escala, n˜ao modiﬁcando

qualitativamente os resultados e gr´aﬁcos apresentados.

5.1 Universo Singular de Terceira Ordem

A expans˜ao at´e terceira ordem da lagrangeana (3.14) resulta

L = −

F +

90π

−

315π

. (5.1)

O intuito da an´alise destes termos ´e a aplica¸c˜ao destes no modelo cosmol´ogico de

FLRW. Termos que envolvem o invariante G foram descartados por duas raz˜oes: (i) termos

de ordem ´ımpar nesse invariante violam paridade, (ii) esse invariante cont´em produtos do

tipo



E ·



B, cuja m´edia ´e considerada nula no modelo cosmol´ogico proposto.

A m´edia do tensor momentum-energia at´e a ordem requerida, de acordo com a equa¸c˜ao

(3.16), vem dada por

µν

= T

(M)

µν



1 −

µB

2π

3α



− g

µν



−

µB

2π

9α



, (5.2)

onde µ =

(/mc)

Este resultado pode ser interpretado como um ﬂuido perfeito, com densidade de energia

e press˜ao dadas por

ρ =



1 −

µB

2π

9α



, (5.3)

p =



1 −

µB

2π



. (5.4)

Substituindo a equa¸c˜ao (5.3) na equa¸c˜ao (4.5), utilizando o resultado (4.17) que per-

manece v´alido, resulta



1 −

2π

9α



− ǫ . (5.5)

Como o lado esquerdo da equa¸c˜ao ´e positivo, deve ser analisado em que situa¸c˜oes a

equa¸c˜ao acima ´e consistente. Para ǫ = 0 e ǫ = −1, o lado direito da equa¸c˜ao ´e positivo

para todo valor de A. Para ǫ = 1,

se anula para um valor do fator de escala, A

max

, a

partir do qual se torna negativo, como ilustra a ﬁgura 5.1.

(dA/dt)

2.25

7.5

2.5

1.75

15.0

2.5

12.5

10.0

5.0

2.0

0.0

1.51.251.0

Figura 5.1: Dependˆencia de

com A at´e terceira ordem, para ǫ = 1.

Portanto, o dom´ınio de validade do modelo at´e terceira ordem no invariante F se

restringe a ǫ = −1, ǫ = 0, e ǫ = 1 at´e o valor A = A

max

, gerando um un iverso com

a singularidade inicial em todos os casos. Em particular, para ǫ = 1, surge uma outra

singularidade para o valor do fator de escala A

max

. Neste ponto a velocidade de expans˜ao

do universo se anula, mas com acelera¸c˜ao diferente de zero, como pode ser visualisado

pelo gr´aﬁco. A curva de

chega em A

max

com inclina¸c˜ao negativa, a acelera¸c˜ao passa

descontinuamente de um valor negativo para um positivo pois o universo n˜ao pode se

expandir al´em de A

max

, ele se expande desaceleradamente, chega at´e este valor do fator

de escala e abruptamente p assa a acelerar e se contrai. Esta descontinuidade na segunda

derivada temporal de A torna este ponto singular.

A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (5.5) ´e dada em fun¸c˜ao do tempo por

t =



90a



−8100ǫa

+ 1350kH

− 120kH

µa

+ 41100kH

πµ

. (5.6)

O comportamento resultante do fator de escala ´e mostrado n a ﬁgura 5.2.

Vˆe-se pela ﬁgura que, para aproxima¸c˜ao at´e terceira ordem, o universo volta a apre-

sentar um comportamento singular para valores muito pequenos de t, similar ao compor-

tamento para o caso de Einstein-Maxwell cl´assico. Para os valores de ǫ = 0 e ǫ = −1,

casos em que o fator de escala pode assumir qualquer valor, o comportamento se mostra

an´alogo ao caso cl´assico. A ﬁgura 5.3 ilustra como a contribui¸c˜ao quˆantica nestes casos

ε = −1

ε = 0

ε = 1

0.15

0.0

0.05

1.5

0.3

0.25

0.750.25 1.0

0.1

0.50.0

0.2

1.25

Figura 5.2: Dependˆencia temporal do fator de escala, para os modelos de universo aberto,

fechado e plano, para o modelo com expans˜ao at´e terceira ordem. Para k = 1, H

= 1 e

µ = 1, A

max

´e da ordem de 1.33.

se resume a um intervalo de tempo muito pequeno, e a r´apida tr ansi¸c˜ao para o regime

cl´assico.

A densidade de energia e press˜ao tamb´em apresentam car´ater singular, como pode ser

visto na ﬁgura 5.4. Para instantes de tempo se aproximando de zero, estas grandezas

apresentam divergˆencia acentuada.

5.2 Universo N˜ao-Singular de Quarta Ordem

A expans˜ao at´e quarta ordem da lagrangeana (3.14), omitindo os termos que envolvem

o invariante G pelos motivos expostos anteriormente, resulta

L = −

F +

90π

−

315π

. (5.7)

A densidade de energia e press˜ao s˜ao obtidas de maneira an´aloga `a ordem precedente,

ρ =



1 −

µB

64π

315

−

512π



, (5.8)

p =



1 −

µB

+ 2π

−

9984π

315



. (5.9)

Substituindo a equa¸c˜ao (5.8) em (4.5), com a ajuda da equa¸c˜ao (4.17), resulta

A(t)



1 −

2π

−

512π



− ǫ . (5.10)

.1e2

.1e−2

1e−07

.1e4.1e3.1e21..1

.1e4

.1e3

.1e−1

.1e−3

1e−05

1e−06

Figura 5.3: Dependˆencia temporal do fator de escala em escala logar´ıtmica. A linha

tracejada representa o caso ǫ = 0 e a linha pontilhada representa ǫ = −1.

A solu¸c˜ao formal desta equa¸c˜ao ´e dada por

t =



630a



−396900ǫa

+ 66150kH

− 5880kH

µa

+ 1841280kH

πµ

− 10090214400kH

(5.11)

Analisando a equa¸c˜ao (5.10), vˆe-se claramente que ǫ = 1 torna a equa¸c˜ao inconsistente,

pois o lado direito ´e negativo para todo valor do fator de escala. Para os valores de ǫ = 0

e ǫ = −1, o lado direito se torna positivo a partir de um certo valor do fator de escala,

ou seja, nesses casos, A(t) n˜ao pode se tornar arbitrariamente p equeno, conforme mostra

a ﬁgura 5.5. O comp ortamento do fator de escala com o tempo ´e mostrado na ﬁgura 5.6.

No entanto, p ara ǫ = −1, nos instante iniciais a contribui¸c˜ao quˆantica ´e t˜ao dominante

que a densidade de energia se torna negativa, como po d e ser visto pela ﬁgura 5.7.

A dependˆencia temporal da densidade de energia para o caso ǫ = 0 tem um compor-

tamento mais coerente com o nosso universo e corrobora o resultado de segunda ordem,

de acordo com a ﬁgura 5.8, exceto o fato de apresentar valor n˜ao nulo no instante t = 0,

ou seja, a densidade n˜ao se anu la na m´axima condensa¸c˜ao, o que garante um compor-

tamento mais plaus´ıvel ﬁsicamente para o p lasma primordial. A press˜ao atinje valores

negativos perm anecendo ﬁnita. Portanto, a solu¸c˜ao cosmol´ogica obtida com a expans˜ao

da lagrangeana at´e quarta ordem como fonte com ǫ = 0 ´e a que mais se adapta ao nosso

universo.

5.3 Solu¸c˜ao Qualitativa em Ordem Superior

A an´alise da expans˜ao foi feita at´e a sexta ordem nos invariantes. O modelo, at´e

−2

321

Figura 5.4: Dep endˆencia temporal da densidade de energia e press˜ao para o modelo com

expans˜ao at´e terceira ordem.

expans˜ao em quinta ordem, apresenta comportamento similar ao de expans˜ao at´e ter-

ceira, e o modelo at´e sexta ordem ´e an´alogo ao de quarta. Desta forma as potˆencias pares

parecem coincidir na descri¸c˜ao do modelo, da mesma forma que as p otˆencias ´ımpares coin-

cidem entre si. Tal fato se deve `a alternˆancia da s´erie, cujos termos variam inversamente

com potˆencias do fator de escala. A regularidade da solu¸c˜ao cosmol´ogica, com respeito

`a singularidade inicial A = 0, somente ´e garantida quando a expans˜ao da s´erie (3.14)

no invariante F ´e tomada at´e um termo cuja ordem ´e par. Este resultado foi veriﬁcado

explicitamente ordem a ordem, at´e o caso de sexta ordem. Tal comportamento po d e ser

comparado atrav´es dos gr´aﬁcos (ﬁguras 5.9, 5.10), mostrando onde

se anula, trocando

de sinal. Gr´aﬁcos similares foram obtidos nas terceira e quarta ordens.

A alternˆancia da s´erie pode ser veriﬁcada atrav´es da an´alise da equa¸c˜ao (3.14). Con-

siderando a express˜ao fechada para o invariante F , e tomando o limite G → 0, obt´em-se

uma express˜ao na forma

L = −

F −

8π



∞

dss

−3

exp(−m





F coth







− 1 −

(es)



(5.12)

(dA/dt)

0.02

−0.02

0.01

0.0

−0.01

−0.03

5.04.54.03.53.0

Figura 5.5: Dependˆencia de

com A at´e quarta ordem, para ǫ = 0.

Os dois ´ultimos termos dentro dos colchetes s˜ao cancelados com os dois primeiros

termos da expans˜ao para a s´erie da fun¸c˜ao x coth x, s˜ao termos de renormaliza¸c˜ao e

evitam a divergˆencia da integral. A s´erie coth x ´e uma s´erie alternada e, por consequˆencia,

tamb´em a s´erie x coth x. Este comportamento alternado se reﬂete na express˜ao do tensor

momentum-energia e consequentemente na equa¸c˜ao diferencial para o fator de escala

[equa¸c˜oes (4.18), (5.5), (5.10)].

100

150

−50−100−150

Figura 5.6: Dependˆencia temporal do fator de escala para o modelo com expans˜ao at´e

quarta ordem, para ǫ = 0. Este gr´aﬁco ilustra o comportamento “bouncing” do fator de

escala, quando considera-se valores negativos de t.

−3

0.5

−5

3.02.52.01.5

1.0

−10

1.51.250.75

−0.1

1.00.0

0.0

0.25

−0.5

−0.2

0.5

−0.3

−0.4

−0.6

1.75

Figura 5.7: Dependˆencia temporal da d ensidade de energia e press˜ao para o caso ǫ = −1,

no modelo at´e quarta ordem. O gr´aﬁco da direita ressalta o comportamento ﬁnito das

grandezas.

−1

302010

−4

−2

−3

0 50

−3

Figura 5.8: Dependˆencia temporal da densidade de energia e press˜ao para o caso ǫ = 0,

no modelo at´e quarta ordem.

(dA/dt)

3.1

−1

3.63.53.43.33.2

3.0

Figura 5.9: Comportamento de

com A at´e quinta ordem, para ǫ = 1.

(dA/dt)

−0.01

4.9

0.0

−0.005

−0.015

5.0

−0.02

−0.025

4.84.74.64.5

Figura 5.10: Dependˆencia de

com A at´e sexta ordem, para ǫ = 0.

Cap´ıtulo 6

Conclus˜ao

Neste trabalho foi estudada a contribui¸c˜ao da polariza¸c˜ao do v´acuo na eletrodinˆamica

cl´assica no contexto do modelo de universo de FLRW. Utilizou-se um m´etodo perturbativo

na lagrangeana de Heisenberg-Euler t ratando-a como uma lagrangeana efetiva para a

teoria cl´assica incluindo essas corre¸c˜oes quˆanticas (polariza¸c˜ao). Esta nova lagrangeana

foi usada como fonte de curvatura para o espa¸co-tempo.

Expans˜ao at´e terceira ordem no invariante F gera um universo singular, para qualquer

valor do parˆametro ǫ. Em particular, para ǫ = 1, uma nova singularidade surge, num valor

onde o fator de escala ´e m´aximo. Neste ponto

A passa por uma descontinuidade.

Na expans˜ao at´e quarta ordem, uma solu¸c˜ao regular ´e obtida para os valores ǫ = −1 e

ǫ = 0, casos em que a press˜ao atinge valores negativos. N˜ao h´a solu¸c˜ao f´ısica para o caso

ǫ = 1. No entanto, para ǫ = −1, a densidade de energia, assim como a press˜ao, atinge

valores negativos. O caso ǫ = 0 apresenta densidade de energia n˜ao-negativa, que atinge

um valor m´aximo ﬁnito. O caso ǫ = 0 parece ser a solu¸c˜ao mais consistente com o que se

sabe sobre o universo observ´avel na ´epoca d ominada pela radia¸c˜ao.

A an´alise para quinta ordem corrobora resultados de terceira ordem, assim como a

sexta ordem concorda com a quarta e com a segunda ordens. Esse comportamento ´e

padr˜ao dado que a s´erie perturbativa ´e alternada, fato que pode ser conﬁrmado atrav´es

da an´alise da equa¸c˜ao (3.14), com o ´ultimo termo dominando numericamente o anterior

no limite A → 0 por valores positivos. Desta forma, expans˜oes at´e ordens pares geram

solu¸c˜oes regulares, enquanto at´e ordens ´ımpares apresentam solu¸c˜oes singulares.

Gostar´ıamos que o universo fosse n˜ao-singular. Mas que mecanismo p oderia fazer

com que ele siga um determinado comportamento, no caso, as ordens pares da s´erie

perturbativa da lagrangeana? Este fato sugere uma nova interpreta¸c˜ao do m´etodo de

expans˜ao em s´erie da lagrangeana, na qual tal expans˜ao s´o faz sentido quando truncada

at´e ordens pares no invariante de campo F .

Apˆendice A

Expans˜ao da lagrangeana de

Heisenberg-Euler

Apresenta-se a seguir um exemplo de algoritmo, desenvolvido na plataforma Mathe-

matica 5 [20] em ambiente linux, utilizado para determina¸c˜ao dos coeﬁcientes da expans˜ao

da lagrangeana de Schwinger em potˆencias de F , no limite G → 0.

X = e ∗ s ∗ Sqrt[2 ∗ (F + I ∗ G)]

cox = Sum[X

∧

(2 ∗ n)/(2 ∗ n)!, {n, 0, ∞}]

cox = Sum[X

∧

(2 ∗ n)/(2 ∗ n)!, {n, 0, ∞}]

cox = Sum[X

∧

(2 ∗ n)/(2 ∗ n)!, {n, 0, ∞}]

coj = Series[cox, {G, 0, 4}];

√

F + iGs

Cosh



√



(F + iG)s



ser = ComplexExpand[Normal[coj]];

novoser = Cosh



√

)

1/4

√



−

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

novoser = Cosh



√

)

1/4

√



−

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

novoser = Cosh



√

)

1/4

√



−

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

64F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

96F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

64F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

96F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

64F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

96F

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



)

3/2

)

1/4

)

3/2

Sinh



√

)

1/4

√



√



)

3/2

)

1/4

)

3/2

Sinh



√

)

1/4

√



√



)

3/2

)

1/4

)

3/2

Sinh



√

)

1/4

√





Cosh

√

(

)

1/4

√

–

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−



Cosh

√

(

)

1/4

√

–

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−



Cosh

√

(

)

1/4

√

–

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



√

)

1/4

√

Sinh



√

)

1/4

√



−

√



)

3/2

)

1/4

)

3/2

Sinh



√

)

1/4

√



;

√



)

3/2

)

1/4

)

3/2

Sinh



√

)

1/4

√



;

√



)

3/2

)

1/4

)

3/2

Sinh



√

)

1/4

√



;

rea = Cosh



√

)

1/4

√



−

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

rea = Cosh



√

)

1/4

√



−

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

rea = Cosh



√

)

1/4

√



−

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

64F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

96F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

64F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

96F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

64F

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

96F

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

(

)

3/2

(

)

1/4

(

)

3/2

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

;

(

)

3/2

(

)

1/4

(

)

3/2

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

;

(

)

3/2

(

)

1/4

(

)

3/2

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

;

imag =

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

imag =

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

imag =

Cosh

√

(

)

1/4

√

–

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

√

(

)

1/4

√

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

−

(

)

3/2

(

)

1/4

(

)

3/2

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

;

(

)

3/2

(

)

1/4

(

)

3/2

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

;

(

)

3/2

(

)

1/4

(

)

3/2

Sinh

√

(

)

1/4

√

–

√

;

ser1 = (e ∗ s)

∧

2 ∗ G ∗ (rea/imag);

ser1 = (e ∗ s)

∧

2 ∗ G ∗ (rea/imag);

ser1 = (e ∗ s)

∧

2 ∗ G ∗ (rea/imag);

ser2 = Normal[Series[ser1, {G, 0, 4}]];

colchete = ser2 − 1 − 2/3 ∗ (e ∗ s)

∧

2 ∗ F ;

colchete = ser2 − 1 − 2/3 ∗ (e ∗ s)

∧

2 ∗ F ;

colchete = ser2 − 1 − 2/3 ∗ (e ∗ s)

∧

2 ∗ F ;

c = Normal[Series[colchete, {G, 0, 0}]]

−1 −

F s

√

(

)

3/4

√

Coth

√

(

)

1/4

√

–

cc = Normal[Series[c, {F, 0, 6}]];

Integrate[Exp[−m

∧

2 ∗ s] ∗ cc/s

∧

3, {s, 0, Inﬁnity}]

Integrate[Exp[−m

∧

2 ∗ s] ∗ cc/s

∧

3, {s, 0, Inﬁnity}]

Integrate[Exp[−m

∧

2 ∗ s] ∗ cc/s

∧

3, {s, 0, Inﬁnity}]

If [Re [m

] > 0,

−

(

8491008e

−582400e

+68640e

−17160e

F m

+15015m

)

675675m

, Integrate[

−

−m

(

14189175+4e

F s

(

−675675+e

F s

(

135135+4e

F s

(

−6825+1382e

F s

))))

638512875

{s, 0, ∞}, Assumptions → Re [m

] ≤ 0]]

Expand[

−1/(8 ∗ Pi

∧

2)∗

−1/(8 ∗ Pi

∧

2)∗

−1/(8 ∗ Pi

∧

2)∗



(

8960e

−1056e

+264e

F m

−231m

)

10395m



+ 4e

(−8491008e

) / (675675m

)





(

8960e

−1056e

+264e

F m

−231m

)

10395m



+ 4e

(−8491008e

) / (675675m

)





(

8960e

−1056e

+264e

F m

−231m

)

10395m



+ 4e

(−8491008e

) / (675675m

)



1415168e

225225m

−

128e

297m

16e

315m

−

315m

90m

Bibliograﬁa

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University Press, Cambridge, England, (1973).

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Component with General Equation of State, Phys. Rev. Lett. 80, 1582 (1998).

[20] Wolfram Research, Inc., Mathematica 5.2.0.0, http ://www.wolfram.com/.

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