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Activité 1 : Du côté des triangles ...
a. Donne tous les noms possibles du triangle ABC.
b. Donne tous les noms possibles de l'angle
ABC
.
c. Quel angle du triangle AHB possède la plus petite
mesure ?
d. Dans le triangle ABC, quel est le côté opposé au
sommet B ?
e. Dans le triangle AHC, quel est le sommet opposé au côté [HC] ?
f. Quel est l'angle droit du triangle HAB ?
g. Quels sont les noms des trois angles du triangle ACH ?
h. Dans cette figure, quels sont les angles aigus, droits et obtus ?
i. Mickaël affirme que l'angle
BAC
mesure 80°. A-t-il raison ? Pourquoi ?
Activité 2 : Du côté des triangles particuliers ...
Romuald doit construire un triangle IJK rectangle en I, Isabelle un triangle EFG isocèle en F et
Eddy un triangle équilatéral QRS.
a. Trace trois figures à main levée pour représenter ces triangles. Code-les.
b. Dans le triangle IJK, quel nom donne-t-on au côté [JK] ?
c. Dans le triangle EFG, quelle est la base ? Quel est le sommet principal ? Que peut-on dire
des côtés [EF] et [GF] ? Que peut-on dire des angles
FEG
et
FGE
?
d. Que peut-on dire des côtés du triangle QRS ? Et de ses angles ?
e. En observant le codage, indique la nature des triangles ci-dessous :
Activité 3 : Somme des angles d'un triangle (découverte)
a. Trace deux triangles quelconques de formes différentes et mesure leurs angles à l'aide
d'un rapporteur.
b. Trace un triangle particulier (isocèle, rectangle ou équilatéral) puis mesure ses angles à
l'aide d'un rapporteur.
c. Pour chaque triangle tracé, additionne les mesures des trois angles. Que remarques-tu ?
d. Essaie de tracer un triangle dont la somme des angles vaut 220°. Que remarques-tu ?
TRIANGLES - CHAPITRE G2
Activités
Activités
1
C
A
B
N
O
P
V
U
T
X
Y
Z
A
B
C
H
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Activité 4 : Somme des angles d'un triangle (démonstration)
a. Avec le logiciel TracenPoche, place trois points A,
B et C puis en utilisant l'outil , construis le triangle
ABC. Place les points I et J, milieux respectifs de [AC]
et [AB] à l'aide de l'outil . En utilisant l'outil ,
construis le point C', symétrique de C par rapport à J
et enfin le point B', symétrique de B par rapport à I.
b. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
A,B',C' alignés ?
Appuie sur la touche F9. Quelle est la réponse ? Nous allons démontrer cette réponse.
c. En utilisant une propriété sur la symétrie centrale, démontre que les droites (AB') et (AC')
sont parallèles à la droite (BC). Déduis-en que les points C', A et B' sont alignés. Trace alors,
avec TracenPoche, la droite (B'C').
d. On va maintenant s'intéresser aux angles. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
angle(ABC)=
angle(BAC')=
Appuie sur la touche F9 puis déplace les points A, B et C. Que remarques-tu ? Nous allons
démontrer ce que TracenPoche affirme.
e. En utilisant la symétrie de centre J, démontre que
ABC
=
BAC'
puis en utilisant la
symétrie de centre I, démontre que
ACB
=
CAB'
.
f. Déduis-en que
BAC
+
ABC
+
ACB
= 180°.
g. Application : Marco, Célia et Romain ont tracé chacun un triangle et ont mesuré leurs
angles. Sans utiliser de rapporteur, indique si certains se sont trompés :
Activité 5 : Calcul du troisième angle
On connaît les mesures de deux angles
d'un triangle et on cherche la mesure du
troisième. Pour cela, on va utiliser un
tableur :
a. Quelles formules faut-il écrire dans
les cellules oranges ? Attention, le premier
calcul ne doit pas contenir de parenthèses
alors que le second doit en avoir.
b. Dans un triangle KLM, on sait que
LMK
= 57° et que
KLM
= 72°. Rédige de deux façons
différentes le calcul de la mesure de l'angle
MKL
.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
2
A
B
C
J
I
C'
B'
94
°
6
7
°
4
5
°
Marco
8
0
°
6
2°
32
°
Célia
54
°
8
1°
4
6°
Romain
Activités
Activités
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Activité 6 : Le cas du triangle isocèle
On a un triangle isocèle dont on connaît la
mesure de l'angle principal. On cherche la
mesure des deux autres angles. Pour cela,
on va utiliser un tableur :
a. Quelle formule faut-il écrire dans la
cellule orange ?
b. Dans un triangle RST isocèle en S, on sait que
RST
= 48°. Rédige le calcul des mesures
des angles
SRT
et
STR
.
Activité 7 : Hasardons-nous à construire un triangle
a. Choisis trois nombres compris entre 2 et 15. Note-les sur ton cahier. À main levée, trace
un triangle dont les trois nombres choisis sont les mesures de ses côtés (en cm).
b. Essaie de tracer précisément ce triangle (en t'aidant de ta règle et de ton compas).
c. Tous les élèves de la classe ont-ils forcément réussi à tracer leur triangle ?
Explique pourquoi.
d. Penses-tu qu'il soit possible de tracer le triangle représenté
ci-contre à main levée ? Justifie.
Activité 8 : Constructible ou non ?
Un professeur demande à ses élèves s'il est possible de
construire le triangle ABC tracé à main levée ci-contre :
Voici les réponses de quatre élèves :
• Kim dit que le triangle ABC est constructible puisque la
figure est tracée.
• Jordan dit que, comme 4 < 6 + 11, le triangle ABC est
constructible.
• Mickaël dit qu'il est d'accord avec Jordan car en plus 6 < 11 + 4.
• Imad dit que l'inégalité 11 < 6 + 4 est fausse et que le triangle ABC n'est pas
constructible.
a. Que penses-tu de chacune des réponses et qui a raison ?
b. Au total, combien d'inégalités ont proposé ces élèves ? Pour savoir si le triangle ABC est
constructible faut-il vérifier toutes ces inégalités ?
c. À main levée, trace un triangle non constructible ayant des côtés mesurant 7,5 m, 12 m
et une troisième valeur de ton choix, plus grande que les deux autres.
d. À main levée, trace un triangle non constructible ayant des côtés mesurant 6,5 km,
10 km et une troisième valeur de ton choix, plus petite que les deux autres.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
3
1
3
c
m
L
M
K
4
c
m
7
c
m
6
dm
4 dm
11
d
m
A
B
C
Activités
Activités
Activité 9 : Inégalité ou égalité ?
Nous allons utiliser le logiciel TracenPoche pour mener une petite expérience :
a. Place trois points A, B et M et trace le segment [AB]. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
AB=
calc(AM+BM)=
b. Appuie sur la touche F9 puis déplace les points et observe les nombres donnés.
c. Peut-on avoir AM + MB < AB ? Si oui, quand cela se produit-il ?
d. Peut-on avoir AM + MB = AB ? Si oui, quand cela se produit-il ?
Activité 10 : Une figure à main levée... à l'œil ouvert
a. Un professeur demande à ses élèves de tracer une figure à main levée d'un triangle AKL
tel que AK = 5 cm,
LAK
= 47° et
LKA
= 96°. Voici les figures de quatre élèves :
Que penses-tu de chacune de ces figures ? Selon toi, lesquelles représentent correctement le
triangle AKL ?
b. En commençant par le segment [AK], trace précisément le triangle AKL.
Activité 11 : Une figure à main levée... à l'œil ouvert (bis)
a. Un professeur demande à ses élèves de faire une figure à main levée d'un triangle NPS
isocèle en N tel que NS = 4 cm et
SNP
= 75°. Voici les figures de cinq élèves :
Que penses-tu de chacune de ces figures ? Selon toi, lesquelles représentent correctement le
triangle NPS ?
b. En commençant par le segment [NS], trace précisément le triangle NPS.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
4
P
S
75°
4
c
m
N
n°1
n°2
n°3
n°4
n°1
n°2
n°4
n°3
P
S
7
5
°
4
c
m
N
n°5
4
c
m
P
S
7
5°
N
L
A
K
96°
47°
5
c
m
L
A
K
96°
47°
5
c
m
L
A
K
96°
47°
5
c
m
L
A
K
96°
47°
5
c
m
P
S
75
°
4
c
m
N
P
S
7
5
°
4
c
m
N
Activités
Activités
Activité 12 : Des triangles, beaucoup de triangles
a. Parmi les onze triangles tracés, indique ceux qui sont isocèles, rectangles ou
équilatéraux.
b. Calcule le périmètre du triangle CIE.
c. Recopie et complète le tableau suivant (une ligne par triangle) :
Triangle Je connais :
ABH un angle et les 2 côtés adjacents à cet angle
... ...
d. Quels sont les triangles dont on ne connaît pas assez de données pour pouvoir les
construire individuellement ?
Activité 13 : Trois données insuffisantes
a. Trace un triangle EFG tel que
EFG
= 48°,
FGE
= 70° et
GEF
= 62°. Mesure le périmètre
de ce triangle. Obtiens-tu la même valeur que tous les autres élèves de la classe ?
b. Trace un segment [RS] qui mesure 5 cm et une demi-droite [Sx) telle que
RSx
= 50°.
c. Trace le cercle de centre R et de rayon 4 cm. En combien de points coupe-t-il la demi-
droite [Sx) ? Nomme ces points T et U.
d. Quelles mesures sont communes aux triangles RST et RSU ? Combien y en a-t-il ?
e. Trois mesures permettent-elles toujours de construire un triangle unique ? Justifie.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
5
A
C
B
D
E
F
G
H
I
J
43
m
m
4
7
mm
40
m
m
2
5
mm
3
5
mm
61°
56°
102°
4
6
mm
5
7
mm
36°
45°
28°
23°
17°
65°
Activités
Activités
Activité 14 : Un joli cercle d'amis
Kévin et Nicolas ont tous les deux leur arbre fétiche sous lequel ils aiment se reposer à
l'ombre. Mais ils aiment aussi faire la course en partant chacun de leur arbre. Pour que la
course soit équitable, il faut que l'arrivée soit située à la même distance des deux arbres.
a. Sur ton cahier, place deux points K et N (distants de 4 cm) pour représenter les arbres
de Kévin et de Nicolas. Construis ensuite un point à égale distance des deux arbres K et N et
places-y un drapeau.
b. Où placer l'arrivée pour que la course soit la plus courte possible ?
Si Kévin et Nicolas veulent une course plus longue, où peuvent-ils encore planter le
drapeau ? Quel est l'ensemble des points possibles pour l'arrivée ? Trace-le en bleu.
c. Sur ton cahier, place un point G, comme sur la figure ci-dessous :
Gabin a aussi son arbre et il aimerait bien jouer avec Nicolas au même jeu. Trace en rouge
l'ensemble des points situés à égale distance des arbres de Gabin et de Nicolas.
d. Mais Kévin, désormais, s'ennuie. Il propose : « Organisons une course à trois ! ».
Où peuvent-ils planter le drapeau ? Pourquoi ?
e. Yann n'a pas d'arbre à lui mais veut aussi courir avec ses amis. Nicolas est catégorique :
« Si tu veux jouer avec nous, ton arbre doit être aussi loin du drapeau que les nôtres ! »
Place plusieurs points où pourrait être l'arbre de Yann.
Trace, au crayon de papier, l'ensemble des points où pourrait être l'arbre de Yann.
Activité 15 : Position du centre du cercle circonscrit
Nous allons utiliser le logiciel TracenPoche pour mener une petite expérience :
a. Trace un triangle ABC puis en utilisant l'outil , construis les médiatrices de ses côtés
puis place le point O, le centre du cercle circonscrit à ABC à l'aide de l'outil . Trace enfin,
le cercle circonscrit à ABC en utilisant l'outil .
b. Déplace les sommets du triangle. Le point O se trouve-t-il toujours à l'intérieur du
triangle ABC ?
c. Dans la fenêtre Analyse, recopie :
angle(BAC)=
Appuie sur la touche F9 puis déplace le point A. À quelle condition le point O se trouve-t-il à
l'intérieur du triangle ABC ? Et sinon, que se passe-t-il ?
d. Le point O peut-il se trouver sur l'un des côtés du triangle ABC ? Si oui, que peut-on dire
alors de sa position ? Et quelle est la nature du triangle ?
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
6
K
N
G
Activités
Activités
Méthode 1 : Utiliser la somme des angles d'un triangle
À connaître
Dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°.
Exemple : Le triangle PAF est tel que
PAF
= 67° et
FPA
= 56°. Quelle est la mesure de
l'angle
PFA
?
La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
PAF
+
FPA
= 67° + 56° = 123°.
PFA
= 180° - 123° = 57°.
À toi de jouer
1 Peut-on construire le triangle DOG avec
DOG
= 72° ;
OGD
= 37° et
GDO
= 73° ?
Justifie ta réponse.
2 Dans le triangle RAT,
RAT
vaut 34° et l'angle
ATR
mesure 23°. Quelle est la
mesure de l'angle
TRA
?
3 Le triangle BEC est isocèle en B et
EBC
vaut 107°. Quelles sont les mesures des
deux autres angles ?
4 Quelles sont les mesures des angles d'un triangle équilatéral ?
Méthode 2 : Utiliser l'inégalité triangulaire
À connaître
Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme
des longueurs des deux autres côtés.
Lorsqu'il y a égalité, les trois points sont alignés.
Remarque : Pour vérifier si on peut construire un triangle, il suffit de vérifier que la plus
grande longueur est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Exemple 1 : Peut-on construire le triangle
COR avec CO = 5 cm ; OR = 6 cm et
RC = 4 cm ?
[OR] est le plus grand côté (OR = 6 cm).
Donc on calcule RC + CO = 4 + 5 = 9 .
Comme OR < RC + CO, le triangle COR
est constructible.
Exemple 2 : Écris les trois inégalités
pour le triangle BOL.
Dans le triangle BOL, on a :
BO < BL +OL ;
OL < BO + BL ;
LB < OB + OL.
À toi de jouer
5 Écris toutes les inégalités pour le
triangle ci-contre :
6 Le triangle THE avec TH = 3,4 cm ;
HE = 7 cm et ET = 3,7 cm est-il
constructible ? Justifie la réponse.
7 Peut-on construire le triangle SEL tel
que SE = 9 cm ; EL = 3 cm et
LS = 4 cm ? Justifie ta réponse.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
Méthodes
Méthodes
7
M
L
A
Méthode 3 : Construire un triangle connaissant
les longueurs des côtés
Exemple : Construis le triangle NUL tel que NU = 14 cm ; UL = 13 cm et LN = 11,6 cm.
À toi de jouer
8 Construis le triangle DUO tel que DU = 7,3 cm ; UO = 6,2 cm et OD = 12 cm.
9 Construis le triangle UNO isocèle en U avec UN = 8 cm et NO = 3,6 cm.
Méthode 4 : Construire un triangle connaissant
un angle et les longueurs de ses côtés adjacents
Exemple : Construis un triangle BAS tel que AB = 10,4 cm ; BS = 8 cm et
ABS
= 99°.
À toi de jouer
10 Construis un triangle LET tel que
ETL
= 55° ; ET = 5 cm et TL = 4,3 cm.
11 Construis un triangle SEL tel que SL = 6,4 cm ;
SLE
= 124° et LE = 7,9 cm.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
8
On trace un angle de
sommet B mesurant 99°.
On effectue une
figure à main levée
en respectant la
nature des angles.
On place le point A
à 10,4 cm du point B.
BS
A
S
B
9
9
°
1
0
,4
c
m
8 cm
S
B
A
On construit un segment
[SB] de 8 cm de longueur.
1
1
,6
c
m
1
3
c
m
N
U
L
14 cm
On effectue une figure à
main levée.
On construit un segment
[NU] de 14 cm. On trace
un arc de cercle de centre
N et de 11,6 cm de rayon.
On trace un arc de cercle
de centre U et de 13 cm
de rayon. L'intersection
des arcs est le point L.
N
N
U
U
L
Méthodes
Méthodes
Méthode 5 : Construire un triangle connaissant
deux angles et la longueur de leur côté commun
Exemple : Construis le triangle GAZ tel que AZ = 11,2 cm ;
GAZ
= 100° et
AZG
= 31°.
À toi de jouer
12 Construis le triangle SUD tel que UD = 6 cm ;
SUD
= 65° ;
SDU
= 36°.
13 Construis le triangle EST tel que ET = 4,6 cm ;
SET
= 93° et
ETS
= 34°.
Méthode 6 : Construire le cercle circonscrit à un triangle
À connaître
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle. Ce
cercle passe par les trois sommets du triangle.
Remarque : Il suffit de tracer deux médiatrices pour déterminer le centre du cercle.
Exemple : Trace le cercle circonscrit au triangle PAF.
On construit la médiatrice
du segment [AP].
On construit la médiatrice
du segment [FA]. Soit O le
point d'intersection des
deux médiatrices.
Le cercle circonscrit est le
cercle de centre O et de
rayon OA (ou OF ou OP).
À toi de jouer
14 Construis le triangle FEU tel que FE = 6 cm ; EU = 3,7 cm et UF = 3,5 cm. Trace le
cercle circonscrit au triangle FEU.
15 Construis le triangle EAU et son cercle cirsconscrit sachant que : EA = 6,1 cm ;
AU = 3 cm et UE = 4,9 cm.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
9
A
P
F
O
A
P
F
O
A
P
F
On effectue
une figure à
main levée.
On construit un angle de
sommet A mesurant 100°.
L'intersection des côtés
des angles est le point G.
A
31°
100°
G
Z
11,2 cm
A
Z
Z
A
G
On trace un segment [AZ]
de longueur 11,2 cm.
On construit un angle de
sommet Z mesurant 31°.
Méthodes
Méthodes
Méthode 7 : Construire les médianes d'un triangle
À connaître
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet du
triangle et le milieu du côté opposé.
Exemple : Construis la médiane issue de Z dans le triangle ZUT.
On détermine le milieu du côté opposé à
Z c'est à dire le milieu du segment [UT].
On trace la droite qui passe par le
sommet Z et par le point M.
À toi de jouer
16 Construis un triangle POL tel que PO = 4,5 cm ; OL = 4,8 cm et LP = 4 cm. Trace
la médiane issue de P de ce triangle.
17 Construis un triangle QUA tel que QU = 2 cm ; UA = 5,4 cm et
QUA
= 93°. Trace
toutes les médianes de ce triangle.
Méthode 8 : Construire les hauteurs d'un triangle
À connaître
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet du
triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Exemple : Trace la hauteur relative au côté [BR].
À toi de jouer
18 Construis le triangle CAR tel que CA = 4,6 cm ; AR = 4,3 cm et
CAR
= 102° et
trace la hauteur issue de R puis celle issue de C.
19 Construis un triangle TAX tel que TA = 6,3 cm ;
TAX
= 57° et
ATX
= 63° et
trace ses hauteurs.
20 Construis un triangle BUS tel que BU = 6,4 cm ; US = 4,8 cm et BS = 8 cm. Trace
les trois hauteurs de ce triangle.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
10
Z
U
M
T
Z
U
M
T
On positionne l'équerre
perpendiculairement au
côté [BR].
Il faut parfois prolonger
le côté [BR].
La hauteur relative au
côté [BR] est la droite
perpendiculaire au côté
[BR] et passant par A.
A
B
R
A
B
R
R
A
B
On fait glisser l'équerre
jusqu'au point A.
Méthodes
Méthodes
Série 1 : Somme des angles
Série 1 : Somme des angles
40°
B
A
C
D
E
O
F
63°
54°
48°
43°
?
C
E F
36°
D
K M
L
H
P
O
26°
E
D
C
B
A
65,42°
30,2°
54,38°
1 Les triangles représentés ci-dessous à
main levée existent-ils ? Justifie chacune des
réponses par un calcul.
2 On considère un triangle ABC tel que
BAC
= 35°. Soit le point D du segment [AB] tel
que
ADC
= 85° et [CD) est la bissectrice de
ACB
.
Calcule la mesure de l'angle
ABC
(on pourra
s'aider d'une figure à main levée).
3 Nature du triangle
Dans chacun des cas suivants, quelle est la
nature du triangle ABC ? Justifie.
a.
BAC
= 28° et
ABC
= 124°.
b.
BAC
= 37° et
ABC
= 53°.
c.
ACB
= 60° et BA = BC.
4 On considère la figure suivante réalisée à
main levée (attention la figure est
volontairement fausse) :
a. Les points E,D et F sont alignés. En utilisant
les indications portées sur la figure, calcule les
angles
ECD
,
EDC
,
CDF
et
DCF
.
b. Que peut-on dire du triangle CDF ? Justifie.
c. Construis la figure lorsque
CED
= 52° et
CD = 5 cm.
5 Combien de triangles ABC isocèles de
dimensions différentes peut-on construire
sachant que
ABC
= 70° et AB = 5 cm ?
6 En observant la figure ci-dessous, Aline
affirme que les points D, E et A sont alignés.
Qu'en penses-tu ?
7 Triangle rectangle et bissectrice.
Sur la figure ci-dessous, la demi-droite [LP) est
la bissectrice de l'angle
KLM
.
En calculant les angles nécessaires de cette
figure (ne pas justifier les calculs), démontre
que le triangle POM est isocèle et précise en
quel point.
8 Calcul sans justification
À partir des données de la figure, calcule (sans
justifier) la mesure de l'angle
OEF
.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
S'entraîner
S'entraîner
11
U
V
W
93°
48°
39°
A
C
B
54°
32°
R
S
T
71°
38°
46°
O
P
Q
L
M
N
37,54°
85,56°
57,2°
D
E
F
39,1°
69,4°
71,5°
Série 2 : Inégalités triangulaires
Série 2 : Inégalités triangulaires
9 Écrire des inégalités triangulaires
a. Écris les trois inégalités triangulaires pour le
triangle suivant :
b. Écris les trois inégalités triangulaires pour le
triangle RST :
c. Écris les trois inégalités triangulaires pour un
triangle HLM.
10 Explique pourquoi il est impossible de
construire de tels triangles :
11 Dans chacun des cas suivants, indique,
sans le construire, si les trois segments peuvent
être les côtés d'un même triangle.
a. En effectuant des calculs :
b. En mesurant et en effectuant les calculs
nécessaires :
c. À l'aide du compas et d'une demi-droite à
tracer sur ton cahier :
12 Tous les côtés du triangle YHU ont pour
mesure un nombre entier d'unités de longueur.
Dans chaque cas indique la valeur minimale et
maximale de YH lorsque :
a. UH = 6 et UY = 6.
b. UH = 12 et UY = 3.
13 Soit un segment [AB] mesurant 7 cm.
Construis sur la même figure, lorsque cela est
possible, des points M, N, P, Q, R et S du même
côté de (AB) vérifiant les conditions ci-dessous.
Dans les cas où les points sont alignés, tu
préciseras la position relative des trois points.
a. AM = 6 cm et BM = 4,5 cm.
b. AN = 4,8 cm et BN = 2,2 cm.
c. AP = 5 cm et BP = 12 cm.
d. AQ = 3,1 cm et BQ = 3 cm.
e. AR = 6,5 cm et BR = 2,4 cm.
f. AS = 11 cm et BS = 4 cm.
14 Le périmètre d'un triangle est 18 cm.
Ce triangle peut-il avoir un côté :
a. de 7 cm ? Justifie.
b. de 6,4 cm ? Justifie.
c. de 10,5 cm ? Justifie.
d. de 9 cm ? Justifie.
15 Quelle étourdie !
Marie a recopié l'exercice de Mathématiques à
faire pour demain ! En voici l'énoncé :
« ABCD est un quadrilatère tel que :
AB = 3 cm ; BC = 5 cm ; AC = 7 cm ; CD = 3 cm
et BD = 1 cm. »
Après plusieurs essais, sans succès, Marie
réalise qu'une des longueurs est fausse.
Laquelle ? Modifie-la pour qu'il soit possible de
placer les quatre points.
16 Un aperçu d'une rue...
Dans la rue principale rectiligne d'un village, se
trouvent une pharmacie P, une librairie L,
un fleuriste F, un boulanger B et un coiffeur C.
Le boulanger et le coiffeur sont distants de
30 m l'un de l'autre.
La pharmacie P est telle que BP = CP + 30.
La librairie L est telle que LB + 30 = LC.
Le fleuriste F est tel que FB + FC = 30.
a. Reproduis la droite ci-dessus (sur ce dessin
1 cm représente 10 m dans la réalité)
b. Colorie :
• en vert la zone où se trouve la pharmacie ;
• en bleu la zone où se trouve la librairie ;
• en rouge la zone où se trouve le fleuriste.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
12
G
F
E
V
R
S
T
6,5 cm
3
,
1
c
m
4
,
7
c
m
6,
8
c
m
11
,
5
c
m
A
B
C
E
F
G
CB
rue principale
18
m
m
15 mm
2
4
mm
S'entraîner
S'entraîner
Série 3 : Constructions
Série 3 : Constructions
17 Dans chaque cas, replace les
informations sur une figure à main levée :
a. Le triangle SUR tel que SU = 4,5 cm,
USR
= 60° et
RUS
= 40°.
b. Le triangle QTD tel que QT = 1 dm,
TD = 7 cm et
QTD
= 70°.
c. Le triangle MFV tel que MF = 9 cm,
FV = 12 cm et MV = 6 cm.
18 Après avoir construit une figure à main
levée, trace les triangles suivants :
a. Le triangle GHI tel que GH = 8 cm, HI = 5 cm
et GI = 6 cm.
b. Le triangle MNO tel que MN = 4,5 cm,
MO = 7 cm et
NMO
= 48°.
c. Le triangle DEF tel que DE = 8 cm,
FDE
= 45° et
FED
= 28°.
19 Sur ton cahier, reproduis en vraie
grandeur la figure ci-dessous :
20 Reproduis les triangles suivants sur ton
cahier :
21 Dans chaque cas, replace les
informations sur une figure à main levée (code
les longueurs et les angles) :
a. Le triangle POL, isocèle en P, tel que
PO = 14 cm et LO = 5 cm.
b. Le triangle MER, équilatéral, tel que
ME = 5 cm.
c. Le triangle FAC, rectangle en C tel que
AFC
= 50° et CA = 6,5 cm.
22 Après avoir construit une figure à main
levée, trace les triangles suivants :
a. Le triangle VUZ, isocèle en U, tel que
VU = 6,5 cm et VZ = 4,5 cm.
b. Le triangle KGB, équilatéral, tel que
KG = 6 cm.
c. Le triangle CIA, rectangle en C tel que
CIA
= 37° et CI = 5,5 cm.
d. Le triangle RTL, isocèle en T, tel que
RT = 8 cm et
TRL
= 48°.
23 Sur ton cahier, reproduis en vraie
grandeur la figure ci-dessous :
Écris ensuite le programme de construction.
24 Pour chacun des triangles suivants,
effectue les calculs nécessaires avant de les
tracer.
a. Le triangle EFG tel que EF = 7,5 cm,
EFG
= 49° et
EGF
= 72°.
b. Le triangle PLM, équilatéral, de périmètre
15 cm.
c. Le triangle RST, isocèle en S, de périmètre
13 cm et tel que ST = 4 cm.
d. Le triangle AYB, isocèle et rectangle en Y, tel
que BA = 7 cm.
e. Le triangle OCI, isocèle en I, tel que
CO = 4,5 cm et
CIO
= 30°.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
13
6
,
5
c
m
4
c
m
6
c
m
5
c
m
75°
55°
78°
40°
M
D
C
B
E
A
4
c
m
7 cm
70°
R
V
U
T
S
G
H
I
K
L
M
B
C
D
S'entraîner
S'entraîner
Série 4 : Droites remarquables
Série 4 : Droites remarquables
25 Dans chaque cas, décris précisément la
droite (d) en utilisant les mots : médiatrice,
bissectrice, médiane et hauteur.
a. b.
c.
d.
e.
f.
26 Vocabulaire
a. Construis un triangle BOA. Trace la droite
(d
1
) perpendiculaire à [BO] et passant par A.
b. Trace la droite (d
2
) perpendiculaire au
segment [OA] et passant par son milieu.
c. Trace la droite (d
3
) qui coupe l'angle
O
en
deux angles égaux.
d. Trace la droite (d
4
) qui passe par O et par le
milieu de [BA].
e. Reformule la consigne de cet exercice en
utilisant les mots : médiatrice, bissectrice,
médiane et hauteur.
27 Tracés à main levée et codages
a. Construis un triangle TOC à la règle.
b. À main levée, trace puis code :
• en bleu, la médiatrice de [TO] ;
• en noir, la médiane relative à [OC] ;
• et en rouge, la hauteur issue de O.
28 À l'intérieur ? Avec les médiatrices
a. Construis un triangle CHV dont tous les
angles sont aigus. Trace les médiatrices et le
cercle circonscrit à ce triangle.
b. Construis un triangle GAJ tel que
G
soit un
angle obtus. Trace les médiatrices et le cercle
circonscrit à ce triangle.
c. Construis un triangle DPC rectangle en P.
Trace les médiatrices et le cercle circonscrit à
ce triangle.
d. Observe les trois figures. Quelles remarques
peux-tu faire ?
29 Hauteur (« relative à » ou « issue de »)
a. Construis le triangle JVE puis trace :
• en bleu, la hauteur issue du sommet E ;
• en noir, la hauteur issue du sommet J ;
• en rouge, la hauteur relative à [JE].
b. Observe ces trois hauteurs. Quelle remarque
peux-tu faire ?
30 À l'intérieur ou pas ? Prenons de la
hauteur
a. Construis un triangle DER ayant tous ses
angles aigus. Trace les hauteurs de ce triangle.
b. Construis un triangle NRV tel que
NRV
soit
un angle obtus. Trace les hauteurs de ce
triangle.
c. Construis un triangle GHT rectangle en T.
Trace les hauteurs de ce triangle.
d. Observe les trois figures. Quelles remarques
peux-tu faire ?
31 Médiane (« relative à » ou « issue de »)
a. Construis un triangle UVB puis trace :
• la médiane issue de V.
• la médiane relative au côté [BV].
• la médiane issue de B.
b. Observe la figure. Que peux-tu dire de ces
trois médianes ?
32 Bissectrices
a. Trace deux droites (LN) et (JF) sécantes en A.
Trace les segments [JN] et [FL].
b. Trace avec le rapporteur et la règle, la
bissectrice issue de A dans le triangle AJN.
c. Trace avec la règle et le compas la
bissectrice issue de A dans le triangle AFL.
d. Observe la figure. Que peux-tu dire de ces
deux bissectrices ?
33 Tracés de médiatrices d'un triangle
Construis un triangle CJR.
a. Trace en rouge, à l'aide du compas, la
médiatrice de [JR].
b. Trace en noir, avec la règle graduée et
l'équerre, la médiatrice de [CJ].
c. Construis la médiatrice (m) de [CR] avec
juste une équerre non graduée. Justifie.
d. Et si l'on avait eu juste une règle graduée,
comment aurait-on construit (m) ? Explique
comment tu fais et pourquoi.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
14
(d)
Q
C
M
D
B
O
(d)
S'entraîner
S'entraîner
A
T
K
(d)
E
F
H
(d)
(d)
P
S
G
N
R
T
(d)
34 Avec le périmètre et les angles
On veut tracer un triangle tel que son périmètre
mesure 16 cm et deux de ses angles mesurent
64° et 46°.
a. Fais un dessin à main levée de ce triangle et
calcule la mesure de son troisième angle.
b. Trace un segment [DE] mesurant 16 cm et
place A tel que :
ADE
= 32° et
AED
= 23° (on
a pris les moitiés de 64° et 46°).
c. Place un point B sur le segment [DE] à égale
distance de A et de D puis un point C sur le
segment [DE] à égale distance de A et E.
Indique la nature des triangles ABD et ACE ?
d. Calcule les mesures des angles des triangles
ABD et ACE.
e. Démontre que le périmètre et les angles du
triangle ABC correspondent bien à ceux du
triangle cherché.
f. Trace un triangle RST de périmètre 20 cm tel
que
RST
= 36° et
STR
= 68°.
35 De multiples triangles
Ludie a trouvé un triangle intéressant : tous ses
angles ont pour mesure un entier pair (c'est à
dire multiple de 2) : 44°, 66° et 70°.
a. Trouve un autre exemple de triangle dont les
mesures d'angles sont paires.
En poursuivant ses recherches, elle a trouvé un
triangle dont les mesures sont des multiples
de 3 : 45°, 51° et 84°.
b. Trouve un autre exemple de triangle dont les
mesures d'angles sont des multiples de 3.
c. Continue les recherches de Ludie en
cherchant des triangles dont les mesures des
angles sont des multiples de 4.
d. Cela est-il possible avec tous les nombres
entiers ? Justifie.
36 Des diagonales intéressantes
a. En prenant RU = 6 cm, trace sur ton cahier
la figure suivante :
b. Donne la nature
des triangles TUR,
STR et SUR. Justifie
en t'aidant des
propriétés des
triangles.
c. Que peut-on dire
des diagonales du
quadrilatère RUTS ?
37 Soit (C) un cercle de centre O et de
diamètre [RT] et E un point quelconque de (C).
a. Reproduis cette figure et code-la. Quelle est
la nature des triangles ORE et TEO ?
b. On désigne par a et b les mesures
respectives des angles
REO
et
OET
. Quelles
sont les mesures des angles
ORE
et
OTE
?
c. En te plaçant dans le triangle RET, explique
ensuite pourquoi : 2 × a + 2 × b = 180°.
d. Déduis-en que le triangle RTE est rectangle
et précise en quel point.
e. Complète la propriété suivante :
« Si un côté d'un triangle est un ... du cercle ...
à ce triangle alors ce triangle est ... »
38 Avec deux bissectrices
Dans le triangle
ABC, les bissectrices
de deux des angles
se coupent au point
K, en formant un
angle de 109°.
a. Reproduis cette figure à main levée et
code-la.
b. On désigne par x et y les mesures
respectives des angles
BAK
et
ABK
. Quelles
sont les mesures des angles
KAC
et
KBC
?
c. Sans calculer les mesures des angles
BAK
et
ABK
, indique la valeur de x + y. Déduis-en
la valeur de 2 × x + 2 × y.
d. En te plaçant dans le triangle ABC, trouve la
valeur de : 2 × x + 2 × y +
ACB
. Déduis-en la
mesure de l'angle
ACB
.
e. Trace un triangle ABC tel qu'il est décrit dans
cet exercice.
TRIANGLES - CHAPITRE G2
Approfondir
Approfondir
20°
40°
R
S
T
U
70°
15
O
T
E
R
(C)
a
b
A
B
C
K
1
09
°
1 Étude des mesures des angles d'un triangle
1
ère
partie :
a. Alex, Bérénice, Clémence et Damien ont
chacun tracé un triangle et ont noté certaines
mesures d'angles dans le tableau ci-contre.
Gaëtan a tracé un triangle équilatéral et
Hamid a tracé un triangle isocèle dont la
mesure de l'angle principal est 20°.
Complètez ce tableau.
Élève Mesures des angles du triangle
Alex 20° 60°
Bérénice 50° 70°
Clémence 155° 10°
Damien 45° 45°
Gaëtan
Hamid
b. Dans un autre tableau, indiquez pour
chaque triangle le plus grand angle et le plus
petit angle.
Élève
Mesure du plus
grand angle
Mesure du plus
petit angle
Alex
Bérénice
Clémence
Damien
Gaëtan
Hamid
c. Sur le graphique, le triangle d'Alex est repéré par le point A(100 ; 20) dont l'abscisse est la mesure
du plus grand angle et l'ordonnée celle de son plus petit angle. Placez les points B, C, D, G et H qui
repèrent les triangles de Bérénice, Clémence, Damien, Gaëtan et Hamid.
d. Sur le graphique, on a placé les points E et
F qui représentent les triangles d'Emma et de
Fabien. Complètez-le tableau ci-contre :
Élève Mesures des angles du triangle
Emma
Fabien
2
ème
partie :
e. Alex remarque qu'on ne peut pas placer de points avec une abscisse inférieure à 60 ou supérieure
à 180. Justifiez sa remarque puis hachurez au crayon de papier ces parties du graphique.
f. Clémence remarque ensuite qu'on ne peut pas placer de points avec une ordonnée supérieure à 60.
Justifiez sa remarque puis hachurez au crayon de papier cette partie du graphique.
CHAPITRE G2 - TRIANGLES
Travailler en groupe
Travailler en groupe
16
0
10 20
40
A
50
60
70
80
90
100
110 120 130
140
150
160 170 180
190
30
10
20
30
40
50
60
70
80
A
E
F
mesure du plus
grand angle
mesure du plus
petit angle
g. Placez, en rouge, les points de coordonnées (75 ; 25) et (110 ; 50). Représentent-t-ils des
triangles ? Justifiez votre réponse (en calculant quelle serait alors la mesure du troisième angle).
h. Chaque élève du groupe doit donner les coordonnées de deux autres points (situés en dehors des
hachures) qui ne représentent pas un triangle puis les placer en rouge sur le graphique.
i. On s'intéresse, à présent, aux triangles isocèles dont la mesure de l'angle principal est un
multiple de dix. Complète le tableau ci-dessous (en ajoutant autant de colonnes que nécessaire) :
Mesure de
l'angle
principal
10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° ...
Mesure des
deux angles
égaux
Sur le graphique, placez des points verts correspondant à ces triangles isocèles.
Où semblent-ils situés ? Que dire alors de la zone des points qui représentent les triangles ?
2 Les apprentis carreleurs
1
ère
Partie : des triangles en or !
a. À main levée, dessinez deux triangles isocèles différents, tels que :
• le plus grand côté de chacun mesure 8 cm,
• chacun possède au moins un angle de 36°.
b. Calculez les mesures des angles de ces deux triangles.
c. Tracez ces triangles avec précision et numérotez-les :
• le j n'a que des angles aigus,
• le k possède un angle obtus.
d. Tracez la bissectrice de l'un des deux grands angles du triangle j puis calculez les mesures de
tous les angles de la figure.
e. Après avoir observé attentivement la figure précédente, démontrez que les petits côtés des
triangles j et k ont même mesure.
2
ème
Partie : un premier pavage
Les deux questions ci-dessous sont à faire sur deux feuilles de brouillon distinctes.
f. Dans un rectangle de longueur 23 cm et de largeur 15 cm, tracez le maximum de triangles
identiques au j en les plaçant les uns contre les autres astucieusement.
g. En plaçant à nouveau les triangles de la meilleure façon possible, tracez une dizaine de triangles
identiques au k.
3
ème
Partie : un pavage plus complexe
Découpez les triangles tracés dans la seconde partie.
h. En assemblant deux triangles j et un triangle k, formez un plus grand triangle. Que peut-on dire
du grand triangle ainsi formé ?
i. Prenez le triangle formé au a. et ajoutez trois triangles j et deux triangles k afin de former un
plus grand triangle encore.
j. Prenez le triangle formé au b. puis ajoutez huit triangles j et cinq triangles k afin de former un
énorme triangle !
TRIANGLES - CHAPITRE G2
17
Travailler en groupe
Travailler en groupe
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