( PDF ) Estatística aplicada à educação

Download PDF

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

Governo Federal

Ministro da Educação

Secretária de Educação Básica

Diretor do Departamento de Articulação e Desenvolvimento dos Sistemas de Ensino

Universidade de Brasília – UnB

Reitor

Timothy Martin Mulholland

Vice-Reitor

Edgar Nobuo Mamiya

Coordenação Pedagógica do Profuncionário

Bernardo Kipnis – FE/UnB

Dante Diniz Bessa – Cead/UnB

Francisco das Chagas Firmino do Nascimento – SEE-DF

João Antônio Cabral de Monlevade – FE/UnB

Maria Abádia da Silva – FE/UnB

Tânia Mara Piccinini Soares – MEC

Centro de Educação a Distância – Cead/UnB

Diretor – Sylvio Quezado de Magalhães

Coordenação Executiva – Ricardo de Sagebin

Coordenação Pedagógica – Tânia Schmitt

Unidade de Pedagogia

Gestão da Unidade Pedagógica – Ana Luísa Nepomuceno

Gestora Pedagógica – Juliana C. Jungmann

Gestão da Unidade Produção – Rossana M. F. Beraldo

Designer Educacional – Luciana Kury

Revisão – Laeticia Jensen Eble

Editoração – Raimunda Dias

Ilustração – Rodrigo Mafra

Unidade de Apoio Acadêmico e Logístico

Gerente da Unidade – Lourdinéia Martins da Silva Cardoso

Gestora do Projeto – Diva Peres Gomes Portela

ads:

Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica.

M488e Medeiros, Carlos Augusto de.

Estatística aplicada à educação. / Carlos Augusto

de Medeiros. – Brasília : Universidade de Brasília,

2007.

130 p. : il.

ISBN 978-85-230-0990-8

1. Conceitos matemáticos: razões e proporções.

2. Distribuição de freqüência: dados brutos e rol. 3.

Medidas de resumo: medidas de tendência central

(média, média aritmética ponderada, mediana e

moda). I. Título. II. Universidade de Brasília. Centro de

Educação a Distância.

CDU 519.2:37(81)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Apresentação

Sou professor! Não há outra atividade profissional em

minha vida. Iniciei minha carreira há, aproximadamente, 15

anos, como professor de Matemática, no Ensino Fundamen-

tal, na Rede Pública de Ensino do Distrito Federal.

Nos últimos 5 anos, tenho me dedicado à docência no nível superior,

atuando em cursos de Formação para Docentes, basicamente, com

componentes como Metodologia Científica; Metodologia da Pesquisa;

Métodos e Técnicas de Pesquisa; Organização da Educação Brasileira e

Planejamento e Políticas Educacionais.

Fiquei muito feliz com o convite para escrever este Módulo de “Estatística

aplicada à Educação”. É bem verdade que, como professor de Matemática, sei

por experiência própria que trabalhar com cálculos repele mais do que atrai o

leitor. Mas, também, da forma como têm sido trabalhadas as ciências exatas nas

escolas, não é de se estranhar.

Foi nesse contexto que resolvi apresentar aos “Funcionários da Educação” uma

ferramenta valiosa, fincada na Matemática, que auxilia na interpretação da realida-

de. Sem ela, nossas ações se pautam por bases outras que não a ciência. E isso

implica acertar, algumas vezes, mas errar, outras tantas vezes.

É claro que não há receita segura para o acerto, isso todos sabemos. Mas existem

ferramentas que, por força do nosso percurso individual, vão sendo oferecidas a

alguns poucos que se tornam detentores dos saberes e isso não posso aceitar.

Dentre essas ferramentas, a Estatística figura como (quem sabe!) uma dessas que,

se não observada, confina nossas ações ao campo da “sorte”.

Mas ainda assim, reconhecendo sua importância, é preciso lidar com as resistên-

cias e limitações de todos nós, com o “traquejo algébrico”, isto é, com números,

números e números.

Pois bem, estava ciente disso tudo quando escrevi esse Módulo. Tudo que escrevi

buscou responder à seguinte pergunta: o que da Estatística Básica pode ser ofere-

cido aos “Funcionários da Educação” de modo que os auxiliem em suas atividades

diuturnas, caminhando no sentido de uma educação de qualidade?

Com isso em mente, procurei colocar em um prato da balança aquilo que efetiva-

mente poderia contribuir para alcançar a tão sonhada “qualidade da educação” e,

no outro prato, metodologias e procedimentos de resolução, com os fundamentos

para aqueles que desejarem se aprofundar no futuro, pautados em estratégias que

levem aos resultados.

Por isso, caro leitor, algumas vezes é possível que você tenha que recorrer a recursos ex-

ternos para a melhor compreensão dos conteúdos. Mas se isso acontecer, serão poucas

vezes, já que me empenhei para consolidar os conteúdos no interior deste Módulo.

As fórmulas, leitor, deixe que as calculadoras e as planilhas eletrônicas resolvam. A nós

cabe, contudo, saber o que representam os resultados, bem como de que maneira or-

ganizar os dados para que cheguemos a eles. A nós compete identificar as ferramentas

que contribuem para dar mais qualidade às nossas atividades profissionais.

Transformar dados em informação: esse é o desafio!

Objetivo do Módulo

Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e pela

ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão.

Ementa

Conceitos matemáticos: razões e proporções; grandezas e medidas; regra de três sim-

ples; porcentagem; coeficientes, taxas e índices; sistema de coordenadas cartesianas;

arredondamento. Variáveis, tabelas e gráficos: população e amostra; estatística descri-

tiva e estatística indutiva ou inferencial; variáveis; tabelas; gráficos: diagramas, carto-

gramas e pictogramas. Distribuição de freqüência: dados brutos e rol; distribuição de

freqüência: gráficos de uma distribuição; curvas de freqüência. Medidas de resumo:

medidas de tendência central (média, média aritmética ponderada, mediana e moda);

medidas de dispersão (dispersão e variação, desvio padrão e coeficiente de variação);

medidas de posição (quartis, decis e percentis).

Mensagem do autor

Amigos e amigas Trabalhadores da Educação!

Durante 14 anos, dediquei-me à docência da matemática,

na Educação Básica, na rede pública de ensino do Distrito

Federal. Após a conclusão do mestrado, tenho me dedica-

do à docência em cursos de formação docente, em institui-

ções de ensino privadas.

Foi com muito prazer que recebi e prontamente aceitei o

desafio para escrever sobre Estatística aplicada à Educação

como etapa da formação promovida pelo Profuncionário.

A idéia que me motivou, do início ao fim dessa jornada, foi

a de traduzir, na medida do possível, a linguagem rígida da

matemática de modo a permitir a aproximação aos recur-

sos da Estatística (e da Matemática) como ferramenta para

o desenvolvimento de suas atividades profissionais.

Tenho claro que a dificuldade com a disciplina é historica-

mente significativa. E mais ainda, que essa dificuldade se

torna instrumento de exclusão social e não o contrário. Por

isso, empenhei-me para que vocês pudessem perceber

que, com um pouco de disciplina, é possível fazer uso dos

recursos da Estatística para a melhoria das condições de

trabalho, bem como para a melhoria dos resultados desse

trabalho na educação.

É assim que admito que, em alguns momentos (poucos, eu

espero!), vocês se sentirão cansados de tantos números.

Mas não desanimem! A alguém que porventura abra o Mó-

dulo de Estatística aplicada à Educação em alguma página

aleatoriamente, poderá parecer algo bem difícil. Mas, na

verdade, esforcei-me para construir degraus que condu-

zam do mais simples ao mais complexo, por isso, é preciso

ter claro que cada página lida prepara-os para as páginas

seguintes.

Penso que nossa luta reside na seguinte questão: a quem

interessa a Estatística? Se ao final da leitura vocês chega-

rem à conclusão de que interessa a todos nós e que, por

isso, não pode se limitar a um número determinado de es-

pecialistas, então, alcancei meu objetivo maior: contribuir

diretamente para sua formação e, conseqüentemente, para

uma educação pública de qualidade.

Forte abraço,

Carlos Augusto de Medeiros

Lista de Figuras

Figura 1: Estatística: Pirâmide da definição 18

Figura 2: Razão: Comparação 24

Figura 3: Razão: Exercício 25

Figura 4: Razão: Representação 25

Figura 5: Proporções: Conceito 26

Figura 6: Razões: Proporções: Escala 27

Figura 7: Razões e Proporções: Exercício 27

Figura 8: Grandezas 28

Figura 9: Medida de Comprimento: Segmento de reta 29

Figura 10: Regra de Três: Exercício 31

Figura 11: Coeficiente e Taxa 34

Figura 12: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Origem 37

Figura 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Eixos 38

Figura 14: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Pontos 38

Figura 15: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Exercício 39

Figura 16: Arredondamento de Números 40

Figura 17: Arredondamento: Fluxograma 40

Figura 18: Estatística Dedutiva e Estatística Indutiva: Fluxograma 46

Figura 19: Variáveis: Definições 48

Figura 20: Pictograma: Exemplo 61

Figura 21: Modelo de Histograma 69

Figura 22: Polígono de Freqüência: Esboço 70

Figura 23: Curvas de Freqüência 76

Figura 24: Média Aritmética: Exemplo 83

Figura 25: Linha Mediana 92

Figura 26: Curvas Modais 95

Figura 27: Média, Mediana, Moda: Curva Simétrica 96

Figura 28: Média, Mediana, Moda: Curva Assimétrica 96

Figura 29: Desvio Padrão: Gráficos: Exercício 101

Figura 30: Quartis: Representação 111

Figura 31: Tabela de Freqüência: Ilustração 115

Figura 32: Exercício: Quartis 117

Figura 33: Exercício: Quartis: Freqüência Acumulada Anterior 118

Lista de Fórmulas

Fórmula 1: Média Aritmética 81

Fórmula 2: Média Aritmética Ponderada 85

Fórmula 3: Mediana 91

Fórmula 4: Desvio Padrão: Dados Não-Agrupados: 99

Fórmula 5: Desvio Padrão: Dados Agrupados 102

Fórmula 6: Coeficiente de Variação 106

Fórmula 7: Medidas de Posição: Dados Não-Agrupados: Quartil 112

Fórmula 8: Medidas de Posição: Quartil 112

Fórmula 9: Medidas de Posição: Dados Não-Agrupados: Decil 122

Fórmula 10: Medidas de Posição: Dados Não-Agrupados: Percentil 122

Fórmula 11: Medidas de Posição: Percentil 123

Lista de Gráficos

Gráfico 1: N

de matrículas no Ensino Médio: Brasil: Urbano 53

Gráfico 2: Matrículas na pré-escola: Brasil: 1999-2004 56

Gráfico 3: Evolução das matrículas na creche: Brasil: 1999-2004 56

Gráfico 4: Evolução das matrículas na educação infantil: creche e pré-escola: Brasil:

1999-2004 57

Gráfico 5: Usuários de transporte público do Estado: 1

a 4

séries: Brasil: área urbana 59

Gráfico 6: O despovoamento da Amazônia 60

Gráfico 7: Exercício: Polígono de Freqüência 74

Gráfico 8: Mediana 93

Lista de Quadros

Quadro 1: As fases de desenvolvimento da Estatística 17

Quadro 2: Tipos de variáveis 49

Quadro 3: Níveis de medidas 80

Quadro 4: Quartil e Percentil: Fórmula Geral: Comparação 124

Lista de Tabelas

Tabela 1: População: Brasil 32

Tabela 2: Aprovação: Ensino Fundamental: Brasil: 2005 35

Tabela 3: Função Docente: Educação Básica: Brasil: 2005 36

Tabela 4: Aprovação: Ensino Fundamental: Rural: Brasil: 2005 37

Tabela 5: População Escolar: Sexo 44

Tabela 6: Cálculo da amostragem proporcional estratificada 45

Tabela 7: População Mundial: Série Histórica 51

Tabela 8: Matrículas no Ensino Fundamental de 5

a 8

série: Diurno: Brasil 52

Tabela 9: Número de matrículas na pré-escola 52

Tabela 10: N

de matrículas no Ensino Médio: Brasil: Urbano 53

Tabela 11: Matrículas na Educação Infantil: Brasil 55

Tabela 12: Usuários de transporte público do Estado: 1

a 4

séries: Brasil: área urbana 57

Tabela 13: Pictograma: Exercício 61

Tabela 14: Exemplo de Tabela Primitiva 64

Tabela 15: Exemplo de Rol 65

Tabela 16: Exemplo de Tabela de Freqüência 66

Tabela 17: Exemplo de Tabela de Distribuição de Freqüência 66

Tabela 18: Exemplo de Tabela de Distribuição de Freqüência 68

Tabela 19: Exercício: Tabela Primitiva 71

Tabela 20: Exercício: Rol 72

Tabela 21: Exercício: Tabela de Freqüência 72

Tabela 22: Exercício: Tabela de Freqüência com intervalos de classe 74

Tabela 23: Série Histórica: Exercício 84

Tabela 24: Distribuição de Freqüência: Exercício 85

Tabela 25: Distribuição de Freqüência: Exercício: Ponderação 86

Tabela 26: Distribuição de Freqüência: Exercício: Ponderação: Ponto Médio 87

Tabela 27: Vítimas de Acidentes de Trânsito, por 10.000 veículos, em 2002 88

Tabela 28: Distribuição de Freqüência: Exercício: Mediana: Freqüência Acumulada 91

Tabela 29: Desvio Padrão: Exercício 100

Tabela 30: Desvio Padrão: Dados Agrupados: Sem Intervalos de Classe: Exercício 102

Tabela 31: Desvio Padrão: Exercício: Continuação 103

Tabela 32: Desvio Padrão: Dados Agrupados: Com Intervalos de Classe: Exercício 104

Tabela 33: Desvio Padrão: Exercício: Continuação 105

Tabela 34: Distribuição de Freqüência: Exercício: Quartis 113

Tabela 35: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta 113

Tabela 36: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta: Preenchimento:

etapa 114

Tabela 37: Distribuição de Freqüência: Exercício: Quartis: Primeiro Quartil 117

Tabela 38: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta: Preenchimento:

etapa 118

Tabela 39: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta: Preenchimento:

etapa 119

Tabela 40: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta: Preenchimento:

etapa 119

Tabela 41: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta: Preenchimento:

etapa 120

Tabela 42: Exercício: Quartis 121

Tabela 43: Medidas de Posição: Percentil: Tabela-Resposta 123

Tabela 44: Medidas de Posição: Percentis: Exercício: Tabela-Resposta: Preenchida 124

Sumário

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística 15

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos 23

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos 43

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência 63

UNIDADE 5 – Medidas de resumo 79

CONSIDERAÇÕES FINAIS 126

REFERÊNCIAS 127

APÊNDICE: Respostas dos exercícios Pratique! 130

Introdução ao estudo

da estatística

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

Você sabe quantas pessoas existem na sua casa? Com cer-

teza. Mas em toda a sua família, você sabe? Bem... Quantas

pessoas existem na sua rua? E no seu bairro? E na sua cidade?

E no seu estado? E no Brasil? E no mundo, afinal? Bem, pode

ser que você considere essas preocupações bastante exage-

radas, mas nem sempre o mundo foi tão populoso.

Se pararmos para pensar na população mundial de um tem-

po atrás, digamos, no século XV, veremos que a quantidade

de pessoas era bem menor. Se voltássemos à Grécia Antiga,

menor ainda. Pois bem, esse crescimento acelerado de habi-

tantes foi verificado no mundo moderno, com a sociedade de

massas. A partir daí, a Estatística se tornou, juntamente com a

ciência da economia, a ciência social por excelência.

Por quê?

Porque lidamos com grandes números.

A Estatística ou métodos estatísticos, como é chamada algu-

mas vezes, nasceu com os negócios do Estado, daí seu nome.

Mas, hoje, sua influência pode ser encontrada nas mais di-

versas atividades: agricultura, biologia, comércio, química,

comunicações, economia, educação, medicina, ciências polí-

ticas e muitas outras.

A Estatística se interessa pelos métodos científicos para co-

leta, organização, resumo, apresentação e análise de dados,

bem como na obtenção de conclusões válidas e na tomada de

decisões razoáveis baseadas em tais análises. Algumas vezes,

o termo Estatística é empregado para designar os próprios

dados ou números, por exemplo, estatística de empregos, de

acidentes etc.

Se a Estatística ganha importância com a moderna sociedade

de massas, como vimos, não significa que, antes disso, não

existissem preocupações com os cálculos de grandes núme-

ros.

Na história, vemos que a palavra Estatística apareceu pela pri-

meira vez no século XVIII e foi sugerida pelo alemão Gottfried

Achemmel (1719-1772); palavra esta que deriva de statu (esta-

do, em latim). Como se pode perceber, Estatística é um nome

que deriva de Estado; de fato, na origem, as atividades da

Estatística eram, basicamente, atividades de Estado. Mas hoje

isso mudou bastante.

1 ARENDT (2005, p. 51).

2 SPIEGEL (1975, Prefácio).

3 SPIEGEL (1975, p. 1).

A população mundial está

estimada hoje em mais

de seis bilhões e meio de

habitantes (6.600.000.000).

Para daqui a trinta anos está

estimada uma população de

mais de oito bilhões e meio

de habitantes no planeta

(8.547.874.779).

Fonte: U.S. CENSUS

Bureau, 2006.

Estatística é uma parte

da Matemática Aplicada

que fornece métodos para

a coleta, organização,

descrição, análise e

interpretação de dados. Ela

é dividida em:

1) Estatística Descritiva:

parte da Estatística que

apenas coleta, descreve,

organiza e apresenta

os dados. Nela não são

tiradas conclusões.

2) Estatística Indutiva

ou Inferência: analisa

os dados e obtém as

conclusões.

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

O primeiro levantamento estatístico de que se tem conheci-

mento se deve a Heródoto e se refere a um estudo da rique-

za da população do Egito, cuja finalidade era averiguar quais

eram os recursos humanos e econômicos disponíveis para a

construção das pirâmides, isso no ano de 3050 a. C. No ano

de 2238 a. C., o Imperador Chinês Yao ordenou a realização

de uma Estatística com fins industriais e comerciais. No ano

de 1400 a. C., o famoso faraó egípcio Ramsés II ordenou um

levantamento das terras do Egito. Existem ainda, outros casos

de Estatísticas no período antigo

da civilização.

Em períodos mais recentes, podemos sintetizar as preocupa-

ções com a Estatística em quatro fases:

Primeira Fase

Pepino, no ano de 758, e Carlos Magno, em 762, realizaram

estatísticas sobre as terras que eram propriedade da Igreja.

Essas foram as únicas estatísticas importantes desde a queda

do Império Romano.

Segunda Fase

Na Inglaterra, no século XVII, já se analisavam grupos de ob-

servações numéricas referentes à saúde pública, nascimentos,

mortes e comércio. Destacam-se, nesse período, John Graunt

(1620-1674) e William Petty (1623-1687) que procuraram leis

quantitativas para traduzir fenômenos sociais e políticos.

Terceira Fase

Também no século XVII, inicia-se o desenvolvimento do Cál-

culo das Probabilidades que, juntamente com os conheci-

mentos estatísticos, redimensionou a Estatística. Nessa fase,

destacam-se: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huy-

gens (1629-1695).

Quarta Fase

No século XIX, inicia-se a última fase do desenvolvimento da

Estatística, alargando e interligando os conhecimentos ad-

quiridos nas três fases anteriores.

Nesta fase, a Estatística não se limita apenas ao estudo da

Demografia e da Economia, como antes; agora, o seu campo

de aplicação se estende à análise de dados em Biologia, Me-

dicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Meteorologia,

Educação etc., e ainda, a domínios aparentemente desligados,

como Estrutura de Linguagem e estudo de Formas Literárias.

Destacam-se, no período, Ronald Fisher (1890-1962) e Karl

Pearson (1857-1936).

Fonte: História da Estatística (2006)

Quadro 1: As fases de desenvolvimento da Estatística

Como se vê, a Estatística possui sua história na História do

homem. Nessa última fase, com a Estatística consolidada, as

4 Podemos considerar os períodos da História com alguns marcos cronológicos: 1) Pré-

História: até 4000 a. C., período do surgimento da escrita; 2) Idade Antiga: do apare-

cimento da escrita e das primeiras civilizações, por volta de 4000 a. C., até a queda de

Roma, em 476 d. C.; 3) Idade Média: da queda de Roma até a tomada de Constantinopla

pelos turcos otomanos, em 1453; 4) Idade Moderna: da queda de Constantinopla até a

tomada da Bastilha, em 1789 (Revolução Francesa); 5) Idade Contemporânea: da tomada

da Bastilha aos dias atuais.

“Heródoto (gr. Hροδοτος)

é o mais importante dos

historiadores gregos mais

antigos. Foi o primeiro

prosador a reunir diversas

narrativas históricas ou

quase-históricas em um

relato coerente e vivo e é, por

isso, considerado o pai da

História.”

“Yao era descendente

do Imperador Amarelo, o

primeiro antepassado dos

chineses e bem respeitado

por sua inteligência e

caridade. Aos 16 anos de

idade, Yao foi eleito como

líder da tribo. Segundo

registros históricos, Yao

fundou seu país em Pingyang,

como capital (atual cidade

de Linfen, na Província de

Shanxi ao norte da China).

Até hoje pode-se encontrar

nesta cidade o Templo de

Yao, que foi construído

durante a Dinastia Jun (265

a.C. - 420 d.C.) e o Túmulo de

Yao construído na Dinastia

Tang (618 d.C. - 907 d.C.).”

(OS IMPERADORES Yao e

Yun, 2006).

“[...] Filho e neto de

guerreiros, Ramsés II assumiu

o poder com 25 anos, em

1290 a.C., e desde o início de

seu reinado o jovem general

lançou-se em um esforço

militar inédito. O Egito já

havia sido o maior império

do mundo cerca de 200

anos antes e, sob a batuta

de Tutmosés III (a quem seu

avô, Ramsés I, servira como

general), havia controlado a

Palestina e a Mesopotâmia.

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

tabelas tornaram-se mais complexas, surgiram as representa-

ções gráficas e o cálculo de probabilidades. Desde essa épo-

ca, a Estatística deixou de ser a simples catalogação de dados

numéricos coletivos e se tornou o estudo de como chegar a

conclusões sobre o todo, partindo da observação e análise de

partes desse todo.

Essa é sua maior riqueza.

Para tanto, seu ponto de partida são os dados, os quais são ex-

pressões numéricas de observações que se fazem de elemen-

tos com, pelo menos, uma característica comum.

Por isso,

A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que

fornece métodos para a coleta, organização, descrição,

análise e interpretação de dados e para a utilização dos

mesmos na tomada de decisões (CRESPO, 1995, p. 13).

De um lado, a Estatística, basicamente, coleta, organiza e des-

creve os dados e, de outro, analisa e interpreta esses dados.

Veja a Figura 1, abaixo:

Figura 1: Estatística: Pirâmide da definição

A “Pirâmide da definição” da Estatística nos revela que no

topo, isto é, o mais importante é interpretar. Normalmente,

5 CRESPO (1995, p. 11).

6 CRESPO (1995, p. 13).

7 Ver Seção 2: Estatística Descritiva e Estatística Indutiva, p. 42.

Mas, agora, essas regiões

haviam se rebelado, algumas

estavam sob domínio hitita

e as fronteiras do império

ameaçavam ruir. Em sua

primeira campanha militar,

com apenas 10 anos e ao lado

do pai, Sethi I, participou da

retomada do litoral do Líbano.

“A expansão atribuída a

Ramsés começou com Sethi,

que saneou a economia,

abriu novas minas de ouro e

criou as condições para que

o filho recuperasse o terreno

perdido”, diz a historiadora

francesa Bernadette Menu,

autora de Ramsés II, o

Soberano dos Soberanos [...]”

(ARANHA, 2006).

IMPORTANTE

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

as pessoas limitam o termo Estatística à organização e descri-

ção dos dados, desconhecendo, portanto, o que ela oferece

de mais importante: “[...] o aspecto essencial da Estatística é

o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam con-

clusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.”

(CRESPO, 1995, p. 13, grifo do autor).

É por meio da análise e interpretação dos dados estatísticos

que é possível o conhecimento de uma realidade, de seus

problemas, bem como, a formulação de soluções apropriadas

por meio de um planejamento objetivo da ação

, para além

dos “achismos” e “casuismos” comuns.

Parece evidente, a partir da “Pirâmide”, acima, que as etapas

da Estatística devem obedecer às fases da base para o topo,

ou seja:

1) Coleta de Dados.

Após a definição do problema a ser estudado e o estabe-

lecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta

dos dados, cronograma das atividades, custos envolvi-

dos, levantamento das informações disponíveis, deline-

amento da amostra etc.), o passo seguinte é o da cole-

ta de dados, que consiste na busca ou compilação dos

dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser

estudado

A coleta de dados poderá ser realizada de maneira direta

ou indireta. A coleta será direta quando os dados forem

obtidos de fonte primária, isto é, sobre elementos infor-

mativos de registro obrigatório, como, por exemplo, ele-

mentos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma

escola. A coleta será indireta quando é proveniente de

elementos já conhecidos (coleta direta)

2) Crítica dos dados.

À procura de falhas e imperfeições, os dados devem ser

cuidadosamente criticados, a fim de não incorrermos em

erros grosseiros que possam influenciar nos resultados.

3) Apuração dos dados.

Criticados os dados, agora, eles devem ser processados,

isto é, mediante algum critério de classificação, eles se-

rão objeto de operações matemáticas.

8 CRESPO (1995, p. 13).

9 CLEMENTE (2003, p. 4).

10 CRESPO (1995, p. 14).

11 CRESPO (1995, p. 14).

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

4) Exposição ou apresentação dos dados.

Os dados devem ser apresentados sob a forma de tabe-

las ou gráficos, a fim de tornar mais fácil o exame daquilo

que está sendo estudado.

5) Análise dos resultados.

Todas as fases anteriores se limitam à descrição. A aná-

lise dos resultados obtidos tem por base a indução ou

a inferência com o intuito de tirarmos conclusões e fa-

zermos previsões. Desse modo, buscamos atingir o fim

último da Estatística, qual seja: tirar conclusões sobre o

todo a partir de informações fornecidas por parte repre-

sentativa do todo.

Diante de tudo isso, podemos afirmar que

A Estatística está interessada nos métodos

científicos para coleta, organização, resumo,

apresentação e análise de dados bem como na obtenção

de conclusões válidas e na tomada de decisões razoáveis

baseadas em tais análises. (SPIEGEL, 1975, p. 1, grifo

nosso).

Resulta claro que a Estatística é uma valiosa ferramenta

nas tentativas humanas de interpretação da realidade.

Privilegiadamente útil para o exame de fenômenos de

massa, teria a Estatística utilização na educação?

Bem, naturalmente, a Estatística como qualquer outra ciência,

eu suponho, aplica-se à educação, na medida em que lidamos

com grandes quantidades. A despeito do que possa ser consi-

derado grande quantidade, não restam dúvidas quanto à sua

fértil aplicação no campo educacional, como ferramenta para

a formulação de planos, programas e projetos nos sistemas

de ensino, bem como, no interior da própria escola.

Vamos supor que você, amigo Trabalhador da Educação,

esteja desconfiado que os alunos estejam chegando muito

12 CRESPO (1995, p. 15).

Conheça mais sobre a história

da estatística no Brasil no site:

http://www.redeabe.org.br/

IMPORTANTE

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

atrasados para o início das aulas. Estar desconfiado é um

importante início, mas ainda é insuficiente para a tomada de

alguma decisão que reverta esse quadro. Por isso, com os

recursos da Estatística, você poderia, por exemplo, coletar

dados sobre o comportamento de toda a escola, com um

simples questionário, perguntando aos alunos (ou melhor, a

uma parcela da escola

) sobre quantas vezes eles chegaram

atrasados no último mês: a) de 0 a 2; b) de 3 a 5; c) mais

de 6.

Observe que a partir desses dados, você pode analisar se essa

desconfiança condiz com a realidade e que medidas, caso ne-

cessário, devem ser tomadas. Esse é um pequeno exemplo

das infinitas possibilidades que a Estatística nos possibilita.

Nesse sentido, recorrer aos ensinamentos da Estatística im-

plica, necessariamente, em melhorar a qualidade dos nossos

serviços.

Talvez, o uso constante da matemática assuste alguns de nós.

Eu compreendo que a matemática tem sido considerada uma

ciência que promove a exclusão social, em virtude de sua ain-

da rígida forma de trabalho nos bancos escolares. No entanto,

ainda assim, não posso concordar que, de maneira definitiva,

ela sentencie a população à completa ignorância, como se só

a alguns fosse permitida sua apropriação.

Pensando nisso, esforcei-me para que esse Módulo tornasse a

Estatística (e a matemática) acessível a todos, explicando fun-

damentos, apresentando fórmulas e metodologias apropria-

das para as resoluções, tudo isso porque, o que nos interes-

sa são análises consistentes que levem à melhoria de nossas

ações.

Nosso estudo inicia na Unidade II: Conceitos Matemáticos

com uma breve retomada daqueles conceitos matemáticos que

diretamente condicionam o aprendizado da Estatística. Assim,

na seção 1, estudaremos um pouco as razões e as proporções;

na seção 2, estudaremos medidas e grandezas, com enfoque

na chamada regra de três simples; depois, na seção 3, retoma-

remos o conceito de porcentagem; na seção 4, veremos uma

aplicação direta do conceito de porcentagem em coeficientes,

taxas e índices; com a seção 5, retomaremos o importante sis-

tema de coordenadas cartesianas e encerraremos, na seção 6,

com uma técnica de arredondamento de números.

13 Ver Unidade 3: Variáveis, Tabelas e Gráficos, Seção 1: População e Amostra, p. 40.

UNIDADE 1 – Introdução ao estudo da estatística

Depois, na Unidade III: Variáveis, Tabelas e Gráficos estuda-

remos na seção 1, população e amostra; na seção 2, examina-

remos mais detidamente os conceitos de Estatística Indutiva

e Estatística Dedutiva; na seção 3, aprenderemos sobre variá-

veis; nas seções 4 e 5, veremos como apresentar de maneira

prática nossos dados por meio de tabelas e gráficos, respec-

tivamente.

Na Unidade IV: Distribuição de Freqüência estudaremos a or-

ganização dos dados. Primeiro, na seção 1, identificaremos

dados brutos e dados organizados (rol); depois, na seção 2,

veremos uma especificidade da organização dos dados – a

chamada distribuição de freqüência; a seguir, na seção 3, pro-

pomos um exercício completo envolvendo os conteúdos da

Unidade de estudo; por fim, na seção 4, apenas para conhe-

cimento, apresentaremos alguns tipos de curvas possíveis,

muito utilizadas em apresentações de dados organizados com

essa natureza específica – distribuição de freqüência.

Na nossa última etapa de estudo, Unidade V: Medidas de

Resumo exploraremos com maior aproximação os recursos

da Estatística, por meio da seção 1, introdução, onde apon-

taremos algumas ressalvas desse estudo; depois, na seção

2, trabalharemos, de fato, com médias e medidas chamadas

de tendência central (média aritmética, mediana e moda); a

seguir, na seção 3, trabalharemos com medidas de outra natu-

reza chamadas de medidas de dispersão (desvio padrão e co-

eficiente de variação), mas igualmente úteis para a tomada de

decisões; por último, na seção 4, estudaremos as chamadas

medidas de posição (quartis, decis e percentis).

Lembro, ainda, que, ao longo dos nossos estudos, existem,

aqui e ali, algumas atividades propostas para você exercitar

um pouco (Pratique!) e, no final do Módulo, você encontrará

as respostas dessas atividades.

Desejo a todas e a todos um bom estudo!

Conceitos matemáticos

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Antes de adentrarmos ao mundo da Estatística, alguns concei-

tos são convenientes resgatar da matemática. Nosso objetivo

será o de tão somente relembrá-los, por isso, não nos dete-

remos muito tempo neles. A idéia é que como para o estudo

da Estatística eles são pressupostos, ou seja, sem eles é im-

possível compreender a proposta da Estatística, pode ser útil

retomá-los, sem exagerarmos a dose. Nesse sentido, retoma-

remos os conceitos de razão e proporção; a seguir, grandezas

e medidas; depois, porcentagem; e ainda, coeficientes, taxas

e índices; enfim, sistema de coordenadas cartesianas.

Boa leitura!

Seção 1: Razões e Proporções

Chamamos de razão a uma maneira de comparar quantida-

des. Por exemplo, se um determinado conjunto A possui 10

elementos e, outro conjunto B possui 5 elementos, podemos

comparar esses conjuntos. Veja Figura 2, abaixo:

Figura 2: Razão: Comparação

Você reparou que para cada elemento do conjunto B existe

um elemento do conjunto A? Reparou, ainda, que sobraram 5

elementos do conjunto A? Pois bem, a comparação dos con-

juntos A e B, da Figura 2, acima, indica que:

= 10 ÷

5 = 2

Dizemos que a comparação dos 10 elementos do conjunto A

com os 5 elementos do conjunto B é a razão de 10 para 5. De

outra forma, para os 5 elementos de B existem 5 elementos

mais 5 elementos de A, existem, portanto, 2 vezes elementos

em A comparados a B.

Veja mais sobre frações no

site da Wikipedia: http://

pt.wikipedia.org/wiki/

Fra%C3%A7%C3%A3o

Uma divisão nada mais é do

que uma simplificação de

frações. Observe que 10 ÷ 5

é o mesmo que

Essa divisão é fácil:

= 2

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

IMPORTANTE

Vejamos outro exemplo: Suponha que você possua R$ 2,00

e eu R$ 8,00. Qual a razão do que você possui para o que eu

possuo?

Figura 3: Razão: Exercício

Observe que se você possui R$ 2,00 e eu possuo R$ 8,00, di-

zemos que eu possuo 4 vezes aquilo que você possui ou

Desse modo, dizemos que 2 está para 8 ou 1 está para 4. A Fi-

gura 4, abaixo, talvez ajude a compreender que

representa

a mesma porção que

. Quando isso ocorre, dizemos que as

razões são semelhantes.

Figura 4: Razão: Representação

Sempre que temos razões

semelhantes, é preferível

usar a mais simples, a qual,

em matemática, chama-se

razão irredutível.

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Proporções, por sua vez, são também comparações. Mas são

comparações entre duas razões. Veja Figura 5, abaixo:

Figura 5: Proporções: Conceito

Observe que na Figura 5, acima, temos dois desenhos. O

primeiro desenho é proporcional ao segundo. Por quê? Va-

mos representar o primeiro desenho por meio de uma razão:

5 ÷ 10 =

, ou seja, 1 está para 2. O segundo desenho

pode ser representado como 2 ÷ 4 =

, isto é, 1 está

para 2. Você notou? Quando duas razões são iguais, estamos

diante de uma proporção:

dizemos que: 5 está para 10 assim como 2 está para 4.

Um bom uso das razões e proporções é com mapas, plantas e

maquetes. Veja a planta de um bairro de uma cidade, abaixo:

Figura 6: Razões: Proporções: Escala

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

IMPORTANTE

A Figura 6 anterior apresenta o mapa de um bairro em escala.

Isso significa que a escala do mapa indica a razão entre as

distâncias representadas e as distâncias reais. Isto é, a esca-

la 1:300000 indica que cada cm no desenho corresponde a

300.000 cm reais. Veja:

Escala = ––––––––––––––––––

distância no desenho

distância real

Assim, supondo que você vá em linha reta do “Edifício 1” até a

“Escola” e a distância no desenho é de 12 cm, qual a distância

real? Fácil:

Solução:

300.000

⇒ x = 12 x 300.000 = 3.600.000

x = 3.600.000 cm

x = 36 km

Logo, a distância real é de 36 Km.

Verifique quais figuras, abaixo são proporcionais,

sabendo que as medidas estão em milímetros (mm).

Figura 7: Razões e Proporções: Exercício

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Seção 2: Grandezas e Medidas

O professor Dante

inicia sua aula sobre grandezas e medi-

das fazendo algumas perguntas, como por exemplo:

• Qualéasuaaltura?

•Qualseráatemperaturamáximahoje?

•Qualéasuamassa?

•Quantotempoduraseutrabalho?

O professor mostra que para responder a essas perguntas é

preciso usar medidas. Para isso, precisamos usar instrumen-

tos, bem como reconhecer as grandezas. Veja:

Figura 8: Grandezas

Medir é comparar grandezas de mesmo tipo. Professores de

matemática adoram dizer: “– não se pode somar laranjas com

limões!”. Eles têm razão: só podemos operar com grandezas

iguais. Isso quer dizer que não posso somar 2 horas com 2

Km, pois, as grandezas são diferentes (no primeiro caso, a

grandeza é tempo; no segundo, comprimento).

14 DANTE (2003, p. 111).

“Não se esqueça: em uma

medida, deve sempre

aparecer o número

acompanhado da unidade de

medida usada: 5 palmos, 10

cm etc.”

(DANTE, 2003, p. 112).

“Em Matemática, entende-

se por grandeza tudo que

é suscetível a aumento ou

diminuição. Assim, podemos

falar em grandezas como:

tempo, velocidade, peso,

número de pessoas, número

de objetos etc.” (PARENTE;

CARIBÉ, 1996, p. 44).

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Quando eu tomo a medida do comprimento de uma mesa,

por exemplo, eu digo: a mesa possui 1 metro de comprimento.

Isso quer dizer que eu comparei a unidade metro com o com-

primento da mesa. Observe a Figura 9, abaixo:

Figura 9: Medida de Comprimento: Segmento de reta

O segmento de reta AB mede 5 cm; podemos dizer que o

segmento AB é igual a 5 unidades de medida cm; ou ainda,

= 5 cm. Quando se mede uma grandeza sempre se com-

para com um padrão de referência estabelecido. Por exemplo,

“dizer que uma corda tem 30 metros de comprimento é dizer

que ela é 30 vezes maior do que um objeto cujo comprimento

foi definido como sendo um metro”.

Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais

quando o aumento do valor de uma leva ao aumento do

valor da outra e são inversamente proporcionais quando, ao

contrário, o aumento de uma leva à diminuição de outra. Para

resolvermos problemas envolvendo grandezas direta ou

inversamente proporcionais, recorremos à regra de três.

Regra de Três Simples

Quando colocamos gasolina em um automóvel, o preço que

pagamos é diretamente proporcional ao volume de gasolina

colocado. Observe que se o preço do litro de gasolina custa

R$ 2,59, é possível saber quanto custará para encher um tan-

que de 55 litros. Veja:

Litros de

gasolina

Preço

(R$)

1 2,59

15 SEARS; ZEMANSKY; YOUNG (1985, p. 3).

Conheça mais sobre regra de

três simples no site:

http://www.somatematica.

com.br/fundam/regra3s.php

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Note que conhecemos três números e queremos conhecer

um número: x. Esse quarto número é conhecido como quarta

proporcional e, para encontrá-lo, utilizamos o procedimento

conhecido como regra de três.

Solucionando nosso problema, temos que:

Então, para encher um tanque de 55 litros, gastarei

R$ 142,45.

Você notou que a regra de três nada mais é do que uma

proporção?

Para o caso de grandezas inversamente proporcionais, é pre-

ciso tomar um pequeno cuidado na hora de montar a propor-

ção. O restante é igual ao caso anterior. Um problema clássico

desse tipo é o dos pedreiros construindo um muro: 3 pedrei-

ros trabalhando constroem um muro em 10 dias. Em quantos

dias 6 pedreiros construiriam o mesmo muro trabalhando no

mesmo ritmo? Vamos responder:

Número de

pedreiros

Tempo

(em dias)

3 10

6 x

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Observe que utilizamos duas setas: uma para o número de

pedreiros e outra para o tempo. A seta para cima indica que

o número de pedreiros aumentou (de 3 para 6); a seta para

baixo indica que o tempo diminuiu (de 10 para x). Veja que

mesmo eu não sabendo, ainda, quanto tempo será, eu posso

garantir que o tempo será menor do que 10 dias, se com 3

pedreiros eu preciso de 10 dias, com mais pedreiros eu pre-

cisarei de menos de 10 dias, não é mesmo? Quando as setas

estão orientadas para sentidos diferentes, estamos diante de

grandezas inversamente proporcionais. Na prática, isso mu-

dará nossa proporção:

Solução:

Note que a segunda

razão foi invertida.

Então,

6 x = 3 x 10

x =

x = 5

Aumentando o número de pedreiros de 3 para 6, o muro seria

construído em 5 dias.

Sabendo que a altura da mulher é de 1,60m,

quanto mede seu cachorro?

Figura 10: Regra de Três: Exercício

É preciso estar sempre

atento às grandezas: se são

diretamente ou inversamente

proporcionais.

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Seção 3: Porcentagem

Porcentagem é uma razão com o denominador sempre

igual a 100.

Desse modo,

100

, por exemplo, é uma porcentagem e pode

ser expressa como 25% (vinte e cinco por cento).

Na prática, calculamos as porcentagens em diversas situações.

Suponha que meu salário seja de R$ 400,00 e eu receberei um

aumento de 12%. Quanto passarei a receber?

Solução:

12% de 400 =

12 x 400

100

= 48

Passarei a receber, portanto, R$ 400,00 + R$ 48,00 = R$ 448,00.

Sempre vemos nos supermercados o uso das porcentagens.

Por exemplo: um produto de R$32,00 está com desconto de

7%. Por quanto ele está sendo vendido?

Solução:

7% de 32 =

7 x 32

100

= 2,24. Então,

32,00 – 2,24 = 29,76

Logo, o produto está sendo vendido a R$ 29,76.

Vamos realizar um outro tipo de exercício muito comum, com

o uso de porcentagens. A Tabela 1, abaixo, apresenta a popu-

lação total brasileira, por sexo. Pergunta-se: qual a porcenta-

gem de mulheres na população total brasileira?

Tabela 1: População: Brasil

População residente, por sexo

Grupos por idade Total Homens Mulheres

Total 169 872 856 83 602 317 86 270 539

Fonte: IBGE, Censo 2000

Para responder a essa pergunta, tenho que ter clareza de que

a população total brasileira corresponde a 100%. Assim,

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

IMPORTANTE

100% = 169.872.856

O que quero descobrir é qual a porcentagem desse total que

corresponde a 86.270.539. Veja:

Porcentagem População

100 169.872.856

x 86.270.539

Para resolver o problema, usaremos o conceito de propor-

ções, assim:

100

169.872.856

86.270.539

⇒ 169.872.856x = 100 x 86.270.539

x =

8.627.053.900

169.872.856

= 50,78%

Assim, no Brasil, a população de mulheres corresponde a

50,78% da população total.

Sabendo que a população total brasilei-

ra é de 169.872.856 e que a população brasilei-

ra em idade escolar é de 30.502.425*, pergunta-se:

qual o percentual de brasileiros em idade escolar?

Em outras palavras, quantos por cento da população to-

tal brasileira está em idade escolar? Registre a ativida-

de em seu memorial.

*Fonte: IBGE, Censo Demográfico 2000

Seção 4: Coeficientes, taxas e índices

Coeficiente, outro importante conceito matemático que que-

remos resgatar, também é o resultado de uma divisão de uma

quantidade por outra. Por exemplo, se numa escola com 400

alunos, 80 ficaram reprovados, então, o coeficiente de repro-

vação foi de 0,2, porque

número de reprovados ÷ número de alunos = 0,2.

“Os coeficientes são

razões entre o número

de ocorrências e o

número total (número de

ocorrências e número de

não-ocorrências).” (CRESPO,

1995, p. 34).

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Para facilitar os cálculos, é comum transformarmos o coefi-

ciente em taxa. Para isso, basta multiplicarmos o coeficiente

por 10, 100, 1000 ou qualquer outra potência de 10. Normal-

mente, usamos 100. Observe:

0,2 x 100 = 20%

Coeficiente de Taxa de

reprovação reprovação

Figura 11: Coeficiente e Taxa

Nosso coeficiente de reprovação (0,2) multiplicado por 100 é

igual à taxa de 20%, pois, 0,2 x 100 = 20%. Mas o que isso

significa? Significa que de que cada 100 alunos, 20 ficaram

reprovados.

Observe como é fácil comprovar isso. Vamos agrupar os

400 alunos em grupos de 100. Assim, teríamos 4 grupos

de 100 alunos. Cada grupo possui 20 reprovados. Logo, 20

vezes 4 é igual a 80 alunos reprovados. Bem, isso mostra

que nosso coeficiente de reprovação (20%) está correto.

Como se vê coeficiente e taxa são conceitos muito parecidos.

A única diferença é a multiplicação do coeficiente pela potên-

cia de 10 que dará a taxa.

O conceito de índice, por sua vez, não é muito diferente, senão

por uma única razão: dividimos grandezas diferentes. Obser-

ve que no nosso exemplo, o coeficiente de reprovação é 0,2 e

a taxa de reprovação é de 20%; nos dois exemplos estamos

tratando do número de alunos. Assim,

Coeficiente de reprovação = n

de alunos reprovados ÷ n

total de alunos

“As taxas são os coeficientes

multiplicados por uma

potência de 10 (10, 100, 1.000

etc.) para tornar o resultado

mais inteligível.” (CRESPO,

1995, p. 35).

“Os índices são razões entre

duas grandezas tais que

uma não inclua a outra.”

(CRESPO, 1995, p. 34).

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

IMPORTANTE

Mas suponha que queiramos saber a relação entre o número

de alunos reprovados e o número de alunos reprovados em

matemática. Nesse caso, estamos diante de duas grandezas

diferentes. Assim, essa comparação de grandezas diferentes

chama-se índice (por exemplo, índice de reprovados por dis-

ciplina).

Vamos realizar um exercício. Veja a Tabela 2, abaixo:

Tabela 2: Aprovação: Ensino Fundamental: Brasil: 2005

Unidade da

Federação

Alunos aprovados no Ensino Fundamental

Total

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 26.368.619 23.172 9.752.502 13.434.669 3.158.276

Fonte: Censo Escolar 2005

Essa Tabela apresenta o total de alunos aprovados no ensino

fundamental brasileiro, por dependência administrativa. Va-

mos calcular coeficiente e taxa utilizando essa Tabela.

Primeiro: qual é o coeficiente de aprovação no ensino

fundamental dos alunos que freqüentam escolas da rede

municipal?

Para responder a essa pergunta faremos a seguinte divisão:

total de aprovados na rede municipal

coecente de aprovação da rede municipal = –––––––––––––––––––––––––––––––––

total de aprovados no Brasil

Assim,

coecente de aprovação da rede municipal =

13.434.669

26.368.619

= 0,5

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Isso tem algum significado muito importante para a educa-

ção? Pouco provável, a não ser pelo fato de que o coeficiente

de 0,5 (que representa uma taxa de 0,5 x 100 = 50%) corres-

ponde a dizer que de cada 100 alunos aprovados no país, 50

são da rede municipal.

Veja que trabalhamos com coeficiente e taxa no exemplo aci-

ma. Agora, para trabalharmos com índice, precisaremos com-

parar grandezas diferentes. Relembrando, se você ainda tiver

dúvidas sobre grandezas, retome a Seção 2: Grandezas e Me-

didas, desta Unidade.

Vamos supor que queiramos estabelecer o índice de densi-

dade professor-aluno aprovado no ensino fundamental na

rede municipal de ensino. Precisaremos, portanto, da Tabela

3, abaixo.

Tabela 3: Função Docente: Educação Básica: Brasil: 2005

Unidade

Federação

Funções Docentes Exercendo Atividades em Sala de Aula

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 2.589.688 14.980 940.039 1.110.132 524.537

Fonte: Censo Escolar 2005

Nesse caso, estamos diante de duas grandezas diferentes:

professores e alunos. Assim,

índice de densidade professor – aluno da rede municipal =

1.110.132

13.434.669

= 0,08

Isso representa uma taxa de 0,08 x 100 = 8%; ou seja, para

cada 100 alunos aprovados na rede municipal, há 8 profes-

sores.

Calcule o coeficiente de aprovação no Ensino Fun-

damental da rede privada, da zona rural brasileira utili-

zando a Tabela 4, abaixo. Depois, transforme esse coefi-

ciente em taxa.

Registre os resultados em seu memorial.

Observe que um índice

também pode ser

transformado em taxa.

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

IMPORTANTE

Tabela 4: Aprovação: Ensino Fundamental: Rural: Brasil: 2005

Unidade da

Federação

Alunos aprovados no Ensino Fundamental

Rural

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 4.085.448 499 499.117 3.553.931 31.901

Fonte: Censo Escolar 2005

Seção 5: Sistema de Coordenadas Cartesianas

Os professores Jakubo e Lellis (1995) contam uma história

bastante interessante sobre o famoso filósofo e matemático

francês René Descartes:

Figura 12: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Origem

“Dizem que ele estava descansando na cama, quando viu uma

mosca pousada na parede. A mosca voou, mas Descartes ficou

pensando. Como poderia explicar a uma outra pessoa qual era a

posição exata da mosca na parede?” (JAKUBOVIC; LELLIS, 1995,

p. 210).

Esse teria sido o início do sistema de coordenadas cartesia-

nas. Descartes imaginou duas retas: uma horizontal e outra

vertical. Se ele marcasse números nessas retas, ficaria fácil

localizar a mosca. Veja Figura 13, abaixo:

Famoso por ter proferido a

frase “penso, logo existo”,

Descartes (1596-1658)

escreveu o Discurso do

Método, em 1637, que irá

marcar profundamente a

realização da ciência no

mundo. O nome cartesianas

vem do nome do seu autor,

Descartes.

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Figura 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Eixos

Dessa forma, para localizar um ponto em um plano,

usamos:

• Asretasnumeradasx e y chamam-se eixos cartesianos:

o eixo x é horizontal, o eixo y é vertical;

• Oplanocomesseseixoschama-seplano cartesiano;

• Osparesordenadossãoascoordenadas cartesianas do

ponto;

• Opontocorrespondenteàorigem é o par ordenado (0; 0).

Veja a Figura 14, abaixo:

Figura 14: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Pontos

16 JAKUBOVIC; LELLIS (1995, p. 211).

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

IMPORTANTE

De maneira mais completa, podemos localizar qualquer ponto

no plano: o ponto A se encontra em (6; 6), isto é, x é 6 e y

vale 6; o ponto B (4; 2); e assim por diante. Viu? Na prática,

usamos o sistema de coordenadas cartesianas em diversas

situações diferentes quando queremos localizar um ponto em

um plano. Veja a Figura 15, abaixo:

Figura 15: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Exercício

Como localizar o carro B, por exemplo? Claro! O carro B está

na Rua 1 com a Avenida 1, ou seja, B (Rua 1; Avenida 1). O

carro A está na origem de nosso sistema; as Ruas indicam o

primeiro número do par ordenado (x) e as Avenidas o segun-

do número (y). Desse modo, A (Rua 0; Avenida 0); o carro C

está na Rua 2, Avenida 3, isto é, C (Rua 2; Avenida 3). Pronto!

Na Figura 15, acima, identifique todos os cruza-

mentos que não possuem carros.

Seção 6: Arredondamento

Com essa Seção 6 encerramos nossa Unidade II.

Entendemos por arredondamento de dados a

técnica utilizada para suprimir unidades inferiores, isto é,

arredondar um número significa reduzir a quantidade de

algarismos após a vírgula.

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Um número apresenta uma parte inteira e uma parte fracioná-

ria. Veja:

Figura 16: Arredondamento de Números

Às vezes, queremos trabalhar com números com, digamos,

uma casa decimal, mas o que fazer quando o resultado en-

contrado for um número com muito mais casas depois da

vírgula? A rigor, na Estatística, precisamos seguir um critério

rígido de arredondamento a fim de não comprometermos os

resultados.

Por exemplo, suponha que queiramos trabalhar com duas ca-

sas decimais e nosso resultado foi 1,1417. Como fazer?

Conforme a Resolução nº 886/66 do IBGE, o

arredondamento é realizado da seguinte maneira:

Figura 17: Arredondamento: Fluxograma

Fonte: Adaptado de: CRESPO (1995, p. 174)

Na matemática, muitas

vezes, deparamo-nos

com situações onde o

cálculo nunca dá certo se

não transformarmos esse

número em fração.

UNIDADE 2 – Conceitos matemáticos

Caso haja necessidade de alteração, nossa atenção deve re-

cair sobre o primeiro algarismo a ser abandonado. Teremos

três caminhos possíveis:

1) Seguimos o primeiro caminho (I) quando o primeiro alga-

rismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4. Nesse caso, o

algarismo a permanecer ficará sem alteração. Por exemplo,

4,84 passa a 4,8;

2) Seguimos o segundo caminho (II) quando o primeiro alga-

rismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9. Nesse caso, o úl-

timo algarismo a permanecer será aumentado de um. Por

exemplo, 4,87 passa a 4,9;

3) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, se-

guimos o III caminho. Nesse caso, temos que prestar muita

atenção, pois, o caminho se divide em dois percursos:

a) Quando o número a ser abandonado for 5 e ele for o

último ou seguido de zeros, aumentaremos uma unida-

de apenas quando o último algarismo a permanecer for

ímpar. Por exemplo: 5,85 passa a 5,8;

b) Quando o número a ser abandonado for 5 seguido de al-

gum número diferente de zero, aumenta-se uma unidade

ao algarismo a permanecer. Por exemplo, 8,55000000002

passa a 8,6.

Casos de arredondamento não são difíceis, mas requerem

muita prática até compreendermos bem os processos. Não

há outra alternativa.

Ressalto que, em nosso Módulo, simplesmente abandonamos

a parte fracionária sem todo esse rigor. Por isso, esteja à von-

tade para fazer correções às respostas, caso você julgue per-

tinente.

1) Arredonde cada um dos dados abaixo,

deixando-os com apenas uma casa decimal (CRES-

PO, 1995, p. 174):

2,38 =

24,65 =

0,351 =

4,24 =

328,35 =

2,97 =

6,829 =

5,550 =

89,99 =

Observe que o último

algarismo a permanecer é 8

(par). Nesse caso, não sofrerá

alteração.

Observe que o último

algarismo a permanecer é 5 e

o primeiro a ser abandonado

também é 5. O último

algarismo a permanecer (5)

foi aumentado de 1 porque

havia, após o algarismo

a ser abandonado (5) um

algarismo diferente de zero.

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

2) Arredonde cada um dos valores abaixo para o

centésimo mais próximo (CRESPO, 1995, p. 174):

46,727 =

123,842 =

253,65 =

299,951 =

28,255 =

37,485 =

Variáveis, tabelas e

gráficos

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Nessa Unidade III, nosso objetivo é estudar algumas maneiras

de organização e exposição dos dados de um fenômeno sob

estudo. Para isso, é preciso compreender o significado de po-

pulação e amostra (seção 1); a seguir, na seção 2, retomaremos

a distinção já iniciada nesse estudo, entre a Estatística voltada

para a descrição (Estatística Descritiva) e a voltada para inter-

pretação (Estatística Indutiva ou Inferencial); na seção 3, apren-

deremos sobre como trabalhar com os fenômenos a partir de

sua representação numérica conseguida com a aplicação do

conceito de variável; depois, na seção 4, iremos formalizar a

exposição dos dados em uma Tabela, como forte recurso visual

da Estatística; para, enfim, na seção 5, reconhecermos os gráfi-

cos como poderosas ferramentas para rápida e eficiente com-

preensão do comportamento da(s) variável(eis) em estudo.

Boa leitura!

Seção 1: População e Amostra

Ao examinar um grupo qualquer, considerando todos os seus

elementos, estamos tratando da população ou universo. Nem

sempre isso é possível. Nesse caso, examinamos uma peque-

na parte chamada amostra.

Uma população pode ser finita (isto é, possuir fim) ou infinita

(não possuir fim). Por exemplo, a população dos alunos de sua

escola é finita e a população constituída de todos os resultados

(cara ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda é infinita.

Se uma amostra é representativa de uma população, pode-

mos obter conclusões importantes sobre a população. Mas

também, podemos analisar e descrever um certo grupo sem

tirar conclusões ou inferências sobre um grupo maior, nesse

caso, a parte da Estatística que se preocupa com isso é a cha-

mada estatística descritiva ou estatística dedutiva .

Vamos realizar um exercício. Observe a Tabela 5, abaixo.

Tabela 5: População Escolar: Sexo

Escolas

de Estudantes

Masculino Feminino

A 80 95

B 102 120

C 110 92

D 134 228

E 150 130

F 300 290

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 24).

Para que as conclusões sejam

válidas é preciso observar

alguns critérios; quem estuda

esses critérios é a estatística

indutiva ou inferência

estatística. Dizemos

inferência quando queremos

nos referir a uma conclusão

sobre uma população a partir

do exame da amostra dessa

população.

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Essa Tabela se refere à população escolar, por sexo e por es-

cola, de uma determinada localização. Um exercício interes-

sante é retirar uma amostra, digamos, de 10% da população.

Bem, para isso, precisaremos considerar escola por escola.

Tabela 6: Cálculo da amostragem proporcional estratificada

Escolas População 10% Amostra

M = 80

10 x 80

100

= 8

F = 95

10 x 95

100

= 9,5

M = 102

10 x 102

100

= 10,2

F = 120

10 x 120

100

= 12

M = 110

10 x 110

100

= 11

F = 92

10 x 92

100

= 9,2

Procedendo assim, temos que na escola A, devemos conside-

rar 8 alunos e 9 alunas; na escola B, 10 alunos e 12 alunas; na

escola C, 11 alunos e 9 alunas.

Complete a Tabela 6, acima, e registre o resultado

em seu memorial.

Muitas vezes, a população

se divide em subpopulações

chamadas estratos. A

amostragem proporcional

estratificada considera os

estratos para a amostra, de

maneira análoga à Tabela 6,

ao lado.

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Seção 2: Estatística Descritiva e Estatística Indutiva

ou Inferencial

Como já afirmamos, a Estatística interessa-se pelo tratamento

de fenômenos por meio de métodos científicos capazes de

auxiliar a tomada de decisões.

O principal objetivo da Estatística é tirar conclusões

sobre o todo (população), a partir de informações

fornecidas por parte representativa do todo (amostra).

O primeiro passo consiste em coletar, criticar, apurar e expor

os dados.

Essas são etapas da Estatística Descritiva. Ob-

serve que cumpridas essas etapas, ainda não é possível tirar

conclusões muito seguras, mas é possível, por exemplo, co-

nhecer a realidade da escola, bem como conhecer seus pro-

blemas.

O passo seguinte consiste na Estatística Indutiva ou Inferen-

cial. Basicamente, nessa etapa, ocorre a análise e a interpre-

tação do fenômeno em estudo, com o intuito de tirar conclu-

sões e fazer previsões.

Agora, é possível formular soluções

consistentes sobre os problemas levantados de uma dada re-

alidade.

A Estatística, portanto, começa com a descrição para, só de-

pois, chegar a conclusões. Veja:

Figura 18: Estatística Dedutiva e Estatística Indutiva: Fluxograma

17 Ver Unidade 1: Introdução ao Estudo da Estatística, p. 11.

18 CRESPO (1995, p. 15).

IMPORTANTE

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

A Figura acima revela que o ponto de partida é um proble-

ma. Seria muito bom se pudéssemos pegar o “atalho” e do

“problema” fôssemos, imediatamente, para a “ação”. Embora

alguns gestores (do setor público e do setor privado) ajam

assim, isso não é muito seguro. O interessante é observar as

duas etapas (I e II), a fim de garantir um mínimo de segurança

de que estamos no caminho correto para a solução do proble-

ma evidenciado.

Dessa maneira, uma vez identificado onde se deseja atuar, o

passo seguinte é o do planejamento (Que recursos possuo?

Que métodos de coleta de dados irei utilizar? Que tempo pos-

suo? Qual o universo? Qual a amostra? etc.). Feitas as esco-

lhas, entramos na Etapa I: Estatística Descritiva.

Nessa etapa I, todos os passos devem ser observados: cole-

ta, crítica, apuração e exposição dos dados. Só depois disso,

estamos preparados para a Etapa II: Estatística Indutiva ou In-

ferencial. Nessa etapa da solução do problema, podemos tirar

conclusões e fazer algumas previsões com maiores chances

de acertar do que se pegássemos o “atalho”.

A propósito, essa é talvez a maior contribuição da Estatística

para nossas atividades no ambiente de trabalho: apresentar-

se como uma poderosa ferramenta para a solução de proble-

mas.

Seção 3: Variáveis

Se consideramos o fenômeno “sexo”, haveria, pois, dois re-

sultados possíveis: masculino ou feminino. O fenômeno “total

de filhos” também possui um número determinado: 0, 1, 2,

3... Mas o fenômeno “estatura” apresenta uma situação dife-

rente: 1m64cm, 1m58cm, 1m75cm...

Chamamos de variável o conjunto de resultados possíveis de

um fenômeno

. A variável pode ser qualitativa (masculino-

feminino) ou quantitativa (expressa por números: salários,

idade etc.).

A variável quantitativa pode ser contínua ou discreta. Por

exemplo, o número de crianças de uma família pode ser 0, 1,

2, 3... Mas, jamais, pode ser 2,5 ou 3,842. Chamamos essa va-

riável de discreta. Já a altura de um indivíduo pode ser 1,65m,

19 CRESPO (1995, p. 17).

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

1,662m ou 1,6722m, conforme a precisão da medida, e é uma

variável contínua.

Assim,

Uma variável quantitativa que pode assumir,

teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe

o nome de variável contínua; uma variável que só pode

assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável

recebe o nome de variável discreta.

Veja:

Figura 19: Variáveis: Definições

Explicando melhor, a Figura acima mostra que variável cor-

responde aos resultados possíveis de um conjunto. Será va-

riável qualitativa, quando seus valores forem expressos por

atributos (qualidades), como, por exemplo, sexo, cor da pele

etc. e será variável quantitativa quando seus valores forem

expressos por números. Nesse último caso, variável quantita-

tiva, poderá ser discreta, quando assumir, apenas, um dos va-

lores do conjunto como, por exemplo, o número de alunos de

uma escola. Será uma variável quantitativa contínua, quando

puder assumir qualquer valor entre dois limites, por exemplo,

peso, estatura etc.

20 SPIEGEL (1975, p. 2).

21 CRESPO (1995); SPIEGEL (1975).

22 CRESPO (1995).

IMPORTANTE

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

De modo geral, as medições dão origem a variáveis quanti-

tativas contínuas e as contagens ou numerações, a variáveis

discretas.

Além disso, é comum designar as letras x, y e z

para representar as variáveis. Por exemplo:

“Sejam 2, 3, 5 e 8 todos os resultados possíveis de um dado fe-

nômeno. Fazendo uso da letra x para indicar a variável relativa ao

fenômeno considerado, temos: x ∈ {2, 3, 5, 8}”.

Isso significa

que x pertence ao conjunto.

Vamos realizar um exercício? Complete o Quadro 2, abaixo,

classificando as variáveis em qualitativas ou quantitativas

(contínuas ou discretas).

Universo Variável

Alunos de uma escola.

Cor dos cabelos –

Variável qualitativa.

Casais residentes em uma ci-

dade.

Número de filhos –

Variável quantitativa discreta.

As jogadas de um dado.

O ponto obtido em cada jogada –

.........................................................

Peças produzidas por certa

máquina.

Número de peças produzidas por

hora –

.........................................................

Peças produzidas por certa

máquina.

Diâmetro externo –

.........................................................

Quadro 2: Tipos de variáveis

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 18).

Classifique as variáveis abaixo em (1) vari-

ável qualitativa, (2) variável quantitativa discreta e (3)

variável quantitativa contínua, relacionando as duas co-

lunas

23 CRESPO (1995, p. 18).

24 CRESPO (1995, p. 18).

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Coluna 1 Coluna 2

( ) População: alunos de uma cidade

Variável: cor dos olhos ( 1 ) variável qualitativa

( ) P: estação meteorológica de uma

cidade

V: precipitação pluviométrica durante

um ano

( 2 ) variável quantitativa

discreta

( ) P: Bolsa de Valores de São Paulo

V: número de ações negociadas

( 3 ) variável quantitativa

contínua

( ) P: funcionários de uma empresa

V: salários

( ) P: pregos produzidos por uma máquina

V: comprimento

( ) P: casais residentes em uma cidade

V: sexo dos filhos

( ) P: propriedades agrícolas

V: produção de algodão

( ) P: segmentos de reta

V: comprimento

( ) P: bibliotecas da cidade de São Paulo

V: número de volumes

( ) P: aparelhos produzidos em uma linha de montagem

V: número de defeitos por unidade

( ) P: indústrias de uma cidade

V: índice de liquidez

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 18-19).

Seção 4: Tabelas

Uma das preocupações da estatística, como já vimos, é anali-

sar dados, para isso, é preciso compreender o comportamen-

to deles. E isto, a estatística consegue apresentando valores

em tabelas e gráficos, que irão fornecer informações rápidas

e seguras a respeito das variáveis em estudo.

Até aqui, em nosso estudo, lidamos com tabelas e quadros,

qual a diferença? Quadros apresentam informações não nu-

méricas, isto é, informações que não são objeto de tratamento

numérico. Diferentemente, as tabelas são numéricas e servem

para cálculos.

As tabelas são muito úteis para a construção de séries es-

tatísticas. Denominamos série estatística toda tabela que

apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísti-

cos em função da época, do local ou da espécie (CRESPO,

1995, p. 26).

As tabelas apresentam

informações tratadas

estatisticamente, conforme

IBGE (1993) (BRASIL, 2002).

IMPORTANTE

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Por exemplo:

Tabela 7: População Mundial:

Série Histórica

Ano População

2002 6.229.629.168

2003 6.303.112.453

2004 6.376.863.118

2005 6.451.058.790

2006 6.525.486.603

Fonte: U.S. CENSUS (2006)

A Tabela 7, acima, apresenta:

1) Título: Conjunto de informações, o mais completo

possível. Responde a perguntas como: o quê? Quan-

do? Onde? No nosso exemplo: Tabela 7: População

Mundial: Série Histórica.

2) Cabeçalho: Parte superior da tabela que especifica o

conteúdo das linhas. No nosso exemplo: Ano e Popu-

lação.

3) Linhas: Retas imaginárias que facilitam a leitura, no

sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos

seus cruzamentos com as colunas. Por exemplo, no

ano de 2002 havia 6.229.629.168 de habitantes no pla-

neta.

4) Casa ou célula: Espaço destinado a um só número.

Por exemplo, 6.525.486.603 é um número que ocupa

uma casa ou célula.

5) Coluna indicadora: Parte da tabela que especifica o

conteúdo das linhas. No nosso exemplo, a coluna in-

dicadora é a do Ano (2002 a 2006).

6) Coluna numérica: Parte da tabela que contém os da-

dos apresentados. Em nosso exemplo, a coluna nu-

mérica é a da População.

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Agora que conhecemos a constituição de uma tabela simples,

vamos estudar uma série estatística. Observe a Tabela 8, abaixo:

Tabela 8: Matrículas no Ensino Fundamental de 5

a 8

série:

Diurno: Brasil

Unidade da

Federação

Matrículas no Ensino Fundamental de 5

a 8

série

Diurno

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 13.629.874 18.183 7.386.348 4.664.840 1.560.503

Fonte: MEC/Inep

O título da tabela é “Matrículas no Ensino Fundamental de 5

a 8

série: Diurno: Brasil”. Observe que, pelo título, é possível

apreender diversas informações, tais como: a tabela se refere

a matrículas no Ensino Fundamental de 5

a 8

série; na tabela

encontraremos dados referentes ao ensino diurno; e se refere

ao Brasil como um todo, não a um estado da federação em

particular. Mas, apenas pelo título não é possível saber todo

o conteúdo (como por exemplo, não sabemos se encontra-

remos dados do sistema privado de ensino), mas ele já nos

informa muito. Agora...

Identifique os demais componentes da

Tabela 8: Matrículas no Ensino Fundamental de 5

a 8

série: Diurno: Brasil (acima).

Algumas vezes, é necessário apresentar em uma única tabela

a variação de valores de mais de uma variável, isto é, fazer a

conjugação de duas ou mais séries. Tabelas contendo série

geográfica e série histórica são muito comuns no campo da

educação. Vamos trabalhar com uma tabela parecida com a

anterior. Observe a Tabela 9, abaixo:

Tabela 9: Número de matrículas na pré-escola

Unidade da

Federação

Matrículas na Pré-Escola

2002 2003 2004

Acre 21.737 21.682 23.148

Alagoas 57.671 57.981 73.741

Distrito Federal 71.985 76.926 81.786

São Paulo

1.276.434 1.325.507 1.391.238

Fonte: MEC/Inep (2006)

Conjugando duas ou mais

séries em uma única tabela,

obtemos uma tabela de dupla

entrada. Em uma tabela

desse tipo ficam criadas

duas ordens de classificação:

uma horizontal (linha) e uma

vertical (coluna) (CRESPO,

1995, p. 28).

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Essa é uma típica tabela conjugada de dupla entrada. Observe

que ela possui uma série histórica (2002, 2003 e 2004) e uma

série geográfica (Acre, Alagoas, Distrito Federal e São Paulo).

Podemos dizer que a horizontal (linha) e a vertical (coluna) for-

mam duas ordens de classificação. Por exemplo, no Distrito

Federal (linha horizontal – série geográfica), o número total de

alunos matriculados na pré-escola variou no período de 2002

a 2004 (colunas verticais – série histórica). Sem dúvida, esta-

mos diante de uma tabela conjugada de dupla entrada.

Visite o sítio do Inep e procure a Tabela de

Matrícula no Ensino Fundamental de 5ª a 8ª série (ou

outra Tabela qualquer) do seu município e identifique os

componentes dessa tabela. Monte duas tabelas: uma

simples e uma de dupla entrada.

Seção 5: Gráficos

Observe a comparação abaixo, sobre a exposição dos mes-

mos dados por estratégias diferentes: Tabela e Gráfico.

Tabela 10: N

de matrículas no Ensino Médio: Brasil: Urbano

Unidade da

Federação

Matrículas no Ensino Médio

Diurno

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 8.824.397 56.464 7.528.326 149.917 1.089.690

Fonte: Censo Escolar 2005

Gráfico 1: N

de matrículas no Ensino Médio: Brasil: Urbano

Fonte: Censo Escolar 2005

Séries compostas de três

ou mais entradas podem

existir, mas são raras devido a

dificuldade de representação.

Conheça o sítio do INEP :

http://www.inep.gov.br

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Tanto a Tabela 10, quanto o Gráfico 1, acima, possuem a mes-

ma finalidade: sintetizar os valores que a variável “matrícu-

las no Ensino Médio brasileiro, urbano” pode assumir, para

que tenhamos uma visão global da variação dessa variável.

Ambos, Tabela e Gráfico, são maneiras válidas de apresenta-

ção dos dados de tal forma que podemos, de maneira clara,

explorá-los.

Na comparação acima, por exemplo, vemos com mais clareza

e mais rapidamente no Gráfico 1 que a maioria dos alunos do

Ensino Médio brasileiro encontra-se na rede estadual de ensi-

no. Essa é a finalidade da disposição dos dados quer seja em

Tabelas ou em Gráficos: apresentar de maneira simples, com

eficiência e rigor, os dados de um conjunto em estudo. Como

já vimos muito sobre Tabelas, iremos nos concentrar, agora,

em Gráficos.

Por definição:

O gráfico estatístico é uma forma de apresentação

dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no

investigador ou no público em geral, uma impressão mais

rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos

falam mais rápido à compreensão que as séries. (CRESPO,

1995, p. 38).

Um Gráfico estabelece uma relação entre os termos de uma

série e determinada figura geométrica, como no nosso Gráfico

1, acima, no qual a série estatística (Tabela 10) foi apresentada

na forma de gráfico de “pizza”.

Mas atenção: “uma das formas mais eficazes de transmitir uma

informação com certo rigor é usando gráficos. No entanto, um

gráfico que não seja claro pode confundir o leitor”

. Por isso,

a representação gráfica de um fenômeno deverá obedecer a

certos critérios fundamentais:

1) Simplicidade;

2) Clareza;

3) Veracidade (o gráfico deve expressar a verdade sobre o

fenômeno).

25 PEREIRA (2004, p. 51)

26 CRESPO (1995, p. 38).

IMPORTANTE

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Os principais tipos de gráficos são: diagramas, cartogramas

e pictogramas.

Diagramas

Os diagramas, normalmente, possuem duas dimensões, onde

fazemos uso do sistema de coordenadas cartesianas

. Podem

ser dos seguintes tipos: gráfico em linha ou em curva; gráfico

em colunas ou em barras; gráfico em colunas ou em barras

múltiplas; gráfico em setores.

Vejamos um exemplo de gráfico em linha. Consideremos a

seguinte série histórica apresentada na Tabela abaixo:

Tabela 11: Matrículas na Educação Infantil: Brasil

Modalidade

Matrículas na Educação Infantil: Brasil.

1999 2000 2001 2002 2003 2004

Creche 831.978 916.864 1.093.347 1.152.511 1.237.558 1.348.237

Pré-Escola 4.235.278 4.421.332 4.818.803 4.977.847 5.155.676 5.555.525

Fonte: MEC/Inep

Vamos construir o gráfico em linha, por exemplo, do número

de alunos matriculados na Pré-Escola, no período considera-

do. Para isso, precisaremos montar o sistema de coordenadas

cartesianas. É muito simples, como já vimos, nesse sistema,

para cada ano do eixo x, encontraremos uma quantidade de

matrículas correspondente y, formando, assim, o par orde-

nado (x; y). Em 1999, temos 4.235.278 matrículas, formando

o par ordenado (1999; 4.235.278); em 2000, o par ordenado

será (2000; 4.421.332); e assim sucessivamente. Pronto, a ta-

refa está realizada! Veja o resultado, abaixo.

27 Ver Unidade 2: Conceitos Matemáticos, Seção 5: Sistema de Coordenadas Cartesianas,

p. 33.

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Gráfico 2: Matrículas na Pré-Escola: Brasil: 1999-2004

Fonte: MEC/Inep

Considerando ainda a série estatística representada pela Tabe-

la 11, acima, realizaremos, agora, outra representação gráfica:

o gráfico em barras. Nesse tipo de gráfico, a representação

será em forma de retângulos, dispostos horizontalmente (em

barras). Poderíamos também, dispor a série histórica vertical-

mente, então, teríamos um gráfico em colunas.

Vamos representar desta vez, a evolução das matrículas na

Creche. Dessa vez, o eixo x será representado pelo número de

matrículas na Creche e o período está representado no eixo y.

Veja como fica o gráfico:

Gráfico 3: Evolução das matrículas na creche: Brasil: 1999-2004

Fonte: MEC/Inep

Vamos juntar as duas informações, a evolução das matrículas

na Creche e na Pré-Escola, em um só gráfico? Para isso, ire-

mos considerar, novamente, a série estatística representa pela

Tabela 11. Observe o resultado:

IMPORTANTE

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Gráfico 4: Evolução das matrículas na educação infantil: creche e

pré-escola: Brasil: 1999-2004

Fonte: MEC/Inep

O Gráfico 4, acima, é um exemplo de gráfico em colunas ou

barras múltiplas. Nele, podemos comparar, rapidamente e

com clareza, a evolução das matrículas na educação infantil

brasileira, na Creche e na Pré-Escola, ao mesmo tempo.

Como você já notou, as diversas representações gráficas ser-

vem para apresentar os dados com rigor metodológico e de

maneira clara; seus usos dependem da finalidade da expo-

sição. Às vezes, podemos utilizar diversas representações

gráficas, mas, algumas vezes, existem representações ideais

para os dados a serem expostos. É assim que, por exemplo,

o gráfico em setores é empregado sempre que desejamos

ressaltar a participação do dado no total, dessa maneira, ele

serve para mostrar proporções relativas; o total é representa-

do pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas

são as partes.

Vejamos na prática: considere a seguinte série estatística:

Tabela 12: Usuários de transporte público do estado: 1

a 4

séries:

Brasil: área urbana

Unidade da

Federação

Alunos do Ensino Fundamental de 1ª a 4ª séries, área

urbana, que utilizam transporte escolar do poder

público estadual e municipal

Área urbana

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 447.847 324 81.482 363.994 2.047

Fonte: Censo Escolar 2005

28 CRESPO (1995); PEREIRA (2004).

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

A Tabela 12, acima, apresenta os alunos de 1ª a 4ª séries do

ensino fundamental que freqüentam escolas urbanas e fazem

uso do transporte público oferecido pelo Poder Público esta-

dual e/ou municipal, de acordo com a dependência adminis-

trativa (Federal, Estadual, Municipal e Privada). Para trabalhar-

mos com setores, precisaremos estabelecer as proporções

para cada esfera administrativa. Assim,

Solução:

Para encontrar as proporções de cada dependência adminis-

trativa, usaremos o procedimento da regra de três simples:

1) Encontrando a porção da esfera federal:

etapa: preparando a regra de três

Alunos %

447.847 100

324 x

etapa: montando a proporção

447.847

324

100

etapa: resolvendo a equação

447.847 x x = 324 x 100 ⇒ x

32.400

447.847

= 0,072%

2) Encontrando a porção da esfera estadual:

etapa: preparando a regra de três

Alunos %

447.847 100

81.482 x

etapa: montando a proporção

447.847

324

100

29 Ver Unidade 2: Conceitos Matemáticos, Seção 2: Grandezas e Medidas, Regra de três

simples, p. 25.

IMPORTANTE

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

etapa: resolvendo a equação

447.847 x x = 81.482 x 100 ⇒ x

8.148.200

447.847

= 18,19%

Viu como é fácil? Agora é a sua vez!

Continue o exercício e encontre as porções

municipal e privada.

Após encontrar as proporções de cada esfera administrativa

(federal, estadual, municipal e privada), basta, agora, construir

o gráfico em setores. Veja o resultado abaixo:

Gráfico 5: Usuários de transporte público do estado: 1ª a 4ª séries:

Brasil: área urbana

Fonte: Censo Escolar 2005

Observe como é interessante a comparação das partes com

o todo. No nosso exemplo, o gráfico em setores apresenta,

com inigualável clareza, que as participações federal e privada

são insignificantes (tanto que nem aparecem) e a participação

municipal é esmagadora. Convenhamos, essa demonstração

é mais interessante que a série estatística na forma de tabela,

não é mesmo?

UNIDADE 3 – Variáveis, tabelas e gráficos

Cartogramas

Cartogramas são representações sobre uma carta

geográfica. Eles são muito úteis quando queremos

relacionar dados estatísticos com áreas geográficas ou

políticas. Essas representações são muito úteis para

expressarem população e densidade.

Vejamos um exemplo:

Gráfico 6: O despovoamento da Amazônia

Fonte: FELIX NETO (2006, p. 5).

Observe que o Gráfico 6, acima é uma apresentação agradável

aos olhos e de fácil interpretação também. Esse é o objetivo.

Pictogramas

Os pictogramas são os processos gráficos de maior

aceitação pública por sua forma atraente e sugestiva.

Em sua representação encontram-se figuras, desenhos etc.

Seja a série estatística abaixo:

30 CRESPO (1995, p. 46).

31 CRESPO (1995, p. 48).

APÊNDICE: Respostas dos exercícios pratique!

IMPORTANTE

Tabela 13: Pictograma: Exercício

Vítimas Fatais

Local

Idade (anos)

0 a 9 10 a 12 13 a 17 18 a 29 30 a 59 60 e mais

Igno-

rado

Brasil 808 307 891 5006 6950 1666 3249

Fonte: Adaptado de Anuário Estatístico de Acidentes de Trânsito (2002)

A Tabela acima, revela o número de vítimas fatais em aciden-

tes de trânsito no Brasil, no ano de 2002. Em forma de picto-

grama, poderia ser assim representada:

Figura 20: Pictograma: Exemplo

Observe que os carros são representativos para a série estatís-

tica de vítimas fatais em acidentes de trânsito. Naturalmente,

“na confecção de gráficos pictóricos temos que utilizar muita

criatividade, procurando obter uma otimização na união da

arte com a técnica” (CRESPO, 1995, p. 49).

Procure, em jornais, revistas, livros e ou-

tros, um exemplo de cada representação gráfica

estudada, isto é, um gráfico em setores (em forma de

“pizza”), um gráfico em linha, um gráfico em barras, um

gráfico em colunas múltiplas, um cartograma e, por fim,

um pictograma. Recorte ou tire uma cópia (se possível)

e cole em seu memorial.

Distribuição de

freqüência

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

O objetivo desta Unidade é partir dos dados brutos, isto é, de-

sorganizados, para uma apresentação formal. Nesse percur-

so, seção 1, destacaremos a diferença entre tabela primitiva e

rol, bem como a importância do resumo dos dados por meio

de uma técnica que agrupa as repetições, chamadas de freqü-

ência (seção 2). Voltaremos às Tabelas e Gráficos, na seção 3,

porque, agora, aparecerá algo novo: os dados agrupados. Em

função disso, as Tabelas apresentarão diferenças das anterio-

res e os Gráficos assumem formatos já consagrados pelo uso

(histograma e polígono de freqüência).

Boa leitura!

Seção 1: Dados Brutos e Rol

Na Unidade anterior, trabalhamos com exposição de dados.

Mas, infelizmente, os dados, raramente, apresentam-se orga-

nizados. Por exemplo, vamos supor que um professor entre-

gue as notas de seus alunos, conforme a Tabela 14, abaixo:

Tabela 14: Exemplo de Tabela Primitiva

Notas de 40 alunos de uma disciplina

8,0 5,0 3,0 3,5 4,0 10,0 5,6 3,0 2,5 1,5

9,5 7,5 6,3 6,6 7,8 4,0 2,5 5,0 7,0 8,0

10,0 9,8 9,7 3,5 3,8 5,0 3,7 4,9 5,4 6,8

6,3 7,8 8,5 6,6 9,9 10,0 2,6 2,9 5,2 8,8

Observe que, nessa Tabela, as notas não estão numericamen-

te organizadas. Esse tipo de tabela denomina-se Tabela primi-

tiva.

Partindo dessa Tabela, é difícil identificar o comporta-

mento das notas, isto é: onde se concentram? Qual a maior?

Qual a menor? Quantos alunos estão abaixo ou acima de uma

determinada nota?

Esses dados estão, de fato, desorganizados, por isso, vamos

organizá-los. A maneira mais simples é realizando uma orde-

nação (crescente ou decrescente). Após essa ordenação dos

dados, a Tabela recebe o nome de rol. Veja como fica:

32 CRESPO (1995, p. 54).

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Tabela 15: Exemplo de Rol

Notas de 40 alunos de uma disciplina

1,5 2,9 3,5 4,0 5,0 6,3 6,8 7,8 8,8 9,9

2,5 3,0 3,7 4,9 5,2 6,3 7,0 8,0 9,5 10,0

2,5 3,0 3,8 5,0 5,4 6,6 7,5 8,0 9,7 10,0

2,6 3,5 4,0 5,0 5,6 6,6 7,8 8,5 9,8 10,0

De fato, com os dados assim organizados, podemos saber,

com facilidade, qual a menor nota (1,5) e qual a maior (10,0).

E também, podemos encontrar a amplitude de variação, isto

é, a diferença entre o maior valor e o menor valor: 10,0 – 1,5

= 8,5. Além dessas informações, com um pequeno esforço,

podemos ainda identificar que as notas se concentram em

dois valores (5,0 e 10,0) e que 6,0 é o valor que divide as

notas. Convém destacar que os dados são úteis, apenas, se

conseguirmos transformá-los em informação. Mais à frente,

discutiremos essas medidas.

Enfim,

Dados brutos são aqueles que não foram

numericamente organizados e rol é um arranjo de dados

numéricos brutos em ordem: crescente ou decrescente.

Em um rol, a diferença entre o maior e o menor número

chama-se amplitude total.

Seção 2: Distribuição de Freqüência

Vamos continuar estudando as notas entregues por um pro-

fessor apresentada acima. Para estudarmos melhor a variável,

construiremos uma Tabela apresentando os valores de ma-

neira mais resumida. Com os dados organizados em um rol,

identificamos que existem repetições de muitos valores. Essa

repetição recebe o nome de freqüência. Vejamos:

33 SPIEGEL (1975, p. 43).

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Tabela 16: Exemplo de Tabela de Freqüência

Notas Freqüência Notas Freqüência Notas Freqüência

1,5 1 5,0 3 8,0 2

2,5 2 5,2 1 8,5 1

2,6 1 5,4 1 8,8 1

2,9 1 5,6 1 9,5 1

3,0 2 6,3 2 9,7 1

3,5 2 6,6 2 9,8 1

3,7 1 6,8 1 9,9 1

3,8 1 7,0 1

10,0 3

4,0 2 7,5 1

4,9 1 7,8 2 Total 40

Dispor os dados dessa maneira é melhor do que da forma

anterior, mas ainda é inconveniente. Isso porque exige mui-

to espaço. Uma alternativa é agrupar os dados. Para desen-

volver tal tarefa, é comum, em primeiro lugar, distribuir os

dados em classes ou categorias em uma Tabela. Essa Tabela

receberá o nome de Distribuição de Freqüência ou Tabela de

Freqüência.

Para construir a tabela de freqüência das notas, considerare-

mos, por exemplo, quatro classes: da nota 0,0 até a nota 4,9

(0,0–4,9); da nota 5,0 até a nota 6,9 (5,0–6,9); da nota 7,0 até

a nota 8,9 (7,0–8,9); por fim, da nota 9,0 até a nota 10,0 (9,0–

10,0). Agrupando os dados dessa maneira, é comum chamá-

los de dados agrupados. Vejamos:

Tabela 17: Exemplo de Tabela de Distribuição de Freqüência

Notas de 40 alunos de uma disciplina

Notas

Número de estudantes

(freqüência)

0,0 – 4,9

5,0 – 6,9

7,0 – 8,9

9,0 – 10,0

Total 40

A distribuição de freqüência, acima, apresenta uma disposição

mais amigável. Nela, podemos observar que 14 alunos tiraram

“Classes de freqüência ou,

simplesmente, classes são

intervalos de variação da

variável.” (CRESPO, 1995,

p. 57).

A Tabela de Distribuição de

Freqüência é uma Tabela

como outra qualquer, mas

que apresenta o número

de repetição dos valores

ao invés de repetí-los

integralmente. Por exemplo,

ao invés de expor 2, 2, 2 ,

2 e 3, em uma Tabela de

Freqüência colocamos 2 (4

vezes) e 3.

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

notas entre 0,0 e 4,9; 11 alunos, entre 5,0 e 6,9; 8 alunos, entre

7,0 e 8,9; 7 alunos, entre 9,0 e 10,0. Identifica-se, de imediato,

a maior e a menor concentração das notas dos alunos e essa

é uma informação muito interessante.

Aprofundamento: regras para a elaboração de uma distri-

buição de freqüência

Na construção de uma distribuição de freqüência, a determi-

nação do número de classes e da amplitude dessas classes é

sempre uma preocupação.

No nosso exemplo anterior, as classes escolhidas não foram

de maneira aleatória, mas, de qualquer forma, existem regras

que podem ser observadas se quisermos maior rigor no estu-

do de um evento.

Assim, Spiegel (1975, p. 45-46) sugere as seguintes regras ge-

rais:

1) Determinam-se o maior e o menor número de dados

brutos e, então, calcula-se a amplitude total do rol (di-

ferença entre o maior e o menor daqueles números);

2) Divide-se a amplitude total em um número convenien-

te de intervalos de classe que tenham a mesma ampli-

tude. Nem sempre isso é possível; nesse caso, usamos

intervalos de classe de amplitudes diferentes. O núme-

ro de intervalo de classes é normalmente entre 5 e 20,

dependendo dos dados;

3) Os intervalos de classe são escolhidos de maneira que

seus pontos médios coincidam com dados realmente

observados. Isso tende a diminuir erros;

4) Determina-se o número de observações que caem

dentro de cada intervalo de classe, isto é, calculam-se

as freqüências de classe.

Seguindo as regras gerais acima, que alterações teríamos no

nosso exercício das notas?

Bem, primeiro, vamos calcular a diferença entre o maior e o

menor número: 10,0 – 1,5 = 8,5. Isso significa que entre a

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

maior nota e a menor nota há uma distância de 8,5. Essa é a

amplitude total, isto é, os valores variam, no máximo, 8,5. De

outra forma, a distância do menor valor para o maior valor é

de 8,5. OK!

Agora, na segunda etapa das regras acima, vamos escolher o

número de intervalos de classe.

Vamos tentar o menor nú-

mero sugerido: 5. Se quero 5 classes e minha amplitude total

é 8,5, basta dividir a amplitude total pelo número de classes

escolhido para determinar os intervalos de classe. Assim,

Intervalo de classes =

amplitude total

total de classes

8,5

= 1,7 = 2

Observe que arredondamos

o valor para 2 (assim temos um

número fácil de trabalhar). O que esse resultado significa?

Significa que teremos cinco intervalos de amplitude 2. Desse

modo, nossa nova tabela de distribuição de freqüência será:

Tabela 18: Exemplo de Tabela de Distribuição de Freqüência

Notas de 40 alunos de uma disciplina

Notas

Número de estudantes

(freqüência)

0,0 – 2,0 1

2,1 – 4,1 12

4,2 – 6,2 7

6,3 – 8,3 11

8,4 – 10,0

Total 40

Observe que alterando os intervalos de classes, as concentra-

ções mudam.

Gráficos de uma distribuição

Graficamente, uma distribuição de freqüência pode ser re-

presentada pelo histograma ou pelo polígono de freqüência.

34 Relembrando: no nosso exemplo utilizamos 4 intervalos: 0,0–4,9; 5,0–6,9; 7,0–8,9; 9,0–

10,0.

35 Ver Unidade 2: Conceitos Matemáticos, Seção 6: Arredondamento, p. 35.

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Ambos os gráficos são representados no sistema cartesiano,

sendo o eixo x (linha horizontal) a representação da variável e

no eixo y (linha vertical) a representação das freqüências.

Histograma

Vejamos um modelo de histograma.

Figura 21: Modelo de Histograma

O modelo de histograma do gráfico da Figura 21, acima, re-

vela que o histograma é formado por um conjunto de retân-

gulos justapostos representados no sistema de coordenadas

cartesianas, onde, o eixo x é o “eixo das variáveis” e o eixo y,

o “eixo das freqüências”.

As bases dos retângulos representam os intervalos de classe e

o ponto médio delas deverá ser um valor observado no estudo

das variáveis. As alturas dos retângulos são proporcionais às

freqüências das classes. Calculando a área de um retângulo,

encontramos a freqüência daquele intervalo de classe e calcu-

lando a área de todos os retângulos, encontramos a soma de

todas as freqüências. Formalmente,

O histograma é formado por um conjunto de retângulos

justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo

horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam

com os pontos médios dos intervalos de classe (CRESPO,

1995, p. 69).

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Polígono de freqüência

Polígono de freqüência é um gráfico de linha

. Na verdade,

essa representação gráfica nada mais é do que a união dos

pontos de freqüência das variáveis. Observe abaixo:

Figura 22: Polígono de Freqüência: Esboço

Observando o esboço do polígono de freqüência da Figura

22, acima, identificamos que a linha é construída a partir dos

pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.

A rigor, não precisamos construir o histograma, basta levantar

uma reta a partir do ponto médio da base do triângulo (altura).

Formalmente,

O polígono de freqüência é um gráfico de linha,

sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares

ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos

intervalos de classe (CRESPO, 1995, p. 70).

Seção 3: Um exercício completo

Vamos, agora, realizar um exercício completo sobre distribui-

ção de freqüência, envolvendo todos os fundamentos vistos

até agora, incluindo a construção gráfica. Nosso problema é

o seguinte:

36 Ver Unidade 3: Variáveis, Tabelas e Gráficos, Seção 5: Gráficos, Diagramas, p. 49.

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Ana Maria, secretária de uma grande escola, ouve muitas con-

versas na secretaria. Em uma conversa dessas, ouviu uma re-

clamação do professor Paulo. As pessoas diziam que as notas

dos seus alunos eram muito baixas; segundo a conversa, a

maioria dessas notas eram abaixo da média.

Ana Maria ficou curiosa. Ela gostaria de analisar o desempe-

nho dos alunos do professor Paulo, para saber se esses boa-

tos eram verdade. Para realizar tal tarefa, ela seguiu 5 etapas.

Etapa: levantamento dos dados brutos. A primeira coisa

a fazer era conseguir todas as notas dos alunos do professor

Paulo. Isso foi fácil. O resultado está abaixo.

Tabela 19: Exercício: Tabela Primitiva

Notas dos alunos do professor Paulo

5 7 7 2 0 0 3 9 8 4 8 4

1 7 9 6 7 7 1 4 0 2 1 1

3 9 7 5 6 4 9 8 6 5 4 0

8 9 3 2 9 6 8 7 4 5 4 8

3 2 8 8 0 5 3 5 1 5 9 0

9 9 3 9 8 8 7 5 8 7 0 2

7 7 1 7 7 1 7 0 6 3 2 0

2 7 8 6 2 1 6 7 4 6 9 6

5 1 7 9 2 5 9 1 8 5 2 8

7 3 0 7 8 8 6 9 7 4 8 3

5 2 5 1 8 8 8 7 4 0 3 6

2 9 8 4 8 5 8 6 5 8 6 4

2 1 1 0 3 9 0 3 8 1 2 9

1 7 4 9 0 3 8 1 2 9 7 7

Bem, como podemos notar, o professor Paulo possuía muitas

turmas e, por isso, muitas notas. O levantamento inicial foi

organizado em uma Tabela primitiva. Agora, é preciso expor

esses dados em um rol.

Etapa: construção de rol. Levantados os dados brutos,

agora, é preciso organizá-los. Ana Maria realizou a tarefa co-

locando as notas em ordem crescente, conforme Tabela 20,

abaixo.

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Tabela 20: Exercício: Rol

Notas dos alunos do professor Paulo

0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9

0 1 1 2 3 5 5 7 7 8 8 9

0 1 2 2 4 5 6 7 7 8 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 7 8 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 7 8 9 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 9

Mesmo depois de ter organizado os dados, Ana Maria sentiu

necessidade de diminuir os espaços. Essa foi a tarefa da pró-

xima etapa.

Etapa: construção da Tabela de Freqüência. Ana Maria per-

cebeu que trabalhar com o rol era melhor que trabalhar com

a Tabela primitiva. Mas, mesmo assim, sentiu necessidade

de diminuir ainda mais a quantidade de dados. Para isso, ela

construiu uma Tabela de Freqüência, já que percebeu que di-

versas notas se repetiam. Veja o resultado, abaixo:

Tabela 21: Exercício: Tabela de Freqüência

Notas dos alunos do professor Paulo

Notas Freqüência

0 14

1 16

2 15

3 13

4 13

5 15

6 13

7 24

8 26

9 19

Total 168

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Quando Ana Maria construiu a Tabela de Freqüência das notas

dos alunos do professor Paulo ela verificou com mais clareza

onde se concentravam a maioria das notas. A partir desse mo-

mento, ela já pôde dizer que as pessoas estavam enganadas,

pois, embora parecesse que o professor Paulo atribuía muitas

notas baixas, na verdade, as notas se concentravam entre 7,

8 e 9.

Ana Maria saiu da aparência: já pensou se ela emitisse alguma

opinião com base, apenas, no levantamento inicial dos dados

(Tabela Primitiva)? Bem, a chance dela fazer um julgamento

equivocado seria muito grande. Mas ela ainda se sentia inse-

gura. Portanto, ela agrupou os dados para uma análise mais

apurada.

Etapa: construção da Tabela de Freqüência com intervalos

de classe. Quando Ana Maria decidiu agrupar ainda mais os

dados, a primeira dificuldade a enfrentar foi: quantas classes e

qual o intervalo delas? A primeira tarefa que realizou foi a de-

terminação da amplitude total de variação, pois, a partir dela

seria possível determinar os intervalos de classes.

Então, Ana Maria realizou a seguinte operação:

amplitude total = nota maior – nota menor = 9 – 0 = 9

De posse da amplitude total, Ana Maria decidiu que seu estu-

do teria 5 classes. Portanto, o intervalo de classe deveria ser:

Intervalo de classes =

amplitude total

de classes

= 1,8 = 2

Naquele momento, Ana Maria estava pronta para elaborar sua

nova Tabela de freqüência com intervalo de classes. O resul-

tado foi:

Ana Maria sabia que as

classes, normalmente,

variam de 5 a 20, conforme

as regras para a elaboração

de intervalos de classe.

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Tabela 22: Exercício: Tabela de Freqüência com intervalos de classe

Notas dos alunos do professor Paulo

Notas Freqüência

0 a 2 30

2 a 4 28

4 a 6 28

6 a 8 37

8 a 10

Total 168

Organizados os dados em uma tabela de freqüência com in-

tervalos de classe, Ana Maria pôde identificar, ao contrário

do que as pessoas andavam conversando, que as notas se

concentravam no intervalo de 8 a 10. Além disso, a segun-

da maior concentração das notas de seus alunos pertencia ao

intervalo de 6 a 8. Os resultados do seu estudo, até aqui, de-

monstraram uma situação diferente do que poderia parecer à

primeira vista.

Depois, para apresentar os resultados, Ana Maria construiu

um gráfico.

Etapa: representação gráfica. A fim de expor os dados ra-

pidamente e com clareza, Ana Maria optou pelo polígono de

freqüência. Veja o resultado abaixo.

Gráfico 7: Exercício: Polígono de Freqüência

Convém reforçar que se um

intervalo é de 0 a 2 e outro

intervalo é de 2 a 4, como

fazer para não contar o 2

duas vezes?

A saída é considerar aquilo

que na matemática se

chama pontos abertos e

fechados. Assim, no caso

de 0 a 2, consideraremos

fechado à esquerda e aberto

à direita; vale dizer: o zero

entra e o 2 não.

Da mesma forma, no

intervalo de 2 a 4, o 2

entra e o 4 não; e assim

sucessivamente.

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Concluindo o estudo, o polígono de freqüência parece de-

monstrar que o resultado do trabalho do professor Paulo é sa-

tisfatório, pois, há mais alunos com notas acima do intervalo

de 4 a 6 do que abaixo dele. Nada mais podemos afirmar.

Chegamos ao fim do nosso exercício. Você observou que se-

guindo as etapas, não é difícil estudar, com rigor, um fenôme-

no qualquer. Que tal você realizar uma atividade parecida?

Selecione dois diários de classe e realize to-

das as cinco etapas do nosso exercício:

1) 1

etapa: levantamento dos dados brutos;

2) 2

etapa: construção do rol;

3) 3

etapa: construção da Tabela de Freqüência;

4) 4

etapa: construção da Tabela de Freqüência com In-

tervalos de Classe;

5) 5ª etapa: representação gráfica.

Sugiro que você realize a atividade com diários de pro-

fessores que não estejam na escola. Caso não consiga

acesso aos Diários de Classe, peça a alguém para in-

ventar algumas notas ou invente você mesmo. Co-

loque os resultados em seu memorial.

Seção 4: As Curvas de Freqüência

Para completar nossa Unidade de estudo, vamos apenas to-

mar conhecimento de outras representações gráficas.

A tendência da análise de populações cada vez mais amplas

é de que a linha poligonal se torne uma curva. Essa curva

recebe o nome de curva de freqüência. Enquanto o polígono

de freqüência nos dá a imagem real do fenômeno estudado, a

curva de freqüência nos dá a imagem tendencial.

Na prática, essas curvas aparecem de diversas formas. Obser-

ve a Figura 23, abaixo:

“Os dados coletados

podem, usualmente,

ser considerados como

pertencentes a uma

amostra extraída de grande

população. Como se dispõe

de muitas observações da

população, é teoricamente

possível (para dados

contínuos) a escolha de

intervalos de classe muito

pequenos e ter, até, números

convenientes de observações

que se situam dentro de cada

classe. Assim, seria possível

contar com um polígono

de freqüência [...] para uma

grande população que tenha

tantos pequenos segmentos

de linha quebrada que se

aproximem bastante de uma

curva que será denominada

curva de freqüência [...]”

(SPIEGEL, 1975, p. 49).

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Figura 23: Curvas de Freqüência

Cada curva apresenta, naturalmente, um significado dife-

rente. A curva simétrica ou em forma de sino caracteriza-se

pelo fato de apresentar um valor máximo na região central. A

curva com esse comportamento simétrico é uma curva nor-

mal. Muitos fenômenos apresentam essa distribuição, tais

como: a estatura dos adultos; o peso dos adultos; os preços

relativos etc.

Alguns fenômenos apresentam uma moderada assimetria.

Nas curvas assimétricas ou desviadas, a cauda da curva de

um lado é mais longa do que do outro. Se a parte mais alon-

gada fica à direita, chamamos a curva de desviada para a di-

reita ou de assimetria positiva; se ocorre o contrário, a parte

alongada fica à esquerda, a curva chama-se desviada para a

esquerda ou de assimetria negativa.

As curvas em forma de J ou em J invertido são extremamen-

te assimétricas. O ponto de máximo ocorre em uma das ex-

tremidades. São curvas típicas de fenômenos econômicos e

financeiros, tais como: distribuição de vencimentos ou rendas

pessoais.

Uma curva de freqüência em forma de U possui ordenadas

máximas em ambas as extremidades. Um bom exemplo de

um fenômeno com esse comportamento é o da “mortalidade

por idade”.

37 CRESPO (1995, p. 74).

38 SPIEGEL (1975, p. 49).

39 CRESPO (1995, p. 75).

40 CRESPO (1995, p. 75).

“A curva simétrica

caracteriza-se por

apresentar o valor máximo

no ponto central e os pontos

eqüidistantes [à mesma

distância] desse ponto

terem a mesma freqüência.”

(CRESPO, 1995, p. 74).

IMPORTANTE

UNIDADE 4 – Distribuição de freqüência

Tanto a curva bimodal, quanto a multimodal se referem à

quantidade de pontos de máximos: a primeira, possui dois

pontos de máximos; a segunda, mais de dois máximos.

Por fim, a distribuição retangular é uma manifestação rara.

Apresenta todas as classes com a mesma freqüência. Repre-

sentada em um histograma, todas as colunas apresentam a

mesma altura e representada por um polígono de freqüência,

reduz-se a um segmento de reta horizontal.

1) Feita a coleta de dados das estaturas de

150 alunos, os resultados foram disponibilizados

como abaixo (em centímetros). A partir de 145 cm,

com intervalos de classe de 5 cm, exponha o resul-

tado em uma Tabela.

159

150

159

152

151

152

154

152

159

153

161

150

155

160

153

174

151

155

163

150

153

152

150

159

152

159

153

154

159

154

151

159

154

153

159

154

152

170

165

155

149

163

146

166

177

148

161

156

147

167

158

161

168

147

164

169

155

162

164

157

146

160

156

148

150

156

160

148

151

163

161

147

155

164

149

162

155

146

167

157

171

152

162

160

156

146

157

163

158

147

151

155

158

164

148

165

155

154

162

156

147

150

156

155

172

146

158

161

158

168

151

164

153

168

153

163

157

147

166

150

148

178

158

163

167

148

157

169

151

164

156

157

147

156

158

156

148

162

160

151

153

159

157

158

154

158

157

149

Fonte: CASTRO (1964, p. 3)

2) A partir da Tabela de Distribuição de Freqüência,

acima, construa o gráfico de barras que a repre-

senta.

41 CRESPO (1995, p. 76).

Medidas de resumo

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Seção 1: Introdução

É preciso iniciar nossa última Unidade de estudo, fazendo a

importante distinção entre mensuração e medida. Mensura-

ção é processo do qual resulta uma medida; medida é valor,

número resultante do processo de mensuração.

Medir algo

é, portanto, atribuir um número.

Há quatro níveis de medidas:

Os níveis de medidas

Níveis Variáveis

1º nível

Nominal, pois, apesar de expressa em números, é ap-

enas um nome. Exemplos: número de telefone, RG, CIC,

CPF etc. Esses números não são objetos de operações

matemáticas.

2º nível

Ordinal, quando os itens podem ser colocados em ordem

de grandeza. As notas escolares são um bom exemplo

desse nível.

3º nível

Intervalar. Aqui, faz sentido quantificar. Na escala interva-

lar, adição e subtração são permitidas (mas multiplicação

e divisão não). Escalas termométricas são um bom exem-

plo.

4º nível

Racional ou de razão. Nesse nível, todas as operações

matemáticas são permitidas. Medidas tomadas com ré-

gua, fita métrica, balança, litro são bons exemplos, pois o

medido corresponde ao real e não a uma correspondên-

cia.

Quadro 3: Níveis de medidas

Fonte: COSTA (2004, p. 36-40).

Pelos níveis de medidas acima, é fácil notar que um professor,

ao atribuir uma nota bimestral a um aluno, está, na verdade,

lidando com uma variável ordinal. Assim, ele está, apenas, in-

dicando em uma escala, por exemplo, de 0 a 10, onde o aluno

se encontra. Essa nota bimestral não é, portanto, uma medida

racional, isto é, não possui a qualidade de uma medida obtida

com uma fita métrica onde o resultado expressa a realidade.

Além disso, ao final do ano, os professores costumam tirar

média das notas bimestrais. Isso é matematicamente sem

sentido, pois, as notas não são reais, isto é, não represen-

tam a totalidade do conhecimento do aluno. Sendo assim, a

42 COSTA (2004, p. 36).

“Numa comparação

grosseira, é como se a

mensuração fosse o processo

de fotografar e medida,

a fotografia resultante”

(COSTA, 2004, p. 36).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

matemática não autoriza a operação com variáveis ordinais.

Os professores costumam tirar média de notas. Por tradição

e desconhecimento, não sabem que a Matemática não au-

toriza esse tipo de cálculo. Imagine que a nota de um alu-

no no 1º bimestre seja 5, o que isso significa? Significa que

no processo de mensuração a resultante pode ser expressa

pelo número 5 (medida). Isto é, numa escala de 0 a 10, o

aluno pode ser colocado no posto 5. Somente isso, trata-se

de uma variável ordinal, pois, pode ser colocado em uma

ordem (ordem 5, na escala de 0 a 10). Não tem significado

algum realizar operações com as notas do 1º e 2º bimestre

para produzir uma resultante final. (COSTA, 2004).

Esse é um problema que, a meu ver, tarda em ser

enfrentado. Mas fique sabendo que

“existe, hoje, embora com pouca divulgação entre

nós, uma teoria capaz de dar conta dos problemas

apontados: trata-se da Teoria de Resposta ao Item (TRI),

extremamente complexa e fortemente dependente de

conhecimentos probabilísticos. Pouco a pouco, essa teoria

vai ganhando espaço, graças, entre outros fatores, à

rápida evolução de recursos computacionais. Em países

como Estados Unidos, Holanda e Espanha, a TRI já conta

com forte adesão” (COSTA, 2004, p. 40).

Sem perder de vista a importante diferenciação entre mensu-

ração e medida, passemos ao estudo das medidas. Em Es-

tatística Descritiva,

alguns conceitos são fundamentais para

analisarmos os dados, se quisermos uma análise responsável.

As medidas podem ser divididas em:

a) medidas de tendência central (média, moda e mediana);

b) medidas de dispersão (desvio-padrão e coeficiente de

variação);

c) medidas de posição (quartis, decis e percentis).

Como a finalidade dessas medidas é resumir as informações,

essas medidas são chamadas medidas de resumo.

Por essa

43 Ver Seção 2: Estatística Descritiva e Estatística Indutiva ou Inferencial, p. 42.

44 Segundo PEREIRA (2004, p. 11)

45 PEREIRA (2004).

A Teoria de Resposta ao

Item (TRI) já possui vasta

aplicação no Brasil. Consulte

o endereço eletrônico abaixo,

para ver a aplicação da TRI

na produção de indicadores

socioeconômicos. http://

www.scielo.br/pdf/pope/

v25n1/24252.pdf

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

razão, a média, por exemplo, é um valor que resume as infor-

mações de um conjunto maior de dados. Por exemplo, “quan-

do um jornalista diz na TV que o salário médio do brasileiro é

algo que gira em torno de R$ 450,00 é porque muitos salários

foram considerados, em todo o país, e o valor de R$ 450,00

expressa esse conjunto de salários.” (PEREIRA, 2004, p. 11).

No nosso estudo, nesta Unidade V, enfocaremos algumas

dessas medidas. Começaremos com as medidas de tendência

central; nessa parte, seção 2, estudaremos a média e a média

aritmética ponderada, a mediana, a moda e, por fim, a relação

entre média, mediana e moda. Depois, na seção 3, estudare-

mos as medidas de dispersão, especialmente, os conceitos de

dispersão e variação, desvio padrão e coeficiente de variação.

Por último, na seção 4, estudaremos as medidas de posição

conhecidas como quartis, decis e percentis.

Bom estudo a todos!

Seção 2: Medidas de Tendência Central

A média é a mais importante das medidas estatísticas.

A média é um valor típico de um conjunto de dados que tende

a se localizar em um ponto central. Por essa razão, medidas

com essa tendência são também denominadas medidas de

tendência central. Vários tipos de médias podem ser defini-

dos, sendo as mais comuns a média aritmética, a média arit-

mética ponderada, a mediana e a moda.

Média Aritmética

Para se calcular a média aritmética, ou simplesmente média,

de um conjunto depende do tipo de dados. Para dados não-

agrupados é muito simples. Observe o exemplo:

46 Existem outras médias, tais como a Média Geométrica e a Média Harmônica, que não

serão estudadas por nós.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

As notas de um estudante em seis provas foram 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e

7,8. Determinar a média aritmética das notas.

Solução:

Média Aritmética

8,4 + 9,1 + 7,2 + 6,8 + 8,7 + 7,8

= 8,0

Figura 24: Média Aritmética: Exemplo

Fonte: Adaptado de SPIEGEL (1975, p. 80)

Observe que, na prática, o que realizamos foi somar todas as

notas (48) e dividir pela quantidade total de notas (6).

Já que os números servem para “resumir” as informações,

que tal diminuir a quantidade de dados por meio de fórmu-

las?

Estatísticos e matemáticos gostam muito de fórmulas. Isso se

deve ao fato de elas “economizarem” quantidade de informa-

ções. Eles são muito práticos.

Assim, ao invés de escreverem “média aritmética”, na resolu-

ção de um exercício, eles utilizam a letra “x”, com uma barra

em cima (x

); cada elemento do conjunto eles chamam de “x

”;

todos os elementos, “n” e, para representarem uma soma de

todos os elementos de um conjunto, eles utilizam o símbolo

chamado “somatório” (

∑).

Dessa maneira, a fórmula para a média aritmética fica assim

representada:

Fórmula 1: Média Aritmética

Vamos realizar outro exercício para dados não-agrupados uti-

lizando, desta vez, a Fórmula 1. Considere as aprovações na

disciplina de matemática do professor João, de uma turma,

nos últimos anos, representadas na série histórica abaixo:

Soma, Total ou ∑, são

maneiras diferentes de

representar a mesma coisa: a

soma total.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Tabela 23: Série Histórica: Exercício

Total de aprovados em matemática – Professor João

2001 2002 2003 2004 2005

35 38 32 40 37

Pergunta-se: qual a média aritmética dos aprovados nessa

disciplina, no período considerado?

Solução:

Então,

–

x= 36,4.

Você notou que não existe o número 36,4 no conjunto

de dados? Quando isso acontece, dizemos que a média

não tem existência concreta.

O que esse valor significa?

Significa que, considerando todas as grandezas, dentro

do conjunto de dados ordenados, esse valor tende a

uma posição central, por isso, a média é uma medida de

tendência central.

Vejamos, agora, como se calcula a média aritmética

para dados agrupados. Os dados agrupados podem se

apresentar sem intervalos de classe ou com intervalos de

classes.

Vamos calcular a média aritmética para dados agrupados

sem intervalos de classe. Considere a distribuição de

freqüência relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando

como variável o número de filhos do sexo masculino,

abaixo.

47 CRESPO (1995, p. 80).

48 Ver Unidade 4: Distribuição de Freqüência, particularmente, a Seção 2: Distribuição de

freqüência e Aprofundamento: regras para a elaboração de uma distribuição de freqüên-

cia, p. 61.

49 CRESPO (1995, p. 82).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

Tabela 24: Distribuição de Freqüência: Exercício

Número de filhos do sexo mas-

culino

de meninos

Freqüência

)

0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

∑ =

Fonte: CRESPO (1995, p. 82)

O levantamento foi realizado em 34 famílias, todas com 4 fi-

lhos. A coluna da esquerda, número de meninos, é a coluna

indicadora. A coluna da direita, freqüência, é a coluna numé-

rica.

De acordo com a Tabela de Distribuição de Freqüência,

de todas as famílias em estudo, 2 famílias não possuíam me-

ninos; 6 famílias apresentaram 1 menino; 10 famílias, 2 meni-

nos; 12 famílias, 3 meninos e, por fim, 4 famílias possuíam 4

meninos.

Dessa forma, as freqüências são indicadoras da intensidade

de cada valor da variável número de meninos. Esse é um

caso de ponderação, o que nos leva a calcular a média arit-

mética ponderada, porque cada variável possui intensidade

diferente.

Para o cálculo da média, precisaremos de outra Fórmula:

Fórmula 2: Média Aritmética Ponderada

50 Ver Unidade 3: Variáveis, Tabelas e Gráficos, Seção 4: Tabelas, p. 46.

Quando na Tabela aparece,

por exemplo, que para 1

menino a freqüência é 6,

é o mesmo que dizer que

existem 1+1+1+1+1+1

meninos ou 6 vezes 1. Viu?

Ponderar nada mais é do que

considerar as repetições.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

O modo mais prático para calcular uma média ponderada

construir na Tabela de Distribuição de Freqüência mais uma

coluna com os produtos “n

de meninos” vezes “freqüência”

(ou, segundo a fórmula, x

). Veja:

Tabela 25: Distribuição de Freqüência: Exercício: Ponderação

Número de filhos do sexo masculino

de meninos

Freqüência

(

)

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

∑ =

Agora ficou fácil. Temos, então, que:

Logo, pela Fórmula 2:

A média de 2,3 nos indica que as famílias têm em média 2

meninos e 2 meninas, sendo que existe uma tendência geral

de uma leve superioridade numérica dos meninos em relação

ao número de meninas.

Por fim, vamos calcular a média aritmética para dados agru-

pados com intervalos de classes. Quando os dados são apre-

sentados em uma distribuição de freqüência, todos os valo-

res incluídos num certo intervalo de classe são considerados

coincidentes com o ponto médio do intervalo.

Para o cálculo

da média aritmética ponderada, utilizamos a Fórmula 2:

51 Para falar a verdade, sempre que formos aplicar uma Fórmula, construiremos tabelas de

auxílio. Desse modo, identificamos os dados da Fórmula e, depois, encontramos o resul-

tado.

52 SPIEGEL (1975, p. 73).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

, onde xi é o ponto médio da classe.

Dessa forma, o raciocínio é o mesmo para a média aritmética

ponderada sem intervalos de classe.

Vamos realizar um exercício. Você se lembra do professor

Paulo? Bem, vamos retornar às notas dos alunos dele.

Tabela 26: Distribuição de Freqüência: Exercício: Ponderação:

Ponto Médio

Notas dos alunos do professor Paulo

Notas

0 a 2 30 1 30

2 a 4 28 3 84

4 a 6 28 5 140

6 a 8 37 7 259

8 a 10 45 9 405

∑ =

168

∑ =

918

A Tabela 26, acima, recuperou a distribuição de freqüência do

professor Paulo, acrescentando, apenas, o ponto médio dos

intervalos de classe (x

) e a ponderação, isto é, o produto dos

pontos médios pela freqüência (x

). Bem, sabemos, portan-

to, que:

Logo, utilizando a Fórmula 2 para o cálculo da média aritméti-

ca ponderada, temos que:

53 Tabela 22, p. 70.

Qual o ponto médio do

intervalo de 0 até 2?

A resposta é 1.

Qual é o ponto médio do

intervalo de 2 a 4?

A resposta é 3.

Viu?

Ponto médio é o ponto que

está no meio do intervalo.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

O que isso indica? Indica que temos que mudar nossa

opinião sobre o trabalho do professor Paulo. E por quê?

Porque a “análise” que realizamos, naquele momento, nos

levou a afirmar “que o resultado do trabalho do professor

Paulo é satisfatório, pois, há mais alunos com notas

acima do intervalo de 4 a 6 do que abaixo dele”. Você se

lembra?

E o que mudou de lá para cá? Bem, a média das notas do

professor sendo 5,5, indica que praticamente, metade dos alu-

nos do professor estão com notas abaixo de 5,0, com uma

tendência para notas acima de 5,0. Ora, isso não parece tão

satisfatório, não é mesmo? Diante disso, não é ilícito afirmar

que o professor Paulo precisa rever seus processos de men-

suração.

Calcule a média dos acidentes de trânsito, na

Região Centro-Oeste, em 2002.

Tabela 27: Vítimas de Acidentes de Trânsito,

por 10.000 veículos, em 2002

Unidade da Federação

Vítimas de

acidentes

Distrito Federal 11.256

Brasília 6.747

Goiás 22.383

Goiânia 9.567

Mato Grosso -

Cuiabá -

Mato Grosso do Sul 7.346

Campo Grande 3.071

Fonte: Adaptado de Anuário Estatístico de Acidentes de Trânsito (2002)

54 Ver p. 70.

55 Sobre mensuração e medida, ver Seção 1: Introdução desta Unidade, p. 76.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

Mediana e Média

Em um conjunto ordenado, o ponto central que divide esse

conjunto em dois subconjuntos com o mesmo número de ele-

mentos chama-se mediana. Aqui, diferentemente da média

(que nos fornece a concentração dos dados), a mediana nos

fornece a posição que divide, exatamente, um conjunto em

função da quantidade de seus elementos. Por exemplo:

Vamos considerar o conjunto dos números

3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10

Quem está no meio do conjunto?

Então, os elementos antes de 6 são:

3, 4, 4 e 5

E depois de 6:

8, 8, 8 e 10

Observe que temos a mesma quantidade de elementos antes

e depois de 6. A mediana indica isso: o número que divide o

conjunto ao meio, isto é, a quantidade antes e depois dele é a

mesma. Assim,

A mediana é [...] definida como o número que se

encontra no centro de uma série de números, estando

estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras,

a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo

uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no

conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo

número de elementos. (CRESPO, 1995, p. 93).

Para dados não agrupados, como no exemplo acima, calcula-

se a mediana de duas maneiras:

1) quando os dados forem de número ímpar, basta encon-

trar o ponto central, isto é, encontrar o valor que antes

dele e depois dele, tenham o mesmo número de elemen-

tos;

2) quando os dados forem de número par, não haverá um

ponto central. Nesse caso, calcula-se o ponto médio dos

dois valores centrais, com a ajuda da média aritmética.

Não se esqueça que, para

fazer isso, é preciso que os

elementos estejam em um

rol, isto é, apresentem-se

em uma ordem crescente ou

decrescente.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Considere o conjunto:

145, 68, 1, 2, 6, 5, 4, 3, 4, 8. Vamos

calcular a média e a mediana (md). A primeira coisa a fazer,

nunca se esqueça, é colocar os elementos em ordem:

1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 68, 145.

Efetuando os cálculos:

Média

Aplicando a Fórmula 1, temos:

Mediana

Para conjunto de dados par, realizar a média dos dois pontos

centrais:

Observe que a média é muito diferente da mediana. Média

igual a 24,6 significa que os dados do conjunto se concentram

em torno desse número, isto é, “o problema da média é que

ela é afetada pelos grandes valores” (PEREIRA, 2004, p. 19)

Com o cálculo da mediana (md) igual a 4,5, podemos afirmar

que metade dos valores está abaixo de 4,5 e, portanto, são

muito baixos.

Embora ambas as medidas sejam de tendência central (ou

seja, representem pontos que tendem para o centro dos da-

dos), no nosso caso, os valores do conjunto estão mais pró-

ximos de 4,5 do que de 24,6, não concorda? Por isso dizemos

que a média leva em conta os valores e a mediana não.

56 PEREIRA (2004, p. 20).

57 Um exemplo dessa importante informação: dizer que a média dos salários de três amigos

meus é de R$ 1.900,00 não me indica quase nada, pois, eles podem receber R$ 350,00,

R$ 350,00 e R$ 5.000,00. O que isso prova? Prova que a média é afetada pelos grandes

valores.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Se os dados estão agrupados, para calcular a mediana utiliza-

mos a fórmula:

Fórmula 3: Mediana

No caso de dados agrupados sem intervalos de classe, como

é o caso da Tabela 28, abaixo, podemos utilizar um recurso

que nos auxilia a calcular a mediana: a coluna de freqüências

acumuladas (F

). Freqüência acumulada nada mais é do que

a soma das freqüências de cada variável. Observe que para

a variável “0 menino”, temos freqüência 2, logo, a freqüência

acumulada é 2; para a variável “1 menino”, temos freqüência

6, logo, a freqüência acumulada é 8, pois, 2 (freqüência acu-

mulada anterior) + 6 (freqüência simples); para a variável “2

meninos”, temos freqüência simples igual a 10, logo, a fre-

qüência acumulada será 8 (anterior) + 10 = 18; e assim su-

cessivamente. Freqüência acumulada será então, a soma das

freqüências simples.

Tabela 28: Distribuição de Freqüência: Exercício: Mediana:

Freqüência Acumulada

Número de filhos do sexo masculino

de meninos

0 2 2

1 6 8

2 10 18

3 12 30

4 4 34

∑ = 34

Fonte: CRESPO (1995, p. 95).

Pois bem, como calcular o ponto que divide igualmente a

quantidade de valores acima e abaixo dele, ou seja, como

calcular a mediana? Para o cálculo da mediana, aplicamos a

Fórmula 3. O resultado indica que a mediana será um dos va-

lores da coluna da esquerda (0, 1, 2, 3 ou 4) correspondente à

freqüência acumulada imediatamente superior.

Observe que, para freqüência,

utilizamos o símbolo f

Quando queremos nos referir

à freqüência acumulada,

utilizamos F

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Vamos resolver o exercício acima. Sabemos que

∑ f

= 34

Aplicando a Fórmula 3, temos que

Pela Fórmula 3, a mediana é 17. Na Tabela existe freqüência

acumulada 17? Não. Caso existisse, aquela seria a linha em

se encontraria a mediana. Mas, no caso de não existir, como

proceder? Simples, veja:

As freqüências acumuladas são 2, 8, 18, 30 e 34. Qual é a ime-

diatamente superior a 17? Isso mesmo, 18. Então, vamos des-

tacar a linha:

Figura 25: Linha Mediana

O número 17, conseguido com a Fórmula 3, indica que a me-

diana pertence à linha em que esse número se encontra. Mas

como não há freqüência acumulada 17, como não é possível

encontrar diretamente 17 na freqüência acumulada, então,

consideramos a freqüência acumulada imediatamente supe-

rior. Nesse caso, essa freqüência é o 18. Destacamos a linha

mediana, isto é, a linha onde a nossa mediana procurada se

encontra. A mediana é, portanto, 2.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

Vamos explorar um pouco mais esse resultado. Observe o

Gráfico 8, abaixo:

Gráfico 8: Mediana

O Gráfico 8 mostra que: duas famílias não possuem filhos me-

ninos (2,0); 4 famílias possuem 4 meninos; seis famílias pos-

suem 1 menino (6,1); 10 famílias possuem 2 meninos (10,2);

12 famílias possuem 3 meninos (12,3). Temos no nosso con-

junto 78 meninos, por quê? Veja:

• 2famíliasnãopossuemmeninos 2 x 0 = 0;

• 4famíliaspossuem4meninos 4 x 4 = 16;

• 6famíliaspossuem1menino 6 x 1 = 6;

• 10famíliaspossuem2meninos 10 x 2 = 20;

• 12famíliaspossuem3meninos 12 x 3 = 36.

Logo, o total de meninos é 0 + 16 + 6 + 20 + 36 = 78 (

∑

= 78).

A mediana encontrada foi 2, isso significa que as famílias que

possuem dois meninos dividem nosso conjunto de 78 meni-

nos ao meio: metade desses meninos estão nas famílias com

nenhum filho, com um filho e com dois filhos; a outra metade

é composta de famílias com dois meninos, com três meninos

e famílias com quatro meninos. Agora ficou mais claro que a

mediana divide nosso conjunto ao meio.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Vá à Secretaria de sua escola e pegue, ale-

atoriamente, dados sobre 10 famílias. Calcule a mé-

dia e a mediana do número de filhas meninas.

Ainda não concluímos o estudo sobre mediana. É preciso, por

último, calcular a mediana de dados agrupados em intervalos

de classe. Mas isso, faremos mais à frente.

Moda

Em um conjunto de números, chamamos de moda o valor

que ocorre com maior freqüência, isto é, o valor mais comum.

É assim que podemos dizer que “o salário modal dos empre-

gados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salá-

rio recebido pelo maior número de empregados dessa indús-

tria”. (CRESPO, 1995, p. 89). Por exemplo:

a) O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 tem moda 9;

b) O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 não tem moda;

c) O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tem duas modas, 4

e 7. Nesse caso é chamado bimodal.

Para dados agrupados sem intervalos de classe, é possível

determinar imediatamente a moda, como nos exemplos aci-

ma. Mas, por exemplo, a Tabela 28, p. 77, indica que a moda

é 3. Por quê? Porque o valor que mais se repete é aquele que

possui maior freqüência simples, não é mesmo?

É ainda possível encontrar a moda para dados agrupados com

intervalos de classe, mas deixaremos esse estudo para uma

outra oportunidade.

Expressões gráficas da moda

Em uma curva de freqüência, o maior valor de um conjunto é

chamado moda. Na prática, a moda é o valor que correspon-

de, no eixo das abscissas, ao ponto de ordenada máxima, em

outras palavras. Veja exemplos abaixo:

58 SPIEGEL (1975, p. 74).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

Figura 26: Curvas Modais

Vamos verificar a Curva Modal, acima (primeiro gráfico). Re-

pare que ela possui um valor maior, mais alto no gráfico. O

que isso indica? Indica que é o maior valor que o conjunto

pode assumir, por isso, é a moda do conjunto.

Já no último gráfico – Curva Trimodal –, identificamos três va-

lores de máximo, isto é, o conjunto possui três valores “maio-

res” que todos os demais, por isso, trimodal.

Relação entre Média, Mediana e Moda

Em curvas simétricas, unimodais, a média (

), a mediana (Md)

e a Moda (Mo) coincidem. Observe:

Conjuntos com mais de

três valores máximos são

chamados de polimodais.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Figura 27: Média, Mediana, Moda: Curva Simétrica

Em curvas de freqüência desviadas para a direita e para a es-

querda, as posições são diferentes. Veja:

Figura 28: Média, Mediana, Moda: Curva Assimétrica

Determinar a média, a mediana e a moda

dos conjuntos de números:

A = 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7

B = 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7

(Atenção: não se esqueça de colocar os conjuntos em

rol).

59 SPIEGEL (1975, p. 105).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

Seção 3: Medidas de Dispersão

Até aqui, vimos que média, mediana e moda são valores que

podem servir de comparação, mas, fundamentalmente, forne-

cem a posição de qualquer elemento do conjunto. Mas para

interpretar dados estatísticos, mesmo aqueles já convenien-

temente simplificados, é preciso conhecer a evolução desses

dados.

Um exemplo clássico para a compreensão da importância das

medidas de dispersão é o da comparação de temperaturas

entre cidades

: saber que a temperatura média de duas cida-

des é de 24ºC não me diz muita coisa a respeito da variação

dessas temperaturas.

Em uma cidade, o dia pode ter iniciado muito frio e terminado

muito quente; aqui, ocorreu uma grande variação da tempe-

ratura.

Na outra cidade, o dia pode ter iniciado e terminado como 24º

C; nesse caso, não haveria variação alguma de temperatura.

Viu? Embora as médias sejam importantes, elas não são sufi-

cientes para as inferências estatísticas, por isso, precisamos

de outras medidas.

Vamos reforçar a importância das medidas de dispersão, por

meio de um exercício. Consideraremos os três conjuntos abai-

xo, com seus respectivos valores:

X: 70, 70, 70, 70, 70.

Y: 68, 69, 70, 71, 72.

Z: 5, 15, 50, 120, 160.

Vamos calcular a média das idades dos três conjuntos:

Solução:

Para calcular as médias, precisaremos da Fórmula 1, p. 71:

60 CRESPO (1995, p. 108).

61 CRESPO (1995, p. 108).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

Então,

Para X:

Para Y:

Para Z:

Como podemos observar, os três conjuntos possuem a mes-

ma média aritmética: 70.

Mas também, podemos notar que o conjunto X é mais homo-

gêneo do que os conjuntos Y e Z; o conjunto Y, por sua vez, é

mais homogêneo que o conjunto Z; por fim, o conjunto Z é o

mais heterogêneo de todos. Viu? Mesmo possuindo a mesma

média, os conjuntos apresentam comportamentos muito dife-

rentes. A isso chamamos de dispersão.

Dispersão e Variação

Dispersão (ou variabilidade) de um conjunto refere-

se à maior ou menor diversificação dos valores de uma

variável em torno de um valor de tendência central

tomado como ponto de comparação.

No nosso exercício acima, os conjuntos X, Y e Z apresentam

como ponto de tendência central para fins de comparação

a média. Essa média é a mesma para os três conjuntos: 70.

Assim, o conjunto X apresenta dispersão nula, pois não há

variação dos valores do conjunto em relação a essa média;

o conjunto Y apresenta dispersão menor que o conjunto Z;

isso porque os valores de Y estão mais próximos que os do

conjunto Z.

Em resumo, a estatística recorre às medidas de dispersão

(ou de variabilidade) quando deseja qualificar os valores de

uma variável, ressaltando a maior ou menor dispersão entre

62 Ver Seção 2: Medidas de Tendência Central, p. 78.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

IMPORTANTE

esses valores e a sua medida de posição.

Dessas medidas de

dispersão,

estudaremos apenas o desvio padrão e o coefi-

ciente de variação.

Desvio Padrão

O desvio padrão é a medida da variação, da dispersão,

de um conjunto.

Assim, quanto maior for o desvio padrão, maior será a he-

terogeneidade entre os valores que estão sendo analisados.

Isso significa, portanto, que quanto maior for o desvio padrão,

maior será a variação entre os valores. Vamos entender me-

lhor isso.

De volta aos conjuntos X, Y e Z acima, vimos que a média

de todos eles era 70. Notamos, também, que os conjuntos X

e Y eram mais homogêneos que o conjunto Z. Agora vamos

calcular essa medida matematicamente, utilizando mais uma

fórmula:

Fórmula 4: Desvio Padrão: Dados Não Agrupados

Os nossos conjuntos X, Y e Z são de dados não agrupados.

Vamos representá-los em Tabelas, para melhor visualização.

63 Veremos, mais adiante, as medidas de posição. Por ora, podemos considerar, apenas, as

medidas de tendência central.

64 A lista de medidas de dispersão é longa. Para Spiegel (1975), essas medidas são: a am-

plitude total; o desvio médio; a amplitude semi-interquartílica ou o desvio quartílico; o

desvio-padrão; a variância; o coeficiente de variação.

Conjuntos mais homogêneos

apresentam desvios-padrão

menores.

Muita atenção à diferença

abaixo:

Matematicamente, os

parênteses alteram tudo.

Acompanhe o exercício para

detectar a diferença.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

100

Tabela 29: Desvio Padrão: Exercício

Tabela X Tabela Y Tabela Z

70 490 68 4624 5 25

70 490 69 4761 15 225

70 490 70 4900 50 2500

70 490 71 5041 120 14400

70 490 72 5184 160 25600

∑ = 350 ∑ = 24500 ∑ = 350 ∑ = 24510 ∑ = 350 ∑ = 42750

Note que cada valor do conjunto é representado por

e seu

quadrado é

. Sabemos que n é igual a 5, para todos os con-

juntos. Agora ficou fácil calcular o desvio padrão dos três con-

juntos. Vejamos:

Solução:

Aplicando a Fórmula 4, temos que:

Para o conjunto X:

Então,

Para o conjunto Y:

Então,

Para o conjunto Z:

Então,

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

101

IMPORTANTE

Você reparou que colocando na tabela os elementos que ire-

mos usar (

) fica mais fácil resolver o problema? Depois

de todos esses cálculos, temos que:

• OdesviopadrãodoconjuntoX é igual a 0. De fato, isso

significa que não há variação alguma no conjunto, por-

tanto, é um conjunto homogêneo;

• OdesviopadrãodoconjuntoY é igual a 1,4 e o do con-

junto Z é igual a 60,4. Comparando-se os dois conjun-

tos, vemos que há uma pequena variação em Y (1,4) e

uma alta variação em Z (60,4). Na prática, significa que

os valores do conjunto Y estão mais próximos da média,

ao passo que, em Z, os valores do conjunto estão muito

distantes da média.

Graficamente, é ainda mais fácil identificar um conjunto mais

homogêneo. Observe:

Figura 29: Desvio Padrão: Gráficos: Exercício

Você é capaz de dizer qual das três representações gráficas

acima, é o conjunto X? E o conjunto Y? E o conjunto Z? Note

que se o conjunto for homogêneo (I), o gráfico é uma linha

reta paralela ao eixo x; observe também, que quanto menos

homogêneo o conjunto, a reta tenderá a ser uma curva.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

102

Calcule o desvio padrão dos conjuntos abaixo:

A = 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5

B = 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Vamos fazer um exercício de cálculo do desvio padrão para

conjuntos com dados agrupados sem intervalos de classe.

Nesse caso, como temos freqüências (ou seja, como os valo-

res se repetem), vamos fazer uma pequena alteração na Fór-

mula.

Fórmula 5: Desvio Padrão: Dados Agrupados

Vamos encontrar o desvio padrão da Tabela 30, abaixo.

Tabela 30: Desvio Padrão: Dados Agrupados: Sem Intervalos

de Classe: Exercício

0 2

1 6

2 12

3 7

4 3

∑= 30

Fonte: CRESPO (1995, p. 115).

Da mesma maneira que estamos resolvendo nossos exercí-

cios, aqui, vamos acrescentar à Tabela três colunas que serão

úteis.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

103

IMPORTANTE

Tabela 31: Desvio Padrão: Exercício: Continuação

0 2 0 0 0

1 6 6 1 6

2 12 24 4 48

3 7 21 9 63

4 3 12 16 48

∑= 30 ∑= 63

∑=

165

Com a Tabela assim, é fácil encontrar o desvio padrão. Veja:

Sabendo que:

. Então,

Portanto, o desvio padrão é de 1,044.

Para encontrar o desvio padrão de um conjunto com interva-

los de classe, utilizaremos o mesmo recurso de acrescentar

à tabela os dados que iremos precisar na mesma Fórmula 5,

acima. Como recurso didático, usaremos a mesma Fórmula

para dados agrupados sem intervalos de classe.

Primeiro, vamos repetir a Fórmula 5:

Suponha, agora, que queiramos encontrar o desvio padrão da

Tabela 32, abaixo:

Relembrando: Se n é

quantidade de valores por

que deu 30 se os valores são

0, 1, 2, 3 e 4? Ou seja, por que

n não é 5?

Simples! Porque, na verdade,

a Tabela indica que temos os

seguintes valores: 0, 0, 1, 1, 1,

1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,

2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4 e 4.

Isso é que é a freqüência (f

Temos, portanto, 30 valores

organizados por freqüências.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

104

Tabela 32: Desvio Padrão: Dados Agrupados: Com Intervalos

de Classe: Exercício

Estaturas

150–154 4

154–158 9

158–162 11

162–166 8

166–170 5

170–174 3

∑= 40

Fonte: CRESPO (1995, p. 116)

O que essa tabela apresenta de diferente? Os dados são agru-

pados com intervalos de classe. Ou seja, os valores variam

de um valor mínimo para um máximo. Portanto, temos um

problema a resolver!

A Fórmula 5, acima, é para o cálculo do desvio padrão de

um conjunto de dados agrupados sem intervalos de classe.

Isso significa que nela temos

e não um intervalo de classe,

como, por exemplo, 150–154. Mas se eu tivesse um valor ao

invés de um intervalo de valores (como é o caso), a Fórmula

5 poderia ser a mesma, não é verdade?

Bem, vamos utilizar um recurso para manter a mesma Fórmu-

la: vamos encontrar um ponto, que chamaremos ponto mé-

dio, para cada intervalo de classe. Dessa maneira, teremos

como no exercício anterior e, assim, poderemos utilizar a

mesma Fórmula.

Os demais elementos ( f

, x

e f

) já sabemos como encon-

trar. Agora, vamos à solução. Nossa Tabela, com os acrésci-

mos necessários, ficará assim:

Por exemplo, no intervalo

150–154, os valores podem

assumir de 150 cm até 154

cm: esses são os valores de

mínimo e de máximo.

O ponto médio é o ponto que

está no meio do intervalo.

Veja:

O que está no meio do

intervalo que varia de 150 cm

a 154 cm? 152 cm é o ponto

médio.

Qual é o ponto médio do

intervalo 154–158?

É 156 cm que está no meio.

E assim por diante.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

105

IMPORTANTE

Tabela 33: Desvio Padrão: Exercício: Continuação

Estaturas

150–154 4 152 608 23.104 92.416

154–158 9 156 1.404 24.336 219.024

158–162 11 160 1.760 25.600 281.600

162–166 8 164 1.312 26.896 215.168

166–170 5 168 840 28.224 141.120

170–174 3 172 516 29.584 88.752

∑= 40 ∑= 6.440 ∑= 1.038.080

Com a Tabela preenchida, vamos encontrar o desvio padrão.

Solução:

Sabendo que

. Então,

Viu?! Acrescentando os dados que iremos necessitar para o

cálculo à Tabela, tudo fica mais fácil. O desvio padrão é 5,57 cm.

Calcule o desvio padrão da distribuição abaixo:

CUSTO

(R$)

450 – 550 – 650 – 750 – 850 – 950 – 1.050 – 1.150

8 10 11 16 13 5 1

Fonte: CRESPO (1995, p. 118).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

106

Não se esqueça de montar a Tabela.

Estaturas

450–550 8

550–650 10

650–750 11

750–850 16

850–950 13

950–1.050 5

1.050–1.150 1

∑= ∑= ∑=

Coeficiente de Variação

Até aqui, nossos esforços têm se voltado para caracterizar,

com o maior rigor possível, a dispersão dos conjuntos. O coe-

ficiente de variação é uma medida muito útil para essa inten-

ção.

O coeficiente de variação (CV) está sempre relacionado ao

valor médio de um conjunto porque, como já vimos, a disper-

são é uma medida sempre relacionada a uma determinada

média.

Sua fórmula é bastante simples:

De maneira mais simplificada:

Fórmula 6: Coeficiente de Variação

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

107

O Coeficiente de Variação (CV) é uma medida expressa

em porcentagem, por isso, está multiplicado por 100.

Vamos realizar um exercício completo. Suponha que queira-

mos estudar a variação das idades de dois grupos,

abaixo

relacionados:

G1: 7 7 7 7 7 7

G2: 8 9 10 11 19 22

Vamos calcular a média e o desvio padrão de G1 e G2.

1) Cálculo da média: vamos utilizar a Fórmula 1: Média Arit-

mética, p. 72.

Então,

Para G1:

anos

Para G2:

aproximada-

mente, 13 anos.

2) Cálculo do desvio padrão: Vamos utilizar a Fórmula 4: Des-

vio Padrão: Dados Não Agrupados, p. 95.

Então, antes do uso da Fórmula, como estamos fazendo sem-

pre, vamos colocar em uma Tabela os dados que serão utili-

zados.

65 PEREIRA (2004, p. 24).

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

108

G1 G2

7 49 8 64

7 49 9 81

7 49 10 100

7 49 11 121

7 49 19 361

7 49 22 484

∑= 42 ∑= 294 ∑= 79 ∑= 1211

Dessa forma,

Para G1:

Sabendo que

Então,

Para G2:

Sabendo que Então,

Aproximadamente, 5 anos.

Até aqui, podemos sintetizar da seguinte forma:

G1 G2

7 13

0 5

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

109

IMPORTANTE

A média de idade de G1 é de 7 anos e o desvio padrão é zero.

Isso significa que, no conjunto, os valores das idades são ho-

mogêneos ou sem variação. Já em G2, a média das idades é

de, aproximadamente, 13 anos e o desvio padrão de, aproxi-

madamente, 5 anos. Essa variação no conjunto G2, pode ser

medida. Para isso, vamos utilizar a Fórmula 6:

Isso significa que podemos afirmar que G2 é um grupo cujas

idades variaram mais do que as idades de G1. E ainda, essa

variação foi de 38%. Viu? A CV mede a variação.

O Departamento Intersindical de Estatística e

Estudos Socioeconômicos (DIEESE) divulgou a se-

guinte informação sobre a taxa de desemprego, nas

Regiões Metropolitanas e Distrito Federal, do país:

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2004

Total 15,9 17,9 17,8 18,3 18,1 20,0 19,3 16,7

Fonte: DIEESE (2006).

Calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de

variação da taxa de desemprego brasileira, a partir

dos dados da Tabela acima.

Seção 4: Medidas de Posição

Onde se localiza o 20

elemento do grupo? Quais são as

medidas que dividem o grupo em 4 partes iguais?

Respondendo a essas questões, estaremos encontrando a lo-

calização dos valores em um conjunto. Por essa razão, essas

medidas são chamadas de medidas de posição, isto é, indi-

cam onde se localizam os pontos na série.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

110

Isso é muito útil. Por exemplo, digamos que, em uma esco-

la, descobrimos que 25% dos alunos apresentam ausências

constantes nas aulas de sexta-feira. Esse dado é significativo,

pois, a partir dele, podemos criar estratégias para a correção

do problema indesejado.

Pois bem, para afirmarmos essa ausência, localizamos um va-

lor, a partir do qual sabemos o comportamento do conjunto

acima e abaixo dele, essa é uma medida de posição.

As medidas de posição mais conhecidas são as de tendência

central, isto é, são aquelas medidas que concentram valores

em torno de si.

Outras medidas de posição, como os quartis, os decis e os

percentis, embora sejam medidas de posição, possuem uma

característica muito especial: separam os conjuntos em quan-

tidades de iguais valores. Por isso, essas medidas podem ser

chamadas de separatrizes.

Alguns estudiosos da estatística preferem chamar as separa-

trizes de medidas de posição e a média, a mediana e a moda

(que também são medidas de posição), preferem chamar de

medidas de tendência central. Os autores não concordam

quanto a melhor maneira de considerá-las. Em nosso estu-

do, fizemos uma escolha. Optamos por chamar os quartis, os

decis e os percentis de medidas de posição, mesmo sabendo

que isso não agrada a todos.

Assim, nesta seção 4, estudaremos os quartis, os decis e os

percentis que, a despeito de onde se encontram teoricamen-

te, todos concordam com a forma de encontrá-los. E isso, no

momento, é o que mais nos importa, não é mesmo?

Bom estudo para todos!

Quartis, Decis e Percentis

Quartis, Decis e Percentis são medidas de posição,

isto é, semelhante às medidas de tendência central, eles

nos indicam uma determinada localização em relação ao

conjunto de dados sob estudo.

66 Ver Seção 2: Medidas de tendência central, p. 78.

67 Conforme Crespo (1995) prefere chamá-las.

68 Ver Seção 1: Introdução, p. 76.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

111

Entretanto, eles separam o conjunto em 4 partes iguais (quar-

tis), 10 partes iguais (decis) ou 100 partes iguais (percentis),

ou seja, em partes que apresentam o mesmo número de valo-

res. Por isso, alguns autores preferem chamar as medidas de

posição quartis, decis e percentis de separatrizes (juntamente

com a mediana).

Estudaremos essas três medidas, com especial dedicação aos

quartis. Por isso, primeiro, veremos os quartis e depois, decis

e percentis juntos.

Quartis

Você se lembra que deixamos de calcular a mediana em con-

juntos com dados agrupados em intervalo de classe?

Pois

bem, chegou a hora de lidarmos com essa valiosa ferramenta.

Na verdade, estrategicamente, deixamos para calcular a me-

diana de conjuntos com essas características (dados agrupa-

dos com intervalos de classe) para esse momento, porque a

mediana nada mais é do que uma particularidade no estudo

dos quartis. Mas, vamos por partes.

Já sabemos que em um conjunto de dados ordenados, o valor

médio que divide o conjunto em duas partes iguais é a me-

diana. Nessa mesma linha de raciocínio, podemos pensar em

valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais. Veja

a Figura 30, abaixo:

Figura 30: Quartis: Representação

Em um conjunto numérico, ocorre o mesmo que a figura aci-

ma: os quartis dividem o conjunto numérico em quatro partes

iguais;

é o segundo quartil e divide o conjunto ao meio

(por isso, é também a mediana);

divide a metade do con-

junto em duas partes iguais, isto é, ¼ para cada lado;

é o

terceiro quartil.

69 Ver Mediana e média, p. 85.

“[...] Essas medidas – os

quartis, os percentis e os

decis – são, juntamente

com a mediana, conhecidas

pelo nome genérico de

separatrizes.”

(CRESPO, 1995, p. 101).

Quartis é o plural de quartil

que significa ¼, isto é, um

quarto.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

112

Para o cálculo dos quartis em conjuntos numéricos com da-

dos não agrupados, basta aplicar a Fórmula, abaixo:

Fórmula 7: Medidas de Posição: Dados Não Agrupados: Quartil

Para dados agrupados, com intervalos de classe, utilizaremos

outra Fórmula:

Onde,

k é o número de ordem do quartil (1, 2 ou 3);

l * é o limite inferior da classe mediana;

F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;

f * é a freqüência simples da classe mediana;

h * é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Fórmula 8: Medidas de Posição: Quartil

Fórmulas podem até parecer assustadoras, às vezes, são mes-

mo. Mas não é o caso dessa última. Realizaremos um exer-

cício, de modo prático, para mostrar o que e como fazer em

casos como esse.

Vamos ao exercício:

Calcular o primeiro, o segundo e o terceiro quartis da distri-

buição de freqüência abaixo:

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

113

Tabela 34: Distribuição de Freqüência: Exercício: Quartis

Altura dos alunos da Turma A

Estaturas

(cm)

[150,154[ 4 4

[154,158[ 9 13

[158,162[ 11 24

[162,166] 8 32

[166,170[ 5 37

[170,174[ 3 40

∑= 40

Fonte: CRESPO (1995, p. 97)

Vamos resolver o problema em etapas.

etapa: Construção da Tabela-Resposta. Começaremos a

resolver o problema, construindo uma Tabela que nos ajudará

em nossa tarefa.

Tabela 35: Medidas de Posição: Quartis: Exercício: Tabela-Resposta

Tabela-Resposta: Quartis

Quartil

l *

F (ant)

h *

f *

Resultado

Essa Tabela-Resposta é uma preciosa ajuda para organizar os

dados. Observe que nela constam todos os dados que serão

70 Você se lembra que já trabalhamos com essa tabela? Ver Tabela 32: Desvio Padrão:

Dados Agrupados: Com Intervalos de Classe: Exercício, p. 100.

Você notou que usamos um

símbolo diferente? Bem, na

verdade, é aquela mesma

história de intervalo fechado

e aberto.

Nesse caso, por exemplo,

[150,154[ indica que é um

intervalo fechado em 150 e

aberto em 154, isto é, trata-se

de um intervalo de 150 até

quase 154 (mas o 154 não

entra).

Esta Tabela-Resposta

será muito útil para nós.

Não fique com dúvidas!

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

114

utilizados pela Fórmula 8. A idéia é ir preenchendo-a, à medi-

da que formos encontrando os valores.

etapa: Posição ( ). Os quartis, como sabemos, são

valores que dividem os conjuntos em 4 partes iguais.

O re-

sultado encontrado com a ajuda da Fórmula 7: Medidas de

Posição: Dados Não Agrupados: Quartil (p. 108), lamentavel-

mente, não nos fornece, de imediato, a posição do quartil,

mas nos indica em que linha de classe ele se encontra. Vamos

explicar isso melhor, mas antes, que tal encontrar a posição

do primeiro, do segundo e do terceiro quartis?

Para isto, basta utilizarmos a Fórmula 7,

vista anteriormente.

Como se pode notar, teremos três resultados, porque quere-

mos encontrar a posição dos três quartis. Assim,

Solução

Sabemos que Então,

Primeiro quartil (k = 1) Segundo quartil (k = 2) Terceiro quartil (k = 3)

Agora volte à Tabela-Resposta e preencha a coluna “ ”

com os resultados encontrados para cada quartil. Sua Tabela-

Resposta ficará assim:

Tabela 36: Medidas de Posição: Quartis: Exercício:

Tabela-Resposta: Preenchimento: 2

etapa

Tabela-Resposta: Quartis

Quartil

l *

F (ant)

h *

f *

Resultado

71 Ver Figura 30: Quartis: Representação, p. 107.

72 Ver p. 97.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

115

IMPORTANTE

Qual o significado, por exemplo, da posição 20 para Q

O segundo quartil, sabemos, divide o conjunto em duas par-

tes iguais. Não sabemos ainda, que valor é esse; mas o resul-

tado 20 nos indica a linha (ou classe) em que ele se encontra.

Vamos entender melhor isso. Veja a Figura 31, abaixo:

Figura 31: Tabela de Freqüência: Ilustração

A Figura 31, acima, representa a Tabela de Distribuição do

nosso exercício, mas construída de maneira mais amigável.

Vamos entendê-la por meio de uma metáfora: a reunião das

esferas.

Em um planeta distante, os habitantes eram esferas. Existiam

somente 6 tipos de esferas com tamanhos (estaturas) que va-

73 Agradeço ao amigo e professor de Estatística, Adolfo Dani, pela seguinte consideração:

é preciso tomar cuidado para não pensar que todos os elementos do intervalo de classe

tenham o mesmo tamanho, como as esferas parecem sugerir. Eu posso ter, por exemplo,

no intervalo 150–154, alguns elementos com 150 cm, outros com 151 cm, outros com 152

cm e, portanto, eles podem não possuir a mesma altura. É verdade! Ainda assim, mantive

a metáfora da “reunião das esferas”, pois, ela é feliz em seu objetivo central: mostrar a

posição em uma distribuição com freqüência acumulada. Mas estamos atentos!

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

116

riavam, de acordo com a primeira coluna da figura 31, acima.

Todos as esferas foram convidadas para uma reunião. Assim,

as esferas foram chegando para o encontro por ordem de ta-

manho: primeiro, chegaram 4 esferas do tipo

; depois, 9

esferas do tipo

; a seguir, chegaram 11 esferas do tipo ;

assim, tipo por tipo, as esferas foram se reunindo até todas as

40 estarem presentes.

Pergunta-se: qual foi a esfera que chegou em 20º lugar?

Para responder a essa questão, basta analisarmos a terceira

coluna (freqüência acumulada). Repare que primeiro chega-

ram 4 esferas do tipo

; depois chegaram mais 9 esferas do

tipo

. Até agora, portanto, chegaram 13 esferas, então, ainda

não chegou a 20ª esfera.

Logo depois, chegaram 11 esferas do tipo

. Como elas en-

traram todas juntas e rapidamente, ninguém se deu conta

de que já haviam 24 esferas reunidas. Portanto, ninguém viu

quem chegou em 20º lugar, mas todos sabiam que a esfera

procurada já havia chegado, estava presente e só poderia ser

do tipo

Viu? Essa metáfora da reunião das esferas nos ensina que: em

uma tabela de Distribuição de Freqüência com dados agru-

pados em intervalos de classe, para localizarmos uma deter-

minada posição, temos que primeiro encontrar a linha (ou a

classe) onde ela se encontra.

Já fizemos um exercício semelhante quando estudamos me-

diana, você se lembra?

Dissemos que:

1) se o valor encontrado existir na linha da Freqüência Acu-

mulada (no nosso exercício esse valor é 20), então, esta

será a classe quartil (a linha que estou procurando);

2) caso o valor não exista, a classe quartil será aquela que

contiver a Freqüência Acumulada, imediatamente, supe-

rior. No nosso caso, não existe a Freqüência acumulada

20, portanto, a imediatamente superior é 24. Essa é a li-

nha que estamos procurando.

Voltando agora, ao nosso exercício, sabemos que o segundo

quartil se encontra na posição 20. Então, ele só pode estar na

linha da Tabela de Distribuição de Freqüência.

74 Ver Figura 25, p. 88.

Assim, por exemplo:

• a esfera possuía

estatura entre 166 cm e 170

cm.

• a esfera possuía

estatura entre 162 cm e 166

cm.

Intervalo de classe de 150

cm a 154 cm e freqüência

igual a 4.

Intervalo de classe de 154

cm a 158 cm e freqüência

igual a 9.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

117

Encontre as linhas em que se encontram o primeiro e

o terceiro quartis.

Se você se concentrou na atividade, então, você conseguiu

encontrar as linhas de classe dos quartis, conforme apresen-

tado na Figura 32, abaixo:

Figura 32: Exercício: Quartis

etapa: limite inferior da classe (

). Uma vez descobertas

as classes do primeiro, segundo e terceiro quartis, essa etapa

é rápida. Vamos destacar a linha de classe do primeiro quar-

til:

Tabela 37: Distribuição de Freqüência: Exercício:

Quartis: Primeiro Quartil

Altura dos alunos da Turma A

Estaturas

(cm)

[154,158[ 9 13

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

118

Na linha de classe de

, as estaturas variam de 154 cm a 158

cm: o limite inferior (

), isto é, o menor valor é 154. Na linha

de classe de

, o limite inferior da classe é 158. E para

162* =l

Pronto! Agora, vamos transportar os resultados para a Tabela-

Resposta. Sua tabela ficará assim:

Tabela 38: Medidas de Posição: Quartis: Exercício:

Tabela-Resposta: Preenchimento: 3

etapa

Tabela-Resposta: Quartis

Quartil

l * F(ant) h * f *

Resultado

10 154

20 158

30 162

etapa: Freqüência Acumulada Anterior – F(ant). Já sabe-

mos que a freqüência acumulada é a terceira coluna de nossa

Tabela de Distribuição de Freqüência. Para encontrar a F(ant),

uma vez determinada a linha de Q

, basta observarmos a fre-

qüência acumulada da linha de cima. Para Q

, a freqüência

acumulada anterior será 4. Veja:

Figura 33: Exercício: Quartis: Freqüência Acumulada Anterior

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

119

IMPORTANTE

Consultando nossa Tabela de Distribuição de Freqüência, o

resultado é imediato: Q

= 4; Q

= 13 e Q

= 24. Vamos, agora,

transportar os dados para nossa Tabela-Resposta:

Tabela 39: Medidas de Posição: Quartis: Exercício:

Tabela-Resposta: Preenchimento: 4

etapa

Tabela-Resposta: Quartis

Quartil

∑

l * F(ant) h * f *

Resultado

10 154 4

20 158 13

30 162 24

etapa: Amplitude do Intervalo (h *). A determinação da am-

plitude do intervalo de classe também é imediata. Localizada

a linha quartil, basta subtrair o maior valor do menor valor do

intervalo de classe.

Desse modo, como Q

pertence à 2

linha e o intervalo de clas-

ses é [154,158[, a amplitude do intervalo será dada por 158

– 154 = 4. Efetuando o mesmo cálculo para Q

e Q

encon-

traremos o mesmo resultado. Transportando esses resultados

para a Tabela-Resposta, temos:

Tabela 40: Medidas de Posição: Quartis: Exercício:

Tabela-Resposta: Preenchimento: 5

etapa

Tabela-Resposta: Quartis

Quartil

l * F(ant) h * f *

Resultado

10 154 4 4

20 158 13 4

30 162 24 4

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

120

6ª etapa: freqüência simples (f *). Determinamos na 2ª etapa,

a posição, isto é a linha de classe que os quartis ocupam na

distribuição dos dados (chamamos esse linha de classe quar-

til). Consultando essa Tabela de Distribuição, basta identificar-

mos a freqüência simples de cada classe quartil. Assim, tere-

mos: 9, 11 e 8, respectivamente para Q

, Q

e Q

. Lançando na

Tabela-Resposta, teremos:

Tabela 41: Medidas de Posição: Quartis: Exercício:

Tabela-Resposta: Preenchimento: 6

etapa

Tabela-Resposta: Quartis

Quartil

l * F(ant) h * f *

Resultado

10 154 4 4 9

20 158 13 4 11

30 162 24 4 8

etapa. Resultado. Chegamos à última etapa. Passo a passo,

fomos encontrando todos os dados que precisamos para a

utilização da Tabela 35: Medidas de Posição: Quartis: Exercí-

cio: Tabela-Resposta, p. 98. Consultando a Tabela-Resposta,

basta substituirmos os valores e pronto!

Vamos aos cálculos:

Solução:

Primeiro Quartil.

Segundo Quartil.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

121

IMPORTANTE

Terceiro Quartil.

Pronto, determinamos nossos quartis.

Calcule o primeiro, o segundo e o terceiro quar-

tis da Distribuição de Freqüência, abaixo:

Tabela 42: Exercício: Quartis

Custos

[450,550[ 8 8

[550,650[ 10 18

[650,750[ 11 29

[750,850[ 16 45

[850,950[ 13 58

[950,1050[ 5 63

[1050,1150[ 1 64

∑= 64

Fonte: CRESPO (1995, p. 103)

Não deixe de preencher a Tabela-Resposta:

Tabela-Resposta

Quartil

l * F(ant) h * f *

Resultado

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

122

Decis e Percentis

Decis e Percentis são encontrados de maneira análoga aos

quartis. Se quartis dividem o conjunto de dados em 4 partes

iguais; decis dividem o conjunto em 10 partes e percentis em

100 partes. Se podemos encontrar 3 quartis (Q

, Q

e Q

), po-

demos encontrar 9 decis (D

, D

. .... D

) e 99 percentis (P

, P

. .... P

Para encontrar as posições dos decis e dos percentis utiliza-

mos fórmulas semelhantes às da mediana e dos quartis para

dados não agrupados. Veja:

Fórmula 9: Medidas de Posição: Dados Não Agrupados: Decil

Fórmula 10: Medidas de Posição: Dados Não Agrupados: Per-

centil

Um exemplo será o suficiente para mostrar que quartis, decis

e percentis são calculados da mesma maneira. Vamos a ele:

Considerando a Tabela de Distribuição de Freqüência utilizada

no exercício de quartis (abaixo, reproduzida), calcule o oitavo

percentil.

Altura dos alunos da Turma A

Estaturas

(cm)

[150,154[ 4 4

[154,158[ 9 13

[158,162[ 11 24

[162,166] 8 32

[166,170[ 5 37

[170,174[ 3 40

∑= 40

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

123

IMPORTANTE

Solução:

Obedecendo as etapas, construiremos a Tabela-Resposta, an-

tes de mais nada.

Tabela 43: Medidas de Posição: Percentil: Tabela-Resposta

Tabela-Resposta: Percentis

Percentil

l * F(ant) h * f *

Resultado

Observe duas mudanças na nossa Tabela-Resposta:

1) Aparece “Percentil”, na primeira coluna (ao invés de “quar-

til”);

2) Aparece “

”, na segunda coluna (ao invés de “ ”).

Isso se deve ao fato de querermos o percentil e não o quar-

til, como antes.

Da mesma forma, nossa Fórmula Geral será alterada:

Fórmula 11: Medidas de Posição: Percentil

Comparando-se as Fórmulas do Quartil e do Percentil, temos

que:

Quartil, vem de ¼, por isso,

divide-se por 4; percentil vem

de 1/100, por isso divide-se

por 100.

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

124

Comparação:

Fórmula Geral:

Quartil e Percentil

Quartil Percentil

Quadro 4: Quartil e Percentil: Fórmula Geral: Comparação

Observe com a comparação acima que se trata apenas de

uma adaptação, mas as fórmulas são as mesmas. Como já

dissemos, são apenas duas alterações: de Q passou a P (isto

é, de quartil passou a percentil) e de 4 passou para 100 (isto é,

divisão do quartil – 4 – e divisão do percentil – 100 ).

Vamos então, encontrar a classe percentil:

Logo,

Como não existe na coluna de Freqüência Acumulada o valor

3,2, o valor imediatamente acima dele é 4. Portanto, nosso

percentil (P

) encontra-se na 1

linha (ou classe).

Preenchendo toda a Tabela-Resposta, encontramos:

Encontre os demais valores da Tabela-Resposta.

Tabela 44: Medidas de Posição: Percentis: Exercício:

Tabela-Resposta: Preenchida

Tabela-Resposta: Percentis

Percentil

l * F(ant) h * f *

Resultado

3,2

UNIDADE 5 – Medidas de resumo

125

IMPORTANTE

Após o preenchimento da Tabela-Resposta com os dados que

estão faltando, efetuaremos o cálculo com a Fórmula 11:

Encontramos, portanto, P

= 153,2. Significa que 8% possuem

estatura inferior a 153,2%.

Viu? Tão simples quanto o cálculo do quartil, basta um pouco

de disciplina e atenção.

Encontre o 1

e o 9

decis da Tabela de Dis-

tribuição de Freqüência acima (“Altura dos Alunos da

Turma A”).

CONSIDERAÇÕES FINAIS

126

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ufa! Chegamos ao final.

Aqui, não poderia deixar de agradecer pela oportunidade que

tive de apresentar aos colegas de profissão – Trabalhadores

em Educação – minhas opiniões sobre a Estatística. Aproveito

também para agradecer a todos os colegas que fizeram a leitu-

ra prévia do texto contribuindo, assim, para torná-lo melhor.

Ao longo de todo esse Módulo, fixei-me, principalmente, em

um objetivo: desmistificar a matemática. Considerando que a

Estatística é uma aplicação da matemática, procurei mostrar a

vocês, colegas da educação, que, com certa disciplina, é pos-

sível fazer uso da Estatística, mesmo com alguma dificuldade

na matemática. Por isso, após o chamamento para o estudo

(na Introdução), demos a partida para a jornada, apresentan-

do, brevemente, aqueles conceitos principais da matemática,

sem os quais seria impossível a compreensão da Estatística.

Depois, mergulhamos na Estatística Descritiva, isso significa

que passamos a olhar com atenção tabelas e gráficos tão pre-

sentes em nossas vidas. Nosso objetivo foi apresentar ao lei-

tor metodologias de organização e exposição de dados como

ferramenta para a leitura da realidade.

Com foco ainda na Estatística Descritiva, no momento seguin-

te, buscamos aprimorar a organização e exposição de dados

a partir de modelos já consagrados pelo uso.

Depois, mudamos de foco. Passamos a manipular os dados,

vale dizer: saímos da organização e exposição para a manipu-

lação de dados. Nesse momento do estudo, procuramos or-

ganizar informações já manipuladas por todos nós, em nossas

atividades profissionais, mas que mereciam atenção especial.

A partir desse instante, adentramos ao mundo da Estatística

Inferencial, pois já podemos propor soluções a alguns proble-

mas que nos afligem há muito, em nosso trabalho.

Uma última palavra: se o leitor, de alguma forma, em qualquer

nível ou intensidade, em poucos setores de atuação, em sín-

tese, por menor que seja a contribuição desse estudo, se ele

agregou qualidade a suas atividades profissionais, então, esse

Módulo foi vitorioso.

Certo da importância da Formação Inicial na vida de todo pro-

fissional e, especialmente, na vida do profissional de Educa-

ção, parabenizo a todas e a todos pelo esforço!

Muito Obrigado!

REFERÊNCIAS

127

IMPORTANTE

REFERÊNCIAS

ARANHA, Carla. Ramsés II, o faraó guerreiro. Aventuras na

História: para viajar no tempo, 11. ed. São Paulo: Editora Abril

S.A., 2006. Disponível em: <http://historia.abril.com.br/edico-

es/11/capa/conteudo_historia_42675.shtml>. Acesso em: 30

ago. 06.

ARENDT, Hanna. A condição humana. 10. ed. Tradução de Ro-

berto Raposo, posfácio de Celso Lafer. Rio de Janeiro: Foren-

se Universitária, 2005.

BRASIL. MEC. INEP. Censo Escolar 2003. Disponível em:

<http://www.inep.gov.br/basica/censo/Escolar/resultados.

htm>. Acesso em: 10 ago. 2006.

______ . Censo Escolar 2004. Disponível em: <http://www.

inep.gov.br/basica/censo/Escolar/resultados.htm>. Acesso

em: 10 ago. 2006.

______ . Censo Escolar 2005. Disponível em: <http://www.

inep.gov.br/basica/censo/Escolar/resultados.htm>. Acesso

em: 10 ago. 2006.

______ . Resultados do Censo Escolar. Disponível em: <http://

www.inep.gov.br/basica/censo/Escolar/resultados.htm>.

Acesso em: 10 ago. 2006.

______ . NBR 14724: Informação e documentação: trabalhos

acadêmicos: apresentação. Rio de Janeiro, ago. 2002.

______. Emenda 1. Rio de Janeiro, 30 dez. 2005.

______. Ministério das Cidades. Departamento Nacional de

Trânsito – Denatran. Coordenação-Geral de Informatização e

Estatística – CGIE. Anuário Estatístico de Acidentes de Trânsi-

to 2002. Disponível em: <http://www.denatran.gov.br/aciden-

tes.htm>. Acesso em: 31 ago. 06.

CASTRO, Lauro Sodré Viveiros de. Exercícios de Estatística. 9.

ed. Rio de Janeiro: Editora Científica, 1964.

CLEMENTE, Rosana Giovanni Pires. Apostila de Estatística,

Taubaté. Universidade de Taubaté, 2003.

COSTA, Sérgio Francisco. Estatística aplicada à pesquisa em

educação. Brasília: Plano Editora, 2004.

CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 13. ed. São Paulo:

Saraiva, 1995.

REFERÊNCIAS

128

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 6

série. São Paulo:

Ática, 2003.

DEPARTAMENTO Intersindical de Estatística e Estudos Socio-

econômicos (DIEESE). Pesquisas e Análises do Dieese. Dispo-

nível em: <http://turandot.dieese.org.br/icv/TabelaPed? tabela

=5>. Acesso em: 28 ago. 06.

DESCARTES, René. Discurso do método; As paixões da alma;

Meditações; Objeções e respostas. Introdução de Gilles-Gas-

ton Granger. Prefácio e notas de Gerard Lebrun. Tradução J.

Guinsburg e Bento Prado Júnior. 5. ed. São Paulo: Nova Cultu-

ral, 1991. (Os pensadores).

HERÓDOTO. Disponível em: <http://greciantiga.org>. Acesso

em: 30 ago. 06. ISSN 91679-5709.

HISTÓRIA da Estatística. Disponível em: <http://www.estatisti-

capr.hpg.ig.com.br/historia.html>. Acesso em: 03 ago. 2006.

JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Matemática na medida

certa, 6

série. 3. ed. São Paulo: Scipione, 1995.

JOHNSTON, Ian. Section Four: The Beginnings of Modern Pro-

bability Theory. In: ______ . … And Still We Evolve: A Handbook

on the History of Modern Science. Disponível em: <http://

www.mala.bc.ca/~johnstoi/darwin/sect4.htm>. Acesso em:

04 ago. 2006.

OS IMPERADORES Yao e Yun. Disponível em: <http://

po.chinabroadcast.cn/chinaabc/chapter17/chapter170104.

htm>. Acesso em: 30 ago. 06.

PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros; CARIBÉ, Roberto.

Matemática comercial e financeira: 145 exercícios resolvidos,

262 exercícios propostos com respostas, 99 testes de concur-

sos e vestibulares. São Paulo: FTD, 1996.

PEREIRA, Paulo Henrique. Noções de estatística: com exercí-

cios para administração e ciências humanas (dirigidos a peda-

gogia e turismo). Campinas: Papirus, 2004.

SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark W.; YOUNG, Hugh D. Físi-

ca 1: mecânica da particular e dos corpos rígidos. 2. ed. rev.

tradução de Jean Pierre von der Weid. Rio de Janeiro: LTC –

Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda., 1985.

SOARES, Tufi Machado. Utilização da Teoria da Resposta ao

Item na produção de Indicadores Sócio-econômicos. Dispo-

REFERÊNCIAS

129

IMPORTANTE

nível em: <http://www.scielo.br/pdf/pope/v25n1/24252.pdf>.

Acesso em: 13 ago. 07.

SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística: resumo da teoria, 875

problemas resolvidos, 619 problemas propostos. Tradução de

Pedro Cosentino. ed. rev. por Carlos José Pereira de Lucena.

São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1975.

U.S. CENSUS Bureau. Disponível em: <http://www.census.

gov>. Acesso em: 04 ago. 2006.

FELIX NETO, José Luiz. O despovoamento do território ama-

zônico. Disponível em: <http://www.abep.nepo.unicamp.br/

encontro2006/docspdf/ABEP2006_434.pdf>. Acesso em: 12

ago. 2006.

APÊNDICE – Respostas dos exercícios prátique

130

Apêndice:

Respostas dos exercícios Pratique!

Unidade II

(p. 23)

I é proporcional a II que é proporcional a III. Os três são pro-

porcionais, pois, .

(p. 27)

Altura do cão

(cm)

Altura da mulher

(cm)

1 4

x 160

cm.

O cão mede 40 cm.

(p. 29)

População %

169 872 856 100

30 940 542 x

No Brasil, a população em idade escolar (dos 6 aos 14 anos),

corresponde a 18,21% da população total.

(p. 32)

Coeficiente=0,007 / Taxa = 0,7% ou 7%. (Repare que o sím-

bolo mudou. Significa que o denominador é 1000. Nesse caso,

lemos: sete por mil).

131

IMPORTANTE

APÊNDICE – Respostas dos exercícios prátique

(p. 35)

(Rua 0; Avenida 1) / (Rua 0; Avenida 2) / (Rua 1; Avenida 0) /

(Rua 1; Avenida 2) / (Rua 2; Avenida 0) / (Rua 2; Avenida 1) /

(Rua 3; Avenida 1) / (Rua 3; Avenida 2)

(p. 37)

1) a. 2,4 / b. 24,6 / c. 0,4 / d. 4,2 / e. 328,4 / f. 3,0 / g. 6,8 / h. 5,6

/ i. 90,0

2) a. 46,73 / b. 123,84 / c. 253,65 / d. 299,95 / e. 28,26 /

f. 37,48

Unidade III

(p. 41)

Escolas População 10% Amostra

M = 134

F = 228

M = 150

F = 130

M = 300

F = 290

APÊNDICE – Respostas dos exercícios prátique

132

(p. 42)

Universo Variável

As jogadas de um dado.

O ponto obtido em cada jogada –

Variável quantitativa discreta.

Peças produzidas por certa

máquina.

Número de peças produzidas por

hora –

Variável quantitativa discreta.

Peças produzidas por certa

máquina.

Diâmetro externo –

Variável quantitativa contí-

nua.

(p. 45)

1/3/2/2/3/1/3/3/2/2/3

(p. 48)

Cabeçalho: Unidade da Federação / Matrículas no Ensino Fun-

damental de 5

a 8

série, Diurno, Total, Federal,

Estadual, Municipal e Privada.

Linha: Brasil / 13.629.874 / 18.183 / 7.386.348 / 4.664.840 /

1.560.503.

Casa ou célula: cinco casas: 13.629.874 / 18.183 / 7.386.348 /

4.664.840 / 1.560.503.

Coluna indicadora: Unidade da Federação / Brasil.

Coluna numérica: são cinco: 1

Total - 13.629.874 / 2

Federal

- 18.183 / 3

Estadual - 7.386.348 / 4

Muni-

cipal - 4.664.840 / 5

Privada - 1.560.503.

(p. 55)

Esfera municipal=81,27%

Esfera privada=0,45%

133

IMPORTANTE

APÊNDICE – Respostas dos exercícios prátique

Unidade IV

(p. 73)

Estatura: 150 alunos

Estatura (cm)

145 a 150 22

150 a 155 38

155 a 160 45

160 a 165 27

165 a 170 12

170 a 175 4

175 a 180

Total 150

Unidade V

(p. 84)

(p. 92)

Conjunto A: média = 8,9 / mediana = 9 / moda = 7

Conjunto B: média = 6,4 / mediana = 6 / moda = 4, 5, 6, 8 e

10 (5 modas; polimodal).

APÊNDICE – Respostas dos exercícios prátique

134

(p. 98)

Conjunto A: 4,87

Conjunto B: 3,87

Note que o Conjunto B apresenta dispersão menor que o Con-

junto A

(p. 101)

s = R$ 154,00

(p. 105)

= 18%; s = 1,22; CV = 6,78%

(p. 117)

= 630, Q

= 768 e Q

= 873. Significa que 25% do custo

varia de R$ 450,00 a próximo de R$ 630,00; 50% é menor que

R$ 768,00 e 75%, menor que R$ 873,00.

(p. 120)

Tabela-Resposta: Percentis

Percentil

l * F(ant) h * f *

Resultado

3,2 150 0 4 4

(p. 121)

= 154 e D

= 169,2. Significa que 10% possuem estatura

inferior a 154 cm e 90%, inferior a 169,2 cm. Ou ainda, apenas

10% possuem altura superior a 169, 2 cm.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 