( PDF ) Explorando o ensino da matemática: atividades, volume 2

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA

EXPLORANDO O ENSINO DA MATEMÁTÍCA

ATIVIDADES

VOLUME II

BRASILIA

2004

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PRESIDENTE DA REPUBLICA

FEDERATIVA DO BRASIL

Luiz Inácio Lula da Silva

MINISTRO DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Tarso Genro

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO BÁSICA

Francisco das Chagas Fernandes

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA

Antonio Ibanez Ruiz

DIRETORA DE ENSINO MÉDIO

Lúcia Helena Lodi

DIRETORA DO DEPARTAMENTO DE

POLÍTICAS EDUCACIONAIS

Jeanete Beauchamp

COORDENADORA-GERAL DE ESTUDOS E

AVALIAÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS

E PEDAGÓGICOS

Nabiha Gebrim

SELEÇÃO E ORGANIZAÇÃO

Ana Catarina P. Hellmeister

Déborah M. Raphael

ORGANIZAÇÃO GERAL

Suely Druck

REVISÃO

Ana Lucia Nogueira Junqueira

Silvana Cunha de Vasconcelos Castro

Suely Bechara

PROJETO GRÁFICO

Enrique Pablo Grande

Mariano Maudet Bergel

Luciana Cristina Ceron

Tiragem 33 mil exemplares

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA

Esplanada dos Ministérios, bloco L, sala 500

CEP-70.047-900 Brasília-DF

Tel. (61) 21048617/21048613

www.mec.gov.br

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Centro de Informação e Biblioteca em Educação (CIBEC)

E96e Explorando o ensino da Matemática : atividades : volume 2 / seleção e organização Ana Catarina

P. Hellmeister... [et al.] ; organização geral Suely Druck. - Brasília : Ministério da Educa-

ção, Secretaria de Educação Básica, 2004.

176 p.

ISBN 85-98171-14-X

1. Ensino de Matemática. 2. Educação matemática. 3. Atividades matemáticas. I.

Hellmeister, Ana Catarina P. II. Druck, Suely. III. Brasil. Secretaria de Educação Básica. IV.

Título.

CDU : 51:37

A Matemátíca está presente na vida cotidiana de

todo cidadão, por vezes de forma explícita e por ve-

zes de forma sutil. No momento em que abrimos os

olhos pela manhã e olhamos a hora no despertador,

estamos "lendo" na linguagem matemática, exerci-

tando nossa abstração e utilizando conhecimentos

matemáticos que a humanidade levou séculos para

construir. É quase impossível abrir uma página de jor-

nal, cuja compreensão não requeira um certo conhe-

cimento matemático e um domínio mínimo da lingua-

gem que lhe é própria - porcentagens, gráficos ou

tabelas são necessários na descrição e na análise de

vários assuntos. Na sociedade atual, a Matemática é

cada vez mais solicitada para descrever, modelar e

resolver problemas nas diversas áreas da atividade

humana. Um médico que interpreta um

APRESENTAÇÃO

eletrocardiograma está utilizando um modelo mate-

mático; ao dar um diagnóstico, está utilizando o racio-

cínio matemático e empregando conhecimentos de

estatística. Um pedreiro utiliza um método prático para

construir ângulos retos que já era empregado pelos

egípcios na época dos faraós. Uma costureira, ao

cortar uma peça, criar um modelo, pratica sua visão

espacial e resolve problemas de geometria.

Apesar de permear praticamente todas as áreas

do conhecimento, nem sempre é fácil (e, por vezes,

parece impossível) mostrar ao estudante aplicações

interessantes e realistas dos temas a serem tratados

ou motivá-los com problemas contextualizados. O

professor, quase sempre, não encontra ajuda ou apoio

para realizar essa tarefa de motivar e instigar o alu-

no, relacionando a Matemática com outras áreas de

estudo e identificando, no nosso cotidiano, a presen-

ça de conteúdos que são desenvolvidos em sala de

aula. Para isso, é importante compartilhar experiên-

cias que já foram testadas na prática e é essencial

que o professor tenha contacto com textos de leitu-

APRESENTAÇÃO

ra acessível, que ampliem seus horizon-

tes e aprofundem seus conhecimentos.

Inserir o conteúdo em contexto mais

amplo, provocando a curiosidade do alu-

no, ajuda a criar a base para um aprendi-

zado sólido que só será alcançado atra-

vés da real compreensão dos processos

envolvidos na construção do conhecimen-

to. Não se trata, é claro, de repetir um

caminho que a humanidade levou sécu-

los para percorrer. No entanto, é preciso

incentivar o aluno a formular novos pro-

blemas, a tentar resolver questões "do

seu jeito". O espaço para tentativa e erro

é importante para desenvolver familiari-

dade com o raciocínio matemático e o

uso adequado da linguagem. Da mesma

forma que é possível ler um texto pala-

vra após palavra, sem compreender seu

conteúdo, é também possível aprender al-

gumas "regrinhas" e utilizar a Matemáti-

ca de forma automática.

Com o objetivo de ajudar o professor

nos vários campos apontados, reunimos

uma coletânea de artigos extraídos da

Revista do Professor de Matemática

(RPM) - uma publicação da Sociedade

Brasileira de Matemática (SBM), com

apoio da Universidade de São Paulo.

O material aqui apresentado suge-

re abordagem contextualizadas e o uso

de material concreto e apresenta uma

variedade de situações cotidianas em

que a matemática se faz presente. Ao

mesmo tempo, explora, em cada caso,

o conteúdo de forma rigorosa e siste-

mática, levanta problemas e indica so-

luções e, nesse processo, expõe os me-

andros do raciocínio matemático.

Os textos escolhidos estão distribu-

ídos em dois volumes e abordam con-

teúdos curriculares da 5

à 8ª série do

ensino fundamental.

No primeiro volume incluímos arti-

gos que tratam de História, Geografia,

Astronomia, situações do cotidiano, cul-

tura geral, crônicas e problemas. Enfim,

muito do que possa fornecer situações

com modelagem matemática, ligando a

Matemática ao desenvolvimento do co-

nhecimento humano de diversas áreas,

foi aqui reunido. Os artigos possibilitam

que o professor amplie sua visão e insira

os conteúdos matemáticos num contex-

to amplo e interdisciplinar, de modo que

possam ser utilizados para desenvolver

atividades interessantes junto aos estu-

dantes, explorando novas perspectivas

e permitindo um outro enfoque.

No segundo volume são sugeridas

atividades em sala de aula, utilizando

materiais de fácil acesso (canudos, car-

tolina, jornal, barbante, etc.) ou explo-

rando situações do cotidiano em que a

matemática está presente. A atividade

lúdica está sempre ligada a conteú-

dos matemáticos, que são explorados

e aprofundados.

O professor e educador George

Polya (1887-1985), autor do livro A arte

de resolver problemas , afirmava, mui-

to adequadamente, que para ensinar é

preciso saber muito mais do que se ensi-

na, é preciso conhecer sua matéria, ter

interesse e entusiasmo por ela. Com es-

tes dois volumes esperamos comparti-

lhar com nossos colegas professores ex-

periências bem sucedidas em sala de

aula e, sobretudo, um pouco da beleza e

da riqueza da Matemática.

É com grande entusiasmo que a Se-

cretaria de Educação Básica e a Secre-

tária de Educação Profissional e

Tecnológica realizam este projeto, agra-

decendo a participação da comunidade

matemática, por meio da Sociedade Bra-

sileira de Matemática (SBM).

Introdução

Uma das grandes dificuldades no ensino da Matemática é a linguagem que pre-

cisa ser utilizada. Muitas vezes percebemos que os alunos compreendem a "idéia"

mas não são capazes de manipular a linguagem. Outras vezes, o que é pior,

manipulam a linguagem de forma automática sem apreender seu significado.

Na coletânea de textos aqui apresentada descrevem-se atividades lúdicas

e instigantes a serem desenvolvidas em sala de aula, juntamente com suges-

tões de que conteúdos podem ser motivados, melhor entendidos, ou desco-

bertos pelos alunos no decorrer das atividades. Procura-se trabalhar com

objetos, jogos, materiais concretos, ou situações do cotidiano do aluno, mos-

trando que a Matemática está presente na compreensão e solução de proble-

mas do dia-a-dia.

O objetivo é fazer com que o aluno, diante de um problema concreto,

"traduza" a situação para a linguagem matemática e resolva o problema.

Percorrendo esse caminho, ficam mais claros a motivação dos conteúdos e o

papel da linguagem para expressar conceitos e guiar o pensamento lógico.

Vejamos alguns exemplos:

Atividades como Fechando o dominó e O jogo de dominós levam a

perguntas sobre fatos conhecidos do jogo de dominós, cujas respostas envol-

vem o estudo de paridade numérica, contagem e operações aritméticas.

O adivinho indiscreto descreve uma mágica intrigante, que estimula a

curiosidade dos alunos e, despertado o interesse em entender como a mági-

ca é possível, permite o estudo de representação na base dois, de maneira

interessante e agradável. O professor pode, inclusive, modificar a mágica

de modo a motivar o estudo de representação na base decimal ou em ou-

tras bases.

A Geometria, operações aritméticas e o cálculo de raízes aparecem jun-

tos em atividades como Origamis (dobraduras) e Nomogramas de papel.

A utilização de situações da realidade está em atividades como Você sabe

ler seu relógio de luz? ou Como é feita sua conta de luz e água? ou

Porque o parafuso é sextavado? entre outras.

A fatoração de um trinômio do segundo grau pode ser "visualizada" com o

material concreto e o quebra-cabeças da atividade Fatorando fisicamente.

No atividade ... probleminhas há problemas interessantes e instigantes,

que permitem ao professor apresentar aos alunos desafios que motivam o estu-

do de diversos conceitos matemáticos.

É importante que o professor tenha consciência de que o aprendizado da

Matemática no ensino fundamental não pode ser alcançado apenas com ati-

vidades lúdicas e agradáveis, mas acreditamos que permear as aulas usuais

com aulas diferentes e motivadoras pode ser um diferencial no despertar

dos alunos para a beleza da Matemática e para a sua utilização prática,

cada vez mais indispensável no nosso mundo atual.

A Matemática e o caipira 1 1

Luiz MÁRCIO IMENES E JOSÉ JAKUBOVIC

A Geometria das chapas perfuradas 15

Luiz MÁRCIO IMENES

Origami e geometria 24

JOSÉ DE OLIVEIRA SIQUEIRA

Luiz MÁRCIO IMENES

Por que o parafuso é sextavado? 30

Luiz MÁRCIO IMENES E JOSÉ JAKUBOVIC

Um problema: resolução & exploração 35

LILIAN NASSER

A Geometria e as distâncias astronômicas na Grécia Antiga 39

GERALDO ÁVILA

O lado romântico da Geometria 47

HlDEO KUMAYAMA

Você sabe ler seu relógio de luz? 49

ERNESTO ROSA NETO

Como é feita sua conta de luz e água 51

HlDEO KUMAYAMA

Atividade ludo-pedagógica 53

MOZART CAVAZZA PINTO COELHO

Nem só Álgebra, nem só Aritmética 55

VlRGOLINA M. VIOTTO

Números

Assunto de aula "adição de números relativos" 59

O problema dos quatros "quatros" 61

Como e quando os alunos utilizam o conceito de proporcionalidade 62

LÚCIA A. DE A TINOCO

Regra de três composta 69

Uso inteligente da calculadora 73

HlDEO KUMAYAMA

Algarismos romanos. Uma aula diferente 76

MARCIA DE OLIVEIRA REBELLO E ROSÂNGELA JORTORA

Mágicas

Adivinhação 78

De ouvido 80

ALEXANDRE KLEIS

INDÍCE

O adivinho indiscreto 81

Polígonos de palitos de sorvete 83

Luiz MARCIO P.IMENES

Uma interpretação geométrica do MMC 85

MÁRIO LÚCIO CARDOSO E OTÂNIO AVES GONÇALVES

Como obter o MDC e o MMC sem fazer contas? 87

MARCELO POLEZZI

Raiz quadrada sem contas ou calculadora 90

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO

Nomogramas (calculadoras de papel) 93

MARCELO ESCUDEIRO HERNANDES

Artesanato e Matemática 98

Luiz MÁRCIO IMENES

Caleidociclos 106

INGO VALTER SCHREINER

Resolvendo fisicamente 1 1 2

ANA CATARINA P. HELLMEISTER E MARIA ELISA E. L. GALVÃO

Varetas, canudos, arestas e ... Sólidos geométricos 1 22

ANA MARIA KALEFF E DULCE MONTEIRO REI

O problema dos cinco discos: sorte ou sabedoria? 1 27

MA-TO FU E ROBERTO ELIAS

Uma lenda: Torre de Hanoi 1 32

RENATE WATANABE

Em que dia da semana foi proclamada a independência do Brasil? 136

PAULO SÉRGIO ARGOLO GONÇALVES

Dominós

Fechando o dominó 142

Alexandre Kleis

O jogo dos dominós (um desafio matemático?) 144

José Lafayette de Oliveira Gonçalves

O jogo dos quadradinhos 146

HELDER DE CARVALHO MATOS

O jogo do Nim - um problema de divisão 151

CARLOS ALBERTO V. DE MELO

A teoria matemática do jogo de Nim 1 53

INEZ FREIRE RAGUENET E MÁRCIA KOSSATZ DE BARRÊDO

Resta-um, Resta-zero, e a operação Nim 1 60

CARLOS AUGUSTO ISNARD, INSTITUTO DE MATÉMATÍCA PURA E APLICADA

O jogo de Euclides 1 63

JOÃO BOSCO PITOMBEIRA

Jogos de Sperner 1 67

JAIME PONIACHIK, ARGENTINA

... probleminhas da seção Problemas 1 71

Resposta dos probleminhas 176

IA Matemátíca

e o caipira

Luiz Márcio Imenes

José Jakubovic

Esta é uma divertida história

de um advogado que com-

pra um sítio e tem proble-

mas com o fornecimento de

água. A negociação da água

de uma nascente na propri-

edade de seu vizinho caipi-

ra envolve um interessante

diálogo sobre como a área

de um círculo varia com seu

raio: uma maneira interes-

sante e atraente de estudar

áreas, além de informar so-

bre o atrito da água nas pa-

redes de um cano.

Esta história tem dois personagens: o caipira e

o advogado e ela me foi contada por um amigo

do advogado. Passou-se há sete ou oito anos nas

proximidades de São Paulo.

Vai lá um dia em que nosso amigo advogado

resolve comprar um sitio, de poucos alqueires, com

a intenção de construir uma casa e nela passar

seus fins de semana. Como não há nascente no

sitio, resolve mandar cavar um poço, quando fíca

sabendo que seu vizinho, um caipira que ali mora

há muito tempo, tem em sua propriedade uma nas-

cente com água boa e farta. Procura o vizinho e

faz a proposta:

— Eu instalo um cano de uma polegada de

diâmetro na sua nascente, conduzo a água para o

meu sítio e lhe pago x reais por mês.

A proposta é aceita na hora.

Passa-se o tempo e o advogado resolve im-

plantar no sítio uma criação racional de porcos e,

para isso, vai precisar de mais água. Volta a pro-

curar o caipira e lhe propõe trocar o cano de uma

polegada por um outro de duas polegadas de diâ-

metro e pagar 2x reais por mês a ele.

O caipira escuta a proposta, não dá respos-

ta imediata, pensa, e passados alguns minutos

responde que não aceita a proposta.

— Mas, como? - pergunta o advogado. Tem

água sobrando, por que não me vende mais e as-

sim também ganha mais?

— É que num tá certo, retruca o caipira, e explica com um gesto.

A água que você me paga

passa por aqui:

e vosmecê que me paga o

dobro.

Acontece que o cano que ocê vai ponha é assim:

Pois é, quem me paga a água que passa por aqui?

E a que passa por aqui?

Com a nossa linguagem a questão fica assim: um círculo de diâmetro 1

cabe 2 vezes num circulo de diâmetro 2 e ainda fica sobrando espaço:

Ou ainda: se o diâmetro de um circulo dobra, sua área não dobra. Ela

"mais que dobra".

O que o caipira não tinha condições de perceber era que o pagamento correto

seria 4x (quando duas figuras são semelhantes a razão entre suas áreas é igual ao

quadrado da razão entre seus comprimentos correspondentes). Mas para per-

ceber que 2x é pouco, basta visualizar um cano dentro do outro.

Novamente a Matemática e o caipira.

Agora com o professor e o engenheiro

No texto anterior contamos a historinha do advogado e do caipira, em

que este último, usando intuição e bom senso, não aceita o novo paga-

mento proposto pelo advogado, em conseqüência da substituição de um

cano de 1 polegada por outro de 2 polegadas de diâmetro.

Na ocasião, afirmamos que seria correto o advogado pagar 4 vezes mais

ao caipira, porque receberia uma quantidade de água 4 vezes maior.

Após ler o referido artigo, o professor Lindolpho de Carvalho Dias cha-

mou nossa atenção para o seguinte: a área da seção de um tubo com 2 pole-

gadas de diâmetro é, de fato, igual a 4 vezes a área da seção de um tubo com

1 polegada de diâmetro. Mas o volume de água escoado pelo tubo não de-

pende apenas da área; deve-se considerar também o atrito da água nas pare-

des do cano. Esse atrito depende da área lateral do cano. Considerando fixo

o comprimento do cano, o atrito será função apenas do perímetro da seção

transversal, que é um círculo.

No caso do cano de 1 polegada de diâmetro, o perímetro da seção é igual

c polegadas e no caso do cano de 2 polegadas o perímetro é

polegadas. Em quatro tubos de 1 polegada a soma dos perímetros

é 4π polegadas. Portanto em um cano de 2 polegadas o atrito é menor do que

em quatro canos de 1 polegada.

O advogado paga x reais pela água que passa pelo cano de 1 polegada. Se

colocasse 4 canos de 1 polegada pagaria 4x. Colocando um só cano de 2

polegadas deverá pagar mais que 4x pois, como vimos, o atrito neste caso é

menor do que em quatro tubos de 1 polegada. Para determinar o valor corre-

to, o assunto exige conhecimentos de especialistas. Foi assim que procura-

mos o professor Dr. Carlito Pimenta, da Escola Politécnica da USP, que é

engenheiro hidráulico. Ele nos resolveu o problema, mas a resolução é de

difícil compreensão para nós que não somos especialistas da área, quanto

mais para o caipira e o advogado. Vale a pena contar que muita Matemática

elementar entrou em cena: funções (de mais de uma variável), gráficos,

logaritmos, um pouco de Geometria, potências (de expoente cinco), raízes

quadradas etc.

Chega-se, por fim, à conclusão de que a vazão em um cano de 2 polega-

das é, aproximadamente, 6,4 vezes maior que em um cano de 1 polegada

(como é grande a influência do atrito neste processo!).

Nem o advogado, nem o caipira (e nem nós, autores deste artigo) imagináva-

mos que o cálculo correto do valor a ser pago necessitasse de tanta Matemática!

A Geometria das

chapas perfuradas

Luiz Márcio Imenes

Esta atividade, proposta pelo

prof. Luiz Márcio Imenes,

utiliza material existente no

cotidiano do aluno, chapas

perfuradas (cercas, portões,

forros, divisórias etc.) para

estudar vários tópicos de ge-

ometria como áreas e me-

didas. Além disso, trabalha

proporção para decidir qual

é a porcentagem de área

perfurada nas chapas de di-

ferentes formatos.

A porcentagem de área perfurada

Ao escrever este artigo tenho em mãos o ca-

tálogo de uma indústria que produz chapas metá-

licas perfuradas de vários tipos. Veja os desenhos

de alguns pedaços dessas chapas:

Essas chapas têm usos variados em diversos

tipos de indústrias. Por exemplo, são empregadas

na fabricação de filtros. Você já deve ter visto um

filtro de ar do motor de um automóvel ou cami-

nhão. Alguns deles são deste tipo:

Eles têm formato cilíndrico, e sua superfície lateral é feita com uma chapa

metálica cheia de furinhos, por onde passa o ar a ser filtrado.

Estas chapas também são usadas como peneiras nas indústrias que pro-

duzem minérios, carvão, papel, cimento, etc.

Dependendo do material a ser peneirado, os técnicos que trabalham com

isto optam por um ou outro tipo de furo. Decidem ainda qual o tamanho do

furo e o espaçamento entre eles. Observando os desenhos das chapas, você

percebe que, em alguns casos, a parte furada da chapa é maior que em

outros. A relação entre a área da superfície furada e a área da superfície

total da chapa, expressa em porcentagem, é chamada, por aqueles técnicos,

de porcentagem de área perfurada. Vejamos um exemplo. Na chapa se-

guinte os furos quadrados têm lado 4mm e o espaçamento entre um quadrado

e outro é de 2mm.

Para calcular a porcentagem de área perfurada desta chapa, vamos con-

centrar a nossa atenção num pedaço dela, como por exemplo, o quadrado

ABCD, cujo lado mede 18 mm (confira). Sua área é 324 mm

No interior do quadrado ABCD temos 9 furos quadrados, logo a área da

superfície furada é: 9 X 4

= 144 mm

Portanto a porcentagem de área perfurada desta chapa é:

Este resultado significa que, de cada 100 cm

de chapa, temos 44 cm

de furos.

Esta porcentagem p de área perfurada é um indicador de quão furada a chapa é.

Pedaços representativos da chapa

Para calcular p elegemos um pedaço da chapa: o quadrado ABCD. Perceba

que não era necessário usar aquele quadrado. Podemos raciocinar sobre qual-

quer pedaço que seja representativo da chapa como um todo, como por exemplo:

Exercícios

1. Calcule p escolhendo como pedaço representativo da chapa um daque-

les apresentados no texto.

2. Tente conceituar melhor o que é um pedaço representativo da chapa.

Pense em transformações (simetrias, translações).

A distância entre os centros dos furos

Observe as duas chapas seguintes. Em ambas, os furos quadrados têm

lado de 10 mm. Na primeira o espaçamento entre os quadrados é de 3 mm e

na segunda é de 2 mm. Uma forma cômoda de caracterizar este maior ou

menor afastamento entre os furos é através da distância entre seus centros.

No primeiro caso esta distância é de 13 mm, e no segundo, de 12mm.

Esta é a linguagem usada pelos técnicos que trabalham nesta área: a cha-

pa fica definida por sua espessura, pelo tipo de furo (quadrado, circular, re-

tangular etc), pela disposição dos furos, pelo tamanho dos furos, pela distân-

cia entre seus centros, e pelo material de que é feita a chapa (ferro, cobre,

alumínio etc.).

A necessidade de resultados gerais

Às pessoas que trabalham neste ramo interessa a existência de resultados

gerais que permitam o cálculo da porcentagem/? com rapidez. Por esta razão,

o catálogo a que me referi está repleto de fórmulas e tabelas. Cada uma destas

fórmulas se refere a um tipo de furo: quadrado, retangular, circular, etc. Veja-

mos algumas delas e a sua justificativa. É evidente que no catálogo não consta

esta justificativa. Seus objetivos são outros.

A chapa de furos quadrados

Vamos indicar com / o lado do furo quadrado e com c a distância entre os

centros dos furos. Vamos raciocinar sobre o quadrado ABCD: seu lado é c, sua

área é c

. A área perfurada corresponde aos quatro quadradinhos de lado 1/2,

que juntos formam um quadrado de lado /. Logo a área perfurada é P.

Portanto a porcentagem p de área perfurada é:

Exercício

3. Calcule p para a chapa seguinte na qual / = 2,5 mm e c = 4 mm.

A chapa de furos retangulares

Na chapa de furos retangulares vamos indicar por / e L os lados do retângulo.

Seja c a distância vertical entre centros, e C a distância horizontal entre eles.

O restante deixo de presente para você: prove que a porcentagem p de

área perfurada é dada por

Exercícios

4. Calcule a porcentagem de área perfurada da chapa

seguinte, onde:

1,6

mm,

L =

3,6 mm,

= 2,4 mm,

e C =

5 mm.

5. Mostre que a fórmula

referente às chapas de furos quadrados, é caso particular da fórmula

referente às chapas de furos retangulares.

A chapa de furos circulares em disposição reta

Na chapa da figura, seja d o diâmetro dos furos circulares e c a distância

entre seus centros.

Raciocinemos no quadrado ABCD. Seu lado é c, logo sua área é c

. A

parte furada corresponde aos quatro quartos de círculo de diâmetro d, logo a

área da parte perfurada é

Portanto:

Exercício

6. Calcule p para a chapa seguinte, onde d = 1 mm e c = 1,6 mm.

A chapa de furos circulares em disposição hexagonal

Nesta disposição os centros dos seis furos que circundam um furo qual-

quer são vértices de um hexágono regular. Perceba que este hexágono é um

pedaço representativo da chapa toda.

O lado do hexágono destacado na figura é c. Pensando o hexágono como

justaposição de seis triângulos eqüiláteros de lado c, sua área é:

A parte furada, interior a este hexágono, é constituída de um círculo no

centro e mais seis terços de círculo, portanto, ao todo são três círculos de

diâmetro d. Logo a área perfurada é

Portanto:

Exercício

7. Calcule p para a chapa seguinte, onde d = 4 mm e c = 6 mm.

A chapa de furos oblongos

A forma oblonga dos furos, a que se refere o catálogo, é a reunião de um

retângulo com dois semi-círculos. O significado de /, L,c e C está indicado

na figura:

Agora prove que:

Novos problemas

E agora você pode inventar problemas, pensando em furos em forma de

losango, hexágono regular, triângulos eqüiláteros, elipses etc.

Além de jogar com a forma dos furos, você pode variar ainda a sua dispo-

sição, como fizemos com os furos circulares.

Vamos lá, aceite o desafio!

Encerramento

Para encerrar, duas palavrinhas.

Os conceitos envolvidos nestes problemas são acessíveis a alunos de 8

série do ensino fundamental: cálculo de áreas e porcentagens. Convido os

colegas que atuam neste nível de ensino a levá-los para suas aulas de Geo-

metria quando estiverem calculando áreas. Aposto que algum aluno aparece-

rá em sala com um pedaço destas chapas, e que a aula de Matemática dará

mais prazer a todos.

Agora a segunda palavrinha. O catálogo industrial, no qual aprendi estas

coisas que estão neste artigo, me foi presenteado por meu tio Eugênio, que

durante longos anos de sua vida trabalhou em indústrias metalúrgicas. Sem-

pre fazendo de tudo nelas, mas sempre usando Matemática na sua profissão.

Ao se aposentar entregou-me seus livros, revistas, catálogos e apontamen-

tos, dos quais se pode retirar muito material para artigos deste tipo, mostran-

do como a Matemática é importante na vida das pessoas. Ao tio Eugênio,

meu muito obrigado.

Ongami e

geometria

José de Oliveira Siqueira

As dobraduras permitem um

trabalho lúdico com bonitos

resultados visuais e são aqui

utilizadas para comprovar

resultados de Geometria

Plana e para construções

geométricas.

E possível trabalhar períme-

tros, semelhança de triângu-

los e proporcionalidade.

Introdução

Todos nós, sem dúvida, já fizemos um barco,

um chapéu ou um avião de papel. Esta arte tem

um nome: origami. Origami é uma palavra de

origem japonesa, que significa "dobrar papel".

Desde 1876 esta arte faz parte do currículo esco-

lar japonês, e no Brasil, aos poucos, ela vai se

introduzindo no ensino.

O origami pode servir como um simples passa-

tempo nos momentos de lazer; pode ainda ser uti-

lizado como um recurso didático que colabora para

o desenvolvimento da criatividade e da habilidade

manual de crianças.

Para nós, professores de Matemática, o origami

oferece um farto material para descobertas teóri-

cas. É evidente que a teoria surge da observação de

fatos e da colocação de problemas. Um dos proble-

mas práticos do origami é dobrar um quadrado em

um número ímpar de retângulos congruentes. Você

já tentou dobrar um quadrado de papel em 3 retân-

gulos exatamente iguais? Parece fácil. Mas não é.

Este artigo tem como objetivo resolver este proble-

ma particular e também generalizar o resultado para

que se possa dobrar um quadrado em um número

qualquer de retângulos congruentes.

Problema 1

Dividir um quadrado de papel em 3 retângu-

los congruentes, usando dobras de papel.

Solução: Pegue uma folha quadrada e siga as instruções:

(a) dobre o papel, fazendo A coincidir com D, e B coincidir com C. Desta

forma ficam determinados E e F, pontos médios de AD e BC;

(b) abra o papel, e agora faça D coincidir com F. Assim construímos um

triângulo retângulo com um cateto CF, e a soma do outro cateto com a

hipotenusa igual ao comprimento do lado do quadrado;

nova posição.

Fazendo o mesmo para o segmento DC, podemos obter o ponto H:

Os pontos G e H assim obtidos dividem o lado AB em três segmen-

tos congruentes.

Vamos demonstrar esta afirmação, que é conhe-

cida como teorema de Haga.

Demonstração:

Os triângulos DGB e PDC são semelhantes. Portanto,

Como

então

No APDC, por Pitágoras, temos (PD)

= (PC)

+ (DC)

. Como

Portanto, temos

Problema 2

Dividir um quadrado de papel em 5 retângulos congruentes usando

dobras de papel.

Deixamos a prova deste resultado por conta do leitor.

Problema 3

Dividir um quadrado de papel em 7 retângulos congruentes, usando

dobras de papel.

J, K, L, M são pontos médios, respectivamente, de AE, BF, ED, FC.

Pedimos ao leitor, novamente, que demonstre este resultado.

Informamos aos leitores interessados que é possível demonstrar um resul-

tado geral que engloba todos os casos considerados: Sejam ABCD um qua-

drado e E e AB tal que

com m e n naturais não nulos. Se dobrarmos o quadrado de modo que os

pontos E e C coincidam, então,

sendo F o ponto de encontro de AD e ED', onde D' indica nova posição

de D.

Luiz Márcio Imenes

Um problema prático da

compra de uma mesa, nesta

atividade, suscita a pergun-

ta: Quantas pessoas cabem

numa mesa redonda? Para

respondê-la, trabalha-se tó-

picos de geometria, como a

área de um quadrado inscri-

to numa circunferência,

comprimentos de arcos, etc

Fernando foi meu aluno em 1973. Encontramo-

nos outro dia, no casamento de um amigo co-

mum. Falávamos da vida, quando ele me contou

esta história.

Na época em que montava seu apartamento,

ele decidiu comprar uma mesa de tampo redon-

do. A que havia na loja era muito grande, mas o

vendedor lhe informou que no depósito havia outra

com 1,10 m de diâmetro. Com receio de que esta,

por sua vez, fosse pequena demais, ele pensou em

fazer alguns cálculos. Será que na volta desta mesa

caberiam, pelo menos, umas 6 pessoas?

Lembrou-se que na fórmula a ser usada apare-

cia o número n multiplicado pelo raio do círculo,

mas não sabia se era 3πr, 2πr ou 4πr. Foi então

que lhe ocorreu uma idéia. O quadrado circunscri-

to ao círculo de raio r tem lado 2r e perímetro Sr.

No caso do círculo de 1,10 m de diâmetro este pe-

rímetro é igual a 4,40 m.

O lado do quadrado inscrito no círculo ele

calculou com o teorema de Pitágoras (que não

havia esquecido):

Portanto, o perímetro do quadrado inscrito é igual a

A seguir, ele calculou a média aritmética destes dois perímetros:

Deste modo, obteve o perímetro aproximado (3,75 m) da mesa circular de

diâmetro 1,10 m. Estimando cerca de 60 cm para cada pessoa, ele concluiu que

caberiam 6 pessoas à volta da mesa.

Fernando sabia que a média aritmética dos perímetros dos quadrados

poderia não ser igual ao perímetro do círculo. Mas, para o que desejava,

esta era uma aproximação razoável.

Apenas como curiosidade, vejamos qual é o erro relativo desta aproximação.

Temos:

p = perímetro do círculo =

m = média aritmética dos perímetros dos quadrados =

Sem dúvida, o bom senso de Fernando funcionou bem!

Por que o parafuso

é sextavado?

Luiz Márcio Imenes

José Jakubovic

Nesta atividade os autores

usam parafusos e chaves de

fenda, presentes na realidade

dos alunos, para estudar ân-

gulos internos de polígonos.

E discutida a forma da cabe-

ça de um parafuso que per-

mite melhor funcionalidade

sob diferentes aspectos.

Pode-se pedir aos alunos que

tragam parafusos encontra-

dos em casa para concreti-

zar e enriquecer a atividade.

á deve ter visto parafusos destes tipos:

O mais comum é o primeiro, chamado pelos

mecânicos de sextavado. Repare que sua cabeça

(onde se encaixa a chave para apertá-lo ou

desapertá-lo) é um poliedro: trata-se de um prisma

regular hexagonal.

Certa vez vimos um parafuso especial de uma má-

quina, cuja cabeça era um prisma regular triangular:

Por que não existem (pelo menos nunca vimos)

parafusos pentagonais ou octogonais?

Em todos estes tipos de parafusos o polígono

presente é sempre regular, e é fácil perceber a

razão disto. Seria inconveniente apertar e desa-

pertar um parafuso em cuja cabeça figurasse um

polígono não regular. A chave precisaria ser es-

pecial para aquele parafuso e ela voltaria a se

encaixar na cabeça do mesmo, somente após uma

rotação de 360°.

Se o polígono da cabeça do parafuso é um qua-

drado, após uma rotação de 90°, o parafuso volta

à posição original, podendo-se encaixar outra vez

a chave para um novo giro.

Deste modo, com quatro giros de 90°, a rosca dá um passo.

No caso do parafuso triangular são necessários três giros de 120° para

completar uma volta na rosca.

Com o parafuso sextavado completamos um passo da rosca após seis

giros de 60° cada um.

Quando um mecânico está concertando um defeito qualquer numa máqui-

na - por exemplo, um automóvel - muitas vezes ele tem pouco espaço para

trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por esta razão, dos três

parafusos apresentados, o mais cômodo é o hexagonal, pois é o que pode ser

apertado ou desapertado com giros menores (60°), isto é, com movimentos

mais curtos do braço.

Observe que este ângulo de giro a que estamos nos referindo é o ângulo

central do polígono regular.

A medida do ângulo central do polígono regular de n lados é:

e, se é conveniente que o ângulo central do polígono seja "pequeno" nos

parafusos, por que não usar polígonos com maior número de lados? Um

octógono, por exemplo? Neste caso, o ângulo de giro seria de apenas 45°.

Sem dúvida, sob este aspecto, o octógono é mais conveniente que o hexá-

gono. Entretanto há outros fatores que pesam no projeto de um parafuso.

Um octógono regular está mais próximo do círculo que o hexágono regular

O ângulo interno do hexágono regular mede 120°, e o do octógono regular,

135°. A chave usada para apertar ou desapertar um parafuso nunca se ajus-

ta perfeitamente à sua cabeça. Sempre existe uma folguinha. Com o uso, a

tendência da cabeça é sofrer um arredondamento (dizemos que a cabeça do

parafuso fíca espanada). Sob este aspecto o polígono mais adequado é o

triângulo (é o que mais se afasta do círculo, é o que tem o menor ângulo

interno: 60°).

Perceba que, numa linguagem pouco precisa, mas muito significativa, o

hexágono fica mais ou menos no meio termo quando consideramos estes dois

fatores: giro pequeno e dificuldade para o espaçamento.

Mas por que não um parafuso pentagonal? O pentágono é próximo do

hexágono. Sob aqueles dois aspectos apresentados, o pentágono possui pro-

priedades próximas das do hexágono.

Para compreender porque não existem parafusos pentagonais, é preciso conside-

rar outro aspecto. No hexágono regular existem lados opostos paralelos, e o mesmo

não ocorre no pentágono regular.

Isto significa que a chave usada para o parafuso hexagonal tem, no encai-

xe, bordos paralelos, o que facilita o ajuste da chave à cabeça do parafuso.

Para parafusos pentagonais poderíamos ter dois tipos de chaves.

A primeira tem a desvantagem de "escapar" com facilidade e a segunda

só se encaixaria na cabeça do parafuso com este movimento:

e não com este:

o que é incômodo para o mecânico. A primeira das chaves pentagonais não

apresenta esta desvantagem, mas como dissemos, "escapa" com mais facili-

dade da cabeça do parafuso.

Em resumo, no projeto de parafusos com cabeças prismáticas, o polígono

regular da base deve ser escolhido levando-se em conta:

1. seu ângulo central (giro pequeno);

2. seu ângulo interno (espanamento da cabeça);

3. existência de lados paralelos (encaixe da chave).

Estes critérios fazem do hexágono regular (parafuso sextavado) o polígono

mais adequado.

resolução & exploração

Lilian Nasser

Geometria mais prontidão

e criatividade para resolver

problemas são exploradas

nesta atividade que discute

o uso de um pedaço retan-

gular de vidro para obter pe-

daços triangulares, evitando

bolhas que há no vidro.

Introdução

Muito se tem propagado nos últimos anos sobre a

Resolução de Problemas como um método ideal

para desenvolver o raciocínio e para motivar os

alunos para o estudo da Matemática. O que ve-

mos em nossas salas de aula e nos livros-texto, no

entanto, são listas intermináveis de problemas,

quase sempre do mesmo tipo e que podem ser

resolvidos "conforme o modelo". É claro que isto

não propicia o desenvolvimento do raciocínio das

crianças e, ao invés de motivá-las, cria nelas, ati-

tudes negativas em relação à Matemática.

Na tentativa de reverter esta situação, o pro-

fessor pode desenvolver o processo ensino-apren-

dizagem sob a forma de desafios e, em aulas

especiais, propor problemas interessantes, que pos-

sam ser "explorados", e não apenas resolvidos.

"Explorar" um problema significa procurar so-

luções alternativas, além da natural, e analisá-lo sob

diferentes pontos de vista matemáticos. Assim, um

mesmo problema pode ter uma resolução aritméti-

ca e outra algébrica ou geométrica, ou pode ser

resolvido por uma estratégia (heurística), sem o uso

de algoritmos ou de conhecimentos matemáticos

específicos. É evidente que isso nem sempre será

possível com qualquer problema e, nas primeiras

séries, a "exploração" deve ser conduzida pelo pro-

fessor com cuidado especial. Problemas ideais para

serem "explorados" são os chamados "problemas

Um problema;

de processo", ou seja, aqueles que não podem ser resolvidos apenas pelo uso de

uma ou mais operações, mas requerem o uso de uma estratégia adequada.

Além disso, depois que o aluno "compreende" realmente o problema e sua(s)

resolução(ões), deve ser incentivado a explorar extensões e variações do mes-

mo problema, sugeridas no início pelo professor e, depois, pela própria turma.

Um exemplo

Para ilustrar essa tese, vejamos como pode ser "explorado" o seguinte

problema:

Para construir uma janela ornamental, um operário precisa de pe-

daços triangulares de vidro. Ele pretende aproveitar um vidro retangu-

lar defeituoso, com 10 bolhas de ar, sendo que não há 3 bolhas alinhadas

entre si, nem duas delas com algum vértice do retângulo, ou uma delas

com 2 vértices do retângulo.

Para evitar bolhas de ar no seu projeto

final, ele decidiu cortar os pedaços trian-

gulares com os vértices coincidindo ou com

uma bolha de ar, ou com um dos cantos do

vidro original. Quantos pedaços triangu-

lares ele cortou?

Inicialmente, o aluno deve entender como será cortado o vidro. É claro

que isso não é imediato com 10 bolhas! A estratégia a ser usada, então,

pode ser:

Resolver um problema mais simples

Tentando fazer os cortes nos casos de 1 bolha, 2 bolhas, 3 bolhas,..., q aluno

é levado a perceber que o número de triângulos depende do número de bolhas.

Observa-se que, para o mesmo número de bolhas, há mais de uma confi-

guração possível. Se o número de triângulos depende apenas do número de

bolhas, é preciso procurar algumas propriedades para cada caso.

Por exemplo, com 2 bolhas, temos:

A cada bolha é vértice de 4 triângulos. Será que em todas as configurações

isso acontece? Tente outras configurações para verificar.

A cada bolha é vértice de, no mínimo, quantos triângulos? E no máximo?

A cada canto do vidro original é vértice de quantos triângulos?

Tente relacionar algumas perguntas semelhantes para o caso de 3 bolhas.

Depois disso, a estratégia pode continuar da forma seguinte:

Procurar uma lei de formação e generalizar

Dependendo do nível dos alunos, eles percebem que uma bolha adicional

gera a transformação de um triângulo em 3 novos triângulos, isto é, são cria-

dos mais dois triângulos.

A partir disso, a lei de formação pode ser encontrada através da

Construção de uma tabela:

Concluímos, então, que a lei de formação é 2n + 2, e a resposta do proble-

ma é: 22 pedaços triangulares.

Solução Geométrica (a partir da 7ª série)

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, e

o número de triângulos independe da maneira como se decompõe o vidro, a

soma S das medidas dos ângulos internos de todos os triângulos é 180° vezes

o número de triângulos.

Por outro lado,

S = [soma das medidas dos ângulos em torno de cada bolha] + [soma das

medidas dos 4 ângulos retos dos vértices do vidro retangular]

Logo, o número de triângulos será:

Forma geral com n bolhas:

Exploremos, agora, algumas extensões do problema:

1) Resolva o mesmo problema com um vidro triangular.

2) Resolva o mesmo problema com um vidro em forma de pentágono.

3) Com n bolhas, considere o vidro original em forma de m-ágono. Você é

capaz de obter uma regra geral para o número de triângulos obtidos? (Ten-

te a solução geométrica. A resposta é 2n + m - 2.)

4) A resposta do problema seria diferente se o vidro original tivesse a

forma de um quadrilátero não regular?

5) Que aconteceria se, no lugar de triângulos, quiséssemos cortar o vidro em

forma de w-ágonos?

Observação final

Para que o professor possa levar seus alunos a "explorar" os problemas, ele

deve ter sempre, e não só durante a atividade de resolução de problemas, atitu-

des que criem neles espírito crítico e inovador. Exemplos de tais atitudes são:

- dar chance aos alunos de tentar estratégias de solução por si próprios;

- aproveitar as idéias dos alunos, mesmo que não levem à resposta certa

(não usar apenas o certo ou errado como parâmetros de correção);

- deixar que eles criem perguntas, visando à compreensão do problema (ao

invés de receber respostas prontas para perguntas que não fizeram);

- não mostrar soluções prontas e arrumadas, mas deixar que eles sintam

todo o raciocínio desenvolvido até chegar a elas. -

A Geometria e as

distâncias astronômicas

na Grécia Antiga

Geraldo Ávila

Qual é o mais distante: o

Sol ou a Lua? Quais os ta-

manhos da Terra, Sol e Lua?

A busca das respostas à es-

sas perguntas intrigantes

motivam o estudo de ângu-

lo, proporções ou relações

no triângulo retângulo.

Além disso, esta atividade

privilegia a interdiscipli-

naridade, discutindo o ciclo

lunar, eclipses, movimentos

da Lua e da Terra etc. sem-

pre dentro do contexto his-

tórico dos cálculos feitos

por Aristarco, Eratóstenes

e Ptolomeu.

Os tamanhos do Sol e da Lua e as distancias des-

ses astros à Terra já eram calculados na antiguida-

de, séculos antes de Cristo; mas poucas pessoas

sabem como eram feitos esses cálculos. Eles se

baseiam em idéias que são muito simples e geniais,

ao mesmo tempo em que estão intimamente liga-

das a noções fundamentais de Geometria - como

semelhança de triângulo e proporcionalidade -, ser-

vindo, pois, como excelente motivação ao estudo

dessa disciplina. Por isto mesmo essas questões

devem ser divulgadas, já que elas ainda não apare-

cem nos livros de ensino fundamental e médio.

Qual o mais distante: o Sol ou a Lua?

Para constatar que o Sol está mais distante da

Terra que a Lua, basta observar atentamente as

várias fases da Lua. Se ela estivesse mais longe

de nós que o Sol, então, por simples análise de suas

várias posições relativamente ao Sol e à Terra (a

Figura 1 ilustra quatro dessas posições), concluí-

mos que ela estaria sempre iluminada pelo Sol quan-

do vista da Terra. Em particular, não haveria lua

nova! E haveria duas posições da Lua, em 1 e em

3, onde ela seria lua cheia - esta última em pleno

meio-dia, o que nunca acontece realmente. A hi-

pótese contrária, de que o Sol está mais distante da

Terra que a Lua, é a única compatível com as vári-

as fases da Lua, em particular com a ocorrência de

luas novas. Outro fato a corroborar esta hipótese é

a ocorrência de eclipses do Sol, que só são possí-

veis com a Lua mais próxima da Terra que o Sol.

Quão mais distante?

A idéia de Aristarco

Para descobrir quão mais distante que a Lua se encontra o Sol, devemos

aprofundar um pouco mais nossa observação do ciclo lunar. O que vamos

descrever agora é o método que o sábio grego Aristarco de Samos (séc. III

a.C), da escola de Alexandria, usou para comparar as distâncias da Terra à

Lua e da Terra ao Sol.

Existem duas posições da Lua em sua órbita, o "quarto crescente" e o

"quarto minguante", quando o disco lunar apresenta-se, para um obser-

vador terrestre, com metade iluminada e outra metade escura (Figura 2).

Quando isso acontece, o triângulo Terra-Lua-Sol é retângulo, com ângulo

reto no vértice ocupado pela Lua. Qualquer pessoa pode fazer uma obser-

vação simples e notar que nessa configuração o ângulo a = LTS (Figura 3)

é muito próximo de 90°, indício de que o Sol está efetivamente muito mais

longe da Terra que a Lua. Esse fato é facilmente notado ao nascer e ao

pôr do Sol, evidentemente com a Lua em quarto crescente ou quarto

minguante (meia-lua), como ilustra a Figura 3. Aristarco teria medido

esse ângulo a, encontrando para ele o valor de 87°. Então, o ângulo

(3 = LTS seria de 3

. Basta agora construir um triângulo retângulo com

esses ângulos e verificar o valor da razão TS/TL, que é a mesma para

todos os triângulos a ele semelhantes. Aristarco verificou que essa ra-

zão estava compreendida entre 18 e 20, de sorte que a distância da

Terra ao Sol é cerca de vinte vezes a distancia da Terra à Lua.

Voltemos a considerar o problema de medir o ângulo a (Figura 2). Na

verdade é mais fácil calcular esse ângulo do que medi-lo diretamente. Bas-

ta observar o tempo gasto pela Lua para completar uma volta em torno da

Terra e o tempo de passagem de minguante a crescente; com estes dados

uma proporção simples resolve o problema. O ciclo lunar dura 29,5 dias e,

ao que tudo indica, Aristarco teria observado que a passagem de minguan-

te a crescente durava 14,25 dias, um dia menos que a passagem de cres-

cente a minguante. Admitindo uma velocidade uniforme da Lua em sua

órbita, os ângulos descritos pelo seu raio vetor são proporcionais aos tem-

pos gastos nos deslocamentos correspondentes. Então, com referencia à

Figura 2, podemos escrever

donde podemos a = 86,57°, portanto,

É preciso que se diga que o resultado de Aristarco está muito longe do

valor correto, pois sabemos hoje que a distância da Terra ao Sol é cerca de

400 vezes a distancia da Terra à Lua. Em conseqüência, o ângulo a está

próximo a 89,86°, portanto muito perto de 90

! Os raios solares que se

dirigem à Terra à Lua são praticamente paralelos. Isto põe o problema de

explicar como Aristarco teria chegado ao calculo de a . Ao que parece,

a diferença que ele teria notado entre o tempo gasto pela Lua numa volta

completa em torno da Terra e o tempo para ir de minguante a crescente

se deve à peculiaridade do movimento da Lua naquela época.

Tamanhos do Sol e da Terra

Aristarco observou que o Sol e a Lua têm o mesmo "tamanho angular".

Em outras palavras, o ângulo 2a, sob o qual um observador terrestre vê o

Sol, é o mesmo sob o qual ele vê a Lua (Figura 4). Esse fato, aliás, é

comprovado pela observação de um eclipse total do Sol. Realmente, quan-

do ocorre tal eclipse, o disco lunar coincide com o disco solar, encobrindo-

o por inteiro.

Aristarco estimou o ângulo 2a da Figura 4 como sendo 2°; na verdade ele

é de cerca de apenas 0,5°. Mas isto, como o leitor deve notar, não prejudica o

resultado que obteremos a seguir, baseado na semelhança dos triângulos TLL'

e TSS'. Esta semelhança nos permite escrever

isto é, os raios do Sol e da Lua estão entre si como as distancias TS e TL,

respectivamente. Mas, pelo que vimos anteriormente,

de sorte que SS' = 20 LL', segundo Aristarco, ou seja, o raio do Sol é

aproximadamente vinte vezes o raio da Lua.

Tendo em vista referências futuras, vamos resumir aqui resultados já obti-

dos. Sejam D

= TS (Figura 4) a distância da terra ao Sol, D

= TL a distância

da Terra à Lua, R

= SS' o raio do Sol, e R

= LL'o raio da Lua. Então:

Relações com o raio da Terra

Para relacionar as distâncias e os tamanhos do Sol e da Lua a raio da

Terra, Aristarco observou o que acontece durante um eclipse da Lua, quando

este satélite atravessa o cone de sombra da terra (Figura 5). Pelo tempo

gasto nessa travessia, ele calculou que o diâmetro do cone de sombra da

Terra, na altura da Lua, era 8/3 do diâmetro da Lua.

Na Figura 6, L, T, S são os centros da Lua, da Terra e do Sol, respectiva-

mente; LH = R

, TC = R

e SA = R

são os respectivos raios; LD é o raio do

cone de sombra da altura da Lua, de sorte que LD = 8R

/3. Da semelhança dos

triângulos DFC e CEA resulta:

Mas

Substituindo estes valores na igualdade anterior,

Da seção anterior temos que

de sorte que a igualdade anterior pode ser escrita na forma

Daqui segue-se que

ou ainda

Então,

Deste modo, substituindo a = tg 1

= 0,017 e b = 20, podemos obter as

quatro grandezas, D

, D

, R

e R

, em termos do raio da Terra R

com os

dados de Artistarco:

Ao contrário, com os valores mais corretos — a = tg 1/4° = 0,0044 e

b = 400, encontramos valores bem próximos dos valores modernos:

Os cálculos que vimos descrevendo encontram-se num livro de

Aristarco, intitulado Sobre os tamanhos e distâncias do Sol e da

Lua. Esta é a única obra de Aristarco que chegou até nós. Dela existe

uma primorosa edição comentada, com uma história da Astronomia Grega

até os tempos de Aristarco, devida ao eminente historiador da ciência,

Thomas Heath.

Eratóstenes e o raio da Terra

Pelo que vimos até agora, basta saber o raio da Terra para podermos

calcular os tamanhos e as distâncias a que se encontram o Sol e a Lua.

Foi Eratóstenes (276-196 a.C), outro sábio de Alexandria, quem fez o

cálculo do raio da Terra mais célebre da antiguidade. Era sabido que quando

o Sol se encontrava mais ao norte (solstício de inverno, para nós, habitan-

tes do hemisfério Sul), os raios solares caíam verticalmente, ao meio dia,

na localidade de Siene, hoje Assua, pois a imagem do Sol podia ser vista

refletida nos poços mais fundos daquela cidade. Ao mesmo tempo, em

Alexandria, os raios solares caiam inclinadamente, fazendo um ângulo

aproximado de 7,2° com a vertical (Figura 7), ou seja, 1/50 da circunfe-

rência completa, que é de 360°. Como os raios solares são praticamente

paralelos, isso significa que o ângulo central ACS também mede 7,2°. Pe-

la proporcionalidade entre arcos e ângulos,

Figura 7

onde R é o raio da Terra. Como a distância AS de Alexandria a Siene era co-

nhecida e igual a 5 000 estádios, podemos calcular a circunferência terrestre:

O valor atual, no equador, é de 6378 km, mostrando que o resultado de

Eratóstenes é bastante razoável.

Ptolomeu e a distância da Terra à Lua

O lado romântico

da Geometria

Hideo Kumayama

A construção de cai-

xas em formato de

coração utiliza o

comprimento da cir-

cunferência e a com-

paração de medidas.

No ano letivo de 2001, nas turmas de 8

série,

valendo-me da proximidade do dia das mães, re-

solvi propor a seguinte atividade:

Numa folha de papel cartão/cartolina, cons-

truir dois semicírculos com o diâmetro nos dois

lados consecutivos de um quadrado e recortar.

Os alunos ficaram perplexos com o resultado!

"Coração, professor!" Afirmaram.

Assim, eles aprenderam esse novo modo de

construir um coração! Uns dobraram uma folha

ao meio e construíram cartões com formato de

um coração.

Outros mais ousados queriam fazer caixas com

formato de coração e perceberam que era neces-

sário a medida do comprimento da folha para cons-

truir a parte lateral da caixa. A largura da folha

determinaria a altura da caixa.

De repente, Carina, balbuciou: "Comprimen-

to da circunferência mais dois lados do quadra-

do, professor!"

Carina fez duas caixas: numa delas partiu de

um quadrado de 146 mm e noutra partiu de um

quadrado de 150 mm, assim a caixa maior serviu

de tampa. Perguntei a finalidade da caixa e Carina disse que iria presentear

a mãe com um CD.

Poderia ter provocado outros desdobramentos, como construir uma caixa

coração para transferir os bombons de uma caixa prismática de base retangu-

lar (daquelas que normalmente encontramos nos supermercados). Essa situa-

ção envolveria cálculo de volumes.

Uma outra atividade interessante: construir dois triângulos equiláteros in-

vertidos e concordar arcos de 60° (raio igual metade do lado) e arcos de 180°

(raio quarta parte do lado)!

Poderemos investigar muita geometria nessa romântica figura.

Você sabe ler

seu relógio de luz?

Este texto e o próximo per-

mitem uma atividade que

traz para a sala de aula as

"contas de luz e água", que

fazem parte do nosso cotidi-

ano, mas são, na verdade,

um grande enigma para a

maioria da população.

A compreensão da leitura do

relógio de luz está intima-

mente ligada à compreensão

do sistema posicionai. O tra-

balho aqui proposto pode ser

desenvolvido em sala de

aula desde a 5

série. Para

esta atividade sugere-se que

o professor peça aos alunos

que façam e tragam para a

escola a leitura dos relógios

de luz e contas de água de

suas casas.

Ernesto Rosa Neto

Com o racionamento de energia, para evitar uma

multa injusta, precisei entrar em contato com a

prestadora de serviço, que me pediu a leitura do

relógio, que se apresentava assim:

Liguei e passei a leitura feita para a pessoa

que me atendeu: 6184.

Ela me disse que precisava saber exatamente onde estava cada ponteiro.

Se o primeiro número 6 era exatamente 6 ou entre 6 e 7, mais perto de qual.

Eu lhe disse que decorara os relógios e poderia dar-lhe essas respostas. Ela

se admirou e perguntou onde - ficava o primeiro ponteiro. - "Fica entre o 6 e

o 7, mais próximo do 6". Numa escala de 0 a 10 fica no 1, entendeu? - "Claro,

disse ela!" "E o segundo ponteiro?" - Fica entre o 1 e o 2. Numa escala de 0 a

10 fica no 8. O terceiro fica entre o 8 e o 9 e na mesma escala fica no 4. O

último fica no meio, entre o 4 e o 5. - Caramba! Que memória boa o senhor

tem! - E, respondi-lhe," o raciocínio é péssimo, mas tenho uma memória foto-

gráfica fabulosa".

A posição do último ponteiro eu chutei, porque representava pouco, eu

não tinha um quinto algarismo para os décimos e não queria voltar ao reló-

gio por tão pouco. Além do mais, as informações que dei não estavam

rigorosas. Seria mais correto dizer que o primeiro número estava entre 6 e

7 e, numa escala de 0 a 1000, ficava no 184.

Incrível, as pessoas usam o sistema posicionai todos os dias, mas não o

conhecem. Como será o treinamento dos atendentes? No boleto de cobran-

ça vem o desenho dos quatro relógios sem ponteiros, um campo para cinco

dígitos e o pedido: ... anote a posição dos ponteiros ou assinale os nú-

meros... A prática deve ter mostrado a eles que as pessoas não sabem

efetuar a leitura, por isso colocaram a opção do desenho: o sintético é mais

fácil que o analítico.

Como é feita sua conta

de luz e água

Hideo Kumayama

Os medidores de consumo de energia elétrica,

gás e água, o hodômetro de um carro, as antigas

máquinas registradoras - que em muitos lugares

ainda são usadas nos caixas de supermercados e

casas comerciais em geral, utilizam os princípios

do sistema de numeração decimal.

Farei aqui algumas considerações sobre a leitu-

ra dos medidores de consumo de energia elétrica.

A figura acima ilustra o esquema do mostra-

dor de um medidor, onde o consumo é dado em

kWh (quilowatt-hora). Esse esquema é cópia do

verso de uma conta de luz: seus quatro ponteiros

indicam, na ordem em que aparecem, os algaris-

mos 5-7-0-3. Portanto, para fazer a leitura

corretamente basta anotar, na ordem em que apa-

recem, um algarismo para cada ponteiro, toman-

do o de menor valor dentre os dois entre os quais

se encontra o ponteiro (ou o 9, se o ponteiro es-

tiver entre 0 e 9).

E preciso atenção especial quando determinado ponteiro está muito próxi-

mo do zero.

Neste caso, o ponteiro precedente também estará próximo de certo alga-

rismo. Na, ilustração seguinte, à esquerda, por exemplo, o ponteiro da direita

ou ainda não atingiu o zero - e neste caso o ponteiro precedente também não

chegou no 3, e a leitura é 29 -, ou o ponteiro da direita já atingiu o zero, o da

esquerda está no 3, e a leitura é 30.

Por que, no caso do medidor de energia elétri-

ca, os sentidos de rotação dos ponteiros são

alternadamente para a direita e para a esquerda?

Muito simples: isso se deve ao fato de estarem li-

gadas entre si as engrenagens de um par de engre-

nagens adjacentes, de forma que elas têm de girar em

sentidos contrários (veja a figura).

Por que um ponteiro à esquerda gira mais devagar ou parece mesmo

estar parado, em comparação com o ponteiro logo à sua direita? A explicação

aqui também é simples e é devida a um fato fundamental do sistema decimal

de numeração: dez unidades fazem uma dezena, dez dezenas fazem uma

centena etc. Assim, é preciso que um ponteiro dê uma volta completa para

que o ponteiro logo à sua esquerda passe de um algarismo ao seguinte; em

outras palavras, a velocidade de um dado ponteiro é dez vezes a velocidade

do ponteiro logo à sua esquerda.

A figura à esquerda ilustra um medidor de con-

sumo de água, e a leitura é 1 537,5 m

Atividade

ludo-pedagógica

Mozart Cavazza Pinto Coelho

Esta brincadeira envolve co-

nhecimento de potência e

deve ser proposta após o es-

tudo desse conceito. Desen-

volve a habilidade com

números e operações arit-

méticas.

Instrução

Completem os espaços nas frases seguintes

e, à medida que forem achando as respostas, li-

guem os pontos correspondentes às respostas na

folha anexa. No final formará uma figura. Que

FIGURA é essa?

Nem so Álgebra,

nem so Aritmética

Virgolina M.Viotto

Os problemas apresentados

aqui podem ser soluciona-

dos, utilizando sistemas (duas

equações lineares e duas in-

cógnitas) ou apenas uma

equação e uma incógnita

(que é a solução sugerida). É

interessante apresentá-los e

discutir as possíveis solu-

ções quando o aluno inicia

o estudo de equações linea-

res. Podem ser abordados

mais tarde enfatizando a idéia

de que o importante não é

saber a regra, mas ter enten-

dido o raciocínio.

Este artigo se inspira na linha de que se pode en-

sinar Matemática, no primeiro grau, por meio de

dados simples tirados de fatos da vida cotidiana,

evitando que um Simbolismo exagerado leve à fuga

do concreto e ameace tornar as aulas enfadonhas.

Acreditamos que ao partir de situações con-

cretas, impedimos que o aluno se escravize às

operações e às regras, estimulando-o a refletir

sobre um problema, e não somente sobre que ope-

rações executar para resolvê-lo.

Nessa direção, apresentamos sugestão de novo

enfoque para 5 problemas que, nessa ou noutra

versão, são comumente estudados em sala de aula.

Tentaremos ainda mostrar, nos exemplos, como

um desenho da situação descrita em um problema

pode ajudar na busca da solução.

Exemplo 1

Calcular dois números, dadas sua soma e

diferença.

Sabendo que para determinar o menor deles

basta dividir por 2 a diferença dos números dados,

o estudante poderá sair-se bem em um exame. Mas

o que restará quando a regra tiver sido esquecida?

Nossa sugestão é apresentar o problema numa

situação concreta:

Mário e Roberto têm juntos 45 bolinhas.

Mário tem 7 bolinhas a mais do que Roberto.

Quantas bolinhas tem cada um?

Pode-se encenar o problema dando a dois alunos da classe 45 objetos

(bolinhas, feijões, ou o que estiver ao alcance) e pedir que eles os dividam

entre si, nas condições do problema. A classe toda será convidada a partici-

par e todas as sugestões serão analisadas. Eventualmente a classe percebe-

rá que, dando inicialmente ao Mário as 7 bolinhas que ele possui a mais do

que Roberto e, em seguida, repartindo em partes iguais as bolinhas restantes,

o problema estará resolvido.

(Posteriormente, pode-se dar ao problema um tratamento mais abstrato:

Se x for o número de bolinhas de Roberto,

O desenho pode ser um grande auxiliar no ensino de Matemática, mesmo

fora da Geometria.

Quem já não viu o problema folclórico:

Exemplo 2

Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo inteiro?

O seguinte desenho fala por si:

Se um quilo está no lugar de meio tijolo, meio tijolo pesa um quilo. Logo, o

tijolo inteiro pesa 2 quilos.

Exemplo 3

Se Paulo comprasse revistinhas de R$ 15,00 cada, ficaria com

R$ 10,00 sobrando. Se comprasse o mesmo número de revistinhas porém

de RS 18,00 cada, ficariam faltando R$ 2,00. Quantas revistinhas Paulo

pretende comprar?

Figura 2

Para trocar as revistinhas de R$ 15,00 por revistinhas de R$ 18,00, Paulo terá

que pagar R$ 3, 00 a mais por revistinha. Não tendo dinheiro suficiente, poderá

tomar emprestados os R$ 2,00 que faltam e efetuar a troca (Figura 2). Como

tinha R$ 10,00, tomando emprestados mais R$ 2,00, ficará com R$ 12,00. Quantas

vezes R$ 3,00 estiverem contidos em R$ 12,00, são quantas revistinhas poderá

comprar, isto é, 4 revistinhas de R$ 18,00.

("Algebrizando": se x for o número de revistinhas,

Exemplo 4

Uma torneira enche um tanque em 7 horas. Outra o enche em 8 horas.

Abrindo ambas ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Se uma torneira enche o tanque em 7 horas, em uma hora encherá um sétimo

do tanque. A segunda torneira, em uma hora, encherá um oitavo do tanque. As

duas juntas, em uma hora, encherão

do tanque. Quantas vezez 15/56 do tanque estiverem contidos na unidade (tan-

que) serão quantas horas levarão ambas as torneiras para encher o tanque, isto é:

Ou seja, levarão 3— horas, ou 3 horas e 44 minutos.

Exemplo 5

Num quintal há galinhas e coelhos, ao todo 12 cabeças e 34 pés.

Quantos animais de cada espécie há no quintal?

Ao todo são 12 cabeças:

Observação final

Durante muitos anos, no ensino fundamental, predominavam as seguin-

tes atitudes:

• até a 5

série, problemas eram resolvidos com o uso, apenas, da Aritmética;

• da 6

série em diante, com a introdução da Álgebra, os problemas passavam

a ser resolvidos, exclusivamente, por processos algébricos.

E nossa opinião que o raciocínio aritmético (nos exemplos, apoiado por

figuras) deva continuar sendo cultivado, mesmo após a introdução da Álge-

bra, ou seja, nem só Álgebra, nem só Aritmética.

Se cada animal tivesse dois pés, teríamos, ao todo, 24 pés, ou melhor, represen-

tamos duas pernas para as galinhas e as duas pernas trazeiras dos coelhos:

Mas são 34 pés ao todo. Os 10 restantes, 2 a 2, correspondem a coelhos:

Números

Assunto da aula "adição de números relativos"

A primeira atividade "concre-

tiza" a noção de número ne-

gativo e a operação de adi-

ção com esses números. É

interessante para ser propos-

ta logo que os números ne-

gativos forem introduzidos.

A segunda pode ser propos-

ta desde a 5

série, como

um desafio. Ao longo do

ano pode-se propor aos es-

tudantes que tragam novas

soluções, discutam os casos

mais difíceis...

O público: cerca de 40 garotos de 11 a 12 anos.

Na classe, 5 fileiras de 8 carteiras.

No início da aula o professor pediu um pequeno

deslocamento das carteiras para que a cada fileira

correspondesse um corredor, como no esquema ao

lado. Em seguida, pediu que uma reta numerada fos-

se desenhada, com giz, no chão de cada corredor e

nela se representassem os números de - 10 a + 10.

O primeiro jogo que o professor ensinou foi o

seguinte:

- Um aluno coloca-se na marca do "0",

- Outro aluno dá uma instrução do tipo "ande -

3", o aluno que estava no "0" anda até " - 3".

- Outro aluno vai para o "0", a ordem "ande 5"

faz com que ele se desloque até +5.

- Rapidamente todos aprenderam o jogo.

A brincadeira seguinte envolvia 3 alunos de cada

fileira (os outros controlavam) e consistia no seguinte:

- um lº aluno se colocava na marca do zero,

- um 2º aluno dava as ordens,

- um 3º aluno registrava no quadro negro, dividido em 5 colunas, o que esta-

va sendo feito.

O 2º aluno dava ordens do tipo: "ande - 2 e depois ande - 4 e diga

onde parou".

O lº aluno executava as ordens e dizia: "- 6".

O 3º aluno escrevia:

(-2) + (-4) = (-6). Isto era repetido:

"ande - 3, depois + 5 e diga onde parou" - resposta: +2 - registrava-se:

(-3)+ (+5) = (+2)

A brincadeira continuou bastante tempo, com envolvimento total da classe.

(Disse-me o professor que, às vezes, dividia cada fileira em 2 times: um time

dando as ordens, e o outro executando e registrando os resultados. Quando al-

guém errava, os times trocavam de papel).

Uns 10 minutos antes de terminar a aula, o professor pediu silêncio, dizen-

do que agora era a vez de ele entrar na brincadeira.Desenhou no quadro

negro a reta numerada.

e perguntou à classe:

"Quanto é - 4 + 7?"

Foi muito interessante observar o movimento que os garotos faziam com

os dedos:

e o grito: +3.

Disse-me o professor que nas aulas seguintes sempre desenhava a reta

numerada no quadro negro mas, cada vez menos alunos precisavam mover

o dedo para chegar ao resultado de uma adição. Aparentemente, os alunos

vão percebendo como efetuar as adições, sem que jamais o professor preci-

se dar a receita: "sinais iguais, soma e dá o sinal comum; sinais diferentes..."

O problema dos quatro "quatros"

A primeira vez que vi o problema dos quatro "quatros" foi como aluna de colégio.

O problema pedia que se escrevessem todos os números inteiros de 1 a

100 com quatro "quatros".

Já como professora de Matemática, e durante muitos anos, nem meus

alunos, nem eu, conseguíamos escrever 33 e 41 com quatro "quatros".

Mas, eventualmente, de tanto propor o problema, um aluno, um dia, trouxe

uma solução:

e anos mais tarde, outro descobriu que

Como e quando os

alunos utilizam

o conceito de

proporcionalidade

Lúcia A. de A. Tinoco

A seguir temos o relato de uma experiência rea-

lizada com alunos da 7- série trabalhando a noção

de proporção e apresentando as dúvidas, inter-

pretações e modos de resolver que ocorreram aos

alunos envolvidos. A proporcionalidade é um dos

conceitos matemáticos mais presentes na vida,

todas as pessoas passam por experiências que

possibilitam o contacto com algumas noções des-

se conceito ou, pelo menos, a constatação da não

aquisição de tais noções.

A partir da observação de medidas de gran-

dezas proporcionais, que variam em situações do

quotidiano dos alunos, o grupo do Setor Matemá-

tico do Projeto Fundão acredita que o conceito de

proporcionalidade pode ser construído.

O trabalho dessa equipe envolve atividades

com escala, receitas, merenda e outras coisas, ba-

seadas na vida real, todas orientadas no sentido

de levar o aluno a detectar os dados do problema

e organizá-los, de preferência em tabelas, para

melhor observar suas relações.

A experiência foi feita com turmas da 7

série

do ensino fundamental (12 a 14 anos).

Um primeiro exemplo de tais atividades

Entregar a cada aluno uma folha em branco a ser colocada num certo

canto da carteira.

Entregar outra folha na qual estejam desenhadas quatro figuras: A, B, C e

D (ver Figura abaixo). Destas, apenas duas, B e D, representam o tampo da

carteira com a folha no canto, em escalas, por exemplo, de 1/5 e 1/10. Na

primeira, A, a folha está com as dimensões proporcionais às da real, mas a

carteira não; e na terceira, C, a carteira está reduzida corretamente, mas a

folha não.

Discutir com os alunos as respostas a perguntas do tipo: qual (is) das figu-

ras podería(m) ser uma fotografia da carteira com a folha? Por quê?

A partir de respostas (em geral corretas), como "a segunda, porque, nes-

sa outra, a folha está muito comprida" e outras, os alunos passam a medir

todas as dimensões da figura real e dos desenhos. De início, essas medidas

são anotadas sem qualquer ordem e, aos poucos, os alunos sentem a neces-

sidade de alguma organização. Se for preciso, o professor sugere a utilização

de tabelas. A partir daí, concluem que:

lº) quando há proporcionalidade, toda vez que um número de uma situação

fica multiplicado (ou dividido) por um número c, o correspondente da outra

situação também fica multiplicado (ou dividido) por esse número c;

2º) a razão entre cada par de números correspondentes nas duas situações é

sempre constante.

Essas conclusões surgirão com maior facilidade, dependendo da familiari-

dade do aluno com a situação apresentada, e da simplicidade dos fatores de

proporcionalidade. Afirmamos, também, que a segunda conclusão é muito mais

difícil que a primeira, já que o conceito de razão é construído lentamente.

Um outro exemplo de tais atividades

- Apresentar aos alunos o problema:

Para preparar a tinta, um pintor mistura, a cada 4 latas de tinta

concentrada, 6 latas de água. Quantas latas de água são necessárias

para dissolver 8 latas de tinta?

De início, os alunos são deixados livres para resolver e discutir o proble-

ma. Depois, para melhor explorar a situação, o professor faz outras per-

guntas sugeridas pela tabela a seguir, que deve ser completada pelos estu-

dantes, pedindo a eles que explicitem, a cada linha preenchida, as opera-

ções que fizeram, perguntando, por exemplo: como foram obtidos os núme-

ros da 2- linha?

Observações quanto à reação dos alunos

O aluno que não tem nenhuma idéia de proporcionalidade poderá respon-

der 10 na 2

linha da 2

coluna: "Já que 4 + 2 = 6, então faço 8 + 2 = 10."

Para esse aluno, as quantidades só se alteram por meio de adições ou

subtrações. Ele não pensa em multiplicações. Para permitir que o aluno per-

ceba seu erro, pode-se apresentar a ele outra tabela, como:

A resposta na 2ª linha da 1

coluna, de acordo com o raciocínio aditivo, seria

0. Bastaria portanto, para indicar o erro, perguntar ao aluno se ele ficaria com

água pura.

O raciocínio multiplicativo, necessário à construção da proporcionali-

dade, só é adquirido pelos alunos a partir de muitas experiências, as mais

variadas possíveis, desde que iniciando por situações que envolvam fatores

simples (o dobro, a metade, ...).

Por exemplo, na primeira tabela, a 2

linha será obtida da 1ª, por meio da

multiplicação por 2, bem como a 3

linha, por meio da divisão da 1

por 2.

Além dos fatores envolvidos, o tipo de números que aparecem nos dados

ou nos resultados influi decisivamente no desempenho dos alunos. Ainda ob-

servando a primeira tabela, a dificuldade na 4

linha surge, não porque envol-

va fatores complicados (ela pode ser obtida da 3

por redução à metade), mas

porque a resposta é um número fracionário (3/2 ou 1,5).

Modelo aditivo X modelo multiplicativo

Embora reconhecendo que a decomposição dos dados em parcelas e a

utilização de multiplicações por fatores bem simples é suficiente para os

alunos resolverem a grande maioria dos problemas a eles apresentados,

deparamo-nos com duas questões, a saber:

(a) Os alunos, que resolvem os problemas de proporcionalidade pelo

modelo aditivo (decomposição em parcelas), sabem por que podem

fazer isso?

(b) É aconselhável levar esses alunos a resolver tais problemas pelo

reconhecimento da igualdade de duas razões?

A esse respeito, relataremos, a título de exemplo, entrevista feita com

aluna da 7

série, ao final do estudo do tópico de proporções.

Ressaltamos a importância do método de entrevista para melhor conhe-

cer o raciocínio do estudante, mas lembramos que o exemplo aqui apresenta-

do não deve ser encarado como um modelo a ser repetido. Outros alunos

darão outras respostas e outras respostas exigem novas perguntas.

E: entrevistador. A: aluna.

E - Resolva esse problema:

Numa creche, 4 litros de leite dão para preparar 22 mamadeiras iguais.

Quantas mamadeiras iguais a essas poderão ser preparadas com 10

litros de leite?

A dificuldade essencial, nesse caso, é reconhecer 10 como um múltiplo de

4: muitos alunos acreditam que não existe um número que multiplicado por 4

dê 10.

Tal dificuldade é contornada pelo uso do modelo aditivo.

55 mamadeiras

E - Explique o que você fez.

A - Se 4 litros dão 22 mamadeiras, 4 + 4 = 8 dão 22 + 22 = 44 e 2 dão 11

mamadeiras, logo, 10 litros dão 55 mamadeiras.

E - Por que você fez assim?

A - Porque é mais fácil.

E - É sempre possível resolver assim?

A - Depende do problema.

Para refletir sobre a questão, o entrevistador apresenta à aluna outro

problema.

Com 24 metros de brim, podem-se fazer 16 calças iguais. Quantas cal-

ças iguais a essas podem-se fazer com 15 metros do mesmo tecido?

A- No primeiro, eu multipliquei, e agora, de 24 para 15 não posso multiplicar.

Então a resposta é 7.

E - O que você fez?

A-24 menos 16 dá 8. Então diminuí 8 de 15.

E - Observe o outro problema:

Com 24 metros de brim, podem-se fazer 8 calças iguais. Quantas cal-

ças iguais a essas podem-se fazer com 12 metros do mesmo tecido?

A - (corretamente) 4, porque 12 é a metade de 24.

E - Pelo método do problema anterior você teria: 24 menos 8 dá 12

e 12 menos 12 dá zero!

(A percebeu logo, e sozinha, que ainda estava errada).

E - Vamos tentar ver a razão constante. Na primeira situação ...

A - 24 metros e 16 calças

E - Se eu pedisse para você achar o pano gasto em cada calça, o que

você faria?

A - 24 dividido por 16.

E - Isso é

E - Agora na segunda situação: 15 metros e x calças. Qual é a conta?

A - Não dá para fazer; eu não sei quanto é esse x.

E - Faz de conta que você sabe.

A - Então é 15 dividido por esse x.

E - Então é , certo?

A - Certo.

E - (Apontando para

Isso não é o pano de cada calça?

A-É.

E - (Apontando o

Isso aqui também é?

A-É.

E - As calças são iguais?

A - São.

E - Posso escrever um igual ao outro?

A - Pode.

Agora você pode resolver.

A (demonstrando dificuldade no produto "em cruz"):

Conclusões

As dificuldades apontadas inicialmente são reais.

Não se deve impor a solução dos problemas de proporcionalidade di-

reta pela igualdade de duas razões; a solução pela decomposição em par-

celas é válida (como outras não analisadas aqui).

O importante é que, ao utilizar qualquer método, o aluno saiba por que

pode utilizá-lo.

E importante que o aluno saiba que existe a solução rnais econômica da

proporção, para que possa optar por ela, se julgar necessário.

Regra de três

composta

Os problemas sugeri-

dos aqui trabalham o

raciocínio do aluno

para que ele apreenda

a idéia que está por trás

da regra de três. É inte-

ressante propor os

problemas e discutir di-

ferentes formas de

solucioná-los.

Apesar de a "regra de três composta" ser tratada

em textos didáticos e já ter sido discutida em vários

números da RPM, nossos leitores continuam con-

sultando-nos a respeito de problemas envolvendo

proporcionalidade, como os problemas A e B abai-

xo. Há vários modos de resolver esses problemas e

cada autor, bem como cada professor, acha, é claro,

que o "seu jeito" é o melhor. Voltamos ao tema, apre-

sentando duas soluções alternativas para cada um

dos problemas A e B, consideradas, é claro, como

as "melhores" pelos seus autores.

Problema A

21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pin-

tam um edifício em 6 dias. Nas mesmas condi-

ções, quantos dias serão necessários para que 9

pintores, trabalhando 7 horas por dia, pintem o mes-

mo edifício?

Resolução 1

Sempre é possível resolver esse tipo de pro-

blema com a chamada "redução à unidade", que

consiste no seguinte:

21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam

o edifício em 6 dias;

logo, 9 pintores, trabalhando 7 horas por dia, precisam de 16 dias para

pintar o edifício todo. Fácil, não é?

Resolução 2

Montando uma equação algébrica que exprime a dependência entre as

variáveis envolvidas no problema:

Sejam p o número de pintores, h o número de horas que eles trabalham

por dia e d o número de dias. O produto phd é o número total de horas

trabalhadas; logo, deve ser o mesmo nas duas situações descritas, isto é,

21x8x6 = 9x7xd,

Pronto, terminou o problema! Lembre-se: regra de três (simples), direta ou

inversa; não passe de uma equação algébrica simples e fácil de resolver.

Problema B

Se 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias,

produzem 90 000 peças, em quantos dias, 12 dessas mesmas máquinas,

funcionando 8 horas por dia, produzirão 192 000 peças?

Resolução 1

Novamente, é possível resolver esse problema com a chamada "redu-

ção à unidade":

12 máquinas 8 horas por dia l dia 8 x 300 = 2 400 peças

Então, 12 máquinas, trabalhando 8 horas por dia, fazem 2 400 peças.

Logo, para produzir 192 000 peças serão necessários

Resolução 2

Montando uma equação algébrica que exprime a dependência entre as

variáveis envolvidas no problema:

Sejam m o número de máquinas, h o número de horas de funcionamento

por dia, d o número de dias, e p o número de peças produzidas.

Se k é o número de peças que cada máquina produz por hora, temos:

Substituindo na equação obtida as duas seqüências de valores dadas no

problema, temos:

VOCÊ SABE POR QUE FUNCIONA?

Considere os exemplos abaixo:

867

86 - 9 X 7 = 23

23 não é divisível por 13, logo 867

também não.

36 546

3654-9x6 = 3510

351

- 9 X 0 = 351

35 - 9 X

= 26

23 é divisível por 13, logo 36 546

também é.

8281

828-9X1 =819

81-9x9 = 0

0 é divisível por 13, logo 8 281

também é.

77 741

7 774 - 9 X

= 7 765

776 - 9 X 5 = 731

73 - 9 X

= 64

64 não é divisível por 13, logo 77

741 também não.

Que regra os exemplos sugerem? Como provar que é verdadeira ou não?

da calculadora

Hideo Kumayama

Atividades envolvendo o uso

da calculadora podem con-

tribuir para motivar diversos

tópicos do conteúdo. Esta

atividade em particular trata

de "números grandes" e de

como contornar as limita-

ções impostas pela calcula-

dora.

E preciso que o estudante já

domine a notação de potên-

cia para descrever números

grandes. E interessante

enfatizar que a calculadora

é uma ferramenta com limi-

tações que podem ser con-

tornadas, se usarmos nos-

sos conhecimentos. Outra

possibilidade é explorar nes-

sa atividade números sur-

preendentes como: distân-

cia da Terra ao Sol, distân-

cia de Plutão ao Sol etc. O

professor de Ciências pode

ter boas sugestões de "nú-

meros grandes".

Introdução

Segundo uma conhecida lenda originária da

Índia, o rei Shirham recebeu de presente do grão-

vizir Sissa Bem Dahirum jogo de xadrez, inven-

tado por ele próprio. De imediato, o rei decidiu

retribuir essa dádiva, mas não sabia como. As-

sim, o rei deixou a escolha da recompensa a cri-

tério do vizir, o qual pediu: Majestade, dê-me um

grão de trigo correspondente à primeira casa do

jogo de xadrez, dois grãos correspondendo à se-

gunda casa, quatro à terceira, e assim sucessi-

vamente, sempre dobrando o número de grãos,

até a 64

casa. O rei ficou espantado com a sim-

plicidade do pedido, porém mais surpreso ainda

ficou quando constatou que não conseguiria

satisfazê-lo, pois o número total de grãos no ta-

buleiro, a saber, 2

- 1, é um número imenso.

De fato, usando uma calculadora científica com

12 dígitos no visor, obtém-se para esse número

1,84467440733X 10

Esse exemplo é muito usado em aula, especi-

almente no estudo de progressões geométricas.

Porém os alunos muitas vezes se perguntam: Mas

o número 2

- 1 não é inteiro? É possível, com a

calculadora determinar todos os algarismos des-

se número? A resposta é sim.

Primeiro observa-se que o resultado forneci-

do pela calculadora é

Uso inteligente

= 1,84467440737 X 10

= 18 446 744 073 700 000 000. Na realidade, isso

é uma aproximação do verdadeiro resultado, dada a impossibilidade de a cal-

culadora exibir todos os 20 algarismos desse número inteiro. Temos que nos

precaver ainda contra o fato de que o último 7 pode não ser exato; ele pode

ter sido aproximado para cima. (Por exemplo, se você preparar sua calcu-

ladora para trabalhar com 4 dígitos no visor, ela vai dar: 2

= 1,845 X 10

Alguém poderia erradamente concluir que o quarto algarismo de 2

é 5, quan-

do na realidade é 4, que foi aproximado para 5 porque o seguinte era 6 >= 5.)

Portanto, o que sabemos mesmo é que 2

= 1,84467440737 xxx xxx xxx. Nosso

objetivo é descobrir quais são os 9 últimos algarismos desse número, sendo o

primeiro deles igual a 6 ou 7.

Uma forma de proceder é a seguinte.

A calculadora com 12 dígitos no visor consegue exibir todos os algarismos de

A primeira parcela é um inteiro terminado em 10 zeros e, portanto, não

vai influir nos últimos 9 algarismos da soma. Os números 2ab e b

podem ser calculados na calculadora, obtendo-se 2ab X 10

+ b

= 578 059 180 800 000 + 4 528 751 616. Neste ponto, não adianta fazer

essa soma na calculadora, porque a primeira parcela não cabe no visor.

Como porém estamos interessados apenas nos 9 últimos algarismos des-

se número, fazemos: 180 800 000 + 528 751 616 = 709 551 616. Conclui-

se finalmente que 2

= 18 446 744 073 709 551 616.

A propósito de exercícios, o leitor pode experimentar outras maneiras de

decompor 2

em parcelas. Verá que algumas funcionam melhor que outras.

Por exemplo, na decomposição 2

= 429 X 107 + 4 967 296, o quadrado da

segunda parcela não caberá no visor.

O que acontece, se só dispusermos de uma calculadora "do feirante",

com apenas 8 dígitos no visor? Neste caso, já 2

não cabe no visor, apare-

cendo 42,949672 e 4,2949672 X 10

Em primeiro lugar, deve ser lembrado que é perfeitamente possível calcu-

lar rapidamente potências nesse tipo de calculadora. Em seguida, pode-se

usar um procedimento análogo ao precedente, partindo de 2

= 65 536, para

determinar os 3 algarismos de 2

= 4 294967 xxx.

Por exemplo: 2

=(2

)

= (65x 10

+ 536)

=4225x 10

+ 69 680 '10

+ 287296.

Aqui, a primeira parcela termina em 6 zeros e a segunda, em 4 zeros. De modo

que os 3 últimos algarismos de 2

são 296 e, portanto, 2

= 4 294 967 296.

Na calculadora de 8 dígitos no visor, o número 2

aparece como

1,8446744 X 10

= 18 446 74x xxx xxx xxx xxx,

e precisamos descobrir seus 13 últimos algarismos. Agora, não adianta de-

compor 2

como feito anteriormente, pois aparecerão números com mais de

8 algarismos.

Um caminho promissor é decompor 2

em 3 parcelas convenientemente

escolhidas e, em seguida, utilizar a fórmula

Esperamos que esses exemplos estimulem o leitor a usar inteligentemente

a sua calculadora, para superar as limitações desse instrumento.

Algarismos romanos.

Uma aula diferente

Márcia de Oliveira Rebello

Rosângela Tortora

Uma atividade lúdica que

explora a competitividade

natural entre as crianças,

por meio de um jogo, para

estudar os algarismos ro-

manos.

Não deve existir um método "ótimo" para mi-

nistrar aulas, que torne todas elas interessantes

e que faça com que todos os alunos gostem e

aprendam Matemática.

Sabemos, porém, que, ocasionalmente, uma

aula diferente, por quebrar uma rotina, estimula o

interesse dos alunos e facilita o aprendizado.

O equivalente, em Matemática, à "palavra cru-

zada" foi por nós aproveitado para ministrar, numa

5- série, uma aula de fixação sobre algarismos ro-

manos, aproveitando o gosto que crianças, na faixa

etária dos 11 anos, têm por jogos competitivos.

Procedemos da seguinte maneira:

1. dividimos a classe em dois times;

2. colocamos as colunas "horizontais" e "verti-

cais" na parte central da lousa;

3. copiamos um quadro para cada time;

4. estabelecemos as regras do jogo:

a. cada aluno pode escolher arbitrariamente qual-

quer questão;

b. dada a partida, um primeiro aluno, de posse de

um giz, deverá ir à lousa, responder à questão que

escolheu, voltar ao seu lugar e entregar o giz ao

colega seguinte. Este poderá colocar a resposta

de uma outra questão, ou corrigir uma que julgue

estar errada; cada aluno, após colocar sua res-

posta no quadro, entregará o giz ao seguinte, que

deverá proceder da mesma forma;

c) o time que terminar primeiro de preencher seu quadro, corretamente,

será o campeão do dia.

Escreva com algarismos arábicos:

Horizontal

1. MMDCXXI

4. CDXXXV

8. DXLI

9. MMMXL

10. DLXXXVII

11. DCCVII

13. DCXXXVIII

14. XCII

17. CXII

18. CMXLVI

20. CCCXXIV

22. DLXXXIII

23. MMMXLII

24. MCMLXXIV

25.CMLII

Vertical

1. MMDL

2. DCXLVIII

3. MMCLXXV

4. XL

5. MMMCDLXXVIII

6. D

7. LXXXIX

9. CCCXLVI

12. DCCXCI

15. MMCCXXII

16. MMMCDLXXXIX

17. MCDII

18. CMLI

19. DCXXXVII

21. CCXXXV

Observação

Nenhum aluno deverá ir à lousa pela segunda vez, antes que todos os outros do seu

time tenham ido uma vez ao menos.

Mágicas

Adivinhação

Duas "mágicas" intrigan-

tes que levam ao estudo

do critério de divisibili-

dade por 9. A brincadei-

ra da caixa de palitos de

fósforos pode ser feita

pelo professor na sala de

aula e utilizada desde a

série.

Pede-se para alguém pensar em um número de

vários algarismos e somar esses algarismos.

Em seguida pede-se que a pessoa subtraia a

soma do número pensado.

A pessoa deve então ocultar um algarismo

desse último resultado obtido e informar o valor

da soma dos algarismos restantes. Com isso o

proponente da brincadeira "adivinha" o algaris-

mo que foi ocultado.

Exemplo

Número pensado: A = 6435879

A pessoa oculta, por exemplo, o algarismo 8 e

fornece a soma dos outros que é

6 + 4 +

+ 7 = 28.

Como a soma de todos os algarismos deve ser um múltiplo de 9*,

"adivinha-se" que o algarismo ocultado é 8, uma vez que 28 + 8 = 36.

Demonstração

A demonstração do resultado utiliza a representação decimal do número A:

De ouvido

Alexandre Kleis

Meu irmão faz uma brincadeira com uma caixa de fósforos muito curiosa.

Ele pega uma caixa, dessas comuns, e conta quantos fósforos há — 40,

digamos. Dá a caixa a alguém e pede que este retire, às escondidas, um certo

número de palitos; em seguida, que some os algarismos deste número e repo-

nha esta quantidade de palitos. (Por exemplo, retira 25 palitos e repõe 2 + 5 =

7 palitos.) Aí, vem o surpreendente: pega a caixa, balança-a, ao lado do

ouvido, faz uma cena e vaticina: "Há 22 palitos na caixa!" (para o exemplo,

o que é certo: 40 - 25 + 7 = 22).

Notem: ele não viu nada, não teve nenhuma informação e, apenas pelo

som dos palitos dentro da caixa, descobre a quantidade deles.

O segredo é simples. Sejam x e IN e x a soma dos algarismos da representação

decimal de x. Ora, retirar x palitos e repor x palitos equivale a retirar x - x

palitos. Como se sabe, x e x têm o mesmo resto quando divididos por 9, logo

x - x é múltiplo de 9. Deste modo, está se retirando sempre um número

múltiplo de 9 da caixa. Se ela contiver 40 palitos, teremos:

Tudo consiste então em se treinar o ouvido para identificar, pelo ruído, as cinco

possíveis respostas!

indiscreto

Esta "brincadeira" pode ser

apresentada a estudantes de

qualquer nível. No entanto,

para um estudante já famili-

arizado com a noção de po-

tência, é mais fácil explicar

em que se baseia a "mági-

ca". Uma proposta interes-

sante é só apresentar as ta-

belas com os números de 1

a 31 e sugerir aos estudan-

tes que eles mesmos colo-

quem os números de 33 a

63 nas tabelas.

Idéia para uma feira de ciências

Um visitante que se apresenta para o teste é

convidado pelo aluno "adivinho" a dizer, dentre as

seis listas abaixo, de 32 números cada, em quais

delas está a sua idade. Imediatamente o aluno adi-

vinha a idade.

Como? Basta somar os primeiros números das

listas que o voluntário apontou.

Por exemplo:

Pois bem, na primeira lista do adivinho estão

os números para os quais a

= 1, isto é, aqueles

que terminam em 1 quando escritos em base 2; na

segunda lista estão os números com a

= 1, ou seja,

aqueles, entre 1 e 63, que têm 1 na segunda casa

da direita para a esquerda, quando escritos em base 2; na terceira lista estão

aqueles para os quais a

= 1, e assim por diante.

Eis as listas do adivinho.

Essas listas de números podem ser feitas em tiras, todas iguais, de car-

tolina, lembrando um baralho, para melhor manuseio e a soma dos primei-

ros números pode ser feita de cabeça. O aluno deve fazê-la bem. Talvez

seja melhor que dois alunos se encarreguem de fazê-la para conferir entre

si, antes de contá-la ao visitante.

É claro, agora, porque cada idade é igual à soma dos primeiros nú-

meros de cada lista em que ela esteja, não?

Talvez valesse a pena estender a tabela até 100 pelo menos, ou 127,

para atender os avós que venham visitar a feira. Quais as modificações

que precisam ser introduzidas?

Polígonos de palitos

de sorvete

Luiz Márcio R Imenes

Que tal levar os alunos à

cantina da escola ou à pada-

ria vizinha para comprar um

picolé? Depois é só usar os

palitos para estudar proprie-

dades de polígonos regula-

res e dos obtidos por trans-

formações deles.

Com palitos de sorvete e percevejos, os alunos

podem construir polígonos variados: quadriláteros,

triângulos, pentágonos etc.

Com este material simples, podemos trabalhar

conceitos, propriedades e idéias importantes. Ve-

jamos alguns exemplos.

1. Com exceção do triângulo, todos os demais

polígonos de palitos não têm rigidez. O quadri-

látero, o pentágono, o hexágono etc. são

deformáveis.

O de quatro lados pode ser um quadrado que se transforma num losango

(mais ou menos achatado). O de cinco lados pode ser um pentágono não

regular, que se torna regular e depois pode ficar não convexo.

2. Como todos os palitos têm o mesmo comprimento, cada um dos polígo-

nos construído é equilátero, isto é, tem todos os lados iguais. Mas, com

exceção do triângulo, a igualdade dos lados não acarreta a igualdade

dos ângulos. Em outras palavras, excetuando o triângulo, um polígono

equilátero não é necessariamente equiângulo.

3. Esta transformação do polígono de palitos preserva a igualdade de seus

lados. Preserva também o seu perímetro, mas não conserva sua área.

4. A rigidez do triângulo de palitos tem a ver com esta propriedade: os três

lados determinam o triângulo.

A ausência de rigidez dos demais polígonos corresponde ao seguinte: um

polígono, com quatro lados ou mais, não fica determinado apenas pelos

seus lados.

5. A rigidez do triângulo tem muitas aplicações práticas. Ela explica a pre-

sença dos triângulos nas estruturas, de madeira ou ferro das construções.

Explica também a travessa usada nos portões.

tesoura de telhado

portão com travessa

Enfim, este material simples permite explorar muitas idéias interessantes.

Ele pode ser usado no trabalho de sala de aula ou nas feiras de ciências.

geométrica do MMC

Mário Lúcio Cardoso

Otânio Alves Gonçalves

As duas atividades propos-

tas são interessantes para o

aluno "visualizar" o MDC e

o MMC. Podem ser apre-

sentadas sem dizer ao alu-

no que se trata de MDC e

MMC, deixando que ele

mesmo faça a descoberta e

se pergunte porque o méto-

do funciona.

Após a leitura do artigo do professor Zelci Clasen

de Oliveira, na RPM 29, sobre uma interpreta-

ção geométrica do MDC, ficamos pensando so-

bre a possibilidade de uma interpretação geomé-

trica também para o MMC.

Após algumas tentativas encontramos uma

maneira de achar o MMC de dois números natu-

rais m e n, sem efetuar operações e utilizando

apenas a contagem. O método é o seguinte:

1) Tomemos um retângulo ABCD de lados m e n.

O retângulo deverá estar subdividido em qua-

drados unitários.

2) Partindo de um dos vértices do retângulo, tra-

çamos as diagonais dos quadrados unitários

observando a seguinte ordem:

a) traçamos a diagonal do quadrado que tem o

vértice coincidente com o vértice escolhi-

do do retângulo.

b) traçamos, a partir do vértice no qual para-

mos, as diagonais dos quadrados que têm

um ângulo oposto pelo vértice com o qua-

drado anterior ou, na ausência desse qua-

drado, traçamos a diagonal do quadrado ao

lado e a partir do vértice onde paramos.

c) As diagonais dos quadrados unitários de-

vem ser traçadas até que se chegue a um

dos outros vértices do retângulo ABCD.

Uma interpretação

d) Contamos quantos quadrados tiveram suas diagonais traçadas. O nú-

mero encontrado é o MMC de m e n.

Exemplos:

• MMC de 5 e 10 (iniciando, por exemplo, em A).

Observe que 10 quadrados tiveram suas diagonais traçadas.

• MMC de 3 e 5 (iniciando, por exemplo, em C).

Observe que 15 quadrados tiveram suas diagonais traçadas.

• MMC de 4 e 6 (iniciando, por exemplo, em D).

Observe que 12 quadrados tiveram suas diagonais traçadas.

O método se baseia nos fatos: ao partirmos de um vértice do retângulo e

chegarmos a um outro vértice desse mesmo retângulo, traçamos diagonais

de um número de quadrados que corresponde a um múltiplo tanto de m quan-

to de n; parando no primeiro outro vértice do retângulo ABCD, estamos de-

terminando o mínimo dentre os múltiplos comuns de m e n.

Como obter o MDC e o

MMC sem fazer contas?

Marcelo Polezzi

As duas atividades propos-

tas são interessantes para o

aluno "visualizar" o MDC e

o MMC. Podem ser apre-

sentadas sem dizer ao alu-

no que se trata de MDC e

MMC, deixando que ele

mesmo faça a descoberta e

se pergunte porque o méto-

do funciona.

Há algum tempo atrás tive a oportunidade de ler

dois artigos interessantes na RPM, os quais tra-

tam de encontrar métodos geométricos para cal-

cular o MDC e o MMC entre dois números. Fi-

quei entusiamado e percebi que poderia produzir

um novo método, espantosamente simples, que

permitisse obter, quase ao mesmo tempo, o MDC

e o MMC.

O método baseia-se essencialmente em um ar-

tigo que publiquei, que traz uma fórmula explícita

para o MDC e o MMC entre dois números. Meu

objetivo agora é mostrar como se obtém o MDC

e o MMC, usando apenas contagem.

O método

1. Considere um retângulo de lados, com medi-

das inteiras a e b, dividido em quadradinhos

unitários.

2. Trace uma das diagonais do retângulo, mar-

cando-a nos pontos que são vértices de algum

quadradinho unitário.

3. Conte em quantas partes esses pontos divi-

dem a diagonal: esse número d é o MDC(a,b).

4. Trace linhas verticais (horizontais), passando

por cada um dos pontos que você marcou, unin-

do dois lados opostos do retângulo. Conte o

número de quadradinhos unitários existentes

em qualquer um dos d retângulos determinados por essas linhas verticais

(horizontais): esse número m é o MMC(a,b)-

A figura a seguir ilustra o procedimento para a = 12 e b = 21.

A diagonal está dividida em três partes iguais, logo, 3 = MDC(12, 21).

O número de quadradinhos existentes em qualquer um dos três retângulos

é 7 X 12, logo 84 = MMC(12, 21).

Justificativa

Se d = MDC (a,b), existem inteiros u e v

tais que a = du e b = dv, com u e v primos

entre si.

Considerando um sistema de eixos ortogonais

com a origem num dos vértices do retângulo,

como na figura, a equação da reta que contém

a diagonal considerada é

Logo, pertencem à diagonal os pontos (0, 0); (u,v) pois

(du, dv) = (a, b), ou seja, d+ 1 pontos de coordenadas inteiras, igualmen-

te espaçados.

Para verificar que são apenas esses os pontos da diagonal com coordena-

das inteiras, suponha que (p, q) pertença à diagonal e tenha coordenadas

inteiras. Então,

o que implica qu = vp e, sendo MDC(u, v) = 1, vem que q = rv e p = ru, com

0 < r < d.

Logo, a diagonal fica dividida em d pedaços iguais.

Como os d+ 1 pontos são igualmente espaçados, os d retângulos obtidos no

item 4 têm a mesma área m. Logo, md = ab, o que mostra que m = MMC(a, b),

e m é também o número de quadradinhos contido nos retângulos.

Observação

Se o interesse for calcular apenas o MMC, basta traçar uma linha ver-

tical, passando pelo ponto descrito no item 2 que seja o mais próximo do

vértice superior atingido pela diagonal e contar os quadradinhos existentes

no menor retângulo determinado por essa linha vertical.

Raiz quadrada sem

contas ou calculadora

José Luiz Pastore Mello

O artefato proposto aqui é

bastante simples e interes-

sante. Os alunos podem

construí-lo em uma sala de

aula como parte da ativida-

de. Pode ser apresentado ao

estudante que já conhece a

noção de raiz quadrada ou

pode servir como motivador

dessa definição. Uma vez

que a atividade de "extrair a

raiz quadrada", utilizando o

artefato esteja dominada, é

natural a curiosidade como

o artefato funciona?

Tudo está baseado no

Teorema de Pitágoras e,

com um pouquinho de estí-

mulo, o aluno pode tentar

descobrir isso sozinho.

Introdução

Vamos construir, usando papel milimetrado, pa-

pel transparente, régua e compasso, calculadoras

para o cálculo de raiz quadrada. Apresentaremos

também justificativas para seu funcionamento.

Construção

1. Marque numa folha de papel milimetrado dois

eixos ortogonais e uma unidade de medida.

Considerando que os valores do eixo das or-

denadas nos darão o resultado da raiz quadrada,

deve-se escolher a escala de acordo com os ob-

jetivos do cálculo e da precisão desejada.

Numa folha de papel transparente desenhe

uma linha reta graduada usando a mesma unida-

de usada no sistema de eixos e faça um furo a

Fixe o furo no ponto F = (

0) marcado no sistema de eixos ortogonais.

A calculadora para estração de raiz quadrada está pronta!

Escolha um número no papel transparente, por exemplo o 9, e seja P o ponto

correspondente a esse número. Gire a reta no sentido anti-horário, até que a

abcissa de P seja igual ao número escolhido, 9: a ordenada de P será a raiz

quadrada do número, no caso o número 3.

Você sabe por que o artefato funciona? Um modo de justificar é:

Pelo teorema de Pitágoras no triângulo

obtemos a igualdade

que implica

2. Um outro mecanismo para extração de raiz quadrada pode ser construído

do seguinte modo:

Desenhe em papel milimetrado uma reta horizontal graduada de 0 a 100,

que será o diâmetro de uma

circunferência de raio 50.

Trace linhas verticais de

cada ponto da gradação até

a circunferência. Desenhe

numa tira de papel transpa-

rente uma reta graduada

com escala 10 vezes maior

que a utilizada no papel

milimetrado e fixe a origem

da tira na origem do siste-

ma, no papel milimetrado.

O mecanismo está pronto. Para calcular a raiz quadrada de um número

indicado na reta horizontal, basta girar a tira de papel transparente até o

ponto da circunferência que encontra a vertical que passa pelo número esco-

lhido. A raiz quadrada do número estará indicada na tira de papel transparen-

te, no ponto de encontro com a circunferência.

A explicação do funcionamento pode ser feita usando-se uma das rela-

ções métricas do triângulo retângulo: c

= am ou . No nosso caso,

como a = 100, c seria igual a 10 vezes a raiz quadrada do número m, o que

é corrigido pela escolha da escala na tira de papel transparente.

Nomogramas

(calculadoras de papel)

Marcelo Escudeiro Hernandes

Um computador de papel! Existe?

Um computador de papel?

Esta atividade, além de exer-

citar os alunos na constru-

ção de gráficos e marcação

de pontos no plano, permite

efetuar geometricamente

adição ou multiplicação de

dois números.

Tanto a Álgebra como a Ge-

ometria podem ser utilizadas

para mostrar por que o mé-

todo funciona.

A atividade, que pode ser ex-

plorada até no ensino médio

com equações de retas, pode

ser desenvolvida no ensino

fundamental, trabalhando

medidas no trapézio, cálculo

da hipotenusa de um triângu-

lo retângulo etc.

Introdução

Facilitar cálculos sempre incentivou a pesqui-

sa e construção de máquinas ou métodos que di-

minuíssem os esforços e permitissem maior rapidez

e exatidão em operações. Assim foi com o ábaco,

as barras de Napier, réguas de cálculo, ... até os

computadores de hoje.

Entre esses métodos estão os chamados

nomogramas, que são tipos de gráficos onde o

resultado de operações é encontrado, utilizando

uma régua ou qualquer outro instrumento que per-

mita o traçado de um segmento de reta.

Existem nomogramas para operações elemen-

tares como adição, multiplicação, médias,

hipotenusa de um triângulo retângulo, e outros.

Adição

Vejamos o exemplo de um nomograma

simples para adição de dois números reais.

Tome três eixos A, B, C, paralelos,

eqüidistantes e perpendiculares a uma reta

r dada. Seja d a distância entre eles. Gra-

duamos os eixos com uma mesma unidade

e marcamos 0 nos três eixos numa mesma

horizontal. Nos eixos A e C, marcamos o

número n (ou -n) a n unidades da origem.

No eixo B, marcamos 2n (ou -2n) a n

unidades da origem. Veja a figura a seguir.

Para determinar a soma de dois números a e c, marcamos a no eixo

A e c no eixo C. A soma a + c será determinada pela interseção da reta

que une os pontos a e c com o eixo B.

Veja os exemplos:

1+3=4

-3 + 2 = -1

-1 + (-1) = -2

Por que isso funciona? A explicação é bem simples e pode tomar dois

enfoques distintos, um algébrico e outro geométrico. Vejamos, inicialmente, o

apelo algébrico:

Suponha que queremos encontrar a soma de dois números reais a e c.

Consideremos a reta que passa pela origem dos três eixos como sendo o eixo

x, e o eixo B como sendo o eixo y.

Assim, a reta que liga a com c é a reta que passa pelos pontos (-d, a) e

{d, c). Sua equação é:

No eixo B, a

a + c

unidades da origem, está marcado o número a + c.

Claramente, pode-se encontrar também a diferença de dois números e

e f usando essa mesma construção. Basta marcar e no eixo B, f no eixo

A, e ler a diferença d no eixo C, dada pela interseção desse eixo com a

reta que passa por e e f. De fato, teríamos f+ d = e, donde, d = e - f.

Para a argumentação geométrica, chamemos os pontos correspondentes

aos números a e c de P

e P

Observemos que há apenas três posições

distintas para esses pontos:

a) P e P estão no mesmo semiplano determinado pelo eixo x.

OP é a base média do trapézio P

DD' e, portanto, mede

O número que aparece na posição P é o dobro desse, isto é,a+ c.

b) P e P

estão em semiplanos distintos em relação ao eixo x.

CP é a base média do triângulo P CP .

c) Um argumento semelhante aos anteriores pode ser usado se um dos

pontos, P

ou P

, estiver no eixo x.

Cálculo da Hipotenusa

Vejamos a construção de um nomograma que fornece a hipotenusa de um

triângulo retângulo se forem dados os catetos.

Como (hip)

= (cat

)

+ (cat

)

, precisamos realizar uma adi-

ção e, portanto, podemos tomar o modelo já visto. Mas, como

queremos somar quadrados de números, dessa vez nos eixos A

e C escrevemos o número n a n

unidades da origem e no eixo

B escrevemos o número n a n

/2 unidades da origem.

Aos catetos 3 e 4 corresponde a hipotenusa 5, e aos catetos

8 e 5 corresponde a hipotenusa = 9,4

Detalhando PR tem 9 unidades

a R corresponde o número 3.

QS tem 16 unidades, a S

corresponde o número 4.

MT tem 25/5 = 12,5 unidades, a T correspon-

de o número 5.

Multiplicação

Para a multiplicação de dois números positivos pode-se usar novamente o mes-

mo tipo de nomograma, lembrando que, se x . y = z então log x + log y = log z,

qualquer que seja a base do sistema de logaritmos. Nesse caso, para marcar os

números nos eixos A e C, fixamos a origem em cada eixo e marcamos o número

n a uma distância igual a log n unidades dessa origem. No eixo B marcamos o

número n a uma distância igual a 1/2 log n unidades da origem. Uma figura,

praticamente igual à de cima, mostrará por que tal nomograma funciona.

Artesanato e

Matemátíca

Luiz Márcio Imenes

Nesta atividade o autor Luiz

Márcio Imenes novamente

nos presenteia com muita

Geometria ,utilizando ma-

deira, pregos e linha. Além

de oferecer um resultado fi-

nal muito bonito que servirá

para decorar salas e corre-

dores da escola, o autor

propõe o jogo da constru-

ção das diagonais de um

polígono, no qual certas re-

gras deverão ser obedeci-

das. Com isso estuda-se o

número de diagonais de um

polígono, quantas partem de

cada vértice, etc. Os alunos

perceberão que sem méto-

do e matemática a constru-

ção fica muito mais difícil,

senão impossível.

Como foi que aconteceu

Há uns dez anos, um aluno, cujo nome infeliz-

mente não recordo, apareceu na escola com algu-

mas peças de seu artesanato. Trabalhando com

madeira, pregos e linhas de várias cores, ele com-

punha paisagens, figuras humanas e motivos geo-

métricos. Lembro-me de um Cristo na Cruz, que

me impressionou bastante. Foi a primeira vez que

vi esse tipo de artesanato. Depois disso vi muitos

outros trabalhos na mesma linha (sem trocadilho!).

Figura 1

Certo dia, folheando um livro, vi o desenho de

um decágono regular e suas 35 diagonais:

A Figura, que parece um bordado, me trouxe à

lembrança o artesanato de meu ex-aluno. As duas

coisas cruzaram-se, e veio a idéia de juntar o ar-

tesanato com a Matemática. Antes de fazer a pro-

posta aos alunos, resolvi brincar um pouco. E aí

tive a companhia dos filhos. Brincando, fui descobrindo coisas interessantes.

Trabalhando com os alunos, foram aparecendo idéias mais interessantes ain-

da. Apresentei essas idéias a diversos colegas professores, em diferentes

cursos, e eles contribuíram com novos problemas, novas situações e novas

idéias. Esse relato tem portanto muitos autores. Posteriormente vim a desco-

brir que não há nada de original nessas idéias. Elas são apresentadas em

publicações antigas e já foram exploradas por muitas outras pessoas.

Entretanto, a ausência de originalidade, em nada diminuiu o prazer da

descoberta (ou re-descoberta).

O Jogo das diagonais

Tenho proposto essa atividade aos alunos na forma de um jogo. Apresento-

a também como uma atividade artesanal envolvida com a Matemática.

Os materiais necessários são: um pedaço de madeira, de forma quadrada,

com aproximadamente 30 cm de lado; de 15 a 24 pregos com cabeça, de

comprimento aproximado 15 mm; um rolo de linha colorida para construir as

diagonais; e uns 3 m de linha de outra cor para representar os lados do polígono.

Convém usar uma linha resistente. São necessários ainda um martelo e ins-

trumentos de desenho: compasso, transferidor e régua.

O primeiro passo é desenhar sobre a tábua um polígono regular de n lados.

É preciso que, numa mesma classe, apareçam polígonos com diferentes núme-

ros de lados. Para isso estipulo que, para cada aluno: n = 15 + algarismo das

unidades do dia do seu aniversário. (Por exemplo, para os alunos que aniversa-

riam nos dias 7, 17 ou 27 temos n — 15 + 7 = 22). Com esse critério resulta:

15 =< n =< 24 e, em geral, numa classe com cerca de 30 alunos, temos 10 polígonos

diferentes. Essa variedade é importante, como você perceberá mais adiante.

Para desenhar o polígono o aluno começa desenhando uma circunferên-

cia com aproximadamente 10 cm de raio. A seguir divide-a em n partes

iguais, desenhando ângulos centrais de medida 360°/n. Quando o quociente

360°/n não é inteiro, fazemos aproximações. Se, por exemplo, n = 23 resulta

360°/23 (15,6)° Ou arredondamos esse valor para 15°30 min, ou desenha-

mos um ângulo central com 15° e o outro com 16°, alternadamente. Pequenas

aproximações não prejudicam a estética desse artesanato.

Tendo dividido a circunferência em n partes iguais, nos pontos de divisão,

o aluno fixa os pregos. É importante que esses fiquem bem firmes. Se depois

um deles se soltar, o trabalho estará perdido.

O passo seguinte é construir, com a linha, as diagonais do polígono. Nes-

se momento apresento as quatro regras do jogo.

1ª Regra: é preciso construir todas as diagonais do polígono. Se ficar faltan-

do alguma, não valeu.

2ª Regra: lado não é diagonal e por isso, quando estiver construindo as

diagonais, não é permitido passar a linha de um prego para um de seus

vizinhos.

3ª Regra: não vale construir a mesma diagonal duas vezes, isto é, não vale ir

e vir pelo mesmo caminho.

4ª Regra: também não vale, num dado momento, amarrar a linha num prego,

cortá-la, amarrá-la novamente em outro prego, e prosseguir com o trabalho.

A linha só pode ser cortada quando a última diagonal tiver sido construída.

Agora, mãos à obra. Amarre a linha num prego qualquer e comece. Antes de

prosseguir a leitura desse artigo você não gostaria de executar essas idéias?

Posso lhe garantir que vale a pena!

Algumas observações:

1. Dependendo das circunstâncias, peço aos alunos que preparem, em casa,

a tábua com o polígono regular desenhado sobre ela e os pregos já fixados

também. Com isso, evita-se uma barulheira danada!

2. Essas idéias podem ser trabalhadas só com material de desenho, sem a

madeira, os pregos, a linha e o martelo. Isso facilita as coisas por um

lado, mas cria algumas dificuldades, como veremos logo mais. Além dis-

so, sem pregos e linha, desaparece o artesanato...

O procedimento dos alunos

Passo a relatar algumas das observações que faço, quando os alunos

iniciam a construção das diagonais com a linha.

Alguns se põem a construí-la sem um critério definido. Puxam a linha de

um prego a outro qualquer e deste a um outro, caoticamente, sem qualquer

preocupação com rotina, lei de formação, ou tática de construção. Logo per-

cebem que assim não dá. São muitas diagonais e daí a pouco estão perdidos,

sem saber o que já está feito e o que falta fazer. Desmancham tudo e come-

çam novamente.

Outros alunos, desde o início, preocupam-se em fazer as construções,

seguindo alguma regra, alguma lei de formação. Alguns optam por esgotar as

diagonais que partem de um certo vértice e também acabam desistindo.

No fim de pouco tempo, a maioria dos alunos chega à seguinte regra de

construção: partindo de um primeiro prego (aquele em que ele amarrou a linha)

e caminhando sempre num mesmo sentido, constrói-se a menor diagonal, que

não foi construída ainda. Assim por exemplo, se n = 18, passa-se a linha de

um prego a outro, nessa seqüência: 1-3-5-7-9-11-13-15-17-1, e estamos

de volta ao prego 1. Como a diagonal 1-3 já está construída, vai-se de 1 a 4.Em

4, a menor diagonal ainda não construída é 4 - 6. A seqüência agora, então é:

4-6-8-10-12-14-16-18-2-4.

Com as construções realizadas, todas as diagonais menores desse polígono

estão prontas. Essas diagonais menores são obtidas, pulando-se um só vértice.

Prosseguindo, a seqüência é: 4-7-10-13-16-1-5-8-11- etc.

Mais algumas observações

3. A tática que estamos apresentando não é exclusiva. É possível construir

as diagonais do polígono por outros caminhos. Entretanto, razões estéticas

recomendam a construção descrita. O bordado resultante apre-

sentará um bonito relevo.

4. Nesse processo todo, é importante poder errar, voltar atrás, tentar outro

caminho, poder desmanchar e começar de novo. É bem menos trabalhoso

fazer isso com a linha do que desenhando: Se necessário, leia novamente a

observação 2.

5. É preciso estar atento, percorrendo a classe. Alguns alunos se esquecem

das regras do jogo e passam pela mesma diagonal duas vezes, ou ligam um

prego a seu vizinho.

Alguns terminam, outros chegam a um beco sem saída

Uma das regras do jogo estabelece que todas as diagonais precisam ser

construídas. Inevitavelmente aparece a pergunta:

- Professor, como sei que já fiz todas?

- Descubra um jeito!

Espontaneamente ou, quando necessário, conduzidos pelo professor, a maior

parte dos alunos acaba percebendo que, se por exemplo, n = 20, de cada

prego devem partir 17 diagonais. Nem sempre generalizam esse resultado

com facilidade, concluindo que o número de diagonais que partem de cada

vértice é igual a n - 3. Mas, devagar, chegam a essa conclusão.

Depois de algum tempo, alguns alunos comunicam que completaram o

trabalho, enquanto outros reclamam porque não conseguem completar a obra.

Chegam a um prego e não têm como continuar: todas as n - 3 diagonais que

partem dele estão construídas, e ainda existem diagonais a serem construídas!

Voltam atrás, desmancham parte do trabalho, seguem por outro caminho e,

não demora muito, estão novamente num beco sem saída.

Por quê?

Criado o clima, faço um levantamento da situação, perguntando o número

de lados que tem o polígono de cada um dos que conseguiram terminar e o

daqueles que não estão conseguindo. No primeiro grupo aparecem 19,23,15

etc, e, no segundo, 20, 22, 16 etc. Às vezes nem é preciso dirigir muito.

Alguns percebem essas coisas sozinhos e a notícia corre pela classe.

Nesse ponto é natural que todos se perguntem: por que é que se n é ímpar

a brincadeira dá certo, e quando par, não?

Custa um pouco para que todos entendam o que está acontecendo, mas

devagar, e com ajuda do professor, chegam lá.

Se n é par, o número de diagonais que partem de cada vértice, que é

n - 3, é ímpar. Vamos pensar assim: quando nos dirigimos a um determi-

nado prego, pela primeira vez, chegamos e partimos, construindo 2

diagonais. Quando voltamos a ele, construímos mais 2 (já são 4 diagonais).

E assim por diante, o número de diagonais construídas vai aumentando de

2 em 2 : 6, 8, 10, etc. Como n - 3 é ímpar, haverá um momento em que só

uma diagonal estará faltando. Quando voltarmos a esse prego, a última

diagonal será construída, sem que se possa sair dele, respeitando as re-

gras do jogo. E não adianta desmanchar e procurar outro caminho. Em

algum prego isso acontecerá necessariamente.

Moral da história: o jogo proposto e impossível quando n é par!

Veja bem: o jogo é impossível, o artesanato, não.

Desrespeitando uma das regras do jogo, é possível completar a constru-

ção das diagonais. Pode-se, por exemplo, amarrar a linha no prego, dar o nó,

cortá-la, amarrá-la num outro e prosseguir, até que nova impossibilidade apa-

reça. Repete-se o processo até construir todas as diagonais.

Para finalizar o trabalho, com o outro fio de linha, os alunos constroem os

lados do polígono regular.

O artesanato terminou, mas a Matemática envolvida nele mal começou!

Porém, antes de propor novos problemas, vale a pena explorar um pouco

mais o que já foi feito.

Quando n é ímpar, o número de diagonais que partem de cada vértice é par.

Desaparece então a impossibilidade verificada quando n é par. Vamos fixar

atenção no prego em que amarramos a linha para começar a construção. Na

seqüência, o número de diagonais construídas, que partem dele, é: 1,3,5,7 etc.

É só no vértice de partida que isto acontece. Nos demais, a seqüência é: 2,4,6,

8 etc. Isso permite concluir que a última diagonal deve terminar justamente

onde começou a primeira! É gostoso ver nos alunos, para os quais n é ímpar, a

reação a essa conclusão:

— É mesmo, isso aconteceu com o meu trabalho!

Número de diagonais do polígono

Durante esse processo, os alunos perceberam que o número de diagonais que

partem de cada vértice é igual a n - 3. Pergunto a eles:

— Quantas diagonais tem o seu polígono?

Cada um faz as contas para o seu caso particular. Nem todos percebem a

necessidade da divisão por 2: ao multiplicarem n por n - 3, contaram cada

diagonal duas vezes.

Para que percebam o erro, basta sugerir que façam o mesmo raciocínio para

um quadrado ou pentágono. Enfim, raciocinando com base na atividade desenvol-

vida, errando, percebendo contradições, acabam chegando ao resultado geral:

onde d é o número de diagonais do polígono.

Na construção que fizeram, com prego e linha, desenharam um polí-

gono regular (razões estéticas!). Vale a pena perguntar:

A fórmula obtida vale para um polígono convexo não regular?

Novos problemas

Peço aos alunos que observem os diferentes trabalhos. Em alguns deles,

no centro da figura aparece uma "rodelinha", um núcleo vazio. Em outras

isso não ocorre. Qual a explicação, por que isto acontece?

Logo percebem que, quando n é par existem vértices simétricos em relação

ao centro e por isso algumas diagonais são diâmetros, passam pelo centro.

Quando n é ímpar, nenhuma diagonal é diâmetro. Daí a "rodelinha".

Outros problemas: quando n é par quantas são as diagonais que passam pelo

centro? Quando n é ímpar, quantas são as diagonais mais próximas do centro?

As respostas, que são respectivamente, n/2 e n, aparecem com algu-

ma facilidade.

Agora uma outra questão um pouco mais exigente: isso que estamos cha-

mando de "rodelinha", é, na verdade, um polígono. Demonstre que ele é re-

gular e tem também n lados.

E mais problemas

O artesanato construído pelos alunos é uma arte de linhas retas, e entretanto

vemos ali uma série de "circunferências" concêntricas. Observe bem as duas

últimas figuras. Na verdade essas "circunferências" são polígonos regulares com

muitos lados. Mas podemos pensar nas circunferências inscritas nesses polígonos.

A simples observação dos bordados dá a impressão de que o espaçamento entre

essas circunferências é constante. Com outras palavras, a sensação visual é de

que os raios dessas circunferências parecem formar uma progressão aritmética.

Será isto verdadeiro?

Como você vê, soltando a imaginação, a gente vai longe...

Como já disse, essa é uma arte de linhas retas. Quantos segmentos de

reta há em cada um daqueles trabalhos? Dois modos de exprimir a resposta:

Quantos triângulos podemos visualizar naquele emaranhado de linhas?

E quantos quadriláteros, pentágonos, etc? E quantos polígonos podem ser

vistos ali?

Mais algumas observações

6. Como você vê, o tema é rico, podendo ser explorado em diferentes níveis, com

diferentes graus de profundidade. Tenho trabalhado com ele no ensino médio.

Outros colegas o exploram no ensino fundamental: é preciso apenas alguma

sensibilidade para perceber até onde é possível avançar.

7. Aqui foram propostos alguns problemas Outros ainda poderiam ser apre-

sentados, dentro do mesmo tema. Gostaríamos entretanto, que os colegas

leitores da Revista nos escrevessem, propondo outros problemas, motiva-

dos a partir do artesanato aqui construído. Pensem ainda em outras liga-

ções desse tema com outros campos da Matemática.

Para que serve a Matemática, professor?

Em 1982, quando nascia a Revista do Professor de Matemática, na Seção

"Para que serve", preocupada em apresentar as aplicações da Matemática,

escrevemos o seguinte:

"...vivemos num mundo extremamente utilitarista, onde as coisas têm sempre

que servir a um fim material específico. No entanto, o homem continua gos-

tando de fazer certas coisas que não têm utilidade imediata, no sentido

utilitarista do termo. A arte é um exemplo disto."

As vezes, na Matemática, estudamos certos assuntos, resolvemos certos

problemas, simplesmente com a intenção de vencer desafios, brincar com a

Matemática, divertir-nos com ela. Esta dimensão também deve ser mostra-

da ao aluno: é possível sentir prazer, brincando com a Matemática ".

Penso que o artesanato construído com pregos e linha, e os problemas cria-

dos a partir dele, revelam com bastante força a fecundidade de um casamento

entre Matemática e Arte!

Caleidociclos

Ingo Valter Schreiner

A construção de caleidociclos

é interessante do ponto de vis-

ta artístico e leva ao estudo de

Geometria Plana e Espacial.

Para alunos do ensino funda-

mental, além da parte lúdica e

criativa, é possível trabalhar

com ângulos, triângulos, áreas

e medidas

Num curso sobre o ensino de Geometria nos en-

sino fundamental e médio, realizado em Panambi

- RS, em setembro de 1984, o professor Luiz

Márcio P. Imenes mostrou aos participantes dois

caleidociclos. Não conhecia esse material, que me

fascinou tanto do ponto de vista geométrico como

do ponto de vista artístico. Os dois caleidociclos

eram decorados com motivos de Maurits C.

Escher (1898-1972), um artista gráfico dos Paí-

ses Baixos. Ao girar os caleidociclos de dentro

para fora ou de fora para dentro, apresentam-se

ao espectador ciclos de figuras diferentes.

A compreensão do funcionamento e a cons-

trução desses caleidociclos podem ser usadas

como aplicações interessantes e divertidas da

Geometria Espacial.

A Construção de um Caleidociclo

Para acompanhar este artigo, monte um

caleidociclo, observando as instruções a seguir:

1) Material necessário: régua, esquadro, tesoura,

lápis, borracha, cola e cartolina (ou qualquer

papel um pouco mais grosso que o comum).

2) Sobre a cartolina desenhe esta malha de

triângulos:

Nesta construção a precisão é importante. Ob-

serve que, com exceção de alguns, os triângulos

da malha são isósceles, de base a, e altura relati-

va à base é a também. Os demais triângulos são

retângulos, tendo catetos iguais a a e all.

O valor de a depende do pedaço de cartolina disponível. Não convém, por

razões práticas, fazer a menor do que 4 cm.

3) Recorte segundo a linha de traço forte.

4) Nas linhas de traço fino você fará dobraduras. Nas linhas verticais dobre

o desenho para dentro e nas inclinadas dobre para fora. Um detalhe prá-

tico: antes de dobrar convém vincar a cartolina. Isto pode ser feito com a

régua e uma faca sem ponta.

5) Após as dobraduras, a parte hachurada do desenho receberá cola, fican-

do, por isso, dentro do caleidociclo. Cole A' sobre A, B' sobre B e C"

sobre C.

Assim procedendo você obtém um conjunto de seis tetraedros em cadei-

ra. Eles se ligam por uma aresta comum.

6) Agora forme um elo, articulando o pri-

meiro tetraedro com o último. Cole D'

sobre D e E' sobre E. Está pronto o

seu caleidociclo. Espere a cola secar

antes de brincar com ele.

4 Faces, 4 Giros

O caleidociclo que você construiu é composto de seis tetraedros. Mas é

possível construir outros, com maior número de tetraedros. De um modo

geral, um caleidociclo é formado por um número par 2k de tetraedros, sen-

do que k {3, 4, 5, ...}. No seu caleidociclo k= 3.

Tais tetraedros são congruentes e suas faces são triângulos isósceles

congruentes, de base a e altura relativa à base x.

Os 2k tetraedros têm, dois a dois, uma aresta de medida a em comum.

Com esta cadeia, como você viu, for-

mamos um ciclo fechado. Podemos gi-

rar este ciclo num sentido ou noutro,

como mostram as setas duplas.

Girando aparece um "buraco" estrelado no centro do caleidociclo. Em certo

momento este buraco desaparece. Nesse instante tetraedros vizinhos têm suas

faces superpostas. Nessa posição, note que o "contorno" de seu caleidociclo é

um hexágono regular. Observe ainda que, nessa posição, você está vendo uma

face de cada um dos seis tetraedros. Girando, reaparece o "buraco" estrelado,

até que, novamente, ele desaparece. Nessa nova posição revelam-se outras

seis faces dos tetraedros.

Faça uma marca numa destas faces e gire o caleidociclo. Perceberá que

ela reaparece depois de quatro giros.

A relação entre a e x

Na posição em que o "buraco" desaparece, a metade das arestas de medi-

da a está contida num mesmo plano . As arestas restantes, que têm esta

medida, são perpendiculares a P. Nesta posição, podemos definir o contorno do

caleidociclo como sendo sua intersecção com o plano π. Este contorno é um

polígono regular convexo quando k=3 ou k=4, e um polígono regular estrela-

do quando k >= 5. É no centro deste polígono que, nesta posição, coincidem

alguns vértices dos tetraedros.

k = 3 k = 4

K=5

A intersecção do plano P com

cada tetraedro é um triângulo

isósceles de lados a, x e x.

Como o número de tetraedros

é 2k resulta:

Fica óbvio nesse momento porque k deve ser maior do que 2. Usando a lei

dos cossenos no triângulo acima, temos: a

= x

+ x

- 2.x.x.cos (3, donde:

Esta expressão permite calcular a, em função de x, para qualquer

caleidociclo constituído de 2k tetraedros, com k Є {3, 4, 5,...}.

Na tabela seguinte apresento os valores de a, (3 e a (em função de x),

para k= 3, 4, 5, 6.

A Planificação

Num caleidociclo o número de faces triangulares é igual a 4 x 2k= 8k.

Como as arestas de medida a são comuns a dois tetraedros, podemos pensar

assim: juntando dois triângulos isósceles iguais pelas suas bases, obtemos um

losango (onde uma diagonal é a; a outra é 2x).

Portanto a planificação da caleidociclo é constituída de 4k losangos de

diagonais a e 2x. Os lados comuns destes losangos serão as outras arestas

(diferentes de a) dos tetraedros.

Na construção do caleidociclo não esqueça de deixar as partes que rece-

berão cola. Outro detalhe prático: levando em conta a espessura da cartolina,

é aconselhável tomar a ligeiramente menor que

(aproximadamente 2%).

Enfeitando Fica Mais Bonito

Como escrevi no início deste artigo, os primeiros caleidociclos que vi, eram

decorados com motivos do artista Maurits C. Escher. Se quiser enfeitar o

seu, poderá pintar cada faixa de losangos com motivos e cores diferentes.

Girando o caleidociclo, de cada vez aparecerá um desenho diferente.

Resolvendo

fisicamente

Ana Catarina P. Hellmeister

Maria Elisa E. L. Galvão

As atividades apresentadas

podem ser aplicadas na 6

série, na modelagem de re-

solução de equações de 1º

grau, usando peças coloridas

de cartolina ou papel craft.

Na 5

série pode ser usada

na modelagem das opera-

ções algébricas.

Na 8

série pode ser utili-

zada na modelagem e "vi-

sualização" da fatoração

dos trinômios do segundo

grau. Além de motivar o es-

tudo dos conteúdos menci-

onados, as atividades pro-

postas desenvolvem a cria-

tividade e o questionamen-

to na busca de soluções

para problemas.

Introdução

O objetivo deste artigo é relatar nossa experi-

ência de trabalho com professores de Matemática

do Ensino Fundamental II da rede pública, envolvi-

dos no Programa de Educação Continuada (PEC),

um projeto conjunto da Secretaria de Educação do

Estado de São Paulo e da Universidade de São

Paulo - USP, além de nossa experiência em ofici-

nas do Centro de Ensino de Matemática da USP.

A aceitação e o envolvimento dos professores

participantes, e a decisão de aplicação do materi-

al concreto na sala de aula nos estimularam a di-

vulgar mais amplamente o trabalho.

O objetivo das atividades propostas é, inicialmente,

a modelagem, com o uso de peças coloridas de car-

tolina, de expressões algébricas do primeiro e se-

gundo graus. A seguir, usa-se esse material para

modelar a resolução de equações do primeiro grau e

a fatoração de trinômios do segundo grau.

Uma observação deve sempre ser feita quan-

do se trabalha com material concreto: O profes-

sor precisa estar atento quanto à necessidade dos

alunos em usá-lo, pois, para aqueles que não ne-

cessitam de atividades com esse material para

compreensão do processo algébrico, a insistência

pode ser desmotivadora.

Material utilizado

Um conjunto de fichas de cartolina em duas

cores (que representaremos aqui em branco e cin-

za), constituído por:

Quadrados pequenos (1 X 1) - que representarão a unidade 1. Os qua-

drados brancos representarão as unidades positivas, e os cinza, as unida-

des negativas.

Retângulos - com um dos lados com a mesma medida 1 dos quadrados

pequenos e o outro lado com uma medida qualquer, que não seja um

múltiplo inteiro da unidade escolhida. Os retângulos brancos correspon-

derão à incógnita x e os cinza, ao seu oposto —x.

Quadrados grandes - cujos lados devem ter a mesma medida escolhida

para o lado não unitário do retângulo anterior; também em duas cores, o

branco representando x

e o cinza o seu oposto -x

Para as atividades propostas neste artigo, é necessário que os alunos

dominem as operações com números inteiros, de preferência com repre-

sentação concreta, de modo análogo ao aqui utilizado.

Atividade 1

Trabalhamos inicialmente com a modelagem para expressões algébricas,

ou seja, vamos escolher o conjunto de peças que representará cada uma

dessas expressões, como nos exemplos a seguir:

Podemos efetuar adição

(-3x + 4) + (2x

+ 3x - 5), observando que as peças de cores diferentes

representam quantidades opostas e "se anulam" aos pares.

O resultado, portanto, será 2x

- 1:

Para efetuar a diferença

(-3x + 4) - (2x

+ 3x - 5), uma das formas de trabalhar pode ser somando a

expressão oposta, ou seja, usando que

(-3x + 4) + (2x

+ 3x - 5) = (-3x + 4) + + (-2x

- 3x + 5),

e teremos (-3x + 4) - (2x

+ 3x - 5) = -2x

- 6x + 9:

Podemos também modelar as várias possibilidades para o produto, usan-

do as representações:

Atividade 2

Usando a propriedade uma igualdade se mantém se efetuamos opera-

ções iguais em ambos os lados, modelamos a solução de uma equação do lº

grau, como nos exemplos abaixo.

É importante que cada operação efetuada em ambos os lados da igualda-

de seja acompanhada de sua representação simbólica para que, após muitos

exemplos, o estudante participante apreenda as propriedades usadas e se

liberte do material concreto, passando a resolver as equações algebricamente.

Vários professores que aplicaram a atividade em sala de aula relatam que, de

fato, é isso que acontece.

Exemplo 1.

• Substituir cada tira branca por 2 quadradinhos brancos e verificar se existe

igualdade. A negação significa que x = 2 não é a solução da equação.

• Voltando à representação original, retirar duas tiras brancas de cada

lado, mantendo, portanto, a igualdade e obtendo:

• Retirar um quadradinho branco de cada lado obtendo x = 1, que é a solução

da equação.

= D

• Voltar à configuração inicial e substituir cada tira branca por um quadradinho

branco e verificar a igualdade.

Exemplo 2.

2x-2 = -x + 4

• Acrescentar duas unidades positivas em cada lado, mantendo, portanto, a

igualdade e obtendo:

2x-2 + 2 = -x + 4 + 2 ou

2x = -x + 6.

Acrescentar uma tira branca em cada lado, obtendo:

2x + x = -x + 6 + x ou 3x = 6 ou

x = 2, que é então a solução.

Voltar à configuração inicial e substituir cada tira branca (cinza) por dois

quadradinhos brancos (cinza) e verificar a igualdade.

Exemplo 3.

Acrescentar 2 tiras brancas em cada lado, obtendo:

Retirar 2 quadradinhos brancos de cada lado, obtendo:

• Voltar à configuração inicial e substituir as tiras, representando -x por 3

quadradinhos cinza (por quê?) e verificar a igualdade.

Sugerimos ao leitor que resolva, modelando como nos exemplos, outras

equações do lº grau cujas soluções são números inteiros.

Atividade 3

Nesta atividade, observando um modelo físico, os participantes podem

investigar a fatoração de um trinômio do 2- grau ax

+ bx + c, com a, b e c

inteiros cuja decomposição resulta em uma expressão do tipo (ax +p)(x + q)

com p e q inteiros. O objetivo é levar à percepção das propriedades que

permitam fatorar tais expressões no nível simbólico.

Para realizar a atividade, estabelecemos o seguinte:

Um trinômio do 2º grau da forma ax

+ bx + c com a, b e c inteiros

e a > 0 pode ser fatorado se, e somente se, for possível formar um

retângulo com as peças que o representam. As dimensões do retângu-

lo formado representam os fatores do trinômio.

Dessa forma, voltamos à estrutura do produto modelado nos exemplos 1,

2 e 3 da Atividade 1.

Por exemplo, os fatores de x

+ 3x + 2 podem ser encontrados construindo-

se um retângulo com uma peça que representa x

, três peças que represen-

tam x e duas peças que representam as unidades positivas.

+ 3X + 2 = (X+1)(X + 2)

Vejamos mais alguns exemplos:

1. O trinômio x

+ 6x + 9 pode ser fatorado construindo-se o quadrado ao

lado. Observe que trinômios quadrados perfeitos podem sempre ser re-

presentados por peças que formam um quadrado. Logo,

+ 6x + 9 = (x + 3)

2. O trinômio x

- 3x +2 pode ser fatorado, construindo-se o retângulo:

Logo,

-3X + 2 = (X-1)(X-2).

3. 2x

+ 4x - 6 = (2x - 2)(X + 3).

No próximo exemplo usamos, para formar o retângulo, a convenção de que

peças de cores diferentes se "anulam": 4x foi representado por 6x + (-2).

Depois de muitos exemplos, os alunos que participam da atividade devem

estar aptos para responder à questão:

Se ax

+ bx + c = (ax + p)(x + q), quais as relações que existem entre

os números p, q e c ? E p, q e b?

Em seguida devem usar essas relações para fatorar algebricamente ou-

tros trinômios e estarão prontos para resolver equações do segundo grau,

usando a fatoração para recair em equações do primeiro grau.

Por exemplo, para resolver a equação 2x

+ 4x - 6 = 0 (exemplo 3),

fazemos 2x

+ 4x - 6 = (2x - 2(x+ 3)) = 0 e então 2x - 2 = 0 ou x + 3 = 0;

logo, x = 1 ou x = -3.

arestas e...

Sólidos geométricos

Ana Maria Kaleff

Dulce Monteiro Rei

Usando canudinhos colo-

ridos e barbante é possível

construir sólidos geométri-

cos que levam alunos, des-

de a 6

série, a visualizar

propriedades, a se concen-

trar numa tarefa, a criar

imagens e a intuir soluções

de problemas.

A imagem concreta de só-

lidos, polígonos e arestas

facilita o entendimento e

é essencial para o estudo

futuro da Geometria Pla-

na e Espacial.

As dificuldades apresentadas pelos alunos na

visualização de sólidos geométricos e a desmo-

tivação que muitos estudantes apresentam nas

aulas de Geometria Espacial têm levado os edu-

cadores a buscarem meios para facilitar o ensino

das propriedades geométricas dos sólidos e para

tornar esse ensino mais atrativo e motivador.

Na nossa prática escolar temos utilizado ma-

teriais concretos para a construção de estruturas

que representam "esqueletos" de sólidos geomé-

tricos construídos por meio de suas arestas. Os

materiais de nossa preferência para as constru-

ções são pedaços de canudos de plástico, unidos

por meio de um fio de linha e varetas finas de

madeira unidas por anéis elásticos.

Sugerimos a utilização de canudos plásticos de

refrigerantes, em três cores (ou diâmetros) dife-

rentes, um carretei de linha um pouco mais gros-

sa do que a linha usada para empinar pipas, pali-

tos "para churrasco", anéis elásticos, e uma agu-

lha grossa. Nos esquemas que seguem, indicare-

mos por -> o sentido em que a linha deve ser

inserida num canudo vazio e indicaremos por =>

o sentido em que ela dever ser inserida num ca-

nudo já ocupado por algum pedaço de linha.

Varetas, canudos,

Atividade 1

Construção de um tetraedro regular

O material a ser utilizado na atividade a seguir é um metro de linha, seis

pedaços de canudo de mesma cor e comprimento (sugerimos 8 centímetros).

Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo

um triângulo e feche-o por meio de um nó. Agora, passe o restante de linha por

mais dois pedaços de canudo, juntando-o e formando mais um triângulo com

um dos lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por um dos lados

desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó.

Essa estrutura representa as arestas de um tetraedro regular, e as etapas inter-

mediárias de sua construção estão representadas na Figura 1.

Temos observado que alguns mais habilidosos, ao fazerem essa construção,

não dão o nó indicado para a obtenção do primeiro triângulo, utilizando o pedaço

de linha sem interrupções para a construções do esqueleto do tetraedro. Isso

demonstra que tais alunos perceberam que os nós, apesar de facilitarem a

construção, podem ser evitados.

Nas construções das estruturas é importante obser-

var que, para se dar firmeza aos vértices de uma estru-

tura, é necessário reforçá-los, passando o fio de linha

mais de uma vez por cada pedaço de canudo, ligando-o

aos outros dois. O esquema apresentado na Figura 2

ilustra essa situação.

Atividade 2

Construção de um octaedro regular

Para essa atividade, são necessários dois metros de linha, doze pedaços

de canudo de mesma cor e comprimento (novamente sugerimos a medida de

8 centímetros).

Com pedaços de canudos e o fio de linha, construa quatro triângulos e os

una, dois a dois, conforme o esquema apresentado na Figura 3.

Atividade 3

Construção de um icosaedro regular

Para essa atividade, são necessários três metros de linha, trinta pedaços de

canudo de mesma cor e comprimento (sugerimos a medida de 7 centímetros).

Construa quatro triângulos, seguindo o esquema da figura 4 e os una

obtendo uma pirâmide regular de base pentagonal, como a desenhada na

figura. Repita essa construção, obtendo mais uma pirâmide. Una cada uma

das pirâmides através dos vértices das bases, por meio de pedaços de ca-

nudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.

Atividade 4

Construção de um cubo e de suas diagonais

Serão necessários doze pedaços de canudo da mesma cor e medindo 8 cm,

seis canudos de outra cor ou de diâmetro menor do que o anterior, e mais um

canudo de cor diferente das demais.

Com pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de

aresta. Para isso, passe o fio através de quatro canudos e passe a linha nova-

mente por dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado. Consideran-

do um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais três canudos,

construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam dois canudos para

completar as arestas do cubo. Prenda-os de maneira a completá-lo. Se você

não conseguir realizar essa tarefa, observe o esquema da Figura 5.

Figura 5

Os alunos observarão que a estrutura construída não tem rigidez pró-

pria, pois os seus lados não ficam por si sós perpendiculares à superfície da

mesa. Então é necessário que os levemos a conjecturar em como tornar

essa estrutura rígida. Nesse processo, notamos que os alunos observam

que, se construirmos triângulos nas faces dessa estrutura ou no seu interior,

ela se enrijecerá. Dando continuidade a esse raciocínio, sugerimos ao aluno

a tarefa seguinte:

Figura 6

Figura 7

Agora, com pedaços de canudo de cor (ou diâmetro) diferente da

usada para representar as arestas do cubo, construa uma diagonal em

cada face, de modo que em cada vértice que determina a diagonal che-

guem mais duas diagonais. Que estrutura você construiu?

Observe a Figura 6. Assim procedendo, o aluno construirá um tetraedro

formado por seis diagonais das faces do cubo.

A seguir, com um pedaço de canudo de cor diferente das anteriores, cons-

trua uma diagonal do cubo.

Devemos levar o aluno a observar que essa diagonal formará com uma

das arestas do cubo e com uma das diagonais da face, um triângulo retân-

gulo. Essa construção é muito útil para ilustrar aplicações do Teorema de

Pitágoras, pois a maioria dos alunos têm problemas para visualizar situa-

ções como essa.

Temos verificado que os alunos percebem que, após as atividades anteri-

ores, já construíram quatro dos cinco poliedros regulares de Platão (ver RPM

15, p. 42) e a questão se é possível construir o dodecaedro pode surgir natu-

ralmente. Apesar de ser uma tarefa trabalhosa, os alunos se propõem a cons-

truir essa estrutura, porém, preferencialmente, em grupo e não como uma

tarefa individual.

O problema dos

cinco discos: sorte

ou sabedoria?

Ma-To Fu

Roberto Elias

Essa atividade pode ser pro

posta a alunos de todos os

níveis. O que está em evi-

dência aqui é o raciocínio.

Como resolver um proble-

ma? Nossa sugestão é ex-

plorar todas as possibilida-

des de distribuição dos dis-

cos, fazer experiências em

sala de aula, talvez uma com-

petição... Após familiarizar os

alunos com o problema, é o

momento de organizara in-

formação: analisar soluções

propostas pelos alunos, en-

contrar "furos", encontrar a

solução mais eficiente...

Neste artigo queremos mostrar uma curiosidade

sobre o antigo problema dos cinco discos. A mais

bela apresentação desse problema se encontra em

O homem que calculava. Nele é contada uma

lenda em que três príncipes muito sábios e conhe-

cedores da Matemática pretendiam casar com a

princesa Dahizé, filha do rei Cassim.

A prova dos cinco discos foi proposta por um

grande sábio da corte para decidir qual dos três

pretendentes era o mais inteligente.

Foram mostrados aos príncipes cinco dis-

cos, sendo dois pretos e três brancos, todos de

mesmo peso e tamanho. Em seguida vendaram-

lhes os olhos e, ao acaso, foi pendurado às

costas de cada um dos três um disco. Disse o

rei: "Cada um de vós será interrogado particu-

larmente e aquele que descobrir a cor do disco

que lhe coube por sorte, será declarado o ven-

cedor. O primeiro a ser interrogado poderá ver

os discos dos outros dois, ao segundo será per-

mitido ver o disco do terceiro, e o terceiro terá

que formular a resposta sem ver nada. Aquele

que der a resposta certa terá que justificá-la".

Aconteceu então que o príncipe Camozã quis

ser o primeiro. Viu os dois discos dos seus adversá-

rios e errou. Em seguida, sabendo que Camozã havia

errado, o príncipe Benefir se prontificou em ser o se-

gundo, mas também errou. Aradim, o terceiro prín-

cipe, acertou com absoluta segurança. Qual foi a res-

posta do príncipe Aradim e como ele descobriu?

Esse é o problema dos cinco discos. Malba Tahan dá uma inteligente

solução a esse problema, em que conclui também que Aradim foi conside-

rado o mais inteligente entre os três príncipes.

Eis a solução de Malba Tahan: o príncipe Aradim afirmou que o seu

disco era branco e justificou da seguinte maneira: "Se Camozã (o primeiro

a falar) tivesse visto dois discos pretos, ele obviamente teria acertado.

Como ele errou, conclui-se que viu dois discos brancos, ou um preto e um

branco. Na hipótese de Benefir ter visto em minhas costas um disco

preto, ele (usando o mesmo raciocínio que fiz com relação a Camozã)

teria acertado. Logo, ele só pode ter visto um disco branco e, portanto, o

meu disco é branco".

A curiosidade que pretendemos apresentar é que, sob o ponto de vista

matemático, Aradim não é mais inteligente que Camozã ou Benefir. Com

efeito, basta calcularmos as probabilidades de acerto de cada um dos três

príncipes, levando em conta que todos eles são sábios.

As possíveis distribuições dos discos

Sejam b = (disco branco) e p = (disco preto). Por simplicidade escrevemos

X = Camozã,

Y =Benefir e

Z = Aradim

Então a ordem em que os príncipes se apresentaram para serem interro-

gados pode ser representada por uma terna ordenada (X, Y, Z).

A título de exemplo, perguntamos quantas maneiras diferentes podem X

possuir disco branco, Y possuir disco preto e Z possuir disco preto? Isto é, de

ocorrer (b, p, p).

Sabemos que existem três discos brancos b , b

e b

e dois discos pretos

e p

Por uma simples contagem, obtemos seis maneiras diferentes de

ocorrer (b, p, p), a saber:

É claro que o número total de maneiras em que podem ser distribuídos os

discos aos príncipes é A

5,3

= 60. Descrevendo esses casos, obtemos:

a) Se os conjuntos unitários de um espaço amostrai finito U têm todos a

mesma probabilidade, então a probabilidade de um evento A qualquer de U

será dada por:

onde n{A) é o número de elementos do evento A e n(U) é o número total

de elementos do espaço amostrai U.

b) Nas mesmas condições de a), se A

..., A

são eventos disjuntos

entre si,

Como o problema afirma que a escolha dos discos é feita ao acaso, se-

gue-se que o espaço amostrai associado ao problema satisfaz as condições

necessárias para a validade de a) e b). Não é difícil verificar também que o

problema admite uma estratégia que maximiza a probabilidade de vitória de

cada concorrente e garante, com probabilidade 1, a existência de um vence-

dor, que certamente será único uma vez que o processo termina no momento

em que um dos concorrentes acertar a cor do seu disco. Como os concorren-

tes supostamente são sábios, é razoável admitir que eles seguirão a melhor

estratégia em cada situação e portanto teremos

onde P{X), P(Y) e P(Z) são, respectivamente, as probabilidades de vitória de

X, Y e Z.

A estratégia é ótima e a correspondente probabilidade de vitória de X

Se XV\r dois discos pretos nos seus adversários, saberá que restam três

discos brancos. Responderá então com absoluta segurança que possui um

disco branco. Assim o evento E

lhe é favorável. Caso X veja dois discos

brancos, saberá que restam dois discos pretos e um disco branco. Logo

responderá possuir disco preto, contando com a probabilidade 2/3 de acer-

tar. Conseqüentemente, o evento E

lhe é favorável e o evento E

lhe é

desfavorável. Suponhamos agora que X tenha visto um disco branco e um

disco preto em seus concorrentes. Concluirá que restam dois discos bran-

cos e um disco preto. Logo, deverá responder que possui um disco branco,

contando com a probabilidade 2/3 de acertar. Segue que os eventos E

e E

lhe são favoráveis e o evento E

lhe é desfavorável.

Em resumo, usando essa estratégia, X irá acertar, na hipótese de ter ocor-

rido qualquer um dos eventos disjuntos E

, E

ou E

e irá errar se houver

, E

ou E

. Segue-se, então, que:

Isto mostra que a probabilidade de vitória do príncipe Camozã, o primeiro

candidato, é de 70%, contando com a sua sabedoria.

Conclusão

Vimos que a probabilidade de o príncipe Camozã responder correta-

mente a respeito da cor do seu disco é de 70%, restando assim apenas 30%

de probabilidade para que os outros dois príncipes tivessem chance de se-

rem apenas interrogados.

Considerando ainda que Aradim só seria interrogado caso Benefír (o se-

gundo interrogado) também errasse, pode-se mostrar que ele é o que teria a

menor chance de ser escolhido como noivo de Dahizé.

No entanto, Aradim é possuidor de muita sorte, pois os dois primeiros

concorrentes erraram. Mas, sem sombra de dúvidas, ou ele é o menos sábio

entre todos ou faltou-lhe coragem para protestar quando os dois outros pas-

saram à sua frente.

Só para completar, a probabilidade de Benefir acertar é de 20%, e a

probabilidade do príncipe Aradim acertar é de apenas 10%.

A rehabilitação de Aradim

O leitor atento poderá não concordar com a conclusão desta história —

afinal, o rei dissera que os príncipes deveriam justificar a resposta correta.

Fica a pergunta sobre o que o rei entendia por "justificar".

Seria aceitável, em caso de dúvida, uma adivinhação educada, isto é, uma

opção pela alternativa mais provável? Ou seria necessária uma explicação

lógica de como se chegou à única alternativa correta possível? Neste caso,

quais seriam as probabilidades de vitória de cada um dos três concorrentes?

Renate Watanabe

Após a criação do mundo, em um mosteiro es-

condido na índia, o Grande Criador colocou uma

placa de bronze e nela fixou três bastões cober-

tos de diamantes. Em um dos bastões, em ordem

decrescente de tamanho, colocou 64 discos de

ouro. E assim disse aos monges: "Transfiram esta

pilha de discos para outro bastão, movendo,

ininterruptamente, um disco de cada vez, e nunca

permitindo que um disco fique acima de um me-

nor. Quando terminarem esta tarefa, e os 64 dis-

cos estiverem em outro bastão, este templo se

reduzirá à pó, e com um estrondo de trovões o

mundo acabará."

Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4

bilhões de anos aproximadamente e os monges,

desde a criação, estão movendo os discos, na ra-

zão de um disco por segundo.

Será que veremos o mundo acabar?

É muito difícil imaginar os movimentos feitos

com uma pilha de 64 discos.

Imaginemos uma pilha com 1 disco:

Uma lenda:

Torre de Hanoi

Esse interessante jogo é

apresentado de forma

lúdica, como uma história

ocorrida em um mosteiro na

índia. Mostra a necessidade

da construção de um méto-

do para resolver problemas:

partindo de casos mais sim-

ples, discutir possíveis gene-

ralizações.

Estuda-se o jogo para 1 dis-

co, 2 discos, 3 discos e 4

discos, e tenta-se obter uma

solução para um número

qualquer de discos. Discu-

te-se o processo de genera-

lização, que pode não ser

válido, mostrando-se vários

exemplos.

Também trabalha com or-

dem de grandeza, discutin-

do, por exemplo, quanto

tempo é - em segundos, mi-

nutos, horas, dias ou anos -

o número 2

Para 1 disco, a transferência se dá com 1

movimento:

Dois discos

Para 2 discos, a transferência se dá com 3 movimentos.

Três discos:

=15.

Já se pode ver como deslocar n discos, com um menor número de movi-

mentos possível: inicialmente, movem-se n - 1 discos para o bastão de trás,

com m

n-1

movimentos; em seguida, move-se o n-ésimo disco para o outro

bastão da frente, com 1 movimento; finalmente movem-se os n - 1 discos do

bastão de trás para o da frente, com m movimentos. Tem-se:

Façamos uma tabela com o número de discos e o número de movimentos

mínimo para mudá-los de um bastão para outro:

Quatro discos:

Precisamos descobrir o valor de m

, porque m

segundos após a criação

do mundo ele acabará, e já se passaram 4 bilhões de anos!

Observando a segunda linha da tabela, vemos que os seus números são, a

menos de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ou seja, 2

, 2

, o que nos leva a

fazer a seguinte conjetura:

Esta sentença é verdadeira para n = 1, 2, 3 ,4 5, 6, mas será verdadei-

ra sempre?

Tentemos demonstrá-la por indução.

Seja S o conjunto dos números naturais n tais que, n discos são movidos

com 2

-1 movimentos.

1) 1 e 5, pois para 1 disco necessitamos de 1 = 2

- 1 movimentos.

2) Vamos supor que k e S, isto é, k discos são removidos com 2

- 1

movimentos.

Vamos provar que k + 1 e S, isto é, que m

k+1

= 2

k+1

- 1.

Para remover k + 1 discos passamos, inicialmente, k discos para o bastão

de trás com m

movimentos; em seguida, com 1 movimento, o (k + 1)

-ésimo disco vai para o outro bastão da frente; com m

movimentos, os k

discos de trás passam para o bastão da frente. Isto é,

e isto mostra que k + 1 e S.

O princípio da indução nos garante que n discos podem sempre ser remo-

vidos com 2" - 1 movimentos e, em particular, m

= 2

- 1.

E assim, ficamos sabendo que 2

-1 segundos após a criação do mundo, ele

terminará. Com um pouco mais de Matemática, ficaremos sabendo se isto

ocorrerá logo.

Façamos alguns cálculos. Quantos segundos tem um ano?.

Resposta:

Exagerando, vamos supor que os monges façam 2

movimentos por ano

(na verdade fazem uns 2 milhões a menos). Com isso, o mundo acabará em

Passaram-se até hoje 4 bilhões de anos, ou seja, 4 . 10

anos.

Podemos ficar tranqüilos - faltam mais do que 508 bilhões de anos

para os monges terminarem sua tarefa - isto, supondo que eles não

errem no caminho.

Os bastões com 7,8 ou 9 discos constituem um brinquedo conhecido como

"Torre de Hanoi"

(4)

, inventado pelo matemático francês Edouard Lucas (1842-

1891) e já vendido como brinquedo em 1883. Um folheto o acompanhava,

contando a lenda acima. E. Lucas demonstrou um teorema conhecido como

"teste de Lucas", que lhe permitiu provar, entre outros fatos, que 2

127

-l é um

número primo e este foi, até 1952, o maior número primo conhecido.

Em que dia da semana

foi proclamada a

independência do Brasil?

Paulo Sérgio Argolo Gonçalves

Segunda-feira? Terça-feira?... Sábado? Domingo?

A atividade sugerida trata de

com um problema prático

bastante concreto: saber em

que dia da semana caiu 07

de setembro de 1822. O

professor pode introduzir o

assunto com problemas

mais simples, do tipo: que

dia da semana foi 1º de ja-

neiro deste ano? E 1

dezembro do ano passado?

Pode "personalizar" o pro-

blema, pedindo a cada alu-

no que calcule em que dia

da semana nasceu.

A solução para estas per-

guntas vai mostrar o cami-

nho a ser seguido, o racio-

cínio matemático envolvi-

do. O conteúdo tratado é

divisão de números inteiros

e restos destas divisões.

Apesar do conteúdo ser

simples, é ao tentar resol-

ver os problemas propos-

tos, que surge uma grande

riqueza de possibilidades.

Como utilizar o que já co-

nhecemos para resolver

problemas reais, envolven-

do matemática? Existem vá-

rios caminhos possíveis?

Introdução

Seria fácil responder à pergunta do título se o

ano tivesse exatamente 364 dias. Como 364 é di-

visível por 7, ano após ano, os mesmos dias do

mês cairiam nos mesmos dias da semana.

Um ano, porém, tem, aproximadamente, 365,25

dias. Este é o motivo por que, adotando 365 como

o número de dias de um ano, a cada 4 anos é

necessário fazer uma correção através de um ano

bissexto, de 366 dias.

Mas esta correção ainda não é suficiente pois,

para manter o calendário em sincronia com as

estações do ano, este deveria ter 365,242199 dias.

Por este motivo, o papa Gregório XIII, em 1582,

promulgou o calendário gregoriano, ainda em uso

nos dias de hoje, onde os anos bissextos são as-

sim caracterizados:

anos bissextos são os correspondentes a núme-

ros divisíveis por 4, mas não por 100, exceto os

divisíveis por 400, estes, também, bissextos.

Daremos inicialmente a regra prática que per-

mite determinar o dia da semana de qualquer data

entre 01/01/1800 e 31/12/2100. Na segunda parte

do artigo justificaremos esta regra.

A regra prática

Usaremos uma tabela em que a cada mês corresponde um número. Para

os anos bissextos serão usados os números entre parênteses.

Uma outra tabela associará os dias da semana com os números inteiros de 0 a 6:

1º caso:

datas de 01/01/1900 a 31/12/1999

Vamos determinar a soma A + B + C + D, onde

A é o número formado pelos dois últimos algarismos do ano dado.

B é a parte inteira do quociente da divisão de A por 4.

C é o dia do mês dado.

D é o número da primeira tabela correspondente ao mês dado.

Em seguida dividimos A+ B + C + D por 7, achando um resto inteiro entre

0 e 6. A segunda tabela mostra como associar o resto com o dia da semana.

Exemplo:

18 de outubro de 1956

Temos: A = 56

5=14 (quociente de 56 por 4)

C 18

D = 1 (correspondente a outubro)

Logo, a data foi uma quinta-feira.

2º caso:

datas de 01/01/2000 a 31/12/2099

Acrescentamos 6 à soma definida no lº caso. O restante

mesmo. Por exemplo: 20 de fevereiro de 2040.

A =40

5=10

C=20

D = 3 (corresponde a fevereiro em ano bissexto)

acréscimo = 6

A data será, portanto, uma segunda-feira.

caso:

datas de 01/01/1800 a 31/12/1899

Agora acrescentamos 2 à soma definida no lº caso.

Exemplo: 7 de setembro de 1822

A =22

B = 5 (quociente na divisão de 22 por 4)

C=7

D = 6

acréscimo = 2

Logo, a Proclamação da Independência do Brasil ocorreu num sábado.

Justificativa da regra prática

Vamos nos limitar a uma justificativa para o período de 01/01/1900 a

31/12/1999, pois, adotando roteiro análogo, poderá o leitor completar as

lacunas que permanecerem e assim desfrutar um agradável entreteni-

mento aritmético.

No que segue, usaremos sempre as letras A, B, C e D, como foram defi-

nidas acima.

Vejamos a tabela dos meses:

Janeiro

Usando a regra prática, descobriremos que o dia lº de janeiro de 1900 caiu

numa segunda-feira. Este é um fato que será usado para a construção da

tabela.

Ao dia 1, portanto, está associado o número 2 (de 2

f), o mesmo aconte-

cendo com os dias 8, 15,22 e 29, todos do tipo 7k+1. Isto é, se o dia do mês

for do tipo

7k+1, a ele estará associado o número 2(1 + 1).

Analogamente, se o dia for do tipo

7h 4 - 2, a ele estará associado o número 3 (2 + 1);

7k + 3, a ele estará associado o número 4 (3 + 1);

7k + 6, a ele estará associado o número 0 (sábado);

7k + 0, a ele estará associado o número 1 (domingo).

Uma possível regra prática para janeiro de 1900 seria: divida o dia do mês

por 7 e acrescente 1 ao resto da divisão, ou, o que é mais simples: some 1 ao

dia do mês — o resto da divisão por 7 (do resultado) dará o dia da

semana. Esta é a razão do 1 ao lado de janeiro.

Fevereiro

Observe que do dia 01/01 a 28/01 existem 4 semanas completas, sobran-

do ainda 3 dias de janeiro (os dias 29, 30 e 31). Portanto à data C de

fevereiro de 1900 devemos somar 1+3 (1 que já vem de janeiro, mais 3 por

causa dos dias 29, 30 e 31) e dividir o resultado por 7 para que o resto da

divisão dê o dia da semana.

(Observe:

31/01—31 + 1 =32 = 4x7 + 4 — 4ªf.

01/02 —1 +

+ 3 = 5 — 5

f.)

Isto explica o porquê da parcela 4 ao lado de fevereiro.

Março

Fevereiro tem 4 semanas completas (em anos não bissextos). Portanto a

mesma regra de fevereiro de 1900 serve para março de 1900: some 4 ao dia

C de março de 1900 e divida o resultado por 7.

Abril

Março tem 31 dias, isto é, 4 semanas completas mais 3 dias.

À data C de abril de 1900 deve-se somar a parcela 4 + 3(4, que já vinha de

março, e mais 3, por causa dos dias 29, 30 e 31 de março).

Mas o resto da divisão de C + 7 por 7 é igual ao resto da divisão de C por 7.

Daí, o 0 na tabela, ao lado de abril.

Maio

Abril tem 30 dias, isto é, 4 semanas mais 2 dias.

Basta somar 2 a cada dia C de maio de 1900 e dividir o resultado por 7.

O resto dará o dia da semana.

Esta é a razão do 2 ao lado de maio.

Junho

Maio tem 4 semanas e mais 3 dias.

Ao dia C de junho de 1900 devemos somar 2 + 3 (2 é a parcela que vinha

de maio e 3, por causa dos dias 29, 30 e 31 de maio).

Isto explica o 5 ao lado de junho.

O leitor saberá justificar, para l900, os números ao lado dos outros meses.

Seja agora um ano TV, não bissexto, entre 1900 e 2000, cujos dois últimos

algarismos formem o número A.

Entre 1 de janeiro de 1900 e 1 de janeiro do ano TV, transcorreram A anos, sendo

B (parte inteira do quociente de A por 4) o número de anos bissextos. A quanti-

dade de dias nesse período foi 366 B + 365 (A - B) = 365 A + B = 364 A + A + B

Já que 364 A é divisível por 7, o resto da divisão de 365 A+B por 7 é igual

ao resto da divisão de A + B por 7. Para determinarmos o dia da semana em

que caiu um dia C de um mês qualquer do ano TV, basta encontrar o resto da

divisão por 7 da soma A+ B + C + D.

Suponhamos agora o ano N, bissexto.

Entre 1 de janeiro de 1900 e 1 de janeiro do ano TV, transcorreram A anos

dos quais B - 1 foram bissextos. A quantidade de dias nesse período foi:

366 (B -1) + 365

- (B -

1)]

= 365 A + B -1 = 364 A + A + B - 1

O resto da divisão deste número por 7 é igual ao resto da divisão de

A + B ~ 1 por 7. Assim, para localizarmos o dia da semana em que caiu um

dia C de janeiro ou fevereiro do ano TV, basta achar o resto da divisão por 7

da soma A+B + C + D— \. Esta é a razão dos números entre parênteses,

ao lado de janeiro e fevereiro, na tabela dos meses.

Se a data C não pertencer a janeiro ou fevereiro, será necessário calcular o

resto da divisão por 7 do número (A+B-l) + (C + D+ l), sendo o acréscimo

1 devido ao fato de fevereiro ter um dia a mais em um ano bissexto. Mas,

(A+B + -l)

D+l) = A+B

Portanto, para meses diferentes de janeiro e fevereiro a tabela não sofre-

rá qualquer alteração.

Queremos ainda mencionar que, embora tenhamos apresentado um

método válido para o período de 01/01/1800 a 31/12/2099, o leitor poderá

com algumas modificações necessárias localizar dias da semana para ou-

tros períodos de tempo.

Fechando o dominó

Alexandre Kleis

Estas atividades usam o jogo

de dominós para motivar o

estudo de contagem, múlti-

plos, divisores e paridade de

números naturais.

A simples construção de um

jogo de dominós, usando

cartolina ou papel cartão é

um exercício de contagem or-

ganizada para decidir, por

exemplo, quantas e quais pe-

ças precisam ser cons-

truídas,ou quantas vezes um

determinado número apare-

ce nas peças.

A construção pode ser feita

mesmo na 5

série. O de-

safio da construção dos

"quadrados mágicos" com

as peças de dominó exerci-

tam a criatividade e as ope-

rações aritméticas.

"Fechando o dominó" envol-

ve observação, contagem e

paridade.

Estas atividades podem ser

utilizadas desde a 5ª série,

mas serão úteis e lúdicas

também para alunos até da

8ª série.

O problema

Meu irmão estava jogando dominó com alguns

amigos, quando um deles "fechou" o jogo. Encer-

rado assim, sem ninguém "bater", cada dupla con-

tou seus pontos (a soma dos números das pedras

que sobraram). Um jogador disse "22" e outro fa-

lou "15". Aí um amigo de meu irmão protestou:

Não pode! Se o jogo foi fechado e uma dupla

tem um número par de pontos, a outra tam-

bém tem. Ou então as duas têm números ím-

pares de pontos.

De fato, analisando o jogo, descobriram um

"gato": uma pedra colocada erroneamente, lá

no meio.

Meu irmão ficou curioso. Por que a paridade

das somas de pontos tinha de ser a mesma? Seu

amigo lhe deu uma resposta que não o convenceu

— jogava há anos dominó e sempre fora assim.

O que segue é uma explicação que encontrei

para esta dúvida.

A explicação

O dominó é um jogo formado por 28 peças,

como as da figura:

Dominós |

Nelas aparecem todas as combinações possíveis dos números de 0 a 6,

dois a dois, inclusive com repetição. Cada número aparece 8 vezes.

Creio que todos os leitores conhecem as regras do jogo.

Um exemplo de jogo fechado é o seguinte:

Êste jogo se diz "fechado" porque todas as pedras que contêm o "3" já

estão na mesa e, em conseqüência, ninguém mais tem como jogar.

Em um jogo fechado, os números nas duas extremidades são iguais.

De fato, todos os números, salvo os das pontas, aparecem aos pares, pela

própria regra do jogo. Portanto, um jogo fechado que começa com 3, por

exemplo, terá 6 ocorrências do 3 "internamente" e o último 3 disponível terá

que estar, necessariamente, na outra ponta.

Como conseqüência, a soma de todos os números (na mesa), em um jogo

fechado, será par.

Observando que a soma total dos pontos em um jogo de dominós é

5=8 (0+1+2 + 3 + 4 + 5 +6) e, por-tanto, par, vê-se que, em um jogo fechado,

sobra, ao todo, um número par de pontos nas mãos das duas equipes adversárias.

Isto significa que cada uma das equipes terá um número par de pon-

tos (dando uma soma par), ou cada uma das equipes terá um número ímpar

de pontos (dando também uma soma par). O que não pode acontecer é que a

soma dos pontos de uma equipe seja par e da outra, ímpar, pois neste caso a

soma total seria ímpar, o que já vimos não pode acontecer.

Outra observação

Com uma definição adicional, podemos tirar mais uma conclusão.

Definição. Uma pedra é ímpar quando a soma de seus números for impar.

Por exemplo, 3 : 2 é uma pedra ímpar.

Conclusão. Em um jogo fechado, a quantidade de pedras ímpares, na

mesa, é par.

De fato, já vimos que em um jogo fechado, a soma dos pontos, na mesa, é

par. Ora, uma soma par deve ter um número par de parcelas ímpares.

O jogo de dominós

(um desafio matemático?)

José Lafayette de

Oliveira Gonçalves

Um jogo muito antigo e conhecido por muitos estudantes e professores é o

jogo de dominós. Ele é constituído por 28 peças retangulares e pode ser con-

feccionado com retângulos, por exemplo, de 6 cm x 3 cm, divididos em 18

quadradinhos de 1 cm x 1 cm. A marcação dos pontos em cada peça deve

obedecer a uma certa estética:

As peças de dominó têm sido usadas em sala de aula, nas séries iniciais,

para efetuar e fixar pequenas somas. Por exemplo:

O próprio jogo de dominós é desafiante. O mais comum é o que envolve

4 jogadores, divididos em duplas. Cada jogador recebe 7 peças, e torna-se

vencedora aquela dupla em que um dos parceiros consegue colocar todas

as suas peças antes dos demais jogadores. Jogadores hábeis observam as

peças à medida que vão sendo jogadas e descobrem rapidamente quais

ainda estão nas mãos do parceiro ou dos adversários, permitindo-lhes ela-

borar estratégias que os levam à vitória.

Podemos também utilizar os dominós para apresentar aos nossos alunos

alguns desafios interessantes:

1. Com as 8 peças: (0 e 0); (0 e 1); (0 e 2); (0 e 3); (1 e 1); (1 e 2); (2 e 2)

e (2 e 3), formar um quadrado, de modo que as somas ao longo das linhas

horizontais, verticais e ao longo das duas diagonais sejam todas iguais a 5.

Um pouco mais difícil é o seguinte desafio:

2. Com as 8 peças: (1 e 1); (1 e 2); (1 e 3); (1 e 4); (2 e 3); (2 e 4); (3 e 4) e

(3 e 5), formar um quadrado, de modo que as somas ao longo das linhas

horizontais, verticais e ao longo das duas diagonais sejam todas iguais a 10.

3. Trocando apenas as peças (1 e 1) e (3 e 5) pelas peças (0 e 2) e (4 e

4), repetir o desafio acima.

4. Finalmente, com as 18 peças:

(0 e 0); (0 e 1); (0 e 2); (0 e 3); (0 e 4); (0 e 5);

(l e

1);

(l e 2); (l e 3); (l e 4); (l e 5); (l e 6);

(2 e 2); (2 e 3); (2 e 4); (2 e 6); (3 e 3) e (3 e 4),

formar um quadrado, de modo que as somas ao longo das linhas horizon-

tais, verticais e ao longo das duas diagonais sejam todas iguais a 13.

O jogo dos

quadrinhos

Helder de Carvalho Matos

Esta atividade utiliza o jogo

de quadradinhos, que é bas-

tante conhecido em algumas

regiões. Caso os alunos não

o conheçam, o professor

pode apresentá-lo e ensiná-

los a jogar.

A atividade estabelece estra-

tégias para se ganhar o jogo

e pode ser aplicada, com

adaptações em qualquer sé-

rie da 5ª a 8

O jogo de quadrinhos é muito conhecido e

tão simples que pode ser explicado em pou-

cas palavras. Ele é jogado num quadricula-

do de pontos como ilustra a Figura 1.

Cada jogador marca uma aresta unindo

dois vértices na mesma horizontal ou na

mesma vertical (Figura 2).

Figura 2

Figura 3

e toda vez que um dos jogadores, ao colocar

uma aresta, completar um circuito fechado,

ele tem direito (e obrigação) de marcar nova

aresta (é importante não confundir "circuito

fechado"com "quadrinho unitário" ou, sim-

plesmente, "quadrinho". Embora todo qua-

drinho seja um circuito fechado, este pode

ser mais geral que um simples quadrinho,

como ilustra a Figura 3).

Figura 4

Ganha o jogador que fechar o maior número

de quadrinhos, e o jogo termina quando o qua-

driculado original ficar reduzido apenas a qua-

drinhos. Para facilitar a contagem, os jogadores

marcam os quadrinhos que vão fechando com

sua inicial. Por exemplo, se Herculano joga com

André, o jogo pode terminar com a vitória de

André (Figura 4)

O jogo de quadrinhos é largamente jogado

em fundos de salas de aulas, sobretudo quando

a aula fíca muito chata... E foi depois de muito

jogar em tais circunstâncias que acabei desco-

brindo como prever, em qualquer jogo, qual dos

dois jogadores ganhará (ou, pelos menos empa-

tará) o jogo.

Daremos algumas definições preliminares.

Diremos que o jogo se encontra numa situação

quase final, quando no quadriculado não exis-

tirem quadrinhos com três arestas, mas um tal

quadrinho forçosamente se formará com o

acréscimo de qualquer nova aresta (Figuras 5 e 6). Chamaremos corredor a

uma seqüência de quadrinhos que serão fechados por jogadas sucessivas de

um mesmo jogador (Figura 6).

Figura 5

Figura 6

Quando um jogo se encontra em situação quase final,

como ilustra a Figuras 6, ele consiste exclusivamente de

corredores, e qualquer aresta adicional precipita o fecha-

mento de quadrinhos ao longo de um corredor. Vamos enu-

merar os corredores em ordem crescente (mais

precisamente, não-decrescente) de seu tamanho. Por ta-

manho de um corredor entendemos o número de qua-

drinhos que ele produz com os fechamentos sucessivos.

No caso da Figura 7, C

= C

= 1, C

= 2 e C

= 5.

Figura 7

Vamos supor, como é natural, que cada jogador proceda da maneira a não

entregar quadrinhos; e se for obrigado a entregar alguns, que entregue o

menor número possível, isto é, que entregue o corredor que tenha menos

quadrinhos a fechar. Chamaremos esse procedimento de perda mínima. Ve-

remos, logo adiante, que tal procedimento não assegura vitória, ou mesmo

empate; mas permite prever quem vai ganhar (ou empatar) o jogo.

Observemos agora que o jogador que fechar o último corredor (o de nú-

mero r), fecha também os de números r - 2, r - 4, ..., e o outro jogador

fechará os corredores r - 1, r — 3, r - 5, ... Há dois casos a considerar,

conforme r seja par ou ímpar.

lº caso: r par. O jogador que fechar o último corredor ganhará um número

de quadrinhos igual a

Vamos colocar esses dois casos a lado, em colunas, o que nos permite

comparar as somas S

e S

Isto permite constatar, facilmente, que o jogador que terminar o jogo sempre

levará vantagem e certamente ganhará se r for impar, pois neste caso, S

estritamente maior que S

Portanto, a estratégia para ganhar (ou, pelos menos,

empatar) o jogo é assegurar-se de fechar o último corredor.

Quando, ainda no ensino médio, eu me divertia com o jogo de quadrinhos, acabei

percebendo a necessidade de ganhar o último corredor para não perder o jogo. E

acabei descobrindo também que se o número de vértices for ímpar, então ganha

ou empata o primeiro jogador (o que começa o jogo); ao passo que se o

numero de vértices for par, então ganha ou empata o segundo jogador.

Para estabelecermos esse resultado, vamos considerar o jogo já em situa-

ção quase final, quando então vale a seguinte fórmula de Euler generalizada*:

A+r= V+R-2,

onde A é o número de arestas, r o numero de corredores, V o número de

vértices e R o número de regiões. As Figuras 6 e 7 ilustram jogos com uma

única região cada um, que é o plano todo. Já as Figuras 8 e 9 mostram jogos

com três regiões cada um: R., R

e R

Para determinar quem ganha o último corredor e, portanto, ganha ou em-

pata o jogo, vamos primeiro supor que R = 1 quando o jogo chega a uma

situação quase final. Isto significa que no quadriculado não há circuitos fe-

chados. Então, a fórmula de Euler nos dá.

A +r= V-\.

Temos de examinar duas hipóteses, conforme V seja ímpar ou par, e cada

uma delas comporte dois casos.

1- hipótese: V é impar. Então A + r é par, daí os dois casos seguintes:

Caso 1a: A e r ambos pares. Disto decorre que foi o segundo jogador quem

colocou a última aresta (pois A é par), levando o jogo à situação quase final.

Portanto, é o primeiro jogador que entregará o primeiro corredor ao segundo;

e como r é par será o primeiro quem fechará o último corredor, ganhando ou,

pelo menos, empatando o jogo.

Caso lb: Atr, ambos ímpares. Então, foi o primeiro jogador quem colocou

a última aresta (pois A é impar), levando o jogo à situação quase final. Em

* Essa fórmula é uma conseqüência simples da fórmula de Euler para grafos planos

(veja-a na pág 143 do livro Teoria e Modelos de Grafos de Paulo O. Boaventura

Netto. Editora Edgard Blücher, 1979)

conseqüência, o segundo jogador entregará o primeiro corredor ao primeiro

jogador; e como r é impar, o primeiro jogador fechará o último corredor,

ganhando o jogo, pois neste caso não há empate.

2ª hipótese: V par. O raciocínio aqui é inteiramente análogo ao da 1

hipótese, com dois casos a considerar. A única diferença é que agora

quem ganha ou empata o jogo é o segundo jogador.

Falta examinar o caso em que R > 1. Ora, quando o jogo começa, R=l,

pois só temos uma região, que é o plano todo. E, se R permanecer igual a 1

até a situação quase final, um dos jogadores é o favorecido; como acabamos

de ver, trata-se do primeiro, se V for ímpar e do segundo se V for par. Se um

dos jogadores decide fechar um circuito, ele altera a paridade de V+ R - 2,

na situação quase final, portanto altera a paridade da soma A + r na fórmula

de Euler e, repetindo os argumentos já usados, o anteriormente favorecido

passa a ser o desfavorecido. Mas lembremos que, pelas regras do jogo, o

próprio jogador que fechou um circuito é obrigado a colocar uma nova aresta,

o que novamente altera a posição dos jogadores, restabelecendo as previsões

originais. Isto completa a demonstração do teorema em todos os casos.

O jogo do Nim - um

problema de divisão

Carlos Alberto V. de Melo

Este antigo jogo chinês exer-

cita a operação de divisão,

além do raciocínio dedutivo

e busca de estratégias de vi-

tória. Um aluno de 5ª série

pode ser sempre um vence-

dor, se entender a Matemáti-

ca envolvida no jogo.

Existe um jogo de palitos, tradicionalmente fa-

moso, proveniente da China e chamado JOGO

DO NIM.

O jogo, disputado por dois jogadores, é esta-

belecido da seguinte forma:

1. a quantidade de palitos deve ser um número

ímpar;

2. cada jogador retira, por sua vez, uma determi-

nada quantidade de palitos, sendo que esta

quantidade deve ter um limite mínimo e um

máximo, previamente fixados;

3. perde aquele que retirar o último palito.

Com o advento e a popularização dos micro-

computadores, este jogo passou a fazer parte

do repertório de brincadeiras que se podem fa-

zer com estas máquinas.

Certa vez, um aluno do ensino médio quis saber

se existe um método ou fórmula para ganhar do

computador, acrescentando que, se a fórmula fos-

se muito difícil, não seria necessário explicá-la.

Estupefato ele ficou com a resposta: se ele for

o primeiro a jogar, sempre poderá ganhar pois o

método que lhe dará a vitória é simplesmente um

problema de divisão. Assim, qualquer aluno de 5ª

série poderá ser um grande vencedor.

Vejamos, então, o método:

Suponhamos que nosso jogo conste de 29 pa-

litos, e que possamos retirar no mínimo 1 (um) e

no máximo 4 palitos.

O primeiro a jogar fará mentalmente a divisão:

Temos, então, 5 grupos de 5 palitos, restando 4.

Dos 4 palitos que restam, separamos 1 (um) palito. Tudo isto mentalmente.

Esquematizando, para melhor visualizar, temos a seguinte situação:

Então, o primeiro jogador retira 3 palitos, e daí em diante, seja qual for a

quantidade que o segundo retirar, o primeiro retirará o que faltar para 5.

Logicamente, o primeiro jogador vencerá.

Outras variantes deste jogo podem ser feitas, a critério da imaginação do

professor que quiser utilizá-lo como um bom estímulo para ensinar ou recor-

dar contas de divisão.

Impertinência:

Você só ensina ou também trabalha?

A teoria matemátíca

do jogo de Nim

Inez Freire Raguenet

Márcia Kossatz de Barrêdo

O Jogo

Em sua forma original, NIM é um jogo para dois

participantes, que chamaremos de jogador A e joga-

dor B. Colocamos sobre uma mesa 3 pilhas de obje-

tos de qualquer tipo, ou então, usamos palitos de fós-

foro. Dispomos sobre a mesa 3 filas com um núme-

ro arbitrário de palitos, sendo que, no início, duas filas

não podem ter o mesmo número de palitos.

Por exemplo:

1ª fila (7 palitos)

fila (4 palitos);

fila (2 palitos).

Jogar NIM consiste em, após retiradas sucessi-

vas dos palitos de cima da mesa, alternando de jo-

gador para jogador, conseguir deixar o último palito

para seu oponente retirar, pois a derrota se dá para

aquele que retira o último palito. Estas retiradas só

podem ser feitas em uma das filas de cada vez, e o

jogador precisa tirar pelo menos um palito. Tam-

bém é permitido que o jogador retire todos os pali-

tos de uma fila em sua vez de jogar.

O fato interessante é que se na sua vez de

jogar você conseguir deixar uma certa configu-

ração de palitos na mesa - de modo que, se de-

pois disso você jogar sem erro, seu oponente não

possa ganhar, independentemente das jogadas que ele faça -, esta configu-

ração será chamada uma combinação segura.

Em linhas gerais, a demonstração deste fato consiste em mostrar que se o

jogador A deixa uma "combinação segura" de palitos na mesa, então B, no

seu próximo movimento, seja ele qual for, não poderá deixar uma combinação

segura. Além do mais, após o movimento de B, o jogador A novamente pode-

rá deixar uma nova combinação segura e continuar o jogo.

Como determinar a combinação segura

Suponha que a primeira fila tenha P palitos, a segunda S, e terceira, T

palitos. Escreva estes números P, Se Tem notação binária e disponha-os em

3 linhas horizontais de tal modo que as casas das unidades se correspondam.

Por exemplo:

P = 9 palitos, S = 5 palitos, T= 12 palitos

Teremos: 9 = 1.2

+ 0.2

+ 0.2 +1.2°, isto é, P = 1001 em notação binária.

Usando o mesmo raciocínio, temos, em notação binária, S= 101 e T= 1100.

Disposição:

P 1001

S 101

T 1100

casa das unidades

Se a soma dos algarismo das casas correspondentes de P, S e T for igual

a 0 ou 2 (i.e., congruente a 0 mod 2) então esta será uma combinação segura.

No caso:

P 1001

S + 101

T 1100

2202 (está é uma combinação segura)

Observe que, dados dois números em notação binária, podemos determi-

nar um terceiro que dê uma combinação segura, e de maneira única. Basta

escrevê-lo de tal forma que, ao somarmos as casas correspondentes, obte-

nhamos 0 ou 2.

Por exemplo: dados, já em notação binária, P = 100 e S = 11; podemos

determinar T da seguinte forma:

P 100

S + 11

T ???

XYZ

onde X, Y, Z só podem ser 0 ou 2. Neste caso, por uma fácil verificação, T= 111.

Não esqueça que T é dado em notação binária, logo, só pode ter os alga-

rismos 0 ou 1.

Em outras palavras, se P, S e T formam uma combinação segura, en-

tão quaisquer dois deles determinam o terceiro.

Observações:

1) Como toda regra tem sua exceção, também são combinações seguras:

a) P= 1,S=T=0;

b) P = S=T= 1.

2) Uma combinação segura particular é aquela em que duas filas têm o

mesmo número de palitos (P = S), e a terceira não tem nenhum (T = 0),

com exceção de P = S=l e T=0.

Enunciaremos agora os dois teoremas que ensinam você a ganhar.

Como ganhar no jogo de NIM

Teorema 1: Se o jogador A deixa uma combinação segura na mesa, então B

não conseguirá deixar outra combinação segura na sua vez de jogar.

A demonstração é fácil: basta ver que B pode mexer em apenas uma fila

de palitos e tem que retirar pelo menos um. Sabendo-se que, dados os núme-

ros de palitos de duas filas, determina-se unicamente o número de palitos da

terceira e considerando-se a A deixou uma combinação segura, qualquer mo-

vimento que B faça desmanchará esta combinação segura. Logo, o jogador B?

não poderá deixar uma nova combinação segura.

Teorema 2: Se o jogador A deixa uma combinação segura na mesa e B

retira palitos de uma certa fila, então A poderá recompor uma combina-

ção segura retirando palitos de uma das filas restantes.

Antes da demonstração, veja um exemplo. Suponha que A deixou a se-

guinte combinação segura na mesa:

9 palitos P 1001

5 palitos ou seja S + 101

12 palitos T 1100

2202

(é uma combinação segura)

Suponha, também, que B retira 2 palitos da 1

fila. Restam:

7 palitos P 111

5 palitos ou seja S + 101

12 palitos T 1100

1312

(não é uma combinação segura)

Se o jogador A quer deixar uma combinação segura, é claro que ele terá

que retirar palitos da 3

fila, que contém 12 palitos. Vamos determinar o nú-

mero de palitos que devem restar na 3

fila (T) para que A consiga uma

combinação segura (observe que T tem que ser menor que 7).

Dados:

P 111

S + 101

T ???

XYZ.

Ora, para que PSTseja uma combinação segura, temos as seguintes pos-

sibilidades para XYZ:

XYZ= 000 (incompatível com o problema)

XYZ = 202 (incompatível também)

XYZ = 220 (idem)

XYZ = 200 (idem)

e outras.

Prosseguindo neste raciocínio, concluímos que o único valor de XYZ com-

patível com o problema é 222; portanto, T = 0010, ou seja, 2 palitos. Assim,

o jogador A tem que retirar 10 palitos da 3ª fila para obter novamente uma

combinação segura.

Agora, a demonstração do teorema 2.

Primeiramente, suponha que o jogador A deixou na mesa uma combina-

ção segura. Daí, B escolhe uma das filas, por exemplo, a primeira, e retira um

certo número de palitos dela. Observe que, quando um número diminui, a

mudança que ocorre em sua representação binária, olhando da esquerda para

a direita, é algum 1 que passa para 0 (caso contrário, o número estaria au-

mentando). Considere este primeiro algarismo no qual ocorre mudança de 1

para 0. Decorre do fato de o jogador A ter deixado uma combinação segura,

que na casa correspondente ao algarismo que sofreu mudança, apenas um

número dos dois restantes (P, S ou T) vai conter o algarismo 1 (nunca os dois

ao mesmo tempo).

Agora, A escolhe este número e coloca zero na casa onde o algarismo 1

estiver, tomando o cuidado de alterar ou não os algarismos à direita desta

casa neste mesmo número (de 0 para 1, ou de 1 para 0) de modo a obter

novamente uma combinação segura.

Para ilustrar:

(combinação segura) (combinação segura)

O que aconteceu na verdade foi que o jogador A deixou na mesa o núme-

ro de palitos cuja representação binária é o número resultante das alterações

feitas por ele ao armar uma nova combinação segura.

No caso:

14 palitos 14 palitos 2 palitos

4 palitos B joga 4 palitos A joga 4 palitos

10 palitos -» 6 palitos -» 6 palitos

(combinação segura) (combinação segura)

Qualquer que seja a próxima jogada de 5, por um raciocínio análogo, não

impedirá A de fazer uma nova combinação segura, retirando os palitos de

maneira conveniente. Deste modo, o jogador A fatalmente ganhará o jogo,

observando as seguintes propriedades e estratégias.

1 - Suponha que o jogador A, ao deixar uma combinação segura na mesa,

retira todos os palitos de uma certa fila. Então, certamente as outras duas

filas terão o mesmo número de palitos.

II - Suponha que o jogador B retira todos os palitos de uma das filas. Então,

as duas outras terão números diferentes de palitos e, assim, o jogador A

poderá igualá-las, deixando na mesa uma combinação segura.

III - Suponha que, anos após alguma das filas ter seu número de palitos

reduzido a zero, o jogador B deixe uma das filas restantes com apenas 1

palito. Então, basta A tirar todos os palitos da outra fila, deixando que

aquele último seja retirado por B e, conseqüentemente, fazendo com que

B perca o jogo.

IV - Suponha que, tendo uma das filas seu número de palitos reduzido a zero, o

jogador B "zera" outra fila. Então, basta A deixar apenas um palito na fila

restante, fazendo também com que B perca o jogo.

V - Suponha que o jogador A deixou alguma fila com apenas um palito.

Então, ocorre uma das três possibilidades."

a) as duas outras filas têm um palito cada uma;

b) as duas filas não têm nenhum palito;

c) as duas outras filas têm números diferentes de palitos uma da outra,

as quais, por sua vez, não serão 0 ou 1 simultaneamente.

158

Resumindo: O jogador que conseguir manter uma combinação segura

na mesa ganha o jogo. Assim sendo, se a primeira disposição dos palitos na

mesa formar uma combinação segura, a primeira pessoa a jogar vai des-

manchar esta combinação segura. Logo, o segundo a jogar terá a sorte de

poder recompor uma combinação segura e, se não errar, ganha o jogo. Da

mesma forma, se a primeira disposição dos palitos na mesa não formar

uma combinação segura, o primeiro a jogar poderá e, novamente, se não

errar, ganha o jogo.

Portanto, ganhar (ou não) depende da probabilidade de se ter uma combi-

nação segura na primeira disposição dos palitos na mesa. E, também, de

entender este artigo.

Ref.: Charles L. Bouton - Armais of Mathematics, ser. II, vol. 3, N° 1, Oct. 1901, p. 35

(Nim, a game with a Complete Mathematical Theory).

Resta-um, Resta-zero,

e a operação Nim

Carlos Augusto Isnard

Instituto de Matemática Pura

e Aplicada

Uma variante do jogo do NIM é praticada nas

praias brasileiras, com os palitos substituídos por

pontos marcados na areia que vão sendo apaga-

dos pelos jogadores. O jogo se inicia com seis fi-

las horizontais que tem respectivamente 6,5,4,3,

2 e 1 pontos.

Este jogo é, às vezes, chamado de Resta-um.

Os praticantes do jogo conhecem de memó-

ria as "combinações seguras" como P, S, T iguais,

1, 2, 3 ou 1, 4, 5 ou 3, 5, 6 ou n, n, 0 (n > 2) etc.

O artigo anterior apresenta uma interessante ca-

racterização matemática dessas combinações se-

guras, através da representação dos números na

base 2.

Mesmo havendo uma quantidade arbitrária de

filas, a disposição na base 2, descrita pelos auto-

res, serve ainda para caracterizar as combinações

seguras: a combinação será segura quando a soma

dos algarismos de cada casa for par, isto é, quando cada coluna vertical tiver

uma quantidade par de algarismos 1. Existe uma exceção a esta regra, que

ocorre quando nenhuma fila horizontal tiver mais do que um ponto: uma quan-

tidade ímpar de filas com um só ponto é obviamente uma combinação segura

para o Resta-um.

O Resta-zero é outro jogo, cujas regras são as mesmas do Resta-um,

exceto pela definição do vencedor: na regra do Resta-zero o vencedor é

quem conseguir apagar o último ponto. As combinações seguras do Resta-

zero têm uma caracterização simples: são as mesmas do Resta-um, sem a

exceção desagradável no caso em que nenhuma fila tem mais do que um

ponto. É óbvio que uma quantidade par de filas de um só ponto é uma combi-

nação segura para o Resta-zero.

No filme O ano passado em Marienbad o jogo aparece várias vezes

com cartas de baralho no lugar de pontos ou palitos, iniciando-se com a

combinação 7, 5, 3, 1, que é uma combinação segura porque

ou porque na base 2 temos

O jogo de Euclides

João Bosco Pitombeira

O momento ideal para apli-

cação desta atividade é du-

rante o estudo do máximo

divisor comum, embora pos-

sa ser utilizada para reforço

dos cálculos aritméticos. A

compreensão do algoritmo

de Euclides para determina-

ção do MDC é a inspiração

para o jogo. Pode-se, depois

da compreensão do jogo,

propor perguntas do tipo:

Sempre se chegará ao zero?

Se um dos números é zero, o

outro será o quê?

Quando o aluno perceber

que a resposta a essa última

questão é "o MDC do par ini-

cial", ele ficará curioso para

compreender o processo. En-

tão é interessante salientar a

proximidade com o algoritmo

de Euclides.

Descrição do jogo

São dois os jogadores - cada um escolhe,

secretamente, um número natural não-nulo. Su-

ponhamos que um jogador escolheu o número

31, e o outro jogador, o número 7. Um dos

jogadores é sorteado para iniciar o jogo. Ele

receberá o número escolhido pelo colega e de-

verá subtrair do maior número, 31, um múlti-

plo não-nulo do menor, (k7 = 7, 14, 21 ou 28)

de modo que o resultado ainda seja positivo.

O segundo jogador receberá o novo par de nú-

meros 31 - k7, 1 e repetirá o processo, subtra-

indo do maior número um múltiplo do menor, e

assim por diante.

Ganhará o jogo quem obtiver primeiro o

número 0.

Especificando: os números escolhidos são 31 e

7. O lº jogador poderá devolver para o colega os

pares de números:

Suponhamos que ele devolva o par 7 e 10.

Nesse caso, o segundo jogador só terá uma al-

ternativa: responder com o par de números 7 e 3.

Será a vez, novamente, do primeiro jogador que poderá escolher: 3 e 4

ou 3 e 1.

Se jogar {3, l},osegundo jogador jogará {1,0} e será o vencedor.

Se jogar {3,4}, o segundo jogador será obrigado a jogar {3,1} e, na jogada

seguinte, o primeiro jogador ganhará o jogo.

Euclides?

Não é difícil ver, e o professor pode chamar a atenção dos alunos para

esse fato, que o jogo termina com o par {n, 0}, onde n é o maior divisor

comum dos dois números escolhidos inicialmente.

De fato, se denotarmos por a e b os números escolhidos e um número

dividir a e b, este número também dividirá a-kb e b. Reciprocamente,

se um número dividir a - kb e b, este número também dividirá a e b.

Portanto, os divisores comuns de a e b e os de a - kb e b são os mesmos

e, conseqüentemente,

Também não é difícil ver por que o jogo se chama jogo de Euclides -

basta observar o algoritmo de Euclides para o cálculo do maior divisor co-

mum de dois números:

onde, em cada passagem, do maior número subtrai-se um múltiplo do menor

(no jogo, esse múltiplo não é necessariamente o maior possível).

A estratégia para ganhar

Como foi feito, para o jogo do NIM, apresentaremos resultados matemáti-

cos do jogo de Euclides, o que permitirão dizer quem vencerá o jogo, caso

ambos os jogadores joguem corretamente.

Surpreendentemente aparecerá o número áureo

e o seu papel será decisivo para definir o vencedor do jogo - um jogo que só

envolve números inteiros! (Esse número r aparece ao dividirmos um seg-

mento na razão áurea, ao estudarmos os números de Fibonacci, e em outras

partes da Matemática.)

Nomenclatura

Dado um par {a, b}, com a > b, os pares {a - b, b}, {a - 2b, b}, ...,

{a - qb, b}, com a - qb > 0, chamam-se pares derivados de {a, b}.

Assim, {24,7}, {17,7}, {10,7}, {3,7} são os pares derivados de {31,7}.

Se a - qb > 0 e a - (q + 1)b < 0, {a - qb, b} chama-se par derivado

mínimo de {a, b}. No exemplo, {3,7} é o par derivado mínimo de {31,7}.

Observe que, dentre todos os pares derivados de um par {a, b}, com a > b,

os números do par derivado mínimo são b s o resto da divisão de a por b.

Se {a -qb,b) for o par derivado mínimo, diremos que o par {a - (q - 1 )b, b}

é o par anterior ao par derivado mínimo.

Observe, mais uma vez, o exemplo. Dado o par {31,7}, o 1° jogador tem

apenas duas opções significativas:

• ele escolhe o par derivado mínimo {3, 7};

• ele escolhe o par anterior ao par derivado mínimo, isto é, {10,7}, obrigando

o adversário a jogar {3, 7}.

Qualquer outra escolha daria estas mesmas duas opções ao adversário.

Qual das duas é a melhor?

É possível provar que se um jogador receber um par de números {a, b} com,

naquela jogada ele não poderá ganhar o jogo e terá como única opção de-

volver o par {a - b, b} que tem a razão

Portanto é sempre vantajoso para um jogador escolher aquele par cuja

razão é menor do que 2 e passá-lo ao adversário. Este, na sua vez, não

ganhará o jogo e será obrigado a devolver um par com razão maior do que 2.

E, agora, o fato decisivo:

Se um jogador receber um par {a, b} com

ele terá uma estratégia que lhe garantirá a vitória, pois poderá sempre impe-

dir que o adversário ganhe o jogo no lance seguinte. Como o jogo tem um

número finito de lances, necessariamente haverá uma vez em que o jogador

receberá um par de números com um número múltiplo do outro, o que lhe

dará a vitória.

Em resumo: Se o jogo começar com um par {a, b} com a > b, o primeiro

jogador terá uma estratégia que lhe garantirá a vitória se e somente se

ou se a e b forem iguais. Nos casos restantes, o segundo jogador é quem

terá uma estratégia que lhe garantirá a vitória.

Jogos de Sperner

Jaime Poniachik

Argentina

Este jogo de fichas brancas e

pretas pode ser utilizado des-

de a 5ª série para incentivar

contagem e identificação de

números pares e ímpares.

Pode-se levar os alunos a dis-

cutirem estratégias de vitória e

possíveis generalizações do

jogo são apresentadas.

1. Impactos

Em uma tira com n casas, dois jogadores al-

ternam-se, colocando nas casas uma ficha de cada

vez. Um coloca fichas brancas, o outro, pretas,

sempre em casas que estiverem vazias. A partida

acaba quando não existirem mais casas vazias.

Contam-se, então, os "impactos". Há impacto

quando duas casas vizinhas tiverem fichas de co-

res distintas. Se, no final, a quantidade de impac-

tos for ímpar, o Branco ganha a partida; se for

par, ganha o Preto. O diagrama mostra uma parti-

da terminada. Os impactos estão marcados com

estrelas. Houve 5 impactos. Branco ganhou.

O Branco começa. Qual é a estratégia vencedora?

Resposta

O jogo dos impactos não é mais do que a apre-

sentação lúdica de um resultado matemático bas-

tante conhecido, o "Lema de Sperner", aplicado,

em nosso caso, a um segmento. Diz o lema:

Em um segmento, dividido em segmentos me-

nores, marcamos o extremo esquerdo com 0, o

direito com 1 e cada ponto de divisão intermediá-

no com 0 ou 1. Dizemos que um segmento é "bom", se os seus extremos

estiverem marcados com números distintos.

a) Demonstra-se que o número de segmentos bons é ímpar.

b) Demonstra-se que os segmentos bons do tipo (0,1) são um a mais do que

os segmentos bons do tipo (1,0).

A demonstração é muito simples e engenhosa:

Contam-se os segmentos bons, indo da esquerda para a direita. O 1 que

estiver mais à esquerda fecha o primeiro segmento bom que é do tipo (0, 1).

O próximo segmento bom deverá ser do tipo (1,0).

E, sucessivamente, os segmentos bons irão se alternando entre os de um

e de outro tipo. O último será do tipo (0 1).

Daí concluí-se que a quantidade de segmentos bons é ímpar, e que há um

segmento a mais do tipo (0,1) que o do tipo (1,0).

Observações: Se os extremos do segmento inicial receberem ambos o mes-

mo rótulo, a quantidade de segmentos bons será par e haverá tantos segmen-

tos de um tipo quanto do outro.

Voltemos ao jogo dos impactos. Para ganhar, o Branco apenas precisa as-

segurar que os extremos tenham fichas de cores distintas. Isso é fácil: ele joga

fichas, à vontade, nas casas internas e, assim que o Preto colocar uma ficha em

uma das extremidades, o Branco coloca sua ficha na outra extremidade.

2. Impactos em duas carreiras

As mesmas regras poderiam ser usadas em tabuleiros mais complexos.

Por exemplo:

Qual é a estratégia para ganhar?

3. Corolário do lema de Spener

Uma linha contínua que começa subindo e termina descendo tem um

número ímpar de extremos (máximos e mínimos).

4. Jogo do sobe-desce

Numa tira de n casas escrevem-se os números 1, 2, 3, ..., n da

seguinte maneira: cada jogador escreve um número por vez numa casa

livre, número que até então não tenha sido usado. A partida termina quan-

do todas as casas estiverem preenchidas. Se resultar uma quantidade

ímpar de extremos, a vitória será do primeiro jogador; se a quantidade for

par, ganhará o segundo. O diagrama mostra uma partida acabada:

Jogando em um tabuleiro quadriculado, a partida anterior ficaria assim:

Qual a estratégia para ganhar?

5. Notícia histórica

O Lema de Spener completo refere-se à triangulação de triângulos, equi-

valente ao que foi nossa segmentação de segmentos. Ele diz:

Um triângulo, cujos vértices estão marcados com os números 1, 2 e 3, é

dividido em triângulos, e os novos vértices são numerados com esses três

algarismos, respeitando a seguinte condição de fronteira: todo novo vértice

que cair em um lado do triângulo maior levará um dos algarismos dos extre-

mos desse lado. Demonstra-se que pelo menos um dos triângulos da partição

está numerado com três algarismos distintos. E mais, o número total desses

triângulos é ímpar.

A partição deve ser tal, que dois triângulos pequenos quaisquer ou não têm

ponto comum, ou somente têm um vértice comum, ou têm um lado comum.

Emannuel Sperner (1905-1980) foi um matemático alemão, que

em 1928 demonstrou o lema da partição do triângulo (e, em geral, do

simplexo n-dimensional). Um lema é, em Matemática, uma proposi-

ção simples que antecede um teorema. O de Sperner antecede o

teorema do ponto fixo.

(Para maiores detalhes e extensões veja Yu Shashkin. Pontos fixos. Editora Mei,

Moscou, 1991.)

...probleminhas da

seção PROBLEMAS

Um senhor de idade deixou o se-

guinte testamento:

"Deixo 1/3 da minha fortuna para

minha única filha e o restante para

a criança que ela está esperando,

se for homem; deixo 1/2 da minha

fortuna para minha única filha e o

restante para a criança que ela está

esperando, se for mulher."

Após sua morte nascem gême-

os: um casal. Como deve ser di-

vidida a fortuna?

Eu tenho três bolas: A,B e C. Pintei

uma de vermelho, uma de branco e

outra de azul, não necessariamente

nesta ordem. Somente uma das se-

guintes afirmações é verdadeira:

A é vermelha

B não é vermelha

C não é azul

Qual é a cor de cada bola?

"Embora eu esteja certo de que meu

relógio está adiantado 5 minutos, ele

está na realidade, com 10 minutos

de atraso. Por outro lado, o relógio

do meu amigo está realmente 5 mi-

nutos adiantado. Nós marcamos um

encontro às 10 horas e cada um de

nós planeja chegar pontualmente e

em cima da hora. Quem chegará

em primeiro lugar? Depois de quan-

to tempo chegará o outro?

4. Pedro e Paulo apostam uma corrida:

Pedro corre a metade do tempo e

anda a outra metade.

Paulo corre a metade da distância

e anda a outra metade.

Se ambos correm e andam, respec-

tivamente, com as mesmas veloci-

dades, quem chegará primeiro?

5. Qual é o número que dividido por 2,

3, 4, 5 e 6 tem para resto, respecti-

vamente 1, 2, 3, 4 e 5?

6. Numa família, cada filha (moça)

tem o mesmo número de irmãos e

irmãs e cada filho homem tem duas

vezes mais irmãs do que irmãos.

Quantas filhas (moças) e filhos (ho-

mens) há nesta família?

7. Qual é a área maior?

8. A média das idades dos elemen-

tos de uma equipe de uma feira de

ciências é 14,625. Qual é o menor

número de elementos que podem

constituir a equipe?

No Jardim dos Números, os alga-

rismos a e b passeavam a uma ve-

locidade constante. Às 14:00 h já

tinham percorrido ab metros, às

14:42 h ba metros e às 15:00 h a0b

metros. Sabendo que no número

a0b o algarismo das dezenas é zero,

mas o das centenas não, a que ho-

ras começou o passeio?

10. Um destacamento de soldados pre-

cisa atravessar um rio muito pro-

fundo e sem pontes. Eles pedem

ajuda a dois meninos que estão pas-

sando pelo rio num barco. Porém,

o barco é tão pequeno que nele só

cabem os dois meninos ou um sol-

dado de cada vez. Como eles fize-

ram para todos os soldados atra-

vessarem o rio?

11. Num círculo formado por 10 pes-

soas cada pessoa escolhe um nú-

mero e revela esse número aos seus

vizinhos no círculo. Cada pessoa diz

em voz alta a soma dos números

dos seus 2 vizinhos. A figura mos-

tra os números ditos em voz alta.

Qual foi o número escolhido pela

pessoa que disse o número 7?

12. Num hotel para cães e gatos 10%

dos cães julgam que são gatos e 10%

dos gatos julgam que são cães. Após

cuidadosas observações conclui-se

que 20% de todos os hóspedes pen-

sam que são gatos e que os restan-

tes pensam que são cães. Se no ho-

tel estão hospedados 10 gatos,

quantos são os cães hospedados?

13. No ano que vem fevereiro terá

cinco domingos. Qual foi o ano em

que isso aconteceu pela última vez?

14. Num cercado pintinhos estão per-

seguindo besouros de 6 patas. Se

o total de patas no cercado é 140,

as quantidades dos besouros e dos

pintinhos são dadas por números

primos e há pelo menos um be-

souro para cada pintinho, quantos

são os besouros?

15. Em um torneio de tênis participam

n jogadores. Todos os jogos são

entre dois jogadores e todos são eli-

minatórios. Quantas partidas serão

jogadas até ser definido o campeão?

16. Calcule, sem usar calculadora, a

área sombreada, sendo:

a = 0,8667899776

e b = 0,1332100224.

17.0 produto de dois números que não

são primos entre si é 6 435. Qual é

o máximo divisor comum desses

dois números?

18. O Asterix e o seu companheiro

Obelix estão a explorar um país

muito pequeno no qual apenas

existe uma estrada (em linha reta)

que liga as três cidades que pre-

tendem visitar: Amix, Berlix e

Celtix. Ao chegarem à cidade de

Amix avistam dois sinais com as

seguintes indicações: "Berlix 5

km" e "Celtix 7 km". Caminham

mais alguns quilômetros e chegam

a Berlix, onde, com espanto,

Obelix encontra dois sinais com as

indicações: "Amix 4 km" e "Celtix

6 km". Ao comentar com Asterix

o sucedido, este responde-lhe:

"Não te preocupes! Sabe-se que

numa das cidades todos os sinais

têm indicações erradas, noutra to-

das as indicações são corretas e

na outra uma indicação é correta

e a outra errada". Por fim, ao che-

garem a Celtix avistam mais dois

sinais: "Amix 7 km" e "Berlix 3

km". Quais são as verdadeiras dis-

tâncias entre as três cidades?

19. Joaquim deve transportar alguns

sacos para um depósito, recebendo

R$ 0,20 por quilo transportado. Os

sacos podem pesar 30,40 ou 50 kg,

e ele demora 8, 12 ou 20 minutos

para transportá-los, respectivamen-

te. Qual é a quantia máxima que o

Joaquim poderá ganhar em exata-

mente uma hora de trabalho?

20. Para fazer de cabeça: Se uma gar-

rafa e a sua tampa custam R$110,00

e a garrafa custa R$100,00 a mais

que a tampa, quanto custa a tampa?

21. Três atletas disputavam o melhor

tempo para uma corrida de 100

metros. Enquanto um corria, outro

cronometrava. No final, o cronôme-

tro de Marcelo registrava 10,7 se-

gundos, o de Roberto, 10,8 segun-

dos e o de Eduardo, 10,9 segundos.

Eduardo deu os parabéns ao ven-

cedor. Qual foi a classificação?

22. Redesenhar as figuras ao lado,

mexendo apenas um palito, para

tornar corretas as igualdades.

23. Vovó tem 17 netos entre meninos e

meninas. Dos meninos, 4/9 têm olhos

azuis. Quantas são as meninas?

24. Quando passeavam numa cidade,

três estudantes de Matemática ob-

servaram que o condutor de um au-

tomóvel infringiu o código de es-

trada. Nenhum dos estudantes se

recordava do número de matrícula

(que tinha quatro algarismos), mas

cada um deles notou uma particu-

laridade de tal número. Um deles

notou que os dois primeiros alga-

rismos eram iguais. O segundo re-

parou que também os dois últimos

eram iguais. E, por último, o terceiro

garantia que o número de matrícu-

la era um quadrado perfeito.

É possível determinar o número de

matrícula do automóvel conhecen-

do-se apenas esses dados? Justifi-

que sua resposta.

25. Antônio e Bento, dois gêmeos, se-

guiam o leito de uma ferrovia e co-

meçaram a atravessar uma ponte

estreita na qual havia espaço ape-

nas para o trem. No momento em

que completavam 2/5 do percurso

da ponte, ouviram o trem que se

aproximava por trás deles. Antônio

começou a correr de encontro ao

trem, saindo da ponte praticamente

no instante em que o trem entrava.

Bento correu no sentido oposto a

Antônio, conseguindo sair da ponte

praticamente no instante em que o

trem saía. Quando os irmãos se re-

encontraram, passado o sufoco, o

irmão que gostava de Matemática

(o outro amava) observou:

Corremos à velocidade de 15 km

por hora, e portanto já sei cal-

cular a velocidade do trem!

Calcule a velocidade do trem. Jus-

tifique sua resposta!

26. Determine o número fantasma de

seis algarismos que está escondi-

do na última linha. Nas outras li-

nhas há também números de seis

algarismos e ao lado de cada um

deles está anotado quantos alga-

rismos há em comum com o nú-

mero fantasma: são B (bom) se

estão colocados na mesma posi-

ção no número fantasma e R (re-

gular) se estão no número fantas-

ma, mas em posição diferente.

135246

579680

260481

27. Encontre o menor número ABCDEF,

formado pelos algarismos 1,2,3,4,

5 e 6, sem repetição, tal que o nú-

mero AB seja divisível por B, o

número BC seja divisível por C,

CD seja divisível por D, DE seja

divisível por E, e EF seja divisí-

vel por F.

28. Qual é a altura do gigante, sabendo-

se que a sua cabeça mede 30 cm

de comprimento, incluindo natural-

mente o pescoço. As pernas são

duas vezes mais compridas que a

cabeça e seu meio tronco, e o sujei-

to todo é um metro mais comprido

que a cabeça e as pernas juntas.

29. Como o médico me recomendou

caminhadas, todo dia de manhã dou

uma volta (com velocidade cons-

tante) na quadra em que resido. Mi-

nha mulher aproveita para correr

(com velocidade constante) em vol-

ta do quarteirão. Saímos juntos e

chegamos juntos. Ela percorre a

quadra no mesmo sentido que eu e

me ultrapassa duas vezes durante

o percurso. Se ela corresse no

sentido contrário ao meu, quantas

vezes ela cruzaria comigo?

30. Um industrial produz uma má-

quina que endereça 500 envelo-

pes em 8 minutos. Ele deseja

construir mais uma máquina de

tal forma que ambas, operando

juntas, endereçarão 500 envelo-

pes em 2 minutos. Determine o

tempo que a segunda máquina

sozinha deve gastar para ende-

reçar 500 envelopes.

probleminhas

1. 1/4 para a filha; 1/4 para a neta;

1/2 para o neto.

2. A: azul;

B: vermelha;

C: branca.

3. Meu amigo; depois de 20 minutos.

4. Pedro; ele percorre, correndo, mais

do que a metade da distância.

5. 59 (chamando o número procurado

de n, n + 1 será divisível por 2,3,4,

5 e 6).

6. 4 moças e 3 homens.

7. Altura do triângulo de base 30: 20;

altura do triângulo de base 40: 15.

As áreas são iguais.

8. 8.

9. 13:48 h.

10.O menino A fíca na margem opos-

ta á margem na qual estão os sol-

dados e o menino B leva o barco

até os soldados. O primeiro solda-

do atravessa o rio e o menino A traz

o barco de volta. Os dois meninos

atravessam o rio, o menino A fíca,

e o menino B leva novamente o bar-

co até os soldados. O segundo sol-

dado atravessa o rio e ...

11. 1.

12. 70.

13. 1976.

14. 19.

15. n - 1 jogadores devem ser elimi-

nados, logo são necessárias n - 1

partidas.

16. 0,7335799552.

17. 3.

18. Amix-Berlix: 5 km

Berlix-Celtix: 2 km

19. R$ 44,00.

20. R$ 5,00.

21. 1º Roberto,

2º Eduardo,

3º Marcelo.

23. 8.

24. Sim, é 7 744.

25. 75 km/h.

26. 170 289.

27. 361 524.

28. 2,9 m.

29. 4.

30. 8/3 min.

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