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Ministro da Educação e do Desporto
Paulo Renato Souza
Secretário Executivo
Luciano Oliveira Patrício
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Madikauku
os dez dedos das mãos
Matemática e povos indígenas no Brasil
Mariana Kawall Leal Ferreira
MEC
1998
Secretaria de Educação Fundamental:
Iara Glória Areias Prado
Diretora do Departamento de Política da Educação Fundamental:
Virgínia Zélia de Azevedo Rebeis Farha
Coordenadora Geral de Apoio às Escolas Indígenas-
Ivete Maria Barbosa Madeira Campos
Endereço:
MEC/SEF/DPEF
Coordenação Geral de Apoio às Escolas Indígenas
Esplanada dos Ministérios Bloco L Sala 615
70.047-902 - Brasília - DF
Telefone: (061) 224 9598-410 8630
FAX: 321 5864
E-mail:
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
FERREIRA, Mariana Kawall Leal
Madikauku : os dez dedos das mãos :
matemática e povos indígenas no Brasil /
Mariana Kawall Leal Ferreira. - Brasília:
MEC, 1998.
179 p. : il
1. Educação escolar indígena. 2. Matemática. I Título
CDU 372.47 (=081)
O amor também é usado pela matemática:
quem ama ou quem tem compaixão
pelo parente, colabora com a pessoa e
necessita repartir os bens com os outros.
Professor Jaime Llullu Manchineri
Terra Indígena Mamoadate
Aldeia Jatobá - Rio Yaco - Acre
1
1
O professor Jaime Llullu Manchineri, do povo Manchineri, foi parecerista da Área de Matemática, no documento
"Referencial Curricular Nacional para as Escolas Indígenas" (MEC, junho de 1998).
Madikauku
os dez dedos das mãos
Matemática e povos indígenas no Brasil
Madikauku, na língua Palikur, significa "fim das mãos",
ou seja, os dez dedos das mãos.
É o termo usado para o número 10
(madik fim, auku mãos).
Dentro das políticas definidas pelo MEC, pará a área de educação escolar indígena,
estão o incentivo e o apoio à produção de material didático e pedagógico para uso nas
escolas das aldeias e em cursos de formação de professores.
Partindo do pressuposto fundamental de que diferentes culturas têm formas distintas
de manejar quantidades, números, medidas, formas e relações geométricas, o MEC propôs a
elaboração de MADIKAUKU - Os dez dedos das mãos, que apresenta um trabalho em
Etnomatemática.
Este livro oferece uma contribuição ao estudo da Matemática na escola indígena. É
uma proposta pedagógica que ajuda os professores a desenvolver trabalhos de pesquisa e
ensino, reconhecendo a pluralidade de sistemas e concepções numéricas de povos
culturalmente distintos.
Secretaria de Educação Fundamental
APRESENTAÇÃO
Madikauku - os dez dedos das mãos
Matemática e povos indígenas no Brasil
Nota da Autora 7
Introdução - Ubiratan D'Ambrosio 11
Parte 1 - A matemática é uma criação humana 15
Capítulo I - Povos indígenas no Brasil: A matemática Juruna no começo dos
tempos 16
Capítulo II - A matemática Palikur no Uaçá, norte do Amapá: A geometria está
por toda parte 34
Capítulo III - O conflito entre a matemática indígena e a matemática escolar: Os
Xavante do Kuluene, Mato Grosso 68
Capítulo IV - A matemática na vida cotidiana e na experiência escolar indígena: A
trajetória Kayabi até o Parque do Xingu 88
Parte 2 - Números, contas e mapas 108
Capítulo V - A escrita dos números 109
Capítulo VI - Enfim, as contas matemáticas 129
Capítulo VII - Trabalhando com mapas 150
Bibliografia 176
NOTA DA AUTORA
Madikauku - os dez dedos das mãos contribui pará o estudo da matemática em
escolas indígenas do Brasil. O livro traz sugestões didáticas para os professores
desenvolverem trabalhos de pesquisa e exercícios em educação matemática. Trata-se
de uma proposta pedagógica, cuja finalidade é levar para a sala de aula a pluralidade
de idéias matemáticas, expressas em atividades do cotidiano como, por exemplo, a
construção de habitações e embarcações, ou a elaboração de projetos de auto-
sustentação econômica. Madikauku mostra como transformar resultados matemáticos
em conteúdos e material de ensino, sugerindo como transmitir esses conhecimentos
para os alunos.
2
A matemática é uma criação humana - A primeira parte do livro aborda as diferentes
invenções que, ao longo da história, as sociedades lançaram mão para classificar e
ordenar o mundo, dando-lhe sentido. Os povos desenvolveram modos próprios para
se orientar no espaço, contar, calcular, reconhecer e medir as formas do universo. Em
outras palavras, existem formas culturalmente distintas de manejar quantidades,
números, medidas, formas e relações geométricas.
A maneira mais comum de se ensinar matemática dá a entender que números,
cálculos, unidades de medida e concepções do espaço sempre existiram. Resta aos
alunos entender a matéria e aprender a usá-la. Raros são os livros didáticos
preocupados com o fato de que a matemática é fruto do trabalho humano, do esforço
2
Madikauku - os dez dedos das mãos trabalha na área da Etnomatemática. O Professor Ubiratan D'Ambrósio define a
Etnomatemática como um programa de pesquisa e ensino que procura "identificar técnicas ou mesmo habilidades e práticas
utilizadas por distintos grupos culturais na sua busca de explicar, conhecer e entender o mundo que os cerca" (Ver o livro
Etnomatemática, de Ubiratan D'Ambrosio, 1990, página 6).
de diferentes povos.
O sistema numérico decimal, por exemplo, é apresentado como o sistema "natural".
Quando são feitas menções a outras formas de trabalhar a matemática, em
agrupamentos de 2, 5, 6 ou 20, estas são, em geral, consideradas ineficazes ou,
então, não desenvolvidas.
Madikauku, os dez dedos das mãos mostra que isto não é verdade. O contato entre
os vários povos sempre possibilitou a troca de experiências e de idéias matemáticas.
A matemática construída hoje nas escolas indígenas no Brasil tem a capacidade de
articular conhecimentos culturalmente distintos. Os povos indígenas estudam
matemática porque ela é imprescindível nos dias de hoje, quando o contato
intercultural entre os diferentes povos, e entre estes povos e a sociedade envolvente,
tornou-se inevitável.
Números, contas e mapas - A segunda parte do livro trabalha com idéias matemáticas
do sistema numérico decimal. Traz informações sobre os algarismos indo-arábicos, a
escrita e o valor posicionai dos números. Oferece sugestões para lidar com estas
idéias matemáticas, a partir de situações do dia-a dia, como o cotidiano na farmácia e
a necessidade de se entender o traçado de mapas.
No Capítulo I, Sinaã, o grande pajé Juruna, cria a humanidade. O pajé mostra a base
da matemática Juruna ao classificar os seres humanos de acordo com as línguas
faladas e os conhecimentos desenvolvidos. Apresenta informações sobre a
sociodiversidade no país.
O Capítulo II relata como os Palikur classificam os seres do universo. A teoria de
mundo, ou seja, a cosmologia da sociedade, está expressa nos termos numéricos e
nos conceitos matemáticos. Os numerais Palikur ensinam o que o povo pensa sobre o
mundo à sua volta.
O Capítulo III argumenta que a matemática Xavante segue a lógica da sua
organização social. Sem respeitar esta lógica, a escola não respeita o povo.
O Capítulo IV trata de projetos comunitários de autoria indígena. A matemática é a
amiga valiosa que promove a autonomia econômica dos Kaiabi.
O Capítulo V fala sobre a historia da matemática ao longo dos séculos. Aborda as
principais características do sistema de numeração decimal, e sugere atividades para
o estudo da matemática em sala de aula.
O Capítulo VI tece considerações sobre as 4 operações fundamentais: adição,
subtração, divisão e multiplicação. Mostra a importância dos cálculos e das estimativas
no dia-a-dia dos povos indígenas. Traz atividades para serem trabalhadas na escola.
O Capítulo VII refere-se à importância das idéias de legenda, escala, perímetro e área,
para a leitura e o traçado de mapas e plantas. Entender e desenhar mapas é atividade
que a maioria dos professores e alunos gostam. É uma ação educativa fundamental
para projetos de auto-sustentação econômica e de proteção das terras indígenas no
Brasil.
Sobre a Autora
Mariana K. Leal Ferreira foi professora em escolas indígenas Xavante (1978-1979) e no
Parque Indígena do Xingu, entre os Kayabi, Suyá, Juruna e Panará (1980-1984). Desde
1985, tem prestado assessoria para organizações indígenas no Brasil (como a COIAB -
Coordenação das Organizações Indígenas na Amazônia Brasileira) e nos Estados Unidos da
América (como a United Indian Health Services - UIHS). Mariana é mestre em Antropologia
Social pela Universidade de São Paulo, e doutora em Antropologia da Saúde pela
Universidade da Califórnia em Berkeley. É autora de Com Quantos Paus se Faz uma Canoa!
e de Histórias do Xingu.
INTRODUÇÃO
Ubiratan D'Ambrosio
A Educação Indígena representa um dos grandes desafios educacionais do
momento. Depois de um período de quase cinco séculos de extermínio de
populações e de eliminação de suas culturas há um esforço de recuperação.
Restabelecer a população é uma tarefa impossível. Restabelecer a dignidade
cultural dos poucos sobreviventes é possível e aí se encontra o desafio.
É uma tarefa extremamente difícil, sobretudo em vista de dois fatores: 1. a
necessidade das populações restantes se inserirem no modelo econômico da
civilização dominante; 2. a falta do ambiente natural e cultural que deu origem aos
modos de conhecimento tradicionais.
O interesse pela Educação Indígena vai muito além das necessidades específicas
das populações indígenas e do trabalho nos ambientes indígenas. Há um interesse
educacional muito amplo. A capacidade de trabalhar em ambientes naturais e
culturais distintos, até contraditórios, de conhecer e utilizar experiências da vida
diária em ambientes muitas vezes desconhecidos do professor, e de fazer repousar
a prática pedagógica sobre memórias culturais muitas vezes adversas, está se
tornando cada vez mais comum em cidades de porte médio. E, sobretudo, nas
grandes metrópoles.
O fluxo migratório nessas cidades nos revela uma enorme variedade de experiências
prévias, de expectativas e intenções e de estilos de aprendizagem. Na Educação
Indígena isso se manifesta muito fortemente. Daí o crescente interesse de
educadores em conhecer as propostas e as experiências da Educação Indígena.
* Ubiratan D'Ambrosio é Professor Emérito de Matemática da Universidade Estadual de Campinas/UNICAMP.
Foi Diretor do Instituto de Matemática. Estatística e Ciência da Computação da UNICAMP (1972-80) e Pró-
Reitor de Desenvolvimento Universitário da mesma (1982-90). É Presidente do Grupo Internacional de Estudos
de Etnomatemática [International Study Group on Ethnomathematics]/ISGEm.
O grande desafio da Educação Indígena resulta da necessidade de se atingir
simultaneamente dois grandes objetivos: preparar as populações indígenas para um
convívio digno com a civilização dominante; e possibilitar aos povos indígenas a
revitalização de sua identidade cultural.
A Matemática comparece como elemento central nessa tarefa. Sobretudo porque a
inserção no modelo econômico ocidental implica dominar modos de produção e sua
comercialização. Isso se manifesta em medições, quantificações, manejo de
dinheiro, cálculos financeiros. Sabe-se que a Matemática usada na prática diária é
resultado do mercantilismo europeu e do sistema capitalista que daí resultou. Essa
Matemática, com bases culturais totalmente distintas, deve ser apreendida pelo
indígena. Um bloqueio cultural é evidente. O desafio do professor indígena é
transformar esse bloqueio numa ponte.
Da mesma maneira, grande parte da Geometria presente na cultura ocidental é
resultado de satisfação de necessidades resultantes de uma organização social que
se estrutura segundo um modelo de urbanização muito próprio e que não encontra
paralelo nas culturas indígenas. Uma geometria de decoração, mais ligada à arte e,
portanto, de caráter abstrato, funda-se na mitologia e nas visões de espaço que são,
obviamente, distintas nas culturas indígenas. As dificuldades de se compatibilizar
definições e teorias presentes na Geometria ocidental, de origem mediterrânea, com
os alicerces sociais, naturais e místicos sobre os quais se fundamenta o pensamento
indígena é uma tarefa árdua.
Igualmente árdua é a tarefa de se compatibilizar os sistemas numéricos presentes
na civilização ocidental e aqueles das civilizações indígenas. Os sistemas numéricos
ocidentais, com suas diversas representações, bases ou notações posicionais, são
resultado de um modelo de produção cumulativo e de uma economia mercantilista,
de uma astronomia restrita e de uma mística também muito característica das
civilizações da antigüidade Indo-Européia. Os sistemas numéricos indígenas são
conceituados de outra maneira e respondem a outro tipo de necessidades e a
místicas completamente diferentes.
Todos esses fatores causam enormes dificuldades para o ensino da Matemática
para os povos indígenas.
Talvez seja menos difícil ensinar uma matemática prática, sobretudo artesanal e
comercial, pois a motivação, resultante de necessidade, é grande. A exploração da
matemática lúdica do ocidental - um lúdico novo, desafiador - deve também ser
naturalmente atrativa.
No entanto, a recuperação da dignidade cultural dos povos indígenas exige estimular
seu pensar abstrato, suas idéias matemáticas próprias. Em outros termos, recuperar
seus modos, maneiras, técnicas de explicar, de conhecer, de lidar com seu ambiente
natural, cultural, místico. Esse é o objetivo maior da Etnomatemática.
A carreira profissional de Mariana Kawall Leal Ferreira tem se caracterizado por
duas vertentes importantíssimas, obviamente não excludentes: a sua ação
pedagógica entre os povos indígenas; e a sua pesquisa acadêmica sobre culturas
indígenas.
Neste livro, sugestivamente lembrando no título a importância das mãos nos
processos de contagem dos povos indígenas, a autora consegue conciliar sua
prática como professora em aldeias indígenas e sua visão do processo de
elaboração cultural presente na história dessas populações.
Na Parte 1 são mostrados aspectos da filosofia matemática de algumas culturas
indígenas. Por exemplo, nos seus sistemas numéricos está implícita a sua
percepção do homem, da natureza e do universo. Sôbre esse reconhecimento de
uma identidade cultural própria, inclusive no que se refere às idéias matemáticas, é
que se vai construir uma ação pedagógica.
Na Parte 2 essa ação pedagógica é descrita. Baseada na sua experiência de
educadora indígena, a autora introduz as noções de matemática "oficial", que serão
indispensáveis para as populações indígenas nos contatos com a sociedade
brasileira.
Focaliza sua proposta em quatro direções: números, contas, medidas e mapas. A
partir desses quatro motivadores serão desenvolvidas as habilidades matemáticas
necessárias.
Como disse acima, a importância da Educação Indígena transcende o objetivo de se
ensinar índios. Essa proposta de usar números, contas, medidas e mapas como
motivadores para um programa de matemática poderia ser adotada com muitas
vantagens pelas escolas das cidades. Esse é uma estratégia importante para
mostrar as relações da matemática com outras disciplinas. Não só é atrativa do
ponto de vista de aprendizagem, como também responde ao que se nota na
evolução histórica do conhecimento matemático.
Devo destacar que a autora não se descuida da importância política da educação.
Utiliza a matemática como elemento crítico para mostrar a história dos povos
indígenas desde a conquista até os tempos atuais. Assim está conscientizando os
povos indígenas para a revitalização da sua identidade cultural.
O livro que Mariana Kawall Leal Ferreira nos oferece é de grande importância para
educadores em geral. Revela muito e nos aproxima de povos com os quais
queremos nos irmanar para construir uma verdadeira civilização planetária. E isso
não se conseguirá sem o respeito e o reconhecimento mútuo das culturas, em todas
as áreas do saber.
Parte 1
A matemática
é uma criação humana
Capítulo l
Povos Indígenas no Brasil:
A matemática Juruna no começo dos tempos
Os índios Juruna contam que, antigamente, o mundo era habitado
por animais. Existiam onças, porcos do mato, bichos-preguiça, peixes e
pássaros, de diversos tipos. Um dia, porém, o grande pajé Sina'ã, ele
próprio filho de onça, criou uma mulher, engravidou-a e nasceram 1, 2 e
depois 3 filhos. Foi assim que começou a história do povo Juruna.
Com o tempo, a população Juruna foi crescendo. Sina'ã resolveu,
então, guiar todo o mundo em direção ao rio Xingu, procurando um lugar
bom para morar. Durante a viagem, zangou-se porque alguns homens o
desobedeceram. O pajé sentiu, pela primeira vez, a necessidade de dividir
os Juruna em diferentes povos. As pessoas ficaram tristes, mas não teve
jeito. Carandine Juruna conta, hoje, como tudo aconteceu:
Sina'ã cortou barbante vermelho. Cortou no meio e deu o barbante
para cada povo. Deu língua para cada um também, e quem ganhava ia
embora. Assim Sina'ã foi dividindo os povos, devagar, cada um na sua
tribo. Uns subiram pará cá nesse rio. Outros foram lá para o mato.
Outros para outro rio. Nós mesmos ficamos por aqui.
Os Juruna que ficaram junto a Sina'ã ganharam, além da língua, o
conhecimento de fabricar as coisas, como facão, barco, arma, motor e tudo
o mais. Mas Sina'ã alertou: "Se vocês não agüentarem, eu vou dar para
outra pessoa".
Carandine Juruna continua o relato:
Nós mesmos não agüentamos. É muito difícil trabalhar como o branco.
Então ele deu para o branco o conhecimento de fabricar as coisas, o
facão, tudo o mais. Os brancos começaram a fabricar facão,
arma...Deu capim para eles plantarem, para criar vaca, para criar tudo.
Deixou tudo para eles e foi embora. Nosso pai foi embora.
1
1
A história "Como os povos se separaram" foi contada por Carandine Juruna na Aldeia Tuba-Tuba,
Parque Indígena do Xingu, em fevereiro de 1990. A íntegra do relato está em Histórias do Xingu.
Coletânea de Depoimentos dos índios Suyà, Kayabi, Juruna, Trumai, Txucarramãe e Txicão.
Organização: Mariana K. Leal Ferreira (ver bibliografia).
A história de Carandine mostra, entre outras coisas, a maneira como
os Juruna explicam, no começo dos tempos, a divisão dos povos. A língua
que Sina'ã deu para cada um, simbolizada pelo barbante vermelho, foi
usada para organizar os acontecimentos ao longo do tempo, incluindo a
aquisição de tecnologia (a fabricação de armas, motores, etc); a criação e
a separação dos povos; a formação dos rios e lagoas; a descoberta de
alimentos e do fogo. Tudo faz parte do processo de criação do universo
Juruna.
Cada povo tem a própria versão histórica de como o mundo foi
criado, ou seja, uma teoria de mundo. Para que essas teorias façam
sentido, ordenam e classificam os seres e os elementos culturais (fogo,
água, comida, etc), todos elementos do universo. Para formular a teoria de
mundo, ou seja, a cosmologia, cada sociedade recorre a maneiras
diferenciadas de ordenar, classificar e quantificar a própria realidade, e os
respectivos elementos culturais.
São os procedimentos específicos e diferenciados de contar, medir,
classificar e ordenar, que fazem surgir a matemática de cada povo.
POVO
Aweti
Juruna
Kalapalo
Kamayurá
Kayabi
Kuikuru
Matipu/Nahukwá
Mebengokre
Mehináku
Panará
Suyá
Tapayuna
Trumai
Txicão
Waurá
Yawalapiti
TOTAL
TRONCO LINGÜÍSTICO
ou FAMÍLIA
tronco Tupi
família Juruna, tronco Tupi
Karibe
Tupi-Guarani
Tupi-Guarani
Karibe
Karibe
Jê Setentrionais
Aruák
Jê Setentrionais
Jê Setentrionais
Jê Setentrionais
Língua isolada
Karibe
Aruák
Aruák
POPULAÇÃO
80
132
249
279
526
277
102
449
121
122
165
48
78
146
187
140
3.101
Nesta tabela, estabeleceu-se uma ordem entre os povos, as línguas
faladas e o número de habitantes por povo. Ao final, o total da população
do Parque do Xingu é apresentado (3101 índios).
Carandine Juruna, o líder dos Juruna no Parque Indígena no Xingu,
conta que, antigamente, não era importante saber quantos povos ou
indivíduos foram criados. Hoje, porém, a história é diferente. Palavras dele:
O conhecimento que Sina'ã deu para os brancos deu muita força para
eles. Parece que a matemática do branco nasceu assim, dando força.
Por isso que para nós é difícil. Antigamente, a gente brigava com a
boca, com a borduna, com o arco e flecha. Hoje a gente tem que
aprender a brigar com o lápis e o papel, entender os escritos, as leis,
saber mexer com os números. O mundo está mudando.
3
3
Depoimento de Carandine Juruna á autora em fevereiro de 1990 na Aldeia Tuba-Tuba, Parque
Indígena do Xingu.
A posse do território Juruna, no Mato Grosso, foi contestada na Justiça por
fazendeiros, por meio de um processo aberto em 1994. A pedido do juiz
encarregado do caso, a antropóloga Vanessa Lea elaborou um laudo, atestando
que a área é mesmo terra imemorial Juruna. Saber matemática é requisito
obrigatório pará entender os vários documentos nos quais esse laudo é baseado.
O documento inclui depoimentos de índios, como Carandine Juruna, além de
mapas, decretos e portarias, que delimitam ou demarcam terras Juruna ao longo
dos anos. Um dos documentos utilizados é a tabela abaixo:
4
Tabela 2. A População Juruna Através do Tempo
Fonte
Adalbert (1849:317)
Brusque (1862:19)
Brusque (1863:19)
Stein (1942:280, 298, 301,
306, 309,311-3, e 418)
Coudreau(1897: 33)
Nimuendaju (1948: 219)
Simões (1963a: 22)
Galvão (1952: 469)
Simões (1963a:23)
Oliveira, notas de campo
Oliveira, notas de campo
Data
1842
1859
1863
1884
1896
1928
1948
1950
1963
1966
1967
População
2000
235
250
230 ou 250
150
30
45
37
46
54
58
Localização
9 aldeias - Baixo Xingu
3 aldeias - Baixo Xingu
X - Baixo Xingu
5 aldeias e 3 ranchos -
Médio Xingu
X - Alto Xingu
X - Alto Xingu
1 aldeia - Xingu
1 aldeia - Alto Xingu
2 aldeias - Alto Xingu
2 aldeias - Alto Xingu
2 aldeias, em vias de 1 -
Alto Xingu
As informações apresentadas na tabela são basicamente dados
quantitativos. Várias interpretações podem ser feitas sobre a população Juruna, a
história do povo, a trajetória geográfica. Para isso, no entanto, precisamos
analisar os dados apresentados. Coletar, agrupar e trabalhar dados, construindo e
interpretando tabelas e gráficos, faz parte, aliás, dos objetivos da matemática.
4
Laudo Antropológico Kapoto, de Vanessa R. Lea (Campinas: UNICAMP, 1997).
A primeira coluna, "Fonte", traz o nome do autor do estudo publicado sobre
os Juruna, a data de publicação e o número da página de onde as informações
foram extraídas. Na segunda coluna, aparece a data da coleta dos dados, que
são apresentados na coluna seguinte: a população Juruna. Finalmente, na última
coluna, a localização desta população ao longo dos anos. Das várias análises
possíveis, a que mais salta aos olhos é a drástica redução dos Juruna. Em 1842,
o Príncipe Adalbert da Prússia registrou a existência de 2000 índios vivendo em 9
aldeias, na região do Baixo-Xingu (no Pará). Em 1967, Roberto Cardoso de
Oliveira documentou apenas 58 Juruna vivendo em 2 aldeias no Alto Xingu. Os
dados indicam que, em 125 anos, a população Juruna foi quase extinta.
Arrumar, agrupar ou juntar
coisas semelhantes,
estabelecendo relações
entre os grupos ou
conjuntos formados, é dos
aspectos mais importantes
da matemática. Diz respeito,
como vimos, à própria teoria
de mundo de cada povo.
Sabemos que a divisão do planeta Terra em hemisférios, continentes e
países também é fruto de uma visão de mundo específica, que valoriza a "terra", o
"território" e a "propriedade". A história nos ensina que esta divisão política do
planeta não tem sido tranqüila. Trata-se de um processo repleto de lutas e
conflitos. Muitas vezes, teorias de mundo distintas entram em choque: o que foi
considerado o "descobrimento" do Brasil pelos portugueses, acabou interpretado
como uma "invasão" de território por muitas sociedades indígenas. A história do
povo Juruna, contada por Carandine Juruna, registrada em documentos de
viajantes e pesquisadores, é exemplo disto.
5
A divisão do Brasil em regiões, estados e municípios não obedece as
concepções de espaço indígenas. É comum um povo pertencer a dois ou mais
estados ou municípios, ou mesmo estar localizado entre dois países. É o caso dos
Yanomami, que estão divididos entre o Brasil e a Venezuela. Os povos do Parque
indígena do Xingu, onde vivem hoje os Juruna, estão divididos em 10 municípios!
Isto tem, é claro, muitas implicações. As políticas públicas para povos indígenas,
por exemplo, são regidas por leis federais, estaduais e municipais. Apesar de as
sociedades xinguanas viverem numa mesma unidade administrativa - o Parque
Indígena do Xingu -, as políticas educacionais, de atenção à saúde e de proteção
ambiental podem variar.
Outra maneira de classificar os povos indígenas no Brasil tem sido adotada
nas pesquisas e publicações do Instituto Socioambiental. A divisão não obedece
as regras oficiais, por região ou estado, mas usa, em alguns casos, nomes dos
estados brasileiros, como Roraima, Amapá e Rondônia, ou regiões do país, como
Leste e Sul. Estipula, de acordo com critérios culturais e geográficos, 19 "Regiões
Geográficas". Procura, neste sentido, agrupar povos localizados geograficamente
5
Pará mais informações sobre a história Juruna, ver capítulos 1 e 4 da tese de mestrado da autora,
"Da Origem dos Homens à Conquista da Escrita: Um Estudo sobre Educação Escolar e Povos
Indígenas no Brasil", USP, 1992.
póximos uns dos outros e que, ao mesmo tempo, tenham aspectos culturais em
comum.
6
Essa divisão dos povos indígenas, dentro do território brasileiro, pode ser
representada em mapa, da seguinte maneira:
Povos Indígenas no Brasil - Regiões Geográficas
6
Mapa "Povos Indígenas no Brasil - Regiões Geográficas" Povos Indígenas no Brasil 1991/1995
Instituto Socioambiental, São Paulo, 1996, pg. 114.
LEGENDA
1. Noroeste Amazônico (povos Baniwa, Kuripako, Tukano, Desano...)
2.1. Roraima - Serra e Lavrado (Makuxi, Wapixana, Ingarikó, Taurepang...)
2.2. Roraima - Mata (Sateré-Mawé, Wai Wai, Yanomami, Yekuana...)
3. Amapá / Norte do Pará (Palikur, Waiãpi, Galibi, Karipuna, Wayana...)
4. Solimões (Kambeba, Ticuna, Kanamari, Mayoruna, Karapanã, Witoto...)
5. Javari (Isolados do Alto Jutaí, Isol. Quixito, Isol. do São José, Korubo...)
6. Juruá / Jutaí / Purus (Apurinã, Deni, Kulina, Banawa Yafi, Jamamadi.)
7. Tapajós / Madeira ( Munduruku, Sateré-Mawé, Mura, Parintintim...)
8. Sudoeste do Pará (Urubu Kaapor, Xikrin, Isolados do Rio Tapirapé...)
9. Maranhão (Guajajara, Tembé, Urubu Kaapor e Guajá)
10. Nordeste (Fulniô, Tuxá, Karapotó, Kiriri, Truká, Wassu, Xukuru...)
11. Acre (Kaxinawá, Arara Shamanawá, Jaminawa, Kampa, Kulina, Nukini.)
12. Rondônia (Arara do Beiradão, Arara Karo, Cinta Larga, Isolados...)
13. Oeste do Mato Grosso (Kayabi, Apiaká, Pareci, Rikbaktsa, Iranxe...)
14. Parque Indígena do Xingu (Kayabi, Kalapalo, Juruna, Suyá...)
15. Goiás / Tocantins / Sul do Maranhão (Xavante, Ava-Canoeiro...)
16. Leste do Mato Grosso (Xavante, Bakairi e Bororó)
17. Leste (Pataxó, Pataxó Hã-Hã-Hãe, Guarani M'bya, Tupiniquim...)
18. Mato Grosso do Sul (Guarani Kaiowá, Guarani Nandeva, Guató...)
19. Sul (Kaingang, Guarani M'bya, Guarani Nandeva, Terena, Xokleng...)
Esta organização apresenta, do ponto de vista matemático, importantes
idéias e propriedades (experimente organizar os dados acima numa tabela!).
Basta uma rápida olhada no mapa para perceber que as "Regiões Geográficas",
em alguns casos, acabam ocupando espaços de outras áreas. É o caso do
Parque Indígena do Xingu, região número 14, que pertence ao Sudeste do
Pará (número 8) e ao Leste do Mato Grosso (número 16). É certo que o parque,
do ponto de vista geográfico, é parte destas duas regiões. No entanto,
características culturais comuns a grupos xinguanos e o agrupamento desses
povos dentro de um parque indígena fazem com que ele possa ser considerado
uma "região" distinta das demais.
7
Outras sobreposições se explicam por motivos
semelhantes.
Cada uma das 19 "regiões geográficas" engloba um número variável de
povos indígenas. Algumas, como Roraima - Serra e Lavrado (região 2.1), tem
cinco povos indígenas: Makuxi, Wapixana, Ingarikó, Taurepang e Patamona. São
aproximadamente 18.535 indivíduos, ou seja, 6.5% do total da população
7
O Parque Indígena do Xingu foi criado oficialmente como Parque Nacional do Xingu em 1961.
indígena vivendo em terras indígenas, hoje, no Brasil. Apesar de não haver
informações disponíveis sobre a população de várias sociedades indígenas
(como os "povos isolados" e outros), os dados permitem estimar a existência de
280.000 índios no Brasil, divididos em 206 povos diferentes.
A atividade de classificar tem a finalidade de dar sentido à vida. Baseia-se
em conceitos e idéias matemáticas fundamentais, usadas por toda a humanidade.
Estas idéias foram essenciais para que o Instituto Socioambiental organizasse
povos indígenas em regiões geográficas. Para tanto, os pesquisadores tiveram
de:
1. reconhecer povos culturalmente semelhantes;
2. perceber diferenças entre povos culturalmente parecidos;
3. reconhecer territórios comuns habitados por diferentes grupos;
4. estabelecer agrupamentos de diferentes sociedades, de acordo com estes
critérios
A classificação é uma das operações fundamentais no estudo da matemática.
Está na origem de noções básicas como número, medida e espaço, como
veremos na segunda parte do livro. Por ora, cabe ressaltar alguns desses
conceitos, como mais e menos, maior e menor. A comparação das diferentes
regiões geográficas, os habitantes e as situações fundiárias (se as terras estão
identificadas, demarcadas ou homologadas), permite compreender várias coisas:
• a região que tem mais povos ou mais habitantes;
• a região que tem menos povos ou menos habitantes;
• a região com maior número de terras regularizadas;
• a região com menor número de terras regularizadas;
• a região com mais informações disponíveis;
• a região com menos informações disponíveis.
Com relação aos Juruna, podemos fazer uma série de considerações
matemáticas e concluir que:
• a população Juruna no Parque Indígena do Xingu, em 1995, era de 181
indivíduos;
• a área do parque, homologada em 1991, é de 2 milhões 642 mil e 3 hectares;
• os Juruna e outros povos xinguanos estão ameaçados pela construção de
uma hidrelétrica que vem sendo planejada pelo governo brasileiro;
• há, ainda, 30 Juruna vivendo na Área Indígena Paquiçamba, no sudoeste do
Pará (região 8 no mapa);
• a "A. I. Paquiçamba", homologada em 1991, tem 4 mil 348 hectares;
• os Juruna da "A. I Paquiçamba" estão ameaçados por vários pedidos de
alvarás de pesquisa mineral, além do projeto da Hidrelétrica Belo Monte.
8
8
Fonte de informações: Povos Indígenas no Brasil 1991/1995, ISA, 1996, páginas 387 e 599.
Atividades
Consulte as tabelas apresentadas acima para responder às seguintes
questões:
Tabela 1. A população do Parque Indígena do Xingu
1. Quantos povos habitam o Parque Indígena do Xingu?
2. Quantos troncos ou famílias lingüísticas estão representadas no
Parque Indígena do Xingu?
3. Qual é o grupo mais populoso do Parque?
4. Qual é o grupo menos populoso do Parque?
Tabela 2. A População Juruna Através do Tempo
5. Qual foi o ano em que a população Juruna esteve mais reduzida?
6. Entre que período houve a maior queda da população Juruna?
7. Os dados apresentados cobrem um período total de quantos anos?
8. Complete a tabela abaixo com os dados extraídos do índice do
Mapa das "Regiões Geográficas", apresentado acima:
Nome da Tabela:
9. Crie suas próprias tabelas. Aqui estão algumas sugestões:
a) Faça uma lista das casas de sua aldeia e coloque o número
de pessoas que mora em cada casa;
b) Organize uma relação com as aldeias da sua área, dando o
número de habitantes por aldeia e o total para toda a área
indígena;
c) Elabore um quadro com a trajetória do seu povo, por
diferentes territórios ou aldeias, até chegar no local atual. Inclua
as datas aproximadas, os estados brasileiros percorridos, a
variação populacional e outros dados que você achar importante.
Capítulo II
A matemática Palikur no Uaçá, norte do Amapá:
A geometria está por toda parte
Meninas Palikur chegam à Aldeia Kumenê, na Área Indígena do Uaçá.
Foto de Artionka Capiberibe, 1996.
A região do Uaçá
Navegar pela região do Uaçá, no norte do Amapá, exige profundo
conhecimento do meio ambiente. Além de florestas de várzea e campos de
galeria, inundados boa parte do ano, inúmeros rios entrecortam o rico
ecossistema local. Só a navegação em canoas, voadeiras e pequenas
embarcações Palikur e de outros grupos indígenas permite o acesso às ilhas de
floresta, que ocupam 10% do território. Os 90% restantes são formados de
mangues e territórios alagadiços.
Chegar às cidades da região, como aquelas localizadas no rio Oiapoque,
também requer apurado senso de direção. Na época das cheias, não há curso de
rio bem definido. É quando conjuntos de casas, agrupamentos de árvores ou
pequenas elevações funcionam como importantes pontos de referência. A
trajetória do sol e, à noite, a posição das estrelas, indicam o rumo a seguir.
Embarcações Palikur, Karipuna e Galibi Marworno atracadas ao Porto de Kamarumã, na Área
Indígena do Uaçá, para a "Festa da Virgem Maria". Foto de Artionka Capiberibe, agosto de 1996.
As aldeias Palikur ficam às margens do rio Urucauá, no município de
Oiapoque. O povo vive com os Galibi Marworno e os Karipuna do Amapá, na Área
Indígena Uaçá. A extensão do território indígena é de 470 mil e 164 hectares. A
população Palikur, no início de 1998, era de 760 indivíduos.
1
As casas Palikur são geralmente construídas sobre estacas e possuem
assoalho de tábuas e cobertura de palha. A própria locomoção entre as
habitações dentro da aldeia exige, na época das chuvas, o uso de barcos. É
comum se deparar com famílias inteiras Palikur, um dos 18 povos conhecidos
que habitam a região, viajando em embarcações. As embarcações são
conectadas entre si por meio de cordas, ou costumam navegar próximas umas
das outras. Formam, assim, um verdadeiro comboio, que transporta, além dos
próprios Palikur, produtos da caça, pesca, agricultura e coleta. Os Palikur fazem,
portanto, extenso uso da navegação nas atividades da vida cotidiana.
As ilhas de floresta são importantes porque servem para os Palikur e outros
povos da região plantarem e praticarem a coleta de inúmeras espécies vegetais.
Nas roças Palikur, há vários tipos de mandioca, cará, banana, batata doce e
abacaxi, entre outras frutas e legumes. Os principais produtos da coleta são os
seguintes: açaí, bacaba, cajá, cupuaçu, piquiá, bacurí, sapucaia, inajá, maracujá e
patauá.
A caça, abundante nos campos alagadiços e na zona de cabeceiras do rio
Urucauá, é obtida com o uso de espingardas. Os Palikur caçam antas, pacas,
cutias, caetitus, queixadas, macacos, tucanos e patos. A pesca, com arcos e
flechas, arpões, anzóis e linhas, também é farta. Entre os peixes encontrados
pelos Palikur no campo alagado, estão o tucunaré, pirarucu, aruanã, jeju, acara-
açú, surubim e piranha. Jacarés e tracajás também são bastante procurados.
Alguns produtos da agricultura, caça, pesca e coleta são comercializados
em cidades da região. As embarcações transportam farinha de mandioca para
cidades como Oiapoque, Clevelândia e Saint Georges. Animais domésticos, como
periquitos e macacos, apreciados pelos turistas, disputam lugar nas canoas,
carregadas de artefatos (colares, arcos, flechas e enfeites de penas), fabricados e
1
Dados demográficos de Artionka Capiberibe (MARI - Grupo de Educação Indígena da USP), em
abril de 1998. A Área Indígena Uaçá foi homologada em 1991 (decreto número 298 de 29/01/91;
vendidos por famílias Palikur. Cerâmica e objetos de madeira são confeccionados
para uso próprio. Valiosos e de difícil transporte, os objetos raramente são
encontrados entre os diversos produtos transportados nas canoas e voadeiras.
Mapa do Amapá e da Área Indígena do Uaçá
Além do comércio urbano, os Palikur e demais povos indígenas na área do
Uaçá administram cantinas que atraem visitantes de toda a região. Funcionam
como um comércio, abrindo pela manhã e à tarde. Vendem alimentos enlatados,
peixe, carne, farinha, café, açúcar e sal. Motores de popa, máquinas de costura,
fonte de informação:: Povos Indígenas no Brasil 1991/1995. Instituto Socioambiental, 1996).
armas de fogo e outros objetos de valor vêm, por vezes, da Guiana Francesa,
onde os Palikur fazem serviços temporários, pelos quais são melhor remunerados
que no Brasil.
2
Mulher e três crianças Palikur na Aldeia Kumenê, Área Indígena do Uaçá.
Foto de Artionka Capiberibe, 1996.
A importância da navegação, o conhecimento Palikur do meio
ambiente e as atividades de subsistência foram usados para esta apresentação
dos Palikur. Quantificamos informações, como a porcentagem de ilhas ou terra
firme, a população Palikur, o tamanho da área indígena e o número de povos
indígenas na região.
Mas não é assim que os Palikur pensam o mundo. O modo Palikur de
conceber o espaço e classificar os seres que compõem o universo é mais
complexo. Não se trata simplesmente de descrever o espaço a partir da
navegação, relacionar a vegetação local aos padrões de alagamento ou agrupar
2
Fonte de informações: "Palikur", em Povos Indígenas no Brasil, Vol. 3 - Amapá / Norte do Pará,
CEDI, São Paulo, 1983, páginas 18-39.
produtos agrícolas, caça, pesca e coleta, de acordo com as atividades de
subsistência.
Os rios, riachos, caminhos, canoas, árvores e produtos da roça são, para
os Palikur, seres inanimados, isto é, sem vida. Têm, na maioria, sexo feminino. Já
seres humanos, animais, o sol, a lua, as estrelas, o trovão e o relâmpago são
vivos e masculinos. Seres masculinos têm papel de destaque na mitologia Palikur,
porque são heróis culturais e responsáveis pela criação do mundo.
Para os seres femininos, o que importa é o formato geométrico. Rios,
caminhos, fileiras de canoas e enfeites de penas tecidos em fio pertencem à
mesma classe porque possuem formato extenso, comprido. Uma fileira de
pessoas pertence à mesma classe que uma fileira de plantas na roça.
Já roças e plantações, também femininas, fazem parte de outro grupo
porque, além de extensas, têm profundidade, largura. Bananeiras, açaizeiros e
colares de dentes pertencem a outra categoria, por causa do formato de leque, ou
galho com folhas. Maracujás, abacates e outras frutas arredondadas fazem parte
da classe das pedras, panelas, relógios e outros objetos, de formato parecido.
Espigas de milho, mandioca e bananas, por sua vez, são classificados com
espingardas, lanças, agulhas e palitos de fósforo, por causa do formato cilíndrico.
Para complicar ainda mais: se um grupo destes seres estiver amarrado entre si,
embrulhado ou disposto em cestas ou canoas, passa a fazer parte de outras
categorias! Cachos de bananas, de açaí e de pupunha agrupam-se com colares
de miçanga porque as partes estão ligadas. Como na canoa a seguir, uma
quantidade de mandioca transforma-se num conjunto de unidades concretas:
Canoa Palikur atracada ao porto da Aldeia Kumenê, Área Indígena Uaçá, 1996.
Foto de Artionka Capiberibe, 1996.
Existem várias maneiras de classificar os seres do universo Palikur.
Dependendo da situação, os Palikur escolhem os critérios classificatórios,
obedecendo algumas regras básicas. A disposição no espaço pode ser priorizada
em certos momentos, enquanto em outros o que importa é apenas o formato.
Neste sentido, o significado exato dos termos numéricos e dos conceitos
matemáticos vai depender do contexto em que se está.
Um dos aspectos da cosmologia Palikur mais interessantes é justamente a
maneira como essa teoria de mundo está expressa nos termos numéricos e nos
conceitos matemáticos. Em outras palavras, queremos conhecer, aqui, como os
numerais e conceitos matemáticos Palikur quantificam o mundo e, principalmente,
o qualificam, dando sentido e explicando-o.
Entender este aspecto da matemática Palikur é fundamental. Quando o
povo maneja o espaço, os agrupamentos e as medidas, os numerais usados não
indicam apenas quantidades. Em português, quando dizemos que há 18 povos
indígenas no norte do Amapá, o número 18 indica quantidade, e nada mais.
3
Não
fornece informações sobre os "povos", como o tipo de seres, a distribuição no
espaço; a qualificação como "indígenas", etc. Neste caso, os algarismos indo-
arábicos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...) são, essencialmente, quantificadores (indicam a
quantidade).
Os numerais Palikur, ao contrário, ensinam como os Palikur pensam sobre
si mesmos e sobre o mundo em volta. Além de quantificadores, são
qualificadores. Qualificam seres e objetos, proporcionando informações:
• o material: se são animados (seres vivos), inanimados ou abstratos;
• o gênero: se pertencem ao sexo feminino, masculino ou se é neutro;
• o formato: se constituem objetos redondos, compridos, planos, cilíndricos, etc;
• a posição: se formam conjuntos, como pencas, manadas, pares, cachos, etc;
• a quantidade: se são medidas de dimensão, coleções ou simplesmente plural;
• a especificidade: se acabam não se encaixando em nenhuma das classes
anteriores.
Vemos que o item "quantidade" constitui apenas um dos componentes do
sistema numérico Palikur, e nem é o mais importante. Não se trata, simplesmente,
de um "sistema de contagem". A maneira pela qual os Palikur "contam" está
3
É claro que a palavra "dezoito", formada pela junção de dez e oito, indica um sistema de
contagem decimal.
intimamente ligada à visão de mundo, à própria cosmologia. Além disso, o critério
Palikur para "ser vivo" tem a ver com o papel que os seres desempenham na
mitologia do grupo. Plantas, ao contário do que poderíamos pensar, não são
consideradas vivas. Já a lua, o sol, as estrelas, o trovão e o relâmpago são vivos.
O gênero (se masculino, feminino ou neutro) também varia conforme a
importância do elemento na mitologia.
4
Em suma, entender a matemática Palikur exige compreender a
classificação do universo Palikur. Não há como pensar exclusivamente em
"números" na língua Palikur. Na prática, os numerais não existem fora da
concepção de mundo.
O mesmo pode ser dito em relação às idéias e os conceitos matemáticos,
como ordem numérica, adição, subtração, multiplicação, totalidade e ordenação
em conjuntos. O sentido exato do termo numérico ou do conceito matemático vai
depender do contexto em que está sendo usado. A medida de comprimento
"braço" (pahat iwanti; um-cilíndrico braço), por exemplo, pode indicar três
comprimentos diferentes: 220, 170 ou 40 centímetros. O contexto determina a
medida exata.
Quando um Palikur, por exemplo, mede o comprimento da roça, o termo
"braço" refere-se à altura que um homem pode alcançar com o braço erguido,
acima da cabeça. Transposta para uma vara pará facilitar a medição, a medida
"braço" significa mais de 2 metros (aproximadamente 220 centímetros).
5
Quando
se fala do comprimento da canoa ou da casa, o termo "braço" é referência para 2
braços estendidos, para os lados. Neste caso, "um braço" significa menos de dois
metros. Já para medir o tipiti (usado pará espremer mandioca), "braço" é a
medida do ante-braço, ou seja, menos de meio metro.
6
Veja, na legenda da foto
abaixo, como um Palikur usou "braço" para falar das medidas da casa dele:
4
Conforme o trabalho de Diana Green, "O Sistema Numérico da Língua Palikur", 1992, pg. 272. A
língua Palikur pertence ao grupo lingüístico Arawak. É falada por cerca de 750 Palikur no Amapá e
aproximadamente 400 Palikur na Guiana Francesa.
5
Na língua Palikur, Nu-was-ra a-yabwi paxnika madikwa iwanti (meu-roça / comprimento / quatro /
dezenas / braço; "O comprimento da roça é quarenta braços (40 x 220 centímetros = 88 metros).
Conforme o trabalho de Diana Green, já citado, p. 286-287.
Foto de Artionka Capiberibe, Aldeia Kumenê, Área Indígena Uaçá, 1996.
Nu-pin pohouku i-wanti ayabwi a-kak mpana iwanti a-rik
meu-casa cinco braço comprimento com três braço dentro
"Minha casa tem cinco braços (5 x 170 centímetros = 8.5 metros) de
comprimento e três braços (3 x 170 centímetros = 5.1 metros) de largura."
Madikauku - o fim das mãos
O sistema numérico Palikur é decimal, ou seja, opera por meio de
agrupamentos de dez. O termo para 10 é madikauku (madik-auku), que significa
"fim [das] -mãos". Existe, também, o termo para "dezena": madik-wa. O numerai
20 é, assim, pina madikwa, isto é, "duas dezenas"; 30 é mpana madikwa; 40 é
paxnika madikwa, e assim por diante. Confira na Tabela 1 a estrutura do sistema
numérico da língua Palikur.
6
Conforme o trabalho de Diana Green, já citado, p. 286-287.
Tabela 1. A estrutura do sistema numérico da língua Palikur (reproduzido de D Green, já citado, p. 265)
Para numerais acima de 100, os Palikur incorporaram os termos numéricos
de um dialeto da área, o crioulo francês. Podem, no entanto, combinar as duas
línguas, principalmente para numerais elevados, como na contagem de dinheiro.
Veja como se formula "trezentos":
mpama-put sah
mpama -put sah
"três" "vezes" "cem"
em Palikur em Palikur em crioulo
Classificadores numéricos Palikur
Diana Green, pesquisadora que estudou durante 12 anos a matemática
Palikur, organizou os classificadores numéricos da língua Palikur de acordo com
conceitos matemáticos. Na opinião da pesquisadora, esta organização facilita o
entendimento do conhecimento matemático do povo, que ela qualifica como
"preciso" e "bastante desenvolvido".
7
Neste capítulo, iremos examinar alguns desses conceitos, tais como:
• unidades concretas e abstratas;
• conjuntos concretos e abstratos;
• frações;
• medidas de dimensão e volume;
• operações de adição, subtração e multiplicação.
Antes de examiná-los, porém, veremos com mais detalhes como os termos
numéricos Palikur revelam aspectos da cosmologia do povo.
7
Diana Green, já citado, p. 299-300.
A matemática na classificação dos seres vivos
Quando os Palikur se referem aos seres humanos, determinados animais,
sol, estrelas e lua, entre outros - acrescentam -p ao numerai 1 e -ya ao numerai 2
(para os demais numerais, não se acrescenta nada). Além disso, é preciso
considerar o sexo: se masculino (-ri), feminino (-ru) ou neutro (-a).
Por exemplo, "uma moça" é paha-p-ru himano (um-ser vivo-feminino moça);
"duas moças" é pi-ya-na himano-pwiyo (dois-seres vivos - dois moça-plural); "três
moças" é mpana gu-kebyi-kis himano-pwiyo (três feminino-unidade-plural moça-
plural).
8
pi-ya-na himano-pwiyo (dois-seres vivos - dois moça-plural; "duas moças")
Duas moças Palikur descascam mandioca na Aldeia Kumenê, Área Indígena do Uaçá. Foto de
Artionka Capiberibe, 1996.
8
Conforme Diana Green, p. 271.
1. huwipatip
redondo / quadrado
Ex: pedra, caixa
classificador: -u
3. sababoye
plano
Ex: esteira, rede, remo
classificador: -k /-bu
5. taranad
extenso
Ex: caminho, rio
classificador: -tra
7. huwibakup
oval / retangular / irregular
Ex: casa, ovo
classificador: -a
2. huwipti-min
redondo e longo (cilíndrico)
Ex: flecha, espingarda
classificador: -t
4. sababo-min
plano e fundo (côncavo)
Ex: barco, canoa
classificador: -mku
6. imuad /imihad /huwigakup
alto / fundo / largo; com perímetro
extenso e incluindo extremidades
Ex: roça, raiz
classificador: -iku
8. kataunabet
com ramos, foliforme
Ex: árvore, colar de dentes
classificador: -kti
Vejamos, em detalhes, como estes formatos geométricos são
representados nos termos numéricos Palikur. A geometria é, justamente, o
estudo das formas.
10
1. huwipatip {huwi redondo ou quadrado; patip - todos os lados proporcionais).
É usado para objetos como caixas, bolas, frutas (mamão, abacate, maracujá,
etc), malas. Objetos cuja parte principal é circular também fazem parte desta
classe, tais como: relógio, panela, balde e lamparina. O classificador numérico
para itens de formato huwipatip é -u no numerai 1 e -so no numerai 2.
Numerais acima de 1 e 2 não apresentam classificador huwipatip. Assim, o
termo para o numerai 1 é paho-u e para o numerai 2 é piso. Assim:
2. huwipti-min (huwi redondo ou quadrado; pti -min longo, profundo; cilíndrico).
Também é usado pará objetos que, além de redondos, são longos, cilíndricos.
Por exemplo: flechas, cigarros, pregos, paus, espingardas, cartuchos, bananas
e espigas de milho. O classificador, no caso, é -í para o numerai 1 e -ta pará o
2. Temos, assim:
10
Antigamente, as questões geométricas estavam ligadas aos problemas da Terra, como indica o próprio
nome: GEO (Terra) + METRIA (medida). Hoje, a geometria está por toda a parte, isto é, vai além de questões
sobre medidas da Terra.
Redes penduradas pará a Festa da Virgem Maria, na Aldeia Kamarumã, Área Indígena do Uaçá.
Foto: Artionka Capiberibe, agosto de 1996.
3. sababoye (sababo plano; ye em estado durável). É usado pará objetos planos
como esteiras, redes, tábuas, remos, livros, tecidos, abanos e peneiras. O
têrmo para o numerai 1 é paha-k, para o 2 é pi-ka-na e para todos os
numerais acima de 2 o classificador numérico é -bu. Assim, o numerai 3 é
mpana-bu, o 4 é paxnika-bu, etc. Vejamos:
4. sababo-min (sababo plano; min profundo). É usado para descrever objetos
côncavos, como canoas, barcos, navios, cuias, bacias, tigelas, etc. A classe
sababo-min foi ampliada para incluir objetos planos e metálicos não-côncavos,
como facas, terçados, serrotes, lâminas, tesouras, etc. O classificador para
todos os termos numéricos referentes a objetos deste formato é -mku.
5. taranad (tara estender; n neutro;
ad aumentativo). Taranad
refere-se mais a uma dimensão
do que a um formato. É usado
para designar coisas extensas,
que se estendem, sem levar as
extremidades em consideração.
Inclui rios, riachos, caminhos,
cordas, fios, etc. O classificador
para todos os numerais é -tra.
(legenda) paha-tra ahin (um -
extenso - caminho)
Aldeia Kumenê, Área Indígena
do Uaçá. Foto: Lux Vidal, 1996.
6. imuad (imu alto; ad aumentativo).
imihad (imih profundo).
huwigakup (huwi redondo ou quadrado; gakup perímetro em destaque).
Todos estes termos indicam extensão, seja altura, profundidade ou largura.
Existem, no entanto, limites ou extremidades: é o que o classificador -iku
significa ("dentro dos limites de um espaço"). Um edifício é imuad porque é
alto, como também o fogo e uma queda de água. Já o poço de água é imihad
porque profundo, bem como os buracos, as raizes, as feridas, as bocas e as
narinas. Uma roda é huwigakup porque tem perímetro; o mesmo acontece
com uma plantação (que tem área e perímetro), uma porta (pensando no
batente), um cercado, etc.
O classificador -iku ocorre em todos os termos numéricos (com uma pequena
variação para o numerai 2, cujo termo é pi-rik-na).
Sendo assim, uma roça (de banana) é paha-iku was.
7. huwibakup (huwi redondo ou quadrado; bakup lados não proporcionais). Entre
objetos ovais, retangulares e de outros formatos irregulares que compõem esta
classe, estão ovos, nuvens, coisas, caveiras, bancos, casas e tambores. O
classificador só aparece no numerai 1 -a e no numerai 2 -sa. "Uma casa" é
paha-a pait; "dois ovos" é pi-sa-ya antiyan.
8. kataunabet (ka tendo; tauna ramo; bet múltiplo). Objetos com a forma de
leques ou com ramos, isto é, de formato "foleiforme", pedem o classificador
-kti. É usado para qualquer planta, flor ou árvore, como bananeiras, açaizeiros
e laranjeiras, e também para colares feitos de dentes. O numerai 1 é paha-kti
e o numerai 2 é pi-kat-na. Os demais usam -kti. Grafa-se três flores dessa
maneira: mpana-kti ipuwiti. Dez colares de dente, madikauku-kti akabdat.
É bom lembrar que a classificação Palikur dos seres inanimados é
expressa em conversas da vida cotidiana. Um exemplo é quando os Palikur falam
dos produtos da roça:
n-amutra pi-tahr-a gu-kebyi-kis a-dahan paxka-pti-t
minha-planta 2-extenso-2 feminino- neutro-por 4-foliforme-
unidade-plural conjunto
"Minhas plantas [são] duas unidades (extensas) por conjuntos de quatro (com
ramos)"
Uma maneira simplificada de escrever esta idéia seria:
"Minhas plantas estão em duas fileiras de quatro.""
A classificação Palikur dos seres inanimados a partir dos formatos
mostra que o pensamento geométrico é parte fundamental do universo do
povo.
Vejamos, agora, como a classificação do mundo Palikur extende-se para
outros conceitos matemáticos, como conjunto, fração, medida de volume e as
operações de adição, subtração e multiplicação.
Idéias Abstratas
Doença, notícia, palavra, pergunta, mentira, erro, bênção, aflição, perigo e
riqueza
12
são algumas idéias que os Palikur classificam no mesmo grupo. São
11
Adaptado de D. Green, já citado, p. 279.
idéias que não têm gênero (sexo), ou seja, são idéias "neutras". Não dizem
respeito a seres ou objetos concretos, que podem ser tocados ou vistos. Por estas
razões, são consideradas como "abstrações".
É importante ressaltar as idéias "abstratas" Palikur. É comum ouvir dizer
que povos "primitivos" não têm capacidade de abstração, ou seja, de raciocinar
abstratamente. O pensamento desses povos, nessa maneira de ver as coisas, é
"concreto", ou seja, voltado exclusivamente para as necessidades econômicas e
orgânicas (do corpo humano). Isto excluiria, do universo Palikur, idéias e
interesses teóricos e intelectuais. E mais: a matemática escolar teria a capacidade
de "estimular" ou "desenvolver" o raciocínio abstrato desses povos.
Este tema já foi amplamente debatido pela Antropologia e outras ciências
humanas. Ficou provado que todos os povos têm capacidade de abstração e,
antes de uma planta ou animal ser simplesmente útil ou necessário para a
sobrevivência de qualquer sociedade, os povos têm a capacidade de conhecê-lo
com amplitude.
13
E este conhecimento é atividade intelectual, construído a partir
de visões de mundo, que são próprias a cada povo.
Os Palikur quantificam idéias abstratas, associando a todos os numerais o
classificador -f para unidades abstratas, e -/' aos numerais 1 e 2 para conjuntos
abstratos:
paha-t inetit madikauku-t yuwit
"1-abstrato notícia" "10-abstrato palavra"
paha-i paka paha-i kahikanau
"1-conjunto abstrato semana" "1-conjunto abstrato fôlego"
12
Notem que, entre os Palikur, "riqueza" é uma abstração, porque está classificada juntamente com
"doença", "mentira" ou "perigo". Esta classificação mostra, entre outras coisas, que a concepção
que o povo tem de "riqueza" é essencialmente diferente da concepção ocidental, que geralmente
associa riqueza ao acúmulo de bens "concretos".
13
O famoso antropólogo francês Claude Lévi-Strauss dedicou-se a este tema em "A Ciência do
Concreto" (ver nas Referências bibliográficas: Lévi-Strauss, Claude 1970).
p-i-na muwok-we-kri p-i-na mtipka
"2-conjunto abstrato chuva-vasto-época" "2-conjunto abstrato noite"
Notem, ainda, como os termos numéricos Palikur dão conta de expressões
da vida cotidiana que não dizem respeito, exclusivamente, a quantidade:
14
Paha-i-e in madik-e
"De repente acabou"
Paha-i-e in madik-e
"1-conjunto abstrato-ação completa neutro acabar-ação completa"
Ini nu-peukan umeh-pe-n paha-i-eu-pi
"Acho que isto vai me matar de vez"
ini nu-peukan umeh-pe-n paha-i-eu-pi
isto meu-pensamento matar-ação completa 1-conjunto abstrato-definitivo
-mim
Conjuntos
Quando os Palikur enumeram grupos de pessoas, casas, animais, plantas,
artefatos e outros objetos, classificam cada um desses agrupamentos de acordo
com cinco critérios.
1. Quando agrupam seres ou objetos "soltos" (que não estão presos ou
amarrados entre si), como pessoas, pássaros, flechas ou sapatos, usam o
classificador -bru em todos os numerais (com exceção do numerai 2, que é pi-
bohr-a). Temos, assim:
14
Conforme o trabalho de Diana Green, p. 282.
paha-bru kuhipra
"1-conjunto pássaro"
pi-bohr-a arehwa-keputne
"2-conjunto jogador futebol"
madikauku-bru yakot
"10-conjunto flecha"
mpana-bru kasapat
"3-conjunto sapato"
2. Quando os Palikur falam de um cacho de bananas, pupunha ou açaí, ou então
de um colar de miçangas, o termo numérico vem acompanhado de -twi (com
exceção do numerai 2, que pede -tiú). Isto porque as partes de um cacho ou de
um colar já estão firmemente ligadas. É interessante observar, aqui, que um
grupo de pessoas numa canoa também entra na classe -twi, devido à
importância da navegação para os Palikur.
paha-twi pilatno nteunenker-twi was
"1-cacho banana" "7-cacho açaí"
nteunenker madikwa-twi akabdat
"7-dezena-colar miçanga"
3. Quando folhas, flechas ou peixes são amarrados uns aos outros, os conjuntos
são de outro tipo. Os numerais vêm, no caso, acompanhados de -ti.
madikauku-ti yakot madikauku madikwa-ti ahapna
"10-feixe flecha" "10 dezena-maço folha"
4. Quando folhas, remédios ou tecidos são embrulhados, -imku acompanha o
numerai 1 e -sa acompanha o numerai 2.
paha-imku (.....corrigir) pi-sa-ya ahapna
"1-embrulho remédio" "2-embrulho folha"
5. Quando peixes, frutas, folhas ou bananas estão agrupados em um cesto, o
numerai 1 vem seguido de -ih e todos os numerais acima de 1 vêm seguidos
de -psi. Como não existe uma só palavra para designar "cesto", porque todos
têm formato irregular, é preciso especificar em que tipo de cesto os objetos
estão reunidos.
paha-ih panye takes madikauku-psi panye takes
"1-(cesto) tipo "panye" camarão" "10-(cesto) tipo "panye" camarão"
Medidas de volume
Para os Palikur, existe uma diferença entre o conteúdo de uma cesta e o
conteúdo de garrafas e latas. Como vimos, os cestos são todos de formato
irregular. Não servem pará medir volume e peso, principalmente no caso de
líquidos.
O mel, por exemplo, pode ser medido em garrafas ou latas. Garrafas têm
formato cilíndrico, por isso o numerai é seguido de -t. Latas de querosene são
quadradas, por isso o classificador é -u. Quando medido em garrafa, "um litro de
mel", na língua Palikur, é:
Paha-t lit ahayak a-nunu
"1 -cilíndrico litro abelha seu-mel"
Farinha de mandioca é geralmente medida na lata quadrada de querosene
(com capacidade para 18 litros). Uma lata de farinha, em Palikur, é:
Paho-u bom kuvak
"1-quadrado lata farinha'
ou redondo
O metro de tecido, pesado em balança de formato redondo, também pede o
classificador ~u:
Paho-u aheh-tet kamis
"1-quadrado medir- tecido
ou redondo instrumento
Frações
Há, na língua Palikur, termos para designar os "lados" de um ser ou de um
objeto, bem como as respectivas "partes".
Para falar de um lado do rio, o numerai 1 é seguido de -bak e o numerai 2
é seguido de -bkak (não existe classificador para numerais acima de 2). Assim,
temos:
paha-bak warik pe-bkak kagta
"1-lado rio" (ou "um lado do rio") "2-lado papel" (ou "os dois lados do papel")
Há várias maneiras de falar das partes ou pedaços de uma região, terra ou
ilha, bem como de pedaços de carne, peixe ou pão. Usa-se -uhri após o numerai
1, como em:
paha-uhrí keurihri paha-uhri arih
"1-parte ilha" "1-pedaço carne"
Existem outros termos para frações na língua Palikur, tais como: abusku
("porção"), abuskuh-wa ("uma metade"), kaba abushkuh-wa ("quase uma metade"
ou "um terço"), abusku a-tusi ("uma porção igual a um canto").
As operações de adição, subtração e multiplicação
Existem conceitos que expressam as operações de adição, subtração e
multiplicação na língua Palikur. Os conceitos "mais" e "acréscimo" (-wá) indicam
operações de adição. "Resto" e "sobra" (-e) indicam operações de subtração. Já o
conceito "vez" ou "vezes" (-put) revela a multiplicação. Usados em situações da
vida cotidiana, os conceitos podem ser expressos da seguinte maneira:
adição (-wa)
Nah iki pi-t paha-a-wa aríkna
"Eu dar você-para 1-irregular-adição coisa"
ou
"Vou te dar mais uma coisa"
Ig-kis manuk paha-uhri-wa keurihgi akiu
"Ele-plural atravessar 1-parte-adição ilha mais"
ou
"Eles atravessaram para mais uma parte da ilha"
Ku na wiuh paha-t ah ar-iuntak paxnika a-kebyi
"Se eu tirar um-cilíndrico pau neutro-de 4 neutro-unidade
usakwa mpanm-e
fica 3-resto
ou
"Se eu tirar um dos quatro paus, sobram três"
subtração (-e)
Msekw-e pehe-k-e parak
"ficar-ação completa 1-plano-resto tábua
ou
"Restou uma tábua."
multiplicação (-put)
Já vimos que o sistema decimal de contagem Palikur usa -put para
expressar centenas e unidades de milhar, para numerais acima de 199.
• 200 é "duas vezes cem": p-i-ma-put sah (2-conjunto-2-multiplicado cem)
• 300 é "três vezes cem": mpama-put sah (3-multiplicado cem)
• 400 é "quatro vezes cem": paxka-putsah (4-multiplicado cem), etc.
Vejamos ainda:
Nah isim-e ini kamis mapama-put a-tiunih
"Eu comprar-ação esse tecido 3-multiplicado neutro-preço
completa
a-pit-min akiu.
neutro-sobre-abrangente mais"
ou
"Comprei esse tecido por um preço três vezes mais alto."
Mirna Labonté e seu filho,
Aldeia Kumenê, Área
Indígena do Uaçá. Foto:
Artionka Capiberibe, 1996.
"Mentes primitivas"? Não!
Recentes estudos sobre a matemática Palikur refutam, mais uma vez, "a
idéia de mentes 'primitivas' que não podem pensar de forma abstrata ou analítica",
e que a matemática de povos indígenas é "inferior" ou "simples". Além disso, os
estudos revelam que o sistema numérico Palikúr é "uma referência fora de nossa
própria cultura através da qual podemos medir nossos próprios conceitos
matemáticos".
15
"Nossos", aqui, significa a matemática ocidental, aquela ensinada
na grande maioria das escolas brasileiras. A matemática ocidental é sempre a
15
Conforme o trabalho de Diana Green, já citado, p. 263.
referência a partir da qual as outras matemáticas são avaliadas. Isto, infelizmente,
produz conseqüências.
Ainda prevalece, no senso comum, a idéia de que povos indígenas "não
têm" matemática, ou possuem uma matemática inferior. Explica-se que os povos
contam "apenas até dois ou três", e não possuem registro gráfico dos numerais.
Em geral, os sistemas numéricos de diferentes povos são avaliados a partir do
sistema numérico ocidental, que é decimal. É uma perspectiva etnocêntrica, isto é,
que faz com que idéias e conceitos matemáticos de outros sistemas sejam
julgados a partir do modelo ocidental. Este modelo privilegia o significado dos
números, ou seja, as funções e utilidades. Cálculos são, é claro, essenciais. Desta
perspectiva, os sistemas matemáticos indígenas são considerados "simples",
"inferiores", "pouco elaborados", "primitivos", etc. Os Yanomami, por exemplo,
foram considerados o povo "mais primitivo" do planeta, em reportagem publicada
no jornal O Estado de São Paulo, porque, entre outras razões, "não sabem
contar". A elaborada visão de mundo Yanomami, expressa na complexa
concepção de espaço do povo, não foi levada em consideração.
16
Diz-se que a matemática é um poderoso "selecionador social".
17
Isto porque
não só em escolas indígenas, mas em escolas para não-índios também, a
matemática é usada como critério de inteligência: quem sabe matemática é
inteligente, quem não sabe não é. No Brasil, infelizmente, nem todos têm acesso
à educação. Além disso, o ensino da matemática, na maioria das escolas do país,
não leva em consideração o conhecimento matemático da vida cotidiana. É o que
mostra o livro Na Vida Dez. Na Escola Zero, cujo título expressa muito bem o
conflito.
18
16
O Estado de São Paulo , Clipping do Estadão, ano 2, n° 17, agosto de 1993.
17
Conforme mostra o trabalho de Ubiratan D'Ambrosio, Etnomatemática (São Paulo, Editora Ática,
1990).
18
Na Vida Dez, na Escola Zero , de Terezinha Carraher, D. Carraher e A. Schliemann
(São Paulo: Cortez Editora, 1991).
O pouco que se conhece a respeito da matemática Palikur é suficiente para
refutar idéias preconceituosas sobre os conhecimentos matemáticos de povos
indígenas. O estudo da matemática Palikur revela não apenas como o povo conta,
mas um sistema complexo, inteligente, capaz de permitir a extensão do
pensamento geométrico e o entendimento de vários conceitos matemáticos.
19
19
Além dos conceitos explorados aqui, Diana Green analisa em profundidade as flexões dos termos
numéricos Palikur (ordem numérica, adição, subtração, totalidade, limitação numérica,
multiplicação, ação simultânea e seqüencial em conjunto (ação simultânea e ação seqüencial), as
funções sintáticas dos termos numéricos Palikur (função adjetiva, função adverbial, função
pronominal, função verbal, função substantiva) e a ordem relativa dos afixos dos termos numéricos
Palikur.
Atividades
Para pesquisar o conhecimento matemático do seu povo, pense sobre as
seguintes questões, que podem auxiliar o professor indígena:
1. Quais as situações em que a matemática é utilizada no cotidiano da
aldeia, posto ou área indígena?
2. Qual é o sistema de contagem adotado pelo povo?
3. Quais são os termos numéricos utilizados?
4. As figuras que aparecem na cestaria, tecelagem ou pintura corporal têm
nome? É preciso saber matemática para produzi-las?
5. Como a comunidade mapeia o espaço, isto é, pensa sobre o território e
se movimenta nele? Como é feita a distribuição das casas e a
localização das roças ?
6. Que conhecimentos são necessários para elaborar mapas de um
território indígena, sejam eles geográficos, históricos ou da fauna e
flora?
7. Como a matemática se relaciona com esses outros saberes?
8. Como o povo mede a passagem do tempo?
9. Como é feita a distribuição dos recursos naturais, produtos agrícolas e
bens industrializados?
10. Quais os momentos da vida cotidiana em que a matemática é mais
importante para você?
Capítulo III
Os Xavante do Kuluene, no Mato Grosso:
o conflito entre a matemática indígena
e a matemática escolar
Professôres e jovens Xavante de Ri'tubre no pátio central da aldeia.
Foto: Mariana K. Leal Ferreira, 1980.
Matemática, para professores e jovens Xavante da Área Indígena
Kuluene significava, no fim dos anos 70, efetuar contas. A longa experiência
em escolas missionárias e a administração de postos indígenas locais
procurava fazer crer, entre os Xavante, que saber matemática era
simplesmente lidar com números. Os rapazes de Ri'tubre, a conhecida
"Aldeinha", exibiam, orgulhosos, cadernos preenchidos, de ponta a ponta,
com contas de mais, menos, multiplicar e dividir. Mostravam, ainda, livros de
contabilidade do Posto Indígena Paraíso, o único da área na época. Eram
listas de preços de mercadorias, como combustíveis, ferramentas e
sementes, entre outras, cuidadosamente organizadas.
1
Os 26 meninos e meninas de 11 a 15 anos de idade, da escola de
Ri'tubre, dominavam perfeitamente a técnica das operações de adição e
subtração e, com alguma dificuldade, as de multiplicação e divisão.
Precisavam, diziam, "praticar": fazer contas, repetidamente, para aprender
mais matemática. Os professores indígenas Simão, Aniceto, Juliano, Luiz e
alguns wapté (jovens solteiros não-iniciados) tinham mais prática: queriam
"contas grandes" e "difíceis", como 12.598 X 3.579 ou, então, 19.530 : 368.
Quanto mais complicadas as operações, melhor. Afinal, diziam, "matemática
é para quebrar a cabeça, mesmo".
Apesar dessa habilidade técnica, os alunos não sabiam que
operações efetuar (se + , -, x ou :) em problemas que, aparentemente,
tinham uma única solução, tais como:
• Meu pai saiu para caçar com 8 flechas. Ele perdeu 2 flechas. Com quantas
flechas voltou para a aldeia?
• Uma caixa de pilhas tem 12 pilhas. Quantas pilhas há em duas caixas?
No caso das flechas, somavam 8+2 ou 8+8 ou, ainda, subtraíam 2-8
ou mesmo 8-2, o que seria a "resposta correta". Em relação às pilhas, as
respostas variavam de 12+12, o "correto", a 12-12, 12+2 (duas caixas de
pilha) ou mesmo 12-2. Esta "incapacidade" dos Xavante de resolver
problemas mereceu a seguinte crítica: "índio não aprende matemática. Não
adianta". Este fracasso era a "verdadeira" prova, para os educadores da
Funai, de que os Xavante não eram inteligentes.
1
Os Xavante deste capítulo são aqueles que, em 1978-79, habitavam as 3 aldeias -
Ubãwãwé, Rituwãwé e Ritubre - da Área Indígena Kuluene, no estado do Mato Grosso. A
população da área era de 1500 indivíduos, aproximadamente. Em 1979-80 este território
ampliou-se com a inclusão da Reserva Indígena Couto Magalhães e de terras Xavante até
então não demarcadas, passando a chamar-se Reserva Indígena Parabubure. Em
Parabubure vivem hoje cerca de 2800 Xavante (ISA, Povos Indígenas no Brasil 1991/1995,
página 669), distribuídos em mais de 30 aldeias. Os demais grupos Xavante vivem em outras
9 áreas ou reservas indígenas no Estado, totalizando aproximadamente 6.500 índios.
A corrida do buriti na Aldeinha. Desenho de André Tsererãpré Xavante.
Por ocasião da visita da Sucam (Superintendência de Campanhas de
Saúde Pública) ao Kuluene, em setembro de 1978, os mesmos jovens que
tinham dificuldade para resolver problemas em sala de aula ajudaram, com
desenvoltura, os trabalhos de dedetização. Fizeram a contagem das casas,
levantaram o número de moradores por casa, a população da aldeia Ri'tubre
e quantas pessoas moravam no total da área, que incluía outras duas
aldeias, Ubãwãwé e Rituwãwé. Não hesitaram ao somar, em grupos de 2, o
número de moradores de cada casa, para conseguir o total da aldeia, nem na
hora de somar a população das aldeias, para obter o resultado de moradores
da área Kuluene. Tudo foi feito de maneira oral, em Xavante, sem ter que
recorrer à escrita.
A aldeia Ri'tubre. Desenho de Susana Re'wa Xavante.
O raciocínio empregado pelos índios na ocasião da visita da Sucam
evidenciou aspectos essenciais do sistema numérico Xavante. Em primeiro
lugar, mostrou que a numeração tradicional do povo é de base 2. As crianças
contavam em Xavante nos dedos, agrupando-os de 2 em 2, unindo também
as mãos, por meio da junção dos polegares.
O agrupamento em conjuntos de 2 moradores das casas, as casas
das aldeias e as aldeias da área, sempre contados aos pares, indicou o
dualismo como sendo o princípio estruturante do pensamento Xavante. Este
princípio está perfeitamente de acordo com o sistema dual de organização
social, e do pensamento que caracteriza esta e outras sociedades do grupo
Jê, como os Xerente, Suyá, Krahó, Kayapó, Panará, Kaingang e Xokleng.
Para entender o conflito entre a matemática Xavante e a matemática
escolar é importante entender o que significa o dualismo entre os Jê, ou seja,
o que significa um sistema de organização social "dual".
A vida social Xavante é organizada, também, a partir destes
agrupamentos. São pares de metades que se opõe, cada um deles, a um
aspecto ou domínio da sociedade. As mulheres, por exemplo, são
identificadas com o domínio doméstico, das casas, enquanto os homens
pertencem ao domínio público, do pátio da aldeia. Ao mesmo tempo, todos
os habitantes da aldeia estão divididos de outras formas, de acordo com as
classes de idade a que pertencem, os nomes que recebem, o tipo de
parentesco, etc. Os espíritos dos vivos podem visitar, durante o sono
noturno, a aldeia dos mortos, onde vivem as almas dos parentes falecidos.
As aldeias estão, ainda, em oposição à mata, onde vivem animais e outros
seres.
Alguns dos pares de metades que foram mencionados acima:
• homem - mulher
• casa - pátio da aldeia
• aldeia - mata
• parentes consanguíneos - parentes afins
• vivos - mortos
• espírito - alma
• dia - noite
• seres humanos - animais
Jovens iniciados de um lado e meninos "pequenos" do outro. Desenho de Benjamin Xavante
Cada um desses pares forma, na verdade, uma unidade. Sem a
mulher, o homem é uma metade. Nesse sentido, homem e mulher, juntos,
formam a unidade, o casal. O mesmo pode ser dito em relação aos outros
pares de metades.
Esta lógica dual também explica o sistema numérico Xavante.
Os próprios termos numéricos do povo mostram a diferença entre números
pares e ímpares. O número 1, mitsi, significa que o elemento está sozinho;
já maparané, o número 2, é a base de contagem, porque é a união das
metades que estão sozinhas, formando o par. Tsi'umdatõ, o número 3,
inicia-se pelo prefixo tsi, indicando que é ímpar (tsi = só, sozinho).
Maparané tsiuiwanã, o número 4, é dobro do número dois. Imrotõ, o 5,
significa "sem companheiro" (imro esposo, tõ sem), ou seja, número ímpar.
Imropo, o número 6, quer dizer "aquele que está junto ao seu par".
O trabalho mecanizado na roça de arroz. Desenho de Lino Tsere'a Xavante.
A atuação sistemática de missionários salesianos junto a comunidades
Xavante, desde o início dos anos 50 deste século, provocou mudanças na
matemática do povo. A educação escolar sempre foi a pedra fundamental da
conversão religiosa. Por esta razão, os salesianos investiram na produção de
uma escrita da língua Xavante (para a tradução de escritos religiosos) e no
"desenvolvimento" do sistema numérico deles.
2
O sistema de contagem Xavante foi, então, reestruturado pelos
salesianos, para atender a novas utilizações geradas pela situação de
contato com a sociedade envolvente. Esta reestruturação seguiu, no entanto,
outra lógica: em vez de agrupamentos de 2, o sistema Salesiano foi
elaborado a partir do sistema numérico de base 10, que é predominante no
ocidente. Vejamos como isso foi feito.
2
A tentativa de atração e conversão dos Xavante por missionários salesianos data do início
da década de 1930. Para informações detalhadas sobre a história Xavante, consulte o artigo
de Aracy Lopes da Silva, "Dois séculos e meio de história Xavante" (ver na bibliografia).
Para dar nome aos numerais 7, 8 e 9, os salesianos seguiram a lógica
do sistema dual da numeração Xavante. A partir do número 10, o significado
semântico ("sozinho", "união das metades", "sem companheiro", etc.) foi
substituído pela descrição do sinal gráfico. O zero, por exemplo, foi chamado
de "bolinha", descrevendo o símbolo 0. De acordo com a lógica Xavante, o
siqnificado do zero seria algo como babadi, isto é, "vazio". Mas os salesianos
seguiram outra lógica, chamando o numerai 10 de mitsi tomai'ã (mitsi um,
tomai'ã bolinha), e não de algo equivalente a "cinco casais" ou "pares".
Confira na tabela abaixo o sistema numérico na língua Xavante inventado
pelos salesianos:
Tabela 1. O sistema de contagem Xavante inventado por salesianos
10
11
12
20
21
30
40
100
101
200
1000
mitsi tomai'ã (mitsi um, tomai'ã bolinha)
mitsi mitsi
mitsi maparané (maparané 2), etc.
maparané tomai'ã (2, bolinha)
maparané mitsi (2, 1), etc.
tsiumdatõ tomai'ã (3, bolinha), etc.
maparané tsiuiwanã tomai'ã (4, bolinha), etc.
mitsi tomai'ã dzahu (1, bolinha,dzahu 2 vezes)
mitsi tomaPã mitsi (1, bolinha, 1), etc.
maparané tomai'ã dzahu (2, bolinha, 2 vezes), etc.
mitsi tomai'ã dzahu dure (1, bolinha, 2 vezes, dure mais 1), etc.
O comércio entre os Xavante e os regionais fez com que o povo
adotasse o sistema inventado pelos salesianos nas transações comerciais. A
leitura e traçado de itinerários, mapas e plantas dos territórios também
passaram a exigir a compreensão das noções de área, perímetro e escala,
geralmente de base 10. Em suma, a situação de contato com a sociedade
brasileira exigiu que o povo transformasse o sistema de contagem tradicional,
de base 2, num sistema decimal, de base 10 , trazendo outras regras e
formas de abordagem, na construção de conceitos matemáticos. Difundida
nas escolas da missão, a "solução" salesiana gerou problemas para os
Xavante, dentro e fora da sala de aula. Vejamos.
Apesar de um sistema numérico decimal ter sido adotado, os Xavante
continuaram usando o esquema de pensamento dual para resolver
problemas matemáticos. Isto porque as atividades Xavante da vida cotidiana
continuavam expressando-se, como vimos, de maneira dual. Pensar o
mundo a partir de pares de metades e depois calcular as partes em
agrupamentos de 10 criou um dilema. A ausência de pesquisas sobre os
saberes matemáticos Xavante fez com que o processo de ensino e
aprendizagem fosse prejudicado. Restou a impressão, falsa, de que
"matemática não é coisa para índio".
Duas professoras chegam à Área Indígena Kuluene. Desenho de Benjamin Xavante.
A facilidade com que os Xavante do Kuluene resolveram os problemas
trazidos pelos técnicos da Sucam, como já vimos, contrastava com a "falta"
de capacidade alegada por educadores missionários e por gente da Funai.
Os professores Xavante resolveram, então, trabalhar a contagem das casas,
os moradores e número de casas por aldeia, em sala de aula. Partiram da
hipótese de que os Xavante não encontrariam dificuldades para operar
problemas transpostos da vida real. Pará surpresa geral, no entanto, a
mesma dificuldade na escolha das operações a efetuar permaneceu.
Vejam a variedade de respostas que o problema abaixo recebeu:
A última resposta, a "correta", foi alcançada por menos da metade dos
26 alunos. Os mesmos problemas foram formulados oralmente, sem uso da
escrita. As dificuldades acabaram. As respostas dos alunos foram corretas.
No papel, porém, as respostas continuavam erradas.
Segundo os alunos, os erros eram por causa da dificuldade da própria
disciplina. Nas palavras de Abraão Tomopsé, de 12 anos em 1978:
"Matemática não é coisa para índio. É muito difícil." Abraão e outros alunos
incorporavam preconceitos dos brancos.
Quando os professores Xavante mostraram que a matemática tinha
sido usada para resolver as questões postas pelos técnicos da Sucam, os
Xavante se mostraram surpresos. Não tinham consciência da eficiência do
trabalho deles na matemática fora do contexto escolar.
• Na casa de Aniceto moram 9 pessoas e na casa de Lauro moram 11. Nas
duas casas juntas, quantas pessoas há ?
Respostas:
• 9 + 9=18
• 9 + 11 = 101 ("montagem" da conta errada)
• 11 + 2 (as duas casas) = 13
• 11-9 = 2
• 9+11=20
Enquanto se frustravam em sala de aula, na horta e no pomar da
escola os alunos contavam as fileiras de hortaliças e das frutas, as sementes
por cova, a quantidade de mudas, o perímetro dos canteiros. Ao colocar no
papel, porém, a notação das quantidades e as operações matemáticas
causavam confusão.
A horta da escola da Aldeinha. Desenho de Lino Tsere'a Xavante.
Como poderia haver 85 canteiros de hortaliças se havíamos plantado
3 de cebola, 4 de alho e 6 de tomate? Do mesmo modo, parecia absurdo
perguntar sobre 310 pés de frutas quando só existiam 15 mudas de abacaxi
e 25 de banana.
O sistema descritivo (zero é "bolinha", por exemplo) que havia sido
difundido pelos salesianos, dificultou o aprendizado de conceitos
matemáticos, como o significado do valor na escrita numérica. Dificuldades
de entender esse valor posicionai podem ser facilmente detectadas quando
um aluno faz uma conta errada, como:
245 + 245 +
41 em vez de 41
655 286
No sistema descritivo dos salesianos, tomai'ã ("bolinha") é zero, mas
dependendo de sua posição no numerai, significa também dezena, centena,
milhar. Se o número 185, por exemplo, segundo a lógica do sistema
Salesiano, poderia ser lido como mitsi (1; sozinho) + 2 bolinhas uma em cima
da outra (8) + imrotõ (5; sem companheiro), como saber o valor na
comparação, por exemplo, com 900 (1 bolinha com perna + 2 bolinhas)? Na
lógica Xavante, como vimos, o nome dos numerais não é estabelecido de
acordo com o sinal gráfico, escrito, mas de acordo com o princípio,
característico de sociedades duais, de que o todo é sempre concebido como
a soma de duas partes.
Na escola de Ri'tubre, Kuluene, percebeu-se que problemas
matemáticos apresentados oralmente em sala de aula eram resolvidos com
menor dificuldade, quando comparados com os escritos. Os cálculos eram
feitos de cabeça e isso possibilitava o uso de diferentes estratégias de
resolução. Muitas vezes, as respostas não eram as mais econômicas, porque
em vez de usar a multiplicação, os alunos somavam, aos pares, os números.
Como exemplo temos o seguinte problema:
• Plantamos 5 canteiros de cebola. Em cada canteiro fizemos 9 covas para
as sementes. Quantas covas fizemos ao todo?"
Em vez de efetuarem a operação 5 X 9 = 45, somavam:
1) 2)
9+9 = 18 9+9=18;
18+18=36 18+9 = 27;
36+9 =45. 27+9 =36;
Resposta: 45 36+9 = 45
Resposta: 45
As duas estratégias evidenciam um agrupamento de números, de
acordo com o raciocínio dualista. Poderiam recorrer à tabuada de
multiplicação, mas não o faziam. Preferiam recorrer à forma decomposta da
operação. Percebeu-se a importância de explorar, em sala de aula, a
habilidade dos Xavante para fazer cálculos mentais e estimativas, no lugar
de concentrar o estudo da matemática em atividades escritas. O cálculo
mental, tanto o exato como o aproximado, favorecem o desenvolvimento de
estratégias de pensamento. O cálculo mental aproximado permite estimar
resultados e, ainda, ajuda no controle do resultado do cálculo escrito.
Mas as dificuldades com a aprendizagem da matemática escrita,
utilizando o português e os algarismos arábicos na formulação dos
problemas, não vêm somente da barreira lingüística, provocada pelo uso do
português. Os próprios conceitos e parâmetros da matemática ocidental são
responsáveis pelas dificuldades. Um desses parâmetros é a linearidade, que
expressa, por exemplo, a concepção ocidental do espaço e do tempo em
uma linha reta.
O tempo, na concepção ocidental, é organizado de maneira linear e
cronológica. Relaciona-se, numa mesma reta ou linha, passado, presente e
futuro. Essa reta corresponde à ordem de progressão da reta numérica -
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 - presente em todo o sistema matemático escrito. Neste
sentido, a linha do tempo ocidental pode ser representada da seguinte
maneira:
Além de linear, o marco de referência do calendário cristão é o
nascimento de Cristo (o ano 0). É uma referência que não faz sentido para
povos indígenas, como os Xavante.
A concepção do tempo Xavante tem, fundamentalmente,
características cíclicas, em vez de lineares. Estes ciclos são expressos por:
1. atividades sazonais, marcadas por condições climáticas concretas - o
tempo da seca e o da chuva;
2. elementos da própria estrutura sócia Xavante, marcada pela interação de
grupos sociais. Um dos ciclos da vida social do povo é expresso pela
sucessiva incorporação de indivíduos em classes de idade. Uma das
maneiras de marcar o tempo é remeter a 8 classes de idades, com 5 anos
cada, aproximadamente, formando ciclos de 40 anos, que se repetem
indefinidamente.
A cada 5 anos, portanto, meninos e meninas, em fase de iniciação,
passam a integrar uma nova classe de idade. Essas unidades de
classificação, em número de 8, totalizam um período de aproximadamente 40
anos.
As 8 classe de idade Xavante são:
• Tsada´ro
• Ai`rere
• Hötörã
• Tirowa
• Etepá
• Abareú
• Nodzö'u
• Anorowa
E sucessivamente:
Tsda´ro, Ai'rere, Hötörã...
3
Desenho de Lino Tsere'a,
da classe de idade Ai' rere
Assim, em vez de os Xavante datarem cronologicamente o
tempo fazendo uso do calendário astronômico (que divide o tempo em dias,
3
As classes em negrito formam uma metade; as demais, outra. Pará saber mais sobre a
organização social Xavante, consulte o livro Nomes e Amigos: da prática Xavante a uma
reflexão sobre os Jê. de Aracy Lopes da Silva (São Paulo, FFLCH-USP, 1986).
meses e anos), remetem a um acontecimento, na tentativa de localizá-lo no
tempo. Quando os rapazes da classe de idade Tsda'ro furaram a orelha (um
rito importante da iniciação masculina), por exemplo, ou então quando
rememoram a ocasião em que os Tirowa mataram uma onça preta. A classe
de idade funciona, neste sentido, enquanto unidade de medida do tempo. Em
suma, pode-se dizer que o tempo Xavante é calculado em conjuntos ou
classes.
Na escola, os problemas matemáticos inventados pelos alunos
traziam, boa parte das vezes, outras unidades temporais, em vez de datas
numericamente grafadas (como 09/04/1998). Remetiam às classes de idade
ou, ainda, às categorias de idade - as fases do ciclo de vida Xavante. Estas
categorias poderiam ser comparadas ao que chamamos de infância,
adolescência, vida adulta e velhice. Todo Xavante passa, necessariamente,
por cada uma dessas fases no decorrer de sua vida. Cada categoria serve,
portanto, como medida de passagem do tempo.
Para trabalhar os problemas numericamente, ou seja, para saber
quantos anos passaram desde determinado acontecimento, era necessário
traduzir estas unidades temporais em unidades grafadas numericamente.
Isto, implicava não só o uso de algarismos arábicos mas, ainda, outra
maneira de classificar o tempo, a partir do calendário ocidental, cristão.
Interpretando os enunciados dos problemas
A solução que os professores encontraram para facilitar a resolução
de problemas em sala de aula foi investir na interpretação dos enunciados
apresentados por escrito em português. Explicavam aos alunos conceitos
que exigiam, por exemplo, adições ou subtrações
"Quando a gente junta duas ou mais coisas, a conta é de mais". Ou
então: "para juntar 2 canteiros de cebola e 2 de alho, a conta é de mais". Do
mesmo modo, "para separar ou tirar uma coisa da outra, é necessário uma
conta de menos".
À medida que foram atribuídas às operações matemáticas de adição,
subtração, multiplicação e divisão os conceitos de juntar, tirar, separar, dar,
vender, comprar e ganhar, os alunos efetuavam as contas de forma correta.
Isto envolvia, porém, a memorização sobre a operação a efetuar, caso a
caso, ou seja, era mais um treinamento do que um entendimento dos
conceitos matemáticos.
Treinar alunos para a resolução de problemas ou questões é método
de ensino e prática pedagógica amplamente difundidos em escolas até os
dias de hoje. O povo Yukon, no Canadá, foi instruído, sistematicamente,
durante um ano, para resolver testes de inteligência aplicados pelo governo
canadense. A "incapacidade" dos índios para obter níveis de aprendizagem
semelhantes aos de não-índios caiu por água abaixo.
Desenho de Titomowé Xavante
Mas se o treino na resolução de problemas pode propiciar uma maior
sofisticação na solução de testes, esta estratégia não é eficaz a longo prazo.
A memorização em si não é permanente, nem os enunciados dos problemas
se mantêm constantes ao longo do tempo. Aliás, as variações nas
formulações de questões podem comprometer o entendimento do que está
sendo pedido. É o que tem acontecido em concursos públicos estaduais e
municipais para a contratação de professores indígenas no norte do país.
4
Treinar alunos Xavante poderia garantir a obtenção de notas altas em
exames e testes, ponderaram os professores Aniceto, Simão, Luiz e Juliano.
Argumentaram, em reunião na escola, que este seria o método mais
4
Conforme o relato de professores indígenas do estado do Amazonas, durante o Encontro de
Coordenadores de Projetos de Educação Indígena organizado pelo MEC em Brasília, em
outubro de 1997.
apropriado para ensinar. Era o método de ensino a que estavam
acostumados, largamente utilizado nas escolas dos missionários salesianos.
Os professores Xavante argumentavam, ainda, que o modelo
Salesiano de ensino - baseado na repetição, "decoreba" (memorização) e
testes de inteligência - era de mais fácil aplicação. Permitia, além disto, a
avaliação mais objetiva dos alunos. No final do mês ou do bimestre, bastava
aplicar uma prova. Quem obtivesse nota igual ou maior a 5 estaria aprovado.
Em caso de reprovação, a solução era a repetência.
Argumentar contra esse modelo, consolidado ao longo de décadas em
escolas missionárias, não é tarefa fácil. Hoje argumenta-se que a postura
avaliativa do professor deve ser constante: ele deve analisar a dinâmica do
grupo e o desempenho de cada aluno. Não se avalia apenas o que os
estudantes sabem ou não, mas a própria proposta pedagógica e a atuação
do professor. Além disso, o processo de avaliação continuada dá importância
aos saberes que promovam a autonomia das comunidades indígenas, na
busca e na construção do conhecimento.
A resistência inicial dos Xavante a uma proposta pedagógica
inovadora, de autoria dos próprios índios, foi se diluindo. Os professores e
lideranças Xavante perceberam que, na vida diária, o treino escolar era
pouco eficiente. Em outras palavras: notaram que os conhecimentos
adquiridos na escola não eram automaticamente transferidos para os
"problemas" da vida cotidiana. Ficou claro que "fazer contas" e resolver
problemas matemáticos criados em sala de aula, por mais difíceis que
fossem, não era suficiente para interpretar mapas, fazer a contabilidade do
posto indígena, analisar projetos governamentais, comercializar produtos
agrícolas, etc.
Ficou claro, também, que o conhecimento matemático de adultos
Xavante que nunca haviam freqüentado escolas missionárias era mais útil na
vida diária que o treino escolar. Estes adultos efetuavam cálculos
matemáticos, exatamente como aqueles feitos por crianças na contagem da
população Xavante junto aos técnicos da Sucam. Aqueles indivíduos mais
ligados às atividades de administração do posto indígena e os motoristas,
tratoristas e enfermeiros, apresentavam maior domínio de problemas que
envolviam o pensamento matemático, pois o próprio trabalho propiciava
situações concretas para trabalhar com cálculos.
Paralelamente, 37 crianças entre 6 e 10 anos, aproximadamente, sem
experiência escolar anterior, iniciavam atividades na escola Xavante,
orientadas pelos 4 professores indígenas. Contavam em Xavante e em
português e resolviam pequenos problemas, apresentados de forma oral.
Formulavam problemas que apresentavam uns aos outros para resolver.
Nestes, os "dilemas" levantados eram muito distintos daqueles formulados
pelos professores.
Leandro Dzaiwaono, de 8 anos de idade, enunciou oralmente o
seguinte problema:
• Meu pai vai caçar paca. Ele tem uma caixa de cartuchos. Quantas pacas
vai matar?
Nancy Redzatse, de 9 anos, formulou o seguinte:
• Na roça do meu pai tem muito milho. Minha mãe vai fazer bolo de milho.
Quantos bolos ela vai fazer?
Nestes 2 problemas fica claro que não existe relação estreita entre a
quantidade de espigas de milho ou cartuchos de espingarda e a quantidade
de bolos ou de pacas caçadas, respectivamente. As soluções para esses
problemas envolvem outras relações, que não estão incluídas nos
enunciados matemáticos.
No caso dos cartuchos, Leandro respondeu:
• Ele vai matar 3 ou 7 pacas, quantas conseguir matar.
Com a caça cada vez mais rara, é comum o Xavante ir para a mata com
muitos cartuchos, para garantir o maior número de animais possível, ou seja,
"quantos conseguir matar". Mais importante do que o número exato de pacas
a ser mortas, é o fato de se conseguir garantir alimento em quantidade.
Quanto às espigas de milho, Nancy afirmou:
• Ela vai fazer 3 bolos bem grandes, pará todo o mundo comer.
Sendo a generosidade uma virtude Xavante, inclusive na distribuição de
alimentos, os bolos seriam bem grandes, para todos comerem. Garantir bolo
de milho para todos seria mais importante, para Nancy, do que o número de
bolos que a mãe faria.
Em suma, as quantidades usadas nos problemas não eram simples
abstrações, desvinculadas do contexto, mas estavam intimamente
relacionadas a valores da cultura Xavante, e a atividades da vida cotidiana.
Além disso, a noção do todo ou da totalidade parece ser mais importante,
para os Xavante, do que as noções de unidade, de discriminação de
pequenas quantidades ou de unidades individualizadas. Relações entre
conjuntos ou entre totalidades (cartuchos versus pacas; pés de milho versus
bolos) são, neste sentido, mais significativas. Isto indica, mais uma vez, que
a maneira Xavante de ver o mundo, em que o todo é concebido como a
soma das partes, é fundamental para compreender a matemática do povo.
Os problemas de Nancy e Leandro fogem ao modelo idealizado de
problemas matemáticos, em que uma situação simulada, expressa num
enunciado, nada mais é do que um suporte para relações estritamente
numéricas, que devem ser trabalhadas.
Esta experiência com educação matemática entre os Xavante do
Kuluene mostra que o conhecimento matemático de um povo não se reduz à
simples manipulação de algarismos e à habilidade de fazer contas. O
conhecimento matemático é muito mais complexo do que isso, porque
envolve relações entre indivíduos e as condições em que esse conhecimento
é produzido, ao longo do tempo.
Os conflitos enfrentados pelos Xavante na escola de Ritubre, a
Aldeinha, não precisam necessariamente existir. Saber que existem diversos
saberes matemáticos, e que é possível entendê-los e manipulá-los conforme
o contexto, valoriza e enriquece o processo de construção de
conhecimentos, próprio da educação específica e diferenciada a que os
povos indígenas têm direito.
5
Acredito que, do ponto de vista dos Xavante, o maior mérito deste
trabalho foi o de trabalhar com o modo Xavante de formular e resolver
problemas matemáticos, de acordo com as próprias estratégias do povo.
Contribuiu também para desmistificar a concepção que a matemática é um
bicho-de-7-cabeças. Foi isso que Lino Sêrê'a, de 15 anos de idade, afirmou:
"Nem pensei que eu sabia tanta matemática assim".
5
Mais detalhes sobre a o ensino da matemática entre os Xavante podem ser encontrados no
livro Com quantos paus se faz uma canoa! A matemática na vida cotidiana e na experiência
escolar indígena, de Mariana K. Leal Ferreira (Brasília: Ministério da Educação e do Desporto,
1994).
Capítulo IV
A matemática na vida cotidiana e na experiência escolar indígena:
A trajetória Kaiabi até o Parque Indígena do Xingu
Os Kaiabi visitam parentes no rio dos Peixes. Desenho: Matareiup Kaiabi
O território tradicional Kaiabi ocupava vasta região que ia do noroeste do
Mato Grosso ao extremo sul do Pará. O povo vivia em pequenas aldeias situadas
às margens de vários rios, como o Teles Pires, Peixoto de Azevedo, Verde e dos
Peixes. As famílias Kaiabi visitavam-se com freqüência, principalmente durante as
festas e os rituais coletivos. Temidos por outros grupos, os Kaiabi guerreavam
com os Munduruku, Panará e outros povos que ousavam se aventurar pelo
território. A comida era abundante e os Kaiabi sempre tiveram saúde. Nas
palavras do professor Aturi Kaiabi:
Briga, mesmo, só com índio bravo. A vida era muito tranqüila. Não tinha
doença, malária, gripe, tosse, nem coqueluche. Nada. Depois que os
caraíbas chegaram, os índios ficaram doentes. As doenças dos
caraíbas foram matando a gente. Qualquer doença matava. Não tinha
vacina nem remédio.
1
Foi por volta do ano de 1850, com o progresso da indústria da borracha,
que a situação mudou. A população Kaiabi, estimada em 2.000 indivíduos na
época,
2
passou a ser assediada por seringueiros, vindos de diferentes regiões
brasileiras. Os homens brancos eram chamados de caraíbas. lawyt Kaiabi, agente
de saúde da Aldeia Capivara, no Parque Indígena do Xingu, lembra o relato do
pai:
Judiaram mais porque namoravam com a índia, e o marido, irmão ou
parente dessa mulher falava para os seringueiros que não podia mexer.
Quando falavam isso, os seringueiros respondiam pelo revólver e pelo
chicote. Hoje nós esperamos que isso não aconteça mais.
3
Com os caraíbas chegaram as doenças infecto-contagiosas. Aldeias
inteiras foram contaminadas pelo sarampo e o povo dizimado.
4
Em represália, os
Kaiabi atacavam os barracões dos seringais e os postos do Serviço de Proteção
' Aturi Kaiabi, "Quando os Kaiabi não conheciam os caraíbas", em Histórias do Xingu, pg. 59.
2
De acordo com depoimento de Canísio Kaiabi, "A situação dos Kaiabi no Xingu hoje", em Histórias
do Xingu, pg. 132.
3
lawyt Kaiabi, "O sofrimento dos Kaiabi", em Histórias do Xingu, pg. 64.
3
Pelo menos quatro
grandes surtos de sarampo atingiram os Kaiabi na região do rio Teles Pires, segundo o relato
destes índios, por volta de 1927, 1932, 1943 e 1965. Ver as histórias Kaiabi em Histórias do Xingu,
pgs. 43-142.
aos índios (SPI), que começavam a se instalar na região, a partir de 1920. Os
Kaiabi punham fogo nos pertences dos brancos.
Movimentos migratórios de grupos Kaiabi em direção ao Brasil-Central, nas
décadas de 1920 e 1930, visaram manter distância das frentes pioneiras, que
entravam no território indígena procurando riquezas minerais e vegetais. As
primeiras tentativas de "pacificação, por volta de 1922, foram rechaçadas. Os
Kaiabi destruíram o Posto Indígena Pedro Dantas, instalado no rio Verde. A partir
de meados da década de 1920, porém, algumas famílias Kaiabi começaram a se
aproximar de postos do SPI, onde ainda, em alguns casos, permanecem.
Os Kaiabi procuram lugar para morar. Desenho: Matareiup Kaiabi
No início da década de 1950, integrantes da expedição Roncador-Xingu,
organizada pela Fundação Brasil-Central, contataram famílias Kaiabi do rio Teles
Pires. Os irmãos Villas-Bôas tentaram convencer os Kaiabi a se transferir para a
região do Xingu. Lá estariam, diziam eles, livres dos ataques de regionais, e
teriam assistência médica garantida, além de acesso a bens industrializados. Os
primeiros Kaiabi chegaram ao Xingu por volta de 1955, quando representantes da
Missão Anchieta já viviam com os Kaiabi das aldeias do rio dos Peixes.
Por volta de 1973, várias famílias que haviam migrado para o Pará também
foram levadas para o Xingu, pelos irmãos Villas-Bôas. Se na época a estratégia
de retirada foi recomendada como a mais adequada, hoje em dia os Kaiabi
lamentam ter deixado o território tradicional, que acabou ocupado pelos caraíbas.
A entrada no Parque do Xingu, no entanto, permitiu a recuperação
demográfica. Mais da metade da população Kaiabi havia sido dizimada em 100
anos, de 1850 a 1950. De 1966 até 1995, a população cresceu de 179 para 665
pessoas.
6
O processo de demarcação do Parque Indígena do Xingu, onde hoje
moram, além dos Kaiabi, outros 15 povos, levou 30 anos. Desde a criação oficial
do parque, em 1961, até a demarcação administrativa do novo território, em
1991, ocorreram várias tentativas para alterar os limites da terra indígena, além de
inúmeras invasões por parte de madeireiras, fazendeiros e garimpeiros.
A década de 80 foi muito tensa. Em 1980, 11 peões que invadiram uma
área ao norte do parque foram mortos com bordunas. Em 1983, o avião de um
fazendeiro foi seqüestrado. Em 1984, os Kaiabi e outros povos reagiram à
tentativa da Funai de diminuir a área do parque. Foi deflagrada a "Guerra do
Xingu". Aviões de fazendeiros foram tomados e funcionários viraram reféns.
7
A
Funai cedeu e o trecho de 40 quilômetros de extensão por 15 de largura,
margeando o lado direito do rio Xingu, ao norte da estrada BR-080, foi
demarcado. Pela primeira vez na história do Xingu, um índio assumiu a direção do
parque. O escolhido, em 1984, foi Megaron Txucarramãe.
Em 1990, a situação fundiária parecia estar sob controle. Canísio Kaiabi,
líder da Aldeia Capivara e autor de vários textos sobre a história Kaiabi, declarou:
5
Permanecem hoje no rio dos Peixes, na Reserva Indjgena Apiaká -Kaiabi, 171 Kaiabi juntamente
com índios Munduruku e Apiaká . Algumas famílias encontram-se na área Indígena Umutina
(população: 191), a oeste de Cuiabá , entre índios Iranxe, Nambiquara, Pareci, Terena e Umutina.
Os Kaiabi que permaneceram no Pará estão localizados em duas áreas indígenas contíguas - A.I.
Cayabi e A.l. Cayabi Gleba Sul, com índios Munduruku (ver, na bibliografia, CEDI/PETI 1990).
6
Fonte de informação: "A Educação no contexto das teorias do contato: perspectivas
antropológicas e indígenas", pgs. 40-55 (ver bibliografia, Mariana K. Leal Ferreira 1992); e Povos
Indígenas no Brasil 1991/1995, pg. 599 (ver bibliografia, ISA 1996).
7
Um cronograma detalhado destes conflitos pode ser encontrado em "'A Guerra no Xingu':
Cronologia", de Mariana K. L. Ferreira e Vanessa R. Lea, 1985, pgs. 246-258 (ver bibliografia).
Como a gente está aqui no Xingu, a gente quase não tem invasão de terra.
Pelo jeito que a gente está vendo, não tem mais invasor. Mesmo assim, tem
gente aí meio pesquisando a gente, principalmente os garimpeiros e os
madeireiros. De onde os Kaiabi vieram, do rio Teles Pires, eu estou indo lá
visitar, todo ano: cada vez mais, os garimpeiros estão invadindo, os
madeireiros estão acabando com os paus, com a floresta.
8
A Aldeia Capivara. Desenho: Sirawytu Kaiabi.
Com as invasões aparentemente sob controle-, os Kaiabi procuraram, a partir de
1985, garantir boa saúde e a alimentação das famílias Kaiabi, espalhadas ao longo do rio
8
Canísio Kaiabi,"A Situação dos Kaiabi no Xingu hoje", em Histórias do Xingu, pg. 131.Ver também duas
versões da "História dos Kaiabi", de Canísio Kaiabi, no mesmo volume, (pgs. 72-77 e 78-83).
Xingu. As famílias foram reunidas em aldeias maiores. Maku Kaiabi enumera os
argumentos usados para convencer os índios a fundar a aldeia Tuiararé:
Explicamos que nós temos que ficar juntos, porque os brancos não dão
mais presentes. Então precisamos estar reunidos para produzir
bastante coisa, para vender e comprar o que precisamos: sal, sabão,
botina, munição, fósforo e outras coisas.
Se nós fizéssemos roças comunitárias grandes, o governo daria
ferramentas para a gente trabalhar. Sem reunir os Kaiabi seria
impossível fazer roças grandes. Resolvemos trabalhar unidos, para o
trabalho nunca falhar.
9
O trabalho comunitário - construção das casas, limpeza e plantio das roças,
compra de motores e ferramentas - tem envolvido cálculos e previsões de vários
tipos. Na liderança do novo grupo, Maku Kaiabi dá a idéia do esforço:
Começamos a tirar os paus no mato. Tiramos mais de 60 paus deste
lado do rio. Depois tiramos quase 150 paus do outro lado: esteio,
caibro, ripa, cumieira. Tuim Kaiabi resolveu dar uma mão e trouxe a
balsa até aqui. Ele transportou metade dos paus para o outro lado do
rio Xingu. Nós transportamos o resto de canoa. O Megaron arrumou 90
quilos de prego para nós, 30 quilos de cada tamanho.
O passo seguinte foi cortar palha de inajá para cobrir as casas.
Derrubamos 350 pés de inajá. Levamos 10 dias arrastando a palha
para a beira do rio. Depois tivemos que transportá-la de canoa, aos
poucos, porque a balsa que o pessoal construiu não agüentou. O
transporte durou 15 dias. Finalmente, cobrimos as casas, amarrando a
palha com embira.
9
Maku Kaiabi, ""A Formação da Aldeia Tuiararé", em Histórias do Xingu, pg. 126.
A Aldeia Tuiararé. Desenho: Aturi Kaiabi.
A reunião dos Kaiabi em aldeias maiores, como a Tuiararé e a Capivara,
trouxe, na avalização dos líderes Maku e Canísio, diversos benefícios. A situação
de saúde de crianças e adultos melhorou com a compra de equipamento para as
farmácias. A comercialização de banana passa, mel e farinha de mandioca, bem
como a compra de rádios transmissores, motores de barcos e munição, ficou mais
ágil. Diminuiu a necessidade de viagens às cidades vizinhas, onde o perigo de
contágio de doenças é grande.
Garimpeiros atravessam o Parque do Xingu pela estrada BR-080. Desenho: Vareraí Kaiabi.
Mas líderes Kaiabi, e de outras sociedades xinguanas, nunca deixaram de
se preocupar com o entorno do Parque. Canísio Kaiabi já se perguntava, em
1990, se o Parque do Xingu resistiria ao cerco das madeireiras, garimpeiros e
fazendeiros:
Será que não vai sobrar nada para nós? Será que não vai mais ter
água limpa? Será que não vai mais ter caça, mais macaco, mutum e
peixe? Pelo que eu estou vendo, vai estar cheio de madeireiras por
aqui. Perto, na "Serra da Macelândia", já são 150 serrarias. Lá no rio
Arraia, mais 150. Eu estou preocupado.
Os fazendeiros também, e principalmente eles, roubam as nossas
matas, acabam com o mato. Onde os Kaiabi moravam, no rio dos
Peixes, na aldeia antiga, tinha mais de 2000 índios. Cadê os mais de
2000 índios que moravam naquele local? Não tem mais. Hoje você vai
ver só cabeça de boi.
10
As previsões de Canísio Kaiabi transformaram-se em realidade 10 anos
depois. É o que mostra o "Projeto Piloto de Apoio à Fiscalização e Controle das
Fronteiras do Parque Indígena do Xingu", do Instituto Socioambiental:
Criado em 1961, o mais consagrado parque indígena do país está em
xeque. Mais de 300 serrarias investem na direção do seu limite oeste, no
tradicional abre-alas para a implantação de grandes fazendas. A leste,
avança a pecuária extensiva. Embora o Parque Indígena do Xingu esteja
preservado internamente, todas as cabeceiras dos formadores do rio Xingu
estão desprotegidas e os efeitos do desmatamento e da contaminação das
águas já afetam a vida das 16 etnias, que vivem no Parque: conflitos à
vista."
Vigiar a área de 3 milhões e 276 mil hectares e os 1.386 quilômetros de
fronteiras que compõem o Parque Indígena do Xingu não é tarefa fácil. A
elaboração de projetos de proteção às fronteiras e às cabeceiras dos rios exige
conhecimento de mapas de diferentes escalas e até imagens de satélites. A
matemática tem se mostrado amiga valiosa dos Kaiabi e de outros povos
xinguanos em todo o processo. Nas palavras de Maku Kaiabi:
Cada vez eu uso mais matemática. Desde que eu estudei no Diauarum, eu
já aprendi muito. Eu estudei a demarcação do Xingu. Agora é direto, estou
sempre fazendo conta, usando números. Você vê todos esses projetos aí,
precisa saber muita coisa. Hoje eu uso matemática para quase tudo.
12
10
Canísio Kaiabi,"A Situação dos Kaiabi no Xingu hoje", em Histórias do Xingu, pg. 131-132.
" "Ocupação desordenada ameaça o Parque Indígena do Xingu", Equipe de Redação do ISA, a partir do
relatório citado acima, em Povos Indígenas no Brasil 1991/1995 , p. 614.
12
Depoimento de Maku Kaiabi à autora, na Aldeia Tuiararé, Parque Indígena do Xingu, em fevereiro de
1990.
Limpando ouro na bateia com mercúrio: poluição. Desenho: Vareraí Kaiabi.
A matemática da vida cotidiana
A matemática mostrou-se útil na compreensão de cada uma das 5 fases do
processo de demarcação do Parque Indígena do Xingu.
13
Em diferentes
momentos da história Kaiabi, a matemática tem sido um valioso instrumento.
13
As 5 fases são: identificação, reconhecimento, delimitação, demarcação física e homologação (demarcação
administrativa).
Neste capítulo, destacamos a sua importância, desde o primeiro contato com
seringueiros, no século XIX. Vimos que, durante as primeiras negociações com
não-índios, os Kaiabi lutaram pelo território enquanto seringueiros e fazendeiros
achavam desperdício "tanta terra para pouco índio".
O decisão de aceitar a proposta de transferência para o Parque Indígena
do Xingu também exigiu elaboradas avaliações matemáticas. O valor dos
presentes oferecidos pelos irmãos Villas-Bôas, na tentativa de convencer os
Kaiabi a deixar o próprio território, também entrou em consideração. Uma vez no
Xingu, os líderes Kaiabi precisaram mapear o espaço para, estrategicamente,
construir as novas aldeias. A localização delas vem mudando ao longo dos anos.
O mapa a seguir mostra a situação em 1996.
Brigar pela demarcação do parque e vigiar as fronteiras do território exigem
a compreensão de muitas idéias matemáticas. A leitura e traçado de mapas é
essencial. Trabalhar com medidas de superfície, escalas e cálculos de áreas e
perímetro, também.
Uma forte preocupação Kaiabi desde o final dos anos 80 é a elaboração de
projetos comunitários que proporcionem a autonomia econômica do povo. O
conhecimento da matemática tem se mostrado fundamental para a elaboração de
propostas. São projetos de proteção das cabeceiras dos rios, de vigilância de
fronteiras, de apoio às escolas indígenas e de promoção da saúde. Todos pedem
noções de diferentes campos da matemática (como veremos na segunda parte do
livro).
O estudo da matemática nas escolas Kaiabi parte de situações da vida
cotidiana. Vejamos como um projeto comunitário pode fornecer valiosas
informações para o estudo da matemática em sala de aula. Reproduzimos
adiante, na íntegra, o texto do projeto, elaborado em 1997 pelos professores Aturi
Kaiabi, da Aldeia Tuiararé, e Awatat Kaiabi, da Aldeia Capivara.
PROJETO PE APOIO ÀS ESCOLAS INDÍGENAS TUIARARÉ E CAPIVARA
DO PARQUE INDÍGENA DO XINGU
UMA INICIATIVA COMUNITÁRIA
1. Apresentação
São responsáveis por este projeto os professores Aturi Kaiabi, da escola da
aldeia Tuiararé, e Awatat Kaiabi, da escola da aldeia Capivara, localizadas na
Terra Indígena do Xingu.
A população da aldeia Tuiararé é de 180 pessoas, sendo 45 estudantes. A
população da aldeia Capivara, 188 pessoas, sendo 37 alunos.
Os professores das escolas indígenas do Xingu vêm trabalhando com
muita dificuldade. Nós, professores, não temos salário, não somos contratados.
Nós temos família, trabalhamos anualmente, não temos tempo para pescar, caçar,
as roças ficam longe das aldeias e nós não temos tempo de fazer artesanato para
vender.
Os professores precisam sustentar as famílias e necessitam de anzol, linha,
munição, ferramentas, roupas, calçados e as mulheres também precisam de
materiais pará usar.
Na aldeia não tem mercado para comprar os alimentos para cozinhar, a
cozinha só funciona quando a gente pesca, caça e vai na roça.
É difícil ter o apoio da comunidade em termos de comida. Por isso nós
tivemos a idéia de trabalhar em parceria, buscando um outro tipo de apoio da
comunidade.
2. Objetivos
Queremos fazer duas roças de 350 m
2
, uma para cada aldeia. As roças
serão feitas no período de férias dos professores, no mês de maio de 1997.
Conforme o combinado entre as comunidades, vamos juntar os estudantes
das aldeias Tuiararé e Capivara, para fazer um mutirão para trabalhar nas roças.
Nós vamos plantar banana, milho, batata-doce, amendoim, abacaxi,
mandioca doce e macaxeira. Estes produtos serão consumidos pelos estudantes
e professores, e o restante será vendido, para ter um recurso próprio para
manutenção das escolas.
3 Materiais Necessários
Necessitamos de combustível para transportar de uma aldeia pará outra as
pessoas que trabalharão no mutirão e os materiais, ferramentas, materiais de
pesca e caça e de gêneros alimentícios.
4. Orçamento
4.1. Combustível:
4.2. Materiais de Pesca e Caça
ESPECIFICAÇÃO
Gasolina
Óleo Diesel
Óleo 2 T
Sub-Total
QUANTIDADE
100 litros
200 litros
10 frascos 1/2 L
VALOR UNITÁRIO
0,85
0,50
3,00
TOTAL
85,00
100,00
30,00
215,00
ESPECIFICAÇÃO
Anzol n. 50
Anzol n. 70
Carreteis de linha n. 50
Carreteis de linha n. 70
Chumbo 3 T
Tubos de pólvora
SUB-TOTAL
QUANTIDADE
04 cx
04 cx
10
10
10 kg
10
VALOR UNITÁRIO
39,00
50,00
3,50
6,00
4,00
4,00
TOTAL
156,00
200,00
35,00
60,00
40,00
40,00
531,00
4.3. Ferramentas
4.4. Gêneros Alimentícios e de Consumo
Valor total do Projeto: R$ 2.052,20
ESPECIFICAÇÃO
Lima
Machado
Facões
Foice
SUB-TOTAL
QUANTIDADE
02 cx
20 unidades
20 unidades
20 unidades
VALOR UNITÁRIO
66,00
15,00
5,50
9,50
TOTAL
132,00
300,00
110,00
190,00
732,00
ESPECIFICAÇÃO
Arroz
Fardos macarrão
Óleo de cozinha
Cebola
Fósforo
Sal
Cebola
Sabão
Bombril
Fumo
Pilha
SUB-TOTAL
QUANTIDADE
100 Kg
2 fardos
2cx
3 kg
2 fardos
30 kg
1 saco
2cx
10 pacotes
1 fardo
1 cx
VALOR UNITÁRIO
1,50
24,00
20,00
1,00
10,00
0,45
20,00
17,50
0,80
14,50
19,20
TOTAL
150,00
48,00
40,00
3,00
20,00
13,50
20,00
35,00
8,00
217,50
19,20
574,20
Fonte: ISA
Trabalhar com os itens do orçamento do projeto permite uma variedade de
cálculos e estimativas, tanto exatos quanto aproximados.
• É possível calcular as porcentagens que o projeto vai gastar com combustível,
material de pesca e caça, ferramentas, alimentação e material didático.
• É possível prever quantas viagens de barco podem ser feitas entre as 2
aldeias, sabendo que cada viagem consome 25 litros de gasolina.
• É possível estimar quanto tempo vai durar o arroz, se alunos e professores
consumirem, cada um deles, 100 gramas de arroz por dia.
Além destes cálculos mais complexos, problemas mais simples podem ser
formulados. Alguns exemplos:
1. Se o valor unitário do litro de gasolina é de R$ 0,85, quanto custa 50 litros?
2. Qual o preço de 300 litros de óleo diesel?
3. Se cada caixa de anzol tem 50 unidades, quantos anzóis o projeto está
pedindo?
4. Se cada carretei de linha de pesca tem 100 metros, quantos metros de linha
estão sendo solicitados?
5. Entre os materiais de caça e pesca, qual é o item mais barato? E o mais caro?
6. Dos 4 tipos de materiais orçados, qual é o tipo mais caro (combustível, caça e
pesca, ferramentas e alimentação)?
7. Quanto os Kaiabi vão gastar com a alimentação?
A roça comunitária na Aldeia Tuiararé. Desenho: Matari Kaiabi.
A matemática em sala de aula na Escola do Posto Indígena Diauarum
A resolução de problemas, no processo de ensino e aprendizagem da
matemática, tem merecido muita atenção por parte de educadores. É pena que,
em muitos casos, a atividade matemática seja reduzida exclusivamente a isto.
Reduzir o estudo da matemática à resolução de problemas que são, em geral,
artificialmente criados pelo professor ou então apresentados aos alunos em textos
já prontos, padronizados, acaba criando dificuldades em sala de aula, em escolas
indígenas ou não.
A matemática ensinada em sala de aula geralmente fica reduzida a
relações de quantidade e a atividades de resolução de problemas. O que vem a
ser um problema já é pré-determinado, bem como a sua resolução, que
geralmente só admite uma resposta certa. Erros são geralmente considerados
fracassos e a criatividade, a intuição e a emoção não são valorizados no processo
de ensino e aprendizagem da matemática. Além disso, muitos estudos mostram
que a capacidade de resolver problemas em sala de aula não é transferida para
situações da vida cotidiana.
No caso de sociedades indígenas, a questão é agravada porque
muitos dos dilemas da vida cotidiana não são matemáticos e nem traduzíveis, em
muitos casos, em termos numéricos. Mesmo quando podem ser representados
por números, não exigem, necessariamente, resposta ou solução única. Existem
alternativas variadas para solucioná-los, expressas por estratégias culturais
distintas e que não se restringem a respostas certas ou erradas. É uma questão
que envolve valores muitas vezes conflitantes com os princípios rígidos dos
enunciados matemáticos.
Observe-se a seguinte formulação, apresentada por Paiê Kaiabi,
aluno da Escola do Diauarum no Parque Indígena do Xingu:
No dia 15 de maio eu desci com Canísio para ele comprar 80 litros de
gasolina. Ele aproveitou para levar 108 cachos de banana para vender pará o
pessoal do Bang-Bang. Ele vendeu por 500 cada um. Ele conseguiu vender só 50
cachos de banana. Saiu por 25 mil. O resto ele fez por 200 cada um. Só
conseguiu vender 30 cachos de banana. Ele recebeu mais 6 mil. Total de dinheiro
deu 31 mil. O resto da banana ele deu para caraíba.
Paiê articula, neste enunciado, o problema e a resposta, de maneira
simultânea. Os dados relativos à venda de bananas são trabalhados
matematicamente, e as respostas apresentadas no decorrer da descrição do
enunciado. As informações referentes à compra de gasolina servem para
contextualizar a situação em que se deu a venda de bananas, mas não são
apresentadas como um dilema que requer solução.
Este enunciado de Paiê Kaiabi tem de ser analisado levando-se em conta
os critérios de distribuição de alimentos adotados pelos Kaiabi, cuja
generosidade é conhecida. Os Kaiabi têm vergonha de pedir alimentos e, ao
mesmo tempo, sentem-se obrigados a dar. Neste sentido, não existem restos, e
também não é prejuízo, uma coisa que deveria dar lucro e não deu. A noção de
problema está, neste caso, diretamente ligada à economia de uma sociedade,
basicamente igualitária.
14
Trabalhando a matemática da vida cotidiana escola
Para trabalhar a matemática no dia-a-dia da escola é essencial transformar
situações da vida em suporte para o estudo da matemática. A história do povo
Kaiabi tem gerado, nas escolas do Parque Indígena do Xingu, discussões e
atividades que remetem ao estudo da matemática e de outras disciplinas, como a
geografia, a história e as ciências. O trabalho nas escolas do Xingu oferece a
professores, de outras áreas indígenas, sugestões de temas e atividades que
podem ser explorados em sala de aula. Confiram abaixo:
• traçado de viagens entre as aldeias Kaiabi dentro e fora do parque, e entre as
aldeias do parque e cidades vizinhas;
• avaliação da situação atual dos territórios tradicionais Kaiabi fora do Parque;
• elaboração de plantas das casas do posto, aldeias ou outras construções do
Parque do Xingu;
• leitura e traçado de mapas das aldeias e do parque, incluindo informações
sobre a ocupação do entorno do parque e sua localização no Brasil, América
do Sul e no mundo;
14
Êste problema de Paiê Kaiabi foi discutido originalmente em Com quantos paus se faz uma canoa! A
matemática na vida cotidiana e na experiência escolar indígena, de Mariana K. Leal Ferreira (MEC 1994).
Serviu como subsídio para o documento Referencial Curricular Nacional pará as Escolas Indígenas (MEC
1998).
• estratégias de vigilância das fronteiras do parque, incluindo a análise de imagens de
satélite; a criação e administração de postos de vigilância; planejamento de viagens
às áreas mais vulneráveis do entorno, entre outras;
• avaliação de relatórios de impacto ambiental, que tratam do assoreamento e da
contaminação das águas provocados pela atividade madeireira, garimpeira e
pecuarista ao redor do parque;
• discussão de processos que correm na Justiça, cujas ações foram movidas pelos
povos xinguanos para garantir a incorporação de terras de ocupação imemorial; e
de processos movidos por não-índios contra os povos xinguanos, contestando a
posse de terras indígenas, inclusive dentro do próprio Parque do Xingu;
• comercialização de excedentes da produção de produtos, como amendoim,
banana-passa, mel, farinha d'água e polvilho;
• aquisição de bens industrializados, permanentes e de consumo, tais como:
geradores de eletricidade, motores de barco, antenas parabólicas, equipamentos de
gravação e transmissão de imagens, material de caça e pesca, medicamentos,
material escolar, etc;
• leitura e interpretação de informações que aparecem em pedidos e recibos de
mercadorias, moedas e células de dinheiro, contas a pagar, extratos bancários,
contracheques, contratos de prestação de serviços, entre outros documentos;
• Consulta e construção de calendários indígenas e escolares, bem como de
atividades de lavoura, caça, pesca e coleta;
• Planejamento e organização de festas e outros eventos sociais, como viagens,
campeonatos esportivos entre as aldeias, reuniões de lideranças ou cursos de
formação de professores ou agentes de saúde e assembléias indígenas.
Parte 2
Números, contas e mapas
Desenho: Djuni Patarra
Capítulo V
A escrita dos números
Construir e analisar informações sobre a situação das terras e a população
indígena brasileira exigem conhecimentos matemáticos:
1. A população indígena vivendo hoje no Brasil é de cerca de 300 mil.
2. A população indígena representa cerca de 0,2% da população brasileira.
3. Dos 206 povos indígenas, 71 (34%) têm população de até 200 indivíduos.
4. Há 2 povos com população superior a 20 mil indivíduos (Kaingang e Ticuna)
e apenas 1 com aproximadamente 30 mil (Guarani).
5. Há 545 terras indígenas no Brasil.
6. A extensão total das terras indígenas no Brasil é de 93 milhões, 988 mil e
503 hectares.
Em primeiro lugar, quantificamos a população indígena brasileira e a
extensão das terras indígenas no Brasil. Designamos, também, agrupamentos de
populações - de até 200, mais de 20 mil e cerca de 30 mil indivíduos.
Comparamos percentualmente a população indígena com a população brasileira,
relacionando ordens de grandeza distintas. Relacionamos, ainda, o número de
terras indígenas no país à extensão dos territórios em hectares. Finalmente,
ordenamos as informações numa lista, composta por 6 itens.
O estudo dos números e das operações numéricas é o campo matemático
tratado neste capítulo.
Atividades
Quantos hectares possui a terra indígena onde você mora ou trabalha?
Qual a população local?
Qual o número de aldeias, casas comunitárias ou de famílias que vivem no seu
território?
Quantos indivíduos da comunidade vivem na cidade?
Qual o salário do agente de saúde indígena no estado ou município em que você
mora? E do professor?
Quantas línguas são faladas na sua região? Quantas você fala?
Qual o número de alunos indígenas na escola em que você trabalha? E o número
de não-indígenas?
Na primeira parte do livro, vimos que os povos indígenas no Brasil possuem
as próprias idéias matemáticas. A situação de contato com a sociedade nacional,
porém, obriga os povos indígenas a compreender o sistema de numeração
decimal, da maneira como este sistema tem sido trabalhado no Brasil. Povos
indígenas, como os Palikur do Amapá, também trabalham com agrupamentos de
10, mas as idéias matemáticas podem variar.
1
O estudo dos números e das operações numéricas (as "contas") diz
respeito ao significado dos números: como são usados, para que servem e de
que maneira se relacionam entre si. Entender o significado dos números no
sistema decimal exige:
compreender que o sistema decimal opera com agrupamentos de 10;
aprender a representação escrita dos algarismos indo-arábicos (0,1,2,3,4,5...);
dominar operações de adição, subtração, divisão e multiplicação
entender divisões em frações e números decimais;
fazer estimativas e cálculos.
Se o uso de números "pequenos", como 5, 6 ou 7 não pede a compreensão
das regras da numeração decimal, é diferente com os números "grandes".
Compreender a escrita e o cálculo de grandezas da ordem de milhares e milhões,
por exemplo, requer o entendimento de agrupamentos de 10 e o valor posicionai
dos algarismos - regras da numeração decimal. Isto fica claro quando analisamos
a situação das terras indígenas apresentada na Tabela 1.
1
Ver o Capítulo II Deste volume.
111
Tabela 1. A SITUAÇÃO DAS TERRAS INDÍGENAS NO BRASIL
2
Situação
A identificar
Em identificação
Em identificação/revisão
Encaminhada ao Ministro da Justiça
para ser identificada
Identificadas - Encaminhadas ao
Ministério da Justiça
Delimitadas
Delimitadas com demarcação física
concluída
Reservadas com decretos
presidenciais antigos
Reservadas SPI com decretos
estaduais antigos
Demarcadas pelo Incra e adquiridas
para assentamento de comunidades
indígenas
Homologadas sem registro
Registradas no CRI ou SPU
Total
N° de terras
79
38
35
2
28
57
11
5
19
7
43
221
545
Extensão (hectares)*
4.808.700 (interditadas)
93.600 (interditados)
3.500.203(+
11.168.031
416.100
8.150.000)**
14.981.765
3.727.614
4.537.524
429.301
4.251
4.639.192
45.682.222
93.988.503
*1 hectare é igual a 10 mil metros quadrados.
** Extensão da Área Indígena Alto Rio Negro encaminhada pela Funai ao ministro da Justiça em
02/06/92, que engloba 14 Áreas Indígenas homologadas durante o Governo Sarney e 11 Florestas
Nacionais criadas na mesma época.
2
Fonte: Povos Indígenas no Brasil 1991/1995. pg. 69, ISA, em 10/03/96.
Atividades
Consulte a tabela anterior e escreva por extenso (por exemplo, 416.100 por
extenso é quatrocentos e dezesseis mil e cem):
o número que representa o total de terras indígenas no Brasil;
o número que representa a extensão, em hectares, de todas as terras
indígenas;
o número que representa as terras indígenas não identificadas;
o número que representa a extensão, em hectares, das terras indígenas
delimitadas, com demarcação física já concluída;
o número que representa as terras indígenas registradas;
o número que representa a extensão, em hectares, das terras
registradas.
A escrita dos números
Os sistemas numéricos de muitos povos, como o Rikbaktsa do Mato
Grosso, o Palikur do Amapá e o Guarani-Kaiová do Paraná, não têm registro
gráfico (escrito). Nem por isso o manejo de quantidades e medidas é menos
eficiente. Na ausência da escrita, outros métodos são inventados para registrar
quantidades. O povo Ikpeng (ou Txicão), que hoje vive na região do Médio Xingu,
marca o tempo de permanência dos caçadores na mata com nós em um fio. O
mesmo ocorre entre os Kamaiurá do Alto Xingu.
3
É comum contar associando quantidades aos dedos das mãos. A própria
origem do sistema decimal está relacionada à contagem dos 10 dedos das mãos.
Se tivéssemos 6 ou 8 dedos, provavelmente os agrupamentos seriam outros. Em
línguas indígenas encontramos também a relação entre os dedos das mãos e os
agrupamentos de 10. Os termos numéricos da língua Palikur, no norte do Amapá,
referem-se ao formato cilíndrico dos dedos da mão, usados na contagem do
sistema decimal daquele povo.
4
Os Rikbaktsa, do norte do Mato Grosso, fazem a
mesma associação :
1 - Stuba (que significa "como um dedo da mão")
2 - Petoktsa ("como dois dedos da mão")
3 - Hokkykbyihi ("como três dedos da mão")
4 - Sihokkykkyktsa ("como quatro dedos da mão")
5- Mytsyhyyytsawa ("como a minha mão")
6- Mytsyhyyytsawa usta tsyhy humo stuba ("como a minha mão e o dedo da
outra mão").
5
3
Conforme a proposta curricular para a "Área de Matemática", do documento Referencial Curricular
Nacional para as Escolas Indígenas (MEC 1998).
4
Ver o Capítulo 2 deste volume.
5
Conforme a proposta curricular para a "Área de Matemática", do documento Referencial Curricular
Nacional para as Escolas Indígenas (MEC 1998).
Atividade
Pesquisar métodos de contar e de registrar quantidades entre os mais
velhos da sua comunidade.
Quais os termos numéricos da língua? O povo usa termos numéricos em
português quando conta em língua indígena? Usa outros dialetos?
Como é feita a contagem? São usados os dedos da mão? E do pé?
Sementes e pedras?
Que método é usado para registrar quantidades? Nós em fio ou corda?
Traços ou outras marcas em madeira ou outro material? Foram adotados
os algarismos indo-arábicos (1, 2, 3, 4, 5...)?
As quantidades são agrupadas quando se faz a contagem? De 2 em 2, 5
em 5, 6 em 6, 10 em 10, 20 em 20, etc?
Os algarismos indo-arábicos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
A matemática é uma criação humana. Vários métodos foram criados para
registrar quantidades e fazer cálculos. Diferentes símbolos que, em alguns casos
viraram algarismos, foram desenvolvidos ao longo da história em diferentes partes
do mundo. Os próprios algarismos indo-arábicos têm história, isto é, não foram
criados do dia para a noite. Estes algarismos foram inventados por matemáticos
hindus, no Vale do Rio Indo que, atualmente, faz parte do Paquistão, um país
vizinho da índia, na Ásia. Confira, abaixo, as diferentes formas dos algarismos,
desde o ano 300 antes de Cristo (AC) até os dias de hoje (DC):
Depois de criados pelos hindus (povo que hoje vive majoritariamente na
índia), os árabes adotaram os algarismos e depois os europeus. Por isso são
chamados de algarismos indo-arábicos. Veja, no mapa a seguir, a localização do
Vale do Rio Indo, no Paquistão:
6
Adaptado do livro The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics , de George
Joseph(Londres: Penguin Books, 1990, p. 314).
Mapa do Vale do Rio Indo
7
Mas os algarismos indo-arábicos não foram os únicos registros numéricos
criados ao longo dos séculos. Um dos primeiros povos a criar um método de
representar os números foi o egípcio, que vivia no vale do Rio Nilo, no nordeste
da África. Vejam os símbolos criados pelos egípcios por volta do ano 3.000 AC,
ou seja, cerca de 5 mil anos atrás:
7
Reproduzido do livro Matemática Atual. 5a. Série, de Antônio José Lopes Bigode, pg. 8 (Atual Editora,
1994V
Símbolos criados pelos egípcios por volta do ano 3.000 A.C.
Reparem que o sistema é decimal porque trabalha com agrupamentos de
10: 10, 100, 1.000, 10.000, etc.
Para representar os números 257 e 426, por exemplo, os egípcios escreviam
assim:
Reparem que o valor dos números é a soma dos valores dos símbolos. O
mesmo acontece com o sistema de numeração decimal, representado por
algarismos indo-arábicos. Assim,
257 = 200+50 + 7 e 426 = 400 + 20 + 6
Já os Maias - povo que vivia na América do Norte e na América Central muito
antes da chegada dos europeus - desenvolveram um sistema de numeração de
base 20, isto é, agrupando de 20 em 20. Por volta do ano 500 A.C., os Maias já
usavam estes símbolos numéricos, e representavam os números 151 e 260, por
exemplo, da seguinte maneira:
8
8
Fonte de informações: "Representação dos Números", em Matemática Atrual. 5a. Série, de Antônio José
Lopes Bigode, pgs. 13 e 14 (Atual Editora, 1994).
Símbolos Maias representando os números de 0 a 20
O sistema de numeração romano, também criado na antigüidade, é usado
hoje em dia no Brasil e em outras partes do mundo, para representar os séculos
(século XX, por exemplo) e os capítulos de livros (como este Capítulo V, por
exemplo). Foi desenvolvido pelos romanos durante o Império Romano que, no
primeiro século antes de Cristo (século I AC), se estendia da Europa à Ásia e à
África. Roma, a capital da Itália (país localizado na Europa) substituiu os
algarismos romanos pelos indo-arábicos, porque era mais fácil fazer cálculos com
os indo-arábicos.
Os principais algarismos romanos são:
Notem que as operações de adição e subtração fazem parte da formação dos
algarismos romanos. Por exemplo:
VII é 5 +1+1 + 1 IX é 10-1 XL é 50-10 DC é 500+100
Vejam como se escrevem em algarismos romanos os seguintes números:
1500 1998
MD MCMXCVIII
1000 + 500 1000 + 1000 -100 + 100-10 + 5 + 1+1 + 1
679 2001
DCLXXIX MMI
500 +100 + 50 + 10+10+10-1 1000 + 1000 + 1
Atividades
~Crie símbolos para representar os números. Trabalhe com agrupamentos de
2, 5, 6, 10 ou 20, como quiser. Veja até que número você consegue chegar.
~ Escreva o ano em que você nasceu em algarismos romanos.
as Escreva a sua idade em algarismos romanos.
~ Escreva em algarismos romanos os seguintes números:
545 670 1857 2000 31000
~ Escreva em algarismos indo-arábicos os seguintes números:
IIIV XLI LVII LX XC
CX CCC DC DCL
M MC MCM MMD
O sistema de numeração decimal e os algarismos indo-arábícos.
Dos diferentes sistemas de numeração criados ao longo dos séculos -
egípcio, romano, maia, etc. - aquele que ganhou mais força foi o sistema decimal,
representado pelos algarismos indo-arábicos. Ele é hoje utilizado praticamente em
todo o mundo, nos mais diferentes contextos. Isto não quer dizer que outros
sistemas de numeração, que trabalham com agrupamentos de 2, 5, 6 ou 20 sejam
inferiores. Significa apenas que o sistema decimal e os algarismos indo-arábicos
formam, hoje, uma linguagem matemática universal, que permite a comunicação
dos diferentes povos. Por esta razão é importante estudar o sistema numérico
decimal.
Este sistema, como o termo indica (em latim, dez é "decem"), agrupa
números de 10 em 10. Cada um destes agrupamentos tem nome: unidade,
dezena, centena, milhar, milhão, bilhão, trilhão e assim por diante.
O zero é um elemento importante deste sistema. O símbolo 0, que
significa uma posição vazia, apareceu pela primeira vez no século IX ,
inscrito num objeto achado na índia. Era semelhante a um ovo de pato:
Outra idéia matemática que contribuiu para o desenvolvimento do
sistema de numeração decimal foi a noção de valor posicionai dos
símbolos. Mesmo antes dos hindus inventarem os algarismos indo-
arábicos, um desconhecido escritor egípcio já havia afirmado que "De lugar
em lugar, cada um vale 10 vezes o precedente".
9
Em outras palavras, isto
é o mesmo que dizer que a dezena vale 10 vezes a unidade, a centena 10
vezes a dezena, o milhar 10 vezes a centena e assim por diante.
9
O precedente é aquele que vem antes: a unidade vem antes da dezena; portanto, a dezena vale
dez vezes a unidade. E assim por diante.
Reparem, nos números abaixo, como o valor do 5 depende da posição
ocupada:
5 555 5 555 5 555 5 555
5 50 500 5 000
unidades unidades unidades unidades
A invenção do sistema de numeração decimal baseou-se, portanto,
na ligação destas 3 idéias:
~ invenção do 0;
~ agrupamentos de 10 (a base decimal);
~ valor posicionai do símbolo.
O ábaco
O ábaco é como uma máquina de fazer contas, ou seja, uma
máquina de calcular. Mas esta máquina não está programada para fazer
cálculos como as calculadoras que encontramos por aí. Nós é que o
programamos, mudando as miçangas ou pedrinhas de lugar, de acordo
com os agrupamentos desejados. Por esta razão, o ábaco permite trabalhar
com diferentes bases, isto é, com sistemas numéricos que operam com
agrupamentos de 2, 5, 10 ou 20 (os mais conhecidos).
Ao longo da história, muitos tipos de ábacos foram inventados.
Alguns povos da antigüidade faziam a contagem colocando pedrinhas em
buracos cavados no chão. Aqueles que agrupavam de 10 em 10
substituíam grupos de 10 pedrinhas por uma única pedra, depositada em
um buraco ao lado. As 10 pedras no buraco ao lado eram substituídas, por
sua vez, por outra pedra, colocada num terceiro buraco, dando origem ao
número 100. E assim por diante.
Os ábacos utilizados em escolas, bem como em lojas comerciais
orientais (japonesas, chinesas e coreanas, entre outras) geralmente são
caixas de madeira com miçangas enfiadas em hastes, fixas na moldura. No
sistema decimal, cada haste corresponde a agrupamentos de 10: unidade,
dezena, centena, milhar, etc.
Vejam, na foto abaixo, 3 tipos de ábaco. O primeiro, dourado e mais
à frente, é um ábaco chinês. O segundo, de madeira escura, é japonês. O
terceiro, de armação branca de plástico, é um ábaco romano.
Ábaco chinês, japonês e romano. Foto: Mariana K. Leal Ferreira
Na matemática Guarani-Kaiová, por exemplo, os agrupamentos são de 6
em 6. A regra para o uso do ábaco seria, portanto, "nunca 6", ou seja, cada
agrupamento de 6 teria de ser trocado por uma miçanga (ou pedra) da haste
seguinte.
Já as calculadoras estão programadas para operar com o próprio
sistema decimal. Isto significa que toda a linguagem matemática usada pela
calculadora e os cálculos que ela faz quando acionamos as teclas são
elaborados a partir de agrupamentos de unidades, dezenas, centenas,
milhares e assim por diante.
Quando fazemos a conta 15 + 38, a calculadora, automaticamente,
não permite que a "casa" ou lugar das unidades tenha mais que 9
unidades. Quando chega ao número 10, estas 10 unidades são trocadas
por uma só, que passa a ocupar o primeiro lugar à sua esquerda, ou seja, a
casa das dezenas. No caso da operação 15 + 38, a adição das unidades 5
e 8 dá 13. A calculadora automaticamente transforma 10 unidades em uma
dezena e "manda" esta dezena para a casa da esquerda (a gente diz, neste
caso, "vai 1"). As 3 unidades restantes ficam no seu lugar:
Desenho de Mairum Leal Ferreira
O mesmo acontece com a casa das dezenas: quando
ultrapassa 9 dezenas, ou seja, quando atinge 10 dezenas, a calculadora
manda uma dezena para a casa vizinha, a das centenas. São sempre
agrupamentos de 10: 10 unidades correspondem a uma dezena, 10
dezenas a uma centena, 10 centenas a uma unidade de milhar, e assim por
diante.
O mesmo acontece com as operações de subtração, multiplicação e
divisão. Na subtração, acontece a operação inversa: quando não se pode
subtrair uma unidade de outra, porque a primeira é menor do que a
segunda, empresta-se uma dezena da casa seguinte:
Com o empréstimo da dezena já é possível fazer a subtração,
porque 14 é maior do que 5. Por sua vez, o 8 que emprestou 1 dezena para
o quatro vira 7.
A calculadora está programada para fazer estas operações decimais,
em agrupamentos de 10. O ábaco não está. Nós o programamos.
Existem muitas maneiras de construir um ábaco, fazendo uso de
materiais os mais variados. Pode-se usar pedras ou sementes de diversos
tamanhos e cores, representando os agrupamentos trabalhados. Palitos de
sorvete e outros objetos podem ser pintados de azul, verde, vermelho,
amarelo, roxo, preto, onde cada cor representa, no sistema decimal,
unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, e assim por diante.
Atividades
~ Construa um ábaco. Use a imaginação e utilize os materiais disponíveis
na região.
~ Usando a regra do sistema decimal, represente no ábaco que você
criou diferentes números: o ano atual, o número de alunos da escola, a
população da casa, aldeia, área e/ou cidade onde mora, etc.
~ Pratique o jogo do professor Naru Canoé. Você mesmo pode construir
dados de papel ou de madeira, com número de lados variados (o mais
comum tem 6 lados, numerados de 1 a 6).
~Trabalhe com outros agrupamentos no ábaco, usando as regras de
"nunca 5" (para agrupamentos de 5) ou "nunca 20" (para agrupamentos
de 20).
~ Invente outros jogos com o ábaco.
JOGO
O professor Naru Canoé, em Rondônia, inventou um jogo de dados para ajudar a
compreender o sistema decimal. Cada jogador desenha numa folha de papel uma
fileira de 3 ou 4 círculos. Cada círculo representa o lugar das unidades, dezenas,
centenas, etc. O jogador lança o dado uma vez (ou mais vezes, a combinar) e
começa colocando a quantidade correspondente de miçangas, sementes ou
pedrinhas no lugar das unidades. Quando a quantidade ultrapassa nove, ele
substitui por uma pedrinha no segundo círculo, das dezenas. Depois de várias
rodadas, ganha o jogador que tiver o maior número registrado no ábaco. Ou,
então, ganha aquele que chegar primeiro ao número 100. É possível, ainda, usar
um mesmo ábaco, onde todos os jogadores depositam, cada um na sua vez, as
miçangas correspondentes ao lançamento do dado.
Jogo de dados de Naru Canoé
Capítulo VI
Enfim, as contas matemáticas!
O estudo das 4 operações fundamentais
+ adição
- subtração
X multiplicação
— divisão
Nem todos gostam de fazer contas, mas muitos querem aprender. Dominar
as 4 operações não significa apenas saber efetuar contas. A compreensão do
significado dos cálculos permite resolver situações práticas da vida, que são úteis
no dia-a-dia.
Na grande maioria dos livros de matemática, as operações são
apresentadas nesta ordem: adição em primeiro lugar, a divisão em último. Explica-
se que a adição é a forma mais fácil e "natural" de aprender. A conta de dividir,
por sua vez, deve ser a última, por ser a mais difícil, já que exige o conhecimento
anterior da adição e da subtração.
Entre diversos povos indígenas, porém, como os Juruna, Kaiabi e Xavante,
a atividade de dividir é realizada com freqüência nas atividades cotidianas. É isto
que Jaime Llullu Manchineri quis dizer quando afirmou, na abertura do livro, que o
amor também é matemática, porque se faz necessário repartir os bens com os
outros. A divisão de alimentos, por exemplo, é feita de acordo com vários critérios,
como as relações de parentesco.
Repartir carne de caça envolve estimativas e cálculos precisos. Muitas
vezes, não se trata de dividir em partes exatamente iguais, porque casas com
mais moradores ou idosos são privilegiadas, ou então a família do caçador tem
mais direito. Podem entrar em consideração, ainda, dívidas anteriores.
A divisão na vida cotidiana Xavante
As crianças Xavante da Área Indígena de Pimentel Barbosa, no Mato
Grosso, imitam os pais dividindo a caça, brincando com ossinhos de animais. Os
meninos brincam que chegam da mata carregando a caça, mas estão trazendo
cestos com ossos. A chegada da "caçada" é esperada na aldeia pelas meninas
que, como as mulheres, cortam, distribuem e preparam a "carne"- no caso os
ossinhos. As casas da aldeia, para onde são levadas a carne, são representadas
por círculos desenhados no chão. As melhores partes da "caça", simbolizadas
pelos ossos maiores, são distribuídas primeiro. Cada casa Xavante ganha a
própria cota. Em seguida, repartem-se os ossos médios e pequenos. As meninas
cuidam para que a divisão seja feita de maneira equitativa, garantindo "carne"
pará todos os moradores de cada casa.
Atividade
~ Como é feita a divisão de alimentos e outros bens na comunidade onde você
mora ou trabalha?
Desenho: Moisés Xavante
Adição e subtração
Se para as comunidades indígenas a divisão igualitária de bens e serviços
é essencial para garantir o bem-estar de todos, para as sociedades capitalistas
(do homem branco) o que importa é o acúmulo de riquezas. No Brasil, 10% da
população controlam 50% da riqueza do país! E os 50% mais pobres ficam com
apenas 10% do que é produzido pelo conjunto da sociedade.
Muitos estudiosos já mostraram que a história da matemática ensinada na
maioria das escolas brasileiras está intimamente ligada ao desenvolvimento do
capitalismo. Esta associação da matemática a este modelo econômico teve
conseqüências: acabou determinando conceitos e operações da matemática.
Exemplo: "dar" alguma coisa "exige" conta de "menos", a chamada conta de
subtração. Se tenho 17 cuias e dou 5, fico com 12, porque 17-5 = 12. "Ganhar"
algo, por sua vez, passou a requerer conta de "mais", ou de adição. Se tenho 8
peixes e ganho 2, fico com 10, porque 8 + 2 = 10.
Em sociedades basicamente igualitárias, como as indígenas, prevalece o
princípio de reciprocidade, ou seja, a obrigação de dar, receber e retribuir. Nestas
sociedades, "dar" e "receber" não pedem, necessariamente, conta de menos ou
de mais. Não é, portanto, porque dei algo, que vou ficar com menos. É que mais
tarde você vai retribuir o meu presente. Estas diferenças podem criar dificuldades
na hora de escolher operação matemáticas.
10
Por isso é importante saber quais as
ações ou pensamentos que "pedem", na matemática escolar, contas de adição,
subtração, multiplicação e divisão:
~ adicionar é juntar, reunir ou unir;
~ subtrair é tirar ou a diferença que existe entre 2 números;
~ multiplicar é juntar várias vezes a mesma quantidade; e
~ dividir é repartir em partes iguais.
Vejamos, em detalhe, cada uma destas operações.
A adição
~ A idéia mais comum associada à adição é a de juntar, reunir ou unir.
Na escola Guarani da Aldeia Boa Esperança, em São Bernardo do Campo,
no estado de São Paulo, estudam 17 meninos e sete meninas. Quantos
10
Ver Capítulo III deste volume.
alunos tem a escola?
17 + 7 = 24
A escola tem 24 alunos.
~ Outras idéias que pedem a adição são: ganhar, comprar, receber e
adicionar.
A biblioteca da Escola Boa Esperança tinha 21 livros. Os Guarani receberam
outros 15 livros. Quantos livros a escola tem agora?
21 +15 = 36
A escola tem 36 livros agora.
Alunos da Escola da Aldeia Krukutu, no município de São Bernardo do Campo, SP.
Foto: Mariana K. Leal Ferreira, 1998
Atividades
Resolva os seguintes problemas:
1. Existem 2 aldeias indígenas Guarani no litoral norte do Estado de São
Paulo: a aldeia Boa Vista, no município de Ubatuba, e a aldeia Rio Silveira,
em São Sebastião. Em Boa Vista moram 126 Guarani e em Rio Silveira,
285. Quantos Guarani residem no litoral norte do Estado de São Paulo?
2. A extensão da Área Indígena Boa Vista, em Ubatuba, é de 801 hectares. A
extensão da Área Indígena Guarani do Ribeirão Silveira é de 948 hectares.
Qual a extensão das 2 áreas indígenas Guarani?
3. Na Área Indígena Boa Vista funciona a Escola Indígena Tembiguai. Em
1997, havia 30 crianças estudando no período da manhã e 12 adultos
estudando à noite. Qual o total de alunos da Escola Indígena Tembeguai?
4. No município de Mongaguá, no litoral sul do Estado de São Paulo, há 2
aldeias: a Itaoca, com 105 pessoas, e a Aldeia Aguapeupe, com 60. Qual
é a população Guarani em Mongaguá?
5. Qual é a população escolar da comunidade onde você mora ou trabalha?
Quantas são crianças? E adultos? Qual é o número de homens? E de
mulheres?
Aldeia Rio Branco, Município de Peruíbe, Litoral Sul do Estado de São Paulo.
Foto: Mariana K. Leal Ferreira, 1998
- A subtração
~ A idéia mais comum associada à subtração é a de tirar.
Na biblioteca Guarani da Aldeia Itaoca há 12 livros, sendo 5 livros
escritos em Guarani. O professor João Carlos tirou os livros Guarani para
dar aula. Quantos livros ficaram na biblioteca?
12-5 = 7
Ficaram 7 livros na biblioteca.
~ Outras idéias que pedem a subtração são: dar, diminuir, perder, reduzir,
abandonar, descontar, cortar e comparar a diferença.
A população da Aldeia do Rio Branco é de 26 Guarani e a da Aldeia da Ilha do
Cardoso é de 21 Guarani. Ambas estão localizadas no litoral sul do Estado de
São Paulo. Quantos Guarani há a mais na Aldeia do Rio Branco?
Neste caso, estamos comparando a diferença populacional das 2 aldeias.
26 - 21 = 5
Na Aldeia do Rio Branco há 5 Guarani a mais do que na Aldeia do Cardoso.
~ Uma última situação que pede uma subtração é ligada à idéia de completar
ou quantos faltam para...
Na Escola Indígena Tembiguai, na Área Indígena Boa Vista, há 30 crianças
estudando no 1
o
grau (1
a
a 4
a
séries). Do total, 20 já completaram a 2
a
série. Quantas faltam completar a 2
a
?
30 - 20 = 10 10 alunos faltam completar a 2
a
série.
Desenho: Gildo da Silva Guarani, aluno da Escola da Aldeia Krukutu
Atividades
Consulte a tabela abaixo, com dados sobre a população das aldeias
Guarani no litoral do Estado de São Paulo (dados de 1998), e responda as
questões:
Ilha do
Cardoso
Rio
Branco
Itaoca
Agua-
peupe
Homens
13
16
?
32
Mulheres
8
?
55
28
Total
?
26
105
?
1. Qual é a população da Ilha do Cardoso?
2. Quantas mulheres há no Rio Branco?
3. Quantos homens há em Itaoca?
4. Qual é a população de Aguapeupe?
5. Quantos homens há nas 4 aldeias?
6. Quantas mulheres há nas 4 aldeias?
7. Qual é a população total das 4 aldeias?
X A multiplicação
~ A idéia mais comum associada à multiplicação é a de juntar várias vezes a
mesma quantidade.
Em uma sala de aula da Escola do Bananal, no município de Peruíbe, há 5
fileiras de carteiras. Cada fileira tem 6 carteiras. Quantas carteiras há
nesta sala de aula?
5 x 6 = 30
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
Há 30 carteiras na sala de aula.
Outras idéias que sugerem multiplicação são: duplicar e dobrar (multiplicar
por 2), triplicar (multiplicar por 3), quadruplicar (multiplicar por 4),
quintuplicar (multiplicar por 5), etc.
Além disso, há várias formas de representar uma multiplicação:
usando o sinal x, como em 3 x 4
usando o ponto . , como em 3 . 4
usando o asterisco * , como em 3 * 4 (aparece em calculadoras e computadores).
Alunos da Escola do
Bananal, município de
Peruíbe, S.P. Foto:
Mariana K. L. Ferreira,
1998
Atividades
1. Se a população da Aldeia Itaóca, que é hoje de 105 indivíduos, dobrar
em alguns anos, qual será este total? E se a população triplicar?
2. Hoje a Aldeia da Barragem tem 2 salas de aula com 30 carteiras em
cada. Se forem feitas mais duas salas de aula com o mesmo número de
carteiras em cada, quantas carteiras a escola terá ao todo?
3. Na biblioteca da Escola Krukutu há uma estante com 5 prateleiras. Se
forem colocados 35 livros em cada prateleira, quantos livros terá a
estante?
4. Na Escola Guarani do Rio Silveira usa-se mesas em vez de carteiras.
Em cada mesa podem sentar 8 crianças. Quantas crianças podem
sentar nas 8 mesas do pátio da escola?
5. Um aluno Guarani da Escola Krukutu vai usar papel quadriculado para
fazer um desenho geométrico. Quantos quadradinhos há no papel que
ele vai usar?
Desenho: Gildo da Silva Guarani, aluno da Escola da Aldeia Krukutu
A divisão
~ A idéia mais comum associada à divisão é a de repartir em partes iguais.
Na Escola da Aldeia Krukutu o professor Paulo vai repartir 50 lápis para 25
alunos. Quantos lápis cada aluno vai ganhar?
Professor
Paulo
Guarani e
alunos da
Escola da
Aldeia
Krukutu.
Foto:
Mariana K.
Leal
Ferreira,
1998
50 +25 = 2
Cada aluno vai ganhar 2 lápis.
Esta é uma conta sem restos, ou seja, é exata porque não sobraram lápis. Se ao
invés de 50 lápis eu tenho 55, então 50 * 25 = 2 e sobram 5 lápis, que não
podem ser divididos entre os 25 alunos. A conta, no caso, não é exata.
Observem:
número de lápis -> 55 25 |<- número de alunos (divisor)
(resto) lápis que sobraram -> 5 2 <- lápis por aluno
Notem que 2 x 25 = 50
Observações importantes:
# Se o resto = 0, a conta é exata.
# O divisor seve ser sempre diferente de zero. Não se divide por zero.
# O resto deve ser sempre menor do que o divisor.
~ Outras idéias que pedem divisão são as seguintes: partir, fracionar, separar,
formar grupos e repartir.
A divisão também deve ser vista como uma operação inversa da multiplicação.
Isto quer dizer que se 5 x 7 = 35, então 35 * 7 = 5.
Outros exemplos de situações-problema em que podemos usar a divisão:
Comprei 50 quilos de arroz. O arroz veio embalado em 10 sacos. Quanto
pesa cada saco?
50 : 10 = 5 Cada saco pesa 5 quilos.
Um quilo de prego custa 2,00 reais. Quantos quilos de prego posso comprar
com 20,00 reais?
20,00:2,00= 10
Posso comprar 10 quilos.
A matemática na farmácia
Uma atividade que exige o domínio das 4 operações matemáticas é a de
prescrever remédios. Agentes de saúde em todo o Brasil são confrontados com a
medição, o cálculo de medicamentos e as tabelas de horários.
Medindo a quantidade de solução reidratante
Para entender estes cálculos, vamos examinar uma tabela que estipula a
quantidade de solução reidratante oral (SRO) que deve ser dada para crianças
com diarréia (4 a 10 evacuações por dia) e desidratação (caracterizada por
sintomas como vômito, sede acima do normal, urina em pequena quantidade,
indisposição, boca e língua secas, e respiração e pulso mais rápidos do que o
normal). Estas indicações constam do manual Saúde Yanomami. elaborado pela
Comissão Pró-Yanomami em 1985. A desidratação é muito séria e é a maior
causa da mortalidade infantil no Brasil. A solução reidratante oral é fácil de ser
preparada e é um remédio muito eficiente.
Atividades
~ Entre as divisões seguintes, quais são exatas? Faça as contas no
caderno.
a) 75 :5 b)85:10 c) 240 : 2 d)240: 4
e)100 :20 f)1233 :3 g) 1234 :4 h) 1234 : 5
~ Um avião monomotor pode levar 5 passageiros e 500 quilos de
bagagem. Quantos quilos de bagagem cada passageiro pode levar?
~ Colhemos cerca de 300 litros de mel. Quantos latas de 20 litros podemos
encher com este mel?
~ Temos 490 litros de combustível para 7 aldeias. Como dividir a
combustível para que todos recebam a mesma quantidade?
COMO PREPARAR A SOLUÇÃO REIDRATANTE ORAL (SRO)
1. Lave as mãos.
2. Em um recipiente limpo coloque 1 litro de água fervida. Acrescente:
1 COLHER DE CHÁ RASA DE SAL (colher pequena, de 4 a 5 ml). Note que ml
quer dizer mililitro. Cada mililitro é 1 milésimo (1/1000) de litro.
4 COLHERES DE CHÁ BEM CHEIAS DE AÇÚCAR e mexa muito bem.
3. Verifique na tabela a seguir a quantidade de solução necessária para tratar a diarréia
ou a desidratação, de acordo com o peso da criança (ou do adulto).
Catarina
Guarani
pesquisa a
saúde de
povos
indígenas.
Aldeia
Itaóca,
1988.
Foto:
Mariana K.
Leal
Ferreira
COMO CALCULAR A SOLUÇÃO REIDRATANTE ORAL
Se a diarréia continuar, use o método 1 ou o método 2 para prevenir que a desidratação volte
Note que há uma relação entre o peso da criança (ou do adulto) e a
quantidade da solução reidratante oral. Para cada quilo, a tabela estipula que
se ofereça entre 65 e 100 ml da solução. As medidas são aproximadas. Quem
pesa 3 quilos toma cerca de 200 ml, e quem tem 4 quilos toma 400. Quem
pesa entre 3 e 4 quilos deve beber entre 200 e 400 ml, ou seja, cerca de 300
ml.
Quem tem 15 quilos recebe 1200 ml e quem pesa 20, 1500 ml. Uma
criança pesando 17 ou 18 quilos vai tomar, portanto, entre 1200 e 1500 ml.
Quem pesa 30 quilos precisa beber 2500 ml, e quem pesa 40 quilos 3500.
Neste caso, o médico que elaborou a tabela calculou 100 ml para cada quilo
de peso. Temos, portanto, a seguinte relação:
30 quilos: 2500 ml 36 quilos: 3100 ml
31 quilos: 2600 ml 37 quilos: 3200 ml
32 quilos: 2700 ml 38 quilos: 3300 ml
33 quilos: 2800 ml 39 quilos: 3400 ml
34 quilos: 2900 ml 40 quilos: 3500 ml
35 quilos: 3000 ml
O mesmo acontece com uma pessoa que tem entre 40 e 50 quilos. É fácil
calcular, assim, quantos ml um adulto com 60 quilos deve tomar. Para 50
quilos são 4500 ml. Se forem mais 10 quilos, são mais 1000 ml. É fácil:
10 x 100 ml = 1000 ml . Quem pesa 60 quilos, portanto, vai tomar 5500 ml:
4500 + 1000 = 5500.
O soro de reidratação oral permite trabalhar com medidas aproximadas,
como 1 copo alto, que tem 200 ml. Para calcular a quantidade de soro em
copos, divida os ml por 200. Por exemplo:
4500 ml -=- 200 = 22,5 (22 copos e meio). Esta quantidade é para um adulto
com 50 quilos, durante as primeiras 4 ou 6 horas de desidratação.
Sabendo que 1 litro tem 1000 ml, podemos fazer o cálculo também em litros:
4500 :1000 = 4,5 litros (4 litros e meio).
Atividades
Consulte a tabela anterior e responda:
~ Qual a quantidade em ml de SRO que uma criança que pesa 5 quilos
deve tomar?
~ Qual a quantidade em ml de SRO que uma criança de 10 quilos deve
receber? E em copos?
~ Quantos copos de SRO vão para uma criança com 20 quilos?
~ Quantos litros de SRO um adulto de 50 quilos deve consumir?
~ E um adulto de 60 quilos?
Tabelas de horários
A maioria dos remédios deve ser tomada com intervalos estipulados em
horas. É que fica fácil fazer uma tabela de horários com estas divisões.
Digamos que o remédio começou a ser tomado à meia-noite (00:00, o
mesmo que zero hora) da 2
a
-feira, e vai ser dado ao doente de 6 em 6 horas. Veja
como fica a tabela:
2
a
-feira
00:00
6:00
12:00
18:00
00:00
3
a
-feira
00:00
6:00
12:00
18:00
00:00
4
a
-feira
00:00
6:00
12:00
18:00
00:00
5
a
-feira
00:00
6:00
12:00
18:00
00:00
6
a
-feira
00:00
6:00
12:00
18:00
00:00
E se o remédio for tomado a cada 8 horas?
Repare que o paciente vai tomar o remédio sempre no mesmo horário. Fica fácil
para ele e o agente de saúde.
Veja o que aconteceria com os horários se o remédio fosse tomado a cada 5
horas:
Para evitar esta confusão, os médicos costumam receitar os remédios a
cada 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou mesmo 24 horas. Se você dividir 24 por qualquer um
destes números, a conta vai ser exata. Isto facilita para quem tiver tomando conta
do doente. Veja bem:
2
a
-feira
00:00
8:00
16:00
00:00
3
a
-feira
00:00
8:00
16:00
00:00
4
a
-feira
00:00
8:00
16:00
00:00
5
a
-feira
00:00
8:00
16:00
00:00
6
a
-feira
00:00
8:00
16:00
00:00
2
a
-feira
00.00
5:00
10:00
15:00
20:00
3
a
-feira
1:00
6:00
11:00
16:00
21:00
4
a
-feira
2:00
7:00
12:00
17:00
22:00
5
a
-feira
3:00
8:00
13:00
18:00
23:00
6
a
-feira
4:00
9:00
14:00
19:00
00:00
24 : 1 = 24 O remédio é dado a cada 1 hora, 24 vezes por dia.
24: 2 = 12 O remédio é dado a cada 2 horas, 12 vezes por dia.
24 : 3 = 8 O remédio é dado a cada 3 horas, 8 vezes por dia.
24 : 4 = 6 O remédio é dado a cada 4 horas, 6 vezes por dia.
24 : 6 = 4 O remédio é dado a cada 6 horas, 4 vezes por dia.
24 : 8 = 3 O remédio é dado a cada 8 horas, 3 vezes por dia.
24:12 = 2 O remédio é dado a cada 12 horas, 2 vezes por dia.
24 : 24 = 1 O remédio é dado a cada 24 horas, 1 vez por dia.
Atividades
~ Um agente de saúde vai tratar de 4 pacientes. Todos vão começar a
tomar remédio às 10:00 de uma 2
a
-feira. Calcule os horários dos
medicamentos dos 4 pacientes.
1) o primeiro vai tomar remédio de 3 em 3 horas
2) o segundo vai tomar remédio de 6 em 6 horas
3) o terceiro vai tomar remédio de 8 em 8 horas
4) o quarto vai tomar remédio de 12 em 12 horas.
~ Qual é a melhor hora (ou horas) para o paciente que vai ser medicado
de 8 em 8 horas tomar o primeiro comprimido?
~ Qual é a melhor horário de medicação para um paciente que vai
tomar remédio de 12 em 12 horas?
Capítulo VII
Trabalhando com mapas
Mapas representam, no papel, aquilo que existe na Terra: florestas, rios,
montanhas, terras indígenas, estradas, cidades, fazendas, garimpos, etc. Podem
mostrar, também, o céu, o subsolo e os oceanos. Observe o mapa do mundo
elaborado por Antônio Shawanawá:
1
1
Reproduzido de Geografia Indígena, de autoria dos professores indígenas do Acre, pg. 59
(Comissão Pró-índio do Acre, Rio Branco, 1992).
O mapa de Antônio Shawanawá mostra, entre outras coisas, a Amazônia, o
Brasil e outros países, como o Peru e a Espanha. Antônio situa estas terras no
"mundo inteiro", juntamente com os planetas, o sol, a lua e as estrelas.
A leitura e o traçado de mapas são atividades ligadas ao estudo do espaço
e das formas. Este campo da matemática, tratado neste capítulo, inclui idéias e
intuições sobre a forma e o tamanho de figuras e objetos, bem como a posição ou
a localização que ocupam no espaço. Diz respeito, também, às noções de direção
e de orientação espacial. O estudo do espaço e das formas é muito útil para
descrever ou representar o mundo que nos cerca.
Veja, na página seguinte, outro mapa de Antônio Eutxishane Shawanawá.
Antônio quer mostrar as águas, isto é, os rios e os igarapés da terra indígena onde
mora. O mapa de Antônio inclui "legenda" e "escala".
A legenda indica os sinais usados para representar, no mapa, os rios
principais, igarapés, igarapezinhos, lagos, cabeceiras dos rios, etc.
A escala indica o tamanho usado para representar a Área Indígena
Shanenawa. No mapa, 1 centímetro (cm) eqüivale a 2 horas de caminhada. Isto
permite calcular as distâncias em horas, de caminhada. Por exemplo: a distância
em linha reta entre os dois lagos representados no mapa é de 4 centímetros. Se 1
centímetro eqüivale a 2 horas de caminhada, 4 centímetros eqüivalem a 8 horas
de caminhada (4x2 = 8).
Atividades
Usando a legenda do mapa de Antônio Shawanawá, localize:
~ os rios principais
~ os igarapés
~ os igarapezinhos
~ os igapós e
~ os lagos
Usando a escala do mapa, calcule o tempo de caminhada entre:
~ a nascente do Igarapé Bara e a nascente do Igarapé Água Branca
~ a boca (onde deságua) do Igarapé Broné e a boca do Igarapé São Bento
~ a nascente e a boca do Igarapé Novo Acordo
~ a boca do Rio Valparaíso e a boca do Riozinho
Mapas feitos por cartógrafos, encontrados em atlas, livros de história,
geografia e documentos que identificam e demarcam terras indígenas, também
trabalham com legendas e escalas. Além disso, usam pontos cardeais (norte, sul,
leste e oeste) para indicar as direções.
Legenda
Para entender os sinais e as cores usados nos mapas, os cartógrafos
fazem legendas. No Livro de Mapas - Território Waiãpi, os sinais escolhidos
foram:
2
2
Livro de Mapas - Território Waiãpi. Centro de Trabalho Indigenista, São Paulo, 1992, pg. 5.
Veja alguns sinais usados em mapas do Instituto Socioambiental, em
publicações sôbre povos indígenas no Brasil:
Direção
A maioria dos mapas desenhados por cartógrafos indica o norte pará cima,
o sul para baixo, o leste para o lado direito do mapa e o oeste, para o lado
esquerdo. A rosa dos ventos indica esta orientação. Veja na página seguinte o
mapa de Matari Kaiabi feito para o livro Geografia Indígena:
3
3
Reproduzido de Geografia Indígena, de autoria dos professores indígenas do Parque Indígena do
Xingu, pg. 4 (Instituto Socioambiental, São Paulo, 1996).
O lugar onde o sol nasce é chamado de leste. *
* O oeste é o lugar onde o sol desaparece.
Se apontamos, ao mesmo tempo, o braço direito para o leste e o
esquerdo para o oeste, teremos:
O norte à nossa frente, o sul atrás de nós.
Atividades
~ Desenhe, numa folha de papel, a parte de dentro de sua casa. Mostre a
posição das redes ou camas, a cozinha e as divisões internas, se
houver.
~ Desenhe, em outra folha de papel, a parte de fora da sua casa. Mostre
outras casas e os caminhos que ligam as casas entre si, e as casas aos
rios, às roças e ao campo de pouso.
Se você mora em uma vila ou na cidade, mostre as ruas ou estradas e
outras coisas que você achar importante.
~ É possível criar uma legenda para o desenho que você fez? Por exemplo,
invente um símbolo para as casas, outros para as roças, os caminhos,
ruas ou estradas, etc.
Indique no seu desenho:
- para que lado nasce o sol (leste)
- para que lado desaparece o sol (oeste)
- o norte
- o sul
~ Desenhe, neste mapa, a rosa dos ventos
Escala
Os mapas podem ter diferentes tamanhos. Podemos ocupar uma folha de
papel como esta, com o desenho de uma cidade ou até de um país inteiro. Ou
então podemos desenhar um mapa de uma terra indígena, do mesmo tamanho
que o mapa do Brasil. Dizemos, nestes casos, que estamos trabalhando com
escalas diferentes.
Exemplos de ESCALA
Mapa da Área Indígena Parabubure com Aldeias Xavante
Mapa da Área Indígena Parabubure no Mato Grosso
Os 2 mapas da Área Indígena Parabubure estão representados por escalas
diferentes. No primeiro mapa, cada centímetro (cm) do desenho corresponde a
6 quilômetros (km) do tamanho real da área. Na linguagem cartográfica, esta
proporção pode ser representada por 2 tipos de escala: a escala gráfica e a
escala numérica.
Escala gráfica:
Cada cm do mapa vale 6
km do tamanho real da área
Escala numérica
1: 600.000 Cada cm do mapa vale 600 mil cm ( o
equivalente a 6 km) do tamanho real da área
Reparem que a proporção é a mesma, mas a representação é diferente:
uma é gráfica, a outra numérica.
A escala gráfica é mais fácil de ser compreendida do que a escala
numérica. Volte atrás e olhe o mapa da Área Indígena Parabubure com as Aldeias
Xavante. Não é difícil calcular a distância entre as aldeias se sabemos que cada
centímetro do mapa eqüivale a 6 quilômetros. Com uma régua, conseguimos uma
medida mais exata.
Por exemplo: a distância entre a Aldeia Paraíso e a Aldeia Barreiro é de 4
centímetros. Se cada centímetro valer 6 quilômetros, fazer a seguinte conta:
4 X 6 = 24 km
A distância entre a Aldeia Paraíso e a Aldeia Pedra Preta, no mapa, é de 6
centímetros. Portanto, 6 X 6
=
36 km.
Notem que estas distâncias são medidas em linha reta, como a trajetória
de um avião. A pé ou de carro, a distância deve ser maior, por causa das curvas
dos caminhos.
Como fazer para encontrar a escala gráfica de um mapa
Para representar a escala gráfica de um mapa, é preciso saber a distância
real entre 2 pontos do mapa, ou seja, entre 2 aldeias ou entre 1 aldeia e 1 cidade,
cabeceira de rio, roça, garimpo, aeroporto, etc. Depois é só medir a mesma
distância no mapa e calcular. Vejamos como proceder, usando o mapa da Aldeia
Tuba-Tuba, na beira do rio Xingu, que Tarinu Juruna desenhou (consulte o mapa a
seguir).
Mapa da Aldeia Tuba-Tuba, no Parque Indígena do Xingu. Desenho: Tarinu Juruna
A distância da porta da casa de Carandine Juruna até a beira do rio Xingu,
na época da seca, é de 60 metros. No mapa de Tarinu, essa distância é de 6
centímetros. A conta é fácil: dividimos a distância real pela distância do mapa:
60 metros : 6 = 10 metros
Portanto,
1
centímetro do mapa de Tarinu vale 10 metros do tamanho
real da aldeia. A escala gráfica do mapa de Tarinu é:
A partir desta escala, é possível calcular outras distâncias do mapa de
Tarinu, como por exemplo a distância entre a casa do Adirrá e a casa do
Carandine. Usando uma régua, meça a distância em centímetros entre as 2 casas.
Multiplique o número de centímetros por 10, porque no mapa de Tarinu 1
centímetro é igual a 10 metros (1 cm = 10 m). O resultado da operação é a
distância, em metros, de uma casa a outra.
A partir da escala gráfica podemos achar a escala numérica. Sabemos que
1 centímetro do mapa de Tarinu vale 10 metros. Como a escala numérica é toda
em centímetros, precisamos transformar os metros em centímetros. Se 1 metro
tem 100 centímetros, 10 metros tem 1000 centímetros (10 x 100 = 1000). A
escala numérica do mapa de Tarinu é, portanto, 1: 1000 (que se lê "1 para 1000",
ou seja, 1 centímetro do mapa vale 1000 centímetros do tamanho real da aldeia).
Esta escala, 1: 1000, é uma escala pequena e por esta razão o mapa de Tarinu
mostra casas, caminhos e canoas.
Já numa escala maior, como a da Área Indígena Parabubure, mostrada
anteriormente, a proporção de 1 centímetro para 6 quilômetros não permite que se
mostre tantos detalhes. O mapa que localiza a Área Indígena Parabubure, no
Mato Grosso, dá ainda menos detalhes. Neste caso, a escala é maior (1:
6.500.000), porque inclui todo o estado do Mato Grosso. É impossível mostrar
todas as terras e aldeias indígenas mas, em compensação, o mapa representa
uma área muito maior (todo o Mato Grosso).
Vamos representar a escala gráfica e a escala numérica do mapa da
Região Norte do Brasil.
Mapa da Região Norte do Brasil
1. Sabemos que a distância real entre as cidades de Porto Velho, em Roraima
(RO), e Palmas, no Tocantins (TO), é de 1710 quilômetros (poderíamos
trabalhar com qualquer outra distância, mas escolhemos esta).
2. Usando uma régua, medimos, no mapa, a distância entre Porto Velho e
Palmas. Dá 9 centímetros.
3. Dividimos 1710 (a distância real) por 9 (a distância do mapa).
1710 : 9 = 190
4. 1 centímetro do mapa vale 190 quilômetros, 2 centímetros valem 380 (190 +
190), 3 centímetros valem 570 (190 + 190 + 190) e assim por diante. A escala
gráfica, em quilômetros é a seguinte:
5. Para encontrar a escala numérica, temos de transformar a relação 1 cm =
190 km em centímetros. Cada quilômetro tem 100.000 centímetros (1 metro
tem 100 cm e 1 km tem 1000 metros e, portanto, 100 x 1000 = 100.000). Faça,
então:
190 x 100.000 = 19.000.000 (19 milhões).
A escala numérica é: 1:19.000.000
A partir destas escalas, podemos encontrar as distâncias entre outras
cidades do mapa da região Norte. O mais fácil é trabalhar com a escala gráfica.
Usando esta escala, vamos calcular a distância real entre as cidades de
Manaus e Belém.
1. Usando uma régua, meça a distância entre as duas cidades em centímetros.
Deu 7 centímetros.
2. Se 1 centímetro do mapa vale 190 centímetros da distância real, faça a conta:
7x190 = 1.330 km
Atividades
Consulte o mapa da Região Norte usando a escala abaixo. Responda:
I I I I I
0 190 380 570 760 km
1. Qual é a distância real entre as cidades de Boa Vista e Rio Branco?
2. Qual é a distância real entre as cidades de Porto Velho e Belém?
3. Qual é a distância real entre as cidades de Macapá e Belém?
4. Qual é a distância real entre as cidades de Rio Branco e Palmas?
5. Qual é a distância real entre as cidades de Manaus e Palmas?
Perímetro e Área
Para demarcar a Área Indígena Parabubure, os técnicos da Funai,
acompanhados pelos Xavante, tiveram de abrir picadas e colocar placas e cercas
ao redor de toda a extensão do território. Para fazer este trabalho, o pessoal
percorreu 294 mil e 364 quilômetros (294.364 km). Esta medida é o perímetro da
Área Indígena Parabubure.
Toda a superfície de terra que ficou cercada por este limite é, por sua vez, a
área da Área Indígena Parabubure: 224 mil e 447 hectares (224.447 ha). Notem
que há dois significados para a palavra área:
1. área significa terra ou território indígena (como em Área Indígena Parabubure);
2. área é uma medida de superfície, isto é, a extensão de terra compreendida
entre os limites de um território.
Perímetro e área são também duas medidas cartográficas importantes. A
maioria dos mapas trazem estas informações. Em geral, o perímetro de uma terra
indígena é apresentado em quilômetros e a área em hectares.
Calculando áreas e perímetros
Para entender como são calculadas estas medidas, vamos estudar a planta
da Escola da Aldeinha, localizada na Área Indígena Parabubure e apresentada na
página seguinte. A planta é um tipo de mapa. É feita em escala pequena para
mostrar os detalhes da construção de uma casa, escola ou prédio. Vamos
calcular os perímetros e áreas das salas de aula e da casa da professora.
Esta escola foi construída pelos Xavante em 1978. É feita de adobes
(tijolos que não são queimados) e coberta de palha de buriti. A construção tem 3
divisões principais: 2 salas de aula e a casa da professora. Esta casa é dividida,
por sua vez, em quarto e cozinha.
Vamos às medidas representadas na planta:
~ o comprimento total da construção é de 12 metros;
~ cada sala de aula mede 4 metros de comprimento por 4 metros de largura
(4 x 4);
~ a casa da professora também mede 4 metros de comprimento por 4 de largura
(4x4);
~ a cozinha da professora mede 4 metros de comprimento por 2 metros de
largura (4 x 2);
~ o quarto da professora também mede 4 metros por 2 metros (4 x 2).
Usando estas medidas podemos calcular o perímetro e a área da escola.
Planta e desenho da Escola da Aldeinha
Perímetro. Sabendo que o perímetro é a medida ao longo do contorno de uma
forma, vamos calcular o perímetro da escola, das salas de aula e da casa da
professora.
Perímetro da escola. Para fazer este cálculo, juntamos as medidas dos lados da
escola:
12 + 12 + 4 + 4 = 32
O perímetro da escola é de 32 metros. Observem que 2 lados da escola
medem 12 metros e 2 lados medem 4 metros. Uma figura de 4 lados como esta é
chamada de retângulo.
Perímetro das salas de aula e da casa da professora. O mesmo cálculo é feito
para as salas de aula e a casa da professora.
4 + 4 + 4 + 4 = 16
O perímetro de cada sala de aula e da casa da professora é de 16 metros. Cada
um dos lados mede 4 metros, ou seja, os lados têm medida igual. Quando isto
acontece, chamamos a figura de quadrado.
A casa da professora é dividida em 2 cômodos, com a mesma medida (4
metros de comprimento e 2 metros de largura). O perímetro de cada um destes
cômodos (quarto e cozinha) é:
4 + 4 + 2 + 2 = 12 metros
Área da Escola. A área da escola é todo o espaço de dentro da escola.
Para calcular a área, multiplicamos os lados do retângulo:
12 metros x 4 metros = 48 metros quadrados
Metros quadrados (m
2
) é a unidade de medida porque multiplicamos 12
metros por 4 metros. 48 m
2
significa que a área da escola é composta de 48
quadrados de 1 metro quadrado cada um. Veja:
Em vez de contarmos todos os quadrados, multiplicamos 12 por 4, o
número de quadrados de cada lado da escola.
Área das salas de aula. O mesmo procedimento deve ser seguido para calcular a
área das salas de aula.
A área de cada sala de aula é de 16 metros quadrados (16 m
2
). Esta é a
medida real da área da escola.
É fácil calcular as áreas contando os quadradinhos. Poderíamos contar, por
exemplo, os quadradinhos da área de cada sala de aula:
4 m x4 m = 16 m
2
Temos 16 quadradinhos e, assim, a área de cada sala de aula é
equivalente a 16 metros quadrados (m
2
). Isto é o mesmo que fazer: 4x4 = 16.
E se você tiver que encontrar a área de um quadrado de 40 cm x 40 cm?
Contar os quadrados seria muito cansativo. Quando trabalhamos com medidas
maiores, a maneira mais fácil de encontrar as áreas de quadrados ou retângulos é
multiplicar os lados.
No caso de um quadrado de 40 cm x 40 cm, a área é igual a 40 x 40 = 1600
cm
2
. No caso de uma retângulo de 60 km x 40 km, a área totaliza 2400 km
2
.
Terras indígenas raramente são quadradas ou retangulares. Isto é, os lados
dificilmente são iguais. Não é fácil, portanto, calcular áreas e perímetros dessas
terras. Este trabalho é feito por cartografes e outros técnicos.
Saber o que representa uma medida de área é importante pará estabelecer
comparações entre os tamanhos dos territórios. Quando os limites do território são
alterados há, geralmente, uma mudança na medida da área.
Existem inúmeras maneiras de estudar estas medidas. Vejam como os
professores Bororó, do Projeto Tucum, estão aplicando estes conhecimentos:
CUIABANO
Nós cursistas do Projeto Tucum, da Aldeia do Córrego Grande, na segunda etapa
de formação de professores, de fevereiro a junho de 1997, fizemos um trabalho
sobre as medidas de um baquité, banico e também do bote cuiabano. Fizemos do
bote cuiabano porque tínhamos construído vários botes na aldeia e achamos
interessante tirar as medidas dele.
A madeira utilizada para fazê-lo é cedro, pois é leve, boa para pregar, não racha e
é resistente. São necessários 4 folhas de tábua, 2 quilos de corrente, 1 cadeado, 3
quilos de piche e 1 quilo de pregos de tamanho médio.
São necessários 2 dias de serviço de 2 pessoas para a sua construção.
Comprimento do bote: 6 metros
Largura do bote no meio: 69 centímetros
Largura do bico: 18 centímetros
Caída do bico: 1, 23 metros
Largura da popa: 32 centímetros
Altura da popa: 11 centímetros
Caída da popa: 1, 27 metros
(Benedito, Neide, Daniel)
INDICAÇÕES PARA CONSTRUÇÃO DE UM BOTE
Benedito, Neide e Daniel, professores indígenas que participam dos cursos
de formação do Projeto Tucum,
4
no Mato Grosso, trabalharam com 2 medidas de
comprimento para construir o bote cuiabano: centímetro (cm) e metro (m). Eles
escolheram estas unidades de medida porque estão estudando o sistema métrico,
que usa centímetros e metros para fazer medições.
Observe, na tabela abaixo, os valores das principais unidades de medida
usadas em mapas, plantas e outros projetos de construção, como o do bote
cuiabano.
Conhecer as medidas de comprimento (milímetro, centímetro, metro e
quilômetro) e as medidas de superfície (centímetro quadrado, metro quadrado,
quilômetro quadrado e hectare) é importante para entender o "mundo dos
brancos", para trabalhar com as histórias e as geografias indígenas, e para
elaborar projetos que promovam a auto-sustentação dos povos indígenas.Na
opinião do professor Luiz Xavante, da Aldeinha,
4
O Projeto TUCUM tem como objetivo a formação de professores indígenas. Possui 4 pólos de atuação:
Paranatinga, Água Boa, Juara e o Polo III, localizado na Aldeia Meruri, no município de General Carneiro, no
Mato Grosso. O Polo III produz o Jornal do Tucum Boe-Bororo. que publicou as indicações para a construção
do bote cuiabano na edição de setembro de 1997, na página 7.
Medidas de comprimento:
~ quilômetro (km) 1 km = 1000 m
~ metro (m) 1 m = 100 cm
~ centímetro (cm) 1 cm = 10 mm
~ milímetro (mm) 1 mm = 0,1 cm
Medidas de superfície:
~ hectare (ha) 1 ha = 10.000 m
2
~ quilômetro quadrado (km
2
) 1 km
2
= 1.000.000 m
2
~ metro quadrado (m
2
) 1 m
2
= 10.000 cm
2
~ centímetro quadrado (cm
2
) 1 cm
2
= 100 mm
2
Quando eu dou aula de geografia, eu uso muita matemática. Os alunos gostam de
aprender a desenhar mapas e para isso temos que calcular todas as medidas: a
área, o perímetro, o tamanho das aldeias, a distância das cidades. Hoje nós
desenhamos o mapa da Área Indígena Parabubure. Pintamos os rios de azul e a
terra de verde. Os limites da terra, pintamos de vermelho, a nossa cor preferida. É
a cor que simboliza a nossa luta pela demarcação. (Professor Luiz Xavante, da
Aldeinha)
Desenho: Lino Tsere'a Xavante, da Aldeinha.
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Centro Ecumênico de Documentação e Informação (CEDI)
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CEDI/PETI
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CPI-Acre.
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Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em
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1994 Com quantos paus se faz uma canoa! A matemática cotidiana e na
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1994 Histórias do Xingu. Coletânea de depoimentos dos índios
Suyá, Kavabi, Juruna, Trumai, Txucarramãe e Txicão.
Organização e Introdução. São Paulo: Núcleo de História Indígena
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Lea, Vanessa
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das Letras.
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