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MANOEL JOSÉ DECON
CONCEPÇÃO DE UM AMBIENTE HIPERMIDIA
PARA A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção
do grau de Mestre.
Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e
Sistemas
Universidade Federal de Santa Catarina
Orientadora: Prof
a
. Dr
a
. Vânia Ribas Ulbricht
FLORIANÓPOLIS
2000
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MANOEL JOSÉ DECON
CONCEPÇÃO DE UM AMBIENTE HIPERMÍDIA
PARA A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de Mestre em Engenharia de
Produção e Sistemas (área de Mídia e Conhecimento) da Universidade Federal de Santa
Catarina e aprovada em sua forma final pelo programa de Pós-Graduação em Engenharia de
Produção e Sistemas.
Banca Examinadora
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Dedicatória
A Adair Ferreira Decon (in memória)
Mãe e Mestra. Tudo começou quando me alfabetizastes.
Aos filhos Patrick e Thiago
O caminho do trabalho, da dedicação, da abnegação é o mais
difícil e custoso. No entanto, é o único que nos conduz à
verdadeira glória.
A todas as pessoas
que inventam as suas próprias leis quando sabem ter razão;
para as que têm um prazer especial em fazer coisas bem feitas,
nem que seja só para elas; para as que sabem que a vida é algo
mais do que aquilo que os nossos olhos vêem (Richard Bach).
Agradecimentos
A Dr
a
. Vânia Ribas Ulbricht, pela maneira competente com que conduziu a orientação.
Aos professores membros da banca examinadora, pela participação e sugestões.
Aos amigos, pelo apoio e incentivo.
Aos estagiários: André Augusto Pepato
Eduardo Green Short
Flávio Andaló
Marcelo J. B. Filomeno
Rhafael de Souza Moretti
pelo esmero com que se dedicaram aos trabalhos de
computação.
SUMARIO
Resumo VII
Abstract----------------------------------------------------------------------------------------------------VIII
1 Introdução 1
1.1 Objetivos 4
1.2 Estrutura do trabalho 5
2 História da geometria analítica 6
2.1.Antigas civilizações _ 6
2.2 O Elementos de Euclides 8
2.3 Fermat 9
2.4 Descartes 11
2.5 Comparação entre a geometria de Fermat e de Descartes 16
2.6 Era moderna 17
2.7 Conclusão 23
3 Psicogênese no ensino da geometria ___ 25
3.1 Esquema. 26
3.2 Assimilação 28
3.3 Acomodação 29
3.4 Equilibração 30
3.5 Desenvolvimento cognitivo e afetivo 32
3.6 O espaço perceptivo 35
3.7 O espaço projetivo 40
3.8 Passagem do espaço projetivo ao espaço euclidiano 41
3.9 Construção do sistema de coordenadas 43
3.10 Conclusão 44
4 Pesquisas desenvolvidas no campo do conhecimento considerado 48
4.1 A integração do computador no ensino da geometria para o desenvolvimento e a
utilização de cenários 48
4.2 Uma abordagem para o treinamento informatizado envolvendo exercícios de
geometria elementar 51
4.3 A exploração da demonstração no projeto Mentoniezh 53
4.4 Desenho e figura - geometria e desenho técnico com auxílio do computador 55
4.5 Um modelo especialista na resolução de problemas de geometria 57
4.6 Manipulação direta dos trabalhos de desenho em geometria descritiva na
aprendizagem por computador 58
4.7 CABRI-GÉOMÈTRE e DEFI, interação microcomputador/tutor em geometria 60
4.8 Conclusão 63
5 Construção do Ambiente 64
5.1 Hierarquização dos conteúdos da geometria analítica 64
5.2 Elaboração do "Storyboard" 69
5.3 Desenvolvimento da metáfora 69
5.3.1 História da arte 73
5.4 Software de autoria 78
5.5 Conclusão 79
6 Conclusão 80
6.1 Sugestões para futuros trabalhos 81
7. Referências Bibliográficas 82
O ensino da matemática nas escolas brasileiras dissocia os conteúdos dos campos numéricos
e algébricos do campo geométrico, quando deveria ocorrer exatamente o contrário. Desde os
primeiros anos de vida, a criança já distingue formas, revelando uma geometria espontânea. A
Resumo
proposta deste trabalho é apresentar a concepção de um Ambiente Hipermídia para
aprendizagem da Geometria Analítica procurando resgatar o fascínio das conquistas obtidas
pela criança, antes de ingressar na escola e como manter o interesse por novas conquistas
geométricas no campo estrutural e dimensional. Espera-se, com este trabalho, dar um novo
alento à geometria e fornecer aos professores uma nova ferramenta de auxílio no processo
ensino-aprendizagem.
Abstract
The mathematics teaching, in Brazilian schools, dissociates the content of numeric field and
the algebraic of geometrical field, when it should happen exactly the opposite. Since the first
years of life, the child already distinguishes shapes, reveling a spontaneous geometry. The
proposal of this work is to present the conception of a Hipermidia Environment for Analytical
Geometry learning, searching recover the conquest fascination got from children before
getting into school and how to maintain the interest for new geometrical conquests in the
structural and dimensional field. It is expected with this work to give a new encouragement to
geometry and to supply teachers with new support tools in teaching-learning process.
Na computação gráfica, a máquina tem a possibilidade de receber e interpretar imagens. Essa
capacidade é bastante utilizada em inúmeras aplicações, como prover visão a robôs, analisar
eletrocardiogramas e outros gráficos, efetuar introdução a desenhos gerados manualmente,
retocar e compor fotografias, criar desenhos animados, etc.
Com o surgimento dos terminais de vídeo, gráficos e computadores velozes, tornou-se
possível a geração de imagens em tempo real e a criação de vídeo-jogos, simuladores de vôo e
de choques de veículos, programas para documentação de projetos, e outros.
Com o passar do tempo, os matemáticos foram estruturando a Geometria Analítica de tal
forma que ela ficou reduzida ao estudo do método cartesiano. Sua utilização não é apenas para
representação cartesiana de fenômenos, como a variação da temperatura de um doente ou a
oscilação dos valores das ações da Bolsa, que nos permitem avaliar, por um exame simples
das curvas representadas num sistema de eixos coordenados, a marcha de uma transformação e
prever o seu desenvolvimento com certa precisão; ela vai muito além disto.
Como método, a Geometria Analítica permite estudar os lugares geométricos de maneira
sistemática e generalizada. Como instrumento de análise, permite demonstrar a
impossibilidade de solução de certos problemas clássicos e estudar as transformações
geométricas. Para a matemática pura, a Geometria Analítica penetrou tão profundamente em
todos os seus ramos que podemos concluir que ela encontrou o seu valor dentro de sua própria
essência. Para a matemática aplicada, a Geometria Analítica estrutura todo o cálculo
infinitesimal, tanto quantitativamente quanto tecnicamente (Pastor, Santaló e Balanzat, 1959).
A Geometria Analítica, segundo a filosofia de Descartes, é vista como um apêndice do
método para conduzir bem a razão e buscar as verdades nas ciências, bem como um
instrumento indispensável para compreender a essência dos problemas geométricos e para
interpretar os conceitos de análise.
Capítulo I
Introdução
A síntese de imagens é o campo de aplicação da computação gráfica que envolve todas as
técnicas destinadas à criação e à manipulação de imagens artificiais, a partir de modelos
matemáticos e geométricos. (Tori, Arakaki, Massola, Filgueiras, 1987).
A computação gráfica, quando trata de imagem vetorial, estabelece que um desenho é
composto de elementos básicos combinados: pontos, segmentos de retas e áreas (espaços
preenchidos), cada um com determinadas características como cor, dimensionamento, tipo de
traçado, etc. A adoção de um sistema de coordenadas é importante, pois possibilita a descrição
matemática do posicionamento relativo dos elementos que compõem o desenho. (Tori,
Arakaki, Massola, Filgueiras, 1987).
Atualmente, a Geometria Analítica é vista no ensino médio, onde se estudam a reta e a
circunferência no plano cartesiano. No ensino superior, nos cursos que fazem parte das
chamadas "Ciências Exatas", abordam-se vetores no R
2
(sistema bidimensional) e no R"
(sistema tridimensional), retas e planos, cônicas e superfícies quadráticas.
Para se compreender melhor o que ocorre com o ensino da Geometria Analítica, vejamos o
tratamento que é dado à Geometria no ensino fundamental.
"A Geometria está ausente na maioria das salas de aula. Esta ausência é, sem dúvida, seu
problema principal. Entretanto, mesmo quando ela é trabalhada pelo professor de
matemática, tem-se observado que, salvo exceções, há falhas graves na sua abordagem".
Lúcio Márcio Imenes - FUNBEC
Esta afirmação do Prof. Imenes é uma conseqüência de fatos que ocorreram no Brasil, nos
últimos anos. O ensino da Geometria, no Brasil, que teve grande destaque no início do século,
praticamente, inexiste a partir de 1971. Várias são as causas apontadas. Dentre elas, porém,
destacam-se a perda de objetividade no ensino da disciplina, a massificação do ensino
(Barbosa, 1978) e o surgimento da Teoria dos Conjuntos na Matemática Moderna (Castrucci,
1981). Segundo Castrucci (1981), o ensino da Geometria nesta "nova" matemática exigia
conceitos de transformação vetorial, conceitos estes que não foram bem compreendidos pelos
professores. Desta forma, por insegurança, e até mesmo por não saberem o conteúdo,
passaram a eliminar a atenção e o tempo destinados à Geometria nos conteúdos da
Matemática.
Um outro fator que levou o ensino da Geometria à marginalização foi o fato de os livros
didáticos, utilizados na escola, apresentarem os conteúdos de geometria nos capítulos finais,
onde o professor dificilmente chega.
O abandono do ensino da geometria, no ensino fundamental e médio, foi mais agravado ainda,
pela ausência de seu estudo, nos currículos dos cursos de formação de professores do ciclo
básico, o que possibilitaria a estes o aprendizado da geometria. A falta de ciência e o
despreparo dos mestres, nesta área levaram à divulgação errônea, no círculo do Magistério, de
que a geometria é parte abstrata da matemática e, portanto, de percepção difícil para o aluno.
O conhecimento, por parte dos professores, da importância da geometria na formação e no
desenvolvimento cognitivo da criança está longe de ser alcançado, ficando assim uma lacuna
importante na formação intelectual do aluno.
O agravante desta situação reside no fato de a escola ter funcionado, na maioria das vezes,
como um elemento inibidor no desenvolvimento das noções espaciais da criança.
Pedagogicamente, desde o seu nascimento, todas as ações da criança, no sentido de conhecer e
explorar o espaço em que vive, revelam, de modo implícito, uma geometria espontânea, isto é,
independente dos ensinamentos escolares, mas não do meio social. (Miguel e Miorim, 1987).
Essas percepções criam, na criança, as concepções geométricas às quais cabe a escola dar
uma roupagem científica. No entanto, o ensino da Matemática é direcionado para operações
aritméticas básicas, sem relacioná-las às noções de geometria que a criança já possui. Quando
a geometria é trabalhada, faz-se de uma forma genérica ou de uma forma que valoriza a
memorização e os processos mecânicos de demonstração, na qual se considera apenas a
Geometria Euclidiana Plana, sem nenhuma preocupação com a formação no espaço.
No ensino fundamental cria-se um distanciamento entre a álgebra e a geometria, quando
deveria ser exatamente o contrário. Por exemplo: quando é abordada a divisão de um número
direta ou inversamente proporcional a outros, isto é feito por cálculos numéricos, sem mostrar
que esta operação é possível através da geometria; a extração da raiz quadrada, antes tão
cruelmente exercitada, e atualmente através da máquina calculadora, pode ser resolvida
através da régua e do compasso, como nos mostrou Descartes em 1637; a abordagem da
equação de 2
o
grau, muitas vezes, não é associada à parábola que é definida por esta equação.
Na sua resolução, limita-se à aplicação da fórmula, sem apresentar uma solução através da
geometria, onde se "completam os quadrados" da figura geométrica.
Sendo a Geometria Analítica um método de se estudar Geometria, verifica-se, em
conseqüência do exposto, que ela fica prejudicada, pois o não-relacionamento entre álgebra,
geometria e figuras dificulta, ao aluno, a apropriação dos conhecimentos da Geometria
Analítica.
A apropriação dos conhecimentos geométricos e analíticos será conseguida se a geometria for
apresentada a três dimensões, com uma abordagem analítica e transformadora, uma
modelagem com aplicações concretas, uma reconstrução de argumentos lógicos e com a
utilização de computador para a apresentação.
E imprescindível, ao professor, a compreensão de que a utilização dos recursos
tecnológicos é irreversível, o que não significa, neste momento histórico, que a
máquina o substituirá na sua função de mediador. O acesso à tecnologia está se
tornando cada vez mais comum e, portanto, é necessária, ao sujeito, a apropriação do
conhecimento que a informatização disponibiliza. Além disso, a utilização do
computador pode contribuir para a produção de novos saberes. (Proposta Curricular
de Santa Catarina, pág. 112).
1.1 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo geral apresentar a concepção de um Ambiente Hipermídia
para a aprendizagem em Geometria Analítica, despertando no aluno o fascínio pelas
descobertas geométricas no campo estrutural e dimensional.
A concepção do Ambiente tem como objetivos específicos: definir conceitos do Ambiente
Hipermídia , planejar e desenvolver as interfaces do ambiente e determinar conteúdos da
Geometria Analítica que serão trabalhados.
Esta concepção propiciará, em uma segunda etapa, o Desenvolvimento do Ambiente
Mipermídia, que irá permitir a construção dos conteúdos da geometria analítica de maneira
iní irmatizada, constituindo-se, assim, em uma ferramenta didático-pedagógica poderosa,
capaz de facilitar o desenvolvimento da geometria como ciência.
1.2 Estrutura do trabalho
No capítulo I é feita uma abordagem genérica da Geometria Analítica, de sua utilização e de
como ela é vista atualmente nas escolas.
No capítulo II é apresentada a História da Geometria Analítica, onde se destaca que, desde o
início da civilização, a apropriação do conhecimento pelo homem, surgiu de uma necessidade
real da sua existência.
O capítulo III aborda a Psicogênese no Ensino da Geometria, fundamentada nas teorias de
Piaget e seus seguidores.
As pesquisas desenvolvidas no campo de conhecimento considerado, tratadas no capítulo IV,
restringiram-se ao campo da geometria.
No capítulo V, são apresentadas conceituações básicas para a concepção de um Ambiente
Hipermídia na aprendizagem da Geometria Analítica.
Finalmente, no capítulo VI é apresentada a conclusão e sugestões para futuros trabalhos.
2.1 Antigas Civilizações
Os desenhos produzidos pelo homem neolítico sugerem uma preocupação com as figuras
espaciais que são as precursoras da geometria. A geometria elementar fica caracterizada nos
potes, tecidos e cestas que são exemplos de simetria e congruência. Essas configurações
podem ter origem no seu sentimento estético e no prazer que lhes dava a beleza das formas,
sendo as mesmas mais antigas que a escrita. (Boyer, 1974).
Foi somente nos últimos seis milênios que o homem foi capaz de transformar seus
pensamentos e concepções na forma escrita. Portanto, as manifestações do homem pré-
histórico chegam, até os dias atuais, através de interpretações baseadas nos poucos artefatos
que restaram das evidências fornecidas pela antropologia e da extrapolação retroativa,
conjectural, a partir dos documentos que sobreviveram. (Boyer, 1974).
Heródoto e Aristóteles admitiam a produção da geometria anterior à civilização egípcia, sem,
no entanto, quererem se arriscar a propor essas origens. Eles tinham concepções diferentes
sobre a origem da geometria. Heródoto acreditava que o surgimento dela tenha ocorrido pela
necessidade prática de se fazer novas medições de terras, após cada inundação anual do vale
do rio Nilo. Aristóteles achava que a existência, no Egito, de uma classe sacerdotal com
lazeres é que tinha conduzido ao estudo da geometria. Percebem-se que as idéias de Heródoto
e de Aristóteles representam duas teorias opostas, quanto à origem da geometria. Um
acreditando que ela tenha ocorrido pela necessidade prática e o outro, pelo lazer sacerdotal.
Ambas as teorias, embora distintas, apresentavam um ponto em comum: os geômetras
egípcios eram chamados de "esticadores de corda", e essa atividade era tanto usada
para realinhar demarcações apagadas de terras, quanto para traçar as bases dos
templos. A geometria pode ter origem nos rituais primitivos. Na India também era
utilizada a "regra da corda", chamada de sulvasutras que eram simples relações que
Capítulo II
História da Geometria Analítica
se aplicavam a construções de templos e altares. A motivação geométrica dos
"esticadores de corda", no Egito, era mais prática que a de seus colegas na índia, mas
ambas podem provir de uma fonte comum, que é a protogeometria relacionada com
ritos primitivos, tal como ocorreu com a ciência, cuja gênese desenvolveu-se da
mitologia e a filosofia a partir da teologia. É importante salientar que essa teoria de
que o surgimento da geometria teve como ponto de partida a secularização de
exercícios ritualísticos não está provada. O desenvolvimento da geometria pode ter
ocorrido por uma necessidade prática, como a demarcação de terras inundadas.
Embora a geometria tenha recebido atenção especial no Egito e na índia, é a Grécia
a verdadeira pátria dessa ciência, pois lá a geometria foi cultivada com ardor, onde
numerosas descobertas foram feitas, cujos resultados obtidos foram organizados e
sistematizados de modo a se estabelecer o corpo de uma doutrina.
Fig 1-No Antigo Egito, os esticadores de cordas, na tarefa de demarcação de terras.
Fonte: Enciclopédia Abril, 1972.
2.2 O Elementos de Euclides
Com a morte de Alexandre, o Grande, os generais do exército grego passaram a
disputar sua sucessão. Em 306 A.C., a parte egípcia do Império ficou nas mãos de
Ptolomeu I que direcionou sua administração para as ciências e a cultura. Uma de
suas primeiras decisões foi a criação de uma Academia, em Alexandria, com o nome
de Museu. Essa escola funcionava como uma universidade atual: alguns professores
dedicavam-se às pesquisas, outros eram bons administradores e uma parte se
destacava pela capacidade de ensinar. Euclides fazia parte deste último grupo. Ele
foi chamado por ser considerado um dos sábios de primeira linha que se notabilizou
com a criação do texto de Matemática mais bem sucedido de todos os tempos,
perdendo apenas para a Bíblia em número de edições: é o "Elementos de Euclides".
O autor passou a ser chamado de Euclides de Alexandria, depois que foi ensinar no
Museu. Pela natureza de seu trabalho presume-se que tenha estudado com discípulos
de Platão e, provavelmente, na própria Academia.
Ptolomeu, uma vez, perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto para a
geometria, que o estudo de o Elementos, e Euclides lhe respondeu que não havia
estrada real para a geometria. (Proclus Diadocus). O Elementos está dividido em
treze livros, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três
seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre a incomensuráveis e os três
últimos se dedicam principalmente a geometria no espaço.
Além de o Elementos, Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados abrangendo
tópicos mais variados, desde ótica, astronomia, música, mecânica e até um livro sobre
seções cônicas. Mais da metade das obras de Euclides se perderam, inclusive o
tratado sobre as cônicas. Cinco obras sobreviveram até hoje: O Elementos, Os Dados,
Divisão de figuras, Os Fenômenos e Ótica. Essa última de especial importância, por
ser um dos primeiros trabalhos sobre perspectiva.
Entre as obras perdidas de Euclides está também uma sobre Lugares de Superfície,
outra sobre Pseudárias (ou falácias) e uma terceira sobre Porismas. Pelas referências
antigas não fica bem claro o conteúdo dessas obras. Supõe-se que a primeira tratava
2.3 Fermat
Embora a Geometria Analítica faça referência a Descartes como o seu criador, foi Fermat
(1601-1665) quem estabeleceu os métodos característicos desta Geometria. Fermat não era um
matemático profissional. Estudou Direito em Toulouse, tendo trabalhado como advogado e
depois como Conselheiro no Parlamento. Era um estudioso da literatura clássica e tratava a
matemática e a ciência por puro prazer. Em 1629, começou a fazer descobertas importantes na
matemática, quando praticava um dos esportes favoritos da época: a "restauração" de obras
perdidas da antigüidade baseadas nas informações preservadas. Fermat se dispôs a reconstruir
o Lugares Planos de Apolonio, a partir de informações de Coleção Matemática, de Pápus. A
conseqüência desse estudo gerou, em 1636, a descoberta do princípio fundamental da
Geometria Analítica:
"Sempre que em uma equação final encontram-se duas quantidades incógnitas, temos um
lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha reta ou curva". ( Boyer, 1974, p.
253)".
Essa afirmação surgiu um ano antes do aparecimento da Geometria de Descartes,
sendo provavelmente o resultado da aplicação de Fermat na análise de Viéte sobre o
estudo dos lugares de Apolônio. Daí, acreditar-se que o uso de coordenadas não veio
das superfícies conhecidas pelos antigos: esfera, cone, cilindro, toro, elipsóide de
revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução de duas folhas.
A perda dos Porismas é particularmente incalculável, pois, pelo que se deduz, trata-se
de uma aproximação da Geometria Analítica. Papus disse mais tarde que um Porisma
é alguma coisa entre um teorema, onde se propõe algo para demonstração, e um
problema onde é proposta uma construção. Outros descreveram Porismas como sendo
uma proposição que relaciona quantidades conhecidas e variadas ou indeterminadas.
Isso é, para nós, hoje, a idéia de função. No entanto, se Porisma é uma equação verbal
de uma curva, o livro de Euclides sobre Porismas difere de nossa Geometria
Analítica, somente pela falta de símbolos e técnicas algébricas.
por considerações práticas e nem das representações gráficas medievais de funções,
mas sim da aplicação da álgebra da Renascença a problemas geométricos. Fermat
dava ênfase ao esboço de soluções de equações algébricas determinadas, limitando
sua exposição no tratado intitulado "Ad locus planos et solidos isagoge" (Introdução
aos lugares planos e sólidos).
A respeito do tratado de Fermat, Leon Brunschvicz, no livro "Les etapes de là
philosophie mathématique", faz o seguinte comentário:
E um tratado analítico que diz respeito à solução de problemas planos e
sólidos que havia sido visto antes que Descartes tivesse publicado algo a
respeito. De fato, o "Ad locus planos et sólidos isagoge", contém o princípio
da Geometria Analítica, enunciado da forma mais precisa possível".
(Brunschvicz, 1945, p.126).
Fermat começou com a equação linear e escolheu um sistema de coordenadas
arbitrário. Usando a notação de Viéte, Fermat esboçou primeiro o caso mais simples
da equação linear (Dx = Dy, em simbolismo moderno) que é uma reta que passa pela
origem ou uma semi-reta com extremidade na origem (não eram consideradas
abscissas negativas). O segmento no primeiro quadrante com extremidades nos eixos
das coordenadas foi representado pela equação Ax + By = C .
Em seguida Fermat mostrou que xy = k representa a equação da hipérbole, A +
x
2
=
By uma parábola, x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By = C
2
um círculo, A
2
- x
2
= Ky
2
uma elipse e que A
2
+ x
2
= Ky
2
é uma hipérbole (considerando os dois ramos).
A "Introdução dos Lugares" de Fermat, somente foi publicada após a sua morte, o
que nos leva a pensar que a Geometria Analítica tenha sido objeto de estudo apenas
por Descartes. Além de a exposição de Fermat ser mais sistemática e didática que a
de Descartes, sua Geometria se aproxima muito da atual por serem as ordenadas
tomadas perpendicularmente ao eixo das abcissas. Fermat também percebia a
existência de uma Geometria Analítica a mais que duas dimensões, pois afirmou que:
"Há certos problemas que envolvem somente uma incógnita e que podem ser
chamados de determinados, para distingui-los dos problemas de lugares.
Há outros que envolvem duas incógnitas e que nunca podem ser reduzidas a
uma só; e esses são os problemas de lugares. Nos primeiros problemas,
procuramos um ponto único e nos segundos uma curva. Mas se o problema
proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazer a equação,
não apenas um ponto ou uma curva, mas toda uma superfície. Assim
aparecem superfícies como lugares, etc".(Boyer, 1974, p.255)
O "et coetera" da afirmação sugere uma geometria a mais que três dimensões, e isso
só foi desenvolvido efetivamente a partir do século XVIII
2.4 Descartes
René Descartes (1596 - 1650), oriundo de família abastada, recebeu educação em
colégio jesuíta, em La Flèche, e estudou Direito em Poitier. Viveu muitos anos em
Paris e mais tarde alistou-se no exército holandês, como era de costume fazer os
nascidos em famílias de posses, como a sua. Participou das campanhas militares na
Holanda com Maurice, o Príncipe de Nassau (personagem conhecido na história do
Brasil) depois com o Duque Maximiliano I, da Baviera, e mais tarde com o exército
francês no cerco de La Rocchelle. Descartes, no entanto, não era um soldado
profissional. Durante as campanhas procurava entrar em contato com os sábios da
época. Foi assim que conheceu Faulhaber na Alemanha e Desargues na França. Em
Paris conheceu Marin Mersenne (1588- 1648) que era considerado o maior divulgador
das descobertas científicas, pois quando ele sabia de alguma coisa, toda a "República
das Letras" era logo informada. Incentivado, Descartes transformou-se no "pai da
filosofia moderna", por apresentar uma visão científica transformada do mundo e
estabelecer um novo ramo da matemática.
Em 1637 publicou a sua mais famosa obra: Discours de là méthode pour bien
conduire La raison et chercher la verité dans les sciences (Discurso sobre o método
para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências).
O conteúdo do Discurso era descrito por Descartes nestes termos:
Se este discurso parece demasiado longo para ser lido todo de uma vez, ele
poderá ser dividido em seis partes. Na primeira encontram-se diversas
considerações que se referem as ciências. Na segunda, as principais
regras do método que o autor buscou. Na terceira, algumas das regras de
moral extraídas deste método. Na quarta, as razões, mediante a
demonstração da existência de Deus e da alma humana, que são os
fundamentos da metafísica. Na quinta, a ordenação das questões de física
investigadas, e em particular, a explicação do movimento do coração e de
outras dificuldades da medicina e também a diferença que existe entre
nossa alma e a dos animais. Na última, que coisas foram necessárias para
irem além da natureza do que foi até então e que razões o fizeram
escrever.
Em resumo, o Discurso do Método contém as soluções apontadas por
Descartes aos principais problemas da filosofia. Seu valor biográfico nos
mostra a evolução de sua mente e menciona acontecimentos de sua vida à
medida que explica a formação de seu pensamento. Em outra palavras,
Descartes revela-se por inteiro, como podemos ver, pela sua forma de
apresentar sua vocação filosófica. Para Descartes, o conhecimento
matemático é o modelo de todo conhecimento verdadeiro. Deve-se estudar
matemática para poder acostumar o espírito a "alimentar-se da
verdade" e nunca "contentar-se com razões falsas.(Collette, 1985. p.9-10)
Em sua Regra Para o Direcionamento da Mente, Descartes deduz de seu método
matemático os princípios que asseguram o conhecimento exato de toda a atividade
científica. Assim, qualquer que seja o campo de investigação, o científico não deve
ocupar-se de nenhum objeto do qual não possa ter uma certeza igual a das
demonstrações da geometria, e não deve ter em conta mais que conhecimentos tão
certos e evidentes como os dos geômetras.(Collette, 1985: 9 e 10)
Faziam parte do Discurso os apêndices:
La Géométrie que tratava do estudo da Geometria a partir da Análise; La Dioptrique
que continha as primeiras publicações sobre a lei da refração e Les Métèores que
tratava das primeira explicações sobre o arco-íris.
No programa de pesquisas filosóficas, Descartes admitia que tudo era explicável em termos de
matéria e movimento. Ele postulou que o universo todo era feito de matéria em movimento
incessante de vértices, e todos os movimentos deveriam ser explicados mecanicamente em
termos de forças exercidas pela matéria contígua. Enquanto que a filosofia e a ciência de
Descartes eram revolucionárias e primavam pela ruptura com o passado, a matemática tinha
fortes laços tradicionais. Este fato se justifica quando se viu que o crescimento da matemática
é mais acumulativo que os outros ramos da ciência. A matemática cresce por acumulações
com pouco desprezo e irrelevâncias, e as ciências crescem por substituições quando coisas
melhores são encontradas.
Descartes, seguindo o conselho de um amigo, adquiriu o hábito de ficar deitado na cama
todas as manhãs, pensando na solução de problemas. Foi assim que no inverno de 1619, ele
descobriu a fórmula dos poliedros: V + F = A + 2, onde V, F e A são, respectivamente, o
número de vértices, faces e arestas. Em 1628, escreveu uma carta a um amigo holandês onde
apresentava uma regra para a identificação das raízes de qualquer equação por meio de uma
parábola. Não se pode afirmar que estava descoberta a Geometria cartesiana. No entanto, sua
criação não estava longe disto. Quatro anos após, instalou-se na Holanda, onde permaneceria
nos próximos 20 anos. Golius, seu amigo, apresentou-lhe o problemas das três e quatro retas
de Pápus. Descartes aplicando seus novos métodos, resolveu-os sem dificuldades. Isso fez
com que ele percebesse o poder e a generalidade de seu ponto de vista, e em conseqüência
escreveu a obra "La Geometrie", que levou a seus contemporâneos o conhecimento da
Geometria Analítica. "La Geometrie" não é um tratado isolado, mas sim um apêndice do
"Discurso", que foi apreciada com o passar dos anos.
Embora Fermat tenha sido o idealizador dos métodos característicos da Geometria Analítica,
Descartes é quem estabelece a equivalência entre a curva e a equação que a representa em um
determinado sistema de coordenadas. Introduzindo este conceito, os problemas da geometria
se transformam em problemas de álgebra, ou de modo mais geral, em problemas de Análise
Matemática, razão pela qual o conjunto de métodos que permitem estudar as figuras, com o
auxílio de coordenadas, recebe o nome de Geometria Analítica. A generalização desses
métodos surgem da aplicação sistemática dos procedimentos da Álgebra e da Análise no
tratamento das questões geométricas. De fato, o primeiro passo consiste em traduzir toda
relação geométrica a uma relação analítica equivalente àquela; diz-se, então, que o enunciado
geométrico foi equacionado, isto é, obteve-se uma equação que traduz a relação geométrica.
O segundo passo consiste em transformar e resolver tal equação, tarefa esta que corresponde à
análise, ou seja, à álgebra e ao cálculo infinitesimal. O terceiro passo consiste em interpretar
geometricamente, sobre as figura primitivas, as conseqüências deduzidas do processo
analítico. Descartes, pela sua incalculável concepção da aplicação da álgebra à teoria das
curvas, mudou verdadeiramente a face das ciências matemáticas. Mesmo a física e a álgebra
retiraram grandes vantagens da doutrina das coordenadas e a análise é enriquecida do método
dos coeficientes a determinar. Na sua Geometria Analítica, Descartes não estava preocupado
com considerações práticas que hoje estão relacionadas com o uso de coordenadas. Ele não
estabelecia um sistema de coordenadas a fim de localizar pontos como um topógrafo ou um
geógrafo poderiam fazer, nem mesmo pensava em suas coordenadas como pares de números.
"La Geometrie" em seu tempo, foi tanto um triunfo da teoria não prática, quanto As Cônicas,
de Apollonius, na antigüidade. Atualmente, a operacionalização da Geometria Analítica se dá
pela substituição dos pontos de um plano por pares de números e as curvas por equações.
Assim, o estudo das propriedades das curvas é substituído pelo estudo das propriedades
algébricas das equações correspondentes. A geometria está assim "reduzida" à álgebra.
Descartes estava tão consciente da importância da sua descoberta que, no ano de sua
publicação, escreve uma carta a Mersenne onde afirma que o seu método da análise da
natureza e das propriedades das curvas superou a geometria ordinária do mesmo modo que a
retórica de Cícero superou o a-b-c das crianças.
Em 1649, Descartes foi convidado pela rainha Cristina para residir na Suécia, onde contraiu
uma doença pulmonar, que o levou à morte, no ano seguinte. Foi enterrado em Estocolmo e,
após dezessete anos de esforços do governo francês, seus ossos foram transladados e
enterrados em Paris, exceto os da mão direita que foram guardados como "souvenir" pelo alto
funcionário francês encarregado do transporte da ossada.
Meio século após a publicação do Discurso, Newton e Leibnitz criam o cálculo diferencial
que dará à geometria analítica um alcance que Descartes jamais tinha imaginado. Mais tarde
Bernoulli, Euler e Lagrange vão completar a "redução" da geometria à análise.
Sob o ponto de vista histórico, é possível estabelecer em que medida a geometria analítica
superou a geometria ordinária, em que consiste essa superação e em que medida ela ainda está
ligada à tradição grega. No século XIX, os geômetras franceses, Poncelet (1788 - 1867) e
Chasles (1793 -1880 ) estabeleceram esta comparação.
Na introdução ao seu célebre "Tratado", Poncelet assinala claramente em que sentido a
geometria analítica superou a "geometria antiga":
(...) enquanto a geometria analítica oferece, pelo seu próprio caminho, meios gerais e
uniformes para proceder à resolução das questões que se colocam à busca das
propriedades das figuras; enquanto ela chega a resultados de que a generalidade é,
por assim dizer, sem limites, a outra procede ao acaso; a sua marcha depende de fato
da sagacidade daquele que a utiliza e os seus resultados são, quase sempre, reduzidos
ao estado particular da figura que se considera. Pelos esforços sucessivos dos
geômetras, as verdades particulares multiplicaram-se, incessantemente, mas
raramente aconteceu que o método e a teoria geral tivessem ganho (...) (Piaget &
Garcia, 1987, p. 91)
Poncelet explica assim as causas profundas desta situação:
Na geometria ordinária, a que se chama, muitas vezes, a síntese, os princípios são
completamente diferentes, o caminho é mais tímido ou severo; a figura é descrita ,
nunca mais se perde de vista, raciocina-se sempre sobre formas reais e existentes e
nunca se retiram conseqüências que não se possam descrever a imaginação ou a
vista mediante objetos sensíveis; paramos quando esses objetos deixam de ter uma
existência positiva e absoluta, uma existência física. O mesmo rigor é levado ao ponto
de não admitir as conseqüências de um raciocínio, estabelecido a partir de uma
determinada disposição geral dos objetos de uma figura, para uma outra disposição
igualmente geral destes objetos e que teria toda a analogia possível com a primeira;
numa palavra, nesta geometria restrita se é forçado a retomar toda a série dos
raciocínios primitivos a partir do instante em que uma linha ou ponto passaram da
direita para a esquerda de uma outra, etc.(Piaget & Garcia, 1987, p. 94)
Pelo seu lado, Chasles, na sua magnífica síntese histórica sobre o desenvolvimento da
Geometria faz um comentário semelhante:
A geometria de Descartes, para além deste caráter eminente de universalidade,
distingue-se ainda da geometria antiga sob um aspecto particular que merece ser
sublinhado; é que ela estabelece, por meio de uma única fórmula, propriedades
gerais de famílias inteiras de curvas; de modo que não seria possível descobrir por
esta via qualquer propriedade de uma curva, sem que ela faça imediatamente
conhecer propriedades semelhantes ou análogas numa infinidade de outra linhas.
Até aí só se tinham estudados propriedades particulares de algumas curvas, tomadas
uma a uma, e sempre por meios diferentes que não estabelecem qualquer ligação
entre curvas diferentes. (Piaget &, Garcia, 1987, p. 94).
A contribuição de cada um está essencialmente no reconhecimento de que uma
equação com duas incógnitas pode ser considerada como a determinação de uma
curva plana, relacionada a um sistema de coordenadas. Além do mais, se se
acrescentarem a estes métodos algoritmos desenvolvidos por cada um para unir
estritamente a equação e a curva correspondente, tudo isso bastará para atribuir-lhes
o mérito de serem os criadores da
Geometria Analítica. Ambos continuaram os
trabalhos de Viète em direções diferentes. Descartes adota o objetivo de Viète à
construção geométrica das raízes das equações algébricas, pois continuam em
conjunção como simbolismo algébrico mais apropriado. Fermat conserva a notação de
Viète e aplica a um campo novo: o estudo dos lugares geométricos. Fermat destaca a
idéia fundamental da equação de uma curva de uma maneira mais clara que
Descartes. De outro modo, Descartes cobre um campo mais genérico que as equações
de 1
o
e 2
o
graus de Fermat. Este último oferece uma exposição mais sistemática e
acessível do que a de Descartes, cujas proposições nos dão a impressão de que havia
evitado esclarecer. Percebe-se melhor, em Fermat, que a equação com duas incógnitas
é uma expressão algébrica das propriedades das curvas. Entretanto, Descartes sugere
classe de curvas geradas por movimentos simples; Fermat introduz grupos de curvas
por equações algébricas.
Em suma, pode-se perceber que Descartes começa com um problema de lugar
geométrico a partir do qual obtém uma equação desse lugar; ao passo que Fermat se
preocupa mais a partir de uma equação e de deduzir as propriedades de sua curva.
Muitos autores têm-se preocupado com os trabalhos de Descartes e de Fermat e suas
considerações diferem e/ou coincidem em vários pontos. Por exemplo: nem Descartes
nem Fermat estabeleceram o uso das coordenadas ou dos métodos analíticos. Nenhum
dos dois foi o primeiro a aplicar a álgebra à geometria e em representar graficamente
variáveis.
2.5 Comparação entre a geometria de Fermat e de Descartes
Em 1687, Isaac Newton (1642 -1727), publicou a primeira exposição sobre Cálculo,
intitulada Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Esta obra apresenta os
fundamentos da física e da astronomia na linguagem da geometria pura. Grande parte
da obra é apresentada de forma sintética, mas também apresenta várias passagens
analíticas.
Ao observar os títulos dos três livros do Principia, fica-se com a impressão errônea de
que se tratam apenas de física e de astronomia, pois os livros se intitulam: Livro I - O
Movimento dos Corpos; Livro II - O Movimentos dos Corpos em Meios Resistentes
e Livro III - O Sistema do Mundo. No entanto, ele apresenta muita matemática pura,
especialmente no que se refere às Secções Cônicas. No lema XIX, do livro I, por
exemplo, o autor resolve o problema das quatro retas, onde Papus, acrescentou, que
sua solução "não é mais um cálculo analítico, mas uma composição geométrica, tal
como os antigos exigiam", uma referência depreciativa ao tratamento dado ao mesmo
problema por Descartes. (Boyer, 1974).
Newton sempre deu preferência aos métodos geométricos. No entanto, quando ele
achava conveniente, não exitava em apelar para seus métodos de séries infinitas e
para o cálculo.
A maior parte da Secção II, do Livro II, é analítica. Por outro lado, o tratamento dado
às cônicas é quase que exclusivamente sintético, pois aqui Newton não recorre à
análise.
As proposições XIX e XXIV, do livro I apresentam um tratado sobre a descrição das
cônicas incluindo teoremas. Na proposição XXVII, Newton relacionou o quadrilátero
com as cônicas, utilizando-se do fato de que os centros das cônicas tangentes a quatro
retas estão sobre uma reta que passa pelos pontos médios das três diagonais, onde
determinou a cônica tangente a cinco retas.
2,6 Era Moderna
Newton era sensível às críticas, principalmente de seus opositores que não
concordavam com suas descobertas. O mais famoso deles foi Hooke que atacou
veementemente a obra Philosophiae Transaction, publicada em 1672, que se referia à
natureza da cor. Magoado, Newton nada mais quis publicar. Passados quinze anos,
por insistência de Halley, publicou os "Principieis". As três versões de seu cálculo
escritas entre 1669 e 1676, permaneceram sob a forma de manuscritos.
Em 1702, morre Hooke e isso reduziu a aversão que Newton tinha em publicar suas
idéias. Opíicks, publicada em 1704, continha duas citações matemáticas: a
Quadratura Curvarum que tratava dos Métodos de Cálculos e Enumeration Linearum
tertiis Ordiniis (Enumeração de Curvas de terceiro Grau) que versava sobre gráficos
de curvas planas de grau superior. Aqui, Newton notou setenta e duas espécies de
cúbicas, e uma curva de cada espécie é cuidadosamente traçada. Pela primeira vez são
utilizados dois eixos e coordenadas negativas. Entre as propriedades das cúbicas
indicadas nesse tratado, está o fato de a curva de terceiro grau não poder ter mais de
três assíntotas (assim como as cônicas não podem ter mais de duas) e que assim
como todas as cônicas são projeções do círculo, também todas as cúbicas são
projeções de uma parábola divergente y = ax + bx + cx + d.
A contribuição de Newton à Geometria Analítica não se restringe ao Enumeration.
No método de fluxos, escrito em 1671, ele sugere novos tipos de sistemas de
coordenadas. Um desses métodos de determinação de curvas (Terceira Maneira) é o
que chamamos, atualmente, de coordenadas bipolares. Se x e y são as distâncias de
um ponto variável a dois pontos fixos ou pólos, então as equações x + y = a e x -
y = a representam elipses e hipérboles respectivamente, e ax + by = c são as
ovais de Descartes. A "Sétima Maneira para Espirais" é hoje conhecida como sistema
de coordenadas polares. Usando x onde usamos hoje 6 ou <J) e y onde usamos r ou p,
Newton determinou a subtangente à espiral de Arquimedes by = ax, assim como às
outras espirais. Estabeleceu também as equações para a transformação de
coordenadas retangulares para polares, como sendo xx + yy = tt e tv = y, onde t
é o raio vetor e v um segmento representando o seno do ângulo vetorial associado
a um ponto (x,y) em coordenadas cartesianas.
Da Suíça, em 1701, veio Jacob Hermann (1678- 1733), um dos discípulos de Jacques
Bernoulli. Hermann ensinou matemática nas Universidades de Pádua, Frankfurt e S.
Petesburgo. Na obra Commentarii Academiae Petropolitanae, fez a Geometria
Analítica no espaço e a coordenadas polares continuando os trabalhos dos irmãos
Bernoulli. Timidamente, Jacques Bernoulli aplicou coordenadas polares a espirais, e
Hermann determinou as equações polares de curvas algébricas juntamente com
equações de transformação de coordenadas retangulares para polares. Jean Bernoulli,
desde 1692, referia-se ao uso de coordenadas como "geometria cartesiana", sugerindo
essa geometria como a três dimensões. No entanto, foi Hermann quem eficazmente
aplicou coordenadas no espaço a planos e a diferentes tipos de superfícies
quadráticas.
O primeiro tratado sobre Geometria Analítica no espaço surgiu com a publicação do
livro Traité des Courbes à Double Courbure, de autoria de Alexis Claude Clairaut
(1713 -1765). Esta obra trata do estudo das curvas no espaço, por meio de projeções
de dois planos coordenados, que Descartes havia sugerido a quase um século antes.
Descrevemos a Geometria Analítica de Clairaut, especialmente em relação ao
desenvolvimento em três dimensões, mas o material contido, no segundo volume da
Introduction de Euler (1710 - 1761), é mais extenso, sistemático e eficaz. Nele,
Euler trata da Geometria de coordenadas no espaço atribuindo equações para as três
grandes classes de superfícies: cilindros, cones e superfícies de revolução, tornando o
uso de coordenadas a base de um estudo sistemático das curvas e superfícies.
O século dezoito foi marcado por revoluções. Para os americanos, o ano de 1776 foi
decisivo, com a Independência das Treze Colônias, e o ano de 1789 também o foi
para os europeus com a Revolução Francesa. Os matemáticos da França, na época da
revolução, não só contribuíram para a ampliação do conhecimento, como foram
responsáveis pelo traçado das linhas principais do desenvolvimento da matemática no
Nessa época surge um plebeu, filho de comerciante que vem estabelecer os princípios
da Geometria Descritiva: Gaspar Monge (1746 - 1818). Foi professor e administrador
da École Polytechnique, onde ensinava dois assuntos. O primeiro desses era chamado
de estereotomia, hoje geometria descritiva. Monge deu um curso concentrado sobre
esse tema a 400 estudantes. O curso tinha um alcance mais amplo, tanto do lado puro
quanto do aplicado. Além do estudo da sombra, perspectiva e topografia, dava
atenção à propriedade das superfícies, incluindo retas normais e planos tangentes.
Entre os problemas propostos por Monge, estava o de determinar a curva de
intersecção de duas superfícies cada uma das quais é gerada por uma reta que se
move de modo a cortar três retas reversas no espaço. Outro, era o de determinar um
ponto no espaço eqüidistante de quatro retas. Tais problemas assinalam uma mudança
no ensino da matemática que foi promovido primariamente pela Revolução Francesa.
Os criadores da Geometria Analítica, Fermat e Descartes perceberam o princípio
fundamental da Geometria Analítica Espacial, em que uma equação a três incógnitas
representava uma superfície e, reciprocamente, sem no entanto a terem desenvolvido.
Pode-se dizer que, enquanto o século dezessete foi o século das curvas, o dezoito foi
o século que deu início ao estudo das superfícies. O ressurgimento da Geometria no
espaço deveu-se, portanto, às atividades matemáticas e revolucionárias de Monge. Se
ele não fosse, politicamente ativo, a Ecole Polytchnique, talvez não tivesse sido
fundada.
A geometria descritiva não foi a única contribuição de Monge à Geometria, pois na
Ecole ele ministrou também um curso sobre a "aplicação da análise à geometria."
Assim como o título abreviado "Geometria Analítica" não estava ainda em uso geral,
também não havia "Geometria Diferencial", mas o curso dado por Monge era uma
introdução a esse campo. Por falta de textos disponíveis, Monge escreveu e imprimiu,
em 1795, as Feuilles d'Analyse para uso dos estudantes. Aqui a geometria analítica a
século seguinte. Pode-se acrescentar à lista de revoluções deste século, outras duas: a
revolução geométrica e a revolução analítica.
Monge mostrou deficiências na tarefa de compilar textos, mas isto era compensado
por seus alunos que produziram uma grande quantidade de textos elementares sobre
geometria analítica, que por um século ou mais, fora posta na sombra do cálculo, para
conquistar seu lugar nas escolas.
Entre os anos de 1798 e 1802, Sylvestre François Lacroix (1765 - 1843), Jean
Baptiste Biot (1774 - 1862), Louis Puissant (1769 - 1843) e F.L. Lefrançais,
inspirados em Monge, escreveram cada um uma obra de Geometria Analítica. Lacroix
acreditava que Monge foi o primeiro a pensar que a álgebra e a geometria deveriam
ser tratadas juntamente. Delambre atribuiu a Monge a ressurreição entre a álgebra e a
geometria. (Boyer, 1974).
Quando Descartes idealizou a Geometria Analítica, ele não se fixou em coordenadas
para estabelecer seus princípios. Isso só foi concebido através de Monge.
Além dos sistemas de coordenadas conhecidos (retangulares, polares, etc.) podem-se
criar outros sistemas facilmente. Tudo o que se precisa é estabelecer um referencial
apropriado juntamente com algumas regras que nos ensinem como localizar um ponto
no plano, com relação ao referencial, por meio de um conjunto ordenado de números.
Assim, para o sistema cartesiano regular, o sistema consiste em dois eixos
perpendiculares, cada um com uma escala, sendo bem familiares as regras que nos
ensinam como localizar um ponto, com relação a esse referencial, pelo par ordenado
de números reais que representam as distâncias do ponto aos eixos. Este é o sistema
mais conhecido, donde provém a classificação das curvas em lineares, quadráticas ou
cúbicas. Algumas curvas, como as espirais, por exemplo, se tornam impraticáveis
com o uso de coordenadas cartesianas, daí utilizar-se as coordenadas polares, cujo
referencial é uma reta e a localização de um ponto se faz através de um par de
números, onde um deles representa uma distância, e o outro, o ângulo.
três dimensões realmente tomou forma. Foi esse curso que formou o protótipo da
geometria analítica no espaço.
Neste sistema, uma curva fica bem definida como o lugar de seus pontos ou como a
envoltória de suas tangentes. Se, em vez de pontos ou retas, escolhêssemos
circunferências como elementos fundamentais, então precisaríamos ter um terno
ordenado para determinar um de nossos elementos. Num sistema cartesiano regular,
por exemplo, poderíamos tomar as duas coordenadas do centro da circunferência
junto com o seu raio. Idéias com essa levaram a uma generalização considerável e ao
desenvolvimento da teoria da dimensão. Considerou-se como dimensionalidade de
uma variedade de elementos fundamentais o número de coordenadas independentes
necessárias para localizar cada elemento fundamental. De acordo com esse conceito,
o plano é bidimensional quanto a pontos e também quanto a retas, mas tridimensional
quanto a circunferências. Pode-se mostrar que o plano é pentadimensional quando se
escolhe como variedade de elementos fundamentais a totalidade das secções cônicas
do plano. Obviamente, a teoria da dimensão se desenvolveu muito além desses
conceitos elementares e é, hoje, uma matéria de extensão e profundidade
consideráveis. ( Eves 1995).
A partir das considerações de Plücker, que foi discípulo de Monge, em 1843, era
publicado o primeiro artigo de autoria de Arthur Cayley (1821 - 1895) que tratava da
geometria pontual de dimensão superior (hiperespaço n-dimensional com n>3), que
recebeu posteriormente a atenção dos matemáticos ingleses, J. J. Sylvester e W. K.
Clifford, sendo este último considerado como o responsável pelo desenvolvimento
dessa geometria projetiva. Independente das descobertas da geometria pontual, de
ordem superior, surgiram os aspectos aritméticos do assunto que foram gradualmente,
emergindo das aplicações da análise, em que se pode estender um tratamento
analítico de duas ou três variáveis para um número finito arbitrário de variáveis. A
partir daí, os matemáticos passaram para generalizações, aplicando a terminologia da
geometria à álgebra e à análise. Esse procedimento foi enunciado por Cauchy, em
Em 1829, o geômetra prussiano Julius Plücker (1801 - 1868) estabeleceu um sistema
chamado coordenadas lineares, onde o elemento fundamental não é um ponto, e sim
uma reta. Um ponto, agora, em vez de ter coordenadas, tem uma equação linear que é
a equação verificada pelas coordenadas de todas as retas que passam pelo ponto.
1847, num artigo sobre lugares analíticos, quando disse: "Chamaremos um conjunto
de n variáveis de ponto analítico, uma equação ou sistema de equações de lugar
analítico e assim por diante" (Eves, 1995, p. 599-600).
Embora só publicada, em 1866, foi em 1854 que Riemann proferiu importante
conferência em que se estabelecia a noção de variedade n-dimensional e suas relações
mensuradoras, mantendo as concepções geométricas e a imaginação. Estuda-se
geometria n-dimensional analiticamente pela introdução de conceitos apropriados no
espaço aritmético n-dimensional. Esse espaço aritmético é o conjunto de n-uplos x =
de números reais, sendo cada um desses n-uplos chamado ponto no
espaço. Assim a distância entre dois pontos num espaço
cartesiano regular bidimensional é dado por e a
distância entre os pontos num sistema cartesiano
tridimensional é dado por a distância
entre os pontos de um espaço n-
dimensional aritmético é dada por
Analogamente, define-se uma esfera n-dimensional de raio r e centro no ponto
como a coleção de todos os pontos tais que:
Portanto, uma geometria n-dimensional pode ser considerada como um estudo
puramente algébrico que emprega a terminologia geométrica (Eves, 1995)
2.7 Conclusão
Analisando criteriosamente a História, constata-se que as descobertas no campo da
geometria foram produtos da necessidade da vida do homem. Isso ocorreu desde a
medição de terras no Egito até a formulação da teoria da Dimensionalidade. Muito
antes do homem se utilizar dos conhecimentos da álgebra, ele já fazia uso da
geometria. Dessa maneira, pode-se dizer que os conhecimentos geométricos são
precursores dos algébricos. Euclides, Fermat e seus seguidores davam ênfase total à
geometria, criando a fase áurea dessa ciência. Com Viète, começou-se a fazer a
associação entre álgebra e geometria
Com o passar do tempo, priorizou-se nas escolas, os conteúdos algébricos em
detrimento aos geométricos.
Desde a mais tenra idade, a criança já possui noções de forma, distância, posição, etc.
Isso comprova que ela tem concepções geométricas, às quais cabe a escola dar uma
roupagem científica.
Como ocorre a construção dessas concepções, como ocorre a cognição e outros
assuntos semelhantes são tratados no capítulo seguinte.
Capítulo III
A Psicogênese no Ensino da Geometria
Introdução
"Psicogênese é a compreensão da origem e da evolução das funções psíquicas. Esta
compreensão e evolução estão ligadas diretamente ao conhecimento das suas raízes orgânicas"
(Lima Filho e Rebouças, 1988, p. 10)
A psicogênese no ensino da Geometria, neste trabalho, está embasada nas Teorias de Piaget e
seus seguidores. Assim, todo processo de construção do conhecimento, especificamente da
geometria, estará seguindo a linha do citado autor.
Do ponto de vista biológico, as condutas cognitivas são destacadas de um organismo que é
dotado de estruturas que se manifestam pelo poder de assimilação e acomodação. Há,
inicialmente, uma assimilação funcional a partir das estruturas pré-existentes, isto é, estruturas
funcionais inscritas nas estruturas orgânicas. Essas primeiras estruturas são programadas
hereditariamente. Assim, as primeiras manifestações da atividade mental consistem em
assimilar os elementos novos nas estruturas já programadas e, a partir daí, construir outras
estruturas mais elaboradas (Wadsworth, 1993).
Convém salientar, no entanto, que o organismo só é capaz de dar uma resposta quando uma
determinada estrutura já tiver alcançado um nível de "competência" que é traduzido por uma
sensibilidade específica às incitações do meio. Pode-se afirmar, então, que existe uma
continuidade entre os mecanismos biológicos mais gerais e aqueles que tornam possível a
gênese das funções cognitivas, tanto no aspecto operativo (da motricidade às operações
intelectuais) quanto do figurativo (percepção, imagem, etc.)
Pelo exposto, percebe-se que, no processo de organização e adaptação intelectual, quatro
conceitos cognitivos básicos precisam ser dominados. São eles: esquema, assimilação,
3.1 Esquema
Piaget entendeu a mente como dotada de estruturas do mesmo modo que o corpo. Todos os
animais têm um estômago, uma estrutura que permite ingerir e digerir. Piaget usou o termo
esquema para ajudar a explicar por que as crianças apresentam respostas mais ou menos
estáveis aos estímulos e para explicar muitos fenômenos associados à memória. Esquemas são
as estruturas mentais ou cognitivas pelas quais os indivíduos, intelectualmente, se adaptam e
organizam o meio ( Wadsworth, 1993). Como estruturas, esquemas são os correlatos mentais
dos mecanismos biológicos de adaptação. O estômago é uma estrutura biológica que os
animais usam com sucesso para se adaptarem ao seu meio. De modo semelhante, esquemas
são estruturas que se adaptam e se modificam com o desenvolvimento mental. A existência
destas estruturas é inferida. Um estômago, como órgão do corpo, é um objeto real. Esquemas
não são objetos reais, mas são vistos como conjuntos de processos dentro do sistema nervoso.
Como tal, esquemas não têm correlatos físicos e não são observáveis.
Uma outra analogia pode ser a de um arquivo, no qual cada ficha representa um esquema. Os
adultos têm mais fichas ou esquemas. Estes esquemas são usados para processar e identificar a
entrada de estímulos. Dessa maneira, o organismo está apto a diferenciar estímulos e a
generalizar. A criança, quando nasce, apresenta poucos esquemas (fichas no arquivo). A
medida que se desenvolve, seus esquemas tornam-se mais generalizados, mais diferenciados e,
progressivamente, mais complexos (Wadsworth, 1993).
Esquemas mudam continuamente ou se tornam mais refinados. De fato, os esquemas sensório-
motores da criança se desenvolvem até se transformarem nos esquemas de adultos. No
momento do nascimento, o " arquivo da criança" contém somente poucas fichas amplas nas
quais tudo está escrito. A medida que a criança se desenvolve, mais fichas são necessárias para
conter as mudanças de classificação. Um exemplo: imagine uma criança em uma sala da pré-
escola. A professora traça um segmento de reta no quadro, e pergunta ao aluno: O que é isto?
acomodação e equilibração. Esses conceitos são usados para explicar como e por que o
desenvolvimento cognitivo ocorre.
A criança olha para o quadro e vê o segmento de reta. É quase impossível se ver como
funciona a cabeça da criança quando ela está pensando. Após pensar um pouco, ela diz: "É um
risco". Considerando que o aluno deu uma resposta honesta, podemos considerar que ocorreu
algo assim: o aluno olhou para o quadro e viu um segmento de reta. Recebendo este "novo"
estímulo, ela tentou remetê-lo a uma ficha do seu arquivo. Em termos de coisas que o aluno
pode identificar, o estímulo (segmento de reta) fica mais próximo de risco, razão pela qual ele
identificou a reta como risco (um esquema ou arquivo).
Quando confrontada com um estímulo, a criança tenta "encaixar" o estímulo em um esquema
disponível. Assim, o aluno logicamente chamou o segmento de reta, de risco, desde que para
ele as características do segmento de reta se apresentaram como muito próximas das
características de um risco. Para a criança, o segmento de reta enquadrou-se nos critérios
próprios de um risco. Suas estruturas, neste momento, não lhe permitiram perceber as
diferenças entre um segmento de reta e um risco, mas lhe permitiram ver as similaridade. Isso
explica o porquê de as crianças, mesmo após a pré-escola, ainda chamarem o círculo ou
circunferência de roda e a esfera de bola.
Esquemas são estruturas intelectuais que organizam os eventos como eles são percebidos pelo
organismo e classificados como em grupos, de acordo com características comuns. Eles são
ocorrências psicológicas repetitórias no sentido de que uma criança pode, repetidamente,
classificar estímulos de uma maneira consistente. Se uma criança "consistentemente"
classifica segmentos de reta como riscos ou círculos como roda, podemos inferir sobre a
natureza dos seus conceitos.
Esquemas são definidos pelo comportamento observável da criança. Mas, esquemas são mais
do que o comportamento; eles são estruturas internas das quais brotam o comportamento.
Esquemas são percebidos pelos padrões de comportamento que ocorrem repetidamente no
curso da atividade cognitiva. Um esquema considera um conjunto total de ações distintas mais
similares.
Visto que esquemas são estruturas do desenvolvimento cognitivo que se transformam, o
crescimento e o desenvolvimento deles devem ser levados em conta. Os conceitos do adulto
diferentes dos conceitos das crianças. Os conceitos se transformam. Os esquemas
cognitivos do adulto são derivados dos esquemas sensório-motores da criança. Os processos
responsáveis pela mudança são assimilação e acomodação.
3.2 Assimilação
É o processo cognitivo pelo qual uma pessoa integra novo dado perceptual, motor ou
conceitual nos esquemas ou padrões de comportamento já existentes. Pode-se dizer que uma
criança tem experiência: vê coisas novas (segmento de reta) ou vê coisas velhas de novas
formas e ouve coisas. A criança tenta adaptar esses novos eventos ou estímulos nos esquemas
que ela possui naquele momento. Para a criança, no exemplo anteriormente apresentado, o
objeto (segmento de reta) tem todas as características de um risco, e assim a criança concluiu
que aquele objeto era um risco. O estímulo (segmento de reta) foi assimilado ao esquema
risco. Assim, assimilação pode ser vista como um processo cognitivo de colocar (classificar)
novos eventos em esquemas existentes.
A assimilação ocorre continuamente. Seria uma extrema supersimplificação sugerir que uma
pessoa processa um estímulo por vez. Um ser humano está continuamente processando um
grande número de estímulos (Wadsworth, 1993).
Teoricamente a assimilação não resulta em mudança dos esquemas, mas ela afeta o
crescimento deles e, dessa forma, é uma parte do desenvolvimento. Segundo Wadsworth, a
assimilação é uma parte do processo pelo qual o indivíduo cognitivamente se adapta ao
ambiente e o organiza. O processo de assimilação possibilita a ampliação dos esquemas. Ele
não explica as suas transformações. Os esquemas se transformam e nos adultos ele são
diferentes daqueles das crianças. Piaget descreveu e explicou essas transformações pelo
processo de acomodação.
3.3 Acomodação
Ouando confrontada com um novo estímulo, a criança tenta assimilá-lo a esquemas já
existentes. Algumas vezes isso não é possível. Ocasionalmente, um estímulo pode não ser
incorporado ou assimilado, por não contar a estrutura cognitiva com um esquema no qual ele
prontamente se encaixe. As características do estímulo não se aproximam daquelas requeridas
por qualquer dos esquemas disponíveis da criança. O que faz uma criança, então?
Essencialmente ela pode fazer uma das duas coisas: ela pode criar um novo esquema no qual
possa encaixar o estímulo (uma nova ficha no arquivo); ou ela pode modificar um esquema
prévio de modo que o estímulo possa ser nele incluído. Ambas são formas de acomodação.
Assim, acomodação é a criação de novos esquemas ou a modificação de velhos esquemas.
Ambas as ações resultam em uma mudança na estrutura cognitiva (esquemas) ou no seu
desenvolvimento (Wadsworth, 1993).
Ocorrida a acomodação, uma criança pode tentar assimilar o estímulo, novamente. Uma vez
modificada a estrutura cognitiva, o estímulo é prontamente assimilado. A assimilação é
sempre o fim, o produto. A facilidade ou dificuldade com que o aluno cria um novo esquema
ou modifica um esquema prévio resulta em uma facilidade ou dificuldade de "aprender" coisas
novas. Assim, eles são erroneamente rotulados em alunos que aprendem e em alunos que não
aprendem (neste caso não se respeitou o tempo que ele leva para tomar uma das duas
decisões).
De modo algum é esperado da criança que está assimilando e acomodando, ativamente, que
desenvolva esquemas que assumam uma forma particular. Nas concepções de esquema, aqui
usadas, está implícita a idéia de que os esquemas são construídos sobre as experiências
repetidas. Os esquemas refletem o nível atual da criança confrontada com um novo estímulo,
a criança tenta anexá-lo a esquemas já existentes. Algumas vezes isso não é possível.
Ocasionalmente, um estímulo pode não ser incorporado ou assimilado, por não contar a
estrutura cognitiva com um esquema no qual ele prontamente se encaixe. As características do
estimulo não se aproximam daquelas requeridas por qualquer dos esquemas disponíveis da
criança. O que faz uma criança, então? Essencialmente ela pode fazer uma das duas coisas: ela
pode criar uma novo esquema no qual possa encaixar o estímulo (uma nova ficha no arquivo);
ela pode modificar um esquema prévio de modo que o estímulo possa ser, nele, incluído.
Ambas são formas de acomodação. Assim, acomodação é a criação de novos esquemas ou a
modificação de velhos esquemas. Ambas as ações resultam em uma mudança na estrutura
cognitiva (esquemas) ou no seu desenvolvimento (Wadsworth, de compreensão e
conhecimento do mundo. Os esquemas são por ele construídos. Como construções, os
esquemas não são cópias exatas da realidade. Suas formas são determinadas pela assimilação e
acomodação da experiência e, com o passar do tempo, elas se tornam cada vez mais próximas
da realidade.
Nenhum comportamento é só assimilação ou só acomodação. Todo comportamento reflete
ambos os processos, embora alguns comportamentos expressem, relativamente, mais um
processo do que o outro. Por exemplo: o que nós, geralmente, conhecemos como jogo infantil
é tipicamente mais assimilação do que acomodação. Por outro lado, os esforços da criança de
imitação dos outros é, usualmente, mais um ato de acomodação do que de assimilação.
Durante a assimilação, uma pessoa impõe sua estrutura disponível aos estímulos que estão
sendo processados. Isto é, os estímulos são "forçados" a se ajustar à estrutura da pessoa. Na
acomodação o inverso é verdadeiro. A pessoa é "forçada" a mudar a sua estrutura para
acomodar os novos estímulos. A acomodação explica o desenvolvimento (uma mudança
qualitativa), e a assimilação explica o crescimento (uma mudança quantitativa); juntos eles
explicam a adaptação intelectual e o desenvolvimento das estruturas cognitivas.
3.4 Equilibração
Os processos de assimilação e acomodação são necessários ao crescimento e ao
desenvolvimento cognitivo. De igual importância são as quantidades relativas de assimilação e
de acomodação que ocorrem. Por exemplo: imagine o resultado, em termos de
desenvolvimento mental, de uma pessoa que só assimilou estímulos e nunca fez acomodações.
essa pessoa acabaria com uns poucos esquemas amplos e seria incapaz de detectar diferenças
nas coisas. A maioria delas seria vista como similar. Para o aluno, a reta continuaria sendo um
risco, para sempre. Por outro lado qual seria o resultado se uma pessoa só fizesse
acomodações e nunca assimilasse? O resultado seria uma pessoa tendo um grande número de
esquemas muito pequenos que teriam pouca generalidade. A maioria das coisas seria vista
como diferente. A pessoa seria incapaz de detectar semelhanças. Em cada um desses extremos,
resultaria um desenvolvimento intelectual anormal. Portanto, um "balanço" entre assimilação
e acomodação é tão necessário quanto os processos em si. Piaget chamou o balanço entre a
assimilação e acomodação de equilíbrio. É ele o mecanismo auto-regulador necessário para
assegurar uma eficiente interação da criança com o meio.
Equilíbrio é um estado de balanço entre a assimilação e acomodação. Desequilíbrio é um
estado de não balanço entre a assimilação e acomodação. Equilibração é o processo de
passagem do desequilíbrio para o equilíbrio.
Qualquer coisa pode ser assimilada por uma criança. Os esquemas que ela usa podem não
estar em harmonia com os do adulto (por exemplo, classificar uma reta como um risco), mas o
modo como a criança organiza os estímulos na sua estrutura cognitiva é, teoricamente, sempre
apropriado ao seu nível de desenvolvimento conceitual. Não há organização "errada". Há
apenas organizações cada vez melhores, à medida em que o desenvolvimento intelectual
avança.
Pode-se dizer, então, que uma criança, ao experimentar um novo estímulo (ou um velho, outra
vez), tenta, anexar, o estímulo a um esquema existente. Se ela for bem sucedida, o equilíbrio,
em relação àquela situação estimuladora particular, é alcançado no momento. Se a criança não
consegue assimilar o estímulo, ela tenta, então, fazer uma acomodação, modificando um
esquema ou criando um esquema novo. Quando isso é feito, ocorre a assimilação do estímulo
e, nesse momento, o equilíbrio é alcançado.
E dessa maneira que se processam o crescimento e o desenvolvimento cognitivo, em todas as
suas fases. Do nascimento até à idade adulta, o conhecimento é construído pelo indivíduo, e os
esquemas do adulto são construídos a partir do esquemas da criança. Na assimilação, o
organismo "encaixa" os estímulos à estrutura que já existe: na acomodação, o organismo
muda" a estrutura para encaixar o estímulo. O processo de acomodação resulta numa
mudança qualitativa na estrutura intelectual (esquemas), enquanto que a assimilação somente
acrescenta à estrutura existente uma mudança quantitativa. Assim, assimilação e acomodação
uma coordenação cumulativa, diferenciação, integração e construção constante - explicam o
scimento e o desenvolvimento das estruturas cognitivas e do conhecimento. Equilibração é
mecanismo interno que regula esses processos. Do mesmo modo que nós nos adaptamos
biologicamente ao mundo que nos cerca, o desenvolvimento da mente - desenvolvimento
intelectual - é também um processo de adaptação.
3.5 Desenvolvimento Cognitivo e Afetivo
Piaget concebeu a inteligência como tendo dois aspectos: o cognitivo e o afetivo. O
desenvolvimento cognitivo envolve três componentes: conteúdo, função e estrutura.
Conteúdo é o que a criança conhece. Ele se refere aos comportamentos sensório-motor e
intelectual. Pela sua natureza, o conteúdo varia consideravelmente de idade para idade e de
criança para criança (Wadsworth, 1993).
Função refere-se aos conceitos de assimilação e acomodação que são estáveis e contínuas no
decorrer do desenvolvimento cognitivo.
Estrutura refere-se aos conceitos de esquemas que explicam a ocorrência de determinados
comportamentos.
O sistema de Piaget requer que a criança atue sobre o meio para que ocorra o desenvolvimento
cognitivo. O desenvolvimento das estruturas cognitivas é assegurado somente quando a
criança assimila e acomoda os estímulos do ambiente. Isto só pode acontecer quando os
sentidos da criança entram em contato com o meio. Quando a criança está agindo no meio,
movimentando-se no espaço, manipulando objetos, observando com olhos e ouvidos, ou
pensando, ela está obtendo dados brutos para serem assimilados e acomodados. Estas ações
resultam no desenvolvimento de esquemas.
As ações físicas e mentais sobre o meio são uma condição necessária, mas não suficiente para
o desenvolvimento cognitivo. Isto é, a experiência sozinha não assegura o desenvolvimento,
mas o desenvolvimento não ocorre sem a experiência. A assimilação e a acomodação são
n necessárias ao desenvolvimento. A ação é um dos vários determinantes que interagem
no desenvolvimento.
et todo conhecimento é uma construção resultante das ações da criança. De acordo
com o autor, há três tipos de conhecimento: o conhecimento físico, o conhecimento lógico-
latemático e o conhecimento social. O conhecimento físico é o conhecimento das
propriedades dos objetos e é derivado das ações sobre os objetos. O conhecimento lógico-
matemático é o conhecimento construído com base nas ações sobre os objetos. O
conhecimento social é o conhecimento sobre coisas criadas pela cultura. Cada tipo de
conhecimento depende das ações físicas ou mentais. As ações instrumentais do
desenvolvimento são aquelas que geram desequilíbrios e conduzem ao esforço de estabelecer
o equilíbrio (equilibração). Assimilação e acomodação são os agentes de equilibração, o auto-
regulador do conhecimento (Wadsworth, 1993).
O desenvolvimento cognitivo, enquanto um processo contínuo, pode ser dividido em quatro
estágios para fins de análise e descrição. Esses estágios são:
1- O estágio da inteligência sensório-motora (0 a 2 anos). Durante este estágio, o
comportamento da criança é basicamente motor. Ela não representa eventos internamente e
não pensa conceitualmente. Apesar disso o desenvolvimento cognitivo é constatado à medida
que os esquemas são construídos.
2 - O estágio do pensamento pré-operacional (2 a 7 anos). Este estágio é caracterizado pelo
desenvolvimento da linguagem e pelo rápido desenvolvimento conceitual. O raciocínio é pré-
lógico ou semilógico.
O estágio das operações concretas (7 as 11 anos). Neste estágio, a criança aplica o
pensamento lógico a problemas concretos.
4
O estágio das operações formais (11 aos 15 anos ou mais). Aqui as estruturas cognitivas da
criança alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento, tornando-as capazes de aplicar
o raciocínio lógico a todas as classes de problemas.
Todo comportamento apresenta os dois aspectos: o cognitivo e o afetivo. Esses aspectos
formam uma unidade no funcionamento intelectual. Eles são "os dois lados de uma mesma
moeda".
O aspecto afetivo tem uma profunda influência sobre o desenvolvimento intelectual. Ele pode
acelerar ou diminuir o ritmo de desenvolvimento. Ele pode determinar sobre que conteúdos a
atividade intelectual se concentrará. Apesar de toda essa interferência, o afetivo, segundo
Piaget, não pode em si modificar as estruturas cognitivas.
Segundo Piaget, citado por Wodsworth (1993, p. 23), "... embora a questão afetiva cause o
comportamento, embora ela acompanhe constantemente o funcionamento da inteligência e
embora ela acelere ou freie o ritmo de desenvolvimento, ela, em si mesma, no entanto, não
pode gerar estruturas de comportamento e não pode modificar as estruturas em cujo
funcionamento ela intervém".
Muitas pessoas acreditam que os aspectos afetivos da vida humana surgem de alguma fonte
interna, de forma mais ou menos predeterminada. Para Piaget, o aspecto afetivo não é mais
predeterminado do que a inteligência, propriamente dita (Wodsworth, 1993). Na sua visão há
notável paralelo entre os aspectos afetivo e cognitivo.
o afeto se desenvolve no mesmo sentido que a cognição ou inteligência. Ao examinar-se o
raciocinio das crianças sobre questões morais, que é um aspecto da vida afetiva, percebe-se
O afeto apresenta várias dimensões, das quais destacam-se os sentimentos subjetivos (amor,
raiva depressão, etc.) e sentimentos expressivos (sorrisos, lágrimas, gritos, etc). No
desenvolvimento intelectual apresentam-se como de maior importância a motivação ou
energização intelectual e a seleção. Entende-se motivação como uma força que põe uma
estrutura do conhecimento para funcionar, isto é, alguma coisa capaz de acionar a estrutura e
originar o espaço a ser desenvolvido. Seleção é o direcionamento da atividade intelectual para
objetos ou eventos particulares. (Wadsworth, 1993).
lelamente ao desenvolvimento cognitivo está o desenvolvimento afetivo. Afeto inclui
timentos, interesses, desejos, tendências, valores e emoções em geral. Piaget entendeu que
há aspectos do afeto que se desenvolvem.
conceitos morais delas são construídos do mesmo modo que os conceitos cognitivos. A
medida que os aspectos cognitivos se desenvolvem, há um desenvolvimento paralelo da
afetividade. Os mecanismos de construção são os mesmos. As crianças anexam as
periências aos esquemas afetivos do mesmo modo que anexam as experiências às estruturas
cognitivas (Wadsworth, 1993).
Piaget argumentou também, que todo comportamento apresenta ambos os aspectos. Não há
portanto, comportamento cognitivo puro, como não há comportamento afetivo puro. A criança
que gosta de matemática, faz progressos mais rápidos que a criança que não gosta desta
disciplina.
Em todos os casos, o comportamento é influenciado pela afetividade. É impossível encontrar
um comportamento oriundo apenas da afetividade, como também é impossível encontrar um
comportamento constituído somente por elementos cognitivos.
3.6 O espaço perceptivo
Segundo Piaget e Inhelder ( 1993), a construção progressiva das relações espaciais acontecem
em dois planos bem distintos: o plano perceptivo ou sensório-motor e o plano representativo
ou intelectual. É essa dualidade que dificulta a análise psicogenética do espaço.
Os matemáticos, em sua grande maioria, raciocinam como se o espaço se desenvolvesse
apenas sob a influência dos mecanismos motores e perceptivos, como se a representação
figurada e a intuição geométrica se limitassem a anotar, previamente, tal construção sensório-
motriz. Essa visão se constitui em uma demasiada simplificação dos fatos.
Kant já concebia o espaço como uma estrutura a priori da "sensibilidade", constituindo o
papel do entendimento simplesmente em submeter os dados espaciais perceptivos a uma
sequência de raciocínios suscetíveis de debilitá-los indefinidamente sem esgotar o conteúdo".
(Piaget & Inhelder, 1993, p. 17).
"H. poincaré liga a formação do espaço a uma intuição sensível e relaciona suas vias
profundas sobre a significação do grupo dos deslocamentos ao jogo das sensações
Uma coisa é perceber visualmente um círculo ou um quadrado, e outra coisa é, percebendo
essas formas através da exploração tátil, reconstruir a imagem visual correta, seja
reconhecendo-os entre diversos modelos, seja desenhando-os.
No caso da percepção, o reconhecimento da forma se deve a uma estruturação mais ou menos
imediata que ocorre na criança desde os 3 a 5 meses de idade, em média. No entanto, a
imagem visual das mesmas formas exige uma representação intuitiva, cuja construção é
realizada quando o objeto permanece fora do campo perceptível da visão. Isso requer a
intervenção das funções mais complexas, que a criança adquire após a metade do segundo ano
de idade.
Para Piaget e Inhelder (1993), a construção do espaço começa no plano perceptivo e caminha
para o plano da representação. Para se entender a intuição espacial progressiva é necessário
compreender a passagem de um plano para outro. A esse respeito a análise dos fatos,
conhecidos sob o nome de estenognósia, permite:
controlar a maneira pela qual funciona a percepção sob as espécies de percepção tátil que
marca o início da fase de recognição;
compreender como a percepção tátil é traduzida pelo sujeito em imagens gráficas;
introduzir-se ao estudo da abstração das formas.
teoria piagetiana estabelece a especificidade das operações espaciais e mostra o
desenvolvimento dos conhecimentos espaciais paralelamente à geometria. Ele subordina a
imagem à operatividade, ressaltando a homogeneidade na representação espacial, entre
simbolismo e símbolo. (Marie-Germaine Pêcheux, 1990).
proiriamente ditas, como se o espaço sensório-motor fornecesse o essencial da representação
ca e como se o intelecto trabalhasse sobre o sensível já previamente elaborado"
(Piaget & Inhelder, 1993).
n referencia ao primeiro ponto, pode-se afirmar que é impossível a criança concentrar-se
penas um ponto da figura. Ela vai deslocando as mãos no conjunto das partes que formam
Existe, portanto, uma estreita ligação entre percepção e movimento. Esta ligação é constante e
recíproca. Exemplificando: uma criança quando se apossa de um cartão triangular, centra suas
mãos para uma parte do objeto, sobre um dos ângulos do cartão, por exemplo. A percepção
desta parte da superfície desencadeará um movimento na direção da outra parte da figura,
àquela que é aberta em relação ao ângulo que inicialmente foi tomado. Aqui os gestaltistas
descrevem esse fato com muita propriedade. Segundo eles, a percepção estando em
desequilíbrio (em razão da abertura do ângulo sobre o resto da figura) produz um movimento
correspondente à corrente nervosa devido à diferença de potencial entre a região excitada e a
região contígua ainda não excitada. Tal movimento acabará na exploração dos outros ângulos
do triângulo, repercutindo sobre as percepções ulteriores, uma vez que "transporta" os
resultados da percepção anterior e que, encontrando, por exemplo, um ângulo "transporta" as
primeiras relações para as segundas; coordenando, portanto, as percepções sucessivas entre si
e constitui o conjunto das transformações que asseguram a passagem de uma percepção à
outra. Nesse enfoque, pode-se dizer que não há percepção que não esteja inserida numa
atividade sensório-motora de conjunto, onde essa percepção está ligada a uma centração
particular. Essa atividade reage sobre as percepções nas quais se apóia e que religa uma às
outras (Piaget e Inhelder, 1993V
e desta maneira tem o reconhecimento perceptivo do todo. Aqui ocorrem dois
processos distintos: a percepção, propriamente dita, que resulta da "centração" (espécie de
instantaneidade no dinamismo da atividade perceptiva) de cada parte do objeto, bem como sua
atividade sensório-motora que consiste no deslocamento de uma "centração" para outra e o
"transporte" dos resultados ocorridos entre estas "centrações".
Essa interpretação, que parece evidente no caso da percepção tátil e das explorações que
constituem a atividade perceptiva correspondente, vale, igualmente, para a percepção visual. A
única diferença entre os dois domínios é que uma centração do olhar engloba mais elementos
simultâneos do que uma centração da mão. No caso das figuras simples, como um círculo ou
um triängulo, o olhar abrange, desde a primeira centração, o conjunto dos elementos e das
relações em jogo. Nas figuras mais complexas, o olhar é obrigado a explorar, como faz a mão,
e intervém, então, numa atividade perceptiva ou sensório-motora que consiste em coordenar as
A atividade perceptiva ou sensório-motora se desenvolve de acordo com a idade da criança.
Assim uma criança com, aproximadamente, 4 anos permanece quase passiva quando em
contato com objetos a reconhecer. Ela segura os objetos, geralmente, com as duas mãos,
apalpa-os ou gira e se atém às primeiras centrações fortuitas, sem explorá-los. No estágio
seguinte (de 4 a 7 anos), a criança afirma sua atividade perceptiva, particularmente, nas provas
tátil-cinestésicas, primeiro por explorações globais (segurando o objeto nas duas extremidades
e estabelecendo entre elas algumas relações de conjunto); a seguir, pela análise incompleta de
índices particulares (ângulos, lados, etc), e depois pela análise completa, com transposições,
antecipações, etc. sem, no entanto, apresentar uma síntese metódica. Neste estágio, a
exploração começa sem sistema e sem hipótese e termina por uma revista completa, tateante e
num único sentido, de todos os caracteres marcantes: rotação em um mesmo sentido de
orientação e passagem dos movimentos efetuados contra a palma da mão à exploração
conduzida só com um dedo ao longo do contorno (particularmente com os losangos).
Finalmente, no estágio das operações concretas (por volta dos 7 a 8 anos) constatam-se as
explorações sistemáticas com retorno a um ponto de partida que serve de referência (Piaget e
Inhelder,1993).
centrações como no domínio de tocar, e com as mesmas reciprocidades entre o elemento
perceptivo e o elemento motor ( Piaget e Inhelder, 1993).
O segundo ponto da esteregnósia trata da imagem, que é a passagem da percepção à
representação intuitiva. Essa passagem é acompanhada de uma transformação do tátil em
visual e efetua-se quando o sujeito, a partir de suas percepções táteis orientadas por uma
atividade perceptiva tátil-cinestésica, busca retirar uma imagem visual ou uma imagem gráfica
que implica, simultaneamente, na visão e no movimento.
As imagens são, pois, símbolos representativos construídos ao mesmo tempo que as relações
de pensamento significados por ela. Isso ocorre, porque na construção da imagem existe um
elemento motor que prolonga a atividade perceptiva em oposição à percepção simples. Esse
elemento é a imitação (Piaget e Inhelder, 1993).
"A imagem é, com efeito, geneticamente um produto da imitação. Ela é uma imitação
interionizada, isto é, suscetível de esboçar-se sem mais nada, em lugar de manifestar-se em
gestos exteriores, mas ligada no início a esses gestos imitativos, como na imagem lúdica ou na
imitação diferenciada" (Piaget, Inhelder, 1993, p. 56).
"A imitação se constitui no prolongamento dos movimentos de acomodação próprios da ação
isso ocorre a partir do nível da atividade sensório-motora do bebê. A imitação (portanto, a
imagem) é como o "positivo" correspondente aos "negativos" da acomodação, isto é, as
modificações sofridas pelos esquemas da ação sob a influência dos objetos sobre os quais se
apoia" ( Piaget & Inhelder, 1993).
De um lado, constata-se uma ligação importante entre o modo de exploração do sujeito, em
face aos objetos apresentados e o nível de desenho que ele realiza desses mesmos objetos. Por
outro lado, o nível desse desenho corresponde ao das recognições de tais figuras entre diversos
modelos visuais oferecidos à escolha. Tudo ocorre como se a manifestação visual da forma
percebida, tatilmente, fosse a expressão dos esquemas sensório-motores que intervém nessa
percepção, como se o desenho fosse justamente um "positivo" correspondente aos "negativos"
constituídos pelas acomodações dessa atividade de exploração perceptiva (Piaget & Inhelder,
1993).
O último ponto abordado trata do estudo da abstração das formas. Nesse ponto, depara-se com
a interrogação: as formas geométricas são abstraídas dos objetos percebidos e depois
imaginados ou dos movimentos coordenados que intervém na percepção e depois na
construção da imagem representativa?
Em cada um dos três estágios considerados, o sujeito não consegue reconhecer e nem mesmo
representar outras formas, a não ser aquelas nas que ele é capaz de reconstruir com suas
próprias ações, onde ele efetua a abstração das formas a partir da coordenação das ações e não,
ou não somente, a partir do objeto.
É assim que no primeiro estágio, as únicas formas reconhecidas e apresentadas pela criança
são as cíclicas fechadas e as que repousam em simples relações topológicas de fechamento e
de abertura, de vizinhança e de separação, de envolvimento, etc. Essas relações exprimem as
coordenações mais simples das ações de seguir, gradualmente, de rodear, de separar, etc
(Piaget & Inhelder, 1993).
No segundo estágio, começam as formas euclidianas baseadas na distinção das retas e das
incurvações dos ângulos de diferentes valores, do paralelismo e, sobretudo, das relações de
igualdade ou desigualdade dos lados de uma figura. Fica claro, portanto, que a representação
só pode abstrair a intuição de uma relação de igualdade a partir de uma relação de igualação, a
intuição de uma reta a partir da ação de seguir com a mão ou com olhar sem mudar a direção,
a intuição de um ângulo a partir de dois movimentos que se cortam (Piaget & Inhelder, 1993).
"No terceiro estágio, a correlação entre as formas e a coordenação das ações é evidente, uma
vez que o retorno a um ponto fixo de referência, necessário à sua construção, é também
necessário à sua recognição e à sua representação" (Piaget & Inhelder, 1993).
3.7 O espaço projetivo
A diferença essencial entre as relações topológicas, que são as principais formas elementares,
e as relações euclidianas, prende-se ao modo de coordenação das figuras em si. As relações de
vizinhança, de separação, de ordem, de envolvimento e de continuidade constituem-se pouco a
pouco entre os elementos de uma mesma figura ou de uma mesma configuração estruturadas
por elas. Essas relações topológicas não conduzem à construção de sistemas de conjunto que
reúnem uma multiplicidade de figuras em função seja de um jogo de perspectivas, seja de
eixos de coordenadas e é por isso que elas são, psicologicamente, elementares (Piaget &
Inhelder,1993).
O espaço topológico inicial é interior e cada figura, da qual ele exprime as propriedades
intrínsecas em oposição às relações espaciais que as situam em relação às outras figuras"
(Piaget & Inhelder, 1993, p. 167).
as relações topológicas não existe um espaço total que englobe todas as figuras. Elas são
consideradas em si mesmas e não em um sistema de conjunto que as organizaria em um único
todo estruturado segundo uma mesma coordenação espacial.
Com o espaço projetivo e o espaço euclidiano se dá o contrário. Os objetos e suas
configuraçoes se relacionam uns aos outros, segundo sistemas de conjunto que consistem ou
3.8 Passagem do espaço projetivo ao espaço euclidiano
Segundo Piaget & Inhelder (1993), as relações entre o espaço projetivo e o espaço euclidiano
podem ser vistas de duas maneiras: a do ponto de vista da construção axiomática dos
geômetras e a do ponto de vista da gênese psicológica do espaço.
Na visão matemática, uma correspondência projetiva, chamada de homologia, conserva as
retas em certas relações quantitativas ao mesmo tempo em que passa das relações topológicas
para as relações métricas, conhecidas por métricas euclidianas.
Na visão psicológica, as intuições topológicas induzem a noção de reta, bem como as relações
projetivas iniciais, por subordinação a um sistema de pontos de vista. Dessa dupla visão
matemática e psicológica) o espaço projetivo e o espaço euclidiano são elaborados,
independentemente, um do outro, mas ambos a partir do espaço topológico (Piaget & Inhelder,
1993).
em projeções ou em perspectivas ou em coordenadas que dependem de certos eixos. É por isso
que as estruturas projetivas e euclidianas são mais complexas e, por conseguinte, de
elaboração mais tardia por parte da criança.
Implicando em conservação das retas, ângulos, curvas, distâncias ou de certas relações
definidas que subsistem por meio das transformações, tais estruturas sempre se relacionam,
sejam em figuras isoladas ou em conjuntos, de modo abstrato ou explícito.
O espaço projetivo inicia, psicologicamente, quando o objeto ou sua figura deixam de
ser considerados em si mesmos para serem considerados em relação a um ponto de
vista. Ponto de vista do sujeito como tal, caso em que intervém uma relação de
perspectiva ou ponto de vista de outros objetos sobre os quais se encontra projetado.
Assim, as relações projetivas supõem uma coordenação entre objetos espaciais
distintos, em oposição à análise intrínseca das relações topológicas próprias de cada
objeto considerado em si mesmo (Piaget& Inhelder, 1993, p. 168).
Sob o prisma psicológico, essa passagem ocorre na medida em que o sujeito coordena
diferentes pontos de vista. Construindo as relações projetivas, ele consegue coordenar as
distâncias e assim construir as relações euclidianas. Esses dois sistemas apóiam-se um no
outro. Os dois chegam, com efeito, a um relacionamento das figuras entre si e não somente das
partes vizinhas das figuras, daí uma conservação, ou de certas relações de forma invariante no
curso das mudanças de pontos de vista ou das distâncias em grandezas invariantes no curso
dos movimentos (Piaget & Inhelder, 1993).
As pessoas que trabalham com crianças, principalmente aquelas que tratam das noções de
percepção e de projeção devem abordar a conservação das paralelas, por exemplo, não num
campo apenas perceptivo, mas também no campo da sua transformação, onde se respeita o
paralelismo de alguns de seus elementos. Essas transformações devem ser consideradas, ainda,
nos losangos que aumentam ou diminuem de tamanho; na descoberta das projeções, na
semelhança e na conservação dos ângulos; na construção das horizontais e verticais, que
produzem o sistema de coordenadas (que será visto a seguir), etc. Desta maneira, a criança
terá mais facilidade de visualizar o todo, quando lhe for solicitado para construir o plano de
uma vila, um jardim ou um parque de diversões. Ela terá as noções de "ponto de vista"
perceptivo, de paralelismo, de proporção e de coordenadas e, assim, obter sem dificuldades as
relações de conjunto entre as noções projetivas e as noções euclidianas.
Existe ainda um outro enfoque, segundo o qual pode-se construir entre o espaço projetivo e o
euclidiano no uma série de passagens, constituídas por afinidades e semelhanças. Assim é que, do
ponto de vista matemático, as afinidades são correspondências projetivas (homologia) que
conservam entre outras, as paralelas; as semelhanças são afinidades que conservam os
ângulos os movimentos são semelhanças que conservam as distâncias, etc. Da homologia
projetiva ao deslocamento euclidiano passa-se por uma série de transições ou de
especificações sucessivas.
"A reta supõe, assim, as noções de ordem, de contínuo, etc, que são de caracter topológico,
mas subordinadas a um ponto de vista ou a uma direção". (Piaget & Inhelder, 1993, p. 434).
Logo que o sujeito adquire a idéia da reta, ele é capaz de imprimir a mesma direção a outras
duas ou mais, daí a noção de paralelas que se conservam no curso das transformações afins.
Quando a criança constitui as noções de retas paralelas, ela é levada a descobrir a semelhança
de triângulos, graças ao paralelismo de seus lados e assim considerar a igualdade dos ângulos
pelo método da superposição com rotação. Essa comparação dos ângulos acaba na construção
de um agrupamento sistemático de operações que repousam na correspondência co-unívoca e
que induz à noção de proporção, complemento necessário da semelhança (Piaget & Inhelder,
1993).
Correlativamente aos progressos da correspondência co-unívoca e a partir das noções de retas
e paralelas constata-se uma segunda correspondência entre os pontos coordenados do espaço,
mas que obedecem a um outro princípio multiplicativo: o das correspondências biunívocas em
muitas dimensões, segundo eixos de coordenados retangulares.
pode-se exemplificar o espaço estruturado a partir de tal princípio, olhando os objetos que nos
odeiam. Vê-se esses objetos dispostos no interior de um entrelaçado de retas paralelas, que se
cortam perpendicularmente, segundo as três dimensões. Se esta visão das coisas parece clara é
porque a experiência física impõe tal estruturação, em função de todas as verticais e
horizontais que se cortam entre si. O sistema de coordenadas é comparado com uma tabela
dupla ou tripla entrada, na qual todos os objetos do espaço são ordenados em
correspondência biunívoca uns com outros, segundo as diversas colunas ou em diversos
compartimentos previstos ( Piaget & Inheler, 1993).
"o de linha reta é induzida, simultaneamente, pelo método projetivo da visão que
te alinhar os elementos segundo a direção do olhar e pelo método euclidiano da
conservação de uma mesma direção.
3.9 Construção do sistema de coordenadas
Pela complexidade da construção dos sistema de coordenadas, pode-se afirmar que é ilusório
atribuir ao sujeito o conhecimento inato ou, psicologicamente, precoce de um conjunto
estruturado, segundo um sistema de coordenadas retangulares a duas ou três dimensões.
Mesmo as noções físicas de horizontal e vertical não dão lugar a nenhuma tomada de
consciência imediata, pois sabe-se que enquanto a percepção se apoia em campos restritos, um
sistema de coordenadas exige a coordenação operatória de todos os campos em si.
Assim como as noções, de sucessão e de simultaneidade, de sincronismo e de isocronismo que
definem um tempo homogêneo, marcam a chegada e não a partida da construção do tempo, o
sistema de coordenadas está no ponto de chegada da construção psicológica do espaço
euclidiano.
Um sistema de coordenadas supõe, em primeiro lugar, as noções topológicas de ordem e de
dimensão, isto é, um conjunto de relações de ordem que permitem seriar os objetos segundo n
dimensões. Um sistema de coordenadas é o produto de uma multiplicação lógica das relações
de ordem, com intervenção das retas, das distâncias, das paralelas e dos ângulos, segundo n
dimensões. Vê-se que um sistema de eixos de coordenadas supõe,
além das relações topológicas elementares, o conjunto das noções euclidianas aplicadas ao
relacionamento de todos os objetos entre si. Esse sistema é, portanto, a estruturação de
conjunto do espaço euclidiano e é por isso que sua construção é tão tardia (Piaget & Inhelder,
1993).
3.10 Conclusão
Segundo Guilford (1959), o comportamento cognitivo envolve as "atividades intelectuais",
podendo haver até 120 capacidades humanas de domínio cognitivo. A característica comum
dessas capacidades é aquilo que o organismo faz com as informações de que dispõe.
operações mentais, como por exemplo: a descoberta ou o reconhecimento de informação
(cogniçao); retenção ou armazenamento de informação (memória); geração de informação a
certos dados; tomadas de decisão ou julgamento acerca de informação, são
consideradas operações componentes integrais realizadas no domínio cognitivo. (Magil,
1984).
No processo ensino-aprendizagem, a velocidade com que essas informações ocorrem devem
ser respeitadas individualmente. Desse modo, não existem alunos que tenham facilidade ou
dificuldade de "aprender" coisas novas. Existe é uma diferença de tempo em que eles criam
um novo esquema ou modificam um esquema já existente. Portanto, impor um currículo
comum a todos os alunos é condenar um grande número, deles, ao fracasso ou à
frustração.
O ritmo de desenvolvimento pode ser rápido ou lento. Muitas vezes, as crianças que aprendem
num ritmo lento, nos primeiros anos, "recuperam o atraso" a partir dos doze anos (Kagan,
1975, Wadsworth, 1978). Essa recuperação evidencia que ritmos de desenvolvimento abaixo
da média não são, necessariamente, indicadores de potencial abaixo da média.
A prática educacional está baseada na premissa de que o conhecimento é algo que pode ser
transmitido, diretamente, dos professores aos alunos ou entre os alunos. Existe ainda uma
prática mais errônea que concebe a educação como uma transferência de conhecimento.
A suposição, aqui, é de que o "significado" ou compreensão pode ser transmitido pela palavra
oral ou escrita e, assim, a linguagem é suficiente para transferir a informação de uma fonte (o
livro, o professor) ao aluno, que espera avidamente (Wadsworth, 1993). Quando o
conhecimento não é adquirido, parte-se do pressuposto de que exista algum problema, ou com
o aluno (motivação) ou com um componente do processo de educação (visão, audição, etc)
Possivelmente, a mais importante e mais revolucionária implicação da teoria de Piaget diz
respeito ao fato de que as crianças constroem o conhecimento a partir de suas ações sobre o
meio. Assim, o conhecimento físico é construído por meio das ações sobre os objetos; o
conhecimento lógico-matemático é construído a partir das ações sobre o objeto, sendo que o
componente mais importante é a ação da criança e não o objeto em si; e o conhecimento social
depende da ação da criança ou da sua interação com outras pessoas.
Se um dos objetivos da educação é expandir a aquisição do conhecimento pelas crianças, o
método educacional precisa estar relacionado com o modo como elas adquirem o
conhecimento. Muitos alunos não "aprendem", porque eles, literalmente, não conseguem
entender aquilo que lhes é ensinado.
Aqui há uma influência fundamental do papel desempenhado pelo professor. Se ele interpreta a
inteligência (habilidade de ser bem sucedido nas tarefas escolares) como "determinada",
provavelmente, ele não terá motivação para se empenhar em favor do aluno cujo desempenho
é baixo em sala de aula. Por outro lado, se o professor entende a inteligência como um
"desenvolvimento", portanto, não determinada, ele poderá se motivar para auxiliar o aluno de
baixo desempenho. O modo como ele interpreta a inteligência, determina sua prática de
ensino.
Os conteúdos da área de Matemática, quando não trabalhados na forma construtivista têm sido
prejudiciais na aprendizagem. Até mesmo os alunos mais "brilhantes" são prejudicados pelo
método de ensino tradicional e pelos currículos de matemática. Esses métodos centram-se na
transmissão direta ao aluno pelo professor e nas respostas corretas, ao invés de ter como centro
o pensamento autônomo e a construção dos princípios matemáticos.
A maior parte da instrução matemática centra-se no procedimento de cálculos, e não sobre os
métodos que encorajam a construção autônoma dos conhecimento matemáticos que
fundamentam o cálculo. As crianças lutam para entender e atribuir sentido às coisas. Quando
não conseguem, elas recorrem à memorização e a outras estratégias mais ineficientes.
Os alunos são persuadidos ou condicionados a negligenciar sua tendência natural para a
compreensão. No lugar de compreender, eles desenvolvem hábitos de memorizar e não de
buscar a compreensão. Provavelmente, esta é a maior razão de os alunos "odiarem" a
matemática. Isso ocorre, porque eles não a compreendem. Essa compreensão não acontece,
muitas vezes, por não se dar sentido aos conteúdos que estão sendo trabalhados. Nesse
circulo vicioso, a criança não se apropria dos conhecimentos matemáticos, não por
deficiências, mas sim por sensatez, pois o cérebro humano não suporta carregar o peso
de um conhecimento morto que ele não consegue integrar com a vida.
sob este prisma, pode-se dizer que o conhecimento mais importante, no ensino, é aquele
produzido pelo aluno, tendo o professor a função de levar o educando a refletir em níveis cada
vez mais elevados. O ensino terá um bom nível, quando estimular o aluno a pensar, raciocinar
e resolver problemas, sendo seus erros tratados como hipóteses que devem ser testados e
analisados, verificando onde houve o desvio do pensamento lógico (Ulbricht, 1997).
Nesta sistemática de construção e de desafios constantes para o aluno, o emprego de novas
tecnologias, mais particularmente o computador, é de fundamental importância. Acredita-se
que a informática tenha potencial para revolucionar o processo de ensino e aprendizagem
como já ocorre em muitos aspectos da vida moderna. A utilização desses meios irá beneficiar
a educação sem que ela sofra algum efeito colateral negativo, apregoado pelos tradicionalistas
que acham que a instrução terá uma abordagem mecanicista, sem interação humana, onde a
presença do professor é dispensável (Maddux, Willis, 1996).
Capítulo IV
Pesquisas desenvolvidas no campo do conhecimento considerado
Especificamente, do uso do computador na geometria analítica, nada de relevante foi
encontrado. Por isso, restringiu-se a descrição das pesquisas desenvolvidas na
Geometria, as quais estão apresentadas a seguir.
4.1 A integração do computador no ensino da geometria para o desenvolvimento e a utilização
de cenários. - Richard Allen; Judith Cederberg; Martha Wallace - Departamente of
Mathematics St. Olaf College Northfield, MN 55057 USA. In: Actes Deuxièmes Journées
EIAO de Cachan, Cachan: ENS, 1991. P. 33-44
Este projeto, com duração de dois anos, foi realizado graças a uma subvenção por parte da
Fundação Nacional de Ciências, na qual a pesquisa se efetuou, no Departamento de
Matemática do Colégio Santo Olavo em Minessotta.
Ao longo das últimas décadas, os pesquisadores norte-americanos concluíram da necessidade
de mudar o ensino e também o aprendizado da Geometria. A Associação Nacional do Ensino
da Matemática (National Council of Teaches of Mathematics) no documento Curriculum and
Evolution Standarts for School Mathematics (NCTM,1989) recomenda o ensino e a
aprendizagem da Geometria, baseado no engajamento ativo, que incentive a pesquisa e
descoberta de fatos novos, que não tratem apenas de uma simples memorização e sim que
conceba a matemática como resolução de problemas, argumentação e comunicação. O
documento reconhece que o papel do ensino deve mudar de transmissor de fatos e de
informações para animador da aprendizagem. O objetivo principal do projeto foi o
melhoramento do ensino da Geometria no nível secundário através da introdução da
tecnologia da informática no ensino, como uma ferramenta pedagógica eficaz. Na pesquisa foi
desenvolvido e utilizado "cenários" junto com um plano de lições especializados que
formaram uma série de etapas no ensino de um tema particular (por exemplo, os triângulos e
suas transformacões), acompanhado por uma ampla documentação escrita e integrando o
computador como ferramenta didática.
O Projeto começou em junho de 1990 com uma oficina de duas semanas de duração animada
por três pesquisadores (Allen, Cedenberg e Wallace) que se reuniram no St. Olaf Collège com
10 professores de geometria. Esses professores formavam o grupo de professores ou Master
Teachers e o TAG (Teacher Action Group) que eram encarregados da transformação da
pesquisa em ensino e aprendizagem da geometria.
O projeto pretende responder ao seguinte questionamento: o que falta aos professores de
geometria para que eles possam trabalhar de maneira eficaz dentro da sociologia da
informática que está a sua disposição? A resposta disso esta no desenvolvimento e utilização
de um conjunto de cenários que em suas lógicas constituem o elemento pedagógico essencial.
Os cenários auxiliam o ensino da geometria, pois:
- propiciam um ensinamento que encoraja a conjecturar a resolução de problemas;
ampliam, com ajuda do computador, as construções tradicionais, e outras experiências
manipulativas, permitindo, por exemplo, a criação de objetos a três dimensões;
- desenvolvem a intuição geométrica no alunos, auxiliando-os nas capacitações interativas.
Os cenários foram escritos adaptando-se aos níveis de aprendizado. Para atingir os objetivos,
diferentes cenários foram desenvolvidos, como:
- cenário das construções;
- cenário dos ângulos;
- cenário das simetrias;
- cenário dos triângulos;
- cenário dos fractais.
para se utilizar do cenário das construções que é destinado a um ritmo mais acelerado na
geometria com o GEOMETRIC TRIANGLE SUPPOSER, os alunos trabalham em duplas,
dentro de laboratórios, acompanhados de um computador. O objetivo deste cenário é o de
um capitulo integrado, no qual o suporte fornece aos alunos uma ferramenta suplementar
maior que as regras e as comparações tradicionais com as quais desenham, copiam, calculam,
medem e constróem os objetivos geométricos.
A finalidade do cenário das simetrias é a utilização no curso regular de geometria em ritmo
acelerado com o GEOMETER SKETCHPAD. Os alunos trabalham em atividades a base do
computador. Este cenário começa pelas lições que objetivam a conjectura, a reunião de dados
e a construção de argumentos, dentre outras atividades fundamentais de geometria.
Dos quatro cenários consagrados ao estudo dos triângulos, três são destinados a utilização no
curso regular (nível médio) e o quarto no ensino acelerado (nível superior). Para se utilizar dos
quatro com o GEOMETRIC TRIANGLE SUPPOSER, em um laboratório, os alunos
trabalham em duplas. Para o uso deste cenário, leva-se 3 a 5 semanas, em função do cenário
ser muito dinâmico. Os cenário são todos de ciências preliminares que consagram a utilização
de lógica, organizada de forma que descubra os fatos sobre triângulos favorecendo as
conjecturas.
Avaliação
a primeira análise dos dados foram efetuadas a partir de 15 avaliações preenchidas por 11
diferentes. Os resultados foram apresentados em dois grupos: um grupo era
O cenário dos ângulos é utilizado no primeiro nível com RENE'S PLACE sobre o APPLE II
GEOMETRIC TRIANGLE SUPPOSER. O ensino deve ter a sua disposição um
computador para fazer as demonstrações na classe, onde os alunos trabalham em duplas. O
cenário apresenta os ângulos, a terminologia convencional e as ligações pertinentes através de
uma abordagem que alie a descrição à descoberta.
O cenário dos fractais é destinado a utilização no curso de geometria (nível médio) com a
GEOMETER'S SKETCHAP e com TERRAPIN LOGO do Macintosch. A duração prevista
para este cenário é de uma semana de preferência no final de um curso de geometria de dois
semestres de duração. Os alunos trabalham em duplas em atividades a base do computador
dentro de um laboratório. O objetivo pedagógico principal deste cenário é o de fornecer aos
unos, os aspectos da geometria que são aos mesmo tempo novos e apaixonantes. Os fractais
são auto-semelhantes e tem a dimensões fracionadas.
formado por 9 professores, que eram autores dos cenários, que os usaram e depois os
avaliaram e outro grupo era formado por 6 professores que utilizaram os cenários, não sendo
eles os autores.
A análise das avaliações revelam que todos os professores que compararam esta experiência
com outras precedentes, classificaram a Utilização de Cenários de "na mesma" ou
"melhorou" :
- o tempo de adaptação da lógica necessária;
- o tempo necessário para a preparação do material e da lógica;
- o nome das ciências consagradas no tema;
- a fadiga relevante do ensino;
- a satisfação relevante do ensino.
Negativamente foi constatado:
- a lógica é repetitiva e o seu funcionamento não é mensurado;
- constata-se indisciplina no laboratório, por parte dos alunos;
- os objetos geométricos apresentados na tela são distorcidos, sobretudo na
perpendicularidade;
os não autores dizem que as atividades sobre as conjecturas estão pouco estruturadas;
recomenda-se a divisão de certos cenários longos em segmentos mais curtos.
Conclusão
A lógica SUPPOSER funciona bem dentro de um contexto de atividades orientadas sobre a
conjectura e a construção. A utilização do RENE'S PLACE no estudo dos ângulos é
conhecido com certo sucesso. O GEOMETER'S SKETCHAD funciona bem, não somente
dentro do contexto do exercício orientados sobre a conjectura da construção, mas também
dentro das atividades que desenvolvem a visualização e as capacidades espaciais dos alunos.
abordagem para o treinamento informatizado envolvendo exercícios de geometria
elementar. PINTADO, Michell. In: Deuxième Journée EIAO de Cachan. Cachan: ENS,
1991.p.45-60.
Os pesquisadores definem como inteligência artificial os dados de um etapa inicial (EI) e de
uma etapa final (EF) que juntamente com um operador (OP) encontram sucessivas aplicações
OP para obter EF, a partir de EI. Este formalismo causa certas dificuldades para os alunos
que perguntam: Como determinar com precisão El, EF e OP? Quando esta aplicação é válida?
Os elementos de OP são úteis para a solução? A atividade de demonstração causou um
bloqueio para os alunos, pois a maioria deles compreende uma demonstração feita pelo
professor, mas se sente incapaz de faze-la sozinho. Na inteligência artificial, os problemas
maiores são: como aplicar um certo dado em aberto e como fazer as representações das etapas
de OP. Esses conhecimentos são numerosos e será interessante que os alunos descubram
sozinhos.
No processo de resolução de problemas distingui-se duas ações distintas na resolução de
problemas:
detecção dos fatos pertinentes dentro do enunciado;
surgimento de procedimentos para a resolução apropriada aos objetivos da situação.
Essas duas atividades não são cooperativas, como por exemplo: uma detecção de uma
particularidade de dados, faz surgir um procedimento; um procedimento é uma luz que fornece
a utilidade dos dados.
O processo de modelagem da aprendizagem caracteriza-se pela passagem progressiva do sub-
conhecimento para o conhecimento integral, na resolução de problemas. Para que isso ocorra,
é necessário se ter uma preocupação constante entre a ligação das situações conhecidas e o
enunciado desenhado. Na fase de aprendizagem do sub-conhecimento usa-se técnicas mais
simples, não especializadas, até que, o aluno progressivamente possa se identificar com os
conhecimentos específicos que irão substituindo os iniciais.
Descrição da resolução
A resolução de problemas apresenta as seguintes dificuldades:
tentar produzir uma argumentação mais próxima da realidade;
utilizar uma linguagem bem próxima da matemática;
e grande flexibilidade para ajudar nos teoremas e nos procedimentos de resolução;
Para que o sistema siga essas regras de produção são necessários:
utilizar uma linguagem mais concisa possível afim de produzir uma aprendizagem eficaz e
que possua uma comunicação agradável com o sistema;
a noção de relações é primordial na geometria. Os objetos são essencialmente comuns para
as relações entre eles e o uso do raciocínio;
uma simples figura contribui grandemente para o objeto.
Conclusão
O funcionamento da resolução descrita é uma cooperação entre as duas entidades seguintes:
reconhecimento de protótipo que desencadeie deduções associadas;
pesquisa de objetivos adaptados a situações comuns.
Para uma melhor aprendizagem é necessário sempre comparar a associação corrente-adiante/
corrente-atrás que se caracteriza pela solução e sua adaptação.
4.3 A exploração da demonstração no Projeto Mentoniezh. Dominique Py. IRISA. 35042 -
Rennes Cedex. Actes Deuxièmes Journée EIAO de Cachan, Cachan: ENS, 1991. P. 19-31
Geralmente os alunos, quando se defrontam com as demonstrações em geometria, apresentam
muitas dificuldades. A primeira delas é em saber no que consiste a prova. A segunda
dificuldade é redigir uma demonstração correta, sob o ponto de vista sintático e semântico.
essas dificuldades se reforçam quando os manuais e livros insistem na correção de provas,
apresentando uma solução correta, sem mostrar o método que foi utilizado para obtê-la.
projeto Mentoniezh (geometria, em bretão) é um tutorial que ajuda a resolução de
problemas de geometria na escola. Ele comporta 4 etapas, a saber:
- aquisição da figura;
- transformação da figura;
- exploração da demonstração;
- redação da demonstração.
Após as duas primeiras etapas, o aluno traça a figura geométrica sobre uma prancheta gráfica e
verifica se ela corresponde às especificações do problema. No decorrer da 4 - etapa o
aluno fornece sucessivamente os passos da demonstração. O tutorial valida as etapas corretas e
rejeita as erradas, apresentando a explicação para os erros.
Se o aluno não consegue imaginar o plano de provas, o tutorial o auxilia através da abordagem
crescente, fazendo-lhe explorar a busca, associada ao problema a partir da conclusão da
demonstração.
A todo momento, o estado da demonstração está presente em uma lista de metas a atingir
(inicialmente a conclusão do problema) e de uma lista de propriedades demonstradas
(inicialmente as hipóteses do problema). Ao longo do diálogo, o aluno indica na lista de metas,
a propriedade que ele busca para demonstração. O tutor lembra neste caso, os diferentes
teoremas que permitem provas desta propriedade, possibilitando ao aluno, escolher a mais
apropriada. Este teorema é aplicado de forma decrescente: sua conclusão é considerada como
demonstrada, desde que suas hipóteses o sejam. A meta escolhida (conclusão do teorema) é
portanto substituída ao mesmo tempo por uma sub-meta (hipótese do teorema) dentro da
substituição de metas esperadas.
Se o aluno imagina um plano de provas, o tutorial o auxilia através da abordagem global,
fazendo-o desenvolver e completar seu plano. A vantagem desse método é a de permitir a
moderação no curso da fase de exploração e poder acessar a um certo grau de sub-
entendimento.
Ao curso desta fase, aluno indica as principais propriedades que deseja demonstrar. O tutor
compara essa proposições às demonstrações corretas para validá-las ou refugá-las. O plano
estará incorreto por diversas razões:
- uma das propriedades é falsa;
- uma das propriedades é supérfluas;
as propriedades se ligam em planos diferentes.
a um dos casos, o plano é refugado com uma mensagem de explicações indicando o
em causa. Quando o aluno corrigir o seu plano, ele passará para a fase de
ação. O tutor pergunta-lhe quando se realizará sucessivamente todas as etapas do
plano, isto é, quando serão demonstradas cada uma das propriedades.
Conclusão
Nesta pesquisa apresentou-se duas abordagens de demonstração em geometria, alternativas às
demonstrações lineares crescentes. Nas duas abordagens: a crescente (que parte da meta para
he ar a hipótese) e a global (que apresenta um esquema geral de prova) são geralmente
empregadas para trabalhos orais ou protótipos.
4 4 Desenho e Figura - Geometria e desenho técnico com auxílio do computador - Rudolf
Strässer. IDM, Universidade de Bielefeld / LSFF, IMAG, Universidade de Grenoble. In.
Actes Séminaire de Didactique des Mathémaatiques et de l'Informatique: 1991. p. 177-
189.
Nos cursos de didática é mais evidenciada a especificação do domínio do saber constituído
pela geometria (Laborde 1990, p. 341- 345). Laborde diz que o saber geométrico se interessa
por dois campos do conhecimento: o espaço material (visto físico) e o espaço teórico que se
apresenta como decorrente da geometria não euclidiana, centrando-se sobre a análise material.
Esses dois campos de conhecimento constituem o significado da geometria.
O desenho parece ser o sistema que mais se adapta a análise das relações espaciais, no lugar de
ser a língua natural ou uma linguagem formalizada que se pretende para melhorar a exploração
das relações lógicas.
E, principalmente, a percepção que desempenha o papel de mediador entre a figura e o
desenho. Parzyzs (1988) distingue o desenho como um modo de representar o objeto
geométrico que está descrito no texto que o definiu. Observa-se que Parzysz não identifica o
objeto material e objeto da geometria, da figura.
Significação de geometria e de desenho técnico
para se ter uma imagem completa da geometria, a relação binária: desenho-figura deve ser
ampliada para "significação" dos desenhos e das figuras. Em uma perspectiva um pouco
global da matemática e da história da matemática, depois do século XIX, está se fazendo um
corte mais e mais com o mundo material, criando-se um campo exemplar de pesquisa
axiomática.
Do ponto de vista epistemológico, a geometria cria um campo de análise lógica. Bourbaki
(1960. p.145") caracteriza a geometria como tendo ultrapassado, na qualidade de ciência
autônoma e viva, a geometria clássica, transformando-se portanto, na linguagem universal da
matemática contemporânea, de uma flexibilidade e de uma comodidade incomparável.
Do ponto de vista das práticas sociais, atribui-se um outro significado a geometria: utilização
como meio de planificação, de descrição e de controle da produção material, principalmente
nos desenhos técnicos. Esta utilização, graças ao progresso de geometria descritiva de Monge
e de seus sucessores, está transformando a atividade específica de desenhista técnico, em um
saber ensinar, dentro das lições de ensino profissionalizante e em um desenvolvimento de
significância específica.
Tradicionalmente, na escola, é planejada uma geometria plana, uma geometria a duas
dimensões, enquanto que o desenho técnico, notadamente na metalurgia e nas edificações
(excluindo a eletricidade), é um modo específico de descrever os corpos tridimensionalmente
apoiados em duas dimensões.
Uma ferramenta nova: o computador e o micro-mundo entre figura e desenho
O computador é um programador de tela que provoca mudanças nas menores possibilidades
na geometria escolar. Por exemplo: na Alemanha, as variáveis numéricas sobre os
comprimentos e sobre os ângulos para uma construção qualquer, são muito divulgadas como
meio de uniformização das construções dos alunos.
pode-se mencionar as vantagens do uso do computador, tanto na geometria quanto no desenho
técnico:
- explicação da construção;
- oportunização a exploração;
subjacência mais apropriada a um ensino explícito;
estabelecimento de uma seqüência para demonstração;
possibilidades de macroconstruções;
possibilidade de dobrar, trocar um desenho, facilitar a construção das variáveis de uma
figura.
Para o desenho Auxiliado pelo Computador (DAO), os dois últimos pontos são importantes
Porque eles não podem burlar a avaliação.
Conclusão
ABORDE (1991), está falando da trilogia mundo Real-Modelo-Micromundo.
para a geometria, eles distinguem uma geometria do desenho, da figura e da figura do CABRI-
Géomètre. Na sua contribuição, em princípio, Laborde discute a gestão automática desta
trilogia. Ele necessita até mesmo rever que esta trilogia não está identificada com o triângulo
semiótico significante / significar / significação. Ademais, na minha visão da trilogiais,
Laborde falha na distinção entre significante e significação que é pertinente na geometria.
4.5 Um modelo especialista na resolução de problemas de geometria. Jean Michel Bazin;
LAFORIA, Université de PARIS, 6. Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 5 e UFR de
sciences exactes et naturelles. Moulin de la Housse, 51100 REIMS. In: Actes
Environnements Interactifs d'apprentissage avec ordinateur: ENS, 1993. P. 27-38
Este trabalho fundamenta-se sobre a seguinte hipótese: qualquer ensinamento que se disponha
a atender ao aluno, ele também deve propor uma maneira de pesquisar. A partir de
observações, de análise de artigos, de teses e conceitos de Ensino Interativo Assistido por
Computador ( EIAO) e de trabalhos de psicologia e didática propõe-se aqui um mecanismo de
enriquecimento do problema. O maior interesse é propor os elementos que permitem elaborar
uma solução susceptível do trabalho juntamente com o esclarecimento dos problemas.
Como se faz o enriquecimento de um problema?
da leitura do enunciado, tem-se uma visão do problema muito mais rica que
inicialmente. Decompõem-se o processo em três etapas. A primeira etapa é constituída de
reflexões e de automatismo descompromissados com o traçado da figura. A segunda etapa
permite experimentalmente colocar o problema dentro de um capítulo em curso. Na chamada
etiqueta do problema, o capítulo ou sub-capítulo, dentro do qual experimentalmente se coloca
o problema. Ao longo da terceira etapa, o fenômeno da classificação do problema permite
enriquecê-lo com os conhecimentos contidos nos capítulos correspondentes às suas etique-
tas. o estudo sucessivo destas três etapas compõe-se das seguintes partes: propor
uma limitação
mostrar como experimentalmente etiqueta-los e finalmente como esta
etiquetagem permite enriquece-lo.
método de exploração da figura, dirigido pelo conhecimento, favorece, portanto, um dos
aspectos mais fascinantes de geometria: a passagem do concreto para o abstrato.
4 6 Manipulação direta dos trabalhos de desenho em Geometria Descritiva na aprendizagem
por computador: Paulo PAVEL, University of Maine - Le Mans, FRANCE; Marie-
Claire RIBEIRO POLA, Lavai University - Quebec, CANADÁ; Martial VIVET,
University Maine, Le Mans, FRANCE,1998. In: Actes Eighth International Conference
on Engineering Design Graphies and Descriptive Geometry, Texas: ENS, 1998. p. 608-
612.
Para Pavel (1996), as mais freqüentes dificuldades nos alunos em Geometria Descritiva são:
criação do desenho ortográfico com os instrumentos do desenho tradicional e visualização
espacial. Os computadores tem sido usados para minimizar esses problemas. Alguns
ensinamentos experimentais tem usado o software CAD e esta prática tem sido usada nas
escolas.
A noção do espaço tridimensional leva o homem a confrontar suas origens com o mundo,
sendo isso a essência da construção da mente humana, uma construção racional, onde os
objetos estão coordenados e estruturados em situação espacial 3D. A raiz da percepção
espacial são as percepções táteis, que são transportadas do gráfico pelas imagens mentais que
introduzem a forma abstrata.
Em seus trabalhos de desenho, usam a geometria elementar plana, conhecida pela descrição
em sedimentos, para resolver um problema proposto. Mas, na aprendizagem, deve-se
primeiramente visualizar a situação espacial (heurístca) através da passagem recíproca entre o
plano do desenho e a geometria do espaço tridimensional, através do Método das Projeções
de monge. Esse método, permite-nos resolver trabalhos de desenho mais complexos,
especialmente naqueles que tem uma modelagem sólida, onde a visualização espacial é
indispensável. A prática da não visualização, cria no aluno, o hábito de resolver trabalhos de
desenho somente com raciocínio em termos de plano, não desenvolvendo uma visão espacial.
As principais questões com o ensino da Geometria Descritiva são:
a- a passagem do plano para o espaço não é objeto de ensino;
b - maiores capacidades de visualização espacial são necessárias para se adquirir uma
decolagem na noção de trabalhos de desenho;
c- o método de ensino de projeções sem a preocupação da visualização, cria o hábito de
resolver problemas sem essa visualização espacial, o que dificulta a resolução de
problemas mais complexos;
d- representação de instrumentos que tragam um "status" cognitivo real através de um
método que possa contribuir com a geometria e o raciocínio espacial do aluno.
Deve-se considerar todas as dificuldades que o aluno apresenta, para se obter um processo de
ensino e aprendizagem da Geometria Descritiva. Os autores criaram condições para isso,
através do desenvolvimento de situações de ensino, onde os alunos terão a possibilidade de
manipular objetos geométricos e representa-los com a ajuda de um micro-mundo que facilita
a compreensão dos conceitos mais abstratos que são difíceis de visualizar.
O projeto desenvolve a Geometria Descritiva usando o micro-mundo Cabri Géométre II
(Laborde e Laborde, 1991), (Bellemainm 1992), (Laborde,1994). Este software possibilita a
manipulação direta dos objetos geométricos básicos. Essa manipulação direta permite a
observação de todas as propriedades invariantes do desenho construído e explicado pelo
Método das Projeções de Monge.
Muitos estudantes de engenharia e ciências são capazes de acompanhar certos papéis e
modelos, mas quando são chamados para visualiza-los eles se atrapalham. Isso é o resultado
do estudo impróprio das visualizações de princípios básicos envolvendo retas e planos
(Hawnk, 1992). Para aprimorar o estudo da visualização das retas e planos, desenvolveu-se
com o mesmo Cabri Géométre II, situações utilizando o paradigma de multimundo para
representação de objetos diferenciando-os pelo envolvimento das imagens mentais e
problemática
Conclusão
pelo método da manipulação direta do desenho, a tela do computador se transforma em um
campo experimental para a pesquisa em propriedades geométricas das duplas projeções
ortogonais dos objetos no espaço. A adição de movimentos para os trabalhos de desenho em
geometria Descritiva, permite ao estudante aprender, descobrindo a jogada da análise da
mudança de propriedade e da dupla projeção do objeto durante a manipulação seguinte. No
ensino de situações de multimundo as condições espaciais podem ser comparadas no desenho
resultante. Pelo processo da manipulação direta dos trabalhos de desenho através do
computador a Geometria Descritiva se transforma em um instrumento universal aplicada a
todas as técnicas, porque ela teoriza ambas as fases essenciais: a descoberta (formas) e
representação (superfície).
4.7- CABRI - GÉOMÈTRE e DEFI, interação microcomputador/tutor em geometria -
Université Joseph, Grenoble, França. (Baulac, 1991; Almouloud, 1993)
Baulac (1991) define o Cabri-Géomètre como um caderno de rascunho interativo. Na tipologia
dos "software" educativos, segundo seu modo de interação com o educando, ele é um
micromundo de construção e exploração de figuras geométricas.
DEFI é um tutor para a fase de exploração e de pesquisa de uma demonstração. A interação do
Cabri-géomètre e do DEFI permite que seja feita uma descoberta dirigida da geometria. Para
o aluno se utilizar deste "software" é necessário que ele pesquise e saiba pesquisar. Com o
Cabri-Géomètre, o estudante tem possibilidade de criar macro-construções. O DEFI é uma
ferramenta que auxilia a descoberta da solução de um problema, bem como sua organização
dedutiva, sendo eficaz na revelação das técnicas utilizadas pelos alunos para realizar as
concepções de raciocínio (Almouloud, 1993).
O DEFI foi desenvolvido com os seguintes princípios didáticos (Baulac, 1991):
• colocar os alunos em verdadeira atividade de resolução de problemas;
• integrar, na resolução do problema, um trabalho de natureza heurística sobre a figura;
• reagir em tempo real, os erros de tipo lógico;
• neutralizar ao máximo as variáveis de natureza lingüísticas;
• fazer aluno reflita sobre a atividade que está desenvolvendo;
• trabalhar mais a nível de representação de conhecimento do que em torno de estratégias mais
ou menos algorítmicas da solução.
Para sua realização foram desenvolvidos essencialmente dois módulos: um módulo
demonstração que manipula os passos da demonstração impondo uma estrutura e fazendo
uma validação e um módulo exploração da figura, que é de natureza e de funções
essencialmente heurística.
Com esta aplicação, os alunos apresentam dois encaminhamentos: uma postura de resgate da
exploração e uma declaração de capacidade de fornecer sua prova, registrando-a,
resumidamente, em um rascunho.
Segundo Almouloud (1993), uma das principais características do DEFI é ter substituído a
demonstração geométrica por tarefas elementares que devem se acessíveis à maioria dos
alunos. As decisões que o DEFI toma foram feitas a partir do conhecimento especialista e são
anotadas no histórico do aluno. O modelo do aluno no sistema EIAC (Ensino Inteligente
Auxiliado por Computador) possui diversas funcionalidades, tais como:
• Corretiva - no módulo demonstração de DEFI existe uma lista de "bugs" do ponto de vista
didático, e que tem por objetivo conduzir o estudante a assimilar a estrutura de uma
demonstração e não somente fornecer correções imediatas e certas faltas julgadas importantes;
Elaborativa - que visa completar os conhecimento ou a concepção do aluno para que ele
seja capaz de resolver o problema. Daí a necessidade de integrar o DEFI com o Cabri-
Géométre;
• Diagnóstico - a leitura dos resumos dos passos das demonstrações feito por professores que
não estão familiarizados com o processo didático estabelecido, é diferente da do "software" .
modelo do aluno deve conduzir a regras mais elaboradas do que simples percorrer de uma
lista. No DEFI são utilizados, na versão atual, três tipos de passos.
• Evolutiva.
Os dois "softwares" foram desenvolvidos, inicialmente em ambiente Machintosh e a interação
utiliza os meios multitarefas deste sistema.
A interface de comunicação é realizada por um módulo exterior às aplicações e por um
arquivo de mensagens que tem a preocupação de preservar a prioridade das mensagens, além
de possibilitar o funcionamento normal do programa em ausência do módulo externo,
possibilitar a interação futura com outros programas e estabelecer um funcionamento
independente das evoluções constantes dos "softwares".
Em 1997, os autores aprimoraram o CABRI GÈOMÉTRE, criando o CABRI GÉOMÈTRE II,
que permite construir e explorar objetos geométricos interativamente. Os fundamentos
geométricos deste software incentiva a exploração e hipóteses, desde formas simples até
projeções avançadas e de geometria hiperbólica.
Dentre os principais recursos do CABRI GÉOMÈTRE II, pode-se destacar:
• Inclui a interação analítica, de transformações e geometria euclidiana;
• Permite a construção intuitiva de pontos, retas, triângulos, polígonos, circunferências e
outros objetos básicos;
• Translada, expande e rotaciona objetos geométricos em torno de centros geométricos ou
de pontos específicos, além de executar a simetria axial e a inversão dos objetos;
• Constrói facilmente cônicas, incluindo elipses e hipérboles;
• Explora conceitos avançados na geometria descritiva e hiperbólica;
• Comenta e mede figuras (com atualização automática);
• Utiliza tanto coordenadas cartesianas como polares;
• Fornece para exibição ao usuário, equações de objetos geométricos, incluindo retas,
círculos, elipses e coordenadas de pontos;
Permite ao professor configurar menus de ferramentas para centralizar as atividades do
aluno;
verifica as propriedades geométricas para verificar hipóteses baseadas nos cinco postulados
de Euclides;
• Calcula continuamente um lugar geométrico;
• Ilustra as características dinâmicas de figuras através de animação;
• Permite ao usuário salvar desenhos em disco, etc.
Conclusão
Cada um dos "softwares" pode ser servidor e/ou cliente de dados e ferramentas. Neste caso
específico, o DEFI é cliente do Cabri-Géomètre, pois primeiramente o aluno constrói as
com a ajuda do Cabri e após a construção, o DEFI intervém para possibilitar a
construção desta demonstração.
Os dados conhecidos pelo Cabri-Géomètre desde seu registro sob a forma de arquivo são
transformados em texto que pode ser utilizado por outro programa.
Os "softwares" podem utilizar as estruturas de dados de outros "softwares" bem como seus
algoritmos. O procedimento utilizado permite modificar algumas características das interfaces,
permitindo a passagem de uma aplicação a outra.
O Cabri-Géométre pode responder às questões sobre a veracidade de certas propriedades,
respeitando o ponto de vista particular ou genérico da figura.
Conclusão
Nas pesquisas apresentadas, apurou-se que a utilização do computador na geometria requer
conhecimentos preliminares, os mais diversos, de informática. Nenhum dos autores abordou
uma maneira eficaz de construção do conhecimento por parte do aluno. Eles se limitaram a
apresentar as causas das dificuldades, como por exemplo: os alunos não possuem visualização
espacial ou se as possuem são limitadas.
Qualquer atividade educacional que se utiliza da informática, deve a cada passo, estabelecer a
ligação do antes e do depois, para que se possa ter um perfeita ligação entre eles.
Para uma demonstração de geometria com a utilização do computador, é imprescindível que se
tenha bem claro, qual é a hipótese e o que se quer comprovar. Para tanto, é necessário que
esteja bem definido o triângulo semiótico significante-significar-significação.
Partindo-se da premissa de que o usuário tem (uns mais e outros menos) noções espaciais e
consequentemente concepções geométricas, o "software" utilizado no assunto, deve levar isso
em consideração. Assim, a construção do Ambiente deve se preocupar sempre, com as
características e capacidades do usuário.
Introdução
Desde os tempos remotos, o homem evoluiu na sua capacidade de se comunicar. A
necessidade de uma comunicação mais objetiva e expressiva obrigou-o a se utilizar de vários
meios simultaneamente. Estava criada a multimídia. Tecnicamente o termo multimídia se
aplica a qualquer tipo de comunicação, em que se usa mais de um meio (Maddux, Willis,
Lamant, 1996). Quando a multimídia se utiliza de um computador, cria um sistema de acesso
chamado hipermídia, que emprega informações, de forma que o usuário pode navegar nela de
maneira produtiva, não linear. A informação pode estar sob a forma de textos, diagramas,
diagramas de movimento (animação), imagens estáticas, imagens em movimento (televisão),
fala, som ou programas de computador. Selecionando "botões" que são visíveis na tela, o
usuário navega dentro da hipermídia. Ativando botões, o computador responde. O usuário
pode reverter facilmente a ação do botão, para retornar à situação de tela existente antes da sua
ativação.
Para a criação do Ambiente Hipermídia, seguiu-se um roteiro, do qual foram selecionados
alguns tópicos, a seguir descritos. Essa seleção baseou-se na complexidade e no
desconhecimento deles, pela maioria dos professores.
Capítulo V
Construção do Ambiente
5.1 Hierarquização dos conteúdos da Geometria Analítica
Todo o conteúdo abordado da Geometria Analítica foi dividido em grupos de informações,
que compõem os invólucros. Cada invólucro pode ter um título. Ele pode ser aberto ou
fechado. E fechado quando o usuário pode ler o seu título e aberto quando se pode ver seu
conteúdo Um invólucro pode ter outro dentro dele e pode encerrar outros, existindo, assim,
uma hierarquia. A representação visual dos invólucros foi feita através de um ícone que
representa o conteúdo de cada invólucro e de um título escrito, também associado a ele.
ma da hierarquização dos conteúdos da Geometria Analítica
1.1.1.1 Distância entre dois pontos na reta
1.1.1. 2 Sistema cartesiano ortogonal
1.1.1.3 Distância entre dois pontos no plano cartesiano
1.1.1.4 Cálculo das coordenadas de um ponto médio
1.1.1 Introdução
1. Geometria Analítica
1.1 Plana
1.1.2 Reta
1.1.2.1 Condição de alinhamento de três pontos
1.1.2.2 Inclinação e coeficiente angular de uma reta
1.1.2.2.1 Inclinação
1.1.2.2.2 Coeficiente angular ou declividade
1.1.2.3 Estudo da equação da reta
1.1.2.3.1 Equação da reta que passa por um ponto
1.1.2.3.2 Equação reduzida da reta
1.1.2.3.3 Equação segmentária da reta
1.1.2.3.4 Equação geral da reta
1.1.2.4 Posição relativa de duas retas no plano cartesiano
1.1.2.4.1 Paralelismo de retas
1.1.2.4.2 Interseção de retas
1.1.2.4.3 Perpendicularismo de retas
1.1.2.5 Angulo formado por duas retas
1.1.2.6 Distância entre ponto e reta
1.1.2.7 Cálculo da área de um triângulo
11-3 Circunferência
1.1.3.1 Definição
1.1.3.2 Equação geral
1.1.3.3 Posição relativa entre ponto e circunferência
1.1.3.4 Posição relativa entre reta e circunferência
1.1.4 Cônicas
1.1.4.1 Parábola
1.1.4.2 Elipse
1.1.4.3 Hipérbole
1.2 Espacial
1.2.1 Reta
1.2.1.1 Equação vetorial da reta
1.2.1.2 Equações paramétricas da reta
1.2.1.3 Reta definida por dois pontos
1.2.1.4 Equações simétricas da reta
1.2.1.4.1 Condição de alinhamento de três pontos
1.2.1.5 Equações reduzidas da reta
1.2.2 Plano
1.2.2.1 Equação geral
1.2.1.6 Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados
1.2.1.7 Angulo de duas retas
1.2.1.8 Condição de paralelismo de duas retas
1.2.1.9 Condição de ortogonalidade de duas retas
1.2.1.10 Condição de coplanaridade de duas retas
1.2.1.11 Posição relativa de duas retas
1.2.1.12 Interseção de duas retas
1.2.1.13 Reta ortogonal a duas retas
1.2.1.14 Ponto que divide um segmento de reta em uma razão dada
1.2.2.2 Determinação de um plano
1.2.2.3 Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados - casos particulares
1.2.2.3.1 Plano que passa pela origem
1.2.2.3.2 Planos paralelos aos eixos coordenados
1.2.2.3.3 Planos paralelos aos planos coordenados
1.2.2.4 Equações paramétricas do plano
1.2.2.5 Ângulos de dois planos
1.2.2.5.1 Condição de paralelismo e perpendicularismo entre dois
planos
1.2.2.6 Angulo de uma reta com um plano
1.2.2.6.1 Condição de paralelismo e perpendicularismo entre reta e
plano
1.2.2.6.2 Condição para que uma reta esteja contida em um plano
1.2.2.7 Interseção de dois plano
1.2.2.8 Interseção de reta com plano
1.2.2.8.1 Interseção do plano com os eixos e os planos coordenados
1.2.3 Quadráticas
1.2.3.1 Introdução
1.2.3.2 Superfícies quadráticas centradas
1.2.3.2.1 Elipsóide
1.2.3.2.2 Hipérbole de uma folha
1.2.3.2.3 Hipérbole de duas folhas
1.2.3.3 Superfícies quadráticas não centradas
1.2.3.3.1 Parabolóide elíptico
1.2.3.3.2 Parabolóide hiperbólico
1.2.3.4 Superfícies cônicas
1.2.3.5 Superfícies cilíndricas
A hierarquia do conteúdo utilizada foi tanto a estrutura de árvore (quando não se utiliza de
linhas cruzadas, Fig. 2), quanto a estrutura de rede (que se utiliza de linhas cruzadas, Fig. 3).
Fig. 2 Estrutura de árvore
Fonte: James Martin, 1992
Fig. 3 Estrutura de rede
Fonte: James Martin, 1992
5.2 Elaboração do "Storyboard"
O "storyboard" é um gráfico de cenas e pontos de decisão do projeto hipermídia. Ele é uma
ferramenta útil pois apresenta uma imagem clara do projeto todo. A maioria dos "storyboards"
são do tipo gráfico ou do tipo ficha. Cada um apresenta suas vantagens e desvantagens.
Os do tipo gráfico são bons para projetos com um número limitado de cenas, ou aqueles que
tendem a fluir a partir de um início fixo até um ou mais pontos finais fixos. Uma história do
tipo escolha-seu-próprio-caminho é um bom exemplo disso. Às vezes, pode ser possível
retroceder na história, mas normalmente segue-se por um certo número de cenas possíveis até
se atingir o final.
"Storyboards" baseados em fichas são bons para projetos mais complexos. Aqui se tem uma
ficha para cada cena. Na ficha, pode-se acompanhar uma cena, o que acontece nela, de onde se
pode chegar até ela e para onde se pode ir, a partir dela. Poderão ser atribuídos números às
cenas, para se manterem as fichas ordenadas. Se uma cena for modificada ou eliminada, não é
preciso refazer todo o roteiro, bastando, para isso, substituir ou eliminar a ficha
correspondente àquela cena. (Gertler, 1995)
Neste trabalho foi utilizado o "storyboard" do tipo fichas. A seguir estão apresentadas algumas
fichas correspondentes a cenas da Construção do Ambiente.
5.2 Desenvolvimento da Metáfora
Em lingüística, uma metáfora é "o emprego de um termo concreto para exprimir uma noção
abstrata por substituição analógica" (Enciclopédia Larousse,1979). Na interação homem-
computador, a metáfora é considerada um fator predominante na criatividade, e notadamente
importante na aprendizagem. A metáfora é um estimulador das inferências que permitem
identificar não só os traços comuns, mas também as diferenças entre as noções mais
conhecidas das menos conhecidas (Coutaz, 1990). A metáfora é um veículo cognitivo
precioso que esta sendo explorada vantajosamente na interação homem-computador. Nessa
interação, consideram-se essencialmente dois tipos de metáfora: aquelas que se inspiram em
um modelo real e aquelas que falam de um abstrato (Hutchins, 86). Qualquer que seja o tipo
de metáfora escolhida, ela apresentará vantagens e inconvenientes. Mesmo assim, deve ela
definir um estilo de interação, devendo se constituir em uma unidade de coerência geral para a
imagem.
Para este trabalho, foi idealizada como metáfora uma Viagem no Tempo, em que será
abordada a História da Arte.
5.3.1 História da Arte
Embora se saiba que a arte é uma manifestação do homem através da pintura, música,
escultura, dança, arquitetura, etc, está sendo abordada, neste trabalho, apenas a pintura. Desde
os seus primórdios, o homem manifestou seu espírito artístico através da pintura. Assim,
quando se faz uma viagem no tempo, relaciona-se qualquer época com o estilo dessa arte. Do
estilo predominante, procura-se resgatar o que existe nele de manifestações geométricas,
comparando-as com um ramo da Geometria. A Geometria Analítica está interligada ao
Cubismo Analítico, pois neste tipo de pintura, o autor decompõe minuciosamente as formas,
em sucessivos planos e ângulos, que se interpenetram ou se sucedem, sugerindo uma visão
total e simultânea dos objetos.
O Cubismo surgiu com a idéia de Cézanne, de simplificar as formas, reduzindo-as a seus
elementos geométricos básicos. Ele pretendia tratar as formas da natureza como se fossem
cilindros, esferas ou cones. Há controvérsias, no entanto, de que obra é pioneira no Cubismo.
Uns acham que é Les Demoiselles (Fig. 4), pintada por Picasso em 1907, que retrata cinco
pessoas em formas geometrizadas, até mesmo deformadas. Outros acham que foram as
paisagens de Georges Braques exibidas em 1908, em que o autor transforma os troncos das
árvores em cilindros e as casas em verdadeiros cubos. Os cubistas não tinham a intenção de
representar, mas de sugerir ao espírito a estrutura total dos corpos ou objetos. Queriam que
suas obras fossem vistas sob todos os ângulos. Queriam, ainda, com essa simultaneidade de
percepção da estrutura total do objeto, despertar, também, sentimentos e idéias de tempo.
Fig. 4 Pablo Picasso, Les demoiselles d'Avignon, 1907
Fonte: História da Pintura, Wendy Beckett, 1997
O cubismo foi uma forma de rompimento com os estilos tradicionais. Ele resultou no que os
críticos chamam de visão simultânea, que é a fusão de várias vistas de uma figura ou de um
objeto numa única imagem.
A expressão cubismo deve-se ao crítico Louis Vauxcelles, que ao comentar as paisagens
chamou-as de cubos, cúbicas.
A influência do Cubismo não se limitou apenas à pintura. Ele alcançou também outras artes,
como a arquitetura e as artes decorativas e aplicadas.
Segundo Cavalcanti, na pintura existem duas espécies de realismo: o Visual e o Intelectual.
No Realismo Visual, o pintor representa apenas aquilo que vê ou aquilo que está sob sua
percepção visual direta. No Realismo Intelectual, o pintor representa não apenas aquilo que
vê, mas também aquilo que ele sabe que existe, embora não o esteja vendo.
Se o artista for um realista visual, ele representará um caixote, aplicando-lhe as regras da
perspectiva científica, representando apenas as três faces visíveis. Se for realista intelectual,
irá representar as três faces visíveis e as três invisíveis. Os cubistas propuseram-se a
solucionar este problema aplicando simultaneamente o Realismo Visual e o Intelectual.
Passaram a decompor os objetos em ângulos, quadrados, retângulos, que se cruzam e
interpenetram.
Essa decomposição era feita de modo arbitrário, sem obediência ou fidelidade à estrutura do
objeto representado. A obra era criada conforme a imaginação ou as exigências da
sensibilidade do artista. A idéia do pintor cubista não é mais imitar, reproduzir ou copiar a
forma do objeto, mas, sim, criar ritmos plásticos, combinação de linhas e cores, que não
possuem relação direta com a imagem do objeto. Da decomposição, surgem duas linhas do
Cubismo: a Sintética (Fig. 5) e a Analítica (Fig. 6).
O Cubismo Analítico é a primeira fase da decomposição minuciosa da forma dos objetos, que
se distingue ainda pela discrição do colorido. O Cubismo Analítico vai de 1908 a 1911 e nele
as formas são decompostas arbitrariamente em múltiplos elementos. Nesse período, as obras
de Picasso e Braque se parecem bastante. O Cubismo Analítico foi muito criticado, na época,
porque achavam que os quadrados e ângulos despertavam sugestões mecanicistas.
Fig. 5 Pablo Picasso, Fábrica em Horta de Ebro, 1909
Fonte: Vida e Obra de Picasso, Nathaniel Harris, 1995.
Fig- 6 Pablo Picasso, Violino e Uvas, 1912
Fonte: Vida e Obra de Picasso, Nathaniel Harris, 1995
5.4 Software de Autoria
Escolheu-se para este trabalho, como software de autoria, o Director 7.0, que é um programa
de desenvolvimento de multimídia. Ele é utilizado para apresentações interativas,
constituindo-se em uma ferramenta poderosa para elaboração de simulações técnicas. Para
sua utilização, não é necessário conhecimentos profundos de técnicas ou linguagens de
programação no desenvolvimento do "software".
Um sistema de autoria é um ambiente que possui vários recursos para a criação de um sistema
hipermídia. Ele possui elementos pré-programados e uma linguagem própria, que possibilitam
o desenvolvimento de aplicações hipermídia.
Para a criação do "software", além da ferramenta, é necessário utilizar criatividade na
realização do "layout" de "design" das telas, das seqüências animadas, na audição de
"videoclips" ou na confecção de desenhos.
Segundo Bizzotto (1998), o Director 7.0 utiliza como metáfora o desenvolvimento de um
filme em que todos os componentes do "software" são análogos àqueles necessários para sua
criação. É evidente que não é preciso ser um diretor de cinema para entender como o Director
funciona. Qualquer pessoa tem uma idéia, mesmo que seja elementar, dos aspectos
envolvidos no desenvolvimento de um filme.
Neste programa existem quatro janelas básicas:
• a janela "Cast members" que corresponde aos atores do filme, que são: imagens, sons,
animação, textos, etc;
• a janela (o) "Stage", que é o lugar onde os atores são colocados (palco);
• a janela "Score" onde aparecem bem definidas as seqüências das cenas que irão ocorrer. É
onde é feita toda a programação;
• janela "Control panei", que funciona como um controle remoto, possibilitando rodar o
filme, podendo-se, assim, ter um feedback imediato do que realmente se deseja fazer. A
escolha deste "software" de autoria foi feita em função das seguintes características:
-"Cross-platform": permite que o ambiente desenvolvido não seja restrito, por
exemplo, a PCs. Com isso pode-se formar uma "comunidade de conhecimento" com
pessoas em diferentes lugares do mundo, utilizando diferentes plataformas;
5.5 Conclusão
Primeiramente se conceituou as técnicas de comunicação, enfatizando a Hipermídia como um
canal, não apenas de informação, mas de interação com o usuário. Apresentou-se as formas de
navegação nos conteúdos da geometria analítica e como estes conteúdos estão dispostos
hierarquicamente. A metáfora utilizada foi escolhida pela capacidade que a História da Arte
tem de estabelecer ligações entre os homens, nos mais diversos períodos da História.
A utilização do Director 7.0 deu-se pela capacidade que este "software" de autoria tem no
desenvolvimento da Hipermídia . Na descrição da Concepção do Ambiente, procurou-se
objetividade nas conceituações e na escolha dos meios auxiliares.
- Arquitetura aberta: facilita a extensão através da utilização de ferramentas desenvolvidas por
outras instituições;
- Integração com a Internet: o Director permite grande facilidade para comunicação via
rede. possibilitando desde download de arquivo até o üpload de páginas WWW;
- Permite a orientação a objetos: a linguagem de programação utilizada pelo Director
permite a criação de objetos na memória:
Mudanças "on the fly": o Director permite que se altere o código do software criado,
Inicialmente, procurou-se fazer uma análise criteriosa e crítica de como a geometria analítica é
atualmente trabalhada nas escolas. Ao ser apresentada a história da Geometria Analítica, desde
o início, constatou-se que a busca pelo conhecimento sempre esteve relacionada a uma
necessidade, em que a matemática (bem como outras ciências) só tem sentido se for trabalhada
com a realidade do aluno.
Considerando-se a evolução tecnológica, foi proposta uma nova forma de aprendizagem da
geometria analítica via computador, mais especificamente, usando a hipermídia. Considerando
que mesmo com utilização da tecnologia, se os conteúdos da disciplina forem abordados de
uma forma mecanicista, não se estará apresentando nenhuma novidade, a proposta
apresentada é levar o aluno a uma concepção do processo do conhecimento verdadeiramente
dinâmico, relacional e interativo.
Para que haja dinamismo, relacionamento e interatividade, este trabalho foi idealizado
considerando o usuário independentemente de pré-requisitos. Não se estabeleceu, portanto,
faixas etárias ou conhecimentos prévios.
O ponto forte deste trabalho é o de dar liberdade ao usuário, para que ele, e somente ele,
estabeleça seus limites. Está sendo considerado, aqui, o aluno como portador de imaginação,
de criatividade e de noções espaciais. As argüições, quando feitas, deverão ter pelo menos
três formas de abordagem, para que o aluno possa escolher aquela mais compatível com a sua
idéia sobre o assunto. Desta maneira, estará se respeitando o que foi dito no Capítulo II: Não
existem alunos que "aprendem" e os que "não aprendem". O que existe é um tempo
diferenciado entre eles, para tomarem uma decisão: criar um novo esquema ou modificar um
já existente".
Conclusão
Capítulo VI
6.1 Sugestões para futuros trabalhos
A partir desta concepção, pode-se estabelecer como trabalho prioritário e exeqüível o
Desenvolvimento de um Ambiente Hipermídia para a Aprendizagem da Geometria Analítica.
Poderão ser criados outros ambientes, abordando qualquer conteúdo de qualquer área de
estudos.
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Engenharia de Produção. Universidade Federal de Santa Catarina).
VAUGHAN, Tay, Multimídia na Prática. São Paulo. Makron Books, 1994.
WADSWORTH, Barry J. Inteligência e Afetividade da Criança na Teoria de Piaget. São
Paulo. Pioneira Editora, 1993.
WOLFMAN, Douglas E.. Criando em Multimídia. Rio de Janeiro. Campus, 1994.
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