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COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO
VOLUME 3
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
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Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
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COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO
Vol. 1 − Matemática (Publicado em 2004)
Vol. 2 − Matemática (Publicado em 2004)
Vol. 3 − Matemática: ensino médio
Biologia, Física e Química (em elaboração)
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Centro de Informação e Biblioteca em Educação (CIBEC)
Matemática : ensino médio / organização Suely Druck; seleção de textos Ana
Catarina P. Hellmeister, Cláudia Monteiro Peixoto. Brasília: Ministério da
Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004.
246 p.: il. (Coleção Explorando o ensino, volume 3)
ISBN 85-98171-15-8
1. Educação matemática. 2. Matemática – Ensino Médio. I. Druck, Suely.
II. Hellmeister, Ana Catarina P. III. Peixoto, Cláudia Monteiro. IV. Brasil.
Secretaria de Educação Básica.
CDU: 51:373.5
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
BRASÍLIA
2004
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO BÁSICA
Francisco das Chagas Fernandes
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA
Antônio Ibañez Ruiz
DIRETORA DO DEPARTAMENTO DE
POLÍTICAS DO ENSINO MÉDIO
Lucia Helena Lodi
Tiragem 69 mil exemplares
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA
Esplanada dos Ministérios, Bloco L, sala 500
CEP: 70.047 – 900 Brasília – DF
Tel. (61) 2104-8177 / 2104-8010
http://www.mec.gov.br
ORGANIZAÇÃO
Suely Druck
SELEÇÃO DE TEXTOS
Ana Catarina P. Hellmeister
Cláudia Monteiro Peixoto
EQUIPE TÉCNICA SEB/MEC
Maria Marismene Gonzaga
Pedro Tomaz de Oliveira Neto
REVISÃO
Silvana Cunha de Vasconcelos Castro
Suely Fernandes Bechara
PROJETO GRÁFICO
Márcio Alexandre de Castro
Silvana Cunha de Vasconcelos Castro
CAPA
Daniel Tavares
A Secretaria de Educação Básica − SEB do Ministé-
rio da Educação apresenta aos professores do ensino
médio o terceiro volume da
Coleção Explorando o
Ensino
, iniciada com os volumes 1 e 2, já publicados.
Essa coleção tem o objetivo de apoiar o trabalho do
professor em sala de aula, oferecendo um rico material
didático-pedagógico, referente às disciplinas de
Matemática, Biologia, Física e Química.
Sabemos que a Matemática está presente na vida
cotidiana de todo cidadão, por vezes de forma
explícita e por vezes de forma sutil. No momento
em que abrimos os olhos pela manhã e olhamos a
hora no despertador, estamos “lendo” na lingua-
gem matemática, exercitando nossa abstração e
utilizando conhecimentos matemáticos que a hu-
manidade levou séculos para construir. É quase
impossível abrir uma página de jornal cuja com-
preensão não requeira um certo conhecimento
matemático e um domínio mínimo da linguagem
que lhe é própria: porcentagens, gráficos ou tabe-
las são necessários na descrição e na análise de
vários assuntos. Na sociedade atual, a Matemáti-
ca é cada vez mais solicitada para descrever, mo-
delar e resolver problemas nas diversas áreas da
atividade humana. Um médico que interpreta um
eletrocardiograma está utilizando um modelo ma-
temático ao dar um diagnóstico, efetua um racio-
cínio matemático e emprega conhecimentos de
estatística. Um pedreiro utiliza um método prático
para construir ângulos retos que já era empregado
pelos egípcios na época dos faraós. Uma costureira,
ao cortar uma peça, criar um modelo, pratica sua
APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO
visão espacial e resolve problemas de geometria. Apesar de a
Matemática permear praticamente todas as áreas do conhecimento,
nem sempre é fácil mostrar ao estudante aplicações interessantes e
realistas dos temas a serem tratados ou motivá-los com problemas
contextualizados. Para isso, é importante compartilhar experiências e
é essencial que o professor tenha acesso a textos de leitura agradável que ampliem
seus horizontes e aprofundem seus conhecimentos.
Inserir o conteúdo matemático num contexto mais amplo, provocando a
curiosidade do aluno ajuda a criar a base para um aprendizado sólido que só
será alcançado por meio de uma real compreensão dos processos envolvidos
na construção do conhecimento. Não se trata, é claro, de repetir um caminho
que a humanidade levou séculos para percorrer. No entanto, é preciso incentivar
o aluno a formular novos problemas e a tentar resolver questões “do seu jeito”.
O espaço para a tentativa e erro é importante para desenvolver alguma
familiaridade com o raciocínio matemático e o uso adequado da linguagem. Da
mesma forma que é possível ler um texto, palavra após palavra, sem compreender
seu conteúdo, é também possível aprender algumas “regrinhas” e utilizar a
Matemática de forma automática.
Com o objetivo de ajudar o professor nas várias áreas da Matemática, selecio-
namos alguns artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM) e os adap-
tamos para este volume. A RPM é uma publicação da Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM), com apoio da Universidade de São Paulo.
O material aqui apresentado sugere a abordagem contextualizada, o uso de
material concreto e apresenta uma variedade de situações cotidianas em que a
Matemática se faz presente. Ao mesmo tempo, explora, em cada caso, o con-
teúdo de forma rigorosa e sistemática, levanta problemas e indica soluções e,
nesse processo, expõe os meandros do raciocínio matemático. Os textos esco-
lhidos estão distribuídos por áreas dos assuntos abordados no ensino médio,
fornecendo exemplos de modelagem matemática, possibilitando que o profes-
sor amplie sua visão e insira os conteúdos num contexto amplo e interdisciplinar.
Este terceiro volume é publicado pelas Secretaria de Educação Básica e Secre-
taria de Educação Profissional e Tecnológica, que agradecem a participação da
comunidade matemática, por meio da SBM − Sociedade Brasileira de
Matemática .
Neste volume apresentamos artigos – cuja leitura leva a aprofundar o
conhecimento do professor – que podem ser utilizados em sala de aula,
quer por meio de atividades elaboradas pelo professor, quer como incentivo
a reflexões sobre os temas abordados.
Há artigos nos quais situações do cotidiano são resolvidas matematica-
mente, tais como:
Quanto perco com a inflação
,
Trigonometria na ofi-
cina mecânica
,
A precisão do furo cilíndrico
,
A capacidade do
graneleiro
,
Por que as antenas são parabólicas
?,
A hipérbole e os
telescópios
. Esses artigos fornecem exemplos para motivar e valorizar o
estudo de diversos conteúdos programáticos do ensino médio.
A Contagem, a Probabilidade e a Estatística são abordadas de forma a
incentivar a curiosidade, a motivar seu estudo e até a propor atividades
para uma feira de ciências em artigos como:
O jogo dos disco
s,
Probabi-
lidade geométrica e o problema do macarrão
,
O jogo de pôquer e o
cálculo de probabilidades.
Algumas crônicas, entre as quais,
Professor de Matemática cria confu-
são em campeonato de futebol
,
As médias nunca explicadas
,
Péro-
las
, além de proporcionarem leitura agradável, colocam problemas que
são resolvidos matematicamente.
Também a história da Matemática é abordada em artigos como
A solu-
ção de Tartaglia para a equação do terceiro grau
, vinculando a Mate-
mática à história do desenvolvimento do conhecimento humano.
Há também artigos que abordam temas de cultura geral, que explicam
procedimentos ou conteúdos matemáticos, exploram novas perspectivas,
proporcionando outras interpretações. De um modo geral, os textos des-
te volume possibilitam ao professor diversificar a abordagem e a apresen-
tação de conteúdos programáticos do ensino médio, tornando suas aulas
mais motivadoras, contribuindo para a melhoria do aprendizado de seus
alunos.
Os capítulos Curiosidades e Problemas, que apresenta questões resolvi-
das, tratam temas interessantes e estimulantes.
Introdução
Capítulo 1 – Álgebra
Professor de Matemática cria confusão em campeonato de futebol
M
ANOEL HENRIQUE CAMPOS BOTELHO ..................................................................... 13
Quanto perco com a inflação?
M
ANOEL HENRIQUE CAMPOS BOTELHO ..................................................................... 18
Vale para 1, 2, 3, .... Vale sempre?
R
ENATE WATANABE ................................................................................................ 20
Pérolas
P
AULO FERREIRA LEITE ............................................................................................ 24
O número e, por quê?
E
LON LAGES LIMA ................................................................................................. 28
As dízimas periódicas e a calculadora
J
OSÉ PAULO Q. CARNEIRO .................................................................................... 31
É possível construir um triângulo cujos lados estejam em PG de razão q?
P
AULO A. DA MATA MACHADO ................................................................................ 36
A solução de Tartaglia para a equação do terceiro grau
C
ÉSAR POLCINO MILIES .......................................................................................... 38
O produto de matrizes
C
LÁUDIO POSSANI ................................................................................................. 46
Sobre o ensino de sistemas lineares
E
LON LAGES LIMA ................................................................................................. 51
Uma experiência sobre ensino de sistemas lineares
M
ARIA CRISTINA C. FERREIRA E MARIA LAURA M. GOMES ............................................... 55
Capítulo 2 – Funções
Uso de polinômios para surpreender
C
ATHERINE HERR MULLIGAN .................................................................................... 65
Codificando e decifrando mensagens
A
NTONIO CARLOS TAMAROZZI ................................................................................... 69
Trigonometria na oficina mecânica
P
EDRO FIRMINO DA SILVA ........................................................................................ 73
Logaritmos
G
ERALDO ÁVILA, RENATO FRAENKEL E ANTONIO C. G. MARTINS .................................... 75
A interpretação gráfica e o ensino de funções
K
ATIA CRISTINA S. SMOLE, MARÍLIA R. CENTURIÓN E MARIA IGNEZ DE S. V. DINIZ ............... 84
Funções e gráficos num problema de freagem
G
ERALDO ÁVILA .................................................................................................... 90
Ensinando trigonometria por meio da imagem
A
BDALA GANNAM .................................................................................................. 96
Seno de 30 é um meio?
R
ENATE WATANABE ................................................................................................ 99
Capítulo 3 – Geometria
Por que os nomes elipse, parábola e hipérbole?
G
ENI SHULZ DA SILVA ........................................................................................... 107
Por que as antenas são parabólicas?
E
DUARDO WAGNER .............................................................................................. 109
Sumário
A hipérbole e os telescópios
G
ERALDO ÁVILA ................................................................................................... 114
A mágica do cubo
G
ILDO A. MONTENEGRO ...................................................................................... 119
Semelhança, pizzas e chopes
E
DUARDO WAGNER .............................................................................................. 121
A precisão do furo cilíndrico
L
UIZ MÁRCIO IMENES ............................................................................................ 126
A capacidade do graneleiro
A
NTONIO ACRA FREIRÍA E GERALDO GARCIA DUARTE JR ................................................ 128
Fulerenos e futebol: aplicações da fórmula de Euler
L
UIS FERNANDO MELLO ......................................................................................... 132
Como cortar o pano para revestir o cesto?
L
UIZ MÁRCIO IMENES ............................................................................................ 136
Uma construção geométrica e a PG
E
LON LAGES LIMA ................................................................................................ 138
Corte e costura
E
RNESTO ROSA NETO ........................................................................................... 140
Elipse, sorrisos e sussuros
R
ENATO J. C. VALLADARES ..................................................................................... 142
Capítulo 4 – Contagem, Probabilidade e Estatística
O problema dos discos
R
OBERTO RIBEIRO PATERLINI ................................................................................... 147
Intuição e probabilidade
R
AUL F. W. A GOSTINO .......................................................................................... 154
Média e média das médias
A
DILSON SIMONIS E CLÁUDIO POSSANI ...................................................................... 156
Número de regiões: um problema de contagem
A
NTONIO C. PATROCÍNIO ..................................................................................... 161
Probabilidade geométrica e o problema do macarrão
E
DUARDO WAGNER .............................................................................................. 166
O jogo de pôquer e o cálculo de probabilidades
F
LÁVIO WAGNER RODRIGUES ................................................................................ 171
Eventos independentes
F
LÁVIO WAGNER RODRIGUES .................................................................................. 179
Capítulo 5 – Curiosidades ....................................................................... 187
Capítulo 6 – Problemas..........................................................................213
11
Capítulo 1
Álgebra
13
Adaptado do artigo de
Manoel Henrique C. Botelho
P
rofessor de Matemática
cria confusão em
campeonato de futebol
Numa próspera cidade do interior de São
Paulo, o prefeito, querendo justificar a
necessidade de uma Secretaria de Esportes
(dizia-se para poder nomear um primo de sua
esposa), decidiu implantar um campeonato
de futebol.
Como não tivesse infra-estrutura
administrativa para organizar o torneio,
solicitou ao colégio estadual da cidade que
organizasse o evento, já que o colégio tinha
dois professores de Educação Física.
Ambos os professores aceitaram a
incumbência, desde que os demais
membros do corpo docente participassem.
O fato é que algo de contagiante aconteceu,
e todos os professores se empolgaram com
o torneio.
A professora de Música adaptou um
velho hino para o hino do torneio. A
professora de Filosofia criou o código de
ética do competidor e, como o professor
de Matemática também queria colaborar,
pediu-se para fazer o regulamento da
escolha do vencedor.
14
Além de estabelecer os critérios gerais de classificação e
desclassificação, era necessário também estabelecer o critério de
desempate, em caso de dois times ficarem no final da disputa com o
mesmo número de pontos ganhos. Era preciso, neste caso, um critério
de decisão. Decidir por saldo de gols era perigoso, pois poderia haver
uma “peruada à la argentina”. Decidir por pênaltis era complicado,
pela própria complexidade da cobrança, em face da famosa
movimentação do goleiro antes de cobrar a falta ou da famosa
paradinha criada pelo Rei Pelé, que só chuta depois que o goleiro se
desloca para um lado. Como esses critérios são sempre passíveis de
interpretação, e como tribunal de futebol de várzea costuma ser o
tapa, decidiu-se adotar um critério muito usado em campeonatos
estaduais e nacionais de futebol profissional: se, no final do
campeonato, dois times estiverem com o mesmo número de pontos
ganhos, o campeão será o time com maior número de vitórias. O
professor de Matemática ouviu as recomendações, fez a minuta do
regulamento e apresentou-o à Comissão Organizadora. Esta, por falta
de tempo (eterna desculpa de nós brasileiros), aprovou tudo sem ler,
em confiança!
O Campeonato começou e, no seu desenrolar, dois times se destacaram:
o Heróis do Minho (que − dizem, mas nunca foi provado − era financiado
por um português, dono da maior padaria do lugar), e o Flor da Mocidade,
que representava um bairro pobre do arrabalde da cidade. Com o evoluir
dos jogos, o Flor da Mocidade passou à frente, e só faltava um jogo no
domingo. Para seu único rival, o Heróis do Minho, também só restava um
jogo no sábado. Se o Flor da Mocidade vencesse no domingo, seria o
campeão pelo maior número de vitórias, mesmo que o Heróis do Minho
vencesse no sábado.
E foi o que deu. No sábado, o Heróis do Minho venceu. O estádio
encheu, no domingo, para ver a última partida.
Se o Flor da Mocidade empatasse ou
perdesse, adeus título. Mas, se vencesse, então
seria campeão por ter uma vitória a mais que
o Heróis do Minho. No esperado domingo
não deu outra. No fim do primeiro tempo o
15
Flor da Mocidade já vencia por três a zero o pobre time Íbis Paulista. Foi
aí que o Presidente da Comissão leu o regulamento pela primeira vez.
Não se sabe se por engano datilográfíco ou erro do professor de
Matemática, o fato é que o regulamento dizia, claramente:
“se dois times terminarem o campeonato com o mesmo número de
pontos ganhos, será campeão o que tiver o maior número de
derrotas”.
Era isso o que estava escrito, em total desacordo com o combinado.
No intervalo do jogo, o Presidente da Comissão pôs a boca no
trombone e em cinco minutos todo o estádio, em efervescência, discutia
o acontecido e o que iria acontecer em face de tão estranho e
heterodoxo regulamento, que, aliás, não obedecia ao combinado.
Resumidamente, assim estavam os ânimos na arena, digo, no
estádio:
− desespero no pessoal do Flor da Mocidade, pois mudara a regra
do campeonato que, na versão tradicional, lhe garantiria o título;
− alegria no pessoal dos Heróis do Minho, que via uma chance de
ser campeão ou de, no mínimo, “melar” o campeonato.
Para resolver esse imbróglio matemático, foi chamado o responsável
(ou seria irresponsável?), o professor de Matemática, que felizmente
morava perto do estádio.
O professor de Matemática, com uma comissão de alunos, foi até o
estádio, que fervia. Metade da torcida queria brigar, qualquer que fosse o
resultado. Somente algumas pessoas cuidavam da análise da questão sem
partidarismo. Enquanto o professor de Matemática não chegava, a
professora de Filosofia, que pelo mestre de Álgebra não tinha simpatia,
deu sua contribuição, jogando gasolina na fogueira ao declarar:
“É a primeira vez na história da humanidade que se declara vencedor
quem mais perde. Na Grécia antiga, o perdedor era quase humilhado, e
em Roma nós sabemos o que eles faziam aos gladiadores que perdiam.
Não quero atacar o mestre de Matemática, mas ele criou um regulamento
que é, no mínimo, anti-histórico.”
16
Nessa hora chega, sereno, o professor de Matemática, que só aceita
discutir o assunto numa sala, diante de um quadro-negro. No seu sagrado
“hábitat” o mestre fez o quadro de resultados:
jogos empates vitórias pontos derrotas
Flor da Mocidade 14 4 7 18 3
Heróis 14 6 6 18 2
O professor de Matemática explicou:
− Quando dois times jogam o mesmo número de jogos e resultam
com o mesmo número de pontos ganhos, obrigatoriamente, e sempre,
o time que tiver o maior número de vitórias terá o maior número de
derrotas e reciprocamente.
Uma pessoa da Comissão Diretora − que estava com o jornal do
dia e que dava a classificação dos times profissionais no Campeonato
Brasileiro notou que o fato realmente acontecia. Ou seja, colocar no
regulamento a escolha entre dois times com o mesmo número de jogos
e o mesmo número de pontos ganhos, pelo critério de maior número
de vitórias ou de maior número de derrotas, dá no mesmo.
Todos, ou os que puderam entender, concordaram e o Flor da
Mocidade foi consagrado campeão, embora alguns, ou por não
haverem entendido, ou por má-fé, dissessem que fora resultado de
“tapetão” (resultado jurídico obtido fora do campo).
Passados uns meses, o professor de História perguntou ao professor
de Matemática como ele percebera esse fato, correto, mas curioso, de
que o campeão é o que mais perde, se comparado com o concorrente
com o mesmo número de pontos ganhos. E ouviu a seguinte história,
contada em sigilo:
A linda filha do professor de Matemática, que estudava em uma
universidade distante, chegou das férias com o coração partido e dividida.
Estava perdidamente apaixonada por dois rapazes maravilhosos.
17
Um deles, Pedro, era jovem e de família de classe média em decadência
(o “coitado” era também filho de professor) e o outro, Arthur, de rica e
tradicional família pecuarista. A jovem estava dividida quanto a escolher
entre um e outro, quando seu pai a orientou:
“Minha filha, para uma pessoa jovem como você, relacionar-se com
pessoa desquitada e talvez até com um filho, é sempre um problema.”
A menina, aturdida, perguntou ao pai como soube de tudo isso, se
ela só conhecera Arthur há quinze dias e na cidade da sua universidade,
distante, muito distante da cidade onde morava seu pai. Que seu pai era
matemático e fazia raciocínios incríveis, quase dignos de bruxo (opinião
dela), ela sabia, mas a Matemática permitiria descobrir problemas
amorosos?
O pai respondeu com a simplicidade dos matemáticos:
“Usei o Princípio de Roberval, ou, como
dizem os físicos, a Balança de Roberval,
aquela de dois pratos iguais. Se você está
apaixonada igualmente por duas excelentes
pessoas, então os pratos da balança estão
equilibrados. Se eles estão equilibrados e
surge essa brutal diferença em favor de
Arthur, que é o fato de ele ser rico, e isso é
uma indiscutível vantagem, então Arthur deve ter, para não desequilibrar a
balança, uma grande desvantagem. Como você disse que ele é uma boa
pessoa, com boa probabilidade a única desvantagem que ele deve ter é
ser desquitado, situação essa não ideal, pelo menos na opinião dos pais
de uma moça solteira e tão jovem.”
A filha do matemático ficou extasiada com a lógica dedutiva do
pai. Anos depois o pai usou essa lógica no regulamento do campeonato.
Se dois times empatam, o que tiver maior número de vitórias deve,
obrigatoriamente, ter o maior número de derrotas.
Lógico, não?
18
Souzinha, apesar de viver em um país que há
mais de quarenta anos tem inflação, ainda não
conseguiu entendê-la.
Certo dia, falou-me:
− A inflação nos anos subseqüentes ao último
aumento (melhor seria dizer reajuste) de salário
foi de 8% e 7%. Já perdi com isso
8% + 7% = 15% do meu salário.
Corrigi:
− Não é 15%, é outro valor.
Souzinha respondeu:
− Já sei, já sei.O cálculo exato é
1,08 × 1,07 = 1,1556, ou seja, 15,5%.
− Continua errado, insisti.
Souzinha bateu o pé e saiu murmurando
baixinho, mas suficientemente alto para que
eu pudesse ouvir:
− O Botelho não tem jeito, está sempre
arrumando coisinhas para discutir.
Afinal, quem está certo, Souzinha ou eu?
Adaptado do artigo de
Manoel Henrique Campos Botelho
Quanto perco com
a inflação?
19
Resposta
É claro que sou eu que estou certo e Souzinha está errado.
Admitamos que Souzinha ganhasse 1000 reais e usasse essa
quantia para comprar unicamente produtos de valor unitário
10 reais. Logo, ele compraria, inicialmente, um total de 100
produtos. Se a inflação foi de 8% no primeiro ano e de 7% no ano
seguinte, o produto padrão que custava 10 passará a custar 10 × 1,08 ×
1,07 = 11,556.
Custando o objeto padrão 11,556 reais, e Souzinha continuando a
ganhar 1000 reais, ele poderá comprar Logo, a redução
da capacidade de compra terá sido de
Certo, Souzinha?
Assim, mesmo quando a inflação acumulada for de 100%, o nosso
salário não some, mas nosso poder de compra cai 50%.
20
Neste artigo vamos fazer, inicialmente,
algumas afirmações sobre números naturais
que são verdadeiras para os números 1, 2, 3
e muitos outros e vamos tentar responder à
pergunta: elas são verdadeiras sempre?
O objetivo do artigo é enriquecer o estoque
de fatos e problemas interessantes que
professores colecionam para usar em
momentos oportunos nas aulas que ministram.
Verdadeiro ou falso?
Vamos verificar se as afirmações a seguir
são verdadeiras ou falsas.
1.
n
∈
N, n
< 100.
2.
n
∈
N, n
2
+ n +
41 é um número primo.
3.
n
∈
N*,
991
n
2
+
1 não é um quadrado
perfeito.
4.
n
∈
N*
, a soma dos
n
primeiros números
ímpares é
n
2
.
5.
n
∈
IN*
, 2
n
+ 2 é a soma de dois números
primos.
Adaptado do artigo de
Renate Watanabe
Vale para 1, 2, 3, ... .
Vale sempre?
21
Vejamos:
1. “
n
< 100” é uma sentença verdadeira para
n
= 1,
n
= 2,
n =
3 e
outros, mas torna-se falsa para qualquer número natural maior do que
99.
Portanto, “
n
∈
IN, n
< 100” é uma sentença
falsa.
2. “
n
2
+ n +
41 é um número primo” é uma sentença verdadeira para
n =
1,
n =
2,
n
= 3 e outros. De fato, ela é verdadeira para todos
os números naturais menores do que 40.
Porém o número 40
2
+ 40 + 41 = 40 . (40 + 1) + 41 = 41
2
.
41
2
não é primo, mostrando que a sentença
“ n
∈
N
,
n
2
+ n +
41 é um número primo” é uma
falsa
.
3. “991
n
2
+ 1 não é um quadrado perfeito”, é uma
sentença verdadeira para
n
= 1,
n
= 2,
n
= 3 e,
mesmo após muitas e muitas tentativas, não se acha
um número que a torne falsa.
Pudera! O primeiro número natural
n
,
para o qual
991
n
2
+ 1 é um quadrado perfeito é um número de
29 algarismos:
12 055 735 790 331 359 447 442 538 767
e, portanto, a sentença
“
n
∈
N*
, 991
n
2
+ 1 não é um quadrado perfeito”, é
falsa
.
4. “A soma dos
n
primeiros números ímpares é
n
2
” é uma sentença
verdadeira para
n
= 1,
n
= 2,
n
= 3 e, como no caso anterior, após
muitas e muitas tentativas, não se acha um número natural que a torne
falsa. Neste caso, tal número não existe, pois, como veremos adiante,
esta sentença é
verdadeira sempre
.
5. “2
n
+ 2 é a soma de dois números primos” é uma sentença verdadeira
para
n
= 1,
n =
2,
n
= 3 e, como nos dois exemplos anteriores, após
muitas e muitas tentativas, não se encontra um número natural que a
22
torne falsa. Mas agora temos uma situação nova: ninguém, até hoje,
encontrou um número que tornasse a sentença falsa e ninguém, até hoje,
sabe demonstrar que a sentença é verdadeira sempre.
A sentença é a famosa conjetura de Goldbach, feita em 1742, em uma
carta dirigida a Euler: “Todo inteiro par, maior do que 2, é a soma de dois
números primos”. Não se sabe, até hoje, se esta sentença é verdadeira ou
falsa.
Em suma, dada uma afirmação sobre números naturais, se encontrarmos
um contra-exemplo, saberemos que a afirmação não é sempre verdadeira.
E se não acharmos um contra-exemplo? Neste caso, suspeitando que a
afirmação seja verdadeira sempre, uma possibilidade é tentar demonstrá-
la, recorrendo ao princípio da indução.
Princípio da indução finita
“Seja
S
um conjunto de números naturais, com as seguintes
propriedades:
1. 0 ∈
S
2.
se
k
é um natural e
k
∈
S
, então
k
+ 1∈
S
.
Nestas condições,
S
=
N
”.
Vamos ver como esse princípio nos permite demonstrar que a sentença
4 é verdadeira.
“
n
∈
N
*, a soma dos
n
primeiros números ímpares é
n
2
.”
Demonstração
Seja
S
o conjunto dos números naturais
n
para os quais a soma dos
n
primeiros números ímpares é
n
2
.
1. 1 ∈
S
, pois a soma do 1 primeiro número ímpar é 1 = 1
2
.
2. Vamos supor que
k
∈
S
, isto é, que a soma dos
k
primeiros números
ímpares seja
k
2
.
Vamos provar que
k +
1∈
S
, isto é, que a soma dos
k
+ 1 primeiros
números ímpares é (
k
+ 1)
2
.
23
Estamos supondo que
1 + 3 + 5 + ... + (2
k
– 1) =
k
2
e queremos provar que
1 + 3 + 5 + ... + (2
k +
1) = (
k
+ 1)
2
.
Basta observar que
1 + 3 + 5 + ... + (2
k
– 1) + (2
k
+ 1) =
k
2
+ (2
k
+ 1) = (
k
+ 1)
2
.
O princípio da indução nos garante, agora, que
S
=
N
*, ou seja, a
afirmação “a soma dos
n
primeiros ímpares é
n
2
” é verdadeira para todos
os números naturais maiores do que zero.
No ensino médio o professor encontra muitas outras oportunidades
para fazer demonstrações por indução, se assim o desejar. Um aspecto
importante é que os exemplos apresentados permitem ao professor mostrar
aos alunos que fatos matemáticos podem ser verdadeiros para muitos
exemplos e não serem verdadeiros sempre.
A única maneira de concluir a veracidade é fazer uma demonstração
geral, que seja válida para qualquer caso, independentemente de exemplos.
24
Muitas histórias testemunham a extraordinária
precocidade do matemático Gauss. Uma das
favoritas refere-se a um episódio ocorrido
quando ele tinha dez anos de idade e
freqüentava o terceiro ano do ensino fundamental
de uma escola onde medo e humilhação eram os
principais ingredientes pedagógicos.
Na aula de Aritmética o professor pediu aos
alunos que calculassem o valor da soma.
S
= 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100.
Uma excelente questão, sem dúvida, para
aliviar o mestre de suas funções pelo resto da
aula e manter bem alto o ideal pedagógico da
escola.
Imediatamente após o problema ter sido
proposto, Gauss escreveu o número 5050 em
sua pequena lousa e a depositou, como era
costume na época, sobre a mesa do professor.
Durante o resto da aula, enquanto seus colegas
trabalhavam, o pequeno Gauss foi, por diversas
vezes, contemplado com o sarcástico olhar de
seu mestre.
Ao fazer a correção, o estupefato Büttner −
era esse o nome do professor − constatou que a
única resposta correta era a de Gauss, que deu a
seguinte justificativa para seu cálculo: a soma de
Adaptado do artigo de
Paulo Ferreira Leite
Pérolas
25
1 com 100, de 2 com 99, de 3 com 98, de 4 com 97, e assim por diante,
é sempre o mesmo número 101. Ora, na soma desejada,
este número aparece 50 vezes.
Portanto, o resultado desejado é 101 × 50 = 5050.
E esta multiplicação Gauss pôde fazer em poucos segundos.
Foi uma dura lição, mas o severo Büttner soube redimir-se,
presenteando Gauss com o melhor livro de Aritmética que possuía e
mudando totalmente sua atitude para com ele.
A observação feita por Gauss, de que é constante a soma dos termos
eqüidistantes dos extremos na seqüência dos números de 1 a 100,
continua válida para qualquer progressão aritmética e pode ser utilizada
para deduzir a fórmula da soma dos termos de uma PA.
Progressão Aritmética – PA
Seja (
a
1
,
a
3
,
a
3
,...,
a
n
-1
,
a
n
) uma PA de razão
r
:
Como
a
1
+
a
n
=
a
2
+
a
n
-1
=
a
3
+
a
n
-2
= ... =
a
n
+
a
1,
Chamando
S
n
=
a
1
+
a
2
+ ... +
a
n
-1
+
a
n
tem-se
.
26
No caso da soma 1 + 2 + ... + 100 temos
Um evento decisivo para a carreira de Gauss ocorreu no dia 30 de
março de 1796, quando contava dezenove anos de idade. Nesse dia
inaugurou o diário científico, que manteve por toda sua vida, registrando
uma descoberta notável. Conseguira provar a
possibilidade de, utilizando apenas régua e
compasso, dividir uma circunferência em 17
partes iguais. Na realidade, esse enunciado é
uma interpretação geométrica dos resultados
algébricos que obtivera, mostrando ser possível
resolver a equação
x
17
– 1 = 0, pela extração
de sucessivas raízes quadradas. Essa
descoberta fez com que ele que, até então
dividira seu interesse entre a Filologia e a
Matemática, optasse definitivamente pela
última, muito embora mantendo um vivo
interesse por Línguas e Literatura.
Uma medida do apreço de Gauss por essa sua
descoberta matemática é o seu pedido de que
se gravasse em seu túmulo um polígono regular de 17 lados.
Para compensar o fato de não podermos descrever aqui as técnicas
utilizadas por Gauss para provar seu teorema, reunimos algumas
informações suplementares sobre o problema da ciclotomia, isto é, da
divisão da circunferência em partes iguais (ver Quadro).
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é unanimemente considerado um
dos maiores matemáticos de todos os tempos e sua obra, além de cobrir
praticamente todos os ramos da Matemática, estende-se à Astronomia,
Física e Geodésia. Era alemão (nasceu em Brunswick) e passou toda sua
vida na Alemanha. Em 1807 foi nomeado professor e diretor do
observatório astronômico de Göttingen. A partir dessa época, passou a
residir no observatório onde, em razão do seu temperamento reservado,
1 100
100 5050.
2
S
+
=⋅=
Carl Friedrich Gauss
27
Ciclotomia
Ciclotomia = divisão da circunferência em partes iguais (divisão feita com
régua e compasso).
Os geômetras gregos
da Antiguidade, ~ 300 a.C., sabiam dividir a
circunferência em
n
partes iguais para
n
de uma das seguintes formas:
2
k
, 2
k
.3, 2
k
.5, 2
k
.15.
Gauss, no seu livro DISQUISITIONES ARITHMETICAE, em 1801,
provou o seguinte resultado:
“A divisão da circunferência em
partes iguais é possível se e somente
se
n
é de uma das formas:
1)
n
= 2
k
2)
n
= 2
k
.
p
1
.
p
2
. ... .
p
l
.
onde
p
1
,
p
2
, ...,
p
l
são primos distintos, da forma
”.
Estes números são chamados números de Fermat, em homenagem a
Fermat, Pierre de (1601-1665) − matemático francês, que supunha que
todos os números dessa forma fossem primos.
Com efeito,
F
0
= 3,
F
1
= 5,
F
2
= 17,
F
3
= 257 e
F
4
= 65537 são primos,
mas
Euler, em 1732, mostrou que
F
5
= 641 x 6700417 e, portanto, é
composto. Sabe-se hoje que muitos outros números de Fermat são
compostos.
recebia poucas pessoas. Era perfeccionista, metódico e circunspeto, um
perfeito contra-exemplo para o tradicional estereótipo do gênio matemático.
Um dos poucos amigos que costumava receber era Georg Ribbentrop,
um convicto e excêntrico solteirão, professor de direito em Göttingen.
Conta-se que numa noite em que Ribbentrop jantava no observatório
caiu forte tempestade e, prevendo as dificuldades que o amigo teria em
regressar, Gauss insistiu para que ele ficasse para dormir. Num momento
de descuido o hóspede desapareceu misteriosamente. Algum tempo depois
bateram à porta e Gauss, atônito, recebeu de volta o amigo, ensopado
dos pés a cabeça, mas trazendo seu pijama.
28
A noção de logaritmo quase sempre nos é
apresentada, pela primeira vez, do seguinte
modo: “o logaritmo de um número
y
na base
a
é o expoente
x
tal que
a
x
= y”.
Segue-se a observação: “os números mais
freqüentemente usados como base de um
sistema de logaritmos são 10, e o número
e
= 2,71828182...”;
o que nos deixa intrigados.
De saída, uma pergunta ingênua: esta
regularidade na seqüência dos algarismos
decimais desse número
e
persiste? Não. Apenas
uma coincidência no começo. Um valor mais
preciso seria
e
= 2,718281828459...
Não se trata de uma fração decimal
periódica. O número
e
é irracional, isto é, não
pode ser obtido como quociente
e
=
p
/
q
de
dois inteiros. Mais ainda: é um irracional
transcendente
. Isto significa que não existe
um polinômio
P
(
x
) com coeficiente inteiros,
que se anule para
x
=
e
, ou seja, que tenha
e
como raiz.
Adaptado do artigo de
Elon Lages Lima
O número
e
,
por quê?
29
Por que então a escolha de um número tão estranho como base de
logaritmos? O que faz esse número tão importante?
Talvez a resposta mais concisa seja que o número
e
é importante
porque é inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas.
Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral
está no Cálculo (Diferencial e Integral), que estuda a variação das
grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente encontrados
é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada
instante é proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo
de variação ocorre, por exemplo, em questões de juros, crescimento
populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc.
Em todos os fenômenos dessa natureza, o número
e
aparece de modo
natural e insubstituível. Vejamos um exemplo simples.
Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1real a juros de
100% ao ano. No final do ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2
reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo? Não. O
justo seria que eu recebesse
e
reais. Vejamos por que. Há um entendimento
tácito nessas transações, de que os juros são proporcionais ao capital
emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento.
Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo,
eu receberia apenas reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião,
ele estava com real meu e ficou com esse dinheiro mais seis meses, à
taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me
reais no fim do ano.
Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim, eu não acharia justo.
30
Eu poderia dividir o ano num número arbitrário
n
, de partes iguais.
Transcorrido o primeiro período de
, meu capital emprestado
estaria valendo
reais. No fim do segundo período de , eu
estaria reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria
receber reais. Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo
n
, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria receber pelo meu
real emprestado seria
,
que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual ao número
e
. Um outro
exemplo no qual o número
e
aparece.
31
Adaptado do artigo de
José Paulo Q. Carneiro
As dízimas periódicas
e a calculadora
Em um concurso destinado principalmente a
professores de Matemática, figurava a seguinte
questão:
“Os números racionais
a
e
b
são,
representados, no sistema decimal, pelas
dízimas periódicas:
e
Encontre, justificando, uma representação
decimal de
a− b.”
Como
a e b
são racionais, temos que a
diferença
a − b,
também é racional e, portanto,
sua representação decimal é periódica. Apesar
de na prova ter sido permitido o uso da
calculadora, o período jamais seria descoberto
com a certeza exigida pelo “justifique”. Além
disso, o período poderia ser maior do que o
número de dígitos que a calculadora pudesse
exibir no visor.
Um primeiro expediente que poderia
ocorrer seria fazer a subtração por meio do
esquema usado habitualmente para decimais
finitos. Isso funcionaria bem em casos mais
simples.
32
Por exemplo:
o que estaria correto, pois
Mas, no caso em questão, o desencontro entre os períodos das
duas dízimas apresentadas dificultava o emprego dessa estratégia (a
qual, aliás, precisaria ser discutida em termos conceituais). Vejamos:
Como a subtração usual é feita da direita para a esquerda, não se sabe
bem por onde se deveria começar, antes de descobrir o período. Por
conseguinte, o caminho natural seria calcular as geratrizes de
a e b
, subtrair
as frações correspondentes, e então encontrar uma representação decimal
para essa fração. Utilizando esse procedimento, teríamos:
portanto,
Nesse ponto, o método mais usado por todo o mundo é dividir 2777
por 1485 (ou 1292 por 1485, ganhando uma etapa), pelo algoritmo
tradicional, e aguardar o primeiro resto que se repete. Desse modo, obtém-
se:
33
Como se repetiu o resto 1040, a partir daí, os algarismos 7, 0, 0, 3,
3, 6 se repetiriam. Logo,
Vamos agora fazer alguns comentários:
1. Algumas pessoas envolvidas no processo de
aprendizagem da Matemática (alunos,
professores, pais, etc.) expressam às vezes a
crença de que, com o advento da calculadora,
nunca mais haverá ocasião de usar o algoritmo
tradicional da divisão. Alguns até usam isso
como um argumento para proibir o uso da
calculadora em certas fases iniciais da
aprendizagem: “é necessário primeiro que o
aluno aprenda o algoritmo tradicional, e só
depois lhe será permitido usar a calculadora;
senão, ele não terá motivação para aprender
tal algoritmo”.
Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores,
temos que exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores,
que coloquem em xeque até mesmo a calculadora, deixando claras as
suas limitações, em vez de proibir o seu uso, o que é uma atitude
antipática, repressora, e totalmente contrária ao que um aluno espera
de um professor de Matemática. De fato, para um leigo, ou um iniciante
em Matemática, nada mais “matemático” do que uma calculadora, e
ele espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-lo com essa
ferramenta, e não proibi-lo de usá-la.
34
2. Existiria um outro método para encontrar uma representação decimal
de
208
297
(ou de
1292
1485
, mas já vimos que basta o primeiro), que não
fosse o algoritmo tradicional da divisão? A resposta é sim.
Basta tomar as sucessivas potências de 10, a saber: 10, 100, etc., até
que encontremos uma que deixe resto l, quando dividida por 297.
Não é difícil fazer isso, experimentando com a calculadora:
10
3
= 3 × 297 + 109 10
4
= 33 × 297 + 199 10
5
= 336 × 297 + 208
10
6
= 3367 × 297 +1.
A partir daí, obtém-se: e portanto,
em que a última passagem vem da propriedade das progressões
geométricas infinitas:
Observe que o período da dízima tem comprimento 6, que é o expoente
da menor potência de 10 que deixa resto 1, quando dividida por 297.
Considerações finais
Observemos que toda fração decimal finita como 0,125, por exemplo,
é gerada por uma fração cujo denominador é uma potência de 10:
Por outro lado, uma fração cujo denominador não tem outros fatores
1
1
1
11
2
++ + =
−
−< <qq
q
qK ,.
35
primos além do 2 e do 5 (poderia ser um deles apenas) sempre pode ser
expressa por uma fração cujo denominador é uma potência de 10 e,
portanto, tem uma representação decimal finita. Por exemplo,
Esse raciocínio permite concluir que uma fração
a
/
b,
na forma
irredutível, tem representação decimal infinita se, e somente se,
b = b
0
× 2
m
× 5
n
,
com
b
0
> 1,
m
,
n >
0 e
mdc
(
b
0
,10) = 1.
Isso posto, podem-se provar os seguintes resultados:
(a) a representação decimal de
a/b
é periódica e pode apresentar ou não
pré-período de tamanho
r
= max{
m
,
n
} algarismos (por exemplo,
0,356212121... tem pré-período de três algarismos, 3, 5 e 6);
(b) se
m
> 0 ou
n
> 0, então há um pré-período formado de
r
= max{
m
,
n
} algarismos;
(c) o período é formado de
h
algarismos, sendo
h
o menor inteiro positivo
tal que 10
h
−1 é múltiplo de
b
0
(uma generalização da propriedade
conhecida como
teorema de Euler
[1760] garante a existência de
h
)
.
Por exemplo:
5/21 não tem pré-período, pois 21= 3 × 7 (notar a ausência de 2
e 5) e o período é formado de 6 algarismos, uma vez que
10
2
−1 = 99, 10
3
−1 = 999, 10
4
−1 = 9999 e 10
5
−1 = 99999
não são múltiplos de 21, mas
10
6
−1 = 999999 = 21× 47619.
De fato,
5 21 0 238095238095 0 238095/, , .==K
9/140 tem pré-período formado de 2 algarismos (observar que
140 = 2
2
× 5 × 7 e que max {2, 1} = 2) e período formado de 6
algarismos, pois 6 é o menor expoente tal que 10
6
−1 é múltiplo
de 7. De fato,
9 140 0 0642857428571 0 06428571/, , .==K
36
Adaptado do artigo de
Paulo A. da Mata Machado
A resposta é: depende da razão,
q
, da progressão.
Se, por exemplo, , temos o triângulo
eqüilátero. Se , temos os triângulos de
ângulos internos 87,22°, 53,04° e 39,74°. Se,
porém, , não há solução.
Como se chega a essa conclusão? Muito
simples. Podemos, colocando os lados do
triângulo em ordem crescente e considerando
um triângulo semelhante, admitir que a solução
seja um triângulo de lados 1,
q
e , sendo
. Em um triângulo, um lado é menor que a
soma dos outros dois, portanto, .
As raízes da equação
q
2
−
q
− 1 = 0 são
, logo
q
2
−
q
− 1 < 0 para
<
q
< .
Como estamos considerando apenas as razões
maiores ou iguais a 1, temos . (1)
É possível construir um
triângulo cujos lados
estejam em PG de
razão q?
37
Determinado o intervalo de variação de
q
, vamos determinar quais
são os ângulos internos do triângulo, usando a lei dos cossenos,
,
sendo o ângulo interno formado pelo maior e pelo menor lado do
triângulo. Rearranjando a equação, obtemos: (2)
Dado
q
, podemos determinar qual será o ângulo entre o menor e o
maior lado do triângulo pela equação (2). Esse ângulo tem também uma
limitação de valores. Para determinarmos qual é essa limitação, vamos
reescrever a equação da seguinte forma:
q
4
− (2cosα + 1)
q
2
+ 1 = 0.
Temos uma equação bi-quadrada que somente terá solução se
, ou
equivalentemente, . Como trata-se de um ângulo de triângulo,
α não pode ser maior que 90° e, portanto, α ≤ 60
o
.
Há um caso particular que ainda não foi discutido. Quais são os ângulos
internos de um triângulo retângulo cujos lados estejam em progressão
geométrica, e qual é a razão dessa progressão?
Para triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:
q
4
=
q
2
+1 ou
q
4
−
q
2
− 1 = 0, cuja solução, no intervalo obtido em (1),
é
Aplicando o valor de
q
na equação (2), obtém-se
, ou α = 51,83°.
Consequentemente, os ângulos internos do triângulo retângulo que tem
os lados em progressão geométrica são: 90°, 51,83° e 38,17°.
38
Introdução
A história da resolução da equação de terceiro
grau é muito pitoresca, plena de lances
dramáticos, paixões e disputas pela fama e a
fortuna que seu achado poderia trazer a seus
autores.
Uma das personagens dessa história é
Niccolò Fontana (1500-1557 aproxima-
damente). Em 1512 os franceses saquearam
Brescia, sua cidade natal, sua mãe buscou refúgio
para o filho na igreja, mas os soldados também
invadiram o santuário, e a criança foi ferida no
rosto. O ferimento lhe causou uma gagueira
permanente, que lhe valeu o apelido de Tartaglia
(gago, em italiano), pelo qual se tornou
conhecido. Ele não foi o primeiro a obter o
método de resolução das equações do terceiro
grau. Scipione del Ferro (1465-1562 aproxi-
madamente) − que foi professor na Universidade
de Bolonha e cuja biografia é pouco conhecida
− foi o verdadeiro descobridor. Antes de morrer,
Adaptado do artigo de
César Polcino Milies
A solução de Tartaglia
para a equação do
terceiro grau
Niccolò Fontana
(Tartaglia)
39
del Ferro ensinou seu método a dois discípulos, Annibale delia Nave −
seu futuro genro e sucessor na cátedra em Bolonha − e António Maria
Fior (ou Floridus, em latim).
Em 1535 houve uma disputa matemática entre Fior e Tartaglia. Tais
confrontos intelectuais eram freqüentes na época e, muitas vezes, a
permanência de um matemático numa cátedra dependia de seu bom
desempenho nesses encontros. Cada um dos adversários propôs ao outro
trinta problemas, e foi combinado que o perdedor deveria pagar trinta
banquetes ao ganhador. Tartaglia preparou questões variadas, mas todos
os problemas propostos por Fior implicavam equações do tipo
x
3
+
ax
=
b.
Precisamente na noite de 12 para 13 de fevereiro, Tartaglia conseguiu
descobrir o método de resolução de tais equações e, na hora do confronto,
verificou-se que Tartaglia tinha resolvido todas as questões propostas por
Fior, enquanto este não tinha conseguido resolver a maioria das questões
submetidas por Tartaglia. Declarado vencedor, Tartaglia voluntariamente
renunciou aos trinta banquetes.
A notícia do triunfo de Tartaglia logo se espalhou e chegou aos ouvidos
de Girolamo Cardano (1501-1576), que, na época, ocupava uma cadeira
de medicina na Universidade de Pavia e era membro do Colégio Médico
de Milão. De todos as personagens da nossa história, talvez seja Cardano
o mais enigmático, aquele cuja vida foi mais pitoresca e, certamente, que
teve uma formação mais universal.
Para termos uma idéia de quão extenso e profundo era seu
conhecimento, citamos a seguir os comentários de Gabriel Naudé
(1600-1653), que publicou a autobiografia de Cardano pela primeira
vez em 1643:
Não somente era
ele inquestionavelmente um médico notável,
como foi também provavelmente o primeiro e único homem a se
distinguir em todas as ciências ao mesmo tempo. É uma das
ilustrações da Natureza daquilo que um homem é capaz de atingir.
Nada de significativo lhe era desconhecido em filosofia,
medicina, astronomia, matemática, história, metafísica ou as
40
ciências sociais, ou em outras áreas mais remotas do
conhecimento. Ele também errava, é claro
,
isso é apenas humano;
é maravilhoso, porém, quão raramente ele errava.
Por outro lado, Naudé é bem mais crítico quanto à vida pessoal e
características de personalidade de Cardano, distorcendo-as até o
patológico. Foram essas opiniões de Naudé, amplamente divulgadas
no prefácio das obras de Cardano, que deram
origem à visão distorcida que as futuras gerações
tiveram sobre seu caráter.
Na época da descoberta de Tartaglia, Cardano
gozava de boa posição em Milão e o convidou a
sua casa, com o pretexto de apresentá-lo ao
comandante militar da cidade, uma vez que
Tartaglia tinha feito também algumas descobertas
sobre tiro e fortificações − e esperava obter disso
algum benefício. Uma vez lá, com muita insistência
Cardano conseguiu que lhe fosse revelado o
segredo da resolução das equações do terceiro
grau.
Tartaglia consentiu em lhe ensinar a regra de
resolução (embora não lhe ensinasse a
demonstração da mesma), sob forma de versos, em troca do juramento
solene de que Cardano jamais publicaria esse segredo.
Conhecendo um método de resolução, Cardano procurou − e achou
− uma demonstração que o justificasse. Mais ainda, ele estimulou seu
secretário e discípulo Ludovico (Luigi) Ferrari (1522-1565) a trabalhar
com a equação de quarto grau e este achou o correspondente método
de resolução com a devida demonstração.
De posse de ambas as soluções, Cardano deve ter se sentido fortemente
tentado a publicá-las. Em 1544, mestre e discípulo realizaram uma viagem
a Florença e, no caminho, fizeram uma visita a Annibale delia Nave, em
Bologna. De acordo com um relato de Ferrari, este lhes mostrou um
manuscrito de del Ferro, que continha a famosa regra de Tartaglia,
manuscrito este que ainda se conserva. Aparentemente, ao saber que a
Girolano Cardano
41
fórmula de Tartaglia existia já desde trinta anos antes, Cardano se sentiu
desobrigado de cumprir seu juramento e publicou, em 1545, em
Nuremberg, uma obra intitulada
Ars Magna,
que o tornou verdadeiramente
famoso em todo o continente. Nas palavras de C. Boyer, “ele
provavelmente era o matemático mais competente da Europa”. Nessa
obra aparecem, pela primeira vez, as regras de resolução das equações
do terceiro e quarto graus. A seu favor, podemos dizer que Cardano não
esquece de fazer as devidas atribuições de mérito aos respectivos
descobridores.
A seguir, faremos uma análise do método que Tartaglia confiou a
Cardano.
Os versos de Tartaglia
Como dissemos acima, Tartaglia comunicou a Cardano o segredo
da sua descoberta, por meio de versos. Tal idéia não é tão estranha quanto
pode parecer a princípio; devemos lembrar que, na época, os autores não
dispunham ainda de uma notação adequada para tratar as equações em
sua generalidade e não podiam, portanto, expressar seus métodos
resumidamente mediante fórmulas, como fazemos hoje em dia.
A seguir, reproduzimos uma tradução para o português dos versos
transcritos na página 120, da edição de 1554, dos
Quesiti
:
1.
Quando o cubo com a coisa em apreço
Se igualam a qualquer número discreto,
Acha dois outros diferentes nisso
2.
Depois terás isto por consenso
Que seu produto seja sempre igual
Ao cubo do terço da coisa certo
3.
Depois, o resíduo geral
Das raízes cúbicas subtraídas
Será tua coisa principal.
4.
Na segunda destas operações,
Quando o cubo estiver sozinho
Observarás estas outras reduções
42
5.
Do número farás dois, de tal forma
Que um e outro produzam exatamente
O cubo da terça parte da coisa.
6.
Depois, por um preceito comum
Toma o lado dos cubos juntos
E tal soma será teu conceito
7.
Depois, a terceira destas nossas contas
Se resolve como a segunda, se observas bem
Que suas naturezas são quase idênticas
8. Isto eu achei, e não com passo tardo,
No mil quinhentos e trinta e quatro
Com fundamentos bem firmes e rigorosos
Na cidade cingida pelo mar.
Analisaremos, a seguir, esses versos numa linguagem acessível ao leitor
contemporâneo. Antes de tudo, é conveniente lembrar que Tartaglia (assim
como depois, faria também Cardano) não utiliza coeficientes negativos
em suas equações. Então, em vez de uma equação geral do terceiro grau,
ele deve considerar três casos possíveis:
x
3
+ ax = b
,
x
3
= ax + b
,
x
3
+ b = ax .
Tartaglia chama cada um desses casos de
operações
e afirma que
irá considerar, de início, equações do primeiro tipo: “
cubo e coisa
igual
a
número
”
.
No quarto verso começa a considerar o segundo
tipo
“quando o cubo estiver sozinho”
e, no sétimo, faz referência ao
terceiro caso.
Vejamos agora como se propõe a resolver o primeiro caso, nos
três versos iniciais, para depois justificar seu método, de uma forma
simples.
O
número
se refere ao termo independente, que denotamos aqui por
b
. Quando diz
“acha dois outros diferentes nisso”,
está sugerindo tomar
43
duas novas variáveis, cuja diferença seja precisamente
b
, i.e., escolher
U
e
V
tais que:
U − V = b.
A frase “...
que seu produto seja sempre igual ao cubo da terça
parte da coisa
” significa que
U
e
V
devem verificar:
Finalmente, “o
resíduo geral das raízes cúbicas subtraídas será tua
coisa principal
” significa que a solução é dada por
Os outros dois casos carecem de interesse
para o leitor moderno, uma vez que podemos
reduzi-los ao primeiro, mudando termos de
um membro a outro da equação.
A frase final “... a
cidade cingida pelo
mar
”
é uma referência a Veneza, onde
realizou suas descobertas.
A resolução da equação do terceiro grau
Nesta seção veremos como justificar a fórmula de Tartaglia para resolver
equações do terceiro grau. Naturalmente, utilizaremos métodos e notações
modernos, o que nos permitirá fazer uma exposição relativamente simples.
Vamos considerar uma equação do terceiro grau, escrita na forma
x
3
+
ax
=
b
,
para compará-la com a
primeira destas operações ... cubo e coisa
igual a número,
discutida nos três primeiros versos de Tartaglia. Na
verdade, há um caminho muito simples para achá-la. Comecemos por
lembrar a fórmula do cubo de um binômio:
(
u − v
)
3
= u
3
−
3
u
2
v +
3
uv
2
− v
3
.
44
Pondo em evidência o produto
uv
,
temos:
(
u − v
)
3
=
3
uv
(
v − u
)
+
(
u
3
− v
3
),
isto é, (
u − v
)
3
+ 3
uv
(
u− v
) =
u
3
− v
3
.
Se podemos escolher, de alguma forma,
u
e
v
de modo que
verifiquem:
uv = a/
3,
u
3
−
v
3
=
b
,
a relação acima se transformará em:
(
u− v
)
3
+ a
(
u − v
)
= b
,
o que significa que
x = u− v
será uma solução da equação dada.
Em outras palavras, se conseguirmos achar
u
e
v
,
que sejam soluções
do sistema acima, tomando
x = u− v
,
obter-se-á uma solução da
equação proposta. Resta-nos então o problema de resolver o sistema em
u
e
v
. Para isso, observemos que, elevando ao cubo a primeira equação,
ele se transforma em:
u
3
v
3
= (
a
/3)
3
,
u
3
− v
3
= b
.
Finalmente, fazendo
u
3
= U
e
v
3
= V,
temos:
UV =
(
a
/3)
3
,
U − V = b.
Isso é muito fácil de resolver;
U
e
− V
são as raízes da equaçãodo
segundo grau:
x
2
− bx
+ (
− a
/3)
3
= 0,
que são dadas por:
45
Podemos tomar uma dessas raízes como sendo
U
e a outra como
V,
logo, temos
Portanto, obtemos precisamente a
solução enunciada por Tartaglia:
Mais explicitamente, substituindo
U
e
V
pelos seus respectivos valores,
resulta a conhecida fórmula que, nos textos, é chamada de
fórmula de
Cardano
ou
de Tartaglia
:
Uma observação final: a equação geral do terceiro grau, que podemos
escrever na forma:
x
3
+ a
1
x
2
+
a
2
x
+
a
3
= 0 ,
pode-se reduzir ao caso acima, mediante a mudança de variável
x
=
y −
(
a
1
/3). Aliás, essa redução era conhecida por Tartaglia, mas não
por Fior, e foi justamente esse fato que determinou a vitória do primeiro.
Isso significa que, na verdade, Tartaglia conhecia um método geral para
resolver
qualquer
equação do terceiro grau.
46
Há pouco tempo um aluno perguntou-me o
porquê da multiplicação de matrizes ser
efetuada do modo como é usual. Este artigo
é uma tentativa de responder a essa pergunta.
Vamos ver quando e como o produto matricial
foi “criado” (“descoberto” ?; “inventado”?). Se
alguém, em algum momento da História,
começou a multiplicar matrizes, fazendo o
produto das linhas pelas colunas, essa pessoa
deve ter tido um bom motivo para fazê-lo.
Vamos, inicialmente, apresentar um exemplo
baseado numa situação concreta.
Exemplo 1
Imaginemos a seguinte situação:
Uma empresa compra “matérias-primas”,
M
1
e
M
2
, óleo e essência, e as utiliza para fabricar
dois produtos, sabonetes
P
1
e
P
2
. Vamos indicar
numa matriz
Q
a quantidade de matéria-prima
utilizada na produção de cada produto.
Adaptado do artigo de
Cláudio Possani
O produto de
matrizes
47
Nessa matriz
a
ij
é a quantidade de matéria-prima
M
j
utilizada na
produção do produto
P
i
(por exemplo, utiliza-se uma quantidade
a
12
de
essência
M
2
para produzir o sabonete
P
1
).
Vamos representar numa matriz de “custos”,
C,
o preço de cada
matéria-prima em duas condições diferentes de compra,
C
1
e
C
2
: preço à
vista e preço a prazo.
Nessa matriz, o elemento
b
ij
é o preço da matéria-prima
M
i
comprada
nas condições
C
j
(por exemplo, o preço da essência
M
2
, comprada a
vista é
b
21
).
Isso significa que:
o custo de produzir
P
1
, comprando
M
1
e
M
2
à vista, é igual a
a
11
b
11
+
a
12
b
21
;
o custo de produzir
P
2
, comprando
M
1
e
M
2
a prazo é igual a
a
21
b
12
+
a
22
b
22
,
ou seja, se observarmos o produto das matrizes
Q
e
C
e se denotarmos
Q
×
C =
,
vemos que
c
ij
indica o custo de produzir o produto
P
i
comprando as
matérias-primas na condição
C
j
.
48
Vejamos, agora, um exemplo teórico do uso do produtos de matrizes,
na notação matricial para sistemas.
Exemplo 2
Um sistema
m
×
n
de equações lineares
pode ser denotado, de forma bem mais reduzida, por
A
×
X = B
, sendo
A
,
X
e
B
as matrizes:
Se
m = n
o sistema será
determinado
se, e somente se,
A
for inversível
e sua solução pode ser obtida como
X
=
A
−1
×
B
.
Um pouco de História
Tradicionalmente ensinamos Matrizes,
Determinantes e Sistemas Lineares nessa ordem,
o que é razoável do ponto de vista lógico, mas é
bom observar que historicamente as coisas não
se passaram assim. Creio não ser exagero dizer
que o estudo de sistemas de equações, lineares ou não, se perde na História
e é impossível estabelecer um “início” para a teoria. Determinantes foram
aparecendo aqui e acolá, inicialmente associados à resolução de sistemas
(já na China antiga!).
Cramer publicou um trabalho em 1750, no qual aparece a regra que
hoje tem seu nome, embora já fosse conhecida antes.
O nome “determinante” foi utilizado pela primeira vez por Cauchy em
1812, e por essa ocasião determinantes também apareciam na Geometria.
49
As matrizes já aparecem mais tarde! Até então não
se falava em determinante de uma matriz, mas em
determinante do sistema de equações. O conceito
de matriz aparece em 1858, num trabalho de Cayley
sobre transformações do plano, e a operação
matricial envolvida é justamente o produto. Cayley
considerava transformações (lineares) do plano
R
2
em si próprio do tipo
T
(
x
;
y
)
=
(
ax + by
;
cx + dy
).
Se não quisermos pensar em transformações,
podemos considerar mudanças de variáveis:
Suponhamos duas mudanças de variáveis:
Como podemos expressar
r
e
s
em termos de
x
e
y
?
Substituindo as expressões de
T
1
em
T
2
obtemos:
Cayley chamou de “matriz de
T
1
” a tabela e observou que
para obtermos a matriz que fornece
r
e
s
em termos de
x
e
y,
bastava
colocar as matrizes de
T
2
e
T
1
lado a lado e “multiplicá-las” da maneira
como fazemos até hoje:
Arthur Cayley
50
Em linguagem de transformações, a matriz da direita é a matriz da
transformação composta
T
2
o
T
1
.
Lembrando que a composição de
duas funções não é comutativa, isto é, em geral
f
o
g
≠
g
o
f
,
vemos
como é natural que o produto matricial não comute.
As operações de adição matricial e multiplicação por escalar vieram
depois do produto! A segunda metade do século XIX foi um período
muito rico para o desenvolvimento da Álgebra, e a idéia de se estudarem
estruturas algébricas abstratas ganhava força nessa época. O próprio
Cayley (além de B. Peierce e C. S. Peierce), considerando essas
operações e o produto matricial, criou o que hoje chamamos de
“Álgebra das Matrizes”, que fornece um dos primeiros exemplos de
estrutura algébrica com uma operação não comutativa.
Para finalizar, duas observações: em primeiro lugar, gostaria de
destacar a importância de se entender o contexto em que as idéias e as
teorias matemáticas são desenvolvidas. O produto matricial, que à
primeira vista é um tanto artificial, fica natural quando percebemos
qual é o seu significado geométrico e qual foi a motivação de quem o
criou. Acredito que, sempre que estudamos ou ensinamos um
determinado tópico, deveríamos ter essa preocupação em mente.
Em segundo lugar, a
Teoria das Matrizes
é um ótimo exemplo de
como uma teoria científica vai adquirindo importância e tendo
aplicações que transcendem o objetivo inicial com que foi criada. É
muito difícil julgar o valor de uma idéia no momento em que ela nasce.
O tempo é o grande juiz, que decide quais descobertas científicas são,
de fato, relevantes.
51
Os sistemas de equações lineares constituem
um tópico de grande interesse prático. Seu
estudo é acessível aos estudantes, pois não
requer o emprego de conceitos sutis ou
complicados. Além disso, pode servir como
ponto de partida para diversas teorias
matemáticas relevantes e atuais. Por estes três
motivos, é mais do que justa sua inclusão nos
currículos escolares.
Esta nota visa dar aos professores que ensinam
sistemas lineares algumas sugestões para ilustrar
suas aulas e ajudá-los a situar adequadamente a
matéria dentro do contexto dos seus
conhecimentos.
Um problema
O curso de Matemática no semestre passado
teve três provas. As questões valiam um ponto
cada uma, mas os pesos das provas eram
diferentes. Jorge, que acertou
6
questões na
primeira prova
, 5
na
segunda
e 4
na terceira,
obteve no final um total de
47
pontos.
Fernando acertou
3, 6
e
6,
totalizando
54
pontos. Por sua vez, Marcos acertou
2, 7
e
5
Adaptado do artigo de
Elon Lages Lima
Sobre o ensino de
sistemas lineares
52
questões, atingindo a soma de
50
pontos no final. Já
Renato fez
5
questões certas na primeira prova, 8 na
segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de pontos de
Renato
?
Chamando de
x, y
e
z
,
respectivamente, os pesos da
primeira, segunda e terceira provas, as pontuações de
Jorge, Fernando e Marcos nos fornecem as equações:
6
x
+ 5
y
+ 4
z
= 47
3
x
+ 6
y
+ 6
z
= 54
2
x
+ 7
y
+ 5
z
= 50.
Com isso, determinamos
x, y
e
z
e, a partir daí, a nota
final de Renato.
Não é difícil imaginar muitas outras situações que
conduzem a sistemas de equações lineares como o acima. Os próprios
alunos podem ser solicitados a fornecer tais exemplos, sendo então levados
a concluir que os sistemas lineares não foram inventados apenas por
capricho dos professores.
Observações gerais
No que se segue, faremos referências ao sistema (
S
) abaixo:
a
1
x + b
1
y + c
1
z = d
1
(
S
)
a
2
x + b
2
y + c
2
z = d
2
a
3
x + b
3
y + c
3
z = d
3
Uma
solução
de (
S
) é um terno ordenado (
x, y, z
) de números reais
que, substituídos no primeiro membro de cada uma das equações acima,
torna-o igual ao segundo membro. Por exemplo, (2, 3, 5) é uma solução
do sistema do exemplo anterior e escreve-se
x
= 2,
y =
3,
z =
5.
O sistema (
S
) pode ter uma única solução, uma infinidade de soluções,
ou nenhuma solução. No primeiro caso, diz-se que o sistema é
determinado,
no segundo,
indeterminado
e, no terceiro,
impossível.
53
Os sistemas lineares obedecem ao princípio geral (e um tanto vago) de
que para determinar 3 números são necessárias 3 informações distintas
sobre esses números.
O sistema é indeterminado quando uma (ou duas) dessas informações
é (ou são) conseqüência(s) das demais. Por exemplo, se nos propusermos
a determinar
x
,
y
e
z
sabendo que
2
x
− 4
y +
6
z =
8,
x −
2
y
+ 3
z
= 4 e
3
x −
6
y
+ 9
z
= 12,
teremos aí um sistema indeterminado, pois na realidade nos é dada apenas
uma informação sobre esses números, a saber, que
x −
2
y +
3
z =
4. As
outras duas afirmações resultam desta.
A indeterminação significa que o problema expresso pelo sistema
(
S
)
possui infinitas soluções, cabendo-nos em cada caso escolher a
que melhor se adapta às nossas conveniências.
Já o sistema impossível ocorre quando as informações que nos são
fornecidas para calcular
x, y
e
z
são incompatíveis. Por exemplo, se uma
das equações do sistema é
x −
2
y
+ 3
z
= 4,
outra equação não pode ter a forma
2
x−
4
y
+ 6
z
= 7.
pois, multiplicando a primeira por 2 e subtraindo a segunda, chegaríamos
ao absurdo 0 = 1.
O sistema (
S
) pode ser encarado sob diversos pontos de vista. Essa
variedade de interpretações enriquece a gama de aplicações que tem seu
estudo e, por outro lado, permite a utilização de diferentes instrumentos
para resolvê-lo. A interpretação geométrica que apresentamos a seguir
têm nível elementar e estão ao alcance do aluno do ensino médio.
Interpretação geométrica
Cada solução (
x, y, z
)
do sistema (
S
) pode ser olhada como um ponto
P
do espaço tridimensional, dado por suas coordenadas cartesianas:
54
P
= (
x, y, z
)
.
Sob este ponto de vista, cada uma das equações do sistema
é a equação de um plano nesse espaço, e as soluções do sistema são os
pontos comuns a esses planos. Mais precisamente, se π
1
,
π
2
e π
3
são os
planos definidos pelas três equações de (
S
), então as soluções de (
S
) são
os pontos
P =
(
x
,
y
,
z
)
que pertencem à interseção
π
1
∩ π
2
∩ π
3
desses
planos.
Assim, por exemplo, se pelo menos dois desses planos são paralelos,
ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas, a
interseção
π
1
∩ π
2
∩ π
3
é
vazia e o sistema é impossível.
Noutro exemplo, podemos ter uma reta
r
formando uma espécie de
eixo, contido simultaneamente nos três planos.
Então
π
1
∩ π
2
∩ π
3
=
r
e o sistema é indeterminado: suas soluções
são os infinitos pontos de
r
. O sistema é determinado quando os três
planos se encontram num só ponto, como duas paredes adjacentes e o
teto.
Há ao todo 8 posições relativas possíveis para os planos π
1
,
π
2
e π
3
.
Quatro dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis; nas
outras quatro, o sistema tem solução. É importante observar que se
pode concluir em qual das 8 posições se encontram os planos de (
S
)
examinando os coeficientes
a
i
, b
i
, c
i
e
d
i
que nele aparecem. O leitor
interessado poderá verificar essa afirmação em textos de Álgebra Linear.
55
Adaptado do artigo de
Maria Cristina Costa Ferreira
Maria Laura Magalhães Gomes
Uma experiência
sobre o ensino de
sistemas lineares
O estudo dos sistemas lineares está sempre
presente nos programas de Matemática do
ensino médio. Entretanto, seu significado
geométrico, tratado no artigo
Sobre o ensino
de sistemas lineares
, pelo Prof. Elon Lages
Lima, é comumente deixado de lado.
Por meio de nossas observações e dos
depoimentos de alguns participantes de um
curso de aperfeiçoamento de professores,
pretendemos mostrar como a interpretação
geométrica pode contribuir para uma melhor
compreensão do estudo dos sistemas lineares.
Procuramos, a seguir, mostrar algumas
percepções dos professores durante a
e
x
periência do curso, com base nas
observações feitas em sala de aula e nos
trabalhos por eles apresentados.
A análise feita pelos professores
Dois aspectos destacaram-se: a inter-
pretação geométrica dos sistemas lineares
3× 3 e a opção a ser feita entre os métodos de
resolução desses sistemas − regra de Cramer
ou escalonamento? A seguir comentamos cada
um desses aspectos separadamente.
56
(1) Interpretação geométrica dos sistemas lineares 3 × 3
Segundo os professores, não é de fato usual interpretar
geometricamente os sistemas lineares 3 × 3, embora essa interpretação
seja, em geral, realizada para sistemas lineares de duas equações e
duas incógnitas, quando se faz seu estudo na 7
a
série do ensino funda-
mental. Nesse caso, cada equação do sistema
a
1
x
+ b
1
y
= c
1
a
2
x
+ b
2
y
= c
2
representa uma reta, e as posições relativas de duas retas no plano são:
(a) retas concorrentes;
(b) retas paralelas;
(c) retas coincidentes.
Nos casos (a), (b) e (c), o sistema possui solução única, não possui
solução ou possui infinitas soluções, respectivamente.
Já para sistemas lineares 3 × 3 da forma
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
z
=
d
1
(1)
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
z
=
d
2
(2)
a
3
x
+
b
3
y
+
c
3
z
=
d
3
(3)
as equações (1), (2), (3) representam planos π
1
, π
2
e
π
3
no espaço tridi-
mensional.
Entretanto, as possibilidades para as posições dos três planos são oito.
Quatro delas correspondem a sistemas impossíveis (nenhuma solução),
três, a sistemas indeterminados
(*)
(infinitas soluções), e uma, a sistemas
que têm uma única solução.
Os depoimentos abai
x
o mostram que essa abordagem geométrica torna
o assunto mais interessante e dá maior segurança para quem o ensina.
(*)
Nota
Embora esse seja o nome usual, na verdade o conjunto-solução desses sistemas
está completamente determinado, apesar de ter infinitos elementos.
57
Professor
A
“Trabalho com uma turma, do 2
o
ano do ensino
médio, muito interessada em estudar. Quando ia
introdu
z
ir Sistemas Lineares, fi
z
uma revisão de sistemas
do 1
o
grau com duas variáveis vistos na 7
a
série do ensino
fundamental. Os alunos fi
z
eram várias perguntas sobre
os tipos de solução. Fiz os gráficos das equações e
mostrei as retas paralelas, coincidentes e concorrentes para justificar as
soluções. Se não tivesse feito esse curso, teria ficado em ‘apuros’ com 3
variáveis e 3 equações. Eles também me perguntaram como representá-
los graficamente.”
Professor
B
“Estou sabendo fazer a interpretação geométrica dos problemas, e
isso me dei
x
a mais à vontade. Antigamente, sabia fa
z
er algebricamente,
mas ficava uma lacuna, um vazio, faltava a interpretação.”
Os comentários feitos podem ser sistemati
z
ados assim: ao associar um
plano a cada equação do sistema linear 3 × 3, a abordagem geométrica
permite distingüir tipos diferentes de sistemas indeterminados e impossíveis.
Analisando as possibilidades para as posições relativas de três planos no
espaço, os professores perceberam que:
1. No caso dos sistemas indeterminados, as infinitas soluções podem ser
os pontos de um plano ou de uma reta.
2. No caso dos sistemas impossíveis, a ine
x
istência de soluções pode
ocorrer de maneiras distintas: dois ou três planos podem ser paralelos
entre si ou os três planos podem se interceptar dois a dois, segundo
retas paralelas.
Ilustremos essas situações com alguns e
x
emplos.
Exemplo 1
O sistema
x
−
y
+
z
= 1 (1)
2
x
− 2
y
+ 2
z
= 2 (2)
3
x
− 3
y
+ 3
z
= 3 (3)
possui infinitas soluções, pois todos os ternos ordenados de números
reais da forma (
a, b
, 1
− a + b
) satisfazem as suas três equações. Vemos
imediatamente que cada equação pode ser obtida a partir de qualquer
58
outra, por meio da multiplicação por uma constante. Portanto,
geometricamente, (1), (2) e (3) representam o mesmo plano π, e as
infinitas soluções nesse caso são os pontos de π.
π
1
= π
2
= π
3
= π
Exemplo 2
O sistema
x
+
y
+
z
= 1 (1)
2
x
+ 2
y
+ 2
z
= 2 (2)
z
= 0 (3)
também possui infinitas soluções, já que os ternos ordenados do tipo
(
a
, 1 −
a
, 0), em que
a
é real, satisfa
z
em as três equações. Contudo, a
interpretação geométrica é diferente da do e
x
emplo 1.
De fato, (1) e (2) representam o mesmo plano π anterior, mas (3)
representa um outro plano, π
3
, que intersecta π, segundo a reta
r
. (No
espaço, dois planos não coincidentes e não paralelos têm como interseção
uma reta.) Ao fa
z
er
a
variar no conjunto dos números reais, obtemos
todos os pontos dessa reta.
π
1
= π
2
= π
π ∩ π
3
=
r
Os exemplos acima mostram duas possibilidades de “indeterminação”.
Vejamos agora dois exemplos distintos de sistemas impossíveis.
59
Exemplo 3
O sistema
x
+
y
+
z
= 0 (1)
x
+
y
+
z
= 1 (2)
x
+
y
+
z
= 2 (3)
claramente não possui solução.
A situação geométrica corresponde ao caso em que os três planos
π
1
, π
2
e π
3
são paralelos, já que não e
x
iste um terno ordenado real
(
x
,
y
,
z
) que satisfaça simultaneamente quaisquer duas dessas equações.
π
1
// π
2
// π
3
Exemplo 4
O sistema
2
x
− 3
y
+ 2
z
= 2 (1)
3
x
− 2
y
+ 4
z
= 2 (2)
4
x
−
y
+ 6
z
= 3 (3)
também não possui solução.
Uma maneira simples de verificarmos esse fato é, por exemplo,
somar as equações (1) e (3) e comparar o resultado com a equação (2).
Considerando agora os sistemas formados por (1) e (2), (1) e (3) e
por (2) e (3), podemos concluir que
π
1
∩ π
2
é uma reta
r
,
π
1
∩ π
3
é
uma reta
s
e
π
2
∩ π
3
é uma reta
t.
Verifiquemos que
r
,
s
e
t
são paralelas.
Os pontos de
r
satisfazem (1) e (2), logo não satisfazem (3), pois o
sistema é impossível. Portanto, temos
r
paralela a π
3
. Como
s
está contida
60
em π
3
, temos que
r
e
s
não se cortam; logo são paralelas, já que ambas
estão contidas em π
1
. De modo análogo, vemos que
s
é paralela a
t
.
Portanto, a interpretação geométrica do sistema é que os planos
representados por suas equações se intersectam dois a dois segundo três
retas paralelas.
π
1
∩ π
2
=
r
π
1
∩ π
3
=
s
π
2
∩ π
3
=
t r
//
s
//
t
Figura 4
2) Regra de Cramer × escalonamento
Os professores também demonstraram interesse na questão da
opção pelo método de resolução de sistemas lineares 3 × 3.
A regra de Cramer (Gabriel Cramer, 1704-1752) para resolver sistemas
lineares só pode ser aplicada no caso em que o determinante da matriz
dos coeficientes das incógnitas do sistema é não nulo. Essa situação
corresponde ao caso em que os três planos se intersectam num ponto e o
sistema tem solução única. Entretanto vários livros afirmam, erroneamente,
que um sistema que possui nulos todos os determinantes da regra de Cramer
é indeterminado.
Com relação à discussão sobre a utili
z
ação incorreta da regra de
Cramer, os professores também se manifestaram. Vários deles citaram
livros em que aparece a afirmativa acima e admitiram que já haviam
cometido tal erro ao ensinar. A interpretação geométrica dos sistemas
lineares possibilitou-lhes perceber claramente a falsidade dessa afirmativa
por meio de e
x
emplos que eles mesmos souberam construir. Vejamos um
desses exemplos.
61
Exemplo 5
O sistema
x
+
y
+
z
= 0 (1)
x
+
y
+
z
= 1 (2)
x
+
y
+
z
= 2 (3)
considerado no exemplo 3, claramente não possui solução (os três planos
são paralelos). Entretanto, os determinantes utilizados na regra de Cramer
são todos nulos, pois as matrizes possuem pelo menos duas colunas iguais.
A partir do curso, os professores passaram a dar mais ênfase ao
método de escalonamento, mais geral, tendo adotado essa prática em
suas salas de aula, como mostram os seguintes relatos.
Professor
C
“Este curso me ajudou muito, principalmente na resolução de
sistemas lineares 3 x 3, com os quais antes trabalhava, usando
determinantes e quando encontrava todos os determinantes iguais a
zero, classificava o sistema como indeterminado, cometendo o mesmo
erro de alguns autores. Após o curso passei a resolver sistemas com
meus alunos, usando o escalonamento. Tenho mais clare
z
a e segurança
ao abordar o assunto.”
Professor
D
“Apesar de não ter mencionado a resolução de sistemas por Cramer
quando Δ = 0, alguns alunos repetentes apresentaram soluções com a
teoria errada. A referência ao assunto que vi no curso ajudou-me a
perceber e a comentar o erro. Acredito que no pró
x
imo ano eu
apresentarei esse assunto de forma melhor.”
62
Conclusão
A associação dos sistemas lineares 3 × 3 com a Geometria Espacial
foi, como vimos, uma surpresa para os professores, que logo pensaram
um modo de adaptar tal interpretação à realidade da sala de aula.
Alguns ponderaram que, apesar do estudo de retas e planos no espaço
ser feito após o de sistemas lineares, é possível apresentar aos alunos a
associação geométrica, de maneira simples. Consideraram importante a
analogia com o estudo de sistemas lineares 2 × 2, que é feito no ensino
fundamental. Esse e
x
emplo é, a nosso ver, uma boa ilustração de como se
pode enriquecer o trabalho com a Matemática, evitando-se uma visão
compartimentada, presente muitas vezes entre os professores.
Gabriel Cramer
63
Capítulo 2
FF
FF
F
unçõesunções
unçõesunções
unções
65
Adaptado do artigo de
Catherine Herr Mulligan
Uso de polinômios
para surpreender
Introdução
Ao ensinar álgebra, tento apresentar a matéria
como relevante e útil, mas não creio que seja
necessário manter sempre as considerações de
“relevância” ligadas ao mundo real. A maioria
dos meus alunos continuará estudando
Matemática e tento ensinar-lhes que a álgebra é
um instrumento que se usa em Matemática
superior − uma linguagem comum e um meio de
comunicação. As aplicações ao mundo real são
importantes, mas também é bom que os alunos
vejam como se usa a álgebra para o bem da
Matemática.
A aritmética dos polinômios é uma boa área
para implementar essa filosofia. A manipulação
de expressões polinomiais é uma técnica
essencial; no entanto, como qualquer habilidade
que exige prática, pode tornar-se repetitiva e
monótona.
Uma coleção de alguns “fatos surpreendentes”
permite ao aluno “descobrir” e então demonstrar
esses fatos, usando a aritmética dos polinômios.
66
Alguns dos fatos envolvem “truques” para cálculo mental rápido, que
podem ser explicados, usando uma representação polinomial simples.
Nesta época de calculadoras, esses fenômenos são introduzidos, não
porque são rápidos, mas porque funcionam; os alunos são desafiados a
provar
por que
funcionam!
Fato Surpreendente 1
Se dois números de dois algarismos têm iguais os
algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades
somam
10
, pode-se calcular seu produto
instantaneamente.
Se os alunos me testam, com 77 × 73, por exemplo,
respondo instantaneamente 5621. Após mais um ou dois
exemplos, revelo meu
“truque”: multiplica-se o algarismo das
dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismos
serão, nessa ordem, os algarismos dos milhares e das centenas
da resposta. Acrescenta-se à direita de 56 o produto dos
algarismos das unidades, 7 × 3 ou 21, obtendo-se 5621.
Podemos aumentar a confiança no processo, aplicando-
o a vários outros casos, mas muitos exemplos não constituem
uma demonstração. Porém, se usarmos binômios para
representar os números a serem multiplicados, podemos dar
uma demonstração que independe dos exemplos escolhidos.
Represente por
a
o algarismo das dezenas dos dois números
considerados e por
b
o algarismo das unidades do primeiro número. Então
o algarismo das unidades do segundo número será 10 −
b.
Logo, 10
a
+
b é o
primeiro número e 10
a
+ (10 −
b),
o segundo
número. Seu produto é:
(10
a
+
b
) × (10
a
+ 10 −
b
)
= ...=
100
a
(
a
+ l) +
b
(10 −
b
)
.
Fato Surpreedente 2
Se você somar
1
ao produto de quatro inteiros consecutivos, o
resultado sempre será um quadrado perfeito.
67
Alguns exemplos levarão os alunos a suspeitar que essa afirmação é
sempre verdadeira. Poderemos anotar nossas observações no quadro-
negro assim:
1 × 2 × 3 × 4 +1 = 25 = 5
2
, 2 × 3 × 4 × 5 +1 = 121 = 11
2
,
97 × 98 × 99 × 100 + l = 94109401 = 9701
2
.
Para obter uma prova desse fato, vamos representar os inteiros
consecutivos por:
n, n+
l,
n+
2 e
n +
3.
Então
n
(
n
+ l )(
n
+ 2)(
n
+ 3) + l =
n
4
+ 6
n
3
+11
n
2
+
6
n +
1 (l)
Temos, agora, dois procedimentos possíveis.
Alguns alunos notarão que o quadrado perfeito, nos nossos exemplos
numéricos, é o quadrado de 1 mais o produto do primeiro pelo último
termo da seqüência (é também o quadrado de 1 menos o produto do
segundo pelo terceiro termo da seqüência). Poderemos observar, por
exemplo, que
4 × 5 × 6 × 7 + l
=
841 = 29
2
= (l + 4 × 7)
2
.
Expressando em polinômios, escrevemos
[1
+ n
(
n +
3)]
2
= n
4
+ 6
n
3
+ 11
n
2
+ 6
n
+1. (2)
Isso, além de confirmar que (1) é um quadrado perfeito,
também nos diz de que número é o quadrado perfeito.
Outra maneira de proceder é trabalhar diretamente a partir
de (1) e conjecturar que seria bom fatorar o segundo membro e
ver que ele é um quadrado perfeito. Esse quadrado teria, para
um
a
conveniente, a forma:
(
n
2
+ an +
l)
2
=
n
4
+
2
an
3
+
(2 +
a
2
)
n
2
+
2
an +
l. (3)
Igualando os coeficientes em (1) e (3), temos:
2
a
= 6 e 2 +
a
2
=
11, ou seja,
a
= 3.
68
Então,
n
4
+ 6
n
3
+
11
n
2
+
6
n +
l = (
n
2
+ 3
n +
l)
2
.
Fato Surpreendente 3
O quociente da divisão por
8
de um produto de quatro inteiros
positivos consecutivos é um número triangular.
Definimos número triangular como sendo um número da forma
para
n
um natural positivo.
Logo, esses números são:
l, 3, 6, 10, 15, 21, 28... fazendo
n =
l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
A razão do nome triangular é explicada pela figura:
Testamos o resultado no exemplo:
(3 × 4 × 5 × 6) ÷ 8
=
45 que é o número triangular para
n
= 9.
Para a prova do resultado, escrevemos o produto de quatro inteiros
consecutivos, dividido por 8, como:
Logo, temos um número triangular para , pois esse
número é um inteiro positivo; verificar isso é um exercício interessante
que deve ser proposto aos alunos.
69
Introdução
Operações de serviços disponíveis na Internet,
movimentações bancárias e outras transações
eletrônicas necessitam da criptografia para
comunicação confidencial de dados.
A palavra criptografia tem origem grega
(
kripto
= escondido, oculto;
grapho
= grafia) e
define a arte ou ciência de escrever mensagens
em códigos, de forma que somente pessoas
autorizadas possam decifrá-las. A criptografia é
tão antiga quanto a própria escrita; já estava
presente no sistema de escrita hieroglífica dos
egípcios e os romanos utilizavam códigos secretos
para comunicar planos de batalha. Contudo,
desde aquele tempo, seu princípio básico continua
o mesmo: encontrar uma transformação (função)
injetiva
f
entre um conjunto de mensagens
escritas em um determinado alfabeto (de letras,
números ou outros símbolos) para um conjunto
de mensagens codificadas. O fato de
f
ser
inversível é a garantia de o processo ser reversível
e as mensagens poderem ser reveladas pelos
receptores.
Adaptado do artigo de
Antonio Carlos Tamarozzi
Codificando e
decifrando mensagens
70
O grande desafio de um processo criptográfico, portanto, está em
ocultar eficientemente os mecanismos (chaves) para a inversão de
f
, de
modo que estranhos não possam fazê-lo.
Emissor Receptor
Descreveremos aqui dois exemplos elementares de processos
criptográficos, sendo o primeiro acessível inclusive para alunos do ensino
fundamental. Acreditamos que possam constituir material útil para
exercícios, como também para atividades e jogos de codificação. O
professor pode dispor deles para fixação de conteúdos matemáticos
associados, como por exemplos: funções e matrizes.
Inicialmente, relacionamos números ao alfabeto (o símbolo # representa
um espaço em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:
# A B ... J K L ... V W X Y Z
0 1 2 ... 10 11 12 ... 22 23 24 25 26
Portanto, cifrar uma mensagem recai no problema de permutar números
por meio de uma regra
f
. Pode-se fazer isso, de forma
muito prática, por exemplo, através das funções afins
f
(
x
) =
ax
+
b
, com
a
,
b
inteiros,
a
≠ 0, definidas no
conjunto {0, 1,..., 26}.
Suponhamos que Ana e Ivo desejem trocar mensagens
sigilosas utilizando o alfabeto escolhido. O primeiro passo
a tomarem é definirem a função cifradora, digamos
f
(
x
) = 2
x
− 3.
Assim, por exemplo, à mensagem
R E V I S T A R P MR E V I S T A R P M
R E V I S T A R P MR E V I S T A R P M
R E V I S T A R P M
Ana associa a seqüência numérica
18 5 22 9 19 20 1 0 18 16 13
Mensagem original Mensagem codificada Mensagem original
71
mas transmite a Ivo a seqüência numérica obtida pelas imagens de
f
, isto
é,
33 7 41 15 35 37 −1 −3 33 29 23.
Ao recebê-la, Ivo, calculando a imagem da função inversa de
nessa seqüência e utilizando a correspondência alfabeto-
numérica, obtém a mensagem original, pois:
fRfM
−−
=
+
== =
+
==
11
33
33 3
2
18 23
23 3
2
13() , , () .K
.
Depois de os alunos dominarem o processo, seria oportuno que o
professor propusesse situações em que um intruso tente decifrar mensagens
apoderando-se das seqüências numéricas codificadas. Como estamos
utilizando funções afins, para tanto é suficiente apenas duas associações
corretas entre números das seqüências original e codificada. Admitindo
conhecidas essas associações, é um exercício interessante para os alunos
determinarem
f
.
O segundo método criptográfico que apresentaremos utiliza matrizes
invertíveis como chaves, o que dificulta um pouco mais sua violação.
Suponhamos que Ana e Ivo combinem previamente utilizar a matriz
e sua inversa como chaves. Para transmitir
a mesma mensagem acima, Ana inicialmente monta uma matriz mensagem
M
dispondo a seqüência numérica associada em colunas e completa a
posição restante com 0, ou seja, obtém
Em seguida, codifica-a calculando,
72
e transmite a seqüência 64 23 84 31 97 39 3 1 86 34 39 13. Para ler a
mensagem recebida, Ivo, da mesma forma, restaura a forma matricial
AM
,
e em seguida, com sua chave
A
−1
, pode recuperar
M
através da
identidade matricial,
Como já frisamos, os métodos tratados neste trabalho tem apenas
caráter instrutivo. Na prática atual tais processos são pouco utilizados
pela inconveniência de exigirem trocas prévias de chaves entre os usuários.
Portanto, são inviáveis na descrição de transações eletrônicas nas quais
um único receptor recebe dados de milhares de emissores, como ocorre
em vendas pela Internet, transações bancárias e outras. Mesmo nesses
casos mais complexos, a Matemática resolveu a trama, e desta vez, quem
diria, o ramo da Teoria dos Números.
63
Capítulo 2
FF
FF
F
unçõesunções
unçõesunções
unções
65
Adaptado do artigo de
Catherine Herr Mulligan
Uso de polinômios
para surpreender
Introdução
Ao ensinar álgebra, tento apresentar a matéria
como relevante e útil, mas não creio que seja
necessário manter sempre as considerações de
“relevância” ligadas ao mundo real. A maioria
dos meus alunos continuará estudando
Matemática e tento ensinar-lhes que a álgebra é
um instrumento que se usa em Matemática
superior − uma linguagem comum e um meio de
comunicação. As aplicações ao mundo real são
importantes, mas também é bom que os alunos
vejam como se usa a álgebra para o bem da
Matemática.
A aritmética dos polinômios é uma boa área
para implementar essa filosofia. A manipulação
de expressões polinomiais é uma técnica
essencial; no entanto, como qualquer habilidade
que exige prática, pode tornar-se repetitiva e
monótona.
Uma coleção de alguns “fatos surpreendentes”
permite ao aluno “descobrir” e então demonstrar
esses fatos, usando a aritmética dos polinômios.
66
Alguns dos fatos envolvem “truques” para cálculo mental rápido, que
podem ser explicados, usando uma representação polinomial simples.
Nesta época de calculadoras, esses fenômenos são introduzidos, não
porque são rápidos, mas porque funcionam; os alunos são desafiados a
provar
por que
funcionam!
Fato Surpreendente 1
Se dois números de dois algarismos têm iguais os
algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades
somam
10
, pode-se calcular seu produto
instantaneamente.
Se os alunos me testam, com 77 × 73, por exemplo,
respondo instantaneamente 5621. Após mais um ou dois
exemplos, revelo meu
“truque”: multiplica-se o algarismo das
dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismos
serão, nessa ordem, os algarismos dos milhares e das centenas
da resposta. Acrescenta-se à direita de 56 o produto dos
algarismos das unidades, 7 × 3 ou 21, obtendo-se 5621.
Podemos aumentar a confiança no processo, aplicando-
o a vários outros casos, mas muitos exemplos não constituem
uma demonstração. Porém, se usarmos binômios para
representar os números a serem multiplicados, podemos dar
uma demonstração que independe dos exemplos escolhidos.
Represente por
a
o algarismo das dezenas dos dois números
considerados e por
b
o algarismo das unidades do primeiro número. Então
o algarismo das unidades do segundo número será 10 −
b.
Logo, 10
a
+
b é o
primeiro número e 10
a
+ (10 −
b),
o segundo
número. Seu produto é:
(10
a
+
b
) × (10
a
+ 10 −
b
)
= ...=
100
a
(
a
+ l) +
b
(10 −
b
)
.
Fato Surpreedente 2
Se você somar
1
ao produto de quatro inteiros consecutivos, o
resultado sempre será um quadrado perfeito.
67
Alguns exemplos levarão os alunos a suspeitar que essa afirmação é
sempre verdadeira. Poderemos anotar nossas observações no quadro-
negro assim:
1 × 2 × 3 × 4 +1 = 25 = 5
2
, 2 × 3 × 4 × 5 +1 = 121 = 11
2
,
97 × 98 × 99 × 100 + l = 94109401 = 9701
2
.
Para obter uma prova desse fato, vamos representar os inteiros
consecutivos por:
n, n+
l,
n+
2 e
n +
3.
Então
n
(
n
+ l )(
n
+ 2)(
n
+ 3) + l =
n
4
+ 6
n
3
+11
n
2
+
6
n +
1 (l)
Temos, agora, dois procedimentos possíveis.
Alguns alunos notarão que o quadrado perfeito, nos nossos exemplos
numéricos, é o quadrado de 1 mais o produto do primeiro pelo último
termo da seqüência (é também o quadrado de 1 menos o produto do
segundo pelo terceiro termo da seqüência). Poderemos observar, por
exemplo, que
4 × 5 × 6 × 7 + l
=
841 = 29
2
= (l + 4 × 7)
2
.
Expressando em polinômios, escrevemos
[1
+ n
(
n +
3)]
2
= n
4
+ 6
n
3
+ 11
n
2
+ 6
n
+1. (2)
Isso, além de confirmar que (1) é um quadrado perfeito,
também nos diz de que número é o quadrado perfeito.
Outra maneira de proceder é trabalhar diretamente a partir
de (1) e conjecturar que seria bom fatorar o segundo membro e
ver que ele é um quadrado perfeito. Esse quadrado teria, para
um
a
conveniente, a forma:
(
n
2
+ an +
l)
2
=
n
4
+
2
an
3
+
(2 +
a
2
)
n
2
+
2
an +
l. (3)
Igualando os coeficientes em (1) e (3), temos:
2
a
= 6 e 2 +
a
2
=
11, ou seja,
a
= 3.
68
Então,
n
4
+ 6
n
3
+
11
n
2
+
6
n +
l = (
n
2
+ 3
n +
l)
2
.
Fato Surpreendente 3
O quociente da divisão por
8
de um produto de quatro inteiros
positivos consecutivos é um número triangular.
Definimos número triangular como sendo um número da forma
para
n
um natural positivo.
Logo, esses números são:
l, 3, 6, 10, 15, 21, 28... fazendo
n =
l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
A razão do nome triangular é explicada pela figura:
Testamos o resultado no exemplo:
(3 × 4 × 5 × 6) ÷ 8
=
45 que é o número triangular para
n
= 9.
Para a prova do resultado, escrevemos o produto de quatro inteiros
consecutivos, dividido por 8, como:
Logo, temos um número triangular para , pois esse
número é um inteiro positivo; verificar isso é um exercício interessante
que deve ser proposto aos alunos.
69
Introdução
Operações de serviços disponíveis na Internet,
movimentações bancárias e outras transações
eletrônicas necessitam da criptografia para
comunicação confidencial de dados.
A palavra criptografia tem origem grega
(
kripto
= escondido, oculto;
grapho
= grafia) e
define a arte ou ciência de escrever mensagens
em códigos, de forma que somente pessoas
autorizadas possam decifrá-las. A criptografia é
tão antiga quanto a própria escrita; já estava
presente no sistema de escrita hieroglífica dos
egípcios e os romanos utilizavam códigos secretos
para comunicar planos de batalha. Contudo,
desde aquele tempo, seu princípio básico continua
o mesmo: encontrar uma transformação (função)
injetiva
f
entre um conjunto de mensagens
escritas em um determinado alfabeto (de letras,
números ou outros símbolos) para um conjunto
de mensagens codificadas. O fato de
f
ser
inversível é a garantia de o processo ser reversível
e as mensagens poderem ser reveladas pelos
receptores.
Adaptado do artigo de
Antonio Carlos Tamarozzi
Codificando e
decifrando mensagens
70
O grande desafio de um processo criptográfico, portanto, está em
ocultar eficientemente os mecanismos (chaves) para a inversão de
f
, de
modo que estranhos não possam fazê-lo.
Emissor Receptor
Descreveremos aqui dois exemplos elementares de processos
criptográficos, sendo o primeiro acessível inclusive para alunos do ensino
fundamental. Acreditamos que possam constituir material útil para
exercícios, como também para atividades e jogos de codificação. O
professor pode dispor deles para fixação de conteúdos matemáticos
associados, como por exemplos: funções e matrizes.
Inicialmente, relacionamos números ao alfabeto (o símbolo # representa
um espaço em branco) que vamos utilizar nos modelos. Assim:
# A B ... J K L ... V W X Y Z
0 1 2 ... 10 11 12 ... 22 23 24 25 26
Portanto, cifrar uma mensagem recai no problema de permutar números
por meio de uma regra
f
. Pode-se fazer isso, de forma
muito prática, por exemplo, através das funções afins
f
(
x
) =
ax
+
b
, com
a
,
b
inteiros,
a
≠ 0, definidas no
conjunto {0, 1,..., 26}.
Suponhamos que Ana e Ivo desejem trocar mensagens
sigilosas utilizando o alfabeto escolhido. O primeiro passo
a tomarem é definirem a função cifradora, digamos
f
(
x
) = 2
x
− 3.
Assim, por exemplo, à mensagem
R E V I S T A R P MR E V I S T A R P M
R E V I S T A R P MR E V I S T A R P M
R E V I S T A R P M
Ana associa a seqüência numérica
18 5 22 9 19 20 1 0 18 16 13
Mensagem original Mensagem codificada Mensagem original
71
mas transmite a Ivo a seqüência numérica obtida pelas imagens de
f
, isto
é,
33 7 41 15 35 37 −1 −3 33 29 23.
Ao recebê-la, Ivo, calculando a imagem da função inversa de
nessa seqüência e utilizando a correspondência alfabeto-
numérica, obtém a mensagem original, pois:
fRfM
−−
=
+
== =
+
==
11
33
33 3
2
18 23
23 3
2
13() , , () .K
.
Depois de os alunos dominarem o processo, seria oportuno que o
professor propusesse situações em que um intruso tente decifrar mensagens
apoderando-se das seqüências numéricas codificadas. Como estamos
utilizando funções afins, para tanto é suficiente apenas duas associações
corretas entre números das seqüências original e codificada. Admitindo
conhecidas essas associações, é um exercício interessante para os alunos
determinarem
f
.
O segundo método criptográfico que apresentaremos utiliza matrizes
invertíveis como chaves, o que dificulta um pouco mais sua violação.
Suponhamos que Ana e Ivo combinem previamente utilizar a matriz
e sua inversa como chaves. Para transmitir
a mesma mensagem acima, Ana inicialmente monta uma matriz mensagem
M
dispondo a seqüência numérica associada em colunas e completa a
posição restante com 0, ou seja, obtém
Em seguida, codifica-a calculando,
72
e transmite a seqüência 64 23 84 31 97 39 3 1 86 34 39 13. Para ler a
mensagem recebida, Ivo, da mesma forma, restaura a forma matricial
AM
,
e em seguida, com sua chave
A
−1
, pode recuperar
M
através da
identidade matricial,
Como já frisamos, os métodos tratados neste trabalho tem apenas
caráter instrutivo. Na prática atual tais processos são pouco utilizados
pela inconveniência de exigirem trocas prévias de chaves entre os usuários.
Portanto, são inviáveis na descrição de transações eletrônicas nas quais
um único receptor recebe dados de milhares de emissores, como ocorre
em vendas pela Internet, transações bancárias e outras. Mesmo nesses
casos mais complexos, a Matemática resolveu a trama, e desta vez, quem
diria, o ramo da Teoria dos Números.
73
Este problema foi-me apresentado por um
torneiro mecânico, que desejava fazer 6
furos na base de uma peça de forma
cilíndrica. A peça ficaria como indicado na
figura ao lado.
O diâmetro da base media 120
mm
e
os furos deveriam distribuir-se igualmente
sobre uma circunferência imaginária de
diâmetro 100
mm.
O problema pode ser resolvido
graficamente com simplicidade, usando-se
um compasso. Entretanto, o torneiro
dispunha apenas de um outro instrumento
que ele chamou de
altímetro.
Vou
apresentá-lo esquematicamente. O
altímetro é constituído por uma barra
milimetrada fixada à peça uma régua que
desliza perpendicularmene à barra.
Adaptado do artigo de
Pedro Firmino da Silva
Trigonometria na
oficina mecânica
74
Para resolver o problema, primeiro desenhamos, com a régua móvel,
um diâmetro da base. Sobre ele marcamos os centros dos dois primeiros
furos, que ficarão afastados de 100
mm.
Imaginemos o problema resolvido. Seja
r
a reta que contém o diâmetro.
Com a divisão da circunferência em 6 partes iguais, obtemos ângulos
centrais de 60°. As retas
s
e
t
são paralelas à reta
r
, e suas distâncias
a ela são iguais a
d
= 50 × sen60
o
≅ 43 mm.
Desse modo, com a régua móvel, desenhamos as retas
s
e
t
, sobre as
quais estarão os outros quatro furos.
A régua móvel, sempre
perpendicular à barra fixa, executa
um movimento de translação. Como
não é possível transladar a barra (que
é fixa), giramos o altímetro de 90°,
colocando a barra sobre o diâmetro
desenhado.
Outra vez, imaginemos o
problema resolvido. A distância
e
é
dada por:
e =
50 ×
sen
30° = 25
mm.
Assim, deslocando a régua móvel, marcamos os centros dos outros
quatro furos.
75
Logaritmos
Vamos aqui expor partes adaptadas de alguns textos
publicados na
RPM
que apresentam aplicações
interessantes e motivadoras dos logaritmos.
Adaptado do artigo de
Geraldo Ávila
O jogo de xadrez
Segundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez
foi inventado na Índia para agradar a um
soberano, como passatempo que o ajudasse
a esquecer os aborrecimentos que tivera com
uma desastrada batalha. Encantado com o
invento, o soberano, rei Shirham, quis
recompensar seu súdito Sissa Ben Dahir, o
inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa que
lhe fizesse um pedido, que ele, rei Shirham, o
atenderia prontamente. Sissa disse,
simplesmente:
− Bondoso rei, dê-me então um grão de
trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela
segunda casa, quatro (= 2
2
) pela terceira,
oito (= 2
3
) pela quarta, e assim por diante,
até 2
63
grãos de trigo pela última casa do
tabuleiro, isto é, a 64
a
casa.
O rei achou esse pedido demasiado
modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse
a Sissa:
76
Pérolas
− Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos
de trigo. Eu desejava cumular-te de muitas riquezas − palácios, servos e
tesouros de ouro e prata.
Como Sissa insistisse em seu pedido original, o rei ordenou a seus
auxiliares e criados que tratassem de satisfazê-lo. 0 administrador do
palácio real mandou que um dos servos buscasse um balde de trigo e
fizesse logo a contagem. Um balde com cerca de 5 kg de trigo contém
aproximadamente 115 000 grãos (como o leitor pode verificar, fazendo,
ele mesmo, a contagem...); foi o suficiente para
chegar à 16
a
casa do tabuleiro, mas não além,
pois (veja o quadro logo abaixo)
1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+
. . .
+ 2
15
= 2
16
− 1 = 65 535,
enquanto, para chegar à 17
a
casa seriam
necessários
1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+
. . .
+ 2
16
= 2
17
1 = 131 071
grãos de trigo.
Lembremos a fórmula que fornece a soma dos termos de uma
progressão geométrica. Dado qualquer número
q
≠
1, chamado
razão
da
progressão,
e
n
um inteiro positivo arbitrário, temos
S =
1 +
q + q
2
+
q
3
+
. . .
+
q
n
e observamos que
qS = q + q
2
+
q
3
+
q
4
+
. . .
+
q
n+
1
.
Portanto, subtraindo a primeira dessas igualdades da segunda,
obtemos
qS
−
S
=
q
n
+1
− 1, donde
que é a fórmula da soma que está sendo usada nos cálculos.
77
“Traga logo um saco inteiro” (60 kg, aproximadamente 1 380 000
grãos) − ordenou o administrador a um dos servos −, “depois você leva
de volta o que sobrar”.
Ao mesmo tempo providenciou a vinda de mais uma dezena de
contadores de trigo para ajudar na tarefa, que se tornava mais e mais
trabalhosa.
O administrador, os servos e os contadores já haviam terminado com
10 sacos de trigo (= 10 × 1 380 000 = 13 800 000 de grãos) e mal
haviam passado da 23
a
casa do tabuleiro, visto que
1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
22
= 2
23
− 1 = 8 388 607 e
1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
23
= 2
24
− 1 = 16 777 215.
A essa altura o rei foi notificado do que estava acontecendo e alertado
de que as reservas do celeiro real estavam sob séria ameaça. Insistindo,
porém, em atender ao pedido de seu súdito, ordenou que o trabalho
continuasse. Mandou convocar mais servos e mais contadores; ao mesmo
tempo, mandou chamar os melhores calculistas do reino para uma avaliação
do problema. Esses vieram e, cientes do que se passava, debruçaram-se
nos cálculos. Em menos de uma hora de trabalho, puderam esclarecer o
rei de que não havia trigo suficiente em seu reino para atender ao pedido
de Sissa. Mais do que isso, em todo o mundo conhecido na época não
havia trigo suficiente para atender àquele pedido!
No tempo em que isso aconteceu, pensava-se que o mundo fora criado
havia menos de 5 000 anos. Assim, os calculistas do rei puderam dizer-
lhe que nem mesmo toda a produção mundial de trigo, desde a criação do
mundo, seria suficiente para atender ao pedido de Sissa, que resultava:
1 + 2 + 2
2
+ ... + 2
63
= (2
64
− 1) grãos.
Como calcular 2
64
?
Hoje em dia é muito fácil calcular um número como 2
64
, valendo-se de
um dos vários programas implementados em computador. Usando, por
exemplo, o programa MATHEMATICA, os cálculos ficam extremamente
78
simples, cada um levando apenas uma fração de segundo para ser
executado e chegamos a 2
64
= 18 446 744 073 709 551 615.
Mas, e quando não havia computador? Bem, se fosse há uns 300
anos, eles poderiam recorrer aos logaritmos.
Para efetuar cálculos com a ajuda dos logaritmos, primeiro é
preciso dispor de uma tábua (ou tabela) dos logaritmos dos números num
certo intervalo. Por exemplo, uma tábua dos logaritmos decimais dos
números inteiros de 1 a 10 000 já é suficiente para muitos cálculos. A
título de ilustração, tentemos calcular o número 2
64
.
Consultando uma tábua (de logaritmos decimais), encontramos
log2 ≈ 0,30103, de sorte que
log2
64
= 64 × log2 ≈ 64 × 0,30103 = 19,26592.
Este cálculo já é suficiente para sabermos que 2
64
está compreendido
entre 10
19
e 10
20
, pois seu logaritmo é maior do que 19 e menor do que
20, o que já é uma boa informação.
O logaritmo de um número pode sempre ser escrito como a soma de
um inteiro − chamado
característica
− e uma parte decimal
m
tal que
0 ≤
m
< 1, chamada
mantissa.
No caso do número a calcular, 19 é a
característica e 0,26592 é a mantissa de seu logaritmo. As tábuas só dão
as mantissas. Mas, ao consultarmos uma tábua, nem sempre encontramos,
na coluna dos logaritmos, a mantissa desejada. No caso concreto que
estamos considerando, ao consultar a tábua, verificamos que o logaritmo
0,26592 está compreendido entre dois outros que lá se encontram; mais
precisamente,
log 1,844 = 0,26576 e log 1,845 = 0,26600.
A partir daqui, fazemos uma interpolação para determinar o número
que tem 0,26592 como logaritmo.
Encontramos
0,26592 ≈ log 1,844666...,
donde, log (1,844666... × 10
19
) ≈ 19,26592; e daqui segue que
2
64
≈ 1,844666... × 10
19
≈ 18446666666666666666.
79
Os quadrados que cobrem o Brasil
“Quantos quadrados são necessários para “cobrir” o Brasil, supondo
o processo indicado na figura com
a
= 8.000 km e o lado do primeiro
quadrado igual a 1 cm?”
Aqui deixo que os alunos estimem o
resultado e suas estimativas são muito
acima do resultado correto (que é menor
do que a intuição indica).
Os alunos devem chegar ao resultado
por tentativas:
1
o
quadrado → 1 cm de lado,
3
o
quadrado → 2 cm de lado,
5
o
quadrado → 4 cm de lado,
............................................
59
o
quadrado → 536.870.912 cm (= 2
29
)
61
o
quadrado → 1.073.741.824 cm (= 2
30
)
Logo o 61
o
quadrado já tem lado maior que 800.000.000 cm que é
igual 8.000 km.
Como uma calculadora, sem função exponencial, não resolve o
problema, temos uma motivação para tentar obter uma solução rápida e
Comparando este valor aproximado com o valor exato calculado
anteriormente, verificamos que o erro relativo é inferior a 10
−5
; portanto,
o valor aproximado é muito bom.
Adaptado do artigo de
Renato Fraenkel
80
fácil (associo essa procura às biografias de grandes astrônomos e físicos
que passaram vidas inteiras fazendo cálculos para obterem seus resultados)
utilizando os logaritmos:
Se
n
é ímpar da forma
n
= 2
k
+ 1, então o n-ésimo quadrado tem
cm de lado e queremos
n
de modo que cm,
logo
ou
o que implica
de onde obtemos
n
aproximadamente igual a 60,6.
A regra dos 70
Adaptado do artigo de
Antonio Carlos Gilli Martins
Dias atrás presenciei uma conversa, na qual um cliente perguntava ao
gerente de um banco, quanto tempo levaria para duplicar uma quantia a
ser aplicada a uma taxa de
i
% ao mês. O gerente respondeu que esse
tempo
d
é obtido, de forma aproximada, por
d
= 70/
i
anos. Por exemplo,
se a taxa de juros é de 14% ao ano, o tempo de duplicação é de
aproximadamente 70/14 = 5 anos. Já a uma taxa de 6% ao ano, o tempo
de duplicação é de aproximadamente 70/6 ≈ 11,7 anos.
Eu, muito curioso, pedi ao gerente uma explicação para o cálculo, e
ele me disse que “era uma regra usada em finanças, conhecida como a
regra dos 70”. O porquê do 70 ele não sabia, mas dava certo.
log log( ),2810
1
2
8
n−
=×
81
Regra dos 70
Para calcular o tempo aproximado de duplicação de um
investimento, divida
70
pela taxa percentual anual de juros.
Vamos justificar o cálculo do gerente. Para isso, usaremos a função
logaritmo natural de
x
,
x >
0, denotada por ln(
x
), que pode ser definida
como sendo a função inversa da exponencial
e
x
.
Logo, “o
logaritmo natural
de
x
é a potência de
e
necessária para
se obter
x
”, isto é,
y
= ln(
x
) ⇔
x
=
e
y
.
Precisamos de uma forma prática para calcular o valor numérico do
logaritmo, mesmo que aproximado. Podemos usar a expressão a seguir
que pode ser encontrada em textos de Cálculo Diferencial e Integral:
Tal expressão, conhecida como a série de Taylor da função ln(1 +
x
),
permite a aproximação ln(1 +
x
) ≈
x
para valores de
x
positivos e
próximos de 0.
Podemos também perceber essa aproximação graficamente:
Os gráficos das funções
y
= ln(
x
),
y
= ln(1 +
x
) e
y
=
x
, fornecem
uma justificativa gráfica para a aproximação ln(1 +
x
) ≈
x
.
Voltemos à regra dos 70.
82
Um capital
C
, aplicado à taxa anual de
i
%, transforma-
se, após 1 ano, em
Após dois anos teremos
De forma geral, após
t
anos teremos .
Logo, o tempo
d
necessário para duplicação do capital é obtido da
equação:
que implica
Usando a aproximação mencionada para o cálculo de tem-
se , e sendo ln(2) ≈ 0,70, podemos escrever
como estabelecido na regra dos 70.
Na verdade, a regra dos 70 vale sempre que houver um crescimento
exponencial (como em ), com taxa de crescimento
83
relativamente pequena. Por exemplo, se a taxa de crescimento da população
de um país é de 3,5% ao ano, então a população dobrará em
aproximadamente
anos.
A regra também vale para estimar a meia-vida de uma quantidade
Q
,
que decai exponencialmente com taxa de decrescimento de
i
% ao ano.
Após
t
anos, o valor da quantidade será
A meia-vida é o valor
t
tal que o que implica
ou e,
então, pois para valores pequenos de
x
, vale a
aproximação ln(1 –
x
) ≈ −
x
.
84
Vamos discutir um pouco sobre o ensino de
funções, tendo em vista que este tópico se
apresenta tardiamente nos currículos de
Matemática. Assim, o estudante só tem acesso
à representação gráfica no final do ensino
fundamental, encontrando grande dificuldade na
interpretação de gráficos.
No entanto, este instrumento rico em
possibilidades de abordagens e colocações
pode ser explorado já nas primeiras séries do
ensino fundamental, com o objetivo de
familiarizar o aluno com a interpretação de
gráficos e o conceito de função.
Na verdade, qual é o conceito de função
que esperamos passar aos nossos alunos?
Função é uma lei ou associação entre dois
conjuntos, que a cada elemento do primeiro
conjunto associa um único elemento do outro.
Intuitivamente, uma função é uma espécie de
máquina na qual colocamos um certo dado (o
Adaptado do artigo de
Katia Cristina Stocco Smole
Marília Ramos Centurión
Maria Ignez de S. Vieira Diniz
A interpretação
gráfica e o ensino
de funções
85
elemento do primeiro conjunto) e ela atua sobre este dado e nos dá uma
resposta que depende dele (elemento do segundo conjunto).
Tendo isso em mente, as atividades em sala de aula podem ser
orientadas no sentido de assegurar a apropriação do aluno desses
conhecimentos, antes do estudo de funções, como se encontra nos atuais
livros didáticos.
Nossa sugestão é, a partir de problemas concretos e interessantes,
construir e interpretar tabelas e gráficos, sendo que as situações
apresentadas devem sempre se reportar ao universo mais próximo do
aluno.
O trabalho com gráficos, quando introduzido nas primeiras séries
escolares, se presta como instrumento complementar das atividades de
classificação, ordenação e visualização das operações aritméticas simples.
As atividades que proporemos a seguir baseiam-se no princípio de
que, para aprender eficazmente, a criança precisa participar dos
acontecimentos, em vez de ser apenas expectadora, pois a experimentação
pode fornecer oportunidades para a descoberta e a formulação de leis e
propriedades.
Atividade 1
São dados seis cartões coloridos, dois de cada uma das cores: vermelho,
azul e amarelo. Vamos estabelecer um modelo gráfico para representar a
seguinte associação:
O que se espera obter é um gráfico semelhante a:
86
Atividade 2
Utilizando como material blocos lógicos (ou outro material similar),
vamos estabelecer com a classe o uso de um sistema gráfico para a
representação da seguinte associação entre os blocos: a cada bloco
associamos outro semelhante em todas as características mas de tamanho
diferente.
Teremos um gráfico como o que segue:
Nestas duas atividades, estamos utilizando materiais comumente
empregados nas primeiras séries do ensino fundamental para trabalhar
com classificação e agrupamento. O fato novo introduzido é aquele que
leva o aluno a estabelecer o registro de suas observações, em forma de
tabelas e gráficos.
Atividade 3
Propor a seguinte situação:
Considerando que todos os alunos
tomam sorvete e que, no entanto, nem todos gostam do mesmo sabor,
87
como deverá o sorveteiro organizar um estoque de sorvetes de modo
a agradar a todos
?
Com base nesse questionamento, o aluno deverá realizar uma pesquisa
de preferência de sabores entre os colegas (a consulta pode se restringir a
algumas classes da escola), fazer a tabulação dos dados e a confecção de
um gráfico de barras ou colunas. É interessante notar que os gráficos de
barras e colunas devem ser utilizados nas aulas de Matemática, não só
para que o aluno entenda este tipo de gráfico, muito usado nos meios de
comunicação, mas para que o tenha também como um instrumento a mais
para alcançar o conceito de função, já que, tradicionalmente, o professor
se restringe apenas às retas e parábolas. Mas, continuando, suponhamos
que, após a tabulação, apareça um gráfico semelhante ao desenhado
abaixo:
O aluno poderá, então, formular uma hipótese e compará-la à forma
como o sorveteiro efetivamente organiza seu estoque.
Atividade 4
Após o estudo das primeiras operações, podemos sugerir as
representações das seguintes “máquinas” atuando sobre números naturais:
Observando os resultados obtidos ao introduzirmos alguns números,
esperamos chegar aos seguintes gráficos, que são exemplos de funções
crescentes:
88
Nesta atividade, ao contrário das anteriores, passa a ser conveniente
uma ordenação nos
dois eixos
para que possamos visualizar o
comportamento das funções. Uma outra coisa interessante é que, por ser
N
o conjunto utilizado, a representação é feita apenas por pontos, mas
estes podem ser unidos para ajudar a visualizar o crescimento das funções.
Observe que, propositalmente, foram usadas escalas diferentes nos dois
eixos.
Atividade 5
Determinar os gráficos das leis
que a cada número natural
n
associam
mdc
(2
, n
)
,
ou
mdc
(5,
n
),
explorando o conceito de função
periódica.
Atividade 6
Feito o estudo de área e perímetro do quadrado, podemos propor
que, com base no quadrado
de lado 1 unidade, o aluno
construa a tabela ao lado.
89
Pronta a tabela, a próxima etapa é representar
ambos os valores da área e do perímetro para
cada valor do lado, num mesmo par de eixos.
Unindo os pontos obtidos, teremos um
gráfico comparativo da evolução do perímetro
e da área de um quadrado, com base na medida
de seu lado.
Podemos colocar as seguintes questões:
• O que é maior: a área ou o perímetro de um
quadrado?
• Observando o ponto
O,
que conclusões podemos tirar?
Atividade 7
Observando o gráfico, responda:
1. Do que trata o gráfico?
2. De 1970 a 1990 o desmatamento em Rondônia aumentou ou diminuiu?
3. Qual a porcentagem aproximada da área desmatada entre 1980 e
1985?
4. Se tudo continuar assim, em 1990 qual será, aproximadamente, a
porcentagem da área desmatada?
5. Em que ano a área desmatada atingiu 10%?
6. Por que entre 1970 e 1975 o gráfico está tão
próximo à linha onde estão marcados os anos?
7. Qual o valor máximo que a porcentagem da área
desmatada poderá atingir?
90
Há situações concretas das quais o professor
pode extrair, de maneira espontânea e natural,
conceitos importantes e muito úteis como os de
variável
e
função.
Ilustraremos isso com um
exemplo concreto bem simples e que, quando
examinado do ponto de vista da
variabilidade
das grandezas envolvidas, dá margem a
conclusões interessantes e relevantes nas
aplicações.
Um problema de freagem
Comecemos com a formulação de uma
questão simples:
Um automóvel, a 30 km/h, é freado e pára
depois de percorrer mais 8 metros. Se freado
a 60 km/h, quantos metros percorrerá até
parar?
Se proposto dessa maneira, o aluno poderá
pensar que as grandezas aí envolvidas −
velocidade
V
e a distância
D
percorrida até
parar − são diretamente proporcionais e achar
que a resposta é 16
m
. Mas isto é falso. O certo
é que a
distância é proporcional ao quadrado
Adaptado do artigo de
Geraldo Ávila
Funções e gráficos
num problema
de freagem
91
da velocidade
, pelo menos dentro de certos limites de velocidade, e isso
precisa ser dito explicitamente no enunciado do problema. Essa lei significa
que se
D
1
e
D
2
são as distâncias correspondentes, respectivamente, às
velocidades
V
1
e
V
2
, então
. (1)
Com os dados concretos do nosso problema, se tomarmos
V
1
= 30
km/h,
então
D
1
= 8
m
; e se pusermos
V
2
= 60
km/h,
teremos a
equação
para determinar a distância
D
2
, correspondente à velocidade de freagem
V
2
= 60
km/h.
Resolvendo a equação, obtemos
metros.
(Observe que não há necessidade de reduzir as velocidades de
km/h
a
m/h
ou
m/s;
o importante é que elas sejam todas expressas na mesma
unidade. A distância procurada, evidentemente, virá expressa em
metros,
como a outra distância dada.)
Vale a pena reparar no aumento da distância de freagem, que passou
de 8 para 32 metros −
quadriplicou
− quando a velocidade foi de 30
para 60
km/h
−
duplicou.
Mas, desse cálculo isolado, não podemos
concluir que será sempre assim. Se quisermos saber o que ocorre com
outras velocidades, podemos fazer novos cálculos, usando o mesmo
raciocínio e, é até um exercício interessante, calcular as distâncias de
freagem correspondentes a várias velocidades, como 40, 60, 80, 100,
120
km/h.
Mais do que isso, podemos construir uma tabela numérica de
velocidades e distâncias correspondentes e uma representação gráfica,
marcando as velocidades num eixo horizontal e as distâncias num eixo
92
vertical. Isso permitirá compreender melhor o que está acontecendo com
a distância de freagem, à medida que a velocidade aumenta.
O procedimento que propomos − de repetir cálculo após cálculo, com
diferentes valores da velocidade − é um passo no sentido de “variar” a
velocidade
V
e observar os valores correspondentes da distância de
freagem
D.
Melhor que todos os cálculos, porém, é contemplar, em sua
plenitude, a relação de dependência dessas duas grandezas
V
e
D,
pois
só assim estaremos permitindo que
V
assuma
qualquer valor
numérico
(positivo) e, em conseqüência, só assim poderemos examinar a maneira
como
D
varia
em função de V.
Para isso, devemos notar que a
proporcionalidade (1) significa o mesmo que a equação
D
=
kV
2
. (2)
Sejam
V
=
V
0
= 30
km/h
e
D = D
0
=
8
m .
Observemos agora o que
acontece quando multiplicamos
V
0
por um número qualquer
c
. Obtemos
um valor correspondente
D
tal que, segundo a equação (2),
Mas
kV
0
2
= D
0
,
de sorte que
D = c
2
D
0
.
Vemos assim que
multiplicando-se V
0
por c, D
0
deverá ser multiplicado por c
2
.
Por
exemplo, se multiplicarmos
V
0
por 2
,
3, 4, 5, etc,
D
0
será multiplicado
por 4, 9, 16, 25, etc, respectivamente. Indicamos isso no quadro seguinte:
V V
0
2
V
0
3
V
0
4
V
0
5
V
0
D D
0
4
D
0
9
D
0
16
D
0
25
D
0
Vamos fazer um gráfico, marcando os valores de
V
num eixo horizontal
e os correspondentes valores de
D
num eixo vertical. A curva assim obtida
− deve-se dizer aos alunos − é uma
parábola.
Com
V
0
= 30
km/h
e
D
0
= 8 metros, o quadro de valores acima passa a ser o seguinte:
V
30 60 90 120 150
D
8 32 72 128 200
93
O leitor deve observar atentamente o gráfico e os quadros para bem
entender o efeito da velocidade de um automóvel na distância em que ele
ainda percorre até parar, desde o momento em que o motorista utiliza os
freios.
Quando a velocidade duplica, triplica, quadruplica etc., a distância de
freagem fica multiplicada por 4, 9, 16, etc., o que mostra o perigo das
altas velocidades.
É evidente, da discussão anterior, que a equação
D = kV
2
nos dá uma
visão muito mais ampla e clara de como as variáveis
V
e
D
estão
relacionadas do que quaisquer cálculos numéricos isolados. E isso,
justamente, porque estamos contemplando, nessa equação, a relação de
interdependência funcional das
variáveis V
e
D,
já que agora
V
pode
assumir qualquer valor positivo, sendo assim uma
variável independente;
e
D
assume também todos os valores positivos, como
variável
dependente,
pois cada um de seus valores é determinado por algum valor
de
V.
A regra do guarda rodoviário e um teste da
revista Quatro Rodas
Um professor de Campinas, SP, contou-nos
que já exerceu a profissão de guarda rodoviário
antes de se tornar professor de Matemática. E,
segundo nos explicou, o guarda rodoviário tem uma
94
A revista
Quatro Rodas
costuma publicar tabelas dos testes que realiza
com diferentes veículos. Uma dessas tabelas, referente ao Fiat Uno, quando
de seu lançamento, é a seguinte:
V
40 60 80 100 120
D
8,2 18,1 31,8 50,3 71,4
Isso equivale, praticamente, a tomar
k =
1/200 na equação (2), pois
então obtemos a seguinte tabela, muito próxima da anterior.
V
40 60 80 100 120
D
8 18 32 50 72
O leitor deve observar que com o
dobro do valor usado para construir
esta última tabela (pois 1/100 = duas
vezes 1/200), o guarda rodoviário
obtém valores duplicados das
distâncias correspondentes ao Fiat
Uno. Um exagero?
Talvez não, se levarmos em conta
que ele está preocupado com
segurança, imaginando um motorista que, subitamente, sem estar
preparado para uma freagem encontra-se numa situação de ter de parar
rapidamente o carro.
Neste caso, é preciso levar em conta outros fatores, como o tempo
decorrido entre o instante em que ele primeiro percebe a necessidade da
freagem e o momento em que começa a pressionar o pedal do freio. E
será que ele pressionará o freio tanto quanto o motorista de uma pista de
provas?
95
Um começo sobre funções
Exemplos como este que discutimos aqui servem para mostrar que o
estudo das funções, na sua fase mais elementar, poderia iniciar-se, e com
grande vantagem, na sexta série, logo após o (ou simultaneamente ao)
estudo das equações. De fato, ao estudar equações a duas incógnitas, é
da maior conveniência ensinar sua representação gráfica.
Começando com exemplos simples, como
x− y =
0
ou
y = x
;
x− y +
1
=
0
ou
y = x +
1;
y =
2
x
;
y =
3
x/
2
, y =
2
x +
1, etc,
o aluno pode ser levado, por um processo gradual de aprendizado, a
descobrir, por si próprio, que
toda equação do primeiro grau a duas
incógnitas tem por representação gráfica uma linha reta.
A equação escrita na forma
y
=
mx
+
n
sugere, naturalmente, a idéia
de “variar
x
arbitrariamente” e procurar os valores correspondentes de
y.
Ora, nisso estão contidas as noções de
variável independente
e
variável
dependente
numa relação funcional.
96
Sabemos que, ao lidar com a Trigonometria no
círculo, devemos ter em mente uma série de
elementos que se relacionam concomitantemente
(círculo orientado, origem e extremidade de arcos,
eixos cartesianos, ordenadas, abscissas etc.). Não
seria a relação entre numerosos elementos uma das
causas da dificuldade que os alunos sentem ao
estudar Trigonometria? A utilização de um dispositivo
que fixasse algumas variáveis, enquanto a atenção
se direcionasse para uma ou duas outras, não
poderia resultar em um melhor entendimento da
questão?
Foi tentando verificar a validade desta conjetura
que elaborei uma transparência que, adequadamente
apresentada por meio de um retroprojetor, vem
trazendo resultados satisfatórios.
Descrição do material
1.
Transparência T
1
Faça o desenho da Figura 1 numa folha de papel
vegetal, tamanho ofício, usando de preferência letras
e números adesivos e tinta nanquim. Dimensões: raio
5 cm; letras, 4,2 mm; números, 2,5 mm. Faça uma
cópia do desenho e mande reproduzi-lo numa folha
de acetato especial, o que pode ser feito em lojas
copiadoras.
Adaptado do artigo de
Abdala Gannam
Ensinando Trigonometria
por meio da imagem
97
2.
Transparência T
2
Numa folha de acetato comum, tamanho ofício, desenhe uma
circunferência de raio de 10 cm, marque um ponto a 5 cm do centro e
ligue o centro com esse ponto (Figura 2). Não coloque as letras no desenho.
Recorte o círculo.
3.
Transparência T
3
Numa folha de acetato, de preferência bem rígida, faça o furo indicado
na Figura 3. Os números indicam a posição do furo
P
. Não coloque os
números nem as setas no desenho. Trace um segmento de 5 cm, com
origem no furo em qualquer direção.
Figura 3
Figura 1
Transparência
T
1
Círculo trigonométrico de raio igual a 5 cm,
dividido em 36 partes graduadas de 10 em
10 graus. Eixos graduados para senos e
cossenos dos arcos correspondentes.
Figura 2
Transparência
T
2
Circunferência de raio de 10 cm.
Transparência secundária (
T
3
),
mostrandoo espaço entre o furo e
as bordas, em centímetros.
98
4.
Moldura de cartão
Figura 4
Com fita adesiva, pregue no verso da moldura de cartão a transparência
T
1
, centralizando o círculo. Coloque a transparência
T
2
sobre a moldura
já com a transparência
T
1
e, com um alfinete, fixe os centros das
circunferências, de modo que elas possam girar em torno do alfinete. Em
seguida, coloque
T
3
sobre o conjunto
T
1
,
T
2
(Figura 5) e com outro alfinete
fixe-a na transparência
T
2
, de modo que as transparências possam girar
facilmente.
Corte os alfinetes rentes às transparências, rebitando-os a seguir.
Deslocando a transparência
T
3
, mantendo fixa a moldura, um ponto se
deslocará sobre a circunferência, “levando consigo” a sua projeção sobre
um dos eixos, onde aparecerão os valores dos cossenos ou dos senos
(Figura 6).
A transparência, projetada por meio de um retroprojetor, fornecerá
uma imagem nítida e dinâmica.
Moldura de papel cartão,
dimensões em centímetros.
99
Acontecem fatos estranhos quando se ensina
Trigonometria:
• Observe as tabelas abaixo, contendo alguns
valores de duas funções
f
e
g.
x f
(
x
)
x g
(
x
)
0,1 0,00174 0,1 0,099
0,2 0,00349 0,2 0,198
0,3 0,00524 0,3 0,295
0,5 0,00873 0,5 0,479
1,0 0.01745 1,0 0,841
As duas funções não são iguais; no entanto,
em nossas aulas, chamamos ambas de
seno.
• Sempre medimos ângulos e arcos em
graus.
Por que, de repente, no ensino médio,
resolvemos medir arcos em
radianos
?...
e,
fora da trigonometria, continuamos usando
graus?
Adaptado do artigo de
Renate Watanabe
Seno de 30
é um meio?
100
• Se numa calculadora apertarmos os botões “ π”, “seno”, “ =” e, depois,
“l 80”, “seno”, “=” , os dois resultados não deveriam ser “zero”? Pois
não são.
• Quanto vale seno l?
Este artigo vai tentar esclarecer essas questões. Falaremos apenas do
“seno”, mas o que for dito se estende às demais funções trigonométricas.
Trigonometria no ensino médio
A transição das razões trigonométricas no triângulo retângulo para
funções periódicas de domínio
R
, de aplicações mais amplas, começou
com
Viète,
no século XVI, e culminou nos trabalhos de
Euler,
no século
XVIII.
Fazemos essa transição no ensino médio, quando apresentamos as
“funções circulares”. Com pequenas variações na linguagem, procedemos
da seguinte maneira para “ampliar” a função Seno.
• No plano cartesiano, considera-se a circunferência de centro na origem
e raio unitário.
• Dado um número
x
entre 0 e 360, associa-se a esse
número um ponto
P
da circunferência tal que a medida
em graus do arco orientado que começa em
A =
(l , 0)
e termina em
P
seja
x.
(Arco orientado e
x >
0
significa que o percurso de
A
até
P
deve ser feito no
sentido anti-horário.)
• Seno
x
= ordenada de
P
.
• Se
x
for negativo, ou maior do que 360, então Seno
x =
Seno
r,
onde
x =
360
q+ r,
com
q
∈
Z
e 0 ≤
r <
360.
Essa função Seno (denotada por
f
(
x
) no início do artigo), de domínio
R
, periódica, atendeu às necessidades da Física, mas apresenta um grande
inconveniente na parte referente a cálculos.
101
O estudo de fenômenos físicos quase sempre requer o uso de equações
diferenciais, isto é, de derivadas. Acontece que a derivada da função
Seno
é igual a Cosseno.
Eis porque:
x
seno
x
(Seno
x
)/
x
1,0 0,0174524 0,017452
0,5 0,0087265 0,017453
0,3 0,0052360 0,017453
0,2 0,0034907 0,017453
0,1 0,0017453 0,017453
A tabela ao lado mostra que os valores de (Seno
x
)
/x
, para
x
próximo
de 0, ficam próximos de 0,01745. Pode-se demonstrar que:
.
Lembrando a definição de derivada, temos:
Teria sido muita sorte mesmo, se a função Seno tivesse uma derivada
“agradável”. Afinal, sua definição depende da de
grau,
e essa unidade foi
criada pelos babilônios (~ 400 a.C.), que, por razões até hoje não
totalmente esclarecidas, usavam o sistema sexagesimal.
A inconveniência de se carregar essa constante π/180 nos cálculos
propiciou a criação de uma nova função seno, com as mesmas
102
propriedades da anterior, e cuja derivada é a função cosseno.
Designaremos essa função por seno, com
s
minúsculo.
No ensino médio essa nova função pode ser assim definida:
• No plano cartesiano, considera-se a circunferência de centro na origem
e raio unitário (isto é, a circunferência passa pelo ponto (1,0) e o seu
raio passa a ser a unidade de medida).
• Dado um número
x,
efetua-se sobre a circunferência, a partir de
A
= (1,0), um percurso de comprimento
x
(no sentido anti-horário, se
x >
0 e no sentido horário, se
x
< 0). Seja
P o
ponto de chegada.
• seno
x
= ordenada de
P.
Essa função
seno
(denotada por
g
(
x
) no início do artigo) tem todas as
propriedades da anterior e a seguinte vantagem, que pode ser vista tanto
na figura como na tabela a seguir:
x
seno
x
(Seno
x
)/
x
0,5 0,47943 0,9588
0,3 0,29552 0,985
0,2 0,19867 0,993
0,1 0,09983 0,998
0,1 0,0017453 0,017453
Quando
P
se aproxima de
A
, os
comprimentos do segmento
CP
e do
arco
AP
tomam-se praticamente iguais.
Pode-se provar que:
e daí, (seno
x
)
’
= cos
x.
E é esse o motivo por que, fora da Geometria, apenas essa função
seno
é
usada.
Aqui cabem algumas observações:
103
l. Na definição dada, para 0 <
x
< 2π,
x
é a medida
em radianos
do
arco orientado
AP.
Mas, como se viu, não foi necessário introduzir o
radiano para definir a função seno. A palavra
radiano
data de 1873, e
é uma criação posterior à da função seno
.
Aparentemente, veio da
fusão das palavras
radial angle,
que originou
radiem
, em inglês e
radiano, em português.
2. Pode-se definir a função seno
(e as demais funções trigonométricas)
sem fazer alusão a arcos, ângulos ou percursos (ver, por exemplo,
Análise real,
de Elon Lages Lima, IMPA, vol. l, p. 162).
3. Já que a função Seno
,
de domínio
R
, não tem utilidade, pode-se definir
Seno de um
ângulo
e, daí, passar diretamente para a função
seno
(ver, por exemplo,
Cálculo,
de Serge Lang, vol. l, p. 81).
Em resumo
Para definir seno de um número
x,
no ensino médio, efetua-se, na
verdade, a composição de duas funções:
• uma, que ao número
x
associa um ponto
P
da circunferência,
• e outra, que a esse ponto
P
associa sua ordenada.
O problema está na associação (l), que costuma ser feita de dois modos:
• a
x
associa-se
P
tal que o arco
AP
mede
x
graus;
• a
x
associa-se
P
tal que o arco
AP
mede
x
radianos.
No primeiro caso fica definida a função Seno
e
,
no segundo, a função seno
.
104
E na sala de aula?
Alguns livros didáticos, lançados em outros países, reconhecem a
existência das duas funções e usam símbolos diferentes para representá-
las.
No Brasil há uma espécie de “acordo de cavalheiros”. Quando a
palavra
seno
aparece na frente de números como 30, 45, 180 etc.,
assumimos tratar-se da função Seno
.
Se essa mesma palavra aparece na
frente de números como π
,
2π/3, π/6 etc., assumimos tratar-se da função
seno...
e evitamos perguntar quanto vale o seno de l para não criar
confusão.
Quando pedimos aos nossos alunos que resolvam a equação
sen
x =
0
,
aceitamos como corretas as soluções
x = k
π ou
x = k
180,
mas reclamamos, é claro, se o aluno disser que π = 180.
Uma possível saída é usar sempre o símbolo “grau” quando se trata da
função Seno
,
isto é, escrever sen 30°, sen 45°, sen 500°, sen 1°, (embora
Seno seja uma função de domínio
R
), e reservar o símbolo “sen” para a
função seno: sen
π
, sen 3π/4, sen 1 etc.
105
Capítulo 3
Geometria
107
A Menaecmus, por volta de 350 a.C., discípulo
e sucessor do matemático Eudoxo na direção
da Escola de Cizico (Ásia Menor), atribui-se a
invenção das curvas
elipse, parábola
e
hipérbole,
por ele construídas mecanicamente
e utilizadas na resolução do clássico problema
da duplicação do cubo (problema de Delos).
Mas foi Apolônio (III séc. a.C.) quem extraiu
essas curvas de uma superfície cônica, mediante
seções planas. Daí a denominação comum de
seções cônicas.
Os nomes
elipse, parábola
e
hipérbole
foram mesmo usados por Apolônio, que os
tirou de uma terminologia pitagórica
(VI séc. a.C.) específica para áreas.
Assim, quando os pitagóricos faziam a base
de um retângulo ficar sobre um segmento retilíneo
de modo que uma extremidade dessa base
coincidisse com uma das extremidades do
segmento, diziam que tinham um caso de
elipse,
parábola
ou
hipérbole
,
conforme a referida
base fosse menor do que o segmento,
Adaptado do artigo de
Geni Shulz da Silva
Por que os nomes elipse,
parábola e
hipérbole?
108
com ele coincidisse ou o excedesse. E observamos que a razão dessas
designações está na própria significação dos termos, pois
elipse
quer
dizer
falta, parábola
corresponde a
igual
e
hipérbole
exprime
excesso.
Vejamos agora o fato em relação às curvas
em questão. Para isso, consideramos uma
cônica de vértice
A
, como na figura.
Seja
P
um ponto qualquer da cônica e
Q
sua
projeção ortogonal sobre
AB
. Pelo vértice
A
traçamos uma reta perpendicular a
AB
, sobre a
qual tomamos
AD
=
p, p
um número real positivo
previamente dado.
A seguir, construamos um retângulo de base
AQ
, situada sobre a reta
AB
, e lado
AE
sobre
AD
, de modo que a sua área seja
Conforme
AE
<
AD
,
AE
=
AD
ou
AE
>
AD
,
Apolônio denominou a cônica de
elipse, parábola ou hipérbole.
Em outros termos, se considerarmos a curva referida a um sistema
cartesiano de eixos coordenados com eixo dos
x
(abcissas) sobre
AB
e eixo dos
y
(ordenadas) sobre
AD
e se designarmos as coordenadas
de
P
por
x
e
y
, a curva será uma
elipse
se
y
2
<
px
, uma p
arábola
se
y
2
=
px
e uma
hipérbole
se
y
2
>
px
.
109
Por que as antenas
são parabólicas?
Adaptado do artigo de
Eduardo Wagner
A palavra
parábola
está, para os estudantes do
ensino médio, associada ao gráfico da função
polinomial do segundo grau. Embora quase todos
conheçam as antenas parabólicas, nem todos
fazem ligação entre uma coisa e outra. Os
espelhos dos telescópios e dos faróis dos
automóveis também são parabólicos. Por quê?
Neste artigo, vamos partir da definição
geométrica dessa curva chamada parábola,
descobrir sua equação e investigar algumas de
suas propriedades, que vão justificar por que as
antenas e alguns espelhos precisam ser
parabólicos.
Por questões de simplicidade, tudo o que
dissermos de agora em diante passa-se num
plano.
Definição
Consideremos uma reta
d
e um ponto
F
.
Parábola de foco
F
e diretriz
d
é o conjunto
de todos os pontos cuja distância à reta
d
é
igual à distância ao ponto
F
.
Na figura, se
PD
=
PF
, então
P
é um
ponto da parábola de
foco
F
e
diretriz
d
.
110
Para obter diversos pontos de uma parábola,
dados o foco
F
e a diretriz
d
, trace por
F
uma
reta
r
perpendicular à diretriz, e seja
D
o ponto
de interseção de
r
e
d
.
O segmento
DF
chama-se parâmetro da
parábola e o ponto
V
, médio de
DF
, é o
vértice da parábola. Para cada ponto
A
da
semi-reta
VF
, trace a reta
s
, perpendicular à
r
.
A circunferência de centro
F
e raio
AD
corta
s
nos pontos
P
e
P’
, que pertencem à parábola.
Como
PD
=
AD
, a distância de
P
ao foco é igual à sua distância à
diretriz.
A equação da parábola
Em um sistema de coordenadas, não é difícil encontrar a equação da
parábola, dados o foco e a diretriz. Tomemos como foco e
como diretriz.
Se
P
= (
x
,
y
) é tal que
PF
=
PD
, temos:
Elevando ao quadrado e cancelando os termos iguais dos dois lados,
obtemos: , o que mostra que a equação
111
de uma parábola é da forma
y
=
ax
2
(um polinômio do segundo grau).
Reciprocamente, dada uma função da forma
y
=
ax
2
, é fácil provar que
qualquer um de seus pontos possui distância ao ponto igual à
distância à reta , o que mostra que o gráfico de
y
=
ax
2
é uma
parábola de foco e diretriz .
Com um pouco mais de trabalho, o leitor poderá demonstrar que o
gráfico de
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(com ) é também uma parábola com
vértice no ponto .
Antenas e espelhos
Vamos voltar agora às nossas perguntas iniciais. Por que as antenas
que captam sinais do espaço são parabólicas? Por que os espelhos dos
telescópios astronômicos são parabólicos?
Nos dois exemplos acima, os sinais que recebemos (ondas de rádio ou
luz) são muito fracos. Por isso, é necessário captá-los em uma área
relativamente grande e concentrá-los em um único ponto para que sejam
naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena (ou do espelho)
deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam
direcionados para um único ponto após a reflexão.
A antena ideal deve dirigir todos os sinais recebidos ao ponto F.
112
Vamos mostrar que se a superfície for parabólica, essa situação ocorre.
Observação 1
Observemos inicialmente que uma parábola separa os demais pontos
do plano em duas regiões: uma, onde cada ponto tem distância ao foco
menor que sua distância à diretriz, chamada região interior, e outra, onde
a distância de cada ponto ao foco é maior que a distância à diretriz,
chamada região exterior.
A figura mostra uma parábola de foco
F
e diretriz
d
e uma reta
r
paralela à
d
,
cortando a curva em
P
e
P´
. Se o ponto
P
1
da reta
r
é
interior ao segmento
PP´
, então
P
1
F
<
PF
=
PD
=
P
1
D
1
e, portanto,
é interior à parábola. Por outro lado, se
P
2
é um ponto da reta
r
, exterior
ao segmento
PP´
, então
P
2
F
<
PF
=
PD
=
P
2
D
2
e
P
2
é exterior à
parábola.
Observação 2
Os raios de luz e as ondas de rádio
propagam-se no espaço em linha reta. Aliás,
isso não é inteiramente verdadeiro, mas para
o observador da Terra é aceitável. Quando
esses sinais são refletidos em um ponto de
uma superfície, tudo se passa como se
estivessem sendo refletidos em um plano
tangente à superfície nesse ponto, de acordo
com a famosa lei da Física: “o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de reflexão”.
113
Consideremos um ponto
P
qualquer da parábola de foco
F
e diretriz
d
, e ainda a reta
t
, bissetriz do ângulo
FPD
. Vamos mostrar
geometricamente que
t
é tangente à parábola.
No triângulo
PFD
, como
PF
=
PD
, a reta
t
, bissetriz do ângulo
PFD
, é também mediana e altura. Em outras palavras, a reta
t
é mediatriz
do segmento
FD
. Seja agora
Q
, um ponto qualquer da reta
t,
distinto
de
P
. Se
D´
é a projeção de
Q
sobre
d,
temos:
QF
=
QD
>
QD´
.
Portanto,
Q
é exterior à parábola. Ora, o ponto
P
da reta
t
pertence
à parábola, e todos os outros pontos de
t
são exteriores. Logo,
t
é
tangente à parábola em
P
.
Observe, na figura acima, a semi-reta
PY
, prolongamento do segmento
DP
. Como a tangente à parábola em
P
é bissetriz do ângulo
FPD,
temos
que
PY
e
PF
fazem ângulos iguais com essa tangente. Por isso, todo
sinal recebido na direção do eixo da parábola toma a direção do foco
após a reflexão.
114
Adaptado do artigo de
Geraldo Ávila
A hipérbole e os
telescópios
O artigo anterior trouxe uma interessante
propriedade focal da parábola, que é utilizada
na construção de refletores e antenas
parabólicas. Seria natural que o leitor
perguntasse: e a hipérbole? Tem ela propriedade
parecida? Sim, tem, e é uma propriedade
importante na tecnologia dos telescópios, como
explicaremos neste artigo.
O que é uma hipérbole
As chamadas seções cônicas −
elipse
,
hipérbole
e
parábola
− são as curvas que se
obtêm como intersecção de um cilindro ou cone
circular reto com um plano. Outra maneira
equivalente de definir essas curvas é a geométrica
e se faz em termos da chamada
propriedade
focal
. Supondo que estamos trabalhando em um
plano, a hipérbole, por exemplo, pode ser
definida geométricamente:
Dado um número positivo d e dois pontos F
e F’, chama-se hipérbole ao lugar geométrico
dos pontos cuja diferença das distâncias a F
e F’ é sempre igual a d.
115
Assim,
P
,
P’
,
P”
, ... são pontos da hipérbole, visto que
PF
−
PF’
=
P’F
−
P’F’
=
P”F
−
P”F’
= ... =
d
.
Do mesmo modo,
Q
,
Q’
,
Q”
, ..., satisfazendo as condições,
QF’
−
QF
=
Q’F’
−
Q’F
=
Q”F’
−
Q”F
= ... =
d
também pertencem à hipérbole, a qual, portanto, possui dois ramos
distintos.
Os pontos
F
e
F’
são chamados
focos
da hipérbole.
Reflexão da luz
Vamos imaginar um espelho refletor construído com o formato de um
ramo de hipérbole, estando a parte refletora do “lado de fora” da hipérbole,
isto é, na sua parte côncava.
116
Suponhamos que um raio de luz proveniente de um ponto
A
incida no
espelho em
P
, como ilustra a figura, de forma que a reta
AP
passe pelo
foco
F´
. Então é possível mostrar, de forma análoga ao feito para a
parábola no artigo anterior a este, que o raio refletido passará pelo outro
foco
F
. O leitor interessado pode encontrar a demonstração dessa
propriedade, por exemplo, no número 34 da RPM. Vamos ver uma de
suas aplicações na construção de telescópios.
Telescópios refletores
Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro cientista a construir um
telescópio para observação astronômica. Isso se deu em 1609 e resultou
em notáveis descobertas: Galileu viu montanhas e acidentes geográficos
na superfície lunar, observou que Vênus passa por
fases como a Lua, notou que Saturno tem um formato
alongado (devido a seus anéis), e que Júpiter possui
satélites girando a sua volta. Em pouco tempo Galileu
revolucionou a Astronomia.
Os primeiros telescópios, inclusive o de Galileu,
foram construídos com lentes e funcionavam com base
na refração da luz. São os chamados
telescópios
refratores
.
Acontece que as lentes têm vários inconvenientes,
como as deformações das imagens que elas produzem,
fenômeno que pode ser facilmente observado com
qualquer lente de grau de óculos comuns; basta olhar
através da lente e movê-la transversalmente para um
lado e para o outro, ou em círculos, para notar essas deformações.
Além disso, a lente também atua como um prisma, decompondo a luz
branca em várias cores, produzindo outro tipo de efeito indesejável nas
observações, as chamadas aberrações cromáticas.
Esses inconvenientes dos telescópios refratores não existem nos
telescópios refletores
. O telescópio refletor nada mais é do que um espelho
parabólico no fundo de um tubo, como ilustra a Figura 1. Os raios
Galileu Galilei
117
provenientes de um corpo celeste distante (estrela, galáxia, planeta, etc.)
formam um feixe praticamente paralelo, que se reflete no espelho e vai
formar a imagem do objeto no foco
F
.
O problema agora é que, para observar essa imagem, o observador
teria de estar com seu olho posicionado no foco da parábola, mas isso é
impossível na prática.
Isaac Newton
(1642-1727) resolveu esse problema em seu telescópio
refletor, colocando um espelho plano
E
entre o espelho parabólico e o
foco
F
(Figura 1). Com isso, os raios que iriam formar a imagem em
F
são novamente refletidos e vão formar essa imagem num ponto fora do
tubo do telescópio, onde se posiciona o observador.
Figura 1
Figura 2
Em 1672 o astrônomo francês
Cassegrain
propôs a utilização de um
espelho hiperbólico
E
, como ilustra a Figura 2, em lugar do espelho
plano de Newton. Um dos focos da hipérbole coincide com o foco
F
da
parábola.
Agora os raios que iriam formar a imagem no foco
F
são refletidos
pelo espelho
E
e formarão essa imagem no outro foco da hipérbole.
118
Para compreender a vantagem desse espelho hiperbólico de Cassegrain
sobre o espelho plano de Newton, devemos observar que o espelho plano
não pode ficar muito próximo do foco
F
, sob pena de o ponto da
Figura 1 ficar dentro do telescópio; em conseqüência, o espelho plano
precisa ser de razoável tamanho, o que resulta num bloqueio significativo
da luz incidente no espelho parabólico que forma a parte principal do
telescópio.
O espelho de Cassegrain, pelo contrário, pode ser construído mais
próximo ou mais afastado do foco
F,
mantendo-se fixa a distância
FF’
entre os focos da hipérbole; em conseqüência, o tamanho desse espelho
pode ser maior ou menor. A distância entre os focos
F
e
F’
também
pode ser alterada para mais ou para menos, sem mudar a posição do foco
F.
A combinação desses fatores permite grande flexibilidade na montagem
do refletor hiperbólico
E
,
adequando-a, assim, às exigências das
observações.
Essas montagens de Cassegrain somente começaram a ser utilizadas
nos telescópios cerca de um século após terem sido propostas. Desde
então passaram a ser largamente usadas, e hoje em dia estão presentes
não apenas nos telescópios óticos, mas também nos radiotelescópios.
O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que
fica 80 km a nordeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens
do tipo de Cassegrain.
As PARÁBOLAS falam...
119
Introdução
A visualização espacial permite reconstruir
mentalmente o mundo físico e antecipar a
solução de problemas, antes que eles surjam
no ambiente real. Nessa linha, a intuição
geométrica deve ser estimulada na escola, com
a construção de modelos de poliedros e
objetos da vida cotidiana (maquetes).
Uma forma geométrica conhecida desde a
antiguidade, e amplamente usada pelo homem,
é o cubo. Há poucos anos surgiu o “cubo
mágico”, engenhoso quebra-cabeça que utiliza
as combinações de figuras nas faces de cubos
interligados. Entretanto, podem-se fazer, em
sala de aula, outras “mágicas” com cubos.
Uma aposta cúbica
Ele
−
Todos os livros dizem a mesma coisa: com
seis quadrados pode-se armar um cubo.
Ela
−
É verdade. Abra uma caixa cúbica e você
verá que ela é formada por seis
quadrados, como na figura.
A mágica do cubo
Adaptado do artigo de
Gildo A. Montenegro
120
Ele
− Isso é o que todos dizem. Mas eu quero mostrar como fazer um
cubo com quatro quadrados.
Ela
−
Com quatro faces você forma uma caixa cúbica, mas ficam faltando
duas tampas.
Ele − E se eu fizer um?
Ela
− Não existe cubo com quatro faces. Se você quer economizar,
experimente viver com menos dinheiro.
Ele
− Por falar em dinheiro, você aposta um almoço como eu farei um
cubo com menos de quatro quadrados?
Ela
−
Está fechada a aposta!
Nessa altura, ele apresenta um recorte em cartolina:
Ele
−
Aqui havia quatro quadrados e eu recortei quatro triângulos que
formavam um quadrado; restam três quadrados. Agora, dobre nas
linhas convenientes para formar um sólido.
Ela
− Não pode ser... bom... de fato, é um cubo. Só que ele é menor do
que aquele que eu mostrei.
Ele
− A aposta não envolvia medidas. Mas, eu faço um acordo: você
paga o almoço e eu, a sobremesa... desde que servida em cubas.
121
As histórias que vamos contar envolvem
dois amigos que gostam de freqüentar bares
e restaurantes, além de discutir problemas
de Matemática. Em pelo menos duas
situações, surgiram interessantes problemas
cujas soluções, além de elegantes, são
bastante educativas.
Primeira história
Augusto e João foram a um restaurante
para comer pizza. O primeiro pediu uma
grande, e o segundo, uma média e uma
pequena, todas do mesmo sabor.
Curiosamente, o preço da pizza grande era
exatamente igual à soma dos preços das
pizzas média e pequena. Logo após os
pedidos, surgiu naturalmente o problema de
saber quem vai comer mais.
O fato de os preços a pagar serem iguais
não quer dizer nada, porque nos restaurantes,
o preço não costuma ser proporcional à
quantidade da comida servida. Augusto
argumenta que, se tivesse uma régua,
Adaptado do artigo de
Eduardo Wagner
Semelhança, pizzas
e chopes
122
poderia medir os diâmetros, calcular as áreas e verificar se a área da pizza
grande é maior, igual ou menor do que a soma das áreas das outras duas.
Porém, não havia régua disponível.
Pensando um pouco, João, bom geômetra, declarou ter resolvido o
problema, dizendo que assim que as pizzas chegassem, diria quem comeria
mais e, para isso usaria apenas objetos que estavam em cima da mesa.
Augusto estupefato duvidou. “Como é possível? Não temos instrumento
de medida algum. Em cima da mesa só há talheres, copos, guardanapos e
o cardápio, responsável por nossa incrível discussão!” A espera não foi
longa, e as pizzas chegaram. Rapidamente, então, João cortou cada uma
delas em duas metades.
Sobre a mesa (de mármore) juntou os diâmetros para formar um
triângulo. Utilizando o canto do cardápio como um modelo para o ângulo
reto, João verificou que o ângulo oposto ao diâmetro da maior metade (α)
era menor do que 90
o
, e declarou “eu como mais”. E Augusto, após pensar
alguns momentos, concordou.
Qual é a explicação?
A explicação depende de dois teoremas importantes. O primeiro
bastante conhecido e o segundo, não muito.
Teorema 1
A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da
razão de semelhança.
123
Teorema 2
Se figuras semelhantes são construídas sobre a hipotenusa e sobre os
catetos de um triângulo retângulo, então a área da figura maior é igual à
soma das áreas das outras duas.
Vamos demonstrar esse segundo teorema.
Na figura a seguir,
A
,
B
e
C
representam as áreas de figuras semelhantes
que foram construídas sobre os lados de um triângulo retângulo de
hipotenusa
a
e catetos
b
e
c
.
Pelo teorema 1:
2
22
2
22
ou ,
ou .
Aa AB
Bb
ab
Bb BC
Cc
b
c
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
Portanto,
22222
.
ABC BC
abcbc
+
===
+
Como no triângulo retângulo,
a
2
=
b
2
+
c
2
, concluímos que
A
=
B
+
C
.
Reciprocamente, se figuras semelhantes são construídas sobre os lados
a
,
b
e
c
de um triângulo, e se
A
=
B
=
C
, então
a
2
=
b
2
+
c
2
e, pela
recíproca do teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo.
Para concluir que, no nosso problema, João estava certo, observe
que, se α é o ângulo oposto ao lado
a
do triângulo de lados
a
,
b
e
c
,
temos:
α < 90
o
⇔
a
2
<
b
2
+
c
2
⇔
A
<
B
+
C
e
α > 90
o
⇔
a
2
>
b
2
+
c
2
⇔
A
>
B
+
C
.
Portanto, se na nossa história João constatou que o ângulo α era
menor que 90
o
, então a área da semipizza grande era menor que a soma
das áreas das outras duas metades.
124
Segunda história
Dias depois, Augusto, afobado com o calor,
senta-se em um bar e pede um chope (na verdade,
o primeiro de muitos). Nesse lugar, o chope é
servido em “tulipas”, que são copos com a forma de um cone. O garçom
chega com a bebida, ao mesmo tempo que João encontra seu amigo.
“Como vai, João? Sente-se e tome rápido a metade deste copo. Eu tomo
a outra metade”. A fisionomia de João mostra alguma tristeza. Como
determinar a altura do nível da bebida quando um copo cônico contém a
metade do seu conteúdo?
Augusto então alivia a situação. “Meu caro amigo, para este problema,
seus artifícios são insuficientes. Eu hoje vim prevenido e trouxe uma régua
e uma calculadora. Desculpe-me pela brincadeira, e vamos juntos resolver
o nosso problema”.
Augusto então saca de sua régua, calculadora, caneta e sobre um
guardanapo mostra a solução, sob o olhar de um estupefato garçom.
“Observe, João, que o copo tem 20 cm de altura. Desejamos obter
a altura da superfícies do líquido que corresponde à metade do volume
do copo. Para isso, precisamos recordar dois teoremas”.
Teorema 3
Toda seção paralela à base de um cone forma um outro cone
semelhante ao primeiro.
Teorema 4
A razão entre o volume de sólidos semelhantes é igual ao cubo da
razão de semelhança.
Augusto continua sua explicação. Se você tiver tomado uma parte
do conteúdo deste copo, teremos aqui, pelo teorema 3, dois objetos
semelhantes: o cone formado pelo líquido e o próprio copo. A razão
de semelhança entre esses dois copos é a razão entre suas alturas, ou
125
seja,
h
/20. Como desejamos que o líquido tenha a metade do volume do
copo, pelo teorema 4 podemos escrever:
isto é,
Assim, a altura que corresponde à metade do volume do copo é
cm”.
João concorda com a perfeita explicação, mas repara que a resposta
não resolve ainda o problema, porque ele não tem a menor idéia de
quanto é . E então Augusto, com a sua calculadora e seu sorriso
irônico, diz: “Ah! é bom saber que esse valor dá aproximadamente 16
cm”.
Bem. O problema foi resolvido, e o chope, já meio quente, foi
adequadamente dividido. Falta apenas o final da história.
Nessa altura, as pessoas das outras mesas ouviam atentamente nossos
personagens com um misto de admiração e espanto. Nisso, João faz uma
descoberta, que anuncia em alto e bom som: “ Este problema revela que
quando somos servidos em tulipas com 4 cm de colarinho
estamos tomando apenas metade do conteúdo do copo.
Assim, se eu digo que tomei 10 chopes, na verdade tomei
5, mas paguei 10!!”
E foram expulsos do bar.
126
Um ex-aluno meu, que hoje é professor
universitário, enquanto fazia o curso de
Matemática, foi professor em cursos técnicos.
Certa vez, descreveu-me um processo, usado
pelos técnicos de uma indústria, para verificar a
precisão de um furo cilíndrico praticado numa
peça.
Os técnicos tomam três bastões cilíndricos de
mesmo raio
r
, que são fixados uns aos outros
(com solda, por exemplo), formando um
conjunto solidário. O problema é calcular o raio
r
, de modo que, ao introduzir o conjunto no
furo cilíndrico, os bastões se ajustem sem folga.
Girando o conjunto, percebemos se o furo
praticado na peça é, de fato cilíndrico. Ele deve
girar “sem pegar” e sem folga.
Adaptado do artigo de
Luiz Márcio Imenes
A precisão do
furo cilíndrico
127
Pois bem, a execução desse processo exige a solução de um problema
de Geometria. Na figura seguinte, os três círculos menores têm o mesmo
raio
r
, são tangentes entre si dois a dois, e cada um deles é tangente ao
círculo maior de raio
R.
Devemos calcular
r
em função de
R.
Vamos resolver o problema:
O triângulo
ABC
é equilátero, e seu lado é igual a 2
r.
O ponto
O
é seu
baricentro, logo
OC
= (2/3)
CM
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo
AMC,
temos:
CM
2
=
(2
r
)
2
–
r
2
= 3
r
2
ou 3
CM r
= ou
(2/3) 3.
OC r
=
Como
OC = OP − PC = R − r,
temos que
(2/3) 3
Rr r
−=
ou
(2 3 3)
r
R
=−
.
Esse valor deve ser calculado considerando-se a precisão dos
instrumentos de medida usados na indústria. Se, por exemplo, trabalhamos
com décimos de milímetro e
R
= 10,00 cm
,
deveremos ter
r
= 0,464 ×
R =
4,64
cm.
128
Histórico
Fomos procurados por diretores da Cooperativa
de Laticínios e Agrícola de Batatais Ltda., que
nos contaram o seguinte “caso” − o milho
produzido pelos cooperados é guardado (a
granel) num armazém denominado graneleiro.
Construído há 30 anos, embora de sólida e
perfeita construção, o mesmo carecia de
especificações precisas sobre sua forma e
capacidade.
O volume do milho armazenado depende de
vários fatores, tais como: temperatura ambiente,
umidade e as impurezas que rotineiramente são
colhidas com os grãos de milho. Por isso os
agrônomos responsáveis pela cooperativa
descontam do cooperado, “a priori”, um
percentual variável de 4% a 5% do milho
depositado. Na entressafra, quando o milho é
vendido e retirado do graneleiro, a “sobra” é
rateada entre os cooperados. Até então, todos
estavam satisfeitos com o critério adotado.
Contudo, na entressafra do ano da consulta, a
repetição do processo resultou numa “falta” de
Adaptado do artigo de
Antonio Acra Freiría
Geraldo Garcia Duarte Júnior
A capacidade do
graneleiro
129
aproximadamente 5% do milho depositado. O fato, evidentemente,
desagradou a todos e despertou nos diretores a necessidade de estabelecer,
com precisão, a forma e a capacidade do graneleiro.
Visitamos então a cooperativa, fazendo o levantamento dos dados e,
depois, apresentamos uma solução à moda de Arquimedes, que consiste
essencialmente em exaurir o sólido por meio de volumes conhecidos.
Os cálculos
O graneleiro tem forma poliédrica, com as
dimensões indicadas no desenho. Com um
corte horizontal, destacamos do sólido um
paralelepípedo retângulo:
Da parte restante, com dois cortes transversais, destacamos um prisma
de base trapezoidal:
V
1
=
a
×
b
×
c
130
As pontas que restam são simétricas. Cada uma delas pode ser
decomposta em um prisma de base triangular e duas pirâmides
(simétricas) de base retangular:
Assim, o volume do graneleiro é dado por:
V
G
=
V
1
+ V
2
+ 2 (
V
3
+
2
V
4
).
Efetuados os cálculos, obtém-se:
V
G
= 11 311,72
m
3
. Esse é o volume
de milho que o depósito comporta quando raso. É possível armazenar
mais milho ainda, acima da “boca”, formando-se um monte de forma
também poliédrica:
O ângulo de inclinação das faces laterais (em relação ao retângulo de
lados
a
e
b
),
chamado ângulo de acentamento do milho, é fornecido pelos
manuais: 27°. Com este dado e novos cortes, pode-se calcular o volume
do poliedro
V
s
como a seguir.
131
No Δ
ABM
: .
Como Δ
ABM =
Δ
ACM
,
resulta
CM
=
BM
=
b
/2.
Então:
Efetuados os cálculos, obtém-se o volume suplementar de milho:
V
S
= 7028,18
m
3
;
logo o volume total é
V
G
+ V
S
= 11311,72 + 7028,18 = 18 339,90.
O peso específico do milho (fornecido pelos manuais teóricos) é 0,750
t/m
3
.
Logo, a capacidade total do graneleiro é:
C
r
= 18 339,90 × 0,750 ≈ 13755t
Conclusão
Esses cálculos elementares permitiram determinar a capacidade do
graneleiro, e assim foi possível comprovar o desaparecimento de
aproximadamente 12 000 sacas de milho da Cooperativa na entressafra.
Contudo, até o momento da redação destas notas, não se tinha notícia
nem das sacas e nem de como elas desapareceram do graneleiro!
132
Em 1982, a seleção brasileira de futebol encantava
os amantes da arte futebolística, na Copa do
Mundo realizada na Espanha. Não era para menos,
uma vez que o time contava com talentos do
calibre de Júnior, Cerezo, Falcão, Sócrates e Zico.
Pouco tempo depois, em 1985, três químicos,
Harold W. Kroto, Robert F. Curi
e
Richard E.
Smalley,
surpreenderam a comunidade científica
com o anúncio da descoberta dos
fulerenos
(Nature,
volume 318, p. 162), uma forma
alotrópica de carbono e a primeira molecular, à
qual deram o nome de
buckminsterfulereno
ou
simplesmente
C
60
. (NR)
Em 1996, Kroto, Curi e Smalley foram laureados
com o Prêmio Nobel de Química. Dois anos antes
éramos tetracampeões mundiais de futebol na Copa
dos Estados Unidos, com um time esforçado, que
não encantava e tinha apenas um grande destaque: o
baixinho Romário.
Do ponto de vista químico, o
C
60
nada mais é do
que uma molécula formada por 60 átomos de
carbono, com cada um desses átomos ligado a
três outros.
Adaptado do artigo de
Luis Fernando Mello
Fulerenos e futebol:
aplicações da
fórmula de Euler
133
Do ponto de vista matemático, a estrutura das ligações desses 60
átomos de carbono forma um poliedro convexo, cujos 60 vértices são
exatamente os átomos de carbono, e as arestas, suas ligações químicas.
As faces desse poliedro são hexágonos e pentágonos. Depois do
C
60
,
outros fulerenos foram descobertos, tais como
C
70,
C
76,
C
240,
C
540
,..., em
que os subíndices correspondem ao número de átomos de carbono.
Estudando a síntese de quantidades macroscópicas de fulerenos,
Sumio
Iijima,
em 1991, descobriu outros tipos de moléculas de carbono e as
denominou
nanotubos:
tubos cilíndricos de diâmetros da ordem de 8
nm
a 15
nm
(l
nm é
igual a 10
-9
m),
empacotados um dentro do outro, como
diversas camadas de uma cebola, e com as extremidades fechadas por
hemisférios fulerênicos.
Exemplos de nanotubos
(figura da internet: omnis.if.ufrj.br/~capaz/ffnc/home.html)
Mas nem tudo eram flores naquela época. Em 1990, nossa seleção
nacional fracassava nas fases iniciais da Copa do Mundo da Itália.
Recentemente foi descoberto que os nanotubos são flexíveis e mais
resistentes que qualquer aço, e têm propriedades elétricas especiais,
sendo, por exemplo, melhores condutores elétricos que o cobre. Várias
aplicações envolvendo os nanotubos já estão sendo implementadas
(veja
Scientific American Brasil,
número l, p. 41).
A fórmula de Euler
Do ponto de vista matemático, a estrutura das ligações dos átomos de
carbono dos fulerenos (nanotubos) forma um poliedro convexo, cujos
vértices são tais átomos.
134
Podemos então utilizar a conhecida fórmula de Euler para poliedros
convexos,
V
−
A
+
F
= 2, (1)
para saber um pouco mais a respeito dessas estruturas, lembrando que
V
é
o número de vértices,
A
é o número de arestas, e
F
é o número de faces
do poliedro.
Uma belíssima aplicação da fórmula (1), no contexto da Teoria dos
Grafos, está na sua utilização na demonstração do Teorema das Cinco
Cores: Todo mapa pode ser colorido com no máximo cinco cores (veja J.
L. Gersting,
Fundamentos Matemáticos para a Ciência da
Computação,
4
a
edição, LTC Editora, p. 253).
Uma conseqüência interessante da fórmula de Euler
Se um poliedro convexo possui apenas faces hexagonais e pentagonais
e, em cada vértice, incidem exatamente
3
arestas, então ele possui
exatamente
12
faces pentagonais.
Para mostrar esse resultado, observamos primeiro que: cada face
hexagonal do poliedro possui 6 arestas em sua fronteira, cada face
pentagonal possui 5 arestas em sua fronteira, e cada aresta é parte da
fronteira de duas faces. Assim, se indicarmos por
F
H
e
F
P
o número de
faces hexagonais e poligonais, respectivamente, teremos
6
F
H
+
5
F
P
=
2
A.
(2)
Por outro lado, como cada aresta liga dois vértices e (por hipótese) de
cada vértice partem três arestas, temos:
2
A =
3
V
. (3)
Da fórmula de Euler (1) segue então que
V − A + F
H
+ F
P
=
2
.
Multiplicando por 6 e usando (2) e (3), obtemos:
F
P
= 12.
Nas moléculas de fulerenos e nanotubos, cada átomo liga-se exatamente
a 3 átomos de carbono e podemos, portanto, concluir do resultado que
elas têm que possuir exatamente 12 faces pentagonais.
135
C
60
com seus 60 vértices,
32 faces e 90 arestas
E o futebol?
A essa altura do campeonato você pode estar
indagando o que toda essa história de poliedro
convexo, fulereno e nanotubo tem a ver com
futebol. Uma rápida olhada nos jogos transmitidos
pela televisão, ou mesmo no seu armário, será
suficiente para se convencer de que, de fato, essas
coisas estão relacionadas. Você já reparou que
alguns modelos de bolas de futebol são fabricados
com gomos hexagonais e pentagonais? Dê uma
olhada! Agora, um tal modelo de bola de futebol nada mais é do que um
poliedro convexo com faces hexagonais e pentagonais inflado.
Como os gomos são polígonos regulares, é possível demonstrar que
de cada vértice partem exatamente três arestas e concluir, pela conseqüência
da fórmula de Euler demonstrada no item anterior, que devem existir 12
gomos pentagonais. A palavra
pentagonal
lembra
pentacampeonato.
E foi com um modelo de bola de futebol com gomos hexagonais e
pentagonais que Ronaldo, Rivaldo e Ronaldinho Gaúcho fizeram o que
fizeram na conquista do pentacampeonato mundial de futebol na Copa da
Coreia e do Japão, em 2002.
Nota
O nome é uma homenagem a
Richard Buckminster Fuller
(1895-1983),
engenheiro, arquiteto, escritor e educador americano, famoso pela
originalidade de suas idéias. Entre suas criações arquitetônicas, destaca-se
a cúpula geodésica, uma estrutura formada por polígonos regulares, que se
apoia diretamente no solo sem necessidade de bases ou pilares e pode ser
construída em proporções ilimitadas. Essa estrutura possui ainda grande
estabilidade, o que levou Fuller a prever sua ocorrência na natureza, conforme
mais tarde constatado em microorganismos e nas moléculas das quais trata
este artigo.
136
Conheci a Gladys, que também é professora, num
curso promovido pela PUC de Porto Alegre. Por
duas razões, lembro-me bem de um dia em que
fui à sua casa. A companhia de sua família e o
almoço estavam uma delícia. Além disso, ela me
propôs um interessante problema.
Sua amiga Irene estava
vendendo alguns objetos que
ela mesma decorava. Eram
peças para o enxoval de
bebês. Ela forrava e enfeitava
latas de talco, vidros para
cotonetes, berços, etc. O
problema surgiu quando quis
revestir um cesto com a forma
e as dimensões (em
centímetros) indicados na figura.
Como fazer o molde para cortar o pano, de
modo a revestir sua superfície lateral?
Vamos resolver o problema.
O cesto tem a forma de um tronco de cone de
bases paralelas.
Adaptado do artigo de
Luiz Márcio Imenes
Como cortar o pano
para revestir o cesto?
137
A planificação da superfície lateral de um cone circular reto é um setor
circular, cujo raio é a geratriz do cone, e a planificação da superfície lateral
do tronco de cone é um setor (pedaço) de coroa circular.
Este setor dará a forma do molde. Para desenhá-lo, precisamos
conhecer os raios
G
e
g
além do ângulo central
α.
Os triângulos indicados na figura são semelhantes,
portanto
Como 2
R
= 16,5 e 2
r
= 13,5
resulta
Mas
G − g
= 14,5, donde
Para obter o ângulo central α, devemos notar
que o arco de raio
G
, subtendido por ele, tem
comprimento igual ao da circunferência de raio
R.
Logo,
216,5
37 30 .
79,7
R
rad rad
G
ππ×
′
α= = ≅
o
138
Adaptado do artigo de
Elon Lages Lima
Uma construção
geométrica e a PG
Dados os números reais
a, r,
com 0 <
r <
1, seja
S = a + ar + ar
2
+ + ... + ar
n
+ ...
a soma dos termos da progressão geométrica ilimitada,
cujo primeiro termo é
a
,
e cuja razão é
r.
Temos:
S = a + r(a + ar + ar
2
+ ...) = a + rS,
donde
S − rS = a
e daí .
Não há geometria alguma nesse raciocínio, embora
a progressão se chame
geométrica.
Mas, dados
a
> 0 e 0 <
r
< 1, podemos
construir geometricamente a soma
S = a + ar + ar
2
+ ...,
do
seguinte modo:
Tomamos um segmento de compri-
mento
a
e, a partir de uma de suas
extremidades, outro segmento, com
um comprimento
b
, arbitrário. Na
outra extremidade, traçamos um
segmento paralelo a
b
, de
comprimento
rb.
139
A reta que liga as extremidades livres dos
segmentos
b
e
rb
encontra o prolongamento
de
a
num ponto que dista exatamente
S
da
primeira extremidade de
a.
A figura ao lado diz mais do que as
palavras.
Explicação
Os triângulos de bases
b
e
rb
na figura são semelhantes. A razão de
semelhança é
r.
Logo, o segmento adjacente a
a
mede
rS,
ou seja,
S =
a + rS
, donde
S
=
a/
(l
−
r
) =
a + ar + ar
2
+
...
Uma construção análoga fornece um segmento de comprimento
S’
=
a − ar
+
ar
2
ar
3
+ ... + (− l)
n
ar
n
+ ...
Neste caso, temos
S’
= a − r
(
a − ar + ar
2
−
ar
3
+
...),
ou seja,
S’ = a − rS’
e daí
S’
=
a/
(1
+ r
)
.
A construção de
S’
é dada na figura ao
lado.
Os segmentos
b
e
rb
são paralelos, traçados
a partir das extremidades do segmento
a,
porém
em sentidos opostos. Os dois triângulos da figura
são semelhantes, e a razão de semelhança é
r.
Logo, se chamarmos
S’
a base do triângulo
maior, a base do menor será
r S’.
Portanto,
a
=
S’ + rS’
e daí
S’
=
a
/(l
+ r
)
=
a − ar
+
ar
2
− ar
3
+ ....
140
Se a professora ou professor, por motivo
particular, deseja mudar de ramo, sem se afastar
do visgo da Matemática, aqui vai uma
colaboração. Como cortar uma manga (de
camisa)?
Uma manga é um tronco de cilindro,
dependendo do modelo. A secção é uma
elipse, cujo plano possui uma inclinação
de um ângulo
α em relação à base.
Precisamos medir
b
, que é a
circunferência do braço dividida por 2π,
e α, que dá a inclinação. O comprimento
da parte interna da manga é
m
. Vamos
fazer o corte em função de
b
, α e
m
.
Para cada ponto
P
da figura, vamos
calcular a altura
y
=
PQ
em função do
arco
AQ
, de medida
x
. Para isto,
calculemos
TR
em função de
x
:
Adaptado do artigo de
Ernesto Rosa Neto
Corte e costura
141
Nos triângulos
BRT
e
MNT
temos:
Fazendo
MB
=
a
, temos
onde
c
é a semidistância focal da elipse de semi-eixos
a
e
b
.
TR
=
TC
tg α =
SA
tg α = (
AO
–
OS
)tg α
=
(
b
−
b
cos
x
).
c
/
b
=
c
(1 − cos
x
), logo,
y
=
QP
=
SR
=
ST + TR = m + c
(1 – cos
x
)
y
=
m
+
c
–
c
cos
x.
Portanto, uma elipse se “desenrola” numa cossenóide. Isso pode ser
concretizado também em cartolina, que é molde para corte.
Um modelo em madeira, molhado com tinta, deixa a marca característica
no papel.
Se o professor pretende mudar, deve tomar medidas!
142
Adaptado do artigo de
Renato J. C. Valladares
Elipse, sorrisos e
sussuros
Ao lermos o artigo
Por que as antenas são
parabólicas
de Eduardo Wagner sobre as
antenas parabólicas, baseado na propriedade
bissetora da parábola, não podemos deixar
de lembrar que as elipses também têm uma
propriedade similar.
Essa propriedade é usada na construção
de refletores odontológicos, aparelhos de
emissão de certos raios usados em medicina
ou nas salas de sussurros existentes “.... em
certos museus americanos de ciência e nos
castelos de alguns monarcas europeus
excêntricos...”.
Por outro lado, para cuidar do sorriso dos
pacientes, muitos dentistas usam uma luminária
com espelho elíptico que possui a propriedade
de concentrar os raios luminosos em um ponto,
que é ajustado pelo dentista para iluminar o
dente que está sendo tratado. Conseguem-se,
assim, duas vantagens:
A primeira é concentrar o máximo de luz
onde se está trabalhando, e a segunda é
evitar que os raios luminosos ofusquem o
paciente, o que aumentaria o desconforto
causado pelo tratamento dentário.
143
De maneira diferente dos holofotes comuns,
como os faróis de carro, que refletem os raios
luminosos em uma mesma direção (valendo-
se, para isso, de um espelho parabólico), os
holofotes dentários se valem de espelhos
elípticos para concentrar os raios luminosos
emitidos pela lâmpada em um determinado
ponto.
Isso ocorre devido à
propriedade refletora
da elipse
, que também explica o funcionamento de diversos aparelhos de
emissão de raios usados em tratamentos médicos, como, por exemplo, o
de radioterapia, cujos raios devem destruir os tecidos doentes, sem afetar
os tecidos sadios que se encontram ao redor.
Já as salas de sussurros são construções de forma oval, onde estão
marcados dois pontos no chão. Duas pessoas em pé, uma em cada um
desses pontos, podem se comunicar em voz sussurrada, inaudível no
restante da sala. Isso também decorre da propriedade refletora da elipse.
A forma da sala é de fundamental importância. Ao projetá-la, fixam-se
dois pontos
P
e
Q
, que ficam na altura da cabeça das pessoas que vão
se comunicar. A seguir, toma-se uma elipse
E
que
admita
P
e
Q
como focos, e a sala é construída de
tal maneira que
qualquer plano que passe por esses
pontos intercepte a sala
,
segundo uma elipse
congruente com a escolhida.
Na figura ao lado
mostramos uma seção da sala dos sussurros, por
um plano que passe por
P
e
Q.
Isso possibilita desenvolver todo o nosso estudo na elipse
E
que, por ser
uma figura plana, pode ser considerada em um plano previamente fixado.
Pela própria definição de elipse, a soma das distâncias de um ponto da
curva aos focos é constante. Assim, todas as ondas sonoras emitidas em
um dos focos
que, ao se refletirem nas paredes da sala, cheguem ao
segundo
foco
, terão percorrido a mesma distância e, por isso, chegarão
ao mesmo tempo. Já
a propriedade bissetora
garante que
todo som
144
emitido em um dos focos se dirigirá após a reflexão exatamente para
o outro foco
.
Assim, conjugando essas duas propriedades, concluímos que
todas
as ondas sonoras emitidas em um dos focos chegarão ao mesmo tempo
no outro foco
, o que, sem dúvida, proporciona uma amplificação natural
do som, explicando o funcionamento das salas de sussurros. Passemos
então a estudar a propriedade bissetora da elipse.
Propriedade bissetora da elipse
Seja uma elipse
E
com focos
P
e
Q e seja um
ponto
X
∈
E
.
Nesse caso a reta
r
,
tangente a
E em
X
,
forma ângulos iguais com
os raios focais
PX
e
QX
.
A demonstração dessa propriedade pode ser encontrada, por exemplo,
no número 36 da Revista do Professor de Matemática, e se baseia em
duas leis físicas sobre a reflexão:
1. O ângulo de incidência e o ângulo de reflexão em um plano são iguais.
2. A reflexão em cada ponto de uma superfície comporta-se como se
fosse no plano tangente à superfície, no respectivo ponto.
145
Capítulo 4
Contagem,
Probabilidade e
Estatística
147
Adaptado do artigo de
Roberto Ribeiro Paterlini
O problema
dos discos
Temos aplicado o problema do jogo dos discos em
classes de estudantes de Licenciatura em
Matemática e temos acompanhado colegas
professores que o tem aplicado no ensino médio e
fundamental. O problema tem feito muito sucesso.
O problema do jogo dos discos
Uma escola estava preparando uma Feira de
Ciências e foi pedido aos estudantes que bolassem
um jogo que servisse para arrecadar fundos. Os
estudantes observaram que no salão da Feira o piso
era feito com quadrados de 30 cm de lado, desses
quadrados de Paviflex. Pensaram então em
construir discos de papelão de um certo diâmetro
d
que seriam comprados pelos visitantes por
R$ 1,00 cada um. O visitante jogaria o disco
aleatoriamente no piso. Se o disco, depois de pousar
no piso, tocasse um lado de um quadrado, ele
perderia para a escola o que tinha pago. Se, ao
contrário, acertasse o disco inteiramente dentro de
um quadrado, ele receberia R$ 2,00 (R$ 1,00
como devolução e mais R$ 1,00 como prêmio).
148
O problema dos estudantes consistia em determinar o diâmetro
d
dos
discos de modo que o jogo resultasse favorável à escola. Observaram
que quanto menor
d
, melhor para o jogador, e quanto maior
d,
melhor
para a escola. O favorecimento para a escola não deveria ser exagerado,
pois, se o jogo fosse muito desfavorável para o jogador, ninguém iria
querer jogar. Resolveram que uma probabilidade de 60% favorável à escola
seria adequada.
Pergunta 1
Como determinar o valor de
d
que resulta em uma probabilidade de
40% favorável ao jogador e de 60% à escola?
Pergunta 2
Qual será, em média, o ganho da escola se 500 discos forem vendidos
na feira?
Resposta da Pergunta
1
Sob condições ideais podemos supor que lançar o
disco aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu
centro aleatoriamente. Assim, a probabilidade
p
de o
jogador ganhar (no nosso caso 40%) é a mesma
probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro
do quadrado de lado 30, cair dentro do quadrado de
lado 30 −
d
.
Da definição de probabilidade geométrica temos
ou
Como queremos
p
= 40% = 0,4, obtemos
No caso geral de um quadrado de lado
l
e probabilidade
p
do jogador
ganhar, uma solução análoga fornece e
portanto,
149
Apresentamos o gráfico de com
Observe que é um zero duplo de
As duas linhas pontilhadas na figura acima mostram como se obtém
graficamente o valor de
d
tal que
Resposta da Pergunta
2
Se 500 discos forem vendidos na feira, a arrecadação bruta será
R$ 500,00. Supondo que em 40% das jogadas (200 jogadas) os jogadores
ganhem, a escola pagará R$ 400,00. Sobrará R$ 100,00 para a escola.
Comentários sobre o uso do jogo dos discos em sala de aula
Participando de um projeto dos Departamentos de Matemática e Física
da UFSCar tivemos a oportunidade de orientar um grupo de professores
que aplicaram o problema do jogo dos discos em suas escolas.
Para resolver o problema por experimentação foram construídos dis-
cos de madeirit ou de borracha com diâmetros 4, 6, 8, 10, 12 e 14 cm.
Os professores observaram que devem ser feitos pelo menos 200
lançamentos para cada diâmetro e para facilitar a experiência foram feitos
10 discos de cada diâmetro.
150
Os resultados obtidos em uma classe estão dispostos na tabela acima,
sendo
d
o diâmetro dos discos, em cm, e
p
a probabilidade de o
jogador ganhar.
No gráfico estão dispostos os pontos obtidos. Os estudantes, usando
uma folha de papel quadriculado e uma régua, desenharam a curva que
lhes pareceu ser a que melhor se aproximava dos pontos dados e obtiveram
a solução (ligeiramente diferente do que obtivemos no gráfico).
Ao fazer nosso gráfico (acima), usamos o aplicativo computacional
Ma-
ple V
para obter a função quadrática que mais se aproxima dos pontos
dados. Acrescentamos na lista dos estudantes os pontos e
A função obtida foi
Resolvendo a equação em
d
, temos
d
p
4 75,5%
6 68,5%
8 62%
10 50%
12 38%
14 32%
151
Fazendo conexões
No problema do jogo dos discos podemos considerar pavimentações
de outros tipos para o piso onde serão lançados os discos, fazendo
conexões com outras áreas da Matemática.
Consideremos as pavimentações chamadas mosaicos regulares do
plano, constituídas por polígonos regulares de um único tipo e satisfazendo
as condições:
(a) quando dois polígonos se intersectam, essa interseção é um lado ou
um vértice comum;
(b) a distribuição dos polígonos ao redor de cada
vértice é sempre a mesma. Os únicos mosaicos
regulares do plano são os constituídos por
triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos
regulares (que se reduz aos triângulos).
Vamos aplicar nosso jogo dos discos a esses tipos
de pavimentação. O caso de mosaicos formados por quadrados já foi
estudado acima.
Suponhamos que o piso do jogo dos discos seja
pavimentado com peças na forma de triângulos
equiláteros de lado
l.
Lembrando que o apótema do triângulo equilátero
(raio da circunferência inscrita) vale os
discos podem ter diâmetro
d
tal que 0 <
d
< 2
a
,
ou seja,
No interior do triângulo equilátero de lado
l
dispomos um triângulo
equilátero de lado
t
, com lados paralelos ao triângulo maior, de modo
que a distância entre o lado do triângulo maior ao lado paralelo do triângulo
menor seja
152
Podemos verificar que a relação entre
l
e
t
é Lembrando
que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual à razão
entre os quadrados dos lados, a probabilidade de um disco de diâmetro
d
, lançado aleatoriamente no piso, cair inteiramente dentro do triângulo
de lado
l
é
Resolvendo a equação
P
(
d
) =
p
em
d
,
temos
Como , temos Essa é a solução do
jogo dos discos para o caso de o piso ser pavimentado com triângulos
equiláteros.
Nota histórica sobre Buffon e o problema dos ladrilhos
Georges Louis Leclerc
, Conde de Buffon, nasceu em 7 de setembro
de 1707, em Montbard, na França, e morreu em 16 de abril de 1788, em
Paris.
Nascido na aristocracia, estudou Medicina e Direito. Mostrou interesse
pela Matemática, tendo descoberto sozinho a Fórmula do Binômio e
mantido correspondência com Cramer sobre Mecânica, Geometria,
Probabilidade, Teoria dos Números e Cálculo Diferencial e Integral. Mas
era a Natureza a sua paixão. Dedicou-se principalmente à História Natural,
tendo sido o maior responsável pelo crescimento do interesse pela História
Natural na Europa, no século XVIII.
No século XVIII acreditava-se que Deus havia criado as espécies
separadamente, isto é, de modo independente umas das outras, e que
a idade da Terra seria de no máximo 6 000 anos. Em sua
História
Natural
, uma enciclopédia que continha todo o conhecimento da época
sobre a natureza, Buffon apontava, 100 anos antes de Darwin, as
semelhanças entre homens e macacos e até mesmo sugeria a existência de
153
um ancestral comum. Em
As Épocas da Natureza
(1788), sugeria que a
idade da Terra era muito maior que os 6 000 anos até então a ela atribuídos.
O 4
o
volume do
Suplemento à História Natural
, publicado em 1777,
tem 3 de suas 35 seções dedicadas ao Cálculo de Probabilidades. Uma
delas é
Sur le jeu de franc-carreau
(
Sobre o jogo do ladrilho
), na qual
Buffon discute o jogo do ladrilho e apresenta o Problema da Agulha . Foi
o primeiro escrito sobre o que hoje se conhece por Probabilidade
Geométrica.
O jogo do ladrilho
Era bastante jogado pelas crianças francesas no século XVIII. Uma
pequena moeda de raio
R
é lançada ao acaso em um chão coberto por
ladrilhos quadrados de lado
l
(
l
> 2
r
). As crianças apostavam que a
moeda cairia inteiramente dentro de um ladrilho ou que a moeda cairia
atravessando o lado de algum ladrilho.
Buffon notou que a probabilidade de a moeda cair inteiramente dentro
de um ladrilho era a probabilidade de o centro da moeda cair dentro de
um quadrado de lado
l
− 2
r
.
Essa probabilidade é a razão entre as áreas do quadrado e do ladrilho,
pois a probabilidade de o centro da moeda cair em uma região é
proporcional à área dessa região. Portanto, a probabilidade de a moeda
cair inteiramente dentro de um ladrilho é
154
De tudo que ensinamos aos nossos alunos,
os assuntos que despertam mais interesse
são os que envolvem situações do cotidiano.
Nestes tempos de AIDS, o problema a
seguir tem servido de boa fonte de
motivação e participação, em sala de aula.
Num país, 10% da população é portadora
de um vírus. Um teste para detectar ou não a
presença do vírus dá 90% de acertos quando
aplicado a portadores e dá 80% de acertos
quando aplicado a não portadores.
Qual o percentual de pessoas realmente
portadoras do vírus, dentre aquelas que o
teste classificou como portadoras?
Vejamos uma solução que pode ser dada
sem citar teoremas de Probabilidade ou
Estatística.
Considere que o teste foi aplicado aos
I
habitantes do país. O número de testes que
indicou a presença do vírus foi:
Intuição e
probabilidade
Adaptado do artigo de
Raul F. W. Agostino
90% dos que realmente 20% dos ão portadores
são portadores
0,9 0,1 0, 2 0,9 0,09 0,18 0, 27 .
n
IIIII
×× + ×× = + =
142 43 142 43
155
Destas, são portadoras 0,09
I
.
Assim, são realmente portadoras do vírus 0,09
I/
0,27
I
= 1/3 ≈ 33,3%
das pessoas que o teste classificou como portadoras.
Esse número é no mínimo curioso e mostra que uma pessoa que fez o
teste e foi classificada como portadora tem grande possibilidade de ser
um “falso-positivo” (normalmente, quando uma pessoa faz um teste desse
tipo e o resultado é positivo, os médicos recomendam um novo teste).
No entanto, o número de testes que indicaram a ausência do vírus foi
0,73
I
e, dentre esses, 0,72
I
não são portadores, o que dá
0,72
I /
0,73
I
= 98,6% de não portadores
dentre os classificados como não portadores.
Algumas variações nos dados também originam resultados interessantes.
Por exemplo:
Se 0,5% da população é portadora e o teste acerta em 98% dos casos,
então
somente 20% das pessoas que o teste classificou como portadoras
são realmente portadoras.
Dependendo dos objetivos, pode-se a partir daí enunciar o conceito
de probabilidade condicional ou mesmo desenvolver tópicos em
Estatística; no entanto, a grande qualidade desse problema é apresentar
uma situação de real interesse dos nossos alunos, com uma abordagem
bastante intuitiva.
Nota
Esperamos que nenhum leitor use este artigo como justificativa para não se
submeter a testes e exames clínicos solicitados por seu médico. O que o
exemplo permite concluir é que, como todo teste está sujeito a erros,
dificilmente se justifica a sua aplicação indiscriminada a toda uma população.
É importante observar, no entanto, que, quando o médico pede exames, ele
tem razões para suspeitar que exista algo errado com o paciente e, portanto,
a probabilidade condicional de que ele esteja doente é, em geral, bem maior
do que a incidência da doença na população toda.
156
Adaptado do artigo de
Adilson Simonis
Cláudio Possani
Média e
média das médias
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs)
preconizam que se aborde, desde o ensino fundamental,
noções básicas de Estatística. Pretende-se que o
estudante seja confrontado com situações concretas de
análise de dados através de gráficos ou tabelas,
introduzindo conceitos fundamentais para a compreensão
dos fenômenos do dia-a-dia. Entre esses conceitos, um
de vital importância é a média de uma seqüência de
valores numéricos. Nosso objetivo neste artigo é pontuar
alguns aspectos desse conceito que possam ser úteis ao
professor de Matemática.
Existem várias noções de média aritmética,
geométrica, harmônica, simétrica, etc. Vamos nos ocupar,
neste artigo, da média aritmética, que passamos a
denominar apenas
média.
Dados os números (não neces-
sariamente distintos), a
média
desses valores é definida
como sendo
Uma dúvida muito freqüente acerca das médias é a
seguinte: se temos duas seqüências de números
A
1
e
A
2
com médias μ
1
e μ
2
, respectivamente, e
157
queremos obter a média da união dessas seqüências, é correto fazer
(μ
1
+ μ
2
)/2 ou devemos somar todos os números e dividir pelo número
total de valores? Esses dois procedimentos levam ao mesmo resultado?
Vejamos através de um exemplo que os resultados podem ser diferentes.
Suponha que um professor peça a cada um de seus alunos que calcule
a idade média de sua própria família, e imaginemos a seguinte situação:
Aluno
A
Aluno
B
Pai: 40 anos Pai: 39 anos
Mãe: 37 anos Mãe: 40 anos
A
: 13 anos
B
: 12 anos
Irmão: 10 anos
Irmã: 9 anos
A idade média da família de
A
é μ
1
= (40 + 37 + 13)/3 = 30 anos,
e da família de
B
é μ
2
= (39 + 40 + 12 + 10 + 9)/5 = 22 anos.
Observemos agora os valores:
(μ
1
+ μ
2
)/2 = 26 e
μ
3
= (40 + 37 + 13 + 39 + 40 + 12 + 10 + 9)/8 = 25.
Primeiramente salientamos que não cabe dizer que um procedimento é
mais correto que o outro. Cada um deles tem um significado diferente e é
correto no contexto adequado.
O valor 26 é a média das idades médias das famílias. Assim, se
estivermos interessados em saber se as famílias de uma cidade ou do
Brasil são famílias jovens ou não, esse é o tipo de valor que devemos
calcular.
Por outro lado, se calculamos a soma total dividida pelo número total
de pessoas (μ
3
), obtemos a idade média do total de pessoas (e não de
famílias). É o que fazemos para obter a idade média da população de uma
cidade ou país.
Um outro exemplo no qual os dois procedimentos apresentam
resultados diferentes é:
158
Seqüência 1 de dados: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10. μ
1
= 10.
Seqüência 2 de dados: 5, 5. μ
2
= 5.
(μ
1
+ μ
2
)/2 = (10 +5)/2 = 7,5 e μ
3
= 9.
Ao calcular 7,5, os dois valores, 10 e 5, aparecem com o mesmo
peso, enquanto o cálculo de μ
3
reflete o fato de o valor 10 aparecer
mais vezes na primeira seqüência do que o valor 5 aparece na segunda.
É fácil ver que, se duas seqüências numéricas,
A
1
e
A
2
, têm o
mesmo número de elementos, então os dois procedimentos descritos
anteriormente fornecem valores iguais. De fato, sejam
A
1
= {
x
1
, ...,
x
n
} e
A
2
= {
y
1
, ...,
y
n
}.
Então
Vamos mostrar agora como se procede para avaliar a média quando
não são conhecidos todos os elementos da seqüência numérica.
Em um determinado conjunto ou seqüência de valores numéricos, dois
parâmetros são de especial interesse. Ambos são médias e podem
surpreender pela quantidade de informação que podemos obter a partir
deles sobre a totalidade dos valores numéricos que temos. O primeiro é a
média, e o segundo a
variância
, definida como sendo a média dos
quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Vamos exemplificar esses dois conceitos. Considere a seguinte
seqüência numérica que denotamos por ℘:
℘ = {2, 3, 3, 10, 12}.
A média é dada pelo valor 6. Essa quantidade expressa um certo centro
de gravidade da seqüência, mas certamente nos informa muito pouco sobre
como a seqüência é formada. Se você sabe que a seqüência numérica não
é constante, pode apostar que existem valores menores e maiores,
centrados em 6, mas não pode dizer muito mais do que isso, embora
159
saber que a média dos salários dos políticos brasileiros
é alta possa ajudar a entender por que existem tantos
candidatos a determinado cargo público.
Se a seqüência ℘ representa o salário (em salários
mínimos) de 5 professores de Matemática, e
considerando que dois ou três salários mínimos não
representam um bom salário, você tem que 3 dentre os
5 ganham mal e abaixo da média. Como tentar incorporar essa variabilidade
em relação ao valor médio?
É o conceito de variância, denotada por σ
2
, que tenta expressar a
dispersão dos valores em torno da média. O valor 2 (do professor com
o salário mais modesto) tem uma distância a μ, ao quadrado, dada por
(2 − 6)
2
= 16, enquanto o valor 12 (o marajá do grupo) tem a distância
ao quadrado de μ dada por (12 − 6)
2
= 36. Fazendo a média de todas
as distâncias ao quadrado, encontramos
.
Como essa distância média fornece os valores dos quadrados dos
salários, é usual retornar ao velho, estável e bom salário mínimo tomando
a raiz quadrada, e teremos então o valor conhecido como
desvio padrão
.
O que significa o desvio padrão dado no exemplo por ?
A resposta informal que daremos aqui ficará interessante se imaginarmos
um conjunto com centenas de valores (os salários dos professores de
Matemática no Brasil, por exemplo) e não apenas os cinco do nosso
exemplo. Temos que o valor médio das diferenças, em módulo, entre os
valores e sua média é dado por
.
O desvio padrão σ possui uma interpretação muito próxima do valor
obtido acima (4) e expressa a idéia de concentração ou não em torno da
média. A escolha de σ tem vantagens computacionais em relação à média
dos módulos e talvez por isso o seu uso seja muito difundido.
160
O intervalo (μ − σ; μ + σ) = (6 − 4,15; 6 + 4,15) = (1,85; 10,15), que
no nosso exemplo exclui apenas o marajá, é amplamente utilizado em
estatística aplicada quando o conjunto de valores é grande, e podemos
argumentar que nesse caso contempla aproximadamente 70% das
observações, enquanto o intervalo (μ + 3σ, μ − 3σ) contempla
aproximadamente 99% das observações.
Podemos considerar o desvio padrão discutido como uma medida de
dispersão dos dados, isto é, quanto menor σ
2
, mais concentrados em
torno da média estão as observações. Quando os jornais afirmam que a
distribuição de renda dos trabalhadores brasileiros (e não apenas dos
professores) é injusta, no fundo, afirmam que a variância é grande. Muitos
pobres (professores?) e poucos ricos (políticos?). Por outro lado, se
σ
2
= 0, teríamos todos os valores iguais e, como disse Nélson Rodrigues,
a unanimidade é burra.
161
Muitos problemas em Matemática envolvem
processos adequados de “contagem” que,
freqüentemente, conduzem a fórmulas gerais
extremamente úteis; por exemplo, para contar
de quantas maneiras distintas podemos
combinar
n
objetos em grupos de
r
desses
objetos, usamos a conhecida fórmula que
dá o número de
combinações
de
n
objetos
tomados
r
a
r
,
a saber:
Vamos analisar um problema de contagem
do número de regiões no plano que pode ser
resolvido de maneira direta, simples e
interessante. Trata-se do seguinte:
Considere
100
pontos distribuídos sobre
uma circunferência, de tal modo que o
segmento ligando dois quaisquer desses
pontos não passe pelo ponto de intersecção
de outros dois segmentos
.
Calcular o
número
R
de regiões obtidas no círculo
quando todos os
100
pontos estiverem
ligados.
Adaptado do artigo de
Antônio C. Patrocínio
Número de regiões:
um problema
de contagem
162
Inicialmente, tentamos resolver o problema com um número menor de
pontos. Examinando os casos
2,
3, 4 e 5 pontos, temos:
Figura 1
Observamos que:
com 2 pontos temos 2
1
regiões;
com 3 pontos temos 2
2
regiões;
com 4 pontos temos 2
3
regiões;
com 5 pontos temos 2
4
regiões.
Os resultados levam a acreditar que 6 pontos fornerceriam 2
5
= 32
regiões, logo 100 pontos forneceriam 2
99
regiões, e, por analogia (incorreta,
como veremos)
n
pontos determinariam 2
n
-1
regiões! Mas, ao verificar
diretamente o que acontece com 6 pontos, vemos que ficam determinadas
31 regiões, e não 32.
Logo, a generalização pretendida não é verdadeira.
Figura 2
Como determinar uma “fórmula” que forneça o número de regiões
obtidas com 100 (ou um outro número qualquer) pontos?
163
Solução
1
Os segmentos ligando dois a dois os 100 pontos serão chamados
“diagonais”; como para cada dois pontos temos uma diagonal, o
número delas é , e o número de pontos de intersecção
das diagonais é , visto que cada 4 pontos determinam
duas diagonais, as quais têm um ponto em comum.
Vamos descrever um processo que nos permite obter o número de
regiões
pela
eliminação sucessiva de diagonais.
Ao retirarmos uma das diagonais, o número de regiões vai diminuir,
visto que duas regiões que têm em comum um segmento da diagonal
retirada fundem-se em uma única região.
Por exemplo, na figura 2, a retirada da diagonal
D
12
, que liga os
pontos 1 e 2, faz com que as regiões
A
e
B
se transformem em uma
única região; a retirada da diagonal
D
35
transforma em quatro as oito
regiões que têm partes dessa diagonal como arestas.
Podemos observar que, ao retirarmos uma diagonal, o
número de
regiões decresce conforme o número de pontos de intersecção dessa
diagonal com aquelas que ainda não foram removidas, mais um.
Com
efeito, esse é o número de segmentos nos quais os referidos pontos de
intersecção dividem a diagonal, e a remoção de cada um desses
segmentos transforma duas regiões em uma. Assim, a remoção da
diagonal
D
12
,
que não tem ponto de intersecção com as demais, produz
um decréscimo de apenas
um
no número total de regiões; já a retirada
da diagonal
D
35
, que tem 3 pontos de intersecção com as demais
diagonais, produz um decréscimo de 4 regiões.
Notemos que, no processo de retirada sucessiva das diagonais,
considera-se o número de pontos de intersecção de cada diagonal
com aquelas que ainda não foram retiradas; no final do processo, ao
serem retiradas, sucessivamente, todas as diagonais, tal número é igual
ao número total de pontos de intersecção de todas as diagonais, ou
164
seja ; ao mesmo tempo, o número de regiões decresce
até reduzir-se a uma única região, quando todas as diagonais tiverem sido
eliminadas. Podemos então concluir que o número de regiões eliminadas
no processo de retirada sucessiva de todas as diagonais é dado pelo
número total de pontos de intersecção de todas as diagonais, ou seja ,
, acrescido de tantas parcelas iguais a 1 quantas são as
diagonais, ou seja, . Portanto, o número inicial de regiões,
que é igual ao número de regiões eliminadas mais uma, a que restou no
final do processo, é dado por
Observe que, para
n
pontos, temos a mesma expressão, apenas trocando
o 100 por
n
. E, para 6 pontos, a fórmula obtida fornece
, como havíamos verificado!
Solução
2
Em Geometria, uma das fórmulas mais notáveis é a
chamada “fórmula de Euler”, que estabelece uma relação
entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro:
V − A + F =
2.
Mostraremos, em seguida, como a fórmula que fornece o número de
regiões determinadas por
n
pontos pode ser obtida a partir da fórmula
de Euler; o que era de se esperar, pois a demonstração mais conhecida da
fórmula de Euler, devida a Cauchy, começa removendo uma face do
poliedro e deformando a parte restante em uma região plana que é um
polígono subdividido pelas arestas do poliedro.
165
Para poliedros planos, como o da figura 2, obtidos pela interligação de
n
pontos na circunferência, a fórmula de Euler se reduz a
V − A + F
= 1. (1)
Vamos calcular, separadamente,
V, A
e
F
em função de
n
e substituí-
los na fórmula (2) para obter
R
n
.
Cálculo do número de vértices
Para cada 4 vértices na circunferência existem dois, e apenas dois,
segmentos que se cruzam, e portanto determinam um vértice interno, de
modo que o número desses vértices é , ou seja:
(2)
Cálculo do número de arestas
Cada vértice externo contribui com (
n
− 1) arestas, e cada vértice
interno com 4 arestas, de modo que:
e, portanto,
(3)
Cálculo do número de regiões
O número
R
n
é obtido acrescentando-se a
F
o número
n
de regiões
compreendidas entre o poliedro plano e a circunferência, de modo
que
F
=
R
n
−
n.
(4)
Basta agora substituir (2), ( 3) e (4) na fórmula (1) para se obter o
valor de
R
n
,
na mesma expressão da solução 1.
166
Adaptado do artigo de
Eduardo Wagner
Probabilidade geométrica
e o problema do macarrão
No ensino médio, o ensino de probabilidades
se restringe ao caso finito, e os problemas
são basicamente de contagem de casos
favoráveis e casos possíveis. Existem,
entretanto, problemas muito simples e
interessantes de probabilidades em que o
espaço amostral possui a situação do
seguinte exemplo: um atirador, com os olhos
vendados, procura atingir um alvo circular
com 50 cm de raio, tendo no centro um
disco de 10 cm de raio. Se em certo
momento temos a informação de que o
atirador acertou o alvo, perguntamos qual
deve ser a probabilidade de que tenha
atingido o disco central.
Tenho sugerido esse problema a alunos
do ensino médio e freqüentemente obtenho
deles respostas corretas, baseadas
unicamente na intuição. Como obviamente
não se pode contar casos favoráveis e
possíveis, e como para o atirador cego não
há pontos privilegiados do alvo, a
probabilidade de acertar o disco central deve
ser a razão entre as áreas do disco e do alvo.
Um cálculo elementar leva à resposta
correta: 4%.
167
Esse é um exemplo do que se chama probabilidade geométrica. Nesta,
se tivermos uma região
B
do plano contida em uma região
A
, admitimos
que a probabilidade de um ponto de
A
também pertencer a
B
é
proporcional à área de
B
e não depende da posição que
B
ocupa em
A
.
Portanto, selecionado ao acaso um ponto de
A
, a probabilidade de que
ele pertença a
B
será:
Em diversos problemas, entretanto, precisaremos escolher um ponto
de uma determinada “linha”. Se
X
e
Y
são pontos de uma linha de
extremos
A
e
B
, admitimos que a probabilidade de que um ponto da
linha
AB
pertença à linha
XY
(contida em
AB
) é proporcional ao
comprimento de
XY
e não depende da posição dos pontos
X
e
Y
sobre
AB
. Portanto, selecionado um ponto de
AB
, a probabilidade de
que ele pertença a
XY
será
Vamos descrever neste artigo um problema em probabilidade
geométrica, conhecido hoje como o
problema do macarrão
. Antes de
abordá-lo, vamos falar alguma coisa sobre freqüência e probabilidade.
Freqüência e probabilidade
Na prática, existem inúmeros problemas em que precisamos estimar a
probabilidade de um evento, mas não podemos calculá-la. Qual é a
probabilidade de um avião cair? Qual é a probabilidade de que um
carro seja roubado? Qual é a probabilidade de que um estudante,
entrando numa universidade, termine seu curso? Respostas para esses
problemas têm imensa importância e, como não podemos calcular essas
probabilidades, tudo o que podemos fazer é observar com que freqüência
168
esses fatos ocorrem. Com um
grande
número de observações, dividindo
o número de vezes que determinado fato ocorreu pelo número de
observações feitas, obtemos uma estimativa da probabilidade desse evento.
Nos casos em que procuramos estimar probabilidades por meio de
experiências, dúvidas certamente surgem. Não estamos sendo de alguma
forma tendenciosos? Os experimentos foram realizados em condições
idênticas? Eles podem ser considerados como independentes?
Vamos mostrar um caso no qual o valor estimado e o valor teórico
foram bastante diferentes.
O problema do macarrão
Durante um curso de aperfeiçoamento de
professores de Matemática do ensino médio,
promovido pelo IMPA, RJ, fiz uma
interessante experiência, que passo a relatar.
Em uma aula com 60 professores, distribuí
um espaguete a cada um deles. Sem que eles
soubessem o que iria ocorrer, pedi a cada um que partisse o espaguete,
ao acaso, em três pedaços. Em seguida, pedi que cada um verificasse se
conseguiam formar um triângulo com os seus três pedaços. Dos 60
professores, 41 conseguiram formar um triângulo com os três pedaços do
espaguete.
Escrevi no quadro um problema:
Dividindo aleatoriamente um segmento em três partes, qual é a
probabilidade de que esses novos segmentos formem um
triângulo
?
Ninguém imaginava na ocasião como esse problema poderia ser
resolvido, mas a experiência feita com o macarrão indicava que essa
probabilidade deveria ser estimada em 41/60 ≅ 0,68 . É claro que 60
experiências é pouco para que se possa confiar no resultado, mas era
opinião geral que a resposta correta não deveria ser muito distante
1 −
x
−
y
.
169
Uma solução do problema
Tomemos um segmento de reta
AB
de comprimento 1. Vamos dividi-
lo em três partes: uma,
AP
, de comprimento
x
, outra
PQ
, de comprimento
y
e a terceira,
QB
, naturalmente com comprimento .
Cada forma de dividir o segmento unitário fica então associada ao
par ordenado (
x
,
y
) onde
x
> 0,
y
> 0 e
x
+
y
< 1.
Isso corresponde, no plano cartesiano, à região
triangular que mostramos ao lado. Portanto, cada
forma de dividir um segmento em três partes está
agora representada por um ponto interior ao triângulo
da figura.
Entretanto, não são todas as divisões que for-
mam triângulos. Um triângulo existe se, e somente se, cada lado for menor
que a soma dos outros dois. Isso é equivalente a dizer que, em um triângulo,
cada lado é menor que o seu semiperímetro, que no nosso caso é igual a
1/2.
Temos, portanto,
A última condição é naturalmente equivalente a
e, reunindo as três, temos que a região
favorável
é o interior do triângulo formado pelos pontos
médios dos lados do triângulo inicial.
170
Ora, o triângulo formado pelos pontos médios tem área igual a 1/4 da
área do triângulo grande, o que nos leva a concluir que a probabilidade de
que os três segmentos formem um triângulo é 0,25.
Esse resultado causou espanto na platéia. Por que a experiência
forneceu um resultado tão distante? A resposta está na própria realização
da experiência. Quando pedi aos professores que dividissem o espaguete
ao acaso, em três partes, isso não foi feito aleatoriamente.
Ninguém fez uma parte muito pequena em relação às outras, ou seja, a
maioria partiu seu espaguete em pedaços de comprimentos próximos.
Por isso, o resultado da experiência ficou muito distante do esperado.
171
O jogo de pôquer é uma fonte bastante rica
em exemplos e problemas interessantes, que
podem ser utilizados para ilustrar aulas de
Análise Combinatória e Probabilidade no
ensino médio. Neste artigo serão apresentados
alguns exemplos que servirão para mostrar
como a hierarquia dos valores dos jogos no
pôquer pode ser afetada pelo número de cartas
utilizadas no jogo.
Em benefício dos leitores que desconhecem
totalmente o assunto (e que tiveram
curiosidade suficiente para iniciar a leitura),
daremos uma breve descrição das regras e dos
objetivos do jogo. Essa descrição limitar-se-á
a considerar a forma clássica do jogo, o assim
chamado pôquer fechado de 5 cartas.
No Brasil, o jogo utiliza um baralho comum
de 52 cartas ou apenas uma parte dele,
dependendo do número de parceiros
envolvidos. Assim, por exemplo, quando o
número de participantes é igual ou inferior a
quatro, são eliminadas do baralho todas as
cartas, cujos valores são 2, 3, 4, 5 e 6, restando
as trinta e duas cartas cujos valores vão do 7
Adaptado do artigo de
Flávio Wagner Rodrigues
O jogo de pôquer e
o cálculo de
probabilidades
172
até o Ás. Na medida em que o número de participantes vai aumentando,
as cartas de valor 6, 5, 4 etc., vão sendo introduzidas, até que com oito
participantes, o baralho todo é utilizado. Na formação de seqüências, o
Ás tem um duplo papel, funcionando como a carta mais alta e também
como a carta de menor valor. Assim, por exemplo, se a menor carta em
jogo é o 7, numa seqüência o Ás poderá valer 6.
O objetivo do jogo é combinar as cartas de modo a formar o melhor
jogo possível, segundo uma hierarquia estabelecida pelas regras. Na
primeira etapa do jogo cada participante recebe cinco
cartas, seguindo-se uma rodada de apostas, que obedece
a um conjunto de regras que não interessam aos objetivos
deste artigo. A seguir é facultado a cada jogador desfazer-
se de até no máximo três de suas cartas, recebendo
novas, dentre aquelas que restaram no baralho. É a
chamada fase das pedidas. Após uma nova rodada de
apostas, os participantes que permaneceram no jogo,
isto é, que pagaram todas as apostas feitas, mostram
suas cartas, e o dinheiro arrecadado vai para aquele que tiver o maior
jogo.
Do ponto de vista do cálculo de probabilidades, existem, portanto,
dois problemas distintos a serem considerados. O primeiro deles
envolve as probabilidades de que determinadas combinações de cartas
sejam obtidas “de mão”, isto é, estejam contidas nas cinco cartas
recebidas na primeira fase do jogo. O segundo, bem mais complexo,
envolve as probabilidades de se melhorar o jogo na fase das pedidas,
o que não será tratado neste artigo.
A seguir daremos uma descrição dos jogos em ordem decrescente de
seus valores. Alguns nomes foram mantidos em inglês, por já estarem
consagrados pelo uso e também por não conhecermos uma tradução
adequada.
1)
Royal Straight Flush
É uma seqüência formada por um 10, um valete, uma dama, um rei e
um Ás, todos de um mesmo naipe. Existem apenas quatro
royal straight
173
flushes
no jogo, sendo um de cada naipe. Utilizando 36 cartas, a chance
de recebermos um
royal
de mão é de apenas uma em 94248. Para
aqueles que acharem essa probabilidade muito pequena, é importante
notar que ela é cerca de três vezes maior do que a de acertarmos a
quina da Loto, com um jogo de 10 dezenas.
2)
Straight Flush
É qualquer seqüência de cartas de um mesmo naipe que não seja
um
roya
l. Com 36 cartas, o Ás pode ocupar o lugar do 5, o que nos
dará um total de 20
straight flushes
. Com o baralho todo, o número
de jogos deste tipo é igual a 36.
3)
Quadra
É o jogo formado por quatro cartas de mesmo valor e de uma quinta
carta qualquer. Assim, por exemplo, uma quadra de reis poderia ser
formada pelos 4 reis e por uma dama.
4)
Flush
É um conjunto de cartas de um mesmo naipe que não estão em seqüência.
Assim, por exemplo, um
flush
de espadas poderia ser formado pelo 7,
9, Valete, Dama, Ás, todos de espadas.
5)
Fullhand
É o jogo composto por uma trinca (três cartas de mesmo valor) e um
par (duas cartas de mesmo valor). Assim, por exemplo, um
fullhand
de dama com valete é formado por três damas e dois valetes. É um
jogo distinto do
fullhand
de valete com dama, que é composto por
três valetes e duas damas.
6)
Seguida
É o jogo composto por 5 cartas em seqüência, nem todas do mesmo
naipe.
Exemplo: 9 de ouros, 10 de paus, valete de copas, dama de ouros, rei
de paus.
174
7)
Trinca
É o jogo composto por três cartas de mesmo valor
(por exemplo, três reis) e duas outras cartas
quaisquer, que não formam par e que tenham
valores distintos das cartas que compõem a trinca.
Exemplos: 1) 9, 9, 9, D, R;
2) V, V, V, 7, 1 0 .
8)
Dois pares
Como o próprio nome indica, é o jogo composto por dois pares e por
uma quinta carta de valor distinto daquelas que compõem os dois pares.
Exemplo: A, A, R, R, 8.
9)
Um par
É o jogo composto por um único par e por três outras cartas de valores
distintos entre si e distintos daquelas que compõem o par.
Exemplo: 7, 7, 8, V, D.
10)
Nada de interesse
São todos os jogos pertencentes ao complementar da união dos jogos
descritos acima. Se você receber um jogo deste tipo não se julgue um
infeliz perseguido pelos deuses. A probabilidade de que isso ocorra é
bastante alta, indo de cerca de 25%, com 32 cartas, até mais de 50%
quando todo o baralho é utilizado.
Na descrição acima foram apresentados alguns resultados de contagens
de totais de jogos de um determinado tipo e foram feitas afirmações sobre
as probabilidades de obtenção de outros jogos. Nos exemplos seguintes
procuraremos mostrar como são feitos esses cálculos. Em todos eles
suporemos que estão sendo usadas 32 cartas, das quais um particular
jogador receberá cinco escolhidas ao acaso, através do
embaralhamento. Em outras palavras, estamos admitindo que os
jogos possíveis têm todos a mesma probabilidade.
175
Exemplo 1
– Contagem do número de “fullhands”
Vamos iniciar com um problema mais simples, contando o número de
“fullhands” de rei com dama, isto é, o número de jogos formados por três
reis e duas damas. Observe que os três reis podem ser
escolhidos de maneiras diferentes, enquanto
as duas damas podem ser escolhidas de
maneiras diferentes. Como cada uma das quatro trincas
pode ser combinada com qualquer um dos seis pares
para formar um
fullhand
de rei com dama, segue-se que existem 4 x 6 =
24 jogos distintos deste tipo. A próxima etapa será calcularmos quantos
tipos distintos de
fullhands
existem. Para isto, vamos observar que dentre
os oito grupos de cartas de mesmo valor, nós teremos que escolher um,
no qual será selecionada a trinca, e um outro, do qual sairá o par. Para a
primeira escolha existem 8 possibilidades e para a segunda, apenas 7, o
que nos dá 8 x 7 = 56 tipos distintos de
fullhands
. Como cada um deles
admite 24 jogos diferentes, segue-se que o total de
fullhands
é igual a
1344.
A probabilidade de recebermos um
fullhand
de mão será portanto
dada por: 1344/201376
≅ 0,67%.
Exemplo 2 –
Contagem do número de “flushes”
Vamos considerar inicialmente
flushes
de ouros. Existem oito cartas
de ouros, dentre as quais podemos selecionar conjuntos
distintos de cinco cartas. Como o mesmo raciocínio pode ser feito para
os outros três naipes, teríamos aparentemente 56 × 4 = 224
flushes
. No
entanto, é fácil ver que neste total estão incluídos os quatros
royal straight
flushes
e os 16
straight flushes
. Segue-se portanto que, com 32 cartas,
existirão 204
flushes
puros.
176
Exemplo 3 –
Contagem do número de trincas
Esse cálculo pode ser feito diretamente, de maneira análoga à que foi
utilizada para contar o número de
fullhands
. No entanto, como este número
já foi obtido, podemos utilizá-lo para contar o número de trincas de um
modo indireto e mais rápido.
Vamos escolher uma das quatro trincas de reis e combiná-la com duas
cartas quaisquer escolhidas entre as 28 que restam, quando excluímos os
quatro reis. Isto nos dará um total de jogos.
Levando em consideração as demais trincas, teríamos
8 × 1512 = 12096 jogos. Neste total não existem quadras, pois o grupo
que fornece a trinca é todo ele excluído na seleção seguinte. No entanto,
é claro que nele estarão incluídos todos os
fullhands
. Subtraindo 1344
de 12096 encontraremos para o total de trincas o valor 10752, o que nos
dará para a probabilidade de obtenção de uma trinca “de mão”, o valor
aproximado de 5,4%.
O leitor que comparar o ranking dos jogos encontrado na Enciclopédia
Britância com o nosso verá que há uma inversão de posições entre o
fullhand
e o
flush
. Isto se deve ao fato de que lá a descrição está baseada
na utilização do baralho completo, o que torna o
flush
mais fácil de ser
obtido de mão do que o
fullhand
. É interessante observar ainda que com
32 cartas o
flush
é mais difícil de ser obtido “de mão” do que uma quadra.
Essa mudança no valor relativo dos jogos, que será mostrada nos exemplos
seguintes, deve-se ao fato de que os jogos não têm todos a mesma natureza.
É claro que nenhuma mudança no número de cartas poderia fazer com
que uma quadra ficasse mais fácil de ser obtida do que uma trinca. Jogos
como a quadra, o
fullhand
e a trinca dependem de
seleções feitas nos conjuntos de cartas de mesmo
valor, enquanto um jogo como o
flush
depende de
escolhas feitas nos conjuntos de cartas de mesmo
naipe. É razoável portanto que uma mudança no
número de cartas faça com que as probabilidades
177
variem num mesmo sentido, mas não necessariamente com a mesma
intensidade.
Exemplo 4
– Cálculo do número de quadras
Utilizando 32 cartas, uma quadra de reis é um jogo formado pelos
quatro reis e por uma quinta carta escolhida dentre as 28 restantes.
Existem portanto 28 jogos que contêm uma quadra de reis. O mesmo
raciocínio aplicado às demais cartas nos permite concluir que com 32
cartas teremos um total de 8 x 28 = 224 quadras. Vimos no Exemplo
2 que o número de
flushes
puros é de apenas 204, o que justifica a
nossa observação de que, com 32 cartas, o
flush
é mais difícil de ser
obtido de mão do que a quadra.
Observação
A situação se inverte quando passamos a usar 36 cartas. Adaptando
os cálculos feitos nos exemplos 2 a 4 para essa situação, vemos que o
número de quadros passa a ser 288, enquanto que o número de
“flushes” será igual a 480.
Exemplo 5 –
Número de “flushes” e “fullhands” com
52
cartas
(a) Quando o baralho todo é utilizado, o número de cartas de ouros é
igual a 13, existindo portanto conjuntos distintos de cinco
cartas de ouros. Considerando os demais naipes, teríamos um total de
4 × 1287 = 5148 jogos. Subtraindo deste total os 4
royal straight
flushes
e os 36
straight flushes
, teremos um total de 5108
flushes
puros.
(b) É fácil ver que para cada tipo de
fullhand
continuaremos a ter 24
jogos possíveis. Agora, no entanto, dispomos de 13 grupos de cartas
de mesmo valor, o que nos dará 13 × 12 = 156 tipos diferentes de
fullhands
. Portanto o número total de
fullhands
será 24 × 156 =
3744.
178
Como pode ser visto nos exemplos acima, o
flush
desempenha um
papel curioso na hierarquia dos jogos do pôquer. Ele, que com 32 cartas
é o terceiro jogo mais difícil de ser obtido, cede essa posição para a
quadra a partir das 36 cartas e finalmente termina na quinta posição,
cedendo a quarta para o
fullhand
, quando o baralho todo é utilizado.
Esperamos que a discussão feita até aqui sirva de motivação e estímulo
para que o leitor faça as contagens correspondentes aos demais jogos do
pôquer.
Um problema teórico interessante, que poderia ser proposto a
estudantes curiosos, seria a análise de que outra mudanças poderiam
ocorrer se o número de cartas não fosse limitado em 52. Para isto,
poderíamos imaginar um baralho com quatro naipes e 4
n
cartas
numeradas de 1 a
n
, com o 1 representando o duplo papel que cabe ao
Ás no baralho comum. Será que existe algum valor de n a partir do
qual o
flush
fica mais fácil de ser obtido do que uma trinca? Será que
as seguidas permaneceriam sempre na mesma posição?
Para concluir, vamos fazer um breve comentário sobre as
probabilidades envolvidas na segunda fase do jogo, isto é, na fase das
pedidas. Vamos supor que você seja o primeiro a pedir cartas num
jogo com 4 participantes e que portanto restam no baralho 12 cartas.
Você recebeu quatro cartas de ouros e uma de espadas (que você
descartou). Qual é a probabilidade de que você consiga fechar um
flush
de ouros?
Como a carta que você vai receber é a vigésima-primeira, o que se
deseja é a probabilidade de que num conjunto de 32 cartas, bem
embaralhadas, a vigésima-primeira seja uma carta de ouros. Se você
não tivesse olhado suas cartas, isto é, não dispusesse de nenhuma
informação adicional, a resposta a essa pergunta seria obviamente 1/4.
No entanto, como você olhou suas cartas, o que precisamos é da
probabilidade condicional de que a vigésima-primeira carta seja de
ouros dado que entre as 20 primeiras cartas existiam pelo menos quatro
cartas de ouros e pelo menos uma de espadas.
179
Neste artigo são discutidos alguns aspectos
ligados à noção de independência de dois
eventos na Teoria das Probabilidades. Os
objetivos principais são analisar o conceito
formal, relacionando-o com a idéia intuitiva,
que as pessoas geralmente têm sobre as
relações entre os fenômenos que elas observam
na sua vida diária.
Vamos, inicialmente, recordar alguns
conceitos básicos da Teoria da Probabilidade.
A teoria tem por objetivo fornecer um modelo
matemático para experimentos aleatórios, isto
é, para experimentos que, “repetidos” em
idênticas condições, produzem, geralmente,
resultados distintos.
A todo experimento aleatório está associado
o conjunto
S
, chamado espaço amostral,
composto por todos os resultados possíveis do
experimento.
Assim, considerando o lançamento de um
dado, o espaço amostral naturalmente
associado a este experimento é
S =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Adaptado do artigo de
Flávio Wagner Rodrigues
Eventos
independentes
180
Se
S
é um espaço amostral finito chamamos evento a qualquer
subconjunto de
S
e diremos que ocorreu o evento
A
⊂
S
, quando o
resultado do experimento for um elemento de
A
.
No caso do lançamento de um lado, o evento: “o resultado é par” é o
subconjunto
A
= {2, 4, 6}⊂
S
, e se, ao lançarmos o dado, obtivermos
“4”, diremos que o evento A ocorreu.
Cada subconjunto unitário de
S
chama-se evento elementar, isto é, se
S
= {
x
1
,
x
2
, ...,
x
n
} então, {
x
1
}, {
x
2
},... são eventos elementares. Uma
probabilidade é uma função que associa a cada evento elementar {
x
i
}
um número
p
i
, 0 ≤
p
i
≤ 1, de tal modo que
p
1
+
p
2
+ ... +
p
n
= 1.
A probabilidade de um evento qualquer
A
⊂
S
será, por definição, a
soma das probabilidades dos eventos elementares contidos em A e
indicaremos por
P
(
A
).
Retomando o exemplo do dado e supondo agora que o lançamento
seja o de um dado honesto, a cada evento elementar {1}, {2}, {3},
{4}, {5}, {6}, é associada a probabilidade 1/6.
Nessas condições, se
A
é o evento “o resultado é par”,
Começaremos com a definição formal de independência. À
primeira vista, os exemplos poderão parecer contrários à noção
intuitiva de “independência”. Com a introdução do conceito de
probabilidade condicional e a análise de mais exemplos,
esperamos deixar claro o que sejam “eventos independentes”,
conciliando, assim, a definição formal com intuição.
Definição
Dois eventos,
A
e
B
, de um mesmo espaço amostral (isto é, dois
eventos associados ao mesmo experimento aleatório), são
independentes quando a probabilidade de que eles ocorram
181
simultaneamente for igual ao produto de suas probabilidades
individuais. Em símbolos,
A
e
B
serão independentes quando:
P(
A
∩
B
) = P(
A
).P(
B
)
Exemplo 1
Considere o lançamento de um dado honesto. O espaço amostral
associado e esse experimento é o conjunto formado pelos números 1, 2,
3, 4, 5, 6, e a cada um dos quais é atribuída probabilidade 1/6. Vamos
considerar os eventos:
A
– “o resultado é par”;
B
– “o resultado é maior do que 4”;
C
– “o resultado é um múltiplo de 3”.
Os subconjuntos do espaço amostral associados a esses eventos são
respectivamente: {2, 4, 6}, {5, 6} e {3, 6}.
Segue-se então que:
P
(
A
) = 1/2 e
P
(
B
) =
P
(
C
) = 1/3.
Os eventos
A
e
B
(e também os eventos
B
e
C
) ocorrerão
simultaneamente quando o resultado do lançamento for um 6.
Segue-se que
P
(
A
∩
Β
) =
P
(
B
∩
C
) = 1/6.
A comparação desses valores com os produtos das probabilidades
individuais mostra que
A
e
B
são independentes enquanto que
B
e
C
são dependentes.
É claro que o fato de dois eventos serem ou não independentes é
determinado pelo espaço amostral e pela probabilidade definida nesse
espaço. O exemplo seguinte mostra como a probabilidade escolhida afeta
as relações de dependência ou independência entre eventos.
Exemplo 2
Vamos considerar o lançamento de um dado ao qual está associada a
seguinte distribuição de probabilidades:
Resultado
1 2 3 4 5 6
Probabilidade
1/12 1/12 1/4 1/12 1/4 1/4
182
Com essa distribuição, as probabilidades dos eventos considerados
no exemplo 1 terão agora os seguintes valores:
É fácil ver que estamos diante da situação inversa daquela que ocorreu
no Exemplo 1. Os eventos
B
e
C
são independentes, enquanto que
A
e
B
são dependentes.
Observação
O leitor poderá argumentar, com razão, que não é fácil transmitir a
uma classe iniciante a idéia de um dado que se comporte da maneira
acima. Vale lembrar, no entanto, que na realidade dos cassinos e das
casas de jogos, o dado honesto do exemplo 1 talvez seja até mais
fantasioso do que aquele que estamos considerando aqui. Além disso, é
possível realizar esse experimento numa sala de aula, com o auxílio de
uma urna e de 12 bolas numeradas com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6,
nas proporções indicadas pela distribuição de probabilidades. A retirada
de uma bola dessa urna é equivalente, em termos probabilísticos, a um
lançamento do nosso dado hipotético.
Vamos apresentar mais um exemplo, tirado do livro
Uma Introdução
à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações
, de W. Feller, que
mostra como a estrutura do espaço amostral afeta as relações de
dependência.
183
Exemplo 3
Vamos considerar famílias com
n
crianças e
admitir que todas as distribuições do sexo
dessas crianças são igualmente prováveis. Seja
A
o evento: “existem crianças de ambos os
sexos” e
B
o evento: “existe no máximo uma
menina”. Pode-se verificar que no conjunto das
famílias com 3 crianças,
A
e
B
são eventos independentes o que não ocorre
no conjunto das famílias com 4 crianças. O leitor interessado no cálculo
dessas probabilidades pode consultar a referência citada anteriormente.
Com um pouco mais de trabalho, é possível mostrar ainda que
A
e
B
só
serão independentes no caso
n
= 3.
Na vida real, a independência entre dois fenômenos está associada à
idéia intuitiva de que eles nada têm a ver um com o outro, não existindo
entre eles nenhum tipo de relação. É natural que a descoberta da existência
de algum tipo de relação entre dois fenômenos (isto é, a verificação de
que eles não são independentes) seja mais importante do ponto de vista
prático. Nenhum jornal abriria manchetes para afirmar, por exemplo, que
a ingestão de açúcar nada tem a ver com câncer de pele. No entanto, os
meios de comunicação estão sempre discutindo, entre outras, as prováveis
relações entre consumo de açúcar e cárie dental e entre o excesso de
exposição à luz solar e o câncer de pele.
Essa idéia intuitiva explica porque os estudantes freqüentemente
confundem eventos independentes com eventos mutuamente exclusivos.
De fato, a eventos mutuamente exclusivos correspondem subconjuntos
disjuntos do espaço amostral. A associação entre a ausência de pontos
comuns e a idéia intuitiva de independência, embora falsa, chega a ser
compreensível. Quando se utiliza a definição, vê-se facilmente que, a não
ser em casos muitos particulares (quando ao menos um dos eventos tem
probabilidade zero),
eventos mutuamente exclusivos nunca são
independentes.
Do ponto de vista do ensino, a questão que se coloca é como apresentar
num curso elementar a idéia de independência, de modo a conciliar a
definição formal com as idéias intuitivas que os estudantes certamente têm
184
sobre o assunto. O caminho natural para atingirmos esse
objetivo começa necessariamente pelo conceito de
probabilidade condicional, que procuramos ilustrar no
exemplo seguinte.
Exemplo 4
Numa rifa são vendidos 100 bilhetes numerados de 00 à 99. Um único
prêmio será entregue ao portador do bilhete que for escolhido por sorteio.
Esse sorteio será realizado em duas etapas, utilizando-se uma urna com
dez bolas numeradas de 0 a 9. Na primeira etapa, uma bola é escolhida
ao acaso, obtendo-se assim o algarismo das unidades do número premiado;
em seguida, essa bola é devolvida à urna, e repete-se o processo para
que seja obtido o algarismo das dezenas.
Vamos analisar a situação de dois indivíduos, João e Paulo, cujos
bilhetes têm os números 25 e 47, respectivamente. Antes de ser iniciado o
sorteio (e supondo-se que ele seja honesto), os dois têm a mesma
probabilidade de sucesso, igual a 1/100. Supondo-se que a primeira bola
sorteada tenha o número 7, o conjunto dos resultados possíveis do sorteio
se reduz a um conjunto com dez elementos, a saber: {07, 17, ..., 97}.
João já pode rasgar o seu bilhete pois, suas chances de
vitória se reduziram de 1/100 para 0. Por outro lado, Paulo
viu sua chance multiplicada por 10, passando de 1/100 para
1/10. Seja
A
o evento “Paulo ganha o prêmio”,
B
o evento
“João ganha o prêmio” e
C
o evento “o número sorteado
termina em 7”. Antes da realização da primeira etapa,
tínhamos:
P
(
A
) =
P
(
B
) = 1/100 e
P
(
C
) = 1/10.
As probabilidades, 0 e 1/10, calculadas após a realização da primeira
etapa, são denominadas probabilidades condicionais de
B
e
A
,
respectivamente, dado que ocorreu o evento
C
.
No exemplo acima, as probabilidades condicionais foram calculadas
por meio da redução do espaço amostral ao conjunto
C
, que passou a ser
o espaço associado à segunda etapa do sorteio. Probabilidades
condicionais podem também ser calculadas em termos das probabilidades
do espaço original, como veremos na definição abaixo.
185
Definição
Sejam
A
e
C
dois eventos num mesmo espaço de probabilidades e
suponhamos
P
(
C
) ≠ 0. A probabilidade condicional de
A
, dado
C
, é
definida como sendo:
(1)
Observação
Da definição segue-se facilmente que se
A
e
C
são dois eventos
independentes, com probabilidades positivas, teremos:
P
(
A
/
C
) =
P
(
A
) e
P
(
C
/
A
) =
P
(
C
). (2)
Um evento com probabilidade zero é trivialmente independente de
qualquer outro, e para eventos com probabilidades positivas, a
igualdade (1) é equivalente a qualquer uma das igualdades em (2).
Podemos então dizer que dois eventos com probabilidades positivas
são independentes, quando a probabilidades condicional de um deles,
dado que o outro ocorreu, for igual à probabilidade daquele evento
no espaço original. Em outras palavras, a informação adicional sobre
a ocorrência de um deles não altera a probabilidade do outro. Como
procuraremos ilustrar no exemplo seguinte, essa é a interpretação
correta da idéia intuitiva de que um evento nada tem a ver com o
outro.
Exemplo 5
Vamos considerar novamente a possibilidade da existência de algum
tipo de relação entre ingestão de açúcar e incidência de câncer de
pele. Vamos supor que a evidência experimental, comprovada por testes
estatísticos adequados, mostre que não existe nenhum tipo de relação
entre os dois fenômenos. O que isto quer dizer é que a informação
adicional sobre a quantidade de açúcar ingerida por um indivíduo (seja
ela grande ou pequena) não altera em nada o seu risco (medido por uma
probabilidade) de vir a adquirir câncer de pele.
186
Fica claro agora, do ponto de vista intuitivo, porque eventos
mutuamente exclusivos não são, em geral, independentes. A informação
de que um deles ocorreu nos assegura que o outro não ocorrerá.
Portanto, com essa informação, a probabilidade do outro passa a ser
igual a zero, isto é, se altera, a não ser que já fosse igual a zero no espaço
original.
Capítulo 5
Curiosidades
189
Estamos assim??
Exercício
6 + 7 = 18
Análise
A grafia do número seis está absolutamente correta;
O mesmo se pode concluir quanto ao número sete;
O sinal operacional + indica-nos, corretamente, que se trata de
uma adição;
Quanto ao resultado, verifica-se que o primeiro algarismo (“1”)
está corretamente escrito – corresponde ao primeiro algarismo da
soma pedida. O segundo algarismo pode muito bem ser entendido como um 3
escrito simetricamente – repare-se na simetria, considerando-se um eixo vertical!
Assim, o aluno enriqueceu o exercício recorrendo a outros conhecimentos… a sua
intenção era, portanto, boa.
Avaliação
Do conjunto de considerações tecidas na análise, podemos concluir que:
A atitude do aluno foi positiva: ele tentou!
Os procedimentos estão corretamente encadeados: os elementos estão dispostos
pela ordem precisa.
Nos conceitos, só se enganou (?) num dos seis elementos que formam o exercício,
o que é perfeitamente negligenciável.
Na verdade, o aluno acrescentou uma mais-valia ao exercício ao trazer para a
proposta de resolução outros conceitos estudados – as simetrias – realçando as
conexões matemáticas que sempre coexistem em qualquer exercício…
Em conseqüência, podemos atribuir-lhe um “EXCELENTE” e afirmar que o
aluno “PROGRIDE ADEQUADAMENTE”.
Fonte
: Internet.
190
O porquê do horário de verão
Imaginemos um mostrador de relógio com as
24 horas do dia, como se vê na figura, no qual
representamos nossos hábitos de dormir. Embora
as pessoas tenham costumes diferentes, podemos
imaginar uma situação ideal, mais ou menos a média
do que realmente acontece, com as pessoas indo
dormir às 22h (10h da noite) para se levantar às
6h da manhã − um período de 8h de sono.
Ora, como é fácil compreender, por simples
observação da figura, o período de 8h mais escuro
da noite não é esse, mas sim o que vai das 20h
(8h da noite) às 4h da madrugada − simetricamente disposto em relação à
meia-noite. Este sim é que deveria ser utilizado como período de dormir,
se efetivamente desejássemos dormir nas horas de maior escuridão. (Aliás,
é precisamente isto o que fazem os animais que dormem durante a noite,
num gesto de sabedoria instintiva: eles utilizam um período simétrico em
relação à meia-noite.)
Agora é fácil entender o porquê do horário de verão: o período de 10h
da noite às 6h da manhã, num relógio adiantado uma hora, corresponde,
efetivamente, ao período de 9h da noite às 5h da manhã, de forma que
adiantar o relógio uma hora torna mais simétrico, em relação à meia-noite,
o período que utilizamos para dormir. Em conseqüência, o horário de
verão faz com que economizemos horas escuras quando acordados.
Convém observar que o horário de verão só faz sentido
nas regiões mais afastadas do equador terrestre, visto que,
quanto mais longe do equador, mais longos se tornam os
dias no verão e mais curtas as noites. Mas não é isto o
que acontece em lugares como Belém ou Manaus, onde
as durações dos dias e das noites sofrem variações mínimas
durante o ano. É por isso que os habitantes desses lugares
se opõem à adoção do horário de verão.
191
Brincando com a Matemática
Alunos gostam quando exploramos brincadeiras
matemáticas ou exercícios curiosos. Aqui vai uma
brincadeira que desperta grande interesse nos alunos.
Trata-se de fazer uma adição com 5 parcelas: o aluno
escolhe a 1
a
e eu imediatamente escrevo o resultado num
papel, dobro e peço para que ele guarde o papel no bolso.
Em seguida, o aluno escolhe a 2
a
parcela,
eu, a 3
a
,
o aluno a 4
a
,
eu, a 5
a
e aí é só conferir: a soma é igual ao número que está escrito no papel
guardado no bolso do aluno (ou de algum colega).
Vejamos como isso acontece, através de um exemplo:
aluno → 827 → eu escrevo 2825 no papel
aluno → 345
eu → 654 → 345 + 654 = 999
aluno → 208
eu → 791 → 208 + 791 = 999
total → 2 825.
O resultado é o 1
o
número escolhido pelo aluno +1998.
Como 1998 = 2 000 − 2, dado o 827, basta subtrair 2 e somar 2 000
para obter a resposta: 2 825.
E se o aluno tivesse começado com 27? ou com 3 827?
O leitor, ao responder, poderá criar outras brincadeiras parecidas.
192
Adivinhação
Pede-se para alguém pensar em um número de vários
algarismos e somar esses algarismos.
Em seguida pede-se que a pessoa subtraia a soma do
número pensado.
A pessoa deve então ocultar um algarismo desse último resultado obtido
e informar o valor da soma dos algarismos restantes. Com isso o
proponente da brincadeira “adivinha” o algarismo que foi ocultado.
Exemplo
Número pensado:
A
= 6435879
A
−
S
= 6435879 − (6 +4+3+5+8+7+9) = 6435879 − 42 = 6435837.
A pessoa oculta, por exemplo, o algarismo 8 e fornece a soma dos
outros que é 6 + 4 + 3 + 5 + 3 + 7 = 28. Como a soma de todos os
algarismos deve ser um múltiplo de 9 (*), “adivinha-se” que o algarismo
ocultado é 8, uma vez que 28 + 8 = 36.
(*) Proposição
Seja
A
um número natural formado pelos algarismos
a
1
,
a
2
, ...,
a
n
.
Se
S
=
a
1
+
a
2
+ ... +
a
n
, então
A
−
S
é um múltiplo de 9.
Demonstração
A prova do resultado utiliza a representação decimal do número
A
:
A
= 10
n
-1
a
1
+ 10
n
-2
a
2
+ ... + 10
a
n-
1
+
a
n
, logo,
A
−
S
= (10
n
-1
− 1)
a
1
+ (10
n
-2
− 1)
a
2
+ ... + 9
a
n-
1
,
que é um múltiplo de 9.
193
A lei dos cossenos
é válida para os senos?
Como é?! É isso mesmo!
Veja: é fato bastante conhecido que num triângulo
ABC
qualquer é
válida a lei dos cossenos, a saber:
a
2
=
b
2
+
c
2
− 2
bc
cosα
b
2
=
a
2
+
c
2
− 2
ac
cosβ
c
2
=
a
2
+
b
2
− 2
ab
cosγ
Vamos mostrar que essa relação é preservada para os senos dos ângulos
internos desse triângulo, ou seja:
sen
2
α = sen
2
β + sen
2
γ − 2senβ senγ cosα
sen
2
β = sen
2
α + sen
2
γ − 2senα senγ cosβ
sen
2
γ = sen
2
α + sen
2
β − 2senα senβ cosγ
Com efeito, usando a também conhecida lei dos senos no triângulo
ABC
temos:
2
sen sen sen
aaa
R
===
αβγ
ou
a
= 2
R
senα,
b
= 2
R
senβ,
c
= 2
R
senγ,
sendo
R
o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, substituindo em
a
2
=
b
2
+
c
2
− 2
bc
cosα, obtemos
sen
2
α = sen
2
β + sen
2
γ − 2senβsenγ cosα.
As outras duas igualdades são obtidas de modo análogo.
Adaptação do artigo de
Carlos A. Gomes
194
Nota
As igualdades obtidas para os senos são conseqüência da semelhança
dos triângulos abaixo, decorrente da lei dos senos.
O empréstimo
Estou comprando uma casa e preciso de um financiamento de 80 mil
reais. Nesses casos o banco exige que a escritura seja passada por 80
mil, pelo menos. Mas o dono da casa não aceitou. Ele disse que a escritura
velha era de 40 mil e que se a nova fosse de 80 mil, haveria um lucro
imobiliário de 40 mil e, como o governo pega 25% desse lucro, ele teria
prejuízo de 10 mil.
escritura lucro imobiliário imposto
80 mil 40 mil 10 mil
Como o negócio me interessava, propus-lhe pagar eu mesmo esses 10
mil. Para isso precisaria pegar no banco 90 mil. Mas aí o lucro imobiliário
seria de 50 mil e não 40, aumentando o imposto, e por isso...
Algum colega pode me ajudar, calculando quanto devo pedir ao bando
para pagar o lucro imobiliário e ficar com 80 mil?
Ou, então, me emprestar o dinheiro?
195
Galileu
Em seu trabalho sobre a queda livre dos
corpos, Galileu observou:
É possível construir outras frações com propriedades análogas a esta
encontrada por Galileu?
Você sabia?
Que o quadrado de um número inteiro
não pode terminar em mais de três algarismos iguais a 4 ?
O primeiro número inteiro positivo cujo quadrado termina em três
algarismos iguais a 4 é o 38, cujo quadrado é igual a 1444. O inteiro
seguinte é 462, cujo quadrado é igual a 213 444. Entre os 1000 primeiros
inteiros positivos, existem apenas mais dois, que são 538 e 962. De um
modo geral, pode-se mostrar que o quadrado de um inteiro
x
termina
em três algarismos iguais a 4 se e só se
x
puder ser colocado na forma
500
k
± 38, onde
k
é um inteiro. Usando esse fato, pode-se mostrar que
se o quadrado de um número inteiro termina em três algarismos iguais a 4,
o algarismo da unidade de milhar desse quadrado é necessariamente ímpar,
o que mostra que o quadrado de um inteiro não pode terminar em mais
de três algarismos iguais a 4.
196
Coincidência
de aniversário
Em uma classe com 50 alunos, qual a probabilidade de que pelo menos
dois deles aniversariem no mesmo dia?
Considere o evento
B
: dois alunos ou mais aniversariam no mesmo dia.
Vamos esquecer os anos bissextos e supor que temos 365 dias em um
ano. Como você perceberá, é mais fácil calcular a probabilidade do evento
complementar (
B
c
), isto é, não há coincidências de aniversários em uma
classe com 50 alunos.
Como cada aluno poderá fazer aniversário em um dos 365 dias, temos
365
50
pontos possíveis de ocorrer. Agora vamos obter o número de pontos
do evento
B
c
. O primeiro aluno terá 365 possibilidades de escolha, o
segundo terá 364 (pois deverá ser diferente do primeiro), e assim por
diante até o qüinquagésimo aluno que terá (365-49) escolhas.
Desta forma,
Temos assim que a probabilidade de ocorrer coincidência de
aniversários em uma sala de 50 alunos será 0,970.
Ficou fácil ver que para uma classe de
n
alunos a probabilidade de
B
será dada por
197
Calculando
P
(
B
) para alguns inteiros
n
, obtemos
nP
(
B
)
1 0,000
5 0,027
10 0,117
20 0,411
23 0,507
30 0,706
40 0,891
41 0,903
50 0,970
60 0,994
367 1,000
O professor de Matemática, quando ensinar Probabilidade, poderá
fazer essa experiência na sala de aula. Se as turmas forem grandes é bem
provável que em cada uma delas haja pelo menos uma coincidência de
aniversários.
Você sabia?
Qual é a última raiz quadrada que pode ser representada na
figura(sem superposição)?
Por quê?
198
Amigo oculto
Um grupo de 5 amigas decide fazer amigo oculto. Em uma urna improvisada
são colocados os 5 nomes e cada pessoa retira um a quem deve presentear.
Qual a probabilidade das amigas terem que fazer o sorteio mais de uma vez?
De fato, um novo sorteio terá que ser realizado no caso em que pelo
menos uma pessoa retire seu próprio nome. Denote este evento por
A
.
Considere
C
i
o evento em que a i-ésima pessoa retira seu próprio
nome para
i
= 1, ..., 5.
Queremos calcular a probabilidade do evento:
A
= (
C
1
∪
C
2
∪
C
3
∪
C
4
∪
C
5
).
Para obtermos a
P
(
A
), devemos calcular o número de pontos para
cada um dos eventos abaixo:
C
i
: 4! para
i
= 1, 2, 3, 4, 5.
C
i
∩
C
j
: 3! para
i
,
j
= 1, 2, 3, 4, 5 e
i
≠
j
.
C
i
∩
C
j
∩
C
k
: 2! para
i
,
j
,
k
= 1, 2, 3, 4, 5 e
i
≠
j
≠
k
.
C
i
∩
C
j
∩
C
k
∩
C
l
: 1 para
i
,
j
,
k
,
l
= 1, 2, 3, 4, 5 e
i
≠
j
≠
k
≠
l
.
O número total de resultados em cada sorteio será 5! pois a primeira
pessoa possui 5 escolhas, a segunda pessoa 4 escolhas e assim por diante.
Finalmente, para calcularmos
P
(
A
), utilizamos a propriedade da
probabilidade da união de eventos e teremos:
P
(
A
) = Σ
P
(
C
i
) − Σ
P
(
C
i
∩
C
j
) + Σ
P
(
C
i
∩
C
j
∩
C
k
) −
Σ
P
(
C
i
∩
C
j
∩
C
k
∩
C
l
) +
P
(
C
1
∩
C
2
∩
C
3
∩
C
4
∩
C
5
)
= (5.4! – 10.3! + 10.2! – 5.1! + 1)/5! = 1 – 1/2! + 1/3! − 1/4! + 1/5!
= 76/120 = 0,633.
Agora ficou fácil generalizar para qualquer grupo de
n
pessoas!!!
199
Diofante
Pouco se sabe sobre a vida do grego
Diofante.
Crê-se que tenha
vivido em Alexandria, por volta de 250 d.C.
Sua grande obra,
Arithmetica,
tem 6 volumes preservados, mas
acredita-se que foi escrita em 13 volumes.
Quanto ao seu trabalho matemático, destacamos alguns pontos
interessantes:
Embora escrita em grego, sua obra não apresenta as mesmas
características dos trabalhos gregos do período - por exemplo, seu enfoque
na Álgebra, incipiente na Matemática grega da época, ou, ainda, sua não-
preocupação com métodos gerais.
Assim, a resolução de equações indeterminadas do tipo
Ax
2
+
Bx
+
C
=
y
2
, ou
Ax
3
+
Bx
2
+
Cx
+
D = y
2
,
consistia em obter uma solução e não se preocupar com as demais. Entre
as equações que estudou estão, por exemplo,
x
2
− 26
y
2
= 1 e
x
2
− 30
y
2
= 1,
hoje conhecidas como equações de
Pell.
Diofante só se interessava por soluções racionais positivas, não
aceitando as negativas ou as irracionais.
Na obra de Diofante encontramos pela primeira vez o uso sistemático
de símbolos algébricos. Equações algébricas são expressas por símbolos
algébricos e seu tratamento é puramente analítico, desvinculado de métodos
Adaptação do artigo de
Vera Helena Giusti de Souza
200
geométricos. Identidades como (a +
b
)
2
=
a
2
+ 2
ab + b
2
,
que, para
Euclides,
eram teoremas da Geometria, para
Diofante eram conseqüências imediatas das propriedades
algébricas das operações.
Diofante era muito hábil no manuseio algébrico. Por exemplo, para
calcular dois números, sabendo que a sua soma é 20 e a soma de seus
quadrados é 208
,
ele representava esses números por 10
x
e 10 +
x
e
não por
x
e
y.
Tal procedimento, em muitos casos, simplificava a
resolução de um problema.
Outro problema abordado por ele: dividir um quadrado em dois
quadrados,
isto é, encontrar inteiros a,
b
e
c
tais que
a
2
+
b
2
=
c
2
,
parece ter despertado a atenção de Fermat, que, ao ler a cópia do livro
de Diofante, fez diversas anotações nas margens, entre elas o famoso
“último teorema de Fermat”.
Os problemas estudados por Diofante são problemas indeterminados
que exigem soluções inteiras (ou racionais) positivas e envolvem, em geral,
equações de grau superior ao primeiro. Mesmo assim, hoje em dia,
equações indeterminadas do primeiro grau, com coeficientes inteiros, são
chamadas equações diofantinas
em homenagem ao pioneirismo de Diofante
nessa área.
A título de curiosidade, reproduzimos um problema que apareceu sob
forma de poema no quinto ou sexto século. Ele permite calcular quantos
anos Diofante viveu:
Diofante passou 1/6 de sua vida na infância, 1/12 na juventude e mais
1/7 antes de se casar; 5 anos após seu casamento, nasceu um filho que
morreu 4 anos antes do pai com a metade da idade que este tinha ao
morrer.
201
Como escolher namorada pelos
horários do trem de subúrbio
João amava Lúcia que amava João. Só que João além de amar Lúcia também
amava Letícia e tentava namorar as duas ao mesmo tempo. Durante a semana,
até que dava, mas quando chegava o sábado à noite era terrível. As duas queriam
João e este não possuía o dom da presença ao mesmo tempo em dois lugares.
Assim alternadamente ou Lúcia ou Letícia ficavam sem sair com João, nos
embalos de sábado à noite. HONESTO (?), João decidiu contar a Lúcia a
existência de Letícia e a Letícia sobre Lúcia. Claro que houve choros e lamúrias
de todos os lados. E João continuou dividido, sem saber como escolher entre
as duas.
Aqui um detalhe, João morava próximo a uma estação ferroviária de um
subúrbio. Para visitar Lúcia, João pegava trens que iam no sentido da direita a
cada meia hora, e para visitar Letícia, João pegava trens que iam à esquerda a
cada meia hora também. Quanto a horários não havia dúvidas. Trens para cada
lado de meia em meia hora. Mas voltemos a dúvida existencial afetiva do nosso
amigo João.
Como escolher entre Lúcia e Letícia?
A solução foi dada por Letícia que era professora de Matemática. Letícia
propôs a João um critério justo, equânime, salomônico para escolher a quem ir
namorar. A proposta foi: João sairia de casa sem saber com quem ir encontrar.
Ao chegar na estação pegaria o primeiro trem que passasse, fosse para a direita,
fosse para esquerda. Proposta aceita. João começou a usar esse critério
aparentemente justo e aleatório.
Depois de usar o critério por cerca de três meses, descobriu que visitara
Letícia muito mais que Lúcia, e se a sorte quis assim ficou com Letícia e com ela
se casou sem nunca haver entendido porque a sorte a privilegiara tanto.
Adaptado do artigo de
Manuel Henrique C. Botelho
202
Só nas bodas de prata do seu casamento é que Letícia contou a João a
razão do mistério, de o trem ter escolhido, ela preferencialmente a
concorrente. Letícia estudara os horários dos trens e verificara que os
horários eram:
Letícia Lúcia
8h00
8h05
8h30
8h35
9h00
9h05
9h30
9h35
TRENS P/ ESQUERDA TRENS P/ DIREITA.
Desta forma, em qualquer intervalo de 30 minutos, a probabilidade de
João pegar o trem que vai para a esquerda é de 25/30 e para a direita é
de 5/30.
No amor como na guerra tudo vale..., até usar Matemática.
“Em cada uma de sete casas,
há sete gatos,
cada um deles come sete ratos,
cada um dos quais havia
comido sete espigas de trigo,
cada uma delas com sete
hecates (medidas de grão).
Casas, gatos, ratos, espigas e hecates,
quantos são?
Exercício para jovens estudantes do Papiro de Ahmes (1650 a.C.) Carl Boyer.
203
A Praça de Savassi vai continuar
se chamando Diogo Vasconcelos
Esta é uma história inventada, mas o modo
mencionado de se calcular o quórum de
3/5
é
verdadeiro, não apenas na Câmara de Vereadores de
Belo Horizonte, mas na própria Assembléia Legislativa
de Minas Gerais.
Na comemoração dos 100
anos de Belo Horizonte saíram inúmeras
publicações sobre a história de nossa cidade. Folheando uma dessas
publicações, vim a saber quem foi Diogo Vasconcelos, que dá nome à
conhecidíssima Praça da Savassi.
Durante os debates para a mudança da capital, Vasconcelos foi um baluarte
na defesa da sua manutenção em Ouro Preto. Homem muito rico, usou sua
influência para tentar convencer os deputados estaduais a votarem
contrariamente à mudança. Perdeu. Entretanto, ele percebeu que, afinal de
contas, uma nova capital poderia ser fonte de rendimento para um homem
abonado como ele. Transferiu-se para Belo Horizonte e passou a emprestar
dinheiro aos funcionários públicos que receberam lotes e estavam sem dinheiro
para construir suas moradias.
Diogo Vasconcelos teve em Belo Horizonte a mesma influência que tinha
em Ouro Preto. Tanto isso é verdade que conseguiu que seu nome fosse dado
a uma importante praça de Belo Horizonte: a Praça da Savassi, ou melhor,
Praça Diogo Vasconcelos, pois Savassi é apenas apelido.
Penso que, não obstante Diogo Vasconcelos ter sido um dos primeiros
moradores de Belo Horizonte, manter seu nome numa praça que é conhecida
nacionalmente por outro nome é uma atitude incoerente. Não foi o que aconteceu
com a Praça 21 de Abril, pois, após a colocação da estátua de Tiradentes, o
povo passou a chamá-la de Praça Tiradentes, nome que depois foi oficializado.
Adaptado do artigo de
Paulo Afonso da M. Machado
204
Outro exemplo é o da Rua do Amendoim. Por uma ilusão de ótica, a
rua tem um declive que parece um aclive. Se você desligar o seu carro e
baixar o freio de mão, terá a impressão de que o carro está subindo,
apesar de desligado. O povo não tardou a apelidar essa via de Rua do
Amendoim, por motivos óbvios. A Câmara Municipal não tardou em
oficializar o nome popular.
E a Praça da Savassi, por que continua a se chamar Diogo de
Vasconcelos? Procurei um vereador e convenci-o a apresentar um projeto
oficializando o nome de Praça da Savassi. Apresentado o projeto, logo
foi parar nos jornais. O debate ganhou os pontos dos ônibus, as mesas
dos botequins, os quarteirões fechados da Praça Sete (opa!, quase me
esqueci de que o nome oficial é Praça 7 de Setembro).
No dia da votação, lá estava eu na Câmara de Vereadores. Como o
projeto visava a modificar a Lei Orgânica do Município, era necessário o
voto favorável de 3/5 dos vereadores. Acompanhei a votação com lápis e
papel na mão. Votaram a favor do projeto 23 vereadores. Como no total
são 37, o projeto estava aprovado!
– Vencemos, vencemos – disse para o meu amigo vereador. Mas ele
balançou a cabeça negativamente e me explicou que o quórum de 3/5
correspondia a 24 vereadores.
Retirando a calculadora do bolso, disse-lhe que não: 3/5 de 37 é igual
a 22,2. Ora, 23 é maior que 22,2. O projeto estava aprovado!
Com minha argumentação, consegui confundir o vereador. Acostumado
a considerar o quórum de 3/5 de 37 como 24, ele nunca o havia
questionado. Para tirar a dúvida, pegou o regimento interno da Câmara,
que diz o seguinte:
“O
quorum
de será calculado da seguinte forma:
(a) se o número de vereadores for múltiplo de 5, esse número será
dividido por 5 e multiplicado por 3;
(b) se o número de vereadores não for múltiplo de 5, serão somadas
tantas unidades quantas necessárias para se obter um múltiplo de 5 e,
em seguida, divide-se esse número por 5 e multiplica-se por 3".
205
Não concordei. Afinal de contas, a lei não pode mudar uma regra
matemática. E, para provar que o regimento estava errado, tomei de um
lápis e expliquei:
Vamos supor um número,
V
, de vereadores, tal que
V
seja uma
unidade a mais que um múltiplo de 5. Podemos dizer que
V
= 5
n
+ 1 ,
sendo
n
inteiro. 3/5 de
V
será igual a .
Portanto, o primeiro número inteiro imediatamente superior será 3
n
+ 1.
Se formos obedecer ao regimento, teremos que somar quatro unidades a
V
, obtendo 5
n
+ 5, que dividido por 5 daria
n
+ 1 que multiplicado por
3 daria um quórum de 3
n
+ 3 , portanto duas unidades a mais que o
necessário.
Se raciocinarmos de forma análoga com
V
= 5
n
+ 2, que é o caso da
composição atual da Câmara de Vereadores de Belo Horizonte, teremos
, o que nos indica que 3
n
+ 2 deveria ser o quórum, e não
3
n
+ 3, como se calcula pelo regimento.
Para
V
= 5
n
+ 3, teremos o mesmo caso. O quórum deveria ser 3
n
+ 2
e não 3
n
+ 3 . O único caso em que o regimento bate com a Matemática
é quando
V
= 5
n
+ 4, com
quorum
de 3
n
+ 3 .
Não adiantou minha argumentação. O regimento teria que ser
modificado, mas não valeria para aquela votação, que já havia se
encerrado. Portanto, meus caros conterrâneos, acostumem-se a chamar
a Praça da Savassi de Diogo Vasconcelos, pois é esse seu verdadeiro
nome.
206
Conversão de unidades
Fui assessor de uma empresa estatal que
precisava desapropriar enorme área rural. Depois
de muito discutir com os sitiantes e pequenos fazendeiros que iam ter suas
terras desapropriadas, chegamos a um consenso de valor para a
desapropriação amigável, algo próximo de R$ 24 000,00 por alqueire.
Fiquei incumbido de preparar o contrato. Ao fazê-lo, lembrei-me do meu
juramento ao professor de Física, Professor Hermann, e ao Eng
o
Max
Lothar Hess, meu primeiro chefe (ambos de formação germânica), de
nunca, mas nunca mesmo, trair o sistema métrico em minha vida profissional.
Como o alqueire paulista tem 24 000 m
2
, fiz a conversão,
e o texto do contrato para ser assinado dizia que o valor da desapropriação
seria de R$1,00 o m
2
.
Não sei o que aconteceu por causa disso, pois todos os proprietários
das fazendolas e dos sítios que tinham acertado o valor, ao lerem o texto
do contrato, acharam um absurdo vender as terras que tinham seu suor
por R$1,00 o m
2
.
Outra coisa muito diferente seria receber os combinados
R$ 24 000,00 por alqueire.
Aí descobri que acima da Matemática e Física existe uma coisa
chamada “aspecto humano”, fato que, em geral, nós, engenheiros,
esquecemos.
O loteamento de 1010 km
2
. O conflito rural e urbano
Faz muitos anos. Um jovem engenheiro de origem interiorana fez parte
de uma comissão de licitação para escolher uma firma que iria fazer
desenhos de loteamentos da cidade de São Paulo, no esforço de regularizar
loteamentos clandestinos. Para contratar a firma de desenhos, incluíu-se
no edital em preparação uma série de exigências de praxe, como capital
Adaptado do artigo de
Manuel Henrique C. Botelho
207
social, prova que o titular da firma estava em dia com o serviço militar,
etc. Na hora de fixar a exigência “experiência anterior”, perguntou-se ao
engenheiro qual área de desenho de loteamentos a firma deveria já ter
executado. O pobre do engenheiro, sem nenhuma experiência em “desenho
de loteamentos”, pensou e chutou um número redondo: − 10 km
2
.
Por que 10? Nenhuma razão, mas pelo menos atendia ao sistema
decimal. E o edital saiu com essa exigência.
Mal saiu, choveram reclamações de protecionismo e direcionamento
da concorrência. Nenhuma firma dizia ter feito nada próximo a essa área
de desenho. Talvez fosse uma malandragem da comissão de concorrência.
Acuado pelas acusações, o jovem engenheiro, então, imaginou que
uma área de 10 km
2
é algo como um quadrado de lado 3,1 km e colocou
no mapa da cidade de São Paulo um quadrado com essa medida, na
escala do mapa, com um dos vértices no centro da cidade. A área resultante
era simplesmente um monstro. Aí o engenheiro lembrou que, tendo nascido
e sido criado no interior, três quilômetros na área rural é uma distância
mínima, mas em uma área urbana é uma grandiosidade. O velho hábito de
fumar cachimbo deixa a boca torta....
O edital foi revisto e a nova exigência caiu para 0,5 km
2
, algo bem
mais razoável.
208
Você sabia?
Que a célebre igualdade
e
i
π
+ 1 = 0, que contém os 5
números mais significativos da Matemática, mereceu de vários matemáticos
frases apaixonadas?
Veja algumas:
“... esta mais surpreendente jóia..., a mais notável fórmula da
Matemática.”
(
R. Feynman
, prêmio Nobel de Física)
“Elegante, concisa e cheia de significação..., ela interessa tanto ao
místico quanto ao cientista, ao filósofo, ao matemático.”
(
E. Kasner
e
J. Newman
, autores do
best seller Matemática e
Imaginação
.)
“Cavalheiros, isso é certamente verdade, é absolutamente paradoxal;
não podemos entendê-lo, e não sabemos o que significa, mas provamo-
lo e, portanto, sabemos que deve ser a verdade.”
(
Benjamin Pierce
, eminente matemático da Universidade de Harvard no
século XIX, após deduzir a fórmula em uma conferência.)
“
O desenvolvimento das séries de potências complexas... revela a
conexão entre funções trigonométricas e a função
exponencial... e (esta conexão) nunca teria sido
descoberta sem o uso de números complexos. Como
subproduto desta relação, nós obtemos uma conexão
inesperada entre os números
e,
i
e
π:
e
i
π
+ 1 = 0.
”
(
Michael Spivak
, autor de um excelente livro de
Cálculo.)
209
Um dia inesquecível
na vida de Gauss
O dia 29 de março de 1796 foi crucial na vida
de Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Faltava cerca
de um mês para o seu 19
o
aniversário e ele estava
para ingressar na Universidade de Göttingen, sem
saber ainda se a sua escolha seria a Filologia ou a
Matemática. Nesse célebre dia, o jovem Gauss (que
viria a ser chamado o Príncipe dos Matemáticos)
encontrou uma bela solução para um velho problema
de Geometria. Após essa espetacular façanha ficou tão entusiasmado que
renunciou à sua possível intenção de ser filologista e resolveu dedicar sua
vida à Matemática e suas aplicações. Mas qual foi o problema resolvido
por Gauss naquela ocasião?
Vejamos um pouco de história: Durante mais de 2000 anos o problema
de dividir uma circunferência em
n
partes iguais, usando somente régua e
compasso, permaneceu como foi deixado pelos gregos. Vamos dar uma
idéia do problema: Se uma circunferência é dividida em
n
partes iguais,
unindo os sucessivos pontos de divisão por cordas, obtemos um polígono
regular de
n
lados. Sabemos que é fácil construir, somente com régua e
compasso, um polígono regular de 2
n
lados a partir de um polígono
regular de
n
lados. Os gregos sabiam construir um polígono regular de 3
lados e também um polígono regular de 5 lados (nesse caso aparece o
problema do segmento áureo ou dividir um segmento em meia e extrema
razão).
Além disso provaram que se um polígono regular de
n
lados e outro
de
m
lados, com
m
e
n
primos entre si, podem ser construídos (com
régua e compasso), então pode-se construir um polígono regular de
mn
lados.
Adaptado do artigo de
Jesús A. Pérez Sánchez
210
Em resumo: Os gregos sabiam construir, com régua e compasso, um
polígono regular de
n
lados, se
n
fosse um número natural da forma:
n
= 2
m
× 3
r
× 5
s
m
≥ 0,
r
e
s
inteiros iguais a 0 ou 1.
O passo seguinte era construir, com os instrumentos citados, polígonos
regulares de 7, 9, 11 e 13 lados e, embora o problema tenha sido
estudado por grandes matemáticos como Fermat e Euler, nenhum
progresso fora feito. Não chegaram a encontrar um método, porque tais
construções são impossíveis, como foi provado por aquele garoto alemão
que estava dividido entre a Matemática e a Filologia.
Gauss provou o seguinte:
Um polígono regular de
n
lados é construtível se, e somente se,
n
é
um número natural da forma
n
= 2
s
×
p
1
×
p
2
× ... ×
p
r
,
com
s
inteiro não negativo, e cada
p
i
primo de Fermat, isto é,
,
com
k
i
inteiro não negativo. Além disso,
p
i
≠
p
j
para
i
≠
j
.
Assim ficou provado pela primeira vez que um polígono regular de 17
lados é construtível com régua e compasso, pois .
Por sinal, como curiosidade histórica, podemos assinalar que Fermat
(1601-1665) conjeturou que todo número da forma , com
k
inteiro não negativo, é primo. De fato, para
k
= 0, 1, 2, 3, 4, obtemos,
respectivamente, 3, 5, 17, 257, 65 537, que são primos; mas Euler
(1707-1783) provou que (o
5
o
número de Fermat), logo, não é primo.
Gauss sempre lembrou com singular orgulho a grande proeza daquele
29 de março. Após sua morte foi erigida, em Göttingen, uma estátua de
Gauss em bronze e, como homenagem muito apropriada, seu pedestal
tem a forma de um polígono regular de 17 lados.
211
Símbolos e notações matemáticas
Símbolos em Matemática são como sal numa sopa:
se colocar demais, estraga, se colocar de menos, fica sem gosto.
Até o século XVI, expressões matemáticas eram escritas de forma
excessivamente verbal ou retórica. Por exemplo, em 1591, Viète, para
representar a equação 5
A
2
+ 9
A
− 5 = 0, escrevia em bom latim:
5
in
A
quad et
9
in
A
planu minus
5
aequatur
0
.
No século XVI a linguagem simbólica ganhou um grande impulso.
William Oughtred (1574-1660), em três de seus livros, usou mais de 150
símbolos, muitos criados por ele. Destes, porém, poucos permanecem
em uso.
A implementação de alguns símbolos usados hoje em dia foi
acontecendo naturalmente ao longo de décadas ou séculos, sob a égide
da praticidade e do pragmatismo. Pouco pode se afirmar com precisão
sobre essa evolução. Outros símbolos, graças ao prestígio de seus
criadores, tiveram aceitação imediata. Como exemplo desses últimos
podemos citar alguns símbolos criados por Leonhard Euler (1707-1783):
•
f
(
x
), para indicar “função de
x
” ;
• ∑ , “ somatória” (o símbolo é a letra maiúscula grega,
sigma
,
que
corresponde ao nosso
S
);
•
i
, “unidade imaginária”, representada também por ;
•
e
, base dos logaritmos neperianos, igual a 2,718 .... A letra π
(=3,14159...), embora usada por William Jones em 1706, teve o seu
emprego consagrado por Euler.
Símbolos de operações
Símbolo +
Uma explicação razoável é que, até então, a adição de dois
números, por exemplo 3 + 2, era representada por 3
et
2.
212
Com o passar dos anos a conjunção latina
et
foi sincopada para t, da
qual se originou, no fim do século XV, o sinal +.
Símbolo
−−
−−
−
Apareceu pela primeira vez em 1481, em um manuscrito alemão. Na
forma impressa, apareceu pela primeira vez em 1498. Há várias hipóteses,
nenhuma confirmada, quanto à origem do símbolo.
Símbolo
××
××
×
O primeiro uso do símbolo × para indicar multiplicação deve-se a
William Oughtred (1618). Leibniz temia que × pudesse ser confundido
com
x
. Em 1698 ele sugeriu o uso do “ponto” como sinal de
multiplicação.
Símbolo
÷÷
÷÷
÷
No século XII, Fibonacci usava, para a divisão, a notação a/b, já
conhecida pelos árabes. A notação
a
:
b
é atribuída a Leibniz (1648). O
símbolo ÷ foi usado pela primeira vez por J. H. Rahn em 1659.
Símbolos
< e >
Foram introduzidos pelo inglês Thomas Harriot (1631 – numa publicação
póstuma) com o significado atual. Porém os símbolos
≥
e ≤ foram
introduzidos mais tarde, em 1734, pelo francês Pierre Bouger.
Símbolo
Apareceu impresso, pela primeira vez, em 1525 no livro
Die Coss
(1525)
do matemático C. Rudolff. O símbolo pode ter sido escolhido pela sua
semelhança com a primeira letra da palavra latina
radix
(raiz). Uma outra
hipótese é que ele seja uma evolução do símbolo usado em manuscritos
mais antigos para designar uma raiz.
Símbolo =
Este sinal foi introduzido por Robert Recorde (~1557).,
... bicause
noe.2.thynges, can be moare equalle...
(... porque nenhum par de coisas
pode ser mais igual (do que um par de paralelas) ).
Capítulo 6
Problemas
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
215
2 é igual a 3?
Provar que 2 = 3 e mostrar o erro.
Solução
Há várias “demonstrações”. Uma bem antiga é:
4 − 10 = 9 − 15; some 25/4 a ambos os membros:
4 − 10 + 25/4 = 9 − 15 + 25/4; cada membro é um quadrado perfeito:
(2 − 5/2)
2
= (3 − 5/2)
2
; extraia a raiz quadrada:
2 − 5/2 = 3 − 5/2 e, daí, 2 = 3.
O erro
Na verdade,
2
aa
=
para qualquer número real
a
, isto é, a raiz
quadrada de um número real positivo é por definição um outro número
real positivo, cujo quadrado é igual ao número inicial.
Por exemplo,
()
2
2−
é igual a 2 e não −2;
42=
e não ± 2.
O mascote
Uma coluna de soldados, com l km de comprimento, está
marchando em linha reta, com velocidade constante, desfilando
diante do comandante, que permanece parado. No exato
momento em que o primeiro homem passa pelo comandante,
um cachorro que estava ao lado do último homem sai correndo
em direção ao primeiro, também com velocidade constante. Ao chegar
onde ele está, começa a voltar (suponhamos que instantaneamente) em
direção ao último. Quando chega no último novamente, ele está passando
em frente ao comandante. Qual a distância percorrida pelo cão?
Solução
Sejam
v
c
e
v
s
, respectivamente, as velocidades do cachorro e dos
soldados. Lembrando que “espaço = velocidade × tempo”, temos:
216
O cachorro sai correndo e os soldados
marchando. Enquanto o cachorro anda
1 +
x
, o primeiro soldado anda
x.
Os soldados seguem e, o cachorro volta.
Enquanto o cachorro anda
x
, o soldado
1 anda 1 −
x
.
De (1) e (2):
de onde 2
x
2
= 1 ou
Logo, o cachorro andou km.
Uma mosca e três pontos de vista
Uma colega
,
do Rio de Janeiro, RJ, conta-nos uma história dos
seus tempos do ensino médio, mostrando as diferentes soluções dadas
para um conhecido problema que seu pai lhe propôs.
Mais tarde ela encontrou esse mesmo problema, classificado como
“difícil”, na Seção Superdivertido da revista
Superinteressante
.
Trata-se do seguinte problema:
Dois carros estão em rota de colisão, viajando um em direção ao outro,
cada um a 60 km/h. Inicialmente estavam afastados a uma distância de 60
km. Uma mosca frenética voa a 120 km/h entre os carros sem parar, de
forma que, encostando em um carro, inverta o sentido do vôo. Qual a
distância efetivamente percorrida pela mosca até o momento da colisão?
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
217
Nossa colega diz que sua solução foi considerar cada percurso da
mosca, de um carro, que ela chamou de
A
para o carro
B
, em seguida de
B
para
A
e assim por diante. Partindo de
A
, ela considerou a velocidade
relativa da mosca em relação ao carro
B
(velocidade de
B
+ velocidade
da mosca) para calcular o tempo em que a mosca encontraria o carro
B
:
distância/velocidade = 60/(120 + 60) = 1/3 de hora, que significa que a
mosca percorreu 120/3 = 40 km, até encontrar o carro
B
e, nesse instante,
os carros estavam já a uma distância de 60 − 2 × 60/3 = 20 km um do outro.
A mosca irá de
B
até
A
num intervalo de tempo igual a 20/180 = 1/9 de
hora, tendo andado 120/9 = 40/3 km, nesse percurso. Não foi difícil
desconfiar que essas distâncias formavam uma PG de primeiro termo
igual a 40 e de razão igual a 1/3, o que, no limite, daria uma soma igual
a 40/(1 − 1/3) = 60 km.
O pai de nossa colega, depois de assistir a esse esforço da filha,
comentou:
“Bem se vê que você é matemática, bastava ter calculado o intervalo de
tempo que os carros levaram até a colisão, que é de 60/(60 + 60) =1/2 hora,
e então a mosca, a 120 quilômetros por hora, terá percorrido 60 km!”.
A carta prossegue “Meu pai, que é físico, me contou também que um
colega seu, engenheiro e que fazia muito bem gráficos a mão livre, assim
que soube do problema fez o seguinte desenho e achou a mesma resposta:
No gráfico,
C
é o ponto de colisão entre os carros, que ocorre no
tempo
x
, e
P
a posição da mosca no tempo
x
, o que dá os 60km
percorridos.”
A colega termina a carta com o seguinte comentário: “Existem várias
formas de se resolver o mesmo problema...cada pessoa procura pela
solução mais adequada com sua personalidade. Não foi à toa que eu
escolhi fazer Matemática, meu pai, Física e o colega de meu pai
Engenharia.”
218
Nota
Essa é uma boa observação para o professor de Matemática, que,
além de conhecer as soluções que mais lhe agradam, precisa também
conhecer, respeitar e saber analisar as soluções de seus alunos, comparando
as vantagens e desvantagens de cada uma!
No caso citado, por exemplo, a solução “matemática” envolve uma
misteriosa passagem ao limite, enquanto a solução “engenheira” mistura,
perigosamente, gráficos em que as variáveis não são as mesmas.
Repare só: o primeiro eixo significa o tempo contado a partir do instante
em que os carros estavam a 60 km um do outro, mas o segundo eixo
indica variáveis diferentes − nas retas relativas aos dois carros, essa variável
é o espaço percorrido, medido em relação ao ponto em que estava o
carro
A
no instante
t
= 0; já na reta relativa ao movimento da mosca, esse
eixo está significando espaço percorrido a partir do instante 0.
No caso do carro
A
, o segundo eixo pode significar uma coisa ou
outra. Por isso, o aparente ponto de encontro entre a mosca e o carro
B
,
que aparece no gráfico num instante entre 0 e
x
, não tem esse significado;
por outro lado, no instante
x
, os dois carros e a mosca estão idealmente
no mesmo ponto, ao contrário do que o gráfico sugere.
Felizmente, na ocasião, o engenheiro fez a leitura certa, tirando os dados
que interessavam.
Talvez por ser engenheiro!
Por que não dá certo?
Resolvi a equação cotg
x
− sen2
x
= 0 de dois modos, e as respostas não
bateram:
1)
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
219
2)
Observei que é solução da equação dada. Por que essa
solução não apareceu na primeira resolução?
Solução
Na primeira resolução, no lugar de cotg
x
foi colocado . Acontece
que apenas para os valores de
x
para os quais
ambas
as
funções estão definidas, ou seja, para valores de
x
diferentes de
Também somente se .
Por isso, na primeira resolução será necessário examinar, separadamente,
o que acontece com os múltiplos (inteiros) de π/2, o que fará aparecer a
solução aparentemente perdida.
Pentágono
No pentágono desenhado abaixo, considere
x
e
y
as
medidas dos ângulos e .
Quanto vale
x
+
y
?
Solução
Tanto quanto são ângulos inscritos na
circunferência, de modo que, pelo teorema do ângulo
inscrito, temos
.
220
Como
arco SRP arco SRQ() () ,
))
o
=+70
segue que
Triângulo
Seja
ABC
um triângulo retângulo em
A
,
CX
a
bissetriz do ângulo, sendo
X
um ponto do lado
AB
. Se
CX
= 4 cm e
BC
= 24 cm, quanto mede
AC
?
Solução
No Δ
AXC
temos e no Δ
ABC
temos
Logo, 6cos2α = cos α ou
6(cos
2
α – sen
2
α) = 6(cos
2
α – 1 + cos
2
α ) = 6(2cos
2
α – 1) = cos α.
Fazendo cos α =
t
, obtemos a equação 12
t
2
–
t
– 6 = 0, que tem
raízes
t
= 3/4 e
t
= −2/3.
Como α é um ângulo de um triângulo retângulo, temos cos α > 0, e
ou
AC
= 3.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
221
De um Vestibular em uma universidade do
Japão
Um quadrado
ABCD
de 10 cm de lado é dobrado como na
figura, de forma que
BP
= 4 cm. Calcule
AE
e
EF
.
Solução
Por construção,
AE = EP.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo
EBP,
obtém-se
EP
= 5,8 cm, donde
AE =
5,8 cm.
Do fato de o triângulo
AEP
ser isósceles, e de
AH
=
HP
(devido à
dobradura), temos que
EH
é a mediana e também a altura do triângulo.
Logo,
EF
⊥
AP.
Traçando
FG
paralelo a
AD,
observamos que os triângulos retângulos
ABP
e
FGE s
ão congruentes, pois ambos têm um cateto de 10 cm e
, por serem ângulos de lados respectivamente
perpendiculares.
Então,
Quantos existem?
Quantos triângulos obtusângulos existem cujos lados são três números
inteiros consecutivos?
222
Solução
Supondo que as medidas dos lados sejam
a
−
1
, a
e
a +
1
,
é
necessário que
a +
1
< a + a
−1, isto é,
a >
2
.
A lei dos cossenos nos diz que nos triângulos obtusângulos
(
a +
1)
2
> a
2
+ (a
−
1)
2
.
Efetuando os cálculos, obtém-se
a <
4
.
Portanto,
a =
3
e os outros lados medem 2 e 4.
Construindo uma parábola através de
dobraduras
Sejam
d
uma reta e
F
um ponto fora de
d.
Para cada ponto
R
seja
t
a reta mediatriz do segmento . Mostre que
t
é tangente à
parábola de foco
F
e diretriz
d
.
Solução
Numa folha de papel fino (papel manteiga, por exemplo) com cerca de
30 cm por 22 cm, trace uma reta e marque um ponto fora dela. A seguir
dobre a folha de modo que o ponto considerado se sobreponha a um
ponto qualquer da reta.
Finalmente vinque a dobra para que
esta fique gravada no papel como uma
linha visível. Repita esta operação
muitas vezes, quantas a sua paciência
permitir. Ao observar a folha aberta
contra uma superfície escura surgirá uma
parábola lindamente emoldurada por
envoltórias de tangentes.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
223
Podemos formular matematicamente a atividade anteriormente
proposta.
Entenderemos a reta tangente a uma parábola como sendo a reta que
intercepta a parábola num único ponto (chamado ponto de tangência) e
que não é paralela ao seu eixo. Os leitores familiares com a noção de
derivada de uma função podem mostrar a equivalência entre a definição
acima e a usual apresentada nos cursos de Cálculo.
Como
F
∉
d
, segue que a reta
t
, mediatriz de
nunca é
perpendicular à reta
d
, qualquer que seja a escolha de
R
∈
d
. Em outras
palavras,
t
não é paralela ao eixo da parábola. Traçemos, a partir de
R
,
a perpendicular à reta
d
, e seja
P
a interseção dessa perpendicular com
t.
Lembrando que os pontos de
t
são eqüidistantes de
F
e
R
, temos
dist(
P
,
d
) =
PR
=
PF
, ou seja,
P
pertence à parábola
P
de foco
F
e
diretriz
d
.
Seja agora
Q
∈
t
,
Q
distinto de
P
. Mostraremos que
Q
∉
P
, de
modo que
t
intercepte
P
apenas no ponto
P
.
Como
Q
é distinto de
P
, temos que não é perpendicular à reta
d
e, portanto,
QR
> dist(
Q
,
d
). Por outro lado,
QF
=
QR
, pois
Q
∈
t
.
Logo,
QF
> dist(
Q
,
d
), isto é,
Q
∉
P
.
Temos assim provado que
t
é tangente à parábola
P
no ponto
P
.
eixo da parábola
R
P
Q
F
d
t
224
Equação
Resolver a equação
Solução Gráfica
Pode-se perceber que
x
= 4 é uma
solução dessa equação. Resta saber se
existe alguma outra solução.
Como a equação também pode ser
escrita , podemos olhar
para os gráficos das funções
y = x
2
− 18 e , e procurar os
pontos de encontro.
Desse modo verifica-se que há apenas uma solução (real) da
equação.
Logo, a solução encontrada é única.
Solução Algébrica
Então , que implica
x
= 4, ou
. Mas como
x
≥ 0, logo,
implicando que
2
2
ab
ab
+=
⎧
⎨
=−
⎩
não tem solução real.
Sendo assim, a única solução real é
x
= 4.
O problema do tanque de combustível
Como os donos dos postos de gasolina medem a quantidade de
combustível que possuem em seus depósitos enterrados? É comum um
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
225
dono de posto medir a quantidade de combustível dos seus
tanques com uma régua graduada, colocada verticalmente na
boca do tanque enterrado.
Se o depósito enterrado for cilíndrico (a grande maioria o é):
(a) existe uma régua-padrão graduada para qualquer medida de tanque
(caso variem altura e raio da base)?
ou,
(b) para cada tanque existe uma régua graduada que acompanha o tanque?
Solução
Fica claro que a dificuldade está em calcular a área de um segmento
circular. É evidente que a área que queremos calcular é a diferença entre
a área do setor
AOB
e a área do triângulo
AOB.
Para calcular a área do setor, seja α o ângulo central
.
Se o
setor fosse o círculo todo, a área seria π
R
2
.
Portanto, se para o ângulo 2π
a área é π
R
2
,
para um ângulo α qualquer, por regra de três simples,
chegamos a α
R
2
/2.
Como a área do triângulo
AOB
é , ou seja ,
, chegamos, para a área da seção transversal do líquido, ao
valor
(α − senα)
O volume do líquido seria então
226
Parecia que o problema estava resolvido. Lembramos, então, que α
não é conhecido. O que se pode medir com facilidade é
h.
Mas, com um
pouco de trigonometria, foi fácil chegar a
e, daí,
Logo, a resposta da primeira pergunta (a) é NÃO. O volume do
líquido no tanque depende não só de
h,
mas das dimensões do
reservatório.
Para a pergunta (b), se tivermos apenas uma régua graduada em
centímetros, as fórmulas anteriores permitem um rápido cálculo do volume.
Por exemplo, se o tanque tiver 2 m de diâmetro e 4
m
de comprimento,
suponha que foi encontrado
h =
60 cm
.
Temos, então
α= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
≈21
06
1
2 1386arccos
,
,
e
V
≈ 3,1707 m
3
ou, aproximadamente, 3170 litros.
Resolva a equação (x + 1)
6
= x
6
.
Solução
Vamos utilizar, na solução, as igualdades seguintes, bastante
conhecidas:
a
2
−
b
2
= (
a
−
b
)(
a
+
b
) e
a
3
+
b
3
= (
a
+
b
)(
a
2
−
ab
+
b
2
).
(
x
+ 1)
6
−
x
6
= [(
x+
1)
3
− x
3
][(
x +
1)
3
+
x
3
]
= (3
x
2
+ 3
x
+ 1)[(
x
+ 1)
3
+
x
3
]
= (3
x
2
+ 3
x
+ 1)(2
x
+ 1)[(
x
+ 1)
2
−
x
(
x
+ 1) +
x
2
]
= (3
x
2
+ 3
x
+ 1)(2
x
+ 1)(
x
2
+
x +
1).
Segue-se então que
(
x
+ 1)
6
−
x
6
= (2
x +
1)(
x
2
+
x
+ 1)(3
x
2
+ 3
x
+ 1) = 0 se, e somente
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
227
se, 2
x
+ 1 = 0 ou
x
2
+
x
+ 1 = 0 ou 3
x
2
+ 3
x
+ 1 = 0.
Logo, o conjunto solução da equação (
x
+ 1)
6
=
x
6
é
Equação do 2
o
grau
Dada uma equação do segundo grau, com coeficientes inteiros, mostre
que o seu discriminante não pode ser igual a 23.
Solução
Seja
ax
2
+
bx
+
c
= 0, com
a
,
b
e
c
inteiros e a ≠ 0.
Suponhamos
b
2
– 4
ac
= 23 .
Segue-se que
b
2
= 4
ac
+ 23 é ímpar e portanto
b
é ímpar.
Se
b
é ímpar,
b
– 1 e
b
+ 1 são pares, e portanto
b
2
– 1 = (
b
+1)
(
b
– 1) é múltiplo de 4.
Mas
b
2
– 1 = 4
ac
+ 22 e, como 22 não é múltiplo de 4, segue-
se que
b
2
– 4
ac
não pode ser igual a 23.
Múltiplos
Escreva o número 512 como uma soma de dois números inteiros positivos,
um dos quais é múltiplo de 11, e o outro é múltiplo de 13. Seria possível
resolver o problema se fosse solicitado que um fosse múltiplo de 15 e o
outro múltiplo de 21? Justifique sua resposta.
Solução
Supondo que existam inteiros positivos,
a
e
b
tais que
512 = 11
a
+ 13
b
= 11(
a
+
b
) + 2
b
,
concluímos que
a
+
b
é um número par.
228
Além disso, 512 − 2
b
= 11(
a
+
b
) e, então, não é difícil verificar que o
maior valor possível para 512 − 2
b
é 506, e o menor é 440, o que
implica 40 ≤
a
+
b
≤ 46.
Resultam as possibilidades:
a
= 43 e
b
= 3;
a
= 30 e
b
= 14;
a
= 17 e
b
= 25;
a
= 4 e
b
= 36.
A resposta para a pergunta: “Seria possível resolver o problema, se
fosse solicitado que um fosse múltiplo de 15, e o outro, múltiplo de 21?”
é:
Não existem
a
,
b
inteiros positivos tais que
512 = 15
a
+ 21
b
= 3(5
a
+ 7
b
),
pois 512 não é divisível por 3.
Sistemas
Sejam
x
e
y
inteiros positivos tais que
xy
+
x
+
y
= 71 e
x
2
y
+
xy
2
= 880.
Determine
x
2
+
y
2
.
Solução
De
xy x y
xy xy
()+=
+= −
⎧
⎨
⎩
880
71
temos (
xy
)
2
− 71
xy
+ 880 = 0,
logo
xy
= 55 ou
xy
= 16.
Para
xy
= 16 temos
x
+
y
= 55; porém não existem inteiros
x
e
y
que
verifiquem essas duas equações.
Para
xy
= 15 temos
x
+
y
= 16; logo
x
e
y
são as raízes 11 e 5 da
equação λ
2
− 16λ +55 = 0.
Assim,
x
2
+
y
2
= 11
2
+5
2
= 146.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
229
Equação
Mostre que quaisquer que sejam os números inteiros
a
,
b
,
c
,
d
,
e
, a
equação
x
7
+ 2
x
6
+ 3
x
5
+
ax
4
+
bx
3
+
cx
2
+
dx
+
e
= 0
não pode ter todas as raízes reais.
Solução
Sejam
r
1
,
r
2
, . . . ,
r
7
as sete raízes da equação.
Temos então:
r
1
+
r
2
+ . . . +
r
7
= −2 e
r
1
r
2
+
r
1
r
3
+ . . . +
r
6
r
7
= 3.
Segue-se que
r
1
2
+
r
2
2
+ ... +
r
7
2
+ 6 = 4, e portanto
r
i
2
1
7
2
∑
=− ,
o que mostra que nem todas as raízes podem ser reais.
Determinante
Mostre que o determinante de Vandermond
222 2
333 3
1111
,
abcd
abcd
abcd
com
a
,
b
,
c
e
d
inteiros, é múltiplo de 12.
Solução
Considere
D
o valor do determinante acima.
Separando os números
a
,
b
,
c
e
d
pela sua paridade, temos 5 casos
a considerar:
os quatro números
a
,
b
,
c
e
d
são pares;
230
três deles são pares, e um é ímpar;
dois são pares, e dois são ímpares;
um é par, e três são ímpares;
os quatro são ímpares.
Como a diferença − tanto de dois pares quanto de dois ímpares − é
par, segue que, em cada um dos casos acima,
D
é múltiplo de 4.
Por outro lado, qualquer número inteiro é de um dos seguintes três
tipos: 3
k
, 3
k
+ 1, 3
k
+ 2,
k
∈ Z.
Logo, cada um dos quatro números
a
,
b
,
c
e
d
é de um desses
tipos. Sendo quatro, temos que necessariamente dois deles serão do
mesmo tipo. Como a diferença de dois números do mesmo tipo é sempre
um múltiplo de 3, concluímos que
D
é múltiplo de 3.
Portanto,
D
é múltiplo de 12.
Progressão aritmética
São dadas duas progressões aritméticas distintas, cujos termos são números
inteiros positivos. Determine condições que devem ser satisfeitas para
que existam termos comuns às duas progressões.
Solução
Sejam (
a
1
,
r
) e (
a
,
r’
) as duas progressões.
Se
a
1
=
a
, as duas progressões terão termos em comum.
Vamos supor, sem perda de generalidade, que
a
1
>
a
.
Para que existam termos em comum, é necessário que existam inteiros
positivos
m
e
n
tais que
a
1
+
nr
=
a
+
mr’
.
Portanto,
a
1
–
a
=
mr’
–
nr
. Para que existam soluções inteiras, é
necessário que
a
1
–
a
seja múltiplo do máximo divisor comum de
r
e
r’
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
231
Será que isso é possível?
Transformar numa soma do tipo com
u
e
v
naturais.
Solução
Vamos olhar para
Usando a igualdade (
a
+
b
)
3
=
a
3
+
b
3
+ 3
ab
(
a
+
b
), temos:
ou
x
3
= 20 − 6
x
,
isto é,
x
é a raiz de
x
3
+ 6
x
– 20 = 0; mas a única raiz real desta equação
é 2.
Portanto,
(1)
Por outro lado,
(2)
As equações (1) e (2) fornecem o sistema:
ab
ab
+=
=−
{
2
2
e obtemos e , isto é,
Qual dos dois números é o maior:
101
50
ou 99
50
+ 100
50
?
Solução
Vamos provar que 101
50
> 99
50
+ 100
50
.
Provar essa desigualdade equivale a provar que 101
50
− 99
50
> 100
50
232
ou, dividindo a inequação por 100
50
, provar que
Observe que
Usando a fórmula do binômio de Newton e juntando os termos
semelhantes, obtém-se:
2
50
1
1
100
50
3
1
100
250
1
100
1
3
()
+
()
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
>× × =K .
Qual o número?
Numa classe com 12 alunos, o professor escreveu na lousa um número
natural menor que 50 000 e pediu que os alunos falassem alguma coisa a
respeito desse número. O primeiro aluno disse que o número era múltiplo
de 2, o segundo disse que o número era múltiplo de 3, e assim
sucessivamente até o último, que disse que o número era múltiplo de 13.
Em seguida o professor disse que, com exceção de dois alunos
consecutivos que erraram, todos os demais acertaram.
(a) quais foram os alunos que erraram?
(b) qual foi o número que o professor escreveu? Justifique suas respostas.
Solução
Analisando os pares de números consecutivos, 2 e 3; 3 e 4; 4 e 5; 5
e 6; 6 e 7; 7 e 8; 8 e 9; 9 e 10; 10 e 11; 12 e 13, é fácil verificar que se
dois alunos consecutivos erraram ao afirmar que o número era múltiplo de
um desses pares, então o número de alunos que erraram seria maior que
2.
Restam, portanto, os pares 8 e 9 e 7 e 9. O par que produz um
número menor que 50 000 é o par 7 e 8, ao qual corresponde o número
25 740.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
233
Qual é o maior fator primo?
Qual é o maior fator primo de 3
14
+ 3
13
− 12?
Solução
3
14
+ 3
13
− 12 = 3
13
(3 + 1) − 3 × 4 = 3 × 4(3
12
− 1) =
3
× 4(3
6
− 1)(3
6
+ 1) = 3 × 4(3
3
− 1)(3
3
+ 1)(3
6
+ 1) = 3 × 4 × 26 × 28 ×
730 = 2
6
× 3 × 5 × 7 × 13 × 73.
Quantos zeros?
Um múltiplo de 17, quando representado na base 2, tem exatamente 3
dígitos iguais a 1. Qual é o número mínimo de zeros que essa representação
deverá conter?
Solução
Suponha que para
m
∈
N
:
3
12
17 2 2 2
a
aa
m
=++
com 0 ≤
a
1
<
a
2
<
a
3
.
Temos
onde
q
i
e
r
i
são o quociente e resto da divisão de por 17.
A tabela a seguir fornece resto
r
n
da divisão de 2
n
por 17:
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8
r
n
1 2 4 8 − 1 −2 −4 −8 1
obtemos a menor solução para
a
1
= 0,
a
2
= 5 e
a
3
= 8.
Logo, 17
m
= 2
0
+ 2
5
+ 2
8
, cuja representação na base 2 tem seis
zeros.
234
O resto é o que importa!
Os números inteiros 1, 2, 3, ..., 1000 são escritos em ordem, em volta de
um círculo. A partir do número 1, marque todo décimo quarto número,
isto é, marque 1, 15, 29, 49, ..., parando no momento em que for atingido
um número já marcado. Determine quantos números não marcados restam.
Solução
Na primeira etapa são marcados os números 1, 15, 29, ..., isto é,
todos os números menores do que 1000 e que divididos por 14 deixam
resto 1. O último número desse conjunto é 995, o que nos permite concluir
que, na segunda etapa, serão marcados todos os números que divididos
por 14 deixam resto 9. Um raciocínio análogo nos permite determinar o
que ocorre nas etapas seguintes.
Etapa Começa com Termina em
2
a
9 989
3
a
3 997
4
a
11 991
5
a
5 999
6
a
13 993
7
a
7 987
É fácil ver que a próxima etapa começaria com o número 1, repetindo
assim a primeira, o que nos permite concluir que o processo termina após
sete etapas. Para determinar a quantidade de números marcados, a maneira
direta seria somar os números de termos de cada uma das progressões
aritméticas da tabela e subtrair o total de 1000. O mais simples é observar
que qualquer número ímpar dividido por 14 deixa resto ímpar e, portanto,
estará incluído em uma das progressões. Nenhum número par dividido
por 14 deixa resto ímpar e, portanto, existem exatamente 500 números
não marcados.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
235
O baile
Numa festa, um grupo de homens e mulheres decide dançar da seguinte
maneira: o primeiro homem dança com 5 mulheres, o segundo homem
dança com 6 mulheres e assim sucessivamente, até que o último homem
dança com todas as mulheres. Se há 10 homens, quantas vezes, em média,
cada mulher dançou?
Solução
Na festa há 10 homens:
h
1
,
h
2
, ...,
h
10
.
h
1
dança com 5 = 4 + 1 mulheres;
h
2
dança com 6 = 4 + 2 mulheres;
.........................................
h
10
dança com 4 + 10 = 14 mulheres, que são, segundo o enunciado,
todas as mulheres.
Ao todo ocorreram 5 + 6 + ... + 14 = 95 danças. Portanto, em média
cada mulher dançou 95/14 = 6,79 vezes.
A ligação
Um rapaz esqueceu o último algarismo do telefone da namorada
e resolveu tentar falar com ela, escolhendo ao acaso o último
dígito. Se ele está num telefone público e só tem duas fichas,
qual é a probabilidade de que ele consiga conversar com a
namorada?
Solução
a) A probabilidade de que o rapaz acerte na primeira tentativa é igual a
1/10, uma vez que ele escolheu ao acaso um dos dez dígitos possíveis.
b) Para que ocorra a segunda tentativa é necessário que ele tenha errado
na primeira, e a probabilidade de isso acontecer é igual a 9/10. Dado que
errou na primeira tentativa, a probabilidade (condicional) de que ele acerte
na segunda é igual a 1/9, uma vez que, agora, o número de dígitos possíveis
236
é igual a 9. Logo, a probabilidade de que ele acerte na segunda tentativa
é (9/10)(1/9) = 1/10.
Segue que a probabilidade de que ele consiga conversar com a
namorada é igual a (1/10) + (1/10) = 1/5.
Falemos de moedas
500 moedas são distribuídas entre três pessoas:
A
,
B
e
C
, em círculo.
Inicialmente a pessoa
A
receberá 1 moeda, a
B
receberá 2 moedas, e a
C
receberá 3 moedas. Na segunda rodada
A
receberá 4 moedas,
B
receberá 5 moedas, e
C
receberá 6 moedas, e assim por diante.
No momento em que o processo de divisão não puder ser efetuado por
falta de moedas, as restantes ficarão com a próxima pessoa.
Pergunta-se:
(a) Quantas foram as moedas restantes, e quem as recebeu?
(b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
Solução
Foram distribuídas 1 + 2 + 3 + 4 + ... +
n
moedas. Qual deve ser o valor de
n
para que essa
soma fique o mais próxima possível de 500, porém
menor do que 500?
Como , queremos
≈ 500 ou
n
(
n
+1) ≈ 1000, o que implica
n
= 31.
De fato, Portanto, a “penúltima” pessoa
que receberá 31 moedas, e a “última” receberá as 4 restantes.
Quem são essas pessoas?
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
237
O número de moedas que
A
recebe, 1, 4, 7, ..., é um número
da forma 3
k
+ 1;
O número de moedas que
B
recebe, 2, 5, 8, ..., é um
número da forma 3
k
+ 2, e o número de moedas que
C
recebe, 3, 6, 9 ...,
é um número da forma 3
k
.
O número 31 é da forma 3
k
+ 1; logo,
A
receberá as 31 moedas e
B
receberá as 4 restantes.
Quantas moedas receberá cada uma?
A
receberá 1 + 4 + 7 + ... + 31 moedas. Temos um problema de PA
com
a
1
= 1,
a
n
= 31,
r
= 3. O número de termos é 11, e a soma dos
termos é 176.
C
receberá 3 + 6 + 8 + ... + 30 moedas. O número de termos dessa
PA é 10 e a soma 165.
B
receberá 2 + 5 + 8 + .. + 29 moedas mais as quatro restantes. O
número de termos dessa PA é 10 e a soma, 155.
Portanto,
B
receberá, ao todo, 159 moedas.
Por que meu tio não ganha na Mega Sena?
O meu tio Flávio joga na Sena fazendo 25 apostas distintas, de 6 dezenas
cada uma, escolhidas ao acaso. Ele vem observando que há muito tempo
todas as dezenas sorteadas pela Caixa aparecem nos seus cartões mas,
infelizmente, não todas no mesmo cartão. Por quê?
Solução
O fato de os números sorteados pela Caixa estarem
presentes nos cartões do tio Flávio não é de modo algum
surpreendente, uma vez que, ao escolher 25 conjuntos
distintos de 6 dezenas para preencher seus cartões, existe
uma probabilidade razoável, cujo cálculo está longe de ser
trivial, de que seu tio acabe utilizando todas as dezenas
possíveis de serem sorteadas. Observe que com escolhas
238
convenientes das dezenas, poderíamos usar as 50 dezenas em apenas 9
cartões, uma vez que 6 × 9 = 54 > 60.
Entretanto, não há nenhuma maneira de garantir que as 6 dezenas
sorteadas vão aparecer num único cartão. Jogando 25 cartões, qualquer
que seja a escolha das dezenas, a probabilidade de acertar a sena principal
é
uma vez que o número de casos favoráveis é 25, em um total de
C
50,6
(combinações simples de 50 objetos em grupos de 6, que é o número de
possíveis escolhas de 6 dezenas nas 50 possíveis).
Como
C
50,6
= 15890700, para ter certeza que o tio Flávio vai ganhar,
só mesmo jogando todos esses quase 16 milhões de combinações
possíveis, o que seria um péssimo investimento.
O custo, considerando o preço de cada aposta igual a R$ 1,50, ficaria
em torno de 22 milhões de reais, e, convenhamos, quem tem esse dinheiro
disponível não deve perder tempo jogando em loterias.
Festa
Todos os convidados de uma festa trocaram
apertos de mãos. Um mordomo mais atento
notou que foram 528 cumprimentos e que 2/3
dos convidados eram mulheres. Quantos homens
foram convidados?
Solução
Vamos indicar por
x
o número total de convidados.
Cada pessoa dá
x
– 1 apertos de mãos, porém, quando
A
cumprimenta
B
,
B
também cumprimenta
A
.
Logo, o número de apertos de mão é igual a
xx()
.
−1
2
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
239
Assim, ou seja
x
2
–
x
= 1056.
Resolvendo a equação do 2
o
grau
x
2
–
x
– 1056 = 0, obtemos
x
= 33 ou
x
= −32.
Como
x
é positivo, temos
x
= 33.
Concluímos que 11 homens (1/3 dos convidados) e 22 mulheres
foram convidados para a festa.
Os problemas seguintes envolvem números primos.
Um número natural é
primo
se ele é maior do que 1 e é divisível apenas
por si próprio e por 1. Da definição, decorre a seguinte seqüência de
números primos:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...)
e, como podemos observar, com exceção do 2, todos os demais números
primos são ímpares.
Soma
Escreva o número 91 como soma de dois números primos.
Solução
Os alunos não deverão ter dificuldade em perceber que como a soma
de dois ímpares é par, e como 2 é o único primo par − os números são 2
e 89. Aliás, esse pode ser um bom momento para recordar com os alunos
os testes de primalidade para verificar que 89, efetivamente, é primo.
Idades
Meu irmão caçula e eu temos idades entre 10 e 20 anos, e hoje nossas
idades são expressas, ambas, por números primos, fato que se repetirá
pela próxima vez daqui a 18 anos. Determine minha idade, sabendo que a
240
idade de nosso irmão mais velho, que hoje também é um número primo, é
uma unidade maior do que a soma das nossas idades.
Solução
As duplas de primos entre 10 e 20 são
11 e 13, 11 e 17, 11 e 19, 13 e 17, 13 e 19 e 17 e 19.
Como a soma dos números, adicionada de 1, deve resultar um primo,
descarto as duplas 11 e 13 e 13 e 19. Como daqui a 18 anos as
idades voltam a ser representadas por números primos, descarto as duplas
que incluem o 17. Resta apenas uma possibilidade: minha idade é 19
anos e a do meu irmão é 11 anos.
Raízes
Uma equação do 2
o
grau, cujos coeficientes são todos números primos,
pode apresentar duas raízes iguais?
Solução
Para que a equação
ax
2
+
bx
+
c
= 0 (com
a
,
b
e
c
primos) admita
duas raízes iguais, devemos ter
b
2
– 4
ac
= 0 ou
b
2
= 4
ac
, o que implica
b
2
par.
Logo,
b
também é par e, como é primo,
b
= 2. De
b
2
= 4
ac
temos
ac
=1, o que é absurdo para
a
e
c
primos.
Portanto, a resposta é
não
!
Coordenadas da reta
Quantos pontos da reta
y
=
x
+ 51 são tais que as suas duas coordenadas
são números primos?
Solução
Se
x
= 2, temos
y
=
x
+ 51 = 53, que é primo. Se
x
for qualquer
outro primo, será um número ímpar, implicando
y
par maior que 2,
logo, não-primo. Assim, existe um único par, (2, 53), da reta de equação
y
=
x
+ 51 que tem ambas as coordenadas dadas por números ímpares.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
241
Nota
Observe-se que, trocando o número 51 por outro valor, o problema
pode tornar-se muito mais difícil. Para a reta
y
=
x
+ 2 somos conduzidos
ao conceito de “primos gêmeos” (diferem por 2 unidades). Até hoje é um
problema “em aberto” saber se existem ou não infinitos pares de “primos
gêmeos”.
Triângulo
As medidas dos lados de um triângulo retângulo (numa mesma unidade)
podem ser números primos?
Solução
A resposta é
não.
Do teorema de Pitágoras temos a igualdade
a
2
=
b
2
+
c
2
. Sendo
a
,
b
e
c
primos, não podem ser todos ímpares (pois
a soma de dois ímpares é par) e, como
a
>
b
e
a
>
c
, devemos ter
b
= 2
ou
c
= 2. Digamos
c
= 2.
Teremos então:
a
2
+
b
2
= 4, ou (
a
+
b
)(
a
–
b
) = 4
e analisando os possíveis valores de
a
+
b
e
a
−
b
, que são 1, 2 ou 4,
concluímos que a situação é impossível.
Circunferência
Para quantos pontos da circunferência
x
2
+
y
2
= 361 as duas coordenadas
são números primos?
Solução
Se
x
e
y
satisfazem a equação
x
2
+
y
2
= 361, sendo 361 ímpar,
devemos ter
x
par, e
y
ímpar ou
x
ímpar e
y
par. Se
x
é par e primo,
então,
x
= 2; logo,
y
2
= 357, e
y
não é, então, um número inteiro. Do
mesmo modo verificamos ser impossível ter
y
par e
x
ímpar; logo,
nenhum ponto da circunferência de equação
x
2
+
y
2
= 361 tem ambas as
coordenadas dadas por números primos.
242
Triângulo acutângulo
Determine as medidas, em graus, dos ângulos internos de um triângulo
acutângulo, sabendo que estas são expressas por números primos.
Solução
Se
a
+
b
+
c
= 180, com
a
,
b
e
c
primos, não é possível ter
a
,
b
e
c
ímpares; logo, pelo menos um deles, digamos o
a
, deve ser igual a
2, o que implica
b
+
c
= 178. Podemos ter
b
=
c
= 89, que é primo e,
por verificação direta, mostra-se que não há outra possibilidade, já que o
triângulo, sendo acutângulo, implica
b
< 90 e
c
< 90.
Nota
A mesma pergunta sem a hipótese de ser acutângulo, exige um pouco
mais de trabalho. Sem a hipótese de o triângulo ser acutângulo, obtemos,
por tentativa, as possibilidades: 5 e 173, 11 e 167, 29 e 149, 47 e 131
e 71 e 107.
Divisores
Quantos divisores possui o número 2 420?
Esse exercício é uma aplicação clássica do Teorema Fundamental da
Aritmética e do Princípio Fundamental da Contagem.
Solução
2420 = 2
2
× 5 × 11
2
e um divisor qualquer é obtido por um produto
dos primos 2, 5 ou 11, elevados aos expoentes:
primo 2 → expoente 0, 1 ou 2;
primo 5 → expoente 0 ou 1;
primo 11→ expoente 0, 1 ou 2.
Pelo Princípio da Contagem obtemos 3 × 2 × 3 = 18 divisores.
Números naturais
Quantos são os números naturais, de 1 a 100, que podem ser escritos
como um produto de dois números naturais distintos entre si e diferentes
de 1?
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
243
Solução
De 1 a 100 temos 100 números. Para obtermos a resposta à nossa
pergunta, subtraímos de 100 o número de primos entre 1 e 100, que é 25;
o número de quadrados de números primos, que é 4, e o número 1. A
resposta é 70.
Aniversário
Há dois anos, ano em que finalmente concluí meu Doutorado em
Matemática, nasceu meu segundo filho, e ocorreu uma notável
coincidência: meus dois filhos e eu passamos a fazer aniversário no mesmo
dia do ano. A partir daí, outras coincidências aconteceram. No ano passado
nossas três idades foram representadas por quadrados perfeitos e hoje,
dia em que estamos comemorando mais um aniversário, percebo que
nossas idades são representadas por três números primos. Supondo que
vivamos cem anos cada um, pergunto: qual é minha idade hoje? Nos
próximos anos, quantas vezes todas as nossas idades
voltarão a ser representadas por números primos?
Solução
No ano passado meu filho caçula certamente tinha
1 ano de idade. Meu outro filho tinha 4 ou 16 anos e
eu, o pai, 36 anos. Portanto, hoje, minha idade é 37
anos.
Quando a minha idade é ímpar, a do meu caçula é
par e vice-versa; portanto, nunca mais nossas idades
voltarão a ser todas simultaneamente representadas por
números primos.
244
...Probleminhas
1. Marly diverte-se, observando os passarinhos
voando em torno de um arbusto. Ela notou que,
quando há uma ave em cada galho, uma das aves fica
sem galho, e quando ficam duas aves em cada galho,
um dos galhos fica sem ave. Quantos galhos há no arbusto? E quantas
aves?
2. Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode
esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente
a torneira e o ralo. O que acontece com o tanque?
3. Divida um bolo circular em 4 partes iguais, sem tirar a
faca do bolo e sem percorrer duas vezes o mesmo corte.
4. Uma determinada espécie de alga se reproduz,
dividindo-se em 2 a cada dia. Assim, no primeiro dia temos 1, no segundo,
2, no terceiro 4, no quarto, 8, e assim por diante. Se, começando por uma
dessas algas, precisamos de 30 dias para preencher determinado volume,
em quanto tempo preenchemos o mesmo volume, se começarmos com
duas das referidas algas?
5. Esta manhã, após minhas aulas, desci a escada, pois o elevador estava
quebrado. Eu já havia descido 7 degraus, quando vi o prof. Zizoloziz
começando a subir a escada. Continuei no meu passo usual, cumprimentei
o professor quando ele passou e, para minha surpresa, faltando 4 degraus
para eu acabar de descer, o professor tinha chegado ao topo da escada.
“Enquanto desço 1 degrau, ele sobe 2”, eu pensei.
Quantos degraus tem a escada?
6. Um industrial produz uma máquina que endereça 500
envelopes em 8 minutos. Ele deseja construir mais uma
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
.
.
245
máquina, de tal forma que ambas, operando juntas, endereçarão 500
envelopes em 2 minutos. Determine o tempo que a segunda máquina sozinha
deve gastar para endereçar 500 envelopes.
7. 36 alunos de uma determinada escola prestaram exames vestibulares
em duas universidades,
A
e
B
, sendo que, desse grupo de alunos, todos
os aprovados em
A
também foram aprovados em
B
e o número de
aprovados em
B
foi o triplo do número de aprovados em
A
. Se foram
aprovados menos da metade e mais de um terço desses alunos, quantos
não foram aprovados em nenhuma das duas universidades?
8. João, parado na porta de sua casa, conta as pessoas que
passam em ambas as direções. Pedro caminha ida e volta no
quarteirão da casa de João e contas as pessoas com as quais
cruza, em ambas as direções. Quem conta mais?
9. Dispomos de quatro cores distintas e precisamos colorir o
mapa da figura com os países
P
,
Q
,
R
e
S
, de modo que países cuja
fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. De
quantas maneiras é possível colorir o mapa, se:
(a)
P
e
S
forem coloridos com cores distintas?
(b)
P
e
S
forem coloridos com a mesma cor?
10. É possível colocar inteiros positivos nos 21 espaços vazios da tabela
abaixo, de modo que os números em cada linha e em cada coluna estejam
em progressão aritmética. Determine o número assinalado com o asterisco.
P Q
R S
*
74
103
0
186
246
Respostas dos probleminhas
1. 4 aves e 3 galhos
2. o tanque esvazia em 12 horas
3. partindo do centro do bolo de raio
r
, descreva um “oito” com a
faca, de modo que as duas circunferências que formam o “oito”
tenham raio
R
/2.
4. 29 dias. É como se começássemos no 2
o
dia.
5. 22 degraus
6. 8/3 min
7. 21
8. Contam o mesmo número.
9. (a) 48.
(b) 36.
10. 142.
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