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FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO
MAURÍCIO MUSSASHI IRIE
RISCO E ALOCAÇÃO DE ATIVOS: UMA APLICAÇÃO EMPÍRICA AO CASO
BRASILEIRO
SÃO PAULO
2009
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MAURÍCIO MUSSASHI IRIE
RISCO E ALOCAÇÃO DE ATIVOS: UMA APLICAÇÃO EMPÍRICA AO CASO
BRASILEIRO
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado Profissional em Economia e Finanças da
Fundação Getúlio Vargas/EESP, como parte dos
requisitos para a obtenção do título de Mestre em
Finanças e Economia Empresarial.
Orientador:
Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto
SÃO PAULO
2009
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Irie, Maurício Mussashi.
Risco e Alocação de Ativos: Uma Aplicação Empírica ao Caso Brasileiro /
Maurício Mussashi Irie. - 2009.
71 f.
Orientador: Afonso de Campos Pinto.
Dissertação (Mestrado profissional) - Escola de Economia de São Paulo.
1. Alocação de ativos. 2. Administração de risco - Brasil. I. Pinto, Afonso
de Campos. II. Dissertação (Mestrado profissional) - Escola de Economia de
São Paulo. III. Título.
CDU 336.722.8
4
MAURÍCIO MUSSASHI IRIE
RISCO E ALOCAÇÃO DE ATIVOS: UMA APLICAÇÃO EMPÍRICA AO CASO
BRASILEIRO
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado Profissional em Economia e Finanças da
Fundação Getúlio Vargas/EESP, como parte dos
requisitos para a obtenção do título de Mestre em
Finanças e Economia Empresarial.
Data da Aprovação: ____/____/________
Banca Examinadora:
________________________________________
Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto
(Orientador)
FGV - EAESP
________________________________________
Prof. Dr. Rafael Schiozer
FGV - EAESP
________________________________________
Prof. Dr. André C. Maiali
USP - Escola Politécnica
5
Aos meus pais
6
Agradecimentos
Aos professores e aos colegas do MPFE-FGV, ao Prof. Dr. Afonso de Campos
Pinto, orientador deste trabalho, pela confiança depositada.
Ao amigo e incentivador deste trabalho, Roberto Barbosa Cintra.
À minha família.
7
Resumo
Este trabalho explora com cuidado o lado específico da implementação de um
modelo de alocação de ativos em que o risco é tratado de maneira integrada, não
somente através do desvio padrão do portfólio, mas também considerando outras
métricas de risco como, por exemplo, o Expected Shortfall. Além disso, utilizamos
algumas técnicas de como trabalhar com as variáveis de modo a extrair do
mercado os chamados “invariantes de mercado”, fenômenos que se repetem e
podem ser modelados como variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas.
Utilizamos as distribuições empíricas dos invariantes, juntamente com o método
de Cópulas para gerar um conjunto de cenários multivariados simulados de
preços. Esses cenários são independentes de distribuição, portanto são não
paramétricos. Através dos mesmos, avaliamos a distribuição de retornos
simulados de um portfólio através de um índice de satisfação que é baseado em
uma função de utilidade quadrática e utiliza o Expected Shortfall como métrica de
risco. O índice de satisfação incorpora o trade-off do investidor entre risco e
retorno. Finalmente, escolhemos como alocação ótima aquela que maximiza o
índice de satisfação ajustado a um parâmetro de aversão ao risco.
Perseguindo esses passos, é possível obter um portfólio no qual a alocação em
cada ativo, ou classe de ativos, reflete o prêmio esperado ao risco incorrido.
Palavras-Chave: Alocação de Ativos; Cópulas; Risco; Valor em Risco; Expected
Shortfall.
8
Abstract
The present work carefully explores the implementation of an asset allocation
model in which the risk measure considered is fully integrated, not only through the
standard deviation for the portfolio, but also considering other risk metrics, for
instance, the Expected Shortfall. Moreover, some statistical tools are used to
extract from the market the so called “market invariants”, which are phenomena
that tend to repeat themselves and can be modeled as i.i.d. random variables.
We use the empirical distribution of the invariants, along with the Method of Copula
to generate a set of simulated multivariate price scenarios. These scenarios are
independent of distribution, therefore they are non-parametric. With these
scenarios we evaluate the simulated return distribution of a portfolio through a
satisfaction index which is based on a quadratic utility function and the risk
measure considered is the Expected Shortfall. The satisfaction index summarizes
the investor trade-off between risk and return. Finally, we choose the optimal
allocation that maximizes the satisfaction index adjusted to a risk aversion
parameter.
In pursuing these steps, it is possible to obtain a portfolio in which the allocation of
each asset class or security fully reflects the expected premium to the risk
assumed.
Keywords: Asset Allocation; Copulas; Risk; Value at Risk; Expected Shortfall.
9
Sumário
1 Introdução ............................................................................................................ 11
2 Revisão Bibliográfica .......................................................................................... 15
3 Arcabouço Teórico (conceitos estatísticos) ..................................................... 18
3.1 Distribuição Multivariada e Cópulas .......................................................................... 18
3.2 Medidas de Associação ............................................................................................ 21
4 Modelagem ........................................................................................................... 26
4.1 Os Invariantes de Mercado....................................................................................... 26
4.2 A busca pela invariância ........................................................................................... 28
4.3 Dos Invariantes para os Preços ................................................................................ 35
4.4 Estimando a Distribuição dos Invariantes ................................................................. 37
5 Alocação de Ativos ............................................................................................. 42
5.1 Avaliação das Alocações .......................................................................................... 42
5.2 Otimizando as Alocações ......................................................................................... 44
6 Análises dos Resultados .................................................................................... 48
7 Conclusão ............................................................................................................ 55
Referências bibliográficas ...................................................................................... 57
Apêndice 1 Fonte - Programas Principal............................................................. 59
Apêndice 2 Fonte – Programas Suporte ............................................................. 63
10
Lista de gráficos e figuras
Figura 1: Mapemento das distribuições marginais ................................................ 20
Figura 2: Relação entre tau de Kendall, rho de Spearman e rho de Pearson ....... 25
Figura 3: Teste para a variável Ibovespa (nível) ................................................... 30
Figura 4: Teste para a variável Ibovespa (retornos) .............................................. 31
Figura 5: Teste para a variável dólar (retornos) .................................................... 32
Figura 6: Teste para a variável Pré 2 anos (diferenças) ........................................ 33
Figura 7: Teste para a variável IPCA 3 anos (diferenças) ..................................... 34
Figura 8: Teste para a variável Treasury 10 anos (diferenças) ............................. 34
Figura 9: Estimação das distibuições acumuladas empíricas ............................... 37
Figura 10: Distribuição e dependência histórica das variáveis .............................. 39
Figura 11: Distribuição e dependência histórica das variáveis .............................. 40
11
1 Introdução
Os conceitos de alocação de ativos, otimização de portfólios e diversificação têm
tido grande influência no entendimento dos mercados financeiros e na maneira
como as decisões financeiras são tomadas.
A mais popular abordagem para alocação de ativos utilizando-se média-variância
foi introduzida por Harry Markowitz em seu artigo seminal de 1952, Portfolio
Selection publicado no Journal of Finance. Markowitz sugeria que o investidor
deveria maximizar o retorno esperado do portfólio dado um certo nível de risco e
sob algumas restrições. Isso significava que haveria a possibilidade de se avaliar
quantitativamente o risco e o retorno conjuntamente de um portfólio considerando-
se os retornos e os movimentos conjuntos de seus constituintes. A maneira como
os ativos se comportavam conjuntamente era um importante princípio do trabalho.
Através dos movimentos conjuntos foi possível explorar uma outra dimensão em
termos de portifólio, a diversificação. O risco do portfólio, ou variabilidade,
dependia das covariâncias de seus constituintes e não do risco médio dos seus
ativos considerados separadamente. Em outras palavras, era possível construir
para um dado retorno esperado, um portfólio de mínima variância que seria
dominante em relação a qualquer outro, bastando escolher ativos cujos preços se
movimentassem em sentidos contrários.
Mais recentemente, outras medidas de risco foram incorporadas ao universo das
finanças, como o Value at Risk (VaR)
1
e o Expected Shortfall (ES)
2
que enfatizam
o risco potencial de perda de uma certa alocação e não se preocupam muito com
os potenciais ganhos, ou seja, são indiferentes aos ganhos extremos que possam
1
Value-at-Risk (VaR) de um portfólio é o menor número l tal que a a probabilidade das perdas L de um
portfólio exceder l é no máximo
ሺ
1 − ߙ
ሻ
. Para este trabalho, utilizou-se ߙ=0,95.
2
Expected Shortfall (ES) definido por Artzner et al(1997) também conhecido como VaR condicional posssui
uma relação simples com o VaR, é caracterizada pela perda esperada dado que esta excede ao VaR:
ܧܵ
ఈ
=ܧ
ሾ
ܮ|ܮ≥ܸܴܽ
ఈ
ሿ
12
ser proporcionados. Desta maneira, adequam-se muito bem ao mundo altamente
assimétrico dos mercados.
Podemos dizer que as abordagens acima têm um grande apelo: são altamente
intuitivas, mas ao mesmo tempo que isso tem um aspecto positivo, possuem
também um aspecto negativo. Muitas vezes, em uma tentativa apressada de se
chegar a implementações e a conclusões, deixam-se de lado as hipóteses
necessárias para que as abordagens sejam válidas.
Duas hipóteses sobre as quais se apoia a abordagem de média-variância são: as
distribuições dos retornos dos ativos são normais e estacionários. Ou seja, sempre
apresentam uma distribuição Normal e são estacionárias independentemente do
período de tempo considerado. Entretanto, num contexto de alocação de ativos,
essas hipóteses dificilmente serão verdadeiras ao mesmo tempo. Se analisarmos
a distribuição de retorno de um índice de ações, ela apresenta, de fato, um
comportamento invariante, mas não podemos assumir que ela seja Normal, muito
pelo contrário. Em países em desenvolvimento como o Brasil, eventos extremos
são mais prováveis do que seria previsto por uma distribuição Normal. Já a
distribuição de retorno de um título pré-fixado de um ano de maturidade, não é
nem invariante, nem Normal. Desta maneira, não se pode considerar
indiscriminadamente a distribuição dos retornos de qualquer ativo como tendo
esse comportamento Normal e invariante, uma das hipóteses para a utilização da
abordagem de média-variância. Apresentaremos algumas técnicas que nos
auxiliarão a encontrar os invariantes no mercado brasileiro, que serão de grande
importância para a simulação dos preços e/ou retornos.
Esta dissertação tem por objetivo discutir e implementar um processo de alocação
de ativos que relaxe a hipótese de normalidade dos retornos e encontre o portfólio
ótimo pela maximização de uma função de satisfação que reflita a preferência do
investidor. Seguiremos os seguintes passos: (i) selecionar e testar quais seriam os
invariantes no mercado brasileiro, invariantes estes que reflitam as distribuições
dos preços dos ativos locais; (ii) estimar a distribuição conjunta desses invariantes
através da modelagem das distribuições marginais e da cópula ou função de
13
acoplamento que reflitam sua dependência; (iii) converter os invariantes em
preços; (iv) através de um processo de média-variância com restrições, gerar um
conjunto de portfólios eficientes através da combinação de todos os ativos
disponíveis, minimizando o risco para um certo nível de retorno desejado; (v)
gerar, via simulação, um conjunto de preços multivariados e (vi) finalmente, avaliar
cada portfólio eficiente com os preços simulados, e selecionar o portfólio ótimo
que maximize a satisfação do investidor.
A metodologia proposta não é restrita pela distribuição dos retornos dos ativos,
podendo ser incorporado qualquer tipo de ativo, desde que seja identificado o seu
invariante. Além disso, tem como objetivo ser totalmente flexível em termos de
tipo de ativos a serem utilizados e em termos da distribuição dos preços desses
ativos. Também, em termos de controle de risco, gera portfólios mais seguros,
uma vez que, por considerar as distribuições reais e utilizar uma metodologia de
cópula, incorpora à alocação ótima a ocorrência de caudas grossas, bem como a
dependência entre os eventos extremos.
Ressalta-se que esta dissertação limita-se a estudar um processo de alocação de
ativos, relegando ao gestor a responsabilidade de fornecer previsões de retornos
plausíveis.
Alguns conceitos e discussões aqui apresentadas têm como base o trabalho de
Meucci (2006). A idéia é aplicar alguns dos conceitos desse trabalho para as
condições específicas do mercado brasileiro, utilizando variáveis locais.
A dissertação será estruturada da seguinte forma: o Capítulo 2 apresenta um
breve resumo da literatura recente e contextualiza a dissertação; o Capítulo 3
apresenta alguns conceitos estatísticos; o Capítulo 4 organiza a busca pelos
invariantes no mercado brasileiro bem como modela suas distribuições conjuntas
empíricas e a distribuição conjunta dos preços; o Capítulo 5 define a maneira de
avaliar qual alocação é mais valiosa para o investidor, obtendo desta maneira uma
alocação ótima para um determinado perfil de investidor; o Capítulo 6 faz uma
análise dos resultados e o Capítulo 7 conclui a dissertação, indicando algumas
14
limitações do trabalho além de indicar para a possibilidade de extensão do
mesmo.
15
2 Revisão Bibliográfica
Este capítulo tem por objetivo revisar a literatura recente publlicada tanto no Brasil
como internacionalmente. Também contextualiza a presente dissertação com o
que já foi publicado, enfatizando como o trabalho procura complementar o já
extenso universo de pesquisa dedicado à alocação de ativos.
Alguns trabalhos recentes encontrados no Brasil a respeito do tema possuem
diversas abordagens e objetivos, tendo a alocação de ativos como tema central ou
mesmo como pano de fundo. Brito (2007) tem como principal objetivo discutir e
definir vértices
3
e classes de ativos para a decisão de investimentos globais sob
duas diferentes óticas, um investidor brasileiro que analisa as oportunidades de
investimentos em reais e um investidor global que analisa as oportunidades de
investimentos em dólares americano. O processo de alocação de ativos baseado
na minimização de risco em um contexto de média-variância foi utilizado como
uma ferramenta do estudo para a conclusão de quais seriam os vértices mais
adequados bem como a quantidade ótima de vértices a serem utilizados.
Já Sampaio (2006) tem por objetivo testar a existência de ganhos econômicos de
se utilizar modelos de volatilidade condicional multivariada no processo de
alocação de ativos. Novamente, o processo de alocação de ativos num contexto
de média-variância foi utilizado como ferramenta do estudo para a construção da
carteira ótima, seja através da minimização da variância, seja pela maximização
de uma função utilidade quadrática. O autor conclui que não há existência de
ganhos econômicos ao se modelar a matriz de variância dos ativos de uma
carteira de investimentos por modelos de volatilidade condicional e efetuar os
respectivos rebalanceamentos periódicos.
Natale (2006) propõe um modelo que tem por objetivo melhorar a alocação de
ativos quando utilizado o método de Monte Carlo, que é totalmente dependente da
hipótese de normalidade. Baseia-se em modelar os retornos de maneira não-
3
Vértices são pontos específicos da estrutura a termo das taxas de juros
16
paramétrica, simula os retornos através de uma distribuição t-Student e modela a
dependência através de uma função de acoplamento de Clayton. Conclui que a
abordagem adotada é mais eficiente quando comparadas às abordagens limitadas
por hipóteses a respeito das distribuição dos ativos. Também a modelagem via
cópula é positiva no aspecto do controle de risco por modelar mais fielmente a
dependência entre as caudas das distribuições, possibilitando a construção de
portfólios mais seguros.
Billio e Casarin (2005) propõem uma modelagem baseada em uma simulação de
Monte Carlo com restrições a eventos negativos e avalia o nível de risco incorrido
pelo gestor quando assume comportamentos caudais mal especificados. No
trabalho em questão, para o problema de otimização estocástica, assume que os
retornos são gerados por uma distribuição t-Student. Pretende gerar alocações
que considerem uma otimização baseada em uma distribuição que possui caudas
grossas de maneira a melhor avaliar o risco ao qual o portfólio está exposto.
Conclui que uma boa caracterização das distribuições dos retornos dos ativos se
faz necessária em um contexto de decisões financeiras baseadas em riscos de
perdas (downside risk). Essa caracterização requer não somente as
especificações usuais como média e variância, mas também outros momentos da
distribuição como os relacionados à curtose e assimetria. A especificação e
estimação dessas outras características da distribuição podem ser feitas usando
métodos paramétrico ou não-paramétricos.
Sharpe (2006), parte de um procedimento padrão de alocação de ativos que se
baseia em encontrar inúmeras misturas de ativos que sejam eficientes de acordo
com a abordagem de média-variância e propõe substituir esta abordagem por uma
em que o investidor busca maximizar sua função utilidade. Contribui com a
literatura já existente introduzindo um novo algorítmo que maximiza eficientemente
a utilidade esperada de uma alocação de ativos. Conclui enfatizando que o
trabalho se limita a propor uma nova abordagem, mas que o sucesso depende de
previsões apropriadas a respeito dos retornos dos ativos que serão considerados
para a alocação.
17
Neste contexto, esta dissertação busca agregar os trabalhos acima para as
condições do mercado brasileiro, utilizando variáveis locais. Propõe um processo
de alocação de ativos baseado na modelagem das distribuições marginais
empíricas, não-paramétricas dos retornos dos ativos. Como em Natale (2006),
captura as dependências entre os retornos de maneira a considerar as caudas
através de uma abordagem via cópula. Seleciona o portfólio ótimo através da
maximização de um índice de satisfação do investidor. Vale ressaltar que o risco
será medido pelo Expected Shortfall que é adequado quando as distribuições dos
retornos são devidamente caracterizadas, como concluem Bíllio e Casarin (2005).
Assim como Sharpe (2006), esta dissertação limita-se a explorar o processo de
alocação, cujo sucesso será tanto maior quanto melhor for o poder de
previsibilidade do gestor para o retorno dos ativos escolhidos no horizonte
desejado.
Desta maneira, o processo descrito terá um grande potencial de gerar portfólios
coerentes com a expectativa de retorno, ajustado ao risco incorrido. Novamente, o
risco é medido de maneira a considerar as distribuições empíricas dos retornos
dos ativos, sendo, portanto, mais fiel à realidade e gerando portfólios mais seguros
pois incorpora, de alguma maneira, os eventos extremos (fora da normalidade),
observados no passado.
18
3 Arcabouço Teórico (conceitos estatísticos)
Antes de entrar no processo propriamente dito, será necessário expor brevemente
alguns conceitos que serão aqui utilizados. Neste capítulo, a Teoria de Cópulas
será discutida, juntamente com as medidas de concordância como o tau de
Kendall e o rho de Spearman. Esses conceitos são importantes para a realização
das simulações multivariadas.
3.1 Distribuição Multivariada e Cópulas
A distribuição de uma variável aleatória multivariada X, pode ser separada em dois
componentes. O primeiro são as distribuições marginais de cada variável do vetor,
que representam as características puramente univariadas. O segundo, a cópula,
que sintetiza o componente de acoplamento da distribuição de X. Resumindo,
temos:
Multivariada = unidimensional(marginais) + acoplamento(cópulas)
Se considerarmos, por exemplo, a variável aleatória X constituída por ܺ
ଵ
e ܺ
ଶ
:
ܺ=൬
ܺ
ଵ
ܺ
ଶ
൰,
a distribuição marginal da variável ܺ
ଶ
é a distribuição de ܺ
ଶ
obtida
desconsiderando a existência de ܺ
ଵ
.
Pode-se representar a distribuição marginal de ܺ
ଶ
por meio de sua função de
distribuição acumulada:
(
)
{
}
{
}
( ) ( )
22
221222
,
,
2
2
xFXF
xXXxXXF
XX
X
∞+≡
≤
+∞
≤
Ρ
=
≤
Ρ
≡
19
Colocando em palavras, a função de distribuição acumulada marginal é a função
de distribuição acumulada conjunta, em que as variáveis que se deseja
desconsiderar são levadas ao infinito.
Podemos representar a distribuição marginal de ܺ
ଶ
por meio de sua função
densidade de probabilidade, derivando a função de distribuição acumulada:
(
)
(
)
∫
≡
1212
,
2
dxxxfxf
XX
onde ݂ݔ
ሺ
ݔ
ଵ
,ݔ
ଶ
ሻ
é a função densidade de probabilidade conjunta.
A cópula representa a estrutura de interdependência de uma variável aleatória
multivariada. Pode ser entendida como uma função que reúne as características
de encaixe ou acoplamento de uma distribuição multivariada e é obtida filtrando-se
todas as características unidimensionais de cada entrada
i
X
, com ܺ=ܺ
ଵ
,…,ܺ
.
Para se extrair os componentes marginais, faz-se uma transformação
determinística de cada entrada
i
X
em uma nova variável aleatória
i
U
, cuja
distribuição é a mesma para cada variável ܺ
, i = 1,...,n. Como a distribuição de
cada
i
U
é obtida desta maneira, perde-se a equivalência com a distribuição
marginal específica de
i
X
.
Para mapear uma variável unidimensional aleatória genérica em uma variável
aleatória U com a distribuição desejada, utiliza-se a função de distribuição
acumulada
X
F
para se definir a nova variável aleatória, denominada grade de X
)(XFU
X
≡
A grade de X é uma transformação determinística da variável aleatória X que
assume valores no intervalo de [0,1]. A grade é uniformemente distribuída neste
intervalo:
[
]
(
)
1,0~UU
20
Para obter a variável aleatória Z com a distribuição desejada basta realizar a
operação inversa, aplicada à grade U:
)(UQZ
Z
=
Onde ܳ
é a função quantil, portanto, o quantil de ܳ
de uma variável aleatória X é
o inverso da função de distribuição acumulada: ܳ
ሺ
ܷ
ሻ
≡ܨ
ିଵ
ሺ
ܷ
ሻ
Na figura 1 temos a interpretação gráfica das operações acima
4
:
Figura 1: Mapeamento das distribuições marginais
4
A técnica também nos permite simular distribuições univariadas de qualquer tipo partindo de um gerador de
números aleatórios com distribuição uniforme.
-10
0 10 20 30
40 50 60 70
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
U
Fx
Qx
21
Desta maneira, é possível reproduzir cada componente marginal
i
X
de um vetor
de variáveis aleatórias X utilizando-se a distribuição uniforme. Para isso,
consideramos o vetor das grades:
(
)
( )
,
22
11
1
≡
≡
XF
XF
Ui
U
U
X
X
MM
e estas variáveis aleatórias assumem valores em um hipercubo unitário:
[
]
[
]
[
]
1,01,01,0 ××≡ L
i
A cópula da variável aleatória multivariada X é a distribuição conjunta das grades.
Como a cópula é uma distribuição, ela pode ser representada por meio de sua
função de distribuição acumulada, que pode ser escrita como:
(
)
(
)
(
)
(
)
iXXXiU
uQuQFuuF
N
,,,,
11
1
LL
=
3.2 Medidas de Associação
As variáveis aleatórias X e Y são ditas associadas quando elas não forem
independentes. Existem, entretanto, inúmeros conceitos de associação.
Entraremos com mais detalhes em alguns deles como o tau de Kendall e o rho de
Spearman assim como a correlação linear ou rho de Pearson. Todas essas
medidas estão relacionadas às cópulas na medida em que, ao acoplar uma função
de distribuição conjunta com suas marginais, a cópula “captura certos ... aspectos
da relação entre as variáveis, de onde se segue que ... conceitos de dependência
são propriedades da cópula” (Nelsen, 1991).
22
Formalmente, uma medida de concordância entre duas variáveis aleatórias X e Y
com a cópula C, podendo ser denotada ܯ
,
ou ܯ
, é caracterizada pelo seguinte
conjunto de propriedades axiomáticas
5
:
(i) É definido para cada par (completude);
(ii) É uma medida relativa (ou normalizada): ܯ
,
∈
ሾ
−1,1
ሿ
;
(iii) É simétrica: ܯ
,
= ܯ
,
;
(iv) Se X e Y são independentes, então ܯ
,
= 0;
(v) ܯ
ି,
= ܯ
,ି
= −ܯ
,
;
(vi) Converge quando a cópula converge;
(vii) Respeita a ordem de concordância: se ܥ
ଵ
≺ܥ
ଶ
, então ܯ
భ
≤ܯ
మ
.
A correlação linear ou rho de Pearson é extremamente popular e pode ser definido
como:
ߩ
=
ܿݒሺܺ,ܻሻ
ඥ
ݒܽݎ
ሺ
ܺ
ሻ
ݒܽݎሺܻሻ
Onde, var(.) é o a variância de uma variável aleatória e cov(.,.) é a
covariância entre duas variáveis aleatórias.
A correlação linear satisfaz os axiomas (i) ao (v) e (vii), mas não satisfaz o (vi) e
portanto não pode ser considerado uma medida de concordância
6
.
O tau de Kendall para as variáveis aleatórias X e Y com a cópula C é:
5
Cherubini, Luciano e Vecchiato (2004)
6
Para prova, vide Cherubini, Luciano e Vecchiato (2004)
23
߬=4ඵ ܥ
ሺ
ݑ,ݒ
ሻ
݀ܥ
ሺ
ݑ,ݒ
ሻ
ூଶ
− 1
Pode ser demonstrado
7
que ele mede a diferença entre a probabilidade de
concordância e a probabilidade de discordância para dois vetores aleatórios
independentes
ሺ
ܺ
ଵ
,ܻ
ଵ
ሻ
e
ሺ
ܺ
ଶ
,ܻ
ଶ
ሻ
, cada um com a mesma função de distribuição
conjunta e cópula C. Os vetores são ditos concordantes quando sempre que
ܺ
ଵ
>ܺ
ଶ
, ܻ
ଵ
>ܻ
ଶ
e ܺ
ଵ
<ܺ
ଶ
, ܻ
ଵ
<ܻ
ଶ
e discordantes caso contrário. Temos que:
߬=ܲݎ
൫
ሺ
ܺ
ଵ
− ܺ
ଶ
ሻሺ
ܻ
ଵ
− ܻ
ଶ
ሻ
>0
൯
− ܲݎ
൫
ሺ
ܺ
ଵ
− ܺ
ଶ
ሻሺ
ܻ
ଵ
− ܻ
ଶ
ሻ
<0
൯
O tau de kendall satisfaz os axiomas de (i) a (vii), podendo ser considerado uma
medida de concordância.
O rho de Spearman para as variáveis aleatórias X e Y com cópula C pode ser
definido como:
ߩݏ=12ඵܥ
ሺ
ݑ,ݒ
ሻ
݀ݑ݀ݒ− 3=
ூଶ
12ඵ ݑݒܥ
ሺ
ݑ,ݒ
ሻ
− 3
ூଶ
Essa medida também explora as probabilidades de concordância e discordância.
Ela parte de três pares de vetores aleatórios i.i.d.,
ሺ
ܺ
ଵ
,ܻ
ଵ
ሻ
,
ሺ
ܺ
ଶ
,ܻ
ଶ
ሻ
e
ሺ
ܺ
ଷ
,ܻ
ଷ
ሻ
, com
cópula C. Pode ser demonstrado
8
que o rho de Spearman mede a diferença entre
a probabilidade de concordância e a probabilidade de discordância para os
vetores
ሺ
ܺ
ଵ
,ܻ
ଵ
ሻ
e
ሺ
ܺ
ଶ
,ܻ
ଷ
ሻ
, sendo o último obtido de variáveis aleatórias
independentes,
ሺ
ܺ
ଷ
,ܻ
ଷ
ሻ
. Portanto, no caso do rho de Spearman, as probabilidades
de concordância e discordância são medidas considerando o caso independente.
Temos que:
ߩݏ=3
ൣ
ܲݎ
൫
ሺ
ܺ
ଵ
− ܺ
ଶ
ሻሺ
ܻ
ଵ
− ܻ
ଷ
ሻ
>0
൯
− ܲݎ
൫
ሺ
ܺ
ଵ
− ܺ
ଶ
ሻሺ
ܻ
ଵ
− ܻ
ଷ
ሻ
<0
൯൧
Também pode ser demonstrado que o rho de Spearman satisfaz a definição de
medida de concordância.
7
Para prova, vide Cherubini, Luciano e Vecchiato (2004)
8
Para prova, vide Cherubini, Luciano e Vecchiato (2004)
24
Portanto o tau de Kendall e o rho de Spearman são medidas de probabilidade de
concordância entre variáveis aleatórias dado uma cópula.
Entretanto, as medidas não são iguais em termos numéricos e é justo querermos
saber se há alguma relação funcional entre elas. Pode ser demonstrado que para
uma dada associação entre X e Y, em outras palavras, para uma dada cópula
9
:
3߬− 1
2
≤ߩݏ≤
1 + 2߬− ߬
ଶ
2
߬≥0
߬
ଶ
+ 2߬− 1
2
≤ߩݏ≤
1 + 3߬
2
߬<0
O tau de Kendall e o rho de Spearman possuem ainda uma propriedade que a
correlação linear, ou rho de Pearson não possui: eles são invariantes para
transformações estritamente crescentes.
Quando comparando o rho de Pearson das distribuições marginais com o das
distribuições uniformes (que foram obtidas pela transformação inversa das
distribuições marginais) elas não são iguais, ou seja, não são invariantes.
Já quando comparando o tau de Kendall ou o rho de Spearman das distribuições
marginais com o das distribuições uniformes (que foram obtidas pela
transformação inversa das distribuições marginais) elas são iguais, ou seja, são
invariantes
10
.
Essa característica é de fundamental importância. Na medida em que as
simulações serão feitas através das uniformes e das relações entre elas, a
invariância da medida de associação garante que as dependências entre elas
sejam mantidas quando convertidas para suas distribuições simuladas.
9
Vide Cherubini, Luciano e Vecchiato (2004)
10
Melchiori (2003)
25
Desta maneira a utilização do tau de Kendall ou rho de Spearman garante que o
processo descrito efetivamente incorpore a estrutura de dependência contido nas
variáveis de mercado.
Figura 2: Relação entre tau de Kendall, rho de Spearman e rho de Pearson
11
11
Vide Help do Matlab®
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rho
Rank correlation coefficient
Kendall's
τ
Spearman's
ρ
s
26
4 Modelagem
Neste capítulo abordaremos os invariantes, o que significam, como serão
utilizados, como podem ser detectados e finalmente como podem ser modelados
para capturar as estruturas das interrelações entre os diferentes ativos do
mercado. Com essa modelagem, seremos capazes de simular a distribuição
multivariada dos preços de mercados contendo milhares de dados. De posse
destes dados simulados, podemos avaliar a distribuição dos retornos de uma
determinada alocação e, finalmente, conhecendo a distribuição de retorno de cada
alocação, podemos escolher aquela que maximiza a satisfação de cada investidor.
4.1 Os Invariantes de Mercado
Para qualquer investidor, o mercado pode ser representado por um conjunto de
ativos em um certo horizonte de tempo. Os ativos podem ser títulos públicos,
ações, moeda, commodities, opções, etc.
Para se obter a melhor alocação entre os ativos, é interessante modelar o valor
dos ativos no horizonte de tempo desejado. Os preços dos ativos no horizonte de
investimento desejado são considerados como variável aleatória multivariada e,
portanto, modelar o mercado significa determinar as distribuições dos preços e,
consequentemente, determinar as distribuições dos retornos dado que os preços
na data corrente são conhecidos.
É razoável supor que haja uma conexão entre as distribuições futuras com as
distribuições de algumas variáveis de mercado observadas no passado.
Para se fazer essa conexão entre a distribuição dos preços observados no
passado e preços futuros, são necessários os seguintes passos:
27
(i) Detectar os invariantes
O mercado disponibiliza alguns fenômenos que se repetem identicamente
através da história. Podemos denominá-los como invariantes, ou seja,
variáveis de mercado que podem ser modeladas como as realizações de um
conjunto de variáveis aleatórias independente e identicamente distribuídas
(i.i.d.).
(ii) Determinar a distribuição dos invariantes:
Dado o comportamento repetitivo dos invariantes de mercado, é possível, por
meio de procedimentos estatísticos, inferir suas distribuições. Faremos essa
inferência através das distribuições empíricas dos invariantes e pelo método de
cópulas.
(iii) Projetar os invariantes para o futuro:
A distribuição estimada dos invariantes se refere a um específico intervalo de
estimação. Esta distribuição pode ser projetada para o horizonte de
investimento desejado.
(iv) Mapear os invariantes nos preços de mercado:
Como os invariantes não são os preços de mercado, precisamos traduzir as
distribuições dos invariantes nas distribuições dos preços dos ativos de
mercado no horizonte de investimento.
Resumindo, iremos detectar os invariantes de mercado, projetar suas distribuições
para um horizonte genérico e traduzir essas projeções nas distribuições dos
preços de mercado no horizonte de investimento.
28
4.2 A busca pela invariância
De posse das informações disponíveis no mercado, podemos determinar os
invariantes de mercado. Antes disso, precisamos definir com mais precisão o
conceito de invariante. Considerando um ponto inicial ݐ
̃
e um intervalo de tempo ߬̃
que é o intervalo de estimação, consideremos um conjunto ܦ
௧,
෩
ఛ
de datas
igualmente espaçadas:
ܦ
௧,
෩
ఛ
≡
ሼ
ݐ
̃
,ݐ
̃
+ ߬̃,ݐ
̃
+ 2߬̃,…
ሽ
e considerando um conjunto de variáveis aleatórias:
ܺ
௧
, ݐ∈ ܦ
௧,
෩
ఛ
As variáveis aleatórias ܺ
௧
são invariantes de mercado para o ponto inicial ݐ
̃
e o
intervalo de tempo ߬̃ se forem independentes e identicamentes distribuídas e se a
realização ݔ
௧
de ܺ
௧
for disponível no tempo t.
Um invariante homogêneo no tempo é aquele cuja distribuição não depende da
referencia de tempo ݐ
̃
(ponto inicial). Sempre procuramos invariantes que sejam
invariantes no tempo. Uma variável não homogênea no tempo é o preço de um
ativo pré-fixado. A série de tempo contendo os preços de título pré-fixado
converge para o valor de vencimento à medida que o mesmo se aproxima e,
portanto, não pode ser considerado um invariante.
Para encontrarmos um invariante, observamos as séries de tempo de dados
financeiros disponíveis. As séries de tempo de um conjunto genérico de variáveis
aleatórias é o conjunto das realizações passadas dessas variáveis aleatórias.
Assumindo T como o instante atual, a série de tempo é o conjunto
ݔ
௧
, ݐ=ݐ
̃
,ݐ
̃
+ ߬̃,…,ܶ,
onde ݔ
௧
é uma realização específica de uma variável aleatória ܺ
௧
ocorrida no
tempo t no passado.
29
Para detectarmos os invariantes, realizamos dois simples testes gráficos:
(i) O primeiro consiste em dividir a série de tempo na metade e obter duas
séries de tempo. Então realiza-se uma comparação dos histogramas
das duas séries. Se ܺ
௧
for um invariante, todos os termos da série são
identicamente distribuídos e, portanto, os dois histogramas devem ser
visualmente semelhantes um ao outro.
(ii) O segundo teste é realizar um gráfico de dispersão (scatter) com a série
de tempo em um dos eixos e seus valores defasados no outro eixo. Se
ܺ
௧
for um invariante todos os termos da série são independentes entre si
e portanto o gráfico de dispersão deve ser simétrico com respeito aos
eixos de referência. Desta maneira, como todos os termos são
identicamente distribuídos, o gráfico de dispersão deve se assemelhar
visualmente a uma nuvem circular.
Para este trabalho, o universo de ativos foi escolhido de maneira a ser fiel às
oportunidades geralmente exploradas pelos gestores no Brasil. Os escolhidos
foram: índice Ibovespa (IBOV), dólar americano (USD), vértice pré-fixado de 2
anos (PRE2Y), vértice IPCA de 3 anos (IPCA3Y) e contrato de futuro de Treasury
de 10 anos (T10Y). Todas as séries de dados foram obtidas diretamente no
serviço Bloomberg® com exceção da série de dados do vértice de 3 anos do
IPCA, os quais foram obtidos através da construção da curva zero das taxas de
títulos públicos indexados ao IPCA, as NTNBs.
Para as diferentes classes de ativos, foram feitos os testes acima para identificar o
invariante em cada classe de ativo.
Para os ativos de renda variável (índice de ações e ações), a questão é se o
preço, ou nível, pode ser considerado um invariante. Fixamos uma data inicial em
01 de janeiro de 2005, um conjunto de preços igualmente espaçados de 5 dias
úteis sem sobreposição com data final em 30 de setembro de 2008 . Se os preços
forem um invariante, a primeira metade do histograma deveria ser semelhante à
30
segunda metade e, além disso, o gráfico de dispersão dos dados contra os dados
defasados deveria se assemelhar a uma nuvem. Observando a Figura 3 abaixo,
podemos concluir que os preços não podem ser considerados um invariante, pois
falham nos testes propostos.
Figura 3: Teste para a variável Ibovespa (nível)
A mesma análise aplicada a outros índices de ações, ações, commodities e taxas
de câmbio nos levam à mesma conclusão: o nível destas variáveis não pode ser
considerado invariante.
Uma outra tentativa de encontrar os invariantes para os ativos acima citados
(índice de ações, ações, taxas de câmbio e commodities) seria o retorno
logarítmico ܥ
௧,ఛ
para um certo tempo t e um horizonte de tempo de
τ
=5 dias úteis
sem sobreposição dado abaixo,
2 3 4 5 6 7 8
x 10
4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
IBOVESPA
2 3 4 5 6 7 8
x 10
4
0
5
10
15
20
25
30
35
IBOVESPA
2 3 4 5 6 7 8
x 10
4
2
3
4
5
6
7
8
x 10
4
IBOVESPA
31
=
−
τ
τ
t
t
t
P
P
C ln
,
Realizamos então os mesmos testes para os retornos logarítmicos do índice
Ibovespa e do dólar americano. Como mostram as Figuras 4 e 5 abaixo, os
histogramas contendo as duas metades da amostra se assemelham visualmente.
Além disso, o gráfico de dispersão entre a variável e a variável defasada forma
uma nuvem circular. Isso nos leva à conclusão de que os retornos logarítmicos
dessas variáveis (índice de ações, ações, taxas de câmbio e commodities) são
invariantes e, portanto, ótimos candidatos à modelagem das suas distribuições.
Figura 4: Teste para a variável Ibovespa (retornos)
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
IBOVESPA
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
IBOVESPA
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
IBOVESPA
32
Figura 5: Teste para a variável dólar (retornos)
Para o caso de renda fixa, concentramo-nos nos títulos conhecidos como zero-
coupon, ou títulos que pagam o principal no final e não possuem pagamentos de
juros intermediários. Podemos chamá-los de blocos básicos de todo o mercado de
renda-fixa. Os preços não são invariantes pois tendem a convergir para um valor
de face. Uma outra tentativa seria a diferença entre as taxas de um vértice fixo da
curva de juros para um certo tempo t e um horizonte de tempo de
τ
=5 dias úteis
sem sobreposição. Cada um destes vértices podem ser obtidos com um título de
maturidade/duration aproximada, cujo comportamento se assemelha ao descrito
pela distribuição do vértice fixo. Sendo assim,
ܺ
௧,ఛ
ሺ
జ
ሻ
≡ܻ
௧
ሺ
జ
ሻ
− ܻ
௧ିఛ
ሺ
జ
ሻ
,
onde, ܻ
௧
ሺ
జ
ሻ
é o yield to maturity no instante t do vértice ߭ e ܻ
௧ିఛ
ሺ
జ
ሻ
é o yield to maturity
no instante ݐ− ߬ do vértice ߭
Realizamos então os testes para a diferença da taxa para o vértice Pré de 2 anos,
o IPCA de 3 anos e o Treasury de 10 anos. Como observado nas Figuras 6, 7 e 8
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
5
10
15
20
USD
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
USD
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
USD
33
abaixo, os histogramas contendo as duas metades da amostra se assemelham
visualmente. Além disso, o gráfico de dispersão entre a váriavel e a variável
defasada se assemelha a uma nuvem circular. Isso nos leva à conclusão de que a
diferença entre as taxas de um vértice fixo da estrutura a termo de taxas de juros é
um invariante e, portanto, ótimo candidato à modelagem de suas distribuições.
Figura 6: Teste para a variável Pré 2 anos (diferenças)
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
0
5
10
15
20
25
PRE2Y
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
0
5
10
15
20
25
30
35
PRE2Y
-0.01 -0.005 0 0.005 0.01
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
PRE2Y
34
Figura 7: Teste para a variável IPCA 3 anos (diferenças)
Figura 8: Teste para a variável Treasury 10 anos (diferenças)
A busca pelos invariantes tem o claro objetivo de detectar as distribuições que
permitirão a modelagem do comportamento dos preços dos ativos que, em última
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
x 10
-3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
IPCA3Y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
x 10
-3
0
5
10
15
20
25
IPCA3Y
-0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
IPCA3Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 10
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
10Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 10
-3
0
5
10
15
20
25
10Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x 10
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x 10
-3
10Y
35
instância, é o que importa. Vale ressaltar que qualquer ativo pode ser modelado,
desde que detectado o seu invariante. Foi trabalhado, por exemplo, com o retorno
de preços e a diferença de taxas como sendo alguns dos invariantes presentes no
mercado. Contudo, pode-se indicar como uma extensão deste trabalho, a
utilização da diferença da volatilidade implícita de opções no dinheiro (ATM), como
invariante:
ܺ
௧,ఛ
ሺ
జ
ሻ
≡ߪ
௧
ሺ
జ
ሻ
− ߪ
௧ିఛ
ሺ
జ
ሻ
,
onde, ߪ
௧
ሺ
జ
ሻ
é a volatilidade implícita de uma opção no dinheiro no instante t com
prazo fixo de maturidade ߭ e ߪ
௧ିఛ
ሺ
జ
ሻ
é o volatilidade implícita de uma opção no
dinheiro no instante ݐ− ߬ de prazo fixo de maturidade ߭.
Isso permitiria às opções fazerem parte do universo de ativos elegíveis a serem
modelados para a utilização em processos de alocação de ativos.
Concluímos que as mais convenientes representações dos invariantes são:
(i) Índice de ações, ações, commodities e taxas de câmbio: retornos
logarítmicos;
(ii) Renda fixa: diferença no yield to maturity.
4.3 Dos Invariantes para os Preços
Os invariantes não entram diretamente no processo de alocação. Para
acessarmos as distribuições dos preços dos diferentes mercados, temos que
transformar ou converter os invariantes X em preços simulados para que então
sejam utilizados no processo de alocação dos ativos. Neste item, iremos analisar
como recuperar as distribuições dos preços de mercado P dado os invariantes.
36
Genericamente, podemos recuperar os preços dos ativos da seguinte maneira.
Para as fórmulas abaixo, é empregado álgebra matricial uma vez que as variáveis
são vetores e matrizes. Desta maneira, queremos construir o vetor de preços P
dado o vetor de invariantes X. Sendo assim, o vetor P no horizonte de
investimento desejado é dado por:
ܲ=݁
onde, Y é uma transformação affine dos invariantes de mercado, i.e.:
ܻ=ߛ+ ݀݅ܽ݃
ሺ
ߝ
ሻ
ܺ
As constantes γ e ε na expressão acima são dadas abaixo para cada componente
ação, renda fixa, commodity, etc:
ߛ
≡
ቊ
݈݊
ሺ
ܲ
்
ሻ
, se o ativo for um índice de ação,câmbio ou ܿ݉݉݀݅ݐݕ
݈݊ቀܼ
்
ሺ
ாିఛ
ሻ
ቁ, se for um ativo de renda ϐixa
e
ߝ
≡
൜
1, se o ativo for um índice de ação,câmbio ou ܿ݉݉݀݅ݐݕ
−
ሺ
ܧ− ܶ− ߬
ሻ
, se for um ativo de renda ϐixa
onde,
P = ܲ
்ାఛ
= Preço no horizonte desejado;
ܲ
்
= Preço no instante corrente;
ܼ
்
ሺ
ாିఛ
ሻ
= Valor do ativo de renda fixa no instante corrente;
ሺ
ܧ− ߬
ሻ
>0;
ሺ
ܧ− ܶ −߬
ሻ
= Prazo do vértice do título de renda fixa;
ሺ
ܧ− ܶ
ሻ
≥߬;
E = Data de vencimento;
T = Data corrente.
37
4.4 Estimando a Distribuição dos Invariantes
Para estimar as distribuições dos invariantes e, concomitantemente, gerar as
simulações necesssárias para a avaliação das alocações, utilizou-se dos
conceitos descritos nos itens 3.1 e 3.2. Os passos são os seguintes:
(i) Estima-se a distribuição acumulada empírica das marginais. Para isso
foi utilizada a função ecdf
12
do MATLAB® que calcula a estimação de
Kaplan-Meier para a distribuição acumulada empírica. Esta função é
apropriada para estimação de distribuições discretas. Entretanto, para
distribuições contínuas, é apropriado utilizar uma modelagem para
suavizar a distribuição acumulada empírica. Abaixo, na Figura 9, pode-
se observar esse processo onde, a linha azul é a distribuição acumulada
empírica e a linha vermelha é a distribuição acumulada suavizada
13
.
Figura 9: Estimação das distibuições acumuladas empíricas
12
Vide Help do MATLAB®
13
Código descrito no apêndice
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
x 10
-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Change PRE2Y
Cumulative Probability
Empirical
Smoothed
-0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Retorno Ibovespa
Cumulative Probability
Empirical
Smoothed
-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Retorno BRL
Cumulative Probability
Empirical
Smoothed
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
x 10
-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Change IPCA3Y
Cumulative Probability
Empirical
Smoothed
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 10
-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Change 10Y
Cumulative Probability
Empirical
Smoothed
38
(ii) Calcula-se a dependência entre os dados através do tau de kendal;
(iii) Para gerar os valores aleatórios, escolheu-se uma cópula t, que tem a
vantagem sobre a cópula gaussiana por melhor modelar as caudas
grossas. Foi utilizado a função copularnd do MATLAB®;
(iv) Compondo os três itens anteriores, gera-se uma simulação multivariada
que preserva a estrutura das distribuições originais bem como a
dependência entre elas.
Abaixo, podemos verificar nas Figuras 10 e 11 as distribuições e as dependências
capturadas. Em ambas as figuras, a diagonal apresenta o histograma das
distribuições e nas outras células, o gráfico de dispersão entre cada variável nos
quais é possível visualizar as relações entre elas. A Figura 10 apresenta os dados
empíricos dos invariantes e a Figura 11 apresenta os dados simulados com o
número de simulação igual a 10.000.
Os dados estão organizados como uma matriz na seguinte ordenação: Pré 2 anos,
Ibovespa, Dólar americano, IPCA 3 anos e Treasury 10 anos.
39
Figura 10: Distribuição e dependência histórica das variáveis
Analisando a posição (4,1) da matriz da figura 10 acima, verificamos a relação
entre o PRE2Y e o IPCA3Y. Como seria de se esperar, as duas variáveis
(diferenças das taxas de juros) apresentam uma clara relação, podendo ser visto
pela nuvem de dados que se assemelha a uma elipse. Já se pegarmos a posição
(5,3), verificamos que a relação entre o USD e o T10Y não apresenta uma clara
relação, pois a nuvem de dados se assemelha mais a um círculo. De uma maneira
geral, o T10Y não apresenta uma relação clara com nenhuma das outras
variáveis, o que o torna uma boa fonte de retorno descorrelacionado.
-5 0 5
x 10
-3
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02-0.1 -0.05 0 0.05 0.1-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-5
0
5
x 10
-3
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
PRE2Y
IBOV
USD
IPCA3Y
T10Y
P
R
E
2
Y
I
B
O
V
U
S
D
I
P
C
A
3
T
1
0
Y
40
Figura 11: Distribuição e dependência histórica das variáveis
A mesma análise pode ser feita para a Figura 11. A posição (4,1) mostra a relação
entre o PRE2Y e IPCA3Y e a nuvem de dados se assemelha a uma elipse onde o
eixo maior é uma proxi para o grau de dependência entre elas.
Concluímos que o objetivo deste capítulo foi atingido. Pretendíamos modelar os
invariantes e suas dependências de maneira que conseguíssemos gerar uma
enorme quantidade de dados simulados multivariados que refletissem a estrutura
observada historicamente no mercado. Essa grande quantidade de dados
simulados possibilita gerar a distribuição de retornos simulados de cada possível
alocação, permitindo uma análise mais robusta, tanto da distribuição em si quanto
das caudas, ou eventos extremos.
-5 0 5
x 10
-3
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
-5
0
5
x 10
-3
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
PRE2Y
IBOV
USD
IPCA3Y
T10Y
P
R
E
2
Y
I
B
O
V
U
S
D
I
P
C
A
3
T
1
0
Y
41
Comparativamente, se utilizássemos apenas os dados históricos para realizar
essas simulações, esbarraríamos em um problema que é ainda mais grave em
mercados recentes como o nosso, a falta de dados históricos. Utilizamos dados
desde 2005, que é o máximo que conseguimos retroagir pois, a partir desta data,
não temos dados relevantes de IPCA, pois os ativos (NTNBs) eram muito pouco
liquidos. A utilização desta pequena quantidade de dados tornaria menos robusta
e estatisticamente inconsistente a análise da distribuição dos retornos das
possíveis alocações.
Portanto, a utilização de dados simulados em grande quantidade possibilita
analisar de maneira consistente as distribuições dos retornos de possíveis
alocações. Com isso, ao escolhermos a alocação que maximiza a satisfação de
cada investidor, temos a confiança de que o risco de eventos extremos de certa
maneira está controlado pelo fato de utilizarmos as distribuições empíricas das
variáveis, que carregam alguns eventos extremos do passado. Evidentemente, a
natureza de cada evento extremo é, na maioria das vezes, distinto entre si e
portanto um evento extremo futuro pode não apresentar o mesmo comportamento
do passado, contudo, incorporar os eventos extremos do passado é extremamente
positivo para o controle do risco da alocação.
42
5 Alocação de Ativos
Neste capítulo discutimos o processo de alocação de ativos. Seguimos os
seguintes passos: (i) gerar um conjunto de portfólios eficientes para cada
investidor; (ii) introduzir um índice de satisfação para avaliar cada um desses
portfólios eficientes; (iii) obter as distribuições de retornos de cada portfólio
eficiente utilizando os dados simulados gerados como descrito no capítulo anterior
e (iv) escolher, dentre o conjunto de portfólios eficientes de um investidor, aquele,
cuja distribuição dos retornos maximiza sua satisfação.
5.1 Avaliação das Alocações
Há várias maneiras de se escolher a alocação ótima para se atingir o objetivo do
investidor. Nem todo investidor tem o foco no risco, ou seja, nem todo investidor
está preocupado com o trade-off entre a riqueza final e o risco incorrido para
atingí-la. Entretanto, observamos que a maioria dos investidores, aqui
representados por alguns mandatos, têm uma clara preocupação com o risco, o
que nos leva a pensar num índice de satisfação que leve em consideração, não
somente o retorno esperado, bem como o risco incorrido para atingí-lo.
Os principais objetivos básicos de um investidor podem ser:
(i) Riqueza Absoluta: O investidor foca apenas no valor final do seu
portfólio no horizonte desejado;
(ii) Riqueza relativa: O investidor está interessado em ter uma
performance superior a um portfólio de referência em um horizonte desejado;
(iii) Lucro líquido: O investidor está mais preocupado com a variação da
riqueza ao invés da riqueza absoluta.
43
Tendo esses objetivos em mente, podemos utilizar uma função utilidade que nos
descreva o quanto o investidor está satisfeito com o resultado da sua alocação.
Podemos, portanto, utilizar uma função utilidade como base para construir um
índice de satisfação do investidor.
Algumas funções utilidade u(r), para um nível de riqueza, comumente utilizadas
são:
(i) Quadrática
ݑ
ሺ
ݎ
ሻ
=ݎ−
ߣ
2
ݎ
ଶ
(ii) Exponencial
ݑ
ሺ
ݎ
ሻ
=−݁
ିఒ
(iii) Logarítmica
ݑ
ሺ
ݎ
ሻ
=݈݊
ሺ
ݎ
ሻ
(iv) Linear
ݑ
ሺ
ݎ
ሻ
=ݎ
Dentre as funções utilidade acima, a que melhor descreve a satisfação de um
investidor que valoriza o trade-off entre o retorno esperado, e o risco incorrido é a
função quadrática. Desta maneira, construímos um índice de satisfação baseado
em uma função quadrática, utilizando o Expected Shortfall (ES) como parâmetro
de risco. A utilização do ES, é plenamente recomendável na medida que captura
eventos extremos na distribuição e que combina perfeitamente com o fato de
44
utilizarmos as distribuições empíricas das variáveis, ou seja, não utilizamos a
pressuposição da normalidade, caracterizando devidamente a distribuição
14
.
Construímos, portanto, o seguinte índice de satisfação que será utilizado para
avaliar e obter o portfólio ótimo de cada investidor:
ܵ
ሺ
ݓ
ሻ
=ܧ
ہ
ݎ
ۂ
− ߣ∗
ሺ
ܧܵ
ہ
ݎ
ۂ
ሻ
ଶ
Onde:
ߣ é um índice de aversão ao risco;
ES: Expected Shortfall com 95% de intervalo de confiança.
5.2 Otimizando as Alocações
Para o processo de alocação de ativos, o primeiro passo é coletar informações do
investidor. Para isso, escolhemos alguns mandatos de fundos de investimento que
farão a figura dos investidores. Adotamos essa estratégia para sermos o mais fiel
possível às dificuldades encontradas em uma situação real. Na tabela 1 abaixo,
segue um descritivo dos mandatos. Na coluna “Mercados”, descreve-se qual o
mercado de atuação de cada mandato, nas colunas de “Limites efetivos ou
estimados”, as restrições que devem ser consideradas na alocação dos ativos,
nas colunas “Limite Inferior “ e “Limite Superior” os limites que serão efetivamente
utilizados no processo de alocação, podendo ser menores que os limites
contratados, a critério do gestor. A coluna “ߣ" apresenta o parâmetro de aversão
ao risco de que é atrelado a cada mandato segundo suas características.
14
Vide Billio e Casarin (2005)
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 2.5
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 5.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 2.5
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 1.3
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 7.0
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 2.9
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 2.9
Tabela 1
λ
λλ
λ
Limites Efetivos ou estimados
Limite Inferior
Limite Superior
45
Também utilizaremos o índice de satisfação descrito no item 5.1 para avaliarmos
as alocações para cada investidor.
O segundo passo é coletar as informações dos invariantes de mercado. Após
escolhidos os ativos a serem utilizados, detectamos e realizamos os testes
indicados nos itens 4.1 e 4.2, estimamos as distribuições dos invariantes,
mapeamos a distribuição dos invariantes nas distribuições de preços, itens 4.3 e
4.4 e, finalmente, geramos 100.000 cenários. Para a geração dos cenários, foram
utilizados como dados de entrada os retornos esperados ou diferença de taxas
para cada classe de ativo, conforme o invariante. Esses dados são fornecidos pelo
gestor. Novamente, relembramos que o objetivo desta dissertação é estruturar o
processo de alocação de ativos, tendo como dados de entrada a estrutura das
distribuições dos ativos obtidas no mercado e a previsão do gestor a respeito das
classes de ativos. Abaixo, segue tabela com dados de entrada em relação às
classes de ativos que são utilizados para a realização das simulações neste
trabalho:
O terceiro passo é obter 1.000 possíveis portfólios eficientes. Para isso faremos o
dual i.e., para um dado retorno esperado minimizaremos o risco do portfólio. Para
obter os 1.000 possíveis retornos, “fatiamos” em 1000 pedaços o intervalo de
retorno entre o extremo inferior e o superior respectivamente alocação de 100%
na classe de ativo de pior performance e 100% na classe de ativo de melhor
performance. A matriz de covariância é obtida a partir dos cenários gerados. Com
esses dados, obtemos 1.000 portfólios eficientes para cada mandato (investidor)
através de uma otimização quadrática, minimizando o risco para cada retorno.
Ativo
Retorno / Diferença
PRE2Y* -0.80%
Ibovespa** 8.00%
USD** -4.00%
IPCA3Y* -0.48%
10Y* 0.00%
* diferença de taxa
** retorno
46
O quarto passo é obter o portfólio ótimo para cada mandato. Vale lembrar que,
para cada mandato, obtivemos 1.000 portfólios eficientes e já havíamos calculado
100.000 cenários para os ativos a serem alocados. Aplicando o cenário a cada
portfólio eficiente, obtemos a distribuição simulada dos retornos para cada portfólio
eficiente. Finalmente, utilizamos o índice de satisfação para obter dentre os 1.000
portfólios eficientes, aquele que fornece a maior satisfação. Desta maneira, para
cada mandato, obtemos o portfólio que maximiza o índice de satisfação, ou seja, o
portfólio ótimo.
Podemos resumir o processo em um formato de algorítmo:
(i) Coletar informações do investidor, como nível de risco, restrições à
certos ativos, restrições à posições vendidas e intervalos máximos e
mínimos de alocação;
(ii) Coletar informações do mercado:
a. Detectar os invariantes de mercado, performando os testes indicados
no item 4.2;
b. Estimar a distribuição dos invariantes, conforme item 4.4;
c. Mapear a distribuição dos invariantes na distribuição dos preços,
conforme item 4.3;
d. Coletar previsão plausível dos retornos e ou diferença das taxas de
juros;
e. Gerar quantidade suficiente de cenários de preços / retornos;
(iii) Obter 1.000 possíveis retornos para cada mandato e através de um
processo de média-variância minimizar o risco para cada dado retorno,
obtendo 1.000 portfólios eficientes;
47
(iv) Para cada mandato, avaliar cada um dos 1.000 portfólios eficientes nos
cenários gerados anteriormente e escolher o portfólio que maximiza o
índice de satisfação, obtendo assim o portfólio ótimo para cada
investidor.
48
6 Análises dos Resultados
Neste capítulo, são apresentados os resultados das otimizações. Em cada
simulação, para cada mandato (representado abaixo pelos “Fundos”), aplicamos
os cenários gerados (através da modelagem dos invariantes via suas distribuições
empíricas e de uma cópula t) e avaliamos cada portfólio eficiente (dos 1.000
gerados) para cada mandato, utilizando o índice de satisfação descrita no item
5.1 e os ߣs da última coluna da Tabela 1 de cada simulação. Ao se escolher o
portfólio eficiente que proporciona a maior satisfação ao investidor, chegamos ao
portfólio ótimo.
Simulação 1
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 7.0
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 14.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 7.0
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 3.5
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 19.6
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 8.2
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 8.2
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
VaR
(Week)
Var
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 16.1% 0.8% -1.1% 2.4% 1.4% 0.2% 1.7%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 8.1% 0.4% -0.6% 1.2% 0.7% 0.1% 0.8%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 16.1% 0.8% -1.1% 2.4% 1.4% 0.2% 1.7%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 32.4% 1.5% -2.3% 4.7% 2.7% 0.5% 3.3%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 6.3% 0.0% -0.6% 1.0% 0.4% 0.1% 0.6%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 15.3% 0.0% -1.4% 2.4% 1.0% 0.2% 1.4%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 15.3% 0.0% -1.4% 2.4% 1.0% 0.2% 1.4%
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
ES
(Week)
ES
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 7.8% 0.4% -0.6% 1.1% 0.7% 0.2% 1.2%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 3.8% 0.2% -0.3% 0.6% 0.3% 0.1% 0.6%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 7.8% 0.4% -0.6% 1.1% 0.7% 0.2% 1.2%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 15.4% 0.7% -1.1% 2.2% 1.3% 0.3% 2.3%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 2.9% 0.0% -0.3% 0.5% 0.2% 0.1% 0.4%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 7.1% 0.0% -0.7% 1.1% 0.5% 0.1% 1.0%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 7.1% 0.0% -0.7% 1.1% 0.5% 0.1% 1.0%
λ
λλ
λ
Tabela 2 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation VaR
Tabela 3 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation ES
Tabela 1 Limites Efetivos ou estimados Limite Inferior Limite Superior
49
Simulação 2
Simulação 3
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 6.0
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 12.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 6.0
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 3.0
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 16.8
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 7.0
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 7.0
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
VaR
(Week)
Var
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 18.8% 0.9% -1.4% 3.1% 1.6% 0.3% 2.0%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 9.4% 0.4% -0.7% 1.6% 0.8% 0.1% 1.0%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 18.8% 0.9% -1.4% 3.1% 1.6% 0.3% 2.0%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 37.4% 1.7% -2.8% 6.2% 3.1% 0.5% 3.9%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 7.4% 0.0% -0.7% 1.3% 0.5% 0.1% 0.7%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 17.6% 0.0% -1.7% 3.1% 1.1% 0.2% 1.7%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 17.6% 0.0% -1.7% 3.1% 1.1% 0.2% 1.7%
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
ES
(Week)
ES
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 9.3% 0.4% -0.7% 1.5% 0.8% 0.2% 1.4%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 4.7% 0.2% -0.4% 0.8% 0.4% 0.1% 0.7%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 9.3% 0.4% -0.7% 1.5% 0.8% 0.2% 1.4%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 18.5% 0.9% -1.4% 3.1% 1.6% 0.4% 2.7%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 3.5% 0.0% -0.3% 0.6% 0.2% 0.1% 0.5%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 8.5% 0.0% -0.8% 1.5% 0.6% 0.2% 1.1%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 8.5% 0.0% -0.8% 1.5% 0.6% 0.2% 1.1%
λ
λλ
λ
Tabela 2 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation VaR
Tabela 3 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation ES
Tabela 1 Limites Efetivos ou estimados Limite Inferior Limite Superior
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 5.0
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 10.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 5.0
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 2.5
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 14.0
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 5.8
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 5.8
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
VaR
(Week)
Var
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 24.1% 1.1% -1.7% 3.2% 2.0% 0.3% 2.4%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 12.1% 0.5% -0.9% 1.6% 1.0% 0.2% 1.2%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 24.1% 1.1% -1.7% 3.2% 2.0% 0.3% 2.4%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 48.4% 2.2% -3.4% 6.4% 3.9% 0.7% 4.8%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 9.5% 0.0% -0.9% 1.3% 0.6% 0.1% 0.8%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 22.9% 0.0% -2.1% 3.2% 1.5% 0.3% 2.0%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 22.9% 0.0% -2.1% 3.2% 1.5% 0.3% 2.0%
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
ES
(Week)
ES
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 11.6% 0.5% -0.8% 1.5% 0.9% 0.2% 1.7%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 5.8% 0.3% -0.4% 0.8% 0.5% 0.1% 0.8%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 11.6% 0.5% -0.8% 1.5% 0.9% 0.2% 1.7%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 23.2% 1.0% -1.6% 3.0% 1.9% 0.5% 3.3%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 4.3% 0.0% -0.4% 0.6% 0.3% 0.1% 0.6%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 10.5% 0.0% -1.0% 1.5% 0.7% 0.2% 1.4%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 10.5% 0.0% -1.0% 1.5% 0.7% 0.2% 1.4%
λ
λλ
λ
Tabela 2 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation VaR
Tabela 3 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation ES
Tabela 1 Limites Efetivos ou estimados Limite Inferior Limite Superior
50
Simulação 4
Simulação 5
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 4.0
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 8.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 4.0
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 2.0
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 11.2
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 4.7
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 4.7
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
VaR
(Week)
Var
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 29.9% 1.2% -2.1% 3.9% 2.2% 0.4% 2.9%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 15.0% 0.6% -1.0% 1.9% 1.1% 0.2% 1.5%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 29.9% 1.2% -2.1% 3.9% 2.2% 0.4% 2.9%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 59.8% 2.5% -4.2% 7.8% 4.4% 0.8% 5.9%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 11.7% 0.0% -1.1% 1.7% 0.7% 0.1% 1.1%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 28.0% 0.0% -2.5% 4.0% 1.6% 0.4% 2.5%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 28.0% 0.0% -2.5% 4.0% 1.6% 0.4% 2.5%
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
ES
(Week)
ES
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 14.0% 0.6% -1.0% 1.8% 1.0% 0.3% 2.0%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 7.1% 0.3% -0.5% 0.9% 0.5% 0.1% 1.0%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 14.0% 0.6% -1.0% 1.8% 1.0% 0.3% 2.0%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 28.1% 1.2% -2.0% 3.6% 2.1% 0.6% 4.0%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 5.3% 0.0% -0.5% 0.7% 0.3% 0.1% 0.7%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 12.8% 0.0% -1.1% 1.8% 0.7% 0.2% 1.7%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 12.8% 0.0% -1.1% 1.8% 0.7% 0.2% 1.7%
λ
λλ
λ
Tabela 2 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation VaR
Tabela 3 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation ES
Tabela 1 Limites Efetivos ou estimados Limite Inferior Limite Superior
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 3.0
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 6.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 3.0
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 1.5
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 8.4
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 3.5
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 3.5
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
VaR
(Week)
Var
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 38.7% 1.8% -2.8% 5.5% 3.1% 0.6% 3.9%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 19.4% 0.9% -1.4% 2.8% 1.6% 0.3% 2.0%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 38.7% 1.8% -2.8% 5.5% 3.1% 0.6% 3.9%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 77.4% 3.6% -5.7% 11.0% 6.3% 1.1% 7.9%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 15.2% 0.0% -1.4% 2.3% 0.9% 0.2% 1.4%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 36.4% 0.0% -3.4% 5.5% 2.3% 0.5% 3.3%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 36.4% 0.0% -3.4% 5.5% 2.3% 0.5% 3.3%
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
ES
(Week)
ES
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 18.1% 0.9% -1.3% 2.6% 1.5% 0.4% 2.7%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 9.1% 0.4% -0.7% 1.3% 0.7% 0.2% 1.4%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 18.1% 0.9% -1.3% 2.6% 1.5% 0.4% 2.7%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 36.4% 1.7% -2.7% 5.1% 2.9% 0.8% 5.4%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 6.9% 0.0% -0.6% 1.0% 0.4% 0.1% 0.9%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 16.6% 0.0% -1.6% 2.5% 1.0% 0.3% 2.2%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 16.6% 0.0% -1.6% 2.5% 1.0% 0.3% 2.2%
λ
λλ
λ
Tabela 2 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation VaR
Tabela 3 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation ES
Tabela 1 Limites Efetivos ou estimados Limite Inferior Limite Superior
51
Simulação 6
São apresentados os resultados de algumas simulações. As diferenças entre elas
é apenas o conjunto de ߣs utilizado para os mandatos. Todo o restante foi mantido
constante. Cada simulação possui um conjunto de ߣs que refletem o grau de
aversão a risco para cada mandato. Fez-se isso para que haja comparabilidade
entre as alocações e para que seja possível analisar o efeito da mudança dos ߣs
sobre a alocação ótima resultante.
Cada simulação está esquematizada da seguinte maneira:
(i) A Tabela 1 apresenta os dados referentes ao investidor: mercados de
atuação, restrições de alocação, restrições impostas pelo gestor e a
última coluna apresenta o conjunto de ߣs para os mandatos.
(ii) Na tabela 2, nas colunas “Optimal Allocation VaR” são apresentadas as
alocações ótimas em cada classe de ativo para cada mandato quando
utilizado o VaR em substituição ao ES no índice de satisfação. As
últimas duas colunas são respectivamente o VaR semanal e o VaR
anualizado. A idéia é comparar as alocações quando trocamos a medida
de risco.
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 2.0
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 4.0
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% -1.00 -0.15 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.15 0.10 0.20 0.10 2.0
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% -2.00 -0.30 -0.30 0.00 -0.20 2.00 0.30 0.30 0.40 0.20 1.0
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 5.6
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 2.3
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% -1.00 0.00 -0.10 0.00 -0.10 1.00 0.00 0.10 0.20 0.10 2.3
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
VaR
(Week)
Var
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 60.5% 2.7% -4.4% 7.9% 4.8% 0.8% 6.0%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 30.3% 1.4% -2.2% 4.0% 2.4% 0.4% 3.0%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 60.5% 2.7% -4.4% 7.9% 4.8% 0.8% 6.0%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 91.9% 5.6% -12.0% 6.9% 7.6% 1.4% 10.3%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 23.8% 0.0% -2.2% 3.4% 1.5% 0.3% 2.1%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 57.2% 0.0% -5.4% 8.1% 3.6% 0.7% 5.1%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 57.2% 0.0% -5.4% 8.1% 3.6% 0.7% 5.1%
Fundo Mercados Dólar Inflação Pré Bolsa PRE2Y IBOV USD IPCA3Y 10Y
ES
(Week)
ES
Anualizado
Fundo 1 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -10% 0% 540 -6% a 15% 28.4% 1.3% -2.0% 3.7% 2.3% 0.6% 4.1%
Fundo 2 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -20% a 20% 20% 0% 49% 14.2% 0.6% -1.0% 1.9% 1.1% 0.3% 2.0%
Fundo 3 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa 0% 0% 0% 0% 28.4% 1.3% -2.0% 3.7% 2.3% 0.6% 4.1%
Fundo 4 Pré, Inflação, Dólar e Bolsa -30% 0% 0% -30% a 67% 56.8% 2.6% -4.1% 7.4% 4.5% 1.2% 8.2%
Fundo 5 Pré, Inflação e Dólar 0% 0% 0% 0% 10.8% 0.0% -1.0% 1.5% 0.7% 0.2% 1.4%
Fundo 6 Pré, Inflação e Dólar -10% 0% 500 0% 25.8% 0.0% -2.4% 3.7% 1.6% 0.5% 3.4%
Fundo 7 Pré, Inflação e Dólar -10% a 10% 0% 0% 0% 25.8% 0.0% -2.4% 3.7% 1.6% 0.5% 3.4%
λ
λλ
λ
Tabela 2 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation VaR
Tabela 3 Limites Efetivos ou estimados Optimal Allocation ES
Tabela 1 Limites Efetivos ou estimados Limite Inferior Limite Superior
52
(iii) Na tabela 3, nas colunas “Optimal Allocation ES” são apresentadas as
alocações ótimas em cada classe de ativo para cada mandato, quando
levado em consideração o índice de satisfação conforme o especificado
no item 5.1.
Apenas para efeito de análise, iremos nos concentrar no fundo 1, mas a análise é
válida para todos os outros fundos.
Na Simulação 1, obtivemos os seguintes resultados para o Fundo 1 com ߣ = 7.
Quando utilizado o VaR como métrica de risco (Tabela 2) as alocações são:
PRE2Y (16,1%); IBOV (0,8%); USD (-1,1%); IPCA3Y (2,4%) e T10Y (1,4%).
Quando utilizado o ES como métrica de risco (Tabela 3) as alocações são: PRE2Y
(7,8%); IBOV (0,4%); USD (-0,6%); IPCA3Y (1,1%) e T10Y (0,7%).
Na Simulação 3, obtivemos os seguintes resultados para o Fundo 1 com ߣ = 5.
Quando utilizado o VaR como métrica de risco (Tabela 2) as alocações são:
PRE2Y (24,1%); IBOV (1,1%); USD (-1,7%); IPCA3Y (3,2%) e T10Y (2,0%).
Quando utilizado o ES como métrica de risco (Tabela 3) as alocações são: PRE2Y
(11,5%); IBOV (0,5%); USD (-0,8%); IPCA3Y (1,5%) e T10Y (0,9%).
Na Simulação 5, obtivemos os seguintes resultados para o Fundo 1 com ߣ = 3.
Quando utilizado o VaR como métrica de risco (Tabela 2) as alocações são:
PRE2Y (38,7%); IBOV (1,8%); USD (-2,8%); IPCA3Y (5,5%) e T10Y (3,1%).
Quando utilizado o ES como métrica de risco (Tabela 3) as alocações são: PRE2Y
(18,1%); IBOV (0,9%); USD (-1,3%); IPCA3Y (2,6%) e T10Y (1,5%).
Como observado nos dados acima, a escolha do ߣ é fundamental para o resultado
da alocação. O modelo responde conforme o esperado, ou seja, quanto maior o
parâmetro de aversão ao risco, menor a alocação. É portanto, de fundamental
importância escolher os ߣs que fielmente reflitam cada investidor.
Utilizando a Simulação 5 para analisarmos como se comportam as alocações
quando utilizadas diferentes métricas de risco, verificamos que, para tudo mais
constante, quando utilizado o ES, as alocações são inferiores (PRE2Y (18,1%);
53
IBOV (0,9%); USD (-1,3%); IPCA3Y (2,6%) e T10Y (1,5%)) em comparação ao
que acontece quando utilizado o VaR (PRE2Y (38,7%); IBOV (1,8%); USD (-
2,8%); IPCA3Y (5,5%) e T10Y (3,1%)). Ou seja, para um mesmo índice de
aversão ao risco, a alocação pela métrica VaR sugere uma utilização de risco
muito maior. Isso pode ser atribuído ao fato do VaR ser uma métrica de risco cujo
valor é aquele cujas perdas superiores a este valor têm “apenas” 5% de
probabilidade de ocorrerem, independentemente de quão pior sejam esses 5%. Já
o ES é a esperança desses 5% piores eventos, ou seja, se existirem, dentro
desses 5%, eventos que levem à perdas realmente substanciais (não previstas por
uma distribuição Normal), isso será capturado pelo ES, mas não pelo VaR.
Portanto, quando utilizado modelagens que levem em conta as caudas das
distribuições, o ES melhor reflete os riscos em mercados com eventos extremos
não previstos pela cauda de uma distribuição Normal. Isto é valido de maneira
genérica e pode ser visto para todos os mandatos, independentemente do ߣ e das
restrições de cada um. Podemos concluir que, quando utilizado uma métrica que
leva em consideração os pesos das caudas (ES), a alocação desvia-se
significativamente daquela que não considera os eventos extremos (VaR). Essa
diferenciação só é possível pelo fato das alocações não terem sido geradas
pressupondo-se a normalidade dos retornos. Portanto, fica evidente que, ao se
construir portfólios baseados em VaR e pressupondo-se a normalidade dos
retornos, pode-se estar incorrendo em muito mais risco do que o inicialmente
desejado e muitas vezes muito mais risco do que o medido.
Uma outra análise importante é que o trade-off entre risco e retorno é diferente
quando considerado diferentes métricas de risco. O fato de a alocação, quando
utilizado o ES como métrica de risco, ser sempre inferior ao quando utilizado o
VaR, significa que o prêmio esperado não é grande o suficiente para compensar
todo o risco incorrido quando consideradas as caudas grossas e, desta maneira,
sugere-se uma alocação menor. Em contrapartida quando utilizado o VaR, como
parte do risco fica mascarado, tende-se a correr mais risco do que seria razoável,
ante ao prêmio esperado.
54
Os resultados das otimizações apresentam uma alocação viável que atende a
demanda do investidor em termos do limite de risco disponível e restrições
impostas às diferentes classes de ativos.
Simulando com diferentes conjuntos de prêmios esperados, índice de aversão ao
risco, e sempre utilizando um enorme número de simulações, algo como 100.000,
é possível obter alocações factíveis que reflitam a estrutura de interdependências
do mercado e a expectativa do gestor para os retornos esperados com o risco
controlado e maximizando a satisfação do investidor.
55
7 Conclusão
O trabalho procura atacar um grande problema que existe ao se utilizar uma
abordagem mais quantitativa de alocação de ativos: como adequar a visão do
retorno esperado dos gestores com relação a um conjunto de variáveis à estrutura
das interdependências existentes entre elas.
Para isso, buscou-se obter no mercado os dados necessários para se obter as
distribuições empíricas das variáveis. Utilizamos como recurso os invariantes,
fenômenos visualizados no mercado que possuem características de
estacionariedade (i.i.d.) as quais permitem sua modelagem.
Para modelar a relação entre os diversos invariantes, utilizamos as cópulas-t que
possibilitam modelar toda a estrutura de dependência, independentemente da
distribuição marginal das variáveis. Conseguiu-se com essas ferramentas gerar
cenários que fossem os mais fiéis possíveis ao observado historicamente no
mercado.
Criou-se ainda um índice de satisfação, baseado na utilidade quadrática, que visa
resumir o trade-off entre retorno esperado e risco incorrido em um único número
para um investidor. Ainda, para melhor aproveitar o fato de se utilizar as
distribuições empíricas cujas características incluem as caudas grossas, utilizou-
se como métrica de risco o Expected Shortfall.
De posse dos cenários de mercado, pudemos avaliar dentre os portfólios
eficientes de cada mandato aquele que maximiza a satisfação do investidor.
Concluímos que a abordagem aqui estudada permite a obtenção de alocações
estruturais mais seguras para o investidor e que possibilitam ao gestor traduzir a
expectativa de retorno das variáveis em alocações implementáveis e que
respeitem a interdependência entre as variáveis, de maneira a maximizar a
satisfação do investidor.
56
Este trabalho limita-se a explorar uma abordagem de alocação de ativos, não
entrando no mérito da obtenção dos retornos esperado de mercado.
A maior limitação para o trabalho diz respeito à quantidade e qualidade de dados
disponíveis. Utilizamos dados semanais de 01 de janeiro de 2005 a 30 de
setembro de 2008, totalizando um total de 187 observações por variável. Não
utilizamos dados mais antigos pela indisponibilidade dos mesmos.
Outra limitação diz respeito à obtenção de alguns dados, como uma série de
volatilidade implícita de uma opção no dinheiro com prazo constante, o que
impediu a utilização de opções neste trabalho, sendo inclusive elencado como
possível extensão.
Como outras possíveis extensões a esse trabalho, podemos destacar:
(i) Utilizar diferentes índices de satisfação, baseados em diferentes
funções utilidade, de maneira a individualizar cada índice de satisfação
a cada investidor;
(ii) Utilizar como ativo elegível uma opção no dinheiro (ATM), utilizando as
diferenças das volatilidades implícitas
15
, como apresentado abaixo,
como invariante.
(iii) Comparar a abordagem proposta com outras já existentes para o
mercado brasileiro.
(iv) Incorporar metodologias mais robustas de obtenção de dados,
incorporando modelos para excluir dados considerados outliers. Um desses
modelos pode ser o Minimum Volume Ellipsoid (MVL)
16
15
Vide Meucci (2006)
16
Vide Meucci (2006)
57
Referências bibliográficas
Billio, M.; Casarin R., Stochastic Optimisation for Allocation Problem with Shortfall
Risk Constraints, Working Paper, University of Venice, 2005
Billio, M.; Casarin R. and Toniolo, G., Extreme Returns in a Shortfall Risk
Framework, Working Paper, GRETA N. 204, 2002
Brito, A. A., Seleção de Classes de Ativos Para Alocação Global, Dissertação:
Mestrado em Finanças, Fundação Getúlio Vargas, 2007
Bucciol, A.; Miniaci R., Optimal Asset Allocation Based on Utility Maximization in
the Presence of Market Frictions, Università Degli Studi di Padova, 2006
Cherubini, U.; Luciano, E. and Vecchiato, W., Copulas Method in Finance, Wiley
Finance: Wiley, 2004
Fabozzi, F J..; Kolm, P. N.; Pachamanova D. A. and Focardi S. M., Robust
Portfoilio Optimization and Management, Wiley Finance: Wiley, 2007
Fusai, G.; Roncoroni, A., Implementing Models in quantitative Finance, Springer
Finance: Springer, 2008
Ioannidis, C.; Williams J., Static and Dynamic Asset Allocation with Higher
Moments, Working Paper, SSRN, 2006
Jondeau, E.; Poon S. and Rockinger M., Financial Modeling Under Non-Gaussian
Distributions, Springer Finance: Springer, 2007
Junker, M.; May A., Measurement of Aggregate Risk with Copulas, Working Paper,
2002
Litterman, R., Modern Investment Management, Wiley Finance: Wiley, 2003
58
Maciel Junior, J. G., Alocação de Longo Prazo: um Estudo emprírico com Ativos
brasileiros, Dissertação: Mestrado em Finanças, Faculdade Ibmec, São Paulo,
2006
Meucci, A., Risk and Asset Allocation, Springer Finance: Springer, 2005
Natale, F. P., Optimization with Tail-Dependence and Tail Risk: A Copula Based
Approach for Strategic Asset Allocation, Working Paper, SSRN, 2006
Peñaranda, F., Portfolio Choice Beyond the Traditional Approach, Working Paper,
SSRN, 2002
Pereira, D. E., Cópulas – Uma Alternativa para a Estimação de Modelos de Risco
Multivariado, Dissertação: Mestrado em Finanças, Faculdade Ibmec, São Paulo,
2006
Romano, C., Applying Copula Function to Risk Management, Working Paper
Sharpe, W., Expected Utility Asset Allocation, Financial Analysts Journal 63-5,
2007
59
Apêndice 1 Fonte - Programas Principal
Código fonte responsável pela geração dos portfólios ótimos. Implementado em
MATLAB®.
clear all
NumPortf=1000; % Efficient Frontier Slices
Horizon=1; % Time Horizon in Weeks
g=-9; % Risk Aversion Parameter (Satisfaction Index)
%lamb=1; % Risk Aversion Paramenter
conf=0.05; % Confidence Level for V@R and ES Calculation
Num_Scenarios=100000; % Number of Scenarios for Portfolios Evaluations
warning off all;
% === Importa dados === %
%arquivo='F:\DADOS\RISCO\ratecheck\Model\AA\Johnson_3_meses_inversa_ver
1.xls';
arquivo='C:\Users\Mauricio\Documents\MATLAB\Johnson_3_meses_inversa_ver1
.xls';
[variance_factor,lb1,ub1,lamb] =
readfromexcel(arquivo,'sheet','Calculos','B12:F12','sheet','Maps','AU5:AY11','sheet'
,'Maps','AZ5:BD11','sheet','Maps','BE5:BE11');
variance_factor=cell2mat(variance_factor);
lb1=cell2mat(lb1);
lb1(any(isnan(lb1)'),:) = [];
ub1=cell2mat(ub1);
ub1(any(isnan(ub1)'),:) = [];
[lin,col]=size(lamb);
i=1;
while i<lin
if isnan(cell2mat(lamb(i,1)))
lamb(i:end,:)=[];
end
i=i+1;
[lin,col]=size(lamb);
end
60
lamb=cell2mat(lamb);
clear lin col i
[X,Pt,p0,Ret]=gera_multi1(Num_Scenarios,1);
matriz_correl=corrcoef(Ret(:,1:5));
media=mean(Ret(:,1:5));
variance=var(Ret(:,1:5));
variance=variance.*variance_factor(1:5);
Std_Dev=sqrt(variance);
% === Valores semanais ===%
Exp_Yr_Comp_Rets_Hat=media';
Cov_Yr_Comp_Rets_Hat=(diag(Std_Dev)*matriz_correl*diag(Std_Dev));
ExpectedValues=Exp_Yr_Comp_Rets_Hat;
Covariance=Cov_Yr_Comp_Rets_Hat;
NumAssets=size(Covariance,2);
% Laço para pegar todos os fundos
for cont_fund=1:1:size(lb1,1)
% determine exp value of minimum-variance portfolio
FirstDegree=zeros(NumAssets,1);
SecondDegree=Covariance;
A=ones(NumAssets,1)';
b=1;
%PRE2Y IBOV USD IPCA3Y
lb=lb1(cont_fund,:)';
ub=ub1(cont_fund,:)';
x0=1/NumAssets*ones(NumAssets,1);
MinVol_Allocation = quadprog(SecondDegree,FirstDegree,A,b,[],[],lb,ub,x0);
MinVol_ExpVal=MinVol_Allocation'*ExpectedValues;
Min_ExpVal=min(abs(ExpectedValues));
[xx,Max_ExpVal]=linprog(-ExpectedValues,A,b,[],[],lb,ub);
Max_ExpVal=-Max_ExpVal;
% Efficient Frontier Slices
Target_ExpectedValues=MinVol_ExpVal + (0:NumPortf)'*(Max_ExpVal-
MinVol_ExpVal)/(NumPortf);
ExpectedValue=[];
Composition=[];
Std_Deviation=[];
61
for i=1:NumPortf
% determine initial condition
Allocation_0=MinVol_Allocation;
% determine least risky portfolio for given expected return
AEq=ExpectedValues';
bEq=Target_ExpectedValues(i);
Allocation =
quadprog(SecondDegree,FirstDegree,A,b,AEq,bEq,lb,ub,Allocation_0)';
Composition=[Composition
Allocation];
Std_Deviation=[Std_Deviation
sqrt(Allocation*Covariance*Allocation')];
ExpectedValue=[ExpectedValue
Target_ExpectedValues(i)];
end
Allocations=Composition;
Rel_Allocations=Allocations;
% Evaluate the Simulated Scenarios
%Returns_Scenarios=mvnrnd(Exp_Yr_Comp_Rets_Hat*Horizon,Cov_Yr_Comp_R
ets_Hat*Horizon,Num_Scenarios);
%clear X Pt p0 Ret
%[X,Pt,p0,Ret]=gera_multi1(Num_Scenarios,Horizon);
Returns_Scenarios=Ret(:,1:5);
Market_Scenarios=Returns_Scenarios;
VaR=[];
ES=[];
Store_Satisfaction=[];
Store_Utility_VaR=[];
Store_Utility_ES=[];
for n=1:NumPortf
Allocation=Allocations(n,:)';
Objective_Scenario=Market_Scenarios*Allocation;
Objective_Scenario_Sort=sortrows(Objective_Scenario);
Objective_Scenario_Sort_Exc=Objective_Scenario_Sort-
mean(Objective_Scenario);
VaR(n,1)=Objective_Scenario_Sort_Exc(conf*Num_Scenarios);
ES(n,1)=mean(Objective_Scenario_Sort_Exc(1:conf*Num_Scenarios));
Utility_VaR=mean(Objective_Scenario)-(lamb(cont_fund))*(VaR(n,1)^2);
62
Utility_ES=mean(Objective_Scenario)-(lamb(cont_fund))*(ES(n,1)^2);
Store_Utility_VaR=[Store_Utility_VaR Utility_VaR];
Store_Utility_ES=[Store_Utility_ES Utility_ES];
%Utility=(Objective_Scenario.^g)/g;
%Satisfaction=(g*mean(Utility))^(1/g);
%Store_Satisfaction=[Store_Satisfaction Satisfaction];
end
[a,Optimal_Index_VaR]=max(Store_Utility_VaR);
Optimal_Allocation_VaR(cont_fund,:)=Allocations(Optimal_Index_VaR,:);
Optimal_VaR(cont_fund,:)=VaR(Optimal_Index_VaR,:);
[a,Optimal_Index_ES]=max(Store_Utility_ES);
Optimal_Allocation_ES(cont_fund,:)=Allocations(Optimal_Index_ES,:);
Optimal_ES(cont_fund,:)=ES(Optimal_Index_ES,:);
end
%[a,Optimal_Index]=max(Store_Satisfaction)
%Optimal_Allocation=Allocations(Optimal_Index,:)
xlswrite(arquivo,[Optimal_Allocation_VaR Optimal_VaR],'Maps','BG5');
xlswrite(arquivo,[Optimal_Allocation_ES Optimal_ES],'Maps','BN5');
]
63
Apêndice 2 Fonte – Programas Suporte
Código fonte de programas auxiliares. Implementado em MATLAB®
(i) Gerador de dados aleatório multivariados;
function [X,Pt,p0,Ret]=gera_multi1(m,tal);
clc
% Função principal %
% Utiliza as funções: gera_multnorma1 e johnson_inv1 %
% === Importação de Arquivos === %
%arquivo='F:\DADOS\RISCO\ratecheck\Model\AA\Johnson_3_meses_inversa_ver
1.xls';
arquivo='C:\Users\Mauricio\Documents\MATLAB\Johnson_3_meses_inversa_ver1
.xls';
[fatores,matriz_correl,media,p0,eps] =
readfromexcel(arquivo,'sheet','Calculos','H6:L10','sheet','Calculos','G16:K20','sheet'
,'Calculos','M16:M20','sheet','Calculos','O16:O20','sheet','Calculos','Q16:Q20');
% === Limpa células não numéricas da fatores === %
[lin,col]=size(fatores);
i=1;
while i<lin
if isnan(cell2mat(fatores(i,1)))
fatores(i:end,:)=[];
end
i=i+1;
[lin,col]=size(fatores);
end
fatores=cell2mat(fatores);
clear lin col i
% === Limpa células não numéricas da matriz_correl === %
[lin,col]=size(matriz_correl);
for i=1:lin
for j=1:col
if isnumeric(cell2mat(matriz_correl(i,j)));
aux(i,j)=cell2mat(matriz_correl(i,j));
end
end
end
matriz_correl=aux;
clear lin col i j aux
64
% === Limpa células não numéricas da media === %
[lin,col]=size(media);
for i=1:lin
for j=1:col
if isnumeric(cell2mat(media(i,j)));
aux(i,j)=cell2mat(media(i,j));
end
end
end
media=aux;
clear lin col i j aux
% === Limpa células não numéricas da p0 === %
[lin,col]=size(p0);
for i=1:lin
for j=1:col
if isnumeric(cell2mat(p0(i,j)));
aux(i,j)=cell2mat(p0(i,j));
end
end
end
p0=aux;
clear lin col i j aux
% === Limpa células não numéricas da eps === %
[lin,col]=size(eps);
for i=1:lin
for j=1:col
if isnumeric(cell2mat(eps(i,j)));
aux(i,j)=cell2mat(eps(i,j));
end
end
end
eps=aux;
clear lin col i j aux
% === Programa Pricipal === %
fex=[];
%for i=1:m
% f=gera_multinormal1(media,matriz_correl,fatores,i);
% fex=[fex;f];
%end
[fex]=AA_rand_cop();
65
X=fex';
[n m]=size(X);
for i=1:n
aux=X(i,1:m);
aux=aux+media(i)-mean(aux);
X(i,1:m)=aux(1:m);
end
X=transpose(X);
X_tal=tal*X;
gama=log(p0);
for i=1:size(X,1)
Pt(i,:)=transpose(exp(gama+diag(eps)*X_tal(i,:)'));
Ret(i,:)=log(Pt(i,:))-transpose(gama);
end
Pt=[transpose(p0);Pt];
%%%xlswrite(arquivo,X,'Dados_Matlab','A1');
%%%xlswrite(arquivo,Pt,'Dados_Matlab','M1');
%%%xlswrite(arquivo,Ret,'Dados_Matlab','X1');
%draw_hist3d(X);
(ii) Obtenção das distribuições empíricas e mapeamento da cópula;
function [fex]=AA_rand_cop()
clear all
arquivo='C:\Users\Mauricio\Documents\MATLAB\Johnson_3_meses_inversa_ver1
.xls';
[stocks] = readfromexcel(arquivo,'sheet','Calculos','G31:k217');
% === Limpa células não numéricas da stocks === %
[lin,col]=size(stocks);
i=1;
while i<lin
if isnan(cell2mat(stocks(i,1)))
stocks(i:end,:)=[];
end
i=i+1;
[lin,col]=size(stocks);
end
stocks=cell2mat(stocks);
clear lin col i
66
subplot(3,2,1:2)
[Fi,xi] = ecdf(stocks(:,1));
stairs(xi,Fi,'b','LineWidth',2)
hold on
Fi_sm = ksdensity(stocks(:,1),xi,'function','cdf','width',.0004);
plot(xi,Fi_sm,'r-','LineWidth',1.5)
xlabel('Change PRE2Y')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('Empirical','Smoothed','Location','NW')
grid on
subplot(3,2,3)
[Fi,xi] = ecdf(stocks(:,2));
stairs(xi,Fi,'b','LineWidth',2)
hold on
Fi_sm = ksdensity(stocks(:,2),xi,'function','cdf','width',.0060);
plot(xi,Fi_sm,'r-','LineWidth',1.5)
xlabel('Retorno Ibovespa')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('Empirical','Smoothed','Location','NW')
grid on
subplot(3,2,4)
[Fi,xi] = ecdf(stocks(:,3));
stairs(xi,Fi,'b','LineWidth',2)
hold on
Fi_sm = ksdensity(stocks(:,3),xi,'function','cdf','width',.003);
plot(xi,Fi_sm,'r-','LineWidth',1.5)
xlabel('Retorno BRL')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('Empirical','Smoothed','Location','NW')
grid on
subplot(3,2,5)
[Fi,xi] = ecdf(stocks(:,4));
stairs(xi,Fi,'b','LineWidth',2)
hold on
Fi_sm = ksdensity(stocks(:,4),xi,'function','cdf','width',.00025);
plot(xi,Fi_sm,'r-','LineWidth',1.5)
xlabel('Change IPCA3Y')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('Empirical','Smoothed','Location','NW')
grid on
subplot(3,2,6)
[Fi,xi] = ecdf(stocks(:,5));
stairs(xi,Fi,'b','LineWidth',2)
67
hold on
Fi_sm = ksdensity(stocks(:,5),xi,'function','cdf','width',.00015);
plot(xi,Fi_sm,'r-','LineWidth',1.5)
xlabel('Change 10Y')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('Empirical','Smoothed','Location','NW')
grid on
nu = 10;
tau = corr(stocks,'type','kendall');
rho = copulaparam('t', tau, nu, 'type','kendall');
n = 100000;
U = copularnd('t',rho,nu,n);
X1 = ksdensity(stocks(:,1),U(:,1),'function','icdf','width',.0004);
X2 = ksdensity(stocks(:,2),U(:,2),'function','icdf','width',.006);
X3 = ksdensity(stocks(:,3),U(:,3),'function','icdf','width',.003);
X4 = ksdensity(stocks(:,4),U(:,4),'function','icdf','width',.00025);
X5 = ksdensity(stocks(:,5),U(:,5),'function','icdf','width',.00015);
sim=[X1 X2 X3 X4 X5];
figure
scatterhist(X1,X2)
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(X1,X3)
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(X1,X4)
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(X1,X5)
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(stocks(:,1),stocks(:,2))
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(stocks(:,1),stocks(:,3))
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(stocks(:,1),stocks(:,4))
set(get(gca,'children'),'marker','.')
figure
scatterhist(stocks(:,1),stocks(:,5))
set(get(gca,'children'),'marker','.')
68
close all
figure
plotmatrix(stocks)
figure
plotmatrix(sim)
fex=sim;
%p = linspace(0.000001,0.999999,10000);
%G1 = ksdensity(stocks(:,1),p,'function','icdf','width',0.0004);
%X1 = interp1(p,G1,U(:,1),'spline');
%G2 = ksdensity(stocks(:,2),p,'function','icdf','width',0.006);
%X2 = interp1(p,G2,U(:,2),'spline');
%figure
%scatterhist(X1,X2)
close all
(iii) Programa de detecção de invariantes:
arquivo='C:\Users\Mauricio\Documents\MATLAB\Johnson_3_meses_inversa_ver1
.xls';
[stocks] = readfromexcel(arquivo,'sheet','Calculos','G31:k217');
% === Limpa células não numéricas da stocks === %
[lin,col]=size(stocks);
i=1;
while i<lin
if isnan(cell2mat(stocks(i,1)))
stocks(i:end,:)=[];
end
i=i+1;
[lin,col]=size(stocks);
end
stocks=cell2mat(stocks);
clear lin col i
close all
x=min(stocks(:,1)):(abs(max(stocks(:,1)))+abs(min(stocks(:,1))))/15:max(stocks(:,1)
);
subplot(2,8,1:4)
hist(stocks(1:93,1),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('PRE2Y')
subplot(2,8,5:8)
69
hist(stocks(94:187,1),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('PRE2Y')
subplot(2,8,11:14)
scatter(stocks(1:186,1),stocks(2:187,1),'.','k')
xlim([-max(abs(max(stocks(:,1))),abs(min(stocks(:,1))))
max(abs(max(stocks(:,1))),abs(min(stocks(:,1))))])
ylim([-max(abs(max(stocks(:,1))),abs(min(stocks(:,1))))
max(abs(max(stocks(:,1))),abs(min(stocks(:,1))))])
grid
title('PRE2Y')
%====================================
figure
x=min(stocks(:,2)):(abs(max(stocks(:,2)))+abs(min(stocks(:,2))))/15:max(stocks(:,2)
);
subplot(2,8,1:4)
hist(stocks(1:93,2),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('IBOVESPA')
subplot(2,8,5:8)
hist(stocks(94:187,2),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('IBOVESPA')
subplot(2,8,11:14)
scatter(stocks(1:186,2),stocks(2:187,2),'.','k')
xlim([-max(abs(max(stocks(:,2))),abs(min(stocks(:,2))))
max(abs(max(stocks(:,2))),abs(min(stocks(:,2))))])
ylim([-max(abs(max(stocks(:,2))),abs(min(stocks(:,2))))
max(abs(max(stocks(:,2))),abs(min(stocks(:,2))))])
grid
title('IBOVESPA')
%====================================
figure
x=min(stocks(:,3)):(abs(max(stocks(:,3)))+abs(min(stocks(:,3))))/15:max(stocks(:,3)
);
subplot(2,8,1:4)
hist(stocks(1:93,3),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('USD')
70
subplot(2,8,5:8)
hist(stocks(94:187,3),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('USD')
subplot(2,8,11:14)
scatter(stocks(1:186,3),stocks(2:187,3),'.','k')
xlim([-max(abs(max(stocks(:,3))),abs(min(stocks(:,3))))
max(abs(max(stocks(:,3))),abs(min(stocks(:,3))))])
ylim([-max(abs(max(stocks(:,3))),abs(min(stocks(:,3))))
max(abs(max(stocks(:,3))),abs(min(stocks(:,3))))])
grid
title('USD')
%====================================
figure
x=min(stocks(:,4)):(abs(max(stocks(:,4)))+abs(min(stocks(:,4))))/15:max(stocks(:,4)
);
subplot(2,8,1:4)
hist(stocks(1:93,4),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('IPCA3Y')
subplot(2,8,5:8)
hist(stocks(94:187,4),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('IPCA3Y')
subplot(2,8,11:14)
scatter(stocks(1:186,4),stocks(2:187,4),'.','k')
xlim([-max(abs(max(stocks(:,4))),abs(min(stocks(:,4))))
max(abs(max(stocks(:,4))),abs(min(stocks(:,4))))])
ylim([-max(abs(max(stocks(:,4))),abs(min(stocks(:,4))))
max(abs(max(stocks(:,4))),abs(min(stocks(:,4))))])
grid
title('IPCA3Y')
%====================================
figure
x=min(stocks(:,5)):(abs(max(stocks(:,5)))+abs(min(stocks(:,5))))/15:max(stocks(:,5)
);
subplot(2,8,1:4)
hist(stocks(1:93,5),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
71
title('10Y')
subplot(2,8,5:8)
hist(stocks(94:187,5),x)
h = findobj(gca,'Type','patch');
set(h,'FaceColor',[0.5 0.5 0.5],'EdgeColor','k');
grid
title('10Y')
subplot(2,8,11:14)
scatter(stocks(1:186,5),stocks(2:187,5),'.','k')
xlim([-max(abs(max(stocks(:,5))),abs(min(stocks(:,5))))
max(abs(max(stocks(:,5))),abs(min(stocks(:,5))))])
ylim([-max(abs(max(stocks(:,5))),abs(min(stocks(:,5))))
max(abs(max(stocks(:,5))),abs(min(stocks(:,5))))])
grid
title('10Y')
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