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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
“Aplicação do Método de Newton Desacoplado
Para o
Fluxo de Carga Continuado”
ELISABETE DE MELLO MAGALHÃES
Orientador: Prof. Dr. Dílson Amâncio Alves
Dissertação submetida ao Programa de Pós -
graduação em Engenharia Elétrica da Faculdade de
Engenharia de Ilha Solteira – UNESP, para obtenção
do título de Mestre em Engenharia Elétrica.
Área de Conhecimento: Automação.
ILHA SOLTEIRA – SP
Setembro de 2010
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FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação
Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.
Magalhães, Elisabete de Mello.
M188a Aplicação do método de Newton desacoplado para o fluxo de carga
continuado / elisabete de Mello Magalhães. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2010
88 f. : il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de
Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2010
Orientador: Dílson Amâncio Alves
Inclui bibliografia
1. Método de continuação. 2. Fluxo de carga desacoplado. 3. Técnicas de
parametrização. 4. Ponto de máximo carregamento.
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Dedico esse trabalho aos meus amados pais, José
Magalhães e Maria de Mello Magalhães pelo apoio,
amor e incentivo incondicional e aos meus irmãos
Cleide, Nilza e Valdir.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por me conceder a graça de mais esta conquista.
Agradeço aos meus pais José e Maria pelo firme suporte familiar, aos meus queridos
irmãos Cleide, Nilza e Valdir por estarem sempre ao meu lado em todos os momentos e aos
meus cunhados Sérgio e Vanderlei.
Um agradecimento especial ao meu cunhado Sérgio pelo apoio providencial prestado
em um dos momentos mais críticos desta jornada.
Agradecimentos especiais ao meu orientador, professor Dr. Dílson Amâncio Alves,
pela excelente orientação, por me dar a oportunidade de realizar este trabalho, pelo
conhecimento transmitido, pela paciência, compreensão, estímulo e dedicação dispensada.
Agradeço especialmente ao meu companheiro de laboratório, Alfredo Bonini Neto,
que, além de um grande amigo, foi praticamente um co-orientador durante toda a elaboração
deste meu trabalho.
Aos meus amigos pelo apoio, ajuda e incentivos durante este curso de pós-graduação,
em especial às minhas queridas amigas: Alessandra, Meire e Márcia, e também aos amigos:
Aline, Ana Cláudia, Estélio, Jadiel, João, Luzinete, Mara, Marlon, Marcelo, Melina, Naryane,
Newton, Rosane, Stefani...
Um agradecimento especial ao Kazushi pelo apoio e incentivo.
A todos os funcionários do DEE, que de uma forma ou de outra colaboraram para a
realização deste trabalho.
Agradecimentos a CAPES pelo suporte financeiro fornecido durante todo o período de
pós-graduação.
“A mente que se abre a uma nova idéia jamais
voltará ao seu tamanho original”
Albert Einstein
RESUMO
Este trabalho apresenta o método de Newton desacoplado para o fluxo de carga
continuado. O método foi melhorado por uma técnica de parametrização geométrica
possibilitando assim o traçado completo das curvas P-V, e o cálculo do ponto de máximo
carregamento de sistemas elétricos de potência, sem os problemas de mau condicionamento.
O objetivo é o de apresentar de forma didática os passos envolvidos no processo de melhoria
do método de Newton Desacoplado a partir da observação das trajetórias de solução do fluxo
de carga.
A técnica de parametrização geométrica que consiste na adição de uma equação de
reta que passa por um ponto no plano formado pelas variáveis: tensão nodal de uma barra k
qualquer e o fator de carregamento eliminam os problemas de singularidades das matrizes
envolvidas no processo e ampliam o grupo das variáveis de tensão que podem ser usadas
como parâmetro da continuação.
Os resultados obtidos com a nova metodologia para o sistema teste do IEEE (14, 30,
57, 118 e 300 barras) e também para os sistemas reais de grande porte, o 638 barras do
sistema Sul-Sudeste brasileiro e do sistema de 904 barras do sudoeste Americano, mostram
que as características do método convencional são melhoradas na região do ponto de máximo
carregamento e que a região de convergência ao redor da singularidade é sensivelmente
aumentada.
São apresentados vários testes com a finalidade de prover um completo entendimento
do funcionamento do método proposto e também avaliar seu desempenho.
Palavras chave: Método da continuação. Fluxo de carga desacoplado. Técnicas de
parametrização. Ponto de máximo carregamento. Curva P-V.
ABSTRACT
This work presents the decoupled Newton method for continuation power flow. The
method was improved by using a geometric parameterization technique that allows the
complete tracing of P-V curves, and the computation of maximum loading point of a power
system, without ill-conditioning problems. The goal is to present in a clear and didactic way
the steps involved in the development of the improved decoupled Newton method obtained
from the observation of the geometrical behavior of power flow solutions.
The geometric parameterization technique that consists of the addition of a line
equation, which passes through a point in the plane determined by the bus voltage magnitude
and loading factor variables, can eliminate the ill-conditioning problems of matrices used by
the method and can enlarge the set of voltage variables that can be used as continuation
parameter to P-V curve tracing.
The method is applied to the IEEE systems (14, 30, 57, 118 and 300 buses) and two
large real systems: the south-southeast Brazilian system (638 buses) and the 904-bus
southwestern American system. The results show that the best characteristics of the
conventional decoupled Newton’s method are improved in the vicinity of the maximum
loading point and therefore the region of convergence around it is enlarged.
Several tests are presented with the purpose of providing a complete understanding of
the behavior of the proposed method and also to evaluate its performance.
Keywords: Continuation method. Decoupled power flow. Parameterization techniques.
Maximum load point. P-V Curve.
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
PMC ponto de máximo carregamento;
FC fluxo de carga;
FCC fluxo de carga continuado;
FCCDP fluxo de carga continuado desacoplado proposto;
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers;
p.u. por unidade;
FCCDPM fluxo de carga continuado desacoplado proposto modificado.
FCCB fluxo de carga continuado proposto por Bonini
LISTA DE SÍMBOLOS
V vetor magnitudes das tensões nodais;
θ vetor ângulo das tensões nodais;
λ fator de carregamento;
α coeficiente angular da reta;
G é o vetor que contém as equações dos balanços de potência ativa e reativa;
J matriz jacobiana;
V
k
magnitude da tensão nodal (barra k);
θ
k
ângulo da tensão nodal na barra k;
P
k
potência ativa líquida calculada na barra k;
Q
k
potência reativa líquida calculada na barra k;
G parte real da matriz admitância;
B parte imaginária da matriz admitância;
g condutância série da linha de transmissão;
b susceptância série da linha de transmissão;
Ω
k
conjunto de todas as barras diretamente conectadas à barra k.
Κ conjunto formado pela barra k mais todas as barras m conectadas a ela;
PQ barra de carga;
PV barra de geração;
V
θ
barra de referência (ou slack);
P vetor das injeções de potência ativa nas barras PQ e PV;
Q vetor das injeções de potência reativa nas barras PQ;
ΔP resíduos de potência ativa;
ΔQ resíduos de potência reativa;
P
esp
potência ativa especificada;
Q
esp
potência reativa especificada;
P-V curva da tensão em função da potência ativa ou do fator de carregamento λ;
Q-V curva da potência reativa em função da potência reativa;
e
k
vetor linha;
J
m
matriz jacobiana modificada;
σ tamanho do passo;
t vetor tangente;
G
λ
correspondente à derivada de G em relação a λ;
Pθ subproblema ativo;
QV subproblema reativo.
LISTA DE TABELAS
4.1 − Desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de retas em (λ
0
=0,
V
0
=0) e passo de ∆α=0,02 .........................................................................................66
4.2 − Desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de retas em (λ
0
=0,
V
0
=0,4) e passo ∆α =0,02..........................................................................................67
4.3 − Desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de retas em (λ
0
=0,
V
0
=0,4) e passo ∆α =0,04..........................................................................................67
4.4 − Desempenho do FCCDP considerando a atualização das matrizes H e L
eq
a cada
iteração .....................................................................................................................70
4.5 − Desempenho do FCCDP considerando a atualização das matrizes H e L
eq
somente quando necessário ......................................................................................70
LISTA DE FIGURAS
2.1 – Curva P-V .................................................................................................................25
2.2 – Curva Q-V ................................................................................................................26
2.3 – Margem de Carregamento .........................................................................................28
2.4 − Margem de carregamento segura de pré e pós-contingência ......................................29
3.1 − Método iterativo de Newton-Raphson .......................................................................36
3.2 − Comparação entre os métodos da continuação com preditor tangente e com
preditor secante .........................................................................................................41
3.3 − Controle automático do passo σ ................................................................................43
3.4 − Técnica de Parametrização Local ..............................................................................45
3.5 − Desempenho do FCCB para o sistema IEEE-14: reta inicial que passa por um
ponto escolhido O (λ0, V0) e o de caso base P (λ1, V1) no plano λV ........................48
3.6 − Desempenho do FCCB para o IEEE-14: (a) magnitude da tensão da barra crítica
(V14) em função de λ................................................................................................49
4.1 − Método de Newton desacoplado simultâneo ..............................................................53
4.2 − Diagrama de blocos do método de Newton desacoplado alternado ............................54
4.3 − Tensão como função do Carregamento (curva PV com redução de passo) .................58
4.4 − Desempenho do método desacoplado simultâneo para a barra crítica do IEEE 14
barras usando λ parâmetro ........................................................................................58
4.5 − Tensão como função do fator de carregamento l (curva P-V) para a barra crítica
do IEEE-14 barras .....................................................................................................59
4.6 − Desempenho do método desacoplado alternado .........................................................59
4.7 − Curva PV usando a tensão (V) da barra crítica do sistema teste 14 barras como
parâmetro ..................................................................................................................60
4.8 − Desempenho do método desacoplado simultâneo parametrizado por tensão(V) .........60
4.9 − Procedimento geral para o traçado da curva P-V .......................................................63
4.10 − Desempenho do FCCDP para o sistema IEEE-14: (a) curva P-V da barra crítica
(14), (b) número de iterações do algoritmo simultâneo, (c) número de iterações
Pθ do algoritmo alternado, (d) número de iterações QV do algoritmo alternado ........64
4.11 − Desempenho dos FCCDP para o sistema IEEE-300: (a) curva P-V da barra
crítica (236), (b) número de iterações do algoritmo simultâneo, (c) número de
iterações Pθ, (d) número de iterações QV do algoritmo alternado ..............................65
4.12 − Desempenho do FCCDP, algoritmo alternado, para sistema IEEE-30: (a) curva
P-V da barra 11, (b) curva P-V da barra crítica, (c) número de iterações Pθ, (d)
número de iterações QV ............................................................................................68
4.13 − Desempenho do FCCDP para a barra PV (barra 259) sistema IEEE-300: (a)
curva P-V, (b) número de iterações Pθ, (c) número de iterações QV .........................69
4.14 − Desempenho do FCCDPM para o IEEE-300 e 904 barras: (a) magnitude da
tensão (V
526
) da barra crítica do IEEE-300 barras como função de λ, (b) tensão
da barra (V
138
) do IEEE-904 como função de λ, (c) e (d) respectivos números de
iterações....................................................................................................................74
4.15 − Desempenho do FCCDPM para o IEEE-638 barras: (a) magnitude da tensão
(V346) em função de λ, (b) região do PMC ampliada, (c) número de iterações
para os subproblemas ativo e reativo .........................................................................75
4.16 − Desempenho do FCCDPM para o IEEE-300 barras: (a) curva λ-V
46
, (b) número
de iterações para os subproblemas ativo e reativo, (c) curvas P-V da barra crítica
(526) e da barra (46) cuja magnitude de tensão (V
46
) foi usada na composição da
equação da reta .........................................................................................................76
4.17 − Desempenho do FCCDPM para uma configuração de 638 barras do sistema Sul-
Suldeste Brasileiro: (a) curva λ-V
403
, (b) detalhe da região em torno do PMC, (c)
curva P-V da barra crítica, (d) número de iterações ...................................................78
4.18 − Desempenho do MDNM para o sistema sudoeste Americano de 904 barras: (a)
curva λ-V
43
, (b) detalhe da região entorno do PMC, (c) curva P-V da barra
crítica, (d) número de iterações .................................................................................79
SUMÁRIO
1 − Introdução ....................................................................................................................16
1.1 Introdução Geral .............................................................................................................16
1.2 Objetivos do Trabalho ....................................................................................................19
1.3 Estrutura do Trabalho .....................................................................................................20
2 − Estabilidade Estática de tensão ....................................................................................21
2.1 – Introdução ...................................................................................................................21
2.2 − Estabilidade de Tensão de um Sistema Elétrico de Potência ........................................21
2.3 – Técnicas de Análise da Estabilidade de Tensão ............................................................22
2.3.1 – A Análise Estática .....................................................................................................23
2.3.1.1 – Métodos de Curvas P-V e Q ...................................................................................24
2.3.1.2 – Curvas P-V .............................................................................................................24
2.3.1.3 − Curvas Q-V ............................................................................................................26
2.4 – Margem de Carregamento ............................................................................................27
2.4.1 – Margem de Carregamento Pós – Contingência ..........................................................28
2.4.2 – Métodos Utilizados para a Obtenção da Margem de Carregamento ...........................29
3 –Fluxo de Carga Continuado e suas Técnicas de Parametrização ................................31
3.1 – Introdução ...................................................................................................................31
3.2 − Fluxo de Carga Convencional ......................................................................................32
3.2.1 – Passo Preditor ...........................................................................................................38
3.2.1.1 – Preditor Tangente ...................................................................................................39
3.2.1.2 – Preditor Secante .....................................................................................................40
3.2.1.3 – Preditor Polinomial Modificado de Ordem Zero .....................................................41
3.2.2 – Controle do Passo Preditor (σ) ..................................................................................42
3.2.3– Passo Corretor e Parametrização ................................................................................43
3.2.4 – Técnica de Comprimento de Arco .............................................................................45
3.2.5 – Técnica da Perpendicularidade ..................................................................................46
3.2.6 – Técnica de Parametrização Geométrica para o Fluxo de Carga Continuado
Baseado nas Variáveis Tensão e fator de Carregamento ........................................................47
4 – Metodologia ..................................................................................................................50
4.1 – Introdução ...................................................................................................................50
4.2 – Método de Newton Desacoplado .................................................................................50
4.2.1 – Desacoplamento Pθ-QV ............................................................................................50
4.2.2 – Algoritmo Simultâneo do Método de Newton Desacoplado .......................................51
4.2.3 – Algoritmo Alternado do Método de Newton Desacoplado .........................................51
4.3 – Metodologia Proposta ..................................................................................................55
4.3.1 – Introdução .................................................................................................................55
4.3.2 – Fluxo de Carga Continuado Desacoplado Proposto (FCCDP) ................................... 56
4.3.2.1 – Desacoplamento Pθ-QV .........................................................................................57
4.3.2.2 – Algoritmo simultâneo .............................................................................................61
4.3.2.3 – Algoritmo Alternado ..............................................................................................61
4.3.2.4 – Procedimento Geral para o Traçado da Curva P-V ..................................................62
4.4 – Testes e Resultados ......................................................................................................63
4.4.1 – Desempenho do Método Proposto para o IEEE-14 ....................................................63
4.4.2 − Desempenho do Método Proposto para o IEEE-300 ..................................................65
4.4.3 − Desempenho do FCCDP para os Sistemas IEEE de 14, 30, 57, 118 e 300 Barras ......66
4.4.4 – Influência da Atualização das Matrizes H e Leq Durante o Procedimento Geral ........69
4.5 – Desempenho do Fluxo de Carga Continuado Desacoplado Proposto Modificado .........71
4.5.1 – Procedimento Geral para a Mudança de Reta Durante o Traçado da Curva P-V .........71
4.5.2 – Resultados Ilustrativos obtidos com o Método Proposto modificado ..........................72
5 − Conclusões ....................................................................................................................80
5.1 Conclusão Geral .............................................................................................................80
5.2 Motivação para Trabalhos Futuros ..................................................................................81
Referências .........................................................................................................................82
Apêndice A .........................................................................................................................87
A1 – Publicações ..................................................................................................................87
16
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
1.1 Introdução Geral
A crescente preocupação com os problemas relacionados com a estabilidade estática
de tensão se deve à sua importância para o planejamento e a operação dos sistemas elétricos
de potência. Fatores como o crescente aumento do consumo de energia elétrica, a imposição
de restrições de ordens ambientais e econômicas dificultando a construção de novas usinas de
geração e linhas de transmissão têm, em geral, levado os sistemas a operarem próximos de
seus limites, com reduzidas margens de carregamento. A conseqüência direta dessa situação é
uma maior possibilidade de ocorrências de problemas relacionados com a instabilidade de
tensão.
Visando assegurar uma condição de operação segura para os sistemas elétricos,
surgem vários métodos de análise da estabilidade estática de tensão. Esses métodos de análise
estática possibilitam avaliar as condições de operação do sistema e de sua margem de
segurança ou margem de estabilidade.
A margem de estabilidade é definida como o maior aumento de carga que o sistema
pode ter, sem provocar o colapso de tensão (KUNDUR, 1993). Essa análise pode ser realizada
a partir da obtenção do perfil de tensão das barras em função de seu carregamento (curvas P-
V e Q-V). Estas curvas são importantes, pois permitem a compreensão das condições de
operação do sistema para diferentes carregamentos, e têm sido recomendadas pelas empresas
do setor elétrico nacional (FORÇA TAREFA COLAPSO DE TENSÃO - FTCT, 1999) e
internacional (WESTERN SYSTEM COORDINATING COUNCIL - WSCC, 1998) para a
avaliação da estabilidade de tensão.
Cabe ressaltar que o levantamento da curva P-V é considerado procedimento mais
adequado para a determinação das margens de estabilidade. Assim, entre os objetivos
17
fundamentais dos métodos de análise da estabilidade estática de tensão está a obtenção do
ponto de máximo carregamento (PMC) dos sistemas de potência.
A importância do PMC reside no fato de que ele define a fronteira entre as regiões de
operação estável e instável, além disso, é neste ponto que se faz a análise modal e são
fornecidas informações para medidas efetivas de reforço do sistema (SEYDEL, 1994;
MONTICELLI, 1983).
O cálculo do Fluxo de Carga (FC) consiste na obtenção das condições de operação
(magnitude e fase das tensões nas barras do sistema, fluxos de potência nas linhas de
transmissão e transformadores) de uma rede elétrica em função da sua topologia e dos níveis
de demanda e geração de potência (MONTICELLI, 1983).
No FC se utiliza de uma modelagem estática da rede elétrica, a qual é representada por
um conjunto de equações e inequações algébricas dependendo do grau de complexidade do
sistema em análise. Esse conjunto de equações do fluxo de carga representa um limite para a
região de operação dos sistemas elétricos de potência, logo, essenciais para o estudo da
estabilidade estática de tensão.
Assim, na análise estática se obtém o estado de operação da rede em regime
permanente, ou seja, o comportamento dinâmico não é considerado. Quando as equações do
FC não apresentam solução para uma dada condição de carregamento, conclui-se que a
geração e a rede não são fisicamente capazes de suprir esta demanda, exigindo modificações
ou no despacho da geração ou na topologia da rede de transmissão, ou em ambas, para que tal
demanda possa ser atendida com segurança.
Os métodos mais utilizados para o traçado das curvas P-V são o fluxo de carga
convencional (FC) e o fluxo de carga continuado (FCC) (SEYDEL, 1994; KUNDUR, 1993;
VAN CUTSEM; VOURNAS, 1998; CAÑIZARES et al., 1992; ALVES, 2000; AJJARAPU;
CHRISTY et al., 1992; CHIANG et al., 1995; LONG; AJJARAPU, 1996; IBA et al., 1991;)
que associa o método de Newton a um método da continuação (SEYDEL, 1994). O primeiro
converge quase sempre e com poucas iterações, mas devido à singularidade da matriz
Jacobiana no PMC, este não possibilita precisar o PMC.
Muito embora o uso de métodos de FC convencionais possibilite o cálculo de pontos
de operação muito próximos ao PMC, sempre será necessário ponderar se os problemas de
não convergência são devidos a problemas numéricos ou a limitações físicas do sistema. Em
geral, as diferenças não são óbvias.
Cabe observar, entretanto, que a singularidade da matriz Jacobiana do método de
Newton no PMC, devida à redução do posto (rank) da matriz Jacobiana, de n para n–1, não
18
significa que no PMC o sistema não tenha solução. Na realidade ela existe, é única, e bem
definida. Portanto, para se obter a solução, é necessário acrescentar a informação perdida com
a redução do rank.
O traçado completo do perfil de tensão (curva P-V) é efetuado variando
automaticamente o valor de um determinado parâmetro do sistema, sem preocupação com as
singularidades das equações do fluxo de carga.
A diferença entre os FCC está no modo como o novo parâmetro da continuação é
escolhido. Um procedimento padrão comumente usado é a adição de equações parametrizadas
ao conjunto básico de equações do FCC (SEYDEL, 1994). As técnicas de parametrização
mais utilizadas pelos FCC para eliminar a singularidade da matriz Jacobiana são a local
(AJJARAPU e CHRISTY, 1992) e a geométrica (CAÑIZARES et al., 1992), (CHIANG et al.,
1995). A técnica de parametrização local consiste na troca de parâmetro próximo ao PMC.
Em Iba, (1991) foi proposta uma técnica para contornar a singularidade da matriz Jacobiana
sem a necessidade de parametrização e posteriormente, associada a um controle de passo. Esta
técnica consiste em definir um vetor perpendicular ao vetor tangente e foi aplicada com êxito
em vários sistemas em Cañizares et al., (1992).
A visualização da geometria da trajetória de solução das equações do FC (curva P-V)
é útil não só do ponto de vista didático, posto que esta facilite a compreensão do fenômeno
em si, mas também auxilia no desenvolvimento de novas técnicas (ALVES; COSTA et al.,
2002; GARBELINI et al., 2005; BONINI; ALVES, 2006).
Tomando por base esse contexto, neste trabalho é apresentado um método baseado na
adaptação de outros métodos de FC para o traçado das curvas P-V’s. Esse método, derivado
do FC convencional e presente na literatura, é o método de Newton Desacoplado. O interesse
pelo uso desse método desacoplado em particular, se deve à necessidade de redução do tempo
computacional exigido pelos FCC para o traçado das curvas P-V e consequentemente a
obtenção do PMC. Nesse trabalho são feitas comparações preliminares entre os desempenhos
do Fluxo de Carga Continuado Desacoplado Proposto (FCCDP), considerando os algoritmos
de resolução simultâneo e alternado. O FCCDP é obtido pela adição de uma equação de reta
formada no plano pelas variáveis fator de carregamento e tensão nodal de uma barra k
qualquer e é associada a essa estratégia o uso das propriedades (1), (2), (3) e (4) demonstradas
em Monticelli (1990). Cabe ressaltar que o desacoplamento altera o processo de
convergência, modificando o caminho percorrido entre o ponto inicial e a solução, mas não
provoca alterações significativas na solução final do problema original de fluxo de carga
(MONTICELLI, 1983).
19
Os resultados foram obtidos para os sistemas do IEEE (14, 30, 57, 118 e 300 barras), e
para os sistemas reais Sul-Sudeste brasileiro 638 barras e do sudoeste Americano 904 barras,
utilizando os algoritmos simultâneo e alternado. São realizados vários testes os quais buscam
proporcionar uma melhor compreensão e avaliação do desempenho da técnica de
parametrização proposta.
1.2 Objetivos do Trabalho
Os principais objetivos do trabalho são:
• Apresentar um estudo a respeito da estabilidade de tensão, e situar o trabalho
desenvolvido no contexto geral do assunto.
• Expor o estudo de algumas técnicas de parametrização para os métodos da
continuação existentes na literatura.
• Apresentar o método de Newton desacoplado modificado visando o traçado da curva
P-V e obtenção do ponto de máximo carregamento de sistemas elétricos de potência.
• Comparar entre si os resultados obtidos com a metodologia proposta, não só no
traçado das curvas, mas também na utilização da matriz Jacobiana.
20
1.3 Estrutura do Trabalho
Além da introdução geral o trabalho contém mais quatro capítulos, os quais buscam
fornecer um bom entendimento da proposta central, através da apresentação da teoria
envolvida.
Capítulo 2: É feita uma revisão bibliográfica com o objetivo de esclarecer de maneira geral o
estudo da estabilidade de tensão em sistemas elétricos. Procura-se no decorrer deste capítulo
criar subsídios necessários não só para a compreensão do problema em si, mas das técnicas
utilizadas em sua análise.
Capítulo 3: Aborda os métodos de resolução do problema de Fluxo de Carga entre os quais
aquele que utiliza o método de Newton-Raphson, bem como o seu algoritmo; o Fluxo de
Carga Continuado e algumas técnicas de parametrização existentes na literatura.
Capítulo 4: Tem por finalidade apresentar o método proposto e seus algoritmos de resolução:
simultâneo e alternado e relatar seu desempenho na obtenção do PMC e no traçado da curva
P-V, através da realização de testes e comparação de resultados do método entre si utilizando
os dois algoritmos de resolução.
Capítulo 5: Apresenta as conclusões gerais deste trabalho, bem como sugestões para futuros
trabalhos.
21
Capítulo 2
Estabilidade Estática de Tensão
2.1 Introdução
O objetivo deste capítulo é fornecer informações gerais com relação à importância do
assunto estabilidade estática de tensão, no que diz respeito à operação e planejamento de
sistemas elétricos de potência, buscando compreender os mecanismos que causam a
instabilidade e estudar as ferramentas capazes de diminuir este problema.
2.2 Estabilidade de Tensão de Sistemas Elétricos de Potência
Nos últimos anos tem-se intensificado os estudos com relação ao assunto estabilidade
de tensão, isto se deve ao fato desta questão estar relacionada com a operação e planejamento
de sistemas elétricos de potência, pois são cada vez mais freqüentes situações em que os
sistemas operam em situações altamente estressadas. No sistema elétrico brasileiro esta
situação se apresenta de forma mais incisiva devido a recursos hidrelétricos (usinas
hidrelétricas) cada vez mais distantes dos principais centros consumidores exigindo a
transmissão de energia elétrica por longas distâncias, ou seja, linhas de transmissão mais
longas, propiciando uma maior probabilidade de ocorrência de problemas de instabilidade de
tensão.
Existem na literatura várias abordagens para o estudo do problema de estabilidade de
tensão (YOUNG-HUEI et al., 1997; MOGHAVVEMI; JASMON, 1997; AJJARAPU;
CHRISTY,1992; FLATABO et al., 1990; TIRANUCHIT; THOMAS, 1986; TAMURA et al.,
1983; KESSEL; GLAVITSCH, 1986; GALIANA, 1984; ALVARADO; JUNG, 1989;
AJJARAPU, 1991; SAUER et al., 1986).
22
Um sistema é estável do ponto de vista da estabilidade estática de tensão se as
magnitudes de tensão de todas as suas barras aumentam, caso as respectivas injeções de
potência reativa nelas aumentem. Um sistema é instável se, em pelo menos uma de suas
barras, a magnitude de tensão diminui se injeção de potência reativa aumenta (KUNDUR,
1993). O problema da instabilidade em um sistema elétrico pode manifestar-se de diferentes
formas, dependendo da sua configuração e de como está operando. Um sistema sofre
instabilidade de tensão quando ocorre um distúrbio ou contingência (evento em que um ou
mais equipamentos saem de operação de forma inesperada), aumento de carga, alteração nas
condições do sistema, provocando um declínio progressivo e incontrolável da magnitude das
tensões em uma ou mais barras do sistema. O principal fator que causa o fenômeno da
instabilidade é a incapacidade do sistema de responder à necessidade de injeção de potência
reativa. Num sistema elétrico de potência altamente carregado, quando a magnitude dos
valores de tensão atinge valores inaceitáveis (perfil de tensão muito baixo), o sistema elétrico
de potência apresenta um comportamento instável caracterizado como o fenômeno do colapso
de tensão tornando o sistema incapaz de atender à demanda.
Este fenômeno pode causar sérios problemas entre os quais os blecautes, acarretando
sérios prejuízos financeiros. Para evitar que tais problemas ocorram planejadores e operadores
de sistemas estão constantemente procurando por ferramentas que possibilitem o
conhecimento preciso de quão distante o atual ponto de operação se encontra de seu limite de
estabilidade, buscam o entendimento e a compreensão de onde o sistema está operando com
relação ao PMC (também denominado ponto de colapso ou ponto crítico).
O conhecimento do PMC como mencionado anteriormente é importante porque
fornece informações para a determinação de medidas efetivas para o reforço do sistema, já
que o PMC define a fronteira entre as regiões de operação estável e instável do sistema (GAO
et al., 1996).
A análise do problema da estabilidade de tensão tornou-se uma medida necessária, já
que tem se mostrado um fator de limitação na operação de sistemas elétricos de potência.
2.3 Técnicas de Análise da Estabilidade de Tensão
Diante das dificuldades em se identificar os mecanismos que levam à instabilidade ou
colapso de tensão devido ao grande número de componentes envolvidos no fenômeno e as
constantes de tempo, tornou-se necessário aprofundar os estudos a respeito da estabilidade de
23
tensão, o que propiciou o desenvolvimento de técnicas capazes de detectar o fenômeno
colapso de tensão em redes complexas, fornecendo exatamente as margens de estabilidade e
os limites de transferência de potência, identificando os pontos críticos de tensão do sistema
elétrico de potência e áreas propensas à instabilidade e identificando os principais fatores para
sua contribuição e sensibilidade que forneçam características do sistema elétrico de potência
para a adoção de ações corretivas (KUNDUR et al., 2004). Essas técnicas de análise da
estabilidade de tensão são classificadas em duas categorias:
• Análise dinâmica: tem por objetivo esclarecer os mecanismos envolvidos na
instabilidade de tensão, através do detalhamento dos efeitos de todos os
equipamentos de controle, possui por inconveniente a complexidade e o fato
de exigir elevado tempo computacional.
• Análise estática: tem por funções obter o PMC do sistema e também avaliar a
margem de estabilidade de tensão, bem como mecanismos de instabilidade,
detectando e evitando episódios de colapso de tensão. Este tipo de análise
reproduz as principais características do fenômeno, sem que seja necessário
recorrer à complexidade numérica no domínio do tempo. Este trabalho se
apóia na parte estática.
2.3.1 A Análise Estática
A análise estática é recomendada para o estudo da estabilidade de tensão de sistemas
elétricos de potência em particular na análise em tempo real devido ao baixo custo
computacional exigido, já que nessa situação é necessário analisar um vasto número de
condições e/ou distúrbios na rede, detectando e prevenindo o colapso de tensão.
A análise estática da estabilidade de tensão pode ser realizada, inicialmente, com as
equações de fluxo de carga ou alguma generalização adequada destas. Estas análises
relacionam a ocorrência do colapso de tensão com o problema conhecido das equações de
fluxo de carga apresentar múltiplas soluções.
Dentre as abordagens estáticas têm-se os métodos baseados na obtenção das curvas P-
V e Q-V para barras de interesse do sistema. Essas curvas são obtidas através de cálculos do
FC convencional ou através do FCC (AJJARAPU; CHRISTY, 1992;ALVES, 2000; CHIANG
et al., 1995; IBA et al., 1991; CAÑIZARES et al., 1992; GARBELINI, 2005; BONINI;
ALVES, 2006) e são amplamente utilizadas pelas empresas do setor elétrico para determinar a
24
máxima demanda que o sistema elétrico de potência pode atender. O conhecimento deste fato
possibilita identificar em que momento poderá ocorrer problemas no fornecimento de energia
elétrica desde os mais simples até os mais severos como o colapso de tensão.
2.3.1.1 Métodos de Curvas P-V e Q-V
Os métodos de curvas P-V e Q-V são métodos de análise estática utilizados na
avaliação da estabilidade de tensão dos sistemas elétricos de potência para diferentes
condições operativas (TAYLOR, 1994). O levantamento de ambas as curvas, P-V e Q-V, é a
metodologia recomendada pelo (WSCC, 1998) para assegurar que a margem mínima
requerida seja atendida. Já o Operador Nacional do Sistema Elétrico Brasileiro (ONS, 2001),
considera o traçado da curva P-V como a metodologia mais apropriada para a determinação
da margem de estabilidade, e o levantamento da curva Q-V como uma metodologia
complementar para avaliar as margens de potência reativa e os locais para o reforço do
sistema. Como resultados deste estudo definem-se as ações preventivas e corretivas
necessárias para se garantir a estabilidade (MATARUCCO, 2006).
2.3.1.2 Curvas P-V
As curvas P-V ou curvas de máxima transferência de potência são definidas como
sendo a relação entre a magnitude da tensão e a potência ativa em um determinado
barramento para uma condição determinada de fator de potência e tensão no mesmo
barramento. Essas curvas são obtidas através de sucessivas soluções de fluxos de carga a
partir de um ponto de operação inicial (caso base λ=1), levando em consideração gradativos
incrementos de carga em uma determinada barra, numa área ou em todo o sistema.
O incremento de carga pode ou não ser realizado com o fator de potência constante,
sendo que a cada acréscimo de carga são realizados novos cálculos de fluxo de potência,
determinando os pontos de operação que formarão a curva P-V.
Traçada a curva P-V identifica-se o PMC, para um dado ponto de operação, a
distância ao ponto de máximo carregamento (distância do “nose” ou “nariz” da curva P-V)
indica a margem de estabilidade de tensão do sistema elétrico de potência. O conhecimento
desta margem é importante para o operador do sistema elétrico de potência, pois permite
25
avaliar se após a ocorrência de um pequeno distúrbio (aumento gradativo do carregamento do
sistema elétrico de potência) existirá outro ponto de operação estável.
0
V
crit
V
max
P
0
P
Figura 2.1: Curva P-V.
Na figura 2.1, V
crit
é a tensão crítica e P
max
é a potência ativa máxima.
Destaca-se a utilização das curvas P-V:
• Na análise estratégica de planejamento e operação de sistemas elétricos de
potência;
• Na obtenção de limites de transferência de potência;
• No ajuste das margens.
São apontadas como desvantagens:
• O problema da não convergência do problema de fluxo de carga próximo ao
PMC impossibilitando o traçado completo da curva P-V, quando se faz uso do
FC convencional;
• O fato das curvas P-V serem obtidas através de sucessivas soluções de fluxos
de carga consumindo assim um elevado tempo computacional.
A curva P-V apresenta a variação da tensão numa barra em função do aumento de
carga considerada no sistema.
26
2.3.1.3 Curvas Q-V
As curvas Q-V são obtidas por meio de um procedimento semelhante ao utilizado na
obtenção das curvas P-V, ou seja, através da solução sucessiva de fluxos de carga simulando a
introdução de um condensador síncrono sem limites de reativo a cada barra escolhida para
análise. Esta simulação é feita diminuindo-se gradativamente a tensão na barra à medida que
se determina a injeção de potência reativa através das soluções de fluxos de carga.
Computacionalmente isto é realizado convertendo-se a barra PQ (barra de carga) em
questão em barra PV (barra de geração) sem limites de reativos (TAYLOR, 1994).
Margem de Carga
Reativa
V
Q
Ponto de Operação
Figura 2.2: Curva Q-V.
Na representação gráfica da curva Q-V (figura 2.2) no eixo das abscissas são
representados os valores de tensão e no eixo das ordenadas os valores da potência reativa
injetada. Esta curva fornece a variação da magnitude de tensão numa determinada barra com
relação à potência reativa injetada nessa mesma barra.
Pode-se observar na figura 2.2 que a margem de reativos disponível na barra, é a
diferença entre a potência reativa de saída nula do condensador síncrono e a potência de saída
do mesmo na base da curva Q-V, que representa o limite de estabilidade de tensão
(dQ/dV=0).
A utilização da curva Q-V apresenta como vantagem o fato de possibilitar a
determinação da margem reativa em barras críticas de forma simples e rápida. Entretanto,
27
uma das suas limitações é o fato de aumentar a carga reativa em apenas uma barra do sistema,
podendo assim, levar a falsos resultados (KUNDUR, 1994).
2.4 Margem de Carregamento
Os operadores de sistemas monitoram usualmente grandezas como fluxos de potência
ativo e reativo com o objetivo de se garantir que essas grandezas permaneçam dentro dos
limites aceitáveis na atual configuração, ou em qualquer outra das configurações subsequentes
a uma contingência (saída de uma linha de transmissão, variação súbita do carregamento do
sistema, aumento da transferência de potência entre áreas).
A noção de capacidade de transmissão deverá estar sempre presente para o operador,
já que uma quantificação mais direta e explícita da capacidade de transmissão é a margem
estática de estabilidade de tensão, também denominada margem de carregamento.
A definição da margem dependerá da aplicação a que se destina. De uma forma geral
determina-se a margem de carregamento em função da diferença entre o valor de um
parâmetro correspondente a um evento e o seu atual valor.
A margem de estabilidade mede a distância a um evento que cause a instabilidade e
deve ser definida de forma a ser facilmente compreendida pelo operador.
Para o colapso de tensão, a margem de estabilidade é definida como o maior aumento
de carga que o sistema pode ter, sem provocar o colapso de tensão.
Para se calcular o grau de segurança com relação à estabilidade de tensão, é
importante obter meios de calcular a distância de certo ponto de operação do sistema ao ponto
crítico. Esta distância é dada por grandezas físicas, como a potência consumida (MW,
MVAr). A figura 2.3 exemplifica como poderia ser obtida a margem de carregamento (∆P):
0
=-
cr
PPP
∆
em que ∆P representa o maior aumento possível de consumo de forma a manter a rede
operando ainda na região estável.
28
V
PMC
0
V
crit
V
P
crit
P
P
∆
0
P
Figura 2.3: Margem de Carregamento.
2.4.1 Margem de Carregamento Pós-Contingência
Os sistemas elétricos de potência operando em tempo real estão sujeitos à ocorrência
de alguma contingência ou algum outro imprevisto como um aumento na tensão podendo
provocar o colapso de tensão. Assim, nas etapas de planejamento e operação de um sistema
elétrico de potência, devem ser definidas as margens de estabilidade de tensão e as ações de
controle necessárias para as condições normais de operação (caso base, também denominado
pré-contingência) e também para condições de pós-contingência.
O ponto (O) é considerado o ponto de operação estável denominado de caso base. Este
ponto é obtido por um programa de FC convencional. A margem de carregamento para as
condições de pós-contingência é definida como sendo a diferença entre o ponto de operação
de pré-contingência (O) e o ponto de máximo carregamento de pós-contingência (P
max-pós
)
conforme se pode observar na figura 2.4 (MALANGE, 2008).
O WESTERN SYSTEM COORDINATING COUNCIL requer que seus membros
garantam pelo menos 5% de margem de potência ativa em qualquer situação de contingência
simples (WSCC, 1998). Essa política também tem sido recomendada pelas empresas do setor
elétrico nacional.
29
Figura 2.4: Margem de carregamento segura de pré e pós-contingência.
Considerando que o sistema esteja operando no ponto “O” da curva 1 e que o mesmo
seja submetido, por exemplo, a um aumento de carga, ele passaria a operar no ponto “O”.
Nesse caso, o sistema entraria em colapso se ocorresse à contingência conforme mostra a
curva 2, porém permaneceria operando com uma margem de segurança reduzida, mas na
condição normal conforme apresentado pela curva 1 (MALANGE, 2008).
2.4.2 Métodos Utilizados para a Obtenção da Margem de Carregamento
A. Fluxo de Carga Convencional
É um método que se restringe aos cálculos dos pontos de operação estáveis (também
chamado caso base) do sistema de potência, e da margem de carregamento através de
sucessivas soluções. Este método baseia-se no progressivo aumento da carga até que o estado
do sistema atinja pontos suficientemente próximos do ponto de colapso, ou seja, em que não
há mais solução do FC.
30
B. Método da Continuação
Esse método tem como principal característica o fato de não apresentar o problema de
singularidade da matriz Jacobiana, tal problema é contornado com o uso das técnicas de
parametrização associadas a esse método, em virtude disso, permite o traçado completo da
curva P-V.
C. Métodos Diretos
Estes métodos recebem esta denominação devido o fato de possibilitarem o cálculo
direto do PMC, sem a obtenção dos demais pontos existentes entre o caso base e o PMC e se
subdividem em:
C 1 Ponto de Colapso
Método proposto inicialmente em (ALVARADO; JUNG, 1989) e posteriormente
adaptado em (CAÑIZARES et al., 1992), (CAÑIZARES; ALVARADO, 1993). Este método
é baseado na teoria da bifurcação e na singularidade da matriz Jacobiana, e é usado para
detectar o ponto de máximo carregamento para certa direção de crescimento de carga.
C 2 Métodos de Otimização
Técnicas de otimização propostas para obter diretamente o PMC (VAN CUTSEM;
VOURNAS, 1998). Os tópicos A e B serão vistos mais detalhadamente no capítulo seguinte,
por se tratarem da base na qual se apóia o desenvolvimento deste trabalho.
31
Capítulo 3
Fluxo de Carga Continuado e suas Técnicas de
Parametrização
3.1 Introdução
Ao longo dos anos os sistemas elétricos de potência foram tornando-se mais
complexos passando a exigir métodos de resolução mais robustos e eficientes, neste contexto
surge o método de Newton-Raphson ou Fluxo de Carga convencional e que se constitui uma
importante ferramenta na solução do problema do fluxo de carga. Entretanto, ele é
considerado ineficiente para a obtenção do PMC dos sistemas elétricos de potência. A
determinação do PMC é realizada por meio da resolução das equações do fluxo de carga
considerando sucessivos incrementos da carga. Esse procedimento é efetuado até quando não
é mais possível encontrar solução para o problema, ou seja, o método diverge. Isso ocorre em
virtude da singularidade da matriz Jacobiana no PMC e, portanto, aos problemas numéricos
em torno deste.
Diante da necessidade de se obter o PMC com maior precisão e das dificuldades
apresentadas pelo Fluxo de Carga convencional na obtenção deste ponto, foi proposto o uso
do denominado Fluxo de Carga Continuado (AJJARAPU; CHRISTY, 1992). O Fluxo de
Carga Continuado procura garantir através da parametrização, a não singularidade da matriz
Jacobina no PMC, possibilitando com isso, a determinação precisa do mesmo.
Encontrada a solução do fluxo de carga para o caso base pelo método convencional,
usa-se um método da continuação para calcular soluções adicionais até que o PMC seja
obtido.
Diversos autores propuseram diferentes implementações dos métodos da continuação
para superar as dificuldades numéricas introduzidas pela singularidade da matriz Jacobiana e
32
com isso, possibilitar a determinação do PMC (AJJARAPU; CHRISTY, 1992; CHIANG et
al., 1995; ALVES et al., 2002).
O objetivo desse capítulo é apresentar os métodos de resolução do fluxo de carga em
particular, os métodos: fluxo de carga convencional e o fluxo de carga continuado. Também
são apresentadas algumas técnicas de parametrização. As técnicas de parametrização mais
utilizadas pelos FCC para eliminar a singularidade de da matriz Jacobiana (J) são a local
(AJJARAPU; CHRISTY, 1992) e a geométrica (CAÑIZARES et al., 1992; CHIANG et al.,
1995).
3.2 Fluxo de Carga Convencional
Tradicionalmente, a obtenção de sucessivas soluções do fluxo de carga tem sido feita
através da variação manual do carregamento do sistema. Este procedimento é realizado até
que o processo iterativo deixe de convergir. Para fins práticos, este ponto é considerado como
sendo o PMC. Entretanto, sabe-se que os problemas de convergência encontrados pelo FC
convencional para a obtenção do PMC são decorrentes das dificuldades numéricas associadas
à singularidade da matriz Jacobiana. Assim sendo, o uso dos métodos convencionais de FC
para a obtenção das curvas P-V fica restrito à sua parte superior (correspondendo à região de
operação estável). Os métodos convencionais possibilitam o cálculo de pontos de operação
muito próximos ao PMC. A proximidade a que se pode chegar do PMC dependerá do método
convencional que se está utilizando: método de Newton, método desacoplado de Newton,
método desacoplado rápido.
De forma geral, na formulação do problema fluxo de carga as equações para um
sistema elétrico de potência podem ser escritas da seguinte forma:
G(θ, V) = 0 (3.1)
Em que:
θ é o vetor dos ângulos das tensões das barras de carga PQ e de geração PV;
V é o vetor das magnitudes das tensões das barras de carga PQ;
G é o vetor que contém as equações dos balanços de potência ativa e reativa.
33
De acordo com Monticelli (MONTICELLI, 1983), a cada barra da rede são associadas
quatro variáveis, sendo que duas entram no problema como conhecidas (dados) e duas como
incógnitas:
V
k
- magnitude da tensão nodal da barra k;
θ
k
- ângulo da tensão nodal na barra k;
P
k
- potência ativa líquida calculada na barra k;
Q
k
- potência reativa líquida calculada na barra k.
São conhecidas inicialmente duas variáveis em cada barra do sistema elétrico de
potência, as outras duas são incógnitas e serão obtidas mediante solução das equações do
fluxo de carga. Assim
(I) – Barras PQ também conhecidas por barras de carga:
• São especificados P
k
e Q
k
;
• São calculados V
k
e θ
k
;
(II) – Barras PV ou barras de geração:
• São especificados P
k
e V
k
;
• São calculados Q
k
e θ
k
;
(III) – Barra V
θ
ou barra de referência (ou slack):
• São dados V
k
e θ
k
;
• São calculados P
k
e Q
k
.
No fluxo de carga utilizando o método de Newton-Raphson, para a resolução do
conjunto de equações do fluxo de carga para o denominado caso base, determinam-se os
valores de V
k
para todas as barras PQ e
θ
k
para todas as barras, exceto a barra de referência.
A equação (3.1) também pode ser reescrita como:
=- ()=0
=- ()=0
esp
esp
ΔPPPθ,V
ΔQQQθ,V
(3.2)
sendo P o vetor das injeções de potência ativa nas barras PQ e PV, e Q, o das injeções de
potência reativa nas barras PQ; P
esp
= P
g
esp
−P
c
esp
é a diferença entre as potências ativas
geradas e consumidas para as barras PQ e PV, e Q
esp
= Q
g
esp
−Q
c
esp
é a diferença entre as
potências reativas geradas e consumidas para as barras PQ.
34
ΔP e ΔQ são denominados como resíduos (mismatches) de potência ativa e reativa,
respectivamente. V é o vetor das magnitudes de tensão nodais, θ é o vetor dos ângulos de fase
nodais.
O sistema de equações (3.2) possui dimensão 2nPQ + nPV.
Sendo nPQ e nPV respectivamente o número de barras PQ e PV da rede e n representa
o número de incógnitas.
As equações de potência ativa e reativa na barra k, obtidas pela primeira lei de
Kirchhoff são:
(,)(cos)
(,)(cos)
kklklklklkl
lK
kklklklklkl
lK
PVVGBsen
QVVGsenB
θθ
θθ
∈
∈
=+
=−
∑
∑
θ V
θ V
(3.3)
em que: G
kl
é parte real da matriz admitância, B
kl
é a parte imaginária da matriz admitância, e
K é o conjunto de todas as barras l adjacentes à barra k, incluindo a própria barra k.
Algoritmo do método iterativo do fluxo de carga convencional.
i) Fazer v = 0 e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e
PV (θ = θ
0
), e as magnitudes das tensões das barras PQ (V = V
0
).
ii) Calcular P
k
(θ
v
, V
v
) para as barras PQ e PV, e Q
k
(θ
v
, V
v
) para as barras PQ, e
determinar os resíduos ΔP
k
v
e ΔQ
k
v
.
(iii) Testar a convergência: se Max
{
}
v
kP
P
ε
∆≤
e
{
}
v
kQ
Q
ε
∆≤
, o processo iterativo
convergiu para a solução (θ
v
, V
v
); caso contrário passar para (iv).
(iv) Calcular a matriz Jacobiana (J)
(,)(,)
(,)
(,)(,)
vvvv
vv
vvvv
=
H θ VNθV
JθV
MθVLθV
(3.4)
35
As componentes dessas submatrizes jacobianas correspondem às derivadas das
potências ativa e reativa em relação ao ângulo de fase das tensões das barras PQ e PV, e em
relação à magnitude das tensões nas barras PQ e são expressas por:
2
(cos)
(cos)
k
klklklklklkl
l
k
kkkkkklklklklkl
lK
k
P
HVVGsenB
P
HVBVVGsenB
θθ
θ
θθ
θ
∈
∂
==−
∂
∂
==−−−
∂
∑
H
(3.5)
(cos)
(cos)
k
klkklklklkl
l
k
kkkkklklklklkl
lK
k
P
NVGBsen
V
P
NVGVGBsen
V
θθ
θθ
∈
∂
==+
∂
∂
==++
∂
∑
N
(3.6)
2
(cos)
(cos)
k
klklklklklkl
l
k
kkkkkklklklklkl
lK
k
Q
MVVGBsen
Q
MVGVVGBsen
θθ
θ
θθ
θ
∈
∂
==−+
∂
∂
==−++
∂
∑
M
(3.7)
(cos)
(cos)
k
klkklklklkl
l
k
kkkkklklklklkl
lK
k
Q
LVGsenB
V
Q
LVBVGsenB
V
θθ
θθ
∈
∂
==−
∂
∂
==−+−
∂
∑
L
(3.8)
(v) Determinar a nova solução (V
v+1
, θ
v+1
:):
θ
v+1
= θ
v
+∆θ
v
V
v+1
= V
v
+∆V
v
Sendo ∆θ
v
e ∆V
v
obtidos resolvendo-se o sistema linear
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
vvvvvvv
vvvvvvv
∆∆
=
∆∆
P
θVHθVNθV θ
Q
θVMθVLθVV
(3.9)
(iv) Fazer v = v+1 e voltar para o passo (ii)
36
Esquema do método iterativo de Newton-Raphson aplicado ao problema de FC:
Calcular
(,)
(,)
vv
vv
ΔP θ V
ΔQ θ V
e
max
kp
max
kq
Δ :
Δ :
ε
ε
P
Q
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
vvvvvvv
vvvvvvv
=
ΔP θ VHθVNθVΔθ
ΔQ θ VMθVLθVΔV
Atualizar:
Incrementar
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Solução
FIM
<
(vii)
1
vvv
+
=+
θθΔθ
1
vvv
+
=+VV
ΔV
>
0
v
=
v
Figura 3.1: Método iterativo de Newton-Raphson.
A operação dos sistemas elétricos de potência possui determinadas restrições entre as
quais os limites (máximo e mínimo) na geração de potência reativa das barras PV, a violação
de um desses limites durante o processo iterativo implicará na transformação da barra PV em
PQ o que significa que a magnitude da tensão da barra PV não pode mais ser mantida no valor
especificado; eventualmente em uma iteração seguinte a barra poderá voltar a ser do tipo PV.
As curvas P-V podem ser obtidas por meio de sucessivas soluções de FC
convencional, a partir de um caso base até o PMC, para incrementos graduais da carga numa
direção predefinida. Isto normalmente é suficiente para a resolução do problema fluxo de
37
carga convencional, desde que a matriz J tenha posto completo, ou seja, não apresente
problemas de singularidade, caso contrário associa-se ao FC convencional um método da
continuação para reformular as equações do fluxo de carga e assim superar as dificuldades
numéricas provocadas pela singularidade da matriz J no PMC, permitindo o traçado completo
da curva P-V.
Em geral a equação do fluxo de carga, equação (3.1) ou (3.2) podem ser reescritas
como:
G(θ, V, λ) = 0 (3.10)
Ou ainda
=(
λ)- ()=0
=(
λ)- ()=0
esp
esp
ΔPPPθ,V
ΔQQQθ,V
(3.11)
P
esp
(λ) = P
ger
(λ) - P
carga
(λ) e Q
esp
(λ) = Q
ger
- Q
carga
(λ),
(
)
esp
carga
pc
carga
PkP λ=λ ,
(
)
esp
ger
pg
ger
PkP λ=λ
e
(
)
esp
carga
qc
carga
QkQ λ=λ
Estas equações diferem das equações (3.1) e (3.2) pelo acréscimo da variável λ, em
que λ é o fator de carregamento.
esp
carga
P ,
esp
carga
Q e
esp
ger
P são respectivamente os valores especificados no caso base (λ=1)
das potências ativa e reativa das barras PQ, e das potências ativa das barras PV. k
pg
, k
pc
e k
qc
são parâmetros prefixados usados para caracterizar um cenário de carga específico. Eles
descrevem as taxas de variação de potência ativa (P
ger
) nas barras de geração (barras PV), e
das potências ativa (P) e reativa (Q) nas barras de carga (barras PQ). Assim, é possível
realizar uma variação de carregamento individual, isto é, para cada barra do sistema,
considerando para cada uma, um crescimento de carga com fatores de potência diferentes aos
do caso base. Tradicionalmente, entretanto, assume-se que o aumento de carga de uma
determinada área é feito com fator de potência constante e proporcional ao carregamento do
caso base com modelo de carga de potência constante (nesse caso k
pg
, k
pc
e k
qc
são todos
iguais a um), visto que este fornece a condição operacional mais segura para o sistema
(WSCC, 1998).
As principais razões para se adotar essa modelagem para a carga são apresentadas em
(CAÑIZARES, 1995; FLATAB; 1990; CHIANG et al., 1999).
38
Conforme visto anteriormente a resolução de (3.11) utilizando-se o FC convencional é
feita através da especificação do valor do λ, neste caso λ não é tratado como uma variável
dependente. Entretanto no procedimento em que se faz uso dos métodos da continuação, λ é
considerado como variável dependente o que possibilita variá-lo de forma automática.
Assim o conjunto de equações (3.11) que possui dimensão N = 2nPQ + nPV passará a
ter n + 1 incógnitas, exigindo uma equação adicional. Desse modo, qualquer uma das n+1
incógnitas pode ser definida como parâmetro. A diferença entre os métodos de FCC está no
modo como esse novo parâmetro é escolhido e em como eliminar a singularidade da matriz J.
A inclusão de equações parametrizadas é um procedimento padrão para a obtenção de curvas
P-V (SEYDEL, 1994). A parametrização fornece uma forma de identificar cada solução ao
longo da trajetória a ser obtida.
Entre os vários métodos de fluxo de carga continuado o mais amplamente utilizado
consiste de quatro elementos básicos:
(I) Um passo preditor;
(II) Um procedimento de parametrização;
(III) Um controle de passo;
(IV) Um passo corretor.
São descritos a seguir as características de cada um desses elementos básicos,
associados a algumas técnicas existentes na literatura.
3.2.1 Passo Preditor
Encontrada a solução da equação (3.10) para o caso base (
000
,e
λ1
=
θV ) executa-se
um passo preditor para encontrar um ponto aproximado para a próxima solução
nnn
(,,
λ)
θV .
Entre as várias técnicas de previsão existentes na literatura as mais utilizadas são a
tangente (AJJARAPU; CHRISTY, 1992; AJJARAPU; BATTULA et al., 1994) e a secante
(CHIANG et al., 1995), (CHIANG et al., 1999).
39
3.2.1.1 Preditor Tangente
No preditor tangente, a estimativa da próxima solução pode ser encontrada dando um
passo, de tamanho apropriadamente escolhido, na direção do vetor tangente à curva P-V, no
ponto correspondente à solução atual. A técnica do preditor pelo vetor tangente é usualmente
mais precisa do que a da secante.
Quando se está utilizando os métodos de Newton, o cálculo do vetor tangente não
implica num aumento significativo do custo computacional, já que se pode usar a última
matriz Jacobiana fatorada.
O cálculo deste vetor tangente é obtido tomando-se as derivadas parciais da equação
(3.10).
[ ] [ ]
λλ
λ 0
∂
∂==
∂
θV
θ 0
GGGVJGt0
(3.12)
em que
θ
G
,
V
G
e
λ
G
são as derivadas parciais de G em relação a ,,e
λ
θV, respectivamente.
θ
G
e
V
G
compõem a matriz J do fluxo de carga convencional. O vetor t é
denominado vetor tangente é o que se procura determinar.
Incrementa-se uma coluna (
λ
G
) em J correspondente à nova variável λ. Com o
incremento da nova coluna o número de incógnitas passa a ser maior do que o número de
equações. Assim, para possibilitar-se a solução do problema especifica-se uma variável do
vetor tangente com um valor diferente de zero. Esta variável é denominada “parâmetro da
continuação”. Com a especificação do parâmetro da continuação é necessário acrescentar-se
uma nova equação (e
k
t = t
k
= ± 1) à equação 3.10.
A equação (3.13), feitas às devidas modificações, se apresenta da seguinte forma:
θ V λ
θ V λ
0
G
G
0
λ 1
∂
∂===
∂±
m
θ
GG
GG
VtJt
k
k
e
e
(3.13)
em que e
k
é um vetor linha apropriadamente dimensionado com todos os elementos iguais a
zero exceto o k-ésimo, que é igual a 1. A escolha do índice k é feita de modo que o vetor t
40
tenha uma norma não nula e garanta que a matriz Jacobiana modificada (J
m
) seja não singular
no PMC. O número 1 deverá ser posto na coluna da variável escolhida como parâmetro da
continuação (θ
k
, V
k
ou λ). A escolha do sinal + ou − dependerá de como a variável escolhida
como parâmetro estará variando, positivo se ela estiver aumentando de valor, e negativo se
estiver decrescendo.
Obtido o vetor tangente resolvendo-se (3.13), a estimativa para a próxima solução é
dada por:
λλλ
e
j
e
j
e
j
σ
∂
=+∂
∂
θθθ
VVV
(3.14)
em que o sobrescrito “e” indica estimativa , isto é, o vetor t é usado para obter uma estimativa
para θ, V e λ a partir da solução atual j.
σ é um escalar que define o tamanho do passo preditor, cujo valor deve ser
especificado de forma que a solução prevista esteja dentro do raio de convergência do passo
corretor (CHIANG et al., 1995).
3.2.1.2 Preditor Secante
O preditor secante é um dos preditores mais utilizados devido ao reduzido esforço
computacional exigido e por não apresentar problemas de singularidade da matriz J. Destaca-
se o preditor secante de ordem um e o polinomal modificado de ordem zero (SEYDEL, 1994;
CHIANG et al., 1995).
O método do preditor secante de ordem um é uma aproximação do vetor tangente e
utiliza a solução atual e anterior para estimar a solução seguinte. Os dois primeiros pontos são
obtidos com o uso do preditor tangente.
Os métodos polinomiais estão baseados em um polinômio de ordem variada que corta
a solução atual (θ
j
, V
j
, λ
j
) e as soluções prévias (θ
j-1
, V
j-1
, λ
j-1
), para obter um ponto de
aproximação para a próxima solução (θ
j+1
, V
j+1
, λ
j+1
).
(θ
j+1
, V
j+1
, λ
j+1
)= (θ
j
, V
j
, λ
j
)+ σ( θ
j
-θ
j-1
, V
j
-V
j-1
, λ
j
-λ
j-1
) (3.15)
41
A figura (3.2) ilustra a etapa de previsão pelo vetor tangente (reta contínua) e pelo
vetor secante (reta tracejada), respectivamente obtidas usando λ como parâmetro da
continuação.
Observe que no ponto “A” o passo corretor não encontrará solução quando λ for o
parâmetro utilizado e também não será possível vencer a singularidade da matriz Jacobiana
modificada (J
m
) no PMC. Para que esse ponto seja obtido com maior precisão o tamanho do
passo deverá ser reduzido à medida que os pontos se aproximarem dele.
Figura 3.2. Comparação entre os métodos da continuação com preditor tangente e com preditor secante.
3.2.1.3 Preditor Polinomial Modificado de Ordem Zero
O preditor polinomial modificado de ordem zero (CHIANG et al., 1995) é a técnica de
previsão adotada para o passo preditor na metodologia proposta neste trabalho, esta técnica é
também conhecida por previsão trivial. Esta técnica usa a solução atual e um incremento fixo
num determinado parâmetro (λ, θ
k
ou V
k
), como uma estimativa para a próxima solução.
Especificado um incremento fixo no parâmetro (λ, θ
k
ou V
k
) como uma estimativa
para a próxima solução, é necessária fazer a correção, a partir da solução atual, para obter a
42
solução final correta. Geralmente o incremento adotado pelo passo preditor exige poucas
iterações para que a próxima solução seja obtida dentro da precisão desejada.
Este é o preditor utilizado no desenvolvimento deste trabalho.
3.2.2 Controle do passo preditor (σ)
A eficiência do método da continuação para o traçado da curva P-V está intimamente
relacionada com a estratégia adotada no controle do passo preditor. Em geral a escolha do
passo depende do sistema em análise. Para uma situação de carga leve (sistema pouco
carregado), uma variação de carga resultará em uma pequena mudança no ponto de operação
e o tamanho do passo poderá ser maior. Já em sistemas altamente carregados uma pequena
mudança na carga resultará em grandes variações do ponto de operação, exigindo nesse caso
que o tamanho do passo seja menor. O ideal seria se o tamanho do passo se adequasse às
condições reais de convergência.
Uma técnica de controle de passo considerada simples, baseada no número de
iterações do passo corretor é utilizada para controlar o tamanho do passo preditor (SEYDEL,
1994), se o número de iterações for pequeno, trata-se de carga leve ou normal e o passo pode
ser maior. Caso o número de iterações aumente o sistema estará numa região de alto
carregamento e o tamanho do passo deve ser reduzido.
Outra opção interessante é o uso da magnitude de tensão (V
k
) como parâmetro durante
todo o traçado da curva P-V, isto acarretará em um controle automático do passo de λ. Tal
ocorrência se deve ao fato de um passo fixo na tensão corresponder geralmente a passos
largos na variação do λ para carga leve ou normal, onde a tensão varia pouco, e a passos
reduzidos para altos carregamentos, conforme pode ser visto na figura (3.3).
43
Figura 3.3: Controle automático do passo σ.
Outro método de controle do tamanho do passo é baseado no vetor t normalizado
(ZAMBRONI et al., 1997). Nesse método o tamanho do passo é dado por:
0
2
σ
σ =
t
(3.16)
Em que ||t||
2
é a norma Euclidiana do vetor tangente e
0
σ
é um escalar predefinido.
Conforme o sistema torna-se carregado, a magnitude do vetor t aumenta e σ diminui.
O bom desempenho do processo depende de uma boa escolha de
0
σ
. Seu valor está
condicionado ao sistema elétrico considerado Cañizares e Alvarado (1993) alcançaram bons
resultados para sistemas de diferentes tamanhos, assumindo
0
σ
=1.
3.2.3 Passo Corretor e Parametrização
Feita a previsão da solução é necessário fazer a correção, já que a solução prevista não
é a solução correta, o que pode ser observado na figura (3.4). Este procedimento evita o
acúmulo de erro. Quanto mais próxima a solução prevista estiver da solução correta, menor
será o número de iterações necessárias para a obtenção da curva trajetória de soluções (curva
P-V) dentro da precisão desejada.
44
Neste passo é adicionada à equação (3.10) uma equação do tipo
0
e
yy
−=
, em que y e
e
y
correspondem respectivamente à variável escolhida como parâmetro da continuação e seu
valor previsto. Logo, o sistema de equações da fase de correção passa a ser:
(,,
λ)0
0
e
G
yy
=
−=
θV
(3.17)
Na resolução desse sistema de equações do passo corretor o método de Newton-
Raphson ligeiramente modificado é o mais utilizado, mas outros métodos numéricos também
podem ser utilizados.
O número de iterações nesta etapa geralmente é muito pequeno. No caso do uso de λ
como parâmetro, a matriz J
m
apresentará singularidade no PMC, assim, para que o método
não divirja, o passo deverá ser reduzido à medida que os pontos se aproximam do PMC.
Esta singularidade pode ser eliminada com o uso em ambos os passos, preditor e
corretor, da técnica conhecida por parametrização local (AJJARAPU; CHRISTY, 1992),
(AJJARAPU et al., 1994; SEYDEL, 1994), que consiste na troca de parâmetro próximo do
PMC. Quando aplicada ao método baseado no preditor tangente, a variável escolhida é aquela
que apresentar a maior variação, assim λ passa a ser tratada como variável dependente,
enquanto a variável escolhida passa a ser o novo parâmetro p, do conjunto de n+1 variáveis
(AJJARAPU; CHRISTY, 1992; AJJARAPU et al., 1994).
O novo parâmetro p será dado por:
}
{
121
max,,...,
n
pttt
+
←
(3.18)
Já no método que toma por base o preditor secante, p é escolhido como sendo o
elemento que apresentar a máxima variação relativa (SEYDEL, 1994):
111
111
max,,
jjjjjj
jjj
VV
p
V
θθλλ
θλ
+++
+++
−−−
←
(3.19)
em que j refere-se ao ponto da curva. A escolha de p baseada nas duas equações (3.18) e
(3.19) torna o processo confiável, mas não garante ao processo maior rapidez (SEYDEL,
1994).
45
A equação (3.18) tem sido utilizada no método do vetor tangente, demonstrando que
ao aproximar-se do PMC, p muda de λ para a magnitude de tensão que apresenta a maior
variação, retornando novamente para λ depois de calculados alguns pontos.
O uso deste método para a escolha automática de p não tem apresentado dificuldades
mesmo para sistemas altamente compensados (CAÑIZARES; ALVARADO, 1993).
1
λ
2
λ
3
λ
Figura 3.4: Técnica de Parametrização Local.
3.2.4 Técnica de Comprimento de Arco
Esta técnica foi proposta por Chiang et al. (1995) com a finalidade de eliminar a
singularidade da matriz J é baseada no comprimento do parâmetro do arco (s). Os dois
primeiros pontos são obtidos pelo vetor tangente, e ao invés de acrescentar a equação (e
k
× t =
± 1), adiciona-se à equação (3.12) a seguinte equação:
2
2
1
λ
1
n
i
i
dx d
dsds
=
+=
∑
(3.20)
em que x=[θ
T
V
T
]. Para o passo corretor é acrescentada à equação (3.20) a seguinte equação:
222
1
L(,
λ)(())(λλ())()0
n
ii
i
xxsss
=
=−+−−∆=
∑
x (3.21)
Em que o comprimento de arco é:
46
0.5
22
1
[(())](λλ())
n
ii
i
sxxss
=
∆=−+−
∑
(3.22)
Dessa forma pode ser mostrado que o conjunto de equações do fluxo de potência
aumentada é bem condicionado, mesmo no PMC, obtendo o traçado completo da curva P-V
sem problemas de mau-condicionamento.
A expansão das equações (3.10) e (3.21) em série de Taylor, resulta em:
LL
λ
λ
λ
∆∆
−
=
∂∂
∆∆
∂∂
x
xG
GG
L
x
(3.23)
em que G
x
é igual a matriz J do fluxo de carga convencional.
3.2.5 Técnica da Perpendicularidade
Esta técnica é utilizada para contornar o problema da singularidade de J sem a
necessidade de utilizar a parametrização. Foi associada a um controle de passo e quando
aplicada a vários sistemas em Cañizares et. al (1992) apresentou um bom desempenho.
A técnica consiste em determinar um vetor perpendicular ao vetor tangente passando
pelos pontos previstos subsequentes (θ
e
, V
e
, λ
e
) e outro que se encontra sobre a curva da
trajetória de soluções (θ, V, λ) (SEYDEL, 1994). A equação a ser adicionada ao sistema
(3.11) será dada pelo produto escalar:
jjj
jjj
jjj
0
λλλλ
T
∆−−∆
∆•−−∆=
∆−−∆
θθθθ
VVVV (3.24)
em que (∆θ
j
, ∆V
j
, ∆λ
j
)
T
= (θ
e
– θ
j
, V
e
– V
j
, λ
e
– λ
j
). Partindo da solução fornecida pelo passo
preditor, o sistema resultante da expansão em série de Taylor do sistema (3.10) acrescido da
equação anterior converge para o ponto (θ, V, λ) da curva P-V.
47
λ
LLL
λ L
λ
∆∆
∆=∆
∂∂∂
∆∆
∂∂∂
θ V
θ P
GGG
VQ
θV
(3.25)
3.2.6 Técnica de Parametrização Geométrica para o Fluxo de Carga Continuado
Baseado nas Variáveis Tensão e Fator de Carregamento
Esta técnica desenvolvida por Bonini e Alves (2006) apresenta uma nova estratégia de
parametrização geométrica para o fluxo de carga continuado a qual permite o traçado
completo das curvas P-V, e a obtenção do ponto de máximo carregamento de sistemas de
potência, sem os problemas de mau condicionamento.
O fluxo de carga continuado proposto por BONINI (FCCB), consiste em acrescentar à
equação (3.10) uma equação de reta que passa por um ponto escolhido O(λ
0
, V
k
0
) no plano
formado pelas variáveis fator de carregamento (λ) e magnitude (V
k
) da tensão nodal de uma
barra k qualquer, ver figura (3.5) (BONINI; ALVES, 2008).
0
0
(,,
λ)0
W(,,
λ,α)=α(λ-λ )-(-)=0
kk
G
VV
=
θV
θV
(3.26)
em que o parâmetro α é o coeficiente angular da reta. Com a adição de mais uma equação, λ
pode ser tratado como uma variável dependente e α é considerada uma variável independente,
ou seja, escolhida como parâmetro da continuação (seu valor é prefixado). Assim, o número
de incógnitas é igual ao de equações, isto é, a condição necessária para que se tenha solução é
atendida, desde que a matriz Jacobiana tenha posto máximo (seja não singular).
Observa-se que a prefixação do valor de α, conforme já comentado, corresponde à
técnica de previsão trivial ou polinomial modificada de ordem zero (SEYDEL, 1994). Com a
solução do caso base (θ
1
, V
1
e λ
1
), obtida com um FC onde λ
1
= 1,0, calcula-se o valor de α a
partir do ponto inicial escolhido O (λ
0
, V
k
0
) e dos seus respectivos valores obtidos no caso
base P (λ
1
, V
k
1
).
11010
α ()/(λλ)
kk
VV=−− (3.27)
48
Figura 3.5: Desempenho do FCCB: reta inicial que passa por um ponto escolhido O (λ
0
, V
k
0
) e o de caso
base P (λ
1
, V
k
1
) no plano λV.
Logo em seguida o fluxo de carga continuado proposto por Bonini e Alves (2006) é
utilizado para calcular as demais soluções através de sucessivos incrementos de (∆α) no valor
de α, figura (3.6) (BONINI; ALVES, 2008). Para α=α
1
+∆α. A solução de (3.26) fornecerá o
novo ponto de operação (θ
2
, V
2
e λ
2
) correspondente à interseção da trajetória de soluções
(curva P-V) com a reta cujo novo valor de coeficiente angular (α
1
+∆α) foi especificado. Para
α = α
1
, a solução convergida deverá resultar em λ = 1. A linearização do sistema (3.26) pelos
dois primeiros termos da série de Taylor, considerando o valor prefixado no valor do
parâmetro α calculado para o caso base, resulta em:
m
-
-/-αλ
λ
λ
∆∆∆
==
∂∂∆∆∆
JGxxG
J
WxW
(3.28)
em que x = [θ
T
V
T
]
T
, J é a matriz Jacobiana do fluxo de carga e G
λ
corresponde à derivada de
G em relação a λ, ∆G e ∆W representam os fatores de correção (mismatches) das respectivas
funções em (3.2). É preciso observar que estes serão iguais a zero (ou praticamente nulos, ou
seja, inferior à tolerância adotada para o caso base convergido). Logo, somente ∆W será
diferente de zero devido à variação de α, através do incremento ∆α.
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fator de carregamento λ
Tensão [p.u.]
α
1
ponto escolhido
O (λ
0
, V
k
0
)
0.5
1
1.5
2
PMC
caso base
P (λ
1
, V
k
1
)
49
Figura 3.6: Desempenho do FCCB para o IEEE-14: (a) magnitude da tensão da barra crítica (V
14
) em função de
λ.
Para todos os testes realizados em Bonini e Alves (2006) o uso deste método mostrou
que não havia necessidade de realizar-se a troca de parâmetro ao longo de todo o traçado da
curva P-V, faz-se apenas algumas vezes uma mudança de coordenadas do centro do feixe de
retas, o que não implica em mudanças na estrutura da J
m
, mas apenas do valor do elemento
correspondente a derivada de W em relação a λ, ou seja, no valor de α.
Entretanto, embora o uso desta técnica tenha proporcionado uma ampliação do grupo
das variáveis de tensão que podem ser adotadas como parâmetro sem provocar modificações
na ordem da matriz Jacobiana do método proposto em (AJJARAPU; CHRISTY, 1992),
pesquisas posteriores usando sistemas maiores mostraram que em alguns casos havia
necessidade de troca de parâmetro ao longo do traçado da curva P-V.
0
P (caso base)
PMC
Fator de carregamento λ
Δα = - 0,05
O (ponto
escolhido)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5 1
1.5
2
V
14
Tensão [p.u.]
50
Capítulo 4
Metodologia
4.1 Introdução
Os métodos de fluxo de carga desacoplado e desacoplado rápido convencionais são
considerados inadequados para a obtenção do ponto de máximo carregamento de sistemas
elétricos de potência, devido a problemas de mau-condicionamento neste ponto crítico e na
sua vizinhança.
O objetivo deste capítulo é abordar a aplicação do método desacoplado continuado de
Newton, ou seja, o método desacoplado associado a um método da continuação à resolução
do fluxo de carga. Este método constitui-se o foco deste trabalho.
4.2 Método de Newton Desacoplado
4.2.1 Desacoplamento Pθ-QV
O método desacoplado deriva do método de Newton-Raphson, ou seja, é uma versão
modificada do método de Newton convencional. Essa versão baseia-se no desacoplamento
[Pθ-QV], ou seja, é obtida considerando-se o fato de que existe um forte acoplamento entre [P
e θ], [Q e V] e um fraco acoplamento entre [Q e θ], [P e V]. Esse fato é verificado para redes
de transmissão de extra-alta-tensão (magnitudes das tensões acima de 230 KV) e ultra-alta-
tensão (acima de 750KV) (MONTICELLI, 1983).
O método desacoplado ignora a existência das submatrizes jacobianas N e M, ou seja,
são consideradas nulas (MONTICELLI, 1983).
51
Nesse método o desacoplamento permite o uso de duas técnicas de resolução para os
subproblemas
PeQ
θ V
: a simultânea e a alternada. Com relação à convergência, esse método
exige um número maior de iterações quando comparado com o método de Newton original,
mas os resultados são praticamente os mesmos.
4.2.2 Algoritmo Simultâneo do Método de Newton Desacoplado
As equações na forma de resolução simultânea (MONTICELLI, 1983) se apresentam
da seguinte forma:
(,)(,)
(,)(,)
vvvvv
vvvvv
=
=
ΔP θ VHθVΔθ
ΔQ θ VLθVΔV
(4.1)
1
1
vvv
vvv
+
+
=+
=+
θθΔθ
VV
ΔV
(4.2)
Aplicando o FCC, as equações (4.1) e (4.2) podem ser reescritas como:
(,,λ)(,)
(,,λ)(,)
vvvvvv
vvvvvv
∆=∆
∆=∆
PθVHθVθ
QθVLθVV
(4.3)
1
1
1
λλλ
vvv
vvv
vvv
+
+
+
=+
=+
=+
θθΔθ
VV
ΔV
Δ
(4.4)
No método de resolução simultâneo,
e
θ V
são atualizados simultaneamente.
4.2.3 Algoritmo Alternado do Método de Newton Desacoplado
Neste algoritmo de resolução as equações são colocadas na seguinte forma:
1
(,)(,)
vvvvv
vvv+
=
=+
ΔP θ VHθVΔθ
θθΔθ
(4.5)
11
1
(,)(,)
vvvvv
vvv
++
+
=
=+
ΔQ θ VLθVΔV
VVΔV
(4.6)
52
Aplicando o FCC, as equações (4.5) e (4.6) são reescritas como:
1
(,,λ)(,)
vvvvvv
vvv+
=
=+
ΔPθVHθVΔθ
θθΔθ
(4.7)
11
1
1
(,,λ)(,)
λλλ
vvvvvv
vvv
vvv
++
+
+
=
=+
=+∆
ΔQθ VLθVΔV
VVΔV
(4.8)
Desta forma as variáveis
e
θV
são atualizadas a cada meia iteração, sendo (4.7)
correspondente à meia-iteração ativa responsável pela atualização dos ângulos de fase das
tensões e (4.8) à meia iteração reativa responsável pela atualização das magnitudes de tensão,
com isso os subproblemas
PeQ
θ V
podem ter velocidades de convergência distintas para
cada subproblema (CASTRO, 2009).
São apresentados nas figuras (4.1) e (4.2) os respectivos esquemas do método de
Newton desacoplado considerando os algoritmos simultâneo e alternado.
53
Calcular
(,)
(,)
vv
vv
ΔP θ V
ΔQ θ V
e
max
kp
max
kq
:
:
ε
ε
ΔP
ΔQ
(,)(,)
(,)(,)
vvvvv
vvvvv
=
=
ΔP θ VHθVΔθ
ΔQ θ VLθVΔV
Atualizar:
Incrementar
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Solução
FIM
<
(vii)
1
vvv
+
=+
θθΔθ
1
vvv
+
=+VV
ΔV
0
v
=
>
v
Figura 4.1: Método de Newton desacoplado simultâneo.
54
Calcular
qp
Δ (,)
PV
θ
max
kp
ΔP:
ε
qpqpp
Δ (,)(,)
=∆
PV
θ HV θθ
Atualizar:
Incrementar p
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
p1pp
Δ
+
=+
θθθ
KP = KQ = 1
p = q = 0
Resolver o sistema:
KQ = 1
Calcular:
qp+1
Δ (,)
QV θ
max
kQ
ΔQ:
ε
qp+1qp+1q
Δ (,)(,)Δ
=
QV
θ LV θ V
Resolver o sistema:
Atualizar:
q1qq
Δ
+
=+
VVV
Incrementar q
KP = 1
KQ = 0
KP : 0
SOLUÇÃO
KP = 0
KQ : 0
≤
>
≤
>
(viii)
(x)
(xi)
(xii)
(xiii)
(ix)
(xiv)
(xv)
(xvi)
(xvii)
(xviii)
≠
=
≠
=
Figura 4.2: Diagrama de blocos do método de Newton desacoplado alternado.
55
4.3 Metodologia Proposta
4.3.1 Introdução
Conforme mencionado no capítulo 1 problemas como massivas interconexões de
sistemas elétricos, aumento da demanda, geração insuficiente, expansão da transmissão e
fatores de ordem econômica e ambiental tem levado os sistemas elétricos de potência a
operarem muito próximo de seus limites, tais fatores tem provocado uma crescente
preocupação com a estabilidade de tensão dos sistemas elétricos de potência.
Essa preocupação tem motivado a busca por ferramentas de análise estática dos
sistemas elétricos, já que essas análises se propõem a diagnosticar margens de estabilidade de
tensão e mecanismos de instabilidade (ZARATE, 2004).
O intuito é diagnosticar de forma rápida e segura algum distúrbio que possa causar
problemas no fornecimento de energia elétrica, para tanto a obtenção do ponto de máximo
carregamento se faz necessária. Visto que esse ponto determina o grau de segurança do
sistema com relação à estabilidade de tensão, possibilitando aos operadores de sistemas
tomarem as medidas necessárias para manter os sistemas elétricos de potência funcionando
normalmente após sofrer alguma contingência.
Vimos que os métodos FC convencional ou método de Newton e o FCC são
amplamente utilizados nas análises estáticas. Neste trabalho propomos outra ferramenta de
análise estática o método desacoplado anteriormente citado agora com novas implementações.
O interesse pelo uso de métodos desacoplados em geral, se deve à necessidade de redução do
tempo computacional exigido pelos FCC para o traçado das curvas P-V. Nesse trabalho são
feitas comparações preliminares entre os desempenhos do Fluxo de Carga Continuado
Desacoplado Proposto, considerando os algoritmos de resolução simultâneo e alternado. O
FCCDP é obtido pela adição de uma equação de reta no plano formado pelas variáveis fator
de carregamento, λ, e a magnitude de tensão (V
k
) de uma barra k qualquer.
Os resultados foram obtidos para os sistemas do IEEE (14, 30, 57, 118 e 300 barras),
utilizando os algoritmos simultâneo e alternado.
56
4.3.2 Fluxo de Carga Continuado Desacoplado Proposto (FCCDP)
No método proposto se acrescenta ao conjunto básico de equações do fluxo de carga
continuado, equação (3.10) uma equação de reta que passa por um ponto escolhido O (λ
0
, V
0
)
formada no plano λV (variáveis fator de carregamento λ e magnitude de tensão nodal de uma
barra k qualquer V
k
) (BONINI et al., 2006).
(
)
00
,
λ, ()(λλ)0
kkk
RVVVαα
=−−−=
(4.9)
Assim o sistema de equações (3.11) passa a ser dado por
0
0
(,,λ)=λ (,)0
(,,λ)λ (,)0
(,
λ,)()(λλ)0
kkk
RVVVαα
∆−=
∆=−=
∆=−−−=
esp
esp
P θ VPPθV
QθVQQθV (4.10)
em que α é o coeficiente angular da reta.
O ponto central do processo de resolução da equação (3.10) consiste em se determinar
o vetor de correções Δx, o que exige a resolução do seguinte sistema linear:
() ()
-1
()=J()−∆⇒∆=−
GxxxxJxGx
sendo x=[θ
T
V
T
λ]
T
e G(x)=[∆P
T
∆Q
T
∆R]
T
.
Tomando por base as expressões dos vetores ∆P e ∆Q em (3.10) pode-se representar a
matriz Jacobiana (J) do FCC da seguinte forma:
(,)(,)
(,)(,)
()
α
∂∂
−
∂∂
∂∂
=−−
∂∂
−
esp
esp
k
P θ VPθV
P
θ V
QθVQθV
JxQ
θV
0e
(4.11)
57
em que e
k
é um vetor com todos os elementos iguais a zero exceto na coluna da tensão da
barra k que é igual a 1 utilizada para formar a reta.
Considerando-se a expressão (4.10) e a equação matricial (4.11) obtém-se a equação
(4.12).
λ
R α
−
∆
=−∆
−
esp
esp
k
HNP
P
Δθ
MLQQ
ΔV
0e
ΔΔ
(4.12)
4.3.2.1 Desacoplamento Pθ e QV
O desacoplamento é o objetivo principal deste trabalho, cujo foco central conforme já
mencionado é o desempenho do método da continuação baseado no método desacoplado de
Newton.
Da equação (4.12), obtém-se:
R
αλ
−
=−
−
esp
esp
k
ΔPHNPΔθ
ΔQMLQΔV
Δ 0e Δ
(4.13)
que pode ser reescrita da seguinte forma:
'
''''
∆∆
=
∆∆
PHN
θ
QMLV
(4.14)
sendo ∆Q
′
=[∆Q
T
∆R]
T
e ∆V
′
=[∆V
T
∆λ]
T
. Como já foi visto o desacoplamento permite o uso
de duas técnicas de resolução, a simultânea e a alternada para os subproblemas Pθ (ativo) e
QV (reativo). As submatrizes N e M são simplesmente ignoradas (MONTICELLI, 1983). O
desacoplamento é introduzido apenas no algoritmo de resolução, sem afetar o modelo da rede,
i.e., o problema resolvido permanece o mesmo (∆P(θ,V
′
)=0 e ∆Q
′
(θ,V
′
)=0). Entretanto, os
Fluxos de Carga Continuado Desacoplado utilizando λ ou V
k
como parâmetro da continuação,
desenvolvidos a partir dessa premissa, mostram-se ineficientes para o traçado das curvas P-V,
ver figuras (4.3); (4.4); (4.5), (4.6), (4.7) e (4.8).
A figura 4.3 apresenta a curva P-V da barra crítica (barra 14) do sistema IEEE 14
usando o algoritmo simultâneo o qual diverge próximo ao PMC, ou seja, não consegue
58
precisar o PMC devido à singularidade da matriz J. Então para uma melhor aproximação do
PMC volta-se à solução anterior e reduz-se o passo de 1/10. A figura 4.4 mostra o número de
iterações gasto na obtenção de cada ponto da curva P-V. Nota-se que a partir do oitavo ponto,
onde começa a redução de passo, ocorre uma pequena redução do número de iterações, e a
seguir volta a aumentar gradativamente. Esse aumento se deve à proximidade com o PMC.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Fator de Carregamento
Tensão (p.u.)
Redução de passo
de 1/10
PMC
P
(caso base)
λ
Figura 4.3: Tensão como função do Carregamento (curva PV com redução de passo).
Figura 4.4: Desempenho do método desacoplado simultâneo para a barra crítica do IEEE 14 barras
usando λ parâmetro.
Mostra-se que mesmo fazendo uso da estratégia de redução de passo no método
desacoplado alternado parametrizado por
λ
, figura 4.3, não é possível determinar este ponto e
nem obter soluções além deste. A figura 4.5 fornece o desempenho do método desacoplado
2 4 6 8 10 12
14
16
5
10
15
20
25
30
35
40
Pontos da Curva
Número de Iterações
59
alternado para o mesmo caso apresentado na figura 4.3. Observa-se que para os dois
subproblemas Pθ e QV o método gasta aproximadamente o mesmo número de iterações para
a convergência das soluções, embora este número de iterações possa ser distinto de acordo
com a convergência de cada subproblema (MONTICELLI, 1983). Também se pode verificar
que o número de iterações segue o mesmo padrão do apresentado na figura (4.3).
A figura 4.7 mostra que utilizando a magnitude de tensão (V
14
) da barra crítica como
parâmetro é possível determinar o PMC e também obter soluções na parte inferior da curva P-
V (região de operação instável). Embora o problema de mau-condicionamento das matrizes
no PMC tenha sido superado, verifica-se na figura 4.8 que ainda é necessário um alto número
de iterações para a obtenção de cada solução da curva.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Fator de Carregamento
Tensão (p.u.)
λ
Redução de
passo de 1/10
P
(caso base)
1.768
Figura 4.5: Tensão como função do fator de carregamento λ (curva P-V) para a barra crítica do IEEE-14 barras.
2 4 6 8 10 12 14
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Pontos da Curva
Número de Iterações
Figura 4.6: Desempenho do método desacoplado alternado.
60
λ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Fator de carregamento
Tensão (p.u.)
P(caso base)
Figura 4.7: Curva P-V usando a tensão (V
14
) da barra crítica do sistema teste 14 barras como parâmetro.
0 5 10 15 20 25 30
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Pontos da Curva
Número de Iterações
Figura 4.8: Desempenho do método desacoplado simultâneo parametrizado por tensão (V
14
).
Assim, neste trabalho considerará o procedimento apresentado em (MONTICELLI,
1990). Para isso, considere a equação (4.14). Premultiplicando a linha de ∆P por − M
′
H
-1
e
somando o resultado às equações ∆Q
′
, tem-se o seguinte sistema:
'
''
∆∆
=
∆−∆∆
'-1
eq
PHN
θ
QMHP0LV
(4.15)
61
sendo a matriz L
eq
=L
′
−M
′
H
-1
N
′
. Nesse caso a resolução da equação (4.15) exige a fatoração
de duas matrizes: H e L
eq
. Observe que (4.14) e (4.15) são equivalentes, pois os vetores de
solução ∆θ e ∆V' são os mesmos para ambos os sistemas, com a diferença que (4.15) pode ser
resolvida numa forma desacoplada, porém em três passos (MONTICELLI, 1990). Em
(MONTICELLI, 1990) é demonstrado que o cálculo dos resíduos ∆Q' no ponto (V, θ+H
-1
∆P)
é equivalente ao cálculo de ∆Q−M
′
H
-1
∆P. Isso garante que, ao resolver (4.15)
desacopladamente se está levando em conta o acoplamento da matriz M
′
. Em
(MONTICELLI, 1990) também é demonstrado que durante o processo iterativo, a correção de
ângulos ∆θ
Ν
=−H
-1
N∆V' é automaticamente levada em conta na próxima iteração. Isso explica
o fato de o uso do algoritmo alternado apresentar um melhor desempenho que o simultâneo,
como se verá a partir dos resultados apresentados mais a diante.
4.3.2.2 Algoritmo Simultâneo
Neste algoritmo de resolução, θ, V e λ são atualizados simultaneamente, conforme
visto anteriormente, então as equações na forma de resolução simultânea se apresentam da
seguinte forma:
''
(,)(,)
(,,λ)(,,λ)
vvvvv
v
vvvvvv
=
=
eq
ΔP θ VHθVΔθ
ΔQ θ VLθVΔV
(4.16)
1
+1'
1
λλλ
vvv
v
vv
vvv
+
+
=+
=+
=+
θθΔθ
VVΔV
Δ
(4.17)
4.3.2.3 Algoritmo Alternado
Neste algoritmo as equações são colocadas na forma:
62
1
(,)(,)
vvvvv
vvv+
=
=+
ΔPθVHθVΔθ
θθΔθ
(4.18)
'+1+1'
+1'
+1
(,,λ)(,,λ)
λλλ
v
vvvvvv
v
vv
vvv
=
=+
=+
eq
ΔQ θ VLθVΔV
VVΔV
Δ
(4.19)
Como visto anteriormente as variáveis θ, V e λ são atualizadas a cada meia iteração.
4.3.2.4 Procedimento Geral para o Traçado da curva P-V
O procedimento para o traçado da curva P-V da figura 4.9 é o seguinte:
1. Com a solução do caso base (θ
1
, V
1
e λ
1
=1) obtida com um FC convencional, calcule
o valor inicial do coeficiente angular da reta (α
1
) que passa pelas coordenadas do
ponto inicial escolhido O(V
k
0
, λ
0
) e do ponto P(V
k
1
, λ
1
) obtido no caso base,
utilizando-se para isso a equação:
α
1
=( V
k
1
- V
k
0
)/( λ
1
-λ
0
).
2. Obtenha os próximos pontos da curva P-V diminuindo gradualmente o valor de α,
α
i+1
= α
i
-∆α (∆α: variação angular);
3. Prossiga com o passo 2 até que o PMC seja obtido. A identificação do PMC se dá pela
mudança de sinal de ∆λ.
são respectivamente os valores especificados no caso base (λ=1) das potências ativa e
reativa das barras PQ, e das potências ativa das barras PV. k
pg
, k
pc
e k
qc
são
parâmetros prefixados usados para caracterizar um cenário de carga específico. Eles
descrevem as taxas de variação de potência ativa (P
ger
) nas barras de geração (barras
PV), e das potências ativa (P) e reativa (Q) nas barras de carga (barras PQ). Assim, é
possível realizar uma variação de carregamento individual, isto é, para cada barra do
sistema, considerando para cada uma, um crescimento de carga com fatores de
potência diferentes aos do caso base. Tradicionalmente, entretanto, assume-se que o
aumento de carga de uma determinada área é feito com fator de potência constante e
proporcional ao carregamento do caso base com modelo de carga de potência
63
constante (nesse caso k
pg
, k
pc
e k
qc
são todos iguais a um), visto que este fornece a
condição operacional mais segura para o sistema (WSCC, 1998)
Figura 4.9: Procedimento geral para o traçado da curva P-V.
4.4. Testes e Resultados
Para todos os testes realizados, a tolerância adotada para os mismatches de potência
foi de 10
–4
p.u., α é adotado como parâmetro da continuação. A solução inicial é obtida para o
caso base partindo-se do flat-start, i.e., considerando-se a estimativa inicial em que todos os
ângulos são assumidos iguais a 0 (zero) graus, e as magnitudes de tensão (V) iguais a 1,0 p.u.
Os demais pontos da curva são obtidos, a partir da solução anterior, variando-se o valor de α,
ou seja, usando o preditor de ordem zero.
4.4.1 Desempenho do Método Proposto para o IEEE-14
A figura 4.10 apresenta resultados para o sistema teste do IEEE-14, com o feixe de
retas centrado no ponto V
0
=0,0 e λ
0
=0,0. Na figura 4.10(a) é apresentada a curva P-V da barra
crítica (barra 14) obtida utilizando-se o algoritmo de resolução simultâneo. O valor de λ para
o PMC foi de 1,719 p.u., obtendo assim uma margem de carregamento de 0,719 em relação ao
caso base (λ=1). O número de iterações para o traçado da curva P-V utilizando o algoritmo
simultâneo é mostrado na figura 4.10 (b), enquanto na figura 4.10 (c) e 4.10 (d) mostra-se o
número de iterações quando se faz uso do algoritmo alternado.
Fator de carregamento λ
0 0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
α
1
P
PMC
O
Magnitude de tensão da barra
k, V
k
[p.u.]
64
Observe que apesar de ser possível se obter o PMC utilizando o algoritmo simultâneo,
o número de iterações aumenta sensivelmente próximo a região do PMC. Por outro lado,
conforme se pode observar das figuras 4.10 (b) e (c) e (d), o mesmo não ocorre para o
algoritmo alternado, cujo número de meias iterações permanece reduzido durante todo o
traçado da curva P-V. A principal razão desse reduzido número de iterações está relacionado
com a utilização dos valores recém calculados na subiteração anterior, na subiteração
seguinte, i.e., do uso de θ
v+1
no cálculo de V
v
, e de V
v+1
no cálculo de θ
v
.
Figura 4.10: Desempenho do FCCDP para o sistema IEEE-14: (a) curva P-V da barra crítica (14), (b) número de
iterações do algoritmo simultâneo, (c) número de iterações Pθ do algoritmo alternado (d) número de iterações
QV do algoritmo alternado.
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 1.4 1.6
0
0.5
1
0
5
10
15
20
Fator de carregamento λ
Tensão [p.u.]
Número de itera
ç
ões
PMC
(a)
(b)
PMC
1, 719
0
1
2
3
0
5
10
15
20
25
30
35
0
1
2
3
Iterações Pθ
Iteraões QV
Pontos da curva
(d)
(c)
65
4.4.2 Desempenho do Método Proposto para o IEEE-300
A figura 4.11 apresenta resultados para o sistema teste do IEEE-300, com o feixe de
retas centrado no ponto V
0
=0,4 e λ
0
=0,0. Na figura 4.11 (a) é apresentada a curva P-V da
barra crítica (barra 236) obtida utilizando-se o algoritmo de resolução simultâneo. O valor de
λ para o PMC foi de 1,055 p.u., obtendo assim uma margem de carregamento de 0,055 em
relação ao caso base (λ=1). O número de iterações para o traçado da curva P-V utilizando o
algoritmo simultâneo é mostrado na figura 4.11 (b), enquanto nas figura 4.11 (c) e (d)
mostram-se o número de iterações quando se faz uso do algoritmo alternado.
Figura 4.11: Desempenho dos FCCDP para o sistema IEEE-300: (a) curva P-V da barra crítica (236), (b) número
de iterações do algoritmo simultâneo, (c) número de iterações Pθ (d) número de iterações QV do algoritmo
alternado.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pontos da curva
(c)
Iterações P
θ
Iterações QV
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
5
10
15
20
25
Número de iterações
Fator de carregamento
λ
(a)
(b)
PMC
1,0552
Tensão [p.u.]
PMC
(d)
66
Note que embora seja possível obter o PMC utilizando o algoritmo simultâneo,
também nesse caso o número de iterações aumenta significativamente próximo à região do
PMC. Por outro lado, conforme se pode observar das figuras 4.11(b), 4.11(c) e (d), o mesmo
não ocorre para o algoritmo alternado, cujo número de meias iterações permanece reduzido
durante todo o traçado da curva P-V. A principal razão desse reduzido número de iterações
está relacionado com a utilização dos valores recém calculados na subiteração anterior, a
subiteração seguinte, i.e., do uso de θ
v+1
no cálculo de V
v
, e de V
v+1
no cálculo de θ
v
.
4.4.3 Desempenho do FCCDP para os Sistemas IEEE de 14, 30, 57, 118 e 300 Barras
As tabelas 4.1 e 4.2 mostram o desempenho do FCCDP para os sistemas IEEE de 30,
57, 118 e 300 barras. Na tabela 4.1 foi utilizado o feixe de reta com centro em V
0
=0,0 e
λ
0
=0,0 e passo 0,02 e na tabela 4.2 foi utilizado o feixe de reta com centro em V
0
=0,4 e
λ
0
=0,0 e passo 0,02. Observe que o número de iterações total gasto para se ir do caso base até
o PMC são significativamente maiores para o algoritmo simultâneo do que para o alternado.
Nota-se também que a mudança no centro do feixe de retas praticamente não interfere no
valor do PMC obtido. Por outro lado, a mudança interfere ligeiramente no desempenho de
ambos os algoritmos de resolução (simultâneo e alternado). Ocorre uma pequena redução do
número total de iterações.
A tabela 4.3 apresenta o desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de
retas em V
0
=0,4 e λ
0
=0,0 e passo 0,04. Nesse caso se deseja avaliar o desempenho do método
com relação à variação do tamanho do passo, no caso, duplicado em relação ao anterior.
Observam-se agora, uma sensível redução no número total de iterações de ambos os
algoritmos, porém, sem um sensível prejuízo tanto do desempenho, quanto da precisão do
cálculo do PMC.
Tabela 4.1: Desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de retas em (λ
0
=0, V
0
=0) e passo de
∆α=0,02.
Sistemas
Simultâneo Alternado
Iterações PMC
Iterações
PMC
P
θ
QV
IEEE-14 219 1,7193 38 38 1,7192
IEEE-30 215 1,5337 44 39 1,5354
IEEE-57 237 1,7248 48 46 1,7287
IEEE-118 222 1,8665 64 69 1,8664
IEEE-300 112 1,0486 13 13 1,0551
67
Tabela 4.2: Desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de retas em (λ
0
=0; V
0
=0,4) e passo
∆α=0,02.
Sistemas
Simultâneo Alternado
Iterações PMC
Iterações
PMC
Pθ
QV
IEEE-14 204 1,7196 31 34 1,7200
IEEE-30 198 1,5334 34 39 1,5355
IEEE-57 247 1,7241 38 34 1,7284
IEEE-118 145 1,8661 50 52 1,8661
IEEE-300 104 1,0550 13 13 1,0552
Tabela 4.3: Desempenho do FCCDP considerando o centro do feixe de retas em (λ
0
=0; V
0
=0,4) e passo
∆α=0,04.
Sistemas
Simultâneo Alternado
Iterações PMC
Iterações
PMC
Pθ
QV
IEEE-14 117 1,7202 21 24 1,7198
IEEE-30 116 1,5338 25 28 1,5341
IEEE-57 140 1,7243 24 25 1,7255
IEEE-118 80 1,8644 26 27 1,8644
IEEE-300 76 1,0542 11 11 1,0542
As figuras 4.12 e 4.13 mostram para os sistemas IEEE 30 e 300 barras, as respectivas
curvas P-V das barras PV (barras de geração) de números 11 e 259, cujas magnitudes de
tensão permanecem constantes ao longo de um trecho relativamente grande da curva P-V.
Observe que o FCCDP também nestes casos obtém êxito na obtenção dos respectivos PMC,
com um número reduzido de iterações, figuras 4.12(c) e 4.12(d), e 4.13(b) e 4.13(c). Também
é possível a obtenção de pontos pertencentes à parte inferior das curvas P-V.
68
Figura 4.12: Desempenho do FCCDP, algoritmo alternado, para sistema IEEE-30: (a) curva P-V da barra 11, (b)
curva P-V da barra crítica, (c) número de iterações Pθ (d) número de iterações QV.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
PMC
1,5333
V
11
[p.u.]
Fator de carregamento
λ
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 1.4 1.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
PMC
(b)
V
30
[p.u.]
Fator de carregamento λ
0
1
2
3
4
5
0
5
10
15
20
25
0
1
2
3
4
5
Iterações P
θ
Iterações QV
(d)
Pontos da curva
(c)
(a)
69
Figura 4.13: Desempenho do FCCDP para a barra PV (barra 259) sistema IEEE-300: (a) curva P-V, (b) número
de iterações Pθ (c) número de iterações QV.
4.4.4 Influência da Atualização das Matrizes H e L
eq
Durante o Procedimento Geral
O objetivo aqui é avaliar o FCCDP fazendo-se uso dos algoritmos de resolução
simultâneo e o alternado comparando seus desempenhos. São consideradas duas situações. No
primeiro procedimento as matrizes H e L
eq
são atualizadas a cada iteração e no segundo
somente quando necessário, ou seja, quando ocorrer alguma mudança significativa no sistema
(mudança no tipo da barra PV para PQ em virtude da violação de seus limites). Em ambas as
situações consideram-se o centro do feixe de retas em (λ
0
=0, V
0
=0,4) e passo ∆α=0,04.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
1
2
3
4
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
1
2
3
4
5
(b)
(c)
Iterações QV
Iterações P
θ
Pontos da curva
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
(a)
Fator de carregamento λ
1,5028
V
259
[p.u.]
70
Para ambos os procedimentos, as tabelas 4.4 e 4.5 apresentam os tempos
computacionais requeridos com a utilização dos algoritmos de resolução, e o número total de
iterações (NTI) necessário para o traçado da curva P-V. Considera-se por tempo de CPU, o
tempo total gasto a partir do caso base até o PMC. Seus valores foram normalizados pelos
respectivos tempos requeridos considerando o primeiro procedimento, o qual se encontra na
segunda coluna de cada uma das tabelas. No caso do segundo procedimento, também é
mostrado o número total de iterações (NTIA) para o qual há a atualização da matriz.
Das Tabelas 4.4 e 4.5 observa-se que tanto no primeiro quanto no segundo
procedimento, o algoritmo alternado se apresenta mais vantajoso que o simultâneo, já que
requer tempos de CPU (TCPU) bem menores até alcançar o PMC. Também se pode afirmar
com base nos dados das duas tabelas que o algoritmo alternado apresenta maior eficiência
quando se faz uso do segundo procedimento. Em outras palavras, os resultados mostram que
além do número total de iterações em geral ser menor para o segundo procedimento, é
possível também conseguir-se uma redução do tempo computacional (coluna 6 das tabelas),
ou seja, uma melhora na eficiência dos algoritmos, sem a perda de robustez. Isso é alcançado
com uma simples mudança de procedimento que é o de não atualizar as matrizes a cada
iteração, mas somente quando o sistema sofrer alguma mudança significativa.
Tabela 4.4: Desempenho do FCCDP considerando a atualização das matrizes H e L
eq
a cada iteração.
Sistemas
IEEE
Simultâneo Alternado
Redução de
tempo de CPU
(%)
TCPU
(p.u.)
NTI
TCPU
(p.u.)
NTI
Pθ QV
57 1,000 140 0,2214 26 25 77,8
118 1,000 80 0,4142 26 28 58,5
300 1,000 76 0,1779 12 12 82,2
Tabela 4.5: Desempenho do FCCDP considerando a atualização das matrizes H e L
eq
somente quando
necessário.
Sistemas
IEEE
Simultâneo Alternado
RCPU
(%)
TCPU
(p.u.)
NTI
NTIA
TCPU
(p.u.)
NTI NTIA
Pθ QV Pθ QV
57 1,000
136 17 0,5206
22 22 11 11 47,9
118 1,000
76 26 0,6299
30 32 13 13 37,0
300 1,000
73 30 0,2065
13 13 5 5 79,3
71
4.5 Fluxo de Carga Continuado Desacoplado Proposto Modificado
Os resultados obtidos pelo FCCDP comprovam que as curvas P-V's podem ser
traçadas sem nenhuma dificuldade numérica e que permite a obtenção do PMC dos sistemas
elétricos de potência quando se utiliza a equação da reta que passa por um ponto no plano λV
da barra crítica.
Esta técnica como vimos elimina a necessidade de troca de parâmetro ao longo do
traçado da curva P-V, e amplia o grupo das variáveis de tensão que podem ser adotadas para a
composição da equação da reta. Este conjunto passa agora a incluir as barras cuja magnitude
de tensão permanece constante ao longo de uma faixa da curva P-V, ou seja, barras de
geração e as controladas por ajuste de tap sob carga, as quais antes não poderiam ser
utilizadas como parâmetro para se obter essa parte da curva P-V.
Também possibilita o uso da magnitude da tensão das barras cujos noses são
coincidentes com o do fator de carregamento. Para que isso seja possível, associa-se ao
método proposto uma estratégia de mudança de coordenadas do centro do feixe de retas. Essa
mudança é feita somente quando o número de iterações excederem um valor preestabelecido
ou quando o método divergir.
A escolha tanto das coordenadas do novo centro do feixe de retas quanto à do
incremento do coeficiente angular da reta é feito de forma a se obter um baixo número de
iterações ao longo de todo o traçado da curva. O FCCDP modificado (FCCDPM) é usado no
traçado das curvas P-V dos sistemas: IEEE 300-barras, uma configuração de 638 barras do
sistema Sul-Suldeste Brasileiro, e o sistema do sudoeste Americano. Os resultados
comprovam a eficiência do método desacoplado proposto na obtenção do PMC.
4.5.1 Procedimento Geral para a Mudança de Reta Durante o Traçado da Curva P-V
Em função das análises realizadas definiu-se o seguinte procedimento geral para o
traçado da curva λ-V
k
:
1. Obtenha o ponto "P" para o caso base utilizando o FC convencional e calcule o
correspondente valor do coeficiente angular da reta (α
1
) que passa pelo ponto escolhido
"O"(λ
0
=0,0, V
k
0
=0,7 p.u.), e pelo ponto "P"(λ
1
=1, V
k
1
);
72
2. Obtenha os próximos pontos da curva λ-V
k
aumentando gradualmente o valor de α, α
i+1
=α
i
+ ∆α, ∆α=0,02;
3. Quando o método proposto não encontrar solução, retorne ao ponto anterior e efetue uma
redução no passo (por exemplo ∆α= 0,02/5)
4. Quando o método proposto divergir novamente efetue a mudança de coordenadas do
centro do feixe de retas para o ponto médio (PM) situado entre os dois últimos pontos
obtidos. Em seguida considere a equação da reta que passa pelas coordenadas de PM e pelo
último ponto convergido. A inclusão do ponto médio é importante para garantir a robustez,
e auxiliar o método a eliminar os problemas de mau-condicionamento da matriz L
eq
;
5. Quando o valor da magnitude da tensão do ponto atual for maior que o do ponto anterior,
considera-se a equação da reta que passa pelas coordenadas do centro do feixe de retas
inicial (ponto "O") e do ponto atual, do segundo feixe de retas e completa-se o traçado da
curva P-V com ∆α = − ∆α).
As coordenadas iniciais do centro do feixe de retas, ponto "O", foram escolhidas de modo
a possibilitar o traçado da curva P-V de qualquer sistema desejado. As justificativas para sua
escolha podem ser encontradas em (BONINI, 2006). Inicialmente a escolha foi norteada pela
constatação de que o uso das variáveis de tensão cuja magnitude da tensão permanecia fixa no
valor mínimo num trecho relativamente grande durante o traçado das curvas P-V, o valor a ser
adotado inicialmente para a magnitude de tensão deveria ser inferior ao valor mínimo da faixa
operativa normal de tensão adotada, no caso, inferior a 0,9 p.u.
Outro fato que também foi levado em conta para a escolha de suas coordenadas foi o
de que, em geral, as magnitudes de tensão das barras críticas da maioria dos sistemas
analisados são em torno de 0,7 p.u., o que, como se verá mais a frente, nos casos das barras
criticas essa escolha facilita o traçado da curva P-V, visto que não haverá necessidade de troca
das coordenadas do centro do feixe de retas durante todo o traçado da curva.
4.5.2 Resultados Ilustrativos Obtidos com o Método Proposto Modificado
Para todos os testes realizados, a tolerância adotada para o mismatch total de potência
foi de 10
–4
p.u. A consideração dos limites de potência reativa (Q) nas barras PV's é feito da
73
mesma forma que no método convencional de FC. O valor adotado para o passo inicial (∆α )
é 0,04.
A figura. 4.14 apresenta o desempenho do método proposto considerando as magnitudes de
tensão das respectivas barras críticas 526 e 138 dos sistemas IEEE-300 e 904 barras.
Nas figuras. 4.14(a) e 4.14(b) apresentam-se as respectivas curvas P-V das barras críticas
526 e 138 dos sistemas IEEE-300 e 904 barras. O número de iterações para cada ponto obtido
sobre a curva P-V da barra 526 do IEEE-300 é apresentado na figura 4.14(c), enquanto que o
número de iterações para cada solução sobre a curva P-V da barra crítica do sistema de 904
barras é apresentado na figura 4.14(d). Observa-se das figuras 4.14(a) e 4.14(b) que com a
escolha da magnitude de tensão de qualquer uma destas barras para comporem a equação da
reta, o algoritmo fica restrito apenas aos passos 1 e 2 do procedimento geral apresentado no
item 4.5.1. Assim, nestes casos não é necessário fazer a mudança do centro do feixe de retas
para a determinação do PMC. Observe também que o número de iterações gasto para cada
subproblema ativo e reativo na obtenção do PMC é consideravelmente pequeno para ambos
os sistemas, ver figuras 4.14(c) e 4.14(d). Esses resultados comprovam a eficiência e a
robustez do método para sistemas reais de grande porte.
A figura 4.15 apresenta a aplicação do método proposto para o traçado da curva P-V da
barra 346 do sistema de 638 barras. Na figura 4.15(a) é apresentada a magnitude de tensão
(V
346
) da barra de geração (barra PV) em função de λ, de onde se observa que apesar de sua
magnitude de tensão permanecer fixa no mesmo valor num trecho relativamente grande
durante o traçado da curva P-V, ainda assim é possível a obtenção com precisão do PMC,
conforme se pode observar no detalhe da região em torno do PMC apresentado na figura
4.15(b).
Também neste caso, o método apresentou um bom desempenho. Este sistema encontra-se
muito estressado (carregado). Seu PMC, igual a 1,0087 p.u., encontra-se muito próximo do
ponto de operação caso base (λ=1) o que dificulta a convergência do FC. Por outro lado, o
método proposto se mostrou eficiente, pois superou os problemas de singularidade e
possibilitou o cálculo do PMC do sistema com um reduzido número de iterações, ver figura
4.15(c).
74
Figura 4.14: Desempenho do FCCDPM para o IEEE-300 e 904 barras: (a) magnitude da tensão (V
526
)
da barra crítica do IEEE-300 barras como função de λ; (b) tensão da barra (V
138
) do IEEE-904 como função de λ;
(c) e (d) respectivos número de iterações.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
1
2
3
4
5
6
Número de iterações
Pontos da curva
Iterações P
θ
Iterações QV
PMC
(d)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Iterações P
θ
Iterações QV
Número de iterações
PMC
(c)
Pontos da curva
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PMC
∆α = 0,02
Tensão [p.u.]
(b)
Fator de carregamento,
λ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆α = 0,02
V
526
(a)
Tensão [p.u]
PMC
Fator de carregamento
λ
75
Figura 4.15: Desempenho do FCCDPM para o IEEE-638 barras: (a) magnitude da tensão (V
346
) em
função de λ; (b) região do PMC ampliada; (c) número de iterações para os subproblemas ativo e reativo.
A figura 4.16 apresenta a aplicação do FCCDPM para o traçado da curva P-V da barra
46 do sistema de 300 barras. Na figura 4.16(a) é apresentada a magnitude de tensão (V
46
) da
barra de carga (barra PQ) em função de λ, de onde se observa que tanto o valor de λ quanto o
de V
46
apresentam pontos de inflexão (“narizes”) coincidentes, ou seja, a singularidade da
matriz Jacobiana, a qual ocorre no PMC quando λ é usado como parâmetro, é coincidente
com a singularidade da matriz Jacobiana modificada quando da parametrização considerando
V
46
. Por outro lado, o FCCDPM possibilita a determinação do PMC sem os problemas
numéricos relacionados com a singularidade da matriz Jacobiana. A figura 4.16(b) apresenta o
número de iterações utilizadas para a obtenção da curva P-V (iterações QV e Pθ). Na figura
0
2
4
6
8
10
12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Número de iterações
Pontos da curva
Iterações P
θ
(c)
PMC
Iterações QV
1
1.001
1.002
1.003
1.004
1.005
1.006
1.007
1.008
1.009
1.015
1.02
1.025
1.03
1.035
PMC
Tensão [p.u.]
(b)
Fator de carregamento,
λ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
V
34
6
Tensão [p.u.]
(a)
Fator de carregamento,
λ
76
4.16(c) mostra os pontos da curva P-V da barra crítica obtidas armazenando durante o traçado
da curva P-V
46
.
Figura 4.16: Desempenho do FCCDPM para o IEEE-300 barras: (a) curva λ-V
46
, (b) número de iterações para os
subproblemas ativo e reativo, (c) curvas P-V da barra crítica (526) e da barra (46) cuja magnitude de tensão (V
46
)
foi usada na composição da equação da reta.
As figuras 4.17 e 4.18 apresentam resultados para sistemas reais de grande porte como as
configurações de 638 barras do sistema Sul-Suldeste Brasileiro e a do sistema sudoeste
Americano de 900 barras.
A figura 4.17(a) apresenta resultados para a barra de geração PV, V
403
em função de λ,
utilizando o coeficiente angular α como parâmetro. A região do PMC ampliada pode ser visto
na figura 4.17(b), pode-se observar que o PMC foi obtido e os problemas de mau-
condicionamento das matrizes foram superados, possibilitando assim a obtenção até da parte
(a)
(b)
(c)
77
de baixo da curva P-V. A figura 4.17(c) foi obtida armazenando-se os pontos da barra crítica
P-V
150
durante a obtenção da curva P-V
403
. O número de iterações utilizadas para geração da
curva P-V é mostrado na figura 4.17(d).
Os mesmos resultados apresentados na figura 4.17 é apresentado na figura 4.18. O
parâmetro α é utilizado para obtenção da curva P-V (figura 4.18(c)) no plano P-V
43
, ver figura
4.18(a). Nota-se na figura 4.18(b) a região do PMC ampliada que a singularidade da matriz J
coincide, tanto para a tensão (V
46
) quanto para o fator de carregamento λ. Ao utilizar α como
parâmetro, observa-se que esta coincidência dos noses não é problema para FCCDPM, ou
seja, como a singularidade é removida mudando o centro de feixe de retas para o ponto PM,
os problemas de mau-condicionamento das matrizes desaparecem. O número de iterações
para a obtenção da curva P-V completa pode ser visto na figura 4.18(d).
78
Figura 4.17: Desempenho do FCCDPM para uma configuração de 638 barras do sistema Sul-Suldeste Brasileiro:
(a) curva λ-V
403
, (b) detalhe da região em torno do PMC, (c) curva P-V da barra crítica, (d) número
de iterações.
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
0.975 0.98 0.985 0.99
0.995 1 1.005 1.01 1.015
0.995
1
1.005
1.01
1.015
1.02
0.85 0.9 0.95
1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0
5
10
15
20
25
30
0
1
2
3
4
5
Fator de Carregamento λ
Tensão
[p.u.]
PMC
PM
PMC
(b)
Tensão
[p.u.]
Fator de Carregamento λ
V
403
PMC
V
150
Tensão
[p.u.]
Fator de Carregamento λ
o Iterações P
θ
• Iterações QV
(c)
(d)
PMC
Número de iterações
Pontos da curva
P
P
(a)
79
Figura 4.18: Desempenho do FCCDPM para o sistema sudoeste Americano de 904 barras: (a) curva curva λ-V
43
,
(b) detalhe da região entorno do PMC, (c) curva P-V da barra crítica, (d) número de iterações.
0 0.2 0.4
0.6
0.8
1 1.2
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19 1.2 1.21
0.835
0.84
0.845
0.85
0.855
0.86
0.865
0.9 0.95 1 1.05 1.1
1.15
1.2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
5 10 15 20 25
1
2
3
4
5
Tensão
[p.u.]
PMC
(a)
PM
PMC
(b)
Tensão
[p.u.]
V
43
PMC
V
138
Tensão
[p.u.]
Fator de Carregamento λ
o Iterações Pθ
• Iterações QV
(c)
(d)
Número de iterações
Pontos da curva
Fator de Carregamento λ
PMC
P
P
80
Capítulo 5
Conclusões
5.1 Conclusão Geral
Os métodos da continuação constituem-se em ferramentas eficientes na análise do
fluxo de carga e podem ser usados sempre que forem encontradas dificuldades de
convergência (singularidade da matriz J) dos métodos convencionais. Estes métodos
permitem a obtenção do PMC e também de todas as possíveis soluções das equações do fluxo
de carga (curva P-V completa), constituindo-se a base para a avaliação da segurança e da
estabilidade de tensão (MANSOUR, 1993).
As características deste novo método mostraram que é possível a obtenção do PMC
com a precisão desejada, sem qualquer dificuldade numérica.
Isto se tornou possível em virtude da eliminação dos problemas de mau-
condicionamento das matrizes H e L
eq
na região do PMC. A remoção dos problemas de mau-
condicionamento e conseqüente da remoção da singularidade da matriz Jacobiana, o que foi
possível através de uma técnica de parametrização geométrica apresentada em (BONINI,
2006) e que consiste no acréscimo de uma equação de reta no plano λV (magnitude da tensão
nodal V
k
de uma barra k qualquer e o fator de carregamento λ). Os métodos da continuação
baseados em parâmetros físicos são considerados pouco eficientes, devido a apresentarem
problemas de singularidades. Contrariando essas expectativas mostrou-se que o uso das retas
permite determinar o PMC, já que as matrizes H e L
eq
não apresentam mais os problemas de
mau-condicionamento na sua vizinhança. Portanto nesse caso não será necessário realizar a
troca de parâmetro antes do PMC e sim, quando muito uma redução do passo próximo ao
PMC, ou uma simples troca das coordenadas do centro do feixe de retas.
De acordo com os resultados obtidos (número de iterações) esta estratégia tornou o
método mais robusto, visto que o método apresentou um ótimo desempenho na vizinhança do
PMC. Outra vantagem proveniente do uso deste novo método foi à ampliação do conjunto de
variáveis de tensão que podem ser adotadas como parâmetro da continuação. Neste conjunto
81
podem ser incluídas agora aquelas barras cuja magnitude de tensão permanece constante ao
longo de uma faixa da curva P-V, e dessa forma não pode ser utilizada como parâmetro para
se obter essa parte da curva P-V, ou ainda aquelas cuja magnitude da tensão apresenta uma
inversão na sua tendência de variação simultaneamente com o fator de carregamento, i.e., os
noses são coincidentes, ou seja, há coincidência da singularidade de ambas as matrizes
Jacobianas no PMC.
O método proposto, ao contrário do proposto por Ajjarapu (AJJARAPU; CHRISTY,
1994), não necessita realizar a troca de parâmetro ao longo de todo o traçado da curva P-V,
sendo que algumas vezes apenas se faz uma mudança de coordenadas do centro do feixe de
retas, o que, da mesma forma que o proposto por Ajjarapu (AJJARAPU; CHRISTY, 1994)
também não implicará em mudanças na estrutura da matriz L
eq
, mas apenas do valor do
elemento correspondente a derivada de R em relação à λ, ou seja, no valor de α.
Com relação ao uso do procedimento de atualizar as matrizes somente quando o
sistema sofrer uma mudança significativa, dos resultados pode-se concluir que é a alternativa
mais viável, visto que com isso os tempos de CPU sofrem uma considerável redução.
Também é possível afirmar que o método desacoplado utilizando o algoritmo alternado é mais
eficiente que o desacoplado utilizando o algoritmo simultâneo, cabe salientar que os citados
algoritmos foram implementados no MATLAB. Portanto o método proposto constitui-se uma
excelente ferramenta na obtenção com precisão do PMC e se mostrou eficiente no traçado das
curvas P-V dos sistemas de potência em geral, incluindo sistemas reais de grande porte como
o sistema Sul-Suldeste Brasileiro e a do sistema sudoeste Americano aqui analisados.
5.2 Motivação para Trabalhos Futuros
Algumas sugestões para dar continuidade aos trabalhos iniciados por essa pesquisa:
• Tornar o FCCDPM competitivo em termos de tempo computacional.
• Investigar o uso das propriedades da matriz L
eq
nos métodos desacoplados rápidos.
• Ampliar o estudo utilizando equações de retas situadas no plano formado nas variáveis
ângulo da tensão nodal (ou qualquer outra variável) e fator de carregamento λ.
82
Referências
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estabilidade de tensão de sistemas elétricos de potência. 2004. 105f. Tese (Doutorado)-
DSCE/FEEC, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2004.
87
APÊNDICE A
Este apêndice apresenta a publicação de artigos resultantes de trabalhos desenvolvidos
em vínculos científicos até o momento.
A1 Publicações
E. M. Magalhães, A. Bonini Neto, D. A. Alves, Obtenção do Ponto de Máximo Carregamento
de Sistemas Elétricos de Potência Utilizando o Método Desacoplado de Newton, artigo aceito
para publicação nos anais do IEEE/PES – T&D 2010 LATIN AMERICA, 2010, São Paulo,
IEEE/PES – T&D 2010 LATIN AMERICA.
E. M. Magalhães, A. Bonini Neto, D. A. Alves, Método da Continuação utilizando Métodos
Newton Desacoplado para a Obtenção da Curva Trajetória de Soluções (Curvas P-V).
DINCON’10, Serra Negra, Junho, 2010. Anais da 9
th
BRAZILIAN CONFERENCE ON
DYNAMICS CONTROL AND THEIR APPLICATIONS.
E. M. Magalhães, D. A. Alves, A. Bonini Neto, Métodos de Newton Desacoplado na Solução
do Fluxo de Carga Continuado. INTERTECH’2010, Ilhéus-BA, Março, 2010. Anais da IX
International Conference on Engineering and Technology Education.
A. Bonini Neto, E. M. Magalhães, D. A. Alves, Técnica de Parametrização Geométrica para o
Fluxo de Carga Continuado Utilizando o “Flat Start” e para Sistemas Mau Condicionados.
INTERTECH’2010, Março, 2010. Anais da IX International Conference on Engineering and
Technology Education.
A. Bonini Neto, E. M. Magalhães, D. A. Alves, Proposição de uma Técnica de
Parametrização para o Fluxo de Carga Continuado Baseado na Soma das Tensões das
Equações Não Lineares, Bauru, Maio, 2009. Aceito para publicação nos anais da 8
th
BRAZILIAN CONFERENCE ON DYNAMICS CONTROL AND THEIR APPLICATIONS.
A. Bonini Neto, E. M. Magalhães, D. A. Alves, Propostas para a Melhoria do
Desempenho do Fluxo de carga Continuado. Anais do THE 8
th
LATIN-AMERICAN
CONGRESS ON ELECTRICITY GENERATION AND TRANSMISSION – CLAGTEE.
A. Bonini Neto, E. M. Magalhães, D. A. Alves, Técnicas de Parametrização Geométrica
para o Fluxo de Carga Continuado Baseados nas Variáveis Ângulo ou Tensões Nodais e o
88
Fator de Carregamento para Diferentes Limites de Potência Reativa. Anais do
ICECE’2009 International Conference on Engineering and Computer Education-
Education Engineers for Innovation, 2009, Buenos Aires.
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