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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE
SÃO PAULO – PUC-SP
Adriana Clara Hamazaki
Análise da situação de aprendizagem sobre
equações e inequações logarítmicas apresentada
no Caderno do Professor de 2009 do Estado de
São Paulo
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2010
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE
SÃO PAULO – PUC-SP
Adriana Clara Hamazaki
Análise da situação de aprendizagem sobre
equações e inequações logarítmicas apresentada
no Caderno do Professor de 2009 do Estado de
São Paulo
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo como exigência
parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA pela
Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, sob orientação da Prof.
a
D.
ra
Maria
Cristina Souza de Albuquerque Maranhão.
São Paulo
2010
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Banca Examinadora
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: ___________________________ Local e Data: _______________
Dedico este trabalho ao meu
amado e amigo marido Edson e
aos meus amados e queridos filhos
Rafael, Amanda e Natália, pelo
apoio, incentivo, paciência e
tolerância durante todo o curso de
mestrado.
AGRADECIMENTOS
Primeiro, a Deus nosso querido Pai, Jesus, nosso Mestre, e
Espíritos Amigos, por estarem sempre comigo.
Aos meus pais Antonio e Maria Inete, pelo meu nascimento e
educação.
À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, pela bolsa
concedida para este curso de Mestrado.
À minha orientadora Maria Cristina Souza de Albuquerque
Maranhão, pela orientação concisa e exigente, pelos maravilhosos
momentos de aprendizagem e pela paciência.
Às Prof.
as
D.
ras
Silvia Dias Alcântara Machado e Auriluci de Carvalho
Figueiredo, pelas observações e ressalvas durante o exame de
qualificação – contribuições muito importantes para esta pesquisa.
À Comissão Central de Bolsas de Mestrado e Doutorado da SEE-
SP, representada pelo Prof. Pedro.
À Comissão Regional de Bolsas de Mestrado e Doutorado da SEE-
SP da Diretoria Guarulhos/Sul, representada pelos Prof.
s
Ângela,
Roseli e Wernher.
Aos colegas do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA),
pelas valiosas contribuições durante as reuniões do grupo.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, que com sua experiência e
sabedoria contribuíram para o meu crescimento profissional.
Aos meus amigos Tais, Edvaldo e Kelly, pelo incentivo e apoio.
À diretora Adriana, da Escola Prof.ª Alice Chuery, pela força e apoio.
Ao meu revisor Gerson Ferracini, pela ajuda, apoio e paciência.
Ao Secretário de Pós-Graduação em Educação Matemática,
Francisco, pela ajuda e paciência com os documentos necessários
para a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.
A todos os que de alguma maneira contribuíram para a
concretização deste sonho, os meus eternos agradecimentos.
RESUMO
Nesta pesquisa empreendeu-se uma análise da situação de aprendizagem sobre
equações e inequações logarítmicas apresentada no Caderno do Professor de
2009 referente ao terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio do Estado
de São Paulo. Nessa análise adotaram-se como referenciais teóricos principais os
estudos de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e de Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) sobre aspectos do pensamento algébrico, de Ursini et al. (2005)
acerca de variáveis, de Ribeiro (2007) sobre os multissignificados de equações e
de Figueiredo (2007) sobre dificuldades em Álgebra elementar. Buscou-se
responder à seguinte questão de pesquisa: Que aspectos do pensamento
algébrico emergem na análise do Caderno do Professor do terceiro bimestre do
primeiro ano do Ensino Médio sobre equações e inequações logarítmicas?
Empreendeu-se uma análise documental com abordagem qualitativa utilizando o
método de análise de conteúdo — com base em Laville e Dionne (1999) — das
resoluções dos exercícios exemplares pertinentes à Situação de Aprendizagem 4,
propostas no Caderno do Professor. Constatou-se que os exercícios exemplares
da Situação de Aprendizagem 4 favorecem a presença de dez dos treze
caracterizadores do pensamento algébrico, propiciando que esse pensamento se
desenvolva.
Palavras-chave: Pensamento Algébrico; Equações e Inequações Logarítmicas;
Caderno do Professor; Educação Matemática
ABSTRACT
For this investigation, an analysis was conducted of the learning situation involving
logarithmic equations and inequations proposed in the 2009 edition of the
Teacher’s Book for the third term of the first grade of high school (10th grade) in
the state of São Paulo, Brazil. The primary theoretical framework consisted of
studies by Fiorentini, Miorim, and Miguel (1993) and Fiorentini, Fernandes, and
Cristóvão (2005) on aspects of algebraic thinking, Ursini et al. (2005) on variables,
Ribeiro (2007) on the multimeanings of equations, and Figueiredo (2007) on
difficulties in elementary Algebra. The investigation sought to answer the following
research question: What aspects of the algebraic thinking related to logarithmic
equations and inequations emerge from the analysis of the Teacher’s Book for the
third term of the first year of high school? A qualitative analysis of documents
using the content analysis method—based on Laville and Dionne (1999)—was
applied to the solutions proposed in the Teacher's Book for exercises comprising
the so-called Learning Situation 4. These exercises were found to elicit ten out of
thirteen characterizers of algebraic thinking, facilitating the development of this
type of reasoning.
Keywords: algebraic thinking; logarithmic equations and inequations; teacher’s
book; mathematical education
LISTA DE QUADROS
Quadro 1:
Trabalhos concluídos resultantes do Projeto de Pesquisa:
Expressões, Equações e Inequações, de Maranhão (2007)................
19
Quadro 2:
Caracterizadores do pensamento algébrico, segundo Fiorentini,
Fernandes e Cristóvão (2005, p. 5)......................................................
26
Quadro 3:
Significados atribuídos a equações, segundo Ribeiro (2007, p. 127-
128) ......................................................................................................
30
Quadro 4:
Dificuldades de alunos professores em formação inicial em relação a
tópicos de Álgebra elementar, segundo Figueiredo (2007, p. 265)......
32
Quadro 5:
Caracterizadores do Pensamento Algébrico, baseados em Fiorentini,
Fernandes e Cristóvão (2005) e Ursini et al. (2005) e adaptados às
particularidades da presente pesquisa.................................................
37
Quadro 6:
Caderno do Professor de Matemática do Estado de São Paulo. Ficha
referente ao 3.º bimestre do 1.º ano do Ensino Médio.........................
41
Quadro 7:
Conteúdos do 3.º bimestre do 1.
o
ano do Ensino Médio......................
44
Quadro 8:
Situações de Aprendizagem do Caderno do Professor de
Matemática do 1.º ano do Ensino Médio referente ao 3.º bimestre......
45
Quadro 9:
Quadro-resumo da Situação de Aprendizagem 4.................................
47
Quadro 10:
Enunciado do exercício exemplar 1......................................................
50
Quadro 11:
Resolução proposta do exercício exemplar 1.......................................
51
Quadro 12:
Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da
resolução proposta do exercício exemplar 1........................................
55
Quadro 13:
Enunciado do exercício exemplar 2......................................................
56
Quadro 14:
Resolução proposta do exercício exemplar 2.......................................
58
Quadro 15:
Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da
resolução proposta do exercício exemplar 2........................................
60
Quadro 16:
Enunciado do exercício exemplar 3......................................................
61
Quadro 17:
Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item a.........................
62
Quadro 18:
Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item b.........................
65
Quadro 19:
Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item c.........................
66
Quadro 20:
Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item d.........................
70
Quadro 21:
Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da
resolução proposta do exercício exemplar 3........................................
72
Quadro 22:
Enunciado do exercício exemplar 4......................................................
73
Quadro 23:
Resolução proposta do exercício exemplar 4.......................................
74
Quadro 24:
Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da
resolução proposta do exercício exemplar 4........................................
79
Quadro 25:
Enunciado do exercício exemplar 5......................................................
80
Quadro 26:
Resolução proposta do exercício exemplar 5.......................................
82
Quadro 27:
Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da
resolução proposta do exercício exemplar 5........................................
88
Quadro 28:
Caracterizadores do pensamento algébrico que emergiram na
análise das resoluções propostas dos exercícios exemplares
selecionados pertinentes à Situação de Aprendizagem 4....................
92
Sumário
CAPÍTULO 1 – A PESQUISA .......................................................................................... 11
1.1. A Proposta Curricular......................................................................................... 12
1.2. Problemática ...................................................................................................... 17
1.3. Referenciais teóricos de análise ........................................................................ 22
1.3.1. Aspectos do pensamento algébrico ........................................................... 22
1.3.2. O uso das variáveis .................................................................................... 27
1.3.3. Multissignificados de equações .................................................................. 29
1.3.4. Dificuldades em Álgebra elementar ............................................................ 31
1.4. Metodologia ....................................................................................................... 32
CAPÍTULO 2 – O MATERIAL .......................................................................................... 40
2.1. O Caderno do Professor .................................................................................... 40
2.2. Situação de Aprendizagem 4 ............................................................................. 46
CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DOS EXERCÍCIOS EXEMPLARES ........................................ 49
3.1. Análise do Exercício Exemplar 1 ....................................................................... 50
3.1.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 1 ............................. 51
3.1.2. Resultados da análise do Exercício Exemplar 1 ......................................... 55
3.2. Análise do Exercício Exemplar 2 ....................................................................... 56
3.2.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 2 ............................. 57
3.2.2. Resultados da análise do exercício exemplar 2 ......................................... 59
3.3. Exercício Exemplar 3 ......................................................................................... 61
3.3.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3 ............................. 62
3.3.1.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item a ........... 62
3.3.1.2. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item b ........... 65
3.3.1.3. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item c ............ 66
3.3.1.4. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item d ........... 70
3.3.2. Resultados das análises do exercício exemplar 3 ...................................... 71
3.4 Exercício Exemplar 4 ......................................................................................... 73
3.4.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 4 ............................. 74
3.4.2. Resultados das análises do exercício exemplar 4 ...................................... 78
3.5 Análise do Exercício Exemplar 5 ....................................................................... 80
3.5.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 5 ............................. 81
3.4.1. Resultados das análises do exercício exemplar 5 ...................................... 87
CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................... 90
REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 97
ANEXOS ....................................................................................................................... 100
11
CAPÍTULO 1 – A PESQUISA
A PESQUISA
Como professora de Matemática de uma escola da rede estadual vinculada
à Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, participei da implantação da
nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, no início de 2008, na
instituição em que trabalho.
Na ocasião recebi dessa secretaria um exemplar da Proposta Curricular
(SÃO PAULO, 2008a)
1
e do Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2008b)
2
referentes ao ensino de Matemática no Ensino Médio.
A maneira como as equações e inequações logarítmicas são apresentadas
no Caderno do Professor do terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio
(SÃO PAULO, 2008b) instigou-me a realizar este trabalho.
A seguir, exponho o contexto da implantação dessa proposta curricular.
1
Proposta Curricular do Estado de São Paulo, volume que contém a proposta geral e a referente
a uma disciplina específica ministrada pelo professor.
2
Material didático elaborado para disciplinas, séries e bimestres específicos.
12
1.1. A Proposta Curricular
Na publicação da Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008
(SÃO PAULO, 2008a), Maria Helena Guimarães de Castro, então Secretária de
Educação, em carta dirigida aos gestores (coordenadores, vice-diretores,
diretores) e professores, expõe que:
A criação da Lei de Diretrizes e Bases (LDB)
3
, que deu autonomia às
escolas para que definissem seus próprios projetos pedagógicos, foi um
passo importante. Ao longo do tempo, porém, essa tática
descentralizada mostrou-se ineficiente.
Por esse motivo, propomos agora uma ação integrada e articulada, cujo
objetivo é organizar melhor o sistema educacional de São Paulo. (SÃO
PAULO, 2008a, p. 5)
Esclarecendo que essa Proposta Curricular é resultado de um
levantamento documental, enfatiza que essa iniciativa constitui:
[...] mais do que uma nova declaração de intenções, o início de uma
contínua produção e divulgação de subsídios que incidam diretamente
na organização da escola como um todo e nas aulas. Ao iniciar este
processo, a Secretaria procura também cumprir seu dever de garantir a
todos uma base comum de conhecimentos e competências, para que
nossas escolas funcionem de fato como uma rede. (SÃO PAULO, 2008a,
p. 8)
A Proposta Curricular de 2008 é composta de quatro documentos:
1. a Proposta Curricular propriamente dita, de caráter geral e também
específico por disciplina;
2. orientações para a Gestão do Currículo na Escola, voltadas a
unidades escolares, dirigentes e gestores;
3. os Cadernos do Professor e do Aluno, organizados por bimestre e
disciplina;
4. o Projeto Pedagógico da unidade escolar.
3
Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, n.º 9 394/96.
13
Nesta pesquisa abordaremos dois desses documentos: a Proposta
Curricular e os Cadernos do Professor e do Aluno.
O documento de apresentação da Proposta Curricular esclarece que:
[...] esta Proposta Curricular tem como princípios centrais: a escola que
aprende, o currículo como espaço de cultura, as competências como
eixo de aprendizagem, a prioridade da competência de leitura e de
escrita, a articulação das competências para aprender e a
contextualização no mundo do trabalho. (SÃO PAULO, 2008a, p. 11)
4
As competências adotadas, que são as mesmas do referencial teórico do
Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), articuladas com a competência de ler
e escrever, estão assim descritas:
I. ―Dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das
linguagens matemática, artística e científica.‖ [...]
II. ―Construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para
a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-
geográficos, da produção tecnológica e das manifestações
artísticas.‖ [...]
III. ―Selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações
representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar
situações-problema.‖ [...]
IV. ―Relacionar informações, representadas em diferentes formas, e
conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir
argumentação consistente.‖ [...]
V. ―Recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaborar
propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os
valores humanos e considerando a diversidade cultural.‖ (SÃO
PAULO, 2008a, p. 19-20)
5
Nesse documento, a Matemática é enfocada sob cinco aspectos, expostos
nas seguintes seções:
1. Introdução: ensinar Matemática.
2. A presente proposta.
3. O que ensinar: conteúdos fundamentais.
4. Como ensinar: ideias fundamentais.
5. Grade curricular e o tema gerador.
4
Grifo do autor.
5
Aspas do autor.
14
Na seção ―Introdução: ensinar Matemática‖, consta que o ensino é
abordado a partir de ideias gerais propostas na formulação do ENEM, segundo
três eixos: expressão/compreensão, argumentação/decisão e
contextualização/abstração:
Nos três eixos citados, o papel da Matemática é facilmente
compreensível e, sem dúvida, fundamental. No primeiro eixo, ao lado da
língua materna, a Matemática compõe um par complementar como meio
de expressão e de compreensão da realidade.
[...] No eixo argumentação/decisão, o papel da Matemática como
instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico, da análise
racional – tendo em vista a obtenção de conclusões necessárias – é
bastante evidente.
[...] No que se refere ao terceiro eixo de competências, a Matemática é
um lugar (ou instância) bastante adequado ou mesmo privilegiado para
se aprender a lidar com os elementos do par concreto/abstrato. (SÃO
PAULO, 2008a, p. 42-43)
A seção ―A presente proposta‖ enfatiza que a Matemática desenvolve
competências, incluindo:
[...] a capacidade de expressão pessoal, de compreensão de fenômenos,
de argumentação consistente, de tomada de decisões conscientes e
refletidas, de problematização e enraizamento dos conteúdos estudados
em diferentes contextos e de imaginação de situações novas. (SÃO
PAULO, 2008a, p. 44-45)
Em ―O que ensinar: conteúdos fundamentais‖, descreve-se que os
conteúdos disciplinares de Matemática abrangem quatro blocos temáticos:
‗números‘, ‗geometria‘, ‗grandezas e medidas‘ e ‗tratamento da informação‘.
O objetivo do bloco temático ‗números‘ é ampliar a ideia de campo
numérico. Em ‗geometria‘, busca-se o reconhecimento da representação e
classificação das formas planas e espaciais, com uma abordagem espiralada e
enfatizando a articulação do raciocínio lógico-dedutivo (SÃO PAULO, 2008a). O
bloco ‗grandezas e medidas‘ favorece ―a interdisciplinaridade, [...] uma vez que
suas conexões com os eixos de números e geometria se dão quase
naturalmente‖ (SÃO PAULO, 2008a, p. 46). Por sua vez, no bloco ‗tratamento da
informação‘, expõe-se:
15
Retomando uma vez mais nossa perspectiva de que os conteúdos
disciplinares são meios para a formação dos alunos como cidadãos e
como pessoas, o desenvolvimento de competências relacionadas ao
eixo argumentação/decisão é o espaço privilegiado para o tratamento da
informação. (SÃO PAULO, 2008a, p. 47)
A seção ―Como ensinar: ideias fundamentais‖ ressalta que a proposta não
é fechada nem inflexível:
Em relação aos temas indicados em cada bimestre, não se pretende que
cada um deles seja tratado com o mesmo nível de profundidade nem
com o mesmo grau de interesse. Na perspectiva da presente proposta,
os diversos conteúdos auxiliam-se mutuamente, de modo que não
parece adequada a mera eliminação de alguns deles [...]. Cabe ao
professor, em sua escola, respeitando suas circunstâncias e seus
projetos, privilegiar mais ou menos cada tema, determinando seus
centros de interesse e detendo-se mais em alguns deles, sem eliminar
os demais. (SÃO PAULO, 2008a, p. 48)
Por fim, na seção ―Grade curricular e o tema gerador‖, é fornecido um
quadro de conteúdos, por série e por bimestre, para as séries finais do Ensino
Fundamental e para o Ensino Médio.
O documento apresenta algumas ideias para o desenvolvimento de
competências e a construção de significados dos conteúdos matemáticos, como
equivalência, proporcionalidade, história da Matemática e cálculos aproximados.
Com essas ideias, o professor poderá escolher um tema gerador por bimestre:
Além do papel articulador [dos conteúdos], o tema escolhido também
tem sua relevância no sentido de apresentar possibilidades
metodológicas alternativas ao tratamento tradicional dos conteúdos, de
apresentar abordagem criativa e, sempre que possível, favorecer o uso
da tecnologia, da modelagem matemática, de materiais concretos, etc.
(SÃO PAULO, 2008a, p. 49-50)
Os Cadernos do Professor referentes ao primeiro bimestre de cada
disciplina trazem uma carta da então Secretária da Educação, Maria Helena
Guimarães de Castro, que esclarece a finalidade desses documentos:
Sabemos que o alcance desta meta [o ensino de qualidade] é
concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e seus
alunos. Por essa razão, com o intuito de facilitar tal trajetória, este
16
documento foi elaborado por competentes especialistas na área de
educação. Com o conteúdo organizado por bimestre, o Caderno do
Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das
situações de aprendizagem propostas para cada disciplina. (SÃO
PAULO, 2008b, p. 3)
Nesses mesmos Cadernos do Professor, Maria Inês Fini, Coordenadora
Geral da Proposta Curricular do Estado de São Paulo em 2008, também em carta
dirigida aos docentes, informa que a Proposta Curricular não é nova, mas que foi
reorganizada para atender aos novos desafios da educação:
A Proposta não pretende ser mais uma novidade pedagógica, mas atuar
como uma retomada dos diversos caminhos curriculares que esta
Secretaria já traçou e que muitas escolas já incorporaram em suas
práticas. (SÃO PAULO, 2008b, p. 5)
A coordenadora também expõe os objetivos dos Cadernos do Professor,
elaborados por disciplinas, séries e bimestres:
[...] foram identificados e organizados, nos Cadernos do Professor, os
conhecimentos disciplinares por série e bimestre, assim como as
habilidades e competências a serem promovidas. Trata-se de
orientações para a gestão da aprendizagem na sala de aula, para a
avaliação, e também de sugestões bimestrais de projetos para a
recuperação das aprendizagens. (SÃO PAULO, 2008b, p. 6)
A versão de 2009, em que Paulo Renato de Souza é o Secretário da
Educação do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2009a), informa que o Caderno
do Aluno (SÃO PAULO, 2009b) constitui material de apoio, e não livro didático, e
que contém os mesmos exercícios propostos no Caderno do Professor.
17
1.2. Problemática
Como mencionei anteriormente, por ser professora de Matemática da Rede
Estadual de Educação do Estado de São Paulo recebi da Secretaria da Educação
os materiais citados. A maneira como as equações e inequações logarítmicas são
apresentadas no Caderno do Professor de Matemática (terceiro bimestre do
primeiro ano do Ensino Médio) despertou meu interesse.
Em uma das reuniões do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (GPEA-PUCSP), do qual faço
parte, foi apresentado o Projeto de Pesquisa: Expressões, Equações e
Inequações, da Prof.
a
D.
ra
Maria Cristina Souza de Albuquerque Maranhão (2007).
O projeto, que se encontra em andamento no grupo, destaca a importância
das expressões, equações e inequações no desenvolvimento de diversos campos
da Matemática e do conhecimento humano em geral. Segundo Maranhão (2007):
Se, de um lado, esses tópicos são ferramentas para a resolução de
problemas intra e extramatemáticos, de outro, problemas de outras áreas
do conhecimento humano contribuem para que conceitos como os de
variável, incógnita e parâmetro ganhem sentido. (MARANHÃO, 2007, p.
1)
Pesquisando no site da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior (CAPES) títulos de dissertações e teses defendidas de 1998 a
2004, a autora encontrou:
[...] 1 005 títulos nesses tópicos, voltados principalmente para os
domínios: Engenharia, Ciências da Computação, Física, Matemática,
Economia, Educação e Sociologia, sendo, destes, apenas 39 do âmbito
da Educação. (MARANHÃO, 2007, p. 2)
Como ressalta a autora, esse resultado mostra a importância do Projeto de
Pesquisa: Expressões, Equações e Inequações, por suscitar novos trabalhos
relacionados ao tema.
18
O projeto aborda estudos em três planos: cognitivo, didático e curricular,
que podem envolver pesquisas de cunho documental, diagnóstico e de
intervenção no ensino:
O estudo no plano curricular admite investigações de cunho documental,
sobre o que está proposto em documentos curriculares institucionais
governamentais e/ou escolares, em livros e textos didáticos e de
orientação para professores. (MARANHÃO, 2007, p. 6)
A exposição do projeto fez com que me empolgasse com a possibilidade e
oportunidade de participar, o que se concretizou no desenvolvimento desta
pesquisa, que consiste em uma análise das equações e inequações
logarítmicas no Caderno do Professor de 2009 do Estado de São Paulo para
o terceiro bimestre primeiro ano do Ensino Médio, investigação esta de cunho
documental. A linha de pesquisa em que este projeto se insere é a Matemática na
Estrutura Curricular e Formação de Professores, vinculada ao referido projeto.
Entre os trabalhos concluídos que advieram desse projeto, há seis
dissertações de mestrado acadêmico — Fontalva (2006), Melo (2007a), Melo
(2007b), Martins (2008), Nagamachi (2009) e Castro (2009) – e seis dissertações
de mestrado profissional — Saldanha (2007), Clara (2007), Daniel (2007),
Rodrigues (2008), Vaz (2008) e Miranda (2009) (Quadro 1).
19
Quadro 1 – Trabalhos concluídos resultantes do Projeto de Pesquisa: Expressões, Equações e
Inequações, de Maranhão (2007).
Autor
Título
Ano
FONTALVA, Gerson Martins
Um estudo sobre inequações: entre alunos do
Ensino Médio
2006
MELO, José João de
Docência de inequações no Ensino Fundamental
da cidade de Indaiatuba
2007
MELO, Marcelo de
O ensino de desigualdades e inequações em um
curso de Licenciatura em Matemática
2007
CLARA, Margarete da Silva
Hungria Castro
Resolução de inequações logarítmicas: um olhar
sobre a produção de alunos
2007
DANIEL, José Anísio
Um estudo de equações algébricas de 1.º grau com
o auxílio do software APLUSIX
2007
SALDANHA, Maria Sueli
Gomes
Análise de uma intervenção didática sobre
desigualdades e inequações logarítmicas no
Ensino Médio
2007
MARTINS, Adriano de Morais
Uma metanálise qualitativa das dissertações sobre
equações algébricas no Ensino Fundamental
2008
RODRIGUES, Salete
Uma análise da aprendizagem de produtos
notáveis com o auxílio do programa APLUSIX
2008
VAZ, Rosana Aparecida da
Costa
SARESP/2005: uma análise de questões de
Matemática da 7.ª série do ensino fundamental, sob
a ótica dos níveis de mobilização de
conhecimentos e dos registros de representação
semiótica
2008
CASTRO, Tais Freitas de
Carvalho
Aspectos do pensamento algébrico revelados por
professores estudantes de um curso de formação
continuada em Educação Matemática
2009
MIRANDA, Márcia Regiane
Pensamento proporcional: uma metanálise
qualitativa de dissertações
2009
NAGAMACHI, Marcos Toshio
Equações no ensino médio: uma metanálise
qualitativa das dissertações e teses produzidas no
Brasil de 1998 a 2006
2009
Os resumos desses trabalhos revelam que seus títulos refletem os
conteúdos enfocados, evidenciando que a presente pesquisa é a primeira a
focalizar a abordagem dada a equações e inequações logarítmicas no Caderno
do Professor de Matemática do Estado de São Paulo, como parte do Projeto de
Pesquisa: Expressões, Equações e Inequações, de Maranhão (2007).
20
Cabe ressaltar, no entanto, que três trabalhos desse projeto merecem
destaque nesta pesquisa: os de Clara (2007), de Saldanha (2007) e de Castro
(2009).
Clara (2007) investigou os procedimentos utilizados por alunos na
resolução de problemas que envolviam desigualdades ou inequações
logarítmicas, adotando como referencial teórico o da dialética ferramenta–objeto e
da interação entre domínios de Douady. Clara propôs seis problemas que
provocaram ação investigativa pelos alunos. As análises indicaram predominância
do domínio algébrico interagindo com o domínio da língua natural na resolução
dos problemas pelos alunos. A ferramenta mais utilizada pelos alunos para a
resolução dos problemas foi a noção de igualdade. A autora aponta também,
como erros e/ou dificuldades mais frequentes apresentados pelos alunos, a noção
incorreta do uso dos logaritmos e o uso incorreto do conceito de potência.
Saldanha (2007) analisou o processo de ensino e aprendizagem,
abrangendo professor, aluno e saber matemático, na resolução de problemas
com abordagem investigativa que envolviam desigualdades e inequações
logarítmicas. O referencial teórico adotado foi o mesmo de Clara (2007). A autora
concluiu que problemas com abordagem investigativa contribuem para que o
aluno evolua na compreensão que tem em relação à Matemática. Afirma também
que nessa situação o professor percebe a importância de ouvir o aluno e assim
poder compreender seu modo de pensar, o que permitirá ao professor realizar as
intervenções necessárias para o aprendizado. A discussão dos resultados
proporciona aos alunos uma rica vivência matemática. A autora conclui que seu
estudo revelou indícios de que a resolução de problemas com abordagem
investigativa representa um contexto rico, desafiador e estimulante, tanto para o
aluno como para o professor.
Essas duas pesquisas iluminam o presente trabalho por versarem sobre
logaritmos, em particular em desigualdades e inequações no Ensino Médio.
Diferem do presente trabalho, no entanto, no referencial teórico, além de não
estarem voltadas ao Caderno do Professor de Matemática do Estado de São
Paulo.
Castro (2009) pesquisou os aspectos do pensamento algébrico e da
linguagem algébrica que são explicitados nas resoluções e justificativas de
21
problemas por professores que eram estudantes de um curso de formação
continuada em Educação Matemática. Observou também se o uso da tecnologia
facilita a resolução de um problema específico, e de que maneira. Como
fundamentação teórica, adotou aspectos do pensamento algébrico desenvolvidos
por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) e Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005),
tomando como aspectos caracterizadores do pensamento algébrico: estabelecer
relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos;
perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema;
produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema;
produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; interpretar
uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas
expressões numéricas; transformar uma expressão aritmética em outra mais
simples; desenvolver algum tipo de processo de generalização; perceber e tentar
expressar regularidades ou invariâncias; desenvolver/criar uma linguagem mais
sincopada ao expressar-se matematicamente. Concluiu que muitos dos aspectos
caracterizadores do pensamento algébrico foram evidenciados nas produções
analisadas e que a utilização da linguagem algébrica simbólica não é uma regra e
nem sempre foi observada na resolução de problemas propostos no curso, que
envolviam Álgebra. Quanto ao uso da tecnologia, verificou que esta nem sempre
é de auxílio. Essa pesquisa tem semelhança com o presente estudo na
fundamentação teórica adotada.
Importa aqui explicitar os aspectos do pensamento algébrico, pois nos
servem de base para a análise documental pretendida.
22
1.3. Referenciais teóricos de análise
Nesta pesquisa adotaremos principalmente, como referencial teórico, os
aspectos do pensamento algébrico desenvolvidos por Fiorentini, Miorim e Miguel
(1993) e por Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005). Completaremos ainda com
os seguintes referenciais teóricos: o uso das variáveis, de Ursini et al. (2005);
multissignificados de equações, de Ribeiro (2007); e dificuldades em Álgebra
elementar, de Figueiredo (2007).
1.3.1. Aspectos do pensamento algébrico
Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), procedendo a uma comparação entre
concepções de Álgebra e concepções de Educação Algébrica, levantadas a partir
de dados históricos, observaram que as concepções de Álgebra enfatizam a
linguagem em prejuízo do pensamento e que as de Educação Algébrica enfatizam
o ensino de uma linguagem algébrica simbólica existente, também provocando
prejuízo ao pensamento algébrico e a uma linguagem própria.
Diante dessas observações, os autores consideram que para repensar a
Educação Algébrica torna-se necessário repensar a relação entre pensamento e
linguagem. Destacam que ―a tendência da Educação Algébrica tem sido acreditar
que o pensamento algébrico só se manifesta e desenvolve através da
manipulação sintática da linguagem concisa e específica da Álgebra‖
(FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 85) e que inexiste preocupação com o
desenvolvimento do pensamento algébrico e seus significados — nesse caso, a
semântica da Álgebra.
Para Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), existe entre pensamento algébrico
e linguagem algébrica uma relação de natureza dialética, e não de subordinação.
23
Isso significa que o pensamento algébrico pode se desenvolver
independentemente da linguagem algébrica simbólica e vice-versa, mas afirmam
que um favorece o desenvolvimento do outro.
Os autores analisaram sete situações-problema, percebendo alguns
elementos que consideram caracterizadores do pensamento algébrico:
―percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste
com outros que variam, tentativas de expressar ou explicar a estrutura de uma
situação-problema e a presença do processo de generalização‖ (FIORENTINI;
MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 87).
Feitas essas caracterizações, os autores concluem que o pensamento
algébrico é um pensamento especial, que pode se manifestar em outras áreas do
conhecimento, e não só na Matemática.
A análise das sete situações levou Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) a
concluírem não haver uma forma única de expressão do pensamento algébrico, o
qual pode ser expresso em linguagem natural, aritmética, geométrica ou
simbólica. Essa maneira de ver a relação entre linguagem e pensamento
algébrico implica novas perspectivas para o trabalho pedagógico com Álgebra, as
quais os autores denominam ―implicações pedagógicas‖.
A primeira implicação pedagógica refere-se ao momento de iniciar o
pensamento algébrico no currículo escolar. Como não é necessário conhecer uma
linguagem estritamente simbólico-formal para expressar o pensamento algébrico,
mas este deve ser trabalhado nas séries iniciais, visando desenvolver nos alunos
a capacidade de perceber regularidades e processos de generalização, tomando-
se o cuidado, porém, de desenvolver aos poucos uma linguagem mais
apropriada, para que a linguagem algébrica simbólica não se torne um obstáculo
na aprendizagem.
A segunda implicação pedagógica relaciona-se ao papel da linguagem
simbólica na Educação Algébrica. Tal linguagem fornece um simbolismo conciso,
exercendo papel fundamental na constituição do pensamento algébrico abstrato,
além de facilitar a simplificação de cálculos, devido à possibilidade de efetuar
transformações das expressões simbólicas em outras mais simples e
equivalentes e permitir operar com quantidades variáveis.
24
A terceira implicação pedagógica se refere à grandeza do pensamento
algébrico, que se manifesta em todos os campos da Matemática e em outras
áreas do conhecimento — ou seja, a Álgebra não é utilizada apenas em seu
sentido instrumental. Segundo os autores, ―é um pensamento indispensável para
a constituição do universo conceitual e temático subjacente à ciência
contemporânea‖ (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 89)
A quarta implicação, de natureza didático-metodológica, refere-se a três
etapas do desenvolvimento da Educação Algébrica elementar. Segundo os
autores, a primeira etapa deve ser o trabalho com situações-problema, para
assegurar o exercício dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico e
a construção de uma linguagem simbólica significativa para o aluno. A segunda
etapa é incentivar o aluno a fazer o caminho inverso, ou seja, partir da expressão
algébrica e tentar contextualizá-la. A terceira etapa deve enfatizar o transformismo
algébrico
6
e os procedimentos que justificam essas transformações. Ressalvam,
no entanto, que não há uma ordem específica para as três etapas (FIORENTINI;
MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 89-90).
Com base nessas reflexões de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993),
Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) propõem uma quarta concepção de
Educação Algébrica, que visa desenvolver a interdependência entre pensamento
e linguagem algébrica. Nela, o ensino da Álgebra deve ter início com tarefas
exploratório-investigativas
7
que envolvam as três etapas da quarta implicação
pedagógica descritas acima. Afirmam também que essas etapas não precisam
ocorrer nessa ordem, e dão o seguinte exemplo:
[...] na exploração de padrões de sequências geométricas ou numéricas,
as generalizações construídas pelos alunos podem, muitas vezes, já
envolver processos de transformação de expressões algébricas. Mas,
cabe, contudo, lembrar que, nesse momento, o exercício do
transformismo algébrico não é o principal objetivo pedagógico do
professor. (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 7)
6
Segundo os autores, a expressão transformismo algébrico serve ―para designar o processo de
obtenção de expressões algébricas equivalentes mediante o emprego de regras e propriedades
válidas (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 83).
7
Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) consideram que as tarefas exploratórias tendem a ser
mais livres e menos sistemáticas, geralmente utilizadas para introduzir um novo tema, e que
tarefas investigativas são situações-problema desafiadoras e abertas que permitem aos alunos
inúmeras tentativas de exploração e investigação. Por não fazerem distinção entre elas, os
autores utilizam a designação ―tarefas exploratório-investigativas‖.
25
Os autores retomam a relação dialética entre pensamento e linguagem,
baseando-se em Vygotsky para explicar essa relação:
Para Vygotsky [...], pensamento e linguagem são interdependentes, um
promovendo o desenvolvimento da outra e vice-versa. Ou seja, no
processo ensino-aprendizagem, a linguagem não antecede
necessariamente o pensamento, embora a apropriação da linguagem
possa potencializar e promover o desenvolvimento do pensamento
algébrico. (VYGOTSKY
8
apud FIORENTINI; FERNANDES;
CRISTÓVÃO, 2005, p. 4-5)
Assim, os autores defendem que, ―pedagogicamente, o pensamento
algébrico pode ser desenvolvido gradativamente antes mesmo da existência de
uma linguagem algébrica simbólica‖ (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO,
2005, p. 5) e ampliam os elementos caracterizadores do pensamento algébrico
(Quadro 2) que haviam sido abordados por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993),
afirmando que esse pensamento está presente quando o estudante põe em
prática as capacidades descritas no Quadro 2:
8
VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1993.
26
Quadro 2 – Caracterizadores do pensamento algébrico, segundo Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005, p. 5).
Caracterizadores do Pensamento Algébrico
1
Estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou
padrões geométricos;
2
Percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-
problema;
3
Produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-
problema;
4
Produz vários significados para uma mesma expressão numérica;
5
Interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou
entre duas expressões numéricas;
6
Transforma uma expressão aritmética em outra mais simples;
7
Desenvolve algum tipo de processo de generalização;
8
Percebe e tenta expressar regularidades ou invariâncias;
9
Desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao
expressar-se matematicamente.
Do trabalho desses autores interessam-nos em particular os aspectos do
pensamento algébrico por eles enunciados.
Tendo em vista o quadro teórico até aqui exposto, formulamos, em
concordância com nosso objetivo de pesquisa, a seguinte questão: Que aspectos
do pensamento algébrico sobre equações e inequações logarítmicas emergem na
análise do Caderno do Professor do terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino
Médio?
27
1.3.2. O uso das variáveis
Como o estudo de equações e inequações logarítmicas envolve variáveis,
consideramos a necessidade de verificar o uso destas.
Segundo Ursini et al. (2005), as variáveis podem ter três usos: como
incógnitas, como números gerais e como relações funcionais. As autoras afirmam
que, geralmente, na sala de aula não é dada a necessária ênfase à diferença
entre os três usos das variáveis, e consequentemente, às ações matemáticas
apropriadas que devem ser empreendidas para cada uso.
Dado que en la enseñanza actual no se encauzan los esfuerzos a tratar
de que los alumnos logren una comprensión de los distintos usos de la
variable, puedan diferenciar entre ellos y puedan, en consecuencia,
entender por qué en unos casos hay que calcular su valor, en otros hay
que asignar un valor y en otros más hay que despreocuparse del valor
que representa, no nos debería extrañar el hecho de que los estudiantes
encuentren tantas dificultades y cometan tantos errores
9
. (URSINI et al.,
2005, p. 15-16)
Segundo as autoras, os erros e as dificuldades apresentadas pelos alunos
no início do estudo da Álgebra podem se estender ao nível universitário.
Após analisarem três exemplos, as autoras afirmam que para compreender
o uso da variável como incógnita o aluno:
[...] debe ser capaz de reconocer que en cierta situación está involucrada
una cantidad cuyo valor no conocemos, pero que es posible determinar
tomando en consideración los datos proporcionados
10
. (URSINI et al.,
2005, p. 27)
9
―Dado que no ensino atual não se canalizam os esforços para fazer com cuidar que os alunos
alcancem uma compreensão dos distintos usos da variável, possam diferenciá-los e possam,
consequentemente, entender por que em alguns casos deve-se calcular seu valor, em outros
deve-se atribuir um valor e em outros mais não é necessário preocupar-se com o valor que
representa, não deveríamos estranhar o fato de que os estudantes encontrem tantas
dificuldades e cometam tantos erros.‖ [Tradução nossa.]
10
―[...] deve ser capaz de reconhecer que em certas situações está envolvida uma quantidade
cujo valor não conhecemos, mas que é possível determinar levando-se em consideração os
dados fornecidos.‖ [Tradução nossa.]
28
Um desses exemplos é: ―El valor del área del cuadrado más 6 es igual a 5
veces el valor de su perímetro. ¿Cuál es el lado del cuadrado?‖
11
.
A respeito do número geral, as autoras, após analisarem quatro exemplos,
sugerem que para compreender seu uso o aluno deve:
[...] desarrollar la capacidad para reconocer patrones, hallar reglas,
deducir métodos generales y describirlos. Para ello, es necesario
distinguir entre los aspectos invariantes y los que varían en una
multiplicidad de situaciones, que pueden involucrar secuencias
geométricas o numéricas, o estar relacionadas con la estructura de
familias de problemas
12
. (URSINI et al., 2005, p. 31)
Segundo as autoras, os números gerais aparecem, por exemplo, em:
expressões abertas: 4x + 7;
propriedades de operações: 3 + x = x + 3;
fórmulas gerais: A = b h;
parâmetros de equações: x
2
+ 5mx + 7 = 0;
equações gerais: ax + b = cx + d
Sobre as relações funcionais, Ursini et al. (2005), a partir da análise de três
exemplos, concluíram que:
[...] para trabajar con las variables en relación funcional, es necesario ser
capaz de reconocer, en primer lugar, que en ciertas situaciones están
involucradas cantidades cuyos valores están relacionados; en segundo
lugar, que, en tales situaciones, la variación de una cantidad afecta la
variación de la otra
13
. (URSINI et al., 2005, p. 34)
11
―O valor da área de um quadrado mais 6 é igual a 5 vezes o valor de seu perímetro. Qual é o
lado desse quadrado?‖ [Tradução nossa.]
12
―[...] desenvolver a capacidade de reconhecer padrões, descobrir regras, deduzir métodos
gerais e descrevê-los. Para isso, é necessário distinguir entre aspectos invariantes e variantes
em múltiplas situações, que podem envolver sequências geométricas ou numéricas, ou estar
relacionadas com a estrutura de famílias de problemas.‖ [Tradução nossa.]
13
―[...] para trabalhar com as variáveis em relação funcional, é necessário ser capaz de
reconhecer, em primeiro lugar, que em certas situações estão envolvidas quantidades cujos
valores estão relacionados; em segundo lugar, que, em tais situações, a variação de uma
quantidade afeta a variação da outra [co-variação].‖ [Tradução nossa.]
29
As autoras também afirmam que as informações das situações em que a
variável representa uma relação funcional podem se apresentar sob forma verbal,
de tabela, de gráfico ou ainda sob outras formas, como a simbólica.
Uma situação apresentada sob forma verbal, por elas estudada foi:
El peso de la mercancía que se compra en el mercado se mide con una
báscula. En el puesto de don Panchito, por cada kilogramo de peso, la
charola de la báscula se desplaza 4 cm. Encuentre la relación entre el
peso de la compra y el desplazamiento de la charola. Si la charola se
desplaza 10,5 cm, ¿cuántos kilogramos pesa la mercancía?
14
(URSINI et
al., 2005, p. 32)
Fundamentando-nos sobre os três usos das variáveis expostos por Ursini
et al. (2005), analisaremos os usos envolvidos na situação de aprendizagem
como aspectos inerentes ao pensamento algébrico, podendo essa análise nos
revelar se há privilégio de algum deles.
1.3.3. Multissignificados de equações
Como nossa pesquisa analisa as equações e inequações logarítmicas do
Caderno do Professor, pode envolver a necessidade de explorarmos os
multissignificados de equação neles presentes.
Para tanto, nos pautamos em Ribeiro (2007), que em sua tese de
doutorado, também desenvolvida do âmbito do GPEA-PUCSP, explicitou, sob a
orientação da Prof.
a
D.
ra
Silvia Dias Alcântara Machado, os multissignificados
atribuídos a equações (Quadro 3).
14
―O peso de uma mercadoria que se compra no mercado se mede com uma balança. No
estabelecimento comercial de Don Panchito, para cada quilograma de peso, a bandeja da
balança se desloca 4 cm. Encontre a relação entre o peso da compra e o deslocamento da
bandeja. Se a bandeja se desloca 10,5 cm, quantos quilogramas pesa a mercadoria?‖
[Tradução nossa.]
30
Quadro 3 – Significados atribuídos a equações, segundo Ribeiro (2007, p. 127-128).
Significado
Características
Exemplos
Intuitivo-
Pragmático
Equação concebida como noção intuitiva,
ligada à ideia de igualdade entre duas
quantidades. Utilização relacionada à
resolução de problemas de ordem prática
originários de situações do dia a dia.
Babilônios e egípcios;
Livros didáticos de Bourdon
e de Imenes & Lellis
Dedutivo-
Geométrico
Equação concebida como noção ligada às
figuras geométricas, segmentos e curvas.
Utilização relacionada a situações envolvendo
cálculos e operações com segmentos, com
medida de lados de figuras geométricas e
intersecção de curvas.
Gregos;
Omar Khayyam –
Geometria das Curvas
Estrutural-
Generalista
Equação concebida como noção estrutural
definida e com propriedades e características
próprias, considerada por si própria e
operando-se sobre ela. Utilização relacionada
com a busca de soluções gerais para uma
classe de equações de mesma natureza.
al-Khwarizmi;
Descartes;
Abel e
Galois
Estrutural-
Conjuntista
Equação concebida dentro de uma visão
estrutural, porém diretamente ligada à noção
de conjunto. É vista como uma ferramenta
para resolver problemas que envolvam
relações entre conjuntos.
Rogalski;
Warusfel;
Bourbaki
Processual-
Tecnicista
Equação concebida como a sua própria
resolução – os métodos e técnicas que são
utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos
estruturalistas, não enxergam a equação como
um ente matemático.
Pesquisas em Educação
Matemática:
Cotret (1997);
Dreyfus & Hoch (2004)
Axiomático-
Postulacional
Equação como noção da Matemática que não
precisa ser definida, uma ideia a partir da qual
outras ideias, matemáticas e não
matemáticas, são construídas. Utilizada no
sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e
plano na Geometria Euclidiana.
Chevallard;
Primeiro significado que
poderia ser discutido no
ensino-aprendizagem de
Álgebra.
Nos casos de desigualdades e inequações, também exploraremos os
multissignificados presentes em exercícios que figuram no Caderno do Professor
de Matemática.
31
1.3.4. Dificuldades em Álgebra elementar
Uma vez que analisaremos exercícios propostos no Caderno do Professor
de Matemática, também poderá haver necessidade de explorarmos as possíveis
dificuldades encontradas pelos professores nesses exercícios.
Para isso, buscamos embasamento em Figueiredo (2007), cuja tese de
doutorado versou sobre saberes e concepções de Educação Algébrica em um
curso de Licenciatura em Matemática — pesquisa essa também realizada no
âmbito do GEPEA-PUCSP.
A pesquisa foi realizada em um curso de Licenciatura em Matemática de
uma universidade paulista, com alunos do primeiro e segundo anos e com
professores. A respeito das dificuldades com tópicos algébricos elementares, a
autora concluiu que: ―tanto os professores quanto os alunos reconhecem que
muitos estudantes, ao ingressarem no curso, apresentam várias dificuldades com
esses tópicos e que no decorrer dos semestres nem todos conseguem superá-
las‖ (FIGUEIREDO, 2007, p. 265).
A autora relata que os professores dessa universidade apontaram
dificuldades vivenciadas de seus alunos (que são professores em formação
inicial) em relação a tópicos da Álgebra elementar (Quadro 4).
32
Quadro 4 – Dificuldades de alunos professores em formação inicial em relação a tópicos de
Álgebra elementar, segundo Figueiredo (2007, p. 265).
Dificuldades em Relação aos Tópicos da Álgebra Elementar
- Ao resolver equações, não diferenciam as de 1.º das de 2.º grau.
- Têm dificuldade em interpretar questões expressas em língua materna.
- Ao resolverem inequações do 2.º grau, tratam-nas como se fossem do 1.º
grau.
- Não reconhecem e não aplicam propriedades das operações.
- Não reconhecem as possibilidades de fatoração de expressões
algébricas.
- Enfrentam entraves na simplificação de expressões algébricas e nos
produtos notáveis.
- Têm dificuldades em lidar com frações.
- Não relacionam as raízes da equação com alguma representação gráfica;
consideram que equações só se destinam a ser resolvidas.
- Não estabelecem relação entre as raízes de uma equação e a
possibilidade de substituí-las na variável correspondente, de maneira a
anulá-la.
1.4. Metodologia
Para desenvolvermos nossa análise do Caderno do Professor do terceiro
bimestre do primeiro ano do Ensino Médio, no que se refere a equações e
inequações logarítmicas, foi-nos necessário dispor de um método que nos
permitisse trabalhar com análise documental qualitativa.
Segundo Lüdke e André (1986), a análise documental é um método valioso
para a abordagem de dados qualitativos. São considerados documentos
―quaisquer materiais escritos que possam ser usados como fonte de informação
33
sobre o comportamento humano‖ (PHILLIPS
15
apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p.
38).
As autoras afirmam que ―a análise documental busca identificar
informações factuais nos documentos a partir de questões ou hipóteses de
interesse‖ (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 38).
Uma vantagem de trabalhar com análise documental é que os documentos
constituem fonte estável e rica, de onde se podem colher evidências e, junto com
um quadro teórico, fundamentar um estudo.
Lüdke e André (1986) afirmam que a escolha dos documentos não é
aleatória. Em nosso caso, selecionamos atividades sobre equações e inequações
logarítmicas no Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a), quais sejam, cinco
dos ―exercícios exemplares‖ incluídos na Situação de Aprendizagem 4, e
focalizamos as resoluções
16
que esse Caderno propõe para tais exercícios — e
não a produção dos alunos ao resolvê-los.
Essa Situação de Aprendizagem foi selecionada após examinarmos todo o
conteúdo do Caderno do Professor de 2009 e verificamos que este enfatiza que:
[...] os logaritmos, uma invenção genial do século XVII, cuja motivação
primeira era a simplificação dos cálculos em uma época de limitados
instrumentos para tal, a despeito da abundância de recursos atuais,
permanecem como um tema especialmente relevante, não em razão de
tais simplificações, mas pela sua adequação para a descrição de
fenômenos em que as variáveis aparecem no expoente. Apresentar seu
significado mais profundo, o que contribuiu para que sua importância se
conservasse, juntamente com as propriedades mais relevantes para o
seu uso em diferentes contextos, é um dos objetivos do bimestre. (SÃO
PAULO, 2009a, p. 9)
A Situação de Aprendizagem 4, que foi selecionada, aborda equações e
inequações logarítmicas em problemas de diferentes contextos, conforme indica o
Projeto de Pesquisa: Expressões, Equações e Inequações, de Maranhão (2007):
Se, de um lado, esses tópicos são ferramentas para a resolução de
problemas intra e extramatemáticos, de outro, problemas de outras áreas
do conhecimento humano contribuem para que conceitos como os de
variável, incógnita e parâmetro ganhem sentido. (MARANHÃO, 2007, p.
1)
15
PHILLIPS, B. S. Pesquisa social. Rio de Janeiro: Agir, 1974.
16
Entendemos como ―resolução‖ os procedimentos necessários para encontrar a solução ou resposta do exercício.
34
Isso se coaduna com o indicado no Caderno do Professor:
Nesta quarta Situação de Aprendizagem do bimestre, a ênfase será
dada, portanto, à contextualização dos conteúdos e temas já estudados
ao longo das situações anteriores. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
As outras Situações de Aprendizagem não foram selecionadas, porque
abordam conteúdos não adequados a nosso objetivo, tais como funções
exponenciais, definição de logaritmo e suas propriedades, funções logarítmicas e
papéis e escalas logarítmicos.
Foram selecionados cinco dos sete exercícios exemplares propostos pela
Situação de Aprendizagem 4: o primeiro, o segundo, o terceiro, o quarto e o
quinto. Os demais não foram escolhidos porque a organização de suas
resoluções não diferia muito daquela dos cinco selecionados.
Em termos da metodologia que adotamos, uma vez selecionado o
documento, tem início a análise. No presente trabalho empregamos a
metodologia de análise de conteúdo, abordagem investigativa em que o conteúdo
traz ao pesquisador mensagens que podem ser abordadas de diferentes formas e
sob inúmeros ângulos (KRIPPENDORFF
17
apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986).
As autoras descrevem que, segundo Krippendorff, a decodificação não se
baseia somente no conhecimento científico, mas também nas vivências do
pesquisador:
[...] Krippendorff enfatiza ainda que as mensagens transmitem [ao
pesquisador] experiência vicária, o que leva o receptor a fazer inferência
dos dados para o contexto. Isso significa que no processo de
decodificação das mensagens o receptor utiliza não só o conhecimento
formal, lógico, mas também um conhecimento experiencial onde estão
envolvidas sensações, percepções, impressões e intuições.
(KRIPPENDORFF apud LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 41)
Lüdke e André (1986) afirmam que a análise qualitativa de dados é um
processo que exige sistematização e coerência do esquema escolhido.
17
KRIPPENDORFF, K. Content analysis. Beverly Hills (CA, USA): Sage, 1980.
35
Baseamo-nos também em Laville e Dionne (1999, p. 214), para quem ―o
princípio da análise de conteúdo [...] consiste em desmontar a estrutura e os
elementos desse conteúdo para esclarecer suas diferentes características e
extrair sua significação‖. Assim, na análise de conteúdo, devemos inicialmente
decidir sobre as unidades de análise.
Na modalidade de análise de conteúdo produzem-se abordagens
qualitativas enfocando ―unidades de sentido, relações entre elas e o que delas
emana‖ (LAVILLE; DIONNE, 1999, p. 225). Nas análises qualitativas:
O pesquisador decide prender-se às nuanças de sentido que existem
entre as unidades, aos elos lógicos entre essas unidades [...], visto que a
significação de um conteúdo reside largamente na especificidade de
cada um de seus elementos e nas das relações entre eles [...].
(LAVILLE; DIONNE, 1999, p. 227)
Dentre as estratégias de análise e interpretação qualitativas, optamos pela
de emparelhamento, que consiste em associar as unidades de análise colhidas a
um modelo teórico, com a finalidade de compará-los
18
.
No presente estudo, as unidades de análise foram tomadas como unidades
de registro, pois dividimos as etapas da resolução proposta nos exercícios da
Situação de Aprendizagem em segmentos ao realizarmos a análise. Para tanto,
utilizamos os Caracterizadores do Pensamento e Linguagem Algébricos, descritos
no Quadro 2, após exame cuidadoso de todo o conteúdo do material selecionado.
Atendendo às opções analíticas, para respondermos à questão de
pesquisa, relacionamos os caracterizadores do pensamento algébrico a unidades
de registro encontradas no material analisado.
A análise dos dados exigiu adaptação do Quadro 2 porque: (a) a presente
pesquisa está voltada ao Ensino Médio, diferentemente da investigação de
Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), que se voltou ao sétimo ano do Ensino
Fundamental; (b) o tema escolhido (equações e inequações logarítmicas) se
diferencia do tema da publicação que originou o Quadro 2; (c) utilizamos também
18
No entanto, a verificação sobre a validade da correspondência entre a construção teórica e os
objetos de análise deveria ser o foco de nova pesquisa, que se voltasse ao uso do material
pelos professores, preferivelmente em situação observável (enquanto, ao realmente
prepararem aulas, consultam respostas que emergem em situações de aprendizagem).
36
outro referencial teórico — o de Ursini et al. (2005) — coerente com aquele no
qual se baseia o Quadro 2; (d) levamos em conta nossas reflexões acerca do
significado de certos termos presentes no Quadro 2.
Assim, por emergência dos dados, o Quadro 5 apresenta alguns aspectos
reinterpretados e reescritos por nós e outros acrescentados, em ordem diferente
das exibidas no Quadro 2. Nele, colorimos cada unidade de registro conforme o
caracterizador do pensamento algébrico apresentado. Com a intenção de
exibirmos, no capítulo seguinte, o tratamento dos dados e os relacionamentos
advindos das análises.
37
Quadro 5 – Caracterizadores do Pensamento Algébrico, baseados em Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) e Ursini et al. (2005) e adaptados às particularidades da presente pesquisa.
O Pensamento Algébrico favorece que o professor:
1
perceba e tente expressar relações entre representações numéricas
pertinentes a uma situação-problema em um modelo
aritmético/algébrico ou geométrico;
2
estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou
entre medidas;
3
produza mais de um modelo aritmético/algébrico ou geométrico para
uma situação-problema;
4
produza vários significados para uma mesma expressão;
5
interprete uma igualdade como equivalência numérica entre duas
medidas ou entre duas expressões;
6
transforme uma expressão ou representação numérica em outra;
7
desenvolva algum tipo de processo de generalização;
8
perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias;
9
perceba a relação de dependência das variáveis;
10
perceba o uso da variável como incógnita;
11
perceba o uso da variável como número geral;
12
perceba o uso da variável como relação funcional;
13
verifique se o aluno desenvolve ou cria uma linguagem mais concisa
ao expressar uma sentença ou expressão matemática.
Em relação a Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), trocamos a ordem
do primeiro e do segundo caracterizadores do pensamento algébrico por
considerarmos que perceber e tentar expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação problema em um modelo
aritmético/algébrico ou geométrico seria prioritário em relação ao estabelecimento
de relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas,
conforme os princípios do próprio Caderno do Professor.
Substituímos ―relações/comparações entre padrões geométricos‖ por
―relações/comparações entre medidas‖, porque nenhum exercício envolve
38
relações/comparações entre padrões geométricos, embora haja comparação
entre medidas de comprimento e entre medidas de tempo.
Trocamos os termos ―estrutura/s de/em uma situação problema‖ por
―relações pertinentes a uma situação problema em um modelo‖, por entendermos
ser este o significado dessa expressão, com base em Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005). Pareceu-nos também faltarem as ―relações entre
representações numéricas‖ neste aspecto do pensamento algébrico, por
constarem nas Situações de Aprendizagem analisadas do Caderno do Professor
(SÃO PAULO, 2009a). Acrescentamos as relações favorecidas nas Situações de
Aprendizagem analisadas, por se apresentarem em modelo ―aritmético/algébrico
ou geométrico‖, coerentemente com os referenciais teóricos adotados:
[...] consideramos caracterizadores do pensamento algébrico, tais como:
percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em
contaste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a
estrutura de uma situação problema e a presença do processo de
generalização. (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 87)
Acrescentamos a produção dos modelos algébricos e geométricos para
uma mesma situação-problema, com a finalidade de abarcarmos as
possibilidades propugnadas no Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) e
nos referenciais teóricos adotados.
As demais trocas de termos, até o oitavo caracterizador, foram feitas
visando melhor adequação à análise das resoluções propostas nas Situações de
Aprendizagem focalizadas no Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a).
O nono caracterizador (―perceber a relação de dependência das variáveis‖)
foi incluído por ter como objetivo a percepção da relação de dependência entre
variáveis, presente nas Situações de Aprendizagem analisadas do Caderno do
Professor (SÃO PAULO, 2009a) e também defendida nos referenciais teóricos
adotados.
Em consequência dessa presença e do uso dos referenciais teóricos de
Ursini et al. (2005) e de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), constatamos também a
necessidade de incluir outros caracterizadores do pensamento algébrico, uma vez
que este:
39
[...] por permitir operar com quantidades variáveis [linguagem simbólica],
possibilita uma melhor compreensão de situações nas quais a variação e
o movimento estejam presentes. (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993,
p. 89)
Assim, tanto o nono como o décimo, o décimo primeiro e o décimo
segundo caracterizadores têm como objetivo reconhecer o uso da variável,
conforme Ursini et al. (2005) e Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), nos exercícios
analisados.
O décimo terceiro caracterizador se presta a verificar se o aluno
desenvolve ou cria uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou
expressão matemática, apesar de não encontrarmos propostas que favorecessem
ao professor ―verificar se o aluno desenvolve ou cria uma linguagem mais concisa
ao expressar uma sentença ou expressão‖.
Finalizando este capítulo, Lüdke e André (1986) afirmam, a respeito da
pesquisa qualitativa, que os pressupostos que orientam o pensamento do
pesquisador, assim como suas preferências, interesses e carga de valores, vão
nortear sua abordagem de pesquisa e, consequentemente, as análises que
empreende. Assim, pelo fato de muitas interpretações de variados
caracterizadores poderem corresponder a uma mesma unidade de registro,
abordamos nesta pesquisa de caráter qualitativo uma ou mais das interpretações
possíveis ao pesquisador.
40
CAPÍTULO 2 – O MATERIAL
O MATERIAL
2.1. O Caderno do Professor
Antes de iniciarmos a análise dos exercícios, descreveremos o Caderno do
Professor de Matemática do primeiro ano do Ensino Médio, da Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo, referente ao terceiro bimestre de 2009, por
ser a versão mais nova desse caderno (SÃO PAULO, 2009a)
O conteúdo do Caderno do Professor é exposto numa ficha, transcrita no
Quadro 6.
41
Quadro 6 – Caderno do Professor de Matemática do Estado de São Paulo. Ficha referente ao 3.º
bimestre do 1.º ano do Ensino Médio.
Expoentes e logaritmos: uma linguagem adequada para a compreensão do crescimento ou
decrescimento exponencial
Nome da disciplina:
Matemática
Área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Médio
Série:
1.ª
Volume:
3
Temas e conteúdos:
As potências e o crescimento/decrescimento exponencial: a
função exponencial. Quando o expoente é a questão, o
logaritmo é a solução: a força da ideia do logaritmo. As
funções com variável no expoente: a exponencial e sua
inversa, a logarítmica. Problemas envolvendo expoentes e
logaritmos em diferentes contextos: equações e inequações.
Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 7).
Antes de apresentar as Situações de Aprendizagem, o Caderno do
Professor de 2009 (SÃO PAULO, 2009a) fornece uma ―Orientação Geral sobre os
Cadernos‖ (Anexo A), que traz, entre outras, explicações sobre como utilizá-lo no
decorrer do bimestre.
Nela, o professor é informado que os temas escolhidos para compor o
Caderno de cada bimestre são os mesmos usualmente ensinados em outras
escolas ou apresentados em livros didáticos, sendo que em todos os Cadernos os
conteúdos estão organizados em oito unidades, tendo o professor a liberdade de
determinar quanto tempo dedicará a cada uma destas, embora seja desejável que
tente contemplar todas as oito unidades.
A publicação informa que o Caderno, sempre que possível, indica materiais
de apoio (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros), além de trazer algumas
considerações sobre as avaliações a serem realizadas ao final das situações de
aprendizagem.
O Caderno apresenta ainda os conteúdos básicos do bimestre (Anexo B).
O conteúdo básico do terceiro bimestre da primeira série é a ideia de
crescimento ou decrescimento exponencial, com a consolidação da
linguagem das potências e a introdução da ideia de logaritmo. (SÃO
PAULO, 2009a, p. 9)
42
Como o presente trabalho aborda equações e inequações logarítmicas, nos
concentraremos nas orientações sobre a introdução da ideia de logaritmo, como
já mencionado.
Esse Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) apresenta os logaritmos
como uma invenção genial do século XVII inicialmente desenvolvida com o
objetivo de simplificar os cálculos, mas afirma que hoje sua importância reside em
sua utilização para descrever fenômenos em que as variáveis figuram como
expoentes.
Em concordância com essas ideias, Eves (2004) considera que o século
XVII foi muito importante para a Matemática, pois foi em sua segunda década que
Napier revelou sua invenção dos logaritmos:
Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são importantes,
como a astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra
fizeram com que as demandas para que esses cálculos se tornassem
cada vez mais rápidos e precisos crescessem sempre e continuamente.
Quatro notáveis invenções vieram atender sucessivamente essas
demandas crescentes: a notação indo-arábica, as frações decimais, os
logaritmos e os modernos computadores. (EVES, 2004, p. 341)
Segundo esse autor, John Napier (1550-1617) viveu na Escócia e sempre
se envolveu em controvérsias. De seu gosto pelo estudo da Matemática e das
ciências, adveio a invenção dos logaritmos, a qual o levaria a tornar-se
personagem importante na história da Matemática. Em 1614 escreveu Mirifici
logarithmorum canonis descriptio [Descrição da maravilhosa lei dos logaritmos],
trabalho que contém uma tábua dos logaritmos de senos de ângulos (medidos em
graus correspondentes a arcos de circunferência, com precisão da ordem de
minutos de grau). A obra despertou o interesse de Henry Briggs (1561-1631), que
foi ao encontro de Napier em Edimburgo, e juntos verificaram que as tábuas de
logaritmos seriam mais úteis se fossem alteradas de modo que o logaritmo de 1
fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência de 10. Nasciam assim os
logaritmos briggsianos, ou comuns (EVES, 2004).
A invenção de Napier foi:
43
[...] entusiasticamente adotada por toda a Europa. Na astronomia, em
particular, já estava passando da hora para essa descoberta; pois, como
afirmou Laplace, a invenção dos logaritmos ―ao diminuir o trabalho,
dobrou a vida dos astrônomos‖. Bonaventura Cavalieri [...], empenhou-se
em divulgar os logaritmos na Itália. Trabalho análogo foi prestado por
Johann Kepler na Alemanha e Edmund Wingate na França. (EVES,
2004, p. 346)
Em concordância com afirmativas do Caderno do Professor de Matemática
(SÃO PAULO, 2009a), Eves (2004) considera que hoje um logaritmo pode ser
considerado um expoente, pois, se a = b
x
, podemos afirmar que x é o logaritmo de
a na base b. É nesta acepção que nos deparamos com uma curiosidade
cronológica da história da Matemática, já que os logaritmos foram descobertos
antes de se usarem expoentes (EVES, 2004).
Durante séculos o cálculo com logaritmos requereu o uso de tábuas. Com
a disponibilidade de calculadoras, porém, o ensino de logaritmos visando apenas
seu cálculo deixou de ser relevante. No entanto, o uso de logaritmos não
desaparecerá, por serem eles elementos imprescindíveis para a análise de
fenômenos naturais e para o cálculo de juros, entre outras aplicações.
O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) mostra concordância com
Eves (2004), ao expor que:
Já não precisamos mais deles [os logaritmos] para simplificar os
cálculos, mas seu significado e a força da sua linguagem tornam-se
fundamentais para a expressão e compreensão de fenômenos em
diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno século XX: nas
medidas da intensidade sonora, da energia destruidora dos terremotos,
do índice de acidez de um líquido, da rapidez com que uma substância
radioativa se desintegra, etc. Sem dúvida, hoje, mais do que ontem, é
fundamental aprender logaritmos. (SÃO PAULO, 2009a, p. 20)
O professor é informado que o Caderno traz situações-problema. Além
disso, recebe o seguinte esclarecimento:
É muito importante que o professor conheça as diversas
contextualizações dos logaritmos (graus de terremotos, acidez de
líquidos, intensidade sonora, magnitude de estrelas, cálculo de juros,
etc.) como possibilidades de enriquecimento de seu curso, e não como
uma obrigação de tratar todas elas em suas aulas, o que provavelmente
não será possível, em razão do tempo disponível. (SÃO PAULO, 2009a,
p.9)
44
O Quadro 7 apresenta os conteúdos, distribuídos em oito unidades, que
devem ser ministrados ao longo do terceiro bimestre.
Quadro 7 – Conteúdos do 3.º bimestre do 1.
o
ano do Ensino Médio.
Unidade 1:
Consolidação da ideia de potência – significado e operações com expoentes
inteiros, racionais e reais.
Unidade 2:
A função exponencial – crescimento, decrescimento e gráficos.
Unidade 3:
A ideia de logaritmo – uma ideia brilhante do século XVII cada vez mais
importante no século XXI.
Unidade 4:
Propriedades dos logaritmos – logaritmos em diferentes bases.
Unidade 5:
Logaritmos em diferentes contextos: acidez, escala Richter e decibéis.
Unidade 6:
As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a
logarítmica.
Unidade 7:
Problemas envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos –
equações e inequações.
Unidade 8:
Uma aplicação importante: o uso de gráficos com escala logarítmica.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 10).
Os assuntos abordados nessas oito unidades são contemplados em quatro
Situações de Aprendizagem, apresentadas no Quadro 8 com seus respectivos
conteúdos e temas. Como já mencionado, neste estudo focalizaremos a Unidade
7, que está contida na Situação de Aprendizagem 4, por tratar de equações e
inequações.
45
Quadro 8 – Situações de Aprendizagem do Caderno do Professor de Matemática do 1.º ano do
Ensino Médio referente ao 3.º bimestre.
N.º
Situação de Aprendizagem
Conteúdos e Temas
1
As potências e o
crescimento/decrescimento
exponencial: a função exponencial.
Significado da potenciação com expoentes
naturais, inteiros, racionais e reais; função
exponencial, com a construção de seu gráfico e o
destaque para suas propriedades relativas ao
crescimento e decrescimento; funções
exponenciais em diferentes contextos.
2
Quando o expoente é a questão, o
logaritmo é a solução: a força da
ideia de logaritmo.
Logaritmo como expoente, sua importância na
representação de números muito grandes ou muito
pequenos, bem como na realização dos cálculos
inversos aos da potenciação; as propriedades dos
logaritmos, correspondentes às propriedades
similares da potenciação; o uso da noção de
logaritmo em diferentes contextos.
3
As funções com variável no
expoente: a exponencial e sua
inversa, a logarítmica.
Função logarítmica: fixada uma base a (a > 0,
a ≠ 1), qualquer número positivo x tem um
logaritmo y, representado por y = log
a
x; a relação
direta entre a função logarítmica e a função
exponencial; gráfico da função logarítmica, com o
reconhecimento de sua relação com o já conhecido
gráfico da função exponencial.
4
As múltiplas faces das potências e
dos logaritmos: problemas
envolvendo equações e inequações
em diferentes contextos.
Significado e relevância das noções de expoentes
e logaritmos em diferentes contextos.
Fonte: São Paulo (2009a).
As Situações de Aprendizagem apresentam uma introdução dos conteúdos
a serem trabalhados e uma ficha
19
que descreve o tempo previsto, os conteúdos e
temas, as competências e habilidades e também as estratégias. Após a ficha,
constam um roteiro para sua aplicação, algumas considerações a respeito do
conteúdo, exemplos ilustrativos, exercícios exemplares e considerações sobre a
avaliação final.
A Situação de Aprendizagem 1 trabalha com função exponencial, que não
é conteúdo desta pesquisa.
Na Situação de Aprendizagem 2, a ideia de logaritmo é apresentada, bem
como suas propriedades, que também não iremos analisar.
A Situação de Aprendizagem 3 aborda a função logarítmica e sua relação
com a função exponencial, tema que também não será focalizado nesta pesquisa.
19
Seção designada como ―ficha‖ pela publicação.
46
A Situação de Aprendizagem 4 trabalha com situações-problema
envolvendo logaritmos em diferentes contextos, crescimento exponencial e papéis
logarítmicos e escala logarítmica nos dois eixos. Apenas o primeiro tema dessa
Situação faz parte do objetivo desta pesquisa.
Como esse objetivo é responder à questão “Que aspectos do pensamento
algébrico sobre equações e inequações logarítmicas estão explicitados no
Caderno do Professor do terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio?”,
analisaremos os primeiros cinco exercícios exemplares da Situação de
Aprendizagem 4, por serem os que abordam equações e inequações
logarítmicas.
2.2. Situação de Aprendizagem 4
A Situação de Aprendizagem 4 tem como título As múltiplas faces das
potências e dos logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em
diferentes contextos. A apresentação desta Situação de Aprendizagem consta no
Anexo C. O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a, p. 43) expõe que ―após
a consolidação das ideias de potências e logaritmos, com suas propriedades
permanentemente entrelaçadas‖, figurarão situações-problema em contextos
significativos, que envolverão cálculos em equações e inequações logarítmicas.
Segundo a publicação:
É muito importante que o professor explore as ideias apresentadas nos
exercícios e crie novos exercícios, ou então utilize aqueles que são
usualmente apresentados em livros didáticos para promover a fixação
dos conteúdos. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
O Caderno apresenta ao professor um quadro-resumo (Quadro 9) da
Situação de Aprendizagem 4.
47
Quadro 9 – Quadro-resumo da Situação de Aprendizagem 4.
Tempo previsto: 2 semanas
Conteúdos e temas: significado e relevância das noções de expoentes e logaritmos em
diferentes contextos.
Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos naturais de diversos tipos;
enfrentar e resolver situações-problema envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes
contextos.
Estratégias: proposição de exercícios exemplares sobre o tema.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 43).
A publicação apresenta o seguinte roteiro para aplicação da Situação de
Aprendizagem 4:
Em razão do que foi anteriormente registrado, os conteúdos/temas da
presente Situação de Aprendizagem serão apresentados diretamente, na
forma de exercícios exemplares. Os enunciados são, algumas vezes,
longos, tendo em vista fornecer todas as informações necessárias para o
enfrentamento das situações-problema. Mais do que nunca, a
competência leitora é imprescindível e deverá ser explorada pelo
professor, em cada exercício. (SÃO PAULO, 2009a, p. 44)
Nessa Situação de Aprendizagem são apresentados sete exercícios
exemplares em que se manipulam equações e inequações logarítmicas. Os sete
exercícios e suas resoluções propostas pelo Caderno do Professor encontram-se
nos Anexos D, E, F, G, H, I e J.
A publicação aborda também crescimento exponencial e papéis
logarítmicos, bem como escalas logarítmicas nos dois eixos, conteúdos que não
focalizaremos nesta pesquisa.
Nas considerações sobre a avaliação, o Caderno do Professor (SÃO
PAULO, 2009a, p. 52) expõe: ‖Esta quarta Situação de Aprendizagem não trouxe
conhecimentos novos sobre o tema, mas apenas novas articulações entre o que
já havia sido aprendido nas situações anteriores e os contextos práticos‖.
A orientação para que se recupere a Situação de Aprendizagem 4 do
Caderno do Professor é:
[...] concentrar-se em um número menor de tipos de exercícios
exemplares, explorando mais detidamente os tipos escolhidos por meio
da formulação de exercícios similares, usando ainda como degrau os
48
numerosos exercícios de fixação encontrados em livros didáticos sobre o
tema. (SÃO PAULO, 2009a, p. 53)
No item ―Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para
a compreensão do tema‖, o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) sugere
dois livros (Introdução às funções e à derivada
20
e o volume 1 de A Matemática do
Ensino Médio
21
), o software Graphmatica e a Revista do Professor de
Matemática, materiais que o professor poderá usar para aprofundar os estudos
sobre funções exponenciais e logarítmicas. Não há nenhuma sugestão específica
sobre equações e inequações logarítmicas.
20
ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
21
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto
César. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
1999. v. 1.
49
CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DOS EXERCÍCIOS EXEMPLARES
ANÁLISE DOS EXERCÍCIOS EXEMPLARES
Com a análise que se segue, buscaremos responder à questão: ―Que
caracterizadores do pensamento algébrico sobre equações e inequações
logarítmicas emergem nas resoluções propostas na análise do Caderno do
Professor do terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio?‖, usando como
base os referenciais teóricos adotados.
Para tal, exibiremos os tratamentos dos dados colorindo cada unidade de
registro selecionada conforme os caracterizadores do pensamento algébrico
(Quadro 5) que emergiram na análise, os quais foram adaptados de Fiorentini,
Miorim e Miguel (1993), de Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) e de Ursini et
al. (2005).
50
3.1. Análise do Exercício Exemplar 1
Quadro 10 – Enunciado do exercício exemplar 1
Exercício 1
É muito conhecida a lenda do tabuleiro de xadrez: para retribuir o jovem inventor
pela criação do jogo, o rei concedeu-lhe qualquer coisa que desejasse, e o jovem
pede ―apenas‖ um grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela
terceira, 8 pela quarta, e assim por diante, até chegar a 2
63
grãos pela
sexagésima quarta casa. Como se sabe, a soma de todos os grãos
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
) é igual a 2
64
– 1 grãos, e esse número, apesar de não
parecer, é tão grande que seria impossível atender ao inocente pedido. Quantos
algarismos tem o número 2
64
? (Dado: log 2 0,30)
Fonte: São Paulo (2009a, p. 44)
O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) expõe que:
Nesta quarta Situação de Aprendizagem do bimestre, a ênfase será
dada, portanto, à contextualização dos conteúdos e temas já estudados
ao longo das situações anteriores. A competência maior a ser
desenvolvida é a capacidade de articular os conhecimentos já
estudados, tendo em vista a intervenção direta na realidade. (SÃO
PAULO, 2009a, p. 43)
O exercício exemplar 1, embora apresentado em contexto, não tem ―em
vista a intervenção direta na realidade‖. Em seu enunciado, o trecho ―Como se
sabe, a soma de todos os grãos (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
) é igual a 2
64
– 1 grãos‖
refere-se à aplicação da fórmula geral da soma dos termos de uma progressão
geométrica com finitos termos
1q
)1q(a
S
n
1
n
a um caso em que a razão é igual
a 2. O conteúdo de progressão geométrica é apresentado no Caderno do
Professor referente ao primeiro bimestre. Portanto, ao professor são oferecidos
elementos para o cálculo:
1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
=
12
)12(1
64
= 2
64
– 1
51
Ressaltamos que Figueiredo (2007), em sua tese de doutorado, verificou
que uma das grandes dificuldades enfrentada, pelos alunos e alguns professores
é interpretar um enunciado. Tem-se aqui um exercício com enunciado verbal, que
exige interpretação para que se possa aplicar uma fórmula que não é oferecida
neste, mas em outro caderno.
Entendemos que no enunciado dessa situação de aprendizagem revela-se
um dos multissignificados de equação concebidos por Ribeiro (2007): o intuitivo-
pragmático, pois a situação envolve uma lenda referenciada na realidade e
explicita uma igualdade – para cálculo da quantidade de grãos e determinação da
quantidade de algarismos de um número, a fim de se dimensionar sua ordem de
grandeza.
3.1.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 1
O Quadro 11 traz grifados os três trechos selecionados para a análise
desta resolução, que são apresentadas uma a uma subsequentemente.
Quadro 11 – Resolução proposta do exercício exemplar 1
Para determinar o número de algarismos de 2
64
, basta calcular seu logaritmo
decimal.
Como log 2
64
= 64
log 2 64
0,30 = 19,2, deduzimos que 2
64
situa-se entre 10
19
e 10
20
, pois: 10
19
< 10
19,2
< 10
20
.
Logo concluímos que 2
64
é um número com 20 algarismos, uma vez que é um
número inteiro maior que 1 seguido de 19 zeros e menor do que 1 seguido de 20
zeros.
Calculando com um instrumento adequado, obtemos, de fato:
2
64
= 18 446 744 073 709 551 616
Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 44)
52
Muitas interpretações de variados caracterizadores podem corresponder a
trechos da resolução apresentada no Quadro 11. Nesta pesquisa de caráter
qualitativo, abordamos algumas das interpretações possíveis: aquelas do
pesquisador.
No primeiro trecho grifado (“Para determinar o número de algarismos de
2
64
, basta calcular seu logaritmo decimal”), entendemos que o início da resolução
proposta se relaciona com dois caracterizadores do pensamento algébrico do
Quadro 5. São eles o primeiro e o décimo:
favorece que o professor tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo
aritmético/algébrico ou geométrico;
favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita.
Segundo Ursini et al. (2005, p. 27), incógnita é ―una cantidad cuyo valor no
conocemos, pero que es posible determinar tomando en consideración los datos
proporcionados‖
22
. Nessa unidade de registro, o valor procurado (a incógnita) é o
resultado do cálculo do logaritmo decimal de 2
64
.
Esta situação de aprendizagem não explica como (ou por que) o cálculo do
logaritmo decimal determina a quantidade de algarismos de uma potência. Mas o
Caderno do Professor expõe, em uma situação de aprendizagem anterior: “Se N =
10
n
, então o expoente n é chamado „logaritmo de N‟: n = log N” (SÃO PAULO,
2009a, p. 21). Além disso, traz cálculos de logaritmos para familiarização com a
linguagem apresentada. Tais cálculos constam no Anexo K.
A nosso ver, com essa afirmativa e exemplos da situação de aprendizagem
anterior espera-se que o professor chegue a concluir com seus alunos quais são
os cálculos requeridos nessa nova situação de aprendizagem.
Como já mencionamos, o enunciado da Situação de Aprendizagem nos
revela um dos multissignificados de equação: o intuitivo-pragmático. Isso é
reforçado pelo seguinte trecho da resolução proposta: “Como log 2
64
= 64
log 2
64
0,30 = 19,2, deduzimos que 2
64
situa-se entre 10
19
e 10
20
, pois: 10
19
< 10
19,2
<
22
― […] uma quantidade cujo valor não conhecemos, mas que é possível determinar levando-se
em consideração os dados fornecidos.‖ [Tradução nossa.]
53
10
20
”, que traz uma igualdade, uma aproximação e desigualdades relacionadas
para cálculo da quantidade de algarismos de um número.
No entanto, o apelo à afirmativa e a exercícios da Situação de
Aprendizagem anterior nos sugere a intenção de que o professor, com seus
alunos, se aproxime de outro multissignificado de equação, o estrutural-
generalista, em que a equação é ―concebida como noção estrutural definida e
com propriedades e características próprias‖ (RIBEIRO, 2007, p. 127), pois, além
do explicitado e proposto na Situação de Aprendizagem anterior, o Caderno do
Professor sugere, ―como recursos para ampliar a perspectiva do professor e do
aluno para a compreensão do tema‖, que se estudem dois livros já citados no
Capítulo 2 da presente pesquisa: Introdução às funções e à derivada
23
e A
Matemática do Ensino Médio
24
.
No segundo trecho grifado (segunda unidade de registro) da resolução (ou
seja, ―log 2
64
= 64
log 2 64
0,30 = 19,2‖), observamos relação com o sexto
caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5), que ―favorece que o
professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.
A transformação de uma expressão em outra advém da propriedade da
potência dos logaritmos: ―log
a
(M
k
) = k log
a
M‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 29) e por
substituição de valores. Como relatamos no Capítulo 2, esses são conteúdos já
oferecidos em situações de aprendizagem anteriores: ―Esta quarta Situação de
Aprendizagem não trouxe conhecimentos novos sobre o tema, mas apenas novas
articulações entre o que já havia sido aprendido nas situações anteriores e os
contextos práticos‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 52).
No entanto, Figueiredo (2007) conclui, a respeito dos sujeitos que
pesquisou, que ―tanto os professores quanto os alunos reconhecem que muitos
estudantes, ao ingressarem no curso, apresentam várias dificuldades com tópicos
da Álgebra Elementar e que no decorrer dos semestres nem todos conseguem
superá-las‖ (FIGUEIREDO, 2007, p. 265).
23
ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
24
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; MORGADO, Augusto
César. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática,
1999. v. 1.
54
Por isso, nessa segunda unidade de registro, concordamos com Figueiredo
(2007) sobre o fato de que alguns professores podem vivenciar dificuldades no
reconhecimento e na aplicação das propriedades dos logaritmos.
No terceiro trecho grifado (terceira unidade de registro) (ou seja, “2
64
situa-
se entre 10
19
e 10
20
, pois: 10
19
< 2
64
< 10
20
”), podemos pressupor o segundo
caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5), que ―favorece que o
professor estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre
medidas‖, já que a sentença “10
19
< 2
64
< 10
20
” envolve comparação entre
expressões numéricas.
No final da resolução proposta, o Caderno do Professor (SÃO PAULO,
2009a, p. 44) expõe que ―calculando com um instrumento adequado, obtemos, de
fato: 2
64
= 18 446 744 073 709 551 616”, restando aos professores a questão:
Que ―instrumento adequado‖ seria esse? Duas calculadoras, uma com visor de 20
dígitos e outra com visor de 32 dígitos, poderiam ser consideradas como
instrumentos adequados para esse cálculo.
A primeira poderia ser uma calculadora científica on line
25
com visor de 20
dígitos, na qual, digitando-se a expressão 2
64
como ―exp(2,64)‖ obtemos como
resposta 18 446 744 073 709 552 000. A calculadora efetua aproximação por
arredondamento, o que é coerente com esta situação de aprendizagem, que
também traz aproximações.
A segunda poderia ser a calculadora científica que já vem instalada em
computadores, com visor de 32 dígitos
26
. Para calcularmos 2
64
, digitamos o
número 2, depois ―x^y‖ e em seguida o número 64 e o sinal de igual. O visor
exibirá o valor 18 446 744 073 709 551 616, o mesmo fornecido no Caderno do
Professor.
25
Uma calculadora desse tipo está disponível em
<http://www.calculadoraonline.com.br/view/calculadora-científica.php>.
26
Para acessar essa calculadora em computadores com sistema operacional Windows, clicar no
menu ‗Iniciar‘ e, na lista suspensa que será exibida, escolher ‗Programas, Acessórios,
Calculadora‘. Depois de aberta a calculadora, clicar em ‗Exibir‘ e selecionar ‗Modo científico‘,
marcando também o item ‗Decimal e graus‘.
55
3.1.2. Resultados da análise do Exercício Exemplar 1
A partir da análise das unidades de registro selecionadas, na resolução
proposta do exercício exemplar 1, buscaremos responder à questão: ―Que
caracterizadores do pensamento algébrico sobre equações e inequações
logarítmicas emergem na análise da resolução proposta do exercício exemplar
1?‖.
O Quadro 12 apresenta os caracterizadores do pensamento algébrico,
adaptados de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), de Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) e de Ursini et al. (2005), que emergiram na análise da resolução
do exercício exemplar 1, da Situação de Aprendizagem 4, proposta no Caderno
do Professor.
Quadro 12 – Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da resolução
proposta do exercício exemplar 1.
Item
O Pensamento Algébrico favorece que o professor:
Quantidade
1
perceba e tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
1
2
estabeleça relações/comparações entre expressões
numéricas ou entre medidas;
1
6
transforme uma expressão ou representação numérica em
outra;
1
10
perceba o uso da variável como incógnita.
1
O Caderno do Professor expressa o seguinte propósito com relação à
Situação de Aprendizagem 4:
As situações práticas [exercícios exemplares] envolverão cálculos em
que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos
significativos. [...] A competência maior a ser desenvolvida é a
capacidade de articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a
intervenção direta na realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
56
O exercício exemplar 1 não atende a esse enfoque. Seu enunciado é
apresentado em um contexto que, embora significativo, está longe da realidade.
Em relação aos multissignificados de equação concebidos por Ribeiro
(2007), no enunciado revela-se o significado intuitivo-pragmático, em que a
equação é concebida ―como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre
duas quantidades‖ (RIBEIRO, 2007, p. 127). Na resolução proposta, no entanto, o
significado percebido é o estrutural-generalista, em que a equação é ―concebida
como noção estrutural definida e com propriedades e características próprias‖
(RIBEIRO, 2007, p. 127).
Nesse exercício exemplar 1, ao considerarmos os aspectos identificados
por Figueiredo (2007), percebemos que as possíveis dificuldades vivenciadas
pelos professores em relação aos tópicos de Álgebra são a de interpretar o
enunciado e a de reconhecer e aplicar as propriedades dos logaritmos.
3.2. Análise do Exercício Exemplar 2
Quadro 13 – Enunciado do exercício exemplar 2
Exercício 2
Qual dos dois números é maior: 10
7
ou 7
10
? (Dado: log 7 0,845)
Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 44)
Este exercício trabalha com as mesmas ideias que o precedente: o cálculo
dos logaritmos de potências e a comparação entre os resultados desse cálculo.
No entanto, o exercício exemplar 2 não é apresentado em um contexto
referenciado na realidade.
A respeito desse aspecto, verificamos que o próprio Caderno do Professor
defende a apresentação de cálculos a partir de situações práticas, que
entendemos como sendo contextos referenciados na realidade, sem múltiplas
57
reiterações delas. Isso pode ser verificado, por exemplo, na Situação de
Aprendizagem 4, em que o Caderno expõe:
As situações práticas envolverão cálculos em que equações e
inequações deverão ser resolvidas em contextos significativos. [...] Não
existem exercícios de fixação, nem múltiplas reiterações de situações já
estudadas. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
Frente ao exposto, nos questionamos: a Situação de Aprendizagem 2 pode
ser considerada como reiteração dos cálculos efetuados nas situações
anteriores? Em caso positivo, haveria necessidade de repetição? Por quê? O
Caderno do Professor responde:
É muito importante que o professor explore as ideias apresentadas nos
exercícios e crie novos exercícios, ou então utilize aqueles que são
usualmente apresentados em livros didáticos para promover a fixação
dos conteúdos. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
Assim, entendemos que o Caderno do Professor incentiva a promoção de
fixação de conteúdos por meio de exercícios não necessariamente vinculados a
um contexto referenciado na realidade, mas no próprio contexto matemático.
3.2.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 2
O Quadro 14 traz grifados quatro trechos selecionados para a análise desta
resolução, os quais são apresentados um a um subsequentemente.
58
Quadro 14 – Resolução proposta do exercício exemplar 2
Para comparar os dois números citados, basta comparar seus logaritmos
decimais: o maior será o que tiver maior logaritmo.
Imediatamente, vemos que log 10
7
= 7; calculando log 7
10
, obtemos:
log 7
10
= 10
log 7 = 10
0,845 = 8,45.
Logo, concluímos que 7
10
> 10
7
.
Fonte: SÃO PAULO (2009a, p. 44)
No primeiro trecho grifado (―Para comparar os dois números citados, basta
comparar seus logaritmos decimais: o maior será o que tiver maior logaritmo‖),
observamos a presença de três caracterizadores do pensamento algébrico
descritos no Quadro 5. São eles o primeiro, o segundo e o décimo:
favorece que o professor tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo
aritmético/algébrico ou geométrico;
favorece que o professor estabeleça relações/comparações entre
expressões numéricas ou entre medidas;
favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita.
Observamos que o caracterizador ―estabeleça relações/comparações entre
expressões numéricas ou entre medidas‖ está presente logo nas primeiras
palavras da resolução do exercício (―Para comparar os dois números citados‖) e,
claramente, no enunciado que propõe uma comparação: ―Qual dos dois números
é maior: 10
7
ou 7
10
?‖.
O caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor
perceba o uso da variável como incógnita‖ está presente nesta unidade de
registro, como os valores procurados, os resultados do cálculo dos logaritmos
decimais de 10
7
e 7
10
.
No segundo trecho grifado (―log 10
7
= 7‖) e no terceiro
(―log 7
10
= 10
log 7 = 10
0,845 = 8,45‖), percebemos relação com o mesmo
caracterizador do pensamento algébrico, o de número 6 do Quadro 5: ―favorece
que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.
59
Essa transformação de uma expressão em outra se dá através da
propriedade de logaritmos já utilizada na resolução do exercício exemplar 1, qual
seja, ―log
a
(M
k
) = k log
a
M‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 29), e por substituição de
valores.
Dadas essas similaridades entre este exercício e o anterior, as mesmas
dificuldades de reconhecimento e aplicação das propriedades de logaritmos —
tópicos da Álgebra Elementar — estão em jogo.
No terceiro trecho grifado (―concluímos que 7
10
> 10
7
‖), a resposta é
apresentada após comparação dos resultados de cálculo dos logaritmos,
confirmando recurso ao segundo caracterizador do pensamento algébrico 2 do
Quadro 5, também presente no início da resolução proposta: ―favorece que o
professor estabeleça comparações entre expressões numéricas ou entre
medidas‖ — se considerarmos números como sendo expressões numéricas.
3.2.2. Resultados da análise do exercício exemplar 2
A partir da análise das unidades de registro selecionadas que figuram na
resolução proposta do exercício exemplar 2, buscaremos responder à questão:
―Que caracterizadores do pensamento algébrico sobre equações e inequações
logarítmicas emergem na análise da resolução proposta do exercício exemplar
2?‖.
O Quadro 15 apresenta os caracterizadores do pensamento algébrico,
adaptados de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), de Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) e de Ursini et al. (2005), que emergiram na análise da resolução
do exercício exemplar 2, da Situação de Aprendizagem 4, proposta no Caderno
do Professor.
60
Quadro 15 – Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da resolução
proposta do exercício exemplar 2.
Item
O Pensamento Algébrico favorece que o professor:
Quantidade
1
perceba e tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
1
2
estabeleça relações/comparações entre expressões
numéricas ou entre medidas;
2
6
transforme uma expressão ou representação numérica em
outra;
1
10
perceba o uso da variável como incógnita.
1
O Caderno do Professor expressa o seguinte propósito com relação à
Situação de Aprendizagem 4:
As situações práticas [exercícios exemplares] envolverão cálculos em
que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos
significativos. [...] A competência maior a ser desenvolvida é a
capacidade de articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a
intervenção direta na realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
A resolução do exercício exemplar 2 é similar à do exercício exemplar 1.
No entanto, diferentemente do que o precede, o exercício exemplar 2 não é
apresentado em um contexto significativo.
Considerando os aspectos identificados por Figueiredo (2007),
pressupomos que uma possível dificuldade vivenciada pelos professores em
relação aos tópicos de Álgebra elementar neste exercício é a de reconhecer e
aplicar as propriedades dos logaritmos.
61
3.3. Exercício Exemplar 3
Quadro 16 – Enunciado do exercício exemplar 3
Exercício 3
Considere uma folha de papel comum, com espessura de cerca de 0,08 mm.
a) Suponha que a folha é dobrada ao meio dez vezes, sem rasgar. Qual seria a
espessura do papel dobrado?
b) Suponha agora que a folha tivesse tamanho suficiente para ser dobrada ao
meio 50 vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?
c) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel
dobrado ultrapassaria a distância da Terra à Lua? (Dados: a distância da Terra
à Lua é de 384 000 km; log 2 0,30; log 3 0,48.)
d) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel
dobrado ultrapassaria a distância da Terra ao Sol? (Dados: a distância
aproximada da Terra ao Sol é de 150 000 000 km.)
Fonte: São Paulo (2009a, p. 44-45)
O enunciado do exercício exemplar 3 faz apelo a um contexto referenciado
na realidade e, segundo o Caderno do Professor, significativo. No entanto, nem
este nem os exercícios exemplares 1 e 2 parecem ter ―em vista a intervenção
direta na realidade‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 43), conforme apregoa o próprio
Caderno.
Respaldando-nos em Figueiredo (2007), ponderamos que os professores
possam encontrar alguma dificuldade na interpretação do enunciado e,
consequentemente, na resolução do exercício.
Novamente, pelo enunciado, associamos o exercício exemplar 3 a um dos
multissignificados incluídos no Quadro 3, qual seja, o intuitivo-pragmático, pois
apresenta aproximações de igualdades para emprego na resolução do exercício
por meio de logaritmos. Pelo fato de a situação de aprendizagem ser apresentada
como: ―As múltiplas faces das potências e dos logaritmos: problemas envolvendo
equações e inequações em diferentes contextos‖, parece-nos que a equação seja
62
tomada ―como noção intuitiva ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades‖
(RIBEIRO, 2007, p. 127).
3.3.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3
Dividimos a resolução proposta desse exercício em quatro quadros, de
acordo com os itens pedidos no enunciado, no intuito de viabilizar a análise e
facilitar a exposição.
3.3.1.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item a
O Quadro 17 traz dois trechos grifados, selecionados para análise do item
a da resolução, os quais são apresentados um a um subsequentemente.
Quadro 17 – Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item a
A espessura do papel será 8
10
–2
mm. A cada dobradura, o papel duplica a
espessura. Após 10 dobraduras, sua espessura será:
E
10
= 2
10
2
3
10
–2
mm = 21
3
10
–2
mm = 81,92 mm.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 44)
No primeiro trecho grifado (―8
10
–2
mm‖) (primeira unidade de registro),
pressupomos o envolvimento de dois caracterizadores do pensamento algébrico
que figuram no Quadro 5. São eles o quinto e o sexto:
favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência
numérica entre duas medidas ou entre duas expressões;
63
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra.
O enunciado do exercício exemplar 3, apresentado no Quadro 16, é:
―Considere uma folha de papel comum, com espessura de cerca de 0,08 mm‖. Já
a resolução proposta para o item a, inicialmente apresentada no Quadro 15 é: ―A
espessura do papel será 8
10
–2
mm.‖ Assim o Caderno do Professor (SÃO
PAULO, 2009a) pressupõe que o docente considere ―0,08 mm = 8 10
-2
mm‖
como a interpretação de uma igualdade como equivalência numérica entre duas
medidas ou entre duas expressões.
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p. 88), quando está presente ―o
emprego de leis aritméticas que legitimem as transformações‖, deverá se
manifestar o caracterizador do pensamento algébrico, que ―favorece que o
professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖. Na
resolução, esse caracterizador se revela na transformação da representação
numérica ―0,08 mm‖ em ―8 10
–2
mm‖.
Na segunda unidade de registro (segundo trecho grifado), ou seja,
―E
10
= 2
10
2
3
10
–2
mm = 2
13
10
–2
mm = 81,92 mm‖, podemos perceber a
presença de três aspectos do pensamento algébrico (Quadro 5): o primeiro, o
sexto e o décimo:
favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre
representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra;
favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita.
Dividindo o segundo trecho grifado em partes menores, os caracterizadores
do pensamento algébrico aparecerão de maneira mais objetiva.
Na parte ―E
10
= 2
10
2
3
10
–2
mm‖, faz-se presente o caracterizador do
pensamento algébrico que ―favorece que o professor perceba e tente expressar
relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema
em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico‖, pois o Caderno do Professor
(SÃO PAULO, 2009a) pressupõe que será através dessa expressão que o
64
professor, após interpretar o enunciado do exercício exemplar 2, item a, iniciará a
resolução.
Aplicando uma propriedade para o cálculo de produto de potências de
mesma base, sem referenciá-la, na parte ―E
10
= 2
10
2
3
10
–2
mm = 2
13
10
–2
mm‖
da resolução, o Caderno evidencia o caracterizador do pensamento que ―favorece
que o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.
Essa propriedade da potência e as outras propriedades de potências e
logaritmos foram relacionadas em uma tabela na Situação de Aprendizagem 2
(Figura 1), onde ―a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer‖ (SÃO PAULO, 2009a,
p. 29).
Figura 1: Propriedades das potências e dos logaritmos
Fonte: São Paulo (2009a, p. 29)
O resultado encontrado, ―E
10
= 81,92 mm‖, é o valor procurado da variável.
Nesta parte, o caracterizador do pensamento algébrico evidenciado é o que
―favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita‖.
65
3.3.1.2. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item b
Quadro 18 – Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item b
Analogamente, a espessura do papel dobrado após 50 dobraduras será:
E
50
= 2
50
2
3
10
–2
mm = 2
53
10
–2
mm = 9,0071992
10
13
mm 90 milhões de
km.
Trata-se, sem dúvida, de um resultado surpreendente, tão inesperado quanto o do
tabuleiro de xadrez do exercício 1.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 45)
Na única unidade de registro selecionada na resolução do exercício
exemplar 3, item b (―9,0071992
10
13
mm 90 milhões de km‖), do Quadro 18,
pressupomos relação com o sexto caracterizador do pensamento algébrico
(Quadro 5), que ―favorece que o professor interprete uma igualdade como
equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões‖.
66
3.3.1.3. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item c
Quadro 19 – Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item c
1 Podemos generalizar e escrever que (se fosse possível realizar na prática)
após n dobraduras, a espessura do papel seria
E
n
= 2
n
2
3
10
–2
mm = 2
n + 3
10
–2
mm
2 Sabendo que a distância da Terra à Lua é aproximadamente 384 000 km, ou
seja, 384
10
9
mm, temos a seguinte inequação para resolver:
2
n
2
3
10
–2
> 384
10
9
.
3 Temos então: 2
n
>
8
384
10
11
, ou seja, 2
n
> 48
10
11
Calculando os logaritmos de ambos os membros na base 10, temos:
4 log 2
n
> log (48
10
11
)
n
log 2 > (log 48) + 11
n
log 2 > 11 + log (2
4
3) = 11 + 4 log 2 + log 3
n
0,30 > 11 + 1,20 + 0,48 = 12,68
n >
30,0
68,12
= 42,3
Logo, a partir da 43.ª dobradura, a espessura do papel dobrado ultrapassaria a
distância da Terra à Lua.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 45)
Por serem extensos os trechos grifados no Quadro 19, optamos por
numerá-los, para facilitar o reconhecimento das unidades de registro que estão
sendo analisadas.
A primeira unidade de registro é constituída por: ― 1 Podemos generalizar
e escrever que (se fosse possível realizar na prática)
após n dobraduras, a espessura do papel seria:
E
n
= 2
n
2
3
10
–2
mm = 2
n + 3
10
–2
mm‖.
Observamos nesse trecho quatro caracterizadores do pensamento
algébrico (Quadro 5). São eles o sexto, o sétimo, o oitavo e o décimo primeiro:
67
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra;
favorece que o professor desenvolva algum tipo de processo de
generalização;
favorece que o professor perceba e tente expressar regularidades ou
invariâncias;
favorece que o professor perceba o uso da variável como número geral.
O início da resolução proposta do exercício exemplar 3, item c, sugere o
processo de generalização para encontrar a espessura do papel após n
dobraduras, apresentando o aspecto do pensamento algébrico que ―favorece que
o professor desenvolva algum tipo de processo de generalização‖.
Cabe ressaltar aqui a importância da generalização no ensino da Álgebra.
Lee (2001) a considera aspecto fundamental do pensamento algébrico, afirmando
que tarefas que envolvem essa ideia têm sido bem-sucedidas na escola
elementar. Para desenvolver essa ideia nos alunos, o professor poderá
apresentar questões como: ―Isto é sempre verdadeiro? Às vezes é verdadeiro?
Nunca é verdadeiro? Há outra resposta certa? Importa em que ordem eu fiz as
operações? etc.‖ (LEE, 2001, p. 394). Para a autora, raciocinar sobre padrões,
detectar semelhanças e diferenças e generalizar constituem elementos
apropriados para a introdução da Álgebra.
Quando o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) sugere n como
número de dobraduras necessárias, observamos o caracterizador do pensamento
algébrico que ―favorece que o professor perceba o uso da variável como número
geral‖.
Ursini et al. (2005), após analisarem alguns exemplos sobre o uso da
variável como número geral, sugerem que para sua compreensão, seu uso e seu
trabalho deva-se:
[...] desarrollar la capacidad para reconocer patrones, hallar reglas,
deducir métodos generales y describirlos. [...] usar símbolos para
68
representar una situación general, una regla o un método, o relacionar
expresiones generales entre si
27
. (URSINI et al., 2005, p. 31)
O caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor
perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias‖ se apresenta no trecho
―E
n
= 2
n
2
3
10
–2
mm‖, onde ―2
n
‖ expressa a generalidade, representando o
número de dobraduras, e ―2
3
10
–2
mm‖ expressa a espessura do papel, medida
que não varia conforme o número de dobraduras, representando uma invariância.
O trecho ―E
n
= 2
n
2
3
10
–2
mm = 2
n + 3
10
–2
mm‖ sugere o aspecto do
pensamento algébrico que ―favorece que o professor transforme uma expressão
ou representação numérica em outra‖ através do uso de propriedade para cálculo
com potências de mesma base (Figura 1).
Na segunda unidade de registro (― 2 Sabendo que a distância da Terra à
Lua é aproximadamente 384 000 km, ou seja, 384
10
9
mm, temos a seguinte
inequação para resolver: 2
n
2
3
10
–2
> 384
10
9
‖), pressupomos o envolvimento
de quatro caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5): o primeiro, o
segundo, o quinto e o décimo:
favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre
representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
favorece que o professor estabeleça relações/comparações entre
expressões numéricas ou entre medidas;
favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência
numérica entre duas medidas ou entre duas expressões;
favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita.
No trecho ―384 000 km, ou seja, 384
10
9
mm‖, o Caderno do Professor
(SÃO PAULO, 2009a) apresenta o caracterizador do pensamento algébrico que
―favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência numérica
entre duas medidas ou entre duas expressões‖ — neste caso, na igualdade como
27
[...]desenvolver a capacidade para reconhecer padrões, descobrir regras, deduzir métodos
gerais e descrevê-los. [...] usar símbolos para representar uma situação geral, uma regra ou um
método, ou relacionar expressões gerais entre si. [Tradução nossa.]
69
equivalência entre duas medidas de comprimento expressas com unidades
diferentes, denotando porém a mesma distância.
O caracterizador do pensamento algébrico ―favorece que o professor
perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a
uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico‖ está
presente na inequação ―2
n
2
3
10
–2
> 384
10
9
‖. A partir da generalização para n
dobraduras ―2
n
2
3
10
–2
mm‖ e da distância da Terra à Lua ―384
10
9
mm‖, o
professor, valendo-se da comparação ―>‖, símbolo representante de uma relação
matemática (―maior que‖), poderá responder quantas dobraduras (n) são
necessárias para que a espessura do papel dobrado ultrapasse a distância da
Terra à Lua.
Consequentemente, a inequação ―2
n
2
3
10
–2
> 384
10
9
‖ envolve os
outros dois caracterizadores do pensamento algébrico: aquele que ―favorece que
o professor estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou
entre medidas‖ e o que ―favorece que o professor perceba o uso da variável como
incógnita‖.
A terceira e a quarta unidades de registro envolvem o sexto caracterizador
do pensamento algébrico do Quadro 5: ―favorece que o professor transforme uma
expressão ou representação numérica em outra‖, utilizando o ―transformismo
algébrico‖ indicado por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993).
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p. 83), a expressão
―transformismo algébrico‖ serve ―para designar o processo de obtenção de
expressões algébricas equivalentes mediante o emprego de regras e
propriedades válidas‖.
O transformismo algébrico, que percebemos na terceira e na quarta
unidades de registro da resolução proposta do exercício exemplar 3, item c,
requer principalmente operações para a resolução de inequações e propriedades
dos logaritmos que não são explicitadas nesta situação de aprendizagem.
No entanto, observamos algumas propriedades de logaritmos
apresentadas na Situação de Aprendizagem 2 (Figura 1).
70
Na resolução proposta, foram usadas as propriedades designadas
―produto‖ e ―potência‖.
Segundo Figueiredo (2007), os professores poderão apresentar
dificuldades em reconhecer e aplicar as propriedades dos logaritmos.
Utilizando em inequações as categorias concebidas por Ribeiro (2007, p.
127) para equações, constata-se haver neste exercício inequações que se
relacionam com o multissignificado ―dedutivo-geométrico‖, uma vez que em certas
unidades de registro a inequação é ―concebida como noção ligada às figuras
geométricas, segmentos e curvas.‖
3.3.1.4. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 3, item d
Quadro 20 – Resolução proposta do exercício exemplar 3 – item d
Analogamente, sendo a distância da Terra ao Sol aproximadamente igual a
150
10
6
km, ou seja, 150
10
12
mm, teríamos a inequação:
2
n
2
3
10
–2
> 150
10
12
Podemos escrevê-la na forma: 2
n + 3
> 10
15
.
Calculando os logaritmos dos dois membros na base 10, obtemos:
(n + 3)
log 2 > log (3
5) + 15
(n + 3) >
2log
155log3log
Usando o fato de que log 5 = log
2
10
= log 10 – log 2 0,70, resulta:
n + 3 >
30,0
1570,038,0
n + 3 > 53,9
n > 50,9.
Logo, a partir da 51.ª dobradura, seria ultrapassada a distância da Terra ao Sol.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 45)
71
A análise da resolução do exercício exemplar 3, item d, é análoga à análise
da resolução do exercício exemplar 3, item c.
No trecho grifado ―log 5 = log
2
10
= log 10 – log 2 0,70‖, podemos
observar o uso de uma propriedade de logaritmos que até então não fora
utilizada: a propriedade designada no Caderno do Professor como ―quociente‖:
―log
a
N
M
= log
a
M – log
a
N‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 29).
3.3.2. Resultados das análises do exercício exemplar 3
A partir da análise das unidades de registro selecionadas na resolução
proposta para o exercício exemplar 3, buscaremos responder à questão: ―Que
caracterizadores do pensamento algébrico sobre equações e inequações
logarítmicas emergem na análise da resolução proposta do exercício exemplar
3?‖.
O Quadro 21 apresenta os caracterizadores do pensamento algébrico,
adaptados de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), de Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) e de Ursini et al. (2005), que emergiram na análise da resolução
do exercício exemplar 3, da Situação de Aprendizagem 4, proposta no Caderno
do Professor.
72
Quadro 21 – Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da resolução
proposta do exercício exemplar 3.
Item
O Pensamento Algébrico favorece que o professor:
Quantidade
1
perceba e tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
2
2
estabeleça relações/comparações entre expressões
numéricas ou entre medidas;
1
5
interprete uma igualdade como equivalência numérica, entre
duas medidas ou entre duas expressões;
3
6
transforme uma expressão ou representação numérica em
outra;
5
7
desenvolva algum tipo de processo de generalização;
1
8
perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias;
1
10
perceba o uso da variável como incógnita;
2
11
perceba o uso da variável como número geral.
1
No início da Situação de Aprendizagem 4, o Caderno do Professor (SÃO
PAULO, 2009a) afirma que:
As situações práticas [exercícios exemplares] envolverão cálculos em
que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos
significativos. [...] A competência maior a ser desenvolvida é a
capacidade de articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a
intervenção direta na realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
O enunciado do exercício exemplar 3 é apresentado em um contexto
referenciado na realidade e, segundo o Caderno do Professor, significativo, mas
não parece ter ―em vista a intervenção direta na realidade‖ (SÃO PAULO, 2009a,
p. 43).
Com base nos multissignificados de equação concebidos por Ribeiro
(2007), observamos que no enunciado revela-se o significado intuitivo-pragmático,
segundo o qual a equação é concebida ―como noção intuitiva, ligada à ideia de
igualdade entre duas quantidades‖ (RIBEIRO, 2007, p. 127). No decorrer da
73
resolução proposta, que utiliza em inequações as categorias concebidas por
Ribeiro (2007) para equações, constata-se haver nesse exercício inequações que
se relacionam com o multissignificado ―dedutivo-geométrico‖, uma vez que em
certas unidades de registro a inequação é ―concebida como noção ligada às
figuras geométricas, segmentos e curvas.‖
Nesse exercício exemplar 3, pressupomos, com base em Figueiredo
(2007), que as possíveis dificuldades vivenciadas pelos professores em relação
aos tópicos da Álgebra elementar que observamos são a de interpretar o
enunciado e a de reconhecer e aplicar as propriedades dos logaritmos.
3.4 Exercício Exemplar 4
Quadro 22 – Enunciado do exercício exemplar 4
Exercício 4
Algumas estimativas sugerem que a população máxima que o planeta Terra pode
acolher, em função das terras cultiváveis disponíveis, seja da ordem de 45 bilhões
de pessoas. Atualmente, a população da Terra é de cerca de 6,7 bilhões, e os
censos revelam que a população tem dobrado a cada 30 anos. Com base nessas
suposições, calcule em quantos anos, a partir de agora, a população da Terra
atingiria o limite suportável.
Fonte: São Paulo (2009a, p.45-46)
O exercício exemplar 4 é apresentado em um contexto significativo,
atendendo assim ao que propõe o Caderno do Professor na apresentação da
Situação de Aprendizagem 4: ―As situações práticas envolverão cálculos em que
equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos significativos. [...],
tendo em vista a intervenção direta na realidade‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 43). O
cálculo da quantidade de anos necessária para que a população da Terra atinja o
limite suportável de atendimento a suas exigências alimentares retrata, de fato,
uma situação baseada em fatos reais.
74
Figueiredo (2007) aponta que alguns professores podem encontrar
dificuldades em interpretar questões expressas em língua materna e, por isso,
podem não saber resolvê-los.
No enunciado do exercício exemplar 4, pressupomos que o
multissignificado presente também seja o intuitivo-pragmático (Quadro 3),
segundo o qual a equação é concebida ―como noção intuitiva ligada à ideia de
igualdade entre duas quantidades‖ (RIBEIRO, 2007, p. 127).
3.4.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 4
O Quadro 23 apresenta, grifadas, sete unidades de registro que foram
selecionadas para a análise da resolução, que será apresentada
subsequentemente.
Quadro 23 – Resolução proposta do exercício exemplar 4
Sendo N a população da Terra, sabendo que ela dobra a cada 30 anos, podemos
escrever: N(t) = N
0
30
t
2
(N em bilhões de habitantes, t em anos, N
0
= 6,7).
(Observe que, para t = 30, temos N(30) = 2N
0
; para t = 60, temos N(60) = 4N
0
)
A questão a ser respondida é para qual valor de t temos N(t) = 45; temos,
portanto: 6,7
30
t
2
= 45.
Isso significa que
30
t
2
=
76
45
,
= 6,72 e, portanto,
30
t
= log
2
6,72 2,75.
Logo, t 30
2,75 82,5 anos, ou seja, a população da Terra atingirá o limite
máximo suportável daqui a 82 anos e meio, aproximadamente, seguindo as
estimativas*.
*Certamente há controvérsias sobre o fato de que a população dobraria a cada 30
anos.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 46)
75
Na primeira unidade de registro (―Sendo N a população da Terra, sabendo
que ela dobra a cada 30 anos‖), observamos o envolvimento do primeiro
caracterizador do pensamento algébrico listado no Quadro 5: ―favorece que o
professor tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a
uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico‖.
Com esse primeiro trecho grifado, o Caderno do Professor pressupõe que
o professor seja capaz de construir a segunda unidade de registro: ―N(t) = N
0
30
t
2
‖.
Nessa segunda unidade de registro, (―N(t) = N
0
30
t
2
”), supomos o
envolvimento de três caracterizadores do pensamento algébrico do Quadro 5: o
sétimo, o oitavo e o décimo segundo:
favorece que o professor desenvolva algum tipo de processo de
generalização;
favorece que o professor perceba e tente expressar regularidades ou
invariâncias;
favorece que o professor perceba o uso da variável como relação funcional.
A equação apresentada (―N(t) = N
0
30
t
2
‖) e a explicação redigida como ―(N
em bilhões de habitantes, t em anos, N
0
= 6,7). Observe que, para t = 30, temos
N(30) = 2N
0
; para t = 60, temos N(60) = 4N
0
‖ sugerem a necessidade de uma
generalização para o cálculo da quantidade de habitantes no decorrer dos
próximos anos. Por outro lado, a quantidade atual de habitantes (cerca de 6,7
bilhões) e o fato de que a população dobrará a cada 30 anos são apresentados
como invariâncias.
O décimo segundo caracterizador do pensamento algébrico, que ―favorece
que o professor perceba o uso da variável como relação funcional‖, se faz
presente em ―N(t) = N
0
30
t
2
”, porque a variável ―N‖ (população em bilhões de
habitantes) se calcula em função de ―t‖ (anos).
Ursini et al. (2005) afirmam que:
76
[...] para trabajar con las variables en relación funcional, es necesario ser
capaz de reconocer, en primer lugar, que en ciertas situaciones están
involucradas cantidades cuyos valores están relacionados; en segundo
lugar, que, en tales situaciones, la variación de una cantidad afecta la
variación de la otra
28
. (URSINI et al., 2005, p. 34)
No terceiro trecho grifado (terceira unidade de registro) (―Observe que, para
t = 30, temos N(30) = 2N
0
; para t = 60, temos N(60) = 4N
0
‖), podemos observar o
nono caracterizador do pensamento algébrico, que ―favorece que o professor
perceba a relação de dependência das variáveis”. Nesse caso, há relação de
dependência entre a variável ―N‖ (população em bilhões de habitantes) e a
variável ―t‖ (anos).
Na quarta unidade de registro (―A questão a ser respondida é para qual
valor de t temos N(t) = 45; temos, portanto: 6,7
30
t
2
= 45‖), pressupomos três
caracterizadores do pensamento algébrico listados no Quadro 5. São eles o
quinto, o sexto e o décimo:
favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência
numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões;
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra;
favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita.
Quando o Caderno do Professor substitui as variáveis da equação
―N(t) = N
0
30
t
2
‖ por valores reais (―6,7
30
t
2
= 45‖), pressupõe favorecer que o
professor interprete a igualdade como uma equivalência numérica, entre duas
expressões e transforme uma expressão em outra.
O caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor
perceba o uso da variável como incógnita‖ se encontra presente no trecho grifado
―A questão a ser respondida é para qual valor de t temos N(t) = 45; temos,
28
―[...] para trabalhar com as variáveis de relação funcional, é necessário ser capaz de
reconhecer, em primeiro lugar, que em certas situações estão envolvidas quantidades cujos
valores estão relacionados; em segundo lugar, que, em tais situações, a variação de uma
quantidade afeta a variação da outra [co-variação].‖ [Tradução nossa.]
77
portanto: 6,7
30
t
2
= 45‖, já que segundo Ursini et al. (2005), o professor (ou o
aluno):
[...] debe ser capaz de reconocer que en cierta situación está involucrada
una cantidad cuyo valor no conocemos, pero que es posible determinar
tomando en consideración los datos proporcionados
29
. (URSINI et al.,
2005, p. 27)
Na quinta (―
30
t
2
=
76
45
,
= 6,72‖), sexta (―
30
t
= log
2
6,72
2,75‖) e sétima (―t
30
2,75
82,5‖) unidades de registro, podemos perceber o caracterizador do
pensamento algébrico que ―favorece que o professor transforme uma expressão
ou representação numérica em outra‖.
A ―transformação de uma expressão ou representação numérica em outra‖
se dá a partir do trecho grifado ―
30
t
2
=
76
45
,
= 6,72‖, onde a potência ―
30
t
2
‖ é isolada,
encontrando-se ―
30
t
2
= 6,72‖. Para calcular o valor de ―t‖, o Caderno do Professor
não explica o procedimento adotado, mas apresenta a seguinte equação: ―
30
t
=
log
2
6,72
2,75‖, que é obtida após aplicação do logaritmo de base 2 aos dois
membros da equação: ―
30
t
2
= 6,72
log
2
30
t
2
= log
2
6,72‖. Utilizando a propriedade
de potência dos logaritmos, ―log
a
(M
k
) = k log
a
M‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 29),
obtemos ―
30
t
= log
2
6,72‖. O Caderno do Professor tampouco explica como
calcular ―log
2
6,72‖, nem fornece seu valor no enunciado do exercício exemplar 4,
mas na resolução proposta adota ―log
2
6,72
2,75‖, Apresentando então o último
trecho grifado (―t
30
2,75
82,5‖) como o valor de ―t‖ em anos.
Segundo Figueiredo (2007), uma das dificuldades apresentadas por
professores em relação aos tópicos de Álgebra Elementar é a de não
29
―[...] deve ser capaz de reconhecer que em certas situações está envolvida uma quantidade
cujo valor não conhecemos, mas que é possível determinar levando-se em consideração os
dados fornecidos.‖ [Tradução nossa.]
78
reconhecerem e não aplicarem propriedades das operações — nessas três
últimas unidades de registro, as propriedades dos logaritmos (Figura 1).
A ressalva feita no último parágrafo da resolução proposta (―Certamente há
controvérsias sobre o fato de que a população dobraria a cada 30 anos‖) se deve
ao fato de que o modelo matemático sugerido para a estimativa da população
mundial máxima que poderá ser atendida pelos recursos alimentares da Terra,
em função de suas terras cultiváveis, não é aceita por toda a comunidade
científica.
3.4.2. Resultados das análises do exercício exemplar 4
A partir da análise das unidades de registro selecionadas na resolução
proposta para o exercício exemplar 4, buscaremos responder à questão: ―Que
caracterizadores do pensamento algébrico sobre equações e inequações
logarítmicas emergem na análise da resolução proposta do exercício exemplar
4?‖.
O Quadro 24 apresenta os caracterizadores do pensamento algébrico,
adaptados de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), de Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) e de Ursini et al. (2005), que emergiram na análise da resolução
do exercício exemplar 4, da Situação de Aprendizagem 4, proposta no Caderno
do Professor.
79
Quadro 24 – Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da resolução
proposta do exercício exemplar 4.
Item
O Pensamento Algébrico favorece que o professor:
Quantidade
1
perceba e tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
1
5
interprete uma igualdade como equivalência numérica,
entre duas medidas ou entre duas expressões;
1
6
transforme uma expressão ou representação numérica em
outra;
4
7
desenvolva algum tipo de processo de generalização;
1
8
perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias;
1
9
perceba a relação de dependência das variáveis;
1
10
perceba o uso da variável como incógnita;
1
12
perceba o uso da variável como relação funcional.
1
No início da Situação de Aprendizagem 4, o Caderno do Professor (SÃO
PAULO, 2009a) afirma que:
As situações práticas [exercícios exemplares] envolverão cálculos em
que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos
significativos. [...] A competência maior a ser desenvolvida é a
capacidade de articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a
intervenção direta na realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
O exercício exemplar 4 é apresentado em um contexto significativo,
atendendo assim ao que propõe o Caderno do Professor ao focalizar a Situação
de Aprendizagem 4.
Com base nos multissignificados de equação concebidos por Ribeiro
(2007), observamos que no enunciado revela-se o significado intuitivo-pragmático,
segundo o qual a equação é concebida ―como noção intuitiva, ligada à ideia de
igualdade entre duas quantidades‖ (RIBEIRO, 2007, p. 127).
Nesse exercício exemplar 4, pressupomos, com base em Figueiredo
(2007), que as possíveis dificuldades vivenciadas pelos professores em relação
80
aos tópicos da Álgebra elementar que observamos são a de interpretar questões
expressas em língua materna e a de reconhecer e aplicar as propriedades dos
logaritmos.
3.5 Análise do Exercício Exemplar 5
Quadro 25 – Enunciado do exercício exemplar 5
Exercício 5
Um capital C
0
é aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano (os juros
são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano). Calcule em quantos
anos o capital dobrará seu valor inicial (dados: log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845).
Fonte: São Paulo (2009a, p. 46)
Segundo Eves (2004), o cálculo de juros é um dos temas atuais em que se
utilizam logaritmos, o que torna este exercício exemplar 5 uma situação-problema
situada em um contexto significativo, como propõe o Caderno do Professor (SÃO
PAULO, 2009a) ao apresentar a Situação de Aprendizagem 4:
As situações práticas envolverão cálculos em que equações e
inequações deverão ser resolvidas em contextos significativos. [...] A
competência maior a ser desenvolvida é a capacidade de articular os
conhecimentos já estudados, tendo em vista a intervenção direta na
realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
Pressupomos como pertencente ao multissignificado intuitivo-pragmático a
ideia de equação presente nesse exercício, uma vez que, segundo Ribeiro (2007,
p. 127), ela se caracteriza como ―equação concebida como noção intuitiva, ligada
à ideia de igualdade entre duas quantidades‖, com ―utilização relacionada à
resolução de problemas de ordem prática originários de situações do dia a dia‖.
Observamos a ausência do sinal de aproximação nos valores dos
logaritmos fornecidos no enunciado: ―dados log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845‖ (SÃO
PAULO, 2009a, p. 46).
81
Ressaltamos que não consta no Caderno do Professor qualquer alusão às
fórmulas para o cálculo de montante, taxa de juros, juros simples ou compostos.
Pressupomos, então, com base em Figueiredo (2007), uma possível dificuldade
para os professores na interpretação do enunciado do exercício. Nos ―Conteúdos
Básicos do Bimestre‖ (Anexo B), porém, o Caderno (SÃO PAULO, 2009a, p. 9)
afirma ser ―muito importante que o professor conheça as diversas
contextualizações dos logaritmos (graus de terremotos, acidez de líquidos,
intensidade sonora, magnitude de estrelas, cálculo de juros, etc.) [...]‖.
3.5.1. Análise da resolução proposta do exercício exemplar 5
No Quadro 26 selecionamos para análise sete trechos (aqui grifados) da
resolução, os quais são apresentados um a um subsequentemente.
82
Quadro 26 – Resolução proposta do exercício exemplar 5
O valor C
1
do capital ao final do primeiro ano será: C
1
= C
0
+ 12% de C
0
, ou seja,
C
1
= C
0
(1 + 0,12) = 1,12 C
0
.
O valor C
2
do capital ao final do segundo ano será:
C
2
= C
1
(1 + 0,12) = C
0
(1,12)
2
.
O valor C
(t)
do capital ao final de t anos será: C
(t)
= C
0
(1 + 0,12)
t
.
O capital dobrará de valor quando C
(t)
= 2C
0
, ou seja, quando C
(0)
1,12
t
= 2C
0
, o
que significa que 1,12
t
= 2.
Calculando o logaritmo dos dois membros dessa igualdade, temos:
t
log 1,12 = log 2, ou seja, t =
12,1log
2log
.
Calculando log 1,12, obtemos:
100
112
log
= log 112 – log 100 = log (2
4
7) – 2 = 4
log 2 + log 7 – 2 0,049
O valor de t, portanto, será: t =
049,0
301,0
= 6,14 anos 6 anos e 2 meses.
Como os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, somente
após sete anos será possível dispor do capital dobrado.
Fonte: São Paulo (2009a, p. 46).
Na primeira unidade de registro ―O valor C
1
do capital ao final do primeiro
ano será: C
1
= C
0
+ 12% de C
0
, ou seja, C
1
= C
0
(1 + 0,12) = 1,12 C
0
‖, podemos
observar quatro caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5): o primeiro,
o sexto, o nono e o décimo segundo:
favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre
representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra;
favorece que o professor perceba a relação de dependência das variáveis;
favorece que o professor perceba o uso da variável como relação funcional.
O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009a) pressupõe que o professor
consiga com as informações obtidas do enunciado expressar a equação referente
83
ao cálculo dos juros simples do capital ao final do primeiro ano: ―C
1
= C
0
+ 12% de
C
0
‖, tendo como variáveis o montante referente ao primeiro ano (C
1
) e o capital
inicial (C
0
).
O trecho grifado ―C
1
= C
0
+ 12% de C
0
, ou seja, C
1
= C
0
(1 + 0,12) =
1,12 C
0
‖ nos mostra o sexto caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5),
que ―favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra‖.
O caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor
perceba a relação de dependência das variáveis‖ está presente, pois o valor da
variável ‗montante‘ (neste caso, C
1
) é dependente do valor da variável ‗capital
inicial‘ (C
0
).
Na parte grifada ―C
1
= C
0
(1 + 0,12) = 1,12 C
0
‖, da primeira unidade de
registro, observamos o caracterizador do pensamento algébrico, que ―favorece
que o professor perceba o uso da variável como relação funcional‖, porque a
variável ―C
1
‖ (montante após um ano de aplicação) se obtém em função de ―C
0
‖
(capital inicial): C
1
= 1.12 C
0
.
Ursini et al. (2005) afirmam que:
[...] para trabajar con las variables en relación funcional, es necesario ser
capaz de reconocer, en primer lugar, que en ciertas situaciones están
involucradas cantidades cuyos valores están relacionados; en segundo
lugar, que, en tales situaciones, la variación de una cantidad afecta la
variación de la otra
30
. (URSINI et al., 2005, p. 34)
No segundo trecho grifado (segunda unidade de registro), ou seja,
C
2
= C
1
(1 + 0,12) = C
0
(1,12)
2
, pressupomos quatro caracterizadores do
pensamento algébrico (Quadro 5). São eles o quinto, o sexto, o sétimo e o oitavo:
favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência
numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões;
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra;
30
―[...] para trabalhar com as variáveis de relação funcional, é necessário ser capaz de
reconhecer, em primeiro lugar, que em certas situações estão envolvidas quantidades cujos
valores estão relacionados; em segundo lugar, que, em tais situações, a variação de uma
quantidade afeta a variação da outra [co-variação].‖ [Tradução nossa.]
84
favorece que o professor desenvolva algum tipo de processo de
generalização;
favorece que o professor perceba e tente expressar regularidades ou
invariâncias.
No trecho ―C
1
(1 + 0,12) = C
0
(1,12)
2
‖, podemos observar o
caracterizador do pensamento algébrico que ―favorece que o professor interprete
uma igualdade como equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas
expressões‖, por meio de outro caracterizador do pensamento algébrico, que
―favorece que o professor transforme uma expressão ou representação numérica
em outra‖, quando o Caderno do Professor substitui C
1
pela expressão 1,12
C
0
,
apresentada na primeira unidade de registro, e simplifica a expressão
1,12 C
0
(1 + 0,12) em C
0
(1,12)
2
.
Ainda nesse trecho, percebemos, com base em Figueiredo (2007), que o
professor pode apresentar dificuldades em reconhecer a possibilidade de
fatoração na expressão algébrica citada.
Quando o Caderno do Professor propõe determinar o montante após dois
anos de aplicação (C
2
) através do capital inicial (C
0
), podemos perceber a
tentativa de expressar uma regularidade, e a taxa de juros de 12% como uma
invariância. Consequentemente, pressupõe que isso favorece que o professor
desenvolva algum tipo de processo de generalização — outro caracterizador do
pensamento algébrico.
Na terceira unidade de registro (―C
(t)
= C
(0)
(1,12)
t
‖), podemos observar a
equação final do processo de generalização e a presença de dois
caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5): o nono e o décimo
segundo:
favorece que o professor perceba a relação de dependência das variáveis;
favorece que o professor perceba o uso da variável como relação funcional.
Nesse trecho, ―C
(t)
‖ se apresenta como uma variável dependente de outras
duas variáveis: o capital inicial (C
0
) e o tempo de aplicação (t) em anos. Segundo
Ursini et al. (2005, p. 34) em uma relação funcional ―la variación de una cantidad
afecta la variación de la otra
31
‖.
31
―[...] a variação de uma quantidade afeta a variação da outra [co-variação]‖. [Tradução nossa.]
85
No quarto trecho grifado (quarta unidade de registro), ou seja, ―O capital
dobrará de valor quando C
(t)
= 2C
0
, ou seja, quando C
(0)
1,12
t
= 2C
0
, o que
significa que 1,12
t
= 2‖, pressupomos dois caracterizadores do pensamento
algébrico (Quadro 5). São eles o primeiro e o sexto:
favorece que o professor perceba e tente expressar relações entre
representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra.
Dividindo a quarta unidade de registro em duas partes, temos na primeira
parte grifada (―O capital dobrará de valor quando C
(t)
= 2C
0
‖) o primeiro
caracterizador do pensamento algébrico (Quadro 5): ―favorece que o professor
perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a
uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico‖. Na
segunda parte grifada (―ou seja, quando C
(0)
1,12
t
= 2C
0
, o que significa que
1,12
t
= 2‖), temos o sexto caracterizador do pensamento algébrico: ―favorece que
o professor transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖.
Na quinta unidade de registro (―t
log 1,12 = log 2, ou seja, t =
12,1log
2log
‖) e
na sexta (―
100
112
log
= log 112 – log 100 = log (2
4
7) – 2 =
= 4
log 2 + log 7 – 2 0,049‖), podemos perceber o sexto caracterizador do
pensamento algébrico (Quadro 5): ―favorece que o professor transforme uma
expressão ou representação numérica em outra‖.
Essas transformações se dão através dos processos de resolução de
equações e das propriedades logarítmicas de produto, quociente e potência,
apresentadas na Figura 1. Segundo Figueiredo (2007), uma das dificuldades
apresentadas pelos professores em relação aos tópicos de Álgebra Elementar é a
de não reconhecerem e não aplicarem propriedades das operações — neste
caso, em relação a logaritmos.
86
Na sétima unidade de registro (―t =
049,0
301,0
= 6,14 anos 6 anos e 2
meses‖), pressupomos quatro caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro
5): o segundo, o quinto, o sexto e o décimo:
favorece que o professor estabeleça relações/comparações entre
expressões numéricas ou entre medidas;
favorece que o professor interprete uma igualdade como equivalência
numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões;
favorece que o professor transforme uma expressão ou representação
numérica em outra;
favorece que o professor perceba o uso da variável como incógnita.
No início dessa unidade de registro, (―t =
049,0
301,0
= 6,14 anos‖), podemos
observar a transformação de uma representação numérica em outra e o uso da
variável t (anos) como incógnita, pois, segundo Ursini et al. (2005), para
reconhecer o uso da variável como incógnita devemos ser capazes de:
[...] reconocer que en cierta situación está involucrada una cantidad cuyo
valor no conocemos, pero que es posible determinar tomando en
consideración los datos proporcionados.
32
(URSINI et al., 2005, p. 27)
Nesse mesmo trecho, percebemos que o valor encontrado para t é 6,14
anos, mas o que significa 0,14 anos? Essa passagem propicia mais um
caracterizador do pensamento algébrico, o que favorece que o professor
estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas.
No final da mesma unidade de registro, no trecho grifado ―6,14 anos 6
anos e 2 meses‖ podemos observar o quinto caracterizador do pensamento
algébrico, o qual ―favorece que o professor interprete uma igualdade como
equivalência numérica, entre duas medidas ou entre duas expressões‖.
32
―[...] reconhecer que em certas situações está envolvida uma quantidade cujo valor não
conhecemos, mas que é possível determinar levando-se em consideração os dados fornecidos.‖
[Tradução nossa.]
87
No entanto, o tempo t procurado não é de aproximadamente 6 anos e 2
meses, pois, uma vez que ―os juros são incorporados ao capital apenas ao final
de cada ano, somente após sete anos será possível dispor do capita dobrado‖.
3.4.1. Resultados das análises do exercício exemplar 5
A partir da análise das unidades de registro selecionadas na resolução
proposta para o exercício exemplar 5, buscaremos responder à questão: ―Que
caracterizadores do pensamento algébrico sobre equações e inequações
logarítmicas emergem na análise da resolução proposta do exercício exemplar
5?‖.
O Quadro 27 apresenta os caracterizadores do pensamento algébrico,
adaptados de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), de Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) e de Ursini et al. (2005), que emergiram das análises da
resolução do exercício exemplar 5, da Situação de Aprendizagem 4, proposta no
Caderno do Professor considerado.
88
Quadro 27 – Caracterizadores do pensamento algébrico revelados na análise da resolução
proposta do exercício exemplar 5.
Item
O Pensamento Algébrico favorece que o professor:
Quantidade
1
perceba e tente expressar relações entre representações
numéricas pertinentes a uma situação-problema em um
modelo aritmético/algébrico ou geométrico;
2
2
estabeleça relações/comparações entre expressões
numéricas ou entre medidas;
1
5
interprete uma igualdade como equivalência numérica, entre
duas medidas ou entre duas expressões;
2
6
transforme uma expressão ou representação numérica em
outra;
6
7
desenvolva algum tipo de processo de generalização;
1
8
perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias;
1
9
perceba a relação de dependência das variáveis;
2
10
perceba o uso da variável como incógnita;
1
12
perceba o uso da variável como relação funcional.
2
Ao apresentar a Situação de Aprendizagem 4, o Caderno do Professor
afirma que:
As situações práticas [exercícios exemplares] envolverão cálculos em
que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos
significativos. [...] A competência maior a ser desenvolvida é a
capacidade de articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a
intervenção direta na realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
O enunciado do exercício exemplar 5 está situado em um contexto
significativo e tem ―em vista a intervenção direta na realidade‖ (SÃO PAULO,
2009a, p. 43), já que o cálculo de juros é um tema atual, o que corresponde à
afirmação do Caderno do Professor acima reproduzida.
Observamos a presença do multissignificado ―intuitivo-pragmático‖ na ideia
de equação presente nesse exercício, pois esta se caracteriza como ―equação
concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas
89
quantidades‖, com ―utilização relacionada à resolução de problemas de ordem
prática originários de situações do dia a dia‖ (RIBEIRO, 2007, p. 127).
Considerando os aspectos identificados por Figueiredo (2007),
pressupomos uma possível dificuldade dos professores em interpretar o exercício,
por não constar no Caderno do Professor qualquer informação a respeito das
fórmulas para o cálculo de montante, taxa de juros e juros simples ou compostos.
Na resolução proposta do exercício exemplar 5, podemos pressupor
também outras duas possíveis dificuldades relacionadas aos tópicos de Álgebra
Elementar, relacionadas por Figueiredo (2007): a dificuldade de reconhecer e
aplicar as propriedades dos logaritmos e a de reconhecer as possibilidades de
fatoração de expressões algébricas.
90
CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
CONSIDERAÇÕES FINAIS
As análises das resoluções dos exercícios exemplares selecionados,
pertinentes à Situação de Aprendizagem 4, propostas no Caderno do Professor
(SÃO PAULO, 2009a) nos aproximaram a possíveis respostas a nossa questão
de pesquisa: “Que aspectos do pensamento algébrico sobre equações e
inequações logarítmicas emergem na análise do Caderno do Professor do terceiro
bimestre do primeiro ano do Ensino Médio?”.
Em retrospectiva, cabe ter em mente que Fiorentini, Miorim e Miguel (1993)
consideram que o pensamento algébrico é um pensamento especial que pode se
manifestar na Matemática e em outras áreas do conhecimento e que se
caracteriza por alguns elementos, incluindo:
[...] percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em
contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicar a
estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de
generalização. (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 87).
Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), por sua vez, ampliam os
elementos caracterizadores do pensamento algébrico, como expusemos no
Capítulo 1 (Quadro 2, reproduzido a seguir).
91
Quadro 2 – Caracterizadores do pensamento algébrico, segundo Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005, p. 5).
Caracterizadores do Pensamento Algébrico
1
Estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou
padrões geométricos;
2
Percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-
problema;
3
Produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-
problema;
4
Produz vários significados para uma mesma expressão numérica;
5
Interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou
entre duas expressões numéricas;
6
Transforma uma expressão aritmética em outra mais simples;
7
Desenvolve algum tipo de processo de generalização;
8
Percebe e tenta expressar regularidades ou invariâncias;
9
Desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao
expressar-se matematicamente.
Devido à natureza dos dados, também tomamos como base Ursini et al.
(2005), detalhando a presença do processo de generalização com a inclusão de
certos elementos caracterizadores do pensamento algébrico, segundo o uso de
variáveis.
Contemplando esses referenciais e aliando-os ao referencial teórico-
metodológico adotado — com base em Laville e Dione (1999), em razão de a
presente pesquisa apresentar perfil qualitativo e calcado na análise de conteúdo
—, tomamos os caracterizadores acima referidos e os reordenamos a partir de
nossa interpretação, segundo o que emergiu dos dados, compondo assim um
quadro com elementos caracterizadores do pensamento algébrico (Quadro 5). O
Quadro 28 apresenta esses caracterizadores e também indica a quantidade de
vezes em que puderam ser relacionados com os dados da presente pesquisa.
92
Quadro 28 – Caracterizadores do pensamento algébrico que emergiram na análise das
resoluções propostas dos exercícios exemplares selecionados pertinentes à Situação de
Aprendizagem 4.
Item
O Caracterizador do Pensamento
Algébrico favorece que o professor:
Quantidade
Ex.
1
Ex.
2
Ex.
3
Ex.
4
Ex.
5
Total
1
perceba e tente expressar relações entre
representações numéricas pertinentes a
uma situação-problema em um modelo
aritmético/algébrico ou geométrico;
1
1
2
1
2
7
2
estabeleça relações/comparações entre
expressões numéricas ou entre medidas;
1
2
1
0
1
5
3
produza mais de um modelo
aritmético/algébrico ou geométrico para
uma situação problema;
0
0
0
0
0
0
4
produza vários significados para uma
mesma expressão;
0
0
0
0
0
0
5
interprete uma igualdade como equivalência
numérica entre duas medidas ou entre duas
expressões;
0
0
3
1
2
6
6
transforme uma expressão ou
representação numérica em outra;
1
1
5
4
6
17
7
desenvolva algum tipo de processo de
generalização;
0
0
1
1
1
3
8
perceba e tente expressar regularidades ou
invariâncias;
0
0
1
1
1
3
9
perceba a relação de dependência das
variáveis;
0
0
0
1
1
3
10
perceba o uso da variável como incógnita;
1
1
2
1
1
6
11
perceba o uso da variável como número
geral;
0
0
1
0
0
1
12
perceba o uso da variável como relação
funcional;
0
0
0
1
2
3
13
verifique se o aluno desenvolve ou cria uma
linguagem mais concisa ao expressar uma
sentença ou expressão matemática.
0
0
0
0
0
0
93
Observando o Quadro 28, podemos notar que os caracterizadores do
pensamento algébrico 3, 4 e 13 não emergiram em nenhuma das análises.
O terceiro caracterizador do pensamento algébrico (―favorece que o
professor produza mais de um modelo aritmético/algébrico ou geométrico para
uma situação-problema‖) tampouco compareceu, já que o Caderno do Professor,
na Situação de Aprendizagem 4, propõe uma resolução para cada exercício
exemplar.
O quarto caracterizador do pensamento algébrico (―favorece que o
professor produza vários significados para uma mesma expressão‖) não emergiu
durante as análises porque a Situação de Aprendizagem 4 não oferece exercícios
exemplares em que seja necessário atribuir significações a expressões, ou seja,
tem-se nos exercícios exemplares analisados um caminho inverso ao das
situações-problema cujo objetivo seja ―chegar às expressões simbólicas através
da análise de situações concretas‖ (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 90).
O décimo terceiro caracterizador do pensamento algébrico (―favorece que o
professor verifique se o aluno desenvolve ou cria uma linguagem mais concisa ao
expressar uma sentença ou expressão matemática‖) tampouco emergiu nas
análises, pois tem o objetivo de verificar se o aluno desenvolve ou cria uma
linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática, e
na Situação de Aprendizagem 4 não encontrarmos propostas que viabilizem esse
caracterizador do pensamento algébrico.
A Proposta Curricular (São Paulo, 2008a) e as orientações do Caderno do
Professor (São Paulo, 2009a) esclarecem essas ausências, pois não pretendem
cobrir todo o conteúdo a ser trabalhado pelo professor, deixando a seu cargo a
criação de situações de aprendizagem com a mesma abordagem oferecida no
Caderno do Professor.
O sexto caracterizador do pensamento algébrico (―favorece que o professor
transforme uma expressão ou representação numérica em outra‖) emergiu em
todas as análises e em quantidade de vezes consideradamente maior (17) que os
outros caracterizadores. As resoluções dos exercícios exemplares 3 e 5 recorrem
94
reiteradamente ao transformismo algébrico
33
para a resolução da situação-
problema.
Os três usos das variáveis adotados nesta pesquisa — incógnita, número
geral e relação funcional, segundo Ursini et al. (2005) — mostraram-se presentes
nas resoluções selecionadas, com predominância da utilização da variável como
incógnita, o que ocorreu em todos os exercícios exemplares aqui analisados. As
autoras afirmam que para a compreensão do uso da variável como incógnita, o
aluno deve ser capaz:
[...] de reconocer que en cierta situación está involucrada una cantidad
cuyo valor no conocemos, pero que es posible determinar tomando en
consideración los datos proporcionados
34
. (URSINI et al., 2005, p. 27)
Observamos que os exercícios exemplares da Situação de Aprendizagem
4 favoreceram a presença de dez dos treze caracterizadores do pensamento
algébrico, o que nos permite concluir que essa situação de aprendizagem também
tem como objetivo o desenvolvimento do pensamento algébrico em professores e
alunos.
Ao apresentar a Situação de Aprendizagem 4, o Caderno do Professor
afirma que:
As situações práticas [exercícios exemplares] envolverão cálculos em
que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos
significativos. [...] A competência maior a ser desenvolvida é a
capacidade de articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a
intervenção direta na realidade. (SÃO PAULO, 2009a, p. 43)
Percebemos nas análises que os enunciados dos exercícios exemplares 1,
4 e 5 estão inseridos em um contexto designado como significativo. O exercício
exemplar 5 também tem ―em vista a intervenção direta na realidade‖ (SÃO
PAULO, 2009a, p. 43), pois, segundo Eves (2004), o cálculo de juros é um dos
33
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p. 83), a expressão ―transformismo algébrico‖ serve
―para designar o processo de obtenção de expressões algébricas equivalentes mediante o
emprego de regras e propriedades válidas‖ — em nossa pesquisa, sobre os logaritmos.
34
―[...] de reconhecer que em certas situações está envolvida uma quantidade cujo valor não
conhecemos, mas que é possível determinar levando-se em consideração os dados
fornecidos.‖ [Tradução nossa.]
95
temas atuais em que se utilizam logaritmos, o que corresponde à afirmação do
Caderno do Professor acima reproduzida.
Observamos o multissignificado intuitivo-pragmático na ideia de equação
presente na maioria dos enunciados e das resoluções propostas dos exercícios
exemplares, pois nessa visão a equação é ―concebida como noção intuitiva,
ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades‖ e com ―utilização relacionada
à resolução de problemas de ordem prática originários de situações do dia a dia‖
(RIBEIRO, 2007, p. 127). Utilizando em inequações as categorias concebidas por
Ribeiro (2007, p. 127) para equações, constatamos que o exercício exemplar 3
traz inequações que se relacionam com o multissignificado dedutivo-geométrico,
uma vez que em certas unidades de registro a inequação revelou-se ―concebida
como noção ligada às figuras geométricas, segmentos e curvas‖.
Figueiredo (2007) afirma que ―tanto os professores quanto os alunos
reconhecem que muitos estudantes, ao ingressarem no curso [de Licenciatura em
Matemática], apresentam várias dificuldades com tópicos da Álgebra Elementar e
que no decorrer dos semestres nem todos conseguem superá-las‖
(FIGUEIREDO, 2007, p. 265). Dentre os aspectos identificados por essa autora,
observamos quatro possíveis dificuldades relacionadas aos tópicos de Álgebra
elementar que os professores vivenciariam nos exercícios exemplares analisados:
(1) dificuldade em interpretar enunciados, (2) dificuldade em reconhecer e aplicar
as propriedades dos logaritmos, (3) dificuldade em reconhecer as fórmulas para o
cálculo de montante, taxa de juros e juros simples ou compostos e (4) dificuldade
em reconhecer as possibilidades de fatoração de expressões algébricas.
Na presente pesquisa, ao analisarmos os caracterizadores do pensamento
algébrico presentes nas resoluções propostas dos exercícios exemplares da
Situação de Aprendizagem 4, tivemos em vista o docente que utiliza o Caderno
do Professor do terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio, sem
focalizarmos o que ocorreria no uso por seus alunos. Para tanto, dentre as
estratégias de análise e interpretação qualitativas disponíveis, optamos pela de
emparelhamento, que consiste em associar a um modelo teórico as unidades de
análise colhidas, com a finalidade de compará-los. Consideramos, porém, que a
verificação sobre a validade da correspondência entre a construção teórica e os
objetos de análise deverá ser o foco de nova pesquisa, que se volte ao uso do
96
material pelos professores, preferivelmente em situação observável (enquanto, ao
realmente prepararem aulas, consultam as respostas que emergem em situações
de aprendizagem).
Cabe ainda indagarmos quais seriam os caracterizadores do pensamento
algébrico revelados pelos alunos em suas produções desses exercícios
exemplares da Situação de Aprendizagem 4. Seriam os mesmos que estamos
concluindo serem aplicáveis aos professores?
A busca de respostas a essas questões é sugerida para futuros estudos.
Esperamos também que a presente pesquisa contribua com o Projeto de
Pesquisa: Expressões, Equações e Inequações, da Prof.
a
D.
ra
Maria Cristina
Souza de Albuquerque Maranhão (2007), com o Grupo de Pesquisa em
Educação Algébrica da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (GPEA-
PUCSP) e com futuras investigações relacionadas com o Caderno do Professor
de Matemática do Estado de São Paulo e outras publicações de apoio ao docente
dessa disciplina.
97
REFERÊNCIAS
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professores estudantes de um curso de formação continuada em educação matemática.
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– Centro de Ciências Exatas e Tecnologias, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São
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98
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99
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registros de representação semiótica. 2008. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de
Matemática) – Centro de Ciências Exatas e Tecnologias, Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, São Paulo.
100
ANEXOS
101
Anexo A
Orientação geral sobre os Cadernos
102
Anexo B
Conteúdos básicos do bimestre
103
Anexo C
Apresentação da Situação de Aprendizagem 4
104
Anexo D
Exercício Exemplar 1
105
Anexo E
Exercício Exemplar 2
106
Anexo F
Exercício Exemplar 3
107
108
109
Anexo G
Exercício Exemplar 4
110
Anexo H
Exercício Exemplar 5
111
Anexo I
Exercício Exemplar 6
112
Anexo J
Exercício Exemplar 7
113
114
115
Anexo K
Exemplos Ilustrativos de Cálculo de Logaritmos
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