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CHARLES BORGES DE LIMA
ANÁLISE DE DISPOSITIVOS
ELETROMAGNÉTICOS PARA HIPERTERMIA
USANDO O MÉTODO FDTD
FLORIANÓPOLIS
2006
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
EM ENGENHARIA ELÉTRICA
ANÁLISE DE DISPOSITIVOS
ELETROMAGNÉTICOS PARA HIPERTERMIA
USANDO O MÉTODO FDTD
Tese submetida à
Universidade Federal de Santa Catarina
como parte dos requisitos para a
obtenção do grau de Doutor em Engenharia Elétrica.
CHARLES BORGES DE LIMA
Florianópolis, fevereiro de 2006.
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Em memória de meu avô,
Amaurílio Farias de Lima,
e dedicado a meu pai.
iii
“O saber não está na ciência alheia
que se absorve, mas principalmente,
nas idéias próprias que se geram dos
conhecimentos absorvidos, mediante a
transmutação por que passam no espírito
que os assimila.”
Rui Barbosa
iv
Agradecimentos
À Universidade Federal de Santa Catarina, em especial ao Departamento de Pós-gradua-
ção em Engenharia Elétrica, pela oportunidade de crescimento pessoal e profissional durante
o curso de doutorado.
Ao CNPq e CAPES pelo apoio financeiro que permitiu a elaboração desta tese.
Ao professor Walter Pereira Carpes Jr. pela orientação, sugestões, compreensão, ensi-
namentos e dedicação transmitidos durante todo o trabalho.
Ao professor João Pedro Assumpção Bastos pela co-orientação, incentivo e importante
ajuda.
Ao professor Nathan Ida, pela orientação no exterior, atenção e amizade, bem como a
prestimosa Sra. Gay Boden. Também, à University of Akron, EUA, pela acolhida e forneci-
mento de materiais indispensáveis a melhoria desta tese e enriquecimento pessoal.
Aos professores Jefferson Luiz Brum Marques e Edson Roberto de Pieri, bem como aos
amigos do GEMCO, pela compreensão e apoio em momentos decisivos para a continuação
deste trabalho.
Aos amigos e funcionários sempre atenciosos, Celly D. Melo do GRUCAD, Wilson
Silva Costa e Marcelo Manuel Siqueira do Departamento de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica, e a todos os demais amigos do GRUCAD.
Aos professores e amigos, Carlos Antonio França Sartori, Hugo Armando Dominguez
Almanguer, Patrick Kuo-Peng, Mauricio Valencia Ferreira da Luz e Nelson Jhoe Batistela,
pela participação na banca de tese e importantes sugestões e críticas na avaliação deste tra-
balho.
Especialmente ao meu amigo de infância Fábio Fonseca de Oliveira pelo incentivo,
amizade fiel e modelo de determinação. Ao meu amigo Álvaro Martins Da Silva Jr. pelo
apoio em momentos importantes e grande amizade. E também, ao meu amigão e primo,
Itamar Roberto Dieckow.
À Gisela Marie Albernaz Nozaki pelo incentivo incondicional e por não duvidar nunca
da finalização desta obra, também pelos momentos de alegria e sorrisos.
Ao todos os meus familiares que sempre acreditaram no meu potencial e incentivaram-
me a estudar e a ler. Em especial ao meu pai e a minha mãe, pelo apoio no que lhes foi
possível.
A todos que colaboraram direta ou indireta na concretização deste sonho de infância, o
meu sincero muitíssimo obrigado!
v
Resumo da Tese apresentada à UFSC como parte dos requisitos necessários para a obtenção
do grau de Doutor em Engenharia Elétrica.
ANÁLISE DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS
PARA HIPERTERMIA USANDO O MÉTODO FDTD
Charles Borges de Lima
Fevereiro/2006
Orientador: Prof. Walter Pereira Carpes Jr., Dr.
Co-Orientador: Prof. João Pedro Assumpção Bastos, Dr.
Palavras-Chave: Modelagem Numérica, FDTD, Hipertermia, Antenas.
Número de páginas: 136.
RESUMO: Nesta tese são analisados dispositivoseletromagnéticos usados para aquecimento
do tecido biológico trabalhando em diferentes freqüências. Todas as análises são feitas com
o método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo - FDTD. São avaliadas estruturas de
aplicadores de uso comum em hipertermia, tais como o dipolo e a antena corneta. É pro-
posto um sistema capacitivo com placas metálicas ortogonais para aquecimento profundo do
corpo humano aplicado a superfícies curvilíneas. Também são sugeridas antenas planares
para aquecimento local e superficial. Foram realizadas comparações numéricas entre esses
dispositivos de modo a avaliar suas potencialidades. Inicialmente, o método FDTD é apre-
sentado e aplicado a alguns problemas eletromagnéticos tendo como objetivo a validação
dos programas desenvolvidos. Na seqüência, são descritos os aspectos biológicos e físi-
cos da hipertermia bem como sua aplicação no tratamento do câncer. São também discuti-
dos os desafios técnicos existentes e as possíveis soluções para os problemas encontrados.
Os resultados obtidos são promissores, indicando novas possibilidades para dispositivos de
aquecimento hipertérmico utilizando ondas eletromagnéticas.
vi
Abstract of Thesis presented to UFSC as a partial fulfillment of the requirements for the
degree of Doctor in Electrical Engineering.
ANALYSIS OF ELECTROMAGNETIC DEVICES FOR
HYPERTHERMIA USING THE FDTD METHOD
Charles Borges de Lima
February/2006
Advisor: Prof. Walter Pereira Carpes Jr., Dr.
Co-Advisor: Prof. João Pedro Assumpção Bastos, Dr.
Keywords: Numerical Models, FDTD, Hyperthermia, Antennas.
Number of pages: 136.
ABSTRACT: In this thesis, electromagnetic devices working at different frequencies for
heating biological tissue are analyzed. The study is done with the Finite Difference Time
Domain Method - FDTD. Classical structures for hyperthermia, like dipoles and horn anten-
nas, are evaluated. It is proposed a capacitive system with orthogonal metal plates for deep
heating of curved shapes of the human body. Also, patch antennas are proposed for local
and superficial heating. Comparisons between the different devices presented were done.
Firstly, the FDTD method is explained and applied to some electromagnetic problems for
validation of the developed softwares. After, the basic hyperthermia theory is presented,
including biological and physical aspects and its use in cancer therapy. Also, the technical
challenges and possible solutions for the founded problems are discussed. The obtained re-
sults are satisfactory and indicate new possibilities for hyperthermical heating devices based
on electromagnetic waves.
vii
Sumário
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xv
Lista de Siglas xvi
1 Introdução 1
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Organização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Diferenças Finitas no Domínio do Tempo 5
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Fundamentação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Algoritmo de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Algoritmo de Yee em Duas Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Precisão e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Condições Absorventes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.1 Condição Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2 Condição Absorvente de Mur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.3 Camada Perfeitamente Casada - PML . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.4 Camada Perfeitamente Casada Uniaxial - UPML . . . . . . . . . . 35
viii
2.8 Geração Simples de uma Onda Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9 Uso da Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 Modelagem de Fios Finos Perfeitamente Condutores . . . . . . . . . . . . 43
2.11 Meios Dispersivos Usando o Modelo de Debye . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.12 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Validação dos Programas FDTD 49
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Guia de Onda Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Cavidade Ressonante Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Reflexão numa Parede Metálica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Propagação em Meios Não Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Cálculo da Impedância de Dipolos Finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Hipertermia 64
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Ação da Hipertermia em Tumores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Desafios Técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 Medição da Temperatura do Tumor . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Efeitos Colaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Tipos de Hipertermia e Métodos para sua Indução . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7 Mecanismos de Aquecimento dos Tecidos Biológicos . . . . . . . . . . . . 73
4.8 Taxa de Absorção Específica - SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.9 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 Dispositivos para Hipertermia 78
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Dipolos para Hipertermia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.1 Análise com um Dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Conjunto com Dois Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ix
5.2.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Antena Corneta e Sistema Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Antena Corneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 Capacitor com Placas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4 Antenas Planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.1 Antenas Individuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4.2 Conjunto de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Conclusões 100
6.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ANEXO 1 - Derivação do Critério de Estabilidade 105
ANEXO 2 - Programas em Matlab
c
107
ANEXO 3 - Parâmetros da Equação de Cole-cole de 4
o
Ordem 110
Referências Bibliográficas 112
x
Lista de Figuras
2.1 Condições de contorno entre dois meios diferentes: a) elétrica e b) magnética. 12
2.2 Condições de contorno: a) condutor elétrico perfeito e b) condutor mag-
nético perfeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Estimativada derivada de f(x) no ponto P, usando diferenças finitas à direita,
à esquerda e central (Fonte [73]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Posição dos componentes de campo sobre a célula estruturada de Yee: a)
E
circulando
H (modelo usual de célula), e b)
H circulando
E. . . . . . . . . 15
2.5 Visualização dos componentes de campo nas faces da célula de Yee com
notação própria para programação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Tipos de células 2D: a) células TE e b) células TM. . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Variação da velocidade de fase de uma onda de acordo com o ângulo de
propagação numa malha quadrada (∆t = 0, 5∆/c para todos os casos).
Fonte [94]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Pulso gaussiano no domínio do tempo e seu espectro de freqüência. . . . . 21
2.9 Função senoidal multiplicada por uma janela de Hanning. . . . . . . . . . . 22
2.10 Células para análise da ABC simples, modo TM (problema 2D). . . . . . . 24
2.11 Pulso gaussiano se propagando em uma malha de 50×50 células quadradas
em vários instantes de tempo. a) ABC simples e b) ABC Mur1. . . . . . . . 27
2.12 PML circundando uma malha bidimensional, modo de propagação TE. . . . 29
2.13 PML circundando uma malha tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.14 Pulso gaussiano, H
z
plano central de uma malha cúbica de 20×20×20. a)
Mur1 e b) PML(8-P-0,0001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.15 Paredes especiais para gerar uma onda plana. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
xi
2.16 Detalhes para aplicações das condições de contorno na geração simples de
uma onda plana propagando-se na direção x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.17 Onda se propagando a 10 GHz. a) sem as condições de contorno para onda
plana e b) com as condições de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.18 Geometria de uma estrutura simétrica em i = 25. . . . . . . . . . . . . . . 42
2.19 Célula FDTD para aplicação da Lei de Faraday na forma integral. . . . . . 43
3.1 Perspectiva de um guia retangular e sua seção transversal. . . . . . . . . . . 49
3.2 Configurações das células FDTD para cálculo dos modos de propagação TE
e TM em um guia retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Resposta para os modos TE e TM em um guia retangular (2cm×1cm). . . . 51
3.4 Cavidade retangular metálica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Malha FDTD tridimensional (cúbica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 Resposta em freqüência para uma cavidade retangular de 5cm×2,5cm×7,5cm. 54
3.7 Pulso gaussiano propagando-se na direção x e incidindo numa parede metálica:
a) campo elétrico e b) campo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8 Propagação de uma onda plana em meios não homogêneos (ar/poliestireno/ar). 56
3.9 Onda plana de 915 MHz incidindo sobre um meio com perdas. . . . . . . . 57
3.10 Difração: a) onda plana de 6 GHz incidindo numa parede metálica com
fresta, b) onda cilíndrica de 6 GHz incidindo em superfícies metálicas. . . . 59
3.11 Caminho de integração usando a Lei de Ampère para calcular a corrente de
entrada em um dipolo no FDTD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.12 Tensão e corrente nos terminais de um dipolo: a) meia onda e b) quarto de
onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1 Exemplo de alguns sistemas utilizados para o aquecimento de tumores. . . . 66
4.2 Equipamentos comercias empregados emhipertermia utilizando: a) conjunto
de antenas dipolo [109], b) antena corneta [111], c) sistema capacitivo e d)
raios infravermelhos (hipertermia de corpo inteiro) [89]. . . . . . . . . . . 67
4.3 Mecanismos de aquecimento: a) alinhamento polar, b) vibração molecular e
c) corrente iônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Curvas de permissividade e condutividade elétrica para o músculo. . . . . . 75
xii
5.1 Configuração para análise de hipertermia usando o dipolo. . . . . . . . . . 79
5.2 Módulo do campo elétrico no músculo, num dado instante de tempo. . . . . 80
5.3 SAR no músculo. Plano de corte xy no ponto de alimentação do dipolo: a)
dipolo no ar e b) dipolo em contato com uma camada de água. . . . . . . . 80
5.4 SAR no músculo. Plano de corte yz que contém o dipolo: a) dipolo no ar e
b) dipolo em contato com uma camada de água. . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 SAR no músculo, plano de corte xy no ponto de alimentação dos dipolos, a)
um dipolo com 10 W de potência e b) dois dipolos com 5 W de potência cada. 82
5.6 SAR produzida por um dipolo e conjunto com dois para alguns valores de
potência (por dipolo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7 SAR no músculo. Plano de corte yz: a) plano que contém um único dipolo
(10 W) e b) plano entre oconjunto de dipolos (2 dipolos com 5W de potência
cada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.8 Corneta piramidal preenchida com água: a) plano zy e b) plano xy. . . . . . 86
5.9 Capacitor com placas ortogonais: a) plano zx e b) plano zy. . . . . . . . . . 87
5.10 SAR ao longo do músculo para a antena corneta e sistema capacitivo a
433 MHz e 13,56 MHz (10 W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.11 SAR ao longo do músculo para o sistema capacitivo a 433 MHz (10 W) e
13,56 MHz (10 W, 30 W e 100 W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.12 Linhas de contorno da SAR na linha de análise para: a) antena corneta (plano
xy) e b) sistema capacitivo (secção do plano zx), ambos com 10 W. . . . . . 89
5.13 Antena planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.14 Perfil das antenas planares utilizado nas simulações. . . . . . . . . . . . . . 91
5.15 Antenas planares (vista superior): a) n
o
1 (retangular) e b) n
o
2 (Dubost) [20]. 92
5.16 Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sob as
antenas 1 e 2, respectivamente. Em a) e b) bidimensional; c) e d) tridimen-
sional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.17 Antenas planares (vista superior): a) n
o
3 e b) n
o
4. . . . . . . . . . . . . . 93
5.18 Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sob as
antenas 3 e 4, respectivamente. Em a) e b) bidimensional; c) e d) tridimen-
sional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.19 Conjunto com 2 antenas utilizando as geometrias das antenas: a) n
o
3 e b) n
o
4. 94
xiii
5.20 Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sob um
conjunto com duas antenas (elementos n
o
3 e n
o
4, respectivamente). Em a)
e b) bidimensional; c) e d) tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.21 Conjunto com 4 antenas utilizando as geometrias das antenas: a) n
o
3 e b) n
o
4. 95
5.22 Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sobre
um conjunto com quatro antenas (elementos n
o
3 e n
o
4, respectivamente).
Em a) e b) bidimensional; c) e d) tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . 96
5.23 Distribuição do campo elétrico a 2mm de profundidade no músculo uti-
lizando a geometria da antena 4 com incremento espacial de 2mm para
433 MHz: a) bidimensional e b) tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 97
xiv
Lista de Tabelas
3.1 Comparação entre os valores das freqüências de corte calculadas analitica-
mente e com o FDTD, para os modos TE e TM em um guia retangular oco. 51
3.2 Comparação entre os valores das freqüências de ressonância calculadas ana-
liticamente e com o FDTD para uma cavidade retangular. . . . . . . . . . . 54
3.3 Impedância de dipolos com diferentes espessuras. . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Impedância de dipolos obtidas com o FDTD e valores analíticos para um
raio de 0,09∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1 Constantes da Eq. 9.1 para tecidos biológicos humanos. . . . . . . . . . . . 110
xv
Lista de Siglas
ABC Absorbing Boundary Condition
ADI-FDTD Alternating-Direction Implicit-FDTD
AIDS Síndrome da Imuno-Deficiência Adquirida
CV Coeficiente de Variação
DNA Deoxyribonucleic Acid
EFS Effective Field Size
ESHO European Society of Hyperthermic Oncology
FDM Finite Difference Method
FDTD Finite Difference Time Domain
(FD)
2
TD Frequency Dependent FDTD
fem força eletromotriz
FEM Finite Element Method
FFT Fast Fourier Transform
HSP Heat-Shock Protein
ICHS International Clinical Hyperthermia Society
MCM Mont Carlo Method
MoM Method of Moments
MRI Magnetic Resonance Imaging
Mur1 Condição Absorvente de Mur de primeira ordem
PEC Perfect Electric Conductor
pH potencial de Hidrogênio
PML Perfectly Matched Layer
RNA Ribonucleic Acid
SAR Specific Absorption Rate
SIBCs Surface Impedance Boundary Conditions
TE Transverso Elétrico
TEM Transverso Eletromagnético
TLM Transmission Line Matrix
TM Transverso Magnético
UPML Uniaxial Perfectly Matched Layer
VM Varational Method
1D uma dimensão
2D duas dimensões
3D três dimensões
xvi
Capítulo 1
Introdução
“O orador pode ser tolo desde que o ouvinte seja sábio.”
Sabedoria Oriental
Nas últimas décadas, o avanço na tecnologia computacional impulsionou as pesquisas
na área de engenharia. Até então, o uso do computador não era totalmente efetivo na
solução de problemas complexos. O cálculo computacional tornou-se viável e novos méto-
dos começaram a ser explorados. Uma área que sempre necessitou tais cálculos foi a de
eletromagnetismo, principalmente devido à dificuldade inerente nas resoluções analíticas
dos problemas. Atualmente, o uso do computador está presente tanto na análise de sistemas
estáticos como de baixas e altas freqüências, auxiliando no projeto de motores, linhas de
transmissão, na solução problemas de compatibilidade eletromagnética, projetos de antenas
e problemas biomédicos, entre outros.
Estudar o efeito das ondas eletromagnéticas no organismo humano é assunto atual de
pesquisa, principalmente por causa do grande crescimento das comunicações sem fio. Não
só os possíveis efeitos prejudiciais são estudados, mas pesquisa-se também formas de tera-
pia com ondas eletromagnéticas. Um dos principais efeitos produzidos por estas ondas é o
aquecimento do tecido biológico, que tem sido empregado para hipertermia no tratamento
do câncer.
A hipertermia produz o aquecimento do tecido biológico acima de sua temperatura
normal. É uma técnica que tem mostrado eficiência no tratamento de tumores como ele-
mento auxiliar às terapias convencionais, como a quimioterapia e a radioterapia. Tratamen-
tos hipertérmicos precisam ser aperfeiçoados para que possam ser o mais efetivos possíveis
contra o câncer. Assim, um estudo mais detalhado, com a determinação de intensidades
de campo e freqüências apropriadas precisa ser conduzido, avaliando-se o real poder de
2
penetração da energia eletromagnética no tecido biológico e sua eficiência no aumento da
temperatura localizada.
Os dispositivos eletromagnéticos radiadores de energia devem possuir geometrias ca-
pazes de aquecer a região desejada, de acordo com o tipo e localização do tumor. O principal
desafio técnico associado a esses dispositivos é a obtenção de uma distribuição homogênea
de energia somente na região do tumor. Portanto, é fundamental a pesquisa de dispositivos
eficazes com configurações físicas adequadas para o tratamento hipertérmico.
Esse problema apresenta grande complexidade devido às propriedades do tecido bio-
lógico e sua interação com os dispositivos de radiação. Assim, um método numérico deve
ser empregado na análise. Para estudo, será utilizado o método das Diferenças Finitas no
Domínio do Tempo - FDTD, o qual é um método diferencial que simula a propagação das
ondas eletromagnéticas no domínio temporal. Seu interesse deve-se principalmente à sua
simplicidade, robustez e adequação para uso com as freqüências de aplicação hipertérmica
na faixa de megahertz. Este método teve um grande desenvolvimento nos últimos anos, não
só nas áreas vinculadas ao eletromagnetismo (microeletrônica, telecomunicações, compati-
bilidade eletromagnética, bioeletromagnetismo), como tambémnaquelas em que as equações
que governam os fenômenos físicos são semelhantes às equações de difusão e propagação
de onda (fenômenos ópticos, acústicos e térmicos, por exemplo).
1.1 Objetivo
O principal objetivo deste trabalho é analisar dispositivos eletromagnéticos para hiper-
termia, bem como propor novas estruturas, capazes de aquecer eficientemente o tecido bio-
lógico. O estudo visa obter sistemas viáveis para implementação e apontar soluções e suges-
tões para os problemas encontrados, discutindo os desafios técnicos e práticos associados ao
tratamento hipertérmico.
Outro objetivo é o desenvolvimento de ferramentas de cálculo baseadas no método
FDTD para a modelagem da interação de ondas eletromagnéticas com diferentes meios,
explicando-seos detalhes necessários à compreensão e uso dométodo. Desta forma, adquire-
se conhecimento e condições técnicas para o emprego do FDTD em diversos problemas
eletromagnéticos e novas pesquisas.
3
1.2 Desenvolvimento
Antes das avaliações e sugestões de novos dispositivos hipertérmicos é explicitado o
emprego do FDTD aplicado a diferentes problemas eletromagnéticos. Os resultados obtidos
corroboram para a validação dos programas desenvolvidos e para o entendimento do método.
Depois da apresentação do FDTD e de sua forma de uso, são introduzidos os conceitos
relativos à hipertermia, e posteriormente são analisados os seguintes dispositivos eletromag-
néticos: antenas dipolo, antena corneta, sistema capacitivo e antenas planares. O uso de uma
camada de água entre os dispositivos e o tecido muscular é avaliado. Em algumas simu-
lações, conjuntos de antenas foram empregados visando uma maior penetração de energia
e/ou maior área de aquecimento. As freqüências utilizadas foram exclusivamente as permi-
tidas para uso médico, científico e industrial. A relação da freqüência com o projeto dos
radiadores hipertérmicos é explicada.
Começa-se o estudo com a antena dipolo, uma das mais simples e comuns aplicadas
à hipertermia. Analisam-se antenas radiando diretamente no músculo circundadas por ar e
também em contato com uma bolsa de água. Mostra-se que o uso de dois dipolos é me-
lhor que o de um único para o aquecimento mais profundo de uma pequena região e que a
utilização da bolsa de água é imprescindível.
Na seqüência, a antena corneta empregada nos tratamentos hipertérmicos, é utilizada
para comparações com o sistema capacitivo proposto, o qual foi projetado para aquecimento
profundo em superfícies curvas usando placas metálicas ortogonais. As vantagens e desvan-
tagens de ambos os dispositivos são enumeradas.
Por último são propostas algumas configurações de antenas planares e conjuntos visando
um aquecimento homogêneo de áreas bem próximas à superfície do corpo. São também
apresentados resultados para o empregodesse tipo de antena para hipertermia mais profunda,
sendo uma alternativa interessante ao uso da antena corneta.
Como o objetivo principal deste trabalho é a analise de dispositivos eletromagnéticos
radiadores, foi empregado apenas tecido muscular nas simulações do corpo humano. O uso
de meios não homogêneos complicaria desnecessariamente as simulações, mas não alteraria
as conclusões obtidas.
4
1.3 Organização
O Capítulo 2 apresenta a teoria das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, iniciando
pelas equações de Maxwell, o princípio do método e sua fundamentação teórica, chegando
às condições absorventes. São descritos alguns tipos de excitação e a modelagem de meios
dispersivos, entre outros fatores indispensáveis à compreensão e uso do método. No Capí-
tulo 3, as formulações apresentadas são aplicadas a alguns problemas simples para vali-
dação dos códigos de programação implementados, incluindo a análise de dipolos finos. No
Capítulo 4 tem-se os conceitos envolvidos na hipertermia, incluindo as explicações científi-
cas de sua eficácia no tratamento do câncer, os desafios técnicos nos tratamentos hipertér-
micos, os mecanismos de aquecimento biológico por ondas eletromagnéticas, bem como a
medida dosimétrica utilizada pela comunidade científica para avaliação do aquecimento bio-
lógico. O Capítulo 5 apresenta os resultados do FDTD aplicado à hipertermia com o uso
de dipolos, antena corneta, capacitor com placas ortogonais e antenas planares. A compara-
ção entre estes dispositivos é também apresentada neste capítulo. Por fim, as conclusões e
propostas para trabalhos futuros encontram-se no Capítulo 6.
Capítulo 2
Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
“Toda a nossa ciência, comparada com a realidade, é primitiva e infantil, no entanto, é a coisa mais
preciosa que temos.”
Albert Einstein
2.1 Introdução
Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD - Finite Difference Time Domain)
constituem um método numérico para cálculo de campos eletromagnéticos utilizando equa-
ções discretizadas no espaço e no tempo. A base de cálculo são as equações em rotacional
de Maxwell, que relacionam as grandezas eletromagnéticas e o tempo.
O método FDTD surgiu em 1966 com Yee [105] para solucionar as equações rota-
cionais de Maxwell diretamente no domínio do tempo em um espaço discreto. Em 1975
Taflove e Brodwin [90] obtiveram o correto critério de estabilidade do algoritmo de Yee
apresentando mais informações para o aperfeiçoamento do método. O termo FDTD foi uti-
lizado pela primeira vez em 1980 por Allen Taflove [91]. Em 1981 Mur [57] publicou a
primeira condição absorvente de contorno (ABC) numericamente estável e com segunda
ordem de precisão para a malha de Yee. Na década de 80, o FDTD foi utilizado em pro-
blemas de espalhamento com o desenvolvimento em sua formulação da transformação do
campo próximo para o campo distante [101]. Surgiram técnicas para modelagem de su-
perfícies curvas [102] e o método passou a ser empregado em vários problemas, como a
modelagem de estruturas de microfitas ou microtiras [106]. Da década de 90 até a atua-
lidade, o FDTD tem sido constantemente aprimorado, com um aumento substancial de
suas aplicações. Dentre os últimos progressos podem-se destacar: o uso de permissivi-
dade elétrica variável com a freqüência [51], a consideração de meios dispersivos não li-
neares em problemas de propagação de pulsos ópticos [32], a modelagem de componentes
6
eletrônicos [86] [99] [98] [29], a criação de condições de contorno absorventes altamente
efetivas, como a camada perfeitamente casada - PML [9] e a camada perfeitamente casada
uniaxial - UPML [30], incluindo também FDTD com estabilidade numérica independente
do passo de tempo (ADI-FDTD) [107].
O FDTD é utilizado na solução de problemas eletromagnéticos, na sua maioria com-
plexos, onde soluções analíticas são inviáveis e o uso de um método numérico de cálculo é
necessário. Esses problemas incluem regiões onde existam condições de contorno mistas,
meios não homogêneos, anisotrópicos, não lineares e dispersivos. Como exemplos de tais
problemas podemos citar a análise de:
• antenas;
• espalhamento de ondas em superfícies complexas;
• interação de ondas eletromagnéticas com tecidos biológicos;
• problemas de compatibilidade eletromagnética;
• circuitos eletrônicos de alta velocidade com componentes ativos e não lineares;
• dispositivos fotônicos (que trabalham com a luz).
Existem vários motivos que fazem o FDTD ser um dos métodos mais difundidos e uti-
lizados pela comunidade científica, podendo-se destacar [94]:
1. Facilidade de compreensão e programação (ampla bibliografia);
2. É um método explícito, ou seja, não requer a inversão de matrizes;
3. Robustez: as fontes de erro no FDTD são bem conhecidas e podem ser limitadas para
permitir modelos precisos em uma grande variedade de problemas eletromagnéticos;
4. Trata problemas transitórios naturalmente: sendo uma técnica no domínio do tempo,
calcula diretamente a resposta de um sistema eletromagnético para qualquer tipo de
excitação;
5. Aproximação sistemática: a especificação de uma nova estrutura requer somente a
geração de uma nova malha.
7
Além do FDTD, existem outros métodos de cálculo numérico aplicados ao eletromag-
netismo, dentre os quais, podem-se destacar:
• Método dos Elementos Finitos (FEM) [16] [41] [15];
• Método dos Momentos (MoM) [35];
• Método Variacional (VM) [12];
• Método das Linhas de Transmissão (TLM) [44] [2];
• Método de Monte Carlo (MCM) [71].
Cada método possui características próprias que o torna adequado em determinados
problemas, cada um têm suas vantagens e desvantagens. Dependendo do problema, pode-se
utilizar a associação de dois métodos (vantagens mútuas), gerando um método híbrido. A
comparação entre os métodos não é trivial [72]. Na realidade, o que faz um método melhor
que outro é o domínio de seu conhecimento, a disponibilidadede hardware e software, tempo
de processamento, o problema a analisar e a precisão desejada nos resultados. Neste trabalho,
o FDTD foi escolhido principalmente por sua simplicidade, o que facilita a compreensão dos
fenômenos eletromagnéticos e o desenvolvimento de programas.
Na seqüência será apresentada a formulação matemática do método FDTD, partindo-se
das equações que regem a propagação de ondas eletromagnéticas.
2.2 Equações de Maxwell
As equações fundamentais do eletromagnetismo, desenvolvidas por James Clerk Max-
well (1831-1979), governam as leis físicas relacionadas à variação dos campos elétrico e
magnético, cargas e correntes elétricas, englobando as relações existentes entre as grandezas
eletromagnéticas.
Em um meio isotrópico, as equações de Maxwell podem ser escritas na sua forma dife-
rencial como [6]:
1. Lei de Gauss:
∇.
E = ρ
v
, (2.1)
8
onde é a permissividade elétrica do meio (ou capacidade indutiva elétrica [79]) [F/m],
E
é o campo elétrico [V/m], e ρ
v
é a densidade volumétrica de carga [C/m
3
].
E é definido
também como indução elétrica
D. A Eq. 2.1 mostra que cargas elétricas definidas por ρ
v
geram um campo elétrico
E divergente a elas.
2. Lei de Gauss do magnetismo:
∇.µ
H = 0 , (2.2)
onde µ é a permeabilidade magnética (ou capacidade indutiva magnética [79]) [H/m],
H é o
campo magnético [A/m]. µ
H também é definido como indução magnética
B [T]. A Eq. 2.2
está associada à inexistência de monopolos magnéticos e impõe que o fluxo magnético é
conservativo.
3. Lei de Faraday:
∇ ×
E = −µ
∂
H
∂t
. (2.3)
A Eq. 2.3 evidencia que um campo magnético
H variável no tempo produz um campo
elétrico
E que é rotacional a ele. O sinal negativo exprime a lei de Lenz, que estabelece que
o campo elétrico induzido tende a se opor às variações do campo magnético.
4. Lei de Ampère:
∇ ×
H = σ
E +
∂
E
∂t
, (2.4)
onde σ
E é a densidade de corrente de condução
J [A/m
2
], com σ sendo a condutividade
do meio [S/m]. A Eq. 2.4 mostra que um campo elétrico
E variável no tempo e/ou elemen-
tos de corrente
J geram um campo magnético
H rotacional aos elementos geradores. O
termo ∂
E/∂t, conhecido como densidade de corrente de deslocamento, foi introduzido por
Maxwell, dando suporte às ondas eletromagnéticas.
Uma onda eletromagnética é descrita pelas Eqs. 2.3 e 2.4, que indicam que um campo
elétrico variável gera um campo magnético variável e vice-versa. Uma vez que exista esta
variação, os campos sempre coexistirão.
As equações de Maxwell na sua forma integral, para meios isotrópicos, são represen-
tadas por:
1. Lei de Gauss:
S
E.d
S =
v
ρ
v
dv . (2.5)
9
A Eq. 2.5 indica que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à
carga total englobada pela superfície.
2. Lei de Gauss do magnetismo:
S
µ
H.d
S = 0 . (2.6)
A Eq. 2.6 mostra que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é nulo,
ou seja, que o fluxo é conservativo.
3. Lei de Faraday:
L
E.d
l = −
∂
∂t
S
µ
H.d
S . (2.7)
A Eq. 2.7 mostra que uma força eletromotriz induzida (fem) em um circuito fechado,
correspondente à circulação do vetor campo elétrico no circuito, é igual à taxa de variação
do fluxo magnético através da área delimitada pelo circuito.
4. Lei de Ampère:
L
H.d
l =
S
σ
E +
∂
E
∂t
.d
S . (2.8)
A Eq. 2.8 indica que a corrente total em um circuito fechado depende da circulação do
vetor campo magnético no circuito, e é igual à corrente de condução (se existente) somada à
corrente de deslocamento (se existente).
As equações de Maxwell, tanto na forma diferencial como integral, representam os mes-
mos fenômenos físicos.
As equações de especial interesse no FDTD são as Eqs. 2.3 e 2.4, pois descrevem o
comportamento de uma onda eletromagnética sob forma diferencial, associando os cam-
pos elétrico e magnético, próprio à forma de cálculo do método. Assim, é interessante
apresentá-las na sua totalidade em um sistema de coordenadas retangulares (x, y, z). A partir
da definição de rotacional [74] aplicada às referidas equações, chega-se a:
∂H
x
∂t
=
1
µ
∂E
y
∂z
−
∂E
z
∂y
(2.9)
∂H
y
∂t
=
1
µ
∂E
z
∂x
−
∂E
x
∂z
(2.10)
10
∂H
z
∂t
=
1
µ
∂E
x
∂y
−
∂E
y
∂x
(2.11)
∂E
x
∂t
=
1
∂H
z
∂y
−
∂H
y
∂z
− σE
x
(2.12)
∂E
y
∂t
=
1
∂H
x
∂z
−
∂H
z
∂x
− σE
y
(2.13)
∂E
z
∂t
=
1
∂H
y
∂x
−
∂H
x
∂y
− σE
z
. (2.14)
As equações acima descrevem qualquer onda eletromagnética em três dimensões. En-
tretanto, muitas vezes se desejam analisar problemas eletromagnéticos em duas dimensões.
Para tal, é preciso definir a forma de propagação da onda eletromagnética. Escolhendo a
direção de propagação ao longo do eixo z e assumindo simetria translacional, a dependên-
cia dos campos com z pode ser removida [59]. Isto considera uma onda propagando-se na
direção z infinita. Baseado na formulação desenvolvida para guia de ondas [6] [74], a onda
pode propagar-se basicamente em dois modos: o transverso elétrico (TE) e o transverso
magnético (TM). No primeiro, os campos elétricos são normais à direção de propagação da
onda e o campo magnético é paralelo a essa direção. No segundo, os campos magnéticos
são normais à direção de propagação da onda e o campo elétrico é paralelo. Assim, para o
modo TE são necessários somente os campos H
z
, E
x
e E
y
e para o modo TM, E
z
, H
x
e H
y
,
resultando para um meio qualquer:
Modo TE
∂H
z
∂t
=
1
µ
∂E
x
∂y
−
∂E
y
∂x
(2.15)
∂E
x
∂t
=
1
∂H
z
∂y
− σE
x
(2.16)
∂E
y
∂t
= −
1
∂H
z
∂x
+ σE
y
. (2.17)
11
Modo TM
∂E
z
∂t
=
1
∂H
y
∂x
−
∂H
x
∂y
− σE
z
(2.18)
∂H
x
∂t
= −
1
µ
∂E
z
∂y
(2.19)
∂H
y
∂t
=
1
µ
∂E
z
∂x
. (2.20)
2.3 Condições de Contorno
As condições que um campo eletromagnético deve satisfazer na fronteira entre dois
meios diferentes são denominadas Condições de Contorno [74], e são obtidas a partir das
equações de Maxwell na forma integral [6]. Na resolução de um problema eletromagnético,
as condições de contorno são indispensáveispara adelimitaçãoda regiãode estudo, inserindo
informações necessárias para a solução do problema. As condições de contorno para dois
meios diferentes são:
1. Para o campo elétrico:
• Supondo dois meios (1 e 2) com permissividade dielétricas diferentes, conforme
Fig. 2.1a, tem-se;
– Campos Tangenciais:
Os campos tangenciais são contínuos na superfície dos meios: E
t1
= E
t2
.
– Campos Normais:
Supondo a não existência de cargas elétricas livres na interface entre os
meios, os campos normais são descontínuos. Para superfícies sem cargas:
1
E
1n
=
2
E
2n
,
• Supondo que um dos meios seja um condutor perfeito (PEC, σ = ∞):
– Campo Tangencial:
Nulo: E
t
= 0
– Campo Normal:
Igual à densidade superficial de cargas: E
n
o
r
= ρ
s
2. Para o campo magnético:
• Supondo dois meios (1 e 2) com permeabilidades magnéticas diferentes, con-
forme Fig. 2.1b, tem-se;
12
– Campos Tangenciais:
Os campos tangenciais podem ou não ser descontínuos na superfície dos
meios. Se existir uma densidade superficial de corrente K
s
[A/m], então,
H
t1
− H
t2
= K
s
, caso contrário H
t1
= H
t2
.
– Campos Normais:
Os campos normais são descontínuos: µ
1
H
1n
= µ
2
H
2n
,
• Supondo que um dos meios seja condutor:
– Campo Tangencial:
Igual à densidade superficial de corrente: H
t
= K
s
– Campo Normal:
Nulo: H
n
= 0
E
1n
E
2n
E
2t
E
1t
E
1
E
2
1
2
a)
H
1n
H
2n
H
2t
H
1t
H
1
H
2
1
2
b)
2
1
1
2
Figura 2.1: Condições de contorno entre dois meios diferentes: a) elétrica e b) magnética.
No FDTD, as condições de contorno são muito utilizadas para representar um meio
qualquer e um condutor elétrico. É muito comum, por exemplo, o uso de metal e ar. Já
o uso de um meio magnético condutor é empregado somente em determinados problemas,
como será visto posteriormente. Nestes problemas, a condutividade magnética simula uma
realidade não física. Para facilitar a compreensão das condições de contorno entre materiais
condutores e outro meio, a Fig. 2.2 mostra as condições para um condutor elétrico e para um
condutor magnético perfeitos.
2.4 Fundamentação Matemática
O princípio do FDTD é baseado no método das diferenças finitas (FDM), desenvolvido
por A. Thom em 1920 [97]. O FDM é uma técnica de aproximações transformando equa-
ções diferenciais em discretas ou finitas. Essas aproximações são feitas algebricamente em
13
Condutor Elétrico Perfeito
Condutor Magnético Perfeito
a) b)
E
t
= 0
H
t
= 0
H
n
= 0
E
n
= 0
H
t
= 0
E
t
= 0
E
n
= 0
H
n
= 0
Figura 2.2: Condições de contorno: a) condutor elétrico perfeito e b) condutor magnético perfeito.
uma região discretizada, relacionando os valores das variáveis com pontos dentro da área de
estudo, chamados nós [73].
A solução de problemas pelo FDM envolve, basicamente, quatro passos:
1. Discretização da região em uma malha de células;
2. Aproximação numérica da equação diferencial de interesse em uma equação por di-
ferenças finitas equivalentes, relacionando as variáveis independentes e dependentes
com os nós na região;
3. Imposição das condições de contorno;
4. Resolução das equações discretas usando um método numérico conhecido.
2.4.1 Diferenças Finitas
Dada uma função f (x) como mostrado na Fig. 2.3, sua derivada no ponto P pode ser
aproximada por:
• Diferença à Direita (Derivada à direita):
f
(x
o
)
f(x
o
+ ∆x) − f(x
o
)
∆x
; (2.21)
• Diferença à Esquerda (Derivada à esquerda):
f
(x
o
)
f(x
o
) − f(x
o
− ∆x)
∆x
; (2.22)
14
A
P
B
x
o
x
f(x)
x
o
-
x
x
o
+
x
f(x
o
)
f(x
o
- )x
f(x
o
+ )x
Figura 2.3: Estimativa da derivada de f(x) no ponto P, usando diferenças finitas à direita, à esquerda
e central (Fonte [73]).
• Diferença Central (Derivada central):
f
(x
o
)
f(x
o
+ ∆x) − f(x
o
− ∆x)
2∆x
. (2.23)
As equações acima são claramente uma aproximação para a derivada num ponto de uma
função qualquer. Estas equações utilizam um ∆x com valor arbitrário, diferente da definição
de derivada, que exige um ∆x tendendo a zero. Assim, as referidas equações são uma forma
discreta da definição de derivada.
A Eq. 2.23 é a base para o FDTD, pois este é fundamentado na aproximação da derivada
central de um ponto. Esta equação apresenta precisão de segunda ordem em ∆x (o erro de
aproximação dependente de (∆x)
2
) [90].
2.5 Algoritmo de Yee
Yee [105] introduziuum conjunto de equações diferenciais finitas para resolveras Eqs.2.9
- 2.14, ou seja, discretizou as equações que descrevem uma onda eletromagnética em um sis-
tema de coordenadas retangulares tridimensional (x, y, z). Assim, um ponto no espaço é
definido como:
(i, j, k) = (i∆x, j∆y, k∆z) , (2.24)
e qualquer função dependente do espaço e tempo é escrita como:
F |
n
i,j,k
= F (i∆, j∆, k∆, n∆t) , (2.25)
15
onde ∆ = ∆x = ∆y = ∆z é o incremento espacial, ∆t é o incremento temporal, e i, j, k e n
são números inteiros. Usando diferenças finitas centrais para as derivadas espácio-temporais,
com precisão de segunda ordem em ∆ e ∆t [90], resulta:
∂F |
n
i,j,k
∂x
=
F |
n
i+
1
2
,j,k
− F |
n
i−
1
2
,j,k
∆
+ Er(∆
2
) , (2.26)
∂F |
n
i,j,k
∂t
=
F |
n+
1
2
i,j,k
− F |
n−
1
2
i,j,k
∆t
+ Er(∆t
2
) , (2.27)
onde Er é o erro de segunda ordem para ∆ e ∆t introduzido pela discretização .
Para conseguir a precisão de (2.26) e realizar todas as derivadas de (2.9) - (2.14), Yee
posicionou os componentes
E e
H entorno de uma célula estruturada, como mostrado na
Fig 2.4, na qual os componentes de campo estão localizados nos nós da célula.
Ex
Ey
Ez
Hx
Hy
HzHz
Hz
Hy
Hy
Hx
Hx
Hx
Hy
Hz
Ex
Ey
EzEz
Ez
Ey
Ey
Ex
Ex
a) b)
y - ( j )
z - ( k )
x - ( i )
( i, j, k )
Figura 2.4: Posição dos componentes de campo sobre a célula estruturada de Yee: a)
E circulando
H (modelo usual de célula), e b)
H circulando
E.
Para conseguir a precisão de (2.27),
E e
H são calculados alternadamente a cada meio
passo de tempo. Essas considerações para as Eqs. 2.9 - 2.14 resultam num sistema de
equações de diferenças finitas dadas por [94]:
H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
= H
x
|
n−
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
+ C
E
y
|
n
i,j+
1
2
,k+1
− E
y
|
n
i,j+
1
2
,k
+ E
z
|
n
i,j,k+
1
2
− E
z
|
n
i,j+1,k+
1
2
(2.28)
16
H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
= H
y
|
n−
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
+ C
E
z
|
n
i+1,j,k+
1
2
− E
z
|
n
i,j,k+
1
2
+ E
x
|
n
i+
1
2
,j,k
− E
x
|
n
i+
1
2
,j,k+1
(2.29)
H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
= H
z
|
n−
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
+ C
E
x
|
n
i+
1
2
,j+1,k
− E
x
|
n
i+
1
2
,j,k
+ E
y
|
n
i,j+
1
2
,k
− E
y
|
n
i+1,j+
1
2
,k
(2.30)
E
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k
= A.E
x
|
n
i+
1
2
,j,k
+ B
H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
− H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j−
1
2
,k
+ H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k−
1
2
− H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
(2.31)
E
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k
= A.E
y
|
n
i,j+
1
2
,k
+ B
H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
− H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k−
1
2
+ H
z
|
n+
1
2
i−
1
2
,j+
1
2
,k
− H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
(2.32)
E
z
|
n+1
i,j,k+
1
2
= A.E
z
|
n
i,j,k+
1
2
+ B
H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
−H
y
|
n+
1
2
i−
1
2
,j,k+
1
2
+ H
x
|
n+
1
2
i,j−
1
2
,k+
1
2
−H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
,
(2.33)
onde A, B e C, são variáveis auxiliares com os valores de , σ e µ pertencentes ao nó
calculado (posição do vetor de campo):
A =
2 − σ∆t
2 + σ∆t
B =
2∆t
(2 + σ∆t)∆
C =
∆t
µ∆
(2.34)
Segundo a notação de Yee, cada nó corresponde a um vetor de campo, possuindo pro-
priedades elétricas (σ, para E e µ para H). Portanto, na geração da malha, essas pro-
priedades são atribuídas às células e seus respectivos nós. Assim, meios não-homogêneos
são calculados naturalmente. Na fronteira entre dois ou mais meios é comum utilizar o valor
médio dessas propriedades [94].
As Eqs. 2.28 - 2.33 utilizam ∆ = ∆x = ∆y = ∆z para simplificações na formulação
(célula cúbica). Diferentes valores de ∆x, ∆y e ∆z poderiam ser empregados, resultando
em pequenas mudanças nas equações, o que é simples de ser feito.
No cálculo dos campos a cada passo de tempo, primeiro, porexemplo, calculam-se todos
os componentes de campo magnético e depois todos os componentes de campo elétrico, onde
o valor atual de campo magnético (elétrico) a ser computado depende do seu valor anterior e
dos valores de campo elétrico (magnético) anteriores.
17
O arranjo dos campos na célula de Yee, defasados de meia célula (∆/2), além de per-
mitir o uso de diferenças finitas centrais nas equações rotacionais de Maxwell (2.3) e (2.4),
permitem naturalmente, dada à geometria, a implementação da forma integral das Leis de
Faraday e Ampère nas faces da célula, ver Fig. 2.5. O uso da integração permite uma mode-
lagem simples e efetiva de superfícies curvas e com dimensões inferiores à da célula [92].
k
j
EzEz
Ey
Ey
Hx
i
k
ExEx
Ez
Ez
Hy
j
i
EyEy
Ex
Ex
Hz
( k, j ) j+1
k+1
( i, k ) k+1
i+1
( j, i ) i+1
j+1
k
j
Hz
Hz
Hy
Hy
Ex
i
k
HxHx
Hz
Hz
Ey
j
i
HyHy
Hx
Hx
Ez
j+1( k, j )
k+1
( i, k ) k+1
i+1
( j, i ) i+1
j+1
Figura 2.5: Visualização dos componentes de campo nas faces da célula de Yee com notação própria
para programação.
Como em matrizes e vetores não existem índices fracionários, as equações de Yee são
alteradas para programação. Na Fig. 2.5 são apresentados os campos nas faces da célula de
Yee levando em conta essa mudança. O componente no centro da face será calculado usando
os componentes que o circundam na seguinte ordem: componente superior menos o inferior
mais o componente lateral esquerdo menos o direito. Por exemplo, para o cálculo de H
x
em
um instante de tempo n:
H
x
|
i,j,k
= H
x
|
i,j,k
+ C
E
y
|
i,j,k+1
− E
y
|
i,j,k
+ E
z
|
i,j,k
− E
z
|
i,j+1,k
, (2.35)
onde C é dado em (2.34). O H
x
à direita é calculado no instante de tempo n − 1 , assim
como E
y
e E
z
. Os campos elétricos foram atualizados antes do magnético no mesmo laço
de tempo. Como as matrizes de campo são independentes, a posição (i, j, k) para o H
x
não
é a mesma para o E
y
, por exemplo. Pela Eq. 2.35, os componentes de campo ocupam apenas
uma posição de memória associada ao tempo. Para analisar estes componentes durante todo
o processo de cálculo, eles precisam ser armazenados a cada iteração. No Anexo 2 são dados
alguns exemplos de programação.
18
2.5.1 Algoritmo de Yee em Duas Dimensões
Como discutido na Seção 2.2, muitas vezes desejam-se fazer cálculos eletromagnéticos
em duas dimensões. Utilizam-se então as equações dos modos de propagação TE ou TM.
Na Fig. 2.6 são apresentados os tipos mais comuns de células 2D usadas nesses cálculos.
Ex
Ey
Ey
Ey
Ey
Hz
Hz
Hz
Ex
EyEy
Ex
CÉLULAS TE
a)
Ez
Hy
Hy
Hx
Hx
Ez
Ez
Ez
CÉLULAS TM
b)
Ez
Hx
HyHy
Hx
Figura 2.6: Tipos de células 2D: a) células TE e b) células TM.
A escolha da célula dependerá do problema a ser analisado e das condições de contorno.
Por exemplo, na análise de um guia de onda retangular para os modos de propagação TE e
TM, deve-se utilizar a configuração apresentada no próximo capítulo, Fig. 3.2, na qual as
condições de contorno das paredes metálicas perfeitas são facilmente aplicadas aos compo-
nentes de campo em contato com elas. Deve-se escolher a configuração de célula que facilite
a imposição das condições de contorno.
Baseado nas Eqs. 2.15 - 2.20, com a ajuda das variáveis auxiliares ( 2.34), chega-se a:
Modo TE
H
z
|
n+
1
2
i,j
= H
z
|
n−
1
2
i,j
+ C
E
x
|
n
i,j+
1
2
− E
x
|
n
i,j−
1
2
+ E
y
|
n
i−
1
2
,j
− E
y
|
n
i+
1
2
,j
(2.36)
E
x
|
n+1
i,j+
1
2
= A.E
x
|
n
i,j+
1
2
+ B
H
z
|
n+
1
2
i,j+1
− H
z
|
n+
1
2
i,j
(2.37)
E
y
|
n+1
i+
1
2
,j
= A.E
y
|
n
i+
1
2
,j
− B
H
z
|
n+
1
2
i,j
− H
z
|
n+
1
2
i+1,j
(2.38)
Modo TM
E
z
|
n+
1
2
i,j
= A.E
z
|
n−
1
2
i,j
+ B
H
y
|
n
i+
1
2
,j
− H
y
|
n
i−
1
2
,j
+ H
x
|
n
i,j−
1
2
− H
x
|
n
i,j+
1
2
(2.39)
H
x
|
n+1
i,j+
1
2
= H
x
|
n
i,j+
1
2
− C
E
z
|
n+
1
2
i,j
− E
z
|
n+
1
2
i,j+1
(2.40)
H
y
|
n+1
i+
1
2
,j
= H
y
|
n
i+
1
2
,j
+ C
E
z
|
n+
1
2
i+1,j
− E
z
|
n+
1
2
i,j
. (2.41)
19
2.5.2 Precisão e Estabilidade
Para obter precisão satisfatória, evitando erros de magnitude e fase nos campos analisa-
dos, o incremento espacial (∆) usado no FDTD deve ser pelo menos 10 vezes menor que o
menor comprimento de onda presente no sistema (∆ ≤ λ/10) [93]. Se forem utilizados dife-
rentes valoresde∆, o maior deveser limitado por este critério. É comum o uso de ∆ = λ/20.
Estes valores de densidade de malha foram determinados com base no cálculo da velocidade
de fase na malha FDTD [94]. A Fig. 2.7 apresenta a variação na velocidade de fase de
uma onda propagando-se no vácuo, para os diferentes ângulos de propagação (em relação
aos eixos de uma malha quadrada) e para diferentes densidades de malha (FDTD 2D).
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
0 30 60 90
Ângulo de propagação (graus)
Velocidade de fase normalizada (V
p
/ c)
5
20
10
Figura 2.7: Variação da velocidade de fase de uma onda de acordo com o ângulo de propagação
numa malha quadrada (∆t = 0, 5∆/c para todos os casos). Fonte [94].
Percebe-se pela Fig. 2.7 que a velocidade de propagação é anisotrópica, ou seja, seu
valor depende da direção de propagação, sendo máxima para ângulos oblíquos aos eixos da
malha (45
o
) e mínima para os ângulos paralelos e perpendiculares (0
o
e 90
o
). Percebe-se
claramente que quanto maior a densidade de malha, menor é a anisotropia de propagação.
Os erros de precisão são conhecidos pelo nome de dispersão numérica, porque acar-
retam diferenças na velocidade de fase da onda eletromagnética, resultando em oscilações
espúrias dentro do modelo.
Quanto à estabilidade numérica do FDTD, ela é limitada pelo valor do incremento tem-
poral (∆t), o qual deve satisfazer ao seguinte critério [90]:
20
∆t ≤
1
v
max
1
∆x
2
+
1
∆y
2
+
1
∆z
2
, (2.42)
onde v
max
é a máxima velocidade de fase da onda esperada no modelo. A obtenção da
Eq. 2.42 é apresentada no Anexo 1.
Usando uma célula cúbica, ∆ = ∆x = ∆y = ∆z, a Eq. 2.42 torna-se:
∆t ≤
1
v
max
∆
√
N
, (2.43)
onde N é um número correspondente à dimensão espacial usada no modelo (1D = 1,
2D = 2 ou 3D = 3) [73]. Quanto maior for o incremento espacial, menor será o tempo
de simulação no modelo para a obtenção de uma resposta. Em contrapartida, para uma me-
lhor resolução em freqüência na análise espectral dos sinais obtidos, esse incremento deve
ser o menor possível. Pela Eq. 2.43, é claro que uma diminuição no ∆ (uma malha mais fina)
implica numa diminuição do ∆t.
A freqüência de amostragem (número de amostras obtidas por segundo) do modelo é
igual ao inverso do incremento temporal, ou seja, f
s
= 1/∆t. Assim, o teorema de Nyquist
estabelece que a máxima freqüência no modelo será f
max
= f
s
/2 [61]. Essa informação é
útil na determinação do espectro de freqüência dos sinais obtidos no FDTD.
Por fim, é importante mencionar que atualmente já existe uma variação do método
FDTD com estabilidade numérica incondicional ao incremento temporal (ADI-FDTD) [107]
[58]. Tais variações têm um custo computacional maior que o FDTD clássico e não serão
abordadas neste trabalho.
2.6 Excitação
No FDTD, a excitação é imposta em um ou mais pontos da malha, seja sobre o campo
elétrico ou sobre o campo magnético. As formas de onda mais utilizadas são o impulso, o
pulso gaussiano e a senóide.
A característica do pulso gaussiano é que seu espectro de freqüência também apresenta
comportamento gaussiano e, quanto mais estreita for a largura do pulso gaussiano (mais
próximo a um impulso), mais largo será seu espectro de freqüência. Um pulso gaussiano no
21
domínio do tempo pode ser expresso por:
P
g
(t) = e
−18 [(t−D)/L]
2
, (2.44)
onde L é a largura aproximada do pulso gaussiano e D é o deslocamento da origem, ambos
em unidade de tempo. Na Fig. 2.8 tem-se um pulso gaussiano com D = 5 ns e L = 5ns
com seu respectivo espectro de freqüência. Para a discretização no domínio do tempo, t é
substituído por n∆t, onde n = 0, 1, 2, 3... e ∆t é o incremento temporal. Portanto, excita-se
o FDTD com amostras do sinal contínuo. Esta excitação deve começar suavemente com
valores próximo a zero, evitando que variações bruscas causem oscilações indesejáveis nos
resultados.
2.5 5.0 7.5 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo [ns]
0 50 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Freq. [MHz]
L
D
Figura 2.8: Pulso gaussiano no domínio do tempo e seu espectro de freqüência.
Quando se deseja analisar uma única freqüência ou um número reduzido de freqüências,
a excitação senoidal é empregada. Isto é feito porque geralmente o tempo de simulação
começa em zero e a variação do seno é suave partindo de zero e crescendo progressivamente,
ao contrário do cosseno, que é máximo em t = 0.
A variação brusca da excitação acarreta a inserção de componentes de alta freqüência
no sistema, o que na maioria das vezes é indesejado. Logo, devem-se utilizar suavizações no
início e/ou final da excitação. Quando o objetivo é injetar energia durante um curto período,
utiliza-se o janelamento do sinal para a suavização [84]. Na Fig. 2.9 um seno é janelado
(linha contínua) por uma janela de Hanning (linha tracejada). O janelamento nada mais é do
que a multiplicação ponto a ponto da função seno pela função janela.
Sempre que a excitação for suspensa, os pontos excitados não devem ter valor nulo
porque isso representaria, no caso de excitação em campo elétrico, pontos metálicos dentro
22
da malha. O que se deve fazer é excitar o sistema durante um período de tempo e após
este calcular normalmente o campo resultante, deixando os campos variarem livremente nos
pontos de excitação.
0 500 1000
−1
−0.5
0
0.5
1
Nr. de amostras [n]
Amplitude
Figura 2.9: Função senoidal multiplicada por uma janela de Hanning.
A excitação onde pontos da malha são impostos a cada passo de tempo é considerada
uma excitação rígida (hard excitation). Em situações em que ondas refletidas podem alcançar
os pontos de excitação, uma excitação mais suave se faz necessária. Para que uma onda não
sofra reflexões adicionais nos pontos de excitação, deve-se empregar, por exemplo, uma
condição para um ponto i da malha [90], como dada abaixo:
E
z
(i) ← sen(2πf n∆t) + E
z
(i) , (2.45)
onde E
z
é calculado normalmente no algoritmo e somado a senóide, resultando em um novo
valor E
z
(i) de excitação. Assim, qualquer onda que chegue no ponto excitado é calculada
normalmente para depois ser somada ao seno. Essa excitação é suavizada porque secalcula o
campo resultante no ponto de excitação, o qual não é imposto forçadamente a cada iteração.
Na excitação rígida, o campo E
z
é sempre imposto, E
z
(i) = sen(2πfn∆t).
2.7 Condições Absorventes de Contorno
No estudo de problemas abertos, em que os campos se estendem ao infinito, é necessário
limitar o domínio de cálculo, diminuindo a malha utilizada e conseqüentemente a memória
computacional requerida. Para tal, empregam-se condições nos limites da malha que simu-
lam uma propagação ao infinito, evitando reflexões. Estas condições não podem ser deriva-
das diretamente das equações de Maxwell e assim, condições de radiação auxiliares devem
23
ser usadas [91], as quais não devem causar reflexões espúrias das ondas incidentes nas pare-
des absorventes. O objetivo é tornar estas paredes invisíveis para qualquer onda eletromag-
nética dentro da malha.
A seguir serão apresentadas quatro condições absorventes de contorno (ABC’s - Ab-
sorbing Boundary Conditions): condição simples apresentada por Taflove e Brodwin [90],
condição absorvente de MUR de primeira e segunda ordem de precisão [57], camada per-
feitamente casada (PML - Perfectly Matched Layer) [9] e camada perfeitamente casada uni-
axial (UPML - Uniaxial Perfectly Matched Layer) [30]. Estas ABC’s foram escolhidas pela
simplicidade e/ou precisão que apresentam. É importante frisar que existem muitas outras
ABC’s, como, Higdon [36], Liao [50], método de operação complementar [67], entre outras.
Neste trabalho, foram consideradas ABC’s para meios homogêneos, isotrópicos e não
dispersivos. A aplicação para meios não homogêneos segue da dedução das ABC’s, as-
sociado à mudança de meio e velocidade de propagação da onda. Para problemas muito
complexos, às vezes é melhor aumentar a malha de estudo do que adaptar as condições ab-
sorventes ao problema.
2.7.1 Condição Simples
A condição absorvente simples é implementada calculando-se a média dos campos pró-
ximos ao contorno da malha, tentando simular todos os possíveis ângulos de incidência de
uma onda saindo do domínio de estudo. Leva-se em conta o tempo que os campos levariam
até atingir a fronteira da malha.
Supondo uma onda viajando à velocidade da luz (c), com ∆t = ∆/(2c), esta onda
percorreria um ∆ em dois ∆t’s. Assim, o campo na fronteira é igual à média dos campos
próximos a ela dois instantes de tempo antes. A média é feita entre os pontos adjacentes
ao ponto calculado. Por exemplo, seja a propagação um modo TM numa malha 2D com
fronteira inferior de coordenadas (0,0) - (4,0), fronteira superior (0,2) - (4,2), lateral esquerda
(0,0) - (0,2) e lateral direita (4,0) - (4,2), ver Fig. 2.10. Neste caso, tem-se as seguintes
equações para a condição absorvente:
• fronteira inferior
E
z
|
n
i,0
=
E
z
|
n−2
i−1,1
+ E
z
|
n−2
i,1
+ E
z
|
n−2
i+1,1
/3 ; (2.46)
24
Hy
Hx
Ez
i
j
x
y
z
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0)
(0,1)
(0,2)
Superior
Inferior
Lateral
Esquerda
Lateral
Direita
Figura 2.10: Células para análise da ABC simples, modo TM (problema 2D).
• fronteira superior
E
z
|
n
i,2
=
E
z
|
n−2
i−1,1
+ E
z
|
n−2
i,1
+ E
z
|
n−2
i+1,1
/3 ; (2.47)
• fronteira lateral esquerda
E
z
|
n
0,j
=
E
z
|
n−2
1,j−1
+ E
z
|
n−2
1,j
+ E
z
|
n−2
1,j+1
/3 ; (2.48)
• fronteira lateral direita
E
z
|
n
4,j
=
E
z
|
n−2
3,j−1
+ E
z
|
n−2
3,j
+ E
z
|
n−2
3,j+1
/3 . (2.49)
Para os cantos da malha com coordenadas (0,0), (0,2), (4,0) e (4,2), as fórmulas acima
precisam ser alteradas. O mais coerente é utilizar novamente os campos adjacentes para fazer
a média, isto é, incluir os campos da fronteira.
Como o FDTD usa os componentes de campo elétrico para calcular os componentes de
campo magnético e vice-versa, precisa-se somente calcular o campo elétrico ou magnético na
fronteira. Se for utilizada outra configuração de célula 2D, haverá a necessidade do cálculo
de ambos os campos na fronteira. A extensão dessa condição absorvente para um espaço
tridimensional é simples, seguindo diretamente da idéia acima.
A vantagem da ABC simples é a facilidade de implementação. Suas desvantagens
devem-se à necessidade de uma relação inteira entre o incremento temporal e o espacial,
e às consideráveis reflexões para ondas que não incidam perpendicularmente sobre a fron-
teira absorvente.
25
2.7.2 Condição Absorvente de Mur
A condição absorvente de Mur é fácil de implementar, com um coeficiente de reflexão
em torno de 1% a 5% para ondas com incidência oblíqua à ABC [94]. Esta condição absor-
vente ainda é muito utilizada em problemas nos quais pequenas reflexões não resultem em
grandes erros.
Nesta condição, assim como na condição simples, considera-se que os campos próximos
ao contorno da malha são campos que estão saindo do domínio de estudo e, portanto, a ABC
é aplicada para os campos espalhados dentro da malha.
Como mencionado na Sec. 2.7.1, calcular os campos elétricos na superfície de con-
torno da malha é suficiente, pois os campos magnéticos derivam destes. Assim, pode ser
mostrado que cada componente de campo elétrico satisfaz a equação escalar de onda tridi-
mensional [57]:
(∂
2
x
+ ∂
2
y
+ ∂
2
z
− v
−2
∂
2
t
)W = 0 , (2.50)
onde v é a velocidade da onda eletromagnética.
Sem perda de generalidade, assume-se que a malha está localizada na região x ≥ 0 e a
condição de contorno no plano x = 0 . Uma onda plana viajando na direção negativa de x,
com componentes de velocidade inversa s
x
, s
y
e s
z
, tais que, s
2
x
+ s
2
y
+ s
2
z
= v
−2
, pode ser
escrita como [21]:
W = Re(ψ(t + (v
−2
− s
2
y
− s
2
z
)
1/2 x
+ s
y
y + s
z
z)) , (2.51)
com Re(v
−2
− s
2
y
− s
2
z
)
1/2
≥ 0, sendo ψ uma função dependente dos parâmetros indicados.
A condição de contorno de primeira ordem é:
(∂x − v
−1
(1 − (vs
y
)
2
− (vs
z
)
2
)
1/2
∂t)W |
x=0
= 0 . (2.52)
Assim, para valores fixos de s
y
e s
z
pode-se determinar um W na superfície que é consistente
com uma onda que deixa o domínio de estudo, ou seja, que é absorvida. Um aproximação
de (2.52) é feita escrevendo
(1 − (vs
y
)
2
− (vs
z
)
2
)
∼
=
1 . (2.53)
Resultando como primeira aproximação:
(∂x − v
−1
∂t)W |
x=0
= 0 . (2.54)
26
Caso se use uma aproximação melhor para a raiz quadrada:
(1 − (vs
y
)
2
− (vs
z
)
2
)
∼
=
1 −
1
2
((vs
y
)
2
+ (vs
z
)
2
) , (2.55)
obtém-se a aproximação de segunda ordem para a condição de contorno
(v
−1
∂
2
xt
− v
−2
∂t
2
+
1
2
(∂y
2
+ ∂z
2
))W |
x=0
= 0 . (2.56)
Para problemas eletromagnéticos bidimensionais, é possível simplificar a aproximação
de segunda ordem. Assumindo que os campos não dependem de z e possuem polarização
em
E, isto é, E
z
a
z
e
H = H
x
a
x
+ H
y
a
y
, (2.56) é aplicada somente a E
z
. Da lei de Faraday
(2.3), resulta
µ
o
∂
t
H
x
= −∂
y
E
z
. (2.57)
Substituindo (2.57) em (2.55), com ∂
z
≡ 0 e com W = E
z
, integrando com respeito a t e
usando E
z
= 0 para t < 0 , obtém-se:
(∂
x
E
z
− v
−1
∂
t
E
z
− (vµ
o
/2)∂
y
H
x
)
x=0
= 0 , (2.58)
que é muito mais simples que (2.56), mas ainda da mesma ordem de aproximação. Uma
condição similar para polarização
H pode ser facilmente derivada.
Considerando um plano em x = 0 para a condição absorvente, expressando E
z
de
forma discreta com diferenças centrais (a derivação para os outros componentes de campo é
similar), resulta para a aproximação de primeira ordem, para a Eq. 2.54:
E
z
|
n
0,j,k+
1
2
= E
z
|
n−1
1,j,k+
1
2
+
v∆
t
− ∆
v∆
t
+ ∆
E
z
|
n
1,j,k+
1
2
− E
z
|
n−1
0,j,k+
1
2
. (2.59)
A segunda aproximação, Eq. 2.56, para E
z
no limite x = 0 é discretizada como:
E
z
|
n
0,j,k+
1
2
= −E
z
|
n−2
1,j,k+
1
2
+
v∆
t
−∆
v∆
t
+∆
E
z
|
n
1,j,k+
1
2
−E
z
|
n−2
0,j,k+
1
2
+
2∆
v∆
t
+∆
E
z
|
n−1
0,j,k+
1
2
+E
z
|
n−1
1,j,k+
1
2
+
(v∆
t
)
2
2∆(v∆
t
+ ∆)
E
z
|
n−1
0,j+1,k +
1
2
− 2E
z
|
n−1
0,j,k+
1
2
+ E
z
|
n−1
0,j−1,k +
1
2
+ E
z
|
n−1
1,j+1,k +
1
2
− 2E
z
|
n−1
1,j,k+
1
2
+
E
z
|
n−1
1,j−1,k +
1
2
+ E
z
|
n−1
0,j,k+
3
2
−2E
z
|
n−1
0,j,k+
1
2
+ E
z
|
n−1
0,j,k−
1
2
+ E
z
|
n−1
1,j,k+
3
2
−2E
z
|
n−1
1,j,k+
1
2
+ E
z
|
n−1
1,j,k−
1
2
.
(2.60)
Finalmente, a segunda aproximação (2.58) para um problema bidimensional, resulta:
E
z
|
n
0,j
=E
z
|
n−1
1,j
+
v∆
t
−∆
v∆
t
+∆
E
z
|
n
1,j
−E
z
|
n−1
0,j
−
µ
o
v
2(v∆
t
+∆)
H
x
|
n−
1
2
0,j +
1
2
−H
x
|
n−
1
2
0,j −
1
2
+H
x
|
n−
1
2
1,j +
1
2
−H
x
|
n−
1
2
1,j −
1
2
. (2.61)
27
As equações acima devem ser adaptadas de acordo com o limite da malha, onde está
sendo empregada a ABC. Neste trabalho, a aproximação de primeira ordem é denominada
Mur1, por simplicidade.
Uma análise qualitativa entre a ABC simples e Mur1 é apresentada na Fig. 2.11, con-
siderando uma malha bidimensional de 50 × 50 células quadradas (célula TM), com
∆ = 0, 3cm e ∆t = 5ps (0, 5∆/c, devido à condição simples). Foi utilizada uma exci-
tação rígida do tipo pulso gaussiano, com largura aproximada de 125ps, aplicada no centro
da malha (E
z
), gerando uma onda cilíndrica. Na Fig. 2.11 é apresentada a propagação dessa
onda (E
z
) para vários instantes de tempo. Em 0,250ns, a frente de onda ainda não atingiu
os limites da malha (ABC); em 0,315ns a onda já esta sendo absorvida. Os resultados para
esses tempos de propagação são muito similares para ABC simples e para Mur1.
0 7,5 15
0
7,5
15
0,250 ns
[cm]
[cm]
0 7,5 15
0
7,5
15
0,315 ns
0 7,5 15
0
7,5
15
0,380 ns
0 7,5 15
0
7,5
15
0,445 ns
0 7,5 15
0
7,5
15
0,250 ns
[cm]
[cm]
0 7,5 15
0
7,5
15
0,315 ns
0 7,5 15
0
7,5
15
0,380 ns
0 7,5 15
0
7,5
15
0,445 ns
a)
b)
ABC Simples
ABC Mur1
Figura 2.11: Pulso gaussiano se propagando em uma malha de 50×50 células quadradas em vários
instantes de tempo. a) ABC simples e b) ABC Mur1.
Para os instantes seguintes, 0,380ns e 0,445ns, a onda eletromagnética (E
z
) já está dis-
torcida, como pode ser observado na Fig. 2.11. A distorção é maior nos cantos da malha,
devido ao ângulo de incidência da onda, aumentando com o passar do tempo. Os resulta-
dos das ABC’s simples e Mur1 são similares, apresentando reflexões de até 5% do valor
máximo da onda incidente [94]. As ABC’s acima apresentam uma reflexão considerável.
28
Suas vantagens encontram-se na simplicidade de implementação. Mur1 sempre é preferida
à ABC simples, pois pode-se utilizar um incremento temporal variável, sendo ambas fáceis
de programar.
2.7.3 Camada Perfeitamente Casada - PML
A PML [9] é uma condição absorvente considerada perfeitamente casada porque ondas
eletromagnéticas podem penetrá-la sem reflexão na interface meio-PML para qualquer ân-
gulo de incidência e freqüência. Isto é conseguido substituindo o espaço ilimitado por um
meio especialmente projetado para o fim de absorção. A PML é formada por camadas ab-
sorventes colocadas em torno do domínio de estudo, podendo ser colocada muito próxima
do objeto sob análise. Sua espessura é escolhida de acordo com o problema que se deseja
solucionar [10].
Após o desenvolvimento da PML, foi possível a simulação de câmeras anecóicas com
atenuação superior a 60dB [39]. Este foi um dos grandes passos dados para o FDTD na
década de 90.
Para ilustrar a formulação da PML, considera-se um problema 2D que possui os com-
ponentes E
x
, E
y
e H
z
, modo TE. No meio PML as equações de Maxwell podem ser escritas
como:
∂E
x
∂t
+ σE
x
=
∂H
z
∂y
(2.62)
∂E
y
∂t
+ σE
y
= −
∂H
z
∂x
(2.63)
µ
∂H
z
∂t
+ σ
∗
H
z
=
∂E
x
∂y
−
∂E
y
∂x
, (2.64)
onde σ
∗
é a condutividade magnética do meio [Ω/m]
1
.
Para que a impedância do meio seja igual à do vácuo, resultando em reflexão zero, a
seguinte condição deve ser satisfeita [9]:
σ
o
=
σ
∗
µ
o
. (2.65)
Em problemas 2D, o componente de campo paralelo à direção de propagação da onda é
escrito como a soma escalar de dois subcomponentes. Além disso, são atribuídos diferentes
1
Fisicamente σ
∗
não existe, mas é usado para facilitar a solução de problemas eletromagnéticos [6].
29
valores de condutividade para diferentes direções. Para o caso TE, as seguintes equações
substituem as de Maxwell na PML:
∂E
x
∂t
+ σ
y
E
x
=
∂(H
zx
+ H
zy
)
∂y
(2.66)
∂E
y
∂t
+ σ
x
E
y
= −
∂(H
zx
+ H
zy
)
∂x
(2.67)
µ
∂H
zx
∂t
+ σ
∗
x
H
zx
= −
∂E
y
∂x
(2.68)
µ
∂H
zy
∂t
+ σ
∗
y
H
zy
=
∂E
x
∂y
, (2.69)
onde H
z
= H
zx
+ H
zy
.
Como o componente H
z
é dividido em dois subcomponentes, H
zx
e H
zy
, para o cálculo
do campo elétrico entre o vácuo e a PML usa-se H
z
= H
zx
+ H
zy
. A Fig. 2.12 ilustra a PML
em 2 dimensões, com detalhes para as condutividades elétrica e magnética. A PML termina
em um condutor perfeito, aplicando-se aí a condição de contorno correspondente (campo
elétrico tangencial nulo).
Domínio de
Estudo
x
y
E
x
E
y
H
z
H
zx
H
zy
Condutor
Perfeito
Interface
Meio-PML
PML
L =
0
1/2
1 3/2 2 5/2 3
PML (o
x
, o
x
*, o
y
, o
y
*)
PML (0, 0, o
y
, o
y
*)
PML (o
x
, o
x
*
, 0
, 0
)
o
y
= o
y
* = 0
o
x
/E
o
= o
x
*/u
o
x
p
S
Figura 2.12: PML circundando uma malha bidimensional, modo de propagação TE.
30
Para o caso TM, as equações na PML são dadas por:
µ
∂H
x
∂t
+ σ
∗
y
H
x
= −
∂(E
zx
+ E
zy
)
∂y
(2.70)
µ
∂H
y
∂t
+ σ
∗
x
H
y
=
∂(E
zx
+ E
zy
)
∂x
(2.71)
∂E
zx
∂t
+ σ
x
E
zx
=
∂H
y
∂x
(2.72)
∂E
zy
∂t
+ σ
y
E
zy
= −
∂H
x
∂y
, (2.73)
onde E
z
= E
zx
+ E
zy
.
As condutividades inclusas na PML absorvem a energia eletromagnética,
dissipando-a. Existem diferentes condutividadespara contemplar todas as possíveis direções
de propagação das ondas eletromagnéticas em contato com a camada absorvente.
O princípio da PML é relativamente simples e é obtido pela modificação das equações
clássicas para o casamento entre meios de tal forma a não haver reflexão, independente do
ângulo de incidência da onda eletromagnética. A subdivisão de campo é estendida para o
caso tridimensional [11], onde os seis componentes de campo das equações de Maxwell
são divididos em dois subcomponentes cada. Assim, para a PML 3D os campos elétrico
e magnético são divididos, resultando em doze subcomponentes, E
xy
, E
xz
, E
y z
, E
y x
, E
zx
,
E
zy
, H
xy
, H
xz
, H
y z
, H
y x
, H
zx
e H
zy
. Logo, as equações de Maxwell são escritas como:
∂E
xy
∂t
+ σ
y
E
xy
=
∂(H
zx
+ H
zy
)
∂y
(2.74)
∂E
xz
∂t
+ σ
z
E
xz
= −
∂(H
y z
+ H
y x
)
∂z
(2.75)
∂E
y z
∂t
+ σ
z
E
y z
=
∂(H
xy
+ H
xz
)
∂z
(2.76)
∂E
y x
∂t
+ σ
x
E
y x
= −
∂(H
zx
+ H
zy
)
∂x
(2.77)
∂E
zx
∂t
+ σ
x
E
zx
=
∂(H
y z
+ H
y x
)
∂x
(2.78)
31
∂E
zy
∂t
+ σ
y
E
zy
= −
∂(H
xy
+ H
xz
)
∂y
(2.79)
µ
∂H
xy
∂t
+ σ
∗
y
H
xy
= −
∂(E
zx
+ E
zy
)
∂y
(2.80)
µ
∂H
xz
∂t
+ σ
∗
z
H
xz
=
∂(E
y z
+ E
y x
)
∂z
(2.81)
µ
∂H
y z
∂t
+ σ
∗
z
H
y z
= −
∂(E
xy
+ E
xz
)
∂z
(2.82)
µ
∂H
y x
∂t
+ σ
∗
x
H
y x
=
∂(E
zx
+ E
zy
)
∂x
(2.83)
µ
∂H
zx
∂t
+ σ
∗
x
H
zx
= −
∂(E
y z
+ E
y x
)
∂x
(2.84)
µ
∂H
zy
∂t
+ σ
∗
y
H
zy
=
∂(E
xy
+ E
xz
)
∂y
, (2.85)
onde H
x
= H
xy
+ H
xz
, H
y
= H
y z
+ H
y x
, H
z
= H
zx
+ H
zy
E
x
= E
xy
+ E
xz
, E
y
= E
y z
+ E
y x
, E
z
= E
zx
+ E
zy
.
Os campos na fronteira entre o domínio de estudo e a PML devem ser calculados usando
as relações acima. Na Fig. 2.13 é apresentada a PML 3D com suas respectivas condutivi-
dades, com o detalhe de uma célula e da interface meio-PML. A interseção dos planos x, y e
z indicam as condutividades existentes nas paredes da PML (por exemplo, uma onda que se
propaga na direção x encontra σ
x
e σ
∗
x
).
Para a implementação da PML faltam determinar as condutividades e o número de ca-
madas absorventes que se deseja, de acordo com o grau de reflexão a obter. Em princípio, o
fator de reflexão pode ser tão pequeno quanto se queira, bastando aumentar a espessura da
PML (δ) e/ou a condutividade σ(ρ), ver Fig. 2.12. Na prática, uma certa reflexão numérica
acontece dependendo de δ e σ(ρ). Os passos necessários para o cálculo das condutividades
são [9]:
32
x
y
z
o
x
o
z
o
y
o
x
* o
y
* o
z
*
o
y
o
y
*
o
z
o
z
*
o
x
o
x
*
o
x
o
x
*
o
z
o
z
*
o
y
o
y
*
o
z
o
z
*
o
y
o
y
*
o
x
o
x
*
E
zx
E
zy
E
yx
E
yz
E
xy
E
xz
H
zx
H
zy
H
xy
H
xz
H
yx
H
yz
Célula - PML
E
z
E
xy
E
xz
E
zx
E
zy
H
yx
H
yz
E
x
H
y
Meio PML
Corte Plano xz
Figura 2.13: PML circundando uma malha tridimensional.
• Escolha da espessura da PML, ou seja, δ. Valores comuns: N = 6, N = 8 ou N = 10
camadas (N × ∆ = δ).
• A reflexão desejada R (parcela da onda refletida na PML), normalmente menor que
1%, neste trabalho foi utilizado R = 0, 0001 ou 0,01%.
• Escolha da variação espacial da condutividade: linear, parabólica ou geométrica.
Para o cálculo das condutividades com perfil linear ou parabólico usa-se [9]:
1. Cálculo da condutividade da camada mais externa: n = 1 para linear ou n = 2 para
parabólica:
σ
m
= −
o
c ln(R)
(2/(n + 1))δ
; (2.86)
2. Cálculo da condutividade da primeira camada L = 0, usado no cálculo dos campos
elétricos.
σ(0) =
σ
m
(n + 1)2
n+1
N
n
; (2.87)
3. Cálculo das condutividades para L > 0 e inteiro, usado no cálculo dos campos elétri-
cos.
σ(L) = σ(0)[(2L + 1)
n+1
− (2L − 1)
n+1
] . (2.88)
33
O fator de crescimento geométrico da condutividadeérepresentadopor g (valores maiores
que 2 são usuais [10]). Para o cálculo dessa condutividade usa-se:
1. Cálculo da condutividade auxiliar da interface meio-PML:
σ
o
= −
o
c
2∆
ln(g)
(g
N
− 1)
ln(R) ; (2.89)
2. Cálculo da condutividade da primeira camada L = 0, usado no cálculo dos campos
elétricos.
σ(0) = σ
o
√
g − 1
ln(g)
; (2.90)
3. Cálculo das condutividades para L > 0 e inteiro, usado no cálculo dos campos elétri-
cos.
σ(L) = σ
o
g − 1
√
g ln(g)
g
L
. (2.91)
O cálculo das condutividades magnéticas para L > 0 e fracionário, usado no cálculo dos
campos magnéticos, é dado por:
σ
∗
(L) =
σ(L)µ
o
o
. (2.92)
Como os componentes dos campos elétrico e magnético estão defasados de meio ∆, as
condutividades elétrica e magnética também o estão. Assim, o casamento de impedância,
que significa igual absorção para esses campos, não é perfeitamente alcançado pelo processo
numérico no FDTD. Desta forma, nateoria a PML é perfeitamenteabsorvente,mas na prática
existe uma pequena fração de reflexão.
Para garantir a estabilidade dos resultados, duas condições devem ser satisfeitas. Uma
diz respeito à condutividade da primeira camada, que é dada por:
σ(0) <
2π
o
T
t
, (2.93)
onde T
t
é o tempo total de simulação. A segunda condição diz que a razão da variação das
sucessivas condutividades deve ser menor que um determinado valor, denominado S.
σ(L + 1/2)
σ(L)
≤ S (L = 0, 1/2, 1, 3/2, ...) . (2.94)
34
O parâmetro S depende do problema a ser solucionado e é estimado empiricamente [10].
Geralmente testa-se a PML para ver se os parâmetros estão corretos. A variação geométrica
da condutividade satisfaz automaticamente à Eq. 2.94, sendo
√
g = S.
A transformação das equações da PML para o uso no FDTD segue diretamente das
diferenças finitas centrais (Sec. 2.4.1). Durante este trabalho, será empregada a seguinte
notação: PML(N-C-R), onde N = número de camadas absorventes, C representa a variação
da condutividade (L = linear, P = parabólica, G = geométrica), e R o fator de reflexão.
Para avaliar condições absorventes 3D, foram utilizadas as ABC’s de Mur1 e PML (o
programa com Mur1 encontra-se no Anexo 2). Foi usada uma malha de 20×20×20 células,
com ∆ = 0 , 1mm, ∆t = 0, 173ps, 100 iterações (resultado para 17,3ps), PML(8-P-0,0001),
pulso gaussiano com largura aproximada de 8,6ps e excitação em uma linha num canto da
malha (H
z
).
A excitação em um canto exige mais da ABC que a excitação no centro da malha. O
resultado de H
z
para o plano xy central da malha é visto na Fig. 2.14a ABC Mur1 e 2.14b
PML. A PML não apresenta distorções na forma de onda enquanto que para Mur1 percebe-
se a tendência da onda de retornar à fonte de excitação devido às reflexões numéricas. Nos
testes realizados com a PML, a variação de condutividade parabólica apresentou melhores
resultados que a linear e a geométrica.
5 10 15 20
5
10
15
20
a)
Nr. de celulas
5 10 15 20
5
10
15
20
b)
Figura 2.14: Pulso gaussiano, H
z
plano central de uma malha cúbica de 20×20×20. a) Mur1 e b)
PML(8-P-0,0001).
A PML 3D é uma ótima condição absorvente, mas de difícil programação dados seus
muitos parâmetros, tais como: diferentes condutividades e dependência com as coordenadas
x, y e z, resolução de 12 equações FDTD, cuidados especiais que se devem ter na relação
das equações entre o meio e a PML, locação de matrizes para cobrir a malha cúbica, bem
como os critérios de estabilidade.
35
2.7.4 Camada Perfeitamente Casada Uniaxial - UPML
A UPML [30] é uma camada perfeitamente casada composta por um material aniso-
trópico uniaxial. Esta PML uniaxial é matematicamente equivalente à PML publicada por
Berenger [9]. Entretanto, é baseada nas equações de Maxwell, nas quais não existe a sub-
divisão dos componentes de campo elétrico e magnético, fazendo com que sua formulação
represente a realidade física. A UPML não possui as restrições de estabilidade da PML,
possuindo igual eficiência e sendo mais fácil de programar e computacionalmente mais efi-
ciente [30]. Segue o mesmo princípio da PML, circundando o domínio de estudo com um
número de camadas absorventes e condutividades elétricas nas diferentes direções.
Para uma condição de casamento, as equações rotacionais de Maxwell em sua forma
harmônica (domínio da freqüência) podem ser escritas para a UPML em sua forma geral
como:
∇ ×
H = jωs
E , (2.95)
∇ ×
E = −jωµs
H , (2.96)
onde s é o tensor diagonal definido por:
s=
1/s
x
0 0
0 s
x
0
0 0 s
x
s
y
0 0
0 1/s
y
0
0 0 s
y
s
z
0 0
0 s
z
0
0 0 1/s
z
=
s
y
s
z
s
x
0 0
0
s
x
s
z
s
y
0
0 0
s
x
s
y
s
z
(2.97)
Com s
x
, s
y
e s
z
dados por:
s
x
= k
x
+
σ
x
jω
, s
y
= k
y
+
σ
y
jω
, s
z
= k
z
+
σ
z
jω
. (2.98)
Das definições acima, escolhem-se os parâmetros para toda a malha FDTD seguindo os
seguintes critérios (as condutividades elétricas possuem localização igual à da PML):
• Parte interior da malha, isotrópica e sem perdas: s
x
= s
y
= s
z
= 1, o que requer
σ
x
= σ
y
= σ
z
= 0 e k
x
= k
y
= k
z
= 1. Estes parâmetros referêm-se ao domínio de
estudo dentro do FDTD, sem condição absorvente.
• UPML entre x
min
e x
max
(sem intersecção entre planos): s
y
= s
z
= 1, o que requer
σ
y
= σ
z
= 0 e k
y
= k
z
= 1;
• UPML entre y
min
e y
max
(sem intersecção entre planos): s
x
= s
z
= 1, o que requer
σ
x
= σ
z
= 0 e k
x
= k
z
= 1;
36
• UPML entre z
min
e z
max
(sem intersecção entre planos): s
x
= s
y
= 1, o que requer
σ
x
= σ
y
= 0 e k
x
= k
y
= 1;
• UPML entre x
min
, x
max
e y
min
e y
max
(intersecção entre os planos x e y - cantos
diedrais): s
z
= 1, o que requer σ
z
= 0 e k
z
= 1;
• UPML entre x
min
, x
max
e z
min
e z
max
(intersecção entre os planos x e z - cantos
diedrais): s
y
= 1, o que requer σ
y
= 0 e k
y
= 1;
• UPML entre y
min
, y
max
e z
min
e z
max
(intersecção entre os planos y e z - cantos
diedrais): s
x
= 1, o que requer σ
x
= 0 e k
x
= 1;
• UPML na intersecção de todos os planos (cantos triedais): usa-se o tensor completo
de (2.97), ou seja, todas as condutividades e geralmente com k
s = 1.
Partindo das Eqs. 2.95 e 2.97 a UPML é expressa como:
∂H
z
∂y
−
∂H
y
∂z
∂H
x
∂z
−
∂H
z
∂x
∂H
y
∂x
−
∂H
x
∂y
= jω
s
y
s
z
s
x
0 0
0
s
x
s
z
s
y
0
0 0
s
x
s
y
s
z
(2.99)
Inserindo (2.98) em (2.99) e transformando para o domínio do tempo, resultaria numa
convolução entre o tensor e o campo elétrico, o que é computacionalmente pesado. Para
superar isto, define-se [94]:
D
x
=
s
y
s
x
E
x
, D
y
=
s
z
s
y
E
y
, D
z
=
s
x
s
z
E
z
. (2.100)
Então (2.99) é reescrita como:
∂H
z
∂y
−
∂H
y
∂z
∂H
x
∂z
−
∂H
z
∂x
∂H
y
∂x
−
∂H
x
∂y
= jω
s
z
0 0
0 s
x
0
0 0 s
y
D
x
D
y
D
z
(2.101)
Agora, substituindo s
x
, s
y
e s
z
de (2.98) em (2.101), e aplicando a transformada inversa
de Fourier usando a identidade jωf(ω) → (∂/∂t)f(t), resulta num sistema de equações
diferenciais no domínio do tempo:
∂H
z
∂y
−
∂H
y
∂z
∂H
x
∂z
−
∂H
z
∂x
∂H
y
∂x
−
∂H
x
∂y
=
∂
∂t
k
z
0 0
0 k
x
0
0 0 k
y
D
x
D
y
D
z
+
1
σ
z
0 0
0 σ
x
0
0 0 σ
y
D
x
D
y
D
z
(2.102)
37
A partir do sistema de equações de (2.102) pode-se aplicar o algoritmo de Yee às in-
duções elétricas D
x
, D
y
e D
z
e seus respectivos campos magnéticos, gerando um conjunto
de equações FDTD dadas por:
D
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k
=
2k
z
− σ
z
∆t
2k
z
+ σ
z
∆t
D
x
|
n
i+
1
2
,j,k
+
2∆t
(2k
z
+ σ
z
∆t)∆
.
H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
− H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j−
1
2
,k
+ H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k−
1
2
− H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
(2.103)
D
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k
=
2k
x
− σ
x
∆t
2k
x
+ σ
x
∆t
D
y
|
n
i,j+
1
2
,k
+
2∆t
(2k
x
+ σ
x
∆t)∆
.
H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
− H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k−
1
2
+ H
z
|
n+
1
2
i−
1
2
,j+
1
2
,k
− H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
(2.104)
D
z
|
n+1
i,j,k+
1
2
=
2k
y
− σ
y
∆t
2k
y
+ σ
y
∆t
D
z
|
n
i,j,k+
1
2
+
2∆t
(2k
y
+ σ
y
∆t)∆
.
H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
− H
y
|
n+
1
2
i−
1
2
,j,k+
1
2
+ H
x
|
n+
1
2
i,j−
1
2
,k+
1
2
− H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
(2.105)
Para relacionar
D e
E usa-se (2.100). Considerando somente D
x
, multiplicando ambos
lados por s
x
e substituindo seu valor (2.98), tem-se:
k
x
+
σ
x
jω
D
x
=
k
y
+
σ
y
jω
E
x
(2.106)
Multiplicando ambos lados por jω e transformando para o domínio do tempo, resulta em:
∂
∂t
(k
x
D
x
) +
σ
x
D
x
=
∂
∂t
(k
y
E
x
) +
σ
y
E
x
(2.107)
Similarmente, as componentes D
y
e D
z
podem ser associadas a seus respectivos campos
elétricos. Após este resultado o algoritmo de Yee já pode ser empregado. As equações FDTD
para o campo elétrico são então dadas por:
E
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k
=
2k
y
− σ
y
∆t
2k
y
+ σ
y
∆t
E
x
|
n
i+
1
2
,j,k
+
1
(2k
y
+ σ
y
∆t)
.
(2k
x
+ σ
x
∆t)D
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k
− (2k
x
− σ
x
∆t)D
x
|
n
i+
1
2
,j,k
(2.108)
38
E
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k
=
2k
z
− σ
z
∆t
2k
z
+ σ
z
∆t
E
y
|
n
i,j+
1
2
,k
+
1
(2k
z
+ σ
z
∆t)
.
(2k
y
+ σ
y
∆t)D
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k
− (2k
y
− σ
y
∆t)D
y
|
n
i,j+
1
2
,k
(2.109)
E
z
|
n+1
i,j,k+
1
2
=
2k
x
− σ
x
∆t
2k
x
+ σ
x
∆t
E
z
|
n
i,j,k+
1
2
+
1
(2k
x
+ σ
x
∆t)
.
(2k
z
+ σ
z
∆t)D
z
|
n+1
i,j,k+
1
2
− (2k
z
− σ
z
∆t)D
z
|
n
i,j,k+
1
2
(2.110)
A atualização das componentes do campo elétrico requer dois passos: (1) obtenção
dos novos valores de
D e (2) uso destes valores para o cômputo de
E. Processo similar é
aplicado para os valores do campo magnético: primeiro calculam-se as induções magnéticas
(
B) e depois o
H.
Para dedução das equações do campo magnético parte-se das Eqs. 2.96 e 2.97. Após
algebrismo similar ao do campo elétrico e usando:
B
x
= µ
s
y
s
x
H
x
, B
y
= µ
s
z
s
y
H
y
, B
z
= µ
s
x
s
z
H
z
, (2.111)
resulta no conjunto de equações FDTD para
B e
H, dadas por:
B
x
|
n+
3
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
=
2k
z
− σ
z
∆t
2k
z
+ σ
z
∆t
B
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
+
2∆t
(2k
z
+ σ
z
∆t)∆
.
E
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k+1
− E
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k
+ E
z
|
n+1
i,j,k+
1
2
− E
z
|
n+1
i,j+1,k+
1
2
(2.112)
B
y
|
n+
3
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
=
2k
x
− σ
x
∆t
2k
x
+ σ
x
∆t
B
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
+
2∆t
(2k
x
+ σ
x
∆t)∆
.
E
z
|
n+1
i+1,j,k+
1
2
− E
z
|
n+1
i,j,k+
1
2
+ E
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k
− E
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k+1
(2.113)
B
z
|
n+
3
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
=
2k
y
− σ
y
∆t
2k
y
+ σ
y
∆t
B
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
+
2∆t
(2k
y
+ σ
y
∆t)∆
.
E
x
|
n+1
i+
1
2
,j+1,k
− E
x
|
n+1
i+
1
2
,j,k
+ E
y
|
n+1
i,j+
1
2
,k
− E
y
|
n+1
i+1,j+
1
2
,k
(2.114)
39
H
x
|
n+
3
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
=
2k
y
− σ
y
∆t
2k
y
+ σ
y
∆t
H
x
|
n+
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
+
1
(2k
y
+ σ
y
∆t)µ
.
(2k
x
+ σ
x
∆t)B
x
|
n+
3
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
− (2k
x
− σ
x
∆t)B
x
|
n
1
2
i,j+
1
2
,k+
1
2
(2.115)
H
y
|
n+
3
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
=
2k
z
− σ
z
∆t
2k
z
+ σ
z
∆t
H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
+
1
(2k
z
+ σ
z
∆t)µ
.
(2k
y
+ σ
y
∆t)B
y
|
n+
3
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
− (2k
y
− σ
y
∆t)B
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
(2.116)
H
z
|
n+
3
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
=
2k
x
− σ
x
∆t
2k
x
+ σ
x
∆t
H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
+
1
(2k
x
+ σ
x
∆t)µ
.
(2k
z
+ σ
z
∆t)B
z
|
n+
3
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
− (2k
z
− σ
z
∆t)B
z
|
n+
1
2
i+
1
2
,j+
1
2
,k
(2.117)
A condutividade da UPML é determinada de acordo com um fator de crescimento. O
fator comumente utilizado é o polinomial [30], sendo que a condutividade máxima na última
camada da condição absorvente é calculada como:
σ
max
= −
(m + 1) ln[R(0)]
2η d
, (2.118)
onde 3 ≤ m ≤ 4, R(0) é o fator de reflexão, η =
u
o
/e
o
é a impedância intrínseca do
meio, e d é a espessura da UPML em metros. Considerando uma espessura de N camadas,
para N = 10 usa-se R(0) = e
−16
e para N = 5, R(0) = e
−8
. Estes valores são considerados
ótimos para a maioria das aplicações no FDTD [94].
As demais condutividades são determinadas com o uso de (1.119). Considerando uma
direção x, iniciando em 0 até d, essas condutividades são dadas por:
σ
x
(x) = (x/d)
m
σ
max
(2.119)
Os valores de k podem variar de 1 em x = 0 até um valor k
max
(k
max
≥ 1), sendo calculados
conforme:
k
x
(x) = 1 + (k
max
− 1).(x/d)
m
. (2.120)
Normalmente usa-se k = 1 para toda a UPML.
Dada as qualidades da UPML, incluindo amplo uso com bons resultados, esta condição
absorvente tem sido muito empregada no FDTD. Suas principais vantagens em relação à
PML são a maior estabilidade, o fato de não ser sensível a situações dependentes do tempo
de simulação e parâmetros da malha, bem como uma maior facilidade de programação.
40
2.8 Geração Simples de uma Onda Plana
Longe de uma fonte radiadora de energia eletromagnética, considera-se que as frentes de
onda são localmente planas [8]. Assim, em aplicações de interação de ondas com estruturas
(espalhamento), a simulação de ondas planas é importante.
Numa onda plana oscampos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção
de propagação, formando uma onda denominada transverso-eletromagnética (TEM).
Uma forma simples de gerar uma onda plana é excitar todo um plano de campo em 3D
ou uma linha em 2D. O problema é que nos limites da malha a onda é distorcida devido à sua
difração. Para contornar esse problema de maneira simples e garantir a existência de uma
onda plana em todo domínio de estudo, pode-se utilizar uma configuração com paredes espe-
ciais para compensar qualquer dispersão na malha (superfícies parciais de Huygens [18]). O
campo elétrico deve ser perpendicular a uma parede elétrica perfeita (condutividade elétrica
infinita com coeficiente de reflexão -1), e o campo magnético deve ser perpendicular a uma
parede magnética perfeita (condutividade magnética infinita com coeficiente de reflexão +1).
A Fig. 2.15 ilustra estas condições. Os campos elétrico e magnético encontram-se no plano
yz e a onda propaga-se na direção x. São excitados todos os campos E
z
do plano yz onde é
gerada a onda.
E
z
H
y
z
y
x
Parede Elétrica
Perfeita
Parede Magnética
Perfeita
Parede
de
Excitação
Figura 2.15: Paredes especiais para gerar uma onda plana.
Como as paredes elétrica e magnética perfeitas envolvem a onda plana, devem-se aplicar
as condições de contorno adequadas a elas. Na parede elétrica, o campo elétrico tangencial à
superfície bem como o campo magnético normal são nulos. Na parede magnética é o inverso:
o campo magnético tangencial à superfície bem como o campo elétrico normal devem ser
nulos, ver Sec. 2.3.
Para realizar essas condições de contorno na malha FDTD tridimensional com a célula
41
convencional, deve-se dividir a célula nas proximidades da parede magnética para impor as
condições de contorno. A Fig. 2.16 ilustra esse detalhe. Com essa topologia de malha, todos
os vetores de campo em contato com as paredes da estrutura que guia a onda serão nulos e a
onda plana será gerada corretamente.
A implementação simples dessa onda plana possui limitadas aplicações, visto que uma
onda espalhada no interior da malha sofrerá reflexão em contato com as paredes da estru-
tura que guia a onda devido às condições de contorno impostas. Além disso, a direção de
propagação da onda gerada sempre será paralela a um dos eixos cartesianos. A vantagem
encontra-se na facilidade de programação.
H
z
H
x
E
y
E
x
Condutor Elétrico
Perfeito
Condutor Magnético
Perfeito
y
x
z
Figura 2.16: Detalhes para aplicações das condições de contorno na geração simples de uma onda
plana propagando-se na direção x.
O efeito de usar ou não as condições de contorno pode ser visto na Fig. 2.17. Usou-se
uma malha de 5 0×100×21 células cúbicas, ∆ = 0, 1cm, ∆t = 1ps, condição absorvente
Mur1, excitação a 10 GHz em E
z
no plano xz em y = 1. Na Fig. 2.17 é apresentado E
z
no plano xy em z = 10 após 250 iterações. Na Fig. 2.17a a onda não possui condições de
contorno para onda plana e na Fig. 2.17b estas condições estão presentes.
Existe uma formulação complexa e precisa, baseada nos campos incidente e refletido
para se obter uma onda plana com qualquer ângulo de incidência na malha. Nessa formu-
lação é necessário conhecer previamente o campo incidente para toda a malha, sendo a malha
dividida numa região de campo total, que é igual ao incidente mais o refletido, e noutra re-
gião onde só existem campos refletidos [101] [94]. O algoritmo FDTD com este tipo de
excitação é muito utilizado em complicados problemas de espalhamento.
42
1
50
100
1
25
50
−1
0
1
Nr. celulas − y
Nr. celulas − x
Ez [V/m]
a)
1
50
100
1
25
50
−1
0
1
Nr. celulas − y
Nr. celulas − x
Ez [V/m]
b)
Figura 2.17: Onda se propagando a 10 GHz. a) sem as condições de contorno para onda plana e b)
com as condições de contorno.
2.9 Uso da Simetria
Quando o problema estudado apresentar simetria, pode-se analisar somente uma parte
da geometria de modo a economizar memória e tempo de processamento [90]. Seja uma
estrutura bidimensional, para o modo TM, com simetria em i = 25, conforme Fig. 2.18. A
simetria garante que as propriedades elétricas do lado direito são iguais às do lado esquerdo,
ou seja:
µ, , σ|
25−i,j
= µ, , σ|
25+i,j
(2.121)
Simetria
i
j
H
y
H
x
E
z
Lado esquerdo = Lado direito
25
E
z
(25, j) = E
z
(26, j)
Dielétrico
Figura 2.18: Geometria de uma estrutura simétrica em i = 25.
43
Se a onda incidente for uma onda plana propagando-se na direção y (j), os componentes
de campo E
z
e H
x
são uniformes no plano xy e assim, naturalmente simétricos em i = 25.
Logo:
E
z
|
n
, H
x
|
n
25−i,j
= E
z
|
n
, H
x
|
n
25+i,j
. (2.122)
A condição de truncamento na fronteira de simetria é:
E
z
|
n
25,j
= E
z
|
n
26,j
. (2.123)
Assim, H
y
na fronteira é nulo, pois E
z
|
n
25,j
− E
z
|
n
26,j
= 0.
Portanto, dependendo da geometria do problema e do modo de propagação da onda, a
simetria pode ser levada em conta para reduzir o domínio de cálculo.
2.10 Modelagem de Fios Finos Perfeitamente Condutores
Para a simulação de geometrias curvas no FDTD com precisão sem a utilização de ma-
lhas densas, faz-se uso das equações de Maxwell em sua forma integral [46]. Estas permitem
incorporar a física de campos próximos, resultando em equações do método FDTD adap-
tadas à geometria do problema sob análise. Assim, para a modelagem de fios perfeitamente
condutores com seção circular de diâmetros subcelulares, aplica-se a lei de Faraday em um
contorno L, circundando uma superfície S, Eq. 2.7. A Fig. 2.19 ilustra essa idéia aplicada à
célula FDTD usada no cálculo dos componentes de campo magnético adjacentes a um fio na
posição vertical (direção z).
L
S
H
y
E
x
E
x
E
z
E
z
dS
x = 0
x = r <
/ 2
Figura 2.19: Célula FDTD para aplicação da Lei de Faraday na forma integral.
44
Com este modelo, os componentes de campo E
x
e H
y
adjacentes ao fio variam com o in-
verso da distância do seu centro, incorporando a solução de campos estáticos ao
FDTD [94]. Os demais componentes de campo no modelo não sofrem alterações. Então,
aplicando-se a lei de Faraday ao contorno L e à superfície S, a integração espacial dos ter-
mos que variam com 1/x resulta em variação do tipo ln(x), produzindo a seguinte expressão
para H
y
próximo ao fio [102]:
H
y
|
n+
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
= H
y
|
n−
1
2
i+
1
2
,j,k+
1
2
−
∆t
µ∆
E
x
|
n
i+
1
2
,j,k+1
− E
x
|
n
i+
1
2
,j,k
+
2∆t
µ∆ln(∆/r)
E
z
|
n
i+1,j,k+
1
2
− E
z
|
n
i,j,k+
1
2
, (2.124)
onde r é o raio do condutor, devendo ser menor que ∆/2. A formulação para H
x
é análoga.
Em resumo, o fio da Fig. 2.19 é paralelo à direção z, sendo necessário calcular de forma
especial somente os quatro componentes de campo magnético que circundam o fio (dois H
x
e dois H
y
). Os demais componentes de campo são calculados com a formulação FDTD
comum. A partir de (2.124) pode-se mostrar que com r = 0, 135∆ essa formulação é igual
à do FDTD básico. Logo, se não for feita nenhuma alteração na formulação, fica implícito
um raio de 0, 135∆ para o fio.
2.11 Meios Dispersivos Usando o Modelo de Debye
Os materiais na natureza podem possuir propriedades dispersivas, ou seja, o valor da
permissividade, permeabilidade e condutividade elétrica podem variar com a freqüência.
O FDTD em sua concepção original não considera meios dispersivos, não sendo uti-
lizado em problemas nos quais a variação das propriedades elétricas do meio é significativa
na faixa de freqüência usada. Como o FDTD é um método numérico no domínio do tempo,
pode-se incluir uma convolução em sua formulação de forma a levar em conta a dispersão
dos materiais. A seguir será descrito um modelo FDTD para materiais dispersivos elétri-
cos, isotrópicos e lineares. A extensão da formulação para materiais dispersivos magnéticos
segue diretamente do raciocínio apresentado.
Um dos modelos FDTD mais simples e conhecido para a modelagem de materiais dis-
persivos é o (FD)
2
TD - Frequency Dependent FDTD [51]. Sua dedução parte das equações
de Maxwell no domínio da freqüência:
jω
D(ω) = ∇ ×
H(ω) −σ
s
E(ω) (2.125)
45
−jω
B(ω) = ∇ ×
E(ω) , (2.126)
onde σ
s
é a condutividade estática (para freqüência nula).
A relação entre a indução elétrica e o campo elétrico é:
D(ω) =
o
∗
r
(ω)
E(ω) , (2.127)
sendo a constante dielétrica relativa complexa
∗
r
(ω) dada por
∗
r
(ω) =
∞
+ χ(ω) (2.128)
e a suscetibilidade χ(ω) é
χ(ω) =
s
−
∞
1 + jωτ
o
, (2.129)
onde
∞
é denominada permissividade infinita (valor obtido quando o meio é submetido a
freqüências muito grandes),
s
é a permissividade estática (para freqüência nula), e τ
o
é o
tempo de relaxação
1
. É assumido que não há permeabilidade magnética complexa, sendo
B = µ
H.
Para um meio dispersivo linear, a relação entre
D e
E no domínio do tempo é dada por
D(t) =
∞
o
E(t) +
o
t
0
E(t − τ)χ(τ)dτ , (2.130)
onde τ é uma variável auxiliar no processo de convolução. Usando a notação de Yee, com
t = n∆t, obtém-se:
D(t) ≈
D(n∆t) =
D
n
=
∞
o
E
n
+
o
n∆t
0
E(n∆t − τ)χ(τ)dτ . (2.131)
Todos os componentes de campo são assumidos constantes em cada intervalo de tempo.
Como o tempo é discretizado, a integração torna-se um somatório, e a Eq. 2.131 equivale a:
D
n
=
∞
o
E
n
+
o
n−1
m=0
E
n−m
(m+1)∆t
m∆t
χ(τ)dτ . (2.132)
Para simplificação, é considerado o caso em uma dimensão, sendo simples a extensão
para 2D e 3D. Assim, para 1D serão considerados somente D
y
, E
y
e H
z
e a propagação
dar-se-á na direção x. Então, com x = i∆x, segue de (2.125):
1
Tempo necessário para que o valor de uma carga colocada no interior de um material decaia a
e
−1
= 0, 368 de seu valor inicial [74]. Em materiais físicos e biológicos vários processos de relaxação podem
ocorrer em paralelo e a resposta elétrica total do material pode ser caracterizada por várias constantes de tempo
- seus valores dependerão do processo físico envolvido [63].
46
D
y
|
n+1
i
− D
y
|
n
i
∆t
= −
H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
− H
z
|
n+
1
2
i−
1
2
∆x
− σ
s
E
y
|
n+1
i
. (2.133)
Para obter E
n+1
y
, é preciso eliminar D
y
de (2.133). Usando (2.132), tem-se:
D
y
|
n+1
i
−D
y
|
n
i
= (
o
∞
+
o
χ
o
)E
y
|
n+1
i
−
o
∞
E
y
|
n
i
−
o
n−1
m=0
E
y
|
n−m
i
(χ
m
−χ
m+1
) , (2.134)
onde
χ
m
=
(m+1)∆t
m∆t
χ(τ)dτ . (2.135)
Assume-se que os parâmetros constitutivosdo meiocorrespondem à localização espacial
do campo elétrico x = i∆x. Para simplificar a equação final, define-se:
∆χ
m
= χ
m
− χ
m+1
. (2.136)
Substituindo (2.134) - (2.136) e resolvendo para E
n+1
y
, resulta finalmente em:
E
y
|
n+1
i
= P E
y
|
n
i
+ Qψ
y
|
n
i
− R
H
z
|
n+
1
2
i+
1
2
− H
z
|
n+
1
2
i−
1
2
, (2.137)
com
P =
∞
σ
s
∆t
o
+
∞
+ χ
o
Q =
1
σ
s
∆t
o
+
∞
+ χ
o
R =
∆t
σ
s
∆t
o
+
∞
+ χ
o
o
∆x
ψ
n
y
(i) =
n−1
m=0
E
n−m
y
(i)∆χ
m
(i) ,
onde ψ
n
y
(i) é um valor real. O valor de ψ
n
y
(i) no passo de tempo presente é relacionado com
o passado por [51]:
ψ
n
y
(i) = E
n
y
(i)∆χ
o
(i) + e
−∆t/τ
o
ψ
n−1
y
(i) , (2.138)
sendo
χ
o
(i) = (
s
−
∞
)(1 − e
−∆t/τ
o
) (2.139)
∆χ
m
= (
s
−
∞
)e
(−m∆t/τ
o
)
(1 − e
−∆t/τ
o
)
2
. (2.140)
47
Logo, na atualização de campo emprega-se a Eq. 2.138. Em problemas 1D, 2D e 3D, o
campo elétrico no método (FD)
2
TD é expresso (em notação simplificada) como:
E
n+1
= P
E
n
+ Q
ψ
n
+ R∇ ×
H
n+1/2
. (2.141)
As equações normalmente usadas na atualização do campo magnético permanecem inal-
teradas.
A Eq. 2.129, conhecida como equação de Debye de primeira ordem, representa meios
dispersivos elétricos nos quais a taxa de decrescimento de χ com a freqüência é limitada,
pois possui apenas um pólo [88] [63]. Logo, a permissividade elétrica complexa (relativa)
para o modelo de Debye de primeira ordem, englobando a permissividade e condutividade,
é expressa como:
∗
r
(ω) =
∞
+
s
−
∞
1 + jωτ
o
+
σ
s
jω
o
. (2.142)
A permissividade efetiva para uma dada freqüência, é então:
r
= Real(
∗
r
(ω)) =
∞
+
s
−
∞
1 + ω
2
τ
2
o
(2.143)
e a condutividade
σ = −ω
o
Imag(
∗
r
(ω)) = −ω
o
ωτ
o
(
s
−
∞
)
1 + ω
2
τ
2
o
+
σ
s
ω
o
. (2.144)
Em materiais condutivos, como tecidos biológicos, a condutividade estática σ
s
deve ser
incluída. Já para a água pura, σ
s
= 0.
Em muitos problemas, o modelo dispersivo de primeira ordem é suficiente, mas quando
se deseja modelar precisamente meios que possuam grande variação de permissividade com
a freqüência, a Eq. 2.129 deve apresentar termos de ordem maior e a formulação para o
(FD)
2
TD deve ser alterada [53] [27]. Um exemplo de equação que descreve meios dis-
persivos com precisão é a equação de Cole-Cole de 4
o
ordem, em que a permissividade
complexa é expressa por [63]:
∗
r
(ω) =
∞
+
4
n=1
∆
n
1 + (jωτ
n
)
(1−α
n
)
+
σ
s
jω
o
. (2.145)
Esta equação é interessante quando os valores das constantes são conhecidos para dife-
rentes materiais. Assim, para uma dada freqüência pode-se determinar o valor da condutivi-
dade e da permissividade elétrica do meio. No Anexo 3 é apresentada uma tabela com as
constantes para a Eq. 2.145 para vários tecidos biológicos humanos.
48
2.12 Considerações
Nos trabalhos iniciais desta tese, a PML foi empregada, após implementou-se a UPML.
O desempenho de ambas foi bastante similar nas simulações, portanto, não foram apresenta-
dos gráficos comparativos. A UPML foi escolhida por não possuir a instabilidade inerente à
PML, a qual se torna instável quando um grande número de interações é utilizado.
A principal limitação do FDTD é o uso de malhas regulares, o que torna difícil adap-
tações da malha a superfícies curvas. Para contornar este problema, uma das possibilidades
é o emprego de incrementos espaciais menores, o que acarreta maior carga computacional.
Outra variante são as malhas regulares não uniformes, com um aumento da densidade de
malha próxima ao contorno desejado [94] (com mudanças na formulação FDTD). Mesmo
neste caso, a aproximação será sempre feita por degraus.
Com as equações de Maxwell na sua forma integral podem-se desenvolver modelos
locais subcelulares para a consideração de detalhes menores que os obtidos com a malha
regular [92](como na Seção 2.10). Podem-se utilizar segmentos de reta ou mesmo simular
perfeitamente superfícies curvas [46] [3] [94]. Existe também a possibilidade do uso de
malhas não uniformes e não ortogonais [94].
O problema de alterar o algoritmo básico FDTD é o aumento da complexidade de pro-
gramação e, as vezes, perda de sua estabilidade convencional. Apesar da possibilidade de
uma simulação precisa e aproximada para geometrias curvas, a maioria das aplicações é feita
com a malha regular normal, sem afetar a confiabilidade dos resultados. Tudo dependerá do
problema analisado e da precisão desejada.
É muito comum o uso de condutores perfeitos na representação de metais dentro do
modelo, pois isto simplifica o equacionamento. A consideração de um dado metal é feito
usando o valor de sua condutividade. Neste caso, o tamanho das células deve ser compatível
com a profundidade pelicular. Outra possibilidade é a técnica da impedância de superfície
(Surface Impedance Boundary Conditions - SIBCs) [94], que pode ser aplicada para o cál-
culo de campos sem a necessidade de geração de malhas no interior de um material condutor
ou dielétrico com perdas.
Por fim, é importante mencionar que o emprego de malhas cúbicas e de condutores
perfeitos apresentou precisão suficiente para os problemas analisados nesta tese.
Capítulo 3
Validação dos Programas FDTD
“Ao homem valoroso o mundo revela seus segredos.”
Goethe
3.1 Introdução
Nas simulações com o FDTD, a malha sobre o domínio de estudo terá diferentes meios,
com diferentes propriedades elétricas. Entender como esses meios são modelados e ter noção
da resposta do sistema para alguns problemas é fundamental na compreensão do método.
Foram realizados vários testes com o FDTD visando à validação dos programas desen-
volvidos. A seguir alguns desses testes serão apresentados, incluindo o cálculo da impedân-
cia de dipolos finos, o qual pode ser estendido para diferentes tipos de antenas.
3.2 Guia de Onda Retangular
Guias de onda são tubos metálicos dimensionados para guiar ou conduzir ondas eletro-
magnéticas de alta freqüência em seu interior [25]. Estes tubos podem ser ocos (com ar em
seu interior) ou preenchidos com um material dielétrico (ver Fig. 3.1).
Guia Retangular Corte 2D
x
x
y
z
y
z
Figura 3.1: Perspectiva de um guia retangular e sua seção transversal.
Para um dado modo de propagação, um guia de onda só começa a conduzir a par-
tir de uma determinada freqüência (freqüência de corte), comportando-se como um filtro
50
passa-altas. O cálculo analítico das freqüências de corte para os possíveis modos de propa-
gação no interior de um guia retangular é dado por [73]:
(f
c
)
mn
=
1
2π
√
µ
mπ
a
2
+
nπ
b
2
, (3.1)
onde µ e são os parâmetros elétricos do dielétrico no interior do guia; a e b são
respectivamente a largura e a altura; m e n são números inteiros que determinam a confi-
guração dos campos dos modos TE e TM dentro do guia.
Considerando o guia com comprimento infinito ao longo de z, a simetria de translação
existente permite resolver o problema fazendo o cálculo no domínio 2D [74]. Assim, para
o cálculo no FDTD dos modos de propagação TE e TM, as células de Yee 2D devem co-
brir a seção transversal do guia. Estas células devem possiblitar facilmente a imposição das
condições de contorno nas paredes metálicas. Assim sendo, para os modos TM, a célula con-
vencional de Yee deve ser alterada [59]. A Fig. 3.2 apresenta as configurações da malha 2D
para ambos os modos de propagação. Considerando as condições de contorno para um con-
dutor perfeito, Sec. 2.3, os componentes de campo elétrico tangenciais e/ou os componentes
de campo magnético normais às paredes do guia têm valor nulo durante toda a simulação.
Um programa para o modo TE é apresentado no Anexo 2.
MODO TE MODO TM
Hy
Hx
Ez
Ey
Ex
Hz
a) b)
Figura 3.2: Configurações das células FDTD para cálculo dos modos de propagação TE e TM em
um guia retangular.
A seguir são apresentados os resultados obtidos para os possíveis modos de propagação
(TE e TM) em um guia retangular oco. Foi simulado um guia de 2cm×1cm, usando uma
malha de 20 ×10 células (célula quadrada ∆x = ∆y = 1mm), com ∆t = 2 , 24ps (5%
abaixo do limite de estabilidade) e 3000 iterações, ou seja, 6,7221ns de simulação temporal.
O incremento espacial usado permite uma boa precisão até a freqüência de aproximadamente
30 GHz.
51
O guia foi excitado com um impulso num ponto da malha no instante inicial, e a variação
temporal de campo em outro ponto foi armazenada durante toda a simulação. As freqüências
de corte do guia foram obtidas aplicando-se a transformada de Fourier (calculada através de
uma FFT com 4096 pontos) no sinal de saída.
Os gráficos das respostas em freqüência obtidas para os modos TE e TM podem ser
vistos nos gráficos da Fig. 3.3, nas quais a escala vertical foi normalizada pelo máximo
obtido. Nos pontos correspondentes às freqüências de corte aparecem picos no espectro.
5 10 15 20 25 30 35
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Freq. [GHz]
Hz [A/m]
TE10
TE30
TE21
TE20
TE11
TE22
TE31
TE40
TE12
MODO TE
5 10 15 20 25 30 35
0
0.02
0.04
0.06
Freq. [GHz]
Ez [V/m]
MODO TM
TM11
TM21
TM31
TM12
TM22
Figura 3.3: Resposta para os modos TE e TM em um guia retangular (2cm×1cm).
A Tab. 3.1 apresenta os valores obtidos das freqüências de corte.
Tabela 3.1: Comparação entre os valores das freqüências de corte calculadas analiticamente e com o
FDTD, para os modos TE e TM em um guia retangular oco.
Freqüências de Corte [GHz]
Modo TE Cálculo Analítico FDTD - TE Modo TM FDTD - TM
TE
10
7,495 7,518
TE
01/20
14,990 14,927
TE
11
16,759 16,779 TM
11
16,775
TE
21
21,199 21,139 TM
21
21,170
TE
30
22,485 22,337
TE
31
27,023 27,021 TM
31
27,021
TE
02/40
29,980 29,745
TE
12
30,902 30,620 TM
12
30,616
TE
22/41
33,518 33,341 TM
22/41
33,341
São apresentados os resultados para os primeiros nove modos TE e os correspondentes
modos TM. Percebe-se a boa precisão dos resultados obtidos com o FDTD, apresentando um
52
erro médio na ordem de 0,4%. A resposta obtida depende do ponto de excitação e do ponto
de saída. De fato, pode haver modos nulos em alguns pontos, ou seja, alguns modos podem
não aparecer na resposta do sistema dependendo o ponto escolhido na malha. Um aumento
na precisão dos resultados dependeria de:
• Maior tempo de simulação, implicando num maior número de amostras para a análise
em freqüência;
• Menor incremento temporal e espacial;
• Maior número de pontos na transformada de Fourier, melhorando a resolução gráfica.
A visualização gráfica da configuração espacial dos campos para diferentes modos de
propagação em guias retangulares pode ser encontrada em [49].
3.3 Cavidade Ressonante Retangular
As cavidades ressonantes representam uma importante classe de componentes em mi-
croondas, tendo inúmeras aplicações, tais como: medição de freqüência, medição de pro-
priedades elétricas de materiais, válvulas oscilatórias (tubos Klynstron) e filtros na faixa de
microondas. São usadas principalmente como circuito ressonante em altas freqüências, dada
sua alta eficiência no armazenamento de energia, com baixas perdas por radiação [74].
As geometrias mais comuns de cavidades são a retangular, a cilíndrica e a esférica.
Uma cavidade retangular nada mais é do que um guia de onda curto-circuitado por paredes
metálicas, formando umacaixametálica fechada (verFig. 3.4). O acoplamentodas cavidades
com os circuitos pode ser feito através de sondas de campo elétrico (pontas de prova) [6].
z
y
x
Figura 3.4: Cavidade retangular metálica.
Dentro de uma cavidade, ondas estacionárias existem nas freqüências de ressonância
próprias da cavidade. Para uma cavidade retangular, essas freqüências de ressonância são
dadas por [73]:
53
(f
r
)
mnp
=
1
2π
√
µ
mπ
a
2
+
nπ
b
2
+
pπ
c
2
(3.2)
onde m, n e p são números inteiros não negativos, a é a largura da cavidade, b a altura e c o
comprimento.
Paracálculo das freqüências de ressonânciade uma cavidaderetangularusando o FDTD,
é necessário o uso das equações de Yee tridimensionais, e portanto, a geração de uma malha
3D. A Fig 3.5 elucida esta questão. Como as paredes da cavidade são metálicas, os compo-
nentes de campo em contato com elas serão nulos durante toda a simulação.
k
i
j
Hx
Ex
Hy
Ey
Hz
Ez
Figura 3.5: Malha FDTD tridimensional (cúbica).
A seguir são apresentados os resultados obtidos pelo FDTD para as quatro primeiras fre-
qüências de ressonância de uma cavidade retangular oca, com dimensões de
5cm ×2,5cm×7,5cm, usando uma malha de 20 ×10 ×30 células cúbicas (∆x = ∆y =
∆z = 2, 5mm); ∆t = 4, 5738ps (5% abaixo do limite de estabilidade) e 10.000 iterações,
resultando num tempo simulado igual a 45,738ns. Dado o incremento espacial, a precisão é
garantida até 12 GHz (ver Sec. 2.5.2). A cavidade foi excitada por impulsos em uma linha
lateral e a variação temporal de um dos componentes de campo em outro ponto foi avaliado
como sinal de saída.
O gráfico da resposta em freqüência obtida para o campo magnético H
x
pode ser visto
na Fig. 3.6. Nos pontos correspondentes às freqüências de ressonância aparecem picos no
espectro [14]. Os resultados da análise espectral do sinal de saída para uma transformada de
Fourier com 4096 pontos (FFT) podem ser vistos na Tab. 3.2.
54
4 5 6 7
0
2
4
6
8
10
Freq. [GHz]
Hx [mA/m]
TE101
TE102
TE011
TE110
Figura 3.6: Resposta em freqüência para uma cavidade retangular de 5cm×2,5cm×7,5cm.
Tabela 3.2: Comparação entre os valores das freqüências de ressonância calculadas analiticamente e
com o FDTD para uma cavidade retangular.
Freqüências de Corte [GHz]
Modo TE Cálculo Analítico FDTD
TE
101
3,603 3,602
TE
102
4,997 4,998
TE
011
6,320 6,305
TE
110
6,704 6,692
Como mencionado para o guia retangular (Sec. 3.2), dependendo do ponto de excitação
e do ponto escolhido para saída, algumas freqüências podem não aparecer. O erro médio nos
resultados foi da ordem de 0,12%.
3.4 Reflexão numa Parede Metálica
Uma onda eletromagnética sofre reflexão total (com inversão de fase do campo elétrico)
ao incidir numa parede metálica (Fig. 3.7). Para evidenciar este fato, é utilizado um modelo
2D com uma malha de 200×10 células quadradas (células TE). A excitação usada é uma
onda plana propagando-se no ar, com variação temporal do tipo pulso gaussiano e excitação
em E
y
na primeira linha lateral esquerda da malha (i = 1, j). No final da malha (i = 20 0)
é colocada uma parede perfeitamente condutora. Assim, a onda eletromagnética propaga-se
inicialmente da esquerda da malha até o final (direção de propagação x), onde encontra a
parede metálica e sofre reflexão total.
O pulso gaussiano utilizado possui largura aproximada de 0,34ns, o que implica em
55
componentes de freqüência de até aproximadamente 10 GHz. Levando em conta esta fre-
qüência, escolheu-se um incremento espacial de ∆ = λ/30 = 0, 1cm. De forma a garan-
tir estabilidade, escolheu-se ∆t = 2, 24ps (5% abaixo do limite de estabilidade). Se o
incremento espacial não for adequado à faixa de freqüências do pulso gaussiano, aparecerão
distorções na extremidade da onda (ondulações) devido à dispersão numérica [105]. A exci-
tação foi composta por 300 amostras, excitação rígida, com o pulso centrado (L = 150, ver
Sec. 2.6). A Fig. 3.7 ilustra a propagação desta onda eletromagnética para quatro instantes
de tempo: 0,70ns, 0,90ns, 1,1ns e 1,3ns. Os valores de campo foram obtidos em uma linha
central da malha.
0.1 0.2
0
377
Campo Eletrico: Ey [V/m]
0.1 0.2
0
1
Campo Magnetico: Hz [A/m]
0.1 0.2
0
377
0.1 0.2
0
1
0.1 0.2
−377
0
0.1 0.2
0
1
0 0.1 0.2
−377
0
a)
0 0.1 0.2
0
1
b)
0,70 ns
0,90 ns
1,1 ns
1,3 ns
[m] [m]
x x
x
x
x
x
x
x
Figura 3.7: Pulso gaussiano propagando-se na direção x e incidindo numa parede metálica: a) campo
elétrico e b) campo magnético.
O campo elétrico sofre inversão completa de fase após reflexão na parede metálica, o
que não acontece com o campo magnético. Isto ocorre porque o sentido de propagação da
onda mudou. Como a onda é plana e propaga-se no ar, a magnitude dos campos é relacionada
pela impedância intrínseca, η
o
=
√
µ
o
o
377 Ω. Como pode ser visto na Fig. 3.7, o campo
elétrico possui amplitude numérica 377 vezes maior que a do campo magnético.
56
3.5 Propagação em Meios Não Homogêneos
O primeiro caso analisado aqui foi a propagação de uma onda plana num meio dielétrico
sem perdas, representado pelas propriedades elétricas do poliestireno [74]:
µ
r
= 1,
r
= 2, 55 e σ = 0 S/m. Na simulação foi utilizada uma malha de 210 × 10
células quadradas (célula TE), excitada por uma senóide com freqüência de 3 GHz (onda
plana). O incremento espacial foi λ/20, correspondendo a ∆ = 0, 5cm, com ∆t = 11, 2ps
(5% abaixo do limite de estabilidade). Para simular a propagação sem reflexão na direção
x, são usadas camadas perfeitamente casadas, PML(8-P-0,0001) em x = 0 e x = 105cm.
A espessura do dielétrico é igual a 35cm (70 células), entre duas camadas de ar, conforme
Fig. 3.8.
0 35 70 105
−1
0
1
x − [cm]
Ey [V/m]
A
B
Poliestireno
Ar
Ar
Figura 3.8: Propagação de uma onda plana em meios não homogêneos (ar/poliestireno/ar).
Na Fig. 3.8 é apresentada a variação espacial do campo elétrico E
y
ao longo de uma
linha central da malha, para o instante de tempo de 11,2ns (após 1000 iterações). No die-
létrico, a amplitude do campo é menor que no ar. O comprimento de onda no dielétrico
também é menor que no ar porque a velocidade de propagação da onda é menor no dielétrico
(v = c/
√
r
∼
=
0, 626 c).
Existirão reflexões nas mudanças de meio ar-dielétrico e dielétrico-ar, as quais são so-
madas resultando no campo total calculado. Se a espessura do dielétrico for um
múltiplo inteiro de λ/2 (aproximadamente 11λ/2 no caso estudado), os campos no ar em
ambos os lados do dielétrico terão amplitudes iguais . Como existem reflexões nas pare-
des do dielétrico (mudança de meio), essas reflexões podem alcançar a excitação. Portanto,
necessita-se de uma excitação que leve isto em conta. Assim, utilizou-se a excitação suave
57
dada pela Eq. 2.45. Os resultados obtidos na simulação numérica estão de acordo com a
solução analítica do problema.
Uma onda eletromagnética perde energia ao se propagar num meio com perdas (σ = 0).
Para analisar este caso, uma onda eletromagnética de 915 MHz no ar incidirá sobre um
meio com as seguintes propriedades elétricas:
r
= 6, µ
r
= 1, σ = 0, 07 S/m. É utilizada
uma malha tridimensional, com 5 × 160 × 5 células cúbicas, ∆ = λ/3 0 = 1 , 09cm e
∆t = 19, 98ps. A excitação é suave (Eq. 2.45) no plano xz, com a onda plana propagando-
se na direção y. Utilizou-se a condição absorvente de Mur de primeira ordem (Mur1). O
dielétrico está colocado a 87cm da parede lateral esquerda da malha e sua espessura é de
aproximadamente 87cm (80 células), conforme Fig. 3.9. Nesta figura é apresentada a varia-
ção espacial do componente E
z
de campo elétrico ao longo de uma linha central da malha
para t = 10, 2ns.
0 87 105 174
−1
−0.368
0
0.368
1
y − [cm]
Ez [V/m]
Dielétrico
com Perdas
Ar
Figura 3.9: Onda plana de 915 MHz incidindo sobre um meio com perdas.
Como observado na Fig. 3.9, a onda eletromagnética é atenuada à medida que se propaga
no meio com perdas. Com as propriedades elétricas do meio, é possível calcular a profundi-
dade pelicular, sendo esta dada por [73]:
δ = 1/α , (3.3)
onde
α = ω
µ
2
1 +
σ
ω
2
− 1
. (3.4)
A profundidade pelicular representa a distância que a onda se propaga para uma redução
de sua amplitude por um fator e
−1
= 0, 368. Para o caso apresentado, usando (3.3) e (3.4),
58
essa distância é de aproximadamente 18cm. A Fig. 3.9 está em bom acordo com este resul-
tado; o pico próximo a 105cm deveria estar localizado exatamente em 105cm. Este pequeno
erro deve-se provavelmente ao incremento espacial utilizado.
3.6 Espalhamento
Um caso simples de espalhamento corresponde à incidência de uma onda plana sobre
uma superfície metálica com um furo ou fresta. Se as dimensões desse furo ou fresta forem
superiores a λ/10, o fenômeno de difração pode ser observado; caso contrário, a difração
será desprezível. Se essas dimensões forem menores que λ/10 em certa direção, a difração
dependerá também da polarização da onda.
Para analisar esse fenômeno, foi utilizada uma malha de 110 ×110 células quadradas
(células TE), com ∆ = 0, 5cm, ∆t = 5, 896ps e usando PML(10-P-0,0001). Considerou-se
uma onda plana com freqüência de 6 GHz (resolução espacial de λ/1 0 ), gerada na lateral
esquerda da malha, com excitação suave em H
z
. Esta onda incide numa parede metálica
com 1cm de espessura e 1cm de fresta. Os resultados podem ser vistos na Fig. 3.10a para o
instante de tempo de 2,32ns. Percebe-se claramente o efeito de difração da onda eletromag-
nética após passar pela fresta e notam-se os picos da onda eletromagnética (listras escuras e
claras). A parede metálica aparece como uma fina listra cinza. A lateral esquerda da parede
metálica é a região de campos totais, pois o resultado corresponde à soma do campo inci-
dente com o refletido. Na lateral direita resta somente o campo difratado, que possui a forma
de uma onda cilíndrica. As formas de onda na lateral esquerda podem variar bastante depen-
dendo do instante de tempo de observação. Os resultados da simulação são válidos até que
a onda refletida na parede metálica alcance os limites da malha. A partir deste instante, as
condições correspondentes à onda plana não são mais válidas.
A análise de uma estrutura mais complexa é apresentada na Fig. 3.10b, em que se
tem duas paredes metálicas com 0,5cm de espessura e um quadrado perfeitamente condutor
(branco contínuo). Os parâmetros do FDTD são os mesmos anteriores, mas agora usou-se
como excitação uma onda senoidal esférica localizada no canto inferior esquerdo da malha.
O instante de tempo apresentado é de 4,13ns, garantindo que a onda eletromagnética tenha
alcançado todos os pontos da malha. Pode-se perceber que a intensidade dos campos de-
cai com a distância, o que é característico da onda cilíndrica. A região de campos menos
59
intensos (região de sombra) encontra-se na parte posterior do quadrado. Os resultados quali-
tativos obtidos estão de acordo com o que se esperaria como resposta de um sistema empre-
gando ondas.
Figura 3.10: Difração: a) onda plana de 6 GHz incidindo numa parede metálica com fresta, b) onda
cilíndrica de 6 GHz incidindo em superfícies metálicas.
3.7 Cálculo da Impedância de Dipolos Finos
Nesta seção são avaliadas as impedâncias de dipolos finos para diferentes diâmetros e
comprimentos de onda. No cálculo dessas impedâncias utilizou-se a formulação apresentada
na Sec. 2.10, a qual representa adequadamente fios circulares com diâmetro bem menor que
as dimensões da malha. Como comentado, se nenhuma formulação especial for implemen-
tada no FDTD, o raio de um fio fino corresponde à 0, 135∆.
A impedância nos terminais de qualquer antena pode ser determinada conhecendo-se
sua tensão e corrente de entrada. A seguir será descrita uma maneira relativamente simples
para o cálculo dessa impedância.
Na forma retangular, uma impedância é representada por:
Z = R + jX . (3.5)
O cálculo da impedância da antena é feito a partir da obtenção da corrente i(t) e da
tensão v(t) em seus terminais.
60
A resistência de entrada é dada por:
R =
2P
M
I
2
max
, (3.6)
onde I
max
é o máximo valor da corrente e P
M
é a potência média na antena num período T:
P
M
=
1
T
T
v(t)i(t)dt . (3.7)
A reatância é calculada conforme:
X = −
2Q
M
I
2
max
, (3.8)
onde a potência reativa é
Q
M
=
1
T
T
v(t)i
q
(t)dt . (3.9)
A corrente i
q
(t) é obtida atrasando a corrente i(t) em 90
o
[15]. No cálculo das potências
devem ser utilizados períodos inteiros na integração, o que evita erros. No processo de
integração discreto deve-se empregar algum método numérico, como o dos trapézios, por
exemplo.
A corrente de entrada é computada usando-se a lei de Ampère na forma integral em
torno do componente E
z
da primeira célula próxima à alimentação, conforme Fig. 3.11.
A corrente é expressa por:
I =
L
Hd
l , (3.10)
e a tensão de alimentação,
V = −E
z
∆ . (3.11)
L
I
H
y
H
y
H
x
H
x
z
v ( t )
i ( t )
Dipolo
Figura 3.11: Caminho de integração usando a Lei de Ampère para calcular a corrente de entrada em
um dipolo no FDTD.
61
A título de informação, a resistência de radiação do dipolo é igual à sua resistência de
entrada se seu comprimento for menor ou igual a meio comprimento de onda (l ≤ λ/2),
pois, neste caso, o máximo de corrente coincide com o ponto de alimentação [7] [8]. Esta
consideração é válida somente para dipolos sem perdas. Neste caso, a potência radiada pelo
dipolo é igual à potência média em seus terminais.
Nas simulações usou-se a formulação especial nas células próximas ao dipolo, a qual
é dada pela Eq. 2.124. Supondo um dipolo orientado na direção z, os componentes E
z
tangentes ao fio são nulos, já que este foi considerado perfeitamente condutor. A distância
de separação entre os dois segmentos do dipolo no ponto de alimentação foi de uma célula
(gap = ∆). A excitação utilizada corresponde a impor o valor do campo E
z
no gap. Para
limitar o domínio de estudo simulando propagação em espaço aberto e obter maior precisão
nos cálculos, foi utilizada a camada perfeitamente casada (PML(8-P-0,0001)).
As impedâncias de entrada de alguns dipolos foram calculadas usando-se uma malha
de 10×10×91 células cúbicas e o comprimento total dos dipolos (l) foi discretizado com
81 células. Os dipolos foram centrados na malha, distantes cinco células da PML. Para as
freqüências de 1 GHz (dipolo com l = λ/2) e 500 MHz (dipolo com l = λ/4) usou-se
∆t = 1, 03ps e ∆t = 2, 06ps, respectivamente, com ∆ = 0, 185cm para ambas as freqüên-
cias. Assim a condição absorvente está afastada de 0,031λ do dipolo para 1 GHz e de 0,015λ
para 500 MHz.
Na Fig. 3.12a e 3.12b são apresentados os valores de tensão e corrente nos terminais de
dipolos com raio de 0,09∆ e comprimento de meia onda (l = λ/2) e um quarto de onda
(l = λ/4), respectivamente. Os valores foram normalizados para facilitar a visualização.
Percebe-se claramente a defasagem da corrente em relação à tensão devido à parcela reativa
da impedância, particularmente para o dipolo de quarto deonda. Os cálculos foram efetuados
após o regimepermanente ser estabelecido. Isto ocorreuapósaproximadamentequatro ciclos
da excitação.
Na Tab. 3.3 são apresentados os valores calculados de impedância para diferentes espes-
suras de dipolos com l = λ/2 e l = λ/4.
A título de comparação, os resultados obtidos para dipolos com raio de 0,09∆ são apre-
sentados na Tab. 3.4 juntamente com valores analíticos [8]. Os resultados numéricos da
Tab. 3.4 estão de acordo com os valores analíticos, o que valida a formulação apresentada.
62
0 1 2
−1
−0.5
0
0.5
1
a)
v(t)
i (t)
Tempo [ns]
0 1 2 3 4
−1
−0.5
0
0.5
1
b)
v(t)
i (t)
Tempo [ns]
Figura 3.12: Tensão e corrente nos terminais de um dipolo: a) meia onda e b) quarto de onda.
Tabela 3.3: Impedância de dipolos com diferentes espessuras.
Raio 0,135∆ 0,10∆ 0,09∆
Dipolo de λ/2
Z 83,04 + j49,81 Ω 74,88 + j44,45 Ω 72,46 + j42,85 Ω
Dipolo de λ/4
Z 14,44 - j501,1 Ω 12,81 - j476,4 Ω 12,32 - j469,1 Ω
Tabela 3.4: Impedância de dipolos obtidas com o FDTD e valores analíticos para um raio de 0,09∆.
FDTD Analítico
Dipolo de λ/2
Z 72,46 + j42,85 Ω 73,08 + j42,52 Ω
Dipolo de λ/4
Z 12,32 - j469,1 Ω 13,43 - j499,5 Ω
A modelagem de dipolos finos com o método FDTD mostrou-se efetiva no cálculo da
impedância de entrada. Os resultados apresentaram boa precisão, principalmente para o
dipolo de meia onda. Para um dipolo com l = λ/4, observa-se que a reatância capacitiva é
muito maior do que a parte resistiva. Sabe-se também que a reatância depende fortemente da
espessura do dipolo. Por esta razão, a precisão obtida na parte reativa é menor do que aquela
correspondente à parte resistiva. Além disso, é óbvio que a precisão dos resultados depende
em muito do número de células usadas e do número de passos de tempo por período. Desta
forma, a precisão pode ser melhorada às custas de um aumento no custo computacional en-
volvido. Basicamente, a formulação para dipolos finos é uma maneira de ajustar as equações
do método FDTD de forma a obter bons resultados para uma dada espessura do dipolo.
63
3.8 Considerações
Neste capítulo vários testes foram realizados para validação do código FDTD desen-
volvido. Quando possível, os resultados numéricos obtidos foram comparados com resulta-
dos analíticos, de modo a demonstrar a eficácia do método.
Finaliza-se este capítulo lembrando que existem outros métodosnuméricos preferidos ao
FDTD na análise de antenas, principalmente por apresentarem resultados mais precisos (por
exemplo, o Método dos Momentos). Todavia, quando a complexidade do problema aumenta
consideravelmente, particularmente quando existem materiais em torno ou em contato com
a antena, o FDTD é uma boa opção.
Capítulo 4
Hipertermia
“As grandes inimigas das verdades são as convicções, não as mentiras.”
Friedrich Nietzshe
4.1 Introdução
Hipertermia é o aumento da temperatura de tecidos biológicos acima de seus valores
fisiológicos normais. Pode ser induzida artificialmente ou como reação natural do organismo
na forma de febre [65].
O corpo humano protege-sede vírus, bactérias e substâncias nocivas através de inúmeros
sistemas de defesa. Em caso de febre, ocorrem mudanças fisiológicas no corpo e o sistema
imunológico é ativado, aumentando-se a produção de anticorpos e de substâncias prejudi-
ciais ao invasor, como o interferon (substância produzida por células invadidas por vírus e
que previne sua reprodução) [83]. O aquecimento produz a vasodilatação e conseqüente au-
mento da corrente sangüínea. Assim, há um aumento da atividade interna orgânica. Muitos
agentes infecciosos são sensíveis a este aumento de temperatura corporal (termo-sensíveis) e
a eliminação de substâncias tóxicas é facilitada, como por exemplo através da sudorese [43].
A hipertermia induzida artificialmente é uma técnica que tem sido empregada principal-
mente no tratamento do câncer, como auxiliar à quimioterapia e à radioterapia [22] [80] [33]
bem como em algumas patologias fisioterapêuticas e outras doenças, incluindo a AIDS. Pode
também ser utilizada para estimular a emissão de toxinas armazenadas nas células e permitir
sua eliminação, primeiro através da pele e posteriormente através dos intestinos e rins [83].
65
4.2 Histórico
Terapia utilizando calor (hipertermia) é um tradicional método aborígine. Escritos médi-
cos no Egito antigo, datados de mais de 5000 anos, mencionam a hipertermia [89]. Dados
históricos de 3000 a.C. relatam que madeiras em brasa eram inseridas em tumores. Ramaja
(2000 a. C.), Hipócrates (400 a. C.) e Galen (200 d.C.) aplicavam ferro em brasa. Em
tempos mais recentes, Westermark (1898) utilizou sistemas de água aquecida em avançados
carcinomas
1
de útero. Coley (1927) introduziu a terapia por toxinas contra o câncer, as quais
causavam febres intensas. Simultaneamente Keating-Hart e Doven (1910) introduziram a
eletrocoagulação de tumores. Warre (1933) foi um dos primeiros a utilizar infravermelho e
correntes de alta freqüência [82]. Com o desenvolvimento e popularidade da radioterapia, as
pesquisas em hipertermia foram então abandonadas.
O uso da hipertermia foi retomado aproximadamente 30 anos atrás, quando cientis-
tas começaram a avaliar a real termossensibilidade das células cancerosas. Nesta época,
surgiram instituições, como a Sociedade Européia de Oncologia Hipertérmica (ESHO) e a
Sociedade Clínica Internacional de Hipertermia (ICHS), e publicações especializadas, den-
tre as quais o Jornal Internacional de Hipertermia. Hoje em dia, também são encontrados
equipamentos comerciais para hipertermia.
A partir da década de 80, com o avanço tecnológico, surgiu o interesse por aplicadores
hipertérmicos não invasivos, e assim, as ondas eletromagnéticas começaram a ser empre-
gadas. Geralmente usam-se as freqüências de 13,56 MHz, 27,12 MHz, 40,68 MHz, 433 MHz
(Europa), 915 MHz e 2450 MHz, que são freqüências permitidas para uso industrial, cien-
tífico e médico [38] [80]. Para outras freqüências é necessário o uso de salas blindadas
eletromagneticamente. Na atualidade, o ultra-som e o infravermelho também são utilizados.
Diferentes aplicadores para hipertermia nas mais diversas freqüências, além das usuais,
têm sido pesquisados nos últimos anos [80] [65]. Suas geometrias e formas de utilização
dependem fundamentalmente do tipo de tumor a ser tratado. Dentre alguns dispositivos para
hipertermia que utilizam energia eletromagnética, podem-se citar:
1
Alguns tipos de câncer são mais conhecidos por nomes específicos, como por exemplo: carcinoma - pele
e mucosas; melanona - pele; sarcoma - afeta os tecidos conjuntivos, tais como nervos, músculos, articulações,
ossos ou vasos sangüíneos; gliobastoma - cérebro.
66
• antenas dipolos [70] [78], conjuntos de dipolos [76] e conjunto de monopolos [24];
• antenas do tipo corneta [104] [75] [111];
• antenas de microfita [48] [103] [56] [54] [81];
• sistemas capacitivos [62] [64] [45] [89] [37], que geralmente utilizam placas metálicas
paralelas;
• sistemas indutivos [62] [37]. Para aumentar a absorção de energia, materiais magnéti-
cos são as vezes injetados na área a ser aquecida [55];
• aplicadores intersticiais e endocavitários [13] [37];
• sistemas utilizando corrente contínua (invasivos) [95] [96];
• aplicadores de corrente para aquecimento superficial [66].
A Fig. 4.1 ilustra alguns sistemas eletromagnéticos empregados para hipertermia [89].
Equipamentos comerciais usuais para realizar o tratamento hipertérmico podem ser vistos na
Fig. 4.2.
Sistema Indutivo
Fonte de
alimentação
tumor
Seção transversal
do corpo
Bobina
magnética
Sistema Capacitivo
Fonte de
alimentação
tumor
Seção transversal
do corpo
Conjunto de Antenas
Fonte de
alimentação
tumor
Seção transversal
do corpo
Antena
Figura 4.1: Exemplo de alguns sistemas utilizados para o aquecimento de tumores.
67
d)
c)
a) b)
Figura 4.2: Equipamentos comercias empregados em hipertermia utilizando: a) conjunto de antenas
dipolo [109], b) antena corneta [111], c) sistema capacitivo e d) raios infravermelhos
(hipertermia de corpo inteiro) [89].
4.3 Ação da Hipertermia em Tumores
Os tumores são sensíveis à hipertermia porque esses tecidos possuem um reduzido fluxo
sanguíneo, e com isso uma baixa capacidade de refrigeração. Assim, não podem sobre-
viver a temperaturas acima de 41
o
C, enquanto tecidos saudáveis podem resistir a mais de
44
o
C [104]. Temperaturas acima de 41
o
C tornam as células cancerosas ácidas (baixam o pH
celular), diminuindo a estabilidade celular [109] [83].
Tumores têm uma irrigação sangüínea deficiente devido ao crescimento desordenado de
veias. Estas veias não são capazes de se dilatar e dissipar calor como as veias saudáveis,
assim, as regiões tumorais se aquecem mais que as regiões normais adjacentes [43].
A ação térmica altera a síntese de DNA e RNA bem como a depressão dos sistemas
enzimáticos celulares necessários para o metabolismo e para a divisão da célula tumoral.
É induzido um acúmulo de proteínas que impede a célula de se auto-reparar. Ocorre um
aumento do volume celular e da permeabilidade da membrana lisossômica, tornando a célula
mais vulnerável ao ataque por substâncias químicas [82].
Algumas drogas anticâncer (quimioterápicas) tem seus efeitos melhorados quando
68
usadas concomitantemente com a hipertermia. Esta, ao afetar o citoesqueleto da célula,
aumenta seus poros, facilitando a entrada de substâncias químicas. O crescimento da tempe-
ratura acelera o metabolismo celular (a taxa das reações químicas) e incrementa a irrigação
sangüínea que entrega a droga à célula. A temperatura também pode ser ativadora de al-
guns tipos de quimioterápicos [89] [33]. O uso do calor permite que a dosagem das drogas
anticâncer seja diminuída, amenizando seus efeitos colaterais.
A hipertermia faz com que algumas células cancerosas tornem-se mais sensíveis à ra-
diação ionizante (radioterapia) e podem destruir células nas quais a radiação não é efetiva. A
radioterapia funciona bem em células contendo um bom fluxo sangüíneo, bem oxigenadas,
porque cria radicais de oxigênio que atacam o DNA, atuando na periferia de tumores que
são mal irrigados internamente. As partes internas dessas massas tumorais tendem a ter uma
deficiência no suprimento de oxigênio (hipotoxia) e as células nestas regiões são resistentes
à radiação, mas muito sensíveis ao calor. Como a hipertermia aumenta a irrigação sangüínea
na área tumoral, essas células recebem mais oxigênio e assim ficam vulneráveis à radiotera-
pia [110] [109] [89] [83] [65].
Numerosos experimentos clínicos têm estudado a hipertermia em combinação com a
quimioterapia e/ou a radioterapia. Estes estudos tem focado o tratamento de muitos tipos de
câncer, incluindo: sarcomas, melanomas, cânceres na cabeça ou cérebro, pescoço, pulmão,
esôfago, seios, bexiga, próstata, reto, fígado, cervical, intestino, etc. O uso conjunto da hi-
pertermia com outros tratamentos proporciona uma sinergia, ou seja, apresenta resultados
superiores a soma dos resultados individuais dos tratamentos. Dependendo do tipo de câncer
esse uso conjunto pode ocasionar melhoras superiores ao dobro do resultado obtido com a
quimioterapia e a radioterapia [65]. Por exemplo, em avançados casos de cânceres localiza-
dos e superficiais, testes com vários pacientes indicaram que a remissão completa do tumor
fica em torno de 15% para o uso somente da hipertermia, 35% para o uso da radioterapia e
70% para o uso combinado de ambos métodos [22].
A conclusão obtida em [22] diz que, especialmente em situações clínicas bem definidas
nos cânceres de seio, cabeça, pescoço, cervical, melanomas e gliobastomas, a adição da
hipertermia à radioterapia implica numa melhora da resposta do paciente e aumenta sua
expectativa de vida. Os resultados de inúmeros testes podem ser encontrados em [22] [89].
A hipertermia também tem mostrado vantagens quando empregada como auxiliar em
processos cirúrgicos. O uso de sessões hipertérmicas antes da cirurgia pode delinear o tumor
69
bem como diminuir seu tamanho, facilitando a cirurgia, principalmente em áreas de risco.
No pós-cirúrgico, a hipertermia é usada para prevenir o processo de metástase (espalhamento
do câncer pelo corpo) [89].
4.4 Desafios Técnicos
Tecnicamente é muito difícil controlar a transferência de calor para o interior do corpo,
principalmente em regiões profundas, bem como prover a mesma dose terapêutica para cada
diferente área de tratamento. Os principais problemas técnicos relacionados à aplicação da
hipertermia podem ser resumidos em [80]:
• Profundidade: é difícil aquecer regiões profundas utilizando métodos não invasivos,
pois a energia é em grande parte absorvida pelas camadas superficiais de tecido;
• Foco: não é simples focar a energia na região maligna;
• Reprodutibilidade: é difícil conduzir o tratamento de modo que as aplicações hipertér-
micas sejam sempre homogêneas;
• Controle: ter o controle adequado do processo de aquecimento, mantendo os parâme-
tros do tratamento, também não é simples.
O controle é a parte mais delicada do processo. Sem um controle correto, um foco
inadequado de energia pode ocasionar a necrose de tecidos saudáveis. O aquecimento das
regiões próximas ao tumor pode ocasionar um indesejável fluxo sangüíneo, aumentando em
muito a irrigação sangüinea para a área tumoral. Isto pode causar um crescimento do tumor
e intensificar o aparecimento da metástase [89].
Se a hipertermia for utilizada indiscriminadamente, o calor pode induzir a síntese da
proteína de choque térmico (HSP), a qual é uma resposta natural da célula a uma situação
de estresse e é vital para sua sobrevivência [83]. O mecanismo gerado pelo HSP geralmente
degrada o efeito daterapia hipertérmica porque aumenta a sobrevivência da célula cancerosa.
A massiva indução do HSP gera a termotolerância do tumor e, em paralelo, a tolerância às
drogas e à radiação. O tratamento de calor pode também resultar numa resistência a múltiplas
drogas [40]. Assim, o tempo de exposição ao calor e a repetição do processo devem ser
cuidadosamente avaliados.
70
4.4.1 Medição da Temperatura do Tumor
Para um controle preciso da hipertermia, a medida da temperatura na área tumoral é fun-
damental. Esta não é uma questão simples, pois existe uma heterogeneidade de temperatura
em diferentes escalas, dependendo: em nível celular, da taxa metabólica; num nível maior,
da necrose da área em questão e, ao nível dos tecidos, à vasodilatação [80].
O uso de sondas invasivas, ou seja, sensores de temperatura dentro do corpo e em contato
com a área mesurável, é uma solução simples e barata, mas neste caso, a própria sonda pode
alterar a medida de temperatura. Assim, os métodos não invasivos para a medição de tem-
peratura são preferidos. Entretanto, possuem altos custos e não são plenamente satisfatórios.
Os métodos mais populares são: imagem por infravermelho, imagem por ressonância mag-
nética (MRI), termorradiometria e impedância tomográfica. Eis os principais problemas
associados a cada um destes métodos [80] [89]:
• Infravermelho: mede somente a temperatura superficial do corpo;
• Ressonância Magnética: sem a adequada calibração do aparelho (a qual é feita em um
sistema aproximado), a medida de temperatura correta não pode ser efetuada;
• Termorradiometria (técnica passiva de radar): não é uma técnica precisa o suficiente
e só fornece informações sobre distribuições profundas de temperatura com o uso de
multiplas freqüências. Ainda não existem equipamentos operando com um número
suficiente de freqüências para uma medição exata;
• Impedância tomográfica: fornece uma informação geral sobre a temperatura do tumor,
medindo somente valores médios.
4.5 Efeitos Colaterais
A maioria dos tecidos normais não sofre danos durante a hipertermia se a temperatura
permanecer abaixo de 44
o
C. Todavia, devido às diferenças nas características dos tecidos em
regiõesdistintas, pontos com temperaturas mais elevadas podem acontecer. Isto pode resultar
em queima, bolhas, desconforto ou dor. Técnicas de perfusão (que consiste em aquecer ex-
ternamente o sangue e reinjetá-lo no organismo) podem causar inchaço dos tecidos, coágulos
de sangue, sangramentos e outros danos aos tecidos normais na área da perfusão. Entretanto,
71
a maioria dos efeitos colaterais é temporária. A hipertermia de corpo inteiro pode causar
efeitos colaterais mais sérios, incluindo desordens cardíacas e vasculares, mas estes efeitos
não são comuns. Os efeitos mais comuns são: diarréia, náusea e vômito [19] [47].
4.6 Tipos de Hipertermia e Métodos para sua Indução
Atualmente muitos tipos de hipertermia estão em estudo, incluindo hipertermia local,
regional e de corpo inteiro. Diferentes métodos podem ser utilizados para induzir a hiperter-
mia, tais como [80] [47] [19]:
• Eletromagnético: o aquecimento é produzido através de ondas eletromagnéticas (fre-
qüência < 10 GHz), o qual será explicado mais adiante. Os métodos eletromagnéticos
incluem também sistemas indutivos e de corrente contínua.
• Ultra-som: consiste no uso de energia sonora na faixa de ultra-som (0,5 MHz a
3 MHz [80]). Produz aquecimento pela fricção das moléculas. Para aquecimento
de grandes áreas, múltiplos aplicadores são empregados.
• Infravermelho: o aquecimento se dá através de dispositivos radiadores de infraver-
melho (lâmpadas).
• Aquecimento extracorpóreo: o sangue é retirado do organismo é aquecido e então
reinjetado no corpo.
A hipertermia local é usada para aquecer uma pequena área, usando técnicas que per-
mitem o depósito de energia no local desejado. Dependendo da forma como o aquecimento
é feito, a hipertermia pode ser classificada como [80] [19] [110]:
• Externa: a região a ser aquecida encontra-se na pele ou abaixo dela. Os aplicadores
externos são posicionados em torno ou próximo da região apropriada, focalizando a
energia.
• Intracavitária: o aquecimento é feito nas cavidades do corpo. Uma sonda é utilizada
para aquecer diretamente a área desejada.
72
• Intersticial: sondas ou antenas são introduzidas em regiões profundas do corpo. Este
procedimento faz uso de anestesia e possibilita grande aquecimento de uma determi-
nada área. Técnicas de imagem, tais como ultra-som, necessitam ser empregadas para
o posicionamento correto dos dispositivos de aquecimento.
Na hipertermia regional, o aquecimento se dá em grandes áreas do corpo ou de tecidos,
tais como órgãos e membros. Este tipo de hipertermia pode ser aplicada em [80] [110]:
• Tecidos profundos: aplicadores externos são posicionados em torno da região a ser
aquecida.
• Perfusão regional: usa o aquecimento extracorpóreo para o aquecimento de membros.
• Perfusão peritonial hipertérmica contínua: a região peritonial é o espaço no abdômen
que contém os intestinos, estômago e pulmão. Durante cirurgias para combate do
câncer, fluem nesta região drogas anticancerígenas aquecidas.
A hipertermia de corpo inteiro é empregada quando se deseja tornar o corpo febril. Esta
técnica é utilizada para o tratamento da metástase do câncer (quando o câncer se espalhou
pelo corpo) e também no combate de infecções graves. O aquecimento é conseguido facil-
mente com o uso de banhos quente, sauna, cobertores térmicos e bolsas de água quente.
Aplicadores mais modernos podem utilizar, por exemplo, um conjunto de antenas ou lâm-
padas de infravermelho. Uma técnica possível é o uso de substâncias chamadas pirogênicas
para induzir a febre. Nesta técnica utilizam-se toxinas ou mesmo bactérias e vírus [43].
A eficiência da hipertermia depende tanto da temperatura quanto do tempo de aqueci-
mento. Os pesquisadores têm trabalhado nesta questão a fim de determinar qual é a duração
e a seqüência ótimas de tratamento. Geralmente são recomendadas uma ou duas aplicações
por semana (devido à termotolerância), com um tempo de exposição entre 30 minutos e
1 hora, 30 minutos após a radioterapia. Na hipertermia de corpo inteiro, o aumento de tem-
peratura é mantido por algumas horas [65].
A resposta hipertérmica não depende somente da energia entregue ao tecido, mas da sua
sensibilidade intrínseca, da duração do aquecimento, da taxa de aquecimento e resfriamento,
do pH e nível de nutrientes, dentre outros fatores. Existem técnicas que tentam melhorar os
benefícios da hipertermia através da adição de substâncias que aumentam a acidificação dos
tecidos e que impedem a formação da proteína de choque térmico [89].
73
4.7 Mecanismos de Aquecimento dos Tecidos Biológicos
Os tecidos biológicos são meios dielétricos com perdas e, portanto, absorvem energia
eletromagnética. Além disso, são meios não homogêneos com propriedades dispersivas, ou
seja, os valores de permissividade e condutividade elétrica geralmente variam muito com a
freqüência [77] e possuem diferentes valores de acordo com o tipo de tecido (ver seção 2.11).
Com boa aproximação, os tecidos biológicos são considerados meios lineares e isotrópicos,
em que as características elétricas não variam com o valor dos campos eletromagnéticos e
com sua direção de propagação [63].
São conhecidos três mecanismos que explicam o aquecimento dos tecidos biológicos
através de ondas eletromagnéticas para as mais diferentes freqüências [38]:
• Oscilação das moléculas polares, que será devido à tentativa de orientação dos seus
dipolos elétricos de acordo com a variação do campo eletromagnético. Isto ocorre
principalmente para a água, que constitui a maior parte dos tecidos biológicos. Ao
oscilarem, as moléculas polares encontram resistência das moléculas vizinhas, pro-
duzindo aquecimento devido à fricção (ver Fig. 4.3a).
• As moléculas polares, ao tentarem se alinhar com o campo eletromagnético, sofrem
o efeito de um torque, passando por estados vibracionais e rotacionais (relaxação
dielétrica), contribuindo para o aquecimento do meio (ver Fig. 4.3b).
• Surgimento de correntes iônicas devido à presença de elétrons livres e íons biológicos,
como sódio (Na
+
), potássio (K
+
), cálcio (Ca
+
) e cloro (Cl
−
) [63]. O calor é gerado
pela resistência oferecida pelo meio à passagem da corrente (ver Fig. 4.3 c).
Nas freqüências usuais para hipertermia, o fator preponderante na produção de calor é
a oscilação das moléculas polares; os demais fatores não são significativos. O teor de água
nos tecidos é responsável, em grande parte, pelos diferentes níveis de absorção de energia
para iguais condições de exposição a ondas eletromagnéticas. Quanto maior a quantidade de
moléculas de água no tecido, maior será a sua capacidade de absorção de energia e, como
conseqüência, maior será o aquecimento [2].
A penetração da energia eletromagnética no tecido está basicamente relacionada à fre-
qüência da onda eletromagnética incidente e é maior para menores valores de freqüência (ver
seção 3.5, Eqs. 3.3 e 3.4).
74
E
a) b) c)
Núcleo de
Hidrogênio
Núcleo de
oxigênio
Momento de dipolo
elétrico
p
Molécula de Água
H
2O
vibração molecular corrente iônica
alinhamento polar
Figura 4.3: Mecanismos de aquecimento: a) alinhamento polar, b) vibração molecular e c) corrente
iônica.
Além da dependência com freqüência e com o tipo de tecido, a permissividade elétrica
dos meios é tambémsensívelàsmudanças de temperatura. Cada meio possuisua própria taxa
de variação da permissividade com a temperatura, podendo ser positiva ou negativa. Como
esta variação é pequena e como sua consideração dificulta em muito a análise do problema,
ela é geralmente desprezada [63]. Assim, o aumento da temperatura no tecido biológico é
determinado pela energia depositada e pela resposta fisiológica do paciente. Quando on-
das eletromagnéticas são utilizadas, a deposição de energia é uma função complexa da fre-
qüência, da intensidade e da polarização dos campos aplicados, da geometria e do tamanho
aplicador, bem como da geometria, do tamanho e da profundidade do tumor [17].
A natureza dispersiva dos meios biológicos produz diferentes respostas para as diferen-
tes regiões do espectro eletromagnético (baixas, médias e altas freqüências). São conhe-
cidas quatro regiões básicas de dispersão dielétrica, conhecidas como α, β, δ e γ. Estas
regiões identificam os limites de resposta aos campos eletromagnéticos para diferentes tipos
de moléculas, macromoléculas e estruturas celulares que formam o organismo, estando as-
sociadas a [77] [63] [38]:
• α (1 Hz - 10 kHz): movimento de íons ao redor das membranas celulares;
• β (10 kHz - 100 MHz): processos de carga e descarga capacitiva das membranas
celulares e movimentos rotacionais das macromoléculas polares e de estruturas sub-
celulares;
75
• δ (100 MHz - 1 GHz): principalmente a rotação de aminoácidos e proteínas;
• γ (acima de 1 GHz): o fenômeno relevante é a relaxação dipolar das moléculas de
água, que acontece nas freqüências próximas a 20 GHz.
Na Fig. 4.4 são apresentadas as curvas de permissividade e condutividade elétrica para
o músculo [63]. Nestas curvas podem-se perceber as diferentes regiões de dispersão elétrica.
O aumento da freqüência produz um decréscimo na permissividade elétrica e, inversamente,
um aumento da condutividade.
10
1
10
3
10
5
10
7
10
9
10
11
10
13
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Freq. [Hz]
Permissividade [ ε
r
]
Condutividade [ σ ]
α
β
δ
γ
Figura 4.4: Curvas de permissividade e condutividade elétrica para o músculo.
O gráfico da Fig. 4.4 mostra o comportamento típico da maioria dos tecidos biológicos.
Este gráfico foi obtido com o auxílio da equação de Cole-Cole de 4
o
ordem (Eq. 2.145) e os
parâmetros apresentados no Anexo 3.
4.8 Taxa de Absorção Específica - SAR
A SAR (Specific Absorption Rate) é uma medida dosimétrica amplamente utilizada para
quantificar a energia absorvida por um meio biológico [4] [23] [42] [87] [28] [85] [1], sendo
proporcional à taxa na qual a energia eletromagnética é absorvida por uma determinada
massa de material. A SAR pode ser compreendida como a potência absorvida por unidade
de massa, podendo ser expressa por:
SAR =
σ|E|
2
ρ
, (4.1)
76
dada em watts/kilograma [W/kg], onde σ é a condutividadedo meio [S/m], E é o valor eficaz
do campo elétrico [V/m] e ρ é densidade de massa no ponto avaliado [kg/m
3
].
Em condições termodinâmicas ideais, sem perdas de calor por difusão, radiação térmica
nem termo-regulação (devido ao fluxo sangüíneo), a SAR é diretamente proporcional à taxa
de incremento local da temperatura nos tecidos, ocasionando o aquecimento do organismo.
Pode-se então representar esse fenômeno através da equação simples de transferência de
biocalor como [63]:
dT
dt
=
SAR
c
e
, (4.2)
onde T é a temperatura [C
o
] e c
e
é a capacidade específica de calor do tecido [J/kg
o
C].
A Eq. 4.2 indica a taxa de aumento da temperatura com o tempo, sendo expressa em [
o
C/s].
Considerando as variações termodinâmicas, escreve-se então uma equação de transfer-
ência de biocalor completa, dada por [63] [60]:
dT
dt
=
SAR + P
m
− P
c
− P
b
c
e
, (4.3)
onde P
m
é a taxa de aquecimento metabólico, P
c
é a taxa de perda de calor por unidade de
volume devido à condução térmica, e P
b
é a taxa de perda de calor por unidade de volume
devido ao fluxo sangüíneo.
A solução da Eq. 4.3 não é simples, estando além do escopo deste trabalho. Nos casos
aqui analisados, os resultados serão obtidos em termos da SAR. Para exemplificar a relação
mencionada, uma SAR de 20 W/kg produziria um aumento de temperatura de aproximada-
mente 5
o
C num tecido com
r
= 95.8 e σ = 0.65 S/m [60].
Quando a energia eletromagnética absorvida pelo corpo é próxima a 4 W/kg durante
aproximadamente 30 minutos de exposição em condições ambientais normais, acontece um
aumento da temperatura média do corpo da ordem de 1 a 2
o
C (hipertermia de corpo inteiro),
o que pode causar estresse e outros efeitos parecidos com os provocados pela febre [23].
Como a SAR é diretamente proporcional à condutividade do meio, variações nessa con-
dutividade acarretam variações na SAR. Logo, a determinação precisa das propriedades
elétricas dos tecidos biológicos é necessária para cálculos mais acurados. Existe grande
discrepância nos valores encontrados na literatura para um mesmo tecido e freqüência. Isto
se deve à diferença de homogeneidade dos tecidos analisados, a diferenças no preparo das
77
amostras para análise, bem como a mudanças metabólicas que ocorrem no tecido após a
morte [60].
A determinação da SAR pode ser feita para o corpo inteiro, considerando a média
total no corpo, ou localizada, em que se considera a SAR local, que é definida como a
potência absorvida por uma determinada unidade de massa de tecido (geralmente 1g ou
10g) [4] [42] [23].
Quando se realiza a hipertermia, o limite fisiológico de risco (4 W/kg para o corpo
inteiro [42]) delimitado pelas normas não é obviamente respeitado. Isto porque, neste caso,
o que se deseja é aquecer propositalmente o tecido biológico com base nos seus efeitos
terapêuticos.
4.9 Considerações
A hipertermia tem sido um tema bastante pesquisado na atualidade e já é empregada
com sucesso em muitos países. Infelizmente em nosso país as tecnologias para hipertermia
e seu emprego são pouco conhecidas e pouco utilizadas.
As vantagens associadas ao tratamento hipertérmico são evidentes no tratamento do
câncer além de poder auxiliar em outras patologias. O principal problema está na determi-
nação precisa da temperatura na região aquecida sem o uso de sondas invasivas. As tecnolo-
gias correntes ainda não são satisfatórias, mas progressos têm sido feitos e novas tecnologias
estão sendo aplicadas. Quando os principais problemas técnicos associados à hipertermia
tiverem sido solucionados, o uso pela comunidade médica será, sem dúvida, aumentado.
O uso de dispositivos não invasivos para hipertermia é muito interessante para a redução
do estresse terapêutico do paciente. Neste contexto, antenas e outros dispositivos eletromag-
néticos são muito importantes no combate ao câncer e outras doenças. O principal requisito
desses aplicadores hipertérmicos é a deposição eficiente de energia na região a ser tratada.
Com o objetivo de analisar e desenvolver dispositivos radiadores de energia eficazes e não
invasivos, alguns já utilizados pela comunidade médica são estudados neste trabalho. Além
disso, propõem-se também novas estrutura, como será visto no próximo capítulo.
Capítulo 5
Dispositivos para Hipertermia
“Nunca é tão fácil perder-se como quando se julga conhecer o caminho.”
Sabedoria Chinesa
5.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentadas algumas estruturas de dispositivos eletromagnéticos
para hipertermia, visando um maior poder de penetração de energia nos tecidos biológicos e
eficiência de radiação.
Inicialmente serão feitos estudos com antenas do tipo dipolo, e será mostrada, a partir
dos resultados obtidos, a vantagem do uso de um conjunto de dois dipolos em compara-
ção a um único. Foram feitas também análises num aplicador usando uma antena do tipo
corneta piramidal, o qual foi utilizado para comparações com o sistema capacitivo proposto
para aquecimento profundo em superfícies curvas. Para o aquecimento pouco profundo e
superficial, foram analisadas e propostas antenas planares, seja como elementos únicos ou
em conjunto.
5.2 Dipolos para Hipertermia
Uma das antenas mais simples empregadas na hipertermia é o dipolo fino [70]. Com
o intuito de avaliar o comportamento de tal antena, foram realizados experimentos con-
siderando o tecido biológico muscular submetido a uma onda eletromagnética de 433 MHz
gerada por um dipolo de um quarto de onda (l = 1 7 , 3cm). A freqüência de operação foi
escolhida para que a antena tenha dimensões relativamente pequenas e possa radiar ener-
gia com razoável eficiência, estando em conformidade com a faixa de freqüências de uso
científico. A próxima freqüência passível de uso seria 915 MHz, mas nesta freqüência a con-
dutividadeda água é consideravelmentealta e o poder de penetração da onda eletromagnética
é bem menor.
79
5.2.1 Análise com um Dipolo
O uso de um único dipolo foi analisado em alguns casos sendo que os dois mais rele-
vantes são apresentados a seguir. Na primeira configuração (caso 1), o dipolo está afastado
de 1,2cm do músculo e o ar os separa. Na segunda (caso 2), é colocada uma camada de água
pura separando o músculo da antena (1,2cm de espessura). Essa configuração pode ser vista
na Fig. 5.1.
Músculo
Dipolo
x
y
z
ar / água
Figura 5.1: Configuração para análise de hipertermia usando o dipolo.
Foi utilizada uma malha de 40×30×51 células (xyz), com ∆ = 0, 56cm. O dipolo
está disposto verticalmente no eixo z, com 31 células de comprimento (l = 17, 3cm). O
raio considerado do dipolo foi de 0,09∆, com uma excitação rígida de 28 V de pico no gap
(fonte de tensão com impedância nula). O dipolo está afastado 2 células da parede muscular,
a qual tem espessura de 20 células. A condição absorvente imposta em todas as superfícies
que limitam o domínio de estudo foi MUR de primeira ordem, que apresenta resultados
satisfatórios dada a perda encontrada no tecido muscular. Assim, simulou-se um tecido com
largura e profundidade infinitas. O passo de tempo foi de 9ps, necessitando de 256 iterações
temporais para completar um ciclo de onda. Os resultados da SAR foram obtidos do 5
o
ao
10
o
ciclo da excitação, quando o sistema já alcançou o regime permanente. A SAR é aqui
expressa como a média da SAR durante o regime permanente para cada célula cúbica. Da
mesma forma, os parâmetros elétricos do dipolo foram determinados nesse regime.
Os valores de permissividade elétrica e condutividade para o músculo foram de
r
= 57 , 1, σ = 0, 792 S/m [26] e, para a água,
r
= 80 , 5 e σ = 0, 0488 S/m [51]. As
densidades de massa respectivas foram ρ = 1040 kg/m
3
[2] e ρ = 1000 kg/m
3
.
80
Para ilustrar a distribuição do campo elétrico no músculo, é apresentado na Fig. 5.2 o
módulo deste campo em um dado instante de tempo. Percebe-se que o campo elétrico é
atenuado à medida que penetra no músculo.
8.4
5.6
2.8
0.0
0.0
5.6
11.2
16.8
0
100
200
Profundidade
[cm]
[V/m]
Figura 5.2: Módulo do campo elétrico no músculo, num dado instante de tempo.
Os resultados da SAR no plano xy que passa pelo ponto de alimentação do dipolo podem
ser vistos na Fig. 5.3 em forma de curvas de nível. Em a) são apresentados os resultados para
o dipolo no ar, sem o uso da camada de água e em b) os resultados para o dipolo em contato
com a água. O dipolo encontra-se à direita da figura e a energia penetra no músculo da direita
para a esquerda. Na Fig. 5.3a no primeiro centímetro a SAR apresenta valores em torno de
0,5 W/kg, enquanto que na Fig. b) a SAR é de 10 a 30 W/kg. Percebe-se claramente que o
uso da camada de água permite obter valores bem maiores de SAR no músculo. A grande
parcela do aquecimento ocorre nas proximidades e na superfície do músculo porque a SAR
é proporcional ao quadrado do campo elétrico, o qual decai exponencialmente no meio.
8.4 5.6 2.8 0.0
2.8
8.4
14.0
19.6
a)
[cm]
0.005
0.005
0.005
0.005
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.1
0.1
0.2
0.3
0.5
8.4 5.6 2.8 0.0
2.8
8.4
14.0
19.6
0.01
0.01
0.02
0.02
0.03
0.03
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
3
3
5
5
10
20
30
b)
[cm]
W/kg
W/kg
Figura 5.3: SAR no músculo. Plano de corte xy no ponto de alimentação do dipolo: a) dipolo no ar
e b) dipolo em contato com uma camada de água.
81
O uso da camada de água ocasiona uma melhora significativa na capacidade de radiação
da antena. Isto se deve à alteração de sua impedância de entrada. Para o caso do dipolo
sem camada de água, a impedância calculada foi de Z = 24, 4 − j298, 8 Ω (fortemente
capacitiva) e no caso com a camada de água, Z = 60, 6 − j0, 7 Ω (|Z| ≈ 60 Ω), ou seja, o
uso de água fez com que o dipolo se comportasse praticamente como uma resistência pura.
No primeiro caso, a potência média radiada foi de 0,11 W, enquanto que no segundo caso,
ela foi de 6,25 W.
A água, além de ocasionar um casamento de impedância da antena, possibilita também
que seja feita a refrigeração das camadas superficiais do tecido. Isso é muito importante no
aquecimento de pontos mais profundos. Desta forma, o uso de uma bolsa que permita a
circulação da água em seu interior permite uma hipertermia mais profunda.
Na Fig. 5.4 é apresentada a SAR no plano yz que contém o dipolo. Como na figura
anterior, o dipolo está à direita, só que agora com toda sua extensão no plano visualizado.
Estão também indicadas as dimensões do dipolo no ponto onde ele se encontra, com uma
seta indicando o ponto de alimentação. Os valores de SAR são semelhantes aos da Fig. 5.3,
só que agora os valores acompanham a extensão do dipolo. No primeiro caso, músculo-ar
(Fig. 5.4a), não existe grandes distorções na forma apresentada da SAR. Já no segundo caso,
o uso da camada de água ocasiona alterações no comprimento da onda incidente, havendo
uma parcela de reflexão que atua na interface músculo-água, contribuindo para a mudança
encontrada.
8.4 5.6 2.8 0.0
a)
0.005
0.005
0.005
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.5
8.4 5.6 2.8 0.0
b)
0.02
0.02
0.03
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
3
3
3
5
5
10
10
20
20
20
30
30
17.3
0.0
17.3
0.0
[cm]
[cm]
W/kg
W/kg
Figura 5.4: SAR no músculo. Plano de corte yz que contém o dipolo: a) dipolo no ar e b) dipolo em
contato com uma camada de água.
82
5.2.2 Conjunto com Dois Dipolos
De acordo com o tipo de região a ser aquecida, o uso de um conjunto de antenas torna-se
interessante [76] [24]. Neste caso, é possível controlar a fase e a amplitude da alimentação
do conjunto de modo a direcionar o feixe radiado. Isto faz com que, o uso de mais de uma
antena possa melhorar o desempenho obtido por uma única na mesma aplicação. Assim,
compararam-se os resultados obtidos com um conjunto de dois dipolos, alimentados em fase
e com mesma amplitude, com aqueles obtidos usando um único dipolo. Nas simulações com
o conjunto, foram utilizados os mesmos parâmetros e a mesma geometria da seção anterior,
sempre com uma camada de água entre o músculo e a antena. A única alteração foi na tensão
de alimentação dos dipolos, que foi escolhida de acordo com a potência desejada de radiação.
Como já mencionado, a impedância de um único dipolo isolado foi calculada e resultou
em Z = 60, 6 −j0, 7 Ω. O melhor resultado foi encontrado para os dois dipolos do conjunto
afastados de 8 células (4,48cm), resultando em Z = 49, 2 − j2, 2 Ω para a impedância de
entrada de cada dipolo. Com base nas impedâncias, calculou-se a tensão de alimentação
dos dipolos para potências médias de radiação de aproximadamente 2,5 W, 5 W e 10 W. Na
Fig. 5.5 são apresentadas as curvas de níveis para o plano de corte xy que passa pelo ponto de
alimentação dos dipolos: em a) para um dipolo com 10 W e em b) para o conjunto com 5 W
em cada dipolo. Para que a comparação seja correta, a potência do único dipolo deveser igual
à potência total do conjunto. Os pontos na figura indicam a localização dos dipolos. Percebe-
se que a energia produzida pelo conjunto obteve maior penetração no tecido, particularmente
nos pontos equidistantes dos dipolos.
8.4 5.6 2.8 0.0
0.00
−−
22.4
a)
[cm]
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
3
3
6
6
10
8.4 5.6 2.8 0.0
0.00
4.48
b)
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
3
3
6
6
10
10
W/kg
W/kg
Figura 5.5: SAR no músculo, plano de corte xy no ponto de alimentação dos dipolos, a) um dipolo
com 10 W de potência e b) dois dipolos com 5 W de potência cada.
83
Os resultados obtidos com um único dipolo e com o conjunto, radiando potências totais
de 5 W e 10 W, são vistos na Fig. 5.6, que mostra a SAR numa linha central do plano xy
que passa entre os pontos de alimentação dos dipolos (esta linha está centrada entre os dois
dipolos no conjunto).
8.96 6.72 4.48 2.24 0.00
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
[cm]
[W/Kg]
1 dip. 5 W
1 dip. 10 W
2 dip. 2.5 W
2 dip. 5 W
Figura 5.6: SAR produzida por um dipolo e conjunto com dois para alguns valores de potência (por
dipolo).
No conjunto, os dipolos radiam 2,5 W e 5 W de potência cada, o que pode ser visto na
legenda no canto inferior da Fig. 5.6 como 2dip 2,5 W e 2dip 5 W. O uso de dois dipolos
radiando uma potência total de 5 W produz resultados superiores a um único dipolo com
5 W (1dip 5 W). A mesma conclusão é válida quando a potência total radiada é de 10 W. O
conjunto radiando uma potência total de 10 W (2dip 5 W) é superior a todos os demais. As
ondulações à direita das curvas devem-se ao ponto de análise em frente ao dipolo e entre os
dipolos; à esquerda, tais ondulações devem-se à condição absorvente, que não é perfeita.
A SAR no plano de corte yz que contém o dipolo isolado (ou que passa entre os dois
dipolos do conjunto) pode ser visto nas Figs. 5.7a e b, respectivamente, para a potência total
de 10 W. Na Fig. 5.7b, observa-se que os maiores valores da SAR estão mais concentrados,
o que é interessante para o aquecimento de uma determinada região.
84
8.4 5.6 2.8 0.0
a)
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
3
3
3
6
6
10
10
8.4 5.6 2.8 0.0
b)
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1
1.5
1.5
1.5
3
3
3
6
6
10
10
17.3
0.0
[cm]
[cm]
W/kg
W/kg
Figura 5.7: SAR no músculo. Plano de corte yz: a) plano que contém um único dipolo (10 W) e b)
plano entre o conjunto de dipolos (2 dipolos com 5 W de potência cada).
5.2.3 Conclusões
Dos resultados obtidos, percebe-se a vantagem do uso de dois dipolos em relação a
um único, pois, mesmo com uma potência total menor, conseguem-se melhores resultados.
Isto é muito importante, pois permite uma diminuição do aquecimento superficial do tecido.
Assim, o uso de duas antenas proporciona um aquecimento mais profundo com menor aque-
cimento superficial do que o obtido com uma só antena. Desta forma, o uso de dois dipolos
para aquecer uma determinada região é uma boa opção quando se trata de sistemas hipertér-
micos simples.
Uma das principais vantagens do uso de dipolos para hipertermia é a simplicidade das
antenas e seu baixo custo. Usando um conjunto, pode-se mudar o foco de aquecimento,
através de um controle preciso da potência, com mudanças de fase e amplitude da alimenta-
ção. Sistemas com vários dipolos podem ser usados para envolver o corpo ou membros do
paciente.
O emprego da água entre o dipolo e o tecido biológico é fundamental para o casamento
de impedância bem como possibilitar a refrigeração da superfície próxima à antena, evitando
pontos excessivamente quentes. Esse sistema, empregando bolsas de água, necessita de
resfriamento com controle de temperatura, aumentando seu custo e sua complexidade.
O principal problema associado ao dipolo é radiação não homogênea de energia na área
iluminada, com maior concentração ao longo do comprimento da antena. Isto exige o uso
de mais antenas quando se quer aquecer uma região mais ampla, com extensão superior às
dimensões do dipolo.
85
5.3 Antena Corneta e Sistema Capacitivo
Um dos objetivos principais da hipertermia localizada usando ondas eletromagnéticas
é o aquecimento de regiões profundas. Mas existe um problema físico associado a isto,
pois para obter uma maior penetração da energia, devem-se usar baixas freqüências (com-
primento de onda grande). Como as dimensões das antenas são diretamente associadas ao
comprimento de onda, baixas freqüências exigem dimensões grandes, o que é limitante na
maioria das vezes. Para contornar este problema podem-se empregar sistemas capacitivos,
que trabalham na faixa de alguns megahertz. Este tipo de sistema, além de permitir depositar
energia mais profundamente, permite também uma distribuição mais homogênea de energia
sobre as superfícies do capacitor (linhas de campo).
Paracomparação, o sistemacapacitivoproposto é avaliado em relação a uma estrutura de
aplicador muito utilizada: a antena corneta, que permite obter boa distribuição de energia em
sua abertura e é usada para aquecimento superficial com alguns centímetros de profundidade.
5.3.1 Antena Corneta
Antenas corneta têm larga aplicação em telecomunicações e em instrumentação na faixa
de microondas. São quase sempre alimentadas por guias de onda. Como operam em altas
freqüências, são geralmente de pequenas dimensões [6] [8]. Uma maneira de permitir que
uma antena corneta opere em freqüências mais baixas, mas ainda mantendo suas pequenas
dimensões, consiste em preenchê-la (assim como o guia de onda que a alimenta) com um
dielétrico de permissividade elevada. Isto porque os comprimentos de onda diminuem com o
aumento da permissividade do meio no qual a onda se propaga. Assim, uma antena corneta
usando água como dielétrico (que têm alta permissividade) pode ser aplicada para hiperter-
mia usando freqüências relativamente baixas, com a vantagem da distribuição eficiente de
energia em sua abertura.
O tipo mais comum de antena corneta para hipertermia é do tipo piramidal, operando em
433 MHz. Na Fig. 5.8 é apresentada a geometria do aplicador aqui analisado, em que a água
preenche toda a estrutura e se estende por mais um centímetro até o encontrar o músculo.
Como já dito anteriormente, a camada de água permite um bom casamento de impedâncias,
além de permitir o resfriamento necessário da camada superficial do tecido. As dimensões
do aplicador são as seguintes: a antena corneta tem abertura de 10cm×12cm, com 7,5cm de
86
comprimento. O guia de onda que a alimenta tem seção transversal de 3cm×5cm e 8cm de
extensão. A ponta de prova (sonda de tensão) que excita o sistema, acoplando o cabo coaxial
de alimentação ao guia de onda, está posicionada a 2,5cm da extremidade curto-circuitada
do guia e tem 1,5cm de comprimento. Com essas dimensões, o guia opera logo acima de
sua primeira freqüência de corte (modo de propagação TE10). Como se emprega água para
o preenchimento da antena corneta e o comprimento de onda na água é menor que no ar, as
dimensões da antena são bem menores que para uma estrutura preenchida com ar.
Água
Músculo
Metal
a)
Excitação
Músculo
Água
Metal
b)
z
y
x
y
2,5 cm
5 cm
3 cm
1,5 cm
8 cm 7,5 cm
Figura 5.8: Corneta piramidal preenchida com água: a) plano zy e b) plano xy.
5.3.2 Capacitor com Placas Ortogonais
Um dos sistemas capacitivos comerciais para hipertermia usa placas metálicas semi-
paralelas, sendo uma delas um plano metálico sobre o qual o paciente se deita, e a outra
móvel, dispondo de um braço mecânico para posicionamento [89]. Estes sistemas possuem
limitação quanto à região a ser aquecida, além de possuírem grandes dimensões. Visando a
superação desses problemas, é proposto um sistema capacitivo com placas ortogonais e de
dimensões reduzidas, facilitando o tratamento e possibilitando maior eficiência e flexibili-
dade no aquecimento de membros e superfícies curvilíneas.
O dispositivo proposto é apresentado na Fig. 5.9 e utiliza as freqüências de 13,56 MHz
(menor freqüência para uso industrial e médico) e de 433 MHz (para fins de comparação).
Possui duas placas metálicas ortogonais de 16cm ×16cm (espessura desprezível), com uma
camada de água de 1cm de espessura para evitar o sobreaquecimento superficial do músculo.
Na Fig. 5.9a são consideradas duas configurações de músculo: na primeira (configuração
1) há somente músculo em toda a região entre as placas; no segundo caso (configuração 2),
existe água na região de seção triangular, com músculo na região restante.
87
Água
a)
1
2
Músculo
Excitação
z
x
z
y
Músculo
Água
Metal
Excitação
b)
Figura 5.9: Capacitor com placas ortogonais: a) plano zx e b) plano zy.
5.3.3 Resultados
As simulações foram realizadas com uma malha cúbica com incremento espacial de 1cm
e 0,5cm, ∆t = 18, 4ps e ∆t = 8, 25ps, para 13,56 MHz e 433 MHz, respectivamente. O
domínio de estudo foi limitado empregando-se a UPML com 5 camadas, o que garante que
não haverá ondas refletidas retornando para a região de estudo. Como foram empregadas
duas freqüências, os valores de condutividade e permissividade elétrica são distintos tanto
para o músculo quanto para a água (materiais dispersivos, ver Seção 2.11). Para 433 MHz
esses parâmetros foram dados na Seção 5.2.1. O músculo a 13,56 MHz apresenta
r
= 133,
σ = 0, 631 S/m [26] e a água,
r
= 80, 1 com σ = 0, 00005 S/m [51].
Os resultados foram obtidos após o regime estacionário do sistema ter sido alcançado,
e a SAR foi computada como valor médio sobre um período de excitação. Ao longo de
uma linha através do músculo. Para a antena corneta, essa linha é paralela ao eixo y, ou seja,
perpendicular à área de sua abertura e centrada nesta. No sistema capacitivo, a linha secciona
o plano zx (linha tracejada da Fig. 5.9a).
A Fig. 5.10 mostra comparações entre o guia de onda e o sistema capacitivo proposto
para 433 MHz e 13,56 MHz. Em todos os casos, os dispositivosestão radiando uma potência
de 10 W. É apresentada a SAR no músculo para a configuração 1.
Dos resultados acima, pode-se ver uma penetração maior (maiores valores de SAR) após
5cm de profundidade para o sistema capacitivo a 13,56MHz, com um menor aquecimento
superficial que os demais sistemas a 433 MHz. É importante lembrar que seria impraticável
construir uma antena corneta alimentada com um guia de ondas para operar em 13,56 MHz
porque as dimensões da estrutura seriam muito grandes.
88
0 5 10 15 20 25
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
[cm]
SAR [W/kg]
10 W
1
2
3
[1] capacitor 13,56 MHz
[2] capacitor 433 MHz
[3] corneta 433 MHz
Figura 5.10: SAR ao longo do músculo para a antena corneta e sistema capacitivo a 433 MHz e
13,56 MHz (10 W).
Depois dos dados obtidos da Fig. 5.10, uma simulação mais realística para o sistema
capacitivo foi feita (correspondendo à configuração 2, com a presença de água na região 1
da Fig. 5.9a). A Fig. 5.11 apresenta os resultados desta simulação para diferentes níveis de
potência transmitida. Observa-se que a potência do sistema pode ser ajustada para obter o
nível desejado de SAR no músculo. A energia necessária depende da distância ao centro
do capacitor (ponto de alimentação): para pequenas profundidades, a potência requerida é
menor.
0 5 10 15 20 25
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
[cm]
SAR [W/kg]
Configuração 2
1
2
3
4
[1] c13,56 −100W
[2] c13,56 − 30W
[3] c13,56 − 10W
[4] c433 −10W
Figura 5.11: SAR ao longo do músculo para o sistema capacitivo a 433 MHz (10 W) e 13,56 MHz
(10 W, 30 W e 100 W).
89
As linhas de contorno da SAR para planos de corte no músculo com a antena corneta
e com o sistema capacitivo a 10 W podem ser vistos na Fig. 5.12. Com a antena corneta
percebe-se que a energia fica focada no centro da corneta e a distribuição da SAR é mais ho-
mogênea para maiores profundidades no músculo. No capacitor, as linhas estão concentradas
na região onde as placas estão mais próximas e vão se suavizando à medida que penetram no
músculo (as placas se afastam).
5 10 15
5
0
5
0.01
0.01
0.02
0.02
0.03
0.03
0.03
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
3
3
5
7
7
10
10
20
W/kg
a)
[cm]
5 10 15 20 25 30 35
5
10
15
20
25
30
35
b)
0.005
0.005
0.005
0.005
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.03
0.03
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
7
[cm]
W/kg
Figura 5.12: Linhas de contorno da SAR na linha de análise para: a) antena corneta (plano xy) e b)
sistema capacitivo (secção do plano zx), ambos com 10 W.
5.3.4 Conclusões
O sistema capacitivo com placas ortogonais operando a 13,56 MHz apresenta desem-
penho satisfatório para hipertermia profunda, com menor aquecimento superficial que o apre-
sentado pela antena corneta operando a 433 MHz. Este fato ocorre principalmente porque
a SAR é diretamente proporcional à condutividade e esta é menor em baixas freqüências.
Apesar da energia ficar concentrada na região de proximidade das placas, consegue-se bons
níveis de SAR até aproximadamente 10cm de profundidade.
O sistema capacitivo proposto pode apresentar maior flexibilidade que os usuais sis-
temas hipertérmicos. Por exemplo, as dimensões e a inclinação das placas metálicas podem
ser ajustadas para cobrir superfícies mais irregulares, incluindo alterações nos pontos de
alimentação das placas. É também possível reduzir as dimensões do sistema capacitivo,
bastando para isso aumentar sua freqüência de operação (por exemplo 433 MHz).
Para aquecimento não muito profundo, o uso de antenas corneta é uma das opções mais
utilizadas por ser uma estrutura compacta e espalhar melhor a energia que os sistemas mais
simples, como os compostos por poucos dipolos, por exemplo.
90
5.4 Antenas Planares
A hipertermia local realizada próximo à superfície do corpo é usada no tratamento de
tumores pequenos e de pouca profundidade. As antenas discutidas anteriormente têm di-
mensões grandes e produziriam o aquecimento de uma grande área superficial. Para resolver
este problema, faz-se necessário o uso de pequenas antenas, adequadas para o aquecimento
de regiões próximas ao elemento radiador. Neste caso, podem-se usar freqüências mais altas
e o tamanho do dispositivo hipertérmico pode ser reduzido.
Uma antena interessante para realizar a hipertermia superficial é a planar, pois é simples,
de baixo custo e pequena. A antena planar, conhecida também por antena impressa ou de mi-
crofita, nada mais é do que um circuito metálico impresso sobre um substrato dielétrico com
baixas perdas e pequena espessura. Um dos lados da antena é completamente coberto por
metal (fundo metálico) e na outra superfície têm-se o elemento radiador impresso (patch).
As duas partes metálicas formam um sanduíche com o dielétrico, ver Fig. 5.13. Algumas
antenas podem ser compostas por várias camadas de dielétrico intercaladas com patches im-
pressas [108]. A alimentação pode ser provida por uma microfita no mesmo substrato ou
através de cabo coaxial [108] [8]. Essas antenas são comumente utilizadas com freqüências
na faixa de gigahertz.
Dielétrico
Patch
Fundo
Metálico
Figura 5.13: Antena planar.
Na hipertermia um dos principais requisitos dos dispositivos hipertérmicos é o aqueci-
mento homogêneo da área a tratar. Caso se use uma antena planar, busca-se obter uma dis-
tribuição uniforme de energia em toda sua superfície. A seguir serão descritas algumas geo-
metrias de antenas planares, incluindo conjuntos, visando obter um distribuição homogênea
da energia radiada no tecido tratado. Para melhor visualização dos resultados e para avaliar a
eficiência das antenas, é empregado o módulo do campo elétrico médio normalizado obtido
na superfície do músculo e o coeficiente de variação estatístico (CV = desvio padrão divi-
dido pela média) para a SAR. O CV indica o quão homogênea é a distribuição da SAR no
91
primeiro milímetro do músculo próximo à antena e abaixo de sua área. Quanto menor seu
valor mais uniforme e melhor é a distribuição de energia da antena. O valor nulo significa
distribuição uniforme de energia sob toda a superfície da antena.
Diferentes geometrias de antenas planares foram avaliadas e algumas delas são aqui
apresentadas. A dimensão da célula cúbica utilizada no FDTD foi de 1mm. Escolheu-se uma
espessura de dielétrico de 2mm, por ser uma medida razoável e adequar-se às dimensões da
malha. Empregou-se a freqüência de 915 MHz e uma camada de 5mm de água sob a antena,
possibilitando uma melhor transferência de energia para o tecido biológico e também aju-
dando a reduzir as dimensões da antena na freqüência usada. Assim, chegou-se às dimensões
de 2mm×42mm×42mm para o dielétrico. Como valor de permissividade elétrica, usou-se
r
= 10 (correspondente à alumina 99,5%, Al
2
O
3
) e a perda foi desprezada. Os valores das
constantes elétricas utilizadas para o músculo a 915 MHz foram:
r
= 55, 5 , σ = 0, 903
S/m [26]. Para a água:
r
= 80, 8 com σ = 0.217 S/m [51]. Na Fig. 5.14 é mostrado o perfil
da antena e a estrutura completa usada nas simulações, incluindo o músculo.
Patch
Cabo Coaxial
Água
Músculo
Fundo Metálico
Dielétrico
Figura 5.14: Perfil das antenas planares utilizado nas simulações.
Existem vários materiais disponíveis comercialmente para uso como substrato dielétrico
para microfitas. Os valores de permissividade elétrica relativa podem variar de aproximada-
mente 1 até 88. Seus empregos dependem da característica que se quer dar à microfita:
para atuar somente como antena ou em conjunto com linhas e circuitos (transmissão e/ou
radiação) [108].
Nas simulações foi primeiramente empregada a condição absorvente UPML com 5 ca-
madas. Comparações com a condição de MUR de primeira ordem não apresentaram dife-
renças significativas. Logo, optou-se por esta devido ao seu custo computacional mais baixo.
Foi utilizada uma camada de músculo com 4cm de profundidade com uma largura de 2cm
paralela à borda da antena. Os resultados correspondem à resposta em regime permanente
do sistema, após o transitório.
92
5.4.1 Antenas Individuais
Na Fig. 5.15 é apresentado a vista superior de duas antenas planares, a n
o
1 é a retangular
e uma das mais utilizadas; a n
o
2 é a proposta por Dubost [20]. O ponto central nas figuras
a) e b) representa a conexão do fio central do cabo coaxial com a parte superior da antena.
A parte inferior (plano metálico) é ligada à malha externa do cabo coaxial. Na figura b)
existem partes metálicas que não estão em contato com a alimentação. Estes elementos,
denominados parasitas, influenciam no padrão de radiação da antena [108].
a) b)
Figura 5.15: Antenas planares (vista superior): a) n
o
1 (retangular) e b) n
o
2 (Dubost) [20].
São apresentados na Fig. 5.16a e b os gráficos do módulo do campo elétrico médio
normalizado para as antenas 1 e 2, 1mm abaixo da superfície do músculo, indicando como
a energia se distribui sob a superfície da antena . Para representar visualmente a diferença
entre as áreas claras e escuras, mais e menos energéticas respectivamente, apresenta-se na
Fig. 5.16c e d o relevo tridimensional da distribuição de campo elétrico.
a)
b)
c)
d)
Figura 5.16: Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sob as antenas 1 e
2, respectivamente. Em a) e b) bidimensional; c) e d) tridimensional.
93
O coeficiente de variação da SAR para a antena 1 foi de 0,91 e para a 2 de 0,82. A antena
2 distribuide forma mais eficiente a energia sobre o tecido muscular. Foram simuladas várias
geometrias de antenas planares visando a melhor distribuição de energia. Na Fig. 5.17 são
apresentadas duas das configurações mais interessantes obtidas: antenas n
o
3 e n
o
4. Os
resultados para o campo elétrico podem ser vistos na Fig 5.18. Observa-se claramente uma
distribuição mais homogênea de energia do que aquelas das antenas 1 e 2. Neste caso, o CV
é de 0,61 para a antena 3 e 0,52 para a 4. As impedâncias aproximadas calculadas para as
antenas 3 e 4 foram de Z = 0, 52 + j6, 8 Ω e Z = 0, 20 + j8, 1 Ω, respectivamente. Esse
cálculo é um tanto grosseiro porque a malha não é suficientemente densa em torno do ponto
de alimentação da antena.
a) b)
Figura 5.17: Antenas planares (vista superior): a) n
o
3 e b) n
o
4.
a) b)
c)
d)
Figura 5.18: Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sob as antenas 3 e
4, respectivamente. Em a) e b) bidimensional; c) e d) tridimensional.
94
A presença de água e a forma como é colocada entre a antena e o músculo influem
consideravelmente na distribuição de energia. As reflexões da potência radiada entre água
e ar podem ser claramente vistas na Fig. 5.18a e c. Nas diagonais opostas à parte metálica
superficial da antena formam-se duas zonas com picos de energia (canto superior esquerdo e
inferior direito). Nos gráficos b) e d) estes picos de energia são menores e encontram-se em
todos os cantos da antena. A energia tende a restringir-se aos contornos da antena e seguir a
parte metálica impressa.
5.4.2 Conjunto de Antenas
Caso se deseje cobrir uma área maior que 42mm×42mm fazendo uso da freqüência de
915 MHz, pode-se empregar um conjunto de antenas. Foram analisados alguns conjuntos
com duas e quatro antenas (com as mesmas geometrias das antenas 3 e 4) sobre o mesmo
dielétrico e utilizando uma camada de água contínua. O conjunto com 2 antenas não em-
prega um plano metálico contínuo abaixo do substrato. O objetivo é diminuir a interação
destrutiva dos campos eletromagnéticos radiados pelos elementos (antenas). Assim, as ante-
nas estão separadas por 4mm com fundo metálico não contínuo, perfazendo uma área total
de 42mm×88mm. Na Fig. 5.19 são apresentadas as geometrias dos conjuntos com duas an-
tenas; as linhas tracejadas indicam o contorno dos fundos metálicos. Os resultados obtidos
encontram-se na Fig. 5.20. Os conjuntos apresentaram CV de 0,57 e 0,50 para as antenas 3
e 4, respectivamente. Tais resultados são um pouco melhores que os obtidos com as antenas
individualmente.
a) b)
Figura 5.19: Conjunto com 2 antenas utilizando as geometrias das antenas: a) n
o
3 e b) n
o
4.
Os conjuntos com quatro antenas podem ser vistos na Fig. 5.21. Como no caso dos
conjuntos com duas antenas, o dielétrico e a água são contínuos e os fundos metálicos não,
estando afastados de 4mm. A área da antena é então, 88mm×88mm. Os resultados podem
95
ser vistos na Fig. 5.22. Os coeficientes de variação melhoraram um pouco em relação ao
conjunto com 2 antenas, sendo 0,55 para o conjunto com a antena 3 e 0,48 para o conjunto
com a antena 4.
Figura 5.20: Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sob um conjunto
com duas antenas (elementos n
o
3 e n
o
4, respectivamente). Em a) e b) bidimensional;
c) e d) tridimensional.
a) b)
Figura 5.21: Conjunto com 4 antenas utilizando as geometrias das antenas: a) n
o
3 e b) n
o
4.
As impedâncias de entrada calculadas para os conjuntos são similares às impedâncias
das antenas individuais. A média da SAR também é similar. Como exemplo, a antena 4
dissipando 1 W de potência produz uma SAR média a 1mm de profundidade no músculo de
96
aproximadamente 35 W/Kg. Com a antena 3, os vazios de energia (pontos escuros) entre as
antenas no conjunto não são tão acentuados como com a antena 4. Isto é devido à estrutura
diagonal da antena 3. Entretanto, a antena 4 distribui um pouco melhor a energia.
Figura 5.22: Distribuição do campo elétrico a 1mm de profundidade no músculo sobre um conjunto
com quatro antenas (elementos n
o
3 e n
o
4, respectivamente). Em a) e b) bidimensional;
c) e d) tridimensional.
Uma possibilidade para cobrir uma superfície maior do tecido muscular consiste em usar
uma única antena em vez de um conjunto, operando numa freqüência menor. Assim, pode-
se aumentar as dimensões da antena, conseguindo ainda um aquecimento mais profundo.
Com esse objetivo, escolheu-se a freqüência de 433 MHz aplicada a mesma geometria da
antena 4. Por comodidade foi somente aumentado o incremento espacial do FDTD para
2mm , resultando numa espessura de dielétrico de 4mm e de água de 10mm, com uma
superfície de 84mm×84mm. Conservou-se um dielétrico sem perdas com permissividade
elétrica relativa de 10. As propriedades elétricas dos meios foram devidamente alteradas de
acordo com a nova freqüência de operação.
A forma de distribuição de energia é muito similar à apresentada pela antena 4 operando
97
em 915 MHz, com a diferença de ser calculada a 2mm de profundidade, ver Fig. 5.23.
O CV correspondente é 0,47, o que é um pouco melhor que os 0,52 da estrutura operando
em 915 MHz. Isto mostra que a estrutura operando na freqüência mais baixa permite obter
uma distribuição mais homogênea de energia, além de possibilitar uma maior penetração no
músculo. A impedância aproximada calculada foi de Z = 0, 10 + j7, 0 Ω, com uma SAR
média de 12 W/Kg para 1 W de potência radiada.
a) b)
Figura 5.23: Distribuição do campo elétrico a 2mm de profundidade no músculo utilizando a ge-
ometria da antena 4 com incremento espacial de 2mm para 433 MHz: a) bidimensional
e b) tridimensional.
Os valores de SAR média tão diferentes para as antenas operando em 915 MHz e 433
MHz e dissipando a mesma potência devem-se principalmente às diferentes condutividades
do tecido nas freqüências empregadas.
5.4.3 Conclusões
As antenas planares são uma alternativa interessantes para hipertermia local em trata-
mentos de tumores próximos à pele. Apresentam pequeno tamanho e flexibilidade de projeto,
podem distribuirhomogeneamente a energia radiada e cobrir grandes áreas quando conjuntos
são usados. Existe ainda a possibilidade do uso de freqüências mais baixas com o aumento
das dimensões da antena, permitindo aquecimentos mais profundos, como observado com
433 MHz.
Quando se empregam conjuntos de antenas, o ideal é montar os elementos na mesma
base, usando uma bolsa de água contínua entre o conjunto e o corpo, tendo como limite
os contornos do substrato dielétrico. Se antenas com bases e camadas de água individuais
forem empregadas, haverão regiões não aquecidas se estas não forem contínuas e ainda in-
terferências prejudiciais, com redução da distribuição de energia próxima à borda de contato
98
das antenas.
Foram apresentados resultados considerando somente o tecido muscular para a simplifi-
cação dos modelos. Simulações com outros materiais (como a gordura, por exemplo) podem
mostrar alterações na distribuição de energia radiada pelas antenas. O emprego de tecidos
mais espessos também pode influir nesses resultados. Acredita-se que as diferentes antenas
apresentem comportamento similar para diferentes tecidos e espessuras, mantendo a grosso
modo suas características de radiação.
O aquecimento do tecido biológico usando ondas eletromagnéticas permite a penetração
de energia um pouco mais profundamente que a aplicação direta de calor, com possibilidade
de foco e não sobreaquecimento da pele. A água empregada nos dispositivos hipertérmicos
proporciona uma equalização de calor na superfície do tecido, além de ajudar no acopla-
mento eletromagnético da antena ao corpo e permitir a redução das dimensões do disposi-
tivo.
Foram necessárias inúmeras alterações nas geometrias das antenas para obtenção de re-
sultados satisfatórios. Desta forma, foi despendido um tempo razoável gerando novas malhas
para a modelagem usando o código FDTD. Os resultados poderiam ser melhores se houvesse
sido empregado um algoritmo de otimização que fizesse o trabalho laborioso de procurar a
melhor resposta (a melhor antena). Todavia, é necessário um grande tempo de programação
para adequadação do FDTD ao algoritmo otimizador. Para algoritmos otimizadores de ante-
nas, uma boa opção, por exemplo, são os algoritmos genéticos [5] [31].
5.5 Considerações
Antenas do tipo dipolo e antenas corneta são empregadas para aquecimento de regiões
não muito profundas do corpo humano. O uso de conjuntos é muito utilizado quando se
desejam cobrir maiores regiões. O sistema capacitivo com placas ortogonais é uma boa
opção para o aquecimento profundo de superfícies curvas, com a possibilidade do uso de
placas metálicas adaptáveis a diferentes superfícies, melhorando o aquecimento e tornando
o sistema mais flexível.
Para aquecimento homogêneo de pequenas áreas próximas à superfície do corpo, as an-
tenas planares são dispositivos excelentes. Compactas, de fácil fabricação e projeto, podem
ser confeccionadas individualmente ou em conjuntos de acordo com o tamanho da superfície
99
a aquecer. Como parâmetro de projeto, visa-se a distribuição o mais homogênea possível de
energia na superfície iluminada. Assim, comparações de SAR em diferentes profundidades
não foram necessárias.
Outra possibilidade interessante para o uso de antenas planares consiste na substituição
dos sistemas baseados em antenas corneta operando em 433 MHz, principalmente por resul-
tar numa estrutura de menor volume, além de permitir uma distribuição mais homogênea de
energia.
Em experimentações a avaliação da homogeneidade do aquecimento para diferentes dis-
positivos hipertérmicos é feita utilizando-se o tamanho de campo efetivo (effetive field size
- EFS), definido como a área que contém 50% dos máximos valores de SAR, obtidos numa
superfície plana a 1cm de profundidade em um meio homogêneo que simula as propriedades
físicas do tecido muscular [34] [75].
Como já dito, a condutividade do tecido aumenta com a freqüência. Além disso os
valores de SAR são diretamente proporcionais à condutividade. Assim, antenas operando
em freqüências mais baixas precisam dissipar potências maiores para conseguir os mesmos
níveis de SAR do que as produzidas por antenas que usam freqüências mais altas. Esta dife-
rença ocorre nas proximidades das antenas e depende também das geometrias empregadas.
A maioria dos sistemas hipertérmicos empregando ondas eletromagnéticos utilizam uma
camada de água entre o músculo e elemento radiador. A água permite o projeto de antenas
com dimensões menores pois o comprimento de onda torna-se menor na água. Além disso,
a camada de água ainda proporciona a equalização da temperatura superficial do tecido. O
uso da camada de água exige um sistema de resfriamento para evitar o sobre aquecimento da
água e queimaduras no tecido superficial.
O projeto de dispositivos eletromagnéticos para hipertermia depende do tipo de tumor
a tratar. As simulações são efetuadas com base nos valores dos materiais que podem estar
presentes. Uma limitação de projeto é a disponibilidade de somente algumas freqüências
para uso médico. Caso se adotem outros valores de freqüência, tem-se que utilizar uma sala
blindada eletromagneticamente para evitar interferência com sistemas de telecomunicações.
Por tal motivo, as simulações ficaram restritas a poucas freqüências.
Capítulo 6
Conclusões
“A satisfação está no esforço feito para alcançar o objetivo e não em tê-lo alcançado.”
Mahatma Ghandi
Este trabalho teve por objetivo analisar e propor configurações de antenas a serem usa-
das em aplicadores hipertérmicos. Todas as análises eletromagnéticas foram feitas usando
o método FDTD, que é bastante apropriado ao tipo de problema sob estudo. Foram apre-
sentadas algumas antenas de uso corrente para hipertermia e sugestões para novos disposi-
tivos. As contribuições diretas deste trabalho são o sistema capacitivo com placas ortogonais
e as antenas planares propostas, com especial atenção ao uso destas últimas operando em
433 MHz. Apesar de se estudar modelos simples, foram apresentadas soluções passíveis de
implementação. O projeto de sistemas práticos requer ainda muita pesquisa.
Outras contribuições são o estudo da hipertermia e desenvolvimento de um programa de
simulação usando o método FDTD aplicado a antenas e outros problemas eletromagnéticos.
Observou-se que o uso do método FDTD é eficaz para a modelagem desses problemas,
proporcionando uma melhor compreensão dos fenômenos físicos envolvidos.
Inicialmente foi apresentado o método FDTD, incluindo suas formulações básicas e
adaptações para solução de determinados problemas. Para dar suporte à compreensão do
método FDTD, descreveram-se as equações de Maxwell e as condições de contorno eletro-
magnéticas, bem como o algoritmo de Yee e sua fundamentação. Foram apresentadas condi-
ções de contorno absorventes para simulação do espaço aberto, algumas formas de excitação
e o possível uso de simetria, além da modelagem de meios dispersivos. Alguns problemas
foram analisados para ilustrar a aplicação do método e validar os algoritmos desenvolvidos.
Começou-se com a análise 2D de guias de onda retangulares, para modos de propagação TE
e TM, aumentando a complexidade para cavidades (análise 3D). Após, estudou-se a reflexão
101
em paredes metálicas e a propagação em meios não homogêneos, com posterior análise de
problemas de difração (espalhamento). Nestes últimos, condições absorventes de contorno
simularam o espaço aberto, e comparações de desempenho entre algumas dessas condições
foram realizadas. O desenvolvimento dos algoritmos para problemas 3D, incluindo o uso de
condições absorventes de contorno, possibilitou o cálculo da impedância de dipolos finos.
Foram necessárias alterações na formulação FDTD básica que tornaram possível incluir a
espessura dos dipolos na análise.
O método FDTD mostrou-se eficiente na solução de problemas eletromagnéticos, pois
as comparações dos resultados numéricos com os analíticos apresentaram grande similari-
dade. Os resultados qualitativos foram consistentes e facilitam a compreensão da propagação
das ondas eletromagnéticas. Os principais erros apresentados pelo método estão associados
à densidade de malha utilizada. Apesar do uso de malhas com estrutura regular, existem
formulações para adaptação da malha a superfícies curvas, incluindo malhas com diferen-
tes estruturas. Como esse método é muito pesquisado, desenvolvimentos futuros deverão
superar muitos dos problemas ainda encontrados na atualidade.
A principal vantagem do uso de antenas e outros dispositivos eletromagnéticos para
hipertermia é a deposição de energia dentro do corpo humano sem o uso de equipamen-
tos invasivos, podendo ser aplicados externamente, resultando em tratamentos terapêuticos
menos traumáticos. Contudo, como as ondas eletromagnéticas aquecem eficientemente o
tecido biológico, a hipertermia com dispositivos invasivos também pode ser aplicada em
alguns tipos de câncer, como, por exemplo, o de próstata. Um dos maiores problemas as-
sociados ao uso de ondas eletromagnéticas deve-se ao aquecimento excessivo da superfície
do tecido, onde os campos próximos dos dispositivos são mais intensos. Outro problema é
que a maior parte do tecido biológico possui condutividade elétrica alta (já que são compos-
tos por água), atenuando consideravelmente as ondas eletromagnéticas, fazendo com que a
hipertermia fique restringida a tumores não muito profundos.
Quanto ao aquecimento superficial, uma camada de água para resfriamento égeralmente
empregada. Para a deposição de energia mais profundamente, podem ser usados conjunto de
antenas e operação em baixas freqüências.
A água tem papel fundamental na hipertermia por ondas eletromagnéticas. Refrigerada
adequadamente, evita o sobreaquecimento superficial do tecido. Permite também um acopla-
mento importante entre o(s) elemento(s) radiador(es) e o corpo, aumentando a transferência
102
de energia radiada. Além disso, propicia também a diminuição das dimensões da antena.
Estas dimensões são proporcionais à freqüência empregada. Desta forma, podem-se em-
pregar freqüências baixas e dispositivos não muito grandes. Um exemplo disso é a antena
corneta preenchida com água e operando em 433 MHz.
A análise dos dispositivos radiadores de energia eletromagnética começa com um ou
mais dipolos alimentados com a freqüência de 433 MHz. É discutida a importância da água
nos sistemas hipertérmicos e mostra-se claramente a maior eficiência do uso de um con-
junto de dois dipolos em oposição a um único. Este sistema simples pode ser empregado
para aquecimento de tumores a poucos centímetros de profundidade e com pequeno volume,
localizado na região entre os dipolos. A energia fica concentrada próxima ao ponto de ali-
mentação da antena, estendendo-se pelo seu comprimento. Para o aquecimento de grandes
áreas, o número de dipolos deve ser aumentado. No aquecimento de tumores dentro da caixa
torácica, pode-se utilizar, por exemplo, um conjunto de dipolos circundando o corpo, com
alimentação variável em fase e amplitude para concentração do foco de energia na região
desejada.
Para aquecer profundamente o tecido biológico, fisicamente é imprescindível o uso de
baixas freqüências. Antenas trabalhando nesta faixa de freqüências necessitam de grandes
dimensões para radiação eficiente de energia. Assim, antenas comuns não podem ser apli-
cadas. Uma solução é o uso de sistemas capacitivos, fazendo com que o tecido a ser aquecido
torne-se o dielétrico com perdas do capacitor. Nos sistemas comerciais, o paciente deita so-
bre uma das placas (cama metálica) e uma placa menor, presa a um braço móvel, é usada
para cobrir determinada superfície do corpo. A fim de produzir um sistema prático e flexível
destinado à aplicação em superfícies curvas, foi proposto um capacitor com pequenas placas
ortogonais. O dispositivo capacitivo foi comparado com a antena corneta, pois esta é muito
utilizada em hipertermia, principalmente por sua característica de radiar energia em toda
sua área frontal. Desta forma, mostrou-se a eficácia do sistema proposto para aquecimento
profundo.
Uma característica desejada nos dispositivoshipertérmicos é o aquecimento homogêneo
da área a ser tratada. Assim, a energia deve ser espalhada igualmente na área coberta pelo
dispositivo. Com esse objetivo, foram empregadas antenas planares, desenvolvidas para
aquecimento local e pouco profundo usando 915 MHz. A antena planar apresenta geometria
simples, compacta, facilidade de confecção e uma flexibilidade de projeto para obtenção de
103
uma radiação homogênea. Foram apresentadas duas antenas capazes de distribuir a energia
radiada em sua superfície. Conjuntos foram empregados para aumentar a área de cobertura
do aquecimento. Foi também proposta uma antena planar operando em 433 MHz, para
aquecimento mais profundo, sendo esta uma interessante opção para substituição da antena
corneta.
As simulações computacionais são um indicativo do que pode ser obtido. Na prática,
existeuma complexidademuito grande de fenômenos para a simulação, como o metabolismo
do organismo, o fluxo sangüíneo, a dependência dos parâmetros biológicos com a tempera-
tura, etc [26]. Assim, um sistema efetivo para hipertermia com ondas eletromagnéticas deve
incluir sensores de temperatura usados para ajustar a potência da(s) antena(s) transmissora(s)
de modo a controlar os níveis de exposição. O sistema deve também possibilitar a penetração
suficiente de energia e radiação homogênea na área a aquecer. Os projetos serão comandados
pelas características físicas da região a ser tratada.
6.1 Sugestões para Trabalhos Futuros
• Para que possam serestudadas geometrias complexas,com grande variações nas carac-
terísticas do meio, é imprescindível o uso de uma ferramenta para geração automática
de malhas com interações com um sistema de geração de imagens reais do corpo hu-
mano, como a tomografia computadorizada, por exemplo. Esta tarefa exige recursos
financeiros e ajuda mútua entre diferentes grupos de pesquisa;
• O projeto de dispositivosradiadores de energia com determinadas características exige
o uso de algoritmos de otimização. Estes algoritmos são importantes no desenvolvi-
mento de radiadores eficientes de energia eletromagnética, diminuindo o tempo de
projeto e permitindo a consideração de uma grande variedade de configurações;
• Um caso interessante de estudo é o tratamento para hipotermia, que é um problema
comum em regiõescom inverno muito rigoroso. Nesses casos, o corpo humano precisa
ser aquecido de dentro para fora para evitar a morte do indivíduo. Assim, um processo
de hipertermia por ondas eletromagnéticas na região torácica e abdominal pode ser
interessante. Outro caso pode ser a hipertermia de corpo inteiro, em que o aquecimento
superficial torna-se o fator preponderante;
104
• É necessário o desenvolvimento de um método para determinação precisa dos valores
das propriedades elétricas dos tecidos biológicos. Tais valores deveriam ser medidos
diretamente no corpo humano, sem o uso de tecidos mortos. Assim, os modelos com-
putacionais poderiam ser mais precisos;
• Sistemas capacitivos com placas moldáveis ao corpo, flexíveis, com tamanhos al-
teráveis e com ponto de alimentação variável seriam interessantes para análise. As
antenas planares podem também ser estudadas para operação em freqüências mais
baixas;
• O uso de dielétricos com alta permissividade elétrica relativa e alta condutividade tér-
mica pode ser uma alternativa ao uso da água nos sistemas hipertérmicos. Isto ajudaria
na redução das dimensões dos dispositivos radiadores e permitiria o uso de freqüências
mais baixas;
• É necessário o desenvolvimento de programas com a transformação campo
próximo/campo distante para uso no FDTD [52]. De forma a poder traçar diagra-
mas de radiação para as antenas. Bem como, o desenvolvimento de programas para a
geração precisa de ondas planas com qualquer ângulo de incidência dentro da malha
FDTD. Assim, permitindo o estudo preciso da difração e da reflexão em diferentes
objetos. É preciso também o desenvolvimento de programas para a modelagem de su-
perfícies curvas, eliminando uma das principais limitações do algoritmo FDTD básico.
• No processamento de problemas que exigem grande densidade de malha, o uso de sis-
temas paralelos com vários computadores é fundamental, permitindo resultados mais
rápidos. Assim, é importante o desenvolvimento de programas de paralelização para o
FDTD.
• Análise de medidas mais adequadas para a avaliação da distribuição de energia radiada
pelos diferentes dispositivos eletromagnéticos aplicados à hipertermia.
ANEXO 1 - Derivação do Critério de
Estabilidade
O objetivo deste anexo é descrever o critério de estabilidade para o FDTD, apresentado
em 1975 por Taflove e Brodwin [90].
Por conveniência, será considerada uma região normalizada do espaço com permeabi-
lidade magnética µ = 1, permissividade elétrica = 1, condutividade elétrica σ = 0 e
velocidade c = 1. As equações de Maxwell podem ser escritas como:
j∇ × (
H + j
E) =
∂
∂t
(
H + j
E) (7.1)
ou simplesmente,
j∇ ×
V =
∂
V
∂t
onde
V =
H + j
E e j =
√
−1 . (7.2)
A estabilidade de uma particular representação numérica de 7.2 pode ser examinada sim-
plesmente considerando o seguinte par de problemas de autovalores:
∂
∂t
numerico
V = λ
V (7.3)
j∇|
numerico
×
V = λ
V (7.4)
Usando a derivada numérica de (2.27) em (7.3), resulta em:
V
n+1/2
−
V
n−1/2
∆t
= λ
V
n
. (7.5)
Definindo um fator de crescimento para a solução, q =
V
n+1/2
/
V
n
, e substituindo em (7.5)
e resolvendo para q:
q =
λ∆t
2
±
1 +
λ∆t
2
2
. (7.6)
106
Para a estabilidade do algoritmo, o módulo de q deve ser menor ou igual a um, |q| ≤ 1, para
todos os possíveis modos espaciais na estrutura do FDTD. Para isto ocorrer
Re λ = 0 |Im λ| ≤
2
∆t
(7.7)
sendo
V (l, m, n) =
V
o
e
[j(k
x
l∆x+k
y
m∆y+k
z
n∆z)]
, (7.8)
representando um modo espacial arbitrário na estrutura. Usando a derivada numérica espa-
cial de (2.26) em (7.4), resulta
−2
sen(
1
2
k
x
∆x)
∆x
,
sen(
1
2
k
y
∆y)
∆y
,
sen(
1
2
k
z
∆z)
∆z
×
V (l, m, n) = λ
V (l, m, n) . (7.9)
Após realizar o produto cruzado e escrever as equações componentes x, y e z, o sistema
resultante é resolvido para λ
2
λ
2
= −4
sen
2
(
1
2
k
x
∆x)
∆x
2
+
sen
2
(
1
2
k
y
∆y)
∆y
2
+
sen
2
(
1
2
k
z
∆z)
∆z
2
. (7.10)
Para todos os possíveis valores de k
x
, k
y
e k
z
:
Re λ = 0 |Im λ| ≤ 2
1
∆x
2
+
1
∆y
2
+
1
∆z
2
(7.11)
Para satisfazer à condição de estabilidade (7.7) para qualquer modo espacial arbitrário na
estrutura é necessário que:
2
1
∆x
2
+
1
∆y
2
+
1
∆z
2
≤
2
∆t
. (7.12)
A condição de estabilidade do algoritmosegueimediatamente de (7.12). Em uma região
não homogênea do espaço, é difícil determinar um espectro de λ análogo a (7.11) para
todos os possíveis modos espaciais na estrutura. Para a estabilidade absoluta do algoritmo, a
Eq. 2.42 é suficiente porque representa o pior caso na escolha do ∆t [90].
ANEXO 2 - Programas em Matlab
c
Guia de Onda Retangular - Modo TE
%------------------------------------------------------------------------
%Cálculo dos modos de transmissão em um guia retangular preenchido com ar
%------------------------------------------------------------------------
%FDTD - Modo de propagação TE
%------------------------------------------------------------------------
%Guia retangular de 2cm x 1cm - malha quadrada
%------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------------------------
clear
a = 0.02; %largura do guia
b = 0.01; %altura do guia
N = 3000; %n
o
de iterações
I = 20; %n
o
de células na horizontal
J = 10; %n
o
de células na vertical
D = b/J; %Delta_x = Delta_y, altura vert = horizontal = 1 mm
u_o = 4*pi*1e-7; %permeabilidade magnética do vácuo
e_o = 8.854e-12; %permissividade elétrica do vácuo
c = 1/(sqrt(u_o*e_o)); %velocidade da luz
D_t = 0.95*D/(c*sqrt(2)); %condição de estabilidade
%------------------------------------------------------------------------
%Inicialização das variáveis de campo - Modo TE
%Incluindo condições de contorno
%------------------------------------------------------------------------
Hz = zeros(I,J);
Ex = zeros(I,J+1);
Ey = zeros(I+1,J);
%------------------------------------------------------------------------
%Excitação -> Impulso em Hz(1,1), t=0
Hz(1,1) = 1;
%------------------------------------------------------------------------
%variáveis auxiliares
A = D_t/(e_o*D);
B = D_t/(u_o*D);
%------------------------------------------------------------------------
%Calculo dos campos
for n=1:N
%Cálculo de Ex
for i=1:I
for j=2:J
Ex(i,j) = Ex(i,j) + A*(Hz(i,j) - Hz(i,j-1));
end
end
%Cálculo de Ey
for i=2:I
for j=1:J
Ey(i,j) = Ey(i,j) - A*(Hz(i-1,j) - Hz(i,j));
end
end
108
%Cálculo de Hz
for i=1:I
for j=1:J
Hz(i,j) = Hz(i,j) + B*(Ex(i,j+1) - Ex(i,j) - Ey(i,j) + Ey(i+1,j));
end
end
%Salva dados como o passar do tempo, de um ponto escolhido como saída
H(n) = Hz(13,9);
n
end%N
%------------------------------------------------------------------------
Espalhamento 3D
%------------------------------------------------------------------------
% FDTD 3D - malha cúbica 20x20x20 - ABC MUR 1
o
ordem
% Excitacao Pulso Gaussiano
%------------------------------------------------------------------------
clear
%------------------------------------------------------------------------
N = 100;%n
o
de iterações
I = 20; %n
o
de células em x
J = 20; %n
o
de células em y
K = 20; %n
o
de células em z
u_o = 4*pi*1e-7; %permeabilidade elétrica do vácuo
e_o = 8.854e-12; %permissividade elétrica do vácuo
c = 1/(sqrt(u_o*e_o)); %velocidade da luz no vácuo
D = 0.0001; %Delta (largura, altura da célula FDTD)
D_t = 0.9*D/(sqrt(3)*c); %critério de estabilidade
%------------------------------------------------------------------------
%Excitacao Pulso Gaussiano
t = 0:D_t:100*D_t;
d = 50*D_t;%deslocamento do pulso (D=0 centrado em t=0)
L = 50*D_t;%largura do pulso gaussiano
Pg = exp(-18*(t-d)/L).^2);
%plot(Pg)
%------------------------------------------------------------------------
%variáveis auxiliares
A = D_t/(e_o*D);
B = D_t/(u_o*D);
C = (c*D_t - D)/(c*D_t + D);
%------------------------------------------------------------------------
%Inicialização das variáveis de campo
Hx = zeros(I+1,J,K); Ex = zeros(I,J+1,K+1);
Hy = zeros(I,J+1,K); Ey = zeros(I+1,J,K+1);
Hz = zeros(I,J,K+1); Ez = zeros(I+1,J+1,K);
%variáveis para ABC - ed ->esq. dir. - fp ->front. post. - is ->inf. sup.
Ex_ed = zeros(I,4,K+1); Ey_fp = zeros(4,J,K+1); Ez_ed = zeros(I+1,4,K);
Ex_is = zeros(I,J+1,4); Ey_is = zeros(I+1,J,4); Ez_fp = zeros(4,J+1,K);
%------------------------------------------------------------------------
%------------------------------------------------------------------------
for n=1:N
%---------------------------------------------------------------------
%Excitacao linha em Hz - sem contato com a ABC
if n < length(Pg)
Hz(1,1,2:K) = Pg(n);
end
%---------------------------------------------------------------------
%passagem temporal - para ABC
%---------------------------------------------------------------------
Ex_ed(:,1:4,:) = Ex(:,[1:2 J:J+1],:);
Ex_is(:,:,1:4) = Ex(:,:,[1:2 K:K+1]);
109
%---------------------------------------------------------------------
Ey_fp(1:4,:,:) = Ey([1:2 I:I+1],:,:);
Ey_is(:,:,1:4) = Ey(:,:,[1:2 K:K+1]);
%---------------------------------------------------------------------
Ez_ed(:,1:4,:) = Ez(:,[1:2 J:J+1],:);
Ez_fp(1:4,:,:) = Ez([1:2 I:I+1],:,:);
%---------------------------------------------------------------------
%Cálculo de Ex
Ex(1:I,2:J,2:K) = Ex(1:I,2:J,2:K) + A*(Hz(1:I,2:J,2:K)...
- Hz(1:I,1:J-1,2:K) - Hy(1:I,2:J,2:K) + Hy(1:I,2:J,1:K-1));
%Cálculo de Ey
Ey(2:I,1:J,2:K) = Ey(2:I,1:J,2:K) + A*(Hx(2:I,1:J,2:K)...
- Hx(2:I,1:J,1:K-1) - Hz(2:I,1:J,2:K) + Hz(1:I-1,1:J,2:K));
%Cálculo de Ez
Ez(2:I,2:J,1:K) = Ez(2:I,2:J,1:K) + A*(Hy(2:I,2:J,1:K)...
- Hy(1:I-1,2:J,1:K) - Hx(2:I,2:J,1:K) + Hx(2:I,1:J-1,1:K));
%---------------------------------------------------------------------
%ABC Ex
%---------------------------------------------------------------------
%esq e dir
Ex(1:I,[1 J+1],1:K+1) = Ex_ed(1:I,[2 3],1:K+1) + C*(Ex(1:I,[2 J],1:K+1)...
- Ex_ed(1:I,[1 4],1:K+1));
%inf e sup
Ex(1:I,1:J+1,[1 K+1]) = Ex_is(1:I,1:J+1,[2 3]) + C*(Ex(1:I,1:J+1,[2 K])...
- Ex_is(1:I,1:J+1,[1 4]));
%---------------------------------------------------------------------
%ABC Ey
%---------------------------------------------------------------------
%front e post
Ey([1 I+1],1:J,1:K+1) = Ey_fp([2 3],1:J,1:K+1) + C*(Ey([2 I],1:J,1:K+1)...
- Ey_fp([1 4],1:J,1:K+1));
%inf e sup
Ey(1:I+1,1:J,[1 K+1]) = Ey_is(1:I+1,1:J,[2 3]) + C*(Ey(1:I+1,1:J,[2 K])...
- Ey_is(1:I+1,1:J,[1 4]));
%---------------------------------------------------------------------
%ABC Ez
%---------------------------------------------------------------------
%esq e dir
Ez(1:I+1,[1 J+1],1:K) = Ez_ed(1:I+1,[2 3],1:K) + C*(Ez(1:I+1,[2 J],1:K)...
- Ez_ed(1:I+1,[1 4],1:K));
%front e post
Ez([1 I+1],1:J+1,1:K) = Ez_fp([2 3],1:J+1,1:K) + C*(Ez([2 I],1:J+1,1:K)...
- Ez_fp([1 4],1:J+1,1:K));
%---------------------------------------------------------------------
%Cálculo de Hx
Hx(2:I,1:J,1:K) = Hx(2:I,1:J,1:K) + B*(Ey(2:I,1:J,2:K+1)...
- Ey(2:I,1:J,1:K) - Ez(2:I,2:J+1,1:K) + Ez(2:I,1:J,1:K));
%---------------------------------------------------------------------
%Cálculo de Hy
Hy(1:I,2:J,1:K) = Hy(1:I,2:J,1:K) + B*(Ez(2:I+1,2:J,1:K)...
- Ez(1:I,2:J,1:K) - Ex(1:I,2:J,2:K+1) + Ex(1:I,2:J,1:K));
%---------------------------------------------------------------------
%Cálculo de Hz
Hz(1:I,1:J,2:K) = Hz(1:I,1:J,2:K) + B*(Ex(1:I,2:J+1,2:K)...
- Ex(1:I,1:J,2:K) - Ey(2:I+1,1:J,2:K) + Ey(1:I,1:J,2:K));
%---------------------------------------------------------------------
n
end%N
%------------------------------------------------------------------------
H(1:I,1:J) = (Hz(1:I,1:J,11));
contour(H,50);
ANEXO 3 - Parâmetros da Equação de
Cole-cole de 4
o
Ordem
A equação de Cole-cole de 4
o
ordem para a permissividade complexa de um meio dis-
persivo é dada por:
∗
r
(ω) =
∞
+
4
n=1
∆
n
1 + (jωτ
n
)
(1−α
n
)
+
σ
s
jω
o
. (9.1)
onde
∞
é a permissividade infinita,
s
n
é a permissividade estática (∆
n
=
∞
−
s
n
), τ
n
é o
tempo de relaxação e σ
s
é a condutividade estática.
Na Tab. 9.1 são dados os valores das constantes da equação de Cole-cole de 4
o
ordem
para tecidos biológicos humanos [26].
Tabela 9.1: Constantes da Eq. 9.1 para tecidos biológicos humanos.
Tecido
∞
∆
1
τ
1
(ps) α
1
∆
2
τ
2
(ns) α
2
∆
3
τ
3
(µs) α
3
∆
4
τ
4
(ms) α
4
σ
s
aorta 4,0 40 8,842 0,10 50 3,183 0,10 1,0e5 159,155 0,20 1,0e7 1,592 0,00 0,25
baço 4,0 48 7,958 0,10 2500 63,662 0,15 2,0e5 265,258 0,25 5,0e7 6,366 0,00 0,03
bexiga 2,5 16 8,842 0,10 400 159,155 0,10 1,0e5 159,155 0,20 1,0e7 15,915 0,00 0,20
cartilagem 4,0 38 13,263 0,15 2500 144,686 0,15 1,0e5 318,310 0,10 4,0e7 15,915 0,00 0,15
cerebelo 4,0 40 7,958 0,10 700 15,915 0,15 2,0e5 106,103 0,22 4,5e7 5,305 0,00 0,04
cérebro (fluido
espinhal)
4,0 65 7,958 0,10 40 1,592 0,00 0,0e0 159,155 0,00 0,0e0 15,915 0,00 2,00
cérebro
matéria branca
4,0 32 7,958 0,10 100 7,958 0,10 4,0e4 53,052 0,30 3,5e7 7,958 0,02 0,02
cérebro
matéria cinza
4,0 45 7,958 0,10 400 15,915 0,15 2,0e5 106,103 0,22 4,5e7 5,305 0,00 0,02
cervical 4,0 45 7,958 0,10 200 15,915 0,10 1,5e5 106,103 0,18 4,0e7 1,592 0,00 0,30
cólon 4,0 50 7,958 0,10 3000 159,155 0,20 1,0e5 159,155 0,20 4,0e7 1,592 0,00 0,01
coração 4,0 50 7,958 0,10 1200 159,155 0,05 4,5e5 72,343 0,22 2,5e7 4,547 0,00 0,05
córnea 4,0 48 7,958 0,10 4000 159,155 0,05 1,0e5 15,915 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,40
córtex da lente 4,0 42 7,958 0,10 1500 79,577 0,10 2,0e5 159,155 0,10 4,0e7 15,915 0,00 0,30
dura mater 4,0 40 7,958 0,15 200 7,958 0,10 1,0e4 159,155 0,20 1,0e6 15,915 0,00 0,50
esclerótica 4,0 50 7,958 0,10 4000 159,155 0,10 1,0e5 159,155 0,20 5,0e6 15,915 0,00 0,50
estômago 4,0 60 7,958 0,10 2000 79,577 0,10 1,0e5 159,155 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,50
111
Tecido
∞
∆
1
τ
1
(ps) α
1
∆
2
τ
2
(ns) α
2
∆
3
τ
3
(µs) α
3
∆
4
τ
4
(ms) α
4
σ
s
fígado 4,0 39 8,842 0,10 6000 530,516 0,20 5,0e4 22,736 0,20 3,0e7 15,915 0,05 0,020
gordura média
infiltrada
2,5 9 7,958 0,20 35 15,915 0,10 3,3e4 159,155 0,05 1,0e7 15,915 0,01 0,035
gordura
não-infiltrada
2,5 3 7,958 0,20 15 15,915 0,10 3,3e4 159,155 0,05 1,0e7 7,958 0,01 0,01
gordura do seio 2,5 3 17,680 0,10 15 63,660 0,10 5,0e4 454,700 0,10 2,0e7 13,260 0,00 0,01
humor vítreo 4,0 65 7,234 0,00 30 159,155 0,10 0,0e0 159,155 0,00 0,0e0 15,915 0,00 1,50
intestino
delgado
4,0 50 7,958 0,10 10000 159,155 0,10 5,0e5 159,155 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,50
língua 4,0 50 7,958 0,10 4000 159,155 0,10 1,0e5 159,155 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,25
líquido biliar 4,0 66 7,579 0,05 50 1,592 0,00 0,0e0 159,155 0,20 0,0e0 15,915 0,20 1,40
medula óssea
infiltrada
2,5 9 14,469 0,20 80 15,915 0,10 1,0e4 1591,549 0,10 2,0e6 15,915 0,10 0,10
medula óssea
não-infiltrada
2,5 3 7,958 0,20 25 15,915 0,10 5,0e3 1591,549 0,10 2,0e6 15,915 0,10 0,01
músculo fibra
paralela
4,0 50 7,234 0,10 7000 353,678 0,10 1,2e6 318,310 0,10 2,5e7 2,274 0,00 0,20
nervo 4,0 26 7,958 0,10 500 106,103 0,15 7,0e4 15,915 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,006
núcleo da lente 3,0 32 8,842 0,10 100 10,610 0,20 1,0e3 15,915 0,20 5,0e3 15,915 0,00 0,20
osso cortical 2,5 10 13,263 0,20 180 79,577 0,20 5,0e3 159,155 0,20 1,0e5 15,915 0,00 0,02
osso esponjoso 2,5 18 13,263 0,22 300 79,577 0,25 2,0e4 159,155 0,20 2,0e7 15,915 0,00 0,07
ovário 4,0 40 8,842 0,15 400 15,915 0,25 1,0e5 159,155 0,27 4,0e7 15,915 0,00 0,30
pele seca 4,0 32 7,234 0,00 1100 32,481 0,20 0,0e0 159,155 0,20 0,0e0 15,915 0,20 0,00
pele úmida 4,0 39 7,958 0,10 280 79,577 0,00 3,0e4 1,592 0,16 3,0e4 1,592 0,20 0,00
pulmão
desinflado
4,0 45 7,958 0,10 1000 159,155 0,10 5,0e5 159,155 0,20 1,0e7 15,915 0,00 0,20
pulmão inflado 2,5 18 7,958 0,10 500 63,662 0,10 2,5e5 159,155 0,20 4,0e7 7,958 0,00 0,03
rim 4,0 47 7,958 0,10 3500 198,944 0,22 2,5e5 79,577 0,22 3,0e7 4,547 0,00 0,05
sangue 4,0 56 8,377 0,10 5200 132,629 0,10 0,0e0 159,155 0,20 0,0e0 15,915 0,00 0,70
tendão 4,0 42 12,243 0,10 60 6,366 0,10 6,0e4 318,310 0,22 2,0e7 1,326 0,00 0,25
testículo 4,0 55 7,958 0,10 5000 159,155 0,10 1,0e5 159,155 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,40
tireóide 4,0 55 7,958 0,10 2500 159,155 0,10 1,0e5 159,155 0,20 4,0e7 15,915 0,00 0,50
traquea 2,5 38 7,958 0,10 400 63,662 0,10 5,0e4 15,915 0,20 1,0e6 15,915 0,00 0,30
útero 4,0 55 7,958 0,10 800 31,831 0,10 3,0e5 159,155 0,20 3,5e7 1,061 0,00 0,20
visícula biliar 4,0 55 7,579 0,05 40 1,592 0,00 1,0e3 159,155 0,20 1,0e4 15,915 0,00 0,90
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