( PDF ) Álgebras de Hopf em teorias quânticas deformadas

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Tese de Doutorado

Algebras de Hopf em

Teorias Quˆanticas Deformadas

Paulo Guilherme Santos Couto de Castro

Orientador: Francesco Toppan

Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas

Coordena¸c˜ao de F´ısica Te´orica

Rio de Janeiro

Agosto de 2010

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Τοῖς ζητοῦσὶ τι πρᾶγμα ἤ εὕρεσιν ἐπακολουθεῖν εἰκὸς ἤ ἄρνησιν

εὑρέσεως καὶ ἀκαταληψίας ὁμολογίαν ἤ ἐπιμονὴν ζητήσεως.

Sexto Emp´ırico

Para Isabel

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Sum´ario

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Introdu¸c˜ao 1

Algebras de Hopf e Drinfel’d Twist 5

1.1

Algebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Drinfel’d Twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Algebra Universal Envelopante e seu Drinfel’d Twist . . . . . 20

Algebras de Heisenberg Bosˆonicas: Primeira e Segunda Quan-

tiza¸c˜oes 27

2.1

Algebra de Heisenberg Deformada . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Segunda Quantiza¸c˜ao e Osciladores de

Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3

Algebras de Heisenberg Estendidas . . . . . . . . . . . . . . . 42

Algebras de Heisenberg Fermiˆonicas e Mecˆanica Quˆantica

Supersim´etrica Deformada 45

3.1

Algebra de Heisenberg Fermiˆonica e

Algebra de Supersimetria

Unidimensional N -estendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Representa¸c˜ao de superespa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.1 O caso N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2.2 O caso N = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Conclus˜ao 65

Referˆencias 67

iii

Agradecimentos

Ao meu Doktorvater Francesco Toppan, pelo muito que me ensinou, por

sua disponibilidade, generosidade e paciˆencia.

Aos Professores Biswajit Chakraborty e Zhanna Kuznetsova, pela praze-

rosa e produtiva colabora¸c˜ao cient´ıﬁca.

Ao Professor Mario Novello, pela acolhida em meus primeiros tempos no

CBPF.

Aos meus colegas, em especial Ricardo Kullock, Rodrigo Maier e Thiago

Guerreiro, pela amizade e agrad´aveis conv´ıvio e intercˆambio de ideias.

A minha fam´ılia e aos meus amigos, fontes inesgot´aveis de est´ımulo e

apoio.

Aos funcion´arios do CBPF, pela presteza em ajudar sempre.

O autor contou com bolsa do CNPq.

Resumo

Neste trabalho faremos uso da teoria de Drinfel’d de deforma¸c˜ao de ´algebras

de Hopf para estudar teorias quˆanticas deformadas.

Demonstramos que, identiﬁcando-se corretamente o papel da extens˜ao

central da ´algebra de Heisenberg, ´e poss´ıvel construir sua ´algebra universal

envelopante e deform´a-la por meio do Drinfel’d twist, obtendo-se uma teoria

n˜ao comutativa. No formalismo de segunda quantiza¸c˜ao, mostramos que

a estrutura de ´algebra de Hopf da ´algebra de Heisenberg (n˜ao deformada

e deformada) pode ser obtida a partir da ´algebra de Hopf dos campos e

osciladores de Schr¨odinger, desde que eles sejam considerados como geradores

da super´algebra osp(1|2).

Estudamos a deforma¸c˜ao da ´algebra de Heisenberg fermiˆonica e apresen-

tamos uma identiﬁca¸c˜ao com a ´algebra da mecˆanica quˆantica supersim´etrica

unidimensional N -estendida, poss´ıvel para N par. Apresentamos ainda uma

segunda constru¸c˜ao para a deforma¸c˜ao da mecˆanica quˆantica supersim´etrica

unidimensional N -estendida, por meio da representa¸c˜ao de superespa¸co, em

que os geradores de supersimetria s˜ao realizados em termos de operadores da

super´algebra universal envelopante de um oscilador bosˆonico e m´ultiplos os-

ciladores fermiˆonicos. Para as duas constru¸c˜oes, recuperamos, num contexto

mais geral, resultados de cliﬀordiza¸c˜ao conhecidos na literatura.

Abstract

In this work we apply the Drinfel’d twist of Hopf algebras to the study of

deformed quantum theories.

We prove that, by carefully considering the role of the central exten-

sion, it is indeed possible to construct the universal enveloping algebra of

the Heisenberg algebra and deform it by means of a Drinfel’d twist, which

yields a noncommutative theory. Furthermore, we show that in the second-

quantisation formalism the Hopf-algebra structure of the Heisenberg algebra

(both undeformed and deformed) can be obtained from the Hopf algebra of

the Schr¨odinger ﬁelds and oscillators, as long as they are taken to be odd

generators of the osp(1|2) superalgebra.

We study the deformation of the fermionic Heisenberg algebra and pre-

sent an identiﬁcation with the algebra of the one-dimensional N -extended

supersymmetric quantum mechanics, possible for even N . A second construc-

tion for the deformation of the one-dimensional N -extended supersymmetric

quantum mechanics is presented in the superspace representation, where the

supersymmetry generators are realised in terms of operators belonging to

the universal enveloping superalgebra of one bosonic and several fermionic

oscillators. In both constructions we recover, in a more general setting, some

Cliﬀordization results of the literature.

Introdu¸c˜ao

As divergˆencias aﬂigem a mecˆanica quˆantica desde os seus prim´ordios [1].

A possibilidade de resolver-se o problema das divergˆencias introduzindo-se

um comprimento fundamental como regulador ultravioleta natural foi pri-

meiro aventada por Heisenberg [2]. A ideia, inspirada na pr´opria rela¸c˜ao de

incerteza momento-posi¸c˜ao, ´e a de que, em escalas menores que a distˆancia

elementar, os conceitos de ponto e instante deixem de fazer sentido, sendo

substitu´ıdos por uma no¸c˜ao difusa de espa¸co-tempo. A maneira mais simples

de implementar a n˜ao comutatividade do espa¸co-tempo ´e por meio de uma

rela¸c˜ao do tipo

, x

] = iθ

µν

com θ

µν

uma matriz antissim´etrica constante. Esta rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao

induz a rela¸c˜ao de incerteza

∆x

≥

|θ

µν

com |θ

µν

| da ordem de grandeza do quadrado da distˆancia elementar.

Um candidato natural para este comprimento (ver [3], [4]) ´e o chamado

comprimento de Planck





G

que combina as constantes fundamentais da natureza (constante de Newton

G, constante de Planck  e velocidade da luz c) de modo dimensionalmente

apropriado. Por tratar-se de uma constante da natureza, e n˜ao de um corte

imposto pela m˜ao do homem, este regulador ultravioleta seria extremamente

benvindo na teoria quˆantica.

No entanto, ´e imediato ver que uma teoria deste tipo ´e manifestamente

n˜ao covariante de Lorentz. Com efeito, as coordenadas x

transformam-se

como vetores enquanto θ

µν

´e constante em todos os referenciais.

A ﬁm de evitar esta inconveniˆencia, Snyder introduziu em [5] a rela¸c˜ao

de comuta¸c˜ao

, x

] = iθ(x

− x

que ´e claramente covariante sob transforma¸c˜oes de Lorentz. No entanto, pro-

vavelmente devido tanto `a falha em realizar predi¸c˜oes experimentais acuradas

quanto ao grande sucesso das t´ecnicas de renormaliza¸c˜ao, esta proposta re-

cebeu pouca aten¸c˜ao `a ´epoca. Assim, a teoria quˆantica com espa¸co-tempo

n˜ao comutativo passou por um per´ıodo longo de ostracismo.

O interesse ressurgiu com Seiberg e Witten [6], que mostraram que a te-

oria de cordas, num certo limite de baixas energias, pode ser realizada como

uma teoria quˆantica de campos efetiva num espa¸co-tempo n˜ao comutativo.

Tal ressurgimento foi tamb´em, em grande medida, propiciado pelos desen-

volvimentos matem´aticos ocorridos na d´ecada de 80, como veremos a seguir.

Desde ent˜ao, teorias n˜ao comutativas tˆem sido ´area de intensa pesquisa, e

para revis˜ao do assunto indicamos, e.g., [7], [8] e [9].

Os desenvolvimentos matem´aticos a que nos referimos acima foi a in-

trodu¸c˜ao do conceito de grupo quˆantico por Drinfel’d ([10], [11]) e Jimbo

[12], inicialmente no contexto de sistemas quˆanticos integr´aveis. A ideia ´e

que, se a estrutura do espa¸co-tempo ´e deformada, os grupos de simetria que

agem sobre ele n˜ao podem deixar de sˆe-lo. No entanto, grupos e ´algebras de

Lie, que implementam as simetrias, s˜ao objetos ditos r´ıgidos, ou seja, insus-

cet´ıveis de deforma¸c˜ao. Portanto, para pˆor em pr´atica o programa de defor-

mar os grupos de simetria foi necess´ario lan¸car m˜ao das ´algebras de Hopf,

nascidas muito antes no seio da topologia alg´ebrica [13] e tema de interesse

dos matem´aticos desde ent˜ao (ver os cl´assicos [14], [15] e, mais recentemente,

[16]).

As ´algebras de Hopf fornecem, portanto, o cen´ario matem´atico adequado

para empreender o estudo dos grupos quˆanticos. O assunto ´e imensamente

vasto e ramiﬁcado, e encontra-se bem exposto, por exemplo, em [17] e [18].

Para uma interessante coletˆanea de artigos pioneiros, ver [19].

Este formalismo permitiu, por exemplo, reconciliar a n˜ao comutatividade

com a covariˆancia de Lorentz: em [20], o problema ´e sanado considerando-

se o espa¸co comutativo subjacente (portanto manifestamente covariante de

Lorentz) dotado de um produto deformado, produto este que ´e implementado

por meio de um Drinfel’d twist.

Neste trabalho, aplicaremos a maquinaria das ´algebras de Hopf e do Drin-

fel’d twist `as ´algebras de Heisenberg bosˆonicas e fermiˆonicas. No cap´ıtulo

1, expomos (sucintamente) a teoria b´asica geral das ´algebras de Hopf e do

Drinfel’d twist e, em particular, como aplic´a-la `a ´algebra universal envelo-

pante de uma ´algebra de Lie. No cap´ıtulo 2, inicialmente mostramos que,

a despeito de aﬁrma¸c˜oes em contr´ario, ´e, sim, poss´ıvel construir a ´algebra

universal envelopante da ´algebra de Heisenberg dotada de uma estrutura de

´algebra de Hopf, e estudamos sua deforma¸c˜ao tanto no contexto de primeira

quantiza¸c˜ao quanto no contexto em que ela ´e realizada por meio de obje-

tos bilineares integrados dos campos e osciladores de Schr¨odinger (segunda

quantiza¸c˜ao), o que ´e feito lan¸cando-se m˜ao dos osciladores de Wigner. No

cap´ıtulo 3, estudamos a deforma¸c˜ao da ´algebra de Heisenberg fermiˆonica

e apresentamos uma identiﬁca¸c˜ao com a ´algebra da mecˆanica quˆantica su-

persim´etrica unidimensional N -estendida, poss´ıvel para valores pares de N .

Estudamos tamb´em a deforma¸c˜ao da mecˆanica quˆantica supersim´etrica em

sua representa¸c˜ao de superespa¸co (poss´ıvel para qualquer N ), recuperando,

num contexto mais geral, alguns resultados da literatura pr´evia de teorias

n˜ao anticomutativas com viola¸c˜ao da regra de Leibniz ([21], [22]).

Os resultados originais desta tese encontram-se em [23] e [24].

Cap´ıtulo 1

Algebras de Hopf e Drinfel’d

Twist

Neste cap´ıtulo faremos uma breve exposi¸c˜ao das estruturas matem´aticas que

ser˜ao necess´arias ao entendimento dos cap´ıtulos subsequentes.

1.1

Algebras de Hopf

Considere um espa¸co vetorial A sobre um corpo k e os mapas k-lineares

µ : A ⊗ A → A e η : k → A. Chamamos (A, µ, η), ou simplesmente A, uma

´algebra associativa com unidade (ou unital) se os diagramas

A ⊗ A ⊗ A

id⊗µ



µ⊗id



A ⊗ A



A ⊗ A



k ⊗ A

η⊗id





A ⊗ A



A ⊗ k



id⊗η



comutarem.

O mapa µ ´e chamado de multiplica¸c˜ao e o mapa η de unidade, e µ e

η s˜ao chamados estruturas ou mapas estruturais da ´algebra. Denotamos

µ(a ⊗ b) = a · b (a, b ∈ A). O primeiro diagrama corresponde `a propriedade

da associatividade, que tamb´em pode ser expressa como

(a · b) · c = a · (b · c), (1.1)

a, b, c ∈ A.

O segundo diagrama garante a existˆencia da unidade `a esquerda e `a direita

1 em A , com η(1) = 1 (1, evidentemente, ´e a unidade em k).

A no¸c˜ao de co´algebra (ou c´ogebra) pode ser introduzida de forma natural

dualizando-se (no sentido de teoria de categorias [25]) as deﬁni¸c˜oes acima.

Em particular, o sentido das setas dos diagramas deve ser invertido. Assim

sendo, considere um espa¸co vetorial C sobre o corpo k e os mapas k-lineares

∆ : C → C ⊗ C e  : C → k. Chamamos (C, ∆, ), ou por simplicidade C,

uma co´algebra se os diagramas

C ⊗ C ⊗ C C ⊗ C

id⊗∆



C ⊗ C

∆⊗id



∆



∆



k ⊗ C

C ⊗ C

⊗id



id⊗







∆



C ⊗ k

comutarem.

O mapa ∆ ´e chamado de coproduto ou comultiplica¸c˜ao e o mapa  cou-

nidade, sendo ∆ e  conhecidos como coestruturas ou mapas coestruturais

da co´algebra. Conv´em aqui introduzir a nota¸c˜ao de Sweedler (ver [14]), ou

nota¸c˜ao sigma, que consiste em suprimir os ´ındices de soma na express˜ao do

coproduto, isto ´e,

∆(a) =



)

⊗ (a

)

≡ a

⊗ a

, (1.2)

a ∈ C.

A propriedade correspondente ao primeiro diagrama ´e conhecida como

coassociatividade, e equivale `a express˜ao

∆(a

) ⊗ a

= a

⊗ ∆(a

), (1.3)

enquanto a propriedade de counitariedade contida no segundo diagrama ´e

garantida por (1) = 1, onde evidentemente denotamos por 1 a unidade em

C e por 1 a unidade em k, valendo a rela¸c˜ao

(a

) ⊗ a

= a

⊗ (a

). (1.4)

Usamos a nota¸c˜ao µ

, η

, 1

e ∆

, 

para situa¸c˜oes em que h´a v´arias

´algebras ou c´ogebras, omitindo o subscrito quando n˜ao houver risco de con-

fus˜ao.

Sejam agora A e

A ´algebras e h : A →

A um mapa linear. Dizemos

que h ´e um homomorﬁsmo de ´algebras se ele for multiplicativo e preservar a

unidade, isto ´e, os diagramas

A ⊗ A

h⊗h





A ⊗





b



comutarem.

Tais condi¸c˜oes podem ser expressas, respectivamente, como

h(a · b) = h(a)

·h(b) (1.5)

h(1

) = 1

(1.6)

onde a, b ∈ A, · ´e a multiplica¸c˜ao em A e

· a multiplica¸c˜ao em

Analogamente, para C e

C co´algebras, um mapa linear g : C →

C ´e

dito um homomorﬁsmo de co´algebras se ele for comultiplicativo e preservar

a counidade, isto ´e, os diagramas

C ⊗ C

g⊗g



C ⊗



∆



∆











Ð

comutarem.

A informa¸c˜ao contida nos diagramas pode ser escrita simplesmente como

∆

(g(c)) = g(c

) ⊗ g(c

) (1.7)



(g(1

)) = 1, (1.8)

onde c ∈ C e c

⊗ c

= ∆

(c).

Seja agora (B, µ, η) uma ´algebra sobre k e (B, ∆, ) uma co´algebra sobre

k. Chamamos (B, µ, η, ∆, ), ou simplesmente B, uma bi´algebra (ou b´ıgebra)

se as estruturas µ e η e as coestruturas ∆ e  forem compat´ıveis, isto ´e, µ e η

forem homomorﬁsmos de co´algebra e ∆ e  forem homomorﬁsmos de ´algebra.

A compatibilidade entre estruturas e coestruturas exprime-se diagrama-

ticamente como a comutatividade dos diagramas

B ⊗ B



∆⊗∆



∆



B ⊗ B

B ⊗ B ⊗ B ⊗ B

id⊗τ⊗id



B ⊗ B ⊗ B ⊗ B,

µ⊗µ



∆



B ⊗ B





k ⊗ k,

η⊗η



B ⊗ B



⊗







k ⊗ k













com τ : a ⊗ b → b ⊗ a o chamado mapa de troca ou transposi¸c˜ao.

Em f´ormulas, o conte´udo dos diagramas ´e, respectivamente,

∆(a · b) = a

· b

⊗ a

· b

(1.9)

∆(1) = 1 ⊗ 1 (1.10)

(a · b) = (a)(b) (1.11)

(1) = 1, (1.12)

onde a, b ∈ B e a multiplica¸c˜ao em k ´e indicada pela simples justaposi¸c˜ao.

Essas express˜oes ser˜ao muito usadas no decorrer desta tese.

Seja agora A uma ´algebra e C uma co´algebra. Tomemos Hom(C, A) (C

e A como espa¸cos vetoriais). Deﬁnimos, para f, g ∈ Hom(C, A), a opera¸c˜ao

de convolu¸c˜ao

f ∗ g = µ

(f ⊗ g)∆

. (1.13)

Hom(C, A) tem uma estrutura natural de ´algebra com mapas estruturais

dados por

Hom(C,A)

(f ⊗ g) = f ∗ g (1.14)

Hom(C,A)

(λ) = λη

◦ 

, (1.15)

λ ∈ k.

Considere agora H uma bi´algebra. Se existir S ∈ Hom(H, H) tal que

S ∗ 1

Hom(H,H)

= 1

Hom(H,H)

∗ S = η

◦ 

, (1.16)

(H, µ, η, ∆, , S), ou por simplicidade H, ´e uma ´algebra de Hopf. O elemento

S : H → H ´e chamado de ant´ıpoda ou coinversa. Se existir, tal elemento ser´a

´unico, o que decorre diretamente de ser uma inversa `a esquerda e `a direita.

A equa¸c˜ao (1.16) ´e, aplicando-se a deﬁni¸c˜ao de convolu¸c˜ao, equivalente a

µ ◦ (S ⊗ id) ◦ ∆ = µ(id ⊗ S)∆ = η ◦ , (1.17)

de modo que a deﬁni¸c˜ao de ´algebra de Hopf pode ser apreendida pela comu-

tatividade do diagrama

H ⊗ H

S⊗id



H ⊗ H



∆







∆





H ⊗ H

id⊗S



H ⊗ H



Como consequˆencia direta da deﬁni¸c˜ao, S ´e um antiautomorﬁsmo de H

e valem, para a, b ∈ H,

S(a · b) = S(b) · S(a) (1.18)

S(1) = 1 (1.19)

(S(a)) = (a) (1.20)

∆(S(a)) = a

⊗ a

. (1.21)

Se S

= 1

Hom(H,H)

= id

, H ´e dita involutiva. Em particular, se H ´e

comutativa ou cocomutativa (τ ◦ ∆ = ∆), ent˜ao H ´e involutiva.

Voltamos agora nossa aten¸c˜ao para a quest˜ao das representa¸c˜oes de uma

´algebra de Hopf, que ser˜ao dadas pela a¸c˜ao de H (aqui encarada simplesmente

como ´algebra) sobre um m´odulo.

Seja M um k-m´odulo (i.e., um espa¸co vetorial; para maiores detalhes, ver

o cap´ıtulo 12 de [26]) e H uma ´algebra. Dizemos que M ´e um H-m´odulo `a

esquerda se existir um mapa linear

α : H ⊗ M → M

tal que os diagramas

H ⊗ H ⊗ M

id⊗α



µ⊗id



H ⊗ M



H ⊗ M



k ⊗ M

η⊗id





H ⊗ M





comutam.

O mapa α ´e chamado uma a¸c˜ao `a esquerda de H sobre M e o par (α, M)

uma representa¸c˜ao de H.

Equivalentemente aos diagramas, podemos dizer que o mapa

ρ : H → End(M)

h → α(h ⊗ −) (1.22)

´e um homomorﬁsmo de ´algebras (com a multiplica¸c˜ao em End(M) dada pela

composi¸c˜ao), o que ´e uma maneira mais convencional de ver que (α, M)

constitui uma representa¸c˜ao de H.

Por simplicidade, denotamos a a¸c˜ao pelo s´ımbolo , ou seja, α(h, v) =

h  v, h ∈ H, v ∈ M. Assim, o conte´udo dos diagramas pode ser expresso

como

(h · g)  v = h  (g  v) (1.23)

1  v = v, (1.24)

∀g, h ∈ H, ∀v ∈ M.

Todos estes conceitos podem ser dualizados, obtendo-se as no¸c˜oes de H-

com´odulo, coa¸c˜ao e correpresenta¸c˜ao, sobre os quais n˜ao nos deteremos. As

no¸c˜oes de H-m´odulo `a direita e a¸c˜ao `a direita s˜ao inteiramente an´alogas.

Consideremos agora o caso mais interessante em que o H-m´odulo `a es-

querda M ´e uma ´algebra, com multiplica¸c˜ao m : M ⊗ M → M. Dizemos

que H age covariantemente sobre M se a multiplica¸c˜ao m for respeitada pela

a¸c˜ao de H, i.e.,

h  (m(v ⊗ w)) = m((h

 v) ⊗ (h

 w)) (1.25)

h  1

= (h)1

, (1.26)

∀h ∈ H, ∀v, w ∈ M. Neste caso, diz-se que m ´e equivariante com respeito `a

a¸c˜ao α, e que M ´e uma H-m´odulo-´algebra.

H´a algumas a¸c˜oes not´aveis de H sobre si mesma, como a chamada a¸c˜ao

regular, dada pela multiplica¸c˜ao µ, e a a¸c˜ao adjunta, dada por

(h) = g

· h · S(g

), (1.27)

g, h ∈ H. A a¸c˜ao adjunta torna H uma H-m´odulo-´algebra e fornece a repre-

senta¸c˜ao adjunta de H.

1.2 Drinfel’d Twist

Nesta se¸c˜ao introduziremos o conceito de ´algebras de Hopf quase-triangulares,

introduzido em [10] (para uma revis˜ao, ver [27]) e apresentaremos um m´etodo

sistem´atico para produzir exemplos, o chamado Drinfel’d twist.

Uma ´algebra de Hopf H ´e quase-cocomutativa se existir um elemento

invert´ıvel R ∈ H ⊗ H tal que

(τ ◦ ∆)(a) = R · ∆(a) · R

−1

(1.28)

∀a ∈ H.

Denotando

R = R

⊗ R

, R

−1

⊗

, (1.29)

onde est´a subentendida uma soma sobre o multi-´ındice α, ´e conveniente in-

troduzir

= R

⊗ R

⊗ 1 (1.30)

= R

⊗ 1 ⊗ R

(1.31)

= 1 ⊗ R

⊗ R

. (1.32)

Uma ´algebra de Hopf quase-cocomutativa ´e dita quase-triangular se

(∆ ⊗ id)R = R

(1.33)

(id ⊗ ∆)R = R

. (1.34)

O elemento R ´e chamado estrutura quase-triangular ou matriz-R universal.

Adicionalmente, se R

−1

= τ(R), H ´e dita triangular. Toda ´algebra de Hopf

cocomutativa ´e trivialmente triangular com R = 1 ⊗ 1.

Como consequˆencia da deﬁni¸c˜ao, temos que a estrutura quase-triangular

R satisfaz `a rela¸c˜ao

= R

, (1.35)

que ´e a chamada equa¸c˜ao de Yang-Baxter quˆantica ([28–30], [31]). Esta

equa¸c˜ao, por emergir em diversos sistemas f´ısicos, serviu de motiva¸c˜ao origi-

nal para o estudo de ´algebras de Hopf quase-triangulares: para cada repre-

senta¸c˜ao ρ de H em matrizes, (ρ ⊗ ρ)R ´e uma solu¸c˜ao matricial de (1.35),

da´ı R ser conhecida como matriz-R universal. Para mais detalhes, ver, e.g.,

[27].

Para provar que R satisfaz `a equa¸c˜ao de Yang-Baxter quˆantica, aplicamos

(id ⊗ τ ) a (1.34) obtendo

(id ⊗ τ ◦ ∆)R = (id ⊗ τ )R

= R

, (1.36)

e, por outro lado, fazemos uso da condi¸c˜ao de quase-cocomutatividade (1.28)

(id ⊗ τ ◦ ∆)R = R

((id ⊗ ∆)R)R

−1

= R

−1

. (1.37)

Como R

´e invert´ıvel, (1.35) se veriﬁca.

Agora, passamos a expor o m´etodo do Drinfel’d twist (ver [32]), que

pode ser usado para gerar ´algebras de Hopf quase-triangulares a partir da

deforma¸c˜ao de ´algebras de Hopf cocomutativas. Para tanto, iniciemos por al-

gumas deﬁni¸c˜oes. Seja H uma ´algebra de Hopf. Um 2-cociclo ´e um elemento

invert´ıvel ξ ∈ H ⊗ H tal que

(1 ⊗ ξ)(id ⊗ ∆)ξ = (ξ ⊗ 1)(∆ ⊗ id)ξ. (1.38)

O 2-cociclo ξ ´e dito counit´ario se

( ⊗ id)ξ = 1 = (id ⊗ )ξ. (1.39)

Sejam agora (H, µ, η, ∆, , S) uma ´algebra de Hopf cocomutativa e F ∈

H ⊗ H um 2-cociclo counit´ario. Temos que χ = µ(id ⊗ S)F ´e um elemento

invert´ıvel de H com χ

−1

= µ(S ⊗ id)F

−1

Deﬁnindo ∆

: H → H ⊗ H e S

: H → H como

∆

(a) = F∆(a)F

−1

(1.40)

(a) = χS(a)χ

−1

, (1.41)

(H, µ, η, ∆

, , S

) ´e uma ´algebra de Hopf triangular com matriz-R universal

dada por

R = F

−1

. (1.42)

Denotamos a ´algebra de Hopf torcida (H, µ, η, ∆

, , S

) por H

E de

se ressaltar que, como ´algebra, H

´e idˆentica a H (i.e., s˜ao o mesmo espa¸co

vetorial e as estruturas alg´ebricas n˜ao s˜ao deformadas). O elemento F ´e

chamado de twist, e a nota¸c˜ao

F = f

⊗ f

, F

−1

⊗

, (1.43)

com soma sobre o multi-´ındice α, ser´a usada adiante.

Para provar que H

´e uma ´algebra de Hopf, devemos mostrar que ∆

´e

coassociativo, i.e.,

(∆

⊗ id)∆

(a) = (id ⊗ ∆

)∆

(a), (1.44)

e que S

´e um ant´ıpoda, ou seja,

⊗ id)∆

(a) = (id ⊗ S

)∆

(a), (1.45)

∀a ∈ H. A demonstra¸c˜ao envolve t˜ao-somente aplica¸c˜ao direta das deﬁni¸c˜oes,

das propriedades (1.18), (1.21) e da condi¸c˜ao de 2-cociclo counit´ario (1.38),

(1.39).

Passamos a provar a triangularidade de H

. Inicialmente, veriﬁcamos

que H

´e quase-cocomutativa:

τ ◦ ∆

= F

∆F

−1

= RF∆F

−1

= R∆

−1

. (1.46)

Devemos mostrar que R deﬁnido em (1.42) ´e uma estrutura quase-triangular,

i.e.,

(∆

⊗ id)R = R

(1.47)

(id ⊗ ∆

)R = R

, (1.48)

o que requer apenas manipula¸c˜oes das propriedades b´asicas e da condi¸c˜ao de

2-cociclo, al´em da cocomutatividade de H. Por ﬁm, ´e evidente que

= FF

−1

= R

−1

. (1.49)

Tomemos agora uma H-m´odulo-´algebra M dotada de multiplica¸c˜ao m so-

bre a qual H age covariantemente no sentido de (1.25)–(1.26). Por deﬁni¸c˜ao,

v  w = m

(v ⊗ w) = m(F

−1

 (v ⊗ w)), (1.50)

v, w ∈ M. Neste caso, m

deﬁne uma nova ´algebra associativa M



que ´e

covariante sob a a¸c˜ao da ´algebra de Hopf deformada H

deﬁnida anterior-

mente. A prova desta aﬁrma¸c˜ao ´e simples. A associatividade de  segue da

condi¸c˜ao de 2-cociclo satisfeita por F. Para provar a equivariˆancia de m

basta ver que h  (m

(v ⊗ w)) = m

(∆

(h)  (v ⊗ w)):

h  (m

(v ⊗ w)) = h  m(F

−1

 (v ⊗ w)) = m(∆(h)F

−1

 (v ⊗ w)) =

= m(F

−1

F∆(h)F

−1

 (v ⊗ w)) = m

(∆

(h)  (v ⊗ w)).(1.51)

1.3

Algebra Universal Envelopante e seu Drin-

fel’d Twist

Neste trabalho, a ´unica ´algebra de Hopf com que lidaremos ser´a a ´algebra

universal envelopante de uma ´algebra de Lie sobre o corpo dos complexos C,

conforme veremos a seguir.

Recapitulemos, primeiramente, a deﬁni¸c˜ao de ´algebra de Lie. Sejam g

um espa¸co vetorial sobre um corpo k e [·, ·] : g × g → g uma opera¸c˜ao bin´aria

bilinear ([αx + βy, z] = α [x, z] + β [y, z] e [z, αx + βy] = α [z, x] + β [z, y]

∀α, β ∈ k, x, y, z ∈ g).

Se [·, ·] satisﬁzer a propriedade de antissimetria e a identidade de Jacobi,

[x, y] + [y, x] = 0 (1.52)

[x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0, (1.53)

(g, [·, ·]), ou simplesmente g, ´e chamada uma ´algebra de Lie.

As ´algebras de Lie n˜ao s˜ao associativas, o que impossibilita a aplica¸c˜ao

da t´ecnica do Drinfel’d twist, como ´e nossa inten¸c˜ao. A ﬁm de contornar

este obst´aculo, torna-se necess´ario encontrar uma ´algebra associativa com

unidade que contenha o espa¸co vetorial g. A constru¸c˜ao natural a fazer ´e a

´algebra universal envelopante de g, que ter´a, como veremos, as importantes

propriedades de possuir g como subespa¸co linear e exibir, naturalmente, uma

estrutura de ´algebra de Hopf.

Seja g uma ´algebra de Lie sobre k. Considere a ´algebra tensorial de g

T (g) =



•

g = k ⊕ g ⊕ (g ⊗ g) ⊕ (g ⊗ g ⊗ g) ⊕ . . . (1.54)

Seja agora I o ideal em T (g) gerado pelo conjunto de todos os elementos

da forma (x ⊗ y − y ⊗ x) − [x, y]. A ´algebra universal envelopante de g ´e

deﬁnida como o quociente

U(g) = T (g)/I. (1.55)

O teorema de Poincar´e-Birkhoﬀ-Witt, que enunciaremos a seguir, forne-

cer´a uma descri¸c˜ao expl´ıcita e mais trat´avel da ´algebra universal envelopante

U(g), bem como algumas importantes consequˆencias. (Para maiores deta-

lhes, ver o cap´ıtulo 5 de [33]).

Sejam g uma ´algebra de Lie, U(g) sua ´algebra universal envelopante e {τ

}

uma base totalmente ordenada de g com elementos satisfazendo as rela¸c˜oes

de comuta¸c˜ao [τ

, τ

] = iC

. A aﬁrma¸c˜ao do teorema de Poincar´e-Birkhoﬀ-

Witt ´e que o conjunto dos monˆomios {τ

· · · τ

} com i

≤ · · · ≤ i

´e uma

base para U(g).

Tal resultado nos fornece uma descri¸c˜ao bem mais conveniente de U(g),

qual seja, a de que U(g) ´e a ´algebra dos polinˆomios dos geradores τ

m´odulo

as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao [τ

, τ

] = iC

, com C

as chamadas constantes

de estrutura da ´algebra de Lie. Adotaremos este ponto de vista nos cap´ıtulos

seguintes.

Como corol´ario do teorema, temos que g injeta-se naturalmente em U(g)

por meio do homomorﬁsmo canˆonico ι : g → U(g), sendo, em particular, o

subespa¸co linear de U(g).

A ´algebra universal envelopante de uma ´algebra de Lie tem naturalmente

um car´ater de ´algebra de Hopf, herdado de sua estrutura de ´algebra tensorial,

com coestruturas dadas por

∆(τ

) = τ

⊗ 1 + 1 ⊗ τ

(1.56)

(τ

) = 0, (1.57)

e ant´ıpoda dado por

S(τ

) = −τ

. (1.58)

Para provar que (1.56)–(1.58) fornecem uma estrutura de ´algebra de Hopf,

basta veriﬁcar as propriedades (1.9) e (1.11):

∆(τ

· τ

) = (τ

⊗ 1 + 1 ⊗ τ

) · (τ

⊗ 1 + 1 ⊗ τ

)

= τ

· τ

⊗ 1 + τ

⊗ τ

+ τ

⊗ τ

+ 1 ⊗ τ

· τ

= (τ

)

· (τ

)

⊗ (τ

)

· (τ

)

, (1.59)

onde cabe salientar a dupla aplica¸c˜ao da nota¸c˜ao de Sweedler e, portanto, a

ocorrˆencia de uma dupla soma,

(τ

· τ

) = (τ

)(τ

) = 0, (1.60)

e, por ﬁm, mostrar que S ´e um ant´ıpoda, o que pode ser feito aplicando a

deﬁni¸c˜ao expl´ıcita dada em (1.17):

µ(S ⊗ id)∆(τ

) = µ(S(τ

) ⊗ 1 + S(1) ⊗ τ

) = −τ

+ τ

µ(id ⊗ S)∆(τ

) = µ(τ

⊗ S(1) + 1 ⊗ S(τ

)) = τ

− τ

= 0 = η((τ

)) = (τ

)1. (1.61)

Por meio da multiplicatividade e linearidade de ∆ e  e da antimultipli-

catividade de S, tais deﬁni¸c˜oes podem ser estendidas a todos os monˆomios

de τ

e, portanto, a todos os elementos de U(g). Com (1.10), (1.12) e (1.19),

completa-se a descri¸c˜ao de U(g) como ´algebra de Hopf.

Para a ´algebra universal envelopante U(g), a a¸c˜ao adjunta (1.27) ´e o

comutador de Lie, como pode ser veriﬁcado diretamente:

(τ

) = (τ

)

· τ

· S ((τ

)

) = τ

· τ

· 1 + 1 · τ

· (−τ

) = [τ

, τ

]. (1.62)

Passemos agora `a aplica¸c˜ao da prescri¸c˜ao apresentada na se¸c˜ao anterior

`a ´algebra universal envelopante U(g). Para tanto, tomemos um elemento

F ∈ U(g) ⊗ U(g) (1.63)

que seja um twist, i.e., satisfa¸ca `as condi¸c˜oes (1.38) e (1.39). Por meio das

express˜oes (1.40) e (1.41), calculamos o coproduto e ant´ıpoda deformados

dos elementos primitivos τ

∈ g

∆

(τ

) = F∆(τ

−1

(1.64)

(τ

) = χS(τ

)χ

−1

, (1.65)

com as estruturas alg´ebricas e counidade permanecendo inalteradas. Cha-

mamos a ´algebra de Hopf deformada assim obtida de U

(g).

E evidente que g n˜ao ´e o subespa¸co linear de U

(g).

E natural, portanto,

investigar qual seria o subespa¸co linear que gera U

(g). Chamaremos este

espa¸co g

e seus elementos τ

de geradores deformados.

As condi¸c˜oes para g

, apontadas em [34], s˜ao trˆes, a saber: (i) a de que

{τ

} seja uma base de g

, (ii) a deforma¸c˜ao m´ınima da regra de Leibniz

∆

(τ

) = τ

⊗ 1 + f

⊗ τ

, (1.66)

∈ U(g), e (iii) a de que, sob a a¸c˜ao adjunta deformada, denotada por

[·, ·]

, as constantes de estrutura de g sejam reproduzidas

[τ

, τ

]

= iC

. (1.67)

Para obtermos g

, h´a um procedimento canˆonico (ver [35], [36]). Tomam-

se como geradores deformados

(τ

)

(1.68)

com coproduto deformado dado por

∆

(τ

) = τ

⊗ 1 +

⊗

(τ

). (1.69)

Em consonˆancia com (1.27), a a¸c˜ao adjunta deformada ´e dada por

[τ

, τ

]

= (τ

)

· τ

· S



(τ

)



. (1.70)

Assim constru´ıdo, g

satisfaz `as trˆes condi¸c˜oes requeridas.

Por ﬁm, como pretendemos estudar tamb´em sistemas fermiˆonicos, fare-

mos uso das chamadas super´algebras de Lie (ou ´algebras de Lie Z

-graduadas),

e suas super´algebras de Hopf deformadas.

Uma super´algebra de Lie sobre um corpo k (de caracter´ıstica zero) ´e

um espa¸co vetorial g = g

⊕ g

dotado de uma opera¸c˜ao bin´aria bilinear

[·, ·} : g × g → g satisfazendo `as propriedades de Z

-gradua¸c˜ao

, g

} ⊂ g

(i+j mod 2)

, (1.71)

antissimetria Z

-graduada

[x, y} = (−1)

|x||y|

[y, x}, (1.72)

e identidade de Jacobi generalizada

(−1)

|x||z|

[[x, y, z} + (−1)

|y||x|

[[y, z}, x} + (−1)

|z||y|

[[z, x}, y} = 0, (1.73)

∀x, y, z ∈ g, e onde |x| = i se x ∈ g

(grau de x). Chamamos g

a parte par

ou bosˆonica de g e g

a parte ´ımpar ou fermiˆonica de g. A super´algebra de

Lie g tamb´em pode ser estendida a sua super´algebra universal envelopante

dotada de estrutura de super´algebra de Hopf.

As f´ormulas (1.18), (1.42), (1.68) e (1.70) s˜ao naturalmente estendidas ao

caso das super´algebras como

S(τ

· τ

) = (−1)

|τ

||τ

S(τ

) · S(τ

) (1.74)

R =



α,β

(−1)

||f

⊗ f

) (1.75)



(−1)

||τ

(τ

)

(1.76)



, τ





(−1)

|τ

||(τ

)

(τ

)

· τ

· S



(τ

)



. (1.77)

Cap´ıtulo 2

Algebras de Heisenberg

Bosˆonicas: Primeira e Segunda

Quantiza¸c˜oes

Neste cap´ıtulo mostraremos como ´e poss´ıvel (ao contr´ario do que se admitia

em [37] e [38]) construir a ´algebra universal envelopante da ´algebra de Hei-

senberg e deform´a-la por meio da t´ecnica do Drinfel’d twist, obtendo, como

resultado, uma teoria n˜ao comutativa. Mostraremos, tamb´em, como esta es-

trutura pode ser recuperada no contexto da segunda quantiza¸c˜ao, utilizando-

se o formalismo dos osciladores de Wigner.

2.1

Algebra de Heisenberg Deformada

Nesta se¸c˜ao, aplicaremos o formalismo delineado no cap´ıtulo anterior `a ´algebra

de Heisenberg bosˆonica, que denotaremos h(N ).

Para tanto, considere a ´algebra h(N ):

, x

] = [p

, p

] = 0 (2.1)

, p

] = iδ

 (2.2)

[, x

] = [, p

] = 0, (2.3)

i, j = 1, ..., N .

Aplicaremos o twist

F = exp



⊗ p



, (2.4)

onde α

´e uma matriz antissim´etrica. A condi¸c˜ao de 2-cociclo (1.38) ´e trivi-

almente satisfeita, visto que F ´e um twist dito abeliano, pois envolve apenas

geradores que comutam entre si.

Cabe aqui salientar a necessidade de identiﬁcar corretamente o papel da

extens˜ao central  como elemento da ´algebra h(N ), e n˜ao como m´ultiplo da

identidade, devendo, portanto, ser tratado de maneira idˆentica aos demais

geradores de h(N ), isto ´e, com coproduto e ant´ıpoda dados por

∆() =  ⊗ 1 + 1 ⊗  (2.5)

S() = −. (2.6)

Agora, procedemos `a deforma¸c˜ao de h(N ).

Com o aux´ılio da f´ormula de Hadamard, calculamos o coproduto defor-

mado de x

∆

) = exp



⊗ p



∆(x

) exp



−

⊗ p



= x

⊗ 1 + 1 ⊗ x

( ⊗ p

− p

⊗ ) . (2.7)

Como p

and  comutam com os p

s do twist, seus coprodutos n˜ao se

deformam:

∆

) = ∆(p

) (2.8)

∆

() = ∆(). (2.9)

O ant´ıpoda n˜ao ´e deformado. Para ver isto, basta calcular o elemento

χ ≡ f

S(f

) = exp



−



= 1, (2.10)

de modo que S

= χSχ

−1

= S.

A deforma¸c˜ao de x

´e dada por (1.68):

)

= x

−

p

, (2.11)

enquanto p

and , pela raz˜ao aduzida acima, n˜ao sofrem deforma¸c˜ao.

Calculamos, agora, os coprodutos deformados dos geradores deformados.

Neste caso, a matriz-R universal ´e simplesmente R = F

−2

(pois F

−1

, pela antissimetria de α

e abelianidade do twist). Assim, o coproduto

deformado de x

´e obtido usando-se (1.69):

∆

) = x

⊗ 1 + 1 ⊗ x

+ α

⊗ , (2.12)

onde ressaltamos a contribui¸c˜ao de .

O ant´ıpoda de x

´e facilmente obtido usando-se a propriedade antimul-

tiplicativa de S:

S(x

) = −x

−

p

= −x

− α

p

. (2.13)

Estamos, agora, de posse de todas as express˜oes necess´arias ao c´alculo

dos colchetes deformados dos geradores deformados, conforme (1.70):



, p



= iδ

 (2.14)



, x



= 0 (2.15)



, p



= 0 (2.16)





, x







, p



= 0. (2.17)

Note-se que os colchetes deformados das quantidades deformadas possuem

as mesmas constantes de estrutura que os colchetes ordin´arios das quantida-

des n˜ao deformadas. O mesmo se observa em [39] para a ´algebra universal

envelopante da ´algebra de Poincar´e, U(iso(1, 3)).

Calculamos agora os colchetes ordin´arios das quantidades deformadas.

S˜ao eles



, p



= iδ

 (2.18)



, x



= iα



(2.19)



, p



= 0 (2.20)





, x







, p



= 0. (2.21)

Note-se, agora, que os x

s tˆem natureza n˜ao comutativa, ao contr´ario dos

s originais (2.1). A comutatividade pode ser restaurada pela transforma¸c˜ao

inversa de (2.11), i.e., x

= x

p

, que ´e conhecida como desvio de Bopp

na literatura [40]. No entanto, a deforma¸c˜ao nas coestruturas n˜ao pode ser

removida por nenhuma tranforma¸c˜ao, sendo, portanto, ao nosso ver, mais

fundamental. Tamb´em ´e interessante lembrar que h(N ) ´e o subespa¸co linear

de U(h(N )) e notar que, analogamente, os x

s (junto com p

= p

e 

= )

formam o subespa¸co linear de U

(h(N )), que chamaremos h

(N ).

Finalmente, queremos estudar a deforma¸c˜ao da multiplica¸c˜ao no U(h(N ))-

m´odulo M que consiste no espa¸co de fun¸c˜oes em R

dotado da multiplica¸c˜ao

ponto a ponto usual

m(g ⊗ h) = g · h,

(g · h)(ˇx) = g(ˇx)h(ˇx), (2.22)

ˇx ∈ R

A a¸c˜ao da ´algebra h(N ) sobre o m´odulo ´e a a¸c˜ao adjunta, i.e., ´e tal que

age por deriva¸c˜ao e x

por multiplica¸c˜ao,

 g(ˇx) = −i

∂

∂ˇx

g(ˇx) (2.23)

 g(ˇx) = ˇx

· g(ˇx). (2.24)

A multiplica¸c˜ao deformada no m´odulo (ver [41]) ´e dada por

g(ˇx)  h(ˇx) ≡ m

(g(ˇx) ⊗ h(ˇx)) = (m ◦ F

−1

)(g(ˇx) ⊗ h(ˇx)) =



 g(ˇx)





 h(ˇx)



= e

∂

∂ ˇx

∂

∂ ˇy

(g(ˇx) · h(ˇy)) |

ˇx=ˇy,

(2.25)

onde introduzimos, por conveniˆencia, θ

= α



O produto estrela, para este caso particular, ´e comumente conhecido como

produto de Weyl-Groenewold [42] ou produto de Moyal [43].

Deﬁnindo-se o colchete de Moyal como [g, h]



≡ (g  h − h  g), vemos

implementada a n˜ao comutatividade entre as vari´aveis de posi¸c˜ao:

[ˇx

, ˇx

]



= iθ

. (2.26)

Aqui foi necess´ario introduzir a nota¸c˜ao ˇx

para as quantidades no m´odulo

correspondentes aos operadores x

. A correspondˆencia entre fun¸c˜oes de ope-

radores da ´algebra de Heisenberg e fun¸c˜oes no espa¸co comutativo se d´a por

meio da transforma¸c˜ao de Wigner, introduzida em [44]. Inversamente, para

obtermos fun¸c˜oes de operadores a partir de fun¸c˜oes de vari´aveis do espa¸co

de fase, devemos usar a bem conhecida transforma¸c˜ao introduzida por Weyl

em [45].

2.2 Segunda Quantiza¸c˜ao e Osciladores de

Wigner

Tendo estudado a deforma¸c˜ao da ´algebra de Heisenberg bosˆonica, preten-

demos agora mostrar como esta estrutura pode ser obtida num contexto de

segunda quantiza¸c˜ao, sobre a qual cabe fazer uma brev´ıssima digress˜ao agora.

Nesta se¸c˜ao,  ´e um n´umero.

Considere a Lagrangiana

L =





i

∗

↔

∂

ψ −



∇ψ|



. (2.27)

E imediato mostrar que ela fornece, como equa¸c˜ao de movimento, a

equa¸c˜ao de Schr¨odinger

i

∂ψ

∂t

= −



∇

ψ. (2.28)

Passando para o formalismo Hamiltoniano, a pr´opria deﬁni¸c˜ao do mo-

mento canonicamente conjugado d´a origem aos v´ınculos

−

i

∗

≈ 0 (2.29)

∗

−

i

ψ ≈ 0, (2.30)

onde π

, π

∗

representam os momenta canonicamente conjugados a ψ, ψ

∗

Aplicando-se o formalismo de colchetes de Dirac (ver [46]), pode-se impor

a igualdade forte sobre os v´ınculos, obtendo-se os colchetes

{ψ(x, t), ψ

∗

(y, t)}

i

(x − y). (2.31)

Agora, o procedimento usual de quantiza¸c˜ao canˆonica pode ser aplicado

e fornece as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao



ψ(x), ψ

†

(y)



= δ

(x − y) (2.32)

[ψ(x), ψ(y)] =



†

(x), ψ

†

(y)



= 0. (2.33)

Deﬁnimos os objetos



y y

†

(y)ψ(y) (2.34)

= −

i



y ψ

†

(y)

↔

∂

ψ(y) (2.35)

que satisfazem `as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao

, P

] = iδ

N (2.36)

, X

] = 0 (2.37)

, P

] = 0, (2.38)

[N, X

] = [N, P

] = 0 (2.39)

onde N =



y ψ

†

(y)ψ(y) ´e o chamado operador n´umero de part´ıculas.

As express˜oes (2.34)-(2.35) relacionam o formalismo da segunda quantiza¸c˜ao

com o da primeira quantiza¸c˜ao, como veremos.

As express˜oes (2.36)-(2.38) reproduzem a ´algebra de Heisenberg, com N

fazendo o papel de extens˜ao central no caso de N part´ıculas. Para mostrar

que tal identiﬁca¸c˜ao, de fato, faz sentido, devemos ver que X

´e um operador

posi¸c˜ao e P

um operador momento. Deﬁnindo-se |y = ψ

†

(y)|0 e aplicando-

se (2.32)-(2.33), obtemos, como desejado,

|y = y

|y. (2.40)

Um c´alculo direto permite mostrar que

, ψ(x)] = i∂

ψ(x) (2.41)



, ψ

†

(x)



= i∂

†

(x), (2.42)

de modo que P

´e o gerador das transla¸c˜oes. Com isto, temos uma descri¸c˜ao

da ´algebra de Heisenberg no formalismo de segunda quantiza¸c˜ao.

Os campos podem ser agora expandidos em seus modos de Fourier

ψ(x) =

(2π)



p e



p·x

p

(2.43)

†

(x) =

(2π)



p e

−



p·x

†

p

, (2.44)

e, inversamente,

p



x e

−



p·x

ψ(x) (2.45)

†

p



x e



p·x

†

(x). (2.46)

A ´algebra satisfeita por a

p

, a

†

p

´e



p

, a

†

p





= (2π)

(p − p



) (2.47)

p

, a

p



] =



†

p

, a

†

p





= 0. (2.48)

E interessante notar que a ´algebra dos campos (2.32)-(2.33) e dos oscila-

dores correspondentes (2.47)-(2.48) ´e a pr´opria ´algebra de Heisenberg h(N )

no limite N → ∞, com ψ

†

(x) e a

†

p

como momenta conjugados a ψ(x) e a

p

respectivamente, e δ

(x − y) e (2π)

(p − p



) num papel an´alogo a iδ

Agora tentaremos construir a estrutura de ´algebra de Hopf das ´algebras

dos campos ψ(x), ψ

†

(x) e osciladores a

p

, a

†

p

, para depois deform´a-la por meio

do mesmo twist F (2.4).

Para tanto, iniciamos por expressar



P no espa¸co dos momenta

(2π)



p p

†

p

, (2.49)

e obtemos a ´algebra dos osciladores com P

, a

p

] = −p

p

(2.50)



, a

†

p



= p

†

p

. (2.51)

Aplicamos agora o twist

F = exp



⊗ P



, (2.52)

e obtemos a deforma¸c˜ao de a

p

e a

†

p

)

= a

p

(2.53)

†F

p

†

p

)

= a

†

p

−

, (2.54)

que ´e a mesma encontrada em [47], bem como a deforma¸c˜ao dos campos ψ(x)

e ψ

†

(x)

(x) = ψ(x) e



←

∂

(2.55)

†F

(x) = ψ

†

(x) e



←

∂

. (2.56)

A deforma¸c˜ao de ψ(x) e ψ

†

(x) ´e compat´ıvel com a de a

p

e a

†

p

pois elas se

relacionam pela transformada de Fourier usual

p



x e

−



p·x

(x) (2.57)

†F

p



x e



p·x

†F

(x). (2.58)

Conforme vimos, a estrutura alg´ebrica de Heisenberg ´e corretamente re-

produzida pelas ´algebras de ψ(x), ψ

†

(x) e a

p

, a

†

p

(no sentido de (2.36)-(2.38)

com N →

, sendo

 a extens˜ao central da se¸c˜ao anterior). Tentaremos

agora reproduzir a estrutura coalg´ebrica, e veremos que, numa abordagem

ingˆenua, o processo falha j´a no caso n˜ao deformado.

A constru¸c˜ao natural a fazer seria tomar a express˜ao (2.34) e aplicar a

propriedade de multiplicatividade do coproduto:

∆(X

) =



y y

∆(ψ

†

(y))∆(ψ(y)) =



y y

(ψ

†

(y) ⊗ 1 + 1 ⊗ ψ

†

(y))(ψ(y) ⊗ 1 + 1 ⊗ ψ(y)) =

= X

⊗ 1 + 1 ⊗ X



y y

(ψ

†

(y) ⊗ ψ(y) + ψ(y) ⊗ ψ

†

(y)).

(2.59)

A presen¸ca do termo cruzado ´e inteiramente indesej´avel, pois o coproduto

esperado seria ∆(X

) = X

⊗ 1 + 1 ⊗ X

. Mostraremos agora como resolver

este problema.

A solu¸c˜ao repousa na no¸c˜ao de osciladores de Wigner. Em [48], Wigner

demonstrou que as equa¸c˜oes de movimento de Heisenberg para os operado-

res momento e posi¸c˜ao podem ser satisfeitas sem que, necessariamente, as

rela¸c˜oes canˆonicas de comuta¸c˜ao sejam realizadas.

A constru¸c˜ao de Wigner requer, no caso mais simples (de um ´unico os-

cilador bosˆonico), que a Hamiltoniana seja expressa como o anticomutador

dos osciladores a = a

−

e a

†

= a

H =

−

, a

}, (2.60)

e, para compatibilizar as equa¸c˜oes de movimento de Heisenberg com as

equa¸c˜oes de Hamilton, tamb´em

[H, a

] = ±a

. (2.61)

Introduzindo, adicionalmente,

= {a

, a

}, (2.62)

o que se obt´em ´e a super´algebra ortossimpl´etica osp(1|2) (ver [49]).

Note-se que, nesta constru¸c˜ao, os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao

s˜ao de natureza ´ımpar, em oposi¸c˜ao `a sua natureza f´ısica bosˆonica,

e ´e

precisamente esta ideia que usaremos para resolver o problema de (2.59).

Para resolver o problema da incompatibilidade da deforma¸c˜ao da ´algebra

dos campos da segunda quantiza¸c˜ao com a deforma¸c˜ao da ´algebra de Heisen-

berg, iniciamos por re-escrever os operadores de posi¸c˜ao, momento e n´umero

com o ordenamento de Weyl [45]:



y y



†

(y)ψ(y) + ψ(y)ψ

†

(y)



(2.63)



p p



†

p

+ a

p

†

p



(2.64)

N =





†

(y)ψ(y) + ψ(y)ψ

†

(y)



. (2.65)

Eles satisfazem `a mesma ´algebra que os operadores X

, P

e N introdu-

zidos anteriormente. Aproveitamos para re-escrever o operador P

no espa¸co

dos momenta, visto que ali ele toma uma forma diagonal que facilitar´a os

c´alculos subsequentes.

Conforme foi antecipado, declaramos agora que ψ(y) e a

p

s˜ao ´ımpares, e

O mesmo acontece no formalismo da supersimetria BRST.

o coproduto de

´e corretamente induzido como

∆(

) =



y y

(∆(ψ

†

(y))∆(ψ(y)) + ∆(ψ(y))∆(ψ

†

(y))) =



y y

[ψ

†

(y)ψ(y) ⊗ 1 − ψ(y) ⊗ ψ

†

(y) + ψ

†

(y) ⊗ ψ(y) + 1 ⊗ ψ

†

(y)ψ(y) +

+ψ(y)ψ

†

(y) ⊗ 1 − ψ

†

(y) ⊗ ψ(y) + ψ(y) ⊗ ψ

†

(y) + 1 ⊗ ψ(y)ψ

†

(y)] =

⊗ 1 + 1 ⊗

, (2.66)

o mesmo valendo, por c´alculo exatamente an´alogo, para os coprodutos de

O ant´ıpoda de X

tamb´em ´e, como esperado,

) =



y y

(S(ψ(y)ψ

†

(y))S(ψ

†

(y)ψ(y)) =



y y

[(−1)

|ψ(y)||ψ

†

(y)|

S(ψ

†

(y))S(ψ(y)) + (−1)

|ψ

†

(y)||ψ(y)|

S(ψ(y))S(ψ

†

(y))] =



y y



−ψ

†

(y)ψ(y) − ψ(y)ψ

†

(y)



= −

, (2.67)

bem como

) = −

(2.68)

N) = −

N. (2.69)

A counidade n˜ao ´e problema, visto que (ψ(y)) = (a

p

) = 0 leva direta-

mente a (

) = (

N) = 0.

O caso n˜ao deformado encontra-se, portanto, resolvido. Resta mostrar,

agora, que as deforma¸c˜oes (2.53)-(2.54) e (2.55)-(2.56) induzem corretamente

as deforma¸c˜oes dos objetos bilineares integrados.

A deforma¸c˜ao de

pode ser mais facilmente calculada no espa¸co dos

momenta:

i





†F

p

↔

∂

p

+ a

p

↔

∂

†F

p



−



N, (2.70)

e vˆe-se que ela se reduz `a deforma¸c˜ao (2.11) no limite de uma part´ıcula

(

N →

).

A (ausˆencia de) deforma¸c˜ao de

tamb´em pode ser facilmente calculada



p p



†F

p

+ a

p

†F

p





p p



†

p

−i

p

+ a

p

−i

†

p



. (2.71)

Deste modo, conclui-se que, al´em de poder-se construir a ´algebra universal

envelopante da ´algebra dos campos e osciladores de Schr¨odinger e deform´a-la

por meio do Drinfel’d twist, tamb´em se pode induzir corretamente a estrutura

de ´algebra de Hopf dos operadores posi¸c˜ao e momento, tanto no caso usual

quando no caso deformado, desde que se encarem os campos e osciladores

fundamentais como geradores ´ımpares de uma super´algebra de Lie.

2.3

Algebras de Heisenberg Estendidas

Apresentamos, nesta se¸c˜ao, um exemplo muito simples de um procedimento

que pode ter aplica¸c˜oes bastante interessantes. Tal procedimento consiste em

construir elementos compostos a partir dos elementos primitivos da ´algebra

de Heisenberg e depois, por raz˜oes f´ısicas (e.g., a necessidade de induzir-

se uma regra de composi¸c˜ao correta para o estado de muitas part´ıculas),

declarar que s˜ao elementos primitivos de uma ´algebra estendida. A natureza

composta original ´e utilizada, t˜ao somente, para calcular as constantes de

estrutura da nova ´algebra. Estas ideias encontram-se bem discutidas em

[51].

Iniciamos com a ´algebra de Heisenberg h(N ) descrita acima e introduzi-

mos os elementos



, (2.72)

que agora declaramos serem elementos primitivos de uma ´algebra estendida.

A ´algebra assim estendida satisfaz a

, x

] = −iδ

− iδ

, x

] = −iδ

, x

] = −iδ

, p

] = iδ

, p

] = iδ

, p

] = iδ

+ iδ

, K

] = iδ

+ iδ

, M

] = iδ

+ iδ

, N

] = iδ

+ iδ

, M

] = −iδ

− iδ

, N

] = −iδ

− iδ

, N

] = iδ

− iδ

. (2.73)

Trata-se, na verdade, da ´algebra dada pela soma semidireta h(N ) ⊕

sp(2N )

[52].

Agora podemos considerar a Hamiltoniana do oscilador harmˆonico dada

por

H =



+ ω



= λ



+ ω



, (2.74)

onde λ ´e uma constante de normaliza¸c˜ao apropriada.

Aplicamos agora o twist usual

F = exp(iα

⊗ p

), (2.75)

com α

= −α

A Hamiltoniana deformada ´e

= H − 2λω

α

+ λω



. (2.76)

O coproduto deformado da Hamiltoniana ´e

∆

(H) = ∆(H)−2λω

⊗x

−x

⊗p

)+λω

(K

⊗ − ⊗K

(2.77)

sendo, por outro lado, o coproduto deformado da Hamiltoniana deformada

∆

) = H

⊗1+1⊗H

−4λω

⊗x

)+2λω

(K

⊗). (2.78)

Este tipo de extens˜ao da ´algebra de Heisenberg e a classe de Hamiltonia-

nas que ele fornece tem sido discutido, por exemplo, no contexto de mecˆanica

conforme e supersimetria bosonizada [53].

Cap´ıtulo 3

Algebras de Heisenberg

Fermiˆonicas e Mecˆanica

Quˆantica Supersim´etrica

Deformada

Teorias quˆanticas em espa¸cos n˜ao anticomutativos vˆem sendo estudadas na

abordagem do Drinfel’d twist ([54], [55]). Neste cap´ıtulo estudaremos as de-

forma¸c˜oes da mecˆanica quˆantica supersim´etrica unidimensional N -estendida

por meio do twist das ´algebras de Heisenberg fermiˆonicas. Mostraremos que

duas constru¸c˜oes s˜ao poss´ıveis, quais sejam, a identiﬁca¸c˜ao da ´algebra de

supersimetria com a ´algebra de Heisenberg fermiˆonica (poss´ıvel para N par),

e a realiza¸c˜ao da ´algebra de supersimetria em termos de operadores perten-

centes `a ´algebra universal envelopante gerada por um oscilador bosˆonico e

N osciladores fermiˆonicos (poss´ıvel para qualquer N ). Recuperaremos, num

contexto mais geral, alguns resultados da literatura.

3.1

Algebra de Heisenberg Fermiˆonica e

Algebra

de Supersimetria Unidimensional N -estendida

Considere a ´algebra de Grassmann gerada por N coordenadas anticomuta-

tivas θ

. Estas coordenadas, junto com suas derivadas de Berezin ∂

∂

∂θ

formam uma super´algebra de Lie com 2N geradores ´ımpares e um ´unico ge-

rador par, a extens˜ao central z. Trata-se da ´algebra de Heisenberg fermiˆonica

(N ), satisfazendo `as rela¸c˜oes de (anti)comuta¸c˜ao

{θ

, θ

} = {∂

, ∂

} = 0, (3.1)

{∂

, θ

} = δ

αβ

z, (3.2)

[z, ∂

] = [z, θ

] = 0. (3.3)

Como discutido no cap´ıtulo anterior, uma interpreta¸c˜ao cuidadosa do

papel da extens˜ao central ´e necess´aria, sendo seu coproduto e ant´ıpoda dados

por

∆(z) = z ⊗ 1 + 1 ⊗ z (3.4)

S(z) = −z. (3.5)

Pode-se atribuir aos geradores de h

(N ) dimens˜ao de massa [θ

] = −

[∂

] =

, [z] = 0.

Passamos agora `a ´algebra universal envelopante U(h

(N )), que tem estru-

tura de super´algebra de Hopf, e a deformaremos por meio do twist abeliano

F = exp (C

αβ

∂

⊗ ∂

) , (3.6)

expresso em termos da matriz diagonal

αβ

, (3.7)

onde M ´e um parˆametro de massa e η

αβ

´e uma matriz diagonal adimensonal

admitindo, sem perda de generalidade, p entradas +1, q entradas −1 e r

entradas zero (p + q + r = N ).

Lan¸cando m˜ao das t´ecnicas desenvolvidas nos cap´ıtulos anteriores, obte-

mos a deforma¸c˜ao nos geradores θ

= f

(θ

= θ

+ C

αβ

∂

z, (3.8)

n˜ao sofrendo os demais geradores deforma¸c˜ao por comutarem com os ∂

twist. Note-se que os geradores deformados diferem dos originais pelo an´alogo

fermiˆonico do desvio de Bopp.

O coproduto deformado de θ

´e

∆

(θ

) = exp (C

αβ

∂

⊗ ∂

) ∆(θ

) exp (−C

αβ

∂

⊗ ∂

)

= θ

⊗ 1 + 1 ⊗ θ

+ C

αβ

(∂

⊗ z − z ⊗ ∂

), (3.9)

e evidentemente

∆

(∂

) = ∂

⊗ 1 + 1 ⊗ ∂

(3.10)

∆

(z) = z ⊗ 1 + 1 ⊗ z. (3.11)

Como

χ = f

S(f

) = exp (−C

αβ

∂

) = 1, (3.12)

o ant´ıpoda n˜ao sofre deforma¸c˜ao.

A matriz-R universal ´e dada por

R =



α,β

(−1)

||f

⊗ f

) = exp (−2C

αβ

∂

⊗ ∂

) , (3.13)

de modo que obtemos o coproduto deformado de θ

como

∆

(θ

) = θ

⊗ 1 + 1 ⊗ θ

+ 2C

αβ

∂

⊗ z. (3.14)

De posse do ant´ıpoda

S(θ

) = −θ

+ C

αβ

z∂

= −θ

+ 2C

αβ

z∂

, (3.15)

podemos calcular os colchetes deformados



, ∂



= δ

αβ



, θ



= 0, (3.16)



∂

, ∂



= 0, (3.17)



∂

, z





, z



= 0, (3.18)

que possuem as mesmas constantes de estrutura da ´algebra original (3.1)-

(3.3).

Os colchetes ordin´arios dos geradores deformados tornam n˜ao anticomu-

tativos os geradores originalmente grassmannianos:



, ∂



= δ

αβ

z, (3.19)



, θ



= 2C

αβ

, (3.20)



∂

, ∂



= 0, (3.21)



, θ





, ∂



= 0. (3.22)

Tratamos, agora, de estudar a deforma¸c˜ao da multiplica¸c˜ao m num m´odulo

M. O m´odulo ser´a novamente um espa¸co de fun¸c˜oes, agora das vari´aveis

grassmanianas, e a a¸c˜ao de h

(N ) dada por

∂

 a = z

∂a

∂θ

(3.23)

 a = θ

· a, (3.24)

onde · denota a multiplica¸c˜ao grassmanniana usual, i.e., a · b = m(a ⊗ b),

a, b ∈ M.

Como estamos trabalhando no m´odulo, que fornece uma representa¸c˜ao

de h

(N ), a extens˜ao central deve tomar um valor num´erico. Em particular,

por conveniˆencia, escolhemos z = 1.

Deste modo, a multiplica¸c˜ao deformada ´e

a  b ≡ m

(a ⊗ b) = (m ◦ F

−1

)(a ⊗ b). (3.25)

Deﬁnindo [a, b}



≡ a  b + (−1)

|a||b|

b  a, temos

{θ

, θ

}



= 2C

αβ

, (3.26)

{∂

, θ

}



= δ

αβ

, (3.27)

{∂

, ∂

}



= 0, (3.28)

que nos fornece uma cliﬀordiza¸c˜ao das coordenadas outrora grassmannianas,

an´aloga `a obtida em [56], [57], [58] .

Agora consideraremos a ´algebra de supersimetria unidimensional N -esten-

dida e mostraremos que, para valores pares de N , ela ´e isomorfa a h

(

de modo que a deforma¸c˜ao obtida acima pode ser aplicada com facilidade se

ﬁzermos as identiﬁca¸c˜oes convenientes.

Para tanto, considere a ´algebra formada pelos geradores de supersimetria



e a extens˜ao central H satisfazendo a

{



} = δ

H, (3.29)







= 0, (3.30)

I, J = 1, . . . , N .

Para N par, podemos dividir os geradores ´ımpares nos setores quiral

antiquiral Q



+ i



, (3.31)



− i



, (3.32)

com i = 1, . . . ,

Feito isto, a ´algebra ´e re-expressa como



, Q



= 2δ

H, (3.33)

, Q

} =



, Q



= 0, (3.34)

[H, Q

] =



H, Q



= 0. (3.35)

Esta ´algebra ´e isomorfa a (3.1)-(3.3) se ﬁzermos as identiﬁca¸c˜oes

↔ θ

(3.36)

↔ ∂

(3.37)

2H ↔ z. (3.38)

Usando essa identiﬁca¸c˜ao em (3.6), deformamos, agora, a ´algebra (3.33)-

(3.35) por meio do twist abeliano

F = exp



⊗ Q



, (3.39)

com C

, onde η

´e uma matriz diagonal adimensional com p entradas

positivas, q negativas and r zero (p + q + r = N ) e M um parˆametro de

massa.

Esta deforma¸c˜ao, conforme antecipado, coincide com (3.6).

O coproduto deformado de Q

´e

∆

) = ∆(Q

) + C

⊗ H − H ⊗ Q

). (3.40)

Os ´unicos geradores deformados s˜ao os Q

s, cuja deforma¸c˜ao ´e dada por

= Q

+ C

H. (3.41)

A matriz-R universal ´e F

−2

, de sorte que o coproduto deformado dos

geradores deformados ´e

∆

) = Q

⊗ 1 + 1 ⊗ Q

+ 2C

⊗ H, (3.42)

o que, juntamente com os ant´ıpodas

S(Q

) = −Q

+ C

H = −Q

+ 2C

H, (3.43)

permitir´a o c´alculo dos colchetes deformados



, Q



= δ

H, (3.44)



, Q



= 0, (3.45)



, Q



= 0, (3.46)



, H





, H



= 0. (3.47)

Em contrapartida, os colchetes ordin´arios das quantidades deformadas

s˜ao



, Q



= δ

, (3.48)



, Q



= 0, (3.49)



, Q



= 2C

)

, (3.50)



, Q





, Q



= 0. (3.51)

E de notar-se que super´algebras n˜ao lineares da forma {Q

, Q

} = δ

(H),

com P

(H) um polinˆomio de ordem n da Hamiltoniana, foram introduzidas

em [50].

3.2 Representa¸c˜ao de superespa¸co

Agora queremos estudar a deforma¸c˜ao da mecˆanica quˆantica supersim´etrica

na representa¸c˜ao de superespa¸co. Para tanto, faz-se necess´ario introduzir

o conjunto de vari´aveis grassmannianas θ

e suas derivadas ∂

, que, com a

extens˜ao central z, formam a ´algebra h

(N), bem como o parˆametro bosˆonico

t e sua derivada ∂

, que, com a extens˜ao central , satisfazem `a ´algebra de

Heisenberg bosˆonica h(1). Obtemos, portanto, a princ´ıpio, a ´algebra h(1) ⊕

(N). Podemos agora identiﬁcar as extens˜oes centrais (z = ), obtendo

assim uma ´algebra que chamaremos h(1, N). A ´algebra de supersimetria

N -estendida pode ser realizada explicitamente em termos de operadores da

´algebra U(h(1, N )):



= ∂



∂

, (3.52)

H = i∂

, (3.53)

com I = 1, . . . , N .

Aqui ´e necess´ario impor, na mesma linha do discutido na se¸c˜ao 2.3 e em

[51], que o coproduto n˜ao deformado de



coincida com o coproduto de um

gerador fermiˆonico primitivo, i.e., ∆(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



. Deste modo,

n˜ao ´e preocupante a presen¸ca de termos do tipo



na express˜ao acima.

Como estamos trabalhando em U(h(1, N )), agora ´e poss´ıvel deformar os

geradores de supersimetria por meio do twist (3.6)

F = exp(C

∂

⊗ ∂

), (3.54)

obtendo como geradores deformados



+ C

H∂

, (3.55)

e, ´e claro, H

= H.

Obt´em-se como coproduto deformado de



∆

(



) = ∆(



) + C

(∂

⊗ H − H ⊗ ∂

), (3.56)

ao passo que o coproduto deformado de



´e

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



+ 2C

(∂

⊗ H). (3.57)

Os colchetes ordin´arios dos geradores deformados s˜ao

{



} = δ

H + 2C

, (3.58)

enquanto os colchetes deformados, como esperado, restauram a ´algebra ori-

ginal

{



}

= δ

H. (3.59)

Discutiremos, a seguir, os casos particulares N = 2 e N = 4.

3.2.1 O caso N = 2

Consideramos, aqui, a realiza¸c˜ao dos geradores de supersimetria N = 2 por

meio da ´algebra U(h(1, 2)):



= ∂



∂

, (3.60)



= ∂



∂

. (3.61)

Podem-se acrescentar as derivadas fermiˆonicas

= ∂

−



∂

, (3.62)

= ∂

−



∂

. (3.63)

Estes quatro geradores, mais a extens˜ao central H, satisfazem `a chamada

´algebra de pseudossupersimetria N = (2, 2) dada pelas rela¸c˜oes

{



} = δ

H, (3.64)

, D

} = −δ

H, (3.65)



} = 0, (3.66)







= [H, D

] = 0. (3.67)

Podemos agora deformar esta ´algebra por meio de qualquer twist F ∈

U(h(1, 2)) ⊗ U(h(1, 2)) que seja invert´ıvel e satisfa¸ca a condi¸c˜ao de 2-cociclo.

Em particular, um twist abeliano admiss´ıvel ´e

F = exp





Q ⊗ Q +

D ⊗ D



, (3.68)

onde

Q =



− i



, (3.69)

D = D

− iD

(3.70)

e , η s˜ao n´umeros normaliz´aveis a +1, −1 ou 0 sem perda de generalidade.

O twist (3.39) ´e recuperado para η = 0, C



Os geradores deformados s˜ao





(



− i



)H, (3.71)



−

i

(



− i



)H, (3.72)

= D

− iD

)H, (3.73)

= D

−

iη

− iD

)H, (3.74)

e H

= H.

Os coprodutos deformados s˜ao dados por

∆

(



) = ∆(



) +



(



⊗ H − H ⊗



) −

i

(



⊗ H − H ⊗



∆

(



) = ∆(



) −

i

(



⊗ H − H ⊗



) −



(



⊗ H − H ⊗



∆

) = ∆(D

) −

⊗ H − H ⊗ D

) +

iη

⊗ H − H ⊗ D

∆

) = ∆(D

) +

iη

⊗ H − H ⊗ D

) +

⊗ H − H ⊗ D

(3.75)

Como

χ = f

S(f

) = exp



−



−



= 1, (3.76)

os ant´ıpodas n˜ao se deformam e s˜ao



) = −



2

(



− i



), (3.77)



) = −



−

2i

(



− i



), (3.78)

S(D

) = −D

−

2η

− iD

), (3.79)

S(D

) = −D

2iη

− iD

). (3.80)

A matriz-R universal ´e simplesmente

R = F

−2

= exp



−2





Q ⊗ Q +

D ⊗ D



. (3.81)

Com estes resultados, podemos calcular os coprodutos deformados das

quantidades deformadas. S˜ao eles

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



2

(



− i



) ⊗ H, (3.82)

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



−

2i

(



− i



) ⊗ H, (3.83)

∆

) = D

⊗ 1 + 1 ⊗ D

−

2η

− iD

) ⊗ H, (3.84)

∆

) = D

⊗ 1 + 1 ⊗ D

2iη

− iD

) ⊗ H, (3.85)

e fornecem, conforme esperado, os colchetes deformados dos geradores defor-

mados com as constantes de estrutura originais,

{



}

= δ

, (3.86)

, D

}

= −δ

, (3.87)



}

= 0. (3.88)

Agora passamos a estudar a multiplica¸c˜ao deformada num m´odulo que

consiste no espa¸co de fun¸c˜oes das vari´aveis grassmannianas θ

, θ

. A multi-

plica¸c˜ao ordin´aria m ´e o produto grassmanniano usual, i.e.,

m(θ

⊗ θ

) = θ

· θ

. (3.89)

A a¸c˜ao de



e D

no m´odulo ´e dada por



 θ

= D

 θ

= δ

. (3.90)

Deﬁnimos o produto estrela como

 θ

= m

(θ

⊗ θ

) = (m ◦ F

−1

)(θ

⊗ θ

) (3.91)

e calculamos explicitamente

 θ

= −



−

, (3.92)

 θ



, (3.93)

 θ

= −

i

−

iη

+ θ

, (3.94)

de modo que os anticomutadores estrela s˜ao

{θ

, θ

}



= −2







, (3.95)

{θ

, θ

}



= 2







, (3.96)

{θ

, θ

}



= −2i







. (3.97)

Passando para coordenadas quirais

θ = θ

+ iθ

θ = θ

− iθ

, (3.98)

os anticomutadores estrela exprimem-se como

{θ, θ}



= −8







, (3.99)

{

θ,

θ}



= 0, (3.100)

{θ,

θ}



= 0, (3.101)

dando-nos a cliﬀordiza¸c˜ao em metade das coordenadas (setor quiral), como

obtido em [59] e [60].

Como H

= H, poder-se-ia pensar que o setor bosˆonico n˜ao sofre de-

forma¸c˜ao alguma. No entanto, considere o operador bosˆonico

W =

(



−



), (3.102)

que tamb´em ´e declarado primitivo, ou seja, ∆(W ) = W ⊗ 1 + 1 ⊗ W e

S(W ) = −W .

Se procedermos `a sua deforma¸c˜ao (fazendo, por simplicidade, η = 0),

obtemos que W

= W , pois [Q, W ] = −2HQ. N˜ao h´a, pois, deforma¸c˜ao no

n´ıvel alg´ebrico. O coproduto de W , no entanto, ´e deformado:

∆

(W ) = ∆(W ) −

2

(Q ⊗ QH + QH ⊗ Q), (3.103)

o que mostra que o setor bosˆonico n˜ao ´e inteiramente infenso `a deforma¸c˜ao

fermiˆonica.

3.2.2 O caso N = 4

Voltamos nossa aten¸c˜ao agora para a ´algebra de supersimetria N = 4

{



} = δ

H, (3.104)







= 0, (3.105)

(I, J = 1, 2, 3, 4) e aplicamos o twist

F = exp



⊗ Q



, (3.106)

onde η

´e diagonal e



− i



, (3.107)



− i



. (3.108)

Fazemos η

=  e η

= η.

O mesmo procedimento de antes nos permite calcular a deforma¸c˜ao dos

geradores





(



− i



)H, (3.109)



−

i

(



− i



)H, (3.110)



(



− i



)H, (3.111)



−

iη

(



− i



)H. (3.112)

Os coprodutos deformados s˜ao

∆

(



) = ∆(



) +



(



⊗ H − H ⊗



) −

i

(



⊗ H − H ⊗



∆

(



) = ∆(



) −

i

(



⊗ H − H ⊗



) −



(



⊗ H − H ⊗



∆

(



) = ∆(



) +

(



⊗ H − H ⊗



) −

iη

(



⊗ H − H ⊗



∆

(



) = ∆(



) −

iη

(



⊗ H − H ⊗



) −

(



⊗ H − H ⊗



(3.113)

A matriz-R universal ´e simplesmente F

−2

, permitindo o c´alculo dos co-

produtos deformados dos geradores deformados

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



2

(



− i



) ⊗ H, (3.114)

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



−

2i

(



− i



) ⊗ H, (3.115)

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



2η

(



− i



) ⊗ H, (3.116)

∆

(



) =



⊗ 1 + 1 ⊗



−

2iη

(



− i



) ⊗ H. (3.117)

Os ant´ıpodas s˜ao



) = −



2

(



− i



), (3.118)



) = −



−

2i

(



− i



), (3.119)



) = −



2η

(



− i



), (3.120)



) = −



−

2iη

(



− i



), (3.121)

de modo que os colchetes deformados s˜ao, como esperado,

{



}

= δ

, (3.122)







= 0. (3.123)

Examinamos agora a multiplica¸c˜ao deformada m

no espa¸co de fun¸c˜oes

de vari´aveis de Grassmann θ

, I = 1, . . . , 4, com a a¸c˜ao dos



s sobre o

m´odulo dada por



 θ

= δ

Com a deﬁni¸c˜ao j´a dada de produto estrela, tem-se

 θ

= −



, (3.124)

 θ



, (3.125)

 θ

= −

, (3.126)

 θ

; (3.127)

e todas as demais combina¸c˜oes coincidem com o produto grassmanniano or-

din´ario.

Passando para coordenadas quirais

= θ

+ iθ

, (3.128)

= θ

− iθ

, (3.129)

= θ

+ iθ

, (3.130)

= θ

− iθ

, (3.131)

os anticomutadores estrela s˜ao

{ζ

, ζ

}



= −8

, (3.132)

{ζ

, ζ

}



= 0, (3.133)

{ζ

, ζ

}



= 0, (3.134)

dando-nos novamente a cliﬀordiza¸c˜ao nas coordenadas quirais sem barra,

como em [59] e [60].

Para mostrar que o setor bosˆonico tamb´em sofre algum efeito do twist,

procedemos analogamente e introduzimos os operadores bosˆonicos hermitia-

nos

(



−



), (3.135)

(



−



), (3.136)

que s˜ao, novamente, considerados como elementos primitivos.

Sua ´algebra com os Q

s ´e

, W

] = −2HQ

(sem soma em i), (3.137)

de modo que n˜ao h´a deforma¸c˜ao no n´ıvel alg´ebrico, i.e, W

= W

. O mesmo

n˜ao se veriﬁca no n´ıvel coalg´ebrico, pois seus coprodutos deformados s˜ao

∆

) = ∆(W

) −

2η

⊗ Q

H + Q

H ⊗ Q

). (3.138)

Conclus˜ao

Neste trabalho provamos que ´e poss´ıvel construir a ´algebra universal envelo-

pante U(h) da ´algebra de Heisenberg, e deform´a-la por meio de um Drinfel’d

twist abeliano desde que o papel da extens˜ao central seja cuidadosamente le-

vado em conta, i.e., considerando-a como um elemento gen´erico da ´algebra de

Lie e n˜ao um m´ultiplo da identidade. Mostramos que os comutadores defor-

mados dos geradores deformados x

e p

do subespa¸co linear de U

(h) exi-

bem as mesmas constantes de estrutura da ´algebra original, ou seja, a ´algebra

, x

] = 0 ´e reproduzida pela deforma¸c˜ao: [x

, x

]

= 0. A n˜ao comutati-

vidade emerge no caso h´ıbrido, quando computamos o comutador ordin´ario

dos geradores deformados como [x

, x

] = iθ

. Mostramos tamb´em como

implementar um produto estrela no m´odulo, e como este produto tamb´em

d´a origem `a n˜ao comutatividade da forma [ˇx

, ˇx

]



= iθ

Passando ao formalismo de segunda quantiza¸c˜ao, os geradores de posi¸c˜ao

e momento da ´algebra de Heisenberg s˜ao realizados como bilineares integra-

dos dos campos e osciladores (modos de Fourier) de Schr¨odinger. Constr´oi-se

a ´algebra universal envelopante da ´algebra dos osciladores e vˆe-se que a es-

trutura de ´algebra de Hopf da ´algebra de Heisenberg n˜ao ´e corretamente re-

produzida (a falha ´e nas coestruturas). Mostramos que o problema ´e inteira-

mente sanado e a estrutura completa de ´algebra de Hopf da ´algebra de Heisen-

berg ´e corretamente induzida se adotarmos, simultaneamente, o ordenamento

de Weyl e a prescri¸c˜ao de Wigner de encarar os osciladores de Schr¨odinger

como geradores de uma super´algebra apropriada, como osp(1|2n). Levando

em conta a natureza ´ımpar (oposta `a real natureza f´ısica) dos osciladores,

pode-se obter corretamente a ´algebra de Hopf U(h) e deform´a-la em U

(h). A

deforma¸c˜ao de U(h) ´e inteiramente compat´ıvel com a deforma¸c˜ao da ´algebra

dos osciladores b´asicos.

Por ﬁm, investigamos as deforma¸c˜oes da ´algebra de Heisenberg fermiˆonica

e da mecˆanica quˆantica supersim´etrica unidimensional N -estendida por meio

de um twist abeliano. Apresentamos duas constru¸c˜oes poss´ıveis. Primeiro,

para valores pares de N , pode-se proceder `a identiﬁca¸c˜ao com a ´algebra

de Heisenberg fermiˆonica, obtendo-se a mesma deforma¸c˜ao com a troca dos

s´ımbolos. Alternativamente, pode-se adotar a representa¸c˜ao de superespa¸co,

em que a ´algebra da mecˆanica quˆantica supersim´etrica ´e realizada em ter-

mos de operadores pertencentes `a super´algebra universal envelopante gerada

por um oscilador bosˆonico e m´ultiplos osciladores fermiˆonicos, e deformar

a ´algebra de supersimetria neste cen´ario. Tanto em termos de geradores

deformados quanto de um produto deformado corretamente deﬁnido num

m´odulo, reobtivemos, num contexto matem´atico mais geral, resultados de

cliﬀordiza¸c˜ao da literatura. Mostramos que, mesmo tratando-se de um twist

fermiˆonico, o setor bosˆonico da teoria sofre deforma¸c˜ao em seus estados de

muitas part´ıculas, como se depreende da deforma¸c˜ao do coproduto. Os mo-

delos considerados admitem derivadas fermiˆonicas que violam a regra de

Leibniz Z

-graduada.

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