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SÉRGIO LUCIANO ÁVILA
OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
PARA
CONCEPÇÃO DE DISPOSITIVOS
APLICAÇÃO:
S
ÍNTESE DE ANTENAS REFLETORAS PARA COMUNICAÇÃO VIA SATÉLITE
FLORIANÓPOLIS
2006
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
P
ROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
EM ENGENHARIA ELÉTRICA
O
TIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
PARA
CONCEPÇÃO DE DISPOSITIVOS
APLICAÇÃO:
S
ÍNTESE DE ANTENAS REFLETORAS PARA COMUNICAÇÃO VIA SATÉLITE
Tese submetida à
Universidade Federal de Santa Catarina
como parte dos requisitos para a
obtenção do grau de Doutor em Engenharia Elétrica
Sérgio Luciano Ávila
Florianópolis, Fevereiro de 2006
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OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
PARA
CONCEPÇÃO DE DISPOSITIVOS
APLICAÇÃO:
S
ÍNTESE DE ANTENAS REFLETORAS PARA COMUNICAÇÃO VIA SATÉLITE
Sérgio Luciano Ávila
‘Esta Tese foi julgada adequada para a obtenção do Título de Doutor em Engenharia Elétrica,
Área de Concentração em Eletromagnetismo e Dispositivos Eletromagnéticos, e aprovada
em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da
Universidade Federal de Santa Catarina.’
Prof. Walter Pereira Carpes Junior, Dr.
Orientador
Prof.
Alexandre Trofino Neto, Dr.
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Banca Examinadora:
Prof. Walter Pereira Carpes Junior, Dr.
Orientador - Brasil
Director de Recherche Laurent Krahenbhul, Dr.
Orientador - França
Prof. José Ricardo Bergmann, Dr.
Co–Orientador
Prof. João Antônio de Vasconcelos, Dr.
Prof. João Pedro Assumpção Bastos, Dr.
Prof. Renato Carlson, Dr.
Agradecimentos
Esta tese foi realizada em duas instituições: Universidade Federal de Santa Catarina
(UFSC) e Ecole Centrale de Lyon (ECL). Além desta cooperação, foi realizado um estágio
na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Isto posto, fazem-se
necessários os seguintes agradecimentos:
Ao orientador brasileiro deste trabalho, Senhor Walter P. Carpes Jr., professor
do Departamento de Engenharia Elétrica EEL/UFSC, por ter me acolhido no Grupo
de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos (GRUCAD). Eu o
agradeço por toda a confiança e apoio incondicional às minhas decisões.
Ao orientador francês Monsieur Laurent Krähenbühl, directeur de recherche au
CNRS do Centre de Génie Electrique de Lyon (CEGELY/ECL), por ter me acolhido
durante minha estada na França. Qu’il sache que c’est avec une grande sincérité que
je rends hommage aux qualités scientifiques dont il a toujours fait preuve.
Ao co-orientador Senhor José R. Bergmann, professor e coordenador central de
pós-graduação e pesquisa da PUC-Rio, por ter me acolhido no Centro de Estudos em
Telecomunicações (CETUC). Que ele encontre aqui toda a expressão de meu
profundo reconhecimento por seus conhecimentos técnicos e qualidades humanas.
Por terem aceitado o convite para ser membro das bancas examinadoras, pelo interesse em
meu trabalho e pelas valiosas sugestões, meus mais sinceros agradecimentos:
Ao relator do texto em português, Senhor João A. Vasconcelos, professor do DEE da
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e membro do Grupo de Otimização e
Projeto Assistido por Computador (GOPAC). A ele minha gratidão também pelos
inúmeros trabalhos realizados em conjunto desde sua co-orientação em meu mestrado.
Ao relator do texto em francês, Senhor João P. A. Bastos, professor do
EEL/GRUCAD/UFSC. A ele sou grato também por conselhos de toda ordem dados
ao longo de meus estudos.
Ao relator deste texto em francês, Monsieur Jean-Louis Coulomb, professeur
des universités do Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble. Qu’il trouve ici
l’expression de ma profonde reconnaissance.
Ao Senhor Renato Carlson, professor e pesquisador do EEL/GRUCAD/UFSC.
Por me conceder a honra de tê-lo como membro da banca de avaliação.
Devido às minhas andanças, preciso agradecer também:
Aos professores, alunos e funcionários do GRUCAD/UFSC, por terem me acolhido
durante aproximadamente cinco anos (mestrado e doutorado). Minha gratidão especial à
sempre solidária Senhorita Celly D. Mello, secretária executiva deste laboratório.
Aos professores, alunos e funcionários do CEGELY/ECL, por terem me
atendido na plenitude de meus anseios durante meu período na França. Je voudrais
remercier tout particulièrement Madame Josiane Chabert et Monsieur Philippe
Billoux, gestionnaire et assistant de direction, respectivement, par leur aide et les
conseils pour ma « vie française ».
Aos professores, alunos e funcionários do CETUC/PUC-Rio, que durante meu
estágio não pouparam esforços para o bom andamento de meus estudos na cidade do
Rio de Janeiro. Meus agradecimentos particulares à Senhora Célia M. Pereira,
assistente da Coordenação Central de Pós-Graduação e Pesquisa.
Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica (PGEEL/UFSC), que
sempre se mostrou solícito aos meus pedidos. Minha gratidão aos Senhores Wilson
S. Costa e Marcelo M. Siqueira, secretários sempre presentes.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq),
organismo do governo brasileiro, por financiar meu doutorado e também meu estágio
na PUC-Rio.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES),
organismo do governo brasileiro, por financiar meu estágio no CEGELY/ECL.
Eu destino esta última parte a meus próximos:
Agradeço a todos os amigos que conquistei por onde passei, em especial a Xisto
L. Travassos Jr. (CEGELY), Adriano C. Lisboa (GOPAC) e Jean V. Leite
(GRUCAD) pela amizade e pelos inúmeros trabalhos realizados em conjunto. A eles
minha admiração e estima.
À minha querida Ticiana C. Frigo, por me apoiar e me esperar durante a
realização de meus estudos.
Enfim, eu agradeço calorosamente à minha família, em especial aos meus pais, a
quem dedico esta tese. Obrigado por sempre respeitarem minhas escolhas e por
acreditarem em mim. É graças a vocês que concretizo este sonho.
Resumo da Tese apresentada à UFSC e à ECL como parte dos requisitos necessários para a
obtenção do grau de Doutor em Engenharia Elétrica.
Otimização Multiobjetivo e Análise de Sensibilidade
para Concepção de Dispositivos
Sérgio Luciano Ávila
Fevereiro / 2006
Orientador (Brasil) : Walter Pereira Carpes Junior, Dr.
Orientador (França) : Laurent Krähenbühl, Dr.
Área de Concentração : Eletromagnetismo e dispositivos eletromagnéticos
Palavras-chave :
Otimização multiobjetivo, algoritmos genéticos, análise de sensibilidade,
dispositivos eletromagnéticos, antenas refletoras, satélite.
Número de Páginas : 155
A concepção de produtos de alta qualidade geralmente envolve a resolução de problemas
com múltiplos objetivos conflitantes e espaços de busca complexos. Os métodos de otimização
evolucionária multiobjetivo são considerados como ferramentas apropriadas para a resolução
desses problemas de alto grau de dificuldade.
Esta tese, além de apresentar uma breve revisão sobre conceitos e métodos de otimização,
detalha a implementação de um ‘Algoritmo Genético MultiObjetivo’ (AGMO) aliado a análises de
sensibilidade para a otimização de dispositivos. A intenção é proporcionar ao engenheiro não apenas
uma vasta gama de possíveis soluções (o que facilita negociações com seu cliente), mas também a
possibilidade de conhecer melhor seu próprio problema.
O presente trabalho traz duas contribuições principais:
Um algoritmo de otimização que trata os espaços de parâmetros e objetivos com igual
importância, tornando mais fácil o processo de busca por soluções ótimas;
O desenvolvimento e incorporação de estudos de sensibilidade, com o intuito de verificar
o quão estáveis são as soluções obtidas e de testar o ‘modelo’ adotado pelo engenheiro para
representação de seu problema.
Inúmeros exercícios (projetos) envolvendo o eletromagnetismo foram resolvidos a fim de
avaliar a metodologia proposta; a principal aplicação é a otimização de antenas refletoras embarcadas
em satélite. O desempenho e as características do AGMO em cada problema são discutidos. Apesar
de estas discussões terem sido feitas para problemas específicos, elas são gerais e suas conclusões
podem ser estendidas para qualquer tipo de projeto.
vii
Résumé de thèse, présenté à l’UFSC et à l’ECL comme partie des pièces nécessaires
à l’obtention du grade de Docteur en Génie Electrique.
Optimisation multiobjectif et analyse de sensibilité
appliquées à la conception de dispositifs
Sérgio Luciano Ávila
Février 2006
Directeur de recherche (Brésil) : Dr. Walter Pereira Carpes Junior
Directeur de recherche (France) : Dr. Laurent Krähenbühl
Domaine : Electromagnétisme et dispositifs électromagnétiques
Mots-clés : Optimisation multiobjectif, algorithmes génétiques, analyse de
sensibilité, dispositifs électromagnétiques, antennes à réflecteurs,
satellite.
Nombre de pages : 155
La conception de produits de haute qualité inclut généralement la résolution de problèmes à
objectifs multiples antagonistes dans des espaces de recherche complexes. Les méthodes
d’optimisation évolutionnaires multiobjectif sont considérées comme des outils appropriés pour la
résolution de ces problèmes difficiles.
Cette thèse présente une brève revue des concepts et méthodes d’optimisation et détaille en
outre l’implémentation d’un « Algorithme Génétique MultiObjectif » (AGMO) associé à des
analyses de sensibilité pour l’optimisation de dispositifs. Le but est de fournir à l’ingénieur non
seulement une ample variété de solutions (ce qui facilite les négociations avec son client), mais
aussi la possibilité de mieux analyser son propre problème.
Ce travail comprend deux contributions principales :
Un algorithme d’optimisation qui traite les deux espaces, celui des paramètres et celui
des objectifs, sans en privilégier un, ce qui rend plus facile le processus de recherche des
solutions optimales ;
Le développement et l'intégration d’études de sensibilité, destinées à vérifier la stabilité
des solutions obtenues, et à tester le modèle adopté par l’ingénieur pour la représentation
de son problème.
Plusieurs exemples concernant l’électromagnétisme ont été analysés pour évaluer la
procédure proposée ; la principale application est l’optimisation des antennes à réflecteurs pour des
systèmes de satellites. La performance et les caractéristiques de l’AGMO sont discutées pour chaque
problème. Même si ces discussions ont été proposées pour les quelques exemples spécifiques
présentés, elles sont généralisables et leurs conclusions s'appliquent à n’importe quel projet.
viii
Abstract of Thesis presented to UFSC and to ECL as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor in Electrical Engineering.
Multi-Objective Optimization and Sensitivity Analysis for
Conception of the Devices
Sérgio Luciano Ávila
February / 2006
Advisor (Brazil) : Walter Pereira Carpes Junior, Dr.
Advisor (France) : Laurent Krähenbühl, Dr.
Area of Concentration : Electromagnetism and Electromagnetic Devices
Keywords :
Multi-objective optimization, genetic algorithm, electromagnetic devices,
sensitivity analysis, shaped reflector antennas, satellites.
Number of Pages : 155
The design of high quality products generally involves the resolution of problems with
multiple conflicting objectives and complex search spaces. Multi-objective evolutionary optimization
methods are considered as an efficient tool to analyze these highly difficult problems.
This thesis, besides presenting a brief review about optimization concepts and methods,
also describes the implementation of a multi-objective genetic algorithm (AGMO) associated to
sensitivity analysis for optimization of devices (projects). The aim is to provide engineers not only
several possible solutions (facilitating negotiations with his/her client), but also the possibility of a
deeper understanding of the analyzed problem.
The present work brings two main contributions:
An optimization algorithm that deal with parameters space and objective space with the
same importance, making easy the search process for optimal solutions;
The development and integration of sensitivity studies, whose goal is to verify how
stable the obtained solutions are as well as to test the ‘model’ adopted by the engineer as
representation of his/her problem.
Many projects involving electromagnetism were considered to evaluate the procedure
proposed; the main application consists in the optimization of an antenna in a satellite system.
Remarks are done concerning the action and the characteristics of the AGMO in the analyzed
problems. Even if the discussion is based on specific problems, it is general and the conclusions can
be extended to any design problem.
ix
Sumário x
Sumário
Resumos
vii
Capítulo Primeiro: Introdução
1
1.1 Justificativa 2
1.2 Aplicação prática: síntese de antenas refletoras para satélites 4
1.3 Objetivos e contribuições 5
1.4 Histórico 7
1.5 Organização do texto 9
Capítulo Segundo:
Otimização Multiobjetivo
11
2.1 Conceitos básicos e terminologia sobre otimização 11
2.2 Problema multiobjetivo 13
2.2.1 Comparação de vetores
15
2.2.2 Dominância por Pareto
16
2.2.3 Otimalidade de Pareto
17
2.2.4 Conjuntos não-dominados e/ou fronteiras
17
2.3 Exemplo de problema multiobjetivo 19
2.4 Procura e decisão 20
2.5 Dificuldades adicionais de problemas multiobjetivos 22
2.6 Métodos não-lineares para busca de soluções 22
2.6.1 Métodos de ‘direção de busca’
23
2.6.2 Métodos de ‘exclusão de semi-espaços’
24
2.6.3 Métodos de ‘busca por populações’
25
2.7 Considerações sobre métodos de busca, problema multiobjetivo e eletromagnetismo 26
Sumário xi
Capítulo Terceiro: Algoritmo Genético MultiObjetivo – AGMO
28
3.1 Algoritmo genético 28
3.2 Estado da arte do algoritmo genético multiobjetivo 30
3.3 Principais preocupações na busca multiobjetivo 32
3.4 Algoritmo genético multiobjetivo proposto: três populações correntes 34
3.4.1 Extração das soluções não-dominadas
39
3.4.2 Redução do espaço de busca
40
3.4.3 Espaçamento entre soluções não-dominadas
41
3.4.4 Construção da população de trabalho POPREAL
43
3.4.5 Técnica de nicho
44
3.4.6 Processo de seleção
47
3.4.7 Cruzamento e mutação
48
3.4.8 Considerações sobre restrições aos parâmetros
51
3.4.9 Elitismo global
52
3.5 Problemas teste 52
3.5.1 Problema analítico Schaffer F3
52
3.5.2 Problema analítico Parábolas
54
3.5.3 Função analítica Himmelblau transformada em um problema multiobjetivo
56
3.5.4 Problema ‘Superconducting Magnetic Energy Storage’
58
3.5.5 Configuração ótima para a ‘Perfectly Matched Layer’
61
3.6 Conclusões 65
Capítulo Quarto: Antenas Refletoras Embarcadas em Satélite
67
4.1 Tópicos sobre sistemas satélite 70
4.1.1 Análise eletromagnética de uma antena refletora
71
4.1.2 Eficiência de cobertura
74
4.1.3 Dimensionamento do número de pontos de amostragem sobre a área de cobertura
76
4.1.4 Dimensionamento do número de pontos de amostragem sobre a superfície refletora
78
4.1.5 Conformação da superfície refletora
79
4.1.6 Posicionamento dos alimentadores e iluminação das bordas dos refletores
80
4.2 Projeto BRASILSAT 82
4.3 Projeto Reconfigurabilidade 85
Sumário xii
4.4 Projeto Reuso de freqüências 91
4.5 Comentários sobre a interação AGMO e os problemas de otimização 97
Capítulo Quinto: Análise de Sensibilidade
101
5.1 Análise de sensibilidade sobre os parâmetros de otimização 102
5.1.1 Funções analíticas
103
5.1.2 Antena Yagi-Uda
106
5.1.3 Considerações sobre o método
109
5.2 Análise de sensibilidade sobre parâmetros predeterminados 110
5.3 Estudo de sensibilidade de uma antena refletora embarcada em satélite 112
5.3.1 Sensibilidade sobre os parâmetros de otimização indiretos de uma antena refletora
112
5.3.2 Sensibilidade sobre especificações fixas de uma antena refletora embarcada
113
5.3.3 Escolha da solução final – Antena refletora embarcada em satélite
115
5.4 Conclusões 116
Conclusão Geral e Propostas de Continuidade
117
Anexo I
Considerações sobre Posicionamento do Satélite
122
Anexo II Correntes Equivalentes de Borda
126
Anexo III Polinômios de Jacobi Modificado
128
Anexo IV Considerações sobre Métodos de Sensibilidade
132
Anexo V
‘Optimal’ – Ferramenta Multimídia para Ensino
de Otimização em Engenharia
134
Referências bibliográficas
136
Referências bibliográficas do autor
145
Capítulo I - Introdução 1
“Naturalmente deves trabalhar de maneira a não atentar contra a própria consciência.”
Como se faz uma Tese, Umberto Eco [1].
Introdução
A competitividade entre as empresas está cada vez mais acirrada. A constante
procura por desenvolvimento tecnológico, o qual fará a diferença dos seus produtos no
mercado, é a força motriz das empresas no mundo contemporâneo. Assim, fica flagrante a
necessidade da busca por ferramentas de análise que proporcionem aos projetistas recursos
para aperfeiçoamento de seus dispositivos. Este é o principal objetivo deste trabalho: o
desenvolvimento de uma ferramenta eficiente de otimização e análise. Deseja-se obter uma
metodologia versátil e robusta, capaz de solucionar problemas complexos.
A palavra ‘otimização’ já se tornou corriqueira, sendo que muitos que a
empregam não têm conhecimento de ferramentas específicas para tal fim. Por exemplo, o
engenheiro que busca sempre o máximo desempenho de seu produto, sem contrariar as
especificações de mínimo custo do projeto. Estes processos de maximização e
minimização podem ser, grosso modo, chamados de otimização. Otimizar significa
buscar a melhor solução para um determinado problema.
Uma das aplicações práticas da ferramenta elaborada neste trabalho é a
otimização de antenas refletoras. O principal alvo é obter dispositivos aptos a integrar
sistemas de comunicação via satélite. Os problemas propostos e as soluções obtidas são
analisados em detalhe, de modo a esclarecer pontos cruciais na síntese de antenas
embarcadas em satélite. Adiciona-se a estas análises uma ampla discussão sobre os
pormenores da interação entre o problema, o projetista e o método em si, fazendo com
que as experiências aqui obtidas possam ser úteis para a resolução de qualquer projeto
envolvendo otimização.
Capítulo I - Introdução 2
1.1 Justificativa
Existem muitos métodos de otimização e cada um deles alcança melhores resultados
em determinados tipos de problema [A1-A2]
1
. A escolha do método depende de uma série
de características do problema a ser otimizado, principalmente do comportamento da função
que o representa, a qual muitas vezes é de difícil determinação. Para esta escolha, faz-se
necessário também um bom conhecimento das ferramentas de otimização.
De acordo com as características dos problemas, podem-se classificar as
ferramentas de otimização em dois grandes grupos: programação linear e programação
não-linear (Luenberger [2], Bazaraa et al. [3], Bertsekas [4], dentre outros). O primeiro
grupo trata da resolução de problemas que sejam perfeitamente representados por um
sistema de equações lineares. A programação não-linear trata de problemas não lineares.
De acordo com Bazaraa et al. [3], as técnicas para programação não-linear podem
ser subdivididas em três subgrupos: métodos determinísticos, estocásticos e enumerativos.
Os métodos determinísticos são baseados no cálculo de derivadas do problema, ou em
aproximações destas. Necessitam, portanto, de alguma informação do vetor gradiente, seja
procurando o ponto onde ele se anula ou usando a direção para a qual aponta. Os métodos
estocásticos utilizam um conjunto de ações probabilísticas que buscam a solução ótima de
maneira ‘aleatória orientada’, sem necessitar de qualquer informação de derivadas ou sobre
o comportamento do problema. Já os métodos enumerativos fazem uma varredura
completa (busca exaustiva) de todas as possíveis soluções, o que, na maior parte dos
problemas, implica em um tempo excessivo de cálculo.
Na engenharia, particularmente em eletromagnetismo, os problemas são geralmente
complexos, não-lineares, de difícil representação e necessitam de métodos numéricos para
se obter a solução (Bastos & Sadowski [5] e Balanis [6], por exemplo). Por isto,
ferramentas de programação não-linear estocásticas são as mais aptas para a otimização
destes problemas. Dentre os métodos estocásticos, existe um que vem obtendo destaque
devido à sua robustez, simplicidade de implementação e por poder funcionar sem a
necessidade do conhecimento do comportamento do problema: os Algoritmos Genéticos
(AGs) – apresentado inicialmente por Holland [7] e posteriormente por Goldberg [8].
1
Referências bibliográficas do autor em lista à parte.
Capítulo I - Introdução 3
Inúmeras pesquisas já foram realizadas qualificando os AGs para otimização de problemas
em eletromagnetismo, conforme descrito em Haupt [9], Johnson & Rahmat-Samii [10],
Weile & Michielssen [11] e Vasconcelos et al. [12], por exemplo.
No que se refere à otimização, existe outra importante consideração. Em muitos
problemas, a solução ótima não leva em conta uma única característica que deve ser
minimizada ou maximizada (abordagem monoobjetivo), mas várias. Normalmente, estas
características devem ser consideradas simultaneamente na busca pela melhor solução. Por
exemplo, um engenheiro não pode conceber um equipamento pensando exclusivamente em
obter o melhor desempenho. Também é necessário que o produto final obedeça ao nível
máximo de ruído permitido e que o consumo assim como o custo deste equipamento sejam
os menores possíveis. Neste caso, uma abordagem multiobjetivo do problema faz-se
necessária (Coello [13], Veldhuizen et al. [14], Vasconcelos & Dias [15], Di Barba &
Mognaschi [16], Coulomb & Lebensztajn [17], dentre outros). A principal diferença deste
tipo de abordagem é a maneira de apresentar os resultados. Como os objetivos são
freqüentemente conflitantes ou antagonistas, ou seja, a melhora de um acarreta na
deterioração de outro(s), a resposta de um problema multiobjetivo não corresponde a uma
única solução ótima, mas sim a um grupo de soluções que caracteriza o comprometimento
entre os diversos objetivos. Entender este comprometimento leva o projetista/engenheiro a
compreender melhor seu problema, o que lhe permite obter um produto melhor.
Se ainda forem considerados aspectos de ordem prática (imprecisão na construção,
por exemplo), é necessário verificar se a qualidade de uma solução permanece aceitável
quando os parâmetros a ela associados sofrem pequenas variações. Como ilustração, a
obtenção de uma asa de avião que produza um ganho fenomenal em eficiência aerodinâmica
pode não significar grande vantagem se, com a variação de alguns milímetros em sua
posição (causada por trepidação, por exemplo), este ganho seja completamente diferente.
Assim, a maximização da imunidade da solução às perturbações pode se tornar um novo
objetivo na obtenção da solução ótima. Em projetos práticos é necessária, portanto, uma
análise de sensibilidade das soluções obtidas pelo processo de otimização (Meneguim [18],
Takahashi et al. [19], Lisboa [20], Barthold [21], dentre outros).
De acordo com o que foi apresentado até o momento, tem-se como razão de
desenvolvimento desta tese a elaboração de um Algoritmo Genético Multiobjetivo
(AGMO) que inclua estudos de sensibilidade. Esta ferramenta deverá ser capaz de resolver
Capítulo I - Introdução 4
problemas de grande complexidade, como o caso de aplicações dedicadas de antenas
refletoras embarcadas em satélite, descritas a seguir.
1.2 Aplicação Prática: Síntese de Antenas Refletoras para Satélites
Antenas refletoras têm sido comumente embarcadas em satélites geoestacionários
de maneira a prover uma cobertura eficiente em áreas de serviço (Balanis [6], Angeletti et
al. [22], Bergmann [23], Bergmann & Hasselmann [24], dentre outros). Em um projeto
realista, além de atender a cobertura desejada com alto desempenho (eficiência e ganho
diretivo elevado), é necessário satisfazer uma série de demandas suplementares como:
sistema operando com larga banda de freqüências e explorando o seu reuso; isolação entre
as freqüências utilizadas; reconfigurabilidade (capacidade de mudar o diagrama de
radiação através de comandos acionados da terra); estabilidade mecânica (variações
milimétricas não devem influenciar o desempenho da antena, o que pressupõe uma análise
de sensibilidade), etc. Estas exigências definem cenários em que o projeto de uma antena
deve satisfazer simultaneamente múltiplos objetivos, os quais sejam antagonistas ou não.
Existem inúmeras configurações usadas para antenas embarcadas em satélites
(Balanis [6]). O conjunto formado por um único refletor com superfície conformada
2
e
um(vários) alimentador(es) se destaca principalmente quando se deseja uma aplicação
dedicada de seu diagrama de radiação, ou seja, quando se quer alterar a forma de sua área
de cobertura. Metodologias de otimização são aplicadas, tanto para o correto
posicionamento do sistema refletor × alimentador(es) como para ajustar a forma da
superfície refletora, de modo a satisfazer as especificações de projeto para a área de
cobertura
3
. Os métodos usualmente utilizados para este fim são os determinísticos, que
além das dificuldades já citadas na seção anterior, produzem uma única solução final
(Bergmann & Pereira [25], Duan & Rahmat-Samii [26], dentre outros). O projetista fica,
portanto, sem liberdade de escolha, cabendo a ele apenas aceitar a solução obtida. Um
melhor entendimento do dispositivo e do problema como um todo fica comprometido.
Neste trabalho o AGMO será usado em colaboração com análises de sensibilidade para
estudar a síntese de antenas refletoras embarcadas. Dentre a grande variedade de possíveis
problemas, consideraram-se três: variações de situações envolvendo satélites BRASILSAT –
2
Ondulações na superfície do refletor de maneira a adaptar o diagrama de radiação às exigências de projeto.
3
Cobertura é a área terrestre que se deseja ‘iluminar’ pelo satélite.
Capítulo I - Introdução 5
TELEBRAS (Bergmann & Hasselmann [24], [A3]); o exercício em que através de um único
refletor conformado com posição ajustável e um único alimentador fixo deseja-se iluminar três
continentes – caracterizando reconfigurabilidade [A4]; e por fim, o caso de um único refletor
conformado fixo e dois alimentadores – caracterizando reuso de freqüências [A5]. O AGMO é
o responsável pelo ajuste das estruturas para a resolução dos problemas propostos e por
facilitar a compreensão dos conflitos entre os diversos objetivos.
Dois tipos de estudos serão realizados considerando a análise de sensibilidade, os
quais também acarretam uma melhor compreensão do problema: o primeiro refere-se aos
efeitos de imprecisões na construção e/ou dilatação térmica etc. (abordando os parâmetros
de otimização [A6]); o segundo estudo, relativo a parâmetros não constituintes do processo
de otimização, constitui a chamada sensibilidade aos parâmetros fixos do modelo (por
exemplo, o deslocamento do satélite para fora de sua órbita de referência [A7]). Estas duas
análises são complementares e em conjunto com o AGMO proporcionam ao projetista um
melhor conhecimento do seu problema, possibilitando assim uma melhor resposta final.
Como mostra o capítulo quarto – Antenas Refletoras – os problemas propostos
possuem especificações fortemente restritivas, com muitos objetivos conflitantes e grande
número de parâmetros a serem ajustados. Tudo isto configura um problema complexo e
difícil, deixando ao projetista, por mais experiência que possua, pouca liberdade para
prever qual seria a configuração ideal ou mesmo pouca noção dos resultados que podem
ser alcançados pela estrutura otimizada. Estas características compõem, portanto, um bom
teste para a metodologia de otimização proposta. De posse dos resultados gerados pelo
AGMO e dos estudos complementares realizados pela análise de sensibilidade, o projetista
aprende com o próprio problema e pode, se desejar, reiniciar o projeto com novas
exigências e configurações de modo a obter soluções finais melhores.
Na seqüência estão expostas as contribuições gerais desta tese.
1.3 Objetivos e Contribuições
O principal alvo e contribuição deste trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta
de otimização estocástica multiobjetivo que, em conjunto com as análises de sensibilidade,
permita a resolução de problemas complexos. Esta metodologia deverá ter aplicabilidade nos
mais diversos tipos de problemas, sendo, portanto, uma ferramenta versátil e robusta.
Capítulo I - Introdução 6
O AGMO proposto foi baseado na união de técnicas consagradas pela comunidade
científica, buscando sempre aumentar a eficiência de convergência do método. Também
foi sempre preocupação, desde o início dos estudos, a busca por um algoritmo
‘equilibrado’, concedendo o mesmo grau de importância ao espaço de objetivos e ao
espaço de parâmetros. Este balanceamento acarreta em uma melhor exploração do
problema, facilitando por conseqüência a obtenção das soluções eficientes. Para isto,
mudanças em praticamente todo o código base foram necessárias [A8].
As metodologias para análise de sensibilidade desenvolvidas neste trabalho só
foram possíveis devido ao melhor funcionamento do AGMO, a saber, esta atenção igual
dada aos espaços de objetivos e de parâmetros. São duas diferentes abordagens que
constituem contribuições desta tese: análise de sensibilidade baseada em uma métrica que
relaciona objetivos e parâmetros [A6], a qual não necessita de esforços computacionais
adicionais; e análise de sensibilidade sobre especificações fixas do projeto [A7]. Esta
última foi adaptada do trabalho de Régnier [27].
O desenvolvimento de uma ferramenta eficiente para a análise eletromagnética da
antena refletora também foi necessária. A descrição das configurações e as discussões sobre
inúmeros aspectos práticos envolvidos que tornaram os problemas a serem otimizados
próximos das condições reais, também constitui uma contribuição deste trabalho. No que se
refere ao caráter inovador da tese, pode-se afirmar que a resolução por otimização
multiobjetivo com análises de sensibilidade em problemas de reconfigurabilidade [A4] e reuso
de freqüências [A5] para antenas refletoras embarcadas em satélites, é inédita.
É importante ressaltar que a ferramenta de otimização proposta aqui tem grande
aplicabilidade, não sendo apenas capaz de resolver o problema da antena apresentado. Este
tipo de proposta já foi objetivo da dissertação de mestrado [A9]: quando foi desenvolvido
um algoritmo genético monoobjetivo. A facilidade de adaptação e a generalidade da
metodologia elaborada naquela oportunidade resultaram em trabalhos em parceria com
outros autores para outras aplicações que as de antenas refletoras (por exemplo, Leite &
Avila et al. [A10]). Um exemplo do sucesso da aplicabilidade dos métodos e
procedimentos aqui apresentados é descrito em Travassos & Avila et al. [A11].
No período de todos estes estudos, existiram ainda objetivos e contribuições
‘paralelas’ que não são detalhadas no corpo deste texto, mas que são importantes dentro do
contexto geral da tese:
Capítulo I - Introdução 7
Elaboração de uma ferramenta pedagógica interativa para o ensino de otimização
em engenharia [A1], apresentada no Anexo V. O programa desenvolvido já se
encontra disponível, contudo o processo de correções e incremento de novas
potencialidades é contínuo;
Preparação de material didático sobre antenas refletoras e sobre o problema de
comunicações via satélite.
Foi o Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos
(GRUCAD) quem teve a iniciativa do tema de tese, tanto com relação à otimização como
às antenas refletoras. Em virtude do GRUCAD não possuir, até então, pouca experiência
nestes domínios, estágios em outros laboratórios foram realizados visando o melhor
andamento dos estudos. Estes estágios estão registrados na própria seção.
1.4 Histórico
O início deste trabalho ocorreu em novembro de 2002. O tempo previsto para a sua
realização foi de 40 meses (3 anos e 4 meses – Pós-Graduação Integrada – Conselho
Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq). Dividiu-se a pesquisa em
etapas para que os objetivos fossem atendidos dentro do tempo previsto.
O levantamento bibliográfico sobre os diversos assuntos aqui tratados foi realizado
durante todo o período acima mencionado. Isto facilitou o acompanhamento do estado da
arte bem como o desenvolvimento das atividades.
Na primeira etapa (fim 2002 e 2003) foram concluídos os créditos (disciplinas)
necessários à obtenção do título de Doutor. No mesmo ano foi dado início aos estudos
sobre otimização multiobjetivo com a ajuda dos algoritmos genéticos.
No segundo ano (2004), deu-se continuidade ao desenvolvimento do AGMO e foi
realizado o estudo de metodologias para a análise de sensibilidade. Neste contexto, foi
importante o estágio de onze meses no Centre de Génie Electrique de Lyon (CEGELY) da Ecole
Centrale de Lyon (ECL), sob orientação do Directeur de Recherche Laurent Krähenbühl, na
cidade de Lyon, França. Este estágio de doutoramento no exterior foi essencialmente financiado
pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES, sob processo
número BEX1535/03-0. A competência deste laboratório em projetos envolvendo dispositivos
eletromagnéticos é reconhecida pela comunidade científica internacional. Nesta época também,
Capítulo I - Introdução 8
como um projeto para a ECL, foi iniciado o desenvolvimento da ferramenta pedagógica
interativa para otimização. Importante salientar, enfim, que uma convenção de co-tutela de tese
foi assinada entre a ECL e a UFSC. Este acordo possibilita dois diplomas de Doutor, no Brasil e
na França. Para isto, é exigida a defesa deste trabalho perante um júri reconhecido pela França, e
que o texto seja também escrito em língua francesa.
No início do ano seguinte (2005), de volta ao Brasil, foi realizado o estudo de
métodos para a análise eletromagnética de antenas refletoras e a elaboração de problemas-
teste. De modo a facilitar este aprendizado, foi realizado um estágio no Centro de Estudos
em Telecomunicações (CETUC) da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
(PUC-RJ), sob orientação do Professor José Ricardo Bergmann, na cidade do Rio de
Janeiro. Este estágio de doutoramento no país foi financiado pelo CNPq, sob processo
número 304794/2004-0. O CETUC foi o primeiro laboratório de pesquisa no Brasil
dedicado às Telecomunicações. A grande experiência deste laboratório e suas intensas
colaborações com empresas, inclusive internacionais, foram fatores importantíssimos para
a elaboração dos problemas apresentados neste trabalho, os quais são demandas para a
próxima década no mercado mundial de telecomunicações por satélite.
De volta à UFSC, em agosto de 2005, foi iniciado o processo de redação desta tese.
Obviamente, seguiam em paralelo as revisões do código da ferramenta de otimização, do
programa multimídia e também a resolução dos exercícios da antena. Após o término da
redação em língua portuguesa, ocorreu a transcrição do texto para a língua francesa. A
defesa do trabalho ocorreu em fevereiro de 2006.
É importante ressaltar que em conjunto com estas atividades existem outras também
relevantes, como a realização de 3 estágios de docência e a publicação de 22 artigos
científicos referentes ao trabalho desenvolvido. Foi possível participar com presença efetiva
em 8 congressos e conferências, tanto sobre otimização quanto sobre eletromagnetismo
4
.
Não se pode esquecer de mencionar aqui um importante estágio realizado durante o
mestrado no Grupo de Otimização e Projeto Assistido por Computador (GOPAC/UFMG),
sob orientação do Professor João Antonio Vasconcelos, em Belo Horizonte. Este estágio de
mestrado no país foi financiado pelo Programa Nacional de Cooperação Acadêmica –
PROCAD – da CAPES, sob processo número 0249/00-9. Neste período ocorreu um
avanço significativo nos estudos sobre otimização.
4
Lista de eventos com participação efetiva nas referências bibliográficas do autor.
Capítulo I - Introdução 9
1.5 Organização do Texto
A tese é o objeto de apresentação das principais contribuições sobre o tema tratado
durante o período de doutoramento. Optou-se por tentar escrever um texto didático.
Didático por se tratar de um trabalho cujo domínio, até então, era pouco conhecido pelo
GRUCAD. Entretanto conciso, porque já existem livros e teses sobre o assunto. Um texto
de fácil entendimento deve estimular o seu uso e a continuidade das pesquisas na área.
Esta tese foi organizada da seguinte maneira:
Neste primeiro capítulo foi feita a introdução do objeto de estudo deste trabalho.
Foram expostas em linhas gerais as justificativas das escolhas feitas, os objetivos, as
contribuições e a metodologia utilizada para alcançar o proposto;
No segundo capítulo é apresentada a otimização multiobjetivo, com a descrição da
natureza dos problemas com multicritérios e toda a sua fundamentação matemática.
Apresenta-se ainda uma rápida explanação das diversas metodologias para
resolução deste tipo de problema, concluindo com a escolha dos métodos
evolucionários;
Após um breve levantamento do estado da arte dos métodos evolucionários, o
terceiro capítulo mostra, em todos os seus pormenores, a implementação de um
AGMO. A comprovação de sua eficácia é feita com a resolução de problemas teste,
os quais incluem funções analíticas e problemas eletromagnéticos;
O quarto capítulo trata da antena refletora embarcada em satélite. São apresentadas
considerações sobre o sistema de comunicações por satélite, a otimização da forma
de refletores, as aplicações propostas e os resultados alcançados. Este capítulo
termina com comentários sobre a interação do AGMO com as diversas aplicações
aqui analisadas; todavia, estes comentários são mais gerais, podendo ser estendidos
para quaisquer problemas;
No quinto capítulo é discutida a sensibilidade das soluções. As metodologias aqui
apresentadas utilizam a grande base de dados gerada pelo AGMO. O problema da
antena embarcada em satélite é ainda utilizado como aplicação;
Capítulo I - Introdução 10
Por fim, têm-se as conclusões finais da tese, as propostas de continuidade e a
bibliografia utilizada.
Parte dos desenvolvimentos matemáticos utilizados é apresentada nos Anexos, de
forma a facilitar a leitura do texto principal. A ferramenta pedagógica interativa para o
ensino de otimização à engenharia é também apresentada em anexo, e se encontra
disponível no endereço eletrônico do GRUCAD e do CEGELY.
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 11
Otimização Multiobjetivo
A maioria dos problemas reais requer a otimização simultânea de múltiplos
objetivos. Enquanto na otimização monoobjetivo a solução ótima é facilmente definida,
para o caso de diversos objetivos isto não ocorre. Em vez de uma única solução, o
resultado de uma proposição multiobjetivo é geralmente um conjunto de soluções que
caracteriza o comprometimento entre os objetivos. Este grupo é conhecido como Pareto-
ótimo
5
. As soluções que o compõem são ótimas no sentido que não existe dentro do
universo de busca qualquer solução melhor que elas quando todos os objetivos são
considerados simultaneamente. Portanto, o principal alvo da Otimização Multiobjetivo,
também chamada de Multicritério ou Vetorial, consiste em obter as soluções Pareto e,
conseqüentemente, conhecer o conjunto dos compromissos possíveis entre os objetivos.
Isto possibilita ao projetista/engenheiro uma melhor compreensão de seu problema.
Neste capítulo são apresentados os princípios e definidos os conceitos matemáticos
relativos à otimização multiobjetivo. Na seqüência, é feita uma rápida explanação das
diversas metodologias para resolução deste tipo de problema, concluindo com a
justificativa para a escolha dos Métodos Evolucionários.
2.1 Conceitos Básicos e Terminologia sobre Otimização
Antes de apresentar o problema multiobjetivo, é conveniente definir conceitos
comuns a qualquer metodologia de otimização. Os principais são:
Função objetivo: equação matemática que representa o que se deseja melhorar em
um dispositivo. Tem como sinônimos: critério de otimização, função custo ou ainda
função de mérito (fitness function);
5
Vilfredo Pareto [28], “Cours D’Economie Politique”, v. I e II, F. Rouge, Lausanne, 1896. Contextualização
matemática entre vetores.
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 12
Parâmetros: correspondem às variáveis da função objetivo. São ajustados durante o
processo de otimização visando obter a(s) solução(ões) ótima(s). Podem ser
chamados de variáveis de otimização, variáveis objeto, variáveis de concepção ou
de projeto (design variables);
Espaço de busca: domínio (delimitado ou não) que contém os valores dos
parâmetros. Corresponde ao espaço de soluções. A dimensão do espaço de busca é
definida pelo número de parâmetros envolvidos nas soluções (por exemplo, se cada
solução é formada por três parâmetros, o espaço de busca é tridimensional). É
também conhecido como espaço de parâmetros ou ambiente;
Espaço de objetivos: conjunto imagem do espaço de busca determinado por todos
os valores possíveis das funções objetivo;
Restrições: especificações do problema que delimitam os espaços de parâmetros
(restrições construtivas, etc.) e/ou que não permitem determinada faixa de valores
nos objetivos (por exemplo, requisitos de projeto podem impor que abaixo de certo
valor a solução não seja considerada);
Domínio realizável: região do espaço (dos parâmetros e/ou objetivos) onde as restrições
são respeitadas. É também conhecido como espaço viável, admissível ou factível;
Domínio não-viável: região do espaço onde as restrições são violadas.
Os mecanismos para a exploração do espaço de busca, específicos a cada
metodologia de otimização, são condicionados por parâmetros de controle (números de
iterações, direção de procura, verificação de convergência, etc.) e por condições iniciais
(valores iniciais dos parâmetros, limites dos domínios, etc.). A figura 2.1 ilustra um arranjo
genérico das metodologias de otimização.
Figura 2.1. Ilustração da disposição dos diversos componentes em uma metodologia de otimização.
A figura 2.2 apresenta um exemplo de problema com duas variáveis e dois
objetivos sujeitos a duas restrições (g
1
e g
2
) sobre os parâmetros e a uma restrição sobre os
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 13
objetivos (e
1
). Nesta figura são mostradas algumas situações particulares com o intuito de
ilustrar os conceitos apresentados. De modo a ser o mais geral possível, os ótimos das
funções não são definidos como pontos em termos de maximização ou minimização, mas
por uma região no espaço dos objetivos. Esta representação permite notar que:
A correspondência de uma solução de X (espaço de parâmetros) em Y (espaço de
objetivos) nem sempre é possível, notadamente para as soluções não factíveis;
Mesmo as soluções que atendem às restrições impostas aos parâmetros estão
também sujeitas às exigências impostas aos objetivos;
Duas soluções muito distintas (ou diferentes) no espaço de parâmetros podem
corresponder a pontos próximos no espaço de objetivos (problema multimodal). O
contrário também é possível: duas soluções próximas no espaço de parâmetros
podem gerar pontos distantes no espaço de objetivos (descontinuidades ou região
muito ‘sensível’).
Figura 2.2. Relações entre os diferentes espaços de um problema de otimização.
2.2 Problema Multiobjetivo
A abordagem monoobjetivo de um problema significa que a função de mérito cujo
método de otimização deve minimizar (ou maximizar) é um funcional, ou seja, uma função
na qual a imagem é um escalar. Seja
n
x ∈
R o vetor de parâmetros que devem ser
ajustados e
()
.:
n
f RR o funcional-objetivo que quantifica cada solução
x
(por
convenção, quanto menor f(
x
) melhor será a solução
x
). Um problema de otimização
monoobjetivo irrestrito pode ser expresso como:
arg min ( )
x
x
fx
∗
=
,
(2.1)
ou seja, o método de otimização deve ser capaz de determinar o vetor
x
∗
que minimiza o
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 14
funcional f(.).
Entretanto, em grande parte dos problemas reais, um projeto deve atender a k funções
objetivo, a um conjunto de m restrições aos parâmetros assim como a j restrições aos
objetivos (otimização multiobjetivo restrita). Portanto, o problema fica assim equacionado
6
:
Maximizar
12
() ( (), (), , ())
k
y
fx fx f x f x==
…
,
sujeito à
12
() ( (), (), , ()) 0
m
gx g x g x g x=≤
… e
12
() ( (), (), , ()) 0
j
ey e y e y e y=≤
… ,
com
12
(,,,)
n
n
x
xx x X=∈
…
e
12
(,,,)
k
k
yyy y Y=∈
…
,
(2.2)
onde
x
é o vetor de parâmetros, y
é o vetor de objetivos, X determina o espaço de
parâmetros (n dimensões) e Y o espaço de objetivos (k dimensões). As restrições
()
0gx
≤
determinam o domínio
f
X
de soluções factíveis:
{
}
() 0
n
f
XxX gx=∈ ≤
.
(2.3)
Cabe aqui salientar que a restrição aos objetivos, ()ey
, mesmo sendo uma especificação
de projeto, tem um caráter secundário no processo de otimização. Esta informação é útil como
uma redução do espaço de busca ‘inversa’ (explicada com mais detalhes na seção 3.4.2).
Em relação ao problema mostrado na figura 2.2, o projeto ótimo é o que possui
máximo desempenho com mínimo custo e não viola as restrições, por exemplo. Se tal solução
existe, basta resolver o problema com uma abordagem monoobjetivo (2.1). A solução ótima
para um objetivo também o será para o outro objetivo. Entretanto, a abordagem multicritério é
relevante quando a solução ótima correspondente a cada função objetivo é diferente da(s)
outra(s). Neste caso, os objetivos são ditos conflitantes, ou seja, a melhora de um acarreta na
deterioração de outro(s), e não devem ser otimizados de maneira monoobjetivo (seção 2.4).
Este conflito ou compromisso entre os objetivos deve ser compreendido. De modo geral,
projetos ou estruturas com alto desempenho tendem a ter alto custo, enquanto dispositivos
mais simples e baratos usualmente resultam em baixo desempenho. Dependendo das
demandas do mercado, uma solução intermediária (desempenho satisfatório e custo aceitável)
6
As definições e termos presentes na seção 2.2 correspondem a formulações matemáticas comumente
encontradas na literatura sobre otimização multiobjetivo. Ver, por exemplo, Ringuest [29], Siarry & Collette
[30] e Deb [31].
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 15
pode ser ‘ótima’. Esta discussão torna claro que uma outra noção do que vem a ser ‘solução
ótima’ é necessária para problemas multiobjetivos.
2.2.1 Comparação de Vetores
Na otimização monoobjetivo, as soluções ótimas podem ser ‘totalmente ordenadas’
de acordo com a função de mérito
f : para duas soluções
a
,
b
∈
f
X tem-se que
()
()
f
afb≥
ou
(
)
()
f
bfa≥
. O objetivo é encontrar a solução que possui o maior (ou o
menor) valor para
f. Entretanto, quando múltiplos objetivos estão envolvidos, a situação
muda:
f
X
não pode, em geral, ser totalmente ordenado, mas apenas ordenado
parcialmente. Isto porque
f passa a ser um vetor (2.2). Para dois vetores quaisquer (u
e
v
) de k objetivos, esta situação pode ser matematicamente expressa da seguinte maneira:
uv=
se e somente se
{
}
ii
vuki
=
∈
∀
:,,2,1 …
uv≥
se e somente se
{
}
ii
vuki ≥
∈
∀
:,,2,1 …
uv>
se e somente se uv uv≥∧≠
.
(2.4)
Para as relações “≤” e “<,” as expressões são análogas.
Seguindo com o exemplo de desempenho versus custo, a figura 2.3a apresenta uma
disposição de soluções que ilustra este ordenamento parcial.
(a) comparação de vetores (duas variáveis) (b) conceito de dominância
Figura 2.3. Relações entre objetivos – Dominância.
A solução representada pelo ponto D é melhor que a representada pelo ponto F: ela
possui maior desempenho e menor custo. Comparando
F e E, percebe-se que E é também
melhor que
F, pois com um mesmo custo gera um desempenho melhor.
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 16
Para utilizar a notação (2.4), deve-se fazer uso primeiro de uma função de ajuste de
modo a obter dois problemas de maximização ou dois de minimização. Uma maneira
simples de construir esta função de ajuste para transformar, por exemplo, um problema de
minimização em maximização é:
f = (constante – custo), onde a ‘constante’ é um valor
superior a qualquer possível valor de custo.
Utilizando esta transferência, obtém-se de (2.4):
C > D, D > F, e, por conseqüência,
C > F. Entretanto, quando as soluções C e A são comparadas, não se pode definir qual a
melhor, pois
A tem melhor desempenho, mas C tem menor custo ( A >
/
C e C >
/
A ).
Conseqüentemente, para os problemas multiobjetivos, quando duas possíveis soluções
a e
b são confrontadas, existem três possibilidades:
()
(
)
f
afb≥
,
()
()
f
bfa≥
e
()
() ()
()
f
afbfbfa≥∧≥
//
. A solução W – desempenho máximo com custo mínimo – é
irreal quando os objetivos são conflitantes. Para classificar estas diferentes situações, pode-
se utilizar o conceito de dominância por Pareto.
2.2.2 Dominância por Pareto
Para quaisquer dois vetores de parâmetros a
e b
:
ab
( a
domina b
) se e somente se
()
(
)
f
afb>
ab
( a
domina fracamente b
) se e somente se
()
(
)
f
afb≥
~ab
( a
é indiferente a b
) se e somente se
()
(
)
(
)
()
f
afbfbfa≥∧≥
//
.
(2.5)
As definições para problemas de minimização ( ,,~≺≺ ) são análogas.
Na figura 2.3.b, o retângulo cinza escuro delimita a região no espaço de objetivos
que é dominada pelo vetor de parâmetros representado por
D. Qualquer solução que
corresponda a posições dentro do retângulo cinza claro domina a solução representada por
D. Para qualquer outro caso, soluções fora dos dois retângulos, D será indiferente.
Portanto, devido a este caráter vetorial, distinguem-se dois tipos de soluções:
Haverá soluções que, considerando todos os objetivos propostos, serão piores que
outras. Estas são chamadas de soluções
dominadas ou não-eficientes;
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 17
Haverá ainda soluções que, quando comparadas com todas as outras, serão melhores
em um ou mais objetivos e piores em outro ou outros. Neste caso, elas são
consideradas como indiferentes; não é possível comparar essas soluções entre elas ou
dizer qual é a melhor. Estas soluções são chamadas
eficientes ou não-dominadas.
2.2.3 Otimalidade de Pareto
7
O vetor de parâmetros
f
aX∈
é dito não-dominado se e somente se:
:
f
x
Xxa∃∈
/
.
(2.6)
Assim,
a
é declarado Pareto-ótimo
8
se e somente se
a
é não-dominado em
f
X .
Na figura 2.3 os pontos
A, B e C representam soluções Pareto-ótimas. Uma não é
melhor nem pior do que as outras quando se levam em conta todos os objetivos. Esta é a
principal diferença com relação à abordagem monoobjetivo: para problemas multiobjetivos
não existe uma única solução ótima, mas um conjunto ótimo no qual nenhuma destas
soluções pode ser identificada como melhor sem uma nova classificação (por exemplo, a
preferência por um dos objetivos). A união de todas as soluções não dominadas é chamada
de
conjunto Pareto-ótimo. Por correspondência, o conjunto de seus vetores objetivo forma
a
Fronteira Pareto-ótima.
2.2.4 Conjuntos não-dominados e Fronteiras
Seja
f
XA ⊆ um grupo de dispositivos factíveis, e p(.) uma função que determina
as soluções não-dominadas em não importa qual subdomínio de
X (n parâmetros e m
objetivos).
p(A) é então o conjunto de elementos de A não-dominados, e o grupo de vetores
()
()
f
pA
é a fronteira não-dominada correspondente à A no espaço de objetivos. Além
disso, o conjunto
(
)
fp
XpX = é chamado de Pareto-ótimo e
()
pp
YfX=
é conhecido
como fronteira Pareto-ótima.
O principal desafio da otimização multiobjetivo é encontrar o maior número
possível de soluções não-dominadas. Isto porque, com a fronteira Pareto-ótima,
7
Também é possível definir otimalidade pela informação do gradiente das funções: condições de Kuhn-
Tucker (Bazaraa et al. [3], por exemplo). Entretanto, a obtenção da derivada nos problemas de
eletromagnetismo pode não ser evidente, como já exposto no Capítulo I.
8
Fica a ressalva que só se obtêm o conjunto Pareto-ótimo se as soluções não-dominadas forem ótimas
(lembrando que ‘otimalidade’ é usualmente irreal em problemas reais).
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 18
consegue-se entender a dependência entre os objetivos e, portanto, o comportamento do
problema. A figura 2.4a apresenta um exemplo de problema restrito a um domínio de
estudo. Neste exemplo, têm-se duas funções (
f
1
e f
2
) quaisquer e são apresentadas
combinações para minimização (
min) e maximização (max) de cada um dos objetivos.
Estas diferentes combinações definem as várias fronteiras Pareto-ótimas.
(a) diversas combinações (espaço bidimensional) (b) Pareto global e local
Figura 2.4. Fronteiras Pareto-ótimas.
A fronteira Pareto-ótima contém a totalidade das soluções ótimas. Entretanto, como
na abordagem monoobjetivo para problemas multimodais, podem existir também ótimos
locais que acabam constituindo conjuntos não-dominados para determinadas vizinhanças.
Neste contexto, Deb [32] discute o conceito correspondente à fronteira Pareto-ótima local.
Seja
f
XA ⊆ um conjunto de vetores de parâmetros:
1.
O conjunto A é Pareto-ótimo local se e somente se:
() ()
::
f
aA xX xa xa fx fa
ε
δ
∀∈ ∃∈ ∧−<∧ − <
/
,
(2.8)
onde || . || é uma métrica para distância e ε > 0 (raio mínimo no espaço de parâmetros), δ >
0 (raio mínimo no espaço de objetivos). Estes raios mínimos são determinados pelo
projetista com a intenção de estudar uma região específica. A seção 3.4.5 apresenta uma
maneira alternativa para determinação de Pareto locais, sem a necessidade da experiência
do engenheiro na especificação dos raios mínimos.
2.
O conjunto A é Pareto-ótimo global se e somente se:
::
f
aA xX xa∀∈ ∃∈
/
.
(2.9)
A diferença entre ótimo local ou global pode ser observada na figura 2.4b.
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 19
2.3 Exemplo de Problema Multiobjetivo
Um problema simples, envolvendo funções analíticas, foi escolhido para esclarecer
o que foi exposto até o momento. Seja um problema com uma única variável (parâmetro)
x
e duas funções:
()
2
1
f
xx=
e
(
)
(
)
2
2
2fx x=− , (2.10)
sendo que x ∈ [-2 3]. Os objetivos consistem na minimização destas duas funções
simultaneamente. A figura 2.5a mostra as funções e as soluções não-dominadas. Observa-se
que todas as soluções são não-inferiores para
x no intervalo [0 2]. A figura 2.5b apresenta
f
1
(x) em relação a f
2
(x). Os pontos não-dominados identificam a fronteira Pareto-ótima.
(a) funções (b) fronteira Pareto-ótima
Figura 2.5. Exemplo teste de minimização com um parâmetro e dois objetivos.
Como discutido na seção 2.2 e mostrado neste exemplo, o resultado de um
problema multicritério é um grupo de soluções ótimas
x
*
, aqui pertencente ao intervalo [0
2]. Contudo, ao fim de qualquer método de otimização, deseja-se sempre obter uma única
solução como resposta final. Este ‘processo de seleção’ pode ser feito numa etapa de
decisão na qual se escolhe a solução de maior interesse segundo algum critério adicional.
Estas decisões podem ser feitas antes, durante ou após o processo de otimização. Claro que
quando não se conhece o comportamento do problema ou quando se deseja entendê-lo
melhor, decisões após o processo de otimização são mais interessantes. Assim sendo, no
exemplo dado, pode-se optar por escolher a solução que minimize igualmente as duas
funções. Desta forma, para
x = 1 tem-se f
1
(1) = 1 e f
2
(1) = 1. A solução final após a decisão
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 20
é, portanto, x = 1. As próximas seções apresentam métodos para a busca de soluções
ótimas bem como métodos de decisão em problemas multiobjetivo.
2.4 Busca e Decisão
A resolução de problemas multiobjetivo é dividida, basicamente, em duas etapas:
determinação das soluções eficientes e a etapa de decisão. O primeiro aspecto consiste na
busca de soluções Pareto-ótimas dentro do espaço factível. O segundo aspecto, que
envolve um procedimento chamado de decisor, diz respeito à seleção da solução que é
um ‘compromisso’ final dentre aquelas de Pareto. Para tal ação, o projetista/engenheiro
toma uma decisão externa ao processo de otimização.
Dependendo de como e quando o processo de otimização e a etapa de decisão são
combinados, os métodos de resolução podem ser classificados em três categorias
(Veldhuizen & Lamont [33], dentre outros já citados):
Decisão antes do processo de procura (a priori): o engenheiro decide o
compromisso que ele quer obter antes de lançar o método de resolução (busca).
Basicamente o que se faz é transformar um problema multicritério em uma
aproximação monoobjetivo, por exemplo:
Maximizar
11 2 2
() () () , , ()
kk
y
fx w fx w f x w f x== + ++
ii…i ,
sujeito a
f
x
X∈
e, geralmente,
1
i
w
=
∑
.
(2.11)
Após está transformação, pode-se aplicar qualquer técnica monoobjetivo para a
resolução do problema. Entretanto, a adequação dos ‘pesos’
w para cada objetivo não é
evidente, notadamente quando os objetivos são extremamente conflitantes (isto é, quando o
máximo de um objetivo é o mínimo de outro(s)) como na figura 2.6a. A figura 2.6b oferece
uma possível interpretação da ponderação de objetivos para duas situações diferentes (uma
privilegiando o objetivo 1, outra o objetivo 2). A ponderação correspondente a uma
projeção de uma fronteira Pareto sobre uma direção (
w
1
, w
2
), o acaba criando uma
ordenação total (produto escalar clássico). De acordo com a escolha dos valores relativos
de
w
1
e w
2
, o ‘melhor’ indivíduo é totalmente outro. Decisões mal feitas podem acarretar
na imposição desnecessária de restrições.
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 21
(a) problema multiobjetivo com objetivos conflitantes (b) ponderações P1 privilegiando o objetivo 1
(W1>W2) e P2 privilegiando o objetivo 2 (W1<W2)
Figura 2.6. Ponderação de objetivos conflitantes (ilustração).
Decisão durante o processo de procura (progressivo): é o procedimento que faz
escolhas durante o processo de obtenção das soluções não-dominadas. O resultado da
consulta ao decisor é utilizado na busca de novas soluções eficientes. Nesta abordagem
também se faz necessária certa experiência do projetista, já que as escolhas deverão ser
tomadas de modo a orientar o processo de otimização a ‘caminhar’ na direção da
formação da fronteira Pareto-ótima. Um dos métodos progressivos mais conhecidos é o
MinMax (Sainz et al. [34]). Eventualmente, a tomada de decisão progressiva pode ser
utilizada para a redução do espaço de busca (seção 3.4.2).
Decisão após o processo de procura (a posteriori): A apresentação das decisões
após a etapa de definição das soluções eficientes é a mais lógica das três, isto
porque as escolhas serão feitas de acordo com as respostas finais encontradas. Ou
seja, como já dito, com o conjunto Pareto-ótimo definido torna-se possível
conhecer o comportamento do problema em relação aos objetivos analisados.
Conhecendo-se as relações de dependência entre eles, a escolha final é facilitada.
Na próxima seção são comentadas algumas das dificuldades usualmente
encontradas nos problemas multiobjetivo. O conhecimento destas dificuldades permite
criar critérios para nortear a ‘qualificação’ das metodologias de busca das soluções não-
dominadas, conforme será visto na seção 2.6.
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 22
2.5 Dificuldades Adicionais de Problemas Multiobjetivo
Assim como na otimização monoobjetivo, as dificuldades de resolução de
problemas multicritério são decorrentes da presença de restrições e do comportamento das
funções objetivo. As principais dificuldades encontradas na otimização de problemas
multiobjetivo são apresentadas na figura 2.7: convexidade, descontinuidades e
multimodalidade (múltiplos ótimos locais e/ou globais).
Além destas dificuldades, pode-se citar também a ‘não uniformidade’ das soluções
no espaço dos objetivos. Certos problemas e/ou métodos de resolução podem apresentar
características que concentram as soluções em determinadas áreas (esta ‘concentração de
soluções’ só diz respeito aos métodos por populações, como será discutido nas páginas
seguintes). Se estas regiões não forem próximas às soluções Pareto ou se elas contemplarem
apenas um pedaço da fronteira ótima, a caracterização de todo o conjunto Pareto-ótimo pode
ser comprometida, como mostra a figura 2.8. A correta determinação do grupo de soluções
eficientes é fundamental para entender o comprometimento entre os objetivos.
(c) Múltiplas fronteiras
(a) Convexo ou não-convexo (b) descontinuidades (d) Uniformidade das soluções
Figura 2.7. Dificuldades adicionais de problemas multiobjetivo (visto no espaço de objetivos).
2.6 Métodos Não-Lineares para Busca de Soluções
A família de métodos de otimização para problemas não-lineares (como a maior
parte dos problemas em eletromagnetismo), como já dito no capítulo primeiro, pode ser
dividida em três grandes grupos: métodos determinísticos, estocásticos e enumerativos
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 23
(Bazaraa et al. [3]). De uma maneira menos ortodoxa, Takahashi [35] classifica os métodos
também em três grupos, os quais não abrangem a totalidade dos métodos, mas permitem
distinguir a maior parte deles. São eles:
Métodos de ‘direção de busca’;
Métodos de ‘exclusão de semi-espaços’;
Métodos de ‘busca por populações’.
A lógica de construção destas metodologias conduz a limitações de uso, as quais
tornam a eficiência de cada método dependente do tipo de problema a resolver [A1-A2].
2.6.1 Métodos de ‘direção de busca’
Estes métodos são baseados na busca sucessiva de pontos no espaço de otimização;
esta procura necessita do conhecimento de um vetor na direção de decrescimento da
função, o qual depende do gradiente da função a ser minimizada (no caso de problemas de
minimização). A procura pelo ponto ótimo usa o ponto corrente (
k
x
) como ponto de
partida para a próxima iteração (
k+1). Existem muitas maneiras de realizar estas iterações,
uma das quais é dada por:
1kkkk
x
xd
λ
+
=+
,
(2.12)
onde
λ
k
é o passo de cálculo e
k
d
é a direção de busca do ponto ótimo.
A figura 2.8 mostra a aplicação dos métodos Fletcher-Reeves, Newton e BFGS
(Bazaraa
et al. [3]) para a minimização de uma função de duas variáveis. Com relação às
dificuldades citadas na seção 2.5, pode-se afirmar que:
Descontinuidades: A existência de descontinuidades e não-diferenciabilidade
nas funções podem causar problemas para o cálculo do gradiente ou de
aproximações deste. Em muitos casos, as descontinuidades e não-
diferenciabilidades podem até inviabilizar a resolução do problema;
Não-Convexidade: se a função for unimodal e não possuir descontinuidades, os
algoritmos de ‘direção de busca’ não encontram dificuldades para convergência em
funções não-convexas.
Multimodalidade: sendo garantida a continuidade e a diferenciabilidade, este tipo de
algoritmo chegará ao ponto ótimo. Entretanto, nunca se terá certeza se este ótimo é
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 24
local ou global. É necessário repetir inúmeras vezes o processo de otimização, sempre
com pontos iniciais diferentes, de modo a confirmar a solução final.
% função = (x-2)^4 + (x-2*y)^2
e = 0.0001; % erro admissível de parada
x = 3; y=2; % qualquer valor inicial
k=1; i=1;
enquanto k >= e
gradF = [4*(x(i)-2)^3+2*(x(i)-2*y(i)) -4*(x(i)-2*y(i)) ];
k = norm(gradF);
Hess = [12*(x(i)-2)^2 -4; -4 8 ]; % Hessiana
HessInv = Hess^-1;
i = i+1;
aux = HessInv * gradF';
x(i) = x(i-1) - aux(1) ;
y(i) = y(i-1) - aux(2) ;
end
(a) Pseudocódigo do método de Newton (b) Métodos Determinísticos – função quadrática
Figura 2.8. Métodos de ‘direção de busca’.
2.6.2 Métodos de ‘exclusão de semi-espaços’
Métodos de ‘exclusão de semi-espaços’ são aqueles que utilizam aproximações do
gradiente dos problemas para definir um plano que divide o espaço de objetivos em dois
semi-espaços, sendo que o gradiente deve necessariamente decrescer em um dos semi-
espaços (Herskovits & Mazorche [36], Abdel-Malek & Hassan [37]). Fazem parte deste
grupo os diversos métodos de ‘planos de corte’ através de restrições, os métodos de pontos
interiores, os métodos elipsoidais etc. Basicamente, estes métodos envolvem três etapas:
primeiro calcula-se o ‘subgradiente’ das funções a serem otimizadas em um ponto; após,
divide-se o espaço de busca neste ponto em dois, excluindo um deles; na região restante,
faz-se uma nova estimação do ponto ótimo. O processo segue esta rotina até alguma
condição de convergência ser atendida. Com relação às dificuldades citadas na seção 2.5,
pode-se afirmar que:
Descontinuidades: A existência de descontinuidades e não-diferenciabilidades nas
funções não constituem problema e, portanto, não impedem o funcionamento
correto dos métodos. No processo iterativo, o próximo ponto não é estimado sobre
uma trajetória, mas sim localizado a uma distância finita do ponto anterior;
Não-Convexidade: A convexidade de todas as funções do problema é o requisito
principal destes métodos. Se tal condição for violada, o processo de exclusão
trabalhará ‘às cegas’, de forma que a evolução do método torna-se imprevisível;
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 25
Multimodalidade: esta característica pode ser entendida como um caso particular de
não-convexidade, portanto, as conclusões são análogas.
Em se tratando de velocidade de convergência, nos problemas em que tanto os
métodos de ‘exclusão de semi-espaços’ quanto os de ‘direção de busca’ possam ser
aplicados, em geral há uma tendência para que estes últimos sejam mais rápidos. Portanto,
os métodos de ‘exclusão de semi-espaços’ devem ser usados apenas onde houver não-
diferenciabilidades que impeçam o uso dos métodos de ‘direção de busca’.
2.6.3 Métodos de ‘busca por populações’
As duas famílias de métodos apresentadas até aqui trabalham apenas com uma
solução corrente. A solução subseqüente é calculada a partir da solução corrente mais a
informação da região onde ela está contida (gradiente). Diferentemente disto, os métodos
de ‘busca por populações’ trabalham com um conjunto de soluções correntes
simultaneamente. Além disto, a população subseqüente é baseada nas informações
obtidas em mais de um ponto no espaço de parâmetros. Essas informações dizem respeito
aos valores das funções objetivo, as quais permitem determinar quais soluções são
‘melhores’; não é utilizada, portanto, qualquer tipo de informação do gradiente destas
funções. Os métodos de ‘busca por populações’ mais conhecidos são, provavelmente, os
Algoritmos Genéticos (Goldberg [8]) e o
Simulated Annealing (Laarhoven & Aarts [38],
dentre outros).
Com relação às dificuldades citadas na seção 2.5, pode-se afirmar que:
Descontinuidades: como estes métodos não utilizam nenhuma informação sobre os
gradientes das funções, não deve existir, portanto, qualquer dificuldade relativa à
não-diferenciabilidade dos problemas;
Não-Convexidade: por trabalhar com populações, estes métodos não são
influenciados por não-convexidades;
Multimodalidade: a grande vantagem destes métodos em relação àqueles baseados
no gradiente ou em aproximações deste é a possibilidade da detecção de ótimos
locais e globais. Os métodos de busca por populações são os que mais se
aproximam do conceito de ‘algoritmo de otimização para problemas genéricos’
(multimodais, com restrições, convexos e não convexos, etc.).
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 26
Claro que os métodos de busca por populações têm limitações. A primeira é que
resultados obtidos por esses métodos dependem da distribuição da população inicial.
Dificilmente o método convergirá se o ótimo global estiver afastado da região onde se
concentra a população inicial. Fica então evidente que a eficiência desses métodos depende
de uma população inicial que explore bem todo o espaço de busca. O segundo aspecto
negativo é a velocidade de convergência. Comparando com as outras famílias, os métodos
que utilizam populações podem ser mais ‘lentos’, no sentido de que eles podem necessitar
de um maior número de avaliações do problema. O esforço computacional desses métodos
pode ser maior para atingir os mesmos resultados (quando os outros métodos conseguem
obter um resultado).
2.7 Considerações sobre os Métodos de Busca, o Problema Multiobjetivo
e o Eletromagnetismo
Devido às características dos três grupos de métodos citadas na seção 2.6, mais os
aspectos de problemas multiobjetivos que se deseja tratar, a família mais apropriada para a
resolução desses problemas é a de ‘busca por população’. Como eles trabalham com um
grupo de soluções (população), a descoberta da fronteira Pareto é facilitada. Nos outros
métodos existe a necessidade de repetir o processo de otimização com restrições ou ‘pesos’
diferentes para obter uma aproximação da fronteira Pareto-ótima.
Com o avanço dos recursos computacionais, os métodos estocásticos de ‘busca
por populações’ vêm sendo mais utilizados, principalmente quando os problemas a
resolver são de alta complexidade (relembrando o que já foi dito no primeiro capítulo, os
métodos estocásticos são aqueles que utilizam procedimentos probabilísticos ‘aleatório
orientado’ para alcançar as soluções ótimas). Em eletromagnetismo, por exemplo, esses
problemas são geralmente complexos, não-lineares, de difícil representação e
diferenciabilidade, e, muitas vezes, necessitam de ferramentas numéricas para se obter a
solução (Bastos & Sadowski [5] e Balanis [6]), o que justifica o uso de métodos que não
utilizam informações de derivadas.
Dentre os métodos estocásticos, os algoritmos chamados
evolucionários ganharam
destaque. Essas metodologias são aptas a trabalhar com grandes e complexos espaços de
Capítulo II – Otimização Multiobjetivo 27
busca (muitos parâmetros para ajustar, objetivos para alcançar, restrições para obedecer,
etc.). Segundo Bäck
et al. [39]:
“... a vantagem mais significativa da utilização de uma ferramenta de busca evolucionária
é o ganho de flexibilidade e adaptação ao problema em questão, combinada a um
desempenho robusto (embora isto dependa do problema) e uma característica de busca
global... ”.
Este capítulo apresentou os conceitos necessários para a compreensão de um
problema multiobjetivo, bem como as definições do conjunto Pareto-ótimo – que é a
representação de sua solução. Metodologias tradicionais de otimização também foram
discutidas considerando aspectos relacionados às dificuldades do caráter multicritério e do
eletromagnetismo, foco deste trabalho. A partir das análises realizadas, optou-se pelos
algoritmos evolucionários de ‘busca por população’ para um estudo detalhado, a saber, o
Algoritmo Genético Multiobjetivo, o qual será apresentado no próximo capítulo. Além do
estado da arte, são discutidos os pormenores da implementação de um método eficiente
para a resolução de problemas complexos.
Capítulo III – AGMO 28
AGMO
‘Algoritmo Evolucionário’ (AE) é o nome dado a uma classe de métodos de
otimização estocásticos que simulam o processo de evolução natural, descrito por Darwin
[40]. A origem dos AEs data dos anos 50. Entretanto, o desenvolvimento de inúmeras
técnicas só foi ocorrer com o advento, e posterior aumento da capacidade de
processamento, dos computadores já na década de 80. Atualmente, as técnicas de AE
ganham visibilidade cada vez maior (
Evolutionary Computation Journal – Schoenauer et
al.
[41], Coello [13], Deb [31], Veldhuizen & Lamont [33], Bäck et al. [39], por exemplo).
Dentre a grande variedade de métodos de AE, destaca-se o Algoritmo Genético
(AG) (Holland [7] e Goldberg [8]). Porém, recentemente, vários outros procedimentos para
otimização que simulam diversos sistemas naturais vêm sendo estudados, como por
exemplo: as Redes Neurais (Hertz
et al. [42]), o sistema imunológico (Castro & Timmis
[43]) ou as colônias de formigas (Dorigo & Stützle [44]).
Neste capítulo são apresentados os princípios e os detalhes de implementação de
um eficiente Algoritmo Genético Multiobjetivo. A comprovação de sua eficácia é feita com
a resolução de problemas teste que incluem funções analíticas e dispositivos eletromagnéticos.
3.1 Algoritmo Genético
O AG é uma técnica de otimização estocástica baseada nos conceitos de seleção natural e
genética. O algoritmo é iniciado com um conjunto de possíveis soluções do problema
(indivíduos), constituindo uma população. Os indivíduos são formados por variáveis, as quais
são os parâmetros a se ajustar de um problema (por exemplo, o comprimento e a largura de uma
peça a ser otimizada). Esta população é criada aleatoriamente dentro de limites pré-definidos (por
exemplo, limites ditados por aspectos construtivos). Soluções da primeira população são
utilizadas para formar, através de operadores genéticos (cruzamento, mutação, etc.), uma nova
Capítulo III – AGMO 29
população. Isto é motivado pela esperança de que a nova população seja melhor que a anterior.
Soluções que formarão novas soluções são selecionadas probabilisticamente de acordo com seus
méritos (obtidos através de uma ‘função objetivo’ que avalia a qualidade do indivíduo em
relação ao problema, seja ele de minimização ou maximização): quanto melhor for o indivíduo,
maiores serão suas chances de se reproduzir (maior será a sua probabilidade de ser selecionado e
sofrer os operadores genéticos). Isto é repetido até que algum critério de convergência seja
satisfeito (por exemplo, número de gerações ou mérito da melhor solução). A idéia básica dos
AGs pode ser vista na figura 3.1 [A9].
Figura 3.1. Conceitos básicos de um Algoritmo Genético.
Entre as vantagens dos AGs, podem-se citar a facilidade para trabalhar com parâmetros
discretos ou contínuos (ou com os dois tipos de variáveis simultaneamente), e a não
necessidade da informação do gradiente da função; as possíveis descontinuidades presentes na
função objetivo têm pequeno efeito sobre o desempenho destes algoritmos; eles são resistentes
a ficarem presos em ótimos locais; podem lidar com um grande número de parâmetros e são
bem apropriados à computação paralela; eles geram uma lista de soluções semi-ótimas em
lugar de uma única solução (o que é de grande valia para a otimização multiobjetivo, como já
mencionado); eles trabalham da mesma forma com dados gerados numericamente,
experimentalmente ou analiticamente; etc. Todas estas características contribuem para que os
AGs sejam eficientes em uma grande variedade de problemas de otimização.
Como o AG é uma ferramenta probabilística, pode ser necessário otimizar o
problema inúmeras vezes para comprovar, através de repetição, que a solução encontrada é a
Capítulo III – AGMO 30
melhor que o método de otimização conseguiu obter. Portanto, esta necessidade de repetição
pode ser considerada uma desvantagem dos AGs. Outro inconveniente deste método é que
em todas as gerações faz-se necessário conhecer o mérito de cada indivíduo. Dependendo do
problema a ser solucionado, esta análise pode ser custosa (por exemplo, a análise
eletromagnética de um dispositivo pelo método de elementos finitos).
Como indicado no primeiro capítulo, inúmeras pesquisas já foram realizadas
utilizando os AGs para a otimização de problemas envolvendo o eletromagnetismo,
conforme descrito em Haupt [9], Johnson & Rahmat-Samii [10], Weile & Michielssen
[11], Vasconcelos
et al. [12] e [A9], por exemplo.
Numerosos outros trabalhos comprovam a eficácia dos AGs na resolução de
problemas multiobjetivos, podendo-se citar: Coello
et al. [14], Dias [15], Di Barba &
Mognaschi [16], Coulomb & Lebensztajn [17], Regnier [27], Todd [45] e Zitzler [46]. O
trabalho de Nepomuceno [47] apresenta uma breve lista dos grupos de pesquisa no mundo
que trabalham com estes problemas. Coello [48] disponibiliza uma série de livros, teses,
relatórios e artigos sobre otimização multiobjetivo. A maioria dos trabalhos citados neste
texto foi encontrada no sítio referenciado em [48].
3.2 Estado da Arte do Algoritmo Genético Multiobjetivo
O surgimento dos AGs para otimização multiobjetivo é recente. Conforme
Veldhuizen & Lamont em
Analyzing the State-of-the Art [33], publicado em 2000, o
primeiro trabalho foi proposto por Schaffer [49] em 1984. Desde então, o número de
publicações nesta área tem crescido exponencialmente (estão disponíveis atualmente em
Coello [48] mais de 2500 referências). Em 1999, Coello [50] apresentou uma revisão
classificando e avaliando inúmeras técnicas de otimização multiobjetivos. Este estudo
concluiu que a maioria dos métodos é baseada nos AGs monoobjetivo. A diferença está na
proposta de seleção dos indivíduos. De acordo com vários autores já citados, os principais
procedimentos, segundo uma ordem cronológica de publicação
9
, são:
AG baseado em Vetor de Avaliação (Vector Evaluated Genetic Algorithm – VEGA)
1984 – Schaffer [49], Schaffer [51]. Modifica-se o operador genético seleção de um
9
Existem inúmeras maneiras de classificar os diversos métodos. Aqui, a classificação foi realizada segundo o
método de seleção dos métodos mais citados na literatura.
Capítulo III – AGMO 31
AG monoobjetivo de modo a criar populações separadas para cada objetivo. Isto
acaba gerando ‘especializações’, ou seja, cada população tenderá ao ponto ótimo para
aquele objetivo e não para a fronteira Pareto-ótima associada ao problema;
AG Multiobjetivo (Multiobjective Genetic Algorithm – MOGA), 1993 – Fonseca &
Fleming [52]. A idéia do MOGA é estabelecer uma ordem dos indivíduos: os não-
dominados têm classificação igual; já os dominados são penalizados de acordo com
sua dominância. A dificuldade está em encontrar uma forma de interpolar estes dois
grupos de modo a permitir uma boa conformação da fronteira Pareto-ótima;
AG baseado em Ordenação Não-Dominada (Nondominated Sorting Genetic
Algorithm
) – NSGA I 1993 – Srinivas & Deb [53], NSGA II 2000 – Deb et al. [54].
Neste caso, somente as soluções não-dominadas são selecionadas. Por todas serem
eficientes, terão a mesma probabilidade para se reproduzir. Nesta metodologia, a
desvantagem é a dificuldade em conseguir manter a diversidade da população. A
falta de diversidade pode gerar uma fronteira incompleta, ou seja, a concentração de
soluções em algumas regiões;
AG baseado em Pareto Dominante (Niched Pareto Genetic Algorithm – NPGA)
1993 – Horn & Nafpliotis [55]. Uma das técnicas de seleção para AG
monoobjetivo é o ‘torneio’ entre os indivíduos (Goldberg [8]). Horn & Nafpliotis
implementaram um torneio em que a regra de competição é a idéia de dominância
por Pareto. Neste método existe a dificuldade de determinar quais e quantos
indivíduos participarão do torneio;
Método das Populações Intermediárias, 1996 – Viennet & Marc [56]. O método
segue três passos básicos: a determinação dos pontos mínimos de cada objetivo; a
procura de uma população intermediária (baseada na escolha de
n indivíduos para
cada objetivo); e, a partir desta população, a definição da fronteira Pareto-ótima. A
principal restrição desta metodologia é que cada objetivo deve haver um único
ótimo no espaço de estudo (função unimodal);
Algoritmo evolucionário baseado na ‘força’ de Pareto (Strength Pareto
Evolutionary Algorithm
) – SPEA I 1998 – Zitzler & Thiele [57], SPEA II 1999 e
2001 – Zitzler [46], Zitzler
et al. [58]. Um escalar indicando uma medida de ‘força’
para cada indivíduo é criado para o processo de seleção. Os indivíduos não-
dominados devem possuir maior ‘força’.
Capítulo III – AGMO 32
Inúmeros trabalhos comparando as diversas metodologias dos AGMO já foram feitos.
Entre os mais recentes, podem-se citar: Zitzler [46] em 1999, Dias [59] em 2000, Dias &
Vasconcelos [15] em 2002 e Régnier [27] em 2003. Segundo este último, os métodos SPEA e
NSGA merecem destaque:
“ ...o SPEA-II e o NSGA-II parecem ser atualmente os procedimentos mais sólidos…”
Trabalhos adicionais para complementar estas metodologias também vêm sendo
desenvolvidos. Para exemplificar, pode-se citar a incorporação do uso de restrições ao
espaço de estudo (como proposto em 2003 por Vieira
et al. [60]) ou a possibilidade de
resolução através de computação paralela (como apresentado em 2003 por Veldhuizen
et
al.
[61]). Algumas metodologias para testes de desempenho também estão sendo criadas,
como as publicadas por Veldhuizen & Lamont [62] (2000) e Takahashi
et al. [63] (2003).
Na próxima seção são descritos os princípios básicos dos Algoritmos
Evolucionários, assim como sua interação com a busca multiobjetivo. Isto resume as idéias
fundamentais dos trabalhos citados. Baseado nestes preceitos e no estado da arte aqui
apresentado, foi desenvolvido um eficiente AGMO (seção 3.4).
3.3 Principais Preocupações na Busca Multiobjetivo
De maneira geral, um algoritmo evolucionário é caracterizado por três elementos:
(1) um conjunto de soluções candidatas é submetido (2) a um processo de seleção e (3) as
soluções escolhidas são manipuladas por operadores genéticos com a intenção de melhorar
este conjunto. Devido ao seu inerente paralelismo, os AEs têm o potencial de encontrar
múltiplas soluções Pareto em uma única iteração. Entretanto, em aplicações complexas,
nem sempre é possível obter soluções ótimas, muito menos um conjunto Pareto-ótimo
completo (lembrando que a noção de ‘ótimo’ é uma idealização na maioria dos problemas
reais). Conseqüentemente, o principal alvo da otimização de problemas multicritério pode
ser reformulado e generalizado, consistindo de três objetivos:
A distância entre a fronteira não-dominada resultante e a fronteira Pareto-ótima deve
ser minimizada;
Uma boa distribuição (uniformidade) das soluções encontradas é desejável. A
ausência de soluções em partes da fronteira pode dificultar a escolha final; e
Capítulo III – AGMO 33
O espalhamento da fronteira não-dominada deve ser maximizado. Isto é, valores
extremos para cada objetivo devem ser alcançados, permitindo assim, um melhor
entendimento do compromisso entre os objetivos.
Figura 3.2. Princípios da Otimização Multiobjetivo.
Além destes três preceitos, ilustrados na figura 3.2, existem duas preocupações
principais quando se aplica um AE na resolução de um problema de otimização
multiobjetivo:
Como intermediar a informação dos méritos de cada indivíduo com o processo de
seleção de maneira a guiar a busca pelo conjunto Pareto-ótimo; e
Como manter a diversidade da população de modo a prevenir uma convergência
prematura, e assim garantir a obtenção de uma fronteira não-dominada ampla e
uniformemente distribuída.
Para dirimir estas dificuldades, vários procedimentos (operadores genéticos) são
empregados
10
. Os mais utilizados são:
Seleção: forma os pares (pais) que poderão sofrer os demais operadores genéticos.
A seleção deve, ao mesmo tempo, garantir a rápida definição da fronteira Pareto e
não conduzir a concentração da população em um só ponto. Assim, o processo de
seleção deve trabalhar com dois conceitos ‘antagônicos’: rápida convergência
mantendo diversidade das soluções (seção 3.4.6);
Cruzamento: geração de novos indivíduos (filhos) por permutação de ‘informações’ dos
pares (pais). Responsável maior pela exploração do espaço de busca (seção 3.4.7);
10
As referências bibliográficas e detalhes de implementação de cada procedimento são apresentadas na
seqüência do texto, nas seções indicadas.
Capítulo III – AGMO 34
Mutação: inserção aleatória de ‘informações’ novas nos indivíduos, o que aumenta
a diversidade da população (seção 3.4.7);
Nicho: capacidade de explorar simultaneamente regiões distintas, descobrindo
ótimos locais e/ou globais (seção 3.4.5);
Espaçamento: permite eliminar da fronteira não-dominada as soluções muito
próximas umas das outras (seção 3.4.3);
Reflexão: controle dos valores das variáveis de maneira a respeitar os limites
impostos (seção 3.4.8);
Elitismo: manutenção das ‘boas’ soluções no processo evolutivo (seção 3.4.9);
Redução do Espaço de Busca: diminuição do espaço factível dos parâmetros de
acordo com informações obtidas da fronteira não-dominada (seção 3.4.2).
A seguir é apresentada uma implementação particular de um Algoritmo Genético
Multiobjetivo. Neste trabalho não houve a aplicação direta dos métodos discutidos na
seção 3.2. O que se fez, na verdade, foi utilizar conceitos básicos. Isto porque, como já
explicado no capítulo primeiro, buscou-se um maior equilíbrio entre o espaço de
parâmetros e o espaço de objetivos, a fim de melhorar a eficiência do método e facilitar os
estudos de sensibilidade das soluções. Este equilíbrio é explicado no detalhamento de cada
procedimento, após a apresentação da estrutura do AGMO. Obviamente, aumentar a
confiabilidade da fronteira Pareto e diminuir o tempo para convergência são também
preocupações. Os resultados obtidos nos problemas teste (analíticos e eletromagnéticos)
atestam à eficiência do algoritmo proposto.
3.4 Algoritmo Genético Multiobjetivo: Três populações correntes
O AGMO proposto aqui é baseado em três populações correntes
11
. A figura 3.3
apresenta esta metodologia. O algoritmo inicia como o AG monoobjetivo, ou seja, são
estipuladas as especificações iniciais do processo (probabilidades de cruzamento e
11
Publicado primeiramente em [A12], melhorado em [A3-A7] e em versão ‘definitiva’ em [A8]. Todos os
procedimentos aqui apresentados foram desenvolvidos para a codificação real. Isto significa que os
parâmetros (variáveis de otimização) são números reais, não necessitando de qualquer codificação, como por
exemplo, a transformação para números binários.
Capítulo III – AGMO 35
mutação, tamanho da população e número máximo de gerações). Devem ser previamente
conhecidos: o número de variáveis de cada indivíduo, os limites aceitáveis de cada variável
e o número de objetivos que serão abordados.
Figura 3.3. Algoritmo Genético Multiobjetivo desenvolvido neste trabalho.
Conhecidas estas informações iniciais, o primeiro passo é criar a população inicial
de possíveis soluções do problema. Estes indivíduos são gerados aleatoriamente dentro dos
limites pré-estabelecidos. Estas soluções são avaliadas perante o problema e a condição
Pareto-ótima (2.6) é testada. Resumidamente:
{
P = não deve existir
f
x
X∈
|
(1) exista i tal que
()
(
)
ii
f
xfx
∗
>
e (2)
(
)
(
)
jj
jifx fx
∗
∀≠ ≥
}
,
(3.1)
onde X
f
é o espaço factível. O conjunto P contém as soluções eficientes (
x
∗
) do problema.
A verificação (ou a não verificação) da condição de Pareto (3.1) separa a população
em dois grupos de soluções: um formado pelas soluções não-dominadas (
POPNDOM); e
outro por soluções dominadas (
POPDOM). Um índice (IDOM) que indica por quantas
vezes cada solução é dominada por outras é criado. Isto é importante para que o processo
de seleção trabalhe somente com as soluções que estão na região próxima ao conjunto
Pareto, o que permite uma convergência mais rápida.
Após esta verificação, pode-se aplicar uma técnica de ‘espaçamento’ (
clearing), cujo
propósito é obter uma repartição regular dos indivíduos sobre a fronteira Pareto. Se
Capítulo III – AGMO 36
similaridades entre os indivíduos são detectadas (no espaço de parâmetros e/ou no espaço de
objetivos), algumas destas soluções podem ser punidas, ou seja, retiradas de
POPNDOM.
Para melhor controle de todo o processo evolucionário, um número fixo de
indivíduos (
nbind) é usado nas ações de cruzamento e mutação. Estudos sobre os melhores
valores para a percentagem de indivíduos que sofrerão as operações genéticas já foram
feitos e estão disponíveis na literatura. Vasconcelos
et al. [64], por exemplo, afirmam que
o mais importante é o número de avaliações do problema. Ou seja, se o número de
indivíduos for baixo, deve-se compensar aumentando o número de gerações. O contrário
também é válido.
Este grupo de tamanho mínimo fixo é chamado de ‘população real’ (
POPREAL), o
qual é recriado a cada geração.
POPREAL é sempre composto por todas as soluções de
POPNDOM (após clearing) somadas a nbind/4 soluções de POPDOM (escolhem-se as que
possuem os menores índices
IDOM), de maneira a manter certa diversidade. Se o número
de indivíduos de
POPREAL for ainda menor que nbind, ela é completada com mais
indivíduos de
POPDOM (escolhidas outras que tiverem os menores índices). O contrário,
ou seja, o caso em que o número de indivíduos de
POPREAL for maior que nbind, será
tratado no processo de seleção.
Quando for necessário, a técnica de nicho pode ser executada após a montagem de
POPREAL. Esta técnica permite a exploração de regiões distintas contendo ótimos locais.
Isto é possível através de uma transformação da função objetivo: os valores de méritos são
trocados por índices de semelhanças entre soluções, nos espaços de objetivos e no espaço
de parâmetros.
O número de indivíduos selecionados de
POPREAL é sempre nbind. A seleção é
feita pela ação conjunta de dois procedimentos. Os pais são em parte escolhidos por
amostragem determinística (baseada na média dos méritos da população, o que aumenta a
possibilidade de seleção de indivíduos da parte central da fronteira não-dominada) e em
parte por Torneio (baseado em cada objetivo individualmente, facilitando a escolha de
indivíduos dos extremos da fronteira não-dominada).
Após a seleção, os operadores de cruzamento e mutação são executados. Geração
após geração, estes operadores criam novos indivíduos (filhos) baseados nas informações
contidas nos indivíduos correntes (pais), de maneira a explorar eficientemente o espaço de
Capítulo III – AGMO 37
busca. A geração destes novos indivíduos pode não respeitar as restrições sobre as
variáveis (dimensões construtivas máximas, por exemplo). Neste caso, é necessário ajustar:
ou os novos indivíduos são modificados de modo a respeitar os limites ou estes são
redefinidos (quando isto for possível).
Os novos indivíduos são avaliados e diretamente inseridos em
POPREAL. Então,
todas as soluções (correntes e novas) são submetidas à condição de Pareto (3.1). Isto
resulta em uma
POPNDOM modificada, cujo tamanho varia a cada geração (aumenta e
diminui), enquanto que
POPDOM pode somente aumentar. Como nos AGs monoobjetivo,
novas ‘boas’ soluções podem aparecer em qualquer momento do processo. Entretanto,
estes indivíduos podem ser perdidos durante o processo evolucionário. É o conceito de
elitismo global quem garante a permanência das soluções eficientes. No AGMO proposto
aqui, o elitismo global é implicitamente incorporado devido ao uso de todas as soluções
não-dominadas (
POPNDOM) para compor POPREAL. Finalmente, o processo
evolucionário é reiniciado com novas populações
POPDOM e POPNDOM.
Para reduzir o custo computacional necessário para determinar a tabela de
dominância
IDOM, um tamanho máximo de POPDOM é estipulado, ou seja, é fixado um
número máximo de soluções dominadas. As soluções que possuírem os piores índices
IDOM são transferidas para um população externa ao processo evolutivo (POPDOMold).
Ainda com o intuito de reduzir o custo computacional, pode-se pensar em diminuir
o espaço de busca a ser explorado. De posse da fronteira não-dominada a cada geração, o
engenheiro/projetista pode estabelecer valores extremos mais interessantes para os
objetivos e, assim, restringir os limites dos parâmetros. Esta ação caracteriza um método de
otimização com decisão progressiva.
O processo evolutivo pode ser finalizado por um número máximo de gerações, por
um número máximo de soluções não-dominadas, por verificação da não melhoria na
fronteira ou por qualquer outra decisão do usuário. A figura 3.4 apresenta um esquema da
rotina principal. O pseudocódigo mostra passo a passo o algoritmo proposto, sendo
possível observar a ordenação e entender a dinâmica da metodologia. Na seqüência, cada
procedimento é explicado em detalhes.
Capítulo III – AGMO 38
% Sérgio Luciano Avila - Algoritmo Genético Multiobjetivo
% Declarando as variáveis iniciais:
nbind = 30; % número de indivíduos - tamanho da população;
pcross = 0,9; % probabilidade de cruzamento;
pmut = 0,025; % probabilidade de mutação;
nbgen = 50; % número máximo de gerações;
nvar = 5; % número de variáveis;
limites = [1 1,2; 1 1,2; 50 150; 50 150; 90 500]; % limites das variáveis [mínimo máximo];
nvar = size(limites,1); % número de variáveis;
fniche = 0; % técnica de nicho - 0:off 1:on;
fclear = 1; % técnica de espaçamento - 0:off 1:on;
freduc = 0; % redução do espaço de busca - 0:off 1:on;
%% Rotina principal – i define o número de vezes que a rotina será executada.
para i = 1:10
% AVDOM : avaliação de POPDOM : população de indivíduos dominados;
% AVDOMold : avaliação de POPDOMold : população de indivíduos dominados por muitas soluções;
% AVNDOM : avaliação de POPNDOM : população de indivíduos não-dominados;
% AVPOP : avaliação de POPREAL: população dos indivíduos que serão submetidos aos operadores
genéticos;
% rPOPREAL : auxiliar de POPREAL;
% rAVPOP : auxiliar de AVPOP;
% Gera a População Inicial
POPREAL = aleatório(nbind, nvar, limites);
% Avalia População Inicial
AVPOP = mérito(POPREAL);
% % Início do processo evolutivo
n =1; POPDOM=[ ];POPNDOM=[ ]; POPDOMold=[ ]; AVDOM=[ ];AVNDOM=[ ]; AVDOMold = [ ];
%inicialização matrizes
enquanto n < nbgen
IDOM = [ ];
% Verificando Pareto
[POPDOM, POPNDOM, AVDOM, AVNDOM, IDOM] = pareto(POPREAL, AVPOP);
Se ( freduc == 1 ) % Redução do Espaço de Busca
[POPDOM, POPNDOM, AVDOM, AVNDOM, AVDOMold, POPDOMold, limites] = redução(...
...POPREAL, AVPOP, POPDOM, AVDOM, AVDOMold, POPDOMold, limites);
fim_se
Se ( fclear == 1 ) % Técnica de Espaçamento
[POPNDOM,AVNDOM, POPDOM, AVDOM, IDOM]= clear( POPNDOM, AVNDOM, POPDOM, AVDOM, IDOM);
fim_se
% Criando População POPREAL
POPREAL=[ ]; AVPOP=[ ];
[POPRREAL, AVPOP, AVDOMold, POPDOMold, AVDOM, POPDOM]=criar(...
...POPNDOM, POPDOM, AVNDOM, AVDOM, IDOM, nbind, AVDOMold, POPDOMold);
AV=[ ]; % Técnica de Nicho
Se ( fniche == 1 )
[NicheSig]=niche( POPREAL, AVPOP);
AV=NicheSig;
Senão AV=AVPOP; fim_se
rPOPREAL = [ ]; % Seleção
rPOPREAL = seleção( POPREAL, AV, nbind);
% Cruzamento
rPOPREAL = cruzamento( rPOPREAL, pcross);
% Mutação
rPOPREAL = mutação( rPOPREAL, pmut);
% Reflexão
rPOPREAL = reflexão( rPOPREAL, limites);
% Avaliando os novos indivíduos
rAVPOP = Mérito(rPOPREAL);
% Montando nova POPREAL – Elitismo Global
POPREAL=[POPREAL ; rPOPREAL; POPDOM]; AVPOP = [AVPOP ; rAVPOP ; AVDOM];
n=n+1;
fim_enquanto
fim_para % fim
Figura 3.4. Pseudocódigo: Algoritmo Genético Multiobjetivo.
Capítulo III – AGMO 39
3.4.1 Extração das soluções não-dominadas
Para distinguir as soluções não-dominadas, é necessário testar uma a uma todas as
soluções que compõem
POPREAL, usando (3.1). O índice indicativo de quantas vezes uma
solução é dominada por outras (
IDOM) é calculado durante esta verificação. O conhecimento
deste índice permite completar
POPREAL com indivíduos pouco dominados, o que acelera o
processo de convergência. Em contrapartida, o número de verificações da condição de Pareto
aumenta com a obtenção deste índice. Entretanto, o tempo para este cálculo é insignificante
quando comparado ao tempo de cálculo necessário para a avaliação da solução (análise do
problema), como por exemplo, a modelagem eletromagnética de um dispositivo. A figura 3.5
mostra o procedimento de verificação de Pareto (a) com e (b) sem o cálculo de
IDOM.
% identificando dominância - minimização
[nbp,nvar]=size(POPREAL);
IDOM=zeros(nbp,1);
para i=1:nbp
para j=1:nbp
se AVPOP(i,:) < = AVPOP(j,:)
se AVPOP(i,:) == AVPOP(j,:)
IDOM(j) = IDOM(j) + 0;
senao IDOM(j) = IDOM(j) + 1; fim_se
fim_se
fim_para
fim_para
% separação
auxN=1;aux=1;
AVNDOM=[ ]; POPNDOM=[ ]; AVDOM=[ ];POPDOM=[ ];
se IDOM(i)==0
AVNDOM(auxN,:)=AVPOP(i,:);
POPNDOM(auxN,:)=POPREAL(i,:);
auxN=auxN+1;
senão AVDOM(aux,:)=AVPOP(i,:);
IDOM(aux)=b(i);
POPDOM(aux,:)=POPREAL(i,:);
aux=aux+1;
fim_se
% identificando dominância - minimização
[nbp,nvar]=size(POPREAL);
D=zeros(nbp,1);
para i=1:nbp-1
para j=i+1:nbp
se D(j) == 0
se AVPOP(i,:) < = AVPOP(j,:)
se AVPOP(i,:) == AVPOP(j,:)
D(j) = 0;
senao D(j) = 1; fim_se
fim_se
fim_se
fim_para
fim_para
% separação
Mesmo código, troca-se IDOM(i) por D(i)
(a) pseudocódigo com IDOM (b) pseudocódigo sem IDOM
Figura 3.5. Pseudocódigo: Verificação da condição de dominância de Pareto.
Outro aspecto importante consiste em verificar a repetição de soluções, que deve ser
evitada. Pode acontecer que um par de indivíduos não sofra nem cruzamento nem mutação.
Essas soluções retornariam à verificação de Pareto e seriam idênticas a soluções já existentes.
Tal verificação deve ser feita comparando os parâmetros da solução, e não seus méritos.
Méritos idênticos para soluções diferentes podem existir num problema multimodal.
Para reduzir o custo computacional necessário para calcular
IDOM, estipula-se um
tamanho máximo para
POPDOM. As soluções com os piores índices de dominância são
movidas para uma população externa ao processo evolutivo (
POPDOMold).
Capítulo III – AGMO 40
3.4.2 Redução do Espaço de Busca
Pode-se pensar em reduzir o espaço dos parâmetros como procedimento para
minimizar o custo computacional (algo semelhante ao proposto por Vasconcelos
et al. [64]
para a otimização monoobjetivo). Isto porque, diminuindo-se a complexidade da procura, o
número de gerações necessário para a obtenção da fronteira Pareto-ótima pode ser menor.
Esta ação funciona como um decisor progressivo. Na medida em que uma aproximação da
fronteira Pareto é conhecida, o engenheiro/usuário pode analisar e, se desejar, estipular
níveis mínimos (ou máximos) para determinados objetivos. Assim, as soluções que não
atenderem a estas especificações são eliminadas (
POPDOMold) e os limites de busca
redefinidos. Obviamente, esta operação depende da experiência do projetista.
A figura 3.6 ilustra este procedimento num problema fictício de maximização de
desempenho e minimização de custo. Uma vez estipulados um valor mínimo para o
desempenho e um valor máximo para o custo, pode-se excluir grande parte da região
factível. Seguem no processo evolutivo somente as soluções que estão dentro destes novos
limites. Para melhor exploração desta região restrita, uma população nova pode ser criada
dentro destes limites redefinidos, juntando-se às soluções remanescentes.
Figura 3.6. Redução de espaço de busca
12
.
Em problemas simples, estas decisões podem ser feitas no início do processo de
otimização, como um decisor
a priori. Entretanto, em problemas complexos, a localização das
melhores soluções pode não ser rápida, mas sim dependente de uma evolução lenta. Restrições
fortes desde o início podem dificultar ou até mesmo inviabilizar o processo evolutivo. Assim
como em problemas monoobjetivo, a redução do espaço de busca deve ser usada com cautela.
Com a má utilização da redução, existe o risco de perda de informações, como por exemplo,
possíveis ótimos locais.
12
Esta ilustração corresponde a um caso particularmente simples: poder-se-ia obter no espaço de parâmetros uma
forma qualquer, sem limitação clara para os valores extremos dos parâmetros ou mesmo múltiplas zonas separadas.
Capítulo III – AGMO 41
3.4.3 Espaçamento entre Soluções Não-Dominadas
Em certos problemas, o conjunto Pareto-ótimo pode ser extremamente amplo ou,
ainda, conter um número infinito de soluções (sobretudo para os problemas com variáveis
contínuas). A permanência de um número excessivo destas soluções no processo evolutivo
leva à diminuição da diversidade, podendo acarretar em uma convergência prematura. Isto
porque, a grande concentração de soluções não-dominadas reduz a importância (‘pressão’) do
processo de seleção (explicada na seção 3.4.5), diminuindo a exploração do espaço de busca.
O procedimento ‘espaçamento’
13
, também chamado de clearing, tem como
princípio melhorar o estabelecimento da fronteira Pareto, evitando uma possível
convergência prematura ou ainda aglomerações de soluções em determinadas regiões
[A13]. A figura 3.7a ilustra o procedimento usualmente encontrado na literatura. A figura
3.7b mostra a ação adotada neste trabalho.
(a) Espaçamento realizado somente no espaço dos objetivos
(b) maior equilíbrio – espaçamento realizado sobre os dois espaços: objetivos (f) e parâmetros (p)
Figura 3.7. Espaçamento entre soluções não-dominadas.
13
Existe na literatura certa confusão de denominações. Não raro é encontrar técnicas de clearing sendo
chamadas de nicho, como em [A13], por exemplo. Aqui, a técnica de nicho auxilia na resolução de
problemas multimodais. Já a técnica de espaçamento tem por natureza ajudar na boa conformação da
fronteira Pareto, considerando aqui a possibilidade de multimodalidade.
Capítulo III – AGMO 42
Com a intenção de melhorar a repartição dos indivíduos sobre a fronteira Pareto,
pode-se estipular uma distância mínima (
Dmin) entre os indivíduos não-dominados. Em
Deb
et al. [54], por exemplo, este procedimento é chamado de ‘preservação da
diversidade’ (
Diversity Preservation) e o cálculo de Dmin
é realizado somente no espaço
de objetivos (ver figura 3.7a; vários outros autores fazem o mesmo, como Zitzler
et al.
[58]). Esta ação funciona bem em problemas com apenas uma fronteira ótima. No caso de
problemas com múltiplas fronteiras, conforme figura 3.7b, é conveniente também observar
a distância entre os indivíduos no espaço de parâmetros, evitando assim que soluções de
nichos diferentes sejam penalizadas por terem objetivos parecidos ou mesmo idênticos.
Pode-se pensar em fazer o cálculo de
Dmin somente sobre o espaço de parâmetros, mas
isto poderia resultar em efeitos indesejáveis. Por exemplo, poderia ocorrer a eliminação de
soluções que estão próximas no espaço de parâmetros, mas que possuem desempenhos
bastante diferentes devido a descontinuidades.
Uma vez detectada a semelhança entre soluções não-dominadas nos dois espaços,
indivíduos são penalizados. A penalidade consiste em mover o indivíduo punido para
POPDOM, alterando seu IDOM de 0 para um índice de dominância aleatório (0 para não-
dominado e 1,2,...
k para um indivíduo dominado k vezes). A figura 3.8 apresenta o
pseudocódigo para o ‘espaçamento’. Este método necessita da experiência do
projetista/usuário para a definição das distâncias mínimas no domínio dos objetivos
(
D
obj
min) e no domínio dos parâmetros (D
par
min).
% Espaçamento [nbp,nvar]=size(POPNDOM); aux=size(POPDOM,1)+1;
para i=1:nbp-1
para j=i+1:nbp
se AVNDOM(j,1) ~= 1e8
se abs(POPNDOM(i,:)-POPNDOM(j,:)) < D
par
min & se abs(AVNDOM(i,:)-AVNDOM(j,:)) < D
obj
min
POPDOM(aux,:) = POPNDOM(j,:); AVDOM(aux,:) = AVNDOM(j,:);
IDOM(aux) = round(10*rand(1)); AVNDOM(j,1) = 1e8; aux=aux+1;
fim_se
fim_se
fim_para
fim_para % segue ‘limpeza’ de AVNDOM (1e8).
Figura 3.8 Pseudocódigo: Espaçamento entre soluções não-dominadas.
Métodos dinâmicos, sem a necessidade de declaração de distâncias mínimas, já
foram publicados, como Deb
et al. [54], dentre outros. Foi aqui testada uma adaptação da
técnica de nicho (seção 3.4.5) para a ação dinâmica do ‘espaçamento’. Na técnica de nicho,
as duas informações (distâncias entre objetivos e parâmetros) são utilizadas. Optou-se por
manter o processo de distâncias explícitas proposto aqui, isto porque o projetista tem maior
controle definindo ele mesmo as distâncias, o que permite também um aprendizado sobre o
Capítulo III – AGMO 43
comportamento do problema. O método dinâmico ainda tem como aspecto negativo o
aumento do custo computacional.
É preciso atenção ao fato de que é muito importante manter a solução extrema de cada
objetivo, que pode vir a ser indesejavelmente excluída se não obedecer às distâncias mínimas.
Outro aspecto a ser observado,
D
par
min e D
obj
min são vetores com variáveis condizentes aos
parâmetros [
D
par
1, D
par
2,...nvar] ou objetivos [D
obj
1, D
obj
2,...nobj], respectivamente.
3.4.4 Construção da população de trabalho POPREAL
A população de trabalho ou ‘real’, chamada de POPREAL, é a maneira aqui
utilizada para relacionar o grupo de soluções dominadas e não-dominadas. A partir desta
população será feita a seleção dos indivíduos que sofrerão os demais operadores genéticos.
Como já mencionado,
POPREAL possui um tamanho mínimo definido por
nbind, mas não um máximo. A intenção é representar bem a diversidade de soluções,
porém buscando a convergência ao conjunto Pareto. Desta forma,
POPREAL é montada
com todos os indivíduos de
POPNDOM (após clearing); somados a nbind/4 soluções
de
POPDOM de maneira a manter certa diversidade. Estes indivíduos dominados são
escolhidos entre os que possuírem os menores índices
IDOM (quando houver soluções
com índices de dominância iguais, a escolha é feita aleatoriamente, escolhendo a
solução primeira encontrada). Se o número de indivíduos de
POPREAL for ainda
menor que
nbind, ela é completada com mais indivíduos de POPDOM (escolhidas
outras que tiverem os menores índices). A figura 3.9 ilustra um exemplo de população
de trabalho. A figura 3.10 apresenta o pseudocódigo para este procedimento.
Figura 3.9 População de trabalho (POPREAL) baseada no índice de dominância IDOM.
Nesta operação, limita-se também o tamanho de
POPDOM ao dobro de nbind, de
modo a reduzir o custo computacional envolvido no cálculo do índice de dominância
IDOM.
As soluções excluídas de
POPDOM são armazenadas em POPDOMold, população esta que
Capítulo III – AGMO 44
não participa do processo evolutivo. Este controle é feito em duas etapas: primeiro são
excluídas as soluções que possuem
IDOM demasiadamente alto, ou seja, aquelas que se
encontram distantes da fronteira Pareto (
IDOM > 200, por exemplo); se o tamanho de
POPDOM for ainda superior a 2 × nbind , retiram-se as soluções de maior IDOM até restar o
número desejado.
% Completando POPREAL
POPREAL=POPNDOM; AVPOP=AVNDOM; % todas as não-dominadas
para i=1:round(0.25*nbind) %1/4 dominados
[a,p]=min(IDOM); IDOM(p)=1e10; % por dominância
POPREAL(end+1,:)=POPDOM(p,:); AVPOP(end+1,:)=AVDOM(p,:);
fim_para
aux=size(POPREAL,1);
se aux<nbind % ainda menor que nbind ?
para i=(aux+1):nbind
[a,p]=min(IDOM); % por dominância
IDOM(p)=1e10;
POPREAL(i,:)=POPDOM(p,:); AVPOP(i,:)=AVDOM(p,:);
fim_para
fim_para
Figura 3.10 Pseudocódigo: Montando POPREAL.
3.4.5 Técnica de Nicho
O procedimento para a detecção de nichos em problemas multiobjetivos parte do
conceito adaptado da mesma técnica para o AG monoobjetivo (Sareni
et al. [65], dentre
outros). Esta técnica permite a exploração de regiões distintas que constituem ótimos
locais, conforme ilustrado na figura 3.11 e na figura 3.7b. Em projetos práticos, por
exemplo, a detecção de soluções diferentes proporciona ao projetista a possibilidade de
escolha final não só pelos objetivos pré-definidos, mas também pela facilidade de
construção desta ou daquela solução.
Figura 3.11 Nicho em problemas monoobjetivo.
Proposição: calcular dois índices de nicho (ou de semelhança), no domínio dos
objetivos (
Nobj) e dos parâmetros (Npar), de maneira a respeitar os dois domínios. Estes
índices são as distâncias entre indivíduos subseqüentes segundo a ordem estabelecida pelos
valores de cada objetivo. O operador genético de seleção irá trabalhar com estes índices e
Capítulo III – AGMO 45
não com as avaliações do problema. O que se deseja é detectar nichos distintos (espaço de
parâmetros), ou seja, a detecção de ótimos locais e/ou globais num problema multimodal,
conforme ilustrado na figura 3.11 – [A8].
O processo é constituído de duas etapas. Primeiro, para cada objetivo
k, dispõe-se a
população em ordem crescente (ou decrescente) segundo o objetivo em análise (é
necessário guardar um ponteiro que indique a ordem original). Na seqüência são calculadas
as distâncias entre os indivíduos nos dois espaços,
Nobj
k
e Npar
k
, conforme a ordem
estabelecida. A segunda etapa consiste na junção dos dois índices de semelhança através de
uma função de transferência.
Índice de Nicho no domínio dos objetivos
Este índice é calculado conforme Deb et al. [54]
14
e Sareni et al. [66]:
()
(
)
(
)
11ki ki ki
Nobj x f x f x
+
−
=−
,
(3.2)
onde
x
i:nbp
é a solução em análise e nbp é o tamanho de POPREAL. É necessário atribuir o
maior índice aos indivíduos situados nos extremos da fronteira (
1
x
e
nbp
x
), de modo a
conservar estas soluções no processo.
Índice de Nicho no domínio dos parâmetros
Este índice é calculado conforme abaixo:
()
11ki i i i i
kk kk
Npar x x x x x
−+
=
−+−
.
(3.3)
É preciso lembrar que
x
pode ser constituído por nvar variáveis, de modo que é
imperativo fazer a normalização das variáveis, pois estas são somadas entre si.
Função de Transferência
Com a intenção de somar as distâncias (Nobj
k
e Npar
k
), deve-se primeiro tornar as
grandezas correspondentes, para que elas variem de maneira equivalente. Para tal, usa-se
aqui uma função sigmóide, como ilustra a figura 3.12, onde
Nmin e Nmax são os mínimos
e máximos de cada índice.
14
Deb. [32] discute sobre a aplicação da técnica de nicho nos espaços de objetivos ou de parâmetros,
concluindo pela escolha da análise no espaço dos parâmetros. Entretanto, no NSGA-II (Deb. [54]), o nicho é
calculado no espaço de objetivos.
Capítulo III – AGMO 46
Figura 3.12. Função de transferência – técnica de Nicho.
Realizada esta transformação, pode-se construir para objetivo k um índice de semelhança
único, levando em conta os dois espaços (como por exemplo, pelo produto dos dois índices:
Nobj
k
× Npar
k
). Quando a técnica de nicho é necessária, o processo de seleção é realizado com
base estes índices no lugar das funções
fitness. A figura 3.13 apresenta o pseudocódigo da
técnica de nicho aqui descrita. A seção 3.5.3 mostra a resolução de um problema multimodal.
% técnica de Nicho nbobj = size(AVPOP,2); [nbp,nvar] = size(POPREAL); AVaux = AVPOP;
Paux=[ ]; %normalizando os parâmetros
para i=1:nvar
Paux(:,i) = POPREAL(:,i) / max(POPREAL(:,i));
fim_para
Sigpar = [ ]; Sigobj =[ ];
para k=1:nbobj
% colocando em ordem crescente AV=[ ]; POP=[ ]; Pos=[ ];
para w=1:nbp
[v, p] = min(AVaux(:,k)); AV(w) = AVaux(p,k); POP(w,:) = Paux(p,:); AVaux(p,k) = 1e10; Pos(w) = p;
fim_para
% cálculo da distância
Nobjk=zeros(nbp,1); Npark=zeros(nbp,1);
para i=2:(nbp-1)
Nobjk(Pos(i)) = (AV (i+1)-AV(i-1));
Npark(Pos(i)) = sqrt(sum((POP(i,:)-POP(i-1,:)).^2)) + sqrt(sum((POP(i+1,:)-POP(i,:)).^2));
fim_para
% salvando extremos
Nobjk(Pos(end)) = max(Nobjk(2:end-1))+.1; Nobjk(Pos(1)) = Nobjk(Pos(end))+.1;
Npark(Pos(end)) = max(Npark(2:end-1))+.1; Npark(Pos(1)) = Npark(Pos(end))+.1;
% função sigmóide Lmax=7; Lmin=-7;
%objetivos
Dmax = max(Nobjk); Dmin = min(Nobjk); a = (Lmax-Lmin)/(Dmax-Dmin); b = Lmin-a*Dmin;
Domo = a.*Nobjk+b; Sigobj(:,k) = 1./(1+exp(-Domo));
%parâmetros
Dmax = max(Npark); Dmin = min(Npark); a = (Lmax-Lmin)/(Dmax-Dmin); b = Lmin-a*Dmin;
Domp = a.*Npark+b; Sigpar(:,k) = 1./(1+exp(-Domp));
fim_para
% Indice de Nicho Nicho = Sigobj.*Sigpar;
Figura 3.13 Pseudocódigo: Técnica de Nicho.
Outros cuidados devem ser tomados para a correta resolução de problemas
multimodais, sendo o mais importante: as soluções não-dominadas com avaliações iguais,
porém com parâmetros diferentes, devem ser consideradas como Pareto. A própria
montagem da população de trabalho
POPREAL e a maneira como foi proposto o clearing
contribuem para a determinação de múltiplas fronteiras. Ainda sobre o
clearing, cabe
mencionar que a formulação apresentada aqui na técnica de nicho pode ser utilizada para a
exclusão de soluções não-dominadas. As soluções com menores índices seriam excluídas
Capítulo III – AGMO 47
automaticamente até que um número mínimo de soluções não-dominadas fosse atingido.
Para isto, a cada exclusão seria necessário recalcular todos os índices, pois a disposição das
soluções foi alterada. Como já dito, o custo computacional deste procedimento seria muito
elevado em comparação à técnica de
clearing adotada.
3.4.6 Processo de Seleção
A seleção é responsável pela escolha dos casais que sofrerão os operadores
genéticos de cruzamento e mutação. O importante é, através das soluções escolhidas,
amostrar satisfatoriamente a população corrente, permitindo a estes operadores a
possibilidade de explorar bem o espaço de busca.
O número de indivíduos selecionados de
POPREAL é sempre nbind. A seleção é
feita pela ação conjunta de dois procedimentos. Os pais são em parte escolhidos por
amostragem determinística (
deterministic sampling – AMDET – baseada na média dos
méritos da população, a qual dá ênfase à parte central da fronteira Pareto) e em parte por
Torneio (baseado em cada objetivo individualmente, o qual enfatiza os extremos da
fronteira Pareto). Estes dois métodos de seleção são descritos por Goldberg [8]. Assim,
em um problema com dois objetivos por exemplo, a população de soluções selecionadas
será constituída por três grupos: pela média dos dois objetivos, por torneio para o
primeiro objetivo e por torneio para o segundo objetivo. Este procedimento facilita a
obtenção de um conjunto Pareto bem distribuído. A figura 3.14 ilustra processos de
seleção. A figura 3.15 apresenta o pseudocódigo deste procedimento. Apenas uma
preocupação: para a amostragem determinística, deve-se calcular a média das avaliações
com cuidado, pois qualquer tipo de ponderação é desaconselhado em problemas
conflitantes, como já discutido na seção 2.4. Este cálculo é feito somente sobre as
avaliações da população que sofrerá a seleção, o que acelera o processo de convergência.
Figura 3.14 Ilustração do processo de seleção.
Capítulo III – AGMO 48
% Seleção
rPOPREAL=[ ];
[nbp,nvar]=size(POPREAL);
[nbp,nbobj]=size(AVPOP);
MED=sum(popAV)/size(AVPOP,1);
% número de soluções por sub-população
nn=ceil(nbind/(nbobj+1));
% seleção por Torneio
rpopTorneio =[ ];
aux = ceil(nbp/20); % 10% de nbp a cada torneio
para b=1:nn
aux2=b;
para i=1:nbobj % uma sub-população por objetivo
ind1=randperm(nbp);
ind2=ind1(1:aux);
av=[ ]; av=AVPOP(ind2,i);
[a,p]=min(av);
rpopTorneio(aux2,:)=POPREAL(ind2(p),:);
aux2=aux2+nn;
fim_para
fim_para (1)
% seleção por Amostragem Determinística
aux=1; rpopAMDET=[ ];
para i = 1:size(POPREAL,1)
se AVPOP(i,:)<MED
rpopAMDET(aux,:)=POPREAL(i,:);
aux=aux+1;
fim_se
fim_para
% verificando o tamanho de rpopAMDET
nbrpop=size(rpopAMDET,1);
se nbrpop<nn
para x=1:(nn-nbrpop)
ind=ceil(nbp*rand(1));
rpopAMDET(nbrpop+x,:)=POPREAL(ind,:);
fim_para
fim_se
se nbrpop>nn
rrpop=rpopAMDET(1:nn,:);
rpopAMDET=[ ];
rpopAMDET=rrpop;
fim_se (2)
rPOPREAL=[rpopTorneio; rpopAMDET]; (3)
Figura 3.15 Pseudocódigo: Seleção.
3.4.7 Cruzamento e Mutação
Com a seleção feita, os operadores que geram novos indivíduos são aplicados:
cruzamento e mutação. Para explorar eficientemente o espaço de busca de um problema
multiobjetivo, foram desenvolvidas metodologias modificadas para os operadores genéticos
cruzamento e mutação, apresentados em [A9 e A14] para a abordagem monoobjetivo. As duas
referências citadas unem, basicamente, os trabalhos de Vasconcelos
et al. [64] e Qing et al. [67],
além de inserir dois novos aspectos: a direção para o cruzamento e para a mutação, bem como a
análise do comportamento da população para quantificar a mutação. A adaptação destes
procedimentos para o AGMO foi publicada em [A15]. Seja a população selecionada:
11 1
12
12
n, n, n,
nvar
n
n,nbind n,nbind n ,nbind
nvar
XX X
X
XX X
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
,
(3.4)
onde cada linha representa um indivíduo na n-ésima geração, nbind é o tamanho da
população e
nvar é o numero de variáveis de otimização.
Cruzamento
O objetivo do cruzamento é permutar material genético entre os pares de
indivíduos previamente selecionados. Após a formação dos pares (feita de maneira
aleatória), os indivíduos são submetidos ao cruzamento, sendo que este processo pode ou
Capítulo III – AGMO 49
não ocorrer, de acordo com uma dada probabilidade. Este operador genético é o
responsável maior pela criação de novos indivíduos. Por isto, a probabilidade de
cruzamento (
pcross) deve ser alta (geralmente entre 70 e 100%), como ocorre na natureza,
em que a maioria dos casais possui filhos.
Agrupados os pares (
i, j), verifica-se a ocorrência ou não do cruzamento segundo a
probabilidade
pcross. Se for o caso, a permutação de material genético é feita conforme:
(
)
1
1
n,i n,i n,j
kcross dir pol kcross dir pol kcross dir
XX X
αα
+
=+−
…… …
,
(3.5)
()
j,n
dirkcross
i,n
dirkcross
j,n
dirkcross
XXX
………
αα
+−=
+
1
1
,
(3.6)
onde kcross ∈ [1 nvar] é um número inteiro aleatório com distribuição uniforme que
define o ponto de corte para a realização do cruzamento;
dir é uma variável binária
aleatória que indica em qual direção será realizado o cruzamento: se
dir = zero a direção é
do ponto de corte até a última variável
nvar, ou na outra direção se igual a dir = 1;
α
pol
é o
coeficiente de multiplicação polarizado, fixado em 0,9;
α
∈ [-0,1 1,1] é um coeficiente de
multiplicação aleatório com distribuição uniforme;
i,n
dirkcross
X
…
representa a porção do
indivíduo
i que inclui todas as variáveis de
i,n
kcross
X
até
i,n
dir
X
. As variáveis que não estão
incluídas no intervalo
kcross ... nvar (dir =0) ou 1 ... kcross (dir = 1) são copiadas
diretamente do progenitor.
Com a abordagem (3.5), o primeiro filho, gerado a partir de 3.5, é forçosamente
muito próximo do primeiro pai (este é o filho ‘polarizado’ pela escolha do valor de
α
pol
),
enquanto o segundo filho, gerado por 3.6 (onde
α
é uma distribuição de probabilidade
uniforme), pode estar mais perto de um ou do outro pai. Para que a população evolua
rapidamente, é imperativo que o pai deste filho polarizado tenha mérito maior que o
segundo pai, ou seja:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
jn
Xf
in
Xf
,
,
.
(3.7)
onde f(.) representa a função fitness na otimização monoobjetivo. Para um problema
multiobjetivo, utiliza-se a dominância como indicativo. O indivíduo
i será sempre o
indivíduo dominante. No caso em que os indivíduos são ambos não-dominados, a posição
em (3.7) é indiferente.
Pode-se ilustrar esta operação com um exemplo para melhor compreensão. Sejam
Capítulo III – AGMO 50
os dois indivíduos dados em (3.8). Escolheu-se
α
pol
= 0,9;
α
= 0,5; kcross = 3 (barra
vertical) e
dir = 0, ficando assim o cruzamento determinado pelas duas últimas variáveis de
cada indivíduo. Os filhos correspondentes são apresentados em (3.9) e (3.10). Como o
cruzamento ocorreu para apenas duas das cinco variáveis, tem-se, portanto, um universo de
cruzamento de duas dimensões, conforme figura 3.16a.
Pai 1 = [ 2 4 6 | 8 10 ] Pai 2 = [ 1 3 5 | 2 4 ]
(3.8)
Filho 1 = [ 2 4 6 ] ∪ 0,9 × [ 8 10 ] + 0,1 × [ 2 4 ] = [ 2 4 6 7,4 9,4 ]
(3.9)
Filho 2 = [ 1 3 5 ] ∪ 0,5 × [ 8 10 ] + 0,5 × [ 2 4 ] = [ 1 3 5 5 7 ]
(3.10)
(a) cruzamento
(b) mutação
Figura 3.16 Ilustração dos processos de geração de novos indivíduos.
Mutação
Entende-se por mutação a inserção de material genético novo na população.
Igualmente ao cruzamento, a mutação também é realizada ou não de acordo com uma dada
probabilidade (
pmut). Esta probabilidade deve ser bem baixa (algo entre 0 e 5%) para que a
busca pelo conjunto ótimo não seja puramente aleatória ou muito errática. Isto é análogo
ao comportamento da natureza, em que raramente se vêem mutações nos indivíduos. De
maneira similar ao cruzamento, a mutação consiste em somar um vetor de perturbação (
γ
)
a porção do indivíduo que irá sofrer a mutação. No início do processo evolutivo, o vetor
perturbação é dado por:
0,05
n,i n,i
kmut dir kmut dir
γβlim=
……
,
(3.11)
onde lim é definido pelos limites aceitáveis (faixas) de cada variável e
β
é um número
aleatório com distribuição uniforme no intervalo [-1 1]. Neste caso, a mutação corresponde
a uma variação máxima de
± 5% dos limites iniciais de cada variável. Esta perturbação
permite uma exploração do espaço de busca sem tornar o processo errático.
Capítulo III – AGMO 51
Durante o processo evolutivo, o vetor de perturbação muda para:
1...
0,05
n,i n, nbpop
kmut dir kmut dir
γβrange=
……
.
(3.12)
Neste caso, γ depende dos valores das variáveis no momento da mutação. Isto é,
para cada variável, novos limites são calculados a partir do comportamento da população.
Esta estratégia reduz a amplitude das perturbações, o que permite melhorar a varredura
de uma região do espaço restrita, possibilitando um ajuste ‘fino’ das soluções em busca
dos ótimos. A figura 3.16b ilustra a mutação para duas variáveis selecionadas do
exemplo anterior (neste caso
kmut = 3). Os limites aceitáveis são definidos por (3.11) ou
(3.12). É importante lembrar que, como
β
é um número aleatório, a mutação pode ocorrer
em todas as direções.
3.4.8 Considerações sobre restrições aos parâmetros
Pode ocorrer que a geração de novos indivíduos não respeite os limites pré-
determinados das variáveis, ou seja, a busca das soluções Pareto-ótimas durante o processo
evolutivo pode gerar indivíduos que possuem uma ou mais variáveis fora de suas faixas de
valores permitidos. Nestes casos, é necessário ajustar ou os novos indivíduos para dentro
dos limites ou permitir a redefinição destes.
Esta ação pode ser feita de muitas maneiras. A mais simples e interessante consiste
na saturação (figura 3.17), isto é, atribuem-se às variáveis que extrapolam seus limites os
valores máximos correspondentes. Este procedimento é interessante porque o projetista
pode aprender com o problema, pois o comportamento de cada variável que toca os limites
poderá ser observado. Isto pode ser feito, por exemplo, reiniciando o processo evolutivo
com as mesmas populações, mas adaptando os limites. Na prática, entretanto, esta variação
de limites nem sempre pode ser feita (por exemplo, quando os valores máximos das
variáveis são definidos por aspectos construtivos imutáveis).
% reflexão por saturação
[rnbp,rnvar]=size(rPOPREAL);
para i=1:rnbp
para j=1:rnvar
se rPOPREAL(i,j) < limites(j,1)
rPOPREAL(i,j) = limites(j,1);
fim_se
se rPOPREAL(i,j) > limites(j,2)
rPOPREAL(i,j) = limites(j,2);
fim_se
fim_para
fim_para
Figura 3.17 Pseudocódigo: Reflexão por saturação.
Capítulo III – AGMO 52
3.4.9 Elitismo Global
Com a geração e posterior controle de novos indivíduos (rPOPREAL), estes são
avaliados perante o problema. De modo a não perder nenhuma solução, todo o conjunto
formado pela união de
rPOPREAL e POPDOM é adicionado à população corrente
POPREAL (lembrando que esta é constituída por todos os elementos de POPNDOM). Este
é o conceito de elitismo global proposto por Vasconcelos
et al. [64]: nenhum indivíduo se
perde durante o processo evolutivo e os filhos podem ocupar os lugares de qualquer
indivíduo corrente, se possuírem melhores méritos. A nova
POPREAL é submetida à
condição de Pareto (3.1). Isto resulta em uma
POPNDOM modificada, cujo tamanho que
aumenta e diminui continuamente, enquanto que
POPDOM aumenta sempre. No AGMO
proposto nesta tese, o conceito de elitismo global é utilizado, portanto, quando da junção
das três populações a cada geração.
Por fim, o processo evolucionário é reiniciado com novas POPDOM e POPNDOM.
3.5 Problemas Teste
Nesta seção será apresentada exemplos de otimização multiobjetivo utilizando a
metodologia proposta na seção precedente. Numa primeira etapa, vários testes com
funções analíticas foram realizados. Neste texto são apresentados dois problemas
unimodais e um multimodal. Na seqüência foram otimizados alguns dispositivos
eletromagnéticos, aqui também serão apresentados dois. O primeiro é um dispositivo
supercondutor para armazenamento de energia chamado SMES (
Superconducting
Magnetic Energy Storage
); o segundo problema é a busca de uma configuração ótima de
uma PML (
Perfectly Matched Layer), utilizada para o truncamento da região de estudo no
método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD). A aplicação da formulação
multiobjetivo proposta aos problemas teste facilitara a sua compreensão.
3.5.1 Problema Schaffer F
3
Apresentado por Schaffer [51], o conjunto F
3
é um teste interessante devido à
descontinuidade na sua fronteira Pareto-ótima. O problema consiste em minimizar as
seguintes funções:
Capítulo III – AGMO 53
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>+−
≤<−
≤<+−
≤−
=
44
434
312
1
31
xsex
xsex
xsex
xsex
)x(F
e
(
)
(
)
2
32
5−= xxF ,
(3.13)
sendo x pertencente ao intervalo [-1 ; 10]. O indivíduo é, portanto, formado por uma única
variável (
x). Já o vetor objetivo é constituído por dois valores (F
31
e F
32
). As figuras 3.18a e
3.18b apresentam as curvas das funções. Nestas figuras são mostradas também as regiões de
soluções não-dominadas e a fronteira Pareto-ótima.
(a) Funções F
31
e F
32
(b) Fronteiras
(c) Soluções não-dominadas encontradas pelo AGMO (d) Fronteira não-dominada obtida
(As escalas das figuras foram alteradas para melhor visualização dos resultados)
Figura 3.18 – Problema Schaffer F3.
A figura 3.18c mostra as soluções não-dominadas encontradas na otimização. Na
figura 3.18d é possível perceber a fronteira determinada por estas soluções. Para tal resultado
foram utilizados 100 indivíduos correntes e uma distância mínima entre indivíduos (
clearing)
Capítulo III – AGMO 54
de 0,5% da faixa permitida da variável (neste caso igual a 11, já que a variável pertence ao
intervalo [-1 ; 10]). O critério de convergência foi a obtenção de um número máximo de
soluções não-dominadas (neste exemplo igual a 30). A convergência ocorreu na terceira
geração, com 32 indivíduos não-dominados e 239 indivíduos dominados. Pode-se observar a
boa qualidade dos resultados obtidos
15
.
É importante ressaltar que, alterando o valor do
clearing e do critério de
convergência, os números finais poderão ser diferentes. Um aumento da distância mínima
entre os indivíduos leva a um acréscimo na dificuldade de obtenção das soluções não-
dominadas, o que pode aumentar sensivelmente o número de gerações para a convergência.
É claro que se o valor de espaçamento for muito grande, possivelmente não se conseguirá
atingir o número de indivíduos necessário para satisfazer o critério de convergência. Os
‘pontos claros’ na figura 3.18d que aparecem dentro da fronteira não-dominada são
também soluções eficientes, mas que foram penalizadas pela técnica de
clearing.
3.5.2 Problema Parábolas
Apresentado por Dias [59], este problema consiste em minimizar simultaneamente três
parábolas. O problema é interessante pela dificuldade de se obter os vértices da fronteira, pois
os objetivos são todos conflitantes. As funções que definem as parábolas são:
() ( )
2
2
112
1Fx x x=+− ,
()
(
)
2
2
212
11Fx x x=+++ e
(
)
(
)
2
2
31 2
12Fx x x
=
−++.
(3.14)
Aqui, cada indivíduo é formado por duas variáveis (x
1
e x
2
) pertencentes ao
intervalo [-2 ; 2]. Já o vetor objetivo é constituído por três valores (
F
1
, F
2
e F
3
). Nas
figuras 3.19a e 3.19b estão desenhadas as curvas de nível das funções F
1
, F
2
e F
3
.
Mostram-se também a região das soluções não-dominadas e a fronteira Pareto-ótima. A
figura 3.19c mostra as soluções não-dominadas encontradas na otimização. Na figura
3.19d é possível perceber a fronteira não-dominada formada por estas soluções. Para tal
resultado foram utilizados 100 indivíduos correntes e uma distância mínima entre
indivíduos de 0,1% da faixa permitida das variáveis (neste caso igual a 4, já que cada
variável pertence ao intervalo [-2 ; 2]).
15
Naturalmente, neste caso, uma cobertura sistemática do espaço com 200 indivíduos, respeitando o critério de
espaçamento das soluções, é suficiente para determinar a fronteira Pareto-ótima com aproximadamente 36 indivíduos
não dominados (figuras 3.18 (a) e (b)); Assim, este exercício pode ser resolvido com menos cálculos que utilizando o
AGMO. Este exemplo serve, então, unicamente para mostrar que o algoritmo funciona em um caso muito simples e
verificável, mas não para demonstrar que o AGMO é mais eficaz que qualquer outro método.
Capítulo III – AGMO 55
(a) Funções F
1
, F
2
e F
3
(b) Fronteiras
(c) Soluções não-dominadas encontradas AGMO
(d) Fronteira não-dominada
Figura 3.19 – Problema Parábolas.
O critério de convergência foi a obtenção de um número máximo de soluções não-
dominadas (neste exemplo igual a 100). A convergência ocorreu na décima quarta geração,
com 103 indivíduos não-dominados e 1112 indivíduos dominados. As considerações a
respeito da técnica de espaçamento e do critério de convergência feitas para a função
Schaffer F3 também são válidas aqui.
As figuras 3.20a e 3.20b são apresentadas com a intenção de analisar o
procedimento de seleção e a importância do espaçamento entre as soluções não dominadas.
A correta determinação da fronteira Pareto (figura 3.19b) é facilitada com o auxilio da
técnica de clearing e com seleção utilizada (AMDET + Torneio). Como já dito, a técnica
AMDET concentra os filhos no centro da fronteira (figura 3.20a) e o Torneio nas
extremidades (figura 3.20b). É importante ressaltar que nas três figuras citadas (3.19c,
3.20a e 3.20b) o processo foi parado quando se atingiu um número de soluções não-
Capítulo III – AGMO 56
dominadas acima de 100. Neste problema, o comportamento das soluções no espaço de
parâmetros e no dos objetivos é idêntico. Sendo assim, a percepção dos efeitos das técnicas
em ambos os domínios é a mesma. Escolheu-se mostrar no espaço de parâmetros por maior
facilidade de visualização.
(a) Seleção por AMDET sem clearing
(b) Seleção por Torneio sem clearing
Figura 3.20 – Problema Parábolas – verificando dos dois tipos de seleção com ausência de ‘espaçamento’.
3.5.3 Função Himmelblau transformada em um problema multiobjetivo
Problemas com um ou múltiplos objetivos e n parâmetros podem ser construídos
com a ajuda da metodologia proposta por Deb [32]. Para uma dada função, o problema
multiobjetivo pode ser escrito desta forma:
Minimizar
f
1
(x) = x
1
e f
2
(x) = g(x
2
,x
3
)
*
h( g(x
2
,,x
3
), f(x
1
)) ,
onde
()
()
()
1
23
1
,
fx
hx
gx x
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎝⎠
,
sendo
2
2
32
2
3
2
232
)7()11(1),( −++−++= xxxxxxg .
(3.15)
Este conjunto de equações transforma a função g (no caso a Himmelblau, mostrada
em curvas de nível na figura 3.21a) em um problema multiobjetivo, multimodal e com
fronteira convexa. A função Himmelblau possui quatro mínimos nos pontos (
x
2
*, x
3
*) de
coordenadas (3 , 2), (3,584 , -1,848), (-3,779 , -3,283) e (-2,805 , 3,131). Sendo os limites
possíveis para
[
]
1
01x ∈
e
[
]
2,3
55x ∈−
, o problema de otimização multiobjetivo definido
por (3.15) apresentará então quatro fronteiras Pareto iguais, semelhante à figura 3.21c.
A técnica de nicho foi a responsável por permitir a obtenção das quatro fronteiras,
ou seja, os quatro grupos de soluções não-dominadas. Contribuem também para o sucesso
na resolução deste problema a técnica de
clearing e a montagem de POPREAL através de
IDOM, conforme mostrado na figura 3.22.
Capítulo III – AGMO 57
(a) Função Himmelblau em curvas de nível
(b) Soluções não-dominadas encontradas AGMO
(c) Fronteiras não-dominadas
Figura 3.21 – Função Himmelblau transformada em problema multiobjetivo.
Percebe-se, na figura 3.22, que a população POPREAL é constituída pelas soluções
que estão em torno da fronteira não-dominada (lembrando que são escolhidas aquelas que
possuem os índices de dominância
IDOM mais baixos). Isto acelera e facilita a
convergência do processo de otimização na direção de uma fronteira Pareto bem definida.
(a) POPREAL no início do processo evolutivo
(b) POPREAL no final do processo evolutivo
Figura 3.22 – Função Himmelblau – verificando montagem de POPREAL.
As funções analíticas servem como um primeiro teste para o AGMO proposto, as
quais foram também utilizadas para estudar e entender melhor os conceitos anteriormente
discutidos. Na seqüência, foram resolvidos alguns problemas envolvendo dispositivos
eletromagnéticos, para avaliar a metodologia proposta perante projetos realistas.
Capítulo III – AGMO 58
3.5.4 Problema SMES – Benchmark Problem 22
O SMES (Superconducting Magnetic Energy Storage) permite armazenar energia
elétrica diretamente, sem uma prévia conversão para energia mecânica ou química. Esta energia
é armazenada nos campos magnéticos gerados por um solenóide supercondutor, conforme
mostrado na figura 3.23. O solenóide é constituído de duas bobinas coaxiais onde circulam
correntes com direções contrárias. Como a estrutura é axissimétrica (com simetria de rotação), a
figura mostra um plano de corte vertical. A estrutura em três dimensões pode ser obtida girando a
figura em torno do eixo ‘
x’. A idéia fundamental é confinar a energia dentro do solenóide.
Um problema teste para métodos de otimização envolvendo SMES é o
TEAM
Benchmark problem 22 (IGTE [68])
16
. Alterando-se os dados construtivos do solenóide,
deve-se atender aos seguintes requisitos:
A energia armazenada no dispositivo (Pot) deve ser igual a 180MJ (Pot
ref
):
(
)
PotPotminF
ref
−=
1
;
(3.16)
A densidade de fluxo magnético disperso (Bstray), medida a uma distância de 10m
do dispositivo em 21 pontos de aferição, deve ser a mais baixa possível:
(
)
2
2
BstrayminF = onde
21
21
21
2
2
∑
=
=
i
Bstray
Bstray
;
(3.17)
A densidade de fluxo magnético do sistema não pode violar as condições físicas que
garantem a supercondutividade das bobinas. Para atender a esta restrição, busca-se uma
densidade máxima (
Bmax) menor que um valor de referência (Bref , calculado a partir
dos valores das correntes nas bobinas), obtido através de:
(
)
BrefmaxBminF
−
=
3
.
(3.18)
As funções F
1
e F
3
, mesmo parecendo semelhantes, têm comportamento diferente.
Em
F
1
, o valor mínimo ocorre quando Pot é igual a Pot
ref
. Já em F
3
, o valor mínimo
acontece quando
Bmax é nulo.
16
O programa para a análise eletromagnética do dispositivo foi gentilmente cedido pelo Professor João
Antônio de Vasconcelos (GOPAC / UFMG), autor também de um dos trabalhos adotados para comparação
dos resultados. A validação dos resultados do programa de análise foi feita através de comparação com
resultados obtidos usando o programa EFCAD (Electromagnetic Fields Computer Aided Design) [69], versão
didática, cedido pelo Professor João Pedro Assumpção Bastos (GRUCAD / UFSC).
Capítulo III – AGMO 59
Em [A12-A13] foram analisadas duas situações para o problema descrito. Na
primeira é permitido ajustar somente a geometria da bobina externa do dispositivo. A
segunda aplicação trata do ajuste de todas as possíveis variáveis indicadas na figura
3.23a, incluindo as correntes. Aqui somente a segunda situação é apresentada. Optou-se
por trabalhar, neste caso, com apenas dois objetivos (
F
1
e F
2
), tornando Bref uma
restrição de projeto. A intenção é simplificar o problema (pois quanto maior o número de
objetivos, mais difícil é a otimização) e também facilitar a visualização da fronteira não-
dominada. Os limites aceitáveis para todos os parâmetros de otimização são apresentados
na Tabela 3.1 (IGTE [68]).
(a) Problema SMES
(b) malha para análise (em escala - EFCAD)
Figura 3.23. SMES – Benchmark 22.
A figura 3.23b apresenta um exemplo da malha utilizada para o cálculo, onde os
números nas abscissas e ordenadas expressam o número de camadas da malha por setor.
Neste caso, a população de indivíduos é apresentada conforme equação 3.19, onde
cada linha representa um indivíduo na geração
n e nbpop é o tamanho da população:
,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1
12121212
, ,,, , , , ,
12121212
nnnnnnnn
n
n nbpop n nbpop n nbpop n nbpop n nbpop n nbpop n nbpop n nbpop
RRhhdd J J
Pop
RRhhdd J J
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
(3.19)
Tabela 3.1. Valores construtivos – SMES – Benchmark 22.
Variáveis de Otimização
Limites
Iniciais
R1 R2 h1 h2 d1 d2 J1 J2
mínimo 1,0 2,05 0,2 0,2 0,1 0,1 10 -30
máximo 1,6 5,0 3,6 3,6 0,6 0,3 30 -10
Unidades: [ m ] [ A/mm
2
]
Capítulo III – AGMO 60
O AGMO foi configurado para um máximo de 10 000 avaliações do problema (200
indivíduos e 50 gerações). A semelhança entre indivíduos, utilizada para o c
learing, foi na
quarta casa decimal (0,0001 em cada variável e também em cada objetivo). Em uma das
simulações foram encontradas 86 soluções não-dominadas e 9769 dominadas. A fronteira
não-dominada pode ser vista na figura 3.24, onde é possível notar o comprometimento entre
os objetivos. Buscando atingir 180MJ de energia armazenada, ocorre conseqüentemente o
aumento de
Bstray
2
. A etapa de decisão foi implementada de modo a selecionar o indivíduo
que armazene 180MJ, que respeite
Bref e que tenha Bstray
2
o mais baixo possível. A Tabela
3.2 e a figura 3.25 mostram a solução final aqui obtida e a apresentada por IGTE [68]
(usando
Global Search Algorithm). Percebe-se a concordância entre os resultados.
Figura 3.24 – Problema SMES – fronteira não-dominada.
Tabela 3.2. Resultados: SMES.
Variáveis de Otimização
Limites
R1 R2 h1 h2 d1 d2 J1 J2
mín. 1,550 2,100 1,560 2,823 0,593 0,254 17,020 -12,544
Pareto
máx. 1,575 2,125 1,572 2,837 0,605 0,257 17,142 -12,375
IGTE 1,570 2,100 1,569 2,837 0,594 0,256 17,337 -12,574
Soluções
Finais
Avila 1,565 2,113 1,566 2,824 0,603 0,254 17,111 -12,487
Unidades:
[ m ] [ A/mm
2
]
Avaliações
Bstray
2
Pot Bmax
IGTE 0,219 179,992 5,4
Soluções
Finais
Avila 0,605 180,010 5,4
Unidades: [ nT ] [ MJ ] [ T ]
Este problema é extremamente ‘sensível’. O ajuste fino, por assim dizer, é delicado.
Isto fica claro na figura 3.24, em que os limites das escalas utilizadas mostram o grau de
Capítulo III – AGMO 61
dificuldade, e na Tabela 3.2, onde se observa que pequenas diferenças entre os dados
construtivos resultam em respostas diferentes (a análise eletromagnética também é
dificultada devido a esta característica). Este aspecto reforça a eficácia do AGMO, pois
mesmo que as soluções possuam parâmetros similares (levando em conta os amplos limites
iniciais), o algoritmo foi capaz de obter uma fronteira não-dominada. A técnica de
clearing
aplicada nos parâmetros e objetivos foi imprescindível para o sucesso do AGMO neste
problema, visto que a diferença nos parâmetros não poderia ser a única informação
considerada no processo de exclusão de soluções similares.
(a) IGTE - Linhas de campo magnético (Bstray).
(a’) Avila - Linhas de campo magnético (Bstray).
(b) IGTE -Densidade de fluxo magnético – (Bmax).
(d) Avila -Densidade de fluxo magnético.
Figura 3.25 – Análise eletromagnética do problema SMES.
É importante ressaltar que a otimização trabalha com as respostas obtidas pela
análise eletromagnética do dispositivo. Utilizando uma malha diferente, conseqüentemente
uma precisão de cálculo diferente, os resultados poderão ser outros.
3.5.5 Configuração ótima para a PML – Perfectly Matched Layer
Na análise de problemas eletromagnéticos em domínios abertos (em que os campos se
estendem ao infinito), é necessário efetuar o truncamento artificial do domínio de estudo, de
modo a limitar o custo computacional envolvido. Para o método FDTD, uma das opções para
este truncamento é a ‘camada absorvente perfeita’ (PML, Berenger [70]). A PML corresponde
a um meio com perdas que envolve o domínio de cálculo e é composta por camadas (
L) com
Capítulo III – AGMO 62
condutividades diferentes com a intenção de absorver gradativamente a onda eletromagnética
sem causar reflexões, conforme ilustrado na figura 3.26. Esta técnica vem sendo alvo de
muitos trabalhos, como por exemplo: Kim & Choi [71], Prescott & Shuley [72], Taflove &
Hagness [73], Schneider & Ramashi [74], dentre outros. Em [A11] é apresentada a otimização
dos parâmetros de uma PML para a obtenção de uma estrutura com mínima reflexão e baixo
custo computacional. Além disso, como especificação de projeto, a PML obtida deve ser
efetiva em uma larga faixa de ângulo de incidência da onda. Este projeto é mostrado aqui
17
.
Figura 3.26 Desenho esquemático de uma PML.
A metodologia analítica desenvolvida por Prescott & Shuley [72] calcula com
precisão a reflexão causada por uma PML, quando esta absorve uma onda com
determinado ângulo de incidência, sem a necessidade de simular qualquer problema no
FDTD. Para tal, são equacionados dois aspectos: a reflexão na interface entre a PML e o
espaço livre bem como a reflexão entre as camadas da PML. As variáveis necessárias para
a obtenção deste coeficiente de reflexão são: o comprimento de onda normalizado em
relação ao passo de discretização espacial (
λ
/
Δ
), o número de camadas absorvedoras (L), o
ângulo de incidência (
θ
) e a ordem de incremento (n) da condutividade (
σ
). Esta última
varia desde zero até um valor máximo (
σ
max
) na última camada antes da ‘parede condutora
perfeita’ (PEC –
Perfect Electric Conductor), conforme figura 3.26.
O processo de otimização da PML foi dividido em duas etapas: primeiro foi efetuada
a otimização multiobjetivo de um perfil de condutividade pré-determinado com a intenção de
conhecer o comprometimento entre o custo computacional e o coeficiente de reflexão
17
O projeto da PML otimizada foi desenvolvido em conjunto com Xisto Lucas Travassos Jr, doutorando no
CEGELY / ECL na época. A ele, meus agradecimentos e minha estima.
Capítulo III – AGMO 63
desejado. A segunda etapa consiste no ajuste da condutividade de cada camada visando
diminuir ainda mais o coeficiente de reflexão (isto é, uma otimização monoobjetivo).
Abordagem Multiobjetivo
Muitos perfis têm sido usados para a gradação da condutividade. Os que alcançam
melhores resultados são aqueles que relacionam um polinômio ou variação geométrica da
condutividade máxima com a profundidade total (
d) da PML, como por exemplo:
()
max
n
z
z
d
σσ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
,
(3.20)
onde z é a distância medida a partir da entrada da PML. Baseado neste perfil, os
parâmetros a serem ajustados pelo AGMO são as variáveis necessárias para obter a
reflexão na PML: o número de camadas
L (valores inteiros tal que 4 ≤ L ≤ 24); o
incremento
n da condutividade (n ≤ 10) e o máximo valor do produto
σ
max *
Δ
(≤ 10
8
). Estes
valores foram assim definidos baseados nas referências já citadas. Deste modo, a
população de indivíduos fica caracterizada como:
*
*
,1 ,1 ,1
max
,, ,
max
gg g
g
g
nbpop g nbpop g nbpop
Ln
Pop
Ln
σ
σ
⎡⎤
Δ
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
Δ
⎣⎦
,
(3.21)
onde g é a geração corrente e nbpop o número de indivíduos na população.
Neste primeiro momento, como já dito, os objetivos são a minimização do custo
computacional (estimado a partir do número de operações devido às dimensões da PML –
Schneider & Ramashi [74]) e a minimização do máximo coeficiente de reflexão detectado
(obtido pela metodologia de Berenger [70]). O cálculo do coeficiente de reflexão foi feito
considerando uma faixa de ângulo de incidência 0
≤
θ
≤ 50° , com incrementos de 2°. O
alvo é conhecer o comprometimento entre coeficiente de reflexão e custo computacional
para soluções que atendam a uma larga faixa de ângulos de incidência.
Várias simulações foram feitas para garantir uma boa aproximação da fronteira
Pareto. Algumas destas soluções são mostradas na Tabela 3.3. Percebe-se que aumentando
L e n sob ajuste de
σ
max *
Δ
ocorre a redução do valor máximo do coeficiente de reflexão
(|R|
max
). Em contrapartida, com a melhora da eficácia da PML, ocorre o aumento do custo
computacional. Uma vez conhecido este comprometimento, a escolha final pode ser feita
Capítulo III – AGMO 64
dependendo do grau de exigência do projeto. A figura 3.27 mostra os valores do
coeficiente de reflexão obtidos para duas soluções não-dominadas.
Tabela 3.3. Soluções Pareto para PML (0 - 50°).
Soluções Avaliações
L
σ
max *
Δ
n
|R|max
1
Custo
Computacional
2
8 2634,629 3,812 2,94×10
-5
136496
10 2375,880 3,273 2,51×10
-6
142400
12 2184,965 4,266 5,30×10
-7
148016
14 2298,271 4,972 1,06×10
-7
153344
16 2525,573 5,342 1,96×10
-8
158384
1
valor ótimo (ideal) igual à zero;
2
adimensional.
Abordagem Monoobjetivo
De maneira a melhorar estes resultados, ou seja, para reduzir ainda mais o
coeficiente de reflexão mantendo o mesmo custo computacional, pode-se pensar em
modificar o perfil de condutividade das soluções encontradas pelo AGMO, permitindo que
este perfil não siga mais uma lei polinomial ou geométrica. Para isto, um procedimento
monoobjetivo foi adotado [A9]. Agora, os parâmetros a ajustar são as condutividades de
cada camada. Os limites para cada variável foram criados em torno das condutividades
dadas pelo perfil (3.20) da solução em estudo, com um desvio máximo de
± 2,5%. O
objetivo é minimizar o maior coeficiente de reflexão na faixa do ângulo de incidência
0
≤
θ
≤ 50°. A figura 3.27 apresenta duas soluções melhoradas (para 8 e 10 camadas,
respectivamente). Como pode ser observado, houve uma melhora significativa nos
resultados. A Tabela 3.4 compara as condutividades da solução com 10 camadas antes e
depois do aperfeiçoamento do perfil.
Tabela 3.4 Ajuste da condutividade de cada camada da PML.
Valores das condutividades
Valores
σ
0
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
σ
6
σ
7
σ
8
σ
9
iniciais 0,0 0,007 0,125 0,700 2,396 6,217 13,55 26,18 46,33 76,64
ajustados 0,0 0,006 0,130 0,715 2,410 6,219 13,53 26,16 46,32 76,67
σ
10
σ
11
σ
12
σ
13
σ
14
σ
14
σ
16
σ
17
σ
18
σ
19
iniciais 120,2 180,7 262,1 368,9 506,4 679,9 895,8 1161 1482 1910
ajustados 120,3 180,6 261,9 368,6 506,2 680,1 895,0 1156 1482 1914
Capítulo III – AGMO 65
Figura 3.27 Melhoramento do perfil da PML por Algoritmo Genético monoobjetivo.
O projeto de uma PML ótima é complicado pois é difícil encontrar o
balanceamento ideal entre o nível de reflexão, as variáveis
λ
/
Δ
, L,
σ
max
e a gradação
polinomial
n. Um grande número de camadas resulta em um perfil de condutividade
relativamente constante próximo à superfície da PML, o que, a princípio, não produzirá
uma grande reflexão logo na entrada. Entretanto, quanto mais profundo na PML for o
aumento de
σ
(z), maior será a variação da própria condutividade. Esta variação abrupta
pode gerar reflexões. Outro detalhe: se
σ
max
for pequena, reflexões oriundas da PEC
serão significativas; se
σ
max
for um valor muito alto, reflexões serão criadas devido à
variação abrupta das condutividades entre camadas. Se o tamanho da PML é aumentado
para atenuar as variações entre as camadas, o custo computacional de cálculo da estrutura
pode se tornar proibitivo.
Todo este entendimento e, obviamente, a obtenção das soluções, só foi possível
devido ao procedimento de otimização adotado aqui. Os resultados comprovam a eficácia
dessa metodologia.
3.6 Conclusões
As funções analíticas e os problemas eletromagnéticos apresentados neste capítulo
tiveram por objetivo não só testar o algoritmo proposto (AGMO), mas também explicar
Capítulo III – AGMO 66
mais concretamente os diferentes procedimentos utilizados. O AGMO mostrou-se uma
ferramenta extremamente eficiente, sendo sua principal vantagem às inúmeras
possibilidades que ele oferece para compreensão do problema que se deseja resolver, como
ficará ainda mais evidente nos próximos capítulos. O inconveniente desta metodologia é o
custo computacional necessário para a descoberta das soluções eficientes, o qual, em
muitos problemas, pode ser superior às metodologias de otimização tradicionais (quando
estas são capazes de os resolverem). Este custo computacional excedente é devido
principalmente a maior generalidade do AGMO.
O próximo capítulo trata do problema da antena refletora embarcada em satélite,
projeto complexo que é a aplicação prática desta tese. O capítulo subseqüente apresenta
estudos de sensibilidade aplicados aos problemas de antenas. Estes capítulos permitem
também uma discussão das vantagens e inconvenientes do AGMO na resolução de
problemas muito complexos. A intenção é repassar as experiências obtidas com a resolução
destes problemas, as quais poderão ser úteis para qualquer projetista.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 67
Antena embarcada em Satélite
A IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas (IEEE Std 145-1993) [75]
define antena como qualquer dispositivo capaz de transmitir ou receber sinais através de
ondas eletromagnéticas. Os primeiros estudos sobre tráfego de informações utilizando tais
dispositivos datam do final do século XIX, quando
Heinrich Hertz e Guglielmo Marconi
deram início à aplicação prática das Leis de Maxwell realizando transmissões de rádio.
Durante a Segunda Grande Guerra (1939~1945) houve um avanço significativo no
desenvolvimento da teoria e dos projetos de antenas. Um novo impulso ao estudo de
antenas foi dado com o aparecimento da contemporânea ‘era da informação’, devido ao
aumento da demanda por qualquer troca de dados. As comunicações via satélite são,
atualmente, essenciais para o suporte deste grande trânsito de informações.
As configurações de antenas mais utilizadas em sistemas de comunicação via
satélite são compostas por ‘sistemas de refletores’, assim chamados por serem formadas
por superfícies refletoras metálicas iluminadas por um ou mais alimentadores. O
funcionamento de uma antena refletora é baseado na conversão da distribuição da energia,
usualmente esférica e produzida por algum tipo de alimentador, numa distribuição de onda
quase planar. Isto acontece por meio de reflexões ocorridas nas superfícies constituintes do
sistema, de acordo com os princípios da ótica geométrica (Balanis [6]). O objetivo é
concentrar a energia radiada numa única direção do espaço, aumentando assim a
diretividade da antena, o que é fundamental para a comunicação a longa distância.
As antenas refletoras, cuja eficiência e potencialidade de aplicação já foram
comprovadas, continuam sendo intensamente estudadas. Estudos que demonstram isto e
indicam caminhos para pesquisas futuras são publicados constantemente, podendo-se citar:
“
The Current State of the Reflector Antenna Art-Entering,” por Rusch [76] em 1992;
“
Reflectors, Lenses and Horns: Past, Present and Future,” por Rahmat-Samii [77] em
2000; “
Antennas for Broadband and Mobile Satellite Communications,” por Angeletti et
al.
[22] em 2002; “Living Antennas on Communication Satellites,” por Lumholt [78] em
2003; dentre outros. Conforme estas referências, o controle do diagrama de radiação pode
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 68
ser obtido através de dois tipos de configurações de antenas refletoras:
um único ou poucos alimentadores associados a refletores modelados (figura 4.1a).
um conjunto de alimentadores associados a um ou mais refletores (figura 4.1b);
Comparando estas configurações é possível perceber que a utilização de um
conjunto de alimentadores para a obtenção das especificações de cobertura permite a fácil
reconfiguração do diagrama de radiação, apresentando em contrapartida custos mais
elevados de montagem, dificuldade no controle e maior peso do sistema de alimentação
devido à inclusão do
Beam Forming Network (Balanis [6]). Por outro lado, a principal
limitação atualmente das configurações com refletores modelados é que elas produzem um
diagrama de radiação fixo, portanto, de difícil reconfigurabilidade.
(a) Conformação de superfície (b) Conjunto de alimentadores
Figura 4.1. Desenho esquemático de cenários de cobertura.
As principais qualidades para um sistema eficiente, do ponto de vista da antena, são:
Alto desempenho: eficiência e ganho diretivo elevados;
Sistema operando numa larga banda de freqüências;
Isolação entre as freqüências utilizadas;
Isolação entre polarização principal e cruzada;
Área de cobertura bem definida, evitando interferência com áreas vizinhas;
Reconfigurabilidade, significando a capacidade de mudar o diagrama de radiação
através de comandos acionados de terra, seja programando a excitação de um
conjunto de alimentadores ou atuando sobre dispositivos que mudam a forma ou a
posição do refletor;
Estabilidade mecânica: variações milimétricas não devem influenciar no
desempenho da antena.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 69
Além destes aspectos, as antenas são projetadas atualmente para atender
especificações fixas durante aproximadamente quinze anos (tempo médio de ‘vida’ dos
satélites). Durante este tempo, as características geográficas do tráfego podem variar,
tornando o posicionamento de certos satélites pouco atraente do ponto de vista comercial.
Outra questão relevante na concepção de satélites é a necessidade de atender picos
esporádicos de demandas geradas por eventos esportivos, políticos, etc. Existe ainda a
dificuldade de predição de mercados futuros. Por exemplo, para satisfazer hoje as
necessidades de telecomunicação da China, o cenário da expansão econômica do Oriente
nos anos 90 deveria ter sido previsto no início da década de 80. Como complicador de
tudo o que foi citado, existe a preocupação corrente sobre o número de satélites em órbita
geoestacionária, pois esta começa a ficar saturada. A figura 4.2 mostra o cenário atual
(2005) do sistema INTELSAT [79]. Todas estas características concedem ao projeto de
satélite uma alta complexidade, exigindo grande versatilidade da solução proposta.
Figura 4.2. Cenário 2005 do sistema INTELSAT.
Quadrados: satélites (existentes ou em projeto); linha contínua clara: órbita geoestacionária;
linha contínua: fibras óticas existentes; linha tracejada: fibras óticas em projeto; demais símbolos: estações terrenas.
Devido à complexidade das especificações e a dinâmica dos cenários, metodologias
de otimização se tornam ferramentas indispensáveis na busca de soluções satisfatórias. Os
parâmetros comumente ajustados para atender as demandas aqui citadas são o
posicionamento do sistema refletor × alimentador(es) e a conformação da superfície
refletora. Os métodos determinísticos são os usualmente utilizados para este fim. Estes
métodos, além das dificuldades já discutidas nos capítulos precedentes, produzem uma única
solução final (Bergmann & Pereira [25], Duan & Rahmat-Samii [26], dentre outros). O
projetista fica, portanto, sem liberdade de escolha, cabendo a ele apenas aceitar a solução
obtida. Detalhes relevantes para um melhor entendimento do dispositivo e do problema
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 70
como um todo podem ser ignorados. Para o sucesso destes processos é fundamental o
contínuo acompanhamento da melhor solução, isto para que se possam fazer correções e
escolhas de modo a direcionar a otimização no sentido da melhoria dos objetivos propostos.
Geralmente, o que estes métodos fazem é buscar a melhor solução para um determinado
objetivo. Após, com este objetivo satisfeito, o objetivo seguinte é procurado. É preciso
lembrar que, em muitas dessas metodologias, a função objetivo baseia-se numa estimação do
que seria factível como valor máximo ou mínimo: um valor ‘ótimo’ deve ser pré-
estabelecido baseado na experiência do projetista. Portanto, este tipo de metodologia
depende fortemente do conhecimento
a priori do projetista sobre o problema. Um método de
otimização fundamentado no que foi exposto é o ‘Min-Max’ (Sainz
et al. [34]).
Neste capítulo são apresentados, primeiramente, tópicos sobre sistema de satélites,
necessários para uma correta análise do problema. Na seqüência são discutidos alguns
projetos sobre reconfigurabilidade e reuso de freqüências, de modo a aumentar a
versatilidade de satélites. Estes projetos são desenvolvidos, obviamente, usando o AGMO
descrito neste trabalho. Além da procura pela melhor solução possível, a intenção aqui é
obter o máximo de informações e explorar as numerosas possibilidades, permitindo ao
projetista aprender com o problema. Em qualquer projeto real, um conjunto de soluções
‘equivalentes’ é sempre bem vindo. Quanto maior o número de informações que o projetista
possui acerca do problema e das possibilidades de soluções, maior o grau de liberdade em
negociações de toda ordem. Este capítulo é pontuado com comentários sobre o desempenho
do AGMO neste problema complexo de uma antena embarcada em satélite, mas sempre
generalizando para qualquer projeto de otimização. A análise de sensibilidade, a qual
também contribui para a aprendizagem do problema, é apresentada no quinto capítulo.
4.1 Tópicos de Sistemas Satélites
Alguns aspectos sobre sistemas satélite, necessários para uma correta análise
eletromagnética, são apresentados nesta seção. Neste trabalho, o ‘sistema satélite’ opera
em órbita geoestacionária apontando o centro de sua abertura para o ponto central da
região de cobertura. As considerações acerca deste posicionamento e a matemática
necessária para as transformações dos sistemas de coordenada estão expostas no Anexo I
18
.
18
O estudo do sistema satélite foi elaborado, inicialmente, em conjunto com Adriano Chaves Lisboa,
doutorando no GOPAC / CPDEE – UFMG na época. A ele, meus agradecimentos e minha estima.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 71
4.1.1 Análise Eletromagnética de uma Antena Refletora
A antena utilizada em todos os exercícios apresentados neste texto é do tipo offset,
com a projeção do refletor sendo uma abertura circular. Ela foi escolhida por ser uma
estrutura simples e bastante utilizada em satélites. A figura 4.3a mostra a configuração da
antena, constituída de um alimentador e de uma superfície refletora parabólica, onde
F é a
distância focal do refletor,
H é o deslocamento offset do alimentador,
θ
0
é o ângulo de
inclinação do
offset, s’ representa a superfície do refletor, c’ é a linha correspondente à borda
do refletor,
ˆ
n é o vetor normal à superfície do refletor,
ˆ
t
é o vetor tangente à borda, A é a
área de abertura circular, e
L e a são, respectivamente, o contorno e o raio da abertura.
(a) Antena refletora do tipo offset (b) Onda esférica versus distribuição planar
Figura 4.3. Ilustrações de Antenas Refletoras.
Alimentador
O modelo do alimentador utilizado aqui é do tipo RCF (Raised-Cosine Feed), descrito em Silver
[81]. Dentre vários, este modelo foi escolhido por ser simples e por permitir uma representação
adequada do feixe principal dos alimentadores usualmente empregados nestes tipos de projetos.
Como ele é uma representação aproximada para a região de campo distante, em alguns casos
pode apresentar limitação na predição de campos próximos (Johns & Prata [82]). Admitindo
uma polarização linear na direção
x
ˆ
, de acordo com a terceira definição de Ludwig [83], os
fasores campo elétrico (
f
E
) e campo magnético (
f
H
) do modelo RCF são descritos por:
(
)
fffff
PErPH
×=
ˆ
1
)(
η
,
(4.2)
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 72
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤−
=
−
º90,0
º90,
ˆ
sen
ˆ
coscos
)(
f
f
f
rkj
fffff
h
ff
r
e
PE
f
θ
θφφθφθ
(4.1)
onde r
f
,
θ
f
e
φ
f
são as coordenadas esféricas associadas ao sistema fixo do alimentador,
η
é a impedância intrínseca do meio (
η
= 377Ω para o espaço livre) e k é a constante de fase
da onda (em rad/m). O parâmetro
h controla o formato (largura) do lóbulo principal do
diagrama de radiação do alimentador e é ajustado para representar adequadamente o
decaimento desejado do campo na direção da borda do refletor.
A potência total radiada pelo alimentador (
P
rad
) é calculada por meio da integração
da densidade superficial de potência associada ao campo eletromagnético radiado.
Segundo Silver [81],
P
rad
é dada por:
{
}
*
().
rad f f
s
PEHds=×
∫
Re
,
(4.3)
onde s é uma superfície fechada que envolve o alimentador e
{
}
⋅
Re representa a parte real
de um número complexo. O produto vetorial
*
ff
HE
× , onde
*
f
H
é o conjugado complexo
do fasor campo magnético, representa o vetor de Poynting, cujo módulo corresponde à
densidade superficial de potência (em W/m
2
) associada à onda eletromagnética (Sadiku
[84]). Como a parte imaginária da potência corresponde a uma potência reativa que não é
radiada e permanece oscilando na região próxima à antena, utiliza-se na integração apenas
a parte real (
R
e
), ou seja, a parcela da potência associada ao campo distante.
Refletor
O refletor parabólico tem como função direcionar a energia proveniente do
alimentador até a abertura da antena, transformando uma onda esférica em uma onda
plana
19
, conforme ilustrado na figura 4.3b. Este sistema pode ser composto por uma ou
mais superfícies condutoras cônicas confocais.
Nos casos onde se deseja uma superfície modelada para controlar o diagrama de
radiação, os refletores podem ser representados por expansões em série de funções
conhecidas. O controle dos coeficientes de expansão permite alterar a forma do refletor.
Este tema será discutido na seção 4.1.5.
19
A uniformidade, ocasionando em uma onda plana uniforme (O.P.U.), depende também do diagrama do alimentador.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 73
Cálculo do Campo distante
A análise eletromagnética da antena é feita através dos conceitos da ótica física
(OF) e do teorema de equivalência, ambos descritos em Balanis [6]. Para um refletor com
superfície condutora perfeita, é possível determinar a corrente induzida (
OF
J
) em um
ponto qualquer na superfície do refletor devido a um campo magnético incidente (
inc
H
):
incOF
HnJ
×≅
ˆ
2
,
(4.4)
onde n
ˆ
é o vetor unitário normal à superfície no ponto considerado (figura 4.3a).
Admitindo que o refletor seja o único elemento que cause o espalhamento da onda
incidente e considerando somente o campo em região distante, o campo elétrico refletido
(
rf
E
) é calculado da seguinte forma (Silver [81]):
[
]
∫
−−≅
−
'
ˆ
.
'
ˆ
)
ˆ
.(
4
'
s
rrjk
OFOF
jkr
rf
dserrJJ
r
ek
jE
π
η
,
(4.5)
onde
r
ˆ
é o vetor que localiza o ponto de observação e '
ˆ
r
é o vetor que localiza o ponto fonte.
A ótica física não é precisa para predizer campos numa região angular afastada do
lóbulo principal do diagrama de radiação, ou para polarizações cruzadas, pois não considera o
campo difratado na borda do refletor. Para corrigir este problema e aumentar a precisão do
cálculo, podem ser utilizadas as correntes equivalentes de borda para o cálculo do campo
elétrico difratado (
df
E
), conforme Rego et. al [85]. Neste caso, o campo difratado é dado por:
[
]
∫
⋅
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
×−⋅−−≅
'
ˆ
'
'
ˆ
1
ˆ
)
ˆ
(
4
c
rrjk
ccc
jkr
df
dceMrrrJJ
r
ek
jE
ηπ
η
,
(4.6)
onde c’ é a borda do refletor e
c
J
e
c
M
são as densidades de correntes equivalentes elétrica
e magnética de borda, respectivamente. O cálculo destas densidades de correntes está
detalhado no Anexo II.
Desta forma, o campo elétrico distante é a soma do campo refletido pela
superfície do refletor (
rf
E
), do campo difratado na borda do refletor (
df
E
) e mais uma
contribuição do campo que sai do alimentador e chega diretamente até a região de
cobertura (através de lóbulos posteriores).
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 74
Ganho diretivo
O ganho diretivo da antena (G(
θ
,
φ
)) é calculado a partir do campo elétrico e da
potência radiada. De acordo com a terceira definição de Ludwig [83], as polarizações
principal (
CO
ρ
ˆ
) e cruzada (
CX
ρ
ˆ
) relativas a um campo polarizado linearmente na direção
x
ˆ
quando
θ
= 0 são dadas por:
φφθφρ
ˆ
sen
ˆ
cos
ˆ
−=
CO
e
φφθφρ
ˆ
cos
ˆ
sen
ˆ
+=
CX
.
(4.7)
Assim, os ganhos diretivos para as polarizações principal (G
CO
) e cruzada (G
CX
),
em relação a uma antena isotrópica, são obtidos por:
rad
CX
CO
CX
CO
P
Er
G
G
η
ρ
ρ
π
2
2
ˆ
ˆ
.2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
.
(4.8)
4.1.2 Eficiência de Cobertura
A eficiência do feixe, ou eficiência de cobertura, é a relação entre os ganhos
diretivos máximo (G
max
) e o mínimo encontrados na área de cobertura. Para uma
determinada cobertura, G
max
é dado por:
()
2
max
4
10log
g
R
G
Ac
π
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎝⎠
[dBi],
(4.9)
onde Ac é a área a ser coberta e R
g
a altura da órbita geoestacionária. Esta relação é
baseada na conservação de energia e na definição do ganho (Balanis [6]).
O valor máximo de G
max
poderia somente ser obtido por um refletor com diâmetro
infinito, o qual permitiria espalhar uniformemente toda a energia sobre a área de cobertura,
sendo nulos os campos fora dela. É tipicamente um parâmetro ótico onde toda a energia
radiada pelo alimentador é dirigida para a área a ser coberta. Como refletores reais têm
superfície finita, uma parte desta energia é espalhada para fora da área de cobertura, nos
domínios onde o lóbulo principal se atenua e nos lóbulos secundários. Além disso, o campo no
interior da área de cobertura não é uniforme. A taxa de decaimento do lóbulo principal (roll-
off) depende do diâmetro do refletor: quanto maior ele for, maior será esta taxa. De maneira
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 75
recíproca, quanto menor for o refletor, mais difícil será obter a uniformidade do campo na área
de cobertura. Pontoppidan et al [86] demonstram que a eficiência de um refletor real é de
aproximadamente 25%*G
max
.
O objetivo da utilização de um refletor modelado, em comparação ao refletor
parabólico, é dar ao diagrama de radiação a forma de um pulso, tornando mais íngreme a
transição da área de cobertura para a região de lóbulos secundários. Pensando em um pulso
temporal, o que define quão abrupta é a transição de ‘zero’ para ‘um’ é a banda de
freqüência associada ao pulso. A antena comporta-se como um filtro passa–faixa espacial,
onde o limite superior de ‘freqüência espacial’ é inversamente proporcional ao diâmetro da
abertura (diâmetro do refletor). Portanto, em relação à eficiência de cobertura, os objetivos
consistem em maximizar o mínimo ganho diretivo na área de iluminamento e minimizar a
energia fora dela. É necessário assegurar que todos os pontos na área de cobertura estejam
acima de um valor pré-determinado. Isto é fundamental para o projeto de um sistema.
A figura 4.4 ilustra o que seria o ideal em relação à eficiência de cobertura assim
como a iluminação proporcionada por uma antena parabólica. Em um problema no qual se
deseja 25dBi como valor mínimo para o ganho diretivo (G
min
) em uma área de cobertura,
com coordenadas
θ
e
φ
variando ambas entre –6° e 6°, por exemplo, a dificuldade estará
em conformar a superfície refletora de modo a tornar o ganho uniforme em toda a
cobertura e eliminar os lóbulos secundários do diagrama de radiação.
Figura 4.4. Exemplo hipotético de cobertura ideal.
A figura 4.5 ilustra uma possível iluminação do território brasileiro. Para este exemplo,
onde G
max
é 33dBi (valor obtido da equação (4.9)), a cobertura ‘ótima’ deve possuir um ganho
mínimo de aproximadamente 27dBi (25%*G
max
). É o que acontece na otimização mostrada na
figura 4.5a', onde a solução final atingiu o valor esperado em todo o território [A3].
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 76
4.1.3 Dimensionamento do número de pontos de amostragem sobre a área de cobertura
A cobertura produzida por uma determinada antena pode ser caracterizada por uma
amostragem dos campos na área de cobertura, definida através de uma grade de pontos de
amostra sobre ela. O número destes pontos deve permitir a correta definição do diagrama
de radiação, isto é, a densidade deste mapa de medição deve obedecer à taxa de Nyquist.
O Teorema de Nyquist estabelece que a quantidade de amostras por ciclo de um
sinal, também chamada de taxa ou freqüência de amostragem, deve ser maior que o dobro da
maior freqüência contida no sinal a ser amostrado para que o mesmo possa ser reproduzido
integralmente sem erro (Haykin [87]). É preciso lembrar que, no domínio do tempo, um ciclo
corresponde ao período T enquanto que no espaço um ciclo corresponde ao comprimento de
onda
λ
. Portanto, de modo a respeitar a taxa de Nyquist, a distância angular entre os pontos
de amostragem na região de cobertura deve ser menor que
λ
/(2D) (radianos), o que
corresponde à metade do período mínimo dado pelo ângulo de -3dB (meia potência – figura
4.4), onde D é o diâmetro do refletor. Como os campos eletromagnéticos são uma função
harmônica cujo argumento é dado por [r.sen
θ
.cos
φ
] e admitindo que o período desta função
ao longo da abertura é 2
π
/[r.sen
θ
.cos
φ
] (Balanis [6]), a taxa de Nyquist dependerá então de
θ
e
φ
. Assim, quanto maior
θ
(limitado pelo raio da abertura – a=2D), menor o período e maior
o número de pontos na cobertura. Deste modo, quanto mais eficiente se deseja o sinal na
cobertura, maior deverá ser a participação dos componentes de alta periodicidade na
composição do diagrama de radiação, e para isto, maior deverá ser a taxa de amostragem (ou
menor deverá ser o espaçamento entre os pontos).
Existe ainda na borda da cobertura a presença de fortes oscilações de campo
(overshooting), decorrentes do efeito de Gibbs (Haykin [87]). Assim sendo, é necessário
colocar pontos adicionais sobre a borda da área de cobertura para levar em conta este efeito.
Para ilustrar o que foi dito nesta seção, a figura 4.5a mostra um exemplo de mapa
de amostragem, onde a área de cobertura é o território brasileiro. Considerando uma
freqüência de 12GHz e um refletor com diâmetro igual a 1,8m, a taxa de Nyquist exige um
afastamento angular máximo entre os pontos de amostragem em campo distante de 1/115
radianos. Isto representa aproximadamente 0,5° na região de cobertura. Na fronteira, para
este exemplo, utilizou-se um ponto de amostra a cada 0,25° aproximadamente, portanto
duas vezes a taxa mínima de amostragem.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 77
(a) Mapa de amostragem correto. (a´) Iluminação do território brasileiro.
(b) Mapa de amostragem mal definido. (b’) Diagrama de radiação com buracos.
Mapa de
Amostragem
Ganho diretivo
mínimo
Tempo de
cálculo
Correto 27,07 0,170
Mal definido -1,95 0,025
Muito denso 26,95 1
[dBi] [normalizado]
(c) Mapa de amostragem muito denso. (c’) comparativo entre os mapas de amostragem
Figura 4.5. Exemplo de problemas na síntese decorridos de falha na amostragem sobre a área de cobertura
(curvas de contorno do ganho diretivo recebido para polarização principal, em dBi).
A figura 4.5a' mostra as curvas de contorno do ganho diretivo recebido para a
polarização principal correspondentes ao resultado da síntese do refletor utilizando o mapa
de amostragem da figura 4.5a. Quando o correto dimensionamento não é respeitado (figura
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 78
4.5b), podem aparecer buracos de iluminação sobre a cobertura, como mostra a figura
4.5b’. Por fim, a utilização de um mapa ‘muito denso’ quando comparado às exigências de
Nyquist (figura 4.5c) para a síntese da antena, conduz a um tempo de calculo elevado
(figura 4.c’) sem nenhuma melhora dos resultados (o diagrama obtido é visualmente
idêntico ao mostrado na figura 4.5a’).
Faz-se necessário mencionar que as curvas de contorno de ganho, imagem do
diagrama de radiação, foram traçadas com uma malha muito fina quando comparada a
discretização utilizada para a síntese da forma da antena.
O dimensionamento apropriado do número de pontos do mapa de amostragem segundo
o teorema de Nyquist garante, além da correta avaliação dos campos para a otimização, um
esforço computacional reduzido. O produto do número de pontos sobre a área de cobertura
pelo número de pontos da malha sobre o refletor (seção seguinte) determina o número de
cálculos necessários para a avaliação dos campos, ou seja, o custo computacional.
Cabe aqui explicar a obtenção destes mapas. O primeiro passo é a determinação das
coordenadas de longitude e latitude que especificam os limites da cobertura desejada
(representados pela linha contínua na figura 4.5), utilizando por exemplo o programa
SATSOFT [88]. A partir dessas coordenadas, a transformação para o sistema de referência
da antena em azimute × elevação é feito conforme o equacionamento mostrado no Anexo
I. Conhecidos os limites da área de cobertura, o mapa de amostragem pode ser construído
de maneira a respeitar o teorema de Nyquist.
4.1.4 Dimensionamento do número de pontos de amostragem sobre a superfície refletora
Outro aspecto importante é o cálculo do número de pontos da malha sobre o refletor
para a correta avaliação numérica do campo radiado. A lógica é a mesma do
dimensionamento do mapa de cobertura. Grosso modo, o espaçamento entre pontos de
amostras sobre o refletor deve ser menor ou igual a
λ
/sen
θ
(deduzido a partir de
simplificações do integrando de (4.5)), ou seja, quanto maior a distância angular (
θ
) do
ponto de avaliação sobre a área de cobertura, mais pontos sobre o refletor serão necessários.
A pior situação (máxima amostragem para integração numérica) acontece para a máxima
cobertura possível, a saber, o contorno da superfície da terra vista do satélite, o qual pode ser
incluído em um cone com semi-ângulo de 12°. A figura 4.3a ilustra uma possível malha.
A figura 4.6 apresenta o diagrama de radiação (polarização principal em forma
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 79
retangular) de uma antena refletora parabólica (dimensões conforme seção 4.2) com a intenção
de exemplificar os efeitos do dimensionamento da malha sobre o refletor na precisão de
predição dos campos. Para o problema apresentado na figura 4.5a (uma área territorial de
interesse com 12° de largura angular e freqüência de 12GHz), três situações são analisadas:
primeiro usando uma malha pouco densa; segundo, uma malha que obedece a uma ‘taxa’
mínima dada por
λ
/sen
θ
– lembrando que se deseja predizer corretamente os campos na
cobertura até o semi-ângulo de 6°; e o terceiro com uma malha bastante densa. O correto
dimensionamento do número de pontos desta malha segundo o teorema de Nyquist garante,
além da correta avaliação dos campos, um esforço computacional menor (conclusão
semelhante a da seção anterior).
(a) Ganho diretivo em
φ
=0° [dBi] (b) Ganho diretivo em
φ
=90° [dBi]
Figura 4.6. Importância da taxa de amostragem sobre o refletor para correta predição dos campos.
4.1.5 Conformação da superfície refletora
A conformação da superfície refletora é feita a partir da malha especificada na
seção anterior. Para a antena adotada neste trabalho, a projeção da superfície refletora no
plano z = 0 corresponde a um círculo de raio a (abertura circular). Assim, qualquer ponto
no refletor (
()
rrrr
zyxP ;;= )
pode ser localizado seguindo a parametrização de sua
superfície. A abertura circular do refletor pode ser descrita por:
ψ
τ
ψ
τ
cos),( ax
r
= ,
ψ
τ
ψ
τ
sen),( ay
r
=
,
(4.10)
onde
τ
e
ψ
são coordenadas polares definidas no plano da abertura, com 0 ≤
τ
≤ 1 e
0 ≤
ψ
≤ 2π. Estas coordenadas são discretizadas, definindo uma malha. Para cada ponto
desta malha, a coordenada z correspondente é calculada.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 80
Existem muitas maneiras de fazer a expansão ortogonal global para a coordenada z
destes pontos. O importante é que estas funções resultem em superfícies com
circunferências bem definidas, suaves (lisas, sem irregularidades e enrugamentos) e com
derivadas de segunda ordem. Isto é necessário para que se respeitem às restrições impostas
pelas ferramentas de análise eletromagnética da antena. Muitas funções são usualmente
utilizadas para modelagem de superfícies. Hasselmann et al. [89] apresentam um estudo
comparativo sobre a utilização de três famílias de funções globais para conformação de
refletores: as pseudosplines, as séries polinomiais de Fourier e as expansões polinomiais
sinusoidais de Jacobi. Neste estudo, as três foram declaradas apropriadas para a síntese de
antenas refletoras, com certa preferência pelos polinômios de Jacobi, devido à necessidade
de um menor número de coeficientes para representar um refletor.
Aqui, será utilizada a expansão de Jacobi (Duan & Rahmat-Samii [26]), detalhada no
Anexo III, definindo z como:
()()
∑∑
==
+=
N
n
M
m
n
mnmnmr
FnDnCz
00
sencos),(
τψψψτ
,
(4.11)
onde
()
τ
n
m
F são os polinômios de Jacobi modificados, n é o número de harmônicas da
série,
m é a ordem do polinômio de Jacobi e C
nm
e D
nm
são coeficientes de expansão.
O número de coeficientes de expansão necessários para uma determinada área de
cobertura depende diretamente do número de restrições exigidas (número de pontos de
amostragem sobre a área de cobertura). Portanto, para atender
n restrições são necessários
n graus de liberdade (o desenvolvimento da forma da antena é uma expansão linear sobre
uma base ortogonal, mais os efeitos nos campos sobre a malha na área de cobertura é não
linear). A forma do contorno da área de cobertura também é importante, visto que
curvaturas agudas não são possíveis de serem obtidas no diagrama de radiação: de acordo
com Pontoppidan
et al. [86], o menor raio de curvatura (‘quebra’) possível das linhas de
nível de iluminação no diagrama de radiação é maior que
λ
/D (raio de curvatura associada
às curvas de -3dB do diagrama de radiação de uma abertura circular uniformemente
iluminada – figura 4.4).
4.1.6 Posicionamento dos alimentadores e iluminação das bordas dos refletores
A intensidade de iluminação das bordas do refletor é um fator importante no
desempenho das antenas (seção 4.1.2). Uma redução da iluminação da borda permite
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 81
diminuir os lóbulos laterais, mas pode, por outro lado, comprometer a eficiência do feixe
(nível de cobertura) e a capacidade de adaptar o diagrama às necessidades de cobertura.
Um compromisso entre estes diversos aspectos do desempenho pode ser obtido com um
nível de iluminação de -12dB na borda do refletor, conforme sugerido em Balanis [6] e
Rego
et al. [85]. No modelo RCF (4.1), o controle do diagrama do alimentador pode ser
efetuado através do parâmetro
h.
Para sistemas refletores iluminados por múltiplos alimentadores, dois cuidados extras
devem ser tomados na síntese das superfícies. Primeiro com relação à mínima distância entre
os alimentadores, já que, quando muito próximos podem gerar interferência mútua. Moreira
[91] mostra que um afastamento maior que
3
λ
/D entre os centros das aberturas dos
alimentadores permite obter uma interferência menor que -45dB. O segundo cuidado diz
respeito às áreas de iluminamento no refletor de cada alimentador. Se os feixes forem
destinados a áreas diferentes no refletor, a otimização de sua forma é facilitada (figura 4.7a).
Isto porque a série de expansão dos coeficientes ganha graus de liberdade, permitindo
descrever quase que independentemente diferentes áreas da superfície refletora. Já com os
feixes apontados para a mesma região do refletor (figura 4.7b), não é eventualmente mais
possível obter bons resultados, os graus de liberdade podem não ser suficientes. É preciso
lembrar que não ocorre retorno de energia para dentro dos alimentadores, pois eles estão
deslocados em relação ao eixo
z (construção offset – figura 4.7c).
(a) regiões iluminadas
independentes
(b) mesma região iluminada:
síntese difícil
(c) construção ‘offset’
Figura 4.7. Sistema refletor × alimentadores.
Com o estudo do posicionamento dos alimentadores encerra-se a discussão sobre os
principais aspectos para uma correta síntese de antenas refletoras embarcadas em satélite.
A seguir são apresentados alguns casos concretos de otimização dessas antenas. A intenção
é não só testar o AGMO proposto, mas também esclarecer a interação entre a metodologia
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 82
de otimização e o problema a ser resolvido. Os três casos tratados são: projeto
BRASILSAT [A16]; reconfigurabilidade do satélite para três continentes [A4]; e reuso de
freqüências na Europa [A5].
4.2 Aplicação: Projeto BRASILSAT
De maneira a atender especificações semelhantes às do sistema BRASILSAT
(Bergmann & Hasselmann [24]), trabalhar-se-á somente na conformação da superfície
refletora mantendo a estrutura ‘alimentador × refletor’ fixa, como ilustrado na figura 4.3a.
O projeto BRASILSAT, no que diz respeito à iluminação, exige que: para uma banda de
freqüência comercial de 12GHz até 14GHz, o valor do ganho diretivo para a polarização
principal deve ser superior a um valor mínimo pré-determinado para quatro regiões
específicas do território brasileiro. A figura 4.8 apresenta cada uma destas áreas. Os
valores de ganho mínimo requeridos e as cidades que delimitam o contorno de cada região
são: 31dBi para Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Curitiba; 29dBi para Rio de
Janeiro, São Paulo, Porto Alegre, Brasília, Fortaleza, Natal e Recife; 27dBi para Rio de
Janeiro, São Paulo, Curitiba, Pelotas, Cuiabá, Porto Velho, Boa Vista, Macapá, Natal e
Porto Seguro; e 24dBi para todo o território. Estas áreas foram assim determinadas por
interesses comerciais. Os valores de ganho diretivo citados foram especificados baseados
na experiência daqueles que redigiram o projeto.
Figura 4.8. Especificações mínimas de iluminação – Projeto BRASILSAT (em dBi).
Os dados relativos à latitude e à longitude dos limites territoriais brasileiros e das
cidades foram obtidos do projeto
SPRING – GeoMinas e DPI / INPE [92]. A transformação
de coordenadas para o sistema em elevação e azimute é apresentada no Anexo I.
A antena para a aplicação proposta (figura 4.3a) possui diâmetro
D = 2a = 1,803m,
distância focal
F = 1,524m, deslocamento offset do alimentador H = 1,279m e um ângulo
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 83
de inclinação do offset
0
θ
= 40°. Para um refletor parabólico, os coeficientes de expansão
da equação (4.11) podem ser calculados analiticamente, conforme Anexo III.
De modo a obter um refletor que atenda às exigências de iluminação descritas, o
AGMO foi ajustado para trabalhar com indivíduos que representassem possíveis
refletores modelados. O vetor de objetivos é constituído de oito termos, pois são quatro
demandas diferentes (ganhos diretivos mínimos = [24 27 29 31] dBi) para cada uma das
duas freqüências (12GHz e 14GHz). Após várias simulações para confirmar a fronteira
não-dominada encontrada, foi implementado um decisor para selecionar a solução final:
a escolhida é aquela que, além de respeitar as especificações iniciais, possui os maiores
ganhos na área de 31dBi (tal escolha baseia-se no interesse comercial de priorizar a área
mais densamente habitada). A Tabela 4.1 apresenta os valores de ganho da solução que
atende a tal decisão. A figura 4.9 mostra os diagramas de radiação para as duas
freqüências. Os objetivos propostos foram alcançados.
Tabela 4.1. Valores de ganho diretivo da solução otimizada – Projeto BRASILSAT.
Regiões >31 >29 >27 >24 dBi
Freqüência 12 14 12 14 12 14 12 14 GHz
Solução 32,12 31,45 29,26 29,57 27,82 27,32 25,51 25,72 dBi
(a) freqüência 12GHz (b) freqüência 14GHz
Figura 4.9. Diagramas de radiação da solução – tipo footprint – BRASILSAT (em dBi) [A16].
Este exercício foi bem resolvido pelo AGMO; entretanto, esta mesma solução
final poderia eventualmente ter sido obtida por métodos clássicos, como o ‘Min-Max’,
por exemplo. Obviamente, para a determinação desta solução ‘ótima’, deve ser
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 84
considerado o fato de que o cálculo de derivadas de primeira e segunda ordem deste
problema pode não ser evidente, além de haver a possibilidade de existência de múltiplos
ótimos locais. Estas características não impõem restrições ao uso do AGMO, mas podem
impossibilitar a aplicação de um método clássico. Além disso, com uma metodologia
tradicional não restaria ao projetista qualquer escolha ou análise do problema. A ele
caberia somente aceitar a solução final – como o feito propositalmente aqui.
Com respeito à solução final obtida, analisando os diagramas de radiação e as
demandas do projeto, é possível perceber que existe uma sobra de energia considerável em
algumas regiões. Se o projetista desejar, as especificações do projeto (tamanho do refletor,
por exemplo) poderiam ser revistas, de forma a obter justo o que foi pedido. Cabe aqui
ressaltar que em muitas metodologias clássicas de otimização é imperativo escrever as
funções objetivo vislumbrando valores ótimos a serem alcançados. Desta maneira, o
método buscará exatamente o que foi especificado antes do processo de otimização.
Portanto, soluções com valores de objetivos superiores ao pedido, como a apresentada na
figura 4.9, poderiam não ser encontradas. A determinação desses valores de ‘máximos’ ou
‘mínimos’ depende da experiência do projetista. No caso de problemas com grande
complexidade (como os apresentados nas próximas duas seções), dificilmente é factível
vislumbrar valores ótimos ou mesmo saber até que ponto o dispositivo especificado (a
solução inicial ou os limites impostos) atenderá as exigências de projeto. Usando o AGMO
como algoritmo de otimização, isto não ocorre. Não é necessário estipular ‘valores
máximos ou mínimos’: o algoritmo é livre para buscar as melhores soluções.
Os próximos exercícios exploram as principais características do AGMO,
eliminando a dependência ‘do aceite’ de uma única solução final. O estudo de
sensibilidades apresentado no quinto capítulo também foi possível devido a utilização do
AGMO, a saber, a possibilidade da análise de comportamento do grande número de
soluções conhecidas em torno da fronteira não-dominada. Este conjunto de ações permite
uma melhor interação entre o problema a resolver e o engenheiro.
4.3 Projeto Reconfigurabilidade – Satélite para três continentes
Este exercício poderia ser chamado de ‘refletor móvel e alimentador fixo’. A intenção é
iluminar a Europa, a América do Norte e a América do Sul com um único alimentador e um
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 85
único refletor modelado – explorando o conceito de reconfigurabilidade apresentado na
introdução deste capítulo. O satélite, neste caso, tem a capacidade de se mover em órbita de
maneira a ocupar posições ‘sobre’ cada área de cobertura, como mostrado na figura 4.10.
(a) Europa (b) América do Sul (c) América do Norte
Figura 4.10. Satélite em órbita geoestacionária sobre cada área de cobertura.
Longitude: Europa = 15°; América do Sul = -60°; América do Norte = -100°;
Como o satélite se desloca somente sobre a órbita geoestacionária, a latitude é sempre 0°.
A idéia é, além da síntese da superfície refletora, ajustar a posição espacial do
refletor (
y, z,
θ
) para cada área de cobertura e o tamanho da abertura do alimentador. Com
isto, cada região territorial poderia ser atendida por diferentes setores do refletor, algo
como o ilustrado na figura 4.7, mas usando apenas um alimentador e movendo o refletor.
Este reposicionamento do refletor pode ser feito através de um sistema de atuadores
mecânicos. Mover o refletor, que é uma casca metálica, é mais simples que alterar a
posição do alimentador, pois este é mais pesado e sensível. Em Lumholt [78] e Theunissen
[93] tais atuadores são utilizados para alterar a forma do refletor (cuja superfície é
maleável), o que implica em muitos atuadores para gerar um refletor ‘diferente’. Aqui,
poucos atuadores deslocam um refletor não flexível em todas as direções possíveis. A
figura 4.11 ilustra o movimento em (
y, z,
θ
) almejado.
Figura 4.11. Movimentação do refletor – Projeto Reconfigurabilidade.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 86
São três os objetivos a serem alcançados, correspondendo à maximização do mínimo
ganho diretivo para polarização principal em cada um dos três continentes. Após alguns
testes, o número de coeficientes de expansão (equação 4.11) para a síntese do refletor foi
fixado em 200 (
n=20 e m=10, lembrando que o primeiro termo é fixo – Anexo III), número
que atende as recomendações da seção 4.1.5. Com as três coordenadas de posicionamento do
refletor para cada área de cobertura (nove variáveis) mais o ajuste da largura (
h) do lóbulo
principal do diagrama de radiação do alimentador (uma variável), chega-se a um total de 209
variáveis para otimização. Os limites de cada variável são apresentados na Tabela 4.2. Tais
limites foram assim especificados para permitir, ao mesmo tempo, grande liberdade na
conformação da superfície refletora e ampla variação de sua posição. Os limites do
posicionamento do refletor são iguais para não privilegiar este ou aquele continente.
A antena para esta aplicação possui diâmetro
D = 2a = 3m, distância focal
F
= 2,7471m, deslocamento offset do alimentador H = 1,75m, um ângulo de inclinação do
offset
0
θ
= 35,33° e opera em uma freqüência fixa de 12GHz. As referidas dimensões foram
assim estipuladas de modo a obter a máxima eficiência para um parabolóide (RASCAL [94]).
Tabela 4.2. Limites das variáveis de otimização – Projeto Reconfigurabilidade.
Variáveis a serem ajustadas
Coeficientes de Expansão Alimentador
C
01
2 : 19
C
10
21 : 199
h
Mín. 0,235 -0,0005 -0,043 -0,0005 30
Limites
Máx. 0,245 0,0005 -0,041 0,0005 400
Variáveis a serem ajustadas – posição do refletor
Europa América do Norte América do Sul
y z
θ
y z
θ
y z
θ
Mín.
-5
λ -5λ
30,33°
-5λ -5λ
30,33°
-5λ -5λ
30,33°
Máx.
5
λ 5λ
40,33°
5λ 5λ
40,33°
5λ 5λ
40,33°
Várias simulações foram realizadas para adquirir confiança na curva não-dominada
obtida. A visualização desta fronteira é difícil por se tratar de uma casca tridimensional.
Desta maneira, preferiu-se mostrar um gráfico representativo das soluções extremas para
cada objetivo (mais uma solução com a maior média ponderada dos objetivos –
[obj1+obj2+1,25
×obj3]), figura 4.12. A Tabela 4.3 mostra os ganhos alcançados.
Conforme mostra a figura 4.12 e a Tabela 4.3, o objetivo crítico é a iluminação
da Europa, pois uma maior concentração de energia nesta região impede uma cobertura
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 87
com ganhos elevados nos outros continentes. Explicando melhor: o continente da
Europa, por possuir menor área, exige uma maior concentração de energia, o que
impede o espalhamento desta nos outros continentes, os quais possuem superfícies
semelhantes. Isto também pode ser visto através dos diagramas de radiação,
apresentados na figura 4.13. Houve uma ‘soma’ das coberturas das Américas, ou seja,
por serem áreas semelhantes em tamanho, o método de otimização encontrou como
melhor opção a composição (ou sobreposição) das áreas de cobertura na mesma região
do refletor. Esta composição só ocorreu porque ela foi permitida na demarcação dos
limites iniciais dos parâmetros que definem a posição do refletor, conforme Tabela 4.2.
Tabela 4.3. Ganhos diretivos mínimos – Projeto Reconfigurabilidade [dBi]
Áreas de Cobertura
Soluções Extremas
Europa (obj. 1) Am. Norte (obj. 2) Am. Sul (obj. 3)
Objetivo 1 27,66 25,42 20,89
Objetivo 2 23,26 27,11 23,87
Objetivo 3 22,91 25,95 25,19
Solução média
[obj1+obj2+1,25
×obj3]
26,85 26,32 23,94
Figura 4.12. Soluções extremas do conjunto Pareto – Projeto Reconfigurabilidade – [dBi].
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 88
Solução Extrema – Objetivo 1
(a
1
) Europa (b
1
) América do Norte (c
1
) América do Sul
Solução Extrema – Objetivo 2
(a
2
) Europa (b
2
) América do Norte (c
2
) América do Sul
Solução Extrema – Objetivo 3
(a
3
) Europa (b
3
) América do Norte (c
3
) América do Sul
Solução – Média ponderada
(a
4
) Europa (b
4
) América do Norte (c
4
) América do Sul
Figura 4.13. Diagrama de radiação das soluções extremas em Pareto – Projeto Reconfigurabilidade – [dBi].
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 89
A Tabela 4.4 mostra como ficou o posicionamento dos refletores e o parâmetro
h
do modelo do alimentador para as quatro soluções apresentadas. Percebe-se a pequena
variação nos valores, quando comparados aos valores dos limites iniciais, o que corrobora
a afirmação de que ocorreu uma ‘soma’ das áreas de cobertura. É possível notar também
que mesmo os extremos da fronteira não-dominada são soluções semelhantes. Isto pode
significar, provavelmente, que as soluções obtidas pertencem ao mesmo nicho –
particularmente os parâmetros que posicionam o refletor.
Tabela 4.4. Variáveis ajustadas – Projeto Reconfigurabilidade.
Posição do refletor
Europa América do Norte América do Sul
Solução
Extrema
y z
θ
y z
θ
y z
θ
Obj. 1 -0,043 0,017 33,64 -0,617 0,728 33,33 -0,421 2,116 33,43
Obj. 2 0,033 -0,057 33,08 -0,721 0,782 32,94 -0,428 2,112 32,50
Obj. 3 0,041 -0,062 33,06 -0,735 0,792 32,93 -0,503 2,077 32,48
Média 0,007 -0,031 33,44 -0,612 0,729 33,09 -0,421 2,120 32,94
[
λ ]
[ ° ]
[ λ ]
[ ° ]
[ λ ]
[ ° ]
Abertura do Alimentador –
h (adimensional)
Solução 1 384,15 Solução 2 365,36 Solução 3 365,10 Média 378,16
A solução ‘média’ foi escolhida para a apresentação dos coeficientes de expansão.
Como são 200 valores, os coeficientes serão mostrados em uma representação matricial,
conforme figura 4.14a. Nesta representação gráfica, o tamanho de cada quadrado é
proporcional a:
)max(
log
)max(
log
1010
Dij
Dnm
ou
Cij
Cnm
−−
.
(4.12)
O termo C
00
não é mostrado por ser o mesmo para todos os indivíduos e por ser
muito maior que os demais, como pode ser visto no Anexo III. Percebe-se que a
representação da superfície do refletor da antena otimizada utiliza todas as harmônicas da
série de expansão. Testes foram feitos com séries mais longas, ou seja, com um número
de harmônicas maior e com ordens superiores, mas os resultados obtidos foram
praticamente idênticos.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 90
É possível ainda utilizar uma outra maneira de visualizar a diferença de curvatura
entre o refletor perfeitamente parabólico e o otimizado. Cada refletor é formado por uma
malha (
x, y, z) de pontos, conforme parametrização mostrada em (4.10) e (4.11), em que as
coordenadas
x e y são iguais para os dois refletores. Para verificar a diferença na curvatura
dos refletores, basta subtrair uma superfície da outra (no caso, foi subtraido o refletor
parabólico do otimizado). Esta diferença no eixo
z é mostrada na figura 4.14b. Este gráfico
pode ser utilizado apenas para uma comparação de formas entre um refletor parabólico e o
otimizado, não permitindo qualquer análise sobre campos refletidos, pois existe um
reposicionamento para cada área de cobertura.
(m)
(a) Representação gráfica dos coeficientes (b) Diferença entre as superfícies parabólica e otimizada
Figura 4.14. Análise dos coeficientes de expansão do refletor da solução ‘média’
Projeto Reconfigurabilidade.
Conhecendo as possíveis soluções para o problema proposto e analisando o
comportamento das variáveis de otimização, passam a existir elementos relevantes que
permitem a determinação da solução final dentre todas aquelas propostas pelo AGMO. Estas
informações permitem ao projetista liberdade para negociações com seu ‘cliente’. Se uma
solução com um maior iluminamento da Europa for de interesse de quem ‘compra’, a antena
requerida está disponível. Se for de interesse uma melhor cobertura da América do Sul,
também é possível. Claro que, após esta primeira análise e negociação, o projetista pode
reiniciar o processo de otimização procurando soluções melhores para demandas específicas.
O próximo exercício explora o reuso de freqüências, uma maneira diferente de
utilizar o conceito de reconfigurabilidade.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 91
4.4 Reuso de Freqüências
O conceito de reconfigurabilidade também pode ser estendido para o reuso de
freqüências, polarização e isolação de áreas adjacentes. Um exemplo disto é o cenário de
cobertura por satélite apresentado na figura 4.15. Todos os polígonos contornados pelo mesmo
tipo de ‘linha’ (
A, B e F ; C e D ; E e I ; G e H) devem ser iluminadas com uma mesma
freqüência; contudo, devem manter uma isolação entre seus próprios feixes de no mínimo -27dBi
(por exemplo, o feixe ‘centrado sobre’
E deve ter sobre I um ganho mínimo atenuado de 27dBi
em comparação ao ganho mínimo sobre
E). Balling et al. [95] utilizam uma configuração
composta de um refletor parabólico iluminado por um grande conjunto de alimentadores (90 no
total) para resolver este problema, de maneira semelhante ao ilustrado na figura 4.1b. Esta
solução é complexa por causa do
Beam Forming Network (BFN) utilizado para controlar o
diagrama de radiação. Aqui, optou-se por trabalhar com uma configuração composta de um
refletor modelado para controle do diagrama, iluminado por poucos alimentadores, o que reduz
drasticamente a complexidade do BFN. Cada ‘sistema’ é associado a um feixe do conjunto. Por
exemplo, para iluminar as áreas
E-I, foram utilizados um refletor modelado e dois alimentadores
(ver figura 4.15 e 4.16). Para ilustrar a aplicação do método AGMO no projeto desta
configuração de antena, é apresentada a solução para o conjunto
E-I na seqüência.
Figura 4.15. Possível cenário para reuso de freqüências na Europa.
A antena para a aplicação proposta possui diâmetro D = 2a = 4m, distância focal F =
4,4m, deslocamento
offset do alimentador H = 2,375m e opera em uma freqüência fixa de
12GHz. As referidas dimensões foram assim escolhidas de modo a obter a máxima eficiência
para um parabolóide perfeito, obedecendo-se aos limites construtivos (RASCAL [94]). O
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 92
satélite está em órbita geoestacionária apontado para o centro do continente europeu,
aproximadamente na longitude = 15° e latitude = 48°.
Para o conjunto
E e I, são quatro os objetivos a serem alcançados: maximizar o
ganho diretivo mínimo para polarização principal em cada área e a maximizar a isolação
entre elas. Uma isolação mínima de pelo menos 27dB é a única restrição imposta. Para a
síntese do refletor foram utilizados 120 coeficientes de expansão (lembrando que o
primeiro termo é fixo), número que atende às recomendações da seção 4.1.5. Ao contrário
da aplicação dos três continentes, aqui se trabalhou com um refletor cujo posicionamento é
fixo em relação ao satélite, mas permitindo o ajuste da posição dos alimentadores (
y, z,
θ
para dois alimentadores → seis variáveis), conforme ilustrado na figura 4.16. Foi permitido
também o ajuste da largura do lóbulo principal do diagrama de radiação dos alimentadores
(
h – duas variáveis), de modo a obter uma separação dos setores utilizados para cada área
de cobertura sobre o refletor (seção 4.1.6). Tem-se, assim, um total de 127 variáveis para
otimização. Os limites de cada variável são apresentados na Tabela 4.5.
Figura 4.16. Movimentação dos alimentadores – Projeto reuso de freqüências.
Tabela 4.5. Limites das variáveis de otimização – Projeto reuso de freqüências.
Variáveis a serem ajustadas
Coeficientes de Expansão
C
01
2 : 14
C
10
16 : 119
Mín. 0,25 -0,0005 -0,050 -0,0005
Limites
Máx. 0,30 0,0005 -0,040 0,0005
Ajuste dos Alimentadores
Alimentador 1 – ‘E’ Alimentador 2 – ‘I’
y z
θ
h
y z
θ
h
Mín.
2,5
λ -2λ
30°
30
-7,5λ -2λ
30°
30
Limites
Máx.
7,5
λ 4λ
50°
400
-2,5λ 4λ
50°
400
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 93
Várias simulações foram realizadas para garantir as soluções não-dominadas. A
visualização desta fronteira é difícil por se tratar de uma superfície em um espaço de
quatro dimensões (quatro objetivos). Assim sendo, um gráfico representativo das soluções
extremas para cada objetivo (mais a solução com a maior média ponderada –
[obj1+obj3]/2) é apresentado na figura 4.17. A Tabela 4.6 mostra os ganhos alcançados.
Tabela 4.6. Ganhos diretivos mínimos – Projeto reuso de freqüências [dBi].
Objetivos
(1) (2) (3) (4)
Área ‘E’ Área ‘I’
Soluções Extremas
maximização isolação maximização isolação
Máx(Objetivo 1) 41,544 13,340 36,117 5,170
Mín(Objetivo 2) 40,002 -12,001 35,038 -9,226
Máx(Objetivo 3) 40,844 13,665 38,085 11,048
Mín(Objetivo 4) 40,044 4,807 35,011 -17,316
Solução média
[obj1+obj3]/2
41,410 14,360 37,850 7,775
Observação: houve redução do espaço de busca (seção 3.4.2) em 40dBi mínimo para a área
E e em 35dBi mínimo para a área I. Este procedimento será comentado na próxima seção.
Figura 4.17. Soluções extremas do conjunto Pareto – Projeto reuso de freqüências – [dBi].
A figura 4.17 apresenta, de fato, um balanço de energia. É possível perceber que
um aumento na iluminação em uma área de cobertura conduz obrigatoriamente à
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 94
diminuição do ganho médio no resto do diagrama de radiação. Da mesma forma, o
aumento do ganho em uma área pode efetivamente conduzir a um aumento do ganho
médio nas áreas vizinhas. Estas negociações são, basicamente, um conflito de ajuste dos
coeficientes. Melhorando a iluminação em uma área ocorre a diminuição do ganho na
outra. O refletor, neste caso, não possui liberdade suficiente para melhorar o ganho diretivo
nas duas áreas simultaneamente. Testes com mais coeficientes de expansão foram feitos
tentando dar mais liberdade para a forma da superfície refletora, mas tais alterações não
ocasionaram melhoramentos significativos.
Resumindo, o que governa este tipo de exercício é a taxa de decaimento dos
lóbulos (seção 4.1.2), a qual depende da freqüência de operação e do diâmetro do
refletor. Estas afirmações também podem ser verificadas nos diagramas de radiação das
figuras 4.18 e 4.21.
A Tabela 4.7 mostra como ficou o posicionamento dos alimentadores e suas
respectivas aberturas para as cinco soluções apresentadas. Não houve surpresas na
resolução deste exercício. As áreas ficaram bem separadas uma da outra (mas não
isoladas), até porque os próprios limites especificados foram condicionados para que um
alimentador não interferisse no outro (seção 4.1.6). Este afastamento e conseqüente
separação das áreas também podem ser verificados pela distribuição de correntes sobre a
superfície refletora, conforme mostrado na figura 4.19.
Tabela 4.7. Variáveis ajustadas – Projeto reuso de freqüências.
Ajuste dos Alimentadores
Alimentador 1 – ‘E’ Alimentador 2 – ‘I’
Solução
extrema
y z
θ
h
y z
θ
h
Obj. 1 5,246 1,051 42,34 104,23 -6,130 0,026 38,13 117,26
Obj. 2 5,208 1,075 42,53 104,90 -5,911 0,006 38,02 117,05
Obj. 3 5,294 1,044 42,28 104,49 -6,256 0,056 38,26 116,74
Obj. 4 5,157 1,078 42,59 105,54 -5,892 0,010 38,02 116,06
Média 5,277 1,054 42,36 104,62 -6,151 0,038 38,18 116,89
[
λ ]
[ ° ]
adimensional
[ λ ]
[ ° ]
adimensional
Da mesma maneira que no exercício anterior, a solução ‘média’ foi escolhida para
apresentar os coeficientes de expansão (figura 4.20). A figura 4.20b mostra que existem
ondulações em todas as partes da superfície do refletor.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 95
Solução Extrema – Maximização da cobertura na área ‘E’ – Objetivo 1
(a) cobertura Área ‘E’ (a’) cobertura Área ‘I’
Solução Extrema – Maximização da isolação entre as áreas ‘E’ em ‘I’ – Objetivo 2
(b) cobertura Área ‘E’ (b’) cobertura Área ‘I’
Solução Extrema – Maximização da cobertura na área ‘I’ – Objetivo 3
(c) cobertura Área ‘E’ (c’) cobertura Área ‘I’
Solução Extrema – Maximização da isolação entre as áreas ‘I’ em ‘E’ – Objetivo 4
(d) cobertura Área ‘E’ (d’) cobertura Área ‘I’
Solução ‘média’ – máx.([objetivo 1 + objetivo 3] / 2)
(e) cobertura Área ‘E’ (e’) cobertura Área ‘I’
Figura 4.18.
Diagrama de radiação das soluções extremas em Pareto – reuso de freqüências – [dBi].
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 96
(a) Alimentador 1 – Área ‘E’ (b) Alimentador 2 – Área ‘I’
Figura 4.19. Distribuição de correntes sobre o refletor – solução ‘média’ – reuso de freqüências.
(quanto mais clara a região, mais intenso a densidade de corrente)
(m)
(a) Representação gráfica dos coeficientes (b) Diferença de superfícies parabólica e otimizada
Figura 4.20. Análise dos coeficientes de expansão da solução ‘média’
Projeto reuso de freqüências.
Outra análise possível consiste em estudar o comportamento dos campos dentro da
área de cobertura. Como explicado na seção 4.1.2, o ganho diretivo não é homogêneo
dentro da região de interesse, como pode ser verificado na figura 4.21. Os valores mínimos
localizam-se, provavelmente, nos extremos das regiões de cobertura. Percebe-se também
que o valor do ganho máximo para efeito do cálculo de isolação sempre ocorre nos
extremos das áreas, isto devido à maior proximidade entre as mesmas.
Como conclusão deste exercício, é possível afirmar que se não existisse o
comprometimento com as isolações e se houvesse uma única área de cobertura por refletor,
o ganho diretivo mínimo na cobertura seria muito mais elevado. O caráter ‘multiobjetivo
concorrente’ limita os valores ótimos.
Com este exemplo é finalizada a parte de aplicações deste capítulo. A próxima
seção apresenta alguns comentários relevantes sobre a interação do AGMO com o
problema de síntese de antenas refletoras embarcadas em satélite. Apesar de terem sido
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 97
feitos para o problema de síntese de antenas, estes apontamentos são gerais e servem para
qualquer tipo de problema.
(a) Cobertura Área ‘E’ (b) Cobertura Área ‘I’
Figura 4.21. Comportamento dos campos nas áreas de cobertura – Projeto reuso de freqüências.
4.5 Considerações sobre a interação AGMO e problemas de otimização
O acompanhamento do processo de otimização deve ser constante, feito pelo
projetista ou dinamicamente pela própria rotina computacional, se possível. A
aquisição de informações deve ser a prioridade no início de qualquer processo
quando não se conhece o problema. Somente compreendendo plenamente o
problema será possível utilizar toda a potencialidade do método de otimização, seja
ele qual for, obtendo assim soluções mais próximas das ideais.
Em problemas reais, quando se trabalha com objetivos muito concorrentes, é
possível que os extremos da fronteira Pareto-ótima não tenham valor prático:
eventualmente, valores muito baixos ou muito altos dos objetivos podem não ser
interessantes. A figura 4.22 ilustra tal situação. Isto pode ser contornado de duas
maneiras:
1.
por medidas restritivas durante a avaliação da solução; se a avaliação for menor que
um valor mínimo, a solução é penalizada;
2.
pela redução do espaço de busca (seção 3.4.2): novos limites são estipulados a
partir das soluções que estão dentro da região de interesse. O processo evolutivo é
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 98
reiniciado com uma nova população criada aleatoriamente dentro desses novos
limites, mais aquelas soluções pré-selecionadas.
(a) Esquemático da redução (b) Exemplo no reuso de freqüências
Figura 4.22. Redução do espaço de busca – aplicação às antenas.
Na verdade, estes procedimentos funcionam como critérios de decisão durante o
processo evolutivo (seção 2.4). Estes artifícios podem e devem ser utilizados em conjunto
quando forem necessários. No caso do exemplo da figura 4.22b, não é inteligente manter uma
alta isolação entre as regiões de interesse se o ganho diretivo mínimo sobre a área de cobertura
é muito baixo. Aqui, ocorreu o deslocamento do feixe principal para fora da região de
cobertura, acarretando na melhora do valor de isolação.
No caso deste tipo de problema, boa cobertura da área de interesse e boa isolação entre as
outras áreas, os objetivos são concorrentes. A experiência mostra que se deve dar prioridade, em
um primeiro momento, a área de cobertura, centrando sobre ela o lóbulo principal, depois se
busca ajustar os lóbulos secundários, menos energéticos, para obter a isolação desejada.
Como complemento ao parágrafo anterior, pode-se acrescentar ainda que os limites
de cada variável são determinados pela mínima experiência do projetista sobre o
problema (por exemplo, limites construtivos). Se não existe experiência sobre o
problema tratado, deve-se optar por limites amplos. Obviamente isso aumenta a
dificuldade de resolução do problema.
Um controle com saturação nos limites das variáveis (seção 3.4.8) é recomendável
na otimização de problemas reais. Este controle é entendido como o procedimento
que corrige indivíduos que escapam dos limites propostos. A saturação seria o
método que recoloca o indivíduo exatamente no limite imposto. Desta maneira,
tem-se um melhor entendimento e um maior controle do processo de otimização.
Estudar a evolução das variáveis é importante.
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 99
Pequenas mudanças eventuais na função objetivo ajudam na evolução do processo.
A intenção é introduzir uma perturbação que force uma reorganização (adaptação)
da população. Isto é similar ao que ocorre na natureza, em que perturbações no
ecossistema podem gerar indivíduos mais bem adaptados às dificuldades.
Evidentemente essas mudanças devem ser mínimas e, de certa maneira,
complementares. Para ilustrar isto, volta-se ao problema da antena. No exemplo
estudado, foi desejo maximizar o ganho diretivo mínimo (
Gmin) em todas as áreas.
Como função objetivo, seria possível começar com a maximização do valor médio
destes ganhos (
Gmed). Este procedimento força um rápido espalhamento da energia
em toda a área de cobertura sem se preocupar com possíveis ‘buracos’ ou regiões
menos iluminadas. Após algumas gerações, já com soluções satisfatórias, altera-se
a função objetivo para a maximização de
Gmin, procurando assim penalizar aquelas
soluções com ‘buracos’ no diagrama. Este jogo entre
Gmed e Gmin deve ser feito
periodicamente, pois
Gmed força a concentração de energia sobre a área de
cobertura (eliminação de lóbulos secundários) e
Gmin preocupa-se com um
diagrama mais uniforme (refinamento). São aspectos complementares que, por isso,
podem ser utilizados de modo a acelerar o processo evolutivo.
A variação dinâmica das probabilidades de cruzamento e mutação – ferramenta
utilizada no Algoritmo Genético monoobjetivo (Vasconcelos
et al. [64], [A9]) –
também tem por objetivo causar perturbações na população corrente através do
aumento da ‘pressão’ dos operadores de cruzamento e mutação. Este procedimento
age sobre as variáveis de otimização e não sobre os objetivos, como proposto no
parágrafo anterior. (Esta metodologia ainda não foi implementada no AGMO,
ficando como proposta para continuação dos estudos).
Os métodos clássicos de otimização dificilmente resolveriam a contento estes
exercícios de antenas. Simplesmente porque a montagem de uma única função
objetivo não é evidente. Como criar uma equação quando não se vislumbra onde se
pode chegar (quais os resultados de ganho esperados quando o problema é
constituído de múltiplas áreas de cobertura, múltiplas restrições, etc. e uma só
superfície refletora)? Quais pesos atribuir a cada área? Como a série de expansão é
Capítulo IV – Antena refletora embarcação em Satélite 100
global, qualquer alteração na superfície altera o ganho em todas as áreas de
cobertura, o que torna os objetivos muito conflitantes. O sistema de pesos utilizados
tanto na abordagem monoobjetivo quanto por métodos determinísticos dificilmente
seria eficaz nos exemplos tratados aqui.
Aumentando-se a complexidade do problema (tamanho e número de áreas, números
de alimentadores, áreas de isolação, número de restrições impostas, etc.), os graus de
liberdade da síntese (liberdade de curvaturas mais bruscas ou maior número de
coeficientes) do refletor devem ser aumentados na mesma proporção. Isto ocasiona
também o incremento do número de pontos sobre a superfície para a correta
estimação do campo radiado. Portanto, tornando o problema mais real, mais
complexa e custosa será sua otimização. É sabido que os métodos estocásticos têm
como principal desvantagem a necessidade de inúmeras avaliações do problema para
a sua resolução. Aumentando-se sua complexidade, maior será o tempo necessário
para a sua otimização. Os Algoritmos Genéticos podem levar vantagem neste aspecto
se forem equacionados para trabalhar usando processamento paralelo. Como suas
operações são repetidas, ou seja, como cada indivíduo é avaliado de maneira
independente, o paralelismo é direto. Este assunto será novamente abordado nas
propostas de continuidade dos estudos no último capítulo.
Com estes comentários finaliza-se o quarto capítulo. A análise de sensibilidade,
apresentada no próximo capítulo, ajuda a compreender ainda mais o problema a ser resolvido.
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 101
Análise de Sensibilidade
Na concepção de dispositivos, o papel da análise de sensibilidade é verificar quão
estável é o desempenho de soluções otimizadas quando as mesmas sofrem perturbações
inevitáveis em projetos reais. A fonte destas variações pode ser erros inerentes à
construção e montagem ou ainda mudanças nas condições de operação (Meneguim [18],
Barthold [21], Kwon-Hee Lee
et al. [96], dentre outros). Por exemplo, a obtenção de uma
asa de avião que produza um ganho fenomenal em eficiência aerodinâmica pode não
significar grande vantagem se, com a variação de alguns milímetros em sua posição
(causada por trepidação, por exemplo), este ganho seja completamente diferente. A figura
5.1 ilustra a necessidade de buscar soluções robustas. Neste exemplo, a solução
S
2
é mais
estável que
S
1
, pois, quando sujeita aos mesmos valores de perturbações, tem seus
objetivos menos alterados.
Figura 5.1. Análise de Sensibilidade buscando soluções robustas.
Como já visto nos capítulos anteriores, o AGMO produz um vasto conjunto de
soluções, o qual reflete o comportamento das funções objetivo. Após o processo
evolutivo, o engenheiro escolhe a solução final dentre as inúmeras possibilidades. A
idéia é utilizar estudos complementares de maneira a qualificar as soluções perante sua
sensibilidade às perturbações, facilitando a decisão final e o aprendizado do
comportamento do problema. São duas diferentes abordagens apresentadas neste texto:
análise de sensibilidade baseada em uma métrica que relaciona objetivos e parâmetros
[A6]; e análise de sensibilidade sobre especificações fixas do projeto, verificando a
confiabilidade da arquitetura do problema ou projeto [A7].
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 102
5.1 Análise de Sensibilidade sobre os parâmetros de otimização
Este procedimento é um estudo sobre o desempenho do dispositivo quando suas
variáveis de otimização são submetidas a perturbações decorridas da imprecisão na
construção, por exemplo. Entre as várias metodologias de análise de sensibilidade
existentes, a constante de Lipschitz pode ser utilizada (Lisboa [20], Vieira
et al. [97],
dentre outras). Para uma dada solução, esta constante é definida como a taxa de variação
máxima dos objetivos dentro de um domínio finito de perturbações. Outro procedimento,
baseado no método de elipsóides interiores, é utilizado para aproveitar a grande quantidade
de soluções geradas pelos métodos estocásticos (Takahashi
et al. [19]). Nos dois
procedimentos citados, uma avaliação precisa da sensibilidade exige grande esforço
computacional, além da necessidade do gradiente da função objetivo em algumas
situações. O Anexo IV faz uma concisa explanação sobre os fundamentos das
metodologias clássicas para este tipo de análise de sensibilidade.
Neste trabalho é apresentado um estudo de sensibilidade baseado em uma métrica
diretamente calculada dos dados gerados pelo AGMO [A6], não necessitando, entretanto,
de qualquer esforço computacional adicional no que diz respeito a novas avaliações das
soluções ou cálculos de derivadas. Como mostrado na figura 5.2, ao final do processo
evolutivo ocorre uma concentração de soluções em volta da fronteira Pareto, o que torna
razoável o uso destes dados para a realização de análises referentes ao comportamento dos
valores de objetivos em relação às variáveis de otimização. O método proposto aqui
também permite a identificação de qual parâmetro é o mais importante para a manutenção
da ‘otimalidade’ do dispositivo. A efetividade deste procedimento está condicionada a um
espaço de busca apropriadamente representado no entorno da solução estudada, ou seja,
não deve ocorrer uma convergência prematura do processo evolutivo [A13]; utiliza-se todo
o conjunto de indivíduos gerado desde a primeira geração.
A metodologia proposta tem os seguintes passos de execução:
Primeiramente, determina-se os valores máximos para perturbações nos parâmetros
de otimização, definindo o tamanho de um domínio finito de estudo no espaço dos
parâmetros. As amplitudes destas variações são especificadas pelo projetista, sendo
estipuladas segundo os possíveis valores de desvios que podem ocorre no dispositivo
devido às imperfeições na construção, montagem, dilatações térmicas, etc;
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 103
Escolher algumas soluções (V*) segundo algum interesse particular (ou um grupo de
soluções amostradas na fronteira Pareto de maneira a estudar a sensibilidade do
conjunto). No entorno de cada solução
V* é estabelecido um domínio de estudo (D*)
no espaço de parâmetros (onde se encontram os indivíduos), no qual se pode estudar
os desempenhos de cada objetivo dessas soluções constituintes, e os comparar com
os objetivos de
V*. O tamanho de D* é definido pelas amplitudes das perturbações
determinadas anteriormente;
Para conhecer a maior mudança de desempenho no domínio D*, faz-se necessário
encontrar a maior degradação de cada objetivo no interior do domínio
D*. Isto
configura uma procura critério a critério, que busca a pior solução para cada objetivo;
Se para cada objetivo o pior valor da alteração for aceitável, é possível afirmar que
a solução é estável para as exigências do projetista;
De modo a comparar soluções ditas estáveis, pode-se calcular a ‘distância’ dos
piores casos à solução em estudo. Quanto maior esta distância, ou seja, quanto mais
longe ocorre o pior caso, mais estável é a solução.
A procura critério a critério pode ser feita utilizando as ferramentas tradicionais de
otimização, como métodos baseados em derivadas ou mesmo o AG monoobjetivo,
entretanto, isto pode ser muito custoso computacionalmente. De maneira a reduzir este
custo (eliminar a necessidade de novas avaliações de soluções), é possível utilizar as
soluções geradas pelo processo evolutivo do AGMO. A partir das amostras de Pareto ou
qualquer outra solução em análise (
V*) e com base nos limites máximos para perturbações
preestabelecidos, é possível verificar quais soluções dentre todas aquelas geradas pelo
AGMO (
POPNDOM + POPDOM + POPDOMold) estão contidas em D*. Definido o
grupo de soluções a ser estudado, basta procurar dentro deste conjunto os indivíduos com
os piores valores de objetivos. A idéia é simples e resulta em uma noção satisfatória de
sensibilidade, como será comprovado na resolução dos exercícios a seguir.
5.1.1 Funções Analíticas – análise de sensibilidade – parâmetros de otimização
A figura 5.2a mostra as soluções geradas pelo AGMO na minimização simultânea
de duas funções quadráticas (
f
1
e f
2
) com duas variáveis de otimização cada (x
1
e x
2
):
()
2
2
11 2
1
f
xx=−+ e
(
)
2
2
21 2
1
f
xx
=
++. (5.1)
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 104
A região com soluções ótimas é uma linha que conecta os vértices das duas
parábolas. A figura 5.2b mostra a fronteira não dominada deste problema encontrada pelo
AGMO. Neste exercício analítico, a solução escolhida para o teste de sensibilidade é a
V* = [x
1
= 0,003387 , x
2
= -0,004788], a qual é a solução mais próxima dos objetivos [f
1
= 1
,
f
2
= 1] encontradas pelo AGMO e que corresponde ao meio da fronteira
20
.
O domínio de perturbação
D* foi definido como sendo o desvio entorno de V* de
intervalo [-0,2 , 0,2] para cada uma das variáveis. Determinados estes limites, buscou-se
dentre as soluções constituintes deste domínio a pior solução para cada objetivo. Neste
exercício, as piores soluções dos dois objetivos estão nas ‘quinas’ do domínio estipulado
(figuras 5.2c e 5.2c’). Isto porque o comportamento de ambos os espaços, objetivos e
parâmetros, é uniforme. O projetista considera a solução como estável se estas piores
avaliações forem aceitáveis.
(a) espaço de parâmetros (b) fronteira não-dominada – espaço de objetivos
(a’) espaço de parâmetros (b’) fronteira não-dominada – espaço dos objetivos
20
A ‘transformação geométrica’ de um espaço para outro nem sempre é simples. De modo a explicar esta
transformação, podem-se traçar sobre as figuras (b) as linhas transpostas de mesmo valor das figuras (a). A
comparação das figuras permite compreender como se passa esta transformação. Sobre a fronteira Pareto
deste exercício, verifica-se que existem sempre dois pontos de (a) que possuem a mesma imagem em (b).
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 105
(a’) espaço de parâmetros – detalhe (b’) espaço de objetivos – detalhe
Figura 5.2. Duas parábolas – funções analíticas para o estudo de análise de sensibilidade.
Para comparar as soluções ‘estáveis’, buscando saber qual é a menos sensível entre
elas, pode-se associar as variações nos objetivos com a distância correspondente no espaço
dos parâmetros (
B
k
(.)): a solução analisada é estável se a distância é grande no domínio dos
parâmetros e se ela é pequena no domínio dos objetivos. Este comportamento
B
k
(.)
associado ao ponto ótimo
V* para cada função objetivo f
k
(.), dentro de um domínio de
perturbação
D*, pode ser dado por:
ji
jkik
jiDVV
k
VV
VfVf
VB
ji
−
−
=
≠∈
|)()(|
max)(
,,
*
*
,
(5.2)
onde V
i
e V
j
são soluções que estão dentro de D* (este cálculo é feito comparando duas à
duas todas as soluções de
D* ). Note que D* é definido por uma variação possível
preestabelecida sobre
V* (n variáveis de otimização). O cálculo de B
k
é simples – pois ele é
feito com soluções já conhecidas; e confiável, desde que o AGMO tenha feito uma boa
exploração do espaço
D* (como disposto na figura 5.2.a). Ademais, B
k
é um valor
assimptoticamente similar à constante de Lipschitz quando o número de soluções dentro do
domínio
D* tende ao infinito. Isto significa que B
k
é uma aproximação da taxa de variação
máxima dos objetivos dentro de um domínio finito de perturbações. Resumindo, quanto
maior
B
k
, mais instável será a função f
k
dentro do domínio D*. De modo a obter B
k
com
valor significativo, deve-se ter o cuidado de normalizar cada parâmetro por seu valor
máximo em
V* e cada objetivo por
(
)
*
k
fV
. Isto será demonstrado no exercício a seguir.
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 106
5.1.2 Antena Yagi-Uda
Para permitir uma melhor compreensão do que foi exposto, é realizada aqui a
otimização de uma antena Yagi-Uda com cinco elementos (refletor, alimentador e três
elementos diretores), conforme figura 5.3.
Figura 5.3. Antena Yagi-Uda.
As variáveis para ajuste pelo AGMO são os comprimentos (l) de cada elemento e a
distância (
d) entre eles. A Tabela 5.1 mostra os limites de cada parâmetro, os quais definem o
espaço factível de busca. Para uma freqüência de operação fixa, os objetivos do projeto são a
maximização da diretividade (
D) e a maximização da razão frente-costa (FBR – front-back
ratio
). Como restrição de projeto foi imposto que a impedância de entrada (Zin) deva estar
entre 45
Ω e 55Ω. O método da ‘força eletromotriz induzida’ (EMF) é utilizado para a análise
eletromagnética da antena, considerando uma distribuição senoidal de correntes ao longo de
cada elemento. Este método é rápido e razoavelmente preciso se os raios dos elementos forem
muito menores que do
λ e menores do que as distâncias entre os elementos (Balanis [6])
21
.
Tabela 5.1. Limites dos parâmetros de otimização – Antena Yagi-Uda.
Limites Refletor Alimentador Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3
mín
0,40 0,40 0,30 0,30 0,30
l(
λ
)
máx
0,65 0,65 0,50 0,50 0,50
mín
0,10 0,10 0,10 0,10
d(
λ
)
máx
0,30 0,50 0,50 0,50
A fronteira não-dominada encontrada é mostrada na figura 5.4. Como exemplos,
foram selecionados duas soluções (
S1 e S2) para avaliar a sensibilidade em relação a
variações nos parâmetros. O domínio de perturbação foi definido como sendo
±0,0025λ de
desvio em todas as variáveis de otimização (Tabela 5.1).
21
O método EMF foi implementado por Adriano Chaves Lisboa, doutorando no GOPAC/CPDEE–UFMG na
época. Este trabalho sobre sensibilidade foi realizado em conjunto, publicado em [A6].
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 107
Figura 5.4. Análise de Sensibilidade – parâmetros de otimização – Antena Yagi-Uda.
As soluções escolhidas (S1 e S2) estão apresentadas na Tabela 5.2 e 5.3. A
comparação dos parâmetros de otimização de
S1 e S2, apresentados na Tabela 5.2, mostra
que mesmo soluções distantes na fronteira não-dominada possuem pequena diferença em
suas variáveis. Isto justifica a necessidade de um estudo do comportamento das soluções
perante as perturbações. Na Tabela 5.3, é possível perceber que a solução
S1 possui uma
relativa estabilidade de
D e uma FBR instável; já S2 possui D e FBR igualmente estáveis.
Note que, nestes casos, a maior variação do valor da função objetivo corresponde à solução
mais instável. Isto pode não ser sempre assim, pois o comportamento dos parâmetros
também é considerado no cálculo de
B
k
.
Tabela 5.2. Soluções otimizadas escolhidas – Antena Yagi-Uda.
S
Parâmetros Refletor Alimentador Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3
l(
λ
)
0,48132 0,59724 0,43109 0,42024 0,42337
S1
d(
λ
)
0,24293 0,28425 0,33277 0,32856
l(
λ
)
0,48123 0,60380 0,42992 0,41973 0,42333
S2
d(
λ
)
0,25216 0,29835 0,34257 0,33225
O comportamento B
k
obtido com o auxílio do AGMO é sempre menor que os
valores determinados pela constante de Lipschitz, como pode ser visto na Tabela 5.3. Isto
porque, em teoria, o valor de
B
k
tenderá ao valor de Lipschitz quando existirem infinitas
amostras regularmente repartidas nos dois espaços (de parâmetros e de objetivos).
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 108
Desconsiderando as discrepâncias, os valores de B
k
gerados pelo AGMO têm significado
como uma medida de sensibilidade.
Tabela 5.3. Análise de Sensibilidade sobre os parâmetros – Antena Yagi-Uda.
B
k
Constante
S Objetivo Solução Pior
AGMO Lipschitz
D (dBi) 11,92 11,88 44 79,5
S1
FBR (dB) 44,90 33,40 158925
23,5
×10
6
D (dBi) 12,05 11,99 73 74,8
S2
FBR (dB) 19,99 18,46 1485 9650
Nota: B
k
e Lipschitz são números adimensionais.
Para apontar qual parâmetro é mais relevante de modo a não degradar o
desempenho do dispositivo, é suficiente calcular
B
k
para cada variável separadamente.
Neste caso, para criar o domínio
D* adaptado, faz-se uma grande perturbação no
parâmetro de interesse e pequenos desvios nos outros.
Utilizando
S2 como exemplo (±0,05λ de perturbação no parâmetro em estudo e
±0,005λ de desvio para todos os outros), a variável que perturba mais os objetivos é o
comprimento do alimentador (
B
k
= [402 96715]), seguido pelos comprimentos dos
diretores
22
(B
k
= [370 91576]). Em outras palavras, neste exercício, estas são as duas
variáveis que, para uma mesma perturbação, mais degradam o desempenho da antena. Os
outros parâmetros têm quase a mesma importância no que concerne à estabilidade da
solução. A Tabela 5.4 mostra todos estes valores.
Tabela 5.4. Análise de Sensibilidade – por variável – Antena Yagi-Uda.
B
Refletor Alimentador Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3
l
313 402 370 370 370
S1
d
5 17 8 9
l
78753 96715 91576 91576 91576
S2
d
1985 5321 2843 1858
22
A sensibilidade é a mesma para todos os parâmetros de otimização ‘comprimento dos diretores’. É
importante observar dois aspectos: 1) os valores ótimos destas variáveis são também iguais entre elas; 2) a
população selecionada em D* é a mesma para estes três parâmetros. Tudo isto significa que o
comportamento destes parâmetros é idêntico (eles têm a mesma importância).
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 109
Como visto, a metodologia proposta permite obter uma noção satisfatória de
sensibilidade sem nenhum esforço computacional adicional, no que diz respeito a novas
avaliações da função objetivo. É possível determinar qual solução não-dominada (ou
qualquer outra) mantém suas características quando submetida a possíveis perturbações.
5.1.3 Considerações sobre a análise de sensibilidade – parâmetros de otimização
Para melhorar a confiança dos resultados obtidos com os métodos estocásticos
(para o AGMO, é desejável confirmar e/ou melhorar a aproximação para a fronteira
Pareto), existe a necessidade de repetir simulações (seção 3.1). Todas as soluções
geradas durante estas execuções sucessivas podem ser utilizadas para a análise de
sensibilidade, o que também melhora a qualidade deste estudo;
A análise de sensibilidade aqui apresentada foi tratada como um decisor a
posteriori
(seção 2.4). Entretanto, este procedimento pode ser aplicado durante o
processo evolutivo, obedecendo obviamente à necessidade de uma boa varredura do
espaço de busca. De modo a acelerar o processo de otimização na direção de
soluções estáveis, a informação de sensibilidade poderia ser utilizada para descobrir
soluções instáveis e, então, puni-las de alguma maneira;
O método de análise descrito nesta seção usa variáveis ‘diretas’ (comprimento,
largura, ângulo, peso, valores de corrente ou tensão elétrica, etc.). No caso de
parâmetros de otimização ‘indiretos’, como os coeficientes de séries de expansão
(por exemplo, aquela usada na conformação da antena refletora), o procedimento
apresentado pode não ter um significado real. Nestes casos, é necessário criar uma
parametrização para as perturbações, relacionando os possíveis desvios às
variáveis utilizadas no processo de otimização. Voltando ao exercício da antena
refletora, por exemplo, deve ser criada uma parametrização que represente
possíveis efeitos térmicos na superfície do refletor e suas implicações nos
coeficientes de expansão. Entretanto, também é possível trabalhar de uma
maneira reversa (sem utilizar tal parametrização). Partindo do pressuposto que
determinada percentagem de variação dos objetivos é aceitável, um domínio finito
de soluções pode ser definido em torno das soluções selecionadas. Então, são
procuradas dentro deste domínio as soluções com o máximo ‘afastamento’ no
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 110
espaço de parâmetros. Quanto maior estas variações, mais estável é a solução sob
análise. Este procedimento será mais bem explicado na resolução de um exercício
com a otimização de uma antena refletora, na seção 5.3.
5.2 Análise de Sensibilidade sobre os parâmetros predeterminados.
A otimização multiobjetivo tem como principal ação encontrar as soluções ótimas
de um problema segundo uma série de objetivos que o estabelecem. Os objetivos, os
parâmetros a encontrar/ajustar e as especificações fixas (demais características) constituem
o modelo criado pelo projetista que representa o problema a ser otimizado. Saber
caracterizar o problema e entender mudanças não previstas (em virtude de desvios em
parâmetros pré-fixados) ajuda a compreender o problema.
O estudo comparativo do comportamento das soluções ótimas quando aplicadas às
mudanças no modelo pode ajudar na escolha da solução final, bem como pode levar a um
melhor entendimento do problema como um todo. No seu trabalho consagrado à
otimização de sistemas, Régnier [27] elabora um procedimento deste tipo, entretanto, os
‘parâmetros fixos’ de seu
modelo global de sistema são os diferentes ‘modelos
elementares’ do sistema. Ele relata, então, uma ‘análise de sensibilidade
pertinente ao
modelo
’, já que ele testa a sensibilidade de uma solução ótima quando submetida às
modificações de um
modelo particular de subsistema. Transportando esta idéia para a
presente tese, a ‘análise de sensibilidade
sobre parâmetros fixos’ será discutida [A7]. Ao
contrário da seção 5.1, esta análise não diz respeito diretamente aos parâmetros de
otimização, mesmo se a intenção é de ajudar nas escolhas de quais variáveis são mais
importantes para a inserção no processo de otimização.
Como exemplo, cita-se o problema da antena embarcada em satélite. O projetista
concebe o satélite para operar em um ponto fixo na órbita geoestacionária, mesmo sabendo
que o satélite está sujeito a deslocamentos em sua posição, e esta deve ser corrigida de
tempos em tempos: a posição orbital não faz parte dos parâmetros de otimização, mas estes
parâmetros devem ser escolhidos para que uma variação orbital tenha a menor influência
possível. Outro exemplo, o engenheiro que otimiza as dimensões de um motor elétrico
buscando maximizar seu desempenho, mas que, por razões quaisquer, ocorrem variações
constantes de tensão e corrente na sua alimentação. Estas são alterações que o projetista
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 111
não controla, mas que ele pode estimar. Conhecendo as degradações resultantes nos
objetivos, pode-se escolher como solução final aquela que sofre menos perturbação com
mudanças em parâmetros ditos fixos.
Nas especificações do problema, é necessário atenção para distinguir aquelas que
são ‘dados’, chamados aqui de parâmetros fixos, daquelas que são especificações que
devem ser ‘atendidas’, ou seja, os objetivos ou restrições. A análise de perturbações sobre
os parâmetros fixos ajuda na escolha da solução final. Pode-se definir como objetivo
suplementar de otimização a minimização das perturbações dos objetivos principais,
associadas as variações das ‘especificações fixas’, mais isto aumenta a dificuldade de
resolução do problema (maior o número de objetivos, mais difícil é encontrar uma boa
discretização da fronteira Pareto).
O procedimento deste estudo é simples: todas as soluções não-dominadas e
algumas dominadas (aquelas mais ‘próximas’ da fronteira – menor IDOM) são reavaliadas
com as mudanças no modelo do problema. Isto resultará em um reposicionamento destas
soluções no espaço dos objetivos (figura 5.6b). De modo a estimar a estabilidade da
solução basta verificar:
()
111
*,*
nnn
dxxyy=− −
………
,
1
n
i
i
Dd
=
=
∑
,
(5.3)
onde D é o desvio ocorrido por n perturbações, x* e y* são dois objetivos da solução em
estudo. Se as
n perturbações são correlatas, constituindo na realidade uma apenas, pode-se
encontrar a sensibilidade aplicando (5.3) com
n = 1. Se as perturbações são não correlatas,
e é desejo obter um só valor de sensibilidade, então a expressão (5.3) é conveniente
(quanto mais baixo for o valor
D calculado, mais estável é a solução).
A análise de sensibilidade de uma antena refletora embarcada em satélite esclarece
o que foi exposto até agora – seção 5.3.2.
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 112
5.3 Estudo de Sensibilidade de uma Antena Refletora embarcada em Satélite
Para esclarecer as duas metodologias de análise de sensibilidade propostas neste
capítulo, usar-se-á o exercício de otimização de uma antena refletora para reuso de
freqüências (seção 4.4). Os aspectos construtivos do problema são basicamente os mesmos
apresentados anteriormente, apenas o número de objetivos foi reduzido. Aqui, optou-se por
trabalhar com dois objetivos, a saber, a maximização do ganho diretivo nas duas áreas de
cobertura (GE e GI). A restrição de mínima isolação entre as áreas de 27dBi permanece
ativa. Após muitas simulações para garantir a fronteira não-dominada e uma vez entendido
o comprometimento entre os objetivos (neste caso: o aumento do ganho diretivo em uma
área implica na diminuição do ganho na outra área; isto caracteriza o já comentado
‘balanço de energia’ na seção 4.4, agora apresentado na figura 5.5a), podem ser aplicados
os estudos complementares abordados neste capítulo, auxiliando o entendimento do
problema e facilitando a escolha da solução ‘ótima’ na decisão final.
5.3.1 Análise de Sensibilidade sobre os parâmetros de otimização de uma Antena Refletora
Para este tipo de estudo, foram escolhidas duas soluções não-dominadas: S
1
, com
GE = 41,605dBi e GI = 36,901dBi; e
S
2
, com GE = 41,477dBi e GI = 37,934dBi (figura 5.5b).
(a) fronteira não-dominada encontrada (b) estudo de sensibilidade nos parâmetros
Figura 5.5. Fronteira não-dominada – Projeto Reuso de Freqüências
Análise de sensibilidade sobre os parâmetros [em dBi].
Como já explicado na seção 5.1, os coeficientes de expansão para a conformação
da superfície refletora não são variáveis diretas. Isto significa que variações em alguns
parâmetros não se traduzem em mudanças facilmente previsíveis na forma da superfície
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 113
refletora uma vez que a série de expansão é global. Isto exige, para o estudo de
sensibilidade em curso, uma parametrização paralela capaz de simular possíveis desvios
decorridos de imperfeições na construção da superfície refletora e/ou dilatações térmicas,
por exemplo. A elaboração destas parametrizações não é simples, até porque pouco se
divulga sobre as características físicas, procedimentos de formatação, efeitos térmicos, etc
da superfície metálica (muitas vezes tais características constituem um segredo industrial).
Para estudar perturbações reais nas ondulações do refletor, é possível trabalhar de
maneira reversa (sem modelos térmicos complexos, por exemplo): aceitando uma variação
de
±0,25dBi em cada objetivo como tolerável, um domínio finito de soluções (D*) é
definido em torno de cada solução selecionada
S
1
e S
2
(figura 5.5b)
23
. Dentro de cada
domínio é procurada a maior disparidade nas superfícies entre a solução selecionada e as
constituintes em termos da diferença medida na coordenada
z, como feito para obtenção da
figura 4.14b. No domínio onde ocorrer a maior diferença, com as mesmas dimensões de
D* obviamente, a solução é considerada como a mais estável. É necessário verificar se a
perturbação ocorrida pode realmente acontecer.
Neste exercício, a solução
S
2
(com uma variação máxima de 0,582λ) é mais estável
que
S
1
(variação máxima de 0,438λ) pois, com uma diferença maior de sua forma, respeita
os limites de perturbações nos objetivos propostos. Note que nos dois casos estudados, as
piores soluções não estão nos extremos dos domínios, como o acontecido no problema das
funções analíticas (seção 5.1.1). Neste exemplo, o comportamento dos espaços de
parâmetros e objetivos não é idêntico. Analisar os dois espaços de busca (parâmetros e
objetivos) é, portanto, fundamental.
5.3.2 Análise de Sensibilidade em especificações fixas de uma Antena Refletora
A posição do satélite na órbita geoestacionária é sempre fixa em todos os exercícios
aqui feitos. Entretanto, é sabido que esta posição sofre variações que necessitam ser
corrigidas de tempos em tempos de modo a manter o satélite entre limites pré-especificados
(Gordon & Morgan [98], Sanctis
et al. [99]). As oscilações orbitais factíveis são ilustradas na
figura 5.6a. Na parte final do período de utilização do satélite, estes limites podem ser
estendidos para economizar combustível e prolongar a vida útil do satélite, contudo
23
Cabe aqui um esclarecimento: na proposta inicial, as perturbações ocorrem nos parâmetros de otimização,
portanto, D* é estabelecido no espaço de parâmetros; na proposta reversa, D* é definido no espaço de objetivos.
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 114
aceitando uma degradação da iluminação nas bordas da cobertura. A análise de sensibilidade
concernente ao modelo será aplicada com a intenção de estimar quanto estas perturbações
degradam as avaliações das soluções otimizadas.
(a) oscilações orbitais de um satélite (b) variação dos objetivos devido às oscilações
Figura 5.6. Fronteiras não-dominadas após mudanças na especificação do ‘modelo’:
Projeto Reuso de freqüências – análise de sensibilidade [em dBi].
Neste exercício, optou-se por perturbações no valor de deslocamento angular de
Δφ
= +0,1°, de modo que o satélite não apontará mais exatamente para o centro da região de
interesse. Todas as especificações do sistema permanecem iguais, menos a posição orbital
angular, como mostra a figura 5.6a. Isto significa que o diagrama de radiação não estará mais
centrado sobre a área de cobertura, e eventualmente, as bordas das áreas serão prejudicadas.
A variação em distância (Apogeu – Perigeu) não será contemplada neste caso. Para efeito de
predição do ganho diretivo, a perturbação assumida implica em um recálculo dos pontos em
azimute
× elevação do mapa de amostragem existente (seção 4.4). A figura 5.6b apresenta a
mudança das avaliações de um grupo de soluções (todas as soluções não-dominadas mais
aquelas dominadas com
IDOM até 10). Com as novas fronteiras conhecidas, é possível
calcular o desvio (5.3) de modo a encontrar a solução mais estável, a saber, aquela que
possuir as menores variações nos objetivos. A Tabela 5.5 mostra o mínimo desvio dentre
aquelas soluções avaliadas para cada perturbação.
Com todos os dados apresentados, é possível concluir que a mudança na posição do
satélite altera a ‘otimalidade’ das soluções encontradas. Baseado nesta análise, concebe-se
que em um projeto real seria possível recomeçar o processo de otimização considerando
esta oscilação orbital como uma restrição ou como um objetivo a minimizar.
Evidentemente, isto aumenta a dificuldade de resolução do problema, como já discutido.
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 115
Tabela 5.5. Análise de Sensibilidade no que concerne ao Modelo – Antena Refletora.
Perturbações (
Δφ
)
Mínimo Mínimo Ganho diretivo
Norte Sul Leste Oeste Desvio Área E - GE Área I - GI
0,1 0 0 0 0,0130 41,599 37,028
0 0,1 0 0 0,0155 41,327 38,140
0 0 0,1 0 0,0109 41,587 37,300
0 0 0 0,1 0,0094 41,240 38,195
[°]
(adimensional)
[dBi]
5.3.3 Escolha da Solução Final – Antena refletora embarcada em satélite
A figura 5.7 mostra os diagramas de radiação da solução mais estável após a etapa de
decisão (com ganhos diretivos mínimos GE = 41,50dBi e GI = 37dBi – esta etapa de decisão
permite reduzir o espaço de busca), e após os dois estudos de sensibilidade apresentados. De
modo a considerar estas duas análises de sensibilidade, o seguinte procedimento foi utilizado: o
cálculo das novas avaliações para o ‘estudo do modelo’ (mantendo
Δφ
= 0,1°) foi feito
somente para as soluções que, para uma variação máxima na superfície de 0,25
λ, tiveram uma
perturbação menor ou igual a 0,15dBi em cada objetivo (sensibilidade sobre os parâmetros).
A solução mais estável, apresentada na figura 5.7, possui GE = 41,525dBi e
GI = 37,773dBi. É importante mencionar que esta solução não é uma não-dominada. A
solução ‘ótima’ escolhida, segundo preferências do projetista e dos estudos de
sensibilidade, faz parte do conjunto de soluções dominadas, e ela teria sido rejeitada sem
os estudos de sensibilidade apresentados neste capítulo. Isto evidencia ainda mais a
importância dos estudos de sensibilidade realizados.
(a) Área E (b) Área I
Figura 5.7. Solução final para o problema de reuso de freqüências – dois objetivos – análise de sensibilidade.
Conhecendo a fronteira Pareto (ou seja, o comprometimento entre os objetivos) e
todos estes estudos complementares, o engenheiro pode escolher a solução final que ele
Capítulo V – Análise de Sensibilidade 116
julga ‘ótima’, ou reiniciar o processo de otimização com diferentes especificações, para
usar como vantagem seu melhor entendimento do problema.
5.4 Conclusões
Este capítulo mostrou que, quando são considerados aspectos de ordem prática, é
necessário verificar se a qualidade de uma solução permanece aceitável quando os
parâmetros a ela associados sofrem variações. Conforme os exercícios realizados, fica
evidente a importância dos estudos aqui apresentados. Fica também evidente as inúmeras
possibilidades de análises, estudos e considerações que podem ser realizadas com o
grande número de soluções encontradas pelo AGMO. Esta é a grande vantagem deste
método estocástico em comparação as clássicas metodologias de otimização. Saber
lidar com esta vasta gama de informações é importante e necessário para a obtenção da
melhor solução possível.
O próximo capítulo apresenta as conclusões gerais desta tese e as propostas de
continuidade dos estudos.
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 117
Conclusão
Esta tese, de maneira geral, envolveu duas áreas de conhecimento: o estudo de
ferramentas de otimização e a análise de dispositivos eletromagnéticos. O foco principal
foi o desenvolvimento de um Algoritmo Genético Multiobjetivo (AGMO), o qual, em
conjunto com estudos de sensibilidade, é capaz de resolver problemas complexos, como a
concepção e o entendimento de dispositivos envolvendo o eletromagnetismo.
A síntese de antenas refletoras embarcadas em satélite ilustra bem um problema de
otimização difícil de resolver. A conformação de superfície refletora, o correto
posicionamento do sistema alimentador(es)
× refletor(es) e a abertura do(s)
alimentador(es), por exemplo, são algumas das variáveis de otimização que podem ser
ajustadas para atender as múltiplas especificações conflitantes de projeto. Estas
especificações, que são os objetivos e as restrições de um problema de otimização, podem
ser o máximo ganho diretivo sobre a(s) área(s) de cobertura(s), a máxima eficiência do
feixe, o reuso de freqüências, a reconfigurabilidade etc.
A opção pelo algoritmo genético multiobjetivo é o resultado de um trabalho de revisão
acerca dos métodos de otimização, observando em cada um suas vantagens e inconvenientes
perante as características dos problemas que envolvem o eletromagnetismo (a saber, possíveis
não linearidades, descontinuidades das funções objetivo, dificuldade em obter suas derivadas,
necessidade freqüente de métodos numéricos para a modelagem, etc.). O caráter multiobjetivo
é necessário na abordagem de problemas em que existam múltiplos aspectos a serem
melhorados. Explica-se: o trabalho do engenheiro é, na grande maioria dos projetos, solucionar
o inquietante compromisso de máximo desempenho versus mínimo custo de seus dispositivos,
por exemplo. Entender o comprometimento entre os objetivos ajuda o projetista a compreender
melhor o problema, facilitando assim a obtenção da solução ótima.
Quando da resolução de problemas ‘reais’, dificuldades adicionais podem estar
presentes. São previsíveis, por exemplo, imprecisões no processo de construção dos
dispositivos ou mesmo alterações nas condições nominais de operação. Deve-se pensar,
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 118
então, em estudos suplementares para conhecer melhor e avaliar as soluções ditas ‘ótimas’,
quando estas são submetidas a possíveis perturbações da ‘vida real’. Estes estudos
complementares foram aqui chamados de análise de sensibilidade.
Deste modo, a grande contribuição desta tese é o desenvolvimento de uma
ferramenta de otimização robusta que, além de resolver o problema proposto, tem a
capacidade de gerar inúmeras possibilidades para análise do problema e das próprias
soluções. Isto significa que o diferencial do presente trabalho é a capacidade que a
metodologia proposta tem de possibilitar ao projetista conhecer melhor seu problema e,
entendendo melhor os conflitos assim como as características do projeto e de suas
soluções, ele possa obter resultados finais ainda melhores.
O primeiro capítulo situa o problema de otimização e expõe os objetivos desta tese. O
segundo capítulo apresenta a matemática necessária para a compreensão de problemas
multiobjetivos. O terceiro capítulo apresenta o AGMO, identificando suas vantagens e seus
inconvenientes em comparação a outras metodologias de otimização. Além disto, este capítulo
explica detalhadamente como implementar a metodologia proposta. Fica como contribuição
um AGMO mais ‘equilibrado’, no sentido que ele trabalha nos dois espaços (de objetivos e de
parâmetros de otimização) com o mesmo interesse, o que, entre outras vantagens, acelera o
processo de convergência. O capítulo quatro apresenta o projeto simplificado para a síntese de
antenas refletoras embarcadas em satélite, o que também constitui uma contribuição deste
trabalho. Os inúmeros exercícios resolvidos a partir deste projeto constituem testes
complicados para o AGMO, mas eles são apresentados, sobretudo, por permitir uma melhor
compreensão da metodologia proposta e da interação ‘problema versus ferramenta de
otimização’. A partir das soluções obtidas nestes exercícios, foram executados estudos de
sensibilidade, apresentados no quinto capítulo. Estes estudos complementares vêm ajudar
ainda mais o engenheiro a conhecer seu problema e suas soluções. Os métodos de análise de
sensibilidade apresentados também são contribuições desta tese. Vários textos anexos
completam este texto, os quais explicam em detalhes alguns temas tratados no texto principal.
Em suma, a metodologia proposta (o AGMO mais as análises de sensibilidade) é
uma ferramenta de otimização eficaz para a concepção e a compreensão de dispositivos,
em particular os que envolvem o eletromagnetismo, como comprovam os diversos
exercícios resolvidos.
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 119
Várias perspectivas podem ser enumeradas como propostas de continuidade deste trabalho:
Terminado o processo de elaboração da teoria, implementação e testes, pode-se
pensar na formatação do código fonte numa ferramenta computacional mais
robusta. Uma primeira versão didática já foi desenvolvida [A1] e se encontra
disponível nos endereços eletrônicos do GRUCAD e do CEGELY. Entretanto, para
uma versão mais ‘profissional’, faz-se necessária uma revisão de todo o código de
modo a melhorar sua lógica interna e sua eficácia. Obviamente, deve-se pensar na
utilização de uma linguagem de programação ‘livre’ com alto rendimento, como
por exemplo,
Java Applet [105];
Existe também o interesse de publicar um artigo ‘educacional’ mostrando os aspectos
mais importantes para a síntese de antenas refletoras embarcadas em satélite [A17];
Como mencionado no capítulo dois, a otimalidade de Pareto também pode ser
determinada pela informação do gradiente das funções, usando, por exemplo, as
condições de Kuhn-Tucker (Bazaraa
et al. [3]). Isto poderia eliminar a incerteza do
AG na determinação dos pontos mínimos e/ou máximos, o que poderia facilitar a
determinação da fronteira Pareto. Portanto, um estudo sobre estas condições e como
esta informação pode ser adicionada no processo de otimização seria desejável.
Entretanto, fica a ressalva de que a obtenção da derivada nos problemas de
eletromagnetismo pode não ser evidente, como já exposto no primeiro capítulo;
Com a intenção de atribuir mais importância à análise de sensibilidade no processo
de otimização, pode-se pensar em realizá-la durante a evolução das soluções. Um
decisor progressivo, baseado na sensibilidade das soluções a determinadas
perturbações, poderia acarretar em soluções finais mais confiáveis. A dificuldade
maior determinar qual deve ser o grau de influência deste decisor sobre a
otimização: se muito forte, corre-se o risco de inviabilizar o processo evolutivo; se
muito fraca, o decisor fica sem utilidade;
Os métodos modernos de concepção, como o AGMO proposto, conduzem a um
grande número de soluções interessantes para o mesmo problema. Cabe ao
projetista a difícil tarefa de estabelecer critérios para escolher a solução final.
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 120
Estudos sobre ferramentas de auxílio à exploração dessas soluções poderiam ser
interessantes. Podem-se imaginar procedimentos de dois tipos: técnicas de
visualização utilizando a interação ‘homem–máquina’, de maneira a ajudar a
exploração e a percepção dos espaços com mais de duas dimensões; e técnicas de
tratamento de informação permitindo agrupar soluções em classes (ou ‘espécies’,
na linguagem genética);
Uma concepção ‘perfeita’ de um dispositivo pressupõe a simulação precisa do
problema à ser tratado. Em muitos casos, o problema a ser otimizado é um sistema
complexo no qual interagem múltiplos dispositivos ou subsistemas, os quais devem
ser considerados no processo de otimização se a intenção for avaliar todas as suas
possibilidades. Pode-se citar como exemplo de sistema o acionamento eletrônico de
uma máquina elétrica girante. A análise do sistema conversor
× máquina pode
envolver diferentes métodos, sejam eles numéricos e/ou analíticos, o que
eventualmente pode tornar o problema muito custoso do ponto de vista
computacional. O avanço das necessidades do projetista aliado à melhora das
análises (evolução constante de métodos como o de elementos finitos, por exemplo)
podem paradoxalmente inviabilizar a metodologia apresentada nesta tese, devido ao
tempo computacional envolvido. Considerando o exposto, pode-se pensar em duas
propostas para encorajar o seu uso:
− Além das possibilidades de uma programação mais eficiente do ponto de vista
da redução do tempo computacional, como explicado anteriormente, pode-se
pensar em implementar a ferramenta usando computação paralela (Snir
et al.
[106]). Os AGs são bastante apropriados para o paralelismo, já que a avaliação de
cada indivíduo é independente da dos outros, além de constituir um processo
repetitivo. Considerações acerca dos métodos evolucionários multiobjetivos
paralelizados podem ser encontrado em Veldhuizen
et al. [61], por exemplo. O
processo de paralelismo seria facilitado no GRUCAD, pois existe já trabalhos nesta
área, como por exemplo Fischborn [107];
− Outra maneira de reduzir o esforço computacional necessário para a análise de
sistemas é a utilização de ‘metodologias de extração de modelos’ a partir de
soluções numéricas. A idéia é um procedimento que, de acordo com um número
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 121
mínimo de resoluções por elementos finitos, por exemplo, estabeleça um ou vários
modelos simplificados para, posteriormente, ser feita a otimização do problema por
meio desse(s) modelo(s). Os possíveis ‘métodos de extração’ a serem explorados
são numerosos, sendo que alguns trabalhos a respeito já foram publicados
utilizando redes neurais (Hertz
et al. [42]) ou as ‘Parallel Layer Perceptron’ (PLP
– Vieira
et al. [108]), por exemplo. Entretanto, muitas outras metodologias podem
ser estudados, tais como a exploração ‘visual’ de algumas soluções obtidas
(reconhecimento da forma, dados, tratamento de imagem, extração de curvas de
nível, etc.); a análise direta da matriz dos elementos finitos; a exploração de
funções de correlação ‘entradas–saídas’, etc.
A enumeração de alguns caminhos para continuação dos estudos tratados nesta tese
conclui este texto. Existe a convicção de que os objetivos propostos foram alcançados.
Espera-se que os conhecimentos adquiridos no desenvolvimento desta tese sejam de
grande valia não só para os laboratórios envolvidos neste trabalho, mas também para todos
os pesquisadores que trabalham com otimização
24
.
Por fim, existe a certeza de que muito se pode avançar nos estudos de metodologias
de otimização, e isto certamente será feito. Fica a confiança em que o número de áreas de
conhecimento que podem usufruir dessas ferramentas é grande e tende a crescer com os
avanços aqui propostos e os que virão.
24
As referências bibliográficas do autor e as participações efetivas em congressos estão em lista separada.
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 122
Considerações sobre Posicionamento de Satélites
O problema prático a ser tratado nesta tese é otimização de antenas refletoras
embarcadas em um satélite localizado em órbita geoestacionária. Como mostra a figura
A1.1, a antena é fixada de modo a ter o centro de sua abertura apontando para o centro da
área de cobertura (neste caso o território brasileiro), na direção do eixo
a
z
ˆ
. As distâncias
da figura A1.1 são proporcionais ao raio de órbita geossíncrona (Rg) e ao raio médio da
Terra (Ra), que medem aproximadamente 42
200 km e 6 370 km, respectivamente
(Halliday
et. al [80]).
Figura A1.1 Posicionamento da antena embarcada em satélite sobre órbita geoestacionária (em escala).
Qualquer ponto no espaço pode ser descrito num sistema próprio (ou local) de
coordenadas espaciais. Neste trabalho foi escolhido como sistema principal de coordenadas
os eixos do globo terrestre, tendo como origem o seu centro. Para fazer a passagem do
vetor de posicionamento de um ponto no sistema principal (
P
) para outro sistema (
e
P
) e
vice-versa, é utilizada a seguinte transformação:
)(
e
T
eeeee
TPRPTPRP
−=⇔+= ,
(A1.1)
em que
e
T
é o vetor de translação, R
e
a matriz de rotação em relação ao sistema principal
de coordenadas e
R
e
T
a matriz de rotação transposta. Por exemplo, para obter o campo
elétrico radiado pelo alimentador (
f
E
) em termos de componentes do sistema principal de
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 123
coordenadas em pontos específicos do espaço, também no sistema de coordenadas
principal, aplica-se:
))(()()(
f
T
ffffff
TPRERPERPE
−== ,
(A1.2)
onde
[]
00HT
f
−=
e
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
100
0cossen
0sencos
00
00
θθ
θθ
f
R
.
Explicado como se faz a transformação das coordenadas, é necessário também
saber localizar um ponto qualquer num espaço tridimensional. Existem muitas maneiras
para fazer isto, sendo que a mais comum consiste em definir uma origem com três eixos
ortogonais fixos e obter as componentes do vetor que localiza o ponto em cada eixo
(coordenadas cartesianas):
[]
zyxP = . Existem outros sistemas de coordenadas em que a
origem é fixa, mas os eixos coordenados dependem da posição. Os mais comuns são:
• Cilíndricas:
[
]
zsencosP
φ
ρ
φ
ρ
=
;
• Esféricas:
[
]
θ
φ
θ
φ
θ
=
cosrsensenrcossenrP ;
• Azimute-Elevação:
(
)
(
)
[
]
zELtanzAZtanzP
=
.
Uma representação destes sistemas é feita na figura A1.2, onde
o é a origem, P é o
ponto no espaço e
r a distância da origem ao ponto P.
Figura A1.2 Sistemas de Coordenadas.
O sistema de coordenadas para localização de pontos na superfície terrestre usando
longitude-latitude é semelhante ao sistema de coordenadas esféricas. O eixo de rotação da
Terra é a direção
θ
= 0º, apontando para o norte, sendo a latitude equivalente a (90º-
θ
) e
variando entre –90º e 90º. Já a longitude é equivalente a
φ
e pode variar de -180º a 180º,
com a referência
φ
=0º correspondendo ao meridiano de Greenwich.
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 124
Para uma antena situada na origem de seu próprio sistema de coordenadas
[]
aaa
z
ˆ
y
ˆ
x
ˆ
numa órbita geossíncrona e apontando segundo o eixo
a
z
ˆ
para o centro do
território brasileiro, de coordenadas [
LATc LONc], onde o centro da Terra é a origem do
sistema de coordenadas principal
[
]
z
ˆ
y
ˆ
x
ˆ
, sua posição pode ser calculada como abaixo:
zyxrz
ccccca
ˆ
cos
ˆ
sensen
ˆ
cossen
ˆ
ˆ
θ
φ
θ
φ
θ
−
−
−=
−
= ,
(
)( )
(
)
(
)
(
)
zLATyLONLATxLONLATrz
ccccca
ˆ
sen
ˆ
sencos
ˆ
coscos
ˆ
ˆ
−
−
−=−=
,
(A1.3)
sendo
r
ˆ
o vetor unitário que indica a direção do raio entre as origens dos dois sistemas.
Considerando
a
x
ˆ
na direção de
-
θ
ˆ
e
a
y
ˆ
na direção de
φ
ˆ
(Balanis [9]):
zyxx
ccccca
ˆ
sen
ˆ
sencos
ˆ
coscos
ˆ
ˆ
θφθφθθ
+−−=−=
,
()( )
(
)
(
)
(
)
zLATyLONLATxLONLATx
ccccca
ˆ
cos
ˆ
sensen
ˆ
cossen
ˆ
+
−
−= ,
(A1.4)
yLONxLONyxy
cccca
ˆ
cos
ˆ
sen
ˆ
cos
ˆ
sen
ˆ
ˆ
+−=+−==
φφφ
.
(A1.5)
Assim qualquer ponto na superfície da Terra pode ser localizado por um vetor
P
dado por:
(
)( )
(
)
(
)
(
)
)
ˆ
cos
ˆ
sensen
ˆ
cos(sen
ˆ
zLATyLONLATxLONLATRrRP
mm
++==
,
(A1.6)
no qual R
m
é o raio médio da Terra. Com isto, pode-se escrever o ponto no sistema de
coordenadas da antena (
a
P
):
)(
a
T
aa
TPMP
−=
,
(A1.7)
em que
aga
zRT
ˆ
−=
,
[
]
aaaa
z
ˆ
y
ˆ
x
ˆ
M
=
.
(A1.8)
Para uma visualização mais direta e qualitativa de como se comporta o diagrama de
radiação, é comum transformar o sistema de coordenadas esféricas em um plano
Azimute-
Elevação
. A figura A1.3 apresenta o pseudocódigo para transformação de coordenadas.
Conclusões Finais e Propostas de Continuidade 125
% Sérgio Luciano Avila – Sistema de Coordenadas – Posicionamento do Satélite
% Data base
load topo.mat % Load world bitmap load br % Load Brasil contour % longitude x latitude in radians
% Parameters
Ra = 6.37e6; % Average Earth radius (m) Rg = 42.2e6; % Geosynchronous orbit radius (m)
h = Rg-Ra; % Antenna height LONc = -51*pi/180; LATc = -13*pi/180; % Map center in LAT-LON
Pc = Ra*[cos(LATc)*cos(LONc) cos(LATc)*sin(LONc) sin(LATc)]; % Map center in cartesian
Laz = [-4 4]; % Azimute limits Lel = [-4 4]; % Elevation limits
% Transformation: earth coordinates Brasil contour LAT-LON to antenna coordinates (KEY OPERATION!!)
urc = [cos(LATc)*cos(LONc) cos(LATc)*sin(LONc) sin(LATc)]; % r axis at Pc
utetac = [sin(LATc)*cos(LONc) sin(LATc)*sin(LONc) -cos(LATc)]; % theta axis at Pc
uphic = [-sin(LONc) cos(LONc) 0]; % phi axis at Pc urhoc = [cos(LONc) sin(LONc) 0]; % rho axis at Pc
Pa = Rg*urhoc; % antenna position (translation) vector
uya = uphic; % antenna coordinates unit y axis (rotation matix)
uza = (Pc-Pa)/sqrt(sum((Pa-Pc).^2)); % antenna coordinates unit z axis
uxa = cross(uya,uza); % antenna coordinates unit x axis
% Apply transformation
brasile = Ra*[cos(brasil(:,2)).*cos(brasil(:,1)), ... % earth coordinates
cos(brasil(:,2)).*sin(brasil(:,1)), ...
sin(brasil(:,2))];
brasila = [brasile(:,1)-Pa(1), ... % antenna coordinates
brasile(:,2)-Pa(2), ...
brasile(:,3)-Pa(3)]; % translation
brasila = [dot(brasila,repmat(uxa,size(brasila,1),1),2), ...
dot(brasila,repmat(uya,size(brasila,1),1),2), ...
dot(brasila,repmat(uza,size(brasila,1),1),2)]; % rotation
AZbr = atan2(brasila(:,2), brasila(:,3)); ELbr = atan2(brasila(:,1), brasila(:,3)); % cartesian to Azimute-Elevation
% Map grid
[theta,phi] = ndgrid((-90:10:90)*pi/180,(-180:10:180)*pi/180); % Grid: latitude and longitude
x = Ra*cos(theta).*cos(phi); y = Ra*cos(theta).*sin(phi); z = Ra*sin(theta);
%--- 3D view % Plot globe
hfg = figure('color',[1 1 1],'NumberTitle','off','Name','3D View'); hold on
hg = surface(x,y,z,'FaceColor','texture','CData',[topo(:,181:360) topo(:,1:180)]); %earth surface
colormap(topomap1)
hl = line([0 Pa(1) Pc(1)],[0 Pa(2) Pc(2)],[0 Pa(3) Pc(3)],'LineStyle',':','Color',0*[1 1 1]); % quide lines
hc = plot3(Pc(1),Pc(2),Pc(3),'r.');
L = 2*Ra; % Plot earth axis
hl = line([0 0 0; L 0 0],[0 0 0; 0 L 0],[0 0 0; 0 0 L]);
text([L,0,0],[0,L,0],[0,0,L],['x'; 'y'; 'z'], 'Color', [0 0 0])
L = .5*Ra; % Plot antenna axis
hl = line([0 0 0; L*[uxa(1) uya(1) uza(1)]]+Pa(1),[0 0 0; L*[uxa(2) uya(2) uza(2)]]+Pa(2),[0 0 0; L*[uxa(3) uya(3)
uza(3)]]+Pa(3)); % antenna axis
text(L*[uxa(1) uya(1) uza(1)]+Pa(1), L*[uxa(2) uya(2) uza(2)]+Pa(2), L*[uxa(3) uya(3) uza(3)]+Pa(3),['xa'; 'ya'; 'za'], 'Color',
[0 0 0])
cam3d(gca),cam3d('reset'),view(180,0),set(gca,'units','norm'),alpha(.5),axis off
%--- Map view % Plot world map
grid on
[x,y] = ndgrid(0:10:360,-90:10:90);
hfm = figure('color',[1 1 1],'NumberTitle','off','Name','Flat map'); hold on
hm = surface(phi*180/pi,theta*180/pi,zeros(size(phi)),'FaceColor','texture','CData',[topo(:,181:360) topo(:,1:180)]);
colormap(topomap1)
title('World Map'),xlabel('longitude'),ylabel('latitude')
axis image
hc = plot(LONc*180/pi,LATc*180/pi,'r.'); % Plot center
hp = plot(brasil(:,1)*180/pi,brasil(:,2)*180/pi,'k'); % Plot Brasil contour
%--- CONBRA
hfc = figure('color',[1 1 1],'NumberTitle','off','Name','CONBRA'); hold on
hbrc = plot(AZbr*180/pi,ELbr*180/pi,'k','LineWidth',2);
hmjc = plot(AZmj*180/pi,ELmj*180/pi,'k','LineWidth',2);
axis equal, axis([Laz Lel]), grid on
title('CONBRA'),xlabel('AZ (º)'),ylabel('EL (º)','Rotation',0)
Figura A1.3. Pseudocódigo: Transformação de coordenadas.
Anexo II – Correntes Equivalentes de Borda 126
Correntes Equivalentes de Borda
Como exposto na seção 4.1.1, a ótica física não é precisa no cálculo dos campos
numa região angular afastada do lóbulo principal. Para aumentar a precisão destes cálculos
podem ser usadas as correntes equivalentes de borda elétrica (
C
J
) e magnética (
C
M
)
(Rego
et. al [85]):
() ()
tD
jk
tHD
jk
tEJ
fI
hinc
fI
eincC
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
,,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅=
η
,
(A2.1)
()
tD
jk
tHM
fM
hincC
ˆˆ
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
η
,
(A2.2)
em que
inc
E
e
inc
H
são os campos elétrico e magnético incidentes, t
ˆ
é o vetor unitário
tangente à borda e os termos
D são definidos por:
(
)
0
'
0
2
'
0
,
sen
2sen
DD
fI
e
β
φ
= ,
(A2.3)
()
(
)
[
]
(
)
()
()
0
'
0
00
'
0
'
0
,
2sen2sen
coscot2cos2sen21cot
DD
E
E
fI
h
αβ
φβφαβ
−+
=
,
(A2.4)
()
0
'
00
,
2sensensen
1
DD
E
fM
h
αββ
= ,
(A2.5)
()
()
2sen2cos
1
'
0
0
E
D
αφ
+
=
.
(A2.6)
Os parâmetros geométricos são:
Anexo II – Correntes Equivalentes de Borda 127
(
)
tr
ˆ
ˆ
arccos
0
⋅=
β
,
(A2.7)
(
)
tr
ˆ
'
ˆ
arccos
'
0
⋅=
β
,
(A2.8)
(
)
0
0
0
0
sen
ˆˆ
sen,
sen
ˆ
ˆˆ
cos
β
φ
β
φ
nrtnr ⋅
−=
×⋅
−=
,
(A2.9)
(
)
'
0
'
0
'
0
'
0
sen
ˆ
'
ˆ
sen,
sen
ˆ
ˆ
'
ˆ
cos
β
φ
β
φ
nrtnr ⋅
−=
×⋅
−=
,
(A2.10)
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
=
'
0
'
0
'
0000
sen
cotcoscoscossen
arccos
β
βββφβ
α
E
.
(A2.11)
Existem inúmeras técnicas para predição dos campos eletromagnéticos nas bordas
do refletor, região com grande contribuição para formação dos campos afastados do lóbulo
principal. O método apresentado por Rego et. al. [85] foi o escolhido por, quando
comparado com métodos numéricos clássicos como o método dos momentos (Balanis [6]),
produz resultados similares.
Anexo III – Polinômios de Jacobi Modificado 128
Polinômios de Jacobi Modificados
Neste anexo são apresentados os polinômios de Jacobi, os quais foram utilizados para
a conformação da superfície refletora. Este tipo de polinômio pode ser encontrado em sua
forma primordial (
()
()
xP
k
βα
,
) em Abromowitz & Stegun [90] ou de forma modificada
(
()
τ
n
m
F ) em Duan & Rahmat-Samii [26]. Como dito no capítulo quarto, qualquer ponto no
refletor (
()
rrrr
zyxP ;;= )
pode ser localizado a partir de sua abertura, dada por:
ψ
τ
ψ
τ
cos),( ax
r
= ,
ψ
τ
ψ
τ
sen),( ay
r
=
,
(A3.1)
()()
∑∑
==
+=
N
n
M
m
n
mnmnmr
FnDnCz
00
sencos),(
τψψψτ
,
(A3.2)
onde
τ
e
ψ
são coordenadas polares definidas no plano da abertura (0 ≤
τ
≤ 1 e 0 ≤
ψ
≤ 2π),
()
τ
n
m
F é o polinômio de Jacobi modificado, n é o número de harmônicas da série, m é a
ordem do polinômio de Jacobi e C
nm
e D
nm
são coeficientes de expansão.
Estes últimos são dados por:
()
nn
m
n
m
PmnF
τττ
⋅−⋅++= )21(122)(
2)0,(
,
(A3.3)
em que
)0,(n
m
P é um caso da forma primordial )(
),(
xP
k
βα
.
()
()
(
)
()()
(
)
(
)
[
]
k
kk
kk
k
k
x
xx
xx
k
xP
∂
+−∂
+−
−
=
++
βα
βα
βα
11
11
!21
)(
,
,
(A3.4)
Por serem polinômios ortogonais, podem ser calculados pela fórmula recursiva abaixo:
(
)
(
)
()
() ()()
()
()
()
()
()
()
…,3,2,
2
1
2
2
1
1
,
2
'',
1
',
,
1
,
0
=+=
−+++=
=
−−
kxPLxPLxP
xxP
xP
kkkkk
βαβαβα
βα
βα
βαβα
,
(A3.5)
Anexo III – Polinômios de Jacobi Modificado 129
onde
()()
(
)
(
)
[
]
()( )
222
22212
22
'
−++++
−+−++++−++
=
βαβα
βαβαβαβα
kkk
xkkk
L
k
,
(A3.6)
()
(
)
(
)
()( )
222
2112
''
−++++
+
+
−
+
−
+
−=
βαβα
β
α
β
α
kkk
kkk
L
k
,
(A3.7)
Na análise eletromagnética de antenas refletoras faz-se necessário o cálculo dos
vetores unitários normal (
n
ˆ
) e tangente (t
ˆ
) à superfície do refletor. Estes são obtidos
através dos seguintes cálculos:
''
''
ˆ
ψτ
ψτ
rr
rr
n
×
×
=
,
'
'
ˆ
ψ
ψ
r
r
t
=
,
(A3.8)
em que
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
τττ
τ
'z'y'x
r
'
e
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
ψψψ
ψ
'z'y'x
r
'
.
(A3.9)
Para tal, é necessário o conhecimento da derivada dos polinômios de Jacobi
modificados. Isto é feito conforme abaixo:
(
)
0,0 ===
∂
∂
mn
F
n
m
τ
τ
,
(A3.10)
()
()()
()
()
,...2,1,0,211128
21,1
1
==−⋅⋅++−=
∂
∂
+
−
mnPmm
F
n
m
n
m
ττ
τ
τ
,
(A3.11)
()
()
0,...,2,1,12
1
==⋅⋅+=
∂
∂
−
mnnn
F
n
n
m
τ
τ
τ
,
(A3.12)
()
()
)],21()21()1(2[122
2)0,(2)1,1(
1
21
ττττ
τ
τ
−+−++−⋅⋅++=
∂
∂
+
−
− n
m
n
m
n
n
m
nPPmnmn
F
,...2,1,...,2,1
=
= mn .
(A3.13)
Para um refletor parabólico, os coeficientes de expansão podem ser calculados
analiticamente (Duan & Rahmat-Samii [26]):
Anexo III – Polinômios de Jacobi Modificado 130
mnD
outros
mn
F
aH
mn
F
a
mn
F
aH
F
C
nm
nm
,,0
,0
0,1,
4
1,0,
68
0,0,
2
28
1
2
1
2
22
∀=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==
==−
==
+
+−
=
.
(A3.14)
Por exemplo, seja um refletor especificado com as seguintes dimensões: diâmetro do
refletor (2a) = 1,524m; distância focal (F) = 1,506m (em relação ao eixo z
ˆ
); distância offset
(H) = 1,245m (em relação ao eixo
x
ˆ
); ângulo de inclinação (
0
θ
) = 42,77° (em relação ao
eixo
z
ˆ
). A representação da superfície deste refletor usando 28 termos da série de expansão
dada em (A3.2) permite incluir até a sétima harmônica (
n=7) e até a quarta ordem (m=4),
totalizando portanto 28 graus de liberdade, o que é suficiente para a otimização representada
na figura 4.5. A matriz dos coeficientes de expansão correspondente é representada na
figura A3.1. A matriz triangular superior representa os coeficientes de expansão
C
nm
e a
triangular inferior corresponde aos coeficientes
D
nm
da série. Para o refletor perfeitamente
parabólico, apenas os termos
C
00
, C
01
e C
10
são não nulos. O termo C
00
é usualmente fixo
no processo de síntese (Duan & Rahmat-Samii [26]). A figura A3.2 apresenta o diagrama
de radiação (curvas de contorno da potência recebida) para tal refletor quando iluminado
por um alimentador RCF com atenuação de 12dB nas bordas.
Figura A3.1 Matriz dos coeficientes de expansão para um refletor perfeitamente parabólico.
Anexo III – Polinômios de Jacobi Modificado 131
Figura A3.2 Diagrama de radiação de um refletor perfeitamente parabólico.
Anexo IV – Análise de Sensibilidade 132
Considerações sobre métodos de sensibilidade
Este texto explica os procedimentos clássicos de análise de sensibilidade sobre os
parâmetros de otimização. Esses estudos de sensibilidade, como já dito, exprimem a
informação sobre o comportamento de um dispositivo (função) quando suas variáveis são
desviadas dos valores projetados (Lisboa
et al. [97])
25
.
Uma maneira bem intuitiva e muito utilizada para a medição de sensibilidade é o
cálculo da máxima variação de uma função dentro de um domínio (
D) (Barthold [21]).
Esta medida de sensibilidade é definida como:
() ()
(
)
,
max
D
ab D
VF Fa Fb
∈
=−
.
(A4.1)
Tal variação responde uma questão freqüentemente feita pelo projetista: qual o
desvio máximo nos objetivos de um dispositivo otimizado quando as suas variáveis de
otimização permanecem dentro de um dado domínio de perturbações? Note que esta
métrica é intrinsecamente ligada ao tamanho do domínio.
De maneira a obter uma métrica de sensibilidade com o significado de variação por
perturbação, a variação do funcional pode ser normalizada por uma métrica do próprio
domínio
D:
()
()
(
)
,
max
D
ab D
D
Fa Fb
F
N
μ
∈
−
=
.
(A4.2)
Outra possibilidade é a ‘taxa de máxima variação média’ entre dois pontos:
()
()
(
)
,
max
D
ab D
Fa Fb
F
ab
δ
∈
−
=
−
,
(A4.3)
a qual é conhecida como constante de Lipschitz de uma função em D.
25
Este Anexo foi adaptado do artigo Lisboa et al. [97], com autorização do autor.
Anexo IV – Análise de Sensibilidade 133
Esta métrica tem uma característica muito interessante. Em ao menos um ponto
(quando ab→
), ela é igual à máxima norma do gradiente da função dentro do domínio.
Uma definição alternativa da mesma métrica de sensibilidade, para funções
C
1
(que
possuem primeira derivada), é dada por:
() ()
max
D
x
a
aD
FFx
δ
=
∈
=∇
,
(A4.4)
Considerando uma função contínua C
1
em um domínio infinitesimal D em torno do
ponto
p
, a
()
D
F
δ
torna-se
()
x
p
Fx
=
∇
, o qual é provavelmente a métrica para
sensibilidade mais utilizada. Para uma função contínua
C
2
(com derivadas até a segunda
ordem) em um domínio infinitesimal
D em torno do ponto
p
,
(
)
D
F
δ
é proporcional ao
máximo autovalor da Hessiana associada ao ponto
p
. Desta maneira, a métrica
(
)
D
F
δ
é
uma generalização de medidas de sensibilidade infinitesimais convencionais. Em todos os
casos aqui discutidos, as variáveis de otimização devem ser normalizadas de acordo com as
suas precisões. A métrica
()
D
F
δ
caracteriza sensibilidade em domínios finitos, no sentido
que, sendo conhecido o domínio, ela pode ser usada para definir os limites para
()
D
VF.
O cálculo de qualquer uma das medidas de sensibilidade apresentadas pode ser definido
como um problema de otimização que, para ser resolvido corretamente, requer a determinação
dos valores de máximo e mínimo da função dentro do domínio finito estipulado, ou como
alternativa, o cálculo do gradiente máximo da função. Métodos clássicos de otimização são
usualmente empregados para a determinação desses máximos e mínimos, já que o cálculo do
gradiente pode não ser evidente. Assim, tem-se um processo de otimização dentro do outro: o
principal, que visa à maximização ou minimização dos objetivos principais; e, quando desejado,
uma otimização ‘inversa’ para a determinação da informação dos valores mínimos ou máximos,
respectivamente, para análise de sensibilidade. Este procedimento torna o estudo de sensibilidade
durante o processo de otimização bastante custoso computacionalmente.
O quinto capítulo desta tese apresenta uma metodologia de verificação de
sensibilidade onde o custo computacional de novas avaliações do problema é nulo.
Entretanto, trata-se de uma análise posterior ao processo de otimização, podendo
configurar uma etapa de decisão.
Anexo V – OPTIMAL – Ferramenta pedagógica 134
Ferramenta Multimídia para o Ensino de
Otimização em Engenharia
A utilização de programas iterativos para o ensino de todo tipo de assuntos em
engenharia vem ganhando destaque. Os principais objetivos dessas ferramentas multimídia são
facilitar e tornar mais interessante o processo de aprendizagem ao estudante. Para o ensino do
eletromagnetismo existem muitos exemplos de ferramentas educacionais, como os propostos
por Selleri [100], Sagnard [101] e Thollon & L. Nicolas [102]. Entretanto, os programas
didáticos consagrados à otimização são poucos, por exemplo, Ramirez
et al. [103].
Avila
et al. [A1] bem como este anexo apresentam uma ferramenta interativa para o
ensino de otimização em engenharia, chamada
Optimal
26
, cuja principal idéia é mostrar
como diferentes metodologias funcionam além de permitir comparações entre elas.
Somente a programação não-linear é considerada (métodos determinísticos e estocásticos),
pois o foco é o eletromagnetismo.
As características principais da ferramenta são:
Liberdade total: o usuário pode alterar todos os parâmetros do programa, seja por
opções na tela, seja incluindo novos problemas por arquivos ou ainda
modificando o código fonte (código aberto escrito em MatLab [104]);
Possibilidade de salvar todos os dados e todas as variações das simulações, o que
permite aos educadores demonstrar em sala de aula as características de cada
método. Por exemplo, pode-se optar por apresentar alguma simulação particular
ou casos onde a metodologia falhou (este procedimento tem especial importância
para os procedimentos probabilísticos);
Comparação entre métodos: o estudo de diferenças entre as famílias de métodos
determinísticos (Bertsekas [4]) e estocásticos (Schoenauer
et al. [41]) é possível.
Conhecer em que tipo de problema cada método é mais eficiente, suas vantagens e
desvantagens, são aspectos importantes no momento da escolha de qual método utilizar;
26
A vontade de se fazer o programa nasceu quando do estágio de doutoramento no CEGELY/ECL, como já
explicado na introdução desta tese.
Anexo V – OPTIMAL – Ferramenta pedagógica 135
Otimização multiobjetivo: um módulo especial esclarece a importância de se
considerar vários objetivos conflitantes presentes nos problemas de otimização
reais. Aqui, utiliza-se o AGMO desenvolvido nesta tese para explicar a
otimização multiobjetivo;
Análise de sensibilidade: outro importante módulo, dedicado aos estudos de
sensibilidade, permite aos estudantes obter uma idéia geral da ação de
perturbações em projetos práticos.
A matemática e os detalhes de implementação são descritos em [A1]. A figura A5.1
mostra a minimização de um problema com duas funções quadráticas de modo a ilustrar o
programa aqui discutido. Na contracapa desta tese está o ‘CD’ contendo o programa
desenvolvido.
Figura A5.1. OPTIMAL – Ferramenta multimídia para ensino de otimização em engenharia – Módulo do
Algoritmo Genético Multiobjetivo.
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Rio Grande do Sul, 4 – 6 Nov., Gramado, 2002 ;
JET11 – 11
ème
Journée Evolutionnaire Trimestrielle, Conservatoire National des
Arts et Métiers, 12 Mars, Paris, 2004 ;
7
ème
Réunion META – Groupe Métaheuristique: Théorie et Applications,
Université Paris XII, 1
er
Avr., Créteil, 2004 ;
JET12 – 12
ème
Journée Evolutionnaire Trimestrielle, Université René Descartes, 24
Juin, Paris, 2004 ;
OIPE’2004 – The 8
th
International Workshop on “Optimization and Inverse
Problems in Electromagnetism”, Laboratoire d’Électrotechnique de Grenoble, 6 – 8
Sept., Grenoble, 2004 ;
IGTE’2004 – The 11th International IGTE Symposium on Numerical Field Calculation
in Electrical Engineering, Technischen Universität Graz, 13 – 15 Sept., Graz, 2004;
JET13 – 13
ème
Journée Evolutionnaire Trimestrielle, Université René Descartes, 25
Nov., Paris, 2004 ;
WCSMO’6 – 6th World Congress on Structural and Multidisciplinary
Optimization, Universidade Federal do Rio de janeiro, 30 May – 3th Jun., Rio de
Janeiro, 2005.
Referências Bibliográficas do Autor 148
Texto finalizado em um domingo à tarde, ensolarado, final de janeiro de 2006.
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