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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E
DE COMPUTAÇÃO
RESSOADOR RETANGULAR DE FENDA COM
QUATRO CAMADAS FOTÔNICAS
HUMBERTO DIONÍSIO DE ANDRADE
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
NATAL – RN,
JUNHO DE 2010
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E
DE COMPUTAÇÃO
RESSOADOR RETANGULAR DE FENDA COM
QUATRO CAMADAS FOTÔNICAS
HUMBERTO DIONÍSIO DE ANDRADE
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
Natal – RN
JUNHO DE 2010
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica e Computação da UFRN (área de
concentração: Telecomunicações) como
parte dos requisitos para obtenção do título
de Mestre em Engenharia Elétrica e
Computação.
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RESSOADOR RETANGULAR DE FENDA COM
QUATRO CAMADAS FOTÔNICAS
HUMBERTO DIONÍSIO DE ANDRADE
Dissertação de mestrado defendida e aprovada dia 30 de Junho de 2010.
Banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes (Presidente e orientador)..................UFRN
Prof. Dr. Elialdo Chibério da Silva (examinador externo)........................................IFRN
Prof. Dr. Laércio Martins de Mendonça (examinador interno)................................UFRN
M.Sc. Roberto Ranniere C.de França(examinador interno).....................................UFRN
Dedico
Ao Deus onipotente em que confio e aos
meus pais, José Dionísio e Maria das
Dores, que sempre me apoiaram e me
deram uma educação sólida.
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus por ter permitido a realização deste trabalho,
por ter me dado força e esperança para a conclusão deste, e por ser sempre o mentor de
todos os momentos da minha existência.
Ao professor orientador e amigo, Dr. Humberto César Chaves Fernandes por
toda sua orientação, incentivo e disponibilidade para transmitir todo o conhecimento
necessário.
Agradeço aos meus pais, Jose Dionísio de Andrade pelo exemplo de ética, Maria
das Dores de Albuquerque de Andrade pelo exemplo de determinação, e aos meus
irmãos Hyram, Luciana e Pollyanna pelo incentivo e apoio que sempre me deram
durante todos os momentos da minha vida.
A Wenderly Pinto Córdula, pela paciência, compreensão e amor.
Aos Professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e
Computação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte que contribuíram para
minha formação durante este curso.
Aos colegas da pós-graduação, Marinaldo Sousa, Érico Cardineli, João Kleber,
Roberto Ranieri, Anderson, Hugo Michel, George Dennes e Leonardo pelo
companheirismo, contribuições e amizade prestados durante esta etapa da minha vida,
da realização do meu Mestrado.
I
Resumo
Recentemente as antenas planares tem despertado interesses devido as suas
características e vantagens que oferecem quando comparadas com os demais tipos de
antenas.
Na área de comunicações móveis a necessidade de antenas desse tipo, tem se
tornado cada vez mais utilizadas, devido ao intenso desenvolvimento, que necessita de
antenas que operem em multifrequência e em banda larga. As antenas de microfita
apresentam largura de banda estreita devido às perdas no dielétrico geradas pela
irradiação. Outra limitação é a degradação do diagrama de irradiação devido à geração
de ondas de superfície no substrato. Algumas técnicas estão sendo desenvolvidas para
minimizar esta limitação de banda, como é o caso do estudo de materiais do tipo PBG –
Photonic Band Gap, para compor o material dielétrico.
Este trabalho tem como objetivo principal a aplicação do método LTT às
estruturas ressoadoras retangulares de fenda com quatro camadas de material fotônico
PBG, para a obtenção da freqüência de ressonância complexa e a eficiência de radiação
dessa estrutura. As análises desenvolvidas neste trabalho foram realizadas com
utilização do método LTT – Linha de Transmissão Transversa, no domínio da
Transformada de Fourier que utiliza uma componente de propagação na direção y
(transversa à direção real de propagação z), tratando assim as equações gerais dos
campos elétricos e magnéticos em função de
y
E
e
y
H
.
A teoria PBG será aplicada para a obtenção da permissividade relativa para as
polarizações s e p dos substratos compostos de material fotônico.
Resultados numérico-computacionais são apresentados em forma de gráfico em
duas dimensões para todas as análises realizadas para as estruturas propostas que tem
como substratos, materiais fotônicos.
São apresentadas conclusões e sugestões para a continuidade deste trabalho.
Palavras-chave: Ressoador Retangular de Fenda, Banda Fotônica Proibida,
Método da Linha de Transmissão Transversa.
II
Abstract
Recently, planar antennas have attracted interest due to its characteristics as well
as the advantages they offer compared to other types of antennas.
In the area of mobile communications the need for such antennas has become
increasingly intense due to development, which requires antennas that operate in
multifrequency and broadband. The microstrip antennas have narrow bandwidth due to
losses in the dielectric caused by irradiation. Another limitation is the radiation pattern
degradation due to generation of surface waves in the substrate. Some techniques are
being developed to minimize this bandwidth limitation, as is the case in the study of
type materials PBG - Photonic Band Gap, to compose the dielectric material.
The analysis developed in this work were performed with use of the method
LTT - Transverse Transmission Line, in the field of Fourier transform that uses a
component propagating in the y direction (transerve real direction of propagation z),
thus treating the general equations of the fields electric and magnetic fields as a
functions of
y
E
and
y
H
.
This work has as main objective the method LTT structures resonator line slot
with four layers of material photonic PBG, for obtaining the complex resonant
frequency and efficiency of this structure.
PBG theory is applied to obtain the relative permittivity for the substrate biases
sep compounds photonic material.
Numerical-computational results in graph form in two dimensions for all the
analysis are presented for the proposed structures that have photonic materials, as
substrates.
Conclusions are drawn and suggestions for continuing this work.
Keywords: Resonator Rectangular Slit, Photonic Band Gap, Transverse
Transmission Line Method.
III
Sumário
Lista de Figuras ..................................................................................................................... V
Lista de Abreviaturas e Siglas .............................................................................................. IV
CAPÍTULO 1 ......................................................................................................................... 1
Introdução ............................................................................................................................... 1
CAPÍTULO 2 ......................................................................................................................... 5
Estrutura PBG ......................................................................................................................... 5
2.1 – Introdução ...................................................................................................................... 5
2.2 – Teoria ............................................................................................................................. 9
2.2.1 – Estrutura PBG Bidimensional .................................................................................. 12
2.2.2 – Caracterização da Banda Proibida ............................................................................ 13
2.2.3 – Determinação da Constante Dielétrica Efetiva de uma Estrtutura PBG 2D ............. 14
2.3 – Conclusões ................................................................................................................... 16
CAPÍTULO 3 ....................................................................................................................... 17
Método da Linha de Transmissão Transversa ..................................................................... 17
3.1 – Introdução .................................................................................................................... 17
3.2 – O Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT............................................... 17
3.3 – Conclusões ................................................................................................................... 25
CAPÍTULO 4 ....................................................................................................................... 26
Campos Eletromagnéticos no Ressoador Retangular de Fenda de Quatro Camadas ........... 26
4.1 – Introdução .................................................................................................................... 26
4.2 – Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos no Ressoador
Retangular de Fenda de Quatro Camadas............................................................................. 27
4.3 – Método Galerkin .......................................................................................................... 32
IV
4.4 – Expansão dos Campos Elétricos e Magnéticos em Termos de Funções de Base........ 33
4.5 – Equação Característica e Cálculo da Frequência de Ressonância Complexa ............ 35
4.6 – Determinação da Eficiência de Radiação .................................................................... 36
4.7 – Conclusões ................................................................................................................... 38
CAPÍTULO 5 ....................................................................................................................... 39
Resultados ............................................................................................................................. 39
5.1 – Introdução .................................................................................................................... 39
5.2 – Resultados da Frequência de Ressonância Complexa ................................................. 39
5.2.1 – Ressoador Retangular de Fenda com quatro camadas.............................................. 39
5.3 – Resultados da Eficiência de Radiação ......................................................................... 48
5.3.1 – Ressoador Retangular de Fenda com quatro camadas.............................................. 53
CAPÍTULO 6 ....................................................................................................................... 54
Conclusões ............................................................................................................................ 54
Referências Bibliográficas .................................................................................................... 56
V
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Linha de Microfita.........................................................................................2
Figura 1.2 - Linha de Fenda..............................................................................................2
Figura 1.3 - Linha de Lâmina............................................................................................3
Figura 1.4 - Patch triangular de Microfita.........................................................................3
Figura 2.1 - (a) Borboleta com estrutura fotônica nas asas, (b) Estrutura fotônica
ampliada............................................................................................................................6
Figura 2.2 – Estruturas PBG, representações reais e recíprocas: (a) unidimensional,
(b) bidimensional e (c) tridimensional...............................................................................7
Figura 2.3 - Cristal finito com simetria hexagonal............................................................8
Figura 2.4 - Estrutura PBG.............................................................................................12
Figura 2.5 - Cristal PBG bidimensional homogeneizado................................................15
Figura 4.2 - Vista em perspectiva do Ressoador Retangular de Fenda..........................32
Figura 4.2 - Vista lateral da estrutura..............................................................................33
Figura 4.3 - Vista superior da estrutura...........................................................................33
Figura 5.1 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para
material PBG 2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m...40
Figura 5.2 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para
material PBG 2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0 S/m...41
Figura 5.3 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para
material PBG 2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m...41
Figura 5.4 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para
material PBG 2D com polarização s................................................................................42
Figura 5.5 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para
material PBG 2D com polarização p...............................................................................43
Figura 5.6 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.................44
VI
Figura 5.7 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0 S/m..................45
Figura 5.8 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m..................45
Figura 5.9 Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG
2D com polarização s......................................................................................................46
Figura 5.10 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material
PBG 2D com polarização p.............................................................................................47
Figura 5.11 - Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização s, considerando a altura do substrato da segunda camada h
2
=3,302 mm....48
Figura 5.12 - Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização s, considerando a altura do substrato da segunda camada, h
2
=5,842 mm...49
Figura 5.13 - Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização s, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda
camada.............................................................................................................................49
Figura 5.14 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização p, considerando a altura do substrato da segunda camada h
2
=3,302 mm....50
Figura 5.15 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização p, considerando a altura do substrato da segunda camada h
2
=5,842 mm...51
Figura 5.16 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização p, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda
camada.............................................................................................................................51
Figura 5.17 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização s, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada.
(h
2
= 2,540 mm, h
2
= 3,302 mm e h
2
= 5,842 mm).........................................................52
Figura 5.18 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para
polarização p, considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada.
( h
2
= 2,540 mm, h
2
= 3,302 mm e h
2
= 5,842 mm)........................................................53
VII
Lista de Abreviaturas e Siglas
Ângulo de Polarização
Condutividade
L Comprimento da fita metálica
DA
Comprimento total da microfita
r
Constante dielétrica
a Constante de rede
Constante de propagação complexa
i
Constante de propagação na direção y
Constante de propagação complexa em z,
j
W Densidade de energia
EBG Electromagnetic Band Gap
p
f
Fator de preenchimento
f
Função de base
F
Freqüência
Freqüência angular complexa
W Largura da fita metálica
DB
Largura total da microfita
Y
Matriz admitância
Z
Matriz impedância
K
Matriz característica
LTT Método da Linha de Transmissão Transversa
i
k
Número de onda da enésima região dielétrica
j
Numero imaginário unitário, j = (-1)
1/2
0
Permeabilidade no espaço livre
i
Permissividade elétrica do material na enésima região
0
VIII
ri
Permissividade elétrica relativa do material com perdas na enésima região
0
Permissividade no espaço livre
eff
Permissividade elétrica efetiva
PBG Photonic Band Gap
s, p Polarizações das ondas no material fotônico
r Raio do cilindro de ar
cu
Resistividade do cobre
n
Variável espectral na direção x
k
Variável espectral na direção z
E
Vetor Campo elétrico
H
Vetor Campo magnético
J
Vetor densidade de corrente
x
ˆ
Vetor direção x
y
ˆ
Vetor direção y
z
ˆ
Vetor direção z
T
E
Vetor campo elétrico tangencial
T
H
Vetor campo magnético tangencial
Vetor densidade campo magnético
Operador nabla
t
Componente tangencial do operador nabla
B
1
Capítulo 1
Introdução
No presente trabalho serão tratados os conceitos de teoria eletromagnética
aplicados juntamente com o desenvolvimento teórico para a determinação da freqüência
complexa de ressonância e da eficiência, para ressoadores retangular de quatro camadas,
sendo o substrato utilizado do tipo PBG – Photonic Band Gap, para compor o material
dielétrico.
O método utilizado na analise das estruturas em estudo e o Método da Linha de
Transmissão Transversa – LTT, que é um método de análise rigorosa no domínio
espectral. Este consiste em se obter as componentes dos campos elétricos e magnéticos
em função das componentes transversais no domínio da transformada de Fourier- DTF,
com a aplicação das condições de contorno adequada a cada estrutura.
Os ressoadores retangulares de fenda são estruturas planares comumente usadas
em microondas [1]-[2], e suas aplicações podem ser estendidas para as freqüências de
ondas milimétricas. Esta estrutura consiste de uma estreita fenda no revestimento
condutor em um só lado de um substrato dielétrico. Se a permissividade do substrato é
suficiente alta, com
r
da ordem de 10 a 30, o comprimento da onda no modo da fenda
poderá se muito menor que o comprimento da onda no espaço livre, e o campo será
confinado perto da fenda. A linha de fenda tem sido proposta como uma linha de
transmissão alternativa para circuitos integradores de microondas, podendo ser aplicada
para obtenção de pequenos dispositivos de microondas como filtros, acopladores,
circuitos contendo elementos semicondutores, e outros, bem como um completo circuito
de microondas. Além disso, a linha de fenda pode ser combinada com a linha de
microfita no lado oposto do substrato.
A maioria dos sistemas de comunicações móveis atuais requerem antenas de
estação base com uma largura de banda na faixa entre 10 e 15%, que operem com
múltiplas freqüências [3], deste modo, existe a necessidade de antenas com
2
multicamadas dielétricas e patches empilhados as quais podem fornecer tais
características.
Com a sobrecarga do espectro e com a utilização de altas freqüências, que são
sensivelmente afetadas pelos fatores ambientais, o uso dos meios guiados foi se
tornando cada vez mais freqüente e necessário, e, então, foram surgindo os diversos
tipos de guias de ondas e linhas de transmissão que hoje são conhecidos.
Alguns dispositivos utilizados nas faixas de microondas e ondas milimétricas,
são apresentados abaixo. Nas figuras 1.1 e 1.2 são mostradas uma linha de microfita e
uma linha de fenda, respectivamente.
Figura 1.1 – Linha de Microfita.
Figura. 1.2 – Linha de Fenda.
Um outro dispositivo que é utilizado na faixa efetiva de ondas milimétricas, foi
proposta por Meier em 1972 e denominada linha de lâmina [4]-[5]. A estrutura consiste
basicamente de uma linha de fenda inserida no plano-E de um guia de ondas retangular,
como a mostrado na figura 1.3.
3
Figura 1.3 – Linha de lamina.
Existem outras linhas e dispositivos criados para determinadas aplicações que
são obtidas a partir de variações apresentadas anteriormente. Na figura 1.4, a seguir, é
apresentado um ressoador de microfita triangular.
Figura 1.4 – Patch triangular de microfita.
Dentre alguns dispositivos que se pode citar estão os acopladores direcionais, os
circuladores, os misturadores, as antenas, os ressoadores, os filtros, os moduladores, os
isoladores, os detectores, os osciladores e os transformadores de impedância [6]-[7].
Neste trabalho estão apresentadas as ferramentas de modelos de análise bem
como resultados numérico-computacionais do ressoador retangular de fenda com quatro
camadas fotônicas.
No capítulo 2 será apresentada a teoria geral sobre os cristais fotônicos PBG,
com a caracterização da banda proibida, o comportamento de ondas eletromagnéticas
nesses cristais e a teoria que possibilita a determinação da permissividade relativa do
material fotônico e serão apresentadas as equações que foram desenvolvidas na teoria da
Homogeneização para substratos compostos de material PBG onde, com estas
4
expressões, será calculada a permissividade efetiva para as polarizações s e p das ondas
incidentes no dielétrico.
O Capítulo 3, apresenta o método LTT em combinação com o método de
Galerkin [8] que é utilizado para analisar a estrutura ressoadora em estudo no que diz
respeito a representação físicas das distribuições de corrente na fita condutora. O
modelo da Linha de Transmissão [9] será utilizado para obtenção das equações dos
campos eletromagnéticos da estrutura do dispositivo de microondas em estudo.
No capítulo 4 será descrito o desenvolvimento teórico para a determinação da
freqüência de ressonância complexa do ressoador de linha de fenda, e o cálculo para
determinação da eficiência de radiação dessa estrutura em estudo, em conjunto com o
desenvolvimento do estudo geral sobre os campos eletromagnéticos que serão aplicados
nas estruturas [11].
O capítulo 5 da presente dissertação apresenta os resultados numérico-
computacionais referentes à estrutura estudada, onde se utilizou programas elaborados
nas linguagens Fortran PowerStation e Matlab7.0.
No Capítulo 6 serão apresentado o desenvolvimento teórico e os resultados
obtidos neste trabalho e serão apresentadas algumas sugestões para trabalhos futuros.
5
Capítulo 2
Estrutura PBG
2.1 Introdução
A tecnologia PBG surgiu em 1987 a partir de estudos publicados que
introduziram os conceitos de banda proibida fotônica para controlar a emissão
espontânea e estimulada da luz.
A aplicação de estruturas PBG na faixa de microondas, ou seja, utilizar um
cristal fotônico como substrato para uma antena, proporciona vantagens consideráveis.
As bandas proibidas existentes no cristal fotônico impedem a penetração de radiação,
desta forma, a energia a ser irradiada pela antena nesta direção não será perdida,
aumentando a emissão de energia na direção desejada [12].
As estruturas unidimensionais proporcionam gaps em uma determinada direção
de propagação da onda eletromagnética. Em estruturas bidimensionais, a onda
eletromagnética incidente será refletida em qualquer direção do plano bidimensional
[12]. Entretanto na estrutura tridimensional, a onda eletromagnética, cuja freqüência
está dentro do band gap, é bloqueada em qualquer ângulo de incidência.
Muitos animais apresentam microestruturas complexas, e algumas dessas
estruturas são fotônicas, como por exemplo, o azul brilhante de algumas borboletas de
regiões tropicais, que é o resultado da luz refratada de arranjos periódicos compostos de
buracos encontrados nas asas das borboletas. Esse brilho colorido que se assemelha ao
das pedras preciosas acontece devido a uma suave banda fotônica proibida ou PBG, já
que a luz ainda se propaga em algumas direções. Esse PBG natural é causado pela
junção de esferas de sílica espalhadas por uma extensão de uma fração de milímetro nas
asas das borboletas. Inicialmente essa característica foi chamada de “super opal” ou
super opala [7], a Figura 2.1 mostra esta estrutura PBG natural em uma borboleta azul.
6
Fonte: www.sciencebase.com/mar03_iss.html
Figura 2.1 – (a) Borboleta com estrutura fotônica nas asas, (b) estrutura fotônica ampliada.
O PBG é uma estrutura dielétrica periódica que pode exibir uma banda proibida
de freqüências (band gap) na sua relação de dispersão eletromagnética w versus k, na
qual o sinal será bloqueado. Inúmeros estudos relacionados a cristais fotônicos foram
desenvolvidos durante as décadas de 1970 e 1980 até que a primeira realização de uma
band gap em uma estrutura tridimensional de um cristal fotônico foi feita em 1989 [14].
O avanço de novas tecnologias em fotônica está intimamente ligado ao
desenvolvimento e aprimoramento de materiais ópticos que permitem novos caminhos
para o controle da dinâmica de fótons. Nesse contexto os cristais fotônicos figuram
como uma nova classe de materiais que são caracterizados por uma modulação
periódica espacial do índice de refração.
Esses materiais se assemelham à estrutura periódica dos semicondutores
comuns, por apresentarem uma lacuna na estrutura energética para a passagem de fótons
(em vez de elétrons no caso dos semicondutores). Este gap fotônico vem
aproximadamente de um arranjo periódico de cilindros imersos no ar, com diâmetros e
espaçamento entre os cilindros de menos que um comprimento de onda [15-16], a
Figura 2.2 mostra estruturas PBG e suas respectivas representações circulares.
(a) (b)
7
Figura 2.2 – Estruturas PBG, representações reais e recíprocas: (a) unidimensional,
(b) bidimensionale e (c) tridimensional.
Quanto às dimensões da periodicidade nos cristais, podemos classificar as
estruturas PBG em unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. As estruturas
com periodicidade unidimensional proporcionam gaps em uma determinada direção de
propagação do sinal eletromagnético. Nas estruturas com periodicidade bidimensional, a
onda eletromagnética incidente será refletida em qualquer direção do plano E
bidimensional. Já na estrutura com periodicidade tridimensional, a onda eletromagnética
cuja freqüência estiver dentro da banda proibida é bloqueada em qualquer ângulo de
incidência.
Sistemas periódicos com cilindros que se intercalam ao material dielétrico
podem, em determinadas freqüências, provocar a retenção do sinal eletromagnético na
estrutura, caracterizando assim a Banda Proibida [15]. A estrutura PBG utilizada neste
estudo é de periodicidade bidimensional, ou seja, o material dielétrico é intercalado por
cilindros que se distribuem na estrutura segundo os eixos x e y. A largura do band gap
depende de fatores como nível de desordem do sistema, fator de preenchimento e
relação entre as constantes dielétricas entre os dois meios.
(a)
(b)
(c)
8
Para ondas eletromagnéticas que se propagam no plano xy, as ondas apresentam
campo E paralelo ao eixo z possuem polarizações s e as que tem campo E perpendicular
ao eixo z possuem polarizações p.
O cristal descrito na Figura 2.3 é iluminado por vários ângulos de polarização
0
e por uma onda plana incidente à normal
0
0
90
. O caso da polarização s é
definido pelos parâmetros
0
0
90
e
0
0
90
. Da mesma forma, para a polarização p
0
0
90
e
0
0
0
. Isto corresponde ao caso no qual a única componente não zero do
campo elétrico para a polarização s é
z
E
~
e do campo magnético para a polarização p é
z
H
~
[17].
Figura 2.3. Cristal finito com simetria hexagonal.
Como os cristais fotônicos não são encontrados na natureza, estruturas PBG
podem ser obtidas a partir da construção de uma estrutura com padrões repetitivos, ou
seja, uma estrutura que é repetida continuamente em intervalos regulares. Esta estrutura
é construída de um material dielétrico, um tipo de material que é semicondutor ou
isolante, ou capaz de manter uma determinada carga elétrica a um longo tempo com um
mínimo de perda. Assim é criada uma matriz de lacunas que proíbe a propagação de
ondas de superfícies pelo substrato dielétrico em uma faixa específica de freqüências
previamente determinada, em outras palavras é formada uma banda proibida.
Os materiais e estruturas PBG‟s são aplicados a vários dispositivos não só na
faixa óptica, mas também na faixa de microondas e ondas milimétricas onde estes
também são denominados EBG‟s – Electromagnetic Band Gap, dentre estas aplicações
podem ser citados filtros, antenas, acopladores, amplificadores entre outros. Algumas
9
das características que tornam esses cristais de grande valia para aplicações em
microondas, ondas milimétricas e ópticas, são o controle e ou a total supressão de
emissões espontâneas de fótons e elétrons de ondas de superfície. Dentre as várias
aplicações de cristais PBG em estruturas planares da literatura pode citar:
Inibição da emissão espontânea – A supressão de certos modos eletromagnéticos faz
com que não haja modos disponíveis para a emissão de fótons, não ocorrendo, portanto
emissão radioativa o que reduz significativamente a corrente de limiar e, portanto o
ruído em lasers semicondutores.
Guias de onda ópticos – Em circuitos integrados ópticos a fabricação de guias de
ondas de baixas perdas e com grandes curvaturas. Cristais PBG com baixas perdas
agem como espelhos perfeitos para faixas de freqüências proibidas.
Filtros – Baseado no princípio PBG pode-se projetar uma estrutura na qual, os sinais de
determinadas freqüências são impedidos de se propagar. Combinando-se vários destes
dispositivos, como em filtros passa faixa, rejeita faixa, passa alta ou passa baixa.
Substratos de antenas planares – Em antenas planares, o sinal é irradiado para o ar
mas também através do substrato. Substratos em material PBG podem ser usados para
otimizar a irradiação pelo ar, reduzindo assim a ocorrência de ondas superficiais e a
conseqüente difração de borda responsável pela degradação do diagrama de
irradiação[14] .
2.2 Teoria
Partindo do princípio que tanto fótons quanto elétrons se comportam como
ondas, seus comportamentos podem ser descritos de forma semelhante. Em
semicondutores cristalinos como o silício, ondas de elétrons com certa energia ou
freqüência, espalha o arranjo regular de átomos, interferindo uns aos outros até que eles
se cancelem. Isso resulta numa faixa característica de energia proibida para os elétrons
chamada de banda proibida.
10
Bandas eletrônicas proibidas podem ser alteradas adicionando-se “defeitos” ao
cristal, tais como a adição de um átomo diferente. Desta maneira é possível manipular a
maneira, de como e para onde os elétrons se movem. De forma análoga, essa teoria pode
ser aplicada aos cristais fotônicos, porém, neste caso fótons em vez de elétrons serão
manipulados.
As propriedades ópticas de materiais semicondutores, utilizados na fabricação de
cristais PBG, podem ser analisadas partindo das equações de Maxwell [15] para os
campos elétricos E e magnéticos H, assim como para suas respectivas induções
correspondentes D = εE e B = μH, temos que:
1
0
B
E
ct
(2.1)
14D
HJ
c t c
(2.2)
4D
(2.3)
0B
(2.4)
Para o desenvolvimento das equações é conveniente introduzir potenciais na
forma de um escalar
e de um vetor A, assim:
1 A
E
ct
(2.5)
BA
(2.6)
Dessa forma pode-se ir ao encontro da primeira e da última equação de
Maxwell. Podemos ainda substituir estes potenciais por outros,
(2.7)
(2.8)
sem que os campos físicos E e B sejam alterados. Para muitos casos a chamada medida
de Lorentz é conveniente, neste caso temos,
'A A x
1
'
x
ct
11
(2.9)
As equações de Maxwell podem ser reescritas da seguinte forma:
(2.10)
2
2
22
1
4
ct
(2.11)
Quando J=0 assume-se que
'0A
,
'0
, assim é obtida a seguinte solução,
(2.12)
com os campos definidos como,
(2.13)
(2.14)
O vetor de Poynting (fluxo de potência) é
(2.15)
Com sua média de tempo definida como
(2.16)
Como
1/c
é a velocidade da luz, e
k
é o vetor de onda da luz. A
densidade de energia é,
1
'0A
ct
2
2
22
14A
AJ
c t c
0
, exp . .A r t A i kr t cc
0
2 / sen -E x A kr t
0
2 senB k A kr t
2
22
0
1
ˆ
sen
4
c ck
S E H k A kr t
2
2
0
2
ˆ
2
c
S k A
c
12
(2.17)
Isto pode ser expresso em termos de N
ω
, fótons em um volume V de acordo com
a seguinte relação:
(2.18)
Deste modo, a relação entre a amplitude da onda e a densidade dos fótons é dada
por:
(2.19)
2.2.1 Estrutura PBG Bidimensional
As estruturas PBG 2D são dielétricos perfurados periodicamente, de forma tal
que seja possível confinar o sinal previamente projetado de acordo com a periodicidade
dos orifícios. A geometria desses cristais fotônicos é mostrada na Figura 2.4.
Figura 2.4 – Estrutura PBG
Um dos processos de fabricação do PBG 2D consiste em se criar uma matriz de
cristais fotônicos artificiais que podem ser construídos com precisão de escala
nanométrica a partir de um bombardeamento com raios-X. Inicialmente é preparada
uma máscara de ouro com perfurações e espaçamentos entre elas, de forma que as
dimensões desta estrutura sejam determinadas para a fabricação de um cristal PBG em
2
2
0
2
2
S
WA
cc
N
W
V
2
2
0
2
N
c
A
V
13
uma faixa de freqüência específica, portanto, por baixo desta estrutura é colocado um
material polimérico que servira de base para a construção.
O processo de fabricação consiste em aplicar raios-X que irão passar através de
uma máscara de ouro com uma série de buracos, removendo porções do polímero
colado por baixo da máscara. A seguir, deposita-se vidro para preencher os buracos da
máscara de ouro até o interior do polímero perfurado, o restante deste material sintético
é destruído com calor. Em seguida deposita-se o material semicondutor nas regiões
vazias do vidro. Finalmente, o vidro é removido com a utilização de produtos químicos
apropriados, deixando como resultado uma rede de cristais semicondutores puros.
A teoria de propagação em PBG‟s é baseada no principio da localização, ou seja,
o sinal óptico ao ser introduzido no dielétrico é retido no mesmo, não se propagando.
Este fenômeno ocorre quando a periodicidade da estrutura, distância entre os elementos
dos cilindros de ar, for equivalente ao comprimento da onda eletromagnética em
questão [13].
A banda proibida da estrutura é determinada pela constante de rede, que é a
relação entre o raio dos orifícios e a distância entre os mesmos. Sistemas periódicos
dotados de cilindros intercalados ao material dielétrico, em determinadas freqüências,
podem provocar a retenção do sinal eletromagnético na estrutura. Assim é determinada
a banda fotônica proibida [9].
2.2.2 Caracterização da Banda Proibida
A estrutura PBG abordada nesta dissertação é dotada de uma periodicidade
bidimensional. A largura da banda proibida depende de fatores como nível de desordem
do sistema, fator de preenchimento, relação entre as constantes dielétricas dos meios
envolvidos no sistema e periodicidade do sistema.
Para ondas eletromagnéticas se propagando no plano x,y , as ondas com
polarização p (campo E perpendicular ao eixo z) e s (campo E paralelo ao eixo z)
podem ser descritas por duas equações de onda desacopladas. A equação para a onda
com polarização p é [17]:
(2.20)
2
2
0
H
H
c
14
onde H = H
z
; =
r
é a constante dielétrica, é a freqüência, e c é a velocidade da luz
no vácuo. Já a equação para a polarização s é:
(2.21)
onde E = E
z
. Deve-se salientar que a constante dielétrica em estruturas periódicas é
agora dependente da posição r no material. As estruturas PBG são analisadas a partir da
constante dielétrica e do fator de preenchimento, fator este que é dado por:
(2.22)
onde r é o raio do cilindro de ar intercalando o dielétrico e a é a constante de rede.
2.2.3 Determinação da constante dielétrica efetiva de uma estrutura
PBG 2D
Um dos problemas que surgem quando lidamos com materiais fotônicos é a
determinação da constante dielétrica efetiva, já que estes cristais são estruturas não
homogêneas e que submetem o sinal incidente ao processo de espalhamento múltiplo.
Uma solução para este impasse pode ser obtida através de um processo numérico
chamado de homogeneização [17].
Este princípio se norteia na teoria relacionada à difração de uma onda
eletromagnética plana incidente, imposta pela presença de cilindros de ar imersos em
um material homogêneo [17].
É escolhido neste caso um sistema cartesiano de eixos (O, x,y,z). Consideremos
primeiramente um cilindro com permissividade relativa
r
, com seção transversal no
plano xy. Seja uma onda plana monocromática de vetor de onda k
0
[k
0
= k
0
=2/
dependente do tempo por e
jt
] que ilumina o cilindro.
A partir desta consideração pode-se elaborar um modelo capaz de determinar a
constante dielétrica equivalente de um sistema não homogêneo. Por este processo a
2
2
2
0EE
c
2
2
3
p
r
f
a
15
estrutura bidimensional é fatiada em camadas cuja espessura é igual ao diâmetro do
cilindro, sendo realizado o processo de homogeneização em cada uma destas fatias.
Neste processo, os cilindros de permissividade
1
imersos em um meio com
permissividade
2
são substituídos por camadas cuja permissividade é igual a
q
e que se
intercalam com camadas de permissividade
2
formando assim uma estrutura
unidimensional. O procedimento consiste em dividir a estrutura em uma superposição
de camadas homogeneizadas, Figura 2.5.
Figura. 2.5 – Cristal PBG bidimensional homogeneizado.
De acordo com a teoria da homogeneização a permissividade relativa depende da
polarização [17], e os valores das permissividades equivalentes para cada polarização
são
Para a polarização s:
(2.23)
Para a polarização p:
(2.24)
onde,
(2.25)
1 2 2eq
10/3 14/3
1
12
1 1 3
1
eq
A A O
12
1
12
2/ 1/
1/ 1/
A
16
(2.26)
onde β é a relação da área dos cilindros sobre a da célula, ε
1
e ε
2
são as permissividades
mo meio 1 e no meio 2 respectivamente, α é uma constante igual a 0,523 e O representa
o a origem do sistema considerado.
2.3 Conclusões
Neste capítulo foram analisadas estruturas com periodicidade bidimensional, nas
quais orifícios são perfurados em substratos semicondutores formando assim estruturas
periódicas compostas de material semicondutor e ar. Desta forma proporcionando o
contraste necessário na constante dielétrica para caracterizar um material PBG.
As características físicas do material foram descritas assim como as teorias
necessárias para determinação das características dielétricas do material, o que tornara
possível a sua utilização como substrato nas estruturas propostas nos capítulos
seguintes.
12
2
12
1/ 1/
4/3 1/
A
17
Capítulo 3
Método da Linha de Transmissão
Transversa
3.1 Introdução
No estudo dos circuitos, dispositivos e linhas de transmissão, faz-se necessário a
análise dos campos eletromagnéticos principalmente quando esses elementos são de uso
efetivo em altas freqüências.
Sendo assim, foram desenvolvidos os métodos de análise quase-estáticas ou
aproximados e os métodos de análise dinâmica ou de onda completa. Os métodos
aproximados têm como vantagem a simplificação no desenvolvimento das equações que
descrevem o funcionamento do dispositivo bem como uma boa aproximação nos
resultados obtidos através da análise quando comparados com os resultados reais,
porém muitas vezes torna-se necessário a obtenção de resultados mais precisos sem
falar que a partir de certos valores elevados de freqüência (
10 GHz) os métodos
quase-estáticos tornam-se completamente obsoletos já que os erros apresentados nos
resultados são cada vez mais inconcebíveis.
Todos os dispositivos estudados e apresentados nesta dissertação foram
analisados dinamicamente através do método da Linha de Transmissão Transversa –
LTT [9] que se utiliza de um termo de propagação na direção “y” transversa à direção
real de propagação “z” e trata as equações gerais dos campos elétricos e magnéticos
como funções de suas componentes E
y
e H
y
3.2 O Método da Linha de Transmissão Transversa – LTT
Vários são os métodos utilizados para a análise em antenas, porém dentre os
diversos métodos de onda completa, hoje, existentes, destaca-se: Método da Linha de
Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, Método de Galerkin e Método
18
da Linha de Transmissão Transversa. – LTT [9], [5]. Vários métodos que utilizam o
recurso matemático de mudança do domínio do tempo passando para o domínio
espectral como uma boa maneira de simplificar e facilitar a análise da estrutura.
Todas as estruturas estudadas e apresentadas neste trabalho foram analisadas
dinamicamente através do método da Linha de Transmissão Transversa – LTT que se
utiliza de um termo de propagação na direção “y” transversa à direção real de
propagação “z” e trata as equações gerais dos campos elétricos e magnéticos como
funções de suas componentes E
y
e H
y
. De uma forma breve será descrito este método.
A partir das equações de Maxwell [4]:
(3.1)
(3.2)
onde
0
é a permeabilidade, e
*
0 r
é a permissividade na região considerada,
os termos de índice “0”(
0
,
0
) representando os valores do espaço livre e o termo
*
r
representando a permissividade relativa de uma região com perdas e
é a freqüência
complexa angular.
Separando os termos transversais (direções x e z) dos termos que se propagam
na direção y e manipulando-se algebricamente as quatro equações de Maxwell, obtêm-
se as equações gerais para os campos eletromagnéticos para linhas de microfita e de
fenda de uma região arbitrária, conforme é apresentado na equação (3.5).
(3.3)
onde o índice „T‟ representa as componentes na direção transversal (x, z),
zExEE
zixiTi
ˆ
ˆ
,
zHxHH
zixiTi
ˆ
ˆ
e
z
z
x
x
zx
zxT
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
.
Os vetores campo elétrico e magnético no método LTT são decompostos nas
suas três componentes,
E j H
H j E
22
1
1
yi yi
Ti
TT
ii
Ti yi yi
HE
E
j
ky
H E H
19
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Onde,
H H H
t x z
- campo magnético na direção transversa (3.8)
E E E
t x z
- campo elétrico na direção transversa (3.9)
j
- constante de propagação (3.10)
Neste método supõe-se uma propagação na direção y, resultando no
aparecimento da constante de propagação nessa direção (
i
). Será considerado que os
campos eletromagnéticos são harmônicos no tempo.
Como o ressoador retangular de fenda é limitado em seu comprimento, as
equações devem ser amostradas no domínio espectral nas direções x e z.
Substituindo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.2)
(3.11)
(3.12)
Separando os componentes transversais x e z de (3.12), teremos:
0
ˆˆ
ˆˆ
y x z y x xx z zz
H z H z H x H x j E E
x y y z
(3.13)
0
ˆ
00
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
00
ˆ
00
xx x
x y z yy y
zz z
Ex
x y z H x H y H z j E y
x y z
Ez
ˆˆ
ˆ
y t x y z
H H H H x H y H z
ˆˆ
ˆ
y t x y z
E E E E x E y E z
ˆ ˆ ˆ
ˆ
y t t
y x y z
y x y z
ˆˆ
ˆˆ
t
x z x z
x z x
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
y z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H x
x x y y z z
j E E E
20
Reescrevendo,
(3.14)
como,
(3.15)
(3.16)
então,
(3.17)
assim,
(3.18)
e
(3.19)
Substituindo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.1)
0
ˆ
00
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
0 0 .
ˆ
00
xx x
x y z yy y
zz z
Hx
x y z E x E y E z j H y
x y z
Hz
(3.20)
0
ˆˆ
ˆˆ
z x y y x xx z zz
H x H z H z H x j E E
y y x z
ˆˆ
ˆ
z x t
H x H z y H
y y y
ˆ
ˆ
y y t y
H z H x H
xz
0
1
xx
Ex Hz Hy
j y z
0
ˆ
t t y x xx z zz
y H H j E E
y
0
1
zz
Ez Hy Hx
j x y
21
(3.21)
Separando as componentes transversais x e z na equação (3.21), teremos:
0
ˆˆ
ˆˆ
y x z y x xx z zz
E z E z E x E x j H H
x y y z
(3.22)
Reescrevendo,
0
ˆˆ
ˆˆ
y y z x x xx z zz
E z E x E x E z j H H
x z y y
(3.23)
como,
(3.24)
e
(3.25)
então
(3.26)
assim,
(3.27)
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
y z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E x
x x y y z z
j H H H
ˆˆ
ˆ
z x t
E x E z y E
y y y
ˆ
ˆ
y y t y
E z E x E
xz
0
ˆ
t t t x xx z zz
y E E j H H
y
0 xx
j
Hx Ez Ey
yz
22
e
(3.28)
Aplicando a equação (3.19) na equação (3.28) temos:
(3.29)
(3.30)
E assim,
(3.31)
Agora, aplicando a equação (3.28) na equação (3.18), temos:
(3.32)
(3.33)
Manipulando as equações (3.19) e (3.27), temos:
(3.34)
(3.35)
Por final, aplicando a equação (3.27) na equação (3.19), temos:
0 zz
j
Hz Ey Ex
xy
00
1
zz xx
j
Hz Ey Hz Hy
W x y y z
2
0
22
0
1
n xx
zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
2
0
22
0
1
n xx
zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
00
1
xx zz
j
Ex Ey Ex Hy
j y x y z
2
0
22
0
1
k zz
xx zz
Ex Ey Hy
Ky K y x
00
1
xx zz
j
Hx Hy Hx Ey
y j x y z
2
0
22
0
1
k zz
zz xx
Hx Hy Ey
Ky K y x
23
(3.36)
(3.37)
Onde,
(3.38)
22
n k i
K
(3.39)
(3.40)
(3.41)
Assim, temos as equações de campo elétrico e magnético:
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
00
1
zz xx
j
Ez Hy Ez Ey
j x y y z
2
0
22
0
1
n xx
zz xx
Ez Ey Hy
Ky K y z
2
22
2
y
k
y
n
j
x
k
j
z
2
0
22
0
1
k zz
y xx zz
Ex Ey Hy
K K y x
2
0
22
0
1
n xx
y zz xx
Ez Ey Hy
K K y z
2
0
22
0
1
k zz
y zz xx
Hx Hy Ey
K K y x
2
0
22
0
1
n xx
zz xx
Hz Ey Hy
Ky K y z
24
Aplicando a transformada de Fourier à equação (3.11):
dzdxee)z,y,x(f),y,(f
~
zjxj
kn
kn
(3.46)
onde
n
é a variável espectral na direção “x” e
k
a variável espectral na direção “z”.
Então, passando para o domínio da transformada as equações (3.42) a (3.45), os
campos eletromagnéticos para i-ésima região são:
yi
k
yin
2
i
2
i
xi H
~
E
~
y
j
k
1
E
~
(3.47)
yinyi
k
2
i
2
i
zi H
~
E
~
y
j
k
1
E
~
(3.48)
yi
k
yin
2
i
2
i
xi E
~
H
~
y
j
k
1
H
~
(3.49)
yinyi
k
2
i
2
i
zi E
~
H
~
y
j
k
1
H
~
(3.50)
Onde:
i = 1, 2, 3 e 4 - representa as quatro regiões dielétricas da estrutura;
2
i
2
k
2
n
2
i
k
- constante de propagação na direção y;
n
- variável espectral na direção “x”;
k
- variável espectral na direção “z”;
ri
2
0
2
2
i
kk
- número de onda da i-ésima região dielétrica;
0
i
riri
j
- permissividade elétrica relativa do material com perdas;
=
r
+ j
i
- freqüência angular complexa;
0rii
- permissividade elétrica do material;
25
3.3 Conclusões
As equações gerais dos campos elétricos e magnéticos (3.42) a (3.45) são
equações no domínio espectral que podem ser aplicadas a qualquer dispositivo ou
estrutura de transmissão de microondas, inclusive antenas, ou estruturas de ondas
milimétricas independente de suas peculiaridades [18].
Nos capítulos seguintes constantes da presente dissertação serão apresentadas as
análises e resultados de estruturas em que são aplicadas as referidas equações e
desenvolvidas de acordo com as exigências das mesmas.
Durante a análise efetiva de cada estrutura observar-se-ão as indubitáveis
vantagens oferecidas pelo método da Linha de Transmissão Transversa, sobretudo no
que diz respeito à simplificação e redução nos cálculos.
26
Capítulo 4
Campos Eletromagnéticos no Ressoador
Retangular de Fenda de quatro camadas
4.1 – Introdução
O interesse na utilização de multicamadas dielétricas em antenas planares tem
aumentado devido as vantagens que estas estruturas proporcionam, tais como: variações
na faixa de operação, aumento na largura de banda e também pelo fato dos dispositivos
em multicamadas ocuparem menos espaço físicos que as convencionais de mesma
funcionalidade, sendo esta principal característica ,apreciada, devido a falta de espaço
ser um fator limitante.
A estrutura em estudo é ilustrada na Figura 4.1, consiste em um ressoador de
linha de fenda com quatro camadas, onde a fenda ressonante é constituída de material
metálico. Com relação aos elementos estruturantes, a fenda é envolvida por camadas
dielétricas sobrepostas. Na estrutura em estudo a fenda foi depositada entre duas
camadas inferiores e duas camadas superiores conforme Figura 4.2. A Figura 4.3
representa a vista superior da estrutura.
Figura. 4.1 – Vista em perspectiva do Ressoador Retangular de Fenda
27
Figura. 4.2 – Vista lateral da estrutura
Figura. 4.3 – Vista superior da estrutura
4.2 Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos no
Ressoador de Fenda de quatro camadas
O método da Linha de Transmissão Transversa é utilizado na determinação das
componentes de campo eletromagnético nas três regiões consideradas. A utilização do
método dos momentos permite que as densidades de corrente elétrica sejam expandidas
em séries infinitas, usando as funções de base adequadas. Isto gera uma equação
matricial homogênea com coeficientes desconhecidos. A exatidão numérica da solução
desta equação depende da escolha das funções de base para representar a densidade de
corrente. Estas funções devem considerar a distribuição de corrente sobre a fita metálica
e a singularidade nas bordas da mesma. Portanto a solução para a obtenção da
freqüência de ressonância da estrutura em multicamadas é representada pelas as raízes
quando a determinante da matriz, representada pela equação (4.27) for igual a zero.
28
Partindo das equações do método LTT no domínio espectral para os campos
elétricos e magnéticos, temos as equações (3.47) à (3.50):
yi
k
yin
ii
xi HE
y
j
k
E
~~1~
22
(4.1)
yinyi
k
ii
zi HE
y
j
k
E
~~
1
~
22
(4.2)
yi
k
yin
ii
xi EH
y
j
k
H
~~1~
22
(4.3)
yinyi
k
ii
zi EH
y
j
k
H
~~
1
~
22
(4.4)
onde:
i = 1, 2, 3 e 4 - representa as três regiões dielétricas da estrutura;
2
i
2
k
2
n
2
i
k
- constante de propagação na direção y;
n
- variável espectral na direção “x”;
k
- variável espectral na direção “z”;
ri
2
0
2
2
i
kk
- número de onda da enésima região dielétrica;
0
i
riri
j
- permissividade elétrica relativa do material com
perdas;
σ
i
- condutividade do material
ω - 2πf - freqüência angular
ε
0
- permissividade no espaço livre
Os campos E
y
e H
y
das equações 4.1 a 4.4 apresentam uma solução através das
seguintes equações de onda de Helmoltz no domínio espectral [10], [19]-[20]:
2
2
2
0
y
Ey
~
(4.5)
29
2
2
2
0
y
Hy
~
(4.6)
A solução para estrutura em estudo é dado, por exemplo, para as região 2, com segue
nas equações (4.7) e (4.8):
Para região 2:
yByAE
eey 22222
coshsenh
~
(4.7)
yByAH
hhy 22222
coshsenh
~
(4.8)
Para a região 4:
4
44
y
ye
E A e
(4.9)
4
44
y
yh
H A e
(4.10)
Onde h, corresponde a altura para o campo distante da região 3.
Substituindo as componentes acima nas equações de campo (4.1) e (4.4),
obtemos as novas componentes eletromagnéticas. Abaixo segue as equações finais para
a região 2:
(4.11)
(4.12)
Para a determinação das constantes desconhecidas nas equações (4.11) e (4.12),
aplicam-se as seguintes condições de contorno: Para as regiões 1 e 2 a interface ocorre
em 2; y = h
1
, logo temos a condição dielétrico-dielétrico.
~
2 0 21 2 22 ( 2 ) 0 22 2 21 2
22
22
E ( )cosh ( )senh( )x k n k n
j
j B A y j B A y
k
2 2 21 2 22 2 2 22 2 21 2
22
22
[( )cosh( ) ( ) ( )]
x k n k n
j
H j A B y j A B senh y
k
30
~
E
x1
=
~
E
x2
(4.13)
~
E
z1
=
~
E
z2
(4.14)
~
H
x1
=
~
H
x2
(4.15)
~
H
z1
=
~
H
z2
(4.16)
Para as regiões 2 e 3 g = h
1
+ h
2
, temos uma interface dielétrico-metal, para esta situação
usamos as condições de contorno, as equações (4.17) e (4.18)
~
E
x2
=
~
E
x3
=
xgE
(4.17)
~
E
z2
=
~
E
z3
=
zgE
(4.18)
Em seguida encontram-se as constantes para as regiões a partir das equações (4.19) à
(4.20)
(4.19)
~~
12
22
1
2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
2
senh( )
()
senh( )cosh( ) cosh( )senh( )
n xg k zg
y
A j E E
g g g g
(4.20)
11
21 1
1
0 1 1 2 2 1 1 2 2
2
~~
senh( )
senh( )cosh( ) cosh( )senh( )
xg n zg
g
B E E
g g g g
(4.21)
1 1 1
22 1
1
2
0 1 1 2 2 1 1 2 2
2
~~
cosh( )
senh( )cosh( ) cosh( )senh( )
xg n zg
g
B E E
g g g g
(4.22)
~~
12
21
1
2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
2
cosh( )
()
senh( )cosh( ) cosh( )senh( )
n xg k zg
y
A j E E
g g g g
31
2 2 2 2 2 2 2
. . .
2 2 3 3
22
0
3
0( )
22
xx k n n
k
jj
E k F k E D
k
Y
22
2
. . .
2
33
22
22
2
33
02
03
j
A k B k C D
k
k
n k n k
xzY
As equações dos campos eletromagnéticos são obtidas em função das
componentes dos campos tangenciais no ressoador. Para a estrutura em estudo a
interface dielétrica condutor ocorre para y = h
1
+ h
2
, logo temos a densidade de corrente
neste limiar:
x2 x3 z
H H J
(4.23)
z2 z3 x
H H J
(4.24)
Após substituir as equações (4.1) e (4.3) na equação (4.23), temos:
zgzgxg
J
~
E
~
E
~
Y
xzxx
Y
(4.25)
Substituindo as equações em (4.2) e (4.4) na equação (4.24)
xgzgxg
J
~
E
~
E
~
Y
zzzx
Y
(4.26)
Abaixo temos a representação matricial para a equação (4.25) e (4.26)
xg
zg
zg
xg
J
~
J
~
E
~
E
~
Y
zzzx
xzxx
YY
Y
(4.27)
Os termos de matriz admitância acima são funções diádicas de Green para a
estrutura em análise, e são dadas por:
(4.28)
(4.29)
2 2 2 2
2 2 2
. . . . .
2
33
22
22
22
3
0
03
3
zz
nk
nk
j
j
A k C D
kk
k
Y B
(4.30)
32
Onde as constantes A, B, C, D e E são dadas pelas expressões abaixo (4.31) a (4.35):
2
1 2 2
21
2 1 1 1 2 2
2 2 1 1
tan ( ) ( )
tan ( ) tan ( )
A
h h tgh h
h h h h
(4.31)
1 1 2
2
1 2 1 1 2 2 2
1 2 2 2 1
2 2 1 1
tan ( ) 1 ( )
. . .
tan ( . ) tan ( . )
B
h h tgh h
h h h h
(4.32)
34
()
33
43
. ( )
3 4 3 3
43
tan
tan
1
hh
hh
C
(4.33)
4
33
3
.
4 3 3
3
tan ( )
tan ( )
1
hh
hh
D
(4.34)
.
1 2 1 1 2 2
.
2 1 1 2 2 2
tan ( ).tan ( )
tan ( ) tan ( )
h h h h
h h h h
E
(4.35)
4.3 Método de Galerkin
O método de Galerkin é um caso particular do método dos momentos, onde as
funções mais importantes são consideradas as funções de expansão ou funções de base.
Assim, efetua-se o produto interno da equação matricial da impedância pelos
conjugados das funções de base como será abordado mais adiante.
Este método é usado com eficiência na análise de estruturas planares na faixa de
freqüências de microondas e ondas milimétricas. Para a aplicação do método dos
momentos neste estudo, são definidas funções de base que devem representar as
características físicas das distribuições de corrente na fita condutora. A escolha das
funções de base é de fundamental importância para expansão dos campos elétricos
tangencias na interface da fita condutora ou para a expansão das densidades de corrente
33
que existem na superfície da fita condutora [21]. As funções de base condicionam a
estabilidade e convergência do método dos momentos, ou seja, são responsáveis pela
aproximação dos resultados para os valores corretos. A escolha das funções de base
deve ser tal, que as mesmas obedeçam às condições de contorno da estrutura.
4.4 Expansão dos Campos Elétricos e Magnéticos em Termos de
Funções de Base
No estudo de ressoadores de fenda, tanto os campos elétricos quanto as
densidades de correntes podem ser expandidos em funções de base que tentam se
aproximar à forma da função real. Como existe campo elétrico apenas fora da fita
condutora, faz-se necessário a utilização de mais funções de base para se conseguir
uma maior exatidão dos resultados.
Os campos elétricos tangenciais na fenda
xt
E
~
e
zt
E
~
, são expandidos em temos de
funções de base conhecidas através de um somatório, conforme [22], [23]:
),(f
~
aE
~
kn
n
1i
xixixt
(4.36)
),(f
~
aE
~
kn
m
1j
zjzjzt
(4.37)
onde a
xi
e a
zj
são constantes desconhecidas e os termos n e m são números inteiros e
positivos que podem ser feitos iguais a 1, tornando as equações (4.38) e (4.39) como
segue:
),(f
~
aE
~
kn
xxxt
(4.38)
),(f
~
aE
~
kn
zzzt
(4.39)
A componente do campo na direção z em uma estrutura de linha de lâmina é
desprezível podendo, portanto, ser ignorada sem prejuízo dos resultados que mantêm
uma boa aproximação.
34
Com a utilização de apenas uma componente do campo elétrico (
xt
E
~
), foi
escolhida a função de base que no domínio espacial é expressa por:
f
x
(x,z) = f
x
(x).f
x
(z) (4.40)
2
2
x
x
2
w
1
)x(f
(4.41)
z
cos)z(f
x
(4.42)
que no domínio espectral são:
2
w
J)(f
~
n
o
nx
(4.43)
2
k
2
k
kx
)(
2
cos2
)(f
~
(4.44)
2
w
J
)(
2
cos2
),(f
~
n
o
2
k
2
k
2
knx
(4.45)
onde J
0
é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero.
35
4.5 Equação Característica e Cálculo da Freqüência de Ressonância
Complexa
Um caso particular do método dos momentos é o método de Galerkin, onde a
função de teste é a própria função de base. Após aplicar o método de Galerkin, a
densidade de campo elétrico na equação (4.27) desaparecerá, ou seja, efetua-se o
produto escalar da equação (4.27) pelos conjugados das funções base de acordo com o
método de Galerkin, com isso, anulam-se as densidades de corrente e a nova equação
matricial seguinte é obtida (4.46).
0
0
a
a
KK
KK
z
x
zzzx
xzxx
(4.46)
onde,
*
xxxx
xx
f
~
Yf
~
K
(4.47)
*
xxzz
xz
f
~
Yf
~
K
(4.48)
*
zzxx
zx
f
~
Yf
~
K
(4.49)
*
zzzz
zz
f
~
Yf
~
K
(4.50)
O cálculo do determinante da equação matricial
K
, fornece a solução da
equação característica, cuja raiz é a constante de propagação
.
j
O Método dos Momentos associado com o Método da Linha de Transmissão
Transversa permite a obtenção da freqüência de ressonância do ressoador em estudo.
Os procedimentos anteriores são descritos para os casos mais gerais com a
utilização das duas componentes dos campos elétricos e independem da escolha das
36
funções de base. Quando se tratar de funções puramente reais, o produto escalar é
aplicado às próprias funções, sendo ignorado os seus conjugados.
Para que a equação (4.46) tenha uma solução não-trivial, o determinante da
matriz [K] correspondente (equação característica) deve ser feito igualado a zero. A
solução da equação característica fornece, como resultado, a freqüência angular
complexa, que, por sua vez fornece a Freqüência de Ressonância Complexa [24]-[25].
Os resultados para o ressoador retangular de fenda com quatro camadas, serão
mostrados no próximo capítulo desta dissertação.
4.6 Determinação da Eficiência de Radiação
Para a estrutura em estudo, ou seja, para ressoador retangular de fenda, o
desenvolvimento teórico para determinação da eficiência radiação leva em consideração
as perdas de reflexão, de condução e dielétrica. A eficiência de radiação é definida
como sendo a razão entre a potência entregue a resistência de radiação e a potência de
entrada entregue a R
r
e R
L
[6]. A resistência R
L
é usada para representar as perdas de
condução e dielétricas, conforme equações (4.54) e (4.55) A eficiência também pode ser
expressa em termos dos fatores de qualidade para um ressoador retangular de fenda.
(%) 100
t
r
R
R
(4.51)
Onde,
R
t
- Resistência total
R
r
- Resistência de Radiação
A resistência de radiação R
r
é dada por:
2
1
120
r
R
I
(4.52)
37
Onde,
22
0
1
0
cos tan
2
kW
I sen sen
(4.53)
Onde
0 0 0 0
k
é o número de onda para o espaço livre.
As expressões para resistência do condutor R
c
e resistência do dielétrico R
d,
dadas por:
2
3
0
1
2
4( )
()
r
c
cu
f hL
R
W
(4.54)
2
3
0
0
4( )
tan
r
d
r
f hL
R
LW
(4.55)
Onde para o cobre temos:
cu
= 1,72 x10
-8
; σ = 5,8 x 10
7
.
A resistência total , R
t
(Ω), é calculada a partir da seguinte equação:
'
1 1 1 1
t r c d
R R R R
(4.56)
Onde,
'
2
r
r
R
R
(4.57)
38
O importante a ser observado, de acordo com a literatura, que a eficiência de
radiação depende principalmente da espessura do substrato e permissividade do material
dielétrico [26],
4.7 Conclusões
O estudo apresentado neste capítulo sobre o Ressoador Retangular de Fenda
retrata uma análise dinâmica da estrutura através do método LTT que, a partir das
equações de Maxwell chega-se às equações gerais dos campos eletromagnéticos
permitindo, segundo os procedimentos citados, o cálculo da freqüência de ressonância
complexa.
Com a utilização de programas computacionais construídos nas linguagens
FORTRAN POWERSTATION e MATLAB, se chegou a vários resultados numéricos
os quais são apresentados e discutidos no capítulo 5.
Também neste capítulo foi mostrado como se determinaram os campos
eletromagnéticos da estrutura em estudo, aplicando em conjunto o método da Linha de
Transmissão Transversa, obtendo a freqüência de ressonância complexa e a
determinação da eficiência de radiação para o ressoador retangular de fenda.
39
Capítulo 5
Resultados
5.1 Introdução
A partir da teoria desenvolvida no Capítulo 4, foram obtidos resultados para o
ressoador retangular de fenda com quatro camadas utilizando substrato com material
PBG. Os resultados da freqüência de ressonância e da eficiência de radiação serão
apresentados no decorrer deste capítulo.
O estudo da freqüência de ressonância complexa considera as com perdas no
dielétrico, neste caso as condutividades das camadas dielétricas não são consideradas
nulas. Quando forem considerados dielétricos sem perdas, o resultado da freqüência de
ressonância será composto apenas de parte real.
Para o cálculo da freqüência de ressonância foi utilizado um programa
desenvolvido na linguagem Fortran, as curvas foram obtidas com a utilização do
Matlab 7.0.
5.2 Resultados da Freqüência de Ressonância Complexa
5.2.1 Ressoador Retangular de Fenda com quatro camadas
Os resultados apresentados na Figura 5.1 representam a variação da freqüência
de ressonância complexa em função do comprimento da fenda retangular, onde
inicialmente é feita uma comparação no ressoador de fenda com quadro camadas,
ocorrendo uma simulação, onde as duas camadas abaixo da fenda possuem uma
permissividade relativa de ε
r1
= 12, para a primeira camada, e uma permissividade
relativa de ε
r2
= 8,7209 (polarização p), para a segunda camada. Para a terceira camada,
que se encontra na parte superior da fenda, esta possui uma permissividade relativa de
ε
r3
= 12 e a quarta camada considerada como sendo o ar, possui uma permissividade
40
relativa de ε
r4
= 1,0. As condutividades são representadas por σ
1
=σ
2
= σ
3
1 S/m e σ
4
= 1
S/m, para as quatro camadas consideradas na análise dos resultados. A altura dos
dielétricos são h
1
= 3,302 mm, h
2
= 1,270 mm e h
3
= 1,270 mm. A largura da fenda é
de W = 15 mm, o comprimento estrutura em análise é DA = 71,12 mm e a largura é DB
= 35,56 mm. Desta forma, foram obtidos os resultado utilizando um substrato
composto de material PBG bidimensional de Silício (Si), que tem sua dependência de
acordo com a polarização do campo elétrico s (paralelo ao eixo z) e p (perpendicular ao
eixo z).
Da mesma forma ocorre uma comparação para com a utilização dos mesmos
valores, apenas considerando o valor da permissividade da segunda camada de ε
r2
=
10,233 (polarização s).
Figura 5.1 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG
2D com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.
Para os resultados apresentados na Figura 5.2, foram obtidos os para os mesmos
valores com exceção de uma mudança nos valores da condutividade, σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5
S/m e σ
4
= 0,0 S/m, considerando os materiais dielétricos com perdas em todas as
camadas (σ
1,2,3
≠ 0) .
41
Figura 5.2 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D
com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.
Também foram obtidos os resultados apresentados na Figura 5.3, para os
mesmos valores com exceção de uma mudança nos valores da condutividade, σ
1
= σ
2
=
σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m, considerando os materiais dielétricos sem perdas em todas
as camadas (σ
1,2,3
= 0) .
Figura 5.3 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D
com polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.
42
Pode ser observado nas Figuras 5.1, 5.2 e 5.3 que as curvas das freqüências de
ressonância em função do comprimento da fenda, apresentaram um comportamento de
uma pequena elevação da freqüência de ressonância e virtude da mudança da variação
da condutividade das camadas da região 1, 2 3, ou seja, para os substratos dielétricos
com perdas e sem perdas. Tal observação apresenta-se mais acentuada para a
polarização do material PBG 2D com polarização p (ε
r
= 8,7209). Outra observação a
ser feita é que há um acréscimo da freqüência de ressonância real da estrutura em
função do aumento do comprimento da fenda.
A Figura 5.4 mostra curvas para a freqüência de ressonância em função do
comprimento da fenda, utilizando uma polarização s, simulada para os três casos:
Caso 1: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização s e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 2: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização s e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 3: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização s e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Figura 5.4 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D
com polarização s .
43
Analisando a Figura 5.5, que descreve as curvas para a freqüência de
ressonância em função do comprimento da fenda, utilizando uma polarização p,
simulada para os três casos:
Caso 1: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização p e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 2: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização p e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 3: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização p e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0
Figura 5.5 - Freqüência de ressonância em função do comprimento da fenda para material PBG 2D
com polarização p .
Analisando as curvas da Figura 5.5, pode-se observar que a simulação realizada
para o caso 1, apresenta freqüências de ressonância (em função do comprimento da
fenda) menores que na simulação do caso 2 e sucessivamente para o caso 3. Constata-se
assim que para uma variação no valor da condutividade das camadas dielétricas,
observa-se uma elevação da freqüência de ressonância.
44
Considerando a mesma estrutura analisada, a Figura 5.6 representa a variação da
freqüência de ressonância complexa em função da largura da fenda retangular, onde
inicialmente é feita uma comparação no ressoador de fenda com quadro camadas,
ocorrendo uma simulação, onde as duas camadas abaixo da fenda possuem uma
permissividade relativa de ε
r1
= 12, para a primeira camada, e uma permissividade
relativa de ε
r2
= 8,7209 (polarização p), para a segunda camada. Para a terceira camada,
que se encontra na parte superior da fenda, esta possui uma permissividade relativa de
ε
r3
= 12 e a quarta camada considerada como sendo o ar, possui uma permissividade
relativa de ε
r4
= 1,0. As condutividades são representadas por σ
1
=σ
2
= σ
3
1 S/m e σ
4
= 1
S/m, para as quatro camadas consideradas na análise dos resultados. A altura dos
dielétricos são h
1
= 3,302 mm, h
2
= 1,270 mm e h
3
= 1,270 mm. O comprimento da
fenda é de L = 20 mm, o comprimento estrutura em análise é DA = 71,12 mm e a
largura da estrutura em análise é DB = 35,56 mm. Desta forma, foram obtidos os
resultado utilizando um substrato composto de material PBG bidimensional de Silício
(Si), que tem sua dependência de acordo com a polarização do campo elétrico s
(paralelo ao eixo z) e p (perpendicular ao eixo z).
Da mesma forma ocorre uma comparação para com a utilização dos mesmos
valores, apenas considerando o valor da permissividade da segunda camada de ε
r2
=
10,233 (polarização s).
Figura 5.6 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG 2D com
polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.
45
Para os resultados apresentados na Figura 5.7, foram obtidos os para os mesmos
valores com exceção de uma mudança nos valores da condutividade, σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5
S/m e σ
4
= 0,0 S/m, considerando os materiais dielétricos com perdas em todas as
camadas (σ
1,2,3
≠ 0) . Também foram obtidos os resultados apresentados na Figura 5.8,
para os mesmos valores com exceção de uma mudança nos valores da condutividade, σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m, considerando os materiais dielétricos sem perdas em
todas as camadas (σ
1,2,3
= 0) .
Figura 5.7 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG 2D com
polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.
Figura 5.8 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG 2D com
polarizações s e p, para σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0 S/m.
46
Portanto, pode-se concluir , que de acordo com as Figuras 5.6, 5.7 e 5.8 que as
curvas das freqüências de ressonância em função da largura da fenda, apresentaram um
comportamento com uma pequena elevação da freqüência de ressonância em virtude do
aumento do valor da condutividade das camadas da região 1, 2 3, ou seja, para os
substratos dielétricos com perdas e sem perdas. Tal observação apresenta-se mais
acentuada para a polarização do material PBG 2D com polarização p (ε
r
= 8,7209).
Outra observação a ser feita é que há um acréscimo da freqüência de ressonância real da
estrutura em função do aumento da largura da fenda.
Partindo da mesma metodologia para comparação dos parâmetros pertinentes a
estrutura em análise, a Figura 5.9 mostra curvas para a freqüência de ressonância em
função da largura da fenda, utilizando uma polarização s, simulada para os três casos:
Caso 1: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização s e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 2: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização s e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 3: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização s e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Figura 5.9 Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG 2D
com polarização s .
47
A Figura 5.10, que descreve as curvas para a freqüência de ressonância em
função do largura da fenda, utilizando uma polarização p, simulada para os três casos:
Caso 1: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização p e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 1,0 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 2: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização p e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,5 S/m e σ
4
= 0,0
S/m.
Caso 3: Camada dielétrica 1, 2 e 3 composta de substrato PBG 2D com
polarização p e camada dielétrica 4 considerada com sendo o ar. As perdas
consideradas para as camadas dielétricas são: σ
1
= σ
2
= σ
3
= 0,0 S/m e σ
4
= 0,0
Figura 5.10 - Freqüência de ressonância em função da largura da fenda para material PBG 2D
com polarização p .
Observando as Figuras 5.9 e 5.10 é possível concluir que a freqüência de
ressonância é alterada com a mudança de polarização, apresentando freqüência de
ressonância com o comportamento inveso entre as polarizações quando alterado o valor
da condutividade: para a polarização s quando diminui o valor da condutividade a
freqüência aumenta e para a polarização p, os maiores valores de freqüência foram
obtidos para o maior valor da condutividade.
48
5.3 Resultados da Eficiência de Radiação
5.3.1 Ressoador Retangular de Fenda com quatro camadas
A figura 5.11, apresenta a curva da eficiência de radiação em função da
freqüência de ressonância. Os resultados obtidos foram consideradas para as camadas
dielétricas 1, 2 e 3 compostas de substrato PBG 2D com polarização s com as seguintes
permissividades relativas: ε
r1
= 12, ε
r2
= 10,233, ε
r3
= 12, ε
r4
= 1. O ar é considerado
como a quarta camada em questão. Para a obtenção do resultado foi considerado, a
altura do dielétrico, representado para a segunda camada de substrato, h
2
= 3, 302 mm, o
comprimento da fenda igual a L = 20 mm, o comprimento estrutura em análise para um
DA = 71,12 mm e a largura da estrutura em análise para DB = 35,56 mm. O resultado
acima, para efeito de confirmação com a literatura pertinente, o valor da largura da
fenda (W) foi considerado uma variação de 15 mm a 30 mm.
Figura 5.11 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s,
considerando a altura do substrato da segunda camada h
2
=3,302 mm.
.
49
Para a Figura 5.12, foram obtidos os resultados utilizando-se todos os valores
considerados para a Figura 5.11, com exceção do aumento da espessura da segunda
camada de substrato, h
2
= 5,842 mm.
Figura 5.12 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s,
considerando a altura do substrato da segunda camada, h
2
=5,842 mm.
Na figura 5.13 podemos ver que à medida que aumentamos a espessura do
dielétrico da segunda camada, de 3.302 mm para 5.842 mm, há uma melhoria da
eficiência de radiação da estrutura em estudo e um aumento da freqüência de
ressonância em função da eficiência.
Figura 5.13 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s,
considerando diferentes espessura de substrato para a segunda camada .
50
O resultado obtido na Figura 5.14, representa a curva da eficiência de radiação
em função da freqüência de ressonância. Para as variáveis que irão compor os
resultados, foram consideradas para as camadas dielétricas 1, 2 e 3 compostas de
substrato PBG 2D com polarização p com as seguintes permissividades relativas: εr1 =
12, εr2 = 8,702, εr3 = 12, εr4 = 1. O ar é considerado como a quarta camada em
questão. Para a obtenção do resultado foi considerado, a altura do dielétrico,
representado para a segunda camada de substrato, h2 = 3,302 mm, o comprimento da
fenda igual a L = 20 mm, o comprimento estrutura em análise para um DA = 71,12 mm
e a largura da estrutura em análise para DB = 35,56 mm. O resultado acima, para efeito
de confirmação com a literatura pertinente, o valor da largura da fenda (W) foi
considerado uma variação de 15 mm a 30 mm.
Para a Figura 5.15, foram obtidos os resultados utilizando-se de todos os valores
para a Figura 5.14, com exceção do aumento da espessura da segunda camada de
substrato, h
2
= 5,842 mm.
Figura 5.14 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p,
considerando a altura do substrato da segunda camada h
2
=3,302 mm.
51
Figura 5.15 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p,
considerando a altura do substrato da segunda camada h
2
=5,842 mm.
A Figura 5.16 mostra um gráfico comparativo entre a curva da eficiência de
radiação em função da freqüência de ressonância para diferentes espessuras de
substrato, ou seja, foi considerado, para a polarização p, uma altura de substrato
inicialmente h
2
= 3,302 mm e 5,842 mm. Portanto observa-se uma melhoria da
eficiência de radiação da estrutura em estudo e um aumento da freqüência de
ressonância em função da eficiência.
Figura 5.16 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p,
considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada.
52
Para os resultados obtidos na figura 5.17 foram consideradas as seguintes
permissividades relativas: ε
r1
= 12, ε
r2
= 10,233 (polarização s), ε
r3
= 12, ε
r4
= 1. O ar é
considerado como a quarta camada em questão. A espessura utilizada para esta analise,
foram: h
2
= 2,540 mm, h
2
= 3,302 mm e h
2
= 5,842 mm.
Figura 5.17 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização s,
considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada.( h2 = 2,540 mm, h2 =
3,302 mm e h2 = 5,842 mm.
53
A figura 5.18 considera as seguintes permissividades relativas: ε
r1
= 12, ε
r2
=
8,702 (polarização p), ε
r3
= 12, ε
r4
= 1. O ar é considerado como a quarta camada em
questão. A espessura utilizada para esta analise, foram: h
2
= 2,540 mm, h
2
= 3,302 mm e
h
2
= 5,842 mm.
Figura 5.18 – Eficiência de radiação em função da freqüência de ressonância para polarização p,
considerando diferentes espessuras de substrato para a segunda camada.( h2 = 2,540 mm, h2 =
3,302 mm e h2 = 5,842 mm.
Observando as figuras 5.17 e 5.18, concluímos que ocorre um aumento da
eficiência no ressoador retangular de fenda a medida que se efetua um aumento na
espessura na segunda camada da estrutura em estudo. Portanto confirma-se base a
literatura que a eficiência de radiação depende principalmente da espessura do substrato
e permissividade do material dielétrico.
54
Capítulo 6
Conclusões
As análises teóricas apresentadas nesta dissertação foram efetuadas através do
método da Linha de Transmissão Transversa – LTT no domínio da transformada de
Fourier em combinação com o método de Galerkin, onde foram usadas funções de base
adequadas à ressoadores retangulares de fenda para a representação das características
físicas destas.
Neste trabalho realizou-se um estudo das aplicações do método da Linha de
Transmissão Transversa aos ressoadores retangular de fenda com quatro camadas, para
determinação da freqüência de ressonância complexa e da eficiência de radiação dessa
estrutura.
Resultados numérico-computacionais foram obtidos pela utilização de
programas desenvolvidos em Fortran e MATLAB 7.0. Utilizaram-se sub-rotinas para a
inversão matricial complexa (inverte-se a matriz admitância complexa para se obter a
matriz impedância complexa da estrutura, a qual é adequada para o estudo de microfita),
para a extração das raízes complexas da equação característica da estrutura (a qual
utiliza o método iterativo de Newton Raphson que através de aproximações iniciais
sofre um processo de convergência para os zeros da equação) e sub-rotinas internas do
Fortran .
O ressoador retangular de fenda com quatro camadas dielétricas têm seus
resultados de freqüência de ressonância calculada para as considerações de substratos
sem perdas no dielétrico e com perdas, neste caso a freqüência de ressonância é
complexa. O desenvolvimento do calculo da eficiência de radiação apresentado no
trabalho condiz com literatura vigente.
A teoria PBG foi utilizada para a obtenção da permissividade efetiva das
estruturas em que este material foi utilizado como dielétrico. As estruturas apresentam
permissividades com valores diferentes para as polarizações s e p, de acordo com a
teoria da Homogeneização.
55
Em todas as simulações do ressoador de quatro camadas com substrato de
material PBG, conclui-se que, se o material PBG estiver na camada próxima ao plano de
terra, a freqüência de ressonância não é afetada pela mudança das polarizações (s e p).
Entretanto, se o PBG estiver na camada imediatamente abaixo da fenda ressoadora, a
freqüência de ressonância sofrerá alterações com a mudança da polarização, sendo a de
freqüência maior aquela que incide à polarização p.
Outra observação constatada, é que a condutividade influencia diretamente na
freqüência de ressonância complexa, em ambas polarizações, quando e realizada em
função do comprimento de fenda. Quando a simulação da freqüência de ressonância
complexa foi realizada em função da largura da fenda, obtiveram-se resultados
diferentes entre as polarizações.
Como continuidade para este trabalho, é sugerida a determinação dos seguintes
parâmetros em trabalhos futuros:
• Diagrama de irradiação e largura de banda das estruturas em
multicamadas de patches retangular, utilizando substratos isotrópico, cerâmicos e com a
inserção de material PBG.
• Confeccionar protótipos utilizando os resultados obtidos nas simulações
e realizar as medições para comparação com os resultados teóricos obtidos através do
método da Linha de Transmissão Transversa.
56
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Tech., Vol. MTT – 17, nº 10, pp. 768-778, Oct. 1969.
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finlines”, Tese de doutorado, FEC, UNICAMP, 189p., Campinas – SP, July 1984.
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February 1995.
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Microondas -Linhas e Antenas- em Substratos Dielétricos e Semicondutores:
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Universidade Estadual de Campinas.Setembro 2001.
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57
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[19] H. C. C Fernandes, "Attenuation And Propagation in Various Finline Structures",
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[25] R. F. Harrington, “Field Computation by Moment Methods”,MacMillan, New
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58
[27] H. C. C. Fernandes ; Andrade, H. D. ; Aquino, M.B.L. ; Brito, Davi Bibiano .
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PIERS2007. v. 1. p. 2121-2127.
[28] H. C. C. Fernandes ; Andrade, H.D . “Photonic Rectangular Slot Resonator with
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Materials, 2009, Rio de Janeiro: SBPMAT, 2009. v. I. p. 301-301.
[29] H. D. Andrade, H. C. C. Fernandes, “Relatório Técnico do Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica – PPgEE – 03/2010 (Programa: FRRRFQCF
)”, Natal-RN, Junho de 2010.
[30] H. D. Andrade, H. C. C. Fernandes, “Relatório Técnico do Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica – PPgEE – 04/2010 (Programa: Eficiência-
Ressoador)”, Natal-RN, Junho de 2010.
[31] H. D. Andrade, H. C. C. Fernandes, “Relatório Técnico do Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica – PPgEE – 05/2010 (Programa: FRRRF x
WLRRF )”, Natal-RN, Junho de 2010.
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