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CARLOS EDUARDO DE CARVALHO
Análise Comparativa de Técnicas MRAS
Aplicadas à Estimação de Velocidade de
Máquinas de Indução Trifásicas
Goiânia
2005
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CARLOS EDUARDO DE CARVALHO
Análise Comparativa de Técnicas MRAS
Aplicadas à Estimação de Velocidade de
Máquinas de Indução Trifásicas
Dissertação apresentada ao Curso de
Mestrado em Engenharia Elétrica da Uni-
versidade Federal de Goiás, para obtenção
do título de Mestre em Engenharia Elétrica.
Área de Concentração: Engenharia
Elétrica.
Orientador:
Prof. Dr. José Wilson Lima Nerys
Universidade Federal de Goiás
Escola de Engenharia Elétrica e de Computação
Goiânia
2005
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Dissertação sob o título: Análise Comparativa de Técnicas MRAS Aplicadas à Esti-
mação de Velocidade de Máquinas de Indução Trifásicas.
Prof. Dr. José Wilson Lima Nerys
Orientador
Universidade Federal de Goiás
Prof. Dr. João Onofre Pereira Pinto
Examidor Externo
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Prof. Msc. Luiz Roberto Lisita
Coorientador
Universidade Federal de Goiás
Dedico esta pesquisa à minha esposa Elaine e meu filho Eduardo.
Agradecimentos
Dedico meus sinceros agradecimentos:
À minha esposa, que tem me dado apoio em meio as tormentas desta vida e se
mostrado fiel companheira.
À minha mãe, cujo esforço descomunal em prover subsídios morais e até financeiros
foi extremamente importante.
Ao Prof. Dr. José Wilson Lima Nerys que como orientador sempre me contagiou com
seu otimismo, alegria e entusiasmo.
Ao Prof. Msc. Luiz Roberto Lisita que partilhou seu precioso tempo em análise e
questionamentos em laboratório.
Ao Prof. Leandro Borba que muito contribui nas reflexões quando deparado com
difíceis decisões.
Ao Prof. Dr. Enes Gonçalves Marra cuja paciência e atenção foram indispensáveis no
aprimoramento do texto final desta pesquisa.
Ao Prof. Dr. Lourenço Matias por colaborar tão prontamente na revisão deste texto
e sugestões preciosas.
Aos demais professores do Grupo PEQ e da UFG de uma forma geral pelo apoio e
orientação na execução desta pesquisa.
À Fundação de Apoio à Pesquisa (FUNAPE) e à Coordenação de Aperfeiçamento de
Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro.
À engenheira Marly Aparecida Queiroz, da CELG, pela compreensão e incentivo para
conclusão desta pesquisa.
À engenheira Izabel Amaral de Deus, da CELG, pelo auxílio na revisão deste trabalho.
Aos companheiros de trabalho na CELG: Lívia, Renata e André pelo apoio incondi-
cional.
Ao Prof. Msc. Ézio por ter lido este texto integralmente e colaborado com questio-
namentos e sugestões.
E a todos que acreditaram em meu trabalho.
“O mundo é um lugar perigoso de se viver, não por causa daqueles que fazem o mal, mas
sim por causa daqueles que observam e deixam o mal acontecer”
Albert Einstein
Sumário
Lista de Acrônimos p. 10
Lista de Símbolos p. 11
Lista de Figuras p. 12
Lista de Tabelas p. 15
Resumo p. 16
Abstract p. 17
1 Introdução p. 18
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
1.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
1.3 Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
1.4 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
2 Modelo Dinâmico do Motor de Indução Trifásico p. 24
2.1 Modelagem Matemática do MIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25
2.1.1 Equações do Sistema Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25
2.1.2 Equações do Sistema Mecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.2 Transformação de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.2.1 Referência Arbitrária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
2.2.2 Referência Estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
2.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
3 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência p. 32
3.1 Classificação dos Sistemas Adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) . . . . . . . . . . p. 34
3.2.1 Algoritmos MRAS de Estimação de Velocidade . . . . . . . . . p. 35
3.2.1.1 Observador Fluxo do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
3.2.1.2 Observador Força Contra-eletromotriz . . . . . . . . . p. 37
3.2.1.3 Observador Potência Reativa Instantânea . . . . . . . p. 38
3.2.1.4 Observador Dm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38
3.2.2 Mecanismos de Adaptação e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . p. 39
3.2.2.1 Observador Fluxo do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
3.2.2.2 Observador Força Contra-eletromotriz . . . . . . . . . p. 44
3.2.2.3 Observador Potência Reativa Instantânea . . . . . . . p. 46
3.2.2.4 Observador D
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
3.2.3 Análise da Resposta Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48
3.2.3.1 Observador Fluxo do Rotor . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
3.2.3.2 Observador Força Contra-eletromotriz . . . . . . . . . p. 51
3.2.3.3 Observador Potência Reativa Instantânea . . . . . . . p. 54
3.2.3.4 Observador Dm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55
3.2.4 Esforço Computacional Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57
3.2.4.1 Observador Fluxo do Rotor Discretizado . . . . . . . . p. 58
3.2.4.2 Observador Força Contra-eletromotriz Discretizado . . p. 59
3.2.4.3 Observador Potência Reativa Discretizado . . . . . . . p. 60
3.2.4.4 Observador D
m
Discretizado . . . . . . . . . . . . . . . p. 61
3.2.5 Compensação das Variações Paramétricas . . . . . . . . . . . . p. 62
3.2.5.1 Estimação da Resistência Estatórica . . . . . . . . . . p. 63
3.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65
4 Estudo Comparativo Experimental de Estimadores de Velocidade
com Técnicas MRAS p. 66
4.1 Aquisição de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
4.2 Estudos Experimentais de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
4.2.1 Curvas de Velocidade para Partida de 0 a 900 rpm . . . . . . . p. 68
4.2.2 Curvas de Velocidade para Inversão de Velocidade a 900 rpm . . p. 71
4.2.3 Curvas de Velocidade para Inversão a 600 rpm . . . . . . . . . . p. 73
4.2.4 Curvas de Velocidade para Inversão a 300 rpm . . . . . . . . . . p. 76
4.2.5 Efeito da Variações na Resistência do Estator . . . . . . . . . . p. 78
4.2.6 Análise de Esforço Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
4.2.6.1 Estimação Somente de Velocidade . . . . . . . . . . . . p. 82
4.2.6.2 Estimação de Velocidade e Compensação Paramétrica p. 83
4.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84
5 Conclusões p. 85
Referências p. 89
Apêndice A -- Parâmetros do motor de indução p. 92
Apêndice B -- Programas (VI´s) do LabVIEW p. 93
B.1 VI´s de Propósito Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93
B.1.1 Eliminação de offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93
B.1.2 Transformação de Clark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94
B.1.3 Parâmetros e Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94
B.1.4 Telas de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 95
Apêndice C -- Artigo publicado p. 98
10
Lista de Acrônimos
ca Corrente alternada
cc Corrente contínua
DSP Digital Signal Processor, em português, processador digital de sinais
EC Equação Característica
GTO Gate Turn-Off
IGBT Insulated gate bipolar transistor
ITAE Integral of time multiplied by the absolute value of error
LabVIEW Laboratory Virtual Instruments Engineering Workbench
MIT Motor de indução trifásico
MOSFET Metal Oxide Semicondutor Field Effect Transistor
MRAS Model reference adaptive system
PI Proporcional-integral
PWM Pulse Width Modulation
11
Lista de Símbolos
v Vetor tensão
i Vetor corrente
λ Vetor fluxo
L
s
Indutância própria do estator
L
r
Indutância própria do rotor
L
m
Indutância mútua entre duas fases
M Indutância de magnetização do entreferro
R
s
Resistência de estator
R
r
Resistência de rotor referida ao circuito do estator
p Operador diferencial d/dt
s Subscrito que denota grandezas do estator do MIT
r Subscrito que denota grandezas do rotor do MIT
P Número de pólos do MIT
S Escorregamento do motor
W
m
Energia mecânica do motor
W
f
Energia armazenada no campo do motor
W
e
Coenergia armazenada no campo do motor
ω
a
Velocidade angular arbitrária
ω
m
Velocidade mecânica do rotor
ω
sl
Freqüência angular de escorregamento
θ
rm
Posição mecânica angular do rotor
B Coeficiente de viscosidade do motor
J
m
Momento de inércia do motor
T
e
Torque eletromagnético
T
L
Torque de carga
T
s
Tempo de amostragem
I Matriz identidade de ordem 2
⊗ Módulo do produto vetorial
Produto interno
σ Coeficiente de dispersão
τ
r
Constante de tempo rotórica
abc Subscrito que denota grandeza trifásica
dq Subscrito que denota grandeza bifásica referente aos eixos síncronos
αβ Subscrito que denota grandeza bifásica referente aos eixos estacionários
Φ
1
Função de minimização do erro para ação proporcional do controle
Φ
2
Função de minimização do erro para ação integral do controle
ˆ Denota grandezas estimadas
K
p
, K
i
Ganho proporcional e integral, respectivamente, do compensador
12
Lista de Figuras
1.1 Evolução cronológica da estimação MRAS de velocidade. . . . . . . . . p. 22
2.1 Distribuição espacial dos enrolamentos do MIT. . . . . . . . . . . . . . p. 26
2.2 Representação dos eixos das referências trifásica e bifásica estacionária. p. 31
3.1 Configuração básica de um sistema adaptativo. Fonte: Yoan D. Landau.
Adaptive control: the model reference approach. Marcel Dekker, New
York, 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33
3.2 Estrutura generalizada da estimação de velocidade MRAS. . . . . . . . p. 35
3.3 Sistema geral de realimentação não linear. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40
3.4 Sistema de realimentação não linear do MRAS específico para fluxo do
rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42
3.5 Sistema de realimentação não linear do MRAS específico para força
contra-eletromotriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45
3.6 Diagrama de blocos que representa a resposta dinâmica do sistema MRAS. p. 48
3.7 Estrutura generalizada da estimação mútua MRAS de velocidade e re-
sistência estatórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64
4.1 Sistema experimental para estimação da velocidade do motor de indução
trifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67
4.2 Diagrama de blocos da implementação prática. . . . . . . . . . . . . . . p. 67
4.3 Componente instantânea de eixo direto da corrente do estator na partida
de 0 a 900 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
4.4 Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor a 900 rpm. . . . . . . p. 69
4.5 Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz a 900 rpm. p. 69
4.6 Velocidade real e estimada via MRAS potência reativa a 900 rpm. . . . p. 70
4.7 Velocidade real e estimada via MRAS D
m
a 900 rpm. . . . . . . . . . . p. 70
Lista de Figuras 13
4.8 Componente instantânea de eixo direto da corrente do estator na inversão
a 900 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71
4.9 Componente instantânea de eixo direto da derivada da corrente do esta-
tor na inversão a 900 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71
4.10 Velocidade real e estimada via MRAS fluxo do rotor na inversão a 900
rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72
4.11 Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inver-
são a 900 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72
4.12 Velocidade real e estimada via MRAS Potência Reativa na inversão a
900 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73
4.13 Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 900 rpm. . . . p. 73
4.14 Componente instantânea de eixo direto da corrente de estator na inversão
a 600 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74
4.15 Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 600 rpm. p. 74
4.16 Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inver-
são a 600 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
4.17 Velocidade real e estimada via MRAS potência reativa na inversão a 600
rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
4.18 Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 600 rpm. . . . p. 75
4.19 Derivada da componente instantânea de eixo direto da corrente do estator
na inversão a 600 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
4.20 Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 600 rpm com
filtragem da derivada da corrente de estator. . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
4.21 Componente de eixo direto da corrente de estator . . . . . . . . . . . . p. 77
4.22 Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 300 rpm. p. 77
4.23 Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inver-
são a 300 rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77
4.24 Velocidade real e estimada via MRAS potência reativa na inversão a 300
rpm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78
Lista de Figuras 14
4.25 Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 300 rpm sem
filtragem da derivada da corrente de estator. . . . . . . . . . . . . . . . p. 78
4.26 Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 300 rpm com
filtragem da derivada da corrente de estator. . . . . . . . . . . . . . . . p. 79
4.27 Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 900 rpm
com R
s
25% maior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79
4.28 Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 900 rpm
com compensação de
R
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80
4.29 Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz rotor na
inversão a 900 rpm com R
s
25% maior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80
4.30 Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inver-
são a 900 rpm com compensação de R
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80
4.31 Velocidade real e estimada via MRAS grandeza D
m
na inversão a 900
rpm com R
s
25% maior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
4.32 Velocidade real e estimada via MRAS grandeza D
m
na inversão a 900
rpm com com compensação de R
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
B.1 VI para remoção de componente contínua dos sinais de tensão e corrente
amostrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93
B.2 VI para transformação de Clark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94
B.3 VI de inicialização de parâmetros e constantes do motor. . . . . . . . . p. 94
B.4 Interface de usuário com a tela inicial de informações. . . . . . . . . . . p. 95
B.5 Interface de usuário com as medições das grandezas terminais (tensão e
corrente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 96
B.6 Interface de usuário da tela saída de dados com gráficos da velocidade
estimada e erro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97
B.7 Tela de diagrama com implementação prática do estimador MRAS via
vetor D
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97
15
Lista de Tabelas
3.1 Esforço computacional observador fluxo do rotor por iteração . . . . . . p. 59
3.2 Esforço computacional observador força contra-eletromotriz por iteração p. 60
3.3 Esforço computacional observador potência reativa instantânea por iteração p. 61
3.4 Esforço computacional observador D
m
por iteração . . . . . . . . . . . p. 62
3.5 Esforço computacional dos quatro estimadores de velocidade por iteração
em relação ao observador fluxo de rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62
4.1 Tempo de processamento relativo sem compensação de parâmetros . . . p. 83
4.2 Tempo de processamento relativo com compensação de parâmetros . . p. 83
16
Resumo
A aplicação de sensores de velocidade para motores de indução representa custos ele-
vados, necessidade de condições e arranjos mecânicos específicos, elaboração de interfaces
e presença de ruídos na resposta, inerentes aos processos de medição. Além disso, em cer-
tos ambientes hostis (água e partículas sólidas), a resposta dos sensores é comprometida
e às vezes tecnicamente inviável de ser obtida. Estas desvantagens justificam o crescente
avanço na estimação de parâmetros e da velocidade do rotor. Esta dissertação tem por
objetivo a análise comparativa de técnicas consagradas de controle adaptativo baseadas
em sistemas adaptativos de modelo de referência (MRAS) na estimação da velocidade do
rotor. Enfatizou-se de forma destacada a implementação de quatro observadores MRAS
(fluxo de rotor, força contra-eletromotriz, potência reativa instantânea e grandeza D
m
)
utilizando a plataforma de programação gráfica LabVIEW que proporcionou ferramentas
rápidas e simples na implementação dos algoritmos e construção de interfaces gráficas. O
mecanismo de adaptação utilizado foi o controle proporcional e integral (PI). Situações
diversas de variação de velocidade foram impostas aos observadores e aplicação de es-
quemas de estimação mútua (velocidade e parâmetros) foram validados. Aspectos como
resposta dinâmica, erro em regime permanente, esforço computacional, rapidez da con-
vergência, facilidade de implementação foram investigados além de considerações sobre
as particularidades de cada modelo e suas vantagens e desvantagens em aplicações de
variação de velocidade do motor. Os resultados foram obtidos a partir do acionamento do
motor de indução trifásico com conversor de freqüência, sem carga e conectado em estrela
para situações de partida a partir de velocidade zero e inversão de velocidade.
Palavras-Chaves - Estimação de velocidade, motor de indução trifásico, MRAS,
observadores de estados.
17
Abstract
The application of speed sensors for induction motors represents raised costs, specific
necessity of condition and mechanical arrangements, elaboration of interfaces and pre-
sence of noises in the response. Moreover, in certain hostile environments (solid particles
and water) the response of the sensors is affected and sometimes technically infeasible.
These disadvantages justify the increasing advance in the estimation of parameters and
rotor speed. The aim of this work is to accomplish a comparative analysis of the four
most commonly used algorithms applied for estimating the induction motor speed, based
on Model Reference Adaptive System (MRAS) techniques. The use of the platform of
graphical programming LabVIEW, provides fast and handy tools in the implementation
of the algorithms and construction of graphical interfaces. The Rotor Flux, Back EMF,
Reactive Power and D
m
quantity estimators were the analyzed methods. The adaptive
mechanisms used was the Proportional-Integral (PI) controller. Aspects such as dynamic
response, error in steady state, computational effort, fast convergence, facility of imple-
mentation as well as particularities of each model were comparatively analyzed. The
experimental results were obtained under no-load start-up and speed reversion conditions
and compared to an analog tachogenerator signal. The set-up is based on a data acqui-
sition board and the computations were carried out using the widely known LabVIEW
symbolic interface software.
Keywords - Speed estimation, three-phase induction motor, MRAS, state observer.
18
1 Introdução
O controle vetorial do motor de indução constitui uma importante ferramenta que
possibilita unir as melhores características do motor ca e do motor cc com excitação
independente. Assim, um motor de indução trifásico (MIT) que em condições de aciona-
mento através do controle escalar apresenta resposta dinâmica oscilatória, tem melhor
resposta dinâmica com o controle vetorial. A resposta dinâmica do controle vetorial é tão
boa quanto a da máquina de corrente contínua, cc, com excitação independente, cujas
desvantagens de custo, manutenção, entre outras, têm motivado a busca de alternativas.
Por outro lado, o funcionamento do controle vetorial exige a necessidade da posição
do campo, o qual pode ser feito através de sensores de campo ou através da relação de
escorregamento e da posição do rotor. Principalmente por questões de robustez e custos,
o uso de sensores de campo é evitado e o controle vetorial que utiliza a velocidade do
rotor, dito indireto, é amplamente difundido. Portanto, o conhecimento da velocidade
do rotor, tão necessária ao funcionamento do controle vetorial indireto, é investigada no
decorrer deste trabalho através de técnicas de controle adaptativo.
A aplicação de sensores para obtenção desta velocidade no controle de motores de
indução representa custos elevados, necessidade de condições e arranjos mecânicos es-
pecíficos, elaboração de interfaces e presença de ruídos na resposta. Estas desvantagens
justificam o crescente avanço na estimação da velocidade e também dos parâmetros do
motor. De fato uma grande variedade de conversores de freqüência já está comercialmente
disponível com funções de estimação de parâmetros e da velocidade de motores.
Motores de indução convencionais são fornecidos pelos fabricantes sem transdutores
de velocidade, sendo necessárias aquisições e instalações adicionais que nem sempre garan-
tem uma resposta adequada. Por exemplo, ao se instalar um transdutor analógico no eixo
de um motor, além da presença de ruído na resposta devido ao chaveamento PWM do
conversor de freqüência, tem-se distorções no sinal se o acoplamento mecânico for inade-
quado. Estas distorções no sinal gerado por um transdutor analógico de velocidade são
1 Introdução 19
mais pronunciadas quando o motor é submetido à operação em baixas velocidades.
No caso de uso de encoder digital, as falhas de instalação acarretam a geração de pulsos
excedentes para os sinais ortogonais (sinais dos canais A e B no encoder incremental de
quadratura). A interface digital de contagem interpreta então um valor superior ao real
o que ocasiona um valor de velocidade superior ao verdadeiro.
Um outro aspecto importante que motiva a utilização de processos de estimação de
velocidade ou parâmetros em aplicações de velocidade variável é o alto custo de aquisição
e implantação de transdutores. E é importante enfatizar ainda que em ambientes hostis,
a instalação de transdutores é dificultada e a resposta, quando obtida, é degradada. Por
exemplo, em motores submersos ou em ambientes com grande depósito de partículas
sólidas.
A partir de tais considerações iniciais uma preocupação com a alternativa econômica e
tecnicamente mais atrativa, tal como a estimação de velocidade é plenamente justificada.
A estimação MRAS (Sistemas Adaptativos de Modelo de Referência) analisada nesta
pesquisa oferece suporte para o conhecimento da velocidade ou dos parâmetros do mo-
tor, através das grandezas terminais do motor, ou seja, a tensão aplicada e a corrente
resultante.
A expectativa quanto ao desempenho de estimadores de velocidade se resume basica-
mente aos seguintes aspectos:
• Robustez em relação às variações ou incertezas paramétricas;
• Operação adequada em uma faixa maior possível da velocidade;
• Rapidez na convergência;
• Esforço computacional.
O uso da ferramenta de programação gráfica LabVIEW proporcionou a implemen-
tação rápida tanto da parte funcional, com diagramas de blocos, como da parte de in-
terface com o usuário, o painel frontal. Assim, dentro do conceito da instrumentação
virtual em que o aplicativo LabVIEW opera, o tempo dispensado nas implementações
pôde ser reduzido sensivelmente, principalmente no ajuste dos ganhos do compensador
proporcional-integral, PI.
A implementação do controle vetorial indireto (NERYS, 1999) (NERYS et al., 2000) com
o processador digital de sinais, DSP, (STEINDORFF, 2003) poderá, em futuros trabalhos,
1.1 Objetivo 20
tornar uma estrutura sem sensor através da inserção do módulo de estimação MRAS de
velocidade mais adequado, de acordo com as considerações desta pesquisa.
1.1 Objetivo
O objetivo principal deste trabalho é analisar comparativamente as quatro princi-
pais técnicas MRAS utilizadas na estimação da velocidade do motor de indução quanto
aos aspectos de desempenho de precisão através da plataforma gráfica LabVIEW. Estas
técnicas estudadas empregam sistemas adaptativos de modelos de referência (MRAS) im-
plementados com quatro observadores distintos: fluxo de rotor; força contra eletromotriz;
potência reativa instantânea e grandeza D
m
.
1.2 Metodologia
A metodologia aplicada constitui-se em análise comparativa através de simulações e
de implementações utilizando o conceito de instrumentação virtual com uso de placa de
aquisição de dados PCI-MIO-16E e o aplicativo de programação gráfica LabVIEW, ambos
fabricados pela National Instruments.
1.3 Estado da Arte
A necessidade de estimação da velocidade em motores de indução surgiu com as apli-
cações de controle vetorial indireto. Os estimadores de velocidade baseados em sistemas
de modelo de referência, uma classe especial de sistemas adaptativos, surgiram como uma
alternativa viável em aplicações de controle vetorial, uma vez que eram menos complexos
de se implementar, e apresentam resposta adequada (LANDAU, 1979).
Os primeiros esforços práticos na estimação de velocidade de motores de indução
utilizando a técnica MRAS ocorreram em 1987 (TAMAI, 1987) quando Tamai, utilizando
o conceito de sistemas adaptativos de modelo de referência (LANDAU, 1979), implementou
o controle vetorial através da observação da grandeza fluxo de rotor. A grandeza fluxo de
rotor foi inicialmente escolhida no processo de estimação pela correspondência direta desta
variável em implementações do controle vetorial onde seu uso torna a implementação do
controle simplificada.
Em 1989 foi publicada uma implementação com grau de complexidade menor e estabi-
1.3 Estado da Arte 21
lidade maior (SCHAUDER, 1989). A variável observada, fluxo de rotor, foi ainda utilizada
e o controle proporcional-integral como mecanismo de adaptação garantiu a convergência
do processo. Neste ponto, limitações como a dependência paramétrica, devido ao conhe-
cimento pouco preciso de constantes da máquina (resistência e indutâncias) e variações
térmicas, principalmente das resistências dos enrolamentos, sugeriram o desempenho não
ideal em baixas velocidades embora a determinação dos parâmetros do motor em repouso
tenha sido realizada. Além disso, a necessidade de integração do modelo matemático de
referência para obtenção do fluxo rotórico implicava em problemas de condições iniciais.
Outros estudos surgiram com objetivo de eliminar as limitações existentes nos obser-
vadores de fluxo utilizados no controle sem sensor de velocidade. Em 1994 (PENG, 1994)
a dificuldade imposta pela necessidade de integração no modelo de fluxo rotórico foi su-
perada e a resposta dinâmica mostrou-se superior com o uso da variável relacionada com
a derivada do fluxo, denominada força contra-eletromotriz. Contudo, a dependência dos
parâmetros do motor como a resistência do estator e a dispersão da máquina ainda se
fazia presente. Salientou-se que a variação térmica da resistência estatórica afetava o
desempenho e a estabilidade do estimador.
O mesmo autor sugere, no mesmo ano, outro estimador MRAS baseado na potência
reativa instantânea (PENG, 1994), no qual a presença da resistência do estator é removida.
O estimador então torna-se robusto em relação às variações térmicas da resistência es-
tatórica. A dependência em relação à dispersão da máquina ainda existe, apesar de
tratar-se de um parâmetro que pode ser medido precisamente e cujas variações térmicas
são relativamente pequenas.
Um ano mais tarde, outra publicação apresenta um novo esquema de estimação de
velocidade MRAS robusto em relação à dispersão do motor. A dependência em relação à
resistência do estator e do rotor (constante de tempo do rotor) foi compensada através de
um esquema auxiliar para estimação destes parâmetros (ZHEN, 1995). Neste estimador a
variável observada chamada D
m
é uma grandeza puramente matemática.
Freqüentemente, o processo de estimação de velocidade juntamente com algum parâ-
metro do motor é chamado de esquema mútuo.
Em 1996, foi proposto um esquema de estimação robusto em relação às variações
térmicas da resistência do estator e a dispersão em uma faixa extensa de velocidade
(CHOY et al., 1996). Este esquema baseou-se na observação de uma grandeza, h
m
, definida
como a potência reativa somada ao produto vetorial entre a corrente do estator e o fluxo
do rotor. Neste modelo de referência, a resistência do estator e a dispersão, presentes no
1.3 Estado da Arte 22
modelo, são removidas através da escolha, em níveis discretos, da variável α, que elimina
do modelo de referência a resistência estatórica em baixas velocidades e a dispersão para
altas velocidades. Dificuldades na implementação dos critérios de decisão para os níveis
de velocidade onde a constante α assume valores que garantem a robustez do modelo
podem justificar a inexistência de outros trabalhos baseados neste esquema.
Em sua maioria, as implementações dos estimadores MRAS de velocidade empregam,
como ferramenta de adaptação, o compensador proporcional integral (PI ) devido à sim-
plicidade de implementação e à resposta adequada para grande variedade das aplicações.
Contudo, outros mecanismos de adaptação podem ser utilizados, como rede neural (ELBU-
LUK; HUSAIN, 2000) (CAMPBELL; CURTIS, 2000), lógica nebulosa (HAN et al., 2003), entre
outros para superar as deficiências do controle PI com ganhos fixos quando os parâmetros
da máquina variam.
O estimador baseado em força contra-eletromotriz tem seu estudo retomado em 2004
com objetivo de superar as dificuldades observadas em baixas velocidades através da es-
timação mútua da resistência do estator (RASHED; STRONACH, 2004). Neste esquema é
demonstrado que a operação de estimação mútua requer a redefinição dos ganhos do con-
trole proporcional-integral e o sistema deve ser considerado como um sistema de entradas
e saídas múltiplas.
A evolução cronológica de algoritmos de estimação é ilustrada na figura 1.1 e demons-
tra a precedência dos estudos onde a superação de limitações dos algoritmos anteriores
constitui a motivação das pesquisas.
Figura 1.1: Evolução cronológica da estimação MRAS de velocidade.
Devido às suas características estruturais, que motivaram trabalhos recentes, foram
1.4 Organização do Trabalho 23
escolhidos quatro esquemas de estimação de velocidade, para o estudo comparativo a ser
realizado neste trabalho:
• Estimador baseado na observação do vetor fluxo de rotor;
• Estimador baseado na observação do vetor força contra-eletromotriz;
• Estimador baseado na observação da potência reativa instantânea;
• Estimador baseado na observação da grandeza D
m
.
Para a realização das análises dos estimadores, situações iguais foram impostas aos
quatro modelos, de forma a garantir os mesmos critérios de comparação. Assim, após
armazenar digitalmente as curvas de tensão e corrente do motor, pôde-se executar cada
estimador com os mesmos dados de entrada.
1.4 Organização do Trabalho
Após este capítulo introdutório, este texto é desenvolvido em mais quatro capítulos,
conforme descrito a seguir.
No Capítulo 2, a formulação matemática para modelagem dinâmica do MIT será
preparada como ferramenta no desenvolvimento dos modelos de estimação de velocidade
baseados na técnica MRAS.
O Capítulo 3 fornece os conceitos fundamentais das metodologias de estimação e
realiza comparações gerais entre sistemas MRAS com outras técnicas de estimação de ve-
locidade e parâmetros. Além disso, os fundamentos do controle adaptativo e as vantagens
de seu uso no processo de estimação são apresentados. O conceito da hiperestabilidade
de sistemas adaptativos é analisada. Os sistemas adaptativos de modelo de referência
são destacados onde sua aplicação garante de forma muito adequada, a estimação da
velocidade e parâmetros do motor de indução trifásico.
No Capítulo 4 é explorado o uso da plataforma LabVIEW na implementação dos es-
timadores MRAS, bem como das interfaces de usuário para entrada e saída de dados. São
também abordados aspectos acerca das restrições e simplificações do sistema experimental
e apresentados os resultados experimentais.
O Capítulo 5 apresenta as conclusões gerais do trabalho, discute os principais pontos
investigados e sugere tópicos para a continuidade de estudos do tema.
24
2 Modelo Dinâmico do Motor de
Indução Trifásico
O motor de indução trifásico tipo gaiola de esquilo (MIT) é utilizado em processos
industriais de diversos ramos de atividade devido às suas características favoráveis tais
como custo atrativo; disponibilidade comercial; baixo índice de manutenção em função da
ausência de escovas e contatos móveis; possibilidade de acionamento direto pela tensão
da rede.
Por outro lado, até recentemente, o MIT era limitado somente a aplicações com cargas
que requeriam velocidade constante ou variações discretas da velocidade, uma vez que
a eficiência do motor reduzia-se com velocidades abaixo da nominal. Com o advento
dos conversores de freqüência esta dificuldade foi gradualmente sendo superada. Em
contrapartida, o custo de tais conversores impedia a substituição dos motores cc por
motores de indução.
Atualmente, o custo dos conversores de freqüência tem sido reduzido pelos avanços
na eletrônica de potência onde as chaves (IGBT, GTO, MOSFET, etc) têm sido cada vez
mais produzidas a custos menores. Esta industrialização em larga escala tornou o uso
do MIT, em aplicações de variação da velocidade, uma alternativa economicamente mais
viável.
Apesar dos benefícios proporcionados em sua utilização, o MIT requer um controle
de desempenho dinâmico mais complexo em comparação ao motor cc. Neste caso, assim
como em processos com outros tipos de motores, a análise baseada em modelos equivalente
de regime permanente não atende às situações com requisitos dinâmicos de desempenho.
O controle de velocidade do MIT utilizando a técnica de controle vetorial visa tornar
o seu comportamento dinâmico semelhante ao do motor cc com excitação independente,
o qual requer a aplicação da teoria de modelagem dinâmica de máquinas.
Neste trabalho os estimadores de velocidade baseiam-se nas equações dinâmicas do
2.1 Modelagem Matemática do MIT 25
MIT, ou seja, por um conjunto de equações diferenciais que, sob certas simplificações,
regem a dinâmica do motor.
As equações são obtidas com base em determinadas simplificações (KRAUSE et al.,
1995):
• Saturação: A saturação da máquina é desprezada o que resulta em sistemas de
acoplamento magnético linear;
• Distribuição da fmm: Distribuição senoidal da força magnetomotriz resultante da
excitação nos enrolamentos de cada fase;
• Perdas: As perdas no cobre e o efeito pelicular são desconsiderados;
• Conexão do Motor: Motor conectado em Y de forma que a soma das correntes
instantâneas seja nula;
• Alimentação da máquina é realizada por tensões trifásicas equilibradas e senoidais.
A modelagem dinâmica da máquina de indução abordada neste capítulo se estende
basicamente aos aspectos fundamentais necessários à compreensão dos estimadores. Desta
forma, a abordagem sobre construção do MIT, modelagem para operação em regime
permanente e conceitos correlatos foram intencionalmente suprimidos.
2.1 Modelagem Matemática do MIT
Esta modelagem matemática do motor de indução trifásico tem por objetivo a obtenção
de equações que expressam o comportamento dinâmico do motor e constitui-se em equações
de tensão, corrente, fluxo concatenado, conjugado eletromagnético, velocidade e posição
angular. A figura 2.1 ilustra a distribuição trifásica dos enrolamentos do motor de indução.
2.1.1 Equações do Sistema Elétrico
As equações no sistema trifásico na forma vetorial são expressas conforme 2.1 e 2.2,
v
abcs
= R
s
i
abcs
+ pλ
abcs
(2.1)
v
abcr
= R
r
i
abcr
+ pλ
abcr
(2.2)
2.1 Modelagem Matemática do MIT 26
Figura 2.1: Distribuição espacial dos enrolamentos do MIT.
onde os subscritos s e r denotam grandezas do estator e rotor respectivamente, R
s
e R
r
são matrizes diagonais das resistências e o subescrito abc indica uma grandeza trifásica.
Para um sistema magneticamente linear, as equações de fluxo concatenado podem ser
expressas da seguinte maneira:
λ
abcs
λ
abcr
=
L
s
L
sr
(L
sr
)
T
L
r
i
abcs
i
abcr
(2.3)
As matrizes de indutâncias são detalhadas a seguir:
L
s
= L
ls
I + L
ms
D (2.4)
L
r
= L
lr
I + L
mr
D (2.5)
onde
L
ls
: indutância de dispersão por fase no estator
L
lr
:indutância de dispersão por fase no rotor
L
ms
: indutância mútua entre enrolamentos do estator e rotor para a mesma fase
L
mr
: indutância mútua entre enrolamentos do rotor e estator para a mesma fase
2.1 Modelagem Matemática do MIT 27
e a matrix I é a matriz identidade 3x3 e a matriz D corresponde a:
D =
1 −
1
2
−
1
2
−
1
2
1 −
1
2
−
1
2
−
1
2
1
(2.6)
Logo a seguir, as expressões anteriores são reescritas considerando-se a alimentação do
motor a três fios. Assim, a soma das correntes instantâneas é nula, ou seja, i
a
+i
b
+i
c
= 0,
para uma máquina simétrica e magneticamente linear.
L
s
= (L
ls
+ M)I (2.7)
L
r
= (L
lr
+ M)I (2.8)
onde M =
3
2
L
ms
é a indutância de magnetização do entreferro e
L
sr
= L
sr
cos θ
r
cos
θ
r
+
2π
3
cos
θ
r
−
2π
3
cos
θ
r
−
2π
3
cos θ
r
cos
θ
r
+
2π
3
cos
θ
r
+
2π
3
cos
θ
r
−
2π
3
cos θ
r
(2.9)
onde θ
r
é a posição do rotor e ω
r
é a velocidade angular elétrica do rotor e se relacionam
pela seguinte equação:
θ
r
=
t
0
ω (ξ) dξ + θ
r
(0) (2.10)
A constante L
sr
representa a indutância mútua entre os enrolamentos de uma única
fase do estator e do rotor e a matriz L
sr
possui uma dependência temporal entre rotor e
estator que aumenta a complexidade do modelo. Deste modo busca-se outro modelo no
qual esta dependência temporal não ocorra. Observa-se ainda que as equações elétricas
estão em uma notação trifásica que além de conter um número excessivo de variáveis é de
difícil manipulação analítica. Com uso da técnica de transformação de variáveis a ordem
do sistema trifásico pode ser reduzida de 3 para 2, uma vez que o MIT está conectado
a três fios e o sistema é considerado equilibrado. No decorrer deste capítulo as equações
serão reescritas com o objetivo de obter um modelo de segunda ordem na notação vetorial.
2.1 Modelagem Matemática do MIT 28
2.1.2 Equações do Sistema Mecânico
Complementando o sistema de equações do comportamento elétrico do MIT, a mode-
lagem se torna completa com equações que regem o comportamento mecânico do motor.
O modelo mecânico do motor de indução é obtido através da quantificação da energia
armazenada no campo magnético da máquina. Esta energia é obtida pela expressão a
seguir:
W
f
=
1
2
(i
abcs
)
T
(L
s
− L
ls
I) i
abcs
+ (i
abcs
)
T
L
sr
i
abcr
+
1
2
(i
abcr
)
T
(L
r
− L
lr
I) i
abcr
(2.11)
Uma vez considerando um campo magneticamente linear, a energia W
f
é igual à
coenergia W
c
.
O diferenciador da energia mecânica, dW
m
em sistemas rotativos pode ser escrito
conforme a seguinte expressão:
dW
m
= −T
e
dθ
rm
(2.12)
onde T
e
é o torque eletromagnético e θ
rm
é a posição mecânica angular do rotor. Considera-
se para um caso geral uma máquina de P pólos de onde obtém-se a relação
dθ
r
=
P
2
dθ
rm
(2.13)
dW
m
= −
2
P
T
e
dθ
r
(2.14)
Da equação clássica do torque eletromagnético tem-se:
T
e
= −
P
2
∂W
c
∂θ
r
(2.15)
Como W
f
= W
c
, a expressão para W
f
em 2.11 pode ser inserida na equação 2.15
resultando em
T
e
= −
P
2
(i
abcs
)
T
∂
∂θ
r
L
sr
i
abcr
(2.16)
O torque e a velocidade se relacionam por
2.2 Transformação de Variáveis 29
T
e
= J
m
2
P
dω
r
dt
+ Bω
r
+ T
L
(2.17)
onde
T
L
: torque de carga
B : coeficiente de viscosidade do motor
J
m
: momento de inércia do rotor
As equações do sistema mecânico completam a modelagem dinâmica do motor de
indução trifásico.
Na próxima seção a técnica de transformação de variáveis é descrita com objetivo de
simplificar as equações do modelo do motor.
2.2 Transformação de Variáveis
A transformação de variáveis é utilizada na análise de máquinas elétricas com o ob-
jetivo de simplificar o modelo matemático, reescrevendo-se as equações de uma máquina
bifásica equivalente à original trifásica, cujos parâmetros são independentes da posição
rotórica.
No decorrer deste trabalho o sistema de equações está referenciado ao estator, refe-
rência estacionária (CLARK, 1943), pois os estimadores utilizam tensões e correntes do
estator.
2.2.1 Referência Arbitrária
Uma vez que a referência estacionária é um caso particular da referência arbitrária,
esta referência será apresentada.
A expressão 2.18 descreve a matriz de transformação das grandezas de estator de
uma máquina trifásica para uma máquina bifásica, cujos eixos magnéticos giram com
velocidade arbitrária ω
a
.
K
a
s
=
2
3
cos (θ
a
) cos
θ
a
−
2π
3
cos
θ
a
+
2π
3
−sen (θ
a
) −sen
θ
a
−
2π
3
−sen
θ
a
−
2π
3
(2.18)
Para o rotor a matriz de transformação é dada por 2.19.
2.2 Transformação de Variáveis 30
K
a
r
=
2
3
cos (β) cos
β −
2π
3
cos
β +
2π
3
−sen (β) −sen
β −
2π
3
−sen
β −
2π
3
(2.19)
onde β = θ
a
− θ
r
e o fator 2/3 é adotado com objetivo de obter invariância de força
magnetomotriz.
Assim, uma variável qualquer do estator ou rotor no sistema trifásico abc, x
abc
, pode
ser transformada para o sistema bifásico, x
dq
, através das matrizes K
a
s
e K
a
r
e conforme
notação abaixo dada pelas equações 2.20 e 2.21
x
dq
s
= K
a
s
x
abcs
(2.20)
x
dq
r
= K
a
s
x
abcr
(2.21)
As transformações inversas são realizadas com as matrizes inversas de K
a
s
e K
a
r
, con-
forme as equações 2.22 e 2.23
x
abcs
= K
a−1
s
x
dq
s
(2.22)
x
abcr
= K
a−1
s
x
dq
r
(2.23)
Por simplicidade, aqui a notação de subscrito duplo será designada somente com s
para estator e r para rotor, conforme 2.24 e 2.25.
v
s
= R
s
i
s
+ pλ
s
+ ω
a
Jλ
s
(2.24)
e
v
r
= R
r
i
r
+ pλ
r
− (ω
a
− ω
r
)Jλ
r
(2.25)
onde J é uma matriz de dimensão 2 conforme o seguinte
J =
0 −1
1 0
(2.26)
e as relações de fluxo e corrente são as seguintes
λ
s
= L
s
i
s
+ Mi
r
(2.27)
e
λ
r
= Mi
s
+ L
r
i
r
(2.28)
2.3 Considerações Finais 31
2.2.2 Referência Estacionária
Os eixos do sistema bifásico na referência estacionária foram originalmente denomi-
nados por α e β (CLARK, 1943), onde o primeiro eixo está alinhado com o eixo magnético
da fase a e o segundo eixo ortogonal ao primeiro conforme figura 2.2.
Figura 2.2: Representação dos eixos das referências trifásica e bifásica estacionária.
A transformação para a referência estacionária é um caso particular onde a velocidade
ω
a
= 0. Assim, as equações bifásicas na referência estacionária para o estator são
v
s
= R
s
i
s
+ pλ
s
(2.29)
e para o rotor são
v
r
= R
r
i
r
+ pλ
r
+ ω
r
Jλ
r
(2.30)
2.3 Considerações Finais
Neste capítulo foram apresentados os aspectos mais relevantes sobre o modelo dinâmico
da máquina de indução trifásica, apresentando-se as equações gerais do modelo para a
referência bifásica girante com velocidade arbitrária.
Uma vez que o modelo bifásico estacionário será adotado no estudo dos estimadores de
velocidade, as equações desenvolvidas para a referência com velocidade arbitrária foram
reescritas de forma particular para a referência bifásica estacionária.
O próximo capítulo tratará dos principais conceitos acerca das metodologias de esti-
mação a serem estudadas e sobre o controle adaptativo.
32
3 Sistema Adaptativo de Modelo de
Referência
O controle adaptativo, similarmente ao controle robusto, é uma técnica utilizada em
situações onde existem incertezas nas plantas. Estas incertezas decorrem de parâme-
tros desconhecidos, inacessíveis ou que variam durante o processo além das imprecisões
decorrentes de simplificações na modelagem.
Os projetos de aeronaves autopilotáveis foram as primeiras implementações do con-
trole adaptativo, em meados dos anos 50, contudo por falta de análises mais detalhadas de
estabilidade, o interesse no assunto diminuiu. O termo sistema adaptativo foi formalmente
introduzido na literatura de controle no final daquela década (DRENICK; SHAHBENDER,
1957). Na década seguinte, vários trabalhos publicaram avanços na teoria de controle
adaptativo culminando nos anos 80 com propostas que garantiam estabilidade e robustez.
As técnicas de controle adaptativo têm sido então largamente exploradas, resultando
em várias publicações (ASTROM; WITTENMARK, 1989) (BUTLER, 1992) (BORTSOV et al.,
) (CHALAM, 1987) (CRNOSIJA et al., 1991) (IOANNOU; SUN, 1996) (KAUFMAN et al., 1998)
(KRSTIC et al., 1995).
O principal objetivo do controle adaptativo é a eliminação de perturbações estruturais
que comprometam o desempenho dos sistemas de controle (LANDAU, 1979). O trabalho de
Landau (LANDAU, 1979) tem sido um dos mais referenciados na estimação da velocidade
de motores de indução.
Aeronáutica, náutica, eletromecânica e processos metalúrgicos são exemplos de áreas
onde as técnicas de controle adaptativo são empregadas.
A configuração básica generalizada de um sistema adaptativo pode ser vista na figura
3.1. Nesta configuração, após a medição do desempenho através das entradas, saídas e
pertubações, comparado ao desempenho desejável, o mecanismo de adaptação adequado
ajusta o sistema de forma a anular o erro entre os desempenhos.
3.1 Classificação dos Sistemas Adaptativos 33
Figura 3.1: Configuração básica de um sistema adaptativo. Fonte: Yoan D. Landau.
Adaptive control: the model reference approach. Marcel Dekker, New York, 1979
Neste capítulo, a aplicação de sistemas adaptativos de modelo de referência em máquinas
de indução será abordada.
3.1 Classificação dos Sistemas Adaptativos
Existem vários critérios para classificação dos sistemas adaptativos baseados nas ca-
racterísticas dos elementos do ramo adaptativo mostrados no diagrama da figura 3.1 ou
na forma de obtenção da adaptação (LANDAU, 1979).
Primeiramente os sistemas adaptativos podem ser agrupados quanto ao índice de
desempenho utilizado:
• Estático;
• Dinâmico;
• Paramétrico;
• Função das variáveis de estado e entradas.
Além disso, podem-se utilizar blocos de comparação e decisão dos seguintes tipos:
• Subtrativo;
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 34
• Determinação de mínimos ou máximos;
• Pertencente a uma faixa de certos valores.
Sob o ponto de vista do mecanismo de adaptação os sistemas adaptativos podem ter:
• Adaptação paramétrica - O controle modifica os parâmetros do controlador;
• Adaptação através de síntese de sinais - O controle modifica o sinal aplicado à planta
adicionando um sinal suplementar à saída do controlador.
E ainda podem ser classificados quanto às técnicas adaptativas utilizadas da seguinte
maneira:
• Determinística - Informações de natureza probabilística sobre o processo e os parâ-
metros não são conhecidas;
• Estocástica - A medição do desempenho e o bloco de decisão são projetados através
de conceitos estocásticos;
• Por aprendizagem - A experiência prévia de uma situação já ocorrida auxilia o
melhoramento da ação adaptativa.
E quanto às condições de operação, classificam-se em:
• Com injeção de sinais às entradas ou aos parâmetros ajustáveis do sistema;
• Sem injeção de sinais.
Na seção seguinte os sistemas adaptativos de modelo de referência são analisados com
objetivo de reunir subsídios teóricos para a formulação dos estimadores de velocidade.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS)
Na técnica MRAS que é uma classe especial de sistemas adaptativos, existem dois
modelos: o modelo de referência, onde a quantidade a ser estimada não está presente e
o modelo ajustável, onde a variável a ser estimada é ajustada através de um mecanismo
adequado até que o erro entre estes dois modelos seja nulo. Portanto, o sistema MRAS
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 35
é baseado em duas idéias: O propósito do sistema em malha fechada é formulado como
um problema de seguimento de modelo (especificações de desempenho) e os parâmetros
do compensador são ajustados através de um mecanismo de adaptação adequado. Por
exemplo, o método do gradiente pode ser utilizando na obtenção do mecanismo de ajuste.
A questão essencial da técnica MRAS é determinar o mecanismo de ajuste de maneira
que um sistema estável que conduza a anulação do erro seja obtido. Este problema não é
trivial.
Na Figura 3.2 tem-se a estrutura geral utilizada para estimação da velocidade do rotor
do motor de indução. A variável observada x dos modelos pode ser fluxo do rotor, força
contra-eletromotriz, potência reativa instantânea ou a grandeza D
m
.
Na técnica MRAS cada modelo representa um observador independente.
Figura 3.2: Estrutura generalizada da estimação de velocidade MRAS.
Dentro da filosofia MRAS, o modelo de referência determina o desempenho desejável
para a saída do sistema.
3.2.1 Algoritmos MRAS de Estimação de Velocidade
Nas subseções que se seguem os quatro estimadores MRAS de velocidade são anali-
sados. A partir de suas equações dinâmicas serão investigados teoricamente ainda neste
capítulo aspectos como: mecanismos de adaptação, estabilidade, funções de transferência
a malha aberta e fechada, esforço computação e compensação paramétrica.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 36
3.2.1.1 Observador Fluxo do Rotor
A partir das equações do modelo dinâmico do MIT pode-se construir o estimador da
velocidade ω
r
na forma de equação de estado.
pλ
r
=
L
r
M
v
s
− (R
s
+ σL
s
p) i
s
(3.1)
pλ
r
=
ω
r
J −
1
τ
r
I
λ
r
+
M
τ
r
i
s
(3.2)
onde
λ
r
= [λ
αr
, λ
βr
]
T
: vetor fluxo rotórico
v
s
= [v
αs
, v
βs
]
T
: vetor tensão do estator
i
s
= [i
αs
, i
βs
]
T
: vetor corrente do estator
R
s
: resistência do estator
τ
r
=
L
r
R
r
: constante de tempo rotórica
L
s
: indutância própria do estator
L
r
: indutância própria do rotor
M: indutância de magnetização do entreferro
σ: fator de dispersão do motor
p =
d
dt
: operador derivada
I: matriz identidade de ordem 2
J: matriz
0 −1
1 0
Este observador foi o primeiro a ser utilizado na técnica MRAS para estimação de
velocidade (TAMAI, 1987) (SCHAUDER, 1989) onde 3.1 é o modelo de referência e 3.2 é o
modelo ajustável na estimação da velocidade para fluxo do rotor como variável observada.
O modelo de referência, originado pelas equações do estator, determina o desempenho
desejado a fim de que o controlador atue no modelo ajustável, originado pelas equações
do rotor, de forma a anular o erro.
Analisando-se este estimador pode-se observar que, para obtenção de fluxo rotórico
no modelo de referência, é necessário recorrer à integração da equação de estado 3.1.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 37
Esta necessidade representa problemas de condições iniciais, aumentando a complexidade
do problema. Em (SCHAUDER, 1989) foi proposta uma alternativa utilizando grandezas
relacionais através de filtro de freqüência passa-altas para fluxo do rotor e corrente de
estator que tornam a implementação exeqüível, apesar de, em baixas velocidades, haver
atenuação excessiva dos sinais filtrados, comprometendo a estabilidade do controle.
Outra limitação deste estimador é a dependência paramétrica da resistência do estator
R
s
(restrição para a condição operacional de baixas velocidades) e da dispersão do motor
σL
s
(restrição para a condição operacional de altas velocidades, principalmente).
3.2.1.2 Observador Força Contra-eletromotriz
Com o objetivo de remover a necessidade de integração do modelo de referência do
observador de fluxo do rotor descrito na seção anterior e definindo e
m
=
M
L
r
pλ
r
como força
contra-eletromotriz obtém-se o seguinte modelo de referência para estimação de velocidade
do rotor (PENG, 1994) conforme equação 3.3:
e
m
= v
s
− (R
s
+ σL
s
p) i
s
(3.3)
e definindo i
m
= λ
r
/M, tem-se em 3.4 e 3.5 o modelo ajustável:
e
m
=
M
2
L
r
ω
r
⊗ i
m
−
1
τ
r
i
m
+
1
τ
r
i
s
(3.4)
pi
m
= ω
r
⊗ i
m
−
1
τ
r
i
m
+
1
τ
r
i
s
(3.5)
onde
⊗: representa o módulo do produto vetorial
i
m
= [i
αm
, i
βm
]
T
: vetor corrente de magnetização do entreferro
ˆω: velocidade angular estimada do rotor
Neste estimador, a inexistência da integração do modelo de referência representa sim-
plificações na implementação além de atenuar as restrições operacionais em baixas veloci-
dades, inclusive zero. Contudo, a dependência paramétrica, ainda presente, compromete
a resposta do estimador quando os parâmetros variam ou são medidos de forma impre-
cisa. Assim, novos estudos foram desenvolvidos de forma a garantir maior robustez aos
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 38
estimadores MRAS de velocidade. A seguir o observador baseado na potência reativa
instantânea é analisado como uma alternativa para remover a dependência do modelo de
referência em relação a resistência do estator.
3.2.1.3 Observador Potência Reativa Instantânea
Com a definição de potência reativa instantânea, q
m
, (PENG, 1994) mantida pela
corrente de magnetização, i
m
, já definida na seção anterior, tem-se através da relação 3.6
que:
q
m
i
s
⊗ e
m
(3.6)
Substituindo a equação 3.6 nas equações 3.3 e 3.4 para e
m
e lembrando que i
s
⊗i
s
= 0,
tem-se o seguinte observador de potência reativa instantânea para estimação da velocidade
do MIT,
q
m
= i
s
⊗ (v
s
− σL
s
pi
s
) (3.7)
e
q
m
=
M
2
L
r
(i
m
i
s
) ω
r
+
1
τ
r
i
m
⊗ i
s
(3.8)
onde representa o produto interno ou escalar entre vetores e as equações 3.7 e 3.8
constituem o modelo de referência e o modelo ajustável, respectivamente.
Este estimador tem a vantagem da independência paramétrica em relação à resistência
do estator responsável por degradações em velocidades próximas do valor zero, além de
apresentar simplicidade estrutural no modelo de referência.
3.2.1.4 Observador Dm
O observador proposto por (ZHEN, 1995) utiliza uma grandeza matemática, D
m
, com
objetivo de eliminar o efeito da dispersão do modelo de referência.
A definição para a grandeza matemática D
m
é dada através da equação 3.9.
D
m
= pi
s
⊗ e
m
(3.9)
Substituindo a equação 3.9 nas equações 3.3 e 3.4 para e
m
e utilizando o fato de que
pi
s
⊗ pi
s
= 0, o estimador de velocidade D
m
é descrito pelo modelo de referência através
da equação 3.10
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 39
D
m
= pi
s
⊗ (v
s
− R
s
i
s
) (3.10)
e pelo modelo ajustável através da equação 3.11.
D
m
=
M
2
L
r
ω
r
(i
m
pi
s
) +
1
τ
r
i
m
⊗ pi
s
+
1
τ
r
pi
s
⊗ i
s
(3.11)
O estimador de velocidade baseado na grandeza D
m
elimina a dependência paramétrica
da dispersão do motor, o que confere alto desempenho em regime permanente em veloci-
dades superiores. Contudo, observa-se o desempenho dependente de variações térmicas
da resistência estatórica.
Para corrigir esta limitação um esquema mútuo de estimação de resistência do esta-
tor foi proposta em (ZHEN, 1995) no intuito de tornar o estimador mais robusto. Neste
esquema mútuo estruturas adicionais de estimação são implementadas para estimar re-
sistência do estator e constante de tempo rotórica.
A estimação da resistência do estator pode ser incorporada também aos estimadores
baseados em fluxo rotórico e força contra-eletromotriz.
3.2.2 Mecanismos de Adaptação e Estabilidade
Na formulação dos mecanismos de adaptação é extremamente importante a análise da
estabilidade do sistema de forma a garantir que a grandeza estimada alcance convergência
ao valor real de forma dinamicamente adequada, ou seja, o limite na expressão 3.12 seja
nulo
lim
t→∞
(x −
ˆ
x) = 0 (3.12)
sendo x a variável de referência genérica e
ˆ
x é a mesma variável estimada.
As técnicas MRAS de estimação de velocidade têm mecanismo de adaptação pro-
jetados sob o ponto de vista da hiperestabilidade que garante a estabilidade assintótica
global. A teoria da hiperestabilidade juntamente com as propriedades de sistemas dinâmi-
cos positivos são extremamente úteis na determinação da adaptação mais adequada para
determinadas aplicações (LANDAU, 1979).
O conceito da hiperestabilidade consiste basicamente na propriedade da estabilidade
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 40
de uma classe de sistemas a malha fechada conforme a figura 3.3. Neste diagrama de
blocos, existe o bloco linear no ramo direto e o bloco realimentador pertence a uma família
de sistemas que devem satisfazer a relação entre entrada e saída na forma expressa na
equação 3.13.
t
1
0
T
Wdt ≥ −γ
2
0
(3.13)
para todo t
1
≥ 0 onde é o vetor erro de estados, W é o vetor de saída do bloco
realimentador e γ
2
0
é uma constante positiva. Esta relação é também conhecida como
desigualdade de Popov (POPOV, 1973 apud LANDAU, 1979).
Figura 3.3: Sistema geral de realimentação não linear.
Conforme (LANDAU, 1979) outra condição para que o sistema seja hiperestável consiste
em que o bloco linear (invariante no tempo) seja estritamente positivo real, ou seja,
satisfaça as seguintes condições:
• Não possua pólos no semiplano direito do plano complexo;
• A matriz F(jω) + F
T
(−jω) seja positiva definitiva Hermetiana para todo ω, onde
F(s) é a matriz de transição de estados, ou seja, (sI − A)
−1
.
Assim, satisfazendo as duas condições é assegurada a hiperestabilidade assintótica
global do sistema (LANDAU, 1979).
Cada estimador MRAS de velocidade deve satisfazer os critérios de hiperestabilidade.
O procedimento para determinação do mecanismo de adaptação (SCHAUDER, 1989)
freqüentemente utilizado consiste em:
• Considerar ω
r
inicialmente constante;
• Obter um sistema de equações de estado do erro entre o modelo ajustável com
variáveis reais e o mesmo modelo com variáveis estimadas;
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 41
• Aplicar as condições de hiperestabilidade, ou seja, que a matriz ganho de cami-
nho direto do bloco linear seja estritamente real positiva e que a realimentação
não-linear incluindo o mecanismo de adaptação satisfaça o critério de Popov para
hiperestabilidade já enunciado anteriormente, (LANDAU, 1979).
O mecanismo utilizado como candidato a satisfazer as condições de hiperestabilidade
é expresso através da equação 3.14 ou seja, a equação da velocidade estimada na saída do
compensador proporcional-integral.
ˆω = Φ
1
() +
t
0
Φ
2
()dτ (3.14)
onde as funções Φ
1
() e Φ
2
() são funções de erro para a ação proporcional e integral,
respectivamente, do compensador. Estas funções são minimizadas durante o processo de
convergência da resposta.
3.2.2.1 Observador Fluxo do Rotor
Através da equação 3.2 do modelo ajustável do estimador, o vetor de estado do erro
pode ser obtido através da subtração deste modelo para velocidade real com o mesmo
modelo com grandezas estimadas como pode ser visto nas equações 3.15 e 3.16
pλ
r
=
ω
r
J −
1
τ
r
I
λ
r
+
M
τ
r
i
s
(3.15)
ˆ
pλ
r
=
ˆω
r
J −
1
τ
r
I
ˆ
λ
r
+
M
τ
r
i
s
(3.16)
Pode-se observar que alguns termos são considerados comuns aos dois modelos. É
o caso da corrente de estator, i
s
, que foi medida e a constante de tempo rotórica, τ
r
,
considerada invariável no processo.
Subtraindo a equação 3.15 da equação 3.16 e definindo = λ
r
−
ˆ
λ
r
, obtém-se
p = −
1
τ
r
I + ω
r
Jλ
r
− Jω
r
ˆ
λ
r
(3.17)
Somando-se ω
r
J
ˆ
λ
r
− ω
r
J
ˆ
λ
r
à equação 3.17, resulta na equação 3.18.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 42
p = (ω
r
J −
1
τ
r
I) − J
ˆ
λ
r
(ˆω
r
− ω
r
) (3.18)
que é da forma p = A − W.
A figura 3.4 representa o sistema não linear com realimentação para a equação de
estado 3.18.
Figura 3.4: Sistema de realimentação não linear do MRAS específico para fluxo do rotor.
Para obtenção do mecanismo de adaptação adequado, é necessário provar que o bloco
linear é estritamente real positivo, ou seja, que (sI − A)
−1
seja estritamente real positiva,
onde
A = ω
r
J −
1
τ
r
I (3.19)
e I é a matriz identidade.
Desenvolvendo a relação (sI − A)
−1
, tem-se
(sI − A)
−1
=
1
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
r
s +
1
τ
r
−ω
r
ω
r
s +
1
τ
r
(3.20)
A primeiro critério de positividade da matriz da equação 3.20, de não possuir pólos no
lado direito do plano complexo, pode ser verificado avaliando as raízes de seu denominador,
ou seja, as raízes de (s +
1
τ
r
)
2
+ ω
2
r
. Estas raízes são expressas na equações 3.21 e 3.22.
s
1
= −
1
τ
r
+ jω
r
(3.21)
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 43
s
2
= −
1
τ
r
− jω
r
(3.22)
Considerando que τ
r
é sempre positivo, os pólos estão sempre no semiplano esquerdo
satisfazendo, portanto, o primeiro critério de positividade.
O segundo critério requer a avaliação da expressão F(jω) + F
T
(−jω) que resulta em
3.23
F (jω) + F
T
(−jω) =
2
ϕ
2
+
2ω
τ
r
2
ϕ +
ω
2
τ
r
−j
ωω
r
τ
r
j
ωω
r
τ
r
ϕ +
ω
2
τ
r
(3.23)
onde ϕ =
1
τ
r
− ω
2
+ ω
2
r
é uma grandeza auxiliar definida somente para simplificar a
expressão.
A matriz da equação 3.23 é uma matriz Hermetiana definitiva real para todo ω,
satisfazendo a primeira condição para hiperestabilidade assintótica (POPOV, 1973 apud
LANDAU, 1979).
O mecanismo de adaptação fica completo pela determinação das funções Φ
1
e Φ
2
na
definição da velocidade estimada dada pela equação ˆω
r
através da resolução da integral
do critério de Popov.
Substituindo e W na equação 3.13 e utilizando a definição 3.14, o critério de Popov
resultante assume a forma mostrada na equação 3.24
t
1
0
⊗
ˆ
λ
r
ω
r
− Φ
1
() −
t
0
Φ
2
()dτ
dt ≥ −γ
2
0
(3.24)
onde γ
0
é uma constante positiva.
A solução para esta inequação pode ser encontrada através da equação 3.25.
t
1
0
k
pf(t)
f(t)dt ≥ −
1
2
f
2
(0) (3.25)
Assim pode ser mostrado que a inequação de Popov pode ser satisfeita pelas seguintes
funções:
Φ
1
() = K
p
(
ˆ
λ
r
⊗ ) = K
p
(
ˆ
λ
r
⊗ λ
r
) (3.26)
Φ
2
() = K
i
(
ˆ
λ
r
⊗ ) = K
i
(
ˆ
λ
r
⊗ λ
r
) (3.27)
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 44
onde os ganhos K
p
e K
i
nas equações 3.26 e 3.27 são os ganhos da adaptação propor-
cional e integral, respectivamente.
3.2.2.2 Observador Força Contra-eletromotriz
O mesmo procedimento anteriormente utilizando pode ser agora aplicado na deter-
minação do mecanismo de adaptação para o estimador de velocidade através da força
contra-eletromotriz.
Reescrevendo a equação 3.4, que é o modelo ajustável do estimador, após derivar
ambos os lados, tem-se a equação 3.28 como modelo de referência.
pe
m
= ω
r
Je
m
−
1
τ
r
e
m
+
M
2
τ
r
L
r
pi
s
(3.28)
e a equação 3.29
p
ˆ
e
m
= ω
r
Jˆe
m
−
1
τ
r
ˆ
e
m
+
M
2
τ
r
L
r
pi
s
(3.29)
como modelo ajustável.
Subtraindo-se as equações 3.28 e 3.29, a seguinte equação de erro de estado é obtida:
p = ω
r
Je
m
− ω
r
J
ˆ
e
m
−
1
τ
r
(3.30)
Somando-se ω
r
J
ˆ
e
m
− ω
r
J
ˆ
e
m
à equação 3.30 tem-se
p = ω
r
J −
1
τ
r
I − (ˆω
r
− ω
r
) ⊗
ˆ
e
m
(3.31)
que é da forma p = A − W onde
A = ω
r
J −
1
τ
r
I (3.32)
e
W = (ˆω
r
− ω
r
) ⊗
ˆ
e
m
(3.33)
Observa-se que a matriz de ganho do bloco linear do ramo direto, A, do observador
fluxo rotórico dado na equação 3.19 e do observador força contra-eletromotriz dado na
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 45
equação 3.32 são iguais. Portanto, a primeira condição de hiperestabilidade assintótica
que requer que (sI − A)
−1
seja estritamente positiva real está satisfeita.
A segunda condição que requer a resolução da inequação de Popov resulta na formu-
lação do mecanismo completo de adaptação.
Substituindo e W na equação 3.13 e utilizando a definição 3.14, o critério de Popov
resultante assume a forma conforme equação 3.34
t
1
0
⊗
ˆ
e
m
ω
r
−
Φ
1
(
)
−
t
0
Φ
2
(
)
dτ
dt
≥ −
γ
2
0
(3.34)
A figura 3.5 representa o sistema não linear com realimentação para a equação de
estado 3.31.
Figura 3.5: Sistema de realimentação não linear do MRAS específico para força
contra-eletromotriz.
Fazendo analogia entre a equação 3.24 e 3.34, conclui-se que as funções Φ
1
e Φ
2
são
da seguinte forma
Φ
1
() = K
p
(
ˆ
e
m
⊗ ) = K
p
(
ˆ
e
m
⊗ e
m
) (3.35)
Φ
2
() = K
i
(
ˆ
e
m
⊗ ) = K
i
(
ˆ
e
m
⊗ e
m
) (3.36)
onde os ganhos K
p
e K
i
nas equações 3.35 e 3.36 são os ganhos da adaptação propor-
cional e integral, respectivamente.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 46
3.2.2.3 Observador Potência Reativa Instantânea
O mecanismo de adaptação do estimador através da potência reativa instantânea pode
ser determinado considerando a análise realizada nos dois tópicos anteriores (PENG, 1994).
O estimador de velocidade e
m
pode ser interpretado como um vetor P LL (phase-
locked loop), ou seja a fase do sinal gerado mantém uma relação fixa com a fase do
sinal de referência onde o vetor de referência é e
m
e o modelo ajustável age como vetor
deslocador de fase controlado por ˆω
r
vetor ajustável. Assim, a relação de fase do erro
para este estimador pode ser vista na equação 3.37
=
ˆ
e
m
⊗ e
m
∝ sen(α
m
− ˆα
m
) (3.37)
onde α
m
e ˆα
m
são os ângulos dos vetores e
m
e
ˆ
e
m
, respectivamente, em relação ao
vetor i
s
.
Através da expressão do erro no estimador potência reativa instantânea tem-se a
equação 3.38 que descreva a relação de fase do erro para o estimador baseado na potência
reativa instantânea.
= q
m
− ˆq
m
∝ senα
m
− senˆα
m
(3.38)
Linearizando as equações 3.37 e 3.38 para pequenas variações em torno de um ponto
de operação, e assumindo α
m0
= ˆα
m0
, as seguintes relações são obtidas
∆ ∝ cos(α
m0
− ˆα
m0
)(∆α
m
− ∆ˆα
m
) (3.39)
para o estimador de velocidade baseado na força contra-eletromotriz e
∆
∝ cosα
m0
∆α
m
− cosˆα
m0
∆ˆα
m
(3.40)
para o estimador de velocidade baseado na potência reativa instantânea. logo, comparando-
se as equações 3.39 e 3.40, conclui-se que
∆ ∝ ∆
(3.41)
Portanto, do ponto de vista da satisfação dos critérios de estabilidade, o estimador
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 47
baseado na grandeza potência reativa instantânea é semelhante ao estimador baseado na
força contra-eletromotriz (TAMAI, 1987).
As funções de erro para o mecanismo de adaptação para a estimação da velocidade
através da observação da potência reativa instantânea podem ser vistas nas equações 3.42
e 3.43.
Φ
1
() = K
p
(q
m
− ˆq
m
) (3.42)
Φ
2
() = K
i
(q
m
− ˆq
m
) (3.43)
3.2.2.4 Observador D
m
A determinação do mecanismo de adaptação e comprovação de estabilidade pode
ser realizada de forma análoga ao caso do observador potência reativa instantânea, uma
vez que a grandeza D
m
e o vetor e
m
se relacionam através da equação 3.9, novamente
interpretado como um vetor PLL.
Assim através da expressão do erro para o observador D
m
tem-se
= D
m
−
ˆ
D
m
∝ senα
m
− senˆα
m
+ π/2 (3.44)
O erro linearizado da equação 3.44 produz 3.45.
∆
∝ cosα
m0
∆α
m
− cosˆα
m0
∆ˆα
m
(3.45)
Comparando-se as equações 3.39 e 3.45 conclui-se que
∆ ∝ ∆
(3.46)
Sendo que as mesmas condições de estabilidade para o observador força contra-
eletromotriz, se verificam no observador vetor D
m
(TAMAI, 1987) resultando nas funções
de erro para o mecanismo de adaptação conforme 3.47 e 3.48.
Φ
1
() = K
p
(D
m
−
ˆ
D
m
) (3.47)
Φ
2
() = K
i
(D
m
−
ˆ
D
m
) (3.48)
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 48
3.2.3 Análise da Resposta Dinâmica
Através da teoria em (LANDAU, 1979 apud SCHAUDER, 1989) foram expostos pro-
cedimentos para a obtenção de mecanismos adequados de adaptação que garantem esta-
bilidade assintótica global ao sistema. Contudo, para a análise da resposta dinâmica é
necessário linearizar o conjunto de equações dos estimadores em torno de um certo ponto
de operação do sistema (SCHAUDER, 1989).
O procedimento (SCHAUDER, 1989) adotado para análise dinâmica consiste em :
• Efetuar transformação das equações para a referência, ou seja, ω
a
= ω
s
;
• Linearizar em torno de um certo ponto de operação;
• Transformação para o domínio da freqüência laplaciano;
• Obtenção das funções de transferências;
• e análise do comportamento dinâmico através das técnicas de controle tradicionais.
A figura 3.6 representa a resposta dinâmica dos estimadores MRAS, onde o ganho G
é unitário, exceto para o caso do estimador baseado em fluxo rotórico e o ganho G
1
(s) é
a planta a ser controlada pela adaptação proporcional-integral.
Nas seções seguintes são feitas análises com relação ao comportamento dinâmico para
cada estimador MRAS objeto deste trabalho.
Figura 3.6: Diagrama de blocos que representa a resposta dinâmica do sistema MRAS.
A equação 3.49 expressa a função de transferência geral à malha fechada para a
estimação MRAS de velocidade e é utilizada no ajuste inicial dos ganhos K
p
e K
i
do
compensador PI, lembrando-se que a questão do ruído limita os valores finais adotados.
∆ˆω
r
∆ω
r
(s) =
G(s)G
1
(s)
K
p
+
K
i
s
1 + G
1
(s)
K
p
+
K
i
s
(3.49)
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 49
A obtenção da função de transferência a malha fechada para cada estrutura MRAS
de estimação de velocidade é obtida nas próximas seções.
3.2.3.1 Observador Fluxo do Rotor
O modelo ajustável para o estimador baseado no fluxo do rotor dado na equação 3.2
é reescrito na referência síncrona com objetivo de simplificações posteriores e resulta em
3.50.
pλ
r
=
ω
sl
J −
1
τ
r
I
λ
r
+
M
τ
r
i
s
(3.50)
onde ω
sl
= ω
s
− ω
r
é a freqüência elétrica de escorregamento em rad/s.
Linearizando em torno de um ponto de operação e aplicando o transformação de
Laplace, resulta
s∆λ
r
=
ω
sl0
J −
1
τ
r
I
∆λ
r
+ ∆ω
r
Jλ
r0
+
M
τ
r
∆I
s
(3.51)
que é o modelo de referência e
s∆
ˆ
λ
r
=
ˆω
sl0
J −
1
τ
r
I
∆
ˆ
λ
r
+ ∆ˆω
r
J
ˆ
λ
r0
+
M
τ
r
∆I
s
(3.52)
que é o modelo ajustável para efeito de análise dinâmica.
Uma vez que o erro é dado por ε =
ˆ
λ
r
⊗ λ
r
, o erro linearizado em torno de um ponto
de operação torna-se
∆ε = λ
r0
⊗
∆λ
r
− ∆
ˆ
λ
r
(3.53)
Fazendo a diferença entre equações 3.51 e 3.52 tem-se a equação 3.54.
s
∆λ
r
− ∆
ˆ
λ
r
=
ω
sl0
J −
1
τ
r
I
∆λ
r
− ∆
ˆ
λ
r
+ (∆ω
r
− ∆ˆω
r
) Jλ
r0
(3.54)
sI +
1
τ
r
I − ω
sl0
J
∆λ
r
− ∆
ˆ
λ
r
= (∆ω
r
− ∆ˆω
r
) Jλ
r0
(3.55)
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 50
Substituindo 3.53 em 3.55 resulta
∆ε
∆ω
r
− ∆ˆω
r
= G
1
(s) = λ
r0
⊗
sI +
1
τ
r
I − ω
sl0
J
−1
Jλ
r0
(3.56)
G
1
(s) =
λ
r0
⊗
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
s +
1
τ
r
Jλ
r0
+ ω
sl0
Iλ
r0
(3.57)
G
1
(s) =
s +
1
τ
r
λ
r0
⊗ Jλ
r0
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
(3.58)
G
1
(s) =
s +
1
τ
r
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
|λ
r0
|
2
(3.59)
onde |λ
r0
|
2
= λ
2
dr0
+ λ
2
qr0
.
De acordo com (SCHAUDER, 1989), a implementação deste estimador é impraticável
devido a necessidade da integração do fluxo rotórico no modelo de referência com pro-
blemas de condições iniciais. Este problema foi contornado através da inserção de filtros
passa-alta para eliminação do processo de integração. Contudo, em baixas velocidades o
controle é perdido, uma vez que os filtros atenuam excessivamente os sinais, se o motor é
mantido operando nesse ponto de operação por alguns instantes.
Assim a nova função de transferência, considerando-se a aproximação das variáveis
fluxo do rotor para o modelo de referência e corrente estator para o modelo ajustável,
assume a seguinte forma,
∆ε
∆ω
r
− ∆ˆω
r
= G
2
(s) =
s
2
+
s
T
+
ω
2
s
+
1
T
2
s +
1
T
2
+ ω
2
s
s +
1
τ
r
|λ
r0
|
2
(3.60)
onde T é a constante de tempo do filtro passa-altas e foi assumido ω
sl0
= 0 para a condição
de operação sem carga acoplada ao eixo do motor.
Esta função de transferência permite a obtenção dos ganhos do compensador dado
pela função de transferência K
p
+
K
i
s
, onde a função G(s) = G
2
(s)/G
1
(s) na figura 3.6.
Assim, a equação 3.49 pode ser representada da seguinte maneira
∆ˆω
r
∆ω
r
= k
a
1
s
3
+ a
2
s
2
+ a
3
s + a
4
s
3
+ b
1
s
2
+ b
2
s + b
3
(3.61)
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 51
sendo
k =
|λ
r0
|
2
1 + K
p
|λ
r0
|
2
(3.62)
a
1
= K
p
(3.63)
a
2
=
K
p
T
+ K
i
(3.64)
a
3
= (ω
2
s
+
1
T
2
)K
p
+
K
i
T
(3.65)
a
4
= K
i
(ω
2
s
+
1
T
2
) (3.66)
como coeficientes no numerador da equação 3.61 e
b
1
=
1
τ
r
+ K
i
|λ
r0
|
2
1 + K
p
|λ
r0
|
2
+
2
T
(3.67)
b
2
= ω
2
s
+
1
T
2
+ b
1
−
2
T
(3.68)
b
3
= (ω
2
s
+
1
T
2
)(b
1
−
2
T
) (3.69)
como coeficientes no denominador.
Utilizando o critério de desempenho ITAE (Integral do erro absoluto vezes o tempo)
tabelado em (DORF; BISHOP, 1998), expressões para os ganhos K
p
e K
i
podem ser obtidas
pela identificação do denominador da equação 3.61, com a equação característica, EC, da
equação 3.70.
EC = s
3
+ 1, 75ω
n
s
2
+ 2, 15ω
2
n
s + ω
3
n
(3.70)
onde ω
n
é a freqüência natural e resulta nas equações 3.71 e 3.72.
K
p
=
−
2
τ
r
+ ω
2
s
−
1
T
2
−
2
T
− 2, 5ω
2
n
|λ
r0
|
2
(2, 5ω
2
n
− ω
2
s
−
1
T
2
+
2
T
)
(3.71)
K
i
= (1, 75ω
n
−
2
T
)(|λ
r0
|
2
+ K
p
) −
1
τ
r
|λ
r0
|
2
(3.72)
3.2.3.2 Observador Força Contra-eletromotriz
Aplicando o mesmo procedimento da seção anterior, a função de transferência para o
estimador MRAS de velocidade baseado na força contra-eletromotriz pode ser obtida.
Primeiramente, a equação 3.5 da corrente de magnetização é analisada na forma
linearizada no domínio de Laplace resultando em 3.73
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 52
s∆I
m
=
ω
sl0
J −
1
τ
r
I
∆I
m
+ JI
m0
∆ω
r
+
1
τ
r
∆I
s
(3.73)
para o modelo de referência e na equação 3.74
s∆
ˆ
I
m
=
ω
sl0
J −
1
τ
r
I
∆
ˆ
I
m
+ J
ˆ
I
m0
∆ˆω
r
+
1
τ
r
∆I
s
(3.74)
para o modelo ajustável.
Subtraindo a equação 3.73 de 3.74 obtém-se
s
∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
=
ω
sl0
J −
1
τ
r
I
∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
+ J
ˆ
I
m0
(∆ω
r
− ∆ˆω
r
) (3.75)
∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
= (sI − A)
−1
JI
m0
(∆ω
r
− ∆ˆω
r
) (3.76)
onde
A = ω
sl0
J −
1
τ
r
I (3.77)
Linearizando a equação 3.4 em torno de um ponto de operação e transformando para
o espaço laplaciano, tem-se
∆E
m
=
M
2
L
r
∆ω
r
JI
m0
+
ω
r
J −
1
τ
r
I
∆I
m
+
∆I
s
τ
r
(3.78)
Considerando a velocidade inicialmente constante, 3.78 serve para o modelo de re-
ferência quando o objetivo é obter a função de transferência e o estudo da dinâmica do
processo. Assim,
∆E
m
=
M
2
L
r
∆ω
r
JI
m0
+
ω
r0
J −
1
τ
r
I
∆I
m
+
∆I
s
τ
r
(3.79)
é o modelo de referência e
∆
ˆ
E
m
=
M
2
L
r
∆ˆω
r
J
ˆ
I
m0
+
ˆω
r0
J −
1
τ
r
I
∆
ˆ
I
m
+
∆I
s
τ
r
(3.80)
é o modelo ajustável
A diferença entre as equações 3.79 e 3.80, considerando ˆω
r0
= ω
r0
e
ˆ
I
m0
= I
m0
,
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 53
corresponde a
∆E
m
− ∆
ˆ
E
m
=
M
2
L
r
(∆ω
r
− ∆ˆω
r
) JI
m0
+
ω
r0
J −
1
τ
r
I
∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
(3.81)
Uma vez que o erro é dado por ε =
ˆ
e
m
⊗ e
m
, o erro linearizado em torno de um ponto
de operação fica
∆ε = E
m0
⊗
∆E
m
− ∆
ˆ
E
m
(3.82)
e, utilizando-se o resultado da equação 3.76, tem-se, na referência síncrona,
G
1
(s) =
M
2
L
r
(s
2
+
s
τ
r
)E
m0
I
m0
− ω
sl0
sE
m0
⊗ I
m0
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
(3.83)
Esta função de transferência pode ser simplificada considerando o caso particular sem
carga, ou seja, ω
sl0
∼
=
0, resultando em
G
1
(s) =
M
2
L
r
E
m0
I
m0
s
s +
1
τ
r
(3.84)
A função de transferência que relaciona ˆω
r
e ω
r
resulta em
∆ˆω
r
∆ω
r
= k
a
1
s + a
2
s + b
1
(3.85)
onde
k =
1
L
r
M
2
E
m0
I
m0
+ K
p
(3.86)
a
1
= K
p
(3.87)
a
2
= K
i
(3.88)
com coeficientes no numerador da equação 3.85
b
1
=
M
2
L
r
E
m0
I
m0
K
i
+
1
τ
r
1 +
M
2
L
r
E
m0
I
m0
K
p
(3.89)
como coeficientes no denominador da função de transferência.
Novamente utilizando o critério de desempenho ITAE (Integral do erro absoluto vezes
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 54
o tempo) tabelado em (DORF; BISHOP, 1998), os ganhos K
p
e K
i
são expressos pelas
equações 3.91 e 3.92 a partir da equação 3.90.
EC = s + ω
n
(3.90)
K
p
= K
p0
(3.91)
K
i
=
ω
n
−
1
τ
r
M
2
L
r
E
m0
I
m0
+ K
p0
ω
n
(3.92)
Verifica-se que os ganhos do controle PI podem ser quaisquer valores sendo limitados
somente por considerações de ruído (PENG, 1994).
3.2.3.3 Observador Potência Reativa Instantânea
O observador da grandeza potência reativa instantânea implementado tem estrutura
semelhante ao observador força contra-eletromotriz. Assim, parte das equações desen-
volvidos anteriormente foram omitidos.
Após linearizar a equação 3.7 obtém-se a equação 3.93 para modelo de referência e
3.94 para o modelo ajustável.
∆q
m
=
M
2
L
r
I
m0
∆I
s
ω
r0
+
1
τ
r
I
m0
⊗ ∆I
s
+ I
m0
I
s0
∆ω
r
+
+∆I
m
I
s0
ω
r0
+
1
τ
r
∆I
m
⊗ I
s0
]
(3.93)
∆ˆq
m
=
M
2
L
r
ˆ
I
m0
∆I
s
ˆω
r0
+
1
τ
r
ˆ
I
m0
⊗ ∆I
s
+
ˆ
I
m0
I
s0
∆ˆω
r
+
+∆
ˆ
I
m
I
s0
ˆω
r0
+
1
τ
r
∆
ˆ
I
m
⊗ I
s0
]
(3.94)
Subtraindo a equação 3.93 da equação 3.94 e considerando-se que I
m0
=
ˆ
I
m0
e ω
r0
=
ˆω
r0
, pode ser obtida a variação do erro da variável de estado observada, ∆ε = ∆q
m
−∆ˆq
m
.
∆ε =
M
2
L
r
I
m0
I
s0
(∆ω
r
− ∆ˆω
r
) + (∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
) I
s0
ω
r0
+
1
τ
r
(∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
) ⊗ I
s0
(3.95)
A função de transferência a malha aberta G
1
(s) =
∆ε
∆ω
r
−∆ˆω
r
, pode ser explicitada
substituindo a equação 3.76 na equação 3.95 resultando-se em 3.96.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 55
G
1
(s) =
M
2
L
r
(s
2
+
s
τ
r
)I
m0
I
s0
+ ω
sl0
sI
m0
⊗ I
s0
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
(3.96)
Com a condição de operação sem carga, ω
sl0
∼
=
0 e I
m0
∼
=
I
s0
, a função de transferência
G
1
(s) pode ser simplificada conforme visto em 3.97.
G
1
(s) =
M
2
L
r
I
2
m0
s
s +
1
τ
r
(3.97)
Ao observar a função de transferência a malha aberta na expressão 3.97 conclui-se que,
a menos de uma constante, é igual a função de transferência obtida para o observador força
contra-eletromotriz na equação 3.95. Portanto, as expressões e critérios de desempenho
para este sistema são semelhantes, e a demonstração foi suprimida.
Os ganhos K
p
e K
i
do controlador PI são mostrados nas equações 3.98 e 3.99 a seguir.
K
p
= K
p0
(3.98)
K
i
=
ω
n
−
1
τ
r
M
2
L
r
|I
m0
|
2
+ K
p0
ω
n
(3.99)
3.2.3.4 Observador Dm
A equação 3.11 do modelo ajustável para observador baseado na grandeza matemática
D
m
pode ser linearizada para pequenas variações em torno de um ponto de operação
resultando na equação 3.100
∆D
m
=
M
2
L
r
∆ω
r
s (I
m0
I
so
) + ω
r0
s∆I
m
I
s0
+
1
τ
r
s∆I
m
⊗ I
s0
+
+ω
r0
I
m0
s∆I
s
+
1
τ
r
sI
m0
⊗ ∆I
s
(3.100)
como referência e na equação 3.101
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 56
∆
ˆ
D
m
=
M
2
L
r
∆ˆω
r
s
ˆ
I
m0
I
so
+ ˆω
r0
s∆
ˆ
I
m
I
s0
+
1
τ
r
s∆
ˆ
I
m
⊗ I
s0
+
+ω
r0
ˆ
I
m0
s∆I
s
+
1
τ
r
s
ˆ
I
m0
⊗ ∆I
s
(3.101)
como modelo ajustável.
Subtraindo a equação 3.100 da equação 3.101 e considerando
ˆ
I
m0
= I
m0
, ˆω
r0
= ω
r0
,
ˆ
I
s0
= I
s0
e transformando para referência síncrona tem-se ∆ε = ∆D
m
− ∆
ˆ
D
m
.
∆ε =
M
2
L
r
(∆ω
r
− ∆ˆω
r
) sI
m0
I
so
+ ω
sl0
s
∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
I
s0
+
1
τ
r
s
∆I
m
− ∆
ˆ
I
m
⊗ I
s0
(3.102)
Substituindo o resultado da equação 3.76 obtém-se a função de transferência a malha
aberta G
1
(s).
G
1
(s) =
M
2
L
r
sI
m0
I
so
+ ω
sl0
s
s +
1
τ
r
I − ω
sl0
J
−1
JI
m0
I
s0
+
1
τ
r
s
s +
1
τ
r
I − ω
sl0
J
−1
JI
m0
⊗ I
s0
(3.103)
G
1
(s) =
M
2
L
r
sI
m0
I
so
+
ω
sl0
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
s
s +
1
τ
r
I + ω
sl0
J
JI
m0
I
s0
+
1
τ
r
s +
1
τ
r
2
+ ω
2
sl0
s
s +
1
τ
r
I + ω
sl0
J
JI
m0
⊗ I
s0
(3.104)
Após agrupar os termos semelhantes e efetuar as operações matriciais, a função de
transferência G
1
(s) resultante pode ser vista na equação 3.105.
G
1
(s) =
M
2
L
r
I
m0
I
s0
s
3
+ (I
m0
I
s0
/τ
r
+ I
m0
⊗ I
s0
ω
sl0
)s
2
(s +
1
τ
r
)
2
+ ω
2
sl0
(3.105)
A função de transferência G
1
(s) pode ser simplificada para situação onde o motor
opera sem carga. Assim, considera-se I
m0
∼
=
I
s0
e ω
sl0
∼
=
0, resultando-se em 3.106.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 57
G
1
(s) =
M
2
L
r
I
2
m0
s
2
s +
1
τ
r
(3.106)
A função de transferência entre ˆω
r
e ω
r
resultante pode ser vista na equação 3.107
∆ˆω
r
∆ω
r
=
s
2
+ a
1
s
s
2
+ b
1
s + b
2
(3.107)
onde
a
1
=
K
i
K
p
(3.108)
como coeficientes no numerador da equação 3.85
b
1
=
K
i
K
p
+
L
r
K
p
M
2
I
2
m0
(3.109)
b
2
=
L
r
K
p
M
2
I
2
m0
τ
r
(3.110)
como coeficientes no denominador.
Os critérios de desempenho ITAE (Integral do erro absoluto vezes o tempo) tabelados
em (DORF; BISHOP, 1998) para otimização do controle fornecem a equação 3.111 para
identificação dos ganhos K
p
e K
i
expressos pelas equações 3.112 e 3.113
EC = s
2
+ 1, 4ω
n
s + ω
2
n
(3.111)
K
p
=
L
r
M
2
I
2
m0
ω
2
n
τ
r
(3.112)
K
i
= 1, 4ω
n
K
p
−
L
r
M
2
I
2
m0
τ
r
(3.113)
3.2.4 Esforço Computacional Teórico
Em implementações digitais é comum avaliar o esforço computacional dos algoritmos
em termos das operações aritméticas necessárias para obtenção da resposta desejada.
Para proceder a avaliação do desempenho computacional dos algoritmos de estimação
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 58
de velocidade estudados neste trabalho deve-se primeiramente discretizar as equações
dinâmicas dos modelos de referência e ajustáveis.
Nesta análise é suficiente analisar somente as partes das implementações que são exe-
cutadas de forma exclusiva nos quatro algoritmos executados. Por exemplo, partes como
o controle proporcional-integral, filtragem dos sinais das tensões e correntes trifásicas,
configurações iniciais da aquisição, entre outras, são comuns aos quatro e estimadores de
velocidade, e portanto foi desconsiderada na análise do esforço computacional teórico.
As equações discretizadas obtidas nas seções seguintes são especialmente úteis na
implementação digital dos estimadores de velocidade em microcontroladores.
3.2.4.1 Observador Fluxo do Rotor Discretizado
Primeiramente será avaliado a quantidade de operações aritméticas da filtragem uti-
lizada no observador fluxo do rotor para evitar a integração existente no modelo de refe-
rência.
A equação 3.114 representa a função discreta de um filtro passa-baixas de Butterworth
de ordem n para a amostra k.
y[k] =
n
i=0
a
i
x[k − i] −
n
i=1
b
i
y[k − i] (3.114)
Onde y é o sinal filtrado, x é o sinal de entrada, a e b são coeficientes do filtro para
determinada freqüência de corte.
Através da equação 3.114 o filtro de 4
a
ordem necessita de 8 adições/subrações e 9
multiplicações.
As equações 3.115 e 3.116 são a forma discreta do modelo de referência para o obser-
vador baseado no fluxo do rotor.
(λ
αr
[k] − λ
αr
[k − 1])f
s
=
L
r
M
v
αs
[k] − (R
s
+ σL
s
f
s
) i
αs
[k] + f
s
i
αs
[k − 1]
(3.115)
(λ
βr
[k] − λ
βr
[k − 1])f
s
=
L
r
M
v
βs
[k] − (R
s
+ σL
s
f
s
) i
βs
[k] + f
s
i
βs
[k − 1]
(3.116)
onde f
s
é a freqüência de amostragem. Neste modelo a necessidade de condições iniciais
devido a integração da derivada do fluxo do rotor, lado esquerda das expressões, é superada
utilizando uma variável auxiliar através de uma filtragem.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 59
O modelo ajustável na forma discreta pode ser visto nas equações 3.117 e 3.118
λ
αr
[k] =
τ
r
f
s
+ τ
r
λ
αr
[k − 1] − ω
r
[k] +
M
τ
r
i
αs
[k]
(3.117)
λ
βr
[k] =
τ
r
f
s
+ τ
r
λ
αr
[k − 1] + ω
r
[k] +
M
τ
r
i
βs
[k]
(3.118)
onde aplicou-se a filtragem nas componentes bifásicas da corrente de estator para
garantir a estabilidade devido a filtro utilizado no modelo de referência (SCHAUDER,
1989).
A partir de 3.115 a 3.118 computou-se o número de operações aritméticas do obser-
vador do fluxo de rotor considerando o uso de quatro filtros. O resultado pode ser visto
na na tabela 3.1.
Deve ser lembrado que o erro entre os modelos de referência e ajustável para a esti-
mação de velocidade, baseada no fluxo do rotor, =
ˆ
λ
r
⊗ λ
r
, requer duas operações de
multiplicação adicionais em relação a erros que utilizam somente um bloco de subtração.
Tabela 3.1: Esforço computacional observador fluxo do rotor por iteração
Operação Quantidade
Adição/Subtração 44
Multiplicação 50
Divisão 4
3.2.4.2 Observador Força Contra-eletromotriz Discretizado
O estimador de velocidade baseado na força contra-eletromotriz possui as seguintes
equações discretizadas
e
αm
[k] =
L
r
M
v
αs
[k] − (R
s
+ σL
s
f
s
) i
αs
[k] + f
s
i
αs
[k − 1]
(3.119)
e
βm
[k] =
L
r
M
v
βs
[k] − (R
s
+ σL
s
f
s
) i
βs
[k] + f
s
i
βs
[k − 1]
(3.120)
A forma discretizada do modelo ajustável para este estimador podem ser vistas nas
equações 3.121 a 3.124
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 60
e
αm
[k] =
M
2
L
r
f
s
i
αm
[k] − i
αm
[k − 1]
(3.121)
e
βm
[k] =
M
2
L
r
f
s
i
βm
[k] − i
βm
[k − 1]
(3.122)
onde a corrente de magnetização, i
m
é determinada através das seguintes equações a
seguir
i
αm
[k] =
τ
r
τ
r
+ f
s
i
αm
[k − 1] − ω
r
[k]f
s
i
βm
[k] +
f
s
τ
r
i
αs
[k]
(3.123)
i
βm
[k] =
τ
r
τ
r
+ f
s
i
βm
[k − 1] + ω
r
[k]f
s
i
αm
[k] +
f
s
τ
r
i
βs
[k]
(3.124)
Novamente são acrescentadas mais duas operações de multiplicação no total devido à
formula do erro entre os modelos de referência e ajustável, = ˆe
m
⊗ e
m
. O resultado do
esforço computacional para o estimador baseado na força contra-eletromotriz é mostrado
na tabela 3.2.
Tabela 3.2: Esforço computacional observador força contra-eletromotriz por iteração
Operação Quantidade
Adição/Subtração 14
Multiplicação 20
Divisão 6
3.2.4.3 Observador Potência Reativa Discretizado
Para o caso do estimador de velocidade baseado na observação da potência reativa
instantânea o modelo de referência pode ser expresso conforme equação 3.125
q
m
[k] = i
αs
[k]
v
βs
[k] + σL
s
f
s
i
βs
[k − 1]
− i
βs
[k]
v
αs
[k] + σL
s
f
s
i
αs
[k − 1]
(3.125)
e o modelo ajustável pela equação discreta em 3.126
q
m
[k] =
M
2
L
r
i
αm
[k]i
αs
[k] + i
βm
[k]i
βs
[k]
ω
r
[k] +
1
τ
r
i
αm
[k]i
βs
[k] + i
βm
[k]i
αs
[k]
(3.126)
onde a corrente de magnetização, i
m
na forma discreta é dada pelas equações 3.123 e 3.124
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 61
enunciadas no tópico anterior.
Determinando as operações necessárias para a estimação de velocidade através do ob-
servador de potência reativa instantânea tem-se o esforço computacional conforme tabela
3.3.
Tabela 3.3: Esforço computacional observador potência reativa instantânea por iteração
Operação Quantidade
Adição/Subtração 12
Multiplicação 22
Divisão 6
3.2.4.4 Observador D
m
Discretizado
Por fim, as equações dinâmicas do estimador de velocidade baseado na grandeza D
m
são discretizadas resultando em 3.127
D
m
[k] = f
s
i
αs
[k]
v
βs
[k] − R
s
i
βs
[k − 1]
− i
βs
[k]
v
αs
[k] − R
s
i
αs
[k − 1]
−i
αs
[k − 1]v
βs
[k] + i
βs
[k − 1]v
αs
[k]
(3.127)
para o modelo de referência e em 3.128
D
m
[k] =
M
2
L
r
f
s
i
αs
[k]
ω
r
[k]i
αm
[k] −
1
τ
r
i
βm
[k]
− i
αs
[k − 1]
ω
r
[k]i
αm
[k] −
1
τ
r
(i
βm
[k] − i
βs
[k]
i
βs
[k]
ω
r
[k]i
βm
[k] −
1
τ
r
i
αm
[k]
− i
βs
[k − 1]
ω
r
[k]i
βm
[k] −
1
τ
r
(i
αm
[k] − i
αs
[k]
(3.128)
para o modelo ajustável.
Os estimadores baseados na força contra-eletromotriz, potência reativa instantânea e
grandeza D
m
utilizam a corrente de magnetização i
m
. Portanto, novamente neste caso as
equações discretas 3.123 e 3.124 devem ser consideradas na avaliação do esforço computa-
cional para este estimador.
Na tabela 3.4 pode ser visualizada as quantidades para as operações aritméticas
necessárias no caso do observador D
m
.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 62
Tabela 3.4: Esforço computacional observador D
m
por iteração
Operação Quantidade
Adição/Subtração 17
Multiplicação 29
Divisão 9
Os resultados teóricos para cada estimador pode ser totalizados de forma a permitir
comparações de desempenho.
A tabela 3.5 apresenta as quantidades totais de operações aritméticas exclusivas para
cada estimador de velocidade estudado neste trabalho. A relação percentual foi calculada
em relação ao estimador baseado em fluxo do rotor.
Observou-se que sob o ponto de vista do esforço computacional os estimadores basea-
dos em força contra-eletromotriz e potência reativa instantânea são os mais adequados.
O observador da grandeza D
m
foi o segundo mais lento devido a necessidade de fil-
tragem da derivada da corrente do estator para estabilizar o ajuste do compensador o
que aumentou o tempo de execução deste estimador. Considerando, então, a aplicação
deste filtro o estimador baseado na grandeza D
m
seria somente 9.18 % mais rápido que o
estimador baseado no fluxo do rotor e mais lento que os demais.
Tabela 3.5: Esforço computacional dos quatro estimadores de velocidade por iteração
em relação ao observador fluxo de rotor
Estimador Número de Operações Relação percentual%
λ
r
98 0.00
e
m
40 -59.18
q
m
40 -59.18
D
m
55 -43.87
No próximo capítulo serão apresentados resultados experimentais de esforços com-
putacionais medidos através do LabVIEW nas implementações.
3.2.5 Compensação das Variações Paramétricas
A partir das equações que regem os modelos de estimação MRAS de velocidade uti-
lizando fluxo rotórico, força contra-eletromotriz, potência reativa instantânea e vetor D
m
pode ser observado que existe uma dependência em relação aos parâmetros do motor.
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 63
Esta dependência paramétrica implica em erros estacionários e dinâmicos além de perda
de sintonia do controle, principalmente em baixas velocidade.
As principais dependências paramétricas em aplicações de controle de motores ca são:
• Resistência do Estator
• Constante de Tempo do Rotor
• Indutância de Dispersão
O valor da resistência do estator utilizada nos modelos de estimação da velocidade
pode ser o mesmo obtido no ensaio em corrente contínua, contudo variações térmicas du-
rante a operação da máquina podem comprometer a estimativa da velocidade (SCHAUDER,
1989; PENG, 1994; ZHEN, 1995), o que justifica a estimação durante o processo da resistên-
cia real.
Variações térmicas da constante de tempo rotórica também refletem em erros na
resposta dos estimadores, uma vez que depende da resistência do rotor. Entretanto,
apesar de implicar em erro, a implementação do controle vetorial é possível mesmo com
a informação incorreta deste parâmetro.
A indutância de dispersão é um parâmetro que afeta, em toda faixa de operação, o
desempenho dos estimadores onde existam dependências nos modelos de referência, exceto
no baseado no vetor D
m
. Este parâmetro, porém pode ser medido mais facilmente e de
forma precisa através de ensaios convencionais e apresenta poucas variações térmicas.
Vários trabalhos foram desenvolvidos no sentido de superar esta limitação ao modelo
dinâmico do motor.
Como exemplo, tem-se a estimação da inércia da máquina (GUO et al., 2000), da
resistência do estator e rotor (ZHEN, 1995; UMANAND; BHAT, 1995; BLASCO-GIMéNEZ et
al., 1995; MARINO et al., 2000; GUIDI; UMIDA, 2000), constante de tempo rotórica, entre
outras.
Na subseção seguinte a estimação da resistência do estator é analisada como uma
alternativa ao problema da dependência paramétrica.
3.2.5.1 Estimação da Resistência Estatórica
A resistência do estator e a velocidade do rotor, presentes nas equações de tensão e
corrente, desempenham papéis recíprocos no processo de estimação mútua. Na estimação
3.2 Sistema Adaptativo de Modelo de Referência (MRAS) 64
da velocidade do rotor, a velocidade não está presente nas equações de tensão, ou do
estator, onde a resistência do estator está presente. Assim, neste processo, as equações
do estator representam o modelo de referência e as equações de corrente, ou do rotor,
representam o modelo ajustável. Por outro lado, na estimação da resistência do estator, as
equações do rotor representam o modelo de referência, pois não depende deste parâmetro.
Na figura 3.7 é ilustrado esta característica dos modelos do motor de indução na
estimação MRAS.
Figura 3.7: Estrutura generalizada da estimação mútua MRAS de velocidade e
resistência estatórica.
Assim, o modelo das equações do estator é referência para estimação de velocidade
uma vez que não depende desta grandeza e é modelo ajustável na adaptação para obtenção
da resistência estatórica. Por outro lado, o modelo das equações do rotor é referência
para estimação da resistência estatórica, pois não depende deste parâmetro e ajustável na
estimação da velocidade do rotor.
Portanto, os modelos dinâmicos através das equações do estator e rotor têm suas leis
comutáveis (ZHEN, 1995).
No esquema de estimação mútua da velocidade e da resistência do estator, primeira-
mente a estimação da velocidade é processada, então quando a estimação atinge con-
vergência tolerável e a referência de velocidade a ser seguida permanece constante, então
a estimação de velocidade é interrompida e a estimação da resistência do estator é iniciada,
atualizando o valor inicial (ZHEN, 1995). Assim, a estimação da resistência é processada
quando a estimação da velocidade se encontra em regime permanente.
3.3 Considerações Finais 65
3.3 Considerações Finais
Neste capítulo conceitos importantes sobre os sistemas adaptativos, especialmente os
de modelo de referência foram introduzidos. A formulação matemática dos estimadores
MRAS foi apresentada e, posteriormente, trabalhada de forma a se obter funções de
transferência para ajuste do compensador.
Embora expressões de ajuste dos ganhos K
p
e K
i
tenham sido obtidas teoricamente,
o ajuste prático conduziu a valores mais realistas e de difícil obtenção, principalmente
devido a presença de ruídos e distorções nos sinais de entrada.
Através das análises teóricas foi possível demonstrar a estabilidade dos estimadores
MRAS, de forma a garantir a convergência das resposta na estimação da velocidade do
motor.
Observou-se que os estimadores baseados na força contra-eletromotriz e potência
reativa instantânea apresentaram os melhores desempenhos sob a avaliação do esforço
computacional teórico. Esta análise foi feita através das equações dos modelos na forma
discreta. Implementações em processadores digitais de sinais, DSP, podem ser feitas, em
trabalhos futuros, utilizando estas equações.
No próximo capítulo será apresentada a estrutura experimental utilizada para reali-
zação dos testes comparativos entre as diversas técnicas MRAS.
66
4 Estudo Comparativo
Experimental de Estimadores de
Velocidade com Técnicas MRAS
Os resultados experimentais de comparação de quatro técnicas MRAS para estimação
de velocidade foram obtidos com a estrutura laboratorial composta pelos seguintes equipa-
mentos e materiais:
• Microcomputador Pentium IV - 2.8 GHz
• Placa de Aquisição de Dados - modelo PCI-MIO-16E da National Instruments com
a seguinte especificação técnica resumida: tecnologia Plug and Play, multifuncional,
barramento PCI com 12 entradas analógicas de 16 bits, 12 saídas analógicas de 16
bits, oito linhas digitais, 2 contadores de 24 bits, tempo de aquisição mínimo 50ns;
• Transdutores - 3 transdutores de tensão, 3 de corrente e 1 de velocidade;
• Conversor de Freqüência PWM - conversor de freqüência modelo CFW-09 da WEG;
• Motor de Indução Trifásico - tipo gaiola, conectado em estrela, sem carga acoplada.
As especificações técnicas e resultados de ensaio foram listados no APÊNDICE A.
A figura 4.1 apresenta a fotografia do sistema montado para implementação e testes
para estimação de velocidade do motor.
A figura 4.2 representa o diagrama esquemático da implementação prática.
O sistema descrito pelo diagrama de blocos da figura 4.2 foi programado no ambiente
LabVIEW. As funções desenvolvidas no LabVIEW para esta finalidade encontram-se
descritas no APÊNDICE B.
Em (CARVALHO et al., 2005) comparações iniciais propostas por esta pesquisa foram
publicadas e podem ser consultadas no APÊNDICE C.
4.1 Aquisição de Dados 67
Figura 4.1: Sistema experimental para estimação da velocidade do motor de indução
trifásico.
Figura 4.2: Diagrama de blocos da implementação prática.
4.1 Aquisição de Dados
A aquisição de dados a partir dos transdutores de tensão, corrente e velocidade foi
realizada nas seguintes condições:
• Taxa de amostragem: 80.000 amostras / segundo;
• Tempo de amostragem: 2 segundos;
• variáveis analógicas amostradas: três tensões trifásicas de fase, três correntes trifási-
cas de linha e a velocidade do rotor para comparação.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 68
As sete variáveis amostradas foram armazenadas em arquivos de dados. O controle
do motor não foi contemplado nesta pesquisa, e somente o controle para estimação da
velocidade foi implementado, assim as grandezas puderam ser adquiridas e processadas
posteriormente.
4.2 Estudos Experimentais de Casos
Os casos estudados nesta pesquisa foram observados considerando o motor sem carga
e acionado pelo inversor CFW-09 da WEG.
A curva branca, em cada gráfico a seguir, representa a velocidade estimada e a curva
em cor escura representa a velocidade real.
4.2.1 Curvas de Velocidade para Partida de 0 a 900 rpm
O MIT analisado foi acionado utilizando um conversor PWM. A figura 4.3 apresenta
a componente de eixo direto da corrente do estator durante o transitório da partida e
durante o regime permanente a 900 rpm.
Figura 4.3: Componente instantânea de eixo direto da corrente do estator na partida de
0 a 900 rpm.
Na figura 4.4, é mostrada a resposta em velocidade do estimador MRAS baseado no
monitoramento da grandeza fluxo de rotor.
Observou-se que, apesar da resposta oscilatório, a convergência foi obtida com rapidez
e precisão aceitáveis. Pode ser notada uma resposta dinâmica bem próxima da curva real
e sem ultrapassagem em relação ao valor máximo medido. O erro estacionário medido foi
de 1,39 % não comprometendo a resposta em regime permanente.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 69
Figura 4.4: Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor a 900 rpm.
Na figura 4.5 tem-se a resposta do estimador baseado em força contra-eletromotriz
onde a resposta mostrou-se plana com erro de 0,09 % em regime permanente e sem
oscilações. As curvas da velocidade real e estimada quase se sobrepõem, demonstrando
uma resposta adequada neste patamar de velocidade. Próximo da velocidade nula, no
início da estimação, pode ser visto um desvio em relação à velocidade medida. A influência
das incertezas paramétricas pode ser associada a este desvio, que também é observada na
figura 4.4.
Figura 4.5: Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz a 900 rpm.
A resposta do estimador de velocidade baseado em potência reativa instantânea, para
este caso, pode ser vista na figura 4.6, onde oscilações mantidas em regime permanente
são notadas, além de um erro estacionário de 4,76 %. A resposta do estimador convergiu
para o valor real medido sem erro de ultrapassagem. Observou-se, no entanto, desvios ao
longo da parte dinâmica na partida.
Na figura 4.7 pode ser observada a resposta do estimador de velocidade baseado no
vetor D
m
, onde o erro em regime permanente foi de 1,56 %. Este estimador, para a
situação imposta de aceleração livre até 900rpm, apresentou ótimo desempenho, com
4.2 Estudos Experimentais de Casos 70
Figura 4.6: Velocidade real e estimada via MRAS potência reativa a 900 rpm.
desvios mínimos na faixa de aceleração.
Figura 4.7: Velocidade real e estimada via MRAS D
m
a 900 rpm.
As respostas dos quatro estimadores analisados na referência de velocidade de 900
rpm se mostraram satisfatórias em regime permanente e dinamicamente durante a par-
tida. Conforme demonstrado no decorrer do trabalho, os resultados confirmam que a
convergência para os quatro estimadores foi obtida, ou seja, os estimadores são estáveis.
Neste primeiro caso pode ser observado que a resposta do estimador baseado em
força contra-eletromotriz apresentou o melhor ajuste em relação à velocidade real medida,
apesar de pequena variação próxima da partida, que pode ser minimizada com estimação
mútua de parâmetros.
Os próximos casos tratam da inversão da velocidade de forma que a passagem pela
velocidade nula é avaliada.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 71
4.2.2 Curvas de Velocidade para Inversão de Velocidade a 900
rpm
Nesta segunda situação o motor foi submetido à operação normal em 900 rpm e então
aplica-se o comando de inversão de rotação através do conversor de freqüência.
A curva da componente instantânea de eixo direto da corrente do estator neste caso
pode ser vista na figura 4.8 onde pode ser notada a inversão de fase. Pode ser obser-
vada uma distorção neste sinal próximo de t = 0.95s que pronuncia-se mais na derivada
desta componente conforme figura 4.9. Não foi identificada a origem desta distorção.
Deformações deste tipo dificultam o ajuste dos estimadores para operação próxima da
velocidade nula, sobretudo daqueles que tem muitos termos baseados em derivadas em
seus modelos.
Figura 4.8: Componente instantânea de eixo direto da corrente do estator na inversão a
900 rpm.
Figura 4.9: Componente instantânea de eixo direto da derivada da corrente do estator
na inversão a 900 rpm.
Na figura 4.10 a velocidade estimada apresenta uma pequena variação próxima da
velocidade nula contudo o estimador foi capaz de contornar tal variação e retomar o
4.2 Estudos Experimentais de Casos 72
traçado real da velocidade. Portanto, o estimador de velocidade baseado no fluxo de
rotor, neste caso mostrou-se eficaz, apesar desta pequena variação.
Figura 4.10: Velocidade real e estimada via MRAS fluxo do rotor na inversão a 900 rpm.
O gráfico da figura 4.11 mostra a curva de estimação de velocidade para o estimador
MRAS via força contra-eletromotriz. Como no caso do estimador via fluxo rotórico, a
dependência paramétrica implica em desvios em baixas velocidades. Estes desvios sinali-
zam para a necessidade de compensação das incertezas acerca dos parâmetros utilizados
na modelagem dos estimadores MRAS.
Figura 4.11: Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inversão
a 900 rpm.
A resposta mostrada na figura 4.12 refere-se ao estimador via potência reativa, cujo
modelo tem a proposta de robustez em relação à resistência do estator. Contudo, no-
vamente o problema de oscilações na resposta pode ser visualizado. Observou-se que os
ganhos do compensador PI podem ser mantidos fixos ao contrário dos outros estimadores
onde para cada caso, pequenos ajustes nos ganhos foram necessários.
Finalmente, o estimador via vetor D
m
tem seu desempenho visualizado através da
figura 4.13, onde a resposta teve comportamento de forma quase ideal. Neste caso os
4.2 Estudos Experimentais de Casos 73
Figura 4.12: Velocidade real e estimada via MRAS Potência Reativa na inversão a 900
rpm.
ganhos adequados do compensador evitaram desvios no instante da inversão de velocidade,
contudo em operações a velocidade menores estes ganhos devem ser reduzidos.
Figura 4.13: Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 900 rpm.
Nos quatro estimadores a convergência foi obtida, confirmando a estabilidade assin-
tótica global do sistema.
Os ganhos ajustados no controladores, apesar da liberdade de escolha de valores altos,
limitou-se a valores cuja presença de ruído típica do chaveamento PWM não comprometeu
a resposta dinâmica (SCHAUDER, 1989; PENG, 1994).
4.2.3 Curvas de Velocidade para Inversão a 600 rpm
Nesta situação o motor foi submetido à operação em 600 rpm e posterior comando de
inversão. Os resultados são expostos nas figuras à seguir.
Neste caso novamente é mostrado o comportamento da componente instantânea de
eixo direto da corrente do estator através da figura 4.14 que confirma o tipo de acionamento
4.2 Estudos Experimentais de Casos 74
utilizado além de permitir conclusões posteriores sobre limitações dos estimadores em
determinados casos de distorções neste sinal.
Figura 4.14: Componente instantânea de eixo direto da corrente de estator na inversão a
600 rpm.
A resposta do estimador baseado na observação do fluxo rotórico pode ser vista na
figura 4.15. Observou-se que o desvio em relação à velocidade real foi tolerável. Um erro
estacionário pode ser notado da ordem de 3,6 % o que representa 18 rpm para este caso
e pode ser desprezado na maior parte das aplicações.
Figura 4.15: Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 600 rpm.
O desempenho do estimador MRAS baseado na força contra-eletromotriz apresentou
uma aproximação satisfatória em relação a curva medida. Os desvios, principalmente
em baixas velocidades, já esperados estiveram em níveis toleráveis sem comprometer a
resposta, como pode ser notados na figura 4.16.
No caso do estimador potência reativa instantânea, a resposta se mostrou na mesma
tendência das suas respostas anteriores, ou seja oscilações ao longo da curva da velocidade
estimada conforme figura 4.17. O erro estacionário foi de 5,08 % o maior dentro os quatro
devido às oscilações.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 75
Figura 4.16: Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inversão
a 600 rpm.
Figura 4.17: Velocidade real e estimada via MRAS potência reativa na inversão a 600
rpm.
Para esta situação de operação do motor, a resposta da implementação da estimação
de velocidade através do vetor D
m
, representada na figura 4.18, apresentou difícil ajuste
de ganhos em função de um transitório no acionamento conforme indica a figura 4.19.
Figura 4.18: Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 600 rpm.
Para resolver este problema aplicou-se a filtragem passa-baixas na derivada da corrente
do estator i
s
de forma a reduzir o efeito desta distorção.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 76
Figura 4.19: Derivada da componente instantânea de eixo direto da corrente do estator
na inversão a 600 rpm.
Na figura 4.20 é mostrada a resposta do estimador MRAS baseado no vetor D
m
para
o sistema com derivadas de corrente do estator filtradas. Pode-se notar a melhoria no
ajuste da curva de aproximação com a velocidade real. Contudo, o esforço computacional
deste estimador aumenta significativamente.
Figura 4.20: Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 600 rpm com
filtragem da derivada da corrente de estator.
4.2.4 Curvas de Velocidade para Inversão a 300 rpm
A inversão neste caso ocorre no patamar da velocidade de 300 rpm de forma permitir
verificações de desempenhos em baixas velocidades.
A componente de eixo direto da corrente de estator pode ser vista na figura 4.21.
A resposta do estimador de velocidade via fluxo rotórico pode ser vista na figura 4.22
onde o comportamento dinâmico foi aceitável, contudo o erro estacionário final foi da
ordem de 18,9 % que representa 56,7 rpm.
A figura 4.23 a resposta do estimador baseado na força contra-eletromotriz pode ser
4.2 Estudos Experimentais de Casos 77
Figura 4.21: Componente de eixo direto da corrente de estator
Figura 4.22: Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 300 rpm.
visualizada. A convergência foi atingida de forma adequada com tempo de acomodação e
desvios mínimos.
Figura 4.23: Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inversão
a 300 rpm.
Na curva mostrada na figura 4.24 o estimador baseado na potência reativa instantânea
apresenta oscilações significativas, contudo foi confirmada a estabilidade do sistema.
O mesmo problema detectado na operação do estimador MRAS vetor D
m
em 600 rpm
4.2 Estudos Experimentais de Casos 78
Figura 4.24: Velocidade real e estimada via MRAS potência reativa na inversão a 300
rpm.
ocorreu para a velocidade de 300 rpm, contudo de forma mais pronunciada conforme a
figura 4.25. A mesma solução foi adotada, ou seja, a filtragem para remoção de compo-
nentes de alta freqüência presentes nos sinais da derivada da componente instantânea de
eixo direto da corrente do estator. O resultado pode ser visto na figura 4.26.
Este estimador tem maior sensibilidade aos efeitos de ruídos de alta freqüência, uma
vez que a derivada da componente instantânea de eixo direto da corrente do estator está
presente no modelo de referência e em maior quantidade no modelo ajustável. Obvia-
mente, a solução baseada na filtragem para implementações de acionamento com controle
vetorial insere um erro de fase e de ganho no sinal e deve ser cuidadosamente avaliada.
Figura 4.25: Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 300 rpm sem
filtragem da derivada da corrente de estator.
4.2.5 Efeito da Variações na Resistência do Estator
Neste caso a resistência do estator utilizada no modelo de referência é alterada em 25%
de forma a verificar o comportamento do estimador quando a resistência sofre alterações
4.2 Estudos Experimentais de Casos 79
Figura 4.26: Velocidade real e estimada via MRAS D
m
na inversão a 300 rpm com
filtragem da derivada da corrente de estator.
ou for medido de forma imprecisa.
O resultado apresentado na figura 4.27 se refere ao estimador baseado no fluxo do
rotor onde pode ser observado o desvio em relação ao valor real decorrente da variação
da resistência do estator.
Figura 4.27: Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 900 rpm
com R
s
25% maior.
Pode ser observado que com a implementação do esquema mútuo de estimação de
velocidade e resistência estatórica os erros na resposta deste estimador são corrigidos
como mostrado na figura 4.28.
A variação da resistência do estator para o estimador baseado em força contra-
eletromotriz coopera com o difícil ajuste em baixas velocidades desviando a resposta
em relação à velocidade real medida. Contudo, este efeito foi menos pronunciado que no
estimador MRAS fluxo rotórico. A figura 4.29 ilustra esta situação.
A estimação mútua da resistência do estator para este estimador conduz a uma res-
posta de erro quase nulo com desempenho dinâmico excelente em baixas velocidade.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 80
Figura 4.28: Velocidade real e estimada via MRAS fluxo rotor na inversão a 900 rpm
com compensação de R
s
.
Figura 4.29: Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz rotor na
inversão a 900 rpm com R
s
25% maior.
Figura 4.30: Velocidade real e estimada via MRAS força contra-eletromotriz na inversão
a 900 rpm com compensação de R
s
.
No caso do estimador MRAS baseado no grandeza D
m
a resposta apresentou elevado
desvio em relação ao valor real medido comprometendo a resposta dinâmica e o ajuste do
controle, conforme a figura 4.31, confirmando, assim, a necessidade de esquemas mútuos
de estimação de parâmetros. Com a estimação da resistência do estator esta distorção
pode ser corrigida, contudo ainda permaneceu degradada. Na figura 4.32 pode ser vista
4.2 Estudos Experimentais de Casos 81
a resposta corrigida para o estimador baseado na grandeza D
m
.
Figura 4.31: Velocidade real e estimada via MRAS grandeza D
m
na inversão a 900 rpm
com R
s
25% maior.
Figura 4.32: Velocidade real e estimada via MRAS grandeza D
m
na inversão a 900 rpm
com com compensação de R
s
Na implementação da estimação paramétrica para os observadores MRAS estudados
neste trabalho, eram esperadas ainda deficiências nas respostas, uma vez que a incerteza
acerca de outros parâmetros (constante de tempo do rotor, dispersão, etc), considerados
constantes, podem comprometer os resultados. Contudo, a adaptação da resistência do
estator conduziu boas melhorias na estimação da velocidade.
Na seção seguinte o esforço computacional dos estimadores é apresentado como resul-
tado de medições nos programas desenvolvidos.
4.2.6 Análise de Esforço Computacional
A aplicação usual dos estimadores de velocidade de motores tem por objetivo principal
fornecer o valor real da velocidade para o ajuste do controle vetorial. Assim, de acordo
com os recursos computacionais disponíveis, a otimização do algoritmo com relação ao
tempo de processamento é uma tarefa importante.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 82
De acordo com a tabela 4.1 o estimador baseado na grandeza fluxo rotórico é utilizado
como base para comparação dos tempos de processamento. E este estimador é o mais
lento uma vez que o emprego de filtros adicionais em sua estrutura incrementa o tempo
de processamento.
O tempo relativo de processamento foi calculado através da seguinte expressão da
equação 4.1
% =
P T
j
− P T
1
P T
1
× 100 (4.1)
Onde
PT
1
é o tempo de processamento do estimador baseado no fluxo rotórico; e j é o
índice com o seguinte significado
2 – Tempo de processamento para o estimador força contra-eletromotriz;
3 – Tempo de processamento para o estimador potência reativa instantânea;
4 – Tempo de processamento para o estimador quantidade D
m
;
4.2.6.1 Estimação Somente de Velocidade
Esta medida do tempo de processamento foi realizada através de ferramentas do
próprio LabVIEW.
Neste primeiro momento foi considerado somente o mecanismo de estimação de veloci-
dade, sendo que o esforço computacional da implementação da compensação paramétrica
da resistência do estator é investigada na próxima seção.
Na tabela 4.1 são apresentados os tempos relativos de processamento dos estimadores
MRAS. Estes resultados foram obtidos sem a implementação de esquemas de estimação
de parâmetros e sem a filtragem corretiva da derivada da corrente de estator, para o es-
timador baseado na grandeza D
m
.
Observou-se que neste caso os estimadores baseado na potência reativa instantânea,
na grandeza D
m
e na força contra-eletromotriz apresentaram resultados semelhantes con-
firmando a avaliação teórica feita no capítulo anterior. O estimador baseado no fluxo
do rotor foi o mais lento e por isso utilizado com referência para comparar os outros
desempenhos.
4.2 Estudos Experimentais de Casos 83
Tabela 4.1: Tempo de processamento relativo sem compensação de parâmetros
Estimador %
λ
r
0.000
e
m
-65.833
q
m
-64.230
D
m
-65.331
4.2.6.2 Estimação de Velocidade e Compensação Paramétrica
Para estas medições foi acrescentado aos estimadores fluxo rotórico, força contra-
eletromotriz e vetor D
m
a adaptação da resistência do estator. O algoritmo de compen-
sação baseado na estimação da resistência do estator, (ZHEN, 1995) foi utilizado nesta
investigação.
A tabela 4.2 apresenta os resultados do desempenho do ponto de vista do esforço
computacional para os quatro estimadores de velocidade analisados neste trabalho com
compensação paramétrica e pré-filtragem da derivada da corrente do estator para a esti-
mação de velocidade baseado na grandeza D
m
.
O estimador baseado na potência reativa instantânea apresenta a melhor eficiência em
termos de esforço computacional por apresentar o menor tempo de processamento, 77,439
% menor em relação ao estimador fluxo rotórico, uma vez que independe da estimação da
resistência do estator.
O estimador de velocidade grandeza D
m
utilizou, neste caso, recursos computacionais
similares ao do fluxo rotórico por necessitar de pré-filtragem das componentes da derivada
da corrente do estator resultantes, durante a inversão da velocidade no acionamento do
motor.
Tabela 4.2: Tempo de processamento relativo com compensação de parâmetros
Estimador %
λ
r
0.000
e
m
-45.295
q
m
-77.439
D
m
-19.581
4.3 Considerações Finais 84
4.3 Considerações Finais
Os resultados obtidos pelos estimadores MRAS de velocidade, analisados neste tra-
balho, foram satisfatórios. Entretanto, características próprias de cada estimador ficaram
evidentes.
Apesar de ser mais rápido o estimador baseado na potência reativa instantânea tem
resposta oscilatória.
O estimador baseado no fluxo de rotor é o mais lento, e apesar de em apresentar
resposta satisfatória em regime permanente, em baixas velocidades o erro aumenta con-
sideravelmente devido a atenuação dos sinais decorrente do processo de filtragem dos
modelos de referência e ajustável.
A resposta do estimador baseado na grandeza D
m
se mostrou altamente sensível a
ruídos nos sinais de entrada, por envolver termos baseado na derivada da corrente de
estator que na situação de inversão apresentou tais ruídos.
Assim, o estimador baseado na força contra-eletromotriz apresentou o melhor desem-
penho, apesar de não ter o processamento mais rápido, contudo é preferível em relação as
oscilações mantidas da estimação baseada na potência reativa instantânea.
85
5 Conclusões
Este texto apresentou os principais resultados obtidos com a análise comparativa
de quatro técnicas de estimação de velocidade de máquinas de indução. As técnicas
analisadas, baseadas em sistemas adaptativos de modelo de referência, foram as seguintes:
a) estimador baseado no fluxo do rotor; b) estimador baseado na força contra-eletromotriz;
c) estimador baseado na potência reativa instantânea; e d) estimador baseado na grandeza
D
m
.
O uso do LabVIEW na instrumentação virtual através de programas gráficos mostrou-
se uma ferramenta bastante útil para análise de modelos matemáticos dinâmicos.
Através das interfaces construídas e dos diagramas elaborados no LabVIEW as imple-
mentações dos quatro estimadores de velocidade puderam ser feitas com rapidez. Além
disso, o ajuste do controle PI pôde ser feito de forma mais rápida, pois o tempo de reini-
cialização dos programas é bem menor em relação a outras plataformas como o Simulink-
MATLAB, por exemplo.
A associação de conceitos de instrumentação virtual através do LabVIEW e da es-
timação de velocidade através da teoria de controle adaptativo, mais precisamente dos
sistemas adaptativos de modelo de referência, permitiu uma análise comparativa ágil e
eficiente.
A estimação de velocidade, ou de parâmetros utilizando sistemas adaptativos de mo-
delo de referência, pode ser considerada uma alternativa satisfatória devido à facilidade
de implementação e rapidez de processamento. De fato, outras técnicas amplamente di-
fundidas possuem algumas limitações, por exemplo, a necessidade de grande esforço com-
putacional para cálculo matricial no filtro de Kalman, o fenômeno da descontinuidade na
transição das superfícies de chaveamento na técnica modos deslizantes, ou na atenuação
dos sinais no filtro passa-baixas programável, entre outras, que na técnica MRAS podem
ser superadas. Entretanto, a resposta deficiente do estimadores MRAS em baixas veloci-
dades pode ser verificada e parcialmente compensada com a adaptação da resistência do
5 Conclusões 86
estator.
O uso dos sistemas adaptativos de modelo de referência na estimação de velocidade
é limitado principalmente pelo aspecto da dependência paramétrica. Assim, esquemas de
compensação às variações de parâmetros do motor, que estão presentes na modelagem,
devem ser empregados com o objetivo de garantir a robustez necessária ao estimador de
forma a se obter uma resposta adequada às aplicações.
Os estimadores MRAS de velocidade apresentaram resultados satisfatórios principal-
mente quanto à convergência ao valor real medido através de transdutores analógicos,
rapidez e facilidade de implementação dos modelos. Por outro lado o ajuste dos ganhos
do compensador despendeu considerável esforço apesar da obtenção de expressões teóricas
e do uso do LabVIEW.
A estimação de velocidade através da observação da grandeza fluxo rotórico, foi im-
plementada de forma modificada para evitar problemas de condições iniciais na integração
do modelo de referência, contudo, ao submeter o motor às situações de partida e inversão
de velocidade, verificou-se que a velocidade foi estimada de forma adequada.
A dependência paramétrica deste estimador, quando o processo de estimação ocorria
sob baixas velocidades na variação da resistência do estator, pronunciou-se de maneira
a comprometer a resposta, necessitando ser compensada através de outro processo de
estimação, agora paramétrica.
A compensação paramétrica da resistência do estator no estimador fluxo rotórico re-
sultou em melhoria da resposta. É importante ressaltar que os outros parâmetros do
motor foram considerados constantes, o que nem sempre acontece. Assim como a re-
sistência do estator sofre variações térmicas, a resistência do rotor também está sujeito a
estas variações, refletindo-se em alterações na constante de tempo rotórica.
O estimador de velocidade baseado no fluxo rotórico, porém, foi o que apresentou
maior tempo de processamento devido à necessidade de filtragem das componentes de
fluxo no modelo de referência e corrente no modelo ajustável para eliminar a necessidade
de integração.
As respostas obtidas através do estimador baseado na força contra-eletromotriz foram
semelhantes às obtidas através do estimador que o precedeu. No entanto, observou-se
que para a variação da resistência do estator o desvio foi menor. Como este não faz uso
de filtragem prévia de sinais no lugar de integradores, em baixas velocidades os sinais de
referência são mantidos sem atenuações inseridas por filtros e o esforço computacional foi
5 Conclusões 87
menor.
O estimador de velocidade baseado na potência reativa instantânea apresentou bons
resultados para aplicações sem rigor excessivo em relação aos desvios de amplitude e o
menor esforço computacional medido entre os quatro estimadores analisados. Este esti-
mador apresentou operação com ganhos fixos e robustez em baixas velocidade. Entretanto,
apresentou resposta oscilatória.
A estimação de velocidade pela grandeza D
m
mostrou resultados adequados em regime
permanente, contudo mostrou uma estrutura com adaptação dificultada devido a de-
pendência de termos derivativos no modelo ajustável, que em presença de ruídos, dificul-
taram o ajuste do controle. Esta limitação implicou na filtragem dos ruídos originados no
momento da inversão de velocidade na derivada da corrente de estator, como foi mostrado
no capítulo 4.
A presença de ruído nas grandezas amostradas e variações ou incertezas paramétricas
reduzem a capacidade de adaptação do compensador PI resultando numa operação inde-
sejável, uma vez que trabalhou-se com ganhos fixos. De fato, o cálculo teórico dos ganhos
do controlador serviu para nortear tentativas iniciais as quais foram ajustadas de forma
a se obter desempenho desejado.
O estimador baseado na força contra-eletromotriz apresentou-se como uma evolução
ao modelo de referência em fluxo do rotor, pois remove a necessidade de integração do
modelo de referência, tornando o algoritmo mais compacto, e dispensa filtros usados para
substituir as integrais. A deficiência de sua resposta em baixas velocidades devido a
incertezas na resistência estatórica foi bem compensada pela estimação mútua. O esforço
computacional foi satisfatório sendo o segundo estimador mais rápido. O erro em regime
permanente relativamente pequeno.
Assim, após estas considerações pode-se concluir que o estimador baseado na força
contra-eletromotriz associado com a adaptação da resistência do estator representa a
melhor opção entre os esquemas implementados.
Como sugestões para trabalhos futuros cita-se:
• Implementação do estimador de velocidade no controle vetorial, mais especifica-
mente o alternativo proposto por (NERYS, 1999; NERYS et al., 2000) e implementado
no DSP da ADMC 401 da Analog Devices por (STEINDORFF, 2003)
• Implementação de compensação paramétrica através da estimação de outros parâ-
5 Conclusões 88
metros do motor, tais como: resistência rotórica ou constante de tempo rotórica,
dispersão, entre outro;
• Investigações sobre o efeito da carga acoplada nas respostas dinâmicas dos esti-
madores MRAS;
• Comparação da melhor técnica MRAS de estimação de velocidade com outras téc-
nicas de estimação;
89
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Oct 1995.
92
APÊNDICE A -- Parâmetros do motor de
indução
Tensão: 380 (V)
Corrente: 5,04 (A)
σL
s
: 0,02361(H)
M : 0,31400 (H)
Velocidade: 1.735 (rpm)
R
s
: 2.702 (Ω)
τ
r
: 0.130 (s)
Potência: 3,00 cv
93
APÊNDICE B -- Programas (VI´s) do
LabVIEW
Neste apêndice foram listados os VI´s e subVI´s utilizados na implementação dos
estimadores de velocidade.
Os VI´s obtidos na distribuição padrão do LabVIEW foram omitidos.
B.1 VI´s de Propósito Geral
São programas desenvolvidos que são comuns nas implementações de todos esti-
madores.
B.1.1 Eliminação de offset
A subVI para remoção de componentes cc aos sinais amostrados pode ser vista na
figura B.1.
Figura B.1: VI para remoção de componente contínua dos sinais de tensão e corrente
amostrados.
B.1 VI´s de Propósito Geral 94
B.1.2 Transformação de Clark
Neste subVI a transformação para a referência estacionária foi implementada e é
mostrada na figura B.2.
Figura B.2: VI para transformação de Clark.
B.1.3 Parâmetros e Constantes
Figura B.3: VI de inicialização de parâmetros e constantes do motor.
B.1 VI´s de Propósito Geral 95
B.1.4 Telas de Dados
O painel frontal para interface com o usuário consistiu de três telas:
•Tela 1 – Informações iniciais sobre a pesquisa, nome dos autores, dados do motor e
descrição do programa;
•Tela 2 – Variáveis amostradas, ou seja, tensões e corrente trifásicas;
•Tela 3 – Dados de saída com curvas de velocidade real e estimada, curva de erro,
valores instantâneos da estimação.
Na figura B.4 é mostrado a tela 1 de interface com usuário com informações iniciais
sobre a pesquisa.
Figura B.4: Interface de usuário com a tela inicial de informações.
As medições de corrente e tensão são mostradas na figura B.5 que representa a tela 2
da implementação onde pode ser observada que as tensões trifásicas são do tipo PWM e
as correntes senoidais com expressivo ruído harmônico.
Na figura B.6 são mostrados os resultados processados através do LabVIEW. O gráfico
de saída do estimador e valores instantâneos da variáveis estimadas podem ser vistos. Os
B.1 VI´s de Propósito Geral 96
Figura B.5: Interface de usuário com as medições das grandezas terminais (tensão e
corrente).
dados de entrada como os parâmetros do motor e os ganhos do controlador podem ser
inseridos nesta interface. Esta tela é a tela 3 do programa desenvolvido.
O diagrama de blocos ou funcional para um dos estimadores de velocidade (D
m
)
é mostrado na figura B.7. Neste diagrama podem ser notadas as diferentes formas de
representação dos tipos de dados através de traços diferentes ligando os blocos funcionais
e blocos que representam subVI´s que fazem referências a outros diagramas ocultos. As
estruturas de repetição são representadas através dos retângulos cinzas onde são repetidas
todas operações representadas pelos blocos em seu interior.
B.1 VI´s de Propósito Geral 97
Figura B.6: Interface de usuário da tela saída de dados com gráficos da velocidade
estimada e erro.
Figura B.7: Tela de diagrama com implementação prática do estimador MRAS via vetor
D
m
.
98
APÊNDICE C -- Artigo publicado
A seguir tem-se o artigo baseado nesta pesquisa que foi publicado no 8
o
Congresso
Brasileiro de Eletrônica de Potência - COBEP 2005.
Apêndice C -- Artigo publicado 99
Apêndice C -- Artigo publicado 100
Apêndice C -- Artigo publicado 101
Apêndice C -- Artigo publicado 102
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