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INTERFERÊNCIA HIDRODINÂNIMICA NO COMPORTAMENTO EM ONDAS
ENTRE NAVIOS COM VELOCIDADE DE AVANÇO
César Augusto Salhua Moreno
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Engenharia Oceânica,
COPPE, da Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Doutor em Engenharia
Oceânica.
Orientador: Carlos Antonio Levi da Conceição
Rio de Janeiro
Setembro de 2010
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iii
Salhua, César Augusto Moreno
Interferência Hidrodinâmica no Comportamento em Ondas
entre Navios com Velocidade de Avanço. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2010.
XIII, 152 p.: il.; 29,7cm.
Orientador: Carlos Antonio Levi da Conceição
Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia
Oceânica, 2010.
Referencias Bibliográficas: p.128-134.
1. Método dos Painéis. 2. Dinâmica de Navios
3. Velocidade de Avanço. 4. Interferência Hidrodinâmica. 5.
Fontes de Rankine. 6. Método dos Painéis. I. Conceição, Carlos
Antonio Levi. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro.
COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.
iv
DEDICATÓRIA
Aos meus pais e irmãos pelo amor,
confiança e conselhos durante todo estes
anos longe de casa.
A minha esposa e meu filho que me
apoiaram todos estes anos nesta difícil
tarefa.
A todos os meus amigos.
v
AGRADECIMENTOS
A Deus por toda a força e paciência concedida para superar os momentos
difíceis.
A minha mãe Rosa e meu pãe Benigno pelo exemplo de luta e amor
incondicional em todos os momentos da minha vida.
A minha esposa Sandra por seu amor incondicional, ternura, paciência e
conselhos durante todos estes anos.
A meu filho Felipe por seu amor incondicional, ternura e sorrisos que iluminam
todos meus dias.
A meus irmãos Ricardo e Rocio que sempre acreditaram em mim.
Ao Prof. Carlos Levi pelo seu apoio e paciência infinita durante todos estes anos
de estudo, muito obrigado por tudo.
Ao Prof. Marcelo Neves pelos seus conselhos e a oportunidade brindada de vir a
estudar na COPPE/UFRJ.
Ao Prof. Antonio Carlos Fernandes pelo seu apoio e confiança brindada.
Ao Prof. Juan Wanderley pelo seu apoio e consideração brindada.
Ao meu amigo D.Sc. Lênin Valério pela confiança depositada.
A todos meus amigos da Área de Hidrodinâmica, Estruturas e Maquinas
Marítimas da COPPE/UFRJ.
A todos os meus amigos da Escola de Engenharia Naval do Perú, pela amizade e
confiança.
A todos os funcionários do Programa de Engenharia Oceânica, em especial, a
Glace e Lucimar.
A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo
suporte financeiro.
vi
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)
INTERFERÊNCIA HIDRODINÂMICA NO COMPORTAMENTO EM ONDAS
ENTRE NAVIOS COM VELOCIDADE DE AVANÇO
César Augusto Salhua Moreno
Setembro / 2010
Orientadores: Carlos Antonio Levi da Conceição
Programa: Engenharia Oceânica
As forças de interferência hidrodinâmicas modificam os movimentos dos navios
que operam próximos entre si. Os efeitos produzidos devem ser analisados ainda nas
fases iniciais do projeto, através de ferramentas numéricas, para que seja possível
identificar eventuais falhas operacionais.
A presente tese realiza um estudo do efeito da interferência hidrodinâmica sobre
o comportamento em ondas entre dois navios com velocidade de avanço, navegando
paralelamente com o mesmo sentido e velocidade. O estudo inclui também uma análise
de influência da distância entre os cascos e da velocidade sobre os efeitos da
interferência hidrodinâmica.
A efetividade desta metodologia é comprovada comparando-se os resultados
numéricos obtidos com resultados experimentais de um catamarã.
A solução matemática adota o método dos painéis, baseado na fonte de Rankine.
Nesta solução, a condição de contorno da superfície livre é linearizada em torno do
casco duplo e superfícies B-spline bi-quadráticas são utilizadas para a obtenção
numérica do potencial de velocidades.
vii
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfillment of the requirements
for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
HYDRODYNAMIC INTERFERENCE ON THE BEHAVIOR OF SHIP IN WAVES
César Augusto Salhua Moreno
Setembro / 2010
Advisor: Carlos Antonio Levi da Conceição
Program: Ocean Engineering
Hydrodynamic interference forces modify the ship movements of two closely
operating ships. These effects should be analyzed in the early stages of the ship design
to identify possible operational failures.
The present thesis performs hydrodynamic interference studies on the behavior
of two ships in waves, advancing along parallel directions with the same speed. It is
performed an influence analysis of the ship separation distance and forward speed over
the hydrodynamic interference effects.
The effectiveness of this methodology is demonstrated by comparison between
numerical and experimental results obtained for a catamaran.
The numerical solution applies the Rankine Panel Method when double body
linearization is used to linearize free surface boundary conditions and B-spline bi-
quadratic surfaces are used to represent the velocity potential.
viii
Lista de Símbolos e Unidades
Parâmetros dimensionais
Nome Símbolo Unidade
Comprimento da linha de água L m
Boca na linha de água B m
Calado T m
Velocidade de avanço U m/s
Frequência de encontro ω
E
rad/s
Massa adicional de sway A22 Ton
Massa adicional de heave A33 Ton
Massa adicional de roll A44 Ton.m
2
Massa adicional de pitch A55 Ton.m
2
Massa adicional de heave produzida pela oscilação em
pitch
A35 Ton.m
Massa adicional de pitch produzida pela oscilação em
heave
A53 Ton.m
Amortecimento potencial de heave produzido pela
oscilação em pitch
B35 Ton.m/s
Amortecimento potencial de pitch produzido pela
oscilação em heave
B53 Ton.m/s
Amortecimento de sway B22 Ton/s
Amortecimento de heave B33 Ton/s
Amortecimento de roll B44 Ton.m
2
/s
Amortecimento de pitch B55 Ton.m
2
/s
Massa adicional de interferência hidrodinâmica de
sway
D22 Ton
Massa adicional de interferência hidrodinâmica de
heave
D33 Ton
Massa adicional de interferência hidrodinâmica de roll
D44 Ton.m
2
Massa adicional de interferência hidrodinâmica de D55 Ton.m
2
ix
pitch
Amortecimento potencial de interferência
hidrodinâmica de sway
E22 Ton/s
Amortecimento potencial de interferência
hidrodinâmica de heave
E33 Ton/s
Amortecimento potencial de interferência
hidrodinâmica de roll
E44 Ton.m
2
/s
Amortecimento potencial de interferência
hidrodinâmica de pitch
E55 Ton.m
2
/s
Força de excitação de surge F11 N
Força de excitação de sway F22 N
Força de excitação de heave F33 N
Momento de excitação de roll M44 Nm
Momento de excitação de pitch M55 Nm
Momento de excitação de yaw M66 Nm
Parâmetros adimensionais
∇ρ
=
33A
'33A
g
L
33B
'33B
∇ρ
=
2
L
55A
'55A
∇ρ
=
g
L
L
55B
'55B
2
∇ρ
=
L
35A
'35A
∇ρ
=
g
L
L
35B
'35B
∇ρ
=
L
53A
'53A
∇ρ
=
gL
L
53B
'53B
∇ρ
=
x
∇ρ
=
22D
'22D
g
L22E
'22E
∇ρ
=
∇ρ
=
33D
'33D
g
L
33E
'33E
∇ρ
=
ζ∇ρ
=
g
33F
'33F
2
L
44D
'44D
∇ρ
=
g
L
L
44E
'44E
2
∇ρ
=
2
L
55D
'55D
∇ρ
=
g
L
L
55E
'55E
2
∇ρ
=
ζ∇ρ
=
g
22F
'22F
ζ∇ρ
=
g
55M
'55M
RAO HEAVE =
ζ
Z
RAO PITCH =
ζ
θ
k
RAO SWAY =
ζ
y
RAO ROLL =
ζ
k
g
L
WE'WE =
g
U
'
E
ω
=τ
xi
INDICE
Capitulo 1- Introdução
1
1.1 Motivação
1
1.2 Antecedentes e cenário atual
2
1.3 Objetivos da tese
13
1.4 Delineamento da tese
14
Capitulo 2- Formulação do Problema Hidrodinâmico
15
2.1 Formulação Exata do Problema Hidrodinâmico Geral
15
2.1.1 Equação Governante
16
2.1.2 Condições de contorno aplicadas para descrever o escoamento
não-permanente
17
2.1.2.1 Condição de contorno de impenetrabilidade
17
2.1.2.2 Condição de contorno da superfície livre
17
a) Condição de contorno cinemática
17
b) Condição de contorno dinâmica
18
2.1.2.3 Condição de contorno de radiação
18
2.2 Linearização do Problema Hidrodinâmico
19
2.2.1 Linearização das condições de contorno da superfície livre
20
a) Condição de contorno cinemática
21
b) Condição de contorno dinâmica
21
2.2.2 Linearização da condição de contorno do corpo
21
2.2.3 Linearização da condição de contorno de radiação
22
2.2.3.1 Elevação da superfície livre
22
2.2.3.2 Primeira derivada da elevação da superfície livre
22
2.3 Aplicação das condições de contorno no problema hidrodinâmico
23
2.3.1 Potencial de velocidades das ondas incidentes
23
2.3.2 Potencial de velocidades das ondas irradiadas
23
2.3.2.1 Condição de contorno do corpo para dois navios
experimentando interferência hidrodinâmica
23
2.3.2.2 Condição de contorno do corpo para um navio
25
2.3.3 Potencial de velocidades das ondas difratadas
27
2.3.3.1 Condição de contorno do corpo para dois navios com
interferência hidrodinâmica
27
2.3.3.2 Condição de contorno do corpo para um navio
27
2.4 Forças Hidrodinâmicas e Movimentos
28
2.4.1 Forças de irradiação
28
2.4.1.1 Massas adicionais
29
a) Massa adicional de cada navio
29
b) Massa adicional de um navio produzida pela
interferência hidrodinâmica do outro navio
30
xii
2.4.1.2 Amortecimentos potenciais
30
a) Amortecimentos potenciais de cada navio
30
b) Amortecimento potencial de um navio produzido
pela interferência hidrodinâmica do outro navio
30
2.4.2 Forças de excitação das ondas
31
2.4.3 Forças hidrostáticas
31
2.4.4 Equação de movimento
32
a) Sistema de equações para dois navios com
velocidade de avanço
32
b) Sistema de equações para um navio com
velocidade de avanço
33
Capitulo 3 – Implementação Numérica
3.1 Método do Painéis
36
3.1.1 Coeficientes de Influência
39
3.1.2 Contornos das malhas de painéis
41
3.2 Discretização do Problema Hidrodinâmico
46
3.2.1 Solução para o potencial de irradiação
46
a) Dois navios com velocidade de avanço com o efeito da
interferência hidrodinâmica
47
b) Caso de um navio avançando
51
3.2.2 Solução para o potencial de difração
52
a) Caso de dois navios com velocidade de avanço
52
b) Caso de um navio avançando
53
Capitulo 4 - Resultados Numéricos do Comportamento em Ondas de um
navio com Velocidade de Avanço
55
4.0 Geral
55
4.1 Análise de estabilidade da presente metodologia
57
a) Razão de aspecto
57
b) Número de Froude da malha
58
c) Frequência de encontro reduzida
58
d) Diagrama de estabilidade
59
4.1.1 Variação da frequência reduzida
61
4.1.2 Variação da razão de aspecto
61
4.1.3 Refinamento dos painéis da superfície livre
63
4.1.3.1 Refinamento transversal
64
4.1.3.2 Refinamento longitudinal
65
4.1.4 Influência das dimensões da malha da superfície livre
66
a) Variação da extensão da malha na proa
66
b) Variação da extensão da malha na popa
67
c) Variação da extensão da malha no costado
68
4.2 Comportamento em ondas de um navio com velocidade de avanço
70
4.2.1 Wigley modificado
70
xiii
4.2.2 Serie 60 – Cb = 0.70
75
Capitulo 5 - Resultados Numéricos da Interferência Hidrodinâmica entre
dois Navios com Velocidade de Avanço
80
5.1 Geral
80
5.2 Interferência hidrodinâmica de um catamarã
81
5.2.1 RAO de heave
82
5.2.2 RAO de pitch
84
5.3 Interferência hidrodinâmica de dois navios com velocidade de avanço no
arranjo side by side
86
5.3.1 Características dos navios utilizados
87
5.3.2 Análise de estabilidade
88
a)Variação da razão de aspecto
88
b)Refinamento dos painéis da superfície livre
89
c)Influência das dimensões das malhas da superfície livre
93
d)Influência da frequência de encontro
97
f)Tempo de processamento
97
5.4 Resultados da interferência hidrodinâmica sobre o comportamento em
ondas de dois navios com velocidade de avanço
100
5.4.1 Forças hidrodinâmicas de irradiação
100
5.4.2 Forças de interferência hidrodinâmica de irradiação
106
5.4.3 Forças de Excitação
109
5.4.4 RAO de movimento
112
5.4.5 Influência da distância entre cascos
116
5.4.6 Influência da velocidade sobre a interferência hidrodinâmica
120
Capitulo 6 – Conclusões
124
Referências Bibliográficas
128
APÊNDICE I
130
APÊNDICE II
132
APÊNDICE III
146
1
Capítulo 1
Introdução
A avaliação do comportamento de um navio no mar é muito importante, mesmo
nas primeiras fases do seu projeto. Para realizar esta avaliação pode se utilizar diversas
metodologias experimentais ou numéricas. Atualmente, a avaliação numérica da
dinâmica de navios é amplamente utilizada, geralmente, com a finalidade de otimização
da forma do casco ou de detecção de possíveis problemas operacionais. Porém, os
ensaios experimentais ainda são requeridos como verificação final devido ao fato dos
códigos numéricos não permitirem, ainda, avaliar totalmente os efeitos produzidos pelas
ondas sobre o escoamento ao redor do navio.
A presente tese descreve a implementação de um código potencial linear no
domínio da frequência, baseado na aplicação do Método da Função de Green/fonte de
Rankine ou Método dos Painéis definido por fontes de Rankine (Rankine Panel
Method) para estudar o efeito de interferência hidrodinâmica devido às ondas irradiadas
e difratadas entre dois navios com a mesma velocidade e direção de avanço na
configuração side by side.
1.1 Motivação
A evolução do setor offshore demandou o desenvolvimento de novas
configurações de operação envolvendo mais de um navio com velocidade de avanço.
Pode-se citar o caso dos comboios oceânicos articulados, a fase de approaching do
offloading no arranjo side by side de navios petroleiros ou LNGs, assim como o
abastecimento de combustível entre navios militares.
Essas novas condições de operação incorporaram ao problema da dinâmica de navios o
efeito de interferência hidrodinâmica devido às ondas irradiadas e difratadas entre as
embarcações envolvidas. Portanto, tornaram-se necessárias ferramentas numéricas que
permitam incluir o efeito de interferência hidrodinâmica na dinâmica de navios de
forma a avaliar os limites operacionais destas configurações. Como o fenômeno é
dominado por efeitos de ondas, as soluções potenciais podem ser utilizadas como uma
alternativa bastante adequada.
2
1.2 Antecedentes e cenário atual
Com o intuito de colocar o panorama no qual foi concebido o presente trabalho,
são apresentadas as contribuições mais relevantes, realizadas por diversos
pesquisadores, para a representação numérica do comportamento em ondas de navios, e
os avanços realizados para incluir o efeito da interferência hidrodinâmica entre dois
navios que navegam próximos entre si.
Entre os anos 1861 e 1896 Froude e Krilov derivaram equações diferenciais de
movimento para determinar os movimentos do navio em ondas, considerando
unicamente as ações das forças inerciais, hidrostáticas e as forças de excitação
produzidas pelas ondas incidentes. A formulação matemática da força de excitação,
desenvolvida por eles, foi obtida considerando que o perfil da onda não era alterado pela
presença do navio, atualmente esta força é conhecida como a força de Froude-Krilov.
No desenvolvimento desse trabalho nenhum esforço foi realizado para considerar a
perturbação produzida no escoamento devido à presença do navio, NEWMAN (1977).
Os primeiros avanços para considerar a perturbação do escoamento devida à presença
do navio surgiram com a solução do problema da resistência de onda de um navio com
velocidade de avanço constante em águas tranquilas. O primeiro trabalho, nessa direção
foi atribuído a MICHELL (1898), responsável pelo desenvolvimento da Teoria do
Navio Fino. Michell utilizou a hipótese de que a boca era pequena em comparação com
o comprimento do navio, permitindo a linearização das condições de contorno da
superfície livre do problema da resistência por formação de ondas e a aplicação da
condição de contorno do corpo foi imposta apenas na linha diametral do navio. Apesar
dos resultados numéricos obtidos com esta teoria diferirem significativamente dos
resultados experimentais, a contribuição de Michell foi importante, porque a Teoria do
Navio Fino serviu como modelo para a simplificação e solução de vários problemas
presentes na formulação matemática da dinâmica de navios.
Um dos primeiros esforços para incluir a perturbação do escoamento devido a presença
do corpo pode ser atribuído a HASKIND (1946), ele estudou os movimentos de heave e
pitch do navio em ondas utilizando pela primeira vez o Teorema de Green para calcular
o potencial de velocidade associado aos movimentos oscilatórios. A função de Green
3
adotada por Haskind representava o potencial de uma fonte oscilatória, localizada
próxima à superfície livre e as simplificações da Teoria do Navio Fino foram utilizadas
para resolver a equação integral resultante da aplicação do Teorema de Green. Haskind
foi também o primeiro a propor a separação do potencial de velocidades não
permanente em contribuições de radiação, difração e de incidência. Porém, existem
alguns problemas fundamentais inerentes à Teoria do Navio Fino que limitam a
aplicabilidade deste método, tais como; as formas dos navios reais não são finas, mas
sim esbeltas (calado da mesma ordem de grandeza da boca, mas não do comprimento).
A Teoria do Navio Esbelto, importada da Aerodinâmica, foi utilizada por
MARUO (1962) e NEWMAN (1964) para determinar o comportamento em ondas de
navios de formas esbeltas. Esta metodologia lineariza as condições de contorno do
problema considerando que a boca e o calado são pequenos quando comparados com o
comprimento do navio. Além de considerar que o comprimento da onda incidente é da
mesma ordem ou maior ao comprimento do navio (baixas frequências) e pode ser
aplicada considerando baixa velocidade de avanço. Porém esta teoria falha na predição
dos movimentos na região da ressonância e para altas frequências, devido às limitações
das hipóteses fundamentais desta metodologia.
NEWMAN e SCLAVOUNOS (1980) e SCLAVOUNOS (1984) desenvolveram a teoria
unificada do corpo esbelto, considerando unicamente a esbeltez do navio ou seja
relações L/B altas. Esta teoria supera os inconvenientes da teoria do corpo esbelto
convencional porque permite determinar a dinâmica de navios em altas e baixas
frequências, velocidade de avanço moderadas e a incorporação de termos para
contabilizar a tridimensionalidade do navio. Porém, segundo FONSECA (2004), as
amplitudes dos RAOs de heave obtidos com esta metodologia, no caso de velocidade de
avanço, são sobre dimensionados quando comparados aos resultados experimentais.
Outra metodologia para determinar o comportamento em ondas de navios é o Método
das Faixas, esta metodologia baseia-se na solução do problema bidimensional, que
consiste em dividir o navio em várias fatias (ou faixas), sobre as quais as forças
hidrodinâmicas são avaliadas para depois serem integradas ao longo do comprimento do
navio. Desta forma, o problema tridimensional é reduzido a uma sucessão de problemas
bidimensionais associados às seções transversais ao longo do comprimento do navio.
4
Em cada seção é assumido que o escoamento tem apenas as direções vertical e
transversal, ou seja, as ondas geradas propagam-se perpendicularmente ao eixo
longitudinal do navio. Esta hipótese implica em assumir-se que o navio deve ser esbelto,
a velocidade de avanço pequena e o comprimento das ondas relativamente pequeno em
relação ao comprimento do navio.
A aplicação do Método das Faixas requer que sejam calculadas as forças
hidrodinâmicas nas seções bidimensionais do navio. Neste caso, pode-se citar URSELL
(1949) que resolveu o problema do escoamento oscilatório em torno de uma seção
semicircular oscilando em heave na presença de superfície livre. O potencial de
velocidades deste escoamento foi representado por uma soma de singularidades, cada
uma satisfazendo as condições de contorno da superfície livre e radiação, e a condição
de contorno de impenetrabilidade foi satisfeita através de multipolos que ponderavam as
contribuições das diferentes singularidades.
GRIM (1960), TASAI (1959) e PORTER (1960) aplicaram a transformação conforme
de seções arbitrárias no círculo, juntamente com o método de Ursell, para calcular os
coeficientes hidrodinâmicos de cilindros com seção arbitrária.
KORVIN-KROUKOVSKY e JACOBS (1957) foram os primeiros a utilizar os
resultados bidimensionais, anteriormente mencionados, para incluir as forças de
irradiação e difração na equação diferencial de movimento no domínio da frequência.
Esta foi a primeira metodologia a descrever adequadamente os movimentos de heave e
pitch de um navio em mar de proa sem velocidade de avanço. Apesar das críticas
iniciais recebidas pelas inconsistências matemáticas na sua formulação, já que o modelo
matemático utilizado foi elaborado por intuição, posteriormente foi reconhecida como
uma das mais importantes contribuições ao estudo da dinâmica de navios e serviu de
base de outras versões de Teoria das Faixas.
FRANK (1967) generalizou o cálculo das forças hidrodinâmicas de seções
bidimensionais de formas arbitrárias ao representar o potencial de velocidades por uma
distribuição de funções de Green do tipo fonte pulsante que satisfaziam a condição de
contorno na superfície livre e radiação no domínio bidimensional. Estas fontes foram
utilizadas na discretização do contorno das seções e a densidade destas foi obtida
5
através da solução da Terceira Identidade de Green. Desta forma Frank generalizou a
metodologia da obtenção das forças hidrodinâmicas para seções arbitrárias sem ter que
utilizar a transformação conforme. Porém, esta metodologia é propensa a aparição de
frequências irregulares que produzem erros na avaliação das forças hidrodinâmicas.
OGILVIE e TUCK (1969) desenvolveram a Teoria Racional das Faixas para os
movimentos verticais, cuja formulação é baseada numa análise sistemática de pequenas
perturbações, assumindo que a frequência de encontro é elevada. Foram usados dois
parâmetros na análise de perturbações: a esbeltez e a amplitude dos movimentos. Assim,
a linearização do problema foi feita em relação à amplitude dos movimentos, sem
introduzir grandes restrições na esbeltez do corpo. Deste modo, algumas interações com
o escoamento estacionário foram incluídas na solução através da incorporação dos
termos conhecidos como m
j
.
SALVENSEN, TUCK e FALTINSEN (1970) desenvolveram a Teoria das Faixas
matematicamente melhor fundamentada, considerando movimentos lineares. Nessa
solução, definida no domínio da frequência, as forças hidrodinâmicas nas seções
bidimensionais eram obtidas utilizando-se a metodologia de FRANK (1967).
Atualmente, esta é certamente a mais popular de todas as Teorias das Faixas. Considera
cinco graus de liberdade, diferentes ângulos de encontro e o efeito da velocidade de
avanço, incluído através do pós-processamento dos coeficientes hidrodinâmicos, sem
velocidade de avanço. Esta versão da Teoria das Faixas já é utilizada em muitos
programas comerciais de Engenharia Naval (exemplos: MAXSURF, SEAWAY, entre
outros).
Versões da Teoria das Faixas no domínio do tempo apareceram para se poder adicionar
efeitos não-lineares nas equações que representam o equilíbrio dinâmico do navio
(exemplos: as forças de restauração não-lineares, forças de excitação, efeitos da água no
convés, controle direcional pelo leme, etc).
O trabalho de XIA e WANG (1997), por exemplo, desenvolveu uma Teoria de Faixas
no domínio do tempo para determinar os movimentos verticais de navios. Esses autores
resolveram o problema hidrodinâmico e estrutural acopladamente (problema de
hidroelasticidade). As forças de restauração hidrostáticas são consideradas não-lineares
6
e calculadas na superfície instantânea do casco, consideradas em cada instante de
tempo; enquanto que as forças de radiação e difração são consideradas lineares.
Nas Teorias das Faixas, em geral, considera-se que a velocidade de avanço é pequena.
Com o objetivo de incluir de forma mais completa os efeitos da velocidade do navio na
formulação, foi desenvolvida a teoria das faixas 2.5D. Do ponto de vista teórico, esta
abordagem pode ser considerada intermediária entre as teorias das faixas 2D e os
métodos dos painéis 3D. Esta formulação é baseada na equação de Laplace
bidimensional, mas a condição de contorno da superfície livre é assumida na sua versão
tridimensional. A justificativa para utilizar a equação de Laplace bidimensional é que
para velocidades elevadas os navios de deslocamento são geralmente esbeltos e as ondas
geradas pela oscilação, para frequências reduzidas (τ = Uω
E
/g ) maiores do que 0.25, de
cada seção propagam-se somente na direção da popa. Deste modo o problema pode ser
resolvido começando por determinar a solução na proa e depois ir determinando a
solução passo a passo na direção da popa.
Porém, as principais limitações da Teoria das Faixas, em geral, são os efeitos da
tridimensionalidade (interação entre as fatias, muito importante no caso de navios
bojudos), o efeito da velocidade de avanço sobre os movimentos (incluído através de
pós-processamento e não na formulação do problema) e a impossibilidade de cálculo
dos coeficientes hidrodinâmicos em frequências baixas e em mar de popa.
Por outro lado, a abordagem mais completa consiste na aplicação do Método dos
Painéis que permite capturar melhor a influência da geometria ou tridimensionalidade
dos cascos de navios, com e sem velocidade de avanço. Esta metodologia foi
desenvolvida quase que simultaneamente à Teoria das Faixas, porém devido à sua
grande demanda de recursos computacionais, sua utilização começou a ser popular
apenas a partir da década de 80. Esta metodologia se fundamenta na aplicação da
Terceira Identidade de Green através da distribuição de singularidades sobre as
superfícies de contorno do domínio fluido.
Existem duas alternativas desta metodologia, no que se refere ao tipo de singularidade
utilizada. A primeira utiliza singularidades do tipo função de Green, que satisfaz à
equação de Laplace, e as condições de contorno de radiação e na superfície livre. Estas
funções de Green são distribuídas unicamente na superfície submersa do navio, onde se
7
impõe explicitamente, na equação da Terceira Identidade de Green, a condição de
contorno de impenetrabilidade do casco.
Várias aplicações desse tipo de função de Green na determinação dos movimentos do
navio foram relatadas na literatura nas últimas décadas, como mostrado a seguir:
INGLIS e PRICE (1981a, 1981b) desenvolveram um método dos painéis utilizando
funções de Green tridimensionais incluindo a velocidade de avanço, para calcular os
coeficientes hidrodinâmicos e forças de excitação num navio da série 60. A condição de
contorno no corpo foi calculada considerando a perturbação no potencial estacionário
nos termos m
j
. Eles identificaram a aparição de soluções espúrias para algumas
frequências de excitação, conhecidas como frequências irregulares, de igual forma como
acontecia no Método das Faixas.
NEWMAN (1985) realizou um estudo bastante abrangente do tratamento matemático
do método da função da Green para representar o comportamento em ondas de corpos
flutuantes. Ele começou uma linha de pesquisa que deu origem ao desenvolvimento do
código comercial WAMIT, LEE e NEWMAN (2003). Este código realiza a análise de
movimentos de plataformas e navios com velocidade zero, considerando efeitos de
primeira e segunda ordens, no domínio da frequência.
KORSMEYER et al. (1999) realizou a análise da dinâmica de navios no domínio do
tempo, com e sem velocidade avanço, o código comercial TIMIT foi produto desta
pesquisa.
As maiores dificuldades encontradas neste tipo de metodologia é o tratamento numérico
das fontes de Green, a aparição de frequências irregulares na solução, assim como a
solução não-linear do problema da dinâmica de navios.
Uma outra vertente de aplicações do Método dos Painéis adota a distribuição de
singularidades do tipo fonte de Rankine ou fontes simples sobre todas as superfícies de
contorno do domínio fluido. A aplicação desta metodologia precisa da discretização da
superfície do casco submerso e da superfície livre ao seu redor. Nestas superfícies são
satisfeitas explicitamente as condições de contorno da superfície livre, radiação e do
corpo, respectivamente.
8
HESS e SMITH (1964) realizaram uma das primeiras aplicações práticas desta
metodologia. Eles utilizaram painéis planos para discretizar superfícies de corpos
profundamente submersos, portanto, sem o efeito de superfície livre, e distribuíram
fontes de Rankine como singularidades a serem utilizadas na aplicação da Terceira
Identidade de Green. A solução resultante desta equação permitiu a obtenção da
distribuição de velocidades, linhas de corrente, e campo de pressão, muito utilizado em
processos de otimização de formas aerodinâmicas.
A solução de problemas com superfície livre utilizando fontes de Rankine como solução
do problema da resistência por formação de ondas surge nos trabalhos pioneiros de
GADD (1976) e DAWSON (1977). Nestes trabalhos se incorporaram a linearização da
superfície livre em torno do escoamento do casco duplo e a representação do potencial
de velocidades obtida a partir da utilização de diferenças finitas. Essa metodologia
apresenta o inconveniente associado à aplicação de diferenças finitas que promove um
excessivo amortecimento numérico acarretando ondas mais curtas do que deveriam ser
(ver NAKOS e SCLAVOUNOS, 1990).
As aplicações desta metodologia na solução de problemas envolvendo dinâmica de
navios começaram quase que paralelamente com as aplicações para a resistência por
formação de onda, como no caso do trabalho de CHANG (1977) na solução do
escoamento não permanente, visando a obtenção das massas adicionais e
amortecimentos potenciais de um navio quinado com velocidade de avanço no domínio
da frequência.
A grande demanda por capacidade computacional fez com que muitos pesquisadores à
época não acreditassem que a discretização da superfície livre pudesse ser representada
adequadamente e o complicado padrão de elevações das ondas geradas pela oscilação
do navio pudesse ser reproduzido na qualidade necessária.
NAKOS (1990) e SCLAVOUNOS (1993) aplicaram esta metodologia na determinação
da dinâmica de navios com velocidade de avanço, no domínio da frequência, utilizando
superfícies B-splines bi-quadráticas em conjunto com a linearização do casco duplo e
conseguiram demonstrar a efetividade desta metodologia na modelação das elevações
produzidas pelas oscilações do navio. Estes trabalhos deram origem ao código linear no
9
domínio da frequência SWAN-1, cuja principal limitação é a de não poder calcular a
dinâmica de navios para frequências reduzidas menores do que 0.25. Essa metodologia
foi utilizada também por DOMICIANO (2002) e SALHUA (2004) para a obtenção da
resistência por formação de ondas de corpos submersos e LEVI e SALHUA (2007a) e
(2007b) para a determinação do comportamento em ondas de esferóides submersos e
navios com velocidade de avanço.
Outros resultados que também demonstraram a eficácia desta versão do método dos
painéis são BERTRAM (1990a,b) e BERTRAM e SÖDING (1991). Eles distribuíram
fontes de Rankine na superfície livre e utilizaram painéis de intensidade constante sobre
a superfície do casco do navio.
HUGHES (1996) generalizou esta metodologia ao utilizar painéis de ordem superior
para calcular as segundas derivadas do potencial estacionário no casco. Utilizando o
mesmo princípio, BERTRAM (1998), apresentou resultados adicionais para cascos
reais. Uma das conclusões de Bertram foi que o escoamento estacionário influencia de
forma significativa os movimentos verticais de navios com velocidade de avanço.
KRING (1994) expandiu a metodologia desenvolvida por NAKOS (1990) para poder
realizar o cálculo da resistência por formação de ondas e da dinâmica de navios no
domínio do tempo, considerando navios com e sem velocidade de avanço. Neste
trabalho, foram determinadas a dinâmica de navios para todas as frequências reduzidas
(incluindo τ ≤ 0.25) e a utilização de malhas polares da superfície livre que se ajustam
melhor à linha de água de navios bojudos, dentro do regime linear. Este trabalho deu
origem ao código
SWAN-2 linear. Para poder integrar a solução no domínio do tempo,
Kring desenvolveu um novo método de integração baseado numa combinação de
métodos implícitos e explícitos (denominado método emplicito).
Versões não lineares deste tipo de solução foram estendidas para realizar avaliações no
domínio do tempo. No caso da resistência ao avanço por formação de ondas, esta
metodologia considera a atualização da superfície do casco submerso, trimado e com
afundamento (veja RAVEN 1996, NAKOS e SCLAVOUNOS 1994 e o código
SHIPFLOW, LARSSON e BABBA 1993).
10
HUANG (1997) desenvolveu uma versão não-linear do código SWAN-2. Nesta solução,
ela aplica a hipótese Weak-Scatterer para a resolução do problema não-linear da
dinâmica de navios. Esta hipótese foi desenvolvida por PAWLOWSKI (1992) e consiste
em considerar que não existem restrições na relação amplitude/comprimento da onda
incidente e os movimentos do navio podem ser grandes. Também considera que a
perturbação produzida pelo navio sobre o escoamento incidente é relativamente
pequena, válido portanto, para navios esbeltos. Para a execução desta versão não linear
é preciso a atualização da superfície molhada do navio a cada instante de tempo e a
inclusão dos termos não-lineares nas equações da superfície livre. Estes
aperfeiçoamentos deram origem ao código SWAN-2 não linear.
Existe também uma metodologia alternativa baseada na Teoria Potencial para lidar com
o problema dos movimentos não lineares do navio conhecida como o método de Euler-
Lagrange. Esta solução foi aplicada inicialmente por LONGUET-HIGGINS e
COKELET (1976) para estudar ondas bidimensionais não-lineares próximas da situação
de quebra.
No que tange aos desenvolvimentos relativos à determinação numérica da interferência
hidrodinâmica entre dois corpos em presença de ondas, alguns trabalhos anteriores
fizeram uso da Teoria das Faixas e também de metodologias tridimensionais como
mostrado a seguir:
WANG et al. (1971) resolveram o problema da interação hidrodinâmica entre duas
seções bidimensionais de um cilindro em arranjo catamarã, sem velocidade de avanço,
utilizando a teoria das faixas. Eles constataram que ondas estacionárias entre os cascos
produzem efeitos de ressonância sobre as massas adicionais e amortecimentos
potenciais que dependem da distância de separação entre os cascos.
FANG e KIM (1986) estenderam a Teoria das Faixas de SALVENSEN et al. (1970)
para determinar os movimentos de dois navios avançando na configuração side by side
em mar oblíquo. A influência da velocidade de avanço foi incluída na forma de um pós-
processamento similar ao do trabalho de Salvensen. Esta influência foi colocada
inclusive nos termos de interferência hidrodinâmica. Seus resultados numéricos foram
11
comparados com resultados experimentais, obtendo uma aderência bastante boa para o
caso de velocidade zero.
SAYER e LIANG (1986) estenderam o método da função de Green para analisar a
interferência hidrodinâmica entre barcaças em ondas de diferentes dimensões, sem
velocidade de avanço, e demonstraram numericamente, que os efeitos da interferência
hidrodinâmica entre dois corpos sobre os seus movimentos são relevantes e devem ser
analisadas considerando a separação entre os corpos, dimensões dos corpos e a
frequência das ondas.
LEMOS (1988) estendeu o método dos painéis baseado na função de Green
desenvolvido por ESPERANÇA (1982), para analisar a influência da interferência
hidrodinâmica entre corpos. Ele validou seus resultados numéricos, utilizando um
cilindro e uma caixa flutuante, e realizou uma análise da influência da distância de
separação entre duas caixas flutuantes de iguais dimensões. Desta forma obteve um
conhecimento mais profundo da influência da interferência hidrodinâmica sobre o
comportamento em ondas, confirmando que estes efeitos diminuem conforme a
distância entre os corpos aumenta.
McTAGGART et al. (2001) desenvolveram um código numérico baseado na Teoria das
Faixas para determinar a interferência hidrodinâmica entre uma fragata e um navio de
suprimentos navegando com a mesma velocidade de avanço em mar de proa. Eles
concluíram que a presença do navio de suprimentos (navio maior) induzia pronunciados
ângulos de roll sobre a fragata durante a operação de abastecimento em mar de proa.
No ano de 2002, Ronaess elaborou uma tese de doutorado que consistia numa análise
numérica e experimental do efeito da interferência hidrodinâmica sobre a
manobrabilidade e comportamento em ondas de dois navios, de iguais características,
com a mesma velocidade de avanço e direção. A análise numérica utilizou a Teoria das
Faixas e os resultados teóricos foram comparados a resultados de ensaios experimentais,
demonstrando boa aderência. Desta análise, o autor destacou que os efeitos de
interferência hidrodinâmica influenciaram relevantemente o comportamento em ondas e
a manobrabilidade dos navios analisados, XIANG (2008).
12
Aplicações do método dos painéis utilizando fontes de Rankine apareceram,
principalmente, para estudar inicialmente o problema de multicorpos (ver, por exemplo
KRING e SCLAVOUNOS 1991).
KIM et al. (1997) estenderam o método dos painéis de Rankine no domínio do tempo,
desenvolvido originalmente por KRING (1994), para obter as forças de segunda ordem
sobre colunas de uma TLP. Os resultados obtidos foram comparados a resultados
obtidos pelo programa WAMIT demonstrando uma boa aderência.
WEEMS et al. (2007) utilizaram um método dos painéis híbrido, do tipo não-linear, no
domínio do tempo. Esta metodologia utiliza fontes de Rankine, na região próxima ao
casco, e funções de Green, em regiões da superfície livre afastadas do casco. Ela foi
utilizada para predizer os movimentos e forças entre dois navios da Marinha Americana,
considerando seis graus de liberdade e navegando com a mesma velocidade de avanço
na configuração side by side. Eles compararam os RAOs de movimento, numérico e
experimental, encontrando boa aderência, qualitativa e quantitativa.
Atualmente existem alguns códigos comerciais baseados no método dos painéis,
utilizando a função de Green, por exemplo o código WAMIT permite a determinação da
interferência hidrodinâmica entre navios considerando, exclusivamente, o caso de
velocidade nula, cuja aplicação tem sido bastante frequente na análise de plataformas
offshore.
Por sua vez, o programa
AQWA-versão 11 (2007) que também utiliza o método da
função de Green, permite a avaliação da interferência hidrodinâmica sobre os
movimentos de navio para o caso de velocidade de avanço zero. Recentemente o
programa
AQWA-versão 12 (2009) foi adaptado para incluir o efeito da velocidade de
avanço através do pós-processamento dos coeficientes hidrodinâmicos de modo
semelhante ao descrito por SALVENSEN et al. (1970).
13
1.2 Objetivos da tese
Esta tese estuda o problema hidrodinâmico do comportamento em ondas de dois
navios que navegam próximos, afetados pela interferência hidrodinâmica entre eles. De
início o problema básico de um único navio com velocidade de avanço, em presença de
ondas, também será discutido.
O objetivo principal é o estudo do comportamento em ondas de dois navios com
a mesma velocidade de avanço e direção, navegando na configuração side by side,
através do desenvolvimento de um programa computacional que permita obter as forças
hidrodinâmicas e a influência da interferência hidrodinâmica sobre os RAOs de
movimento destes navios.
A proposta de solução baseia-se no método dos painéis, utilizando fontes de
Rankine. Nesse caso, as superfícies do corpo e superfície livre ao redor dos cascos serão
discretizadas, utilizando painéis retangulares planos. O potencial de velocidades será
representado por superfícies B-spline bi-quadráticas e as condições de contorno da
superfície livre serão linearizadas em torno da solução preliminar para o escoamento do
casco duplo.
A proposta de validação da presente metodologia baseou-se na comparação entre
os resultados numéricos e experimentais de um navio Wigley modificado, com
velocidade de avanço, em mar de proa. Posteriormente, para verificar o efeito de
interferência hidrodinâmica entre navios multicascos serão comparados os resultados
numéricos e experimentais de um catamarã formado por dois cascos Wigley.
Validações complementares incluem resultados para dois navios avançando na
configuração side by side, comparados com resultados numéricos obtidos pelos
programas WAMIT e AQWA corrigidos para incluir o efeito da velocidade de avanço.
14
1.3 Delineamento da tese
A organização da tese por capítulos pretende cobrir os diferentes aspectos
relacionados ao problema proposto e se desenvolve de acordo com a seguinte estrutura:
Capítulo 2 – neste capítulo é descrita a formulação matemática necessária para resolver
o problema hidrodinâmico do comportamento em ondas de dois navios com velocidade
de avanço. O efeito de interferência hidrodinâmica entre eles é considerado e mostra-se,
também, o caso particular da formulação matemática para representar um único navio.
São deduzidas a equação governante no caso de fluido ideal, e as condições de contorno
utilizadas na solução.
Capítulo 3 - Neste capítulo é mostrado o tratamento numérico realizado para a
solução do problema hidrodinâmico de dois navios com velocidade de avanço, afetado
pela interferência hidrodinâmica produzida entre eles. A formulação do problema do
comportamento em ondas para um único navio com velocidade de avanço é mostrada
também. Na solução considera-se o método dos painéis baseado em funções de Rankine
como singularidades. Mostra-se também a forma numérica de se impor as condições de
contorno que governam o problema do comportamento em ondas de navios.
Capítulo 4 – Neste capítulo são mostrados os resultados numéricos obtidos utilizando a
metodologia descrita nesta tese para o caso de um navio sozinho com velocidade de
avanço. É mostrada a validação realizada entre os resultados numéricos e resultados
experimentais para o navio Wigley modificado.
Capítulo 5 - Neste capítulo são mostrados os resultados numéricos obtidos para o
problema da interferência hidrodinâmica entre dois navios, com velocidade de avanço.
Como exemplo são utilizados dois navios Wigley modificados, na configuração side by
side, com velocidade de avanço. Apresentam-se, também, a influência das dimensões da
malha, número de painéis utilizados, influência da distância entre os cascos e a variação
da velocidade de avanço sobre os resultados numéricos.
Capítulo 6 – Neste capítulo são mostradas as principais conclusões obtidas a partir da
análise dos resultados obtidos, comentários gerais e recomendações para trabalhos
futuros.
15
Capítulo 2
Formulação do Problema Hidrodinâmico
No presente capítulo apresenta-se a formulação matemática do problema
hidrodinâmico de navios com velocidade de avanço. A partir desta formulação foi
possível descrever o comportamento em ondas de dois navios navegando próximos um
do outro, para levar em conta o efeito de interferência hidrodinâmica entre eles. O caso
particular de um único navio com velocidade de avanço em ondas será inicialmente
discutido e seus resultados avaliados como estratégia de validação preliminar da
metodologia adotada.
2.1 Formulação Exata do Problema Hidrodinâmico Geral
O problema hidrodinâmico compõe-se dos problemas de resistência por
formação de ondas e dinâmica de navios. Uma vez que os efeitos viscosos são
desprezíveis no fenômeno da formação de ondas, o fluido será considerado ideal. Desta
forma o escoamento pode ser considerado irrotacional, e a teoria potencial pode ser
utilizada para representar o escoamento ao redor dos navios com velocidade de avanço.
A formulação matemática do problema da dinâmica dos dois navios em ondas
começa com a definição dos sistemas de coordenadas. Neste caso, definem-se dois
sistemas de coordenadas relativos, Ox
1
y
1
z
1
e Ox
2
y
2
z
2
, colocados solidariamente nos
centros de gravidade dos navios 1 e 2, respectivamente. Os eixos Ox serão orientados na
direção de avanço dos navios. Os centros de gravidade dos navios encontram-se na
interseção da linha de centro de cada navio com a linha de flutuação em águas
tranqüilas. Sobre estes sistemas se definem os movimentos que os navios podem
efetuar: três (3) deslocamentos: avanço (surge), desvio (sway) e afundamento (heave);
três (3) rotações: balanço (roll), arfagem (pitch) e guinhada (yaw).
16
Y
Z
Y
Z
X
U
Sway
(Desvio)
Surge
(Avanço)
Heave
(Afundamento)
Pitch
(Arfagem)
Roll
(Rolido)
Yaw
(Guinada)
NAVIO 1
NAVIO 2
1
1
1
2
2
Figura 2.1 – Sistemas de coordenadas fixos nos navios
Outro parâmetro importante na definição matemática do problema
hidrodinâmico é a freqüência de encontro. Esta frequência será a frequência de resposta
dos movimentos dos navios, definida a seguir:
Onde:
ω
o
: Freqüência de oscilação das ondas incidentes.
U : Velocidade de avanço do navio.
χ
: Ângulo de encontro formado pela direção de avanço do navio e a direção de
propagação das ondas incidentes (χ = 0 para mar de popa).
2.1.1 Equação Governante
A equação da continuidade ou equação de Laplace governa o comportamento
dos escoamentos potenciais:
Onde:
Φ : o potencial de velocidade total do escoamento ao redor do navio.
)cos(
g
U
2
o
oE
χ
ω
−ω=ω
(2.1)
0.
)z,y,x(
2
=Φ∇=Φ∇∇
(2.2)
17
2.1.2 Condições de contorno aplicadas para descrever o escoamento não-
permanente
A equação governante (2.2) é aplicada em cada termo da equação (2.3). Desta
forma pode-se obter equações governantes para todos os potenciais de velocidades que
tomam parte do problema hidrodinâmico. As condições de contorno que definem cada
subproblema serão descritas a seguir:
2.1.2.1 Condição de contorno de impenetrabilidade
Esta condição de contorno é aplicada na superfície submersa
instantânea do corpo para garantir que o escoamento não penetre através da
superfície do casco. Esta condição requer que as componentes do escoamento e
da velocidade do casco, na direção normal à superfície submersa do casco, sejam
iguais:
Onde:
v
r
: Velocidade do casco submerso.
n
r
: Vetor normal à superfície do casco submerso
S
B
: Superficies submersas dos cascos.
2.1.2.2 Condição de contorno da superfície livre
A perturbação que os navios produzem na superfície livre quando estes
se deslocam com velocidade constante será definida impondo-se duas condições
de contorno, descritas a seguir:
a) Condição de contorno cinemática
Esta condição será aplicada sobre a superfície livre de modo a garantir a
igualdade de velocidades da interface água e ar do fluido:
()
ζ=
∂
Φ∂
=ζ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∇Φ∇−−
∂
∂
zem
z
.U
t
r
(2.5)
n.v
n
r
r
=
∂
Φ∂
, em S
B
(2.4)
18
b) Condição de contorno dinâmica
Esta condição, baseada na equação de Bernoulli, é aplicada também na
superfície livre de modo a garantir que a pressão na superfície livre seja igual à
pressão atmosférica.
ζ==ζ+
Φ∇
+Φ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∇−
∂
∂
zem0g
2
.U
t
2
r
(2.6)
2.1.2.3 Condição de contorno de radiação
Esta condição de contorno garante que a perturbação produzida pela
perturbação sobre o meio fluido pelo avanço e movimentos do navio desaparece
em regiões afastadas dos cascos. Seguindo o princípio de Sommerfeld: “
as
fontes devem ser fontes e não sumidouros de energia. A energia que é irradiada
das fontes deve ser dissipada no infinito, nenhuma energia deve ser irradiada do
infinito à região considerada”. A expressão que cumpre esta premissa é
mostrada a seguir:
0ik
r
rlim
r
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ−
∂
Φ∂
→∞
(2.7)
Onde:
k : número de onda.
r : raio vetor posição.
19
2.2 Linearização do Problema Hidrodinâmico
A solução do problema hidrodinâmico na forma exata requer que se conheça a
forma da superfície livre. Porém, esta é desconhecida a priori, portanto a aplicação de
um método iterativo de solução se faz necessário para resolver o problema.
Uma alternativa de solução é a linearização do problema hidrodinâmico considerando
que as perturbações produzidas pelos navios por efeito das ondas são pequenas e os
movimentos do navio são harmônicos, HASKIND (1946). Desta forma é possível
dividir o problema em duas partes: o potencial de velocidades permanente que
representa a resistência por formação de ondas e o potencial de velocidades não-
permanente, que representa todas as forças hidrodinâmicas envolvidas na dinâmica de
navios. A notação em variáveis complexas é utilizada para expressar o potencial de
velocidades total como mostrado a seguir:
ti
6
1j
)2(
j
)2(
j
)2(
D
6
1j
)1(
j
)1(
j
)1(
DI
)2(
S
)1(
S
B)z,y,x(
E
eUx
ω
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕζ+φ+ϕζ+φ+φ+φ+φ+ϕ+−=Φ
∑∑
(2.3)
Onde:
-Ux Potencial de velocidades do escoamento incidente.
U Velocidade de avanço do navio.
ϕ
B
Potencial de velocidades base.
φ
(kj)
S
Potencial de velocidades permanente que representa as ondas geradas pelo avanço
do navio em águas tranquilas do navio kj.
φ
I
Potencial de velocidades do escoamento das ondas incidentes do navio n.
φ
(kj)
D
Potencial de velocidades do escoamento das ondas difratadas do navio n.
ϕ
(kj)
j
Potencial de velocidades do escoamento das ondas radiadas no grau de liberdade j
do navio n.
ζ
(kj)
j
Amplitude do movimento no grau de liberdade j no navio kj.
ω
E
Freqüência de encontro ou de excitação.
kj O índice kj faz referência ao primeiro (1) ou segundo (2) navio.
Da equação (2.3), os potenciais permanentes (
)1(
s
φ
e
)2(
s
φ
) representam a
formação de ondas dos navios em águas tranquilas. Os demais potenciais são
classificados como potenciais não-permanentes e representam as forças hidrodinâmicas
envolvidas nos movimentos dos navios em presença de ondas. A solução do problema
proposto precisa de condições de contorno que descrevam a física de cada um dos
subproblemas envolvidos. A descrição destas condições será mostrada a seguir:
20
Como mencionado anteriormente, o problema pode ser resolvido na forma exata, mas
requer da inclusão de um processo iterativo de solução. Muitos dos métodos não
lineares, atualmente existentes resolvem o problema utilizando como primeira iteração à
solução linearizada (exemplos: JENSEN 1990, RAVEN 1996 e CARIBE 2009).
2.2.1 Linearização das condições de contorno da superfície livre
As condições de contorno da superfície são linearizadas utilizando um
escoamento base conhecido. Os esquemas linearizados são muito utilizados e fornecem
resultados com qualidade suficiente para serem utilizados no projeto de navios, veja
GADD (1976), DAWSON (1977), NAKOS & SCLAVOUNOS (1990) entre outros
pesquisadores.
O processo de linearização das equações da superfície livre começa considerando-se
que o potencial de velocidades está formado por duas partes, um potencial base (
ϕ
0
) e
um potencial de perturbação (
ϕ
1
), como definidos a seguir:
• Potencial Base (ϕ
Β
) – é um potencial de velocidades conhecido, utilizado para
linearizar as condições de contorno da superfície livre.
• Potencial de Perturbação (ϕ
) – é a solução do problema linearizado.
O potencial de velocidades é dividido da seguinte forma:
1B
ϕ
+
ϕ
=φ
(2.8)
Considera-se que o valor absoluto do potencial base é muito maior do que o potencial
de perturbação:
B1
ϕ<<ϕ
(2.9)
Uma decomposição similar é adotada para a elevação da superfície livre:
1B
ζ
+
ζ
=
ζ
(2.10)
B1
ζ<<ζ
(2.11)
21
Na literatura especializada, existem vários esquemas de linearização das
condições de contorno da superfície livre na literatura especializada. O esquema de
linearização utilizado nesta tese é conhecido como a linearização do “Casco Duplo”,
que utiliza como potencial base, o escoamento ao redor de uma geometria formada pela
superfície submersa do navio e sua imagem em relação à superfície livre não
perturbada. O corpo daí resultante é conhecido como casco duplo e o escoamento base é
obtido considerando-se este corpo profundamente submerso, em presença do
escoamento incidente.
Aplicando-se as equações (2.9) até (2.11) nas condições de contorno da superfície livre
tem-se:
a) Condição de contorno cinemática
[]
z
z
).U(i
1
2
B
2
11BE
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
ζ=ζ∇ϕ∇−−ω
r
, em z = 0
(2.12)
b) Condição de contorno dinâmica
[]
,
2
.
.Ug).U(i
BB
B11BE
ϕ∇ϕ∇
−ϕ∇+ζ−=ϕ∇ϕ∇−−ω
rr
em z = 0
(2.13)
2.2.2 Linearização da condição de contorno do corpo
A linearização das condições de contorno da superfície livre e sua re-definição
no plano z = 0 acarretam que a forma da superfície do casco submerso seja considerada
inalterada. Portanto, a superfície submersa do casco a considerar é a superfície média do
navio (plano z = 0).
Onde:
S
B0
: Superficie submersa média.
n.v
n
r
r
=
∂
φ∂
, em S
B0
(2.14)
22
2.2.3 Linearização da condição de contorno de radiação
A condição de contorno de radiação desenvolvida por NAKOS (1990) a ser
utilizada é válida somente para navios com velocidade de avanço. Está condição é
válida quando nenhuma onda irradiada pelo navio viaja no sentido de avanço do navio.
No caso do escoamento permanente em águas profundas isto é sempre válido. Porém,
no problema do escoamento não-permanente esta condição é válida somente quando a
freqüência reduzida é maior do que 0.25:
25.0
g
U
E
>
ω
=τ
(2.15)
Numericamente, esta condição é imposta fazendo-se com que a elevação da
superfície livre e sua derivada em relação à direção “x” sejam sempre nulas. Esta
condição é imposta na zona à vante da proa, na superfície livre, NAKOS (1990).
2.2.3.1 Elevação da superfície livre
Esta condição é imposta na parte à vante da proa, na superfície livre,
em função da primeira derivada do potencial de perturbação em “x”, NAKOS
(1990) e dada por:
0
x
Ui
1E
=ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ω
, na parte à vante da proa, na superfície livre.
(2.16)
2.2.3.2 Primeira derivada da elevação da superfície livre
Esta condição é imposta na parte à vante da proa, na superfície livre,
em função da segunda derivada do potencial de perturbação em “x”, NAKOS
(1990) é dada por:
0
x
Ui
1
2
E
=ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ω
, na parte à vante da proa, na superfície livre.
(2.17)
23
2.3 Aplicação das condições de contorno no problema hidrodinâmico
A seguir descreve-se a forma das condições de contorno linearizadas utilizadas
na definição de cada sub-problema hidrodinâmico que compõem o escoamento não-
permanente.
2.3.1 Potencial de velocidades das ondas incidentes
Este potencial de velocidades representa as ondas que incidem sobre o navio.
Sua determinação é realizada resolvendo a equação de Laplace em conjunto com as
condições de contorno da superfície livre e de radiação. A derivação matemática deste
potencial se encontra descrita em muitos livros de hidrodinâmica por exemplo:
NEWMAN (1977). O potencial de velocidades resultante é mostrado a seguir:
()
ti
)sin(y)cos(xikkz
o
o
I
E
eee
g
i
ω
β+β−
ζ
ω
=φ
(2.18)
Este potencial de velocidades é utilizado para obter a força que as ondas incidentes
produzem sobre o casco mediante a hipótese de Froude-Krilov, NEWMAN (1977). Esta
hipótese consiste em integrar as pressões atuantes sobre a superfície do casco,
considerando que as ondas incidentes não são afetadas pela presença do navio.
2.3.2 Potencial de velocidades das ondas irradiadas
Este potencial de velocidades representa as ondas produzidas pela oscilação do
navio. Sua obtenção é realizada mediante a solução da equação de Laplace em conjunto
com as condições de contorno da superfície livre, no corpo e radiação. A condição de
contorno no corpo é modificada da versão original, seguindo o procedimento
encontrado em SAYER et. al. (1986), para incluir o efeito da interferência
hidrodinâmica entre dois navios, como mostrado a seguir:
2.3.2.1 Condição de contorno do corpo para dois navios com interferência
hidrodinâmica
No problema de irradiação, esta condição de contorno é colocada na
superfície submersa média dos navios, e tem por objetivo evitar que a água
penetre através destas superfícies quando avançam oscilando no grau de
liberdade de interesse.
24
)kj(
j
)kj(
j
e
)kj(
)kj(
j
mni
n
+ω=
∂
ϕ∂
, em S
B
(2.19)
Onde:
S
B
: superfície submersa média.
ω
E
: freqüência de encontro.
(kj) : sub-índice que indica qual dos navios está em análise.
m
j
: coeficiente que inclui o avanço da embarcação.
n
j
: componente do vetor normal na direção j.
)2()1(
n,n
rr
: vetor normal ao navio 1 e ao navio 2
A equação (2.19) é aplicada nos cascos dos navios para considerar a
interferência hidrodinâmica entre eles da seguinte forma:
a) Navio 1 avançando oscilando no grau de liberdade j e navio 2
avançando sem oscilar
Nesta configuração, os navios 1 e 2 avançam com a mesma velocidade de
avanço, mas somente o navio 1 oscila no grau de liberdade j. Desta forma, pode-
se representar as ondas irradiadas pelo navio 1 que atingem ao navio 2 e a
influência da presença do navio 2 sobre as ondas irradiadas pelo navio 1.
a.1 – Navio 1 avançando oscilando no grau de liberdade j
Esta condição de contorno é aplicada na superfície submersa do navio 1 e
garante que a velocidade de oscilação normal deste navio é igual a velocidade
normal do escoamento na superfície submersa deste navio no grau de liberdade j.
)1(
j
)1(
j
E
)1(
)1(
j
mni
n
+ω=
∂
ϕ∂
r
, em S
1
(2.20)
25
a.2 – Navio 2 avançando sem oscilar
Esta condição de contorno garante que o navio não oscila.
0
n
)2(
)1(
j
=
∂
ϕ∂
r
, em S
2
(2.21)
b) Navio 1 avançando sem oscilar e Navio 2 avançando oscilando no
grau de liberdade j
O caso contrário é mostrado a seguir: o navio 2 avança oscilando no grau
de liberdade j e as ondas irradiadas por este permitem obter as forças de
interferência hidrodinâmica de irradiação sobre o navio 1, assim como a
influência da presença do navio 1 sobre as ondas irradiadas pelo navio 2.
b.1 – Navio 1 avançando sem oscilar
Esta condição de contorno garante que o navio não oscila.
0
n
)1(
)2(
j
=
∂
ϕ∂
r
, em S
1
(2.22)
b.2 – Navio 2 avançando oscilando no grau de liberdade j
Esta condição de contorno é aplicada na superfície submersa do navio 2 e
garante que a velocidade de oscilação normal deste navio é igual a velocidade
normal do escoamento na superfície submersa deste navio no grau de liberdade j.
)2(
j
)2(
j
E
)2(
)2(
j
mni
n
+ω=
∂
ϕ∂
r
, em S
2
(2.23)
2.3.2.2 Condição de contorno do corpo para um navio
A aplicação da condição de contorno no corpo para o caso particular de
um navio com velocidade de avanço é realizada utilizando a seguinte equação:
26
Onde:
n
j
: componente na direção j do vetor normal à superfície do corpo S
B0
.
m
j
: termo “m” que incorpora o efeito da velocidade de avanço na direção j.
Os termos m
j
incluem o efeito do potencial permanente sobre as forças de
irradiação. Porém, devido à hipótese de linearização adotada, o potencial base é
muito maior do que o potencial de perturbação. Por tanto, somente o potencial
base será utilizado para a determinação dos termos m
j
.
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
ϕ∂
∂
ϕ∂
∂
∂
−=
z
,
y
,
xn
m,m,m
BBB
321
(2.25)
()()
B654
xr
n
m,m,m ϕ∇
∂
∂
−=
r
(2.26)
A obtenção destes termos foi realizada utilizando o método proposto por WU
(1991) mostrado a seguir:
()
() ()
()
dsG
n
2dsG
n
Q,P
B
S
)Q(
B
)P(
B
B
S
Q,P
)Q(
B
∂
∂
ϕ∇−ϕ∇π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂∇
∫∫∫∫
(2.27)
jjE
j
mni
n
+ω=
∂
ϕ∂
, em S
B0
(2.24)
27
2.3.3 Potencial de velocidades das ondas difratadas
Este potencial de velocidades representa as ondas incidentes afetadas pela
presença da superfície do casco submerso. Esta condição é representada impondo-se que
a velocidade normal do escoamento das ondas difratadas seja igual e contraria à
velocidade normal das ondas incidentes. A representação matemática desta condição de
contorno é mostrada a seguir:
2.3.3.1 Condição de contorno do corpo para dois navios com interferência
hidrodinâmica
As ondas difratadas pelos navios que se encontram navegando próximos
entre si produzem um efeito de interferência hidrodinâmica de difração entre
eles quando as ondas de difração por um deles atingem a superfície do outro
navio. Este efeito é representando impondo-se a condição de contorno de
difração nos dois cascos, como mostrado a seguir:
)1(
I
)1(
)1(
D
nn ∂
φ∂
−=
∂
φ∂
, em S
B1
(2.28)
)2(
I
)2(
)2(
D
nn ∂
φ∂
−=
∂
φ∂
, em S
B2
(2.29)
2.3.3.2 Condição de contorno do corpo para um navio
nn
ID
∂
φ∂
−=
∂
φ∂
, em S
B0
(2.30)
Onde:
φ
D
: Potencial de velocidades das ondas difratadas.
φ
I
: Potencial de velocidades das ondas de incidência.
28
2.4 Forças Hidrodinâmicas e Movimentos
As forças hidrodinâmicas envolvidas na dinâmica de navios podem ser
equacionadas utilizando a segunda lei de Newton. A seguir, mostram-se as forças
hidrodinâmicas na equação de movimento.
Figura 2.2 – As forças hidrodinâmica na equação de movimento
2.4.1 Forças de irradiação
Como mencionado anteriormente, estas forças são produzidas pelas ondas
geradas pela oscilação do navio, e são obtidas a partir da integração de pressões
produzidas pelo potencial de irradiação na superfície do casco, como mostrado a seguir:
A aplicação da equação de Bernoulli para a determinação das pressões produzidas pelas
ondas irradiadas permite escrever:
∑
=
ω
ζϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∇−
∂
∂
ρ−=
6
1j
ti
jjh
E
e.U
t
p
r
(2.31)
Integrando-se a equação (2.31) sobre as superfícies dos cascos submersos.
(
)
(
)
∑
∫∫
=
ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ζϕ+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ρ−=
6
1j
ti
SB
)2(
k
)1(
k
)2(
j
)2(
j
)1(
j
)1(
j
)j,k(h
E
edSnn
x
U
t
F
rr
r
(2.32)
ti
)2(
k
)2(
j
)2(
j
)2(
k
)1(
j
)1(
j
)1(
k
)2(
j
)2(
j
)1(
k
)1(
j
)1(
j
SB
6
1j
)j,k(h
E
edSn
x
U
t
n
x
U
t
n
x
U
t
n
x
U
t
F
ω
=
⎥
⎦
⎤
ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
⎢
⎣
⎡
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ρ−=
∫∫
∑
rr
rr
r
(2.33)
ti
2S
)2(
k
)2(
j
)2(
j
2S
)2(
k
)1(
j
)1(
j
1S
)1(
k
)2(
j
)2(
j
1S
)1(
k
)1(
j
)1(
j
6
1j
)j,k(h
E
edSn
x
U
t
dSn
x
U
t
dSn
x
U
t
dSn
x
U
t
F
ω
=
⎥
⎥
⎦
⎤
ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
⎢
⎢
⎣
⎡
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
ρ−=
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∑
rr
rr
r
(2.34)
29
Expressando-se a equação (2.34) no sistema de variáveis complexas, tem-se:
ti
2S
)2(
k
)2(
j
)2(
j
E
2S
)2(
k
)1(
j
)1(
j
E
1S
)1(
k
)2(
j
)2(
j
E
1S
)1(
k
)1(
j
)1(
j
E
6
1j
)j,k(h
E
edSn
x
UidSn
x
Ui
dSn
x
UidSn
x
UiF
ω
=
⎥
⎥
⎦
⎤
ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ω+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ω
⎢
⎢
⎣
⎡
+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ω+ζϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ωρ−=
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∑
rr
rr
r
(2.35)
Re-arranjando-se os termos da equação (2.35) pode-se separar as forças de irradiação
que atuam em cada navio e os termos de interferência hidrodinâmica.
dSn
x
UiP
1S
)1(
k
)1(
j
E
)1(
)j,k(
∫∫
ϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ωρ=
r
Influência do corpo (1) sobre o corpo (1)
dSn
x
UiQ
1S
)1(
k
)2(
j
E
)1(
)j,k(
∫∫
ϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ωρ=
r
Influência do corpo (2) sobre o corpo (1)
dSn
x
UiQ
2S
)2(
k
)1(
j
E
)2(
)j,k(
∫∫
ϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ωρ=
r
Influência do corpo (1) sobre o corpo (2)
dSn
x
UiP
2S
)2(
k
)2(
j
E
)2(
)j,k(
∫∫
ϕ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−ωρ=
r
Influência do corpo (2) sobre o corpo (2)
Existem dois tipos de forças de irradiação, estas são mostradas a seguir:
2.4.1.1 Massas adicionais
São decorrentes da diferença de pressões do fluido produzida pela
aceleração do escoamento em relação à superfície do casco.
No problema geral de dois navios com velocidade de avanço navegando
próximos, existem dois tipos de massas adicionais, estas são mostradas a seguir:
a) Massa adicional de cada navio
[]
)kj(
)j,k`(
2
E
)kj(
)j,k(
PImA
ω
ρ
−=
(2.36)
kj = 1, 2
30
b) Massa adicional de um navio produzida pela interferência hidrodinâmica
do outro navio
[]
)kj(
)j,k`(
2
E
)kj(
)j,k(
QImD
ω
ρ
−=
(2.37)
kj = 1, 2
2.4.1.2 Amortecimentos potenciais
As ondas geradas pelos movimentos do navio são um meio de liberação
de energia conhecido como amortecimento de ondas ou potencial.
No caso do problema de dois navios com velocidade de avanço navegando
próximos, existem dois tipos de amortecimentos que serão mostrados a seguir:
a) Amortecimentos potenciais de cada navio
[]
)kj(
)j,k`(
E
)kj(
)j,k(
PReB
ω
ρ
=
(2.38)
kj = 1, 2
b) Amortecimento potencial de um navio produzido pela interferência
hidrodinâmica do outro navio
[]
)kj(
)j,k`(
E
)kj(
)j,k(
QReE
ω
ρ
=
(2.39)
kj = 1, 2
31
2.4.2 Forças de excitação das ondas
A soma das forças de Froude-Krilov (incidência) e difração é conhecida como
força de excitação, como na equação mostrada a seguir:
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
φ+φ∇ϕ+−∇+φ+φωℜρ−=ω
∫∫
B
S
iDIBDIEEi
dsn)().Ux()(i)(X
(2.40)
Onde:
φ
I
: Potencial de velocidades das ondas incidentes.
φ
D
: Potencial de velocidades das ondas difratadas.
ζ
o
: Amplitude da onda incidente.
k : Número da onda.
β : Ângulo de encontro.
No caso de dois navios, a equação (2.40) é avaliada sobre as superfícies dos dois cascos
submersos.
2.4.3 Forças hidrostáticas
As forças de restauração são governadas pelo princípio de restauração
hidrostática ou princípio de Arquimedes. Por conta de sua consolidada definição, não se
aprofundou muito na obtenção destas forças. Somente serão mostradas as expressões
necessárias para sua obtenção. Neste modelo considera-se unicamente as forças de
restauração nos graus de liberdade de “heave”, “pitch” e “roll” e seus acoplamentos
apenas considerando os seus termos de primeira ordem.
w33
AgC ρ=
(2.41)
wF5335
AxgCC
ρ
==
(2.42)
T44
BMgC ∇ρ=
(2.43)
L55
BMgC ∇ρ=
(2.44)
Onde:
A
W
: Área do plano de flutuação do navio.
X
F
: Distância do centróide do plano de flutuação.
32
BM
T
: Radio metacêntrico transversal.
BM
L
: Radio metacêntrico longitudinal.
C
33
: Coeficiente de restauração de heave devido a heave.
C
44
: Coeficiente de restauração de roll devido a roll.
C
55
: Coeficiente de restauração de pitch devido a pitch.
C
35
= C
53
: Coeficiente de restauração de heave devido a pitch.
2.4.4 Equação de movimento
Os movimentos dos navios são obtidos resolvendo um sistema de equações
diferenciais que caracterizam as equações de movimento. Os dois casos de estudo são
mostrados a seguir:
a) Sistema de equações para um único navio com velocidade de avanço
Na solução linear, consideram-se os movimentos em dois graus de liberdade quando
o navio navega em ondas regulares de proa. A equação de movimento generalizada, no
formato matricial, é mostrada a seguir:
[] []
[
]
(
)
[] []
FxCBiA
E
2
E
=+ω+ω−
(2.45)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+
ω−
α
α
55i
5
33i
3
5553
3533
5553
3533
E
55yyG
G33
2
E
eM
eF
z
CC
CC
BB
BB
i
AImz
mzAm
)tcos(zz
3E
ε+ω=
)tcos(
5E
ε+ωθ=θ
Onde:
[A] : Matriz de inércia das massas adicionais (forças de irradiação) e secas.
[B] : Matriz de amortecimentos devidos à geração das ondas (forças de irradiação).
[C] : Matriz de restauração (forças hidrostáticas).
[F] : Matriz de forças de excitação (forças de incidência e difração).
[x] : Vetor das amplitudes dos movimentos.
z
: Amplitude do movimento de heave.
θ : Amplitude do movimento de pitch.
33
3
F : Módulo da força de excitação de incidência e difração de heave.
5
M : Módulo do momento de excitação de incidência e difração de pitch.
z
G
: Centro de gravidade vertical do navio.
Iyy : Momento de inércia de pitch.
α
33
: Ângulo de fase da força de excitação de heave.
α
55
:
Ângulo de fase do momento de excitação de pitch.
ε
3
: Fase do movimento de heave.
ε
5
: Fase do movimento de pitch.
m : Massa do navio.
b) Sistema de equações para dois navios com velocidade de avanço
O sistema de equações, para os graus de liberdade de heave e pitch, considerando o
efeito de interferência hidrodinâmica é mostrado a seguir:
Heave e Pitch
Para o navio (1):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)1(
33
)1(
)1(
35
)1(
)1(
35
)1(
)1(
35
)2(
)1(
33
)2(
)1(
33
)1(
)1(
33
)1(
)1(
33
)1(
)1(
33
)1(
FCBA
zEzDzCzBzAM
=θ+θ+θ
++++++
&&&
&&&&&&
(2.46)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)1(
55
)1(
)1(
53
)1(
)1(
53
)1(
)1(
53
)2(
)1(
55
)2(
)1(
55
)1(
)1(
55
)1(
)1(
55
)1(
)1(
55
)1(
55
QzCzBzA
EDCBAI
=++
+θ+θ+θ+θ+θ+
&&&
&&&&&&
(2.47)
Para o navio (2):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)2(
33
)2(
)2(
35
)2(
)2(
35
)2(
)2(
35
)1(
)2(
33
)1(
)2(
33
)2(
)2(
33
)2(
)2(
33
)2(
)2(
33
)2(
FCBA
zEzDzCzBzAM
=θ+θ+θ
++++++
&&&
&&&&&&
(2.48)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)2(
55
)2(
)2(
53
)2(
)2(
53
)2(
)2(
53
)1(
)2(
55
)1(
)2(
55
)2(
)2(
55
)2(
)2(
55
)2(
)2(
55
)2(
55
QzCzBzA
EDCBAI
=++
+θ+θ+θ+θ+θ+
&&&
&&&&&&
(2.49)
34
Adicionalmente são avaliados os movimentos sway e roll com as equações mostradas a
seguir:
Sway:
Para o navio (1):
(
)
(
)
(
)
(
)
)1(
22
)2(
)1(
22
)2(
)1(
22
)1(
)1(
22
)1(
)1(
22
)1(
FyEyDyByAM =++++
&&&&&&
(2.50)
Para o navio (2):
(
)
(
)
(
)
(
)
)2(
22
)1(
)2(
22
)1(
)2(
22
)2(
)2(
22
)2(
)2(
22
)2(
FyEyDyByAM =++++
&&&&&&
(2.51)
Roll:
Para o navio (1):
(
)
(
)
(
)
(
)
)1(
44
)2(
)1(
22
)2(
)1(
44
)1(
)1(
44
)1(
)1(
44
)1(
44
MEDBAI =φ+φ+φ+φ+
&&&&&&
(2.52)
Para o navio (2):
(
)
(
)
(
)
(
)
)2(
44
)1(
)2(
22
)1(
)2(
44
)2(
)2(
44
)2(
)2(
44
)2(
44
MEDBAI =φ+φ+φ+φ+
&&&&&&
(2.53)
Onde:
M
(kj)
: Massa do navio kj.
)kj(
ij
I : Momento de inércia i,j do navio kj.
)kj(
ij
A : Massa adicional i,j do navio kj.
)kj(
ij
B : Amortecimento potencial i,j do navio kj.
)kj(
ij
E : Massa adicional de interferência hidrodinâmica i,j do navio kj.
)kj(
ij
D
: Amortecimento potencial de interferência hidrodinâmica i,j do navio kj.
)kj(
ij
C : Coeficiente de restauração hidrostática em i,j do navio kj.
)kj(
y : Amplitude do movimento de sway do navio kj.
)kj(
z : Amplitude do movimento de heave do navio kj.
35
)kj(
φ : Amplitude do movimento de roll do navio kj.
)kj(
θ
: Amplitude do movimento de pitch do navio kj.
)kj(
22
F
: Força de excitação em sway do navio kj.
)kj(
33
F : Força de excitação em heave do navio kj.
)kj(
44
M : Momento de excitação em roll do navio kj.
)kj(
55
M
: Momento de excitação em pitch do navio kj.
kj : Índice que indica se é o navio 1 ou 2.
36
Capítulo 3
Implementação Numérica
Neste capítulo se descreve a solução numérica do problema hidrodinâmico
descrito no capítulo anterior. O Método dos Painéis baseado na fonte de Rankine como
singularidade é utilizado. Para isto, as superfícies do casco e a superfície livre são
discretizadas utilizando painéis planos de primeira ordem. O potencial de velocidades é
representado por superfícies B-spline bi-quadráticas e os coeficientes de influência são
avaliados utilizando formulações disponíveis na literatura especializada.
3.1 Método dos Painéis
A solução do problema hidrodinâmico é realizada mediante a aplicação do
Método dos Painéis. Esta metodologia se baseia na solução da Terceira Identidade de
Green, mediante a distribuição de singularidades sobre o domínio fluido. Esta equação
garante o atendimento da equação da continuidade, equação (2.2), de forma implícita,
NEWMAN (1977).
Onde:
S
B
:
Superfície molhada do casco.
S
L
: Superfície livre.
G
(P ,Q)
: Função de Green.
φ : Potencial de velocidades (irradiação, difração, etc).
A versão do método dos painéis utilizada nesta tese, utiliza singularidades do tipo fonte
de Rankine, requerida para a discretização da superfície do corpo e superfície livre ao
redor, como mostrado na figura a seguir:
() ()
0ds
n
GdsG
n
2
)Q(
St
Q,PQ,P
St
)Q()P(
=
∂
φ
∂
+
∂
∂
φ+φπ−
∫∫∫∫
, S
t
= S
B
+ S
L
(3.1)
37
P1(ε1,τ1)
P2(ε2,τ2)
P3(ε
3,τ3)
P4(ε
4,τ4)
ε
O
θ
X
Y
Z
Figura 3.1 – Discretização das superfícies dos cascos e superfície livre
As fontes de Rankine são distribuídas sobre as superfícies do corpo e a
superfície livre. Estas superfícies são discretizadas utilizando-se painéis quadrilaterais
planos, como o mostrado na figura (3.2).
Figura 3.2 – Sistema de referencia local de um painel
38
P1(ε1,τ1)
P2(ε2,τ2)
P
3(ε3,τ3)
P
4(ε4,τ4)
ε
O
Q (X,Y,Z)
τ
(m)
(n)
(1
,0)
(1
,−1)
(1
,1)
(0
,1)
(0
,0)
(0
,−1)
(−1
,0)
(−1
,1)
(−1
,−1)
η
θ
Para a representação da distribuição do potencial de velocidades (φ) utiliza-se
uma superfície “B-spline” bi-quadrática sobre a superfície do casco e superfície livre.
Segundo a análise de NAKOS (1990), a utilização deste esquema numérico é livre de
amortecimento numérico e permite obter melhores resultados do que os esquemas
baseados em soluções por diferenças finitas. A expressão desta superfície é mostrada a
seguir:
)n,m(a)(b)(b),(
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
+η+εηε=ηεφ
∑∑
−=−=
(3.3)
Onde:
(ε,η ) : coordenadas do sistema não-ortogonal ε,η.
a(ε+m,η+n) : coeficiente “spline” no painel Q.
b(ε) y b(η) : funções “spline” quadráticas nas direções ε y η respectivamente.
Figura 3.3 - Painéis para a aplicação da superfície B-spline
As funções de interpolação são definidas pelas expressões a seguir:
()
2
QP
2
QP
2
QP)Q,P(
)Q,P(
Q,P
)zz()yy()xx(R,
R
1
G −+−+−==
Onde:
(x
P
, y
P
, z
P
) : Coordenadas do ponto campo.
(x
Q
, y
Q
, z
Q
) : Coordenadas do ponto fonte.
(3.2)
39
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
ε
<ε<
ε
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ε−
ε
ε
<ε<
ε
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ε−
ε
ε
−<ε<
ε−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ε
ε
=ε
ε
ε
ε
2
h3
2
h
,
2
h3
h2
1
2
h
2
h
,
4
h3
h
1
2
h
2
h3
,
2
h3
h2
1
)(b
2
2
2
2
2
2
2
)2(
m
(3.4)
Onde:
h
ε
o h
η
são as distâncias entre os centróides dos lados do painel Q nas direções ε y η
respectivamente.
A versão discretizada da equação (3.1) é mostrada a seguir:
()
()
()
()
NST....1P/
0dsG
n
ds
n
G
2
NST
1Q
SQ
Q,P
Q
NST
PQ
1Q
SQ
Q,P
)Q(
QP
P
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
ϕ+πϕ−
∑
∫∫
∑
∫∫
=
≠
=
=
(3.5)
Onde:
NST : número de painéis totais, NST = NSB + NSL
NSB : número de painéis das superfícies dos cascos submersos.
NSL : número de painéis da superfície livre discretizada.
3.1.1 Coeficientes de influência
As integrais de superfície das fontes e dipolos de Rankine contidos na equação
(3.5) são conhecidas como coeficientes de influência. Estes coeficientes determinam a
influência dos painéis fontes sobre os painéis campos. Sua avaliação é realizada
utilizando as fórmulas analíticas mostradas a seguir:
3.1.1.1 Coeficiente de influência de dipolo de Rankine
()
ds
n
G
)Q,P(ijA
SQ
Q,P
∫∫
∂
∂
=
(3.6)
40
A equação (3.6) é avaliada numericamente através da fórmula analítica
desenvolvida no trabalho de HESS & SMITH (1964). Esta solução utiliza como
domínio de integração o painel com o sistema de referência local mostrado na
figura (3.2).
()()
()()
()()
()()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∫∫
4
4441
1
1141
3
3334
4
4434
2
2223
3
3323
1
1112
2
2112
SQ
rw
gem
tana
rw
gem
tana
rw
gem
tana
rw
gem
tana
rw
gem
tana
rw
gem
tana
rw
gem
tana
rw
gem
tanads
n
)Q,P(
G
(3.7)
Onde:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−+
=
ijji
ijji
ij
ij
drr
drr
ln
d
1
h
ji
ji
ij
m
ε−ε
η−η
=
()( )
{}
2/1
2
ji
2
jiij
d η−η+ε−ε=
2
i
2
i
)u(w
e
ε−+=
{}
2/1
22
i
2
ii
w)v()u(r +η−+ε−=
)u()v(g
iii
ε−η−=
41
3.1.1.2 Coeficiente de influência da fonte de Rankine
Este coeficiente é determinado pela seguinte equação:
()
dsG)Q,P(Bij
SQ
Q,P)n,m(
∫∫
=
(3.8)
A equação (3.8) é avaliada numericamente através de uma formulação
analítica para painéis planos desenvolvida por NEWMAN (1986). Esta solução
utiliza como domínio de integração o painel com o sistema de referência local
mostrado na figura (3.2).
()
()
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
++
λη−−λε−=
∂
∂
∫∫
121
121
1111
SQ
Q,P
sRR
sRR
logcos)y(senxds
n
G
()
[]
()
[]
()
[]
)Q,P(
414
414
4444
343
343
3333
232
232
2222
Aijz
sRR
sRR
logcos)y(senx
sRR
sRR
logcos)y(senx
sRR
sRR
logcos)y(senx
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
++
λη−−λε−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
++
λη−−λε−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
++
λη−−λε−+
(3.9)
Onde:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ε−ε
η−η
=λ
+
+
i1i
i1i
i
tan
()( )
{
}
2/1
2
i1i
2
i1ii
s η−η+ε−ε=
++
3.1.2 Contornos das malhas de painéis
A definição das superfícies B-splines “bi-quadráticas” requer que o painel fonte
seja calculado considerando os oitos painéis vizinhos ao redor. Isto é possível somente
nos painéis interiores das malhas consideradas. Nas fronteiras da malha não se dispõe
de todos os painéis vizinhos necessários. Por esta razão, é colocado um contorno de
42
Paneles Ficticios
Paneles Ficticios
painéis fictícios ao redor das malhas e desta forma pode-se completar os oitos vizinhos
necessários para definir a superfície B-spline “bi-quadrática” nas fronteiras das malhas,
ver figura (3.5).
Figura 3.5 - Malha da superfície livre com os painéis fictícios
Porém, a inclusão dos painéis fictícios introduz incógnitas adicionais que fazem
que o problema fique com mais incógnitas do que equações. Este problema é superado
mediante a aplicação da condição de curvatura zero sobre estes painéis.
3.1.2.1 Condição de não curvatura ou curvatura zero
Esta condição garante que a tendência da curvatura de uma curva ou
superfície B-spline se conserve constante, quando esta atingir os extremos do
domínio geométrico. Matematicamente, esta condição é expressa impondo-se
que a segunda derivada da função B-spline seja igual a zero.
0
)(f
2
2
=
ξ∂
ξ∂
(3.10)
Onde:
f(ε) : função spline definida na direção ε.
No problema, a condição de curvatura zero é aplicada impondo a segunda
derivada da função de interpolação B-spline “bi-quadrática” na direção
predominante nas extremidades da malha seja nula, como mostrado na seguinte
figura:
43
ε
η
Contorno 1
Lado 1
Lado 2
Lado 3
Lado 4
Contorno 2Contorno 3
Contorno 4
Figura 3.6 - Contornos das malhas de painéis
A condição de curvatura zero aplicada nas fronteiras da malha é mostrada a
seguir:
Painéis
fictícios
Condição de curvatura zero
Lado 1
Lado 3
0)n,m(a)(b
)(b
),(
1
1m
1
1n
)2(
n
2
)2(
m
2
2
2
=+η+εη
ξ∂
ε∂
=
ξ∂
ηξφ∂
∑∑
−=−=
(3.11)
Lado 2
Lado 4
0)n,m(a
)(b
)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
)2(
m
2
2
=+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ηξφ∂
∑∑
−=−=
(3.12)
Contorno 1
Contorno 2
Contorno 3
0)n,m(a
)(b)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
2
)2(
m
2
22
4
=+η+ε
η∂
η∂
ξ∂
ε∂
=
η∂ξ∂
ηξφ∂
∑∑
−=−=
(3.13)
3.1.3 Determinação das velocidades
A determinação das velocidades é realizada utilizando transformações
geométricas da malha real a uma malha computacional igualmente espaçada. A solução
da Terceira Identidade de Green, equação (3.1), permite obter o potencial de
velocidades e as velocidades no sistema de referência local O(ε,η) dos painéis da malha
computacional obtidas através das seguintes expressões:
)n,m(a)(b
)(b
)Q(
Q
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
+η+εη
ε∂
ε∂
=
ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
(3.14)
44
)n,m(a
)(b
)(b)Q(
Q
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
(3.15)
)n,m(a
)(b)(b
)Q(
Q
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
2
+η+ε
η∂
η∂
ε∂
ε∂
=
η∂ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
(3.16)
)n,m(a)(b
)(b
)Q(
Q
1
1m
1
1n
)2(
n
2
)2(
m
2
2
2
+η+εη
ε∂
ε∂
=
ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
(3.17)
)n,m(a
)(b
)(b)Q(
Q
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
)2(
m
2
2
+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
(3.18)
Para a obtenção das velocidades no sistema de referência global se utiliza o
jacobiano de transformação, equação (3.27). As equações a seguir descrevem o
procedimento para a obtenção do jacobiano de transformação.
Os vetores direcionais do eixo ε são as seguintes:
()() () ()
[]
4321
x1x1x1x1
4
1x
η+−η−−η−+η+=
ε∂
∂
(3.19)
()() () ()
[]
4321
y1y1y1y1
4
1y
η+−η−−η−+η+=
ε∂
∂
(3.20)
()()()()
[]
4321
z1z1z1z1
4
1z
η+−η−−η−+η+=
ε∂
∂
(3.21)
Os vetores direcionais do eixo η são as seguintes:
() () () ()
[]
4321
x1y1x1x1
4
1x
ε−+ε−−ε+−ε+=
η∂
∂
(3.22)
() () () ()
[]
4321
y1y1y1y1
4
1y
ε−+ε−−ε+−ε+=
η∂
∂
(3.23)
45
()() () ()
[]
4321
z1z1z1z1
4
1z
ε−+ε−−ε+−ε+=
η∂
∂
(3.24)
Os vetores direcionais do eixo ς, perpendicular à superfície formada
pelos eixos ε e η, é obtido através da seguinte equação:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
η∂
∂
η∂
∂
η∂
∂
×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε∂
∂
ε∂
∂
ε∂
∂
=ηε
z
,
y
,
xz
,
y
,
x
),(G
(3.25)
),(G
),(Gz
,
y
,
x
ηε
ηε
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ς∂
∂
ς∂
∂
ς∂
∂
(3.26)
O jacobiano de transformação é obtido através da montagem da seguinte
matriz:
1
),,(J
zzz
yyy
xxx
zyx
zyx
zyx
),,(J
−
ςηε=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
ς∂
∂
η∂
∂
ε∂
∂
ς∂
∂
η∂
∂
ε∂
∂
ς∂
∂
η∂
∂
ε∂
⇒
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ς∂
∂
ς∂
∂
ς∂
∂
η∂
∂
η∂
∂
η∂
∂
ε∂
∂
ε∂
∂
ε∂
∂
=ςηε
(3.27)
As velocidades no sistema de referencia global podem ser obtidas com o uso da
regra de cadeia como mostrado a seguir:
xxxx ∂
ς∂
ς∂
φ∂
+
∂
η
∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.28)
yyyy ∂
ς∂
ς∂
φ∂
+
∂
η
∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.29)
zzzz ∂
ς∂
ς∂
φ∂
+
∂
η∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.30)
O procedimento anteriormente descrito é geral e aplicado à superfície do casco
submerso. Porém, no caso da superfície livre discretizada, as velocidades são calculadas
sobre um plano, com isto as equações para a obtenção da velocidade podem ser
simplificadas considerando unicamente duas dimensões, como mostradas a seguir:
46
xxx ∂
η
∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.31)
yyy ∂
η
∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.32)
2
2
22
2
2
2
2
2
)
x
()
x
)(
x
(2)
x
(
x
∂
η∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
∂
η∂
η∂ε∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.33)
2
2
22
2
2
2
2
2
)
y
()
y
)(
y
(2)
y
(
y
∂
η∂
η∂
φ∂
+
∂
ε∂
∂
η∂
η∂ε∂
φ∂
+
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂
φ∂
(3.34)
)
x
)(
y
()]
x
)(
y
()
x
)(
y
[()
x
)(
y
(
yx
2
22
2
22
∂
η∂
∂
η∂
η∂
φ∂
+
∂
η∂
∂
ε∂
+
∂
ε∂
∂
η∂
η∂ε∂
φ∂
+
∂
ε∂
∂
ε∂
ε∂
φ∂
=
∂∂
φ∂
(3.35)
3.2 Discretização do Problema Hidrodinâmico
A discretização da Terceira Identidade de Green para a solução do problema da
dinâmica de navios incluindo o efeito da interferência hidrodinâmica e o caso de um
navio sozinho é mostrado a seguir.
3.2.1 Solução para o potencial de irradiação (ϕ
j
)
Como mencionado anteriormente, este potencial descreve o escoamento das
ondas geradas pela oscilação do navio avançando em águas tranquilas. Sua obtenção é
realizada discretizando as superfícies dos cascos submersos e a superfície livre ao redor
deles. Sobre estas superfícies são distribuídas as fontes de Rankine e são impostas as
condições de contorno. Neste trabalho, considera-se o efeito da interferência
hidrodinâmica presente unicamente nas forças de irradiação de massa adicional e
amortecimento.
47
a) Dois navios com velocidade de avanço com o efeito da interferência
hidrodinâmica
As condições de contorno mencionadas anteriormente aplicam-se na equação
(I.3) da forma mostrada a seguir:
Q
2SB
)Q,P(
)2(
)2(
)Q(j
Q
1SB
)Q,P(
)1(
)1(
)Q(j
Q
SL
)Q,P(
)Q(j
Q
ST
)Q(j
)Q,P(
)P(j
dSG
n
dSG
n
dSG
z
dS
n
G
2
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=
∂
∂
−ϕ
∂
∂
+πϕ−
(3.36)
A aplicação das condições de contorno da superfície livre apresenta dois casos:
a.1) Navio 1 avançando oscilando e navio 2 avançando sem oscilar
)1(
j
)1(
j
E
)1(
)1(
j
Umni
n
+ω=
∂
ϕ∂
0
n
)2(
)2(
j
=
∂
ϕ∂
(3.37)
a.2) Navio 2 avançando oscilando e navio 1 avançando sem oscilar
0
n
)1(
)1(
j
=
∂
ϕ∂
)2(
j
)2(
j
E
)2(
)2(
j
Umni
n
+ω=
∂
ϕ∂
(3.38)
Qualquer um dois casos possíveis são substituídos na seguinte equação discretizada:
()
()
()
() ()
NSContornoNST....1P/
dsG
n
dsG
n
adsG),(ffi
g
U
adsG
n
)(b)(b
a)(b)(b2
2NSB
1Q
SQ
Q,P
)2(
)2(
j
1NSB
1Q
SQ
Q,P
)1(
)1(
j
NSL
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,PBD),(E
21
1m
1
1n
NST
PQ
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,P
)2(
n
)2(
m
1
1m
1
1n
QP
)n,m(P
1
1m
1
1n
)2
(
n
)2(
m
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ηε−ω−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ηε
+ηεπ−
∑
∫∫
∑
∫∫
∑
∫∫
∑∑
∑
∫∫
∑∑
∑∑
==
=
+η+ε−ηε
−=−=
≠
=
+η+ε
−=−=
=
+η+ε
−=−=
(3.39)
48
As condições de curvatura zero são colocadas nos painéis pertencentes aos
painéis NSContorno como indicado a seguir:
0)n,m(a
)(b
)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
)2(
m
2
2
=+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Lado 2
Lado 4
0)n,m(a
)(b)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
2
)2(
m
2
22
4
=+η+ε
η∂
η∂
ε∂
ε∂
=
η∂ε∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Contorno 1
Contorno 2
Contorno 3
Contorno 4
As equações que representam a condição de radiação são colocadas na fileira de
painéis fictícios da superfície livre á vante da proa da embarcação:
0)n,m(a)(b
)(b
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m1
=+η+εη
ε∂
ε∂
=
ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
Lado 1
0)n,m(a)(b
)(b
1
1m
1
1n
)2(
n
2
)2(
m
2
2
1
2
=+η+εη
ε∂
ε∂
=
ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
Lado 1
A solução do sistema de equações fornece o potencial de velocidade que
representa as forças de difração denominadas massa adicional e amortecimento
potencial.
O termo que define os termos da superfície live na equação (3.39) é mostrado a seguir:
f
D-B
(ε,η) : função que contém os termos B-spline da condição de contorno da superfície
livre.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
ηε
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−
⎢
⎢
⎣
⎡
ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−−=
ηε−
),(f
z
),(f
y
),(f
x
1f
2
o
2
y
)Q(
o
x
o
),(BD
)Q()Q(
49
),(g
y
)Q(
),(g
x
)Q(
1f
y
o
x
o
),(
ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−=
ηε
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+ηε
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
ϕ∂
+
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−−ηε
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−=ηε
),(g
y
)Q(
),(g
yx
)Q(
),(g
x
)Q(
1
),(g
x
)Q(
),(f
xy
o
y
o
2
xx
o
x
2
o
2
x
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+ηε
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ηε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−−ηε
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
ϕ∂
−=ηε
),(g
y
)Q(
),(g
y
)Q(
),(g
x
1),(g
yx
)Q(
),(f
yy
o
y
2
o
2
xy
)Q(
o
x
o
2
y
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
ζ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
ζ∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−
∂
ζ∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−−=
)Q(
)Q()Q()Q()Q(
o
2
o
2
o
o
)Q(
o
o
)Q(
Base
z
yyyx
1f
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
η∂
ε+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η
ε∂
ε∂
=ηε
x
)(b
)(b
x
)(b
)(b
),(g
2
)2(
n
2
)2(
m
)2(
n
)2(
m
x
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
η∂
ε+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η
ε∂
ε∂
=ηε
y
)(b
)(b
y
)(b
)(b
),(g
2
)2(
n
2
)2(
m
)2(
n
)2(
m
y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
η∂
ε
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η∂
η∂
ε∂
ε∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η
ε∂
ε∂
=ηε
2
2
)2(
n
2
)2(
m
)2(
n
)2(
m
2
)2(
n
2
)2(
m
2
xx
x
)(b
)(b
xx
)(b)(b
2
x
)(b
)(b
),(g
50
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
η∂
ε
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η∂
η∂
ε∂
ε∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η
ε∂
ε∂
=ηε
2
2
)2(
n
2
)2(
m
)2(
n
)2(
m
2
)2(
n
2
)2(
m
2
yy
y
)(b
)(b
yy
)(b)(b
2
y
)(b
)(b
),(g
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
∂
ε∂
+
∂
η∂
∂
ε∂
η∂
η∂
ε∂
ε∂
+
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
η∂
η∂
η∂
ε+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ε∂
η
ε∂
ε∂
=ηε
xyyx
)(b)(
b
2
yx
)(b
)(b
yx
)(b
)(b
),(g
)2(
n
)2(
m
2
)2(
n
2
)2(
m
)2(
n
2
)2(
m
2
xy
As condições de curvatura zero são colocadas nos painéis pertencentes a NSContorno
como indicado a seguir:
0)n,m(a
)(b
)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
)2(
m
2
2
=+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Lado 2
Lado 4
0)n,m(a
)(b)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
2
)2(
m
2
22
4
=+η+ε
η∂
η∂
ε∂
ε∂
=
η∂ε∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Contorno 1
Contorno 2
Contorno 3
Contorno 4
As equações que representam a condição de radiação são colocadas na fileira de painéis
fictícios mais a vante da proa na região da superfície livre:
0)n,m(a)(b
)(b
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m1
=+η+εη
ε∂
ε∂
=
ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
Lado 1
0)n,m(a)(b
)(b
1
1m
1
1n
)2(
n
2
)2(
m
2
2
1
2
=+η+εη
ε∂
ε∂
=
ε∂
ϕ∂
∑∑
−=−=
Lado 1
51
b) Caso de um navio avançando
()
()
()
()
()
NSContornoNST....1P/
dsGmniw
adsG),(ffi
g
U
adsG
n
)(b)(b
a)(b)(b2
NSL
1Q
SQ
Q,P)Q(j)Q(jE
NSL
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,P
1
1m
1
1n
BD),(E
2
NST
PQ
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,P
)2(
n
)2(
m
1
1m
1
1n
QP
)n,m(P
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ηε−ω−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ηε
+ηεπ−
∑
∫∫
∑
∫∫
∑∑
∑
∫∫
∑∑
∑∑
=
=
+η+ε
−=−=
−ηε
≠
=
+η+ε
−=−=
=
+η+ε
−=−=
(3.40)
As condições de curvatura zero são colocadas nos painéis pertencentes a
NSContorno como indicado a continuação:
0)n,m(a
)(b
)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
)2(
m
2
2
=+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Lado 2
Lado 4
0)n,m(a
)(b)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
2
)2(
m
2
22
4
=+η+ε
η∂
η∂
ε∂
ε∂
=
η∂ε∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Contorno 1
Contorno 2
Contorno 3
Contorno 4
As equações que representam a condição de radiação são colocadas na fileira de
painéis fictícios à vante da proa, na região da superfície livre:
0)n,m(a)(b
)(b
U)(b)(bi
Ui
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
)2(
n
)2(
mE
1
1E
=+η+ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
η
ε∂
ε∂
−ηεω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε∂
ϕ∂
−ϕω
∑∑
−=−=
Lado 1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ε∂
ϕ∂
−
ε∂
ϕ∂
ω
2
1
2
1
E
Ui
Lado 1
0)n,m(a)(b
)(b
U)(b
)(b
i
1
1m
1
1n
)2(
n
2
)2(
m
2
)2(
n
)2(
m
E
=+η+ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
η
ε∂
ε∂
−η
ε∂
ε∂
ω
∑∑
−=−=
52
3.2.2 Solução para o potencial de difração (ϕ
j
)
Como mencionado anteriormente, este potencial representa o efeito do casco
sobre as ondas incidentes sobre o casco. Sua obtenção é realizada através do Método do
Painel, como mostrado a seguir:
a) Caso de dois navios com velocidade de avanço
()
()
()
() ()
NSContornoNST....1P/
dsG
n
dsG
n
adsG),(ffi
g
U
adsG
n
)(b)(b
a)(b)(b2
2NSB
1Q
SQ
Q,P
)2(
)Q(
I
1NSB
1Q
SQ
Q,P
)1(
)Q(
I
NSL
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,PBD),(E
21
1m
1
1n
NST
PQ
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,P
)2(
n
)2(
m
1
1m
1
1n
QP
)n,m(P
1
1m
1
1n
)2
(
n
)2(
m
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
φ∂
−+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
φ∂
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ηε−ω−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ηε
+ηεπ−
∑
∫∫
∑
∫∫
∑
∫∫
∑∑
∑
∫∫
∑∑
∑∑
==
=
+η+ε−ηε
−=−=
≠
=
+η+ε
−=−=
=
+η+ε
−=−=
(3.41)
As condições de contorno de radiação são as mesmas que foram aplicadas no apartado
anterior.
53
b) Caso de um navio avançando
()
()
()
()
NSContornoNST....1P/
dsG
n
adsG),(ffi
g
U
adsG
n
)(b)(b
a)(b)(b2
NSL
1Q
SQ
Q,P
I
NSL
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,PBD),(E
1
1m
1
1n
2
NST
PQ
1Q
)n,m(Q
SQ
Q,P
)2(
n
)2(
m
1
1m
1
1n
QP
)n,m(P
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
φ∂
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ηε−ω−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ηε
+ηεπ−
∑
∫∫
∑
∫∫
∑∑
∑
∫∫
∑∑
∑∑
=
=
+η+ε−ηε
−=−=
≠
=
+η+ε
−=−=
=
+η+ε
−=−=
(3.42)
Onde:
()
[]
xyz)Q(I
)Q(I
n)cos(n)(senink
n
β−β+φ=
∂
φ∂
As condições de curvatura zero são impostas nos painéis pertencentes à NSContorno
como indicado a seguir:
0)n,m(a
)(b
)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
)2(
m
2
2
=+η+ε
η∂
η∂
ε=
η∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Lado 2
Lado 4
0)n,m(a
)(b)(b
),(
1
1m
1
1n
2
)2(
n
2
2
)2(
m
2
22
4
=+η+ε
η∂
η∂
ε∂
ε∂
=
η∂ε∂
ηεφ∂
∑∑
−=−=
Contorno 1
Contorno 2
Contorno 3
Contorno 4
As equações que representam a condição de radiação são impostas na fileira de painéis
fictícios à vante da proa, na região da superfície livre:
54
0)n,m(a)(b
)(b
U)(b)(bi
Ui
1
1m
1
1n
)2(
n
)2(
m
)2(
n
)2(
mE
1
1E
=+η+ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
η
ε∂
ε∂
−ηεω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε∂
ϕ∂
−ϕω
∑∑
−=−=
Lado 1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ε∂
ϕ∂
−
ε∂
ϕ∂
ω
2
1
2
1
E
Ui
Lado 1
0)n,m(a)(b
)(b
U)(b
)(b
i
1
1m
1
1n
)2(
n
2
)2(
m
2
)2(
n
)2(
m
E
=+η+ε
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
η
ε∂
ε∂
−η
ε∂
ε∂
ω
∑∑
−=−=
55
Capítulo 4
Resultados Numéricos do Comportamento em
Ondas de um Navio com Velocidade de Avanço
A metodologia descrita nos capítulos anteriores para o caso de um navio com
velocidade de avanço constante é implementada num software elaborado na linguagem
Fortran 90, denominado SHIPWAVE. Este software permite obter as forças
hidrodinâmicas e os RAOs de movimento de navios com velocidade de avanço.
De início, neste capítulo, apresenta-se uma breve descrição das características
principais dos RAOs de movimento de navios com velocidade de avanço em ondas
longitudinais de proa. Mostra-se também a metodologia utilizada para avaliar a
correlação entre os resultados numéricos e experimentais. Posteriormente, apresenta-se
uma análise de estabilidade da presente metodologia numérica para avaliar a influência
das dimensões da superfície livre e os painéis que a representam sobre os resultados
finais. Por último, a efetividade desta metodologia é determinada mediante a
comparação dos resultados numéricos obtidos com a presente metodologia e resultados
experimentais disponíveis na literatura especializada. Para isto, são utilizados os cascos
Wigley modificado e o navio Série 60 Cb=0.70 como benchmarks. Os resultados
numéricos foram obtidos com um computador pessoal, processador Intel Core2 Duo
2.71GHz, 2.0GB de memória Ram.
4.0 Geral
A seguir se descrevem as características mais importantes do comportamento
dos RAOs de movimento de heave e pitch em ondas longitudinais de proa.
Para frequências de encontro baixas (comprimentos de ondas maiores do que o
comprimento molhado do navio), a amplitude de heave acompanha a amplitude da
onda, portanto o seu RAO tende a unidade. Ao mesmo tempo, a amplitude de pitch,
adimensionalisada pelo número de onda, se aproxima também da unidade.
Para altas frequências, quando as ondas são menores do que o comprimento da linha de
água do navio, todos os valores de RAOs tendem a zero. Para frequências de encontro
56
maiores do que a frequência natural, as amplitudes dos RAOs de heave e pitch
começam a decrescer.
A ressonância da amplitude do RAO destes movimentos depende do valor do
amortecimento, restauração, força de excitação da onda e os coeficientes dos
acoplamentos entre eles. Estas ressonâncias se caracterizam por apresentar mudanças
abruptas na curva de RAOs e, no caso de navios com velocidade de avanço, podem
atingir valores bem superiores à unidade.
Os resultados numéricos obtidos neste trabalho de tese são comparados com resultados
experimentais disponíveis na literatura especializada e a medida de correlação entre
ambos os resultados é determinada mediante a utilização do coeficiente de ajuste de
curvas r
2
, SOUZA (2003), mostrado na Equação (4.1).
(4.1)
Onde:
y
exp
: Valor experimental;
y
num
: Valor numérico;
:
Média dos valores experimentais.
O valor do coeficiente de ajuste indica a qualidade dos resultados numéricos, com o
critério definido pela classificação mostrada na seguinte tabela:
Tabela 4.1 – Critério de ajuste – SOUZA (2003)
Valor de r
2
Qualidade do ajuste
r
2
= 1 ajuste perfeito
0,8 < r
2
< 1 ajuste bom
0,5 < r
2
< 0,8 ajuste ruim
r
2
< 0,5 sem correlação entre y
exp
e y
num
57
4.1 Análise de estabilidade
A análise de estabilidade de Von-Neumann, como desenvolvida por NAKOS
(1990) e SCLAVOUNOS (1993) é utilizada para determinar as características da
superfície livre a serem utilizadas e avaliar os limites de estabilidade desta metodologia.
A malha da superfície livre é caracterizada através dos parâmetros razão de aspecto dos
painéis, número de Froude e frequência reduzida. Estes parâmetros são definidos a
seguir:
a) Razão de aspecto
Este parâmetro relaciona as dimensões longitudinal e transversal dos painéis
utilizados para discretizar à superfície livre.
y
x
h
h
=α
(4.2)
Onde:
h
x
: Comprimento longitudinal do painel.
h
y
: Comprimento transversal do painel.
A dimensão longitudinal dos painéis da superfície livre a ser utilizada (h
x
) é
determinada pelo teorema de Nyquist, SCLAVOUNOS (1993).
x
Nyq
h2
2
N
π
=
(4.3)
Onde:
N
Nyq
é o valor máximo do número de onda que pode ser representado por um painel de
dimensão longitudinal h
x
.
O número de onda quando o navio avança com velocidade constante U é descrito pela
seguinte equação:
Onda
2
Onda
2
U
g
N
λ
π
==
(4.4)
58
Igualando as equações (4.3) e (4.4), se obtém um valor máximo do comprimento
longitudinal dos painéis da superfície livre (h
x
) necessários para representar o
comprimento de ondas formadas pelo avanço ou movimentos do navio:
2g
U
h
Onda
2
x
λ
=
π
=
(4.5)
b) Número de Froude da malha
Este parâmetro relaciona a velocidade do navio com a dimensão horizontal dos
painéis da superfície livre.
x
h
hg
U
F =
(4.6)
Onde:
U : Velocidade do navio.
h
x
: Comprimento horizontal do navio
c) Frequência de encontro reduzida
Este parâmetro relaciona a frequência de encontro com a velocidade do navio.
A condição de radiação utilizada nesta tese restringe a aplicabilidade desta metodologia
para o caso de um navio com velocidade de avanço, já que a hipótese principal desta
condição de contorno é que as ondas geradas pelo navio se desloquem somente para ré.
No caso da dinâmica de navios com velocidade de avanço, isto é valido somente para
frequências reduzidas τ > 0.25. Para o caso de frequências reduzidas inferiores, os
comprimentos das ondas geradas pelos movimentos do navio são maiores do que o seu
comprimento molhado e aparecem ondas que se deslocam para vante do navio,
produzindo a inaplicabilidade da condição de radiação adotada.
g
U
E
ω
=τ
(4.7)
59
d) Diagrama de estabilidade
Este diagrama foi elaborado por NAKOS (1990) para demonstrar que a
discretização da superfície livre utilizada pelo Método da Função de Green/Fonte de
Rankine representa adequadamente o padrão de ondas gerado pela oscilação dos navios.
Esta demonstração foi realizada mediante a comparação das ondas obtidas com o
Método da Função de Green/fonte de Rankine com o Método da Função de Green/fonte
pulsante, para isto representou o comportamento de uma fonte com velocidade de
avanço oscilando abaixo da superfície livre. Esta comparação foi realizada mediante a
elaboração e comparação entre a equação de dispersão, no domínio de Fourier, que
governa o fenômeno da geração de ondas do Método da Função de Green/Fonte de
Rankine com a equação de dispersão do Método da Função de Green/fonte pulsante.
A equação de dispersão do Método da função de Green/fonte de Rankine teve como
variáveis os parâmetros α, F
h
e τ, utilizados para caracterizar a superfície livre. Foi
realizada uma variação sistemática destes parâmetros para obter um diagrama com as
soluções fisicamente possíveis, mediante a comparação com os resultados obtidos com
a equação de dispersão do Método da Função de Green/fonte pulsante.
0123
1
2
3
4
5
6
7
8
α = hx/hy
τ
=
0
τ
=
5
.
0
τ
=
4
.
0
τ
=
3
.
0
τ
=2
.
0
τ
=1
.
0
Fh = U/ g*hx
Figura 4.1 – Diagrama de estabilidade – Fonte: SCLAVOUNOS (1993)
60
O diagrama da Figura (4.1) contém as regiões de estabilidade para uma faixa de
frequências reduzidas bem ampla, inclusive para τ < 0.25, o qual permite determinar os
limites de estabilidade da dinâmica de navios para frequências reduzidas menores do
que 0.25., sendo que a aplicação destes limites não são aplicáveis a presente
metodologia. Os limites de estabilidade para τ < 0.25 estariam restritos a metodologia
desenvolvida por KRING (1994).
As regiões de estabilidade podem ser encontradas dentro do diagrama da Figura (4.1),
mantendo os parâmetros que representam a malha da superfície livre na parte de baixo
da linha que indica a frequência reduzida a ser analisada.
Por exemplo, tem-se uma determinada malha de superfície livre caracterizada por um
número de Froude (F
h
)
igual a 1, a análise é realizada para uma frequência reduzida (τ)
igual a 1. Da Figura (4.2), observa-se que as razões de aspecto (α) da malha da
superfície livre que podem ser utilizadas tem o limite de 2, devido a que razões de
aspecto maiores estão localizadas por cima da linha que indica a frequência reduzida τ =
1 e por tanto as razões de aspecto maiores que 2 produzem soluções instáveis.
Fh = U/ g*hx
3210
1
2
3
4
5
6
7
8
τ
=
1
.
0
α = hx/hy
Estável
Instável
Figura 4.2 – Diagrama de estabilidade para τ = 1 e Fh = 1
61
A seguir, apresentam-se variações sistemáticas dos parâmetros que representam as
características da superfície livre para analisar a influência sobre a estabilidade dos
resultados numéricos. Utiliza-se a discretização da superfície livre de um casco Wigley
modificado e a massa adicional de pitch é utilizada como parâmetro de avaliação porque
a sua obtenção numérica requer especial atenção, JOURNÉE (2001).
4.1.1 Variação da frequência reduzida
A Figura (4.3) mostra o amortecimento potencial B
33
do navio Wigley
modificado para várias frequências de encontro. Observa-se que para a frequência
reduzida 0.25, a metodologia não consegue representar bem a física do problema, como
já havia sido descrito por NAKOS (1990).
Figura 4.3 – Amortecimento Potencial de Heave devido a Heave
Wigley Modificado Fn=0.30 para várias frequências reduzidas
4.1.2 Variação da razão de aspecto
As dimensões da superfície livre se mantêm constantes e a razão de aspecto dos
painéis (parâmetro α) é alterada mantendo constante o número de Froude da malha da
superfície livre (F
h
), ver Tabela (4.2).
62
Tabela 4.2 – Descrição das características das malhas utilizadas para a variação do parâmetro α
Malha hx Painéis na
direção
longitudinal
Painéis na
direção
transversal
Painéis na
superfície
livre
Fh
(Fn=0.20/
0.40)
α
(h
X
/h
Y
)
A
1.66E-2
123 20 2460
1.55/3.09
1.00
B
1.66E-2
123 20 2460
1.55/3.09
1.20
C
1.66E-2
123 20 2460
1.55/3.09
1.30
D
1.66E-2
123 20 2460
1.55/3.09
1.40
E
1.66E-2
123 20 2460
1.55/3.09
2.00
F
1.66E-2
123 20 2460
1.55/3.09
4.00
A influência das malhas da superfície livre utilizadas sobre os resultados é
mostrada na Figura (4.4).
Figura 4.4 – Amortecimento Potencial B55’
Wigley Modificado Fn=0.20 para varias relações de α
Da Figura (4.4) verifica-se que o incremento do parâmetro α produz
instabilidades na presente metodologia. Este efeito pode ser observado no diagrama de
estabilidade da Figura (4.5). Observa-se que conforme a razão de aspecto aumenta, a
malha se aproxima da região de instabilidade, uma vez que os painéis com altas razões
de aspecto produzem distorções geométricas muito pronunciadas na linha de água do
63
navio. Este comportamento modifica significativamente as avaliações dos coeficientes
de influência, produzindo instabilidades na solução.
Fh=U/ ghxFh1=1.61
1
2
3
4
5
τ = 0.44
Malha A
Malha B
Malha C
Malha D
Malha E
Malha F
Figura 4.5 – Diagrama de estabilidade para a frequência de
encontro w
E
’ = 2.2 (τ=0.44)
4.1.3 Refinamento dos painéis da superfície livre
Nesta seção, a influência do refinamento dos painéis da superfície livre é
estudada utilizando os critérios mostrados anteriormente. As dimensões utilizadas na
superfície são as mesmas utilizadas no trabalho de SALHUA (2007), as quais são
maiores do que as dimensões utilizadas por NAKOS (1990) como mostradas na Tabela
(4.3).
Tabela 4.3 – Dimensões da malha da superfície livre recomendadas
As dimensões da Tabela (4.3) são mostradas na Figura (4.5).
L
L1
L2
L3
Figura 4.5 – Dimensões da malha da superfície livre
L1 1.00L
L2 0.35L
L3 0.80L
64
São analisadas duas condições de refinamento descritas a seguir:
4.1.3.1 Refinamento transversal
As características deste refinamento são descritas na Tabela (4.4).
Tabela 4.4 – Descrição das características das malhas utilizadas para o refinamento transversal
Malha Hx Painéis na
direção
longitudinal
Painéis na
direção
transversal
Painéis na
superfície
livre
Fh
(Fn=0.20/0.40)
A
2.62E-2
119 2 238
0.98/2.47
B
2.62E-2 119
5 595
0.98/2.47
C
2.62E-2 119
14 1666
0.98/2.47
D
2.62E-2 119
19 2261
0.98/2.47
A Figura (4.7) mostra os resultados do refinamento longitudinal.
Figura 4.7 – Amortecimentos potencial B55’ do navio Wigley modificado
para a refinamento transversal
Da Figura (4.7) verifica-se que a presente metodologia é muito sensível ao
refinamento transversal, uma vez que painéis com pouco refinamento transversal
não conseguem representar adequadamente as ondas transversais geradas pela
oscilação do navio com velocidade de avanço.
65
4.1.3.2 Refinamento longitudinal
As características deste refinamento são descritas na seguinte tabela:
Tabela 4.5 – Descrição das características das malhas utilizadas para o refinamento longitudinal
Malha Hx Painéis na
direção
longitudinal
Painéis na
direção
transversal
Painéis na
superfície livre
Fh
(Fn=0.20/
0.40)
A
2.62E-2
61 20 1220
0.98/2.47
B
2.62E-2
82 20 1640
0.98/2.47
C
2.62E-2
102 20 2040
0.98/2.47
D
2.62E-2
123 20 2460
0.98/2.47
A Figura (4.8) mostra a influência do refinamento longitudinal sobre a solução.
Figura 4.8 – Amortecimentos potencias B55’ do navio Wigley Modificado
para a refinação longitudinal
Da Figura (4.8) observa-se que os resultados não se alteraram significativamente
com o refinamento longitudinal considerado, uma vez que todos estes
refinamentos conseguem representar adequadamente as ondas longitudinais
geradas pela oscilação do navio com velocidade de avanço.
66
4.1.4 Influência das dimensões da malha da superfície livre
As dimensões da proa, popa e transversal da malha da superfície livre utilizadas
anteriormente são modificadas e sua influência sobre o amortecimento potencial de
pitch do navio Wigley modificado é avaliado.
a) Variação da extensão da proa da malha da superfície livre
A extensão da malha da proa da superfície livre é modificada enquanto as extensões
da malha da popa e transversal são mantidas constantes como mostrado na Tabela
(4.6)
Tabela 4.6 – Variação da extensão da proa da malha da superfície livre
Malha
Extensão da proa da
malha da superfície
livre
L2
Extensão da popa da
malha da superfície
livre
L3
Extensão transversal
da malha da superfície
livre
L1
A
0.05L 0.80L 1.00L
B
0.10L 0.80L 1.00L
C
0.35L 0.80L 1.00L
D
0.50L 0.80L 1.00L
E
1.00L 0.80L 1.00L
A Figura (4.9) mostra a influência da variação da malha da proa sobre o
amortecimento B
’
55
.
Figura 4.9 – Influência da variação da extensão da proa da malha da superfície livre sobre o
amortecimento B55’ para Fn=0.20
67
Da Figura (4.9), pode-se observar que a diminuição da extensão longitudinal da
malha da superfície livre não produz grandes variações nos resultados numéricos.
Uma vez que todas as ondas geradas se deslocam para ré, então, não existem ondas
que possam ser refletidas na região da proa da malha da superfície livre.
b) Variação da extensão da popa da malha da superfície livre
A extensão da malha da popa da superfície livre é modificada enquanto as extensões
da malha da proa e transversal são mantidas constantes, como mostrado na Tabela
4.7.
Tabela 4.7 – Variação da extensão da popa da malha da superfície livre
Malha
Extensão da malha
na popa
L3
Extensão da malha
na proa
L2
Extensão da malha
transversal
L1
A
0.05L
0.35L 1.00L
B
0.10L
0.35L 1.00L
C
0.35L
0.35L 1.00L
D
0.50L
0.35L 1.00L
E
1.00L 0.35L
1.00L
A Figura (4.10) mostra a variação da extensão da malha da popa sobre o
amortecimento B
55
.
Figura 4.10 – Influência da variação da extensão da popa da malha da superfície livre sobre o
amortecimento B55’ para Fn=0.20
68
Da Figura (4.10) pode-se observar que a diminuição da extensão longitudinal da
malha da superfície livre na popa não produz grandes variações nos resultados
numéricos. Este comportamento é atribuído ao fato de que as ondas refletidas na
região da popa são muito menores as ondas geradas que incidem nesta região.
c) Variação da extensão transversal da malha da superfície livre
A extensão da malha transversal da superfície livre é modificada enquanto as
extensões da malha da proa e transversal são mantidas constantes, como mostrado
na Tabela 4.8.
Tabela 4.8 – Variação da extensão transversal da malha da superfície livre
Malha
Extensão da malha
transversal
L1
Extensão da malha
na proa
L2
Extensão da malha
na popa
L3
A 0.10L 0.80L 1.0L
B 0.35L 0.80L 1.0L
C 0.50L 0.80L 1.0L
D 1.00L 0.80L 1.0L
A Figura (4.11) mostra a variação da malha da superfície livre do costado sobre o
amortecimento B
55
.
Figura 4.11 – Influência da variação da extensão do costado da malha da superfície livre
sobre o amortecimento B55’
para Fn=0.20
69
Da Figura (4.11) verifica-se que a malha de extensão transversal 0.1L produz que os
resultados obtidos divergem para baixas frequências e convergem para altas.
Este comportamento é produzido porque o comprimento transversal da malha da
superfície livre é insuficiente para representar as ondas geradas em baixas
frequências. Conforme a frequência de encontro aumenta, o comprimento das ondas
geradas diminui e a malha da superfície livre permite representar adequadamente a
oscilação do navio.
Para evitar este comportamento, a extensão transversal da malha da superfície livre
deve ser a maior possível para poder ser utilizada para uma faixa ampla de
frequências, como é o caso das malhas com extensões transversais 0.35L, 0.5L e
1.0L.
70
4.2 Comportamento em ondas de navio com velocidade de avanço
Os resultados obtidos com o software SHIPWAVE são validados mediante a
comparação dos seus resultados com resultados experimentais disponíveis na literatura
especializada. Para avaliar a qualidade dos resultados numéricos é utilizado o fator de
ajuste de curvas r
2
, SOUZA (2003).
São utilizados dois cascos como benchmarks, ITTC (2002), casco Wigley modificado e
casco Série 60 - Cb=0.70.
Adicionalmente são obtidos resultados numéricos com o programa WAMIT (Método da
Função de Green/fonte pulsante)
e um programa baseado na teoria das faixas (HANSEL),
ambos corrigidos para incluir o efeito da velocidade de avanço seguindo a metodologia
de SALVENSEN et al. (1974), estes são identificados como WAMIT-U e HANSEL-U,
respectivamente.
4.2.1 Wigley modificado
Este navio é recomendado pela ITTC (2002) para ser utilizado como benchmark
da dinâmica de navios de diversas metodologias numéricas ou experimentais. Como
exemplo veja-se os trabalhos de NAKOS (1990), JOURNEÉ (1992), LEVI e SALHUA
(2007a), entre outros. As características principais deste casco são mostradas a seguir:
Figura 4.12 – Vista transversal e dimensões do modelo do navio Wigley Modificado
Os resultados do software
SHIPWAVE são avaliados comparando as forças
hidrodinâmicas de irradiação, difração (ver Apêndice II) e os RAOs de movimentos em
ondas longitudinais de proa com resultados experimentais obtidos por JOURNÉE
(1992) numa série de experimentos realizados no Laboratório de Hidromecánica da
Universidade de Delft para quatro cascos Wigley de diferentes dimensões com varias
velocidade de avanço. As características do modelo ensaiado por Journée, e utilizado
nesta tese, são mostradas na Tabela (4.9).
L 1 m
B 0.1 m
T 0.0625 m
Cm 0.909
∇
0.003504 m
3
71
Tabela 4.9 – Características do modelo Wigley modificado ensaio experimentalmente por
JOURNÉE (1992)
Características do modelo: Valor
Coeficiente de seção mestra 0.909
Relação L/B 10
Comprimento, L (m) 3.0
Boca, B (m) 0.30
Calado, d (m) 0.1875
Trimado, t (m) 0.0000
Volume, (m3) 0.0946
Centro de gravidade, acima da linha base, K
G
(m) 0.170
Radio de inercia de pitch, r
yy
(m) 0.750
Os resultados numéricos obtidos com o software SHIPWAVE para a determinação das
forças hidrodinâmicas utilizaram as dimensões da malha da superfície livre da Tabela
4.3. O número de painéis da metade do casco é mostrado na Tabela (4.10).
Tabela 4.10 – Número de painéis na superfície do casco Wigley modificado
Número de painéis na
direção longitudinal
Número de painéis na
direção transversal
Número de painéis totais
50 10 500
A Figura (4.13) mostra uma vista da discretização do casco e a superfície livre
considerada.
X
Y
Z
Figura 4.13 – Vista da discretização da superfície do casco e superfície livre
72
a) RAO de Heave
A seguir, apresenta-se o RAO de heave do casco Wigley modificado obtido com o
software SHIPWAVE para um número de Froude de 0.30.
Figura 4.14 – RAO de heave do navio Wigley Modificado: Fn=0.30; ângulo de incidência =
180°
Da Figura (4.14), observa-se que os resultados obtidos com a presente metodologia
apresentam boa concordância com o RAO de movimento de heave experimental e
seguem o comportamento descrito na Seção 4.0. Pode-se verificar que os resultados
obtidos com a presente metodologia acompanham com melhor concordância o
comportamento qualitativo dos resultados experimentais quando comparados aos outros
resultados numéricos considerados. Esta observação pode ser confirmada com a
avaliação do fator de ajuste r
2
entre os resultados experimentais e numéricos obtidos
com o software SHIPWAVE e os demais códigos numéricos utilizados, ver Tabela
(4.11).
73
Tabela 4.11 – Fatores de ajuste entre os resultados numéricos e experimentais do RAO de
heave do casco Wigley modificado Fn=0.30
Software Fator de ajuste r
2
SHIPWAVE 0.850
WAMIT-U 0.702
HANSEL-U 0.683
b) RAO de Pitch
A seguir apresenta-se o RAO de pitch do casco Wigley modificado obtido com a
presente metodologia para um número de Froude de 0.30.
Figura 4.15 – RAO de pitch do navio Wigley Modificado: para Fn=0.30; ângulo de
incidência = 180°
Da Figura (4.15), pode-se observar que os RAOs de heave e pitch apresentam
melhor concordância com os resultados experimentais que as outras metodologias
numéricas utilizadas. Esta concordância pode ser confirmada mediante a avaliação dos
fatores de ajuste r
2
, veja-se Tabela (4.12).
74
Tabela 4.12 – Fatores de ajuste entre os resultados numéricos e experimentais do RAO de pitch
do casco Wigley modificado Fn=0.30
Software Fator de ajuste r
2
SHIPWAVE 0.897
WAMIT-U 0.015
HANSEL-U 0.063
Os resultados numéricos obtidos com o software
SHIPWAVE apresentam boa
concordância com os resultados experimentais e seguem o comportamento descrito na
Seção 4.0. Verifica-se que qualitativamente eles representaram melhor a física dos
RAOs de movimento deste casco, quando comparados as outras metodologias
numéricas utilizadas.
As diferenças existentes entre os resultados numéricos obtidos com os softwares
WAMIT-U e HANSEL-U com os resultados experimentais são devidas as diferenças no
valor dos amortecimentos potenciais de heave e pitch, estes resultados numéricos
apresentam um valor superior aos amortecimentos obtidos experimentalmente para toda
a faixa de frequências consideradas, enquanto que estes mesmos amortecimentos
obtidos numericamente com o software SHIPWAVE se acercam melhor aos resultados
experimentais, ver Apêndice II.
Da Figura (4.14) e Figura (4.15) verifica-se que para baixas frequências existem
diferenças quantitativas pronunciadas entre os RAOs de heave e pitch obtidos com o
software SHIPWAVE e os resultados experimentais. Estas diferenças são atribuídas a não
inclusão da atualização da forma da superfície submersa do casco na presente
metodologia numérica, uma vez que para baixas frequências são produzidas as maiores
modificações da superfície submersa. A não consideração de efeitos viscosos como
quebra de onda, spray entre outros efeitos presentes nos movimentos do navio podem
também influenciar na comparação dos resultados numéricos com os experimentais.
75
4.2.2 Série 60 – Cb = 0.70
Este casco é recomendado pela ITTC (2002) como benchmark de diversas
metodologias numéricas e experimentais. As características deste casco são mostradas
na Figura (4.16). Neste caso, a velocidade das simulações realizadas corresponde a um
número de Froude de Fn=0.20, os resultados experimentais utilizados nesta tese são os
mesmos utilizados por NAKOS (1990).
Figura 4.16 – Vista transversal e dimensões do modelo do navio Série 60 Cb=0.70
Para a determinação das forças hidrodinâmicas utilizou-se as dimensões da malha da
superfície livre da Tabela (4.3). O número de painéis utilizado na metade do casco é
mostrado na Tabela (4.13).
Tabela 413 – Número de painéis na superfície do casco Série 60 Cb=0.70
Número de painéis na
direção transversal
Número de painéis na
direção longitudinal
Número de painéis totais
50 10 500
LBP 1 m
B 0.1428 m
T 0.05715 m
Cb 0.70
∇
0.00571 m
3
76
A Figura (4.17) mostra uma vista da discretização do casco e a superfície livre
considerada.
X
Y
Z
X
Y
Z
Figura 4.17 – Vista da discretização da superfície do casco e superfície livre
Novamente os resultados do software SHIPWAVE são avaliados comparando as
forças hidrodinâmicas e RAOs de movimento com velocidade de avanço em ondas
regulares com resultados experimentais e com resultados dos programas WAMIT-U
HANSEL-U para este casco.
77
a) RAO de Heave
A seguir apresenta-se o RAO de heave do casco Série 60 Cb=0.70 obtido com a
presente metodologia para um número de Froude de 0.20.
Figura 4.18 – Rao de heave do navio Série60 Cb=0.70 para Fn=0.20 ângulo de incidência de
180°
Da Figura (4.18) observa-se que os resultados obtidos com a presente metodologia
apresentam boa concordância com o RAO de movimento de heave experimental e
seguem o comportamento descrito na Seção 4.0. Verifica-se que os resultados obtidos
com o software
SHIPWAVE e os resultados do software WAMIT-U acompanham melhor
o comportamento dos resultados experimentais, quando comparados aos resultados da
teoria das faixas (
HANSEL-U). Esta observação pode ser confirmada mediante a
avaliação dos fatores de ajuste r
2
entre os resultados experimentais e numéricos, ver
Tabela (4.14).
Tabela 4.14 – Fatores de ajuste entre os resultados numéricos e experimentais do RAO de
heave do casco Série 60 Cb=0.70, Fn=0.20
Software Fator de ajuste r
2
SHIPWAVE 0.896
WAMIT-U 0.958
HANSEL-U 0.447
78
b) RAO de Pitch
A seguir apresenta-se o RAO de pitch do casco Série 60 Cb=0.70 obtido com a presente
metodologia para um número de Froude de 0.20.
Figura 4.19 – Rao de pitch do navio Série60 Cb=0.70 para Fn=0.20 ângulo de incidência de
180°
Da Figura (4.19) pode-se observar que o RAO de pitch obtido com a presente
metodologia apresenta boa concordância com o RAO experimental. Esta aderência pode
ser confirmada com a avaliação dos fatores de correlação r
2
, ver Tabela (4.15).
Tabela 4.15 – Fatores de ajuste entre os resultados numéricos e experimentais do RAO de pitch
do casco Série 60 Cb=0.70, Fn=0.20
Software Fator de ajuste r
2
SHIPWAVE 0.830
WAMIT-U 0.793
HANSEL-U 0.701
79
Os resultados numéricos obtidos com o software SHIPWAVE apresentaram boa
concordância com os resultados experimentais. No caso do RAO de heave,
qualitativamente os resultados do software SHIPWAVE tiveram um comportamento
similar ao obtido pelo software WAMIT, quando comparados aos resultados
experimentais. No caso do RAO de pitch, os resultados do software SHIPWAVE
produziram melhore resultados que os outros métodos numéricos utilizados.
As diferenças existentes entre os resultados numéricos obtidos com o software WAMIT –
U
e HANSEL-U com os resultados experimentais são devidas as diferenças no valor das
massas adicionais e amortecimentos potenciais de acoplamento A
53
e B
53
, estes
resultados numéricos apresentam um valor maior aos obtidos experimentalmente em
toda a faixa de frequências consideradas, enquanto que estas mesmas forças
hidrodinâmicas obtidas numericamente com o software
SHIPWAVE se acercam melhor
aos resultados experimentais, ver Apêndice III.
Da Figura (4.18) e Figura (4.19) observa-se que as diferenças quantitativas presentes
nos resultados do software SHIPWAVE e os resultados experimentais encontram-se
presentes para baixas e altas frequências de encontro e são maiores as diferenças
encontradas entre os resultados numéricos e experimentais do casco Wigley modificado.
Este comportamento é atribuído aos gradientes geométricos na proa e popa do casco
Série 60 Cb=0.70 que são maiores do que aqueles presentes na geometria do casco
Wigley modificado. Estes gradientes geométricos produzem maiores alterações na
superfície submersa instantânea do casco Série 60 Cb=0.70. A não consideração de
efeitos viscosos como quebra de onda, spray entre outros efeitos presentes nos
movimentos do navio podem também influenciar a comparação dos resultados
numéricos com os resultados experimentais.
80
Capítulo 5
Resultados Numéricos da Interferência
Hidrodinâmica entre dois Navios com Velocidade
de Avanço
5.1 Geral
A metodologia numérica utilizada neste trabalho de tese é aplicada para
determinar a influência da interferência hidrodinâmica no comportamento em ondas de
dois navios com a mesma velocidade de avanço navegando na configuração conhecida
como side by side. O software SHIPWAVE descrito nos capítulos anteriores é
modificado para representar o efeito da interferência hidrodinâmica sobre as forças
hidrodinâmicas envolvidas nos movimentos de cada navio.
Como passo prévio, para demonstrar a efetividade desta metodologia na
determinação dos efeitos de interferência hidrodinâmica, realiza-se uma análise
comparativa entre os resultados da presente metodologia e os resultados experimentais
das forças hidrodinâmicas e os movimentos de um catamarã formado por dois cascos
Wigley.
Posteriormente, mostra-se uma análise de estabilidade da metodologia utilizada
para determinar a influência da interferência hidrodinâmica sobre os movimentos entre
navios com velocidade de avanço, desta análise, as características da superfície livre a
serem utilizadas nas avaliações posteriores são definidas.
Finalmente, são mostrados os resultados numéricos obtidos com a presente
metodologia para representar o efeito da interferência hidrodinâmica sobre as forças
hidrodinâmicas e movimentos de dois navios do tipo Wigley modificado.
81
5.2 Interferência hidrodinâmica de um catamarã
O software SHIPWAVE é acondicionado para determinar o efeito da interferência
hidrodinâmica produzida pela interação entre cascos com velocidade de avanço sobre os
RAOs de movimento de heave e pitch de um catamarã navegando em ondas
longitudinais de proa. Porém, devido a estes cascos formarem parte de um só corpo, o
efeito de interferência hidrodinâmica encontra-se incluído nas forças hidrodinâmicas de
radiação e difração. Matematicamente, isto significa que não existem coeficientes que
representem exclusivamente o efeito da interferência hidrodinâmica.
A seguir apresenta-se uma descrição dos RAOs de movimento de um catamarã e o
efeito da interferência hidrodinâmica sobre eles. Como exemplo, mostra-se uma
comparação entre os resultados experimentais de um catamarã Wigley, utilizado por
VAN’t VEER (1997), e os resultados numéricos obtidos com o software SHIPWAVE. As
características do catamarã utilizado são mostradas na Tabela (5.1).
Tabela 5.1 – Características do casco Wigley L/B=7
Item Valor
Comprimento (m) 10
Boca (m) 1.42
Deslocamento (Ton) 3.957
Separação entre cascos (m) 7
Os movimentos de um catamarã em ondas longitudinais de proa seguem o mesmo
comportamento que os monocascos. Porém as ondas irradiadas e difratadas entre seus
cascos, devido à simetria destes produzem ondas com as mesmas amplitudes e direções,
mas com sentidos opostos, que ao superpor-se produzem um efeito de interferência de
ondas conhecido como onda estacionária. Este efeito produz um incremento das
amplitudes do movimento de heave e uma diminuição do movimento de pitch em baixas
frequências, onde o efeito das ondas estacionárias é maior. A seguir são apresentados os
RAOs de movimento de heave e pitch de um catamarã Wigley.
82
5.2.1 RAO de heave
Os RAOs dos catamarãs apresentam as mesmas características que os
monocascos. Assim, o RAO de heave tende a unidade em baixas frequências e diminui
para altas. No caso de velocidade de avanço, as amplitudes na região de ressonância
atingem valores superiores a unidade. Porém, o valor das amplitudes destes RAOs em
toda a faixa de frequências é fortemente influenciado pelo efeito da interferência
hidrodinâmica entre os cascos. O efeito da ressonância de Helmholtz, produzido pelos
modos de oscilação vertical da superfície livre entre os cascos, relevante em casos sem
velocidade de avanço, YEUNG et. al. (2006), não apresenta um efeito importante na
interferência hidrodinâmica de catamarãs com velocidade de avanço, como mostrado
por VAN’t VEER (1997). Uma vez que as ondas geradas pelo catamarã são
direcionadas para ré, este efeito modifica o ângulo de encontro entre estas e como
conseqüência, os efeitos da interferência de ondas e modos de ressonância da superfície
livre são modificados.
Figura 5.1 – Massa adicional A33’ e amortecimento potencial B33’ catamarã Wigley,
Fn=0.45
Da Figura (5.1) verifica-se que as curvas de massa adicional experimental e
numérica se mantêm positivas para todas as frequências consideradas. Não existe
83
nenhum valor negativo, característico do modo de ressonância de Helmholtz. Por
tanto, o efeito de interferência hidrodinâmica nos cascos de um catamarã é produzido
pelos efeitos de interferência de ondas de irradiação e difração sem atingir o modo de
ressonância. Da Figura (5.2), verifica-se que as amplitudes do RAO de heave são
maiores no catamarã que no monocasco, devido ao efeito da interferência
hidrodinâmica reportado por KRING e SCLAVOUNOS (1991).
Figura 5.2 – Rao de heave do catamarã Wigley L/B=7 para Fn=0.45
A comparação entre os resultados numéricos e experimentais realizada na Figura
(5.2) mostra que os resultados numéricos apresentam boa aderência qualitativa e
quantitativa para toda a faixa de frequências consideradas. Esta observação é verificada
através do coeficiente de ajuste r
2
da Tabela (5.2).
Tabela 5.2 – Fator de ajuste entre os resultados numéricos e experimentais do RAO de heave do
catamarã Wigley Fn=0.45
Software Fator de ajuste r
2
SHIPWAVE 0.85
84
5.2.2 RAO de pitch
O RAO de pitch tende a unidade na região de baixas frequências; seu valor
diminui na região de altas frequências e sua amplitude supera a unidade na região de
ressonância. Porém, as amplitudes do RAO são menores no catamarã quando
comparados ao monocasco, devido aos efeitos da interferência entre as ondas irradiadas
e difratadas dos cascos, KRING e SCLAVOUNOS (1991).
Na Figura (5.3) apresenta-se o RAO de pitch, pode-se apreciar que o efeito de
interferência hidrodinâmica faz com que as amplitudes destes RAOs sejam menores
para frequências de encontro baixas. Este comportamento é produzido pelo acoplamento
hidrodinâmico com os movimentos de heave. A interferência de ondas que aumenta as
amplitudes do movimento de heave produz uma diminuição no movimento de pitch em
baixas frequências e até dois picos de ressonância. Este comportamento é coerente com
as avaliações numéricas descritas por KRING e SCLAVOUNOS (1991) e DUDSON e
RAMBECH et. al. (2003).
Figura 5.3 – Rao de pitch do catamarã Wigley L/B=7 para Fn=0.45
A comparação entre os resultados numéricos e experimentais realizada na Figura
(5.3) mostra que os resultados numéricos obtidos com o software SHIPWAVE para o
catamarã apresentam boa aderência qualitativa e quantitativa com os resultados
85
experimentais até a relação L
w
/L
navio
= 1.78, esta observação é confirmada com a
determinação do fator de ajuste r
2
mostrado na Tabela (5.3).
Tabela 5.3 – Fator de ajuste entre os resultados numéricos e experimentais do RAO de pitch do
catamarã Wigley Fn=0.45
Software Fator de ajuste r
2
SHIPWAVE (até Lw/Lnavio = 1.78) 0.86
Para relações Lw/Lnavio maiores a 1.78 os resultados numéricos divergem
significativamente dos resultados experimentais. Numéricamente a aparição de dois
picos de ressonância é produzido pelo acoplamento hidrodinâmico entre heave e pitch.
Porém, a não consideração de trimado livre e atualização da superfície do casco no
modelo numérico pode influenciar a aparição destes picos de ressonância e isso
explicaria a diferença entre os resultados numéricos e experimentais nessa região.
86
5.3 Interferência hidrodinâmica de dois navios com velocidade de avanço no
arranjo side by side
Nesta seção são mostrados os resultados numéricos obtidos com o software
SHIPWAVE para a representação da interferência hidrodinâmica entre navios com
velocidade de avanço no arranjo side by side.
Atualmente ainda existem poucas referências na literatura especializada que tratam o
problema da influência da interferência hidrodinâmica entre navios com velocidade de
avanço e estas referências não apresentam informações suficientes para poder
reproduzir os cascos dos navios por eles utilizados, principalmente, porque envolvem
navios militares (McTAGGART, 2001) ou particulares (WEEMS, 2007), portanto, com
informações restritas. Nesta tese, utilizam-se navios do tipo Wigley modificado, que
além de permitir uma modelagem da geometria mais simples e uma análise mais
detalhada, pela quantidade de informações disponíveis, vai-se contribuir com a literatura
especializada com uma referência de fácil representação e comparação.
Na primeira parte desta seção são mostradas as características dos cascos tipo
Wigley modificado utilizados. Em seguida, é mostrada uma análise de estabilidade da
presente metodologia para explorar seus limites de convergência numérica e determinar
as dimensões da superfície livre a serem utilizadas. Na parte final, são mostrados os
RAOs de movimento de heave e pitch em ondas longitudinais de proa dos navios no
arranjo side by side, afetados pelo efeito da interferência hidrodinâmica entre eles.
Também é mostrada a comparação entre as forças de interferência hidrodinâmica
obtidas com a presente metodologia (
SHIPWAVE) e os resultados dos softwares, que
utilizam a metodologia de SALVENSEN et al. (1970) para incluir o efeito da
velocidade de avanço,
WAMIT-U e AQWA.
87
5.3.1 Características dos navios utilizados
As características dos navios Wigley modificado no arranjo side by side são
mostradas a seguir:
Tabela 5.4 – Casco Wigley modificado
Uma vista da discretização dos navios e a superfície livre ao redor deles é mostrada a
seguir:
X
Y
Z
Figura 5.4 – Discretização dos navios Wigley modificado avançando na configuração side by
side
L
100 m
B
10 m
T
6.25 m
Cm
0.909
∇
3504 m
3
Fn
0.20
Distância entre cascos
20 m
88
5.3.2 Análise de estabilidade
A presente metodologia é uma extensão da metodologia descrita nos capítulos
anteriores para descrever o comportamento em ondas de um único navio com
velocidade de avanço. Portanto, utilizam-se os mesmos parâmetros para caracterizar a
malha da superfície livre.
A seguir mostra-se a análise realizada variando estes parâmetros com o objetivo de
encontrar as características adequadas que permitam obter resultados numéricos
consistentes dentro dos limites de convergência desta metodologia numérica.
a) Variação da razão de aspecto
As dimensões da superfície livre e o número de Froude da malha da superfície
livre (F
h
) se mantêm constantes; o parâmetro α (razão de aspecto) é variado para obter
sua influência sobre os resultados numéricos, veja-se Figura (5.5).
Tabela 5.5 – Descrição das características das malhas utilizadas para a variação do
parâmetro α
Malha hx Painéis na
direção
transversal
Painéis na
direção
longitudinal
Painéis na
superfície
livre
Fh
(Fn=0.20)
α
(h
X
/h
Y
)
A
4.40E-2
42 62 2604
0.9535
0.50
B
4.40E-2
42 62 2604
0.9535
0.82
C
4.40E-2
42 62 2604
0.9535
1.00
D
4.40E-2
42 62 2604
0.9535
2.00
E
4.40E-2
42 62 2604
0.9535
4.00
89
Figura 5.5 - Amortecimento Potencial B55’ dos navios
Wigley modificado Fn=0.20 para varias relações de α
A Figura (5.5) mostra que a presente metodologia é sensível à razão de aspecto
dos painéis e apresenta o mesmo comportamento encontrado para o caso de um único
navio com velocidade de avanço: quando a razão de aspecto cresce muito, os resultados
obtidos pela presente metodologia passam para uma região de instabilidade.
b) Refinamento dos painéis da superfície livre
A influência do refinamento dos painéis da superfície livre sobre os movimentos
é estudada. As dimensões utilizadas na superfície livre são adaptadas das dimensões
adotadas para o caso de um único navio com velocidade de avanço.
Tabela 5.6 – Dimensões da malha da superfície livre recomendadas
L1 0.80L
L2 0.35L
L3 0.75L
D 0.20L
90
L
L3
D
L2L1
Figura 5.6 – Dimensões da malha da superfície livre
Os casos considerados são descritos a seguir:
b.1) Variação do refinamento transversal
As características deste refinamento são mostradas a seguir:
Tabela 5.7 – Descrição das características das malhas utilizadas para o refinamento transversal
Na Figura (5.6) se mostram os resultados do refinamento longitudinal.
Malha hx Painéis na
direção
longitudinal
Painéis na
direção
transversal
Painéis na
superfície livre
Fh
(Fn=0.20)
A
4.40E-2
62 27 1674
0.96
B
4.40E-2 62
32 1984
0.96
C
4.40E-2 62
42 2604
0.96
D
4.40E-2 62
51 3162
0.96
91
Figura 5.6 – Amortecimentos potencial B55’ do navio Wigley modificado
para a refinação transversal
O resultado desta análise mostra que os resultados numéricos obtidos com a
presente metodologia são sensíveis ao número de painéis na direção transversal. Na
Figura (5.6), observa-se que a malha A oferece resultados numéricos similares às
malhas mais refinadas nas frequências baixas (2.1 a 2.3). Nestas frequências as ondas
geradas pelos navios são mais compridas e as dimensões dos painéis permitem a
adequada representação destas ondas na direção transversal. O contrário acontece para
frequências altas (ω
E
’>2.1) quando as ondas geradas pelos navios são mais curtas e as
dimensões transversais da malha da superfície livre não permitem representá-las
adequadamente.
92
b.2) Variação do refinamento longitudinal
Os casos considerados para esta análise são mostrados na Tabela (5.8).
Tabela 5.8 – Descrição das características das malhas utilizadas
para o refinamento longitudinal
Malha hx Painéis na
direção
longitudinal
Painéis na
direção
transversal
Painéis na
superfície
livre
Fh
(Fn=0.20)
A
8.67E-2
30 42 1260
0.67
B
6.50E-2
40
42
1680
0.78
C
5.20E-2
50
42
2100
0.87
D
4.33E-2
62
42
2604
0.96
O efeito do refinamento longitudinal é mostrado a seguir:
Figura 5.7 – Amortecimentos potencias B55’ do navio Wigley modificado
para o refinamento longitudinal
Esta análise mostrou que os resultados numéricos são também sensíveis ao refinamento
longitudinal. A malha A produz resultados numéricos muito diferentes das malhas mais
93
refinadas, devido ao fato que o comprimento longitudinal dos painéis da superfície livre
não consegue representar adequadamente as ondas geradas pelos navios.
c) Influência das dimensões das malhas da superfície livre
As dimensões da malha da superfície livre apresentadas anteriormente são
modificadas como descrito a seguir:
c.1) Variação da extensão da malha na proa
As características desta variação são mostradas a seguir:
Tabela 5.9 – Variação das dimensões da superfície livre
Malha Extensão da malha
na proa
L2
Extensão da malha
na popa
L1
Extensão da malha
no costado
L3
A 0.10L 0.80L 0.75L
B 0.35L 0.80L 0.75L
C 0.50L 0.80L 0.75L
D 0.80L 0.80L 0.75L
E 1.0L 0.80L 0.75L
Os resultados desta variação são mostrados na seguinte figura:
94
Figura 5.8 – Influência da variação da extensão de à vante da malha da superfície livre sobre o
amortecimento
B55’ para Fn=0.20
Da Figura (5.8), pode-se observar que a diminuição da extensão longitudinal da
malha na região da popa da superfície livre não produz grandes variações nos resultados
numéricos, apesar desta ter se reduzido exageradamente como no caso da Malha A.
c.2) Variação da extensão da popa da malha da superfície livre
As características desta variação são mostradas a seguir:
Tabela 5.10 – Variação das dimensões da superfície livre
Malha Extensão da malha
na proa da
superfície livre
L2
Extensão da malha
na popa da
superfície livre
L1
Extensão transversal
da malha da
superfície livre
L3
A 0.35L 0.10L 0.75L
B 0.35L 0.50L 0.75L
C 0.35L 0.80L 0.75L
D 0.35L 1.0L 0.75L
95
Os resultados numéricos desta variação são mostrados a seguir:
Figura 5.9 – Influência da variação da extensão da malha na popa da superfície livre sobre o
amortecimento B55’
para Fn=0.20
Da Figura (5.9), pode-se observar que a diminuição da extensão longitudinal da
malha na região da popa da superfície livre não produz grandes variações nos resultados
numéricos.
c.3) Variação da extensão transversal da malha da superfície livre
As características dos casos testados são mostradas a seguir:
Tabela 5.11 – Variação das dimensões da superfície livre
Malha Extensão da malha
na proa
L2
Extensão da malha
na popa
L1
Extensão transversal
da malha
L3
A 0.35L 0.80L 0.10L
B 0.35L 0.80L 0.35L
C 0.35L 0.80L 0.50L
D 0.35L 0.80L 1.0L
96
Figura 5.10 – Influência da variação da extensão transversal da malha da superfície livre sobre
o amortecimento B55’
para Fn=0.20
Da Figura (5.10), verifica-se que a diminuição da extensão transversal da malha
da superfície livre influencia relevantemente o comportamento dos resultados. Para a
extensão transversal de 0.1L os resultados divergem para baixas frequências. Para as
extensões de 1.0L e 0.5L os resultados permanecem quase inalterados.
Este comportamento se deve à não existência de condição de contorno de radiação no
limite transversal da superfície livre. Extensões transversais muito curtas produzem
intensas reflexões de ondas que afetam os resultados numéricos devido ao fato que não
conseguem representá-las adequadamente, sobretudo em frequências baixas onde as
ondas geradas são mais longas.
97
d) Influência da frequência de encontro
Para avaliar a influência da frequência de encontro sobre os resultados
numéricos obtidos com a presente metodologia, apresentam-se os amortecimentos
potenciais de pitch de um dos navios Wigley modificado para várias frequências de
encontro.
Figura 5.11 – Amortecimento Potencial de Pitch B55’
Wigley Modificado Fn=0.20 para varias frequências reduzidas
O comportamento encontrado na Figura (5.11) indica que a presente metodologia tem a
mesma deficiência encontrada no caso de um único navio com velocidade de avanço
para representar o comportamento em ondas para frequências reduzidas menores a 0.25.
f) Tempo de processamento
O tempo de processamento necessário pela presente metodologia para a
obtenção das forças hidrodinâmicas foi objeto de um estudo sistemático.
As forças hidrodinâmicas de massa adicional e amortecimento potencial são avaliados
em forma conjunta para uma velocidade, várias frequências de encontro e para um
98
determinado grau de liberdade; enquanto que as forças de difração e de Froude-Krilov
para os seis graus de liberdade são avaliadas em forma conjunta para uma determinada
velocidade e várias frequências de encontro.
A Tabela (5.12) mostra o tempo de processamento para obter os resultados numéricos
para uma frequência de encontro, considerando diversas malhas, com diferentes
números de painéis.
Tabela 5.12 – Tempos de processamento para a obtenção das forças hidrodinâmicas de
irradiação e excitação para uma frequência de encontro
Para poder elaborar uma curva de forças hidrodinâmicas adequada são
consideradas 20 frequências de encontro para uma determinada velocidade. Então, o
tempo obtido na tabela anterior deve ser multiplicado por 20.
O tempo necessário para poder realizar uma análise requer as seguintes forças
hidrodinâmicas e o tempo total é mostrado a seguir:
Tabela 5.13 – Tempo necessário para obter as forças hidrodinâmicas
N
o
Força hidrodinâmica Tempo (horas)
1 A33’
e B33’ 4.42
2 A55’
e B55’ 4.42
3 A35’
e B35’ 4.42
4 A53’
e B53’ 4.42
5 A22’
e B22’ 4.42
6 A44’
e B44’ 4.42
7 F22’, F33’, M44’
,
M55’ 4.42
Tempo total (horas) Æ 30.94
Malha hx Painéis na
superfície livre
Painéis nos
corpos
Painéis
Totais
Tempo
(minutos)
A
4.40E-2
1674
2704 4378 4.98
B
4.40E-2
1984
2704 4688 6.96
C
4.40E-2
2604
2704 5308 9.75
D
4.40E-2
3162
2704 5866 13.26
99
Portanto, o tempo necessário para a obtenção dos RAOs de movimento quando os
navios do tipo Wigley modificado navegam em mar de proa é de 30.94 horas para uma
determinada velocidade.
100
5.4 Resultados da interferência hidrodinâmica sobre o comportamento em
ondas de dois navios com velocidade de avanço
A seguir são apresentados os resultados numéricos obtidos com o software
SHIPWAVE desenvolvido para representar o efeito da interferência hidrodinâmica entre
dois navios com velocidade de avanço. Na primeira parte desta seção apresentam-se os
resultados obtidos para as forças hidrodinâmicas de irradiação, posteriormente são
apresentados os resultados das forças de interferência hidrodinâmica de irradiação e as
forças de excitação afetadas pelo efeito da interferência hidrodinâmica. Na parte final
são apresentados os RAOs de movimento afetados pelo efeito de interferência
hidrodinâmica.
5.4.1 Forças hidrodinâmicas de irradiação
As massas adicionais e amortecimentos potenciais dos navios são afetados pelas
interações entre ambos. A proximidade entre eles produz uma alteração do escoamento
dos navios que se encontram oscilando e, portanto, as massas adicionais e
amortecimentos potenciais destes são afetados. Adicionalmente, as ondas produzidas
pela oscilação destes navios que incidem sobre os cascos produzem forças de
interferência hidrodinâmicas que devem ser consideradas na hora de avaliar seus
movimentos. Estes efeitos podem ser favoráveis, quando diminuem as amplitudes dos
movimentos, devido ao incremento das massas adicionais e amortecimentos potenciais
dos navios produzido pelo efeito de interferência. Ou desfavoráveis, quando estas
incrementam as amplitudes dos movimentos, devido à diminuição das forças
hidrodinâmicas de irradiação dos navios produzida pela interferência hidrodinâmica.
A seguir são apresentadas as massas adicionais e amortecimentos potenciais que,
teoricamente, não dependem da velocidade de avanço. Posteriormente, serão mostradas
as massas adicionais e amortecimentos potenciais que dependem da velocidade de
avanço.
101
a) Massas adicionais e amortecimentos potenciais independentes da velocidade
de avanço
A independência do efeito da velocidade de avanço das massas adicionais e
amortecimentos potenciais de heave (A
33
, B
33
), sway (A
22
, B
22
) e roll (A
44
, B
44
) foi
demonstrada, teoricamente, por SALVENSEN et. al. (1970), na sua teoria das faixas
para o caso de um único navio. Posteriormente, diversos pesquisadores realizaram
ensaios de Planar Motion Mechanism-PMM que confirmaram esta conclusão. Pode-se
citar JOURNÉE (1992), que realizou ensaios de PMM para avaliar os valores das
massas adicionais e amortecimentos potenciais de heave de vários modelos de cascos
Wigley. Através destes resultados é possível confirmar a independência da velocidade
de avanço destes coeficientes hidrodinâmicos. Portanto, considera-se que a
independência da velocidade de avanço é mantida nestas mesmas massas adicionais e
amortecimentos potenciais no caso da interferência hidrodinâmica de dois navios no
arranjo side by side com velocidade de avanço.
A seguir, mostram-se os resultados destas massas adicionais e amortecimentos
potenciais utilizando o software SHIPWAVE e a comparação com os softwares
comerciais sem velocidade de avanço WAMIT e AQWA. Adicionalmente estes resultados
são comparados com os resultados para um único navio com velocidade de avanço
(assumindo-se uma distância de separação infinita - y = inf) obtidos com o software
SHIPWAVE. Como os dois navios que navegam próximos têm a mesma forma, os
resultados são iguais para os dois cascos, por tanto são mostrados somente resultados
para um deles.
A Figura (5.12) e Figura (5.13) apresentam os resultados obtidos para as massas
adicionais e amortecimentos potencias de sway.
102
Figura 5.12 – Massa adicional A22’ do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.13 – Amortecimento potencial B22’ do
navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
A Figura (5.14) e Figura (5.15) apresentam os resultados obtidos para as massas
adicionais e amortecimentos potencias de heave.
Figura 5.14 – Massa adicional A33’ do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.15 – Amortecimento potencial B33’ do
navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
103
No caso dos coeficientes hidrodinâmicos de heave obtidos com os softwares WAMIT e
AQWA, a Figura (5.17) indica que estes coeficientes além de apresentar efeitos da
interferência hidrodinâmica produzida pela interferência de ondas, apresentam o efeito
de ressonância de Helmholtz. Este efeito pode ser localizado utilizando a equação Eq.
(5.1) da DNV RP H103 (2010).
Eq. (5.1)
Onde:
L : Comprimento do navio;
d : calado;
b : boca da superficie livre entre navios;
B : boca total incluindo a boca da superficie livre entre navios;
Com a aplicação da equação Eq. (5.1), pode-se encontrar a frequência de ressonância
adimensionalizada de Helmholtz em ω
1
’ = 2.84, esta é localizada na Figura (5.14) das
massas adicionais de heave como o pico negativo. Este efeito acontece, principalmente,
entre navios com velocidade de avanço nula, YEUNG et al. (2006).
No caso dos resultados obtidos com o software SHIPWAVE, o efeito da velocidade de
avanço interfere com o escoamento que produz a ressonância de Helmholtz. Por este
motivo os resultados do software SHIPWAVE não apresentam este comportamento.
104
As Figuras (5.16) e (5.17) apresentam os resultados obtidos para as massas adicionais e
amortecimentos potencias de roll.
Figura 5.16 – Massa adicional A44’
do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.17 – Amortecimento potencial B44’
do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
Da Figura (5.12) à Figura (5.17) verifica-se que o efeito da interferência hidrodinâmica
sobre estes coeficientes hidrodinâmicos produz alterações relevantes no seu
comportamento, quando comparados com suas contrapartes sem o efeito de
interferência (y=inf). Verifica-se também que este efeito diminui com o incremento da
frequência, porque as ondas geradas pelo navio oscilando são menores.
A comparação realizada entre os resultados dos softwares SHIPWAVE, WAMIT e AQWA
apresentam um comportamento qualitativo muito semelhante entre eles. Porém, os
resultados do software
WAMIT e AQWA apresentam picos característicos das frequências
irregulares, que são propensas a acontecer no método da função de Green. Salienta-se
que os resultados obtidos com o software
SHIPWAVE não apresentam frequências
irregulares, permitindo uma melhor avaliação destes coeficientes.
105
b) Massas adicionais e amortecimentos potenciais dependentes da velocidade
de avanço
As massas adicionais e amortecimentos potenciais de pitch dependem do efeito
da velocidade de avanço, como se pode confirmar nos trabalhos de SALVENSEN et. al.
(1970) e JOURNÉE (1991). A seguir, mostram-se os resultados obtidos com o software
SHIPWAVE:
Figura 5.18 – Massa adicional A55’ do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.19 – Amortecimento potencial B55’
do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
Das Figuras (5.18) e (5.19) verifica-se que o efeito da interferência hidrodinâmica
modifica em forma relevante as massas adicionais e amortecimentos potenciais obtidos
com o software SHIPWAVE e os softwares comerciais WAMIT e AQWA, quando
comparados com suas contrapartes obtidas para um único navio (y=inf). Observa-se
também que estes coeficientes tendem a zero com o incremento da frequência, porque
as ondas que produzem estes efeitos são menores.
Verifica-se também que o efeito da velocidade de avanço produz diferenças substanciais
entre os resultados obtidos com o software SHIPWAVE e os softwares WAMIT e AQWA.
Devido à forma da representação do efeito da velocidade de avanço, salienta-se que no
software
SHIPWAVE, o efeito da velocidade de avanço é melhor representado ao ser
incluído no âmbito das condições de contorno que definem o problema.
106
5.4.2 Forças de interferência hidrodinâmica de irradiação
As ondas irradiadas pelo navio oscilando que incidem sobre o outro navio
produzem este tipo de forças. Estas podem ser caracterizadas como massa adicional e
amortecimento potencial de interferência hidrodinâmica. A semelhança do que ocorre
no caso de um único navio, existem massas adicionais e amortecimentos potenciais de
interferência hidrodinâmica que independem do efeito da velocidade de avanço.
a) Forças de interferência hidrodinâmica de irradiação de sway, heave e roll
Estas forças hidrodinâmicas independem da velocidade de avanço. A seguir,
realiza-se uma comparação entre os resultados obtidos com o software SHIPWAVE e os
softwares comerciais WAMIT e AQWA.
As Figuras (5.20) e (5.21) apresentam as massas adicionais e amortecimentos
potenciais de interferência hidrodinâmica de sway.
Figura 5.20 – Massa adicional D22’ do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.21 – Amortecimento potencial E22’
do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
As Figuras (5.22) e (5.23) apresentam as massas adicionais e N potenciais de
interferência hidrodinâmica de heave.
107
Figura 5.22 – Massa adicional D33’ do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.23 – Amortecimento potencial E33’
do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
As Figuras (5.24) e (5.25) apresentam as massas adicionais e amortecimentos
potenciais de interferência hidrodinâmica de roll.
Figura 5.24 – Massa adicional D44’
do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.25 – Amortecimento potencial E44’
do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
Da Figura (5.20) à Figura (5.25) verifica-se que os resultados do software SHIPWAVE e
dos softwares WAMIT e AQWA apresentam uma aderência qualitativa e quantitativa
muito boa entre eles, o que confirma a independência em relação à velocidade de
108
avanço destes coeficientes. Verifica-se também que estes coeficientes apresentam seus
valores máximos em baixas frequências e diminuem até serem nulos com o incremento
da frequência. Este comportamento é coerente, já que estes coeficientes são produzidos
pelas ondas geradas pelo navio oscilando, sendo que estas ondas são maiores em
frequências baixas e diminuem com o incremento da frequência. Observa-se efeitos
favoráveis e desfavoráveis em toda a faixa de frequência considerada, estes efeitos
dependem da geometria e distância entre os cascos.
Por outra parte, os resultados dos softwares WAMIT e AQWA apresentam picos em
algumas frequências de encontro, característicos das frequências irregulares. Apesar de
se utilizar opções para remover as frequências irregulares nestes softwares, estas não
desaparecem por completo. Salienta-se, outra vez, que os resultados obtidos com o
software SHIPWAVE não são afetados pelas frequências irregulares.
b) Forças de interferência hidrodinâmicas de irradiação em pitch
Estas forças são apresentadas na Figura (5.26) e Figura (5.27).
Figura 5.26 – Massa adicional D55’ do navio
Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Figura 5.27 – Amortecimento potencial E55’ do
navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito
de interferência
Estes termos dependem do efeito da velocidade. Das Figuras (5.26) e (5.27)
pode-se verificar que a formulação utilizada nos softwares
WAMIT e AQWA para incluir
109
este efeito não consegue representá-lo adequadamente devido às diferenças
apresentadas quando comparados com os resultados do software SHIPWAVE. Uma vez
que os resultados para um único navio conseguem representar bem o efeito da
velocidade de avanço. Verifica-se que o valor destes coeficientes tende a zero com o
incremento da frequência de encontro. Este comportamento é devido ao fato das ondas
geradas pelo navio oscilando que as produzem serem menores em altas frequências.
5.4.3 Forças de Excitação
As forças de excitação sobre um navio são afetadas pela interferência
hidrodinâmica das ondas difratadas produzidas pelo navio vizinho. No presente caso, os
navios navegam com mar de proa, então, as forças de excitação deveriam excitar
unicamente movimentos longitudinais. Porém, as ondas difratadas de interferência
hidrodinâmica produzidas pelo navio vizinho, originam forças de excitação que afetam
movimentos transversais, McTAGGART et al. (2001). Estas forças podem afetar a
estabilidade transversal e a manobrabilidade dos navios.
a) Forças de excitação de heave e pitch
As Figuras (5.28) e (5.29) apresentam as forças e momentos de excitação de
heave e pitch.
Figura 5.28 – Força de excitação de heave
F33’
do
navio Wigley modificado Fn = 0.20
com efeito de interferência
Figura 5.29 – Força de excitação de pitch M55’
do
navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
110
Das Figuras (5.28) e (5.29) pode-se verificar que o efeito de interferência hidrodinâmica
sobre as forças de excitação modifica seu comportamento de forma pouco notória,
indicando que as ondas difratadas entre os cascos apresentam pouca influência nestes
graus de liberdade. Observa-se também que com o aumento da frequência de encontro,
o efeito da interferência vai desaparecendo devido ao fato que em frequências altas o
comprimento das ondas difratadas são menores.
Os resultados com o software SHIPWAVE permitem representar notoriamente os
cancelamentos da força de excitação de heave e pitch. Por outra parte, os resultados
obtidos com o software
WAMIT não permitem representar adequadamente o
comportamento destas forças de excitação.
b) Forças de excitação de sway e roll
No problema de interferência hidrodinâmica, as ondas difratadas por um navio
afetam ao outro de forma que se produzem forças de excitação nos graus de liberdade
de sway e roll. A natureza destas forças de excitação é devida puramente as ondas
difratadas pelo outro casco. Neste caso, não existe uma parcela de Froude-Krilov porque
esta se anula pela simetria transversal dos cascos.
Figura 5.30 – Momento de excitação de roll
M44’
do
navio Wigley modificado Fn = 0.20
com efeito de interferência
Figura 5.31 – Força de excitação de sway F22’
do
navio Wigley modificado Fn = 0.20 com
efeito de interferência
111
Das Figuras (5.30) e (5.31), verifica-se o surgimento de forças de excitação de sway e
roll sobre os navios quando estes navegam próximos.
As diferenças quantitativas entre os resultados dos softwares SHIPWAVE e o AQWA são
produzidas pelo efeito da velocidade de avanço. Conforme a velocidade de avanço
aumenta, as ondas difratadas pelo navio próximo se deslocam para ré e atingem seu
vizinho com um ângulo mais agudo. Isto faz com que as componentes na direção
transversal destas forças sejam menores. Este comportamento pode ser confirmado
pelos resultados apresentados nas Figuras (5.32) e (5.33).
Figura 5.32 – Efeito da variação da velocidade
de avanço sobre o momento de excitação de roll
M44’
do
navio Wigley modificado
Figura 5.33 – Efeito da variação da
velocidade de avanço sobre a força de
excitação de sway F22’
do
navio Wigley
modificado
112
5.4.4 RAO de movimento
A seguir apresentam-se os RAOs de movimento dos navios Wigley modificado
afetados pela influência da interferência hidrodinâmica. Estes RAOs foram obtidos
unicamente com o software SHIPWAVE. Como os navios são iguais, somente são
mostrados os resultados para um deles.
a) RAO de heave
A Figura (5.34) apresenta a comparação realizada entre os RAOs de movimento
do navio Wigley modificado com e sem o efeito da interferência hidrodinâmica.
Figura 5.34 – RAO de movimento de heave do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito
de interferência hidrodinâmica
Da Figura (5.34), verifica-se que o efeito da interferência hidrodinâmica sobre o RAO
de movimento produz efeitos relevantes para as frequências de encontro baixas e estes
efeitos desaparecem com o incremento da frequência, como esperado. Este
comportamento é devido a que as ondas irradiadas e difratadas pelo navio vizinho que
afetam as forças de irradiação e as forças de excitação, diminuem com o incremento da
frequência de encontro.
113
Verifica-se também que o movimento na região de ressonância é incrementado devido à
redução do amortecimento de heave B33’ e aos valores negativos do amortecimento de
interferência hidrodinâmica de heave E33’ nesta região, produzidos pela interferência
de ondas entre os cascos De igual forma, observa-se que para frequências de encontro
baixas, fora da região de ressonância, as amplitudes dos RAOs diminuem devido ao
incremento do amortecimento de heave B33’ e ao amortecimento de interferência
hidrodinâmica de heave E33’.
Comportamento similar do RAO de heave pode ser encontrado em McTAGGART et al.
(2001) e em FANG et al. (1986).
b) RAO de pitch
A Figura (5.35) apresenta a comparação realizada entre os RAOs de movimento
do navio Wigley modificado com e sem o efeito da interferência hidrodinâmica.
Figura 5.35 – RAO de movimento de pitch do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito
de interferência
114
Da Figura (5.35) verifica-se que o efeito da interferência hidrodinâmica afeta o RAO de
pitch dos navios em toda a faixa de frequências consideradas e este efeito vai
diminuindo conforme o incremento da frequência, como esperado. As amplitudes do
RAO na região de ressonância são incrementados principalmente pelos acoplamentos
com o movimento de heave.
c) RAO de sway
A Figura (5.36) apresenta o RAO de sway sobre o navio produzido pela
interação hidrodinâmica com o vizinho.
Figura 5.36 – Rao de movimento de sway do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito
de interferência
Da Figura (5.36) verifica-se que o RAO de sway atinge os valores máximos em baixas
frequências, devido a que as ondas difratadas nesta região são maiores e mais
energéticas. Verifica-se também que as amplitudes destes RAOs diminuem com o
incremento da frequência de encontro. Este comportamento é devido as ondas difratadas
serem menores. A amplitude do movimento de sway pode afetar as características de
manobrabilidade.
115
d) RAO de roll
A Figura (5.37) apresenta o RAO de roll sobre o navio produzido pela interação
hidrodinâmica com o vizinho.
Figura 5.37 – Rao de movimento de roll do navio Wigley modificado Fn = 0.20 com efeito de
interferência
Da Figura (5.37) verifica-se que o RAO de roll produzido pelo efeito da interferência
hidrodinâmica das ondas difratadas do navio vizinho atinge seus valores máximos em
baixas frequências. Note-se que no caso destes navios navegarem sem efeito de
interferência hidrodinâmica, as amplitudes destes movimentos são nulas.
Segundo McTAGGART et al. (2001), os ângulos de roll induzidos num navio, pela
presença de outro, podem produzir problemas de estabilidade. Portanto, este movimento
induzido deve ser analisado, já que dependendo das condições de mar, os ângulos de
roll atingidos podem produzir o emborcamento do navio vizinho.
116
5.4.5 Influência da distância entre cascos
A distância de separação entre os dois cascos Wigley modificado é
incrementada, para analisar o efeito desta sobre a interferência hidrodinâmica. As
diferentes distâncias de separação são mostradas na seguinte tabela:
Tabela 5.14 – Distâncias de separação entre os navios
O efeito destas variações é analisado através de uma análise comparativa, utilizando os
RAOs de movimento de heave, pitch, sway e roll.
A Figura (5.38) e Figura (5.39) apresentam a influência da distância entre os cascos
sobre os RAOs de heave e pitch, respectivamente.
Figura 5.38 – Variação da distância de separação entre os cascos sobre o RAO de heave
Distância
Caso 1 0.2L
Caso 2 0.4L
Caso 3 1.0L
Caso 4 Inf
117
Figura 5.39 – Variação da distância de separação entre os cascos sobre o RAO de pitch
Da Figura (5.38) e Figura (5.39) pode-se verificar que o efeito da interferência
hidrodinâmica diminui com o incremento da distância de separação, o qual era
esperado, pois o efeito das ondas irradiadas e difratadas entre os navios diminui com o
incremento da distância entre eles. Para o caso 3, ou seja, para uma distância de
separação equivalente a um comprimento dos navios envolvidos, os efeitos de
interferência praticamente desaparecem.
118
A Figura (5.40) e Figura (5.41) apresentam os RAOs de sway e roll, para várias
distâncias de separação.
Figura 5.40 – Variação da distância de separação entre os cascos sobre o RAO de roll
Figura 5.41 – Variação da distância de separação entre os cascos sobre o RAO de sway
119
Da Figura (5.40) e Figura (5.41) pode-se verificar que a amplitude destes movimentos
diminui com o incremento da distância de separação. O qual era esperado uma vez que
o efeito das ondas difratadas pelos navios diminuem com o incremento da separação
entre eles. Note-se que amplitudes destes RAOs não desaparecem por completo no Caso
3, que é a maior distância de separação considerada. Para as frequências de encontro
menores ω
E
< 3.0, ainda existem amplitudes significativas destes movimentos, porque
as ondas irradiadas e difratadas são longas e com energia suficiente para poder excitar
estes movimentos.
120
5.4.6 Influência da velocidade sobre a interferência hidrodinâmica
A influência da velocidade de avanço é avaliada no caso dos dois navios Wigley
modificado, navegando na configuração side by side, com uma distância de separação
de 0.2L.
Sua influência sobre as forças de interferência hidrodinâmica é avaliada através de uma
análise comparativa. Para isto, são utilizadas as forças de irradiação, de interferência
hidrodinâmica e RAOs de heave e roll.
As Figuras (5.42) e (5.43) apresentam a influência da variação da velocidade de avanço
sobre os RAOs de movimento de heave e pitch respectivamente.
Figura 5.42 – Variação do Rao de heave com o incremento do número de Froude
121
Figura 5.43 – Variação do Rao de pitch com o incremento do número de Froude
Das Figuras (5.42) e (5.43), verifica-se que estes RAOs de movimento incrementam
suas amplitudes com o incremento da velocidade em toda a faixa de frequências
considerada, principalmente, na região de ressonância. Este comportamento é devido às
ondas irradiadas e difratadas que incrementam seus comprimentos com o aumento da
velocidade de avanço. Por tanto, os efeitos de interferência de ondas são também mais
relevantes.
As Figuras (5.44) e (5.45) apresentam a influência da variação da velocidade de avanço
sobre os RAOs de movimento de roll e sway respectivamente.
122
Figura 5.44 – Variação do Rao de roll com o incremento do número de Froude
Figura 5.45 – Variação do Rao de sway com o incremento do número de Froude
123
Das Figuras (5.44) e (5.45), pode-se verificar que o incremento da velocidade
produz a diminuição das amplitudes destes movimentos. Este comportamento deve-se
ao fato de que as forças de difração originadas pela interferência hidrodinâmica entre os
cascos se reduzem com o incremento da velocidade de avanço.
124
Capítulo 6
Conclusões e Trabalhos Futuros
6.1 Geral
Neste trabalho de tese desenvolveu-se um software baseado no método dos
painéis de Rankine para a representação e análise do problema da interferência
hidrodinâmica sobre os movimentos de dois navios com velocidade de avanço,
navegando na configuração side by side em ondas longitudinais de proa. Este trabalho
foi realizado por etapas distintas:
- a primeira consistiu da comprovação da efetividade desta metodologia na
representação do efeito da velocidade de avanço sobre os movimentos de um único
navio com velocidade de avanço em ondas longitudinais de proa.
- a segunda consistiu da comprovação e análise do efeito da interferência
hidrodinâmica entre os cascos de um catamarã com velocidade de avanço sobre seus
movimentos.
- em seguida, uma vez comprovado que a presente metodologia era capaz de
representar o efeito da velocidade de avanço e os efeitos da interferência hidrodinâmica
produzidos entre os cascos de um catamarã, desenvolveu-se a determinação da
interferência hidrodinâmica entre dois navios independentes no arranjo side by side com
velocidade de avanço.
A seguir serão apresentadas as conclusões mais relevantes desta tese.
6.2 Comportamento em ondas de único navio com velocidade de avanço
• O software SHIPWAVE representou bem a física do problema do comportamento
em ondas com velocidade de avanço, conseguindo identificar de maneira
consistente a sua influência sobre os RAO’s dos movimentos de heave e pitch dos
navios Wigley modificado e Série60 Cb=0.70, utilizados no processo de
validação. A qualidade dos resultados obtidos sugere que este software pode ser
125
utilizado como eficiente auxílio para a otimização e pesquisa de formas de
cascos, adotando-se como critério a redução dos seus movimentos.
No entanto, as diferenças quantitativas encontradas entre os resultados do
software SHIPWAVE e os resultados experimentais indicam a necessidade de
estudos adicionais que possam garantir maior convergência e confiabilidade aos
presentes resultados numéricos.
• Comparado a outros softwares disponíveis, o SHIPWAVE conseguiu representar
melhor o efeito da velocidade de avanço sobre os movimentos, indicando maior
qualidade da sua formulação matemática para a descrição do fenômeno.
• As maiores diferenças entre os resultados numéricos e experimentais apareceram
no casco Serie 60 Cb=0.70. A explicação deste comportamento deve-se aos
grandes gradientes geométricos na proa e popa que produzem grandes variações
na superfície submersa do casco. Portanto, a presente metodologia pode ser
aperfeiçoada com a atualização da superfície em cada instante do tempo a fim de
reduzir este efeito na solução do problema.
6.3 Interferência hidrodinâmica entre navios com velocidade de avanço
• A metodologia desenvolvida permitiu capturar os efeitos de interferência
hidrodinâmica presentes no comportamento em ondas de catamarãs com
velocidade de avanço de forma bastante adequada. Os RAO´s de movimento,
obtidos numericamente, apresentaram as características esperadas.
• O software
SHIPWAVE permitiu estudar o problema da interferência
hidrodinâmica entre dois navios com velocidade de avanço. Verificou-se a
independência do efeito da velocidade de avanço das forças hidrodinâmicas de
irradiação de sway, heave e roll. Os resultados obtidos também indicaram que o
efeito de ressonância de Helmholtz não é relevante no caso de navios com
velocidade de avanço.
• O efeito da interferência hidrodinâmica sobre os movimentos de heave e pitch dos
navios no arranjo side by side produziram incrementos nas suas amplitudes,
sobretudo na região da ressonância. Estes efeitos foram diminuindo com o
126
incremento da frequência devido à diminuição do comprimento das ondas
irradiadas.
• Os efeitos de interferência hidrodinâmica sobre as forças de difração dos
movimentos de heave e pitch não tiveram muita influência. Estas forças
hidrodinâmicas mantiveram-se praticamente inalteradas. De outro modo, o
movimento de roll induzido pelas ondas difratadas do navio vizinho pode chegar a
ser um problema sério de estabilidade, dependendo das condições de mar. Os
resultados obtidos nesta tese ressaltam a necessidade de uma análise da excitação
de movimentos de roll por ondas difratadas por outros navios que estejam
navegando próximos. Por outro lado, o movimento de sway induzido pelas ondas
difratadas do navio vizinho pode afetar as características de manobrabilidade da
embarcação.
• Foi atingido o objetivo principal da tese, desenvolver um código computacional
capaz de determinar a influência da interferência hidrodinâmica sobre os
movimentos de navios com velocidade de avanço, com qualidade suficiente para
avaliar este efeito, pelo menos, no nível de precisão requerido nas primeiras fases
do projeto.
6.4 Propostas para Trabalhos Futuros
• Esta metodologia somente pode ser aplicada para navios com velocidade de
avanço e frequências reduzidas maiores que 0.25. No domínio do tempo, esta
limitação pode ser superada, se for modificada a condição de radiação, como
proposto por KRING (1994). Mesmo desta forma, pode-se analisar navios em toda
a faixa de frequências e mesmo com velocidade zero.
• A solução não linear das condições de contorno da superfície livre é necessária
para representar adequadamente os efeitos de navios bojudos com baixa relação
L/B, uma vez que as perturbações produzidas por estes não podem ser
consideradas pequenas pelas hipóteses de linearização.
• A influência da interferência hidrodinâmica entre navios de diferentes dimensões é
uma análise que ainda precisa ser realizada.
127
• A determinação da interferência hidrodinâmica entre dois navios com diferentes
velocidades e direções opostas é uma análise que seria de grande interesse prático,
uma vez que se poderia avaliar o comportamento de navios nas proximidades de
um porto.
• A atualização da superfície submersa dos cascos pelo trem de ondas produzido
pelo avanço dos navios no problema da interferência hidrodinâmica sobre os
movimentos de dois navios no arranjo side by side, produziria uma melhor
definição da contribuição do potencial permanente.
• Avaliação do efeito da interferência hidrodinâmica para seis graus de liberdade e
em diferentes ângulos de incidência de ondas.
128
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135
APÊNDICE I
CORREÇÃO DOS COEFICIENTES HIDRODINÂMICOS PARA INCLUIR O
EFEITO DA VELOCIDADE DE AVANÇO
Os coeficientes hidrodinâmicos correspondentes as massas adicionais e amortecimentos
potenciais de navios com velocidade zero são corrigidos para incluir o efeito da
velocidade de avanço seguindo a metodologia proposta por SALVENSEN et al. (1970).
Esta metodologia é estendida por FANG et al. (1986) para incluir o efeito da velocidade
de avanço sobre os coeficientes hidrodinâmicos de interferência hidrodinâmica.
I.1 Coeficientes hidrodinâmicos de Heave
0
33
U
33
AA =
I.1
0
33
U
33
BB =
I.2
0
33
U
33
DD =
I.3
0
33
U
33
EE =
I.4
I.2 Coeficientes hidrodinâmicos de pitch
0
33
2
2
0
55
U
55
A
U
AA
ω
+=
I.5
0
33
2
2
0
55
U
55
B
U
BB
ω
+=
I.6
0
33
2
2
0
55
U
55
D
U
DD
ω
+=
I.7
0
33
2
2
0
55
U
55
E
U
EE
ω
+=
I.8
136
I.3 Coeficientes hidrodinâmicos de heave-pitch
0
33
2
0
35
U
35
B
U
AA
ω
+=
I.9
0
33
0
35
U
35
AUBB −=
I.10
0
33
2
0
35
U
35
D
U
DD
ω
+=
I.11
0
33
0
35
U
35
EUEE −=
I.12
I.4 Coeficientes hidrodinâmicos de pitch-heave
0
33
2
0
53
U
53
B
U
AA
ω
−=
I.13
0
33
0
53
U
53
AUBB +=
I.14
0
33
2
0
53
U
53
D
U
DD
ω
−=
I.15
0
33
0
53
U
53
EUEE +=
I.16
137
APÊNDICE II
MASSAS ADICIONAIS E AMORTECIMENTOS POTENCIAIS DO NAVIO
WIGLEY MODIFICADO
II.1 Massas adicionais e Amortecimentos Potenciais
a)
Graus de liberdade de Surge, Sway, Roll e Yaw
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
A11'-SHIPWAVE
A11'-WAMIT
A11'-HANSEL
MASSA ADICIONAL DE
SURGE DEVIDO ASURGE
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
A11'
WE'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
B11'-SHIPWAVE
B11'-WAMIT
B11'-HANSEL
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
SURGE DEVIDO A SURGE
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
B11'
WE'
Figura II.1 – Massa adicional e amortecimento potencial de surge devido a surge A
11
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
A22'-SHIPWAVE
A22'-WAMIT
A22'-HANSEL
MASSAADICIONAL DE
SWAY DEVIDO A SWAY
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
A22'
WE'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
2
4
6
8
10
B22'-WAMIT
B22'-SHIPWAVE
B22'-HANSEL
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
SWAY DEVIDO A SWAY
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
B22'
WE'
Figura II.2 – Massa adicional e amortecimento potencial de sway devido a sway A
22
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
138
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
A44'-SHIPWAVE
A44'-WAMIT
A44'-HANSEL
MASSA ADICIONAL DE
ROLL DEVIDO A ROLL
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
A44'
WE'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
B44'-SHIPWAVE
B44'-WAMIT
B44'-HANSEL
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
ROLL DEVIDO A ROLL
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
B44'
WE'
Figura II.3 – Massa adicional e amortecimento potencial de roll devido a roll A
44
do
navio Wigley Modificado Fn=0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
A66'-SHIPWAVE
A66'-WAMIT
A66'-HANSEL
WE'
A66'
MASSA ADICIONALDE
YAW DEVIDO A YAW
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
0
0.5
1
1.5
B66'-SHIPWAVE
B66'-WAMIT
B66'-HANSEL
WE'
B66'
A
MORTECIMENTOPOTENCIALDE
YAW DEVIDOAYAW
WIGLEY MODIFICADO - FN= 0.30
Figura II.4 – Massa adicional e amortecimento potencial de yaw devido a yaw A
66
e
B
66
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
139
b) Graus de liberdade de Heave e Pitch
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
A33'-EXPERIMENTAL
A33'-SHIPWAVE
A33'-WAMIT
A33'-HANSEL
WE'
A33'
M
A
SS
A
A
DICION
A
LDEHE
A
V
E
DEVIDO AHEAVE
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
B33'-EXPERIMENTAL
B33'-SHIPWAVE
B33'-WAMIT
B33'-HANSEL
WE'
B33'
AMORTECIMENTO POTENCIAL
DE HEAVE DEVIDO A HEAVE
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
Figura II.5 – Massa adicional e amortecimento potencial de heave devido a heave A
33
e B
33
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
A35'-EXPERIMENTAL
A35'-SHIPWAVE
A35'-WAMIT
A35'-HANSEL
WE'
A35'
MASSA ADICIONAL DE
HEAVE DEVIDO A PITCH
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
B35'-EXPERIMENTAL
B35'-SHIPWAVE
B35'-WAMIT
B35'-HANSEL
WE'
B35'
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
HEAVE DEVIDO A PITCH
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
Figura II.6 – Massa adicional e amortecimento potencial de heave devido a pitch A
35
e B
35
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
140
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
A53'-EXPERIMENTAL
A53'-SHIPWAVE
A53'-WAMIT
A53'-HANSEL
WE'
A53'
MASSAADICIONALDE
PITCH DEVIDO A HEAVE
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
B53'-EXPERIMENTAL
B53'-SHIPWAVE
B53'-WAMIT
B53'-HANSEL
WE'
B53'
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
PITCH DEVIDO A HEAVE
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
Figura II.7 – Massa adicional e amortecimento potencial de pitch devido a heave A
53
e
B
53
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.05
0.1
0.15
A55'-EXPERIMENTAL
A55'-SHIPWAVE
A55'-WAMIT
A55'-HANSEL
WE'
A55'
MASSAADICIONAL DE PITCH
DEVIDO A PITCH
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
B55'-EXPERIMENTAL
B55'-SHIPWAVE
B55'-WAMIT
B55'-HANSEL
WE'
B55'
AMORTECIMENTO POTENCIAL
DE PITCH DEVIDO A PITCH
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
Figura II.8 – Massa adicional e amortecimento potencial de pitch devido a heave A
55
e
B
55
do navio Wigley Modificado Fn=0.30
141
II.2 Forças de Excitação
a) Força de Excitação para ângulo de incidência = 180°
WE'
F11'
1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
F11'- SHIPWAVE
F11'- WAMIT
F11'- HANSEL
Figura II.9 – Força de excitação de surge do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 180° e Fn = 0.30
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
5
10
15
20
F33'-EXPERIMENTAL
F33'-SHIPWAVE
F33'-WAMIT
F33'-HANSEL
WE'
F33'
FORÇ
A
DE E
X
CIT
A
Ç
Ã
ODE
HEAVE - F33' - ANG = 180°
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
Figura II.10 – Força de excitação de heave do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 180
°
142
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
1
2
3
4
5
6
M55'-EXPERIMENTAL
M55'-SHIPWAVE
M55'-WAMIT
M55'-HANSEL
WE'
M55'
MOMENTO DE EXCITAÇÃO DE
PITCH - M55' - ANG = 180°
WIGLEY MODIFICADO - FN = 0.30
Figura II.11 – Momento de excitação de pitch do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 180
°
b) Força de Excitação para ângulo de incidência = 135°
WE'
F11'
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
F11' - SHIPWAVE
F11' - WAMIT
F11' - HANSEL
WE'
F22'
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F22' - SHIPWAVE
F22' - WAMIT
F22' - HANSEL
Figura II.12 – Força de excitação de
surge do navio Wigley modificado para
um ângulo de incidência de 135° e
Fn=0.30
Figura II.13 – Força de excitação de
sway do navio Wigley modificado para
um ângulo de incidência de 135° e Fn =
0.30
143
F33'
1 2 3 4 5 6
0
4
8
12
16
20
F33' - SHIPWAVE
F33' - HANSEL
F33' - WAMIT
WE'
W
E'
M44'
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.04
0.08
0.12
0.16
M44' - SHIPWAVE
M44' - WAMIT
M44' - HANSEL
Figura II.14 – Força de excitação de
heave do navio Wigley modificado para
um ângulo de incidência de 135° e
Fn=0.30
Figura II.15 – Momento de excitação de
roll do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 135° e Fn = 0.30
M55'
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
M55' - SHIPWAVE
M55' - WAMIT
M55' - HANSEL
WE'
M66'
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
M66' - SHIPWAVE
M66' - WAMIT
M66' - HANSEL
WE'
Figura II.16 – Força de excitação de
pitch do navio Wigley modificado para
um ângulo de incidência de 135° e
Fn=0.30
Figura II.17 – Momento de excitação de
yaw do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 135° e Fn = 0.30
144
c) Força de Excitação para ângulo de incidência = 90°
WE'
F22'
0 2 4 6 8
0
5
10
15
20
F22' - SHIPWAVE
F22' - WAMIT
F22' - HANSEL
Figura II.18 – Força de excitação de sway do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 90° e Fn = 0.30
WE'
M44'
0 2 4 6 8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
M44' - SHIPWAVE
M44' - WAMIT
M44' - HANSEL
Figura II.19 – Força de excitação de roll do navio Wigley modificado para um ângulo
de incidência de 90
° - Fn = 0.30
145
WE'
F33'
0 2 4 6
0
5
10
15
20
25
F33' - SHIPWAVE
F33' - WAMIT
F33' - HANSEL
Figura II.20 – Força de excitação de heave do navio Wigley modificado para um
ângulo de incidência de 90
° - Fn = 0.30
APÊNDICE III
MASSAS ADICIONAIS E AMORTECIMENTOS POTENCIAIS DO NAVIO
SERIE 60 CB=0.70
III.1 Massas adicionais e amortecimentos potenciais
a) Graus de liberdades de Surge, Sway, Roll e Yaw
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
A11'-SHIPWAVE
A11'-WAMIT
A11'-HANSEL
A11'
WE'
MASSA ADICIONAL DE
SURGE DEVIDO A SURGE
SERIE60 - CB = 0.70 - FN = 0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.1
0.2
0.3
B11'-SHIPWAVE
B11'-WAMIT
B11'-HANSEL
B11'
WE'
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
SURGE DEVIDO A SURGE
SERIE60 - CB = 0.70 - FN = 0.20
Figura III.1 – Massa adicional e amortecimento potencial de surge devido a surge A
11
do navio Serie 60 – Cb=0.70 Fn=0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
A22'-EXPERIMENTAL
A22'-SHIPWAVE
A22'-WAMIT
A22'-HANSEL
A22'
WE'
MASSAADICIONAL DE
SWAY DEVIDO A SWAY
SERIE60 - CB = 0.70 - FN = 0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
A22'-EXPERIMENTAL
A22'-SHIPWAVE
A22'-WAMIT
A22'-HANSEL
A22'
WE'
MASSAADICIONAL DE
SWAY DEVIDO A SWAY
SERIE60 - CB = 0.70 - FN = 0.20
Figura III.2 – Massa adicional e amortecimento potencial de sway devido a sway A
22
do navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
146
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
A44'-EXPERIMENTAL
A44'-SHIPWAVE
A44'-WAMIT
A44'-HANSEL
A44'
WE'
MASSAADICIONAL DE
ROLL DEVIDO A ROLL
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
B44'-EXPERIMENTAL
B44'-SHIPWAVE
B44'-WAMIT
B44'-HANSEL
B44'
WE'
AMORTECIMENTO POTENCIAL D
E
ROLL DEVIDO A ROLL
SERIE60 - CB = 0.70 - FN = 0.20
Figura III.3 – Massa adicional e amortecimento potencial de roll devido a roll A
44
do
navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
A66'-EXPERIMENTAL
A66'-SHIPWAVE
A66'-WAMIT
A66'-HANSEL
A66'
WE'
MASSA ADICIONAL DE
YAW DEVIDO A YAW
SERIE60 - CB = 0.70 - FN = 0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B66'-EXPERIMENTAL
B66'-SHIPWAVE
B66'-WAMIT
B66'-HANSEL
B66'
WE'
AMORTECIMENTO POTENCIAL D
E
YAW DEVIDO A YAW
SERIE60 - CB= 0.70 - FN = 0.20
Figura III.4 – Massa adicional e amortecimento potencial de yaw devido a yaw A
66
e
B
B
66
do navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
b) Graus de liberdade de Heave e Pitch
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
A33'-WAMIT
A33'-SHIPWAVE
A33'-EXPERIMENTAL
A33'-HANSEL
MASSAADICIONAL DE
HEAVE DEVIDO A HEAVE
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
WE'
A33'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
B33'-EXPERIMENTAL
A33'-SHIPWAVE
B33'-WAMIT
B33'-HANSEL
A
MORTECIMENTO POTENCIAL DE
HEAVE DEVIDO AHEAVE
SERIE 60 - CB=0.70 - FN=0.20
WE'
B33'
Figura III.5 – Massa adicional e amortecimento potencial de heave devido a heave A
33
e B
33
do navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
147
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
A35'-EXPERIMENTAL
A35'-SHIPWAVE
A35'-WAMIT
A35'-HANSEL
MASSA ADICIONAL DE
HEAVE DEVIDO APITCH
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
WE'
A35'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
0
0.5
1
1.5
B35'-EXPERIMENTAL
B35'-SHIPWAVE
B35'-WAMIT
B35'-HANSEL
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
HEAVE DEVIDO APITCH
SERIE 60 - CB=0.70 - FN=0.20
WE'
B35'
Figura III.6 – Massa adicional e amortecimento potencial de heave devido a pitch A
35
e B
35
do navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
A53'-WAMIT
A53'-EXPERIMENTAL
A53'-SHIPWAVE
A53'-HANSEL
MASSAADICIONAL DE
PITCH DEVIDO A HEAVE
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
WE'
A53'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
B53'-EXPERIMENTAL
B53'-SHIPWAVE
B53'-WAMIT
B53'-HANSEL
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
PITCH DEVIDO A HEAVE
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
WE'
B53'
Figura III.7 – Massa adicional e amortecimento potencial de pitch devido a heave A
53
e B
53
do navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
A55'-WAMIT
A55'-SHIPWAVE
A55'-EXPERIMENTAL
A55'-HANSEL
MASSA ADICIONAL DE
PITCH DEVIDO A PITCH
SERIE 60 - CB=0.70 - FN=0.20
WE'
A55'
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
B55'-EXPERIMENTAL
B55'-SHIPWAVE
B55'-WAMIT
B55'-HANSEL
AMORTECIMENTO POTENCIAL DE
PITCH DEVIDO A PITCH
SERIE 60 - CB=0.70 - FN=0.20
WE'
B55'
Figura III.8 – Massa adicional e amortecimento potencial de pitch devido a heave A
55
e
B
B
55
do navio Serie 60 – Cb = 0.70 Fn=0.20
148
III.2 Forças de Excitação
a) Força de Excitação para ângulo de incidência = 180°
Fn
F1'
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
F11' - SHIPWAVE
F11' - WAMIT
F11' - HANSEL
Figura III.9 – Força de excitação de surge do navio Serie 60 – Cb = 0.70 para um
ângulo de incidência de 180
°
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
2
4
6
8
10
12
14
F33'-SHIPWAVE
F33'-WAMIT
F33'-HANSEL
FORÇADE EXCITAÇÃO DE
HEAVE - F33' - ANG = 180°
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
WE'
F33'
Figura III.10 – Força de excitação de heave do navio Serie 60 – Cb = 0.70 para um
ângulo de incidência de 180
°
149
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
M55'-SHIPWAVE
M55'-WAMIT
M55'-HANSEL
MOMENTO DE EXCITAÇÃO DE
PITCH - M55' - ANG = 180°
SERIE60-CB=0.70-FN=0.20
WE'
M55'
Figura III.11 – Momento de excitação de pitch do navio Serie 60 – Cb = 0.70 para um
ângulo de incidência de 180
°
b) Força de Excitação para ângulo de incidência = 135°
WE'
F11'
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
F11' - SHIPWAVE
F11' - WAMIT
F11' - HANSEL
WE'
F22'
1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
F22' - SHIPWAVE
F22' - WAMIT
F22' - HANSEL
Figura III.12 – Força de excitação de
surge do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 135° e Fn=0.20
Figura III.13 – Força de excitação de
sway do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 135° e Fn = 0.20
150
WE'
F33'
1 2 3 4 5 6
0
4
8
12
16
F33' - SHIPWAVE
F33' - WAMIT
F33' - HANSEL
WE'
M44'
1 2 3 4 5 6
0
0.02
0.04
0.06
M44'- SHIPWAVE
M44'- WAMIT
M44' - HANSEL
Figura III.14 – Força de excitação de
heave do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 135° e Fn=0.20
Figura III.15 – Momento de excitação de
roll do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 135° e Fn = 0.20
WE'
M55'
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
M55'- SHIPWAVE
M55'- WAMIT
M55' - HANSEL
WE'
M66'
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
M66' - SHIPWAVE
M66' - WAMIT
M66' - HANSEL
Figura III.16 – Força de excitação de
pitch do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 135° e Fn=0.20
Figura III.17 – Momento de excitação de
yaw do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 135° e Fn = 0.20
151
c) Força de Excitação para ângulo de incidência = 90°
WE'
F22'
2 3 4 5 6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
F22' - SHIPWAVE
F22' - WAMIT
F22' - HANSEL
Figura III.18 – Força de excitação de sway do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 90° e Fn = 0.20
WE'
F33'
2 3 4 5 6 7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
F33' - SHIPWAVE
F33' - WAMIT
F33' - HANSEL
Figura III.19 – Força de excitação de heave do navio Serie 60 Cb=0.70 para um
ângulo de incidência de 90° e Fn = 0.20
152
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