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MÉTODO DE MOMENTOS APLICADO À
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO
por
Fábio Gonçalves Pereira
Dissertação submetida à Banca Examinadora
designada pelo Colegiado do Programa de Pós-
Graduação em Modelagem Matemática
Computacional do Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais, como requisito
parcial à obtenção de título de mestre.
Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso
Co-orientador: Prof. Dr. Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
Belo Horizonte
2010
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2
Aos meus pais, irmãos e amigos.
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3
Agradecimentos
Gostaria de expressar, primeiramente, meus profundos agradecimentos ao Professor
Márcio Matias Afonso, meu orientador, pelos enriquecedores conselhos e sugestões,
pelo encorajamento, pelo apoio, pela paciência, pela infinita disponibilidade de
atendimento e, principalmente, pela competência com que conduziu este trabalho.
Agradeço ao Professor Marco Aurélio de Oliveira Schroeder, meu co-orientador, por
sua paciência, pelo encorajamento, pelas proveitosas discussões e por ter me
despertado, ainda na graduação, o interesse pelo maravilhoso mundo do
eletromagnetismo.
Agradeço aos professores, amigos e colegas do CEFET-MG pelas discussões
técnicas que muito contribuíram para este trabalho.
Agradeço também a SUDECAP, em nome de Maria Célia Lamounier de Oliveira e
Augusto César Santiago e Silva Pirassinunga, pela compreensão e apoio na
realização deste trabalho.
Agradeço minha família pelo auxílio e encorajamento durante esses anos de estudo.
Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a Nicole Patricia Silva, minha
namorada, pela compreensão ao longo deste processo, pela cumplicidade, pelos
inúmeros e sábios conselhos e pelo companheirismo incondicional.
Gostaria de agradecer a todos os amigos que encontrei pela vida e que, de alguma
maneira, contribuíram na construção de mais uma etapa da minha vida.
4
Resumo
Este trabalho trata da aplicação do Método de Momentos a problemas de
espalhamento eletromagnético. A solução desses problemas por meio de técnicas
numéricas é objeto de intensas pesquisas em diversas áreas de engenharia,
biomedicina, geofísica e outras. O Método de Momentos permite esses tratamentos
com robustez e baixo custo computacional. As formulações numéricas são
detalhadamente desenvolvidas e aplicadas a estruturas dielétricas e condutoras. As
singularidades são devidamente extraídas. Os resultados obtidos são validados
mediante comparação com a solução analítica. A análise de erro mostra que os
resultados são bastante precisos.
5
Abstract
The Moment Method is applied for solving electromagnetic scattering problems. The
solution of these problems by numerical techniques is required in several areas of
engineering, biomedicine, geophysics and others. The Moment Method provides
reliable and accurate results with low computational effort. The numerical formulations
are thoroughly developed and applied to conductive and dielectric structures. The
extractions of the singularities are properly made. The results are validated by
comparison with the analytical solution. The error analysis shows that the results are
very accurate.
6
Sumário
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE SÍMBOLOS
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ................................................................................11
CAPÍTULO 2 – ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO
.......................................13
2.1 Introdução .....................................................................................................13
2.2 Fenômenos de Espalhamento Eletromagnético............................................13
2.3 Equações de Maxwell....................................................................................15
2.3.1 Relações Constitutivas e Características do Meio..............................17
2.4 Equações de Onda Escalar...........................................................................18
2.4.1 Equação de Onda para o Campo Elétrico..........................................19
2.4.2 Equação de Onda para o Campo Magnético .....................................19
2.5 Condições de Interface..................................................................................20
2.5.1 Interface entre Dois Meios Quaisquer................................................20
2.5.2 Interface com Um Condutor Elétrico Perfeito .....................................21
2.5.3 Interface entre Dois Dielétricos...........................................................22
2.6 Técnicas Numéricas para Solução de Problemas de
Espalhamento Eletromagnético .....................................................................22
2.6.1 Técnicas Numéricas Diferenciais .......................................................24
2.6.2 Técnicas Numéricas Integrais ............................................................25
2.7 Sumário.........................................................................................................26
CAPÍTULO 3 – FORMULAÇÃO MÉTODO DE MOMENTOS....................................28
3.1 Introdução .....................................................................................................28
3.2 Formulação para o Método de Momentos.....................................................29
3.2.1 Formulação Integral para a Equação de Helmholtz............................30
3.2.2 Discretização Nodal da Fronteira .......................................................32
3.3 Sumário.........................................................................................................41
7
CAPÍTULO 4 – RESULTADOS.................................................................................42
4.1 Introdução .....................................................................................................42
4.2 Espalhamento Eletromagnético 2D...............................................................42
4.2.1 Análise do Espalhador Condutor Elétrico Perfeito..............................43
4.2.2 Análise do Espalhador Dielétrico........................................................48
4.3 Sumário.........................................................................................................53
CAPÍTULO 5 – CONCLUSÃO...................................................................................55
Referências Bibliográficas.........................................................................................56
APÊNDICE A.............................................................................................................61
APÊNDICE B.............................................................................................................68
APÊNDICE C ............................................................................................................71
APÊNDICE D ............................................................................................................76
8
LISTA DE FIGURAS
2.1 Espalhamento Eletromagnético: (a) Fontes (b) Espalhador.........................14
2.2 Interface de separação entre dois meios.......................................................20
2.3 Geometria de estudo para o problema de espalhamento..............................23
3.1 Simplificação do domínio (a) em três dimensões
para o domínio (b) em duas dimensões........................................................28
3.2 Geometria de estudo para um espalhador bidimensional .............................29
3.3 Representação dos elementos de primeira ordem:
linear, quadrático e cúbico ............................................................................33
3.4 Discretização da fronteira
Γ
(a) em N elementos (b)....................................33
3.5 Transformação geométrica de coordenadas.................................................34
4.1 Geometria do espalhador bidimensional.......................................................42
4.2 Espalhador bidimensional condutor elétrico perfeito
iluminado por uma onda plana e uniforme
z
TM ............................................44
4.3 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador
condutor elétrico perfeito...............................................................................45
4.4 Erro médio e Erro Médio Absoluto ................................................................46
4.5 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador
condutor elétrico perfeito...............................................................................47
4.6 Erro médio e Erro Médio Absoluto ................................................................47
4.7 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador
condutor elétrico perfeito...............................................................................49
4.8 Erro médio e Erro Médio Absoluto ................................................................49
4.9 Largura de Espalhamento.............................................................................51
4.10 Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador..................................51
4.11 Erro Absoluto e Erro Médio Absoluto ............................................................52
4.12 Largura de Espalhamento.............................................................................53
A.1 Simplificação do domínio (a) em três dimensões
para o domínio (b) em duas dimensões........................................................61
9
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos Alfanuméricos
B= densidade de fluxo magnético (Wb/m²)
D
= densidade de fluxo elétrico (C/m²)
E
= intensidade de campo elétrico (V/m)
z
E = componente na direção z do vetor
E
i
E
= intensidade de campo elétrico incidente (V/m)
s
E
= intensidade de campo elétrico espalhado (V/m)
0
G = função escalar de Green
H
= intensidade de campo magnético (A/m)
z
H = componente na direção z do vetor
H
i
H
= intensidade de campo magnético incidente(A/m)
s
H
= intensidade de campo magnético espalhado (A/m)
J= densidade de corrente elétrica de condução (A/m²)
z
J = componente na direção z do vetor J
J = determinante da matriz Jacobiana
i
J= densidade de corrente elétrica impressa (A/m²)
s
J= densidade de corrente elétrica linear (A/m)
K= densidade de corrente magnética (A/m²)
z
K = componente na direção z do vetor K
i
K= densidade de corrente magnética impressa (A/m²)
s
K= densidade de corrente magnética linear (A/m)
i
N = função de forma escalar
n= vetor normal
ˆ
n= vetor unitário normal
r= vetor de coordenadas no plano cartesiano
S = superfície para o domínio
Ω
em 3D
u
= função escalar arbitrária
10
Símbolos Gregos
β
= número de onda para o espaço livre (
1
−
m )
Γ = fronteira para o domínio Ω em 2D
ε
= permissividade elétrica (F/m)
i
θ
= ângulo de incidência
λ
=
comprimento de onda (m)
μ
= permeabilidade magnética (H/m)
0
μ
= permeabilidade magnética no espaço livre (H/m)
ρ
=
raio no sistema de coordenadas cilíndricas
e
ρ
= densidade volumétrica de carga elétrica (C/m³)
es
ρ
= densidade superficial de carga elétrica (C/m²)
σ
=
condutividade elétrica (S/m)
φ
= ângulo no sistema de coordenadas cilíndricas
ω
= frequência angular (rad/s)
Ω = domínio finito
0
Ω = domínio infinito
∞
= valor infinito
Operações Matemáticas
= produto escalar
×
= produto vetorial
Abreviações
BEM
= Método de equações integrais de fronteira
FDM = Método de diferenças finitas
FTDT = Método de diferenças finitas no domínio do tempo
FEM
= Método de elementos finitos
MoM
= Método de Momentos
RCS = Radar Cross Section
11
1 Introdução
O fenômeno de espalhamento eletromagnético é, há mais de um século, objeto de
estudo com intensas pesquisas. Embora esse seja um domínio da ciência
relativamente amadurecido, existem muitos estudos desse tema em diversos ramos
do conhecimento, tais como: telecomunicações, indústria militar, engenharia,
biomedicina, navegação, aviação, geofísica etc. Dentre as aplicações do estudo de
espalhamento eletromagnético, pode-se citar: influências de campos
eletromagnéticos no corpo humano [1], [2]; detecção e tratamento de câncer [3];
identificação e reconstrução de geometria de objetos [4]; problemas de
compatibilidade eletromagnética [5], [6]; mineração [7] etc.
A solução para os problemas práticos de espalhamento eletromagnético pode ser
obtida por meio da solução numérica computacional de modelos matemáticos
construídos a partir das equações de Maxwell. Antes do desenvolvimento das
técnicas computacionais, as soluções propostas para os problemas de espalhamento
baseavam-se em técnicas analíticas, as quais permitem apenas a solução de
problemas relativamente simples.
Entre as décadas de 1930 e 1940 predominavam as técnicas analíticas, bem
representadas pelos métodos clássicos de separação de variáveis. Entretanto, para
os problemas práticos, as soluções alcançadas com essas técnicas não eram
satisfatórias por exigirem modificações drásticas dos problemas propostos [8]. Entre
as décadas de 1940 e 1950 os problemas práticos em eletromagnetismo puderam
ser mais bem tratados a partir de técnicas variacionais, as quais foram aplicadas,
primeiramente, a guias de onda e, posteriormente, a problemas de radiação [9]. As
restrições em geometria puderam ser parcialmente removidas, entretanto a solução
de alguns problemas eram inviáveis devido às múltiplas integrais envolvidas [8].
Entre as décadas de 1960 e 1970 surgiu um novo método numérico denominado
Método de Momentos (MoM). Esse método foi proposto por R. F. Harrington em
1968 e desde então tem sido utilizado como referência para solucionar equações
integrais [11]. O Método de Momentos fornece soluções precisas e é capaz de tratar
12
diversos tipos de problemas. Além do espalhamento eletromagnético, o Método de
Momentos é utilizado na solução de outros problemas de eletromagnetismo, tais
como: irradiação de antenas, descontinuidades em guias de onda, microondas e
armazenamento de energia em corpos biológicos [10]. Existem na literatura outras
técnicas, iterativas ou diretas, também identificadas por Método de Momentos [12],
[13]. Entretanto, neste trabalho, a metodologia utilizada pelo MoM na solução dos
problemas de espalhamento são originadas dos trabalhos de Harrington [14], [15].
A possibilidade de se tratar problemas de espalhamento mediante técnicas
numéricas computacionais foi um avanço muito significativo para os problemas de
eletromagnetismo. Uma das vantagens da solução computacional é a eliminação da
construção de protótipos para testar novos dispositivos e consequente redução no
tempo e custos de projeto. Portanto, o estudo, o desenvolvimento e o
aperfeiçoamento de técnicas numéricas capazes de solucionar problemas de
espalhamento são fundamentais para o avanço científico e tecnológico.
O objetivo geral desta dissertação é a compreensão e aplicação do Método de
Momentos na solução de problemas de espalhamento eletromagnético. Neste
trabalho é desenvolvida uma ferramenta computacional para análise desse
fenômeno em duas dimensões. Há uma apresentação detalhada da formulação para
o problema de espalhamento devido a condutores elétricos perfeitos e também para
dielétricos. A solução apresentada pelo Método de Momentos (MoM) é validada e
discutida. As características e peculiaridades desse fenômeno são analisadas a fim
de se obter a formulação mais adequada para o problema proposto.
O trabalho está organizado da seguinte forma: No Capítulo 2 encontram-se uma
apresentação do problema de espalhamento abordado e as leis físicas que regem o
fenômeno de espalhamento eletromagnético. No Capítulo 3 encontra-se o
desenvolvimento da formulação do Método de Momentos. O Capítulo 4 apresenta os
resultados, os quais são criteriosamente discutidos e validados. No Capítulo 5
encontram-se as conclusões acerca desse trabalho, bem como as propostas de
continuidade de trabalhos. Nos apêndices se apresentam as principais formulações
utilizadas no desenvolvimento do Método de Momentos.
13
2 Espalhamento Eletromagnético
2.1 Introdução
Neste capítulo, são apresentados os conceitos da Física e da Matemática
necessários à modelagem e análise dos problemas de espalhamento
eletromagnético. Para uma completa descrição de um problema de espalhamento
eletromagnético, são necessárias informações das equações diferenciais que regem
o comportamento dos campos no domínio, das condições de interface que modelam
o comportamento dos campos nas interfaces e das condições de contorno [16].
Introduz-se, assim, o conceito de espalhamento eletromagnético, a partir das
equações de Maxwell e, em seguida, são apresentadas as relações físicas
fundamentais utilizadas no estudo desse fenômeno. Por fim, há uma discussão sobre
as técnicas utilizadas para solução dos problemas aludidos.
2.2 Fenômeno de Espalhamento Eletromagnético
O fenômeno de espalhamento eletromagnético pode ser entendido como o campo
gerado a partir da interação entre uma onda eletromagnética viajante e um obstáculo
que a intercepta [11]. Caracteriza-se pela influência dos campos elétrico e magnético
incidentes (, )
ii
E
H em um corpo, designado objeto espalhador ou, simplesmente,
espalhador, nele induzindo correntes em sua superfície ou volume. As correntes no
espalhador variam no tempo e o faz, por sua vez, exercer o papel de uma antena
que irradia campos eletromagnéticos espalhados (, )
s
s
E
H . Dessa forma, o campo
eletromagnético total (, )
tt
E
H se torna uma composição de campos espalhados e
campos incidentes, conforme mostrado a seguir:
tis
= +
E
EE (2.1)
tis
= +
H
HH (2.2)
14
A equação (2.1) mostra que o campo elétrico total é dado pela soma do campo
elétrico incidente com o campo elétrico espalhado. Da mesma forma, por meio da
equação (2.2), tem-se que o campo magnético total é a soma dos campos
magnéticos incidente e espalhado.
Em uma situação em que o espaço é destituído de corpos, tem-se que toda medida
de campo realizada, em qualquer que seja o ponto desse espaço, indica um valor de
campo igual ao campo original produzido pela antena [15]. Entretanto, em situações
em que um espalhador esteja presente, como no caso da figura 2.1, o objeto é
iluminado pelos campos eletromagnéticos incidentes e há interação entre estes
campos e os campos espalhados, caracterizando assim, o fenômeno do
espalhamento eletromagnético [15], [16]. Assim, tem-se que duas entidades distintas
estão envolvidas neste fenômeno: os campos eletromagnéticos e o espalhador.
A figura 2.1 auxilia a compreensão do problema de espalhamento eletromagnético.
Figura 2.1: Espalhamento eletromagnético. (a) Fontes (b) Espalhador
A região (a) da figura 2.1, representada pela antena, é designada região de fontes de
campo eletromagnético e na região (b) situa-se um objeto espalhador.
O fenômeno de espalhamento ocorre na região (b) e, neste trabalho, admite-se que
os campos incidentes que interceptam o espalhador sejam ondas planas e uniformes
conhecidas. As influências destes campos sobre o espalhador são computadas por
15
meio de expressões analíticas para os campos incidentes originais. Dessa maneira,
para o cálculo do campo eletromagnético total, é necessário somente encontrar a
parcela do campo espalhado. Tem-se, também, que as ondas eletromagnéticas
geradas pela fonte propagam-se pelo espaço livre Ω
0
e que a geometria do
espalhador e seu material podem ser considerados arbitrários [14].
O espalhamento eletromagnético pode ser modelado matematicamente através das
equações de campo eletromagnético e das condições de contornos inerentes ao
problema tratado. As equações de campo, elétrico e magnético, são obtidas através
das equações de Maxwell [15],[16].
2.3 Equações de Maxwell
O fenômeno de espalhamento é regido, fundamentalmente, pelas equações de
Maxwell [16]. Estas equações evidenciam as relações entre os campos elétricos e
magnéticos com suas fontes. Os campos elétricos e magnéticos são quantidades
vetoriais que possuem magnitude e direção [17],[18].
As equações de Maxwell são apresentadas a seguir na forma diferencial e em
regime harmônico:
i
j
ω
∇ × = − −
E
KB (Lei de Faraday); (2.3)
i
j
ω
∇ × = + +
H
JJ D (Lei de Ampère); (2.4)
e
ρ
∇ = D (Lei de Gauss elétrica); (2.5)
m
ρ
∇ = B
(Lei de Gauss magnética); (2.6)
Onde:
E
é o vetor intensidade de campo elétrico (V/m);
H
é o vetor intensidade de campo magnético (A/m);
16
D
é o vetor densidade de fluxo elétrico (C/m²);
B é o vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m²);
J é o vetor densidade de corrente elétrica de condução (A/m²);
i
J é o vetor densidade de corrente elétrica impressa (A/m²);
i
K é o vetor densidade de corrente magnética impressa (V/m²);
e
ρ
é a densidade de carga elétrica (C/m³);
m
ρ
é a densidade de carga magnética (Wb/m³).
Estas equações são utilizadas para descrever e relacionar os campos vetoriais com
suas fontes. A escolha da representação das equações de Maxwell na forma fasorial
diferencial é feita pela facilidade de manipulação em problemas típicos de
espalhamento [16]. As entidades vetoriais são descritas em negrito e
ω
caracteriza a
frequência angular. As grandezas
m
ρ
e
i
K não são definidas fisicamente, porém são
normalmente introduzidas para tornar as equações simétricas [16], [18].
Tomando-se o divergente da equação (2.4) obtém-se a equação da continuidade,
fundamental na análise do eletromagnetismo por descrever a conservação da carga
elétrica [24]:
e
j
ω
ρ
∇ = −J (2.7)
Todos os campos e fontes envolvidos no problema proposto são funções das
coordenadas espaciais. Para que estas expressões sejam válidas, é necessário
assumir que os campos vetoriais sejam funções contínuas da posição e do tempo e
que também tenham derivadas contínuas. Algumas descontinuidades podem ocorrer
nas interfaces entre meios onde existem mudanças discretas nos parâmetros físicos
dos meios materiais [22]. Dessa maneira, a completa descrição dos campos vetoriais
em qualquer ponto no tempo requer não somente as equações de Maxwell na forma
17
diferencial, mas também um estudo das condições de interface associadas ao
material do espalhador e das condições de fronteira [16],[20].
2.3.1 Relações Constitutivas e Característica do Meio
Os materiais contêm partículas carregadas e, quando estão sujeitas a um campo
eletromagnético, essas partículas interagem com os mesmos, produzindo correntes
e modificando a propagação da onda eletromagnética nesse meio. Portanto o
conhecimento das relações entre os campos e o meio físico torna-se essencial.
Numa escala macroscópica, considerando-se a presença e comportamento dessas
partículas carregadas, tem-se um conjunto de três expressões que relacionam os
vetores do campo com as características constitutivas dos materiais. Neste trabalho,
os meios são considerados isotrópicos, homogêneos, lineares e não-dispersivos e,
assim, essas relações são escalares:
ε
=
D
E
(2.8)
μ
=BH
(2.9)
σ
= JE
(2.10)
onde:
ε
é a permissividade elétrica do meio (F/m);
μ
é a permeabilidade magnética do meio (H/m);
σ
é a condutividade elétrica do meio (S/m);
Os parâmetros constitutivos são usados para caracterizar as propriedades elétricas e
magnéticas dos materiais de acordo com o fenômeno predominante: polarização,
magnetização ou condução [16],[25].
Em relação às características constitutivas dos materiais, estes podem ser
classificados como lineares se as características do meio não dependerem da
intensidade do campo eletromagnético aplicado; são homogêneos se as
18
características do meio não variam com a posição; e são isotrópicos se as
características do meio não dependerem da polarização do campo. Além disso, um
material é considerado não-dispersivo quando as características do meio não variam
com a frequência de operação. Em casos em que essas características sejam
dependentes da frequência, a parcela complexa é então relacionada à dissipação de
potência de forma similar às perdas por efeito Joule [14],[32]. Na prática os materiais
utilizados nas composições de espalhamentos eletromagnéticos possuem algum
grau de dispersão [25].
As características do meio e do material do espalhador, assim como as leis de
Maxwell descritas anteriormente, são necessárias para a derivação das equações de
onda que, para o problema proposto, são escalares.
2.4 Equação de Onda Escalar
Assume-se que a onda que intercepta o espalhador é uma onda plana e uniforme
Z
TM (Transverso Magnético a z), ou seja, o seu campo elétrico só tem componente
na direção z e o campo magnético é nulo nesta direção [11]. Dessa forma, os
campos têm o mesmo comportamento em qualquer seção transversal ao eixo z.
Esta consideração é importante, pois simplifica a geometria do espalhador e reduz o
problema de três dimensões para apenas duas. Por se tratar de duas dimensões, as
equações de onda são escalares e não vetoriais, como seria no caso em três
dimensões. Considera-se também, para este trabalho, um meio linear, homogêneo e
isotrópico.
Para se obter as equações de onda escalar, é necessário manipularem-se as
equações de Maxwell convenientemente. As duas primeiras equações de Maxwell,
(2.3) e (2.4), são classificadas como equações diferenciais acopladas de primeira
ordem. Ou seja, os campos
E
e
H
aparecem em ambas equações [16]. Algumas
vezes, porém, é desejável encontrar a solução apenas para um dos dois campos, o
que requer o desacoplamento dessas equações. Entretanto, ao se desacoplarem as
equações de Maxwell, tem-se, como conseqüente desvantagem, o aumento no grau
19
de diferenciação [11], ou seja, a equação diferencial desacoplada possui, nesse
caso, diferenciação de ordem dois.
A equação diferencial desacoplada para o campo elétrico pode ser obtida da
equação (2.3) eliminando-se o campo magnético desta. Analogamente, a equação
para o campo magnético pode ser obtida de (2.4) eliminando-se o campo elétrico
dessa equação.
2.4.1 Equação de Onda para o Campo Elétrico
Para se obter a equação de onda para o campo elétrico do problema proposto deve-
se, primeiramente, tomar o rotacional da equação (2.3) e logo após aplicar uma
identidade vetorial ao resultado [Apêndice B]. Tem-se, assim, a equação de onda
para o campo elétrico:
22
zz i z
j
J
β
ωμ
∇+ = −∇× +EE K (2.11)
Onde o número de onda
β
é definido por
1/2
() 2/
β
ωμε π λ
== e
λ
é o comprimento
de onda.
A equação (2.11) é obtida por meio das aplicações das condições de contorno para
a incidência de uma onda
Z
TM e é válida somente para propagação no espaço livre
Ω
0
.
2.4.2 Equação de Onda para o Campo Magnético
Similarmente ao tratamento anterior para campo elétrico, obtém-se a equação de
onda escalar para o campo magnético:
22
0zz i z
j
K
β
ωε μ
∇+ = −∇× +HH J (2.12)
Os detalhes completos da obtenção dessas equações se encontram no Apêndice B.
20
2.5 Condições de interface
As equações diferenciais de Maxwell descrevem corretamente o comportamento dos
campos nos pontos ordinários do domínio [11],[15]. Entretanto, pode haver variação
abrupta dos campos nas interfaces de separação entre dois meios. Nessas
interfaces as derivadas dos campos não fornecem informações válidas por descrever
variações discretas de seus valores na mudança entre os meios. Assim, o
comportamento dos campos deve ser modelado pelos próprios campos, e não por
suas derivadas [11]. A figura 2.2 mostra a seção transversal entre dois meios
distintos para o estudo do comportamento dos campos nas interfaces de separação
entre eles.
Figura 2.2: Interface de separação de dois meios
Na figura 2.2, o vetor unitário
ˆ
n está direcionado do meio 2 para o meio 1. As
configurações possíveis para as condições de interface são: interface entre dois
meios quaisquer; interface com um condutor perfeito; e interface entre dois meios
dielétricos.
2.5.1 Interface entre Dois Meios Quaisquer
Na interface entre dois meios quaisquer 1 e 2, os campos no meio 1 relacionam-se
com os campos no meio 2 mediante as seguintes condições de interface
[11],[16],[20]:
12
ˆ
();
s
nK
− × − = EE (2.13)
12
ˆ
();
s
nJ
× − = HH (2.14)
12
ˆ
();
es
n
ρ
− = DD (2.15)
21
12
ˆ
()
ms
n
ρ
− = . BB (2.16)
Onde:
s
K é a densidade de corrente magnética linear (V/m)
s
J é a densidade de corrente elétrica linear (A/m);
es
ρ
é a densidade superficial de carga elétrica (C/m²);
ms
ρ
é a densidade superficial de carga magnética (Wb/m²).
2.5.2 Interface com Um Condutor Elétrico Perfeito
Um caso especial na análise das condições de interface ocorre quando um dos
meios é um condutor elétrico perfeito. Considerando o meio 2 da figura como
condutor elétrico perfeito e considerando-se que não existem campos no interior de
tal condutor, as condições de interface dadas pelas equações (2.13)-(2.16) reduzem-
se a [16]:
1
ˆ
;
s
nK
× = E (2.17)
1
ˆ
;
s
nJ
× = H (2.18)
1
ˆ
;
es
n
ρ
= D (2.19)
1
ˆ
;
ms
n
ρ
= B (2.20)
Para
2
σ
= ∞ , as equações (2.17) e (2.19) mostram que o campo elétrico possui
apenas o componente na direção normal e que todos os componentes nas direções
tangenciais são nulos. As equações (2.18) e (2.20) mostram que haverá circulação
de corrente na superfície dada pelo componente tangencial do campo magnético e
que o campo magnético normal à superfície é nulo.
22
2.5.3 Interface entre dois dielétricos
Para as interfaces em que os dois meios não são condutores perfeitos e que não há
fontes de corrente ou carga em suas interfaces, as condições de interface são
estabelecidas pelas seguintes equações [16]:
12
ˆˆ
;nn
× = ×
E
E (2.21)
12
ˆˆ
;nn
× = ×
H
H (2.22)
12
ˆˆ
;nn
=
D
D (2.23)
12
ˆˆ
nn
= BB. (2.24)
Nesta última situação, as equações (2.21)-(2.24) mostram que os componentes
tangenciais dos campos elétrico e magnético, bem como os componentes normais
das densidades de fluxo elétrico e magnético são contínuos através da interface de
separação entre os dois meios.
Dessa maneira, após o conhecimento das equações diferenciais que regem o
comportamento dos campos no domínio, das condições de interface que modelam o
comportamento dos campos nas interfaces e das condições de contorno, devem-se
conhecer as possíveis técnicas de solução do problema.
2.6 Técnicas Numéricas para Solução de Problemas de
Espalhamento Eletromagnético
Para o problema de espalhamento, a região de fontes é retirada da análise do
problema. Feitas estas observações, conclui-se que o novo domínio de estudo dos
problemas de espalhamento pode ser simplificado, como mostrado pela figura 2.3.
Assim obtém-se uma nova configuração para o problema, no qual o novo domínio
restringe-se ao domínio do objeto espalhador
Ω
e ao espaço livre
0
Ω .
23
Figura 2.3: Geometria de estudo para o problema de espalhamento
Alguns problemas de espalhamento eletromagnético possuem soluções analíticas.
Entretanto, estas soluções são limitadas pela geometria ou pelos materiais
constituintes do problema. A alternativa para preenchimento de tais lacunas está nos
métodos numéricos [26].
O objetivo deste trabalho é apresentar soluções de problemas de espalhamento
eletromagnético em duas dimensões por meio de um método numérico. Dessa
maneira, algumas informações pertinentes a tais problemas devem ser
cautelosamente analisadas para facilitar a compreensão.
A solução de um problema de espalhamento eletromagnético consiste em determinar
a solução para a equação 2.12, sujeita às condições de interface e contorno. Uma
vez conhecida a incógnita do problema, outros parâmetros de interesse, tal como a
seção transversal de radar (RCS), podem ser facilmente determinados [11].
É sempre desejável conhecer a solução analítica de um problema de contorno. Isso,
no entanto, não é sempre possível, pois a solução analítica pode ser obtida apenas
para um número muito reduzido de problemas. Em geral, os problemas que tem
solução analítica envolvem apenas objetos com geometria simples e preenchidos por
materiais homogêneos, lineares e isotrópicos [25]. Os problemas reais envolvem,
24
geralmente, geometrias e materiais complexos; logo, para solucioná-los, é
necessário recorrer às técnicas numéricas disponíveis [14].
Existem, na literatura, diversas técnicas numéricas capazes de solucionar os
problemas de espalhamento [11]. Considerando-se que a dimensão do espalhador é
da ordem do comprimento de onda, podem-se aplicar tanto técnicas integrais quanto
diferenciais. A seguir, são apresentados alguns métodos numéricos diferenciais e
integrais.
2.6.1 Técnicas Numéricas Diferenciais
As técnicas numéricas diferenciais, também conhecidas como métodos de domínio,
são eficazes na solução de problemas de contorno em domínios fechados,
preenchidos por materiais heterogêneos, não-lineares ou anisotrópicos. Os métodos
de diferenças finitas e elementos finitos constituem os maiores representantes desta
classe [34].
Método de Diferenças Finitas
O método de diferenças finitas (FDM) é mais comumente representado pelo eficiente
método de diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD). O FDTD é uma das
técnicas computacionais que se destacam na solução de problemas de
espalhamento por calcular dinamicamente campos eletromagnéticos, distribuições
de temperatura ou outros fenômenos descritos por equações diferenciais parciais
[35]. Este método tem sido aplicado a vários problemas de contorno no
eletromagnetismo, incluindo os de irradiação e espalhamento eletromagnético.
Baseia-se tal método na substituição da operação de diferenciação por uma simples
operação de subtração nos pontos de interesse, seguida de uma divisão pelo
intervalo entre os pontos considerados [36]. Dessa forma, é possível substituir uma
equação contínua, com infinitos graus de liberdade, por uma equação discretizada,
com número finito e regular de nós. Por meio desse processo, a equação diferencial
parcial original é transformada em um conjunto de equações algébricas, e a solução
simultânea desse sistema de equações fornece a solução aproximada da equação
original do problema de contorno [37].
25
O método de diferenças finitas é de simples implementação computacional. Além
disso, é capaz de tratar problemas não-lineares e anisotrópicos. Entretanto, este
método possui algumas limitações: (i) a obrigatoriedade de uma malha regular, o que
não permite uma boa modelagem dos campos cujos gradientes são intensos ou a
modelagem correta de problemas que possuem superfícies curvas; (ii) dificuldade
em representar campos na interface entre meios diferentes [34].
Método de Elementos Finitos
O método de elementos finitos (FEM) é uma técnica numérica de solução
aproximada para equações diferenciais [36]. Este método começou a ser utilizado
para solucionar problemas de mecânica de estruturas e expandiu-se rapidamente
para outras áreas. No domínio do eletromagnetismo, o FEM começou a ser utilizado
na década de 70 e, a partir de então, tornou-se referência [34]. O princípio do
método de elementos finitos consiste em dividir o domínio do problema em pequenos
subdomínios, com forma e comprimentos arbitrários, designados por elementos [34].
Este procedimento permite que o FEM modele, precisamente, objetos cuja geometria
seja complexa [38]. Além disso, a densidade de elementos pode ser ajustada de
acordo com a necessidade de cada problema. No interior de cada elemento, a
incógnita é aproximada por uma função de interpolação e, utilizando-se o método
dos erros ponderados ou o método variacional, a equação diferencial parcial é
transformada em um sistema algébrico de equações, em que a matriz de
coeficientes é esparsa e, em alguns casos, também simétrica [38]. A grande
vantagem do FEM reside na sua flexibilidade. Em particular, destacam-se sua
capacidade de modelar problemas com geometrias complexas e cujos domínios
estejam preenchidos por diferentes materiais [34].
2.6.2 Técnicas Numéricas Integrais
As técnicas numéricas integrais são utilizadas para solucionar problemas físicos a
partir de sua modelagem em termos de equações integrais [22]. Por causa da
complexidade de manipulação das equações integrais, estas são mais indicadas
para solucionar problemas cujo domínio seja composto por material linear,
homogêneo e isotrópico. As vantagens obtidas da formulação de um problema de
26
eletromagnetismo em termos de equações integrais estão no fato de que essa
formulação incorpora naturalmente a condição de radiação de Sommerfeld e reduz
em uma dimensão a geometria do problema [38]. Entre as técnicas aplicadas na
solução das equações integrais destacam-se o método de integrais de fronteira e o
método de momentos, este último escolhido na análise deste problema.
Método de Momentos
O Método de Momentos, proposto por Harrington, transforma uma equação
diferencial em um sistema de equações algébricas mediante a aproximação de uma
incógnita por funções de base ponderadas, escalarmente, por funções de teste [14].
Este método é bastante utilizado para solucionar problemas de antenas e de
espalhamento eletromagnético [15].
O Método de Momentos baseia-se em formulações integrais e é capaz de fornecer
soluções precisas, além de permitir o tratamento de problemas abertos. Entretanto
apresenta alguns inconvenientes, tais como elevado esforço computacional em
formulações complexas e singularidades numéricas. Apesar de todos estes
obstáculos, esta técnica integral é amplamente empregada na solução de problemas
de espalhamento com excelentes resultados.
2.7 Sumário
Neste capítulo, foi visto que uma onda eletromagnética viajante, ao ser interceptada
por um objeto, produz correntes sobre a superfície do mesmo. O objeto passa,
então, a funcionar como uma antena ao irradiar campos eletromagnéticos
espalhados. O campo total é modificado pela presença dos campos espalhados. Os
conceitos fundamentais à análise desses campos foram apresentados.
A equação de onda apresentada descreve o comportamento dos campos em meio
homogêneo, linear e isotrópico. Nas fronteiras desse meio, o comportamento dos
campos é descrito pelas condições de interface. Conhecidas a equação de onda que
27
rege o comportamento dos campos no interior do domínio, as condições de interface
e as condições de contorno sobre a fronteira, o problema está bem definido e possui
solução única [15]. A fim de determinar a solução numérica para esta equação de
onda no próximo capítulo há um desenvolvimento com as formulações definidas em
duas dimensões.
Neste trabalho o método escolhido para a solução do problema descrito é o Método
de Momentos devido à sua capacidade de tratar tal problema com robustez e com
possibilidade de baixo custo computacional. Seus resultados mostram que a solução
encontrada é bastante precisa.
28
3 Formulação Método de Momentos
3.1 Introdução
Neste capítulo são desenvolvidas as formulações necessárias à modelagem do
problema de espalhamento eletromagnético em duas dimensões pelo Método de
Momentos (MoM). O problema de espalhamento em duas dimensões é uma
aproximação para o problema de espalhamento em três dimensões. Para realização
dessa aproximação, considera-se que os campos e as propriedades dos materiais
que preenchem o domínio têm um mesmo comportamento em qualquer seção
transversal tomada ao longo da direção z. Considera-se também que o domínio
Ω
,
apresentado na figura 3.1(a), seja um espalhador de seção transversal arbitrária e
comprimento infinito ao longo da mesma direção z, imerso no espaço livre
0
Ω
.
Portanto, ao interceptar esse espalhador, esses campos têm variação apenas nas
direções x e y, ou seja, a avaliação dos campos no domínio pode ser simplificada
para uma avaliação em uma seção transversal qualquer do mesmo.
Figura 3.1: Simplificação do domínio (a) em três dimensões
para o domínio (b) em duas dimensões.
29
A figura 3.1 mostra o domínio original (a) em três dimensões e sua respectiva seção
transversal (b), em duas dimensões.
Dessa maneira, tem-se um novo domínio de estudo a ser considerado na análise do
problema de espalhamento em duas dimensões, mostrado na figura 3.2.
Figura 3.2: Geometria de estudo para um espalhador bidimensional.
A figura 3.2 ilustra a geometria bidimensional do problema. O domínio
Ω
é uma
seção transversal do espalhador original, interceptada pelos campos incidentes
elétrico e magnético. Essas considerações são essenciais no desenvolvimento da
formulação para o Método de Momentos.
3.2 Formulação para o Método de Momentos
Na figura 3.2, o domínio
0
Ω representa o espaço livre em duas dimensões. Nesse
domínio os campos elétrico e magnético são regidos pelas equações escalares de
Helmholtz (2.11) e (2.12). Para obtenção da formulação para o Método de
Momentos, essas equações diferenciais devem ser transformadas em equações
integrais.
30
3.2.1 Formulação Integral para a Equação de Helmholtz
No espaço livre, os campos são regidos pela equação de Helmholtz [38]:
2
() ²() ()uuf
β
∇+ =rrr
0
∀
∈Ωr (3.1)
A solução do problema de espalhamento é alcançada ao se determinar a solução u
na equação (3.1), onde
u
representa o campo elétrico ou magnético. No espaço
livre, os parâmetros
r
μ
e
r
ε
são ambos iguais a 1,0.
Para a formulação integral dos campos no espaço livre é necessário introduzir a
função de Green
0
G que satisfaz a equação (3.1), definida para o espaço livre [33]:
2
00
(,') ² (,') (,')GG
βδ
∇ + = − rr rr rr
'
∞
∀
∈ Ωr (3.2)
Nas equações (3.1) e (3.2), r e 'r representam, respectivamente, os vetores
posição do observador e posição da fonte. O símbolo
δ
representa a função delta de
Dirac [16].
A função de Green que satisfaz a equação (3.2) e sua correspondente derivada
normal são dadas pelas seguintes expressões [11]:
2
00
1
(, ') ( )
4
GH
j
β
=rr R (3.3)
2
00
1
(, ')
ˆ
ˆ
()
'4
Gk
H
nj
β
∂
=
∂
rr
R
Rn (3.4)
Nas equações (3.3) e (3.4),
2
0
H e
2
1
H representam, respectivamente, as funções de
Hankel de segundo tipo e ordem zero e de segundo tipo e ordem um [11]. O vetor
R
31
representa a distância entre o ponto de observação e o ponto de integração. O vetor
R
, o seu módulo
R
e seu unitário
ˆ
R
são definidos através das expressões:
ˆˆ
'' 'xx yy = − = ( − ) + ( − )
R
rr x
y
; (3.5)
22
''
R
xx yy = = ( − ) + ( − ) R ; (3.6)
ˆ
R
=
R
R . (3.7)
Para obter a equação integral no espaço livre, multiplica-se a equação (3.1) por
0
G e
a equação (3.2) por
u
. Em seguida, subtraem-se os resultados. Integra-se o
resultado dessa subtração no domínio e aplica-se o segundo teorema escalar de
Green (detalhes no Apêndice B), juntamente com as propriedades do delta de Dirac
[39]. Por meio deste processo, obtém-se a seguinte equação integral sobre a
superfície Γ :
0
0
''
(, ')
1
() () (, ') () ' () '
2'
i
G
uu G d u d
n
ψ
ΓΓ
∂
= − Γ − Γ
∂
∫∫
rr
rr rrr r
(3.8)
Na equação (3.8),
()
ψ
r
representa a derivada normal do campo
()u r
. De acordo
com essa equação, o campo em qualquer ponto do domínio é dado pela contribuição
do campo incidente somada às contribuições referentes a todos os outros pontos da
superfície [14]. O campo eletromagnético incidente
i
u em
Γ
é representado pela
seguinte integral, avaliada sobre a região de fontes
S
Ω
:
0
() (, ') ()
S
iS
uGfd
Ω
= − Ω
∫
rrrr (3.9)
Entretanto, por se tratar de um problema de espalhamento, assume-se que a região
de fontes está localizada distante do espalhador e que, na região de campo distante,
a onda eletromagnética é uma onda plana e uniforme dada pela expressão [16]:
32
0
()
()
ii
jk xcos ysen
i
ue
θ
θ
+
= r (3.10)
Onde
i
θ
representa o ângulo de incidência da onda sobre o espalhador.
A partir da equação (3.8), com as devidas considerações para ()u r e ()
ψ
r ,
encontram-se as equações de onda para os campos elétrico e magnético, conforme
mostram as expressões a seguir.
Equação de onda para o campo elétrico
De acordo com as equações (2.12) e (3.8), obtém-se para
z
E
:
0
0
''
(, ')
(, ')
1
() () (, ') ' (') '
2''
i
z
zz z
G
Gd d
nn
ΓΓ
∂
∂
=− Γ − Γ
∂∂
∫∫
rr
Err
Er Er rr Er
(3.11)
Equação de onda para o campo magnético
De forma análoga ao item anterior, com as equações (2.13) e (3.8), obtém-se para
z
H
:
0
0
''
(, ')
(, ')
1
() () (, ') ' (') '
2''
i
z
zz z
G
Gd d
nn
ΓΓ
∂
∂
=− Γ − Γ
∂∂
∫∫
rr
Hrr
Hr Hr rr Hr
(3.12)
As equações (3.11) e (3.12) estão na forma analítica. Entretanto, para a solução
numérica faz-se necessária a discretização de suas grandezas geométricas e físicas.
3.2.2 Discretização Nodal da Fronteira
Para obter a solução numérica do problema é necessário, inicialmente, discretizar a
fronteira do espalhador em vários subdomínios denominados “elementos” [20]. Um
elemento é caracterizado por seu número de nós e sua dimensão [11]. Eles não
precisam ser necessariamente iguais em tamanho ou tipo, mas é necessário que
representem da melhor maneira possível a geometria do domínio analisado. Nas
regiões onde se tenha um maior interesse ou se espera uma maior variação da
grandeza analisada, deve-se concentrar um maior número de elementos. O tipo de
33
elemento depende da geometria da região e do número de coordenadas espaciais
independentes, necessárias para descrever o sistema. Nesse problema de
espalhamento, a geometria simples permite que os elementos sejam de primeira
ordem [40]. Os elementos de primeira ordem podem ser lineares, quadráticos ou
cúbicos, conforme mostra a figura 3.3.
Figura 3.3: Representação dos elementos de primeira ordem: linear,
quadrático e cúbico.
Para a solução desse problema, os elementos utilizados na discretização do
espalhador são do tipo linear. Essa escolha é feita porque todas as análises
numéricas acontecem na fronteira
Γ
, a qual possui geometria relativamente simples.
Para se solucionar numericamente a equação (3.8), a fronteira Γ mostrada na figura
3.2, é dividida em N elementos lineares e obtém-se um conjunto desses, conforme
mostrados na figura 3.4.
Figura 3.4: Discretizacão da fronteira
Γ
(a) em N elementos (b).
O conjunto de elementos mostrados na figura 3.4 (b) pode ser expresso pela
equação 3.13.
34
1
N
e
e=
Γ= Γ
∑
(3.13)
Na equação (3.13), N é o número total de elementos em que se divide a superfície
Γ
e
e
Γ é o N-ésimo elemento dessa fronteira.
Após a discretização da fronteira dada pela equação (3.13), a equação (3.8) pode
ser reescrita como:
0
0
1
(, ')
1
() () (, ') () ()
2
ee
N
iee
e
G
uu G d u d
n
ψ
Γ Γ
=
∂
⎧⎫
= − Γ + Γ
⎨⎬
∂
⎩⎭
∑
∫∫
rr
rr rrr r
(3.14)
As quantidades isoparamétricas são aproximadas por meio de seus valores nodais
por funções de interpolação definidas no interior de cada elemento. Para avaliação
das funções geométricas, é necessária uma aproximação das coordenadas do ponto
de integração mediante as seguintes expressões [11]:
1
'( ) ( ) '
p
ii
i
x
Nx
ζζ
=
=
∑
(3.15)
1
'( ) ( ) '
p
ii
i
y
Ny
ζζ
=
=
∑
(3.16)
Nas equações (3.15) e (3.16),
i
N é a função de aproximação definida sobre cada nó
do elemento,
p
representa o número de nós do elemento e
ζ
é a coordenada
curvilínea local [20]. A transformação de coordenadas reais em coordenadas locais é
mostrada pela figura 3.5.
35
Figura 3.5 Transformação geométrica de coordenadas
A figura 3.5 mostra um elemento real (a), no plano (x,y), sendo mapeado em um
elemento linear padrão no plano
ζ
(b). O elemento padrão está associado a variável
ζ
que varia de -1 a 1.
A função de aproximação
i
N é utilizada para interpolação das variáveis físicas e
geométricas. Para o elemento linear,
i
N é definida por:
1
1
2
N
ζ
−
=
(3.17)
2
1
2
N
ζ
+
=
(3.18)
Para que a transformação de coordenadas mostrada na figura 3.5 seja possível, é
necessário calcular-se o Jacobiano dessa transformação [40]. Para o elemento linear
escolhido, o Jacobiano é dado por:
22
21 21
()()
()
xx yy
J
ζ
ζ
−+−
=
Δ
(3.19)
Onde
ζ
Δ é o comprimento do elemento padrão em
ζ
.
36
Além disso, considera-se que em cada elemento
e
Γ
o elemento de integração
e
d
Γ
seja substituído por Jd
ζ
, onde J é o Jacobiano para transformação das variáveis
globais em locais. Dessa forma, a equação (3.14) é reescrita como:
{
1
0
1
1
1
() () (, ') () ()
2
N
i
e
ur u r G rr r Jd
ψ
ζ
−
=
= − +
∑
∫
rr rrr
1
0
1
(, ')
() ()
Grr
ur Jd
n
ζ
−
∂
⎫
+
⎬
∂
⎭
∫
r
r
r
(3.20)
Além da discretização da fronteira
Γ
, para se obter a solução numérica, faz-se
necessário também a discretização das grandezas físicas.
Discretização das Grandezas Físicas
As grandezas físicas são aproximadas por meio de uma função de base, conforme
mostrado a seguir:
1
()
N
tt
t
ugu
ζ
=
=
∑
(3.21)
1
()
N
tt
t
g
ψ
ζψ
=
=
∑
(3.22)
Nas equações (3.21) e (3.22), u e
ψ
correspondem, respectivamente, ao valor do
campo e de sua derivada normal sobre o nó t do elemento e
t
g é a função de base
local.
As funções de base devem ter a habilidade de representar precisamente as
grandezas físicas. Além disso, a escolha dessas funções deve ser feita de maneira a
minimizar o esforço computacional [16],[29]. Existem vários conjuntos de funções de
base possíveis. Esses conjuntos podem ser divididos em duas classes gerais; as
funções de base locais e as funções de base globais [25].
37
Em problemas de espalhamento, utilizam-se geralmente as funções de base locais,
as quais são diferentes de zero em apenas uma parte do domínio. Essa escolha
favorece os domínios segmentados por elementos [16]. Dentre as funções de base
locais, destacam-se a funções de pulso e a triangular. Por representar precisamente
as grandezas físicas e favorecer a viabilidade computacional, a função de base
utilizada neste trabalho é o pulso, assim definido:
1, ( 1)
0,
t
para N t N
g
p
ara todos os outros casos
− < <
⎧
=
⎨
⎩
(3.23)
Para a solução MoM, os elementos são todos analisados, porém um a cada
momento. Essa coordenação é feita pela função de base, o pulso. No primeiro
elemento, fixa-se um ponto de observação no ponto médio do elemento e nesse
calcula-se o valor de campo. Todos os outros elementos são considerados como
fontes de campo para esse elemento e, dessa maneira, ao valor de campo calculado
nesse primeiro elemento, são adicionados os valores de campo das contribuições de
todos os outros elementos.
Mediante a discretização das grandezas físicas dada pelas equações (3.21) e (3.22),
obtém-se a equação discretizada para um elemento padrão no espaço
ζ
:
{
1
0
1
11
1
() () (, ')
2
NN
itt
et
uu GgJdu
ζ
−
==
⎡⎤
= − +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫
rr rr
1
0
1
(, ')
'
tt
G
gJd
n
ζ
ψ
−
⎫
∂
⎡⎤
+
⎬
⎢⎥
∂
⎣⎦
⎭
∫
rr
(3.24)
Na equação (3.24) a integração numérica em cada elemento é realizada utilizando-
se a quadratura de Gauss [30].
Para obtenção de todos os valores do campo, o ponto de observação, que se
encontra no primeiro elemento, move-se para o segundo elemento e calcula-se o
campo nesse, juntamente com as contribuições de campo de todos os outros
38
elementos. Esse procedimento é feito até o N-ésimo elemento do domínio,
finalizando uma análise completa da fronteira do espalhador.
A equação (3.24), escrita para todos os nós da fronteira, é dada pela seguinte
expressão matricial:
[]
{
}
[]
{
}
{
}
i
A
uB u
ψ
+ =
(3.25)
De acordo com a equação (3.24), os argumentos para as matrizes A e
B
são dados
pelas contribuições elementares:
1
1
'
o
ij t
G
agJd
n
ζ
−
∂
=
∂
∫
(3.26)
1
1
ij t o
bgGJd
ζ
−
=
∫
(3.27)
A equação matricial (3.25) ilustra uma análise feita na fronteira do espalhador com o
espaço livre
0
Ω . O sistema matricial representado pela equação (3.25) possui
apenas uma equação, mas possui duas incógnitas, o que impossibilita sua solução
direta. Uma alternativa para a solução desse problema é aplicar outras condições de
contorno para a dada superfície, mas desta vez pela fronteira da superfície
Γ
com o
domínio
Ω . Faz-se, assim, uma segunda análise da superfície do espalhador.
Dessa forma, têm-se duas equações para as duas incógnitas existentes, sendo
possível então a obtenção dos campos e suas derivadas.
A análise dos campos no interior do espalhador é feita de forma semelhante à obtida
pela fronteira externa, exceto pelo fato de não existir a parcela do campo incidente
i
u
no interior do espalhador. A obtenção dos campos no interior do espalhador é
realizada por meio dos mesmos procedimentos adotados na obtenção da equação
(3.24). Assim, tem-se que:
39
{
1
2
1
11
1
() (, ')
2
NN
tt
et
ur Grr gJd u
ζ
−
==
⎡⎤
= +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫
rrr
1
2
1
(, ')
'
tt
Grr
gJd
n
ζ
ψ
−
⎫
∂
⎡⎤
+
⎬
⎢⎥
∂
⎣⎦
⎭
∫
r
r
(3.28)
Onde:
2
202
1
(, ') ( ')
4
Grr H r r
j
β
=−
rur
rr
;
2
22
02
(, ')
ˆ
ˆ
(')
'4
Grr k
Hrr
nj
β
∂
=−
∂
rr
rur
R
n ;
222
β
ωεμ
= .
Por meio do mesmo processo desenvolvido para obter a equação (3.25), obtém-se
uma segunda equação matricial:
[]
{
}
[]
{
}
{
}
0Du C
ψ
+ =
(3.29)
De acordo com a equação (3.28), os argumentos para as matrizes C e D são dados
pelas contribuições elementares:
1
2
1
'
ij t
G
dgJd
n
ζ
−
∂
=
∂
∫
(3.30)
1
2
1
ij t
cgGJd
ζ
−
=
∫
(3.31)
O acoplamento entre as formulações MoM para as fronteiras interna e externa do
domínio é possível devido à aplicação das condições de interface na fronteira
Γ
. No
problema de espalhamento em duas dimensões, essas condições são de
continuidade do campo e de sua derivada. As incógnitas que aparecem na equação
(3.25), originada da aplicação do método do MoM na fronteira externa do domínio,
são as mesmas que aparecem na equação (3.29), gerada pela formulação MoM da
fronteira interna do domínio. Assim, as equações (3.25) e (3.29) podem ser
agrupadas para dar origem ao sistema matricial a seguir:
40
{} { }
0
i
u
AB
u
DC
ψ
⎧
⎫
⎡⎤ ⎡⎤
+ =
⎨
⎬
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎩⎭
(3.32)
Este sistema matricial pode ser reescrito, agrupando-se as matrizes de coeficientes e
também as matrizes de termos independentes:
0
i
u
AB u
DC
ψ
⎧⎫
⎡⎤⎧⎫
=
⎨⎬ ⎨ ⎬
⎢⎥
⎣⎦⎩⎭
⎩⎭
(3.33)
A equação (3.33) pode ser solucionada, pelo Método de Momentos, por meio de
métodos iterativos ou métodos diretos [33]. Nesse trabalho, o método utilizado para
obtenção dos resultados, é dito direto, proposto por Harrington [14].
Na equação (3.33), tem-se que a matriz A, de dimensão nxn
, é obtida por meio da
formulação numérica MoM para a fronteira externa do domínio e contribui com os
coeficientes do campo
u
. A matriz
B
, de dimensão
nxn
, é obtida por meio da
formulação MoM para a fronteira externa do domínio e contribui com os coeficientes
para a derivada do campo
ψ
. A formulação para a fronteira externa ao domínio
contribui também com o vetor
i
u , o qual possui
n
posições em que estão
armazenados os valores de campo incidente sobre os n elementos da fronteira. A
matriz C , de dimensão nxn
, é obtida por meio da formulação numérica MoM para a
fronteira interna do domínio e contribui com os coeficientes para a derivada do
campo
ψ
. A matriz D, de dimensão nxn
, é obtida por meio da formulação MoM
para a fronteira interna do domínio e contribui com os coeficientes para o campo u .
O vetor nulo de n posições, pertencente à matriz do segundo membro, é devido à
ausência de campos incidentes no interior do domínio. Os detalhes da obtenção do
sistema matricial expandido em termos de todos os seus elementos encontram-se no
Apêndice C.
Na avaliação numérica das equações (3.24) e (3.28), o ponto de observação pode
pertencer ao elemento que está sendo integrado. Nesse caso, a distância entre o
ponto de integração e o ponto de observação torna-se muito pequena e a função de
41
Green e sua derivada apresentam singularidade. A conseqüência da presença de
singularidade é a impossibilidade de avaliação direta das equações (3.24) e (3.28).
Para que se tenha uma integração correta faz-se necessário extrair a singularidade
dessas equações [11],[28]. A extração dessa singularidade é feita, nas situações em
que o observador está no elemento analisado, por meio da substituição da solução
numérica pela solução analítica. Essa solução analítica está descrita no apêndice A.
3.3 Sumário
Nesse capítulo foram apresentadas as formulações para o Método de Momentos em
duas dimensões. Mostrou-se que o problema de espalhamento eletromagnético em
duas dimensões é um caso particular para o problema tridimensional em que se
considera que os materiais e a seção transversal do domínio de estudo não variam
ao longo de uma determinada direção. Foram derivadas as formulações para o
Método de Momentos nas fronteiras interna e externa ao domínio. Mostrou-se que
existem incógnitas comuns nessas formulações e que, devido à continuidade dos
campos e suas derivadas na fronteira do domínio, essas formulações podem ser
acopladas. A solução do sistema de equações fornece os valores de campos na
fronteira do domínio. Finalmente, foi mostrado e discutido o sistema matricial
originado.
42
4 Resultados
4.1 Introdução
Este capítulo tem por objetivo mostrar e discutir os resultados obtidos durante o
desenvolvimento desta dissertação. A metodologia adotada para a validação do
Método de Momentos consiste em comparar a solução analítica com a solução
numérica para o espalhamento bidimensional de um espalhador condutor elétrico
perfeito e de um espalhador dielétrico.
4.2 Espalhamento Eletromagnético 2D
A solução analítica para os problemas de espalhamento eletromagnético somente é
possível para casos relativamente simples. Desta forma, para a validação da
formulação numérica desenvolvida, tornam-se necessárias algumas simplificações
para o problema. A seção transversal do domínio, utilizada para se obter as soluções
analítica e numérica, é circular. A figura 4.1 ilustra a geometria do espalhador
bidimensional a ser analisado.
Figura 4.1: Geometria do espalhador bidimensional.
43
Por meio da figura 4.1 pode-se observar que o domínio
Ω
, interceptado por uma
onda plana e uniforme
z
TM , se encontra imerso no espaço livre
0
Ω .
As formulações numéricas para esse problema foram desenvolvidas no capítulo três
para um campo escalar arbitrário. Por meio da equação (3.24), a expressão para o
campo elétrico na fronteira exterior do espalhador, é dada por:
{
1
0
1
11
1
() () (, ')
2
NN
i
tt
et
GgJd
ζ
−
==
⎡⎤
= − +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫
Er Er rr E
1
0
1
(, ')
''
t
t
G
gJd
nn
ζ
−
⎫
∂ ∂
⎡⎤
+
⎬
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
⎭
∫
rr E
(4.1)
Tem-se também, a partir da equação (3.28), a expressão para o campo elétrico na
fronteira interior do espalhador:
{
1
2
1
11
1
() (, ')
2
NN
tt
et
rGrrgJd
ζ
−
==
⎡⎤
= +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫
rrr
EE
1
2
1
(, ')
''
t
t
Grr
gJd
nn
ζ
−
⎫
∂
∂
⎡⎤
+
⎬
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
⎭
∫
r
r
E
(4.2)
A solução numérica para o campo elétrico é dada pelo acoplamento das expressões
(4.1) e (4.2). Esse acoplamento é obtido através da equação matricial (3.33),
utilizado para os dois tipos de espalhadores analisados.
4.2.1 Análise do Espalhador Condutor Elétrico Perfeito
A solução do problema para o espalhador condutor elétrico perfeito é de grande
interesse para a engenharia, pois proporciona o conhecimento da distribuição de
correntes em um condutor elétrico. Por meio dessa corrente é possível, por exemplo,
determinar a distribuição de cargas, o padrão de espalhamento e o RCS de um
objeto [11].
44
O diâmetro da seção circular transversal desse espalhador é de 0,6
λ
, conforme
mostrado na figura 4.2:
Figura 4.2: Espalhador bidimensional condutor elétrico perfeito
iluminado por uma onda plana e uniforme
z
TM .
A figura 4.2 mostra que a permissividade elétrica relativa (
r
ε
) do material do
espalhador condutor elétrico perfeito é
r
ε
= 1,0 e sua permeabilidade magnética
relativa é considerada
r
μ
= 1,0.
A fronteira do espalhador é discretizada em 40 elementos lineares de primeira
ordem. Portanto, existem 40 nós dispostos nos 360 graus desse contorno. Esse
espalhador é iluminado por uma onda plana e uniforme com ângulo de incidência de
180º. O valor do módulo do campo elétrico incidente é de 1V/m. A onda
z
TM
incidente possui frequência de 0,3GHz e comprimento
λ
= 1m.
A figura 4.3 mostra os valores do módulo do campo elétrico espalhado obtidos pela
formulação MoM e também os valores do módulo do campo elétrico espalhado
obtido pela solução analítica.
45
Figura 4.3: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito.
Observa-se que, apesar de uma discretização relativamente pequena, o campo
calculado através do Método de Momentos é uma excelente aproximação para a
solução analítica. Isso demonstra a robustez desse método, o qual possui uma
rápida convergência dos resultados. O tempo de processamento foi de 0,664s com
hardware Intel Core 2 Duo T5800 2GHz com 2Gb de RAM em sistema operacional
Windows XP Pro Versão 2002 Service Pack 3.
O erro numérico absoluto, em cada nó da fronteira, é avaliado mediante a seguinte
expressão:
ec
Erro E E = − (4.3)
Na equação (4.3),
e
E representa o valor exato obtido por meio da expressão
analítica para o campo elétrico e
c
E , o valor calculado através do MoM. A figura 4.4
mostra os erros absoluto e erro absoluto médio sobre os nós da fronteira.
46
Figura 4.4: Erro Absoluto e Erro Absoluto Médio.
O valor do erro médio, para esse caso, é de
4
6,931 x 10
−
. Observa-se então que,
mesmo com a discretização da fronteira em apenas 40 nós, o resultado obtido pelo
Método de Momentos é muito eficiente e preciso.
A solução numérica para esse mesmo problema é também aplicada a uma outra
discretização da geometria. Nessa próxima análise, a fronteira do espalhador
condutor elétrico perfeito é discretizada em 360 nós. Os valores de campo elétrico,
obtidos pelo Método de Momentos e pela solução analítica, são mostrados pela
figura 4.5.
_____ Erro Absoluto
. . . . Erro Absoluto Médio
47
Figura 4.5: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador condutor elétrico perfeito.
Observa-se, mediante a figura 4.5, que há uma excelente concordância entre os
campos elétricos espalhados obtidos pela solução numérica e pela solução analítica.
A precisão dos resultados é maior quando a discretização é feita com maior número
de nós. Entretanto, a eficiência diminui neste caso. A figura 4.6 mostra os erros
absolutos e absoluto médio para a discretização do espalhador condutor elétrico
perfeito em 360 nós. O tempo de processamento foi de 4,5117s com hardware Intel
Core 2 Duo T5800 2GHz com 2Gb de RAM em sistema operacional Windows XP Pro
Versão 2002 Service Pack 3.
Figura 4.6: Erro Absoluto e Erro Absoluto Médio.
_____ Erro Absoluto
. . . . Erro Absoluto Médio
48
O erro absoluto médio mostrado pela figura 4.6 é de
-4
7,224 x 10 . Nesse caso, a
discretização da fronteira do espalhador em 360 elementos implica em um esforço
computacional muito maior comparado à discretização em apenas 40 elementos,
mostrada anteriormente. O erro encontrado para discretização em 360 elementos é
praticamente a mesma comparada ao erro encontrado pela discretização em 40
elementos. Isso mostra que os resultados obtidos pelo MoM tiveram uma
convergência muito rápida de seus valores em relação aos valores reais e que o
esforço computacional requerido pelas discretizações com grande quantidade de nós
deve ser sempre considerado.
4.2.2 Análise do Espalhador Dielétrico
O problema de espalhamento eletromagnético é também analisado para o caso de
um espalhador cujo material constituinte é um dielétrico. O diâmetro da seção
circular transversal desse espalhador é de 0,6
λ
. Esse espalhador é iluminado por
uma onda
z
TM de frequência igual a 0,3GHz e comprimento de onda
λ
= 1m. O
ângulo de incidência dessa onda é 180º e o valor do módulo do campo elétrico
incidente é de 1V/m. O problema é o mesmo ilustrado pela figura 4.2, porém nesta
análise o material do espalhador possui permissividade relativa
r
ε
= 3,0 (material
dielétrico). A permeabilidade magnética relativa é
r
μ
= 1,0.
A figura 4.7 mostra os valores de campo elétrico calculados pelo Método de
Momentos e os valores de campo elétrico obtidos pela solução analítica. Esses
campos são avaliados sobre a fronteira do espalhador dielétrico discretizada em 40
nós.
49
Figura 4.7: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador dielétrico
Por meio da figura 4.7, observa-se que os valores de campo espalhado obtidos
mediante a formulação MoM constituem uma ótima aproximação para a solução
analítica. Apesar da discretização com poucos elementos, observa-se que a solução
MoM possui uma boa convergência. Isso demonstra a precisão do método obtido
com baixo esforço computacional. O tempo de processamento foi de 3,2875s com
hardware Intel Core 2 Duo T5800 2GHz com 2Gb de RAM em sistema operacional
Windows XP Pro Versão 2002 Service Pack 3.
A figura 4.8 mostra os erros absoluto e absoluto médio sobre a fronteira
Γ no caso
da discretização do espalhador dielétrico em 40 elementos.
Figura 4.8: Erro Absoluto e Erro Absoluto Médio.
_____ Erro Absoluto
. . . . Erro Absoluto Médio
50
O erro absoluto médio, devido à discretização da fronteira em 40 nós, é de
-2
4,81 x 10 . Por meio da análise da figuras 4.7 e 4.8 observa-se a robustez numérica
do Método de Momentos que, mesmo em discretizações com poucos elementos,
possui uma excelente fidelidade dos resultados quando comparados aos resultados
obtidos pela solução analítica.
Um parâmetro de grande interesse em problemas de espalhamento é a seção
transversal de radar, ou mesmo, Radar Cross Section (RCS). Este parâmetro é
geralmente desejável nesses problemas, especialmente quando envolvem
navegação aeroespacial. O RCS é definido como a área que intercepta uma
quantidade de potência tal que, quando espalhada isotropicamente, produz no
receptor uma densidade de potência igual à densidade de potência espalhada pelo
objeto original [16]. O RCS em duas dimensões é designado por largura de
espalhamento. A largura de espalhamento pode ser matematicamente definida pela
expressão:
2
2
2
lim 2
S
D
r
i
r
σπ
→∞
=
E
E
(4.4)
Na equação (4.4),
S
E representa o campo elétrico espalhado,
i
E o campo elétrico
incidente e
r , a distância do objeto espalhador ao ponto onde os campos estão
sendo avaliados. A figura 4.9 mostra a largura de espalhamento para o caso do
cilindro dielétrico discretizado em 40 nós.
51
Figura 4.9: Largura de espalhamento.
A figura 4.9 permite compreender que existe uma maior concentração de energia
próxima a 0º. Essa energia decai com o aumento do ângulo e é praticamente igual à
energia incidente para 180º.
Este espalhador dielétrico é também avaliado através de uma discretização de sua
fronteira em 360 nós. A figura 4.10 mostra o campo elétrico espalhado obtido
mediante aplicação da formulação MoM e também por meio da solução analítica.
Figura 4.10: Campo elétrico espalhado na fronteira do espalhador dielétrico.
52
Observa-se, por meio da figura 4.10, que há uma excelente concordância entre os
campos elétricos obtidos pela solução numérica e a solução analítica. A precisão
dos resultados torna-se maior quando a discretização é feita com maior número de
nós. Entretanto, a eficiência computacional diminui neste caso. O tempo de
processamento foi de 199,4818s com hardware Intel Core 2 Duo T5800 2GHz com
2Gb de RAM em sistema operacional Windows XP Pro Versão 2002 Service Pack 3.
A figura 4.11 mostra os erros absolutos e médios para a discretização do espalhador
condutor dielétrico em 360 nós.
Figura 4.11: Erro Absoluto e Erro Médio Absoluto.
O erro médio, mostrado pela figura 4.11, é de
2
1,139 x10
−
. Esse erro encontrado para
discretização em 360 elementos é de aproximadamente 4 vezes menor em relação
ao erro encontrado pela discretização em 40 elementos, no caso do espalhador
dielétrico. Dessa maneira, o aumento da discretização aumentou a precisão dos
resultados, elevou o esforço computacional requerido e, consequentemente, diminuiu
a eficiência. Ao se comparar os resultados obtidos pelo MoM para as duas diferentes
discretizações, observa-se uma convergência muito rápida de seus valores em
relação aos valores reais.
A figura 4.12 mostra a largura de espalhamento para o caso do cilindro dielétrico
discretizado em 360 nós.
_____ Erro Absoluto
. . . . Erro Médio Absoluto
53
Figura 4.12: Largura de espalhamento.
Observa-se, na figura 4.12, que a maior concentração de energia está em 0º. A
energia é mínima próximo a 120º e praticamente igual à energia incidente em 180º.
A largura de espalhamento para o espalhador dielétrico proposto mostra-se em
concordância com os resultados encontrados na literatura [11],[26].
4.3 Sumário
Nesse capítulo foram validadas as formulações numéricas para o problema de
espalhamento eletromagnético bidimensional. Inicialmente, aplicou-se o Método de
Momentos para solucionar o problema de espalhamento devido ao espalhador
condutor elétrico perfeito e ao espalhador dielétrico para duas diferentes
discretizações: 40 e 360 nós. Os resultados obtidos pelo Método de Momentos
mostraram-se muito precisos mesmo com a menor discretização e verificou-se uma
rápida convergência dos resultados em relação aos valores reais.
As formulações desenvolvidas foram validadas mediante comparações dos valores
de campo obtidos por meio da solução analítica com os resultados numéricos, nas
54
diferentes configurações do problema. O padrão de espalhamento mostrou-se em
conformidade com os valores obtidos com a solução analítica e também com os
resultados previamente publicados na literatura, obtidos por diferentes métodos
numéricos [11], [20], [26].
55
5 Conclusão
A formulação para o Método de Momentos desenvolvida neste trabalho foi validada e
mostrou-se eficiente e robusta ao tratar problemas abertos de espalhamento
eletromagnético. Esta formulação foi aplicada, inicialmente, para o espalhador
condutor elétrico perfeito e os resultados obtidos foram muito precisos, mesmo no
caso aplicado à discretização da fronteira com pequeno número de nós. Essa
solução motivou a busca por diferentes desafios e, dessa maneira, a mesma
metodologia foi proposta para um espalhador dielétrico. Os resultados obtidos para o
espalhador dielétrico também se mostraram bem precisos para as diferentes
discretizações propostas, evidenciadas pela rápida convergência. No caso do
espalhador dielétrico, foi obtida também a largura de espalhamento, parâmetro que
fornece a relação entre os campos incidentes e espalhados, e seus resultados se
mostraram em conformidade com os previamente publicados na literatura. Dessa
forma, a formulação desenvolvida foi validada e está apta a tratar novos problemas
com diferentes geometrias e materiais, sendo esta uma das propostas de
continuidade deste trabalho.
O sistema matricial originado pela formulação desenvolvida é cheio. Dessa forma, a
solução de problema com elevado número de nós em sua discretização pode
demandar um elevado esforço computacional e assim, para se ganhar em precisão
nos resultados, a eficiência pode ser comprometida. Essa perda em eficiência é
devida ao custo computacional no cálculo das contribuições elementares e na
solução do sistema matricial resultante. Embora não seja objeto deste trabalho, esta
eficiência pode ser melhorada por meio da utilização de técnicas para o
aprimoramento da formulação, bem como o uso de diferentes técnicas, iterativas ou
diretas, para o cálculo das contribuições elementares. A utilização destas técnicas
torna-se assim outra sugestão de continuidade deste trabalho.
56
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[41] GONÇALVES, M. S.; SANTOS, C. H. S.; BORDONALLI, Aldário Chrestani;
HERNANDEZ FIGUEROA, Hugo Enrique; A New 3D Time Domain Full-Band Method
Using Parallel Processing for Photonics Applications, 10/2008, Frontiers in Optics
(FiO),Vol. CD-ROM, pp.1-6, Rochester, Estados Unidos da América, 2008.
61
APÊNDICE A
Espalhamento Eletromagnético – Solução Analítica
Assume-se que uma onda plana e uniforme
Z
TM incide em direção normal a um
espalhador cilíndrico infinito na direção z imerso no espaço livre, conforme mostra a
figura A.1. Essa consideração reduz o problema de três dimensões para apenas
duas. O espalhador cilíndrico condutor perfeito é constituído por um meio linear,
homogêneo e isotrópico e sua seção transversal é circular de raio a.
Figura A.1: Simplificação do domínio (a) em três dimensões
para o domínio (b) em duas dimensões.
O campo elétrico incidente
i
E
pode ser escrito por:
cos
00
ii jx j
zz z z
âE âEe âEe
β
βρ φ
−−
== =E (a.1)
Esse campo pode ser escrito também em coordenadas cilíndricas e através de
funções de Hankel:
00
0
() () ()cos()
ii n jn n
zz z n z nn
nn
âE âE j J e âE j J n
φ
β
ρεβρφ
+∞ +∞
−−
=−∞ =
== = −
∑∑
E (a.2)
62
Onde
(a.3)
e
ρ
é a distância do centro da seção circular do cilindro ao ponto de observação.
Os correspondentes componentes do campo magnético podem ser obtidos pela
manipulação das equações de Maxwell:
1
0
11 1
()
i
injn
z
n
n
E
E
HnjJe
jj
φ
ρ
βρ
ωμ ρ φ ωμ ρ
+∞
−+
=−∞
∂
=− =−
∂
∑
(a.4)
O campo magnético incidente pode ser expressado também por:
0
()
1
()
i
injn
n
z
n
EJ
E
Hje
jj
φ
φ
ββρ
ωμ ρ ωμ βρ
+∞
−
=−∞
∂
∂
==
∂∂
∑
(a.5)
Na presença de um cilindro condutor o campo elétrico total
t
E pode ser escrito como
a soma do campo elétrico incidente com o campo elétrico espalhado:
tis
= +
E
EE (a.6)
Onde
s
E
é o campo espalhado.
Esse campo
s
E
pode ser representado por:
(2)
0
()
ss
zz z n n
n
âE âE cH
β
ρ
+∞
=−∞
==
∑
E (a.7)
Onde
n
c representa os coeficientes de amplitude a serem determinados. A equação
(a.7) é escolhida propositalmente e similar à equação (a.2). As duas equações são
utilizadas para representar o campo total. Isto se torna conveniente devido ao cálculo
dos coeficientes de amplitude
n
c .
1, 0
2,
n
para n
para n
ε
=
⎧
=
⎨
≠ 0
⎩
63
Os coeficientes de amplitudes desconhecidos
n
c podem ser obtidos aplicando-se a
condição de contorno a seguir:
(,0 2,)0
tt
zz
âE a z
ρφπ
==≤≤=E (a.8)
Usando as equações (a.2), (a.7) e (a.8) tem-se:
2
0
2
()
()
()
s
njn
n
zn
n
n
Ja
Ej H e
Ha
φ
β
βρ
β
∞
−
=−∞
=−
∑
E (a.9)
Tem-se também que
n
c descrito pela equação (a.7) é dado por:
2
()
()
njn
n
n
n
Ja
cj e
Ha
φ
β
β
−−
=− (a.10)
De maneira similar, pode-se obter a equação de campo magnético espalhado:
12
0
2
()
11 1
()
()
s
s
njn
n
z
n
n
n
EJa
E
HnjHe
jj Ha
φ
ρ
β
βρ
ωμ ρ φ ωμ ρ β
+∞
−+
=−∞
∂
=− =−
∂
∑
(a.11)
A expressão para o campo elétrico espalhado, obtido analiticamente, para um
cilindro condutor elétrico perfeito, utilizado nesse trabalho para validar o Método de
Momentos, é mostrada a seguir:
2
0
2
()
()cos()
()
sn
n
nn
n
n
Ja
Ej H n
Ha
β
ε
βρ φ
β
∞
−
=−∞
= −
∑
E (a.12)
Onde
n
ε
é definido pela equação (a.3).
Os componentes correspondentes do campo magnético espalhado pode ser obtido
pelas equações de Maxwell como segue:
64
12
0
2
()
11 1
()
()
s
s
njn
n
z
n
n
n
EJa
E
HnjHe
jj Ha
φ
ρ
β
βρ
ωμ ρ φ ωμ ρ β
+∞
−+
=−∞
∂
=− =−
∂
∑
(a.11)
E também:
2
0
2
() ()
1
()
() ()
s
s
njn
nn
z
n
n
EJaH
E
Hje
jjHa
φ
φ
ββρ
ββρ
ωμ ρ ωμ β βρ
+∞
−
=−∞
∂
∂
==−
∂∂
∑
(a.12)
Portanto os componentes totais dos campos elétricos e magnéticos podem ser
escritos como
0
ttt
z
EEH
ρφ
== = (a.13)
Dessa maneira, o campo elétrico total expandido pelas funções de Hankel é dado
por:
2
0
22
() () ()
()
() ()()
tn jn
nn n
z
n
nn
JaJaH
EE jJ e
HaHa
φ
ββ βρ
βρ
βββρ
+∞
−
=−∞
⎡⎤
∂
=
⎢⎥
∂
⎣⎦
∑
(a.14)
O campo magnético total é encontrado de maneira similar à realizada para o campo
elétrico, descrito na equação (a.11):
12
0
2
()
1
() ()
()
tn jn
n
nn
n
n
EJa
HnjJ He
jHa
φ
ρ
β
βρ βρ
ωμ ρ β
+∞
−+
=−∞
⎡⎤
−
=−
⎢⎥
⎣⎦
∑
(a.15)
E assim tem-se que:
2
0
2
() () ()
() ()()
tn jn
nnn
n
n
EJJaH
Hj e
jHa
φ
φ
βρ β βρ
β
ωμ βρ β βρ
+∞
−
=−∞
⎡⎤
∂∂
=−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∑
(a.16)
65
Na superfície do cilindro (ρ = a), o campo magnético tangencial total pode ser escrito
como:
2
0
2
() () ()
()
() ()()
tn jn
nnn
n
n
a
a
EJJaH
Ha j e
jHa
φ
φ
ρ
ρ
βρ β βρ
ρβ
ωμ βρ β βρ
+∞
−
=−∞
=
=
⎡⎤
∂∂
== −
⎢⎥
∂∂
⎢⎥
⎣⎦
∑
(a.17)
A equação (a.17) pode ser reescrita através da expressão:
0
2
() ()
() ()
() ()
()
()
nn
n
aa
tn jn
n
n
YJ
Ja Yna
E
Ha j e
Ha
ρρ
φ
φ
βρ βρ
ββ
βρ βρ
ρβ
ωμ β
+∞
==
−
=−∞
⎡⎤
∂∂
−
⎢⎥
∂∂
⎢⎥
==
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑
(a.18)
Usando o wronskiano de funções de Bessel:
() ()
2
() ()
() ()
nn
nn
YJ
JY
α
ραρ
αρ αρ
α
ραρπαρ
∂∂
−=
∂∂
(a.19)
Dessa maneira, a equação (a.18) pode ser reduzida a:
0
2
2
()
()
jn
tn
n
n
E
e
Ha j
aHa
φ
φ
ρ
π
ωμ β
+∞
−
=−∞
==
∑
(a.20)
A corrente induzida na superfície do cilindro pelo campo magnético tangencial pode
ser escrita como:
^
0
2
()()
2
()
()
tt t
sz
a
a
jn
n
z
n
n
JnH ââHâH âH a
E
e
âj
aHa
ρρρφφ φ
ρ
ρ
φ
ρ
πωμ β
=
=
+∞
−
=−∞
=× = × + = =
=
∑
(a.21)
66
Aproximação para pequenos raios
Com o aumento do raio do cilindro, mais termos na série infinita descrita pela
equação (a.19) são necessários para obter uma boa convergência. Entretanto, para
pequenos raios, como um fio muito fino (a
λ
), o primeiro termo equação (a.19),
isto é para n=0, é dominante e quase sempre suficiente para representar a corrente
induzida. Portanto para um fio bem fino, a equação (a.19) pode ser aproximada por:
0
2
2
1
()
sz
n
E
Jâ
aHa
π
ωμ β
=
para a
λ
(a.22)
Onde:
2
00 0
2
() () ()1 ln( )
2
a
HaJajYa j
β
ββ β γ
π
=− ≅− (a.23)
Dessa forma, para um fio muito fino, a densidade de corrente pode ser calculada
aproximadamente através de:
0
1
1,781
ln
2
zz
E
Jâ â j
a
a
β
ωμ
≅
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
para
a
λ
(a.24)
Campo Espalhado em Regiões Distantes
Um dos mais importantes parâmetros no espalhamento é a largura de espalhamento
(scattering width) que é obtido conhecendo-se o campo espalhado numa zona
distante. Para tanto, é necessário se reduzir os campos espalhados para uma zona
mais distante de observação
()
β
ρ
→∞ . Na equação (a.12), a função de Hankel pode
ser aproximada para observações feitas a grandes distâncias através da expressão:
2
2
()
nj
n
j
Hje
β
ρ
βρ
πβρ
≅ para
β
ρ
→∞ (a.25)
67
Assim a equação (a.12) pode ser reescrita como:
0
2
()
2
()
j
s
jn
n
z
n
n
Ja
je
EE e
Ha
βρ
φ
β
πβ β
ρ
−
∞
−
=−∞
≅−
∑
para
β
ρ
→∞ (a.26)
A razão do campo elétrico espalhado distante para o campo incidente pode ser
assim escrito como:
0
2
0
()
2
()
j
j
n
n
s
z
n
n
jx
ì
z
Ja
je
Ee
E
Ha
Ee
E
βρ
φ
β
β
πβ β
ρ
−
∞
−
=−∞
−
−
=
∑
(a.27)
E assim, tem-se:
2
()
2
()
s
z
j
n
n
ì
n
n
z
E
Ja
e
Ha
E
φ
β
πβρ β
∞
=−∞
=
∑
(a.28)
A largura de espalhamento pode ser expresso por:
2
2
2
lim 2
S
D
r
i
r
σπ
→∞
=
E
E
(a.29)
Substituindo (a.26) em (a.27), tem-se que a largura de espalhamento é dada por:
2
2
2
0
()
2
cos( )
()
n
Dn
n
n
Ja
n
Ha
β
λ
σ
εφ
πβ
∞
=
=
∑
(a.30)
68
APÊNDICE B
Equação de Onda Escalar – Desenvolvimento Completo
B.1 Equação de Onda para o campo elétrico
As equações de onda são aqui obtidas a partir das leis de Maxwell na forma fasorial
e também através das equações de contorno. A primeira Lei de Maxwell é
apresentada:
j
ω
∇ × = −
E
B (b.1)
Sabe-se que:
μ
=
B
H (b.2)
Substitui-se (b.2) em (b.1):
j
ω
μ
∇ × = −
E
H (b.3)
Toma-se o rotacional dos dois membros da equação (b.3):
()jjj
ω
μωμωε
∇×∇× =− ∇× =− +
E
HJE
(b.4)
Sabe-se que o rotacional é independente da variação no tempo e o meio foi
assumido linear. Apresenta-se assim a seguinte identidade vetorial:
2
()∇×∇× =∇ ∇• −∇
A
AA (b.5)
A equação (b.4) pode ser reescrita por:
69
2
00
() ( )jj
ωε ωμ
∇∇• −∇ =∇× + −
H
HJ H (b.6)
Assim, tem-se que a equação (b.6) é dada por:
22
()j
ω
με ωμ
∇+ =
E
J (b.7)
Ou simplesmente:
22
j
β
ωμ
∇+ =
E
EJ (b.8)
Onde
1/2
() 2/
β
ωμε π λ
==
Acima
β
e
λ
são respectivamente o número e o comprimento de onda. A equação
(b.8) é a forma vetorial da equação de onda de Helmholtz. Considerando-se uma
onda
z
TM (0)
z
=H com o campo elétrico (,)
zz
x
ya
=
EE , a equação vetorial torna-se
uma equação escalar:
22
zz z
j
β
ωμ
∇+ =
E
EJ (b.9)
B.2 Equação de Onda para o Campo Magnético
De maneira análoga ao tratamento anterior para campo elétrico, apresenta-se agora
a segunda Lei de Maxwell:
j
ω
∇ × = +
H
JD (b.10)
Sabe-se que:
ε
=
D
E (b.11)
Substitui-se (b.11) em (b.10):
70
j
ω
ε
∇ × = +
H
JE (b.12)
Toma-se o rotacional dos dois membros da equação (b.12):
()j
ω
ε
∇×∇× =∇× + ∇×
H
JE (b.13)
Utilizando a identidade vetorial (b.3), a equação (b.13) pode ser reescrita:
2
00
() ( )jj
ωε ωμ
∇∇• −∇ =∇× + −
H
HJ H
(b.14)
Ou simplesmente
22
0
j
β
ωε μ
∇+ =−∇×+HH J (b.15)
onde
1/2
() 2/
β
ωμε π λ
==
Dessa forma, a equação de onda para o campo magnético, para uma onda incidente
z
TM , é expressa por:
22
0zz i z
j
K
β
ωε μ
∇+ = −∇× +HH J (b.16)
71
APÊNDICE C
Solução Método de Momentos
Para iniciar o estudo sobre MOM é pertinente a definição de uma equação integral,
que é aquela onde o integrando é desconhecido. A sua forma geral dada por:
()Lf g
= (c.1)
Onde
L
é um operador qualquer (conhecido),
g
é a fonte ou excitação (conhecida)
e
f
é o campo ou resposta (função desconhecida).
Considera-se o problema a ser examinado como determinístico, ou seja, a solução
da equação é única e existe apenas uma função
f
associada a cada excitação dada
g . Sendo assim, tem-se o problema da determinação da função
f
quando L e g
são dados. Para solução do problema proposto se desenvolvem técnicas
matemáticas onde equações funcionais são reduzidas em equações matriciais.
Para a utilização do Método de Momentos é adequado que sejam utilizadas
notações de espaços e operações lineares. Dessa forma, os problemas específicos
utilizam essa notação. Ao se analisar um problema determinístico genérico na forma
da equação anterior onde o operador
L, tal como seu domínio e a resposta g são
conhecidos, se
()Lf g = existe e é única para todo g , então o operador inverso
1
L
−
existe e a função desconhecida é calculada como
1
()
f
Lg
−
=
. Com L e g
conhecidos, o problema proposto pode ser solucionado.
C.1 Formulação Integral para a equação de Helmholtz
No espaço livre
0
Ω os campos são regidos pela equação de Helmholtz:
2
() ²() ()uuf
β
∇+ =rrr
0
∀ ∈ Ωr (c.2)
72
A função de Green que descreve o fenômeno é dada:
2
00
(,') ² (,') (,')GG
βδ
∇+ =−rr rr rr
0
∀
∈Ωr (c.3)
onde
δ
é a função delta de Dirac.
Sabe-se que
2
00
1
(, ') ( )
4
GH
j
β
=rr R (c.4)
Multiplica-se a equação (c.2) por
0
(, ')G rr :
2
000
() ² () ()Gu Gu Gf
β
∇+ =rrr (c.5)
E também, multiplica-se a equação (c.3) por ()u r :
2
00
(')()²(')() (')()GuGu u
βδ
∇− + − =−−rr r rr r rr r
(c.6)
Subtrai-se (c.5) de (c.6):
22
000
( ') ( ) ( ') ( ) ( ') ( ) ( ') ( )GuGuGf u
δ
−∇ −∇ − = − + −rr r rr r rr r rr r (c.7)
E integra-se os dois membros em
0
Ω
:
0 0
22
0000 0
[(,') () (,')()] [(,')() (,')()]GuGudGf ud
δ
ΩΩ
∇−∇ Ω= + Ω
∫∫
rr r rr r rr r rr r (c.8)
Apresenta-se o 2º teorema de Green:
22
[][ ]
''
ba
abbad a b d
nn
Γ
Ω
∂∂
∇−∇ Ω= − Γ
∂∂
∫∫
(c.9)
73
A partir do 2º teorema de Green, tem-se:
0
0
000
(, ')
()
[ (,') () ] [ (,')() (,)()]
G
u
GudGfud
nn
δ
ΓΩ
∂
∂
−+ Γ= +Ω
∂∂
∫∫
rr
r
rr r rr r rr' r
(c.10)
Através das propriedades do delta de Dirac, ao se trabalhar na superfície, tem-se
que:
0
0
000
(, ')
() 1
[() (,') ] [ (,')()] ()
2
G
u
uGdGfdu
nn
ΓΩ
∂
∂
−Γ= Ω +
∂∂
∫∫
rr
r
rrr rrrr
(c.11)
Troca-se
r
por
'r
(o sinal inverte):
0
00
'
(, ')
1(')
() (,')(') [(') (,) ] '
2
s
G
u
uGfdsu G d
nn
ΩΓ
∂
∂
=− Ω + − Γ
∂∂
∫∫
rr
r
rrrr r rr
(c.12)
Onde
0
[(,')(')]
s
Gfds
Ω
Ω
∫
rr r é o campo incidente ()
i
u r .
Assim tem-se que:
0
0
'
(, ')
1(')
() () [(') (, ') ] '
2
i
G
u
uu u G d
nn
Γ
∂
∂
=+ − Γ
∂∂
∫
rr
r
rr r rr
(c.13)
Onde
2
0
00
(, ') ( )
4
k
GH
j
β
=rr R
74
C.2 Solução da Equação Matricial - MoM
A solução discretizada para o campo u na fronteira externa do espalhador é dada
pela equação (3.24):
{
1
0
1
11
1
() () (, ')
2
NN
itt
et
uu GgJdu
ζ
−
==
⎡⎤
= − +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫
rr rr
1
0
1
(, ')
'
tt
G
gJd
n
ζ
ψ
−
⎫
∂
⎡⎤
+
⎬
⎢⎥
∂
⎣⎦
⎭
∫
rr
(c.14)
A solução discretizada para o campo
u
na fronteira interna do espalhador é dada
pela equação (3.28):
{
1
2
1
11
1
() (, ')
2
NN
tt
et
uGgJdu
ζ
−
==
⎡⎤
= +
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∫
rrr
1
2
1
(, ')
'
tt
G
gJd
n
ζ
ψ
−
⎫
∂
⎡⎤
+
⎬
⎢⎥
∂
⎣⎦
⎭
∫
rr
(c.15)
Os argumentos das contribuições de cada elemento da matriz global são mostrados
a seguir:
1
1
'
o
ij t
G
agJd
n
ζ
−
∂
=
∂
∫
(c.16)
1
1
ij t o
bgGJd
ζ
−
=
∫
(c.17)
1
2
1
ij t
cgGJd
ζ
−
=
∫
(c.18)
1
2
1
'
ij t
G
dgJd
n
ζ
−
∂
=
∂
∫
(c.19)
75
Dessa forma, obtém-se o sistema matricial acoplado expresso pela equação (3.33).
O sistema matricial expandido, obtido pelo Método de Momentos, é mostrado a
seguir:
11 12 13 1 11 12 13 1
21 22 23 2 21 22 23 2
123
... ...
... ...
...
NN
NN
NN N
aaa a bbb b
aaa a bbb b
aaa
... ...
MMM M MMM M
123
11 12 13 1 11 12 13 1
21 22 23 2 21 22 23 2
...
... ...
... ...
NN N N N NN
NN
NN
abbbb
ddd d ccc c
ddd d ccc c
... ..MMM M MMM
(1)
11
21
(2)
1
()
11
21
1
123 123
0
0
... ...
N
i
r
i
r
N
i
r
N
NN N NN NNN NN
u
u
u
u
u
u
ddd d ccc c
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
Ψ
⎢⎥
⎢⎥
Ψ
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
.
⎢⎥
Ψ
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
uur
uur
uur
M
M
M
M
0
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
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⎢
⎥
⎣
⎦
M
(c.20)
76
APÊNDICE D
Solução Método de Momentos – Pseudocódigo
Apresenta-se o pseudocódigo geral utilizado na solução numérica MoM para o
espalhamento eletromagnético bidimensional:
Para m = 1 até N // Varrer os observadores
● Obter coordenadas do observador;
Para n = 1 até N // Varrer os elementos
● Obter coordenadas do elemento;
● Calcular contribuição**;
● Assemblar a contribuição na matriz global;
Fim Para
Fim Para
● Solucionar o sistema matricial;
** O pseudocódigo para o cálculo da contribuição de cada elemento é mostrado a
seguir:
● Receber coordenadas do observador;
● Receber coordenadas do elemento;
● Definir vetor com pontos e pesos de Gauss;
● Calcular o Jacobiano;
Para p = 1 até NPG // NPG é o número de pontos de Gauss
● Avaliar as funções
1
N e
2
N ;
● Calcular ()
x
ζ
e ()y
ζ
;
● Avaliar (, ')G rr ;
● Avaliar
(, ')G
n
∂
∂
rr
;
Fim Para
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