ads:
EDSON BORGES DE ÁVILA
ESTUDO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO
APLICADO À MODELAGEM DE SISTEMAS
VIBRATÓRIOS COM AMORTECIMENTO
VISCOELÁSTICO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
2010
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
2
EDSON BORGES DE ÁVILA
ESTUDO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO APLICADO À
MODELAGEM DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS COM
AMORTECIMENTO VISCOELÁSTICO
Dissertação apresentada ao
Programa de Pós-graduação em
Engenharia Mecânica da Universidade
Federal de Uberlândia, como parte dos
requisitos para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA
MECÂNICA.
Área de concentração: Mecânica dos
sólidos e vibrações.
Orientador: Prof. Dr. Domingos Alves
Rade
UBERLÂNDIA –MG
2010
ads:
3
AGRADECIMENTOS
Agradeço este trabalho primeiramente a Deus, pois sem Ele, nada seria possível e
não estaríamos aqui reunidos.
À Universidade Federal de Uberlândia e à Faculdade de Engenharia Mecânica pela
oportunidade de realizar este trabalho.
Ao meu orientador, Domingos Alves Rade, pelo exemplo de pesquisador e por todo o
auxílio neste trabalho.
A minha família, Nicolina, Alandino e Alexsandra, pelo esforço, dedicação e
compreensão, em todos os momentos desta e de outras caminhadas.
Aos meus amigos Adailton Silva Borges e Albert Willian Faria, pela confiança e
credibilidade em minha pessoa, durante o período de convivência na UFU e também
pela continuidade das nossas amizades após o término dos nossos trabalhos, e, pelo
mútuo aprendizado de vida, no campo profissional e particular.
Ao Thiago de Paula Sales pela ajuda e contribuições neste trabalho.
Aos colegas do Laboratório LMest pela amizade.
4
E
E
d
d
s
s
o
o
n
n, B. A., ESTUDO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO APLICADO À MODELAGEM
DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS COM AMORTECIMENTO VISCOELÁSTICO. 2010.
100 f. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia.
RESUMO
O Cálculo Fracionário é uma ferramenta matemática que vem sendo aplicada nos
últimos anos a vários problemas da Ciência e da Engenharia, tais como Reologia,
Transferência de Calor e Controle Ativo. Essencialmente, a derivação e a integração
fracionárias resultam da extensão do conceito clássico de derivação e integração de
ordens inteiras a ordens não inteiras e sua aplicação se justifica principalmente por
algumas de suas propriedades que garantem uma modelagem mais precisa de certos
fenômenos físicos. A presente dissertação aborda a utilização do Cálculo Fracionário
para a modelagem do comportamento viscoelástico no âmbito da Dinâmica Estrutural.
Primeiramente é feita uma apresentação do conceito e principais propriedades da
derivada e integração fracionárias, seguindo-se uma revisão de alguns dos métodos
de resolução aproximada de sistemas de equações diferenciais de ordem fracionária.
Em seguida, é feita uma revisão dos fundamentos da viscoelasticidade linear,
incluindo os modelos reológicos clássicos e os modelos de ordem fracionária. Visando
à simulação do comportamento dinâmico de sistemas estruturas dotados de
amortecedores viscoelásticos no domínio do tempo, duas estratégias consideradas
como sendo algumas das mais modernas, são utilizadas para a incorporação de
modelos viscoelásticos fracionários em modelos de elementos finitos. Simulações
numéricas são realizadas visando à validação dos procedimentos de modelagem
implementados e a comprovação da eficiência dos modelos viscoelásticos de ordem
fracionária.
Palavras chave: Cálculo Fracionário, Viscoelasticidade, Elementos Finitos,
Amortecimento.
5
Edson, B. A., A Study of Fractional Calculus Applied to the Modeling of Vibratory
Systems Containing Viscoelastic Damping. 2010. 100 f MSc. Dissertation,
Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia.
ABSTRACT
Fractional Calculus is a mathematical tool that has been applied to various problems of
Science and Engineering, such Rheology, Heat Transfer and Active Control.
Essentially, fraction integration and derivation can be regarded as extensions of the
traditional concepts of integration and derivation of integer orders. Their application is
justified mainly by the fact that their properties can provide more accurate modeling of
certain physical phenomena. The present dissertation addresses the use of Fractional
Calculus for the modeling of viscoelastic behavior in the realm of Structural Dynamics.
First, it is presented the fundamental concepts and main properties of fraction
integrators and derivatives, followed by the description of some methods intended for
the resolution of systems of fractional differential equations. Then, a review of linear
viscoelasticity is presented, including classical rheological models and fractional
models. Aiming at simulating the dynamic behavior of structural systems containing
viscoelastic dampers in the time domain, two strategies, considered as being some of
the most modern, are used for the incorporation of fractional viscoelastic models into
finite element models. Numerical simulations are performed aiming at the validation of
the modeling procedures and the evaluation of the efficacy of viscoelastic models of
fractional order.
Keywords: Fractional Calculus, Viscoelasticity, Finite Elements, Damping.
6
LISTA DE SÍMBOLOS
φ
: Ângulo de fase pelo qual a tensão atrasa a deformação
1+j
A : Coeficientes de Grünwald
()
t
ε
: Deformação
()
t
ε
: Deformação anelástica
()
t
σ
: Derivada primeira em relação ao tempo da tensão
()
t
ε
: Derivada primeira em relação ao tempo da deformação
()
R
ε
τ
: Espectro de fluência
()
R
σ
τ
: Espectro de relaxação
r
γ
: Fator de amortecimento
2
r
ω
: Freqüência natural
()
Ψ
x
: Função complementar
()
R
τ
∗
: Função espectral
()
tΨ
: Função de fluência
()
aΓ : Função Gama
()
tΦ : Função de relaxação
(
)
Jt
: Função de resposta da deformação
()
Gt : Função de resposta da tensão
{
}
()
Hx
⎡
⎣
⎤
⎦
: Matriz das funções de forma
[
]
M
: Matriz de massa
[
]
C
: Matriz das propriedades do material que relaciona deformação à
tensão
K
∗
⎡⎤
⎣⎦
: Matriz de rigidez modificada inicial
G : Módulo de cisalhamento
K
: Módulo de rigidez
D
ν
: Operação de derivação de ordem
ν
7
()
sD
n
: Operador de derivação no domínio de Laplace
ν
−
D : Operação de integração de ordem ν
()
sD
n
1
−
: Operador de integração no domínio de Laplace
α
: Ordem arbitrária
ν
: Ordem arbitrária das derivadas
β
: Ordem arbitrária maior que zero
()
t
σ
: Tensão
(){
t
}
ε
: Vetor de deformação
()
{
}
ut
: Vetor de deslocamentos nodais generalizados (deslocamentos e
rotações)
()
{
}
rt
: Vetor de forças externas
()
()
{
}
e
qt
: Vetor do graus de liberdade em nível elementar
(){
t
}
σ
: Vetor de tensão
8
SUMÁRIO
CAPÍTULO I-INTRODUÇÃO.............................................................................................. 1
CAPÍTULO II-HISTÓRICO E FUNDAMENTOS DO CÁLCULO FRACIONÁRIO.............. 5
2.1. Aspectos históricos do Cálculo Fracionário..................................................... 5
2.2. Abordagem moderna do Cálculo Fracionário.................................................. 11
2.2.1. Derivada e integração de ordem arbitrária de Grünwald-Letnikov ...... 12
2.2.2. Derivada e integração de ordem arbitrária de Riemman-Liouville....... 18
2.3. A aplicação dos operadores de derivação e integração de ordem arbitrária
a funções elementares............................................................................................ 23
2.4. Estimação numérica de derivadas e integrais de ordens arbitrárias ............... 24
2.5. Técnicas Numéricas de Resolução Aproximada de Sistemas de Equações
Diferenciais de Ordem Fracionária ......................................................................... 26
2.5.1. Método Direto ...................................................................................... 27
2.5.2. Método Indireto.................................................................................... 28
2.5.3. Aplicação 1: Método Direto.................................................................. 32
2.5.4. Aplicação 2: Método Indireto ............................................................... 33
CAPÍTULO III – APLICAÇÃO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO EM
VISCOELASTICIDADE...................................................................................................... 36
3.1. Introdução........................................................................................................ 36
3.2. Fundamentos da Viscoelasticidade Linear...................................................... 38
3.3. Modelos Mecânicos......................................................................................... 41
3.4. Modelos Viscoelásticos Fracionários............................................................... 45
3.5. Módulo Complexo do Modelo de Maxwell Fracionário .................................... 47
3.5.1. Restrições termodinâmicas.................................................................. 48
3.5.2. Análise do comportamento viscoelástico do MMDF............................ 52
3.5.2.1. Análise da fluência................................................................ 52
3.5.2.2. Análise da relaxação............................................................. 54
3.6. Outras aplicações do cálculo fracionário em viscoelasticidade....................... 57
9
3.7. Incorporação de modelos viscoelásticos fracionários em modelos de
elementos finitos..................................................................................................... 62
3.7.1. Resolução numérica das equações do movimento............................. 67
3.8. Abordagem alternativa para implementação de modelos viscoelásticos
fracionários em associação com o método dos elementos finitos.......................... 68
CAPÍTULO IV – APLICAÇÕES NUMÉRICAS DOS MODELOS VISCOELÁSTICOS
FRACIONÁRIOS................................................................................................................ 74
4.1. Sistema Vibratório Viscoelástico de Um Grau de Liberdade........................... 74
4.2. Modelagem de uma viga viscoelástica pelo método dos elementos finitos..... 77
4.3. Modelagem por elementos finitos de vigas multicamadas com camada
viscoelástica em associação com o algoritmo proposto por Galucio, Deü e
Ohayon (2004)........................................................................................................ 85
CAPÍTULO V – CONCLUSÕES GERAIS E PERSPECIVAS............................................ 94
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................. 96
10
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
O Cálculo Fracionário é um campo da análise matemática que data de 300 anos e
trata dos fundamentos teóricos e aplicações de integrais e derivadas de ordens
arbitrárias, não necessariamente inteiras, como no Cálculo Diferencial e Integral
tradicional, tendo atraído a atenção de diversos matemáticos famosos como P. S.
Laplace, J. B. J. Fourier, N. H. Abel,, J. Liouville, B. Riemann, H. Holmgren, A. K.
Grunwald, A.V. Letnikov, H. Laurent, P. A. Nekrassov, A. Krug, J. Hadamard, O.
Heaviside, S. Pincherle, G. H. Hardy, J. E. Littlewood, H. Weyl, P. Lévy, A. Marchaud,
H. T. Davis, A. Zygmund, E. R. Love, A. Erdélyi, H. Kober, D. V. Widder, M. Riesz e
M. Feller.
Abel foi o primeiro a apresentar uma aplicação de operações fracionárias em
1823, quando aplicou o cálculo fracionário à resolução de uma equação integral que
surge na formulação do chamado problema da tautócrona, que busca determinar a
equação da trajetória percorrida por uma partícula que desliza, sob ação da gravidade,
ao longo de uma curva sem atrito, de modo que o tempo de descida seja independente
do ponto de partida.
O Cálculo Fracionário vem sendo amplamente empregado durante as três últimas
décadas em aplicações modernas de equações diferenciais e integrais à modelagem de
diversos tipos de problemas da Ciência e da Engenharia, tais como:
• Processamento de sinais (Barbosa et al., 2006; Bultheel e Martinez-Sulbaran,
2007);
• Redes elétricas (Yifei et al., 2005);
• Mecânica dos fluidos (Amaral, 2003)
• Viscoelasticidade (Bagley e Torvik, 1983; Glockle e Nonnenmacher, 1991; Maia
et al., 1998; Adolfsson et al., 2005; Bagley, 2007 e Jia et al., 2007),
2
• Biologia matemática (Cole, 1933; Anastasio, 1994)
• Eletroquímica (Oldham, 1972; Goto e Ishii, 1975),
• Reologia (Cavazos et al., 2007);
• Transferência de calor (Agrawal, 2004);
• Economia (Meerschaert, 2006);
• Eletromagnetismo (Engheta, 1996; Machado et al., 2006);
• Teoria de controle (Hartley e Lorenzo, 2002; Valério e Costa, 2006)
• Problemas de difusão (Pedron, 2003; Gonçalves et al., 2005; Andrade, 2006).
Dentre as obras que contém análises mais detalhadas de alguns aspectos
matemáticos e aplicações físicas de cálculo fracionário podem-se citar as de Erdélyi
(1953; 1954), Gel’fond e Shilov (1964), Djrbashion (1993), Gorenflo e Vessella (1991),
além dos livros de Miller e Ross (1993) e de Podlubny (1999).
A principal motivação para o uso prático do Cálculo Fracionário é a possibilidade
de se obter uma modelagem mais precisa de alguns fenômenos físicos, ao custo de uma
maior complexidade analítica e numérica, em comparação com as ferramentas do
cálculo tradicional. Podlubny (1999), em tradução feita pelo autor desta dissertação,
relata:
“Durante três séculos, a teoria de derivadas fracionárias desenvolveu-se
principalmente como um campo teórico puro da Matemática, útil apenas para
matemáticos. Entretanto, nas últimas décadas, muitos autores afirmaram que derivadas
e integrais de ordem não inteira são muito adequadas para a descrição de
propriedades de vários materiais reais como, por exemplo, polímeros. Foi mostrado
que novos modelos de ordem fracionária são mais adequados que modelos de ordem
inteira previamente utilizados.”
Derivadas fracionárias fornecem um excelente instrumento para a descrição das
propriedades de memória e hereditariedade de vários materiais e processos. Esta é a
principal vantagem das derivadas fracionárias em comparação com modelos clássicos
de ordem inteira, nos quais estes efeitos são negligenciados. As vantagens do cálculo
fracionário tornam-se aparentes na modelagem de propriedades mecânicas e elétricas de
3
materiais reais, bem como na descrição de propriedades reológicas de rochas, e também
em muitos outros campos.
Integrais e derivadas fracionárias também aparecem na teoria de controle de
sistemas dinâmicos, quando o sistema controlado ou o controlador são descritos por
equações diferenciais de ordem fracionária.
A relevância do tema no âmbito da Ciência e Engenharia é comprovada pelo
expressivo e crescente número de publicações existentes sob a forma de livros e artigos
científicos, e pela existência de conferências internacionais especificamente dedicadas
ao tema.
No Brasil, não são muitos os trabalhos de pesquisa relacionados ao Cálculo
Fracionário aplicado a problemas de Engenharia Mecânica, destacando-se os estudos
realizados por Espíndola e colaboradores, voltados ao uso de modelos fracionários
aplicados absorvedores dinâmicos de vibrações viscoelásticos (Mendez, 2004;
Espíndola et al., 2005; Espíndola et al., 2008), as implementações de modelos
viscoelásticos fracionários associados a modelos de elementos finitos, realizadas por
Lima (2003), além do estudo preliminar de Ávila et al. (2009), voltado ao uso de
controladores ativos de ordem fracionária.
Inserida no contexto da matemática aplicada à modelagem de problemas de
Engenharia Mecânica, a presente dissertação tem por objetivo geral o estudo dos
fundamentos e aplicações do Cálculo Fracionário em problemas de Engenharia, com os
seguintes objetivos específicos:
1º. Apresentar um apanhado histórico, as definições e principais propriedades dos
operadores de ordem fracionária, com o aprofundamento necessário para o correto
entendimento dos conceitos e sua aplicação em problemas de Engenharia sem,
entretanto, abordar os aspectos mais teóricos de natureza matemática.
2º. Estudar, analítica e numericamente, a aplicação do Cálculo Fracionário a uma classe
de problemas considerados de grande relevância no âmbito da Engenharia Mecânica,
que constituem objeto de estudos do grupo de pesquisa do Laboratório de Mecânica de
Estruturas Prof. José Eduardo Tannús Reis, da Faculdade de Engenharia Mecânica da
UFU, a saber, a modelagem de sistemas de controle passivo de vibrações utilizando
materiais viscoelásticos.
4
Além deste primeiro capítulo introdutório, esta Dissertação está estruturada de
acordo com os seguintes capítulos e respectivos conteúdos:
O Capítulo 2 traz um apanhado histórico do Cálculo Fracionário, além das
principais definições e propriedades dos operadores fracionários encontradas na
literatura.
O Capítulo 3 aborda a modelagem fracionária de materiais viscoelásticos no
contexto do controle passivo de vibrações de sistemas mecânicos lineares. Após uma
revisão bibliográfica, são apresentados os modelos viscoelásticos mais utilizados e os
procedimentos para sua inclusão em modelos dinâmicos discretos ou em modelos
contínuos discretizados por elementos finitos.
No Capítulo 4, os modelos implementados computacionalmente, considerados
os mais modernos e eficientes do ponto de vista computacional, são avaliados a partir da
realização de simulações numéricas.
Por fim, o Capítulo 5 traz as conclusões acerca do trabalho realizado, além de
sugestões para trabalhos futuros.
CAPÍTULO II
HISTÓRICO E FUNDAMENTOS DO CÁLCULO FRACIONÁRIO
Neste capítulo são apresentados os fundamentos do Cálculo Fracionário, sendo
primeiramente descrito um breve histórico através do qual são introduzidas as principais
definições e notação utilizada na literatura. Em seguida, são apresentadas as principais
definições e propriedades da derivada e integração de ordem arbitrária, bem como
alguns dos principais esquemas numéricos propostos para a resolução de problemas
modelados por operadores fracionários.
2.1. Aspectos históricos do Cálculo Fracionário
Segundo Podlubny (1996), a denominação “Cálculo Fracionário” é um exemplo
de terminologia matemática inapropriada, que não traduz precisamente o significado
que deveria traduzir. Este autor define o Cálculo Fracionário como sendo a “teoria de
integrais e derivadas de ordem arbitrária (não necessariamente fracionária), que
unifica e generaliza as noções de diferenciação de ordem inteira e integrações
múltiplas”.
O livro de Oldham e Spanier (1974) apresenta, em ordem cronológica, uma
seqüência de eventos que compõem um amplo apanhado histórico acerca das
contribuições de matemáticos célebres para o surgimento e o desenvolvimento do
Cálculo Fracionário. Miller e Ross (1993) trazem um levantamento histórico similar.
Segundo estes últimos autores, a pergunta original que levou à denominação Cálculo
Fracionário foi: pode o significado da derivada de ordem inteira
nn
dydx
ser
estendido para o caso em que n for uma fração? Posteriormente, esta pergunta tornou-
6
se: pode n ser qualquer número: fracionário, irracional ou complexo? Como a segunda
pergunta foi respondida afirmativamente, o nome cálculo fracionário tornou-se
inapropriado e esta teoria deveria, preferencialmente, ser denominada integração e
diferenciação de ordem arbitrária. Estes autores apresentam as discussões inicialmente
conduzidas por diversos matemáticos célebres (L’Hôpital, Leibniz, Wallis, Euler,
Lagrange, Lacroix, Laplace, Fourier) na busca das respostas às questões colocadas
acima, relatando, muitas vezes, correspondências, às vezes curiosas, trocadas entre eles.
Os autores destacam o trabalho de Lacroix que, partindo da função , com m
inteiro positivo, desenvolveu a seguinte expressão para a derivada de ordem n:
m
yx=
()
!
!
n
mn
n
dy m
x
,m n,
mn
dx
−
=
−
≥
(2.1)
e utilizando a função Gama para o fatorial generalizado, ele chegou a:
()
()
Γ 1
Γ 1
n
mn
n
m
dy
x
,m n,
mn
dx
−
+
=≥
−+
(2.2)
Lacroix ainda fornece o exemplo para m =1 e n = ½, obtendo:
(
)
()
12
12
12
Γ 2
2
Γ 32
dy x
x
dx
π
==
(2.3)
Miller e Ross (1993) também mencionam os trabalhos de Abel, a quem atribuem a
primeira aplicação do cálculo fracionário na resolução de uma equação integral que
aparece na modelagem do problema da tautócrona, que consiste em determinar a
equação da trajetória descrita por uma partícula que desce sem atrito, sob a ação da
gravidade, de um ponto a outro, de modo que o tempo transcorrido seja
independentemente do ponto de partida. Para este problema, se o tempo de deslizamento
da partícula, denotado por k, é conhecido, obtém-se a seguinte equação integral:
() ()
12
0
x
kxtft
−
=−
∫
dt
(2.4)
7
onde a função f(t) deve ser determinada.
A integral da Eq. (2.4), exceto por um fator multiplicativo
(
1 Γ 12
)
, é um caso
particular da integral definida que define a integração fracionária de ordem ½. Abel
expressou o lado direito da Eq. (2.4) sob a forma
(
)
12
12
dfx
dx
π
−
−
e aplicou o operador
12
12
d
dx
em ambos os lados da equação resultante, obtendo:
()
12
12
dk
f
x
dx
π
=
,
dado que os operadores fracionários, sob determinadas condições satisfeitas por f, têm a
propriedade
12 12 0
DD f Df f
−
==
. Assim, computando a derivada de ordem ½ de k,
f(x) pode ser determinada, observando-se que, curiosamente, a derivada de ordem
fracionária de uma constante não é sempre nula, fato que causou grande controvérsia.
No apanhado histórico de Miller e Ross (1993) é também dado destaque à
contribuição de Liouville, que produziu numerosas publicações e foi exitoso no uso do
cálculo fracionário a problemas da teoria potencial. O ponto de partida para os
desenvolvimentos teóricos de Liouville é o seguinte resultado amplamente conhecido
para derivadas de ordem inteira:
max max
D
eae= (2.5)
onde indica a derivação de ordem
m em relação à variável independente x.
m
D
Liouville estendeu esta propriedade à derivadas de ordem arbitrária
ν e admitiu,
ainda, que a derivada de uma função arbitrária
(
)
f
x que pode ser expandida em séries
da forma
()
0
ax
n
n
n
f
xce
∞
=
=
∑
, Re > 0, (2.6)
n
a
é dada por:
8
()
0
ax
n
nn
n
D
fx cae
ν
∞
=
=
∑
ν
>
(2.7)
A Eq. (2.7) é conhecida com a primeira fórmula de Liouville para a derivada
fracionária, sendo aplicável para qualquer número ν racional, irracional ou complexo,
sendo, todavia, limitada apenas a funções exponenciais da forma expressa pela Eq.
(2.6).
Para obter sua segunda definição, Liouville partiu da seguinte integral definida,
relacionada à definição da função Gama:
1
0
00
axu
Iuedu,a,x
∞
−−
=>
∫
,
a qual, com a mudança de variável xu=t, leva a:
()
1
0
Γ
aa t a
I
xtedtx a
∞
−−− −
==
∫
, (2.8)
donde:
()
Γ
a
I
x
a
−
=
,
sendo
()
1
0
Γ
at
ated
∞
−−
=
∫
t,
a conhecida função Gama.
Aplicando o operador
D
ν
a ambos os lados da Eq. (2.8), obtém-se:
()
()
1
Γ
a
Dx
a
ν
ν
−
−
=
1
0
axu
ued
ν
∞
+− −
∫
u (2.9)
9
Deste resultado, Liouville extraiu sua segunda definição para a derivada
fracionária:
() ( )
()
1 Γ
0
Γ
aa
a
Dx x ,a
a
ν
νν
ν
−−
−+
=>
−
(2.10)
Aos trabalhos de Liouville seguiu-se intensa controvérsia e confrontação entre
suas definições com as de Abel e Lacroix, discutidas anteriormente.
G. F. Bernhard Riemann desenvolveu sua teoria da integração fracionária, mas
seus trabalhos somente foram publicados em 1892, após a sua morte. Ele buscou a
generalização de uma série de Taylor e obteve:
()
()
() () (
1
1
Ψ
Γ
x
c
Dfx xt ftdt x
ν
ν
ν
−
−
=− +
∫
)
(2.11)
onde a função complementar
()
Ψ
x
foi incluída para evitar a ambigüidade na escolha
do limite inferior de integração c, como uma forma de quantificar o desvio desta
definição da lei dos expoentes que estabelece, para um dado limite inferior de
integração:
() ()
cxcx cx
DDfx D fx
νμ μν
−− −−
=
(2.12)
onde os subscritos c e x, adicionados aos operadores, explicitam os limites de
integração.
A inclusão da função complementar foi vista por Cayley como uma dificuldade
inerente à teoria de Riemman e foi motivo de debate e um engano de interpretação
cometido por Liouville.
Em meados do Século 19, Liouville e Hargreave propuseram a seguinte
generalização da fórmula de Leibniz para a derivada de ordem
ν
, não inteiro positivo,
de um produto de funções:
() () () ()
0
nn
n
Dfxgx DfxD gx
n
νν
ν
∞
−
=
⎛⎞
=
∑
⎜⎟
⎝⎠
(2.13)
10
onde
são operadores diferenciais de ordens inteiras,
n
D
n
D
ν
−
são operadores de
ordem fracionária e
()( )
Γ 1 Γ 1
!
n
n
n
ν
νν
+
−+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(2.14)
é o coeficiente binomial generalizado.
O primeiro trabalho que levou à definição moderna da derivada fracionária de
Riemann-Liouville parece ter sido um artigo publicado por Sonin, em 1869, cujos
resultados foram estendidos nos anos seguintes por Letnikov. Estes estudos partiram da
derivada de ordem n da fórmula integral de Cauchy, expressa segundo:
()
()
()
1
!
2
n
n
C
f
n
D
fz d
i
z
ζ
ζ
π
ζ
+
=
∫
−
(2.15)
a qual pode ser generalizada para n não inteiro mediante a utilização do método de
integração em um contorno, desenvolvido posteriormente por Laurent, que conduziu à
definição:
()
()
() ()
1
1
0
Γ
x
cx
c
Dfx xt ftdt,Re
ν
ν
ν
ν
−
−
=
−>
∫
(2.16)
Quando x > c, obtém-se a definição de Riemann, dada pela Eq. (2.11), mas sem a
função complementar. A versão mais utilizada é aquela em que c = 0,
()
()
() ()
1
0
0
1
0
Γ
x
x
Dfx xt ftdt,Re
ν
ν
ν
ν
−
−
=
−>
∫
(2.17)
Deve-se observar que esta forma da integral fracionária é denominada integral
fracionária de Riemann-Liouville. Uma condição suficiente para que a Eq. (2.16)
convirja é:
11
(
)
1
1
0fOx,
x
ε
ε
−
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠
(2.18)
Quando a Eq. (2.16) torna-se
c =−∞
()
()
() ()
1
1
0
Γ
x
x
Dfx xt ftdt,Re
ν
ν
ν
ν
−
−
−∞
−∞
=−
∫
>
(2.19)
para a qual, uma condição necessária de convergência é
()
(
)
0fxOx , ,x
νε
ε
−−
−= > →∞
(2.20)
O histórico apresentado por Miller e Ross (1993) é concluído com um apanhado
dos desenvolvimentos ocorridos no Século 20, sendo comentado que uma modesta
quantidade de trabalhos dedicados ao cálculo fracionário foi publicada no período de
1900 a 1970. A partir deste período, houve significativa dinamização da pesquisa sobre
o assunto, com aumento do número de publicações, incluindo vários livros, e a
realização de conferências internacionais em 1974, 1984 e 1989. Os autores comentam
que o Cálculo Fracionário encontra aplicações em praticamente todos os ramos da
Ciência e da Engenharia e que, não obstante, ainda não estava incluído, na época em
que publicaram seu livro, nos currículos universitários, possivelmente porque os
matemáticos não estavam familiarizados com sua utilização.
2.2. Abordagem moderna do Cálculo Fracionário
O apanhado histórico apresentado na seção anterior deixa claro que foram
propostas várias definições alternativas para os operadores fracionários, as quais
resultaram nas definições atualmente utilizadas, sumarizadas nesta Seção.
Considerem-se séries infinitas de integrais e derivadas múltiplas de uma função
arbitrária
()
f
t
:
12
()
11
t
a
f
d,
τ
τ
∫
()
2
211
t
aa
d f d ...
τ
τττ
∫∫
2
2
df d f
, ,...
dt
dt
A derivada de ordem arbitrária α, denominada de forma abreviada derivada
fracionária, pode ser considerada como uma interpolação desta sequência de
operadores. Seguindo a escolha de Podlubny, será adotada a notação:
()
at
Dt
α
onde os subscritos a e t denotam os limites relacionados à operação de diferenciação
fracionária, conforme será evidenciado mais adiante. Estes limites são denominados
terminais da diferenciação fracionária. A terminologia integrais fracionárias designa
integrações de ordem arbitrária, e correspondem a valores de ordem negativos. Desta
forma, a integral fracionária de ordem β >0, será denotada por
()
at
Dt
β
−
Por extensão da terminologia descrita acima, uma equação diferencial
fracionária é uma equação diferencial que contém derivadas de ordem fracionárias;
uma equação integral fracionária é uma equação integral que contém integrais de
ordem fracionária. Dentre as várias definições propostas, neste estudo foi dada ênfase às
definições de Grünwald-Letnikov e de Liouville, que são detalhadas nas seções que
seguem.
2.2.1. Derivada e integração de ordem arbitrária de Grünwald-Letnikov
Seja uma função contínua
(
)
yft=
()
. Segundo a conhecida definição, a derivada
de primeira ordem da função
f
t
é dada por:
13
()
()
(
)
0h
f
tfth
df
f t lim
dt h
→
−−
′
==
(2.21)
Aplicando esta definição duas vezes obtém-se, para a derivada de segunda ordem,
a expressão:
()
()
(
)
(
)
2
22
0
22
h
f
tfthfth
df
f t lim
dt h
→
−−+−
′′
==
(2.22)
Similarmente, para a derivada de terceira ordem, tem-se:
()
()
(
)
(
)
(
)
3
33
0
332
h
3
f
tfthfthfth
df
ft lim
dt h
→
−−+−−−
′′′
==
(2.23)
Por indução, para a derivada de ordem n, escreve-se:
()
() () (
0
0
1
1
n
n
r
n
nn
h
r
n
df
)
f
t lim f t rh
r
dt h
→
=
⎛⎞
== − −
∑
⎜⎟
⎝⎠
(2.24)
onde
()
()
(
)
(
)
12
!
!! !
n
nn n n r
n
r
nrr r
−− −+
⎛⎞
==
⎜⎟
−
⎝⎠
1
(2.25)
são os conhecidos coeficientes binomiais.
Considere-se agora a seguinte expressão que generaliza as frações que aparecem
nos lado direito da Eq. (2.25):
()
() () ( )
0
1
1
n
r
p
h
p
r
p
f
tf
r
h
=
⎛⎞
=− −
∑
⎜⎟
⎝⎠
trh
(2.26)
onde p é um número inteiro arbitrário e n é um número inteiro.
14
Evidentemente, para p
≤
n tem-se:
()
()
()
()
0
p
pp
h
p
h
df
lim f t f t
dt
→
==
(2.27)
uma vez que, nestas condições, todos os coeficientes binomiais posteriores a
p
p
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
são
nulos.
Considerem-se agora valores negativos de p. Por conveniência, introduz-se a
notação:
()( )
(
)
12
!
p
pp p p r
r
r
1
+
++
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
−
(2.28)
Substituindo, em Eq. (2.26), p por −p, escreve-se:
()
() ()
0
1
n
p
h
p
r
p
f
tf
r
h
−
=
⎡⎤
=−
∑
⎢⎥
⎣⎦
trh
(2.29)
Se n for fixado,
(
)
()
p
h
f
t
−
tende a zero quando h→0. Para evitar esta condição,
deve-se supor n →∞ quando h
→
0. Neste caso, pode-se tomar
ta
h
n
−
=
onde a é um
número real constante. Nestas condições, denotar-se-á:
(
)
() ()
0
p
p
at
h
h
n.h t a
lim f t D f t
−
−
→
=−
=
(2.30)
Note-se que denota um operador aplicado à função f (t), nele
intervindo os terminais a e t. Para apreender o significado deste operador, faz-se o
desenvolvimento para p=1:
()
p
at
Dft
−
()
() ()
1
1
0
1
n
h
r
p
f
tf
r
h
−
−
=
⎡⎤
=−
∑
⎢⎥
⎣⎦
trh
(2.31)
15
Levando em conta que a=t
−
nh e que a função f (t) é admitida contínua, conclui-
se que:
()
() () ( ) ( )
1
1
0
0
ta t
at
h
h
a
nh t a
lim f t D f t f t z dz f d
τ
τ
−
−
−
→
=−
==−=
∫∫
(2.32)
A generalização deste procedimento para valores arbitrários de p leva à seguinte
expressão, que pode ser obtida por indução:
()
() ()
()
() ()
1
0
1
1!
t
p
p
p
at
h
h
a
nh t a
lim f t D f t t f d
p
τ
ττ
−
−
−
→
=−
==−
∫
−
(2.33)
Deve-se mostrar agora que a Eq. (2.33) representa uma integral múltipla de
ordem p. Primeiramente, derivando a Eq.(2.33), obtém-se a relação:
()
()
()
() () (
2
1
1
2!
t
p
pp
at at
a
d
Dft t f d D ft
dt p
τττ
−
−−
=− =
∫
−
)
+
t
dt
(2.34)
a partir da qual pode-se escrever:
() ()
()
1
t
pp
at at
a
Dft D ftd
−−+
=
∫
() ()
()
12
t
pp
at at
a
Dft Dft
−+ −+
=
∫
() ()
()
23
t
pp
at at
a
Dft Dftdt
−+ −+
=
∫
Estas relações podem ser combinadas da seguinte forma:
16
() ()
()
()
()
()
2
3
1vezes
tt
pp
at at
aa
ttt
p
at
aaa
tt tt
aa aa
p
Dft dt D ftdt
dt dt D f t dt
dt dt dt f t dt
−−+
−+
−
=
∫∫
=
∫∫∫
=
∫∫ ∫∫
(2.35)
Conclui-se, pois, que a derivada de ordem inteira de ordem n representada pela
Eq. (2.26) e a integral múltipla de ordem p, expressa pela Eq. (2.33) de uma função
contínua
()
f
t
são casos particulares da expressão geral:
()
p
at
Dft
=
() (
0
0
1
1
n
r
p
h
r
tanh
p
lim f t rh
r
h
→
=
−=
⎛⎞
−−
∑
⎜⎟
⎝⎠
)
(2.36)
que representa a derivada de ordem m se p=m e a integral múltipla de ordem m, se
p=
−
m. Esta constatação conduz à generalização das noções de integração e
diferenciação admitindo-se que, na Eq. (2.36), p possa ser um número arbitrário real ou
complexo. Nas seções seguintes será considerado apenas o caso em que p é um número
real.
Considera-se primeiramente p < 0, o que caracteriza a integração de ordem
arbitrária. Neste caso, a Eq. (2.36) toma a forma:
()
p
at
Dft
−
=
()
0
0
n
p
h
r
tanh
p
lim h f t rh
r
→
=
−=
⎡⎤
−
∑
⎢⎥
⎣⎦
(2.37)
A partir da demonstração da existência do limite indicado na Eq. (2.37)
(Podlubny, 1996), pode-se mostrar que:
()
p
at
Dft
−
=
()
()
() ()
1
0
0
1
t
n
p
p
h
r
a
tanh
p
lim h f t rh t f d
r
p
τ
ττ
Γ
−
→
=
−=
⎡⎤
−= −
∑
∫
⎢⎥
⎣⎦
(2.38)
17
onde
()
1
0
Γ
pt
p
tedt
∞
−−
=
∫
é a função Gama.
Após integrações por partes, a Eq. (2.38) pode ser expressa sob a seguinte forma
alternativa:
()
p
at
Dft
−
=
(
)
()( )
()
()
()
()
()
1
0
1
11
pk
k
t
m
pm
m
k
a
fata
tf
pk pk
d
τ
ττ
+
+
+
=
−
+−
∑
∫
Γ++ Γ++
(2.39)
Para a derivada de ordem arbitrária, deve-se avaliar o limite:
()
p
at
Dft
=
() (
0
0
1
n
r
p
h
r
tanh
p
lim h f t rh
r
−
→
=
−=
⎛⎞
−−
∑
⎜⎟
⎝⎠
)
(2.40)
o qual, de acordo com Podlubny (1996), assume a forma:
()
p
at
Dft
=
(
)
()( )
()
()
()
()
()
1
0
1
11
pk
k
t
m
pm
m
k
a
fata
tf
pk pk
d
τ
ττ
−+
−+
+
=
−
+−
∑
∫
Γ− + + Γ− + +
(2.41)
A Eq. (2.41) foi obtida admitindo que as derivadas
(
)
()
k
f
t
(k=1,2, ..., m+1) são
contínuas no intervalo fechado [a;t] e que m é um número inteiro satisfazendo a
condição m > p
−
1. O menor valor possível para m é determinado pela desigualdade m
< p < m +1.
As relações seguintes traduzem as seguintes propriedades da derivada e integração
de ordem arbitrária de Grünwald-Letnikov:
•
Composição de derivadas de ordem arbitrária e derivadas de ordem inteira
()
()
()
n
ppn
at at
n
d
Dft D ft
dt
+
=
(2.42)
18
()
()
()
n
n
pp
at at
nn
dft
d
DDft
dt dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(
)
()( )
()
1
0
1
pnk
k
n
k
fata
pnk
−
−+
−
=
−
−
∑
Γ−−++
(2.43)
n
n
d
esta última equação mostra que os operadores
dt
e são comutativos somente se
n
at
D
()
()
012
k
1
f
a ,k , ,...,n== −
.
•
Composição de derivadas e integrais de ordem arbitrária
Considerando dois operadores
p
q
atat
D,D
, tem-se:
()
()
()
()
()
qp pq pq
at at at at at
D Dft D Dft D ft
+
==
1
(2.44)
()
k
()
012
f
a ,k , ,...,n
=
=−
. somente se
2.2.2. Derivada e integração de ordem arbitrária de Riemman-Liouville
A derivada de Riemann-Liouville de ordem arbitrária p, de uma função f(t) é
definida segundo:
() () ()( )
1
1
m
t
mp
p
at
a
d
ft t f d,m p m
dt
τττ
+
−
⎛⎞
=− ≤≤+
∫
⎜⎟
⎝⎠
D
(2.45)
A definição da derivada de Grünwald-Letnikov dada pela Eq. (2.41), obtida
admitindo que a função f(t) tem m+1 derivadas contínuas pode ser obtida da Eq. (2.45)
sob a mesma hipótese, efetuando sucessivas integrações por partes. Desta forma,
considerando a classe de funções continuamente diferenciáveis m+1 vezes, as definições
de Riemann-Liouville e de Grünwald-Letnikov são equivalentes.
Seguindo o procedimento de Podlubny (1996), mostrar-se-á que a definição da
Eq.(2.45) permite unificar os operadores de derivadas e integrações de ordem inteira e,
subsequemente, poderá ser estendida aos operadores de ordem arbitrária.
19
Supondo que f(t) seja contínua e integrável no intervalo (a ; t), então a integral
() ( )
1
t
a
f
tfd
τ
τ
−
=
∫
() () () ( ) ()
1
2
11
tttt
aa a a
existe e assume um valor finito, o qual é nulo quanto a → t.
Efetuando integrações múltiplas, pode-se escrever:
t dfd fdd t fd
τ
τ
f
τ
ττ τττ τ ττ
−
===−
∫∫ ∫ ∫ ∫
() () () ( ) ()
1
2
11
tttt
aa a a
f
t dfd fdd t fd
τ
τ
τ
ττ τττ τ ττ
−
===−
∫∫ ∫ ∫ ∫
Por indução, chega-se à fórmula de Cauchy:
()
()
() ()
1
1
t
n
n
a
f
ttf
n
d
τ
ττ
−
−
=−
∫
Γ
(2.46)
Supondo que n > 1 seja um inteiro fixo e tomando outro inteiro k ≥ 0, escreve-
se:
()
()
()
() ()
1
1
t
n
kn
k
a
f
tDtf
n
d
τ
ττ
−
−−
−
=−
∫
Γ
(2.47)
onde (k ≥ 0) denota k integrações sucessivas.
k
D
−
De forma similar, supondo que n > 1 seja um inteiro fixo e tomando outro
inteiro k ≥ n, escreve-se:
()
()
()
() ()
1
1
t
n
kn
k
a
f
tDtf
n
d
τ
ττ
−
−
=−
∫
Γ
(2.48)
onde (k ≥ 0) denota k derivações sucessivas.
k
D
20
Para estender a noção de integrações múltiplas a valores não inteiros de n, pode-
se partir da fórmula de Cauchy da Eq. (2.46), e substituir n por um número real p > 0:
()
()
() ()
1
1
t
p
p
at
a
f
ttf
p
d
τ
ττ
−
−
=−
∫
Γ
D
(2.49)
Se
()
f
t
for contínua em (t ; a), então a integração de ordem arbitrária definida
na Eq. (2.49) tem a seguinte propriedade:
()
()
()
pq pq
at at at
DDft Df
−− −−
= t
(2.50)
A representação da Eq. (2.48) para a derivada de ordem k
−
n possibilita a
extensão ao caso de diferenciação de ordem não inteira, o que pode ser feito mantendo k
inteiro e substituindo n por um número real α de modo que k
−
α > 0. Este procedimento
conduz a:
()
()
()
() ()(
1
1
01
t
k
k
at
a
ft D t f d,
α
α
τττα
α
−
−
=− <
∫
Γ
D
)
≤
(2.51)
ou, alternativamente,
()
()
() ()(
1
1
1
t
kp
pk
at
a
)
f
tDt fd,kp
τττ
α
−−
=− −≤
∫
Γ
D k<
(2.52)
Uma propriedade dos operadores de ordem arbitrária de Riemann-Liouville é:
()
()
()
pq pq
at at at
f
tf
−−
=DD D t
(2.53)
21
que tem, como caso particular:
()
()
()
pp
at at
f
tf
−
=DD t
)
(2.54)
Os operadores de derivação e de integração de ordem arbitrária não são
comutativos, ou seja:
()
()
() ()
()
(
1
1
p
j
k
pq qp qj
at at at at
j
ta
ta
ft ft ft
pj
−
−−−
=
=
−
⎡⎤
=−
∑
⎣⎦
+
−
DD D D
Γ
(2.55)
•
Composição de derivadas de ordem inteira
Sendo p real positivo e n inteiro, tem-se:
()
()
n
ppn
at at
n
dft
f
t
dt
+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
DD
(
)
()( )
()
1
0
1
pnj
j
n
j
fata
pn j
−
−+
−
=
−
−
∑
Γ−−++
(2.56)
que é idêntica à propriedade traduzida pela Eq. (2.43).
•
Composição com derivadas de ordem arbitrária
Sendo p e q reais positivos, tem-se a propriedade:
()
()
()
qp pq
atat at
f
tf
+
=DD D t
()
()
()
1
1
qj
m
pj
at
j
ta
ta
ft
qj
−
−
−
=
=
−
⎡⎤
−
∑
⎣⎦
Γ
−−
D
(2.57)
•
Linearidade
22
() ()
()
() ()
pp
Dftgt DftDgt
αβ α β
+= +
p
(2.58)
onde
p
D
designa qualquer uma das diferenciações de ordem arbitrária consideradas
anteriormente.
•
Regra de Leibniz (derivada do produto de duas funções)
Se
()
f
t
e
(
)
gt
e suas derivadas são contínuas em [a ; t], tem-se:
() ()
()
()
() ()
0
k
pp
at at
k
p
Dftgt f tDgt
k
∞
−
=
⎛⎞
=
∑
⎜⎟
⎝⎠
k
(2.59)
•
Transformadas de Laplace de integrais de ordem arbitrária de Grünwald-
Letnikov e de Riemann-Liouville
Partindo da definição da integração de ordem arbitrária dada pela Eq. (2.49), na
qual faz-se a = 0, pode-se reescrevê-la utilizando a definição de convolução de duas
funções:
() ()
()
() ()
()
()
1
1
11
t
p
pp p
at at
a
Dft ft t f d t ft
pp
τττ
−
−− −
==− =∗
∫
ΓΓ
D
(2.60)
Levando em conta que a transformada de Laplace de
1
p
t
−
é:
{
}
()
1
p
p
L
tp
−−
=Γ s
(2.61)
e considerando que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao
produto das respectivas transformadas de Laplace, obtem-se o seguinte resultado para a
transformada de Laplace da integral de ordem arbitrária de Grünwald-Letnikov e
Riemann-Liouville:
23
()
{
}
()
{
}
()
00
pp
tt
p
L
Dft L ft sFs
−−−
==D
(2.62)
•
Transformadas de Laplace de derivadas de ordem arbitrária de Riemann-
Liouville
()
{
}
() () ( )
1
1
0
0
0
1
n
pp kpk
tt
k
t
L
ft sFs s ft n p n
−
−−
=
=
⎡⎤
=− −≤<
∑
⎣⎦
DD
(2.63)
Segundo Podlubny (1996), a utilidade prática da transformada de Laplace das
derivadas de ordem arbitrária de Riemann-Liouville é limitada pela inexistência de
significado físico para as os valores das derivadas de ordem arbitrária que devem ser
avaliadas no extremo t = 0 (que aparecem como condições iniciais no caso de equações
diferenciais).
•
Transformadas de Laplace de derivadas de ordem arbitrária de Grünwald-
Letnikov
()
{
}
()
0
01
pp
t
L
Dft sFs, p=≤≤
(2.64)
2.3. A aplicação dos operadores de derivação e integração de ordem arbitrária a
funções elementares
As equações abaixo mostram os resultados da aplicação dos operadores de ordem
fracionária a algumas das funções elementares mais frequentemente utilizadas.
(
)
()
1
1
Dt t
α
γαγ
,
γ
γα
+
Γ+
=
Γ++
0
α
> , 1
γ
>− , . (2.65) 0t >
(
)
xx
eeD
λαλα
λ
= , para qualquer IR
∈
λ
. (2.66)
24
()()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
πα
αα
xasenaxasenD
, com IRa
∈
(2.67)
()()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
coscos
πα
αα
xaaxaD
, com
IRa
∈
(2.68)
()
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=±=
±
22
coscos
παπα
ααα
xsenixxsenDixDeD
xi
(2.69)
()
αα
α
t
k
kD
1+Γ
=
−
, 0>
α
(2.70)
onde é uma constante.
k
2.4 Estimação numérica de derivadas e integrais de ordens arbitrárias
Para a avaliação numérica das derivadas e integrais de ordem arbitrária de ordem
α, se intervalo de tempo T=t-a for discretizado em N pontos, de modo que
hTN= ,
então a Eq. (2.40) pode ser expressa sob a forma:
() ()
1
0
lim 1
N
j
at
N
j
T
Dft ft j
j
NN
α
α
α
−
−
→∞
=
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞
== − −
⎢
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠⎢⎥
⎣⎦
∑
t
⎥
(2.71)
e a estimação das integrais e derivadas fracionárias pode ser feita pelo truncamento da
soma infinita presente na Eq. (2.50):
()
at
Dft
α
=
1
1
0
N
j
j
Tt
Aftj
NN
α
−
−
+
=
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞
≈−
⎢⎥
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
∑
(2.72)
onde os chamados coeficientes de Grünwald
25
()
()( )
1
1
j
j
A
j
α
α
+
Γ−
≡
Γ− Γ +
resultam da extensão da definição dos coeficientes binomiais para
p
j
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
valores de p não
inteiros.
Uma redução adicional nos cálculos é obtida utilizando a propriedade:
() ( ) ( )
1xx xΓ=−Γ−1,
a partir da qual consegue-se a relação recursiva:
1
1
jj
j
p
A
j
+
−−
= A
(2.73)
Limitando-se à análise das derivadas fracionárias, tem-se que
0
α
>
e que:
1
1
1
para
jjj
j
AAA
j
α
j
α
<
+
−−
=<
>
(2.74)
Isto mostra que a série dos termos
1j
A
+
é estritamente decrescente a partir do
momento em que
j
se torna maior do que
α
. Quando
j
→+∞, tem-se que:
()
()
()
()
(
)
()
1
11
lim lim lim
11
j
jj j
j
j
A
jj
α
αα
+
→+∞ →+∞ →+∞
Γ− Γ
=<
Γ− Γ + Γ− Γ +
(2.75)
para
2j
α
>+, já que a função gama
(
)
x
Γ é estritamente não-decrescente para .
Como
2x ≤
j
IN∈ , tem-se que
()
1!
j
jΓ+=, e assim:
()
()
()
1
1!
11
lim lim lim 0
!
j
jj j
j
A
jj
αα
+
→+∞ →+∞ →+∞
−
⎛⎞
<=
⎜⎟
Γ− Γ−
⎝⎠
1
= (2.76)
26
À medida que o índice
j
toma valores maiores, os coeficientes de Grünwald vão
se tornando pesos de valores menores da função
f
que estão situadas mais ao passado.
Esta é a razão do desaparecimento de eventos conforme o tempo passa. Esta
propriedade recebe o nome de “memória fraca” e possibilita o truncamento da Eq.
(2.63).
2.5 Técnicas Numéricas de Resolução Aproximada de Sistemas de Equações
Diferenciais de Ordem Fracionária.
Existem vários métodos para resolver sistemas de equações diferenciais de ordem
não inteira, dentre os quais podem se citar: transformadas de Laplace e de Fourier (Gaul
et al., 1989; Miller e Ross, 1993 e Podlubny, 1999); expansões via autovetores (Suarez
e Shokooh, 1997); fórmula integral de Laguerre (Yuan e Agrawal, 2002); solução direta
através de aproximações desenvolvidas por Grünwald-Letnikov (Podlubny, 1999);
expansões através de séries de Taylor truncadas (Machado, 2001); método da
representação difusiva (Heleschewitz e Matignon, 1998); representações de estado
aproximadas (Aoun et al., 2003), além de outros métodos numéricos (Padovan, 1987;
Diethelm e Ford, 2004; Diethelm et al., 2005 e Kumar e Agrawal, 2005).
Para ilustrar algumas técnicas de resolução de equações diferenciais de ordem
fracionária, considere-se um problema genérico do tipo:
() ()
(
,Dyt ftyt
α
=
)
(2.77)
com condições iniciais:
()
()
()
0
0
ii
y
y=
, , (2.78) 1, , 1in=… −
onde representa o menor número inteiro maior ou igual a
n
α
.
Este problema é equivalente a:
() ()
()
() ()
()
1
0
1
,
t
y
tgt t fy d
α
τ
ττ
α
−
=+ −
Γ
∫
τ
(2.79)
27
()
()
1
0
0
!
n
i
i
i
t
gt y
i
−
=
=
∑
(2.80)
que caracteriza uma equação integral de Volterra. Considerando um tempo máximo de
simulação , e discretizando-o em segmentos iguais, define-se o passo entre cada
tempo ,
T
tj
=
N
j
h
N0, ,j
=
…
como sendo dado por
hTN
=
. Assumindo que
aproximações para os valores de
(
)
yt tenham sido dadas para cada com
j
tT<
0, ,
j
m= … , e admitindo que
y
e
(
)
(
)
,
f
tyt variam linearmente a cada passo, pode-se
obter a aproximação:
()
()
(
)
1
11 ,1
0
,
2
m
j
j
mm jm
j
h
y
gaft
α
α
+
++ +
=
==
Γ+
∑
yt (2.81)
()
()
()
()
()
1
11
1
,1
1,
se 0
221,se 1
se 1
1,
jm
mm m
j
amj mjmj j
jm
α
α
αα
α
α
+
++
+
+
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
−+
=
=−+ +− −+ ≤≤
m
=
+
, . (2.82) 0, , 1
mN=… −
Aproximações não lineares (quadráticas ou cúbicas) também podem ser feitas.
São detalhados, a seguir, dois métodos, sendo deles um método direto, que visa a
aproximar o operador derivativo-fracionário, e um método indireto, que envolve
representação aproximada no espaço de estado, ambos sugeridos por Poinot (2003).
2.5.1 Método Direto
Neste método, usam-se aproximações numéricas para se obter fórmulas de
recorrência ao invés do operador de derivada fracionária. Como existem vários tipos de
aproximações, será utilizada a mais usual, dada pela definição de Grünwald, de acordo
com Miller e Ross (1993):
()
()
()
(
)
0
0
1
lim 1
n
k
nn
h
k
n
d
f
Kh f K k h
k
dt h
∞
→
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=− −
∑
(2.83)
28
()
(
)
()
12
!
nn n n k
n
k
k
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−− −+
=
… 1
. (2.84)
onde
h é o período de amostragem. Tomemos por base a equação diferencial de ordem
fracionária definida a seguir:
()
() ()
00
n
n
dyt
ayt but
dt
+=
. (2.85)
Utilizando a aproximação dada pela Eq. (2.83) na Eq. (2.85), obtém-se a resposta
do sistema como sendo dada por:
()
()
()
()
(
)
0
1
0
1
1
k
K
n
k
n
n
bu Kh y K k h
k
h
yKh
a
h
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−
−−
=
+
∑
. (2.86)
2.5.2 Método Indireto
De acordo com a teoria do cálculo fracionário, a integração é a inversa da
derivação. A definição do operador
(
)
sD
n
1−
no domínio de Laplace é feita de maneira tal
que seu gráfico de Bode seja simétrico ao gráfico de
(
)
sD
n
.
()
n
h
b
n
n
s
s
s
G
sD
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
ω
ω
1
1
1
(2.87)
Utilizando o integrador
1
s
e o filtro de fase convencional usado por Oustaloup
(1995), dado por:
29
()
1
1
1
N
i
v
i
i
s
j
Aj
s
j
ω
ω
ω
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
+
′
=
+
∏
⎠
(2.88)
com
N células e definido pelos parâmetros
i
ω
′
,
i
ω
,
α
,
η
(sendo
1
ω
′
a menor pulsação e
N
ω
a maior pulsação), chega-se à aproximação do operador
(
)
sD
n
1−
:
()
i
i
N
i
n
n
s
s
s
G
sD
ω
ω
+
+
∏=
=
−
1
1
'
1
1
(2.89)
Nota-se que é caracterizado pelos seguintes parâmetros:
()
sD
n
1
−
•
1
ω
′
e
N
ω
definem a faixa de freqüência
• N é a quantidade de células
•
α
e
η
são parâmetros recursivos para uma ordem n não inteira
•
n
G é definido em ordem a se ter um mesmo ganho para
1
n
s
e
()
sD
n
1
−
na
pulsação 1
u
ω
= rad/s.
As relações recursivas são dadas a seguir:
ii
ω
αω
=
′
1
i
i
ω
ηω
−
=
′
log
1
log
n
α
α
η
=−
1
n
Nn
N
ω
η
ω
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
′
1 n
n
αη
−
=
1
1
1
1
N
i
n
i
i
j
G
j
ω
ω
=
+
′
=
+
∏
(2.90)
Como é composto por um produto de células, conforme ilustrado na Fig.
2.1, adotam-se as variáveis de estado como as saídas de cada uma das células.
()
sD
n
1−
30
Figura 2.1 - Diagrama de .
()
sD
n
1
−
Assim, chega-se à seguinte equação:
(
1
111
1
n
n
nnn
n
)
n
x
xxx
ω
ω
ω
−
−−−
−
−+= −
′
1
1
n
n
ω
α
ω
−
−
=
′
(2.91)
Considerando
1n
x
+
:
(
1
nnn
n
xx xx
αω
+
−+ = −
)
1n+
1
n
n
ω
αηω
−
=
(2.92)
A Eq. (2.92) leva à seguinte representação de estado:
1
2
1
10 0
1
01
0
001
I
I
N
M
x
x
x
x
α
α
α
+
⎡
⎤
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
⎣
⎦
=
−
⋅
−
−
1
11
2
22
1
00 0
0
0
0
0
00
I
I
I
n
N
NN
B
x
A
x
G
x
u
x
ωω
ωω
ωω
+
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
−
−
=⋅
−
+⋅
, (2.93)
onde as matrizes
I
M
,
I
A e
I
B
e o vetor
I
x
são apresentados acima. Representa-se o
sistema de equações também na forma algébrica:
31
*
*
I
II
I
x
Ax Bu=+
(2.94)
com
*1
I
II
AMA
−
= e
*
1
I
I
I
B
MB
−
=
.
Considere-se o sistema:
()
()
()
0
0
n
Ys
b
Hs
as
Us
==
+
(2.95)
que é equivalente a:
()
() ()
00
n
n
dyt
ayt but
dt
+=. (2.96)
Define-se
()
x
t
tal que:
() ()
0
1
n
X
sU
sa
=
+
s. (2.97)
Assim:
()
() ()
() ()
00
0
n
n
dxt
axt but
dt
yt bxt
=− +
=
(2.98)
que é equivalente ao seguinte sistema:
32
()
10
0
com
10 1
21 2
n
Ni
Ni
x
Gax u
ybx
isen
isen
+
+
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
=− +
=
=<<
=<<
(2.99)
A partir das equações anteriores, obtém-se a seguinte representação no espaço de
estado:
M
xAxBu=+
,
T
y
Cx= (2.100)
onde:
• Se
01n<<
:
0
00
0
00
n
I
Ga
AA
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
=+
,
I
B
B
=
, ,
10 0
1
0
01
M
α
α
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
=
−
0
00Cb
⎡⎤
⎣⎦
T
=
• Se 12n<<:
0
00
0
n
I
Ga
A
A
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
=
,
0
I
B
B
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
= ,
10 0
11
01
0
00
M
α
α
1
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
−
=
−
−
,
0
00
T
Cb
⎡⎤
⎣⎦
=
2.5.3 Aplicação 1: Método Direto
Para efeito de ilustração, calculou-se a Eq. (2.86), com os seguintes dados:
; ;
0
1a =
0
1b =
()
1ut
=
(degrau unitário), 0,5n
=
e 1,5n
=
. Os resultados da simulação
para
n= 0,5 e n=1,5 são apresentados nas Fig. 2.2 e Fig. 2.3, respectivamente.
33
Figura 2.2 - Gráfico da resposta do sistema para quando
0,5n
=
obtida pelo método
direto.
Figura 2.3 - Gráfico da resposta do sistema para quando 1,5
n
=
obtida pelo método
direto.
2.5.4 Aplicação 2: Método Indireto
Programando a Eq. (2.100) com os dados
0
1a
=
;
0
1b
=
;
5
1
10
ω
−
=
′
rad/s;
5
10
N
ω
= rad/s; 30N
=
;
(degrau unitário);
()
1ut=
0,5n
=
e
1, 5n
=
, obtiveram-se os
gráficos da resposta dados nas Fig. 2.4 e Fig. 2.5, respectivamente.
34
Figura 2.4 - Gráfico da resposta do sistema para quando
0,5n
=
obtida pelo método
indireto.
Figura 2.5 - Gráfico da resposta do sistema para quando 1,5
n
=
obtida pelo método
indireto.
CAPÍTULO III
Aplicação do Cálculo Fracionário em Viscoelasticidade
3.1 Introdução
Viscoelasticidade é uma propriedade apresentada pelos sólidos que, quando
submetidos a forças, apresentam um comportamento misto elástico e viscoso.
Diversos autores utilizaram os conceitos de cálculo fracionário para a modelagem
do comportamento viscoelástico (Bagley e Torvik, 1983; Glockle e Nonnenmacher,
1991; Maia, 1998; Adolfsson et al., 2005; Bagley, 2007; Jia et al., 2007). As derivadas e
integrais de ordem não inteira introduz maior flexibilidade aos modelos para vários
materiais.
Há três décadas o conceito de derivadas fracionárias, em conjunto com sua
aplicação em viscoelasticidade, vem sendo visto como um método de ajuste de curvas.
Bagley e Torvik (1983) apresentam uma justificativa física, tomando por base a teoria
molecular de Rouse, depois modificada por Ferry, culminando em derivadas de ordem
12 na relação tensão-deformação em cisalhamento. Resultados semelhantes são
obtidos pela consideração da teoria molecular de Zimm, acarretando derivadas
fracionárias de ordem
23.
De acordo com Jia et al. (2007), o modelo de Maxwell com derivadas fracionárias
(MMDF) dá ao comportamento viscoelástico melhores representações que aquelas
proporcionadas pelo modelo de Maxwell clássico. O comportamento viscoelástico
apresenta as funções de relaxação e fluência como características importantes de sua
natureza e pode-se mostrar que o MMDF exibe um comportamento de fluido apenas
quando se tem uma derivada fracionária da tensão e uma derivada de primeira ordem da
deformação. Segundo Jia et al. (2007), Hernández-Jiménez ajustou o MMDF aos
37
polímeros PMMA (metilmetacrilato) e PTFE (politetrafluortileno) usando derivadas da
deformação de ordens 0,0520 e 0,6921, respectivamente, evidenciando que cada
polímero representa um material intermediário entre aquele totalmente elástico e um
fluido perfeito.
Além disso, os mesmos autores comentam que os materiais viscoelásticos têm um
comportamento intermediário entre esses tradicionalmente associados a sólidos e
líquidos e que Ferry e Yang, diferenciaram sólidos e líquidos viscoelásticos. Eles
concluíram que é possível distinguir as duas categorias através dos módulos de
relaxação. Para líquidos, o módulo de relaxação aproxima-se de zero quando o tempo
tende ao infinito, enquanto que para o sólido, ele se aproxima de um valor constante
finito. Também comentam que Makris, modelou um amortecedor usando o MMDF
levando em conta o comportamento de fluido viscoelástico.
Bagley e Torvik (1983) fizeram a investigação da resposta senoidal sobre o
modelo fracionário de Kelvin-Voigt. Seguindo esta investigação, a relação entre força e
deslocamento do modelo fracionário de Maxwell pôde ser obtida e também pôde ser
usada para facilitar o ajuste dos ciclos experimentais de força e deslocamento. Esta
resposta senoidal foi analisada e a eficiência do modelo foi comprovada.
Segundo Schmidt e Gaul (2002), Nutting observou que a relaxação de tensão em
alguns materiais pode ser modelada por potências fracionária do tempo e que Germant
estabeleceu que as propriedades de rigidez e amortecimento de materiais viscoelásticos
são melhor ajustadas pelo uso de potências fracionárias da freqüência, sendo este autor
o primeiro a propor explicitamente o uso de derivadas fracionárias nas equações
constitutivas desses materiais.
Os comentários acima indicam que os modelos baseados em derivadas de ordem
fracionária são muito apropriados para aplicações práticas em Engenharia, o que
justifica o estudo apresentado neste capítulo.
A próxima seção trata dos fundamentos da viscoelasticidade linear, e baseia-se no
trabalho de Carpinteri e Mainardi (1997).
38
3.2 Fundamentos da Viscoelasticidade Linear
Definições feitas pela teoria da viscoelasticidade linear sugerem que um sólido
pode ser representado por um sistema linear para o qual a tensão (ou a deformação) é
uma função de entrada e a deformação (ou a tensão) é uma função de saída.
Define-se
(
)
Jt como a resposta em deformação para uma tensão descrita por
uma função degrau unitário, e
(
)
Gt como a resposta em tensão para uma deformação
descrita por uma função degrau unitário. As funções
(
)
Jt e
(
)
Gt são normalmente
definidas como
flexibilidade de fluência e módulo de relaxação, respectivamente. O
limite destas funções para
t e t são relacionados ao comportamento vítreo
e de equilíbrio da viscoelasticidade dos sólidos, respectivamente.
0
+
→ →+∞
Define-se usualmente
(
)
:0
g
JJ
+
= como sendo a flexibilidade vítrea,
como sendo a flexibilidade de equilíbrio,
()
:
e
JJ=+∞
(
)
:0
g
GG
+
=
t
como sendo o módulo vítreo e
como sendo o módulo de equilíbrio. Cabe mencionar que as funções do
material são sempre positivas. Além disso, para
0
(
:
e
GG=+∞
)
<
<+∞,
(
)
Jt e são funções
do tempo diferenciáveis, uma sendo crescente e a outra decrescente, respectivamente,
sendo válidas as relações:
(
Gt
)
()
() ( )
,000
dJ
tIR J Jt J
dt
++
∈>⇒≤<<+∞≤+∞
,
()
() ( )
,0 0
dG
tIR G Gt G
dt
++
∈<⇒+∞≥>>+∞0≥.
A relação deformação-tensão geral pode ser representada por uma função de
material ( ou ) e é obtida pelo princípio de superposição de Boltzmann e dada
pela integral de hereditariedade linear do tipo Stiltjes (Carpinteri e Mainardi, 1997):
()
Jt
()
Gt
() ( ) ( )
t
tJtd
ε
τστ
−∞
=−
∫
, ou
() ( ) ( )
t
tGtd
σ
τετ
−∞
=−
∫
. (3.1)
39
Partindo da hipótese de que
(
)
(
)
0Jt Gt
=
= para todo tempo menor que um
tempo inicial
(
, tem-se que
)
0t =
() ( ) ( )
()
() ( ) ( )
0
0
0
tt
t Jt d Jt Jt d
ε
τστ σ τσττ
−
+
=− = +−
∫∫
, (3.2a)
() ( ) ( )
()
() ( )( )
0
0
0
tt
t Gt d Gt Gt d
σ
τετ ε τεττ
−
+
=− = +−
∫∫
, (3.2b)
onde e
()
t
σ
()
t
ε
são as derivadas primeiras em relação ao tempo da tensão e da
deformação, respectivamente.
O limite inferior de integração dado por 0
−
nas equações anteriores permite um
comportamento descontínuo de
(
)
t
σ
e/ou
(
)
t
ε
em
0t
=
, e assim e
()
t
σ
()
t
ε
podem
estar relacionadas à função delta de Dirac,
(
)
t
δ
. Integrando por partes as Eqs (3.2a) e
(3.2b), obtêm-se:
() () ( ) ()
0
t
g
tJ Jt d
ε
στ τστ τ
=+−
∫
, (3.3a)
() () ( )()
0
t
g
tG Gt d
σ
ετ τετ τ
=+−
∫
. (3.3b)
As primeiras derivadas das funções
(
)
Jt e
(
)
Gt são conhecidas como as taxas de
fluência (flexibilidade) e de relaxação (módulo), respectivamente, e desempenham o
papel de funções de memória nas equações anteriores.
Aplicando a transformada de Laplace nas Eqs (3.2) e (3.3), tem-se:
() () ()
ssJs s
εσ
=
, (3.4a)
() () ()
ssGs s
σ
=
ε
. (3.4b)
40
A equação seguinte mostra uma correspondência entre
(
)
Jt e :
()
Gt
()
()
() ()
2
1
sJ s J s G s
s
sG s
=⇔ =
1
. (3.5)
Fazendo a convolução da Eq. (3.5) no domínio do tempo, tem-se:
() () ( ) ( )
0
:
t
Jt Gt Jt G d t
τττ
∗= − =
∫
. (3.6)
Utilizando as propriedades da transformada de Laplace na Eq. (3.5), tem-se:
11
,
ge
g
e
JJ
G
=
G
=
, (3.7)
onde
g
J e podem assumir valores entre 0 e
e
J
+
∞ . A tabela abaixo mostra alguns tipos
de valores para a flexibilidade de fluência e para o módulo de relaxação.
Tabela 3.1 - Os quatro tipos de viscoelasticidade (Adaptado de Carpinteri e Mainardi
(1997)).
Tipo
g
J
e
J
g
G
e
G
I
II
III
IV
0>
0>
0=
0=
<
∞
=
∞
<
∞
=
∞
<
∞
<
∞
=
∞
=
∞
0>
0=
0>
0=
As funções do material são dadas por:
() ( )
()
() ( ) ()
0
0
1
t
g
t
e
Jt J R e d Jt
Gt G R e d G t
τ
ε
τ
σ
χτ τ
χ
ττδ
∞
−
++
∞
−
−−
⎧
=+ − +
⎪
⎪
⎨
⎪
=+ +
⎪
⎩
∫
∫
(3.8)
41
nas quais todos os coeficientes e funções são positivas.
As funções
(
)
R
ε
τ
e
()
R
σ
τ
são definidas como o espectro de fluência e o espectro
de relaxação, respectivamente. As funções
(
)
R
ε
τ
e
(
)
R
σ
τ
serão denotadas pela função
()
*
R
τ
.
As contribuições das funções do material na integral da Eq. (3.8) são dadas por:
() ( )
()
()
() ( ) ()
0
0
110,
10,
n
n
t
n
n
n
t
n
d
tR ed n
dt
d
tRed nIN
dt
τ
ε
τ
σ
χτ τ
χττ
∞
−
+
∞
−
−
⎧
Ψ
Ψ= −⇒−<∈
⎪
⎪
⎨
Φ
⎪
Φ= ⇒− > ∈
⎪
⎩
∫
∫
IN
(3.9)
As funções não negativas
(
)
tΨ e
(
)
tΦ são definidas como funções de fluência e
relaxação, respectivamente. Na equação anterior,
(
)
tΨ é uma função crescente com
e
()
0Ψ=0
()
χ
+
Ψ+∞ = ou +∞ , e
(
)
tΦ é uma função decrescente com
()
0
χ
−
Φ= ou
e .
+∞ Φ+
()
0∞ =
A próxima seção trata dos modelos mecânicos, conforme descritos por Carpinteri
e Mainardi (1997).
3.3 Modelos Mecânicos
Os modelos mecânicos são constituídos de molas e amortecedores lineares, e
dentre os modelos mais utilizados têm-se os seguintes, que estão ilustrados na Fig. 3.1:
o modelo constituído por uma mola (modelo de Hooke); modelo constituído por um
amortecedor (modelo de Newton); modelo constituído por uma mola e de um
amortecedor em paralelo (modelo de Voigt), e modelo constituído por uma mola e de
um amortecedor em série (modelo de Maxwell).
42
Figura 3.1 - Elementos de modelos mecânicos: a) Hooke, b) Newton, c) Voigt e d)
Maxwell.
Para os modelos mecânicos apresentados, a força corresponde à tensão e o
deslocamento corresponde à deformação. Para se chegar às funções do material, pode-se
partir das equações governantes das relações tensão-deformação para os modelos
mecânicos anteriormente citados.
O modelo de Hooke é representado por uma mola, que é um elemento elástico em
que o deslocamento é proporcional à força:
() ()
(
)
()
1Jt m
tmt
Gt m
σε
=
⎧
⎪
=
⎨
=
⎪
⎩
. (3.10)
O modelo de Newton, por outro lado, é representado por um amortecedor, o qual
é um elemento viscoso em que a taxa de deslocamento é proporcional à força:
()
(
)
() ()
Jt tb
d
tb
Gt b t
dt
ε
σ
δ
=
⎧
⎪
=
⎨
=
⎪
⎩
. (3.11)
Para o modelo de Voigt a relação tensão-deformação é dada por:
() ()
()
() ()
1
1
t
Jt e
d
tmtb
m
dt
Gt m b t
ε
τ
ε
σε
δ
−
⎧
⎡
⎤
=−
⎪
⎣
⎦
=+
⎨
⎪
=+
⎩
(3.12)
onde
b
m
ε
τ
= é o tempo de retardação.
43
O modelo de Maxwell é representado pela equação:
()
()
()
t
at
Jt
dd
bb
ta b
b
dt dt
Gt e
a
σ
τ
σε
σ
−
⎧
=+
⎪
⎪
+=
⎨
⎪
=
⎪
⎩
(3.13)
onde
a
σ
τ
= é o tempo de relaxação.
Observa-se que para os casos de corpos viscoelásticos representados pelos
modelos mecânicos, tem-se que os modelos de Hooke e de Newton equivalem aos tipos
I e IV, respectivamente, enquanto que os modelos de Voigt e de Maxwell são do tipo III
e II, respectivamente. Vale lembrar que estes dois últimos modelos são os corpos
viscoelásticos mais simples, para os tipos III e II (vide Tab. 3.1).
Para os modelos de Voigt e de Maxwell têm-se uma fluência da deformação e
uma relaxação da tensão exponenciais. Além disso, o modelo de Voigt não exibe
relaxação da tensão, enquanto que o modelo de Maxwell apresenta uma fluência da
deformação linear.
No caso de se adicionar uma mola em série à Fig. 3.1c, ter-se-á o modelo da Fig.
3.2a, ou, se adicionada em paralelo à Fig. 3.1d, ter-se-á a Fig 3.2b. Isto implica a adição
de uma constante (maior que zero) ao módulo de relaxação de Maxwell e à flexibilidade
de fluência de Voigt, o que resulta em e . O modelo com estas
características é chamado de Sólido Linear Padrão (SLP):
0
e
G > 0
g
J >
() ()
()
()
1
1SLP
t
g
t
e
Jt J e
dd
atmbt
dt dt
Gt G e
ε
σ
τ
τ
χ
σε
χ
−
+
−
−
⎧
⎡
⎤
=+ −
⎡⎤⎡ ⎤
⎪
⎣
⎦
+=+
⎨
⎢⎥⎢ ⎥
=+
⎣⎦⎣ ⎦
⎪
⎩
(3.14)
1
,,
,,
g
e
aa
J
bmb
b
Gm m a
a
ε
σ
χτ
χτ
+
−
⎧
==−=
⎪
⎪
⎨
⎪
==−=
⎪
⎩
,
b
m
(3.15)
44
A condição 0
b
m
a
<< garante que
χ
+
,
χ
−
são maiores que zero e por isso
, 0
ge
JJ<<<∞0
eg
GG
<
<<∞ e 0
σε
τ
τ
<
<<∞. O Sólido Linear Padrão é
composto de três parâmetros, sendo o corpo viscoelástico mais simples do tipo I.
No caso de se adicionar um amortecedor em série à Fig. 3.1c, ter-se-á a Fig. 3.2c,
ou, se adicionado em paralelo à Fig. 3.1d, obter-se-á o modelo da Fig. 3.2d. Esta adição
resultará no corpo viscoelástico mais simples do tipo IV.
Figura 3.2 - a) Mola em série com Voigt, b) Mola em paralelo com Maxwell, c)
Amortecedor em série com Voigt, d) Amortecedor em paralelo com Maxwell.
Como flexibilidades de fluência são somadas quando elementos são adicionados
em série e módulos de relaxação são somados quando elementos são acoplados em
paralelo (regra de combinação), podem ser formados modelos do tipo:
()
() ()
,
,
1,
,
n
n
t
gn
n
t
en
n
Jt J J e Jt
Gt G Ge G t
ε
σ
τ
τ
δ
−
+
−
−
⎧
⎡⎤
=+ − +
⎣⎦
⎪
⎨
=+ +
⎪
⎩
∑
∑
(3.16)
onde todos os coeficientes são não-negativos. As funções da Eq. (3.16) devem estar
relacionadas de acordo com a Eq. (3.5). Por intermédio da transformada de Laplace,
obtém-se uma relação tensão-deformação na forma de uma equação diferencial linear
cujos coeficientes são constantes e positivos, e que é dada por:
() ()
11
1,
kk
pq
kk
kk
kk
dd
atmbtpqp
dt dt
σε
==
⎡⎤⎡ ⎤
+=+ =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
∑∑
ou1q=+
. (3.17)
45
3.4 Modelos Viscoelásticos Fracionários
Estendendo os operadores fracionários aos modelos mecânicos clássicos,
conseguem-se as equações operador de ordem fracionária, que são generalizações da
Eq. (3.17):
() ()
11
1
kk
kk
pq
kkk
kk
dd
atmbt k
dt dt
αα
αα
σεα
==
⎡⎤⎡ ⎤
+=+ =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
∑∑
,1
α
+−
. (3.18)
Para os modelos fracionários, as funções de fluência e relaxação são do tipo:
() ()
{
}
()
()
() () ()
0
0
11
.
t
t
tEt Re
tEt Red
α
τ
αε ε
α
τ
ασ σ
,d
χ
τχτ
χτχττ
∞
−
++
∞
−
−−
⎧
⎡⎤
Ψ= − − = −
⎣⎦
⎪
⎨
⎡⎤
⎪
Φ= − =
⎣⎦
⎩
∫
∫
τ
(3.19)
Substituindo os sub-índices
ε
ou
σ
por
∗
, obtêm-se as expressões para os
espectros de retardação e relaxação, respectivamente, que são idênticas:
()
()
()() ()
*
**
sen
1
2cos
R
αα
ατ
τ
πτ
τ
τττ α
−
=
++
τ
. (3.20)
Para uma melhor compreensão das funções espectral
(
)
R
τ
∗
e de relaxação
()
Et
α
α
τ
∗
⎡
−
⎣
⎤
⎦
, são apresentados adiante dois gráficos destas funções para alguns
valores de
α
. Adotando 1
τ
∗
= , os gráficos das funções são mostrados na Fig. 3.3 e na
Fig. 3.4.
46
Figura 3.3 - A função espectral para diversos valores de
α
.
A Fig. 3.3 mostra que a função espectral pode apresentar várias formas diferentes.
A função espectral é decrescente para
τ
quando 0
α
α
∗
<
< , sendo que 0.736
α
∗
≈ é a
solução da equação
(
sen
)
α
απ
= . Para valores maiores que
α
∗
, a curva mostra,
primeiramente, um mínimo e, posteriormente, um máximo. Quando
1
α
→ a função
espectral tende à função impulso
(
)
δ
ττ
∗
− .
A Fig. 3.4, mostra que a função de relaxação
(
)
Et
α
α
−
apresenta um
comportamento que difere em relação à função exponencial quando se tem
1
α
= . Na
equação (3.21), ficam evidentes assíntotas para
(
)
E
t
α
α
−
quando e t , 0t
+
→ →+∞
()
()
()
1 1 , quando 0 ,
~
1 , quando .
tt
Et
tt
α
α
α
α
α
α
+
−
⎧
−Γ+ →
⎪
−
⎨
Γ− →+∞
⎪
⎩
(3.21)
Fazendo uma comparação entre a função exponencial que aparece nos modelos já
mencionados (para
1
α
= ) e a função de relaxação que aparece nos modelos
fracionários, verifica-se um decrescimento muito rápido para
0t
+
→ ; quando t ,
ocorre um decrescimento muito lento.
→+∞
47
Figura 3.4 - Função de relaxação para diversos valores de
α
.
A próxima seção trata-se do módulo complexo do modelo de Maxwell com
derivadas fracionárias, com base no trabalho de Jia et al. (2007).
3.5 Módulo Complexo do Modelo de Maxwell Fracionário
O modelo fracionário de Maxwell é expresso segundo:
rq
r
dd
dt dt
q
σ
ε
σλ μ
+= (3.22)
onde
λ
e
μ
são parâmetros do modelo fracionário, e q são as ordens das derivadas
fracionárias ( e 0 ),
r
01r<<
1q<<
(
)
t
σ
é a tensão e
(
)
t
ε
é a deformação. Os
operadores
[
]
r
dt
d
e
[
]
q
d
dt
denotam derivadas fracionárias. Se , o modelo
coincide com o modelo clássico de Maxwell, e se
1rq==
0
λ
=
e 1q
=
, o modelo se mostra
idêntico ao modelo de fluido Newtoniano.
Aplicando a transformada de Fourier à Eq. (3.22), consegue-se obter o módulo
complexo do MMDF. Com isso, os módulos de armazenamento e de perda de
cisalhamento, são:
48
()
1
22
cos 1 cos sen sen
22 2
12 cos
2
qr qr
rr
qr r
G
r
ππ π
μω λω μλω
ω
π
λω λ ω
+
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎛
++
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝
⎣⎦
=
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
2
q
π
⎞
⎟
⎠
(3.23)
()
2
22
sen 1 cos sen cos
22 2
12 cos
2
qr qr
rr
qr r
G
r
ππ π
μω λω μλω
ω
π
λω λ ω
+
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎛
+−
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝
⎣⎦
=
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
2
q
π
⎞
⎟
⎠
(3.24)
Simplificando as Eqs. (3.23) e (3.24), tem-se:
()
()
1
22
cos cos
22
12 cos
2
qqr
rr
q
qr
G
r
ππ
μω μλω
ω
π
λω λ ω
+
⎛⎞ ⎛
+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
=
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
⎞
⎟
⎠
(3.25)
()
()
2
22
sen cos
22
12 cos
2
qqr
rr
q
qr
G
r
ππ
μω μλω
ω
π
λω λ ω
+
⎛⎞ ⎛
+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
=
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
⎞
⎟
⎠
(3.26)
3.5.1 Restrições termodinâmicas
Para que um modelo de fenômenos viscoelásticos seja fiel, o mesmo deve
apresentar trabalho interno não-negativo e taxa de dissipação de energia não-negativa.
Definindo restrições referentes a parâmetros do modelo, pode-se assegurar a validade
destas restrições. De acordo com Jia et al. (2007), Bagley discutiu restrições
termodinâmicas ao modelo fracionário de Kelvin-Voigt.
Considerando um material termorreológicamente simples, uma temperatura
uniforme (no tempo e no espaço) pode ser introduzida através de uma freqüência
reduzida. Os parâmetros r , , q
λ
e
μ
podem ser considerados constantes e
independentes da temperatura. Resta o problema de variação da temperatura devida às
fontes externas de calor e dissipação de energia. Bagley e Torvik observaram que um
49
elemento de material sobre o qual atua uma deformação uniforme e em regime
permanente deveria ficar arbitrariamente próximo de uma temperatura uniforme e
permanente, se a condutividade for suficientemente grande e o elemento for
suficientemente pequeno. Condições podem ser determinadas por se considerar um
estado de temperatura uniforme em um material submetido à aplicação de deformação
senoidal uniforme. A deformação senoidal conduzirá a uma tensão senoidal após o
transiente ter cessado.
Admite-se então que a deformação seja dada por:
(
cos t
)
ε
ω
= (3.27)
Partindo-se da deformação, chega-se à tensão resultante, dada por:
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
() ( ) () ( )
12
cos cos cos sen sen
cos sen
Gi t Gi t Gi t
GtGt
)
σ
ωωφ ωω φ ωω
ωω ωω
=+= −
=−
φ
(3.28)
onde
φ
é o ângulo de fase pelo qual a tensão atrasa a deformação, e:
() ()
()
()
2
1
tg tg
G
G
ω
φδ
ω
== (3.29)
()
1
G
ω
e
(
)
2
G
ω
são as partes real e imaginária do módulo complexo
()
Gi
ω
,
respectivamente, e
()
tg
δ
é a taxa de energia dissipada pelo material, e será não-
negativa para todas as freqüências positivas, ou seja:
()
()
2
1
0
0
G
G
ω
ω
≥⎧
⎪
⎨
≥
⎪
⎩
ou ;
()
()
2
1
0
0
G
G
ω
ω
≤⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩
0
ω
<
<∞. (3.30)
Partindo das Eqs. (3.27) e (3.28), a taxa de trabalho interno é:
() () ( ) ()() () ()(
1
cos cos cos 2 sen
2
t t Gi t t Gi t
)
σ
εωωωφω ωω ωφ φ
=+= ++
⎡
⎤
⎣
⎦
. (3.31)
50
O trabalho interno possui uma variação não-negativa para todas as freqüências, e
(
cos 2 t
)
ω
φ
+ será não-positivo para algumas freqüências; logo
()
sen
φ
terá que ser
maior ou igual a zero. A Eq. (3.28) leva também a:
() ( ) ()
2
senGGi
ω
ω
=
φ
. (3.32)
Fica evidente que a parte imaginária não-negativa do módulo complexo é igual a
()
sen
φ
não-negativo para todas as freqüências. É proposta então a seguinte
desigualdade:
()
2
0; 0G
ω
><
ω
<∞
ω
<∞
. (3.33)
Através das Eqs. (3.30) e (3.33), obtêm-se as conclusões que se seguem:
()
1
0; 0G
ω
≥<. (3.34)
Se as restrições das Eqs. (3.33) e (3.34) forem satisfeitas, o modelo terá trabalho
interno não-negativo e taxa de dissipação de energia não-negativa.
Para assegurar que as restrições sejam satisfeitas, restrições aos quatros
parâmetros do modelo fracionário devem ser determinadas. Existem apenas duas
desigualdades nas Eqs. (3.33) e (3.34) resultantes a partir do MMDF, mas com um total
de quatro parâmetros. Logo, é preciso achar outras desigualdades. Na Eq. (3.25), o
numerador tem dois termos; se o primeiro termo domina o segundo, o segundo pode ser
desconsiderado, caso para o qual a freqüência do movimento é bem baixa. Por outro
lado, quando a freqüência do movimento é alta, o segundo prepondera sobre o primeiro,
e assim o primeiro é desconsiderado. Além disso, na mesma equação, o denominador do
módulo é evidentemente positivo, de tal modo que um exame dos casos limites para um
numerador obtido quando a freqüência do movimento for bem baixa, primeiramente, e
alta, posteriormente, leva às duas desigualdades adicionais:
51
cos 0
2
q
q
π
μω
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
(3.35)
e
()
cos 0
2
rq
qr
π
μλω
+
⎡⎤
−≥
⎢⎥
⎣⎦
. (3.36)
A Eq. (3.35) é positiva para freqüências baixas, enquanto que a Eq. (3.36) é
também positiva, mas para freqüências altas. Fazendo as mesmas análises na Eq. (3.26),
obtém-se:
sen 0
2
q
q
π
μω
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
(3.37)
para freqüências baixas. Para freqüências altas, tem-se que:
()
sen 0
2
rq
qr
π
μλω
+
⎡⎤
−≥
⎢⎥
⎣⎦
. (3.38)
Como as derivadas fracionárias são de ordens
01r
<
< e 0 , dadas na
definição da Eq. (3.36), afirma-se que as inequações dadas nas Eqs. (3.35) e (3.37) são
satisfeiras quando:
1q<<
0
μ
≥ (3.39)
e a inequação dada na Eq. (3.36) é satisfeita quando:
0
λ
≥ . (3.40)
Com isso, a inequação dada na Eq. (3.42) conduz a:
qr≥ . (3.41)
52
A Tab. 3.2 mostra as restrições aos parâmetros do MMDF. Estas restrições
termodinâmicas levam o MMDF a atender aos requisitos de trabalho interno não-
negativo e de taxa de dissipação de energia não-negativa.
Tabela 3.2 - Restrições termodinâmicas aos quatro parâmetros do MMDF.
0
μ
≥
0
λ
≥
10qr≥≥>
3.5.2 Análise do comportamento viscoelástico do MMDF
A natureza de um material viscoelástico é caracterizada por sua relaxação de
tensão e por sua resposta de fluência, que são funções importantes para avaliação da
confiabilidade do modelo, associada à precisão com a qual este último prevê o que
acontece na realidade. Análises da relaxação de tensão e da resposta de fluência podem
colaborar para determinar se o modelo está ou não em conformidade para realizar a
descrição de materiais fluido-viscoelásticos, e informar sua elasticidade inicial e sua
velocidade de fluência, por exemplo. Segundo Jia et al. (2007), a flexibilidade de
fluência e o módulo de relaxação do MMDF são obtidos usando-se a função Mittag-
Leffler, embora estas funções do material possam ser determinadas de forma diferente.
3.5.2.1. Análise de fluência
Aqui é realizada uma avaliação da deformação do material sujeito a uma tensão
constante
()
(
)
tht
σ
= . A deformação
(
)
(
)
tJt
ε
= , para este caso, é definida como
sendo a flexibilidade de fluência.
Para facilitar o cálculo da deformação de fluência, assume-se que:
() () ()
0
tht t
λ
ε
μ
=+
ε
⎤
⎦
. (3.42)
Substituindo a tensão constante e a equação de deformação de fluência na Eq.
(3.22), chega-se a:
() ()
0
q
ht D t
με
=⎡
⎣
(3.43)
53
pela qual pode-se achar . Aplicando a transformada de Laplace à Eq. (3.43), tem-
se que:
()
0
t
ε
()
*
0
1
q
ss
s
με
= (3.44)
onde é a transformada de
()
*
0
s
ε
(
)
0
t
ε
e
(
)
*
0
q
ss
ε
é a transformada da derivada
fracionária de ordem
q de . Isolando
()
0
t
ε
(
)
s
*
0
ε
, vem:
()
*
0
1
1
q
s
s
ε
μ
+
= . (3.45)
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se:
()
()
()
0
1
ut
t
q
ε
μ
=
Γ+
(3.46)
sendo a função degrau unitário:
()
ut
()
0, 0,
1, 0.
t
ut
t
<
⎧
=
⎨
≥
⎩
(3.47)
Fazendo a substituição da Eq. (3.44) na Eq. (3.43), chega-se a:
() () ()
()
()
1
ut
tJt ht
q
λ
ε
μμ
== +
Γ+
. (3.48)
Quando 0t
+
→ , tem-se:
()
0
0J
λ
μ
+
= . (3.49)
54
Na Eq. (3.22), tem-se que 0 1q
<
< . Assim, pode-se afirmar que a função de
fluência é uma função monotonicamente crescente do tempo, tendo valor inicial
λ
μ
e
taxa de aumento menor do que a unidade.
3.5.2.2. Análise da relaxação
Para se fazer a análise da relaxação, deve-se avaliar a variação da tensão com o
passar do tempo para uma deformação constante
(
)
(
)
tht
ε
= . A função é
definida como o módulo de relaxação para esta situação. A tensão pode ser
dividida em duas componentes:
() ()
tGt
σ
=
()
t
σ
() () ()
0
tht t
μ
σ
λ
=+
σ
. (3.50)
Substituindo a Eq. (3.50) e
(
)
(
)
tht
ε
= na Eq. (3.22), escreve-se:
() () ()
00
r
tD t ht
μ
σλσ
λ
+=−⎡⎤
⎣⎦
. (3.51)
Aplicando a transformada de Laplace à Eq. (3.51), tem-se:
() ()
**
00
r
sss
μ
σλσ
λ
+=− (3.52)
onde é a transformada de
()
*
0
s
σ
(
)
0
t
σ
e
(
)
*
0
r
ss
σ
é a transformada da derivada
fracionária de ordem
r de . Resolvendo para
()
0
t
σ
(
)
*
0
s
σ
chega-se a:
()
()
*
0
1
1
r
s
ss
μ
σ
λ
λ
=−
+
. (3.53)
Aplicando a transformada inversa de Laplace à Eq. (3.53) vem:
55
() ()
0
1
r
r
t
tE
μ
σ
λλ
⎛⎞
⎡⎤
=− − −
⎜⎟
⎢⎥
⎣⎦
⎝
ht
⎠
. (3.54)
ubstituindo a Eq. (3.54) na Eq. (3.50), obtém-se a função de relaxação de tensão,
dada
S
por:
() ()
r
r
t
tE h
μ
σ
λλ
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
t
. (3.55)
s Eqs. (3.54) e (3.55) apresentam a função de Mittag-Leffle, sendo preciso
aplica
A
r a transformada inversa de Laplace a elas e depois substituir o resultado na Eq.
(3.50), produzindo a seguinte função de relaxação de tensão:
() () () ()
()
1,tGt ht fu
μ
μ
σ
θ
λλ
== −− , (3.56)
onde:
()
()
(
)
()
()
1
2
0
sen exp
,
12cos
r
rr
ur u
f
ud
uru
πθ
θ
ππ
−
∞
−
=
++
∫
u (3.57)
e
1 r
t
θ
λ
−
= . (3.58)
uando t →∞,
θ
→∞
Q , e assim:
()
(
)
(
)
()
()
1
2
0
sen exp
lim , lim
12cos
r
rr
ur u
f
ud
uru
θθ
πθ
θ
ππ
−
∞
→∞ →∞
−
=
++
∫
u (3.59)
ubstituindo a Eq. (3.59) na Eq. (3.56), obtém-se a tensão num tempo infinito,
dada por:
S
56
() ()
lim 0
t
Ght
μμ
λλ
→∞
⎛⎞
∞= − =
⎜⎟
⎝⎠
(3.60)
e a taxa de relaxação é:
()
(
)
()
()
1
2
0
sen exp
0
12cos
()
r
u
λ
μ
−
∞
=−
r
rr
ru
du
uru
πθ
λ
ππ
−
<
++
∫
. (3.61)
A Eq. (3.61) se verifica para uma deformação do tipo degrau unitário e tomando
por base as restrições da Tab. 3.2, garantindo o decrescimento da taxa de relaxação.
Assim
Gt
, a função
(
)
,fu
θ
é monotonicamente decrescente. Logo,
(
)
Gt também é uma
função do tempo monotonicamente decrescente, como representado na Fig. 3.5 (ela
decresce para zero t →∞). Constata-se que quando
(
)
Gt
é diretam dependente do
parâmetro
r . Devido ao fato de vários materiais serem distintos entre si, têm-se vários
expoentes fracionários r os, com
ente
distint
(
)
Gt dec endo em taxas de fluências
diferentes.
resc
Figura 3.5 - Módulo de relaxação adimensional.
57
3.6 Outras aplicações do cálculo fracionário em viscoelasticidade
N de derivadas
fracionárias em Engenharia, a título de exemplo, Maia (1998) discute possíveis
aplica
amortecedor ( ), com uma força aplicada
o que diz respeito a aplicações mais recentes do conceito
ções em análise modal e mostra que os modelos amortecimento usuais podem ser
descritos como casos particulares de um modelo mais geral, utilizando cálculo
fracionário.
Considerando-se, por exemplo, um sistema composto por uma massa (
m
), uma
mola (
k ) e um c
(
)
it
f
tFe
ω
= ,
(3.62)
pode-se fazer a introdução d
forças dissipativas presentes no sistema, o que leva ao modelo geral:
(3.63)
onde são coeficientes complexos e é o número de componentes das forças de
am ento ( indica a ordem fracionária associada a cada ).
Para um
()
imx cx kx dx f t+++ =
,
o conceito de derivadas fracionárias para descrever as
()
j
l
v
mx kx g D x f t++ =
∑
,
1
j
j=
j
g
ortecim
l
da derivada
j
v
j
g
sistema com
N graus de liberdade, uma função de resposta de
freqüência (FRF) para tal sistema pode ser expressa sob a seguinte forma geral:
()
2
22
1
i
r
v
N
rr
AB
Hi
ω
ω
i
rr
vv
r
rrr
ω
ωγωω
−
=
−+
onde
+
=
∑
, (3.64)
2
r
ω
e
r
γ
representam, respectivamente, a freqüência natural e o fator de
am ento relacionados a cada um dos graus de liberdade, e e ortecim
r
A
r
B
são
ien
á m
recisa da viscoelasticidade e apresentam um modelo matemático
empírico baseado em derivadas de ordem fracionária com o objetivo de representar o
coefic tes reais.
Bagley e Torvik (1983) mostram aplicações da derivada fracion ria e uma
modelagem mais p
58
comportamento mecânico de elastômeros por meio de ajustes de curvas experimentais,
dado por:
() () ()
01
tEtEDt
α
σ
εε
=+ , (3
.66)
onde e
0
E ,
1
E
α
são parâmetros do modelo.
Este modelo representa a tensão
(
)
t
σ
dependente do tempo como uma
superposição de um termo elástico
(
)
0
Et
ε
e um termo viscoelástico contendo uma
derivada fracionária de ordem
α
. A aplicação da transformada de Fourier com respeito
−∞ +∞
() ( ) )
01
iEE
α
ao tempo no intervalo t ( , ) leva a:
(
σ
ωωεω
⎡⎤
=+
⎣⎦
, (3.67)
onde
ω
é a variável de Fourier e
(
)
σ
ω
e
(
)
ε
ω
são as transformadas de Fourier
rela a tivas
(
)
t
σ
e
(
)
t
ε
, respectivam
Heymans e Podlubny (2005) apresentam três modelos de ordem fracionária,
odelo fracionário de Voigt, que associa uma mola em paralelo com um
amort
é:
ente.
sendo:
•
o m
ecedor, considerado na modelagem viscoelástica. A equação constitutiva deste
modelo
() () ()
0 t
tEtKDt
α
σ
εε
=+ , (3
.68)
onde
E
,
K
e
α
são parâmetros do modelo.
•
o modelo fracionário de
viscoelástico, por meio de uma mola, que expressa elasticidade instantânea, associada
ri a a stitutiva do modelo de Maxwell pode ser
Maxwell, que descreve o comportamento de um sólido
em sé e um mortecedor. A equação con
dada por qualquer uma das duas fórmulas seguintes, que são equivalentes:
() () ()
0
11
t
ttDt
EK
α
εσ σ
−
=+ (3.69)
59
() () ()
t
00
11
tt
Dt t D
EK
αα
σ
σ
+=
onde e
ε
, (3.70)
E , K
α
são parâmetros do mo
•
o modelo fracionário de Zener é, dentre os modelos de ordem fracionária de
visco s anteriormente, o mais geral. A equação constitutiva deste
o
delo.
elasticidade citado
métod é
() () ()
(
)
tDt tDt
αα
00tt
σ
νσ λε
μ
ε
+=+
, (3
.71)
onde é o módulo do termo longo,
(
)
E
λ
∞
=
00∞
KE E E
μ
=− ,
0
E
ν
μ
=
, e é o
modulo instantâneo.
viscoelásticas fracionárias parte-se do
etros, mostr o na Fig 6,
lo de Maxwell quando
0
E
Para dedução das equações constitutivas
modelo viscoelástico (tradicional) de três parâm ad . 3. que
coincide com o mode
1
0E
=
e com o modelo de Kelvin-Voigt
quando
2
E →∞.
1
E
2
E
σ
σ
η
Figura 3.6 - Modelo de 3 parâmetros.
A equação constitutiva do modelo de três parâmetros é:
12 2
EE E
dd
12 12 12
EEdt EE EEdt
η
σ
σεη ε
+=+
+++
(3.72)
60
e pode ser generalizada pela introdução de somató
rios:
0
11
kk
kk
kk
dt dt
kk
nn
dd
abb
σ
σε ε
+=+
∑∑
Outra generalização pode ser introdu
==
(3.73)
zida pela utilização de derivadas fracionárias:
kk
nn
0
11
kk
kk
kk
dd
abb
αβ
dt dt
αβ
σ
σε ε
+=+
∑∑
A Eq. (3.74) pode ser então estendida para
pode-se separar as componentes hidrostática (sub-índice ) e deviatórica (sub-índice
) das tensões e das deformações, levando a:
==
(3.74)
um caso mais geral tridimensional, e
h
d
{}
[]
{}
[]
{}
[]
{}
,,
,
1
hk hk
hk
nn
hh hhh
k
kk
dd
AC
dt
αβ
α
,
1
hk
h h
k
B
dt
β
σ
σε
==
+=+
∑∑
ε
(3.75)
{}
[]
{}
[]
{}
[]
{}
,
,,
11
dk dk
dk dk
nn
dd dddd
k
kk
d
ACB
dt dt
αβ
α
,
d
k
d
β
σ
σε
==
+=+
∑∑
ε
onde a notação
(3.76)
indica um vetor e a notação
[
]
•
{
}
• indica uma matriz. As matrizes
[
]
A ,
[
]
B
e
[
]
C dependem do comportamento do ma
e
la especificação de condições iniciais
ade das
terial.
As últimas três equações são equações dif renciais fracionárias. Uma solução
única destas equações só pode ser obtida pe
qua . Ressalta-se que o tempo
0t
=
denota, fisicamente, o momento a partir do
qual uma atividade é iniciada, antes do qual o material se encontra totalmente relaxado.
Portanto, todas as condições iniciais são nulas. Levando em consideração a “memória
fraca” do meio viscoelástico, materiais que apresentam um histórico não-nulo também
são passíveis de relaxação, motivando a utilização de condições iniciais nulas também
para estes casos.
Para materiais isotrópicos, as tensões e deformações hidrostáticas e deviatóricas
podem ser calculadas a partir dos vetores de tensão e de deformação:
61
{}
{
}
T
xx yy zz xy yz zx
σσσσσσσ
= (3
.77)
{}
{
}
T
xx yy zz xy yz zx
εεεεεεε
= (3.78)
atravé
s das relações:
{
}
[
]
{
}
hh
T
σ
σ
=
{
}
[
]
{
}
dd
T
σ
σ
=
{
}
[
]
{
}
hh
T
ε
ε
=
{
}
[
]
{
}
dd
T
ε
ε
=
onde:
[]
111
333
111
333
111
333
000
000
000
000000
000000
000000
h
T
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
e
[]
211
333
12 1
33 3
112
333
000
000
000
000100
000010
000001
d
T
−−
⎡
⎤
⎢
⎥
−−
⎢
⎥
⎢
⎥
−−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(3.79)
Além disso, para materiais isotrópicos tem-se também que:
[
]
[
]
,hhk
k
Aa= I,
[
]
[
]
,ddk
k
Aa= I
[
]
[
]
,hhk
k
B
bI= ,
[
]
[
]
,ddk
k
B
bI=
[
]
[
]
hh
CcI= ,
[
]
[
]
dd
CcI=
onde
[
]
I
é a matriz identidade.
As Eqs. (3.75) e (3.76) são acopladas pelo estado de tensão
{
}
{
}
{
}
hd
σ
σσ
=+ e
{
}
{
}
{
}
hd
ε
εε
=+
pelo estado de deformação . Soma
ndo estas equações, chega-se a:
62
{}
[] []
{}
[]
{}
[] []
{}
,,
1
hk dk
n
k
dd
aT aT
dt
αα
σσ
,,
,,
,,
,,
,,
1
hk dk
hk dk
hk dk
hk h dk d
n
hk h dk d
k
dt
dd
CbTbT
dt dt
αα
ββ
ββ
ε
ε
=
⎜⎟
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠
∑
(3.80)
onde:
=
⎛⎞
++ =
⎝⎠
∑
[
]
[
]
[
]
hh dd
CcT cT=+ (3.81)
descreve a relação instantânea entre a tensão e a deformação.
Caso o material seja p
uramente elástico, isto é,
,,,,
0
hk dk hk dk
aabb
=
===
, o
confronto com a lei de Hooke resulta em:
3
h
cK= , 2
d
cG
=
(3
.82)
onde é o módulo de rigidez e é o módulo de cisalhamento.
Vale observar que o modelo de Kelvin-V
tensões. Assim, o modelo generalizado de Kelvin-Voigt é obtido pela imposição
.
no trabalho de Schmidt e Gaul (2002).
isando à modelagem de estruturas mais complexas, as equações constitutivas
do movimento obtida pode ser resolvida diretamente através de
métodos de integração convencionais. Segundo a teoria do método dos elementos
finito
K G
oigt apresenta apenas derivadas das
,,hk dk
0aa==
A próxima seção trata-se da formulação de um elemento finito com
comportamento viscoelástico destinado a simulações no domínio do tempo, com base
3.7 Incorporação de modelos viscoelásticos fracionários em modelos de
elementos finitos
V
viscoelásticas fracionárias podem ser implementadas em uma formulação por elementos
finitos. A equação
s, a formulação por deslocamentos se baseia em:
63
{}
()
{
}
{}
()
()
{
}
,uxt Hx ut
⎡⎤
=
⎣⎦
(3.83)
onde
{}
()
{
}
,uxt é o campo de deslocamento para um elemento arbitrário,
()
{
}
ut
{
é o
entos nodais generalizados (deslocamentos e rotações) e vetor de deslocam
}
()
Hx
⎡⎤
⎣⎦
é
O campo de deformações, por outro lado, pode ser expresso segundo:
a matriz das funções de forma.
{}
()
{
}
{}
()
()
{
}
,
x
tBxu
ε
⎡⎤
=
⎣⎦
t (3.84)
onde
{
}
()
B
x
⎡⎤
⎣⎦
define derivadas espaciais adequadas dos deslocamentos generalizados.
A equação do movimento em nível elementar pode ser obtida a partir do princípio
do trabalho virtual, resultando em:
{}
()
{}
()
{
}
[]
()
{
}
()
{}
,
T
V
B
xxtdVMutrt
σ
⎡⎤
+=
⎣⎦
∫
(3.85)
onde é o volume definido pelo elemento e
V
(
)
{
}
rt é o vetor de forças externas e de
[
]
M
é dada por: corpo aplicadas. A matriz de massa
[
]
[
]
[
]
T
V
M
HHdV
ρ
=
∫
(3.86)
sendo
ρ
a massa específica
a equação do movimento resultante é:
do material. Explicitando apenas a dependência do tempo,
[
]
()
{
}
[
]
()
{
}
()
{
}
T
V
B
tdV Mut rt
σ
+=
∫
(3.87)
64
O vetor de tensões
()
{
}
t
σ
é derivado a partir da Eq. (3.80) fazendo uso da
formu
lação discreta de Grünwald para derivadas fracionárias. Assim procedendo, tem-
se:
()
{}
[]
()
[]
()
[]
()
{}
[]
()
,
,
,
,
,
,
,1
10
,1
0
,1
0
hk
l
hk
dk
l
dk
hk
l
hk
N
n
hk h j
kj
N
dk d j
j
N
hk h j
j
tt
ta TAtj
NN
tt
aTAtj
NN
tt
Ct b T A tj
NN
α
α
α
α
β
β
σσ
σ
εε
−
+
==
−
+
=
−
+
=
⎛
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−+
⎜
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
⎝
⎞
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−=
⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
⎠
⎛
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
=+ −
⎜
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
⎝
∑∑
∑
∑
+
[]
()
,
,
1
,1
0
dk
l
dk
n
k
N
dk d j
j
tt
bTAtj
NN
β
β
ε
=
−
+
=
⎞
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−
⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
⎠
∑
∑
(3.88)
Eq. (3.88) pode ser resolvida explicitamente para
(
)
{
}
t
σ
A . Utilizando a Eq.
(3.84) e a identidade
1
:1A = , escreve-se:
()
{}
[] [] []
[]
[] [][]
()
{}
[][]
()
,,
,,
,
,
1
,,
1
,,
1
,1
1
hk dk
hk dk
hk
l
hk
n
hk h dk d
k
n
hk h dk d
k
N
hk h j
j
tt
tI a Ta T
NN
tt
Cb Tb TBut
NN
tt
bTBAutj
NN
αα
ββ
β
β
σ
−
−−
=
−−
=
−
+
=
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + ×
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎢
×+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
∑
∑
∑
+
[][]
()
[]
()
[]
()
,
,
,
,
,
,
1
,1
1
,1
1
,1
0
dk
l
dk
hk
l
hk
dk
l
dk
n
k
N
dk d j
j
N
hk h j
j
N
dk d j
j
tt
bTBAutj
NN
tt
aTAtj
NN
tt
aTAtj
NN
β
β
α
α
α
α
σ
σ
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
⎛
+
⎜
⎜
⎝
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
−−
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎝⎠
⎤
⎞
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
−−
⎥
⎟
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎥
⎝⎠
⎠
⎦
∑
∑
∑
∑
−
−
(3.89)
as Eqs. (3.89) e (3.87), tem-se: D
65
[
]
()
{
}
()
{
}
(
)
{
}
M
ut K ut r t
∗
⎡⎤
+=
⎣⎦
∗
(3.90)
onde:
[
]
[
]
[
]
1T
V
KBFCB
−
∗∗
⎡⎤ ⎡⎤
=
⎣⎦ ⎣⎦
∫
dV
(3.91)
é a matriz de rigidez modificada, expressa em função das seguintes matrizes:
[] [] [] []
,,
,,
1
hk dk
n
hk h dk d
k
tt
FI a Ta T
NN
αα
−−
=
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ +
⎢
⎜
⎜⎟ ⎜⎟
⎜
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∑
⎥
⎟
⎟
(3.92)
[] [] []
,,
,,
1
hk dk
n
hk h dk d
k
tt
CC b Tb T
NN
ββ
−−
∗
=
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎡⎤
=+ +
⎢
⎜
⎜⎟ ⎜⎟
⎣⎦
⎜
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∑
⎥
⎟
⎟
(3.93)
e:
()
{}
()
{}
[]
()
[]
()
[][] []
()
,
,
,
,
,
,
,1
11
,1
11
1
,1
hk
l
hk
dk
l
dk
hk
hk
N
n
hhk j
kj
N
n
ddk j
kj
T
hk h j
tt
rt rt b A ut j
NN
tt
bAutj
NN
tt
BF a T A tj
NN
β
β
β
β
α
α
σ
−
∗
+
==
−
+
==
−
−
+
⎡⎤
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
=−Φ − −
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
⎧⎫
⎛⎞ ⎛ ⎞
−Φ − +
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎧
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−
⎨
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩
∑∑
∑∑
[]
()
,
,
11
,1
11
l
dk
l
dk
N
n
kj
V
N
n
dk d j
kj
tt
aTAtjdV
NN
α
α
σ
==
−
+
==
⎧
⎡⎤
⎛⎞
⎫
⎪
+
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟
⎭
⎢⎥
⎝⎠
⎪
⎣⎦
⎩
⎫
⎡⎤
⎛⎞
⎧⎫
⎪
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−
⎢⎥
⎨⎬⎬
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎭
⎢⎥
⎝⎠
⎪
⎣⎦
⎭
∑∑
∫
∑∑
(3.94)
é o vetor de esforços modificados, sendo:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
1T
hh
V
B
FTBdV
−
Φ=
∫
(3.95)
e:
66
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
1T
dd
V
B
FTBdV
−
Φ=
∫
(3.96)
Observa-se que, em contraste com a integral avaliada sobre as tensões, que deve
ser resolvida explicitamente a cada passo de tempo, a integral sobre as deformações
pode ser simplificada pela decomposição
{}
(
)
{
}
{}
(
)
()
{
}
,
x
tBxut
ε
⎡⎤
=
⎣⎦
e calculada
apenas uma única vez para cada elemento, resultando nas matrizes
[
]
h
Φ
e
[
]
d
Φ .
A matriz
K
∗
⎡⎤
⎣⎦
pode ser interpretada como uma matriz de rigidez modificada
inicial. Os outros termos presentes no segundo membro da Eq. (3.94) são dependentes
do histórico tanto das tensões como das deformações hidrostáticas e deviatóricas. Se
forem vistos como representativos de forças externas adicionais, a Eq. (3.90) pode ser
interpretada como sendo a equação de um movimento puramente elástico. Isto mostra
que estas forças adicionais, se assim interpretadas, são as responsáveis pelo
comportamento dinâmico do material considerando o efeito viscoelástico.
O modelo de Kelvin-Voigt generalizado que inclui derivadas fracionárias, como
já mencionado, pode ser obtido pela imposição
,,
0
hk bk
aa
=
=
. Isto implica em
[
]
[
]
F
I= , bem como no desaparecimento da integral correspondente da Eq. (3.94).
Com isso, o esforço computacional para resolução da equação do movimento (Eq.
(3.90)) por intermédio do modelo de Kelvin-Voigt é bem inferior àquele gasto na
resolução da mesma equação utilizado o modelo fracionário de três parâmetros. A
quantidade de memória exigida também é menor, já que apenas o histórico dos
deslocamentos nodais deve ser armazenado a cada passo de tempo, enquanto que, para o
modelo fracionário de três parâmetros, também há a necessidade de armazenar os
valores que compõem o histórico das tensões.
Da Eq. (3.90), ou das Eqs. (3.87) e (3.80), tem-se que a equação do movimento
utilizando o modelo de Kelvin-Voigt é da forma:
[]
()
{}
[]
()
{}
[]
()
{}
[]
()
{}
()
{}
,
,
,
,
,
1
,
1
hk
hk
dk
dk
n
hhk
k
n
ddk
k
d
Mut b ut
dt
d
butKutr
dt
β
β
β
β
=
=
⎛⎞
+Φ +
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+Φ + =
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑
t
(3.97)
67
onde:
[
]
[
]
[
]
[
]
T
V
KBCBd=
∫
V
t
t
(3.98)
denota a matriz de rigidez.
A Eq. (3.97) pode ser vista como uma generalização da equação do movimento
tradicional pelo uso de amortecimento viscoso proporcional à velocidade, tal qual o
amortecimento de Rayleigh, que é utilizado com freqüência nos códigos de elementos
finitos.
3.7.1 Resolução numérica das equações do movimento
A implementação da Eq. (3.90) em um código de elementos finitos pela utilização
de um processo direto de integração é semelhante àquela implementação de uma
equação de um movimento puramente elástico, pela exceção da necessidade de cálculo
da matriz de rigidez modificada e do vetor de esforços modificado. Apesar de a matriz
de rigidez modificada poder ser calculada apenas uma vez para cada elemento e ser
constante com o tempo, no vetor de esforços modificados estão inclusos os históricos da
deformação e da tensão até o tempo corrente
t. Entretanto, o deslocamento no tempo
pode ser calculado, já que o mesmo depende apenas do vetor de forças
modificado avaliado até o instante anterior. Como a Eq. (3.90) pode ser estabelecida
para o tempo , não existe restrição ao esquema de integração que será utilizado,
isto é, tanto integradores explícitos como integradores implícitos podem ser utilizados.
t+Δ
t+Δ
Observa-se que a determinação do vetor de tensões é feita de maneira direta: ao
término de cada passo de tempo o novo vetor de deslocamentos nodais
()
{
}
ut t+Δ
é
conhecido, de modo que o cálculo do novo vetor das tensões
(
)
{
}
t
σ
+Δt pode ser
realizado por meio da Eq. (3.89).
Devido à definição de derivadas fracionárias estabelecida por Grünwald, há a
necessidade de conhecimento dos históricos da tensão e da deformação nos mesmos
instantes de tempo. O passo de tempo entre dois valores consecutivos da função é dado
por
t
N
e não necessariamente é o mesmo daquele usado para integração no tempo, aqui
68
denotado por . Contudo, é útil fazer com que os valores necessários para computação
das derivadas fracionárias sejam espaçados de forma igual ou como múltiplo do passo
de tempo utilizado para integração no tempo:
tΔ
,
nt
t
n IN
N
=Δ ∈
(3.99)
especialmente se
t
Δ
for constante. Logo, caso o passo de tempo se altere, os
históricos da deformação e da tensão devem ser determinados em outros tempos
discretos. Para isso, uma interpolação linear ou quadrática pode ser feita.
tΔ
Ao término de cada passo de tempo, os novos deslocamentos e, como
conseqüência, as novas deformações, são conhecidas. As novas tensões, necessárias no
próximo tempo para atualização do vetor de esforços modificado, devem ser então
calculadas a partir da Eq. (3.89) com nova deformação
(
)
{
}
tt
ε
+
Δ e com os valores
armazenados para a tensão e para a deformação.
Assumindo que:
t
t
()
(3.100)
N
=Δ
tem-se que:
{
}
()
{
}
()
{
}
()
{
}
(
()
{}
()
{}
()
{}
)
,, ,,
,,2
tfttttt
ttttt
σεεε
σσ σ
= +Δ −Δ
−Δ − Δ
…
…
t+Δ
,
(3.101)
3.8. Abordagem alternativa para implementação de modelos viscoelásticos
fracionários em associação com o método dos elementos finitos
No âmbito da implementação de relações constitutivas fracionárias que
representem modelos de viscoelasticidade associadas à formulação de elementos finitos,
Schmidt e Gaul (2002) desenvolveram um elemento finito tridimensional que leva em
conta as relações tensão-deformação fracionárias do material e que é solucionado pelo
69
método de discretização de Grünwald-Letnikov, sendo necessária à simulação de seu
algoritmo o histórico dos deslocamentos e das tensões em tempos anteriores. Esta
abordagem foi apresentada na Seção 3.7. Mais recentemente Galucio, Deü e Ohayon
(2004) apresentaram outro método que, em termos de eficiência computacional, é
superior à metodologia adotada por Schmidt e Gaul (2002). A idéia dos autores é
eliminar uma das derivadas fracionárias presentes no modelo viscoelástico
unidimensional por eles adotado:
() () () ()
0
,
αα
αα
αα
στ σ ετ ε
∞
+=+
dd
ttEtE
dt dt
t
(3.102)
onde denota a variável temporal,
t
(
)
σ
t denota a tensão,
(
)
ε
t denota a deformação,
τ
é o tempo de relaxação do material,
0
E
é o módulo estático (ou de baixa frequência) do
material, e
∞
E
é o módulo dinâmico (ou de alta frequência) do material. Para tanto, os
autores utilizam-se da seguinte substituição de variável:
() ()
()
,
σ
εε
∞
=−
t
tt
E
(3.103)
()
ε
t
sendo a deformação anelástica. Pela introdução dessa definição na Eq. (3.102),
tem-se que a relação tensão-deformação do material toma a seguinte forma:
() () ()
0
.
α
α
α
ετ ε ε
∞
∞
−
+=
EE
d
tt t
dt E
(3.104)
Fazendo uso da discretização da derivada fracionária pelo modelo de Grünwald-
Letnikov, expressa pela Eq. (2.72), pode-se chegar à forma discretizada da Eq. (3.104):
()() ()
()
()
0
1
1
1 ,
α
εεε
∞
+
=
∞
−
+Δ = − +Δ − +Δ − Δ
∑
t
N
j
j
EE
tt c ttcA ttjt
E
(3.105)
sendo
c
uma constante adimensional dada por:
70
()
,c
t
α
α
α
τ
τ
=
+Δ
(3.106)
e
(
)
1j
A
α
+
os coeficientes de Grünwald associados a uma derivação de ordem
α
, que
podem ser calculados recursivamente a partir da Eq. (2.73), repetida aqui por
conveniência:
() ()
1
1
,
jj
j
AA
j
αα
α
+
−−
=
(3.107)
(
)
1
:1A
α
= para qualquer valor de
α
. com
Galucio, Deü e Ohayon (2004) destacam que os coeficientes de Grünwald, que
são estritamente decrescentes à medida que aumenta, são os responsáveis pelo efeito
de memória exibido por materiais viscoelásticos. Este comportamento estabelece que a
conduta do material viscoelástico em um dado instante de tempo depende mais
fortemente de seu histórico temporal recente do que do histórico temporal mais distante.
j
A implementação da relação constitutiva do material dada na Eq. (3.105) à
formulação de elementos finitos é feita, pelos mesmos autores, em um modelo de viga
sanduíche de três camadas. No caso por eles analisado, as camadas externas são
constituídas por materiais lineares, isotrópicos e homogêneos, sendo essas modeladas de
acordo com a teoria de viga de Euler-Bernoulli. Por outro lado, para a camada interna
admite-se o modelo viscoelástico fracionário para o comportamento do material e a
teoria de viga de Timoshenko, que leva em conta efeitos relacionados ao momento
fletor e à força cortante na obtenção da equação diferencial do modelo de viga.
Deve-se observar que, como a representação do comportamento viscoelástico trata
de uma relação tensão-deformação, as modificações devidas a sua inclusão no modelo
de elementos finitos aparecerão na formulação da parcela referente a esforços internos.
Ainda, como pode ser percebido pela análise da Eq. (3.105), uma das parcelas
associadas à lei constitutiva do material depende do histórico temporal da deformação
anelástica, enquanto a outra depende apenas da deformação instantânea. Assim sendo,
cada uma destas parcelas é tratada de forma diferente: a parcela que não depende de um
histórico temporal, mas depende apenas da deformação instantânea do elemento, é
incorporada à matriz de rigidez original do elemento, ao passo que a parcela que
71
depende do histórico temporal da deformação anelástica é tratada como um vetor de
forças externas aplicadas ao elemento.
Considerando um modelo de elementos finitos qualquer, em nível elementar, a
parcela de energia potencial devida exclusivamente à deformação do material, ,
pode ser calculada segundo:
.def
U
{}{ }
{}
[]
{}
()
()
{}
[][][]
()
()
{}
()
()
{}
() ()
()
{}
T
.
T
T
T
T
1
2
1
2
1
2
1
,
2
def
V
V
ee
V
eee
UdV
CdV
qt BCBdVqt
qt K qt
εσ
εε
=
=
=
⎡⎤
=
⎣⎦
∫
∫
∫
(3.108)
onde:
()
()
{
}
e
qt é o vetor de graus de liberdade em nível elementar;
{
}
σ
e
{
}
ε
são os
vetores de tensão e de deformação em nível elementar, respectivamente, cada um deles
sendo dependente de
()
()
{
}
e
qt e das coordenadas espaciais
{
}
x
;
[
]
C é a matriz das
propriedades do material que relaciona deformação à tensão, de modo que
{
}
[
]
{
}
C
σ
ε
=
, e que depende de
{
}
x
;
[
]
B
é a matriz que relaciona os graus de
liberdade do elemento a sua deformação,
{}
[
]
()
()
{
}
e
B
qt=
ε
, sendo ela dependente, no
caso de análises para pequenos deslocamentos, de
{
}
x
e estando relacionada a derivadas
das funções de forma adotadas na formulação do elemento finito; e
()
[
]
[
]
[
]
T
V
KB=
∫
e
⎡⎤
⎣⎦
CBdV
é a matriz de rigidez do elemento em nível elementar.
No caso da utilização de um material viscoelástico, a lei de tensão não é mais
dada por
{}
[
]
{}
[
]
[
]
()
()
{
}
e
CCBq
σε
== t
. Por outro lado, para o modelo fracionário
aqui adotado, a partir da Eq. (3.103), tem-se que:
[
]
.
εε
∞
=−E
(3.109)
σ
72
Através da utilização da discretização anteriormente adotada para
ε
e da extensão
da relação tensão-deformação a um modelo tridimensional, considerando que o material
viscoelástico seja isotrópico, tem-se:
()
{}
[]
()
{}
()
()
{}
0
1
1
00
1 ,
t
N
j
j
EE
E
tt C c ttc A ttjt
EE
α
σεε
∞
∞
+
=
⎡⎤
⎛⎞
−
+Δ = + +Δ + +Δ − Δ
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
∑
(3.110)
sendo
[
]
C
0
a matriz de propriedades do material, e
E
,
∞
E
e parâmetros relacionados
ao modelo fracionário para o material viscoelástico, dado na Eq. (3.104).
c
Levando em conta ainda que
{}
[
]
()
()
{
}
e
B
qt
ε
=
, sendo
()
()
{
}
e
qt
o vetor de graus
de liberdades anelásticos, e que
{}
[
]
()
()
{
}
e
B
qt
ε
=
, a introdução da Eq. (3.110) na Eq.
(3.108) conduz a:
[
]
{
}
() ()
()
{}
() ( ) ()
()
{}
0
0
1
1
0
1
,
t
T
V
ee
N
ee
j
j
BdV
EE
cKqtt
E
E
cK Aqttjt
E
α
σ
∞
∞
+
=
=
⎛⎞
−
⎡⎤
=+ +Δ+
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎡⎤
++Δ−Δ
⎣⎦
∫
∑
(3.111)
()
()
{
}
e
qtt+Δ
sendo , a partir da Eq. (3.105), dado por:
()
()
{}
()
()
()
{}
() ()
()
{}
0
1
1
1 .
t
N
eee
j
j
EE
qtt c qtt cAqttjt
E
α
∞
+
=
∞
−
+Δ = − +Δ − +Δ − Δ
∑
() ()
()
{}
(3.112)
Logo, a equação do movimento em nível elementar, discretizada no tempo, com
inclusão do comportamento viscoelástico é dada por:
() ()
()
{}
() ()
()
{}
()
{}
() ( ) ()
()
{}
0
0
1
1
0
1
, ,
t
ee ee
N
ee e e
j
j
EE
Mqtt c Kqtt
E
E
Fttqtt c K Aqttjt
E
α
∞
∞
+
=
⎛⎞
−
⎡⎤ ⎡⎤
+Δ + + +Δ =
⎜⎟
⎣⎦ ⎣⎦
⎝⎠
⎡⎤
=+Δ +Δ− +Δ−Δ
⎣⎦
∑
(3.113)
73
⎤
⎦
sendo a matriz de massa a nível elementar,
()
e
M
⎡
⎣
() ()
()
{
}
(
)
{
}
,
ee
Ftqt
o vetor de
esforços externos a nível elementar, e
()
e
K
⎡
⎤
⎣
⎦
a matriz de rigidez a nível elementar
original (não modificado) do elemento.
CAPÍTULO IV
Aplicações Numéricas dos Modelos Viscoelásticos Fracionários
4.1. Sistema Vibratório Viscoelástico de Um Grau de Liberdade
Considere-se o sistema de um grau de liberdade representado na Fig. 4.1.
Aplicando a 2ª Lei de Newton ao mesmo, obtém-se a seguinte equação diferencial do
movimento:
()
() ()
2
2
V
dxt
mft
dt
+=ft (4.1)
onde denota a massa da partícula,
m
(
)
x
t denota seu deslocamento,
()
V
f
t designa a
força exercida pelo material viscoelástico e
(
)
f
t a força externa aplicada.
elemento
viscoelástico
m
(
)
x
t
(
)
f
t
Figura 3.7 - Sistema mecânico de 1 g.d.l. com amortecimento viscoelástico.
Passando a Eq. (4.1) ao domínio de Laplace, obtém-se:
75
() () ()
2
V
ms X s F s F s+= (4.2)
Admitindo o modelo fracionário de Zener para o material viscoelástico, escreve-
se:
()
()
()
V
F
sXKs= s, (4.3)
com:
()
1
as
Ks
bs
α
β
μ
+
=
+
(4.4)
Combinando as Eqs. (4.3) e (4.4), chega-se à seguinte função de transferência do
sistema em análise:
()
()
2
1
Xs
bs
Fs as ms mbs
β
2
αβ
μ
+
+
=
+++
(4.5)
Com base na Eq. (4.5) foi construído o diagrama de blocos representativo do
sistema, apresentado na Fig. 4.2. Fazendo uso da ferramenta computacional Simulink
®
pôde-se então realizar simulações do comportamento do sistema. O material
viscoelástico adotado nas simulações foi o ISD112, da fabricante 3M
®
. Os parâmetros
do modelo adotado para este material a 27°C foram identificados por Lima (2003), e
seus valores estão dispostos na Tab. 4.1.
76
Figura 4.2 - Diagrama de blocos para o sistema em análise.
Tabela 4.1 - Parâmetros identificados para o modelo fracionário de Zener para o
material ISD112 (Lima, 2003).
a
α
μ
(Pa)
b (Pa)
β
3
1,0015 10
−
×
0,40376
5
4,2688 10×
3
8,8438 10×
0,40376
Além disso, adotaram-se os valores 0,1 kgm
=
,
0
0, 2 m
t
x
=
= ,
0
0 m/s
t
dx dt
=
= e
, sendo a função degrau unitário.
() ()
0,1 Nft ut=
()
ut
Para modelagem de um integrador fracionário, fez-se uso de um método
desenvolvido no espaço de estado proposto pelos autores Poinot e Trigeassou (2003), o
qual acopla a um integrador de ordem inteira convencional um filtro de fase.
Como resultados, foram obtidas as respostas temporal e em freqüência (amplitude
e fase) para o sistema analisado, que são apresentadas graficamente nas Figs. 4.3 e 4.4.
O decaimento das amplitudes da resposta temporal evidencia o efeito de amortecimento
proporcionado pelo material viscoelástico.
1
s
1
s
b
(
)
1 mb
(
)
mb
μ
−
1 b−
(
)
amb−
1
s
1
s
1
s
J
β
1
J
β
α
+
−
+
+
++
()
+
X
s
()
F
s
+
77
Figura 4.3 - Resposta temporal do sistema analisado.
Figura 4.4 - Resposta em freqüência do sistema analisado.
4.2 Modelagem de uma viga viscoelástica pelo método dos elementos finitos
Para comprovar a validade do modelo anteriormente apresentado e proposto por
Schmidt e Gaul (2002), calculou-se a resposta livre de uma viga tridimensional por
intermédio do método dos elementos finitos, utilizando os parâmetros viscoelásticos
utilizados na simulação apresentada na Seção 4.1. Entretanto, como a equação
constitutiva tridimensional apresentada na Eq. (3.80) necessita de mais constantes do
78
que aquelas disponíveis, admitiu-se que os parâmetros hidrostáticos fossem iguais aos
deviatóricos:
hd
aaa==,
hd
α
αα
==,
hd
bbb
=
= ,
hd
β
ββ
=
=
A discretização foi feita, no caso estudado por Schmidt e Gaul (2002), pela
utilização de elementos isoparamétricos de 8 nós com funções de forma lineares para os
deslocamentos. Assim, uma malha fina de elementos finitos é necessária, segundo estes
autores, para proporcionar resultados precisos. O modelo da viga é dado na Fig. 4.5,
sendo engastado na extremidade esquerda por intermédio de condições de contorno
adequadas para os deslocamentos nodais. Na extremidade direita uma carga pontual é
aplicada na direção
z
para representar uma deflexão instantânea. Posteriormente, esta
carga é removida e não são aplicados outros esforços externos.
A integração das equações do movimento no domínio do tempo é realizada por
utilização do método de Newmark.
Figura 4.5 - Modelo de elementos finitos utilizado por Schmidt e Gaul (2002).
Para fins de referência, as deflexões da extremidade livre da viga calculadas
numericamente e medidas experimentalmente por Schmidt e Gaul (2002) são
apresentadas em conjunto na Fig. 4.6. Além disso, as oscilações de decaimento livre
foram utilizadas para a determinação do módulo complexo do material, que foi então
comparado àquele medido experimentalmente, conforme apresentado na Tab. 4.2. Nota-
se que os resultados obtidos pelo método dos elementos finitos se mostram em boa
concordância com os dados experimentais.
79
medido
Deslocamento (normalizado)
calculado
Tempo
Figura 4.6 - Comparação entre as respostas calculada e medida (adaptado de Schmidt e
Gaul (2002)).
Tabela 4.2 - Comparação dos módulos complexos identificado e calculado (adaptado de
Schmidt e Gaul (2002)).
Identificado Calculado Erro relativo
Frequência 176,4 Hz 179,3 Hz 1,6%
E
′
2994,9 N/mm
2
3093,6 N/mm
2
3,3%
E
′′
39,9 N/mm
2
37,6 N/mm
2
5,9%
Foi realizada pelo autor desta Dissertação uma simulação cuja resposta se
aproximasse daquela apresentada por Schmidt e Gaul (2002). Ressalta-se que o código
implementado em ambiente MATLAB
®
é de autoria própria e, embora inspirado no
modelo tridimensional proposto pelos autores Schmidt e Gaul, é baseado num modelo
de elementos finitos de viga unidimensional que leva em conta as hipóteses
relacionadas à teoria de vigas de Euler-Bernoulli. Cada elemento finito utilizado conta
com dois nós, e dois graus de liberdade por nó, um referente ao deslocamento
transversal e outro referente à rotação. As funções de forma utilizadas são polinômios
Hermitianos de terceira ordem, o que justifica a adoção de um número
significativamente menor de elementos finitos para o modelo do que aquele adotado
pelos autores anteriormente mencionados.
A introdução do comportamento viscoelástico ao modelo de viga utilizado é feita
tomando por base versões adaptadas a uma situação de análise unidimensional das Eqs.
(3.88) a (3.98). O algoritmo consiste em:
80
a) Inicializar as condições iniciais (posições, velocidades e acelerações generalizadas),
a matriz de massa em nível global, a matriz
[
]
F e sua inversa
[
]
1
F
−
, a matriz
C
∗
⎡⎤
⎣⎦
,
a matriz
[
]
[
]
[
]
h
Φ=Φ +Φ
d
, a matriz de rigidez global modificada, os parâmetros
necessários ao integrador (no caso de se tratar de um integrador de Newmark, são
estes
δ
e
α
, conforme Bathe (2006)), e o vetor das tensões em nível elementar.
Ressalta-se que, de acordo com a teoria de vigas adotada e o elemento finito a ela
associado, tem-se:
•
as matrizes de transformação para obtenção das parcelas hidrostática e
deviatórica das tensões e deformações se degeneram para resultar em
[]
1
3
hh
TT== e
[]
2
3
dd
TT==;
•
a matriz das funções de forma é dada por:
()
2
3
3
2
23
23
13
2
32
2
ee
ee
ee
ee
ee
T
ee
xx
xL L
LL
xx
LL
xx
LL
xx
Hx
L
LL
L
⎛⎞ ⎛⎞
−+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞
−+
⎜⎟ ⎜
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
−+
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎟
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎝⎠ ⎝⎠
,
onde
x
é a coordenada na direção longitudinal do elemento, variando de 0 a , sendo
este o comprimento do elemento finito;
e
L
•
a matriz que relaciona deformação a deslocamentos generalizados é dada por:
81
() ()
2
23
2
3
2
2
2
6
12
4
6
6
12
2
6
ee
ee
ee
ee
T
d
Bx y H
x
LL
x
LL
xy
dx
x
LL
x
LL
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=− =−
⎡⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥
⎣⎦ ⎣ ⎦
⎢
−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+
⎜
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎟
⎝⎠
,
onde é a coordenada na direção transversal do elemento, variando de
y 2
e
h− a 2
e
h ,
sendo é a altura do elemento (espessura da viga);
e
h
•
a matriz de massa a nível elementar é dada por:
[]
22
22
156 22 54 13
22 4 13 3
54 13 156 22
420
133224
ee
e
ee e e
ee
ee
ee ee
LL
LL L L
L
M
LL
LL LL
ρ
−
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
=
⎢⎥
−
⎢⎥
−−−
⎣⎦
,
onde
e
ρ
é a massa específica do material do qual a viga é constituído;
•
[]
()
[]
()
1
11
1
1
FF at F
F
at
α
α
−
−
−
==+Δ ⇒ = =
+Δ
;
•
()
CCcbt
β
−
∗∗
⎡⎤
==+Δ
⎣⎦
;
•
a matriz de rigidez modificada a nível elementar é dada por:
()
()
32 32
22
323
22
12 6 12 6
64 62
12 6 12 6
1
62 64
ee ee
e
e
ee ee
eee
ee ee
LL LL
cb t I
LL LL
K
at
LLL L
LL LL
β
α
−
∗
−
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎡⎤
+Δ
⎣⎦
⎢⎥
⎡⎤
=
⎣⎦
⎢⎥
+Δ
−− −
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦
2
e
,
82
onde
e
I
é o momento de inércia de área da seção transversal da viga em torno do eixo
do qual são aplicados os momentos fletores;
•
[]
()
3 2 32 3 2 32
22 22
323 2 323 2
22 22
12 6 12 6 12 6 12 6
6 4 62 6 4 62
12 6 12 6 12 6 12 6
62 64 62 6
1
4
ee ee ee ee
ee ee ee ee
ee
eee e eee
ee ee ee ee
LL LL LL LL
LL LL LL LL
II
F
LLL L LL
at
LL
LL LL LL LL
α
−
⎡⎤⎡⎤
−−
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−−
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
Φ= =
⎢⎥⎢⎥
−− − −− −
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎢⎥⎢
−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦
+Δ
⎥
⎥
⎥
e
;
•
a tensão inicial a nível elementar é dada por:
()
{}
() () ( )
{}
*
00
,,
ee
e
C
0
x
txtBxu
F
σσ
==
⎡⎤
⎣⎦
t
b)
Para cada passo de tempo associado ao procedimento de integração numérica deve-
se, então:
•
Avaliar o vetor de esforços modificados em nível global, sendo que, em nível
elementar, ele é dado por:
()
{}
()
{}
[]
()
()
()
{}
(
)
()
()
()
()
()
{}
(
)
1
1
1
0
1
,
1
l
l
e
N
e
ee
j
j
N
L
T
e
j
j
rt rt b t A ut jt
at
B
xAxtjt
at
β
β
α
α
α
σ
−
∗
+
=
−
+
−
=
=−ΦΔ −Δ+
Δ
+−
⎡⎤
⎣⎦
+Δ
∑
∑
∫
dxΔ
•
Determinar as posições, velocidades e acelerações generalizadas do passo de
tempo seguinte, no caso de integração explícita, ou do passo de tempo atual, no
caso de integração implícita;
•
Avaliar o vetor das tensões em nível elementar:
83
()
{}
() () ()
{}
()
()
()
()
{}
(
)
()
()
()
()
*
1
1
1
1
,,
,
l
l
ee
e
N
e
j
j
N
e
j
j
C
xt xt B x ut
F
bt
Bx A ut jt
F
at
Axtjt
F
β
β
α
α
σσ
σ
−
+
=
−
+
=
== +⎡⎤
⎣⎦
Δ
+−
⎡⎤
⎣⎦
Δ
−−Δ
∑
∑
Δ−
•
Proceder ao passo de tempo seguinte.
Nas equações anteriores,
(
denota uma grandeza vetorial ou matricial em nível
elementar.
)
e
•
Como no trabalho de Schmidt e Gaul (2002) não são fornecidos todos os dados
utilizados em sua simulação, para que fosse feita a computação da resposta visando
validação do código desenvolvido, a razão de aspecto da viga utilizada no trabalho dos
primeiros autores foi estimada visualmente e um fator multiplicativo foi introduzido.
Em outras palavras:
a)
A razão de aspecto da viga foi estimada como sendo de L unidades u para
sua largura, A unidades u para sua altura e
C unidades u para seu
comprimento;
b)
Em seguida, por meio de ajustes numéricos, que interferiam apenas na
amplitude inicial da resposta obtida, e não em seu comportamento ou em
sua taxa de decaimento devido ao amortecimento, determinou-se um fator
multiplicativo K cuja unidade é milímetros / (unidades u) ;
c)
A dimensão real da viga é então tomada como sendo
(
)
LACK
×
×⋅.
Um resumo dos parâmetros utilizados para obtenção dos resultados apresentados
na Fig. 4.7 mediante simulação é apresentado na seqüência:
-
Aspecto da viga ( LAC
×
× ):
[
]
[
]
[
]
3976uu××u
;
-
Fator multiplicativo ( K ):
25 mm
2.0833
12 u
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
;
-
Número de termos utilizados na aproximação do operador fracionário:
1500;
84
- Tempo final de simulação: 0,11 s;
-
Número de pontos utilizados na discretização temporal: 1500;
-
Número de elementos finitos utilizados: 10.
Além disso, para simulação de uma condição de deslocamento inicial, uma força
com amplitude de 10000 N foi aplicada à extremidade livre da viga no instante .
Para os instantes de tempo posteriores, a força aplicada é nula. Trata-se de uma
aproximação de um impulso (função Delta de Dirac).
0 st =
Figura 4.7 - Resposta calculada para a deflexão da extremidade livre de uma viga
engastada a partir de modelo próprio visando reproduzir os resultados de Schmidt e
Gaul (2002).
A comparação da Fig. 4.6 com a Fig. 4.7 permite concluir que o código
computacional implementado pelo autor do presente trabalho é válido. Entretanto,
alguns problemas encontrados na comparação entre ambos os resultados são:
a)
uma pequena diferença na freqüência de oscilação da resposta. Este erro é
bastante compreensível, tendo em vista que os dados utilizados por
Schmidt e Gaul (2002) em sua simulação não são disponíveis;
b)
leves distúrbios nas oscilações iniciais na resposta obtida pelo algoritmo
implementado, o que pode ser justificado pela natureza da condição inicial
imposta. Esta última está relacionada à aplicação de uma força descrita por
85
uma função impulso, como já mencionado, que se trata de um sinal que
não é bem comportado em termos matemáticos, embora seja bem definido.
Como o programa desenvolvido não contempla uma situação como esta, é
compreensível a presença de erros desta natureza.
Ressalta-se, por último, que o fator que contribui de maneira decisiva para a aceitação
do programa implementado é a semelhança da taxa de decaimento observada em ambas
as figuras.
4.3 Modelagem por elementos finitos de vigas multicamadas com camada
viscoelástica em associação com o algoritmo proposto por Galucio, Deü e Ohayon
(2004)
A presente aplicação está relacionada à implementação de uma lei constitutiva
viscoelástica expressa segundo uma equação diferencial fracionária, Eq. (3.102), em
associação com um modelo de elementos finitos de vigas multicamadas. A metodologia
de implementação do comportamento do material é aquela proposta por Galucio, Deü e
Ohayon (2004), e foi detalhada anteriormente, na Seção 3.8.
No tocante ao equacionamento de um elemento finito de vigas multicamadas, aqui
é apresentado um procedimento baseado naquele apresentado por Zhang e Erdman
(2001), similar aos apresentado por Galucio, Deü e Ohayon (2004) que, por sua vez,
referenciam o trabalho de Trindade, Benjeddou e Ohayon (2001).
O tipo de viga multicamada considerado é admitido como contendo duas faces
externas elásticas, modeladas segundo a teoria de viga de Euler-Bernoulli, e um núcleo
modelado segundo a teoria de viga de Timoshenko. Esta camada interna será modelada
como exibindo comportamento viscoelástico utilizando a metodologia proposta por
Galucio, Deü e Ohayon (2004). São hipóteses, ainda, que as três camadas da viga são
rigidamente unidas e que estão todas submetidas a um estado plano de tensão. A
cinemática do conjunto pode ser visualizada na Fig. 4.8.
86
Figura 4.8 - Cinemática da viga multicamadas analisada.
O deslocamento de um ponto genérico da -ésima camada é dado por: i
()()()
(
)
,, , , ;
xi i i i
uxzt uxt zz xt
θ
=−−
()
(4.6)
(
)
,, , ,
zi
uxzt wxt=
(4.7)
onde o sub-índice i está relacionado à designação das camadas: superior, quando ir
=
(camada restringente); inferior, quando
ib
=
(viga base); e interna, quando iv
=
(camada viscoelástica). Por hora considera-se comportamento elástico para todas as
camadas.
As variáveis e
()
,,
xi
uxzt
(
)
,,
zi
ztux denotam os deslocamentos nas direções
axial e transversal da camada , respectivamente, enquanto i
(
)
,
i
uxt e
(
,
i
)
x
t
θ
(
,wx
são o
deslocamento axial e a rotação da fibra média de cada camada. Ainda, é o
)
t
Face
b
Núcleo v
Face
r
(
)
,
v
uxt
(
)
,wxt
x
z
r
h
v
h
b
h
h
r
z
v
z
(
)
,
r
uxt
(
)
,
b
uxt
(
)
(
)
,,
θ
′
=
r
x
twxt
(
)
(
)
,,
θ
′
=
b
x
twxt
()
,
θ
v
x
t
(
)
,
γ
v
x
t
()
,
′
wxt
(
)
(
)
(
)
,,
θγ
′
=−
vv
,
x
t w xt xt
Geometria em um instante
qualquer t,deformada
Geometria em sua configuração
inicial, não deformada
87
deslocamento transversal da viga, idêntico para todas as camadas. Ressalta-se que, com
base na Fig. 4.8,
(
)
,
v
uxt e
(
,
θ
v
)
x
t podem ser obtidos a partir de , e
por meio das relações:
()
,
b
uxt
(
,
r
uxt
)
)
()
(
,wxt
(
)()
()
,,
24
−
∂
=+
∂
br
rb
uxt
hh
uxt wxt
,,
;
+uxt
v
(4.8)
x
() ()
()
()
,
2
⎡⎤
=− +
⎢
∂
⎣⎦
vv
,,−
+
∂
rb
rb
uxt uxt
hh
,
⎥
.
θ
v
x
tw
hhx
()()()
xt
(4.9)
As deformações presentes nos modelos de viga são as deformações normais na
direção axial da viga, para as três camadas, e a deformação cisalhante para a camada
interna, dadas por:
(
)
,, , , ;
εε κ
=+−
i i i i
x
xx
zt xt z z xt
()()
,, , ,
εγ
=
xzv v
(4.10)
x
zt xt
)
(4.11)
onde
(
,
ε
i
x
t e
(
)
,
κ
i
x
t
)
são as deformações de membrana e de flexão da
i
-ésima
camada, e
(
,
γ
v
x
t é a deformação cisalhante da camada intermediária:
() () ()
,,, ;
∂
′
==
∂
rrr
x
tuxtuxt
ε
(4.13)
x
() () ()
,,, ;
∂
′
==
∂
bbb
x
tuxtuxt
ε
(4.14)
x
(
)
(
)
()
() () ()
,
,,
,,,
24
;
ε
′
′
+
−
′′
=== +
∂
br
rb
vvv
uxt uxt
hh
∂
′
x
tuxtuxt wxt
(4.15)
x
() () () ()
,,,, ;
κθθ
∂
′′′
=− =− =
∂
rrr
x
txtxtwxt
(4.16)
x
() () () ()
κθθ
,,,,;
∂
′′′
=− =− =
∂
bbb
x
txtxtwxt
(4.17)
x
88
(
)
(
)
()
() () ()
,,
,,, , ;
2
κθθ
′
′
−
+
∂
′′′
=− =− = +
∂
rb
rb
vvv
vv
uxt uxt
hh
x
txtxt wxt
xhh
(4.18)
() () ()
(
)
(
)
()
,,
,,, 1 ,
γθ
−
⎛⎞
+
′′
=−= ++
rb
rb
uxt uxt
hh
.
2
⎜⎟
⎝⎠
vv
vv
x
t w xt xt w xt
hh
(4.19)
A formulação do elemento finito com as três camadas modeladas admitindo
comportamento elástico é feita, então, tomando por base a discretização do vetor dos
deslocamentos generalizados
()
()
{
}
() () ()
{
}
T
,,,
e
b
wxt uxtwxtuxt= ,
r
()
()
{
segundo
funções de forma lineares e cúbicas para os deslocamentos axiais e deflexões,
respectivamente.
Sendo os graus de liberdade dados pelo vetor:
}
() () () () () () () ()
{
}
T
,111 ,1 ,2 2 2 ,2
,
e
brb r
t utwtwtututwtwtut
δ
′′
=
(4.20)
()
()
{
}
() ()
{
()
}
,wxt x t
δ
=Φ⎡⎤
⎣⎦
ee
tem-se que , com:
(
)
(
()
)
() () () ()
() ()
12
34 56
12
000 000
0000 ,
000 000
xx
xxx xx
xx
φφ
φφ φφ
φφ
⎡⎤
⎢⎥
Φ=⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
(4.21)
()
x
Φ⎡⎤
⎣⎦
onde é a matriz das funções de forma e
(
)
φ
k
x
1, , 6
=
…k, , são dadas por:
()
1
1 ;
φ
=−
e
x
x
(4.22)
L
()
2
e
;
φ
=
x
x
(4.23)
L
()
23
3
13 2 ;
φ
⎛⎞ ⎛⎞
=− +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
ee
xx
x
LL
(4.24)
89
()
2
4
1 ;
φ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
e
x
xx
L
(4.25)
()
2
32
φ
⎛⎞⎛
=−
⎜⎟⎜
x
5
;
⎞
⎟
⎝⎠⎝ ⎠
ee
xx
LL
(4.26)
()
2
6
1 .
φ
⎛⎞
=−
⎜⎟
xx
x
⎝⎠
ee
LL
(4.27)
Ressalta-se que a notação
(
)
e
•
denota uma grandeza em nível elementar, que os
sub-índices 1 e 2 fazem referência aos nós de um elemento finito e que indica seu
comprimento.
e
L
Ainda, as matrizes que relacionam deformações de membrana, flexão e cisalhante
aos graus de liberdade nodais:
() ()
{
()
()
{
}
}
, ;
e
imi
x
tBx t
εδ
=
() ()
{
(4.28)
}
()
()
{
}
, ;
ibi
e
x
tBx t
κδ
=
() ()
{
(4.29)
}
()
()
{
}
, ,
vsv
e
x
tBx t
γδ
=
()
{
(4.30)
são dadas por:
}
()
{
}
;
mi xi
Bx x
′
=Φ
(
(4.31)
{
)
}
{
(
)
}
;
bi ri
Bx x
′
=Φ
()
{
(4.32)
()
{
}
}
()
{
}
,
sv rv rf
Bx x x=Φ −Φ
(4.33)
onde:
90
()
{}
112 2
11
00 00 ,() para ,
22
() para ;
xf
x
fr
f
b
φφφφ
⎡⎤
Φ= ± ± + =
⎢⎥
⎣⎦
(4.34)
−
=
()
{}
134 256
00,
44 44
;
x
v rb
hh hh
x
hhh
φφφ φφφ
⎡⎤
′′ ′′
Φ= =−
⎢⎥
⎣⎦
(4.35)
()
{
}
[
]
34 56
0000 ;
z
x
φφ φφ
Φ=
(4.36)
()
{
}
[
]
34 56
0000 ;
rf
x
φφ φφ
′′ ′′
Φ=−− −−
()
{}
(4.37)
341 562
11
00, ,
2
rb
rv
vvv vvv
hh
hh hh
xh
hhh hhh
φφφ φφφ
⎡⎤
+
′′ ′′
Φ= =
⎢⎥
⎣⎦
(4.38)
() ()
{
}
()
()
{
}
,
e
ixi
uxt x t
δ
=Φ
() ()
{
}
()
()
{
}
,
e
z
wxt x t
δ
=Φ
(
,
i
e
)
x
t, de maneira que
θ
=
()
{
}
()
{
()
}
e
ri
x
t
,,=irbv
δ
=Φ
para .
A equação do movimento do elemento finito é então dada por:
() () ()
()
()
()
{
}
() () ()
()
()
()
{}
()
()
{}
,
eeee
rvb
eeee e
rvb
MMM t
K
KK tRt
δ
δ
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++ +
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+++ =
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(4.39)
()
()
{
}
e
R
t
()
e
i
M
⎡
⎤
⎣
⎦
()
e
i
K
⎡
⎤
é o vetor de forças externas, e e onde
⎣
⎦
são as matrizes de
massa e de rigidez, respectivamente, da -ésima camada, dadas por:
i
()
[][][][]
()
[][]
TT T
0
,
para , , ;
e
L
e
i i i xi xi z z i ri ri
MA I dx
irvb
ρ
⎡⎤
⎡⎤
=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ
⎣⎦
⎣⎦
=
∫
=
[][] [][] [][]
00
,
T
vvvmvmvvbvbvvvvsvsv
KEABBIBBdxkGABBdx=++
⎣⎦
⎣⎦
∫∫
(4.40)
()
0
, para , ;
e
L
TT
e
f f f mf mf f bf bf
KEABBIBBdxfrb
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤
=+
⎣⎦⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
∫
(4.41)
()
e e
LL
TT
e
⎡⎤
⎡⎤
(4.42)
91
nas quais
ρ
i
, ,
i
A
i
I
e denotam a massa específica, a área da seção transversal, o
momento de inércia da seção transversal e o módulo de elasticidade, respectivamente,
para , é o fator de correção do cisalhamento, relacionado à teoria de vigas
de Timoshenko, e é o módulo de cisalhamento, estes dois últimos relacionados à
camada interna da viga.
i
E
,,v=ir b
v
k
v
G
A aplicação da metodologia descrita na Seção 3.8 à formulação detalhada
anteriormente permite a inclusão de efeito relacionado a comportamento viscoelástico
para a camada interna à viga sanduíche considerada. Neste caso, a equação do
movimento é modificada para tomar a forma:
() () ()
()
()
()
{
}
() () () ()
()
{}
()
()
{}
() ( ) ()
()
{}
0
0
1
1
0
1
,
t
eeee
rvb
eeee
rvb
N
eee
vj
j
MMM tt
EE
Kc KK tt
E
E
R
ttc K A ttjt
E
α
δ
δ
δ
∞
∞
+
=
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++ +Δ+
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎛⎞
⎛⎞
−
⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤
+++ + +Δ=
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎡⎤
=+Δ− +Δ−Δ
⎣⎦
∑
(4.43)
onde:
()
()
{}
()
()
()
{}
() ()
()
{}
0
1
1
1 .
t
N
eee
j
j
EE
tt c ttcA ttjt
E
α
δδδ
∞
+
=
∞
−
+Δ = − +Δ − +Δ − Δ
∑
(4.44)
A título de exemplo e validação de código computacional próprio, foi simulado
exemplo apresentado pelos autores Galucio, Deü e Ohayon (2004). A Fig. 4.9 apresenta
a resposta dinâmica de uma viga do tipo sanduíche engastada-livre cujas características
são dadas na Tab. 4.3, juntamente com as propriedades físicas dos materiais simulados.
Outros dados referentes à simulação são o número de elementos finitos utilizado
(quinze), bem como o esforço externo aplicado (na extremidade livre da viga, direção
transversal):
()
500 [s], se 0 2 ms
2 500 [s], se 2 4 ms
0, se 4 ms
tt
ft t t
t
≤<
⎧
⎪
=− ≤<
⎨
⎪
≥
⎩
(3.157)
92
Tabela 4.3 - Parâmetros dos materiais e geométricos utilizados na
simulação(GALUCIO, DEÜ, OHAYON, 2004).
Camada da Viga Externas (Idênticas) Interna
Material Alumínio ISD112
3
[/kg m
ρ
]
2690 1600
ν
0,345 0,5
0
[]EMPa
70,3.10³ 1,5
[]EMPa
∞
- 69,9495
[]s
τ
- 1,4052.10
-2
α
- 0,7915
Parâmetros do
Material
c
k
- 5/6
[]Lmm
200 200
[]bmm
10 10
Geometria
[]tmm
1 0,2
Figura 3.15 - Deslocamento transversal da extremidade livre da viga multicamadas
analisada.
Por inspeção da Fig. 4.9, pode-se concluir que o código computacional
implementado é válido, já que os resultados comparados encontram-se muito próximos
daqueles obtidos por Galucio, Deü e Ohayon (2004), ainda que os dados por estes
93
autores não sejam exatos, uma vez que foram obtidos via digitalização da curva por
eles apresentada em seu trabalho.
Discute-se, neste ponto, a eficiência em termos computacionais dos dois
algoritmos implementados em associação com formulações por elementos finitos.
O primeiro, proposto por Schmidt e Gaul (2002), considera um modelo
fracionário com cinco parâmetros e faz uso dos históricos do campo de deslocamentos e
das tensões, ambos associados a cada um dos elementos utilizados para a discretização
do domínio.
A segunda abordagem, por outro lado, faz uso de um modelo de quatro
parâmetros e necessita apenas do histórico associado a deslocamentos nodais
anelásticos, introduzidos a partir de uma transformação de coordenadas. O
procedimento associado, neste caso, é fruto do trabalho de Galucio, Deü e Ohayon
(2004).
Embora seja limitado, devido ao fato do modelo contemplado no trabalho de
Galucio, Deü e Ohayon (2004) dispor de apenas quatro parâmetros para ajuste do
comportamento do material, o algoritmo proposto pelos autores é superior àquele
sugerido por Schmidt e Gaul (2002). Isto se faz verdade devido à necessidade de menor
quantidade de memória para armazenamento de variáveis introduzidas quando na
resolução das equações diferenciais que regem o problema associado. Além disso, pelo
fato da abordagem de Schmidt e Gaul (2002) fazer uso do histórico das tensões, o
tempo de simulação computacional é, comparativamente, muito elevado, devido à
necessidade de integração de matrizes associadas às funções de forma utilizadas na
interpolação dos graus de liberdade nodais a cada novo passo de tempo.
CAPÍTULO V
Conclusões Gerais e Perspectivas
Na presente Dissertação foram apresentados os principais fundamentos teóricos
do Cálculo Fracionário e estudadas aplicações, suas aplicações na modelagem de
sistemas com comportamento viscoelástico no âmbito da Dinâmica Estrutural.
Com base no estudo realizado pode-se concluir que, embora envolva
conhecimentos teóricos mais aprofundados e técnicas numéricas mais sofisticadas, os
métodos baseados no Cálculo Fracionário permitem modelagem mais precisa de uma
classe de problemas da Física e da Engenharia, fato que justifica seu emprego.
Especificamente no tocante à modelagem de sistemas viscoelásticos, os modelos
de ordem fracionária são considerados como sendo alguns dos mais eficientes,
especialmente no que diz respeito a simulações de respostas no domínio do tempo.
Neste sentido, vale comentar que análises no domínio da frequência têm sido realizadas
adequadamente com base no conceito de módulo complexo. Entretanto, respostas
temporais são necessárias quando o interesse é dirigido a condições envolvendo impacto
ou outros tipos de cargas transitórias.
O estudo aqui reportado abordou alguns procedimentos numéricos destinados à
resolução de equações diferenciais de ordem arbitrária. Em específico, foram descritos
procedimentos de resolução baseados na discretização por elementos finitos, em
associação com modelos viscoelásticos de ordem fracionária e com algoritmos
numéricos de integração passo a passo. Duas metodologias consideradas entre as mais
modernas, sugeridas por Schmidt e Gaul (2002) e por Galucio, Deü e Ohayon (2004)
foram implementadas e aplicadas à caracterização do comportamento dinâmico de
95
estruturas amortecidas. Os resultados obtidos permitiram validar parcialmente as
implementações e confrontar as características das duas metodologias. Acredita-se que a
metodologia de Galucio, Deü e Ohayon (2004) conduza a significativo aumento da
eficiência computacional, especialmente no caso de modelos com elevados números de
graus de liberdade.
Com base na experiência adquirida com a realização do estudo, são apontadas as
seguintes perspectivas para sua continuidade:
•
emprego do Cálculo Fracionário no âmbito do controle ativo de vibrações,
mediante a proposição e avaliação do desempenho de controladores de ordem
fracionária;
•
associação de modelos viscoelásticos de ordem fracionária com outros tipos de
elementos finitos (placas e sólidos), de modo a permitir a modelagem de
componentes estruturais mais complexos.
96
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Adolfsson, K., Enelund, M., Olsson, P., On the Fractional Order Model of
Viscoelasticity, 2005, Mechanics of Time-Dependent Materials, Vol. 9, p. 15-34.
Agrawal, O. P.,
Application of Fractional Derivatives in Thermal Analysis of Disk
Brakes, 2004, Nonlinear Dynamics, Vol. 38, p. 191-206.
Amaral, B. D.,
Solução da Equação de Transporte Multidimensional em Geometria
Cartesiana e Meio Infinito Usando Derivada Fracionária, 2003, Dissertação de
Mestrado, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto
Alegre, RS.
Anastasio, T. J., The
Fractional-Order Dynamics of Brainstem Vestibulo-
Oculomotor Neurons, 1994, Biol. Cybernet., Vol. 72, Nº 1, p. 69-79.
Andrade, M. F.,
Equações de Difusão Fracionárias e Não-Lineares: Soluções e
Difusão Anômala, 2006, Dissertação de Mestrado, Universidade Estadual de Maringá,
Maringá, PR.
Aoun, M., Malti, R., Levron, F., Oustaloup, A.,
Numerical Simulation of Fractional
Systems, 2003, em: Proceedings of DETC2003, 2003 ASME Design Engineering
Technical Conferences, September 2–6, Chicago, Illinois.
Ávila, E. B., Sales, T. P., Rade, D. A., Lacerda, H. B.,
Assessment of Fractional-
Order Controllers for Active Vibration Control
, 2009, Proceedings of COBEM
2009- 20th International Congress of Mechanical Engineering, Porto Alegre, RS.
Barbosa, R. S., Machado, J. A. T., Silva, M. F.,
Time Domain Design of Fractional
Differintegrators Using Least-Squares, 2006, Signal Processing, Vol. 86, p. 2567-
2581.
Bagley, R. L., Torvik, P. J.,
A Theoretical Basic for the Application of Fractional
Calculus to Viscoelasticity, 1983, Journal of Rheology, Vol. 27, Nº 3, p. 201-210.
Bagley, R.,
On the Equivalence of the Riemann-Liouville and the Caputo
Fractional Order Derivatives in Modeling of Linear Viscoelastic Materials, 2007,
An International Journal for Theory and Applications, Vol. 10, Nº 2, p. 123-126.
97
Bathe, K. J., Finite Element Procedures, Klaus-Jürgen Bathe, 2006.
Bultheel, A., Martínez-Sulbaran, H.,
Recent Developments in the Theory of the
Fractional Fourier and Linear Canonical Transforms, 2007, Bulletin of the Belgian
Mathematical Society - Simon Stevin, Vol. 13, Nº 5, p. 971-1005.
Carpinteri, A. and Mainardi, F.,
Fractals and fractional calculus in continuum
mechanics, In: Mainardi, F., Fractional calculus: some basic problems in
continuum and statistical mechanics, Springer Verlag, Wien and New York, 1997, p.
291-348.
Cavazos, F. R. G., Melo, M. E. R., González, V. A. G., Salazar, C. A. G., Loera, A. G.,
Aplicación del Cálculo Fraccional a la Reología de Materiales Poliméricos,
Ingenierías, 2007, Vol. X, Nº 35, p. 42-47.
Cole, K. S.,
Electic Conductance of Biological Systems, 1933, Proc. Cold Spring
Harbor Symp. Wuant. Biol., New York, p. 107-116.
Diethelm, K., Ford, N. J.,
Multi-Order Fractional Differential Equations and their
Numerical Solution, 2004, Appl. Math. Comput., Vol. 154, Nº 3, p. 621–640.
Diethelm, K., Ford, N. J., Freed, A. D., Luchko, Y.,
Algorithms for the Fractional
Calculus: a Selection of Numerical Methods, 2005, Comput. Methods Appl. Mechan.
Eng., Vol. 194, p. 743–773.
Djrbashian, M. M.,
Harmonic Analysis and Boundary Value Problems in the
Complex Domain
, Boston: Birkhauser, 1993.
Engheta, N.,
On Fractional Calculus and Fractional Multipoles in
Electromagnetism
, 1996, IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol. 44, Nº 4, p.
554-566.
Erdélyi, A. et al.,
Higher Transcedental Functions, V. I. McGrawHill Book Co., Inc.,
New York, 1953.
Erdélyi, A., Oberhettinger, M. F., and Tricomi, F. G.,
Tables of Integral Transforms,
Based, in Part, on Notes Left by Harry Bateman and Compiled by the Staff of the
Bateman Manuscript Project, 1954, New York: McGraw-Hill, V. 2.
98
Espíndola, J. J. ; Silva Neto, J. M da, Lopes, E. M. O., A Generalized Fractional
Derivative Approach to Viscoelastic Material Properties Measurements, 2005,
Applied Mathematics and Computation, v. 164, n. 2, p. 493-506.
Espíndola, J. J., Bavastri, C. A., Lopes, E. M. O.,
Design of Optimum Systems of
Viscoelastic Vibration Absorbers for a Given Material Based on the Fractional
Calculus Model, 2008, Journal of Vibration and Control, v. 14, p. 1607-1630.
Galucio, A. C., Deü, J.-F., Ohayon, R.,
Finite Element Formulation of Viscoelastic
Sandwich Beams Using Fractional Derivative Operators, 2004, Computational
Mechanics, v. 33, p. 282-291.
Gaul, L., Klein, P., Kempfle, S.,
Impulse Response Function of an Oscillator with
Fractional Derivative in Damping Description, 1989, Mech. Res. Commun, Vol. 16,
Nº 5, p. 4447–4472.
Gel'fand, I. M., Shilov, G. E.,
Generalized functions, V. I, Academic Press, 1964.
Glockle, W. G. and Nonnenmacher, T. F.,
Fractional Integral Operators and Fox
Functions in the Theory of Viscoelasticity, 1991, Macromolecules, Vol. 24, p. 6426-
6434.
Gonçalves, G., Lenzi, M. K., Moraes, L. S., Lenzi, E. K., Andrade, M. F.,
Difusão
Anômola e Equações de Difusão, 2005, Acta Sci. Technol, Vol. 27, Nº 2, p. 123-131.
Gorenflo, R., and Vessella, S.,
Abel Integral Equations: Analysis and Applications,
1991, Springer-Verlag, Berlin, 215 p.
Goto, M., and Ishii, D.,
Semidifferential Electroanalysis, 1975, J. Electroanal. Chem.
And Interfacial Electrochem., Vol. 61, p. 361-365.
Hartley, T. T., Lorenzo, C. F.,
Dynamics and Control of Initialized Fractional-Order
Systems, Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 29, p. 201-233.
Heleschewitz, D., Matignon, D.,
Diffusive Realizations of Fractional
Integrodifferential Operators: Structural Analysis Under Approximation, 1998,
Proceedings IFAC Conference System, Structure and Control, Nantes, France, Vol. 2, p.
243–248.
99
Heymans, N., Podlubny, I., Physical Interpretation of Initial Conditions For
Fractional Differential Equations with Riemann-Liouville Fractional Derivatives,
Rheologica Acta, 2005.
Jia, J-H., Shen, X-Y., Hua, H-X.,
Viscoelastic Behavior Analysis and Application of
the Fractional Derivative Maxwell Model, 2007, Journal of Vibration and Control,
Vol. 13, Nº 4, p. 385-401.
Kumar, P., Agrawal, O. P.,
Numerical Scheme for the Solution of Fractional
Differential Equations, 2005, Proceedings of the 2005 ASME Design Engineering
Technical Conferences and Computer and Information Engineering Conference, Long
Beach, California, September 24–28.
Lima, A. M. G.,
Modelagem Numérica e Avaliação Experimental de Materiais
Viscoelásticos Aplicados ao Controle Passivo de Vibrações Mecânicas, 2003,
Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica, Universidade Federal de
Uberlândia, Uberlândia, MG.
Machado, J. A. T.,
Discrete-Time Fractional-Order Controllers, 2001, FCAA J., Vol.
4, p. 47–66.
Machado, J. A. T., Jesus, I. S., Galhano, A., Cunha, J. B.,
Fractional Order
Electromagnetics, Signal Processing, 2006, Vol. 86, p. 2637-2644.
Maia, N. M. M., Silva, J. M. M. and Ribeiro, A. M. R.,
On a General Model for
Damping, 1998, Journal of Sound and Vibration, Vol. 218, Nº 5, p. 749-767.
Meerschaert, M. M.,
Fractional Calculus Models in Finance, 2006, Department of
Mathemetics & Statistics, University of Otario.
Mendez, G. A.,
Projeto Ótimo de Neutralizadors Viscoelásticos Baseado no Modelo
a Derivadas Fracionárias, 2004, Tese de Doutorado em Engenharia Mecânica,
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC.
Miller, K.S., Ross, B,
An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional
Differential Equations, 1993, John Wiley & Sons, 366 p.
Oldham, K. B.,
A Signal-Independent Electroanalytical Method, 1972, Anal. Chem.,
Vol. 44, Nº 1, p. 196-198.
100
Oldham, K. B., Spanier, J., The Fractional Calculus, Theory and Applications of
Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Academic Press, California,
1974, 240 p., Vol. 111.
Oustaloup, A.,
La Dérivation Non Entière: Théorie, Synthèse et Applications,
Hermès, 1995.
Padovan, J.,
Computational Algorithms and Finite Element Formulation Involving
Fractional Operators, 1987, Comput. Mech., Vol. 2, p. 271–287.
Pedron, I. T.,
Estudos em Difusão Anômala, 2003, Tese de Doutorado, Departamento
de Física, Universidade Estadual de Maringá, Maringá, PR.
Podlubny, I., and El-Sayed, A.M.A.:
On Two Definitions of Fractional Derivatives,
1996, Inst. Exp. Phys, Slovak Acad. Sci., Kosice, 21 p.
Podlubny, I.,
Fractional Differential Equations, Academic Press, New York, 1999.
Poinot, T., Trigeassou, J. C.,
A Method for Modelling and Simulation of Fractional
Systems, 2003, Signal Processing, Vol. 83, p. 2319-2333.
Schmidt, A. and Gaul, L.,
Finite element formulation of viscoelastic constitutive
equations using fractional time derivatives, 2002, Nonlinear Dynamics, Vol. 29, p.
37-55.
Suarez, L. E., Shokooh, A.,
An Eigenvector Expansion Method for the Solution of
Motion Containing Fractional Derivatives
, 1997, ASME. J. Appl. Mech., Vol. 64, p.
629–635.
Trindade, M. A., Benjeddou, A., Ohayon, R.,
Finite Element Modelling of Hybrid
Active-Passive Vibration Damping of Multilayer Piezoelectric Sandwich Beams –
Part I: Formulation; Part II: System Analysis, 2001, Int. J. Numer. Meth. Eng., v.
51, p. 835-864.
Valério, D., Costa, J. S.,
Tuning of Fractional PID Controllers with Ziegler-Nichols-
Type Rules, 2006, Signal Processing, Vol. 86, p. 2771-2784.
Yifei, P., Xiao, Y., Ke, L., Jiliu, Z., Ni, Z., Yi, Z., Xiaoxian, P.,
Structuring Analog
Fractance Circuit for ½ Order Fractional Calculus
, 2005, IEEE, p. 1039-1042.
101
Yuan, L., Agrawal, O. P., A Numerical Scheme for Dynamic Systems Containing
Fractional Derivatives, 2002, Transactions of the ASME, J. Vib. Acoust., Vol. 124, p.
321–324.
Zhang, X., Erdman, A. G.,
Dynamic Responses of Flexible Linkage Mechanisms
with Viscoelastic Constrained Layer Damping Treatment, 2001, Computers and
Structures, v. 79, p. 1265-1274.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
