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Universidade Federal de Santa Catarina
Programa de P
´
os-Graduac¸
˜
ao em Engenharia
El
´
etrica
Controle Preditivo N˜ao Linear com
Aplica¸c˜ao `a Eletrˆonica de Potˆencia
Disserta¸c˜ao submetida `a
Universidade Federal de Santa Catarina
como requisito para a
obten¸c˜ao do grau de Mestre em Engenharia El´etrica
Mart´ın Jorge Pomar Garc´ıa
Florian´opolis, Mar¸co de 2005.
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Controle Preditivo N˜ao Linear com Aplica¸c˜ao `a
Eletrˆonica de Potˆencia
Mart´ın Jorge Pomar Garc´ıa
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada adequada para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Enge-
nharia El´etrica,
´
Area de Concentra¸c˜ao em Controle, Automa¸c˜ao e Inform´atica Industrial,
e aprovada em sua forma final pelo Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica
da Universidade Federal de Santa Catarina.
Prof. Julio Elias Normey Rico, Dr.
Orientador
Prof. Denizar Cruz Martins, Dr.
Coordenador do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica
da Universidade Federal de Santa Catarina.
Banca Examinadora
Prof. Julio Elias Normey Rico, Dr.
Orientador
Prof. Eduardo Camponogara, Ph.D.
Co-orientador
Prof. Daniel Juan Pagano, Dr.
Prof. Enio V. Kassick, Dr.
Cynthia B. Scheffer, Dr.
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La conquista de si mismo es la mayor de las vict´orias. . .
(Plat´on)
A minha m˜ae..., que saudades!!!.
A meu pai e meu irm˜ao.
Agradecimentos
A Deus.
A toda minha fam´ılia florianopolitana, em especial a minha tia Rayito
quem foi a principal impulsora que eu viesse morar nessa bel´ıssima cidade;
pelo seu apoio, seu carinho e sua paciˆencia, muito... mas muito obrigado!!!.
E n˜ao quero deixar de mencionar minha outra tia a Ana Maria, meus tios
Cacho e Julio, meus primos Marcelo, Diego, Fiorella e Maximiliano, a todos
muito obrigado pelo carinho e por ter-me recebido de bra¸cos abertos.
A esse fant´astico professor que ´e meu orientador acadˆemico, pela excelente
orienta¸c˜ao ao longo deste trabalho, e por ter-me ajudado a reencontrar minha
voca¸c˜ao na engenharia.
Ao Prof. Eduardo Camponogara pela ajuda na elabora¸c˜ao e corre¸c˜ao deste
documento, e pelos conhecimentos ministrados.
Aos membros da banca examinadora, que contribu´ıram na revis˜ao deste
trabalho e dando sugest˜oes.
A todos os professores que tive durante a realiza¸c˜ao do mestrado.
A todos os amigos que fiz no decorrer do mestrado.
Ao CNPq pelo financiamento econˆomico.
Resumo da Disserta¸c˜ao apresentada `a UFSC como parte dos requisitos
necess´arios para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Engenharia El´etrica.
Controle Preditivo N˜ao Linear com Aplica¸c˜ao
a Eletrˆonica de Potˆencia
Mart´ın Jorge Pomar Garc´ıa
Mar¸co/2005
Orientador : Prof. Julio Elias Normey Rico, Dr.
Co-orientador : Prof. Eduardo Camponogara, Ph.D.
´
Area de Concentra¸c˜ao : Automa¸c˜ao e Sistemas
Palavras-chave : Controle Preditivo N˜ao Linear,
Eletrˆonica de Potˆencia,
Conversor Buck-Boost.
N´umero de P´aginas : 131
Este trabalho apresenta o estudo e aplica¸c˜ao de t´ecnicas de controle predi-
tivo linear e n˜ao linear em conversores de potˆencia, em particular aos conver-
sores de tens˜ao de corrente cont´ınua em corrente cont´ınua (CC-CC) elevadores
- redutores, conhecidos como conversores buck-boost.
Come¸ca-se aplicando uma t´ecnica de controle preditivo linear e atrav´es
dos resultados obtidos por simula¸c˜ao, mostra-se a necessidade da aplica¸c˜ao
de t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear para a obten¸c˜ao de um melhor
desempenho do sistema em malha fechada.
Tamb´em realiza-se uma compara¸c˜ao entre as diferentes t´ecnicas de controle
preditivo n˜ao linear aplicadas, procurando-se definir o melhor algoritmo de
controle do ponto de vista do atend imento das diferentes especifica¸c˜oes de
funcionamento.
Finalmente realiza-se tamb´em uma compara¸c˜ao de resultados de simula¸c˜ao,
com uma t´ecnica amplamente estudada na literatura para este tipo de siste-
mas, denominada M´etodo dos Modos Deslizantes.
Abstract of Dissertation presented to UFSC as a partial fulfillment of the
refinements for the degree of Master in Electrical Engineering
Non Linear Predictive Control with
Application to a Power Electronic
Mart´ın Jorge Pomar Garcia
March/2005
Advisor : Prof. Julio Elias Normey Rico, Dr.
Co-advisor : Prof. Eduardo Camponogara, Ph.D.
Area : Automation and Systems
Keywords : Non Linear Predictive Control,
Power Electronic,
Buck-Boost Converter.
Number of Pages : 131
This work presents the analysis and application of linear and non-linear
model predictive techniques to buck boost converters. A comparative analysis
is performed using simulation with a complete non-linear model of the buck
boost.
First, a Generalized Predictive Controller is computed. This linear algo-
rithm is tuned in order to maintain the robustness of the closed loop in all the
operation r ange of the process. The obtained results show that the controlled
system ach ieves a poor performance because of the highly nonlinear behavior
of the plant. This motivates the use of non-linear model predictive controllers
(NMPC).
Thus, two non-linear strategies of NMPC are presented and compared
when controlling the buck boost converter. The comparative analysis considers
the performance and robustness of the closed loop for the typical operation
mode of the buck boost. The comparative results allow to conclude about the
advantages and disadvantages of each algorithm.
Finally the behavior of the proposed algorithm is compared to a sliding
mode control strategy usually used to control these types of power converters.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estrutura da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 6
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Descri¸c˜ao Geral do Algoritmo de Controle do CPBM . . . . . . . . . . . . 10
2.3 CPBM com Restri¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Planejamento das Restri¸c˜oes no CPBM . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Factibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 CPBM N˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Modelos N˜ao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 T´ecnicas de Controle Preditivo N˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 23
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Sistemas de Estrutura Vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Eletrˆonica de Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1 Modelagem de Conversores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1.1 Modelos Instantˆaneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.1.2 Modelos M´edios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Controle de Conversores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 O Conversor Buck-Boost CC-CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Analise do Buck-Boost (BB) Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1.1 Opera¸c˜ao no modo de condu¸c˜ao cont´ınua . . . . . . . . . . 33
3.4.1.2 Opera¸c˜ao no modo de condu¸c˜ao descont´ınua . . . . . . . . 35
viii
3.4.2 Modelagem do Buck-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2.1 Modelo instantˆaneo real´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2.2 Modelo instantˆaneo idealizado . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.2.3 Modelo pela m´edia temporal local . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2.4 Modelo linearizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2.5 Modelo Simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 46
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Controle Linear - GPC Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Non Linear Extended Predicti ve Self Adaptive Control (NEPSAC) . . . . . 53
4.4 Controle N˜ao Linear Cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Estudo Comparativo 66
5.1 Defini¸c˜ao do Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Defini¸c˜ao dos
´
Indices de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Resultados das Simula¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Discuss˜ao de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Conclus˜oes Finais 85
A Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 87
A.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.1.1 Solu¸c˜ao Local × Solu¸c˜ao Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.1.2 Suavidade das Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.2.1 Uma Restri¸c˜ao de Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.2.2 Uma Restri¸c˜ao de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2.3 Duas Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.3 Condi¸c˜oes de Otimalidade de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.4 Procedimento de Otimiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.4.1 O M´etodo SQP Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.4.2 Linhas Gerais do M´etodo SQP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.4.3 Restri¸c˜oes de Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.4.4 Implementa¸c˜ao de SQP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B Modos Deslizantes 108
B.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.2 Projeto da Lei de Controle Via Modos Deslizantes . . . . . . . . . . . . . . 109
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
1.1 Motiva¸c˜ao
O emprego de estrat´egias avan¸cadas de controle ´e, cada vez mais, uma necessidade
urgente nas ind´ustrias, com o objetivo de melhorar seus processos produtivos em con-
sonˆancia com a evolu¸c˜ao do mercado, permitindo manter um grau de competitividade e
rentabilidade. As exigˆencias dos setores produtivos em mat´eria de qualidade, seguran¸ca,
requisitos de preserva¸c˜ao d o meio ambiente, produtividade e flexibilidade na opera¸c˜ao,
entre outros, acarreta a necessidade de desenvolvimento e implanta¸c˜ao de novas t´ecnicas
de controle que permitam alcan¸car um alto grau de efic´acia e competitividade na opera¸c˜ao
dos processos.
Grande parte dos processos industriais s˜ao sistemas cuja estrat´egia de opera¸c˜ao ´e
determinada por uma s´erie de crit´erios tanto econˆomicos (relacionados com a qualidade
da produ¸c˜ao) como de seguran¸ca ou de meio ambiente. Ainda que as estrat´egias d e
controle avan¸cado possam contribuir no cumprimento desses objetivos, na pr´atica n˜ao vˆem
sendo empregadas de forma extensiva, continuando-se a utilizar estrat´egias de controle
cl´assicas, desenvolvidas h´a quarenta ou cinq¨uenta anos. A raz˜ao fundamental para esta
escassa introdu¸c˜ao de t´ecnicas avan¸cadas a n´ıvel industrial ´e o maior grau de dificuldade
conceitual e de realiza¸c˜ao deste tipo de controlador, aumentando os esfor¸cos necess´arios
tanto a n´ıvel da implementa¸c˜ao do controle quanto a n´ıvel da forma¸c˜ao espec´ıfica dos
operadores.
Dentre as estrat´egias de controle que est˜ao sendo usadas na ind´ustria, o Controle
Introdu¸c˜ao 2
Preditivo Baseado em Modelo (Model Predictive Control, MPC) talvez seja a t´ecnica de
controle avan¸cado com maior ˆexito em diversos campos, desde a ind´ustria petroqu´ımica
para a qual foi desenvolvido originalmente, at´e uma grande variedade de ´areas de aplica¸c˜ao
que incluem instala¸c˜oes qu´ımicas, de automa¸c˜ao, ind´ustria aeroespacial, metal´urgica, en-
tre outras (Dutra 2003).
O campo do controle preditivo, por sua vez, pode ser dividido em duas ´areas: o controle
preditivo de sistemas lineares e os de sistemas n˜ao lineares. A facilidade e simplicidade de
tratamento dos sistemas lineares e a existˆencia de ferramentas eficientes de an´alise fizeram
que essa ´area tom´a-se u m protagonismo inicial. Por´em a incorpora¸c˜ao das restri¸c˜oes no
controlador fazem que o sistema em malha fechada seja n˜ao linear, pelo que as ferramentas
de an´alise deixam de ser ´uteis. Assim a ´area de controle preditivo n˜ao linear tomou uma
importˆancia crescente nos ´ultimos anos, e como conseq¨uˆencia, um n´umero crescente de
resultados e publica¸c˜oes tem aparecido na literatura (Marruedo 2002).
A eletrˆonica de potˆencia tem alcan¸cado um lugar importante na tecnologia moderna.
A grande diversidade de produtos de alta potˆencia utilizados atualmente na ind´ustria,
(controladores de calor, de ilumina¸c˜ao, de motores, fontes de alimenta¸c˜ao, sistemas de
propuls˜ao de ve´ıculos, conversores est´aticos de freq¨uˆencia, etc), faz esta ´area da engenharia
muito visada para o desenvolvimento d e novas solu¸c˜oes (Rashid 1993).
A sub ´area mais importante da eletrˆonica de potˆencia ´e a que trata da convers˜ao de
energia. Esta fun¸c˜ao ´e desempenhada por circuitos eletrˆonicos espec´ıficos altamente es-
pecializados, conhecidos como conversores de potˆencia. Estes dispositivos trabalham com
chaves semicondutoras o que provoca descontinuidades na opera¸c˜ao destes conversores,
caracterizando assim sistemas conhecidos na literatura como de estrutura vari´avel.
Nos ´ultimos anos diversos trabalhos foram publicados abordando o controle d estes
sistemas. Em (L´opez et al. 1999), (Giral et al. 2000) e (Borges 2002) s˜ao utilizadas
t´ecnicas n˜ao lineares de controle por estrutura vari´avel. Outros autores como (Rodriguez
et al. 2000), (Kazimierkzuk e Edstr¨om 2000) e (Leyva et al. 2001), recorrem a um esquema
de controle que utiliza modula¸c˜ao em largura de pulso (PWM) para acionamento das
chaves evitando a necessidade de se modelar as descontinuidades. Esta t´ecnica ´e a mais
usada na eletrˆonica de potˆencia.
A aplica¸c˜ao de CPBM a sistemas eletrˆonicos de potˆencia n˜ao tem sido exaustivamente
explorada devido a que o tempo de processamento muitas vezes supera os per´ıodos de
amostragem que devem ser usados. Atualmente, com o uso dos pro cessadores digitais de
Introdu¸c˜ao 3
sinais (DSP, Digital Signal Processing), a aplica¸c˜ao de controle avan¸cado nestes sistemas
torna-se vi´avel.
Assim a aplica¸c˜ao e compara¸c˜ao, no que se refere `a eficiˆencia, de algumas estrat´egias
de CPBM linear e n˜ao linear, no projeto de controladores para os conversores de potˆencia,
torna-se de grande interesse.
1.2 Objetivos
O objetivo principal deste trabalho ´e projetar controladores para um conversor de
potˆencia CC, aplicando algumas t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear. O caso de
estudo se centrar´a em um conversor elevador redutor de tens˜ao cont´ınua, conhecido como
conversor buck-boost.
Para cada t´ecnica aplicada, mostrar-se-˜ao as vantagens e desvantagens de cada algo-
ritmo, quando aplicadas a este tipo de sistemas.
Resultados de simula¸c˜ao, utilizando ferramentas e modelos bem estabelecidos, ser˜ao
usados para realizar um estudo comparativo.
O objetivo ´e definir qual algoritmo ´e melhor do ponto de vista das diferentes especi-
fica¸c˜oes de controle
Tamb´em tratara-se-´a de comparar os diferentes resultados obtidos por simula¸c˜ao apli-
cando t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear, com uma t´ecnica amplamente estudada na
literatura para este tipo de sistemas n˜ao lineares, conhecidos como de estrutura vari´avel,
chamada de m´etodo dos modos deslizantes.
1.3 Estrutura da Disserta¸c˜ao
Este trabalho est´a organizado da seguinte forma:
• No cap´ıtulo 2 apresenta-se uma revis˜ao do controle preditivo baseado no modelo
(CPBM). Come¸ca-se apresentando a imp ortˆancia e a evolu¸c˜ao hist´orica do controle
preditivo para logo fazer uma descri¸c˜ao geral do algoritmo de controle preditivo
baseado no modelo. Em seguida aborda-se o tema referente `a implementa¸c˜ao do
Introdu¸c˜ao 4
controle preditivo sob restri¸c˜oes. Finalmente, estuda-se o controle preditivo n˜ao
linear, come¸cando por suas generalidades, seguido pela an´alise de um dos seus mais
importantes obst´aculos de aplica¸c˜ao que ´e a obten¸c˜ao de um modelo n˜ao linear
adequado do sistema a controlar, assim como discutem-se sucintamente as principais
t´ecnicas hoje em dia usadas dentro desta ´area.
• O cap´ıtulo 3 ab orda a plataforma de estudo, um conversor de tens˜ao de corrente
cont´ınua em corrente cont´ınua (CC-CC) elevador - redutor, conhecido na literatura
como conversor buck-boost (BB). Explica-se de forma gen´erica o funcionamento deste
tipo de conversores e seus diferentes modos de funcionamento, para logo finalizar
mostrando como obter os diferentes modelos para este tip o de sistema.
• No cap´ıtulo 4 tratam-se as diferentes solu¸c˜oes ao problema do controle do conver-
sor buck-boost aplicando-se algumas das t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear
mencionadas no cap´ıtulo 2. Primeiramente aplica-se uma t´ecnica de controle predi-
tivo amplamente conhecida na literatura chamada Generalized Predictive Controller
(GPC), a qual usa um modelo linear do sistema para calcular a lei de controle. Logo
ap´os ´e aplicada um a t´ecnica desenvolvida em (De Keyser 2003) conhecida como Non-
linear Extended Predictive Self Adaptive Control (NEPSAC). Finalmente resolve-se
o problema da forma mais geral, que ´e considerando o modelo n˜ao linear completo
para fazer as predi¸c˜oes e resolvendo o problema de otimiza¸c˜ao atrav´es do algoritmo
conhecido na literatura como Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial (SQP - Sequen-
tial Quadratic Programming). As trˆes t´ecnicas anteriores s˜ao aplicadas ao modelo
n˜ao linear cont´ınuo do conversor buck-boost.
• O cap´ıtulo 5 ´e dedicado a realizar um estudo comparativo dos diferentes resultados
obtidos a partir de simula¸c˜ao, quando aplicadas as t´ecnicas de controle do cap´ıtulo
4. A compara¸c˜ao ´e realizada sob os principais objetivos de controle, para esse tipo
de conversores:
1. garantia de erro nulo em regime permanente diante de perturba¸c˜oes de carga;
2. opera¸c˜ao dentro de uma faixa de freq¨uˆencias pr´e-estabelecidas;
3. dinˆamica em malha fechada mais r´apida e menos oscilat´oria que em malha
aberta.
A compara¸c˜ao n˜ao s´o ser´a realizada entre as t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear
mas tamb´em com um controle por modos deslizantes bastante usada neste tipo de
sistemas.
Introdu¸c˜ao 5
• O ´ultimo cap´ıtulo apresenta as conclus˜oes sobre o trabalho realizado, as consi-
dera¸c˜oes finais e as perspectivas futuras de pesquisa.
• O apˆendice A aborda o algoritmo de programa¸c˜ao quadr´atica seq¨uencial (SQP),
usado para resolver o problema de otimiza¸c˜ao na t´ecnica de controle preditivo n˜ao
linear mais geral. O apˆendice B trata do controle por modos deslizantes, que ser´a
usado na compara¸c˜ao com as t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear.
Cap´ıtulo 2
O Controle Preditivo Baseado no
Modelo (CPBM)
2.1 Introdu¸c˜ao
Este cap´ıtulo apresenta uma revis˜ao dos p rincipais conceitos e fundamentos do CPBM.
Por se tratar de resultados bem estabelecidos na literatura foram extra´ıdas e traduzidas
algumas partes de livros ou teses recentemente publicadas sobre o assunto, em particular
(Camacho e Bordons 1998), (Dutra 2003) e (Normey-Rico 1999)
O Controle Preditivo Baseado em Modelo (CPBM) surgiu nos anos setenta e tem sido
desenvolvido consideravelmente desde ent˜ao.
O termo controle preditivo baseado em modelo n˜ao se refere a uma estrat´egia espec´ıfica
de controle, mas sim a uma ampla fam´ılia de m´etodos de controle que fazem uso expl´ıcito
do modelo do processo para obter o sinal de controle minimizando uma fun¸c˜ao objetivo.
As caracter´ısticas principais compartilhadas pelos controladores preditivos baseados em
modelo, conforme (Camacho e Bordons 1998) e (Rawlings 2000), s˜ao:
• O uso expl´ıcito de um modelo do processo para realizar o c´alculo da predi¸c˜ao do
comportamento futuro das vari´aveis que descrevem a dinˆamica do mesmo, num
determinado horizonte finito.
• O c´alculo de uma seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle para todo o horizonte a partir
da minimiza¸c˜ao de uma determin ada fun¸c˜ao objetivo. No processo de minimiza¸c˜ao
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 7
da fun¸c˜ao objetivo, o CPBM pode estar sujeito a restri¸c˜oes, sendo esta uma das
suas caracter´ısticas mais valorizadas no ˆambito industrial, um diferencial quando
comparado a outras t´ecnicas de controle.
• Estrat´egia de horizonte deslizante, ou seja, a aplica¸c˜ao do controle envolve unica-
mente a a¸c˜ao de controle daquele instante e desconsidera o resto da seq¨uˆencia de
controle dentro do horizonte. A cada per´ıodo de amostragem, o horizonte ´e des-
locado um passo em dire¸c˜ao ao futuro, sendo calculada uma nova seq¨uˆencia de
atua¸c˜oes.
A escolha do modelo de predi¸c˜ao ´e o ponto chave no CPBM: um bom projeto deve
buscar o melhor modelo poss´ıvel, que deve ser completo o suficiente para capturar adequa-
damente a dinˆamica do processo e permitir o c´alculo das predi¸c˜oes da sa´ıda do processo,
ser intuitivo e ao mesmo tempo permitir uma an´alise te´orica do sistema. As diferentes
estrat´egias de CPBM utilizam diferentes formas para representar as rela¸c˜oes entre en-
tradas manipuladas, perturba¸c˜oes e sa´ıdas do processo. Em geral, os modelos tamb´em
incluem uma representa¸c˜ao matem´atica das perturba¸c˜oes e do ru´ıdo, assim como dos erros
de modelagem. Em geral, o modelo ´e separado em duas partes, ambas necess´arias para
o c´alculo das predi¸c˜oes: o modelo do processo propriamente dito e o modelo das per-
turba¸c˜oes. Quanto ao c´alculo da lei de controle, em geral, os diversos algoritmos CPBM
utilizam diferentes fun¸c˜oes de custo, que consideram como objetivo comum minimizar o
erro entre a sa´ıda futura e a referˆencia desejada, penalizando o esfor¸co da a¸c˜ao de controle
(Camacho e Bordons 1998).
Estes princ´ıpios gerais sobre os quais se fundamentam os controladores CPBM, acabam
por convertˆe-los em estrat´egias de controle de natureza aberta, devido `a flexibilidade que
apresentam na incorpora¸c˜ao de inova¸c˜oes, virtude que tem permitido que os algoritmos
evoluam com o passar do tempo. Os v´arios algoritmos CPBM diferem basicamente na
forma como as predi¸c˜oes s˜ao calculadas, ou seja, no modelo usado para representar o
processo e as perturba¸c˜oes, na fun¸c˜ao objetivo a ser minimizada e no procedimento para
manipular as restri¸c˜oes e o c´alculo do controle.
Como, na pr´atica, todos os processos est˜ao sujeitos a rest ri¸c˜oes, ´e interessante se levar
em conta as restri¸c˜oes de opera¸c˜ao quando do projeto e implementa¸c˜ao do controle. No
caso de controladores preditivos, a considera¸c˜ao das restri¸c˜oes se faz diretamente na fase
de otimiza¸c˜ao para obten¸c˜ao do controle ´otimo (Camacho e Bordons 1998). No caso do
CPBM, ´e poss´ıvel antecipar a ocorrˆencia da viola¸c˜ao da restri¸c˜ao e corrigi-la de maneira
apropriada. Restri¸c˜oes de sa´ıda s˜ao principalmente devidas a raz˜oes de seguran¸ca e devem
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 8
ser controladas em avan¸co, pois as vari´aveis de sa´ıda s˜ao afetadas pela dinˆamica do pro-
cesso. As vari´aveis manipuladas (ou de entrada) podem ser mantidas sempre no limite pelo
controlador pelo chaveamento da a¸c˜ao de controle a valores que satisfa¸cam restri¸c˜oes de
amplitude e velocidade. Pode-se incorporar ao processo restri¸c˜oes de comportamento para
for¸car a resposta do sistema a ter certas caracter´ısticas desejadas (evitar fase n˜ao-m´ınima,
garantir comportamento mon´otono, evitar sobre-eleva¸c˜ao, entre outras). Al´em disso, ´e
comum se fazer distin¸c˜ao entre restri¸c˜oes que n˜ao podem ser violadas, ditas restri¸c˜oes
fortes (“hard constraints”), e aquelas que se gostaria de manter dentro de certos limites
espec´ıficos, mas para as quais se permite que ocasionalmente sejam violadas, conhecidas
como restri¸c˜oes brandas (“soft constraints”). O tratamento habitual de restri¸c˜oes busca
mecanismos de seguran¸ca na lei de controle, a fim de manter a opera¸c˜ao do sistema fora
de zonas consideradas cr´ıticas, pr´oximas `as restri¸c˜oes. Outra pr´atica comum ´e ignorar as
restri¸c˜oes quando na fase de projeto do controlador e tentar compens´a-las de uma forma
artificial na fase de implementa¸c˜ao do controle, como ocorre no caso da satura¸c˜ao da a¸c˜ao
de controle do termo integral do PID, onde se aplica uma compensa¸c˜ao, chamada anti
wind-up (Astrom e Hagglund 1995).
Nota-se, entretanto, que o tratamento do CPBM com restr i¸c˜oes apresenta dificuldades
adicionais, tanto te´oricas como de implementa¸c˜ao. A formula¸c˜ao do problema consiste no
correto equacionamento das restri¸c˜oes e nu m tratamento posterior conhecido como “es-
tudo de factibilidade e gest˜ao de restri¸c˜oes”(Camacho e Bordons 1998). Este tratamento
permite o funcionamento do algoritmo de otimiza¸c˜ao, liberando ou suavizando, quando
poss´ıvel, as restri¸c˜oes. Por outro lado, do ponto de vista da implementa¸c˜ao do algoritmo
de otimiza¸c˜ao, as pesquisas est˜ao orientadas `a melhoria da eficiˆencia e `a minimiza¸c˜ao dos
tempos de c´alculo. Finalmente, os problemas de estabilidade destes sistemas de controle
somente tˆem sido resolvidos parcialmente e numerosas pesquisas vˆem sendo realizadas nos
´ultimos anos (Rawlings e Muske 1993)(Scokaert e Rawlings 1999).
Outra quest˜ao que estimulou o desenvolvimento dos controladores preditivos foi, sem
d´uvida, a possibilidade de sua aplica¸c˜ao pr´atica na ind´ustria, aspecto que despertou
grande interesse tanto no ˆambito industrial quanto no meio acadˆemico. Neste sentido,
deve-se destacar a pesquisa do “controle algor´ıtmico baseado em modelo”(Model Algo-
rithm Control, MAC) (Richalet et al. 1976). Este algoritmo de controle, desenvolvido no
meio industrial, emprega um modelo d e predi¸c˜ao do tipo convolu¸c˜ao (resposta ao impulso),
com uma fun¸c˜ao objetivo quadr´atica; o qual se comercializa com o nome Identification
and Command, ou simplesmente, IDCOM
C
. Nos anos 70 , os engenheiros da empresa
SHELL Co. desenvolveram u m algoritmo de controle preditivo, que emprega um mo-
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 9
delo de resposta ao degrau, que pode ser obtido experimentalmente, com fun¸c˜ao de custo
quadr´atica. Este controlador, conhecido como “controle por matriz dinˆamica”(Dynamic
Matrix Control, DMC) (Cutler e Ramaker 1980), ´e comercializado por DMC Corporation,
apresentando grande ˆexito na ind´ustria, especialmente na petroqu´ımica (Dormido 1987).
Na verdade, o DMC causou tanto impacto na ind´ustria, que muito provavelmente n˜ao
existe uma s´o companhia de petr´oleo no mundo, onde o DMC ou similar, n˜ao seja empre-
gado em suas novas instala¸c˜oes ou atualiza¸c˜oes de campo (Morari e Lee 1999).
Paralelamente aos p acotes desenvolvidos por ind´ustrias, alguns grupos de pesquisa que
trabalhavam com controle adaptativo, desenvolviam no meio acadˆemico outra fam´ılia de
algoritmos dentro da classe dos CPBM, com uma s´erie de caracter´ısticas diferentes aos
do primeiro grupo (Datta e Ochoa 1980). Neste segundo grupo, devem ser inclu´ıdos, en-
tre outros: o “controle preditivo generalizado”( Generalized Predictive Controller, GPC)
(Clarke et al. 1987a) (Clarke et al. 1987b), que permite controlar uma ampla classe de
processos, inclusive os de fase n˜ao-m´ınima, e os inst´aveis em malha aberta; o “controle
adaptativo de predi¸c˜ao estendida”( Extended Prediction Self Adaptive Control, EPSAC)
(De Keyser e Cuawenberghe York, 1985), aplic´avel a sistemas n˜ao-lineares, com a¸c˜oes de
controle repetitivas, como no caso da rob´otica; al´em do “controle adaptativo de horizonte
estendido”(Extended Horizon Adaptive Control, EHAC) (Ydstie Budapest, Hungry, 1984)
e o “controle preditivo unificado”(Unified Predi ctiv e Control, UPC) (Soeterboek 1992).
Nestes controladores CPBM, a planta ´e representada por uma fun¸c˜ao de transferˆencia e
as perturba¸c˜oes s˜ao representadas por um modelo auto-regressivo integrado e de m´edia
m´ovel (normalmente denominado modelo CARIMA, Controlled Auto-Regressive Integra-
ted Moving Average (Goodwin e Sin 1984)), enquanto as predi¸c˜oes da sa´ıda do processo
s˜ao calculadas usando preditores ´otimos. Uma das vantagens do enfoque usado por este
segundo grupo de controladores ´e que o modelo CARIMA ´e mais geral que os de resposta
impulsional e de resposta ao degrau, permitindo uma representa¸c˜ao com menor n´umero
de parˆametros (principalmente no caso de processos com atraso). Al´em disso, neste tipo
de controladores, a robustez frente aos erros de modelagem e ru´ıdos de medi¸c˜ao pode
ser considerada no algoritmo atrav´es da utiliza¸c˜ao de polinˆomios de filtragem (Clarke e
Mohtadi 1989).
Assim, os controladores preditivos baseados no modelo constituem uma das t´ecnicas
de controle avan¸cado mais aplicadas e aplic´aveis no controle de processos industriais.
Na verdade, existem uma s´erie de vantagens do CPBM, quando comparado a outras
metodologias, como raz˜ao para seu destaque (Camacho e Bordons 1995) (Mosca 1995).
Entre elas:
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 10
• Apresenta intrinsecamente compensa¸c˜ao de atraso.
•
´
E extremamente ´util em casos de referˆencias conhecidas (por exemplo, em rob´otica
e processo batch).
• Permite a compensa¸c˜ao de perturba¸c˜oes mensur´aveis, corrigindo-as com uma a¸c˜ao
de controle tipo feedforward.
• O tratamento de restri¸c˜oes p ode ser inclu´ıdo durante o projeto do controlador.
• Pode ser implementado n˜ao s´o como um algoritmo de controle regulat´orio, mas
tamb´em como uma estrat´egia de controle supervis´orio, ou mesmo em um n´ıvel supe-
rior ab ordan do os problemas de otimiza¸c˜ao empregando diferentes fun¸c˜oes objetivo.
• Pode ser usado em uma grande variedade de processos, desde aqueles com dinˆamica
simples at´e os de dinˆamica mais complexas, incluindo sistemas n˜ao-lineares, multi-
vari´aveis, inst´aveis e de fase n˜ao m´ınima.
•
´
E uma metodologia ab erta, baseada em princ´ıpios b´asicos, o que permite extens˜oes
futuras, contribui¸c˜oes e incorpora¸c˜ao de novos desenvolvimentos, principalmente
quanto ao modelo de predi¸c˜ao e aos crit´erios de otimiza¸c˜ao, entre outros.
Tudo isso mostra que os m´etodos CPBM s˜ao vers´ateis e robustos, podendo apresentar
bom desempenho em aplica¸c˜oes ind ustriais. Na seq¨uˆencia, ser´a descrito um algoritmo
geral de controle utilizado pelo CPBM.
2.2 Descri¸c˜ao Geral do Algoritmo de Controle do
CPBM
Os controladores preditivos baseados no modelo podem ser representados por meio
do diagrama de blocos da figura 2.1, onde p odem ser observados seus componentes mais
importantes:
• o modelo do processo utilizado para o c´alculo da predi¸c˜ao das sa´ıdas futuras;
• o otimizador que gera a seq¨uˆencia ´otima de controle, baseada na minimiza¸c˜ao de
uma ou mais fun¸c˜oes objetivo; que pode considerar, al´em das predi¸c˜oes e dos erros,
as restri¸c˜oes nas vari´aveis de processo e/ou de controle;
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 11
• o horizonte deslizante, aplicando `a entrada da planta somente ∆u(t)
1
, primeiro
elemento da seq¨uˆencia de incrementos de a¸c˜oes futuras de controle ∆u(t + j) ;
• a trajet´oria de referˆencia futura w(t + j) , que permite obter os erros futuros, com
base nos valores das sa´ıdas futuras preditas.
Otimizador Planta
Modelo
de predição
Trayetória
de referência
Erros
futuros
Entradas
passadas
Saídas
passadas
Saídas futuras preditas
Função
objetivo
Restrições
w(t+j) e(t+j|t)
u(t)
y(t)
u(t+j|t)
+
-
Seqüência de ações
de controle futuras
Figura 2.1: Estrutura geral do CPBM
Na figura 2.2, representa-se a evolu¸c˜ao no tempo do comportamento da sa´ıda y(t) em
fun¸c˜ao da a¸c˜ao de controle u(t) quando utiliza-se uma estrat´egia de CPBM. Esta figura
permite compreender melhor a estrat´egia, descrita pelos seguintes passos (Camacho e
Bordons 1998):
1. Estimar, a cada instante de tempo discreto t (t = 0, 1, 2, ..., N), uma predi¸c˜ao da
sa´ıda do processo ˆy(t + j|t)
2
2. Estabelecer uma trajet´oria de referˆencia w(t + j) para a sa´ıda, sobre o horizonte
de predi¸c˜ao. Esta trajet´oria pode ser a pr´opria referˆencia desejada (setpoint) ou
mesmo uma aproxima¸c˜ao desta, partindo do valor atual da sa´ıda em t, de modo que
o sistema alcance suavemente o valor de referˆencia em t + j.
3. Calcular a seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle futuras ∆u(t+j|t), j = 0, 1, ..., N
u
−1, pela
otimiza¸c˜ao de um determinado crit´erio, sujeito ou n˜ao a restri¸c˜oes. Em geral, busca-
se manter o processo o mais pr´oximo poss´ıvel da trajet´oria de referˆencia desejada
1
O s´ımbolo ∆ ser´a usado para representar o incremento da vari´avel, ∆x = x(t) − x(t − 1).
2
A nota¸c˜ao ˆy(t + j|t) indica o valor da vari´avel no instante t + j, calculada com base na informa¸c˜ao
dispon´ıvel no instante t.
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 12
w(t + j), com um esfor¸co de controle m´ınimo. O c´alculo do controle futuro p ode ser
realizado sobre um horizonte de controle N
u
menor que o horizonte de predi¸c˜ao N,
assumindo que a vari´avel controlada a partir deste instante permanece constante
at´e alcan¸car o horizonte N.
4. Aplicar ao processo apenas o primeiro elemento ∆u(t|t) da seq¨uˆencia de incrementos
de a¸c˜oes futuras de controle ∆u(t + j|t), despr ezando o restante dos valores. Isto
porque, utilizando o conceito de horizonte deslizante, no instante de tempo seguinte
t + 1, o valor de y(t + 1) ser´a conhecido e repete-se o algoritmo desde o passo 1,
com os valores atualizados das vari´aveis do processo. Assim, obt´em-se uma nova
seq¨uˆencia de controle ∆u(t + j|t + 1), sendo o valor de ∆u(t + 1|t + 1) aplicado ao
sistema. Observa-se que, a princ´ıpio, a seq¨uˆencia ∆u(t + j|t + 1), difere da anterior
∆u(t + j|t), por causa das novas informa¸c˜oes dispon´ıveis no sistema.
N
0
y(t)
ref
N
U
u(t)
Passado
Futuro
Tempo
atual
Figura 2.2: Estrat´egia do algoritmo CPBM
De modo geral, para um CPBM sem restri¸c˜oes, a seq¨uˆencia de a¸c˜oes de controle futuras
∆u(t + j|t), j = 0, 1, ..., N
u
− 1, ´e obtida pelo c´alculo de um vetor u que minimiza uma
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 13
fun¸c˜ao objetivo quadr´atica dada por:
J =
N
j=1
[ˆy(t + j|t) − w(t + j)]
2
+
N
u
j=1
λ(j)[∆u(t + j − 1)]
2
(2.1)
com λ(j) representando o fator de pondera¸c˜ao para o controle. A solu¸c˜ao ´otima, no caso
irrestrito, ´e encontrada pela resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao linear, como sendo (Camacho e
Bordons 1998):
u=K(w-f)
onde u ´e o vetor de incrementos de a¸c˜oes futuras de controle, K ´e uma matriz relacionada
ao modelo do sistema, w ´e o vetor de referˆencias desejadas e f, o vetor resposta livre do
sistema. Na pr´atica, calcula-se u, e apenas o primeiro elemento de u, ou seja ∆u(t), valor
do sinal de controle calculado para o tempo t, ´e aplicado ao processo.
Esta estrat´egia ´e equivalente para os diferentes algoritmos CPBM.
2.3 CPBM com Restri¸c˜oes
As t´ecnicas de CPBM s˜ao particularmente interessantes para tratar o problema de
controle sob restri¸c˜oes. A inclus˜ao das restri¸c˜oes no controle preditivo permite antecipar a
viola¸c˜ao das mesmas, imp edindo que o sistema atinja situa¸c˜oes cr´ıticas, com a vantagem
de que o tratamento de restri¸c˜oes pode ser feito de forma sistem´atica durante a fase
de projeto e implementa¸c˜ao do controlador. A considera¸c˜ao expl´ıcita das restri¸c˜oes no
sistema de controle ´e de grande importˆancia, pois as restri¸c˜oes est˜ao presentes em todos os
processos industriais e em geral o ´otimo se encontra na intersec¸c˜ao das restri¸c˜oes. Quando
o controlador considera as restri¸c˜oes, consegue-se melhorias na produ¸c˜ao por duas raz˜oes:
o processo pode operar mais pr´oximo do ´otimo, al´em de se reduzir perdas por paradas na
produ¸c˜ao pela viola¸c˜ao das restri¸c˜oes.
O prop´osito principal do CPBM ´e aplicar a melhor a¸c˜ao de controle p oss´ıvel mini-
mizando uma determinada fun¸c˜ao de custo. Assim, uma das formas de considerar as
restri¸c˜oes ´e intro du zindo-as na otimiza¸c˜ao do CPBM, o que tamb´em simplifica a inter-
preta¸c˜ao para o usu´ario. Para tanto, conv´em expressar as restri¸c˜oes em termos do vetor
de incrementos futuros de sinais de controle u, dado que a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo
se faz com respeito a esse vetor.
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 14
O c´alculo do vetor u, minimizando uma fun¸c˜ao objetivo dada por 2.1, permite obter
o sinal de controle u(t) a ser aplicado ao processo. Na presen¸ca de restri¸c˜oes, se u(t)
calculado viola uma restri¸c˜ao, ´e saturado em seu limite, seja pelo programa de controle,
seja pelo atuador. Esta forma de atuar n˜ao garante que o ´otimo ser´a alcan¸cado quando
as restri¸c˜oes s˜ao violadas. Assim, o principal objetivo do CPBM, que ´e a aplica¸c˜ao do
melhor sinal de controle poss´ıvel dada a minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo 2.1, n˜ao est´a sendo
atendido, ou seja, o controle perde seu car´ater ´otimo.
2.3.1 Planejamento das Restri¸c˜oes no CPBM
As r estri¸c˜oes impostas no processo podem se originar de limites na amplitude dos
sinais de controle (satura¸c˜ao), limites nos incrementos dos sinais de controle (slew rate)
do atuador e limites nos sinais de sa´ıda, e podem ser descritas respectivamente pelas
desigualdades:
u
min
≤ u(t) ≤ u
max
, ∀t
u
min
≤ u(t) − u(t − 1) ≤ u
max
, ∀t (2.2)
y
min
≤ y(t) ≤ y
max
, ∀t
Estes trˆes tipos de restri¸c˜oes s˜ao os mais comuns na ind´ustria de processos e em outras
aplica¸c˜oes (Camacho 1993). Para um processo d e m-entradas, n-sa´ıdas e atuando em um
horizonte deslizante N, essas restri¸c˜oes podem ser expressas como:
1u
min
≤ u ≤ 1u
max
1u
min
≤ T u + u(t − 1)1 ≤ 1u
max
1y
min
≤ Gu + f ≤ 1y
max
onde 1 ´e uma matriz (N × n) × m formada por N matrizes identidade m × m, T ´e uma
matriz bloco triangular inferior cujos blocos n˜ao nulos s˜ao matrizes identidade m × m
e u representa o vetor de incrementos do sinal de controle. Essas r estri¸c˜oes podem ser
expressas de uma forma condensada como:
Ru ≤ c (2.3)
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 15
com
R =
I
N×N
−I
N×N
T
−T
G
−G
c =
1u
max
−1u
min
1u
max
− 1u(t − 1)
−1u
min
+ 1u(t − 1)
1y
max
− f
−1y
min
+ f
As r estri¸c˜oes nas vari´aveis de sa´ıda do tipo y
min
≤ y(t) ≤ y
max
s˜ao normalmente im-
postas por quest˜oes de seguran¸ca. Tamb´em podem usar-se outro tipo de restri¸c˜oes, como
as relacionadas `a imposi¸c˜ao de um determinado comportamento do sistema (Kutnetsov e
Clarke 1994).
J´a que todas as restri¸c˜oes podem ser agrupadas na desigualdade matricial 2.3, o pro-
blema de otimiza¸c˜ao do CPBM passa a ser:
Minimize J
Sujeito a : Ru ≤ c
O algoritmo CPBM quando leva em conta as restri¸c˜oes consiste na minimiza¸c˜ao de
uma fun¸c˜ao custo J, possivelmente quadr´atica, sujeita ao cumprimento de restri¸c˜oes li-
neares. Isto se traduz na otimiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao quadr´atica com restri¸c˜oes lineares,
que se conhece comumente como um problema de programa¸c˜ao quadr´atica (Quadratic
Programming, QP) e que deve ser resolvido atrav´es de m´etodos num´ericos (Camacho e
Bordons 1998). A ausˆencia de solu¸c˜ao anal´ıtica na maioria dos problemas de controle
´otimo restrito torna-o bastante complexo. Algumas alternativas de solu¸c˜ao foram pro-
postas na literatura. Em (Camacho 1993), transforma-se o problema padr˜ao QP em
um problema complementar linear (LCP) equivalente, demonstrando que o esfor¸co com-
putacional pode ser significativamente reduzido, ponto crucial em aplica¸c˜oes reais com
dinˆamicas r´apidas. No sentido de evitar t´ecnicas de programa¸c˜ao matem´atica computaci-
onalmente intensas, em (Bemporad e Mosca 1994) introduz-se um m´etodo de modificar o
sinal de referˆencia de modo a proibir viola¸c˜oes de restri¸c˜oes e garantir um tempo m´ınimo
de estabiliza¸c˜ao. Al´em disso, ´e poss´ıvel que um problema CPBM seja mal-colocado. Isto
significa que n˜ao existe solu¸c˜ao fact´ıvel que satisfa¸ca as restri¸c˜oes operacionais impostas.
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 16
2.3.2 Factibilidade
Um problema de otimiza¸c˜ao ´e fact´ıvel quando a fun¸c˜ao objetivo ´e limitada e existem
pontos no espa¸co das vari´aveis de decis˜ao que satisfazem todas as restri¸c˜oes. O ponto
´otimo da minimiza¸c˜ao est´a freq¨uentemente nas intersec¸c˜oes das restri¸c˜oes. Em alguns
casos, durante o est´agio de otimiza¸c˜ao, a regi˜ao definida pelas restri¸c˜oes pode ser vazia.
Nestas condi¸c˜oes, o algoritmo de otimiza¸c˜ao n˜ao pode encontrar uma solu¸c˜ao e a oti-
miza¸c˜ao ´e dita n˜ao-fact´ıvel (Prett e Morari 1980). Objetivos de controle n˜ao ating´ıveis
e/ou perturba¸c˜oes que levam o processo fora de seu ponto de opera¸c˜ao podem causar
n˜ao-factibilidade.
Os m´et odos de gest˜ao de restri¸c˜oes tratam de recuperar a factibilidade relaxando (ou
eliminando) as restri¸c˜oes segundo diferentes crit´erios que dependem do tipo de limites im-
postos pelas vari´aveis do processo. Os seguintes tipos de limites podem ser considerados:
• Limites f´ısicos: nunca podem ser ultrapassados devido a aspectos construtivos.
Est˜ao associados sobretudo aos atuadores.
• Limites de seguran¸ca: nunca devem ser violados porque pode ser perigoso para a
seguran¸ca do processo ou pode ocasionar altos custos devido ao atendimento de
emergˆencia. Estes limites est˜ao usualmente associados `as vari´aveis controladas do
processo.
• Limites de opera¸c˜ao: fixados pelos operadores como limites que n˜ao devem ser
excedidos pelas vari´aveis do processo no sentido de manter as condi¸c˜oes nominais
de funcionamento do sistema.
• Limites reai s: s˜ao os usados pelo algoritmo de controle a cada instante. S˜ao forneci-
dos pelo gerenciador de restri¸c˜oes, o qual deve calcul´a-los de tal maneira que nunca
excedam os limites f´ısicos.
A n˜ao-factibilidade pode aparecer tanto durante o regime transit´orio quanto no regime
permanente. Os problemas de n˜ao-factibilidade em regime permanente s˜ao causados por
objetivos de controle irrealiz´aveis. Isto ocorre por exemplo quando n˜ao se pode chegar as
referˆencias solicitadas porque os sinais de controle das vari´aveis manipuladas s˜ao restri-
tos. Estas n˜ao-factibilidades podem ser consideradas na fase de projeto pela elimina¸c˜ao
destes objetivos. J´a a n˜ao-factibilidade no transit´orio pode aparecer mesmo quando as
restri¸c˜oes impostas parecem ser razo´aveis. Ou seja, restri¸c˜oes que n˜ao causam problemas
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 17
em opera¸c˜ao normal podem se tornar temporariamente incompat´ıveis em regime tran-
sit´orio. Uma perturba¸c˜ao ou mudan¸ca grande na referˆencia pode levar uma vari´avel de
sa´ıda para fora de seus limites e pode ser imp oss´ıvel introduzi-la novamente em sua zona
normal de funcionamento usando sinais de controle limitados. A n˜ao-factibilidade pode
ainda ser pro duzida quando um operador redefine limites de uma vari´avel de opera¸c˜ao
enquanto o processo est´a em funcionamento (Alvarez e Prada 1997). Se as vari´aveis j´a
est˜ao fora dos novos limites, o problema ser´a n˜ao-fact´ıvel.
A factibilidade ´e uma quest˜ao de importˆancia no controle CPBM sob restri¸c˜oes, n˜ao
apenas porque a prova de estabilidade de estrat´egias de controle CPBM sob restri¸c˜oes
requer factibilidade, mas tamb´em porque se o problema de otimiza¸c˜ao for n˜ao-fact´ıvel,
o CPBM n˜ao funcionar´a e n˜ao estar´a habilitado a calcular o pr´oximo sinal de controle.
Sendo assim, ´e necess´ario tomar algumas precau¸c˜oes no uso do CPBM sob restri¸c˜oes.
Algumas t´ecnicas de busca de solu¸c˜oes fact´ıveis podem ser aplicadas no sentido de buscar
restabelecer a factibilidade do problema de otimiza¸c˜ao. Dentre estas o m´etodo do relaxa-
mento de restri¸c˜oes pode ser considerado um dos mais adequados, pois consiste em relaxar
temporariamente os limites pelo aumento de seus valores. Uma maneira de realizar o re-
laxamento ´e mudar restri¸c˜oes fortes (Ru < a) para brandas (Ru < a + ǫ), pela adi¸c˜ao
de um termo ǫ
T
Tǫ `a fun¸c˜ao custo, penalizando qualquer viola¸c˜ao da restri¸c˜ao e obtendo
um melhor comportamento do sistema controlado (Zheng e Morari 1995). Ao longo da
execu¸c˜ao do c´alculo do controle, o termo penalizado na fun¸c˜ao objetivo levar´a a vari´avel
a zero. Em (Rawlings e Muske 1993), a estrat´egia recomendada ´e manter uma janela
restrita onde estariam contidas as restri¸c˜oes do problema. A n˜ao-factibilidade poderia ser
evitada pela reformula¸c˜ao do problema atrav´es da abertura suficiente dessa janela. Para
tanto, faz-se necess´ario que as restri¸c˜oes possam ser relaxadas sem causar altera¸c˜oes no
sistema real. Assim, no caso de n˜ao-factibilidade do problema, uma das maneiras de atuar
sobre o sistema ´e decidir a importˆancia relativa das restri¸c˜oes as quais este est´a subme-
tido, e eventualmente relaxar as restri¸c˜oes menos importantes at´e que a factibilidade seja
recuperada.
Alguns trabalhos analisam a garantia da factibilidade associada `a estabilidade do
sistema em malha fechada. Em (Clarke e Scattolini 1991), se analisa o problema no
contexto do GPC, desenvolvendo um novo algoritmo, o CRHPC (Constrained Receding-
Horizon Predictive Control). A id´eia principal ´e impor restri¸c˜oes terminais aos estados,
ou na rela¸c˜ao entrada-sa´ıda, e for¸car a sa´ıda predita a seguir exatamente a referˆencia
durante um horizonte m suficientemente longo ap´os o horizonte de custo. Em (S cokaert
e Clarke 1994), se apresentam resultados de estabilidade do CRHPC na presen¸ca de
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 18
restri¸c˜oes, e uma forma de remover as restri¸c˜oes quando solu¸c˜oes fact´ıveis n˜ao forem
encontradas. A id´eia principal ´e que, se uma solu¸c˜ao fact´ıvel ´e encontrada e o horizonte
de ajuste m ´e grande o suficiente para cobrir o transit´orio das vari´aveis de sa´ıda, a
fun¸c˜ao custo ´e monotonamente decrescente (se n˜ao h´a perturba¸c˜oes externas e o processo
´e livre de ru´ıdo) e pode ser interpretada como uma fun¸c˜ao de Lyapunov, o que garante
a estabilidade. Em (Gossner et al. 1997), uma metodologia ´e proposta para garantir a
factibilidade do GPC est´avel na presen¸ca de perturba¸c˜oes limitadas que podem levar o
processo fora da regi˜ao restrita. A id´eia ´e determ inar o m´ınimo esfor¸co de controle a fim
de rejeitar as piores perturba¸c˜oes no futuro. Para implementar esta id´eia, restri¸c˜oes mais
fortes que os limites f´ısicos s˜ao impostas pelas vari´aveis manipuladas. A diferen¸ca entre os
limites f´ısicos e as novas restri¸c˜oes ´e o esfor¸co de controle m´ınimo requerido para manter a
factibilidade do problema de otimiza¸c˜ao restrita no sentido de garantir a estabilidade. As
t´ecnicas desenvolvidas para garantir a estabilidade, em geral, se baseiam primeiramente
na existˆencia de solu¸c˜ao fact´ıvel.
Apesar da maioria das aplica¸c˜oes envolverem restri¸c˜oes, ainda s˜ao poucos os trabalhos
que tratam dos problemas de controle preditivo sob restri¸c˜oes, especialmente sob o ponto
de vista de sua aplicabilidade pr´atica.
2.4 CPBM N˜ao Linear
Quase a totalidade dos processos presentes na natureza s˜ao n˜ao lineares. Embora
em muitas situa¸c˜oes o processo trabalha nas proximidades do estado estacion´ario, e por
tanto uma representa¸c˜ao linear pode ser adequada, existem muitas importantes situa¸c˜oes
onde isso n˜ao ocorre. Existem processos onde as n˜ao linearidades s˜ao t˜ao severas (at´e
mesmo na proximidade d o estado estacion´ario) e t˜ao cruciais para a estabilidade em malha
fechada, que um modelo linear n˜ao ´e suficiente. Outros processos experimentam transi¸c˜oes
cont´ınuas e gastam uma grande por¸c˜ao de tempo indo de uma regi˜ao de opera¸c˜ao em
estado estacion´ario a outra, e ainda mais, existem processos que nunca operam no estado
estacion´ario como s˜ao os processos “batch”que operam todo o tempo no modo transit´orio.
Para esses processos uma lei de controle linear n˜ao ser´a muito efetiva, e por tanto um
controlador n˜ao linear ser´a essencial para obter uma melhor performance ou simplesmente
para uma opera¸c˜ao est´avel.
N˜ao h´a nada nos conceitos b´asicos do CPBM que impe¸ca o uso de um modelo n˜ao
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 19
linear. Por tanto a extens˜ao das id´eias do CPBM a processos n˜ao lineares ´e conceitual-
mente direta. Por´em do ponto de vista da sua utiliza¸c˜ao existem muitas quest˜oes ainda
em aberto, como por exemplo:
• Dispor de um modelo n˜ao linear, obtido por t´ecnicas de identifica¸c˜ao para processos
n˜ao lineares.
• O aumento da complexidade computacional na resolu¸c˜ao do CPBM para processos
n˜ao lineares.
• A existˆencia de uma lacuna no que se refere a resultados sob estabilidade e robustez
para o caso de sistemas n˜ao lineares.
Muitos desses problemas j´a vem sendo estudados e o CPBM com o uso de modelos n˜ao
lineares, tem se transformado em um dos assuntos mais pesquisados nos ´ultimos anos, e
est´a sendo muito demandado por usu´arios que procuram alta p erformance.
2.4.1 Modelos N˜ao Lineares
Obter um modelo n˜ao linear adequado pode ser uma tarefa muito dif´ıcil sobre tudo
quando se deseja uma representa¸c˜ao adequada de processos n˜ao lineares em geral para
qualquer tipo de situa¸c˜ao. Parte do sucesso do CPBM padr˜ao e a relativa facilidade com
que se pode obter a resposta ao degrau ou ao impulso, ou a fun¸c˜ao de transferˆencia de
baixa ordem, de um certo processo. Os modelos n˜ao lineares s˜ao muito mais dif´ıceis de
construir.
A maior dificuldade matem´atica para completar uma teoria para processos n˜ao lineares
´e que para estes processos o princ´ıpio de superposi¸c˜ao n˜ao ´e cumprido. Por causa disto,
a determina¸c˜ao de um modelo atrav´es dos dados de entrada-sa´ıda do processo ´e um
problema dif´ıcil. A quantidade de testes que s˜ao necess´arios para identificar uma planta
n˜ao linear s˜ao muito maiores que para um processo linear. Se a planta for linear, em uma
situa¸c˜ao ideal, o teste do degrau ´e suficiente para obter um modelo aproximado da planta.
Esse n˜ao ´e o caso dos processos n˜ao lineares onde testes com diferentes amplitudes de
entrada devem ser executados para identificar cada modelo. Se o processo ´e multivari´avel,
a diferen¸ca no n´umero de testes requeridos ´e ainda maior. Em geral, se um sistema linear ´e
testado com os sinais u
1
(t), u
2
(t), ..., u
n
(t), e as correspondentes respostas s˜ao y
1
, y
2
, ..., y
n
,;
a resposta ao sinal combina¸c˜ao linear das entradas testadas:
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 20
u(t) = α
1
u
1
(t) + α
2
u
2
(t) + ... + α
n
u
n
(n)
ser´a:
y(t) = α
1
y
1
(t) + α
2
y
2
(t) + ... + α
n
y
n
(n)
Isto ´e, os sistemas lineares n˜ao precisam ser testados para toda a seq¨uˆencia de entrada
formada pela combina¸c˜ao linear de seq¨uˆencias de entradas previamente testadas. Este
n˜ao ´e o caso dos sistemas n˜ao lineares, que devem ser analisados para todos os sinais de
entrada poss´ıveis.
Diversos modelos para sistemas n˜ao lineares vem sendo analisados na literatur a. En-
tre eles destacam-se o modelo de Wiener, redes neurais, modelo de Volterra, modelo de
Hammerstein, modelo NARX, modelo fuzzy, (Camacho e Bordons 1998).
2.4.2 T´ecnicas de Controle Preditivo N˜ao Linear
O uso de um modelo n˜ao linear muda o problema de controle de programa¸c˜ao
quadr´atica convexa para um problema n˜ao linear n˜ao-convexo, que ´e muito mais dif´ıcil de
resolver (Camacho e Bordons 1998). Al´em disto nessa situa¸c˜ao n˜ao existe garantia que se
possa identificar o ´otimo global, especialmente em controle em tempo real, onde o ´otimo
deve ser encontrado num temp o determinado.
Algumas solu¸c˜oes tˆem sido propostas para lidar com esse problema:
• Alguns sistemas n˜ao lineares funcionam passando de u m ponto de opera¸c˜ao a outro,
e seu comportamento nas proximidades de cada ponto de opera¸c˜ao se representa por
um modelo linear. Nesses casos lineariza-se o processo em v´arios pontos de opera¸c˜ao
e se aplica t´ecnicas de CPBM linear. O controle resultante se calcula interpolando
as solu¸c˜oes obtidas.
• Em (Camacho et al. 1997), foi proposta uma solu¸c˜ao para contornar o problema de
programa¸c˜ao n˜ao linear. Consiste em considerar a predi¸c˜ao da sa´ıda como a soma da
resposta livre (a qual ´e obtida se a entrada do sistema ´e mantida constante durante
o horizonte de predi¸c˜ao) obtida do modelo n˜ao linear da planta, e a resposta for¸cada,
calculada do modelo incremental linear da planta. As predi¸c˜oes obtidas dessa forma
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 21
s˜ao s´o uma aproxima¸c˜ao devido que o princ´ıpio de superposi¸c˜ao n˜ao ´e cumprido e
por tanto dividir a predi¸c˜ao em resposta livre e for¸cada n˜ao ´e v´alida. Se ´e usada
como fun¸c˜ao objetivo uma fun¸c˜ao quadr´atica, ent˜ao a fun¸c˜ao objetivo ´e uma fun¸c˜ao
quadr´atica na vari´avel de decis˜ao e por tanto aplica-se o j´a visto para o caso linear.
Esta aproxima¸c˜ao ´e valida somente quando o sistema trabalha no estado estacion´ario
submetido a pequenas perturba¸c˜oes.
• A forma de contornar o problema do caso anterior foi sugerida em (De Keyser 1998),
conhecido como NEPSAC, ser´a uma das t´ecnicas aplicadas nesta disserta¸c˜ao.
• Outra t´ecnica utilizada ´e a de lineariza¸c˜ao por realimenta¸c˜ao. Nestes casos o mo-
delo n˜ao linear pode ser transformado em um modelo linear com uma certa trans-
forma¸c˜ao. Considere por exemplo o processo d escrito pelo seguinte modelo no espa¸co
de estados:
x(t + 1) = f(x(t), u(t))
y(t) = g(x(t))
onde f e g s˜ao fun¸c˜oes n˜ao lineares. O m´etodo consiste em achar as fun¸c˜oes de
transforma¸c˜ao de estado e entrada z(t) = h(x(t)) e u(t) = p(x(t), v(t)) que levem o
sistema a ser representado pelo modelo linear:
z(t + 1) = Az(t) + Bv(t)
y(t) = Cz(t)
onde A, B e C s˜ao matrizes constantes. Este m´etodo tem dois imp ortantes proble-
mas:
1. A transforma¸c˜ao z(t) = h(x(t)) e u(t) = p(x(t), v(t)) somente pode ser obtida
em alguns casos especiais.
2. As restri¸c˜oes nas vari´aveis originais do sistema que usualmente s˜ao lineares,
s˜ao transformadas num conjunto de restri¸c˜oes n˜ao lineares.
• A forma mais geral de resolver o problema ´e usando o modelo n˜ao linear completo
do sistema para calcular a predi¸c˜ao da sa´ıda. Nesse caso j´a n ˜ao ´e mais poss´ıvel
usar um algoritmo de programa¸c˜ao quadr´atica (QP) eficiente, e se deve procurar
algoritmos de programa¸c˜ao n˜ao linear para resolver o problema como, por exemplo,
o de programa¸c˜ao quadr´atica seq¨uencial (SQP) que ser´a usado nesta disserta¸c˜ao.
O Controle Preditivo Baseado no Modelo (CPBM) 22
2.5 Conclus˜oes
Este cap´ıtulo apresentou uma revis˜ao das principais caracter´ısticas do CPBM ressal-
tando qualidades de este tipo de t´ecnicas de controle. As diferentes partes do algoritmo no
caso linear sem restri¸c˜oes foram descritas para introduzir ao leitor na metodologia usada
por este tipo de algoritmos de controle.
Problemas como tratamento de restri¸c˜oes e o caso n˜ao linear tamb´em foram breve-
mente discutidos para mostrar a importˆancia e as dificuldades associadas ao projeto de
CPBM nestes casos.
As id´eias apresentadas ser˜ao utilizadas no cap´ıtulo 4 onde descreve-se a aplica¸c˜ao de
v´arios algoritmos de CPBM ao conversor BB que descreve-se no cap´ıtulo 3.
Cap´ıtulo 3
Plataforma de Estudo: Conversor
Buck-Boost (BB)
3.1 Introdu¸c˜ao
Este cap´ıtulo apresenta uma revis˜ao do funcionamento e modelagem do conversor
buck-boost. Igual que no cap´ıtulo anterior por se tratar de resultados bem estabelecidos
na literatura foram extra´ıdas algumas partes de livros ou teses recentemente publicadas
sobre o assunto, em particular (Borges 2002) e (Rashid 1993).
A atual sociedade tecnol´ogica ´e fortemente dependente da energia el´etrica. Seu uso
possibilita a existˆencia de diversos sistemas relacionados com a infraestrutura dos mo-
dernos processos produtivos. Desde o fornecimento de energia propriamente dita at´e
sistemas de suporte, como redes de comunica¸c˜oes, sistemas computacionais e to do tipo
de equipamento de aplica¸c˜oes especializadas.
Diante deste cen´ario, a confiabilidade no fornecimento da energia el´etrica se torna
um aspecto de enorme relevˆancia. Um tema que deve ser tratado com prioridade pelos
elementos da sociedade envolvidos com os processos econˆomicos, cient´ıficos e tecnol´ogicos.
Em especial, o meio acadˆemico na ´area de engenharia tem a obriga¸c˜ao de voltar os olhos
para este problema e procurar desenvolver sistemas confi´aveis em todos os elos da cadeia
de transforma¸c˜ao de energia.
Dentro dessa cadeia, alguns d os elos mais importantes s˜ao representados pela eletrˆonica
de potˆencia. Alias, quase sempre esta representa a et apa final no fornecimento de energia
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 24
aos modernos sistemas eletro-eletrˆonicos. A eletrˆonica de potˆencia diz respeito ao proces-
samento e transforma¸c˜ao de energia el´etrica. Esta fun¸c˜ao ´e desempenhada por circuitos
eletrˆonicos altamente especializados, conhecidos como conversores de potˆencia, nos quais
uma combina¸c˜ao conveniente de elementos semicondutores formam o “cora¸c˜ao”do seu
princ´ıpio de funcionamento.
Funcionando quase sempre como chaves eletrˆonicas, os elementos semicondutores
constituintes dos circuitos de potˆencia introduzem, naturalmente, descontinuidades na
opera¸c˜ao destes conversores.
´
E da pr´opria natureza desses dispositivos ter uma estrutura
topol´ogica vari´avel, o que implica, necessariamente, na varia¸c˜ao da estrutura de sua des-
cri¸c˜ao matem´atica. Sendo assim, dentro do contexto deste trabalho, os dispositivos da
eletrˆonica de potˆencia representam exemplos t´ıpicos de sistemas n˜ao-lineares, conhecidos
na literatura como de estrutura vari´avel.
Este cap´ıtulo apresenta uma abordagem geral para an´alise de sistemas em eletrˆonica
de potˆencia, enfatizando as n˜ao-linearidades e descontinuidades de tais sistemas. A Se¸c˜ao
3.3 discute em termos gerais a modelagem de conversores. Um estudo de caso ´e, ent˜ao,
introduzido na Se¸c˜ao 3.4, tendo como objeto de an´alise um conversor elevador-redutor de
tens˜ao cont´ınua. Diversos modelos s˜ao obtidos pela aplica¸c˜ao da abordagem apresentada
e algumas an´alises s˜ao realizadas com base nestes modelos.
3.2 Sistemas de Estrutura Vari´avel
O tratamento matem´atico de sistemas n˜ao-lineares j´a ´e complexo por si s´o. Dificulda-
des adicionais surgem quando as n˜ao-linearidades se manifestam sob a forma de d esconti-
nuidades nas fun¸c˜oes que modelam o sistema (Andronov e Khaikin. 1937)(Filippov 1988).
A maioria dos resultados matem´aticos a respeito de equa¸c˜oes diferenciais e sistemas
dinˆamicos assume como hip´otese a cont inuidade das fun¸c˜oes envolvidas. Isso impede
que certos sistemas f´ısicos sejam modelados e tratados pelo uso dessas ferramentas. Tais
sistemas s˜ao de grande interesse em engenharia, j´a que muitos deles descrevem artefatos
tecnol´ogicos de larga aplica¸c˜ao. Os exemplos mais t´ıpicos s˜ao os sistemas de controle por
relˆe (Tsypkin. 1984), que se baseiam em dispositivos do tipo liga-desliga. Cada comuta¸c˜ao
de um relˆe corresponde a uma descontinuidade nas equa¸c˜oes diferencias do sistema ao qual
pertence.
Sistemas de controle por relˆe foram amplamente utilizados nos prim´ordios da Mo-
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 25
derna Engenharia de Controle, principalmente, pela escola russa, durante a guerra fria
(Itkis 1976)(Utkin n.d.)(Bissell 1998). A op¸c˜ao por este tipo de sistema se fun damen-
tava, sobretudo, na simplicidade de implementa¸c˜ao e nas caracter´ısticas de robustez que
apresentavam. O uso desta t´ecnica incentivou investiga¸c˜oes te´oricas em equa¸c˜oes diferen-
ciais descont´ınuas. Os desenvolvimentos alcan¸cados no estudo dessas equa¸c˜oes formaram
ent˜ao a base do que se conhece hoje por Controle de Estrutura Vari´avel. Com o ad-
vento da eletrˆonica de semicondutores, os sistemas de controle por estrutura vari´avel n˜ao
mais se restringem a sistemas com relˆes. As descontinuidades podem ser implementadas
eletronicamente, tanto por meios anal´ogicos quanto digitais.
O tratamento matem´atico dado a sistemas descont´ınuos proporcionou a consolida¸c˜ao
do controle de estrutura vari´avel como uma das principais t´ecnicas de controle n˜ao-linear,
com forte embasamento te´orico (Itkis 1976)(Utkin n.d.)(DeCarlo et al. 1988). Quando
o uso desta t´ecnica ´e uma op¸c˜ao do projetista, o pr´oprio controle ´e respons´avel pela
introdu¸c˜ao de descontinuidades nas equa¸c˜oes do sistema, que podem ser originalmente
cont´ınuas no seu modelo original em malha aberta. Deste modo, toda descontinuidade ´e
oriunda da lei de controle implementada.
Por´em, h´a ainda uma classe de sistemas intrinsecamente descont´ınuos. Nestes casos,
as descontinuidades aparecem nas equa¸c˜oes do pr´oprio sistema, independentement e do
tipo de controlador utilizado. Exemplos disso s˜ao os sistemas mecˆanicos com atrito seco e
os conversores est´aticos de potˆencia. Estes ´ultimos s˜ao objeto de estudo da Eletrˆonica de
Potˆencia, disciplina que ´e rica em exemplos de sistemas descont´ınuos, devido `a presen¸ca
freq¨uente de chaves eletrˆonicas em seus circuitos.
N˜ao obstante a origem da descontinuidade, ela confere aos sistemas descont´ınuos
comportamentos t´ıpicos muito diferentes daqueles encontrados em sistemas cont´ınuos
(Bernardo 1999).
3.3 Eletrˆonica de Potˆencia
A eletrˆonica de potˆencia ´e a disciplina que estuda sistemas para a transforma¸c˜ao da
energia el´etrica de uma forma em outra. Esta fun¸c˜ao ´e realizada por dispositivos que
devem, por princ´ıpio, atender a certas exigˆencias de ordem pr´atica. Tais dispositivos s˜ao
circuitos eletrˆonicos que convertem a potˆencia el´etrica dispon´ıvel em uma fonte de energia,
para uma forma adequada `a alimenta¸c˜ao de uma carga espec´ıfica. Esses d ispositivos s˜ao
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 26
conhecidos de forma gen´erica como conversores de potˆencia. Essa convers˜ao, deve ser ob-
tida com um alto´ındice de eficiˆencia, sendo que, h´a dois motivos que se destacam para essa
necessidade. Em primeiro lugar, o m´aximo aproveitamento da energia da fonte, reduzindo
o custo energ´etico da convers˜ao; em segundo lugar, mas n˜ao menos importante, a redu¸c˜ao
do calor dissipado pelo circuito conversor de potˆencia. O problema da dissipa¸c˜ao pode
se tornar cr´ıtico quando s˜ao projetados sistemas de alta potˆencia e dimens˜oes reduzidas.
O calor deve ser removido do circuito para que seus componentes n˜ao sejam danificados,
e isso pode demandar subsistemas de dissipa¸c˜ao, convec¸c˜ao for¸cada ou refrigera¸c˜ao, que
tornam o projeto em eletrˆonica de potˆencia um trabalho multidisciplinar.
A exigˆencia de eficiˆencia do processo de convers˜ao da energia el´etrica ´e a principal
preocupa¸c˜ao da eletrˆonica de potˆencia. Por´em, n˜ao ´e a ´unica. Outras fun¸c˜oes acess´orias
s˜ao desempenhadas pelos circuitos conversores. H´a muitos casos em que, promover isola-
mento galvˆanico entre carga e fonte ´e, tamb´em, um papel do conversor. Em outros casos,
proporcionar fator de potˆencia unit´ario para uma determinada aplica¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao
fundamental do sistema de eletrˆonica da potˆencia. Alguns dispositivos conversores ainda
desempenham fun¸c˜oes sistˆemicas em malhas de controle de m´aquinas el´etricas rotativas,
como ´e o caso dos inversores de freq¨uˆencia para acionamento de motores de indu¸c˜ao.
As fun¸c˜oes dos conversores s˜ao, portanto, as mais diversas. Muitas delas, inclusive as
citadas no par´agrafo anterior, s˜ao de car´ater operacional, ou seja, diretamente relaciona-
das com a fun¸c˜ao que o dispositivo desempenha no sistema em que est´a inserido. Al´em
dessas, ainda h´a uma outra fun¸c˜ao um pouco menos evidente, por n˜ao ter um signifi-
cado operacional direto. Trata-se da qualidade da energia
1
. Esta fun¸c˜ao traz uma outra
perspectiva para a eletrˆonica de potˆencia.
Nesta vis˜ao, o dispositivo conversor deve ser entendido como um fornecedor e a carga
como um cliente. A energia na sa´ıda do conversor representa o produto final. A energia
“bruta”dispon´ıvel na fonte ´e a mat´eria-prima. A garantia da qualidade da energia significa
fornecer o produto ao cliente dentro de uma certa especifica¸c˜ao. Para tanto, o processo
de transforma¸c˜ao de mat´eria prima em produto final deve ser controlado de forma a
poder assegurar esse requisito. Isto faz do controle de processo um item fundamental na
eletrˆonica de potˆencia. Item este que nunca est´a ausente no projeto de conversores e que
´e o cen´ario para o assunto de que trata este cap´ıtulo.
1
Neste caso, qualidade da energia s e refere ao ponto de vista da carga. A fun¸c˜ao de garantia de fator
de potˆencia unit´ario mencionada acima diz respeito `a qualidade da energia do ponto de vista da fonte.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 27
3.3.1 Modelagem de Conversores
Historicamente, o surgimento dos diversos tipos de conversores seguiu dois caminhos
mais ou menos paralelos. Eles aparecem como solu¸c˜oes tecnol´ogicas no ambiente indus-
trial, a partir da considera¸c˜ao de princ´ıpios b´asicos de eletricidade e de trabalho labo-
ratorial, envolvendo o desenvolvimento de solu¸c˜oes pr´aticas para problemas espec´ıficos.
Tamb´em surgem no ˆambito acadˆemico, com o desenvolvimento te´orico de metodologias de
an´alise e projeto, orientadas por considera¸c˜oes formais sobre as caracter´ısticas topol´ogicas
e funcionais dos poss´ıveis dispositivos.
O desenvolvimento dual da eletrˆonica de potˆencia por essas “vias paralelas”com even-
tuais “cruzamentos”levou, rapidamente, ao surgimento de diversos tipos de conversores,
sem que houvesse uma base te´orica unificada de classifica¸c˜ao e an´alise destes dispositivos.
A partir de meados da d´ecada de 1970, ´e que os esfor¸cos de an´alise e s´ıntese de conversores
come¸caram a convergir para uma abordagem unificada, sobretudo, com os trabalhos de
(Middlebrook e C´uk 1976). A partir de ent˜ao, o t´opico modelagem e controle de conver-
sores ganhou corpo, como uma linha de trabalho em eletrˆonica de potˆencia, e se tornou
um importante ramo de pesquisa.
A quest˜ao sobre a qualidade da energia, ventilada na se¸c˜ao anterior, est´a estreita-
mente relacionada com modelagem e controle dos conversores de potˆencia. Os crit´erios
de qualidade, em geral, podem ser traduzidos em especifica¸c˜oes de desempenho dinˆamico
dos sistemas de controle respons´aveis pela l´ogica de comuta¸c˜ao das chaves eletrˆonicas
dos conversores. Esta se¸c˜ao busca delimitar os dom´ınios das etapas de modelagem dos
conversores e s´ıntese de seus controladores, correlacionando cada n´ıvel de complexidade
na modelagem com uma t´ecnica de controle associada. Isso permite uma sele¸c˜ao mais
criteriosa dos m´etodos de an´alise e s´ıntese a serem empregados em um projeto.
Dois fatores b´asicos determinam a fun¸c˜ao de um conversor: sua topologia, e a sua
l´ogica de chaveamento. As t´ecnicas de mo delagem se fundamentam, em ´ultima instˆancia,
nesses dois t´opicos.
Por tratar de dispositivos que apresentam chaveamento em alta freq¨uˆencia, a eletrˆonica
de potˆencia costuma trabalhar com dois tipos de modelo: modelos instantˆaneos, que des-
crevem com um certo n´ıvel de detalhamento todas as etapas de funcionamento do conver-
sor ao longo de cada ciclo de chaveamento; e modelos m´edios, que desprezam os pormeno-
res do chaveamento e focalizam as dinˆamicas em uma escala de tempo mais lenta. Esses
dois tipos de modelo se relacionam hierarquicamente. Os modelos instantˆaneos se pres-
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 28
tam bem ao estudo dos fenˆomenos de chaveamentos e `a an´alise de fenˆomenos dinˆamicos
de alta freq¨uˆencia e grandes sinais, enquanto, os modelos m´edios s˜ao mais ´uteis na an´alise
de fenˆomenos dinˆamicos lentos em regime permanente. Para fins de desenvolvimento e
implementa¸c˜ao de produtos comerciais, h´a ainda modelos mais complexos, que levam em
conta a arquitetura e o arranjo dos elementos de circuito, bem como o encaminhamento
das trilhas condutoras nas placas de circuito. Tais modelos n˜ao ser˜ao tratados aqui.
3.3.1.1 Modelos Instantˆaneos
Modelo instantˆaneo real´ıstico Modelos deste tipo, p odem ter diversos n´ıveis de com-
plexidade. Tudo depende do que se entende por “real´ıstico”. Em geral, este ´e
o modelo obtido por aplica¸c˜ao direta das leis da eletricidade, considerando todo
efeito parasita e n˜ao idealidades que possam ser modeladas por equa¸c˜oes diferenci-
ais ordin´arias. Para tanto, ´e necess´ario um conhecimento dos pormenores de cada
componente e suas respectivas caracter´ısticas e parˆametros. Muitas vezes, essa
descri¸c˜ao detalhada da dinˆamica de cada componente n˜ao ´e vi´avel e se recorre a
modelos aproximados, como por exemplo, modelar um diodo por uma fun¸c˜ao li-
near por partes, em lugar do seu modelo exponencial preciso. Ou ainda, desprezar
acoplamentos magn´eticos n˜ao relacionados com a transferˆencia de energia. Mesmo
com aproxima¸c˜oes como estas, chega-se a um modelo relativamente complexo, que
descreve o estado instantˆaneo do sistema.
Modelo instantˆaneo idealizado Este modelo despreza os efeitos parasitas e considera
cada componente el´etrico do sistema como sendo ideal. Cada componente passivo
obedece a uma rela¸c˜ao linear do tipo y = kx, enquanto que os componentes semi-
condutores s˜ao, geralmente, modelados como chaves ideais. Em seguida, procede-se
`a an´alise de circuito para estabelecer as intera¸c˜oes entre os componentes. Est e mo-
delo tamb´em representa, instantaneamente, o comportamento do conversor, por´em,
as idealiza¸c˜oes mascaram as perdas por dissipa¸c˜ao nos semicondutores e nas re-
sistˆencias parasitas dos elementos passivos. Al´em disso, alguns comportamentos
dinˆamicos tamb´em podem ser mascarados.
3.3.1.2 Modelos M´edios
Modelo pela m´edia temporal local O modelo pela m´edia ´e obtido dos modelos ins-
tantˆaneos, a partir da premissa de que os elementos semicondutores, que trabalham
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 29
como chaves, executam a comuta¸c˜ao em freq¨uˆencia muito maior que as freq¨uˆencias
associadas `as dinˆamicas de transferˆencia de energia entre os elementos passivos, que
s˜ao, por su a vez, as dinˆamicas dominantes do sistema (Kassakian et al. 1991). Em
geral, este tipo de modelo resulta da aplica¸c˜ao da m´edia temporal local a todas
as vari´aveis do sistema. As fun¸c˜oes descont´ınuas que representam o chaveamento
dos semicondutores passam a ser representadas pelas suas m´edias, que s˜ao fun¸c˜oes
cont´ınuas. Em se tratando de uma comuta¸c˜ao das chaves por um sinal PWM, esta
fun¸c˜ao se transforma na raz˜ao c´ıclica. Este tipo de modelo pode ser obtido tamb´em
pela aplica¸c˜ao de aproxima¸c˜oes pr´evias, que procuram representar a fun ¸c˜ao de cha-
veamento por uma vari´avel cont´ınua (Vorp´erian 1990). Em geral, s˜ao modelos n˜ao-
lineares, sendo que, na maioria das vezes, a n˜ao-linearidade se manifesta na forma
de um produto da vari´avel de controle por uma ou mais vari´aveis de estado.
Modelo Linearizado O modelo linearizado ´e obtido pela expans˜ao em s´erie de Taylor,
em torno do p onto de opera¸c˜ao das equa¸c˜oes do modelo pela m´edia. Este modelo
´e o mais usado para controle de conversores, pois admite o uso das bem conheci-
das t´ecnicas de controle de sistemas lineares. Por´em, quase sempre, o projeto do
controlador tende a ser conservador, pelo fato de derivar de um modelo apenas apro-
ximado. Por ser v´alido apenas na vizinhan¸ca do ponto de opera¸c˜ao, o modelo pode
ter grandes discrepˆancias com rela¸c˜ao ao processo fora desta regi˜ao.
Modelo Simplificado Fazendo considera¸c˜oes adicionais sobre a freq¨uˆencia de co-
muta¸c˜ao das chaves semicondutoras, as fun¸c˜oes de transferˆencia obtidas na line-
ariza¸c˜ao podem ser simplificadas. Os modos mais r´apidos da dinˆamica s˜ao elimina-
dos e o controle ´e projetado tomando-se apenas a dinˆamica dominante. Isto torna
o projeto muito mais simples. Mas, paga-se por esta simplicidade um alto tributo.
Quanto mais simplificado ´e o modelo mais distante do real ´e seu comportamento.
Em alguns casos, isto pode comprometer o desempenho e, at´e mesmo, a estabilidade
do sistema controlado.
A forma escolhida para se modelar um conversor interfere na escolha do controlador.
A fun¸c˜ao do controlador ´e determinar a melhor l´ogica de chaveamento, de forma a tornar a
opera¸c˜ao do conversor o mais robusta poss´ıvel, em rela¸c˜ao a diversos tipos de perturba¸c˜ao
a que o dispositivo possa estar sujeito. Os principais canais de entrada de perturba¸c˜oes
em conversores s˜ao a fonte de alimenta¸c˜ao, a carga, e as varia¸c˜oes param´etricas de seus
componentes. Ao se projetar um controlador, deve-se ter em mente qual ou quais desses
efeitos exercer˜ao maior influˆencia na aplica¸c˜ao espec´ıfica considerada.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 30
3.3.2 Controle de Conversores
Todo sistema de controle oferece uma ou mais vari´aveis de entrada pass´ıveis de ma-
nipula¸c˜ao.
´
E por meio dessas vari´aveis que se logra controlar o sistema. No caso dos
conversores chaveados, essas entradas de controle s˜ao os sinais que acionam os disposi-
tivos semicondutores, o que, em s´ıntese, significa que as ´unicas vari´aveis de que se tem
o dom´ınio, para efetuar o controle de um conversor chaveado, s˜ao os estados l´ogicos das
chaves. Todo o controle ´e feito escolhendo-se de forma conveniente o instante em que
cada comuta¸c˜ao das chaves deve ocorrer. Isso coloca este tipo de dispositivo na classe
de sistemas que possuem descontinuidades intr´ınsecas, como foi descrito na Se¸c˜ao 3.2,
obrigando o projetista a lidar com elas.
H´a trˆes maneiras de se fazer isso: a primeira delas ´e usar uma modelagem h´ıbrida,
que descreva a dinˆamica cont´ınua de cada estrutura, usando espa¸co de estados, e descreva
as transi¸c˜oes entre essas estruturas, usando, por exemplo, autˆomatos finitos. Esta ´e uma
t´ecnica muito pouco utilizada em eletrˆonica de potˆencia, uma vez que, a regra geral ´e n˜ao
haver din ˆamica discreta associada ´a seq¨uˆencia de estados topol´ogicos do sistema. Uma
segunda alternativa ´e usar as t´ecnicas n˜ao-lineares de controle por estrutura vari´avel para
se projetar uma su perf´ıcie de comuta¸c˜ao que governe as transi¸c˜oes entre as diferentes
topologias do circuito. Este tipo de abordagem tem sido objeto de numerosos trabalhos
na ´ultima d´ecada (Malesani et al. 1992)(C´aceres e Barbi 1996) (Giral et al. 1996)(L´opez
et al. 1999)(Giral et al. 2000).
A terceira alternativa ´e, na verdade, um modo de evitar a necessidade de se modelar
as descontinuidades. Recorrendo a um esquema de controle que utilize modula¸c˜ao em
largura de pulso (PWM) para acionamento das chaves, pode-se lograr a substitui¸c˜ao
dos modelos instantˆaneos pelos modelos m´edios (Ben-Yaakov e Zeltser 1999)(Rodriguez
et al. 2000) (Kazimierkzuk e Edstr¨om 2000)(Leyva et al. 2001). Neste caso, recorre-
se, necessariamente, `a modelagem do conversor pela m´edia temporal local, permitindo
descrever o sinal de controle PWM descont´ınuo pela sua raz˜ao c´ıclica, que ´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua. Esta ´e a t´ecnica mais tradicional para o controle de dispositivos de eletrˆonica de
potˆencia. Contudo, paga-se um pre¸co por esconder a descontinuidade por tr´as da m´edia
temporal local: a n˜ao-linearidade do modelo resultante.
O fluxograma da Fig. 3.1 apresenta um resumo dessas abordagens, ilustrando o pro-
cesso de s´ıntese de controladores em fun¸c˜ao do modelo utilizado. O funcionamento de
um conversor de potˆencia est´a intimamente ligado ao seu controle. O tipo de controla-
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 31
dor usado para conferir ao conversor caracter´ısticas, funcionais e dinˆamicas, espec´ıficas
depender´a da abordagem escolhida para a modelagem.
Sistema físico real
Modelagem
Modelo instantáneo
Idealização ?
Modelo idealizado
Média local
Modelo médio
Linearização
Modelo linearizado
Simplificação
Modelo simplificado
Controle Modelagem
Técnicas hibridas de
modelagem e controle
Técnicas não-lineares
para sistemas de
estrutura variável
Técnicas não-lineares
para sistemas contínuos
Técnicas lineares
Nivel de
complexidade
desejado
Condições de
validade do
modelo médio
Escolha do
ponto de
operação
Considerações
sobre a
freqüência
não
sim
Figura 3.1: Pro cesso de an´alise e s´ıntese para projeto de controladores em eletrˆonica de
potˆencia.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 32
3.4 O Conversor Buck-Boost CC-CC
Nesta se¸c˜ao, um conversor elevador-redutor de tens˜ao cont´ınua
2
´e apresentado para
exemplificar o m´etodo de obten¸c˜ao dos modelos. Este conversor, conhecido tamb´em como
buck-boost CC-CC, tamb´em ser´a usado nos cap´ıtulos seguintes como objeto para o projeto
de diferentes controladores usando t´ecnicas de CPBM.
A fun¸c˜ao do buck-boost ´e elevar ou redu zir um valor de tens˜ao cont´ınua oriunda de
alguma fonte de energia el´etrica. Um diagrama esquem´atico da topologia b´asica deste
conversor pode ser visto na Fig. 3.2. Cada elemento representado cumpre um papel na
fun¸c˜ao do buck-boost de fornecer na sua sa´ıd a uma tens˜ao V
0
constante maior ou menor
que a tens˜ao constante E dispon´ıvel em sua entrada. N˜ao ´e o objetivo deste trabalho
mostrar como o conversor buck-boost realiza esta tarefa. Descri¸c˜oes detalhadas destes
processos podem ser encontradas em (Rashid 1993). Mesmo assim, essa propriedade de
elevar e reduzir a tens˜ao surgir´a naturalmente a partir da an´alise dos pontos de equil´ıbrio
do sistema.
R
S D
CL
Vo
-
+
E
I
S
I
L
I
C
I
O
Figura 3.2: Diagrama esquem´atico do circuito de potˆencia de um conversor elevador-
redutor de tens˜ao cont´ınua.
O diagrama da Fig. 3.2 mostra somente o circuito de potˆencia do conversor, composto
por um indutor de entrada L, um conjunto de chaveamento formado por um diodo D e
uma chave S, e um capacitor de sa´ıda C. A tens˜ao que se desenvolve sobre a carga R ´e
a tens˜ao v
C
(t) que se estabelece sobre o capacitor. Por´em, um conversor ch aveado n˜ao ´e
composto apenas pelo circuito de potˆencia. H´a, pelo menos, dois subsistemas de funda-
mental importˆancia. Um desses ´e o subsistema de dissipa¸c˜ao de calor, que a depender da
potˆencia, ´e mais complexo ou menos complexo. O outro subsistema corresponde ao cir-
cuito de controle, que pode ser implementado em forma anal´ogica ou digital, a depender
2
Infelizmente, ´e tradi¸c˜ao em engenharia el´etrica designar por tens˜ao cont´ınua um sinal que ´e de fato
uma tens˜ao constante. Acreditando que isso n˜ao causar´a confus˜ao em rela¸c˜ao ao uso das palavras cont´ınuo
e descont´ınuo para qualificar fun¸c˜oes, ser´a mantido aqui este uso tradicional.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 33
da metodologia empregada e d a filosofia de projeto. N˜ao se deve esquecer que sistemas
digitais oferecem a vantagem de permitir uma maior riqueza de possibilidades. Outros
subsistemas podem estar presentes como, por exemplo, sistemas de prote¸c˜ao e supervis˜ao.
N˜ao faz parte d o escopo deste trabalho abord ar todos estes subsistemas. As an´alises
e discuss˜oes apenas tratar˜ao do sistema de potˆencia e do sistema de controle, sendo que
ser´a dada ˆenfase a este ´ultimo.
3.4.1 Analise do Buck-Boost (BB) Ideal
O conversor buck-boost (BB) pode trabalhar em dois modos de opera¸c˜ao de acordo
com que a corrente pelo inductor L se anule ou n˜ao. Em caso que essa corrente n˜ao se
anule falamos que o BB esta trabalhando em modo de condu¸c˜ao cont´ınua, ou CCM (do
inglˆes Continuous Conduction Mode), no caso contr´ario estar´a trabalhando em mo do de
condu¸c˜ao descont´ınua, ou DCM (Discontinuous Conduction Mode)
3
. A seguir definem-se
as equa¸c˜oes dinˆamicas que regem o comportamento do conversor de acordo com que ele
trabalhe num modo ou outro.
3.4.1.1 Opera¸c˜ao no mo do de condu¸c˜ao cont´ınua
Quando se fecha a chave a tens˜ao da fonte se reflete sobre o indutor, figura 3.3, e a
tens˜ao de sa´ıda ´e igual a tens˜ao do capacitor.
R
S
CL
Vo
-
+
E
I
S
I
L
I
C
I
O
+
-
V
L
Figura 3.3: Primeira etapa, chave fechada, indutor em carga.
E = V
L
= L
di
L
dt
(3.1)
3
Novamente os termos cont´ınua e descont´ınua aparecem com um significado diferente, denotando,
neste caso, a presen¸ca ou ausˆencia de corrente positiva no inductor, respectivamente.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 34
A figura 3.4, apresenta a tens˜ao e corrente no indutor, quando a chave abre (T
ON
)
e fecha (T
OF F
). Se define T como o periodo de chaveamento e δ =
T
ON
T
, como ciclo de
trabalho.
V
L
I
L
T
ON
T
OFF
-V
O
E
T
Figura 3.4: Tens˜ao e corrente no indutor, com a chave aberta e fechada.
Integrando a equa¸c˜ao 3.1, entre 0 e T
ON
,
I
L(max)
− I
L(min)
=
E
L
δ.T (3.2)
Quando a chave se abre, figura 3.5, se gera uma sobre-tens˜ao que coloca o diodo em
condu¸c˜ao, e a energia armazenada no indutor ´e entregue a carga.
R
D
CL
Vo
-
+
I
L
I
C
I
O
Figura 3.5: Segunda etapa, chave aberta, transferˆencia da energia na carga.
A tens˜ao no indutor ´e igual a tens˜ao no capacitor de sa´ıda, por tanto:
di
L
dt
=
V
C
L
(3.3)
I
L(max)
− I
L(min)
=
V
C
L
(1 − δ).T (3.4)
Igualando as equa¸c˜oes 3.2 e 3.4, obtemos a seguinte rela¸c˜ao de tens˜oes:
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 35
V
C
= V
O
=
δ
1 − δ
E (3.5)
Para valores de δ < 0, 5, a tens˜ao de sa´ıda ´e inferior `a da entrada, mas se δ > 0, 5,
a tens˜ao de sa´ıda ser´a superior. A figura 3.6 mostra a curva no caso ideal e no caso
real, onde s˜ao consideradas as perdas nos diferentes componentes (exemplo: resistˆencias
parasitas, tens˜ao de condu¸c˜ao do diodo, etc).
V
O
/ E
V
O
/ E
11
0,5 1
0,5
redutor elevador
Incluindo
elementos
parasitas
(a) Caso ideal (b) Caso real
Figura 3.6: Curva ra¸c˜ao de tens˜ao versus ciclo de trabalho.
3.4.1.2 Opera¸c˜ao no mo do de condu¸c˜ao descont´ınua
A energia armazenada no indutor L durante o tempo de condu¸c˜ao da chave S ´e:
E =
1
2
LI
2
max
(3.6)
onde, P
0
= V
0
I
0
´e a potˆencia de sa´ıda e f ´e a freq¨uˆencia de chaveamento.
Por meio da equa¸c˜ao 3.6 chegamos a que:
I
2
max
=
2P
0
fL
(3.7)
sendo que:
I
max
=
E
L
T
ON
=
E
L
δT =
δE
fL
(3.8)
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 36
substituindo a equa¸c˜ao 3.7 e 3.8 obt´em-se:
δE
fL
2
=
2P
0
fL
(3.9)
P
0
=
V
2
0
R
(3.10)
assim:
δE
fL
2
=
2V
2
0
fLR
(3.11)
Da equa¸c˜ao 4.1 obt´em-se a rela¸c˜ao entre as tens˜oes de entrada e sa´ıda no modo de
condu¸c˜ao descont´ınua:
V
0
= δE
RT
2L
(3.12)
No modo de condu¸c˜ao descont´ınua a rela¸c˜ao V
0
/E depende n˜ao s´o da raz˜ao c´ıclica
mas tamb´em da resistˆencia de carga R. Essa caracter´ıstica constitui uma desvantagem
desse modo de opera¸c˜ao, tendo em vista que para manter a tens˜ao m´edia na carga V
0
constante, a lei de controle a implementar dever´a variar a raz˜ao c´ıclica de maneira tal
a compensar n˜ao s´o varia¸c˜oes na tens˜ao da fonte de alimenta¸c˜ao E, como tamb´em as
varia¸c˜oes na corrente m´edia de carga I
0
, por causa de mudan¸cas na resistˆencia de carga
R
3.4.2 Modelagem do Buck-Boost
Esta se¸c˜ao trata da dedu¸c˜ao dos diferentes modelos para o conversor buck-boost se-
guindo a seq¨uˆencia de aproxima¸c˜oes da Fig. 3.1.
3.4.2.1 Modelo instantˆaneo real´ıstico
A maneira mais direta de se modelar um circuito de potˆencia de um conversor chaveado
como o buck-boost ´e identificando as diferentes topologias em que este pode se apresentar
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 37
q chave diodo Estrutura
1 conduz conduz proibido
1 conduz corta E1
0 corta conduz E0
0 corta corta ED
Tabela 3.1: Combina¸c˜oes dos estados discretos dos dispositivos semicondutores.
durante a sua opera¸c˜ao. A partir desta identifica¸c˜ao, escrevem-se as equa¸c˜oes do circuito
para cada uma das configura¸c˜oes poss´ıveis. Para tanto, ´e necess´ario que se considere que
os elementos semicondutores do circuito de potˆencia operam como chaves. Partindo desta
premissa, a an´alise que se segue despreza os efeitos dinˆamicos e capacitˆancias parasitas
do diodo e da ch ave que implementam o chaveamento. Apesar disso, ´e sempre bom
lembrar que o car´ater dinˆamico real dos elementos semicondutores ´e o que determinar´a,
no projeto do circuito de potˆencia, o n´ıvel de calor gerado pelo circuito. Este efeito tem
duas conseq¨uˆencias principais: a limita¸c˜ao da freq¨uˆencia m´axima de chaveamento e o
projeto do subsistema de dissipa¸c˜ao de calor.
At´e mesmo para estabelecer um modelo est´atico desses componentes, deve-se escolher
o n´ıvel de complexidade que se deseja. Para efeito de exemplo, este trabalho considera,
para estes elementos, modelos lineares por partes. A chave, pode trabalhar aberta ou
fechada de acordo a um sinal fornecido pelo sistema de controle. Ser´a adotada a conven¸c˜ao
q = 1, para representar um sinal oriundo do sistema de controle indicando que a chave
deve estar fechada e q = 0 quando a chave deva estar aberta. Para cada valor de q, um
modelo diferente ´e atribu´ıdo `a chave. Quando a chave est´a aberta, escolhe-se um modelo
de impedˆancia infinita e quando a chave est´a fechada um modelo linear representado pela
resistˆencia r
S
. Para o diodo, ser´a considerad o um modelo de queda de tens˜ao constante,
no qual a impedˆancia ´e infinita quando o diodo n˜ao estiver no modo de condu¸c˜ao e nula
quando o diodo estiver conduzindo.
Cada elemento semicondutor estar´a, ent˜ao, em corte ou em condu¸c˜ao. Isso d´a quatro
possibilidades de configura¸c˜ao do circuito. Mas como n˜ao ´e poss´ıvel que diodo e chave
conduzam ao mesmo tempo, pois, sempre que a chave conduz, o diodo fica polarizado
reversamente. Portanto, sobram efetivamente trˆes combina¸c˜oes. Todas as possibilidades
de combina¸c˜oes dos estados do chaveamento podem ser vistas na Tabela 3.1. Tendo
estabelecido os modelos dos elementos semicondutores, ´e preciso modelar os elementos
passivos. Tanto o indutor L como o capacitor C ser˜ao modelados levando-se em conta
suas resistˆencias parasitas em s´erie, r
L
e r
C
respectivamente. Como o indutor L est´a
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 38
sempre em s´erie com a fonte E, considere-se, sem perda de generalidade, que a resistˆencia
interna da fonte j´a est´a inclu´ıda no valor de r
L
.
Isto posto, o circuito de potˆencia j´a pode ser analisado em cada uma das suas poss´ıveis
topologias. A Fig. 3.7 mostra como este se configura para cada uma das possibilidades
dadas pela Tabela 3.1. As estruturas E0 e E1, quando se alternam uma ap´os a out ra,
correspondem `a chamada opera¸c˜ao em modo de condu¸c˜ao cont´ınua, ou CCM (do inglˆes
Continuous Conduction Mode) e se caracteriza pela presen¸ca de uma corrente sempre
positiva no indutor. Em certas condi¸c˜oes, o buck-boost pode operar no chamado modo de
condu¸c˜ao descont´ınua, ou DCM (Discontinuous Conduction Mode)
4
, em que as estruturas
se alternam seguindo a seq¨uˆencia E0 → ED → E1. Durante o intervalo em que o circuito
se encontra na estrutura ED, o ramo contendo a fonte e o indutor est´a em circuito ab erto,
o que torna nula a corrente i
L
, justificando o termo modo de condu¸c˜ao descont´ınua.
A descri¸c˜ao conjunta dos modos de condu¸c˜ao cont´ınua e descont´ınua numa ´unica
equa¸c˜ao n˜ao ´e trivial, tendo motivado diversos trabalhos ao longo da ´ultima d´ecada
(Maksimovic e Cuk 1991)(Burdio e Mart´ınez 1995) (Sun et al. 1998). Uma possibilidade
´e usar um modelo h´ıbrido. Para a presente discuss˜ao, ´e suficiente a an´alise do buck-boost
em condu¸c˜ao cont´ınua. Para tanto, deve-se deduzir um modelo que alterne entre E0 e E1
de acordo com o valor d e q.
Escrevendo as equa¸c˜oes de estado do circuito com vari´aveis de estado x
1
(t) = i
L
(t) e
x
2
(t) = v
C
(t), tem-se uma express˜ao para E0 quando q = 0 e outra para E1 quando q = 1.
Essas express˜oes podem ser combinadas modulando com q os termos que aparecem em
E1 e n˜ao aparecem em E0, e modulando com (1 −q) os termos que aparecem em E0 e n˜ao
aparecem em E1. Os termos comuns permanecem inalterados. Este procedimento leva `a
equa¸c˜ao de estado:
˙x
1
=
1
L
[(−qr
S
− (1 − q)
Rr
C
R + r
C
− r
L
)x
1
+ (1 − q)
R
R + r
C
x
2
+qE − (1 − q)v
D
] (3.13)
˙x
2
=
1
C
[−(1 − q)
R
R + r
C
x
1
−
x
2
R + r
C
]
e `a equa¸c˜ao para a tens˜ao de sa´ıda y(t) = V
0
(t) sobre a carga R em fun¸c˜ao de q:
4
Novamente os termos cont´ınua e descont´ınua aparecem com um significado diferente, denotando,
neste caso, a presen¸ca ou ausˆencia de corrente positiva no indutor, respectivamente.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 39
R
S
CL
Vo
-
+
E
I
S
I
L
I
C
I
O
r
L
r
C
r
S
Estrutura E1 q = 1
R
C
L
Vo
-
+
E
I
L
I
C
I
O
r
L
r
C
Estrutura E0 q = 0
+
V
D
R
CL
Vo
-
+
E
I
L
I
C
I
O
r
L
r
C
Estrutura ED q = 0
Figura 3.7: Poss´ıveis top ologias do circuito de potˆencia do conversor buck-boost.
y =
R
R + r
C
[(1 − q)r
C
x
1
− x
2
] (3.14)
A equa¸c˜ao de estados 3.13 junto com a equa¸c˜ao de sa´ıda 3.14 formam um modelo
instantˆaneo real´ıstico do conversor buck-boost em modo de condu¸c˜ao cont´ınua. Um modelo
ainda mais acurado poderia ser obtido, levando em conta as dinˆamicas dos semicondutores
e seus modelos n˜ao-lineares ou, levando em conta efeitos parasitas indutivos ou capacitivos
da carga conforme o caso. Isto elevaria a ordem do modelo para al´em de 2, que ´e o
n´umero de elementos armazenadores de energia do sistema. Em conversores operando em
freq¨uˆencias muito elevadas, os tamanhos desses elementos tendem a se reduzir. Isso pode
aumentar o tamanho relativo das capacitˆancias e indutˆancias parasitas, a ponto de suas
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 40
dinˆamicas n˜ao poderem mais ser desprezadas. Efeitos de satura¸c˜ao e histerese no n´ucleo
do indutor L tamb´em poderiam enriquecer o modelo, mas, o resultado seria praticamente
intrat´avel, para fins de controle. At´e mesmo o car´ater chaveado do circuito n˜ao ficaria
muito claro.
Mesmo tendo adotado tantas simplifica¸c˜oes, a equa¸c˜ao de estado do circuito ainda
exibe uma complexidade razo´avel. Por´em, duas caracter´ısticas s˜ao de fundamental im-
portˆancia. A vari´avel q, que controla a comuta¸c˜ao entre as estruturas aparece multiplicada
pelas vari´aveis de estado. Isto, por si s´o, torna o sistema n˜ao linear. Outra n˜ao-linearidade
aparece por conta da n˜ao-homogeneidade devida ao termo (qE − (1 − q)v
D
). O modelo
´e, portanto, afim. Essas duas propriedades s˜ao fundamentais para a caracteriza¸c˜ao do
modelo. Elas aparecer˜ao tamb´em no modelo idealizado.
Para calcular a solu¸c˜ao estacion´aria de 3.13, deve-se substituir a vari´avel discreta
q por seu valor m´edio em regime permanente, denotado por d. Isso ´e o mesmo que
considerar o modelo pela m´edia temporal local, que ser´a deduzido adiante. Por hora, ser´a
suficiente considerar que ´e poss´ıvel representar cada vari´avel do modelo pelo seu valor
m´edio, ao longo de um ciclo de comuta¸c˜oes E0 → E1 → E0, denotando o valor de regime
permanente dessas m´edias como ¯x
1
para a corrente de equil´ıbrio no indutor, e ¯x
2
para a
tens˜ao de equil´ıbrio no capacitor.
A presen¸ca de elementos parasitas considerados na modelagem torna o valor de ¯x
2
dependente da resistˆencia de carga R. Para mostrar isto, basta calcular o equil´ıbrio de
3.13. Tem-se ent˜ao que
¯x
1
=
dE −(1 − d)v
D
(1 − d)
2
R
2
R+r
C
+ (1 − d)
Rr
C
R+r
C
+ dr
S
+ r
L
(3.15)
¯x
2
= −
[dE − (1 − d)v
D
](1 − d)R
(1 − d)
2
R
2
R+r
C
+ (1 − d)
Rr
C
R+r
C
+ dr
S
+ r
L
(3.16)
O valor de equil´ıbrio da sa´ıda dada por 3.14 e considerando que R ≫ r
C
e R ≫ r
S
fica
¯y =
[(E −v
D
)d − v
D
](1 − d)(R + r
C
)
R(1 − d)
2
+ r
C
+ r
L
(3.17)
Isto evidencia que, quando se leva em conta as perdas de potˆencia nos elementos
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 41
parasitas, o buck-boost n˜ao ´e capaz de rejeitar p ertur ba¸c˜oes de carga com erro nulo em
regime permanente. O mesmo n˜ao acontece com o modelo idealizado, como ser´a visto a
seguir.
3.4.2.2 Modelo instantˆaneo idealizado
Para obter o modelo idealizado, basta desprezar todos os efeitos parasitas que foram
considerados no modelo real´ıstico. Isso transforma os dispositivos semicondutores em cha-
ves ideais unidirecionais e faz do capacitor e do indutor puros armazenadores de energia,
sem nenhuma perda associada. O modelo idealizado ´e totalmente conservativo, transfe-
rindo para a carga toda a energia processada pelo sistema. Assim, ignorando os efeitos
de v
D
, r
S
, r
L
e r
C
as equa¸c˜oes 3.13 e 3.14 transformam-se em:
˙x
1
=
1
L
[qE + (1 − q)x
2
]
˙x
2
= −
1
C
[
x
2
R
+ (1 − q)x
1
] (3.18)
e
y = −x
2
(3.19)
Este modelo idealizado ret´em as caracter´ısticas n˜ao-lineares fundamentais do buck-
boost e descreve instantaneamente todas as sucess˜oes de estados que o sistema idealizado
apresenta ao longo da sua evolu¸c˜ao dinˆamica. Sua principal desvantagem ´e mascarar as
perdas intr´ınsecas que h´a nos componentes reais.
O pr´oximo n´ıvel de aproxima¸c˜ao corresponde ao modelo pela m´edia temporal local,
que pode ser obtido, tanto do modelo instantˆaneo real´ıstico, quanto do idealizado. Neste
trabalho, segue-se a tradi¸c˜ao, optando por usar o modelo idealizado para a dedu¸c˜ao do
modelo m´edio.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 42
3.4.2.3 Modelo pela m´edia temporal local
At´e agora, os modelos que foram apresentados n˜ao incorporaram nenhuma informa¸c˜ao
a respeito da forma como a comuta¸c˜ao das chaves semicondutoras ´e realizada. Para
avan¸car na seq¨uˆencia de aproxima¸c˜oes, ´e preciso restringir o controle aos m´etodos que
empregam modula¸c˜ao em largura de pulso para acionamento das chaves. Considerando
que o buck-boost ´e controlado por um sinal PWM de per´ıodo T , o modelo pela m´edia
temporal local despreza os pormenores do processo de transi¸c˜ao entre as estruturas e se
concentra no valor m´edio das vari´aveis a cada ciclo de chaveamento. Cada vari´avel ´e
aproximada por sua m´edia ao longo de um intervalo de tempo igual ao per´ıodo do sinal
PWM, de modo que um termo gen´erico y(t) fica representado por sua m´edia local ˆy(t)
dada por
ˆy(t) =
1
T
t
t−T
y(τ)dτ (3.20)
Deste modo, o sinal PWM q(t) passa a ser representado por sua raz˜ao c´ıclica d(t) = ˆq(t)
d(t) =
1
T
t
t−T
q(τ)dτ (3.21)
Tomando a m´ed ia local da equa¸c˜ao de estado 3.18 tem-se
˙
ˆx
1
=
1
L
[ˆqE +
(1 − q)x
2
]
˙
ˆx
2
= −
1
C
[
ˆx
2
R
+
(1 − q)x
1
] (3.22)
O problema com a equa¸c˜ao 3.22 s˜ao os termos
(1 − q)x
2
e
(1 − q)x
1
, pois a m´edia
do produto em geral n˜ao ´e o produto das m´edias. Por´em, se algumas condi¸c˜oes forem
satisfeitas pode-se fazer essa aproxima¸c˜ao. Uma das condi¸c˜oes, que permitem tomar
o produto das m´ed ias como aproxima¸c˜ao para a m´edia dos produ tos, ´e a garantia de
opera¸c˜ao em alta freq¨uˆencia
5
e a garantia de que o valor instantˆaneo das vari´aveis n˜ao se
desvia da sua m´edia de maneira consider´avel (Verghese 1996). Deste mo do, tem-se como
5
Entende-se por alta freq¨uˆencia, que a freq¨uˆencia de chaveamento f ´e muito maior que a m´axima
freq¨uˆencia da dinˆamica das m´edias locais das vari´aveis.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 43
modelo m´edio
˙
ˆx
1
=
1
L
[dE + (1 − d)ˆx
2
]
˙
ˆx
2
= −
1
C
[
ˆx
2
R
+ (1 − d)ˆx
1
] (3.23)
O modelo 3.23 representa a evolu¸c˜ao dinˆamica da m´edia local de cada uma das vari´aveis
de estado, tendo como fun¸c˜ao de controle a vari´avel cont´ınua d(t), que ´e a raz˜ao c´ıclica
do sinal descont´ınuo q(t).
´
E interessante notar que 3.23 ´e formalmente idˆentico a 3.18.
Mas algumas diferen¸cas b´asicas precisam ser salientadas.
1. As fun¸c˜oes em 3.23 s˜ao cont´ınuas, enquanto que as fun¸c˜oes em 3.18 s˜ao descont´ınuas.
2. A validade do modelo 3.23 est´a sujeita as condi¸c˜oes que n˜ao afetam 3.18.
Esta segunda diferen¸ca significa que h´a certas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao, quando as m´edias
locais variam muito rapidamente, por exemplo, em que o modelo 3.23 n˜ao ´e v´alido, sendo
que o modelo 3.18 permanece v´alido.
O modelo pela m´edia temporal local ´e n˜ao-linear, por´em, cont´ınuo.
3.4.2.4 Modelo linearizado
Para descrever, de modo aproximado, o comportamento do buck-boost por uma
equa¸c˜ao de estados linear, ´e preciso expandir as fun¸c˜oes que comp˜oem o modelo em
s´erie de Taylor, em torno do ponto de opera¸c˜ao desejado, e desprezar os termos de ordem
superior. Para permitir que o modelo linearizado possa estar sujeito a perturba¸c˜oes de
carga, o parˆametro R deve ser considerado fun¸c˜ao do tempo. Para tanto, se define a
vari´avel de entrada
r(t) = R + ¯r(t) (3.24)
de forma que R seja agora o valor nominal da vari´avel. Analogamente, a raz˜ao c´ıclica do
sinal PWM tamb´em ´e expressa em termos do seu valor nominal D e de suas flutua¸c˜oes
¯
d(t).
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 44
d(t) = D +
¯
d(t);
¯
d(t) = u(t) (3.25)
A determina¸c˜ao de D decorre diretamente do c´alculo dos equil´ıbrios.
Para linearizar as fun¸c˜oes que defin em o vetor das derivadas de ˆx ´e preciso escolher um
ponto de opera¸c˜ao. Calculando o equil´ıbrio do sistema 3.23 pela condi¸c˜ao
˙
ˆx = 0 tem-se o
sistema alg´ebrico
0 = DE + (1 − D)¯x
2
0 =
¯x
2
R
+ (1 − D)¯x
1
(3.26)
cuja solu¸c˜ao ´e
¯x
1
=
DE
(1 − D)
2
R
(3.27)
e
¯x
2
= −
DE
1 − D
(3.28)
O valor de D ´e completamente determinado pela 3.28, pois ´e desta equa¸c˜ao que se
determina a raz˜ao de convers˜ao de tens˜ao no buck-boost. Se se deseja, por´em, um projeto
mais acurado, deve-se empregar o modelo real´ıstico para o c´alculo de D o qual mostra
como a idealiza¸c˜ao mascara algumas das caracter´ısticas importantes do sistema, como a
sua incapacidade de rejeitar, com erro nulo de tens˜ao, as varia¸c˜oes na resistˆencia.
As duas rela¸c˜oes 3.27 e 3.28 permitem deduzir uma terceira que relaciona ¯x
1
com ¯x
2
independentemente de D
¯x
1
=
1
ER
(¯x
2
2
− E ¯x
2
) (3.29)
Deste modo, os pontos de equil´ıbrio do buck-boost passam a ser parˆametros do mo d elo
linearizado e s˜ao renomeados como ¯x = [¯x
1
¯x
2
]
T
= [I
L
V
C
]
T
. Note que I
L
e V
C
est˜ao
diretamente acoplados por 3.29, de modo que qualquer um dos dois que se defina o outro
fica automaticamente determinado.
Plataforma de Estudo: Conversor Buck-Boost (BB) 45
Linearizando 3.18 em torno de ¯x obt´em-se
˙
¯x
1
˙
¯x
2
=
0
1−D
L
−
1−D
C
−
1
RC
¯x
1
¯x
2
+
E−V
C
L
I
L
C
¯
d +
0
V
C
R
2
C
¯r (3.30)
3.4.2.5 Modelo Simplificado
N˜ao ´e raro encontrar trabalhos que levam as aproxima¸c˜oes mais longe ainda. Uma das
aproxima¸c˜oes mais comuns do modelo linear ´e obtida no limite das altas freq¨uˆencias.
Como este trabalho n˜ao usar´a nenhum modelo no dom´ınio da freq¨uˆencia n˜ao ser´a
estudado aqui o modelo simplificado do buck-boost.
3.5 Conclus˜oes
Neste cap´ıtulo foi apresentado um estudo do funcionamento do conversor BB e da
modelagem matem´atica do seu comportamento dinˆamico.
Esta modelagem faz-se necessaria para o projeto do sistema de controle a ser utilizado,
e como foi discutido deve conseguir um equil´ıbrio entre complexidade e representatividade.
Dentre os modelos apresentados ser˜ao utilizadas as representa¸c˜oes cont´ınuas e ideais por
apresentar o melhor compromisso complexidade-representatividade.
A vers˜ao linearizada ser´a usada no projeto de CPBM linear e a n˜ao linear para o caso
de CPBM n˜ao linear.
Em todos os casos considera-se o uso de modula¸c˜ao PWM no sistema de controle.
Cap´ıtulo 4
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema
de CPBM do BB
4.1 Introdu¸c˜ao
No que segue desta disserta¸c˜ao, se projetaram diversas solu¸c˜oes de CPBM para os
modelos ideais do conversor buck-boost, e ser˜ao considerados os seguintes valores para os
diferentes componentes do conversor:
Elemento Valor
Tens˜ao da fonte(E) 48V
Indutˆancia (L) 1.4 ∗ 10
−3
H
Capacitancia (C) 10 ∗ 10
−6
F
Resistˆencia min (R
min
) 40Ω
Resistˆencia m´ax (R
max
) 120Ω
Tens˜ao sa´ıda min (V
oMin
) 12V
Tens˜ao sa´ıda m´ax (V
oMax
) 100V
Freq¨uˆencia de chaveamento (1/T ) 50kHz
Per´ıodo de amostragem (T
s
) 0.1ms
Tabela 4.1: Parˆametros do conversor buck-boost.
A rejei¸c˜ao de p ertu rba¸c˜oes de carga (correspondente as varia¸c˜oes de resistˆencia entre
40Ω − 120Ω) ´e o principal objetivo de controle da maioria dos conversores de tens˜ao
cont´ınua. Isto aplica-se integralmente ao caso do buck-boost. As varia¸c˜oes externas devem
ser absorvidas pelo conversor, sem que isso interfira na sua fun¸c˜ao de fornecer tens˜ao de
sa´ıda com valor especificado (12V − 100V ), ou seja, o erro em regime permanente deve
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 47
ser nulo. O controle deve, portanto, proporcionar um comportamento transit´orio r´apido
e de pequena amplitude para a rejei¸c˜ao das perturba¸c˜oes, levando a tens˜ao de sa´ıda do
buck-boost de volta a seu valor nominal.
Este valor nominal, quando considerados os modelos instantˆaneos, ´e, na verdade, uma
´orbita peri´odica, cuja amplitude, muito reduzida, depende da freq¨uˆencia de chaveamento
e das caracter´ısticas dinˆamicas do circuito. Costuma-se empregar chaveamento em alta
freq¨uˆencia para conversores de potˆencia, pois as ondula¸c˜oes de tens˜ao e corrente, provo-
cadas por esta ´orbita peri´odica, se reduzem com o aumento da freq¨uˆencia de comuta¸c˜ao
(Borges 2002).
Em regime permanente, como as oscila¸c˜oes s˜ao peri´odicas, o ponto de equil´ıbrio ´e
tomado como sendo a m´edia temporal dos valores instantˆaneos das vari´aveis, coincidindo
com o equil´ıbrio dos modelos m´edios, expresso por 3.28 e 3.29 para o modelo idealizado,
ou pelo equil´ıbrio calculado do modelo real´ıstico. Note-se que, no modelo idealizado,
o valor de tens˜ao no capacitor em regime permanente n˜ao depende de R. Diante de
perturba¸c˜oes de carga, os modelos idealizados s˜ao capazes de responder com erro nulo em
regime permanente, mesmo sem controle em malha fechada. Por outro lado, no cap´ıtulo
anterior deixou-se claro que o buck-boost real n˜ao ´e capaz de, em malha aberta e com
raz˜ao c´ıclica constante, rejeitar as perturb a¸c˜oes introduzidas pela varia¸c˜ao na resistˆencia.
Isto exige que haja a¸c˜ao integral na malha de realimenta¸c˜ao ao se projetar controladores
lineares para o buck-boost, mesmo tomando como base o modelo idealizado.
A t´ecnica espec´ıfica de controle do buck-boost depender´a do modelo adotado para
an´alise. Basicamente, h´a duas abordagens poss´ıveis: (i) tratar o buck-boost como um
sistema cont´ınuo e usar modula¸c˜ao PWM; (ii) trat´a-lo como um sistema descont´ınuo e, a
partir do modelo instantˆaneo, projetar um controle de estrutura vari´avel.
Seja qual for a abordagem, o buck-boost estar´a sujeito a uma importante restri¸c˜ao
no controle. Se, ao se empregar modelos m´edios, o buck-boost for considerado como um
sistema cont´ınuo, este apresentar´a satura¸c˜ao na a¸c˜ao de controle, porque, por defini¸c˜ao,
a raz˜ao c´ıclica do sinal PWM s´o pode variar entre 0 e 100% do per´ıodo. Tratando o buck-
boost como sistema de estrutura vari´avel, a restri¸c˜ao est´a na pr´opria natureza discreta do
controle q, que s´o pode assumir dois valores, 0 ou 1.
A freq¨uˆencia com que o correm as comuta¸c˜oes no chaveamento tamb´em est´a sujeita a
restri¸c˜oes. Um limite m´aximo ´e imposto pela dissipa¸c˜ao de potˆencia nas chaves semicon-
dutoras, e um limite m´ınimo ´e imposto pela faixa de freq¨uˆencias aud´ıveis. Se a corrente
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 48
no indutor variar em freq¨uˆencia na faixa aud´ıvel, as vibra¸c˜oes mecˆanicas causadas pela
oscila¸c˜ao dos campos magn´eticos provocam ru´ıdo.
Recapitulando, estes s˜ao os principais fatores que influenciam o projeto de controla-
dores para conversores CC-CC e, em especial, para o buck-boost: garantia de erro nulo
em regime permanente para perturba¸c˜oes de carga; opera¸c˜ao dentro de uma faixa de
freq¨uˆencias; dinˆamica em malha fechada mais r´apida e menos oscilat´oria que em malha
aberta.
No que segue deste cap´ıtulo ser˜ao apresentadas diferentes solu¸c˜oes para o projeto
do controlador para o conversor buck-boost, aplicando diferentes t´ecnicas de Controle
Preditivo Linear e N˜ao Linear Baseado em Modelo. Nas se¸c˜oes 4.2, 4.3 e 4.4 o conversor
buck-boost ´e considerado como um sistema cont´ınuo dado que utiliza-se modula¸c˜ao PWM,
no entanto no apˆendice B o conversor ´e tratado como um sistema descont´ınuo e, a partir
do modelo instantˆaneo, se projetar´a o controle.
4.2 Controle Linear - GPC Robusto
Nesta se¸c˜ao se projetar´a o controle do conversor buck-boost aplicando uma estrat´egia
de controle linear amplamente conhecida dentro do CPBM como Controle Preditivo Ge-
neralizado (GPC - Generalized Predictive Controller)(Camacho e Bordons 1998).
Mostrar´a-se as limita¸c˜oes de uso de um controle linear no buck boost de forma a
justificar a utiliza¸c˜ao de t´ecnicas mais complexas como s˜ao as estrat´egias de controle n ˜ao
linear.
Para o uso de controladores lineares ´e necess´ario obter um modelo linearizado do
buck-boost. Escolhendo como ponto de opera¸c˜ao os valores m´edios de (R
min
, R
max
) e
(V
oMin
, V
oMax
), ou seja R = 80Ω e V
o
= 56V , obt´em-se a fun¸c˜ao de transferˆencia do
sistema G(s) (V
o
(s) = G(s)d(s)):
G(s) =
−1.517 ∗ 10
5
s + 3.429 ∗ 10
9
s
2
+ 1250s + 1.522 ∗ 10
7
(4.1)
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 49
Usando um per´ıodo de amostragem T
s
= 0.1ms, a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta ´e:
G(z
−1
) =
z
−1
(2.346 + 29.48z
−1
)
1 − 1.741z
−1
+ 0.8825z
−2
(4.2)
Assim o BB ser´a representado por um modelo entrada-sa´ıda y(z) = G(z
−1
)u(z) onde
y = V
o
e u = d, ou no dom´ınio do tempo A(z
−1
)y(t) = B(z
−1
)u(t − 1).
1
O algoritmo gpc calcula uma sequˆencia de controles que minimizam a fun ¸c˜ao de custo:
J =
N
2
j=N
1
δ(j)[ˆy(t + j|t) − w(t + j)]
2
+
N
u
j=1
λ(j)[∆u(t + j − 1)]
2
(4.3)
onde ˆy(t + j | t) ´e a predi¸c˜ao ´otima da sa´ıda do sistema; N
1
, N
2
e N
u
s˜ao os horizontes
de predi¸c˜ao e do controle respectivamente; δ(j) e λ(j) s˜ao as sequˆencias de pondera¸c˜ao;
△u(t) s˜ao os incrementos na a¸c˜ao de controle, e w(t + j) ´e a referˆencia futura (Camacho
e Bordons 1998).
Neste trabalho, dadas as caracter´ısticas da planta usar-se-´a: N
1
= 1, N
2
= N
u
= N,
δ(j) = 1 e λ(j) = λ. Usando um modelo carima (Controller Auto-Regressive and
Integrated Moving Average) simplificado para modelar o processo, (Camacho e Bordons
1998):
A(z
−1
)y(t) = z
−d
B(z
−1
)u(t − 1) +
e(t)
∆
(4.4)
onde ∆ = 1 − z
−1
´e e(t) ´e o ru´ıdo branco, tem-se:
A(z
−1
) = 1 − 1.741z
−1
+ 0.8825z
−2
B(z
−1
) = 2.346 + 29.48z
−1
(4.5)
d = 0
O modelo carima ´e o resultado de combinar o m odelo de fun¸c˜ao de transferˆencia
do processo com o modelo arima (Auto-Regressive and Integrated Moving Average) das
perturba¸c˜oes (η(t)). O modelo arima ´e o mais utilizado para a descri¸c˜ao de perturba¸c˜oes
1
A letra z ´e usada neste trabalho indistintamente para representar a vari´avel complexa quando usamos
transformada Z e para o operador deslocamento no tempo.
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 50
determin´ısticas e estoc´asticas:
η(t) =
C(z
−1
)e(t)
D(z
−1
)
onde o polinˆomio D(z
−1
) inclui um integrador ∆ = 1 − z
−1
e e(t) ´e um ruido branco de
media zero. Os demais parˆametros dos polinˆomios C e D s˜ao usados para descrever as ca-
racter´ısticas estoc´asticas de η. Este modelo permite representar mudan¸cas aleat´orias, off-
sets e outros fenˆomenos normalmente encontrados. Nesta disserta¸c˜ao usara-se C(z
−1
) = 1
e D(z
−1
) = ∆(z
−1
), que corresponde ao algoritmo b´asico do GPC.
Incluir um integrador no modelo das perturba¸c˜oes e por tanto no modelo geral
da predi¸c˜ao da ao controlador a capacidade de rejeitar perturba¸c˜oes do tipo degrau,
(Camacho e Bordons 1998).
Como o processo real ´e n˜ao linear e deseja-se que o controlador atue em toda a faixa de
opera¸c˜ao do conversor ´e necess´ario realizar uma an´alise de robustez. Para isso escolheu-se
um valor de N que capture a dinˆamica do processo e executou-se o algoritmo para diversos
valores de λ.
A solu¸c˜ao ´otima do problema de minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo J no caso irrestrito ´e
encontrada pela resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear: u = K(w −f), onde K = (G
T
G + λI)
−1
G
T
,
como foi visto no cap´ıtulo 2, sendo G:
G =
g
0
0 . . . 0
g
1
g
0
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
g
N−1
g
N−2
. . . g
0
Os elementos da matriz G podem ser calculados como:
g
j
=
j
i=1
a
i
g
j−i
+
j−1
i=0
b
i
= 0, . . . , N − 1
onde g
k
= 0 se k < 0 e a
i
e b
i
s˜ao os coeficientes de A y B respectivamente. Como a matriz
G de resposta ao degrau e proporcional ao ganho est´atico do sistema g
e
, para normalizar
o efeito da pondera¸c˜ao λ na matriz K ´e necess´ario utilizar um valor proporcional a g
2
e
.
Assim escolhe-se λ = λ
e
∗ g
2
e
e varia-se λ
e
para ponderar o sinal de controle.
Com N = 30 e λ
e
variando entre 1 e 100, implementa-se a lei de controle como se
mostra na Figura 4.1 obtendo-se os resultados mostrados na Tabela4.2.
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 51
zero(F) p´olo(F) zero(C) p´olo(C)
λ = 50000 0 0.80 + j0.26 0.80 + j0.26 −0.67
(λ
e
= 1) 0 0.80 − j0.26 0.80 − j0.26 1
λ = 500000 0 0.86 + j0.28 0.86 + j0.28 −0.33
(λ
e
= 10) 0 0.86 − j0.28 0.86 − j0.28 1
λ = 5000000 0 0.89 + j0.31 0.89 + j0.31 −0.11
(λ
e
= 100) 0 0.89 − j0.31 0.89 − j0.31 1
Tabela 4.2: Controle para diferentes valores λ
+
-
F(z
-1
) C(z
-1
) G(z
-1
)
Figura 4.1: Sistema em malha fechada
Para verificar a estabilidade e robustez do controle analisa-se o erro de modelagem dado
pelas diferen¸cas entre o modelo nominal G
n
e os poss´ıveis modelos lineares G obtidos ao
variar R e V
o
dentro do faixa de valores dados na tabela 4.1:
δG =
G − G
n
G
n
(4.6)
O controle projetado ser´a robusto se:
|δG(z)| <
1 + C(z)G
n
(z)
C(z)G
n
(z)
z = e
jω
∀ω ∈ (0, π) (4.7)
onde C ´e o controlador projetado.
A Figura 4.2 mostra que somente para λ = 5.10
6
a desigualdade 4.7 ´e verificada.
Para validar o projeto, simula-se o comportamento do sistema com o modelo ins-
tantˆaneo n˜ao linear do buck-boost. O esquema de simula¸c˜ao mostra-se na Figura 4.3.
A Figura 4.4 mostra o resultado da simula¸c˜ao para dois casos diferentes: λ = 5.10
4
e
λ = 5.10
6
.
Como se esperava a resposta para λ = 5.10
4
´e mais r´apida, mas n˜ao consegue seguir
o sinal de referˆencia quando este muda em t = 20ms de 12V para 100V . A resposta
para λ = 5.10
6
´e mais lenta mas consegue sempre seguir o sinal de referˆencia. Tamb´em
´e poss´ıvel observar como o sistema consegue rejeitar uma perturba¸c˜ao na carga em t =
25ms, quando R passa de 40Ω para 100Ω.
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 52
10
2
10
3
10
4
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
Magnitude (dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
lmda=5000000
lmda=500000
lmda=50000
Figura 4.2: |δG| linha cheia e
1+CG
n
CG
n
linha pontilhada
As Figuras 4.5 e 4.6 mostram respectivamente a corrente no inductor e a a¸c˜ao de
controle, para o caso de λ = 5.10
6
.
A grande vantagem deste controlador ´e a simplicidade de implementa¸c˜ao e que n˜ao
requer nenhuma otimiza¸c˜ao on-line por´em, como se observa, ´e necess´ario degradar o
desempenho em malha fechada para atingir a robustez.
Isto ´e uma conclus˜ao esperada para este tip o de sistemas com grandes n˜ao linearidades.
Se as exigˆencias de desempenho n˜ao fossem t˜ao altas e o modelo do sistema t˜ao bem
conhecido, a solu¸c˜ao linear seria satisfat´oria como acontece em muitos sistemas indu striais
F C
sample
&
hold
PWM
R
S D
CL
CC
E
R
U
i
L
v
C
48V
56
-44(10ms)
+88(20ms)
40
+80(25ms)
-1
SCOPE
Modelo instantâneo ideal do BB
Figura 4.3: Esquema de simula¸c˜ao
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 53
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
0
20
40
60
80
100
120
140
tempo(seg)
tensao(V)
lmda = 50000
lmda = 5000000
Figura 4.4: Resposta do sistema para λ = 5.10
4
e λ = 5.10
6
de controle de processos.
Neste caso particular grandes melhorias podem ser obtidas com controle preditivo n˜ao
linear, como ser´a mostrado nas se¸c˜oes seguintes.
4.3 Non Linear Extended Predictive Self Adaptive
Control (NEPSAC)
Outra solu¸c˜ao para o problema de controle do conversor BB, sem aumentar consi-
deravelmente a complexidade de c´alculo ´e poss´ıvel se se aplica a estrat´egia de controle
NEPSAC, (De Keyser 2003). Este algoritmo pode ser usado para sistemas n˜ao lineares
sem necessidade de uma lineariza¸c˜ao do modelo. A sua estrat´egia ´e derivada do EPSAC
(Extended Predictive Self Adaptive Control), que por sua vez e uma generaliza¸c˜ao do GPC.
O objetivo do controlador ´e minimizar a mesma fun¸c˜ao objetivo J que o GPC, por´em
utilizando uma estrat´egia diferente para o c´alculo das predi¸c˜oes e da otimiza¸c˜ao.
No EPSAC, v´alido para sistemas lineares, podemos expressar a predi¸c˜ao da sa´ıda
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 54
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo(seg)
Corrente no inductor(A)
Figura 4.5: Corrente no inductor.
y(t+k|t) como a soma de duas componentes que denominamos: y
base
(t+k|t) e y
opt
(t+k|t).
y(t + k|t) = y
base
(t + k|t) + y
opt
(t + k|t) (4.8)
Onde:
• y
base
(t + k|t) ´e a sa´ıda do sistema causada pelas exita¸c˜oes passadas {u(t −1), u(t −
2), ...}, por u
base
(t+k|t), k = 0, 1, ..., N
2
−1, e pela predi¸c˜ao das p er turba¸c˜oes futur as
η(t + k|t);
• y
opt
(t + k|t) ´e a sa´ıda do sistema causada pela exita¸c˜ao futuras δu
opt
(t + k|t), k =
0, 1, ..., N
2
− 1, onde δu
opt
(t + k|t) = u(t + k|t) − u
base
(t + k|t), sendo u(t + k|t) o
controle ´otimo procurado.
A componente y
base
(t + k|t) pode ser facilmente obtida usando o modelo do processo
e considerando como entrada u
base
(t + k|t). A escolha de u
base
´e livre, pode-se escolher:
u
base
(t + k|t) ≡ 0, k = 0, 1, ..., N
2
− 1 ou u
base
(t + k|t) ≡ u(t − 1), k = 0, 1, ..., N
2
− 1,
resultando no conceito de resposta livre do GPC, (somente valido para sistemas lineares).
A Figura 4.7 mostra estes conceitos, al´em que podemos observar como y
opt
(t + k|t) ´e
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 55
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tempo(seg)
ação de controle
Figura 4.6: A¸c˜ao de controle.
o efeito acumulativo de uma serie de impulsos e uma entrada degrau:
• um impulso com amplitude δu(t|t) no instante t, contribuir´a com h
k
δu(t|t) na sa´ıda
do processo no instante t + k (k per´ıodos de amostragens depois); um impulso com
amplitude δu(t + 1|t) no instante t + 1, contribuir´a com h
k−1
δu(t + 1|t) na sa´ıda
predita do processo no instante t + k (k − 1 per´ıodos de amostragens depois); etc,
• finalmente um degrau de amplitude δu(t+N
u
−1|t) no instante t+N
u
−1, contribuir´a
com g
k−N
u
+1
δu(t+N
u
−1|t) na sa´ıda predita do processo no instante t+k (k−N
u
+1
per´ıodos de amostragens depois)
O efeito acumulado de todos os impulsos e do degrau ´e:
y
opt
(t + k|t) = h
k
δu(t|t) + h
k−1
δu(t + 1|t) + g
k−N
u
+1
δu(t + N
u
− 1|t) (4.9)
Os parˆametros g
1
, g
2
, ..., g
N
2
s˜ao os coeficientes da resposta ao degrau unit´ario do sis-
tema. Os parˆametros h
1
, h
2
, ..., h(k), ..., h
N
2
s˜ao os coeficientes da resposta ao impulso
unit´ario do sistema (h
k
= g
k
−g
k−1
). Para sistemas lineares a resposta ao degrau unit´ario
n˜ao depende do ponto de opera¸c˜ao e por tanto os coeficientes podem ser calculados, uma
so vez “off-line”, usando o modelo do sistema. No caso dos sistemas n˜ao lineares a res-
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 56
u
u(t+k|t)
u(t+k|t)
u
base
(t+k|t)
tempo
N
u
=4
Figura 4.7: Conceito de controle base e ´otimo
posta ao degrau depende do ponto de opera¸c˜ao e os coeficientes deveram ser calculados
em cada per´ıodo de amostragem.
Usando as equa¸c˜oes 4.8 e 4.9 podemos expressar a sa´ıda predita do processo como:
Y =
¯
Y + GU (4.10)
onde:
Y = [y(t + N
1
|t)...y(t + N
2
|t)]
T
¯
Y = [y
base
(t + N
1
|t)...y
base
(t + N
2
|t)]
T
U = [δu(t|t)...δu(t + N
u
− 1|t)]
T
G =
h
N
1
h
N
1
−1
h
N
1
−2
··· g
N
1
−N
u
+1
h
N
1
+1
h
N
1
h
N
1
−1
··· ···
··· ··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ···
h
N
2
h
N
2
−1
h
N
1
−2
··· g
N
2
−N
u
+1
U
opt
´e calculado a partir da minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo J por um procedimento
de otimiza¸c˜ao linear igual ao do GPC. Somente o primeiro elemento de U
opt
, (U
opt
(1) =
δu(t|t)), ´e necess´ario para calcular a a¸c˜ao de controle a aplicar no processo:
u(t) = u
base
(t|t) + δu(t|t) = u
base
(t|t) + U
opt
(1)
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 57
Para sistemas n˜ao lineares, n ˜ao vale o pr inc´ıpio de superposi¸c˜ao e o p rocedimento
anterior n˜ao poderia ser usado, obrigando a usar um procedimento de otimiza¸c˜ao n˜ao
linear mais complexo e demorado.
O NEPSAC contorna este problema criando um la¸co interno que compara o va-
lor de |U
opt
| na sa´ıda do otimizador com um certo ǫ. Se |U
opt
| > ǫ recalcula U
base
=
[u
base
(t|t), . . . , u
base
(t + N
2
−1|t)] = U
base
+ U
opt
e volta ao la¸co principal do algoritmo com
a nova U
base
. O procedimento repete-se at´e que se cumpra a condi¸c˜ao de sa´ıda do la¸co
interno |U
opt
| ≤ ǫ, sempre usando a otimiza¸c˜ao linear para o c´alculo do U
opt
. No final de
cada itera¸c˜ao aplica-se na planta o controle: u(t) = u
base
(t|t)+δu(t|t) = u
base
(t|t)+U
opt
(1)
Com este procedimento a complexidade da otimiza¸c˜ao diminui bastante j´a que somente
s˜ao resolvidos problemas de otimiza¸c˜ao lineares.
A Figura 4.8 mostra o diagrama de fluxo do algoritmo NEPSAC.
Este algoritmo idealizado por De Keyser (De Keyser 1998) parte do pressuposto que
o procedimento iterativo de otimiza¸c˜ao linear adotado ´e convergente ao ´otimo n˜ao linear.
Apesar de que este resultado n˜ao est´a demonstrado, a sua utiliza¸c˜ao em muitos casos foi
realizada com sucesso (De Keyser 2003).
Para aplicar o NEPSAC, devemos utilizar o modelo n˜ao linear cont´ınuo da planta. A
partir das equa¸c˜oes 3.23:
˙
ˆx
1
=
1
L
[dE + (1 − d)ˆx
2
]
˙
ˆx
2
= −
1
C
[
ˆx
2
R
+ (1 − d)ˆx
1
]
y = −ˆx
2
fazendo a aproxima¸c˜ao:
dζ
dt
= f (t) ⇒
ζ[k + 1] − ζ[k]
T
s
= f [k] (4.11)
valida para T
s
, per´ıodo de amostragem pequeno e considerando como modelo das per-
turba¸c˜oes:
η(k) =
e[k]
1 − q
−1
(4.12)
onde e[k] ´e o ru´ıdo b ranco com valor m´edio zero e o integrador e usado, pela lei de controle,
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 58
y(t) y(t-1) y(t-2) y(t-n) . . . u(t-3) u(t-2) u(t-1)u(t-n) . . .
MODELO da PLANTA
y(t+k|t) = f(y(t),y(t-1),…,u(t-1),u(t-2),…,u
base
(t|t),u
base
(t+1|t),…,u
opt
(t|t),u
opt
(t+1|t),...)
U
base
- conhecido, e definido a priori.
U
opt
- a determinar no optimizador.
Minimize J(U
opt
)
Calculo |U
opt
|
U
base
=U
base
+U
opt
Primer elemento de U
opt
r(t+k|t) k=1..N
2
Aplico na planta: u=U
base
(1)+U
opt
(1)
Primer elemento de U
base
+
+
-
+
y
base
(t+k|t)=g(u
base
(t|t),u
base
(t+1|t),...)
k=1...N
2
y
opt
(t+k|t)=h(u
opt
(t|t),u
opt
(t+1|t),...)
k=1...N
2
U
opt
(t+k|t) k=0...N
2
-1
EPSAC
NEPSAC
SIM
NAO
|U
opt
|<=eps
SHIFT REGISTER
SHIFT REGISTER
Figura 4.8: Diagrama de fluxo do algoritmo EPSAC e NEPSAC
para produzir um off-set zero em estado estacion´ario; obtemos ent˜ao:
i
L
[k] =
T
s
L
(d[k − 1]V
i
+ (1 − d[k − 1])v
C
[k − 1]) +
i
L
[k − 1] +
e[k]
1 − q
−1
v
C
[k] = −
T
s
C
(
v
C
[k − 1]
R
+ (1 − d[k − 1])
i
L
[k − 1]) + v
C
[k − 1] +
e[k]
1 − q
−1
V o[k] = −v
C
[k] (4.13)
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 59
Assumindo que o melhor valor esperado para os valores do erro futuro e[k + i] ´e zero,
i ≥ 0, as predi¸c˜oes de
i
L
e v
C
podem ser calculadas usando:
i
L
[k] =
T
s
L
[(d[k − 1] − d[k − 2])V
i
+(1 − d[k − 1])(v
C
[k − 1] − v
C
[k − 2])]
+2
i
L
[k − 1] −
i
L
[k − 2]
v
C
[k] = −
T
s
C
(
v
C
[k − 1] − v
C
[k − 2]
R
+(1 − d[k − 1])(
i
L
[k − 1] −
i
L
[k − 1]))
+2v
C
[k − 1] − v
C
[k − 2]
V o[k] = −v
C
[k] (4.14)
Com este modelo e seguindo o diagrama de fluxo da figura 4.8 foi poss´ıvel calcular o
controle ´otimo considerando a fun¸c˜ao custo (4.3)
De forma similar que no caso GPC, a rejei¸c˜ao das perturba¸c˜oes do tipo degrau ficar´a
garantida pelo modelo de perturba¸c˜ao considerado no modelo da planta. Os parˆametros
de ajuste ser˜ao escolhidos utilizando os resultados do caso GPC.
O esquema de simula¸c˜ao u tilizado ´e apresentado na Figura 4.9. Os resultados de
BOC PWM
R
S D
CL
CC
E
R
U
i
L
v
C
48V
56
-44(10ms)
+88(20ms)
40
+80(25ms)
-1
SCOPE
Modelo instantâneo ideal do BB
S&H
S&H1/z
1/z
Matlab
Function
1/z
Algoritmo
NEPSAC
Figura 4.9: Esquema de simula¸c˜ao
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 60
simula¸c˜ao para diversos valores de λ, s˜ao apresentados na Figura 4.10. Para λ = 5.10
4
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
tempo(seg)
tensao(V)
lmda=50000
lmda=200000
lmda=70000
lmda=145000
Figura 4.10: Resposta do sistema, para alguns valores de λ
a resposta do sistema n˜ao consegue seguir a referˆencia, o controle satura, a chave fica
no estado aberto e portanto a sa´ıda vai para zero. Nos outros trˆes casos, o controle n˜ao
satura.
Os resultados de simula¸c˜ao, obtidos no Matlab, mostram que valores de λ muito
pequenos levam a a¸c˜oes de controle muito grandes saturando o sistema e levando a chave
a permanecer no estado fechado.
Por outro lado se λ ´e muito grande a restri¸c˜ao imposta ao sinal de controle impede que
o sistema possa transitar entre as tens˜oes de referˆencia desejadas e rejeitar as varia¸c˜oes
de carga impostas.
A escolha dos horizontes N e N
u
pode ser usada para melhorar o ajuste do sistema
de controle. Neste caso particular por simplicidade escolheu-se N
u
= N, o que limita
parcialmente a liberdade do ajuste.
O ajuste final dos parˆametros N
u
e λ ´e realizada de forma emp´ırica, usando como
ferramenta principal o conhecimento da dinˆamica da planta.
As Figuras 4.11 e 4.12 mostram respectivamente a corrente no inductor e a a¸c˜ao de
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 61
controle, para o caso de N = 30 e λ = 145000.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
2
4
6
8
10
12
tempo(seg)
corrente no inductor(A)
Figura 4.11: Corrente no inductor.
4.4 Controle N˜ao Linear Cont´ınuo
A solu¸c˜ao apresentada anteriormente apresenta basicamente dois problemas de con-
vergˆencia.
O primeiro tem a ver diretamente com o controle, na qual o engenheiro de controle atrav´es
da sintonia dos parˆametros N
1
, N
2
, N
u
e λ, n˜ao s´o procurar´a identificar o controle com a
melhor performance, se n˜ao tamb´em aquele que garanta em malha fechada a estabilidade
do sistema em todas as situa¸c˜oes. Geralmente isto se faz na grande maioria dos casos
de forma emp´ırica, se bem que hoje em dia j´a existem v´arios estudos que indicam como
determinar estes parˆametros de forma a garantir a estabilidade do sistema em malha fe-
chada (Mayne et al. 2000) (Marruedo 2002).
Por outro lado est´a a convergˆencia do algoritmo de otimiza¸c˜ao. Todo o problema de
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 62
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo(seg)
ação de controle
Figura 4.12: A¸c˜ao de controle.
controle preditivo acaba num problema de programa¸c˜ao matem´atica definido como:
P : Minimize f(x)
x ∈ R
n
Sujeito a: c
j
(x) = 0, j ∈ E
c
j
(x) ≥ 0, j ∈ I
Onde f : R
n
→ R and c
j
: R
n
→ R s˜ao fun¸c˜oes suaves, e I e E s˜ao dois conjuntos
de ´ındices. Como a solu¸c˜ao do problema deve ser encontrada num determinado espa¸co
de tempo, que corresponde ao per´ıodo de amostragem do sistema, muitas solu¸c˜oes s˜ao
propostas para identificar uma solu¸c˜ao ´otima nesse intervalo de tempo. No caso do G PC,
´e usado um mo delo linear para obter a predi¸c˜ao do comportamento futuro do sistema, e o
objetivo ´e minimizar a fun ¸c˜ao J dada por 4.3 sem considerar restri¸c˜oes. A programa¸c˜ao
quadr´atica oferece uma solu¸c˜ao anal´ıtica para esse problema, e com isso se reduz o tempo
de c´alculo. O algoritmo NEPSAC transforma seu problema de otimiza¸c˜ao numa itera¸c˜ao
de problemas de programa¸c˜ao quadr´atica sem restri¸c˜oes os quais, como j´a foi comentado,
tˆem solu¸c˜ao anal´ıtica. Mas s´o que esse algoritmo n˜ao d´a garantia de convergˆencia, e pode
ser que o processo iterativo nunca tenha fim e n˜ao se possa achar o ´otimo e, portanto, a
lei de controle.
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 63
Deseja-se ent˜ao utilizar um algoritmo que permita encontrar sempre, se existir, um
´otimo local para o problema de programa¸c˜ao matem´atica n˜ao linear. Esta caracter´ıstica
pode ser conseguida utilizando o algoritmo SQP (Boggs e Tolle 1996), que detalha-se no
apˆendice B.
O algoritmo proposto foi implementado na linguagem de programa¸c˜ao C, e a simula¸c˜ao
do processo foi realizada no simulador ECOSIM (Ecosim Pro 2004). Para a simula¸c˜ao
foi usado o modelo instantˆaneo ideal do conversor buck-boost, que representa de forma
satisfat´oria o comportamento real da planta (Borges 2002).
O primeiro teste mostra o seguimento a uma referˆencia tipo degrau em malha fechada.
Usando a carga nominal (R = 80Ω), a referˆencia muda de 0V para 12V em t = 0, de
12V para 100V em t = 5ms e finalmente de 100V para 56V em t = 10ms. Depois disso,
mantendo a tens˜ao de sa´ıda em seu valor nominal 56V , ´e introduzida uma mudan¸ca na
carga tipo degrau. Em t = 15ms R muda de 80Ω para 40Ω e em t = 20ms R muda de
40Ω para 120Ω. A Figura 4.13 mostra a referˆencia e a tens˜ao de sa´ıda. As Figuras 4.14 e
4.15 mostram respectivamente a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
0
20
40
60
80
100
120
tempo (seg)
tensão (V)
Parâmetros do controlador:
N1 = 1
N2 = 8
Nu = 4
lmda = 2e 5
f(sample) = 0.1e−3 s
Figura 4.13: Referˆencia e tens˜ao de sa´ıda.
Como se observa nas figuras, a performance do sistema em malha fechada apresenta
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 64
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tempo(seg)
corrente no inductor (A)
Figura 4.14: Corrente no inductor.
um overshoot menor que 10% e o tempo de estabelecimento ´e menor que 2ms em todas as
simula¸c˜oes realizadas quando muda-se o ponto de opera¸c˜ao do conversor buck-boost. As
mesmas propriedades dinˆamicas podem ser observadas na rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes quando
uma mudan¸ca tipo degrau ´e introduzida na carga.
4.5 Conclus˜oes
Este cap´ıtulo mostrou a aplica¸c˜ao de t´ecnicas de CPBM linear e n˜ao linear ao conversor
BB.
Mostrou-se primeiro a aplica¸c˜ao de um algoritmo de CPBM linear bem conhecido na
literatura como o GPC. Para se obter um projeto robusto do controlador foi necess´ario
degradar a performance do sistema em malha fechada o que era previsto dadas as carac-
ter´ısticas n˜ao lineares da planta.
Para melhorar a performance aplicou-se o algoritmo NEPSAC, uma t´ecnica de CPBM
baseada em otimiza¸c˜ao linear recursiva que permite controlar sistemas n˜ao lineares, mas
Diferentes Solu¸c˜oes Para o Problema de CPBM do BB 65
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tempo(seg)
ação de controle
Figura 4.15: A¸c˜ao de controle.
que n˜ao garante achar o ´otimo local em cada per´ıodo de amostragem. Como o BB ´e um
sistemas com comportamento n˜ao linear acentuado, obteve-se um melhor desempenho
com este tipo de controle em compara¸c˜ao com o GPC.
Por ´ultimo, e para salvar o problema de garantir a solu¸c˜ao do problema de otimiza¸c˜ao
n˜ao linear, aplicou-se uma t´ecnica geral de CPBM baseada no algoritmo SQP. Com o
SQP obteve-se a melhor performance dos controladores estudados porem com uma maior
complexidade computacional.
Cap´ıtulo 5
Estudo Comparativo
5.1 Defini¸c˜ao do Experimento
Esta se¸c˜ao tem por objetivo definir as situa¸c˜oes a simular que permitam fazer um
estudo comparativo das diferentes t´ecnicas aplicadas no cap´ıtulo anterior.
Para definir estas situa¸c˜oes, ´e importante considerar os fatores principais que per-
mitam afirmar que um controlador tem uma melhor performance que outro.
´
E portanto
necess´ario que se defina o que se considera uma boa performance da lei de controle, quando
trata-se de conversores de potˆencia e em particular dos conversores buck-boost.
Como j´a foi mencionado no cap´ıtulo anterior, as especifica¸c˜oes para o projeto de
controladores para conversores CC-CC, e em especial para o buck-boost s˜ao: garantia
de erro nulo em regime permanente diante de perturba¸c˜oes de carga do tipo degrau e
dinˆamica em malha fechada mais r´apida e menos oscilat´oria que em malha aberta.
Al´em dos pontos mencionados anteriormente, esse trabalho adiciona uma quarta espe-
cifica¸c˜ao, que ´e a capacidade que deve ter o sistema em seguir referˆencias do tipo degrau
com erro nulo em regime permanente.
Assim, ser´a considerado que um controlador tem uma melhor performance que outro
controlador se: trabalhando na faixa de freq¨uˆencia que os dispositivos semi-condutores o
permitam, conseguir:
• rejeitar perturba¸c˜oes do tipo degrau na carga, com menor resposta transit´oria e
Estudo Comparativo 67
menor pico na tens˜ao de sa´ıda,
• seguir mudan¸cas, de tipo degrau, na referˆencia com men or resposta transit´oria e
menor pico na tens˜ao de sa´ıda.
Definem-se ent˜ao os seguintes experimentos, com o fim de avaliar os dois pontos ante-
riores:
Rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes. Este experimento est´a constitu´ıdo por trˆes simula¸c˜oes: uma
para tens˜ao nominal (56V ), outra para tens˜ao m´ınima (12V ) e por ´ultimo uma
terceira com tens˜ao m´axima (120V ). Em todos os casos o sistema ser´a submetido
a uma perturba¸c˜ao de carga igual a mostrada na Figura 5.1. At´e os 10ms o buck-
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
20
40
60
80
100
120
Resistência de carga (ohms)
tempo (ms)
Figura 5.1: Perturba¸c˜ao de carga.
boost trabalhar´a com sua R nominal, ou seja R = 80Ω, em t = 10ms o sistema ser´a
submetido a uma varia¸c˜ao de carga, a resistˆencia ir´a a seu valor m´ınimo R = 40Ω at´e
t = 20ms onde novamente o sistema ser´a submetido a uma nova varia¸c˜ao, a maior
poss´ıvel, a R ser´a elevada de seu valor m´ınimo at´e seu valor m´aximo R = 120Ω;
em t = 30ms ser´a realizado o procedimento inverso, da R m´axima at´e a R m´ınima;
finalmente em t = 40ms a R voltar´a ao seu valor nominal.
Estudo Comparativo 68
Seguimento `a referˆencia. Igual que no caso anterior, este experimento est´a constitu´ıdo
por trˆes simula¸c˜oes: uma para R nominal (80Ω), outra para R m´ınima (40Ω) e para
R m´axima (120Ω). Em todos os casos o sistema dever´a seguir a referˆencia mostrada
na Figura 5.2. At´e 10ms o buck-boost dever´a manter na sa´ıda a sua tens˜ao nominal,
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tensão (V)
tempo (ms)
Figura 5.2: Referˆencia a seguir.
ou seja V
ref
= 56V , em t = 10ms a referˆencia muda para o seu valor m´ınimo
V
ref
= 12V at´e t = 20ms onde novamente haver´a uma mudan¸ca na referˆencia, a
maior poss´ıvel, a referˆencia ser´a elevada de seu valor m´ınimo at´e seu valor m´aximo
V
ref
= 100V ; em t = 30ms ser´a realizado o procedimento inverso, da referˆencia
m´axima at´e a m´ınima; finalmente em t = 40ms a referˆencia voltar´a ao seu valor
nominal.
5.2 Defini¸c˜ao dos
´
Indices de Desempenho
Esta se¸c˜ao definir´a os ´ındices a serem avaliados a partir dos resultados das simula¸c˜oes
dos experimentos determinados na se¸c˜ao anterior.
Tanto na rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes como no seguimento `a referˆencia, os fatores que
Estudo Comparativo 69
definem qual ´e a lei de controle com a melhor performance, s˜ao aquelas que se referem `a
qualidade da resposta transit´oria do sistema em malha fechada.
Portanto escolheu-se, para avaliar a rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes e o seguimento `a re-
ferˆencia, trˆes indices cl´assicos que avaliam a resposta transit´oria do sistema:
1. tempo de estabelecimento, (t
e
), ´e o tempo que requer o sistema, a partir do
momento em que se d´a a pertu rba¸c˜ao de carga ou que muda a referˆencia, at´e que
a resposta de sa´ıda alcance e se mantenha numa faixa em torno do valor final com
uma magnitude especificada pela porcentagem absoluta do valor da varia¸c˜ao de
sa´ıda (habitualmente 5%).
2. pico m´aximo, (M
p
), ´e o valor de pico m´aximo, da curva de resposta, ap´os a
aplica¸c˜ao de uma mudan¸ca de referˆencia.
´
E calculado da seguinte maneira:
M
p
=
y(t
p
) − y(∞)
y(∞) − y(i)
.100% (5.1)
Este´ındice ser´a usado somente para avaliar a resposta do experimento de seguimento
`a referˆencia.
3. desvio m´aximo,
D
M
=
y(t
p
) − y(∞)
y(∞)
.100% (5.2)
Este ´ındice ser´a usado somente para avaliar a resposta do experimento de rejei¸c˜ao
`as perturba¸c˜oes, e deve considerar a amplitude da perturba¸c˜ao.
y(t
p
) ´e o valor de pico ou do desvio m´aximo, y(∞) ´e o valor em regime perm anente
final, e y(i) ´e o valor de regime permanente inicial antes da mudan¸ca na referˆencia. As
Figura 5.3 e 5.4 mostram como s˜ao medidas essas vari´aveis.
Estudo Comparativo 70
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10
−3
0
10
20
30
40
50
60
tempo(ms)
y(tp)=58V
Referência
Tensão de saída
Figura 5.3: y(t
P
) = 58V , y(∞) = 56V ,
y(i) = 0V .
0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0
10
20
30
40
50
60
tempo(ms)
y(tp)=44V
Perturbação de carga
Tensão de saída
Figura 5.4: y(t
P
) = 44V , y(∞) = 56V .
Os controladores que se analisar˜ao s˜ao:
• GPC robusto
• NEPSAC
• SQP
• Modos deslizantes (sliding modes)
Estudo Comparativo 71
5.3 Resultados das Simula¸c˜oes
A seguir mostram-se os resultados das simula¸c˜oes realizadas.
A Figura 5.5 mostra o resultado do experimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes para tens˜ao
nominal (56V ) e a tabela 5.6 mostra os ´ındices obtidos no pior caso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tensão de saída(V)
GPC Robusto
NEPSAC
Não Linear Contínuo (SQP)
Modos Deslizantes
tempo(ms)
Figura 5.5: Rejei¸c˜ao `a perturba¸c˜ao com tens˜ao nominal.
Tipo de controle t
e
(ms) D
M
(%)
GPC robusto 3 30
NEPSAC 2 34
SQP 1.8 34
Modos deslizantes 2.8 43
Figura 5.6:
´
Indices obtidos do experimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes com tens˜ao nominal.
Estudo Comparativo 72
As Figuras 5.7 e 5.8 mostram a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle do experi-
mento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes para tens˜ao nominal (56V ).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tempo(s)
Corrente(A)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Modos deslizantes
Figura 5.7: Corrente no inductor.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tempo(s)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Figura 5.8: A¸c˜ao de controle
Estudo Comparativo 73
A Figura 5.9 mostra o resultado do experimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes para tens˜ao
m´ınima (12V ) e a tabela 5.10 mostra os ´ındices obtidos no pior caso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tensão de saída (V)
GPC Robusto
NEPSAC
Não Linear Contínuo (SQP)
Modos Deslizantes
tempo(ms)
Figura 5.9: Rejei¸c˜ao `a perturba¸c˜ao com tens˜ao m´ınima.
Tipo de controle t
e
(ms) D
M
(%)
GPC robusto 1.5 21
NEPSAC < 1.5 21
SQP < 1.0 25
Modos deslizantes > 2.0 35
Figura 5.10:
´
Indices obtidos do experimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes com tens˜ao m´ınima.
Estudo Comparativo 74
As Figuras 5.11 e 5.12 mostram a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle do expe-
rimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes para tens˜ao m´ınima (12V ).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
tempo(s)
Corrente(A)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Modos deslizantes
Figura 5.11: Corrente no inductor.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
tempo(s)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Figura 5.12: A¸c˜ao de controle
Estudo Comparativo 75
A Figura 5.13 mostra o resultado do experimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes para tens˜ao
m´axima (100V ) e a tabela 5.14 mostra os ´ındices obtidos no pior caso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
50
100
150
tempo(ms)
Tensão de saída(V)
GPC Robusto
NEPSAC
Não Linear Continuo (SQP)
Modos Deslizantes
Figura 5.13: Rejei¸c˜ao `a perturba¸c˜ao com tens˜ao m´axima.
Tipo de controle t
e
(ms) D
M
(%)
GPC robusto > 10 40
NEPSAC 2 40
SQP 2 40
Modos deslizantes > 3 50
Figura 5.14:
´
Indices obtidos do experimento rejei¸c ˜ao `as perturba¸c˜oes com tens˜ao m´axima.
Estudo Comparativo 76
As Figuras 5.15 e 5.16 mostram a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle do expe-
rimento rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes para tens˜ao m´axima (100V ).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
2
4
6
8
10
12
14
tempo(s)
Corrente(A)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Modos deslizantes
Figura 5.15: Corrente no inductor.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
tempo(s)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Figura 5.16: A¸c˜ao de controle
Estudo Comparativo 77
A Figura 5.17 mostra o resultado do experimento seguimen to `a referˆencia para R
nominal (80Ω) e a tabela 5.18 mostra os ´ındices obtidos no pior caso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
20
40
60
80
100
120
tempo(ms)
Tensão de saída (V)
GPC Robusto
NEPSAC
Não Linear Continuo (SQP)
Modos Deslizantes
Figura 5.17: Seguimento `a referˆencia com R nominal.
Tipo de controle t
e
(ms) M
p
(%)
GPC robusto > 20 6
NEPSAC > 20 0
SQP > 3 20
Modos deslizantes > 3 7
Figura 5.18:
´
Indices obtidos do experimento seguimento `a referˆencia com R nominal.
Estudo Comparativo 78
As Figuras 5.19 e 5.20 mostram a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle do expe-
rimento seguimento `a referˆencia com R nominal (80Ω).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−1
0
1
2
3
4
5
tempo(s)
Corrente(A)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Modos deslizantes
Figura 5.19: Corrente no inductor.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tempo(s)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Figura 5.20: A¸c˜ao de controle
Estudo Comparativo 79
A Figura 5.21 mostra o resultado do experimento seguimen to `a referˆencia para R
m´ınima (40Ω) e a tabela 5.22 mostra os ´ındices obtidos no pior caso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
20
40
60
80
100
120
tempo(ms)
Tensão de saída (V)
GPC Robusto
NEPSAC
Não Linear Continuo (SQP)
Modos Deslizantes
Figura 5.21: Seguimento `a referˆencia com R m´ınima.
Tipo de controle t
e
(ms) M
p
(%)
GPC robusto > 20 10
NEPSAC > 20 0
SQP < 3 0
Modos deslizantes 3 0
Figura 5.22:
´
Indices obtidos do experimento seguimento `a ref erˆencia com R m´ınima.
Estudo Comparativo 80
As Figuras 5.23 e 5.24 mostram a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle do expe-
rimento seguimento `a referˆencia com R m´ınima (40Ω).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−2
0
2
4
6
8
10
tempo(s)
Corrente (A)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Modos deslizantes
Figura 5.23: Corrente no inductor.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tempo(s)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Figura 5.24: A¸c˜ao de controle
Estudo Comparativo 81
A Figura 5.25 mostra o resultado do experimento seguimen to `a referˆencia para R
m´axima (120Ω) e a tabela 5.26 mostra os ´ındices obtidos no pior caso.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−20
0
20
40
60
80
100
120
tempo(ms)
Tensão de saída (V)
GPC Robusto
NEPSAC
Não Linear Continuo (SQP)
Modos Deslizantes
Figura 5.25: Seguimento `a referˆencia com R m´axima.
Tipo de controle t
e
(ms) M
p
(%)
GPC robusto > 20 < 5
NEPSAC > 20 0
SQP > 5 79
Modos deslizantes < 3 10
Figura 5.26:
´
Indices obtidos do experimento seguimento `a referˆencia com R m´axima.
Estudo Comparativo 82
As Figuras 5.27 e 5.28 mostram a corrente no inductor e a a¸c˜ao de controle do expe-
rimento seguimento `a referˆencia com R m´axima (120Ω).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tempo(s)
Corrente(A)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Modos deslizantes
Figura 5.27: Corrente no inductor.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tempo(s)
SQP
NEPSAC
GPC robusto
Figura 5.28: A¸c˜ao de controle
Estudo Comparativo 83
Em nenhum caso foi mostrada a a¸c˜ao de controle via modos deslizantes pois n˜ao teria
sentido comparar sinais que cumprem fun¸c˜oes diferentes dentro do sistema. Os sinais de
controle dos m´etodos de CPBM s˜ao sinais de entrada de um bloco PWM, no entanto o
sinal obtido pelos modos deslizantes e o sinal de entrada de um relˆe.
5.4 Discuss˜ao de Resultados
Com t ens˜ao nominal (56V ), as estrat´egias de controle SQP e NEPSAC conseguem um
´otimo desempen ho na rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes de carga. O GPC robusto, se bem consegue
picos m´aximos similares aos do SQP e NEPS AC, tem uma resposta bastante oscilat´oria,
portanto, de baixa performance p ara conversores de potˆencia de corrente cont´ınua. O
controle atrav´es do m´etodo de modos deslizantes consegue respostas n˜ao oscilat´orias mas,
considerando os ´ındices de desempenho obtidos, mostra uma resposta transit´oria de menor
qualidade que as estrat´egias SQP e NEPSAC (mais lentas e com maior pico).
Quando a tens˜ao de sa´ıda no conversor buck boost ´e m´ınima (12V ), ainda ´e poss´ıvel
observar o ´otimo desempenho da resposta transit´oria obtida atrav´es da estrat´egia de
controle SQP, mas n˜ao acontece o mesmo com o NEPSAC, a resposta transit´oria ´e mais
oscilat´oria e de menor qualidade que a do SQP. O GPC robusto e o controle via modos
deslizantes apresentam as mesmas deficiˆencias que no caso de tens˜ao nominal.
Uma observa¸c˜ao importante a realizar aqui se refere ao erro em regime que aparece no
seguimento `a referˆencia no controle via modos delizantes. O mesmo deve-se `a que a lei de
controle depende dos valores do ponto de equil´ıbrio do sistema, como se ver´a no apˆendice
B, como o c´alculo desses pontos foi realizado usando o modelo real´ıstico e a simula¸c˜ao foi
feita com o modelo ideal aparece ent˜ao, esse erro em regime permanente.
Para m´axima tens˜ao de sa´ıda no conversor (100V ), volta-se a observar como as es-
trat´egias de controle SQP e NEPSAC conseguem u m ´otimo desempenho na rejei¸c˜ao `as per-
turba¸c˜oes de carga. No entanto j´a era de se esperar a degrada¸c˜ao da resposta transit´oria
do controle GPC robusto, causada por um modelo linear que n˜ao representa adequada-
mente o funcionamento da planta nesse ponto de opera¸c˜ao, e que ´e usado pelo GPC para o
c´alculo da lei de controle. O m´etodo dos modos deslizantes sofre das mesmas deficiˆencias
que nos casos anteriores, apresenta um pico maior e seu tempo de estabelecimento ´e maior
que o do SQP e NEPSAC.
No seguimento `a referˆencia com R nominal (80Ω), as respostas transit´orias das es-
Estudo Comparativo 84
trat´egias de controle SQP e modos deslizantes tˆem desempenhos similares. Quand o o
degrau na referˆencia ´e negativo, a resposta transit´oria do controle via modos deslizantes
´e mais r´apida e apresenta um pico menor. Quando o degrau ´e positivo, o SQP apresenta
um melhor desempenho na sua resposta transit´oria. As respostas transit´orias do GPC
robusto e NEPSAC s˜ao muito lentas e como ´e poss´ıvel observar para alguns casos o GPC
robusto apresenta oscila¸c˜oes.
Quando a R ´e m´ınima (40Ω), o seguimento `a referˆencia novamente mostra o bom
desempenho dos controles SQP e modos deslizantes, com ligeira vantagem para a primeira
estrat´egia, pois apresenta uma resposta transit´oria mais r´apida. As oscila¸c˜oes da resposta
transit´oria do controle GPC robusto se acentuam.
Por ´ultimo o seguimento a r eferˆencia com R m´axima (120Ω) a qual apresenta as
mesmas caracter´ısticas de desempenho que a R nominal.
5.5 Conclus˜oes
´
E poss´ıvel ent˜ao concluir que tratando-se de rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes, o NEPSAC ´e
uma boa op¸c˜ao de controle, assim como quando se deseja seguir referˆencias com um bom
desempenho transit´orio ent˜ao o m´etodo dos modos deslizantes ´e tamb´em uma boa op¸c˜ao.
No entanto o controle que re´une as duas caracter´ısticas de bom d esempenho, tanto para
rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes como no seguimento ´a referˆencia, ´e o SQP.
Os resultados obtidos correspondem a uma s´erie de simula¸c˜oes que n˜ao levam em conta
o tempo de c´alculo da lei de controle. A implementa¸c˜ao em tempo real destas estrat´egias
depende de v´arios fatores como s˜ao a escolha de uma plataforma de hardware adequada e
da otimiza¸c˜ao do algoritmo a ser implementado. N˜ao foi o objetivo dessa disserta¸c˜ao tentar
realizar a implementa¸c˜ao real de todo o sistema, mas estudar a aplica¸c˜ao de estrat´egias
n˜ao lineares de controle preditivo em disp ositivos de eletrˆonica de potˆencia.
Cap´ıtulo 6
Conclus˜oes Finais
Esta disserta¸c˜ao centrou-se no estudo e aplica¸c˜ao de algumas t´ecnicas de controle
preditivo n˜ao linear em conversores de potˆencia, em particular aos conversores de tens˜ao
de corrente cont´ınua em corrente cont´ınua (CC-CC) redutores - elevadores, conhecidos
como conversores buck-boost.
Poucos trabalhos existem na literatura aplicando t´ecnicas de controle preditivo a este
tipo de sistemas, e ainda ´e muito menor o n´umero de trabalhos na qual s˜ao aplicadas
t´ecnicas n˜ao lineares de controle preditivo na eletrˆonica de potˆencia. Esta disserta¸c˜ao
tratou de contribuir nesse sentido.
A disserta¸c˜ao trata n˜ao s´o da aplica¸c˜ao dessas t´ecnicas, mas tamb´em mostra atrav´es
de um estudo comparativo em simula¸c˜ao, que os resultados obtidos s˜ao da mesma ordem
de qualidade quanto `a robustez e performance, aos dos m´etodos tradicionais de controle
n˜ao linear aplicados habitualmente a este tipo de sistemas.
Ao entender d o autor, se consideramos que as t´ecnicas n˜ao lineares s˜ao muitas vezes, de
dif´ıcil compreens˜ao em compara¸c˜ao com o intuitivo m´etodo de controle preditivo, temos
a´ı uma vantagem na aplica¸c˜ao deste tipo de t´ecnica. Al´em das j´a muitas vantagens que
tem a aplica¸c˜ao de t´ecnicas de controle preditivo, mencionadas no cap´ıtulo 2.
Outro fato a considerar como vantagem a favor da aplica¸c˜ao de t´ecnicas de controle pre-
ditivo, ´e que pr ojetada a lei de controle ela vale para qualquer conversor do mesmo gˆenero,
ser´a s´o necess´ario mudar no software, onde se executa a lei de controle, os parˆametros
b´asicos do conversor (exemplo: E, R, L e C). No entanto para outras t´ecnicas habitual-
mente usadas, como a dos modos deslizantes, cada conversor requerer´a um novo projeto
Conclus˜oes Finais 86
do controlador.
Mas a aplica¸c˜ao de t´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear na eletrˆonica de potˆencia
tamb´em traz algum desafios, que ficam como quest˜oes em aberto. O primeiro ponto que
passa a ser de fundamental importˆancia ´e o tempo de processamento necess´ario para
resolver o problema de otimiza¸c˜ao na lei de controle quando aplica-se controle preditivo.
Todos os resultados obtidos nessa disserta¸c˜ao foram obtidos por simula¸c˜ao e portanto
n˜ao levaram em conta essa fundamental quest˜ao do tempo de processamento. Prop˜oe-se
ent˜ao, como trabalho futuro, a realiza¸c˜ao desse estudo fazendo uma pesquisa tecnol´ogica
dos diferentes microprocessadores dedicados dispon´ıveis no mercado, e a implementa¸c˜ao
das distintas t´ecnicas aplicadas nesta disserta¸c˜ao. Deve-se ressaltar que o algoritmo de
otimiza¸c˜ao utilizado (SQP) pode ser considerado muito potente para o que requerer´a este
tipo de controle. Assim, um outro tema interessante de pesquisa ´e o estudo de algoritmos
de otimiza¸c˜ao mais simples em termos de complexidade computacional. Tamb´em podem
estudar-se outros algoritmos menos potentes mas que cheguem mais r´apido ao ´otimo e
que consigam resolver a lei de controle para os conversores de potˆencia.
Apˆendice A
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial
Este apˆendice foi extraido das notas de aula d a disciplina: DAS-6651 Otimiza¸c˜ao
Num´erica, (Camponogara 2003).
A.1 Introdu¸c˜ao
Otimiza¸c˜ao ´e a ´area da Matem´atica Aplicada que se preocupa em calcular e computar
valores ´otimos para vari´aveis de decis˜ao que induzem desempenho ´otimo, ao mesmo tempo
que satisfazem restri¸c˜oes, de um modelo matem´atico.
Os elementos de um problema de otimiza¸c˜ao s˜ao:
Vari´aveis de Decis˜ao: parˆametros cujos valores definem uma solu¸c˜ao para o problema.
Fun¸c˜ao Objetivo: uma fun¸c˜ao das vari´aveis de decis˜ao a ser minimizada ou maximi-
zada.
Restri¸c˜oes: um conjunto de fun¸c˜oes que define o espa¸co fact´ıvel de solu¸c˜oes.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 88
A formula¸c˜ao geral do problema ´e dada abaixo:
P : Minimize f(x)
Sujeito a :
c
i
(x) = 0 i ∈ E
c
i
(x) ≥ 0 i ∈ I
x ∈ R
n
(A.1)
onde as fun¸c˜oes f e c
i
, i ∈ I ∪ E, s˜ao suaves e de valor real, E ´e o conjunto dos ´ındices
das restri¸c˜oes de igualdade e I ´e o conjunto dos ´ındices das desigualdades.
O conjunto de solu¸c˜oes fact´ıveis Ω ´e definido por:
Ω = {x ∈ R
n
: c
i
(x) = 0, i ∈ E e c
i
(x) ≥ 0, i ∈ I}. (A.2)
Assim, podemos reescrever o problema P de uma forma mais compacta:
P : Minimize f(x)
Sujeito a : x ∈ Ω
(A.3)
Nas pr´oximas se¸c˜oes desenvolveremos uma caracteriza¸c˜ao matem´atica das solu¸c˜oes para
o problema (A.3).
A.1.1 Solu¸c˜ao Local × Solu¸c˜ao Global
Uma solu¸c˜ao global ´e dif´ıcil de ser encontrada, mesmo na ausˆencia de restri¸c˜oes. Esta
situa¸c˜ao p ode ser melhorada com a introdu¸c˜ao de restri¸c˜oes: as restri¸c˜oes podem reduzir
o n´umero de m´ınimos locais. Entretanto, restri¸c˜oes podem tornar o problema muito mais
dif´ıcil. Como um exemplo, considere o problema abaixo:
P
1
: Minimize x
2
2
Sujeito a :
x
2
2
≥ 1
(A.4)
Sem a restri¸c˜ao, P
1
´e um problema quadr´atico convexo com um minimizador ´unico x = 0.
Quando a restri¸c˜ao ´e introdu zida, qualquer vetor x com x
2
= 1 define uma solu¸c˜ao.
Existe um n´umero infinito de solu¸c˜oes (e portanto um n´umero infinito de m´ınimos locais)
quando n ≥ 2.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 89
O exemplo a seguir mostra que a introdu¸c˜ao de uma restri¸c˜ao produz um grande
n´umero de m´ınimos locais que n˜ao formam um conjunto conexo:
P
2
: Minimize (x
2
+ 100)
2
+ 0.01x
2
1
Sujeito a :
x
2
− cos x
1
≥ 0
(A.5)
Sem a restri¸c˜ao, P
2
tem uma solu¸c˜ao ´otima no ponto (0, −100). Com a restri¸c˜ao, temos
´otimos locais pr´oximos dos pontos:
(x
1
, x
2
) = (πk, −1) para k = 0, ±1, ±2, ···
(A.6)
Dizemos que um vetor x
∗
´e um ´otimo local do problema (A.3) se x
∗
∈ Ω e se existe uma
vizinhan¸ca N em torno de x
∗
tal que f(x) ≥ f(x
∗
) para todo x ∈ N ∩ Ω. A vizinhan¸ca
N ´e definida por:
N = {x ∈ R
n
: ||x − x
∗
|| ≤ ǫ} com ǫ > 0 (A.7)
A.1.2 Suavidade das Fun¸c˜oes
A suavidade da fun¸c˜ao objetivo e das restri¸c˜oes ´e uma caracter´ıstica importante na ca-
racteriza¸c˜ao das solu¸c˜oes. Ela garante que a fun¸c˜ao objetivo e as restri¸c˜oes se comportam
de uma forma previs´ıvel, pelo menos localmente, dessa forma permitindo que algoritmos
tomem decis˜oes corretas com respeito `as dire¸c˜oes de busca. Tipicamente, fronteiras n˜ao
suaves p odem ser descritas por uma cole¸c˜ao de restri¸c˜oes suaves. Considere a regi˜ao da
Figura A.1.
A regi˜ao fact´ıvel Ω pode ser descrita por uma ´unica restri¸c˜ao n˜ao-suave:
x
1
= |x
1
| + |x
2
| ≤ 1 (A.8)
Ω tamb´em pode ser descrita pelas seguintes restri¸c˜oes suaves:
x
1
+ x
2
≤ 1
x
1
− x
2
≤ 1
−x
1
+ x
2
≤ 1
−x
1
− x
2
≤ 1
(A.9)
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 90
x
1
x
2
1
1
−1
−1
Regi˜ao Fact´ıvel Ω
Ω
Figura A.1: Fronteiras n˜ao suaves
Problemas sem restri¸c˜oes e n˜ao-suaves podem as vezes ser reformulados como proble-
mas suaves com restri¸c˜oes. Considere o problema abaixo:
P
3
: f (x) = Max{x
2
, x} (A.10)
Podemos obter uma formula¸c˜ao suave para P
3
por meio da adi¸c˜ao da vari´avel t:
P
3
: Minimize t
Sujeito a :
t ≥ x
t ≥ x
2
(A.11)
A.2 Exemplos
Para qualquer ponto fact´ıvel x, a desigualdade i ∈ I ´e dita ativa se c
i
(x) = 0 e inativa
se c
i
(x) > 0. As restri¸c˜oes i ∈ ǫ s˜ao sempre ativas.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 91
A.2.1 Uma Restri¸c˜ao de Igualdade
Considere o problema abaixo:
P
4
: Minimize x
1
+ x
2
Sujeito a :
x
2
1
+ x
2
2
− 2 = 0 (c
1
(x) = 0)
(A.12)
O espa¸co de solu¸c˜oes fact´ıveis ´e o c´ırculo de raio
√
2, com o centro na origem, conforme
a Figura A.2.
x
1
x
2
x
∗
x
′
x
′′
x
′′′
−
√
2
−
√
2
√
2
√
2
∇c
1
(x
′
)
∇c
1
(x
′′
)
∇c
1
(x
′′′
)
∇c
1
(x
⋆
)
Figura A.2: Espa¸co de Solu¸c˜oes
A solu¸c˜ao ´otima ´e obviamente x
∗
= (−1, −1). A partir de qualquer outro ponto do
c´ırculo, podemos mover a solu¸c˜ao dentro do conjunto de solu¸c˜oes fact´ıveis e, ao mesmo
tempo, reduzir o valor da fun¸c˜ao objetivo. N˜ao ´e dif´ıcil de se verificar que no ponto
x = x
∗
,
∇f(x) = λ
1
∇c
1
(x) (A.13)
para algum λ
1
. Para o caso em quest˜ao, λ
1
= −
1
2
, conforme segue:
∇f(x
∗
) = [1, 1]
T
∇c
1
(x
∗
) = [2x
1
, 2x
1
]
T
= [−2, −2]
T
λ
1
= −
1
2
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 92
Podemos obter a equa¸c˜ao (A.13) a partir da s´erie de Taylor. Para manter factibilidade
em torno do ponto x, c
1
(x + d) = 0, que nos leva a
c
1
(x + d) ≈ c
1
(x) + ∇c
1
(x)
T
d = ∇c
1
(x)
T
d (A.14)
Portanto, a dire¸c˜ao mant´em factibilidade com respeito a c
1
, quando d satisfaz:
∇c
1
(x)
T
d = 0 (A.15)
Similarmente, a dire¸c˜ao de descenso deve reduzir o valor de f, portanto:
0 > f(x + d) − f (x) ≈ ∇f(x)
T
d (A.16)
Conclu´ımos ent˜ao que uma dire¸c˜ao de descenso d deve satisfazer as equa¸c˜oes (A.15) e
(A.16). A Figura A.3 ilustra uma dire¸c˜ao d que satisfaz ambas as condi¸c˜oes. A condi¸c˜ao
necess´aria de otimaliade para o problema P
4
´e que n˜ao exista d satisfazendo as equa¸c˜oes
(A.15) e (A.16) simultaneamente.
x
d
∇c
1
(x)
∇f(x)
−∇f(x)
Ω = {x : c
1
(x) = 0}
Figura A.3: Dire¸c˜oes de descenso
A ´unica possibilidade para que n˜ao exista d satisfazendo as equa¸c˜oes (A.15) e (A.16)
´e que ∇f(x) = λ
1
∇c
1
(x), ou seja, o gradiente de f no ponto x deve ser linearmente
dependente de ∇c
1
(x).
Embora a condi¸c˜ao (A.13) pare¸ca ser necess´aria para que x seja uma solu¸c˜ao ´otima do
problema P
4
, ela n˜ao ´e suficiente. Por exemplo, o ponto x = (1, 1) com λ
1
=
1
2
satisfaz a
condi¸c˜ao ∇ f (x) = λ
1
∇c
1
(x), visto que ∇f(x) = [1, 1]
T
e ∇c(x) = [2, 2]
T
. Mas este ponto
n˜ao ´e uma solu¸c˜ao—na verdade, este ponto maximiza o valor de f sobre o c´ırculo.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 93
A.2.2 Uma Restri¸c˜ao de Desigualdade
Considere uma altera¸c˜ao simples de P
4
, obtida ao substituir-se a restri¸c˜ao de igualdade
por uma desigualdade:
P
5
: Minimize x
1
+ x
2
Sujeito a :
2 − x
2
1
− x
2
2
≥ 0
(A.17)
A regi˜ao fact´ıvel ´e dada na Figura A.4.
x
1
x
2
√
2
√
2
−
√
2
−
√
2
x
⋆
x
′
x
′′
d
d
∇f(x
′′
)
∇f(x
′
)∇c
1
(x
′′
)
Figura A.4: Restri¸c˜ao de desigualdade
Podemos ob servar que o ponto x
∗
= (−1, −1) continua sendo uma solu¸c˜ao ´otima,
como no caso da restri¸c˜ao de igualdade. Se x n˜ao ´e um ponto ´otimo, ent˜ao devemos ser
capazes de encontrar um passo d que, ao mesmo tempo, retenha factibilidade e decres¸ca o
valor da fun¸c˜ao objetivo. A dire¸c˜ao d decresce o valor de f se ∇f(x)
T
d < 0. Entretanto,
para manter factibilidade, d deve satisfazer:
0 ≤ c
1
(x + d) ≈ c
1
(x) + ∇c
1
(x)
T
d ⇒ c
1
(x) + ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0
Ao considerarmos uma dire¸c˜ao d que satisfaz amb as as condi¸c˜oes, ou seja,
∇f(x)
T
d < 0 (A.18)
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 94
c
1
(x) + ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0 (A.19)
podemos levar em conta dois casos.
Caso I: x est´a estritamente dentro do c´ırculo, c
1
(x) > 0
Neste caso, qualquer vetor d satisfaz a condi¸c˜ao (A.19) se d for pequeno o suficiente.
Em particular, sempre que ∇f(x) = 0, a dire¸c˜ao d = −c
1
(x).
∇f(x)
∇f(x)
satisfaz (A.18) e
(A.19). A ´unica situa¸c˜ao onde esta dire¸c˜ao falha ´e quando ∇f(x) = 0.
Caso II: x est´a na fronteira do c´ırculo, de forma que c
1
(x) = 0
Portanto, as condi¸c˜oes (A.18) e (A.19) se tornam:
∇f(x)
T
d < 0 (A.20)
∇c
1
(x)
T
d ≥ 0 (A.21)
A primeira das condi¸c˜oes (A.20) define um meio-espa¸co aberto, enquanto que a segunda
(A.21) define um meio-espa¸co fechado, como ilustrado na Figura A.5.
R
1
= {d : ∇f (x)
T
d < 0}
R
2
= {d : ∇c
1
(x)
T
≥ 0}
x
R
1
∩ R
2
= ∅
Regi˜ao de descenso
Regi˜ao de factibilidade
Regi˜ao de descenso e factibilidade
∇f(x)
∇c
1
(x)
Figura A.5: Regi˜ao de descenso n˜ao vazia
J´a a Figura A.6 ilustra uma regi˜ao vazia.
Pelas figuras, ´e f´acil de verificar que as duas regi˜oes, R
1
= {d : ∇f(x)
T
d < 0} e
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 95
R
1
= {d : ∇f (x)
T
d < 0}
R
2
= {d : ∇c
1
(x)
T
≥ 0}
x
R
1
∩ R
2
= ∅
∇f(x)
∇c
1
(x)
Figura A.6: Regi˜ao de descenso vazia
R
2
= {d : ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0}, n˜ao se interceptam apenas quando ∇f(x) e ∇c
1
(x) apontam
na mesma dire¸c˜ao, ou seja,
∇f(x) = λ
1
∇c
1
(x) para algum λ
1
≥ 0
(A.22)
Note que o sinal do multiplicador λ
1
importa. No caso anterior (restri¸c˜ao de igualdade),
aceit´avamos λ
1
negativo, permitindo que ∇f(x) e ∇c
1
(x) apontassem em dire¸c˜oes opostas.
Considera¸c˜oes Finais
As condi¸c˜oes dos casos I e II podem ser expressas de uma forma simplificada, usando
a fun¸c˜ao Lagrangeana:
L(x, λ
1
) = f(x) − λ
1
c
1
(x), λ
1
≥ 0 (A.23)
∇
x
L(x, λ
1
) = ∇f(x) − λ
1
∇c
1
(x) = 0 (A.24)
As condi¸c˜oes ficam, portanto, definidas como:
∇f(x) = λ
1
∇c
1
(x) para algum λ
1
≥ 0
λ
1
c
1
(x) = 0
(A.25)
As condi¸c˜oes (A.25) imp licam que o multiplicador Lagrangeano λ
1
pode ser estrita-
mente positivo apenas quando a restri¸c˜ao correspondente c
1
est´a ativa. No caso I, temos
c
1
(x
∗
) > 0 e a condi¸c˜ao (A.25) se reduz a λ
1
= 0 e ∇f(x) = 0, como esperado. No caso
II, λ
1
pode assumir qualquer valor n˜ao negativo, portanto (A.25) se torna (A.22).
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 96
A.2.3 Duas Desigualdades
Adicionamos uma restri¸c˜ao ao problema P
5
e obtemos:
P
6
: Minimize x
1
+ x
2
Sujeito a :
2 − x
2
1
− x
2
2
≥ 0
x
2
≥ 0
(A.26)
para o qual a regi˜ao fact´ıvel ´e o meio-disco ilustrado na Figura A.7.
x
1
x
2
√
2
√
2
−
√
2
∇f(x)
∇c
1
(x)
∇c
2
(x)
R = {x : 2 − x
2
1
− x
2
2
≥ 0
x
2
≥ 0}
x
Figura A.7: Meio disco
´
E f´acil verificarmos que a solu¸c˜ao ´otima ´e (−
√
2, 0), um ponto onde ambas as restri¸c˜oes
est˜ao ativas. Usando os argumentos da se¸c˜ao anterior, podemos concluir que d ´e uma
dire¸c˜ao de descenso, de primeira ordem, se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:
∇c
i
(x)
T
d ≥ 0 , i ∈ I (A.27)
∇f(x)
T
d < 0 (A.28)
A partir da Figura (A.8), podemos verificar que nenhuma dire¸c˜ao d satisfaz as equa¸c˜oes
(A.27) e (A.28) simultaneamente no p onto x = (−
√
2, 0).
Vamos definir o Lagrangeano para o problema P
6
:
L(x, λ) = f(x) − λ
1
c
1
(x) − λ
2
c
2
(x)
onde λ = (λ
1
, λ
2
) ´e um vetor com os multiplicadores d e Lagrange. Quando nenhuma
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 97
∇f(x)
∇c
1
(x)
∇c
2
(x)
R
1
= {d : ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0}
R
2
= {d : ∇c
2
(x)
T
d ≥ 0}
R
3
= {d : ∇f (x)
T
d < 0}
x
Figura A.8: Regi˜ao de descenso vazia
dire¸c˜ao de descenso de primeira ordem existe no ponto x
∗
, temos que:
∇
x
L(x
∗
, λ
∗
) = 0 para algum λ
∗
≥ 0
(A.29)
Ao aplicarmos a condi¸c˜ao de complementaridade a ambas as restri¸c˜oes, obtemos:
λ
∗
1
c
1
(x
∗
) = 0 e λ
∗
2
c
2
(x
∗
) = 0
(A.30)
Para x
∗
= (−
√
2, 0) temos que:
∇f(x
∗
) =
1
1
, ∇c
1
(x
∗
) =
2
√
2
0
, ∇c
2
(x
∗
) =
0
1
.
Portanto, ´e f´acil verificar que ∇
x
L(x
∗
, λ
∗
) = 0 quando selecionamos λ
∗
como:
λ
∗
=
1
2
√
2
1
Vamos agora examinar o comportamento do Lagrangeano em outros pontos. Para
x = (
√
2, 0), novamente ambas as restri¸c˜oes est˜ao ativas. Contudo, ∇f(x) n˜ao est´a
na regi˜ao definida por R = {d : ∇c
i
(x)
T
d ≥ 0 , i = 1, 2}. Ver Figura A.9. O ponto
d = (−1, 0) ´e uma dire¸c˜ao de descenso de primeira ordem, a qual satisfaz as condi¸c˜oes
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 98
x
x
1
x
2
√
2
√
2
−
√
2
∇f(x)
∇c
1
(x)
∇c
2
(x)
R = {x : 2 − x
2
1
− x
2
2
≥ 0
x
2
≥}
Figura A.9: Ambas as restri¸c˜oes
(A.27) e (A.28). Note que:
∇f(x) =
1
1
, ∇c
1
(x) =
−2x
1
−2x
2
=
−2
√
2
0
, ∇c
2
(x) =
0
1
Para x = (1, 0), apenas a restri¸c˜ao c
2
est´a ativa. Linearizando as restri¸c˜oes e a fun¸c˜ao
objetivo, uma dire¸c˜ao de descenso deve satisfazer as seguintes desigualdades:
c
1
(x) + ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0
c
2
(x) + ∇c
2
(x)
T
d ≥ 0
∇f(x)
T
d < 0
⇒
1 + ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0
∇c
2
(x)
T
d ≥ 0
∇f(x)
T
d < 0
(A.31)
N˜ao precisamos nos preocupar com a primeira desigualdade, pois podemos multiplicar d
por uma constante pequena at´e que 1 + ∇c
1
(x)
T
d ≥ 0.
Observando que,
∇f(x) =
1
1
e ∇c
2
(x) =
0
1
´e f´acil verificar que o vetor d = (−
1
2
,
1
4
) satisfaz (A.31) e portanto ´e uma dire¸c˜ao de
descenso.
A.3 Condi¸c˜oes de Otimalidade de Primeira Ordem
Os trˆes exemplos anteriores sugerem que um n´um ero de condi¸c˜oes s˜ao importantes na
caracteriza¸c˜ao de uma solu¸c˜ao para o problema (A.1):
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 99
a) ∇
x
L(x, λ) = 0
b) λ
i
≥ 0 para toda a desigualdade c
i
(x)
c) Condi¸c˜ao de complementaridade λ
i
c
i
(x) = 0
Em geral, o Lagrangeano de um problema de otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes ´e definido como:
L(x, λ) = f(x) −
i∈E∪I
λ
i
c
i
(x) (A.32)
O conjunto ativo A(x) para qualquer ponto fact´ıvel x ´e a uni˜ao do conjunto E com os
´ındices das desigualdades ativas, ou seja:
A(x) = E ∪ {i ∈ I : c
i
(x) = 0}
O vetor ∇c
i
(x) ´e tipicamente chamado de normal `a restri¸c˜ao c
i
no ponto x, pois este
vetor ´e usualmente perpendicular `a fronteira de c
i
no ponto x.
´
E poss´ıvel, entretanto, que
∇c
i
(x) desapare¸ca devido `a representa¸c˜ao alg´ebrica de c
i
, de forma que o termo λ
i
∇c
i
(x)
se anula p ara qualquer valor de λ
i
e, assim, n˜ao desempenha nenhuma fun¸c˜ao no gradiente
do Lagrangeano. Por exemplo, suponha que a restri¸c˜ao de igualdade em P
4
(A.12) seja
substitu´ıda por:
c
1
(x) = (x
2
1
+ x
2
2
− 2)
2
= 0
Neste caso, ter´ıamos ∇c
1
(x) = 0 para qualquer ponto fact´ıvel x. Em particular, a condi¸c˜ao
∇f(x) = λ
1
∇c
1
(x) n˜ao ´e mais v´alida no ponto ´otimo x
∗
= (−1, −1).
Tipicamente assumimos que as restri¸c˜oes satisfazem uma condi¸c˜ao chamada quali-
fica¸c˜ao de restri¸c˜ao, que garante que o comportamento degenerado visto acima n˜ao ocor-
rer´a. Uma condi¸c˜ao de qualifica¸c˜ao de restri¸c˜ao ´e dada abaixo.
Defini¸c˜ao A.1 Dados um ponto x
∗
e seu conjunto ativo A(x
∗
), dizemos que a condi¸c˜ao
“linear independence constraint qualification” (LICQ) ´e satisfeita se os gradientes das
restri¸c˜oes ativas {∇ c
i
(x
∗
) : i ∈ A(x
∗
)} s˜ao todos linearmente independentes.
Note que se LICQ ´e satisfeita, nenhum gradiente de uma restri¸c˜ao ativa pode as-
sumir valor 0. Com base na condi¸c˜ao LICQ, podemos definir condi¸c˜oes necess´arias de
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 100
otimalidade para o problema geral de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear sob restri¸c˜oes:
Minimize f(x)
Sujeito a :
c
i
(x) = 0 i ∈ E
c
i
(x) ≥ 0 i ∈ I
x ∈ R
n
(A.33)
As condi¸c˜oes a serem dadas abaixo formam a base de algoritmos de otimiza¸c˜ao. Elas
s˜ao chamadas de con di¸c˜oes de primeira ordem, pois consideram as propriedades dos gra-
dientes da fun¸c˜ao objetivo e das restri¸c˜oes.
Teorema A.1 (Condi¸c˜oes necess´arias de primeira ordem) Supon ha que x
∗
´e uma solu¸c˜ao
local para (A.33) e que a condi¸c˜ao LICQ ´e satisfeita por x
∗
. Ent˜ao existem multiplicadores
de Lagrange λ
∗
, com componentes λ
∗
i
, i ∈ E ∪ I, tal que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao
satisfeitas no ponto (x
∗
, λ
∗
):
∇
x
L(x
∗
, λ
∗
) = 0
c
i
(x
∗
) = 0 para todo i ∈ E
c
i
(x
∗
) ≥ 0 para todo i ∈ I
λ
∗
i
≥ 0 para todo i ∈ I
λ
∗
i
c
i
(x
∗
) = 0 para todo i ∈ E ∪ I
(A.34)
As condi¸c˜oes (A.34) s˜ao conhecidas como Karush-Kuhn-Tucker Conditions (“KKT
Conditions”). Uma vez que a condi¸c˜ao de complementaridade, λ
∗
i
c
i
(x
∗
) = 0 para todo i ∈
E ∪I, imp lica que os multiplicadores de Lagrange associados `as restri¸c˜oes inativas devem
ser nulos, podemos reescrevˆe-la como:
0 = ∇
x
L(x
∗
, λ
∗
) = ∇f(x
∗
) −
i∈A(x
∗
)
λ
∗
i
∇c
i
(x
∗
) (A.35)
Observa¸c˜ao: Para um dado problema (A.33), podem existir v´arios vetores λ
∗
satisfa-
zendo (A.34). Todavia, quando a condi¸c˜ao LICQ ´e satisfeita, a solu¸c˜ao λ
∗
´e ´unica.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 101
A.3.1 Exemplo
Considere o problema abaixo:
Minimize (x
1
−
3
2
)
2
+ (x
2
−
1
8
)
4
Sujeito a :
1 −x
1
−x
2
1 −x
1
x
2
1 x
1
−x
2
1 x
1
x
2
≥ 0
(A.36)
A regi˜ao fact´ıvel ´e ilustrada na Figura A.10.
x
1
x
2
1
1
−1
−1
2
Regi˜ao fact´ıvel
Curvas de n´ıvel para f (x)
Figura A.10: Regi˜ao Fact´ıvel
Com base na figura, podemos nos convencer que a solu¸c˜ao ´otima ´e x
∗
= (1, 0). Apenas
a primeira e a segunda desigualdades est˜ao ativas em x
∗
, A(x
∗
) = {1, 2}.
∇f(x
∗
) =
−1
−
1
2
, ∇c
1
(x
∗
) =
−1
−1
, ∇c
2
(x
∗
) =
−1
1
Portanto, as condi¸c˜oes KKT s˜ao satisfeitas para λ
∗
= (
3
4
,
1
4
, 0, 0).
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 102
A.4 Procedimento de Otimiza¸c˜ao
A programa¸c˜ao quadr´atica seq¨uencial (SQP, “sequential quadratic programming”) ´e
um dos m´etodos mais eficientes para resolver problemas de otimiza¸c˜ao n˜ao-linear sob
restri¸co˜es. A mesma produz passos para o iterando corrente por meio da solu¸c˜ao de
problemas quadr´aticos. Diferentemente de programa¸c˜ao linear seq¨uencial, que ´e mais
eficaz quando as restri¸co˜es s˜ao lineares, SQP ´e robusto em problemas com n˜ao-linearidades
significativas nas restri¸co˜es.
A.4.1 O M´etodo SQP Local
Vamos iniciar a discuss˜ao considerando o problema n˜ao-linear com restri¸c˜oes de igual-
dade:
Minimize f(x)
Sujeito a :
c(x) = 0
(A.37)
Onde f : R
n
→ R e c : R
n
→ R
m
s˜ao fun¸co˜es suaves. P roblemas que contˆem apenas
restri¸co˜es de igualdade n˜ao s˜ao muito comuns na pr´atica, mas um entendimento de (A.37)
´e crucial para o desenvolvimento de algoritmos para o caso geral.
A id´eia de SQP adv´em do uso de um modelo quadr´atico de aproxima¸c˜ao de (A.37)
em torno do iterando x
k
. A solu¸c˜ao deste subproblema nos d´a o pr´oximo iterando, x
k+1
.
O desafio est´a em se projetar o subproblema quadr´atico de forma que se obtenha
um “bom” passo para o problema (A.37), dessa forma ind uzindo convergˆencia r´apida e
robusta para um m´ınimo local. Talvez a forma mais simples de se obter o m´etodo SQP ´e
deriv´a-lo da aplica¸c˜ao do m´etodo de Newton para as condi¸c˜oes KKT.
A partir da aplica¸c˜ao das condi¸c˜oes KKT, sabemos que o Lagrangeano de (A.37) ´e
dado por:
L(x, λ) = f(x) − λ
T
c(x) (A.38)
Utilizaremos A(x) para denotar a matriz Jacobiana das restri¸c˜oes, ou seja:
A(x)
T
= [∇c
1
(x), ..., ∇c
m
(x)] (A.39)
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 103
onde c
i
(x) ´e o i-´esimo componente de c(x). Especializando-se as condi¸c˜oes KKT para o
caso de igualdades, obtemos um sistema com n + m equa¸c˜oes e n + m vari´aveis x e λ:
F (x, λ) =
∇f(x) − A(x)
T
λ
c(x)
= 0 (A.40)
Um algoritmo consiste em se utilizar o m´etodo de Newton para o sistema n˜ao-linear
(A.40). A matriz Jacobiana de (A.40) ´e dada por:
W (x, λ) −A(x)
T
A(x) 0
(A.41)
onde W denota a matriz Hessiana do Lagrangeano:
W (x, λ) = ∇
2
xx
L(x, λ) (A.42)
O passo de Newton a partir do iterando (x
k
, λ
k
) ´e obtido como segue:
x
k+1
λ
k+1
=
x
k
λ
k
+
p
k
p
λ
(A.43)
onde p
k
e p
λ
resolvem o sistema KKT abaixo:
W
k
−A
T
k
A
k
p
k
p
λ
=
−∇f
k
+ A
T
k
λ
k
−c
k
(A.44)
F (x
k
+ p
k
, λ
k
+ p
k
) ≃ F (x
k
, λ
k
) + ∇F (x
k
, λ
k
)[p
k
, p
λ
]
T
= 0
∇F (x
k
, λ
k
)
p
k
p
λ
= −F (x
k
, λ
k
)
equivalente a (A.44).
A itera¸c˜ao definida por (A.44) ´e conhecida como m´etodo de Newton-Lagrange, sendo
bem-definida quando ∇F ´e uma matriz n˜ao-singular. A n˜ao-singularidade desta matriz
´e uma conseq¨uˆencia das condi¸c˜oes estabelecidas abaixo.
Condi¸c˜ao: A.4.1
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 104
1. A matriz Jacobiana das restri¸c˜oes A
k
tem posto de linha completo.
2. A matriz W
k
´e positiva definida no espa¸co tangente das restri¸c˜oes, i.e., d
T
W
k
d > 0
para todo d = 0 tal que A
k
d = 0.
A premissa (1) adv´em da condi¸c˜ao de qualifica¸c˜ao de independˆencia das restri¸c˜oes.
A premissa (2) ´e satisfeita quando (x, λ) ´e pr´oximo do ´otimo (x
∗
, λ
∗
) e as condi¸c˜oes
suficientes de segunda-ordem s˜ao satisfeitas pela solu¸c˜ao.
Sob as condi¸c˜oes acima estabelecidas, o algoritmo de Newton (A.43) e (A.44) converge
quadraticamente para o ´otimo local, constituindo um ´otimo algoritmo para resolver pro-
blemas n˜ao-lineares sob rest ri¸c˜oes de igualdade, isto se o ponto inicial x
0
est´a pr´oximo do
´otimo local x
∗
.
A.4.2 Linhas Gerais do M´etodo SQP
H´a uma abordagem alternativa `a itera¸c˜ao (A.43) e (A.44). Para o iterando (x
k
, λ
k
)
definimos o problema quadr´atico abaixo:
Minimize
1
2
p
T
W
k
p + ∇f
T
k
p
p
(A.45)
Sujeito a :
A
k
p + c
k
= 0
(A.46)
Se as condi¸c˜oes (A.4.1) s˜ao satisfeitas, ent˜ao (A.45-A.46) possui uma solu¸c˜ao ´unica
(p
k
, µ
k
) que satisfaz:
W
k
p
k
+ ∇f
k
− A
T
k
µ
k
= 0 (A.47)
A
k
p
k
+ c
k
= 0 (A.48)
Uma observa¸c˜ao importante ´e que p
k
e µ
k
podem ser identificados com a solu¸c˜ao das
equa¸c˜oes de Newton (A.44).
Se subtrairmos A
T
k
λ
k
de ambos os lados da primeira equa¸c˜ao de (A.44), obtemos:
W
k
p
k
− A
T
k
p
λ
= −∇f
k
+ A
T
k
λ
k
A
k
p
k
= −c
k
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 105
W
k
p
k
− A
T
k
p
λ
− A
T
k
λ
k
= −∇f
k
A
k
p
k
= −c
k
⇒
W
k
p
k
− A
T
k
(p
λ
+ λ
k
) = −∇f
k
A
k
p
k
= −c
k
Mas λ
k+1
= λ
k
+ p
λ
, portanto obtemos:
W
k
−A
T
k
A
k
0
p
k
λ
k+1
=
−∇f
k
−c
k
(A.49)
Portanto, devido a n˜ao-singularidade da matriz de coeficientes, temos que p = p
k
e
λ
k+1
= µ
k
. Vamos nos referir a este resultado como equivalˆencia entre SQP e o m´etodo
de Newton: se as condi¸c˜oes (A.4.1) s˜ao garantidas, ent˜ao o pr´oximo iterando (x
k+1
, λ
k+1
)
pode ser definido em termos de:
1. a solu¸c˜ao do problema quadr´atico (A.45-A.46) ou
2. o iterando gerado pelo m´etodo de Newton (A.43)-(A.44).
Essas interpreta¸c˜oes alternativas s˜ao muito ´uteis.
A interpreta¸c˜ao em termos do m´etodo de Newton facilita a an´alise, enquanto que
a estrutura do SQP nos permite derivar algoritmos pr´aticos no ˆambito de restri¸c˜oes de
igualdade.
Na sua forma mais simples, o m´etodo SQP pode ser especificado como segue:
ALGORITMO A.4.2 (Algoritmo SQP local)
Escolha um ponto inicial (x
0
, λ
0
)
Para k = 0, 1, 2, ..., fa¸ca
Calcule f
k
, ∇f
k
, W
k
= W (x
k
, λ
k
), c
k
e A
k
Resolve o problema (A.45), obtendo p
k
e µ
k
x
k+1
← x
k
+ p
k
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 106
λ
k+1
← µ
k
Se o crit´erio de convergˆencia ´e satisfeito
Pare e retorne a solu¸c˜ao aproximada (x
k+1
, λ
k+1
)
Fim-se
Fim-para
´
E f´acil de se estabelecer um resultado de convergˆencia local para este algoritmo, uma
vez que sabemos que este ´e equivalente ao m´etodo de Newton aplicado ao problema
F (x, λ) = 0. Mais especificamente, se as condi¸c˜oes (A.4.1) s˜ao satisfeitas pela solu¸c˜ao
(x
∗
, λ
∗
) de (A.37), se f e c s˜ao duas vezes diferenci´aveis satisfazendo a condi¸c˜ao Lipschitz,
e se o ponto (x
0
, λ
0
) ´e suficientemente pr´oximo de (x
∗
, λ
∗
), ent˜ao os iterandos gerados
pelo algoritmo acima convergem quadraticamente para (x
∗
, λ
∗
).
A.4.3 Restri¸c˜oes de Desigualdade
O algoritmo SQP geral pode ser facilmente estendido para o caso geral de programa¸c˜ao
n˜ao-linear:
P : Minimize f(x)
Sujeito a :
c
i
(x) = 0 i ∈ E
c
i
(x) ≥ 0 i ∈ I
x ∈ R
n
(A.50)
Para definir o subproblema, agora linearizamos tanto as restri¸c˜oes de igualdade quanto
as de desigualdade de forma a se obter:
Minimize
1
2
p
T
W
k
p + ∇f
T
k
p
Sujeito a :
∇c
i
(x
k
)
T
p + c
i
(x
k
) = 0 i ∈ E
∇c
i
(x
k
)
T
p + c
i
(x
k
) ≥ 0 i ∈ I
(A.51)
Podemos ent˜ao utilizar um dos algoritmos de programa¸c˜ao quadr´atica existente na
literatura, tal como o algoritmo de conjuntos ativos.
Programa¸c˜ao Quadr´atica Seq¨uencial 107
Um m´etodo SQP local segue portanto do algoritmo (A.4.2), com uma pequena mo-
difica¸c˜ao: o passo p
k
e a estimativa do multiplicador de Lagrange λ
k+1
s˜ao definidos
conforme solu¸c˜ao do problema (A.51).
O resultado a seguir mostra que esta abordagem eventualmente identifica o conjunto
ativo ´otimo para o problema (A.50).
Teorema A.4.3.1 Suponha que x
∗
´e uma solu¸c˜ao para (A.50) e λ
∗
s˜ao os multiplica-
dores de Lagrange. Assuma que a matriz Jacobiana A
k
do conjunto de restri¸c˜oes ativas
no ponto x
∗
possui posto de linha completo, e que d
T
W (x
∗
, λ
∗
)d > 0 para todo d = 0
tal que A(x
∗
)d = 0, e que complementaridade estrita ´e garantida. Ent˜ao se (x
k
, λ
k
) ´e
suficientemente pr´oximo de (x
∗
, λ
∗
), existe uma solu¸c˜ao local do subproblema (A.51) cujo
conjunto ativo A
k
´e idˆentico ao conjunto ativo A(x
∗
) do problema n˜ao-linear (A.50) no
ponto x
∗
.
A.4.4 Implementa¸c˜ao de SQP
Existem pelo menos duas formas de se implementar SQP.
A primeira abordagem resolve a cada itera¸c˜ao o subproblema quadr´atico (A.51), to-
mando o conjunto ativo na solu¸c˜ao deste subproblema como uma estimativa do
conjunto ativo ´otimo. Essa abordagem ´e denotada por IQP (Inequality-Constrained
QP), a qual tem tido sucesso na pr´atica. A dificuldade est´a em resolver um problema
quadr´atico a cada itera¸c˜ao, mas pode ser mitigado se utilizamos um bom ponto de
partida para a solu¸c˜ao (“hot-start”).
A segunda abordagem seleciona um subconjunto das restri¸c˜oes a cada itera¸c˜ao para
atuar como conjunto de trabalho, resolvendo apenas subpr oblemas com igualdades,
ignorando-se as demais restri¸c˜oes. O conjunto de trabalho ´e atualizado a cada
itera¸c˜ao atrav´es de regras baseadas nos estimadores dos multiplicadores de Lagrange.
Esta abordagem, denotada por EQP (Equality-Constrained QP), tem a vantagem
de tratar apenas de subproblemas quadr´aticos com restri¸c˜oes de igualdade, o que ´e
computacionalmente mais f´acil.
Apˆendice B
Modos Deslizantes
B.1 Introdu¸c˜ao
Este apˆen dice mostra uma alternativa de projeto de controlador para o conversor buck
boost.
Consideremos o modelo real instantˆaneo do conversor buck boost representado pelas
equa¸c˜oes 3.13. Basicamente este modelo apresenta dois tipos de n˜ao linearidades:
• por um lado a presen¸ca de termos na equa¸c˜ao diferencial ordin´aria (EDO) onde
aparecem multiplicados os estados pela a¸c˜ao de controle. A equa¸c˜ao 3.13 pode ser
reescrita na forma:
˙x = f(x, R, V
ref
) + g(x, R, V
ref
) ∗ q(t)
y = h(x, R, V
ref
) + m(x, R, V
ref
) ∗ q(t) (B.1)
por tanto falamos que o sistema ´e “afim”em q.
• a outra n˜ao linearidade que aparece ´e no pr´oprio controle q(t) que somente pode ter
valor 0 ou 1. Quando o valor de q = 1 a planta apresenta uma dinˆamica diferente
da dinˆamica quando o valor de q = 0. Estes sistemas s˜ao conhecidos na literatura
como de estrutura vari´avel, e podem ser controlados para certas especifica¸c˜oes via
modos deslizantes (Khalil 2002).
Os modos deslizantes s˜ao um comportamento dinˆamico que um sistema de estrutura
Modos Deslizantes 109
vari´avel pode exibir quando uma trajet´oria surge como solu¸c˜ao para o problema de des-
continuidade. O movimento do vetor de estados se d ´a de forma anˆomala em rela¸c˜ao `as
dinˆamicas individuais de cada estru tura, ficando “aprisionado”na fronteira entre dois ou
mais regi˜oes. A trajet´oria se move ent˜ao atrav´es da superf´ıcie de descontinuidade como
se o estado se “deslizasse”sobre ela. A trajet´oria de um modo deslizante n˜ao verifica a
EDO de nenhuma das estruturas, mas ela existe como solu¸c˜ao global do problema.
B.2 Projeto da Lei de Controle Via Modos Deslizan-
tes
O sistema apresenta dinˆamica e pontos de equil´ıbrio diferentes para q(t) = 0 e q(t) = 1.
A id´eia b´asica na s´ıntese de controladores via modos deslizantes ´e achar u ma curva que
contenha o p onto de equil´ıbrio (x
e
) onde desejamos que o sistema convirja e que separe o
plano de fase em duas regi˜oes, cada uma contendo um dos equil´ıbrios de cada dinˆamica,
ou seja, os equil´ıbrios devem ficar em regi˜oes diferentes.
Seja essa curva definida pela equa¸c˜ao:
S = {x ∈ R
2
/σ(x) = 0} (B.2)
A fun¸c˜ao σ se escolhe de forma tal que cumpra com os requerimentos do problema.
Nesse caso escolheu-se uma σ que unicamente depende dos estados e que cont´em o ponto
de equil´ıbrio ao qual deseja-se convergir, pois est´a-se considerando um problema de segui-
mento da referˆencia. Tamb´em poderia ter-se escolhido uma fun¸c˜ao σ dependente do erro
em estado estacion´ario ou da sa´ıda.
Quando q(t) = 0 o sistema deve encontrar-se na regi˜ao contr´aria `a que cont´em o
equil´ıbrio da dinˆamica correspondente a q(t) = 0 e vice-versa. Portanto, a lei de controle
a implementar dever´a ter a seguinte forma:
q(t) =
1 si σ(x) < 0
0 si σ(x) > 0
(B.3)
σ(x) : R
2
→ R
Modos Deslizantes 110
A fun¸c˜ao σ tem a forma:
σ(x) = c
1
(x
10
− x
1
) + c
2
(x
20
− x
2
)
σ(x) = k(1.6 − x
1
) + (−56 − x
2
) (B.4)
onde x
e
= (x
10
; x
20
) = (1.6A; −56V ).
Assim a lei de controle ´e dependente dos valores do ponto de equil´ıbrio.
Como os modos deslizantes est˜ao sob a descontinuidade do sistema, estar˜ao sobre a
superf´ıcie S. Para cada mudan¸ca de estado na chave semiconductora o sistema comporta-
se de acordo com a estrutura correspondente, at´e chegar no modo deslizante. A partir da´ı
as trajet´orias do sistema de deslizam at´e o equil´ıbrio.
Para que existam modos deslizantes deve-se verificar que, considerando como fun¸c˜ao
de Lyapunov:
V (x) =
1
2
σ
2
(x) (B.5)
ent˜ao
˙
V (x) = σ(x) ˙σ(x) < 0 (B.6)
Seja ent˜ao:
Ψ = {x ∈ R
2
/σ(x)
dσ(x)
dx
dx
dt
< 0} (B.7)
O dom´ınio dos modos deslizantes ser´a:
Ω = S ∩ Ψ (B.8)
Para o conversor buck boost nominal (R = 80, V
O
= 56), uma poss´ıvel curva S(x),
mostra-se na figura B.1.
σ(x) = k(x
10
− x
1
) + (x
20
− x
2
) (B.9)
x
10
= 1.6A
x
20
= −56V
k = 110
Modos Deslizantes 111
0 20 40 60 80 100 120
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
x1
x2
ponto de equilíbrio
q=0
ponto de equilíbrio
q=0
curva de equilíbrios
Figura B.1: Curva de equil´ıbrio para R = 80.
A curva S fica definida igualando a zero a fun¸c˜ao B.10.
Para achar o dom´ınio do modo deslizante, imp˜oem-se as condi¸c˜oes expressas nas
equa¸c˜oes B.6 e B.7. Impor essas condi¸c˜oes permite achar a regi˜ao Ψ onde dever´a es-
tar o modo deslizante.
Para o conversor buck boost essa regi˜ao fica definida pela seguinte equa¸c˜ao:
Ψ(x) = {x ∈ R
2
/ x
2
> −k
RC
L
[−(r
S
+ r
L
)x
1
+ V
i
]
∩ x
2
<
RLC
kRC −L
[(
k
L
(r
C
+ r
L
) +
1
C
)x
1
+
k
L
v
D
]} (B.10)
A Figura B.2 mostra os limites da regi˜ao Ψ(x) dada pela equa¸c˜ao B.10.
A intersec¸c˜ao entre Ψ(x) e S(x) ´e o modo deslizante.
Com C
1
= 110 e C
2
= 1, obt´em-se a lei de controle a implementar a qual foi simulada
com o esquema mostrado na Figura B.4
Pode-se observar atrav´es dos resultados da simula¸c˜ao que devido `as grandes dimens˜oes
do modo deslizante, para qualquer condi¸c˜ao inicial razo´avel do problema o conversor com
essa lei de controle chega rapidamente ao modo deslizante, para logo deslizar-se at´e o
Modos Deslizantes 112
0 20 40 60 80 100 120 140
−300
−200
−100
0
100
200
x1
x2
curva S
limites da região
onde encontra−se
o modo deslizante
Figura B.2: Regi˜ao Ψ(x).
equil´ıbrio. A velocidade de convergˆencia ´e bastante r´apida.
A Figura B.5 mostra os resultados da simula¸c˜ao partindo de condi¸c˜oes iniciais nulas.
Implementada a lei de controle com esta estrat´egia fica resolvido o problema de segui-
mento a referˆencia, mas n˜ao o problema de rejei¸c˜ao `as perturba¸c˜oes de carga. A curva
de equil´ıbrio assim como a localiza¸c˜ao dos modos deslizantes dependem da resistˆencia de
carga. O ponto de intersec¸c˜ao entre ambas curvas quando variamos a resistˆencia de carga
muda de posi¸c˜ao, (e at´e pode n˜ao existir), o que tr´as como conseq¨uˆencia que apare¸ca um
erro em estado estacion´ario no seguimento `a referˆencia.
Este problema pode ser resolvido usando um filtro passa baixo como indica a Figura
B.7.
A constante de tempo τ do filtro afeta consideravelmente o comportamento do sistema.
τ deve ser maior que o per´ıodo de chaveamento de forma a fornecer uma referˆencia da
corrente livre de ripple, mas o suficientemente pequeno para seguir as respostas r´apidas
do conversor. Na pr´atica escolhe-se τ num valor pr´oximo `a constante natural do sistema.
O resultado da simula¸c˜ao podem ver-se na Figura B.8.
Modos Deslizantes 113
0 20 40 60 80 100 120 140
−2500
−2000
−1500
−1000
−500
0
x1
x2
modo deslizante
curva de equilíbrios
Figura B.3: Modo deslizante Ψ(x) ∩ S(x).
RELAY
R
S D
CL
CC
E
R
U
i
L
v
C
48V
-56V
80 Ohms
-1
SCOPE
Modelo instantaneo real do BB
1
C
2
1.6A 110
C
1
+
+
+
-
-
Figura B.4: Esquema de simula¸c˜ao.
Modos Deslizantes 114
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
x1
x2
trajetória do sistema até o
modo deslizante
Figura B.5: Resultado da simula¸c˜ao, diagrama de fases.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 10
−3
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
tempo(s)
x2
Figura B.6: Resultado da simula¸c˜ao, dom´ınio do tempo.
Modos Deslizantes 115
RELAY
R
S D
CL
CC
E
R
U
i
L
v
C
48V
12 V
+88 (5mseg)
-44 (10mseg)
80 Ohms
-40 (15mseg)
+80 (20mseg)
-1
SCOPE
Modelo instantaneo ideal do BB
1
C
2
110
C
1
+
+
+
-
-
1
20e-5 s + 1
Figura B.7: Esquema de simula¸c˜ao com filtro passa baixo.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
0
20
40
60
80
100
120
tempo(s)
referência
tensão de saída
perturbação de carga
Figura B.8: Resposta do sistema.
Referˆencias Bibliogr´aficas
Alvarez, T. e Prada, C. (1997). Handling infeasibility in predictive control, Computers
and Chemical Engineering 21: 577–582.
Andronov, A. A. e Khaikin., S. E. (1937). Theory of oscillations, part 1, ONTI NKTN .
Astrom, K. J. e Hagglund, T. (1995). Pid controllers: Theory, design and tuning, Instru-
ment Society of America .
Bemporad, A. e Mosca, E. (1994). Constraint fulfilment in feedback control via predictive
reference management, Proceedings 3rd IEEE CCA p. 1909–1914.
Ben-Yaakov, S. e Zeltser, I. (1999). The dynamics of a pwm boost converter with resistive
input, IEEE Transactinos on Industrial Electronics 46(3): 613–619.
Bernardo, M. D. (1999). The complex behavior of switching devices, IEEE Circuits and
Systems Newsletter 10(4): 1–13.
Bissell, C. C. (1998). A. andronov and the development of soviet control engineering,
IEEE Control Systems 18(1): 56–62.
Boggs, P. T. e Tolle, J. W. (1996). Sequential quadratic programming, Acta Numerica
4: 1–51.
Borges, F. (2002). Analise e controle de sistemas de estrutura variavel, Master’s thesis,
Universidade Federal de Santa Catarina.
Burdio, J. M. e Mart´ınez, A. (1995). A unified discrete-time statespace model for switching
converters, IEEE Transactions on Power Electronics 10(6): 694–707.
Camacho, E. F. (1993). Constrained generalized predictive control, IEEE Transactions
on Automatic Control 38(2): 327–332.
Referˆencias Bibliogr´aficas 117
Camacho, E. F., Berenguel, M. e Rubio, R. (1997). Advanced Control of Solar Power
Plants, Springer-Verlag.
Camacho, E. F. e Bordons, C. (1995). Model Predict ive Control in Process Industry,
Springer-Verlag.
Camacho, E. F. e Bordons, C. (1998). Model Predictive Control, 1 ed., Springer-Verlag.
Camponogara, E. (2003). M´etodos de otimiza¸c˜ao teoria e pr´atica. Vers˜ao Preliminar.
C´aceres, R. e Barbi, I. (1996). Sliding mode controller for the boost inverter, V IEEE
Int. Power Electronics Congress p. 247–252.
Clarke, D. W. e Mohtadi, C. (1989). Properties of generalized predictive control, Auto-
matica 25(6): 859–875.
Clarke, D. W., Mohtadi, C. e Tuffs, P. S. (1987a). Generalized predictive control - part i.
the basic algorithm, Automatica 23(2): 137–148.
Clarke, D. W., Mohtadi, C. e Tuffs, P. S. (1987b). Generalized predictive control - part
ii. extensions and interpretations, Automatica 23(2): 149–160.
Clarke, D. W. e Scattolini, R. (1991). Constrained receding-horizon predictive control,
Proceedings IEEE 138(4): 347–354.
Cutler, C. R. e Ramaker, B. L. (1980). Dynamic matrix control a computer control
algorithm, Automatic Control Coference, San Francisco .
Datta, A. e Ochoa, J. (1980). Adaptive internal model control: Design and stability
analysis, Automatica 32(2): 261–266.
De Keyser, R. (1998). A gentle introduction to model based predictive control, PADI2
International Conference on Control Engineering and Signal Processing, Piura, Per´u
.
De Keyser, R. (2003). A gentle approach to predictive control, Eolss Publisher Co. Ltd,
Oxford.
De Keyser, R. e Cuawenberghe, A. R. (York, 1985). Extended prediction self adaptive
control, IFAC Simp. on Ident. and Syst. Parameter Estimation p. 1317–1322.
Referˆencias Bibliogr´aficas 118
DeCarlo, R. A., Zak, S. H. e Matthews, G. P. (1988). Variable structure control of
nonlinear multivariable systems: A tutorial, Proceedings of the IEEE 76(3): 212–
232.
Dormido, S. (1987). Una revisi´on de las tecn olog´ıas de control predictivo basados en
modelos en la industria, Workshop sobre Estado y Perspectivas del Control Predictivo,
Valladolid, Spain .
Dutra, C. B. S. (2003). Controle Preditivo Multiobjetivo para Processos com Atraso, PhD
thesis, Universidade Federal de Santa Catarina.
Ecosim Pro, E. I. (2004). EcosimPro Dynamic Simulation Tool, www.ecosimpro.com.
Filippov, A. F. (1988). Diferential Equations with Discontinuous Righthand Sides ., Kluwer
Academic Publishers.
Giral, R., Font, J., Mart´ınez, L., Calvente, J., Leyva, R. e Fossas, E. (1996). Self-oscilating
boost coverter with output filter for ideal load regulation, IEEE International Sym-
posium on Circuits and Systems 1: 529–532.
Giral, R., Mart´ınez-Salamero, L., Leyva, R. e Maix´e, J. (2000). Sliding-mode control
of interleaved boost converters, IEEE Transactions on Circiuts and Systems - I
47(9): 1330–1339.
Goodwin, G. e Sin, K. (1984). Adaptive Filtering Prediction and Control, Prentice Hall.
Gossner, J. R., Kouvaritakis, B. e Rossiter, J. A. (1997). Stable generalized predictive
control with constraints and b ou nded disturbances, Automatica 33: 551–568.
Itkis, U. (1976). Control Systems of Variable Structure, Israel Universities Press, Jerusa-
lem.
Kassakian, J. G., Schlecht, M. e Verghese, G. C. (1991). Principles of Power Electronics,
Addison-Wesley, Massachusetts.
Kazimierkzuk, M. K. e Edstr¨om, A. J. (2000). Open-loop peak voltage feedforward control
of pwm buck converter, IEEE Transactions on Circuits and Systems I 47(5): 740–
746.
Khalil, H. K. (2002). NonLinear Systems, Prentice Hall, cap´ıtulo 14, p. 551–579.
Referˆencias Bibliogr´aficas 119
Kutnetsov, A. G. e Clarke, D. W. (1994). Advances in Model Based Predictive Control,
Oxford University, cap´ıtu lo Application of constrained GPC for improving perfor-
mance of controlled plants.
Leyva, R., Mart´ınez-Salamero, L., Valderrama-Blavi, H., Maix´e, J., Giral, R. e Guinjoan,
F. (2001). Linear state-feedback control of a boost converter for large-signal stability,
IEEE Transactions on Cirduits and Systems 48(4): 418–424.
L´opez, O., de Vicu˜na, L. G., Castilla, M., Matas, J. e Lop´ez, M. (1999). Sliding-mode-
controle design of a high-power-factor buck-boost rectifier, IEEE Transactions on
Industrial Electronics 46(3): 604–612.
Maksimovic, D. e Cuk, S. (1991). A unified analysis of pwm converters in discontinu ous
modes, IEEE Transactions on Power Electronics 6(3): 476–490.
Malesani, L., Rosseto, L., Spiazzi, G. e Tenti, P. ( 1992). Performance optimization of cuk
converters by sliding-mo d e control, APEC p. 395–402.
Marruedo, D. L. (2002). Control preditivo de sistemas no lineales con restricciones: esta-
bilidad y robustez, PhD thesis, Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de
Sevilla.
Mayne, D., J.B.Rawlings, C.V.Rao e P.O.Scokaert (2000). Constrained model predictive
control: Stability and optimality, Automatica 36: 789–814.
Middlebrook, R. D. e C´uk, S. (1976). A general unified approach to modelling switching-
converter power stages, IEEE Power Electronics Specialists Conference - PESC p. 18–
34.
Morari, M. e Lee, J. H. (1999). Model predictive control: past, present and future.,
Computers & Chemical Engineering 23: 667–682.
Mosca, E. (1995). Optimal, Predicti ve and Adaptive Control, Prentice Hall.
Normey-Rico, J. E. (1999). Predicci´on para Control, Ph D thesis, Escuela Superior de
Ingenieros, Universidad de Sevilla.
Prett, D. M. e Morari, M. (1980). Optimization and constrained multivariable control of
a catalytic cracking unitworkshop, Proceeding of the Joint Automatic Control Con-
ference .
Rashid, M. H. (1993). Electr´onica de Potencia, 2 ed.
Referˆencias Bibliogr´aficas 120
Rawlings, J. B. (2000). Tutorial overview of model predictive control, IEEE Control
Systems Magazine p. 38–52.
Rawlings, J. B. e Muske, K. (1993). The stability of con strained receding-horizon control,
IEEE Transaction on Automatic Control 38: 1512–1516.
Richalet, J., Rault, A., Testud, J. e Papon, J. (1976). Algorithm control for industrial
processes, Em Proceedings 4th IFAC Symp. on Identification and System Parameter
Estimation, Tbilisi, URSS .
Rodriguez, H., Ortega, R., Escobar, G. e Barabanov, N. (2000). A robustly stable output
feedback saturated controller for the boost dc-to-dc converter, Systems and Control
Letters 40: 1–8.
Scokaert, P. e Clarke, D. W. (1994). Advances in Model Based Predictive Control, Oxford
University, cap´ıtulo Stability and Feasibility en Constrained Predictive Control.
Scokaert, P. M. e Rawlings, J. B. (1999). Feasibility issues in model predictive control,
AIchE Journal 45(8): 1649–1659.
Soeterboek, R. (1992). Predictive Control: A Unified Approach, Prentice Hall.
Sun, J., Mitchell, D. M., Greuel, M. F., Krein, P. T. e Bass, R. M. (1998). Modelling
of pwm conver ters in discontinuous conduction mode: a reexamination, 29th Annual
IEEE Power Electronics Specialists Conference 1: 615–622.
Tsypkin., Y. Z. (1984). Relay Control Systems, Cambridge University Press, Cambridge
- GB.
Utkin, V. I. (n.d.). Sliding Modes and their Application in Variable Structure Systems,
MIR Publishers, Moscow.
Verghese, G. C. (1996). Dynamic Modeling and Control in Power Electronics, CRC Press
- IEEE Press, Boca Raton, FL, cap´ıtulo 78, p. 1413–1423.
Vorp´erian, V. (1990). Simplified analysis of pwm converters using the model of the pwm
switch: Parts i and ii, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems
26: 490–505.
Ydstie, B. E. (Budapest, Hungry, 1984). Extended horizon adaptive control, 9th IFAC
World Congress .
Referˆencias Bibliogr´aficas 121
Zheng, A. e Morari, M. (1995). Stability of model predictive control with mixed cons-
traints, IEEE Transactions on Automatic Control 40(10): 1918–1923.
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