( PDF ) Metodologia de projeto de inversores monofásicos de tensão para cargas não-lineares

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FERNANDO HAEMING GERENT

METODOLOGIA DE PROJETO DE INVERSORES

MONOFÁSICOS DE TENSÃO PARA CARGAS

NÃO-LINEARES

FLORIANÓPOLIS

2005

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

EM ENGENHARIA ELÉTRICA

METODOLOGIA DE PROJETO DE INVERSORES

MONOFÁSICOS DE TENSÃO PARA CARGAS

NÃO-LINEARES

Dissertação submetida à

Universidade Federal de Santa Catarina

como parte dos requisitos para a

obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica.

FERNANDO HAEMING GERENT

Florianópolis, Junho de 2005.

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Resumo da Dissertação apresentada à UFSC como parte dos requisitos necessários para a

obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica.

METODOLOGIA DE PROJETO DE INVERSORES

MONOFÁSICOS DE TENSÃO PARA CARGAS

NÃO-LINEARES

Fernando Haeming Gerent

Junho / 2005

Orientador: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

Área de Concentração: Eletrônica de Potência e Acionamento Elétrico.

Palavras-chave: Inversor; carga não-linear, metodologia de projeto.

Número de páginas: 165.

Este trabalho tem por objetivo apresentar uma metodologia de projeto para

inversores senoidais monofásicos de tensão com baixa THD que alimentam cargas não-

lineares do tipo retificador monofásico com filtro capacitivo. Entre os principais atrativos

deste trabalho está a interação entre os parâmetros do filtro e do transformador de forma

que a relação de transformação ótima para o circuito possa ser determinada. Além disso, a

falta de material relacionada ao projeto de inversores para cargas não-lineares também

motivou o trabalho. Outros aspectos de interesse abrangem o estudo detalhado do

retificador monofásico com filtro capacitivo e o controle da corrente magnetizante do

transformador em razão da possibilidade de saturação do núcleo.

iii

Abstract of Dissertation presented to UFSC as a partial fulfillment of the requirements for

the degree of Master in Electrical Engineering.

DESIGN METHODOLOGY FOR LOW THD SINGLE-

PHASE VOLTAGE-SOURCE INVERTERS SUPPYING

NON-LINEAR LOADS

Fernando Haeming Gerent

June / 2005

Advisor: Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing.

Area of Concentration: Power Electronics and Electrical Drives.

Keywords: Inverter; non-linear load, design methodology.

Number of pages: 165.

The goal of this work is to present a design methodology for low THD single-

phase voltage-source inverter supplying a full bridge rectifier with capacitive filter load. A

fundamental characteristic of this work is that it takes advantage of the interaction between

the L-C filter and the transformer in order to determine the optimum transformer

conversion ratio for the circuit. Moreover, the lack of material related to inverter design for

non-linear loads is also a motivator. Other aspects of interest include a detailed study of the

single-phase full bridge rectifier with capacitive filter and the magnetizing transformer

current control due to the possibility of core saturation.

SUMÁRIO

Capítulo 2 – Inversor Monofásico de Tensão ......................................................... 5

2.1 Introdução.................................................................................................. 5

2.2 Inversor de Tensão Monofásico em Ponte Completa................................ 5

2.3 Estratégias de Modulação.......................................................................... 6

2.4 Etapas de Operação ................................................................................... 8

2.4.1 SPWM Bipolar .................................................................................... 9

2.4.2 SPWM Unipolar................................................................................ 11

2.5 Modelo Matemático do Inversor ............................................................. 13

2.5.1 Malha de Tensão ............................................................................... 14

2.5.2 Malha de Corrente............................................................................. 21

2.6 Conclusão ................................................................................................ 27

Capítulo 3 – Cargas Não-lineares.......................................................................... 28

3.1 Introdução................................................................................................ 28

3.2 Etapas de Funcionamento........................................................................ 29

3.3 Formas de Onda Básicas ......................................................................... 31

3.4 Equacionamento ...................................................................................... 31

3.4.1 Circuito Simplificado ........................................................................ 31

3.4.2 Circuito Completo ............................................................................. 40

3.5 Simulação e Comparação dos Circuitos Desenvolvidos ......................... 43

3.5.1 Circuito Completo ............................................................................. 43

3.5.2 Circuito Simplificado ........................................................................ 47

3.6 Comparação entre Circuito Completo e Simplificado............................. 49

3.7 Resultados Experimentais e Verificação do Equacionamento ................ 50

3.8 Conclusão ................................................................................................ 52

Capítulo 4 – Análise do Filtro de Saída do Inversor............................................. 54

4.1 Introdução................................................................................................ 54

4.2 SPWM Bipolar ........................................................................................ 54

4.2.1 Indutor de Filtragem e Ondulação de Corrente................................. 54

4.2.2 Restrição na Escolha do Indutor de Filtragem .................................. 56

4.2.3 Capacitor de Filtragem e Ondulação de Tensão................................ 64

4.2.4 Restrição na Escolha do Capacitor de Filtragem............................... 66

4.3 SPWM Unipolar ...................................................................................... 77

4.3.1 Indutor de Filtragem e Ondulação de Corrente................................. 77

4.3.2 Restrição na Escolha do Indutor de Filtragem .................................. 79

4.3.3 Capacitor de Filtragem e Ondulação de Tensão................................ 79

4.3.4 Restrição na Escolha do Capacitor de Filtragem............................... 81

4.4 Conclusão ................................................................................................ 83

Capítulo 5 – Análise do Transformador................................................................ 85

5.1 Introdução................................................................................................ 85

5.2 Análise do Transformador....................................................................... 86

5.3 SPWM Unipolar ...................................................................................... 86

5.4 SPWM Bipolar ........................................................................................ 93

5.5 Conclusão ................................................................................................ 98

Capítulo 6 – Controle do Inversor....................................................................... 100

6.1 Introdução.............................................................................................. 100

6.2 Controle da Tensão de Saída ................................................................. 100

6.2.1 Verificação dos Resultados ............................................................. 107

6.2.2 Resultados Experimentais ............................................................... 113

6.3 Controle do Valor Médio da Corrente Magnetizante............................ 117

6.3.1 Primeira Configuração .................................................................... 119

6.3.2 Segunda Configuração .................................................................... 125

6.3.3 Resultados Experimentais ............................................................... 133

6.4 Interação entre as Malhas de Tensão e Corrente................................... 134

6.5 Conclusão .............................................................................................. 137

Capítulo 7 – Metodologia de Projeto .................................................................. 139

7.1 Introdução.............................................................................................. 139

7.2 Metodologia de Projeto ......................................................................... 139

7.2.1 SPWM Unipolar.............................................................................. 140

7.2.2 SPWM Bipolar ................................................................................ 143

7.3 Exemplo de Projeto ............................................................................... 144

7.4 Simulação .............................................................................................. 149

7.5 Experimentação ..................................................................................... 151

7.5.1 O Protótipo ...................................................................................... 151

7.5.2 Resultados Experimentais ............................................................... 158

7.6 Conclusão .............................................................................................. 161

Anexo I ............................................................................................................... 166

vii

LISTA DE FIGURAS

Fig. 2.1 – Inversor em ponte completa.................................................................................. 6

Fig. 2.2 – PWM senoidal bipolar........................................................................................... 8

Fig. 2.3 – PWM senoidal unipolar......................................................................................... 8

Fig. 2.4 – Primeira etapa........................................................................................................ 9

Fig. 2.5 – Segunda etapa...................................................................................................... 10

Fig. 2.6 – Forma de onda da tensão V

e comando dos interruptores................................ 10

Fig. 2.7 – Primeira etapa...................................................................................................... 11

Fig. 2.8 – Segunda etapa...................................................................................................... 12

Fig. 2.9 – Quarta etapa. ....................................................................................................... 12

Fig. 2.10 – Forma de onda da tensão V

e comando dos interruptores.............................. 13

Fig. 2.11– Circuito do inversor de tensão............................................................................ 14

Fig. 2.12 – Tensão nos terminais de entrada do filtro. ........................................................ 15

Fig. 2.13 – Tensão nos terminais de entrada do filtro. ........................................................ 16

Fig. 2.14 – Circuito equivalente do filtro de saída do inversor. .......................................... 18

Fig. 2.15 – Sinal triangular e de controle. ........................................................................... 19

Fig. 2.16 – Diagrama de blocos da malha de tensão. .......................................................... 19

Fig. 2.17 – Diagrama de blocos da malha de tensão para uma carga resistiva pura. .......... 20

Fig. 2.18 – Circuito equivalente do transformador.............................................................. 22

Fig. 2.19 – Tensão no primário do transformador e fluxo mútuo em função do tempo...... 22

Fig. 2.20 – Circuito equivalente do primário do transformador.......................................... 24

Fig. 2.21 – Diagrama de blocos da malha de corrente. ....................................................... 25

Fig. 2.22 – Diagrama de blocos completo com as malhas de corrente e tensão.................. 26

Fig. 23 – Diagrama de blocos alternativo com as malhas de corrente e tensão. ................. 26

Fig. 3.1 – Retificador de onda completa com filtro capacitivo. .......................................... 29

Fig. 3.2 – Primeira etapa...................................................................................................... 30

Fig. 3.3 – Segunda etapa...................................................................................................... 30

Fig. 3.4 – Terceira etapa...................................................................................................... 31

Fig. 3.5 – Formas de onda básicas....................................................................................... 31

Fig. 3.6 – Retificador de onda completa simplificado......................................................... 32

Fig. 3.7 – Forma de onda da corrente

(

)

. ...................................................................... 33

viii

Fig. 3.8 – Relação entre k e

t∆

. .......................................................................................... 34

Fig. 3.9 – Corrente eficaz na entrada do retificador. ........................................................... 34

Fig. 3.10 – Corrente eficaz na entrada do retificador em função de L

t∆

...................... 35

Fig. 3.11 – Corrente de pico na entrada do retificador........................................................ 35

Fig. 3.12 – Corrente de pico na entrada do retificador em função de L

e k....................... 36

Fig. 3.13 – Fator de crista.................................................................................................... 37

Fig. 3.14 – Derivada da corrente de entrada........................................................................ 38

Fig. 3.15 – Relação entre t e Fc......................................................................................... 38

Fig. 3.16 – Derivada máxima de subida da corrente de entrada do retificador................... 39

Fig. 3.17 – Derivada máxima de descida da corrente de entrada do retificador. ................ 39

Fig. 3.18 – Forma de onda da corrente

(

)

. .................................................................... 41

Fig. 3.19 – Forma de onda da tensão

(

)

....................................................................... 41

Fig. 3.20 – Tensão de entrada, de saída e corrente de entrada do retificador...................... 42

Fig. 3.21 – Derivada da corrente de entrada........................................................................ 43

Fig. 3.22 – Formas de onda da tensão de entrada, corrente na indutância e tensão de saída.

..................................................................................................................................... 45

Fig. 3.23 - Formas de onda da corrente na indutância obtida via simulação (preto) e obtida

via equacionamento (amarelo tracejado)..................................................................... 45

Fig. 3.24 – Detalhe do gráfico da Fig. 3.23......................................................................... 46

Fig. 3.25 - Formas de onda da tensão no capacitor obtida via simulação (preto) e obtida via

equacionamento (amarelo tracejado)........................................................................... 46

Fig. 3.26 – Comparação entre as formas de onda simuladas e calculadas. ......................... 47

Fig. 3.27 – Forma de onda da corrente do indutor L

.......................................................... 48

Fig. 3.28 – Formas de onda da corrente na indutância obtida via simulação (preto) e obtida

via equacionamento (amarelo tracejado)..................................................................... 49

Fig. 3.29 – Formas de onda da corrente na indutância com modelo simplificado (preto) e

com modelo completo (amarelo tracejado). ................................................................ 50

Fig. 3.30 – Formas de onda da tensão de entrada (preto), corrente na indutância (vermelho)

e tensão de saída (azul)................................................................................................ 51

Fig. 3.31 – Forma de onda da corrente via experimentação (preto) e da corrente com o

circuito simplificado (azul tracejado).......................................................................... 51

Fig. 4.1 – Tensão nos terminais de entrada do filtro para SPWM bipolar. ......................... 55

Fig. 4.2 – Curva da ondulação de corrente em função de

⋅

. ......................................... 56

Fig. 4.3 – Derivada da corrente no indutor de filtragem. .................................................... 58

Fig. 4.4 – Indutância mínima de filtragem em função do tempo......................................... 58

Fig. 4.5 – Indutância mínima de filtragem em função do tempo......................................... 59

Fig. 4.6 – Limiar que define qual restrição deve ser utilizada no projeto. .......................... 61

Fig. 4.7 – Tensão na saída do inversor, na saída do retificador e corrente de saída............ 62

Fig. 4.8 – Tensão de controle. ............................................................................................. 62

Fig. 4.9 – Tensão de saída do inversor, tensão de referência ampliada e corrente de saída

do inversor................................................................................................................... 63

Fig. 4.10 – Tensão de controle do inversor. ........................................................................ 64

Fig. 4.11 – Formas de onda da corrente e tensão no capacitor............................................ 65

Fig. 4.12 – Curva da ondulação de tensão em função de

⋅

........................................... 66

Fig. 4.13 – Modulador por largura de pulso e sinal de comando. ....................................... 68

Fig. 4.14 – Detalhe da forma de onda de entrada do modulador......................................... 69

Fig. 4.15 – Derivada da ondulação da tensão de saída do inversor..................................... 69

Fig. 4.16 – Restrição de capacitores do filtro...................................................................... 74

Fig. 4.17 – Derivada da corrente de entrada do retificador em função do tempo. .............. 74

Fig. 4.18 – Diagrama de blocos para verificação da queda de tensão no capacitor. ........... 75

Fig. 4.19 – Resposta ao degrau de perturbação f(s). ........................................................... 76

Fig. 4.20 – Tensão no capacitor de saída do inversor e corrente da carga. ......................... 76

Fig. 4.21 – Tensão no capacitor de saída e corrente na carga obtidas via simulação.......... 77

Fig. 4.22 – Tensão nos terminais de entrada do filtro para a modulação SPWM unipolar. 78

Fig. 4.23 – Curva da ondulação de corrente em função de

⋅

. ....................................... 79

Fig. 4.24 – Formas de onda da corrente e tensão no capacitor............................................ 80

Fig. 4.25 – Curva da ondulação de tensão em função de

⋅

........................................... 81

Fig. 4.26 – Derivada da ondulação da tensão de saída do inversor..................................... 82

Fig. 4.27 – Restrição de capacitores do filtro...................................................................... 83

Fig. 5.1 – Parcela da ondulação de tensão........................................................................... 86

Fig. 5.2 – i

em função do tempo. ...................................................................................... 87

Fig. 5.3 – Corrente eficaz no primário do transformador, na carga e no capacitor em função

da relação de transformação. ....................................................................................... 88

Fig. 5.4 – Ondulação de corrente no indutor do filtro em função da relação de

transformação, considerando a máxima indutância de filtragem admissível.............. 90

Fig. 5.5 – Corrente eficaz no capacitor em função da relação de transformação................ 91

Fig. 5.6 – Corrente eficaz no primário do transformador, na carga e no capacitor em função

da relação de transformação considerando a máxima indutância do filtro.................. 91

Fig. 5.7 – Capacitância de filtragem em função de n. ......................................................... 92

Fig. 5.8 – Indutância de filtragem em função de n.............................................................. 92

Fig. 5.9 – i

teórica. ............................................................................................................ 93

Fig. 5.10 – i

simulada........................................................................................................ 93

Fig. 5.11 – Parcela da ondulação de tensão......................................................................... 94

Fig. 5.12 – Corrente no capacitor C

.................................................................................... 94

Fig. 5.13 – Ondulação de corrente no indutor do filtro em função da relação de

transformação, considerando a máxima indutância de filtragem. ............................... 96

Fig. 5.14 – Corrente eficaz no capacitor em função da relação de transformação.............. 96

Fig. 5.15 – Corrente eficaz no primário do transformador, na carga e no capacitor em

função da relação de transformação considerando a máxima indutância do filtro...... 97

Fig. 5.16 – i

teórica. .......................................................................................................... 98

Fig. 5.17 – i

simulada........................................................................................................ 98

Fig. 6.1 – Diagrama de blocos da malha de tensão. .......................................................... 101

Fig. 6.2 – Diagrama de blocos simplificado da malha de tensão. ..................................... 101

Fig. 6.3 – Diagrama de Bode de módulo e fase da planta................................................. 102

Fig. 6.4 – Diagrama de Bode da função de transferência do compensador e da planta.... 104

Fig. 6.5 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto. ......................... 104

Fig. 6.6 – Circuito que implementa a subtração (V

ref

- V

sensor

) e o compensador PID...... 105

Fig. 6.7 – Diagrama de blocos da malha de tensão com malha de controle adicional. ..... 106

Fig. 6.8 – Diagrama de Bode do módulo do compensador adicional................................ 107

Fig. 6.9 – Circuito que implementa o compensador adicional.......................................... 107

Fig. 6.10 – Diagrama de Bode de módulo da planta. ........................................................ 108

Fig. 6.11 – Diagrama de Bode de módulo e fase da função de transferência de laço aberto

do sistema. ................................................................................................................. 109

Fig. 6.12 – Tensão na saída e corrente na indutância do filtro somente com o PID. ........ 110

Fig. 6.13 – Sinal de controle do compensador PID........................................................... 111

Fig. 6.14 – Tensão de saída e corrente na indutância do filtro com o PID e o controlador

adicional. ................................................................................................................... 111

Fig. 6.15 – Sinal do compensador PID e do compensador adicional................................ 112

Fig. 6.16 – Sinal de controle resultante. ............................................................................ 112

Fig. 6.17 – Sinal do compensador PID e do compensador adicional para variação

paramétrica em L

. ..................................................................................................... 113

Fig. 6.18 - Tensão de saída (V

) e corrente na indutância do filtro (i

) em função do tempo

(somente o controle PID)........................................................................................... 114

Fig. 6.19 – Sinal de controle do controlador de tensão (somente com o controle PID).... 114

Fig. 6.20 - Tensão de saída (V

) e corrente na indutância do filtro (i

) em função do tempo

(controles PID e adicional)........................................................................................ 115

Fig. 6.21 – Sinal do controlador PID e do controlador adicional...................................... 115

Fig. 6.22 – Soma dos sinais de controle, PID e adicional. ................................................ 116

Fig. 6.23 – Análise harmônica da tensão de saída com controle adicional....................... 117

Fig. 6.24 – Diagrama de blocos com as malhas de corrente e tensão (primeira

configuração)............................................................................................................. 118

Fig. 6.25 – Diagrama de blocos com as perturbações (primeira configuração)................ 118

Fig. 6.26 - Diagrama de blocos com as malhas de corrente e tensão (segunda

configuração)............................................................................................................. 118

Fig. 6.27 – Diagrama de blocos com as perturbações (segunda configuração)................. 119

Fig. 6.28 – Diagrama de blocos da corrente magnetizante em relação à perturbação no

bloco inversor (primeira configuração)..................................................................... 119

Fig. 6.29 – Diagramas de Bode de módulo e fase das funções G

(s) e G

vrs

(s)................. 120

Fig. 6.30 - Diagrama de blocos simplificado da corrente magnetizante em relação à

perturbação no bloco inversor (primeira configuração). ........................................... 121

Fig. 6.31 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto do sistema

relacionando i

(s) com P

(s) (primeira configuração)............................................. 122

Fig. 6.32 – Valor médio da corrente magnetizante em função do tempo (primeira

configuração)............................................................................................................. 123

Fig. 6.33 – Tensão de saída do inversor em função do tempo (primeira configuração). .. 123

Fig. 6.34 – Corrente na indutância magnetizante (i

, preto) e sinal do controlador de

corrente (V

, azul) em função do tempo (primeira configuração)............................ 124

xii

Fig. 6.35 – Sinal do controlador de tensão (Vcv, azul) e a soma dos sinais de controle (Vc,

preto) em função do tempo (primeira configuração)................................................. 125

Fig. 6.36 – Diagrama de blocos da corrente magnetizante em relação à perturbação no

bloco inversor (segunda configuração). .................................................................... 126

Fig. 6.37 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto do sistema

relacionando i

(s) com P

(s) (segunda configuração). ............................................ 127

Fig. 6.38 – Valor médio da corrente magnetizante em função do tempo (segunda

configuração)............................................................................................................. 128

Fig. 6.39 – Tensão de saída em função do tempo (segunda configuração)....................... 128

Fig. 6.40 – Sinal do controlador de corrente em função do tempo (segunda configuração).

................................................................................................................................... 128

Fig. 6.41 - Diagrama de blocos da corrente magnetizante em relação à perturbação na

referência de tensão (segunda configuração)............................................................. 129

Fig. 6.42 – Circuito que implementa C

(s). ....................................................................... 131

Fig. 6.43 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto do sistema

relacionando i

(s) com P

vref

(s) (segunda configuração). ......................................... 131

Fig. 6.44 – Valor médio da corrente magnetizante em função do tempo (segunda

configuração)............................................................................................................. 132

Fig. 6.45 – Corrente na indutância magnetizante em função do tempo (segunda

configuração)............................................................................................................. 132

Fig. 6.46 – Tensão de saída em função do tempo (segunda configuração)....................... 132

Fig. 6.47 – Sinal do controlador de corrente em função do tempo (segunda configuração).

................................................................................................................................... 133

Fig. 6.48 – Sinal do controlador de corrente. .................................................................... 133

Fig. 6.49 – Diagrama de blocos com as malhas de corrente e tensão. .............................. 134

Fig. 6.50 – Diagrama de blocos resultante da malha de tensão......................................... 134

Fig. 6.51 – Diagrama de Bode com módulo e fase da função H

(s) e ganho V

. ......... 135

Fig. 6.52 – Funções G

ma1

e G

ma2

em função de k

............................................................. 136

Fig. 7.1 – Derivada máxima de subida da corrente da carga do inversor.......................... 140

Fig. 7.2 – Derivada máxima de descida da corrente da carga do inversor........................ 140

Fig. 7.3 – Ondulação de corrente no indutor em função de n............................................ 145

Fig. 7.4 – Capacitância de filtragem em função de n. ....................................................... 145

xiii

Fig. 7.5 – Corrente eficaz no primário do transformador, corrente eficaz na carga e corrente

eficaz no capacitor em função de n. .......................................................................... 146

Fig. 7.6 – Derivada de entrada do modulador e valor máximo permitido de derivada em

função da capacitância do filtro................................................................................. 148

Fig. 7.7 – Circuito de potência e diagrama de blocos do controle do inversor. ................ 149

Fig. 7.8 – Tensão no primário do transformador em função do tempo. ............................ 150

Fig. 7.9 – Tensão de saída e corrente no indutor do filtro multiplicada por três em função

do tempo. ................................................................................................................... 150

Fig. 7.10 – Tensão de saída e corrente no capacitor do filtro multiplicada por quinze em

função do tempo. ....................................................................................................... 150

Fig. 7.11 – Fotografia do protótipo no laboratório............................................................ 151

Fig. 7.12 – Esquema do transformador utilizado na experimentação. .............................. 153

Fig. 7.13 – Tensão em função da corrente no primário do transformador (ensaio de circuito

aberto)........................................................................................................................ 153

Fig. 7.14 – Indutância de dispersão do transformador referida ao secundário em função de

n. ................................................................................................................................ 154

Fig. 7.15 – Gerador de onda quadrada em 60 Hz.............................................................. 157

Fig. 7.16 – Filtro de sexta ordem sintonizado em 60 Hz (configuração Sallen-Key). ...... 157

Fig. 7.17 – Gerador de onda triangular.............................................................................. 157

Fig. 7.18 – Tensão no primário do transformador em função do tempo. .......................... 158

Fig. 7.19 – Tensão de saída (V

) e corrente na indutância do filtro (i

) em função do tempo

para n = 1,6................................................................................................................ 159

Fig. 7.20 – Tensão de controle de tensão (V

) em função do tempo para n = 1,6............. 159

Fig. 7.21 – Corrente no capacitor do filtro (i

) em função do tempo para n = 1,6........... 160

Fig. 7.22 – Análise harmônica da tensão de saída (V

) para n = 1,6................................. 160

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Valores medidos. ............................................................................................ 44

Tabela 3.2 – Valores medidos na experimentação. ............................................................. 50

Tabela 4.1 – Parâmetros escolhidos para a primeira simulação.......................................... 61

Tabela 4.2 – Parâmetros escolhidos para a segunda simulação. ......................................... 63

Tabela 5.1 – Parâmetros do sistema. ................................................................................... 93

Tabela 5.2 – Parâmetros do sistema. ................................................................................... 97

Tabela 6.1 – Parâmetros do sistema. ................................................................................. 108

Tabela 6.2 – Componentes do compensador PID.............................................................. 109

Tabela 6.3 – Componentes do compensador adicional. .................................................... 109

Tabela 7.1 – Parâmetros iniciais........................................................................................ 144

Tabela 7.2 – Parâmetros de projeto. .................................................................................. 147

Tabela 7.3 – Parâmetros de projeto ajustados. .................................................................. 147

Tabela 7.4 – Componentes dos compensadores................................................................ 148

Tabela 7.5 – Parâmetros do transfromador........................................................................ 154

Tabela 7.6 – Valores de indutância necessários. ............................................................... 154

Tabela 7.7 – Indutores utilizados....................................................................................... 155

Tabela 7.8 – Conexão em série dos indutores. .................................................................. 155

Tabela 7.9 – Parâmetros para o projeto dos indutores....................................................... 155

Tabela 7.10 – Capacitores do filtro. .................................................................................. 156

Tabela 7.11 – Conexão em paralelo dos capacitores......................................................... 156

Tabela 7.12 – Corrente eficaz no primário........................................................................ 160

Tabela 7.13 – Corrente eficaz na carga. ............................................................................ 161

Tabela 7.14 – Corrente eficaz no capacitor do filtro......................................................... 161

SIMBOLOGIA E ABREVIATURAS

Símbolos Adotados nos Equacionamentos

Símbolo Significado Unidade

Fluxo magnético Wb

Capacitância do filtro de saída do inversor F

Controlador da malha de corrente (não definido)

Capacitância de saída do retificador monofásico F

Controlador da malha de tensão (não definido)

Razão cíclica dos interruptores S

e S

(adimensional)

Razão cíclica dos interruptores S

e S

(adimensional)

maxdes

Derivada máxima de descida da corrente de carga A/s

maxsub

Derivada máxima de subida da corrente de carga A/s

pwmin

Derivada do sinal de entrada do modulador A/s

tri

Derivada da onda triangular do modulador A/s

F Força magnetomotriz Ampères-espira

Fator de crista (adimensional)

Função de modulação (não definido)

Freqüência da fundamental de tensão na saída do

inversor

Freqüência de comutação dos interruptores Hz

Corrente no capacitor do filtro A

Cf1

Componente fundamental da corrente no capacitor

Cfef

Corrente eficaz no capacitor do filtro A

Corrente no indutor do filtro A

Lfpri

Corrente no indutor do filtro referida ao primário do

transformador

Corrente na indutância magnetizante A

Corrente no indutor do retificador monofásico A

Loef

Corrente eficaz no indutor do retificador

monofásico

Lop

Valor de pico da corrente no indutor do retificador A

xvi

Corrente da carga A

Fonte de corrente para simular a carga A

oef

Corrente eficaz na carga A

prief

Corrente eficaz no primário do transformador A

tri

Forma de onda triangular com amplitude unitária e

sem valor médio

(adimensional)

Ganho do controlador de corrente (adimensional)

Ganho do controlador de tensão (PID) (adimensional)

Ganho do controlador adicional de tensão (adimensional)

dis

Indutância de dispersão do transformador H

Indutância do filtro de saída do inversor H

Indutância magnetizante do transformador H

Indutância do circuito do retificador monofásico H

Relação de transformação (adimensional)

Número de espiras do enrolamento primário espiras

Número de espiras do enrolamento secundário espiras

Pólo do controlador de tensão PID Rad/s ou Hz

Pólo do controlador de tensão adicional Rad/s ou Hz

q Carga C

Relutância do caminho magnético

−1

Resistência do indutor de filtragem

Ω

Resistência de carga do retificador monofásico

Ω

Resistência dos enrolamentos do primário do

transformador

Ω

Resistência total dos enrolamentos do

transformador

Ω

Potência aparente da carga VA

Ganho do sensor de corrente no primário do

transformador

(adimensional)

Ganho do sensor de corrente usado na malha de

tensão adicional

(adimensional)

Período de comutação s

xvii

Ganho do sensor de tensão (adimensional)

Tensão na saída do bloco inversor V

abmed

Valor médio quase instantâneo da variável V

Tensão de controle aplicada ao modulador V

Cf1

Componente fundamental da tensão no capacitor C

Comin

Tensão mínima no capacitor de saída do retificador V

Tensão no barramento de entrada do inversor V

imax

Tensão máxima do barramento de entrada do

inversor

Tensão de entrada do retificador V

ipk

Valor de pico da tensão de entrada do retificador V

min

Tensão mínima do barramento de entrada do

inversor

Tensão na saída do filtro L-C V

Tensão de pico na saída do filtro L-C V

Tensão de saída do retificador monofásico V

Tensão de pico da onda triangular V

pri

Tensão no primário do transformador V

ref

Tensão de referência V

ripple

Curva da ondulação de tensão de saída do inversor V

sec

Tensão no secundário do transformador V

sensor

Tensão nos terminais do sensor de tensão V

tri

Onda triangular de tensão V

tri2

Onda triangular de tensão complementar a V

tri

Freqüência angular da fundamental de tensão na

saída do inversor

rad/s

Freqüência angular de comutação dos interruptores rad/s

Zero do controlador de tensão PID Rad/s ou Hz

i

Valor de pico a pico da ondulação de corrente no

indutor L

i

Lfmax

Valor máximo de pico a pico da ondulação de

corrente em L

V

Valor de pico a pico da ondulação de tensão em C

xviii

V

Cfmax

Valor máximo de pico a pico da ondulação de

tensão em C

Símbolos Usados para Referenciar Elementos de Circuitos

Símbolo Significado

C Capacitor

L Indutor

R Resistor

S Interruptor

D Diodo

Abreviaturas

Significado

CC-CA Corrente contínua – corrente alternada

IGBT Insulated gate bipolar transistor

MOSFET Metal-oxide-semiconductor field-effect-transistor

PWM Pulse width modulation

SPWM Sinusoidal pulse width modulation

THD Taxa de distorção harmônica total

Introdução

Os conversores encontrados na eletrônica de potência são circuitos eletrônicos

responsáveis por converter energia elétrica de um nível de tensão, de corrente e de

freqüência para outro utilizando interruptores eletrônicos. A característica essencial destes

circuitos é que os interruptores operam somente em condução ou em bloqueio. Através de

modulação adequada e do emprego de determinada topologia, pode-se converter energia

elétrica com rendimento elevado, diferentemente do que ocorre quando se utilizam

interruptores operando na região ativa.

Os inversores, ou conversores CC-CA, são responsáveis pela conversão de níveis

contínuos de tensão ou corrente em níveis alternados em sua saída, apresentando simetria

em amplitude. A freqüência de operação pode ser fixa ou variável. Dentre as aplicações

onde a freqüência de operação é variável destaca-se o controle de velocidade de motores.

Fontes de alimentação para sistemas embarcados e fontes ininterruptas de energia figuram

entre as principais aplicações quando a freqüência de operação é fixa.

Os inversores podem ser classificados em dois grupos: inversores de tensão e

inversores de corrente. Os conversores CC-CA de tensão têm como entrada uma fonte de

tensão ou um capacitor de valor elevado para substituí-la. De maneira análoga, os

conversores CC-CA de corrente apresentam na sua entrada uma fonte de corrente ou um

indutor de valor elevado que caracterize este efeito. São diversas as topologias

desenvolvidas resultantes da intensiva pesquisa realizada nesta área. Entre as topologias

monofásicas destacam-se os conversores CC-CA em ponte completa, em meia ponte e do

tipo push-pull.

A estrutura em ponte completa é a mais utilizada e adequada para potências

elevadas, por possuir características interessantes em relação a esforços de corrente e

tensão, dentre outros fatores. Na estrutura não isolada, o valor de pico da senóide de saída

é inferior ao valor da tensão contínua de entrada. Para elevar a tensão de saída deve-se

introduzir um transformador no circuito.

Inversores de tensão senoidais são responsáveis por fornecer uma tensão senoidal

em sua saída. Entretanto, a operação dos interruptores em alta freqüência produz na saída

do inversor interferências (harmônicos) indesejáveis. Para tanto, usualmente é empregado

um filtro do tipo L-C na saída do estágio inversor para que o conteúdo harmônico seja

filtrado e somente a parcela referente à freqüência fundamental esteja disponível na saída.

Normalmente também se faz necessária a inclusão de uma malha de controle de tensão

para que eventuais perturbações não se reflitam na saída do inversor, preservando sua

forma de onda senoidal.

Especialmente em aplicações de fontes ininterruptas de energia são encontradas

cargas não-lineares, presentes em quase todos os estágios de entrada de equipamentos

eletrônicos. As cargas não-lineares contribuem de maneira significativa para a distorção da

forma de onda da tensão de saída do inversor. Para que a distorção harmônica se mantenha

em um nível tolerável, deve ser utilizada uma malha de controle da tensão de saída com

resposta transitória rápida, bem como um projeto adequado do filtro de saída do inversor.

O presente trabalho tem por objetivo principal o desenvolvimento de uma

metodologia de projeto de inversores em ponte completa monofásicos de tensão senoidais

com baixa distorção harmônica total (THD) da tensão de saída alimentando cargas não-

lineares do tipo retificador monofásico com filtro capacitivo. Ainda, deseja-se que a

metodologia seja de fácil aplicação e que minimize os esforços de corrente nos

semicondutores e nos demais componentes do sistema, sem prejudicar a forma de onda de

saída. A metodologia será desenvolvida para as duas modulações mais utilizadas

atualmente: modulação por largura de pulso senoidal de dois e três níveis (bipolar e

unipolar).

As motivações que impulsionaram este trabalho se concentram na inexistência na

literatura de uma metodologia completa de projeto de inversores quando cargas não-

lineares são utilizadas, não obstante o fato de que a estrutura já esteja em desenvolvimento

há alguns anos. Na literatura as contribuições referentes a esse tópico se concentram em

pontos específicos do projeto, como a determinação dos componentes do filtro L-C e

métodos alternativos de controle. É objetivo deste trabalho obter vantagem da interação

entre os mais variados tópicos de projeto do inversor, tais como o transformador, filtro L-C

e o controle do inversor a fim de se buscar melhores resultados.

O texto é dividido em sete capítulos. Após a Introdução, o inversor monofásico de

tensão será apresentado no Capítulo 2. Equações fundamentais, modelos matemáticos

incluindo as malhas de tensão e corrente e o problema da saturação do núcleo do

transformador serão assuntos abordados.

O estudo do retificador monofásico de tensão com filtro capacitivo como carga

não-linear será apresentado no Capítulo 3. Dois modelos serão equacionados, de onde

algumas características importantes serão extraídas para serem aproveitadas nos capítulos

subseqüentes.

No Capítulo 4 será abordado o estudo do filtro L-C do inversor. As equações

fundamentais, bem como restrições de projeto referentes ao uso da carga não-linear serão

desenvolvidas.

A análise da influência do transformador no sistema será abordada no Capítulo 5.

Tem-se como ponto mais importante a determinação da melhor relação de transformação,

considerando os esforços de corrente nos componentes do sistema.

O Capítulo 6 apresenta o projeto de controle das malhas de tensão e corrente,

visando um método de controle simples e de fácil aplicação.

Após o estudo completo do inversor e da carga não-linear, a metodologia de projeto

será apresentada no Capítulo 7. Neste capítulo ainda será feito um exemplo de projeto,

onde serão mostrados os resultados de simulação e de experimentação, para que a

metodologia possa ser validada.

Por fim, a Conclusão traça um apanhado geral de tudo o que é abordado neste

trabalho.

Capítulo 2 – Inversor Monofásico de Tensão

2.1 Introdução

Neste capítulo serão apresentadas as principais características do inversor

monofásico de tensão em ponte completa. Serão descritas suas etapas de operação, formas

de onda e as estratégias de modulação mais empregadas.

Além disso, será apresentado o modelo matemático do inversor e o problema da

saturação do núcleo do transformador. A partir destes tópicos, as malhas de tensão e

corrente vão ser introduzidas no texto.

2.2 Inversor de Tensão Monofásico em Ponte Completa

O inversor de tensão monofásico em ponte completa, se comparado a outras

estruturas inversores na mesma aplicação, apresenta grande versatilidade e características

únicas, como os baixos esforços de corrente e de tensão nos interruptores, tornando esta

topologia natural para aplicações em potências normalmente acima de 1 kVA. A principal

desvantagem dessa estrutura se concentra na necessidade de se empregar quatro

interruptores. Além disso, os sinais de comando devem ser isolados, pois não possuem a

mesma referência no circuito [4].

A Fig. 2.1 mostra o circuito de potência deste inversor, onde os interruptores S

, S

e S

são acionados de acordo com uma estratégia de modulação, de modo que a

única restrição concerne à condução simultânea dos interruptores S

e S

ou S

e S

. L

representa o indutor e C

o capacitor do filtro de saída do inversor. O transformador se

situa entre o bloco inversor e o filtro, sendo n sua relação de transformação. V

representa a

tensão do barramento de entrada, que pode ser uma bateria, por exemplo.

Fig. 2.1 – Inversor em ponte completa.

2.3 Estratégias de Modulação

O princípio de funcionamento do inversor de tensão está intimamente ligado a

uma estratégia de modulação que, segundo [1], é o processo de mudança de estado dos

componentes eletrônicos em um conversor. Diversas são as estratégias de modulação

propostas, entre as quais se podem citar a modulação por pulso único, por largura de pulsos

múltiplos e iguais entre si, por largura de pulsos otimizada (PWM otimizada) e por largura

de pulso senoidal (SPWM) [22].

A modulação por largura de pulso varia a razão cíclica aplicada aos interruptores

em uma alta freqüência de comutação com o intuito de suprir uma determinada tensão ou

corrente na saída em baixa freqüência, ou seja, tem-se como objetivo criar uma seqüência

de pulsos que devem ter o mesmo valor fundamental de uma referência desejada. Todavia,

nesta seqüência de pulsos existem componentes harmônicos indesejados que devem ser

minimizados.

Entre os pontos positivos da vasta utilização da SPWM na indústria destacam-se a

operação em freqüência fixa e o conteúdo harmônico deslocado para altas freqüências

utilizando-se uma portadora. O emprego de freqüência fixa aperfeiçoa o projeto dos

componentes magnéticos, tendo em vista que em aplicações onde a freqüência é variável

os componentes magnéticos devem ser projetados para toda a faixa de freqüência utilizada.

Quando o conteúdo harmônico se concentra nas altas freqüências tem-se uma diminuição

de dimensão, peso e custo dos componentes do filtro.

Na SPWM de dois níveis, também conhecida como SPWM bipolar, o sinal de

referência V

ref

é comparado com um sinal triangular V

tri

na freqüência de comutação de

modo a se obter os pulsos de comando para os interruptores do inversor. No caso do

inversor em ponte completa, quando o valor de referência é maior do que o valor da

portadora, o respectivo braço comandado é comutado para o valor da tensão contínua do

barramento de entrada. Quando o valor de referência é menor que o valor da portadora

tem-se o valor da tensão de entrada invertido na saída do estágio inversor. A Fig. 2.2

mostra a comparação dos sinais V

tri

e V

ref

e a respectiva tensão na saída do bloco inversor

A largura dos pulsos enviados para os interruptores depende da amplitude da

referência senoidal de tensão, fazendo com que a tensão V

tenha uma componente

fundamental na mesma freqüência da tensão de referência e os harmônicos deslocados em

torno da freqüência da portadora V

tri

. Esta modulação apresenta a característica de possuir

um único comando para cada dois interruptores, como por exemplo, S

e S

. Nos outros

dois interruptores pode-se usar, idealmente, um comando complementar.

De maneira similar, a modulação por largura de pulso senoidal de três níveis, ou

SPWM unipolar, também visa deslocar o conteúdo harmônico para as altas freqüências. A

diferença é que os interruptores S

e S

ou S

e S

também podem conduzir

simultaneamente.

O sinal de referência V

ref

é comparado com um sinal triangular V

tri

na freqüência

de comutação de modo a se obter os pulsos de comando para os interruptores de um braço

do inversor, S

e S

, por exemplo. Já os pulsos de comando para o outro braço são obtidos

através da comparação do sinal de referência com uma outra portadora triangular V

tri2

complementar a V

tri

. A modulação por largura de pulso senoidal unipolar pode ser

visualizada na Fig. 2.3.

Embora se utilize a portadora triangular, pode-se aplicar uma portadora do tipo

dente-de-serra. A diferença entre esses tipos de portadoras é apresentada em [1], onde é

mostrado que a portadora do tipo dente-de-serra apresenta resultados inferiores com

relação ao espectro harmônico da tensão V

, tanto para a modulação unipolar quanto para

a bipolar.

Observando-se as Fig. 2.2 e Fig. 2.3 nota-se que o número de pulsos na tensão V

é duas vezes maior na modulação três níveis do que o encontrado na dois níveis, para a

mesma freqüência de comutação. Este número está diretamente relacionado com a

freqüência das harmônicas de V

A modulação SPWM unipolar apresenta muitas vantagens perante a bipolar.

Primeiramente, a ondulação de corrente e tensão nos componentes do filtro de saída é

significativamente menor, o que reduz os componentes passivos usados na filtragem do

sinal de saída. Apresenta também menores perdas nos interruptores e emissões

eletromagnéticas reduzidas, haja vista que as derivadas de corrente e tensão são menores,

pois a tensão V

varia somente V

em cada transição, enquanto na SPWM bipolar a

variação é de 2V

[7]. O desempenho com relação ao espectro harmônico da tensão V

também apresenta resultado superior [1].

Fig. 2.2 – PWM senoidal bipolar.

Fig. 2.3 – PWM senoidal unipolar.

2.4 Etapas de Operação

As etapas de operação do conversor em ponte completa dependem da modulação

empregada e da carga. Como carga do inversor tem-se o filtro L-C com um retificador

monofásico de onda completa com filtro capacitivo na saída. Sabe-se que a carga do

inversor de tensão deve possuir característica de fonte de corrente. Portanto, para efeitos de

simplificação, na descrição das etapas a seguir considera-se a carga como uma fonte de

corrente de valor I

. O interruptor será considerado ideal tendo um diodo ideal em

antiparalelo.

2.4.1 SPWM Bipolar

Nesta modulação, o inversor apresenta quatro etapas de operação, sendo que cada

semiciclo da tensão de saída é responsável por duas etapas. Considera-se que durante todo

o semiciclo positivo a corrente não muda de sentido na carga. Após se inverter, permanece

no mesmo sentido durante todo o semiciclo negativo da tensão de saída. As etapas de

operação referentes ao semiciclo negativo da tensão de saída não serão descritas por serem

análogas às do semiciclo positivo.

Na primeira etapa de operação os interruptores S

e S

conduzem a corrente de

carga. Os demais semicondutores encontram-se bloqueados. A Fig. 2.4 representa esta

etapa.

Fig. 2.4 – Primeira etapa.

A segunda etapa de operação se inicia em t

com o bloqueio dos interruptores S

. Os diodos D

e D

são polarizados diretamente e assumem a corrente de carga. Apesar

dos interruptores S

e S

serem comandados a conduzir em t

, a corrente não muda de

sentido durante este semiciclo fazendo com que os mesmos não conduzam. A segunda

etapa pode ser visualizada na Fig. 2.5.

Fig. 2.5 – Segunda etapa

Após o comando dos interruptores S

e S

ser interrompido em t

, os interruptores

e S

são comandados a conduzir em t

e tem-se novamente a primeira etapa de operação,

já ilustrada na Fig. 2.4.

A forma de onda da tensão V

, referente ao semiciclo positivo da tensão de saída

do filtro, é mostrada na Fig. 2.6. Utilizam-se os tempos descritos nas etapas de operação

sem se preocupar com a escala, visando uma melhor visualização das etapas. O conversor é

considerado operando em um índice de modulação arbitrário.

Fig. 2.6 – Forma de onda da tensão V

e comando dos interruptores.

Na descrição das etapas de operação do inversor considerou-se a carga como

sendo uma fonte de corrente que mudava de sentido conforme o semiciclo da tensão de

saída. No caso de uma carga com característica indutiva as etapas de funcionamento do

inversor mudam quando há regeneração de energia, pois a corrente de carga estaria, neste

caso, defasada da tensão V

2.4.2 SPWM Unipolar

O inversor apresenta oito etapas de operação com o emprego desta modulação,

sendo quatro referentes ao semiciclo positivo da tensão de saída e quatro ao semiciclo

negativo. Ressalta-se que os interruptores e diodos são considerados ideais. As etapas de

operação referentes ao semiciclo negativo da tensão de saída não serão descritas por serem

análogas às do semiciclo positivo.

Na primeira etapa de operação os interruptores S

e S

conduzem a corrente de

carga. Os demais semicondutores encontram-se bloqueados. A Fig. 2.7 representa esta

etapa.

Fig. 2.7 – Primeira etapa.

O interruptor S

é bloqueado em t

habilitando o diodo D

a entrar em condução,

iniciando a segunda etapa de operação. Nota-se que devido ao sentido da corrente da carga,

o interruptor S

não chega a conduzir, mesmo comandado em t

. Apresenta-se então uma

roda livre na carga. A segunda etapa está representada na Fig. 2.8.

Fig. 2.8 – Segunda etapa.

Em t

o interruptor S

é bloqueado e em t

o interruptor S

é novamente

comandado a conduzir assumindo a corrente que circulava pelo diodo D

, iniciando a

terceira etapa de operação, que é idêntica à primeira e está representada na Fig. 2.7.

Na quarta etapa de operação o interruptor S

é bloqueado em t

e o diodo D

entra

em condução assumindo a corrente de carga. O interruptor S

, apesar de comandado em t

não chega a conduzir devido ao sentido da corrente. Esta etapa está apresentada na Fig.

2.9.

Fig. 2.9 – Quarta etapa.

Em t

o interruptor S

é bloqueado e em t

o interruptor S

é novamente

comandado a conduzir assumindo a corrente que circulava pelo diodo D

. Tem-se

novamente a primeira etapa de operação.

A forma de onda da tensão V

, referente ao semiciclo positivo da tensão de saída

do filtro, é mostrada na Fig. 2.10, considerando o conversor operando em um índice de

modulação arbitrário. Da mesma maneira, utilizam-se os tempos descritos nas etapas de

operação sem preocupar-se com a escala, visando uma melhor visualização das etapas.

Como mencionado na modulação bipolar, considerou-se a carga como sendo uma

fonte de corrente que mudava de sentido conforme o semiciclo da tensão de saída. No caso

de uma carga com característica indutiva, as etapas de funcionamento do inversor mudam

quando há regeneração de energia.

Fig. 2.10 – Forma de onda da tensão V

e comando dos interruptores.

2.5 Modelo Matemático do Inversor

O equacionamento do modelo matemático do inversor em ponte completa

depende da modulação imposta aos seus interruptores. O modelo pode ser dividido em

duas funções de transferência que abrangem os pontos de interesse no controle do inversor.

É imprescindível definir uma função envolvendo a tensão de saída em relação à função de

modulação. Isto ocorre porque o fator preponderante desta aplicação consiste em se obter

uma tensão senoidal com baixo teor harmônico na saída do inversor. Portanto, não se pode

controlar esta variável de forma indireta. A função de modulação está diretamente

relacionada com a tensão de controle que é aplicada na entrada do modulador.

Outra função envolvendo uma parcela da corrente no primário do transformador

deve ser desenvolvida tendo em vista a necessidade de evitar a saturação do núcleo pelo

cancelamento da corrente média no primário. As análises desta função de transferência,

bem como do problema da saturação do núcleo, serão desenvolvidas neste tópico.

A partir da determinação das duas funções de transferência pode-se controlar a

tensão de saída, cumprindo requisitos como limites de ondulação e tempo de resposta,

quando especificados, mantendo uma forma de onda senoidal com baixa distorção

harmônica. Pode-se também eliminar o efeito de saturação do núcleo do transformador,

anulando a componente média da corrente magnetizante.

2.5.1 Malha de Tensão

O esquema simplificado do circuito do inversor de tensão está mostrado na Fig.

2.11, onde V

é a tensão de controle aplicada ao modulador SPWM.

Fig. 2.11– Circuito do inversor de tensão.

A razão cíclica é definida como a razão entre o tempo em que um determinado

interruptor conduz e o seu respectivo período de comutação [2]. Portanto tem-se como

valor mínimo zero e valor máximo 1. A razão cíclica dos interruptores S

e S

é a mesma

para modulação por largura de pulso senoidal bipolar. De maneira análoga os interruptores

e S

também apresentam a mesma razão cíclica nesta modulação. As equações (2.1) e

(2.2) definem as razões cíclicas aplicadas aos interruptores S

e S

, e S

e S

respectivamente. T

é o período de comutação dos interruptores.

()

(

)

∆



(2.1)

()

(

)

∆



(2.2)

A razão cíclica aplicada aos interruptores do inversor varia de acordo com uma

função de modulação. No caso da SPWM de dois níveis, a função de modulação de cada

conjunto de interruptores e suas respectivas razões cíclicas estão relacionadas segundo as

equações (2.3) e (2.4).

()

(

)

dt=+ (2.3)

()

(

)

dt=− (2.4)

Para que esta relação seja válida, a freqüência de comutação dos interruptores

deve ser alta a ponto que a função de modulação e a razão cíclica dos interruptores

poderem ser consideradas constantes no equacionamento [5].

A função de modulação neste caso varia de -1 a 1. Quando 1

f = tem-se

0d = , ou seja, razão cíclica máxima nos interruptores S

e S

e mínima em S

e S

Quando 1

f =− ocorre o contrário. A partir de uma função de modulação específica

como, por exemplo, uma senóide ou o sinal de saída de um compensador, pode-se variar a

razão cíclica dos interruptores de modo a se obter uma tensão desejada na sua saída.

A forma de onda da tensão nos terminais de entrada do filtro L-C está apresentada

na Fig. 2.12, utilizando SPWM bipolar. O valor médio quase instantâneo é definido como

sendo o valor médio da variável em um período de comutação. Pode-se determinar o valor

médio quase instantâneo da variável V

Fig. 2.12 – Tensão nos terminais de entrada do filtro.

abmed i i

VnVnV

∆

⋅⋅ − ⋅⋅

(2.5)

(

)

(

)

(

)

12abmed i i

V t d t nV d t nV

⋅⋅ − ⋅⋅

(2.6)

Considerando a função de modulação constante em cada período de comutação

encontra-se a relação entre a tensão média quase instantânea na entrada do filtro do

inversor em relação à função de modulação.

(

)

(

)

abmed m i

VtftnV

⋅⋅

(2.7)

Mostra-se também, que utilizando SPWM unipolar, o valor da tensão média

instantânea V

abmed

é idêntico ao encontrado na equação (2.7). A forma de onda da tensão

nos terminais de entrada do filtro, no semiciclo positivo da tensão de saída do filtro, está

apresentada na Fig. 2.13, utilizando-se PWM senoidal de três níveis. Pode-se determinar a

tensão média quase instantânea V

abmed

Fig. 2.13 – Tensão nos terminais de entrada do filtro.

abmed i

VnV

∆

⋅⋅ (2.8)

Conforme a figura,

∆

refere-se à condução simultânea de S

e S

enquanto

−∆

refere-se à condução simultânea dos interruptores S

e S

ou S

e S

. Portanto,

estas relações não podem ser confundidas com a razão cíclica dos interruptores, apesar de

estarem diretamente relacionadas. Da figura ainda tem-se a relação apresentada na equação

(2.9), considerando as etapas de funcionamento no semiciclo positivo apresentadas

anteriormente e onde d

é a razão cíclica dos interruptores S

e S

. Deve-se ressaltar que a

razão cíclica é calculada utilizando-se dois períodos de comutação em decorrência da

modulação unipolar empregada. A razão cíclica dos interruptores S

e S

, definida como

, é dada pela equação (2.10).

−

∆

⋅

(2.9)

∆

⋅

(2.10)

(

)

∆

=⋅−⋅

(2.11)

Apesar do comando dos interruptores se apresentar de forma diferente da

modulação bipolar, a relação entre a razão cíclica e a função de modulação é a mesma.

Para os interruptores S

e S

tem-se a expressão (2.12) e para os interruptores S

e S

expressão (2.13), considerando-se o semiciclo positivo.

() ()

()

dt f t=⋅+

(2.12)

() ()

()

dt ft=⋅−

(2.13)

A partir das equações (2.8) e (2.11) tem-se a equação (2.14). Substituindo a

equação (2.13) em (2.14) tem-se a equação (2.15), que representa a relação entre a tensão

média quase instantânea na entrada do filtro do inversor em relação à função de

modulação. No semiciclo negativo tem-se o mesmo resultado.

(

)

(

)

(

)

abmed i

Vt dtnV

−⋅ ⋅⋅

(2.14)

(

)

(

)

abmed m i

VtftnV

⋅⋅

(2.15)

A equação (2.15) mostra que a tensão V

segue a função de modulação imposta

com um ganho de

⋅

. Todavia, como mencionado, a freqüência de comutação deve ser

muita alta perante as variações na função de modulação a ponto que durante cada período

de comutação a função de modulação possa ser considerada constante.

A transformada de Laplace pode ser então empregada na equação (2.15) a fim de

se determinar a função de transferência entre a tensão de entrada do filtro e a função de

modulação. Considerando as variações na tensão de entrada nulas tem-se a equação (2.16).

(

)

()

abmed

⋅

(2.16)

A função de transferência entre a tensão de saída do inversor e a função de

modulação é obtida através do equacionamento do circuito equivalente mostrado na Fig.

2.14, onde r

representa a resistência do indutor de filtragem. A tensão V

é modelada

como uma fonte de tensão controlada pela variável f

. A resistência série equivalente do

capacitor não é introduzida no modelo tendo em vista que são utilizados capacitores de

polipropileno que se caracterizam por possuir uma resistência série equivalente muito

baixa.

Considera-se a impedância de carga infinita pelo fato de que o efeito da carga

não-linear será modelado como uma perturbação. Em outras palavras, será feita uma

superposição do inversor operando em aberto com o efeito provocado pela carga não-

linear, que em termos de malha de tensão, nada mais é do que a soma de uma tensão igual

()

di t

⋅

à tensão do indutor do filtro de saída do inversor, onde i

(t) representa a

corrente da carga.

Fig. 2.14 – Circuito equivalente do filtro de saída do inversor.

As equações de malha e de nó para o circuito equivalente são dadas pelas

equações (2.17) e (2.18).

()

(

)

() ()

ff f

mif LLC

di t

tnV L r i t V t

⋅⋅ = ⋅ + ⋅ +

(2.17)

()

(

)

dV t

itC

=⋅

(2.18)

Aplicando-se a transformada de Laplace nas equações (2.17) e (2.18) determina-

se a função de transferência entre a tensão de saída e a função de modulação, considerando

as variações da tensão de entrada nulas e uma impedância infinita na saída.

()

mffLf

fs sLC srC

⋅

⋅+⋅⋅+

(2.19)

Como se utiliza um controle retroativo, a tensão proveniente do controlador é

inserida no modulador, que é responsável por transformar a função de modulação nos

pulsos adequados de comando para os interruptores. A Fig. 2.15 mostra as formas de onda

do sinal modulador e da tensão de controle, em um dado instante, considerando a

freqüência de comutação muito elevada. A portadora utilizada é do tipo triangular com

amplitude fixa e opera na freqüência de comutação dos interruptores.

Fig. 2.15 – Sinal triangular e de controle.

Conforme [8], o comportamento da tensão de saída do modulador é definido pela

equação (2.20), onde V

representa a tensão de pico da onda triangular (portadora) e V

(t) é

a tensão proveniente do compensador.

()

(

)

(2.20)

Portanto, a função de transferência da tensão de saída em relação à tensão de

controle, desconsiderando a influência da carga, é dada pela equação (2.21).

()

cpffLf

Vs V sLC sr C

⋅

=⋅

⋅

⋅+⋅⋅+

(2.21)

A carga influi na dinâmica do sistema em decorrência da queda de tensão no

indutor do filtro L-C provocada pela derivada da corrente da carga. Esta influência é ainda

maior quando cargas não-lineares são empregadas devido à alta derivada da corrente.

Portanto, é importante incluir esta relação no diagrama de blocos da malha de tensão, que é

mostrado na Fig. 2.16, onde T

é o ganho do transdutor de tensão e C

(s) é a função de

transferência do compensador de tensão.

Fig. 2.16 – Diagrama de blocos da malha de tensão.

A estratégia de controle adotada consiste em medir a tensão de saída com um

sensor de tensão. Em seguida, o sinal é comparado com a uma referência de tensão

senoidal. O sinal de erro é levado ao controlador, que deve estar projetado para manter

uma tensão senoidal com baixa distorção harmônica na saída do filtro L-C.

Pode ser observado que a perturbação gerada pela corrente da carga muda o

comportamento de todo o sistema. Exemplificando, se a carga fosse uma resistência pura, a

função de transferência entre a corrente da carga e a tensão de saída seria dada pela

equação (2.22).

(

)

()

Vs R

(2.22)

Substituindo a equação (2.22) no diagrama de blocos da Fig. 2.16 e efetuando

operações com os blocos chega-se ao diagrama da Fig. 2.17, que representa a malha de

tensão do inversor para uma carga resistiva. Se não fosse utilizada a conexão referente à

perturbação, o mesmo diagrama poderia ser obtido considerando a carga resistiva durante a

determinação da equação (2.19).

Fig. 2.17 – Diagrama de blocos da malha de tensão para uma carga resistiva pura.

Portanto, o princípio da superposição adotado no diagrama de blocos da Fig. 2.16

pode representar o sistema, sendo muito útil para determinar o comportamento do inversor

perante uma carga não-linear, onde a relação entre a corrente da carga e a tensão de saída

não pode ser determinada em termos da transformada de Laplace.

Deve-se ainda ressaltar que o conhecimento da máxima derivada positiva e

negativa de corrente da carga é um fator muito importante no projeto do inversor, pois a

derivada está diretamente relacionada à queda de tensão no indutor de filtragem. Se a

queda de tensão for relevante, a tensão de saída pode ficar com aspecto achatado mesmo

com a ação de controle saturada.

2.5.2 Malha de Corrente

No modo de operação ideal do inversor em ponte completa a tensão média no

primário do transformador é nula. Contudo, imperfeições no circuito de comando, no

modulador e dos próprios interruptores, ou seja, perturbações podem causar um

desbalanceamento da tensão no primário do transformador de modo que os componentes

do circuito podem ser danificados. Isto ocorre porque a componente contínua de tensão

pode saturar o núcleo do transformador.

A Fig. 2.18 mostra o circuito equivalente em “L” [23] do transformador com os

parâmetros referidos ao primário, onde se considera que a resistência dos enrolamentos

pode ser representada por um parâmetro localizado e que a permeabilidade do núcleo é

constante. Não serão consideradas as perdas ativas no núcleo e perdas relativas a

capacitâncias parasitas nos enrolamentos. A partir do circuito tem-se a equação (2.23),

onde r

é a resistência total dos enrolamentos, L

dis

é a indutância de dispersão e L

é a

indutância magnetizante, todas referidas ao primário.

() ()

(

)

()

11 1

st dis

di t

vt rit L et

=⋅ + ⋅ +

(2.23)

Da lei de

Ampère tem-se a equação (2.24), onde F(t) é a força magnetomotriz.

Como a força magnetomotriz é dada pela equação (2.25), onde

R é a relutância do caminho

magnético, tem-se (2.26) [24].

(

)

(

)

(

)

11 2 2

Ft nit n i t=⋅ −⋅ (2.24)

(

)

(

)

ttR

Φ⋅ (2.25)

()

(

)

(

)

11 2 2

nit nit

⋅−⋅

Φ=

(2.26)

A lei de

Faraday relaciona a tensão induzida em um enrolamento com o fluxo

total que passa pelo interior do enrolamento conforme a equação (2.27). Substituindo a

equação (2.27) em (2.26) e depois em (2.23) tem-se a equação (2.28).

()

(

)

et n

=⋅

(2.27)

() ()

()

() ()

st dt

dit it

di t

vt rit L

dt R dt

⎛⎞

−⋅

⎜⎟

⎝⎠

=⋅ + ⋅ + ⋅

(2.28)

Fig. 2.18 – Circuito equivalente do transformador.

Conforme a Fig. 2.18 e a equação (2.28), quando existe uma componente contínua

de tensão sobre os terminais do primário do transformador (v

(t)), tem-se uma componente

contínua de corrente circulando no circuito. A tensão e

(t) não apresenta componente

contínua, o que ocasionaria a saturação do núcleo, pois a relação da expressão (2.27) deve

ser respeitada. A tensão contínua fica então sobre a resistência dos enrolamentos.

O efeito desta componente contínua de corrente é de gerar uma componente

contínua no fluxo mútuo concatenado do transformador, conforme a equação (2.26). Com

isso, o fluxo pode se aproximar do seu limite de saturação, conforme mostrado na Fig.

2.19. Existe, portanto, um valor tolerável de corrente contínua que pode circular no

primário do transformador sem que o núcleo sature. Este valor depende da relutância do

caminho magnético, do número de espiras do primário e da densidade máxima do fluxo

magnético. Todavia, esta componente contínua deve ser evitada.

Fig. 2.19 – Tensão no primário do transformador e fluxo mútuo em função do tempo.

No caso da existência de uma componente contínua de tensão relevante aplicada

no primário do transformador, de modo que a respectiva componente contínua de corrente

gerada provoque a saturação do núcleo, a relutância do caminho magnético aumenta, pois

o fluxo magnético passa a circular pelo ar. Com isso, a indutância do transformador

diminui na mesma proporção. Assim, com uma indutância menor e com a mesma tensão

aplicada no primário do transformador, a corrente circulando pelo inversor aumenta, o que

pode danificar vários componentes não dimensionados para tal esforço. Além disso, existe

o fato de que o circuito não estará transferindo energia entre o primário e o secundário do

transformador, caracterizando uma operação não modelada do inversor.

Para eliminar este problema pode-se utilizar um capacitor de desacoplamento. A

tensão média fica sobre o capacitor, não existindo componente contínua de corrente.

Entretanto, a operação do inversor em potências elevadas requer um capacitor grande, o

que inviabiliza esta solução.

Pode-se ainda implementar uma malha de controle que observe a corrente no

primário do transformador, ou outra variável equivalente, e atue de tal maneira que a

corrente média na indutância magnetizante do transformador seja sempre nula.

Opta-se por medir e controlar a corrente no primário. Esta escolha deve-se ao fato

que o sensor de corrente pode também ser usado para fins de proteção. Além disso, o

controle da corrente é mais robusto. Uma sugestão seria o controlador desta malha de

corrente atuar no mesmo modulador usado pela malha de tensão, desde que as dinâmicas

das malhas de tensão e corrente estejam desacopladas. Outra sugestão seria somar o sinal

do controlador de corrente com a referência de tensão.

Em termos da análise da malha de corrente, a corrente no primário do

transformador será decomposta em três componentes, todas relacionadas à tensão no

primário do transformador (V

pri

) e à tensão de controle (V

), que é o sinal de entrada do

modulador. A primeira componente é a corrente gerada pela tensão aplicada nos terminais

do primário do transformador, ou seja, sobre a indutância magnetizante e a resistência dos

enrolamentos. Esta componente nada mais é do que a corrente magnetizante do

transformador. A segunda componente é a corrente do filtro de saída do inversor operando

sem carga, referida ao primário do transformador. A corrente da carga do inversor, também

referida ao primário, será a terceira componente da corrente total no primário.

A Fig. 2.20 mostra o circuito equivalente para a obtenção da função de

transferência que relaciona a corrente na indutância magnetizante e a função de

modulação. A tensão média instantânea na saída do circuito inversor, porém antes do

transformador, é dada por

()

⋅

e pode ser modelada como uma fonte de tensão

controlada. L

é a indutância magnetizante do transformador referida ao primário e r

é a

resistência dos enrolamentos do primário. A indutância de dispersão do primário não é

considerada porque seu valor é pequeno perante o valor da indutância magnetizante.

Fig. 2.20 – Circuito equivalente do primário do transformador.

A equação de malha para o circuito equivalente mostrado na Fig. 2.20 é dada pela

equação (2.29).

() () () ()

mLm m i sLm

LitftVtrit

⋅=⋅−⋅

(2.29)

Substituindo a equação (2.20) em (2.29) e aplicando a transformada de Laplace,

considerando as variações da tensão de entrada nulas, obtém-se a equação (2.30), que é a

função de transferência da corrente na indutância magnetizante pela tensão de controle.

Pode-se também representar a função de transferência entre a corrente magnetizante e a

tensão no primário do transformador pela equação (2.31).

(

)

()

cpms

Vs V sL r

=⋅

⋅

(2.30)

(

)

()

pri m s

Vs sLr

⋅

(2.31)

A função de transferência entre a corrente na indutância do filtro de saída e a

tensão de controle, para uma impedância infinita na saída, é dada pela equação (2.32). Esta

função é determinada através da equação (2.21), que representa a tensão sobre o capacitor

do filtro em relação à tensão de controle. Como neste caso considera-se o inversor

operando sem carga, a corrente na indutância do filtro é igual a corrente do capacitor.

Todavia, basta multiplicar a referida função por

⋅

()

cpffLf

Vs V sLC sr C

⋅

=⋅

⋅

⋅+⋅⋅+

(2.32)

Referindo-se esta corrente ao primário do transformador, tem-se a equação

(2.33). Pode-se também representar a função de transferência entre a corrente na indutância

do filtro referida ao primário e a tensão no primário do transformador pela equação (2.34).

()

Lpri

cpffLf

Vs V sLC sr C

⋅

=⋅

⋅

⋅+⋅⋅+

(2.33)

()

Lpri

pri f f L f

nsC

Vs sLCsrC

⋅⋅

⋅

⋅+⋅⋅+

(2.34)

A estratégia de controle adotada consiste em medir a corrente no primário do

transformador com um sensor de corrente. Em seguida, o sinal precisa ser comparado a

uma referência de corrente média, que neste caso é nula. O sinal de erro é levado ao

controlador, que deve ter uma dinâmica muito lenta a fim de não afetar o controle da malha

de tensão. O sinal de controle é adicionado ou subtraído do sinal de controle do

compensador de tensão ou da referência de tensão, conforme a polaridade da perturbação

de tensão, fazendo com que o valor médio de tensão no primário tenda a zero. O diagrama

de blocos da malha de corrente está representado na Fig. 2.21, onde T

é o ganho do

transdutor de corrente, C

(s) é a função de transferência do compensador de corrente e

sec

(s) é a tensão no secundário do transformador.

Fig. 2.21 – Diagrama de blocos da malha de corrente.

Como pode ser observado, a corrente no primário do transformador foi dividida

em três componentes. As imperfeições do circuito de comando, do modulador e no

comando dos interruptores e o sinal de controle proveniente do controlador da malha de

tensão estão representados pela perturbação de tensão.

Este diagrama de blocos foi desenhado considerando que o transformador

transfere qualquer tensão e corrente entre os terminais do primário e secundário. Portanto,

este diagrama somente é válido enquanto não existir a saturação do núcleo do

transformador, ou seja, considera-se que a corrente magnetizante esteja controlada em um

patamar que garanta a não saturação do núcleo.

Sendo assim, variações provenientes de transitórios que possam refletir alguma

componente contínua entre os enrolamentos do transformador em um curto período de

tempo são aceitáveis neste modelo, desde que a corrente magnetizante seja controlada a

ponto de não cresçer o suficiente para saturar o núcleo.

Na Fig. 2.22 encontra-se o diagrama de blocos completo do inversor com as

malhas de corrente e tensão. Como pode ser observado, existe uma interação entre as

malhas. Em vista desse fato, as dinâmicas devem estar desacopladas a fim de não

interferirem no comportamento de cada malha de controle.

Fig. 2.22 – Diagrama de blocos completo com as malhas de corrente e tensão.

Pode-se ainda adotar um esquema alternativo. Ao invés do sinal de controle da

malha de corrente ser adicionado com o sinal de controle da malha de tensão, esse pode ser

somado ou subtraído com a referência de tensão. Neste esquema, o diagrama de blocos

com as malhas de corrente e tensão pode ser encontrado na Fig. 23.

Fig. 23 – Diagrama de blocos alternativo com as malhas de corrente e tensão.

2.6 Conclusão

Neste capítulo foi apresentada uma descrição do inversor monofásico de tensão,

suas principais estratégias de modulação, etapas de funcionamento e formas de onda.

Também foi apresentada a modelagem do inversor visando o controle da tensão de saída e

a eliminação da saturação do núcleo.

Pôde-se observar que a modulação SPWM unipolar, em detrimento de uma maior

complexidade na sua implementação, apresenta muitas vantagens perante a bipolar, sendo

a escolha mais apropriada neste trabalho.

No que tange ao modelo do inversor, na malha de tensão procurou-se separar o

efeito da carga sobre o sistema, tendo em vista que a relação entre a tensão de saída do

inversor e a corrente na carga é não-linear. Portanto, esta separação tornou possível a

representação do sistema através de diagrama de blocos e vai auxiliar a análise e o projeto

do compensador de tensão posteriormente.

A importância de um controle da corrente média do transformador, sobretudo em

casos onde a potência é elevada, foi ressaltada. O modelo que relaciona a corrente no

primário do transformador em relação à tensão de controle e em relação à tensão no

primário do transformador foi desenvolvido.

É importante ressaltar que a dinâmica das malhas de tensão e corrente estejam

desacopladas. A dinâmica da malha de tensão precisa ser rápida para manter a senóide de

saída com baixa distorção harmônica e ainda atender a variações de carga. A malha de

corrente, como controla a componente média da corrente magnetizante, deve ser lenta a

fim de somente adicionar ou subtrair um determinado valor contínuo ao sinal de controle

proveniente da malha de tensão. Se o sinal não for contínuo, poderá distorcer a forma de

onda aplicada ao modulador e a malha de tensão deverá compensar este efeito. Se o sinal

de controle da malha de corrente for adicionado à referência de tensão, qualquer distorção

neste sinal de controle pode resultar em uma distorção harmônica na saída do inversor.

Os modelos aqui desenvolvidos serão estudados nos capítulos subseqüentes, após

a técnica de controle ser definida. A verificação será feita através de simulação e

experimentação.

Capítulo 3 – Cargas Não-lineares

3.1 Introdução

Com a crescente demanda de equipamentos eletrônicos e lâmpadas fluorescentes

compactas nos segmentos residencial e comercial e com a grande utilização do controle de

motores de indução pelo segmento industrial, a proliferação de cargas não-lineares vem se

tornando um fator preocupante, principalmente para as companhias distribuidoras de

energia elétrica.

Isto ocorre pelo fato de que estes equipamentos produzem e injetam no sistema

harmônicas de tensão e corrente de conteúdo significante. Estas harmônicas causam um

aumento no aquecimento nos equipamentos das companhias distribuidoras e dos próprios

consumidores, além de poder levar à ressonância do sistema, entre outros fatores [9].

As cargas não-lineares se caracterizam por exibir uma relação não-linear entre a

tensão aplicada em seus terminais e a corrente por elas drenada. Entre as cargas não-

lineares monofásicas conectadas na rede elétrica, três grupos se destacam. O primeiro

grupo, com distorção harmônica total da corrente (THDI) normalmente em torno de 100%,

contém as cargas quem empregam o retificador de onda completa com filtro capacitivo

como estágio de entrada. O segundo grupo engloba as lâmpadas fluorescentes compactas

que apresentam uma THDI que varia de 15% a 140%. A utilização do controle de fase de

tiristores e triacs para controlar tensão e potência, como por exemplo, no controle de

luminosidade, de aquecimento e de motores de indução monofásicos, consiste no terceiro

grupo de cargas não-lineares monofásicas.

Considera-se neste trabalho o retificador de onda completa com filtro capacitivo

como a carga não-linear do sistema inversor. Uma justificativa de tal escolha seria a vasta

aplicação de sistemas ininterruptos de energia, haja vista que o retificador monofásico de

onda completa com filtro capacitivo é o estágio de entrada de praticamente todos os

equipamentos eletrônicos na atualidade. O retificador em estudo está representado na Fig.

3.1, onde V

representa a tensão de entrada.

A presença do indutor na entrada do retificador é justificada pela diminuição da

derivada da corrente de entrada. Em retificadores que apresentam uma indutância de

entrada insignificante, apesar das inevitáveis indutâncias parasitas, a derivada de corrente

durante a carga do capacitor de saída é muito grande [3].

O circuito retificador em estudo é responsável por transformar uma tensão

senoidal de entrada em uma tensão contínua na saída. Seus interruptores são não-

comandados e unidirecionais em corrente, de modo a não existir a possibilidade de

regeneração de energia.

Dentre suas principais características estão o baixo fator de potência, em

decorrência da corrente de entrada altamente distorcida, baixo custo, simples

implementação e procedimento de projeto já bastante difundido.

A distorção gerada pelo retificador é tão grande que, no desenvolvimento de

equipamentos que utilizam o retificador como carga, como inversores de tensão, os valores

das máximas derivadas positiva e negativa de corrente na entrada do retificador devem ser

conhecidos para que seja possível realizar tal projeto, garantindo assim que todas as

especificações sejam atendidas. Como a modelagem matemática do retificador com uma

indutância na entrada é muito complexa, na maioria das vezes o valor da derivada de

corrente é observado via simulação.

Neste Capítulo será feito um estudo do retificador monofásico de onda completa

com o objetivo de entender o seu funcionamento e também de obter equações que possam

ser úteis para o projeto do inversor. Serão analisados um circuito simplificado do

retificador e o circuito apresentado na Fig. 3.1. Os resultados do equacionamento serão

verificados via simulação e experimentação.

Fig. 3.1 – Retificador de onda completa com filtro capacitivo.

3.2 Etapas de Funcionamento

As etapas de funcionamento serão descritas considerando os diodos ideais e o

circuito operando em regime permanente.

Quando a tensão de entrada é maior do que a tensão do capacitor de saída os

diodos D

e D

entram em condução e tem-se o início da primeira etapa. O capacitor C

a carga recebem energia proveniente da fonte de alimentação. À medida que a tensão

senoidal de entrada decresce, a corrente diminui. Esta etapa termina quando a corrente se

extingue, bloqueando os semicondutores. A primeira etapa está representada na Fig. 3.2.

ipk

é o valor de pico da tensão de entrada.

Fig. 3.2 – Primeira etapa.

No período de bloqueio de todos os semicondutores tem-se a segunda etapa, onde

a carga é alimentada pelo capacitor de saída. A Fig. 3.3 representa esta etapa.

Fig. 3.3 – Segunda etapa.

A terceira etapa é análoga à primeira. Começa com a condução dos diodos D

, quando o valor absoluto da tensão de alimentação é maior do que a tensão de saída e

termina quando a corrente se extingue. A terceira etapa está ilustrada na Fig. 3.4.

O estado topológico da quarta etapa é idêntico ao encontrado na segunda etapa e

está representado na Fig. 3.3.

Fig. 3.4 – Terceira etapa.

3.3 Formas de Onda Básicas

As formas de onda, em regime permanente, das tensões de entrada e de saída e da

corrente no indutor encontram-se na Fig. 3.5. Consideram-se todos os componentes do

circuito ideais.

Fig. 3.5 – Formas de onda básicas.

3.4 Equacionamento

3.4.1 Circuito Simplificado

Simplificando o circuito da Fig. 3.1, substituindo o capacitor e o resistor de saída

por uma fonte de tensão contínua V

, obtém-se o circuito da Fig. 3.6. Esta simplificação é

feita considerando que a capacitância de saída tem um valor muito elevado, ou seja, a

ondulação de tensão na saída é nula. O inversor, conectado à entrada do circuito, é

substituído por uma fonte de tensão senoidal ideal, ou seja, sem componentes harmônicos.

Todavia, para o circuito da Fig. 3.6 funcionar de maneira correta, deve existir uma

diferença entre o valor de pico da tensão senoidal de entrada e o valor da fonte contínua de

tensão. Para o equacionamento subseqüente do circuito consideram-se ainda os

semicondutores ideais.

Fig. 3.6 – Retificador de onda completa simplificado.

A razão entre o valor de pico da senóide de entrada e a tensão contínua é definida

pela equação (3.1).

ipk



(3.1)

A condição para o início da primeira etapa de funcionamento, como visto

anteriormente, é dada pela equação (3.2), onde w

é a freqüência angular da tensão senoidal

de entrada V

(t). Com isso, encontra-se o deslocamento em radianos que deve ser usado na

tensão de entrada para o equacionamento subseqüente.

(

)

ipk r or

Vsen tV

⋅⋅= (3.2)

()

ipk

t arcsen arcsen k

⎛⎞

⋅= =

⎜⎟

⎝⎠

(3.3)

Na primeira etapa de operação a equação diferencial (3.4) rege o comportamento do

circuito retificador, onde a condição inicial é dada pela equação (3.5).

() ()

()

Lipkr

it Vsen tarcsenk k

=⋅ ⋅ ⋅+ −

(3.4)

(

)

(3.5)

Resolvendo-se a equação (3.4) tem-se a equação (3.6), que descreve o

comportamento da corrente na entrada do retificador durante a primeira etapa.

() () ()

(

)

11cos

L ipk ipk r ipk r ipk r

it V k Vk tV k tVksen t

ωωω

=⋅⋅−−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅ ⋅

⋅

(3.6)

A forma de onda da corrente

(

)

it está representada na Fig. 3.7, utilizando-se

parâmetros usuais de projeto.

Corrente no indutor L

(A)

Fig. 3.7 – Forma de onda da corrente

(

)

Sendo

t∆

definido como a largura do pulso de corrente, pode-se encontrar uma

relação entre t∆ e k resolvendo-se a equação (3.7). Esta relação é necessária, pois durante

a determinação da corrente eficaz na entrada do retificador, os termos k e

t∆

aparecem

simultaneamente. Desta forma, pode-se simplificar a referida equação.

(

)

∆

(3.7)

() ()

() () () ()

22 2 2

12cos cos

12coscos2

rrrrrr

t t t t sen t sen t

ωω

ωωωωωω

−⋅ ⋅∆+ ⋅∆

+ ⋅∆ − ⋅ ⋅∆ + ⋅∆ − ⋅ ⋅∆ ⋅ ⋅∆ + ⋅∆

(3.8)

Através da equação (3.8) pode-se observar que a largura de pulso da corrente

depende somente da razão entre as tensões de saída e entrada (k) e não de seus valores

absolutos.

Seria mais interessante mostrar todo o equacionamento do retificador em termos

da variável k. Porém, a equação (3.8) é transcendental, não sendo possível se isolar a

variável t∆ . Portanto todo o equacionamento estará em termos da largura do pulso de

corrente. A Fig. 3.8 mostra um ábaco que relaciona as variáveis mencionadas acima

usando valores usuais de projeto.

Embora possa parecer difícil entender o equacionamento em relação à largura de

pulso da corrente, deve-se ter em mente que esta largura está diretamente relacionada com

a carga do retificador. Quanto maior for a largura, maior é a potência fornecida à carga.

Fig. 3.8 – Relação entre k e

∆

A partir das equações (3.6) e (3.8) pode-se encontrar a função analítica que

descreve a corrente eficaz na entrada do circuito retificador.

(

)

,,,

Loef o r ipk

iftLV

=∆ (3.9)

A equação (3.9) não foi exibida por ser muito extensa. Nota-se que apesar da

variável k ter sido substituída por

∆

a corrente eficaz continua dependendo do valor da

tensão de pico de entrada, ou seja, a corrente eficaz não depende somente da razão entre as

tensões de entrada e saída, mas também de suas magnitudes. A Fig. 3.9 mostra o

comportamento da corrente eficaz em função da largura do pulso de corrente para alguns

valores de indutância, fixando-se a freqüência e o valor de pico da tensão de entrada.

Fig. 3.9 – Corrente eficaz na entrada do retificador.

Observa-se que com o aumento da indutância e com a redução de k, que é

inversamente proporcional à largura do pulso da corrente, a corrente eficaz de entrada do

retificador aumenta, como esperado. Ressalta-se que um aumento ou redução de k implica

em um ajuste no valor da tensão de saída, pois se está considerando o valor de pico da

tensão de entrada constante. Um gráfico mais elaborado da corrente eficaz pode ser

visualizado na Fig. 3.10.

Fig. 3.10 – Corrente eficaz na entrada do retificador em função de L

t∆

A corrente de pico é dada pela equação (3.10). A Fig. 3.11 mostra o comportamento

da corrente de pico em função de k para alguns valores de indutância, fixando-se a

freqüência e o valor de pico da tensão de entrada.

()

(

)

,,, 21 arccos2 1

pk o ipk ipk

ikLfV V k k k

=⋅⋅⋅−−⋅ ⋅−

⋅

(3.10)

Valor de pico da corrente no indutor L

(A)

Fig. 3.11 – Corrente de pico na entrada do retificador.

Fig. 3.12 – Corrente de pico na entrada do retificador em função de L

e k.

O fator de crista é a relação entre o valor de pico e o valor eficaz da corrente de

entrada [16]. Em aplicações comerciais, o fator de crista está geralmente situado em torno

de três. A partir das equações (3.10) e (3.9) pode-se determinar uma expressão para o fator

de crista.

(

)

()

,,,

Lop o r ipk

Loef o r ipk

itLV

∆

(3.11)

(

)

cripk

Fft V

=∆ (3.12)

A indutância se apresenta na mesma proporção nas equações (3.10) e (3.9),

portanto o fator de crista não é influenciado por seu valor. Este fato é facilmente verificado

via simulação. A Fig. 3.13 mostra a forma de onda do fator de crista em função da largura

do pulso de corrente, mantendo a freqüência e o valor de pico da tensão de entrada fixos.

Fig. 3.13 – Fator de crista.

Nota-se que para valores pequenos de t

∆

a corrente de pico é muito maior do que a

corrente eficaz, fazendo com que o fator de crista tenda ao infinito. Em valores de

∆

próximos a valores usuais de projeto o fator de crista fica em torno de três.

A derivada da corrente de entrada é um parâmetro importante no projeto de

inversores de tensão que utilizam o retificador como carga. Um valor elevado da derivada

de corrente causa uma alta queda de tensão no indutor de filtragem do inversor, podendo

resultar em uma distorção de tensão na saída do mesmo. A derivada da corrente de entrada

do retificador está representada na expressão (3.13).

()

() ()

(

)

cos 1

ipk

di t

ktksentk

dt L

ωω

=⋅⋅ ⋅+−⋅ ⋅− (3.13)

A forma de onda da derivada da corrente de entrada em função do tempo está

representada na Fig. 3.14. Observa-se que o valor máximo absoluto da derivada encontra-

se em tt=∆ . A máxima derivada durante a subida da corrente i

(t) é dada pela equação

(3.14) e a de descida na equação (3.15).

()

() () ()

(

)

() () ()

(

)

max

12 2 2

ipk r r r r r

sub

or r rrr

VCost t Cost t Sent

di t L

LCost t Cost t Sent

ωωωωω

⋅∆⋅−++∆⋅−⋅∆⋅−⋅∆⋅⋅∆⋅

∆

⋅ ∆⋅ −+ +∆⋅ −⋅ ∆⋅ −⋅∆⋅ ⋅ ∆⋅

(3.14)

()

() ( ) () ()()

(

)

max

cos 1

ipk

des

di t L

kt t kt sen tkt

dt L

ωω

∆

= ⋅ ∆ ⋅ ⋅∆ + − ∆ ⋅ ⋅∆ − ∆

(3.15)

0 .0005

0 . 001

0 .0015

0 . 002

0025

0 . 003

300000

200000

100000

Derivada da corrente no indutor L

(A/s)

Tempo (s)

Fig. 3.14 – Derivada da corrente de entrada.

Com todos os parâmetros definidos, a partir da interpolação da função que

relaciona o fator de crista com a largura do pulso da corrente – equação (3.12) – pode-se

determinar a derivada máxima de subida e de descida da corrente em função da potência

aparente do retificador, da tensão de entrada e do respectivo fator de crista.

Com estas funções estabelecidas gera-se um ábaco para fácil determinação das

máximas derivadas. A única restrição é que cada ábaco representa a função para uma faixa

limitada de valores de t e Fc e para uma determinada freqüência de operação, haja visto

que a freqüência deve ser definida durante a interpolação da equação (3.12).

A Fig. 3.15 representa a relação entre t e F

em uma faixa de t entre 500us e

5ms. Conseqüentemente, o fator de crista varia entre 1,96 e 6,19. Utiliza-se 9000 pontos na

interpolação, o que confere uma boa precisão. A freqüência de operação utilizada é de 60

Hz. A função interpolada encontra-se na equação (3.16).

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

01234567

Fator de crista

Largura do pulso da corrente

no indutor L

(s)

Fig. 3.15 – Relação entre t e Fc.

()

2,0002201689

0,0192101311

tF F

−

∆= ⋅

(3.16)

Substituindo a equação (3.16) em (3.14) e (3.15), e efetuando algumas operações

matemáticas, podem-se traçar os ábacos das Fig. 3.16 e Fig. 3.17, que representam a

derivada máxima de subida e a derivada máxima de descida da corrente de entrada do

retificador, respectivamente.

Fig. 3.16 – Derivada máxima de subida da corrente de entrada do retificador.

Derivada máxima de descida da corrente

no indutor L

(A/s)

Fig. 3.17 – Derivada máxima de descida da corrente de entrada do retificador.

Observando os ábacos, nota-se que o valor da derivada máxima de corrente

aumenta em módulo com o incremento da potência do retificador bem como com o

incremento do fator de crista. O fator de crista mostra-se como o fator mais relevante neste

aumento.

Com estes ábacos, pode-se determinar rapidamente a derivada de corrente a partir

de valores práticos, sem precisar recorrer a programas de simulação.

3.4.2 Circuito Completo

O equacionamento do retificador monofásico de onda completa apresentado na Fig.

3.1 é muito complexo. Todas as equações resultantes são muito extensas e não serão

apresentadas no texto.

A condição para o início da primeira etapa de funcionamento, como visto

anteriormente, é dada pela equação (3.17), onde V

Comin

é a tensão mínima no capacitor de

saída do retificador durante a operação em regime permanente. Com isso, encontra-se o

deslocamento em radianos que deve ser usado na tensão de entrada para o equacionamento

subseqüente.

(

)

minipk r Co

Vsen tV

⋅⋅= (3.17)

min

ipk

t arcsen

⎛⎞

⋅=

⎜⎟

⎝⎠

(3.18)

Na primeira etapa de operação as equações diferenciais (3.19) e (3.20) regem o

comportamento do circuito retificador, onde as condições iniciais são dadas pela equação

(3.21).

()

min

ipk r C

oipk

di t

Vsen tarcsen Vt

dt L V

⎛⎞

⎜⎟

=⋅ ⋅ ⋅+ −

⎜⎟

⎝⎠

(3.19)

()

() ()

dV t

it Vt

dt C R

⎛⎞

=⋅ −⋅

⎜⎟

⎝⎠

(3.20)

(

)

(

)

min

00; 0

LCo

iVV==

(3.21)

Como resultado tem-se a corrente que passa pelo indutor e a tensão no capacitor.

As equações são válidas até o tempo onde a corrente do indutor se extingue, sendo que o

eixo de referência de tempo dessas equações se situa no início da subida da corrente. A

forma de onda da corrente

()

it está representada na Fig. 3.18, utilizando-se parâmetros

usuais de projeto.

(

)

min

,, , , , ,

L ipk Co o o o

iftfVV RLC=

(3.22)

(

)

min

,, , , , ,

CipkCoooo

VftfVV RLC=

(3.23)

0.00025 0.0005 0.00075 0.001 0.00125 0.0015

Tempo (s)

Fig. 3.18 – Forma de onda da corrente

(

)

Após a corrente se anular, a tensão no capacitor se comporta segundo a equação

(3.24). A condição inicial é dada pela equação (3.25). A fim de simplificar o

equacionamento, o eixo de referência dessas equações passa sobre o ponto onde a corrente

se extingue.

(

)

()

dV t

dt R C

=− ⋅

⋅

(3.24)

(

)

(

)

VVt

∆

(3.25)

Resolvendo-se a equação (3.24), obtém-se a equação (3.26), que descreve o

comportamento da tensão no capacitor durante o intervalo de tempo em que não há

corrente passando pelo indutor. A forma de onda da tensão do capacitor está ilustrada na

Fig. 3.19, utilizando-se parâmetros usuais de projeto.

() ( )

VtV te

−

⋅

=∆⋅ (3.26)

Tensão no capacitor C

(V)

Fig. 3.19 – Forma de onda da tensão

(

)

As formas de onda teóricas da tensão de entrada do retificador, bem como da

tensão de saída e da corrente de entrada podem ser visualizadas na Fig. 3.20.

Fig. 3.20 – Tensão de entrada, de saída e corrente de entrada do retificador.

Quando a corrente se extingue, tt

∆ . Portanto, igualando-se a equação (3.22) a

zero, tem-se a equação (3.27).

()

min

,, , , , , 0

Lipkcooo

itfVVRLC∆=

(3.27)

As equações (3.26) e (3.27) formam um sistema de onde podem ser calculados

numericamente os valores de t∆ e

min

V .

Derivando-se a equação (3.22) encontra-se a equação (3.28). A forma de onda da

derivada da corrente de entrada do retificador em função do tempo está representada na

Fig. 3.21. O valor da derivada máxima na subida da corrente não pode ser encontrado

algebricamente. O valor da máxima derivada de descida pode ser obtido substituindo-se

t∆ na equação (3.28).

()

min

,, , , , ,

ipk Co o o o

di t

tfV V RLC

(3.28)

Fig. 3.21 – Derivada da corrente de entrada.

Neste estudo do retificador com o circuito completo não é possível encontrar os

ábacos e as diversas relações encontradas no caso do circuito simplificado em decorrência

da complexidade das equações.

O resultado encontrado não é muito prático, pois além das equações serem muito

extensas, estas se encontram em termos dos parâmetros internos do retificador e não da sua

potência e fator de crista. Além disso, não é possível obter uma equação para a máxima

derivada durante a subida da corrente. O valor só pode ser obtido numericamente.

3.5 Simulação e Comparação dos Circuitos Desenvolvidos

Neste tópico serão abordados a simulação e um procedimento de cálculo a fim de

validar os equacionamentos do retificador. Todos os componentes do circuito serão

considerados ideais, como adotado no equacionamento.

Primeiramente o circuito completo será simulado. Após, o circuito simplificado,

com as mesmas características – fator de crista, potência aparente, tensão de entrada – do

circuito completo, será simulado para a comparação dos resultados.

As formas de onda a serem comparadas serão sobrepostas na mesma escala de

tempo e magnitude. Primeiramente a comparação entre as formas de onda teóricas e

simuladas de cada circuito usado no equacionamento será feita separadamente e, em

seguida, comparam-se as formas de onda entre os dois circuitos: simplificado e completo.

3.5.1 Circuito Completo

Os parâmetros do circuito são:

•

127

VV=

•

179,6

ipk

VV=

•

100

LuH=

•

3, 68

CmF=

•

R =Ω

•

Hz=

Calculando os valores da máxima derivada da corrente a partir das equações

desenvolvidas anteriormente, tem-se:

•

()

max

44462

sub

di t

dt s

•

()

max

110718

des

di t

dt s

=−

Os valores obtidos pela simulação foram medidos nas proximidades dos pontos de

máxima derivada:

•

()

max

43475

sub

di t

dt s

•

()

max

107954

des

di t

dt s

=−

Na Tabela 3.1 encontram-se os valores medidos de corrente eficaz, corrente de

pico, fator de crista e potência aparente na entrada do retificador. As formas de onda da

tensão de entrada, corrente no indutor e da tensão no capacitor simuladas encontram-se na

Fig. 3.22.

Tabela 3.1 – Valores medidos.

Lop

Loef

28,6 A 8,07 A 3,54 1.025 VA

(A), V

(V), V

(V)

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

-200

-100

100

200

Tempo (s)

Fig. 3.22 – Formas de onda da tensão de entrada, corrente na indutância e tensão de saída.

Para comparar as formas de onda da corrente que passa pelo indutor, representa-se

na Fig. 3.23 a forma de onda obtida via simulação e a forma de onda traçada com o a

equação (3.22). Na Fig. 3.24 tem-se uma visualização mais aproximada. Da mesma forma

compara-se a forma de onda da tensão no capacitor. A Fig. 3.25 mostra a forma de onda

obtida via simulação e a obtida com as equações (3.23) e (3.26).

0.912 0.917 0.922 0.927

-30

-20

-10

Tempo (s)

Fig. 3.23 - Formas de onda da corrente na indutância obtida via simulação (preto) e obtida via

equacionamento (amarelo tracejado).

0.9202 0.9207 0.9212 0.9217

Tempo (s)

Corrente no indutor L

(A)

Fig. 3.24 – Detalhe do gráfico da Fig. 3.23.

Fig. 3.25 - Formas de onda da tensão no capacitor obtida via simulação (preto) e obtida via equacionamento

(amarelo tracejado).

Na Fig. 3.24 pode se observar uma pequena diferença no valor de pico, bem como

na largura de pulso da corrente. No mais, percebe-se que o equacionamento está de acordo

com os resultados de simulação, pois as formas de onda praticamente se sobrepõem e os

valores teóricos e simulados da derivada de corrente são praticamente iguais, mesmo

havendo esta pequena diferença nas formas de onda.

As formas de onda mostradas na Fig. 3.20 podem ser então sobrepostas com os

resultados de simulação para formar a Fig. 3.26.

(A), V

(V), V

(V)

Fig. 3.26 – Comparação entre as formas de onda simuladas e calculadas.

3.5.2 Circuito Simplificado

Para simular o circuito simplificado todos os parâmetros do circuito da Fig. 3.6

devem ser determinados. Adotou-se um procedimento de cálculo baseado nas equações

descritas anteriormente e simulou-se o circuito. Para simplesmente determinar as derivadas

máximas de subida e de descida podem-se utilizar os ábacos das Fig. 3.16 e Fig. 3.17.

Os parâmetros usados para o procedimento de cálculo são os mesmos encontrados

no circuito completo:

•

Hz=

•

179,6

ipk

VV=

•

3, 54

F =

•

8, 07

Loef

iA=

Resolvendo as equações (3.16) e (3.9) têm-se os valores do tempo da largura de

pulso da corrente de entrada (

t∆ ) e da indutância L

. Tem-se também o valor de k, que é

proporcional à

t∆ . Com o valor de k tem-se o valor da fonte contínua V

•

78,822

LuH=

•

1,532tms∆=

•

0,9816k =

•

V =176,29V

O circuito da Fig. 3.6 foi simulado com os parâmetros acima estabelecidos. A

forma de onda da corrente de entrada pode ser visualizada na Fig. 3.27. Observa-se que o

valor eficaz é de 8,07 (A) e o valor de pico da corrente é de 28,57 (A) para o fator de crista

3,54, como esperado.

Calculando-se os valores da derivada de corrente com as equações (3.13) e (3.14),

tem-se:

•

()

max

42020

sub

di t

dt s

•

()

max

125125

des

di t

dt s

=−

Os valores medidos, nas proximidades do ponto de máxima derivada, são:

•

()

max

41212

sub

di t

dt s

•

()

max

120030

des

di t

dt s

=−

Para comparar as formas de onda da corrente na indutância, representa-se na Fig.

3.28 a forma de onda obtida via simulação e a forma de onda traçada com o a equação

(3.6). Percebe-se que o modelo matemático está de acordo com os resultados de simulação.

Corrente no indutor L

(A)

Fig. 3.27 – Forma de onda da corrente do indutor L

0.9037 0.9042 0.9047 0.9052

Tempo (s)

Corrente no indutor L

(A)

Fig. 3.28 – Formas de onda da corrente na indutância obtida via simulação (preto) e obtida via

equacionamento (amarelo tracejado).

3.6 Comparação entre Circuito Completo e Simplificado

Não há dúvidas que o equacionamento do circuito simplificado é muito mais

simples e de fácil entendimento se comparado ao equacionamento do circuito completo do

retificador monofásico de onda completa com filtro capacitivo.

Com cada modelo testado individualmente via simulação, pode-se fazer agora

uma comparação entre os modelos completo e simplificado. A forma de onda teórica da

corrente do item anterior – circuito simplificado – está novamente representada na Fig.

3.29, onde também está representada a corrente na indutância encontrada com o modelo

completo.

Como visto anteriormente, para os mesmos parâmetros do retificador tem-se uma

diferença nas derivadas máximas de corrente de subida e de descida. A derivada máxima

de subida é um pouco maior no caso do circuito completo. Já a derivada máxima de

descida é maior no caso do circuito simplificado. Observa-se também uma pequena

variação do valor de pico da corrente.

Corrente no indutor L

(A)

Fig. 3.29 – Formas de onda da corrente na indutância com modelo simplificado (preto) e com modelo

completo (amarelo tracejado).

3.7 Resultados Experimentais e Verificação do Equacionamento

A experimentação torna-se necessária para a verificação dos resultados. Os

mesmos parâmetros usados para a simulação do circuito completo foram implementados

na experimentação. Contudo, a indutância dos cabos e conexões no circuito retificador,

bem como a queda de tensão nos diodos, resistência série equivalente do capacitor,

resistência do indutor de entrada, entre outros, influem no comportamento do circuito.

As formas de onda da corrente de entrada, da tensão de entrada e de saída do

retificador podem ser visualizadas na Fig. 3.30.

Na Tabela 3.2 encontram-se os valores medidos de tensão eficaz de entrada,

corrente eficaz, corrente de pico, fator de crista e potência aparente na entrada do

retificador.

Tabela 3.2 – Valores medidos na experimentação.

ipk

Lop

Loef

191,22 V 27,856 A 8,57 A 3,248 1.162 VA

Fig. 3.30 – Formas de onda da tensão de entrada (preto), corrente na indutância (vermelho) e tensão de saída

(azul).

Utilizando-se os valores medidos encontrados na Tabela 3.2 no equacionamento

do circuito simplificado obtém-se a forma de onda da corrente de entrada do retificador em

azul tracejado mostrada na Fig. 3.31, em comparação com a corrente via experimentação

(em preto).

Fig. 3.31 – Forma de onda da corrente via experimentação (preto) e da corrente com o circuito simplificado

(azul tracejado).

Ainda, se forem colocados os dados da Tabela 3.2 nas equações que geram os

ábacos das derivadas desenvolvidos no equacionamento do circuito simplificado, obtém-se

os seguintes valores de derivada:

•

()

max

34589

sub

di t

dt s

•

()

max

102678

des

di t

dt s

=−

Estes valores estão próximos aos encontrados na experimentação. A maior

diferença concerne no valor da máxima derivada de descida, que na experimentação tem

sua magnitude um pouco menor (10 %). As formas de onda ficaram praticamente

sobrepostas, validando as equações encontradas para o circuito simplificado.

3.8 Conclusão

O retificador monofásico de onda completa com filtro capacitivo é amplamente

utilizado nos mais diversos equipamentos eletrônicos na atualidade em decorrência de seu

baixo custo e fácil implementação. Por possuir um baixo fator de potência devido à

distorção elevada de corrente, o retificador, quando empregado em larga escala, pode

degradar a qualidade da tensão da rede que o alimenta.

Em aplicações em que o retificador é visto como a carga principal, tais como em

sistemas ininterruptos de energia alimentando computadores, o projeto de tais

equipamentos depende de parâmetros intrínsecos do retificador, como o fator de crista e a

derivada da corrente de entrada. Na medida em que o retificador começa a interferir no

bom funcionamento de outros dispositivos, seu estudo aprofundado torna-se

imprescindível.

Neste trabalho foi desenvolvido o equacionamento completo do retificador

considerando a ondulação da tensão de saída nulo. Após, desenvolveu-se um

equacionamento do circuito retificador completo, mas ainda considerando os

semicondutores e componentes ideais.

Neste último desenvolvimento encontraram-se dificuldades, principalmente

concernentes à limitação de processamento computacional, que impossibilitaram a

continuação do trabalho. Portanto, para o equacionamento do circuito completo, apenas

foram encontrados as equações que descrevem o comportamento da corrente no indutor e

sua derivada, e da tensão no capacitor.

Com isso, não foi possível fazer um procedimento de cálculo para o circuito

completo em termos da potência do retificador, como foi feito com o circuito simplificado.

Mesmo assim, o equacionamento mostrou-se válido, pois se pode determinar um valor

muito próximo da máxima derivada, de subida e de descida, da corrente no indutor do

equacionamento do circuito simplificado.

Os resultados de simulação validaram os modelos desenvolvidos, apresentado as

mesmas formas de onda encontradas por meio do equacionamento. A comparação entre os

modelos, para um dado projeto, obteve um resultado excelente, embora o erro possa

aumentar na medida em que se utilizem outros parâmetros.

Na experimentação pôde-se observar que as derivadas de subida e de descida da

corrente encontradas via experimentação ficaram de acordo com as derivadas calculadas

quando se adotou os dados da Tabela 3.2 nos ábacos das derivadas, de modo que estes

valores podem ser usados no projeto do inversor. O erro referente à derivada máxima de

descida pode ser caracterizado como uma margem de segurança.

Capítulo 4 – Análise do Filtro de Saída do Inversor

4.1 Introdução

Em aplicações que requerem uma forma de onda senoidal na saída do inversor é

necessária a inserção de um filtro, normalmente do tipo L-C. Assim, o conteúdo harmônico

é reduzido, de forma que somente a componente fundamental e uma pequena parcela de

harmônicos estejam presentes na saída, respeitando os limites impostos sobre a distorção

harmônica total (THD).

Ao contrário do que foi observado com o desenvolvimento do modelo matemático

do inversor, onde tanto na estratégia de modulação por largura de pulso senoidal de dois

níveis quanto na de três níveis resultavam em um mesmo modelo, na determinação dos

parâmetros do filtro os resultados do equacionamento mudam conforme a modulação.

Ressaltam-se ainda dois aspectos relevantes no cálculo dos componentes do filtro.

Se o inversor estiver operando em malha fechada, a ondulação da tensão de saída pode

influenciar o comportamento do modulador, de modo a resultar em problemas na operação

do inversor. Além disso, no caso de uma carga não-linear, o indutor do filtro não deve

interferir no valor da máxima derivada de corrente que o inversor pode transferir à carga,

ou seja, o inversor deve respeitar o fator de crista da carga.

Neste capítulo será feita uma análise do filtro de saída do inversor em ponte

completa, visando o projeto do indutor e do capacitor, para as modulações SPWM unipolar

e bipolar.

4.2 SPWM Bipolar

Nesta modulação serão determinadas as equações que definem os valores do

indutor e do capacitor de filtragem para fins de projeto, bem como serão feitas análises de

ondulação de tensão e corrente e de outros problemas referentes à aplicação do inversor em

malha fechada alimentando uma carga não-linear.

4.2.1 Indutor de Filtragem e Ondulação de Corrente

Observando a Fig. 4.1 e considerando a tensão de saída como sendo senoidal com

valor de pico V

, podem-se obter as equações (4.1) e (4.2), que descrevem o

comportamento da tensão sobre o indutor durante o semiciclo positivo da referência de

tensão nos intervalos de tempo t

e t

, respectivamente.

Fig. 4.1 – Tensão nos terminais de entrada do filtro para SPWM bipolar.

(

)

()

fiopr

di t

LnVVsent

⋅=⋅−⋅⋅ (4.1)

()

fL iop r

Li nVVsent

⋅=−⋅−⋅ ⋅

(4.2)

Considerando ainda a freqüência de comutação muito alta em comparação com a

freqüência de saída do inversor, as equações (4.1) e (4.2) podem ser simplificadas,

obtendo-se as equações (4.3) e (4.4), onde i

é o valor pico a pico da ondulação de

corrente no indutor.

()

fiopr

LnVVsent

∆

⋅=⋅−⋅ ⋅

∆

(4.3)

()

fiopr

LnVVsent

∆

⋅=−⋅−⋅ ⋅

∆

(4.4)

A partir da equação (4.5) pode-se encontrar uma relação entre a indutância do

filtro e a ondulação de corrente no indutor em função da freqüência de comutação.

Ttt

∆+∆ (4.5)

()

() ()

(

)

iop r

nV V sen t

LnV

⋅

−⋅ ⋅

∆⋅=⋅

⋅⋅

(4.6)

A equação (4.6) é fundamental para o projeto do indutor de saída. Um exemplo da

curva da ondulação de corrente em função de

⋅

está representada na Fig. 4.2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Valor de pico a pico da ondulação

de corrente no indutor L

(A)

rad/s

Fig. 4.2 – Curva da ondulação de corrente em função de

⋅

Através da Fig. 4.2 pode-se observar que o valor máximo da ondulação de corrente

encontra-se em

⋅

= . Com isso pode-se determinar o valor da indutância do filtro a

partir da especificação de máxima ondulação de corrente. Utiliza-se a tensão máxima de

entrada do inversor por representar o ponto mais crítico.

max

⋅

⋅∆

(4.7)

4.2.2 Restrição na Escolha do Indutor de Filtragem

Em aplicações de inversores alimentando cargas não-lineares é necessário conhecer

as características da carga antes de escolher uma indutância de filtragem, considerando os

demais parâmetros fixos. Isto ocorre porque a carga não-linear, por exemplo, um

retificador com filtro capacitivo, precisa drenar uma corrente elevada durante um curto

período de tempo para a carga de seu capacitor, ou seja, tem-se uma derivada de corrente

muito elevada tanto na subida da corrente quanto na descida.

Se a indutância de filtragem do inversor não for bem projetada, a queda de tensão

no indutor gerada pela alta derivada no período em que a corrente da carga aumenta pode

ser tal que a tensão de saída tenha sua forma de onda distorcida. Para evitar um

achatamento da tensão na saída, o controlador aumenta a razão cíclica imposta aos

interruptores do inversor. Se a derivada na subida da corrente tiver um valor expressivo,

para manter a tensão de saída o sinal de controle pode ultrapassar o valor de pico da onda

triangular do modulador, provocando o achatamento da tensão de saída do inversor,

contribuindo para uma taxa de distorção harmônica total maior. A qualidade da tensão de

saída do retificador também é afetada, pois seu valor será menor que o nominal. Os efeitos

da alta derivada de subida foram apresentados em [15].

Durante o período em que a corrente de carga decresce, a derivada da corrente é

negativa fazendo com que a tensão sobre o indutor se some à tensão de saída do inversor,

no caso de uma observação durante o semiciclo positivo da senóide de saída do inversor.

Para evitar uma sobretensão na saída, o controlador diminui a razão cíclica imposta aos

interruptores do inversor. Se a derivada na descida da corrente tiver um valor expressivo,

para manter a tensão de saída o sinal de controle pode se inverter e até teoricamente saturar

em seu valor negativo, o que acarreterá em uma sobretensão na saída do inversor.

Os efeitos previstos tanto na saturação do controlador no limite positivo quanto no

limite negativo podem ser observados sem que existam as referidas saturações, desde que o

controlador não possua uma dinâmica rápida.

Como visto no Capítulo 3, pode-se observar o valor da máxima derivada de

corrente na carga através de ábacos. Sabendo o valor das derivadas máximas de subida e de

descida e desprezando a influência da componente em alta freqüência na queda de tensão

sobre a indutância de filtragem, pode-se determinar uma restrição de valores para L

considerando a expressão (4.8). Para que o sinal de controle não ultrapasse o valor V

durante a subida da corrente

tem-se a restrição encontrada na equação (4.9). A equação

é válida somente durante a subida da corrente da carga. Utiliza-se a tensão mínima de

entrada do inversor por representar o ponto mais crítico e considera-se o controlador

impondo razão cíclica máxima de 0,9 como margem de segurança. Portanto, nesta restrição

o sinal de controle não poderá ultrapassar

0,9

⋅

(

)

(

)

di t

dt dt

≅

(4.8)

()

(

)

()

min

0,9

fiopr

sub

di t

Lt nV V sen t

⋅<⋅⋅−⋅ (4.9)

()

(

)

()

min

0,9

iop r

sub

nV V sen t

di t

⋅⋅ − ⋅

(4.10)

A derivada da corrente da carga em função do tempo pode ser visualizada na Fig.

4.3. Na mesma escala de tempo, o comportamento da expressão (4.10) está representado na

Fig. 4.4. Também é mostrado o numerador do lado direito da equação (4.10) para fins de

comparação na escala de tempo. Estes gráficos são gerados a partir de parâmetros usuais

de projeto.

Derivada da corrente no indutor L

(A/s)

Fig. 4.3 – Derivada da corrente no indutor de filtragem.

Fig. 4.4 – Indutância mínima de filtragem em função do tempo.

Pode ser observado que o ponto mínimo da equação (4.10) ocorre quando a

derivada da corrente é máxima e durante o pico da tensão de saída. Portanto, a equação

(4.11) representa o mínimo valor de L

para que não ocorra uma sobretensão na saída do

inversor.

()

min

max

0,9

iop

sub

nV V

di t

⋅

⋅−

< (4.11)

Quando a corrente está decrescendo durante o semiciclo positivo da tensão de

saída do inversor o sinal de controle pode se inverter dependendo do valor da derivada de

descida. Para que o sinal não ultrapasse

0,9

−

⋅

tem-se a restrição encontrada na equação

(4.13). A equação é válida somente durante a descida da corrente da carga. A derivada de

descida é representada em seu módulo.

()

(

)

min

0,9

iop rf

des

di t

nV V sen t L

−⋅⋅ <⋅ −

(4.12)

()

(

)

()

min

0,9

iop r

des

nV V sen t

di t

⋅⋅ + ⋅

< (4.13)

A expressão (4.13) pode ser visualizada na Fig. 4.5, onde ainda é mostrado o

numerador da referida expressão para termos de comparação com a escala de tempo.

Fig. 4.5 – Indutância mínima de filtragem em função do tempo.

Pode-se observar que a indutância mínima não ocorre quando a tensão de saída

está em seu valor máximo. O ponto onde a indutância é mínima se encontra no instante em

que a derivada durante a descida da corrente é máxima. Como este ponto ocorre quando a

corrente se extingue, o deslocamento angular da tensão de saída do inversor de onde a

indutância mínima se encontra depende dos parâmetros da carga.

No Capítulo 3 foi visto que a largura do pulso de corrente (t) era função do fator

de crista da carga (F

), como mostra a equação (4.14), onde foi considerado freqüência de

operação de 60 Hz e o circuito retificador simplificado. O deslocamento angular entre a

tensão de entrada do retificador e o início da subida da corrente era calculado conforme a

equação (4.15). Nota-se que esta equação também depende da largura do pulso da corrente,

que por sua vez, depende de F

. Portanto, o deslocamento necessário para a tensão de saída

é obtido, sendo que a equação (4.17) representa a restrição da indutância de filtragem para

evitar que o sinal de controle atinja

0,9

−

⋅

Por exemplo, a função seno da equação (4.17) apresenta valor 0,85 quando o fator

de crista está em torno de 3, valor 0,9 quando F

= 3,55 e 0,99 quando F

atinge 6.

()

2,0002201689

0,0192101311

tF F

−

∆= ⋅ (4.14)

()

ipk

t arcsen arcsen k

⎛⎞

⋅= =

⎜⎟

⎝⎠

(4.15)

() ()

() () () ()

22 2 2

12cos cos

12coscos2

rrrrrr

ttttsentsent

ωω

ωωωωωω

−⋅ ⋅∆+ ⋅∆

+ ⋅∆ − ⋅ ⋅∆ + ⋅∆ − ⋅ ⋅∆ ⋅ ⋅∆ + ⋅∆

(4.16)

(

)

(

)

()

min

max

0,9

iop

des

n V V sen arcsen k t

di t

⋅⋅ + ⋅ +∆

(4.17)

Em termos práticos, o limite da restrição da equação (4.11) é quase sempre menor

que o da equação (4.17). Em outras palavras, respeitando-se a restrição referente à derivada

de subida, a outra restrição também é respeitada. Entretanto, em casos onde o índice de

modulação é muito baixo, onde existe uma alta tensão no barramento de entrada e uma

baixa tensão na saída do inversor, pode ser necessário se preocupar com a restrição

referente à derivada de descida da corrente do indutor de filtragem.

Para que isto ocorra, o valor de L

na equação (4.17) deve ser menor do que L

equação (4.11). Sendo assim, tem-se (4.18). Após algumas manipulações, encontra-se

(4.19), que representa o limiar que define qual restrição deve ser levada em consideração

no projeto do indutor do filtro.

Através das equações determinadas no Capítulo 3 encontra-se a equação (4.19)

somente em função do fator de crista da carga. Como a equação é muito extensa, não será

representada no texto. O gráfico da Fig. 4.6 é gerado a partir da equação (4.20) para uma

freqüência de operação (f

) de 60 Hz. Este gráfico mostra-se muito interessante, pois se

sabe qual será a restrição a ser usada apenas com a informação do fator de crista da carga.

Porém, os valores exatos podem diferir um pouco, visto que foi utilizado o circuito

retificador simplificado como base.

(

)

(

)

() ()

min

max max

0,9

iop

Lo Lo

des sub

n V V sen arcsen k t

nV V

di t di t

dt dt

⋅⋅ + ⋅ +∆

⋅⋅ −

(4.18)

(

)

(

)

() ()

()

max max

min

max max

0,9

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

⋅

⋅+∆

(4.19)

()

min

⋅

(4.20)

Fig. 4.6 – Limiar que define qual restrição deve ser utilizada no projeto.

Com o intuito de esclarecer este assunto foram simuladas as duas condições de

restrição. Na primeira simulação a indutância escolhida satisfazia à equação (4.17) mas não

à equação (4.11). Neste caso, que é o mais comum, deve existir um achatamento na forma

de onda da tensão de saída. Na segunda simulação escolheu-se um índice de modulação de

tal maneira que a indutância escolhida satisfazia à equação (4.11), mas não à (4.17). Desta

maneira deve-se observar uma sobretensão em um determinado momento na tensão de

saída.

Os parâmetros escolhidos para a primeira simulação estão contidos na Tabela 4.1.

Valores do compensador não estão dispostos por não se tratar do foco do problema.

Tabela 4.1 – Parâmetros escolhidos para a primeira simulação.

imin

maxsub

maxdes

160 V 2 179,6 V 44462 A/s 110718

A/s

3,54 100 uF

O índice de modulação máximo do inversor é 0,561. Como pode ser observado no

gráfico da Fig. 4.6, deve-se utilizar a restrição da derivada de subida no projeto de L

. Para

confirmar, substituindo os parâmetros nas equações (4.11) e (4.17) encontra-se que

2, 44

LmH< para a restrição da derivada de subida e 3, 98

LmH

para a restrição

referente à derivada de descida. Escolheu-se

3,5

LmH

Na Fig. 4.7 encontra-se as formas de onda da tensão de saída do retificador, da

tensão de saída do inversor e da corrente de saída. Na Fig. 4.8 encontra-se a forma de onda

da tensão de controle.

Pode se observar que o controlador aumentou a razão cíclica dos interruptores do

inversor até a saturação, pois a queda de tensão gerada pelo indutor foi muito grande.

Portanto, não foi possível manter a tensão de saída de acordo com a referência senoidal,

ocorrendo um achatamento na sua forma de onda, conforme esperado.

Fig. 4.7 – Tensão na saída do inversor, na saída do retificador e corrente de saída.

Fig. 4.8 – Tensão de controle.

Os parâmetros escolhidos para a segunda simulação estão contidos na Tabela 4.2.

Com o valor do fator de crista sabe-se que, através da Fig. 4.6, se for utilizado um índice

de modulação menor que 0,455 a restrição referente à derivada de descida torna-se mais

relevante. Sendo assim, optou-se por um índice de modulação igual a 0,3. O capacitor teve

seu valor reduzido para que o efeito da sobretensão seja mais visível.

Tabela 4.2 – Parâmetros escolhidos para a segunda simulação.

imin

n V

maxsub

maxdes

300 V 2 179,6 V 44462 A/s 110718

A/s

3,54 30 uF

Substituindo os parâmetros nas equações (4.11) e (4.17) encontra-se que

8,1

LmH< para a restrição da derivada de subida e 6, 25

LmH

para a restrição

referente à derivada de descida. Escolheu-se

LmH

A Fig. 4.9 mostra a tensão de saída do retificador, a tensão de saída do inversor, a

tensão de referência ampliada para efeitos de comparação e a corrente de saída do inversor.

A Fig. 4.10 mostra o sinal de controle do inversor.

Fig. 4.9 – Tensão de saída do inversor, tensão de referência ampliada e corrente de saída do inversor.

Fig. 4.10 – Tensão de controle do inversor.

Pode se observar que apesar de existir tensão disponível no barramento de

entrada, o controlador não foi rápido o bastante ao atuar no sistema de modo que houve um

achatamento na forma de onda da tensão de saída sem mesmo que o controlador de tensão

saturasse em 5 V.

Da mesma maneira, se o controlador fosse rápido o bastante, haveria a saturação

negativa de seu sinal. Não obstante, pode-se observar a inversão no sinal de controle e a

sobretensão ocorrida quando a derivada de descida está em torno de seu valor máximo.

Os resultados de simulação mostraram que a sobretensão não se apresentou de

forma expressiva na forma de onda da tensão de saída. Como normalmente se utiliza índice

de modulação mais elevado no projeto de inversores, o problema da sobretensão fica ainda

mais distante do projetista.

4.2.3 Capacitor de Filtragem e Ondulação de Tensão

Para o cálculo da indutância do filtro foi considerada uma ondulação de tensão nula

no capacitor de filtragem. Esta simplificação pôde ser feita porque se presume que o filtro

será bem projetado, de modo que a ondulação de tensão seja muito pequena em relação ao

valor absoluto da tensão de saída.

Entretanto, no cálculo da ondulação de tensão na saída não se pode desconsiderar a

ondulação de corrente no indutor, pois este é o único fator que gera a ondulação de tensão

na saída [2].

Na Fig. 4.11 encontram-se as formas de onda da corrente e tensão do capacitor em

um determinado instante para uma freqüência de comutação elevada. A ondulação da

tensão no capacitor pode ser relacionado com a quantidade de carga (q) contida na porção

positiva da forma de onda de i

(t).

Fig. 4.11 – Formas de onda da corrente e tensão no capacitor.

Em um conversor bem projetado, o capacitor do filtro é escolhido de tal maneira a

filtrar significativamente a ondulação de tensão causada pela comutação de modo que sua

impedância na freqüência de comutação é muito menor do que a da carga. Considera-se

então que a componente contínua e em baixa freqüência da corrente do indutor passam

pela carga enquanto toda a componente em alta freqüência passa pelo capacitor.

Observando as formas de onda da Fig. 4.11, quando a corrente do capacitor é

positiva, a carga do mesmo cresce e conseqüentemente sua tensão também. Então, entre os

dois cruzamentos por zero da corrente, a tensão do capacitor muda de seu extremo

negativo para o positivo.

A mudança na tensão do capacitor de saída pode ser relacionada com a carga total

contida na porção positiva da forma de onda da corrente no capacitor pela equação (4.21),

onde V

é a ondulação de tensão de pico a pico no capacitor.

qC V

⋅∆ (4.21)

A carga no capacitor também pode ser expressa computando-se a área da porção

positiva da corrente do capacitor do filtro.

22 2

∆

⋅⋅ (4.22)

Substituindo a equação (4.22) em (4.21), obtém-se a equação (4.23).

()

(

)

Lr s

itT

∆

⋅⋅

∆⋅=

⋅

(4.23)

Sabendo que i

é dado pela equação (4.6),obtém-se a equação (4.24), que

relaciona a ondulação de tensão na saída do filtro com os parâmetros do circuito.

()

() ()

(

)

22 2

iop r s

ff i

nV V sen t T

LCnV

⋅

−⋅ ⋅⋅

∆⋅=

⋅⋅⋅⋅

(4.24)

A curva da ondulação de tensão em função de

⋅

está representada na Fig. 4.12.

Valor de pico a pico da ondulação

de tensão no capacitor C

(V)

Fig. 4.12 – Curva da ondulação de tensão em função de

⋅

Através da Fig. 4.12 pode-se observar que o valor máximo da ondulação de tensão

também se encontra em

⋅= . Com isso pode-se determinar o valor da capacitância do

filtro a partir da especificação de máxima ondulação de tensão. Utiliza-se a tensão máxima

de entrada do inversor por representar o ponto mais crítico.

max

fs C

⋅⋅

⋅⋅ ⋅∆

(4.25)

4.2.4 Restrição na Escolha do Capacitor de Filtragem

A escolha do capacitor de filtragem é afetada por alguns problemas decorrentes do

uso de cargas não-lineares e do controle retroativo. Quando o controle retroativo é

empregado existe o problema de possíveis pulsos múltiplos de comando dos interruptores.

Quando se utiliza uma carga não-linear do tipo retificador de onda completa com filtro

capacitivo pode existir uma distorção na tensão de saída do inversor em decorrência do alto

valor da derivada de descida da corrente de carga.

4.2.4.1 Pulsos Múltiplos de Comando nos Interruptores

O filtro L-C, responsável pela filtragem dos harmônicos do sinal de tensão de saída,

é estudado como um sistema de segunda ordem. A freqüência de ressonância delimita a

banda passante do filtro. Sabe-se que para freqüências maiores que esta o sistema apresenta

atenuação de 40 dB por década.

A freqüência de corte do filtro é usualmente escolhida em função da freqüência de

comutação, onde geralmente é utilizada a freqüência de corte do filtro em uma década

abaixo da freqüência do primeiro harmônico. Para a modulação SPWM de dois níveis, o

primeiro harmônico de tensão sobre o filtro encontra-se em torno da freqüência de

comutação. Esta escolha garante uma boa atenuação dos harmônicos de tensão sobre a

carga e minimiza o volume e peso do filtro.

⋅

(4.26)

Mesmo assim, esta aproximação pode não atenuar suficientemente os harmônicos

da tensão de saída. Como pode ser observado na Fig. 4.13, quando a ondulação de tensão

na entrada do modulador, proveniente da ondulação da tensão de saída, apresenta uma

derivada relevante, o valor encontrado na saída do mesmo é muito diferente do valor

esperado e adotado na modelagem do inversor. Em certos casos poderão acontecer pulsos

múltiplos que serão enviados para os interruptores aumentando as perdas por comutação,

podendo afetar a forma de onda previamente desejada.

O controlador deve então atenuar a ondulação de tensão, que se encontra na

freqüência de comutação, para que sua derivada decresça o suficiente a garantir que o

modulador não seja afetado por este problema.

Ideal

Aceitável

Não-aceitável

Sinais de entrada do modulador

Onda triangular

Fig. 4.13 – Modulador por largura de pulso e sinal de comando.

A tensão de saída do inversor é introduzida ao circuito de controle através de um

sensor de tensão. Após o ganho do sensor este sinal é comparado com a referência de

tensão para gerar o sinal de erro para o controlador. Supondo condições ideais de

funcionamento com carga resistiva, o sinal de saída do controlador deverá ser uma senóide

de amplitude coerente com a referência desejada na saída do inversor. Observa-se ainda

uma ondulação de tensão neste sinal. Esta ondulação é proveniente da ondulação de tensão

na saída do inversor que é atenuada pelo ganho do sensor e amplificada pelo ganho do

controlador na freqüência de comutação, para o caso da modulação SPWM de dois níveis.

Uma ampliação da forma de onda do sinal de controle pode ser observada na Fig. 4.14.

Fig. 4.14 – Detalhe da forma de onda de entrada do modulador.

Para se estimar o valor da derivada máxima da tensão de entrada do modulador

serão feitas algumas simplificações devido à complexidade de uma solução mais precisa.

Observando a Fig. 4.14 pode-se supor que a forma de onda da ondulação de tensão em alta

freqüência na saída do inversor é uma senóide conforme a equação (4.27). Com isso, pode-

se calcular o valor da máxima derivada de tensão na saída. A derivada da equação (4.27),

traçada a partir de parâmetros usuais de projeto, está representada na Fig. 4.15. A equação

(4.28) mostra o comportamento adotado para a tensão de saída.

()

(

)

()

ripple s

Vt sent

∆

⋅+

(4.27)

() ( )

(

)

()

Copr s

V t V sen t sen t

ωπ

∆

=⋅ + ⋅ + (4.28)

Fig. 4.15 – Derivada da ondulação da tensão de saída do inversor.

Como pode ser observado, o ponto de máxima derivada ocorre quando a ondulação

de tensão é máxima, ou seja, em

para a modulação por largura de pulso senoidal

de dois níveis.

max

ffs

⋅⋅

∆=

⋅

⋅⋅

(4.29)

Deriva-se a expressão (4.27) utilizando-se o valor máximo da amplitude da

ondulação. O resultado da derivação encontra-se na equação (4.30).

(

)

max

ripple

dV t

dt L C

⋅⋅

⋅

⋅⋅

(4.30)

A componente em baixa freqüência do sinal de saída do inversor não está sendo

adotada no cálculo da derivada por se considerar uma operação ideal do inversor. Assim, a

componente de baixa freqüência quando multiplicada pelo ganho do sensor é cancelada na

subtração pelo valor de referência de tensão. A máxima derivada na entrada do modulador

é dada pela equação (4.31), onde

(

)

Cf é o ganho do controlador na freqüência de

comutação e T

é o ganho do sensor de tensão.

()

(

)

(

)

()

max max

in a

ripple

vvs

dpwm t

dV t

TCf

dt dt

=⋅⋅ (4.31)

()

max

in a

vvs

ffs

dpwm t

TCf

dt L C

⎛⎞

⋅⋅

=⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅

⎝⎠

(4.32)

Uma outra forma de se estimar a máxima derivada na entrada do modulador é

considerar que a ondulação de corrente no capacitor do filtro tem o mesmo valor de pico a

pico obtido da ondulação de corrente no indutor L

. Então a corrente no capacitor C

é dada

pela equação (4.33), onde i

Cf1

(t) representa a componente fundamental da corrente no

capacitor e i

tri

(t) uma forma de onda triangular com amplitude unitária e sem valor médio.

Esta forma de onda triangular é simbólica, pois não vai alterar o resultado do cálculo. As

componentes da equação (4.33) formam as equações (4.34) e (4.35), onde V

Cf1

(t) é a

componente fundamental e V

ripple

(t) é a forma de onda da ondulação de tensão de saída.

() ()

(

)

()

Cf Cf tri

iti t it

∆

=+ ⋅

(4.33)

()

(

)

Cf f

dV t

itC

=⋅

(4.34)

(

)

()

(

)

Lf ripple

tri f

it dV t

it C

∆

⋅=⋅

(4.35)

A derivada da ondulação de tensão de saída é obtida diretamente da equação

(4.35). O valor máximo da derivada ocorre quando a ondulação de corrente no indutor L

máxima. A derivada na entrada do modulador é dada pela equação (4.38).

(

)

max

ripple Lf

dV t i

dt C

∆

⋅

(4.36)

()

(

)

()

max

in b

vvs

dpwm t

TCf

dt C

∆

=⋅⋅

⋅

(4.37)

()

max

in b

vvs

ffs

dpwm t

TCf

dt L C

⎛⎞

⋅⋅

=⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅

⎝⎠

(4.38)

Como foram encontrados resultados distintos para a derivada de entrada do

modulador, ambos (a e b) serão considerados no equacionamento.

Para evitar os problemas no modulador a máxima derivada de tensão na entrada

do mesmo deve ser menor que a derivada da onda triangular, dada pela equação (4.39),

onde V

é a tensão de pico da forma de onda triangular.

pps

dtri

dt T

⋅

⋅⋅

== (4.39)

(

)

max

dpwm t

dtri

dt dt

(4.40)

Como pode ser observado nas equações (4.32) e (4.38), a derivada máxima na

entrada do modulador depende dos parâmetros do filtro e do compensador. Para diminuir a

derivada na entrada do modulador pode-se alterar uma série de variáveis. Normalmente o

ajuste é feito no capacitor do filtro de saída, e quanto maior o valor da capacitância menor

a ondulação de tensão. Porém, com a mudança do capacitor a função de transferência da

planta muda e conseqüentemente também a função de transferência do controlador.

A solução deste problema pode ser feita por meio de iterações, contudo é mais

conveniente desenvolver um ábaco que possa auxiliar a escolha correta do capacitor do

filtro de saída. Define-se a derivada na entrada do modulador SPWM em função da

capacitância do filtro a partir das equações (4.32) e (4.38).

()

() ()

max

in a

fvvsf

ffs

dpwm t

CTCfC

dt L C

⎛⎞

⋅⋅

=⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅

⎝⎠

(4.41)

()

() ()

max

in b

fvvsf

ffs

dpwm t

CTCfC

dt L C

⎛⎞

⋅⋅

=⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅

⎝⎠

(4.42)

Deve-se efetuar todo o projeto de controle do inversor em função do capacitor C

Assim, com o compensador projetado pode-se comparar em que faixa de valores de

capacitâncias a derivada na entrada do modulador é menor do que a derivada da onda

triangular. Com isso delimita-se uma região de valores que podem ser escolhidos a fim de

garantir o não comprometimento da operação do modulador.

Em um projeto de controle usual no domínio da freqüência por diagrama de Bode,

define-se a freqüência de cruzamento por zero dB (f

) do módulo da função de

transferência em malha aberta do sistema. Calculam-se então todos os ganhos envolvidos

na malha em questão na freqüência de cruzamento. Efetua-se a soma de todos estes

ganhos, igualando-os a zero dB, a fim de encontrar o ganho do compensador (k

) que

satisfaça à expressão. Por último, verifica-se a estabilidade do sistema através da margem

de fase. Este procedimento será mais detalhado no Capítulo 6, que concerne ao controle do

inversor.

A freqüência de cruzamento será definida em um quarto da freqüência de

comutação. Esta é uma escolha conservadora que ajuda a minimizar o problema da

derivada no modulador, pois na medida em que se aumenta a freqüência de cruzamento, o

ganho do compensador deve aumentar.

(4.43)

O ganho da função de transferência da planta em função da capacitância de saída

na freqüência de cruzamento é dado pela equação (4.44).

()

vcf

cff

GfC

jfLC

⋅

=⋅

⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(4.44)

O ganho da função de transferência do controlador em função da capacitância de

saída na freqüência de cruzamento é dado pela equação (4.45).

()

ff ff

vcf

jf jf

LC LC

CfC

jfjf

ππ

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅⋅ +

⎜⎟⎜⎟

⋅⋅

⎝⎠⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⎜⎟

⋅

⎝⎠

(4.45)

Os ganhos do modulador e do sensor de tensão são considerados constantes em

toda a faixa de freqüência utilizada neste projeto. Agora se pode determinar o ganho do

controlador. A soma dos ganhos em malha aberta deve ser igual a zero dB.

()

vcf vcf V

GfC CfC T

⋅

(4.46)

O ganho do compensador projetado na freqüência de comutação é dado pela

equação (4.47).

()()

ff ff

vsf v f

jf jf

LC LC

CfC kC

jfjf

ππ

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⎜⎟⎜⎟

⋅⋅

⎝⎠⎝⎠

=⋅

⎛⎞

⎜⎟

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⎜⎟

⋅

⎝⎠

(4.47)

Determinado todo o projeto de controle, substitui-se a equação (4.47) em (4.41) e

(4.42) de tal forma que se pode gerar um gráfico com a máxima derivada de entrada no

modulador e a derivada máxima do sinal de entrada em relação aos valores de

capacitância.

A Fig. 4.16 representa o gráfico contendo d

pwmin(a)

, d

pwmin(b)

e d

tri

considerando

parâmetros usuais de projeto. Este gráfico pode ser facilmente gerado a partir de um

software.

Pode-se observar a diferença entre as funções encontradas. Por simulação

constatou-se que os valores máximos de derivada se assemelham com d

pwmin(a)

. Mesmo

assim, aconselha-se a utilizar d

pwmin(b)

como margem de segurança. O gráfico ainda mostra

que valores de C

na ordem de centenas de nF podem afetar o comportamento do

modulador, enquanto valores acima de 1 uF garantem que a derivada do sinal de entrada do

modulador será menor do que a derivada da onda triangular.

Este gráfico sofre alterações quando a freqüência de cruzamento (f

) é deslocada.

Isso ocorre porque quando se aumenta f

, por exemplo, a dinâmica do sistema em malha

fechada aumenta. Mas para aumentar f

o ganho k

do compensador também deve ser

aumentado. Com isso, o controlador passa a amplificar mais os sinais na freqüência de

comutação, fazendo com que a derivada máxima do sinal de controle também cresça,

restringindo um pouco mais a faixa de capacitores do filtro que podem ser utilizados.

É por esta razão que o valor prático de um quarto da freqüência de comutação é

utilizado, pois praticamente garante o uso de qualquer valor coerente de capacitor do filtro.

0,1

6 10

8 10

1 10

Derivada máxima de entrada

no modulador (A/s)

Capacitância do filtro (uF)

inpwm(a)

inpwm(b)

tri

Fig. 4.16 – Restrição de capacitores do filtro.

4.2.4.2 Distorção na Forma de Onda da Tensão de Saída

A Fig. 4.17 mostra um exemplo da derivada da corrente de entrada do retificador

em função do tempo. A origem se encontra deslocada para o tempo em que a corrente da

carga começa a subir.

Pode ser observado que quando a corrente na entrada do retificador se extingue a

derivada de corrente passa de um valor máximo negativo a zero em um curto período de

tempo. Isto faz com que a tensão existente sobre o indutor de filtragem, que fazia com que

o sinal proveniente do controlador estivesse reduzido com o objetivo de manter a tensão de

saída do inversor conforme a referência, seja zerada.

Derivada da corrente de entrada

do retificador (A/s)

Fig. 4.17 – Derivada da corrente de entrada do retificador em função do tempo.

Para manter a tensão de saída senoidal o compensador deve retornar ao seu valor

nominal, pois o inversor passa a operar sem carga. Neste período de tempo, que depende

da dinâmica proporcionada pelo controlador, existe uma tensão insuficiente na entrada do

filtro para manter a tensão de saída senoidal. Conseqüentemente, o capacitor do filtro se

descarregará, degradando a forma de onda da tensão de saída.

Para tentar estimar o valor queda de tensão provocada pela alta derivada de descida

da corrente da carga, pode-se considerar a resposta a uma perturbação aplicada nos

terminais do filtro de saída do inversor. Esta perturbação será modelada como um degrau,

onde o valor da sua amplitude estaria estritamente relacionado com o valor da derivada

máxima de descida, pois a tensão aplicada no filtro sofre uma variação de

()

max

des

di t

⋅

no instante em que a corrente se extingue. Então, a função f(s) que representa o degrau

aplicado no domínio da freqüência encontra-se na equação (4.48), onde t

é o tempo onde a

corrente se extingue. t

e a máxima derivada durante descida da corrente podem ser

encontrados no Capítulo 3.

()

(

)

max

des

di t

−

⋅

=⋅ (4.48)

A perturbação é aplicada conforme mostra o diagrama de blocos da Fig. 4.18. O

efeito da carga não-linear, durante este pequeno intervalo de tempo em questão, é

totalmente modelado no diagrama de blocos pelo degrau de tensão sobre o filtro.

Utilizando o princípio da superposição pode-se determinar a resposta ao degrau

desprezando-se V

ref

e, posteriormente, determina-se a resposta do sistema em relação à V

ref

sem se considerar o degrau de perturbação.

(S)

+1)

ref

(s)

f(s)

Fig. 4.18 – Diagrama de blocos para verificação da queda de tensão no capacitor.

Considerando parâmetros usuais de projeto a resposta ao degrau pode ser

visualizada na Fig. 4.19. O tempo de atraso corresponde ao tempo de extinção da corrente

calculado a partir das equações desenvolvidas no capítulo 3.

Na Fig. 4.20 representa-se a composição das duas respostas em função do tempo,

onde a queda de tensão no capacitor de saída quando a corrente da carga se extingue é

observada. Pode-se observar que a tensão de saída apresentou uma queda de tensão

acentuada, que é diretamente proporcional ao valor da derivada máxima de descida e do

valor de L

e inversamente proporcional ao valor de C

e à dinâmica do controlador.

Fig. 4.19 – Resposta ao degrau de perturbação f(s).

0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015

Tempo(s)

-150

-100

-50

100

150

Tensão de saída (V) Corrente na carga (A)

Fig. 4.20 – Tensão no capacitor de saída do inversor e corrente da carga.

Para comparar os resultados obtidos, simulou-se o sistema com os mesmos

parâmetros usados no cálculo. As formas de onda da tensão no capacitor e da corrente de

carga podem ser visualizadas na Fig. 4.21.

0.3 0.305 0.31 0.315

-200

-150

-100

-50

100

150

200

Tensão de saída (V)

Corrente na carga (A)

Tempo(s)

Fig. 4.21 – Tensão no capacitor de saída e corrente na carga obtidas via simulação.

Como pode ser observado, comprova-se que a derivada máxima de descida

também influi na escolha do capacitor de saída. Dada a complexidade da análise teórica,

não foi possível estabelecer um ábaco que reunisse alguma relação entre THD da tensão de

saída e possíveis parâmetros de ajuste. Contudo, sabe-se que com o aumento da

capacitância do filtro ou da velocidade da resposta do controlador pode-se reduzir a queda

de tensão na saída.

Outro problema a ser observado é que o valor do degrau de perturbação imposto

ao filtro quando a corrente se extingue é diretamente proporcional ao valor da indutância

de filtragem. Se for utilizado o valor máximo possível de indutância para reduzir as perdas

nos interruptores e a ondulação de corrente no filtro, o valor deste degrau pode se tornar

muito acentuado, necessitando de um capacitor do filtro um pouco maior para cumprir os

requisitos de distorção da tensão de saída.

4.3 SPWM Unipolar

Nesta modulação serão abordados o cálculo do indutor e do capacitor de filtragem

para fins de projeto quando a modulação SPWM unipolar é utilizada. Também serão feitas

análises de ondulação de tensão e corrente e de outros problemas referentes à aplicação do

inversor em malha fechada alimentando uma carga não-linear.

4.3.1 Indutor de Filtragem e Ondulação de Corrente

Observando a Fig. 4.22, e considerando a tensão de saída como sendo senoidal com

valor de pico V

, pode-se obter as equações (4.49) e (4.50), que descrevem o

comportamento da tensão sobre o indutor durante o semiciclo positivo da referência de

tensão nos intervalos de tempo t

e t

, respectivamente.

∆

- ∆

abmed

Fig. 4.22 – Tensão nos terminais de entrada do filtro para a modulação SPWM unipolar.

(

)

()

fiopr

di t

LnVVsent

⋅=⋅−⋅⋅ (4.49)

(

)

()

fopr

di t

LVsent

⋅

=− ⋅ ⋅ (4.50)

Considerando a freqüência de comutação muito alta pode-se simplificar as

equações (4.49) e (4.50), obtendo as equações (4.51) e (4.52), onde i

é o valor pico a

pico da ondulação de corrente no indutor.

()

fiopr

LnVVsent

∆

⋅=⋅−⋅ ⋅

∆

(4.51)

()

fopr

LVsent

∆

⋅

=− ⋅ ⋅

∆

(4.52)

A partir das equações (4.51) e (4.52) pode-se achar as expressões de t

e t

()

iop r

nV V sen t

∆

∆= ⋅

⋅

−⋅ ⋅

(4.53)

()

op r

Vsen t

∆

∆= ⋅

⋅

(4.54)

A partir da equação (4.55) pode-se encontrar uma relação entre a indutância do

filtro e a ondulação de corrente no indutor em função da freqüência de comutação.

12s

Ttt

∆+∆

(4.55)

()

(

)

(

)

(

)

(

)

iop r op r

nV V sen t V sen t

LnV

ωω

⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

∆⋅=⋅

⋅⋅

(4.56)

Para o semiciclo negativo da referência de tensão encontra-se o mesmo resultado

do equacionamento acima. A equação (4.56) é fundamental para o projeto do indutor de

saída. A curva da ondulação de corrente em função de

⋅

está representada na Fig. 4.23.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1.5

rad/s

Fig. 4.23 – Curva da ondulação de corrente em função de

⋅

Pode-se observar que o valor máximo da ondulação de corrente encontra-se em

⋅=

. Com isso pode-se determinar o valor da indutância do filtro a partir da

especificação de máxima ondulação de corrente.

(

)

max

max max

op i op

Lis

VnVV

inV

⋅⋅ ⋅⋅ −

∆⋅⋅⋅⋅

(4.57)

4.3.2 Restrição na Escolha do Indutor de Filtragem

O resultado é o mesmo tanto para a modulação SPWM bipolar quanto para a

unipolar. As restrições já estão representadas nas equações (4.10) e (4.17).

4.3.3 Capacitor de Filtragem e Ondulação de Tensão

Da mesma forma que na PWM senoidal de dois níveis, no cálculo da ondulação de

tensão na saída não se pode desconsiderar a ondulação de corrente no indutor, pois este é o

único fator que gera a ondulação de tensão na saída.

Na Fig. 4.24 encontram-se as formas de onda da corrente e tensão do capacitor em

um determinado instante para uma freqüência de comutação elevada. A única diferença

entre a Fig. 4.11 (SPWM de dois níveis) é que neste caso a freqüência do sinal de saída do

inversor é duas vezes maior do que a freqüência de comutação. A ondulação de tensão no

capacitor pode então ser relacionado com a quantidade de carga (q) contida na porção

positiva da forma de onda de i

(t).

Fig. 4.24 – Formas de onda da corrente e tensão no capacitor.

Considera-se então que a componente contínua e em baixa freqüência da corrente

do indutor passam pela carga enquanto toda a componente em alta freqüência passa pelo

capacitor. Adotando-se o mesmo critério de cálculo usado com a SPWM bipolar e

observando as formas de onda da Fig. 4.24, tem-se:

qC V

⋅∆

(4.58)

A carga no capacitor também pode ser expressa computando-se a área da porção

positiva da corrente do capacitor.

22 4

∆

⋅⋅ (4.59)

Substituindo a equação (4.59) em (4.58), obtém-se a equação (4.60).

∆

⋅

∆=

⋅

(4.60)

Sabendo que i

é dado pela equação (4.56), obtém-se a equação (4.61), que

relaciona a ondulação de tensão na saída do filtro com os parâmetros do circuito.

()

(

)

()

(

)

(

)

iop r op r s

ff i

nV V sen t V sen t T

LCnV

ωω

⋅− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∆⋅=

⋅⋅⋅⋅

(4.61)

A curva da ondulação de tensão em função de

⋅

está representada na Fig. 4.25.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

rad/s

Fig. 4.25 – Curva da ondulação de tensão em função de

⋅

Através da Fig. 4.25 pode-se observar que o valor máximo da ondulação de tensão

também encontra-se em

⋅= . Com isso pode-se determinar o valor da capacitância

do filtro a partir da especificação de máxima ondulação de tensão.

(

)

max

max max

op i op

fC i s

VnVV

LV nV

⋅⋅ ⋅⋅ −

⋅

⋅∆ ⋅ ⋅ ⋅

(4.62)

4.3.4 Restrição na Escolha do Capacitor de Filtragem

4.3.4.1 Pulsos Múltiplos de Comando nos Interruptores

Supondo que a forma de onda da ondulação de tensão em alta freqüência na saída

do inversor é uma senóide conforme a equação (4.63), pode-se calcular o valor da máxima

derivada na saída. A derivada da equação (4.63), traçada a partir de parâmetros usuais de

projeto, está representada na Fig. 4.26.

()

(

)

()

ripple s

Vt sen t

∆

⋅⋅⋅+ (4.63)

() ( )

(

)

()

Copr s

V t V sen t sen t

ωπ

∆

=⋅ + ⋅ ⋅+ (4.64)

Fig. 4.26 – Derivada da ondulação da tensão de saída do inversor.

Como pode ser observado, o ponto de máxima derivada ocorre em

= . A

ondulação em baixa freqüência da amplitude do ripple de saída no ângulo de máxima

derivada encontra-se na equação (4.65).

(

)

max

op i op

ff i s

VnVV

LCnV

⋅⋅ ⋅⋅ −

∆=

⋅⋅⋅⋅ ⋅

(4.65)

Deriva-se a expressão (4.63) utilizando-se a amplitude da ondulação encontrada

na equação (4.65). O resultado da derivação encontra-se na equação (4.66).

()

(

)

max

op i op

ripple

ff i s

VnVV

dV t

dt L C n V

⋅⋅ ⋅⋅ −

⋅⋅⋅⋅ ⋅

(4.66)

Considerando os ganhos do transdutor de tensão e do controlador na freqüência de

saída, a máxima derivada na entrada do modulador é dada pela equação (4.67).

()

(

)

()

max

op i op

in a

Vv s

ff i s

VnVV

dpwm t

TC f

dt L C n V

⋅⋅ ⋅⋅ −

=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅ ⋅

(4.67)

Calculando-se a máxima derivada na entrada do modulador considerando que a

ondulação de corrente no capacitor do filtro tem o mesmo valor de pico a pico obtido na

ondulação de corrente no indutor L

, tem-se (4.69).

(

)

max

ripple Lf

dV t i

dt C

∆

⋅

(4.68)

()

(

)

()

max

op i op

in b

vv s

ffs i

VnVV

dpwm t

TC f

dt L C n V

⎛⎞

⋅⋅ ⋅⋅ −

⎜⎟

=⋅⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅⋅⋅

⎝⎠

(4.69)

Como foram encontrados resultados distintos para a derivada de entrada do

modulador, ambos (a e b) serão considerados no equacionamento.

Para evitar os problemas no modulador a máxima derivada de tensão na entrada

do mesmo deve ser menor que a derivada da onda triangular. O ábaco que auxilia na

escolha do capacitor do filtro de saída do inversor é obtido conforme o desenvolvimento

usado com a modulação SPWM de dois níveis, mudando apenas a freqüência em que é

calculado o ganho do compensador de f

para 2f

A Fig. 4.27 representa o gráfico contendo d

pwmin(a)

, d

pwmin(b)

e d

tri

considerando

parâmetros usuais de projeto. As mesmas considerações feitas para a modulação bipolar

são válidas para esta modulação.

4 10

6 10

8 10

1 10

0,1

Derivada máxima de entrada

no modulador (A/s)

Capacitância do filtro (uF)

inpwm(a)

inpwm(b)

tri

Fig. 4.27 – Restrição de capacitores do filtro.

4.3.4.2 Distorção na Forma de Onda da Tensão de Saída

A distorção provocada pela derivada de descida da corrente da carga não depende

da modulação empregada. Sendo assim, a análise feita na seção SPWM Bipolar é válida

também para a modulação unipolar.

4.4 Conclusão

Neste capítulo foi apresentada uma análise geral do filtro de saída do inversor

operando com uma carga não-linear do tipo retificador com filtro capacitivo na saída. A

análise foi conduzida visando mostrar as influências da carga não-linear sobre o projeto do

indutor e do capacitor de filtragem tanto para a modulação SPWM unipolar quanto para a

bipolar.

Na escolha do indutor de filtragem obteve-se restrições de valor mínimo e

máximo. A restrição referente ao valor mínimo existe para cumprir requisitos de ondulação

de corrente. Já as restrições referentes ao valor máximo do indutor estão relacionadas com

a natureza não-linear da carga e devem ser respeitadas para que não haja uma distorção na

tensão de saída. Ainda, mostrou-se que quando um determinado valor de índice de

modulação atrelado com as características da carga é utilizado, a derivada máxima de

descida torna-se o fator preponderante de modo que se pode obter uma sobretensão na

carga, caso não este fato não seja observado durante o projeto.

Esta sobretensão, todavia, não mostrou grande impacto no valor da THD da

tensão de saída. Entretanto, a análise da restrição da capacitância mínima requerida, além

de observar os requisitos de ondulação de tensão, mostrou que a derivada de descida da

corrente da carga pode se traduzir em uma queda de tensão relevante, caso o controle não

seja rápido o bastante para acompanhar a mudança brusca de tensão a ser enviada ao filtro

e a capacitância seja pequena de modo a se descarregar facilmente. Deve-se, portanto,

buscar um equilíbrio de valores no projeto.

Mostrou-se ainda que o problema de pulsos múltiplos gerados pelo modulador em

decorrência de uma alta derivada no sinal de entrada do mesmo, que pode ser observado

em inúmeros projetos de conversores CC-CC, não foi um grande problema nesta

abordagem. Os valores mínimos de capacitância do filtro ficaram bem abaixo dos valores

utilizados na prática para as duas modulações estudadas.

Em respeito a todos os fatos apresentados, ainda pode-se comentar que a

modulação SPWM unipolar mostra-se mais interessante com relação a aspectos de

ondulação de tensão e corrente. Em relação às outras restrições, existe somente uma

diferença nos resultados da análise da derivada na entrada do modulador.

Capítulo 5 – Análise do Transformador

5.1 Introdução

Em aplicações onde é necessária uma isolação ou elevação da tensão de saída do

estágio inversor normalmente é empregado um transformador de baixa freqüência entre o

estágio inversor e o filtro de saída. A inclusão do transformador provê isolação galvânica e

o aumento da tensão para o valor mais adequado. Por questão de volume pode-se

aproveitar a própria indutância de dispersão para compor ou substituir a indutância do

filtro de saída do inversor.

Para que se possa utilizar uma ampla faixa de tensão do barramento CC de entrada

e ainda obter na saída a tensão desejada torna-se necessário que o transformador seja

elevador de tensão. Isto é um problema, pois os esforços de corrente, resultantes desta

solução, sofrem um aumento proporcional a esta relação, o que ocasionaria a necessidade

de se empregar interruptores de maior capacidade e mais caros. Além disso, deve-se

eliminar uma possível saturação do núcleo do transformador, a qual poderia acarretar em

sérios problemas para o sistema, como descrito no Capítulo 2. Um estudo é apresentado

para encontrar a melhor relação de transformação.

Por se utilizar um transformador de baixa freqüência, as perdas em decorrência da

ondulação de corrente em alta freqüência podem ser muito grandes, de modo a gerar um

sobre aquecimento do núcleo do transformador. O transformador estará submetido a um

alto conteúdo harmônico nas correntes tanto para harmônicos de baixa ordem (múltiplos da

freqüência de saída do inversor) quanto de alta ordem (múltiplos da freqüência de

comutação). Seu projeto deverá levar em conta estas características.

Neste Capítulo será apresentada a análise da influência do transformador quando

disposto entre o inversor e o filtro de saída. Esta, por sua vez, será determinada através do

cálculo da corrente eficaz do capacitor do filtro, bem como da corrente eficaz que passa

através do primário do transformador e da ondulação de corrente no filtro em função da

relação de transformação. Através destes dados pode-se ter uma estimativa da melhor

escolha da relação de transformação, tentando minimizar os esforços de corrente nos

semicondutores do estágio inversor, bem como garantir uma baixa ondulação de corrente

no indutor do filtro e uma corrente eficaz aceitável no capacitor de saída.

5.2 Análise do Transformador

A análise será feita considerando as modulações SPWM unipolar e bipolar. As

equações muito extensas não serão apresentadas.

5.3 SPWM Unipolar

Para calcular a corrente eficaz que passa pelo capacitor de saída utiliza-se uma

simplificação. Sabe-se que a ondulação de tensão tem sua amplitude variada em baixa

freqüência que deve ser considerada tanto na modulação SPWM unipolar quanto na

bipolar. Para simplificar os cálculos, como a forma de onda em alta freqüência se

assemelha muito com uma senóide e, no caso da modulação unipolar, apresenta

componentes harmônicos em torno do dobro da freqüência de comutação, considera-se a

tensão de saída dada pela equação (5.1), onde a ondulação em alta freqüência é aproximada

por uma senóide no dobro da freqüência de comutação.

() ( )

(

)

()

Copr s

VtVsen t sen t

ωπ

∆⋅

=⋅ ⋅+ ⋅ ⋅⋅+ (5.1)

Substituindo a equação da ondulação em baixa freqüência na equação (5.1), tem-

se a (5.2). A parcela da ondulação de tensão pode ser visualizada na Fig. 5.1, considerando

parâmetros usuais de projeto.

() ( )

(

)

()

(

)

()

max

iop rop r

Copr s

ff i s

nV V Sen t V Sen t

VtVsen t sen t

LCnV

ωωπ

ωπ

⋅−⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

=⋅ ⋅+ ⋅ ⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅ ⋅

(5.2)

0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015

Tempo (s)

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Ondulação de tensão na

saída do inversor (V)

Fig. 5.1 – Parcela da ondulação de tensão.

Através da tensão sobre o capacitor pode-se determinar a corrente que passa pelo

mesmo utilizando a relação entre tensão e corrente do capacitor. A corrente no capacitor é

dada pela equação (5.3) e está representada na Fig. 5.2.

Para o cálculo da corrente eficaz da carga desconsidera-se a ondulação em alta

freqüência da tensão de saída. A corrente eficaz da carga encontra-se na equação (5.4),

onde S

é a potência aparente da carga.

()

(

)

()

max

16 cos

2cos2

ff i rs r

op r

fi s

op r

irr

LCnV t

VSen t

nV Sen t

LnV

VSen t

Sen t

nV Sen t Cot t

ωω ω

ωω

⎛⎞

⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

⎜⎟

⎛⎞

⎜⎟

⎛⎞

⋅

⎜⎟

⋅⋅ ⋅ ⋅

⎜⎟

−⋅ ⋅

⎜⎟

=⋅

⎝⎠

⋅⋅⋅ ⋅

⎜⎟

+⋅

⎜⎟

⋅⋅−⎛⎞

⎜⎟

+⋅ ⋅ ⋅

⎜⎟

⋅⋅ ⋅

⎝⎠

(5.3)

⋅

(5.4)

Fig. 5.2 – i

em função do tempo.

A expressão da corrente eficaz no capacitor é então determinada e não está

representada no texto por ser muito extensa.

(

)

max

,,, , ,,

Cf r s op i f f

ifn VVLC

ωω

(5.5)

A partir das equações (5.4) e (5.5) pode-se determinar a expressão da corrente

eficaz no primário do transformador, que é dada pela equação (5.6), desconsiderando a

corrente magnetizante do transformador.

ef ef ef

pri Cf o

inii=⋅ +

(5.6)

A Fig. 5.3 mostra, para valores usuais de projeto, as formas de onda da corrente

eficaz da carga, no capacitor e no primário do transformador, em função da relação de

transformação. A corrente eficaz na carga não se altera por não ser considerado o conteúdo

em alta freqüência no equacionamento. Porém, a diferença é insignificante de modo que

esta simplificação pode ser adotada.

1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Relação de transformação

Corrente eficaz na carga

Corrente eficaz no capacitor do filtro

Fig. 5.3 – Corrente eficaz no primário do transformador, na carga e no capacitor em função da relação de

transformação.

Como pode ser observado, para um conjunto fixo de parâmetros do filtro, a

corrente eficaz no primário tende obviamente a aumentar com o incremento de n. A

corrente no capacitor tende a aumentar, porém não de forma expressiva. Logo se poderia

afirmar que quanto menor a relação de transformação menores seriam os esforços de

corrente no estágio inversor e mais otimizado seria o projeto.

Entretanto, sabe-se também que a mínima corrente que se pode ter no primário do

transformador é encontrada quando se utiliza o maior valor possível e prático de indutância

do filtro de saída do inversor. Além disso, com um valor grande de indutância necessita-se

de um valor menor de capacitância para manter a ondulação da tensão de saída dentro da

especificação. Com isso, tem-se uma corrente menor circulando no filtro e

conseqüentemente uma menor corrente no primário do transformador. Porém, devem-se

considerar as restrições na escolha do indutor de filtragem desenvolvidas anteriormente em

decorrência da natureza não-linear da carga.

Outra vantagem associada à escolha do maior valor de indutância é que a função

de custo, apresentada em [10], caracteriza que um conjunto de uma pequena capacitância e

uma grande indutância no filtro de saída minimiza o custo do mesmo, pois o capacitor é o

elemento mais caro.

As equações das restrições da escolha do indutor encontram-se reescritas nas

equações (5.7) e (5.8). Utilizando o valor máximo da indutância do filtro para qualquer

relação de transformação, o gráfico da Fig. 5.3 sofre alterações.

()

min

max

0,9

iop

sub

nV V

di t

⋅

⋅−

< (5.7)

(

)

(

)

()

min

max

0,9

iop

des

n V V sen arcsen k t

di t

⋅⋅ + ⋅ +∆

(5.8)

Na modulação por largura de pulso senoidal três níveis a indutância e a

capacitância de filtragem são obtidas através das equações (5.9) e (5.10). Para o caso onde

a restrição mais relevante é a da derivada de subida, combinando as equações (5.9) e (5.7),

tem-se a equação (5.11). Se a restrição referente à derivada de descida for mais relevante,

combinam-se as equações (5.9) e (5.8) encontrando a equação (5.12). O comportamento de

()

maxLf

in∆ é representado através da Fig. 5.4.

(

)

max

max max

op i op

Lis

VnVV

InV

⋅⋅ ⋅⋅ −

∆⋅⋅⋅⋅

(5.9)

(

)

max

max max

op i op

fC i s

VnVV

LV nV

⋅⋅ ⋅⋅ −

⋅

⋅∆ ⋅ ⋅ ⋅

(5.10)

()

(

)

()

() ()

()

max

max min

max max

min

max max

20,9

0,9

op i op

sub

is i op

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t

VnVV

nV nV V

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ −

∆=

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ −

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

<⋅

⋅+∆

(5.11)

()

(

)

()

() ()

()

max

max min

max max

min

max max

20,9

0,9

op i op

des

is i op

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t

VnVV

nV nV V senarcsenk t

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ −

∆=

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ +∆

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

>⋅

+⋅ +∆

(5.12)

Fig. 5.4 – Ondulação de corrente no indutor do filtro em função da relação de transformação, considerando a

máxima indutância de filtragem admissível.

Nota-se que quando se considera a máxima indutância do filtro perante as

restrições referentes à carga não-linear, a relação de transformação tende a ser o único fator

de ajuste restante. Então, para relações de transformação muito baixas a indutância máxima

tende a ser pequena e sua ondulação de corrente ser muito grande. Na medida em que o

valor de n cresce, a indutância máxima aumenta, conseqüentemente diminuindo sua

ondulação de corrente.

Combinando as equações (5.9) e (5.10) obtém-se a equação (5.13), que relaciona a

capacitância do filtro com as ondulações de corrente e tensão que devem ser especificadas.

()

(

)

max

sCf

⋅∆

⋅⋅∆

(5.13)

Combinando as equações (5.11) e (5.13), e substituindo na equação (5.5) obtém-

se a equação da corrente eficaz no capacitor do filtro em função da relação de

transformação, considerando a máxima indutância de filtragem para e que a restrição

relevante é da derivada de subida.

Se a restrição referente à derivada de descida for mais relevante, combina-se as

equações (5.12) e (5.13), substituindo na equação (5.5). As equações resultantes são muito

extensas e não serão mostradas. A Fig. 5.5 mostra um comportamento típico da corrente

eficaz no capacitor em função de n.

Fig. 5.5 – Corrente eficaz no capacitor em função da relação de transformação.

A corrente eficaz no primário do transformador é influenciada pelo valor da

corrente eficaz do capacitor, conforme a equação (5.6). Considerando a máxima indutância

do filtro pode-se observar pela Fig. 5.6 o comportamento das correntes eficazes no

primário, no capacitor e na carga em função da relação de transformação.

() ()

ef ef ef

pri o Cf

inni in=⋅ + (5.14)

Fig. 5.6 – Corrente eficaz no primário do transformador, na carga e no capacitor em função da relação de

transformação considerando a máxima indutância do filtro.

Como observado, existe um ponto ótimo na forma de onda da corrente eficaz no

primário do transformador. Entretanto, neste ponto a corrente eficaz no capacitor é

relativamente elevada, bem como a ondulação de corrente no indutor, conforme mostra a

Fig. 5.4. Portanto, deve-se optar por um valor de n que respeite os esforços de corrente nos

semicondutores e no capacitor do filtro e a ondulação de corrente no indutor de filtragem.

Ainda, é possível traçar as formas de onda da capacitância e da indutância de

filtragem em função da relação de transformação. Considerando parâmetros usuais de

projeto, a capacitância de filtragem em função de n pode ser visualizada na Fig. 5.7. A

relação entre a indutância de filtragem e n está representada na Fig. 5.8.

Fig. 5.7 – Capacitância de filtragem em função de n.

Fig. 5.8 – Indutância de filtragem em função de n.

Após o desenvolvimento das equações, simulou-se o circuito inversor com os

parâmetros encontrados na Tabela 5.1 com o objetivo de validar o principal aspecto do

desenvolvimento teórico, que seria a simplificação adotada no cálculo da corrente no

capacitor. O controlador utilizado é do tipo PID e seu projeto de controle será abordado

com detalhes no Capítulo 6.

Tabela 5.1 – Parâmetros do sistema.

n V

160 V 1,6 179,6 V 1,2 mH 3,54 40 uF

As formas de onda da corrente no capacitor obtidas via equacionamento e

simulação estão representadas nas Fig. 5.9 e Fig. 5.10, respectivamente.

Fig. 5.9 – i

teórica.

Cfef

simulada (A)

Fig. 5.10 – i

simulada.

Como pode ser observado, a corrente no capacitor encontrada via simulação

apresenta o mesmo valor de pico e de ondulação da corrente equacionada. A única

diferença concerne no efeito da carga não-linear, que aparece na corrente simulada. A

comparação entre as correntes eficazes apresentou ótimo resultado, sendo a corrente eficaz

equacionada igual a 1,932 A e a corrente eficaz simulada 1,948 A.

5.4 SPWM Bipolar

A mesma metodologia empregada no cálculo das correntes eficazes em função da

relação de transformação na modulação unipolar é utilizada. Neste caso, a ondulação de

tensão apresenta componentes harmônicos em torno da freqüência de comutação. Portanto,

considera-se a tensão de saída dada pela equação (5.15), onde a ondulação em alta

freqüência é aproximada por uma senóide na freqüência de comutação.

() ( )

(

)

()

Copr s

VtVsen t sen t

ωπ

∆⋅

=⋅ ⋅+ ⋅ ⋅+

(5.15)

Substituindo a equação da ondulação em baixa freqüência na equação (5.15), tem-

se a equação (5.16). A parcela da ondulação de tensão pode ser visualizada na Fig. 5.11.

() ( )

() ()

(

)

(

)

()

max

iopr

Copr s

ff i s

nV V sen t

VtVsen t sent

LCnV

ωπ

⋅−⋅ ⋅

=⋅ ⋅+ ⋅ +

⋅⋅⋅⋅ ⋅

(5.16)

0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Tempo (s)

Fig. 5.11 – Parcela da ondulação de tensão.

Da mesma forma encontra-se a corrente no capacitor, que é dada pela equação

(5.17) e está representada na Fig. 5.12.

Da mesma maneira, para o cálculo da corrente eficaz da carga desconsidera-se a

ondulação em alta freqüência da tensão de saída. A corrente eficaz da carga encontra-se na

equação (5.18).

()

() ()

()

()()

max

22 2 2

max

8cos

cos

ff i oprs r

Cssopri

fi s

rop r s

LCnV V t

it tV Sen tnV

LnV

VSen tSent

ωω ω

ωωω

⎛⎞

⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅

⎜⎟

⎛⎞

⎜⎟

=⋅⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅ ⋅

⎜⎟

+⋅

⎜⎟

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎝⎠

(5.17)

⋅

(5.18)

Corrente no capacitor do

filtro (A)

Fig. 5.12 – Corrente no capacitor C

A corrente eficaz no capacitor é então determinada e não está representada no

texto por ser muito extensa.

(

)

max

,,, , ,,

Cf r s op i f f

ifn VVLC

ωω

(5.19)

A partir das equações (5.18) e (5.19) pode-se determinar a corrente eficaz no

primário do transformador, que é dada pela equação (5.20).

ef ef ef

pri Cf o

inii=⋅ + (5.20)

Na modulação por largura de pulso senoidal bipolar a indutância e a capacitância

de filtragem são obtidas através das equações (5.21) e (5.22). Para o caso onde a restrição

mais relevante é o da derivada de subida, combinando as equações (5.21) e (5.7), tem-se a

equação (5.23). Se a restrição referente à derivada de descida for mais relevante, combina-

se as equações (5.21) e (5.8) encontrando a equação (5.24). O comportamento de

()

maxLf

in∆ é representado através da Fig. 5.13.

max

⋅

⋅∆

(5.21)

max

fs C

⋅⋅

⋅⋅ ⋅∆

(5.22)

()

(

)

()

max

min

0,9

sub

siop

di t

nV V

⋅⋅⋅

∆=

⋅⋅⋅−

(5.23)

()

(

)

()

max

min

0,9

des

siop

di t

n V V sen arcsen k t

⋅⋅⋅

∆=

⋅⋅⋅+⋅ +∆

(5.24)

Fig. 5.13 – Ondulação de corrente no indutor do filtro em função da relação de transformação, considerando

a máxima indutância de filtragem.

Combinando as equações (5.21) e (5.22) obtém-se a equação (5.25), que relaciona

a capacitância do filtro com as ondulações de corrente e tensão que devem ser

especificadas.

()

(

)

max

sCf

⋅∆

⋅⋅∆

(5.25)

Combinando as equações (5.23) e (5.25), e substituindo na equação (5.19) obtém-

se a equação da corrente eficaz no capacitor do filtro em função da relação de

transformação, considerando a máxima indutância de filtragem e que a restrição relevante

é da derivada de subida.

Se a restrição referente à derivada de descida for mais relevante, combina-se as

equações (5.24) e (5.25), substituindo na equação (5.19). As equações resultantes são

muito extensas. A Fig. 5.14 mostra um comportamento típico da corrente eficaz no

capacitor.

Fig. 5.14 – Corrente eficaz no capacitor em função da relação de transformação.

A corrente eficaz no primário do transformador é influenciada pelo valor da

corrente eficaz do capacitor, conforme a equação (5.20). Considerando a máxima

indutância do filtro pode-se observar pela Fig. 5.15 o comportamento das correntes

eficazes no primário, no capacitor e na carga em função da relação de transformação.

Fig. 5.15 – Corrente eficaz no primário do transformador, na carga e no capacitor em função da relação de

transformação considerando a máxima indutância do filtro.

As formas de onda da capacitância e da indutância de filtragem em função da

relação de transformação seguem a mesma tendência observada na modulação SPWM

unipolar.

Após o desenvolvimento das equações, simulou-se novamente o circuito inversor

com os parâmetros encontrados na Tabela 5.2 com o objetivo de validar a simplificação

adotada no cálculo da corrente no capacitor. O controlador utilizado é do tipo PID e não

será detalhado neste Capítulo.

Tabela 5.2 – Parâmetros do sistema.

n V

160 V 1,6 179,6 V 1,2 mH 3,54 40 uF

As formas de onda da corrente no capacitor obtidas via equacionamento e

simulação estão representadas nas Fig. 5.16 e Fig. 5.17, respectivamente.

Cfef

teórica (A)

Fig. 5.16 – i

teórica.

Fig. 5.17 – i

simulada.

Como pode ser observado, a corrente no capacitor encontrada via simulação

apresenta praticamente o mesmo valor de pico e de ondulação da corrente equacionada.

Ainda, mesmo com a simulação utilizando uma carga não-linear, as correntes eficazes

apresentaram um bom resultado comparativo, sendo a corrente eficaz equacionada igual a

2,231 A e a corrente eficaz simulada 2,265 A.

5.5 Conclusão

Neste capítulo foi apresentada a análise da influência do transformador quando

disposto entre o inversor e o filtro de saída quando o inversor opera nas modulações

SPWM unipolar e bipolar.

Pôde-se observar que a relação de transformação atua como uma importante

variável de ajuste na determinação dos componentes do circuito. Este ajuste, por sua vez,

pode ser otimizado na medida em que se observa o comportamento da corrente eficaz do

capacitor do filtro, bem como da corrente eficaz que passa através do primário do

transformador, ondulação de corrente e valor da capacitância do filtro em função da

relação de transformação. Com isso, a escolha ótima dos parâmetros do filtro proposta em

[11],[12],[13] e [14] se modifica e passa a depender da relação de transformação.

Para um n de valor elevado, tem-se uma ondulação de corrente no indutor do filtro

muito baixa, bem como uma corrente eficaz baixa circulando pelo capacitor. Entretanto, a

corrente no primário do transformador terá um valor elevado. No caso em que o valor de n

é baixo, ocorre o contrário.

O fato mais interessante é que, a partir das especificações da carga, das tensões de

entrada e saída do sistema e da ondulação de tensão desejada na saída do inversor, pode-se

traçar todos os gráficos que relacionam os esforços de corrente nos componentes, bem

como os valores da capacitância e indutância do filtro e a ondulação de corrente no filtro

em função da relação de transformação.

A análise de todos estes gráficos auxilia na determinação da melhor relação de

transformação a ser empregada, tentando minimizar os esforços de corrente nos

semicondutores do estágio inversor, bem como garantir uma baixa ondulação de corrente

no indutor do filtro e uma corrente eficaz aceitável no capacitor de saída.

100

Capítulo 6 – Controle do Inversor

6.1 Introdução

O controle de inversores de tensão tem sido o foco de inúmeras pesquisas nos

últimos anos. Em [17] são apresentadas algumas estratégias de controle. Além do

monitoramento da tensão de saída do inversor, algumas estratégias monitoram também a

corrente do indutor do filtro e a corrente da carga para melhorar a dinâmica do sistema em

malha fechada. Outras topologias monitoram a corrente no capacitor do filtro. Várias

estratégias de controle são apresentadas em [18], [19], [20] e [21].

Entretanto, na maioria delas deseja-se que o sistema opere com qualquer tipo de

carga não-linear, ou seja, que a impedância de saída do inversor seja nula, garantindo a

tensão senoidal de saída para qualquer perturbação proveniente da carga. Como nesta

metodologia o fator de crista da carga é conhecido, não se faz necessário o

desenvolvimento de controladores muito complexos, que muitas vezes necessitam serem

implementados digitalmente.

Neste capítulo será desenvolvido o projeto das malhas de controle da tensão de

saída e da corrente magnetizante do transformador. O objetivo é desenvolver uma

estratégia simples de controle que satisfaça os requisitos mínimos de operação do sistema

e, ao mesmo tempo, que possa garantir uma baixa THD da forma de onda da tensão de

saída do inversor.

6.2 Controle da Tensão de Saída

Como foi visto no Capítulo 2, o sistema que relaciona a tensão de saída com a

tensão de referência se comporta segundo o diagrama de blocos da Fig. 6.1. O controlador

responsável pelo sinal de modulação observa a tensão (obtida por meio de sensor com

isolação galvânica T

) sobre o capacitor de saída – isso foi adotado, pois assim também

compensam as quedas de tensões que ocorrem nas resistências dos enrolamentos e na

indutância de dispersão – comparando-a com a desejada (V

ref

), a fim de gerar a ação de

controle. Este sinal de controle é comparado com uma forma de onda triangular para gerar

os pulsos de gatilho para os interruptores. Os pulsos de comando passam por um circuito

de comando para geração das tensões apropriadas para o comando dos interruptores e

101

geração do tempo morto. O controlador deve estar projetado para manter uma tensão

senoidal com baixa distorção harmônica na saída do filtro L-C.

Fig. 6.1 – Diagrama de blocos da malha de tensão.

O efeito da carga não-linear e de qualquer outro tipo de carga é representado pelo

bloco sL

. Por exemplo, quando a corrente da carga cresce, sua derivada gera uma queda de

tensão de valor

()

di t

⋅ na indutância do filtro. Qualquer variação de corrente na carga

vai resultar em uma queda de tensão no indutor do filtro.

Em um primeiro passo, para simplificar o projeto de controle do inversor,

desconsidera-se a influência não-linear provocada pela carga. A carga pode ser considerada

resistiva, ou mesmo um circuito aberto, que seria o pior caso com relação à margem de

fase do sistema. Assim, o diagrama de blocos da Fig. 6.1 pode ser simplificado, formando

o diagrama da Fig. 6.2.

ref

(s)

(S)

+1)

(s)

pri

(s)

Fig. 6.2 – Diagrama de blocos simplificado da malha de tensão.

A abordagem clássica de controle realimentado em fontes chaveadas pode então

ser utilizada no sentido de facilitar o projeto do controlador. Seguindo nesta linha, o

controlador de tensão é projetado de tal forma que o sistema tenda a apresentar uma

dinâmica resultante de um integrador associado a um ganho. O ganho será proporcional à

velocidade de resposta desejada para o controlador.

Desta forma garante-se a estabilidade do sistema e o projeto torna-se simples,

visto que o método de projeto no domínio da freqüência pode ser utilizado. A função de

transferência da planta (G

(s)) é dada pela equação (6.1). Tem-se um exemplo do

102

comportamento do módulo e da fase em função da freqüência na Fig. 6.3. A freqüência de

ressonância (f

res

) do filtro de saída é dada pela equação (6.2).

()

pff

VsLC

⋅

=⋅

⋅

⋅+

(6.1)

res

⋅

⋅⋅

(6.2)

Fig. 6.3 – Diagrama de Bode de módulo e fase da planta.

O controlador utilizado é do tipo PID (proporcional-integral-derivativo) e tem sua

função de transferência mostrada na equação (6.3). Este controlador possui um integrador,

um pólo (p

) e dois zeros (z

), além do ganho k

. O integrador deve ser usado nesta função

de transferência para que a dinâmica resultante do sistema possa tender a um integrador

com ganho. Este integrador ajuda a manter a tensão de saída muito próxima à referência de

tensão em regime permanente. Os dois zeros do compensador são dispostos sobre a

freqüência de ressonância do filtro de modo a eliminar o efeito do duplo pólo da planta.

O outro pólo encontrado no controlador é usado porque não é possível a

implementação física de sistemas com um número de zeros maior do que o de pólos. Além

disso, este pólo evita uma amplificação de sinais de alta freqüência que passam pelo

controlador. É normalmente alocado em quarenta vezes a freqüência de ressonância do

filtro L-C por ser uma freqüência maior do que a de comutação, fazendo com que o mesmo

não influencie na dinâmica e nem na margem de fase do sistema.

()

(

)

(

)

()

sz sz

Cs k

ssp

+⋅+

=⋅

⋅+

(6.3)

⋅

(6.4)

103

≅

⋅

(6.5)

O próximo passo do projeto é definir a freqüência de cruzamento (f

) do módulo

da função de transferência de laço aberto por 0 dB. Esta freqüência é normalmente ajustada

em um quarto da freqüência de comutação e tem ligação direta com a velocidade de

resposta do controlador. Quanto maior a freqüência de cruzamento melhor a dinâmica do

compensador.

Quando se utiliza a modulação SPWM unipolar, onde a freqüência de ondulação

da tensão de saída se encontra em torno de duas vezes a freqüência de comutação, pode-se

ajustar f

como sendo a metade da freqüência de comutação, desde que as restrições de

derivada no modulador (Capítulo 4) sejam respeitadas. Na freqüência de cruzamento o

ganho do sistema em malha aberta deve ser 0 dB. Sendo assim, o ganho do compensador é

determinado a partir do diagrama de blocos da Fig. 6.2.

(6.6)

()()

()

cv cv

v V

ccvp

cff

jfzjfz

jfjfpV

jfLC

ππ

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅⋅ +

⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.7)

()()

()

cv cv

ccvp

cff

jfzjfz

jfjfp V

jfLC

ππ

⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.8)

Portanto, posicionando os zeros e o pólo do compensador utilizando a

metodologia citada anteriormente e considerando todos os ganhos do sistema em laço

aberto envolvidos para que a freqüência de cruzamento seja um quarto da freqüência de

comutação, obtém-se a função de transferência do compensador. Um exemplo das funções

de transferência da planta e do controlador pode ser visualizado através do diagrama de

Bode da Fig. 6.4.

104

Fig. 6.4 – Diagrama de Bode da função de transferência do compensador e da planta.

Fase (graus)Módulo (dB)

Fig. 6.5 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto.

Nota-se que existe a sobreposição dos zeros do compensador nos pólos da planta,

como esperado. A função de transferência de laço aberto está representada através do

diagrama de bode da Fig. 6.5. Pode-se observar que o sistema em laço aberto apresenta

uma característica de integrador, como esperado.

Para implementar o controlador, utiliza-se um circuito bastante difundido, que

pode ser observado na Fig. 6.6. Este circuito, além de implementar a função de

transferência do controlador PID, também executa a subtração do sinal de referência pelo

sinal proveniente do sensor de tensão.

A função de transferência deste circuito está representada na equação (6.9). A

partir desta função são determinados os valores apropriados para os componentes

utilizados para simulação e no protótipo de laboratório. Em geral, arbitra-se um valor

inicial para o resistor R

105

sensor

ref

Fig. 6.6 – Circuito que implementa a subtração (V

ref

- V

sensor

) e o compensador PID.

()

() ()

121

ooc

ref sensor

CRC

VsV s R

RRC

⎛⎞

+⋅+

⎜⎟

⋅⋅

⎝⎠

=⋅

−

⎛⎞

⋅+

⎜⎟

⋅⋅

⎝⎠

(6.9)

⋅

(6.10)

pRC

⋅

⋅−

(6.11)

2ov

⋅ (6.12)

⋅

(6.13)

Caso o efeito da carga não-linear ainda provocar alterações na forma de onda da

tensão de saída, uma outra estratégia de controle pode ser adotada. Com um sensor de

corrente na carga pode-se desenvolver um controle baseado na derivada da corrente da

carga.

A idéia seria minimizar o efeito do bloco sL

do diagrama da Fig. 6.7 [17]. Um

controlador que deriva a forma de onda da corrente da carga, com um ganho bem

calculado, gera um sinal de controle que é adicionado ao sinal de controle para que o efeito

da queda de tensão sobre o indutor do filtro provocada pela variação de corrente na carga

não-linear se anule.

Porém, um controle analógico que apresente característica de derivador puro é

impossível de ser implementado. Contudo, pode-se utilizar um derivador prático. Existe

um pequeno erro também relacionado com o valor da indutância do filtro. Apesar de ser

conhecido seu valor teórico, na prática seu valor pode variar um pouco.

106

(S)

+1)

ref

(s)

CARGA

(s)

pri

(s)

(s+p

)

Controlador

Adicional

Fig. 6.7 – Diagrama de blocos da malha de tensão com malha de controle adicional.

A corrente de saída não apresenta componentes significativos em alta freqüência,

pois estão diretamente relacionados à ondulação de tensão na saída do inversor, que

normalmente é baixa. Entretanto, este tipo de controle tem baixa imunidade à ruídos, que

podem ser amplificados em decorrência da natureza do controlador e gerar uma grande

distorção na forma de onda a ser controlada, mesmo quando é utilizado o derivador prático,

que possui um pólo que limita o ganho em altas freqüências.

O ganho do compensador k

é obtido segundo a equação (6.14). O pólo pode ser

posicionado sobre a freqüência de comutação, conforme a equação (6.15). Se o pólo for

fixado em uma freqüência muito baixa, a função derivador não funcionará corretamente e o

valor da derivada da corrente da carga não será o real. Por outro lado, se o pólo for alocado

em freqüências muito altas o ruído será amplificado e injetado no sistema como uma

perturbação. Este sinal de ruído diminui a qualidade da tensão de saída do inversor,

sobrecarregando o controlador C

(s) que, por sua vez, tentará compensar este efeito.

if i

TnV

⋅

(6.14)

vf s

⋅⋅

(6.15)

Um exemplo do diagrama de Bode deste controlador pode ser visualizado na Fig.

6.8. Para implementar o controlador utiliza-se um circuito simples, que pode ser observado

na Fig. 6.9. A função de transferência deste circuito está representada na equação (6.16). A

partir desta função são determinados os valores apropriados para os componentes

utilizados no simulador e no laboratório. Em geral, arbitra-se um valor inicial para o

resistor R

107

Fig. 6.8 – Diagrama de Bode do módulo do compensador adicional.

Fig. 6.9 – Circuito que implementa o compensador adicional.

(

)

()

sR C

is sRC

⋅⋅

⋅

⋅+

(6.16)

if i

TnV

⋅

⋅⋅

(6.17)

⋅

⋅⋅

(6.18)

6.2.1 Verificação dos Resultados

Para verificar as estratégias de controle da tensão de saída descritas, é

desenvolvido o projeto e simulação do sistema somente com o controle PID e também com

os dois controladores (PID e adicional) nos parâmetros contidos na Tabela 6.1. A

modulação utilizada é a SPWM unipolar. O diagrama de Bode de módulo da planta pode

ser visualizado na Fig. 6.10.

108

Tabela 6.1 – Parâmetros do sistema.

1,6 160 V 1,2 mH 40 uF 3,54 1025 VA

5 V 0,025 0,16 179,6 V 20 kHz 60 Hz

Fig. 6.10 – Diagrama de Bode de módulo da planta.

A freqüência de ressonância do filtro de saída é dada pela equação (6.19). Com

isso, determinam-se os zeros e o pólo do compensador PID. A freqüência de cruzamento

do módulo da função de transferência em malha aberta por zero dB é definida na equação

(6.22). O ganho do compensador é então determinado.

Apesar da modulação empregada ser a SPWM unipolar, para garantir que não

ocorrerão problemas com o modulador, será considerado f

como um quarto da freqüência

de comutação.

726,44

res

⋅⋅ ⋅

(6.19)

726,44

ππ

== =

⋅⋅

⋅

(6.20)

29,06

kHz

≅=

⋅

⋅⋅ ⋅

(6.21)

kHz==

(6.22)

109

()()

()

223,176

cv cv

ccvp

cff

jfzjfz

jfjfpV

jfLC

ππ

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅

⋅⋅ ⋅

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.23)

O diagrama de Bode de módulo e fase da função de transferência de laço aberto

do sistema se encontra na Fig. 6.11. A margem de fase do sistema é de 63,7 graus.

Observa-se que a dinâmica do sistema em malha aberta se assemelha com a de um

integrador com um ganho. Ainda, pode-se comprovar que a freqüência de cruzamento por

zero dB encontra-se em 5 kHz.

Fig. 6.11 – Diagrama de Bode de módulo e fase da função de transferência de laço aberto do sistema.

Os componentes do compensador PID foram calculados como descrito

anteriormente e seus valores se encontram na Tabela 6.2. Os componentes do compensador

adicional também foram determinados e se encontram na Tabela 6.3.

Tabela 6.2 – Componentes do compensador PID.

56 kΩ

3,9 nF

10 kΩ

22 nF

270 Ω

Tabela 6.3 – Componentes do compensador adicional.

47 kΩ 2,2 kΩ

3,3 nF

110

Simulou-se primeiramente o sistema sem o controle adicional, ou seja, somente

com o compensador PID. A tensão de saída e a corrente na indutância do filtro podem ser

observados na Fig. 6.12.

A tensão de saída exibe certa distorção em decorrência da dinâmica do

controlador e da capacitância de filtragem ser pequena. Mesmo assim, os resultados foram

muito bons de modo que a THD da forma de onda da tensão de saída se encontra abaixo de

1%.

A tensão de controle está mostrada na Fig. 6.13. Nota-se claramente o efeito da

carga não-linear no controlador. Quando existe a carga do capacitor do retificador da carga

não-linear o sinal de controle tem a forma da derivada da corrente da carga, como

esperado. Quando a corrente se extingue, o sinal de controle deve voltar ao seu ponto

nominal rapidamente. Durante este tempo, existe uma tensão menor aplicada sobre o filtro

de saída, descarregando o capacitor C

. Este efeito pode ser observado na Fig. 6.12.

Fig. 6.12 – Tensão na saída e corrente na indutância do filtro somente com o PID.

111

Fig. 6.13 – Sinal de controle do compensador PID.

As formas de onda da tensão de saída do inversor e da corrente no indutor do

filtro quando o controlador adicional também é utilizado podem ser visualizadas na Fig.

6.14. Desta vez observa-se uma senóide perfeita, isenta de distorções.

O sinal de controle do compensador PID e o sinal proveniente do controlador

adicional podem ser visualizados na Fig. 6.15. A soma dos dois sinais, que é levada até o

modulador, encontra-se na Fig. 6.16.

Fig. 6.14 – Tensão de saída e corrente na indutância do filtro com o PID e o controlador adicional.

112

Sinal de controle (V)

Fig. 6.15 – Sinal do compensador PID e do compensador adicional.

Fig. 6.16 – Sinal de controle resultante.

Nota-se claramente que o compensador PID está operando como se o sistema

estivesse sem carga, enquanto o compensador adicional corrige os efeitos da carga não-

linear. O compensador adicional é rápido devido a sua característica de derivador e

consegue corrigir melhor o efeito da carga não-linear. O controlador PID fica somente

operando como se o sistema estivesse em aberto e fica apto a ajudar o controle adicional no

caso de variações paramétricas.

A soma dos sinais de controle forma um sinal parecido ao sinal de controle

quando somente o compensador PID é adotado. Porém, a velocidade de resposta do

compensador adicional é maior, melhorando a forma de onda da tensão de saída.

113

Como o compensador PID pode compensar o sistema de forma independente, este

também poderá auxiliar o compensador adicional no caso de uma variação paramétrica

entre o sistema e o compensador adicional.

Para observar melhor essa interação entre as malhas, simulou-se novamente o

sistema, agora com L

= 1,3 mH, sem recalcular os parâmetros dos compensadores. As

formas de onda da tensão proveniente do compensador PID e do compensador adicional

estão representadas na Fig. 6.17.

Neste caso o compensador adicional não exibe o ganho exato necessário para o

cancelamento total dos efeitos da carga não-linear. Assim, parte da correção é feita pelo

compensador PID. A forma de onda da tensão de saída sofre uma pequena alteração,

porém não perceptível nesta simulação.

Fig. 6.17 – Sinal do compensador PID e do compensador adicional para variação paramétrica em L

6.2.2 Resultados Experimentais

Os mesmos parâmetros usados para a simulação do inversor foram implementados

na experimentação. Primeiramente verificou-se o sistema somente com o controle PID. As

formas de onda da tensão de saída e da corrente no indutor do filtro se encontram na Fig.

6.18. O sinal proveniente do controlador de tensão está mostrado na Fig. 6.19.

Pode-se observar que a tensão de saída do inversor apresentou uma forma de onda

senoidal, como esperado. A distorção harmônica total ficou em torno de 0,9%,

comprovando a eficácia da estratégia de controle. O sinal de controle mostrou-se coerente

com os resultados obtidos via simulação.

114

Tempo (5ms/div)

Fig. 6.18 - Tensão de saída (V

) e corrente na indutância do filtro (i

) em função do tempo (somente o

controle PID).

Fig. 6.19 – Sinal de controle do controlador de tensão (somente com o controle PID).

A queda de tensão encontrada nos resultados da simulação não foi observada no

experimento. Isto pode ter ocorrido por causa da indutância existente entre o inversor e a

carga e de variações nos valores da resistência e da capacitância da carga, que

conseqüentemente alteram a máxima derivada de descida da corrente da carga. Portanto,

neste caso não seria necessária a inclusão de uma malha de controle adicional. Mesmo

assim, para fins de verificação a malha adicional foi implementada em laboratório. As

formas de onda da tensão de saída e da corrente no indutor do filtro se encontram na Fig.

6.20. Os sinais provenientes do controlador de tensão e do controlador adicional estão

mostrados na Fig. 6.21 e a soma dos controladores na Fig. 6.22.

115

Tensão de saída (50V/div)

Corrente na indutância do filtro (10A/div)

Tempo (5ms/div)

Fig. 6.20 - Tensão de saída (V

) e corrente na indutância do filtro (i

) em função do tempo (controles PID e

adicional).

Tempo (5ms/div)

Fig. 6.21 – Sinal do controlador PID e do controlador adicional.

116

Tempo (5ms/div)

Fig. 6.22 – Soma dos sinais de controle, PID e adicional.

Como pode ser observado na Fig. 6.20, a forma de onda da tensão de saída

apresentou uma leve distorção nas proximidades do pico da senóide. Ainda, o sinal

proveniente do controlador de tensão não apresentou uma forma de onda senoidal. Os

sinais do controle adicional e da soma dos sinais de controle apresentaram-se adequados.

Apesar da distorção na sua forma de onda, a THD da tensão de saída ficou em

torno de 0,9%. A análise harmônica desta forma de onda se encontra na Fig. 6.23.

A distorção que pode ser observada na forma de onda da tensão de saída, apesar

de não ter se refletido na sua THD, pode ser decorrida de atrasos do sensor de medição de

corrente e do condicionamento dos sinais pelos amplificadores operacionais utilizados. A

implementação digital deste controle poderia trazer melhores resultados.

Lembra-se que a utilização deste controle adicional somente é recomendada em

casos onde a carga não-linear do sistema é de alta potência, que se caracteriza por

apresentar derivadas máximas de subida e de descida de corrente muito elevadas,

distorcendo de forma significante a tensão de saída, quando somente o controle PID é

usado. Para corrigir a distorção da tensão de saída deve-se aumentar a freqüência de

comutação dos IGBTs para que a dinâmica do controlador PID melhore e/ou aumentar o

valor da capacitância do filtro de saída, o que acarretaria em um elevado custo para o

projeto. A alternativa seria utilizar o controle adicional proposto.

117

Fig. 6.23 – Análise harmônica da tensão de saída com controle adicional.

6.3 Controle do Valor Médio da Corrente Magnetizante

O controle da corrente magnetizante tem como objetivo minimizar qualquer

componente contínua de corrente no primário do transformador de modo que não exista a

saturação do núcleo do mesmo. Este controle atua como uma proteção às falhas oriundas

do processo de comutação dos interruptores e outras perturbações de tensão que podem

gerar uma componente contínua de tensão sobre o primário do transformador.

Neste capítulo serão analisadas duas perturbações de tensão. P

será denotada à

perturbação de tensão diretamente no primário do transformador, oriunda do processo de

comutação e comando dos interruptores. P

vref

está relacionada a uma perturbação na

referência de tensão, ou seja, caso exista um valor médio na referência de tensão por

conseqüência do uso de amplificadores operacionais, assimetria das fontes de alimentação,

etc. No controle digital do inversor, P

vref

não existe quando V

ref

é criada internamente no

microcontrolador ou no processador digital de sinais (DSP).

Duas configurações para o controle da corrente magnetizante foram sugeridas no

Capítulo 2. É objetivo deste item analisar com detalhe as malhas sugeridas, verificar a

eficácia das configurações, seus pontos fortes e fracos e suas respectivas metodologias de

projeto.

Quando o sinal de controle de corrente é adicionado ao sinal de controle da malha

de tensão, tem-se o diagrama mostrado na Fig. 6.24. Para este caso será atribuído o nome

de primeira configuração da malha de corrente.

118

O diagrama de blocos com a inserção das perturbações para a primeira

configuração é mostrado na Fig. 6.25. Neste diagrama considera-se o inversor operando

sem carga para termos de simplificação e posterior manipulação dos blocos do diagrama.

Para o caso em que o sinal de controle é adicionado à referência de tensão será

atribuído o nome de segunda configuração da malha de corrente (Fig. 6.26). O diagrama de

blocos com a inserção das perturbações para a segunda configuração se encontra na Fig.

6.27.

1/(sL

)

(s)

ref

= 0

+1)

(s)

CARGA

(s)

pri

(s)

ref

(s)

pri

(s)

Fig. 6.24 – Diagrama de blocos com as malhas de corrente e tensão (primeira configuração).

(s)

1/(s

+1)

(s)

pri

(s)

ref

(s)

vref

(s)

1/(sL

)

(s)

pri

(s)

Fig. 6.25 – Diagrama de blocos com as perturbações (primeira configuração).

Fig. 6.26 - Diagrama de blocos com as malhas de corrente e tensão (segunda configuração).

119

Fig. 6.27 – Diagrama de blocos com as perturbações (segunda configuração).

Em ambos os casos, deseja-se que i

seja controlada e que tenha seu valor médio

mantido em zero para quaisquer possíveis degraus de perturbação. Nos itens seguintes a

primeira e segunda configuração serão analisadas em detalhe. Após, será definida a

metodologia de projeto do controlador da malha de corrente C

(s).

6.3.1 Primeira Configuração

Para analisar a malha de corrente em relação às perturbações de tensão, utiliza-se

o princípio da superposição no diagrama da Fig. 6.25. Manipulando este diagrama, obtém-

se o diagrama de blocos que relaciona i

com P

, mostrado na Fig. 6.28. O compensador

da malha de corrente deve garantir erro zero ao degrau e ser estável nos dois subsistemas.

Fig. 6.28 – Diagrama de blocos da corrente magnetizante em relação à perturbação no bloco inversor

(primeira configuração).

O bloco G

(s) do diagrama representa a função de transferência de laço fechado

da malha de tensão, que está mostrada na equação (6.24). Como a dinâmica da malha de

corrente é muito lenta em comparação com da malha de tensão, pode-se simplificar todos

os blocos relacionados com a malha de tensão. G

vrs

(s) representa a função G

(s)

simplificada. C

(s) também pode ser simplificada formando C

(s), assim como G

(s) que

forma G

irs

(s). A simplificação é feita considerando-se s = 0 para todos os pólos e zeros que

se encontram nas altas freqüências, determinando assim os ganhos em baixa freqüência

referentes a esses pólos e zeros.

120

Os diagramas de Bode de módulo e fase da Fig. 6.29 mostram a comparação entre

(s) e G

vrs

(s). Pode-se notar que nas baixas freqüências as funções se equivalem.

Portanto, as funções simplificadas serão adotadas na continuidade deste capítulo e o

diagrama da Fig. 6.28 pode ser substituído pelo da Fig. 6.30.

()

pff

VsLC

Cs T

VsLC

⋅

⋅⋅⋅+

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅+

(6.24)

()

(

)

fms ff

nsC sL r sLC

⋅

⋅⋅⋅++⋅⋅+

(6.25)

()

(

)

fms

irs

nsC sL r

⋅

⋅⋅⋅++

(6.26)

()

(

)

(

)

()

sz sz

Cs k

ssp

+⋅+

=⋅

⋅+

(6.27)

()

Vs v

Cs k

=⋅

⋅

(6.28)

()

vv i

vrs

vp vv iv

znV

sp V

kz nV

znV

spV k z nVT

sp V

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅

⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅

+⋅ ⋅ ⋅

⋅

(6.29)

Fase de G

vrs

(s) (graus)

Fase de G

(s) (graus)

Módulo de G

vrs

(s)

(dB)

Módulo de G

(s) (dB)

Fig. 6.29 – Diagramas de Bode de módulo e fase das funções G

(s) e G

vrs

(s).

121

Fig. 6.30 - Diagrama de blocos simplificado da corrente magnetizante em relação à perturbação no bloco

inversor (primeira configuração).

A função de transferência entre i

(s) e a perturbação de tensão P

(s) encontra-se

na equação (6.30).

()

(

)

(

)

()

() ()

()

vrs irs

Lm vs m s

vrs irs

vs m s

GsGs

is Cs sLr

GsGs

TCs

Cs sL r

⋅

⋅+

⋅

+⋅⋅⋅

⋅+

(6.30)

Se considerarmos a entrada P

(s) como sendo um degrau de valor k

, aplicando o

teorema do valor final tem-se a equação (6.31).

()

(

)

(

)

()

() ()

()

lim

vrs irs

vs m s

vrs irs

vs m s

GsGs

Cs sL r

GsGs

TCs

Cs sL r

→

∞= ⋅

⋅

⋅+

⋅

+⋅⋅⋅

⋅+

(6.31)

Analisando a equação (6.31), para que i

tenda a zero, C

(s) não precisa haver

um integrador em sua função de transferência. Contudo, é interessante adicionar um

integrador nesta função de transferência a fim de se reduzir a dinâmica da malha de

corrente de modo que esta não interfira na malha de tensão e também para que os ganhos

das funções simplificadas anteriormente sejam válidos.

Para verificar a eficácia desta primeira configuração da malha de corrente em

relação à perturbação de tensão no primário do transformador (P

), simula-se o circuito

inversor com os parâmetros contidos nas Tabela 6.1 e Tabela 6.2 para uma perturbação de

5 V no primário após cinco segundos de operação. Adicionalmente, têm-se os parâmetros

mostrados em (6.32). Conforme o princípio da superposição, a resposta do sistema perante

uma perturbação na referência de tensão P

vref

também deve ser analisada para que a

eficácia da configuração seja verificada.

122

0,095

162

LmH

Ω

(6.32)

A função de transferência de laço aberto da Fig. 6.30 é dada pela equação (6.33).

O compensador de corrente será do tipo proporcional integrativo, mostrado na equação

(6.34), onde k

é o ganho do controlador.

Primeiramente define-se a freqüência de cruzamento (f

) do módulo da função de

transferência de laço aberto por 0 dB. k

é determinado a partir de (6.36).

()

(

)

(

)

()

vrs irs

vs m s

GsGs

FTLA s T C s

Cs sL r

⋅

=⋅⋅⋅

⋅+

(6.33)

()

(6.34)

0,01

(6.35)

() ()

()

870

vrs ci irs ci

vs ci ci m s ci

GfGf

Cf fLr f

ππ

=≅

⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅ ⋅ + ⋅⋅

(6.36)

A Fig. 6.31 representa o comportamento da função de transferência de laço aberto

através do diagrama de Bode de módulo e fase.

Fig. 6.31 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto do sistema relacionando i

(s) com

(s) (primeira configuração).

O valor médio da corrente na indutância magnetizante e a tensão de saída podem

ser visualizados nas Fig. 6.32 e Fig. 6.33, respectivamente. Pode-se observar que nesta

configuração a malha de corrente não conseguiu compensar o valor médio da corrente

123

magnetizante e a tensão de saída do inversor apresentou-se distorcida em regime

permanente.

O fator principal do não funcionamento desta configuração está na interação entre

as malhas de controle. Na verdade, a malha de corrente não é capaz de retirar o valor

médio de i

nesta configuração. A malha de tensão acaba por corrigir o problema do valor

médio de tensão no primário do transformador de maneira rápida e inibe a malha de

corrente na eliminação da componente contínua da corrente magnetizante.

Além disso, a saturação dos controladores de tensão e corrente pode afetar a

estabilidade do sistema, pois o valor médio da corrente magnetizante acaba subindo

quando os controladores saturam.

Fig. 6.32 – Valor médio da corrente magnetizante em função do tempo (primeira configuração).

Fig. 6.33 – Tensão de saída do inversor em função do tempo (primeira configuração).

124

Observando as Fig. 6.34 e Fig. 6.35, a partir de uma perturbação P

em t

, o

controlador de tensão, que possui uma dinâmica rápida, ajusta V

de forma a compensar

este valor médio. V

é o sinal de saída do controlador de tensão.

Durante o período de tempo necessário para compensar o valor médio proveniente

de P

, existe um valor médio de tensão sobre o primário fazendo com que a componente

contínua da corrente magnetizante cresça. Esta componente contínua com o passar do

tempo deve se extinguir devido à resistência do enrolamento primário. Todavia, este valor

médio existe logo após a correção feita por C

(s).

Enquanto i

apresenta valor médio, o controlador de corrente integra este valor e

desce em forma de rampa, como pode ser observado na Fig. 6.34. O controlador de tensão

é sensível a isto e compensa este desnível fazendo com que a soma dos compensadores

), que é o sinal de entrada do modulador, seja sempre a mesma (Fig. 6.35). Isto ocorre

até que as saídas dos controladores saturem em t

. Então a tensão de saída fica distorcida

em um semiciclo e oscilando, pois como o sinal de controle de C

(s) se apresenta

distorcido, a tensão de saída acaba apresentando um valor médio positivo por alguns

instantes, o que faz com que a componente contínua da corrente magnetizante aumente um

pouco novamente, não conseguindo se descarregar normalmente em decorrência dessas

oscilações.

Fig. 6.34 – Corrente na indutância magnetizante (i

, preto) e sinal do controlador de corrente (V

, azul) em

função do tempo (primeira configuração).

125

Fig. 6.35 – Sinal do controlador de tensão (Vcv, azul) e a soma dos sinais de controle (Vc, preto) em função

do tempo (primeira configuração).

O fator que diferenciou a resposta encontrada no simulador do resultado esperado,

que seria erro zero à perturbação P

como previsto na equação (6.31), foi a saturação dos

sinais provenientes dos controladores de tensão e corrente.

Apesar da componente média da corrente magnetizante tender a zero após uma

perturbação P

se o controlador de corrente for lento o bastante para não saturar, existe o

fato que a corrente não está sendo controlada, pois acaba sendo um efeito secundário

provocado pela malha de tensão. Então, um degrau de perturbação maior pode saturar o

núcleo do transformador e desníveis na referência de tensão podem inviabilizar o

funcionamento da estrutura.

Portanto, mostra-se que esta configuração não funciona e pode ainda atrapalhar o

funcionamento correto do inversor. Em decorrência deste fato, esta configuração será

descartada e seu comportamento na presença de uma perturbação na referência de tensão

não será estudado.

6.3.2 Segunda Configuração

Nesta configuração o sinal proveniente do controlador de corrente é adicionado à

referência de tensão. Para analisar a malha de corrente em relação às perturbações de

tensão, utiliza-se o princípio da superposição no diagrama da Fig. 6.27. Manipulando este

diagrama de blocos, obtém-se o diagrama que relaciona i

com P

, mostrado na Fig. 6.36.

O compensador da malha de corrente deve garantir erro zero ao degrau e ser estável nos

dois subsistemas para que a configuração seja verificada.

126

1/(sL

)

1/C

(s)

vrs

(s) G

irs

(s)

Fig. 6.36 – Diagrama de blocos da corrente magnetizante em relação à perturbação no bloco inversor

(segunda configuração).

A função de transferência entre i

(s) e a perturbação de tensão P

(s) encontra-se

na equação (6.37).

()

(

)

(

)

()

() ()

()

vrs irs

Lm vs m s

vrs irs i i

GsGs

is Cs sLr

GsGs TCs

sL r

⋅

⋅+

+⋅⋅ ⋅⋅

⋅+

(6.37)

Se considerarmos a entrada P

(s) como sendo um degrau de valor k

, aplicando o

teorema do valor final tem-se a equação (6.38).

()

(

)

(

)

()

() ()

()

lim

vrs irs

vs m s

vrs irs i i

GsGs

Cs sL r

GsGs TCs

sL r

→

∞= ⋅

⋅

⋅+

⋅

+⋅⋅ ⋅⋅

⋅+

(6.38)

Analisando a expressão (6.38), para que i

tenda a zero, C

(s) não precisa possuir

um integrador em sua função de transferência.

Para verificar a eficácia da segunda configuração da malha de corrente em relação

à perturbação de tensão no primário do transformador (P

), simula-se o circuito inversor

com os parâmetros contidos nas Tabela 6.1 e Tabela 6.2 para uma perturbação de 5 V no

primário após cinco segundos de operação. Adicionalmente, têm-se os parâmetros

mostrados em (6.32).

A função de transferência de laço aberto da Fig. 6.36 é dada pela equação (6.39).

O compensador de corrente será do tipo proporcional, mostrado na equação (6.40).

Primeiramente define-se a freqüência de cruzamento (f

) do módulo da função de

transferência de laço aberto por 0 dB. Esta freqüência deve ser baixa para que o sinal de

controle de C

(s) seja pequeno e não distorça a tensão de referência. k

é determinado

através de (6.42).

() () ()

()

vrs irs i i

FTLA s G s G s T C s

sL r

=⋅⋅ ⋅⋅

⋅+

(6.39)

127

(

)

Cs k

(6.40)

0,01

(6.41)

() ()

()

0,036

vrs ci irs ci i

ci m s

GfGf T

fL r

=≅

⋅⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ +

(6.42)

A Fig. 6.37 representa o comportamento da função de transferência de laço aberto

através do diagrama de Bode de módulo e fase.

0.1 1 10 100 10

200

150

100

Freqüência (Hz)

Fig. 6.37 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto do sistema relacionando i

(s) com

(s) (segunda configuração).

O valor médio da corrente na indutância magnetizante e a tensão de saída podem

ser visualizados nas Fig. 6.38 e Fig. 6.39, respectivamente. Pode-se observar que nesta

configuração a malha de corrente conseguiu compensar o valor médio da corrente

magnetizante e a malha de tensão não foi afetada, apresentando forma de onda senoidal na

saída do sistema.

O sinal proveniente do controlador de corrente se encontra na Fig. 6.40. Pode-se

observar que não houve grandes alterações neste sinal, pois a malha de tensão corrige o

valor médio de tensão no primário e a pequena parcela de valor médio da corrente

magnetizante é facilmente compensada por V

, que quase não precisa deslocar seu sinal de

controle para operar de forma adequada.

128

Fig. 6.38 – Valor médio da corrente magnetizante em função do tempo (segunda configuração).

Fig. 6.39 – Tensão de saída em função do tempo (segunda configuração).

0 5 10 15

-5

-3

-1

Tempo (s)

Fig. 6.40 – Sinal do controlador de corrente em função do tempo (segunda configuração).

129

O funcionamento desta configuração baseia-se no fato de que se existir uma

componente média positiva de corrente no primário do transformador, o controlador de

corrente vai inserir um valor médio negativo na referência de tensão, que automaticamente

se refletirá em uma tensão com componente média negativa no primário, por causa do

controlador de tensão. Essa componente média vai fazer com que o valor médio de i

caia

e por conseguinte o valor médio da referência tende a se aproximar de zero novamente.

Esta oscilação em baixa freqüência garante que a referência de tensão fique com valor

médio nulo, assim como a corrente magnetizante, perante qualquer perturbação no

primário do transformador.

Como o problema do valor médio no primário é corrigido pela malha de tensão,

não é observado nenhum sobresinal na corrente magnetizante. Deve-se atentar ao fato de

que qualquer perturbação no primário do transformador vai deslocar o sinal de controle de

tensão, que pode vir a saturar dependendo da magnitude da perturbação e do índice de

modulação utilizado. Ainda, a carga não-linear faz com que durante a carga do capacitor

do retificador o sinal de controle normalmente se encontra acima do índice de modulação

nominal, podendo saturar mais facilmente.

Seguindo com a análise para o segundo subsistema, o diagrama de blocos que

mostra i

em função da perturbação na referência de tensão P

vref

se encontra na Fig. 6.41.

Fig. 6.41 - Diagrama de blocos da corrente magnetizante em relação à perturbação na referência de tensão

(segunda configuração).

A função de transferência entre i

(s) e P

vref

(s) encontra-se na equação (6.43). Se

considerarmos a entrada P

vref

(s) como sendo um degrau de valor k

Pvref

, aplicando o

teorema do valor final tem-se a equação (6.44).

()

() ()

()

() ()

()

vrs irs

Lm m s

vref

vrs irs i i

GsGs

is sLr

GsGs TCs

sL r

⋅⋅

⋅+

+⋅⋅ ⋅⋅

⋅+

(6.43)

130

()

() ()

()

() ()

()

lim

vrs irs

vrs irs i i

GsGs

sL r

GsGs TCs

sL r

→

∞= ⋅

⋅⋅

⋅+

⋅

+⋅⋅ ⋅⋅

⋅+

(6.44)

Analisando a equação (6.44), para que i

tenda a zero, C

(s) precisa possuir um

integrador em sua função de transferência. Portanto, como o funcionamento desta malha de

corrente deve abranger as duas perturbações, o controlador de corrente deverá ser

projetado para o pior caso, justamente quando C

(s) precisa ter um integrador em sua

função de transferência.

Para verificar a eficácia da segunda configuração da malha de corrente em relação

à perturbação de tensão na referência de tensão (P

vref

), simula-se o circuito inversor com os

mesmos parâmetros utilizados nas simulações anteriores e com um valor médio de -100

mV na referência de tensão, cujo valor de pico é de 4,49 V. O degrau de perturbação de 5

V sobre o primário do transformador é retirado.

A função de transferência de laço aberto da Fig. 6.41 é dada pela equação (6.45).

O compensador de corrente será do tipo proporcional integrativo.

Primeiramente define-se a freqüência de cruzamento (f

) do módulo da função de

transferência de laço aberto por 0 dB. k

é determinado através de (6.49). Para implementar

o controlador utiliza-se um circuito simples, que pode ser observado na Fig. 6.42. A função

de transferência deste circuito está representada na equação (6.47). A partir desta função

são determinados os valores apropriados para os componentes utilizados no simulador e no

laboratório. Em geral, arbitra-se um valor inicial para o capacitor C

()

(

)

(

)

()

vrs irs

vs m s

GsGs

FTLA s T C s

Cs sL r

⋅

=⋅⋅⋅

⋅+

(6.45)

()

(6.46)

()

sC R

⋅

(6.47)

0,5

(6.48)

() ()

()

0, 44

vrs ci irs ci i

ci m s ci

GfGf T

fL r f

ππ

=≅

⋅⋅ ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ + ⋅⋅

(6.49)

131

Fig. 6.42 – Circuito que implementa C

(s).

A Fig. 6.43 representa o comportamento da função de transferência de laço aberto

através do diagrama de Bode de módulo e fase.

Fase (graus)Módulo (dB)

Fig. 6.43 – Diagrama de Bode da função de transferência de laço aberto do sistema relacionando i

(s) com

vref

(s) (segunda configuração).

O valor médio da corrente na indutância magnetizante e a tensão de saída podem

ser visualizados nas Fig. 6.44 e Fig. 6.46, respectivamente. Pode-se observar que o valor

médio da corrente magnetizante é controlado de forma eficaz e a malha de tensão não sofre

interferência da malha de corrente.

O sinal de controle de corrente (Fig. 6.47) enfatiza a eficácia desta configuração,

pois mostra que a partir de um desnível de -100mV na referência de tensão, sua saída

apresenta este mesmo valor, compensando o efeito de P

vref

132

Fig. 6.44 – Valor médio da corrente magnetizante em função do tempo (segunda configuração).

Fig. 6.45 – Corrente na indutância magnetizante em função do tempo (segunda configuração).

8.2 8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26

-200

-100

100

200

Tensão de saída (V)

Tempo (s)

Fig. 6.46 – Tensão de saída em função do tempo (segunda configuração).

133

0 5 10 15

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

Sinal do controlador de corrente (V)

Tempo (s)

Fig. 6.47 – Sinal do controlador de corrente em função do tempo (segunda configuração).

Tendo-se analisado as duas configurações para a malha de corrente sugeridas no

Capítulo 2, escolheu-se para o projeto do inversor a segunda configuração, que se

caracteriza pela soma do sinal de controle de corrente com a referência de tensão.

6.3.3 Resultados Experimentais

Utilizando os mesmos parâmetros agora calculados para o compensador, a malha

de corrente foi testada no protótipo de laboratório. Não se aplicou degrau de perturbação.

O sinal do controlador de corrente se encontra na Fig. 6.48.

Fig. 6.48 – Sinal do controlador de corrente.

Pode-se observar que existe uma componente contínua neste sinal de controle em

torno de 60 mV. Provavelmente ela existe em decorrência de algum offset na referência de

tensão ou na própria saída do controlador de tensão, gerado pelas imperfeições dos

134

amplificadores operacionais do circuito de comando. Além disso, existe o erro da ponteira

de tensão do osciloscópio, que pode ter contribuído para este valor.

6.4 Interação entre as Malhas de Tensão e Corrente

A malha de corrente foi estudada nos últimos itens considerando a influência da

malha de tensão, que se mostrou bastante importante. Porém, durante o estudo da malha de

tensão não se considerou uma possível interação da mesma com a malha de corrente.

Apesar dos resultados no item anterior mostrarem que a malha de tensão

funcionou corretamente, nesta seção será analisada a influência da malha de corrente

escolhida entre as duas configurações no projeto do controlador de tensão.

O diagrama de blocos simplificado com as malhas de corrente e tensão está

representado na Fig. 6.49. Após algumas manipulações, encontra-se o diagrama da Fig.

6.50. A função H

(s) está definida em (6.50).

Fig. 6.49 – Diagrama de blocos com as malhas de corrente e tensão.

Fig. 6.50 – Diagrama de blocos resultante da malha de tensão.

()

() ()

fms ff

iv i

ms f f

nsC sL r sLC

TC s Cs

sL r s L C

⋅⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +

+⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅+⋅⋅⋅+

(6.50)

Utilizando-se os mesmos parâmetros calculados para a simulação da malha de

tensão e para a malha de corrente escolhida, pode-se traçar um diagrama de Bode para

135

comparar a função H

(s) com o ganho V

, utilizado anteriormente no projeto do

controlador de tensão (comparar as Fig. 6.2 e Fig. 6.51).

Fig. 6.51 – Diagrama de Bode com módulo e fase da função H

(s) e ganho V

Como se pode observar, nas baixas freqüências existe uma diferença entre a

função H

(s) e o ganho V

. Apesar de que nas altas freqüências a semelhança dos

ganhos ser grande, uma análise para verificar se o projeto do controlador deverá ser

alterado será desenvolvida.

O ganho k

do controlador é determinado através da equação (6.8), que será

reescrita em (6.51) para um melhor entendimento. Considerando a malha de corrente, o

ganho deve ser calculado pela equação (6.52). Entretanto, H

(s) depende de C

(s) e C

(s),

sendo que as duas dependem de k

, como mostram as equações subseqüentes.

()()

()

cv cv

ccvp

cff

jfzjfz

jfjfpV

jfLC

ππ

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅⋅ +

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.51)

()()

()

cv cv

rc V

ccv

cff

jfzjfz

Hf T

jfjfp

jfLC

ππ

⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.52)

()

(

)

(

)

()

sz sz

Cs k

ssp

+⋅+

=⋅

⋅+

(6.53)

()

(6.54)

136

() ()

()

vrs ci irs ci i

ci m s ci

GfGf T

Lr f

ππ

⋅⋅ ⋅⋅

⋅

⋅⋅+ ⋅⋅

(6.55)

()

vv i

vrs

vp vv iv

kz nV

spV k z nVT

⋅⋅⋅

⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅

(6.56)

A solução analítica deste problema torna-se muito difícil. Porém, pode-se

encontrar uma solução numérica a fim de comparar k

calculado pela equação (6.51) com o

calculado pela (6.52). Primeiramente substituem-se as equações (6.53), (6.54), (6.55) e

(6.56) em (6.50). O resultado substitui-se em (6.52). Tem-se então a equação do ganho do

sistema em malha aberta G

ma2

em função de k

. G

ma1

representa o ganho do sistema em

malha aberta quando se utiliza a equação (6.51) para calcular k

()()

()

cv cv

ma v V

ccvp

cff

jfzjfz

Gk T

jfjfpV

jfLC

ππ

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

=⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.57)

()()

()

cv cv

ma v r c v V

ccv

cff

jfzjfz

Gk Hfk T

jfjfp

jfLC

ππ

⋅⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ +

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ +

(6.58)

Assim, pode-se traçar um gráfico com as funções G

ma1

e G

ma2

em função de k

observar o cruzamento pelo ganho unitário, que é o valor do ganho adotado no projeto,

onde o ganho do sistema em laço aberto de zero dB passa pela freqüência de cruzamento

Fig. 6.52 – Funções G

ma1

e G

ma2

em função de k

137

Como pode ser observado, as funções são praticamente idênticas e têm o mesmo

valor de k

quando apresentam ganho unitário. Portanto, no caso do projeto da malha de

tensão, não é preciso se considerar a malha de corrente e a metodologia de projeto do

controlador continua sendo a apresentada anteriormente.

6.5 Conclusão

O controle da forma de onda da tensão de saída pode ser implementado de forma

simples e eficiente por um compensador proporcional-integral-derivativo. O projeto por

diagramas de Bode torna-se rápido, de modo que pode ser desenvolvido em software,

tendo assim a possibilidade de todos os parâmetros do circuito serem calculados

automaticamente.

Os resultados obtidos no controle da tensão de saída foram muito bons, tendo em

vista a simplicidade do projeto. Um aumento no valor da capacitância do filtro ou na

freqüência de comutação, o que provocaria um aumento na freqüência de cruzamento do

sistema em malha aberta, melhoraria a dinâmica do sistema. Contudo, sabe-se que o

aumento da freqüência de comutação é um fator de alto custo no projeto, especialmente

quando se utilizam IGBTs. O aumento do valor da capacitância de saída também tem um

impacto grande no custo, pois o custo de capacitores de polipropileno para uso em

correntes alternadas é muito elevado.

Em casos onde o efeito da carga não-linear afeta muito a THD da tensão de saída,

principalmente ocorrendo quando existe um baixo valor de capacitância de filtragem e a

potência é elevada, pode-se utilizar um controle adicional. Este compensador atua somente

na correção da forma de onda da tensão perante as variações da carga não-linear. Os pontos

negativos deste controle adicional englobam a inserção de um sensor de corrente adicional

e a fraca imunidade ao ruído. As vantagens se concentram na possibilidade de utilização de

uma capacitância de filtragem menor para uma mesma freqüência de comutação dos

interruptores.

O estudo do controle do valor médio da corrente magnetizante foi apresentado, de

onde se descartou a primeira configuração da malha de corrente sugerida no Capítulo 2. O

principal motivo foi a interação entre as malhas de controle, onde a malha de tensão

compensava os esforços feitos pelo controlador de corrente e assim impossibilitava o

controle da corrente magnetizante.

138

A segunda configuração mostrou ser eficiente na eliminação do valor médio da

corrente magnetizante. A metodologia de projeto do controlador de corrente foi

apresentada e os resultados corresponderam às expectativas.

Por fim, a interação entre as malhas de corrente e tensão foi estudada sob o ponto

de vista do projeto do controlador de tensão. Como resultado, verificou-se que a malha de

corrente não interfere no projeto do controlador da malha de tensão e, por conseguinte, a

metodologia de projeto apresentada anteriormente foi validada.

139

Capítulo 7 – Metodologia de Projeto

7.1 Introdução

Neste Capítulo será apresentada a metodologia de projeto do inversor de tensão

alimentando uma carga não-linear do tipo retificador de onda completa com filtro

capacitivo. A metodologia é desenvolvida a partir de toda a análise feita nos capítulos

anteriores.

A partir de parâmetros iniciais se definirá a relação de transformação e os

componentes passivos do filtro de saída, bem como os parâmetros dos compensadores a

serem empregados. O projeto visa reduzir ao mínimo os esforços de corrente nos

semicondutores do estágio inversor, bem como garantir uma forma de onda senoidal com

baixa THD na saída do inversor.

As equações necessárias para a metodologia serão reescritas para um melhor

acompanhamento e um exemplo de projeto será simulado e implementado em laboratório

para a verificação dos resultados.

7.2 Metodologia de Projeto

A metodologia tem início com o conhecimento dos parâmetros iniciais do projeto

do inversor. Estes parâmetros são os valores da tensão de saída (V

), da freqüência de

operação (f

), da potência aparente (S

) e do fator de crista (F

) da carga e da tensão

disponível no barramento de entrada (V

A partir do valor de pico da tensão de saída, pode-se definir um ganho para o

sensor de tensão (T

), de modo que a tensão resultante fique adequada para a faixa de

operação de amplificadores operacionais ou de algum processador digital de sinais, caso se

deseje o controle digital do inversor.

O primeiro passo desta metodologia consiste em se determinar as máximas

derivadas de subida e de descida da corrente de carga em função dos parâmetros

conhecidos. Por exemplo, através dos ábacos das Fig. 7.1 e Fig. 7.2, determina-se os

valores máximos de derivada.

140

Fig. 7.1 – Derivada máxima de subida da corrente da carga do inversor.

Derivada máxima de descida da corrente

no indutor L

(A/s)

Fig. 7.2 – Derivada máxima de descida da corrente da carga do inversor.

Se o fator de crista da carga não for conhecido, deve-se arbitrar um valor. O

inversor não irá funcionar corretamente se o fator de crista da carga for maior que o

projetado. A tensão de saída terá sua forma de onda distorcida e consequentemente sua

THD reduzida.

O próximo passo consiste em escolher a modulação a ser empregada no sistema, a

freqüência de comutação e o valor da ondulação máxima de tensão na saída do inversor.

Como as equações mudam conforme a modulação, a metodologia continuará em duas

linhas distintas, cada uma referida a uma modulação.

7.2.1 SPWM Unipolar

Na especificação da ondulação da tensão de saída do inversor, o projetista deve ter

o cuidado de escolher um valor de ondulação pequeno, pois o mesmo influi diretamente no

141

valor da THD da forma de onda da saída. Recomenda-se escolher um valor menor do que

1% da tensão de pico de saída.

Após definida a ondulação de tensão pode-se traçar uma série de gráficos em

função da relação de transformação, como visto no Capítulo 5. É importante observar o

comportamento da corrente eficaz no primário do transformador, da corrente eficaz no

capacitor do filtro, a ondulação de corrente na indutância de filtragem e o próprio valor da

capacitância em função de n.

()

(

)

()

() ()

()

max

max min

max max

min

max max

20,9

0,9

op i op

sub

is i op

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t

VnVV

nV nV V

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ −

∆=

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ −

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

<⋅

⋅+∆

(7.1)

()

(

)

()

() ()

()

max

max min

max max

min

max max

20,9

0,9

op i op

des

is i op

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t

VnVV

nV nV V senarcsenk t

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ −

∆=

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ +∆

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

>⋅

+⋅ +∆

(7.2)

()

(

)

max

sCf

⋅∆

⋅⋅∆

(7.3)

(

)

max max

,,, , ,

Cf r s op i Cf

ifn VVV

ωω

=∆

(7.4)

() ()

ef ef ef

pri Cf o

innini=⋅ + (7.5)

A partir destes gráficos o projetista deve escolher um valor de n que tenha um

compromisso entre os esforços de corrente nos interruptores e no capacitor de filtragem,

bem como garanta uma ondulação de corrente aceitável na indutância do filtro. Uma boa

sugestão seria a escolha de n tal que a relação entre a ondulação de corrente no primário e a

corrente eficaz no primário fosse de 1:4 ou 1:5.

142

Considerando o projeto do transformador de baixa freqüência para diferentes

valores de n, respeitando a mesma potência de operação, encontra-se uma relação

dispersão x n. Se esta relação for fornecida pelo fabricante, pode-se escolher um valor de n

no qual a indutância de dispersão do transformador se iguale a indutância necessária para o

filtro L-C.

Esta escolha pode ser adotada desde que os esforços de corrente nos componentes

do circuito sejam observados. Caso necessite-se de um valor maior de n, o valor da

indutância do filtro deve ser complementar ao valor da indutância de dispersão ou pode ser

requisitado ao fabricante do transformador a indutância de dispersão igual a L

. Um valor

menor de n não seria possível, pois a indutância necessária para o filtro provavelmente

seria menor do que a indutância de dispersão presente no transformador.

Após a escolha da relação de transformação mais apropriada, calcula-se o valor da

capacitância do filtro necessária através da equação (7.3). Em seguida, o valor da

indutância de filtragem é determinado pela equação (7.6).

(

)

()

max

max max

op i op

Lis

VnVV

innV

⋅⋅ ⋅⋅ −

∆

⋅⋅⋅ ⋅

(7.6)

Deve-se ainda comparar o valor da derivada de entrada do modulador, que se

encontra na equação (7.8), com o valor máximo permitido, contido na equação (7.7).

dtri

⋅

= (7.7)

()

(

)

()

max

op i op

in b

vv s

ffs i

VnVV

dpwm t

TC f

dt L C n V

⎛⎞

⋅⋅ ⋅⋅ −

⎜⎟

=⋅⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅⋅⋅

⎝⎠

(7.8)

O projeto de controle pode ser desenvolvido tal como descrito no Capítulo 6. A

simulação do circuito completo é imprescindível, para que se possa confirmar todos os

resultados dessa metodologia.

Se existir uma queda de tensão relevante em razão da alta derivada de descida da

corrente de carga que prejudique a THD da forma de onda da tensão de saída, pode-se

tanto aumentar o valor da capacitância quanto o da freqüência de comutação sem

prejudicar o projeto.

Se o problema persistir ou o custo desta modificação for elevado, pode-se

implementar uma outra malha de controle, que atue especificamente na correção da forma

de onda da tensão de saída perante as variações de corrente geradas pela carga não-linear.

143

7.2.2 SPWM Bipolar

Nesta modulação a escolha de uma ondulação de tensão pequena vai acarretar em

um valor elevado de capacitância, se comparada com o valor obtido na modulação SPWM

unipolar, o que naturalmente vai contribuir para que a queda de tensão proveniente de uma

alta derivada de descida da corrente de carga seja minimizada.

Após definida a ondulação de tensão, a metodologia continua tal como

apresentada na modulação SPWM unipolar, onde se pode traçar uma série de gráficos em

função da relação de transformação e escolher um valor de n apropriado, respeitando os

esforços de corrente nos principais elementos do sistema.

()

(

)

()

() ()

()

max

min

max max

min

max max

0,9

sub

siop

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t

nV V

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⋅⋅⋅

∆=

⋅⋅⋅−

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

<⋅

⋅+∆

(7.9)

()

(

)

()

() ()

()

max

min

max max

min

max max

0,9

des

siop

Lo Lo

des sub

Lo Lo

des sub

di t

n V V sen arcsen k t

di t di t

dt dt

di t di t

sen arcsen k t

dt dt

⋅⋅⋅

∆=

⋅⋅⋅+⋅ +∆

⎛⎞

⋅−

⎜⎟

⎝⎠

>⋅

⋅+∆

(7.10)

max

fs C

⋅⋅

⋅⋅ ⋅∆

(7.11)

(

)

max max

,,, , ,

Cf r s op i Cf

ifn VVV

ωω

=∆

(7.12)

() ()

ef ef ef

pri Cf o

innini=⋅ +

(7.13)

Após a escolha da relação de transformação mais apropriada, calcula-se o valor da

capacitância do filtro necessária através da equação (7.11). Em seguida, o valor da

indutância de filtragem é determinado pela equação (7.14).

144

Deve-se ainda comparar o valor da derivada de entrada do modulador, que se

encontra na equação (7.16), com o valor máximo permitido, contido na equação (7.15).

max

⋅

⋅∆

(7.14)

dtri

⋅

= (7.15)

()

() ()

max

in b

fvvsf

ffs

dpwm t

CTCfC

dt L C

⎛⎞

⋅⋅

=⋅⋅

⎜⎟

⋅⋅⋅

⎝⎠

(7.16)

Após este passo o projeto pode ser desenvolvido tal como apresentado para a

modulação SPWM unipolar.

7.3 Exemplo de Projeto

Com o objetivo de comprovar a metodologia de projeto apresentada, um exemplo

de projeto será desenvolvido, simulado e implementado em laboratório. Como o ponto

principal da metodologia está baseado na escolha do valor da relação de transformação, o

projeto será desenvolvido para alguns valores de n, a fim de mostrar a importância de uma

escolha correta e de verificar a estimativa dos esforços de corrente. Os parâmetros iniciais

do projeto se encontram na Tabela 7.1.

Tabela 7.1 – Parâmetros iniciais.

imax

imin

160 V 160 V 179,61 V 1025 VA 3,54 60 Hz

O ganho do sensor de tensão é então escolhido, de modo que a tensão de

referência do circuito de controle fica determinada.

0,025

(7.17)

4, 49

ref op V

VVT V

⋅=

(7.18)

As derivadas máximas de subida e de descida da corrente de carga são estimadas

através dos gráficos das Fig. 7.1 e Fig. 7.2, respectivamente. Pode-se ainda utilizar as

equações que geram os gráficos.

(

)

max

42024

sub

di t

(7.19)

145

(

)

max

125142

des

di t

(7.20)

A modulação escolhida neste projeto é a SPWM unipolar. A freqüência de

comutação tem seu valor inicial estabelecido, podendo haver mudanças neste valor no

decorrer do projeto. A ondulação de tensão no capacitor de saída também é definida.

kHz

(7.21)

max

0,1

VC V

∆

(7.22)

Com os parâmetros até aqui especificados os gráficos relacionando a corrente

eficaz no primário do transformador, a corrente eficaz no capacitor do filtro, a ondulação

de corrente no indutor do filtro e a própria capacitância de filtragem em função da relação

de transformação podem ser obtidos.

Ondulação de corrente no

indutor do filtro (A)

Fig. 7.3 – Ondulação de corrente no indutor em função de n.

1.5 2.5 3 3.5 4

200

400

600

800

Capacitância do filtro (uF)

Relação de transformação

Fig. 7.4 – Capacitância de filtragem em função de n.

146

De acordo com as Fig. 7.3 e Fig. 7.4, pode-se observar que a ondulação de

corrente no indutor de filtragem, bem como o valor da capacitância de filtragem necessária

para que a ondulação da tensão de saída se mantenha constante, decrescem com o

incremento do valor de n. Entretanto, a partir de um determinado valor, os efeitos deste

decréscimo não aparecem de forma significante, onde os valores de ondulação e

capacitância se tornam praticamente constantes perante a variações de n.

A corrente eficaz no primário cresce praticamente de forma linear, como mostra a

Fig. 7.5. Sendo assim, neste caso o valor de n mais otimizado estaria na janela entre 1,6 e

1,8, pois esta faixa se encontra no limiar onde tem-se um valor pequeno de ondulação no

indutor e de corrente eficaz na capacitância, além da corrente no primário não ser tão

elevada.

Corrente eficaz (A)

Fig. 7.5 – Corrente eficaz no primário do transformador, corrente eficaz na carga e corrente eficaz no

capacitor em função de n.

Entretanto, como já mencionado, a partir deste ponto o projeto será desenvolvido

para alguns valores de relação de transformação. Na Tabela 7.2 encontra-se os demais

parâmetros do inversor calculados a partir das relações de transformação escolhidas e do

equacionamento apresentado.

147

Tabela 7.2 – Parâmetros de projeto.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

prief

13,31 A 14,75 A 16,3 A 17,87 A 19,48 A

Cfef

2 A 1,42 A 1,13 A 0,94 A 0,85 A



iLfmax

1,32 A 0,94 A 0,74 A 0,62 A 0,56 A

41,37 uF 29,29 uF 23,2 uF 19,43 uF 17,58 uF

1,2 mH 1,88 mH 2,57 mH 3,25 mH 3,76 mH

Ajustando-se os valores de L

e C

da Tabela 7.2 para valores disponíveis no

laboratório, tem-se a Tabela 7.3. A mudança dos valores de L

deve-se ao fato que alguns

indutores já haviam sido projetados e montados em uma etapa anterior e portanto podem

ser reaproveitados, pois seus valores são muito parecidos.

Tabela 7.3 – Parâmetros de projeto ajustados.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

prief

13,28 A 14,76 A 16,32 A 17,87 A 19,45 A

Cfef

1,93 A 1,45 A 1,21 A 0,97 A 0,73 A



iLfmax

1,33 A 0,98 A 0,8 A 0,68 A 0,58 A

40 uF 30 uF 25 uF 20 uF 15 uF

1,2 mH 1,8 mH 2,4 mH 3 mH 3,65 mH



VCfmax

104 mV 77 mV 62 mV 53 mV 45 mV

O valor da derivada de entrada do modulador (7.8) deve ser comparado com o

valor máximo permitido de derivada (7.7) para que a ocorrência de pulsos múltiplos na

comutação dos interruptores seja evitada. Este gráfico está representado na Fig. 7.6, de

onde se observa que a derivada na entrada do modulador está bem abaixo da derivada

máxima permitida em todos os projetos. Portanto, todos os valores de capacitância do filtro

serão mantidos.

148

Derivada máxima de entrada

do modulador (A/s)

Derivada de entrada do

modulador (A/s)

Fig. 7.6 – Derivada de entrada do modulador e valor máximo permitido de derivada em função da

capacitância do filtro.

A partir deste ponto se dimensiona os componentes do compensador de tensão

conforme a metodologia apresentada no Capítulo 6. Os valores dos resistores e capacitores

necessários se encontram na Tabela 7.4.

Para determinar o controlador da malha de corrente os parâmetros do

transformador devem ser conhecidos. A obtenção dos valores da indutância magnetizante e

da resistência dos enrolamentos do primário será mostrada em seqüência, sendo que

162

LmH= e 89

rm=Ω.

O valor escolhido do ganho do sensor de corrente T

no primário é 0,095. A

freqüência de corte (f

) é ajustada em 0,5 Hz e os valores do resistor R

e do capacitor C

também se encontram na Tabela 7.4.

Tabela 7.4 – Componentes dos compensadores.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

120 kΩ 120 kΩ 120 kΩ 100 kΩ 82 kΩ

10 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 10 kΩ

270 Ω 270 Ω 270 Ω 270 Ω 270 Ω

680 kΩ 680 kΩ 680 kΩ 680 kΩ 680 kΩ

1,8 nF 2 nF 2 nF 2,2 nF 2,7 nF

22 nF 22 nF 22 nF 22 nF 22 nF

3 uF 3 uF 3 uF 3 uF 3 uF

149

7.4 Simulação

O esquemático utilizado no programa foi desenvolvido baseado no esquema da

Fig. 7.7. Os circuitos dos compensadores foram descritos no Capítulo 6. A obtenção dos

pulsos de comando da modulação SPWM unipolar foi descrita no Capítulo 2, sendo que

foram utilizados amplificadores operacionais como comparadores, conforme em [26].

Nas simulações subseqüentes não será considerada a malha de corrente por duas

razões: no simulador não existem perturbações de tensão que possam saturar o núcleo e o

tempo de simulação necessário para simular a malha de corrente é muito grande.

As formas de onda serão apresentadas apenas para n = 1,6. Nos outros valores de

n a tensão de saída é a mesma, mudando apenas a corrente que circula pelo filtro e no

primário do transformador.

Fig. 7.7 – Circuito de potência e diagrama de blocos do controle do inversor.

A tensão no primário do transformador pode ser visualizada na Fig. 7.8. As

formas de onda da tensão de saída e da corrente no indutor do filtro se encontram na Fig.

7.9. A corrente no capacitor do filtro está representada na Fig. 7.10.

A tensão de saída do inversor apresentou uma THD de aproximadamente 0,531%.

Conforme a relação de transformação aumenta, a tensão de saída apresenta uma distorção

um pouco maior, sendo que em n = 2,4 a THD encontrada foi de 0,744%. As correntes

eficazes no primário e no capacitor do filtro, para todas as relações de transformação, estão

representadas nas Tabela 7.12 e Tabela 7.14.

150

0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325

-200

-100

100

200

Tensão no primário do transformador (V)

Tempo (s)

Fig. 7.8 – Tensão no primário do transformador em função do tempo.

Fig. 7.9 – Tensão de saída e corrente no indutor do filtro multiplicada por três em função do tempo.

Tensão de saída (V)

Corrente no capacitor do filtro (15:1,A)

Fig. 7.10 – Tensão de saída e corrente no capacitor do filtro multiplicada por quinze em função do tempo.

151

7.5 Experimentação

Os resultados experimentais do inversor foram obtidos em um protótipo,

construído de tal maneira que o inversor pudesse operar com as cinco relações de

transformação definidas no exemplo de projeto. Os mesmos parâmetros definidos no

exemplo de projeto e adotados na simulação do inversor foram utilizados na

experimentação.

7.5.1 O Protótipo

O protótipo foi construído visando operar o inversor em ponte completa a partir

da rede de alimentação. Uma fotografia do protótipo na bancada de testes do laboratório se

encontra na Fig. 7.11.

O protótipo contém um retificador trifásico na entrada para que a tensão contínua

de entrada do inversor seja obtida. O valor desta tensão contínua é ajustado por meio de

um variador de tensão trifásico conectado na rede elétrica.

Fig. 7.11 – Fotografia do protótipo no laboratório.

7.5.1.1 Interruptores

O dimensionamento dos interruptores deve levar em consideração os maiores

esforços de corrente, que ocorrem quando n = 2,4 conforme a Tabela 7.3. A corrente eficaz

nos interruptores é dada pela equação (7.23), pois já se conhece a corrente eficaz no

primário do transformador. O valor de pico da corrente dos interruptores se encontra na

equação (7.25).

152

()

(

)

pri

i =

(7.23)

(

)

2, 4

13,75

(7.24)

()

(

)

pk ef ef

oc oc

inniF niF

∆

⎛⎞

=⋅ ⋅ + ≅⋅ ⋅

⎜⎟

⎝⎠

(7.25)

(

)

2, 4 68,5

iA= (7.26)

Interruptores IGBT foram escolhidos por se encontrarem disponíveis no

laboratório. Estes interruptores, bem como o dissipador, encontram-se sobre-

dimensionados para este sistema. O cálculo térmico pode ser feito utilizando-se a

metodologia apresentada em [6].

Para gerar o sinal de comando dos interruptores e tempo morto se utilizaram

drivers desenvolvidos e já disponíveis no laboratório. Estes drivers recebem o sinal de

comando do controlador que se encontra na placa de comando do inversor, que foi

especificamente projetada para este sistema.

7.5.1.2 Transformador

O esquema do transformador utilizado no laboratório se encontra na Fig. 7.12.

Para selecionar entre as cinco relações de transformação basta conectar os terminais do

secundário de maneira adequada.

O valor eficaz de tensão no primário foi escolhido a partir do valor da componente

fundamental de tensão de 160 V (V

) de pico encontrada no primário, o que resulta em

aproximadamente 110 V eficazes. Naturalmente se consideraria uma margem de segurança

neste valor, pois se sabe que os fabricantes de transformadores normalmente não mantêm a

indutância magnetizante constante até o valor nominal de tensão, fazendo com que o fluxo

se aproxime do valor de saturação do núcleo. Mesmo assim, não se considerou uma tensão

maior no primário por ser uma metodologia que deve funcionar com transformadores

comerciais, visando também redução de peso e custo do transformador.

153

Fig. 7.12 – Esquema do transformador utilizado na experimentação.

Os ensaios de curto-circuito e de circuito aberto, obtidos conforme [23], foram

implementados para as cinco conexões do secundário para obter os parâmetros do

transformador. Do ensaio de circuito aberto tem-se o gráfico da Fig. 7.13, que representa a

tensão em função da corrente no primário.

Fig. 7.13 – Tensão em função da corrente no primário do transformador (ensaio de circuito aberto).

O gráfico mostra que a partir de aproximadamente 80 V a indutância

magnetizante, que é proporcional à derivada da forma de onda contida no gráfico, começa

a decair. Utiliza-se a tensão de 110 V no cálculo da indutância magnetizante, que resulta

em 162 mH referida ao primário.

A partir do ensaio de curto-circuito pode-se calcular a indutância de dispersão,

assim como a resistência dos enrolamentos do primário, para cada valor de n. A Fig. 7.14

mostra o comportamento da indutância de dispersão em função de n. Os valores da

154

dispersão referida ao primário e da resistência dos enrolamentos do primário se encontram

na Tabela 7.5.

Fig. 7.14 – Indutância de dispersão do transformador referida ao secundário em função de n.

Tabela 7.5 – Parâmetros do transfromador.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

dis

336 uH 452 uH 483 uH 564 uH 708 uH

86 mΩ 69 mΩ 57 mΩ 54 mΩ 52 mΩ

7.5.1.3 Indutores do Filtro de Saída

Os indutores do filtro foram dimensionados considerando os valores de indutância

de dispersão contidos na Tabela 7.5. A

Tabela 7.6 mostra os valores de indutância do filtro necessários (L

fnec

) tendo como

base os valores de L

, considerando a dispersão.

Para ter um melhor aproveitamento e diminuição do volume dos indutores de alta

freqüência a serem utilizados, os indutores foram projetados para operarem em série. A

Tabela 7.7 mostra os valores dos cinco indutores e a Tabela 7.8 mostra os indutores que

devem ser ligados em série para cada relação de transformação.

Tabela 7.6 – Valores de indutância necessários.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

1,2 mH 1,8 mH 2,4 mH 3 mH 3,65 mH

dis

336 uH 452 uH 483 uH 564 uH 708 uH

155

fnec

864 uH 1,348 mH 1,917 mH 2,436 mH 2,942 mH

Tabela 7.7 – Indutores utilizados.

864 uH 484 uH 569 uH 519 uH 506 uH

Tabela 7.8 – Conexão em série dos indutores.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Indutores em

série

e L

, L

e L

, L

, e L

O projeto dos indutores de alta freqüência foi desenvolvido a partir das equações

encontradas em [24]. Como resultado tem-se os parâmetros da Tabela 7.9, sendo que todos

os núcleos utilizados foram do fabricante

Thornton

Tabela 7.9 – Parâmetros para o projeto dos indutores.

Núcleo

EE 65/33/52 EE 65/33/39 EE 65/33/39 EE 65/33/39 EE 65/33/39

Condutor

18 AWG 18 AWG 18 AWG 18 AWG 18 AWG

Número de

espiras

82 61 72 66 64

Número de

condutores em

paralelo

3 3 3 3 3

Comprimento

do entreferro

1,03 cm 0,767 cm 0,905 cm 0,829 cm 0,804 cm

7.5.1.4 Capacitores do Filtro de Saída

Os valores dos capacitores do filtro de saída se encontram na Tabela 7.3. Como

nem todos os valores estavam disponíveis no laboratório, utilizou-se conexões em paralelo

para formar as capacitâncias necessárias para cada n. A Tabela 7.10 mostra os valores dos

cinco capacitores e a Tabela 7.11 mostra os capacitores que devem ser ligados em paralelo

156

para cada relação de transformação. Os capacitores adotados são de polipropileno e

específicos para uso em tensão alternada.

Tabela 7.10 – Capacitores do filtro.

10 uF 5 uF 5 uF 5 uF 15 uF

Tabela 7.11 – Conexão em paralelo dos capacitores.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Capacitores

em paralelo

, C

, e C

, C

, e

, C

, e C

7.5.1.5 Placa de Comando

A placa de comando contém o gerador da referência senoidal e dos sinais

triangulares do modulador, além do controlador de tensão, controlador adicional de tensão

e do compensador de corrente e um circuito de condicionamento do sinal de comando para

os drivers.

O gerador da referência senoidal é composto de três estágios: circuito gerador de

onda quadrada em 60 Hz, filtro sintonizado para eliminação dos harmônicos e amplificador

para ajuste do ganho. O circuito gerador de onda quadrada utiliza um cristal para gerar um

sinal de freqüência específica que será dividida até 60 Hz por meio de dois contadores.

Este circuito se encontra na Fig. 7.15. O filtro passa-baixas de sexta ordem sintonizado em

60 Hz foi desenvolvido utilizando-se a configuração Sallen-Key [25] e está representado na

Fig. 7.16. Utilizou-se um amplificador inversor [26] com um potenciômetro para o ajuste

do ganho e um filtro C-R para eliminar a componente contínua da referência.

157

CD4060B

RST

Q10

VDD

Q12

Q13

Q14

CD4040B

Q10

Q11

Q12

INPUT

3932160 HZ1

CRYSTAL

10meg

2.2k

22pF

C12

22pF

C13

100nF

Onda quadrada

em 60Hz

Fig. 7.15 – Gerador de onda quadrada em 60 Hz.

411

Fig. 7.16 – Filtro de sexta ordem sintonizado em 60 Hz (configuração Sallen-Key).

A forma de onda triangular foi gerada a partir de dois amplificadores

operacionais, como mostrado na Fig. 7.17. Utilizou-se o mesmo procedimento apresentado

em [26], onde a freqüência e a amplitude da onda triangular podem ser ajustadas por meio

de potenciômetros. A forma de onda triangular defasada de 180 graus foi obtida através de

um amplificador inversor de ganho unitário [26]. Também foi utilizado um filtro C-R para

eliminar a componente contínua.

Fig. 7.17 – Gerador de onda triangular.

A tensão de alimentação simétrica de +15 V e -15 V para alimentação dos

amplificadores operacionais foi obtida via uma fonte auxiliar disponível no laboratório. A

158

fonte de 5 V necessária para os contadores foi gerada através de um regulador linear de

tensão.

Os demais circuitos da placa de comando, como os compensadores, já foram

definidos anteriormente O circuito de condicionamento do sinal de comando para os

drivers pode ser observado no esquemático completo da placa de comando, que se

encontra no Anexo I. Os nomes dados aos componentes dos circuitos mostrados não têm

correlação com os definidos no Capítulo 6.

7.5.1.6 Carga Não-linear

A carga não-linear já se encontrava disponível no laboratório. A indutância da

carga (L

) é de 100 uH e a capacitância de saída (C

) é de 3,4 mF.

7.5.2 Resultados Experimentais

Como feito nos resultados de simulação, as formas de onda serão apresentadas

apenas para n = 1,6. Para todos os valores de n a tensão de saída é a mesma, mudando

apenas a corrente que circula pelo filtro e no primário do transformador.

A tensão no primário do transformador se encontra na Fig. 7.18. As formas de

onda da tensão de saída e da corrente na indutância do filtro se encontram na Fig. 7.19. O

sinal do controlador de tensão pode ser visto na Fig. 7.20. A Fig. 7.21 mostra a corrente no

capacitor do filtro e a análise harmônica do inversor pode ser visualizada na Fig. 7.22.

Tensão no primário do transformador (50V/div)

Tempo (4ms/div)

Fig. 7.18 – Tensão no primário do transformador em função do tempo.

159

Fig. 7.19 – Tensão de saída (V

) e corrente na indutância do filtro (i

) em função do tempo para n = 1,6.

Fig. 7.20 – Tensão de controle de tensão (V

) em função do tempo para n = 1,6.

160

Fig. 7.21 – Corrente no capacitor do filtro (i

) em função do tempo para n = 1,6.

Fig. 7.22 – Análise harmônica da tensão de saída (V

) para n = 1,6.

Observa-se que as formas de onda estão coerentes com as obtidas via simulação.

A análise harmônica comprova o baixo valor de THD da tensão de saída, ficando abaixo de

1%. A Tabela 7.12 mostra os valores das correntes eficazes no primário do transformador

na metodologia, simulação e experimentação.

Tabela 7.12 – Corrente eficaz no primário.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Metodologia 13,28 A 14,76 A 16,32 A 17,87 A 19,45 A

Simulação 12,73 A 14 A 15,34 A 16,76 A 17,87 A

Experimentação 12,26 A 13,46 A 14,8 A 16,16 A 17,38 A

161

A diferença encontrada entre os valores calculados pela metodologia e os valores

de simulação existe por se considerar a potência de saída em 1025 VA, sendo a corrente da

carga em torno de 8,1 A. Este valor foi um pouco maior do que o realmente adotado. A

corrente da carga é mostrada na Tabela 7.13. A variação existe por causa da pequena

distorção na tensão de saída, que é maior na medida em que n aumenta.

Tabela 7.13 – Corrente eficaz na carga.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Metodologia 8,1 A 8,1 A 8,1 A 8,1 A 8,1 A

Simulação 7,79 A 7,69 A 7,61 A 7,59 A 7,43 A

A Tabela 7.14 mostra os valores das correntes eficazes no capacitor do filtro na

metodologia, simulação e experimentação.

Tabela 7.14 – Corrente eficaz no capacitor do filtro.

n 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Metodologia 1,93A 1,45 A 1,21 A 0,97 A 0,73 A

Simulação 1,93 A 1,48 A 1,21 A 0,99 A 0,76 A

Experimentação 1,93 A 1,24 A 1,18 A 0,92 A 0,75 A

7.6 Conclusão

O principal ponto positivo desta metodologia é que ela se privilegia da interação

entre os parâmetros do filtro e do transformador de forma que os esforços de corrente são

sempre os menores para cada relação de transformação escolhida. Adicionalmente, os

esforços de corrente podem ser observados através de gráficos antes da escolha da relação

de transformação.

Além disso, pode-se usar a indutância de dispersão do transformador para

substituir o indutor de filtragem completamente, isto é claro dependendo de uma série de

fatores. Pode-se também complementar o valor da indutância de dispersão para se chegar

ao valor desejado de L

ou ainda requisitar ao fabricante do transformador L

como

indutância de dispersão.

162

Outro ponto importante é que a metodologia só pode ser utilizada se os

parâmetros da carga não-linear forem conhecidos. A metodologia depende fortemente dos

valores das derivadas máximas de subida e descida da corrente da carga. Estes valores são

proporcionais ao fator de crista da carga, como visto no Capítulo 3. Se o fator de crista da

carga não é conhecido, deve-se determinar um fator de crista máximo e então desenvolver

o projeto. Se o fator de crista for subestimado, a tensão de saída do inversor apresentará

distorção.

A tensão de saída apresentou uma forma de onda senoidal com THD abaixo de

1%, mesmo o compensador de tensão sendo um PID desenvolvido pelo método

convencional no domínio da freqüência com diagrama de Bode. O controlador da malha de

corrente também funcionou corretamente, eliminando o problema da saturação do núcleo

do transformador.

Pela comparação entre os resultados da metodologia com os resultados de

simulação e experimentação, comprovaram-se os gráficos dos esforços de corrente no

circuito, validando a metodologia proposta.

163

Conclusão

Neste trabalho foi apresentada uma metodologia de projeto para inversores

monofásicos de tensão alimentando cargas não-lineares. Suas principais características

consistem na simplicidade, na possibilidade de escolher a relação de transformação com a

vantagem de se observar os esforços de corrente nos componentes do circuito e no controle

da corrente magnetizante do transformador.

Toda a análise feita nos primeiros capítulos foi simplificada de tal maneira a restar

apenas algumas equações necessárias para a metodologia. Estas equações podem ser

facilmente utilizadas por um software, que possibilitará o projeto do inversor em tempo

reduzido.

Com os gráficos dos esforços nos componentes do circuito pode-se buscar uma

relação de transformação ótima para o projeto. Ainda, as mais variadas restrições

referentes à operação do inversor com cargas não-lineares foram estudadas, destacando-se

a queda de tensão provocada pela alta derivada de subida da carga e a distorção na tensão

de saída provocada pela derivada de descida.

A configuração encontrada para o controle da corrente magnetizante do

transformador é robusta o suficiente para operar na base de circuitos analógicos, onde pode

existir valor médio na referência de tensão, na saída do controlador de tensão e até mesmo

no sensor de tensão, caso seja usado um transdutor, por exemplo. O sinal proveniente do

sensor de corrente também pode ser usado para fins de proteção do inversor.

Todos os controladores propostos apresentam uma metodologia de projeto de fácil

implementação, visto que o projeto no domínio da freqüência é utilizado. Mostrou-se ainda

que a dinâmica do sistema pode ser melhorada via aumento da freqüência de cruzamento

do sistema em malha aberta, desde que a restrição referente à derivada do sinal de entrada

do modulador seja respeitada.

Outro ponto importante é que a metodologia depende fortemente dos parâmetros

da carga. Se o fator de crista for subestimado, a tensão de saída do inversor apresentará

distorção.

164

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166

Anexo I – Esquemático da Placa de Controle do Inversor

15V

10k

Em outra placa

1uF

Conector Tipo Molex

C15

68nF

15V

U12C

LF347

4 11

-15V

15V

R18

10k

R16

10k

15V

R40

180

R41

-15V

15V -15V

C11

100nF

C17

100nF

R10

C21

100nF

C27

100nF

R11

10k

U12B

LF347

4 11

15V

-15V

C51

100nF

-15V

Inversor de Fase

15V

C25

100nF

C37

100nF

R20

15k

C40

100nF

15V

C53

100nF

-15V

C45

100nF

LM7805C

OUT

GND

330nF

VH1

100nF

Bloqueia

Componente

Contínua

15V

C47

100nF

C42

100nF

R45

10k

R38

10k

C34

Saída

C36

Entrada

C43

100nF

R24

R29

R28

Vtri

C16

100nF

LM311

OUT

V+

V-

B/S

U11

LM31

OUT

V+

V-

B/S

R17

10K

SET = 0.5

R15

20k

SET = 0.5

LF351H

Vcontrol

LF351H

C19

10nF

C39

U12A

LF347

4 11

15V

-15V

C44

U5A

CD4081

147

15V

R36

Vs+ Vs-

OUT

VL1

+15V

LA 25-NP

GND

C23

100nF

C31

100nF

15V -15V

C30

100nF

C29

100nF

C13

100nF

-15V

C35

100nF

C38

100nF

U5B

CD4081

147

15V

-15V

15V

R27

2.2k

-15V

Vs+ Vs-

H+

H-

LV 25P

R26

18k

Vsen1

15V

Vsen2

C20

100nF

Sensor de Corrente na Carga

C26

100nF

C22

100nF

-15V

C28

100nF

U10A

CD40106

1 2

147

VH2

+15V

U10B

CD40106

3 4

147

VL2

GND

U10C

CD40106

5 6

147

U10D

CD40106

9 8

147

15V

C32

100nF

C33

100nF

R19

4.7k

R22

4.7k

R44

R42

C52

R34

U12D

LF347

411

-15V

15V

C48

100nF

C46

100nF

R39

R43

Conector Tipo Molex

-15V +15V Mi1GND

Mi1

Em outra placa

+15V

Conector Tipo Molex

-15V GND

CD4060

RST

Q10

VDD

Q12

Q13

Q14

Vref

CD4040

Q10

Q11

Q12

INPUT

RESET

R25

3932160

HZ1

CRYSTA

R23

R35

10k

10meg

2.2k

22pF

C10

22pF

Ganho Ti1 = 0.19

(1/3)W

Ganho Tv = 0.025

Conector Tipo Molex

Vsen1

R31

180

15V

Vcontrole

15V

47nF

15V

R46

180

R47

100k

15V

Comparadores do Modulador

Vsen2

C24

100n

R12

20k

SET = 0.5

Condicionamento do

sinal de saída do PWM

para o driver do INEP

R30

10k

Sensor de Tensão na Saída

15V

-15V

Controlador de Tensão

Controlador adicional de tensão

VH1

VH2

VL1

VL2

LED

C41

LED

(1/3)W

R14

2.2k

R21

2.2k

R37

Vref

U5C

CD4081

147

C49

100nF

R33

R32

U2D

LF347

411

U5D

CD4081

147

U2B

LF347

411

U2C

LF347

411

C50

100nF

U2A

LF347

411

D1N414

5.6k

15V

2.7k

1uF

C12

820nF

R13

4.7k

Gerador de Onda Quadrada em 60 Hz

OUT

-15V

Vs-

Mi2

C18

2.2uF

Sensor de Corrente no Primário do Transformador

Mi2

5.6k

10k

Conector Tipo Molex

680nF

+15V

C14

330nF

Filtro Butterworth de Sexta Ordem Sintonizado em 60 Hz (Configuração Sallen-Key)

U13A

LF347

4 11

Ganho Ti2 = 0.095

-15V

15V

Bloqueia

Componente

Contínua

Controlador da malha de corrente

Ajuste de Ganho

LF351H

Vtri

Vs+

GND

Gerador de Onda Triangular em 20kHz

Ajuste da

freqüência

LAH 50-P

Ajuste da

amplitude

15V

10k

Somador não inversor

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