( PDF ) Cálculo do empuxo ativo com determinação numérica da superfície freática

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

CÁLCULO DO EMPUXO ATIVO COM

DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DA SUPERFÍCIE

FREÁTICA

Petrucio José dos Santos Junior

Orientador: Prof. Pérsio Leister de Almeida Barros

CAMPINAS

2010

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

CÁLCULO DO EMPUXO ATIVO COM

DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DA SUPERFÍCIE

FREÁTICA

Petrucio José dos Santos Junior

Orientador: Prof. Pérsio Leister de Almeida Barros

Dissertação de Mestrado apresentada à Comissão de pós-

graduação da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e

Urbanismo da Universidade Estadual de Campinas, como

parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em

Engenharia Civil, na área de concentração de Geotecnia.

CAMPINAS

2010

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

Sa59c

Santos Junior, Petrucio José dos

Cálculo do empuxo ativo com determinação numérica

da superfície freática / Petrucio José dos Santos Junior. --

Campinas, SP: [s.n.], 2010.

Orientador: Pérsio Leister de Almeida Barros.

Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de

Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e

Urbanismo.

1. Muro de Contenção. 2. Método dos elementos de

contorno. 3. Análise em fluxo. 4. Métodos numéricos.

5. Permeabilidade. I. Barros, Pérsio Leister de Almeida.

II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de

Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. III. Título.

Título em Inglês: Calculation of active thrust with numerical determination of the

phreatic surface

Palavras-chave em Inglês: Retaining wall, Boundary element method, Flow

analysis, Numerical methods, Permeability

Área de concentração: Geotecnia

Titulação: Mestre em Engenharia Civil

Banca examinadora: Francisco Antonio Menezes, Waldemar Coelho Hachich

Data da defesa: 26/08/2010

Programa de Pós Graduação: Engenharia Civil

iii

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E

URBANISMO

CÁLCULO DO EMPUXO ATIVO COM

DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DA SUPERFÍCIE

FREÁTICA

Petrucio José dos Santos Junior

Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:

Campinas, 26 de agosto de 2010

A todos os geotécnicos comprometidos com o avanço da

engenharia

vii

AGRADECIMENTOS

A meus avós

Ao professor Pérsio. Pessoa que me fez conhecer o que é a geotecnia

A minha esposa e amiga Elisângela por nunca me deixar desistir ou mesmo fraquejar durante

todos esses anos

A minha querida mãe por todo o apoio oferecido nesses anos

Aos meus colegas e amigos da Maccaferri, Jorge Santos, Alexandre Texeira, Jaime Duran,

Lavoisier Machado e Gerardo Fracassi. Pessoas a quem aprendi a respeitar e valorizar no meu dia

a dia

Ao amigo e irmão, Saulo por ser quem ele é

viii

As soluções, eu já as possuo há muito tempo.

Mas ainda não sei como cheguei a elas.

Carl Friedrich Gauss

RESUMO

SANTOS, P. J. CÁLCULO DO EMPUXO ATIVO COM DETERMINAÇÃO NUMÉRICA

DA SUPERFÍCIE FREÁTICA. Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e

Urbanismo, Universidade Estadual de Campinas, 2010. 88p. Dissertação de Mestrado.

A determinação do empuxo ativo através de métodos de equilíbrio limite, para análise de

muros de contenção é prática comum na engenharia geotécnica, principalmente pela simplicidade

analítica de sua obtenção. Porém, havendo a presença de uma superfície freática no solo arrimado

tal determinação não apresenta resultado analítico, sendo então requerido um estudo numérico

para obter um valor que auxilie com certa precisão nessa análise. Poucos trabalhos foram feitos

sobre esse tema e ainda assim sua importância não deixa de ser relevante para a verificação das

condições de estabilidade de estruturas de arrimo drenantes. Nesse trabalho é feita uma

abordagem numérica através do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para determinação

da posição da superfície freática e posterior cálculo do empuxo ativo pelo Método de Coulomb

considerando a influência dessa superfície. É implementado um programa de computador, cujo

algoritmo de cálculo, baseado em MEC, apresenta a posição da freática, o valor da vazão total

que chega ao sistema de drenagem e o empuxo ativo atuante sobre a estrutura de contenção.

PALAVRAS CHAVE: Superfície freática, Elementos de Contorno, Empuxo Ativo, Rede de

fluxo, Potencial, Contenção.

xii

xiii

ABSTRACT

SANTOS, P. J. CALCULATION OF ACTIVE THRUST WITH NUMERICAL

DETERMINATION OF THE PHREATIC SURFACE. Campinas, School of Civil

Engineering, Architecture and Urban Design, State University of Campinas, 2010. 88p. Master’s

Thesis.

The determination of active thrust in retaining wall analysis through limit equilibrium is

a routine in geotechnical engineering, mostly due to analytic simplicity. However, when there is a

phreatic surface in the retained soil, such determination does not present an analytic result. Then

a numerical study is necessary to obtain a representative value of prore water pressures in the soil

for the analysis. There are few technical publications about this theme, but its importance is

recognized in drained retaining wall stability calculation. This work proposes a numerical

approach using Boundary Element Method (BEM) to evaluate the position of phreatic surface

and calculation of active thrust coefficient through Coulomb’s method considering the influence

of this position. A computer program, which calculation algorithm based on BEM is developed. It

presents the results of the phreatic surface position, the total flow volume that arrives to the

drainage system and the active thrust value.

KEYWORDS: Phreatic surface, Boundary Elements, Active earth thrust, Seepage, Potential,

Retaining wall.

xiv

SUMÁRIO

RESUMO ....................................................................................................................................... xi

ABSTRACT ................................................................................................................................. xiii

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................. xvii

LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................................... xxi

1. Introdução.................................................................................................................................... 1

1.1 Objetivos................................................................................................................................ 2

1.2 Estrutura do trabalho ............................................................................................................. 2

2. Estruturas de contenção............................................................................................................... 3

2.1 Pressões laterais de Terra ...................................................................................................... 3

2.2 Teoria de Rankine.................................................................................................................. 6

2. 3 Teoria de Coulomb............................................................................................................. 12

2.3.1 Equilíbrio Limite .......................................................................................................... 17

2. 4 Influência da percolação de água em maciços de solo....................................................... 20

2.4.1 Muros de contenção de face vertical com drenagem ao seu tardoz.............................. 21

3. Método dos elementos de contorno para problemas de potencial............................................. 30

3.1 Introdução............................................................................................................................ 30

3.1.2 Equação Integral básica................................................................................................ 31

3.1.3 Solução Fundamental ................................................................................................... 34

xvi

3.1.4 Descrição física do problema ....................................................................................... 36

3.2 Formulação da equação integral de contorno...................................................................... 40

3.2.1 Discretização das integrais de contorno usando elementos constantes........................ 43

3.2.2 Discretização das integrais de contorno usando elementos lineares ............................ 45

3.2.3 Discretização das integrais de contorno usando elementos quadráticos ...................... 50

4. Métodos e critérios adotados..................................................................................................... 53

4.1 Construindo o modelo numérico ......................................................................................... 53

4.1.1 Determinação numérica da superfície freática ............................................................. 58

4.1.2 Determinação da interseção Parábola–Reta ................................................................. 62

5. Busca da superfície de ruptura crítica........................................................................................ 65

5.1 Etapas de Cálculo ................................................................................................................ 67

5.2 Exemplo de cálculo ............................................................................................................. 73

6. Resultados obtidos..................................................................................................................... 80

7. Conclusões e comentários finais ............................................................................................... 84

8. Sugestões para trabalhos futuros ............................................................................................... 87

Apêndices ...................................................................................................................................... 89

A.1 Integração das equações principais..................................................................................... 93

A.1.2 Equações integrais de contorno para problemas 2D.................................................... 93

Referências Bibliográficas............................................................................................................. 95

xvii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2. 1 - Empuxo atuante sobre um anteparo vertical móvel (Barros, 2005). .......................... 3

Figura 2. 2 - Aplicação do Empuxo Ativo. ..................................................................................... 7

Figura 2. 3 - Deslocamento produzido. ...........................................................................................7

Figura 2. 4 - Aplicação do Empuxo Passivo. .................................................................................. 8

Figura 2. 5 - Deslocamento produzido. ...........................................................................................8

Figura 2. 6 - Tensão de Tração e profundidade da fenda de tração. a) Zona ativa ao tardoz do

muro; b) Profundidade da fenda de tração; c) Diagrama de Tensão sugerido para solos coesivos

(Bowles, 1996). ............................................................................................................................. 10

Figura 2. 7 - Planos de ruptura nos estados ativo e passivo (Barros, 2005).................................. 10

Figura 2. 8 - Profundidade da fenda de tração e altura crítica....................................................... 11

Figura 2. 9 - Cunha de falha usada ao deriver a equação de Coulomb para a tensão ativa (Bowles,

1996).............................................................................................................................................. 13

Figura 2. 10 - Cunha de tensão ativa de Coulomb. a) Condições assumidas para que ocorra a

falha; b) Indicação de que todos os vetores de força podem não passar pelo ponto O,

consequentemente o equilíbrio estático não é satisfeito; c) Diagrama de forças para estabilizar P

(Bowles, 1996). ............................................................................................................................. 13

Figura 2. 11 - Cunha de Empuxo passivo definida por Coulomb (Bowles, 1996)........................ 15

xviii

Figura 2. 12 - Método do equilíbrio limite, variando o empuxo com a superfície de ruptura

(Barros, 2005)................................................................................................................................ 17

Figura 2. 13 - Cunha de Empuxo ativo definida por Coulomb para solos coesivos. .................... 19

Figura 2. 14 - Rede de fluxo através do maciço arrimado. A) Muro de contenção em gabião,

considerada autodrenante; b) Estrutura de contenção com dreno ao tardoz (Barros, 2005). ........ 20

Figura 2. 15 - Muro de contenção vertical com formação de rede de fluxo (Barros, 2006). ........ 22

Figura 2. 16 - Rede de fluxo formada devido a uma chuva constante (Lambe, 1979).................. 23

Figura 2. 17 - Determinação da força de poropressão para uma superfície com 45 graus de

inclinação (Lambe, 1979).............................................................................................................. 23

Figura 2. 18 - Diagrama de forças para determinação do empuxo ativo, considerando uma

superfície de falha com 45 graus de inclinação (Lambe, 1979). ................................................... 24

Figura 2. 19 - Gráfico que mostra os resultados para vários ângulos de superfícies potenciais de

falha (Lambe, 1979). ..................................................................................................................... 24

Figura 2. 20 - Descrição do problema de fluxo (Barros, 2006)..................................................... 26

Figura 2. 21 - Estrutura de contenção vertical. a) cunha que representa a massa de solo induzida

pela superfície potencial de falha; b) diagrama de corpo rígido que representa as forças atuantes

na cunha de solo (Barros, 2006).................................................................................................... 29

Figura 3. 1 - Definições geométricas para equação de Laplace (Brebbia e Domínguez, 1989).... 32

Figura 3. 2 - Fluxo um cubo infinitesimal (Beer et al, 2008)........................................................ 38

Figura 3. 3 - Potencial aplicado em um ponto G a partir de um ponto fonte F (Beer et al, 2008).39

Figura 3. 4 - Ponto x se aproximando do trecho S

(Liu, 2009)..................................................... 41

Figura 3. 5 - Discretização do contorno usando elementos constantes (Liu, 2009)..................... 43

Figura 3. 6 - Discretização do contorno S usando elementos lineares (Liu, 2009)....................... 45

Figura 3. 7 - Discretização do contorno S usando elementos quadráticos (Liu, 2009)................. 52

Figura 4. 1 - Condições de contorno estabelecidas para o problema em estudo. a) condição inicial

com nível d’água constante; b) condição final com a formação de uma superfície freática......... 54

Figura 4. 2 - Diagrama de subpressão determinado através de pontos potenciais obtidos pelo

método dos elementos de contorno. .............................................................................................. 56

Figura 4. 3 - Programa para cálculo do coeficiente de empuxo ativo com determinação numérica

da superfície freática, WALLSEEP............................................................................................... 59

Figura 4. 4 - Representação esquemáticas dos elementos ao longo do contorno.......................... 61

xix

Figura 4. 5 – Interseção entre a reta de Coulomb com o elemento parametrizado da parábola.... 63

Figura 5. 1 – Mudança de escala do resultado da freática obtido no modelo unitário para o

modelo real. ................................................................................................................................... 65

Figura 5. 2 – Resultado esquemático obtido pelo programa WALLSEEP com muro de altura

unitária........................................................................................................................................... 66

Figura 5. 3 – Diferentes pesos específicos. a) Área acima da superfície freática – γ; b) Área abaixo

da superfície freática - γ

sat

. ............................................................................................................. 66

Figura 5. 4 – Esquema do equilíbrio de forças atuantes no modelo real para o cálculo do Empuxo

Ativo.............................................................................................................................................. 69

Figura 5. 5 – Versão final do programa WALLSEEP................................................................... 70

Figura 5. 6 – Fluxo total obtido pelo programa WALLSEEP....................................................... 71

Figura 5. 7 – Distribuição parametrizada da derivada do potencial para um elemento s.............. 72

Figura 5. 8 – Diagrama de bloco referente ao cálculo da superfície freática. ............................... 72

Figura 5. 9 – Diagrama de bloco referente ao cálculo do empuxo ativo máximo......................... 73

Figura 5. 10 – Cálculo do empuxo ativo sem influência da superfície freática pelo programa

WALLSEEP, considerando o muro vertical. ................................................................................ 74

Figura 5. 11 – Cálculo do empuxo ativo sem influência da superfície freática pelo programa

WALLSEEP, considerando talude sobre o muro e inclinação do paramento frontal. .................. 75

Figura 5. 12 – Cálculo do empuxo ativo com influência da superfície freática pelo programa

WALLSEEP, considerando o muro vertical. ................................................................................ 76

Figura 5. 13 – Cálculo do empuxo ativo com influência da superfície freática pelo programa

GawacWin, considerando o muro vertical. ................................................................................... 77

Figura 5. 14 – Resultados das análises do software GawacWin. .................................................. 77

Figura 5. 15 – Determinação gráfica da força de poropressão referente ao exemplo 3. ............... 78

Figura 6. 1 – Gráfico que possibilita a determinação do valor da vazão em função da altura de

saída do nível d’água e a permeabilidade variando em relação a inclinação do paramento ao

tardoz da contenção. ...................................................................................................................... 80

Figura 6. 2 – Gráfico que possibilita a determinação do valor da área saturada em função da

altura de saída do nível d’água variando em relação a inclinação do paramento ao tardoz da

contenção....................................................................................................................................... 81

Figura 6. 3 – Gráfico que possibilita a determinação do valor da força de poropressão em função

da altura de saída do nível d’água e o peso especifico da água variando em relação a inclinação

do paramento ao tardoz da contenção............................................................................................ 82

Figura 6. 4 – Gráfico que possibilita a determinação do valor do coeficiente de empuxo ativo com

influência da freática variando com a relação entre a altura de saída do nível d’água e a altura do

muro............................................................................................................................................... 83

Figura A. 1 - Integração analítica em um segmento de reta arbitrário.......................................... 94

xxi

LISTA DE SÍMBOLOS

- Empuxo ativo

- altura de saída do nível d’água – modelo unitário

- Força de poropressão – modelo unitário

- Tensão cisalhante ao longo de uma superfície de ruptura

- Tensão normal que age sobre a superfície de ruptura

- Ângulo de atrito interno do solo

- Peso específico do solo

- inclinação em relação a horizontal do plano de aplicação do empuxo ativo

- inclinação em relação a horizontal do plano de ruptura

- ângulo de aplicação do empuxo ativo

- Tensão principal

- Tensão principal ortogonal a σ

- Deslocamento sob ação do empuxo ativo

- Tensão horizontal

- Deslocamento sob ação do empuxo passivo

sat

- Peso específico do solo saturado

xxii

- Tensão vertical

- Peso específico da água

- Área total da cunha

sat

- Área saturada da cunha

C - Coesão do solo

- altura de saída do nível d’água

- Empuxo em repouso

- Empuxo passivo

G - Constante de Catalan

- Altura do muro

- Altura crítica

- inclinação do talude sobre o muro

i - gradiente hidráulico

- permeabilidade

- Coeficiente de empuxo ativo

- coeficiente de empuxo ativo com ação da superfície freática

- Coeficiente de empuxo no repouso

- Coeficiente de empuxo passivo

- Força Normal

- Peso da cunha de solo

- Pressão lateral em repouso

- Pressão vertical atuante

- Pressão da água

- Fluxo normal a um plano

Q - Vazão total

S - Resistência ao cisalhamento

u - Potencial em um ponto

- Força de poropressão

- Profundidade da fenda de tração

1. INTRODUÇÃO

Os problemas relativos à influência da água no solo normalmente são conhecidos por

engenheiros geotécnicos e discutidos em vários trabalhos acadêmicos de maneira bem direta.

Despertar a atenção para os métodos de cálculo existentes permite aos projetistas analisarem o

problema de maneira simples e com clareza de resultados.

Harr (1962) já comentava em sua obra que embora os fundamentos das águas

subterrâneas já estivessem estabelecidos há mais de um século o tratamento científico ainda era

muito recente. Tal afirmação foi feita há mais de quarenta anos e os avanços científicos sobre

águas subterrâneas ainda não se encontram totalmente consolidados, o que motiva o

aprimoramento de métodos já consagrados através de modelagens numéricas atuais.

A obtenção da superfície freática através de cálculos analíticos ou aproximações

empíricas é algo muito comum entre os modelos de projetos existentes. Porém isso leva a crer

que tais aproximações carregam influência subjetiva que podem induzir a um erro ou mesmo a

uma simplificação excessiva de uma proposta já aproximada. Mesmo assim, tal adoção serve

como parâmetro ou dado de entrada em projeto para determinação do coeficiente de empuxo

ativo atuante sobre estruturas de contenção, considerando no cálculo de equilíbrio de forças uma

componente resultante da poropressão atuante sobre a superfície freática adotada.

Barros (2006) propôs em seu trabalho uma solução geral para o cálculo do empuxo ativo

em muros de face vertical através da solução analítica para o fluxo d’água em um maciço de solo

homogêneo e utilização da formulação de Coulomb. Tal procedimento apresenta basicamente

duas limitações, muro apenas vertical e solo totalmente saturado. Foi baseado nessas duas

limitações que esse trabalho teve sua principal motivação, obter através de análise numérica uma

solução para o problema de fluxo com determinação da superfície freática para paramentos

frontais verticais ou inclinados e posterior obtenção do coeficiente de empuxo ativo.

1.1 Objetivos

Esse trabalho tem como objetivo principal a criação de um programa computacional em

linguagem de programação pascal orientada para objeto que calcula o valor do coeficiente de

empuxo ativo pela formulação de Coulomb em função da determinação numérica da superfície

freática, cujo problema de fluxo será solucionado pelo Método dos Elementos de Contorno

(MEC).

1.2 Estrutura do trabalho

Este trabalho está estruturado em seis capítulos descritos a seguir:

O primeiro capítulo apresenta uma introdução e os objetivos do trabalho, relatando de

maneira simples a motivação para realização desse trabalho.

O segundo e terceiro capítulo apresentam uma revisão bibliográfica sobre os conceitos

necessários sobre estruturas de contenção e método dos elementos de contorno, respectivamente.

Tais capítulos são necessários para a compreensão de todos os aspectos envolvidos na temática

do trabalho.

No quarto capítulo são apresentados os métodos e critérios adotados para a elaboração

de um programa de computador capaz de realizar a análise numérica do problema em questão.

No quinto capítulo são apresentados os resultados obtidos no trabalho e no sexto

capítulo são apresentadas as conclusões. Finalmente no sétimo capítulo são apresentadas algumas

sugestões para trabalhos futuros.

2. ESTRUTURAS DE CONTENÇÃO

2.1 Pressões laterais de Terra

Entende-se por pressão lateral de terra também comumente chamado de empuxo lateral

ou empuxo de terra, como sendo o esforço produzido por um maciço de solo sobre uma

determinada estrutura de contenção ou arrimo que deve suportá-lo. Essas pressões podem ser

devidas ao peso próprio do solo ou a sobrecargas aplicadas sobre ele.

O valor do empuxo sobre uma estrutura depende do deslocamento que esta sofre sob a

ação deste empuxo. Pode-se visualizar esta interação através de um experimento que utiliza um

anteparo vertical móvel, como ilustrado na figura 2.1, suportando um desnível de terreno.

Verifica-se que a pressão exercida pelo solo sobre o anteparo varia à medida que este se desloca.

Figura 2. 1 - Empuxo atuante sobre um anteparo vertical móvel (Barros, 2005).

Quando o anteparo se afasta do solo arrimado, ocorre uma diminuição no valor do

empuxo até um mínimo que corresponde à total mobilização da resistência interna do solo. Esta

condição é atingida mesmo com um pequeno deslocamento do anteparo e é chamada de estado

ativo. O empuxo atuante neste instante então é chamado empuxo ativo “E

”.

Se ao contrário, o anteparo for movido contra o solo arrimado, haverá um aumento no

empuxo até um valor máximo onde haverá novamente a mobilização total da resistência do solo.

A este valor máximo é dado o nome de empuxo passivo “E

”, e a condição de deformação em

que ocorre é chamada estado passivo. Diferentemente do estado ativo, o estado passivo só é

atingido após um deslocamento bem maior do anteparo.

Caso o anteparo, porém, se mantenha imóvel na posição inicial, o empuxo em repouso

“E

”, se manterá entre os valores do empuxo ativo e do empuxo passivo. Nesta condição não há

uma completa mobilização da resistência do solo.

Os muros de arrimo à gravidade em geral permitem a deformação do solo arrimado o

suficiente para que sua resistência seja totalmente mobilizada. Assim devem ser dimensionados

sob a ação do empuxo ativo.

O problema da determinação da magnitude e distribuição da pressão lateral do solo é,

porém, estaticamente indeterminado e são necessárias hipóteses simplificadoras entre as tensões e

as deformações do solo para que se possa chegar à solução.

Os métodos clássicos empregados na geotecnia na determinação dos empuxos ativos ou

passivos adotam uma relação do tipo rígido-plástica entre as tensões e deformações do solo. Este

modelo apresenta a vantagem de dispensar o cálculo dos deslocamentos da estrutura, já que

qualquer deformação é suficiente para se alcançar a plastificação do material.

Levando em conta a plastificação do material, pode ser empregado quase que

exclusivamente o critério de Mohr-Coulomb, onde, segundo este critério, a tensão cisalhante “τ”

ao longo de uma superfície de ruptura deve se igualar à resistência “s”, a fim de se determinar a

tensão limite de ruptura, que é dada pela equação 2.1.

tanssc

σφ

≤→=+⋅ (2.1)

onde:

s é a resistência ao cisalhamento;

é a tensão cisalhante ao longo de uma superfície de ruptura;

é a tensão normal que age sobre a superfície de ruptura;

c é a coesão do solo;

é o ângulo de atrito interno do solo.

No desenvolvimento da solução, geralmente são tomadas fatias unitárias do maciço e da

estrutura de arrimo, admitindo-se que todas as seções são iguais, o que equivale a se aproximar a

um problema bidimensional de deformação. Esta aproximação simplifica bastante a análise e,

além disso, é em geral mais conservadora que a análise tridimensional.

Quanto ao empuxo em repouso ”E

”, que age sobre estruturas que não permitem

qualquer deslocamento, sua determinação é feita normalmente através de expressões empíricas,

baseadas na determinação, em laboratório ou no campo, das pressões laterais. Jàky (1944)

desenvolveu uma das expressões mais utilizadas para determinação do coeficiente de empuxo em

repouso e ela é dada pela equação 2.2.

sen1

−==

(2.2)

onde:

é a pressão lateral em repouso;

é a pressão vertical atuante;

é o coeficiente de empuxo em repouso.

Esta expressão é válida apenas para solos normalmente adensados. Para solos pré-

adensados o valor da pressão lateral é mais elevado, dependendo principalmente do grau de pré-

adensamento do material.

2.2 Teoria de Rankine

Essa teoria se baseia na equação de ruptura de Mohr (Caputo, 1988).

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅=

45tanc2

45tan

φφ

σσ

(2.3)

onde:

e σ

são tensões principais;

φ é o ângulo de atrito interno do solo;

c é a coesão do solo.

O interior da massa de solo é considerado como um semi-espaço infinito, limitado

apenas pela superfície do terreno e sem nenhuma sobrecarga. Uma das tensões principais tem a

direção vertical e o seu valor é dado pelo peso próprio do solo. A direção da outra tensão

principal será, consequentemente, horizontal.

Para solos não coesivos se admite que a parede AB da figura 2.2 se afasta do terrapleno

e a pressão horizontal σ

diminuirá até alcançar um valor mínimo (equação 2.4).

3ha

σγ

== (2.4)

A pressão vertical σ

será, nesse caso, a pressão principal maior (equação 2.5).

σγ

== (2.5)

Figura 2. 2 - Aplicação do Empuxo Ativo.

Figura 2. 3 - Deslocamento produzido.

Uma vez que o deslocamento do anteparo definido pelo segmento AB continue, deixará

de haver continuidade das deformações e se produzirá o deslizamento (Figura 2.3) ao longo do

segmento BC formado por um ângulo de 45 + φ/2 com a direção da pressão principal menor.

A relação σ

/σ

assume, para solos não coesivos, a relação representada em 2.6,

chamada de

coeficiente de empuxo ativo.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

===

45tan

(2.6)

A expressão do empuxo ativo total, E

, igual a área do triângulo ABD, será definida pela

equação 2.7.

aa a

EKzdz HK

γγ

=⋅=

∫

(2.7)

onde, essa força será aplicada a 1/3 da altura da H.

Assumindo-se agora que o anteparo AB se desloque no sentido inverso, ou seja, contra o

terrapleno (Figura 2.4), haverá ainda um deslizamento ao longo de BC, porém no sentido inverso

ao anteriormente mostrado na figura 2.3 e formado por um ângulo de 45 - φ/2 (figura 2.5).

Figura 2. 4 - Aplicação do Empuxo Passivo. Figura 2. 5 - Deslocamento produzido.

Para que se produza o deslizamento, o empuxo deverá ser maior do que o peso do

terrapleno. Assim, pode-se supor que a pressão principal maior é a horizontal, e a menor, a

vertical.

Sob essas condições a relação σ

/σ

assume, para solos não coesivos, a relação

representada em 2.8, chamada de coeficiente de empuxo passivo.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=+===

45tan

45KK

φφ

(2.8)

A expressão do empuxo ativo total, E

, igual a área do triângulo ABD, será definida pela

equação 2.9.

pp p

EKzdz HK

γγ

=⋅=

∫

(2.9)

Para solos coesivos, partindo da equação Mohr (2.3) é possível escrever, considerando o

estado ativo de equilíbrio limite (σ

= σ

= γz e σ

= σ

) a equação 2.10.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

45tanc2

45tanz

φφ

γσ

(2.10)

Para

= 0:

45tan

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+== (2.11)

A equação 2.11 mostra que a pressão horizontal se anula, sendo negativa acima de z

positiva abaixo dessa profundidade (Figura 2.6), ou seja, o solo coesivo no estado ativo fica

sujeito a tensões de tração na sua porção superior até uma profundidade z

. Como o solo

normalmente não resiste a tensões de tração, abrem-se fendas na superfície até esta profundidade.

Sendo assim, não se pode contar com estas tensões que diminuiriam o valor do empuxo ativo

resultante. Além disso, estas fendas podem estar preenchidas com água proveniente de chuvas, o

que pode aumentar ainda mais o valor do empuxo. O resultado é a distribuição de tensões

mostrada na figura 2.6. Pode-se adotar para efeito de cálculo uma distribuição aproximada como

a mostrada na mesma figura e sugerida por Bowles (1996).

Figura 2. 6 - Tensão de Tração e profundidade da fenda de tração. a) Zona ativa ao tardoz do muro; b) Profundidade da fenda de tração; c) Diagrama

de Tensão sugerido para solos coesivos (Bowles, 1996).

As direções das superfícies de ruptura nos estados ativo e passivo são mostradas na

figura 2.7.

Figura 2. 7 - Planos de ruptura nos estados ativo e passivo (Barros, 2005).

Figura 2. 8 - Profundidade da fenda de tração e altura crítica

De acordo com a Figura 2.8 a pressão lateral acima de z

é negativa e abaixo desta

profundidade é positiva. Calculando o empuxo ativo total, considerando agora a tensão de tração,

é possível obter o resultado apresentado em 2.12.

tan 45 2 tan 45

22 2

EdzH cH

σγ

⎛⎞ ⎛⎞

== −− −

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫

(2.12)

Quando E

= 0, tem-se que:

tan 45 2 tan 45

22 2

HcH

⎛⎞ ⎛⎞

−= −

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

que a uma profundidade crítica

H = h

tan 45 2

cr o

Hh z

⎛⎞

== +=

⎜⎟

⎝⎠

(2.13)

onde, h

é a altura crítica teórica, profundidade onde a pressão lateral sobre a parede AB se

anula. Para esta altura o maciço se mantém estável sem necessidade de nenhuma contenção.

2. 3 Teoria de Coulomb

Coulomb (1776) formulou um dos métodos mais conhecidos para determinação de

empuxo aplicado sobre muros de contenção, admitindo que no instante da mobilização total da

resistência do solo formam-se superfícies de deslizamento ou de ruptura no interior do maciço.

Estas superfícies delimitariam então uma parcela do maciço que se movimentaria em relação ao

restante do solo no sentido do deslocamento da estrutura. Se esta parcela do solo for considerada

como um corpo rígido, o empuxo pode então ser determinado através do equilíbrio das forças

atuantes sobre este corpo rígido.

Bowles (1996) cita as hipóteses admitidas por Coulomb em sua teoria. São elas:

Solo isotrópico e homogêneo e a existência de ângulo de atrito interno e coesão;

Superfície de ruptura plana e a superfície do terrapleno é planar, ou seja, admite talude,

mas não formas irregulares, como por exemplo, bermas;

A resistência por atrito é uniformemente distribuída ao longo da superfície de ruptura e o

coeficiente de atrito ocorre entre solo/solo, f = tan

;

Um pequeno deslocamento da parede é suficiente para mobilizar estado limite;

Adota condição de equilíbrio limite, ou seja, a resistência ao cisalhamento é mobilizada

instantaneamente e o estado plástico desenvolve-se numa cunha (como um bloco rígido);

Existe atrito de interface no muro, ou seja, como a cunha de falha se move com respeito a

parte posterior do muro uma força de atrito se desenvolve entre o solo e o muro.

A falha é um problema de deformação plana, isto é, o problema é avaliado a partir de uma

seção de largura unitária.

O método de Coulomb admite que tais superfícies de ruptura são planas e o empuxo é

aquele que age sobre a mais crítica das superfícies de ruptura planas. A vantagem deste método

reside no fato de que se pode considerar a ocorrência de atrito entre a estrutura de arrimo e o solo,

além de possibilitar a análise de estruturas com o paramento não vertical.

As equações baseada na teoria de Coulomb para solos não coesivos podem ser derivadas

a partir das figuras 2.9 e 2.10, usando várias relações trigonométricas. O peso da cunha de solo

ABE, para uma espessura unitária perpendicular ao desenho (Figura 2.9) é:

() ()

(

)

()

sen i

PA sen

sen sen i

γαρ

αρ

⎡⎤

== +

⎢⎥

−

⎢⎥

⎣⎦

(2.14)

Figura 2. 9 - Cunha de falha usada ao deriver a equação de Coulomb para a tensão ativa (Bowles, 1996).

Figura 2. 10 - Cunha de tensão ativa de Coulomb. a) Condições assumidas para que ocorra a falha; b) Indicação de que todos os vetores de força

podem não passar pelo ponto O, consequentemente o equilíbrio estático não é satisfeito; c) Diagrama de forças para estabilizar P

(Bowles, 1996).

A força ativa E

é uma componente do vetor peso como ilustrado na figura 2.10c.

Aplicando a lei dos senos, é possível obter,

()

180

sen

ρφ

ρφδ

−

−−++

()

180

Psen

sen

ρφ

ρφδ

−

−−++

(2.15)

A partir da equação 2.15 é possível perceber que o valor de E

depende do ângulo ρ, isto

é, todos os termos para um dado problema são constantes, e o valor de E

passa ser além de

principal, possível. Combinando as equações 2.14 e 2.15, obtém-se,

()

(

)

()

(

)

()

180

sen i sen

Esen

sen sen i

sen

αρφ

αρ

ρφδ

⎡⎤

+−

⎢⎥

−

−++

⎢⎥

⎣⎦

(2.16)

A força ativa máxima ou Empuxo ativo máximo é encontrado uma vez que dE

= 0,

assim,

(

)

()

()()

sen

sen sen i

sen sen

sen sen i

αφ

φδ φ

ααδ

αδ α

⎡

⎤

+−

⎢

⎥

−+

⎢

⎥

⎣

⎦

(2.17)

Se β = δ = 0 e α = 90º (um muro vertical reto com aterro horizontal) e a equação 2.17

pode ser simplificada para,

(

)

()

tan 45

21 2 2

sen

γγ

−

⎛⎞

==−

⎜⎟

⎝⎠

(2.18)

que é a mesma equação proposta por Rankine e apresentada na equação 2.7. De uma forma geral

a equação 2.18 pode ser reescrita como:

onde,

(

)

()

()()

sen

sen sen i

sen sen

sen sen i

αφ

φδ φ

ααδ

αδ α

⎡⎤

+−

⎢⎥

−+

⎢⎥

⎣⎦

(2.19)

O empuxo passivo é determinado de forma similar ao ativo, exceto pelo fato de que o

diagrama de forças apresenta ângulos distribuídos de maneira distinta (Figura 2.11). O valor da

força peso, P, da massa de solo sujeita a falha é determinado através da equação 2.20.

Figura 2. 11 - Cunha de Empuxo passivo definida por Coulomb (Bowles, 1996).

()

(

)

()

sen i

Psen

sen i

αρ

−

(2.20)

Aplicando a lei dos senos, é possível obter,

()

180

Psen

sen

ρφ

φδα

−−−−

(2.21)

A força mínima que determina o Empuxo passivo é encontrado, uma vez que dE

0, assim,

(

)

()

()()

sen

sen sen i

sen sen

sen sen i

αφ

φδ φ

ααδ

αδ α

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

(2.22)

Se β = δ = 0 e α = 90º (um muro vertical reto com aterro horizontal) e a equação 2.22

pode ser simplificada para,

()

tan 45

21 2 2

sen

γγ

⎛⎞

==+

⎜⎟

−

⎝⎠

(2.23)

De uma forma geral a equação 2.23 pode ser reescrita como:

onde,

(

)

()

()()

sen

sen sen i

sen sen

sen sen i

αφ

φδ φ

ααδ

αδ α

−

⎡⎤

⎢⎥

+−

⎢⎥

⎣⎦

(2.24)

2.3.1 Equilíbrio Limite

Segundo Barros (2005), caso o solo seja coesivo ou a superfície do maciço não seja

plana, não há como aplicar diretamente a teoria de Coulomb. Tal afirmação passa a ser verdade

quando não é feita uma extensão ou adaptação ao método. Nestes casos pode-se adotar um

método de análise semelhante ao de Coulomb, mas voltado ao problema específico em questão.

Tome-se como exemplo o caso mostrado na Figura 2.12. Como a superfície do maciço

possui uma descontinuidade no talude, ou seja, não apresenta inclinação constante, não é possível

utilizar as expressões apresentadas na seção anterior para determinação do empuxo. Neste caso,

pode-se fazer uma análise por tentativas, onde se consideram várias posições para a superfície de

ruptura e para cada uma delas determina-se o valor do empuxo pelo equilíbrio de forças. Estes

valores são colocados em função da superfície de ruptura que lhes deu origem e assim pode-se

estimar a variação correspondente. Determina-se então a posição mais crítica da superfície de

ruptura e o empuxo correspondente.

Figura 2. 12 - Método do equilíbrio limite, variando o empuxo com a superfície de ruptura (Barros, 2005).

O valor do empuxo ativo E

é determinado então para cada uma das cunhas através do

equilíbrio das forças que agem sobre ela.

()

Psen

sen

ρφ

ρφδ

−

+−−

(2.25)

A partir da equação (2.25) pode ser construído um gráfico como o da Figura 2.12, que

relaciona o ângulo da superfície de ruptura com o empuxo ativo, interpolando-se uma curva que

liga os pontos obtidos. O ponto máximo da curva de variação de E

determina o valor do empuxo

ativo que age sobre a estrutura e a posição da superfície de ruptura crítica (Figura 2.12).

O Método do equilíbrio limite visa determinar o empuxo ativo, E

, a partir de algumas

hipóteses básicas:

Assume-se a existência de uma superfície de ruptura plana;

2. A massa de solo ou rocha encontra-se em condições de ruptura generalizada iminente

isto é, em um estado de equilíbrio limite;

Assume-se um critério de ruptura (em geral Mohr-Coulomb), o qual é satisfeito ao

longo de toda a superfície de ruptura;

O ponto de aplicação do empuxo sobre a estrutura de arrimo é determinado através de

uma reta paralela à superfície de ruptura mais crítica, passando pelo centro de gravidade da cunha

crítica.

A teoria de Coulomb pode ser estendida para solos coesivos, utilizando as considerações

do equilíbrio limite e introduzindo a parcela de adesão. Assume-se que trincas de tração possam

se desenvolver até uma profundidade z

, a qual é estimada de acordo com a teoria de Rankine,

como mostrado na seção anterior em 2.12. As superfícies potenciais de ruptura se desenvolvem

conforme mostra a Figura 2.13. As forças atuantes na cunha ABCD são:

1. peso da cunha P;

reação entre a parede e o solo (P) , com inclinação δ;

3. força devido a componente de adesão: C

= c

×EB;

4. reação R no plano potencial de deslizamento, atuando a um ângulo φ;

5. força no plano potencial de deslizamento devido a parcela de coesão C = c ×BC.

As direções de todas as componentes são conhecidas, assim como as magnitudes de P,

e C. Com o traçado do polígono de forças, determina-se o valor de E. Se a trinca for

preenchida por água, esta parcela deve ser acrescida no polígono de forças.

Utilizando-se o método do equilíbrio limite, o empuxo é determinado através do equilíbrio

de forças para cada superfície de ruptura calculada por tentativas até que se encontre a mais

crítica. A cada uma dessas superfícies deve corresponder uma fenda de tração, pois a distribuição

real destas fendas é aleatória, e a localização mais crítica é aquela que coincide com a superfície

de ruptura mais crítica.

Figura 2. 13 - Cunha de Empuxo ativo definida por Coulomb para solos coesivos.

2. 4 Influência da percolação de água em maciços de solo

Segundo Barros (2005) outro caso bastante comum é a ocorrência de percolação d'água

através do maciço arrimado. Isto acontece, por exemplo, quando o nível do lençol freático que se

encontrava pouco abaixo da fundação da estrutura se eleva por ocasião da época das chuvas ou,

ainda quando em estruturas parcialmente submersas, ocorre uma brusca redução do nível do

curso d'água. Nestes casos há percolação d'água através do maciço na direção da estrutura de

arrimo, o que faz aumentar o valor do empuxo sobre esta. Para que a água não fique retida atrás

do muro, aumentando ainda mais o valor do empuxo, deve-se usar estruturas autodrenantes,

como por exemplo, os gabiões, ou prover à estrutura de drenos e filtros que impeçam o

carreamento das partículas do solo.

Para se analisar este tipo de problema deve-se determinar inicialmente a rede de fluxo

formada como mostrado na figura 2.14.

a) b)

Figura 2. 14 - Rede de fluxo através do maciço arrimado. A) Muro de contenção em gabião, considerada autodrenante; b) Estrutura de

contenção com dreno ao tardoz (Barros, 2005).

As forças que atuam sobre a cunha de solo formada pela superfície de ruptura incluem o

peso próprio desta (considerando o peso específico saturado γ

sat

do solo) e a força U devido à

resultante de poropressão que age sobre a superfície de escorregamento. Esta última é

determinada a partir do diagrama de subpressões atuantes na superfície de ruptura (Figura 2.14).

Esse diagrama é obtido através da determinação dos pontos de poropressão atuantes ao longo da

superfície de ruptura.

Para cada uma das superfícies de ruptura analisadas traça-se o diagrama de subpressões

que agem sobre ela e então se determina à força U devida à pressão da água ao longo da

superfície de ruptura. O valor de U é dado pela área do diagrama de subpressão multiplicado pelo

peso específico da água γ

No cálculo do peso P de cada cunha deve-se utilizar o peso específico saturado γ

sat

solo para a parte da cunha que estiver abaixo da superfície freática.

2.4.1 Muros de contenção de face vertical com drenagem ao seu tardoz

Barros (2006) apresenta uma solução analítica para o problema de fluxo em muros de

contenção de face vertical, obtendo os valores de poropressão dentro de uma massa de solo

homogênea. Tal dedução permite traçar a rede de fluxo (Figura 2.15) e determinar a resultante de

poropressão atuante ao longo de uma superfície de falha.

De maneira mais simplificada é possível obter o traçado gráfico de uma rede de fluxo

segundo algumas hipóteses básicas. Estabelecem-se previamente as linhas tidas como

equipotenciais e as linhas tidas como de fluxo e essas se desenham em intervalos constantes de

tal maneira que o intervalo de potencial seja igual ao intervalo das funções de fluxo, sua

interseção ocorre formando ângulos retos e a malha resultante forma um sistema de quadriláteros

ou quadrados curvilíneos. Tal solução gráfica não apresenta boa precisão quanto ao seu resultado.

Uma vez que a poropressão é nula em todos os pontos ao longo do dreno vertical, o

potencial total no dreno deve ser igual à carga geométrica. Se existir igual perda de carga entre

sucessivas equipotenciais, essas equipotenciais devem ser espaçadas uniformemente ao longo do

dreno (Figura 2.16).

Figura 2. 15 - Muro de contenção vertical com formação de rede de fluxo (Barros, 2006).

Lambe (1979) apresenta um exemplo que ilustra a obtenção da força de poropressão, U,

aplicada sobre uma superfície potencial de falha através da solução gráfica da rede de fluxo. Foi

assumida uma superfície com 45 graus de inclinação, onde a Figura 2.17, juntamente com a

tabela que a acompanha, mostra a distribuição de poropressão contra a superfície de falha adotada

e o cálculo da resultante da força de poropressão, U, contra essa mesma superfície. A Figura 2.18

mostra o diagrama de forças e equação, derivada desse diagrama, para determinação do empuxo

ativo. Para a superfície de falha a 45 graus, o empuxo calculado é de 148.8 kN por metro de

muro. Os resultados para vários ângulos que representam possíveis superfícies potenciais de falha

estão apresentados na Figura 2.19, onde o empuxo ativo máximo ocorre a aproximadamente 45

graus.

Nível d’água

Rede de fluxo

Impermeável

Face

Drenante

Figura 2. 16 - Rede de fluxo formada devido a uma chuva constante (Lambe, 1979).

Ponto h

(m)

ΔL (m) (h

)

med

ΔL

0 0

0.366 0.084

1 0.457

0.518 0.355

2 0.915

0.640 0.673

3 1.189

0.701 0.930

4 1.463

0.945 1.426

5 1.555

1.159 1.767

6 1.494

1.677 2.147

7 1.067

2.591 1.382

8 0

8.764 m²

Força de poropressão = 8.764 m² x 9.81 kN/m³ = 86.0 kN/m de muro.

Figura 2. 17 - Determinação da força de poropressão para uma superfície com 45 graus de inclinação (Lambe, 1979).

0.762

1.524

Figura 2. 18 - Diagrama de forças para determinação do empuxo ativo, considerando uma superfície de falha com 45 graus de inclinação

(Lambe, 1979).

10.000

150 kN/m

(kN/m)

45°

Figura 2. 19 - Gráfico que mostra os resultados para vários ângulos de superfícies potenciais de falha (Lambe, 1979).

Barros (2006) apresenta uma solução analítica para a mesma rede de fluxo considerando

uma condição de fluxo constante sob um domínio definido por x

≥

0, 0

≤

H onde o solo é um

meio isotrópico, homogêneo e saturado, cujo coeficiente de permeabilidade é denominado por k

(Figura 2.20).

A solução analítica do problema consiste em determinar a distribuição do potencial total,

h(x, z) ao longo do domínio do fluxo. O nível d’água é mantido na superfície do terreno e dessa

maneira o valor do potencial seja h(x, H) = H, enquanto ao longo da face frontal drenante h(0, z)

= z. Como a superfície horizontal em z = 0 é uma camada impermeável, tem-se que,

()

∂

zxh

Para que haja uma condição de fluxo contínuo a Lei de Darcy é valida, o que resulta na

equação diferencial de Laplace (Harr, 1962), ∇²h(x, z) = 0, a qual governa o problema de da

distribuição potencial h(x, z) através do domínio estabelecido.

Barros (2006) apresentou a solução final para o problema de fluxo, cujos valores de

potencial para o domínio estabelecido anteriormente podem ser obtidos através da equação 2.26.

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

−

∞

∑

Hzxh

cos

(2.26)

onde, H é a altura total do muro de contenção e

(

)

M .

A poropressão em qualquer ponto internamente ao domínio estabelecido, ou seja, dentro

da massa de solo contida é determinada pela equação 2.27.

() ()

[]

zzxhzxu

−= ,,

(2.27)

onde γ

é o peso específico da água.

É possível ainda obter a componente horizontal da velocidade de percolação ao longo da

interface solo/estrutura, derivando a equação (2.26) e multiplicando o resultado obtido pelo

coeficiente de permeabilidade k.

()

zxh

kzxv

xxx

cos

∑

∞

∂

−= (2.28)

Daí, é possível obter a vazão total do sistema,

∫

∑

∞

cos

(2.29)

onde G = 0.915966... é conhecido como constante de Catalan (Abramowitz & Stegun, 1972).

Figura 2. 20 - Descrição do problema de fluxo (Barros, 2006).

Nível d’água

Impermeável

Segundo Barros (2006) se a interface solo/muro não possui atrito, o empuxo ativo atua

na direção horizontal. Quando o movimento do muro é suficiente para mobilizar toda a

resistência cisalhante na massa de solo (estado ativo), ocorre à formação da superfície de falha

que é assumida como plana. A cunha de solo definida por essa superfície de falha é tratada como

um corpo rígido e as forças atuantes ao longo de seu contorno são mostradas na Figura 2.21b.

De acordo com a Figura 2.21 o peso da cunha é dado por,

sat

PaH

(2.30)

onde,

sat

é peso específico saturado,

H é a altura do muro,

é a inclinação da superfície de falha e a = cotgθ,

é o empuxo ativo,

N é força normal

T é a força tangencial atuante sobre a superfície de ruptura.

A força de poropressão U é a resultante das poropressões atuantes ao longo da superfície

de ruptura, dada por,

() ()

1, aaUHdzazazuU

+=+=

∫

(2.31)

onde,

()

∑

∞

−

+−

−=

)cos(

senMMaea

aU (2.32)

Considerando o diagrama de corpo rígido, mostrado na Figura 2.21, expressa-se a

condição de equilíbrio para o sistema de forças atuantes sobre a cunha de solo.

NP E U

=+ −

(2.33)

TfNP E

== −

(2.34)

onde f = tanφ’ é o coeficiente de atrito interno efetivo do solo.

Rearranjando as equações (2.33) e (2.34), obtém-se a equação (2.35) que determina o

empuxo ativo P

(

)

(

)

asat

aaf gfUa a

−+ +

(2.35)

onde, g = γ

/γ

sat

≈ 0.5. O valor máximo de E

é função de a que determina a superfície de ruptura

crítica. Sendo assim, a equação (2.35), torna-se,

asatas

EHK

= (2.36)

onde K

é o coeficiente de empuxo ativo com ação da superfície freática, dado por,

(

)

(

)

aaUgffaa

++−

max

(2.37)

Seguindo a proposta de Barros (2006) é possível calcular a força de poropressão U, para

um muro vertical, cujo domínio respeita as condições de contorno para o fluxo como comentado

anteriormente. Tomando como referência a Figura 2.21, calcula-se o peso da cunha que deve ser

induzida pela superfície potencial de falha.

a) b)

Figura 2. 21 - Estrutura de contenção vertical. a) cunha que representa a massa de solo induzida pela superfície potencial de falha; b) diagrama de

corpo rígido que representa as forças atuantes na cunha de solo (Barros, 2006).

Nível d’água

Impermeável

Superfície de

ruptura

Movimento do muro

3. MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PROBLEMAS DE

POTENCIAL

3.1 Introdução

Neste capítulo serão apresentados os conceitos básicos do método dos elementos de

contorno aplicados à solução de problemas de potencial.

O Método dos elementos de contorno - MEC (Boundary Element Method – BEM) é um

método computacional desenvolvido para solucionar sistemas de equações diferenciais, dispostas

na forma de integral. É aplicado em áreas da engenharia que apresentam circunstâncias tais que, o

domínio de estudo é infinito ou semi-infinito, casos que, comparados aos métodos dos elementos

finitos, apresentam melhor desempenho.

A resolução de problemas formulados a partir de uma equação integral de contorno é

obtida por uma aproximação que normalmente é definida por um conjunto de valores em pontos

discretos localizados sobre o contorno da geometria do modelo analisado.

Segundo Noronha (2005) na resolução de problemas de potencial, o método dos

elementos de contorno faz uso de equações integrais de contorno, tornando fundamental o

conhecimento dos valores de potencial u e do fluxo normal q para um ponto genérico situado no

contorno da geometria do modelo. A representação exata do contorno e das variáveis associadas

do problema é inviável na prática, pois envolveria o conhecimento de valores em um número

infinito de pontos. A estratégia adotada pelo MEC para resolver esta situação consiste em

representar o contorno e os valores de potencial e fluxo de forma aproximada através de um

número finito de valores nodais associados a um conjunto de pontos sobre o contorno. As

aproximações da geometria e das variáveis de estado têm como base uma discretização do

contorno utilizando um conjunto finito de nós e de elementos.

Ainda segundo Noronha (2005) na representação discretizada, o contorno fica dividido

em um número de segmentos correspondentes aos elementos de contorno. A aproximação da

geometria e das variáveis é feita através da interpolação sobre os elementos de contorno, que

podem possuir um ou mais nós de acordo com o seu grau de interpolação.

O MEC permite representar um problema considerando apenas as variáveis no contorno

do modelo proposto, o que além de reduzir o número de variáveis envolvidas, permite simplificar

o procedimento de geração e discretização do modelo. Avaliando-se corretamente as integrais

numéricas é possível obter alta precisão na utilização do MEC, isso porque as aproximações

adotadas pelo método são introduzidas apenas no contorno discretizado.

A análise pelo MEC é efetuada basicamente em duas etapas. A primeira obtém os

resultados de potencial e fluxo para o contorno discretizado e a segunda permite a obtenção dos

resultados de potencial e fluxo para qualquer ponto do domínio. Tal procedimento torna o MEC

mais flexível e com melhor desempenho que outros métodos de discretização de domínio.

3.1.2 Equação Integral básica

O texto a partir desse item foi extraído em grande parte de Brebbia e Dominguez (1989),

a fim de explicitar os conceitos a serem utilizados nesse trabalho.

A equação integral de contorno requerida pelo método pode ser deduzida de uma

maneira simples baseada nas considerações de resíduos ponderados, teorema da reciprocidade de

Betti, Terceira identidade de Green ou princípios fundamentais tal como trabalho virtual. A

vantagem de usar resíduos ponderados é sua generalidade, permitindo a extensão do método para

resolver equações diferenciais parciais mais complexas. Isso pode também ser usado para

relacionar elementos de contorno a outras técnicas numéricas e pode ser facilmente

compreendida por engenheiros.

Considerando a busca para solução da equação de Laplace em um domínio Ω (duas ou

três dimensões), Figura 3.1.

∇²u = 0 em Ω (3.1)

com as seguintes condições de contorno Γ:

- Condição Essencial do tipo u = ū em Γ

;

(3.2)

- Condição Natural onde

qnuq

∂

∂= / em Γ

;

onde

n é a normal ao contorno, Γ = Γ

+ Γ

e as hachuras indicam que os valores são conhecidos.

As condições de contorno se tornam mais complexas quando apresenta acima de duas

combinações, ou seja,

αu + βq = γ (3.3)

onde

α, β e γ são parâmetros conhecidos, podem ser facilmente incluídas, mas não serão

consideradas agora por causa da simplicidade desejada.

Figura 3. 1 - Definições geométricas para equação de Laplace (Brebbia e Domínguez, 1989).

A principio o erro introduzido na equação anterior se os valores exatos (porém

desconhecidos) de

u e q forem substituídos por uma solução aproximada podem ser minimizados

ortogonalizando-os em relação a uma função ponderadora u*, com derivadas no contorno

nuq ∂∂= /**.

Em outras palavras se R são os resíduos, em geral, pode-se escrever que,

≠∇= uR

(3.4)

≠−= uuR

(3.5)

≠

−= qqR (3.6)

onde

u e q são valores aproximados. (O fato de um ou mais dos resíduos poder ser igual à zero

não prejudica a generalidade do argumento).

∫∫∫

ΓΓΩ

Γ−Γ=Ω

***

dqRduRduR (3.7)

()

(

)

∫∫∫

ΓΓΩ

Γ−−Γ−=Ω∇

***

dquuduqqduu (3.8)

Integrando por partes o lado esquerdo dessa equação, obtém-se,

∫∫∫∫∫

ΓΓΓΓΩ

Γ+Γ−Γ−Γ−=Ω

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∂

−

1112

****

dquduqdquduqd

(3.9)

onde

k = 1, 2, 3 e o somatório de Einstein para índices repetidos foram usados. Integrando por

partes o lado esquerdo da equação 3.9, obtém-se:

()

∫∫∫∫∫

ΓΓΓΓΩ

Γ+Γ−Γ−Γ−=Ω⋅⋅∇

1112

*****

dquduqdquduqduu

(3.10)

A equação 3.10 é importante como um ponto de partida para as aplicações do Método

dos elementos de contorno. A meta agora é apresentar a equação 3.10 dentro de uma equação

integral de contorno. Isso pode ser feito usando um tipo especial de função ponderada

chamada

Solução Fundamental.

3.1.3 Solução Fundamental

A solução fundamental

u* satisfaz a equação de Laplace e representa o campo gerado

pela unidade de carga concentrada atuando no ponto

i. O efeito dessa carga é propagado do ponto

i até o infinito sem qualquer consideração de condições de contorno. Por causa disso a solução

pode ser escrita como:

0*u

=Δ+∇ (3.11)

onde Δ

representa uma função Delta de Dirac que tende a infinito no ponto x = x

e é igual a zero

em qualquer lugar. A integral de Δ

é igual a 1. O uso da função Delta de Dirac é uma maneira

elegante de representar a unidade de cargas concentradas como forças quando se trabalha com

equações diferenciais.

A integral de uma função Delta de Dirac multiplicada por qualquer outra função é igual

ao valor da última no ponto

. Consequentemente:

() ()

ii2

ududu*u −=⋅⋅−=⋅⋅∇

∫∫

ΩΩ

ΩΔΩ

(3.12)

A equação 3.10 agora pode ser escrita como,

∫∫∫∫

+=++

1212

d*qud*uqd*qud*uqu

ΓΓΓΓ

(3.13)

É necessário lembrar que a equação 3.13 se aplica para uma carga concentrada em “

i” e

consequentemente os valores de

u* e q* são aqueles que correspondem à posição particular de

carga. Para cada outra posição de

haverá uma nova equação integral.

Considerando agora uma função G(x,y), cuja solução fundamental para problemas de

potencial satisfaz a equação 3.11.

322

R/Ry,x,0)y,x()y,x(G ∈∀=+∇

, (3.14)

onde as derivadas são tomadas no ponto y, isto é, ∇

= ∂

(⋅)/∂y

∂y

, e R2 e R3 indicam os espaços

bi e tridimensionais, respectivamente. A função δ(x,y), Δ

de Dirac, representa uma fonte unitária

no ponto fonte x, e G(x,y) representa a resposta no ponto campo y devido ao fonte.

A solução fundamental G(x,y) é dada por:

para duas dimensões

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

log

)y,x(G

para três dimensões

(3.15)

onde r é a distância entre o ponto fonte x e o ponto campo y, e sua derivada normal é:

para duas dimensões

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

∂

≡

,yn,r

y,xG

)y,x(F

para três dimensões

(3.16)

com

∂

= (y

– x

)/r. A solução fundamental satisfaz a seguinte identidade integral:

Primeira

identidade

()()

∫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∈∀

∈∀−

Ex,

Vx,

ydSy,xF

(3.17)

Segunda

identidade

()

∫

∪∈∀=

∂

EVx,ydS

y,xF

(3.18)

Terceira identidade

()

() ()

(

)

()

()()

()

∫∫

⎩

⎨

⎧

∈∀

=−

∂

−

∂

Ex,

Vx,xn

ydSxy

y,xF

ydSyn

y,xG

(3.19)

Quarta identidade

()( )

(

)

(

)

(

)

(

)

∫∫

∪∈∀=−−

EVx,ydSyny,xGydSxyy,xF 0

(3.20)

onde S pode ser um contorno fechado arbitrário (para duas dimensões) ou superfície (para três

dimensões),

V é o domínio inserido em S, e E é o domínio infinito fora de S. É possível obter

essas identidades prontamente pela equação 3.14 sobre o domínio

V e invocando o teorema de

Gauss.

3.1.4 Descrição física do problema

Segundo Beer et al. (2008) além de especificar as condições geométricas do problema é

importante definir a resposta física do problema de maneira matemática. Isso é possível,

discretizando-se uma porção infinitesimal do sólido a ser estudado. Isso facilita o entendimento

do problema além de ajudar a definir de maneira clara as condições de contorno segundo a

equação diferencial adotada.

Para o problema de potencial, tem-se que o fluxo por unidade de área

q é relacionado ao

potencial

u, através da seguinte equação:

uDq ∇−= (3.21)

onde o sinal negativo é devido ao fato de que o fluxo ocorre sempre do maior para o menor

potencial. O vetor fluxo é definido como:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(3.22)

o tensor D, que representa a permeabilidade, é dado por:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

kkk

D (3.23)

onde

, k

, etc., são permeabilidades medidas em [m/s]. Os coeficientes D representam o

fluxo por unidade de gradiente de potencial.

O operador diferencial

∇ para problemas tridimensionais de potencial é definido como:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

=∇

(3.24)

e para problemas bidimensionais:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

=∇

(3.25)

A condição de conservação de energia indica que o fluxo que sai deve ser igual ao que

entra, mais um fluxo por unidade de volume,

, gerado por uma fonte interna.

Figura 3. 2 - Fluxo um cubo infinitesimal (Beer et al, 2008).

Para o cubo infinitesimal da figura 3.2, tem-se que:

xyzxyz

q dx dydz q dy dxdz q dz dxdy q dydz q dxdz q dxdy Qdxd

xyz

∂

⎛⎞

∂

⎛⎞

+++++=+++

⎜⎟

∂∂∂

⎝⎠

cancelando-se os termos, tem-se

=−

∂

(3.26)

e considerando a lei de Darcy para materiais isotrópicos, ou seja, k

= k

= k e k

= k

= 0, obtém-se a equação diferencial governante na qual se busca a solução fundamental.

=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

(3.27)

A solução fundamental para esse problema já foi mostrada na seção anterior, onde a

partir de um ponto fonte F de magnitude unitária colocado em um domínio infinito homogêneo

ocorre a geração de fluxo e em nenhum outro lugar além do ponto F.

Como comentado em 3.1.3 a função que descreve essa variação se refere a função Delta

de Dirac que tende a infinito no ponto x = x

e é igual a zero em qualquer outro lugar. A integral

, portanto é igual a 1. Portanto, é possível dizer que,

()

0=− GF

, onde F

≠

()

1=Ω−

∫

dGF

(3.28)

onde G é um ponto qualquer no domínio

. Devido a uma fonte unitária no ponto F o potencial

G pode ser escrito de maneira tridimensional como descrito em 3.15.

()

GFU

, =

(3.29)

onde

()()()

222

FGFGFG

zzyyxxr −+−+−= é a distância entre o ponto fonte F e o ponto

campo G (Figura 3.3).

Figura 3. 3 - Potencial aplicado em um ponto G a partir de um ponto fonte F (Beer et al, 2008).

3.2 Formulação da equação integral de contorno

Para derivar à equação integral de contorno correspondente a equação diferencial parcial

(3.11), aplica-se a segunda identidade de Green no Delta de Dirac,

[]

∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−

∂

=∇−∇

udVuu

υυ

(3.30)

tomando

(y) = u(y), que satisfaz a equação 3.11, e u(y) = G(x,y), que satisfaz a equação 3.14,

Tem-se, da equação 3.30,

( ) () () ( ) () ( )

(

)

()

,,,

uy Gxy

G xy u y u y G xy dV y G xy u y dS y

ny ny

⎡⎤

∂

⎡⎤

∇−∇ = −

⎢⎥

⎣⎦

∂∂

⎢⎥

⎣⎦

∫∫

Aplicando as equações 3.11, 3.14 e o Delta de Dirac, obtém-se,

() ( )()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)()

,, , ,

u x G x y q y F x y u y dS y G x y f y dV y x V

⎡⎤

=− + ∀∈

⎣⎦

∫∫

(3.31)

onde q =

∂

A equação 3.31 é a representação integral da solução u dentro do domínio V para a

equação 3.11. Uma vez que os valores de contorno de u e q sejam conhecidos em S, a equação

3.31 pode ser aplicada para calcular u em qualquer lugar em V.

Figura 3. 4 - Ponto x se aproximando do trecho S

(Liu, 2009).

Para encontrar os valores das incógnitas de u e q que pertencem ao contorno em S,

deixa-se x tender a S para obter uma equação integral de contorno da equação 3.31. Para fazer

isso, considera-se o seguinte limite,

() ( )() ( )() () ( ) () ()

{

lim lim , , ,

xS xS

u x G x y q y F x y u y dS y G x y f y dV y

→→

⎡⎤

=−+

⎣⎦

∫∫

(3.32)

Utilizando o caso 2D para calcular como se comporta os limites na equação 3.32, divide-

se o contorno S em duas partes S – S

e S

, onde S

é um pequeno segmento de comprimento 2

centralizado ao redor do ponto no qual x abordará (Figura 3.4)

A primeira integral do lado direito da equação 3.32 é avaliada como,

()()()

(

)

(

)

(

)

(

)()

()

∫∫∫

→

→→

εε

yqydSy,xGlimydSyqy,xGlimydSyqy,xGlim

onde y

é um ponto em S

. Quando

é pequeno, S

pode ser considerado como um segmento reto

(assumindo S como um contorno suave); a integração analítica de G neste segmento de reta está

apresentada no Apêndice A, equação A.5. Quando a equação A.5 for usada, o limite desta

integral sai, tornando-se:

()()

()

∫

→

yqydSy,xGlim ,

então,

( )() ()

(

)

(

)

(

)

(

)() ()

∫∫∫

→

→→

SSS

ydSyqy,xGydSyqy,xGlimydSyqy,xGlim

(3.33)

onde a última integral é avaliada com a definição de um valor principal de Cauchy. De maneira

análoga, a segunda integral do lado direito da equação 3.32 é avaliada como,

()()()

(

)

(

)

(

)()

(

)

(

)

lim , lim , lim ,

SSS S

xS S d

FxyuydS y F xyuydS y F xydS yuy

εε

→

→→ →

→

∫∫ ∫

Aplicado o resultado na equação A.6 do Apêndice A, tem-se,

()()

()

lim , , ,

FxydSyuy ux x S

→

−∈

∫

( )() () ( )() () ()

( )() ()

()

lim , lim ,

SSS

FxyuydSy FxyuydSy ux

FxyuydSy ux x S

→

→→

−=

=−∈

∫∫

∫

(3.34)

onde a última integral é entendida como um valor principal de Cauchy que é avaliado em

S – S

onde

→ 0. A terceira integral do lado direito da equação 3.32, torna-se,

( )() ()

(

)

(

)

(

)

∫∫

→

ydVyfy,xGydVyfy,xGlim (3.35)

Substituindo as equações 3.33, 3.35 em 3.32 e combinando os termos livre, alcança-se a

seguinte equação integral de contorno,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,, , ,

cxux Gxyq y F xyu y dS y Gxy f ydV y x S

⎡⎤

=− + ∀∈

⎣⎦

∫∫

(3.36)

onde

c(x) é um coeficiente igual 1/2 se S é suave ao redor x.

3.2.1 Discretização das integrais de contorno usando elementos constantes

Aplicam-se os elementos de contorno para discretizar as equações integrais do contorno

a fim de encontrar numericamente as variáveis desconhecidas do contorno. Assumindo

f =0 na

equação 3.36 é possível resolver o problema em duas dimensões usando elementos constantes.

Primeiramente, divide-se o contorno

S em segmentos retos (elementos) ΔS

e coloca-se um nó em

cada elemento (Figura 3.5). O número total de elementos é

M, e o número total de nós é N. Como

o contorno está sendo discretizado em elementos constantes, M = N. Ao colocar o ponto fonte

no nó

i, nota-se que, u(y) = u

e q(y) = q

, no elemento ΔS

Figura 3. 5 - Discretização do contorno usando elementos constantes (Liu, 2009).

onde

e q

(j = 1, 2,..., N) são os valores nos nós de

e q, respectivamente, no elemento

para

elementos constantes. Daí, a equação integral de contorno se torna,

jjj

iijij ijij

SSS

u G q F u dS G dSq F dSu

ΔΔΔ

⎡

⎤

⎡⎤

=−= −

⎣⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

∑∑

∫∫∫

(3.37)

onde

e F

são as funções principais do problema (definidas analiticamente no Apêndice A)

com o ponte fonte

x colocado no nó i. Discretizando a equação 3.36 para o nó i, obtém-se,

, 1, 2,...,

iijjiji

ugqfu i N

⎡⎤

=− =

⎣⎦

∑

(3.38)

onde os coeficientes são dados por,

N,...,,i,dSFf,dSGg

iij

21===

∫∫

ΔΔ

(3.39)

As integrais anteriores podem ser avaliadas analiticamente quando i = j ou i ≠ j (ver

Apêndice A). Na forma matricial a equação 3.38 pode ser escrita como,

11 12 1 1 11 12 1 1

21 22 2 2 21 22 2 2

12 12

NN NNN N N NNN

ffugggq

⎡⎤⎧⎫⎡ ⎤⎧⎫

⎢⎥⎪⎪⎢ ⎥⎪⎪

⎪⎪ ⎪⎪

⎢⎥⎢ ⎥

⎨⎬ ⎨⎬

⎢⎥⎢ ⎥

⎪⎪ ⎪⎪

⎢⎥⎢ ⎥

⎪⎪ ⎪⎪

⎣⎦⎩⎭⎣ ⎦⎩⎭

##%## ##%# #

(3.40)

onde

= f

+ ½

. De maneira a criar um sistema de equações para determinar as incógnitas do

problema rearranjando a matriz representada em 3.40.

bAou,

aaa

NNNNNN

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

#%##

22221

11211

(3.41)

onde A é a Matriz coeficiente, λ é o vetor incógnita (com

u ou q variável em cada nó), e b é o

vetor que ordena os valores conhecidos. A solução do sistema determinado pela equação 3.41

pode ser obtida através do método de eliminação de Gauss. Dessa forma é possível obter os

valores incógnitos de

u e de q ao longo do contorno.

3.2.2 Discretização das integrais de contorno usando elementos lineares

Para discretização do contorno usando elementos lineares (Figura 3.6), cada elemento

deve ser associado a dois nós colocados nas suas extremidades. Considera-se que o elemento é

reto e que os valores apontados nos nós variam linearmente dentro do elemento.

Figura 3. 6 - Discretização do contorno S usando elementos lineares (Liu, 2009).

Duas funções de forma são introduzidas para representar a função sobre um elemento.

Por exemplo, no elemento ΔS

(k = 1, 2, 3,..., M, onde M é número total de elementos), daí tem-

se:

() () ()

uy u N u

ξξ

∑

(3.42)

() () ()

∑

qNqyq

ξξ

(3.43)

onde

, u

e q

, q

são os valores nodais de u e q nos nós 1 e 2 respectivamente; ξ é a coordenada

local definida no elemento e N

(ξ) e N

(ξ) são funções lineares de forma dadas por,

()

−=1N

(

)

N (3.44)

colocando o ponto fonte,

x no nó i (i = 1, 2, 3,..., N), tem-se,

[]

ii i i

cu Gq Fu dS

=−

∑

∫

∑

∫

∑∑

∫

∑

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

dSFNFdSqNG

11 11

GN dS q FN dS u

αα

ΔΔ

== ==

⎡⎤⎡⎤

=−

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

∑∑ ∑∑

∫∫

(3.45)

ou seja,

11 11

i i ik ik

cu g q f u

ααα

αα

== ==

=−

∑∑ ∑∑

(3.46)

onde,

∫

iik

dSNGg

∫

iik

dSNFf

, (3.47)

com

i = 1, 2, 3,..., N (número de nós), k = 1, 2, 3,..., M (número de elementos) e

= 1 e 2

(número de nós locais em cada elemento). Rearranjando os termos de acordo com os nós globais,

obtém-se da equação 3.46,

ii ij j ij j

cu g q f u

=−

∑∑

(3.48)

onde

e f

são somatórias das integrais

g e

f nos elementos em torno do nó j,

respectivamente. Consequentemente, tem-se um sistema de equações similar ao da equação 3.38

e a forma matricial é idêntica a equação 3.40, onde

= f

+ c

Em geral, o esquema de integração numérica precisa ser usado para avaliar os

coeficientes na equação 3.40 usando as equações em 3.47. Por exemplo, para os termos fora da

diagonal principal (i ≠ j), tem-se que,

()

[]

()

∫∫

ξξξ

αα

dJNy,xGdSNGg

iik

(3.49)

onde a coordenada global y está relacionada a coordenada local por

() ()

,lpara,yNy

∑

ξξ

com

y sendo o valor de y

no nó, e

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ξξ

Jonde,dJd

é o jacobiano da transformação de coordenadas. A integral no lado direito da equação 3.49 pode

ser avaliada pelo método da quadratura de Gauss.

O método da quadratura de Gauss é um dos mais utilizados para solucionar problemas

de integrações numéricas. Neste método os pontos não são mais escolhidos pelo usuário, mas

seguem um critério bem definido, com o objetivo de fornecer resultados exatos para polinômios

escolhidos.

As integrais podem ser escritas como,

() ( )

ii n

fd wf E

ξξ ξ

−

== +

∑

∫

(3.50)

onde

n é o número de pontos de integração,

é a coordenada do ponto i de integração, w

o fator

peso associado ao número de pontos e

é o erro ou resíduo,

()

()()

()

212!

ndf

⎡⎤

⎣⎦

(-1 <

< 1) (3.51)

A equação (3.50) é baseada na representação de f(

ξ) por meio do polinômio de Legendre

(

). O valor de

é a coordenada em um ponto i onde P

é zero e para o qual os pesos são

dados por,

()

⎡⎤

−

⎢⎥

⎣⎦

(3.52)

Os valores

e w

estão listados na tabela 3.1, onde os valores de

são simétricos com

respeito à

= 0 e w

simétrico para o mesmo valor. Para esse trabalho serão utilizados 10 pontos

de integração.

Tabela 3.1 – Valores de

e w para um número n de pontos (n = 2, 3...10)

±ξ

n = 2 n = 8

0.577350291 1 0.1834346424

0.5255324099

0.7966664774

09602898564

0.3626837833

0.3137066458

0.2223810344

01012285362

n = 3 n = 9

0.7745966692

0.8888888888

0.5555555555

0.3242534234

0.6133714327

0.8360311073

0.9681602395

0.3302393550

0.3123470770

0.2606106964

0.1806481606

0.0812743883

n = 4 n = 10

0.3399810435

0.8611363115

0.6521451548

0.3478548451

0.1488743389

0.4333953941

0.6794095682

0.8650633666

0.9739065285

0.2955242247

0.2692667193

0.2190863625

0.1494513491

0.0666713443

n = 5

0.5384693101

0.9061798459

0.5688888888

0.4786286704

0.2369268850

n = 6

0.2386191860

0.6612093864

0.9324695142

0.4679139345

0.3607615730

0.1713244923

n = 7

0.4058451513

0.7415311855

0.9491079123

0.4179591836

0.3818300505

0.2797053914

0.1294849661

Para os termos na diagonal principal, é possível avaliar os coeficientes analiticamente

usando a definição do valor principal de Cauchy. Os resultados são:

N,...,,,i,f,

log

3210

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ππ

(3.53)

onde L

e L

são os comprimentos dos dois elementos antes e depois do nó i. Para o coeficiente

fii, existe um modo simples de calcular seus valores. Suponha que haja um campo de potencial

uniforme, com φ =1 e q = 0 em qualquer lugar. Então, a partir da equação 3.40 se obtém,

∑

≠

−=

ijii

ff (3.54)

para problemas de domínio finito, onde se evita calcular o valor de c

em cada nó. Para problemas

de domínio infinito, as contribuições das integrais no infinito não desaparecem para potenciais

uniformes. Consequentemente, a relação na equação 3.54 é mudada para,

∑

≠

−=

ijii

ff 1

(3.55)

Os resultados das equações 3.54 e 3.55 são exatos, isso significa que não foi introduzido erro

adicional.

3.2.3 Discretização das integrais de contorno usando elementos quadráticos

Os elementos quadráticos podem ser usados para problemas que demandam maior

precisão, como por exemplo, uma superfície freática, cujos elementos curvos apresentariam

maior precisão para os pontos que definem os potenciais dessa superfície, considerando-a um

domínio curvo. Existem três nós em um elemento quadrático (Figura 3.7). As três funções de

forma quadráticas são dadas na coordenada local ξ, como apresentadas a seguir:

() () ()()() () ()

,N,N,N 1

111

321

+=+−=−=

ξξξξξξξξξ

(3.56)

onde em cada elemento, tem-se:

() () ()

∑

φξξφφ

Ny (3.57)

() () ()

∑

ξξ

qNqyq (3.58)

e para a geometria,

() ()

.,lpara,yNy

∑

ξξ

(3.59)

Usando elementos quadráticos, é possível escrever a forma discretizada da equação

integral de contorno (Equação 3.36).

∑∑ ∑∑

== ==

−=

ikikii

qgc

αα

αααα

φφ

(3.60)

onde,

∫

iik

dSNGg

∫

iik

dSNFf

(3.61)

com i = 1, 2, 3,..., N, k = 1, 2, 3..., M e α = 1, 2, 3.

Rearranjando os termos de acordo com as coordenadas globais dos nós, é possível obter

um sistema de equações similar ao obtido em (3.40), onde g

e f

devem ser calculados

numericamente através da quadratura de Gauss, exceto pelo valor de f

, que ainda será

determinado pela equação (3.54) para um domínio finito.

A discretização com elementos quadráticos permite que os valores de fluxo em ambos os

lados dos nós que conectam dois elementos sejam diferentes. Por exemplo, ao utilizar elementos

quadráticos é possível ter algumas situações bem peculiares como:

quando os fluxos são prescritos como diferentes em ambos os lados do nó, o potencial

passa a ser a incógnita;

quando o potencial e o fluxo em um dos lados são prescritos, o outro lado passa

apresentar o fluxo como incógnita;

quando apenas o potencial é prescrito e o valor do fluxo em um dos lados é a incógnita e

este será igual em ambos os lados do nó.

Figura 3. 7 - Discretização do contorno S usando elementos quadráticos (Liu, 2009).

4. MÉTODOS E CRITÉRIOS ADOTADOS

Esse capítulo aborda os detalhes sobre a construção de um programa computacional para

a obtenção numérica da posição da superfície freática de um solo homogêneo através do MEC

para problemas de potencial e determinação do coeficiente de empuxo ativo, através do método

de Coulomb, sob a influência da variação dessa posição.

Propõem-se condições de contorno pré-estabelecidas para obter a solução numérica de

um problema, onde analiticamente não há solução. Isso representa a determinação do coeficiente

de empuxo ativo para uma estrutura de contenção influenciada pela existência de uma superfície

freática, cujo paramento frontal encontra-se inclinado.

A partir do MEC é possível determinar a forma da superfície freática para um paramento

frontal vertical ou inclinado, onde posteriormente, através do cálculo por tentativas se determina

a superfície de falha para o maciço de solo arrimado que intercepta a curva freática, permitindo

assim determinar o coeficiente de empuxo ativo com variação do nível freático.

Optou-se por fixar um padrão unitário para obter a superfície freática, onde a altura da

estrutura de contenção é a referencia do modelo, sendo assim considerada como unitária.

4.1 Construindo o modelo numérico

Como em todo problema numérico, as condições de contorno são fundamentais para

permitir que um problema tenha solução ou para que admita certo grau de generalidade. Partindo

dessa premissa foram estimadas certas condições que respeitam os critérios estabelecidos pelo

método dos elementos de contorno para um problema de potencial (Figura 4.1).

(Topo)

(Limite)

(Base)

(Muro)

du(x,y)/dy = 0

u(x,y) = Hu(x,y) = y

(Limite)

(Base)

(Muro)

du(x,y)/dy = 0

u(x,y) = Hu(x,y) = y

(Topo)du(x,y)/dy = 0

u(x,y) = y

Figura 4. 1 - Condições de contorno estabelecidas para o problema em estudo. a) condição inicial com nível d’água constante; b) condição final

com a formação de uma superfície freática.

Segundo as condições de contorno estabelecidas foram prescritos valores tanto para o

fluxo quanto para o potencial. Isso permite que o modelo se assemelhe às condições de campo e

seja possível assim tirar proveito dos resultados obtidos. Essa estratégia foi antes abordada e

desenvolvida por Menezes e Pulino Filho (1984).

Ao adotar que o solo de fundação sob o qual a estrutura de contenção está apoiada seja

composto por um solo impermeável, tem-se que nesse plano não haverá fluxo atravessando-o em

nenhum dos lados, por esse motivo à derivada do potencial será igual à zero,

∂

u(x,y)/

∂

y = 0. Na

parte superior, haverá variação da superfície freática e não haverá fluxo atravessando-a, sendo

assim o valor da derivada do potencial também será igual a zero,

∂

u(x,y)/

∂

y = 0, em um instante

inicial. Posteriormente haverá uma variação da posição dos pontos de contorno até que u(x, y) =

y, formando assim a superfície freática pretendida. Restam dois outros planos, onde um deles

representa a própria estrutura de contenção drenante e esse terá seu potencial variando em função

da altura, ou seja, u(x,y) = y. O outro plano receberá alimentação constante do fluxo, por esse

motivo terá então uma carga constante e igual a altura do muro, u(x,y) = H.

Por fim, o problema de potencial tem suas condições de contorno estabelecidas com

valores prescritos que definem as características físicas do problema. As Figuras 4.1a e Figura

4.1b ilustram as condições de contorno antes citadas e servirão como base para descrever a

metodologia empregada neste trabalho.

O objetivo principal desse trabalho é determinar o coeficiente de empuxo ativo atuante

sobre estruturas de contenção com a influência de superfície freática. Porém ao se determinar a

solução numérica para a curva freática é possível obter outros resultados interessantes como, por

exemplo, a altura de saída do nível d’água e o fluxo unitário no plano que representa a contenção.

Uma vez determinada numericamente a curva freática, é possível determinar o valor da

força U que corresponde a cada superfície de ruptura de Coulomb e por tentativas é possível

chegar à superfície de ruptura critica.

Para determinar o valor da força U foi utilizado o método de integração de Gauss-

Lobatto, que é uma variação do método da quadratura de Gauss utilizado no processo de

integração numérica dos elementos do contorno.

O intervalo de integração que é estabelecido pela superfície de falha apresenta seu inicio

na base da estrutura de contenção e o seu final na interseção com a superfície freática ambos tem

seu valor de poropressão nulo (Figura 4.2), ou seja, apresentam um valor conhecido e que seria

desprezado pelo método convencional de Gauss. Já a regra de quadratura de Gauss-Lobatto é

definida por uma quadratura gaussiana nos quais os pontos extremos do intervalo de integração [-

1, 1] são incluídos em um total n de abscissas, dando r = n-2 abscissas dentro do intervalo, ou

seja, os pontos extremos do intervalo são incluídos no processo de integração numérica (Hunter e

Nikolov, 2000). As abscissas são simétricas sobre a origem e a equação geral proposta é,

u(x,y) = y

Figura 4. 2 - Diagrama de subpressão determinado através de pontos potenciais obtidos pelo método dos elementos de contorno.

()

(1) (1) ( )

nii

xdx wf wf wf x

−

=−+ +

∑

∫

(4.1)

As abscissas internas x

para i = 2, ..., n – 1 são raízes do polinômio P’

n-1

(x), onde P(x) é

um polinômio de Legendre (Abramowitz e Stegun, 1972). Os pesos das abscissas internas são,

()

() ()

2'' '

in imi

xP xPx

nn P x

−

⎡

⎤

−

⎣

⎦

(4.2)

e os pesos das abscissas nas extremidades do intervalos são,

()

−

(4.3)

O erro é dado por,

erfície freática

Superfície de ruptura

Pontos de

auss

() ( )

()( )

()

12 2!

2122!

nn n

−

⎡⎤

−−

⎣⎦

=−

⎡⎤

−−

⎣⎦

(4.4)

para ξ ∈ (-1, 1). A Tabela 4.1 apresenta os parâmetros para a 3 ≤ n ≤6. Beyer (1987) fornece uma

tabela de parâmetros até n = 11 e Chandrasekhar (1960) até n = 9.

Tabela 4.1 – Abscissas e pesos correspondentes a 3 ≤ n ≤6.

3 0 0.00000

1.333333

±1 ±1.00000

0.333333

±0.447214

0.833333

±1 ±1.000000

0.166667

5 0 0.000000

0.711111

±0.654654

0.544444

±1 ±1.000000

0.100000

()

727

−

±0.285232

(

)

14 7

0.554858

()

727

±0.765055

(

)

14 7

−

0.378475

±1 ±1.000000

0.066667

4.1.1 Determinação numérica da superfície freática

A fim de determinar a superfície como mostrado na Figura 4.1b, foram propostas

algumas condições geométricas para o problema.

A altura do muro será unitária. Tal procedimento permite generalizar o problema para

qualquer altura, uma vez que se tenha a solução numérica para a superfície freática.

A distância entre o paramento frontal e o plano limite que define a fonte geradora de fluxo

é de 5 vezes a altura, onde será avaliada sua influência sob o resultado obtido.

O paramento frontal poderá ser vertical ou inclinado, motivo pelo qual a solução

numérica é necessária, uma vez que não há solução analítica para tais condições;

Nesta etapa do problema o MEC entra como ferramenta fundamental para que se

encontre uma solução numérica, baseado nas condições comentadas anteriormente. A estratégia

adotada pelo MEC para resolver o problema de potencial consiste em representar o contorno e os

valores dos potenciais e fluxos de forma aproximada através de um número finito de valores

nodais associados a um conjunto de pontos sobre o contorno. Essa aproximação se dá através de

uma discretização do contorno utilizando um conjunto finito de nós e de elementos. A

aproximação da geometria e das variáveis é feita através da interpolação sobre os elementos de

contorno, que podem possuem um ou mais nós de acordo com o seu grau de interpolação. A

interpolação sobre um elemento pode ser parametrizada usando uma coordenada local, variando

de -1 a +1 entre as extremidades do elemento e para tanto se dispõe de funções de forma que

definem a maneira como o elemento deve ser discretizado. O item 3.2 deste trabalho trata em

detalhes das funções de forma normalmente utilizadas para o MEC.

Devido à forma curva da superfície freática, a solução para o problema apresenta uma

discretização do contorno por elementos quadráticos que possuem três nós por elemento, dois nas

extremidades e um terceiro variando entre as extremidades do elemento. Esse tipo de elemento

apresenta resultados mais precisos, permitindo uma melhor representação de contorno com

arestas curvas, simulando assim uma superfície freática mais suave (Figura 4.1b).

Obter a superfície freática a partir das condições de contorno pré-estabelecidas é o

primeiro passo desse trabalho. A Figura 4.1a mostra a condição inicial do contorno onde a parte

superior apresenta um valor prescrito igual a,

∂

u(x,y)/

∂

y = 0. Tal condição indica que o solo se

encontra totalmente saturado e o nível d’água está na superfície do terreno. Em um dado instante

o contorno superior deve alcançar o equilíbrio e assim tomar a forma da superfície freática. Tal

condição indica que o domínio adquiriu um novo contorno, cuja parte superior se encontra com

∂

u(x,y)/

∂

y = 0 e u(x,y) = y.

Figura 4. 3 - Programa para cálculo do coeficiente de empuxo ativo com determinação numérica da superfície freática, WALLSEEP.

Foi desenvolvido o programa WALLSEEP (Figura 4.3) baseado no programa

POQUABE (Brebbia e Domínguez, 1989) que permite calcular a forma da superfície freática

utilizando o MEC, segundo os procedimentos apresentados a seguir.

Entra-se com os números de elementos de contorno para cada lado do domínio

considerado. No caso em questão um retângulo, com as seguintes denominações: MURO,

TOPO BASE, LIMITE (Figura 4.1a).

Definem-se os valores prescritos segundo as condições de contorno apresentadas na

Figura 4.1;

Uma vez definida a coordenada dos nós ao longo do contorno e definido seus valores

prescritos, calcula-se as matrizes G e F, e dessa forma, o sistema de equações pode ser

armado de forma matricial,

Fu = Gq, (4.5)

Através de manipulações algébricas, a equação 4.5 pode ser expressa na forma usual de

um sistema de equações através da consideração das condições de contorno prescritas do

problema. A partir da identificação dos valores nodais incógnitos e conhecidos, realiza-se

o pivotamento entre as colunas das matrizes F e G a fim de obter um sistema dado por:

= b (4.6)

onde x é o vetor das incógnitas, A é a matriz formada pelas colunas de H e G associadas

aos valores de u e q incógnitos, que por sua vez são dispostos no vetor x e o vetor F é

obtido pelo produto entre os valores nodais conhecidos

u e q e as correspondentes

colunas de F e G.

O vetor b é calculado multiplicando as condições de contorno prescritas pelos

correspondentes termos de G e F.

Obtidos os valores do vetor b ao longo do contorno é possível compará-los com os valores

de carga altimétrica nos pontos que correspondem ao trecho definido como TOPO com n3

elementos, começando a partir do primeiro ponto desse trecho indicado esquematicamente

em vermelho na Figura 4.4.

22 22ij ij

cF y

+− +−

=−

22 22

0.5

ij ij

−−

=+⋅ (4.7)

22 22

0.5

ij ij

xcder

−−

=+⋅⋅

onde, i = n1+n2+1...n1+n2+n3 e j = 2...3, e der corrige a posição do ponto fazendo com

que essa varie apenas sobre uma reta pré-definida, o que evita que as trajetórias dos

pontos durante o processo iterativo se cruzem.

Figura 4. 4 - Representação esquemáticas dos elementos ao longo do contorno.

Verifica-se o módulo da diferença entre o novo valor prescrito calculado para o contorno

e a nova carga altimétrica. Caso esse valor seja > 0.001 se inicia o processo voltando ao

item 3. Essa checagem é feita até a diferença ser ≤ 0.001, ou seja, quando o valor prescrito

para o contorno for igual ou bem próximo da carga altimétrica no ponto.

(BASE)

n1 elementos

(LIMITE)

n2 elementos

(MURO)

n4 elementos

(TOPO)

n3 elementos

4.1.2 Determinação da interseção Parábola–Reta

Uma vez determinada numericamente a superfície freática, deve-se obter sua interseção

com a superfície de ruptura. Como tal superfície freática foi discretizada em elementos

quadráticos e cada elemento possui três pontos, cujas coordenadas foram obtidas numericamente

como citado no item 4.1.1, é possível determinar uma equação de parábola paramétrica no plano,

para cada elemento do contorno. Como a superfície de ruptura é representada por uma reta com

inclinação previamente definida, tem-se agora que criar um condicionante que ao variar essa

inclinação se possa identificar qual elemento da freática está sendo interceptado e qual é a

coordenada de interseção com esse elemento de equação paramétrica também definida. Ou seja,

tem-se um caso de interseção entre reta e parábola variando ao longo da superfície freática, cujo

critério de parada será a determinação da inclinação que representa a superfície de ruptura crítica.

Uma vez que se têm definido todos os pontos coordenados da superfície freática, é

possível determinar a inclinação das retas que partem da origem (0,0) do sistema de coordenadas

cartesianas globais e encontra os pontos localizados na extremidade de cada elemento (Figura

4.5).

Tomando s como um elemento qualquer e n-1 e n+1 como os pontos localizados na

extremidade desse elemento, cujas coordenadas já foram definidas pela determinação numérica

da superfície freática, tem-se de maneira simples os ângulos

1 e

2, respectivamente (Figura

4.5). Sendo

a inclinação da reta que define a superfície de ruptura, a condição para que essa se

encontre interceptando o elemento s é,

()()

210

ρη ρη

−−≤ (4.8)

ou seja, sendo a condição da equação (4.8) satisfeita a reta que define a superfície de ruptura está

interceptando o elemento s, e como cada elemento é definido por uma equação paramétrica de

parábola é possível calcular qual é o ponto de interseção entre as duas superfícies.

n + 1

n - 1

η1

η2

(ρ−η2).(ρ−η1) < 0

elemento s

(0,0)

superfície de ruptura

Figura 4. 5 – Interseção entre a reta de Coulomb com o elemento parametrizado da parábola.

A equação da parábola no plano pode ser obtida na forma paramétrica como:

() ()

(

)

112 23 3

NxN xNx

ξξξ

=+ +

(4.9)

() ()

(

)

112 233

yN y N y N y

ξξξ

=+ + (4.10)

onde,

() ()

ξξξ

=−

() ( )( )

11N

ξξ

=− +

() ()

ξξξ

e x

, y

são as coordenadas dos nós do elemento.

ponto de interseção

(

A equação da reta que representa a superfície de ruptura de Coulomb é dada por,

ax= (4.11)

onde, tana

= , e

é a inclinação da superfície de ruptura em relação ao plano horizontal. Note-

se que a reta passa pela origem do sistema de coordenadas. O ponto de interseção entre a reta e a

parábola é dado pela solução da seguinte equação,

() ()

(

)

(

)

(

)

(

)

112 233 112233

NyN yNyaNxNxNx

ξξξ ξξξ

⎡

⎤

++= ++

⎣

⎦

(4.12)

A solução para a equação (4.12) é,

1,2

BAC

−± −

(4.13)

onde,

()

123123

ax x x y y y=−+−+−

()

13 13

axx y y=−+ +−

()

2Caxy=−

–1

≤

+1 ou –1

≤

+1, então a reta intercepta o elemento. As coordenadas do

ponto de interseção são obtidas ao colocar o valor de

na equação (4.9) e (4.10).

5. BUSCA DA SUPERFÍCIE DE RUPTURA CRÍTICA

O programa WALLSEEP fornece o valor do fluxo total obtido por ocasião da superfície

freática numericamente determinada e o valor do coeficiente do ativo para uma superfície de

ruptura critica pelo método de Coulomb.

Como se optou por fixar um padrão unitário para a obtenção da superfície freática, a

altura de saída do nível d’água é a referencia do modelo. Portanto, criou-se uma relação de escala

para adequar o modelo unitário ao modelo real em função das alturas de saída do nível d’água

real

()d

, encontrado no campo, e unitário ()d . Fixada essa relação é possível trazer as

dimensões do modelo unitário para o modelo real e realizar o cálculo do empuxo ativo utilizando

à posição da superfície freática adequada as condições de campo (Figura 5.1).

1.00

Figura 5. 1 – Mudança de escala do resultado da freática obtido no modelo unitário para o modelo real.

A Figura 5.2 mostra esquematicamente o resultado obtido pelo WALLSEEP para um

muro unitário. Nessa figura é possível observar que são determinados os valores de

, altura de

saída do nível d’água,

U , força resultante da poropressão e

A que corresponde a área sob a

superfície freática delimitada pela superfície de ruptura, todos os valores tirados do modelo

unitário.

Figura 5. 2 – Resultado esquemático obtido pelo programa WALLSEEP com muro de altura unitária.

A presença do lençol freático faz com que existam duas áreas a considerar com dois

pesos específicos distintos, um sobre e outro abaixo da curva freática (Figura 5.3), e por esse

motivo devem ser determinados dois pesos para a cunha de ruptura, um definido pela área do

triângulo ABC e outro pela área definida abaixo da curva freática.

a) b)

Figura 5. 3 – Diferentes pesos específicos. a) Área acima da superfície freática – γ; b) Área abaixo da superfície freática - γ

sat

Superfície

freática

Superfície

de ru

tura

5.1 Etapas de Cálculo

Uma vez determinada a numericamente a superfície freática, resta ajustar os valores

obtidos no modelo unitário com o modelo real. Tal ajuste deve ser feito através de um fator de

escala que obtido pela relação entre a altura de saída do nível d’água real com o a altura de saída

do nível d’água no modelo unitário

(/)dd.

As etapas de cálculo passam a ser:

Determinação numérica da superfície freática, onde são obtidas as coordenadas

cartesianas, os valores de potencial e de derivada do potencial em cada ponto e a

altura de saída do nível d’água, todos resultados correspondentes ao modelo

unitário, ou seja, muro com altura igual a 1.00;

Defini-se uma inclinação para a superfície de ruptura ρ e a partir daí:

Calcula-se a interseção entre a inclinação da superfície de ruptura (modelo

real) e a superfície freática, conforme descrito no item 4.1.2;

ii.

Através do método de Gauss-Lobatto, determina-se o valor da poropressão

em 10 pontos ao longo da superfície de ruptura, definido desde o ponto

(0,0) até o ponto de interseção com a superfície freática, calculando-se

assim o valor da força de poropressão

no modelo unitário;

iii.

Calcula-se o valor da força de poropressão para o modelo real:

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(5.1)

iv.

Calcula-se o valor da área saturada

A no modelo unitário. Esse valor foi

obtido através do cálculo por coordenadas cartesianas de uma poligonal

fechada.

Calcula-se o valor da área saturada para o modelo real:

sat sat

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(5.2)

vi.

Calcula-se a área total do triângulo ABC para o modelo real, segundo

Barros (2005),

()

(

)

()

180

2 180

sen i

Asen

sen sen i

αρ

⎡

⎤

−+

=−+

⎢

⎥

−−

⎢

⎥

⎣

⎦

(5.3)

vii.

Calcula-se o valor da força peso referente à área da cunha definida pelo

triângulo ABC no modelo real. Lembrando que nesse caso têm-se dois

pesos específicos distintos (Figura 5.3),

()

at sat sat

PAA A

γγ

=− + (5.4)

viii.

Calcula-se o equilíbrio da cunha e se obtém o valor do empuxo ativo, E

através da equação abaixo obtida pelo equilíbrio de forças mostrado na

Figura 5.4,

(

)

()

(180 )

Psen Usen

sen

φφ

φδ ρ

−+

−

++−

(5.5)

O valor de

Ea corresponde à superfície de ruptura

definida no item b). As etapas de

cálculo devem ser repetidas desde o item i ao item viii até que seja encontrada a inclinação

que

corresponde ao Empuxo Ativo Máximo.

Para a busca do ângulo que determina o Empuxo Ativo Máximo, utilizou-se um método

de maximização/minimização conhecido como razão áurea. Press et al (2007) apresenta em sua

publicação uma rotina denominada GOLDEN que foi utilizado nesse trabalho para maximizar a

função definida na equação (5.5). Ou seja, as etapas propostas do item i ao viii foram

incorporadas à rotina GOLDEN sendo determinado assim o valor do Empuxo Ativo Máximo.

Figura 5. 4 – Esquema do equilíbrio de forças atuantes no modelo real para o cálculo do Empuxo Ativo.

Ao final o programa WALLSEEP permite ao usuário obter de maneira muito simples o

valor do empuxo ativo em função dos seguintes dados:

9 altura do muro;

9 inclinação do muro, α;

9 altura de saída do nível d’água, d;

9 número de elementos no contorno;

9 ângulo de atrito interno do solo, φ;

9 ângulo de atrito de interface solo/muro, δ;

9 peso especifico do solo natural e saturado, γ e γ

sat

;

9 inclinação do talude, i.

Figura 5. 5 – Versão final do programa WALLSEEP.

Uma outra informação extraída do programa WALLSEEP é o valor do fluxo total,

obtido numericamente através dos valores da derivada dos potenciais no trecho referente à altura

de saída do nível d’água. Esse valor pode ser útil principalmente no cálculo de um sistema de

drenagem eficaz.

Figura 5. 6 – Fluxo total obtido pelo programa WALLSEEP.

Considerando que a derivada do potencial foi obtida pelo MEC ao longo do contorno, é

possível utilizar tais valores no trecho definido pela altura de saída do nível d’água,

O cálculo pode ser feito integrando a equação paramétrica da parábola ao longo de cada

elemento (Figura 5.7). Daí, obtém-se,

() ( ) ()

()

12 1 12 2 12

cacab

ll fl f fll fl fll

+−+ + − + +

(5.6)

onde:

distância entre o ponto 2

n-1

e o 2

distância entre o ponto 2

e o 2

n+1

, f

valor da derivada do potencial nos pontos, f

3n-2

, f

3n-1

e f

, respectivamente.

Somando o valor de cada vazão obtida por elemento definida na equação (5.6) ao longo

de d, é possível obter o valor do fluxo total (Figura 5.6).

Figura 5. 7 – Distribuição parametrizada da derivada do potencial para um elemento s.

Figura 5. 8 – Diagrama de bloco referente ao cálculo da superfície freática.

Estima o valor

Cálcula interseção

com a freática

(modelo unitário)

Cálcula o valor de U

por Gauss-Lobatto

(modelo unitário)

Cálcula o valor de U

corrigindo escala

(modelo real)

Cálcula a área

saturada A

sat

(modelo unitário)

Corrige a área

saturada A

sat

(modelo real)

Cálcula a

força peso

(modelo real)

Cálcula o

empuxo ativo

(modelo real)

Varia a

inclinação

até E

a máx

Figura 5. 9 – Diagrama de bloco referente ao cálculo do empuxo ativo máximo.

5.2 Exemplo de cálculo

Serão realizados três exemplos, os dois primeiros não considerando a presença da

superfície freática e o último a considerando. A comparação dos resultados obtidos para o

primeiro exemplo será feita pelo método de Rankine e o segundo pelo método de Coulomb, para

o terceiro exemplo a comparação será feita com um software de cálculo conhecido e distribuído

gratuitamente pela empresa Maccaferri, GawacWin® (Gabions Wall Calculation for Windows).

Os dados utilizados para o primeiro exemplo sem superfície freática são:

altura do muro, H = 5.00m

inclinação do muro, α = 90 graus

altura de saída do nível d’água, d = 0.00m

ângulo de atrito interno do solo, φ = 30 graus

ângulo de atrito de interface solo/muro, δ = 0 graus

peso especifico do solo natural, γ = 18.00kN/m³

inclinação do talude, i = 0 graus

Será feito um exemplo simples, cujo resultado servirá para verificar se apenas o cálculo

do empuxo ativo está correto.

Figura 5. 10 – Cálculo do empuxo ativo sem influência da superfície freática pelo programa WALLSEEP, considerando o muro vertical.

O resultado obtido foi E

= 75kN/m.

Calculando agora por Rankine, tem-se que o coeficiente de empuxo ativo é igual,

()

tan 45 / 2 0.33

=−=

0.50 75 /

EHKkNm

No segundo exemplo será considerada uma inclinação de 10 graus para o talude sobre o

muro e uma inclinação 96graus segundo a Figura 2.10 para o método de Coulomb.

Figura 5. 11 – Cálculo do empuxo ativo sem influência da superfície freática pelo programa WALLSEEP, considerando talude sobre o muro e

inclinação do paramento frontal.

Calculando agora por Coulomb, tem-se que o coeficiente de empuxo ativo é igual,

(

)

()

()()

73.94 /

sen

EkNm

sen sen i

sen sen

sen sen i

αφ

φδ φ

ααδ

αδ α

⎡⎤

+−

⎢⎥

−+

⎢⎥

⎣⎦

Os dois primeiros exemplos estão compatíveis com os modelos clássicos propostos.

Resta agora realizar a verificação dos resultados considerando a influência da superfície freática.

No terceiro exemplo serão considerados os mesmos dados do primeiro.

Figura 5. 12 – Cálculo do empuxo ativo com influência da superfície freática pelo programa WALLSEEP, considerando o muro vertical.

Esse terceiro exemplo terá seu resultado comparado como o software GawacWin que

considera a influência da superfície freática pelo método gráfico proposto no item 2.4.1.

Figura 5. 13 – Cálculo do empuxo ativo com influência da superfície freática pelo programa GawacWin, considerando o muro vertical.

Figura 5. 14 – Resultados das análises do software GawacWin.

Para confirmar de maneira aproximada o valor da força de poropressão obtida, foi feito

um cálculo manual pelo método gráfico apresentado no item 2.4.1.

No problema em questão como existe fluxo dentro do maciço de solo a carga total ao

longo da superfície freática varia. Portanto, a carga potencial ou altura de pressão ao longo da

superfície de ruptura deveria ser determinada através do traçado de uma rede de fluxo. De

maneira conservadora é possível determinar a altura de pressão (u/

) como se o sistema se

encontrasse sob condições de pressões hidrostáticas, tomando simplesmente a diferença de

alturas entre a posição da freática e da superfície de ruptura crítica. Como a superfície de ruptura

foi divida em dez partes para determinar o valor da força

U pelo método de integração de Gauss-

Lobatto, tem-se dez valores definidos como cargas potenciais a serem usadas no processo gráfico

do cálculo da força de poropressão. Foram tomadas as coordenadas cartesianas da curva freática e

de ruptura obtida numericamente pelo programa WALLSEEP com a finalidade de obter

graficamente os valores de potencial.

Figura 5. 15 – Determinação gráfica da força de poropressão referente ao exemplo 3.

A tabela 5.1 apresenta o resultado gráfico da força de poropressão extraído do desenho

da Figura 5.14. Os resultado gráfico encontrado foi de 1.997 kN/m e o resultado numérico foi de

1.764 kN/m.

Tabela 5.1 – Resultado gráfico da força de poropressão.

Potencial Potencial médio Intervalo (Potencial) x (intervalo)

0.000

0.050 0.030 0.00015

0.010

0.025 0.060 0.0015

0.040

0.065 0.090 0.00585

0.090

0.120 0.110 0.0132

0.150

0.180 0.120 0.0216

0.210

0.240 0.130 0.0312

0.270

0.295 0.120 0.0354

0.320

0.340 0.110 0.0374

0.36

0.370 0.090 0.0333

0.38

0.400 0.060 0.024

0.42

0.2036

Força de poropressão = 0.2036 x 9.81 = 1.997 kN/

6. RESULTADOS OBTIDOS

A fim de apresentar de maneira prática os resultados obtidos através do programa

WALLSEEP foram feitas algumas simulações de cálculo com parâmetros de entrada

normalmente adotados em projetos.

A Figura 6.1 possibilita a determinação da vazão de saída de uma estrutura de contenção

drenante em função da inclinação do paramento de tardoz variando de 70 a 110 graus.

Figura 6. 1 – Gráfico que possibilita a determinação do valor da vazão em função da altura de saída do nível d’água e a permeabilidade variando

em relação a inclinação do paramento ao tardoz da contenção.

Ao realizar o processo de busca por tentativas da força de poropressão atuante sobre a

superfície de falha crítica, são determinadas varias áreas saturadas, o que possibilitou traçar um

gráfico de tais áreas, variando com a altura de saída do nível d’água, em função das possíveis

superfícies de ruptura (Figura 6.2). A fim de simplificar os resultados obtidos, foram adotados

alguns parâmetros de entrada:

• inclinação do muro, α variando de 80 a 110 graus

• ângulo de atrito interno do solo, φ = 30 graus

• ângulo de atrito de interface solo/muro, δ = 0 graus

• peso especifico do solo natural, γ = 18.00kN/m³

• peso especifico do solo saturado, γ = 21.60kN/m³

• inclinação do talude, i = 0 graus

Figura 6. 2 – Gráfico que possibilita a determinação do valor da área saturada em função da altura de saída do nível d’água variando em relação a

inclinação do paramento ao tardoz da contenção.

Como descrito anteriormente na determinação do gráfico da Figura 6.2, segue-se um

processo similar para determinação da força de poropressão, variando com o peso específico da

água e a altura de saída do nível d’água, em função das possíveis superfícies de ruptura (Figura

6.3).

Figura 6. 3 – Gráfico que possibilita a determinação do valor da força de poropressão em função da altura de saída do nível d’água e o peso

especifico da água variando em relação a inclinação do paramento ao tardoz da contenção.

O programa WALLSEEP possibilita o cálculo do empuxo ativo através da inserção dos

parâmetros de entrada descritos no item 5.2, e a Figura 6.4 simplifica esse procedimento através

da obtenção do coeficiente de empuxo ativo em função da relação entre a altura de saída do nível

d’água e a altura do muro. Como existem muitas variadas a serem declaradas para esse cálculo,

foram adotados os seguintes parâmetros:

• inclinação do muro, α = 90 graus

• ângulo de atrito interno do solo, φ = 30 graus

• ângulo de atrito de interface solo/muro, δ = 0 graus

• peso especifico do solo natural, γ = 20.00kN/m³

• inclinação do talude, i = 0º, i = 20º e i = 26.56º (1V:2H)

A equação 6.1 determina o coeficiente de empuxo ativo em função dos parâmetros

acima descritos e a Figura 6.4 representa graficamente os resultados obtidos.

0.50

= (6.1)

Figura 6. 4 – Gráfico que possibilita a determinação do valor do coeficiente de empuxo ativo com influência da freática variando com a relação

entre a altura de saída do nível d’água e a altura do muro.

7. CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS FINAIS

Referente ao cálculo de empuxo ativo pelos métodos tradicionais, fica evidente a

simplicidade das fórmulas clássicas encontradas na literatura estudada. O critério de Mohr-

Coulomb empregado simplifica bastante a análise, além de ser mais conservador que a análise

tridimensional. Sendo assim, o cálculo de empuxo, respeitando tais critérios, faz com que a teoria

de Rankine e Coulomb apresente uma identidade matemática muito clara. Em particular a teoria

utilizada por Coulomb, que foi um dos alicerces desse trabalho, apresenta diversidade geométrica

suficiente para que a busca por tentativas da superfície de ruptura critica justifique a necessidade

de algoritmos matemáticos que possam fazer parte de modelagens computacionais mais

complexas.

A idéia da realização desse trabalho foi baseada no artigo publicado por Barros (2006)

que estuda a influência da percolação da água em maciços homogêneos no cálculo do empuxo

ativo por Coulomb. Esse artigo despertou a necessidade em calcular o empuxo ativo sob

condições geométricas variadas, uma vez que a solução analítica apresentada não possui solução

para paramentos frontais inclinados.

O uso do Método dos Elementos de Contorno foi à alternativa escolhida para discretizar

o problema e buscar uma aproximação numérica para o problema do fluxo. Essa escolha foi

baseada mais uma vez nas condições geométricas do problema e na idéia de que a superfície

freática faz parte do contorno e que esse pode variar em funções das condições prescritas a ele.

Brebbia e Dominguez (1989) trazem em sua obra várias rotinas computacionais que

favorecem o leitor em usar o MEC, por esse motivo foi utilizada rotina POQUABE que discretiza

o contorno em elementos quadráticos e possibilita a obtenção da solução numérica para

problemas de potencial.

Baseado no que foi descrito por Brebbia e Dominguez (1989) foram feitas adaptações à

rotina POQUABE, culminando na criação do WALLSEEP, que em um primeiro momento tornou

possível o cálculo da superfície freática, como descrito no item 4.1.1. Como resultado final,

obteve-se o fluxo total para a curva freática proposta, além das coordenadas cartesianas de todos

os pontos que a compõe. O fato de o programa fornecer as coordenadas cartesianas como valor de

saída, possibilita a geração de arquivos de planilhas eletrônicas, o que facilita para o usuário no

uso dessas coordenadas, por exemplo, em outros programas.

Em um segundo momento foi proposta uma rotina de cálculo para a busca por tentativas

da superfície de ruptura. A maneira elegante encontrada foi à utilização de métodos de

maximização/minimização de funções, como descrito por Press et al (2007). Utilizou-se uma

rotina de minimização denominada por Press et al (2007) como GOLDEN. Como essa rotina é de

minimização, buscou-se um valor negativo para a função.

Um ponto importante para se implementar o cálculo do empuxo ativo foi a busca pela

interseção entre a superfície de ruptura de Coulomb com a superfície freática, a fim de determinar

em qual trecho da reta de Coulomb a força de poropressão deve ser aplicada. O item 4.1.2

descreve muito bem esse processo sendo passível de aplicação em modelos matemáticos

similares.

O programa WALLSEEP determina o valor do empuxo ativo sob a influência da

superfície freática, porém não determina seu ponto de aplicação. Tal determinação é importante

para a verificação da estabilidade externa (deslizamento, tombamento e tensões na base). Barros

(2006) demonstra que o ponto de aplicação do empuxo ativo com a influência da curva freática

está ligeiramente abaixo de

H/3, o que sugere o uso desse valor como uma aproximação

conservadora para o cálculo da estabilidade externa.

Os resultados apresentados no item 5.2 mostram que o programa está compatível com a

teoria clássica sem considerar a influência da superfície freática e ao considerá-la apresenta

similaridade numérica com o modelo gráfico utilizado (Tabela 5.1). É certo que a aproximação

numérica utilizada pode trazer resultados mais precisos em função do número de elementos

propostos no contorno, por esse motivo foram utilizados 110 elementos no contorno quando sob

influência da superfície freática contra 65 elementos quando sem a presença da água.

Observou-se que um maior número de elementos no trecho denominado “TOPO”

interfere principalmente no cálculo da interseção entre a superfície de ruptura e a curva freática.

Isso se deve ao fato de que ocorre uma maior concentração de elementos no trecho da curva

próxima ao paramento frontal o que gera maior precisão nos resultados para a interseção e

posterior cálculo da força de poropressão, uma vez que o ângulo crítico deve estar próximo de

45º+

φ/2, ou seja, bem próximo do trecho denominado “MURO”. Por esse motivo se deve optar

por utilizar um maior número de elementos na parte denominada “TOPO”, considerando o valor

mínimo de 40 elementos.

8. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

As principais sugestões para realização de trabalhos futuros são:

• Aperfeiçoamento gráfico da interface do programa;

• Implementar o cálculo de taludes com superfície finitas;

• Determinação numérica do ponto de aplicação do Empuxo Ativo;

• Implementar visualmente ao usuário o traçado da rede de fluxo. Tarefa simples uma

vez que se têm os valores do potencial e de sua derivada ao longo do contorno.

• Estudar a possibilidade analisar superfície de falha curvas.

APÊNDICES

Apêndice A – Integração analítica das equações principais

A.1 Integração das equações principais

A.1.2 Equações integrais de contorno para problemas 2D

Para os problemas potenciais em duas dimensões, tem-se quatro funções as equações

integrais convencionais de contorno (Liu, 2009).

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

yxG

log

, (A.1)

()

ynr

ryn

yxG

yxF

1),(

−=

∂

= , (A.2)

()

xnr

rxn

yxG

yxK

1),(

∂

, (A.3)

()

() ()

() () () ()

[]

ynrxnrynxn

ynxn

yxG

yxH

llkkkk

,,2

−=

∂∂

∂

. (A.4)

As integrais das quatro funções no segmento reto

ΔS, mostrado na figura A.1, podem ser

avaliadas analiticamente. Sendo assim, considera-se que

S, r = d/cos

, dS = rd

/cosθ.

() ()

[]

∫

+−+−−=

rTrTRddSyxG

112212

loglog2

θθ

, (A.5)

() ()

θθ

−−=

∫

ΔS

dSyxF , (A.6)

() ()() () ()

xnyt

yndSyxK

kkk

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

∫

log

θθ

, (A.7)

() () () ()

xnyt

dyn

dSyxH

kkk

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

∫

, (A.8)

onde

2R (= T2 – T1) é o comprimento total do segmento linear e t

é o componente do vetor

tangencial

t (Figura A.1). Esses resultados podem ser usados para avaliar diretamente os

coeficientes das equações integrais de contorno para problemas de potencial bidimensionais

usando elementos constantes. Se o ponto fonte

x estiver no elemento de integração (no ponto

médio do segmento), tem-se que

, d = 0, r

= r

= R, T

= - T

= -R, e as quatro

integrais, A.5, A.6, A.7 e A.8 se tornam:

() ()

dSyxG

log1, −=

∫

, (A.9)

()

−=

∫

ΔS

dSyxF , (A.10)

()

∫

ΔS

dSyxK , (A.11)

()

dSyxH

, −=

∫

, (A.12)

Figura A. 1 - Integração analítica em um segmento de reta arbitrário.

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