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Semigrupos de Weierstrass Sim´etricos
em Recobrimento Duplo de Curvas
Alg´ebricas
Luana de Oliveira Justo
Disserta¸c˜ao de Mestrado em Matem´atica
Mestrado em Matem´atica
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Vit´oria, Julho de 2010
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Justo, Luana de Oliveira 1986-
J96s Semigrupos de Weierstrass sim´etricos em recobrimento duplo
de curvas alg´ebricas/ Luana de Oliveira Justo.-2010.
43f.
Orientador: Jos´e Gilvan de Oliveira.
Disserta¸c˜ao (mestrado) - Universidade Federal do Esp´ırito
Santo, Centro de Ciˆencias Exatas.
1. Curvas Alg´ebricas. 2. Weierstrass, Pontos de. I. Oliveira,
Jos´e Gilvan de. II. Universidade Federal do Esp´ırito Santo. Centro
de Ciˆencias Exatas. III. T´ıtulo.
CDU:51
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Agradecimentos
A Deus.
A meus pais e meus irm˜aos por todo amor e incentivo.
Ao meu orientador Professor Jos´e Gilvan de Oliveira por todo apoio e
paciˆencia.
Aos Professores Elisabete, Valmecir Bayer e Ana Claudia pelas valiosas
sugest˜oes.
Aos professores do PPGMAT pelos ensinamentos e em especial ao pro-
fessor Ricardo Leite.
A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES)
pelo apoio financeiro.
E a todos os amigos e colegas pelo carinho e em especial a Guilbert por
estar ao meu lado sempre.
Sum´ario
1 Curvas Alg´ebricas e o Teorema de Weierstrass 9
1.1 An´eis de Valoriza¸c˜ao, Lugares e Divisores . . . . . . . . . . . . 9
1.2 O Teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Curvas Alg´ebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 S´eries Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Semigrupos Num´ericos 27
2.1 Semigrupos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Semigrupos γ-Hiperel´ıpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Semigrupos γ-Hiperel´ıpticos . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Recobrimento duplo de curvas alg´ebricas 37
3.1 A T´ecnica de Buchweitz e Semigrupos Sim´etricos . . . . . . . 37
3.2 Semigrupos Sim´etricos que n˜ao s˜ao
Semigrupos de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Uma curva Canˆonica de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . 42
Resumo
O estudo de semigrupos num´ericos tem aplica¸c˜ao em geometria alg´ebrica,
uma vez que cada ponto de uma curva alg´ebrica n˜ao-singular tem um semi-
grupo num´erico associado a ele, dito semigrupo de Weierstrass do ponto,
fato provado no Teorema das Lacunas de Weierstrass. O objetivo desta dis-
serta¸c˜ao ´e estudar semigrupos de Weierstrass sim´etricos em recobrimento
duplo de curvas alg´ebricas seguindo o trabalho de Torres [15]. O primeiro
exemplo de semigrupo num´erico que n˜ao ´e de Weierstrass foi obtido por Buch-
weitz e, seguindo a id´eia de Buchweitz, Komeda exibiu fam´ılias de semigrupos
que n˜ao s˜ao Weierstrass [7]. Entretanto esta t´ecnica n˜ao se aplica no caso em
que os semigrupos num´ericos s˜ao sim´etricos. O trabalho de Torres mostra
que existe um semigrupo num´erico sim´etrico de gˆenero g > 99 que n˜ao ´e de
Weierstrass. Finalmente veremos que todo semigrupo num´erico sim´etrico ´e
realizado como semigrupo de Weierstrass de uma curva alg´ebrica irredut´ıvel
Gorenstein.
Abstract
The study of numerical semigroups has applications in algebraic geometry,
once each point of a non-singular algebraic curve has a numerical semigroup
associated with it, called Weierstrass semigroup of the point, which is proved
in Weirstrass gaps theorem. The objective of this dissertation is to study
Weierstrass symmetric semigroups in double covering of algebraic curves fol-
lowing the Torres’s work [15]. The first example of numerical semigroup that
is not a Weierstrass semigroup was given by Buchweitz following the Buch-
weitz’s idea, Komeda found families of semigroups which are not Weierstrass
semigroups. However Buchweitz’s technique does not apply in symmetric
numerical semigroups. Torres’s work shows that there exists a symmetric
numerical semigroup of genus g > 99 that is not a Weierstrass semigroup.
Finally we will see that every symmetric numerical semigroup is performed
as a Weierstrass semigroup of a irreducible algebraic Gorenstein curve.
Introdu¸c˜ao
Seja N um subconjunto do conjunto dos n´umeros naturais N fechado para
a adi¸c˜ao, e tal que a cardinalidade do complementar de N com rela¸c˜ao a N
seja finita, digamos g := #N \ N. Diremos que N ´e um semigrupo num´erico
de gˆenero g.
O estudo de semigrupos num´ericos tem aplica¸c˜ao em geometria alg´ebrica,
pois cada ponto de uma curva alg´ebrica n˜ao-singular de gˆenero g tem um
semigrupo num´erico de gˆenero g associado a ele, dito semigrupo de Weier-
strass do ponto, fato provado no Teorema das Lacunas de Weierstrass. Em
1893, Hurwitz propˆos uma quest˜ao que pode ser assim formulada: “Quais
semigrupos num´ericos s˜ao semigrupos de Weierstrass?”
O objetivo desta disserta¸c˜ao ´e estudar semigrupos de Weierstrass sim´etricos
em recobrimento duplo de curvas alg´ebricas seguindo o trabalho de Torres
“Weierstrass points and double covering of curves with application: symme-
tric numerical semigroups which cannot be realized as Weierstrass semi-
groups”, Manusc. Math, 83 (1994), 39-58.
Assim como na maioria dos problemas em matem´atica, a quest˜ao de Hur-
witz foi estudada para casos particulares de valores de gˆenero. A saber,
Komeda em [8] mostrou que semigrupos num´ericos de gˆenero g ≤ 8 s˜ao
semigrupos de Weierstrass. Einsebund e Harris em [4] provaram que os
semigrupos num´ericos de gˆenero g com peso menor do que ou igual a g/2
s˜ao semigrupos de Weierstrass. Para mais informa¸c˜oes acerca de semigrupos
num´ericos que s˜ao de Weierstrass consulte [13].
Em 1980, Buchweitz mostrou que nem todo semigrupo num´erico ´e um
semigrupo de Weierstrass, tomando o semigrupo N de gˆenero g = 16 com a
seguinte sequˆencia de lacunas {1, 2, ..., 12, 19, 21, 24, 25}, analisando a cardi-
nalidade do conjunto das somas de 2 lacunas e a dimens˜ao do espa¸co das dife-
renciais quadr´aticas regulares. Esse resultado pode ser visto em [1]. Seguindo
a id´eia de Buchweitz, Komeda exibiu fam´ılias de semigrupos que n˜ao s˜ao
Weierstrass [7].
Entretanto a t´ecnica de Buchweitz, usada para mostrar casos de semi-
grupos num´ericos que n˜ao s˜ao realizados como semigrupos de Weierstrass,
n˜ao se aplica no caso em que os semigrupos num´ericos s˜ao sim´etricos. O
trabalho de Torres mostra que existe um semigrupo num´erico sim´etrico de
gˆenero g > 99 que n˜ao ´e de Weierstrass. O m´etodo utilizado por Torres
permitiu a obten¸c˜ao de outros exemplos de semigrupos sim´etricos que n˜ao
s˜ao de Weierstrass.
Organizamos o nosso trabalho da forma seguinte: no Cap´ıtulo 1 come¸ca-
mos com uma breve introdu¸c˜ao `as curvas alg´ebricas. O objetivo ´e intro-
duzir a nota¸c˜ao e alguns resultados necess´arios para a compreens˜ao da lin-
guagem usada nos cap´ıtulos seguintes. No Cap´ıtulo 2, definimos semigru-
pos num´ericos e semigrupos γ-hiperel´ıpticos e caracterizamos semigrupos
sim´etricos e quase sim´etricos em fun¸c˜ao de somas de lacunas. Finalmente, no
Cap´ıtulo 3, mostramos que a partir do exemplo de Buchweitz conseguimos
obter que, para cada inteiro g > 99, existe um semigrupo sim´etrico 16-
hiperel´ıptico de gˆenero g que n˜ao ´e semigrupo de Weierstrass, resultado
obtido por Torres em [14] utilizando recobrimento duplo de curvas. Fi-
nalizamos o trabalho mostrando que todo semigrupo num´erico sim´etrico ´e
realizado como semigrupo da curva:
C
0
:= {(a
l
1
−1
b
n
g−1
: a
l
2
−1
b
n
g−2
: ... : a
l
g
−1
b
n
0
)|(a : b) ∈ P
1
(K)},
no ponto P = (1 : 0 : ... : 0), que tem uma ´unica singularidade, a saber o
ponto Q = (0 : 0 : ... : 1). O anel local de C
0
neste ponto singular ´e um anel
de Gorenstein, isto ´e, o semigrupo de valores no ponto singular Q de C
0
´e
sim´etrico (para mais detalhes veja [17]).
8
Cap´ıtulo 1
Curvas Alg´ebricas e o Teorema
de Weierstrass
Neste cap´ıtulo introduziremos os conceitos de curvas alg´ebricas, corpos de
fun¸c˜oes alg´ebricas, an´eis de valoriza¸c˜ao discreta e suas valoriza¸c˜oes, necess´arios
para o desenvolvimento do texto. As demonstra¸c˜oes dos resultados apresen-
tados neste cap´ıtulo podem ser encontradas em [16].
Durante todo este cap´ıtulo, a menos de men¸c˜ao em contr´ario, K denotar´a
um corpo arbitr´ario, algebricamente fechado, de caracter´ıstica zero.
1.1 An´eis de Valoriza¸c˜ao, Lugares e Divisores
Defini¸c˜ao 1. Um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas F/K de uma vari´avel sobre
o corpo K ´e uma extens˜ao F de K tal que [F : K(x)] < ∞ para algum
elemento x ∈ F transcendente sobre K.
Observa¸c˜ao 1. Por comodidade, chamaremos F/K simplesmente de corpo
de fun¸c˜oes.
O conjunto
˜
K = {z ∈ F; z ´e alg´ebrico sobre K}
´e um subcorpo de F , j´a que a soma, o produto e o inverso de um elemento
alg´ebrico sobre K n˜ao-nulo tamb´em s˜ao alg´ebricos sobre K. O corpo
˜
K ´e
chamado corpo das constantes de F/K. Podemos ver facilmente que K ⊆
˜
K ⊂ F e que F/
˜
K ´e um corpo de fun¸c˜oes (sobre
˜
K). Dizemos que K ´e
algebricamente fechado em F (ou K ´e o corpo de constantes de F ) se K =
˜
K.
9
Exemplo 1. O exemplo mais simples de um corpo de fun¸c˜oes ´e o corpo das
fun¸c˜oes racionais F = K(x), onde x ∈ F ´e transcendente sobre K. Todo
elemento z ∈ K(x) \ {0} ´e representado de maneira ´unica na forma
z = a ·
i
p
i
(x)
n
i
onde a ∈ K \ {0}, os polinˆomios p
i
(x) ∈ K[x] s˜ao mˆonicos, dois a dois
distintos e irredut´ıveis em K[x] e os inteiros n
i
∈ Z s˜ao n˜ao-nulos apenas
para uma quantidade finita de ´ındices.
Um corpo de fun¸c˜oes arbitr´ario F/K pode ser representado como uma
extens˜ao alg´ebrica simples de um corpo de fun¸c˜oes racionais K(x), isto ´e,
F =K(x, y) onde ϕ(y) = 0 para algum polinˆomio irredut´ıvel ϕ(T ) ∈ K(x)[T ].
Introduziremos agora a no¸c˜ao de an´eis de valoriza¸c˜ao e lugares.
Defini¸c˜ao 2. Um anel de valoriza¸c˜ao de um corpo de fun¸c˜oes F/K ´e um
anel O ⊆ F com as seguintes propriedades:
(a) K O F ;
(b) Se z ∈ F , ent˜ao z ∈ O ou z
−1
∈ O.
Exemplo 2. Dado um polinˆomio mˆonico e irredut´ıvel p(x) ∈ K[x], o con-
junto
O
p(x)
=
f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ K[x], p(x) g(x)
,
´e um anel de valoriza¸c˜ao de K(x)/K. E ainda, se q(x) ∈ K[x] ´e outro
polinˆomio mˆonico e irredut´ıvel, ent˜ao O
q(x)
= O
p(x)
.
Proposi¸c˜ao 1. Seja O um anel de valoriza¸c˜ao de um corpo de fun¸c˜oes F/K.
Ent˜ao
(a) O ´e um anel local, isto ´e, O possui um ´unico ideal maximal P = O \O
∗
onde O
∗
= {z ∈ O; existe w ∈ O com zw = 1} ´e o grupo das unidades
de O
∗
.
(b) Para x ∈ F \ {0}, x ∈ P se e somente se x
−1
/∈ O.
(c)
˜
K ⊆ O e
˜
K ∩ P = {0}.
Teorema 1. Seja O um anel de valoriza¸c˜ao de um corpo de fun¸c˜oes F/K e
P seu ´unico ideal maximal. Ent˜ao
10
(a) P ´e um ideal principal;
(b) Se P = tO ent˜ao todo elemento z ∈ F \ {0} possui uma ´unica repre-
senta¸c˜ao da forma z = t
n
u para algum n ∈ Z e u ∈ O
∗
.
(c) O ´e um dom´ınio principal. Mais precisamente, se P = tO e I ⊆ O ´e
um ideal n˜ao-nulo, ent˜ao I = t
n
O para algum n ∈ N.
Um anel com as propriedades acima ´e chamado anel de valoriza¸c˜ao dis-
creta.
Defini¸c˜ao 3. (a) Um lugar de um corpo de fun¸c˜oes F/K ´e o ideal maximal
P de algum anel de valoriza¸c˜ao O de F/K. Cada elemento t ∈ P tal que
P = tO ´e chamado elemento primo de P .
(b) P
F
= {P ; P ´e um lugar de F/K}.
Se O ´e um anel de valoriza¸c˜ao de F/K e P ´e o ideal maximal de O,
ent˜ao O = {z ∈ F ; z
−1
/∈ P } (veja item (b) da proposi¸c˜ao 1). Dizemos que
O
P
:= O ´e o anel de valoriza¸c˜ao do lugar P .
Uma segunda descri¸c˜ao de lugares ´e dada em termos de valoriza¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 4. Uma valoriza¸c˜ao discreta de F/K ´e uma fun¸c˜ao v : F →Z∪{∞}
com as seguintes propriedades:
(1) v(x) = ∞ se e somente se x = 0.
(2) v(xy) = v(x) + v(y) para todo x, y ∈ F .
(3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)} para todo x, y ∈ F .
(4) Existe um elemento z ∈ F com v(z) = 1.
(5) v(a) = 0 para todo a ∈ K \ {0}.
Lema 1 (Desigualdade triangular estrita). Sejam v uma valoriza¸c˜ao discreta
de F/K e x, y ∈ F com v(x) = v(y). Ent˜ao v(x + y) = min{v(x), v(y)}.
Defini¸c˜ao 5. Para cada lugar P ∈ P
F
de F/K podemos definir uma fun¸c˜ao
v
P
: F → Z∪{∞} da seguinte forma: seja t um elemento primo de P . Ent˜ao
cada z ∈ F \{0} pode ser escrito de maneira ´unica sob a forma z = t
n
u, onde
m ∈ Z e u ∈ O
∗
P
= {unidades de O
P
}. Definimos v
P
(z) = n e v
P
(0) := ∞.
A aplica¸c˜ao v
P
est´a bem definida, pois todo elemento z ∈ F \ {0} possui
uma ´unica representa¸c˜ao da forma z = t
n
u, onde n ∈ Z e u ∈ O
∗
P
(confira
o item (b) do teorema 1). E ainda, pode-se provar que v
P
n˜ao depende da
escolha do elemento primo t.
11
Teorema 2. Seja F/K um corpo de fun¸c˜oes.
(a) Para todo lugar P ∈ P
F
, a fun¸c˜ao v
P
definida acima ´e uma valoriza¸c˜ao
discreta de F/K. Al´em disso,
O
P
= {z ∈ F | v
P
(z) ≥ 0},
O
∗
P
= {z ∈ F | v
P
(z) = 0},
P = {z ∈ F | v
P
(z) > 0}.
Um elemento x ∈ F ´e um elemento primo de P se, e somente, se
v
P
(x) = 1.
(b) Se v ´e uma valoriza¸c˜ao discreta de F/K, ent˜ao o conjunto
P :={z ∈ F ; v
P
(z) > 0} ´e um lugar de F/K e O
P
:= {z ∈ F ; v
P
(z) ≥
0} ´e o correspondente anel de valoriza¸c˜ao.
(c) Todo anel de valoriza¸c˜ao de F/K ´e um subanel maximal pr´oprio de F .
Sejam P um lugar de F/K e O
P
seu anel de valoriza¸c˜ao. Como P ´e um
ideal maximal, o anel das classes residuais O
P
/P ´e um corpo. Para x ∈ O
P
,
definimos x(P ) := x+P ∈ O
P
/P a classe de x m´odulo P e, para x ∈ F \O
P
,
definimos x(P ) := ∞. Pelo item (c) da Proposi¸c˜ao 1 temos que K ⊂ O
P
e K ∩ P = {0}, assim a aplica¸c˜ao das classes residuais induz uma imers˜ao
canˆonica de K em O
P
/P . Por isso, K pode ser considerado um subcorpo de
O
P
/P . O mesmo argumento vale para
˜
K.
Defini¸c˜ao 6. Seja P ∈ P
F
.
(a) F
P
:= O
P
/P ´e o corpo das classes residuais de P . A aplica¸c˜ao
F −→ F
P
∪ {∞}
x −→ x(P )
´e chamada aplica¸c˜ao das classes residuais em rela¸c˜ao a P .
(b) O grau de um lugar P ´e definido por grP := [F
P
: K].
O grau de um lugar ´e sempre finito. Mais precisamente, temos o seguinte
resultado:
Proposi¸c˜ao 2. Se P ´e um lugar de F/K e x ∈ P \ {0} ent˜ao
grP ≤ [F : K(x)] < ∞.
Corol´ario 1. O corpo de constantes
˜
K de F/K ´e uma extens˜ao finita de K.
12
Defini¸c˜ao 7. Seja z ∈ F e P ∈ P
F
. Dizemos que P ´e um zero de z se, e
somente se, v
P
(z) > 0 e que P ´e um p´olo de z se, e somente se, v
P
(z) < 0.
E ainda, se v
P
(z) = m > 0 ent˜ao P ´e um zero de ordem m de z e se
v
P
(z) = −m < 0 ent˜ao P ´e um p´olo de ordem m de z.
O pr´oximo Teorema garante a existˆencia de lugares de F/K.
Teorema 3 (Existˆencia de lugares). Seja F/K um corpo de fun¸c˜oes e R um
subanel de F tal que K ⊆ R ⊆ F . Se I ´e um ideal pr´oprio n˜ao-nulo de R
ent˜ao existe um lugar P ∈ P
F
tal que I ⊆ P e R ⊆ O
P
.
Observa¸c˜ao 2. Seja F/K um corpo de fun¸c˜oes. Ent˜ao temos:
1. Se z ∈ F ´e transcendente sobre K, ent˜ao z tem pelo menos um zero e
um p´olo. Em particular, P
F
= ∅.
2. F/K possui infinitos lugares.
3. Se x ∈ F \ {0}, ent˜ao x possui um n´umero finito de zeros e p´olos.
Exemplo 3. Considere novamente o corpo de fun¸c˜oes racionais K(x)/K.
Seja p(x) ∈ K[X] um polinˆomio mˆonico irredut´ıvel.
Os conjuntos
O
p(x)
=
f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ K[x], p(x) g(x)
e
O
∞
=
f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ K[x], gr(f(x)) ≤ gr(g(x))
s˜ao an´eis de valoriza¸c˜ao de K(x)/K, cujos ideais maximais s˜ao, respectiva-
mente:
P
p(x)
=
f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ K[x], p(x) | f (x) e p(x) g(x)
e
P
∞
=
f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ K[x], gr(f(x)) < gr(g(x))
.
Temos tamb´em que p(x) e 1/x s˜ao elementos primos dos lugares P
p(x)
e P
∞
.
Teorema 4. N˜ao existem outros lugares no corpo de fun¸c˜oes racionais K(x)/K
al´em dos definidos no Exemplo 3, isto ´e, se P ∈ P
K(x)
ent˜ao P = P
∞
ou
P = P
p(x)
para algum polinˆomio mˆonico irredut´ıvel p(x) ∈ K[X].
13
A partir daqui, F/K denotar´a um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas de uma
vari´avel sobre K, onde K ´e o corpo de constantes de F .
Defini¸c˜ao 8. Um divisor de F/K ´e um elemento do grupo abeliano livre ge-
rado pelos lugares de F/K. Este grupo ser´a denotado por D
F
e ser´a chamado
grupo dos divisores de F/K.
Em outras palavras, um divisor ´e uma soma formal
D =
P ∈P
F
n
P
P ,
onde n
P
∈ Z e n
P
= 0 apenas para uma quantidade finita de lugares P ∈ P
F
.
O suporte de um divisor D ´e definido por
supp(D) = {P ∈ P
F
; n
P
= 0}.
Um divisor da forma D = P com P ∈ P
F
´e chamado divisor primo. A soma
de dois divisores D =
n
P
P e D
=
n
P
P ´e definida por
D + D
=
P ∈P
F
(n
P
+ n
P
)P .
O elemento neutro do grupo D
F
´e o divisor
0 :=
P ∈P
F
n
P
P , onde n
P
= 0 para todo P ∈ P
F
.
Para cada Q ∈ P
F
e D =
P ∈P
F
n
P
∈ D
F
definimos v
Q
(D) = n
Q
. Assim,
supp(D) = {P ∈ P
F
; v
P
(D) = 0} e D =
P ∈supp(D)
v
P
(D) · P .
Podemos definir uma rela¸c˜ao de ordem parcial em D
F
da seguinte forma:
D
1
≤ D
2
⇐⇒ v
P
(D
1
) ≤ v
P
(D
2
) para todo P ∈ P
F
.
Um divisor D ≥ 0 ´e dito positivo ou efetivo. O grau de um divisor
D =
P ∈P
F
v
P
(D)·P ´e definido por
gr(D) =
P ∈P
F
v
P
(D) · grP
e a aplica¸c˜ao gr : D
F
−→ Z ´e um homomorfismo de grupos.
Pelo item 3 da Observa¸c˜ao 2, cada elemento x n˜ao-nulo de F possui
apenas n´umero finito de zeros e p´olos em P
F
. Assim faz sentido a seguinte
defini¸c˜ao:
14
Defini¸c˜ao 9. Para x ∈ F \ {0}, sejam Z o conjunto dos zeros de x em P
F
e N o conjunto dos p´olos de x em P
F
. Ent˜ao
(x)
0
:=
P ∈Z
v
P
(x) · P e (x)
∞
:=
P ∈N
− v
P
(x)
· P
s˜ao respectivamente o divisor dos zeros e o divisor dos p´olos de x. Dizemos
tamb´em que (x) = (x)
0
− (x)
∞
´e o divisor principal de x.
Observe que (x)
0
e (x)
∞
s˜ao divisores positivos e (x) =
P ∈P
F
v
P
(x) · P .
Como K ´e o corpo de constantes de F temos, pelo item 1 da Observa¸c˜ao
2, que
x ∈ K \ {0} ⇐⇒ (x) = 0.
Defini¸c˜ao 10. O conjunto
P
F
:= {(x); 0 = x ∈ F }
´e chamado grupo dos divisores principais de F/K.
Defini¸c˜ao 11. Dois divisores D, D
∈ D
F
s˜ao ditos equivalentes, e escreve-
mos D ∼ D
, se D = D
+ (x) para algum x ∈ F \ {0}.
´
E f´acil verificar que a rela¸c˜ao acima ´e de fato uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
Defini¸c˜ao 12. Para cada divisor A ∈ D
F
, definimos o conjunto
L(A) := {x ∈ F \ {0}; (x) ≥ −A} ∪ {0}.
Enunciaremos agora alguns resultados envolvendo o conjunto L(A).
Sejam A, B ∈ D
F
com A ≤ B. Ent˜ao
1. x ∈ L(A) se, e somente se, v
P
(x) ≥ −v
P
(A) para todo P ∈ P
F
.
2. L(A) = {0} se, e somente se, existe um divisor A
∼ A com A
≥ 0.
3. L(0) = K.
4. Se A < 0 ent˜ao L(A) = {0}.
5. L(A) ´e um espa¸co vetorial sobre K.
6. Se A
∼ A ent˜ao L(A) L(A
).
7. L(A) ⊆ L(B) e dim
K
L(B)/L(A)
≤ grB − grA.
15
Denotemos por (A) a dimens˜ao sobre K do espa¸co vetorial L(A) de um
divisor A, isto ´e (A) = dim
K
(L(A)).
O pr´oximo teorema garante que um elemento x ∈ F \{0} possui a mesma
quantidade de zeros e p´olos (contados propriamente).
Teorema 5. Todo divisor principal possui grau zero. Mais precisamente, se
x ∈ F \ K ent˜ao
gr(x)
0
= gr(x)
∞
= [F : K(x)].
Corol´ario 2. (a) Sejam A, A
∈ D
F
com A ∼ A
ent˜ao (A) = (A
) e
grA = grA
.
(b) Se grA < 0 ent˜ao (A) = 0.
(c) Para cada A ∈ D
F
de grau zero, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equiva-
lentes:
(i) A ´e principal;
(ii) (A) ≤ 1;
(iii) (A) = 1.
Proposi¸c˜ao 3. Existe uma constante γ ∈ Z tal que, para todo divisor
A ∈ D
F
, vale grA − (A) ≤ γ.
Observe que a constante γ da proposi¸c˜ao anterior ´e independente de A.
Ela depende apenas do corpo de fun¸c˜oes F/K.
Defini¸c˜ao 13. O gˆenero g de F/K ´e definido por
g := max{grA − (A) + 1; A ∈ D
F
}.
Observa¸c˜ao 3. O gˆenero de F/K ´e um inteiro n˜ao-negativo.
Teorema 6 (Teorema de Riemann). Seja F/K um corpo de fun¸c˜oes de
gˆenero g.
(a) Para cada divisor A ∈ D
F
,
(A) ≥ grA + 1 − g.
(b) Existe um inteiro c, dependente de F/K, tal que
16
(A) = grA + 1 − g
sempre que grA ≥ c.
Na pr´oxima se¸c˜ao veremos que o menor inteiro c que satisfaz as condi¸c˜oes
do item (b) do Teorema de Riemann ´e c = 2g − 1 (confira o Teorema 8).
Exemplo 4. O corpo de fun¸c˜oes racional K(x)/K tem gˆenero g = 0. Com
efeito, seja P
∞
o p´olo de x. Para cada r ≥ 0, os elementos 1, x, ..., x
r
est˜ao
em L(rP
∞
). Da´ı, segue que
r + 1 ≤ (rP
∞
)
Por outro lado, pelo teorema de Riemann
(rP
∞
) = gr(rP
∞
) + 1 − g = r + 1 − g
para r suficientemente grande. Logo g = 0, pois g ´e um inteiro n˜ao-negativo.
1.2 O Teorema de Riemann-Roch
Nesta se¸c˜ao consideramos F/K um corpo de fun¸c˜oes de gˆenero g. Antes
de enunciarmos o Teorema de Riemann-Roch introduziremos o conceito de
divisor canˆonico.
Defini¸c˜ao 14. Dizemos que um divisor W de F/K ´e um divisor canˆonico
se, e somente se, gr W = 2g − 2 e (W ) ≥ g.
A defini¸c˜ao de divisor canˆonico acima ´e equivalente a defini¸c˜ao feita em
[16] (confira proposi¸c˜ao I.6.2 em [16]). Agora podemos enunciar o Teorema
de Riemann-Roch.
Teorema 7 (Riemann-Roch). Seja W um divisor canˆonico de F/K. Ent˜ao,
para todo A ∈ D
F
,
(A) = grA + 1 − g + (W − A).
Teorema 8. Se A ´e um divisor de F/K com grau grA ≥ 2g − 1 ent˜ao
(A) = grA + 1 − g.
O Teorema de Riemann-Roch pode ser enunciado em termos de diferen-
ciais de Weil, mas para isso precisamos de algumas defini¸c˜oes que seguem:
17
Defini¸c˜ao 15. Um adele de F/K ´e uma aplica¸c˜ao α : P
F
→ F , α(P ) = α
P
,
tal que α
P
∈ O
P
para quase todo P ∈ P
F
, isto ´e, #{P ∈ P
F
| α
P
/∈ O
P
} <
∞.
Nota¸c˜ao: α = (α
P
)
P ∈P
F
∈
P ∈P
F
F .
O conjunto A
F
:= {α | α ´e adele de F/K} munido da estrutura de espa¸co
vetorial sobre K ´e o espa¸co de adeles de F/K . O adele principal de uma
fun¸c˜ao x ∈ F ´e o adele tal que cada componente ´e igual a x. Assim temos o
mergulho F → A
F
. Cada valoriza¸c˜ao v
P
de F/K tem uma extens˜ao natu-
ral em A
F
onde v
P
(α) := v
P
(α
P
). Assim v
P
(α) ≥ 0 para quase todo P ∈ P
F
.
Para cada A ∈ D
F
denotamos:
A
F
(A) := {α
F
∈ A | v
P
(α) ≥ −v
P
(A), para todo P ∈ P
F
}.
Defini¸c˜ao 16. Uma aplica¸c˜ao linear w : A
F
→ K ´e uma diferencial de Weil
se existe A ∈ D
F
tal que F + A
F
(A) ⊆ Ker(w). O m´odulo de diferenciais de
Weil de F/K ´e
Ω
F
:= {w | w ´e diferencial de Weil de F/K},
e para cada A ∈ D
F
denotamos Ω
F
(A) = {w ∈ Ω
F
| F + A
F
(A) ⊂ Ker(w)}.
Observa¸c˜ao 4. O m´odulo de diferenciais de Weil Ω
F
´e um espa¸co vetorial
sobre K e Ω
F
(A) ´e um subespa¸co de Ω
F
.
Defini¸c˜ao 17. Para cada x ∈ F e cada w ∈ Ω
F
definimos xw : A
F
→ K
por (xw)(α) := w(xα).
Ent˜ao xw ´e uma diferencial de Weil e se F + A
F
(A) ⊆ Ker(w) ent˜ao
F + A
F
(A + (x)) ⊂ Ker(xw). Assim, Ω
F
´e espa¸co vetorial sobre F .
Proposi¸c˜ao 4. O m´odulo das diferenciais de Weil Ω
F
´e um espa¸co vetorial
unidimensional sobre F , isto ´e, dim
F
Ω
F
= 1.
Portanto faz sentido falar de divisor de uma diferencial de Weil e sua
defini¸c˜ao ´e dada a seguir:
Defini¸c˜ao 18. (a) O divisor (w) de w ∈ Ω
F
\ {0} ´e o ´unico divisor de
F/K satisfazendo:
(1) F + A
F
(A) ⊆ Ker(w);
(2) Se F + A
F
(A) ⊆ Ker(w) ent˜ao A ≤ (w).
18
(b) Se w ∈ Ω
F
, w = 0 e P ∈ P
F
definimos v
P
(w) := v
P
((w)).
(c) Um lugar P ∈ P
F
´e um zero (resp. p´olo) de w se v
P
(w) > 0 (resp.
v
P
(w) < 0). Diremos que w ´e regular em P ∈ P
F
se v
P
(w) ≥ 0 e w ´e
regular (ou holomorfa) se w ´e regular em qualquer P ∈ P
F
.
(d) Um divisor W ´e um divisor canˆonico de F/K se W = (w), w ∈ Ω
F
.
A existˆencia de um divisor que satisfaz as condi¸c˜oes do item (a) da
Defini¸c˜ao 18 ´e garantida em [16] (confira Lema I.5.10 em [16]).
Observa¸c˜ao 5. Segue da Defini¸c˜ao 18 que
Ω
F
(A) = {w ∈ Ω
F
| w = 0 ou (w) ≥ A}
e
Ω
F
(0) = {w ∈ Ω
F
| w ´e regular}.
Observa¸c˜ao 6. Se W
1
e W
2
s˜ao divisores canˆonicos ent˜ao W
1
∼ W
2
.
Seja A ∈ D
F
um divisor qualquer e W = (w) um divisor canˆonico. O
n´umero inteiro (W − A) pode ser interpretado em termos de diferenciais
de Weil. Como Ω
F
(A) ´e subespa¸co vetorial de Ω
F
sobre K, a aplica¸c˜ao
ϕ : L(W − A) → Ω
F
(A) definida por ϕ(x) = wx, onde (w) = W , ´e um
isomorfismo. Seja δ(A) = dim
K
Ω
F
(A) = (W − A), o ´ındice de A. Assim
o Teorema de Riemann-Roch pode ser enunciado da seguinte forma: “Para
todo A ∈ D
F
temos (A) = grA + 1 − g + δ(A)”. Segue do isomorfismo
acima que existem exatamente g diferenciais de Weil regulares linearmente
independentes sobre K. Podemos ent˜ao interpretar o gˆenero do corpo de
fun¸c˜oes F/K como sendo a dimens˜ao do espa¸co Ω
F
(0) sobre K, ou seja,
g = dim
K
Ω
F
(0).
Para cada divisor A ∈ D
F
e para cada inteiro n denotamos por Ω
n
F
(A) o
espa¸co das n-´esimas diferenciais de Weil de forma que se w ∈ Ω
n
F
(A) ent˜ao
(w) + A ´e um divisor efetivo. Em particular, Ω
n
(0) ´e o espa¸co das n-´esimas
diferenciais de Weil regulares. Observe que se w pertence a Ω
F
(0) ent˜ao w
2
∈
Ω
2
F
(0). Seja W = (w), de modo an´alogo existe um isomorfismo entre L(2W )
e Ω
2
F
(0). Segue do Teorema de Riemann-Roch que dim
K
Ω
2
F
(0) = 3g − 3.
Em geral, para cada inteiro n temos que se w ∈ Ω
F
(0) ent˜ao w
n
∈ Ω
n
F
(0) e
dim
K
Ω
n
F
(0) = (2n − 1)(g − 1).
Agora, apresentaremos algumas consequˆencias do teorema de Riemann-Roch.
19
Defini¸c˜ao 19. Seja P ∈ P
F
. Dizemos que um inteiro n ≥ 0 ´e uma lacuna
de P se, e somente se, n˜ao existe x ∈ F tal que (x)
∞
= nP . Quando existe
x ∈ F tal que (x)
∞
= nP , dizemos que n ´e uma n˜ao-lacuna de P .
Seja P ∈ P
F
. Pelo Teorema de Riemann-Roch cada inteiro n ≥ 2g ´e uma
n˜ao-lacuna de P , isto ´e, existe x ∈ F tal que (x)
∞
= nP . Logo, as lacunas
de P s˜ao limitadas superiormente por 2g − 1 e veremos no pr´oximo teorema
que o n´umero de lacunas de P ´e exatamente g.
Teorema 9 (Teorema das Lacunas de Weierstrass). Sejam F/K um corpo
de fun¸c˜oes com gˆenero g > 0 e um lugar P ∈ P
F
com grau 1. Ent˜ao existem
exatamente g lacunas l
1
< · · · < l
g
de P . E ainda, l
1
= 1 e l
g
≤ 2g − 1.
Observe que 0 ´e uma n˜ao-lacuna de P pois as fun¸c˜oes constantes de F
n˜ao tˆem p´olos.
Defini¸c˜ao 20. Seja N um subconjunto de N. Diremos que N ´e um semigrupo
num´erico se for fechado para a adi¸c˜ao e a cardinalidade de N\N for finita.
Note que o conjunto das n˜ao-lacunas de P formam um semigrupo num´erico
que vamos denotar por N(P ). Com efeito, se x
1
, x
2
∈ F s˜ao tais que
(x
1
)
∞
= n
1
P e (x
2
)
∞
= n
2
P ent˜ao (x
1
x
2
)
∞
= (n
1
+ n
2
)P , ou seja, se n
1
, n
2
s˜ao n˜ao-lacunas de P ent˜ao (n
1
+ n
2
) ´e n˜ao-lacuna de P . Diremos que N(P )
´e o semigrupo de Weierstrass associado a P e que L(P ) = N\N(P ) ´e o
conjunto das lacunas de P . Se g > 0, claramente temos que 1 ∈ L(P ), j´a
que N(P ) ´e um semigrupo num´erico. Dizemos que P ´e um ponto de Weier-
strass se o peso do semigrupo de P for maior que zero, isto ´e,
g
i=1
(l
i
−i) > 0.
A pr´oxima proposi¸c˜ao vincular´a o espa¸co das diferenciais de Weil e o conjunto
de lacunas L(P ) de um ponto de Weierstrass de um lugar P de F/K.
Proposi¸c˜ao 5. Um n´umero inteiro positivo n ´e uma lacuna de P se, e
somente se, existe uma diferencial de Weil regular ω com v
P
(ω) = n − 1.
Demonstra¸c˜ao: Pelo Teorema de Riemann-Roch
(nP ) − ((n − 1)P ) = δ(nP ) − δ((n − 1)P ) + 1.
Portanto, n ´e uma lacuna de P , isto ´e, 0 = (nP ) − ((n − 1)P ), se e somente
se, Ω
K
(nP ) Ω
K
((n − 1)P ). ✷
Enunciaremos agora teoremas que ser˜ao usados posteriormente no texto.
Teorema 10 (Teorema de Clifford). Seja A ∈ D
F
um divisor. Se (A) > 0
e (W − A) > 0 ent˜ao (A) ≤
1
2
gr(A) + 1.
20
Defini¸c˜ao 21. Considere uma extens˜ao alg´ebrica F
/K de F/K. Dizemos
que um lugar P
∈ P
F
´e extens˜ao de P ∈ P
F
(e escrevemos P
/P ) se P ⊆ P
.
Defini¸c˜ao 22. Sejam F
/K uma extens˜ao alg´ebrica de F/K, P
∈ P
F
e
P ∈ P
F
tais que P
/P .
(a) O inteiro e(P
/P ) = e, onde
v
P
(x) = e · v
P
(x) para todo x ∈ F ,
´e chamado ´ındice de ramifica¸c˜ao de P
sobre P . E ainda, dizemos que P
/P
´e ramificado se e(P
/P ) > 1, e n˜ao ramificado se e(P
/P ) = 1.
(b) f(P
/P ) = [F
P
: F
P
] ´e chamado ´ındice de in´ercia de P
sobre P .
Teorema 11 (Teorema de Riemann-Hurwitz). Sejam F/K um corpo de
fun¸c˜oes de gˆenero g e F
/F uma extens˜ao finita e separ´avel . Sejam K o
corpo de constantes de F
e g
o gˆenero de F
/K. Ent˜ao
2g
− 2 = [F
: F ]
2g − 2
+
P ∈F
(e(P
/P ) − 1), onde P
∈ P
F
e P ∈ P
F
.
1.3 Curvas Alg´ebricas
Vamos considerar nesta se¸c˜ao K um corpo algebricamente fechado de car-
acter´ıstica zero.
O espa¸co afim A
n
= A
n
(K) de dimens˜ao n ´e o conjunto das n-uplas de
elementos de K. Um elemento P = (a
1
, ..., a
n
) ∈ A
n
´e um ponto e a
1
, ..., a
n
s˜ao as coordenadas de P .
No conjunto A
n+1
\{(0, ..., 0)} considere a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia
∼ dada por
(a
0
, a
1
, ..., a
n
) ∼ (b
0
, b
1
, ..., b
n
) ⇔
existe algum elemento 0 = λ ∈ K tal que b
i
= λa
i
para todo 0 ≤ i ≤ n.
A classe de equivalˆencia de (a
0
, a
1
, ..., a
n
) com respeito a ∼ ser´a denotada
por (a
0
: a
1
: ... : a
n
). O espa¸co projetivo P
n
= P
n
(K) de dimens˜ao n ´e o
conjunto das classes de equivalˆencia
P
n
= {(a
0
: a
1
: ... : a
n
) | a
i
∈ K, e a
j
= 0 para algum j}.
Cada elemento P = (a
0
: a
1
: ... : a
n
) ∈ P
n
´e chamado ponto de P
n
, e a
0
, ..., a
n
s˜ao chamadas de coordenadas homogˆeneas de P .
Um monˆomio de grau d em K[X
0
, ..., X
n
] ´e um polinˆomio G ∈ K[X
0
, ..., X
n
]
da forma
21
G = a ·
n
i=0
X
d
i
i
com 0 = a ∈ K e
n
i=0
d
i
= d.
Um polinˆomio G ∈ K[X
0
, ..., X
n
] ´e um polinˆomio homogˆeneo ou uma
forma de grau d se G ´e a soma de monˆomios de grau d. Um ideal I ⊆
K[X
0
, ..., X
n
] que ´e gerado por um n´umero finito de polinˆomios homogˆeneos
´e chamado ideal homogˆeneo.
Sejam P = (a
0
: a
1
: ... : a
n
) ∈ P
n
e F ∈ K[X
0
, ..., X
n
] uma forma
de grau d. Dizemos que F (P ) = 0 se F (a
0
, ..., a
n
) = 0. Uma vez que
F (λa
0
, ..., λa
n
) = λ
d
· F (a
0
, ..., a
n
), temos F (a
0
, ..., a
n
) = 0 se, e somente se,
F (λa
0
, ..., λa
n
)=0.
Um subconjunto V ⊆ P
n
´e um conjunto alg´ebrico projetivo se existe um
conjunto de polinˆomios homogˆeneos M ⊆ K[X
0
, ..., X
n
] tal que
V = {P ∈ P
n
| F (P ) = 0 para todo F ∈ M}.
O ideal homogˆeneo I(V ) ⊆ K[X
0
, ..., X
n
] que ´e gerado por todos os
polinˆomios homogˆeneos F com F (P ) = 0 para todo P ∈ V ´e chamado o
ideal de V . O conjunto V ⊆ P
n
´e um conjunto alg´ebrico projetivo irredut´ıvel
se, e somente se, I(V ) ´e um ideal primo em K[X
0
, ..., X
n
]. Uma variedade
projetiva ´e um conjunto alg´ebrico projetivo irredut´ıvel.
Dada uma variedade n˜ao-vazia V ⊆ P
n
, definimos o anel de coordenadas
homogˆeneo de V por
Γ
h
(V ) = K[X
0
, ..., X
n
]/I(V );
este ´e um dom´ınio de integridade contendo K. Um elemento f ∈ Γ
h
(V ) ´e
uma forma de grau d se f = F + I(V ) para alguma forma F ∈ K[X
0
, ..., X
n
]
com gr(F ) = d.
Proposi¸c˜ao 6. Todo elemento f ∈ Γ
h
(V ) pode ser escrito unicamente como
f = f
0
+ f
1
+ ... + f
m
, onde cada f
i
´e uma forma de grau i.
O corpo de fra¸c˜oes K
h
(V ) de Γ
h
(V ) ´e chamado corpo de fun¸c˜oes ho-
mogˆeneas de V . Se f, g ∈ Γ
h
(V ) s˜ao formas de grau d, ent˜ao f/g define
uma fun¸c˜ao em P quando g(P ) = 0. De fato, seja P = (a
0
: ... : a
n
) ∈ V e
f ∈ K
h
(V ). Escreva f = g/h onde g = G + I(V ), h = H + I(V ) ∈ Γ
h
(V ) e
G, H s˜ao formas de grau d. Ent˜ao
G(λa
0
, ..., λa
n
)
H(λa
0
, ..., λa
n
)
=
λ
d
· G(a
0
, ...., a
n
)
λ
d
· H(a
0
, ..., a
n
)
=
G(a
0
, ..., a
n
)
H(a
0
, ..., a
n
)
.
Podemos calcular f(P ) =
G(a
0
, ..., a
n
)
H(a
0
, ..., a
n
)
∈ K, se H(P ) = 0. Neste caso
dizemos que f est´a definida em P e que f(P ) ´e o valor de f em P . O corpo
de fun¸c˜oes de V ´e definido por
22
K(V ) = {
f
g
| f, g ∈ Γ
h
(V ) s˜ao formas de mesmo grau e g = 0}.
Claramente K(V ) ´e subcorpo de K
h
(V ) mas Γ
h
(V ) K(V ). Elementos de
K(V ) s˜ao chamados fun¸c˜oes racionais em V . O anel
O
P
(V ) = {f ∈ K(V ) | f est´a definida em P } ⊆ K(V )
´e um anel local com ideal maximal
M
P
(V ) = {f ∈ O
P
(V ) | f(P ) = 0}.
Seja F uma extens˜ao finitamente gerada do corpo K. O grau de transcen-
dˆencia de F sobre K, escrito como tr.deg
K
F ´e definido como o menor inteiro
n tal que existem x
1
, x
2
, ..., x
n
∈ F , tal que F ´e alg´ebrico sobre K(x
1
, ..., x
n
).
Nesse caso, dizemos que F ´e um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas de n vari´aveis
sobre K.
Proposi¸c˜ao 7. Seja F um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas em uma vari´avel sobre
K, e seja x ∈ F , x /∈ K. Ent˜ao:
1. F ´e alg´ebrico sobre K(x).
2. Existe um elemento y ∈ F tal que F = K(x, y).
3. Se R ´e um dom´ınio com corpo de fra¸c˜oes F , K ⊂ R, e P ´e um ideal
primo em R, com 0 = P = R, ent˜ao o homomorfismo natural de K
em R/P ´e um isomorfismo.
Defini¸c˜ao 23. Se X ´e uma variedade, K(X) ´e uma extens˜ao finitamente
gerada de K. A dimens˜ao de X ser´a representada por dim(X) e definida
por dimX = tr.deg
K
K(X). Uma variedade de dimens˜ao um ´e chamada uma
curva e uma variedade de dimens˜ao dois ´e chamada uma superf´ıcie.
Sejam V ⊆ P
m
e W ⊆ P
n
variedades projetivas. Suponha que F
0
, ..., F
n
pertencentes a K[X
0
, ..., X
n
] s˜ao formas com as seguintes propriedades:
(a) F
0
, ..., F
n
tˆem mesmo grau;
(b) F
i
n˜ao pertence a I(V ) para algum i;
(c) Se H ∈ I(W ) ent˜ao H(F
0
, ..., F
n
) ∈ I(V ).
Segue de (b) que existe Q ∈ V tal que F
i
(Q) = 0 para algum i, e ent˜ao por
(c), o ponto (F
0
(Q) : ... : F
n
(Q)) ∈ P
n
est´a em W. Seja (G
0
, ..., G
n
) uma
n-upla que tamb´em satisfaz os itens (a), (b) e (c). Dizemos que (F
0
, ..., F
n
) e
(G
0
, ..., G
n
) s˜ao equivalentes se:
23
(d) F
i
G
j
≡ F
j
G
i
mod I(V ) para 0 ≤ i, j ≤ n.
A classe de equivalˆencia de (F
0
, ..., F
n
) com respeito a essa rela¸c˜ao de equivalˆencia
´e denotada por
φ = (F
0
, ..., F
n
),
e φ ´e dita uma aplica¸c˜ao racional de V em W .
Uma aplica¸c˜ao racional φ = (F
0
, ..., F
n
) ´e regular (ou definida) em um ponto
P pertencente a V se existem formas G
0
, ..., G
n
∈ K[X
0
, ..., X
m
] tais que
φ = (G
0
, ..., G
n
) e G
i
(P ) = 0 para algum i. Ent˜ao
φ(P ) = (G
0
(P ), ..., G
n
(P )) ∈ W,
que est´a bem definida por (a) e (d).
Duas variedades V
1
, V
2
s˜ao birracionalmente equivalentes se existem aplica¸c˜oes
racionais φ
1
: V
1
→ V
2
e φ
2
: V
2
→ V
1
tais que φ
1
◦φ
2
e φ
2
◦φ
1
s˜ao identidades
em V
2
e V
1
respectivamente. Segue a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 8. Duas variedades s˜ao birracionalmente equivalentes se, e so-
mente se, seus corpos de fun¸c˜oes s˜ao isomorfos.
Corol´ario 3. Toda curva ´e birracionalmente equivalente a uma curva plana.
Uma variedade ´e dita racional se ´e birracionalmente equivalente a A
n
(ou
P
n
) para algum n.
Uma aplica¸c˜ao racional φ : V → W que ´e regular em todos os pontos
P ∈ V ´e chamada de morfismo. E ´e chamada de isomorfismo se existe um
morfismo ψ : W → V tal que φ ◦ ψ e ψ ◦ φ s˜ao as aplica¸c˜oes identidades em
W e V respectivamente. Neste caso, V e W s˜ao ditas isomorfas.
Uma curva projetiva n˜ao-singular ´e uma curva cujos pontos s˜ao simples e
P ´e um ponto simples de uma curva X se o anel local O
P
(X) ´e um anel de
valoriza¸c˜ao discreta.
Teorema 12. Seja C uma curva projetiva. Ent˜ao existe uma curva projetiva
n˜ao-singular X e um morfismo birracional projetivo f de X em C. Al´em
disso, se f
´e outro morfismo de X
em C ent˜ao existe um ´unico isomorfismo
g : X → X
tal que f
◦ g = f.
Seja C uma curva projetiva, f : X → C como no teorema acima. Dize-
mos que X ´e o modelo n˜ao-singular da curva C e identificamos K(X) com
K(C).
24
Segue portanto dessas defini¸c˜oes que a cada curva projetiva n˜ao-singular
X temos um corpo de fun¸c˜oes alg´ebricas K(X) que pode ser escrito na forma
K(x, y), com x, y ∈ K(X) (confira Proposi¸c˜ao 7 e Corol´ario 3). Mais ainda,
para cada corpo de fun¸c˜oes em uma vari´avel F/K, existe uma curva proje-
tiva n˜ao-singular V (a menos de isomorfismo) cujo corpo de fun¸c˜oes K(V ) ´e
(K-isomorfo) a F .
Seja V uma curva projetiva n˜ao-singular e F = K(V ) o seu corpo de
fun¸c˜oes. Existe uma correspondˆencia bijetiva entre os pontos P ∈ V e os
lugares de F/K, dada por
P → M
P
(V ),
onde M
P
(V ) ´e o ideal maximal do anel local O
P
(V ). Esta correspondˆencia
possibilita a transferˆencia de defini¸c˜oes e resultados do corpo de fun¸c˜oes
alg´ebricas `a curvas alg´ebricas. Portanto as no¸c˜oes de divisores, diferenciais,
gˆenero coincidem com os resultados obtidos em curvas alg´ebricas.
1.4 S´eries Lineares
A pr´oxima defini¸c˜ao ser´a usada no Teorema 15.
Seja D um divisor numa curva alg´ebrica C e seja V um subespa¸co vetorial
de L(D). O conjunto dos divisores efetivos
{div(f) + D | f ∈ V }
´e chamado s´erie linear e ´e representada por g
r
n
, onde n=gr(D) e r = dim
K
V−1.
No caso em que V = L(D) dizemos que a s´erie linear ´e completa. Uma s´erie
linear completa tamb´em ´e denotada por |D|, onde
|D| = {E | E ≥ 0, E ≡ D}.
A aplica¸c˜ao que associa a cada fun¸c˜ao n˜ao-nula f ∈ L(D) o divisor efetivo
D + (f) ∈ |D| ´e sobrejetiva e se D + (f
1
) = D + (f
2
), f
1
, f
2
∈ L(D)\{0},
ent˜ao existe uma constante n˜ao-nula α tal que f
1
= αf
2
. Assim a s´erie
linear |D| ´e o espa¸co projetivo associado ao espa¸co L(D). Em particular,
dim |D| = dim L(D) − 1.
Um ponto Q em C ´e um ponto de base de |D| se
E ≥ Q
25
para todo elemento E ∈|D|. Se Q ´e um ponto de base de |D| ent˜ao
(D) =(D−Q).
Exemplo 5. Se D ´e um divisor de uma curva alg´ebrica C de gˆenero g e
gr(D) ≥ 2g ent˜ao D ´e livre de pontos de base.
26
Cap´ıtulo 2
Semigrupos Num´ericos
O Teorema das Lacunas de Weierstrass nos fornece um semigrupo num´erico
{0 = n
0
, n
1
, ..., n
g
, ...}, dito semigrupo de Weierstrass, em cada ponto de
uma curva n˜ao-singular de gˆenero g. Entretanto a defini¸c˜ao de semigrupo
num´erico independe do Teorema das Lacunas de Weierstrass, isto permiti
o estudo de semigrupos num´ericos independente das propriedades de cur-
vas alg´ebricas. Neste cap´ıtulo veremos algumas propriedades de semigru-
pos num´ericos. Na Se¸c˜ao 1, vamos mostrar como os semigrupos num´ericos
sim´etricos e quase-sim´etricos est˜ao presentes em qualquer semigrupo num´erico
e vamos caracterizar os semigrupos num´ericos sim´etricos ou quase-sim´etricos
utilizando o conjunto das somas de n lacunas do semigrupo. Na Se¸c˜ao 2,
definiremos semigrupo num´erico γ-hiperel´ıptico e constru´ıremos semigrupos
num´ericos sim´etricos γ-hiperel´ıpticos de gˆenero g ≥ 3γ a partir de um semi-
grupo num´erico de gˆenero γ. Tais semigrupos, como veremos no Cap´ıtulo
3, est˜ao diretamente relacionados com semigrupos de Weierstrass de recobri-
mento duplo de curvas alg´ebricas. Os resultados apresentados neste cap´ıtulo
foram obtidos em [7], [10], [11] e [12].
2.1 Semigrupos Num´ericos
Seja N = {0 = n
0
< n
1
< ... < n
g
< ...} um semigrupo num´erico
de gˆenero g, isto ´e, N + N⊆N e L = N\N = {1 = l
1
< l
2
< ... < l
g
}.
Os elementos de N s˜ao chamados n˜ao-lacunas e os inteiros n˜ao-negativos
1 = l
1
< l
2
< ... < l
g
s˜ao chamadas as lacunas de N.
Exemplo 6. Se N ´e um semigrupo num´erico de gˆenero g, ent˜ao temos as
seguintes possibilidades para o conjunto de lacunas:
1) Se g = 0 ent˜ao L =∅, ou seja, N ={0, 1, 2, 3, ...}=N.
27
2) Se g = 1 ent˜ao o conjunto de lacunas de N ´e L={1}.
3) Se g = 2 ent˜ao o conjunto de lacunas de N ´e {1, 2} ou {1, 3}.
4) Se g = 3 ent˜ao L= {1, 2, 3}, L ={1, 2, 4}, L={1, 2, 5} ou L= {1, 3, 5}.
5) Se g = 4 ent˜ao L = {1, 2, 3, 4}, L = {1, 2, 3, 5}, L = {1, 2, 4, 5},
L = {1, 2, 3, 6}, L = {1, 2, 3, 7}, L = {1, 2, 4, 7} ou {1, 3, 5, 7}.
Os exemplos de semigrupos num´ericos de gˆenero g tais que 4 ≤ g ≤ 12
est˜ao listados no s´ıtio http://w3.impa.br/∼ nivaldo/algebra/.
Como a cardinalidade de L ´e g, isto ´e, #L = g, existem l
g
+ 1 − g
n˜ao-lacunas entre 0 e l
g
, ent˜ao sejam 0 = n
0
< n
1
< n
2
< ... < n
l
g
−g
as n˜ao-
lacunas menores que l
g
. Os l
g
+ 1 − g inteiros positivos l
g
− n
0
> l
g
− n
1
>
... > l
g
− n
(l
g
−g)
s˜ao lacunas, pois caso contr´ario ter´ıamos que l
g
seria uma
n˜ao-lacuna de N. O inteiro l
g
/2 ´e uma lacuna no caso em que l
g
´e par.
Em particular, como #L = g segue que l
g
+ 1 − g ≤ g, logo l
g
≤ 2g − 1.
Existem ent˜ao g − (l
g
+ 1 − g) = (2g − 1) − l
g
lacunas de N diferentes de
l
g
−n
0
, ..., l
g
−n
(l
g
−g)
, podemos ent˜ao, escrever l
g
= (2g−1)−(2q+δ) onde q ´e
um inteiro n˜ao-negativo e δ ∈ {0, 1}. Assim, as 2q lacunas de N diferentes de
l
g
/2, l
g
− n
0
, ..., l
g
− n
(l
g
−g)
podem ser escritas como µ
1
, µ
2
, ..., µ
q
, λ
1
, λ
2
, ..., λ
q
tais que λ
1
< ... < λ
q
, µ
i
< λ
i
e l
g
= λ
i
+ µ
i
, i = 1, ...., q.
Um semigrupo num´erico de gˆenero g ´e dito sim´etrico quando l
g
= 2g − 1.
Logo, se N ´e um semigrupo num´erico sim´etrico temos que um inteiro positivo
l ´e uma lacuna de N se, e somente se, existe uma n˜ao-lacuna n
k
j
< l
g
tal
que l = l
g
− n
k
j
. Um semigrupo num´erico de gˆenero g ´e dito quase-sim´etrico
quando l
g
= 2g − 2. Se N ´e um semigrupo num´erico quase-sim´etrico, um
inteiro positivo l ´e uma lacuna de N se, e somente se, existe n
k
i
< l
g
tal que
l = l
g
− n
k
i
ou l = g − 1.
Exemplo 7. Seja N o semigrupo num´erico de gˆenero g igual a 16 com a
seguinte sequˆencia de lacunas
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21, 24, 25}.
Segue que o semigrupo num´erico N n˜ao ´e sim´etrico nem ´e quase-sim´etrico.
As n˜ao-lacunas menores que l
g
= 25 s˜ao 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22 e 23,
logo as 6 lacunas diferentes de l
g
− n
0
, ..., l
g
− n
(l
g
−g)
s˜ao µ
1
= 6, µ
2
= 4, µ
3
=
1, λ
1
= 19, λ
2
= 21, λ
3
= 24. Observe que
˜
N = N ∪ {19, 21, 24} ´e um
28
semigrupo num´erico de gˆenero ˜g igual a 13 com a seguinte sequˆencia de
lacunas
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25}.
Segue da´ı que
˜
N ´e um semigrupo num´erico sim´etrico.
Utilizando as nota¸c˜oes fixadas acima, o pr´oximo Teorema dar´a uma maneira
de obter semigrupos num´ericos sim´etricos ou quase-sim´etricos de gˆenero g −q
a partir de um semigrupo num´erico N de gˆenero g.
Teorema 13. O conjunto
˜
N := N∪{λ
1
, ..., λ
q
} ´e um semigrupo num´erico de
gˆenero ˜g := g − q que ´e sim´etrico ou quase-sim´etrico se l
g
´e ´ımpar ou par,
respectivamente.
Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar que
˜
N ´e fechado para a adi¸c˜ao. Segue do
fato de N ser semigrupo num´erico que se tomarmos u, v ∈ N temos u+v ∈ N,
e como λ
i
+ λ
j
> l
g
segue que λ
i
+ λ
j
∈ N para quaisquer u, v ∈ N e
i, j ∈ {1, 2, ..., q}. Finalmente, considere a soma n + λ
k
onde n ∈ N e λ
k
´e uma lacuna de N. Suponha por contradi¸c˜ao que n + λ
k
∈L\{λ
1
, ..., λ
q
},
ent˜ao existe n
r
i
tal que n + λ
k
= l
g
− n
r
i
pois n + λ
k
> µ
i
, i = 1, ..., q.
Da´ı, n + n
r
i
´e uma lacuna e n˜ao-lacuna simultaneamente. Obtemos ent˜ao o
resultado requerido. Claramente, ˜g := g − q e l
˜g
= 2˜g − 2 + δ uma vez que
l
˜g
= l
g
e l
g
= 2g − 1 − (2q + δ) = 2˜g − 2 + δ, onde δ ∈ {0, 1}. ✷
Quando a primeira n˜ao-lacuna positiva n
1
´e igual a 1 o conjunto das la-
cunas L ´e o conjunto vazio. Quando n
1
= 2, o semigrupo num´erico N ´e
chamado hiperel´ıptico e quando n
1
> 2 o semigrupo num´erico N ´e chamado
n˜ao-hiperel´ıptico.
A pr´oxima Proposi¸c˜ao caracterizar´a os semigrupos num´ericos hiperel´ıpticoS
e n˜ao-hiperel´ıpticos em fun¸c˜ao de suas lacunas.
Proposi¸c˜ao 9. Seja N semigrupo num´erico de gˆenero g. Ent˜ao:
(i) N ´e hiperel´ıptico se, e somente se, l
j
= 2j − 1, para cada inteiro
j = 1, 2, ..., g.
(ii) N ´e n˜ao-hiperel´ıptico se, e somente se, l
j
≤ 2j − 2, para cada inteiro
j = 2, ..., g − 1, e l
g
≤ 2g − 1.
Demonstra¸c˜ao: Seja 2 ≤ j ≤ g. Em cada par (r, l
j
−r) onde r = 1, ..., [l
j
/2]
e [.] denota a parte inteira, existe pelo menos uma lacuna de N, obtemos desta
forma no m´ınimo [l
j
/2] lacunas menores que l
j
. Como j − 1 ´e o n´umero de
lacunas menores que l
j
segue que [l
j
/2] ≤ j − 1, e da´ı l
j
≤ 2j − 1. Se vale a
29
igualdade ent˜ao cada par (r, l
j
− r), onde r = 1, ..., [l
j
/2], tem uma lacuna e
uma n˜ao-lacuna de N.
Seja j < g um inteiro tal que l
j
= 2j − 1. Afirmamos que l
j+1
> 2j. De
fato, se l
j+1
= 2j ent˜ao para cada n˜ao-lacuna inteira positiva r < j temos
2j −r ∈ L, portanto r − 1 = l
j
−(2j −r) ∈ N o que n˜ao ´e poss´ıvel. Portanto,
l
j+1
= 2(j + 1) − 1 e cada par (r, l
j+1
− r), onde r = 1, ..., [l
j+1
/2], temos uma
lacuna e uma n˜ao-lacuna de N, e ent˜ao 2 = l
j+1
− l
j
∈ N. Os itens (i) e (ii)
s˜ao imediatos. ✷
Para cada inteiro n ≥ 2 denotemos por L
n
o conjunto de todas as somas de
n lacunas de N. No caso em que N ´e hiperel´ıptico temos L
n
= {2j − n | n ≤
j ≤ ng} para cada inteiro n ≥ 2. O caso em que N ´e n˜ao-hiperel´ıptico ser´a
tratado na Proposi¸c˜ao 10.
Lema 2. Seja N um semigrupo num´erico n˜ao-hiperel´ıptico de gˆenero g.
Ent˜ao cada inteiro r, 2 ≤ r ≤ 2g, ´e a soma de duas lacunas de N, com
exce¸c˜ao somente de l
g
no caso em que N ´e sim´etrico.
Demonstra¸c˜ao: Seja r ≥ 2 um inteiro. Suponha que r n˜ao seja soma de
duas lacunas de N. Ent˜ao cada par (i, r − i), onde i = 1, ..., [r/2], tem pelo
menos uma n˜ao-lacuna de N, e portanto o n´umero de n˜ao-lacunas entre 1 e
r − 1 ´e pelo menos [r/2]. Logo, se j denota o n´umero de lacunas menores
que r, temos j ≤ r − 1 − [r/2], assim 2j + 1 ≤ r. Se r ≤ 2g ent˜ao j < g e
2j + 1 ≤ r ≤ l
j+1
. Como N ´e n˜ao-hiperel´ıptico, segue da Proposi¸c˜ao 9 que
j + 1 = g e 2g − 1 = r = l
g
. ✷
Proposi¸c˜ao 10. Seja n ≥ 2 um inteiro. Se N ´e um semigrupo num´erico
n˜ao-hiperel´ıptico de gˆenero g ent˜ao
(i) L
n
⊇ {n, n + 1, ..., (n − 1)l
g
− 1} ∪ {(n − 1)l
g
+ l; l ∈ L};
(ii) O semigrupo num´erico N ´e sim´etrico se, e somente se,
L
n
= {n, n + 1, ..., (n − 1)l
g
− 1} ∪ {(n − 1)l
g
+ l; l ∈ L}.
Em particular, #L
n
= (2n − 1)(g − 1), para cada inteiro n ≥ 2;
(iii) O semigrupo num´erico N ´e quase-sim´etrico se, e somente se,
L
n
= {n, n + 1, ..., (n − 1)l
g
} ∪ {(n − 1)l
g
+ l; l ∈ L}.
Em particular, #L
n
= (2n−1)(g−1)−(n−2), para cada inteiro n ≥ 2.
30
Demonstra¸c˜ao:
(i) Vamos mostrar a inclus˜ao ‘⊇’ por indu¸c˜ao. O caso em que n = 2 segue
do Lema 1. Seja r um inteiro tal que n + 1 ≤ r ≤ nl
g
− 1. Queremos
encontrar uma lacuna tal que n ≤ r − ≤ (n − 1)l
g
− 1. Se r ≥ n + l
g
temos que = l
g
. Se r ≤ n + l
g
− 2 tome = 1 e se r = n + l
g
− 1 tome
= 2.
(ii) Seja m ∈ L
n
, isto ´e, m = l
i
1
+ ... + l
i
n
. Se n ≤ m ≤ (n − 1)l
g
− 1
a inclus˜ao ‘⊆’ ´e trivial, logo podemos assumir que m = (n − 1)l
g
+ s,
onde s ´e um inteiro n˜ao-negativo. Neste caso, como l
i
n
= (l
g
− l
i
1
) +
... + (l
g
− l
i
n−1
) + s, pela simetria de N, temos que s /∈ N. Ent˜ao
a inclus˜ao ‘⊆’ ocorre. A inclus˜ao ‘⊇’ resulta do item (i). Al´em disso,
#L
n
= (n−1)l
g
−1−(n−1)+g = (n−1)(2g−1)−n+g = (2n−1)(g−1).
(iii) ‘⊆’: Seja l
i
1
≤ l
i
2
≤ ... ≤ l
i
n
uma sequˆencia n˜ao-decrescente de n la-
cunas satisfazendo l
i
1
+ l
i
2
... + l
i
n
= + (n − 1)l
g
para algum inteiro
positivo . Ent˜ao para cada j = 2, ..., n a lacuna l
i
j
´e maior que g − 1,
pela quase-simetria segue que l
g
− l
n
i
∈ N. Conclu´ımos ent˜ao que
´e uma lacuna, por que caso contr´ario a lacuna l
n
i
= +
n
j=2
(l
g
− l
i
j
)
estaria em N, e isto ´e um absurdo.
‘⊇’: Observe que (n − 1)l
g
=2l
g/2
+ (n − 2)l
g
para cada inteiro n ≥ 2.
Portanto, (n − 1)l
g
∈ L
n
. A inclus˜ao ‘⊇’ resulta do item (i) da
Proposi¸c˜ao 10 e do fato de podermos obter (n − 1)l
g
= (n − 1)(2g − 2)
como soma de n lacunas. Finalmente, #L
n
= (n − 1)l
g
− (n − 1) + g =
(n − 1)(2g − 2) − (n − 1) + g = (2n − 1)(g − 1) − (n − 2).
✷
Exemplo 8. Seja N o semigrupo num´erico de gˆenero 16 com o seguinte con-
junto de lacunas L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21, 24, 25}. Vamos
calcular L
2
.
Como N ´e n˜ao-hiperel´ıptico segue do Lema 2 que {2, 3, 4, 5, ..., 32} ⊂ L
2
e sabemos que o maior elemento de L
2
´e 50 (= 25 + 25) portanto temos que
verificar para quais valores de r com 33 ≤ r ≤ 49 teremos r igual a soma de
duas lacunas de N .
Observe que 33 = 8 + 25, 34 = 9 + 25, 35 = 10 + 25, 36 = 11 + 25,
37 = 12 + 25, 38 = 19 + 19, 40 = 19 + 21, 42 = 21 + 21, 43 = 19 + 24,
44 = 19 +25, 45 = 21 +24, 46 = 21 +25, 48 = 24 +24 e 49 = 24 +25. Assim
L
2
= {2, 3, 4, 5, ..., 38, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50} e #L
2
= 49 − 3 = 46.
31
Observe que o semigrupo num´erico N do Exemplo 8 ´e tal que
#L
2
> 3g − 3=45.
Note que para um semigrupo num´erico arbitr´ario
˜
N de gˆenero g sim´etrico
ou quase-sim´etrico temos #
˜
L
2
= 3g − 3, para o caso em que g = 16 temos
#
˜
L
2
= 45.
Os exemplos de semigrupos num´ericos de gˆenero g tais que #L
n
> (2n−1)(g−1),
n ≥ 2 est˜ao listados no s´ıtio http://w3.impa.br/∼ nivaldo/algebra/. O exem-
plo a seguir foi obtido em [7]:
Exemplo 9. Qualquer semigrupo num´erico N de gˆenero g ≤ 15 satisfaz
#L
2
≤ 3g − 3. Seja n
g
o n´umero de semigrupos num´ericos de gˆenero g e m
g
o n´umero de semigrupos num´ericos N de gˆenero g com #L
2
(N) > 3g − 3.
Segue a seguinte tabela:
g n
g
m
g
16 4806 2
17 8045 6
18 13467 15
19 22464 31
20 37396 67
21 62194 145
22 103246 293
23 170963 542
24 282828 1053
25 467224 1944
26 770832 3591
27 1270267 6584
28 2091030 11871
29 3437839 20987
30 5646773 37598
31 9266788 66330
32 15195070 116501
33 24896206 203300
34 40761087 353978
35 66687201 615762
36 109032500 1058418
37 178158289 1819323
32
2.2 Semigrupos γ-Hiperel´ıpticos
Se N ´e um semigrupo num´erico γ-hiperel´ıptico, ent˜ao mostraremos nesta
se¸c˜ao que γ ´e exatamente o n´umero de lacunas pares deste semigrupo (Lema
3), e se n ´e uma n˜ao-lacuna ´ımpar de N ent˜ao n ≥ 2g − 4γ + 1 (Proposi¸c˜ao
11). No Lema 4, mostraremos como obter um semigrupo num´erico sim´etrico
γ-hiperel´ıptico de gˆenero g ≥ 3γ a partir de um semigrupo num´erico de
gˆenero γ.
2.2.1 Semigrupos γ-Hiperel´ıpticos
Seja
˜
N o semigrupo num´erico de gˆenero γ = 4 com
˜
L = {1, 2, 3, 5},
ou seja,
˜
N = {0, 4, 6, 7, 8, 9, 10, ...}, logo 2
˜
N = {0, 8, 12, 14, 16, 18, 20, ...}.
Vamos obter um semigrupo num´erico N de gˆenero g = 12 sim´etrico tal que
o conjunto das n˜ao-lacunas pares ´e exatamente 2
˜
N, logo
N ⊇ {0, 8, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 27, ...}.
Como g = 12 > 0, 1 ´e uma lacuna de N e como 2
˜
N ´e exatamente o conjunto
das n˜ao-lacunas pares de N temos a inclus˜ao {2, 4, 6, 10} ⊆ L e da´ı 3 e 5
tamb´em s˜ao lacunas de N pois caso contr´ario 6 e 10 tamb´em seriam n˜ao-
lacunas de N, e como queremos obter N sim´etrico, 23 ∈ L. Logo,
L ⊇ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 23}.
Observe que para completar o semigrupo num´erico N de gˆenero g = 12
faltam 4 n˜ao-lacunas ´ımpares entre 1 e 2g −1, que ´e exatamente o n´umero de
lacunas pares de N. Note que para qualquer ´ımpar no conjunto {7, 9, 11, 15}
temos 23 = 7 + 16 = 9 + 14 = 11 + 12 = 15 + 8. Logo, 23 /∈ N,
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 15, 23}.
e,
N = {0, 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, ...}.
Note que N tem exatamente γ = 4 n˜ao-lacunas pares no intervalo [2, 16],
18 ∈ N e mais ainda N tem exatamente γ = 4 lacunas pares.
O semigrupo num´erico N obtido acima ´e um exemplo de semigrupo γ-
hiperel´ıptico com γ = 4 cuja defini¸c˜ao ´e dada abaixo:
Defini¸c˜ao 24. Sejam γ ∈ N e N um semigrupo num´erico de N. Dizemos
que N ´e γ-hiperel´ıptico se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:
33
(a) N tem exatamente γ elementos pares no intervalo [2, 4γ];
(b) 4γ + 2 ∈ N.
Exemplo 10. Seja N um semigrupo num´erico de gˆenero g com n
1
= 4. Seja
γ o n´umero de lacunas pares de N. Temos ent˜ao que 2, 6, ..., 4(γ − 1) + 2
s˜ao as lacunas pares de N. Assim, como 4(γ − 1) + 2 ≤ 2g − 2 segue que
2γ ≤ g. Portanto 4, ..., 4γ, ..., 2g ´e o conjunto de n˜ao-lacunas pares de N no
intervalo [2, 2g]. Em particular, N ´e γ-hiperel´ıptico.
Representamos as n˜ao-lacunas pares ordenadas de um semigrupo num´erico
por 0 = ˜n
0
< ˜n
1
< ˜n
2
< ....
Observa¸c˜ao 7. Se N ´e um semigrupo γ-hiperel´ıptico ent˜ao ˜n
γ
= 4γ.
De fato, suponha que 4γ ∈ L. No intervalo [2, 4γ] existem 2γ n´umeros pares,
sendo que γ destes n´umeros pertencem a N. Da´ı, existem γ lacunas pares em
[2, 4γ]. Os n´umeros 4γ − ˜n
j
, j = 1, ..., γ, s˜ao lacunas de N menores que 4γ,
segue da´ı que existem γ +1 lacunas pares em [2, 4γ] o que ´e uma contradi¸c˜ao.
A seguir vamos caracterizar os semigrupos γ-hiperel´ıpticos. Em particular
podemos generalizar o Exemplo 10 verificando que se um semigrupo tem γ
lacunas pares ent˜ao N ´e γ-hiperel´ıptico.
Lema 3. Seja N um semigrupo num´erico e γ ∈ N. Ent˜ao N ´e γ-hiperel´ıptico
se, e somente se, γ ´e o n´umero de lacunas pares de N; neste caso:
{4γ + 2i : i ∈ N} ⊆ N,
e ˜n
γ+i
= 4γ + 2i, para i ∈ N.
Demonstra¸c˜ao: Se N ´e um semigrupo γ-hiperel´ıptico ent˜ao existem γ
lacunas pares no intervalo [2, 4γ]. Vamos mostrar a inclus˜ao H:={4γ + 2i :
i ∈ N} ⊆ N e da´ı teremos que γ ´e exatamente o n´umero de lacunas pares de
N. Suponha que H N; seja := 4γ + 2i o menor elemento de H que n˜ao
est´a em N. Pela propriedade de semigrupo, os n´umeros − ˜n
j
, j = 1, ..., γ,
s˜ao lacunas de N. Note que − ˜n
γ
< ... < − ˜n
2
< − ˜n
1
< , como ˜n
γ
= 4γ
e 4γ + 2 pertencem a N, a lacuna − ˜n
1
´e menor que ˜n
γ
= 4γ por causa
da minimalidade de . O intervalo [2, 4γ] tem γ lacunas pares, dadas por
− ˜n
γ
< ... < − ˜n
1
. Al´em disso, − ˜n
γ
≥ 2i com i ≥ 2, pois ˜n
γ
= 4γ e
4γ + 2 ∈ N. Portanto, a menor lacuna de N par de N − ˜n
γ
´e maior do que
ou igual a 4. Logo 2 ∈ N e este i n˜ao existe.
Reciprocamente, seja γ o n´umero de lacunas pares de N e a maior lacuna
par. Afirmamos que < ˜n
γ
; caso contr´ario N teria pelo menos γ + 1 lacunas
pares dadas por − ˜n
γ
, ..., − ˜n
1
, . O intervalo [2, 4γ] tem 2γ n´umeros pares,
34
contando as γ lacunas pares de N e as n˜ao-lacunas pares ˜n
1
< ... < ˜n
γ
temos
os primeiros 2γ n´umeros pares, como < ˜n
γ
, segue que ˜n
γ
≤ 4γ, 4γ + 2 ∈ N
e portanto N ´e γ-hiperel´ıptico. ✷
Proposi¸c˜ao 11. Sejam N um semigrupo num´erico de gˆenero g e γ o n´umero
de lacunas pares deste semigrupo. Ent˜ao:
(i) Se n ´e uma n˜ao-lacuna de N ´ımpar ent˜ao n ≥ 2g − 4γ + 1;
(ii) Se g ≥ 4γ, ent˜ao n
i
= ˜n
i
, para i = 1, ..., γ;
(iii) Se g ≥ 4γ e n ∈ N ´e tal que n ≤ g ent˜ao n ´e par.
Demonstra¸c˜ao:
(i) Por hip´otese, o intervalo [1, 2g −1] tem g lacunas de N sendo γ lacunas
de N pares, portanto N tem g−γ lacunas ´ımpares. Como [1, 2g−1] tem
g n´umero ´ımpares ent˜ao neste intervalo tem-se γ(= g − (g − γ)) n˜ao-
lacunas ´ımpares. Seja n ∈ N uma n˜ao-lacuna ´ımpar. Ent˜ao n + ˜n
γ
≥
2g, pois caso contr´ario ter´ıamos
n < n + ˜n
1
< n + ˜n
2
< ... < n + ˜n
γ
< 2g,
ou seja, N teria γ + 1 n˜ao-lacunas ´ımpares em [1, 2g − 1]. O resultado
segue uma vez que ˜n
γ
= 4γ.
(ii) Seja u uma n˜ao-lacuna ´ımpar de N. Ent˜ao por (i) e pela hip´otese sobre
g, u ≥ 4γ + 1 e o resultado segue.
(iii) Se n ´e ´ımpar ent˜ao por (i) e pela hip´otese g ≥ n ≥ 2g − 4γ + 1 nos d´a
g ≤ 4γ − 1.
✷
O pr´oximo Lema nos dar´a um meio de obter um semigrupo num´erico
sim´etrico γ-hiperel´ıptico a partir de um semigrupo num´erico de gˆenero γ.
Lema 4. Seja
˜
N um semigrupo de gˆenero γ e g ≥ 3γ um inteiro. O conjunto
N := {2n : n ∈
˜
N} ∪ {2g − 1 − 2n : n ∈ Z\
˜
N}
´e um semigrupo sim´etrico γ-hiperel´ıptico de gˆenero g.
35
Demonstra¸c˜ao: Por comodidade vamos denotar por N
1
:= {2n : n ∈
˜
N}
e N
2
:= {2g − 1 − 2n : n ∈ Z\
˜
N}. Vamos mostrar que N ´e um semigrupo
num´erico. Temos os seguintes casos:
(i) Se m, n ∈ N
1
ent˜ao m + n ∈ N uma vez que
˜
N ´e um semigrupo
num´erico.
(ii) Se m ∈ N
1
e n ∈ N
2
ent˜ao m = 2 ˜m, ˜m ∈
˜
N e n = 2g − 1 − 2˜n,
˜n ∈ Z\
˜
N, assim m + n = 2g −1− 2(˜n − ˜m), se ˜n − ˜m ∈
˜
N ent˜ao ˜n ∈
˜
N
o que contradiz o fato de 2g − 1 − 2˜n = n ∈ N
2
. Logo, m + n ∈ N.
(iii) O semigrupo num´erico
˜
N tem gˆenero γ. Seja x um inteiro tal que x >
2γ − 1 ent˜ao x percente a
˜
N. Assim, se n ´e um inteiro positivo par tal
que n > 2(2γ−1) ent˜ao n ∈ N. Como a soma de dois elementos de N
2
´e
um n´umero par temos que mostrar que esta soma ´e maior que 2(2γ−1).
Seja n ∈ Z\
˜
N ent˜ao n ≤ 2γ − 1, da´ı 2g − 1 − 2n ≥ 2g − 1 − 2(2γ − 1).
Usando a hip´otese sobre g temos 2g − 1 − 2n ≥ 2γ + 1. Ent˜ao se
tomarmos m, n ∈ N
2
temos m + n ≥ 4γ + 2.
Vamos mostrar agora que o gˆenero de N ´e g. Pelo item (ii) tem-se que os
inteiros pares maiores que 2(2γ − 1) pertencem a N, pela hip´otese sobre g
todo inteiro par maior que 2g pertence a N. Os inteiros negativos est˜ao
inclu´ıdos no conjunto Z \
˜
N pois
˜
N ⊆ N. Seja y um inteiro negativo. Se
y = −1 ent˜ao 2g − 1 − 2(−1) = 2g + 1 pertence a N, se y = −2 ent˜ao
2g − 1 − 2(−2) = 2g + 3 ∈ N. Ao considerarmos todos os inteiros negativos
obtemos que todo n´umero ´ımpar maior do que 2g pertence a N. Em geral,
se m ´e um inteiro tal que m ≥ 2g ent˜ao m ∈ N, logo qualquer lacuna de
N ´e menor do que ou a igual a 2g − 1. As n˜ao-lacunas pares de N s˜ao da
forma 2˜n onde ˜n ∈
˜
N e como o semigrupo num´erico
˜
N tem gˆenero γ, N tem
γ lacunas pares. As n˜ao-lacunas ´ımpares de N no intervalo [1, 2g − 1] s˜ao da
forma 2g − 1 − 2n onde n ∈
˜
L, assim N tem γ n˜ao-lacunas ´ımpares neste
intervalo. Como o intervalo [1, 2g − 1] tem g n´umeros ´ımpares, N tem g − γ
lacunas ´ımpares, logo N tem gˆenero g. Assim, N ´e semigrupo sim´etrico pois
2g − 1 /∈ N. O semigrupo num´erico
˜
N tem γ lacunas assim N tem exata-
mente γ lacunas, e segue do Lema 3 que N ´e γ-hiperel´ıptico. ✷
36
Cap´ıtulo 3
Recobrimento duplo de curvas
alg´ebricas
Seja C uma curva alg´ebrica n˜ao-singular de gˆenero g definida sobre um
corpo algebricamente fechado K de caracter´ıstica zero, que vamos chamar
apenas por curva e seja P um ponto desta curva. Pelo Teorema das Lacunas
de Weierstrass, sabemos que existe um semigrupo num´erico N(P ) associado
a este ponto P chamado de semigrupo de Weierstrass de P .
Em 1893, Hurwitz propˆos a seguinte quest˜ao: “Quais semigrupos num´e-
ricos podem ser realizados como semigrupos de Weierstrass? ”.
Em 1980, Buchweitz, em [1], mostrou que nem todo semigrupo num´erico
´e um semigrupo de Weierstrass. A t´ecnica usada por Buchweitz ser´a vista
na Se¸c˜ao 1 deste cap´ıtulo. Entretanto a t´ecnica de Buchweitz, n˜ao se aplica
no caso em que os semigrupos num´ericos s˜ao sim´etricos. Na Se¸c˜ao 2 deste
cap´ıtulo, mostraremos que existe semigrupo num´erico sim´etrico N de gˆenero
g > 99 que n˜ao ´e semigrupo de Weierstrass, resultado obtido por Torres em
[14] utilizando recobrimento duplo de curvas. Na Se¸c˜ao 3, veremos que todo
semigrupo num´erico sim´etrico ´e realizado como semigrupo de Weierstrass
de uma curva alg´ebrica irredut´ıvel Gorenstein de gˆenero aritm´etico g. O
exemplo desta curva tem importante aplica¸c˜ao no estudo do espa¸co de moduli
de curvas alg´ebricas pontuadas.
3.1 A T´ecnica de Buchweitz e Semigrupos
Sim´etricos
Buchweitz em [1] obteve o exemplo seguinte de semigrupo num´erico que
n˜ao ´e semigrupo de Weierstrass. Seja N o semigrupo num´erico de gˆenero 16
com conjunto de lacunas L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21, 24, 25}.
37
Vamos mostrar que N n˜ao ´e realiz´avel como semigrupo de Weierstrass.
Suponha por contradi¸c˜ao que existe um ponto P pertencente a uma curva
C tal que N = N(P ). Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 5 para cada lacuna l ∈ L(P ),
existe uma diferencial regular em C com ordem l − 1 em P . Assim, C
tem diferenciais quadr´aticas regulares com ordem m − 2 em P para cada
m ∈ L
2
(P ). O que ´e imposs´ıvel pois sabemos pelo Exemplo 8 que L
2
(P ) tem
46 elementos, onde L
2
(P ) ´e o conjunto de todas as somas de 2 lacunas de
N(P ), e a dimens˜ao do espa¸co das diferenciais quadr´aticas regulares Ω
2
(0) ´e
3g − 3, neste caso em que g = 16 a dimens˜ao de Ω
2
(0) ´e 45. Assim N n˜ao ´e
realiz´avel como semigrupo de Weierstrass.
Como a dimens˜ao do espa¸co das n-´esimas diferenciais regulares ´e
(2n − 1)(g − 1), semigrupos que satisfazem #L
n
> (2n − 1)(g − 1) para
algum n ≥ 2 n˜ao s˜ao semigrupos de Weierstrass. Observe que a t´ecnica de
Buchweitz n˜ao se aplica aos semigrupos sim´etricos ou quase-sim´etricos, pois
pelo Proposi¸c˜ao 10 sabemos que #L
n
≤ (2n − 1)(g − 1). O Exemplo 9 nos
mostra para cada gˆenero 16 ≤ g ≤ 37 o n´umero exato de semigrupos que
satisfazem #L
2
> 3g − 3, e pelo argumento acima, sabemos que estes semi-
grupos n˜ao s˜ao semigrupos de Weierstrass.
Os exemplos de semigrupos de gˆenero g tais que #L
n
> (2n − 1)(g − 1),
n ≥ 2, est˜ao listados no s´ıtio http://w3.impa.br/∼ nivaldo/algebra/. Em
particular, os semigrupos de gˆenero 16 e 17 com L
2
> 3g − 3 s˜ao dados no
exemplo a seguir.
Exemplo 11.
(1) Os semigrupos num´ericos N de gˆenero 16 com #L
2
> 45 s˜ao
13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23 e 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 24.
(2) Os semigrupos num´ericos N de gˆenero 17 com #L
2
> 48 s˜ao
13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24,
13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 24, 25,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 26.
Seguindo a id´eia de Buchweitz, Komeda, em [7], mostrou que existem
semigrupos de gˆenero g com l
g
< 2g − 5 tais que #L
n
> (2n − 1)(g − 1) para
algum n ≥ 2, ou seja, existem fam´ılias de semigrupos que n˜ao s˜ao de Weier-
strass. Por outro lado, Oliveira em [10], mostrou que semigrupos num´ericos
38
de gˆenero g com l
g
= 2g −3 ou l
g
= 2g −4 satisfazem #L
n
≤ (2n − 1)(g − 1).
Portanto, a t´ecnica de Buchweitz n˜ao se aplica no caso em que N ´e um semi-
grupo num´erico de gˆenero g e l
g
≥ 2g − 4.
3.2 Semigrupos Sim´etricos que n˜ao s˜ao
Semigrupos de Weierstrass
Nesta se¸c˜ao obteremos um semigrupo sim´etrico que n˜ao ´e realizado como
semigrupo de Weierstrass. Para isto, seja C uma curva alg´ebrica projetiva
n˜ao-singular e irredut´ıvel, definida sobre um corpo algebricamente fechado,
de caracter´ıstica zero, de gˆenero g ≥ 2. Para um ponto P ∈ C, seja N(P )
o semigrupo de Weierstrass em P . A curva C ´e chamada hiperel´ıptica se ´e
recobrimento duplo da reta projetiva.
Proposi¸c˜ao 12. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) A curva C ´e hiperel´ıptica;
(ii) Existe P ∈ C tal que N(P ) ´e um semigrupo hiperel´ıptico, isto ´e, 2 ∈
N(P ).
Demonstra¸c˜ao: De fato, suponha que a curva C seja hiperel´ıptica ent˜ao
existe um morfismo π : C → P
1
de grau 2. Pelo Teorema de Riemann-
Hurwitz temos
2g − 2 = [K(C) : K(P
1
)](2˜g − 2) +
P ∈C
(e(P ) − 1), (3.1)
onde g, ˜g s˜ao os gˆeneros de C e P
1
, respectivamente.
Como [K(C) : K(P
1
)] = 2, temos g ≥ 1, e como ˜g = 0 temos na Equa¸c˜ao
(3.1) que
P ∈C
(e(P ) − 1) ≥ 4. Assim, existe um ponto P ∈ C totalmente
ramificado, portanto neste ponto N(P ) ´e um semigrupo hiperel´ıptico.
Reciprocamente, seja x ∈ K(C) tal que (x)
∞
= 2P . Pelo Teorema 5
tem-se que [K(C) : K(x)] = 2 e como K(x) ´e o corpo de fun¸c˜oes da reta
projetiva conclu´ımos que C ´e uma curva hiperel´ıptica. ✷
Seja γ ≥ 1 um inteiro e C uma curva de gˆenero g. Dizemos que C
´e γ -hiperel´ıptica se ´e um recobrimento duplo de uma curva
˜
C de gˆenero γ.
O seguinte lema introduz o conceito de semigrupo γ-hiperel´ıptico de uma
39
curva γ-hiperel´ıptica. Para isto necessitamos da seguinte observa¸c˜ao da
p´agina 392 em [6].
Observa¸c˜ao 8. Seja C uma curva γ-hiperel´ıptica e seja π : C →
˜
C um
recobrimento duplo. Se P ∈ C e ´e totalmente ramificado e
˜
P := π(P ), ent˜ao
para cada n ∈ Z
+
as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) Existe
˜
f ∈ K(
˜
C) com (
˜
f)
∞
= n
˜
P .
(ii) Existe f ∈ K(C) com (f)
∞
= (2n)P .
Lema 5. Seja C uma curva γ-hiperel´ıptica e seja π : C →
˜
C o recobrimento
duplo. Se P ´e um ponto totalmente ramificado de C ent˜ao N(P ) ´e γ-hiper-
el´ıptico.
Demonstra¸c˜ao: Seja 0 = n
0
< n
1
< ... < n
γ
= 2γ, 2γ + 1, ... o semigrupo
de Weierstrass no ponto π(P ), ent˜ao
{2n
1
, ..., 4γ, 4γ + 2} ⊆ N(P ).
Ou seja, N(P ) tem pelo menos γ n˜ao-lacunas positivas no intervalo [2, 4γ] e
al´em disso 4γ+2 ∈ N(P ). Usando a Observa¸c˜ao 8 temos que 2n
1
, ..., 4γ, 4γ+2
s˜ao justamente as primeiras γ +1 n˜ao-lacunas positivas de N(P ), o que prova
o lema. ✷
O pr´oximo Teorema fornece uma cota para o gˆenero g de uma curva C e
ser´a usada na prova do Teorema 15 a seguir.
Teorema 14 (Teorema de Castelnuovo). Se uma curva C admite uma aplica¸c˜ao
birracional sobre uma curva n˜ao-degenerada de grau d em P
r
(K), ent˜ao o
gˆenero g de C satisfaz a desigualdade
g ≤
m(m − 1)
2
(r − 1) + m
onde m =
d−1
r−1
e d − 1 = m(r − 1) + .
Teorema 15. Seja γ ∈ N e seja C uma curva de gˆenero g tal que g ≥ 6γ +4.
Ent˜ao as afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
1. A curva C ´e γ-hiperel´ıptica;
2. Existe P ∈ C tal que N(P ) ´e γ-hiperel´ıptico;
3. Existe uma s´erie linear livre de pontos de base em C de dimens˜ao pro-
jetiva 2γ + 1 e grau 6γ + 2.
40
Demonstra¸c˜ao: (1) ⇒ (2) Seja π : C →
˜
C recobrimento duplo de curvas de
gˆenero g e γ, respectivamente. Pela f´ormula de Riemann-Hurwitz (Teorema
11) temos que
2g − 2 = (2γ − 2)2 +
P ∈C
(e(P ) − 1)
e como g ≥ 6γ + 4, existem pontos totalmente ramificados em C. Seja P um
desses pontos. A implica¸c˜ao segue do Lema 5.
(2) ⇒ (3) Seja P ∈ C tal que N(P ) ´e um semigrupo γ-hiperel´ıptico. Afir-
mamos que n
2γ+1
= 6γ + 2. De fato, pela Proposi¸c˜ao 11 uma n˜ao-lacuna
´ımpar n de N satisfaz n ≥ 2g − 4γ + 1, a hip´otese sobre g nos d´a n ≥ 8γ + 9;
o que prova nossa afirma¸c˜ao. Segue deste fato que ((6γ + 2)P) = 2γ + 2.
Assim, a s´erie linear |(6γ + 2)P | tem dimens˜ao projetiva 2γ + 1 e ´e livre de
pontos de base. Portanto, basta definir g
2γ+1
6γ+2
:= |(6γ + 2)P |. (Observe que
usamos apenas g ≥ 5γ + 1).
(3) ⇒ (1) Seja g
r
d
um sistema linear livre de pontos de base da curva C
com gˆenero g ≥ 6γ + 4, onde r := 2γ + 1 e d = 6γ + 2. Considere o morfismo
π : C → P
2γ+1
(K) definido pelo sistema linear g
r
d
. Se π for birracional, pelo
Teorema 14 temos que
g ≤
m(m − 1)
2
2γ + m
onde m = [6γ + 1/2γ] = 3 e = 1. O que nos d´a g ≤ 6γ + 3.
Como por hip´otese g ≥ 6γ + 4 segue que π n˜ao ´e birracional. Seja ent˜ao
t > 1 o grau do morfismo π. Ent˜ao no modelo n˜ao-singular de π(C) existe um
sistema linear completo ˜g
2γ+1
(6γ+2)/t
livre de pontos de base. De 2γ +1 ≤ 6γ +2/t
segue que t = 2. Seja D um divisor pertencente a ˜g
2γ+1
3γ+1
. Ent˜ao (D) = 2γ +2
e pelo Teorema de Clifford temos que (W − D) = 0, onde W ´e um divisor
canˆonico da curva π(C). Portanto, pelo Teorema de Riemann-Roch, o gˆenero
do modelo n˜ao-singular de π(C) ´e γ e a prova est´a completa. ✷
Corol´ario 4. Para cada inteiro g ≥ 100, existe um semigrupo sim´etrico
16-hiperel´ıptico de gˆenero g que n˜ao pode ser realizado como semigrupo de
Weierstrass.
Demonstra¸c˜ao: Tome
˜
N igual ao semigrupo de Buchweitz de gˆenero 16, a
saber
˜
N = {0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 26, 27, 28, ...},
que n˜ao ´e semigrupo de Weierstrass. Seja N o semigrupo obtido como no
Lema 4 com gˆenero g ≥ 100. Suponha por contradi¸c˜ao que N seja realizado
41
como semigrupo de Weierstrass. Ent˜ao existe uma curva C irredut´ıvel, n˜ao-
singular de gˆenero g definida sobre um corpo algebricamente fechado K de
caracter´ıstica zero, e um ponto P ∈ C tal que N = N(P ). Podemos ent˜ao
aplicar o Teorema 15 e concluir que C ´e uma curva 16-hiperel´ıptica, isto ´e,
existe uma curva
˜
C de gˆenero 16 e um recobrimento duplo π : C →
˜
C de
curvas. Pela Observa¸c˜ao 8, segue que o semigrupo num´erico associado ao
ponto π(P ) ´e o semigrupo de Buchweitz, o que ´e uma contradi¸c˜ao. ✷
Segue do Corol´ario 4 que existem semigrupos sim´etricos que n˜ao s˜ao rea-
lizados como semigrupos de Weierstrass.
3.3 Uma curva Canˆonica de Gorenstein
J´a vimos que existem semigrupos num´ericos que n˜ao podem ser realiza-
dos como semigrupos de Weierstrass. A seguir, veremos que todo semigrupo
num´erico sim´etrico ´e realizado como semigrupo num´erico de uma curva de
Gorenstein. Este resultado pode ser encontrado em [17].
Seja C uma curva Gorenstein irredut´ıvel e completa de gˆenero g definida
sobre um corpo algebricamente fechado K. Seja P um ponto n˜ao-singular
de C e seja N
P
= {0 = n
0
< n
1
< ...} o semigrupo num´erico de C em P , ou
equivalentemente
N(P ) = {0, 1, 2...}\{l
1
, ..., l
g
}
onde 1 = l
1
< l
2
< ... < l
g
´e a sequˆencia de lacunas de Weierstrass de C
em P . Portanto, existem diferenciais holomorfas ω
l
1
, ω
l
2
, ..., ω
l
g
em C com
v
P
(ω
l
i
) = l
i
− 1, i = 1, ...g (como visto na Proposi¸c˜ao 5) e estas formam base
do espa¸co Ω
1
(0) de diferenciais holomorfas (ou de primeiro tipo) em C.
Cada semigrupo sim´etrico N (com l
2
= 2) pode ser realizado como semigrupo
de Weierstrass de uma curva Gorenstein singular, a saber a curva canˆonica
monomial
C
0
:= {(a
l
1
−1
b
n
g−1
: a
l
2
−1
b
n
g−2
: ... : a
l
g
−1
b
n
0
)|(a : b) ∈ P
1
(K)}.
Observe que a curva C
0
pode ser mapeada pelas aplica¸c˜oes: ϕ : K → C
0
definida por
ϕ(a) = (a
l
1
−1
: a
l
2
−1
: ... : a
l
g
−1
)
e ψ : K → C
0
definida por
ψ(b) = (b
n
g−1
: b
n
g−2
: ... : b
n
1
: b
n
0
).
42
Note que ϕ(K) = {(1, a, ..., a
2g−2
) | a ∈ K} ´e o modelo afim de C
0
cujos pon-
tos s˜ao n˜ao-singulares j´a que os respectivos an´eis locais s˜ao de valoriza¸c˜ao
discreta, em particular ϕ ´e elemento primo do anel O
(1:0:...:0)
(C
0
). Segue da´ı
que ϕ gera o corpo de fun¸c˜oes de C
0
. Observe que o ´unico ponto de C
0
que
n˜ao ´e mapeado pela aplica¸c˜ao φ ´e o ponto (0 :: ...0 : 1) que ´e a imagem de
0 ∈ K pela ψ, cujo anel local ´e isomorfo a {
a
i
ϕ
i
| i ∈ n
1
, n
2
, ..., n
g−1
}.
Como o conjunto de valores do anel local O
(0:...:0:1)
(C
0
) ´e {0, n
1
, n
2
, ..., n
g
, ..}
que ´e sim´etrico, conclu´ımos por [9] que C
0
´e uma curva canˆonica Gorenstein
de gˆenero aritm´etico g tendo em P a sequˆencia de lacunas l
1
, ..., l
g
.
A curva canˆonica C
0
foi utilizada recentemente em [3] para obten¸c˜ao de
cotas superiores do Espa¸co de Moduli de curvas alg´ebricas pontuadas com
semigrupos de Weierstrass sim´etricos, melhorando a cota de Deligne e a cota
de Einsebud-Harris.
43
Referˆencias Bibliogr´aficas
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smoothable monomial curves, Th´ese, Paris VII (1981).
[2] Celtina, A. D.,Weierstrasss points anf their impact in the study of al-
gebraic curves: a historical account from the “L¨uckensatz”to the 1970s,
Ann. Univ. Ferrara 54 (2008), 37-59.
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of Algebraic Curves with Prescribed Weierstrass Semigroups, Tese de
Doutorado - IMPA (2010).
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[6] Kato, T., On the order of a zero of the Theta Function, Kodai Math.
Sem. Rep. 28 (1977), 390-407.
[7] Komeda, J., Non-Weierstrass numerical semigroups, Semigroup Forum
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genus ≤ 8, J. Pure Appl. Algebra 97 (1994), 51-71.
[9] Kunz, E., The Value-Semigroup of a One-Dimensional Gorenstein Ring,
Proc. Amer. Math. Soc. 25 (1970), 748-751.
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Forum Vol. 69 (2004), 423-430.
[11] Oliveira, G., Weierstrass semigroups and the canonical ideal of non-
trigonal curves, Manusc. Math. 71 (1991), 431-450.
44
[12] Oliveira, G. e St¨ohr, K. O., Gorenstein curves with quasi-symmetric
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[13] Oliveira, G., Torres,F. e Villanueva, J., On the weight of numerical semi-
groups, Journal of Pure and Applied Algebra 214 (2010), 1955-1961.
[14] Torres, F., Recobrimentos Duplos de Curvas e Pesos de Pontos de
Weierstrass, Informes de Matem´atica-IMPA/Brasil, S´erie F-065(1993).
[15] Torres, F., Weierstrass points and double covering of curves with ap-
plication: symmetric numerical semigroups which cannot be realized as
weierstrass semigroups, Manusc. Math. 83 (1994), 39-58.
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Springer Berlin - Heidelberg - New York, 1993.
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Weierstrass semigroups, J. reine angew. Math. 441 (1993), 189-213.
45
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