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Universidade Estadual de Maringá
Pós-graduação em Física
Francielle Sato
Desenvolvimento da Técnica de Espelho
Térmico
Orientador: Prof. Dr. Luís Carlos Malacarne
Co-orientador: Prof. Dr. Mauro Luciano Baesso
Maringá-Pr, 06 de Abril de 2009.
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2
Francielle Sato
Desenvolvimento da Técnica de Espelho
Térmico
Orientador: Prof. Dr. Luís Carlos Malacarne
Co-orientador: Prof. Dr. Mauro Luciano Baesso
Tese apresentada ao Departamento de Física da
Universidade Estadual de Maringá, como requisito
parcial para obtenção do título de Doutor em Física.
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3
Dedico a minha
preciosa família:
Jorge, Shirley e Joyce.
4
Direi do Senhor:
Ele é o meu Deus, o meu refúgio, a
minha fortaleza, e nele confiarei.
Salmo 91:2
5
Agradecimentos
A Deus por me abençoar durante toda minha vida;
Aos meus pais pela educação, cuidados e principalmente pela confiança incondicional;
A minha irmã (Idi..), maluquinha que só ela, mas a melhor irmã que eu poderia ter;
Ao meu Imo por fazer o possível e o impossível;
Ao Professor Malacarne pela dedicação e paciência durante a orientação deste
trabalho;
Ao Professor Mauro pela orientação que me ajudou a crescer e amadurecer durante
estes 7 anos de convivência;
Ao Professor Medina por sempre arranjar tempo para me ouvir, desde as sandices dos
finais de tarde até os angustiantes momentos de escolha;
Aos professores Pedreira, Bento e Jurandir por toda a paciência do mundo em tentarem
me explicar o inexplicável e por incentivarem durante todo o curso;
Aos amigos que guardo do lado esquerdo do peito Manoel, Liz, Gisele, Vanessa, Lie,
Érica, Josiane e Andressão, que são parte da minha família do coração;
Aos amigos que guardo do lado direito do peito Roselão, Ivan, Giselão, Yednak , e
Alcir (Moacir, Altair,..) por compartilharem comigo todos os momentos de angústia e
insanidade coletiva que nos cercaram durante o doutorado;
A minha tia Linda não só no nome, mas também no coração e minha querida amiga
Theresa que tanto me cederam seus ouvidos e abraços;
Ao pessoal da velha guarda: Fran e Alysson Steidrochi Pedromacher, Nelson, Sabrina
e Maeda por não me deixarem envelhecer sozinha;
Ao Mister Marcos Paulo (teórico – experimental) que conciliou minha difícil relação
com o mathematica;
Ao pessoal do GEFF, em especial: Marcinho, RRRRony, Carioca, Irmão (Gustavo),
Sinho, Otávio Jaca e Aninha, sem vocês tudo teria sido muito monótono!
Aos meus amigos “Pudim” e “Quindim”, companheiros que mostraram como é realmente
fazer ciência;
6
Aos funcionários do DFI e, em especial, à Akikinho e Lúcia, pela dedicação;
Às agências Capes, Fundação Araucária e CNPq, pelo apoio financeiro;
E a todos que contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste trabalho.
7
Resumo
Neste trabalho apresentamos a técnica de espelho térmico resolvido no
tempo para estudo das propriedades físicas de materiais sólidos.
Desenvolvemos um modelo completo para a descrição do perfil de temperatura
e da respectiva deformação termoelástica induzida por um feixe de excitação
com perfil Gaussiano.
Quando o feixe laser de excitação incide na superfície do material,
provoca um gradiente de temperatura e uma conseqüente deformação
superficial da ordem de poucos nanômetros. O perfil de temperatura e
deformação na superfície da amostra são descritas por meio da solução da
equação de difusão de calor e da equação termoelástica, respectivamente.
A deformação induzida na amostra atua como um espelho côncavo ou
convexo para um segundo feixe laser, denominado feixe de prova, incidente na
amostra. Este feixe é então refletido pela superfície deformada e, se propaga
até um detector, o qual monitora a variação da intensidade com o tempo. A
propagação do feixe de prova é tratada por meio da teoria de difração de
Fresnel. Com a expressão de intensidade em função do tempo e o respectivo
ajuste com o modelo teórico podemos obter propriedades ópticas, térmicas e
mecânicas do material.
O modelo teórico proposto para o espelho térmico chamado de Modelo
da Lei de Beer (BLM), é uma expressão semi-analítica escrita em termos de
uma integral numérica, resultando em complexas interações matemáticas. Para
simplificar os cálculos são propostos dois modelos que equivalem a
aproximações para o modelo da Lei de Beer, no limite para altos e baixos
valores do coeficiente de absorção óptica, os quais denominamos de modelo
para alta absorção (HAM) e para baixa absorção (LAM), respectivamente.
A influência dos parâmetros experimentais bem como a aplicação dos
três modelos para materiais sólidos de diferentes valores de absorção óptica,
são discutidos. Os resultados obtidos são comparados com os valores obtidos
na literatura por meio de outras técnicas, e mostraram estar em boa
concordância dentro do erro experimental, evidenciando que a técnica de
espelho térmico pode ser utilizada para caracterização de materiais sólidos.
8
Abstract
A general and complete theoretical model of the time-resolved thermal
mirror method for the measurement of thermo-optical-mechanical properties of
solid materials is developed. The experimental apparatus is based on two
Gaussian profile lasers beam, with different radii, incident on the material
surface. An excitation beam induces a temperature gradient on the sample and
consequent surface deformation in order of a few nanometers. The temperature
and the deformation profile on the surface are derived by the solutions of the
heat diffusion and the thermoelastic equation, respectively.
A second laser beam is reflected by the deformed surface which its
intensity center at the detector is monitored by a photo-detector and calculated
using the Fresnel diffraction theory. This reflected time-resolved signal provides
the foregoing properties.
The thermal mirror theoretical model called Beer’s Law Model (BLM) is a
numeric expression with a complex mathematic interactions. To simplify the
calculations, two simplified models that correspond to the BLM in high optical
absorption limit, High Absorption Model (HAM), and in low optical absorption
limit, Low Absorption Model (LAM), are showed.
The influence of experimental parameters, as well as, the three thermal
mirror models application in solid materials with different optical absorption are
discussed through experimental measurements using transparent samples
(LSCAS glasses doped with neodymium and titanium) and opaque sample
(manganese metal).
The thermal diffusivity is obtained by the thermal mirror method is in
good agreement with the values from the thermal lens spectroscopy. This
result shows that the thermal mirror can be used an useful method for solid
material characterization.
9
Sumário
Agradecimentos ................................................................................................. 5
Resumo.............................................................................................................. 7
Abstract .............................................................................................................. 8
Sumário.............................................................................................................. 9
Capítulo1......................................................................................................... 11
Introdução ........................................................................................................ 11
Capítulo2......................................................................................................... 14
Considerações Gerais...................................................................................... 14
2.1. Fenômeno Fototérmico.......................................................................... 14
2.2. Feixes Gaussianos ................................................................................ 16
2.3. Métodos de detecção para deformação superficial ............................... 20
Capítulo3......................................................................................................... 28
Desenvolvimento do modelo teórico para o Espelho Térmico.......................... 28
3.1. Perfil de Temperatura ............................................................................ 28
3.2. Perfil de deformação.............................................................................. 47
3.3. Diferença de Fase ................................................................................. 65
3.4. Propagação do Feixe de Prova ............................................................. 68
Capítulo4......................................................................................................... 80
Amostras e Montagens Experimentais............................................................. 80
4.1. Amostras................................................................................................ 80
4.2. Espectroscopia de Lente Térmica ......................................................... 84
4.3. Determinação dos Parâmetros Geométricos para as Técnicas de
Espelho Térmico e Lente Térmica................................................................ 86
4.4. Arranjo Experimental para a Técnica de Espelho Térmico.................... 91
4.5. Arranjo Experimental para Técnica de Lente Térmica........................... 94
Capítulo5......................................................................................................... 96
Aplicações Experimentais ................................................................................ 96
5.1. Modelo LAM aplicado na amostra de vidro LSCAS dopado com 2%
Nd
2
O
3
............................................................................................................ 97
5.2. Modelo BLM aplicado em amostras de vidro LSCAS dopados com 2.5%
de TiO
2
........................................................................................................ 103
10
5.3. Modelo HAM Aplicado a Amostra de Manganês Metálico ................... 106
Capítulo6....................................................................................................... 109
Conclusão ...................................................................................................... 109
Apêndice ....................................................................................................... 111
A. Espectroscopia de Lente Térmica.............................................................. 111
A.1. Perfil de Temperatura........................................................................... 113
A.2. Determinação da Variação do Caminho Óptico do Feixe de Prova
(
ds dT
) ........................................................................................................ 115
A.3. Diferença de Fase ................................................................................ 116
A.4. Propagação do Feixe de Prova............................................................ 117
Referências................................................................................................... 120
11
Capítulo1.
Introdução
Durante a interação da radiação eletromagnética com a matéria, a
radiação pode ser refletida, transmitida, absorvida e/ ou espalhada, ainda
podendo ocorrer processos, tais como luminescência (absorção e emissão) e
reações fotoquímicas.
Após ser absorvida a energia eletromagnética pode ser convertida em
calor induzindo mudança de temperatura, bem como a variação dos
parâmetros termodinâmicos ou ópticos, como o índice de refração do meio [1,
2].
Uma diversidade de técnicas aplicam diretamente esse conceito de
interação, monitorando o fenômeno de absorção da energia luminosa e
conversão em energia térmica, chamados de fenômenos fototérmicos. Tais
fenômenos baseiam-se no processo de mudança do estado térmico do material
mediante uma foto-indução.
O precursor do efeito fototérmico foi o efeito fotoacústico, descoberto por
Alexander Graham Bell em 1880 no seu trabalho do fotofone, que por
limitações práticas, como o uso do próprio ouvido como detector, tornou-se
apenas uma curiosidade científica [3]. Rosencwaig e Gersho desenvolveram o
modelo teórico da Espectroscopia Fotoacústica em sólidos [4] por meio da
espectroscopia em sólidos, contribuindo assim para ampliar a aplicação dos
métodos baseados nos fenômenos fototérmicos.
O desenvolvimento do laser na década de 60 se tornou o grande
responsável pela aplicação com êxito da espectroscopia fototérmica. Sendo
amplamente utilizado por ser uma fonte de luz para excitação que produz uma
região bem definida de aquecimento, essencial para as técnicas fototérmicas. A
escolha do laser é determinada pela potência necessária para produzir o
aquecimento adequado.
12
Em 1964, Gordon e colaboradores observaram o efeito de divergência
e/ou convergência de um feixe laser ao atravessar uma amostra líquida
colocada dentro da cavidade de um laser a gás [5] . Este fenômeno fototérmico
foi denominado de lente térmica, produzido pelo calor induzido por um feixe
laser de perfil gaussiano. A espectroscopia de lente térmica marcou a trajetória
da evolução dos métodos fototérmicos como sendo uma das técnicas para
detectar a energia térmica produzida por transições não-radiativas [1].
Durante as últimas décadas, as técnicas fototérmicas têm sido
amplamente utilizadas em áreas como a Física, Química e Biologia, sendo
consideradas técnicas que permitem o estudo de amostras orgânicas e
inorgânicas, mesmo quando as mesmas são altamente transparentes.
Nos materiais orgânicos técnicas fototérmicas têm sido aplicadas, por
exemplo, para estudo de processos que ocorrem na escala de poucos
microsegundos como no caso de reações fotoquímicas [1, 6]. E nos
inorgânicos, por exemplo, em vidros, têm sido amplamente utilizados na
caracterização das propriedades térmicas e ópticas [7-12] .
Durante a formação de um fenômeno fototérmico em material sólido,
quando um feixe luminoso incide em sua superfície, pode causar uma
deformação superficial, isto porque parte da energia absorvida é convertida em
calor resultando em uma expansão local no material.
A deflexão fototérmica (DF) é um método fototérmico que pode ser
empregado na detecção da deformação, bem como para a caracterização de
materiais sólidos [3, 13-17].
A técnica consiste basicamente em um feixe laser para excitação da
amostra e outro para monitorar a deformação, chamado de feixe de prova,
focado e de diâmetro menor que o do feixe de excitação. O feixe de prova sofre
uma deflexão ao atingir a superfície deformada, sendo posteriormente
detectado por um sensor de posição ou um interferômetro [3, 16] . Neste
sistema o alinhamento em relação à posição dos dois feixes torna-se bastante
crítico.
Este trabalho tem como objetivo propor um método fototérmico também
baseado na análise das deformações superficiais de materiais sólidos,
contendo aspectos experimentais e teóricos. Obtemos desde uma solução para
o problema de alinhamento entre os feixes até um modelo teórico que trata o
13
fenômeno fototérmico associado à temperatura e a conseqüente mudança de
aspectos mecânicos da superfície do material. Esta técnica é conhecida como
espelho térmico (ET).
Podemos dividir este trabalho em três partes. Primeiramente, faremos
considerações gerais sobre o fenômeno fototérmico e feixes gaussianos, peças
fundamentais para o desenvolvimento do modelo teórico do espelho térmico.
Seguindo, fazemos uma breve apresentação de técnicas fototérmicas
baseadas no estudo da deformação superficial, com o intuito de demonstrar as
diferenças entre estas e o espelho térmico, quanto ao arranjo experimental
simplificado e o tratamento teórico do efeito.
Na segunda parte mostraremos o tratamento matemático para o efeito
de espelho térmico, que buscou considerar as possíveis causas e
conseqüências da deformação superficial do material. Desde a apresentação
do perfil de temperatura e deformação, a mudança de fase do feixe refletido
pela superfície deformada, e por fim obtendo uma equação para ajuste dos
dados experimentais.
Um fato de suma importância neste trabalho é a aplicação do modelo
teórico para materiais com qualquer valor de coeficiente de absorção óptica,
incluindo materiais opacos que podem atingir valores maiores que 10
5
m
-1
,
como veremos para o caso do metal. Nesta etapa apresentaremos simulações
para o modelo teórico do espelho térmico o qual dividimos em três casos: o
modelo completo chamado de Beer’s Law Model (BLM), a aproximação do
BLM para baixas absorções, o Low Absorption Model (LAM) e a aproximação
do BLM para altas absorções chamado de High Absorption Model (HAM).
Na terceira parte são apresentadas algumas aplicações experimentais
para constatação da validade do modelo teórico do espelho térmico em
materiais sólidos com diferentes valores do coeficiente de absorção óptica. Os
materiais utilizados foram: o vidro LSCAS dopado com 2% de Nd
2
O
3
(~100m
-1
),
dopado com 2.5% de TiO
2
(~500m
-1
) e o manganês metálico (~10
8
m
-1
). Estes
materiais foram escolhidos por abrangerem um grande intervalo de valores
para a absorção óptica. Para as amostras de vidros os resultados obtidos
foram comparados aos obtidos por lente térmica, técnica que foi realizada
conjuntamente com o espelho térmico.
14
Capítulo2.
Considerações Gerais
Neste capítulo são apresentadas algumas considerações sobre
fenômenos fototérmicos, feixes gaussianos e alguns métodos de detecção para
deformação superficial. Fatores estes, que são de grande importância para o
entendimento do método de espelho térmico.
2.1. Fenômeno Fototérmico
Efeitos fototérmicos são gerados quando um feixe luminoso incide no
material, sendo parte da energia luminosa absorvida e convertida em calor [18].
Esta geração de energia térmica pode ocorrer a partir de diversos processos de
decaimento, podendo ser radiativos e não radiativos, como indicados na Figura
2.1.
Os processos de decaimento não térmicos (fluorescência, fosforescência,
efeitos fotoquímicos e fotovoltaicos, etc.) podem contribuir para a geração de
calor, de tal forma que as contribuições térmicas e não térmicas se somam
produzindo calor na amostra [18].
O aquecimento fototérmico pode ser produzido com o uso de lasers,
lâmpadas de arco xenônio ou outras fontes intensas de luz. Essas fontes
luminosas são usadas devido a algumas razões, tais como [18]:
- O aquecimento fototérmico pode possibilitar métodos sensíveis por
detecção de absorção óptica em materiais;
- Informações provenientes dos mecanismos de relaxação podem ser
obtidas;
- Aquecimentos muito localizados ou muito rápidos podem ser buscados
para a obtenção de novas medidas ou produzir novos efeitos. O aquecimento
fototérmico pode resultar em muitos efeitos distintos na amostra, sendo que a
15
forma de detecção está vinculada aos mecanismos de decaimento. Alguns
desses efeitos são mostrados na Figura 2.2.
Figura 2.1: Processos de geração de calor na amostra[19].
Figura 2.2: Alguns efeitos comuns ao aquecimento fototérmico, devido à excitação por uma
fonte de luz modulada, que podem ser usados para detectar a energia de absorção óptica por
relaxação térmica [19].
16
Figura 2.3: Técnicas fototérmicas de detecção para medir diferentes propriedades de materiais
em meio ao um fenômeno fototérmico.
Cada um desses efeitos gera uma ou mais técnicas de detecção
fototérmica. No caso da fotoacústica, o sistema de detecção pode estar em
contato direto com a amostra, assim como na piezelétrica [2] e na
fotopiroelétrica.
Há outras técnicas em que o sistema de detecção não está em contato
direto com a amostra, como é o caso das técnicas como a lente térmica, o
efeito miragem, a espectroscopia de microondas, o deslocamento superficial
fototérmico, etc. Algumas delas estão dispostas em um esquema na Figura 2.3,
onde temos o parâmetro que sofre a mudança durante o fenômeno fototérmico,
o parâmetro que podemos medir devido à mudança e a técnica para a
detecção asssociada.
2.2. Feixes Gaussianos
Aqui faremos um breve comentário a respeito das características de
feixes gaussianos, uma vez que o laser é a ferramenta imprescindível neste
trabalho. E também para facilitar o entendimento dos próximos capítulos,
quanto à nomenclatura e os parâmetros geométricos para o feixe gaussiano no
T
T
e
e
m
m
p
p
e
e
r
r
a
a
t
t
u
u
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r
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a
P
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e
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d
e
e
R
R
e
e
f
f
r
r
a
a
ç
ç
ã
ã
o
o
Calorimetria
Radiometria fototérmica
Espectroscopia Fotoacústica
Lente Térmica
Interfero
metria Fototérmica
Deflexão Fototérmica
Refração Fototérmica
Difração Fototérmica
P
P
a
a
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D
D
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c
c
ç
ç
ã
ã
o
o
17
modo TEM
00
. A Figura 2.4 mostra um feixe gaussiano (modo TEM
00
) e outros
modos.
Figura 2.4: A) Perfil de intensidade e padrão de um feixe gaussiano (modo TEM
00
,) e nos
modos TEM
01
e TEM
02
[20]. B) Padrões para os modos de propagação de um feixe laser [21].
A distribuição da intensidade de um laser dito gaussiano, em qualquer
plano transverso é uma função Gaussiana cilindricamente simétrica. Tal
distribuição para um feixe com potência P
0
pode ser descrita por [22] :
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
2
2
2 r
z0
2
2P
I e
r ,z
z
ω
π
ω
−
=
(2.1)
Sendo
(
)
z
ω
o raio a uma distância a partir do eixo do feixe onde a
intensidade caí de
e
2
1
(~13.5%) de seu valor máximo. As frações da potência
total de um feixe gaussiano que estão contidas na abertura radial de r =
ω
0
,
r = 1,5
ω
0
, e r = 2
ω
0
são iguais a 86,5%, 98,9% e 99,9%, respectivamente [22].
Feixes gaussianos são aproximações paraxiais para a equação de onda,
ou seja, quando sua divergência é considerada relativamente pequena a
aproximação ocorre com a omissão de uma derivada de segunda ordem na
equação de propagação (obtida das equações de Maxwell), resultando em uma
18
equação diferencial de primeira ordem da qual pode ser obtida a seguinte
solução [23] :
( )
( )
( )
[ ]
( )
r
z
c
z r
z arctan
U E e exp i
r ,z
z R z
z
ω
κ
ω
κ
ω
−
− +
= −
2
2
2
0
0
2
(2.2)
A eq. (2.2) é a amplitude complexa do campo elétrico para uma luz
monocromática se propagando na direção z. Sendo |E
0
| o valor máximo de
amplitude e
ω
0
o raio do feixe na cintura (na cintura o raio tem seu valor
mínimo no plano z = 0) e
κ π λ
=
2
é o número de onda.
R(z) é o raio de curvatura da frente de onda depois de propagar uma
distância z do centro da fase, que é dado por:
( )
R z
z
z
πω
λ
=
+
2
2
0
1
(2.3)
E z
c
é a distância confocal que determina a distância na qual o feixe
pode se propagar sem divergência significante. Dentro deste intervalo o feixe
tem raio menor ou igual a
ω
0
2
. z
c
é definido matematicamente como:
c
z
πω
λ
=
2
0
(2.4)
Sendo
λ
é comprimento de onda do feixe.
O raio do feixe varia ao longo de direção de propagação como uma
hipérbole, que tem a forma:
( )
c
z
z
z
ω ω
=
+
1
2
2
0
1
(2.5)
(
)
z
ω
cresce gradualmente com z até atingir
ω
0
2
em z = z
c
, e continua
crescendo monotonicamente com z (Figura 2.5). Para z >> z
c
podemos dizer
19
que o raio do feixe tem uma relação linear com z dada por
(
)
(
)
c
z z z
ω ω
≈
0
.
Sendo assim, calculamos a divergência do feixe por meio da expressão [24] :
(
)
c
d
z
dz z
ω
ω λ
θ
πω
= = =
0
0
0
(2.6)
Podemos dizer que para z >> z
c
o raio do feixe cresce linearmente com z
fazendo um cone de ângulo
θ
0
.
Figura 2.5: Distribuição da amplitude para um feixe gaussiano com indicações da intensidade
I(r,z) ao longo do eixo de propagação z.
0
ω
é o raio do feixe na cintura, z
c
é a distância
confocal, R(z) é o raio de curvatura,
(
)
ω
z
é o raio em qualquer posição ao longo de z e
0
θ
é a
divergência do feixe.
As frentes das ondas são aproximadamente planas em regiões próximas
à cintura do feixe, e gradualmente vão tornando-se esféricas longe da cintura.
Á medida que se distanciam crescem em ambas as direções [25].
20
2.3. Métodos de detecção para deformação superficial
Podemos dizer que os métodos fototérmicos sejam mais sensíveis à
absorção óptica do que os métodos de transmissão, por amplificar
significativamente o contraste do sinal óptico medido, dependendo das
propriedades térmicas e ópticas da amostra, da potência da fonte de luz usada
para excitá-la, bem como dos parâmetros geométricos do sistema.
A técnica fototérmica conhecida como deflexão fototérmica, utiliza dois
lasers como fonte de luz, um para excitação e o outro para “provar”, ou seja,
monitorar o efeito induzido no material, ambos focados em sua superfície. Tal
técnica pode ser utilizada para análise de materiais sólidos, líquidos ou
gasosos.
A amostra pode absorver parte da radiação, aquecendo o gás ou o
líquido depositado sobre sua superfície, e assim induzindo uma deflexão, ou
seja, um desvio do feixe de prova devido à variação de temperatura da
superfície.
Para estudo de materiais sólidos é necessário que o líquido ou gás
depositado sobre sua superfície tenha propriedades conhecidas para que se
possa avaliar o efeito do aquecimento gerado na amostra.
O ângulo de desvio do feixe de prova está relacionado com a variação
do índice de refração gerado na superfície da amostra devido ao aquecimento.
Este desvio é detectado por um sensor de posição, que permite quantificar a
deflexão do feixe. A detecção também pode ser feita por meio de um
interferômetro [26].
Este efeito é conhecido como efeito miragem, demonstrado por Boccara
e colaboradores em 1979 [27]. Um esquema da técnica pode ser visualizado na
Figura 2.6. Nesta figura os feixes de excitação e de prova são perpendiculares.
Há também montagens para avaliar o efeito miragem em que os feixes são
colineares.
As técnicas fototérmicas baseadas na deformação superficial de
materiais sólidos são amplamente empregadas para estudo quantitativo e
qualitativo das propriedades térmicas e ópticas de materiais sólidos [3, 13-15,
17, 28].
21
Figura 2.6: Esquema da técnica de deflexão fototérmica (efeito miragem)[3] .
Uma técnica que estuda a deformação superficial via efeito fototérmico é
o deslocamento fototérmico, também baseado no emprego de lasers, um feixe
para excitar a amostra deformando sua superfície e um de prova, ambos
focados na superfície. A detecção óptica deste deslocamento pode ser feita por
um sensor interferométrico ou de posição. No caso da utilização de um sensor
de posição, o sinal detectado é dependente do deslocamento da superfície (u
z
)
e do ângulo de incidência do feixe de prova.
Uma boa aproximação para este sinal é considerá-lo proporcional a
inclinação de deslocamento superficial,
z
du dr
. Sendo r a direção radial na
amostra, perpendicular à direção de incidência do feixe de excitação. Um
esquema da técnica de deslocamento fototérmico pode ser visualizado na
Figura 2.7.
Os principais parâmetros que limitam a sensibilidade das medidas de
deformação em ambos os casos de detecção (interferométrico e de posição)
são, a intensidade do feixe de prova e o ruído espacial. Para maximizar o sinal
da deformação é necessário que os feixes de excitação e prova sejam
extremamente focalizados na amostra.
O feixe de prova precisa ter menor diâmetro que o de excitação para
permitir uma interpretação teórica simplificada do dado experimental. O
22
aumento da sensibilidade pode ser via a maximização da distância entre a
amostra e sensor de posição. O valor máximo para esta distância é
determinado pela estabilidade do feixe de prova que precisa ter seu diâmetro
menor do que o tamanho do sensor.
Figura 2.7: Esquema da técnica de deslocamento fototérmico utilizando um sensor de
posição[3] .
A técnica de espelho térmico tem sido aperfeiçoada em nosso grupo de
pesquisa (Grupo de Estudos de Fenômenos Fototérmicos - GEFF), e vem se
enquadrando como uma técnica fototérmica versátil para caracterização de
materiais sólidos, não somente transparentes como também opacos, o que
engloba um vasto campo de materiais com altos e baixos valores de absorção
óptica [29, 30].
O espelho térmico tem como referência alguns trabalhos já existentes
que analisam a deformação superficial em materiais sólidos, via efeito
fototérmico. A seguir, vamos apresentar comentários sobre alguns destes
trabalhos.
Em 1990, Kuo e Munidasa [15] publicaram o primeiro trabalho utilizando
um feixe de prova mais largo e não focado para detectar a deformação
23
fototérmica, facilitando assim o alinhamento entre os feixes. O feixe de
excitação foi focado para ter um diâmetro da ordem de 15µm e o de prova com
aproximadamente 800µm para ser maior do que a deformação da superfície.
A técnica foi baseada em método interferométrico. O feixe de excitação
incidente na amostra foi empregado para deformar a superfície. O feixe de
prova incide na superfície deformada e na não deformada do material, fazendo
com que parte deste feixe tenha sua frente de onda distorcida devido à
deformação e a outra parte não sofre distorção e estas se superpõem. Assim,
depois de refletido o feixe de prova, evidencia a formação de uma figura de
interferência. O sinal de interferência no detector é dependente da altura da
deformação superficial e do coeficiente de reflexão conforme mostra a Figura
2.8. Neste caso, as equações termoelásticas não foram consideradas, somente
a altura da deformação.
Figura 2.8: Propagação do feixe de prova refletido pela superfície da amostra, no detalhe o
padrão de franjas obtidas entre as ondas afetadas e não afetadas pela deformação da
superfície da amostra [15].
No modelo teórico é considerado que o perfil de distribuição da
temperatura tem o mesmo raio que a superfície deformada. O trabalho ainda
considera a propagação dos feixes de comportamento gaussiano facilitando
assim os cálculos de difração. A limitação da técnica está no conceito de
24
interferência empregado, pois o tamanho do feixe de prova tem que ser
aparentemente maior do a que área termicamente deformada [31].
Em 1992, Saito e colaboradores [32] desenvolvem a técnica chamada
divergência fototérmica (PTD), também com feixe de prova não focado e sob a
condição de ter tamanho maior do que o feixe de excitação na amostra. Neste
trabalho os feixes são gaussianos, sendo a deformação na superfície também
considerada de forma gaussiana. Desta forma o perfil espacial da deformação
superficial é descrita por uma equação gaussiana, na qual se determina a
altura da deformação (δ), conforme mostra a Figura 2.9. Porém os autores já
trazem um apêndice no trabalho com um tratamento mais rigoroso para a
deformação, levando em consideração termos de tensão.
Figura 2.9: Esquema da incidência e reflexão dos feixes gaussianos de prova antes (figura a) e
depois (figura b) da deformação, (δ), na superfície da amostra. A incidência é quase normal
[32].
O sinal de PTD é obtido por meio da subtração entre a intensidade do
feixe refletido pela superfície, antes e depois de ser excitada. A distribuição
espacial do feixe refletido pela superfície não deformada é considerada igual ao
incidente. Depois de excitar a amostra com um feixe modulado e
monocromático, o feixe de prova incidente é diferente do refletido devido à
expansão da superfície que causa uma divergência espacial no feixe refletido.
Outro trabalho relevante é o desenvolvido por Wu [31] em 1996. Wu
mostrou que a técnica de lente térmica na superfície (STL) é tão sensível
quanto à espectroscopia fototérmica de deflexão (PDS), contando com
alinhamento óptico menos crítico, ilustrado na Figura 2.10. Em ambas as
25
técnicas há um feixe de excitação incidente na amostra que provoca
deformação na superfície e um de prova que é refletido pela superfície
deformada e posteriormente detectado.
A vantagem que os autores mencionam em relação a PDS, é que na
PDS o feixe de prova é focado na amostra sendo seu tamanho muito pequeno
em relação à dimensão lateral da superfície deformada. Já na STL o feixe de
prova também é focado, porém é no mínimo do mesmo tamanho ou maior do
que toda a dimensão da superfície deformada.
Figura 2.10: Esquema de detecção da superfície deformada por processo fototérmico
utilizando PDS (a) e STL (b) [31].
Assim, a superfície deformada atua como um espelho não esférico
distorcendo a frente de onda do feixe refletido. No desenvolvimento teórico do
trabalho é apresentada uma expressão para o campo elétrico do feixe de prova
refletido no detector em função da altura da deformação térmica na superfície,
assumindo que sua forma seja gaussiana, porém com uma distorção na fase.
O trabalho de Li, 1991, [16] contribuiu de maneira significante para o
desenvolvimento do modelo teórico do método de espelho térmico.
Li apresenta o modelo teórico tridimensional para deformação
fototérmica pulsada (PPTD), sendo o feixe de excitação pulsado (Figura 2.11).
Em seu trabalho, Li mostra as soluções numéricas para as equações de
condução de calor e termoelástica. Considerando que a deformação da
superfície ocorre num curto intervalo de tempo, e que o acoplamento
termoelástico é um processo quase-estático, ou seja, os termos de inércia da
equação termoelátisca podem ser desprezados (suposição de Duhamel).
Em seu trabalho, Li utiliza um feixe de excitação e um de prova, ambos
de perfil de intensidade gaussiana. O laser de prova é focado na amostra e seu
26
diâmetro é de tamanho menor que a dimensão lateral da amostra. Apesar de o
alinhamento ser mais crítico do que os descritos anteriormente, Li obtém boa
concordância entre seu modelo teórico, para estudar a deformação superficial
de materiais sólidos, e seus resultados experimentais.
Figura 2.11: Esquema do efeito de PPTD [16] .
Feito este breve comentário sobre alguns trabalhos que envolvem o
estudo em superfícies deformadas por aquecimento via laser, vamos retornar
ao nosso trabalho.
Baseado no efeito fototérmico, o efeito de espelho térmico ocorre
quando um feixe de excitação incide focado em um material sólido, e parte da
sua energia é convertida em calor, resultando em uma expansão e
conseqüente deformação local em sua superfície, mostrado na Figura 2.12.
Tal deformação atua de forma similar a um espelho. Um segundo feixe,
de prova, atinge a deformação da superfície sendo então refletido e tem sua
frente de onda distorcida causando uma alteração em sua fase. Dependendo
da natureza do material sólido há a formação de um espelho térmico côncavo
ou convexo na superfície da amostra, divergindo ou convergindo o feixe de
prova, respectivamente, conforme ilustra a Figura 2.13.
27
Figura 2.12: Ilustração da formação do efeito de espelho térmico devido à incidência do feixe
de excitação (LE). O feixe de prova (LP) monitora este efeito sendo refletido pela superfície
deformada da amostra.
Figura 2.13 :Formação de espelho térmico na superfície da amostra, mostrando a divergência
ou convergência do feixe de prova.
28
Capítulo3.
Desenvolvimento do modelo teórico para o Espelho
Térmico
Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento do modelo teórico para
o método de espelho térmico. Iniciando com o cálculo do perfil de temperatura
e de deformação na amostra, desde a superfície e a contribuição de regiões ao
longo de sua espessura, seguido da descrição da diferença de fase induzida na
frente do feixe de prova refletido pela superfície deformada e a obtenção do
sinal transiente do espelho térmico.
3.1. Perfil de Temperatura
O efeito na deformação superficial é resultado da variação da
temperatura numa região próxima da superfície, de forma que podemos
considerar, para efeito de simplicidade matemática, para amostras não muito
finas como um meio semi-infinito.
Considerando o sistema em coordenada cilíndricas, o perfil de
temperatura dentro de uma amostra semi-infinita, é descrito como a solução da
equação diferencial de condução de calor [29, 33]. Tal equação dada por:
(3.1)
Sendo k, c e ρ condutividade térmica, calor específico e densidade de
massa, respectivamente. Determinamos z = 0 como sendo a superfície da
amostra, como mostrado no esquema da Figura 3.1.
2
k
T(r ,z,t ) T(r ,z,t ) Q(r ,z )
t c
ρ
∂
− ∇ =
∂
29
Figura 3.1: Sistemas de coordenada adotado para resolver a equação de diferencial de
condução de calor.
As condições iniciais e de contorno são descritas por:
( )
z
T( r ,z, )
T ,z,t
T( r ,z,t ) |
z
=
=
∞ =
∂
=
∂
0
0 0
0
0
(3.2)
O fluxo de calor na interface amostra-ar pode ser considerado nulo,
desde que a condutividade térmica do ar seja muito menor do que a da
amostra [29].
O termo de fonte, Q(r,z), calor induzido pela absorção parcial do feixe de
excitação na amostra, para um laser de perfil gaussiano é:
2
2
0e
2r
0
Q(r ,z) Q e Q( z)
ω
−
=
(3.3)
Com
e e
0
2
0e
2P A
Q
c
ϕ
ρ πω
=
, (3.4)
30
Sendo Q(z) a dependência do termo de fonte em z, que analisaremos
detalhadamente mais adiante, A
e
o coeficiente de absorção óptica no
comprimento de onda do feixe de excitação, P
e
a potência do laser de
excitação,
0e
ω
seu o raio na cintura e
ϕ
a fração de energia convertida em
calor. Em materiais luminescentes, parte da energia do feixe de excitação
(
)
ex
hc
λ
é absorvida e convertida em calor e parte convertida em luz, gerando
emissão com energia média
em
hc
λ
, neste caso
ϕ
é dada por [11]:
ex
em
1 -
λ
ϕ η
λ
=
(3.5)
η é a eficiência quântica de luminescência,
ex
λ
é comprimento de onda
excitação e
λ
em
é comprimento de onda médio da emissão de luminescência.
Quando η = 0, significa que toda a energia absorvida foi convertida em calor.
Retornando à equação de condução de calor, para obter a solução
T(r,z,t) utilizaremos o método de transformadas. Este método consiste
basicamente, em obter uma outra equação mais simples, resolver esta nova
equação e então calcular a transformada inversa da solução da equação
transformada, obtendo assim a solução original.
Foram utilizadas as transformadas de Laplace, Fourier cosseno e de
Hankel. A aplicação de Laplace é geralmente com relação ao tempo, a de
Fourier cosseno foi utilizada por satisfazer as condições de contorno na
superfície (z = 0). E a transformada de Hankel é apropriada ao nosso sistema
devido à simetria radial, visto que o operador derivativo se transforma em uma
constante no espaço de Hankel.
A transformada de Laplace é dada por:
[ ]
s t
F(s) L f(t ) e f(t )dt
−
∞
= =
∫
0
(3.6)
31
Assim aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros da
equação (3.1), obtendo:
2
k Q( r ,z )
sT ( r ,z,s ) T ( r ,z,s )
c s
ρ
− ∇ =
(3.7)
No sistema de coordenadas cilíndrica o laplaciano pode ser escrito
como:
2 2 2
2 2 1
r
2 2 2
r
z r r z
−
∂ ∂ ∂ ∂
∇ = ∇ + = + +
∂ ∂ ∂ ∂
(3.8)
Substituindo (3.8) em (3.7),
[ ]
r
z
k k Q( r ,z )
sT ( r ,z,s ) T ( r ,z,s )
T ( r ,z,s )
c c s
ρ ρ
∂
− ∇ − =
∂
2
2
2
(3.9)
Para continuar buscando a solução para T (r,z,t), aplicamos uma
segunda transformada, a de Fourier em cossenos (F
c
), de modo a satisfazer as
condições de contorno,
c
F ( ) f( z )cos( z)dz
λ λ
π
∞
=
∫
0
2
(3.10)
na equação (3.9) temos:
( )
( )
{ }
( )
c c
F f z F f
f
z
λ
λ
π
∂
′
= − −
∂
2
2
2
2
0
(3.11)
r
k k Q(r , )
sT( r , ,s ) T(r , ,s ) T(r , ,s)
c c s
λ
λ λ λ λ
ρ ρ
− ∇ + =
2
2
(3.12)
32
Com
(
)
(
)
(
)
Q Q Q
r,
r
λ
λ
=
(3.13)
( )
( )
{
}
c
Q F
Q
z
λ
=
(3.14)
( )
e
r
Q Q e
r
ω
−
=
2
0
2
0
2
(3.15)
Aplicando a transformada de Hankel,
( ) ( )
{ }
( ) ( )
F H f r f r J r r dr
α α
∞
= =
∫
0
0
,
(3.16)
na equação (3.12) juntamente com a propriedade:
( )
( )
( )
( )
r f F J r
r
r r
α α α α
α
∞
−
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
∫
2
1 2
0
2
0
d
(3.17)
Obtemos:
( )
( )
( )
(
)
Q
,
k
sT T
, ,s , ,s
c s
α λ
α λ
α λ α λ
ρ
+ + =
2 2
% %
(3.18)
Sendo
(
)
T
, ,s
α λ
%
a transformada para de
(
)
T
r,z,t
e
( )
( ) ( ) ( )
e
e
e
r
Q Q Q e J Q Q e
,
r
ω α
ω
ω
α λ
λ α λ
∞
−
−
= =
∫
2
2
0
0
2
0
0 0 0
0
2
2
1
8
2
4
rdr
(3.19)
J
0
é a função de Bessel de primeira espécie.
Depois de utilizar três transformações integrais, podemos reescrever a
solução
T(r,z,t) no espaço de Laplace-Fourier-Hankel como:
33
( )
(
)
( )
( )
( )
Q
,
T
, ,s
s s k c
α λ
α λ
ρ α λ
=
+ +
2 2
%
(3.20)
Com
e
e
Q Q Q
Q Q e
−
ω α
α λ = α λ
ω
α =
2
0
0
2 2
0
1
8
( , ) ( ) ( )
( )
4
(3.21)
Agora tomaremos o caminho contrário, que é aplicar as transformadas
inversas em
(
)
T , ,s
α λ
%
a fim de obter a T(r,z,t) novamente. Começaremos
retornando ao espaço-t, aplicando a transformada inversa de Laplace em (3.20)
temos:
( ) ( )
( )
t
k
c
e
T Q
, ,t ,
k
c
α λ
ρ
α λ α λ
α λ
ρ
+
−
=
+
2 2
2 2
1
.
(3.22)
Usando que
( )
t
k
t
k
c
c
e
e d
k
c
α λ
ρ
α λ τ
ρ
τ
α λ
ρ
−
+
− +
−
=
+
∫
2 2
0
2 2
2 2
1
,
(3.23)
podemos escrever
(
)
T
, ,t
α λ
no espaço de Hankel-Fourier como:
( ) ( )
t
k
c
T Q e
, ,t ,
α λ τ
ρ
τ
α λ α λ
−
+
=
∫
0
2 2
d
.
(3.24)
Agora, na equação (3.24) aplicamos a transformada inversa de Hankel
(
)
{
}
(
)
H F
α
−1
, para retornar ao espaço-r:
( )
( )
{ }
( ) ( )
f r H F J r
F
α α α α
α
∞
−
= =
∫
1
0
0
d
(3.25)
34
( )
( )
t
c
e
e
c
c
r /
t
t
T Q Q e
r , ,t
e
t
ω
τ
ω
τ
λ
τ
λ
λ
τ
−
−
+
=
+
∫
0
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
1
8
2
1
d
(3.26)
Com
e
c
t
D
ω
=
2
0
4
, denominado tempo característico de formação do espelho
térmico e
k
D
c
ρ
=
ou em termos de t
c
,
e
c
D
t
ω
=
2
0
4
, chamado de difusividade
térmica.
Temos a solução para a equação de condução de calor no espaço
r-Fourier-t, então nos resta aplicar a transformada inversa de Fourier em
cossenos, f(z), dada por:
( )
c
f z F ( )cos( z )d
λ λ λ
π
∞
=
∫
0
2
(3.27)
Antes de aplicarmos a f(z), vamos definir Q(z), para casos limites de
valores de A
e
tendendo a zero e a infinito:
(
)
e
e
A z
e
e
A
e
A z
A
−
→
→ ∞ δ
0, 1
2
, ( )
(3.28)
O BLM é o modelo completo para estudo da deformação superficial para
qualquer valor de A
e
, o HAM e o LAM são aproximações para casos limites.
Estas aproximações foram feitas a fim de simplificar os cálculos matemáticos
que veremos mais adiante.
Definidos Q(z), vamos determinar a solução T(r,z,t) para cada modelo,
aplicando f(z) em (3.26):
Q(z)
Modelo de baixa absorção (LAM)
Modelo da Lei de Beer (BLM)
Modelo para alta absorção (HAM)
35
a) LAM
Calculando
(
)
Q
λ
através da transformada de Fourier em cossenos no
caso
e
A
→
0
(eq. (3.28)), temos:
( )
( )
{
}
{ }
( )
c c
Q F F
Q
z
πδ
λ λ
= = = 2
1
(3.29)
Substituindo (3.29) em (3.26), obtemos:
( )
( )
t
c
e
e
c
c
r /
t
t
T Q e
r , ,t
t
e
τ
ω λ
τ
ω
π δ τ
λ
λ
τ
−
−
+
=
+
∫
0
0
2
0
2
0
2
2
2
2
1
2
8
2
2
1
d
(3.30)
Usando a transformada inversa de Fourier em cossenos, dada por:
( )
f z T(r , ,t )cos( z )d
λ λ λ
π
∞
=
∫
0
2
.
Temos então que
(
)
T
r,z,t
será:
( )
t
c
e
r /
t
c
T Q
r ,z,t
e
t
τ
τ
τ
ω
−
+
=
+
∫
0
0
2
0
2
2
2
1
2
1
d
(3.31)
Substituindo
e e
0
2
0e
2P A
Q
c
ϕ
ρ πω
=
em (3.31) e chamando
e
P
T
c
ϕ
π ρ
=
0
, obtemos:
36
( )
t
e
LAM
e
c
e
c
r /
t
A
T T
r , t
e
t
τ
τ
ω
τ
ω
−
+
=
+
∫
0
2
0
0
2 2
0
2
2
1
2
2
1
d
(3.32)
b) HAM
Calculando
(
)
Q
λ
através da transformada de Fourier em cossenos no
caso
e
A
→∞
(eq. (3.28)), temos:
c c
e
e
Q( ) F {Q( z )} F ( z )
A
A
λ δ
π
= = =
2 2
2
(3.33)
Substituindo (3.33) em (3.26), obtemos:
( )
e
t
e
c
e
c
r /
t
c
t
T Q e
r , ,t
e
A
t
τ
ω
ω λ
τ
τ
λ
π
τ
−
+
−
=
+
∫
2
0
0
0
2
2
0
2
2
2
1
2
8
2
2
2
1
d
(3.34)
Aplicando a transformada inversa de Fourier em cossenos em (3.34),
obtemos a T(r,z,t), dada por:
( )
t
e
e
c
c
e
e
c
c
z t
r /
t
e
T Q
r ,z,t
e
A
t
t
ω τ
τ
τ
ω τ
π
τ
ω
−
−
+
=
+
∫
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
2
2
1
2
2
1
d
(3.35)
Substituindo
e e
0
2
0e
2P A
Q
c
ϕ
ρ πω
=
em (3.35) e chamando
e
P
T
c
ϕ
π ρ
=
0
, obtemos:
37
( )
t
HAM
e
c
e
c
e
e
c
z t
r /
t
c
e
T T
r ,z,t
e
t
t
τ
τ
ω
τ
ω τ
π
τ
ω
ω
−
−
+
=
+
∫
0
2
0
0
2
0
2 2
0
2
2
0
2
2
1
4
2
1
d
(3.36)
c) BLM
Calculando
(
)
Q
λ
através da transformada de Fourier em cossenos no
caso
e
A z
e
A e
−
=
(eq. (3.28)), temos:
{ }
e
A z
e
c c
e
A
Q( ) F {Q(z)} F e
A
λ
π λ
−
= = =
+
2 2
2
(3.37)
Substituindo (3.37) em (3.26), obtemos:
( )
t
e
e
c
e
e
c
c
r /
t
t
e
A
T Q e
r , ,t
A
t
τ
ω λ
τ
ω
τ
λ
π λ
τ
−
−
+
=
+
+
∫
0
2 2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
1
2
8
2
2
1
d
(3.38)
Depois de aplicar a transformada inversa de Fourier em cossenos em
(3.38), e usando o teorema da convolução os termos que eram dependentes
de
λ
tornam-se:
( ) ( )
e
c c
e e
e e
sA
c c
t t
z s z s
e ds
e t e t
ω τ ω τ
π
ω τ ω τ
∞
−
− −
+ −
+
∫
0
0 0
2 2
2 2
0 0
1 2
2 2
2
(3.39)
Resolvendo (3.39) e substituindo o resultado em (3.38), chegamos em:
38
( )
( )
( )
e e c
t
e c
c
e e c
e c
e
e
r /
e
e
c
t
e
c
A
A
z
t
zA
A zt
e Erfc e
e
T Q
r ,z,t t
t
A zt
Erfc
t
τ
ω
ω τ
ω τ
ω τ
τ
ω τ
τ
ω τ
−
+
− +
−
= ×
+
+
×
∫
2
0
0
0
0
2
0
0
2 2
2
0
0
2
2
1
1
4
4
2
2
1
2
2
1 2
2
2
+
d
(3.40)
Substituindo
e e
0
2
0e
2P A
Q
c
ϕ
ρ πω
=
em (3.40) e chamando
e
P
T
c
ϕ
πρ
=
0
, obtemos:
( )
( )
( )
e
t
e e c
e
BLM
e c
e c
e e c
e c
e
e
r /
e
e
c
t
c
zA
A
A
z
t
A zt
A e
e Erfc e
T T
r ,z,t
t
t
A zt
Erfc
t
τ
τ
ω
ω
ω τ
ω τ
ω τ
ω τ
τ
ω τ
−
+
−
−
= ×
+
+
×
∫
2
0
2
0
0
2
2
0
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
1
2
4
4
2
1 2
2
2
2
+
d
(3.41)
Sendo Erfc(x) a função erro complementar.
Definido os três modelos para o perfil de temperatura vamos analisar
como os parâmetros envolvidos desempenham seu papel dentro de cada
modelo. As simulações foram feitas utilizando os dados da Tabela 3-1 para as
amostras de vidro LSCAS dopados com titânio (LSCAS-TiO
2
) nas
concentrações de 0,5%, 2,5% e 3,5%.
Apesar da utilização dos parâmetros dependentes do material, dos
vidros posteriormente do metal manganês, a mesma análise pode ser realizada
em qualquer situação, pois qualitativamente, os resultados serão os mesmos.
Além disso, utilizando tais parâmetros, obtemos valores reais para a variação
de temperatura nas amostras, o que não seria possível se as variáveis fossem
escalonadas.
39
Vidro LSCAS dopado com TiO2 Manganês
0,5 (% em massa) 2,5 (% em massa) 3,5 (% em massa)
P
e
(mW)
20 20 20 5
A
e
(m
-1
)
77 544 1061 8 x 10
7
D
(10
-3
m
2
/s)
6 6 6 22
k
(W/mK)
1,5 1,5 1,5 7,8
0
e
ω
(µm)
44 44 44 44
t
c
(ms)
0,81 0,81 0,81 0,22
ϕ
0,87 0,7 0,72 1
T
α
(
10
-6
K
-1
)
7,7 7,7 7,7 23,0
ν
0,9 0,29 0.29 0,24
Tabela 3-1
: Parâmetros utilizados para as simulações, sendo P
e
a potência incidente na
amostra, A
e
o coeficiente de absorção óptica, D a difusividade térmica, k a condutividade
térmica,
0
ω
e
o raio do feixe de excitação na amostra, t
c
o tempo característico do espelho
térmico,
ϕ
eficiência quântica de luminescência,
α
T
coeficiente de expansão térmica linear
*
e
ν
a razão de Poisson
**
[30, 34, 35].
Trataremos inicialmente os casos particulares para alta e baixa absorção
para então compararmos com o modelo completo BLM.
No caso LAM o comportamento da distribuição de temperatura, T
LAM
(r,t),
para A
e
= 77m
-1
e sua dependência com o tempo t, tempo de exposição da
amostra ao feixe de excitação, pode ser visualizado na figura Figura 3.2. A
simulação foi feita com a eq.(3.32).
*
Quando a temperatura de uma substância varia, a energia armazenada nas ligações
intramoleculares entre os átomos também muda. Como resultado, os
sólidos tipicamente
expandem em resposta ao aquecimento ou contraem ao resfriamento. Esta variação
dimensional é expressa em termos do coeficiente de expansão térmico. Em uma direção é
chamado de linear, descrito por
T
dL dT
α
=
, sendo L a espessura da amostra.
**
Quando um material é tensionado há uma deformação longitudinal, no entanto,
qualquer material elástico ao ser “esticado” sofre também uma deformação transversal sendo
proporcional à deformação longitudinal aplicada.
A razão entre a deformação transversal associada a uma deformação longitudinal na direção
da tensão, chama-se o coeficiente (ou razão) de Poisson,
trans long
Def Def
ν
=
, sendo Def
trans
e
Def
long
as deformações transversal e longitudinal no material, respectivamente.
40
A Figura 3.3 mostra a evolução temporal de T
LAM
(r,t) para distintos
valores de A
e
. Observamos que independente de quanto é a variação de
temperatura, o intervalo de tempo no qual ocorre o aumento de temperatura
mais rápido na superfície, neste caso, é em
c
t t
próximo de 30. Deste valor em
diante a variação de temperatura é menor tendendo ao estado estacionário.
-10 -5 0 5 10
0.00
0.09
0.18
0.27
0.36
t = 5t
c
t = 50t
c
t = 100t
c
T(ºC)
r /
ω
ωω
ω
0e
A
e
= 77m
-1
Figura 3.2:
Simulação do perfil de temperatura T
LAM
(r,t) em função de r variando o parâmetro t,
para a amostra de vidro LSCAS dopada com 0,5% TiO
2
(z = 0), sendo t
c
= 0,81ms.Os dados
utilizados estão na Tabela 3-1. Modelo LAM.
O perfil de T
HAM
(r,z,t) para valores de z desde a superfície até 0,5mm ao
longo da espessura da amostra é descrito pela Figura 3.4. De acordo com a
simulação, para regiões ao longo da amostra, T
HAM
(r,z,t) é atenuada até se
tornar nula para z = 0,3mm no caso da amostra de manganês que tem um alto
valor para o coeficiente de absorção óptica.
A Figura 3.5, assim como foi feito para o modelo LAM, mostra o
comportamento de T
HAM
(r,z,t) na superfície em função do tempo de realização
do experimento. Vemos nesta figura que há um aumento mais rápido da
temperatura do que para T
LAM
(r,t), sendo
c
t t
próximo de 1, devido a alta
condutividade térmica do manganês. Após este intervalo de tempo a
temperatura tende a entrar em regime estacionário.
41
0 50 1 00 1 50 200
0
2
4
0.0
0.8
1.6
0.0
0.2
0.4
A
e
= 1061m
-1
t / t
c
A
e
= 544m
-1
T (ºC)
A
e
= 77 m
-1
Figura 3.3
: Simulação para T
LAM
(r,t) em função de t para diferentes valores de A
e
, para as
amostras de vidro LSCAS dopados com 0,5%, 2,5% e 3,5% TiO
2
(z =r = 0). Os dados
utilizados estão na Tabela 3-1. Modelo LAM
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
1
2
3
4
5
A
e
= 8.10
7
m
-1
T
(ºC)
z (mm)
t = 50t
c
Figura 3.4:
Simulação do perfil de temperatura T
HAM
(r,z,t) em função de z para a amostra de
manganês metálico para t = 50t
c
. Os dados utilizados estão na Tabela 3-1. Modelo HAM.
42
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
A
e
= 8.10
7
m
-1
T(ºC)
t / t
c
Figura 3.5:
Simulação do perfil de temperatura T
HAM
(r,z,t) em função de t para a amostra de
manganês metálico
(z =r = 0). Os dados utilizados estão na Tabela 3-1. Modelo HAM.
Consideradas as aproximações para o modelo completo (BLM) faremos
uma análise comparativa entre os três modelos, quanto ao comportamento da
temperatura e os limites dos valores de A
e
para a aplicação dos modelos
aproximados. Continuaremos usando para as simulações os vidros LSCAS
dopados com TiO
2
e o manganês metálico. Os parâmetros utilizados estão na
Tabela 3-1.
A Figura 3.6 mostra o perfil de temperatura simulado para as amostras
de vidro LSCAS – TiO
2
para os modelos BLM e LAM. Na Figura 3.6 (a) o perfil
de temperatura foi calculado na superfície da amostra para o modelo BLM pela
eq. (3.41) e para o LAM pela eq. (3.32). Nota-se que para A
e
= 77m
-1
os
modelos estão em boa concordância, já para valores mais altos de A
e
, o LAM
apresenta uma diferença considerável em relação ao BLM. Ao longo da
espessura esta divergência se amplia (Figura 3.6(b)) já que a variação de
temperatura dentro da amostra sofre uma atenuação maior para o modelo BLM.
43
0
1
2
3
-10 -5 0 5 10
0
1
2
3
Superfície da amostra
t = 50 t
c
(b)
BLM
LAM
A
e
=1061m
-1
1mm dentro da amostra
t = 50 t
c
A
e
=77m
-1
A
e
=77m
-1
A
e
=544m
-1
A
e
=544m
-1
A
e
=1061m
-1
(a)
T(ºC)
x/
ω
0e
Figura 3.6
: Perfil de temperatura para as três concentrações de vidro LSCAS – TiO
2
: (a) na
superfície da amostra (z = 0) e (b) 1mm dentro da amostra (z = 1), com y = 0
O efeito da atenuação da temperatura ao longo da amostra pode ser
observado na Figura 3.7. As curvas em (a) mostram a dependência com o
tempo t e com o coeficiente de absorção óptica ao longo da amostra para as
amostras de LSCAS com três concentrações diferentes de TiO
2
. Como
observado anteriormente, para altos valores de A
e
, como no caso da amostra
de LSCAS – 3,5%TiO
2
, há mais divergência entre os modelos LAM e BLM.
Para t = t
c
com espessura de aproximadamente 0,1mm, os dois modelos
apresentam o mesmo comportamento para a temperatura, com o aumento dos
valores de t a divergência se desloca para valores maiores de profundidade, e
finalmente, com t = 50t
c
os modelos já não têm o mesmo comportamento para
T(r,z,t).
44
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.1
0.2
0.3
0
1
2
0
1
2
3
4
100 t
c
100 t
c
100 t
c
100 t
c
z (mm)
A
e
=77m
-1
T (ºC)
0.4
1
(b)
100t
C
100t
C
10
-10
A
e
=1061m
-1
A
e
=544m
-1
50t
c
50t
c
50t
c
10t
c
10t
c
10t
c
1t
c
1t
c
1t
c
T (ºC)
z (mm)
(a)
0
10
-10
x/
ω
0e
0
10
-10
0
100 t
c
100 t
c
0
0
2
0
4
0
100 t
c
BLM LAM
Figura 3.7
: Perfil de temperatura para as três concentrações do vidro LSCAS – TiO
2
para
diferentes intervalo de tempo de exposição t (y = 0). (a) atenuação da temperatura para
diferentes intervalo de tempo t e (b) mostra a densidade da atenuação da temperatura ao longo
da amostra para t = 100t
c
calculada pelo modelo BLM.
A Figura 3.7(b) mostra a densidade de atenuação para a temperatura
calculada com o modelo BLM para as três concentrações de LSCAS – TiO
2
.
Isto foi feito durante um intervalo de tempo de exposição ao feixe de excitação
de t = 100t
c
em uma amostra de 1mm. O comportamento de T
BLM
(r,z,t) ao longo
da espessura da amostra, mostra que para A
e
= 77m
-1
a variação de
temperatura é a menor e se mantém quase constante. À medida que os valores
de A
e
aumentam o perfil de temperatura já não é mais uniforme, ocorrendo
uma atenuação significativa ao longo da amostra. Nota-se ainda, que a
variação de temperatura na amostra aumenta com A
e
.
Para o limite de altas absorções as propriedades do Mn [34] foram
utilizadas para gerar o perfil de temperatura para as simulações entre os
modelos BLM e HAM. A Figura 3.8 mostra a comparação do perfil de
temperatura entre BLM e HAM na superfície do Mn. Neste caso, os dois
modelos estão em boa concordância para t = 50t
c
.
45
-10 -5 0 5 10
0
1
2
3
4
5
T (ºC)
x/
ω
0e
BLM
HAM
Figura 3.8
: Perfil de temperatura para o metal manganês na superfície da amostra (z = 0) e
t=50t
c
, comparando os modelos BLM e HAM.
-10 -5 0 5 10
0
1
2
3
4
5
A
e
= 10
3
m
-1
- BLM
A
e
= 10
4
m
-1
- BLM
A
e
= 10
5
m
-1
- BLM
HAM
T (ºC)
r/ω
ωω
ω
0e
Figura 3.9:
Simulação do perfil de temperatura para T
HAM
(0,0,50t
c
) e T
BLM
(0,0,50t
c
). Os dados
utilizados estão na Tabela 3-1 para o manganês metálico. Modelo HAM e BLM.
46
Na Figura 3.9 os dados utilizados para a simulação foram os do
manganês (Tabela 3-1), variando-se os valores do coeficiente de absorção
óptica. Pode-se verificar que quando os valores de A
e
tendem a infinito, neste
caso, da ordem de 10
7
m
-1
o modelo BLM e HAM se equivalem, mostrando que
o HAM é uma boa aproximação para BLM no caso de altas absorções.
A Figura 3.10 mostra um panorama geral dos intervalos de A
e
para uso
das aproximações do modelo BLM. A curvas (a) e (b) mostram que para
A
e
< 200m
-1
e A
e
> 10
7
m
-1
há boa concordância entre o LAM e o BLM e entre o
BLM e o HAM, respectivamente. Isto evidencia que os modelos LAM e HAM
são boas aproximações para o BLM. Em intervalos intermediários aos
mencionados anteriormente faz-se necessário o uso do modelo da Lei de Beer.
0.01 0.1 1
5.04
5.05
5.06
5.07
5.08
5.09
5.10
0 1 2 3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
T (ºC)
A
e
(10
8
m
-1
)
BLM
HAM
(b) Mn
T (ºC)
A
e
(10
3
m
-1
)
BLM
LAM
(a) Vidro LSCAS - TiO
2
Figura 3.10
: Temperatura na superfície da amostra para x = y = z = 0 em função de A
e
para
t = 100t
c
. Os parâmetros utilizados para a simulação das duas amostras estão mostrados na
Tabela 3-1: Parâmetros utilizados para as simulações, sendo Pe a potência incidente na
amostra, Ae o coeficiente de absorção óptica, D a difusividade térmica, k a condutividade
térmica,
0
ω
e
o
raio do feixe de excitação na amostra, tc o tempo característico do espelho
térmico,
ϕ
eficiência
quântica de luminescência,
α
T
coeficiente de expansão térmica linear* e
ν
a
razão de Poisson** foram: a) do vidro LSCAS dopado com TiO
2
e (b) do manganês
metálico.
47
3.2. Perfil de deformação
Determinado o perfil de temperatura na superfície da amostra, é
necessário encontrar o perfil de deformação. Ou seja, a deformação que a
superfície sofreu com o aumento de temperatura devido à incidência do feixe
de excitação.
Considerando o sistema em coordenadas cilíndricas, na aproximação
quase-estática, a equação termoelástica é dada por [36]:
T
( ) u ( u ) ( ) T(r,z,t )
ν ν α
− ∇ + ∇ ∇⋅ = + ∇
r r
2
1 2 2 1
(3.42)
As condições de contorno na superfície (z = 0), na região que é livre de
tensão, são [28]:
r z z
|
σ
=
=
0
0
(3.43)
z z z
|
σ
=
=
0
0
(3.44)
Sendo
u
r
o vetor deformação (Figura 3.11),
T
α
o coeficiente de expansão
térmica linear,
ν
a razão de Poisson e
r z
σ
e
z z
σ
as componentes normais de
tensão (Figura 3.12).
Figura 3.11
: Vetores de deslocamento (setas em azul) indicam o deslocamento de um ponto
da superfície (z = 0) quando aquecida localmente pelo feixe de excitação.
48
Levando-se em consideração que a deformação da superfície tem
simetria axial tal qual sua fonte geradora, a temperatura, podemos expressar a
solução da equação (3.42) em coordenadas cilíndricas, introduzindo o potencial
de deslocamento escalar,
Φ
, e a da função de Love,
ψ
[36].
Sendo
Φ
a solução da equação de Poisson:
(
)
r z t T
r z t
Φ χ
∇ =
2
( , , )
, ,
(3.45)
com
T
1
1
+
=
−
ν
χ α
ν
.
(3.46)
E a função de Love,
ψ
, é a solução da equação biharmônica:
(r,z,t )
ψ
=
∇ ∇
2 2
0
(3.47)
Figura 3.12: Componentes da tensão, sendo
ij
σ
uma componente da tensão, o índice i indica
qual a normal de um plano, e o índice j indica a direção da componente a partir deste plano.
49
As relações de tensão na superfície são dadas por:
z z
E
z
Φ
Φ
ν
σ
∂
= − ∇
+ ∂
−
2
2
2
1
(3.48)
Φ
ν
σ
∂ ∂
=
+ ∂ ∂
−
r z
E
1 r z
(3.49)
z z
E
( )
( )( ) z z
ψ
ν ψ
ν ν
σ
∂ ∂
= − ∇ −
+ − ∂ ∂
=
2
2
2
2
1 1 2
(3.50)
ψ
ν ψ
ν ν
σ
∂ ∂
= − ∇ −
+ − ∂ ∂
=
2
2
2
r z
E
(1 )
(1 )(1 2 ) r z
(3.51)
Sendo E o módulo de Young, parâmetro mecânico que proporciona a
medida de rigidez do material sólido.
Neste caso, a temperatura mantém sua simetria ao longo do eixo z
obtendo as componentes da tensão nas direções r e z [36] .
As relações de (3.48) a (3.51) satisfazem as seguintes condições de
contorno no plano z = 0:
σ σ σ
= = =
− =
= + =
z z z z
z z
z 0 z 0 z 0
0
| | |
(3.52)
σ σ σ
= = =
=
− =
= +
r z r z
r z
z 0 z 0 z 0
0
| | |
(3.53)
A deformação na superfície é dada por:
u ( r ,z,t ) u( r ,z,t ) u( r ,z,t )
→
− =
= +
(3.54)
50
Φ
∂
=
∂
−
z
(r,z,t)
z
u
(3.55)
Φ
∂
=
∂
−
r
(r,z,t)
r
u
(3.56)
ν ψ
ν
∂
= − ∇ −
− ∂
=
2
2
2
z
1
(r,z,t) 2(1 )
1 2 z
u
(3.57)
ψ
ν
=
∂ ∂
=
− ∂ ∂
r
1
u (r,z,t)
1 2 r z
(3.58)
Resolvendo as equações (3.45) e (3.47) com a aplicação das condições
de contorno sobre a tensão, mencionadas anteriormente, podemos obter uma
solução para a equação termoelástica, (eq.(3.42)), e assim determinar o perfil
da deformação superficial na amostra, devido à incidência do feixe de
excitação.
Começando pela equação de Poisson (eq.(3.45)), podemos reescrever
T(r,z,t) no espaço de Hankel-Fourier-t,
α λ
T ( , ,t )
, por meio de suas
transformadas inversas, tal como feito no perfil de temperatura:
( ) ( )
( ) ( )
T T cos J d d
r ,z,t , ,t
z r
α α λ
α λ
λ α
π
∞ ∞
=
∫∫
0
0 0
2
(3.59)
Sendo
T ( , ,t )
α λ
, a mesma descrita na eq.(3.24).
Para satisfazer a equação de Poisson temos que:
( )
( )
( )
( ) ( )
T
, ,t
cos J d d
r ,z,t
z r
α λ
Φ χ α α λ
λ α
π
α λ
∞ ∞
= −
+
∫ ∫
0
2 2
0 0
2
(3.60)
Podemos verificar a solução
Φ
( r ,z,t )
, aplicando-lhe o laplaciano em
coordenadas cilíndricas, eq. (3.8), e teremos:
51
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]
T cos J d d
r ,z,t , ,t
z r
Φ χ α α λ
α λ
λ α
α λ
π
∞ ∞
∇ = −
+
∫∫
2
2 2
0
0 0
2
(3.61)
Assim para que a igualdade da eq. (3.45) seja verdadeira temos que a
sua solução é da forma da eq.(3.60).
De posse desta solução podemos encontrar os termos de tensão
z z
σ
−
,
r z
σ
−
e a deformação
z
u
−
. A componente da deformação em r,
r
u
−
, tem uma
contribuição muito pequena quando comparada a
z
u
−
, e assim pode ser
desprezada.
Partindo da eq.(3.48), temos:
( ) ( )
zz
E E
r ,z,t r ,z,t
r r r
z
Φ Φ
ν ν
σ
−
∂ ∂
∂
= = − −
− ∇
+ +
∂ ∂
∂
2
2
2
2
2
1
1 1
(3.62)
Como as derivadas parciais são em relação a r, somente o termo J
0
(αr)
da
Φ
( r ,z,t )
será relevante, assim:
[ J ( r )] [ J ( r )]
J ( r )
r r r
α α
α α
∂ ∂
− − =
∂ ∂
2
2
0 0
0
2
1
(3.63)
Substituindo em (3.62) :
( )
zz
T( , ,t )
E
cos( z ) J (r )
α λ
χ λ α α λ α
π
ν
α λ
σ
∞ ∞
= −
+
+
−
∫ ∫
3
0
2 2
0 0
2
1
d d
(3.64)
Em z = 0
( )
zz
T( , ,t )
E
J ( r )
α λ
σ χ α α λ α
π
ν
α λ
∞ ∞
−
= −
+
+
∫ ∫
3
0
2 2
0 0
2
1
d d
(3.65)
52
Para o termo de tensão
r z
σ
−
, eq. (3.49), no qual as derivadas parciais, em
relação à r e z, o termo relevante será
( ) ( )
cos J
r r
λ α
0
da
Φ
( r ,z,t )
, desta
forma:
[ ]
cos( z)J (r ) sen( z)J ( r )
r z
λ α αλ λ α
∂ ∂
=
∂ ∂
0 1
(3.66)
Substituindo em (3.49),
( )
( )
r z
T( , ,t )
E
sen z J ( r )
α λ
σ χ α λ λ α λ α
π
ν
α λ
∞ ∞
−
= −
+
+
∫ ∫
2
1
2 2
0 0
2
1
d d
(3.67)
Em z = 0
r z
σ
−
=
0
(3.68)
O próximo passo é tratar a equação biharmônica descrita pela eq.(3.47).
Sua solução geral é a dada pela função de Love e pode ser escrita como:
( )
( )
z
e J ( r )
r ,z
C zG
α
ψ α α
α
∞
−
=
+
∫
0
0
d
(3.69)
Com C e G sendo constantes que satisfazem as condições de contorno
para os termos de tensão, descritos nas equações (3.52) e (3.53). Assim,
iniciaremos o procedimento para obtenção destas constantes com a eq. (3.52),
que mostra:
z z z z
z z
z z z z z z
| |
| |
σ σ
σ σ
= =
= =
− =
= −
+ =
= −
0 0
0 0
0
(3.70)
Utilizando a eq. (3.65) em (3.70), obtemos:
53
( )
zz
T( , ,t )
E
J ( r )
α λ
σ χ α α λ α
π
ν
α λ
∞ ∞
=
=
+
+
∫ ∫
3
0
2 2
0 0
2
1
d d
(3.71)
Agora da condição de contorno exposta em (3.53), temos:
r z z r z z
| |
σ σ
= =
− =
+ =
0 0
0
sendo
r z z
|
σ
−
=
=
0
0
, chegamos a
r z z
|
σ
=
=
=
0
0
(3.72)
Lembrando das relações para
z z
σ
=
e
r z
σ
=
descritas em (3.50) e (3.51) e
da equação de Love, (3.69), podemos escrever que:
( )( )
zz
z
E
e (C G G z G )J ( r )
α
σ α α ν α α
ν ν
∞
−
=
= + + −
+ −
∫
3
0
0
2
1 1 2
d
(3.73)
e
( )( )
r z
z
E
e (C G z G )J ( r )
α
σ α α ν α α
ν ν
∞
−
=
= + −
+ −
∫
3
1
0
2
1 1 2
d
(3.74)
Combinando a eq. (3.72) com a eq.(3.74), temos:
( )( )
z
r z
E
(C G )J ( r )
α ν α α
σ
ν ν
∞
=
=
= − =
+ −
∫
3
1
0
0
2 0
1 1 2
d
(3.75)
C G
C G
ν
ν
− =
=
2 0
2
(3.76)
Substituindo C, eq.(3.76), em (3.73),
54
( )( )
zz
E
G( z)J ( r )
σ α α α α
ν ν
∞
=
= +
+ −
∫
3
0
0
1
1 1 2
d
(3.77)
em z = 0;
( )( )
z
zz
E
GJ ( r )
α α α
σ
ν ν
∞
=
=
=
+ −
∫
3
0
0
0
1 1 2
d
(3.78)
Usando a igualdade de (3.71) e (3.78)
( )( ) ( )
( )
T
E E
, ,t
G d
α λ
λ
π α λ
ν ν ν
∞
=
+
+ − +
∫
2 2
0
2
1 1 2 1
(3.79)
e chamando
T( , ,t )
f( ,t ) d
α λ
α λ
π α λ
∞
=
+
∫
2 2
0
2
(3.80)
obtemos:
1 2
G ( ) f ( ,t )
α ν α
= −
. (3.81)
Assim podemos reescrever C em função da
(
)
f ,t
α
, substituindo (3.81)
em (3.76):
2 1 2
C ( ) f ( ,t )
ν χ ν α
= −
(3.82)
Agora vamos reescrever a equação de Love (3.69), usando (3.81)
e(3.82),
z
( )( z )f( ,t ) e J ( r )
α
ψ χ ν α ν α α α
∞
−
= − +
∫
0
0
1 2 2
d
(3.83)
A deformação total
z
u r z t
( , , )
é dado por:
55
z z
z
u r z t u r z t u r z t
− =
= +
( , , ) ( , , ) ( , , )
(3.84)
Agora nosso trabalho é encontrar
z
u
−
e
z
u
=
. Vamos partir de
z
u
−
fazendo
a substituição de (3.60) em (3.55) temos:
( )
z
T( , ,t )
u sen( ) J ( r )
r ,z,t
α λ
χ λ λ λ α α α
π α λ
∞ ∞
−
=
+
∫ ∫
z d d
0
2 2
0 0
2
(3.85)
Em z = 0,
( )
z
u 0
r ,0,t
−
=
(3.86)
Para
z
u
=
substituiremos (3.83) em (3.57), assim:
( )
2
2
z 0
2
0
z
1
u 2(1 ) (1 2 )( z 2 )f( ,t ) e J ( r )d
r ,z,t
1 2 z
α
ν χ ν α ν α α α
ν
∞
−
=
∂
= − ∇ − − +
− ∂
∫
( )
2
z 0
0
z
u ( z 2 2)f( ,t )e J ( r )d
r ,z,t
α
χ α α ν α α α
∞
−
=
= − − +
∫
(3.87)
Em z = 0, temos:
( )
2
z 0
0
u 2 (1 ) f( ,t )J ( r )d
r ,0,t
χ ν α α α α
∞
=
= − −
∫
(3.88)
Com as equações (3.84), (3.86) e (3.88) podemos escrever a
deformação total em z = 0,
( , , )
z
u r z t
:
( )
2
z 0
0
u 2 (1 ) f( ,t )J ( r )d
r ,0,t
χ ν α α α α
∞
= − −
∫
(3.89)
Sendo:
56
( )
( )
t
D
f d
,t Q( , )e d
α λ τ
α λ λ
α α λ τ
π
∞
−
−
+
= +
∫
∫
1
2 2
0
0
2 2
2
(3.90)
E lembrando que:
( )
t
D
T Q( , )e d
, ,t
α λ τ
α λ τ
α λ
−
+
=
∫
0
2 2
(3.24)
2
0e
2
0e
0
2
1
8
Q( , ) Q( )Q( )
Q( ) Q e
4
ω α
α λ α λ
ω
α
−
=
=
{
}
( ) ( )
=
λ
c
Q F Q z
(3.14)
e e
0
2
0e
2P A
Q
c
ϕ
ρ πω
=
(3.4)
2
0e
c
k
D
c 4t
ω
ρ
= =
(3.91)
Assim como no caso do perfil de temperatura, vamos considerar os
mesmo 3 casos para o termo de Q(z), eq. (3.28), para determinar a
z
u r z t
( , , )
:
a) LAM
{
}
{
}
c c
Q( ) F Q( z ) F ( )
λ πδ λ
= = =1 2
A partir de (3.90), podemos obter a f(α,t) para o caso de baixa absorção:
(3.21)
57
( )
( )
( )
t
2 2
0 0
2
0e
2 2
c
4t
2
e
f Q( )
,t
d d
ω
τ
α λ
α
α
τ λ
π
α λ
∞
−
+
=
+
∫ ∫
(3.92)
Integrando em
λ
e substituindo
Q
α
( )
((3.21)) em (3.89) obtemos:
( )
t
2
0e
0
2
0
2 2
2 2
0e
0e
c
4t
8
f Q e e d
,t
4
α ω τ
ω α
ω
τ
α
α
−
−
=
∫
(3.93)
Substituindo (3.93) em (3.89):
( )
t
2
0e
z 0 0
0
2
2
0e
0e
2
2
c
4t
8
u 2 (1 )Q e e J ( r )d d
r ,0,t
4
α ω τ
ω α
ω
χ ν α α τ
∞
−
−
= − −
∫ ∫
0
(3.94)
E por fim integrando em
α
, temos perfil de deformação total para o modelo
LAM:
1
t
2 2 2
2
0e 0e
z( LAM ) T 0 e 0
c c
0
2 / r /
u ( r ,0,t ) (1 )T A I d
1 (2 / t ) 1 (2 / t )
π ω ω
α ν τ
τ τ
= − +
+ +
∫
(3.95)
Lembrando que
e e
0
2
0e
2P A
Q
c
ϕ
ρ πω
=
,
T
α
é o coeficiente de expansão térmica e
T
1
1
+
=
−
ν
χ α
ν
(3.46)
0
e
P
T
c
ϕ
πρ
=
(3.96)
Sendo I
n
(x) a função de Bessel modificada de primeira ordem.
58
b) HAM
2 2
2
= = =
λ δ
π
c c
e
e
Q( ) F {Q( z)} F ( z)
A
A
A partir de (3.90) , podemos obter a f(α,t) para o caso de alta absorção:
( )
( )
t
1
2 2
e
0 0
2
0e
2 2
c
4t
2
2
f Q( ) e d d
,t
2 A
ω
α λ τ
α α λ τ λ
α
π
π
∞
−
−
+
= +
∫ ∫
(3.97)
Integrando (3.97) em
λ
:
( )
t
e
e
c
f Q( ) Erfc d
,t
A
t
α ω τ
α τ
α
α
=
∫
2
0
0
1
2
(3.98)
Substituindo (3.21), (3.46), (3.96) e (3.98) em (3.89) obtemos o perfil de
deformação total para o modelo HAM:
( )
t
2
0e 0
z( HAM ) T 0
0 0
c
2
0e
2
8
J ( r )
u (1 )T Erfc e d d
r ,0,t
2 t
ω α
αω τ α
α ν τ α
α
∞
−
= − +
∫ ∫
(3.99)
c) BLM
{ }
e
c c
2 2
e
e
A z
A
2
Q F Q z F e
A
−
λ = = =
π + λ
( ) { ( )}
A partir de (3.90) podemos obter a
(
)
f ,t
α
para o modelo da Lei de Beer:
59
( )
( )
t
e
e
e
c
t
A /
f Q( ) e d d
,t
A
ω
α λ τ
π
α α λ τ λ
α
π λ
∞
−
−
+
= +
+
∫ ∫
1
2 2
2 2
0 0
2
0
2 2
4
2
2
(3.100)
Integrando (3.100) em
λ
:
e e e
t
c c
e
e
e
c
A
t
A
Erfc e Ercf
t t
f( ,t ) Q( ) d
A
α ω τ
αω τ ω τ
α
α α τ
α α
−
−
+
=
−
∫
2
0 0
3 2
0
2
0
2 2
4
2 2
e
-A
(3.101)
Substituindo (3.21), (3.46), (3.96) e (3.101) em (3.89) obtemos o perfil de
deformação total para o modelo BLM:
( )
( )
( )
t
2
0e
z( BLM ) T e 0
3 2
e
0 0
c
e 0e
0
c
2 2
e
0e
2
0e
2
c
2
A
4t
8
1
u A T
r ,0,t
1
A Erfc e
A
2 t
A
Erfc J d d
r
e
2 t
α ω τ
α ω
αω τ
α
ν
α α
ω τ
α τ α
α
∞
−
−
−
= − ×
+
− +
−
×
∫ ∫
e
(3.102)
Da mesma forma que foi feito para o perfil de temperatura, faremos uma
análise de como os parâmetros influenciam o comportamento de u(r, z, t). Para
as simulações da deformação superficial, também foram utilizados parâmetros
dependentes do material, equivalendo a situação para a temperatura, na qual a
mesma análise pode ser realizada em qualquer material, pois qualitativamente,
os resultados serão os mesmos. Como mencionado anteriormente.
Vamos considerar para as simulações de u(r,z,t) as equações seguintes:
( )
(
)
( )
c
z( LAM ) T e
e
e
c
c
z
t t
t
e e t
u ( r ,z,t ) ( )T A z e J r d
α
α ω
α ω
α ν α ν α α
α
∞
−
+
−
= − + + −
∫
0 0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
1
8
8
1 2 2
(3.103)
60
( )
( )
2
2
0e
0e
t
z( HAM ) T 0
c
0 0
c
2
c 0e
0e 0
c
c
2
0e
2
0e
2
2
c
z
8
t
4t
z
t
1
u (1 )T e t Erfc
r ,z,t
t 8
2 t
2e t t
t J ( r )
Erf t e d
2 t
α
ω α
α ω
α
αω
α ν α ω
α
ω α
ω α α
α
α
π
∞
−
−
−
= − + +
− +
∫ ∫
2
(3.104)
(
)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
z( BLM )
2
c e 0e
e 0e 0e c
4 2 2
T e 0
3
e
0
2 3 3
e e 0e c 0e e c
c
2
3 2 2
e
2
0e
2
0e
2
c
2 2
e
c
t
4t
t A
4t
u
r ,z,t
2e t t A
tA Erfc t 2 t
A T
1
A
3 A A Erf t 2 t 2 1 e Erfc t A 2 t
2t
A
ω α
α ω
ω
ω ω α
α
ν
π α α β
α α
α ω α α ω
α α
∞
−
−
=
+ +
−
+
−
−
− + + −
−
∫
( )
0
2 2
0e
8
z
z e
e J r d
4
α ω
α
α
α α
−
−
×
(3.105)
O comportamento de u
zBLM
(r,z,t) com relação ao intervalo de tempo e a
contribuição de regiões ao longo da amostra, são analisadas utilizando
simulações com os dados da amostra LSCAS-3,5%TiO
2
que estão mostrada
na Tabela 3-1.
A Figura 3.13 mostra a evolução temporal da deformação da superfície.
Os parâmetros utilizados para esta simulação estão na Tabela 3-1 referentes a
amostra de vidro LSCAS-3,5%TiO
2
, utilizando o BLM (eq. (3.105)). Quando t
aumenta vê-se um aumento na amplitude da deformação da superfície.
61
Figura 3.13:
Simulação da evolução temporal da deformação simulada na superfície para a
amostra de vidro LSCAS – 3,5%TiO
2
(Tabela 3-1) no plano x-z para y = 0. Modelo BLM.
Figura 3.14:
Simulação de um perfil de deformação desde a superfície até 1mm de espessura
da amostra no plano x-z para y = 0. Os parâmetros utilizados foram da amostra de vidro
LSCAS-3,5%TiO
2
mostrados na Tabela 3-1.Modelo BLM.
62
A Figura 3.14 mostra o perfil de deformação desde a superfície até 1mm
ao longo da amostra, para o vidro LSCAS-3,5%TiO
2
(Tabela 3-1), simulada
com o modelo BLM através da eq. (3.105). A deformação induzida se torna
praticamente nula para 0,5mm, confirmando a aproximação para uma amostra
semi-infinita considerada neste trabalho, no qual as amostras de vidros
utilizadas não são muito finas, com espessuras da ordem de 1mm.
Devido às condições de tensão na superfície da amostra e dentro desta,
a deformação é maior na superfície, onde é livre de tensão, e vai se atenuando
ao longo da espessura da amostra, regiões nas quais os termos de tensão têm
maior contribuição, oferecendo resistência à deformação.
-20 -10 0 10 20
0.15
0.30
0.45
0.60
0.75
z = 0mm
z = 0,1mm
z = 0,5mm
z = 1mm
u
z
(nm)
r/
ω
ωω
ω
0e
(A)
-10 -5 0 5 10
0
2
4
6
8
z = 0mm
z = 0,1mm
z = 0,5mm
z = 1mm
u
z
(nm)
r/ω
ωω
ω
0e
(B)
Figura 3.15
: Simulação do comportamento da deformação: (A) u
zLAM
(r,z,t) e (B) u
zHAM
(r,z,t) para
diferentes valores de z com t = 50t
c
. Os valores utilizados para a simulação são da amostra
LSCAS com 0,5%TiO
2
e do Manganês para o LAM e o HAM respectivamente, mostrados na
Tabela 3-1.
A Figura 3.15 mostra a simulação do comportamento para u
zLAM
(r,z,t) e
u
zHAM
(r,z,t) utilizando as equações (3.103) e (3.104) para os modelos
aproximados LAM e HAM, respectivamente. Como esperado a deformação
segue o mesmo comportamento que o modelo BLM, mostrando ser uma boa
uma aproximação para o modelo completo dentro dos valores limites
pertinentes para o coeficiente de absorção óptica.
A Figura 3.16 mostra a deformação da superfície calculada para os
modelos BLM (eq. (3.102)) e LAM (eq. (3.95)) para os vidros LSCAS dopados
com TiO
2
. Podemos observar que a amplitude da deformação ao longo da
63
direção perpendicular à superfície é da ordem de poucos nanômetros no centro
e vai diminuindo a medida que se afasta dele.
-20 -10 0 10 20
0
2
4
6
8
BLM
LAM
u
z
(nm)
x/ω
0e
A
e
=1061 m
-1
A
e
=544 m
-1
A
e
=77 m
-1
Figura 3.16
: Simulação do perfil de deformação dos modelos LAM e BLM para três valores
diferentes de A
e
das amostras de vidro LSCAS dopados com TiO
2
no plano x-z para y = 0,
sendo t = 50t
c
.
Existe boa concordância entre os dois modelos com A
e
= 77 m
-1
. Para os
valores maiores do coeficiente de absorção há uma diferença entre os modelos
de aproximadamente 25% para A
e
= 1061m
-1
e 13% para A
e
= 544m
-1
.
Na Figura 3.6(a), para o mesmo tempo de exposição ao feixe de
excitação, t = 50t
c
, a distribuição de temperatura na superfície tem menor
divergência entre BLM e LAM do que para a deformação (Figura 3.16). Isto se
deve ao fato que a deformação na superfície depende também da variação da
temperatura no corpo da amostra.
64
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
10
20
30
40
BLM - LSCAS-3,5% TiO
2
HAM - LSCAS-3,5% TiO
2
BLM - Mn
HAM - Mn
A
e
= 8x10
7
m
-1
u
z
(nm)
x/
ω
ωω
ω
0e
A
e
= 1061m
-1
Figura 3.17
: Simulação do perfil de deformação dos modelos HAM e BLM das amostras de
vidro LSCAS – 3,5%TiO
2
e o do Mn metálico no plano x-z para y = 0, t = 50t
c
. Os dados estão
mostrados na Tabela 3-1
.
A Figura 3.17 mostra que para a deformação u
z
(r,0,t) para os modelos
HAM e BLM estam em concordância para valores altos de A
e
como no caso do
Mn. Já para a amostra de vidro, o modelo HAM empregado no ajuste assume
um comportamento que não condiz com a deformação real, menor que 10nm,
extrapolando para quase 40nm.
Um ponto importante entre a distribuição de temperatura e o perfil de
deformação é a forma da curva, como mostra a Figura 3.18. A curva de T(r,z,t)
é mais estreita do que u
z
(r,z,t), devido à inércia mecânica da superfície ao
expandir sob a ação da temperatura [29] .
65
Figura 3.18
: Perfil de temperatura (linha sólida) e a deformação da superfície (círculos abertos)
para a amostra vidro LSCAS dopado com 2% de Nd
2
O
3
no plano x-z para y = 0, para o modelo
LAM. Os dados estão mostrado na figura [29].
3.3. Diferença de Fase
No efeito de espelho térmico, a superfície deformada atua como um
elemento óptico causando uma diferença de fase na frente de onda do feixe
refletido, uma pequena perturbação na forma de um atraso de fase adicional na
frente de onda esférica [25]. Esta diferença de fase é dada pela deformação da
superfície vezes o número de onda. Para uma posição qualquer na superfície
deformada da amostra tem-se [35] (Figura 3.19):
z
p
2
(r ,0,t ) 2u (r ,0,t )
π
φ
λ
=
(3.106)
66
Figura 3.19
: Representação da influência da deformação na fase do feixe de prova refletido,
sendo LP o feixe de prova.
Por substituição direta das equações do perfil de deformação
((3.95),(3.99) e (3.102)) em (3.106), LAM, HAM e BLM, respectivamente, e
então obtemos a diferença de fase,
(r ,t )
φ
, nos três modelos:
a) LAM
1
t
2 2 2
2
0e 0e
T 0 e 0
p c c
0
2 / r /
4
(r ,t ) (1 )T A I d
1 (2 / t ) 1 (2 / t )
π ω ω
π
φ α ν τ
λ τ τ
= − +
+ +
∫
(3.107)
Integrando em relação a
τ
, temos:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
LAM
2 2
2
2 2
0 1
2 2
0e
0e 0e
T 0 e c
P
4
0e
2
2
c
2 2
0e 0
2
0e
2
0e c
0e c
2
c
0
2
0e c
2 2
0e
2 2
c
c
0e
r
t
2t t
r
(r ,t )
r r
e I 2r I
2r
4
T A 2 t
1
t
r
1
exp 2t I
2r
2t t
1 2t t
t
r
I
2t t
ω
ω
φ
ω
ω
π
ω ω
α π
ν
λ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
−
=
+
+
+
−
+
+ ×
+
+
+
×
+
( )
2
2
c
1
2
0e c
t
r
2r I
2t t
ω
+
+
(3.108)
67
b) HAM
( )
t
e
T
c
e
J ( r )
( )T Erfc e d d
r ,t
t
ω α
αω τ α
φ α ν τ α
π α
∞
−
= − +
∫ ∫
2
0 0
0
0 0
2
0
2
8
4
1
2
(3.109)
Integrando em relação a
τ
:
( )
( )
( )
e
e
T
HAM
e
P
c
e c
e
c
c
e
e
c
t
t
T
t
e Erfc
r ,t
t
e tt
t
t
J d
r
Erf
t
ω α
ω α
αω τ
ω
π
α
φ α
ν
ω
λ α
ω
αω
α
α
α
α π
∞
−
−
−
= − +
+
− +
∫
2
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
3
2
2
0
2
0
2
2
8
4
4
1
2
2
2
2
(3.110)
c) BLM
( )
[
( )
( )
]
t
e
e e
T
P e
c
e e
c
e
e
e
c
A
t
A T Q A Erfc( )
r ,t
A
t
A
Erfc J ( r )
e
t
e
ω τ
α
α ω τ
αω τ
π
φ α ν
α
λ α α
ω τ
α α τ α
∞
−
−
−
= − − ++
−
∫ ∫
2
0
0
2
0 0
0
0
2
2
2
0
0
8
4
4
1
2
2
3
2
2
1
+ d d
(3.111)
Integrando em relação a
τ
:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
e
BLM
e
e e
c
e c e
e
T
e
e
P
e
e
e e
c
e
e e
e
e
e
c
c
t
t
A
t t
r ,t
t
A Erfc t
e
t
tt A e
A T
( )
A
A
Erf
A A
t
e
A
A t
Erfc
α ω
α ω
ω
α
φ
αω
ω
ω
π
α ν
ω
α α
λ
π
α α
αω τ
α
α
α
α α
ω
∞
−
−
−
=
− +
−
−
−
+
−
−
−
×
∫
2
0
2
0
0
0
0
0
2
2
2 2
0
3
3 2
0
2
3
2
0
2
0
2
2
0
8
4
4
2
2
4
1
2
3
2
2
2
3
4
c
2
2
2
2t
+
c
J ( r )d
t
α α
0
(3.112)
68
3.4. Propagação do Feixe de Prova
Considerando então o feixe de prova após ser refletido pelo espelho
térmico gerado na superfície da amostra, a sua propagação é tratada com a
teoria de difração de Fresnel. A difração de Fresnel por aberturas circulares na
emissão de um feixe de laser, é comumente encontrada em seu sistema
operacional [37]. A solução é baseada na aproximação de Fresnel e no
princípio de Huygens, no qual, a amplitude complexa de uma onda em um
ponto no plano de saída é o resultado da superposição das ondas esféricas
que emanam de todos os pontos do plano de entrada [38]. Matematicamente
podemos descrever da seguinte maneira:
π
π
λ
α
θ
λ
∞
− −
+
=
−
∫ ∫
2
2
PS PE
2
0 0
2
i z r
i 1 cos 2 1
U (t ) U (r ,t ) e r dr d
2 z r
(3.113)
U
PS
(t) é a amplitude e a fase da onda no plano de saída (detector),
U
PE
(r,t) é a amplitude e a fase complexa das ondas no plano de entrada, depois
de refletida pela superfície deformada da amostra. A segunda quantidade do
integrando em (3.113) é o fator de inclinação e a terceira é a atenuação da
onda após percorrer uma distância
2
z r
−
e o último termo é a fase complexa
da onda.
Podemos fazer algumas aproximações para (3.113) [39]:
• Desde que somente pequenos ângulos
α
sejam envolvidos, podemos
aproximar o termo
1 cos
1
2
α
+
≈
;
• Considerando as dimensões transversais do feixe muito menores que a
distância entre os planos de entrada e saída, ou seja, r << z
2
, temos
2 2
z r z
− ≈
;
• Expandindo o termo na exponencial,
(
)
2
2 z r
π λ
−
chegamos a
seguinte aproximação:
( )
2
1
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 r
z r z r z
2z
π π π
λ λ λ
− = + ≈ +
. Esta
expansão é chamada de grau de aproximação de Fresnel.
69
Figura 3.20:
Descrição dos símbolos da integral de difração eq. (3.113).
Com estas aproximações a eq. (3.113) fica da seguinte forma:
2
2
2
0 0
r
i
z
PS PE
U (t ) A U (r ,t ) e r dr d
π
π
λ
θ
∞
−
=
∫ ∫
(3.114)
Todas as constantes estão representadas por A.
Podemos determinar U
PE
(r,t) assumindo que o feixe é composto por
ondas esféricas com raio de curvatura R e distribuição gaussiana dada por:
2
2
PE
r
|U (r ,t ) | Ae
ω
−
=
%
(3.115)
Com à sendo uma constante e
ω
o raio do feixe.
70
Figura 3.21
:Esquema das posições geométricas dos feixes na montagem do ET. LE é o laser
de excitação, LP é o laser de prova, D é o detector, z
1
é a distância entre a cintura do feixe de
prova e a superfície da amostra. z
2
é a distância entre a amostra e o detector,
ω
0p
é o raio na
cintura do feixe de prova,
ω
1p
é o raio do feixe de prova na superfície da amostra,
ω
0 e
é o raio
do feixe de excitação na superfície da amostra e z = 0 é a superfície da amostra.
Por analogia vamos escrever a amplitude complexa do campo elétrico
do feixe de prova,
P
U (r ,t )
, para a configuração do espelho térmico (Figura
3.21) antes de atingir a amostra. De acordo com Siegman, para um feixe
gaussiano no modo TEM
00
a expressão é dada por [39] :
P
2
1P
P
1P
2
2
1
P
1P
i r
r
2 z
R
2P
1
U (r ,t ) e e
π
λ
ω
π ω
− +
−
=
(3.116)
Sendo P
P
a potência incidente e R
1P
é o raio de curvatura em z
1
e
λ
P
comprimento de onda, todos referentes ao feixe de prova. O termo
π ω
P
1P
2P 1
é um fator de normalização,
2
1P
2
r
e
ω
−
é a distribuição gaussiana e
2
1
P
1P
i r
2 z
R
e
π
λ
− +
71
caracteriza uma onda esférica. Considerando que o feixe esteja confinado
numa região onde
1P
R
>> r.
P
U (r ,t )
imediatamente após ser refletido pela superfície deformada da
amostra com uma diferença de fase de
( r ,t )
φ
pode ser escrita como [40, 41]:
P
2
1P
2 2
1
P 1P
r r
U (r ,z ,t ) B exp i (r ,t )
R
π
φ
λ ω
= − + −
(3.117)
Com
1P
P
1
P
2 z
i
1
B 2P e
π
λ
π
ω
−
=
. A potência absorvida pelo feixe de prova é
considerada desprezível se comparada a potência do feixe de excitação.
O feixe de prova refletido pela superfície deformada da amostra que se
propaga até o detector, pode ser tratado com um fenômeno de difração de
Fresnel. Baseado no que vimos sobre difração de Fresnel e no princípio de
Huygens, a amplitude complexa do centro do feixe de prova no detector em
coordenadas cilíndricas pode ser escrita como [25, 38, 39, 42]:
2
P 1 2 p 1
P 2
0 0
2
2
P
P 2
z
2 z
i r
i
i
U ( r ,z z ,t ) e U ( r ,z ,t )e r dr d
Z
π
π
π
λ
λ
θ
λ
∞
−
−
+ =
∫ ∫
(3.118)
Ou ainda,
2 2
P 1 2
2
P 2 P 1P 1P
0
2
2
P
P 2
z
2 z
i r
i
i r r
U (r ,z z ,t ) e B exp i (r ,t ) e 2 r dr
z R
π
π
λ
λ
π
φ π
λ λ ω
∞
−
−
+ = − + −
∫
(3.119)
Fazendo
ω ω
= ⇒ =
2
2
1P 1P
r 2r
g dg dr
, (3.120)
72
π
λ
πω
λ
−
=
2
P
2
1P
1
P 2
2
i Z
i
C B e
Z
, (3.121)
e substituindo na eq. (3.119)
2 2
1P 1P
P 1 2 1
P 1P 2
0
U ( z z ,t ) C exp g i g ( g,t ) dg
R z
ω ω
π
φ
λ
∞
+ = − − + +
∫
(3.122)
Devido à distribuição gaussiana do feixe de prova, valem as igualdades
[43]:
2
2 2
1
1P 0P
cP
z
1
z
ω ω
= +
(3.123)
2 2
1 cP
1P
1
z z
R
z
+
=
(3.124)
2
0P
cP
P
z
πω
λ
=
(3.125)
z
cP
é a distância confocal do feixe de prova.
Utilizando (3.123) e (3.124), podemos reescrever (3.122) da seguinte
forma:
2
cP1 1
P 1 2 1
cP 2 cP
0
z
z z
U ( z z ,t ) C exp g i 1 g (g,t ) dg
z z z
φ
∞
+ = − − + + +
∫
(3.126)
Agora, definindo o parâmetro:
73
2
cP
1 1
cP 2 cP
z
z z
V 1
z z z
= + +
(3.127)
V é um parâmetro geométrico da montagem experimental do espelho térmico.
Assim, (3.124) torna-se:
( )
P 1 2 1
0
1 iV g
i ( g,t )
U ( z z ,t ) C e e dg
φ
∞
− +
−
+ =
∫
(3.128)
Para concluir a expressão de
P 1 2
U (z z ,t )
+
, devemos encontrar a
( g,t )
φ
para cada um dos três modelos, LAM, HAM e BLM. Para isso usaremos
a igualdade
ω
ρ
=
2
0e
c
k
4t c
e a mudança de
ω
=
2
1P
r
g
nas equações (3.108),
(3.110) e (3.112) , e assim encontraremos:
a) LAM
( )
( ) ( ) ( )
φ θ ω π
−
−
= − + + +
+ +
+ − + +
+
1
2
2
LAM ET 0e 0
c c c c
1 0 1
c
gm
gm 2t 2t gm
g,t 2 exp 1 1 2gm I
1 2t t t t 1 2t t
gm
2gmI e 1 2gm I gm 2gmI gm
1 2t t
(3.129)
b) HAM
( )
( )
( )
α ω
ω αω αω
θ
φ α
α α
ω α ω
ω α α
α π
∞
−
= + −
−
+
∫
2
0 e
2
2
2
0e 0e c 0e
ET
HAM
3
c e
0
c c
2 2
c 0e 0e c
0 0e
2
1
8
t t 2t t
g,t Erf
e
t A
2 t 2 t
2 tt exp t 4t
J mg d
(3.130)
74
c) BLM
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 e
2
BLM
2
2 2
c e
e 0e
0e c
0e c
2
ET
3 2
4 2 2
c e
0
e
2
2 2
0e
3
0e
e
3 2c
2 e e
3
2 2
c
c
e
e 0e
c
1
8
g,t
2 tt A exp tA Erfc
t 4t
t 2 t
e
t A
A
t
A
2t
Erf 2 1 exp
A 3 A
2 t
4t t
A
tA
Erfc
2 t
α ω
φ
ω
α ω
αω
θ
α
α α
π
α α
ω
ω α
α
α
α
α
α
ω
∞
−
=
−
− +
−
−
−
+ + − ×
−
−
×
∫
( )
0 0e
J mg d
ω α α
(3.131)
A função Erf(x) é a função erro.
Os parâmetros
θ
ET
e m são dados por:
(
)
α
ν
θ ϕ
λ
+
= −
e e T
ET
P
P A
1
k
(3.132)
ω
ω
=
2
1p
2
0e
m
(3.133)
ET
θ
está correlacionado com propriedades térmicas, ópticas e mecânicas da
amostra. Já o parâmetro m, indica o grau de sensibilidade da técnica dado pela
razão entre os raios dos feixes de prova e de excitação na amostra ao
quadrado.
Os parâmetros m e V são parâmetros geométricos, dependem da
configuração do sistema de medida. m é conhecido também como o grau de
descasamento do sistema. Quando m = 1 os raios dos feixes de prova e de
excitação são iguais.
Dependendo da configuração do sistema de medida podemos obter
diversos valores para m. A sensibilidade associada a este parâmetro requer
cuidados ao ser calculada, podemos obter um mesmo valor de m em situações
diferentes, podemos ter m = 1 para dois raios de feixes exageradamente
75
grandes e iguais ou para raios extremamente pequenos e iguais. Para valores
diferentes de um podemos obter um mesmo valor de m variando os raios dos
feixes.
Considerando o caso em que
1P
r
ω
=
e assumindo que g = 1. A
dependência com o tempo da diferença de fase por unidade de
ET
θ
para o
modelo é
(
)
BLM ET
1,t
φ θ
, a qual foi calculada pela eq. (3.131) e está
representada na Figura 3.22 para a amostra de vidro LSCAS – 3,5%TiO
2
. Na
Figura 3.22(a) o raio do feixe de excitação na amostra foi mantido fixo,
0e
ω
= 44µm. Para esta simulação de
(
)
BLM ET
1,t
φ θ
,
1P
ω
foi variado para se
obter valores para m de 1 até 80, calculado pela eq. (3.133).
0
1
2
0 200 400 600 800 1000
0
1
2
ω
1p
= 100
µ
m
ω
0e
= 44
µ
m
g = 1
A
e
= 1061 m
-1
(b)
(a)
100
45
25
11
4
80
50
30
10
1
m
φ
BLM
(1,t)
/θ
ET
(10
-3
m)
t/t
C
Figura 3.22
: Variação da diferença de fase por unidade de
θ
ET
com t/t
c
usando a eq. (3.131).
Os parâmetros utilizados para a simulação são da amostra de vidro LSCAS – 3,5%TiO
2
(Tabela 3-1).
Neste caso, para m = 80 a variação da diferença de fase com o tempo é
menor do que para m = 1, ou seja, temos que para os maiores valores de m o
76
efeito de espelho térmico é menor e assim menos sensível nesta situação.
Para m = 80 com
0e
ω
= 44µm temos um
1P
ω
= 393µm, aproximadamente nove
vezes maior que o raio do LE na amostra.
Na Figura 3.22(b) o raio de prova
1P
ω
foi mantido constante no valor de
100 µm e
0e
ω
foi variado obtendo valores para m de 4 até 100, também
calculado pela eq. (3.133). Reduzindo o valor de
0e
ω
aumenta o valor de m e a
variação de
(
)
BLM ET
1,t
φ θ
também aumenta com o tempo, ou seja, a
sensibilidade do sistema é maximizada para esta situação. Sendo m = 100
para um raio
1P
ω
= 100µm temos
0e
ω
= 10µm, o raio do feixe de prova é dez
vezes maior que o raio do feixe de excitação na amostra, aumentando a
sensibilidade do sistema. Assim, independente do valor de m podemos
maximizar ou minimizar a sensibilidade dependendo da configuração do
sistema de medida.
Substituindo as eqs.(3.129), (3.130) e (3.131) em (3.128) e integrando
numericamente sobre g, a intensidade I(t) do feixe de prova no detector pode
ser calculada por:
( )
( )
2
1 2
I U
Z Z ,t
t
= +
(3.134)
Assim teremos a I(t) para o BLM e seus modelos aproximados LAM e HAM.
Pelo fato da equação para I(t) ser semi-analítica faz-se necessário,
programas matemáticos para ajustes dos dados experimentais, capazes de
executar os cálculos numéricos com considerável precisão, mediante os
parâmetros geométricos e experimentais fornecidos. Os ajustes teóricos têm
sido desenvolvidos e executados no programa Mathematica versão 5.2, licença
L3206-5660.
De acordo com a eq. (3.134), o sinal do espelho térmico evolui com o
tempo, o que chamamos de resolvido no tempo ou transiente. Por meio do
parâmetro t
c
, mencionado anteriormente, podemos obter a difusividade térmica
do material (D), grandeza relacionada com a transferência de calor num
gradiente de temperatura, de importância fundamental para caracterização de
77
materiais sólidos.
Outro parâmetro muito importante também no método de espelho
térmico é o
ET
θ
, que além de conter informações importantes sobre as
características térmicas, ópticas e mecânicas do material ainda exerce grande
influência sobre a forma da curva da I(t), tal como t
c
, para os 3 modelos.
A Figura 3.23 é uma simulação feita utilizando os parâmetros do vidro
LSCAS – 3,5%TiO
2
(Tabela 3-1) para o BLM que mostra a intensidade do
centro do feixe de prova no detector em função do tempo e a influência dos
parâmetros
ET
θ
e t
c
sobre as formas dos sinais. Os valores de m e V foram
calculados utilizando as equações (3.133).
0.94
0.96
0.98
1.00
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0.94
0.96
0.98
1.00
(b)
t
c
=0,72ms
t
c
=0,80ms
t
c
=0,88ms
θ
ET
=138W
-1
m
-1
(a)
Sinal de ET normalizado (V)
Tempo (s)
θ
ET
/
P
=
124W
-1
m
-1
θ
ET
/
P
=
138W
-1
m
-1
θ
ET
/
P
=
152W
-1
m
-1
m = 71
V = 5,2
ω
0e
= 44
µ
m
A
e
= 1061m
-1
t
c
=0.8ms
Figura 3.23
: Sinal de ET calculado usando o modelo BLM para a amostra de vidro LSCAS –
3,5%TiO
2
(Tabela 3-1): (a) para diferentes valores de t
c
(b) para diferentes valores de
θ
ET
. No
detalhe estão mostrados os valores dos parâmetros utilizados.
A Figura 3.23(a) mostra a mudança na forma do sinal de ET normalizado
para diferentes valores de t
c
. Para a região entre t = 0s e t = 0,05s temos que a
curvatura se torna mais acentuada para valores maiores de t
c
. Nesta
configuração para valores menores de t
c
esta região vai perdendo a forma de
78
curva para e se transformar em uma curva mais quadrada. Isto acontece para
materiais com grande difusividade térmica (D).
A Figura 3.23(b) mostra a variação do parâmetro
ET
θ
na forma do sinal
de espelho térmico normalizado. Para os maiores valores de
ET
θ
podemos
notar que o sinal aumenta ao longo de t, ou seja, o efeito de espelho térmico
gerado é maximizado com o aumento do
ET
θ
, de tal modo que o
ET
θ
pode ser
relacionado com a amplitude do sinal transiente de espelho térmico. Assim, a
variação da amplitude do sinal está relacionada a qualquer mudança das
propriedades térmicas (condutividade térmica, expansão térmica), óptica
(coeficiente de absorção óptica), mecânica (razão de Poisson) e também se o
material for luminescente num determinado comprimento de onda, uma vez
que esta contribuição esta contida no parâmetro
ET
θ
.
0.00 0.04 0.08 0.12
0.94
0.96
0.98
1.00
0
10
20
m = 71
V = 5.2
ω
0e
= 44
µ
m
Dado gerado utilizando BLM
Ajuste teórico utilizando LAM
2.5% TiO
2
(A
e
=544m
-1
)
0.5% TiO
2
(A
e
=77m
-1
)
Sinal de ET normalizado (u.a.)
Tempo (s)
3.5% TiO
2
(A
e
=1061m
-1
)
77 544
1061
θ
ET
t
C
erro (%)
A
e
(m
-1
)
Figura 3.24
: Sinal de espelho térmico normalizado resolvido no tempo gerado pelo modelo
BLM para os vidros LSCAS-TiO
2
e o ajuste teórico usando o modelo LAM. O detalhe mostra a
comparação do erro relativo de
θ
ET
e com o de t
c
para os dados gerados pelo BLM e
ajustados por LAM.
79
A Figura 3.24 simula dados gerados com o modelo BLM e ajustado com
o LAM. Neste caso como é uma simulação, os dados foram gerados por meio
dos parâmetros da Tabela 3-1 para os vidros LSCAS dopados com TiO
2
. Os
valores de m e V estão mostrados no detalhe da figura.
Com o objetivo de verificar o erro induzido ao usarmos o LAM para o
ajuste de dados experimentais, geramos transientes para um conjunto de
parâmetros {
ET c
t
,
θ
} utilizando o BLM. Após isto, o LAM foi utilizado para
ajustar estes transientes e obtivemos um novo conjunto de parâmetros
{
ET c
,t
θ
′ ′
}.
Verificamos que apesar dos ajustes visualmente parecem bons como
mostra a Figura 3.24, a diferença entre {
ET c
t
,
θ
} e {
ET c
,t
θ
′ ′
} cresce com o
aumento do coeficiente de absorção óptica, como mostrado no detalhe da
Figura 3.24, demonstrando que o LAM é uma boa aproximação somente para
A
e
~ 100m
-1
.
Para qualquer intervalo de A
e
podemos usar o modelo BLM, os modelos
HAM e LAM expressam os casos limites de BLM, e podem ser utilizados nestes
casos especiais com a finalidade de diminuir o tempo de ajustes, pois o BLM é
modelo mais complexo em termos de cálculo numérico.
80
Capítulo4.
Amostras e Montagens Experimentais
Neste capítulo apresentaremos algumas características das amostras
utilizadas neste trabalho para aplicações do espelho térmico, bem como as
montagens experimentais para a técnica de espelho térmico e também para
espectroscopia de lente térmica. Técnica esta que será empregada para
comparação de propriedades em comum entre as duas técnicas.
4.1. Amostras
Neste trabalho utilizamos amostras de vidro e metal para estudar o efeito
de espelho térmico tanto no âmbito teórico como no experimental.
As amostras de vidro foram preparadas em um forno a vácuo, disponível
em nosso grupo (Grupo de Estudos dos Fenômenos Fototérmicos - GEFF) da
Universidade Estadual de Maringá.
O vidro utilizado é o aluminato de cálcio com baixa concentração de
sílica (LSCAS), que possui reconhecidas características fotônicas, como alta
energia da banda de condução (~3,5eV), alta condutividade térmica [8, 44], alta
temperatura de transição vítrea T
g
[8, 45], boa resistência contra choques
térmicos [45] e energia de fônons da ordem de 800cm
-1
, a qual é menor do que
a dos outros vidros silicatos [46]. Neste trabalho utilizamos os vidros LSCAS
dopados com titânio (TiO
2
) e neodímio (Nd
2
O
3
).
•
Vidro aluminosilicato de cálcio com baixa concentração de sílica
(LSCAS) dopado com titânio (TiO
2
)
81
Pesquisas relacionadas ao estudo das propriedades termo-ópticas e a
preparação dos vidros LSCAS dopados TiO
2
vêm sendo realizadas pelo GEFF
visando à possibilidade de uso desses materiais como meios ativos para laser
de fentosegundos e laser sintonizáveis na região do visível até infravermelho
próximo [12].
A composição da amostra utilizada foi (% em massa): 41,5% de Al
2
O
3
,
47,4% de CaO, 7% de SiO
2
e (4,1 – x)% de MgO, com x = 2,5% de TiO
2
.
A Tabela 4-1 mostra alguns dos parâmetros térmicos, ópticos e
mecânicos em função da concentração das amostras. Os valores de A
e
foram
obtidos com um laser de bombeio operando em 350nm.
(% em massa de TiO
2
) A
e
(m
-1
) D (10
-3
cm
2
/s) k(W/mK)
T
α
(10
-6
K
-1
)
ν
0,5% 77 6 1,5 7,7 0,29
2,5% 544 6 1,5 7,7 0,29
3,5% 1061 6 1,5 7,7 0,29
Tabela 4-1:
Valores de parâmetros físicos das amostras LSCAS dopadas com TiO
2
em
diferentes concentrações para o coeficiente de absorção óptica (A
e
), da difusividade térmica
(D), da condutividade térmica (k), do coeficiente de expansão térmico linear (
T
α
) e da razão de
Poisson (
ν
) [30].
Figura 4.1
: Amostra de vidro LSCAS dopado com 2,5% de TiO
2
.
•
Vidro aluminosilicato de cálcio com baixa concentração de sílica
(LSCAS) dopado com neodímio (Nd
2
O
3
)
O vidro LSCAS dopado com neodímio em geral apresenta alta eficiência
quântica de luminescência, comparável a dos vidros utilizados como meio ativo
de lasers [22].
82
A Tabela 4-2 mostra algumas das propriedades ópticas, térmicas e
mecânicas destes vidros [8, 9] obtidos na literatura.
Tabela 4-2
: Valores dos parâmetros físicos para a densidade de massa (ρ), dureza (H),
difusividade térmica (α), calor específico (c) e condutividade térmica (κ) para o vidro LSCAS
dopado com Nd
2
O
3
em diferentes concentrações [9].
Os reagentes utilizados na preparação do vidro foram CaCO
3
, Al
2
O
3
,
MgO, SiO
2
e Nd
2
O
3
com as seguintes composições (% em massa): 47,4 CaO,
(41,52 - x) Al
2
O
3
, 7,0 SiO
2
, 4,1 MgO, x Nd
2
O
3
sendo x = 2 (concentração
utilizada).
Figura 4.2
: Coeficiente de absorção óptica em função da concentração de Nd
2
O
3
[8].
O comportamento do coeficiente de absorção óptica em 590nm está
mostrado na Figura 4.2, obtido da literatura. Este mesmo comportamento linear
com a concentração foi observado usando um laser de Argônio em 514nm
83
Figura 4.3
: Amostra de vidro LSCAS dopado com 2% de Nd
2
O
3
.
•
Manganês
Os metais, em geral, são os elementos naturais que apresentam maior
condutividade térmica e elétrica, de brilho intenso e alta densidade [47].
Neste trabalho utilizamos o manganês metálico eletrolítico, fornecido
pelo Prof. Mauricio Antonio Custódio de Melo do Departamento de Física da
UEM.
Uma das principais características do manganês metálico, é de ser um
metal duro e facilmente oxidável [48]. Na forma dióxido de manganês (MnO
2
), o
manganês eletrolítico é usado como cátodo e despolarizador em baterias de
pilha seca, também chamadas de pilhas tipo Leclanché [49]. A composição, de
acordo com o fabricante [50], é: manganês (Mn) > 99,5%, carbono (C) < 0,04%,
fósforo (P) < 0,005%, ferro (Fe) < 0,02% e silício (Si) < 0,01%.
A Tabela 4-3 mostra algumas das propriedades do manganês metálico
estudado [34]:
A
e
(m
-1
) D (10
-3
cm
2
/s)
κ
(W/mK)
T
α
(10
-6
K
-1
)
ν
8 x 10
7
22 7,8 23 0,24
Tabela 4-3
: Valores dos parâmetros do manganês metálico: coeficiente de absorção óptica
(A
e
), difusividade térmica (D), condutividade térmica (
κ
), coeficiente de expansão térmico (
T
α
)
e razão de Poisson (
ν
).
84
Figura 4.4
: Ilustração da amostra de manganês [51].
Tanto as amostras de vidro como a de manganês foram polidas tentando
obter maior homogeneidade e o menor espalhamento possível.
4.2. Espectroscopia de Lente Térmica
A lente térmica foi utilizada conjuntamente com o espelho térmico, para
efeito de comparação entre os parâmetros obtidos pelas duas técnicas, visto
que as duas possuem alguns parâmetros iguais.
A configuração utilizada neste trabalho para a lente térmica foi o modo
descasado, constituída por dos feixes um para excitação e outro de prova com
raios diferentes na amostra.
O fenômeno de lente térmica acontece com a incidência do feixe de
excitação gerando um gradiente de temperatura dentro da amostra. Este
gradiente de temperatura induz uma mudança no índice de refração, fazendo
com que a região iluminada se comporte como uma lente. Devido à formação
desta lente a propagação do feixe de prova na amostra será alterada,
resultando em uma variação de sua intensidade I(t).
No modelo teórico utilizado para o modo descasado temos que a
intensidade do centro do feixe de prova no detector pode ser expressa por [7,
52]:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
LT
2
2
2
c
2mV
I I 1 tan
t 0
t 2t 1 2m V
V
2
1 2m
θ
−
= −
+ + +
+
+
(4.1)
85
Sendo:
e e
LT
P
P A L
ds
k
dT
θ ϕ
λ
= −
0
(4.2)
LT
e
c
t
D
ω
=
2
0
4
(4.3)
cp
z
z
z
V
z z
z
= +
+
2
1
1
2 2
2
1
(4.4)
ω
ω
=
2
1
2
0
P
e
m
(4.5)
V e m são os parâmetros geométricos do sistema fixos durante os
ajustes dos dados experimentais.
LT
θ
é chamado de parâmetro termo-óptico
sendo dependente do coeficiente de absorção óptica (
e
A
), da potência
incidente do feixe de excitação (
e
P
), da condutividade térmica (
k
), do
comprimento de onda do feixe de prova (
P
λ
), da espessura inicial da amostra
(L
0
), da fração de energia absorvida convertida em calor (
ϕ
) e do coeficiente
térmico da variação de caminho óptico (
ds dT
). Vemos que alguns parâmetros
são comuns aos do parâmetro
ET
θ
, o que permite utilizar a lente térmica como
uma técnica para comparação dos dados obtidos por espelho térmico. D é a
difusividade térmica do material.
Os parâmetros
e
ω
0
,
P
ω
1
, z
1
, z
2
e z
cP
são os mesmo descritos no espelho
térmico.
Maiores detalhes sobre a espectroscopia de lente térmica encontram-se
no apêndice A.
86
4.3. Determinação dos Parâmetros Geométricos para as
Técnicas de Espelho Térmico e Lente Térmica
Para o ajuste teórico, tanto da lente térmica (LT) como do espelho térmico
(ET) é necessário estabelecer os parâmetros geométricos da configuração
experimental, tais parâmetros estão presentes na equação de ajuste teórico
das duas técnicas, como m e V ou fazem parte do desenvolvimento dos
modelos teóricos, como
1P
ω
, z
cp
, etc.
O procedimento adotado foi determinar o perfil de intensidade dos feixes
de prova e de excitação, encontrando então, a posição da cintura dos feixes e
o valor do raio nessa posição. Para determinar este perfil, que inicialmente
sabemos ser gaussiano, utilizamos o método denominado pelo autor como
“scanning knife-edge” [53]. Esta técnica é recomendada para medições de
raios acima de 1µm. O aparato experimental é mostrado na Figura 4.5. Este
método consiste em medir o raio do feixe em diferentes posições ao longo do
eixo z (direção de propagação dos feixes), tomando como a origem o centro da
lente que irá convergir o feixe. Dependendo da distância focal da lente
obteremos variados perfis de intensidade para um mesmo laser.
Figura 4.5
: Esquema da montagem experimental para medida de perfil de um laser de feixe
gaussiano.
Um modulador mecânico, de duas pás foi utilizado para interromper o
feixe nas posições escolhidas. A medida do perfil depende da velocidade
angular do modulador
2 f
ϖ π
=
, sendo f sua freqüência e R o raio do centro de
rotação até a posição em que o feixe incide na pá. Um fotodetector é
posicionado atrás do modulador de forma a captar o feixe por completo. É
87
importante que o fotodetector seja posicionado o mais próximo das pás e que
essa distância seja fixa, para minimizar os efeitos de espalhamento. O conjunto
modulador e fotodetector é deslocado ao longo de um trilho. Este fotodetector
está conectado no osciloscópio (
Hewlet Packard 54615B, 500MHz
) que monitora
a intensidade do feixe em uma determinada posição.
Figura 4.6
:Ilustração de uma curva obtida no osciloscópio para medida do raio do feixe em
uma determinada posição, conhecida como função erro (Erf(x)).
Na curva obtida no osciloscópio (Figura 4.6) determinamos o intervalo de
tempo para a variação da potência transmitida do feixe. Este intervalo de tempo
foi determinado considerando-se a variação entre 10% e 90% da potência
transmitida do feixe. Para isto é necessário o cálculo desta potência transmitida
do feixe. Estes valores podem ser alterados, como de 20% a 80%, por exemplo.
Sabemos que a distribuição gaussiana de um feixe no modo TEM
00
é dada por:
(4.6)
P
0
é a potência total do feixe, (x,y) são as coordenadas no plano vertical
do eixo do feixe sendo a origem do feixe localizada no centro do feixe e
ω
é o
raio em qualquer plano transverso quando a intensidade do feixe, I(x,t), que cai
por um fator
e .≈
2
1 0 135
, na distância radial
ω
=
r
. Deste modo 86% da
potência é transportada dentro de um círculo de raio
ω
, sendo interpretado
( )
x y
P
I e
x,y
ω
πω
+
−
=
2 2
0
2
2 2
2
88
como o raio, ou largura, do feixe.
Quando o feixe é verticalmente modulado a potência transmitida é dada
por:
( )
ω ω
πω π ω
∞ ∞ ∞
−∞
+
− −
= =
∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2
0
0
2
2 2 2
2
2 1
x x
x y x
P
P e dx dy P e dx
x
(4.7)
P(x) ou P(x)/P
0
é a função erro. Assim podemos encontrar o raio
ω
a
partir da curva P(x)/P
0
, esta curva é a visualizada no osciloscópio (Figura 4.6).
Assumindo que
R
ω
>>
, o raio do feixe em qualquer posição ao longo de z
pode ser encontrado por:
(
)
. R
t t
ω ϖ
=
−
2 1
0 7803
(4.8)
Sendo fator 0.7803 o valor da integral (eq. (4.7)) e (t
2
- t
1
) o intervalo da
variação de P(x)/P
0
de 0.9 até 0.1.
Com a eq. (4.8) podemos obter o perfil de distribuição gaussiana para o
feixe ao longo de z. A Figura 4.7 mostra um perfil para o feixe de excitação e
um para o de prova, obtidos por este método.
Depois de obtido o perfil, precisamos encontrar seus parâmetros
geométricos, para isso ajustamos a curva do perfil com a seguinte equação:
ω
−
= +
2
0
0
c
z z
y M 1
z
(4.9)
Com
πω
λ
=
2
0
c
z (4.10)
0
ω
é o raio na cintura, z
0
é a posição da cintura ao longo de z, z
c
é a distância
confocal devido à lente,
λ
é comprimento de onda do feixe e M
2
é chamado
de fator de propagação do feixe, é o valor que indica quão próximo um laser
esta de ser um feixe gaussiano ideal. Os feixes gaussianos ideais possuem o
fator M igual a um. Portanto, quanto mais próximo o valor de M estiver de um
89
mais ele será gaussiano.
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
600
200 300 400 500
200
220
240
260
280
(b)
M 0.99±0.04
ω
ωω
ω
0
(59.0±0.9)
µ
µµ
µ
m
z
0
(349.4±0.4) mm
λ
λλ
λ
514.5nm
z
c
2.12cm
Raio do feixe
(
µ
m
)
Distância do modulador até a lente (L3) (mm)
Argônio
Ajuste teórico
M 0.984±0.005
ω
ωω
ω
0
(203.8±0.7)
µ
µµ
µ
m
z
0
(369.3±0.6) mm
λ
λλ
λ
632.8 nm
z
c
= 20.62 cm
Raio do feixe
(
µ
m
)
Distância do modulador até lente (L4) (mm)
He-Ne
Ajuste teórico
(a)
Figura 4.7
: Perfil dos feixes gaussianos: de prova (He-Ne) (a) e de excitação (Argônio) (b). Os
dados experimentais foram ajustados com a eq. (4.9), os valores dos parâmetros obtido do
ajustes estão mostrados na figura.
Tendo
ω
0
, z
c
e z
0
, podemos encontrar valores de
ω
para qualquer
posição ao longo de z (eq.(2.5)) e assim os parâmetros geométricos do sistema,
m e V, mencionados anteriormente.
Abaixo estão as tabelas com os valores dos parâmetros geométricos
obtidos para as técnicas de espelho térmico e lente térmica:
90
•
Amostra: Vidro LSCAS dopado com 2%Nd
2
O
3
LE LP
Potência nominal P
ex
60mW P
pr
2mW
Raio na cintura
e
ω
0
(59 ± 1)µm
P
ω
0
(203,8 ± 0,7)µm
Raio na amostra
e
ω
0
(59 ± 1)µm
P
ω
1
(241 ± 2)µm
Distância confocal z
ce
(2,12 ± 0.08)cm z
cp
(20,62 ± 0.08)cm
Comprimento de onda
ex
λ
514,5nm
P
λ
632,8nm
Fator M M 0,99 ± 0,04 M 0,984 ± 0,005
m V Z
1
Z
2
16,75 0,69 (13,10 ± 0,05)cm (512,20±0,05)cm
Tabela 4-4
:Parâmetros utilizados para as medidas com a amostra LSCAS – 2%Nd
2
O
3
para ET
e LT. z
0e
(distância da cintura do LE até a amostra) = (34,0 ± 0,4)cm. V e m são os parâmetros
geométricos fixos no ajuste teórico, z
1
é a distância da cintura do LP até a amostra e z
2
é a
distância entre a amostra e o detector do LP.
•
Amostra: Vidro LSCAS dopado com 2,5% de TiO
2
LE LP
Potência nominal P
ex
30mW P
pr
2mW
Raio na cintura
e
ω
0
(44,5 ± 0,3)µm
P
ω
0
(199 ± 1)µm
Raio na amostra
e
ω
0
(44,5 ± 0,3)µm
P
ω
1
(291,1 ± 0,6)µm
Distância confocal z
ce
(1,75 ± 0,05)cm z
cp
(2,81 ± 0,08)cm
Comprimento de onda
ex
λ
350nm
P
λ
632,8nm
Fator M M 0,98 ± 0,01 M 0,86 ± 0,01
m V Z
1
Z
2
41,85 1,14 (21,20 ± 0,05)cm (509,60±0,05)cm
Tabela 4-5:
Parâmetros utilizados para as medidas com a amostra LSCAS – 2,5%TiO
2
para ET
e LT. z
0e
(distância da cintura do LE até a amostra) = (20,5 ± 0,1)cm. V e m são os parâmetros
geométricos fixos no ajuste teórico, z
1
é a distância da cintura do LP até a amostra e z
2
é a
distância entre a amostra e o detector do LP.
91
•
Manganês metálico
LE LP
Potência nominal P
ex
60mW P
pr
2mW
Raio na cintura
e
ω
0
(57 ± 1)µm
P
ω
0
(69,8 ± 0,6)µm
Raio na amostra
e
ω
0
(57 ± 1)µm
P
ω
1
(305 ± 1)µm
Distância confocal z
ce
(1,4 ± 0,1)cm z
cp
(2,3 ± 0,5)cm
Comprimento de onda
ex
λ
514,5nm
P
λ
632,8nm
Fator M M 0,98 ± 0,03 M 0,97 ± 0,04
m V Z
1
Z
2
28,66 4,26 (10,10 ± 0,05)cm (550,10±0,05)cm
Tabela 4-6:
Parâmetros utilizados para as medidas com a amostra de Mn para ET. z
0e
(distância da cintura do LE até a amostra) = (23,8 ± 0,5)cm. V e m são os parâmetros
geométricos fixos no ajuste teórico, z
1
é a distância da cintura do LP até a amostra e z
2
é a
distância entre a amostra e o detector do LP.
4.4. Arranjo Experimental para a Técnica de Espelho Térmico
O arranjo experimental utilizado neste trabalho para o ET está
esquematizado na Figura 4.8.
O laser contínuo de Argônio no modo TEM
00
Coherent modelo Innova 90
Plus foi utilizado como feixe de excitação (LE) nos comprimentos de onda de
514,5nm e 350nm. LE passa por duas lentes convergentes de mesma distância
focal (f = 10cm). A primeira lente (L1) foca o LE diretamente no modulador
mecânico (CH) para garantir o menor atraso possível neste dispositivo quando
o LE o atravessa durante a medida, e a segunda lente (L2) tem a função de
fazer com que o LE saía paralelo novamente após ser focado por L1.
\Em alguns experimentos substituímos o modulador por um obturador,
Melles Griot, que controla a incidência do LE, acionado por sinais digitais
provenientes da porta de comunicação paralela do microcomputador. Um
cuidado a ser tomado, é no sentido de minimizar o possível atraso na geração
do sinal, devido à velocidade de abertura do obturador. Isto pode interferir nos
valores dos dados do início do transiente, que é a região mais importante para
92
o ajuste teórico dos dados obtidos. O obturador utilizado é composto por cinco
lâminas que se abrem radialmente e, assim, é possível observar se o laser está
centralizado no ponto de convergência das lâminas.
Figura 4.8
: Esquema da configuração experimental para a técnica de espelho térmico
.
O modulador mecânico é mais utilizado quando é necessário obter um
número maior de médias em uma medida e assim obter dados experimentais
com a menor relação sinal ruído possível. O LE foi focado com uma lente
convergente (L3) de foco f = 25cm, diretamente na amostra (S), atingindo-a
perpendicularmente. O LE é alinhado de forma a passar pelo centro de L3.
Depois que atravessa a amostra o LE, chega ao fotodetector (PD1) que foi
utilizado como gatilho para iniciar a transferência do sinal de ET detectado no
fotodetector (PD2). A amostra está no mesmo plano focal que LE e é
posicionada em um porta-amostra com ajuste fino nas três direções, x, y e z,
facilitando o seu posicionamento e o alinhamento do sistema. Ambos possuem
resposta linear para a variação de intensidade da luz, com tempo de resposta
na escala de micro segundos.
93
Como laser prova (LP) foi utilizado o laser de He-Ne, Uniphase com
5mW de potência nominal, no comprimento de onda de 632,8nm. LP pode ser
atenuado por filtros de densidade neutra posicionados, geralmente, entre L4 e
M3, utilizados em casos em que a amostra absorva o comprimento de onda de
LP. Uma lente convergente (L4) de foco f = 40cm é utilizada para focar o LP,
porém este tem seu foco antes da amostra, para que nesta posição seu
tamanho seja maior do que o LE. A distância entre o foco do LP e a amostra é
z
1
, mencionada anteriormente (Figura 3.21). As Tabela 4-4, Tabela 4-5 e
Tabela 4-6 apresentam estes valores, pois a configuração experimental foi
mudada no decorrer deste trabalho, resultando em diferentes parâmetros
geométricos.
O espelho M3 desvia o LP até atingir M7, este é o espelho que requer o
melhor alinhamento, pois é ele garante que o ângulo de inclinação do LP em
relação à LE, seja pequeno o suficiente para que LP e LE possam ser
considerados colineares. Nesta configuração o ângulo de inclinação é menor
que 2º. O feixe do LP refletido incide do espelho M5 até M7 até alcançar o PD2.
z
2
é a distância entre a amostra é o PD2. Quanto maior z
2
maior é o diâmetro
do LP em PD2, permitindo assim que o seu centro do feixe seja maximizado.
PD2 é equipado com um diafragma de 2mm de diâmetro possibilitando analisar
somente o centro do LP.
Depois da amostra posicionada em z
0e
(distância de L3 até amostra), o
sinal do LP é maximizado em PD2 por meio dos ajustes do espelho M7.
Durante este processo o LE não incide na amostra. Depois de maximizar LP,
LE é liberado para excitar a amostra e o sinal em PD2 aumenta ou diminui,
dependendo se houver a formação de um espelho térmico côncavo ou convexo
na superfície da amostra. Neste momento pode-se amplificar o efeito em PD2
com um ajuste fino em L3, sempre tomando os devidos cuidados para que
esse ajuste fino não faça com que LE se mantenha no centro de L3.
Todo este arranjo experimental foi montado sobre uma mesa óptica, da
marca Melles Griot, tamanho 1,8m x 2,0m.
Quando o feixe já maximizado do LP atinge PD2, simultaneamente o
sinal do LE aciona em PD1 e o sistema de aquisição é iniciado. PD2 está
conectado ao osciloscópio, Hewlet Packard 54615B, 500MHz, e este por sua
vez detecta o sinal gerado em função do tempo em PD2. A curva transiente
94
característica do tempo de formação do ET é transferida para um computador
por meio de um sistema de aquisição constituído por uma placa de
comunicação do tipo GPIB (Ziatech padrão IEE488) e executado no sistema
operacional Windows.
4.5. Arranjo Experimental para Técnica de Lente Térmica
O arranjo experimental utilizado neste trabalho para o ET está
esquematizado na Figura 4.9.
Como podemos observar praticamente o mesmo arranjo experimental foi
utilizado para LT, diferindo somente no sinal que chega ao fotodiodo PD2,
sendo este o LP transmitido e não o refletido pela amostra. Neste arranjo é
possível fazer experimentos nas mesmas condições para as duas técnicas em
uma mesma amostra.
Figura 4.9
: Esquema da configuração experimental para a técnica de lente térmica.
95
Depois do sistema alinhado da mesma forma descrita para o ET, temos
que o sinal no PD2 proveniente do LP. Torna-se mais divergente ao passar
pela amostra com a lente térmica formada e, portanto o sinal diminui. Caso
contrário quando a formação de uma lente térmica for convergente na amostra
o sinal aumenta. Portanto, o processo de alinhamento do sinal de LT, consiste
em minimizar o sinal do LP após passar pela LT na amostra, quando
ds dT
for
negativo, ou maximizá-lo se
ds dT
for positivo.
96
Capítulo5.
Aplicações Experimentais
Neste capítulo faremos algumas aplicações dos modelos para baixa
absorção (LAM), alta absorção (HAM) e o completo (BLM), utilizando o arranjo
experimental descrito no Capítulo 4, os parâmetros do sistema estão
mostrados nas tabelas Tabela 4-4, Tabela 4-5 e Tabela 4-6. As amostras
utilizadas foram os vidros LSCAS dopados com TiO
2
e Nd
2
O
3
e o manganês
metálico.
Para comparar os resultados obtidos pelo método de espelho térmico
vamos utilizar a técnica já consolidada espectroscopia de lente térmica, LT, que
envolve praticamente os mesmos parâmetros que o ET. Os experimentos de
ET e de LT foram realizados nas mesmas condições experimentais. A
configuração do sistema de medida foi organizada de modo a permitir que as
duas técnicas fossem utilizadas sem que a amostra e os elementos ópticos da
montagem experimental não fossem removidos.
Os sub-índices “ET” se referem a parâmetros obtidos pelo espelho
térmico e “LT” aos da lente térmica.
Para todas as amostras os experimentos foram realizados utilizando o
modulador mecânico (Figura 4.8 e Figura 4.9), a freqüência do modulador foi
ajustada de modo a garantir que o tempo fosse suficiente para que amostra
relaxasse termicamente entre um pulso e outro do feixe de excitação, assim
não acumulando o calor gerado entre uma medida e outra.
97
5.1. Modelo LAM aplicado na amostra de vidro LSCAS dopado
com 2% Nd
2
O
3
Primeiramente, a partir dos resultados experimentais do ET podemos
obter
ET
θ
,
ET
c
t
, difusividade térmica D
ET
e a eficiência quântica de
luminescência
ET
η
(eq. (3.5)), para a amostra de vidro LSCAS – 2%Nd
2
O
3
de
espessura 1,5mm. A Figura 5.1 mostra o sinal de ET normalizado para esta
amostra, ajustado com o modelo aproximado LAM. Na figura estão mostrados
os parâmetros geométricos (m e V) utilizados para o ajuste e os obtidos pelo
ajuste (
e
ET
P
θ
e D
ET
).
Para esta amostra o modelo LAM ajusta bem o dado experimental como
pode ser observado na Figura 5.1. Os parâmetros utilizados estão dispostos na
Tabela 4-4.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
m = 16.75
V = 0.69
ω
ωω
ω
0e
= 59
µ
µµ
µ
m
θ
θθ
θ
ET
/P
E
= (
-0.708±0.005)10
3
W
-
1
m
-1
D
ET
= (6.0±0.6)10
-3
cm
2
s
-1
A
e
= (100)m
-1
P
E
= 354mW
P
E
= 236mW
P
E
= 177mW
Dado experiemental
Ajuste teórico - ET(LAM)
Sinal de ET normalizado (u.a.)
Tempo (s)
P
E
= 295mW
Figura 5.1
: Sinal normalizado de ET resolvido no tempo para amostra de vidro LSCAS –
2%Nd
2
O
3
para diferentes potências do feixe de excitação (P
E
). Os dados experimentais foram
ajustados teoricamente com o modelo LAM
.
98
0.00 0.08 0.16 0.24 0.32
-250
-200
-150
-100
-50
0
LSCAS - 2% Nd
2
O
3
Ajuste Linear
θ
ET
(m
-1
)
Potência (W)
θ
θθ
θ
ET
/ P = (- 0.708 ± 0.005)x10
3
W
-1
m
-1
Figura 5.2
:
θ
ET
em função da potência P
E
obtido utilizando-se o modelo LAM para o ajuste do
dado experimental do vidro LSCAS – 2%Nd
2
O
3
.
A Figura 5.2 mostra os valores de
ET
θ
em função da potência de
excitação obtidos pelo ajuste com o LAM. Vê-se que o gráfico descreve um
comportamento linear, o que também indica que o sistema de medida está em
boa condição de alinhamento, sendo
e
ET
P
θ
= (-0,708 ± 0,005)x10
3
W
-1
m
-1
,
obtido pela inclinação do ajuste linear.
É possível também, por meio do comportamento do
e
ET
P
θ
de uma
determinada amostra em função da concentração de um dopante ou em função
da temperatura, por exemplo, fazer uma análise qualitativa do material.
Uma outra característica importante é a difusividade térmica do material,
que indica como o calor se difunde pela amostra. Relacionamos esta
propriedade com o raio do feixe de excitação na amostra e o tempo
característico
ET
c
t
:
ET
2
0e
ET
c
k
D
4t c
ω
= =
ρ
(5.1)
99
De acordo com a eq. (5.1), a unidade de D
ET
é de
(comprimento)
2
/ tempo, que pode por analogia ser comparada à da aceleração
que dá uma idéia de quão rápido o calor pode se difundir no material.
Para a amostra de vidro LSCAS-2%Nd
2
O
3
a D
ET
em função da potência
de excitação é dada na Figura 5.3.
0.20 0.25 0.30 0.35
4
5
6
7
8
Difusividade Térmica 10
-3
(cm
2
s
-1
)
Potência (W)
L
SCAS - 2% Nd
2
O
3
D =( 6.0 ± 0.6 )10
-3
cm
2
s
-1
Figura 5.3
: Difusividade térmica D
ET
em função da potência P
E
obtida utilizando o modelo LAM
para o ajuste do dado experimental do vidro LSCAS – 2%Nd
2
O
3
.
Notamos que não há variação da D
ET
com a potência, Figura 5.3, e o
seu valor médio é de (6,0 ± 0,6) 10
-3
cm
2
s
-1
. O erro na medida foi de
aproximadamente 10%, levando em conta os erros nas medidas dos
parâmetros obtidos pela medida do perfil dos feixes de excitação e prova e do
ajuste teórico de
ET
c
t
.
A precisão no ajuste teórico de um transiente do espelho térmico para a
obtenção do parâmetro
ET
c
t
é de grande relevância, principalmente no início da
curva. Um atraso no sistema de medida tais como, tempo de resposta do
detector ou de um obturador para disparo do feixe de excitação na amostra,
pode gerar um ajuste errôneo de
ET
c
t
. Na montagem experimental deste
trabalho esses atrasos foram minimizados colocando-se o modulador mecânico
(Figura 4.8) entre duas lentes de mesma distância focal, assim a primeira lente
100
atravessada pelo feixe de excitação, foca o feixe no modulador, minimizando
os possíveis atrasos. E a segunda lente tem a função de fazer com que o feixe
de excitação a atravesse e saía o mais paralelo possível.
Para um estudo qualitativo a técnica de espelho térmico pode ser
utilizada também na análise do comportamento da D
ET
em função de uma outra
variável tal como, variação de temperatura na amostra.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
1.00
1.02
1.04
1.06
P
E
= 59mW
P
E
= 88.5mW
P
E
= 118mW
Dado experimental
Ajuste teórico - LT
Sinal de LT normalizado (u.a.)
Tempo (s)
M = 16.75
V = 0.69
ω
ωω
ω
0e
= 59
µ
µµ
µ
m
D
LT
= (5.7 ± 0.6 )10
-3
cm
2
s
-1
θ
θθ
θ
LT
/P =( -1.01 ± 0.01)W
- 1
A
e
= 100m
-1
P
E
= 147mW
Figura 5.4
: Sinal de LT normalizado resolvido no tempo para a amostra do vidro LSCAS –
2%Nd
2
O
3
em função da potência do feixe de excitação (P
E
).
Esta mesma amostra foi medida com a técnica de LT sem ser retirada
da posição em relação à lente que foca o LE (Figura 4.9) na amostra, esta lente
é a referência para o posicionamento de qualquer amostra já que o perfil do
feixe de excitação é medido em relação a ela. A Figura 5.4 mostra o sinal
transiente de LT normalizado para diferentes potências de excitação. Os
parâmetros utilizados para os ajustes e os obtidos pelos ajustes estão
mostrados no gráfico. Foi usada a eq. (4.1) para os ajustes com a LT.
Deste ajuste obtemos os valores de
LT
θ
para cada potência,
consequentemente
e
LT
P
θ
= (-1,01±0,01)W
-1
e
LT
c
t
e assim a difusividade
térmica D
LT
em função da potência.
101
0.00 0.05 0.10 0.15
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
θ
LT
Potência (W)
LSCAS - 2% Nd
2
O
3
Ajuste linear
θ
θθ
θ
LT
/P =( -1.01 ± 0.01 ) W
- 1
Figura 5.5
:
θ
LT
em função da potência P
E
obtido do ajuste teórico (eq.
(4.1)) do dado
experimental do vidro LSCAS – 2%Nd
2
O
3
.
Embora
ET
θ
e
LT
θ
, equações (3.132) e (4.2), respectivamente, tenham
alguns parâmetros em comum, eles não têm o mesmo significado físico já que
suas unidades são diferentes.
Ainda podemos tentar obter uma relação entre
ET
θ
e
LT
θ
que
correlacione os parâmetros que não são comuns entre eles, como por exemplo
ET LT
θ θ
, que pelas eqs.(3.132) e (4.2) , resultaria em:
(
)
( )
T
ET
LT
1
L ds dT
α ν
θ
θ
+
=
(5.2)
Ou seja, de posse dos valores de
ET
θ
e
LT
θ
provenientes dos ajustes do
dado experimental, a espessura da amostra (L) e de algumas propriedades
como, o coeficiente de expansão térmico (
T
α
) e a razão de Poisson (
ν
)
podemos estimar, por exemplo, o valor do coeficiente térmico da variação do
102
caminho óptico (
ds dT
) da amostra.
Da Figura 5.5, uma vez que a montagem experimental foi à mesma para
as duas técnicas, pode-se concluir que a lente térmica confirma as boas
condições de alinhamento por apresentar comportamento linear, tal como
ocorreu no espelho térmico.
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
4.2
4.9
5.6
6.3
7.0
7.7
D
ET
=( 6.0 ± 0.6 )10
-3
cm
2
s
-1
LT - LSCAS - 2% Nd
2
O
3
D
LT
=( 5.7 ± 0.6 )10
-3
cm
2
s
-1
Difusividade Térmica 10
-3
(cm
2
s
-1
)
Potência(W)
ET - LSCAS - 2% Nd
2
O
3
Figura 5.6
:Comparação entre as difusividades térmicas D
LT
(em azul )e D
ET
(em preto )em
função da potência P
E
para o vidro LSCAS – 2%Nd
2
O
3
.
Já a difusividade térmica, é comum nas duas técnicas, podendo ser
usada para comparação. A difusividade térmica da LT, D
LT
, também é dada
por:
ω
LT
2
0e c
4t
, sendo
LT
c
t
o tempo característico da formação do efeito de
lente térmica. A Figura 5.6 mostra a comparação entre a difusividade térmica
para as duas técnicas, calculada com seus respectivos valores de t
c
e o mesmo
raio do LE na amostra,
0e
ω
. Verificamos uma boa concordância entre os
valores obtidos pelas duas técnicas para a difusividade térmica, sendo
D
LT
= (5,7 ± 0,6)10
-3
cm
2
s
-1
e D
ET
= (6,0 ± 0,6)10
-3
cm
2
s
-1
.
Ainda podemos estimar a eficiência quântica de luminescência
η
para o
espelho térmico. Tanto para o ET como para a LT, para se estimar a
η
podemos utilizar a eq. (3.5), sendo o termo
ϕ
contido nas equações para
ET
θ
e
103
LT
θ
.
Para as amostra de vidro LSCAS-2%Nd
2
O
3
excitadas em
ex
λ
= 514nm
o comprimento de onda médio de emissão de luminescência é de
aproximadamente
λ
em
= 1005nm [7]. Os valores estimados para
η
nas duas
técnicas mediante o ajuste teórico dos dados experimentais, usando o modelo
LAM para o ET, e o uso dos parâmetros extraídos da literatura [7-9], foram para
ET
η
= (0,7±0,3)para o ET e
LT
η
= (0,9±0,3) com a LT.
O valor absoluto de
η
depende de vários outros parâmetros contidos em
ET
θ
, bem como em
LT
θ
. Os resultados apresentaram-se próximos entre as
eficiências estimadas por espelho térmico e lente térmica, sendo esta última
uma das técnicas utilizada para a caracterização dos vidros LSCAS-Nd
2
O
3
[7-
10].
Apesar de o ajuste ter sido feito com o LAM, foi testado o ajuste com o
BLM e verificou-se que os resultados variavam pouco, confirmando que a
aproximação LAM é eficiente para baixos valores de absorção óptica.
5.2. Modelo BLM aplicado em amostras de vidro LSCAS
dopados com 2,5% de TiO
2
Para exemplificar o modelo BLM vamos utilizar a amostra de vidro
LSCAS-2,5%TiO
2
de espessura 1.4mm. Os demais parâmetros encontram-se
na Tabela 4-5. Esta amostra tem um A
e
em torno de 500m
-1
que está dentro do
intervalo em que os modelos LAM e HAM não são indicados para ajuste.
As amostras de vidros LSCAS-TiO
2
foram excitadas em
ex
λ
= 350nm.
A Figura 5.7 mostra o sinal normalizado de espelho térmico resolvido no
tempo ajustado com o modelo BLM para diferentes potências de incidência. Os
parâmetros utilizados no ajuste e os obtidos do ajuste estão mostrados nos
gráficos. Vemos que o ajuste com o modelo teórico BLM está em boa
concordância com o dado experimental.
104
Para a Figura 5.7,
ET
θ
em função da potência também apresentou
comportamento linear, sendo
e
ET
P
θ
igual a (3,53±0,04)10
3
W
-1
m
-1
.
0.00 0.03 0.06 0.09
0.945
0.960
0.975
0.990
1.005
M = 41.85
V = 1.14
ω
ωω
ω
0e
= 45 µ
µµ
µm
D
ET
= (6.0 ±0.6 )10
-3
cm
2
s
-1
θ
θθ
θ
ET
/P =( 3.53 ±0.04)10
3
m
-1
W
- 1
A
e
= 544m
-1
P
E
= 31 mW
P
E
= 28 mW
P
E
= 22 mW
P
E
= 19 mW
Sinal de ET normalizado (V)
Tempo (s)
Dado experimental
Ajuste teórico - ET (BLM)
P
E
= 16 mW
Figura 5.7
: Sinal de ET normalizado resolvido no tempo para amostra de vidro LSCAS –
2,5%TiO
2
para diferentes potências do feixe de excitação (P
E
). Os dados experimentais foram
ajustados com o modelo BLM. Os demais parâmetros estão mostrados na Tabela 4-5.
Para efeito de comparação com os parâmetros obtidos para o modelo
teórico BLM, foi utilizada também a LT, medida nas mesmas condições que o
ET (Figura 5.7), com o mesmo procedimento descrito para a amostra de
LSCAS-2%Nd
2
O
3
. Os transientes do sinal de LT estão apresentados na Figura
5.8, juntamente com os parâmetros para ajustes e os obtidos do ajuste.
Para a LT também obtemos um comportamento linear para
LT
θ
em
função de P
e
sendo
e
LT
P
θ
= (-5,09±0,03)W
-1
. Os valores da difusividade
térmica, Figura 5.9, apresentam comportamentos semelhantes ao da amostra
anterior, com a D
ET
um pouco maior que D
LT
, porém a variação fica dentro do
intervalo do erro da medida. As amostras LSCAS dopadas com TiO
2
105
apresentam luminescência no visível quando excitadas no ultravioleta [12]. Em
ex
λ
= 350nm temos
λ
em
= 650nm e os demais parâmetros excluindo
e
P
θ
tanto para ET como para LT, foram adotados com base em dados da
literatura [12, 30, 35, 54], para estimar os valores para
η
. Para valores como
ds dT
, k,
α
T
e
ν
os valores adotados são muito próximos ao do vidro base.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
1.00
1.02
1.04
1.06
1.08
1.10
1.12
P
E
= 16mW
P
E
= 22mW
P
E
= 19mW
P
E
= 28mW
M = 41.85
V = 1.14
ω
ωω
ω
0e
= 45
µ
µµ
µ
m
D
LT
= (5.2 ±0.5 )10
-3
cm
2
s
-1
θ
θθ
θ
LT
/P =( -5.09 ±0.03)W
- 1
A
e
= 544m
-1
Dado experimental
Ajuste teórico - TM (BLM)
Sinal de LT normalizado (u.a.)
Tempo (s)
P
E
= 32mW
Figura 5.8
: Sinal de LT normalizado resolvido no tempo para amostra de vidro LSCAS –
2,5%TiO
2
para diferentes potências do feixe de excitação (P
E
).
0.015 0.020 0.025 0.030
4
5
6
7
8
D
LT
= ( 5.2 ± 0.5)10
-3
cm
2
s
-1
LT
Difusividade Térmica 10
-3
(cm
2
s
-1
)
Potência (W)
D
ET
= ( 6.0 ± 0.6)10
-3
cm
2
s
-1
ET
Figura 5.9
:Comparação entre as difusividades térmicas D
LT
(em azul) e D
ET
(em preto ) em
função da potência P
E
para o vidro LSCAS – 2,5%TiO
2
.
106
Os valores estimados para
ET
η
e
LT
η
são respectivamente (0,7±0,2) e
(0,7±0,3) os quais estão em boa concordância entre eles e com dados da
literatura [30].
5.3. Modelo HAM Aplicado a Amostra de Manganês Metálico
Para o HAM, a aproximação do modelo BLM quando
e
A
→∞
, vamos
utilizar medidas feitas na amostra do metal manganês (Mn) altamente
absorvedor com A
e
da ordem de 10
7
m
-1
(Tabela 4-2).
A Figura 5.10 mostra o sinal de ET normalizado resolvido no tempo para
diferentes potências P
e
para a amostra de Mn ajustado com o modelo teórico
HAM. Os parâmetros geométricos utilizados para o ajuste e os parâmetros
obtidos no do ajuste são mostrados na figura e na Tabela 4-6. A amostra foi
excitada em
ex
λ
= 514nm. Vemos que para t > 20ms os transientes já estão no
estado estacionário.
0.000 0.015 0.030 0.045
0.88
0.92
0.96
1.00
P
e
= 9.64mW
m = 28.66
V = 4.245
ω
ωω
ω
0e
= 57
µ
µ µ
µ
m
θ
θθ
θ
ET
/P
e
= (4.63±0.05)10
8
W
-1
m
-1
D
ET
= (24.9±2)10
-3
cm
2
s
-1
Α
ΑΑ
Α
e
= 7.86 10
7
m
-1
Sinal de ET normalizado (u.a.)
Tempo (s)
P
e
= 8.57mW
P
e
= 6.43mW
P
e
= 7.50mW
Dado experimental
Ajuste teórico - ET (HAM)
Figura 5.10
: Sinal de ET normalizado resolvido no tempo para amostra de Mn metálico em
diferentes potências do feixe de excitação (P
E
). Os dados experimentais foram ajustados
teoricamente com o modelo HAM.
107
A Figura 5.11 mostra o comportamento de
ET
θ
em função da potência
incidente na amostra para valores de
ET
θ
obtidos com o ajuste pelo HAM para
o transiente inteiro, chamado na figura de transiente longo, e para um tempo
correspondente a 20
ET
c
t
do transiente, chamado de tempo curto. Os valores
para
e
ET
P
θ
são praticamente iguais e possuem comportamento linear para
ajustes com tempo curto e tempo longo.
0.006 0.008 0.010
-400
-300
-200
θ
ET
/P
e
= (-4.70±0.08)10
8
m
-1
W
-1
(transiente curto)
θ
ET
10
4
(m
-1
)
Potência (W)
θ
ET
/P
e
= (-4.63±0.05)10
8
m
-1
W
-1
(transiente longo)
Transiente curto (20 t
c
)
Transiente longo
Ajuste linear (20 t
c
)
Ajuste linear (transiente longo)
Figura 5.11
:
θ
ET
em função da potência P
E
obtido do ajuste teórico usando o modelo HAM
para o dado experimental no manganês metálico.
Em se tratando de um material opaco, não há a possibilidade de fazer
medidas com a LT. Assim comparamos o resultado obtido para difusividade
térmica, cujo valor médio foi D
ET
= (24,8±2)10
-3
cm
2
s
-1
, com a difusividade da
literatura [34], calculada com os valores de k,
ρ
e c cujo valor foi
22x10
-3
cm
2
s
-1
. Nota-se uma boa concordância entre eles. E ainda com estes
valores da literatura foi possível estimar o valor teórico para
e
ET
P
θ
= - 4,5x10
8
m
-1
W
-1
, valor este muito próximo tanto para
e
ET
P
θ
do ajuste
do transiente longo como para o curto (Figura 5.11).
Como a D
ET
é muito alta quando comparada às outras amostras de vidro
108
estudadas neste trabalho, da ordem de 6x10
-3
cm
2
s
-1
, o valor de
ET
c
t
é baixo, da
ordem de 0,3x10
-3
s, o que implica na queda rápida do transiente da Figura 5.10,
ocorrendo em t < 10ms.
Com estas três amostras, de valores diferentes de A
e
, mostramos que o
modelo teórico do ET pode ser utilizado para qualquer amostra a fim de
encontrar parâmetros térmicos, ópticos e mecânicos. A técnica ainda pode ser
utilizada em estudos qualitativos, quanto a comportamento dos parâmetros
envolvidos mediante a alteração de condições externas, tal como uma variação
de temperatura na amostra.
109
Capítulo6.
Conclusão
Neste trabalho apresentamos um método fototérmico, de natureza
remota, para análise de materiais sólidos que apresentam deformação
superficial devido ao aquecimento via laser. Além de apresentar um
alinhamento simplificado entre os feixes de excitação e prova, foi proposto um
modelo teórico resolvido no tempo, o qual descreve a deformação superficial
por meio da equação termoelástica e fornece a intensidade do feixe de prova
no detector.
Este método pode ser adicionado as técnicas fototérmicas empregadas
no estudo de materiais sólidos, baseado na deformação superficial e
fornecendo propriedades térmicas, ópticas e mecânicas. Tais propriedades
como, por exemplo, a difusão e condução de calor, dureza, expansão
superficial entre outras propriedades de materiais sólidos, são de extrema
importância por fazerem parte da pesquisa base para desenvolvimento de
novas tecnologias.
O modelo teórico proposto para o espelho térmico pode ser considerado
um tratamento matemático completo de análise de um processo físico a
conversão de luz em calor e conseqüente deformação superficial, por abranger
todas as etapas de evolução do processo:
•
A parte térmica tratada por meio da solução da equação de difusão de
calor foi feita para materiais com qualquer valor de coeficiente de
absorção óptica;
•
A deformação superficial causada pela variação de temperatura no
material, tratada pela resolução da equação termoelástica, que leva em
consideração os termos de tensão, resultando em uma expressão geral
para a deformação na direção de propagação do feixe de excitação
(direção z);
•
E por fim, a equação que descreve a intensidade do centro do feixe de
prova no detector, já que ao ser refletida na superfície deformada, sua
110
frente de onda é submetida a uma diferença de fase, resultando em uma
alteração no campo elétrico inicial do feixe.
Foi obtida uma equação analítica, em termos de uma integral numérica,
que descreve a intensidade do centro do feixe de prova no detector, I(t).
O BLM ainda pode ser dividido em dois modelos o LAM e o HAM, que
são aproximações para materiais com baixo e alto coeficiente de absorção
óptica. Os quais facilitaram os ajustes em termos do tempo de computação.
Ambos os modelos de aproximação apresentaram boa concordância com o
modelo completo dentro de seus limites, quanto à absorção do material.
Com a aplicação do espelho térmico nas amostras de vidro LSCAS
dopado com 2% de Nd
2
O
3
e 2,5% de TiO
2
que abrangem um intervalo
aproximado entre 100m
-1
e 600m
-1
, os resultados dos ajustes, cuja curva
teórica descreveu a experimental, foram satisfatórios. Os valores obtidos para a
difusividade térmica foram muito próximos daqueles obtidos pela técnica de
lente térmica.
Com o parâmetro
ET
θ
,que apresentou característica linear em relação a
potência, obtivemos a eficiência quântica de luminescência, uma outra
propriedade óptica de grande interesse para caracterização de materiais para
utilização como meio ativo para lasers, que dentro do erro experimental
também apresentou razoável concordância com os valores obtidos pela lente
térmica.
Uma característica importante do método de espelho térmico é sua
utilização para a caracterização de materiais semitransparentes e opacos. O
material opaco utilizado para teste foi o manganês metálico, pertecente a
classe dos metais, os quais não podem ser caracterizados por técnicas de
transmissão, como por exemplo, a lente térmica. Para este material, altamente
absorvedor no espectro visível, comparamos os valores obtidos difusividade
térmica com os obtidos na literatura, que se mostraram em boa concordância.
O método de espelho térmico mostrou-se uma promissora ferramenta
para a caracterização de materiais sólidos, desde transparentes a opacos. O
método permitiu ainda a determinação da deformação superficial na escala de
nanometros.
111
Apêndice
A. Espectroscopia de Lente Térmica
Cronologicamente a história da lente térmica começa em 1965 com
Gordon e colaboradores [55] que descreveram o fenômeno em amostras
líquidas de baixa absorção, dentro da cavidade ressonante de um laser de
He-Ne. Já em 1966, Rieckhoff [56] apresenta a montagem extracavidade. Em
1973, Whinnery e Hu [57] reconheceram que a configuração com a amostra
colocada fora da cavidade seria mais flexível e poderia resultar em medidas de
baixas absorbâncias. O modelo teórico foi consolidado em 1982 por Sheldon e
colaboradores [38] considerando a natureza aberrante da lente térmica
formada.
A configuração com dois feixes no modo casado foi desenvolvida em
1976 por Swofford e colaboradores [58]. Modo casado é a denominação para a
configuração de dois feixes com o mesmo raio na amostra.
O modo descasado foi apresentado por Higaishi e colaboradores [59]
para a determinação da ordem de p.p.b. (parte por bilhão) de NO
2
(o gás de
nitrogênio foi obtido diretamente da atmosfera, sendo separados dos demais
componentes por método de permeação), mostrando ser um método mais
sensível do que os espectrômetros convencionais que detectavam p.p.m.
(parte por milhão). A denominação modo descasado se deu à configuração
com dois feixes com raios diferentes na amostra. A modelagem teórica final
para esta configuração foi desenvolvida e proposta por Shen e colaboradores
[60], sendo amplamente utilizada para análise de materiais sólidos, líquidos e
gasosos.
O efeito de lente térmica tal como o de espelho térmico é um fenômeno
fototérmico baseado na transformação da energia luminosa em calor. Um
gradiente de temperatura é gerado pelo feixe de excitação na amostra que se
assemelha a uma lente, daí o nome lente térmica. Esse gradiente de
temperatura modifica o índice de refração na região iluminada pelo feixe de
excitação na amostra.
112
A configuração que utilizamos neste trabalho é no modo descasado,
Figura A.1
,
nesta situação o feixe de prova ao atravessar a lente térmica
gerada sofre uma divergência ou convergência dependendo da amostra.
Figura A.1
: Representação do experimento de LT com feixe duplo no modo descasado. A é a
amostra; LP é o feixe de prova; LE é o feixe de excitação;
ω
1
P
e
ω
0
e
são os raios dos feixes de
prova e de excitação na amostra respectivamente;
ω
0
P
é o raio do feixe de prova em sua
cintura; z
1
é a distância confocal do feixe de prova; z
2
é a distância entre o centro da amostra e
o detector (D). A origem do eixo está localizada na cintura do feixe de prova.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
1,36
1,40
1,44
1,48
1,52
0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20
0,39
0,42
0,45
0,48
0,51
Sinal de Lente Térmica (u.a.)
LSCAS dopado com Európio
Lente térmica convergente
A
B
Tempo (s)
Bebida de Café
Lente térmica divergente
Figura A.2
:Representação do sinal para a formação de uma lente térmica: (A) convergente e
(B) divergente.
A divergência do feixe de prova ocorre se o coeficiente térmico do
caminho óptico (
ds dT
) for negativo e a convergência se
ds dT
for positivo. A
113
Figura A.2 mostra um exemplo de LT convergente e divergente para a as
amostras do vidro LSCAS dopado com európio e da bebida de café,
respectivamente.
Vamos discutir brevemente a teoria proposta por Shen para o modelo de
LT para baixa absorção óptica.
A.1. Perfil de Temperatura
O aumento de temperatura na amostra é dado pela solução T(r,t), da
equação difusão de calor [33, 61] dada por:
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
c T k T Q
r,t r,t
r
t
ρ
∂
∆ − ∇ ∆ =
∂
2
(1.1)
Com as seguintes condições de contorno:
(
)
(
)
T ,
r,
r
∆ =
< ∞
0
0
(1.2)
(
)
(
)
T ,
,t
t
∆ =
∞
>
0
0
(1.3)
Sendo Q(r) o termo de fonte, c é o calor específico,
ρ
é a densidade, k
é a condutividade térmica e
∆
T(r,t) é a variação de temperatura na amostra
induzida pelo laser de excitação. Este modelo considera a amostra com
dimensões infinitas, em que o equilíbrio da LT não poderia ser alcançado.
O termo Q(r) descreve o calor induzido na amostra devido à parte da
absorção do laser de excitação a uma distância r, e é dado por:
(
)
(
)
e e
Q I A
r r
=
(1.4)
A
e
é o coeficiente de absorção óptica no comprimento de onda do feixe de
excitação dado em e I
e
(r) descreve a intensidade do feixe de excitação (modo
114
TEM
00
) que pode ser escrito como:
( )
ω
πω
−
=
2
0
2
2
0
2
2
e
e
e
e
r
P
I e
r
(1.5)
Em que P
e
é a potência incidente e
ω
0e
é o raio na amostra ambos do feixe de
excitação.
A solução da eq. (1.1) é da seguinte forma [33, 61]:
( )
( )
( )
t
T Q G dt dr
r ,t r ,r ,t
r
∞
′ ′
∆ = ′ ′
′
∫∫
0 0
(1.6)
Com
(
)
G
r,r ,t
′ ′
sendo a função de Green para o aumento de temperatura do raio
r e tempo t’ para a fonte de calor em r’ expressa por:
( )
π
+ ′
−
′
′
=′ ′
′
′
2 2
0
4
1
2
4
r r
Dt
r r
G e I
r ,r ,t
Dt
k t
(1.7)
D da mesma forma que no ET representa a difusividade térmica que
também pode ser escrita como
ω
ρ
= =
2
0
4
e
c
k
D
c t
, sendo t
c
o tempo característico
de LT. I
0
é a função de Bessel modificada de ordem zero.
Substituindo as eqs. (1.4), (1.5)e (1.7) em (1.6) e calculando a integral
em r’ chegamos em:
( )
(
)
ω
π ρω
−
′
+
′
∆ =
′
+
∫
2
0
2
2
0
0
2
2
1
2
1
2
1
e
c
t
e e
e
c
r
t
t
P A
T e dt
r ,t
t
c
t
(1.8)
115
A.2. Determinação da Variação do Caminho Óptico do Feixe de
Prova (
ds dT
)
A variação do índice de refração da amostra com a temperatura pode ser
escrita como:
( ) ( )
dn
n n T
r,t r,t
dT
= + ∆
0
(1.9)
Em que n
0
é o índice de refração para a temperatura inicial e
dn dT
é a
variação do índice de refração com a temperatura, chamado de coeficiente
térmico do índice de refração da amostra.
Em amostras sólidas a fração de energia absorvida do laser excitação
que foi convertida em calor muda não só o índice de refração da amostra, mas
também sua espessura, ou seja, há uma variação no caminho óptico s(r,t) com
a temperatura T(r,t), podemos descrever essa relação, inicialmente, como [22]:
(
)
(
)
(
)
s n L
T T T
=
(1.10)
Sendo n(T) e L(T) o índice de refração e a espessura da amostra,
respectivamente. Como resultado tem-se um cilindro de calor gerado pelo laser,
que é muito menor do que o diâmetro da amostra. Assim, a variação do
caminho óptico determinará a convergência ou divergência da LT [62].
A mudança no caminho óptico referente aos planos de incidência e
saída após a formação da lente térmica com relação ao eixo está representada
na Figura A.3. Que podemos expressar como:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
s n L L L n L
r ,t r ,t r ,t ,t r ,t ,t ,t
∆ = + ∆ − ∆ −
0 0 0
(1.11)
Expandindo a (1.11) em série de Taylor obtemos:
116
( ) ( ) ( )
( )
T T
n
dL dn
s L T T
r ,t r ,t ,t
L
dT dT
−
+
∆ = ∆ − ∆
0 0
0
0
0
1
0
(1.12)
ds
dT
Figura A.3 :
Representação da mudança no caminho óptico depois da formação da LT devido
ao aumento de temperatura (representado em vermelho) na amostra. L
0
é a espessura inicial
da amostra e
(
)
∆L
r ,t
a variação do caminho óptico.
Em que L
0
é a espessura da amostra, n
0
é o índice de refração para a
temperatura T
0
, e
ds
dT
é o coeficiente térmico da variação do caminho óptico
da amostra. O primeiro termo da equação se refere à variação da espessura da
amostra enquanto o segundo se refere à variação do índice de refração.
A.3. Diferença de Fase
Assim como no ET ao passar pela lente térmica, o feixe de prova terá
uma distorção na sua frente de onda. Esta distorção pode ser escrita como
uma diferença de fase adicional, que é relacionada com a mudança no
caminho óptico em relação ao eixo, que utilizando a eq. (1.12), tem-se:
117
( ) ( ) ( ) ( )
( )
π π
φ
λ λ
= ∆ = ∆ − ∆
LT 0
P P
2 2 ds
s L T T
r ,t r ,t r ,t 0,t
dT
(1.13)
(
)
LT
r ,t
φ
é a diferença de fase induzida no feixe de prova, quando este passa
pela lente térmica e
λ
P
é o comprimento de onda do feixe de prova.
Substituindo a eq. (1.8) em (1.13), temos:
( )
( )
( )
ω
θ
φ
−
+
′
′
=
′
−
+
∫
2
0
2
0
2
1
2
1
1
1 2
e
c
t
LT
LT
c c
r
t t
dt
r ,t
e
t t t
(1.14)
θ
λ
= −
0e e
LT
P
P A L
ds
k
dT
(1.15)
Sendo
LT
θ
um parâmetro de ajuste que fornece informações sobre
características térmicas e ópticas da amostra.
LT
θ
da LT difere do
ET
θ
pela
unidade, pois o
ET
θ
também traz informações sobre características mecânicas
da amostra, sendo assim não possuem o mesmo significado físico.
Para obter a eficiência quântica de luminescência descrita na eq. (3.5), o
termo que representa a fração de energia que não foi convertida em calor, no
caso de amostras luminescentes [62],
ϕ
, é multiplicado a eq.(1.15), tornando-
se:
e e
LT
P
P A L
ds
k
dT
θ ϕ
λ
= −
0
(1.16)
A.4. Propagação do Feixe de Prova
A
amplitude complexa do campo elétrico do feixe de prova no modo
TEM
00
imediatamente após sair da amostra, que está sujeito a uma diferença
de fase
(
)
LT
r ,t
φ
devido à formação da lente térmica,
(
)
P
U
r ,z ,t
1
, e pode ser
118
expresso como [39]:
( )
π
φ
λ
ω
+
= − −
2
2
1
2
1
1
LT
P
P P
P
r
r
(r ,t )
U B exp i
r ,z ,t
R
(1.17)
Em que
π
λ
π ω
−
=
1
1
2
2
1
P
e
P
i z
P
B e
(1.18)
P
ω
1
é o raio do feixe de prova na amostra e z
1
é distância da cintura do feixe de
prova até a posição da amostra.
A propagação do feixe de prova depois de atravessar a amostra até o
detector, também pode ser descrita a partir da teoria de difração de Fresnel,
que vimos na propagação do feixe de prova para o ET. Considerando o centro
do feixe de prova no detector e a eq. (1.17), a amplitude complexa em
coordenadas cilíndricas no detector,
(
)
p
U
r ,z z ,t
+
1 2
, é dada por [60]:
( )
( )
( )
φ
∞
− −
+
=+
∫
21 2
0
1
LT
p
g i
i V
g,t
U C e e dg
r ,z z ,t
(1.19)
Sendo z
1
+z
2
a distância entre a cintura do feixe de prova e o plano de detector,
π
λ
πω
λ
−
=
2
2
1
2
2
2
P
P
P
z
i
i
C B e
z
, (1.20)
cp
z
z z
z
V , z z V
z z z
z
= + >> → =
+
2
1 1
1
2 1
2 2 2
2
1
, (1.21)
e
( )
( )
( )
(
)
θ
φ
ω
−
+
′
′
= =
−
′
+
∫
2
2
1
0
2
1
2
1
1
1 2
c
t
LT
LT
c c P
mg
t t
r
dt com g
g,t
e
t t t
.
(1.22)
119
ω
ω
=
2
1
2
0
P
e
m
(1.23)
m é a razão entre os raios do feixe de prova e excitação na amostra, igual ao
ET, indica o grau de sensibilidade da técnica de LT. E o parâmetro V é o
mesmo parâmetro tal qual no ET, correlacionando parâmetros geométricos do
sistema.
Para o caso de
1
φ
<<
é feita a aproximação
(
)
φ
φ
−
≈
−
i
e
1 i
para a LT
permitindo obter uma equação final de ajuste analítica.
Por meio da aproximação para
1
φ
<<
e as equações (1.22) e (1.19) e
integrando em g e em t’, o resultado da intensidade no centro do feixe de prova
no detector,
( )
( )
= +
2
P
1 2
I U
r ,z z ,t
t
, é:
( ) ( )
( )
( )
( )
θ
−
= −
+ + +
+
+
2
1
LT
2
2
2
c
2mV
I I 1 tan
t 0
t 2t 1 2m V
V
2
1 2m
(1.24)
I(0) é o valor para I(t) quando t ou
LT
θ
é zero.
Um segundo termo da eq. (1.24) procedente da aproximação na integral
de Fresnel, depois de se verificar através de cálculo numérico, foi desprezado,
assim sendo a eq. (1.24) é a equação analítica final de ajuste teórico para os
dados experimentais obtidos pelo método de LT.
120
Referências
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