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VANJA MARINA PRATES DE ABREU
A CALCULADORA COMO RECURSO DIDÁTICO NOS
ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
Campo Grande/MS
2009
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FICHA CATALOGRÁFICA
Abreu, Vanja Marina Prates
A calculadora como recurso didático nos anos iniciais do ensino
fundamental / Vanja Marina Prates Abreu – Campo Grande, MS, 2009.
134 f. 30 cm
Orientador: Luiz Carlos Pais.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.
Centro de Ciências Humanas e Sociais.
1. Calculadora. 2 Livros didáticos. I. Pais, Luiz Carlos. II. Título.
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VANJA MARINA PRATES DE ABREU
A CALCULADORA COMO RECURSO DIDÁTICO NOS
ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada como exigência
final para a obtenção do grau de Mestre em
Educação à Comissão Julgadora da
Universidade Federal de Mato Grosso do
Sul sob a orientação do Professor Dr. Luiz
Carlos Pais.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
Campo Grande/MS
2009
COMISSÃO JULGADORA:
_________________________________________
Prof. Dr. Luiz Carlos Pais
_________________________________________
Prof. Dr. Francisco Hermes Santos da Silva
_________________________________________
Prof. Dr. José Luiz Magalhães de Freitas
_________________________________________
Profa. Dra. Marilena Bittar
Ao meu esposo João Henrique e meus filhos
Marcus Vinícius e Camila, pelo amor e estímulo
nos momentos mais estressantes advindos do
processo em que estudo e trabalho se
intercalavam, e pela compreensão que tiveram
quando me ausentei nos momentos necessários de
estudo. A eles dedico mais esta conquista.
AGRADECIMENTOS
Agradeço pela ajuda e paciência de meu orientador, professor Dr. Luiz
Carlos Pais, por me fazer perceber que fazer matemática está à altura de qualquer um
de nós e pode ser visto como uma ação humana.
Aos colegas de grupo de estudo pelo apoio.
À Escola Estadual Adventor Divino de Almeida, na pessoa do Diretor
Professor Inivaldo Gisoato, e Coordenadores, pela compreensão nos momentos de
estudo pelo apoio para que eu pudesse participar nos eventos provenientes da fase de
estudante.
Aos meus pais, por nortearem meu caminho na perspectiva de me fazer uma
pessoa melhor.
Aos meus irmãos, por terem me incentivado a trilhar no caminho da
Educação.
Aos Professores João Mena e Neila, pelo convite para participar dos
primeiros estudos de grupo, que acabou gerando a necessidade de ingressar neste
Mestrado.
Acima de tudo, agradeço Àquele que me amparou e me fortaleceu em todos
os momentos de minha vida, provendo saúde, equilíbrio e sabedoria para as decisões
mais difíceis, a Jeová todos os créditos.
RESUMO
Esta pesquisa tem como objeto a calculadora no Ensino Fundamental. Têm como
base as recomendações dos instrumentos de regulamentação como os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) as resenhas e o Guia de Livros Didáticos do
PNLD/2007. A fonte primária da pesquisa são os livros didáticos do 5º ano do
Ensino Fundamental. O objetivo principal é analisar a função atribuída à utilização
da calculadora em atividades matemáticas em livros didáticos dos anos iniciais do
Ensino Fundamental e os objetivos específicos são: 1º Analisar as pontuações
fornecidas pelos PCN relativas ao uso da calculadora nos anos iniciais do Ensino
Fundamental; 2º Identificar as atividades que fazem uso da calculadora em livros
didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental; 3º Identificar elementos da
organização praxeológica nas atividades matemáticas que fazem uso da calculadora
nos livros didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental; 4º Identificar
tendências implícitas nas práticas prescritas em atividades com a utilização da
calculadora em livros didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Trata-se de
uma pesquisa qualitativa que se utiliza da análise do conteúdo para extrair o discurso
expresso nestas fontes de influência do ensino de Matemática para o uso da
calculadora. O referencial teórico fundamenta-se na Teoria Antropológica do
Didático, desenvolvida por Yves Chevallard. Os resultados apontam uma valorização
da utilização da calculadora nos livros didáticos; também mostram organizações
didáticas que enfatizam a construção de praxeologias pelo aluno.
PALAVRAS-CHAVE: Calculadora. Atividades matemáticas. Livros didáticos.
ABSTRACT
This research work has the calculator in Elementary School teaching as its object. Its
bases are the recommendations of the regulation instruments such as the National
Curriculum Parameters (NCP) and the reviews and the NCBP/2007 Textbooks
Guide. The primary research source are textbooks from the 5
th
grade of Elementary
School. The main aim is to analyze the function attributed to the use of the calculator
in mathematic activities of textbooks used in the early years of the Elementary
School and the specific aims are: Firstly, analyze the scores provided by the NPC
related to the use of the calculator in the early years of the Elementary School
Teaching ; Secondly, identify the activities in which the calculator is used alongside
with textbooks in the early years of the Elementary School Teaching; Thirdly,
identify the elements of the praxeologic organization in the mathematic activities
which use the calculator alongside with textbooks in the early years of the
Elementary School Teaching ; Fourthly, identify implicit trends in the prescribed
practices in activities using the calculator alongside with textbooks in the early years
of the Elementary School Teaching. It is a qualitative research work which uses
content analysis to extract the discourse expressed in these influence sources of
Mathematics teaching to the use of the calculator. The theoretical reference was
grounded on the Anthropological Theory of the Didactical, developed by Yves
Chevallard. The results show an appreciation of the use of the calculator with
textbooks as well as didactic organizations which emphasize the construction of
praxeologies by the learner.
Keywords: Calculator. Mathematic activities. Textbooks.
LISTA DE ABREVIATURAS
LD Livro Didático
OD Organização Didática
OM Organização Matemática
PP Praxeologia Pontual
STE Sala de Tecnologia Educacional
TAD Teoria Antropológica do Didático
TM Técnica Matemática
L
1
Matemática com o Sarquis
L
2
Porta aberta Matemática
L
3
Novo Viver e Aprender Matemática
L
4
Vivencia e construção
L
5
Matemática Para Todos
L
6
De olho no Futuro
L
7
Idéias e Relações
L
8
Matemática Projeto Presente
L
9
Projeto Pitanguá
L
10
Matemática do Cotidiano & suas Conexões
LISTA DE SIGLAS
CESMAF Centro Escolar Sul Mato-grossense Argemiro Fialho
ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática
NTE Núcleo de Tecnologia Educacional
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD Programa Nacional de Livro Didático
SETAS Secretaria de Estado e Trabalho e Assistência Social
SPM Sociedade Portuguesa de Matemática
UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Esquema do desenvolvimento da pesquisa .......................................... 50
Figura 2 - PCN de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa
“calculadora” ........................................................................................ 52
Figura 3 - PCN de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa
“calculadoras” ....................................................................................... 53
Figura 4 - Guia do PNLD de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa
“calculadora” ........................................................................................ 56
Figura 5 - Guia do PNLD de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa
“calculadoras” ....................................................................................... 57
Figura 6 - Representação da função dos recursos didáticos nas relações
didáticas ................................................................................................ 61
Figura 7 - Exemplo de tarefa do grupo T
1 -
Operações da aritmética .................... 71
Figura 8 - Exemplo de tarefa do grupo t
2
- Estimativa e Cálculo mental .............. 72
Figura 9 - Exemplos de tarefas do grupo: T
3 -
Problemas e desafios ..................... 74
Figura 10 - Matemática com o Sarquis-L
1 -
t
257
e t
264
(respectivamente) ................. 75
Figura 11 - Esquema representativo do 1º passo da
da t
264
................................... 79
Figura 12 - Imenes L. M. et. al. Matemática para todos. L5. t
298.
........................... 80
Figura 13 - Imenes L. M. et. al. Matemática para todos. L
5
. t
301.
............................ 81
Figura 14 - Modelo Epistemológico demonstrado por Gascón (original) ............... 84
Figura 15 - Modelo Epistemológico demonstrado por Gascón e modificado por
nós ......................................................................................................... 85
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Indicativo das características e usos da calculadora mostrada nos
PCN .......................................................................................................... 54
Quadro 2 - Indicativo das características e usos da calculadora mostrada no Guia
do PNLD de Matemática ......................................................................... 57
Quadro 3 - Explicativo do processo de cálculo mental da técnica 2
da t
257
............... 77
Quadro 4 - Resumo dos esquemas mentais da técnica 2 da t
264
................................. 78
LISTA DE ANEXOS
ANEXO A - Unidades de significado do PCN .......................................................... 88
ANEXO B - Unidades de significados do PNLD ...................................................... 91
ANEXO C - Relação de atividades dos livros didáticos usando a calculadora ......... 95
ANEXO D - Tabela de quantificação de tipo de tarefa por livro didático ................ 129
ANEXO E - Relação dos livros didáticos utilizados na pesquisa .............................. 130
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ................................................................................................. 14
CAPÍTULO I - TRAJETÓRIA EDUCACIONAL E DEFINIÇÃO DO
OBJETO DE PESQUISA ....................................................................................... 16
1.1 Minha trajetória como estudante ......................................................................... 16
1.2 Aproximando do meu objeto de pesquisa ........................................................... 17
1.3 A presença da calculadora em sala de aula ......................................................... 18
1.4 Definição do objeto de pesquisa ......................................................................... 19
CAPÍTULO II - REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................... 21
2.1 A calculadora em foco: revisão literária ............................................................. 21
2.2 Um pouco da história da calculadora .................................................................. 25
2.3 A Teoria Antropológica do Didático - TAD ....................................................... 26
2.3.1 Praxeologia ................................................................................................ 27
2.3.1.1 Esquema da Organização Praxeológica ......................................... 28
2.3.1.2 Esquema da definição dos quatro termos ...................................... 29
2.3.1.3 Organização matemática ................................................................ 29
2.3.1.4 Organização Didática ..................................................................... 30
2.3.1.4.1 Linguagem ...................................................................... 31
2.3.1.4.2 Os diferentes registros: objetos ostensivos e objetos
não ostensivos ................................................................. 31
2.4 A calculadora e a TAD ....................................................................................... 34
2.5 A calculadora nos PCN e no Guia do PNLD ...................................................... 36
2.6 A trajetória dos livros didáticos .......................................................................... 38
2.6.1 Dos primeiros livros aos livros didáticos ................................................... 38
2.6.2 Os livros de matemática e as novas tendências ......................................... 40
CAPÍTULO III - ASPECTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA.............. 41
3.1 Aspectos teóricos do método .............................................................................. 41
3.1.1 Análise de conteúdo: história do método ................................................... 41
3.1.2 A composição do método da análise de conteúdo ..................................... 43
3.1.3 Aplicações possíveis da análise de conteúdo ............................................. 43
3.1.4. A análise de conteúdo na educação .......................................................... 44
3.1.5. A análise de conteúdo na educação matemática ....................................... 45
3.1.6 A pertinência da análise de conteúdo à TAD ............................................ 46
3.1.7 A análise de conteúdo e a calculadora nos livros didáticos ....................... 47
3.2 Procedimentos metodológicos da pesquisa ......................................................... 48
CAPÍTULO IV - DESCRIÇÕES DA ANÁLISE ................................................. 51
4.1 Análises dos PCN e do Guia do PNLD .............................................................. 51
4.1.1 Agrupamento das unidades de significados dos PCN em tipos de
conteúdos: procedimentais, conceituais e atitudinais ................................ 52
4.1.2 Agrupamento das unidades de significados do Guia do PNLD em tipos
de conteúdos: procedimentais, conceituais e atitudinais ........................... 55
4.1.3 Análises das confluências temáticas dos PCN e do Guia PNLD ............... 59
4.1.3.1 Recursos didáticos (CT
1
) ............................................................... 60
4.1.3.2 Exercício da análise (CT
2
) ............................................................. 61
4.1.3.3 Atividade (CT
3
) .............................................................................. 62
4.2.3.4 Conceitos matemáticos (CT
4
) ........................................................ 65
4.2 A calculadora nos livros didáticos ...................................................................... 66
4.2.1 Agrupamento das tarefas dos livros didáticos ........................................... 68
4.2.2 Operações da aritmética (T
1
) ..................................................................... 70
4.2.3 Estimativa e calculo mental (T
2
) ................................................................ 72
4.2.4 Problemas e desafios (T
3
) .......................................................................... 73
4.2.5 Explorando a calculadora (T
5
) ................................................................... 79
CAPÍTULO V - ELEMENTOS DE SÍNTESE .................................................... 82
ANEXOS .................................................................................................................. 87
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 131
APRESENTAÇÃO
Esta pesquisa tem como objeto a calculadora no Ensino Fundamental. Para
o estudo, definimos como objetivo geral analisar propostas de uso da calculadora em
tarefas matemáticas em livros didáticos, dos anos iniciais do Ensino Fundamental e
pelos seguintes objetivos específicos: analisar as orientações fornecidas pelo
Programa Curricular Nacional (PCN), relativas ao uso da calculadora nos anos
iniciais do Ensino Fundamental; identificar e analisar os tipos de tarefas que fazem
uso da calculadora em livros didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental;
identificar elementos das organizações praxeológicas nas tarefas matemáticas que
fazem uso da calculadora nos livros didáticos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental; identificar as tendências pedagógicas induzidas em livros didáticos dos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
Um ponto positivo nesta pesquisa é o fato de, como pesquisadora também
atuar como professora de Sala de Tecnologia Educacional (STE), permitindo o
contato frequente com as práticas docentes de professores de todas as disciplinas do
Ensino Fundamental e Ensino Médio que fazem uso desta sala. Esta experiência foi
de suma importância, por possibilitar conhecer a real situação do uso da calculadora
na prática de muitos professores. Outro fator importante foi a oportunidade de
dialogar com os acadêmicos do segundo ano do curso de Pedagogia da UFMS, saber
o que estes acadêmicos, assim como os professores que já estão atuando em sala de
aula, pensam sobre o uso da calculadora nas tarefas matemáticas de livros didáticos.
Para a realização desse estudo, utilizamos a abordagem antropológica de
Yves Chevallard (2001) como referência para a análise do nosso objeto de pesquisa.
Utilizamos a abordagem da análise de conteúdo como referencial metodológico.
Algumas questões nortearam a pesquisa que desenvolvemos, tais como: É possível
fazer da calculadora uma aliada no estudo da matemática? Como é feita sua
utilização na resolução de atividades nos livros didáticos? O que dizem os PCN, e o
Guia de Livros Didáticos sobre este assunto?
Nossa pesquisa foi organizada em capítulos que passamos a descrever a
seguir:
15
O primeiro capítulo foi dividido em quatro partes, na primeira parte
tratamos da infância e trajetória como estudante. Na segunda parte abordamos a
trajetória acadêmica e profissional. Na terceira parte apresentamos uma reflexão
sobre o uso da calculadora em sala de aula, o que nos motivou a justificar e explicitar
o porquê da pesquisa sobre o uso da calculadora. Na quarta parte fazemos uma breve
definição do nosso objeto de pesquisa.
No segundo capítulo, dividimos em seis partes e iniciamos a primeira com a
revisão literária, o que nos permitiu ter uma visão ampliada do nosso objeto em
outras circunstâncias na educação. Na segunda parte apresentamos a trajetória da
calculadora, suas evoluções e usos. Já na terceira parte explicitamos o nosso
referencial teórico. Na parte quatro articulamos o uso da calculadora com a TAD
(Teoria Antropológica do Didático). Na quinta parte abordamos brevemente o papel
da calculadora na visão dos PCN e guia do PNLD, e, finalmente, encerramos o
capítulo com uma breve trajetória histórica dos livros didáticos.
O terceiro capítulo enfoca os aspectos metodológicos da pesquisa. Este
capítulo foi dividido em duas partes: A primeira parte refere-se aos aspectos teóricos
do método, apresentamos o referencial metodológico desde sua história, composição
e aplicação, referenciando com pesquisas desenvolvidas na Educação, Educação
Matemática e sua relação com a TAD e a calculadora. Na segunda parte abordamos
os procedimentos metodológicos da pesquisa. Neste capítulo procuramos mostrar a
existência de um diálogo do referencial teórico e metodológico que fundamentou a
pesquisa por meio da Teoria Antropológica do Didático, proposta por Ives
Chevallard, Mariana Bosch e Josep Gascón.
No quarto capítulo procedemos então à descrição da análise. Este capítulo
foi dividido em duas partes. Na primeira parte tratamos da análise dos PCN e Guia
do PNLD e na segunda parte da análise dos livros didáticos.
No quinto capítulo tratamos de alguns elementos de síntese do capítulo de
análise, e também abordamos nosso quarto objetivo, que se refere às tendências
pedagógicas adotadas pelos autores dos livros didáticos, e nossa visão sobre os estes.
CAPÍTULO I
TRAJETÓRIA EDUCACIONAL E DEFINIÇÃO DO OBJETO DE
PESQUISA
1.1 Minha trajetória como estudante
Meu interesse pela educação não foi por acaso; já na tenra idade quando,
morávamos no Município de Ponta Porã-MS (uma fazenda em Aral Moreira), meus
pais eram fazendeiros e minha avó, juntamente com minha mãe, desempenhavam o
papel de parteiras. Minha avó também fazia benzimentos, mas minha mãe tinha outra
função interessante. Devido ao fato de poucas pessoas serem alfabetizadas, e,
portanto terem muita dificuldade para escrever cartas e para ler e interpretar
documentos (escrituras, contratos, etc.), minha mãe ajudava-os nessa função e eu
ficava observando cada detalhe do que ela fazia, porque algumas vezes ela os
ensinava a ler e escrever. Seu exemplo fez nascer em mim uma determinação de
seguir seus passos. Nas brincadeiras de infância, por vezes me pegava na posição de
professora frente a outros coleguinhas, fazendo as paredes ou o chão batido de lousa,
usando carvão como giz. Somos de uma família de oito irmãos, sendo quatro homens
e quatro mulheres. Três de nós seguiram a carreira do magistério.
Meus primeiros anos escolares foram em uma escola rural, onde estudavam
alunos de 1ª a 4ª série na mesma sala. A escola era muito simples, construída de
madeira com um único cômodo e varanda que se estendia do beiral do telhado.
Sentávamos em duplas, a sala era dividida em duas fileiras de carteiras com
um corredor central; de um lado, alunos de terceira e quarta série e do outro lado,
alunos da primeira e segunda série; Tínhamos um único professor para todas as
turmas, o senhor Odócio (compadre de meus pais) lecionava todas as disciplinas; ele
andava pela sala com um bastão nas mãos que era usado para apontar na lousa
durante as explicações.
Nessa fase de minha vida eu não dava muita importância para o que era
ensinado, estava na primeira série, então tudo era novidade. Mas, quando os colegas
das séries mais adiantadas eram sabatinados (termo muito utilizado na época) com a
17
tabuada ou eram chamados à lousa para resolver exercícios matemáticos, o temor em
seus olhos era visível e de certa forma eu também ficava apreensiva, pois cedo ou
tarde chegaria a minha vez.
Amizades à parte, o professor Odócio era muito dedicado, mas não perdia a
rigidez com seus alunos, pois ele cobrava as tarefas de casa, tomava leituras
coletivas, escrevíamos textos e fazíamos inúmeras contas todos os dias.
Era muito raro ele brigar conosco, normalmente bastava ele dar uma olhada
para entendermos quando alguma coisa estava errada, como conversas paralelas
durante a explanação dele ou durante a leitura de algum aluno.
Quando meus pais mudaram para Campo Grande, tive que refazer a
primeira série do ensino fundamental porque havia saído sem concluí-la e não havia
documento de transferência naquela escola. Estudei na E.E. Rui Barbosa, da 1ª a 8ª
série do Ensino Fundamental; o primeiro ano do ensino médio na E.E. Maria
Constança de Barros Machado, mas fiz a opção pelo Magistério em nível de Ensino
Médio no CESMAF, e como não poderia deixar de ser, fiz a graduação em
Pedagogia na Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.
1.2 Aproximando do meu objeto de pesquisa
Iniciei minha trajetória na Educação em 1986, lecionando para turmas de 1ª
a 4ª série do Ensino Fundamental, na Escola Estadual Arlindo de Andrade Gomes,
por 20 h/a, intercalando a carga horária num segundo turno de 20 h/a numa turma de
pré-escola, em uma das creches do antigo Promosul (atual Secretaria de Estado e
Trabalho e Assistência Social - SETAS). Pedi exoneração do cargo para cursar a
universidade, retornando por concurso público, logo após a conclusão da graduação.
Em 2003 iniciei uma nova trajetória profissional em minha vida: começaria
a partir de então os preparativos profissionais para atuar na Sala de Tecnologia
Educacional (STE) que estava sendo implantada na Escola Estadual Adventor Divino
de Almeida, assim como em todo o estado de Mato Grosso do Sul. Até então eu
trabalhava com a turma da 4ª série do Ensino Fundamental e sabia que não seria uma
mudança fácil. Para essa nova função havia outros professores que também
pleiteavam a vaga. A Secretaria de Educação (SED/MS) promoveu uma série de
cursos e também uma seleção para que o mais apto pudesse ocupar o cargo.
18
A Sala de Tecnologia Educacional (STE) foi implantada em 2004; tomei
posse desde o início de sua implantação, transferindo meu concurso para este novo
cargo. Nessa nova função que incluía a preparação dos professores regentes de todas
as disciplinas para que pudessem fazer uso da STE e de seus recursos de forma
pedagógica, foram necessários cursos específicos. No próximo parágrafo citarei
alguns cursos dos quais participei e minioficinas que ministrei.
Tecnologia na Educação Escolar - 4ª Edição; Programa de Formação
Continuada em Mídias na Educação; Curso de Extensão de Informática Educativa
para Profissionais da Educação; Seminários de Informática; O uso Pedagógico da
Tecnologia da Informação e da Comunicação; Integrando e Gerenciando as
Tecnologias nas Escolas; Administração e Configuração de Hardware; Um fazer
Diferente; Inserção das Tecnologias da Informação e da Comunicação na Educação
Especial/Deficiência Visual; Articulando Práticas Pedagógicas; Tipologias Textuais -
Leitura e Produção de Textos Utilizando as TICs; Homepage; Montagem e
Manutenção de Microcomputadores; Minioficinas ministradas: Fazendo Uso de
Webquest; Conhecendo Frontepage; O Blog na Educação; Analisando Software.
Quero ressaltar que, estes cursos não são um fim em si mesmos. Quero dizer
que conforme as tecnologias evoluem, uma nova etapa de treinamentos tem início.
1.3 A presença da calculadora em sala de aula
É estranho lembrar que usávamos a calculadora às escondidas, em uma ou
outra aula de matemática, um grande erro para aquela época, mas era assim que às
vezes agíamos (era início de carreira no Magistério e lecionava para alunos dos anos
iniciais). Não lembro sequer de ouvir falar de alguma aula em que a calculadora
estivesse presente por consentimento do professor, menos ainda, que ela estivesse
sendo usada como recurso na resolução das atividades. Mas já ouvi comentários em
que a calculadora era usada para “colar” (colar significava que o aluno pegava o
resultado fornecido pela calculadora porque não sabia tabuada).
O tempo vai passando e vamos ficando mais ousados, vão surgindo aqui e
acolá experiências de educadores que se atrevem a romper paradigmas, é nesta
perspectiva que pensamos em mostrar o alcance da calculadora e suas possibilidades.
19
A tecnologia faz parte da minha trajetória profissional agora, e é pensando nela que
estamos, em especial, analisando a calculadora em atividades matemáticas
encontradas em livros didáticos do 5º ano do Ensino Fundamental. Essa ferramenta,
que é rejeitada por alguns, e tida como um recurso fantástico por outros, pode, em
determinados momentos, ser considerada como um gerador de desafios, de
atividades significativas e lúdicas.
1.4 Definição do objeto de pesquisa
Evidentemente toda a minha trajetória na educação influenciou a escolha
desta temática. As atividades com calculadora nos livros didáticos de matemática são
comuns, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. Entretanto, estudos
específicos sobre o papel da calculadora nas atividades matemáticas propostas em
livros didáticos são escassos.
Estamos na era da informatização. As escolas, em sua grande maioria, estão
informatizadas; a calculadora é um dos acessórios tecnológicos que está ao alcance
dos alunos para ser consultado a qualquer momento. Por que então não programar
aulas específicas para usá-las? Para responder a estas perguntas, vou me reportar à
minha trajetória profissional, como professora de Sala de Tecnologia Educacional
(STE) na rede pública de ensino.
Observei que, embora as atividades propostas pelos professores que
planejam suas aulas para serem ministradas na sala de informática, não prevejam o
uso da calculadora, os alunos a têm utilizado com freqüência na resolução destas
atividades. Os professores não colocam impedimento quando a calculadora faz parte
da mídia que está sendo utilizada, nem mesmo os pais ou a direção (mesmo que estes
não sejam favoráveis ao uso da calculadora), até porque eles não têm controle sobre
isto. Essa dicotomia existente nos diferentes usos deste recurso só demonstra que
muitos professores não compreendem a função da calculadora nas atividades.
E foi pensando na calculadora nos livros didáticos que esta pesquisa foi
conduzida; analisar as diferentes variedades de tarefas propostas nessa fonte que é
considerada como de grande influência na prática pedagógica.
Diante do exposto, nos vêm algumas questões que queremos explicitar, tais
como: É possível fazer do uso da calculadora uma aliada no estudo da matemática?
20
Como é sugerida sua utilização no guia do livro didático do PNLD/2007? Que papel
a calculadora desempenha nestas atividades?
Considerando tais questões, procuramos desenvolver esta pesquisa que tem
como objeto de investigação a calculadora no Ensino Fundamental. Para o estudo,
desenvolvemos um objetivo geral, que é analisar propostas de uso da calculadora em
tarefas matemáticas em livros didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Acreditamos que a experiência como professora, aliada à experiência com a
STE e o uso dos recursos tecnológicos, possa contribuir para ajudar outros
pesquisadores, pois sabemos que nenhuma pesquisa está de fato acabada, são
caminhos que se cruzam, se somam e se abrem para novos horizontes.
CAPÍTULO II
REFERENCIAL TEÓRICO
Este capítulo contemplará uma visão geral do uso da calculadora em
diversas pesquisas e permitirá iniciar um diálogo do nosso objeto de pesquisa com o
referencial teórico. Os próximos parágrafos farão um levantamento de algumas
pesquisas que foram desenvolvidas tendo como foco a calculadora.
2.1 A calculadora em foco: revisão literária
Nos próximos parágrafos pretendemos descrever alguns estudos feitos por
outros pesquisadores que envolvem a calculadora, argumentos favoráveis e
contrários sobre seu uso no processo educativo.
O trabalho de Oliveira (1999) consistiu em verificar o pensamento dos
professores nas escolas do Paraná-PR sobre a utilização da calculadora nas aulas de
matemática. Usou questionário com 141 professores, de 41 municípios de nove
regiões geográficas da rede pública e particular. Do universo dos professores
pesquisados, 75% eram da rede Estadual, (com 78,7% de mulheres e 21,7% de
homens), em sua maioria com idades variando de 23 a 32 anos, predominando nas
regiões norte Pioneiro e Sudoeste.
Das respostas surgidas no questionário, uma me chamou muita a atenção: a
de não utilizarem a calculadora por não saberem trabalhar com ela. Observei que tal
resposta representa um número muito grande perto de outras questões como:
preferirem trabalhar com os algoritmos tradicionais; não sentiram necessidade da
calculadora nas atividades; os alunos não sabem fazer contas. Entretanto, seja qual
for o caso, não saber usar a calculadora ainda é um fato. A pesquisa feita por Oliveira
indica que um dos motivos da calculadora não ser usado por muitos professores,
pode estar na formação inicial destes.
Outro ponto importante mostrado na pesquisa de Oliveira é que durante o
curso de licenciatura desses professores, 81,6% informou que em nenhum momento
foi enfocada a possibilidade do uso da calculadora nas aulas de Matemática,
22
comparado com 17,3% que afirmaram o contrário. Os motivos que mais
prevaleceram foram que “A calculadora era um instrumento muito recente e raro e os
professores da Faculdade não tinham afinidade com a calculadora”. Outro dado
importante quando perguntado se eles tinham ideia de quantos alunos possuíam
calculadora em suas casas, responderam que em média 80% possuíam. Oliveira
concluiu que 53,9% dos professores pesquisados não usavam a calculadora nas aulas
de matemática. Afirmou que isto é resultado dos reflexos das concepções que eles
têm em relação à Matemática, à maneira de ensiná-la e dos objetivos do seu ensino.
Usou Thompson (1984, p.105)
1
para apoiar sua afirmação.
Outro fator descoberto por Oliveira é de que a calculadora vem sendo usado
simplesmente como instrumento de calcular ou como meio auxiliar de cálculo, para
aproveitamento de tempo durante as aulas, em detrimento de seu potencial educativo.
A calculadora é polêmica também em outros países. Para Nuno Crato
2
,
presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM), o incentivo à utilização
da calculadora desde os primeiros anos de escola pode ser arriscado, porque faz a
criança perder destreza de cálculo. Para ele, deve-se ter limite no uso da calculadora,
ele argumenta que “O ensino da Matemática é, sobretudo o ensino do pensamento,
pelo que os elementos essenciais devem continuar a ser o papel e o lápis”. Com
relação a isso, Joana Brocardo
3
, da Direção-Geral de Inovação e Desenvolvimento
Curricular do Ministério da Educação Portuguesa, defende o uso da calculadora.
Brocardo, em entrevista publicada no Portal do Ministério da Educação (2007),
explica que “A questão é usar a calculadora de forma inteligente, do ponto de vista
educativo... que os alunos disponham de um conjunto alargado de formas de calcular,
a máquina calculadora é apenas uma delas”.
Num artigo publicado por Girardi e Dias (2006 p. 3), sobre as concepções
dos professores de matemática no uso da calculadora, dentre as várias concepções
apontadas, segundo as autoras, predominou a opinião na crença de que “o uso da
1
O que nós somos, o que pensamos, nós refletimos em nossas ações do dia-dia, não é diferente no
contexto escola. Thompson explica que as concepções que os professores têm sobre o ensino da
matemática pode afetar a eficácia no desenvolvimento de uma aula. Por exemplo, numa aula onde
haja interação com os alunos é o professor que decide quanto ao melhor modo de usar a calculadora
e fará isso da forma que ele acredita ser melhor.
2
Em entrevista intitulada - Matemática: uso de calculadora no ensino básico divide professores e
especialistas. Disponível em: <http://www.barlavento.online.pt/index.php/noticia?id=18714&tnid=6>.
Acessado em: 21 abr. 2008.
3
Nessa entrevista, fica claro que da forma como a calculadora está disponibilizada, é quase
impossível deter seu uso. Entrevista com Joana Brocardo. Disponível em: <http://www.min-
edu.pt/np3/1288.html>. Acesso em: 21 abr. 2008.
23
calculadora antes do domínio das quatro operações e da tabuada prejudica o
raciocínio do aluno”. Esta autora, em sua dissertação de mestrado, faz um estudo em
que o uso da calculadora aparece na oitava série
4
, trabalhando com juros simples e
compostos, pois acredita que desta forma não prejudica o raciocínio matemático
envolvido. Esta pesquisadora tem como estratégia o cálculo mental nas proposições
feitas pelos alunos por meio de estimativas, para posteriormente serem analisadas
usando a calculadora. A autora acredita que se o aluno não consegue estimar, o uso
da calculadora seria em vão. Sua pesquisa também investigou as opiniões tanto de
docentes quanto de alunos no quesito uso da calculadora, assim como a proposição
de metodologias para se trabalhar os juros simples e compostos na oitava série do
Ensino Fundamental.
Silva (1982) e Ávila (2004, apud SCHIFFL, 2006) concordam que é
importante decorar a tabuada mesmo usando a calculadora. Argumentam que saber a
tabuada não é só exercício da memória e em situações cotidianas, mas, para facilitar
na realização de cálculos mesmo que a calculadora esteja em uso. Ávila (2004)
categoriza a importância da memória em qualquer instância profissional. Girardi
(2006) chama a atenção para o uso indevido da calculadora no desenvolvimento do
raciocínio. Argumenta que um programa voltado para a preparação de professores
para usar a calculadora, em paralelo com o ensino do cálculo mental, poderia
resolver boa parte do problema.
Para Girardi e Dias (2006), o uso da calculadora precisa estar dentro de um
contexto ordenado, e para dar credibilidade a este argumento ela cita Silva (1989, p.
3): “Contribuir para um ensino da matemática em que a ênfase seja colocada na
compreensão, no desenvolvimento de diversas formas de raciocínio e na resolução de
problemas”. Outros autores que também fazem um diálogo favorável ao uso da
calculadora são Ubiratan D‟Ambrosio (2003, apud FEDALTO, 2006 p.10) e Bigode
(apud FALZETTA, 2003), que concordam que “usar a calculadora permite a
resolução de problemas reais”.
Fedalto (2006 p.17), para contextualizar tecnologia argumenta que “um
instrumento tecnológico às vezes, são tomados como sinônimo de tecnologia [...]
tecnologia é o conhecimento e não o objeto que resulta dele”. Ferreira (2004, p. 192
apud FEDALTO, 2006, p.17), Medeiros e Medeiros (1993, p. 8 apud FEDALTO,
4
Estamos usando a nomenclatura utilizada na época na pesquisa.
24
2006, p. 18), vão mais longe, agregando até distribuição, comercialização de bens e
serviços no conjunto das tecnologias. Para Chevallard (2001), tecnologia é uma
forma de fazer algo baseado em uma teoria.
A pesquisa de Fedalto (2006, p. 8) consiste em “compreender algumas
facetas da relação entre o professor de Matemática e o conhecimento de sua
disciplina em situações onde a calculadora poderia ser utilizada como recurso
durante suas aulas no Ensino Médio”, para “favorecer a compreensão de conceitos,
algoritmos, e auxiliar na resolução de problemas”. Ele observou e entrevistou
professores da rede pública de escolas do Paraná, em aulas de matemática. O
pesquisador fez também algumas comparações interessantes, por exemplo: ele
argumenta que as tecnologias estão mais acessíveis, e também no mercado de
trabalho, e ainda assim muitas pessoas não conseguem fazer cálculos. O autor
argumenta, perguntando onde estariam os motivos que justificam a dificuldade de
muitas pessoas em realizar cálculos. Ora, se a calculadora não vem sendo usada
adequadamente pelas escolas, onde então está o erro? Podemos dizer que está no uso
do instrumento, ou na forma como o ensino vem ocorrendo? O acesso à calculadora
não significa o fim do ensino das operações no formato como as conhecemos, ou
seja, como uma atividade escolar ao contrário, significa um recurso a mais para se
pensar na resolução de um problema, ou mesmo para se construir situações-
problemas com a calculadora, Fedalto (2006 p.48) acrescenta que a calculadora
“pode ser inserida nas séries iniciais do Ensino Fundamental, não em lugar do
cálculo com lápis e papel, mas como instrumento de descoberta e realização de
estimativas”.
Concordamos com este autor quando ele diz que “a utilização da
calculadora em sala de aula requer um conhecimento prévio de suas possibilidades e
limitações e os alunos devem saber o porquê está sendo permitido e com quais
objetivos” (FEDALTO, 2006 p.10). Como então saber quando usar, e
principalmente, como usar? Mais uma vez entra o papel do professor na
intermediação como facilitador no ensino-aprendizagem. Ora, o gerúndio aqui
caberia perfeitamente. Poderíamos responder assim: pesquisando, criando,
selecionando, trocando ideias com outros professores, sobre atividades que melhor se
adaptem à situação de sua sala de aula, promovendo discussões entre os alunos.
Acreditamos que dessa forma podemos ampliar nosso universo do saber matemático
e tornar nossas aulas com mais qualidade na aprendizagem dos alunos.
25
E então, é possível fazer da calculadora uma aliada no estudo da
matemática? Como é feita sua utilização na resolução de atividades nos livros
didáticos? O que dizem os PCN, e o Guia de Livros Didáticos sobre este assunto?
Antes de responder a estas questões, que permearam esta pesquisa, faz-se necessário
conhecer um pouco da história da calculadora: quem a inventou e com que objetivo,
uma vez que ela não é um objeto específico da educação, mas pode ser utilizada com
objetivos educativos, como um recurso nas aulas de matemática. Afinal, não
podemos nos apropriar desse recurso sem ao menos conhecer um pouco da sua
história.
2.2 Um pouco da história da calculadora
A calculadora tem seu percurso histórico, explica Olga Martins
5
, ela relata
que a calculadora foi criada em 1642, por um filósofo e matemático francês, Blaise
Pascal, filho de um cobrador de impostos que, entediado em observar seu pai com
cálculos intermináveis, resolveu ajudá-lo construindo uma máquina de somar e
subtrair de 8 algarismos, que foi chamada de Pascaline. Mais tarde, o filósofo e
matemático alemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz aperfeiçoou o invento a partir de
1671, que além de somar e subtrair, multiplicava, dividia e extraía a raiz quadrada. O
inglês Charles Babagge, em 1822, preocupado com os erros contidos nas tabelas
matemáticas de sua época, construiu um modelo para calcular tabelas de funções
(logaritmos, funções trigonométricas, etc.) que chamou de máquina das diferenças. O
operador só precisava iniciar a cadeia de operações, e a seguir a máquina tomava seu
curso de cálculos, preparando totalmente a tabela prevista. Herman Hollerith,
funcionário do departamento de estatística dos Estados Unidos, aplicou o principio
do cartão perfurado com 12 linhas e 80 colunas à calculadora, devido à necessidade
de processar e gravar grandes quantidades de informações do senso de 1890. Depois
do sucesso, abriu sua própria empresa, associando-se mais tarde com dois sócios e
fundando a IBM, famosa no mundo da computação. Também fazem parte da história
5
Conteúdo extraído da página da profa. Dra. Olga Maria Pombo Martins, do Centro de Filosofia das
Ciências da Universidade de Lisboa (CFCUL), Seminário Temático Licenciatura em Ensino da
Matemática da FCUL. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario>.
Acesso em: 2 jun. 2009.
26
da calculadora o ábaco e a régua de cálculo, ambos ainda amplamente utilizados em
sala de aula. O ábaco se constitui de um recurso milenar e funcional.
Existem calculadoras de todos os tipos e com funções diversas. Mas a
calculadora que tratamos nesta pesquisa é a convencional, com teclas das quatro
operações, porcentagem, raiz quadrada, memória, sinal de igualdade, ponto,
ligar/desligar e limpar o visor. As calculadoras só passaram a ser utilizadas em larga
escala a partir do início do século XX.
A seguir, tentaremos articular o nosso objeto de pesquisa com a teoria
antropológica do didático.
2.3 A Teoria Antropológica do Didático - TAD
Estamos entendendo Antropologia como aquilo que é inerente à essência
humana, ou seja, as atitudes comuns que acontecem em qualquer sociedade, como
por exemplo, o ato de se casar, que acontece nas sociedades desde as mais primitivas
às mais modernas, assim também a matemática é uma atividade humana comum a
qualquer civilização. A antropologia diversifica seu campo de estudo, existe a
antropologia política, religiosa, e outra, em que seus campos de estudos são política e
religião, respectivamente. Em nosso caso, é a antropologia do didático, cujo objetivo
é estudar o professor e o aluno diante de um problema matemático.
A Teoria Antropológica do Didático teve por idealizador Yves Chevallard.
Historicamente ela se desenvolveu a partir da década de 1980, junto com a
Transposição Didática de Guy Brosseau. Nesse sentido, podemos compreender
algumas premissas fundamentais que fazem parte dos pressupostos
6
da TAD, a
atividade matemática tal como se realiza nas instituições. A teoria antropológica tem
como ponto de partida um universo em que tudo é objeto, as pessoas, as instituições,
as coisas materiais, seus pensamentos e as noções que se utilizam em uma
instituição. A relação que uma pessoa tem com uma instituição é mediada pelo saber
(entendemos que essas relações são atividades humanas que resultam do
assujeitamento desse indivíduo à instituição).
6
Extraído das discussões do estudo do livro Estudar Matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a
aprendizagem, no Grupo de Pesquisa em História da Educação Matemática Escolar, coordenado
pelo prof. Dr. Luiz Carlos Pais, UFMS.
27
Partimos do princípio de que toda prática institucional pode ser analisada de
diferentes pontos de vista e de diferentes maneiras, por meio de um sistema de
tarefas relativamente bem definidas que se desdobram no fluxo da prática. Isto quer
dizer que qualquer ação humana pode ser vista e analisada por diferentes filosofias,
sob um olhar de ângulos diferentes, visto que cada instituição possui filosofias
diferentes.
Os próximos parágrafos serão importantes para a compreensão da estrutura
da TAD. Mas antes precisamos saber sobre a origem da principal palavra que dá
sentido à teoria, a palavra praxeologia.
2.3.1 Praxeologia
O entendimento dado por Kotarbinski (1965 apud SWIATKIEWICZ, 1997)
sobre este termo justifica a grafia utilizada nesta pesquisa, devido às variações
encontradas, conforme passamos a explicitar.
O termo praxeologia foi introduzido primeiramente por Alfred Espinas
(SWIATKIEWICZ, 1997, p. 638), por volta de 1890, entendida por ele como a
“ciência sobre as formas e as regras gerais de atuação no mundo dos seres que podem
se movimentar”. Mas foi Kotarbinski (1965) quem destacou o termo praxeologia em
sua obra “Praxiology, an Introducion to the Science of´Efficiente Action, Oxford,
1965”. Segundo esse autor, praxeologia tem grafia, na Língua Portuguesa, com “i”
(Praxiologia) tal como é grafado em Inglês (Praxiology) e em Italiano
(Prassiologia). Em outras línguas, entretanto, o “i” é substituído pelo “e”, como é o
caso de Praxéologie em Francês. Para Swiatkiewicz (1997), “a praxeologia”, grafada
com “e”, “pertence ao conjunto das ciências práticas”, e a grafia com “i” é uma
variante do original em polaco, da mesma forma que é uma variante da versão
original em Inglês e que em Polonês (Prakseologii), língua onde a palavra se
originou, é grafada com “e”. Este autor inclui outros nomes (Ludwig von Mises e
George Hostelet) como autores da teoria sobre a ação humana e que demarcaram
diversas praxeologias. Fizemos a opção por praxeologia grafada com “e” para
mantermos a coerência da linha francesa que adotamos.
Para Kotarbinski, praxeologia é uma ciência comportamental porque se
refere a um caso particular do comportamento humano, a ação. Tal ação, para o
28
autor, é um comportamento motivado pela livre vontade e realizado com um
propósito definido, logo, uma práxis. O estudo dessa práxis é a praxeologia, e esta
palavra aparece pela primeira vez em uma publicação datada de 1882 em Paris.
Como teoria praxeológica ela foi fundada por Alfred Espinas, em 1890 ou 1897, em
um artigo também publicado na França. Outros autores como Eugeniusz Slucki
(1926 apud SWIATKIEWICZ, 1997), economista e matemático, de origem polonesa,
também faz uma abordagem da temática em sua obra. Embora muitos autores
tratassem do tema em suas obras, ainda assim não havia uma repercussão esperada.
Foi somente com Kotarbinski, em 1910, que se popularizou a palavra e a teoria como
a conhecemos atualmente, como um estudo “sobre o bom trabalho”.
A palavra praxeologia é constituída de duas palavras de origem grega,
práxis, que significa a prática de uma determinada tarefa, e logos, que indica o
estudo. Para Yves Chevallard, praxeologia é uma organização que articula um bloco
prático-técnico (saber-fazer) e um bloco tecnológico-teórico (saber). As praxeologias
podem se constituir em qualquer instituição, ou seja, onde houver ação. Instituição
no sentido dado por Chevallard pode ser a escola ou o livro didático (onde se estuda
esse objeto). A abordagem praxeológica é, portanto, um modelo para análise da ação
humana, ela investiga a atividade matemática como ela se realiza nas instituições.
Para isso ela cria modelos baseados numa unidade praxeológica de análise, são as
organizações matemáticas.
Estes modelos epistemológicos e científicos são formados por: Tarefas,
Técnicas, Tecnologias e Teoria.
2.3.1.1 Esquema da Organização Praxeológica
Organização [T/] - Prático-técnico - Saber - fazer [práxis]
Praxeológica [/] - Tecnológico-teórico- saber [logos]
Para o entendimento do esquema acima, podemos dizer que uma obra
7
, por
exemplo, equação do 1º grau criada para atender a um currículo escolar, é uma
grande estrutura que possui uma Organização Matemática. As praxeologias
7
Segundo Chevallard (2001 p. 117) as obras são um conjunto de saberes construídos por uma
sociedade sempre em resposta a uma necessidade.
29
constituídas pelos quatro elementos (esquema abaixo) são as especificidades que
mostram como funcionam as práticas de resolução da equação do 1º grau. Este
conjunto de praxeologias forma uma Organização Praxeológica.
2.3.1.2 Esquema da definição dos quatro termos
Praxeologia
Essas noções permitem a modelização das práticas sociais em geral e das
atividades matemáticas em particular. Uma atividade matemática possui uma
praxeologia, ou seja, tem um tipo de tarefa (T), uma ou mais técnicas (τ) de
resolução, tem uma tecnologia (θ) que explica como aplicar a técnica e uma teoria
(Θ) que dá sentido à tecnologia. Uma organização matemática está associada a uma
organização didática, quer dizer que o professor, ou autor do livro didático,
reconstrói as noções e conceitos da organização matemática ao aluno ou leitor.
2.3.1.3 Organização matemática
Chevallard (1999) descreve uma Organização Matemática em termos de
tipos de tarefas, técnicas, tecnologia e teoria relativas a um objeto matemático, estes
quatro elementos formam uma praxeologia, ou seja, práticas e argumentos.
A tarefa evoca uma ação, um modo de realizar algo que se divide em
gênero, por exemplo: calcular, demonstrar, construir. Portanto, ela é definida a partir
de um verbo.
A técnica indica um “modo de fazer” que pode ter singularidades próprias
de quem executa a ação. Uma técnica pode resolver um ou vários tipos de tarefas,
também pode acontecer que uma técnica necessite ser reestruturada para dar conta do
tipo de problema que se quer resolver.
30
A tecnologia trata do discurso que interpreta e justifica a técnica. Toda e
qualquer técnica, pertencente ou não à matemática, exige uma tecnologia. Não existe
técnica sem uma tecnologia, ou seja, uma explicação de como algo foi feito.
A teoria - sempre associada a uma técnica e uma tecnologia - é um discurso
amplo que serve para interpretar e justificar a tecnologia. Por exemplo, tarefa:
multiplicar dois números usando a calculadora (2 x 4) =, a técnica consiste em digitar
o número dois, digitar a tecla x, digitar o número quatro, digitar a tecla =. A
tecnologia sistema de numeração decimal e a teoria é que esta tarefa exemplificada
pertence ao estudo da aritmética.
Podemos dizer que uma Organização Matemática nos fornece instrumentos
para o estudo das atividades matemáticas por meio das praxeologias. Uma atividade
matemática tem sua especificidade praxeológica matemática e didática, porque
envolve o saber matemático desenvolvido por uma instituição e o modo como ela
ensina sua prática. Através desse conjunto, torna-se possível a compreensão e
aplicação desta atividade, a sua razão de existir. As atividades matemáticas escolares
têm um objetivo que é serem compreendidas, interpretadas e resolvidas pelo aluno
8
.
2.3.1.4 Organização didática
As organizações didáticas se relacionam com as organizações matemáticas,
pois em cada medida ligada à dimensão didática existem implícitos saberes
matemáticos. As organizações didáticas têm um caráter intencional e institucional,
trata-se das ações mobilizadas no sentido de explicar uma organização matemática, o
“como” se dá esse estudo.
Argumentos articulados com recursos também fazem parte da
organização didática, porque estão servindo para explicar a matemática. A forma
como alguns autores conduzem uma determinada tarefa, recorrendo a explicações
extras aos professores, usando as margens do livro didático; o modo como a
8
Em seu texto Implicit Mathematics: Its impact on societal needs and demands, Chevallard diz que a
matemática é produtora de mais matemática, na engenharia, ela é utilizada para produzir mais
conhecimento e know-how de um tipo diferente (em eletrônica por exemplo, o produto gerado
precisou de conhecimentos matemáticos). Ele chamou de matemática implícita todos os objetos
materiais ou imateriais que, segundo ele, trazem em si cristalizados a matemática. Mas, no caso da
matemática escolar, ela não é nem usada, nem produzida: é ensinada e aprendida. Disponível em:
<http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Implicit_Mathematics.pdf>. Acesso em: 5 mai.
2009. (Tradução nossa).
31
institucionalização
9
de um conteúdo é feito, por exemplo: no início da apresentação
do conteúdo, ou após, se é deixado a cargo do professor ou do aluno. Outra forma de
percebermos como a matemática é explicada em livros didáticos, é através dos
recursos gráficos, ilustrações, desenhos, figuras, fotos, um colorido que diferencie o
formato da fonte, nos casos em que o autor quer chamar a atenção para determinados
assuntos ou explicação da tarefa.
2.3.1.4.1 Linguagem
Existem diferentes tipos de linguagem e podemos classificá-las como: não-
verbal, que envolve gestos, música, imagens e a linguagem verbal, que pode ser oral
ou escrita. Estas modalidades se constituem como semióticas, entendidas aqui como
sistemas de signos cujos significados são gerados e compartilhados socialmente.
O conhecimento matemático é dado dentro de um sistema de representação
semiótico, e que possibilita variadas representações, como por exemplo, na língua
materna, álgebra, em forma de desenho, figura, foto, esquemas gráficos ou fórmula.
Segundo Duval (apud PEDROSO; FLORES, 2007, p. 3), algumas
representações particulares de signos (matemáticos), “podem ser convertidas em
representações equivalentes num outro sistema semiótico, podendo tomar
significações diferentes pelo sujeito que as utiliza”.
Na linguagem, podem ocorrer termos como comparar, observar, pintar, ou
recortar, usados de formas diversas e que foram apropriadas pela matemática para a
apresentação de uma determinada tarefa, dando-lhe sentido e compreensão.
2.3.1.4.2 Os diferentes registros: objetos ostensivos e objetos não ostensivos
A TAD defende que a atividade matemática faz uma articulação entre
diferentes registros ostensivos. O termo ostensivo é definido como tendo sua origem
no latim ostendere (apresentar com insistência) e são aqueles objetos que podem ser
percebidos pelos órgãos do sentido. Considera-se como ostensivo todo objeto que
9
A institucionalização é o momento de determinar de maneira precisa em que consiste a organização
matemática, é neste momento que buscam diferenciar os elementos que serão integrados de maneira
definitiva nessa organização de acordo com a cultura de uma determinada instituição escolar. No
caso de livros didáticos é o momento de sistematização.
32
pode ser percebido pelo sujeito. São objetos materiais ou objetos dotados de certa
materialidade como: escrita, grafismo, som, ou mesmo o gesto que usamos como
meio de expressão Chevallard e Bosch (2001).
Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, o estudo da aritmética usando a
calculadora pode ser feito por meio de diferentes técnicas de resolução das tarefas,
em que cada uma delas ativa uma pluralidade de registros ostensivos.
Os objetos não ostensivos (ideias, conceitos, axiomas, crenças) são aqueles
objetos que existem no plano de uma instituição. Estes podem ser evocados por meio
da manipulação de certos ostensivos apropriados, ocorrendo a coexistência de objetos
ostensivos e não-ostensivos, por meio do que chamamos dialética do ostensivo e do
não ostensivo. Os objetos não-ostensivos são elaborados a partir da manipulação de
objetos ostensivos, ao mesmo tempo em que esta manipulação é controlada por
objetos não-ostensivos.
É interessante observar que essa dimensão ostensiva é talvez mais
expressiva na maioria das atividades propostas nos livros didáticos dos anos iniciais
do Ensino Fundamental, do que o trabalho direto com a dimensão não-ostensiva. Os
aspectos sensoriais (perceptivos) são mais explorados nos livros didáticos dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, em comparação com os livros didáticos das séries
finais, onde um aluno teria maior facilidade de abstração, exemplo: um aluno das
séries iniciais compreende facilmente a visualização de meia maçã, a metade de uma
maçã, mas teria dificuldade em entender a representação
2
1
da maçã. Esse fato
justifica a presença constante de objetos ostensivos: ilustrações, cores, personagens
ou outro objeto ostensivo qualquer que se faça presente nas páginas impressas dos
livros didáticos. Outra presença constante é o uso de jogos e desafios, essa ludicidade
atrai o interesse dos alunos para a resolução das tarefas, “[...] são instrumentos
importantes para que elas conheçam a si mesmos os outros e o seu ambiente social”
Bittar e Freitas (2005, p. 37). Segundo os autores:
[...] os jogos permitem ao professor analisar e avaliar os seguintes aspectos:
compreensão - facilidade para entender o processo do jogo assim como o
autocontrole e o respeito a si próprio; facilidade - possibilidade de construir
uma estratégia; possibilidade de descrição - capacidade de comunicar o
procedimento seguido e a maneira de atuar; estratégia utilizada -
capacidade de comparar as previsões ou hipóteses (BITTAR; FREITAS,
2005 p. 37).
33
A centralidade atribuída à atividade matemática, cujas raízes se nutrem na
abordagem construtivista, exige que não haja uma defesa prioritária de um tipo de
ostensivo em detrimento de outros. Assim, ao realizar nossa pesquisa, não
consideramos que o registro através de uma perspectiva (desenho de uma balança)
seja concebido como mais importante do que o registro da linguagem materna
(palavra medida de massa). Em outros termos, trata-se de valorizar diferentes
maneiras de representar o conhecimento aritmético e, ao analisar tais noções em
nível dos anos iniciais, talvez possamos destacar o que existe lá de específico.
Chevallard e Bosch (1999) defendem que objeto ostensivo e objeto não-
ostensivo são sempre institucionais, a existência deles não depende da atividade de
uma única pessoa, mas são unidos por uma dialética que consideram os não -
ostensivos como emergentes da manipulação dos ostensivos e, ao mesmo tempo,
como meios de domínio dessa manipulação. A presença simultânea de diferentes
registros ostensivos é a invariante da prática matemática, o papel semiótico dos
ostensivos, ou seja, seu poder de produzir um sentido não pode ser separado de sua
função instrumental, isto é, de sua capacidade de se integrar nas manipulações
técnicas, tecnológicas e teóricas. Observa Bosch e Chevallard (1999, p. 14)
:
A fonction sémiotique des ostensifs, leur capacité à produire du sens, ne
peut en effet être séparée de leur fonction instrumentale, de leur capacité à
s‟intégrer dans des manipulations techniques, technologiques, théoriques.
Nous essayerons de préciser cette double fonction des ostensifs en
présentant le type d‟analyses que cette distinction nous permet de réaliser.
Mais, avant cela, nous caractériserons les différents objets ostensifs par le
registre (oral, écrit, graphique, gestuel, matériel) auquel ils appartiennent,
distinction motivée par le fait que la fonction attribuée spontanément aux
objets ostensifs dépend de la « matière » dont ils se composent.
Com base nesse entendimento, consideramos a recomendação de que o
ensino da aritmética com situações problemas, usando a calculadora, deve se orientar
por tarefas que valorizem simultaneamente esses dois aspectos (papel semiótico e
função instrumental), sendo um de natureza da comunicação (função semiótica) e
outro de natureza mais pragmática, isto é, usado como ferramenta na resolução de
exercícios ou problemas. Portanto, em uma única atividade encontramos, ao mesmo
tempo, o conceito, o desenho (representando o conceito), entre outros aspectos. Nesta
relação, o papel da visualização e da manipulação do concreto é fundamental para o
desenvolvimento cognitivo do aluno.
34
Acreditamos que a manipulação de um objeto ostensivo, mediante a
resolução de uma determinada tarefa, favorece a construção do conhecimento que
pode ser expresso por meio de um discurso tecnológico ou teórico, e este permite
materializar as explicações e justificativas necessárias ao desenvolvimento das
tarefas.
O uso da calculadora pode ser entendido como “[...] aquilo que está
relacionado com o estudo e com a ajuda para o estudo da matemática”
(CHEVALLARD, 2001, p.46, o grifo é nosso). Como podemos articular o uso da
calculadora entre os dois blocos, prático-técnico (saber-fazer) e o bloco tecnológico-
teórico (saber), mencionados no tópico Organização Praxeológica? Ora, se a
calculadora será uma ajuda no estudo da matemática, entende-se que há uma
organização praxeológica implícita neste “uso” dela. Embora seu (da calculadora)
objetivo primário não seja de “aspectos específicos do processo de estudo da
matemática” (CHEVALLARD, 2001, p. 46), mas a apropriação dela permite não só
a realização de atividades matemáticas pelos alunos (matemática conhecida), como o
trabalho do próprio matemático (criar matemática nova).
Independente de quem faça uso da calculadora, haverá sempre um tipo de
tarefa específico que solicita seu uso; uma técnica que são os passos precisos de
como ela será usada; uma tecnologia que explica a técnica; e uma teoria que justifica
e dá amparo à tecnologia. Portanto, de nada adiantaria usar a calculadora, quando
não sabe o que fazer com ela. Uma dificuldade pode ocorrer tanto pela não
compreensão da tarefa em si quanto pela falta de conhecimento da função das teclas
da calculadora.
2.4 A calculadora e a TAD
A matemática faz parte do cotidiano e das atividades humanas, por meio de
ações simples que podemos definir aqui como sendo algumas ações diárias de contar,
medir, localizar, até as mais complexas, nas relações de produção e serviços. Sendo
ela de suma importância, devido ao seu alcance, resta-nos como educadores um
envolvimento maior no sentido de promover sua aprendizagem com todos os
recursos que estão disponíveis, não menosprezando sua eficácia.
35
Como já vimos, a TAD fala de objetos ostensivos e não ostensivos.
Entendemos que a calculadora é um objeto ostensivo devido à sua materialidade e
por possuir elementos manipuláveis perceptíveis aos nossos sentidos. Ao mesmo
tempo, está implícito a não ostensividade, que são as ideias os conceitos matemáticos
institucionalizados, que não podem ser percebidos por si sós, mas relacionados à
ação manipulativa de suas teclas. Por exemplo, “multiplicação”, “adição”, “divisão”
e “subtração” são conceitos matemáticos, portanto, são objetos não ostensivos. Mas a
materialidade destes conceitos identificados em qualquer linguagem, palavras
escritas, sonoras, quanto à simbólica representada pelos sinais de +, -, x e
são
objetos ostensivos.
A articulação entre os objetos ostensivos e não ostensivos e a capacidade de
integrar as técnicas, tecnologias e teorias, é que fará toda a diferença na elaboração
de atividades matemáticas, porque o que importa para a TAD é a atividade
matemática, pois ela está situada no centro das atividades humanas.
El punto crucial al respecto, del que se descubrirán poco a poco las
implicaciones, es que la TAD sitúa la actividad matemática, y en
consecuencia la actividad del estudio em matemáticas, en el conjunto de
actividades humanas y de instituciones sociales (CHEVALLARD, 1999
p. 1).
Nos postulados da teoria antropológica, ações como andar, dançar, teclar
numa calculadora, são atividades humanas que poderíamos classificá-las de
elementares, embora essas ações necessitem de noções espaciais, lateralidade,
temporalidade e outras que envolvam movimento, ainda assim é uma visão muito
redutiva e particularista. A TAD se contrapõe a este pensamento porque podemos
diferenciar as atividades matemáticas das atividades humanas elementares. As
atividades matemáticas necessitam de técnicas para serem resolvidas e uma técnica
precisa de uma tecnologia que se justifica através de uma teoria. Falando em
técnicas, algumas são melhores (mais eficazes) do que outras por ter um
embasamento teórico mais consolidado.
El postulado de base de la TAD es contrario a esta visión particularista
del mundo social: se admite en efecto que toda actividad humana
regularmente realizada puede describirse con un modelo único, que se
resume aquí con la palabra de praxeología. Antes incluso de examinar lo
que se denomina así, se debe señalar que se parte pues de uma hipótesis
que no especifica de ninguna manera la actividad matemática entre las
actividades humanas: las matemáticas deberán ver reconocidas su
especificidad de otra manera (CHEVALLARD, 1999, p.2)
.
36
Chevallard (1999) ressalta que quando acionamos uma técnica estamos
manipulando um ostensivo que está intimamente relacionado com um não ostensivo.
Na prática seria como estarmos resolvendo uma tarefa matemática usando uma
calculadora como ostensivo, aplicando uma técnica em busca do resultado. Parece
tão simples pegar uma calculadora e sair resolvendo qualquer tarefa matemática,
entretanto, se o tipo de tarefa apresentado tiver algumas complexidades que exijam
conhecer alguns conceitos matemáticos, não será o fato de estar usando a calculadora
que levará ao aprendizado esperado.
2.5 A calculadora nos PCN e no Guia do PNLD
Nossa opção em usar os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática
de 1997, e o Guia do Programa Nacional do Livro Didático 2007, justifica-se porque
acreditamos que estas instituições são resultados de pesquisas, um trabalho de equipe
que tem credibilidade entre muitos educadores, sendo referenciados em diversas
obras acadêmicas.
O incentivo ao uso da calculadora não é algo novo. Os PCN orientam para o
seu uso em diferentes situações de aprendizagem, com atividades que apresentem
desafios e que oportunizem ao aluno verbalizar ou escrever todo procedimento que
usou. Segundo os PCN, o critério de seleção de conteúdos não pode ter relevância
somente a lógica interna da matemática. Sendo assim, o estudo da matemática deve
se articular com outras áreas do conhecimento e com o cotidiano social.
O conteúdo curricular no Ensino Fundamental está organizado em quatro
blocos: números, geometria, medidas e tratamento da informação. Neste contexto, o
uso da calculadora está sempre inserido em um desses blocos, os PCN exemplificam-
na em atividades envolvendo números e operações.
Situação exploratória e de investigação que se tornaria imprópria sem o
uso de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno sendo desafiado a
descobrir e a interpretar os resultados que obtém quando divide um
número sucessivamente por dois (se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25;
0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625). Usando a calculadora, terá muito mais
condições de prestar atenção no que está acontecendo com os resultados e
de construir o significado desses números (BRASIL, 1997, p. 34).
Outra situação é a possibilidade de encadeamento de ideias nas atividades
exploratórias com a calculadora, por exemplo, após o aluno perceber as regras do
37
sistema decimal, os PCN aconselham outras possibilidades envolvendo medidas e o
tratamento da informação: “além da exploração dessas escritas pelo uso da
calculadora, os alunos também estabelecerão relação entre elas e as representações
referentes ao sistema monetário e aos sistemas de medida” (BRASIL, 1997, p. 68).
O Guia do PNLD afirma que os livros didáticos de matemática devem se
adequar como instrumentos de trabalho do professor, contemplando conteúdos que
requerem estratégias para desenvolver várias competências cognitivas como
“observação, compreensão, argumentação, organização, comunicação de idéias
matemáticas, planejamento, memorização entre outras” (BRASIL, 2007, p. 19)
É inconcebível pensar em uma rotina escolar sem o uso de algum tipo de
recurso tecnológico, classifico aqui recurso tecnológico do giz ao computador.
Embora o computador e a calculadora já façam parte da realidade de muitas escolas,
o computador está presente nas atividades dos alunos, mas o mesmo não acontece
com a calculadora. No nosso dia-a-dia não ficamos dependendo de lápis e papel para
resolver situações-problemas, fazemos opção pelo uso da calculadora, devido à sua
rapidez e eficácia. Porque então deixamos de incluí-la nas aulas de matemática? É
claro que pode ocorrer o desconforto da não dominação do seu uso, o que é até
natural. As outras invenções tecnológicas também geraram este desconforto nas
pessoas, como, por exemplo, operar um caixa eletrônico, o telefone ou o carro.
O processo evolutivo das tecnologias é tão rápido que quando conseguimos
compreender a que se destinam, logo surge uma nova tecnologia. Queremos dizer
que, antes que uma tecnologia seja interiorizada, seu uso seja bem concebido, sua
funcionalidade explorada em diversas situações, ainda assim não é fácil antever seus
efeitos. Por que seria diferente quanto ao uso da calculadora?
Outro fator importante que o Guia do PNLD indicou é a incidência do uso
da calculadora prevista nos livros didáticos, em maior ou menor grau, dependendo de
cada autor. Por se tratar de um instrumento muito utilizado pelos professores,
consideramos importante falar um pouco do processo histórico pelo qual os livros
didáticos também passaram.
38
2.6 A trajetória dos livros didáticos
Os livros didáticos, na forma como os conhecemos, têm uma história que
perpassa também pela história do ensino em suas nuanças e contradições. Nos
próximos parágrafos, explicitaremos como era o ensino no Brasil numa época
anterior ao uso dos livros didáticos.
O ensino pela oralidade precedeu o ensino dentro dos padrões conhecidos
atualmente, um exemplo dele é o método mútuo de Lancaster
10
, instituído em 1827,
por D. Pedro I. Este método consistia primeiro na educação das corporações
militares, e depois era reproduzido na população, pelo ensino em massa. Este método
baseava-se no ensino oral, no uso refinado e constante da repetição e, principalmente,
na memorização, porque se acreditava que por meio dessa educação, inibiria-se a
preguiça e a ociosidade do educando tornando-os dóceis.
Os primeiros livros no Brasil têm sua história, ela será considerada no
próximo parágrafo, iniciaremos com os livros não didáticos até culminar com os
didáticos. O livro didático tem despertado grande interesse entre os pesquisadores
que o tem analisado sob várias perspectivas. Antes de sua implantação, na forma
como o conhecemos, ele passou por vários processos que vão desde os primeiros
livros (não didáticos) trazidos para o Brasil pelos jesuítas até o livro didático do
aluno.
2.6.1 Dos primeiros livros aos livros didáticos
Desde os jesuítas já se fazia uso de livros como suporte para as atividades
docentes. Os livros entravam no Brasil vindos da Europa, trazidos pelos padres da
Companhia de Jesus ou pelo rei, atendendo às solicitações dos jesuítas. Os acervos
das bibliotecas escolares eram formados por doações
11
ou compra. Entretanto, a
produção e circulação de livros no Brasil só ocorreram com a chegada da Família
Real, por volta de 1808, com a instalação da primeira Imprensa Régia. Devido ao
alto índice de analfabetismo, não havia interesse em ampliar e divulgar as produções
10
Conteúdo discutido no Grupo de Pesquisa em História da Educação Matemática Escolar
(GPHEME) coordenado pelo prof. Dr. Luiz Carlos Pais, UFMS.
11
Doação e esmola eram sinônimos no Brasil colônia e ocorria quando um jesuíta morria e seus livros
eram inventariados e doados às instituições escolares.
39
literárias. Foi somente com o desenvolvimento econômico dos grandes pólos como
São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais, que faziam riqueza através da agricultura
e da indústria, que os livros passaram a ter importância. A nova burguesia passa a
fazer uso das novas bibliotecas que começaram a surgir no Brasil.
As bibliotecas tinham publicações variadas que iam do literário aos
pequenos livros de bolso. Nessa nova expansão, as editoras começaram a se
interessar por um livro de saída fácil: os livros didáticos. Alguns autores se
destacaram nessa área, Antonio Trajano
12
foi um deles.
Os livros de matemática traziam conteúdos diferentes quando se tratava do
ensino para as meninas. A Lei de 15 de outubro de 1827 deixava claro o que os
meninos e as meninas poderiam estudar em matemática. O Artigo 6º dessa Lei dizia
que aos meninos haveria o ensino das quatro operações de aritmética, a prática de
quebrados, os decimais e proporção, e as noções gerais de geometria. O artigo 12
dizia que deveria ser excluída a noção de geometria e o ensino da aritmética quando
o ensino da matemática fosse destinado às meninas. O ensino da matemática para
elas se resumia às quatro operações. Nessa época, o ensino das prendas domésticas
era valorizado.
Os livros didáticos também passaram por censura antes de sua
institucionalização oficial, comissões foram organizadas no sentido de resolver
impasses internos. Na década de 1970, qualquer livro publicado deveria passar pela
verificação prévia da Polícia Federal, a este órgão caberia analisar a existência de
qualquer material que ferisse a moral e os bons costumes.
Foram criados programas que visavam ao atendimento de estudantes
carentes, selecionados em todo o país, mas foi somente na década de 1980, que
professores da rede pública de ensino ocuparam o lugar das comissões encarregadas
dessa seleção e assumiram a tarefa de escolher os livros didáticos. Entretanto,
somente a partir de 1995 que o Programa Nacional de Livros Didáticos foi instituído.
O Guia do PNLD inicia com o processo de avaliação das obras didáticas, pelo MEC,
cujos resultados são encaminhados periodicamente aos professores.
12
A Aritmética Elementar Ilustrada, destinada ao ensino primário, com 1ª edição em 1879, teve sua
136ª edição posta em circulação em 1958.
40
2.6.2 Os livros de matemática e as novas tendências
Com a reformulação do ensino de Matemática, os livros didáticos também
sofreram mudanças. Essa modernização teve seu embrião em Euclides Roxo. Ele
pleiteava um ensino com orientações metodológicas diferente do tradicional,
defendia a ideia de valorizar a subjetividade da aprendizagem, o interesse do aluno e
o seu nível de desenvolvimento cognitivo. Muito do que Roxo pregava hoje consta
nos PCN como regras para avaliação dos livros didáticos, ou ainda a articulação
entre os blocos de conteúdos. Pais (2007) considera os livros didáticos como fortes
fontes de influência, portanto, fazem parte da vulgata
13
, pois seus conteúdos sofreram
o rigor da análise de instituições de controle e regulamentação.
Segundo Pais (2007), uma tendência muito forte nos livros didáticos atuais
em comparação com os mais antigos, são as estratégias indutiva-dedutiva que,
segundo o autor, consiste na verificação ou realização de procedimentos
experimentais antes de obter uma conclusão lógica. Um exemplo é a resolução de
problemas que pode ser usado para se iniciar um conteúdo novo. Neste caso, as
questões induzidas do problema é que serão o tema gerador da aprendizagem.
Ao caracterizar o ensino da matemática como área do conhecimento, os
PCN coloca a calculadora, assim como outros recursos didáticos, inserida com maior
relevância em situações que elevam o exercício da análise e da reflexão à frente da
atividade matemática.
Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras,
computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de
ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a
situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em última
instância, a base da atividade matemática (BRASIL, 1997 p. 19).
Outra característica importante, segundo o Guia do PNLD, são que os livros
didáticos devem trazer para o ambiente escolar a informação e o conhecimento
matemático, contextualizado com as práticas sociais. Entretanto, este conhecimento
não vem na forma como foram produzidos, eles são modificados e adaptados ao
ensino de determinado conteúdo.
13
Vulgata no sentido dado por Chervel, um exemplo são os livros didáticos que na forma como estão
organizados, os termos, os conceitos, a sequência, parecem dizer a mesma coisa, esta organização
foi chamada de o fenômeno da vulgata. Extraído das discussões do grupo de pesquisa.
Coordenador: prof. Dr. Luiz Carlos Pais, UFMS.
CAPÍTULO III
ASPECTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
Este capítulo foi construído com o objetivo de mostrar a aplicação do
referencial metodológico ao nosso objeto de pesquisa, que está embasado na análise
de conteúdo proposta por Laurence Bardin (2008). Dividimos o capítulo em duas
partes. A primeira parte refere-se aos aspectos teóricos do método e a segunda parte
trata dos procedimentos metodológicos da pesquisa, que são apresentadas a seguir.
3.1 Aspectos teóricos do método
Iniciamos com uma retomada histórica que contextualiza e define o que é
análise de conteúdo. Embora o campo de pesquisa utilizando a análise de conteúdo
seja vasto, vamos delimitando aos poucos sua extensão, principiando da utilização
dela na Educação, com exemplos de pesquisas desenvolvidas por educadores de
modo geral. Depois, trataremos da análise de conteúdo na Educação; análise de
conteúdo na Educação Matemática; a pertinência da análise de conteúdo com a TAD;
em seguida, a análise de conteúdo e a calculadora.
3.1.1 Análise de conteúdo: história do método
Pretendemos, neste capítulo, falar um pouco da história da Análise de
Conteúdo, com base nos estudos de Laurence Bardin. O que é Análise de Conteúdo?
“É um conjunto de instrumentos metodológicos em constante aperfeiçoamento, que
se aplicam a “discursos” (conteúdos e continentes) extremamente diversificados”
Bardin (2008, p.11). O objetivo da análise de conteúdo é buscar indicadores
quantitativos ou qualitativos (pertinente ao objeto de pesquisa) por meio da descrição
do conteúdo das mensagens. Através de procedimentos sistemáticos, o pesquisador
coleta as informações de que necessita, trabalha os dados coletados, faz inferências e
finalmente interpreta tendo como última instância seus conhecimentos sobre o
resultado.
42
O método de análise surgiu da necessidade de sistematizar discursos de
conteúdos diversos numa época de grande explosão comunicacional. Bardin relata
que historicamente, o que precedeu a análise de conteúdo foi a hermenêutica e a
retórica. A primeira estudava as modalidades de expressão e a segunda analisava o
encadeamento das ideias do discurso e a formalidade das regras. Um exemplo de
pesquisa baseado neste tipo de análise ocorreu em 1640, na Suécia. O que se
pretendia nessa pesquisa era verificar se os hinos religiosos poderiam ter efeitos
nefastos sobre os Luteranos. Posteriormente, o método foi adquirindo um aspecto
mais rigoroso, mostrado na pesquisa que analisou as expressões de emoções e de
linguagem no Livro de Êxodo, com preparação textual e classificação temática de
palavras-chave Bardin (2008, p.16).
Durante o período da primeira e segunda guerras mundiais, nos Estados
Unidos, o jornalismo fez uso da análise de conteúdo em pesquisa quantitativa para
medir o grau de sensacionalismo e layout de jornais, culminando este tipo de
pesquisa com análise de conteúdos subversivos em jornais e revistas (década de 40 e
50). Após esse período, houve uma complementação na normatização dos
procedimentos metodológicos pelos americanos. No pós-guerra, houve um período
de desencanto demonstrado entre os próprios pesquisadores (Berelson, Janis,
Lasswell, Leites, Lerner, Pool), que somente foi reativado quando da convocação
pelo Social Science Research Council1s Committee on Linguistics and Psychology
para estudos da Psicolinguística. Novas perspectivas metodológicas foram surgindo,
com a contribuição de outras ciências, e a análise de conteúdo foi se renovando e
tomando novos formatos metodológicos e epistemológicos, esta última concebida em
modelo representacional (onde a mensagem permite indicadores válidos de análise,
revelado por meio de itens lexicais), e instrumental (onde a mensagem não é
importante, mas seu contexto e circunstâncias). No metodológico há o impasse entre
o quantitativo (mede a frequência em que surgem certas características do conteúdo
analisado) e o qualitativo (presença ou ausência de alguma característica do conteúdo
analisado).
Com o grande boom das tecnologias computacionais, novas formas
linguísticas passaram a fazer parte do processo de crescimento da análise de
conteúdo, por exemplo: O uso do computador facilitou investigações estatísticas, que
promoveram adaptações, tanto na máquina quanto no método de pesquisa; outra
influência veio da semiótica e da linguística, com seus objetos representados através
43
da imagem, tipografia e música; teorias da psicanálise e do estruturalismo também
contribuíram para a análise de conteúdo.
3.1.2 A composição do método da análise de conteúdo
A metodologia é composta de etapas bem definidas cronologicamente. Uma
fase refere-se à pré-análise, que corresponde à organização do material envolvido na
pesquisa, preparação e escolha documental, formulação de hipóteses ou dos objetivos
e a elaboração de indicadores que serão trabalhados na fase final de interpretação. A
próxima fase refere-se à exploração do material já previamente organizado na fase
anterior, estabelecer códigos, decompor, enumerar de acordo com o que se pensou
nessa organização. A última etapa é a interpretação dos resultados obtidos. Este é o
momento de aplicar a regra, de condensar o resultado em tabelas, quadros, aplicar-
lhes percentuais, fazer inferências, enfim, sistematizar o estudo e submetê-los à
validação.
3.1.3 Aplicações possíveis da análise de conteúdo
Para cada um dos casos e para muitos outros, as ciências humanas
facultam um instrumento: a análise de conteúdo de comunicações. Esta
técnica, ou melhor, estas técnicas implicam um trabalho exaustivo com as
suas divisões, cálculos e aperfeiçoamentos incessantes do métier
(BARDIN, 2008, p. 29).
Com estas palavras, Laurence Bardin qualifica a análise de conteúdo como
um instrumento metodológico, ou como ela mesma diz “não um instrumento, mas,
um leque de apetrechos” Bardin (2008, p. 33) eficaz no desenvolvimento de
pesquisas em diversas áreas do conhecimento, onde há comunicação. A aplicação da
análise de conteúdo é muito vasta, compreende desde a análise de documentos aos
objetivos dos investigadores, com variantes nos procedimentos, dependendo do tipo
de comunicação (escrito, como em manuais escolares, livros, cartas, literaturas,
textos jurídicos, panfletos, anúncios diversos de revistas, jornais, ordens de serviços;
na oralidade, vista em entrevistas, novelas, narrativas de histórias diversas; icônicos
em geral, como em sinalização de trânsito, cinema, pinturas, cartazes, televisão,
44
fotonovelas, a linguagem dos vestuários), enfim, onde é possível identificar que há
uma mensagem por trás de algo escrito, oral ou icônico.
3.1.4 A análise de conteúdo na educação
Muitas pesquisas em Educação foram desenvolvidas utilizando a análise de
conteúdo como metodologia. Vamos a alguns exemplos:
Esta pesquisa propõe-se a analisar a produção acadêmica, veiculada em
teses e dissertações produzidas em universidades públicas da região
sudeste, [...]. Para esse empreendimento, adotamos a abordagem
metodológica qualitativa, de natureza bibliográfica/documental,
privilegiando a análise de conteúdo, uma vez que nossa pesquisa foi
realizada com base em acervo documental (dissertações e teses)
(SANTOS, 2008, p.5).
A pesquisa desenvolvida por Santos (2008), referente aos professores da
Educação Infantil em Formação Continuada, baseou-se na produção acadêmica de
teses e dissertações, usando como metodologia a análise de conteúdo. A autora
observa, em seus estudos, uma tendência de intervenção nas pesquisas analisadas por
parte dos pesquisadores na medida em que estes se assumem como formadores no
contexto de sua pesquisa, e não como observadores de processos de formação.
Afirma também que ocorrem privilégios temáticos, como o perfil do profissional de
Educação Infantil, políticas públicas específicas e a concepção de criança.
Refletimos sobre a configuração do conhecimento no Curso de Educação
Física da UFRN, considerando-se a produção das monografias de
graduação, no período de 1995 a 2004. A metodologia utilizada foi a
análise de conteúdo, através da organização e interpretação de categorias
temáticas (ROCHA, 2009, p. 4).
Rocha (2009) também faz uma pesquisa baseada em documentos como
teses e dissertações, seu objetivo era a produção acadêmica em curso de Educação
Física na UFRN. A autora afirmou que as monografias “aparecem falsamente como
uma oportunidade para que todos participem do processo de iniciação científica”
(ROCHA, 2009, p. 4). Observou que os trabalhos apresentados necessitam se
enquadrar nas normas técnicas. Incluiu-se nesta observação fazer uso do rigor
metodológico, mas, o mais importante foi concluir que houve investimentos na
produção do conhecimento e a dominância de temas ligados a ciências naturais.
45
O presente texto, sobre o uso da análise de conteúdo na área da educação,
procura ser uma contribuição à pesquisa em educação no sentido de
colocar à disposição do pesquisador este importante procedimento de
interpretação de dados coletados. [...] o que é análise de conteúdo, o que
faz dela um método durável, confiável, sendo plenamente aceito até
mesmo por revistas internacionais de grande rigor científico e
metodológico? Quais são as etapas de sua execução? Como estas etapas
se estruturam? E finalmente, quais são os limites da análise de conteúdo?
[...] este texto usa exemplos que clareiam o processo de análise de
conteúdo (OLIVEIRA et al., 2003, p. 1).
Dos exemplos citados acima, percebe-se quão útil é a análise de conteúdo
em pesquisas na educação, devido a sua abrangência metodológica, segundo
Oliveira, permite que o educador extraia do texto (vários) seu conteúdo manifesto.
Em seu texto, a autora objetiva a utilização desta metodologia na Educação,
afirmando que o modelo usado desde a metade do século XIX, das ciências da
natureza, tinha limitações porque estas procuram as características do empirismo, da
objetividade, da experimentação, da validade, segundo ela, este modelo é inadequado
ao objeto estudado.
3.1.5 A análise de conteúdo na educação matemática
A educação matemática também se apropriou dessa forma de pesquisar,
podemos observar isso nos trabalhos desenvolvidos por Cury et al. (2008), com o
objetivo de analisar soluções de problemas de Álgebra, Análise, Geometria e
Probabilidades, apresentadas por professores que cursam Mestrado em Ensino de
Matemática, em quatro instituições brasileiras. Segundo Cury em sua pesquisa, pode-
se utilizar os erros cometidos pelos alunos para subsidiar a avaliação ou planejar
estratégias de ensino.
[...] análise, Geometria e Probabilidades, apresentadas por professores que
cursam Mestrado em Ensino de Matemática. Como metodologia de
investigação, podemos avaliar o conteúdo das soluções dos estudantes,
passando pelas etapas de pré-análise, exploração do material e tratamento
dos resultados, obtendo informações que nos permitem avançar no
conhecimento das causas dos erros. [...] com o objetivo de analisar
soluções de problemas de Álgebra, Análise, Geometria e Probabilidades,
apresentadas por professores que cursam Mestrado em Ensino de
Matemática (CURY et al., 2008, p.1).
Segundo a autora, a análise de erros de uma produção escrita, como é o caso
de respostas escritas de estudantes em questões matemáticas, necessitam que a
46
metodologia seja a análise de conteúdo. Ela conclui que os professores não
conseguem estabelecer padrões em expressões algébricas e procuram empregar
cálculos para comprovar resultados, ao invés de questionar sua existência.
Outra pesquisa em Educação Matemática foi desenvolvida por Bairral e
Nascimento. (2004), tratando do ensino de matemática em ambientes virtuais (EAD)
A análise de conteúdo faz-se necessária nesta investigação uma vez que a
ação e a criatividade humana na elaboração de cenários formativos
constituem uma forma intencional de comunicação, de discurso [...]
nossos procedimentos metodológicos estarão embasados nas fases da
análise de conteúdo (BAIRRAL; NASCIMENTO, 2004, p. 2).
Bairral propõe fazer um inventário de ambientes virtuais, analisando suas
características, oferecendo diretrizes para implementação de cursos (EAD), propondo
estratégias e modelos de consultas dessas instituições na internet. O autor afirma que
sua pesquisa favorecerá a construção de novas bases de dados, em qualquer área do
conhecimento, que contemple especificidades que podem ser consultados em rede.
Conforme observamos, pesquisas desenvolvidas por meio da análise de
conteúdo, em Educação Matemática, diversificam muito. As pesquisas vão de análise
de atividades desenvolvidas por alunos às instituições de ensino a distância.
3.1.6 A pertinência da análise de conteúdo a TAD
A análise de conteúdo tem por objetivo estudar a fala, viva e individual, ver
além do que está escrito, o que está por trás, as entrelinhas da mensagem, e isto
envolve todo um processo metodológico de manipulação desta mensagem a fim de
evidenciar os indicadores que permitam fazer inferências sobre outra realidade que
não a dela mesma. Já a Teoria Antropológica do Didático tem por ponto alto a
atividade matemática situada no conjunto das atividades humanas e das instituições
sociais. O que se tem produzido tendo como metodologia a análise de conteúdo e
referencial teórico a TAD? Existe algum precedente no qual possamos nos embasar?
Resende (2007), em sua pesquisa, teve por suporte, além de livros didáticos,
entrevistas com professores e pesquisadores.
No caso da pesquisa desenvolvida por Resende, a análise de conteúdo foi
útil para o tratamento das informações por meio de propostas curriculares das
disciplinas que tratam da Teoria dos Números, em cursos de licenciatura de
47
matemática. Em nossa pesquisa, também foi necessário que utilizássemos a análise
de conteúdo no tratamento de informação que Bardin chamou de pré-análise. Para
nós, a pré-análise consistiu na organização de todo o material que usamos na
pesquisa. O próximo passo foi a leitura minuciosa do material ora organizado,
procedendo as anotações dos pontos altos. As primeiras fontes que utilizamos foram
os PCN e Guia do PNLD, o corpus da pesquisa dependeria da análise desses dois
documentos, por meio de retiradas de unidades de significados que contemplassem a
calculadora.
A escolha dos livros didáticos parte do princípio de que possuem atividades
que usam a calculadora. As leituras prévias do Guia do PNLD e PCN nos dão
suporte para uma boa escolha. No próximo capítulo, detalharemos sobre este aspecto,
assim como faremos a seleção das atividades dentre os livros escolhidos e os critérios
de agrupamentos das tarefas, a TAD assume um papel fundamental na análise dessas
tarefas.
3.1.7 A análise de conteúdo e a calculadora nos livros didáticos
Na preparação do corpus da pesquisa foi necessário utilizar a análise de
conteúdo. Foi preciso selecionar todos os documentos de consulta, construir o corpus
com o qual me debruçarei no sentido de responder aos objetivos propostos nesta
pesquisa. As tarefas matemáticas com uso de calculadora, das quais utilizarei na
análise, estão em livros didáticos, mas, em quais e que tipo de livros didáticos?
Como a análise de conteúdo permite essa fase inicial de pré-análise, até chegar aos
livros didáticos foi fundamental uma leitura a priori de documentos que fazem parte
deste processo de escolha de livros didáticos, procuramos usar como fonte os PCN, o
Guia do PNLD/2007 de matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental, os
livros didáticos do 5º ano do Ensino Fundamental.
Precisávamos saber se o uso da calculadora em atividades matemáticas era
algo recente, ou se já havia algum embrião de seu uso antes de se introduzir o PCN e
no Guia do PNLD. Foi interessante verificar que, de fato, a calculadora já tem
história para ser contada, embora entrando timidamente e com muita resistência,
comparada com outros tipos de tecnologias, a calculadora já se fazia presente desde
1965 no Brasil, em literatura de orientação pedagógica intitulada “O ensino da
48
aritmética pela compreensão”, de Foster E. Grossnickle e Leo J. Brueckner, pela
Editora Fundo de Cultura, traduzido do original “Teaching social studies in the
elementary school”.
Embora sendo uma obra somente de orientação ao professor, em que sua
principal característica é introduzir um programa moderno de ensino da aritmética,
introduz o uso da calculadora para verificar as respostas das operações. Entretanto, as
máquinas de calcular dessa época só possuíam as teclas de operações de adição e
subtração e uma terceira tecla (R) que indicava operação repetida, usada nas
operações de multiplicação. Quando ocorria este tipo de operação aritmética, o aluno
teclava o numeral que indicava o multiplicando na calculadora, depois a tecla que
indicava repetição (R) seguida da tecla do sinal de adição, e prosseguia teclando
quantas vezes fosse o número que indicava o multiplicador.
No caso de operação de divisão, o sinal utilizado era o de subtração: teclava
na calculadora o algarismo que indica o dividendo, depois teclava o sinal de
subtração, em seguida teclava o algarismo que indicava o divisor e novamente o sinal
de subtração, pressionando-os quantas vezes fosse o algarismo indicado pelo divisor.
Atualmente as calculadoras possuem muitas possibilidades de cálculos. Este
processo que as calculadoras antigas faziam para dar o resultado das operações de
multiplicação e divisão são parte de algumas tecnologias (no sentido dado por
Chevallard) usadas pelos alunos para explicar algumas técnicas usadas na resolução
de alguns tipos de tarefas que muitos livros didáticos contemporâneos apresentam.
3.2 Procedimentos metodológicos da pesquisa
Organizamos nossa pesquisa em três etapas. A primeira etapa refere-se à
leitura e análise dos documentos (PCN, Guia do PNLD e Livros Didáticos
escolhidos), quando utilizamos a análise de conteúdo na escolha, organização e
preparação dos documentos necessários à pesquisa.
A segunda etapa refere-se à análise de elementos das organizações
praxeológicas das atividades extraídas dos livros didáticos. A terceira etapa refere-se
à triangulação dos dados obtidos através dos elementos de síntese.
Na primeira etapa houve a leitura e análise dos PCN de Matemática, dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, depois a leitura e análise do Guia do PNLD/07.
49
Não uma mera leitura, mas a leitura da forma como Bardin se expressou chamando-a
de “leitura flutuante, por analogia com a atitude do psicanalista”. A autora explica
que a leitura flutuante consiste num contato com documentos de forma a “deixar-se
invadir pelas impressões e orientações contidas nele” Bardin (2008, p. 122). Neste
ponto da leitura, o pesquisador pode fazer as inferências conforme vai adquirindo a
compreensão dos seus objetivos. Esta leitura nos forneceu uma visão mais ampla e
embasamento necessário para entendermos o modo como foi sugerido o uso da
calculadora nas atividades matemáticas nos anos iniciais. Conforme as análises dos
PCN foram progredindo, tornou-se necessário que nós registrássemos cada unidade
que consideramos significativas no que diz respeito às indicações para o uso da
calculadora nas atividades matemáticas. Essa etapa da análise encontra-se no anexo
A, com o nome de Unidades de Significados dos PCN. Esse processo na pesquisa foi
muito importante, pois o registro dessas unidades e suas respectivas análises
serviram como embasamento, inclusive para termos uma ideia do que deveríamos
nos ater ao analisarmos o Guia do PNLD/ 2007 de matemática, dos anos iniciais do
Ensino Fundamental.
A partir de uma coletânea de unidades extraídas dos PCN e do Guia PNLD,
uma parte muito importante da análise dava-se neste momento, ou seja, as
informações eram cruzadas com o objetivo de agruparmos em temáticas para que nos
permitisse enxergar muito além do que estava escrito, e poder, assim, compará-los
com o exposto em livros didáticos por meio das atividades com o uso da calculadora
neles fornecidos, e principalmente, fazer uma triangulação destas informações e
como resultado selecionar algumas atividades para análise posterior.
O esquema a seguir dará uma ideia geral do desenrolar da pesquisa, até o
ponto em que inicia a análise dos elementos das organizações praxeológicas.
50
Figura 1 - Esquema do desenvolvimento da pesquisa.
Pré-análise
PCN e Guia do PNLD
Unidades de significado do
Guia do PNLD
Unidades de significado
PCN
Confluência temática
Leituras
Elementos das organizações
praxeológicas
Livros Didáticos
Agrupamentos de tarefas
C
O
R
P
U
S
CAPÍTULO IV
DESCRIÇÃO DA ANÁLISE
Este capítulo mostra como se deu o desenvolvimento da pesquisa a partir do
que chamamos no esquema de pré-análise (ver figura 1), como ela ocorreu. Indica
também os resultados de cada etapa realizada. O capítulo foi dividido em duas partes.
A primeira parte relata a análise dos PCN e Guia do PNLD e a segunda
parte tratará da análise dos livros didáticos.
4.1 Análises dos PCN e do Guia do PNLD
Iniciamos com a leitura dos PCN e, como mencionamos anteriormente,
usamos as duas versões, impressa e digital. Entretanto, a numeração das páginas dos
dois documentos não é igual, optamos por colocar a numeração das páginas do
documento digital.
As leituras do Guia do PNLD e dos PCN ocorreram de duas formas
diferentes, por meio de material impresso (livro) e digitalizado
14
(arquivo PDF -
Portable Document Format)
15
. Tanto o Guia do PNLD quanto os PCN de matemática
nos forneceram uma visão geral da calculadora no Ensino Fundamental.
Realizamos as leituras dos dois documentos, anotamos de cada um deles as
unidades de significados; agrupamos estas unidades de significados em confluências
temáticas; fizemos inferências ao longo da análise; construímos nosso corpus de
análise; refletimos e levantamos critérios que utilizamos na escolha dos livros
didáticos.
14
Arquivo disponível em: <ftp://ftp.fnde.gov.br/web/livro_didatico/guias_pnld_2007_matematica.pdf>.
Acesso em: 23 fev. 2008.
15
pdf - Portable Document Format - Permite visualizar o documento, independentemente do sistema
operacional ou do programa utilizado na sua criação. Disponível em: <http://www.ufpa.br/dicas/pro
gra/arq-exte.htm>. Acesso em: 12 nov. 2009.
52
4.1.1 Agrupamento das unidades de significados dos PCN em tipos de
conteúdos: procedimentais, conceituais e atitudinais
Passamos a explicitar cada momento realizado na pesquisa, iniciando pelos
PCN e culminando com os livros didáticos usados na pesquisa. A análise das
atividades dos livros didáticos aconteceu da seguinte forma: dos livros selecionados,
retiramos todas as atividades que usam a calculadora e agrupamos seguindo o que é
solicitado na própria atividade.
As ferramentas em formato pdf possibilitaram algumas verificações rápidas,
por exemplo, a calculadora foi encontrada no documento em dezoito instâncias
pesquisadas no singular, e onze instâncias no plural, conforme mostram as figuras 2 e 3.
Figura 2 - PCN de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa “calculadora”.
A calculadora nos PCN de matemática do Ensino Fundamental (1)
53
As figuras 2 e 3 têm um único objetivo: mostrar como aparece o resultado
de uma pesquisa usando as ferramentas de arquivo em formato pdf. Em caso de
substantivo concreto, levar em conta grau, número e gênero. Em nosso caso, só foi
necessário considerar número (plural/singular). A figura 2 mostra o resultado da
busca no singular e a figura 3 indica o resultado no plural. Cada item listado é um
link que uma vez aberto mostra o contexto da palavra pesquisada.
Figura 3 - PCN de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa “calculadoras”.
A calculadora nos PCN de matemática do Ensino Fundamental (2)
O próximo passo foi abrir cada link mostrado na janela de pesquisa do
documento, para verificar o contexto relacionado com a calculadora.
Nós consideramos como uma unidade de significado a palavra calculadora
junto com o contexto que lhe atribui um sentido. Estes fragmentos foram retirados do
texto para uma análise mais detalhada, conforme destacamos a seguir.
Fizemos dois agrupamentos com as unidades de significados dos PCN,
conforme indicado no quadro 1. De um lado, nós colocamos a atribuição que os PCN
54
forneceram à calculadora e do outro lado, os usos relacionados a ela. Foram oito
ocorrências atribuídas à calculadora como instrumento, dois como recurso e três
ocorrências como recurso didático. Na outra coluna colocamos todos os usos
relacionados a estas atribuições.
Quadro 1 - Indicativo das características e usos da calculadora mostrada nos PCN.
A CALCULADORA NOS PCN - ATRIBUIÇÕES E USOS
Atributo
Usos
Instrumento
Recurso
Recurso didático
Motivador
Contribui na melhoria do ensino de matemática
Situação exploratória
Situação de investigação
Verificação de resultados
Correção de erros
Autoavaliação
Desafio
Descobrir o resultado
Interpretar o resultado
Construir o significado dos números
Produzir e analisar escritas numéricas
Compreender procedimentos de cálculos
Comparar escritas numéricas
Desenvolver estratégia de verificação de resultados
Controlar e corrigir sua própria produção
Representações decimais
Explicitar verbalmente o resultado
Estimativa
Precisão
Dividir
Levantar hipóteses
Trabalho interessante
Sistema de Numeração Decimal
Agilidade
Avaliar estratégia de verificação de resultado
Números Racionais
Análise
55
A CALCULADORA NOS PCN - ATRIBUIÇÕES E USOS
Atributo
Usos
Reflexão
Atividade Matemática
Ensino e aprendizagem
Sistema Monetário
Sistema de Medida
Cálculo mental
Foram observados usos da calculadora relacionados a conteúdos conceituais
(relacionados aos conceitos matemáticos), procedimentais (relacionados aos
procedimentos didáticos) e atitudinais (relacionados aos valores), que descrevemos a
seguir.
Conteúdos procedimentais relacionados ao uso da calculadora: cálculo
mental, análise, avaliação de estratégias, verificação de resultados, agilidade,
levantamento de hipóteses, estimativa, explicitação verbal do resultado, controle e
correção de sua própria produção, desenvolvimento de estratégia de verificação de
resultados, comparação de escrita numérica, produção de escrita numérica,
compreensão dos procedimentos de cálculos, construção do significado dos números,
interpretação do resultado, descoberta do resultado, autoavaliação, correção de erros,
verificação de resultados, divisão, contribuição na melhoria do ensino de matemática.
Conteúdos conceituais relacionados ao uso da calculadora: Sistema de
medidas, sistema de numeração decimal, sistema monetário, números racionais,
representação decimal.
Conteúdos atitudinais relacionados ao uso da calculadora: motivação,
reflexão, trabalho interessante, desafios e estímulo.
4.1.2 Agrupamento das unidades de significados do Guia do PNLD em tipos de
conteúdos: procedimentais, conceituais e atitudinais
Na pesquisa com o Guia do PNLD foram aplicados os mesmos
procedimentos usados com os PCN. A palavra calculadora aparece no documento em
cento e quatorze instâncias no singular e uma no plural, conforme indicado nas
56
figuras 4 e 5 a seguir. Lembramos que ambas as figuras possuem o mesmo objetivo
que as figuras 2 e 3 que é somente exemplificar um recurso usado.
Usamos o mesmo modelo de quadro mostrando os usos e atribuições que o
Guia do PNLD indicou para a calculadora. Apresentamos também a classificação em
conteúdos procedimentais, conceituais e atitudinais.
Figura 4 - Guia do PNLD de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa
“calculadora”
A calculadora no Guia do PNLD de matemática do Ensino Fundamental (1)
57
Figura 5 - Guia do PNLD de matemática do Ensino Fundamental - pesquisa
“calculadoras”
A calculadora no Guia do PNLD de matemática do Ensino Fundamental (2)
Quadro 2 - Indicativo das características e usos da calculadora mostrada no Guia do
PNLD de Matemática.
A CALCULADORA NO GUIA DO PNLD - ATRIBUIÇÕES E USOS
Atributo
Usos
Instrumento
Recurso
Recurso didático
Cálculo mental, estimativas, em contagens, em
medições
Atividades em que se estabelece uma interação
Realização e conferência de cálculos
Estímulo freqüente à utilização
Calculadora não é valorizada
Sistema monetário
Incentiva-se o uso de materiais didáticos, com
destaque para a calculadora
Rica em atividades com destaque para a
calculadora
Observação de regularidades
O uso da calculadora também é muito valorizado
O uso da calculadora (...) propostas são
interessantes
Verificação de resultados
Identificação de propriedades operatórias
Números e operações
Valorizam-se os seus significados
Articulação entre os algoritmos
Propriedades das operações
Limita-se, quase sempre, à realização de
58
A CALCULADORA NO GUIA DO PNLD - ATRIBUIÇÕES E USOS
Atributo
Usos
operações numéricas
Ampliação das potencialidades em relação
investigações exploratórias das propriedades dos
números e de sua representação decimal.
Explorar propriedades das operações
Calculadora é pouco explorada
Exploração significativa da calculadora
Auxilia a investigação
Resolução de desafios
Trabalho com a calculadora seja complementado
Jogos, brincadeiras
Instrumento de investigação
Para experimentar e testar hipóteses
Sistema monetário
Para a introdução de novos conceitos
Operações numéricas ou para gerar seqüências
Preparação de atividades complementares
Sistema de Medida
Organizamos as unidades de significados do Guia do PNLD de acordo com
os tipos de conteúdos as quais destacamos a seguir.
Conteúdos procedimentais: Atividades em que se estabelece uma interação,
realização e conferência de cálculos, verificação de resultados, identificação de
propriedades operatórias, realização de operações numéricas, preparação de
atividades complementares, gerar seqüências, experimentar e testar hipóteses,
investigação, resolução de desafios, jogos, brincadeiras, trabalho complementar com
a calculadora, exploração significativa da calculadora, ampliação das potencialidades
em relação investigações exploratórias das propriedades dos números e de sua
representação décima e articulação entre os algoritmos.
Conteúdos conceituais: Propriedades operatórias, números e operações,
operações numéricas, sistema de medida, gerar seqüências, sistema monetário,
propriedades dos números e de sua representação decimal.
Conteúdos atitudinais: Incentivo, Valorização dos seus significados,
desvalorização, estímulo.
É interessante notar que o Guia do PNLD atribuiu à calculadora a
característica de recurso didático em sete ocorrências, em detrimento da
59
característica usada como instrumento, que somente ocorreu uma vez em
comparação com o PCN.
Considerando o conjunto de unidades de significados dos PCN e do Guia do
PNLD, passamos a agrupá-los em confluências temáticas. Das unidades de
significados dos PCN que tinha seu equivalente com as unidades de significados do
Guia do PNLD, foi formada uma confluência temática.
A partir dos agrupamentos em confluência temática, passamos a fazer
inferências onde justificamos cada agrupamento ocorrido.
4.1.3 Análises das confluências temáticas dos PCN e do Guia PNLD
De toda esta coletânea de fragmentos, observamos algumas palavras em
comum nos dois documentos. Ora ocorria a incidência da mesma palavra, ora de
sinônimos. Segundo Bardin (2008, p.126) “desde a pré-análise devem ser
determinadas operações de recorte do texto em unidades comparáveis de
categorização para análise temática e de modalidade de codificação para o registro
dos dados”. Agrupamos em confluências temáticas e vamos destacá-las com alguns
comentários. Começamos a fazer as primeiras inferências para justificar os
agrupamentos ocorridos, mas o ponto mais importante é que estas palavras, devido à
sua abrangência, definem qual é o papel da calculadora na atividade matemática.
Abordaremos as confluências temáticas as quais consideramos o ponto alto
neste momento da análise destacado em cada unidade que foi extraída tanto dos PCN
quanto do Guia do PNLD. Usaremos a letra C para indicar confluência e T para
indicar temática. Os números subscritos referem-se somente a uma seqüência de
anotações, não interferindo no contexto. As confluências temáticas listadas e
comentadas a seguir aparecem nos dois documentos citados anteriormente, alguns
com as mesmas palavras e outras vezes ocorrendo sinônimos ou o equivalente.
Tentaremos fazer uma abordagem teórica que justifique cada uma das confluências
temáticas destacadas. Algumas unidades de significados foram agrupadas por
considerarmos que têm o mesmo sentido.
Formamos quatro confluências temáticas as quais chamamos: de Recursos
didáticos (CT
1
); Exercício da análise (CT
2
); Atividade (CT
3
); Conceitos matemáticos
(CT
4
). Essas quatro confluências temáticas serão discutidas e analisadas a seguir.
60
Nos próximos parágrafos tratamos de cada confluência temática inferindo nosso
entendimento em cada item pesquisado.
4.1.3.1 Recursos didáticos (CT
1
)
Estamos reunindo as confluências temáticas consideradas como recursos
didáticos, recursos e instrumento, levando em conta tudo que pode ser utilizado
como ajuda para um melhor aproveitamento do ensino da matemática. Segundo
Bravim (2006, p.15):
Ao serem usados no trabalho com os conteúdos escolares, os recursos
didáticos servem de mediadores entre estes conteúdos e os alunos. Os
alunos se apropriam dos conteúdos e do papel social de determinado
recurso didático, [...] o educador pode criar as condições para que o aluno
se aproprie desse conteúdo escolar e, inclusive, de seu valor cultural. A
partir dessa apropriação e de sua interiorização, ele poderá recorrer ao uso
desse instrumento em outros momentos de sua vida que achar útil e
necessário.
Embora a argumentação de Bravim se refira nesta citação ao uso da fita
métrica em medição, podemos facilmente adaptá-la ao uso da calculadora. Para esta
autora os recursos didáticos têm a função de mediação, “mediar uma relação é servir
de interface entre dois pólos, e dessa forma, contribuir para apropriação”. Podemos
complementar dizendo que os recursos didáticos fazem a mediação por contribuir
para uma fundamentação mais consistente dessa utilização (como recurso). Bravim
(2006) esquematiza esta relação de mediação dos recursos didáticos da seguinte
forma:
61
Figura 6 - Representação da função dos recursos didáticos nas relações
didáticas.
Fonte: BRAVIM (2006, p. 4).
A autora apresenta a figura de uma pirâmide triangular, onde no vértice de
base da pirâmide são colocados os recursos didáticos juntamente com o conteúdo e o
educador e no vértice superior da pirâmide o aluno (ver figura 6). Com isso ela
reforça que o educador se apropria dos recursos didáticos e do conteúdo para a
promoção do ensino e o aluno se apropria do recurso didático para sua
aprendizagem.
4.1.3.2 Exercício da análise (CT
2
)
Esta confluência temática organiza todas as unidades de significado
relativas aos conteúdos atitudinais dos dois documentos, PCN e Guia do PNLD:
reflexão, motivação, estímulo, desafios, valorização e incentivo.
Os PCN dão o sentido da palavra análise como sendo uma reflexão. Nós
entendemos que este exercício é de fundamental importância em qualquer situação,
seja ela matemática ou não. Refletir é voltar para si mesmo, fazer indagações, buscar
alternativas.
62
Os PCN adjetivam a calculadora como sendo um instrumento motivador. O
Guia do PNLD utiliza palavras como “interessante”, “significativa”, “implementa”,
sempre no sentido de provocar uma reação favorável a aprendizagem. A experiência
relatada pelo professor Ariovaldo Guinther com duas mães de alunos (que também
são alunas do EJA noturno) do 6º e 7º ano do Ensino Fundamental, exemplifica o uso
da calculadora como motivadora. Segundo Guinter (2008, p.8) “o objetivo foi
explorar as quatro operações fundamentais, com ênfase na divisão e na multiplicação
de números decimais, levando as mães a perceberem que uma operação é o inverso
da outra”. Em duplas e explorando o uso da calculadora durante um jogo (MAZE
Playing Board
16
), onde o desempenho da calculadora em situação lúdica foi o
atributo motivador, segundo ele “As mães se mostraram bastante motivadas para tal
jogo, se envolvendo e ao mesmo tempo se divertindo” (GUINTHER, 2008, p.9).
4.1.3.3 Atividade (CT
3
)
Agrupamos nessa confluência temática todas as unidades de significados
que se referem a uma maneira de fazer algo, relativas a uma ação ou a um conjunto
de ações: investigar, construir significados, verificar, avaliar, autoavaliar, interpretar,
articular e descobrir. Nomeamos esta confluência de atividade não somente pela
frequência da palavra nos documentos, mas por indicar uma ação.
Atividade é a palavra que surgiu com maior freqüência tanto nos PCN
quanto ao Guia do PNLD, sempre ligada a um conteúdo ou à falta deste. Tanto os
PCN quanto o Guia do PNLD classificam atividades como tarefas no sentido de
atribuir deveres. Para Chevallard (1999) toda atividade matemática consiste em
executar uma tarefa (t) de um determinado Tipo (T), por meio de uma técnica () que
é justificado por uma tecnologia (θ), e esta por sua vez se justifica por uma teoria
().
Investigar é descobrir algo de que não se sabe. O termo investigar é aplicado
em qualquer área do conhecimento como, por exemplo, a científica: “Investigar as
formas de contágio da gripe suína”; a jornalística: “Ministro discute impacto da nova
gripe no Brasil”; a jurídica etc. Poderíamos citar muitos exemplos que ainda assim
16
Figura de um hexágono, onde em cada semi-reta que interliga os vértices, são pontuadas com
números decimais. O objetivo de Guinther era explorar as quatro operações fundamentais,
enfatizando divisão e multiplicação com números decimais.
63
não se esgotariam. Entretanto, investigar em matemática sugere “descobrir relações
entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as
respectivas propriedades” (PONTE, 1999, p. 1). Para estes autores os alunos também
podem desenvolver investigações em matemática. Segundo eles, quando há um
problema a ser resolvido onde os alunos não possuem um método de resolução, este
problema constitui-se um objeto de investigação. Para Pólya o que diferencia um
problema de um exercício é exatamente o fato do segundo poder ser resolvido por
um método já conhecido (PONTE, 1999, p. 8). O que não significa que um
determinado exercício, embora tendo um método para ser resolvido, não possa
apresentar algumas complexidades que os alunos desconhecem. Neste caso este
exercício torna-se um objeto de investigação duplo, porque envolve descobrir o
método e depois saber aplicá-lo.
O que é caracterizado por uma construção de significado? Construir o
significado de algo envolve um processo interno cognitivo. Costa (2002, p.257)
explica que o pensamento matemático avançado consiste numa grande série de
processos (visualizar, conjecturar, analisar, induzir, sintetizar, abstrair, formalizar)
que “interagem entre si” envolvendo estruturas cognitivas produzidas por uma série
de atividades matemáticas que constroem novas idéias, num sistema sempre
crescente. Ela acrescenta que isto acontece porque parte da percepção que o
indivíduo tem do objeto, do mundo exterior e da ação que ele exerce sobre este
objeto é capaz de construir estruturas de conhecimentos seguindo “dois caminhos
paralelos”. A autora classificou como sendo um dos caminhos que vai do “visual-
espacial para o verbal-dedutivo” e o outro por “encapsulações sucessivas de
processo-para-conceitos”. Ambos estão envolvidos no processo do pensamento
criativo. Costa (2002, p. 258). Nós acreditamos que este processo explicado por
Costa é o mesmo processo capaz de construir significado.
Optamos por deixar juntos neste parágrafo a autoavaliação e a verificação
de resultados, porque ambos se interligam e se complementam. O que se configura
como autoavaliação é você saber o nível de seu conhecimento sobre aquilo que é seu
objeto de estudo, mas para isso é necessário ter um parâmetro. Ou seja, em relação a
que alguma coisa esteja certa ou errada. É claro que o fato de se verificar resultados
com um determinado instrumento não garante a certeza da resolução correta de um
determinado problema, porque isso é um processo de formulação de conjecturas,
testes e reformulação desencadeada num sistema de aprendizagem. Entretanto, sem
64
dúvida nenhuma um instrumento de aferição como pode ser considerado a
calculadora, facilita o estudo.
Um procedimento é caracterizado por um modo de fazer algo. Saddo Ag
Almouloud
17
diferencia procedimento de técnica. Para ele a palavra “técnica [...] uma
„maneira de fazer‟ particular e não um procedimento estruturado e metódico, [...]”.
Entendemos que uma técnica é um modo de fazer algo que possa ter um jeito
pessoal
18
desenvolvido pela própria pessoa e um procedimento tem uma estrutura
metodológica. Portanto, escritas numéricas, propriedades operatórias e regularidades,
têm um procedimento metodológico sistematizado. Por exemplo, permitir que o
aluno perceba as propriedades operatórias e regularidades por meio de atividades
com uso de calculadora, e depois que ele produza a escrita numérica da atividade, é
muito mais significativo que uma apresentação formalizada e sistematizada pelo
professor.
Interpretar é fazer uma dedução após uma análise de um objeto (entendemos
objeto no sentido dado por Chevallard
19
), e emitir uma opinião que pode ser expressa
tanto pela oralidade, textual, gráfica, gestual, enfim na forma em que for solicitado o
tipo de resposta. Pode ocorrer que esta solicitação seja o resultado de um desafio ou
mesmo que faça parte de um jogo ou brincadeira. O fato é que este processo
devolutivo do aluno pela interpretação não pode ser menosprezado. É o verbo que
determina o objetivo a ser alcançado na tarefa proposta pelo professor, seja por meio
de jogos, brincadeiras, desafios ou proposições aritméticas.
Articular é juntar, formar cadeia. Uma articulação pode ocorrer da seguinte
forma: articulação do ensino de Matemática com outras áreas de conhecimento;
articulação entre os domínios do saber matemático; articulação entre o ensino da
Matemática e as práticas sociais. Os livros didáticos que propõem o uso da
17
Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud PUC/SP, em sua apresentação intitulada - A teoria antropológica do
didático, fala sobre a ruptura causada pela teoria das situações, a transposição didática e as noções
de tarefas de Chevallard. pucsp.br/pensamentomatematico/arquivos20091/tad.ppt.Acesso dia
12/05/09
18
As técnicas podem ser institucionais. As técnicas pessoais podem conter um ”embrião” de uma
técnica que foi institucionalizada, em que a tecnologia desta justifica a técnica pessoal.
19
Chevallard propõe a elaboração de uma antropologia didática, cujo objeto de estudo seria a didática,
com o objetivo de estudar, tudo que se relaciona a escola, por exemplo, o professor e o aluno diante
de um problema matemático. Esta teoria tem como princípio que “tudo é objeto”. No entanto, ele
faz uma distinção de tipos de objetos específicos, quais sejam: instituições (I), pessoas (X) e as
posições que ocupam as pessoas nas instituições. Tais pessoas ocupando essas posições tornam-se
sujeitos das instituições - sujeitos ativos que contribuem na existência das instituições. O
conhecimento - o saber (O), como certa forma de organização - entra então em cena com a noção
de relação entre os elementos primitivos (instituição, objeto do saber e pessoa) da teoria.
65
calculadora em atividades que fazem a articulação da forma que mencionamos
podem contribuir com a melhoria do ensino.
Os PCN atribuíram à palavra agilidade o sentido de rapidez, velocidade. É
claro que a agilidade mencionada não trata somente do manuseio do instrumento,
mas principalmente agilidade na resolução de uma tarefa proposta. Entretanto, a
agilidade é um atributo muito requisitado no atual mundo globalizado. Imagine uma
situação em que o manuseio ágil da calculadora é imprescindível. Você é, por
exemplo, um vendedor de um grande magazine que está fazendo liquidação. A loja
está repleta de clientes ávidos por comprar e você se prontifica no atendimento, mas
durante a simulação do orçamento ao cliente você titubeou. Pode ser que você não
saiba como funciona o sistema de financiamento da loja ou vacilou no procedimento
de cálculo. O fato é que o cliente perde a confiança por perceber sua insegurança e
você acaba perdendo a venda ou o emprego. Só se aprende a fazer algo, fazendo. A
agilidade no manuseio da calculadora não somente promove o benefício de longo
prazo como mencionamos. A calculadora colabora na compreensão de conceitos
matemáticos por meio de usos diversos em atividades de exploratórias, de
investigação, análise, reflexão, de estratégia, lúdica e seja qual for a maneira de usá-
la, bons resultados podem surgir.
4.1.3.4 Conceitos matemáticos (CT
4
)
Esta confluência temática reúne todas as unidades de significados que
envolvem os conceitos matemáticos, ou conteúdos conceituais dos PCN e Guia do
PNLD: Sistema de numeração decimal, números racionais, sistema monetário,
sistema de medidas, propriedades operatórias, enfim, da noção de números ao
tratamento da informação.
Iniciaremos esta confluência considerando a noção de grandeza numérica.
Entendemos que uma grandeza é tudo aquilo que podemos medir. Ela pode ser
escalar, atribuindo-lhe um número para ser identificada, como a temperatura, massa,
tempo, etc., ou uma grandeza vetorial que além de número, necessita das noções de
módulo, direção e sentido, por exemplo, deslocamento, força, velocidade. Segundo
os PCN o uso da calculadora possibilita refletir sobre grandezas numéricas. Uma
grandeza é representada de acordo com o seu tipo. Por exemplo, podemos pedir que
66
os alunos identifiquem as unidades de tempo - dia, semana, mês, bimestre, semestre e
ano - e com utilização de calendários, os convertam usando uma calculadora em
horas, minutos e segundos, se utilizem das operações aritméticas e identifiquem
regularidades em operações sucessivas.
4.2 A calculadora nos livros didáticos
Este tópico apresenta e justifica a escolha dos livros adotados por nós.
Iniciamos fazendo um breve relato do processo de seleção do PNLD/2007.
Foram encaminhados para análise quarenta e duas coleções. Destas, trinta e
cinco foram aprovadas pelo PNLD/2007. Nesta primeira análise todas as trinta e
cinco coleções fizeram menção à calculadora, seja através de orientações ao
professor pelo manual ou por propor atividades no livro do aluno. De início
acreditávamos que deveriam ficar de fora aquelas coleções em que o PNLD dizia que
a calculadora era quase ausente. No entanto, após refletirmos sobre a questão,
concordamos que mesmo que haja um pequeno “embrião” da presença da
calculadora, esta coleção deveria constar na estatística de que a usam em suas obras.
Sobre esta questão o Guia do PNLD diz que:
A calculadora é apresentada em quase todas as coleções. O trabalho
pedagógico com esse instrumento é muito diversificado. Em alguns casos
é restrito à familiarização com o instrumento e à realização de operações,
já em outros, assume papéis mais diversificados, como ferramenta para a
compreensão da estrutura do sistema numérico ou para descoberta de
regularidades. Apesar de menos freqüentes, atividades em que se
estabelece uma interação entre o cálculo mental e o uso da calculadora
são também propostas em algumas das coleções (BRASIL, 2007, p. 27, o
grifo é nosso).
Optamos por utilizar somente o livro didático do 5º ano. Foram dez livros
usados nesta pesquisa com anos de publicação variando de 2002 a 2007, ou seja,
dentre eles há livros didáticos de PNLD‟s anteriores a 2007.
Quanto ao fato de escolhermos somente o livro do 5º ano em detrimento aos
outros anos escolares, é porque percebemos que a calculadora aparece com mais
freqüência neste ano de escolaridade, “Também é incentivado o uso de materiais
didáticos diversificados, apesar de a calculadora ser trabalhada somente no
volume de 4ª série”. O grifo é nosso. Guia do Programa Nacional do Livro Didático
(2007, p. 96). A escolha dos livros didáticos foi uma parte importante neste processo.
67
O Guia do PNLD nos forneceu indícios positivos ou negativos por meio das resenhas
dos livros didáticos relativas a uso da calculadora em algumas coleções. Também
procuramos nos orientar por meio de certos termos que apareceram com muita
freqüência nas citações do Guia PNLD e dos PCN, como por exemplo, a
sistematização, a contextualização, a articulação e outros que foram incorporados em
situações que favoreçam a aprendizagem significativa do aluno. As citações a seguir
foram retiradas da seção das resenhas constantes no Guia do PNLD/2007.
Por exemplo, na escolha do livro didático Porta Aberta Matemática, que
nessa pesquisa nós chamamos de L
2,
nos chamou a atenção a citação do Guia do
PNLD no que se refere ao trabalho com a calculadora.
O trabalho com materiais didáticos é estimulado nos quatro volumes, com
destaque para os procedimentos de cálculo com uso da calculadora,
do material dourado e do sistema monetário. Em algumas ocasiões, os
materiais são explorados em seções especiais que se constituem partes
importantes da obra (BRASIL, 2007, p. 83, o grifo é nosso).
A escolha do livro didático Matemática com o Sarquis, que nessa pesquisa
chamamos de L
1
, foi em função de “as atividades com a calculadora embora poucas
são bem concebidas” (p.59); No livro didático Viver e Aprender Matemática, que
chamamos aqui de L
3
, nos apegamos à frase “O cálculo mental e por estimativa, bem
como o uso da calculadora, também são muito valorizados” (p. 101); No livro
Vivência e Construção, chamado por nós de L
4
, nos chamou a atenção o modo como
os conceitos matemáticos são articulados “Também é um aspecto positivo o estudo
articulado dos diversos significados e das diferentes representações matemáticas de
um mesmo conceito” (p. 113); O livro didático Matemática Para Todos, que
chamamos de L
5
, “Também se destaca a exploração significativa da calculadora
como recurso didático. [...] A calculadora é utilizada como recurso didático que
auxilia a investigação” (p. 156 e158).
Consideramos também além do fato da calculadora estar presente nas
atividades dos livros didáticos, uma vez que a calculadora se faz presente em todas as
coleções, na estrutura organizacional. Por exemplo, escolhemos o livro didático, De
olho no Futuro, que chamamos aqui de L
6
, que chamou atenção pela organização dos
conteúdos “as seções especiais da obra (cálculo mental, uso de calculadora, recurso à
História da matemática e aproximação da disciplina ao contexto do aluno)” (p.183).
68
Outro fator é a maneira como é sistematizado o conteúdo na obra. Por esse
fato o livro didático Ideias e Relações, que nós chamamos de L
7
, o Guia do PNLD
diz “Na maioria das vezes, as sistematizações acompanham o processo de resolução
das atividades, [...] fornecem contextos nos quais os conteúdos podem ser explorados
pelos alunos de maneira significativa e interessante” (p.188). No livro Matemática
Projeto Presente, chamado por nós de L
8
, observamos o seguinte comentário
favorável do Guia do PNLD. “Na seleção dos conteúdos são contemplados tópicos
usualmente recomendados dos blocos: números e operações; geometria; grandezas e
medidas; e tratamento da informação. O primeiro desses blocos recebe uma atenção
acima da recomendada” (p.199).
E assim os livros didáticos foram escolhidos, seja por conter atividades com
calculadora “bem elaboradas” (p.208), como o livro Projeto Pitanguá, que chamamos
de L
9
, ou mesmo como é o caso do livro didático Matemático do cotidiano e suas
Relações, que chamamos de L
10
, por apresentar desafios interessantes, o que de fato
constatamos nas análises das tarefas.
Um bom número de desafios, questões abertas ou que têm várias
soluções, além de propostas de uso de materiais concretos e de jogos que
não se restringem a meras atividades lúdicas. Ao contrário, favorecem a
construção de conceitos. Acrescente-se a isso as diversas oportunidades
de desenvolvimento das habilidades de: calcular mentalmente, fazer
estimativas, elaborar problemas, criticar soluções e argumentar,
importantes para uma conceituação sólida da Matemática (BRASIL,
2007, p. 200).
Que a calculadora está presente nas atividades dos livros didáticos de
matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental é um fato. A questão é como é
feita a utilização da calculadora em atividades matemáticas em livros didáticos dos
anos iniciais do Ensino Fundamental. Portanto, a escolha destas atividades deve
refletir ao menos um embrião das confluências temáticas organizadas a partir das
unidades de significados dos PCN e do Guia do PNLD.
4.2.1 Agrupamento das tarefas dos livros didáticos
Este tópico enfocará a etapa que ocorre a seleção e o agrupamento das
tarefas com uso da calculadora encontradas nos livros didáticos escolhidos.
69
Uma preocupação nossa foi realmente listar todas as atividades com uso da
calculadora que os livros didáticos pesquisados apresentaram. Listamos trezentas e
vinte e seis tarefas desses dez livros didáticos todas essas tarefas usam a calculadora
na resolução. Ressaltamos que não analisamos todas as trezentas e vinte e seis
tarefas, analisamos somente aquelas que serviram de exemplos para tratarmos dos
elementos da organização praxeológica. Para o entendimento do que é uma tarefa,
vamos exemplificar:
O autor solicita no enunciado de uma das atividades do livro para pressionar
a tecla ON da calculadora e resolver no caderno as seguintes operações: 247 x 1 506
=; 1 279 + 75 546. Resolver a primeira operação desta atividade qualifica-se como
uma tarefa, porque existe uma técnica para resolvê-la, uma tecnologia que explica a
técnica aplicada e uma teoria que justifica a tecnologia.
Sendo assim, agrupamos tarefas levando em conta o que o autor solicita
para ser feito. Quando se trata claramente de uma operação como a exemplificada
acima, envolvendo os números racionais, classificamos como sendo de um grupo e
chamamos de T
1
- grupo de Operações da aritmética. Numa outra classificação feita,
o autor solicita aos leitores que façam estimativas e realizem o cálculo mental. Nós
chamamos este grupo de tarefas de T
2
- Estimativa e Cálculo mental. A próxima
formação de grupo de tarefas contém problemas, desafios e jogos. A este nós
chamamos de T
3
- Problemas e desafios. E por último um quarto grupo formado por
tarefas que exploram as teclas da calculadora, nós chamamos de T
4
- Explorando a
calculadora. Lembramos que esta seqüência não obedece nenhum critério
estabelecido, foi aleatória. Sendo assim, chamaremos de T
1
, T
2
, T
3
, T
4
. Os nomes
fornecidos são meros apelidos para que possamos identificá-los no decorrer na
análise: (T
1
) Operações da aritmética; (T
2
) Estimativa e calculo metal; (T
3
)
Problemas e desafios; (T
4
) Explorando a calculadora. As definições foram fornecidas
por nós conforme entendemos as possibilidades de agrupamentos das tarefas.
Lembramos que os grupos recebem esses apelidos que mencionamos, mas
cada grupo é composto por várias tarefas que necessitam de identificação. Para tanto,
nós nomeamos de t (em letra minúscula), seguido de números que indicam uma
ordem, ficando as tarefas dos grupos chamadas de t
1
, t
2
, t
3
, t
4
, t
5
,...até t
326
. Esta
organização está em plena consonância com nosso referencial metodológico.
É importante lembrar que para destacarmos uma tarefa (t) nas figuras
apresentadas, usaremos uma seta ao seu lado. Apresentaremos somente alguns
70
exemplos, uma tarefa de cada grupo, uma vez que o número de tarefas listado e
agrupado ultrapassa 300.
4.2.2 Operações da aritmética (T
1
)
Definição: Efetuar operações da aritmética sobre os números racionais e
com uso da calculadora.
Encontramos 174 tarefas que se enquadram nesse grupo. Elas foram
agrupadas por apresentarem as mesmas características, ou seja, requerem claramente
uma operação.
Uma técnica que vamos chamar de genérica para se resolver as operações da
maioria das tarefas deste grupo consiste em: teclar na calculadora o primeiro número
envolvido na operação; teclar o sinal correspondente da operação; teclar o segundo
número envolvido na operação; teclar o sinal de igualdade.
Cabe informar que embora estejamos tratando das tarefas do grupo T
1
,
estaremos fazendo quando for necessário um paralelo com as tarefas de outros
grupos para não isolarmos uma tarefa dos propósitos do autor. Para exemplificar,
usamos a t
1
onde ocorre uma operação básica para usar a calculadora. Entretanto, o
autor (livro Vivência e Construção de Luiz Roberto Dante) informa que “[...] retomar
as quatro operações, adquirir novos conhecimentos sobre elas. Vai aprender a usar a
calculadora, resolver expressões numéricas e outras situações-problema” Dante
(2002, L
4,
p.78). Entendemos que o autor apresentou uma tarefa simples para iniciar
o leitor a usar a calculadora, mas que em outras tarefas mais complexas, ele retoma
com a calculadora.
Este tipo de tarefa conforme mostra no livro L
4
p. 79, não ocorre de forma
isolada, pois há uma seqüência crescente e gradativa nas dificuldades. Esta fase de se
exercitar com operações manuseando a calculadora é de suma importância. Muitas
outras tarefas dependem de se saber o básico, e nada é mais oportuno que fazer esta
exploração no decorrer da execução de tarefas que envolvam as quatro operações
elementares. Acreditamos que na t
1
, o autor tenha como objetivo muito mais que a
exploração da função das teclas da calculadora e na mesma página de seu livro ele
sugere tarefas com estimativas (T
2:
t
222
até t
225
). Então, a ênfase passa a ser dada á
estimativa e a calculadora torna-se um instrumento de conferência de resultados, e
71
assim gradativamente a ludicidade passa a fazer parte da técnica didática observada
nas tarefas do L
4.
Considerando (T
4
: t
249
até t
251
), isto indica que se analisarmos uma
tarefa fora de seu contexto, poderemos incorrer no risco de a classificarmos como
uma tarefa tradicionalista.
Figura 7 - Exemplo de tarefa do grupo T
1 -
Operações da aritmética
Fonte: Luiz Roberto Dante. Vivência e Construção - L
4 -
t
1
Acreditamos que dos seis Momentos de Estudos propostos por Chevallard, a
tarefa da figura 7 indicada pela seta, pertença ao primeiro encontro ou de
“reencontro” com essa tarefa e dependendo do contato que o leitor tenha tido com a
calculadora em operações semelhante a essa, o momento de estudo passaria para o
trabalho com a técnica. A tarefa t
1
se enquadra nas confluências temáticas: CT
1
como
sendo um recurso didático sugerido pelo autor, na CT
3
como uma atividade que
verifica o resultado e na CT
4
por meio dos conceitos do SND. Os elementos
tecnológicos associados à técnica de resolução formam a mesma técnica
exemplificada anteriormente onde os conceitos matemáticos estão associados ao
sistema de numeração decimal. A teoria pertencente ao estudo da aritmética. Para
Gimenes (1997 apud RESENDE, 2007, p. 10).
72
[...] considera que ela inclui também a análise dos porquês dos algoritmos
e da divisibilidade; o uso adequado e racional das regras; a elaboração de
conjecturas e processos de raciocínio. Propõe uma nova aritmética que se
aproxime da matemática discreta; que considere o valor intercultural do
fato aritmético e a sua relação com o meio; que inclua práticas indutivas e
não apenas os métodos dedutivos; que aborde o sentido funcional do
numérico, a aproximação com outras áreas da matemática.
4.2.3 Estimativa e cálculo mental (T
2
)
Definição: Resolver as quatro operações da aritmética sobre os números
racionais através de estimativas e calculo mental, conferindo o resultado com a
calculadora.
Encontramos 50 tarefas (t) que qualificamos como pertencente a este grupo.
Devido ao fato de se requerer cálculo mental, as técnicas para serem resolvidas
variam porque elas vão depender de como o leitor vai pensar na resolução da tarefa.
Figura 8 - Exemplo de tarefa do grupo t
2
- Estimativa e Cálculo mental.
Fonte: Bigode e Gimenez. Matemática do Cotidiano & suas Conexões - L
10
- t
217
Nesse exemplo o autor apresenta um número de quatro algarismos da casa
de milhar, indicado pelo número 5 471 e solicita que o leitor use a calculadora e
elimine um dos algarismos indicado por ele (indicou o algarismo 5). O autor usou a
73
terminologia “dígito” para indicar o algarismo. Nessa tarefa o autor mostrou a
técnica por subtrair 5 000 de 5 471 ou adicionar 1 000 do numeral apresentado. A
técnica ficou explicita na resposta fornecida por se tratar de livro do professor e
indicou também que há outras possibilidades de resolução. Entretanto, caso a
resolução seja feita pelo aluno e ele usar qualquer número diferente de zero que for
adicionado ou subtraído do número que foi apresentado, alterará o “dígito” cinco.
Percebemos que a técnica com a calculadora é a mesma técnica usada na
resolução da tarefa exemplificada no primeiro grupo, t
1
. A técnica consiste em teclar
o número a que foi fornecido. Depois teclar o sinal necessário à operação, teclar o
segundo número no qual pensou, teclar o sinal de igualdade e comparar o resultado
com o número estimado. O que diferencia é a comparação que o leitor faz quando se
calcula de cabeça, ou faz estimativa. A tarefa da figura 8 está relacionada com as
confluências temáticas CT
1,
onde a calculadora é um recurso didático, com a CT
3
porque envolve ter que descobrir o número que digitado modifique o dígito que o
autor sugere e com a CT
4,
porque essa tarefa também envolve o SND. Está envolvido
o momento de exploração e trabalho com a técnica.
4.2.4 Problemas e desafios (T
3
)
Definição: Resolver problemas e desafios que envolvam as quatro operações
da aritmética sobre os números racionais e com uso da calculadora.
Encontramos 68 tarefas que envolvem problemas e desafios (alguns desafios
se apresentam como jogo). O que qualifica um problema? Para Fontana e Pinto
(2006, p.1) “um problema envolve trabalho mental”, o gosto pela descoberta e é
muito mais do que a mera resolução de operações.
Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de
informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-
lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático
dado”. Ainda, segundo Newell & Simon (1972), “um problema é uma
situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o
caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação” ou segundo
Chi e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo
atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma
estratégia em particular (RAMOS, 2002, p.3-4).
Um problema pode ou não ter algoritmização, ou seja, uma sequência bem
definida do que é para ser feito. A resposta não ser óbvia, sendo necessário simular
74
tentativas no sentido de encontrar o caminho da resolução. Alguns problemas podem
constituir verdadeiros desafios por apresentar complexidades, e exigências em que a
solução só é atingida após intenso trabalho mental, após se fazer conjecturas tentando
“descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos,
procurando identificar as respectivas propriedades” Ponte (1999, p. 1). Seja qual for
o caso, não importando a técnica que se adote na resolução de um problema, é
necessário ter atenção para perceber informações que podem estar implícitas no
texto. Caso a técnica envolva trabalhar em grupo, deve-se lembrar que existem
diferentes maneiras de se resolver um problema ou pode acontecer de não existir uma
melhor solução ou até de não haver solução - portanto, resolver um problema não é o
mesmo que achar a resposta.
Figura 9 - Exemplos de tarefas do grupo: T
3 -
Problemas e desafios
Fonte: Luiz Roberto Dante. Vivência e Construção - L
4 -
t
227.
Nesta tarefa (t
227
) o autor faz uso de um personagem com os seguintes
dizeres nos balões de sua fala: “A calculadora faz cálculos. Mas é você que pensa,
que decide qual operação ela deve fazer!”. O enunciado pede para usar uma
calculadora na resolução do problema. O livro pede a resolução de operação
aritmética onde uma forma de ser representada é através de expressão numérica (11
275 - 5 392) ÷ 3 =. O autor apresenta como problema a compra de um automóvel
novo dando o carro velho como entrada e parcelando o restante da dívida. O dinheiro
faz parte do dia a dia dos alunos e por isso é importante que situações de compra e
venda façam parte dos problemas. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais-
PCN (p. 68), “Além da exploração dessas escritas pelo uso da calculadora, os alunos
75
também estabelecerão relação entre elas e as representações referente ao sistema
monetário e aos sistemas de medidas.”
O autor não induz a nenhuma técnica, ficando a critério do aluno leitor a
forma pessoal de resolver essa tarefa. Nós mostramos uma técnica que pode ser
aplicada usando a calculadora. Comece por digitar o valor do veículo novo (11 275),
em seguida, digite o sinal de subtração, depois digite o valor do veículo velho (5 392)
seguido do sinal de dividir. O valor mostrado no visor da calculadora é o que resta
para ser pago pelo veículo novo. Para achar o valor de cada parcela, é só digitar o
número de parcelas (3) e por último o sinal de igualdade. Nesta tarefa a tecnologia
também é o sistema de numeração decimal e tem por teoria o estudo da aritmética.
A t
227
apresenta um personagem dialogando com o leitor. O problema é
apresentado de forma textual na língua materna, que se articula com situações
cotidianas de compra e venda e valores muito próximos da realidade. A tarefa
exemplificada na figura 08 corresponde às confluências temáticas: CT
1
como um
recurso didático usado na resolução do problema; CT
2
porque se qualifica como um
incentivo na realização da tarefa; CT
3
por envolver articulação com situações do dia-
a-dia, assim como descobrir e interpretar o enunciado do problema; CT
4
por envolver
conceitos matemáticos relativos ao SND, operações, tratamento da informação e
sistema monetário. Os momentos de estudos presentes são de exploração e trabalho
com a técnica.
Figura 10 - Matemática com o Sarquis-L
1 -
t
257
e t
264
(respectivamente)
76
O autor sugere que o aluno desenvolva sua própria técnica, mas orienta o
professor sobre uma possível maneira de o aluno resolver o desafio. Ele informa que
o aluno possivelmente não faria arredondamentos (19 para 20) para facilitar o cálculo
e também não arriscaria um cálculo mental com números na casa das centenas. O
autor sugeriu realizar por “tentativas”. Arriscou o número 2 077 com o qual realizou
a operação inversa dividindo este número por 19 na tentativa de encontrar um dos
números envolvidos na multiplicação. O resultado encontrado nessa operação foi
menor que o multiplicando (312). O autor simulou outras tentativas indicando que o
aluno o faria da mesma forma. Salientou que “Esse processo é bem longo se não
usamos o cálculo mental para encurtar caminhos e lançar hipóteses mais adequadas”.
Sarquis (2004, p. 100).
Esse livro didático em particular é livro do professor. Portanto, no livro do
aluno as ações em criar suas próprias técnicas são deixadas a cargo do mesmo.
Entendemos que os momentos de estudos identificados nessa tarefa tratam-se da
elaboração e trabalho da técnica.
As técnicas a seguir foram desenvolvidas por nós com a intenção apenas de
verificar algumas possibilidades de se resolver a t
257
.
a) Técnica 1
Teclar o primeiro número solicitado na operação; teclar o sinal de adição;
teclar o sinal de igual quantas vezes pedir o segundo número da operação.
b) Técnica 2
Decompor mentalmente os fatores em unidade, dezena e centena;
multiplicar mentalmente cada número do multiplicador com o do multiplicando a
partir da centena, depois dezena e por último da unidade; teclar o resultado do
cálculo mental na calculadora; teclar o sinal de adição (repetir este passo a cada
cálculo mental que fizer); teclar o sinal de igual.
Numa situação hipotética que é aquela em que o algarismo compreende o
significado matemático da operação de multiplicação, uma das possibilidades de
resolver este tipo de tarefa é explorar a multiplicação de dois números em termos de
adição. Assim por exemplo, para multiplicar 312 x 19 usando a calculadora, somando:
77
312 + 312 = 624
624+ 312 = 936
936 + 312... 5928
Exemplo da técnica 1 na calculadora
312 + = 312, 624, 936, 1248, 1560, 1872......5928
Exemplo da técnica 2 com cálculo mental
Quadro 3 - Explicativo do processo de cálculo mental da técnica 2
da t
257
O interessante nesta tarefa é o fato de se buscar estratégias que envolvam o
cálculo mental. A calculadora fica em segundo plano neste momento, servindo de
suporte somente a partir de números grandes.
Jogos e desafios são técnicas didáticas que atraem a atenção dos alunos. Os
PCN aprovam a utilização de técnicas didáticas lúdicas justificando que nelas ocorre
uma maior participação do aluno por sentir-se motivado possibilitando a
oportunidade de se expressar.
Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento
que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A
justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um
instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de
investigação (BRASIL, 1997, p. 34).
Essa tarefa está relacionada com as confluências temáticas: CT
1,
como um
recurso didático usado para agilizar as simulações de cálculos no caso das tentativas
1º e 2 º passo envolvendo cálculo mental, aplicando a propriedade distributiva.
312 x 19 =
(300+10+2) x (10+9) =
10x300=3000
10x10=100
10x2=20
9x300=2700
9x10=90
3º 4º e 5º passos feito na
calculadora:
3000+100+20+2700+90+18=5928
78
que o aluno venha a fazer; CT
2,
por apresentar-se como um desafio, com
característica de suma importância porque permite que o aluno emita uma opinião e
desta forma interprete o significado da tarefa que lhe foi proposta, sendo também
uma forma dele desenvolver a oralidade. É comum em sala de aula encontrar alunos
introvertidos que precisam interagir com os colegas, e atividades desafiadoras e
lúdicas não só promovem momentos de diversão como podem estar articuladas com
o conteúdo da aula. Dessa forma, alunos com dificuldade em matemática e que se
retraem durante as aulas tem a oportunidade de se expressar; CT
3
por envolver e
promover investigação, descoberta e construção de significados; CT
4
por envolver o
conceito de SND e propriedade operatória (distributiva).
Quadro 4 - Resumo dos esquemas mentais da técnica da t
264
Processo do cálculo mental do Tipo de Tarefa T
4
92 x 0,22=20,24 (tentativa)
92 x 0,25=23
0,25 x 750=187,5 (tentativa)
0,25 x 500=125 (tentativa)
0,25 x 536=134
Resolução
H) 134: (23:92) =
134: 0,25=536
79
Figura 11 - Esquema representativo do 1º passo da técnica
da t
264
Que número multiplicado por noventa e dois tem como resultado o número
cento e trinta e quatro? A pergunta retórica é muito comum na educação, serve de
suporte para levar o aluno a pensar inversamente em determinadas situações que
envolvem operações aritméticas e é uma forma de atrair a atenção dos alunos.
Questionamo-nos sobre o fato da tentativa ser uma técnica válida, mas,
vejamos. Como de fato o nosso aluno faria? Será que durante o processo de
tentativas ele não estaria construindo seu conhecimento? Pais (2005, p.55), chamou
de “estado de devir” dos conceitos, que estes surgem à medida que há um
movimento evolutivo nas abstrações e generalidades associados à situações que
favoreçam a expansão do significado do conceito para o aluno.
4.2.5 Explorando a calculadora (T
4
)
Definição: Explorar a função e curiosidades das teclas da calculadora, e
descobrir a quantidade de dígitos que ela suporta por meio das quatro operações da
aritmética sobre os números racionais.
Agrupamos todas as tarefas que solicitam o manuseio das teclas da
calculadora com o intuito de exploração da função delas dentro de um contexto
operatório e de verificação da capacidade que ela possui de comportar os dígitos em
seu visor. Encontramos 31 tarefas (t) nesse grupo.
80
Figura 12 - Imenes L. M. et. al. Matemática para todos. L
5
. t
298.
A técnica da t
298
(indicada pela seta) consiste em digitar o número dois, o
sinal de adição, o número cinco, a tecla CE (apagar), o número seis e por último a
tecla de igualdade. Entendemos que o objetivo dessa tarefa é que o aluno deduza por
meio do resultado qual a função da tecla CE. A tecnologia também pertence ao
sistema de numeração decimal e à teoria do estudo da aritmética.
O autor está recapitulando a função das teclas da calculadora nesta tarefa
indicado pelos dizeres “Vamos relembrar para que ela serve” se referindo as teclas.
Logo no inicio do capítulo o autor mostra por imagem (calculadora) e setas, todas as
teclas da calculadora.
A técnica da tarefa seguinte t
301
, (indicada pela seta) consiste em digitar o
número três, a seguir a tecla de multiplicação, digitar o número cinco, teclar M
+
,
digitar o número 2, teclar multiplicação, digitar o número 8, teclar M
+
, teclar M
C
R
em seguida responder se o resultado foi correto. As confluências temáticas
relacionadas a esta tarefa são: CT
1,
por caracterizar-se como um recurso didático em
uso; CT
2,
como valorização e incentivo ao uso da calculadora. Entendemos dessa
forma porque depois que o aluno aprende a manuseá-la, ele passa a fazer uso dela;
CT
3,
porque envolve fazer descobertas; e CT
4,
por envolver conceitos matemáticos
por meio das operações mostradas.
81
Figura 13. Imenes L. M. et. al. Matemática para todos. L
5
. t
301.
O mesmo se aplica no exemplo da figura 13, onde o autor apresenta
personagens dialogando com o leitor. Na explicação o personagem já dá indicações
que o aluno pode usar a tecla de memória no cálculo de expressões numéricas.
Ambas são momentos de exploração e trabalho com a técnica.
Concluindo a nossa análise de algumas tarefas apresentadas nos livros
didáticos, nós percebemos que muitas praxeologias apresentadas nas tarefas
analisadas oportunizam criar técnicas próprias, e embora não analisadas, aqui, há
outras tarefas no anexo que possibilitam tentativas ousadas. Observamos que mesmo
que uma tarefa tenha seu método para ser resolvida, para o aluno ele pode ser muito
complexo, e a própria tarefa pode ter algumas complexidades que ele desconheça.
Então ele deve buscar por si uma técnica que lhe seja viável e de fato satisfaça
naquele momento seu desejo de resposta, o que indica a necessidade de promover
momentos de exploração da técnica.
CAPÍTULO V
ELEMENTOS DE SÍNTESE
Os resultados dessa pesquisa mostraram aspectos importantes quanto à
calculadora no Ensino Fundamental. Constatamos a presença dela (a calculadora) em
todos os livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional de Livros Didáticos -
PNLD/2007. Agrupamos em confluências temáticas as unidades de significados
elencadas nos PCN e Guia do PNLD. Selecionamos dez livros didáticos do 5º ano do
Ensino Fundamental e deles listamos todas as tarefas que utilizam a calculadora. Nos
livros selecionados identificamos as características apresentadas nas confluências
temáticas, ou ao menos um “embrião” delas. Selecionamos e organizamos todas as
tarefas que fazem uso da calculadora dos livros didáticos escolhidos. E finalmente,
fizemos boas descobertas. Entre as tarefas analisadas havia tantas tarefas com
técnicas básicas de resolução quanto aquelas que exigiam maior rigor e atenção do
aluno. Este capítulo pretende enumerar alguns pontos altos que foram identificados
nesta pesquisa.
Constatamos 326 (trezentos e vinte e seis) tarefas (t) distribuídas nos 10
(dez) livros analisados. Estas tarefas foram agrupadas considerando o que o autor
pede para ser feito. Por exemplo: que faça estimativa, que utilize o cálculo mental,
que resolva as operações, que resolva problemas etc. Para cada grupo, fornecemos
definições de acordo com as possibilidades das tarefas agrupadas. As tarefas
pertinentes a cada grupo, identificamos com a letra minúscula (t), seguido do número
subscrito indicando sua ordem no contexto das tarefas, tornando-as ímpar e sendo
identificadas como t
1
, t
2
, t
3
...até t
326
.
Foram formados quatro grupos distribuídos da seguinte forma: (T
1
) -
Operações da aritmética, grupo que possui 174 tarefas compreendidas da t
1
até a t
174
;
(T
2
) - Estimativa e cálculo metal, grupo que possui 52 tarefas que vão da t
175
até t
226
;
(T
3
) - Problemas e desafios, contendo 68 tarefas entre problemas, desafios e jogos,
grupo que comporta as tarefas t
227
até t
294
; (T
4
)- Explorando a calculadora, grupo que
tem 32 tarefas compreendidas ente t
295
até t
326
.
Foram constatadas nas tarefas analisadas as possibilidades da calculadora
envolvendo as propriedades matemáticas. Ressaltamos que talvez este seja um dos
83
pontos mais importantes mostrado na análise, por se caracterizar como um momento
de constituição do entorno tecnológico-teórico relativo às técnicas exploradas
anteriormente, assim como a construção de novas técnicas.
Quando analisamos as tarefas, pensamos na resolução delas como se o aluno
as resolvesse. Estas são descobertas ocorridas durante o manuseio da calculadora,
onde nos colocamos na condição de aluno aprendente. Quando nos colocamos frente
a um desafio matemático e usamos como recurso a calculadora, temos que interpretar
e atribuir um significado para o que foi mostrado no visor dela.
Acreditamos que a frequência do uso da calculadora nas tarefas matemáticas
pode contribuir para que o aluno perceba algumas situações. Por exemplo: que sua
ação naquele momento com a calculadora resultou numa propriedade operatória, ou
que aqueles números possuem uma regularidade, conseguindo com isso fazer relação
com procedimentos sistematizados em outras situações.
Compreendermos que a função da calculadora na atividade matemática
envolve uma série de aspectos, como vimos no caso das propriedades matemáticas.
Porém, o trabalho com números de maior ordem de grandeza torna-se mais relevante
com a utilização desse instrumento, pois com ele pode-se explorar suas possíveis
decomposições. Dessa forma são favorecidos o entendimento do número e seu papel
no cotidiano uma vez que ele é sempre relacionado com fatos já vivenciados pelos
alunos. Para Gascón (2003) uma organização didática que se considera construtivista
deve levar em consideração o momento tecnológico-teórico e o momento
exploratório numa resolução de problemas, afirmando que estas se caracterizam por
contextualizar a atividade de resolução de problemas. Estes momentos caminham
juntos, e devem ser explorados, mediante perguntas quer sejam orais ou por escrito
permitindo que o aluno justifique a(s) técnica(s) empregada(s) durante a resolução do
tipo de tarefa que está sendo explorada. Esta troca não é só mais uma formalidade
didática, mas vai muito, além disso, já que possibilita momentos de relacionamento
interpessoal
20
onde todos saem ganhando.
20
O relacionamento interpessoal é a competência através da qual o indivíduo se relaciona bem com as
outras pessoas, distinguindo sentimentos (intenções, motivações, estados de ânimo) pertencentes ao
outro, buscando reagir em função destes sentimentos. Esta capacidade permite a descentralização
do sujeito para interagir com o outro. Mostra a capacidade de uma pessoa para entender as
intenções, as motivações e os desejos alheios e, em conseqüência, sua capacidade para trabalhar
eficazmente com outras pessoas. Este tipo de relacionamento se manifesta de forma positiva em
professores, médicos, líderes religiosos, etc.
84
Observamos que algumas das tarefas analisadas se enquadraram em cada
argumento fornecido nos discursos dos PCN e no Guia do PNLD, conforme
indicados pelas confluências temáticas inseridas no corpo da análise das tarefas.
Constatamos tarefas que se qualificam como construtivistas, que segundo Gascón
consideram simultaneamente os momentos tecnológico-teórico,
/
e exploratório,
“por contextualizar a atividade de resolução de problemas situando-a em uma
atividade mais ampla e por considerar que a aprendizagem é um processo ativo de
construção de conhecimentos”, o que é o caso de algumas tarefas do grupo T
3-
Problemas e desafios. Algumas deixam de ser simples problemas, por apresentarem
graus de complexidade que as tornam diferenciadas, exigindo conhecimentos
adquiridos anteriormente. Portanto, esses tipos de tarefas e as técnicas propostas
aproximam-se das organizações didáticas construtivistas, conforme podemos
observar na figura 14.
Figura 14 - Modelo Epistemológico demonstrado por Gascón (original)
Modernista
Ex
Construtivista
Empirista
Clássicas
Teoricista
Tecnicista
ө/
T/
85
Figura 15 - Modelo Epistemológico demonstrado por Gascón e
modificado por nós.
Outro fator que consideramos importante mostrado nas tarefas é a
articulação com as ações cotidianas, exemplificadas pelas t
50
, t
80
, t
228
, t
227
, t
248
, só
para se mencionar algumas. As rotinas cotidianas deixam de ser um problema,
porque agora o aluno pode calcular o tempo (segundo, minuto, hora, dias, meses,
anos e a conversão destes), calcular o volume, a massa, a medida da sua roupa e a
distancia até a escola. Enfim, pode perder o medo de calcular em qualquer unidade
de medida, porque a calculadora pode acompanhar a criatividade de quem pretende
utilizá-la.
Não menos importante que seu uso pedagógico, é o fato da calculadora se
constituir também num instrumento de trabalho para uma boa parcela dos
trabalhadores, e os nossos jovens com certeza a utilizarão em qualquer instância de
sua vida.
Os resultados desta pesquisa mostram que a calculadora se faz presente nos
livros didáticos apesar de observarmos que algumas coleções avaliadas pelo
Programa Nacional de Livros Didáticos ainda resistem ao uso da mesma. Conforme
podemos notar nas unidades extraídas da resenha de livros didáticos fornecidas pelo
Guia do PNLD “[...] as atividades com a calculadora, embora bem concebidas, são
86
poucas na coleção e quase ausentes nos dois primeiros volumes (p.59); (...) mas o
uso da calculadora não é valorizado (p.71); [...] fica a cargo do professor, realizar
atividades com a calculadora, que são praticamente inexistentes (p.72); [...] apesar
de discutido no Manual do Professor, é pouco presente (p.120) (o grifo é nosso).
Estes fragmentos foram extraídos das resenhas de algumas coleções que compuseram
o guia do PNLD.
Em conclusão, o que ficou extremamente claro para nós é que o professor
tem um papel fundamental no processo de ensino. Um tipo de tarefa do livro didático
pode ter todos os atributos que favoreçam a construção do conhecimento. Mas se o
professor não tomar a iniciativa de fazer com que esta construção de fato aconteça,
deixando de explorar todas as facetas que a tarefa apresenta, ou na pior das hipóteses,
deixando de trabalhar esta tarefa, de nada adianta todas as qualidades que ela tenha.
Sendo assim, esse estudo aponta para a necessidade de pesquisas na área de
formação de professores que ensinam Matemática no Ensino Fundamental.
ANEXOS
88
ANEXO A
UNIDADES DE SIGNIFICADO DO PCN
*
1)
Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e
outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e
aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem
ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da
atividade matemática. PCN p. 19
2)
Por outro lado, também é fato que o acesso a calculadoras, computadores e
outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da
população. PCN p. 34
3)
Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento que
pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para
essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento
motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. PCN p.
34
4)
A calculadora é também um recurso para verificação de resultados,
correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação.
PCN p. 34
5)
[...] situação exploratória e de investigação que se tornaria imprópria sem o
uso de calculadora, [...] aluno sendo desafiado a descobrir e a interpretar os
resultados que obtém quando divide um número sucessivamente por dois (se
começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625). PCN p.
34
6)
Usando a calculadora, terá muito mais condições de prestar atenção no que
está acontecendo com os resultados e de construir o significado desses
números. PCN p. 34
7)
[...] assim, por exemplo, o estudo da representação decimal dos números
racionais é fundamental devido à disseminação das calculadoras e de outros
instrumentos que a utilizam. PCN p. 40
8)
Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como
instrumento para produzir e analisar escritas. PCN p. 47
*
O negrito constante nesse anexo é grifo nosso.
89
9)
Da mesma forma, a calculadora será usada como recurso, não para substituir
a construção de procedimentos de cálculo pelo aluno, mas para ajudá-lo a
compreendê-los. PCN p. 49
10)
Utilização de calculadora para produzir e comparar escritas numéricas.
PCN p. 50
11)
Utilização de estimativas para avaliar a adequação de um resultado e uso de
calculadora para desenvolvimento de estratégias de verificação e controle
de cálculos. PCN p. 51
12)
Refletir sobre procedimentos de cálculo que levem à ampliação do
significado do número e das operações, utilizando a calculadora como
estratégia de verificação de resultados. PCN p. 56
13)
Os procedimentos de validação de estratégias e de resultados obtidos na
resolução [...] Nesse contexto, a calculadora pode ser utilizada como um
recurso didático, tanto para que o aluno analise resultados que lhe são
apresentados, como para controlar e corrigir sua própria produção. PCN p. 57
14)
Desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de resultados pelo
uso do cálculo mental e da calculadora. PCN p. 59
15)
[...] calcular com agilidade, utilizando-se de estratégias pessoais e
convencionais, [...] É importante também avaliar a utilização de estratégias de
verificação de resultados, inclusive as que fazem uso de calculadoras. PCN
p. 63
16)
Solicita aos alunos que façam aparecer, no visor de uma calculadora,
números escritos no quadro ou indicados oralmente; PCN p. 65
17)
O recurso à história da numeração e aos instrumentos como ábacos e
calculadoras pode contribuir para um trabalho interessante com os números
e, em especial, com o sistema de numeração. PCN p. 67
18)
[...] calculadoras fez com que as representações decimais se tornassem
bastante freqüentes. [...] utilizá-las para o estudo das representações decimais
na escola. [...] atividades em que os alunos são convidados a dividir, usando a
calculadora, 1 por 2, 1 por 3, 1 por 4, 1 por 5, [...] levantar hipóteses sobre as
escritas que aparecem no visor da calculadora, eles começarão a interpretar o
significado dessas representações decimais. PCN p. 68
19)
Usando a calculadora, também perceberão que as regras do sistema de
90
numeração decimal, utilizadas para representar números naturais, podem
ser aplicadas para se obter a escrita dos racionais na forma decimal,
acrescentando-se novas ordens à direita da unidade (a primeira ordem) e de
forma decrescente. PCN p. 68
20)
Além da exploração dessas escritas pelo uso da calculadora, os alunos
também estabelecerão relação entre elas e as representações referentes ao
sistema monetário e aos sistemas de medida. PCN p. 68
21)
Nas situações práticas, [...] maioria das respostas não precisa ser exata, basta
uma aproximação. Existem ainda as balanças e as calculadoras que informam
resultados com precisão. PCN p. 77
22)
O uso associado das calculadoras e dos procedimentos de estimativa é de
grande importância, [...] percebam se utilizaram corretamente o instrumento e
se o resultado obtido é razoável. Assim, a utilização da estimativa pode
reduzir a incidência de erros e evitar o uso mecânico desse instrumento.
PCN p. 77
23)
[...] diferentes situações de aprendizagem. O recurso às calculadoras é uma
delas. Na elaboração de atividades envolvendo o uso de calculadoras é
importante que a criança seja colocada diante de desafios e estimulada a
explicitar, verbalmente ou por escrito, os procedimentos que utiliza. PCN
p. 80
24)
A título de exemplo, apresentam-se algumas atividades que podem ser feitas
usando a calculadora: PCN p. 80
25)
A partir de um número registrado no visor da calculadora, sem apagá-lo,
fazer aparecer um outro número; por exemplo, transformar: a) 459 em 409.
PCN p. 80
91
ANEXO B
UNIDADES DE SIGNIFICADOS DO GUIA PNLD/2007
*
1)
Saber utilizar-se do cálculo mental, das estimativas em contagens, em
medições e em cálculos e saber valer-se da calculadora são outras
capacidades indispensáveis. PNLD p.14
2)
No Ensino Fundamental, tem sido muito enfatizada a necessidade do
desenvolvimento das habilidades de cálculo mental e de estimativa - de
resultados de operações e de medidas, bem como do uso apropriado da
calculadora. PNLD p.27
3)
A calculadora é apresentada em quase todas as coleções. PNLD p. 27
4)
Apesar de menos freqüentes, atividades em que se estabelece uma interação
entre o cálculo mental e o uso da calculadora são também propostas em
algumas das coleções. PNLD p. 27
5)
Convém mencionar que é bem cuidado o trabalho com cálculo mental,
estimativa e calculadora. PNLD p. 53
6)
Por outro lado, as atividades com a calculadora, embora bem concebidas, são
poucas na coleção e quase ausentes nos dois primeiros volumes. PNLD p. 59
7)
A calculadora apresenta-se em todos os volumes da coleção, mas só é usada
para a realização e conferência de cálculos. PNLD p. 65
8)
Há estímulo freqüente à utilização de materiais concretos, mas o uso da
calculadora não é valorizado. PNLD p.71
9)
Além disso, fica a cargo do professor realizar atividades com a calculadora,
que são praticamente inexistentes. PNLD p. 72
10)
O trabalho também pode ser complementado com outros materiais de apoio,
tais como calculadora e instrumentos de desenho, que estão praticamente
ausentes. PNLD 79
11)
O trabalho com materiais didáticos é estimulado nos quatro volumes, com
destaque para os procedimentos de cálculo com uso da calculadora, do
material dourado e do sistema monetário. PNLD p. 83
12)
São também bastante valorizados o cálculo mental, as estimativas e o uso da
calculadora. PNLD p. 84
*
O negrito constante nesse anexo é grifo nosso.
92
13)
Além disso, incentiva-se o uso de materiais didáticos, com destaque para a
calculadora, o material dourado e o uso de cópias de cédulas e moedas.
PNLD p. 85
14)
A coleção é rica em atividades que utilizam diversos recursos didáticos,
como a calculadora, dobraduras, ábaco, tangram. PNLD p. 85
15)
O cálculo mental e o uso da calculadora são incentivados desde a 1a série.
PNLD p. 85
16)
A calculadora está presente em diversas atividades nas quais se favorece de
forma significativa, por exemplo, a observação de regularidades. PNLD p.
90
17)
As atividades com a calculadora destacam-se pela variedade e por serem
significativas. PNLD p. 91
18)
Também é incentivado o uso de materiais didáticos diversificados, apesar de
a calculadora ser trabalhada somente no volume de 4ª série. PNLD p. 96
19)
O cálculo mental e por estimativa, bem como o uso da calculadora, também
são muito valorizados. PNLD p. 101
20)
O uso da calculadora é freqüente em todos os livros e algumas propostas são
interessantes, como as de cálculo por estimativa com verificação de
resultados na calculadora e a identificação de propriedades operatórias.
PNLD p. 102
21)
Na parte específica de cada livro, encontram-se: observações e sugestões
complementares para as atividades propostas e sugestões para o emprego do
material dourado (2ª e 3ª séries) ou da calculadora (3ª e 4ª séries). PNLD p.
104
22)
A coleção incentiva o uso de materiais concretos variados, bem como o
emprego da calculadora. PNLD p. 114
23)
No entanto, o uso da calculadora, apesar de discutido no Manual do
Professor, é pouco presente. PNLD p. 120
24)
No campo dos números e operações, valorizam-se os seus significados; a
articulação entre os algoritmos e as propriedades das operações; uma
abordagem sistemática do cálculo mental e da calculadora... PNLD p. 125,
126
25)
A calculadora está presente na coleção, em particular, no volume da 4ª série,
mas seu uso limita-se, quase sempre, à realização de operações numéricas.
93
Recomenda-se, por isso, a ampliação das potencialidades desse instrumento,
especialmente, em atividades que possibilitem investigações exploratórias
das propriedades dos números e de sua representação decimal. PNLD p.
133
26)
Além disso, o cálculo mental, as estimativas e o emprego da calculadora
estão poucos presentes na obra. PNLD p. 138
27)
[...] merecem destaque o emprego de diferentes instrumentos de medição e o
trabalho com as calculadoras para explorar propriedades das operações.
PNLD p. 144
28)
Mas a calculadora é pouco explorada. PNLD p. 151
29)
Também se destaca a exploração significativa da calculadora como recurso
didático. PNLD p. 156
30)
A calculadora é utilizada como recurso didático que auxilia a investigação.
PNLD p. 157
31)
[...] necessitam de materiais concretos, como material dourado, “cédulas”,
tangram, palitos, grãos, calculadora, que devem ser providenciados para a
aula. PNLD p. 158
32)
São positivas as atividades que solicitam o uso do cálculo mental, a resolução
de desafios, o uso de materiais concretos como o material dourado, moldes
de cédulas, jogos etc., além do emprego da calculadora. PNLD p. 163
33)
A calculadora, no entanto, é pouco trabalhada. PNLD p. 170
34)
Além disso, é recomendável que o trabalho com a calculadora seja
complementado. PNLD p. 171
35)
As atividades, muitas vezes, envolvem, de maneira adequada, recursos
didáticos diversos, como material concreto, calculadora e jogos. PNLD p.
176
36)
Muitas atividades envolvem o emprego adequado de recursos didáticos, tais
como materiais concretos, jogos, calculadora, brincadeiras. PNLD p. 176,
177
37)
[...] Deve ser planejado, também, o uso da calculadora, recurso sugerido para
algumas atividades interessantes. PNLD p. 177
38)
[...] seções especiais da obra (cálculo mental, uso de calculadora, recurso à
História da Matemática, aproximação da disciplina ao contexto do aluno).
PNLD p. 183
94
39)
O trabalho com a calculadora precisa ser ampliado a fim de possibilitar seu
uso como instrumento de investigação, ou seja, para experimentar e testar
hipóteses. PNLD p. 183
40)
A calculadora e o sistema monetário são usados em muitos capítulos,
inclusive como recurso para a introdução de novos conceitos ou
procedimentos. PNLD p. 188
41)
O cálculo mental e o emprego da calculadora são, também, valorizados.
PNLD p. 193
42)
Na abordagem dos números e operações, recorre-se ao uso de materiais de
apoio como o material dourado e a calculadora, e há incentivo ao cálculo
mental e por estimativa. PNLD p. 193, 194
43)
A calculadora tem papel importante na coleção e é recomendável levar em
conta o seu emprego. PNLD p. 195
44)
As atividades envolvendo a calculadora são muito pouco freqüentes, embora
as que são propostas sejam bem elaboradas. PNLD p. 207, 208
45)
A calculadora é solicitada, a partir do volume da 2ª série, para a realização de
operações numéricas ou para gerar seqüências. PNLD p. 213
46)
A calculadora é apresentada no livro da 3ª série e, a partir daí, algumas
atividades solicitam seu uso. PNLD p. 219
47)
As atividades em que a calculadora é usada são praticamente restritas ao
volume da 4ª série. PNLD p. 231
48)
Diferentes estratégias de cálculo são apresentadas, mas o cálculo mental, por
estimativa e o uso da calculadora são pouco valorizados. PNLD p. 236
49)
O manual também orienta o professor no uso da calculadora - que é pouco
valorizada no Livro do Aluno. PNLD p. 238
50)
[...] O Manual do Professor contém orientações para esse planejamento e
também para o uso da calculadora. Essa merece a preparação de atividades
complementares às que são apresentadas no Livro do Aluno. PNLD p. 238
51)
Como são propostas diversas atividades com o uso da calculadora, será
conveniente garantir um número razoável de máquinas para que os alunos
possam operá-las na sala de aula. PNLD p. 256
52)
O cálculo mental e o uso da calculadora são propostos em atividades sobre
as propriedades dos números. PNLD p. 261
95
ANEXO C
RELAÇÃO DAS ATIVIDADES USANDO A CALCULADORA EXTRAÍDA
DOS LIVROS DIDÁTICOS
TAREFAS
T
1
Definição: efetuar operações da aritmética sobre os números racionais
e com uso da calculadora.
t
1
Tecle ON para começar. Resolva em seu caderno.
247 X 1 506 =
(P. 79, L
4
)
t
2
Tecle ON para começar. Resolva em seu caderno.
1 279 + 75 546 =
(P. 79, L
4
)
t
3
Obtenha o resultado usando a calculadora.
315 414 ÷ 354 =
(P. 79, L
4
)
t
4
Obtenha o resultado usando a calculadora.
95 384 - 49 618
(P. 79, L
4
)
t
5
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
5400 ÷ 40
(P. 80, L
4
)
t
6
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
128 + 71
(P. 80, L
4
)
t
7
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
1585 ÷ 5
(P. 80, L
4
)
t
8
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
740 - 391
(P. 80, L
4
)
t
9
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
96
TAREFAS
37 X 11
(P. 80, L
4
)
t
10
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
149 + 65
(P. 80, L
4
)
t
11
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
43 X 9
(P. 80, L
4
)
t
12
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
1676 ÷ 4
(P. 80, L
4
)
t
13
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
875 - 860
(P. 80, L
4
)
t
14
Brincando também se aprende
Jogo para duas pessoas, usando a calculadora.
O jogador escolhe uma operação calcula e escreve o resultado no caderno. Então
vê quantos pontos conseguiu e marca na tabela. Após 5 rodadas, ganha o jogo
quem totalizou mais pontos.
234 + 168
(P. 80, L
4
)
t
15
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359÷ 2 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
16
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359÷3 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
97
TAREFAS
(P. 135, L
2
)
t
17
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359÷ 5 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
18
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359÷ 7 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
19
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359 ÷ 11
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
20
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359 ÷ 13 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
21
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359 ÷ 17 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
22
Usando uma calculadora, descubra se o número 359 é primo. Para isso, você vai
dividir 359 pela seqüência dos números primos. Se a divisão não for exata,
registre no caderno o número com apenas o primeiro dígito depois da vírgula. O
importante é saber se 359 é divisível por algum número primo.
359 ÷ 19 =
Divide-se até que o quociente seja menor que o divisor. Como nenhuma das
98
TAREFAS
divisões teve resto zero, a que conclusão você chega?
(P. 135, L
2
)
t
23
Descubra o valor de cada expressão e registre no caderno.
38 X 419 + 1279 =
(P. 86, L
4
)
t
24
Descubra o valor de cada expressão e registre no caderno.
4278 - 25 X 98=
(P. 86, L
4
)
t
25
Tecle ON para começar. Siga estes passos. Copie e calcule no caderno.
Digite 23 tecle X digite 12.49 tecle 23 X 12,49 =
(P. 180, L
4
)
t
26
Tecle ON para começar. Siga estes passos. Copie e calcule no caderno.
Digite 9.231 tecle ÷ digite 17 tecle =
÷ =
(P. 180, L
4
)
t
27
Tecle ON para começar. Siga estes passos. Copie e calcule no caderno.
125 - 16,471 =
(P. 180, L
4
)
t
28
Tecle ON para começar. Siga estes passos. Copie e calcule no caderno.
R$ 847,60 + R$ 6 349,50 =
(P. 180, L
4
)
t
29
Tecle ON para começar. Siga estes passos. Copie e calcule no caderno.
2,3 X 9 + 4,75=
(P. 180, L
4
)
t
30
Tecle ON para começar. Siga estes passos. Copie e calcule no caderno.
17,49 - (8,3 + 6,741)=
(P. 180, L
4
)
t
31
Qual é o resultado? Complete
1000
2
= 2: 1 000 =
(P. 206, L
3
)
t
32
Qual é o resultado? Complete
1000
5
= ________
(P. 206, L
3
)
t
33
Qual é o resultado? Complete
8
1
= 1: 8= ______
(P. 206, L
3
)
t
34
Qual é o resultado? Complete
8
3
= __________
(P. 206, L
3
)
99
TAREFAS
t
35
Vamos calcular
12
11
de 768.
Aperte ON para começar.
Digite 768 tecle ÷ digite 12 tecle X digite 11 tecle =
12
11
de 768= 704
(P.122, L
4
)
t
36
Agora, no caderno, faça o mesmo para calcular:
17
9
de 68.
(P.122, L
4
)
t
37
Agora, no caderno, faça o mesmo para calcular:
3
2
de R$ 7 242,00
(P.122, L
4
)
t
38
Agora, no caderno, faça o mesmo para calcular:
25
19
de 8 125
(P.122, L
4
)
t
39
Agora, no caderno, faça o mesmo para calcular:
9
1
de 38 835
(P.122, L
4
)
t
40
Na calculadora de Júlia, a tecla do ponto que indica a vírgula em um número está
quebrada. O que Júlia deve fazer para aparecer no visor de sua calculadora os
números abaixo:
0,6
(P. 137, L
9
)
t
41
Na calculadora de Júlia, a tecla do ponto que indica a vírgula em um número está
quebrada. O que Júlia deve fazer para aparecer no visor de sua calculadora os
números abaixo:
0,06
(P. 137, L
9
)
t
42
Na calculadora de Júlia, a tecla do ponto que indica a vírgula em um número está
quebrada. O que Júlia deve fazer para aparecer no visor de sua calculadora os
números abaixo:
0,006
(P. 137, L
9
)
t
43
Dividi 5327 por 16 na calculadora, só que a divisão não é exata. Como descobrirei
o resto dessa divisão?
(P. 63, L
9
)
t
44
Digite as teclas, em cada caso, e registre os resultados em seu caderno
escrevendo-os como se lê.
3: 10=
* Agora, encontre outras maneiras para aparecer no visor os números encontrados.
100
TAREFAS
(P.138, L
9
)
t
45
Digite as teclas, em cada caso, e registre os resultados em seu caderno
escrevendo-os como se lê.
8:100=
* Agora, encontre outras maneiras para aparecer no visor os números encontrados.
(P.138, L
9
)
t
46
Digite as teclas, em cada caso, e registre os resultados em seu caderno
escrevendo-os como se lê.
45:1000=
* Agora, encontre outras maneiras para aparecer no visor os números encontrados.
(P.138, L
9
)
t
47
Digite as teclas, em cada caso, e registre os resultados em seu caderno
escrevendo-os como se lê.
7: 10=
* Agora, encontre outras maneiras para aparecer no visor os números encontrados.
(P.138, L
9
)
t
48
Digite as teclas, em cada caso, e registre os resultados em seu caderno
escrevendo-os como se lê.
3:100=
* Agora, encontre outras maneiras para aparecer no visor os números encontrados.
(P.138, L
9
)
t
49
Na calculadora comum digite 3 x 5 + 2 x 8 =
Você obteve o resultado correto?
(P. 175, L
5
)
t
50
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Argentina Peso R$1,00 = $ 0,44
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
51
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Bolívia Boliviano R$1,00 = Bs 2,88
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
52
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Chile Peso chileno R$1,00 = $ 267,78
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
101
TAREFAS
(P. 119, L
1
)
t
53
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Colômbia Peso colombiano R$1,00 = $ 1 045,91
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
54
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Equador Sucre R$1,00 = S$ 1 111, 11
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
55
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Guiana Dólar guianense R$1,00 = $ G 80,26
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
56
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Guiana Francesa Franco Francês R$1,00 = F $ 3,22
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
57
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Paraguai Guarani R$1,00= G/s 1 696,35
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
58
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Peru Novo sol R$1,00 = S/. 1,59
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
59
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Suriname Florin surinamês R$1,00 = SF 436,22
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
102
TAREFAS
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
60
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Uruguai Peso uruguaio R$1,00 = $ 5,80~
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
61
Veja na tabela abaixo o nome das moedas dos países da América do Sul e o valor
de cada uma equivalente à moeda brasileira em 2001:
Venezuela Bolívar R$1,00 = Bs. 316,07
Em dupla, escolha 3 produtos em folhetos de propaganda que indicam os preços.
Com a ajuda de uma calculadora, passem os valores desses produtos para as
moedas dos outros países da América do Sul.
(P. 119, L
1
)
t
62
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo divisor quociente
40 2
(P. 92, L
5
)
t
63
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo divisor quociente
400 20
(P. 92, L
5
)
t
64
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo Divisor Quociente
4000 200
(P. 92, L
5
)
t
65
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo Divisor Quociente
40000 2000
(P. 92, L
5
)
t
66
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo Divisor Quociente
8 2
(P. 92, L
5
)
t
67
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo Divisor Quociente
80 20
(P. 92, L
5
)
103
TAREFAS
t
68
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo Divisor Quociente
800 200
(P. 92, L
5
)
t
69
Complete a última coluna e a última linha das tabelas. Na última linha mantenha o
padrão observado nas linhas anteriores.
Dividendo Divisor Quociente
8000 2000
(P. 92, L
5
)
t
70
Encontrem o resultado desta expressão numérica multiplicando os números, um a
um, na calculadora:
2,4 x 1,2 x 3,7 x 1,3 x 4,1 x 2,2=
(P. 168, L
1
)
t
71
Se multiplicarmos os mesmo números aos pares e, em seguida, multiplicarmos os
produtos obtidos, o resultado será diferente?
2,4 x 1,2 x 3,7 x 1,3 x 4,1 x 2,2 =
Verifiquem: em toda multiplicação com vários números, eles podem ser
agrupados de qualquer forma antes de se chegar ao resultado?
(P. 168, L
1
)
t
72
Resolvam esta expressão subtraindo os números, um a um, na calculadora:
16 - 2,1 - 2,3 - 1,7 - 3,2 - 1,8 =
(P. 168, L
1
)
t
73
Subtraindo os mesmo números aos pares para, em seguida, subtrair os resultados,
obtém-se o mesmo resultado final?
16 - 2,1 - 2,3 - 1,7 - 3,2 - 1,8 =
Expliquem com suas palavras: o que vocês aprenderam sobre as expressões
numéricas com várias subtrações?
(P. 169, L
1
)
t
74
Utilizem a calculadora para realizar os cálculos a seguir e encontrar os resultados
das porcentagens.
20% de 890
(P. 193, L
6
)
t
75
Utilizem a calculadora para realizar os cálculos a seguir e encontrar os resultados
das porcentagens.
60% de 1 045
(P. 193, L
6
)
t
76
Utilizem a calculadora para realizar os cálculos a seguir e encontrar os resultados
das porcentagens.
15% de 3 060
(P. 193, L
6
)
t
77
Utilizem a calculadora para realizar os cálculos a seguir e encontrar os resultados
das porcentagens.
70% de 1 020
(P. 193, L
6
)
t
78
Utilizem a calculadora para realizar os cálculos a seguir e encontrar os resultados
das porcentagens.
104
TAREFAS
18% de 2 700
(P. 193, L
6
)
t
79
Utilizem a calculadora para realizar os cálculos a seguir e encontrar os resultados
das porcentagens.
2% de 14 200
(P. 193, L
6
)
t
80
A seguir, leia algumas informações sobre as cirurgias de transplante realizadas no
Brasil.
O transplante de córnea alcança 90% de sucesso. Essa cirurgia é realizada no
Brasil há 40 anos.
70% dos pacientes que se submetem a um transplante de pulmão sobrevivem mais
de cinco anos.
A cirurgia de transplante de coração é uma das mais complexas, porém 95% dos
pacientes voltam à vida normal.
Dos doentes que se submetem ao transplante de fígado, 75% recuperam a saúde.
Agora, observe o número de cirurgias de transplante dos órgãos mencionados
acima que foram realizadas no Brasil no ano 2000.
Com uma calculadora e as informações dadas, descubra o número aproximado das
porcentagens de sucesso dessas cirurgias do total de cirurgias realizadas no ano
2000.
Pulmão 25
(P. 241, L
6
)
t
81
A seguir, leia algumas informações sobre as cirurgias de transplante realizadas no
Brasil.
O transplante de córnea alcança 90% de sucesso. Essa cirurgia é realizada no
Brasil há 40 anos.
70% dos pacientes que se submetem a um transplante de pulmão sobrevivem mais
de cinco anos.
A cirurgia de transplante de coração é uma das mais complexas, porém 95% dos
pacientes voltam à vida normal.
Dos doentes que se submetem ao transplante de fígado, 75% recuperam a saúde.
Agora, observe o número de cirurgias de transplante dos órgãos mencionados
acima que foram realizadas no Brasil no ano 2000. Com uma calculadora e as
informações dadas, descubra o número aproximado das porcentagens de sucesso
dessas cirurgias do total de cirurgias realizadas no ano 2000.
Coração 116
(P. 241, L
6
)
t
82
A seguir, leia algumas informações sobre as cirurgias de transplante realizadas no
Brasil.
O transplante de córnea alcança 90% de sucesso. Essa cirurgia é realizada no
Brasil há 40 anos.
70% dos pacientes que se submetem a um transplante de pulmão sobrevivem mais
de cinco anos.
A cirurgia de transplante de coração é uma das mais complexas, porém 95% dos
pacientes voltam à vida normal.
Dos doentes que se submetem ao transplante de fígado, 75% recuperam a saúde.
Agora, observe o número de cirurgias de transplante dos órgãos mencionados
acima que foram realizadas no Brasil no ano 2000. Com uma calculadora e as
informações dadas, descubra o número aproximado das porcentagens de sucesso
dessas cirurgias do total de cirurgias realizadas no ano 2000.
Córnea 3384
(P. 241, L
6
)
105
TAREFAS
t
83
A seguir, leia algumas informações sobre as cirurgias de transplante realizadas no
Brasil.
O transplante de córnea alcança 90% de sucesso. Essa cirurgia é realizada no
Brasil há 40 anos.
70% dos pacientes que se submetem a um transplante de pulmão sobrevivem mais
de cinco anos.
A cirurgia de transplante de coração é uma das mais complexas, porém 95% dos
pacientes voltam à vida normal.
Dos doentes que se submetem ao transplante de fígado, 75% recuperam a saúde.
Agora, observe o número de cirurgias de transplante dos órgãos mencionados
acima que foram realizadas no Brasil no ano 2000. Com uma calculadora e as
informações dadas, descubra o número aproximado das porcentagens de sucesso
dessas cirurgias do total de cirurgias realizadas no ano 2000.
Fígado 480
(P. 241, L
6
)
t
84
Usando uma calculadora, transforme as frações em números decimais e anote o
resultado. Depois, representem, em seu caderno, seis quadriculados como este,
pintando a fração correspondente a cada resultado:
2
1
= 1÷2= =
(P. 136, L
7
)
t
85
Usando uma calculadora, transforme as frações em números decimais e anote o
resultado. Depois, representem, em seu caderno, seis quadriculados como este,
pintando a fração correspondente a cada resultado:
4
1
= 1÷4= =
(P. 136, L
7
)
t
86
Usando uma calculadora, transforme as frações em números decimais e anote o
resultado. Depois, representem, em seu caderno, seis quadriculados como este,
pintando a fração correspondente a cada resultado:
10
1
= 1÷10= =
(P. 136, L
7
)
t
87
Usando uma calculadora, transforme as frações em números decimais e anote o
resultado. Depois, representem, em seu caderno, seis quadriculados como este,
pintando a fração correspondente a cada resultado:
5
4
= 4÷5= =
(P. 136, L
7
)
t
88
Usando uma calculadora, transforme as frações em números decimais e anote o
resultado. Depois, representem, em seu caderno, seis quadriculados como este,
pintando a fração correspondente a cada resultado:
4
3
= 3÷4= =
(P. 136, L
7
)
t
89
Usando uma calculadora, transforme as frações em números decimais e anote o
resultado. Depois, representem, em seu caderno, seis quadriculados como este,
pintando a fração correspondente a cada resultado:
106
TAREFAS
5
1
= 1÷5= =
(P. 136, L
7
)
t
90
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
[O número que você pensou] + 0 = O número que você pensou
(P.240, L
10
)
t
91
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
[O número que você pensou] x 1 = O número que você pensou
(P.240, L
10
)
t
92
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
[O número que você pensou] - 0 = O número que você pensou
(P.240, L
10
)
t
93
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
[O número que você pensou] ÷ 1 = O número que você pensou
(P.240, L
10
)
t
94
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
[O número que você pensou] - [O número que você pensou] = 0
(P.240, L
10
)
t
95
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
[O número que você pensou] ÷ [O número que você pensou] = 1
(P.240, L
10
)
t
96
Pense em um número qualquer e realize as operações usando a calculadora
observando os resultados no visor.
O que você observou?
Resposta pessoal
(P.240, L
10
)
t
97
Faça as operações indicadas escolhendo qualquer número
[número par] + [número par] = par
(P.240, L
10
)
t
98
Faça as operações indicadas escolhendo qualquer número
[número par] + [número impar] = ímpar
(P.240, L
10
)
t
99
Faça as operações indicadas escolhendo qualquer número
[número ímpar] + [número par] = ímpar
(P.240, L
10
)
t
100
Faça as operações indicadas escolhendo qualquer número
[número ímpar] + [número ímpar] = par
(P.240, L
10
)
t
101
O que você observou?
Resposta pessoal
(P.240, L
10
)
t
102
Agora experimente com multiplicações
[número par] x [número par] = par
(P.241, L
10
)
t
103
Agora experimente com multiplicações
107
TAREFAS
[número par] x [número impar] = par
(P.241, L
10
)
t
104
Agora experimente com multiplicações
[número ímpar] x [número par] = par
(P.241, L
10
)
t
105
Agora experimente com multiplicações
[número ímpar] x [número ímpar] = ímpar
(P.241, L
10
)
t
106
O que você observou?
(P.241, L
10
)
t
107
O visor de uma calculadora está registrando 248.
Veja as operações que se podem fazer para transformar 248:
+ 2 250
(P.241, L
10
)
t
108
O visor de uma calculadora está registrando 248.
Veja as operações que se podem fazer para transformar 248:
- 40 208
(P.241, L
10
)
t
109
O visor de uma calculadora está registrando 248.
Veja as operações que se podem fazer para transformar 248:
x 10 2380
(P.241, L
10
)
t
110
O visor de uma calculadora está registrando 248.
Veja as operações que se podem fazer para transformar 248:
÷ 2 124
(P.241, L
10
)
t
111
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
842?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
112
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
782?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
113
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
743?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
114
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
1742?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
115
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
722?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
108
TAREFAS
(P.241, L
10
)
t
116
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
7420?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
117
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
542?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
118
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
742 000?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
119
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
74,2?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
120
Que operações você deve fazer para transformar 742 em:
7,42?
Compare seus resultados com os de seus colegas.
(P.241, L
10
)
t
121
Aprofundando as quatro operações com a calculadora
Para fazermos uma conta na calculadora, digitamos os números e os sinais das
operações; então, para aparecer o resultado no visor, apertamos a tecla =.
A tecla = é muito especial. Descubra por que, fazendo as atividades.
Digite em sua calculadora estas seqüências de teclas e observe o que acontece no
visor:
7 + 7 = + 7 = + 7 = + 7 = + 7 = + 7 = + 7 = + 7 = + 7 =
(P.244, L
10
)
t
122
Aprofundando as quatro operações com a calculadora
Para fazermos uma conta na calculadora, digitamos os números e os sinais das
operações; então, para aparecer o resultado no visor, apertamos a tecla =.
A tecla = é muito especial. Descubra por que, fazendo as atividades.
Digite em sua calculadora estas seqüências de teclas e observe o que acontece no
visor:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 =
(P.244, L
10
)
t
123
Aprofundando as quatro operações com a calculadora
Para fazermos uma conta na calculadora, digitamos os números e os sinais das
operações; então, para aparecer o resultado no visor, apertamos a tecla =.
A tecla = é muito especial. Descubra por que, fazendo as atividades.
Digite em sua calculadora estas seqüências de teclas e observe o que acontece no
visor:
7 + 7 = = = = = = = = =
(P.244, L
10
)
t
124
Aprofundando as quatro operações com a calculadora
Para fazermos uma conta na calculadora, digitamos os números e os sinais das
operações; então, para aparecer o resultado no visor, apertamos a tecla =.
109
TAREFAS
A tecla = é muito especial. Descubra por que, fazendo as atividades.
Digite em sua calculadora estas seqüências de teclas e observe o que acontece no
visor:
O que você observou?
(P.244, L
10
)
t
125
Agora, é com você. Experimente, teclando estas seqüências:
10 x 10 = x 10 = x 10 = x 10 = x 10 =
(P.248, L
10
)
t
126
Agora, é com você. Experimente, teclando estas seqüências:
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
(P.248, L
10
)
t
127
Agora, é com você. Experimente, teclando estas seqüências:
10 x 10 = = = = = =
(P.248, L
10
)
t
128
O que você observou?
(P.248, L
10
)
t
129
Experimente teclando as seqüências:
15 000 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = ____
(P.249, L
10
)
t
130
Experimente teclando as seqüências:
15 000 ÷ 10 = = = ____
(P.249, L
10
)
t
131
O que você observou?
(P.249, L
10
)
t
132
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
12 000 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
133
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
1 2000 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
134
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
120 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
135
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
2 500 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
136
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
110
TAREFAS
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
1 500 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
137
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
1 250 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
138
Para completar a tabela abaixo, digite os números da lista em sua calculadora (um
de cada vez), e divida-os seguidamente por 10. Observe em cada caso o que
aparece no visor e registre os resultados na tabela.
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
360 ______ ______ _____ _____
(P.249, L
10
)
t
139
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
19__10 = 190
(P.254, L
10
)
t
140
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
32__10 = 3,2
(P.254, L
10
)
t
141
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
234__10 0= 134
(P.254, L
10
)
t
142
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
567__100 = 667
(P.254, L
10
)
t
143
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
4__5 __ 1 = 21
(P.254, L
10
)
t
144
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
3__4 __ 1 = 6
(P.254, L
10
)
t
145
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
10__3 __ 20 = 27
(P.254, L
10
)
t
146
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
11__11 = 121
(P.254, L
10
)
t
147
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
resultados indicados?
240__80 = 3
(P.254, L
10
)
t
148
Quais são as teclas de operações que devem ser apertadas para chegar aos
111
TAREFAS
resultados indicados?
640__120 = 520
(P.254, L
10
)
t
149
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 3 ___
(P.257, L
10
)
t
150
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 6 ___
(P.257, L
10
)
t
151
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 9 ___
(P.257, L
10
)
t
152
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 12 ___
(P.257, L
10
)
t
153
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 15 ___
(P.257, L
10
)
t
154
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 18 ___
(P.257, L
10
)
t
155
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 21 ___
(P.257, L
10
)
t
156
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
37 x 24 ___
(P.257, L
10
)
t
157
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 7 ___
(P.257, L
10
)
t
158
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 14 ___
(P.257, L
10
)
112
TAREFAS
t
159
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 21 ___
(P.257, L
10
)
t
160
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 28 ___
(P.257, L
10
)
t
161
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 35 ___
(P.257, L
10
)
t
162
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 42 ___
(P.257, L
10
)
t
163
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 49 ___
(P.257, L
10
)
t
164
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 56 ___
(P.257, L
10
)
t
165
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
143 x 63 ___
(P.257, L
10
)
t
166
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 7 ___
(P.257, L
10
)
t
167
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 14 ___
(P.257, L
10
)
t
168
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 21 ___
(P.257, L
10
)
t
169
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
113
TAREFAS
15 873 x 28 ___
(P.257, L
10
)
t
170
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 35 ___
(P.257, L
10
)
t
171
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 42 ___
(P.257, L
10
)
t
172
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 49 ___
(P.257, L
10
)
t
173
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 56 ___
(P.257, L
10
)
t
174
Multiplicações curiosas com a calculadora
Se você fizer contas e completar estas tabuadas em seu caderno, vai descobrir
resultados surpreendentes. Vamos lá! Descubra que surpresa é esta.
15 873 x 63 ___
(P.257, L
10
)
T
2
Definição: Resolver as quatro operações da aritmética sobre os
números racionais através de estimativas e calculo mental e conferindo
o resultado com uso da calculadora.
t
175
Faça estimativas e escolha o valor mais aproximado para cada um dos seguintes
quocientes:
169: 8 = 7, 8, 20, 30, 40, 200
Agora, providencie uma calculadora, calcule cada um desses quocientes e confira
as estimativas que você fez.
(P. 221, L
3
)
t
176
Faça estimativas e escolha o valor mais aproximado para cada um dos seguintes
quocientes:
315: 6 = 5, 10, 50, 60, 70, 100
Agora, providencie uma calculadora, calcule cada um desses quocientes e confira
as estimativas que você fez.
(P. 221, L
3
)
t
177
Faça estimativas e escolha o valor mais aproximado para cada um dos seguintes
quocientes:
126: 12 = 6, 7, 8, 10, 20, 50
Agora, providencie uma calculadora, calcule cada um desses quocientes e confira
as estimativas que você fez.
(P. 221, L
3
)
t
178
Maira estuda na universidade. Ela tem uma calculadora cientifica, como esta da
foto. Ela digitou estas teclas:
114
TAREFAS
2 + 3 x 4 =
No visor, apareceu este resultado: 14
Numa calculadora comum, digitei as mesmas teclas que Maira. Veja o resultado
que obtive: 20
Os resultados são diferentes. Tente explicar o que a calculadora fez.
Faça uma previsão. Nesse caso, que resultado aparecerá no visor de cada
calculadora?
(P. 95, L
5
)
t
179
Maira estuda na universidade. Ela tem uma calculadora cientifica, como esta da
foto. Ela digitou estas teclas:
Imagine que, em cada uma dessas calculadoras, sejam digitadas estas teclas: 2 + 2
x 2 =
Faça uma previsão. Nesse caso, que resultado aparecerá no visor de cada
calculadora?
(P. 95, L
5
)
t
180
A expressão é: 50: 1 - 20: 5.
Calcule mentalmente: seu resultado é___
(P. 176, L
5
)
t
181
Forme uma dupla. Cada um de vocês vai fazer uma lista de compras com 8
produtos, no mínimo, e 11, no máximo. Depois passe a lista para que o colega
faça um calculo aproximado do valor total. Em seguida, usem a calculadora para
verificar o quanto se aproxima do valor exato.
(P. 41, L
1
)
t
182
Jogo “Contas de cabeça e calculadora”
Este é um jogo para 2 pessoas.
Material necessário.
Uma calculadora eletrônica, Lápis e papel.
Como jogar.
Os dois participantes escolhem e anotam no papel um número entre 500 e 1000. O
primeiro participante digita na calculadora um número entre 1 e 99, à sua escolha.
O outro jogador escolhe também um número de 1 a 99 e adiciona ao número que
está na calculadora. O jogo vai seguindo. Cada um, na sua vez, sempre adiciona
um número entre 1 a 99 ao que está na calculadora.
Quem conseguir, em primeiro lugar, fazer a calculadora atingir número anotado
no inicio do jogo será o vencedor.
(P. 50, L
1
)
t
183
Fazendo estimativas
Veja os números que cada criança digitou na calculadora e descubra a tecla que
ela pressionou para obter o resultado indicado.
15 e 12 e obtive 180
Qual destas teclas Tiago usou: + ou - ou x ou ÷?
(P. 114, L
2
)
t
184
Fazendo estimativas
Veja os números que cada criança digitou na calculadora e descubra a tecla que
ela pressionou para obter o resultado indicado.
95 e 36 e obtive 59
Qual destas teclas Maria usou: + ou - x ou ÷?
(P. 114, L
2
)
t
185
Fazendo estimativas
Veja os números que cada criança digitou na calculadora e descubra a tecla que
ela pressionou para obter o resultado indicado.
47 e 43 e obtive 90
115
TAREFAS
Qual destas teclas Janete usou: + ou - ou ÷?
(P. 114, L
2
)
t
186
Fazendo estimativas
Veja os números que cada criança digitou na calculadora e descubra a tecla que
ela pressionou para obter o resultado indicado.
84 e 7 e obtive 12
Qual destas teclas Mário usou: + ou - ou ÷?
(P. 114, L
2
)
t
187
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
1789 + 0 =
(p.240, L
10
)
t
188
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
1789 - 0 =
(p.240, L
10
)
t
189
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
1789 x 1 =
(p.240, L
10
)
t
190
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
1789 ÷ 1 =
(p.240, L
10
)
t
191
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
1789 - 1789 =
(p.240, L
10
)
t
192
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
1789 ÷ 1789 =
(p.240, L
10
)
t
193
Calcule de cabeça e depois confira com a calculadora
O que você observou?
(p.240, L
10
)
t
194
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
7 ______ 7 49
(p.243, L
10
)
t
195
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
64 _____ 8 8
(p.243, L
10
)
t
196
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
116
TAREFAS
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
11 ____ 11 121
(p.243, L
10
)
t
197
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
234 ______ 366 600
(p. 243, L
10
)
t
198
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
111 _______ 37 3
(p. 243, L
10
)
t
199
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
111 ________ 3 37
(p. 243, L
10
)
t
200
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
12 ________ 15 180
(p. 243, L
10
)
t
201
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
117
TAREFAS
111 _________ 12 99
(p. 243, L
10
)
t
202
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
100 _________ 100 1
(p. 243, L
10
)
t
203
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
100 _________ 100 0
(p. 243, L
10
)
t
204
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
100 _________ 100 10 000
(p. 243, L
10
)
t
205
Estimando e usando a calculadora
Maria pegou a calculadora e fez um montão de contas. Ela anotou os números
digitados, mas não anotou a tecla de operação que apertou para obter os
resultados, e desafiou João a descobrir quais foram as operações efetuadas em
cada caso. Ajude João a resolver este desafio.
Números digitados
Operação Resultado
100 _________ 100 200
(p. 243, L
10
)
t
206
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
456 + 654 1 000 1 110 1 100 110
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
207
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
118
TAREFAS
também
Operação resultado mais provável
A B C D
1 111 - 222 889 899 909 1 009
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
208
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
123 x 7 761 841 861 110
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
209
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
456 + 654 1 000 1 110 1 100 7 422
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
210
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
3 789 + 5 893 8 682 9282 9682 96 812
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
211
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
2 000 - 1 111 809 889 999 1 111
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
212
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
999 + 111 1 000 1 100 1 110 1 200
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
213
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
1 001 ÷ 7 133 134 143 231
(p. 243, L
10
)
119
TAREFAS
Respostas pessoais
t
214
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
1 001 ÷ 11 11 91 100 101
(p.243, L
10
)
Respostas pessoais
t
215
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
1 001 ÷ 13 17 77 97 988
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
216
Neste outro jogo, João desafiou Maria a responder rapidamente se o resultado
mais provável em cada conta era o da coluna A, B, C ou D. Responda você
também
Operação resultado mais provável
A B C D
749 ÷ 7 17 107 170 707
(p. 243, L
10
)
Respostas pessoais
t
217
Calculando de cabeça.
Que teclas você deve apertar para “eliminar” o dígito 5 em cada um dos números
abaixo?
5 471 ______
(p. 254, L
10
)
t
218
Calculando de cabeça.
Que teclas você deve apertar para “eliminar” o dígito 5 em cada um dos números
abaixo?
745 ______
(p. 254, L
10
)
t
219
Calculando de cabeça.
Que teclas você deve apertar para “eliminar” o dígito 5 em cada um dos números
abaixo?
151 ______
(p.254, L
10
)
t
220
Calculando de cabeça.
Que teclas você deve apertar para “eliminar” o dígito 5 em cada um dos números
abaixo?
5 050 ______
(p.254, L
10
)
t
221
Calculando de cabeça.
Que teclas você deve apertar para “eliminar” o dígito 5 em cada um dos números
abaixo?
15 575 ______
(p. 254, L
10
)
t
222
Calculando de cabeça.
Que teclas você deve apertar para “eliminar” o dígito 5 em cada um dos números
abaixo?
120
TAREFAS
35 575 ______
(p. 254, L
10
)
t
223
Faça uma estimativa do resultado e copie uma das alternativas em seu caderno.
Depois, obtenha o resultado com uma calculadora e veja se sua estimativa estava
correta.
398 + 1 506 = entre 1500 e 2 000, entre 2 000 e 2 500, entre 1 000 e 1 500
(p.79. L
4
)
t
224
Faça uma estimativa do resultado e copie uma das alternativas em seu caderno.
Depois, obtenha o resultado com uma calculadora e veja se sua estimativa estava
correta.
80 000 ÷ 250 = 32, 320, 3 200
(p.79. L
4
)
t
225
Faça uma estimativa do resultado e copie uma das alternativas em seu caderno.
Depois, obtenha o resultado com uma calculadora e veja se sua estimativa estava
correta.
1743 - 550 = menos de 1200, entre 1200 e 1250, mais de 1250.
(p.79. L
4
)
t
226
Faça uma estimativa do resultado e copie uma das alternativas em seu caderno.
Depois, obtenha o resultado com uma calculadora e veja se sua estimativa estava
correta.
49 x 149 = próximo de 73000, próximo de 730, próximo de 7300.
(p.79. L
4
)
T
3
Definição: resolver problemas que envolvam as quatro operações da
aritmética sobre os números racionais e com uso da calculadora.
t
227
O senhor Pedro comprou um carros por R$ 11.275,00. No negócio, deu seu carro
velho por R$ 5.392,00 e pagou o restante em 3 prestações iguais. Qual foi o valor
de cada prestação?
(P. 79, L
4
)
t
228
Uma loja de roupas promoveu liquidação e minha mãe aproveitou para comprar
roupas para mim e meus três irmãos. Veja os preços:
Meia esporte R$ 2,39 o par, bermuda R$ 6,79 cada e camiseta R$ 3,99 cada.
Mamãe comprou 12 peças de cada tipo, para cada filho ganhar três. Nessas
ocasiões o vendedor preenche uma nota fiscal. Ele já começou e, agora você
completa. Não se esqueça de calcular o total geral.
Espécie
Preço
unitário
Quant.
Preço
total
Meia
2,39
12
Bermuda
12
Camiseta
12
Total geral
(P. 93, L
5
)
t
229
Para cobrir o piso de um salão, foram escolhidos ladrilhos como este do desenho
ao lado. O piso tem a forma retangular, com 14 m de comprimento e 12 m de
largura. Quantos ladrilhos, ao todo serão gastos para revestir o salão?
(P. 41, L
1
)
t
230
Forme uma dupla e use uma calculadora para descobrir:
Qual é o maior produto que pode ser obtido na multiplicação de 2 números que,
somados dão o total de 100?
(P. 49, L
1
)
t
231
Forme uma dupla e use uma calculadora para descobrir:
Qual é o maior produto que pode ser obtido na multiplicação de 3 números que,
121
TAREFAS
somados, dão o total de 100?
(P. 49, L
1
)
t
232
Qual é o maior produto que pode ser obtido na multiplicação de 2 números que,
somados, dão um total de 68?
(P. 49, L
1
)
t
233
Com a ajuda de uma calculadora, descubra:
Dois números naturais consecutivos que, multiplicados resultem em 2 256.
(P. 244 e 245, L
1
)
t
234
Com a ajuda de uma calculadora, descubra:
Dois números impares consecutivos que, multiplicados, resultem em 3 843.
(P. 244 e 245, L
1
)
t
235
Com a ajuda de uma calculadora, descubra:
Dois números pares consecutivos cuja divisão do maior pelo menor resulte em
1,2.
(P. 244 e 245, L
1
)
t
236
Com a ajuda de uma calculadora, descubra:
Dois números pares consecutivos cuja divisão do maior pelo menor resulte em
1,125.
(P. 244 e 245, L
1
)
t
237
Com a ajuda de uma calculadora, descubra:
Dois números pares consecutivos cuja divisão do menor pelo maior dê como
resultado 0,9375.
(P. 244 e 245, L
1
)
t
238
Com a ajuda de uma calculadora, descubra:
Dois números pares consecutivos cuja divisão do menor pelo dê como resultado
0,96875.
(P. 244 e 245, L
1
)
t
239
Complete as teclas para obter o resultado que aparecem no visor de cada
calculadora.
520 = 420
(P. 115, L
2
)
t
240
Complete as teclas para obter o resultado que aparecem no visor de cada
calculadora.
520 = 52
(P. 115, L
2
)
t
241
Complete as teclas para obter o resultado que aparecem no visor de cada
calculadora.
520 = 5200
(P. 115, L
2
)
t
242
Complete as teclas para obter o resultado que aparecem no visor de cada
calculadora.
520 = 1000
(P. 115, L
2
)
t
243
Investigação
Nas atividades 1, 2, 4 e 5, considere que o ano tem 365 dias.
Quantos minutos têm um ano?
(P. 250, L
10
)
t
244
Investigação
Nas atividades 1, 2, 4 e 5, considere que o ano tem 365 dias.
Quantos segundos têm um ano?
(P. 250, L
10
)
122
TAREFAS
t
245
Investigação
Nas atividades 1, 2, 4 e 5, considere que o ano tem 365 dias.
Com que idade você vai completar 5 000 dias?
(P. 251, L
10
)
t
24
Investigação
Nas atividades 1, 2, 4 e 5, considere que o ano tem 365 dias.
Lilian completou 10 000 dias ontem.
Descubra o ano e o mês em que ela nasceu.
(P. 251, L
10
)
t
247
Quantos dias você tem de vida?
(P. 251, L
10
)
t
248
Manuel compra pães todos os dias. Por dia, sua família consome 8 pãezinhos, que
custam 15 centavos (R$ 0,15) cada um.
Quantos pães essa família come por ano?
(P. 251, L
10
)
t
249
Manuel compra pães todos os dias. Por dia, sua família consome 8 pãezinhos, que
custam 15 centavos (R$ 0,15) cada um.
Quanto Manuel gasta por ano comprando pães?
(P. 251, L
10
)
t
250
Manuel compra pães todos os dias. Por dia, sua família consome 8 pãezinhos, que
custam 15 centavos (R$ 0,15) cada um.
Sabe-se que sua família compra essa quantidade de pães desde que o filho mais
novo nasceu, 10 anos atrás. Quanto Manuel já gastou até hoje?
(P. 251, L
10
)
t
251
Manuel compra pães todos os dias. Por dia, sua família consome 8 pãezinhos, que
custam 15 centavos (R$ 0,15) cada um.
Quantos pães essa família come por ano?
(P. 251, L
10
)
t
252
Manuel compra pães todos os dias. Por dia, sua família consome 8 pãezinhos, que
custam 15 centavos (R$ 0,15) cada um.
O que daria para comprar com esse dinheiro?
(P. 251, L
10
)
t
253
Enfileirando-se todos os pães que Manuel comprou em um ano, pelo
comprimento, forma-se uma fila de que tamanho?
Da altura do Pão de Açúcar?
Da distancia entre Florianópolis (SC) e Manaus (AM)?
Na padaria em que Manuel compra os pães, eles medem 12 cm.
(P. 251, L
10
)
T
4
Definição: resolver desafios que envolvam operações aritméticas sobre os
números racionais e com uso da calculadora.
t
254
Usando a calculadora: desafio em 3 passos.
Use só X e ÷ para ir de 1 até 448. Registre os três passos no caderno.
(P. 80, L
4
)
t
255
Usando a calculadora: desafio em 3 passos.
Escolha os números e as operações. Dê para seu colega resolver. Confira se ele fez
os 3 passos corretamente.
(P. 80, L
4
)
t
256
Usando a calculadora: desafio em 3 passos.
Usando só + e -, inicie no 16 e chegue no 120. Registre os três passos no caderno.
Faça isso de três maneiras diferentes.
(P. 80, L
4
)
t
257
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
123
TAREFAS
319 x 19 = (sem usar a tecla x)
( P. 242, L
1
)
t
258
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
427 ÷ 13 = (sem usar a tecla ÷)
( P. 242, L
1
)
t
259
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
4 618 + 10 923 = ( sem usar a tecla +)
(P. 242, L
1
)
t
260
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
94 136 - 19 842 (sem usar a tecla -)
(P. 242, L
1
)
t
261
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
3,41+19,74 + 34,67 + 73,99 = (sem usar a tecla +)
(P. 242, L
1
)
t
262
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
217,41-[137,88-(413,21-397,56)]= (sem usar a tecla - )
(P. 242, L
1
)
t
263
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
315 x (9 674 - 9 598) = (sem usar a tecla x e - )
(P. 242, L
1
)
t
264
Descubra como resolver as operações abaixo, usando uma calculadora e
obedecendo à proibição imposta em cada caso:
134 ÷ (23 ÷ 92) = (sem usar a tecla ÷)
(P. 242, L
1
)
t
265
Descubra uma forma de calcular
5
2
de 1525 com a calculadora sem apertar a tecla
X. Escrevam em seu caderno as teclas que você deve apertar.
(P. 93, L
9
)
t
266
Utilize uma calculadora para esta atividade.
Descubra o quociente da divisão não-exata.
1 240: 30 sem utilizar a tecla 0.
(P.66, L
9
)
t
267
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
105=
(P. 132, L
8
)
t
268
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
250=
(P. 132, L
8
)
t
269
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
500=
(P. 132, L
8
)
t
270
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
1512=
124
TAREFAS
(P. 132, L
8
)
t
271
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
3052=
(P. 132, L
8
)
t
272
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
15 000=
(P. 132, L
8
)
t
273
Imagine que a tecla 5 de sua calculadora não esteja funcionando. Como você pode
encontrar cada um dos números abaixo com uma operação, sem usar a tecla 5?
500 000=
(P. 132, L
8
)
t
274
Descubra os números da tabuada do 7 compreendidos entre 200 e 250.
(P. 246, L
10
)
t
275
Usando a calculadora, como você poderá descobrir se o número 107 está na
tabuada do 7?
(P. 246, L
10
)
t
276
Digite em sua calculadora um número qualquer entre 10 e 99. Multiplique-o por
outro número de modo que o resultado seja um número entre 800 e 1 100.
(P. 246, L
10
)
t
277
Qual é a idade de João?
João é mais velho que Alice.
É mais novo que Fernanda.
O ano em que ele nasceu é um número múltiplo de 7.
Alice e Fernanda são primas. Alice nasceu em 1986 e Fernanda em 1994.
(P. 246, L
10
)
t
278
A calculadora
Digite um número de 1 a 9 em sua calculadora. Que operação você deve fazer
para aparecer no visor um número:
10 x maior? ____
(P. 250, L
10
)
t
279
A calculadora
Digite um número de 1 a 9 em sua calculadora. Que operação você deve fazer
para aparecer no visor um número:
100 x maior? ____
(P. 250, L
10
)
t
280
A calculadora
Digite um número de 1 a 9 em sua calculadora. Que operação você deve fazer
para aparecer no visor um número:
10 x menor? ____
(P. 250, L
10
)
t
281
A calculadora
Digite um número de 1 a 9 em sua calculadora. Que operação você deve fazer
para aparecer no visor um número:
100 x menor? ____
(P. 250, L
10
)
t
282
A calculadora
Digite um número de 1 a 9 em sua calculadora. Que operação você deve fazer
para aparecer no visor um número:
1000 x menor? ____
(P. 250, L
10
)
t
283
Caio digitou o número 13. Que operação ele deve fazer para aparecer no visor o
125
TAREFAS
número:
130? ____
(P. 250, L
10
)
t
284
Caio digitou o número 13. Que operação ele deve fazer para aparecer no visor o
número:
1,3? ____
(P. 250, L
10
)
t
285
Caio digitou o número 13. Que operação ele deve fazer para aparecer no visor o
número:
13? ____
(P. 250, L
10
)
t
286
Caio digitou o número 13. Que operação ele deve fazer para aparecer no visor o
número:
0,13? ____
(P. 250, L
10
)
t
287
Caio digitou o número 13. Que operação ele deve fazer para aparecer no visor o
número:
1 300? ____
(P. 250, L
10
)
t
288
Caio digitou o número 13. Que operação ele deve fazer para aparecer no visor o
número:
130 000? ____
(P. 250, L
10
)
t
289
Maria digitou o número 250 000. Que operação ela deve fazer para que apareçam
no visor os números a seguir?
25 000 ______
(P. 250, L
10
)
t
290
Maria digitou o número 250 000. Que operação ela deve fazer para que apareçam
no visor os números a seguir?
25 ______
(P. 250, L
10
)
t
291
Maria digitou o número 250 000. Que operação ela deve fazer para que apareçam
no visor os números a seguir?
2 500 000 ______
(P. 250, L
10
)
t
292
Maria digitou o número 250 000. Que operação ela deve fazer para que apareçam
no visor os números a seguir?
250 ______
(P. 250, L
10
)
t
293
Maria digitou o número 250 000. Que operação ela deve fazer para que apareçam
no visor os números a seguir?
2 500 ______
(P. 250, L
10
)
t
294
Maria digitou o número 250 000. Que operação ela deve fazer para que apareçam
no visor os números a seguir?
2,5 ______
(P. 250, L
10
)
T
5
Definição: explorar a função e curiosidades com as teclas da
calculadora e descobrir a quantidade de dígitos que ela suporta por
meio das quatro operações da aritmética sobre os números racionais e
por digitar números da casa de milhões.
t
295
Faça o que se pede e vá respondendo as perguntas.
Digite o número 123 000. Ele cabe no visor de sua calculadora?
126
TAREFAS
(P. 23, L
5
)
t
296
Faça o que se pede e vá respondendo as perguntas.
Digite o número 123 000 000, cabe no visor da calculadora?
(P. 23, L
5
)
t
297
Faça o que se pede e vá respondendo as perguntas.
Escreva o maior número que cabe no visor da sua calculadora.
(P. 23, L
5
)
t
298
Na sua calculadora deve existir as teclas: C - CE- C/AC -
CCE
N
/
0
Digite 2+5 CE 6=. Qual o resultado?
(P. 23, L
5
)
t
299
Na sua calculadora deve existir as teclas: C - CE- C/AC -
CCE
N
/
0
Agora, digite 3 x 9 CE 4 =. Qual o resultado?
(P. 23, L
5
)
t
300
Vamos relembrar para que ela serve.
Com base no que observou, explique para que serve a tecla CE.
(P. 23, L
5
)
t
301
Digite 3 x 5 M
+
e M
C
R
E agora, você obteve o resultado correto?
(P. 175, L
5
)
t
302
Observe a última seqüência de teclas que você digitou e o resultado obtido.
Pense um pouco e responda: o que fizeram as teclas M
+
e M
C
R
?
(P. 176, L
5
)
t
303
Na calculadora digite 50: 2 M
+
20: 5 M
-
M
C
R
O resultado confere? O que fez a tecla M
-
?
(P. 176, L
5
)
t
304
Aprofundando as quatro operações com a calculadora.
Use a calculadora para fazer aparecer no visor os 20 primeiros números da
tabuada do 13.
(P. 245, L
10
)
t
305
Aprofundando as quatro operações com a calculadora.
Escreva os 15 primeiros termos da tabuada do 12.
(P. 245, L
10
)
t
306
Aprofundando as quatro operações com a calculadora.
Escreva os 20 primeiros termos da tabuada do 11.
(P. 245, L
10
)
t
307
Aprofundando as quatro operações com a calculadora.
Escreva os 20 primeiros termos da tabuada do 15.
(P. 246, L
10
)
t
308
Explore um pouco mais a calculadora, apertando as seguintes seqüências de
teclas:
3 + 3 = = = = = = = = =
(P. 253, L
10
)
t
309
Explore um pouco mais a calculadora, apertando as seguintes seqüências de
127
TAREFAS
teclas:
4 + 4 = = = = = = = = =
(P. 253, L
10
)
t
310
Explore um pouco mais a calculadora, apertando as seguintes seqüências de
teclas:
5 + 5 = = = = = = = = =
(P. 253, L
10
)
t
311
Explore um pouco mais a calculadora, apertando as seguintes seqüências de
teclas:
8 + 8 = = = = = = = = =
(P. 253, L
10
)
t
312
Explore um pouco mais a calculadora, apertando as seguintes seqüências de
teclas:
2 + 3 = = = = = = = = =
(P. 253, L
10
)
t
313
Explore um pouco mais a calculadora, apertando as seguintes seqüências de
teclas:
3 + 2 = = = = = = = = =
(P. 253, L
10
)
t
314
Resolva as atividades e descubra outras palavras que podem ser “escritas” na
calculadora.
O que você lê quando digita:
918?
(P. 256, L
10
)
t
315
Resolva as atividades e descubra outras palavras que podem ser “escritas” na
calculadora.
O que você lê quando digita:
1717?
(P. 256, L
10
)
t
316
Resolva as atividades e descubra outras palavras que podem ser “escritas” na
calculadora.
O que você lê quando digita:
709?
(P. 256, L
10
)
t
317
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
BODE?
(P. 256, L
10
)
t
318
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
SELOS?
(P. 256, L
10
)
t
319
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
GLOBOS?
(P. 256, L
10
)
t
320
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
GOLES?
(P. 256, L
10
)
t
321
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
BIS?
(P. 256, L
10
)
t
322
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
BOLOS?
(P. 256, L
10
)
t
323
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
128
TAREFAS
ZEZÉ?
(P. 256, L
10
)
t
324
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
LEI?
(P. 256, L
10
)
t
325
Que número deve ser digitado para escrever as palavras:
GIL?
(P. 256, L
10
)
t
326
Desafio: quem consegue “escrever” a palavra mais longa?
(P. 256, L
10
)
129
ANEXO D
TABELA DE QUANTIFICAÇÃO DE TIPO DE TAREFA POR LIVRO
DIDÁTICO
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE TAREFAS POR LIVRO DIDÁTICO
LD
TT
L
1
L
2
L
3
L
4
L
5
L
6
L
7
L
8
L
9
L
10
TOTAL
(t)
T
1
16
08
04
27
09
10
06
0
16
85
174
T
2
02
04
03
04
03
0
0
0
02
36
52
T
3
10
04
0
01
01
0
0
0
10
11
68
T
4
08
0
0
03
0
0
0
07
08
21
3
TOTAL
TT
36
16
07
35
22
10
06
07
11
176
326
GRELHA DO AGRUPAMENTO DAS TAREFAS POR LIVRO
T1; 5%
T1; 2%
T1; 1%
T1; 8%
T1; 3%
T1; 3%
T1; 2%
T1; 0%
T1; 5%
T1; 23%
T1; 48%
T1; 74%
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
TOTAL t
130
ANEXO E
RELAÇÃO DOS LIVROS DIDÁTICOS UTILIZADOS NA PESQUISA
Livro
Autor
Título
Ano
Editora
L
1
Eduardo Sarquis Soares
Matemática com Sarquis
2004
Saraiva
L
2
Marília Centurión
Porta Aberta matemática
2006
FTD
L
3
Iracema Mori
Novo Viver e Aprender
Matemática
2007
Saraiva
L
4
Luiz Roberto Dante
Vivencia e construção
2002
Ática
L
5
Luiz Márcio Imenes
Marcelo Lellis
Estela Milani
Matemática Para Todos
2005
Scipione
L
6
Marinez Meneghello
e Ângela Passos
De olho no Futuro
2005
Quinteto
L
7
Elizabeth dos Santos
França
Carla Cristina Tosato
Cláudia Miriam
Tosato Siedel
Idéias & Relações
2006
Positivo
L
8
Daniela Padovan
Isabel Cristina Guerra
Ivonildes Milan
Matemática Projeto
Presente
2004
Moderna
L
9
Organizadora:
Editora Moderna
Projeto Pitanguá
Matemática
2005
Moderna
L
10
Antonio José Lopes
Bigode
Joaquim Gimenez
Matemática do Cotidiano
& suas Conexões
2005
FTD
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, Saddo Ag. A teoria antropológica do didático, fala sobre a
ruptura causada pela teoria das situações, a transposição didática e as noções de
tarefas de Chevallard. Disponível em: <www.pucsp.br/pensamentomatematico/
arquivos20091/tad.ppt>. Acesso em: 12 mai. 2009.
ÁVILA, G. Explorando o ensino da matemática. Brasília: Ministério da Educação,
Secretaria de Educação Básica, 2004.
BAIRRAL, Marcelo Almeida; NASCIMENTO, Bruno Santos do. Matemática em
ambientes virtualizados: construindo um estado da arte no Brasil. In: VIII
ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. 15-18, 2004.
Anais... Recife:Universidade Federal de Pernambuco, 2004.
BARDIN, Laurence. Análise de conteúdo. Trad. Luiz Antero Reto e Augusto
Pinheiro. Lisboa: Edições 70. 2008.
BIGODE, Antonio José Lopes Bigode; GIMENEZ, Joaquim. Matemática do
cotidiano & suas Conexões. São Paulo: FTD, 2005.
BITTAR, Marilena; FREITAS, José Luiz Magalhães. Fundamentos e metodologia
de matemática para os ciclos iniciais do ensino fundamental. 2.ed. São Paulo:
UFMS, 2005.
BOSCH, Marianna; CHEVALLARD, Yves. La sensibilité de l‟activité
mathématique aux ostensifs: objet d‟etude et problematique. Recherches en
didactique des mathématiques, vol. 19, n. 1, p. 77-124, 1999. Disponível em:
<http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/ pdf/Sensibilite_aux_ostensifs.pdf >.
Acesso em: 12 mai. 2009.
BOSCH, Marianna; CHEVALLARD, Yves; GASCÓN, Josep. Estudar
matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes
Médicas, 2001.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros curriculares nacionais (1ª a 4ª série): matemática. Brasília: MEC/SEF,
1997.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Guia do Livro Didático 2007:
Matemática: séries / anos iniciais do ensino fundamental. Brasília: Ministério da
Educação Básica, 2007.
BRAVIM, Eliana. Os recursos didáticos e sua função mediadora nas aulas de
matemática: um estudo de caso na aldeia indígena Tupinikim Pau-Brasil do Espírito
Santo. 2006. Disponível em: <http://www.fae.ufmg.br/ebrapem/completos/11-
14.pdf>. Acesso em: 11 mai. 2009.
132
CENTURIÓN, Marília. Porta Aberta matemática. São Paulo: FTD, 2006.
CHEVALLARD, Yves. El análisis de las prácticas docentes en la teoria
antropológica de lo didáctico. Recherches em Didactique des Matthématiques,
v.19, n. 2, p. 221-266,1999.
CHEVALLARD, Yves. El análisis de las prácticas docentes en la teoria
antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, v.
19, nº 2, pp. 221-266, 1999. Disponível em:
<http://www.uaq.mx/matematicas/redm/art/a1005.pdf>. Acesso em: 3 mai. 2009.
CHEVALLARD, Yves; BOSCH, Marianna; GASCÓN, Josep. Estudar
matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes
Médicas, 2001.
COSTA, Conceição. Processos mentais associados ao pensamento matemático
avançado: visualização. In: PONTE, João Pedro da (Org.). Actividades de
Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores.
PNOTE, João Pedro da. Coimbra: Escola Superior de Educação de Coimbra, 2002.
p.257-274, 2002.
CURY, Helena Noronha et. al. A análise de erros como metodologia de
investigação. Disponível em: <http://www.apm.pt/files/142359_CO_Cury_Bisognin
_Bisognin_4a36c5d 50a09a.pdf>. Acesso em: 10 dez. 2008.
DANTE, Luiz Roberto Dante; IMENES, Luiz Márico. Vivencia e construção. São
Paulo: Ática, 2002.
FALZETTA, Ricardo. A calculadora libera a turma para pensar. Revista Nova
Escola. São Paulo: Abril, edição 168, ano 2003. Disponível em:
<http://revistaescola.abril.com.br/matema tica/pratica-pedagogica/calculadora-libera-
turma-pensar-428126.shtml >. Acesso em: 3 mai. 2009.
FEDALTO, Dirceu Luiz. O imprevisto futuro das calculadoras nas aulas de
matemática no ensino médio. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade
Federal do Paraná, Curitiba, 2006.
FONTANA, Arrigo; PINTO, Renata da Silva. Resolução de problemas e desafios
matemáticos. IX Encontro Gaúcho de Educação Matemática - EGEM, 2006.
Disponível em:
<http://miltonborba.org/CD/Interdisciplinaridade/Encontro_Gaucho_Ed_Matem/min
icursos/MC32.pdf>. Acesso em: 12 mai. 2008.
FRANÇA, Elizabeth dos Santos França; TOSATO, Carla Cristina; SIEDEL, Cláudia
Miriam Tosato. Idéias & Relações. São Paulo: Positivo, 2006.
GASCÓN, Josep. La necessidad de utilizar modelos em didáctica de las
matemáticas: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados,
2006. (Coleção formação de professores).
133
GIRARDI, Daniela Schiffil; DIAS, Ana Cristina Garcia. O uso da calculadora no
ensino de matemática: um estudo exploratório acerca das concepções dos
Professores de matemática. 2006. Disponível em: <http://ccet.ucs.br/eventos/outros/
egem/posteres/po23.pdf>. Acesso em: 24 ago. 2007.
GIRARDI, Levi. Design de produtos na área médica. In: Associação dos
Designers de Produto. Disponível em: <http://www.adp.org.br>. Acesso em: 23 jun.
2006.
GROSSNICKLE, Foster E.; BRUECKNER, Leo J. O ensino da aritmética pela
compreensão. São Paulo: Fundo de Cultura, v. 1, 1976.
GUINTHER, Ariovaldo. O uso das calculadoras nas aulas de matemática:
concepções de professores, alunos e mães de alunos. 2008. Disponível em:
<http://www2.rc.unesp.br/ eventos/matematica/ebrapem2008/upload/23-1-A-
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LELLIS, Marcelo; MILANI, Estela. Matemática para todos. São Paulo: Scipione,
2005.
MORI, Iracema Mori. Novo viver e aprender matemática. São Paulo: Saraiva,
2007.
OLIVEIRA, Eliana et al. Análise de conteúdo e pesquisa na área de educação.
Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 4, n. 9, p. 11-37, maio/ago., 2003.
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OLIVEIRA, José Carlos Gomes de. A visão dos professores de Matemática do
Estado do Paraná em relação ao uso de calculadora nas aulas de Matemática.
1999. 180 f. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade Estadual de Campinas,
1999.
PADOVAN, Daniela; GUERRA, Isabel Cristina; MILAN, Ivonildes. Matemática -
projeto presente. São Paulo: Moderna, 2004.
PAIS, Luis Carlos. Didática da matemática - uma análise da influência francesa.
Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
PAIS, Luiz Carlos. Uma abordagem praxeológica da prática docente na educação
matemática. In: IX ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA -
ENEM, 9, 2007. Anais... Belo Horizonte-MG: SBEM, 2007. p. 65-78.
PASSOS, Marinez Meneghello e Ângela. De olho no futuro. São Paulo: Quinteto,
2005.
PEDROSO, André Pereira; FLORES, Cláudia Regina. Sobre os algoritmos:
refletindo uma proposta de ensino em torno da história e da representação. 2007.
134
Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO0198
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PONTE, João Pedro. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte:
Autêntica, 1999.
PROJETO PITANGUÁ MATEMÁTICA. São Paulo: Moderna, 2005.
RESENDE, Marilene Ribeiro. Re-significando a disciplina dos Números na
formação do Professor de Matemática na Licenciatura. 281f. 2007. Tese
(Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica. São
Paulo, 2007.
ROCHA, Silvaneide. Análise de conteúdo das monografias de graduação em
Educação Física na UFRN. Disponível em: <www.cbce.org.br/cd/resumos/123.
pdf>. Acesso em: 3 mai. 2009.
SANTOS, Rúbia Andréa Duarte dos. Formação continuada dos professores da
educação infantil: análise da produção de teses e dissertações na região sudeste
(1996 - 2004). 2008. Dissertação (Mestrado em Educação) – Centro Universitário
Nove de Julho. São Paulo, 2008.
SCHIFFL, Daniela. Um estudo sobre o uso da calculadora no ensino da
matemática. 134f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Centro
Universitário Franciscano, Santa Maria, 2006.
SOARES, Eduardo Sarquis. Matemática com Sarquis. São Paulo: Saraiva, 2004
SWIATKIEWICZ, Olgierd. Por que não uma abordagem praxeológica?!. Análise
Psicológica. [online]. Vol. 15, ano 4, p. 637-644, Dec. 1997. Disponível em:
<http://www.scielo.oces.mctes.pt/pdf/aps/v15n4/v15n4a10.pdf>. Acesso em: 27 out.
2009.
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