ads:
Universidade Federal do Maranh
˜
ao
Centro de Ci
ˆ
encias Exatas e Tecnologia
Programa de P
´
os-Graduac¸
˜
ao em F
´
ısica
Dissertac¸
˜
ao de Mestrado
Alguns resultados exatos a Temperatura Finita da
Eletrodinˆamica CPT -par do Modelo Padr˜ao Estendido
Madson Rubem Oliveira Silva
Orientador: Rodolfo Alv
´
an Casana Sifuentes
S
˜
ao Lu
´
ıs, abril de 2010
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Alguns resultados exatos a Temperatura Finita da
Eletrodinˆamica CPT -par do Modelo Padr˜ao Estendido
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
F´ısica da Universidade Federal do Maranh˜ao, como parte
dos requisitos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de mestre.
Orientador: Rodolfo Alv´an Casana Sifuentes
Doutor em F´ısica - UFMA
S
˜
ao Lu
´
ıs, abril de 2010
ads:
Silva, Madson Rubem Oliveira
ALGUNS RESULTADOS EXATOS A TEMPERATURA FINITA DA
ELETRODIN
ˆ
AMICA CPT -PAR DO MODELO PADR
˜
AO ESTENDIDO.
/ Madson Rubem Oliveira Silva - 2010
85.f
Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Programa de P´os Gradua¸c˜ao em F´ısica
Universidade Federal do Maranh˜ao.
Orientador: Rodolfo Alv´an Casana Sifuentes
1. Simetria de Lorentz 2. Teoria de Campos `a Temperatura finita 3. Radia¸c˜ao do Corpo negro.
I T´ıtulo
CDU 538.3
Madson Rubem Oliveira Silva
Alguns resultados exatos a Temperatura Finita da
Eletrodinˆamica CPT -par do Modelo Padr˜ao Estendido
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
F´ısica da Universidade Federal do Maranh˜ao, como parte
dos requisitos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de mestre.
BANCA EXAMINADORA
Rodolfo Alv´an Casana Sifuentes (ORIENTADOR)
Doutor em F´ısica - Universidade Federal do Maranh˜ao (UFMA)
Eduardo Marcos Rodrigues dos Passos
Doutor em F´ısica - Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)
Manoel Messias Ferreira Junior
Doutor em F´ısica - Universidade Federal do Maranh˜ao (UFMA)
`
A minha M˜ae
Agradecimentos
`
A minha fam´ılia, essencialmente a minha m˜ae.
`
A minha namorada Luzia Oliveira Aranha por est´a sempre presente na minha vida.
`
A minha filha Ingrid por existir na minha vida e ser a motiva¸c˜ao para continuar estudando.
Ao Professor Rodolfo Alv´an Casana Sifuentes pela orienta¸c˜ao, amizade e pelas excelentes conversas
sobre f´ısica.
`
A todos os professores do Departamento de F´ısica da UFMA, em especial ao Prof. Pinto por acreditar
em meu potencial.
Ao Prof. Manoel Messias por me aceitar no grupo de teoria de campos.
Aos amigos do GFTPC, Josberg, Paulo, Alex, Guillermo,...
Ao amigo Fernando Moucherek por me incentivar a estudar Teoria de Campos
`
A todos da secretaria da P´os-gradua¸c˜ao em F´ısica.
”Mas, se ergues da justi¸ca a clava forte. Ver´as
que um filho teu n˜ao foge `a luta. Nem teme,
quem te adora, a pr´opria morte”.
Trecho do Hino Nacional Brasileiro
Resumo
A eletrodinˆamica de Maxwell ´e uma teoria de campo que cont´em em sua estrutura trˆes tipos de
simetrias fundamentais na f´ısica: A simetria de Lorentz, a simetria CPT e a simetria de calibre local. A
covariˆancia de Lorentz e a simetria CPT s˜ao fundamentais na constru¸c˜ao de qualquer teoria de campo
que descreva part´ıculas elementares e n˜ao elementares. Ambas simetrias juntamente com a simetria de
calibre local s˜ao os pilares na constru¸c˜ao do Modelo Padr˜ao e de outras modernas teorias de campo. No
entanto, cogita-se que ambas, a covariˆancia de Lorentz e a simetria CPT, poderiam sofrer uma quebra
espontˆanea de simetria na escala de energia de Planck (ou no Universo primordial quando as energias
eram da ordem de magnitude) devido aos efeitos produzidos pelo gravidade quˆantica. Os poss´ıveis
efeitos residuais dessa quebra espontˆanea, tanto da covariˆancia de Lorentz como da simetria CPT,
s˜ao estudados dentro da estrutura do Modelo Padr˜ao Estendido (MPE). Assim, o setor de simetria
de calibre local U(1) do MPE descreve os efeitos sofridos pela eletrodinˆamica de Maxwell devido `a
viola¸c˜ao da covariˆancia de Lorentz e da quebra espontˆanea da invariˆancia CPT.
O intuito da Disserta¸c˜ao ´e estudarmos as propriedades `a temperatura finita da eletrodinˆamica
CPT -par do MPE representada pelo termo (k
F
)
ανρφ
F
αν
F
ρφ
. O primeiro passo ´e construir uma
fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, bem definida e invariante de gauge, para uma configura¸c˜ao arbitr´aria do tensor
(k
F
)
ανρφ
. Como estamos interessados em conhecer efeitos n˜ao perturbativos ou exatos da quebra
espontˆanea da simetria de Lorentz, concentramos nossa aten¸c˜ao nas componentes do tensor (k
F
)
cujas contribui¸c˜oes, em primeira ordem n˜ao nula, para as rela¸c˜oes de dispers˜ao da eletrodinˆamica de
Maxwell ainda as mant´em n˜ao birrefringentes. Para uma maior clareza ou um melhor entendimento,
estudamos separadamente esses coeficientes n˜ao birrefringentes pertencentes aos setores de paridade-
par e de paridade-´ımpar do tensor (k
F
) . Consequentemente, para ambos os setores, mostramos que
a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e calculada exatamente e resulta ser uma potˆencia da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de
Maxwell. Tal potˆencia ´e uma fun¸c˜ao expl´ıcita somente dos respectivos parˆametros que controlam a
viola¸c˜ao da simetria de Lorentz (VSL). Esse resultado demonstra que as propriedades termodinˆamicas,
do setor n˜ao birrefringente da eletrodinˆamica CPT-par do MPE, como densidade de energia, press˜ao,
entropia, etc, sejam as mesmas da eletrodinˆamica de Maxwell multiplicadas por uma fun¸c˜ao que
depende somente nos respectivos coeficientes n˜ao birrefringentes. Desse modo, a lei de radia¸c˜ao de
Planck mant´em a mesma dependˆencia funcional na freq¨uˆencia e a lei de Stefan-Boltzmann conserva-
se proporcional a T
4
. Entretanto, a constante de Stefan-Boltzmann usual sofre uma mudan¸ca, pois
resulta multiplicada justamente por um fator global que cont´em as contribui¸c˜oes da VSL. No entanto,
observa-se que, em geral, os coeficientes do VSL induzem uma anisotropia na distribui¸c˜ao angular da
densidade de energia emitida pelo corpo negro.
Palavras Chaves: Viola¸c˜ao da simetria de Lorentz, Teoria de campos `a temperatura finita,
Radia¸c˜ao do corpo negro.
7
Abstract
Maxwell’s electrodynamics is a field theory which contains in its structure three fundamental
physical symmetries: The Lorentz symmetry, the CPT -symmetry and the local gauge symmetry. The
Lorentz covariance and the CPT -symmetry are fundamental in the construction of any field theory
describing elementary (or not elementary) particles. Both together with the local gauge symmetry are
the cornerstones in the construction of the Standard Model and of others modern field theories. How-
ever, it is cogitate that as much the Lorentz covariance as the CPT -symmetry can be spontaneously
broken at Planck energy scale (or in the very early Universe when energies are close to the Planck
scale) due to quantum gravity effects. The possible residual effects of such spontaneous symmetry
breaking are studied within the structure of the Standard Model Extension (SME). The U (1)-local
gauge symmetry sector of the SME describes the effects produced in Maxwell’s electrodynamics due
to the Lorentz-covariance violation and the spontaneous symmetry breaking of the CPT -invariance.
Here, we study the finite temperature properties of the CPT -even electrodynamics of SME, repre-
sented by the term (k
F
)
ανρφ
F
αν
F
ρφ
. First, we construct a well-defined and gauge invariant partition
function in the functional integration formalism for an arbitrary tensor (k
F
). Then, we specialize for
the leading-order-nonbirefringent coefficients of the tensor (k
F
) and we study in separate the parity-
even and the parity-odd sectors. Consequently, for both sectors, the partition function is exactly
caculated by showing that it is a power of Maxwell’s partition function. Such power is an explicit
function of the respective parameters ruling the Lorentz-covariance violation. This way, Planck’s ra-
diation law retains its frequency dependence and the Stefan-Boltzmann law is maintained, except for
a change in Stefan-Boltzmann’s constant that is multiplied by a global factor containing all the LIV
contributions. Nevertheless, in general, it is observed that the LIV coefficients induce an anisotropy
in the angular distribution of the black body energy density.
Keywords: Lorentz symmetry breaking, Finite Temperature Field Theory, Black body radiation.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Campo escalar `a temperatura zero 10
2.1 Mecˆanica Cl´assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Campo escalar massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Amplitude de transi¸c˜ao v´acuo–v´acuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 O gerador funcional das fun¸c˜oes de Green completas . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2.1 C´alculo exato do gerador funcional para o campo escalar . . . . . . . 15
2.2.3 O gerador funcional das fun¸c˜oes de Green conexas . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3.1 W [J] para o campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 A¸c˜ao efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4.1 Γ[ϕ] para o campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Campo escalar `a temperatura finita 22
4 Campo eletromagn´etico livre 26
4.1 Formula¸c˜ao hamiltoniana e an´alise de v´ınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Equa¸c˜oes de movimento e as condi¸c˜oes de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.2 Calibre de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 A eletrodinˆamica CPT -par do modelo padr˜ao estendido 37
5.1 Estrutura hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Equa¸c˜oes de movimento e as condi¸c˜ao de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 O setor n˜ao birrefringente da eletrodinˆamica CPT -par do MPE . . . . . . . . . . . . . 46
i
5.4.1 O setor de paridade-par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.1.1 A contribui¸c˜ao isotr´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.1.2 A contribui¸c˜ao anisotr´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.2 O setor de paridade-´ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Conclus˜oes e perspectivas 56
A Nota¸c˜ao e algumas rela¸c˜oes ´uteis 60
B As rela¸c˜oes de dispers˜ao 61
B.1 Decomposi¸c˜ao do tensor (k
F
) a temperatura zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
B.2 As equa¸c˜oes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.3 As rela¸c˜oes de dispers˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.3.1 Rela¸c˜oes de dispers˜ao do setor de paridade-par . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.3.1.1 Componentes n˜ao birrefringentes de paridade-par . . . . . . . . . . . . 64
B.3.1.1.1 Contribui¸c˜ao isotr´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.3.1.1.2 Contribui¸c˜ao anisotr´opica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.3.2 Rela¸c˜oes de dispers˜ao do setor de paridade-´ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B.3.2.1 Componentes n˜ao birrefringentes de paridade-´ımpar . . . . . . . . . . 67
C Primeiro artigo publicado no Physical Review D 69
D Segundo artigo publicado no Physical Review D 70
Referˆencias Bibliogr´aficas 71
ii
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Em Teoria de Campos constantemente ouvimos falar em quebra de simetria, quebra espontˆanea
de simetria, viola¸c˜ao da simetria Lorentz, quebra de simetrias discretas, etc. Ent˜ao, o que vem a ser
uma quebra de simetria? Ou uma quebra espontˆanea de simetria? Para responder estas perguntas,
primeiramente devemos aprender o que ´e uma simetria. Como primeiro exemplo, imaginamos uma
bola de sinuca branca girando sobre uma superf´ıcie plana, este sistema possui uma simetria de rota¸c˜ao,
ou seja, a qualquer momento que olharmos `a bola sempre iremos observar a mesma superf´ıcie esf´erica
branca. Entretanto, se escrevermos a palavra f´ısica sobre a superf´ıcie da bola branca perderemos a
simetria de rota¸c˜ao. Como segundo exemplo, consideramos uma barra circular na posi¸c˜ao vertical
sobre um plano, neste caso, o sistema possui uma simetria cil´ındrica (ver fig. 1).
Figura 1: Exemplo de quebra espontˆanea de simetria.
Contudo, se aplicarmos uma for¸ca, na dire¸c˜ao vertical e no sentido descendente sobre a barra, a
simetria tamb´em ser´a perdida, uma vez que a for¸ca aplicada dobra a barra de modo arbitr´ario. Nestes
dois exemplos, dizemos que houve uma quebra de simetria.
1
Quando ocorre a quebra espontˆanea de simetria? No segundo exemplo, a for¸ca aplicada sobre a
barra provocou uma curvatura. Como a barra pode dobrar para qualquer lado, ou seja, a escolha
´e aleat´oria, ´e espontˆanea, constitui uma quebra espontˆanea de simetria. Um outro exemplo ´e o
ferromagnetismo: Seja um sistema de spins em movimento aleat´orio e desordenado que apresenta
isotropia espacial. A medida que resfriamos o material, os spins adquirem uma determinada dire¸c˜ao,
gerando dessa forma um campo magn´etico n˜ao nulo ao longo dessa dire¸c˜ao, ocorrendo uma quebra
espontˆanea da isotropia espacial na transi¸c˜ao de fase [1, 2].
E, sobre a viola¸c˜ao da simetria Lorentz? A resposta para esta indaga¸c˜ao requer um pouco mais
de conhecimento matem´atico. Sendo assim, fa¸camos a seguinte revis˜ao.
Dado dois sistemas de referˆencia, sobreposto e com origens coincidentes, O (x, y) e O
′
(x
′
, y
′
).
Localizamos uma part´ıcula no ponto P desse dois sistemas. E, em seguida rotacionamos o sistema
O
′
(x
′
, y
′
) por ˆangulo ϕ e mantendo fixo uma part´ıcula neste ponto. Relacionamos as coordenadas de
O (x, y) com O
′
(x
′
, y
′
) segundo a transforma¸c˜ao de coordenadas:
x
′
y
′
=
cos ϕ sin ϕ
−sin ϕ cos ϕ
x
y
, (1.1)
na vis˜ao da part´ıcula. Entretanto, podemos manter os dois sistemas fixo e girar apenas a part´ıcula,
tal que a transforma¸c˜ao de coordenadas seja:
x
′
y
′
=
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
x
y
, (1.2)
na vis˜ao do observador. Os dois tipos de transforma¸c˜oes descrevem a mesma rota¸c˜ao de maneira
equivalente [1]. Ent˜ao, uma part´ıcula pode descrever a mesma rota¸c˜ao por essas duas transforma¸c˜oes
de coordenadas, deste que no segundo caso o ˆangulo seja de −ϕ. Implicando na mesma matriz de
rota¸c˜ao.
Essas duas transforma¸c˜oes s˜ao classificadas como: a transforma¸c˜ao de Lorentz do observador e a
transforma¸c˜ao de Lorentz da part´ıcula, respectivamente.
O que acontece com a simetria de Lorentz se colocarmos um background ou campo de fundo? Para
responder esta inquieta¸c˜ao seguiremos o seguinte exemplo. Seja um el´etron dentro de um capacitor de
placas paralelas e considerando o campo el´etrico
⃗
E na dire¸c˜ao do eixo−z como um campo de fundo.
O vetor posi¸c˜ao ⃗r do el´etron ´e p erpendicular ao campo el´etrico
⃗
E. Na transforma¸c˜ao de Lorentz da
part´ıcula, fa¸camos o ˆangulo de rota¸c˜ao ser ϕ = +
π
2
. Como neste caso apenas as coordenadas ir˜ao
rotacionar, o el´etron permanecer´a na mesma posi¸c˜ao ⃗r. Logo, o campo el´etrico
⃗
E ´e perpendicular ao
2
vetor posi¸c˜ao ⃗r,
⃗
E ⊥ ⃗r (ver fig. 2).
Figura 2: Rota¸c˜ao por um ˆangulo ϕ na presen¸ca do background.
Para a transforma¸c˜ao de Lorentz do observador devemos, obrigatoriamente, fazer o el´etron girar de
ϕ = −
π
2
para manter a equivalˆencia das transforma¸c˜oes, o campo el´etrico
⃗
E ´e paralelo ao vetor posi¸c˜ao
⃗r,
⃗
E ∥ ⃗r (ver fig. 3).
Figura 3: Rota¸c˜ao por um ˆangulo −ϕ na presen¸ca do background.
Portanto, a simetria de Lorentz no referencial da part´ıcula na presen¸ca do campo de fundo ´e
quebrada. Desse modo, a viola¸c˜ao ou quebra espontˆanea da simetria de Lorentz pode ser representada
por campos de fundo vetoriais ou tensoriais permeando o espa¸co-tempo. Part´ıculas e for¸cas tˆem
intera¸c˜oes com esses backgrounds de modo semelhante `a intera¸c˜ao de part´ıculas carregadas com um
campo el´etrico.
A qualidade imut´avel, ou invariˆancia, das leis f´ısicas para diferentes observadores representa uma
simetria do espa¸co-tempo chamada de simetria de Lorentz. Tal simetria come¸cou a ser estudada nos
anos de 1890 pelo o f´ısico te´orico holandˆes Hendrik Antoon Lorentz [3]. Em 1904, ele apresentou
suas famosas transforma¸c˜oes de coordenadas, hoje conhecidas como transforma¸c˜oes de Lorentz, termo
3
cunhado por Poincar´e em 1905, assim:
x
′
= γ (x − vt) , (1.3)
y
′
= y, (1.4)
z
′
= z, (1.5)
t
′
=
1 −
v
2
c
2
−
1
2
. (1.6)
Maxwell, em 1873 no seu trabalho seminal [4], propˆos que a luz requeria de um meio material
para se propagar fazendo analogia com as experiˆencias envolvendo a propaga¸c˜ao de ondas num fluido.
Maxwell era adepto da id´eia aristot´elica de que a luz se propagava atrav´es de um meio material: o ´eter,
meio que tinha densidade desprez´ıvel e que n˜ao interagia com a mat´eria. Em vista das propriedades
da luz, j´a observadas naquela ´epoca, acreditava-se que o ´eter permeava todo o universo. Entretanto, a
quest˜ao do ´eter foi abandonada com o advento da Teoria da Relatividade Restrita [5], a qual estabelece
a covariˆancia de Lorentz como uma simetria fundamental da natureza. A teoria da relatividade restrita
est´a baseada em dois princ´ıpios b´asicos: O primeiro nos diz que as leis da f´ısica s˜ao as mesmas em
todos os referenciais inerciais e o segundo que a velocidade da luz ´e a mesma em rela¸c˜ao a qualquer
referencial inercial.
A covariˆancia de Lorentz ´e a pedra fundamental na constru¸c˜ao de todas as Teorias de Campos
que descrevem as intera¸c˜oes fundamentais e, sobretudo respons´aveis pela constru¸c˜ao das modernas
teorias da f´ısica de altas energias. Os experimentos mais recentes confirmam a invariˆancia de Lorentz
com uma alta precis˜ao, numa escala de energia que vai at´e 2 TeV. Contudo, na atualidade, ´e dis-
cutida a possibilidade de que a simetria de Lorentz possa ter sido quebrada na escala de Planck ou
equivalentemente no in´ıcio do universo quando a energia alcan¸cada era dessa ordem de magnitude.
Tal cen´ario ´e sugerido pela teoria das cordas [6] e, constitui a chave para o estudo de teorias de cam-
pos n˜ao-comutativos [7]. Os novos experimentos que se iniciar˜ao no LHC (Large Hadron Collider),
poder˜ao estender a escala de energia at´e aproximadamente 14 TeV. Nessa escala de energia, a simetria
de Lorentz (SL) deve ser testada e confirmada se realmente ainda ´e v´alida ou eventualmente possa ser
observada a sua quebra.
Ainda existem na natureza um conjunto de simetrias discretas, que s˜ao chamadas de CPT: que
corresponde `a conjuga¸c˜ao de carga (C), `a invers˜ao espacial ou paridade (P) e `a invers˜ao temporal (T).
A conjuga¸c˜ao da carga sup˜oe que para cada part´ıcula existe uma anti-part´ıcula com a mesma massa
mas de carga oposta. A simetria de paridade caracteriza um sistema que ´e invariante sob a invers˜ao
das coordenadas. Um exemplo simples que mostra essa simetria ´e colocarmos uma bola branca de
4
sinuca diante de um espelho.
A composi¸c˜ao das simetrias de conjuga¸c˜ao de carga e de paridade conhecida como a simetria
CP, foi proposta por Landau em 1957 e descobertas em 1964 pelos norte-americanos James Cronin
e Val Fitch os quais foram laureados com o prˆemio Nobel de F´ısica em 1980. O mecanismo da
quebra espontˆanea da simetria CP foi proposta pelo f´ısico japonˆes Yiochiro Nambu quando estudava
decaimento de k´aons
1
. E, sendo uns dos laureados do prˆemio Nobel de F´ısica em 2008. A importˆancia
da quebra espontˆanea da simetria CP implica na possibilidade de explicar porque o universo cont´em
mais mat´eria do que anti-mat´eria.
Para compreender a invers˜ao temporal assistiremos um filme qualquer do in´ıcio ao fim e, em
seguida, do fim ao in´ıcio. Veremos todas imagens retrocedendo o que n˜ao concorda com o sentido
do filme. Neste caso, n˜ao h´a simetria. E, se assistimos um filme sobre sinuca? A situa¸c˜ao ´e a
seguinte: temos um jogador, uma mesa de sinuca e apenas o capit˜ao (a bola branca). O jogador
aplica uma tacada sobre o capit˜ao. Este adquire uma velocidade, choca-se contra um lado da mesa
e retorna para o mesmo ponto de partida. Assistindo este filme no sentido contr´ario (retrocedendo
as imagens), n˜ao teremos condi¸c˜ao de determinar o sentido real do filme por que as imagens s˜ao as
mesmas independentemente do sentido do filme, esta simetria ´e denotada por invers˜ao temporal. Note
que embora a simetria de invers˜ao temporal tenha esta denomina¸c˜ao, n˜ao significa que o tempo esteja
retrocedendo e sim as imagens geradas em cada instante.
Em resumo, a simetria CPT prevˆe que, se um rel´ogio ´e substitu´ıdo por seu equivalente de anti-
mat´eria com paridade invertida e anda para tr´as no tempo, os dois manter˜ao hor´ario idˆentico [3].
Na natureza existe a viola¸c˜ao de modo individual das simetrias C, P, T e CP, mas at´e o momento
n˜ao existe nenhuma comprova¸c˜ao experimental da viola¸c˜ao das simetrias PT e CPT. A constru¸c˜ao das
Teorias Quˆanticas de Campos descrevendo as part´ıculas elementares e suas intera¸c˜oes s˜ao restritas pelo
teorema CPT, que estabelece que toda Teoria Quˆantica de Campos al´em de ter a simetria CPT na sua
estrutura, deve satisfazer as seguintes propriedades: princ´ıpio de localidade, invariˆancia sob a simetria
de Lorentz e analiticidade das representa¸c˜oes do grupo de Lorentz com respeito aos parˆametros de
transla¸c˜ao e rota¸c˜ao [8].
O Modelo Padr˜ao (MP) ´e, at´e o momento, a mais sofisticada teoria matem´atica sobre a natureza.
O Modelo Padr˜ao, cujo grupo de simetria ´e o SU (3) ×SU (2) ×U (1), ´e uma teoria compreensiva que
identifica as part´ıculas elementares e especifica como elas interagem atrav´es da intera¸c˜ao forte, SU (3),
1
S˜ao mes´ons que possuem um quark s composto de part´ıculas subatˆomicas K
+
, K
−
, K
0
e anti-K
0
. Possuem spin
nulos, portanto s˜ao b´osons.
5
a intera¸c˜ao fraca, SU (2) e a intera¸c˜ao eletromagn´etica U (1). Dessa forma, tudo o que acontece em
nosso mundo (exceto os efeitos gravitacionais) resulta das intera¸c˜oes das part´ıculas contidas no MP
segundo suas regras e equa¸c˜oes [9].
As pesquisas que estudam as conseq ¨uˆencias da quebra da simetria de Lorentz e da simetria CPT s˜ao
freq¨uentemente desenvolvidas sob o arcabou¸co te´orico do Modelo Padr˜ao Estendido (MPE), primeira-
mente proposto por Colladay e Kostelecky [10].
O MPE cont´em, al´em das intera¸c˜oes que definem o atual MP, intera¸c˜oes que violam as simetrias de
Lorentz e de CPT que s˜ao controladas por coeficientes (gerados via a quebra espontˆanea da simetria
de Lorentz numa teoria quˆantica fundamental definida na escala de Planck) que s˜ao quantidades
tensoriais genu´ınas no referencial do observador. A quebra espontˆanea da simetria de Lorentz garante
que ela ainda permanece tanto como uma simetria da teoria fundamental como tamb´em da teoria
efetiva emergente abaixo da escala de Planck no referencial do observador. Contudo, no referencial da
part´ıcula esses coeficientes tensoriais resultantes da quebra ou viola¸c˜ao da simetria de Lorentz (VSL)
n˜ao seguem as regras de transforma¸c˜ao impostas pela covariˆancia de Lorentz.
Uma forte motiva¸c˜ao para estudar o MPE ´e a necessidade de conseguir alguma informa¸c˜ao sobre
a f´ısica fundamental que rege na escala de Planck onde cogita-se que a simetria de Lorentz pode ser
quebrada espontaneamente devido aos efeitos quˆanticos gerados pela gravita¸c˜ao (gravidade quˆantica).
Essa procura ´e feita principalmente no setor fotˆonico do MPE que tem sido amplamente estudado com
dois prop´ositos: a determina¸c˜ao de novos efeitos eletromagn´eticos induzidos pela intera¸c˜ao do campo
eletromagn´etico de Maxwell com os campos tensoriais gerados pela quebra espontˆanea da simetria de
Lorentz e, a imposi¸c˜ao de rigorosos limites superiores para as magnitudes dos coeficientes tensoriais
que regem os efeitos da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz a baixa energia [11, 12, 13].
Os estudo dos efeitos da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz no eletromagnetismo foram iniciados por
Carroll-Field-Jackiw (CFJ) no in´ıcio dos anos 90 [14], quando eles inclu´ıram na densidade lagrangiana
da eletrodinˆamica de Maxwell um termo do tipo Chern-Simons, ϵ
µνkλ
(k
AF
)
µ
A
ν
F
κλ
, que al´em de
quebrar a simetria de Lorentz tamb´em quebra a simetria CPT. Nesse termo, o vetor constante (k
AF
)
µ
´e o respons´avel por fixar um campo de fundo que rege os efeitos da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz e
da simetria CPT.
O setor fotˆonico do MPE al´em do termo do tipo Chern-Simons inclui um termo CPT-par da forma
(k
F
)
µνκλ
F
µν
F
κλ
. O tensor constante (k
F
) tˆem as mesmas simetrias que o tensor de Riemann al´em de
possuir duplo tra¸co nulo. A eletrodinˆamica de Maxwell-Carroll-Field-Jackiw (MCFJ) ´e causal, est´avel
e unit´aria [15] somente se o campo de fundo ´e puramente tipo-espa¸co, (k
AF
)
µ
=
0,
⃗
k
AF
. Enquanto,
6
a eletrodinˆamica que leva em considera¸c˜ao somente o termo CPT-par ´e causal, unit´aria e est´avel para
valores suficientemente pequenos dos elementos do tensor (k
F
) [16] .
Uma caracter´ıstica marcante da eletrodinˆamica do MPE ´e o fato de apresentar o fenˆomeno da
birrefrigˆencia do v´acuo [14, 17, 18], ou seja, a velocidade da luz depende do modo de propaga¸c˜ao
assim como da rota¸c˜ao do plano de polariza¸c˜ao. Considerando que a birrefrigˆencia cresce linearmente
com a distˆancia, a an´alise deste efeito sob escala cosmol´ogica oferece um bom cen´ario para a busca
de ind´ıcios da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz. A an´alise de luz polarizada de fontes astrof´ısicas
[14, 17, 18], tem a vantagem de que pequenos efeitos s˜ao acumulados devido ao tempo muito grande de
propaga¸c˜ao da luz e podem produzir resultados de alta sensibilidade comparados com aqueles obtidos
com mat´eria [19]. Nesse contexto a radia¸c˜ao c´osmica de fundo (RCF), sendo a radia¸c˜ao mais antiga
e limpa dispon´ıvel para observa¸c˜ao, oferece uma oportunidade ´unica para a pesquisa dos efeitos da
viola¸c˜ao da simetria de Lorentz envolvendo f´otons. Na referˆencia [20], foram desenvolvidos ferramentas
te´oricas para extrair, das observa¸c˜oes polarim´etricas da RCF e da an´alise dos dados observacionais,
medidas altamente sens´ıveis das magnitudes dos parˆametros que controlam a quebra da simetria de
Lorentz.
Como os termos ou os coeficientes que controlam a quebra das simetrias de Lorentz e CPT alteram
a propaga¸c˜ao da luz, ´e natural supor que tamb´em as propriedades termodinˆamicas do campo eletro-
magn´etico sejam modificadas. Nesse contexto, num recente trabalho [21], foi investigado a influˆencia
do setor CPT-´ımpar ou termo CFJ nas propriedades termodinˆamicas do campo de Maxwell via o
formalismo de teoria de campos `a temperatura finita [22]. Primeiramente, analisaram a estrutura
hamiltoniana do modelo usando o formalismo de Dirac para definir a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao desta teoria
sem ambig¨uidade. Na seq¨uencia, foram analisadas as corre¸c˜oes induzida pelos coeficientes que regem
a VSL no fenˆomeno da radia¸c˜ao do corpo negro. Observaram-se que a lei de radia¸c˜ao de Planck e
a lei de Stefan-Boltzmann sofrem corre¸c˜oes em ordem quadr´atico pelos coeficientes da VSL. O efeito
mais importante acontece na distribui¸c˜ao angular da densidade de energia do corpo negro que torna-se
anisotr´opica. Tais anisotropias geradas pela VSL foram relacionadas com as anisotropias da radia¸c˜ao
c´osmica de fundo.
Na presente Disserta¸c˜ao de Mestrado, estudamos as propriedades termodinˆamicas campo fotˆonico
do setor CPT-par do MPE. Especializamos nossa an´alise `as componentes n˜ao birrefringentes do tensor
(k
F
) com o intuito de ganhar informa¸c˜oes n˜ao perturbativas sobre a influˆencia da VSL nas propriedades
termodinˆamicas do campo eletromagn´etico. Com esse motivo particularizamos nossos estudos, sepa-
radamente, aos setores de paridade-par e de paridade-´ımpar. Os resultados obtidos tem um car´ater
7
global para o setor n˜ao birrefringente do tensor (k
F
), ou seja, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, tanto do setor
de paridade-par como de paridade-´ımpar, ´e uma potˆencia da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao da eletrodinˆamica
de Maxwell, onde a potˆencia ´e uma fun¸c˜ao pura dos respectivos coeficientes n˜ao birrefringentes. A
nova fun¸c˜ao de parti¸c˜ao nos casos analisados, cont´em todos os efeitos n˜ao perturbativos oriundos da
viola¸c˜ao da simetria de Lorentz. Obtemos como resultado desta an´alise as mesmas propriedades ter-
modinˆamicas da eletrodinˆamica de Maxwell, tais como densidade de energia, press˜ao, entropia, etc.,
multiplicadas por uma fun¸c˜ao que depende somente dos respectivos coeficiente n˜ao birrefringentes.
Em geral, a distribui¸c˜ao angular da densidade de energia ganha um comportamento anisotr´opico de-
vido aos efeitos da VSL, tal como ocorre na eletrodinˆamica CPT-´ımpar [21]. Vale a pena ressaltar
que os resultados obtidos para o setor n˜ao birrefringente de paridade-par foram publicados na revista
Physical Review D no final de 2009 [23]. E, os resultados referentes ao setor n˜ao birrefringente de
paridade-´ımpar ser˜ao publicados em breve (maio de 2010) Physical Review D [24].
Esta disserta¸c˜ao est´a divida em cinco cap´ıtulos. O primeiro ´e a introdu¸c˜ao. O segundo cap´ıtulo ´e
composto de duas se¸c˜oes, uma sobre revis˜ao da formula¸c˜ao lagrangiana e hamiltoniana da mecˆanica
cl´assica. A outra retrata o campo escalar massivo, abordando a amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-v´acuo,
gerador funcional das fun¸c˜oes de Green completas e conexas e a a¸c˜ao efetiva. No terceiro cap´ıtulo,
temos um tratamento do campo escalar `a temperatura finita no formalismo de tempo imagin´ario.
No quarto, com car´ater puramente did´atico, estudamos o campo eletromagn´etico de Maxwell com o
intuito de ganharmos experiˆencia no tratamento de sistemas vinculados proposto por Dirac [25]. As-
sim, apresentamos a formula¸c˜ao hamiltoniana da t´ecnica de quantiza¸c˜ao conhecida como integra¸c˜ao
funcional ou integral de trajet´oria de Dirac-Feynman. Logo, que conhecemos a estrutura de v´ınculos
ou estrutura hamiltoniana, estar´ıamos em posi¸c˜ao de quantiz´a-la tanto a temperatura zero (Teoria
Quˆantica de Campos usual) via o c´alculo do gerador funcional das fun¸c˜oes de Green, ou estud´a-lo
`a temperatura finita segundo a constru¸c˜ao da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (Mecˆanica Estat´ıstica Quˆantica).
Em nosso caso, calculamos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para obtermos as propriedades termodinˆamicas do
campo, tais como as leis de radia¸c˜ao de Planck e a de Stefan-Boltzmann. No quinto cap´ıtulo, uti-
lizamos o mesmo procedimento do cap´ıtulo 4 para analisarmos as propriedades termodinˆamicas da
eletrodinˆamica CPT -par do MPE, especialmente os efeitos dos coeficientes n˜ao birrefringentes. Al´em
disso, inclu´ımos 4 apˆendices: no apˆendice A estabelecemos como padr˜ao as unidades naturais, o tensor
m´etrico e algumas rela¸c˜oes ´uteis. O apˆendice B apresenta a decomposi¸c˜ao do tensor (k
F
) a temper-
atura zero, e as rela¸c˜oes de dispers˜ao das componentes n˜ao birrefringentes da eletrodinˆamica CPT-par
tanto nos setores de paridade-par como o de paridade-´ımpar. O apˆendice C apresenta o primeiro
8
artigo publicado na revista Physical Review D, e o apˆendice D apresenta o segundo artigo publicado
na revista Physical Review D.
9
Cap´ıtulo 2
Campo escalar `a temperatura zero
2.1 Mecˆanica Cl´assica
Na mecˆanica cl´assica a quantidade fundamental para a descri¸c˜ao de um determinado sistema f´ısico
´e conhecido como a a¸c˜ao, S, definida pela seguinte funcional:
S =
t
b
t
a
dt L [q, ˙q, t] , (2.1)
em que L [q, ˙q, t] ´e a lagrangiana do sistema, definida por:
L [q, ˙q, t] = T − V, (2.2)
onde T e V s˜ao as energias cin´etica e potencial do sistema, respectivamente.
Para um sistema unidimensional composto de N part´ıculas descritas pelas coordenadas q
i
e energia
potencial independente do tempo, temos:
L =
N
i=1
1
2
m
i
˙q
2
i
− V (q
i
)
. (2.3)
Definimos o momento canˆonicamente conjugado `as coordenadas q
i
como:
p
i
=
∂L
∂ ˙q
i
. (2.4)
Para uma teoria definida em (2.3), o momento canˆonico conjugado ´e:
p
i
= m ˙q
i
. (2.5)
A defini¸c˜ao do parˆenteses de Poisson ´e:
{A (p, q) , B (p, q)} =
i
∂A
∂q
i
∂B
∂p
i
−
∂B
∂q
i
∂A
∂p
i
. (2.6)
10
Logo, os parˆenteses de Poisson entre vari´aveis canˆonicamente conjugadas ser´a:
{q
i
, p
j
} = δ
ij
. (2.7)
A Hamiltoniana canˆonica do sistema ´e definida via a seguinte transforma¸c˜ao de Legendre:
H =
i
p
i
˙q
i
(p, q) − L [q, ˙q (p, q) , t] , (2.8)
em que:
˙q
i
=
∂H
∂p
i
, (2.9)
˙p
i
= −
∂H
∂q
i
. (2.10)
As equa¸c˜oes (2.9) e (2.10) s˜ao conhecidas como as equa¸c˜oes Hamiltonianas.
Em geral, a evolu¸c˜ao temporal de uma quantidade A = A (p, q, t) ´e dada por:
d
dt
A =
˙
A = {A, H} +
∂A
∂t
. (2.11)
2.2 Campo escalar massivo
A densidade lagrangiana para o campo escalar massivo ´e:
L =
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
. (2.12)
Calculando o momento canˆonicamente conjugado, temos:
π =
∂L
∂
˙
ϕ
=
˙
ϕ. (2.13)
Observando que este modelo n˜ao tem v´ınculos, podemos passar ao formalismo hamiltoniano sem
nenhuma preocupa¸c˜ao.
A densidade hamiltoniana canˆonica ser´a:
H
C
= π
˙
ϕ −L =
1
2
π
2
+
1
2
(∇ϕ)
2
+
1
2
m
2
ϕ
2
≥ 0. (2.14)
A hamiltoniana canˆonica ´e definida como:
H
C
=
d
3
⃗x H
C
=
d
3
⃗x
1
2
π
2
+
1
2
(∇ϕ)
2
+
1
2
m
2
ϕ
2
. (2.15)
As equa¸c˜oes hamiltonianas s˜ao:
˙
ϕ = {ϕ, H
C
} = π. (2.16)
11
De maneira an´aloga a dedu¸c˜ao da eq.(2.16), temos:
˙π = {π, H
C
} = −m
2
ϕ + ∇
2
ϕ. (2.17)
Derivando mais uma vez (2.16), teremos:
¨
ϕ = ˙π, (2.18)
e substituindo em (2.17) obtemos a equa¸c˜ao de Klein-Gordon-Fock:
+ m
2
ϕ = 0. (2.19)
2.2.1 Amplitude de transi¸c˜ao v´acuo–v´acuo
Define-se a amplitude de transi¸c˜ao como:
Z = ⟨0 |0⟩
=
DϕDπ exp
i
d
4
x
π
˙
ϕ −H
C
. (2.20)
Substituindo na eq.(2.20) a densidade Hamiltoniana da pela eq.(2.14), teremos:
Z =
DϕDπ exp
i
d
4
x
π
˙
ϕ −
1
2
π
2
−
1
2
(∇ϕ)
2
−
1
2
m
2
ϕ
2
(2.21)
completando o quadrado no expoente:
Z =
DϕDπ exp
i
d
4
x
−
1
2
π −
˙
ϕ
2
+
1
2
˙
ϕ
2
−
1
2
(∇ϕ)
2
−
1
2
m
2
ϕ
2
(2.22)
fazendo a transla¸c˜ao π → π +
˙
ϕ e considerando que Dπ → Dπ, obtemos:
Z =
Dπ exp
i
d
4
x
−
1
2
π
2
(2.23)
×
Dϕ exp
i
d
4
x
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
.
Assim, as integra¸c˜oes em π e ϕ fatoram-se. A integra¸c˜ao em π ´e independente do campo ϕ, logo sua
contribui¸c˜ao ser´a uma constante e teremos que amplitude v´acuo-v´acuo torna-se-´a:
Z = N
π
Dϕ exp
i
d
4
x
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
, (2.24)
onde:
N
π
=
Dπ exp
i
d
4
x
−
1
2
π
2
. (2.25)
12
2.2.2 O gerador funcional das fun¸c˜oes de Green completas
A partir da eq.(2.24), que expressa a amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-v´acuo correta, definimos o
gerador funcional das fun¸c˜oes de Green completas para o campo escalar descrito pela equa¸c˜ao de
Klein-Gordon-Fock como:
Z [J] = N
Dϕ exp
i
d
4
x
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
+ Jϕ
, (2.26)
onde J (x) ´e a fonte externa acoplada linearmente ao campo escalar ϕ (x) e N ´e uma constante de
normaliza¸c˜ao tal que Z [0] = 1, desse modo temos que:
N
−1
=
Dϕ exp
i
d
4
x
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
. (2.27)
Vejamos a utilidade do gerador funcional Z [J] no c´alculo dos valores esperados dos produtos de
campos temporalmente ordenados, ou seja, das fun¸c˜oes de Green.
Em primeiro lugar, lembramos que valor esperado do operador
ˆ
ϕ (x) ´e dado por:
G
(1)
(x) = ⟨0|
ˆ
ϕ (x) |0⟩ = ⟨0|
ˆ
ϕ (0) |0⟩, (2.28)
devido `a invariˆancia sob transla¸c˜oes espa¸co-temporais. Em termos da integra¸c˜ao funcional podemos
escrever:
⟨0|
ˆ
ϕ (x) |0⟩ =
Dϕ ϕ (x) exp
i
d
4
x
′
L
Dϕ exp
i
d
4
x
′
L
, (2.29)
observando que dentro da integra¸c˜ao funcional o campo ϕ (x) ´e uma fun¸c˜ao escalar.
Naturalmente podemos obter a express˜ao (2.29) a partir do gerador funcional (2.26). Portanto,
calculamos a derivada funcional de Z [J] em rela¸c˜ao a corrente externa J (x)
δZ [J]
δJ (x)
= N
Dϕ iϕ (x) exp
i
d
4
x
′
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
+ Jϕ
, (2.30)
fazendo J = 0 e substituindo o valor da constante de normaliza¸c˜ao N, teremos:
δZ [J]
δJ (x)
J=0
= i
Dϕ ϕ (x) exp
i
d
4
x
′
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
Dϕ exp
i
d
4
x
′
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
, (2.31)
que reproduz exatamente a equa¸c˜ao (2.29), dessa forma:
δZ [J]
δJ (x)
J=0
= i ⟨0|
ˆ
ϕ (x) |0⟩, (2.32)
13
ou seja,
⟨0|
ˆ
ϕ (x) |0⟩ =
ˆ
ϕ (x)
=
δZ [J]
δiJ (x)
J=0
. (2.33)
Em segundo lugar, determinamos o propagador ou fun¸c˜ao de Green de 2-pontos do campo escalar,
G
(2)
(x −y), definido como:
G
(2)
(x −y) =
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
, (2.34)
onde definimos o operador ordenamento temporal:
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y) = θ
x
0
− y
0
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y) + θ
y
0
− x
0
ˆ
ϕ (y)
ˆ
ϕ (x) , (2.35)
onde θ (x) ´e a fun¸c˜ao escada dada por
θ (x) =
1 se x > 0
0 se x < 0
. (2.36)
Podemos mostrar que o propagador (2.34) quando escrito em termos da integra¸c˜ao funcional ser´a:
⟨0|T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y) |0⟩ =
Dϕ ϕ (x) ϕ (y) exp
i
d
4
x
′
L
Dϕ exp
i
d
4
x
′
L
. (2.37)
A presen¸ca de dois campos no numerador do lado direito da equa¸c˜ao (2.37) sugere que devemos
calcular a segunda derivada funcional de Z [J] em rela¸c˜ao a corrente J, com esse intuito, calculamos
a derivada funcional em rela¸c˜ao a J (y) partindo de (2.30):
δ
δJ (y)
δZ [J]
δJ (x)
= N
Dϕ [iϕ (x)]
δ
δJ (y)
exp
i
d
4
x
′
[L + Jϕ]
δ
2
Z [J]
δJ (x) δJ (y)
= N
Dϕ [iϕ (x)] [iϕ (y)] exp
i
d
4
x
′
[L + Jϕ]
(2.38)
= (i)
2
N
Dϕ ϕ (x) ϕ (y) exp
i
d
4
x
′
[L + Jϕ]
.
Para J = 0, vem:
δ
2
Z [J]
δiJ (x) δiJ (y)
J=0
= ⟨0|T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y) |0⟩, (2.39)
ou seja,
⟨0|T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y) |0⟩ =
δ
2
Z [J]
δiJ (x) δiJ (y)
J=0
. (2.40)
14
Estendemos este procedimento ao valor esperado do produto ordenado temp oralmente de
n−campos, ou seja, a fun¸c˜ao de Green de n−pontos, G
(n)
(x
1
, x
2
, ··· , x
n
), dada por:
G
(n)
(x
1
, x
2
, ··· , x
n
) =
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
) ···
ˆ
ϕ (x
n
)
0
,
(2.41)
=
1
i
n
δ
n
Z [J]
δJ (x
n
) ···δJ (x
2
) δJ (x
1
)
J=0
.
2.2.2.1 C´alculo exato do gerador funcional para o campo escalar
Em geral, o c´alculo do gerador funcional de um dado modelo ´e feito seguindo alguma t´ecnica
perturbativa, embora, neste caso, devido a lagrangiana que define o modelo de Klein-Gordon-Fock
ser quadr´atica nos campos, o gerador funcional poder´a ser calculado exatamente. Para este fim,
primeiramente faremos uma mudan¸ca de vari´avel no gerador funcional (2.26)
ϕ → ϕ + ϕ
C
, Dϕ → Dϕ, (2.42)
sob tal transla¸c˜ao a medida funcional n˜ao muda e, o campo ϕ
C
´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de movimento
ou equa¸c˜ao de Euler-Lagrange para o campo ϕ :
−
+ m
2
ϕ
C
+ J = 0. (2.43)
Ent˜ao, substituindo (2.42) em (2.26) e usando a equa¸c˜ao de movimento (2.43) o gerador funcional ser´a
expresso como:
Z [J] = exp
i
2
d
4
x J (x) ϕ
C
(x)
. (2.44)
Para calcular a express˜ao ϕ
C
, em termos da fonte J, devemos solucionar eq.(2.43). Usando as
representa¸c˜oes de Fourier dos campos.
Para ϕ
C
:
ϕ
C
(x) =
d
4
p
(2π)
4
˜
ϕ
C
(p) e
−ip·x
, (2.45)
e para J :
J (x) =
d
4
p
(2π)
4
˜
J (p) e
−ip·x
, (2.46)
substituindo em (2.43), obtemos:
˜
ϕ
C
(p) = −
˜
J (p)
p
2
− m
2
, (2.47)
15
que inserida em (2.45) proporciona o campo ϕ
C
em termos da fonte ou corrente J:
ϕ
C
(x) = −
d
4
p
(2π)
4
˜
J (p)
p
2
− m
2
e
−ip·x
. (2.48)
A transformada de Fourier,
˜
J (p), ´e expressa como:
˜
J (p) =
d
4
y J (y) e
ip·y
, (2.49)
e substituindo em (2.48), teremos:
ϕ
C
(x) = −
d
4
y G (x − y) J (y) , (2.50)
onde definimos a fun¸c˜ao G (x −y) como:
G (x −y) =
d
4
p
(2π)
4
e
−ip·(x−y)
p
2
− m
2
+ iϵ
, (2.51)
que representa a fun¸c˜ao de Green da equa¸c˜ao de Klein-Gordon-Fock:
x
+ m
2
G (x −y) = −δ (x − y) . (2.52)
A prescri¸c˜ao +iϵ na defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green (2.51) garante que o gerador funcional (2.26)
seja bem definido:
Z [J] = N
Dϕ exp
i
d
4
x
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
− iϵ
ϕ
2
+ Jϕ
. (2.53)
Substituindo (2.50) em (2.44) obtemos a express˜ao do gerador funcional somente em termos da
corrente J:
Z [J] = exp
−
i
2
d
4
xd
4
y J (x) G (x − y) J (y)
. (2.54)
Calculando o valor esperado do operador
ˆ
ϕ via a equa¸c˜ao (2.33) obtemos:
ˆ
ϕ (x)
= 0, (2.55)
tal resultado garante que estamos em um modelo sem quebra espontˆanea de simetria.
Calculando o propagador do campo escalar dado pela equa¸c˜ao (2.40):
G
(2)
(x −y) =
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
= iG (x − y) , (2.56)
que no espa¸co dos momentos resulta em:
˜
G
(2)
(p) =
i
p
2
− m
2
+ iϵ
, (2.57)
que retrata o propagador de Feynman para o campo escalar:
∆
F
(x −y) = i
d
4
p
(2π)
4
e
−ik(x−y)
p
2
− m
2
+ iε
. (2.58)
16
2.2.3 O gerador funcional das fun¸c˜oes de Green conexas
A partir do gerador funcional das fun¸c˜oes de Green completas definimos o gerador funcional das
fun¸c˜oes de Green conexas, W [J], por:
Z [J] = exp
i W [ J]
. (2.59)
O seguinte passo ´e expressar as fun¸c˜oes de Green completas em termos das fun¸c˜oes de Green conexas.
Assim, come¸camos com as fun¸c˜oes de Green de ordem menor, ou seja:
δZ [J]
δiJ (x)
=
δW [J]
δJ (x)
Z [J] , (2.60)
logo, fazendo J = 0, obtemos o valor esperado do campo ϕ:
ˆ
ϕ (x)
=
δW [J]
δJ (x)
J=0
=
ˆ
ϕ (x)
C
, (2.61)
onde o sub´ındice C indica `as fun¸c˜oes de Green conexas.
Calculamos o propagador derivando (2.60) em rela¸c˜ao a iJ (y):
δ
2
Z [J]
δiJ (y) δiJ (x)
= −i
δ
2
W [J]
δJ (y) δJ (x)
Z [J] +
δW [J]
δJ (x)
δW [J]
δJ (y)
Z [J] , (2.62)
e fazendo J = 0, obteremos o propagador para o campo ϕ:
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
= −i
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
C
+
ˆ
ϕ (x)
C
ˆ
ϕ (y)
C
, (2.63)
onde definimos a fun¸c˜ao de Green conexa de 2−pontos como:
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
C
=
δ
2
W [J]
δJ (y) δJ (x)
J=0
. (2.64)
Derivando a eq. (2.62) em rela¸c˜ao a iJ (z), obtemos a fun¸c˜ao de Green completa de 3−pontos:
δ
3
Z [J]
δiJ (z) δiJ (y) δiJ (x)
= −
δ
3
W [J]
δJ (z) δJ (y) δJ (x)
Z [J] −i
δ
2
W [J]
δJ (y) δJ (x)
δW [J]
δJ (z)
Z [J]
−i
δ
2
W [J]
δJ (z) δJ (x)
δW [J]
δJ (y)
Z [J] −i
δW [J]
δJ (x)
δ
2
W [J]
δJ (z) δJ (y)
Z [J] (2.65)
+
δW [J]
δJ (x)
δW [J]
δJ (y)
δW [J]
δJ (z)
Z [J] ,
fazendo J = 0 :
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
ˆ
ϕ (z)
0
= −
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
ˆ
ϕ (z)
0
C
− i
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
C
ˆ
ϕ (z)
C
−i
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (z)
0
C
ˆ
ϕ (y)
C
− i
0
T
ˆ
ϕ (y)
ˆ
ϕ (z)
0
C
ˆ
ϕ (x)
C
+
ˆ
ϕ (x)
C
ˆ
ϕ (y)
C
ˆ
ϕ (z)
C
. (2.66)
17
sendo
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
ˆ
ϕ (z)
0
C
a fun¸c˜ao de Green conexa de 3−pontos definida como:
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
ˆ
ϕ (z)
0
C
=
δ
3
W [J]
δJ (z) δJ (y) δJ (x)
J=0
. (2.67)
Para obtermos a fun¸c˜ao de Green completa de 4−pontos, devemos calcular a quarta derivada do
gerador funcional Z [J] em termos das derivadas do gerador funcional W [J] ou derivar a eq.(2.65)
com respeito a iJ (x
4
) , desde que substitu´ımos x, y e z por x
1
, x
2
e x
3
, respectivamente, assim:
δ
4
Z [J]
δiJ (x
4
) δiJ (x
3
) δiJ (x
2
) δiJ (x
1
)
= i
δ
4
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
3
) δJ (x
2
) δJ (x
1
)
Z [J]
−
δ
3
W [J]
δJ (x
3
) δJ (x
2
) δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
4
)
Z [J] −
δ
3
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
2
) δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
3
)
Z [J]
−
δ
2
W [J]
δJ (x
2
) δJ (x
1
)
δ
2
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
3
)
Z [J] −i
δ
2
W [J]
δJ (x
2
) δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
3
)
δW [J]
δJ (x
4
)
Z [J]
−
δ
3
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
3
) δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
2
)
Z [J] −
δ
2
W [J]
δJ (x
3
) δJ (x
1
)
δ
2
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
2
)
Z [J]
−i
δ
2
W [J]
δJ (x
3
) δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
2
)
δW [J]
δJ (x
4
)
Z [J] −
δ
2
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
1
)
δ
2
W [J]
δJ (x
3
) δJ (x
2
)
Z [J]
−
δW [J]
δJ (x
1
)
δ
3
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
3
) δJ (x
2
)
Z [J] −i
δW [J]
δJ (x
1
)
δ
2
W [J]
δJ (x
3
) δJ (x
2
)
δW [J]
δJ (x
4
)
Z [J]
−i
δ
2
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
2
)
δW [J]
δJ (x
3
)
Z [J] − i
δW [J]
δJ (x
1
)
δ
2
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
2
)
δW [J]
δJ (x
3
)
Z [J]
−i
δW [J]
δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
2
)
δ
2
W [J]
δJ (x
4
) δJ (x
3
)
Z [J] +
δW [J]
δJ (x
1
)
δW [J]
δJ (x
2
)
δW [J]
δJ (x
3
)
δW [J]
δJ (x
3
)
Z [J]
e para J = 0, vem:
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
= i
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
ˆ
ϕ (x
4
)
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
ˆ
ϕ (x
3
)
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
ˆ
ϕ (x
2
)
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
ˆ
ϕ (x
1
)
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
0
C
0
T
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
− i
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
0
C
ˆ
ϕ (x
3
)
C
ˆ
ϕ (x
4
)
C
−i
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
ˆ
ϕ (x
2
)
C
ˆ
ϕ (x
4
)
C
− i
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
ˆ
ϕ (x
2
)
C
ˆ
ϕ (x
3
)
C
−i
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
ˆ
ϕ (x
1
)
C
ˆ
ϕ (x
4
)
C
− i
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
ˆ
ϕ (x
1
)
C
ˆ
ϕ (x
3
)
C
−i
0
T
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
ˆ
ϕ (x
1
)
C
ˆ
ϕ (x
2
)
C
+
ˆ
ϕ (x
1
)
C
ˆ
ϕ (x
2
)
C
ˆ
ϕ (x
3
)
C
ˆ
ϕ (x
4
)
C
.
18
Se a teoria n˜ao tem quebra espontˆanea de simetria
ˆ
ϕ (x
i
)
C
=
ˆ
ϕ (x
i
)
= 0 com n = 1, 2, 3, 4, a
fun¸c˜ao de Green completa de 4−pontos torna-se:
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
= i
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
2
)
0
C
0
T
ˆ
ϕ (x
3
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
−
0
T
ˆ
ϕ (x
1
)
ˆ
ϕ (x
4
)
0
C
0
T
ˆ
ϕ (x
2
)
ˆ
ϕ (x
3
)
0
C
.
Desse modo podemos expressar as fun¸c˜oes de Green completas de n−pontos como uma composi¸c˜ao
de fun¸c˜oes de Green conexas de m−pontos, sendo 1 ≤ m ≤ n.
2.2.3.1 W [J] para o campo escalar
Para a teoria do campo escalar, o gerador funcional das fun¸c˜oes de Green conexas pode ser obtido,
explicitamente, a partir da equa¸c˜ao (2.54):
W [J] = −
1
2
d
4
xd
4
y J (x) G (x − y) J (y) , (2.68)
e a ´unica fun¸c˜ao de Green conexa n˜ao nula ´e a fun¸c˜ao de 2−pontos:
0
T
ˆ
ϕ (x)
ˆ
ϕ (y)
0
C
= −G (x − y) . (2.69)
2.2.4 A¸c˜ao efetiva
Como Z [J] e W [J] s˜ao os funcionais geradores das fun¸c˜oes de Green completas e conexas, respec-
tivamente, poderemos introduzir a a¸c˜ao efetiva, Γ[ϕ], ou funcional gerador das fun¸c˜oes irredut´ıveis a
uma part´ıcula (I1P), via transforma¸c˜ao de Legendre
Γ [ϕ] = W [J] −
d
4
x J (x) ϕ (x) , (2.70)
de tal modo que as seguintes rela¸c˜oes funcionais sejam satisfeitas:
δΓ
δϕ (x)
= −J (x) ,
δW [J]
δJ (x)
= ϕ (x) . (2.71)
A importˆancia da a¸c˜ao efetiva reside em conter todas as corre¸c˜oes quˆanticas a teoria cl´assica. Em
outras palavras nos revela como os efeitos quˆanticos corrigem a teoria cl´assica de partida. Sendo
19
de fundamental quando tratamos o processo de renormaliza¸c˜ao de uma teoria de campos ou quando
queremos obter uma teoria de campos efetiva v´alida num determinado regime de energia.
As fun¸c˜oes I1P s˜ao obtidas via a deriva¸c˜ao funcional da a¸c˜ao efetiva em rela¸c˜ao ao campo ϕ, assim,
a fun¸c˜ao I1P de n−pontos, Γ
(n)
(x
1
, x
2
, ··· , x
n
), ´e dada por
Γ
(n)
(x
1
, x
2
, ··· , x
n
) =
δ
n
Γ [ϕ]
δϕ (x
n
) ···δϕ (x
2
) δϕ (x
1
)
J=0
. (2.72)
Expressando a a¸c˜ao efetiva como:
Γ [ϕ] =
∞
n=0
1
n!
dx
1
···dx
n
Γ
(n)
(x
1
, ··· , x
n
) ϕ (x
1
) ···ϕ (x
n
) . (2.73)
Calculamos algumas fun¸c˜oes irredut´ıveis a uma part´ıcula. Por exemplo, a fun¸c˜ao I1P de 1−ponto:
Γ
(1)
(x) =
δΓ
δϕ (x)
ϕ=0
, (2.74)
se (2.74) for nula, teremos uma teoria sem quebra de simetria. Por´em, se for n˜ao nula estaremos numa
situa¸c˜ao em que h´a uma quebra de simetria.
A fun¸c˜ao I1P de 2−pontos, Γ
(2)
(x, y):
Γ
(n)
(x, y) =
δ
2
Γ [ϕ]
δϕ (y) δϕ (x)
ϕ=0
, (2.75)
que expressa os termos quadr´aticos dos campos que constituem a a¸c˜ao, ou seja, proporciona a parte
cin´etica da teoria, tanto a cl´assica como as suas corre¸c˜oes quˆanticas.
As fun¸c˜oes I1P de ordem superior, em geral, representam as intera¸c˜oes entre os campos, j´a presentes
ao n´ıvel cl´assico, e suas respectivas corre¸c˜oes quˆanticas. Al´em das novas intera¸c˜oes que surgem devido
aos efeitos quˆanticos. No caso das teorias efetivas ´e de interesse as novas intera¸c˜oes que surgem como
produto de tais efeitos quˆanticos.
2.2.4.1 Γ [ϕ] para o campo escalar
A partir do gerador funcional das fun¸c˜oes de Green conexas dada pela equa¸c˜ao (2.68) e usando a
segunda equa¸c˜ao em (2.71) encontramos ϕ (x) como uma funcional da fonte externa J (x):
ϕ (x) = −
d
4
y G (x − y) J (y) . (2.76)
Aplicando o operador
+ m
2
, na equa¸c˜ao acima:
x
+ m
2
ϕ (x) = −
d
4
y
x
+ m
2
G (x −y) J (y) ,
20
da equa¸c˜ao de movimento (2.52), obtemos a explicita dependˆencia da fonte externa J em termos do
campo ϕ:
x
+ m
2
ϕ (x) = J (x) . (2.77)
Substituindo (2.76) em (2.68), temos:
W [J] =
1
2
d
4
x ϕ (x) J (x) , (2.78)
que substitu´ıdo na a¸c˜ao efetiva (2.70) resulta em:
Γ [ϕ] = −
1
2
d
4
x ϕ (x) J (x) , (2.79)
usando a express˜ao (2.77) para a corrente J, vem que:
Γ [ϕ] = −
1
2
d
4
x ϕ (x)
x
+ m
2
ϕ (x) ,
e ap´os uma integra¸c˜ao por partes, obtemos a a¸c˜ao efetiva para o campo escalar ϕ :
Γ [ϕ (x)] =
d
4
x
1
2
∂
µ
ϕ∂
µ
ϕ −
1
2
m
2
ϕ
2
, (2.80)
que simplesmente representa a a¸c˜ao cl´assica do campo de Klein-Gordon-Fock.
Devemos observar que em geral para uma teoria quadr´atica nos campos, a a¸c˜ao efetiva coincide
com a a¸c˜ao cl´assica de partida.
Calculamos as fun¸c˜oes I1P deste modelo. A fun¸c˜ao I1P de 1-ponto ´e nula, logo:
δΓ (ϕ)
δϕ (x)
ϕ=0
= 0. (2.81)
como esperado pois estamos numa situa¸c˜ao sem quebra espontˆanea de simetria.
A fun¸c˜ao I1P de 2-pontos resulta em:
δΓ
2
(ϕ)
δϕ (y) δϕ (x)
ϕ=0
= −
x
+ m
2
δ (x − y) , (2.82)
que e expressa a parte cin´etica da teoria.
As fun¸c˜oes I1P de ordens superiores (n ≥ 3) s˜ao explicitamente nulas.
21
Cap´ıtulo 3
Campo escalar `a temperatura finita
Seja uma teoria quˆantica de campos descrita por uma densidade Hamiltoniana H(π, ϕ), onde
ϕ (⃗x, t) e π (⃗x, t) s˜ao os operadores do campo e do momento canˆonico conjugado, respectivamente. Na
vis˜ao de Schr¨odinger, |ϕ
0
⟩ e |ϕ⟩ s˜ao autoestados de ϕ (⃗x, 0) e ϕ (⃗x, t) com autovalores ϕ
0
(⃗x) e ϕ (⃗x)
[26], assim:
ϕ (⃗x, 0) |ϕ
0
⟩ = ϕ
0
(⃗x) |ϕ
0
⟩, (3.1)
e
ϕ (⃗x, t) |ϕ⟩ = ϕ (⃗x) |ϕ⟩. (3.2)
No formalismo funcional de Feynman podemos escrever a amplitude de transi¸c˜ao de um estado
evoluir |ϕ
0
⟩ em t = 0 para |ϕ⟩ no instante t = t
f
, como:
ϕ|e
−iHt
|ϕ
0
=
DπDϕ exp
i
t
f
0
dt
d
3
⃗x
π
∂ϕ
∂t
− H(π, ϕ)
, (3.3)
onde a integra¸c˜ao ´e realizada sobre os campos cl´assicos indo ϕ
0
(⃗x) em t = 0 at´e ϕ (⃗x) no tempo t = t
f
.
Para descrever a teoria `a temperatura finita, devemos fazer:
it
f
= β, it = τ e
∂ϕ
∂t
= i
∂ϕ
∂τ
, (3.4)
onde β ´e o inverso da temperatura. Substituindo em eq. (3.3), teremos:
ϕ|e
−βH
|ϕ
0
=
DπDϕ exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
iπ∂
τ
ϕ −H(π, ϕ)
, (3.5)
onde ∂
τ
ϕ =
∂ϕ
∂τ
.
22
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e definida como Z (β) = Tr e
−βH
e para calcularmos o tra¸co usamos como
base os autoestados |ϕ⟩, desse modo, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao resulta em:
Z (β) =
ϕ
ϕ
e
−βH
ϕ
, (3.6)
que no formalismo de integra¸c˜ao funcional ´e representado pela seguinte express˜ao:
Z [β] =
Dπ
Dϕ exp
i
β
0
dt
d
3
⃗x
iπ
∂ϕ
∂τ
− H(π, ϕ)
(3.7)
sendo a integra¸c˜ao realizada sobre todos os campos satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao de contorno
peri´odica na vari´avel τ :
ϕ (0, ⃗x) = ϕ (β, ⃗x) (3.8)
dado o car´ater bosˆonico do campo ϕ.
Estudaremos as propriedades do campo escalar real (estudado no cap´ıtulo anterior) `a temperatura
finita, em outras palavras, as suas propriedades termodinˆamicas.
Substituindo a densidade Hamiltoniana, dada pela eq.(2.14), em (3.7), teremos:
Z [β] =
DϕDπ exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
iπ∂
τ
ϕ −
1
2
π
2
−
1
2
(∇ϕ)
2
−
1
2
m
2
ϕ
2
, (3.9)
ou
Z [β] =
Dϕ I
π
[ϕ] exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
−
1
2
(∇ϕ)
2
−
1
2
m
2
ϕ
2
, (3.10)
onde
I
π
[ϕ] =
Dπ exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
iπ∂
τ
ϕ −
1
2
π
2
. (3.11)
Para integrar a eq.(3.11), temos que completar o quadrado dentro do parˆenteses, assim:
I
π
[ϕ] =
Dπ exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
−
1
2
(π − i∂
τ
ϕ)
2
−
1
2
∂
τ
ϕ
2
, (3.12)
fazendo uma transla¸c˜ao em π: π → π − i∂
τ
ϕ e considerando que a medida funcional n˜ao muda
Dπ → Dπ, a eq.(3.12) torna-se:
I
π
= N
′
(β) exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
−
1
2
∂
τ
ϕ
2
, (3.13)
onde
N
′
(β) =
Dπ exp
β
0
dτ
d
3
⃗x
−
1
2
π
2
. (3.14)
Substituindo a eq.(3.13) na eq.(3.10), obtemos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para o campo escalar real ser´a:
Z [β] = N
′
(β)
Dϕ exp
−
β
0
dτ
d
3
⃗x
1
2
ϕ
− + m
2
ϕ
(3.15)
23
onde o operador expresso no espa¸co euclidiano ´e escrito como:
= ∂
τ
2
+ (∇ϕ)
2
(3.16)
A integral da exponencial (3.15) ´e a a¸c˜ao euclideana:
S =
β
0
dτ
d
3
⃗x
1
2
ϕ
− + m
2
ϕ. (3.17)
O c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e feito no espa¸co de Fourier, logo, escrevendo ϕ (⃗x, τ) como:
ϕ (⃗x, τ) =
β
V
1
2
n
⃗p
exp (iω
n
τ + i⃗p · ⃗x)
˜
ϕ
n
(⃗p) , (3.18)
note que a normaliza¸c˜ao do campo ´e tal que as amplitudes de Fourier
˜
ϕ
n
(⃗p) s˜ao adimensionais. As
bases satisfazem as seguintes rela¸c˜oes de ortogonalidade:
β
0
dτ exp (−iω
n
τ) exp (iω
n
′
τ) = βδ
nn
′
,
(3.19)
d
3
⃗x exp (−i⃗p ·⃗x) exp
i⃗p
′
·⃗x
= V δ
⃗p − ⃗p
′
.
A condi¸c˜ao de periodicidade dos campos imp˜oe que as freq¨uˆencias ω
n
sejam:
ω
n
=
2π
β
n, n = 0, ±1, ±2, ··· , (3.20)
chamadas de freq¨uˆencias bosˆonicas de Matsubara.
Ap´os a substitui¸c˜ao de (3.18) em (3.17), obtemos a a¸c˜ao euclidiana no espa¸co de Fourier como:
S =
1
2
n
⃗p
˜
ϕ
−n
(−⃗p)
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
˜
ϕ (⃗p) , (3.21)
onde ω =
⃗p
2
+ m
2
, e usamos o fato que
˜
ϕ
∗
n
(⃗p) =
˜
ϕ
−n
(−⃗p).
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao dada pela eq.(3.15) ser´a:
Z [β] = N
′
(β)
n
⃗p
D
˜
ϕ
n
(⃗p) exp
−
1
2
n
⃗p
˜
ϕ
∗
n
(⃗p)
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
˜
ϕ (⃗p)
, (3.22)
onde a medida funcional na representa¸c˜ao de Fourier ´e expressa como Dϕ =
n
⃗p
D
˜
ϕ
n
(⃗p). Logo,
Z [β] = N
′
(β)
n
⃗p
D
˜
ϕ
n
(⃗p) exp
−
1
2
˜
ϕ
∗
n
(⃗p)
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
˜
ϕ (⃗p)
, (3.23)
24
a integra¸c˜ao em
˜
ϕ
n
(⃗p) ´e quadr´atica ou gaussiana, assim a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e expressa como produto
infinito dos autovalores do operador β
2
− + m
2
[22]:
Z [β] = N (β)
n
⃗p
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
−
1
2
= N (β)
det β
2
− + m
2
−1/2
. (3.24)
o fator N (β) ´e escolhido tal que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao resulta finita para todo β e volume V [26].
A partir da quantidade ln Z(β) obtemos as propriedades termodinˆamicas, desse modo, a eq. (3.24)
torna-se:
ln Z [β] = ln N (β) −
1
2
V
∞
n=−∞
d⃗p
(2π)
3
ln
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
. (3.25)
A soma em n ´e realizada atrav´es da identidade [22, 26],
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ (βω)
2
= βω + 2 ln
1 −e
−βω
, (3.26)
que substitu´ıdo em (3.25) teremos:
ln Z [β] = ln N (β) −
1
2
V
d⃗p
(2π)
3
βω − V
d
3
⃗p
(2π)
3
ln
1 −e
−βω
. (3.27)
A primeira integral ´e uma quantidade infinita dependente em β e V , o que torna a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao
sem sentido f´ısico. Contudo, a lib erdade na escolha de N (β) permite contornar esse problema
grav´ıssimo. Ent˜ao podemos escolher [26]:
N (β) = exp
1
2
V
d⃗p
(2π)
3
βω
, (3.28)
de tal modo que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao seja finita e simplesmente a expressarmos como:
ln Z [β] = −V
d
3
⃗p
(2π)
3
ln
1 −e
−βω
. (3.29)
Esta equa¸c˜ao descreve um camp o bosˆonico massivo em equil´ıbrio termodinˆamico. A partir de (3.29)
podemos determinar as grandezas termodinˆamicas do sistema, tais como press˜ao, entropia e densidade
de energia. Para alcan¸car esse objetivo devemos primeiramente calcular a energia livre de Helmholtz:
F = −
1
β
ln Z [β] =
V
β
d
3
⃗p
(2π)
3
ln
1 −e
−βω
, (3.30)
logo, a press˜ao ser´a:
P = −
∂F
∂V
= T
d
3
⃗p
(2π)
3
ln
1 −e
−βω
, (3.31)
a entropia:
S = −
∂F
∂T
= β
2
∂F
∂β
= V
d
3
⃗p
(2π)
3
βω
e
βω
− 1
− V
d
3
⃗p
(2π)
3
ln
1 −e
−βω
, (3.32)
e a densidade de energia
E = −
∂ ln Z
∂β
= V
d
3
⃗p
(2π)
3
ω
e
βω
− 1
. (3.33)
25
Cap´ıtulo 4
Campo eletromagn´etico livre
Na segunda metade do s´eculo XIX, Maxwell formulou a teoria do campo eletromagn´etico, um
dos pilares da f´ısica moderna, estabelecendo dois resultados extremamente importantes, a saber: o
primeiro foi mostrar que a radia¸c˜ao eletromagn´etica propaga-se com a velocidade da luz c e segundo,
unificou a ´optica ao eletromagnetismo mostrando o car´ater ondulat´orio da luz [4].
A eletrodinˆamica de Maxwell ´e regida por quatro equa¸c˜oes: duas n˜ao-homogˆeneas
∇ ·
⃗
D = ρ , ∇ ×
⃗
H =
⃗
J +
∂
⃗
D
∂t
, (4.1)
e duas homogˆeneas
∇ ·
⃗
B = 0 , ∇ ×
⃗
E +
∂
⃗
B
∂t
= 0, (4.2)
sendo invariantes perante as transforma¸c˜oes de Lorentz. A introdu¸c˜ao dos potenciais escalar e vetorial
permite reescrever as equa¸c˜oes numa forma explicitamente covariante, em que as quatro equa¸c˜oes s˜ao
reduzidas em apenas duas:
∂
ν
F
µν
= j
µ
, ∂
ν
˜
F
µν
= 0, (4.3)
onde os tensores F
µν
e
˜
F
µν
s˜ao definidos como:
F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
,
˜
F
µν
=
1
2
ϵ
µναβ
F
αβ
(4.4)
e o potencial vetor e a densidade de corrente como:
A
µ
=
ϕ,
⃗
A
, j
µ
=
ρ,
⃗
J
. (4.5)
O campo eletromagn´etico, na ausˆencia de fontes, ´e descrito pela seguinte densidade lagrangiana
L = −
1
4
F
µν
F
µν
, (4.6)
26
sendo que a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange nos fornece a seguinte equa¸c˜ao de movimento:
∂
ν
F
µν
= 0. (4.7)
Al´em da simetria de Lorentz e da simetria-CPT, o eletromagnetismo de Maxwell admite uma
simetria de calibre
2
local. Esta simetria estabelece que os campos el´etricos e magn´eticos, expressos
em termos do potencial escalar e vetorial, s˜ao invariantes se os potenciais mudam como A
µ
(x) →
A
µ
(x) + ∂
µ
Λ (x), com Λ (x) sendo uma fun¸c˜ao escalar arbitr´aria.
A presen¸ca da simetria de calibre implica que a teoria ´e um sistema vinculado, o que nos motiva a
estudar a sua estrutura hamiltoniana segundo o formalismo de Dirac [25]. Essa an´alise ´e de extrema
importˆancia se visamos a posterior quantiza¸c˜ao do modelo, podendo ser realizada tanto no formalismo
canˆonico operatorial ou no formalismo de integra¸c˜ao funcional.
`
A temperatura zero, o estudo do campo eletromagn´etico e suas intera¸c˜oes com as part´ıculas car-
regadas se realiza numa teoria de campos chamada de eletrodinˆamica quˆantica (QED).
O presente cap´ıtulo trata da constru¸c˜ao da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao no formalismo de integra¸c˜ao fun-
cional visando o estudo das propriedades inerentes ao problema da radia¸c˜ao do corpo negro (campo
eletromagn´etico em equil´ıbrio termodinˆamico), tais como: a densidade de energia, a press˜ao de ra-
dia¸c˜ao, a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Bose-Einstein, entropia, etc.
4.1 Formula¸c˜ao hamiltoniana e an´alise de v´ınculos
Para analisar a estrutura hamiltoniana, definimos o momento canˆonico conjugado ao campo A
µ
como:
π
µ
=
∂L
∂
˙
A
µ
= −F
0µ
. (4.8)
Assim escrevemos os parˆenteses de Poisson fundamentais entre as vari´aveis canˆonicas conjugadas:
{A
µ
(x) , π
ν
(y)} = δ (⃗x −⃗y) (4.9)
De (4.8), se µ = 0 obtemos que π
0
= 0, desse modo teremos um v´ınculo prim´ario
3
que denotaremos
por ϕ
1
:
ϕ
1
= π
0
≈ 0 . (4.10)
2
O termo gauge ´e traduzido como calibre, qual utilizaremos nesta disserta¸c˜ao.
3
Se a partir da defini¸c˜ao (4.8) dos momentos canˆonicos conjugados n˜ao ´e poss´ıvel expressar todas velocidades em
termos dos momentos e dos campos, ent˜ao, teremos um ou mais v´ınculos prim´arios.
27
O s´ımbolo ≈ representa uma igualdade fraca dentro do espa¸co de fase.
Se µ = k, (4.8) proporciona a seguinte rela¸c˜ao dinˆamica para as componentes espaciais do momento
canˆonico:
π
k
=
˙
A
k
− ∂
k
A
0
, (4.11)
note que a eq.(4.12) n˜ao representa um v´ınculo uma vez que a velocidade
˙
A
k
pode ser expressa em
termos dos momentos e dos campos:
˙
A
k
= π
k
+ ∂
k
A
0
, (4.12)
A densidade hamiltoniana canˆonica ´e:
H
C
= π
µ
˙
A
µ
− L =
1
2
π
k
2
+
1
4
(F
ij
)
2
+ π
k
∂
k
A
0
. (4.13)
E a hamiltoniana canˆonica, H
C
, ´e dada por:
H
C
=
d⃗y
π
µ
˙
A
µ
− L
=
d⃗y
1
2
π
k
2
+
1
4
(F
ij
)
2
− A
0
∂
k
π
k
(4.14)
notamos que A
0
n˜ao tem dinˆamica definida. Logo, H
C
n˜ao ´e bem definido.
A constru¸c˜ao de uma hamiltoniana bem definida deve levar em considera¸c˜ao que o v´ınculos
prim´arios sejam preservados no tempo, em outras palavras, permane¸cam constantes ou invariantes
sobre a evolu¸c˜ao temporal gerada pela hamiltoniana.
Com esse intuito Dirac introduziu a hamiltoniana prim´aria, H
P
, definida por:
H
P
= H
C
+
d⃗y Cπ
0
, (4.15)
onde C ´e multiplicador de Lagrange correspondente ao v´ınculo prim´ario. Vale ressaltar que H
P
governa
a evolu¸c˜ao temporal do sistema.
A imposi¸c˜ao de que um v´ınculo, ϕ, seja preservado no tempo (condi¸c˜ao de consistˆencia) ´e esta-
belecida como:
˙
ϕ = {ϕ, H
P
} ≈ 0 , (4.16)
por´em, esta condi¸c˜ao pode resultar em uma das seguintes situa¸c˜oes:
i) gerar novos v´ınculos, que chamaremos de v´ınculos secund´arios;
ii) gerar equa¸c˜oes que determinem um o mais multiplicadores de Lagrange;
iii) ou ser identicamente nulo.
28
O pr´oximo passo ´e calcular a condi¸c˜ao de consistˆencia dos v´ınculos secund´arios, novamente voltare-
mos `as trˆes situa¸c˜oes listadas acima. Esse processo iterativo ´e realizado at´e que as condi¸c˜oes de
consistˆencia resultem ser identicamente nulas.
Em nosso caso, a condi¸c˜ao de consistˆencia do v´ınculo prim´ario resulta em:
˙π
0
=
π
0
, H
P
= ∂
k
π
k
≈ 0 (4.17)
resultado que independe do multiplicador de Lagrange, e constitui um v´ınculo secund´ario que deno-
tamos por ϕ
2
:
ϕ
2
= ∂
k
π
k
≈ 0 . (4.18)
A condi¸c˜ao de consistˆencia de ϕ
2
= ∂
k
π
k
resulta ser identicamente nula:
˙
ϕ
2
(x) = {ϕ
2
(x) , H
P
} = 0. (4.19)
Logo, a teoria n˜ao possui mais v´ınculos e o processo iterativo est´a conclu´ıdo. Ent˜ao, o campo eletro-
magn´etico possui dois v´ınculos:
π
0
≈ 0 , ∂
k
π
k
≈ 0 . (4.20)
Por´em, o multiplicador de Lagrange C permanece indeterminado, logo a teoria permanece indefinida.
A indetermina¸c˜ao de C est´a ligada `a existˆencia de uma simetria de calibre gerada por v´ınculos de
primeira classe
4
.
Neste caso temos que,
π
0
, ∂
k
π
k
= 0, logo π
0
e ∂
k
π
k
s˜ao de primeira classe. Note que ∂
k
π
k
≈ 0
´e exatamente a lei de Gauss sem fontes: ∇ ·
⃗
E = 0.
Ap´os, termos determinado a estrutura hamiltoniana do eletromagnetismo de Maxwell como sendo
de primeira classe, a teoria p ermanece indeterminada, pois desconhecemos a forma do multiplicador
de Lagrange C. Para podermos quantizar a teoria, tanto no formalismo canˆonico operatorial como no
funcional, tal arbitrariedade deve ser fixada de algum modo.
A seguinte se¸c˜ao mostra como fixar a teoria cl´assica e deix´a-la pronta para sua quantiza¸c˜ao.
4.1.1 Equa¸c˜oes de movimento e as condi¸c˜oes de calibre
Na conjectura de Dirac, os v´ınculos de primeira classe s˜ao os geradores da simetria de calibre .
Dessa forma, eles devem estar contidos na hamiltoniana do sistema que gera a evolu¸c˜ao temporal do
4
Seja o conjunto {ϕ
i
} formado pelos v´ınculos prim´arios mais secund´arios, etc. Ent˜ao, um subconjunto {χ
i
} ⊂ {ϕ
i
}
´e de primeira classe se
{
χ
i
, ϕ
j
}
= 0, qualquer que seja i ̸= j. Os outros v´ınculos que n˜ao satisfazem essa condi¸c˜ao s˜ao
chamados de segunda classe.
29
mesmo. Com esse intuito, Dirac introduziu a hamiltoniana estendida H
E
, que definimos somando `a
hamiltoniana prim´aria todos os v´ınculos de primeira classe, assim:
H
E
= H
C
+
d⃗y
Cπ
0
+ D∂
k
π
k
, (4.21)
onde C e D s˜ao os respectivos multiplicadores de Lagrange.
Segundo Dirac, H
E
governar´a a evolu¸c˜ao temporal do sistema f´ısico. Logo, devemos calcular a
evolu¸c˜ao das vari´aveis canˆonicas.
Para o campo A
µ
: se µ = 0, temos:
˙
A
0
= {A
0
, H
E
} = C, (4.22)
e se µ = k, vem que:
˙
A
k
= {A
k
, H
E
} = π
k
+ ∂
k
A
0
− ∂
k
D, (4.23)
mostrando que a dinˆamica tanto de A
0
como de A
k
permanece indeterminada, pois ainda depende
dos parˆametros arbitr´arios C e D.
E, para o momento canˆonico conjugado π
µ
: se µ = 0, temos:
˙π
0
=
π
0
, H
E
= ∂
k
π
k
≈ 0, (4.24)
e se µ = k, vem:
˙π
k
=
π
k
, H
E
= −∂
l
F
kl
, (4.25)
note que essas duas ´ultimas equa¸c˜oes quando combinadas reproduzem a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange
(4.7), ∂
ν
F
µν
= 0.
Podemos notar que a Eq. (4.23) ser´a igual a equa¸c˜ao lagrangiana (4.12) se e somente se ∂
k
D = 0 ou
D = 0. Portanto, devemos impor uma condi¸c˜ao de calibre de tal forma que fixe D convenientemente.
O algoritmo de Dirac diz que devemos impor um n´umero de condi¸c˜oes de calibre igual ao n´umero
de v´ınculos de primeira classe na teoria. Entretanto, estas condi¸c˜oes devem ser compat´ıveis com as
equa¸c˜oes de Euler-Lagrange. Devemos observar que se as condi¸c˜oes de calibre fixam corretamente os
multiplicadores de Lagrange ent˜ao, o conjunto formado pelas condi¸c˜oes de calibre mais os v´ınculos de
primeira classe ´e de segunda classe.
Logo, precisamos fixar os multiplicadores de Lagrange C e D de tal modo que as equa¸c˜oes de
movimento hamiltonianas sejam equivalentes `as equa¸c˜oes de movimento lagrangianas, para garantir
que a F´ısica descrita por ambos os formalismos seja a mesma.
30
4.1.2 Calibre de Coulomb
O modo mais simples de obter pelo menos uma condi¸c˜ao de calibre ´e olhar a equa¸c˜ao de movimento
lagrangiana para a componente do campo eletromagn´etico cujo o momento conjugado ´e de primeira
classe. Em nosso caso π
0
≈ 0, assim da equa¸c˜ao (4.7) temos que A
0
satisfaz :
∇
2
A
0
− ∂
0
(∂
k
A
k
) = 0. (4.26)
Se escolhermos como a primeira condi¸c˜ao de calibre :
χ
1
= ∂
k
A
k
≈ 0. (4.27)
devemos obter ∇
2
A
0
= 0, que na ausˆencia de fontes e a condi¸c˜ao de contorno nula no infinito, leva a
ter A
0
= 0. Ent˜ao, escolhemos como segunda condi¸c˜ao de calibre :
χ
2
= A
0
≈ 0. (4.28)
A condi¸c˜ao de consistˆencia de χ
1
, { ∂
k
A
k
, H
E
} ≈ 0, proporciona a seguinte equa¸c˜ao:
∂
k
π
k
+ ∇
2
A
0
− ∇
2
D ≈ 0, (4.29)
e usando o fato que ∂
k
π
k
≈ 0 e A
0
≈ 0, obtemos ∇
2
D ≈ 0, ou seja, D ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica
que pela equa¸c˜ao (4.23) deve ter gradiente nulo. Logo D ´e uma constante, e usando a condi¸c˜ao de
contorno que os campos se anulam no infinito, obtemos que D = 0.
A condi¸c˜ao de consistˆencia de χ
2
, { A
0
, H
E
} ≈ 0, fixa o multiplicador C = 0.
Com a determina¸c˜ao dos multiplicadores de Lagrange via a imposi¸c˜ao da condi¸c˜ao de calibre de
Coulomb, χ
1
= ∂
k
A
k
≈ 0 e χ
2
= A
0
≈ 0, a teoria torna-se bem definida.
A matriz formada pelos parˆenteses de Poisson dos v´ınculos de primeira classe mais as condi¸c˜oes
de calibre ´e dada por:
M (⃗x − ⃗y) =
ϕ
1
(y) ϕ
2
(y) χ
1
(y) χ
2
(y)
ϕ
1
(x) 0 0 0 −1
ϕ
2
(x) 0 0 ∇
2
x
0
χ
1
(x) 0 −∇
2
x
0 0
χ
2
(x) 1 0 0 0
δ (⃗x −⃗y) , (4.30)
31
cujo determinante funcional n˜ao nulo ´e:
det M (⃗x − ⃗y) =
det
−∇
2
2
, (4.31)
dessa forma, o conjunto de v´ınculos Σ
a
=
π
0
, ∂
k
π
k
, ∂
k
A
k,
A
0
´e de segunda classe (agora s˜ao
igualdades fortes ou identidades).
Ent˜ao, a hamiltoniana estendida torna-se a hamiltoniana f´ısica do campo eletromagn´etico:
H
E
=
d⃗y
1
2
π
k
2
+
1
4
(F
ij
)
2
(4.32)
Com a estrutura hamiltoniana determinada podemos estudar suas propriedades termodinˆamicas
via o c´alculo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao no formalismo de integra¸c˜ao funcional.
4.2 A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z (β)
Havendo determinado a estrutura hamiltoniana do campo eletromagn´etico, o seguinte passo ´e
definir a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. O m´etodo desenvolvido por Faddeev-Senjanovic [27] permite definir de
modo consistente a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema composto por f´otons em equil´ıbrio termodinˆamico.
Assim, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para o campo eletromagn´etico, no calibre de Coulomb, ´e dado por
Z
A
(β) =
DA
µ
Dπ
µ
δ (Σ
a
) |det M (⃗x −⃗y)|
1/2
exp
β
dx (iπ
µ
∂
τ
A
µ
− H
C
)
, (4.33)
onde |det M (⃗x −⃗y)|
1/2
´e o determinante da matriz de v´ınculos definida em (4.31), δ (Σ
a
) ´e o conjunto
de v´ınculos de segunda classe formado pelos v´ınculos de primeira classe e as condi¸c˜oes de calibre, H
C
´e a densidade hamiltoniana canˆonica dada em (4.13) e
β
dx =
β
0
dτ
d
3
⃗x ´e a medida de integra¸c˜ao
no espa¸co de configura¸c˜ao.
A integra¸c˜ao funcional do campo eletromagn´etico deve ser realizada sobre as configura¸c˜oes de
campo satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao de periodicidade no intervalo 0 ≤ τ ≤ β:
A
µ
(τ, ⃗x) = A
µ
(τ + β, ⃗x) . (4.34)
Substituindo (4.10), (4.13), (4.18), (4.27), (4.28) e (4.30) em (4.33), teremos:
Z
A
(β) =
DA
0
Dπ
0
DA
k
Dπ
k
δ
π
0
δ (A
0
) δ
∂
k
π
k
δ (∂
k
A
k
)
det
−∇
2
(4.35)
×exp
β
dx
iπ
0
∂
τ
A
0
− π
k
∂
k
A
0
exp
β
dx
iπ
k
∂
τ
A
k
−
1
2
π
k
2
−
1
4
(F
ij
)
2
,
32
integrando em A
0
e depois em π
0
obtemos:
Z
A
(β) =
DA
k
Dπ
k
δ
∂
k
π
k
δ (∂
k
A
k
)
det
−∇
2
(4.36)
×exp
β
dx
iπ
k
∂
τ
A
k
−
1
2
π
k
2
−
1
4
(F
ij
)
2
.
Usando a representa¸c˜ao funcional da δ−Dirac:
δ
∂
k
π
k
=
DΛ exp
β
dx iΛ∂
k
π
k
, (4.37)
podemos integrar no momento canˆonico π
k
e fazendo Λ = A
τ
, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do campo eletro-
magn´etico livre no calibre de Coulomb ser´a
Z
A
(β) =
DA
a
det
−∇
2
δ (∂
k
A
k
) exp
β
dx −
1
4
F
ab
F
ab
, (4.38)
onde a, b = τ, 1, 2, 3. A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (4.38) n˜ao ´e explicitamente covariante devido ao calibre
de Coulomb n˜ao ser covariante. Contudo, podemos passar a um calibre covariante (como o calibre de
Lorenz ∂
a
A
a
= 0) via o ansatz de Faddeev-Popov [28] que ´e definido como:
Dω(x) δ (G[A
ω
a
]) det
δG [A
ω
a
]
δω
ω=0
≡ 1, (4.39)
onde ω (x) ´e o parˆametro de calibre , D ω (x) ´e a medida do grup o de gauge, G [A
a
] ´e alguma
condi¸c˜ao de calibre covariante, A
ω
µ
´e o campo transformado, que no caso abeliano ´e A
ω
a
= A
a
+ ∂
a
ω ,
det
δG [A
ω
a
]
δω
ω=0
´e o chamado determinante de Faddeev-Popov e ´e invariante de calibre.
Ent˜ao, introduzindo o ansatz de Faddeev-Popov na fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (4.38) e fazendo a trans-
forma¸c˜ao de calibre A
µ
→ A
µ
− ∂
µ
ω, temos:
Z
A
(β) =
DA
a
δ (G [A
a
]) det
δG [A
ω
a
]
δω
ω=0
exp
β
dx −
1
4
(F
ab
)
2
(4.40)
×
Dω
det
−∇
2
δ
∂
k
A
k
− ∇
2
ω
.
A integra¸c˜ao funcional em ω ´e simplesmente o ansatz de Faddeev-Popov no calibre de Coulomb, ou
seja, e igual a unidade. Ent˜ao, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, num calibre covariante arbitr´ario, ´e:
Z
A
(β) =
DA
a
δ (G [A
a
]) det
δG [A
ω
a
]
δω
ω=0
exp
β
dx −
1
4
(F
ab
)
2
. (4.41)
Escolhemos como condi¸c˜ao de calibre covariante o calibre de Lorenz:
G [A
a
] = −
1
√
ξ
∂
a
A
a
+ f , (4.42)
33
sendo f uma fun¸c˜ao escalar arbitr´aria e ξ um parˆametro (chamado de parˆametro de calibre) real
arbitr´ario, tais que:
G [A
ω
a
] = G [A
a
] −
1
√
ξ
ω → det
δG [A
ω
a
]
δω
ω=0
= det
−
√
ξ
, (4.43)
onde = ∂
a
∂
a
= (∂
τ
)
2
+ ∇
2
.
Substituindo (4.42) e (4.43) em (4.41), teremos:
Z
A
(β) =
DA
a
δ
−
1
√
ξ
∂
a
A
a
+ f
det
−
√
ξ
exp
β
dx
−
1
4
(F
ab
)
2
. (4.44)
Posto que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao deve ser independente de f, podemos eliminar a dependˆencia na fun¸c˜ao
f multiplicando por exp
−
1
2
β
dx f
2
, e integrando em f, assim, obtemos
Z
A
(β) =
DA
a
det
−
√
ξ
exp
β
dx
−
1
4
(F
ab
)
2
−
1
2ξ
(∂
a
A
a
)
2
, (4.45)
que fazendo uma integra¸c˜ao por partes na exponencial resulta em:
Z
A
(β) =
DA
a
det
−
√
ξ
exp
β
dx −
1
2
A
a
−δ
ab
−
1
ξ
− 1
∂
a
∂
b
A
b
. (4.46)
A integra¸c˜ao no campo de calibre proporciona
DA
a
exp
β
dx −
1
2
A
a
−δ
ab
−
1
ξ
− 1
∂
a
∂
b
A
b
= det
−δ
ab
−
1
ξ
− 1
∂
a
∂
b
−1/2
, (4.47)
tal que
det
−δ
ab
−
1
ξ
− 1
∂
a
∂
b
= det
(−)
ξ
4
.
Ent˜ao, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao resulta ser
Z
A
(β) = det
−
√
ξ
det
(−)
ξ
4
−
1
/
2
, (4.48)
e ap´os uma simplifica¸c˜ao, obtemos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para o campo eletromagn´etico:
Z
A
(β) = det (−)
−1
= exp [−Tr ln (−)] , (4.49)
vemos explicitamente que ela ´e invariante de calibre pois ela independe do parˆametro de calibre ξ,
como esperado.
Calculamos o tra¸co funcional em (4.49) na base de Fourier que expande o campo vetorial:
A
µ
(τ, ⃗x) =
β
V
1
2
n,p
e
i(ω
n
τ+⃗x·⃗p)
˜
A
µ
(n, ⃗p), (4.50)
34
onde ω
n
=
2πn
β
(n = 0, ±1, ±2, ···) s˜ao as freq¨uˆencias bosˆonicas de Matsubara. Ent˜ao, o logaritmo
da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e expresso como:
ln Z
A
(β) = −
n,⃗p
ln
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
, (4.51)
onde ω = ∥⃗p∥.
A soma em n ´e realizada de maneira an´aloga a (3.26). Desse modo, podemos finalmente escrever
fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para o campo eletromagn´etico:
ln Z
A
= −2V
d
3
⃗p
(2π)
3
ln(1 −e
−βω
), (4.52)
que ignorando a contribui¸c˜ao do v´acuo, esta equa¸c˜ao descreve um campo bosˆonico sem massa com 2
estados de polariza¸c˜ao em equil´ıbrio termodinˆamico, isto ´e, a radia¸c˜ao de um corpo negro.
Escrevendo a eq. (4.52) em coordenadas esf´ericas:
ln Z
A
= −
V
4π
3
dΩ
∞
0
dω ω
2
ln(1 −e
−βω
), (4.53)
onde dΩ = sin θdθdϕ ´e o elemento de ˆangulo s´olido. No caso do campo eletromagn´etico, a fun¸c˜ao de
parti¸c˜ao ´e calculada explicitamente:
ln Z
A
= −
V
π
2
∞
0
dω ω
2
ln(1 −e
−βω
) =
V π
2
45β
3
. (4.54)
A densidade de energia ser´a:
u (β) = −
1
V
∂ ln Z
A
∂β
=
1
4π
3
dΩ
∞
0
dω
ω
3
e
βω
− 1
. (4.55)
Se integrarmos na frequˆencia ω, obtemos:
u =
π
60β
4
dΩ, (4.56)
cujo integrando define a densidade de energia por ˆangulo s´olido:
u (β, Ω) =
π
60β
4
, (4.57)
observamos que a distribui¸c˜ao angular da densidade energia ´e isotr´opica.
Se em (4.55) integrarmos os ˆangulos, teremos:
u =
∞
0
dω
1
π
2
ω
3
e
βω
− 1
, (4.58)
35
cujo integrando corresponde a lei de radia¸c˜ao de Planck:
u (β, ω) =
1
π
2
ω
3
e
βω
− 1
. (4.59)
Enquanto que se calcularmos todas as integrais em (4.55), obteremos a densidade de energia da
cavidade ou do corpo negro:
u(T ) =
π
2
15β
4
=
π
2
15
T
4
, (4.60)
que representa a lei de Stefan-Boltzmann.
A press˜ao da radia¸c˜ao ser´a:
P =
1
β
∂ ln Z
A
∂V
=
π
2
45β
4
. (4.61)
Da equa¸c˜ao (4.58), conclu´ımos que a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao dos f´otons ´e
n (ω) =
1
e
βω
− 1
, (4.62)
que ´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de Bose-Einstein para um sistema com potencial qu´ımico nulo.
No seguinte cap´ıtulo, aplicaremos o conhecimento adquirido para estudar as propriedades ter-
modinˆamicas da eletrodinˆamica CPT-par do Modelo Padr˜ao Estendido (MPE).
36
Cap´ıtulo 5
A eletrodinˆamica CPT -par do modelo
padr˜ao estendido
A forma mais geral de uma eletrodinˆamica renormaliz´avel, contendo termos que quebram tanto
a simetria de Lorentz como a simetria-CPT, contida no Modelo Padr˜ao Estendido ´e expressa pela
seguinte densidade lagrangiana:
L = −
1
4
F
αν
F
αν
−
1
4
ϵ
αβρφ
(k
AF
)
α
A
β
F
ρφ
−
1
4
(k
F
)
αβρφ
F
αβ
F
ρφ
, (5.1)
onde ϵ
αβµν
´e o tensor de antisim´etrico de Levi-Civita (ϵ
0123
= 1), F
µν
´e o tensor campo eletromagn´etico,
A
µ
´e o vetor potencial, (k
AF
)
µ
um background vetorial possuindo dimens˜ao de massa e descreve um
acoplamento super-renormaliz´avel de dimens˜ao 3, (k
F
)
αβρφ
um background tensorial adimensional de-
screvendo um acoplamento renormaliz´avel de dimens˜ao 4. O tensor (k
F
)
αβρφ
tem as mesmas simetrias
do tensor de Riemann:
(k
F
)
αβρφ
= −(k
F
)
βαρφ
, (k
F
)
αβρφ
= −(k
F
)
αβφρ
, (k
F
)
αβρφ
= (k
F
)
ρφαβ
, (5.2)
(k
F
)
αβρφ
+ (k
F
)
αρφβ
+ (k
F
)
αφβρ
= 0 (5.3)
e um duplo tra¸co nulo (k
F
)
αβ
αβ
= 0, o que permite ele ter apenas 19 componentes independentes.
O termo ϵ
µνκλ
(k
AF
)
µ
A
ν
F
κλ
corresponde ao setor CPT -´ımpar e foi primeiramente introduzido por
Carroll, Field and Jackiw (CFJ) [14], quando estudaram as modifica¸c˜oes produzidas por este termo
na eletrodi-nˆamica cl´assica de Maxwell.
Como os termos ou coeficientes que controlam a quebra das simetrias de Lorentz e de CPT alteram
a propaga¸c˜ao da luz, ´e natural supor que tamb´em as propriedades termodinˆamicas do campo eletro-
magn´etico sejam modificadas. Nesse contexto, num recente trabalho [21], investigaram a influˆencia
37
do setor CPT -´ımpar ou termo CFJ na termodinˆamica do campo de Maxwell usando o formalismo
de teoria de campos `a temperatura finita [22]. Primeiramente, foi estabelecida a estrutura hamilto-
niana do modelo via o formalismo de Dirac e logo, via o m´etodo de Faddeev-Senjanovic definiu-se a
fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. Na seq¨uencia, foram calculadas as corre¸c˜oes induzidas pela VSL nas propriedades
termodinˆamicas do corpo negro tais como a distribui¸c˜ao angular da densidade de energia, a lei de ra-
dia¸c˜ao de Planck e a lei Stefan-Boltzmann. Observou-se que a VSL induz anisotropias na distribui¸c˜ao
angular da densidade de energia e a lei de Stefan-Boltzmann sofre corre¸c˜oes que modificam a sua
dependˆencia na temperatura. Esses resultados foram relacionados com as anisotropias ou flutua¸c˜oes
na distribui¸c˜ao de temperatura da radia¸c˜ao c´osmica de fundo.
Neste cap´ıtulo, realizaremos uma investiga¸c˜ao das propriedades termodinˆamicas do campo de
calibre abeliano do setor CPT -par do MPE. Para este fim, consideraremos somente as contribui¸c˜oes
do setor CPT -par descrita pelo tensor (k
F
), desse modo o setor CPT-´ımpar ´e considerado nulo:
(k
AF
) = 0.
A eletrodinˆamica do setor CPT -par do MPE ´e descrita pela seguinte densidade lagrangiana:
L = −
1
4
F
αν
F
αν
−
1
4
(k
F
)
ανρφ
F
αν
F
ρφ
, (5.4)
obtida a partir da lagrangiana (5.1).
As equa¸c˜oes de movimento para o campo de calibre s˜ao:
∂
ν
F
νµ
− (k
F
)
ανρφ
∂
ν
F
ρφ
= 0. (5.5)
Note que as as equa¸c˜oes de Maxwell n˜ao-homogˆeneas (na ausˆencia de fontes) s˜ao modificadas. Entre-
tanto, as equa¸c˜oes de Maxwell homogˆeneas permanecem inalteradas:
∂
β
˜
F
βα
= 0 , (5.6)
onde
˜
F
βα
´e o tensor dual a F
βα
, definido como:
˜
F
βα
=
1
2
ϵ
βαρφ
∂
β
F
ρφ
. (5.7)
A lagrangiana (5.4) pode ser expressa em termos das componentes do tensor (k
F
) e seus respectivos
acoplamentos com os campos el´etricos e magn´eticos:
L =
1
2
E
2
−
1
2
⃗
B
2
+
1
2
E
j
−2 (k
F
)
0j0k
E
k
(5.8)
−
1
2
B
j
1
2
ϵ
jpq
(k
F
)
pqlm
ϵ
lmk
B
k
+ E
j
(k
F
)
0jpq
ϵ
pqk
B
k
.
38
Segundo [17, 18] , as componentes do tensor (k
F
) podem ser escritas em termos de quatro matrizes
κ
DE
, κ
HB
, κ
DB
e κ
HE
de ordem 3 × 3: As matrizes κ
DE
e κ
HB
s˜ao sim´etricas e tˆem paridade-par,
assim
(κ
DE
)
jk
= −2 (k
F
)
0j0k
, (κ
HB
)
jk
=
1
2
ϵ
jpq
ϵ
klm
(k
F
)
pqlm
. (5.9)
Para essas matrizes, a condi¸c˜ao de duplo tra¸co nulo, (k
F
)
µν
µν
= 0, leva a seguinte rela¸c˜ao:
tr (κ
DE
+ κ
HB
) = 0 , (5.10)
desse modo, o setor de paridade-par descrito pelas matrizes κ
DE
e κ
HB
suportam 11 parˆametros
independentes
As matrizes κ
DB
e κ
HE
tˆem paridade-´ımpar e est˜ao relacionados com as componentes do tensor
(k
F
) pela seguinte rela¸c˜ao:
(κ
DB
)
jk
= −(κ
HE
)
kj
= ϵ
kpq
(k
F
)
0jpq
. (5.11)
A equa¸c˜ao (5.3) implica que κ
DB
e κ
HE
s˜ao de tra¸co nulo, assim, o setor de paridade-´ımpar suporta
8 parˆametros independentes.
Ent˜ao, via as defini¸c˜oes (5.9) e (5.11) a densidade lagrangiana (5.8) ´e reescrita como
L =
1
2
⃗
E
2
−
1
2
⃗
B
2
+
1
2
⃗
E · (κ
DE
) ·
⃗
E −
1
2
⃗
B · (κ
HB
) ·
⃗
B +
⃗
E · (κ
DB
) ·
⃗
B . (5.12)
Tamb´em, segundo [17] e com finalidade de fazer an´alises comparativas com os dados experimentais,
os 19 coeficientes independentes podem ser parametrizados em termos de quatro matrizes de tra¸co
nulo, κ
e+
, κ
e−
, κ
o−
, κ
o+
e um parˆametro simples ˜κ
tr
: O setor de paridade-par ser´a parametrizado
como
(κ
e+
)
jk
=
1
2
(κ
DE
+ κ
HB
)
jk
,
(κ
e−
)
jk
=
1
2
(κ
DE
− κ
HB
)
jk
− δ
jk
κ
tr
, (5.13)
κ
tr
=
1
3
tr (κ
DE
) ,
sendo as novas matrizes κ
e+
e κ
e−
sim´etricas.
Enquanto, o setor de paridade-´ımpar ´e parametrizado segundo
(κ
o+
)
jk
=
1
2
(κ
DB
+ κ
HE
)
jk
,
(5.14)
(κ
o−
)
jk
=
1
2
(κ
DB
− κ
HE
)
jk
,
39
neste caso, a matriz κ
o−
´e sim´etrica e a matriz κ
o+
´e antisim´etrica.
Usando a nova parametriza¸c˜ao, a densidade lagrangiana (5.12) torna-se
L =
1
2
(1 + κ
tr
)
⃗
E
2
−
1
2
(1 − κ
tr
)
⃗
B
2
+
1
2
⃗
E · (κ
e+
+ κ
e−
) ·
⃗
E
(5.15)
−
1
2
⃗
B · (κ
e+
− κ
e−
) ·
⃗
B +
⃗
E · (κ
o+
+ κ
o−
) ·
⃗
B .
5.1 Estrutura hamiltoniana
O primeiro passo na an´alise da estrutura hamiltoniana ´e definir o momento canˆonico conjugado
ao campo de calibre:
π
µ
= −F
0µ
− (k
F
)
0µρφ
F
ρφ
, (5.16)
que permite escrever os parˆenteses de Poisson fundamentais:
{A
µ
(⃗x) , π
ν
(⃗y)} = δ
µ
ν
δ (⃗x −⃗y) . (5.17)
Fazendo µ = 0 na eq.(5.16), teremos π
0
= 0 que corresponde a um v´ınculo prim´ario que deno-
taremos por
ϕ
1
= π
0
≈ 0 . (5.18)
Para as componentes espaciais do momento teremos a seguinte rela¸c˜ao dinˆamica para π
k
:
π
k
= D
kj
F
0j
− (k
F
)
0kjl
F
jl
, (5.19)
onde D
kj
´e uma matriz sim´etrica e n˜ao singular, definida como:
D
kj
= δ
kj
− 2 (k
F
)
0k0j
. (5.20)
Da eq.(5.19) podemos obter as velocidades
˙
A
k
em termos dos campos e os momentos:
˙
A
k
= ∂
k
A
0
+
D
−1
kj
π
j
+ (k
F
)
0jmn
F
mn
. (5.21)
A densidade hamiltoniana canˆonica ´e:
H
C
=
1
2
π
k
+ (k
F
)
0kmn
F
mn
(D
−1
)
kj
π
j
+ (k
F
)
0jmn
F
mn
(5.22)
+π
k
∂
k
A
0
+
1
4
(F
jk
)
2
+
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
.
40
Seguindo o procedimento de Dirac, introduzimos a hamiltoniana prim´aria,
H
P
= H
C
+
d
3
⃗y Cπ
0
, (5.23)
onde C ´e um multiplicador de Lagrange bosˆonico.
A condi¸c˜ao de consistˆencia do v´ınculo prim´ario, ˙π
0
=
π
0
, H
P
≈ 0, nos fornece um v´ınculo
secund´ario
ϕ
2
= ∂
k
π
k
≈ 0, (5.24)
Comparando este v´ınculo com a eq.(4.18), veremos que a estrutura da lei de Gauss n˜ao ´e modificada
pelo background que controla a quebra da simetria de Lorentz. Entretanto, se expressarmos a eq.(5.24)
em termos dos campos el´etrico e magn´etico, notaremos o acoplamento explicito entre eles ainda no
regime eletrost´atico
5
[17, 29, 30, 31].
A condi¸c˜ao de consistˆencia do v´ınculo secund´ario ´e identicamente nula:
˙
ϕ
2
=
∂
k
π
k
, H
P
= 0, ou
seja, o v´ınculo secund´ario ´e automaticamente conservado e n˜ao teremos mais v´ınculos neste modelo.
O multiplicador bosˆonico C ainda permanece indeterminado, sendo uma evidˆencia para existˆencia de
v´ınculos de primeira classe, a qual podemos verificar calculando os parˆenteses de Poisson entre os
v´ınculos:
π
0
, ∂
k
π
k
= 0. (5.25)
Assim, os v´ınculos ϕ
1
= π
0
≈ 0 e ϕ
2
= ∂
k
π
k
≈ 0 s˜ao de primeira classe e revelam que a
eletrodinˆamica CPT -par do MPE tem uma estrutura de v´ınculos similar `a eletrodinˆamica de Maxwell.
5.2 Equa¸c˜oes de movimento e as condi¸c˜ao de calibre
Seguindo a conjectura de Dirac, definimos a hamiltoniana estendida (H
E
) pela adi¸c˜ao de todos
v´ınculos de primeira classe a hamiltoniana prim´aria:
H
E
= H
C
+
d⃗y [Cϕ
1
+ Eϕ
2
] , (5.26)
que governar´a a evolu¸c˜ao do sistema, em especial a evolu¸c˜ao temporal dos campos, assim temos
˙
A
0
= {A
0
, H
E
} = C, (5.27)
e
˙
A
k
= {A
k
, H
E
} =
D
−1
kj
π
j
+ (k
F
)
0jmn
F
mn
+ ∂
k
A
0
− ∂
k
E. (5.28)
5
Para maiores detalhes consultar o apˆendice B.2
41
Ambas equa¸c˜oes mostram que a dinˆamica do campo de calibre A
µ
permanece arbitr´aria. Entretanto,
observamos que a segunda equa¸c˜ao somente ser´a igual a equa¸c˜ao lagrangiana (5.21) se e somente
se ∂
k
E = 0 ou E = 0. Portanto, devemos impor uma condi¸c˜ao de calibre de tal forma que fixe o
multiplicador E convenientemente.
´
E de nosso conhecimento que o algoritmo de Dirac requer um
n´umero de condi¸c˜oes de calibre igual ao n´umero de v´ınculo de primeira classe da teoria. Contudo,
as condi¸c˜oes de calibre devem ser compat´ıveis com as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange. De modo que as
condi¸c˜oes de calibre juntamente com os v´ınculos de primeira classe formem um conjunto de v´ınculos
de segunda classe.
Como observamos no cap´ıtulo anterior, π
0
´e um vinculo de primeira classe, logo, podemos procurar
poss´ıveis condi¸c˜oes de calibre na equa¸c˜ao de movimento do campo A
0
:
D
jk
∂
j
∂
k
A
0
− (k
F
)
0ijk
∂
i
F
jk
− ∂
0
(D
jk
∂
j
A
k
) = 0, (5.29)
Assim, definimos nossas condi¸c˜oes de calibre como:
χ
1
= D
jk
∂
j
A
k
≈ 0;
(5.30)
χ
2
= D
jk
∂
j
∂
k
A
0
− (k
F
)
0ijk
∂
i
F
jk
≈ 0.
A condi¸c˜ao de consistˆencia χ
1
, {D
jk
∂
j
A
k
, H
E
} ≈ 0, fornece D
jk
∂
j
∂
k
E = 0, que fixa E = 0. A
condi¸c˜ao de consistˆencia para χ
2
oferece uma equa¸c˜ao para o multiplicador C :
D
jk
∂
j
∂
k
C − (k
F
)
0ijk
∂
i
˙
F
jk
≈ 0 . (5.31)
Consequentemente, temos determinado todos multiplicadores de Lagrange. Portanto, o conjunto
Σ
a
= {ϕ
1
, ϕ
2
, χ
1
, χ
2
} ´e de segunda classe e, cuja correspondente matriz de parˆenteses de Poisson ´e:
M (x, y) = {Σ
a
(x) , Σ
b
(y)} (5.32)
=
ϕ
1
ϕ
2
χ
1
χ
2
ϕ
1
0 0 0 −D
jk
∂
j
∂
k
ϕ
2
0 0 D
jk
∂
j
∂
k
0
χ
1
0 −D
jk
∂
j
∂
k
0 0
χ
2
D
jk
∂
j
∂
k
0 0 0
δ (⃗x −⃗y) ,
42
´e n˜ao singular com determinante n˜ao nulo igual a det (−D
jk
∂
j
∂
k
)
4
.
Desse modo, hamiltoniana canˆonica (5.22) se torna a hamiltoniana f´ısica e toma a seguinte forma
H =
d⃗y
1
2
⃗
E
2
+
1
2
E
j
−2(k
F
)
0j0k
E
k
+
1
2
⃗
B
2
+
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
, (5.33)
ou
H =
d⃗y
1
2
⃗
E
2
+
1
2
⃗
E · (κ
DE
) ·
⃗
E +
1
2
⃗
B
2
+
1
2
⃗
B · (κ
HB
) ·
⃗
B
. (5.34)
Observamos que as matrizes κ
DE
e κ
HB
representam o setor de paridade-par do tensor (k
F
), ou seja,
os coeficientes correspondentes ao setor de paridade-´ımpar do tensor (k
F
) n˜ao contribuem a energia
do sistema.
Em geral, as componentes (k
F
)
µνρσ
s˜ao suficientemente pequenas para garantir que a hamiltoniana
seja positiva-definida, proporcionando uma teoria quˆantica est´avel e uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao bem
definida para a eletrodinˆamica CPT -par do MPE.
A seguir calcularemos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao no formalismo de integra¸c˜ao funcional para estudarmos
as conseq¨uˆencias dos parˆametros que controlam a quebra da simetria de Lorentz nas propriedades
termodinˆamicas do campo eletromagn´etico.
5.3 A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z (β)
A an´alise hamiltoniana realizada na se¸c˜ao anterior permite definir a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao dentro da
integra¸c˜ao funcional segundo o m´etodo de Faddeev-Senjanovic [27]:
Z (β) =
DA
µ
Dπ
µ
δ (ϕ
1
) δ (ϕ
2
) δ (χ
1
) δ (χ
2
)
(5.35)
×|det {Σ
a
(x) , Σ
b
(y)}|
1/2
exp
β
dx (iπ
µ
∂
τ
A
µ
− H
C
)
,
onde Σ
a
= {ϕ
1
, ϕ
2
, χ
1
, χ
2
} ´e o conjunto de v´ınculos de segunda classe formado pelos v´ınculos de
primeira classe e as condi¸c˜ao de calibre , M
ab
(x, y) = {Σ
a
(x) , Σ
b
(y)} ´e a matriz de v´ınculos definida
em (5.32) cujo determinante funcional ´e det (−D
jk
∂
j
∂
k
)
4
e H
C
´e a densidade hamiltoniana canˆonica
dada em (5.22). A express˜ao
β
dx denota
β
0
dτ
d
3
⃗x, e β = 1/T.
Como o campo de calibre tem car´ater bosˆonico, a integra¸c˜ao funcional deve ser calculada sobre
todos os campos satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao de contorno peri´odica na vari´avel τ :
A
µ
(τ, ⃗x) = A
µ
(τ + β, ⃗x) . (5.36)
43
Para determinar a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, primeiro calculamos a integra¸c˜ao sobre o campo π
0
, logo
usamos a representa¸c˜ao da delta de Dirac para δ
∂
k
π
k
δ
∂
k
π
k
=
DΛ exp
i
β
dx Λ∂
k
π
k
=
DΛ exp
−i
β
dx π
k
∂
k
Λ
, (5.37)
na fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (5.35) e obtemos:
Z (β) =
DA
µ
DΛ δ (D
jk
∂
j
A
k
) δ
D
jk
∂
j
∂
k
A
0
− (k
F
)
0ijk
∂
i
F
jk
det (−D
jk
∂
j
∂
k
)
2
(5.38)
×exp
β
dx
−
1
2
D
−1
kj
(k
F
)
0kpq
(k
F
)
0jmn
F
mn
F
pq
−
1
4
(F
jk
)
2
−
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
×
Dπ
k
exp
β
dx
−
1
2
π
k
D
−1
kj
π
j
+ iπ
k
[∂
τ
A
k
− ∂
k
(Λ −iA
0
)] −
D
−1
kj
π
k
(k
F
)
0jmn
F
mn
,
fazendo a transla¸c˜ao Λ → Λ + iA
0
(5.38), obtemos:
Z (β) =
DA
k
DΛ δ (D
jk
∂
j
A
k
) det (−D
jk
∂
j
∂
k
)
2
(5.39)
×exp
β
dx
−
1
2
D
−1
kj
(k
F
)
0kpq
(k
F
)
0jmn
F
pq
F
mn
−
1
4
(F
jk
)
2
−
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
×
Dπ
k
exp
β
dx
−
1
2
π
k
D
−1
kj
π
j
+ iπ
k
(∂
τ
A
k
− ∂
k
Λ) −
D
−1
kj
π
k
(k
F
)
0jmn
F
mn
.
×
DA
0
δ
D
jk
∂
j
∂
k
A
0
− (k
F
)
0ijk
∂
i
F
jk
.
A integra¸c˜ao sobre o campo A
0
´e:
DA
0
δ
D
jk
∂
j
∂
k
A
0
+ (k
F
)
0ijk
∂
i
F
jk
= det (−D
jk
∂
j
∂
k
)
−1
, (5.40)
e substituindo em (5.39), obtemos:
Z (β) =
DA
k
DΛ δ (D
jk
∂
j
A
k
) det (−D
jk
∂
j
∂
k
) (5.41)
×exp
β
dx
−
1
2
D
−1
kj
(k
F
)
0kpq
(k
F
)
0jmn
F
pq
F
mn
−
1
4
(F
jk
)
2
−
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
×
Dπ
k
exp
β
dx
−
1
2
π
k
D
−1
kj
π
j
+ iπ
k
(∂
τ
A
k
− ∂
k
Λ) −
D
−1
kj
π
k
(k
F
)
0jmn
F
mn
.
Chamando Λ = A
τ
e definindo F
τk
= ∂
τ
A
k
−∂
k
Λ = −F
kτ
podemos reescrever a equa¸c˜ao acima como
Z (β) =
DA
k
DA
τ
δ (D
jk
∂
j
A
k
) det (−D
jk
∂
j
∂
k
) (5.42)
×exp
β
dx
−
1
2
D
−1
kj
(k
F
)
0kpq
(k
F
)
0jmn
F
pq
F
mn
−
1
4
(F
jk
)
2
−
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
×
Dπ
k
exp
β
dx
−
1
2
π
k
D
−1
kj
π
j
+ iπ
k
F
τk
−
D
−1
kj
π
k
(k
F
)
0jmn
F
mn
.
44
Resolvendo a integra¸c˜ao sobre o campo π
k
:
I
π
k
=
Dπ
k
exp
β
dx
−
1
2
π
k
D
−1
kj
π
j
−
D
−1
kj
π
k
(k
F
)
0jmn
F
mn
+ iπ
k
F
τk
(5.43)
= exp
β
dx
−
1
2
F
τk
D
kj
F
τj
− i (k
F
)
0kmn
F
τk
F
mn
+
1
2
D
−1
kj
(k
F
)
0kpq
(k
F
)
0jmn
F
pq
F
mn
,
que substituindo na eq.(5.42), leva a:
Z (β) =
DA
k
DA
τ
δ (D
jk
∂
j
A
k
) det (−D
jk
∂
j
∂
k
) (5.44)
×exp
β
dx
−
1
2
F
τk
D
kj
F
τj
−
1
4
(F
jk
)
2
−
1
4
(k
F
)
kjlm
F
kj
F
lm
− i (k
F
)
0kmn
F
τk
F
mn
.
Fazendo as seguintes redefini¸c˜oes, `a temperatura finita, para as componentes do tensor (k
F
):
(k
F
)
0k0j
= −(k
F
)
τkτj
, (k
F
)
0kmn
= i (k
F
)
τkmn
, (5.45)
a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para o setor eletromagn´etico CPT -par do MPE ´e expressa como:
Z(β) = N det(−D
jk
∂
j
∂
k
)
DA
a
δ(D
jk
∂
j
A
k
) exp
β
dx
−
1
4
F
ab
F
ab
−
1
4
(k
F
)
abcd
F
ab
F
cd
, (5.46)
onde a, b, c, d = τ , 1, 2, 3. Como a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao n˜ao ´e explicitamente covariante, passaremos
a um calibre covariante via o ansatz de Faddeev-Popov [28]. Ent˜ao, escolhendo o calibre de Lorenz
generalizado:
G [A
a
] = −
1
√
ξ
∂
a
A
a
+ f (5.47)
onde f ´e uma fun¸c˜ao escalar arbitr´aria e ξ o parˆametro de gauge. Depois de alguma ´algebra (similar-
mente `a realizada no capitulo 4 para o campo eletromagn´etico livre), expressamos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao
como:
Z (β) =
DA
a
det
−
√
ξ
exp
β
dx −
1
2
A
a
− δ
ab
−
1
ξ
− 1
∂
a
∂
b
+ S
ab
A
b
, (5.48)
onde = ∂
a
∂
a
= (∂
τ
)
2
+∇
2
. Definimos o operador sim´etrico S
ab
, contendo os parˆametros respons´aveis
pela quebra da simetria de Lorentz:
S
ab
= 2 (k
F
)
acdb
∂
c
∂
d
= S
ba
. (5.49)
Como observamos no cap´ıtulo anterior, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e invariante de calibre, ou seja,
independe do parˆametro de calibre ξ, ent˜ao, por comodidade aqui escolhemos ξ = 1, denominado
calibre de Feynman. Assim, a integra¸c˜ao sobre o campo de calibre fornece a seguinte fun¸c˜ao de
parti¸c˜ao para a eletrodinˆamica CPT -par do MPE:
Z (β) = det (−) [det (−δ
ab
+ S
ab
)]
−1/2
. (5.50)
45
Vale a pena ressaltar que este resultado ´e an´alogo ao obtido para eletrodinˆamica de Carroll-Field-
Jackiw [21], onde S
ab
= ϵ
acdb
(κ
AF
)
c
∂
d
= −S
ba
.
Na pr´oxima se¸c˜ao, calcularemos o determinante do operador (−δ
ab
+ S
ab
) para as 9 componentes
n˜ao birrefringentes do tensor (k
F
): 6 componentes de paridade-par e 3 de paridade-´ımpar.
5.4 O setor n˜ao birrefringente da eletrodinˆamica CPT -par do MPE
Devido a alta complexidade do tensor (k
F
) que rege a eletrodinˆamica CPT -par do MPE, em
geral, o c´alculo exato da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e invi´avel e somente ter´ıamos acesso `as contribui¸c˜oes
perturbativas do tensor (k
F
). Contudo, usando os dados de birrefringˆencia [17, 18] ´e poss´ıvel obter
algumas configura¸c˜oes mais simples [16, 23, 29, 31] para o tensor (k
F
) a fim de tornar fact´ıvel o c´alculo
exato das rela¸c˜oes de dispers˜ao
6
ou da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao.
A prescri¸c˜ao proposta em [17, 18] para a decomposi¸c˜ao do tensor (k
F
) ´e estendida `a temperatura
finita via as redefini¸c˜oes impostas em (5.45), assim temos, para o setor de paridade-par:
(κ
DE
)
kj
= 2 (k
F
)
τkτj
, (κ
HB
)
kj
=
1
2
ϵ
kpq
ϵ
jmn
(k
F
)
pqmn
, (5.51)
e para o setor de paridade-´ımpar:
(κ
DB
)
kj
= −(κ
HE
)
jk
= (k
F
)
τkpq
ϵ
jpq
. (5.52)
5.4.1 O setor de paridade-par
Estudaremos a influˆencia das 6 componentes n˜ao birrefringentes de paridade-par do tensor (k
F
)
parametrizadas pela matriz κ
e−
e pelo coeficiente κ
tr
. Com o intuito de isolar as contribui¸c˜oes do
setor de paridade-par anulamos os coeficientes de paridade-´ımpar: κ
DB
= 0 e κ
HE
= 0. Levando em
considera¸c˜ao que os cinco elementos contidos na matriz κ
e+
s˜ao restritos pelos dados de birrefringˆencia
[17, 18] na ordem de 10
−32
:
(κ
e+
)
jk
=
1
2
(κ
DE
+ κ
HB
)
jk
≤ 10
−32
, (5.53)
podemos considerar κ
e+
= 0 e permite obter κ
HB
= −κ
DE
e junto com a segunda e terceira equa¸c˜ao
em (5.13) leva `as seguintes rela¸c˜oes entre as componentes n˜ao birrefringentes:
(κ
DE
)
jk
= (κ
e−
)
jk
+ κ
tr
δ
jk
, κ
tr
=
1
3
tr(κ
DE
). (5.54)
6
Para maiores detalhes ver o apˆendice (B)
46
onde (κ
e−
) corresponde a contribui¸c˜ao anisotr´opica e κ
tr
`a isotr´opica, a seguir analisaremos separada-
mente cada uma das contribui¸c˜oes.
5.4.1.1 A contribui¸c˜ao isotr´opica
Primeiramente, isolamos a contribui¸c˜ao da componente isotr´opica κ
tr
impondo (κ
e−
) = 0 na
eq.(5.54). Ent˜ao:
(κ
DE
)
jk
= κ
tr
δ
jk
, (κ
HB
)
jk
= −κ
tr
δ
jk
. (5.55)
E substituindo nas eqs.(5.13), obtemos os elementos n˜ao nulos do tensor (k
F
):
(k
F
)
τjτk
=
κ
tr
2
δ
jk
, (k
F
)
pqmn
= −
κ
tr
2
[δ
pm
δ
qn
− δ
pn
δ
qm
] . (5.56)
O operador (−δ
ab
+ S
ab
) expresso no espa¸co dos momentos resulta ser
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
, onde a
matriz
˜
S
ab
= 2 (k
F
)
acdb
p
c
p
d
´e sim´etrica e via as componentes de (k
F
) definidas em (5.56) possui as
seguintes componentes:
˜
S
ττ
= −κ
tr
⃗p
2
,
˜
S
τk
= κ
tr
p
τ
p
k
,
˜
S
jk
= −δ
jk
κ
tr
p
2
+ 2δ
jk
κ
tr
⃗p
2
− κ
tr
p
j
p
k
, (5.57)
Com isso, calculamos o determinante da matriz
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
:
det
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
= (κ
tr
+ 1)
3
p
2
2
p
2
−
2κ
tr
1 + κ
tr
⃗p
2
2
, (5.58)
ent˜ao, o determinante funcional do operador (−δ
ab
+ S
ab
) ´e:
det (−δ
ab
+ S
ab
) = det
(1 + κ
tr
)
3
(−)
2
det
− +
2κ
tr
1 + κ
tr
∇
2
2
. (5.59)
Assim, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (5.50) torna-se:
ln Z (β) = −Tr ln
− +
2κ
tr
1 + κ
tr
∇
2
. (5.60)
Observamos que os dois modos do campo de calibre abeliano tem a mesma rela¸c˜ao de dispers˜ao e
apresentam n˜ao birrefringˆencia.
O tra¸co funcional de (5.60) ´e calculado na base de Fourier que expande o campo de calibre :
A
a
(τ, ⃗x) =
β
V
1
2
n,p
e
i(ω
n
τ+⃗x·⃗p)
˜
A
a
(n, ⃗p), (5.61)
onde V designa o volume do sistema e ω
n
=
2π
β
n (n = 0, ±1, ±2, . . .) s˜ao as freq¨uˆencias bosˆonicas de
Matsubara.
47
Desse modo, a contribui¸c˜ao dos dois modos do campo de calibre ´e expressa como:
ln Z (β) = −V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
n=−∞
ln β
2
(ω
n
)
2
+
1 − κ
tr
1 + κ
tr
⃗p
2
, (5.62)
onde |κ
tr
| < 1 para garantir uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao bem definida.
Fazendo a seguinte transforma¸c˜ao nos momentos:
p
i
→ p
i
1 + κ
tr
1 − κ
tr
(5.63)
na eq.(5.62), obteremos:
ln Z (β) = −
V
(2π)
3
1 + κ
tr
1 − κ
tr
3
2
d
3
⃗p
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ (βω)
2
(5.64)
onde ω = ∥⃗p∥. realizando a soma em n, teremos:
ln Z (β) = −
1 + κ
tr
1 − κ
tr
3/2
2V
d
3
⃗p
(2π)
3
ln
1 −e
−βω
(5.65)
que podemos reescrever como:
ln Z (β) = α (κ
tr
) ln Z
A
(5.66)
onde Z
A
´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao da eletrodinˆamica de Maxwell definida em (4.52) e a fun¸c˜ao α (κ
tr
) ´e
uma fun¸c˜ao expl´ıcita do parˆametro κ
tr
:
α (κ
tr
) =
1 + κ
tr
1 − κ
tr
3/2
≈ 1 + 3κ
tr
+
9
2
(κ
tr
)
2
+ ... , (5.67)
a expans˜ao demonstra que as corre¸c˜oes de menor ordem `as propriedades termodinˆamicas s˜ao lineares
em κ
tr
.
De (5.66), vemos que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do setor n˜ao birrefringente e isotr´opico de paridade-par
´e obviamente uma potˆencia de Z
A
,
Z (β) = (Z
A
)
α(κ
tr
)
. (5.68)
Isso ter´a como consequˆencia que todas as propriedades termodinˆamicas do setor n˜ao birrefringente e
isotr´opico de paridade-par ser˜ao as mesmas da eletrodinˆamica de Maxwell multiplicadas pelo fun¸c˜ao
α (κ
tr
), inclusive a distribui¸c˜ao angular da densidade de energia, como mostraremos a seguir.
Escrevendo a eq.(5.65) em coordenadas esf´ericas:
ln Z (β) = −α (κ
tr
)
V
4π
3
dΩ
∞
0
dω ω
2
ln
1 −e
−βω
, (5.69)
48
logo, a energia interna ou energia m´edia do sistema por unidade de volume ser´a:
u (β) = α (κ
tr
)
1
4π
3
dΩ
∞
0
dω
ω
3
e
βω
− 1
. (5.70)
Resolvendo a integral em ω temos
u (β) = α (κ
tr
)
π
60β
4
dΩ ,
cujo integrando ´e a distribui¸c˜ao angular da densidade de energia ou densidade de energia por ˆangulo
s´olido
u (β, Ω) = α (κ
tr
)
π
60β
4
, (5.71)
que permanece isotr´opica.
Integrando os ˆangulos em (5.70) obtemos:
u (β) = α (κ
tr
)
∞
0
dω
1
π
2
ω
3
e
βω
− 1
, (5.72)
onde o integrando corresponde a lei de radia¸c˜ao de Planck:
u (ω) = α (κ
tr
)
1
π
2
ω
3
e
βω
− 1
. (5.73)
Enquanto, que realizando todas as integra¸c˜oes em (5.70), obteremos a densidade de energia da
cavidade ou lei de Stefan-Boltzmann modificada:
u (T ) = α (κ
tr
)
π
2
15
T
4
. (5.74)
5.4.1.2 A contribui¸c˜ao anisotr´opica
Os coeficientes anisotr´opicos do setor de paridade-par s˜ao representados pelos elementos da matriz
(κ
e−
) em (5.54) e, isolamos sua contribui¸c˜ao impondo κ
tr
= 0. Assim, da eq.(5.54) obtemos
(κ
DE
)
jk
= (κ
e−
)
jk
, (κ
HB
)
jk
= −(κ
e−
)
jk
, (5.75)
que substituindo nas equa¸c˜oes (5.13) obtemos os elementos n˜ao nulos do tensor (k
F
):
(k
F
)
τjτk
=
1
2
(κ
e−
)
jk
, (k
F
)
pqmn
= −
1
2
ϵ
jpq
ϵ
kmn
(κ
e−
)
jk
. (5.76)
Logo as componentes de
˜
S
ab
ser˜ao:
˜
S
ττ
= −⃗p ·(κ
e−
) · ⃗p ,
˜
S
τk
= p
τ
(κ
e−
)
kj
p
j
,
(5.77)
˜
S
jk
= −δ
jk
⃗p · (κ
e−
) · ⃗p − (κ
e−
)
jk
p
2
+ p
j
(κ
e−
)
ki
p
i
+ p
k
(κ
e−
)
ji
p
i
,
49
Entretanto, podemos escolher uma representa¸c˜ao mais conveniente para a matriz (κ
e−
). Posto que
´e uma matriz sim´etrica e de tra¸co nulo podemos represent´a-la em termos de dois vetores 3D, ⃗a e
⃗
b,
ortogonais:
(κ
e−
)
ij
=
1
2
(a
i
b
j
+ a
j
b
i
) , (5.78)
vemos que satisfaz a condi¸c˜ao de tra¸co nulo tr (κ
e−
) = ⃗a ·
⃗
b = 0 e, nessa parametriza¸c˜ao det (κ
e−
) = 0.
Assim, as componentes (5.77) de
˜
S
ab
ser˜ao expressas como:
˜
S
ττ
= −(⃗a · ⃗p)
⃗
b · ⃗p
,
˜
S
τk
=
1
2
p
τ
a
k
⃗
b · ⃗p
+
1
2
p
τ
b
k
(⃗a · ⃗p) ,
(5.79)
˜
S
jk
= −δ
jk
(⃗a · ⃗p)
⃗
b · ⃗p
−
1
2
(a
i
b
j
+ a
j
b
i
) p
2
+
1
2
⃗
b · ⃗p
[p
j
a
k
+ p
k
a
j
] +
1
2
(⃗a · ⃗p) [p
j
b
k
+ p
k
b
j
]
Logo, calculando o determinante da matriz
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
obtemos:
det
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
=
1 −
1
4
⃗a
2
⃗
b
2
p
2
2
p
2
− p
2
+
p
2
− p
2
−
, (5.80)
onde definimos:
p
2
+
= −
⃗a
2
⃗
b · ⃗p
2
+
⃗
b
2
(⃗a · ⃗p)
2
+ 4 (⃗a · ⃗p)
⃗
b · ⃗p
4 −⃗a
2
⃗
b
2
,
(5.81)
p
2
−
= −(⃗a · ⃗p)
⃗
b · ⃗p
.
O que leva ao determinante funcional do operador (−δ
ab
+ S
ab
) a ser expresso como:
det (−δ
ab
+ S
ab
) = det
1 −
1
4
⃗a
2
⃗
b
2
(−)
2
det
− −∇
2
+
det
− −∇
2
−
. (5.82)
onde temos definido:
∇
2
+
=
4 (⃗a · ∇)
⃗
b ·∇
+
⃗
b
2
(⃗a · ∇)
2
+ ⃗a
2
⃗
b ·∇
2
4 −⃗a
2
⃗
b
2
, (5.83)
∇
2
−
= (⃗a · ∇)
⃗
b ·∇
. (5.84)
Assim, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (5.50) torna-se:
ln Z (β) = −
1
2
Tr ln[− − ∇
2
+
] −
1
2
Tr ln[− − ∇
2
−
], (5.85)
Se consideramos somente as contribui¸c˜oes de primeira ordem na matriz (κ
e−
), teremos:
∇
2
+
≈ ∇
2
−
= (⃗a · ∇)
⃗
b ·∇
, (5.86)
50
ou seja, em primeira ordem, ambos os modos de polariza¸c˜ao do campo de calibre tˆem a mesma rela¸c˜ao
de dispers˜ao fornecendo a mesma contribui¸c˜ao `a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. Isso, est´a inteiramente conectado
com o fenˆomeno da n˜ao birrefringˆencia observada a primeira ordem para estes coeficientes em [17, 32].
Calculando os tra¸cos funcionais em (5.85) via a expans˜ao de Fourier do campo de calibre dada
pela eq.(5.61), assim, as contribui¸c˜oes de ambos os modos s˜ao expressos como
ln Z
+
(β) = −
1
2
Tr ln[− − ∇
2
+
] (5.87)
= −
1
2
V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
n=−∞
ln
(βω
n
)
2
+ (β⃗p)
2
+ β
2
⃗
b
2
(⃗a · ⃗p)
2
+ ⃗a
2
⃗
b · ⃗p
2
+ 4 (⃗a · ⃗p)
⃗
b · ⃗p
4 −⃗a
2
⃗
b
2
,
e
ln Z
−
(β) = −
1
2
Tr ln[− − ∇
2
−
] (5.88)
= −
1
2
V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
n=−∞
ln
(βω
n
)
2
+ (β⃗p)
2
+ β
2
(⃗a · ⃗p)
⃗
b · ⃗p
,
Com o objetivo de calcular a integra¸c˜ao sobre os momentos, consideremos o seguinte sistema de
coordenadas: o vetor ⃗a est´a alinhado com o eixo x, o vetor
⃗
b com o eixo y, assim o vetor ⃗a ×
⃗
b est´a
ao longo do eixo z. Passando a coordenadas esf´ericas [⃗p = ω (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)], encontramos
as seguintes contribui¸c˜oes dos modos :
ln Z
+
(β) = −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ (βω)
2
1 +
λ
2
sin
2
θ + 2λ sin
2
θ sin 2ϕ
4 −λ
2
,
(5.89)
e
ln Z
−
(β) = −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ (βω)
2
1 +
1
2
λ sin
2
θ sin 2ϕ
, (5.90)
onde d Ω = sin θdθdϕ ´e o elemento do ˆangulo s´olido, e temos definido λ = ab com a = |⃗a| e b =
⃗
b
.
Fazendo as seguintes mudan¸cas de vari´aveis:
ω → ω
1 +
λ
2
sin
2
θ + 2λ sin
2
θ sin 2ϕ
4 −λ
2
−1/2
, (5.91)
na eq.(5.89) e
ω → ω
1 +
1
2
λ sin
2
θ sin 2ϕ
−1/2
, (5.92)
51
na eq.(5.90 ), obtemos:
ln Z
+
(β) = −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
1 +
λ
2
sin
2
θ + 2λ sin
2
θ sin 2ϕ
4 −λ
2
−3/2
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ (βω)
2
,
(5.93)
e
ln Z
−
(β) = −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
1 +
1
2
λ sin
2
θ sin 2ϕ
3/2
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ (βω)
2
. (5.94)
Realizando ambas as somas, obtemos que fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para os coeficientes n˜ao birrefringentes
e anisotr´opicos de paridade-par ´e:
ln Z (β) =
1
8π
dΩ
1 +
λ
2
sin
2
θ + 2λ sin
2
θ sin 2ϕ
4 −λ
2
−3/2
+
1 +
1
2
λ sin
2
θ sin 2ϕ
−3/2
ln Z
A
.
(5.95)
Levando em conta que ln Z
A
´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de Maxwell (4.54), e notando que a integra¸c˜ao
angular pode ser calculada exatamente, teremos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para as componentes n˜ao bi-
rrefringentes e anisotr´opicas do setor de paridade-par:
ln Z (β) = δ (λ) ln Z
A
(β) , (5.96)
onde
δ (λ) =
1
4
4 −λ
2
1/2
+
4 −λ
2
−1/2
≈ 1 +
1
128
λ
4
+
1
512
λ
6
+ ··· (5.97)
Observe que para termos uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao bem definida 0 ≤ λ = ab < 2. A expans˜ao demonstra
que a contribui¸c˜ao anisotr´opica da matriz (κ
e−
) somente ´e manifestado em quarta ordem.
Escrevendo a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao como uma potˆencia da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao da eletrodinˆamica de
Maxwell, teremos:
Z (β) = (Z
A
)
δ(λ)
. (5.98)
Isso ter´a como consequˆencia que todas as propriedades termodinˆamicas do setor n˜ao birrefringente
e anisotr´opico de paridade-par ser˜ao as mesmas da eletrodinˆamica de Maxwell multiplicadas pelo
fun¸c˜ao δ (λ). Enquanto, a distribui¸c˜ao angular da densidade de energia torna-se anisotr´opica devido
as contribui¸c˜oes oriundas da VSL como mostraremos a seguir.
A partir da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (5.95) calculamos a densidade de energia por ˆangulo s´olido irradiada
pelo corpo negro:
u (β, Ω) =
π
60β
4
1
2
1 +
1
2
λ sin
2
θ sin 2ϕ
−3/2
+
1
2
1 +
λ
2
sin
2
θ + 2λ sin
2
θ sin 2ϕ
4 −λ
2
−3/2
, (5.99)
52
revelando um alto grau de anisotropia, via a expl´ıcita dependˆencia em ϕ e θ, induzida pelos coeficientes
(κ
e−
)
ij
que controlam a quebra da simetria de Lorentz. A anisotropia ´e manifesta a primeira ordem
em (κ
e−
)
ij
, ou seja:
u (β, Ω) ≈
π
60β
4
1 −
3
4
λ sin 2ϕ sin
2
θ + ···
. (5.100)
A dependˆencia linear em λ da distribui¸c˜ao angular da densidade de energia pode conduzir `a obten¸c˜ao de
algum limite superior muito restritivo para os coeficientes da matriz (κ
e−
) via os dados da polariza¸c˜ao
da radia¸c˜ao c´osmica de fundo.
Similarmente ao caso isotr´opico, observamos que a lei de radia¸c˜ao de Planck e a lei de Stefan-
Boltzmann s˜ao as correspondentes da eletrodinˆamica de Maxwell, desta vez, multiplicadas pelo fator
δ (λ), assim, a lei de radia¸c˜ao de Planck modificada ´e:
u (ω) = δ (λ)
1
π
2
ω
3
e
βω
− 1
, (5.101)
e a lei de Stefan-Boltzmann modificada ser´a:
u(T ) = δ (λ)
π
2
15
T
4
. (5.102)
5.4.2 O setor de paridade-´ımpar
Estudaremos as modifica¸c˜oes introduzidas pelos 3 co eficientes n˜ao birrefringentes de paridade-
´ımpar do tensor (k
F
) nas propriedades termodinˆamicas do campo eletromagn´etico de Maxwell. Para
isolar o setor de paridade-´ımpar, anulamos o setor de paridade-par definido em (5.13): κ
DE
= 0 e
κ
HB
= 0. Levando em considera¸c˜ao a restri¸c˜ao imposta pelos dados da birrefrigˆencia [17, 18, 29] para
os elementos (κ
o−
)
ij
:
(κ
o−
)
ij
=
1
2
(κ
DB
− κ
HE
)
ij
≤ 10
−32
, (5.103)
podemos impor que (κ
o−
) = 0, assim, obtemos a equa¸c˜ao κ
DB
= κ
HE
que junto a condi¸c˜ao κ
DB
=
−(κ
HE
)
T
nos dizem que a matriz κ
DB
´e antisim´etrica, o que implica em 3 coeficientes indepen-
dentes. Desse modo, obtemos que neste limite κ
DB
= (κ
o+
) e, como (κ
o+
) ´e antisim´etrico podemos
parametrizar em termos um vetor 3D, ⃗κ [29]:
(κ
o+
)
mn
= (κ
DB
)
mn
= ϵ
mnj
κ
j
. (5.104)
Que substitu´ıdos em (5.52) permitem obter as componentes n˜ao nulas do tensor (k
F
) em termos
das componentes do vetor ⃗κ:
(k
F
)
τimn
=
1
2
[κ
m
δ
in
− κ
n
δ
im
] . (5.105)
53
As componentes do operador
˜
S
ab
no espa¸co de Fourier s˜ao segundo a prescri¸c˜ao (5.105), dadas por:
˜
S
ττ
= 0 ,
˜
S
τj
= (⃗κ · ⃗p) p
j
− ⃗p
2
κ
j
, (5.106)
e
˜
S
ij
= −2 (⃗κ · ⃗p) p
τ
δ
ij
+ p
τ
(κ
i
p
j
+ κ
j
p
i
) . (5.107)
O determinante da matriz
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
´e:
det
p
2
δ
ab
−
˜
S
ab
=
p
2
2
p
2
+ 2p
τ
(⃗κ · ⃗p) −⃗κ
2
⃗p
2
+ (⃗κ · ⃗p)
2
p
2
+ 2p
τ
(⃗κ · ⃗p)
, (5.108)
o que leva ao determinante funcional do operador (−δ
ab
+ S
ab
) igual a:
det (−δ
ab
+ S
ab
) = det (−)
2
det
− −2 (⃗κ · ∇) ∂
τ
+ ⃗κ
2
∇
2
− (⃗κ ·∇)
2
det
− − 2 (⃗κ ·∇) ∂
τ
,
(5.109)
Assim, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (5.50) torna-se:
ln Z (β) = −
1
2
Tr ln
− −2 (⃗κ · ∇) ∂
τ
+ ⃗κ
2
∇
2
− (⃗κ ·∇)
2
−
1
2
Tr ln
− − 2 (⃗κ ·∇) ∂
τ
, (5.110)
e representa as contribui¸c˜oes dos dois modos de polariza¸c˜ao do campo fotˆonico modificado. Observe
que se considerarmos somente os termos de primeira ordem nos coeficientes parametrizados pelo vetor
⃗κ, ambos os modos forneceriam a mesma contribui¸c˜ao para a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. Em primeira ordem,
as rela¸c˜oes de dispers˜ao associadas tornam-se iguais p
2
+2p
0
(⃗κ · ⃗p) = 0 que produz a n˜ao birrefrigˆencia.
Este resultado est´a de acordo com a literatura que mostra e segue a prescri¸c˜ao [17, 18, 29, 30, 32]. O
c´alculo das rela¸c˜oes de dispers˜ao e suas respectivas an´alises est˜ao calculadas em [16] (ver o apˆendice
B).
Calculamos os tra¸cos funcionais em (5.110) escrevendo o campo de calibre no espa¸co de Fourier
(5.61). Deste modo, a contribui¸c˜ao dos dois modos s˜ao:
ln Z
(1)
κ
(β) = −
1
2
Tr ln
− −2 (⃗κ · ∇) ∂
τ
+ ⃗κ
2
∇
2
− (⃗κ ·∇)
2
(5.111)
= −
1
2
V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
m=−∞
ln β
2
(ω
m
)
2
+ ⃗p
2
+ 2 (⃗κ · ⃗p) ω
m
−⃗κ
2
⃗p
2
+ (⃗κ · ⃗p)
2
,
e
ln Z
(2)
κ
(β) = −
1
2
Tr ln [− − 2 (⃗κ · ∇) ∂
τ
] (5.112)
= −
1
2
V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
m=−∞
ln β
2
(ω
m
)
2
+ ⃗p
2
+ 2 (⃗κ · ⃗p) ω
m
,
54
Fazendo a seguinte transla¸c˜ao ⃗p → ⃗p −ω
m
⃗κ em ambas as integrais (5.111) e (5.112), obtemos:
ln Z
(1)
κ
= −
1
2
V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
n=−∞
ln β
2
(ω
n
)
2
+ ⃗p
2
+
(⃗κ · ⃗p)
2
1 −⃗κ
2
, (5.113)
e
ln Z
(2)
κ
= −
1
2
V
d
3
⃗p
(2π)
3
+∞
n=−∞
ln β
2
(ω
n
)
2
+
⃗p
2
1 −⃗κ
2
, (5.114)
onde na primeira integral temos desprezado um termo infinito irrelevante.
Escrevendo as integrais (5.113) e (5.114) em coordenadas esf´ericas: ⃗κ · ⃗p = κω cos θ, ω = |⃗p|,
κ = |⃗κ|, ⃗p = ω (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), teremos:
ln Z
(1)
κ
= −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
1 −κ
2
sin
2
θ
1 −κ
2
, (5.115)
e
ln Z
(2)
κ
= −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
1
1 −κ
2
, (5.116)
onde d Ω = sin θdθdϕ ´e o elemento de ˆangulo s´olido.
Fazendo as seguintes mudan¸cas de vari´aveis:
ω → ω
1 −κ
2
1 −κ
2
sin
2
θ
1/2
(5.117)
na eq.(5.115) e
ω → ω
1 −κ
2
1/2
(5.118)
(5.116), obteremos:
ln Z
(1)
κ
= −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
1 −κ
2
3/2
1 −κ
2
sin
2
θ
3/2
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
, (5.119)
e
ln Z
(2)
κ
= −
1
2
V
(2π)
3
dΩ
1 −κ
2
3/2
∞
0
dω ω
2
+∞
n=−∞
ln β
2
(βω
n
)
2
+ (βω)
2
. (5.120)
Realizando a soma em n, teremos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao para a eletrodinˆamica CPT -par do MPE
descrita pelos coeficientes n˜ao birrefringentes de paridade-´ımpar
ln Z (β) =
1
8π
1 −κ
2
3/2
dΩ
1 +
1
1 −κ
2
sin
2
θ
3/2
ln Z
A
. (5.121)
onde Z
A
´e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao da eletrodinˆamica de Maxwell dada em (4.54).
Realizando a integra¸c˜ao angular em (5.121), encontramos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao igual a:
ln Z (β) = γ(κ) ln Z
A
, (5.122)
55
onde γ(κ) ´e uma fun¸c˜ao pura dos parˆametros de quebra:
γ(κ) =
1 −κ
2
1/2
1 −
1
2
κ
2
≈ 1 − κ
2
+
1
8
κ
4
+ ··· . (5.123)
mostrando que as corre¸c˜oes providas pela matriz (˜κ
o+
) s˜ao de segundo ordem.
Assim, novamente conseguimos expressar a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao como uma potˆencia da fun¸c˜ao de
parti¸c˜ao do campo eletromagn´etico de Maxwell:
Z (β) = (Z
A
)
γ(κ)
. (5.124)
Como j´a observado no setor n˜ao birrefringente de paridade-par, todas as propriedades termodinˆamicas
do setor n˜ao birrefringente de paridade-´ımpar ser˜ao aquelas da eletrodinˆamica de Maxwell multi-
plicadas pela fun¸c˜ao γ(κ). A exce¸c˜ao a ´e a distribui¸c˜ao angular da densidade de energia torna-se
anisotr´opica devido as contribui¸c˜oes vindas da VSL como mostraremos a seguir.
A partir de (5.121), obtemos facilmente a densidade de energia por ˆangulo s´olido:
u (β, Ω) =
π
120β
4
1 −κ
2
3/2
1 +
1
1 −κ
2
sin
2
θ
3/2
. (5.125)
A dependˆencia em θ mostra que a quebra de simetria de Lorentz neste setor proporciona um car´ater
anisotr´opico para distribui¸c˜ao angular da densidade de energia. Note que a contribui¸c˜ao dos coefi-
cientes de quebra, ´e m´axima no plano perpendicular ao vetor ⃗κ. Em primeira ordem, a anisotropia
ganha uma contribui¸c˜ao quadr´atica nos coeficientes n˜ao birrefringentes de paridade-´ımpar que contro-
lam a quebra da simetria de Lorentz:
u (β, Ω) ≈
π
60β
4
1 + κ
2
3
4
sin
2
θ −
3
2
, (5.126)
essa contribui¸c˜ao anisotr´opica resulta ser irrelevante quando comparada com a contribui¸c˜ao linear
(5.100) induzida pelos coeficientes n˜ao birrefringentes (˜κ
e−
) de paridade-par .
A partir da equa¸c˜ao (5.121) ou (5.122), podemos obter a lei de radia¸c˜ao de Planck modificada:
u (ω) = γ (κ)
1
π
2
ω
3
e
βω
− 1
, (5.127)
e a lei de Stefan-Boltzmann modificada:
u (T ) = γ (κ)
π
2
15
T
4
. (5.128)
A partir dos resultados (5.68), (5.98) e (5.124) observamos que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao gerada pelos
componentes n˜ao birrefringentes do tensor (k
F
) s˜ao an´alogas. Ou seja, todas elas s˜ao uma potˆencia
da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do campo eletromagn´etico de Maxwell e, sendo essa potˆencia uma fun¸c˜ao pura
dos respectivos coeficientes n˜ao birrefringentes.
56
Conclus˜oes e perspectivas
A presente Disserta¸c˜ao teve como objetivo estudar a influˆencia dos coeficientes n˜ao birrefringentes
do tensor (k
F
), que caracteriza a eletrodinˆamica CPT -par do Modelo Padr˜ao Estendido, nas pro-
priedades termodinˆamicas do campo eletromagn´etico de Maxwell.
Primeiramente, estabelecemos a estrutura hamiltoniana da eletrodinˆamica CPT -par do MPE por
meio do m´etodo de Dirac para sistemas vinculados, ou seja, estabelecemos os v´ınculos de primeira
classe e suas respectivas condi¸c˜oes de calibre. Logo, constru´ımos uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao bem-definida
e invariante de calibre via o m´etodo de Faddeev-Senjanovic [27] no formalismo de integrais de caminho.
A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (5.50) representa, em principio, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao da eletrodinˆamica CPT -par
do MPE para um tensor (k
F
) arbitr´ario, entretanto, deve-se garantir que as componentes (k
F
)
abcd
do
tensor (k
F
) sejam suficientemente pequenas para garantir uma hamiltoniana definida-positiva e uma
fun¸c˜ao de parti¸c˜ao bem-definida.
Com o intuito de ganhar informa¸c˜oes n˜ao perturbativas sobre a influˆencia da viola¸c˜ao da simetria
de Lorentz nas propriedades termodinˆamicas do campo eletromagn´etico de Maxwell, especializamos
nossa an´alise `as 9 componentes n˜ao birrefringentes do tensor (k
F
) e estudamos separadamente ambos
os setores de paridade-par e paridade-´ımpar.
Assim, a partir dos resultados (5.68), (5.98) e (5.124) observamos que as fun¸c˜oes de parti¸c˜ao ger-
adas pelas componentes n˜ao birrefringentes do tensor (k
F
) s˜ao similares. Ou seja, todas elas s˜ao uma
potˆencia da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do campo eletromagn´etico de Maxwell, onde essa potˆencia ´e uma fun¸c˜ao
pura dos respectivos coeficientes n˜ao birrefringentes, o que resulta nas propriedades termodinˆamicas
como densidade de energia, press˜ao, entropia, etc, sejam as mesmas da eletrodinˆamica de Maxwell
multiplicadas por uma fun¸c˜ao que depende somente dos respectivos coeficientes n˜ao birrefringentes.
Em geral, a exce¸c˜ao `a regra ´e a densidade de energia por unidade de ˆangulo s´olido devido aos co-
eficientes que controlam a quebra ou viola¸c˜ao da simetria de Lorentz (VSL) induzirem anisotropias
na distribui¸c˜ao angular da densidade de energia do corpo negro. Essa caracter´ıstica anisotr´opica da
57
distribui¸c˜ao angular da radia¸c˜ao reflete-se numa mudan¸ca ou varia¸c˜ao local se relacionada ao com-
portamento isotr´opico da distribui¸c˜ao angular da densidade de energia do campo eletromagn´etico de
Maxwell. Apesar de tal diferen¸ca, a lei de Stefan-Boltzmann mant´em a sua dependˆencia na temper-
atura proporcional a T
4
. Contudo, toda a informa¸c˜ao sobre os coeficientes da VSL est´a contida na
constante de Stefan-Boltzmann modificada, ou seja, temos que a constante de Stefan-Boltzmann σ
muda como:
σ → σf (V SL) (5.129)
onde f (V SL) ´e alguma fun¸c˜ao dos coeficientes que controlam a viola¸c˜ao da simetria de Lorentz
satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao lim
V SL→0
f(V SL) = 1.
Como os coeficientes da VSL est˜ao fortemente restritos por rigorosos limites superiores, ent˜ao,
as contribui¸c˜oes n˜ao nulas de menor ordem, na sua serie perturbativa entorno a eletrodinˆamica de
Maxwell, devem proporcionar uma boa informa¸c˜ao sobre as propriedades termodinˆamicas do setor n˜ao
birrefringente do tensor (k
F
). Desse modo, no setor n˜ao birrefringente de paridade-par observamos que
a contribui¸c˜ao isotr´opica fornece uma corre¸c˜ao linear em κ
tr
como mostrado na eq.(5.67), entretanto, a
contribui¸c˜ao anisotr´opica da matriz (κ
e−
) somente ´e manifestado em quarta ordem, como ´e mostrado
na eq.(5.97). Ent˜ao, a contribui¸c˜ao anisotr´opica ´e irrelevante comparada com a isotr´opica. Por´em no
setor n˜ao birrefringente de paridade-´ımpar, as corre¸c˜oes providas pela matriz (κ
o+
) s˜ao de segunda
ordem como pode ser rapidamente observado na eq.(5.123) .
A seguir, destacamos as diferen¸cas entre as propriedades termodinˆamicas da eletrodinˆamica CPT -
par e CPT -´ımpar, primeiramente investigado na Ref.[21]. Tais diferen¸cas decorrem da ´algebra de Dirac
para os graus de liberdade f´ısicos como mostrada nas referˆencias [21] e [23]. Para eletrodinˆamica do
CPT -´ımpar [21], no calibre de Coulomb, temos que os parˆenteses de Dirac n˜ao nulos s˜ao:
{A
k
(x) , π
j
(y)}
D
= −
δ
kj
−
∂
k
∂
j
∇
2
δ (⃗x −⃗y) , (5.130)
e
π
k
(x) , π
j
(y)
D
=
1
2
ϵ
0kli
(k
AF
)
l
∂
x
i
∂
x
j
∇
2
− ϵ
0jli
(k
AF
)
l
∂
x
i
∂
x
k
∇
2
δ (⃗x −⃗y) . (5.131)
Enquanto, para a eletrodinˆamica CPT -par, a ´algebra de Dirac entre os graus de liberdade f´ısicos,
tamb´em no calibre de Coulomb, proporciona a seguinte rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao
A
k
(x) , π
j
(y)
D
=
δ
kj
−
∂
x
k
∂
x
j
∇
2
x
δ (⃗x −⃗y) , (5.132)
sendo os outros nulos.
58
A n˜ao comutatividade dos momentos expressa pela eq.(5.131), ´e uma das raz˜oes fundamentais
para a eletrodinˆamica CPT -´ımpar tenha propriedades termodinˆamicas diferentes da sua contra parte,
a eletrodinˆamica CPT -par. Uma outra raz˜ao que contribui nessa diferen¸ca ´e o vetor k
AF
ter dimens˜ao
de massa 1. A dependˆencia na temperatura do logaritmo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao em ordem (k
AF
)
2n
´e
T
3−2n
, isso implica que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao CPT -´ımpar n˜ao pode ser expressa como uma potˆencia
da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de Maxwell tal como acontece no caso CPT -par analisado.
Entre as perspectivas imediatas, pretendemos continuar a estudar os efeitos da viola¸c˜ao da simetria
de Lorentz em outros sistemas ou fenˆomenos termodinˆamicos como por exemplo, sistemas fermiˆonicos,
condensa¸c˜ao de Bose-Einstein, sistemas de campos n˜ao-comutativos, Chern-Simons gravitacional com
viola¸c˜ao da simetria de Lorentz, CFJ n˜ao abeliano, etc.
59
Apˆendice A
Nota¸c˜ao e algumas rela¸c˜oes ´uteis
Ao longo da Disserta¸c˜ao usamos as unidades naturais:
c = = k
B
= 1 (A.1)
O tensor m´etrico ´e assumido da seguinte forma
g
µν
= g
µν
=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
, (A.2)
+∞
n=−∞
ln
(2πn)
2
+ b
2
= b − ln 2 + 2 ln
1 −e
−b
(A.3)
∞
0
dω ω
2
ln
1 −e
−βω
= −
π
4
45β
3
(A.4)
∞
0
dω ln
1 −e
−βω
= −
π
2
6β
(A.5)
d
D
⃗x exp
−
1
2
⃗x
T
A⃗x
= (2π)
D
2
[det A]
−1/2
= (2π)
D
2
exp
−
1
2
tr ln A
(A.6)
∞
0
dx
x
3
e
x
− 1
=
π
4
15
(A.7)
60
Apˆendice B
As rela¸c˜oes de dispers˜ao
B.1 Decomposi¸c˜ao do tensor (k
F
) a temperatura zero
Para o caso CPT -par temos (k
F
)
β
= 0 e a densidade lagrangiana, torna-se:
L = −
1
4
F
αν
F
αν
−
1
4
(k
F
)
ανρφ
F
αν
F
ρφ
. (B.1)
Definindo os campos el´etrico e magn´etico como:
E
k
= F
k0
= −∂
k
A
0
+ ∂
0
A
k
= F
0k
, B
k
=
∇ ×
⃗
A
k
=
1
2
ϵ
kab
F
ab
, (B.2)
podemos expressar os termos da lagrangiana como:
F
αν
F
αν
= −2 (F
0k
)
2
+ (F
jk
)
2
= −2
⃗
E
2
+ 2
⃗
B
2
, (B.3)
e
(k
F
)
ανρφ
F
αν
F
ρφ
= 4E
j
(k
F
)
0j0m
E
m
− 4E
m
(k
F
)
ij0m
ϵ
ijn
B
n
+ B
p
ϵ
ijp
(k
F
)
ijkm
ϵ
kmq
B
q
. (B.4)
Substituindo (B.3) e (B.4) em (B.1), teremos
L =
1
2
E
2
−
1
2
⃗
B
2
+
1
2
E
j
−2 (k
F
)
0j0k
E
k
(B.5)
−
1
2
B
j
1
2
ϵ
jpq
W
pqlm
ϵ
lmk
B
k
+ E
j
(k
F
)
0jpq
ϵ
pqk
B
k
.
Segundo a prescri¸c˜ao estabelecida em [17], a densidade lagrangiana pode ser escrita como:
L =
1
2
⃗
E
2
−
1
2
⃗
B
2
+
1
2
⃗
E·(κ
DE
) ·
⃗
E −
1
2
⃗
B · (κ
HB
) ·
⃗
B +
⃗
E·(κ
DB
) ·
⃗
B, (B.6)
61
onde as componentes do tensor ( k
F
) podem ser escritos em termos de quatro matrizes de ordem 3 ×3,
κ
DE
, κ
HB
, κ
DB
e κ
HE
: As matrizes κ
DE
e κ
HB
s˜ao sim´etricas e tˆem paridade-par, assim:
(κ
DE
)
jk
= −2 (k
F
)
0j0k
, (κ
HB
)
jk
=
1
2
ϵ
jpq
ϵ
klm
(k
F
)
pqlm
. (B.7)
Para essas matrizes, a condi¸c˜ao de duplo tra¸co nulo, (k
F
)
µν
µν
= 0, leva a seguinte rela¸c˜ao:
tr (κ
DE
+ κ
HB
) = 0, (B.8)
desse modo, o setor de paridade-par descrito pelas matrizes κ
DE
e κ
HB
suportam 11 parˆametros
independentes
As matrizes κ
DB
e κ
HE
s˜ao de tra¸co nulo e tˆem paridade-´ımpar e est˜ao relacionados com as
componentes do tensor (k
F
) pela seguinte rela¸c˜ao:
(κ
DB
)
jk
= −(κ
HE
)
kj
= ϵ
kpq
(k
F
)
0jpq
(B.9)
desse modo, o setor de paridade-´ımpar suporta 8 parˆametros independentes.
Segundo [17] e com finalidade de fazer compara¸c˜oes com os dados experimentais de birrefringˆencia,
os 19 coeficientes independentes do tensor (k
F
)
ανρφ
podem ser parametrizados em termos de quatro
matrizes de tra¸co nulo, κ
e+
, κ
e−
, κ
o−
, κ
o+
e um parˆametro simples κ
tr
: O setor de paridade-par ´e
ent˜ao parametrizado da seguinte maneira
(κ
e+
)
jk
=
1
2
(κ
DE
+ κ
HB
)
jk
,
(κ
e−
)
jk
=
1
2
(κ
DE
− κ
HB
)
jk
− δ
jk
κ
tr
, (B.10)
κ
tr
=
1
3
tr (κ
DE
) ,
onde as matrizes κ
e+
e κ
e−
s˜ao sim´etricas. Enquanto, o setor de paridade-´ımpar ´e parametrizado
segundo
(κ
o+
)
jk
=
1
2
(κ
DB
+ κ
HE
)
jk
,
(B.11)
(κ
o−
)
jk
=
1
2
(κ
DB
− κ
HE
)
jk
,
neste caso, a matriz (κ
o+
) ´e antisim´etrica e a matriz (κ
o−
)´e antisim´etrica.
Usando esta nova parametriza¸c˜ao, a densidade lagrangiana (B.6) torna-se:
L =
1
2
(1 + κ
tr
)
⃗
E
2
−
1
2
(1 − κ
tr
)
⃗
B
2
+
1
2
⃗
E·(κ
e+
+ κ
e−
) ·
⃗
E
(B.12)
−
1
2
⃗
B · (κ
e+
− κ
e−
) ·
⃗
B +
⃗
E·(κ
o+
+ κ
o−
) ·
⃗
B.
62
B.2 As equa¸c˜oes de movimento
A partir da equa¸c˜ao de movimento (5.5), obtemos as equa¸c˜oes de Maxwell n˜ao homogˆeneas (na
ausˆencia de fontes) em termos dos campos el´etricos, magn´eticos e das matrizes (B.7) e (B.9). Desse
modo, a lei de Gauss modificada resulta em:
∂
j
E
j
+ (κ
DE
)
ja
∂
j
E
a
− (κ
DB
)
ja
∂
j
B
a
= 0, (B.13)
entretanto, a equa¸c˜ao de Ampere-Maxwell modificada ´e expressa como:
∂
0
E
k
+ (κ
DE
)
kj
∂
0
E
j
− (κ
DB
)
ab
ϵ
bkj
∂
j
E
a
(B.14)
−(κ
DB
)
kb
∂
0
B
b
− ϵ
kja
∂
j
B
a
− (κ
HB
)
ab
ϵ
bkj
∂
j
B
a
= 0.
Por outro lado, as equa¸c˜oes homogˆeneas de Maxwell permanecem as mesmas:
∂
0
B
k
+ ϵ
kab
∂
a
E
b
= 0 , ∂
a
B
a
= 0 (B.15)
A partir dessas quatro equa¸c˜oes, obtemos a equa¸c˜ao de onda para o campo el´etrico
(∂
0
)
2
E
k
+ (κ
DE
)
ka
(∂
0
)
2
E
a
− ∇
2
E
k
+ tr (κ
DE
) ∇
2
E
k
+ (κ
HB
)
ab
∂
a
∂
b
E
k
+∂
k
∂
a
E
a
− tr (κ
DE
) ∂
k
∂
a
E
a
− (κ
HB
)
kb
∂
b
∂
a
E
a
+ (κ
HB
)
ka
∇
2
E
a
(B.16)
−(κ
HB
)
ba
∂
b
∂
k
E
a
+ (κ
DB
)
kc
ϵ
cba
∂
0
∂
b
E
a
− (κ
DB
)
ab
ϵ
bkc
∂
c
∂
0
E
a
= 0.
B.3 As rela¸c˜oes de dispers˜ao
As rela¸c˜oes de dispers˜ao podem ser obtidas a partir da transformada de Fourier da equa¸c˜ao de onda
(B.16) do campo el´etrico. Em geral, esse c´alculo n˜ao fornece de modo exato e expl´ıcito as rela¸c˜oes
de dispers˜ao. Contudo, existem algumas configura¸c˜oes do tensor (k
F
) que permitem obter de modo
exato as rela¸c˜oes de dispers˜ao do campo de gauge. Em nosso caso, tais configura¸c˜oes s˜ao represen-
tadas pelos coeficientes do tensor (k
F
) cujas contribui¸c˜oes, `a primeira ordem n˜ao nula, n˜ao produzem
birrefringˆencia nas rela¸c˜oes de dispers˜ao do campo eletromagn´etico de Maxwell.
63
B.3.1 Rela¸c˜oes de dispers˜ao do setor de paridade-par
Para isolar o setor de paridade-par anulamos as matrizes que representam o setor de paridade-´ımpar
(B.9): κ
DB
= 0 e κ
HE
= 0, desse modo, a equa¸c˜ao de onda (B.16) do campo el´etrico resulta em:
(∂
0
)
2
E
k
+ (κ
DE
)
ka
(∂
0
)
2
E
a
− ∇
2
E
k
+ tr (κ
DE
) ∇
2
E
k
+ (κ
HB
)
ab
∂
a
∂
b
E
k
+ ∂
k
∂
a
E
a
(B.17)
−tr (κ
DE
) ∂
k
∂
a
E
a
− (κ
HB
)
kb
∂
b
∂
a
E
a
+ (κ
HB
)
ka
∇
2
E
a
− (κ
HB
)
ba
∂
b
∂
k
E
a
= 0.
B.3.1.1 Componentes n˜ao birrefringentes de paridade-par
Dados de birrefrigˆencia [17, 18] permitem impor que (κ
e+
)
ab
= 0, ent˜ao, a primeira equa¸c˜ao em
(B.10) estabelece a seguinte condi¸c˜ao κ
DE
= −κ
HB
, que substitu´ıda na segunda equa¸c˜ao em eq.(B.10),
proporciona
(κ
DE
)
ab
= (κ
e−
)
ab
+ κ
tr
δ
ab
= −(κ
HB
)
ab
, (B.18)
com
κ
tr
=
1
3
tr (κ
DE
) . (B.19)
Substituindo ambas em (B.17), obtemos:
(1 + κ
tr
)(∂
0
)
2
E
k
+ (κ
e−
)
ka
(∂
0
)
2
E
a
− (1 − κ
tr
)∇
2
E
k
− (κ
e−
)
ka
∇
2
E
a
(B.20)
−(κ
e−
)
ab
∂
a
∂
b
E
k
+ (1 − κ
tr
)∂
k
∂
a
E
a
+ (κ
e−
)
kb
∂
b
∂
a
E
a
+ (κ
e−
)
ba
∂
b
∂
k
E
a
= 0 .
B.3.1.1.1 Contribui¸c˜ao isotr´opica
Isolando a componente isotr´opica: κ
tr
̸= 0 e (κ
e−
) = 0, teremos que (B.20) resulta em:
(1 + κ
tr
) (∂
t
)
2
− (1 − κ
tr
) ∇
2
E
k
+ (1 − κ
tr
) ∂
k
∂
a
E
a
= 0. (B.21)
Usando a primeira equa¸c˜ao de Maxwell (B.13), (1 + κ
tr
) ∂
a
E
a
= 0, obtemos:
(1 + κ
tr
) (∂
t
)
2
− (1 − κ
tr
) ∇
2
E
k
= 0, (B.22)
que no espa¸co de Fourier, torna-se:
(1 + κ
tr
) p
2
0
− (1 − κ
tr
) ⃗p
2
˜
E
k
= 0, (B.23)
64
produzindo a seguinte rela¸c˜ao de dispers˜ao:
(1 + κ
tr
) p
2
0
− (1 − κ
tr
) ⃗p
2
= 0, (B.24)
que ´e a mesma express˜ao contida nas eqs. (5.60) e (5.62), confirmando nossos resultados previstos:
ω
±
= ±|⃗p|
1 − κ
tr
1 + κ
tr
. (B.25)
Note que a velocidade de fase associada com ambos os modos do campo fotˆonico ´e a mesma, mostrando
explicitamente o car´ater n˜ao birrefringente do coeficiente isotr´opico do setor de paridade-par, o qual
est´a em completa concordˆancia com a Ref. [32].
B.3.1.1.2 Contribui¸c˜ao anisotr´opica
Considerando as componentes anisotr´opicas n˜ao nulas: (κ
e−
) ̸= 0 e κ
tr
= 0. Dessa forma, a eq.
(B.20) torna-se:
(∂
t
)
2
E
k
− ∇
2
E
k
+ (κ
e−
)
ka
(∂
t
)
2
E
a
− (κ
e−
)
ka
∇
2
E
a
(B.26)
−(κ
e−
)
ab
∂
a
∂
b
E
k
+ ∂
k
∂
a
E
a
+ (κ
e−
)
kb
∂
b
∂
a
E
a
+ (κ
e−
)
ba
∂
b
∂
k
E
a
= 0 .
Usando a rela¸c˜ao (B.13): ∂
a
E
a
+ (κ
e−
)
ba
∂
b
E
a
= 0, obtemos a seguinte equa¸c˜ao de onda para o campo
el´etrico:
[δ
ka
+ (κ
e−
)
ka
] E
a
− [(κ
e−
)
cb
∂
c
∂
b
δ
ka
− (κ
e−
)
kb
∂
b
∂
a
] E
a
= 0. (B.27)
No espa¸co dos momentos, temos:
[p
2
− (κ
e−
)
cb
p
c
p
b
]δ
ka
+ (κ
e−
)
kb
[p
2
δ
ab
+ p
b
p
a
]
E
a
= 0. (B.28)
Dado que (κ
e−
) ´e uma matriz sim´etrica de tra¸co nulo usaremos a mesma parametriza¸c˜ao (5.78)
para calcular as rela¸c˜oes de dispers˜ao:
(κ
e−
)
ij
=
1
2
(a
i
b
j
+ a
j
b
i
) , (B.29)
onde ⃗a e
⃗
b s˜ao dois vetores 3D ortogonais. Assim, temos que
(
κ
e−
)
cb
p
c
p
b
= (
⃗a
·
⃗p)
⃗
b·⃗p
(B.30)
(κ
e−
)
kc
p
2
δ
jc
+ p
c
p
j
=
1
2
(a
k
b
j
+ a
j
b
k
) p
2
+
1
2
a
k
p
j
⃗
b·⃗p
+
1
2
b
k
p
j
(⃗a· ⃗p) ,
65
e a eq. (B.28) resulta escrita como
M
⃗
E = 0. (B.31)
onde definimos a matriz M = [M
kj
] com
M
kj
=
p
2
− (⃗a·⃗p)
⃗
b·⃗p
δ
kj
+
1
2
(a
k
b
j
+ a
j
b
k
) p
2
+
1
2
a
k
p
j
⃗
b·⃗p
+
1
2
b
k
p
j
(⃗a·⃗p) .
As rela¸c˜oes de dispers˜ao s˜ao obtidas a partir da condi¸c˜ao
det M = 0. (B.32)
Calculando o determinante, obtemos:
det M =
1 −
1
4
⃗a
2
⃗
b
2
p
2
p
2
− (⃗a·⃗p)
⃗
b·⃗p
p
2
−
4 (⃗a·⃗p)
⃗
b·⃗p
+ (⃗a·⃗p)
2
⃗
b
2
+ ⃗a
2
⃗
b·⃗p
2
4 −⃗a
2
⃗
b
2
, (B.33)
desse modo, obtemos as rela¸c˜oes de dispers˜ao exatas:
p
2
+
=
4 (⃗a·⃗p)
⃗
b·⃗p
+ (⃗a·⃗p)
2
⃗
b
2
+ ⃗a
2
⃗
b·⃗p
2
4 −⃗a
2
⃗
b
2
, (B.34)
p
2
−
= (⃗a·⃗p)
⃗
b·⃗p
, (B.35)
que s˜ao exatamente as mesmas rela¸c˜oes que aparecem na fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, veja a equa¸c˜ao (5.81).
Podemos observar que as rela¸c˜oes de dispers˜ao, (B.34) e (B.35), em primeira ordem, reduzem-se
a:
ω = ±|⃗p|
1 +
1
2
⃗p · (κ
e−
) ⃗p
|⃗p|
2
, (B.36)
mostrando a ausˆencia de birrefrigˆencia nessa ordem tal qual foi estabelecido na Ref. [32].
B.3.2 Rela¸c˜oes de dispers˜ao do setor de paridade-´ımpar
Isolamos o setor de paridade-´ımpar anulando as matrizes que descrevem o setor de paridade-par (B.7):
κ
DE
= 0 e κ
HB
= 0. Desse modo, a equa¸c˜ao de onda para o campo el´etrico (B.16) resulta em:
E
k
+ ∂
k
∂
a
E
a
+ (κ
DB
)
kc
ϵ
cba
∂
0
∂
b
E
a
− (κ
DB
)
ab
ϵ
bkc
∂
c
∂
0
E
a
= 0, (B.37)
que no espa¸co dos momentos ´e expresso como:
p
2
δ
kj
+ p
k
p
j
− p
0
(κ
DB
)
kc
ϵ
cji
p
i
+ (κ
DB
)
jc
ϵ
cki
p
i
˜
E
j
= 0. (B.38)
66
Reescrevemos esta equa¸c˜ao como
M
⃗
E =
⃗
0. (B.39)
onde definimos a matriz M = N − p
0
D em termos das as matrizes sim´etricas N = [N
kj
] e D = [D
kj
]
expressas como
N
kj
= p
2
δ
kj
+ p
k
p
j
, D
kj
= (κ
DB
)
kc
ϵ
cji
p
i
+ (κ
DB
)
jc
ϵ
cki
p
i
. (B.40)
As rela¸c˜oes de dispers˜ao s˜ao obtidas da condi¸c˜ao det
M
= 0, desse modo, o c´alculo exato do
determinante fornece:
det M
(p
0
)
2
= (p
0
)
4
− (p
0
)
3
trD −(p
0
)
2
2⃗p
2
+
1
2
tr
D
2
−
1
2
(trD)
2
(B.41)
+ (p
0
)
⃗p
2
trD−det D
+ ⃗p
4
+ ⃗p·D
2
⃗p
´
E f´acil notar que o termo trD proporciona uma contribui¸c˜ao de primeira ordem dos parˆametros da
VSL, enquanto os termos tr
D
2
, (trD)
2
, ⃗p ·D
2
⃗p apresentam contribui¸c˜oes de segunda ordem da VSL
e, det D fornece contribui¸c˜oes de terceira ordem da VSL.
B.3.2.1 Componentes n˜ao birrefringentes de paridade-´ımpar
Usando a parametriza¸c˜ao (B.11) e usando os dados da birrefringˆencia [17, 18] podemos impor
(κ
o−
) = 0, desse modo, obtemos a condi¸c˜ao κ
DB
= κ
HE
que junto a κ
DB
= −(κ
HE
)
T
diz que κ
DB
´e
antisim´etrica e igual a (κ
o+
):
κ
DB
= κ
o+
, (B.42)
e S˜ao parametrizadas em termos das componentes de um vetor 3D, ⃗κ,
(κ
DB
)
ij
= (κ
o+
)
ij
= ϵ
ija
κ
a
, (B.43)
Com essa informa¸c˜ao, calculamos as diferentes quantidades aparecendo no determinante (B.41)
acima:
trD = −4 (⃗κ·⃗p) , tr
D
2
= 6 (⃗κ·⃗p)
2
+ 2⃗κ
2
⃗p
2
,
(B.44)
det D = 2 (⃗κ·⃗p)
⃗κ
2
⃗p
2
− (⃗κ·⃗p)
2
, ⃗p·D
2
⃗p = ⃗p
2
⃗κ
2
⃗p
2
− (⃗κ·⃗p)
2
,
que substitu´ıdos em (B.41) proporcionam
det M = (p
0
)
2
p
2
+ 2p
0
(⃗κ·⃗p) −⃗κ
2
⃗p
2
+ (⃗κ·⃗p)
2
p
2
+ 2p
0
(⃗κ·⃗p)
, (B.45)
67
o que leva as seguintes rela¸c˜oes de dispers˜ao:
p
2
+ 2p
0
(⃗κ·⃗p) −⃗κ
2
⃗p
2
+ (⃗κ·⃗p)
2
= 0,
(B.46)
p
2
+ 2p
0
(⃗κ·⃗p) = 0,
que resultam as mesmas aparecendo na fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do setor n˜ao birrefringente de paridade
´ımpar expressa na equa¸c˜ao (5.110).
68
Apˆendice C
Primeiro artigo publicado no Physical
Review D
A publica¸c˜ao mostra os resultados obtidos para o setor de paridade-par no cap´ıtulo 5.
69
Apˆendice D
Segundo artigo publicado no Physical
Review D
A publica¸c˜ao mostra os resultados obtidos para o setor de paridade-´ımpar no cap´ıtulo 5.
70
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] H. Belich, Rev. Brasil. F´ıs. 29, 57 (2007).
[2] L. H. Ryder, Quantum Field Theory, 2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
[3] V. A. Kostelecky, Scientific Americam 291, 75 (2004).
[4] J. C. Maxwell, Treatise on electricity and magnetism, 3rd edition, 2 vols. reprint by Dover, New
York (1954).
[5] A. Einstein, Ann. Phys. (Leipzig) 322, 891 (1905); reprinted in 14, 194 (2005).
[6] V. A. Kostelecky and S. Samuel, Phys. Rev. Lett. 63, 224 (1989); 66, 1811 (1991); Phys. Rev.
D 39, 683 (1989); 40, 1886 (1989); V. A. Kostelecky and R. Potting, Nucl. Phys. B 359, 545
(1991); Phys. Lett. B 381, 89 (1996); V. A. Kostelecky and R. Potting, Phys. Rev. D 51, 3923
(1995).
[7] S. M. Carroll, J. A. Harvey, V. A. Kostelecky, C. D. Lane and T. Okamoto, Phys. Rev. Lett. 87,
141601 (2001); Z. Guralnik, R. Jackiw, S. Y. Pi, A. P. Polychronakos, Phys. Lett. B 517, 450
(2001); A. Anisimov, T. Banks, M. Dine and M. Graesser, Phys. Rev. D 65, 085032 (2002).
[8] R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics, and All That, Princeton University
Press (2000); F. Strocchi, Selected Topics on the General Properties of Quantum Field Theory,
Lecture Notes in Physics, Vol. 51, World Scientific Publishing Company (1993).
[9] G. Kane, Scientific American 288, 56 (2003).
[10] D. Colladay and V. A. Kostelecky, Phys. Rev. D 55, 6760 (1997); D. Colladay and V. A.
Kostelecky, Phys. Rev. D 58, 116002 (1998).
[11] A. P. Baeta Scarpelli and J. A. Helayel-Neto, Phys. Rev. D 73, 105020 (2006); N.M. Barraz,
Jr., J.M. Fonseca, W.A. Moura-Melo, and J.A. Helayel-Neto, Phys. Rev. D76, 027701 (2007); H.
71
Belich , J.L. Boldo, L.P. Colatto, J.A. Helayel-Neto, A.L.M.A. Nogueira, Phys.Rev. D 68, 065030
(2003); G. de Berredo-Peixoto and I.L. Shapiro, Phys. Lett. B 642, 153 (2006); A.P. Baeta
Scarpelli, H. Belich, J.L. Boldo, L.P. Colatto, J.A. Helayel-Neto, A.L.M.A. Nogueira, Nucl. Phys.
Proc. Suppl.127, 105 (2004); J.W. Moffat, Int. J. Mod. Phys. D 12 1279 (2003); F. W. Stecker
and S.T. Scully, Astropart. Phys. 23, 203 (2005); E. O. Iltan, Eur. Phys. J. C 40, 269 (2005);
Mod. Phys. Lett. A 19, 327 (2004); J. High. Energy Phys. 0306 (2003) 016; O. Bertolami and
D.F. Mota, Phys. Lett. B 455, 96 (1999);
[12] M. B. Cantcheff, C.F.L. Go dinho, A. P. Baeta Scarpelli, J.A. Helay¨el-Neto, Phys. Rev. D 68,
065025 (2003); H. Belich, T. Costa-Soares, J.A. Helayel-Neto M.T.D. Orlando, R.C. Paschoal,
Phys. Lett. A 370 , 126 (2007); H. Belich, L.P. Colatto, T. Costa-Soares, J.A. Helayel-Neto,
M.T.D. Orlando, Eur. Phys. J. C 62, 425 (2009); F.A. Brito, J.R. Nascimento, E. Passos, A.Yu.
Petrov, Phys. Lett. B 664, 112 (2008); M. Gomes, T. Mariz, J.R. Nascimento, A.J. da Silva, Phys.
Rev. D 77, 105002 (2008); F.A. Brito, L.S. Grigorio, M.S. Guimaraes, E. Passos, C. Wotzasek,
Phys. Rev. D 78, 125023 (2008).
[13] T. Jacobson, S. Liberati, and D. Mattingly, Ann. Phys. 321 , 150 (2006); T. Jacobson, S. Liberati,
D. Mattingly and F.W. Stecker, Phys. Rev. Lett. 93, 021101 (2004); T. Jacobson, S. Liberati,
and D. Mattingly, Nature 424, 1019 (2003).
[14] S. M. Carroll, G. B. Field, and R. Jackiw, Phys. Rev. D 41, 1231 (1990).
[15] C. Adam and F. R. Klinkhamer, Nucl. Phys. B 607, 247 (2001); Phys. Lett. B 513, 245 (2001);
H. Belich, M. M. Ferreira Jr, J.A. Helayel-Neto, M. T. D. Orlando, Phys. Rev. D 67, 125011
(2003); Phys. Rev. D 69, 109903 (E) (2004).
[16] R. Casana, M. M. Ferreira Jr, A. R. Gomes, P. R. D. Pinheiro, Phys. Rev. D 80, 125040 (2009).
[17] V. A. Kostelecky and M. Mewes, Phys. Rev. Lett. 87, 251304 (2001); V. A. Kostelecky and M.
Mewes, Phys. Rev. D 66, 056005 (2002).
[18] V. A. Kostelecky and M. Mewes, Phys. Rev. Lett. 97, 140401 (2006); Astrophys. J. Lett. 689,
L1 (2008).
[19] D. Bear et al., Phys. Rev. Lett. 85, 5038 (2000); M. A. Humphrey et al., Phys. Rev. A 68, 063807
(2003); F. Cane et al., Phys. Rev. Lett. 93, 230801 (2004); P. Wolf et al., Phys. Rev. Lett. 96,
060801 (2006); B. R. Heckel et al., Phys. Rev. Lett. 97, 021603 (2006).
72
[20] V. A. Kostelecky and Matthew Mewes, Phys. Rev. Lett. 99, 011601 (2007); Arthur Lue, Limin
Wang and Marc Kamionkowski, Phys. Rev. Lett. 83, 1506 (1999).
[21] Rodolfo Casana, Manoel M. Ferreira Jr and J. S. Rodrigues, Phys. Rev. D 78, 125013 (2008).
[22] J. I. Kapusta, Finite-Temperature Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1989;
M. Le Bellac, Thermal Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
[23] R. Casana, M. M. Ferreira Jr, J. S. Rodrigues and M. R. O. Silva, Phys. Rev. D 80 , 085026
(2009).
[24] R. Casana, M. M. Ferreira Jr. and M. R. O. Silva, Parity-odd and CPT-even electrodynamics of
the SME at Finite Temperature, arxiv: 0910.3709 [hep-th]. A ser publicado na revista Physical
Review D (2010).
[25] P. A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science,(Yeshiva
University, New York, 1964). P. A. M. Dirac, Generalized Hamiltonian Dynamics, Canadian
Journal of Mathematics, 2, 129 (1950); P. A. M. Dirac , The Hamiltonian form of field dynamics,
Canadian Journal of Mathematics 3, 1 (1951); Kurt Sundermeyer, Constrained Dynamics: Lecture
notes in Physics, Springer-Verlag (1982); Andrew Hanson, Tullio Regge, Claudio Teitelboin,
Constrained Hamiltonian Systems, Academia Nazionale de Lincei (1976).
[26] C. W. Bernard, Phys. Rev. D 9, 3312 (1974).
[27] L. D. Faddeev, Teoret. i Mat. Fiz. 1, 3 (1969); [Trans. Theor. Math. Phys. 1, 1 (1970).]
P. Senjanovic, Ann. Phys. 100, 227 (1976); Erratum by Y.-G. Miao, Ann. Phys. 209, 248 (1991).
[28] L. D. Faddeev and V. N. Popov, Phys. Lett. B 25, 29 (1967); B. S. DeWitt, Phys. Rev. 160, 1113
(1967).
[29] A. Kobakhidze and B.H.J. McKellar, Phys. Rev. D 76, 093004 (2007).
[30] Rodolfo Casana, Manoel M. Ferreira Jr and Carlos E. H. Santos, Phys. Rev. D 78, 105014 (2008).
[31] Rodolfo Casana, Manoel M. Ferreira Jr, A. R. Gomes and Paulo R. D. Pinheiro, Eur. Phys. J. C
62, 573 (2009).
[32] V. A. Kostelecky and M. Mewes, Phys. Rev. D 80, 015020 (2009).
73
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
