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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS
ESCOLA DE ENGENHARIA DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE ENERGIA NUCLEAR
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM TECNOLOGIAS
ENERGÉTICAS E NUCLEARES PROTEN
GILVAN LINDOLFO DA SILVA
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO COMPORTAMENTO
DINÂMICO DE PRESSURIZADORES
DE REATORES PWR
RECIFE
2007
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO COMPORTAMENTO
DINÂMICO DE PRESSURIZADORES
DE REATORES PWR
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GILVAN LINDOLFO DA SILVA
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO COMPORTAMENTO
DINÂMICO DE PRESSURIZADORES
DE REATORES PWR
Dissertação submetida ao Programa de Pós-
Graduação em Tecnologias Energéticas e
Nucleares, do Departamento de Energia
Nuclear, da Universidade Federal de
Pernambuco para obtenção do título de Mestre
em Ciências.
Área de Concentração: Engenharia de Reatores
Orientador:
Prof. Dr. Fernando Roberto de Andrade Lima
Co-Orientadora:
Profª Drª Lázara Silveira Castrillo
RECIFE
2007
S586a Silva, Gilvan Lindolfo da.
Análise de sensibilidade no comportamento dinâmico de
pressurizadores de reatores PWR / Gilvan Lindolfo da Silva. –
Recife: O Autor, 2007.
100 folhas.; il., gráfs., tabs.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de
Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Tecnologias
Energéticas e Nucleares - PROTEN, 2007.
Inclui referências bibliográficas e apêndices.
1. Energia Nuclear. 2. Reatores PWR. 3. Transitórios em
Pressurizadores. 4. Análise de Sensibilidade I. Título.
621.483 CDD (22.ed.) UFPE/BCTG/2008-023
GILVAN LINDOLFO DA SILVA
Aos meus pais Manoel Lindolfo da Silva (in memoriam) e
Belarmina Maria da Silva, pelos exemplos
de vida que deles recebi.
À minha dedicada esposa Maria das Graças, pela
paciência e incentivo.
Aos meus filhos Berliane, Gleiciane, José Gustavo e
Carliton (in memoriam), que me tornaram
um Homem melhor.
Dedico.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela graça a mim concedida de realizar este trabalho.
Ao professores Fernando Roberto de Andrade Lima e Lázara Silveira Castrillo, pela
orientação durante a realização deste trabalho.
Ao Professor Carlos Alberto Brayner de Oliveira Lira, pelo acompanhamento nos 1º e
2º Seminários e pelas sugestões por ele dadas nos referidos Seminários.
Aos demais Professores que fizeram parte das bancas de acompanhamento nos 1º e 2º
Seminários.
A todos os Professores do DEN-UFPE que contribuíram para nossa formação.
Aos servidores administrativos do DEN-UFPE pelo carinho e atenção a mim
dispensados.
Ao amigo Gilvan Farias minha eterna gratidão pelo empenho dedicado à realização
deste trabalho, cuja ajuda foi imprescindível.
Aos amigos e colegas da Coordenação de Física do CEFET-PE pelas palavras de
incentivo: Edílson de Araújo, Gilberto Holanda, Guilherme Pereira, José Geraldo, Lenival
Silva, Luiz Abelardo, Marcos Macedo, Osanan Lira e Viriato Leal.
Aos colegas de caminhada nas disciplinas cursadas pela amizade e companheirismo,
em especial a Antônio Jorge, Cristina Nascimento, Edílson Accioly, Jair Bezerra e José de
Melo.
Ao amigo Wagner Eustáquio, pela sua preciosa colaboração para a conclusão deste
trabalho.
“A mente avança até o ponto onde pode
chegar; mas depois passa para uma
dimensão superior, sem saber como lá
chegou. Todas as grandes descobertas
realizam este salto.”
Albert Einstein
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE NO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE
PRESSURIZADORES DE REATORES PWR
Autor: Gilvan Lindolfo da Silva
Orientador: Prof. Dr. Fernando Roberto de Andrade Lima
Co-orientador: Profª. Drª. Lázara Silveira Castrillo
RESUMO
Todo reator PWR é provido de um componente chamado pressurizador, cuja finalidade é
fornecer a alta pressão necessária para sua operação e conter as variações de pressão no
sistema de refrigeração. Este trabalho destina-se a determinar mudanças nas variáveis de
interesse frente às perturbações provocadas nos principais parâmetros do modelo que constitui
o código MODPRESS. Tal procedimento é conhecido como análise de sensibilidade. Para a
referida análise, o pressurizador foi tratado como um sistema termodinâmico constituído de
três volumes de controle, sendo dois deles de água e um de vapor. O volume líquido inferior
foi considerado fixo e a pressão uniforme em todos os volumes. As análises de sensibilidade
foram realizadas para transitórios de mesma natureza e utilizando-se dois pressurizadores
PWR de geometrias diferentes: o NEPTUNUS (seção de teste) e o pressurizador do reator
IRIS. A validade do modelo foi comprovada por meio da comparação entre uma simulação
numérica da temperatura de saturação versus tempo obtida por meio do código MODPRESS e
o resultado experimental obtido no pressurizador NEPTUNUS (teste U47 experimental). A
pressão final e o volume de controle final da região intermediária foram as variáveis
consideradas de maior interesse e os parâmetros perturbados foram às taxas de surge e o nível
inicial de água no volume de controle intermediário, pois suas variações são bastante
influentes nos processos termodinâmicos relativos ao modelo. Os resultados mostraram que o
volume do líquido intermediário foi a grandeza mais afetada, e a altura relativa do nível da
água neste mesmo volume foi o parâmetro mais influente nas suas perturbações para todos os
casos analisados. Para a variável pressão final, variações impostas ao insurge foram mais
influentes quando comparadas com os efeitos das variações do outsurge. Ficou ainda
comprovado que o código MODPRESS foi capaz de reproduzir satisfatoriamente os
transitórios nos dois tipos de pressurizador, demonstrando sua confiabilidade na simulação
deste dispositivo.
Palavras-chave: Reatores PWR, Transitórios em Pressurizadores, Análise de Sensibilidade.
SENSITIVITY ANALYSIS FOR THE DYNAMIC BEHAVIOUR OF PWR
REACTOR PRESSURIZERS
Author: Gilvan Lindolfo da Silva
Adviser:: Prof. Dr. Fernando Roberto de Andrade Lima
Co-adviser: Profa. Dra. Lázara Silveira Castrillo
ABSTRACT
All PWR reactors are provided with a component called pressurizer, whose aim is to supply
the necessary high pressure for its operation and to contain pressure variations in the primary
cooling system. This work is intended for determining changes in the variables of interest
caused by perturbations in the principal parameters of the pressurizer model that constitutes
the code MODPRESS. Such procedure is known as sensitivity analysis. For the referred
analysis, the pressurizer was treated as a thermodynamic system constituted of three control
volumes, two of them being liquid water and one steam. The lowest liquid volume was
considered fixed and the pressure uniform in all the volumes. The sensitivity analyses were
carried out for the same type of transient utilizing two PWR pressurizers of different
geometries: the NEPTUNUS (test section) and the IRIS reactor. The validity or the model was
confirmed by means of comparison between a numeric simulation of saturation temperature
versus time obtained by means of MODPRESS code and the experimental result obtained in
NEPTUNUS pressurizer (U47 experimental test). The final pressure and the final control
volume of intermediate region were the variables considered as of major interest and
perturbated parameters were the insurge/outsurge flows and initial water level in intermediate
control volume, because their variations are very important in the thermodynamic processes
of the model. It was verified that the intermediate liquid volume was the most affected
variable with the water level in this same volume appearing as the most influential parameter
in its variations. It was also verified that the final pressure was more sensible to insurge flows
then to outsurge flows. The results showed that the MODPRESS code is capable of
satisfactorily reproducing the investigated transients in both types of pressurizer.
Key words: PWR Reactors, Pressurizer, Sensitivity Analysis, Surge transients.
LISTA DE FIGURAS
Página
Figura 1: Esquema simplificado de um pressurizador NEPTUNUS........................................19
Figura 2: Volumes de controle do MODPRESS. .....................................................................20
Figura 3: Diagrama (modificado) de uma central nuclear PWR [disponível em
http://www.hpg.ig.com.br/reator.gif] ...............................................................................23
Figura 4: Corte transversal do vaso do reator IRIS. .................................................................29
Figura 5: Corte transversal da câmara do pressurizador do reator IRIS...................................30
Figura 6: Comportamento da resposta R com a variação do parâmetro p................................33
Figura 7: Volumes de controle do MODPRESS com os fluxos indicados. ............................36
Figura 8: Geometria do pressurizador NEPTUNUS usada na simulação. ...............................54
Figura 9: Taxa de surge versus tempo do experimento no pressurizador NEPTUNUS. .......55
Figura 10: T
sat
versus tempo no pressurizador NEPTUNUS................................................56
Figura 11: x
1
versus tempo referente a taxa de outsurge do experimento no pressurizador
NEPTUNUS. ....................................................................................................................
57
Figura 12: x
2
versus tempo
referente a taxa de outsurge do experimento no pressurizador
NEPTUNUS. ....................................................................................................................57
Figura 13: x
3
versus tempo
referente a taxa de outsurge do experimento no pressurizador
NEPTUNUS. ....................................................................................................................58
Figura 14: L20 versus tempo para o experimento no pressurizador NEPTUNUS.................58
Figura 15: Taxa do insurge para a simulação no pressurizador NEPTUNUS. ....................61
Figura 16: Pressão final versus taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS...................62
Figura 17: V
2
final versus taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS. ...........................63
Figura 18: Taxa de outsurge para simulação no pressurizador NEPTUNUS. .........................65
Figura 19 : Pressão final versus taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS.................66
Figura 20: V
2
final versus taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS........................66
Figura 21: Pressão final versus L20 no pressurizador NEPTUNUS.....................................68
Figura 22: V
2
final versus L20 no pressurizador NEPTUNUS..............................................68
Figura 23: Geometria simplificada para a simulação do pressurizador do reator IRIS............71
Figura 24: Taxa do insurge para a simulação no pressurizador do IRIS..................................73
Figura 25: Pressão final versus taxa de insurge no pressurizador do IRIS. ..........................73
Figura 26: Volume final versus taxa de insurge no pressurizador do IRIS.............................74
Figura 27: Taxa de outsurge para a simulação no pressurizador do IRIS................................75
Figura 28: Pressão final versus taxa de outsurge no pressurizador do IRIS. ..........................76
Figura 29: V
2
final versus taxa de outsurge no pressurizador do IRIS. .................................77
Figura 30: Pressão final versus L20 no pressurizador do IRIS. ..............................................79
Figura 31: V2 final versus L20 no pressurizador do IRIS........................................................79
LISTA DE TABELAS
Página
Tabela 1: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de insurge no
pressurizador.....................................................................................................................62
Tabela 2: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final
e V
2
final para variações na taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS. ...............63
Tabela 3: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade em função da taxa de insurge no pressurizador
NEPTUNUS. ....................................................................................................................64
Tabela 4: Desvios percentuais relativos no V
2
final
calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função da taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS. ..............64
Tabela 5: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de outsurge ......65
Tabela 6: Coeficiente de sensibilidade e sensibilidade das curvas- resposta da pressão final e
V
2
final, para variações na taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS. ...............66
Tabela 7: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade em função da taxa de outsurge no pressurizador
NEPTUNUS. ....................................................................................................................67
Tabela 8: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função da taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS. ...........67
Tabela 9: Pressão (final) e V2(final) em função da variação percentual de L20 no
pressurizador NEPTUNUS..............................................................................................68
Tabela 10: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final
e V
2
final para a variações de L20 no pressurizador NEPTUNUS. ...............................69
Tabela 11: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade em função de L20 no pressurizador NEPTUNUS.............69
Tabela 12: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função de L20 no pressurizador NEPTUNUS. ...............................69
Tabela 13: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de insurge no
pressurizador do IRIS.......................................................................................................
73
Tabela 14: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final
e V
2
final para variações na taxa de insurge no pressurizador do IRIS...........................74
Tabela 15: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade em função da taxa de insurge no pressurizador do IRIS.....
74
Tabela 16: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função da taxa de insurge no pressurizador do IRIS. .....................
75
Tabela 17: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de outsurge no
pressurizador do IRIS.......................................................................................................76
Tabela 18: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final
e V
2
final, para variações na taxa de outsurge no pressurizador do IRIS.......................77
Tabela 19: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade em função da taxa de outsurge no pressurizador do IRIS..77
Tabela 20: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função da taxa de outsurge no pressurizador do IRIS. ...................78
Tabela 21: pressão final e V
2
final em função da variação percentual de L20 no pressurizador
do IRIS..............................................................................................................................
78
Tabela 22: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final
e V2 final para variações de L20 no pressurizador do IRIS............................................79
Tabela 23: Desvios percentuais relativos na pressão calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função de L20 no pressurizador do IRIS. ........................................80
Tabela 24: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente
de sensibilidade em função de L20 no pressurizador do IRIS. .......................................80
LISTA DE SÍMBOLOS
Latinos:
it
A área da interface entre as regiões (2) e (3), em m
2
.
A
1eff
área de seção transversal efetiva de escoamento de bolhas no volume V
1
, em m
2
.
A
2eff
área de seção transversal efetiva de escoamento de bolhas no volume V
2
, em m
2
A
3eff
área de seção transversal efetiva de escoamento de gotículas no volume V
3
, em m
2
p
C
calor específico do fluido a pressão constante, em J/kgK.
DR
i
diâmetro de um volume de controle i, em m.
E energia de um sistema num determinado instante, em J.
e energia específica de um incremento de massa, em J/kg.
i
F
derivada do volume específico do fluído em um volume de controle i em relação à
entalpia específica, em m
3
/kg J.
i
G derivada do volume específico do fluído em um volume de controle i em relação à
pressão, em m
3
/kg J.
g aceleração da gravidade, em m/s
2
.
G densidade de fluxo de massa, em kg/h.m
2
.
H coeficiente de transferência de calor por convecção, em J/s.K.m
2
.
vc
H entalpia do fluído no volume de controle, em J.
e
h entalpia específica da que massa entra no volume de controle, em J/kg.
s
h entalpia específica da massa que sai do volume de controle, em J/kg.
i
h
entalpia específica da massa de um volume de controle i, em J/kg.
f
h entalpia específica do líquido, em J/kg.
g
h entalpia específica do vapor, em J/kg.
h
sp
entalpia específica do fluído correspondente ao spray, em J/kg.
h
vc
entalpia específica do fluído num certo volume de controle, em J/kg.
L20 altura inicial do nível de água no volume de controle intermediário V
2
, em m.
i índice do volume de controle ( i=1,2,3)
K constante de proporcionalidade do fluxo de massa na interface, em kg/sm
2
MPa.
it
.
m
fluxo de água condensada ou evaporada na interface líquido-vapor, em kg/s.
cb
.
m fluxo de água condensada pela compressão do vapor durante insurges (rain out), kg/s.
cs
.
m fluxo de água condensada sobre as gotículas do spray, kg/s.
sp
.
m taxa de água que entra no pressurizador diretamente na região de vapor devido à ação
do aspersor, em kg/s.
1rb
.
m fluxo de bolhas no estado saturado de V
1
para V
2
, kg/s.
2rb
.
m fluxo de bolhas no estado saturado de V
2
para V
3
, kg/s.
su
.
m taxa de surge, kg/s.
12
.
m fluxo de massa de água condensada ou de massa de vapor devido as trocas de massas
entre V
1
e V
2
, kg/s.
sa
.
m taxa de vapor através da válvula de alívio, em kg/s.
m
g
massa de vapor, em kg.
m
f
massa de um fluido líquido, em kg.
m
i
massa do fluído de um volume de controle i, em kg.
Δ
e
m incremento de massa que entra num certo volume de controle, em kg.
Δ
s
m incremento massa que sai de certo volume de controle, em kg.
m
vc
massa do volume de controle, em kg.
e
.
m taxa de massa entrando no volume de controle, kg/s.
s
.
m taxa de massa saindo do volume de controle, em kg/s.
i
O somatório de fluxos de massa no volume de controle i, em kg/s.
p
e
pressão de entrada de líquido no volume de controle, em Pa.
p
s
pressão de saída
de líquido
no volume de controle, em Pa.
p pressão, em Pa.
()
1elet
p potência elétrica dos aquecedores da região (1), em W.
)2.(elet
P potência elétrica dos aquecedores da região (2), em W.
sat
p pressão de saturação, em Pa.
ini
.
Q fluxo de calor entrando no volume de controle i, em W.
aq
q potência liberada pelo conjunto de aquecedores, em W.
1aq
q potência recebida pelo fluído do volume controle inferior devido aos aquecedores
dessa região, em W.
2aq
q potência recebida pelo fluído do volume de controle intermediário devido aos
aquecedores dessa região, em W.
it
q fluxo de calor entre as regiões (2) e (3), em J/s.
ΔQ calor que cruza a fronteira de certo volume de controle no intervalo de tempo Δt, em J.
vc
.
Q fluxo instantâneo de calor cruzando a fronteira de um volume de controle, em W.
R resposta de certa variável.
i
R somatório das energias devido aos fluxos de massa no volume de controle i, em J.
Ri região de um volume de controle i, em m
2
.
t
S número de Stanton.
T
amb
temperatura do ambiente em, em K.
T
i
temperatura do fluído no volume de controle i, em K.
sat
T temperatura de saturação em, K.
T
sup
temperatura na superfície do líquido, em K.
t tempo, em s.
u energia interna específica de um incremento de massa, em J/kg.
U
i
coeficiente global de transferência de calor em um fluído de volume de controle i,
em
2
sKm/J.
vc
U energia interna do fluído no volume de controle, em J.
v
ce
velocidade das gotículas resultantes da condensação espontânea durante insurge, em
m/s.
v
e
velocidade da massa que entra no volume de controle, em m/s.
v
s
velocidade da massa que sai do volume de controle, em m/s.
v
12
velocidade de ascensão de fluxo de bolhas do volume de controle V
1
para o V
2
, em
m/s.
v
23
velocidade de ascensão de fluxo de bolhas de V
2
para V
3
, em m/s.
V
i
volume de controle i, em m
3
.
ΔW
vc
trabalho realizado pelas forças de pressão aplicadas nas partes móveis da fronteira do
de certo volume de controle, em J.
ΔW
e
trabalho realizado sobre Δm
e
para introduzi-la no volume de controle, em J.
ΔW
s
trabalho realizado sobre Δm
s
para retirá-la do volume de controle, em J.
Δ
W trabalho total no sistema que inclui o trabalho das forças de pressão e os
realizados sobre Δm
e
e Δm
s
, em J.
vc
.
W Potência por conta do trabalho das forças de pressão sobre a fronteira móvel do
volume de controle, em J/s.
i
x título termodinâmico em um volume de controle i.
z altura relativa a uma referência conveniente da massa de uma partícula, em m.
Gregos:
i
α
fração de vazio de um volume de controle genérico.
δ desvio percentual relativo .
1
λ
fração de potência dos aquecedores referente ao volume de controle V
1
.
2
λ fração de potência dos aquecedores referente ao volume de controle V
2
.
sp
η fator de eficiência do spray.
e
υ volume específico do fluído que entra no volume de controle, em m
3
/kg.
s
υ volume específico do fluído que sai do volume de controle, em m
3
/kg.
i
υ volume específico do fluído no volume de controle i, em m
3
/kg.
f
υ volume específico do líquido no volume de controle, em m
3
/kg.
g
υ volume específico do vapor no volume de controle, em m
3
/kg.
fg
υ diferença entre o volume específico do vapor e do líquido no volume de controle , em
m
3
/kg.
f
ρ massa específica de líquido no volume de controle, em kg/m
3
.
g
ρ massa específica de vapor no volume de controle, em kg/m
3
.
fg
ρ
diferença entre a massa específica do vapor e do líquido no volume de controle, em
kg/m
3
.
τ tempo de atraso, em s.
SUMÁRIO
Página
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................18
1.1 Objetivos.............................................................................................................................21
2 REVISÃO DE LITERATURA...........................................................................................22
2.1 Sistema pressurizador e modelos de pressurizador ............................................................22
2.1.1 Pressurizador do projeto inovador de reator (projeto IRIS) ..........................................28
2.2 Métodos de análise de sensibilidade...................................................................................30
3 MODELO MATEMÁTICO DO PRESSURIZADOR.....................................................35
3.1 Descrição do problema.......................................................................................................35
3.2 Hipóteses simplificadoras...................................................................................................44
3.3 Equações da conservação ...................................................................................................45
3.4 Modelo matemático simplificado.......................................................................................46
3.5 Discretização do modelo matemático simplificado............................................................46
3.6 Reator em estado estacionário............................................................................................48
3.7 Código MODPRESS ..........................................................................................................50
3.8 Determinação do estado termodinâmico de um pressurizador...........................................51
4 VALIDAÇÃO DO CÓDIGO MODPRESS.......................................................................53
5 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE REALIZADA COM O CÓDIGO MODPRESS......60
5.1 Análise de sensibilidade do pressurizador NEPTUNUS....................................................60
5.2 Análise de sensibilidade do pressurizador do reator IRIS..................................................70
5.3 Resultados das Análises de Sensibilidade ..........................................................................80
6 CONCLUSÕES....................................................................................................................82
REFERÊNCIAS .....................................................................................................................83
APÊNDICES...........................................................................................................................86
18
1 INTRODUÇÃO
Um dos fatores mais preocupantes no uso pacífico da energia nuclear é a
possibilidade de ocorrência de acidentes. A otimização no projeto de equipamentos de
sistemas e a análise de segurança têm sido objetos fundamentais de pesquisa, os quais não se
limitam à tecnologia industrial, como também a um extenso número de problemas ambientais
e biológicos. Portanto, o desempenho seguro de uma usina nuclear exige uma monitoração
constante nas variáveis termodinâmicas envolvidas nos processos que ocorrem no reator e em
seus componentes, cuja finalidade é inibir ocorrência de possíveis acidentes.
Nas usinas nucleares que utilizam como refrigerante água pressurizada (reator
PWR), o circuito primário trabalha sob alta pressão e alta temperatura, porém o fluido
refrigerante permanece no estado termodinâmico de líquido sub-resfriado. No regime
estacionário, as variáveis termodinâmicas e termoidraúlicas se ajustam ao estado de operação
do sistema, ou seja, a quantidade de energia extraída pelos geradores é igual à quantidade de
energia produzida pelo reator, não ocorrendo nesta situação variações na temperatura nem no
volume do refrigerante. Acontece, porém, que em operações de seguimento de carga
decorrentes de perturbações ou incidentes de diversas origens, o equilíbrio necessário entre a
potência gerada no núcleo e a potência demandada no gerador de vapor deixa de existir. Em
conseqüência disto, um regime transitório se desenvolverá onde a pressão e a temperatura
média do circuito primário irão sofrer variações significativas. Sendo atingido este estágio,
haverá alterações nas propriedades termodinâmicas do refrigerante, afetando a
operacionalidade do reator e, como conseqüência, poderão ocorrer graves acidentes. Com a
finalidade de se inibir variações de pressão e manter o sistema pressurizado, adaptou-se ao
sistema de refrigeração, nestes tipos de reatores, um componente denominado pressurizador.
Trata-se, na realidade, de um tanque fechado e isolado termicamente do exterior,
normalmente construído em aço-carbono e com revestimento interno de aço inoxidável para
evitar corrosão. Ele é preenchido parcialmente com água e vapor, consistindo assim em uma
câmara bifásica. A Figura 1 representa um esquema simplificado de um pressurizador
convencional, onde parte superior e inferior são conectadas, respectivamente, às pernas fria e
quente do circuito primário de refrigeração. Essas ligações têm a finalidade prover de fluxo
de spray de água sub-resfriada a região do vapor ou promover saída ou entrada de água na
região líquida, dependendo evidentemente das condições de pressão. Aquecedores elétricos
19
encontram-se instalados na parede lateral interna da região que contém água, além de outros
dispositivos de controle ligados à parte superior, como válvulas de alívio e de segurança.
Figura 1: Esquema simplificado de um pressurizador NEPTUNUS.
Tendo em vista a importante função desempenhada por este componente,
tornam-se necessários estudos do seu comportamento termodinâmico, visando cada vez mais
a melhora na sua eficiência. O estudo do comportamento dinâmico de um sistema físico,
através da solução das equações que governam o comportamento do mesmo é de fundamental
importância para predições e também para conhecer, a
priori, como os parâmetros do sistema
de equações influenciam no seu comportamento dinâmico.
Neste trabalho será explorado um modelo específico de pressurizador de um
reator PWR, denominado código MODPRESS. O modelo em questão explora os principais
processos termodinâmicos que ocorrem no pressurizador. Neste modelo, o pressurizador foi
considerado dividido em três regiões (volumes de controle) como mostrado na Figura 2.
Um dos volumes de controle corresponde a uma região inferior fixa com
líquido comprimido ou saturado e os outros correspondem a regiões separadas por uma
20
fronteira móvel, com líquido comprimido ou saturado e vapor saturado ou superaquecido ou
uma mistura de ambos. Nas regiões I e II foram instalados bancos de aquecedores liberando
respectivamente potências elétricas P
elet(1)
e P
ele(2)
respectivamente.
Entre os volumes de controle V
1
e V
2
não existe separação física e a pressão
foi considerada uniforme em todo o pressurizador. O motivo pelo qual a porção líquida foi
dividida em dois volumes de controle independentes relaciona-se ao fato de tal procedimento
propiciar maior homogeneização da temperatura em cada um desses volumes.
Figura 2: Volumes de controle do MODPRESS.
As equações da conservação da massa e da energia são tratadas separadamente
para cada volume de controle e os fluidos para todos os volumes de controle são considerados
em desequilíbrio termodinâmico entre si. A análise de sensibilidade será aplicada a um
transitório no pressurizador e servirá de base para se determinar o efeito de alguns parâmetros
do sistema numa resposta particular. A modelagem adotada para descrever o pressurizador,
bem como o devido código, foram propostos por BARROSO (2004) em notas pessoais
enviadas ao IPEN e CNEN e tal código fez uso da linguagem computacional MATLAB. Para
assegurar a validade deste modelo, simulações numéricas foram realizadas em um
pressurizador convencional denominado NEPTUNUS (Netherlands Experimental Pressure
Vessel Technological University Neratoon in
US tries, na Delft University of Thecnological
Laboratory for Nuclear Power Engineering - Holanda). Na realidade tal pressurizador não
passa de um circuito experimental que modela um pressurizador PWR. Neste referido
21
circuito, muitos resultados são bem documentados na literatura e servirão de base comparativa
para a validade do já referido modelo.
1.1 Objetivos
♦ Geral
O objetivo geral deste trabalho é realizar a análise de sensibilidade em dois
tipos de pressurizadores de reatores à água pressurizada (PWR) durante transitórios de
potência.
♦ Específicos
Os objetivos específicos deste trabalho encontram-se listados em seguida
• Estimar a sensibilidade das variáveis de interesse no vaso NEPTUNUS e no reator
IRIS, frente às mudanças dos principais parâmetros, utilizando um modelo
computacional já existente.
• Identificar através da análise de sensibilidade, com o uso do método direto, os
parâmetros que mais influenciam nos resultados de uma simulação numérica do
pressurizador, com base nas magnitudes dos resultados das sensibilidades computadas.
• Fazer uma comparação da análise de sensibilidade para transitórios de mesma natureza
entre os pressurizadores em estudo.
22
2 REVISÃO DE LITERATURA
A revisão de literatura foi dividida em duas seções:
• sistema pressurizador e modelos de pressurizador;
• métodos de análise de sensibilidade.
2.1 Sistema pressurizador e modelos de pressurizador
O pressurizador é uma câmara bifásica, onde a fase vapor ocupa a parte
superior, enquanto que a fase líquida ocupa a parte inferior. Como o pressurizador é
conectado à perna quente do circuito primário por meio de um conduto de compensação,
chamado de linha de surge, o pressurizador pode então desempenhar uma de suas funções que
é a de amortecer variações de volume do refrigerante no circuito primário.
Quando a temperatura média aumenta, o fluido se expande e penetra no
pressurizador pela linha de
surge, sendo o aumento de pressão ali absorvido pela
condensação espontânea, nas paredes do pressurizador, e condensação nas gotículas do
borrifo de água fria. Isto faz com que a pressão não mais aumente, permanecendo dentro de
um limite superior aceitável. Caso o circuito primário fosse um sistema hermeticamente
fechado, pressões intensas se desenvolveriam em todos os componentes deste circuito,
colocando em risco a sua integridade. Entretanto, se o transitório for severo, outros
dispositivos do pressurizador como válvulas de segurança e alívio são acionados. Além disso,
outras medidas podem ser tomadas como o aumento da concentração de Boro, acionamento
das barras de controle e, em última instância, desligamento do reator. O conjunto dessas
medidas garante a necessária despressurização do sistema (BRUEL, 1997 ; WOISKI, 1981).
No sentido oposto, uma diminuição da temperatura média do refrigerante
conduz a uma contração de volume da água do primário, provocando a saída de água do
pressurizador pela linha de
surge com a conseqüente redução da pressão do primário,
provocando alterações nas condições de transferência de calor do núcleo do reator para o
refrigerante. Portanto, um limite inferior de pressão deve ser observado. Isto é conseguido no
pressurizador pelo acionamento de aquecedores elétricos que produzem mais vapor, até que a
pressão pare de decrescer.
23
Em linhas gerais, a água do circuito primário é aquecida no núcleo do reator e
flui através do gerador de vapor, de onde sai o vapor que alimenta o conjunto de turbinas. A
água retorna ao reator através de bombas de circulação, como mostra a Figura 3.
Figura 3: Diagrama (modificado) de uma central nuclear PWR [disponível em
http://www.hpg.ig.com.br/reator.gif]
Para Woiski (1981) e Bruel (1997), dois tipos de transitórios de cargas podem
ser observados em um reator: transitórios decorrentes de variações de cargas e aqueles
oriundos de acidentes ou condições anormais.
Em condições normais, o pressurizador é capaz de controlar variações em
torno de 10% da potência total ou variação máxima em torno de 5% da potência nominal por
minuto.
Tendo em vista o grande papel desempenhado por um pressurizador, no que
tange ao funcionamento de um reator de potência, muitos pesquisadores ligados à área
desenvolveram vários modelos para simular o comportamento dinâmico desse componente e
24
assim desencadearam-se muitas pesquisas inerentes a este assunto (BRUEL, 1997; WOISKI,
1981). Para esses autores, qualquer modelo teórico de um pressurizador toma como base a
análise de seu comportamento dinâmico. Para tanto, divide-se o pressurizador em regiões
chamadas volumes de controle. O número de regiões e suas características físicas dependem
do modelo estabelecido. A análise do comportamento dinâmico apóia-se, fundamentalmente,
nas equações de balanço de massa e energia entre volumes de controle. O balanço de energia
está ligado à 1ª lei da termodinâmica e a análise teórica do modelo deve considerar:
1.
Parâmetros geométricos, volume inicial de vapor, volume inicial do líquido.
2.
Mecanismos de condensação do vapor por compressão.
3.
Condensação nas gotas do aspersor (spray).
4.
Transferência de calor entre a interface vapor-água.
5.
Transferência de calor por condensação com as paredes do pressurizador.
6.
Transferência de calor por ebulição com as paredes do pressurizador.
7.
Transferência de calor entre o vapor e a parede por circulação natural.
8.
Transferência de calor entre o líquido e a parede por circulação natural.
9.
Transferência de calor através das paredes do pressurizador.
10.
Flashing no seio do líquido num outsurge rápido.
11.
Taxas de ebulição e condensação da água.
12.
Transferência de calor gerada pelos aquecedores.
13.
Gases não condensáveis e eliminação de gases.
14.
Abertura e fechamento das válvulas de segurança e alívio.
Incorporar todos estes fenômenos dentro de um modelo levaria a grandes
complicações e, por esta razão, muitas vezes algumas hipóteses simplificadoras são
consideradas. Todavia, o fluxo de massa e calor que cruzam as fronteiras dos volumes de
controle têm sido os pontos críticos de cada análise. A literatura referente ao assunto mostra a
quase unanimidade dos autores a respeito do uso de dois tipos de modelos:
25
• Modelo de equilíbrio termodinâmico
As equações fundamentais são aplicadas a um único volume de controle
representado pelas fases líquidas e vapor. Neste modelo água pressurizada e o vapor são
tratados como uma mistura saturada à mesma temperatura. Chang (1977) foi um dos
primeiros pesquisadores a utilizar este tipo de modelagem no código SOFTH.
• Modelo de não-equilíbrio termodinâmico
Este modelo foi utilizado pela maioria dos autores. As equações de
conservação da massa e energia são aplicadas para as fases de vapor e água separadamente,
considerando volumes e temperaturas distintas para cada uma das fases. Foi comprovado que
este modelo era mais realista que o modelo saturado em todos os instantes (NAVAHANDI et
al., 1967). Navahandi et al., 1967 comprovaram ainda nas suas pesquisas que a curva teórica
do aumento da pressão deste modelo era extremamente sensível a um certo coeficiente de
condensação ou evaporação ocorrendo na interface líquido-vapor.
O volume de controle da fase vapor não é na realidade homogêneo, ele é
composto por uma região superior, contendo vapor superaquecido, e por uma região inferior
fina ocupada por vapor, que tende à saturação na fronteira líquida. Tem sido, no entanto,
comum aproximá-lo por um único volume de vapor homogêneo considerado superaquecido.
Quanto ao modelo referente à compressão de vapor duas vertentes têm sido
predominantes: a mais simples, modelo isoentrópico, considera que nenhuma condensação
seja formada e que a compressão seja reversível. Este é o modelo mais conservativo. Outro
modelo denominado semi-isoentrópico considera que a massa do vapor condensado transfira,
através da fronteira do volume de controle, calor latente de condensação e que o vapor pode
atingir estágio de superaquecimento.
De acordo com Bruel (1997), a definição do volume de controle para a água
tem sido foco de variadas modelagens causada pela distribuição, espacialmente não uniforme,
de temperatura que subsiste na prática. A maioria dos autores que desenvolveram teorias
válidas para os processos de entrada e saída de água do pressurizador utilizou um volume de
controle para o vapor e três volumes para a água: o volume inferior contendo a água que entra
através da linha de
surge, o volume principal formado pela água presente no pressurizador, e
o volume superior constituído pelo vapor condensado e pela água proveniente do aspersor que
adentram na fase líquida.
26
Os modelos apresentados nos últimos 30 anos divergem fundamentalmente nos
métodos de modelagens e no tratamento adotado por cada autor referente às análises teóricas.
Os modelos propostos por Contzen (1962) e Dellacasa e Jacovoni (1966)
contêm um coeficiente de transferência de calor entre o vapor superaquecido e a parede.
Coughren (1965) estabeleceu, utilizando um modelo de três regiões para o pressurizador (duas
líquidas e uma de vapor), certas equações de desempenho para o pressurizador, tendo como
hipótese o vapor sempre saturado. Sua análise foi feita em duas etapas: influxo e refluxo de
água separadamente. Com o posterior desenvolvimento de técnicas experimentais, verificou-
se que sistematicamente o aumento teórico da pressão obtido no caso de influxo era bem mais
acentuado do que o aumento experimental. Percebendo o fato, Drucker e Tong (1962)
desenvolveram um modelo no qual o vapor é um sistema termodinâmico que perde calor
latente e sensível para as paredes e para o líquido, considerados como sorvedouros de calor.
Esse modelo também levou em conta a condensação do vapor sobre as gotas do spray. A
respeito deste último enfoque, a literatura revelou que não houve unanimidade entre os
autores.
Em 1965, Drucker e Gorman propuseram um modelo em que o fluxo de calor
é dividido em uma parte que é resultante da condensação e outra do resfriamento do vapor
não condensado, determinada pelo grau de superaquecimento e por um coeficiente de
transferência de calor efetivo que deve ser determinado empiricamente, independentemente da
taxa de fluxo condensado. O fluxo do aspersor nunca foi incluído em seus estudos. Nesse
mesmo ano foi publicado o código TOPS de Redfield e Margolis e, como no caso anterior,
nenhuma consideração relativa à expansão do vapor foi incluída. No código, o vapor formado
pela evaporação instantânea é suposto estar saturado e que se mistura com o vapor presente.
Considera também três volumes de controle para a água, com o volume de controle superior
misturando-se continuamente com o volume principal. A mistura completa entre os volumes
de controle da água também foi adotada por De Melker e Latzko (1969).
Cunninghan e Meyer (1960) supõem que a massa de água que evapora é
proporcional ao superaquecimento e à massa da água. De Melker e Latzko (1969) consideram
que o processo de evaporação é proporcional à entalpia total da água superaquecida. As
constantes empíricas de proporcionalidade nesses estudos não são conhecidas.
Redfield e Margolis (1965) apresentaram uma aproximação diferente em que a
evaporação é um processo essencialmente superficial. Quando o sistema vapor-água no
pressurizador está em equilíbrio, a taxa de condensação é equivalente à taxa de evaporação.
Portanto, não existe um fluxo líquido de massa de uma fase para outra.
27
Navahandi e Mackkenchery (1970) apresentaram um modelo especial em que
o vapor saturado formado no processo de vaporização instantânea entra na fase de vapor
somente depois de certo tempo de espera, que é determinado por uma constante de tempo
associada com o transporte das bolhas através do volume de água.
Goemans (1972) considerou que a superfície da parede adjacente à fase vapor
está sempre na temperatura de saturação. Como essa temperatura é função da pressão, o fluxo
de calor pode ser calculado diretamente, quando a distribuição de temperatura na parede é
conhecida, utilizando um método baseado na técnica de diferenças finitas em que a parede do
vaso é dividida em 4 nós. Durante a expansão do vapor, quando a parede seca, o fluxo de
calor da parede para o volume de vapor é fixado igual à zero. Propõe também um modelo de
condensação na superfície da água em que, quando existe o fluxo do aspersor, o fluxo de
massa do vapor seja considerado diretamente relacionado ao fluxo de massa proveniente do
aspersor. O fluxo de massa condensada na superfície da água é proporcional à massa de água
sub-resfriada, sendo introduzido um coeficiente adimensional para acomodar a resposta do
sistema. Para Bruel (1997), o processo de condensação do vapor sobre a superfície da água é
relativamente importante, porém um grande número de autores desprezou esse processo sob a
argumentação de que o calor transferido para a parede do vaso é mais importante. A
investigação analítica desse processo mostrou, no entanto que a quantidade de calor absorvido
pode ser considerável.
Em relação à transferência de calor dos aquecedores elétricos para o volume
de água principal, o modelo mais simples considera o fluxo de calor como uma fonte térmica
imediata do elemento aquecedor, sem tempo de retardo. Este modelo foi adotado na maioria
dos estudos realizados. Entretanto, Goemans (1972) e Findlay (1961) não desprezaram a
constante de tempo do aquecedor em relação ao tempo de resposta do pressurizador, e
adotaram um modelo em que o sistema de aquecedores elétricos tem uma resposta
exponencial de primeira ordem.
Muitos modelos que foram apresentados não mostraram consistência com
dados experimentais. Muitos deles consideraram o número de volumes de controles igual ao
número de fases e aplicaram as equações de conservação de massa e energia para as fases de
vapor e água, separadamente, considerando volume e temperatura distintas para cada uma das
fases.
Bruel (l997) destacou tambem as principais conseqüências termodinâmicas
relativas a dois fenômenos termodinâmicos que podem ocorrer em um reator PWR:
compressão do vapor por insurge e queda de pressão por
outsurge. A conseqüência mais
28
importante com respeito à compressão é a condensação do vapor sobre as gotas do spray e
deixou claro que este fenômeno é o mais relevante no controle da pressão do sistema. Com
respeito ao
outsurge foi dito que a conseqüência mais importante é o surgimento de bolhas,
que tem início com a queda de pressão. Diversas considerações foram feitas sobre a taxa de
crescimento de bolhas e dentre elas uma ganhou destaque, a que relaciona o crescimento
dessas bolhas com a condução de calor no líquido superaquecido. A aplicabilidade das teorias
referentes a este assunto não obteve sucesso por conta de um alto grau de complexidade de
outras medidas. Tendo em vista essas dificuldades, muitos autores não levaram em conta o
superaquecimento da água e o tempo transcorrido após o início da evaporação, e
consideraram, simplesmente, equilíbrio termodinâmico na fase da água; nesta consideração o
líquido se expande ao longo da linha de saturação e, como conseqüência, a taxa de evaporação
é fixada em um valor levemente mais alto que o valor real.
2.1.1 Pressurizador do projeto inovador de reator (projeto IRIS)
Um dos principais projetos ainda na fase de desenvolvimento é o projeto IRIS
(International Reactor Innovative and Secure). Trata-se de um consórcio internacional que
tem como objetivo projetar um reator nuclear cujas principais características são:
1.
Garantia de resistência à proliferação nuclear.
2.
Aumento substancial da segurança em todos os sentidos.
3.
Produção de energia elétrica a preços competitivos.
4.
Redução drástica do lixo nuclear.
O Brasil é representado neste projeto pela CNEN (IPEN, IEN, CDTN e
CRCN), e NUCLEP.
O reator IRIS é caracterizado pelo fato de possuir geradores de vapor, bombas
e pressurizador no interior de um vaso de pressão, juntamente com o núcleo, as barras de
controle e o refletor de nêutrons ( CARELLI et al., 2004 ). A Figura 4 mostra um corte
transversal do vaso do reator IRIS.
29
Figura 4: Corte transversal do vaso do reator IRIS.
O pressurizador do IRIS encontra-se na parte superior do vaso de pressão do
reator. Tal componente consiste de uma estrutura isolada e serve como divisor entre o fluxo
de refrigeração circulante e a água saturada do pressurizador. A transferência de calor entre o
fluido mais aquecido e a água sub-resfriada do circuito primário é atenuada devido a um
sistema isolante. Na porção inferior do pressurizador encontram-se os aquecedores, sendo tal
região dotada de orifícios, os quais são destinados à passagem do
surge.
Pelo fato do pressurizador do IRIS não possuir uma linha de spray, os tubos de
mixing ou alternativamente os orifícios de circulação, atuam no sentido de homogeneizar as
concentrações de boro entre a água saturada do pressurizador e a água refrigerante, pois a
homogeneidade do borrifo no sistema como um todo é de importância fundamental na ação
inibidora de gradientes significativos de potência. Nos pressurizadores convencionais, a vazão
do borrifo é feita através de mini-spray no topo do pressurizador.
Ainda segundo Carelli et al (2004), o pressurizador do IRIS exige um volume
de 27m
3
de água para garantir que os aquecedores fiquem totalmente submersos.
Uma vez definido um volume suficientemente seguro de água, a escolha óbvia
do projeto é maximizar o volume de vapor, visto que um grande volume de vapor fornece
uma melhor resposta de atenuação de variações de pressão. No projeto preliminar ficou
30
decidido que o volume de vapor seria de 44,75 m
3
, que corresponde a 58% de volume total do
pressurizador. A Figura 5 mostra um corte transversal da câmara do pressurizador do reator
IRIS, onde são exibidas suas principais conexões.
Figura 5: Corte transversal da câmara do pressurizador do reator IRIS.
2.2 Métodos de análise de sensibilidade
Na análise de sistemas, é comum a determinação do efeito resultante de
variações ou perturbações na solução obtida ou no funcional resposta de interesse técnico,
mediante variações dos parâmetros. Este procedimento, de uma maneira geral, é conhecido
como análise de sensibilidade e é de grande importância na compreensão do comportamento
de um sistema, quando sujeito a alterações de estado.
A análise de sensibilidade pode ser realizada, através de dois métodos, sendo
eles: o método direto e os métodos perturbativos. O método direto é realizado de forma
convencional, ou seja, através da construção da curva- resposta, na qual se varia o parâmetro
de interesse e se mantém os demais fixos. Para a obtenção do parâmetro mais sensível do
31
sistema, calcula-se o valor da variável resposta, para cada variação do parâmetro em estudo,
de forma consecutiva, tornando o processo bastante trabalhoso (TITO, 2001).
A análise de sensibilidade feita através dos métodos perturbativos trouxe como
grandes vantagens, uma maior facilidade e rapidez dos resultados, principalmente quando a
solução numérica do sistema direto é muito onerosa do ponto de vista computacional.
A eficiência da teoria da perturbação, amplamente mostrada na área de física
dos reatores, é o fator que tem motivado o uso desta teoria baseando-se no fato de que, com
apenas uma execução do código, obtêm-se as sensibilidades desejadas com respeito às
variações dos parâmetros, poupando-se assim esforço e tempo de computação.
As formulações da teoria da perturbação para análise de sensibilidade podem
ser agrupadas em três categorias. Esses métodos levam às mesmas expressões para o
coeficiente de sensibilidade e são divididos de acordo com a abordagem usada na sua
derivação. Assim os três formalismos são:
• O método da teoria da perturbação generalizada (GPT), que faz uso exclusivo da
conservação da função importância. Este método foi largamente utilizado nos trabalhos de
Gandini(1982,1987,1995); Lima e Alvim (1986,1987); Lima(1990) e Lima et al., (1993);
• O método Variacional tem como característica a minimização da variável de interesse.
Segundo Tito (2001) este método foi adotado em particular por Lewins (1965) e Pomraning
(1967).
• O método diferencial, se baseia na diferenciação do funcional resposta considerado, foi
proposto por Oblow (1978) e largamente utilizado por Cacuci et al.,(1980) e Cacuci (2000).
Para Lima (1990), a escolha do formalismo depende da preferência do
pesquisador, ou seja, é puramente uma questão de conveniência ou precedente histórico, já
que os formalismos chegam a expressões idênticas para os coeficientes de sensibilidade.
Porém, algum método poderá ser mais vantajoso que outro, a depender do tratamento
particular das condições de contorno.
Segundo Castrillo (2003), o formalismo GPT aplicado no campo da
termoidraúlica foi usado pela primeira vez por Lima (1986,1990). Neste último trabalho, o
autor aplicou o formalismo diferencial e o GPT a um problema termoidraúlico relacionado
com núcleo de reatores refrigerados à água leve, baseado no modelo matemático do COBRA-
IV-1. Foi desenvolvido um programa chamado CSTPG que, acoplado ao COBRA-IV-1,
32
fornece os valores da função importância e do coeficiente de sensibilidade para dois
problemas típicos: um primeiro consistindo de um canal refrigerante com uma vareta
combustível e um segundo consistindo de dois canais refrigerantes com duas varetas
combustíveis. Os resultados obtidos usando métodos perturbativos comparados com aqueles
obtidos diretamente com o COBRA-IV-1 mostraram excelentes concordâncias. Cacuci (2000)
também fez uso do formalismo diferencial, aplicando o mesmo ao código RELAP5/MOD3.2,
que se trata de um dos mais avançados códigos de simulação das características
termoidraúlicas para reatores de água leve (LWR), usando um modelo de escoamento bifásico
não-homogêneo e de não equilíbrio entre as fases. Assim, se inclui a simulação de gases não
condensáveis e a injeção de boro. O autor apresenta os principais aspectos da implementação
do formalismo, a validação e os resultados para escoamentos monofásicos e bifásicos. O caso-
problema que foi usado para a aplicação é o conhecido problema “Edward Pipe”. Os
resultados obtidos para todos os casos apresentam uma boa concordância quando comparados
aos cálculos realizados diretamente com o código RELAP5/MOD3.2.
Outra aplicação do formalismo diferencial merecedora de destaque, foi feita por
Castrillo (2003), onde o formalismo foi aplicado a um modelo de escoamento bifásico
tratando-se, na realidade da generalização de uma aplicação simplificada apresentada por
Cacuci (1982) a um modelo de escoamento bifásico unidimensional e homogêneo. Castrillo
(2003) determinou os coeficientes de sensibilidade para funcionais contínuos e discretos e os
seus resultados foram comprovados através de várias simulações.
Segundo Tito (2001), outros trabalhos com aplicação dos métodos perturbativos
na área de reatores nucleares e seus sistemas, foram feitos por Sanders et al. (1988) e
empregaram o formalismo diferencial para calcular os coeficientes de sensibilidade em
modelos lineares e não lineares relacionados a diversos parâmetros termoidraúlicos, em
regime estacionário, no gerador de vapor de uma central nuclear PWR (Pressurized Water
Reator). Outra aplicação, relativa ao formalismo diferencial, em problemas termoidraúlicos,
foi realizada por Oliveira (1988) e por Oliveira et al. (1989), com a execução de cálculos de
sensibilidade em núcleos de reatores simulados com o uso de um modelo simplificado de dois
canais, proposto por Silva Filho (1979).
Assim, vários estudos que consideraram diversos funcionais de interesse e o
uso de diferentes formalismos foram realizados com sucesso, levando muitos pesquisadores a
difundirem esta nova sistemática de cálculos de sensibilidade.
O método direto para a análise de sensibilidade do código MODPRESS foi
escolhido neste trabalho por se constatar que o programa computacional relativo ao sistema
33
direto fornecia os valores temporais das variáveis de interesse para certo transitório, num
intervalo de tempo relativamente curto. Com o uso do método perturbativo este tempo seria
ainda menor, pois o sistema adjunto é constituído de equações bem mais simples em relação
ao sistema direto. Por outro lado o modelo matemático em questão incorpora um grau de
complexidade, bastante grande tendo em vista que muitos dos parâmetros têm
interdependência em relação a outros parâmetros, o que implica num aumento gradual de
dificuldade para se fazer à análise de sensibilidade através do referido método.
Ainda para Tito (2001), a análise de sensibilidade possui objetivos
fundamentais que, realizados em conjunto, fornecem um perfil suficiente para o estudo da
influência das mais diversas variações de parâmetros. Para a análise feita por meio do método
direto, constrói-se a chamada curva-resposta (Figura 6), ou seja, o gráfico que relaciona as
variações de certa variável provocadas pelas variações impostas num determinado parâmetro.
O conjunto de todas as curvas-resposta relativas a cada variável para as variações de todos os
parâmetros considerados, corresponde a uma superfície denominada superfície-resposta.
Figura 6: Comportamento da resposta R com a variação do parâmetro p.
Para este método de análise de sensibilidade, duas grandezas são de vital
importância: o coeficiente de sensibilidade e a sensibilidade.
34
• Coeficiente de sensibilidade
Corresponde ao coeficiente angular da reta tangente à curva resposta no ponto
de referência. Seu valor pode ser obtido de forma aproximada por meio de uma escolha prévia
de variações de parâmetros, conforme a seguinte expressão:
)Po%nPo()Po%nPo(
RR
P
R
s.c
)po%npo()po%npo(
i
−−+
−
=
δ
δ
=
−+
onde:
aRδ representa a variação da resposta;
a
i
Pδ representa a variação do parâmetro genérico;
an incremento que neste trabalho o valor adotado foi 1,5%.
• Sensibilidade (S
i
)
Trata-se do coeficiente de sensibilidade relativo aos valores não perturbados do
parâmetro e da variável estudada, sendo portanto adimensional. A sensibilidade fornece a
magnitude do grau de perturbação da variável de interesse e é dada pela seguinte expressão:
Ro
Po
.
P
R
S
i
i
i
δ
δ
=
onde:
a
i
Po
Parâmetro de referência i;
aRo Valor da resposta de referência.
A análise de sensibilidade desempenha papel indispensável no estudo da
influência da variação dos parâmetros nas variáveis-resposta, em variadas situações.
35
3 MODELO MATEMÁTICO DO PRESSURIZADOR
3.1 Descrição do problema
O modelo teórico de pressurizador a ser utilizado como referencial para o
presente trabalho de análise de sensibilidade será descrito neste item.
O modelo em questão utiliza, para a sua formulação, as hipóteses adotadas
por Goemans (1987) notadamente nas equações de conservação de massa e de energia para
os volumes de controle da água e do vapor, assim como para os modelos de transferência de
massa e calor. Este procedimento deve-se aos bons resultados obtidos pelo referido autor no
estudo experimental de pressurizadores realizado durante o projeto do pressurizador
NEPTUNUS. As principais considerações relacionadas à modelagem teórica foram
corroboradas através de testes experimentais executados por ele no circuito experimental
NEPTUNUS.
A Figura 7 a seguir mostra as principais variáveis da modelagem do sistema,
associadas aos processos de fluxos de massa e de energia em cada volume de controle, num
determinado instante. Combinando-se estes processos de fluxos juntamente com as hipóteses
simplificadoras e os princípios de conservação da massa e energia, chega-se ao sistema direto
correspondente ao modelo, chamado aqui de modelo matemático simplificado. Fazendo a
discretização do referido sistema, escolhendo-se um método numérico adequado e utilizando-
se o uso de uma linguagem computacional específica para a obtenção da solução numérica do
sistema do sistema direto, fica determinado desta forma o modelo matemático do
pressurizador.
36
Figura 7: Volumes de controle do MODPRESS com os fluxos indicados.
Os volumes de controle (V
1
) e (V
2
) da Figura 7 correspondem a líquido
comprimido ou saturado e (V
3
) da mesma figura corresponde a vapor superaquecido ou
saturado.
Dois bancos de aquecedores são instalados nas regiões líquidas
correspondentes aos volumes de controle V
1
e V
2
. Os aquecedores são divididos em dois
grupos que atuam de forma independente e são controlados de acordo com a pressão. A
potência total dos aquecedores é a soma das potências fornecidas pelos dois bancos e é
denotada por q
aq
. Cada banco apresenta um tempo de atraso, que corresponde ao intervalo de
tempo transcorrido desde o acionamento dos aquecedores até o fluxo de calor atingir o
regime permanente. Na Figura 7, tem-se:
37
•
su
.
m - taxa de surge, resultado das variações de temperatura no circuito primário de
refrigeração. Tal fluxo pode ser positivo (
insurge) ou negativo (outsurge), dependendo se
entra ou sai do pressurizador, sendo considerado um dado conhecido.
•
cb
.
m - fluxo de água condensada espontaneamente pela compressão do vapor durante
insurges. Esta água possui entalpia do líquido saturado e é fornecida pelo programa durante
um transitório assumindo a seguinte expressão:
3ce3
eff
3cb
/v).1.(Am υα−=
&
. (1)
onde:
fce
/00111,0v υ= : velocidade das gotículas resultante da condensação espontânea, em m/s.
f
υ : volume específico do líquido resultante da condensação de vapor, em m
3
/kg
:A
eff3
área de seção transversal efetiva de escoamento das gotículas no volume de controle
3
V em, m
2
.
:
3
α fração de vazio no volume V
3
.
:
3
υ volume específico do fluído no volume de controle V
3
, em m
3
/kg.
•
1rb
.
m - fluxo de bolhas de vapor subindo com velocidade v
12
da região (1) no estado
saturado para (2) por
flashing e durante um transitório é fornecida pelo programa assumindo a
seguinte expressão:
1
2
11
eff
11rb
/v.Am
υ
α= (2)
onde:
eff1
A : área de seção transversal efetiva de escoamento das bolhas no volume V
1
,
em m
2
.
:
1
α fração de vazio no volume de controle V
1
2
1
v : velocidade de ascensão do fluxo de bolhas de V
1
para V
2
, em m/s.
l
υ : volume específico do fluído no volume de controle V
1
, em m
3
/kg.
•
2rb
.
m - fluxo de bolhas de vapor subindo de V
2
para V
3
com velocidade v
23
. O fluxo de
massa evaporada tem inicialmente a entalpia do líquido saturado de V
2
e adquire a entalpia de
saturação de vapor ao chegar no volume V
3
e no estado transitório é fornecida pelo programa
assumindo a seguinte expressão:
2
3
22
eff
22rb
/v..Am υα= (3)
onde:
38
:A
eff2
área de seção efetiva de escoamento das bolhas no volume V
2
, em m
2
.
:
2
α
fração de vazio no volume de controle V
2
.
3
2
v : velocidade de ascensão das bolhas do volume de controle V
2
para V
3
, em m/s.
:
2
υ volume específico do fluido no volume de controle V
2
, em m
3
/kg.
Qualquer que seja a situação, do volume de controle V
1
para V
2
ou de V
2
para
V
3
, a velocidade de fluxos de bolhas é função de
iiifgg
eDRT,,
α
ρ
ρ
, onde:
g
ρ
: massa específica do vapor do volume de controle, em kg/m
3
.
fg
ρ : diferença entre a massa específica do vapor e a do líquido do volume de controle, em
kg/m
3
.
i
T : temperatura do fluido no volume de controle i, em K.
i
DR
: diâmetro do um volume de controle i, em m.
i
α : fração de vazio do fluido do volume i de controle.
•
12
.
m - fluxo de massa de água condensada ou de massa de vapor devido à troca de massas
entre os volumes V
1
e V
2
na saturação e no estado transitório é dada pela equação A
3
(22)
obtida no apêndice A
3
.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
υ
+−=
dt
dp
G
dt
dh
F
V
mmm
1
1
1
2
1
1
1rbsu12
&&&
(4)
onde:
F
1
: derivada do volume específico em relação à entalpia específica do fluido no volume de
controle V
1
.
G
1
: derivada do volume específico em relação á pressão do fluído no volume de controle V
1
.
As expressões de F
i
e G
i
encontram-se demonstradas no apêndice no apêndice
A
2
e destacadas como equações (A
2
.10) e (A
2
.11).
•
sa
.
m
- taxa de vapor de saída através da válvula de alívio e depende do valor da pressão no
pressurizador.
•
sp
.
m - taxa de água de spray que entra no pressurizador diretamente na região de V
3
, sendo
geralmente administrado por um sistema de controle automático.
39
•
cs
.
m - fluxo de água condensada sobre as gotículas do spray. A água do aspersor é extraída
da perna fria, sendo atomizada no volume de vapor, aumentando consideravelmente a área
superficial de transferência de calor. Além disto, a temperatura dessa água está, geralmente,
30°C a 40°C abaixo da temperatura de saturação do pressurizador. Esta taxa de condensação
pode ser calculada através de um balanço de energia:
f
cs
.
f
sp
.
3
cs
.
sp
sp
.
hmhmhmhm +=+ , daí vem:
()
f3
spf
sp
.
cs
.
hh
hhm
m
−
−
=
(5)
onde
sp
m
&
: taxa de massa líquida por conta do spray, em kg/s.
f
h
:
entalpia específica da saturação da água para a pressão do sistema, em J/kg.
3
h : entalpia específica do volume de controle V
3
, em J/kg.
sp
h : entalpia específica das gotículas de spray em J/kg.
Segundo Goemans (1972) Equação (5) é válida apenas quando as gotículas
provenientes do aspersor atingem a interface antes de atingirem a saturação. A condensação
do vapor sobre as gotas do aspersor é um dos processos que mais influencia a resposta de um
sistema durante uma compressão. O uso de um fator de eficiência
sp
η
( rendimento do spray) é
aconselhável para os casos onde o fluxo do aspersor é pequeno e não se tenha uma boa
atomização da água do aspersor dentro do volume de controle. Além do volumes das gotas do
spray, tal fator de rendimento encontra-se também relacionado à altura do volume de vapor.
Então:
fg
spf
sp
.
sp
cs
.
hh
)hh(m
m
−
−
η=
(6)
•
it
.
m - fluxo “líquido” de água condensada ou evaporada na interface 2 e 3. Este fluxo
poderá ser determinado pela teoria cinética dos gases.
(
)
[]
supsatit
it
.
TppKAm −=
(7)
40
onde :
K : constante de proporcionalidade, em
MPams
kg
2
it
A
: área da superfície da interface, em m
2
.
p : pressão parcial do vapor de água, em MPa/m
2
.
sat
p : pressão de saturação para a temperatura da superfície
(
)
sup
T , em MPa/m
2
.
sup
T
: temperatura da superfície líquida, em K.
Se p for maior que
sat
p , ocorrerá condensação, caso contrário é a evaporação
que acontece. A temperatura da superfície não é conhecida, mas pode ser aproximada pela
temperatura do volume líquido V
2.
O valor de K depende de ocorrer, evaporação ou
condensação. Isto porque com água escoando para fora do pressurizador haverá rápida
transformação de líquido para vapor e agitação da superfície e nesta situação
2
T
poderá mais
consistentemente assemelhar-se ao valor de
sup
T
. Com água entrando no pressurizador, no
entanto,
sup
T será bem maior que
2
T e, neste caso, a constante K terá que levar em
consideração os gradientes de temperatura espaciais. Redfield e Margolis (1965) utilizaram
esse modelo, conseguiram bons resultados, e recomendaram o uso de K como:
Para condensação:
K= 0,0709
MPams
kg
2
Para a evaporação:
MPas
m
kg
3452,28K
2
=
•
it
q -Fluxo de calor que atravessa a interface de
2
V e
3
V pode ocorrer através de dois
mecanismos: condução e convecção onde este último é o predominante e é calculado através
do número de Stanton e o coeficiente de transferência de calor H.
p
GC
H
St =
(8)
()
[]
sat3itfgitit
T-THAT-THAq ==
(9)
41
onde:
St : número de Stanton
H : coeficiente de transferência de calor da região de vapor para a interface, em J/sKm
2
.
G : densidade de fluxo de massa, em kg/sm
2
.
C
p
: calor específico à pressão constante, em J/kg K.
it
A : área interfacial, em m
2
.
g3
TT = :
temperatura do sistema na região de vapor, em K.
sat
T : temperatura de saturação do líquido, em K.
•
1aq
q
- Corresponde a potência recebida pelo volume de controle V
1
devido aos aquecedores
localizados nesta região.
Para os aquecedores localizados nesta região, têm-se:
1aq)1(ele
1aq
qP
dt
dq
=τ (10)
onde:
τ - tempo de atraso
)1(elet
P - potência elétrica dos aquecedores de (1)
Resolvendo-se a Equação diferencial (10), chega-se ao resultado
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
τ
−
t
)1.(elét1aq
e1Pq (11)
O tempo de atraso (τ) é sempre constante e corresponde a 15 s. A potência
recebida por cada volume de controle líquido corresponde a uma fração da potência total
liberada pelos aquecedores (q
aq
).
q
1aq
=λ
1
q
aq
( 0 ≤ λ
1
≤ 1 ) (12)
•
1w
q - Corresponde à potência que V
1
libera através das paredes do pressurizador e tal
potência depende do valor da pressão e do nível da água neste volume.
Daí se conclui que:
1waq1
in1
.
qqQ −λ= (13)
42
onde:
in1
.
Q : Corresponde ao fluxo líquido de calor entrando no volume de controle V
1
.
•
2aq
q - Corresponde a potência recebida pelo volume de controle V
2
devido ao banco de
aquecedores localizados nessa região.
Da mesma forma como foi calculado
1aq
q , Equação (12), pode-se encontrar
2aq
q
que está apresentado na Equação (14).
aq22aq
qq λ= ( 0 ≤ λ
2
≤ 1 ) (14)
Dependendo da localização do banco, ou bancos de aquecedores nos volumes
líquidos, uma dessas frações da potência total
1aq
q ou
2aq
q
, pode vir a ser nula. No entanto
sempre que os aquecedores estiverem acionados, têm-se que: λ
1
+ λ
2
=1. Como conseqüência,
pode-se então escrever:
=
2aq
q( 1- λ
1
)
aq
q (15)
•
2w
q - corresponde à potência que V2 libera através das paredes do pressurizador.
Daí se conclui que:
it2w2aq
in2
.
qqqQ +−= . (16)
A Equação (16), fornece o fluxo líquido de calor entrando no volume de
controle V
2
e pode ser escrita de outro modo:
()
2witaq1
in2
.
qqq1Q −+λ−= . (17)
•
3w
q - corresponde à potência que V
3
libera através das paredes do pressurizador.
O fluxo líquido de calor no volume de controle V
3
denotado por
in3
.
Q , é dado
pela seguinte expressão:
3wit
in3
.
qqQ −−= . (18)
43
No programa,
3w2w1w
qeq,q
foram considerados apenas no estado
estacionário o qual se encontra abordado no item 3.6 e suas expressões , estão discriminadas a
seguir:
)T)1(T.(SR).1(Uq
amb11w
−= (19)
)T)2(T(SR).2(Uq
amb22w
−= (20)
)T)3(T(SR).3(Uq
amb33w
−= . (21)
onde:
U(1): coeficiente global de transferência de calor através das paredes da região de líquido
inferior e o meio.
U(2): coeficiente global de transferência de calor através das paredes da região líquida
intermediária e o meio.
)3(U : coeficiente global de transferência de calor através das paredes da região de vapor e o
meio.
T(1), T(2) e T(3), correspondem às temperaturas dos volumes de controle V
1
, V
2
e V
3
respectivamente.
SR
1
, SR
2
são as superfícies molhadas dos volumes de controle V
1
e V
2
e SR
3
e a superfície do
volume de controle V
3
.
T
amb
: Temperatura do ambiente.
Os processos de transferência de calor e de massa são de importância
fundamental no controle do comportamento termodinâmico do pressurizador. Para um
determinado volume de controle, todo fluxo de massa ou de calor que entra neste volume, será
considerado positivo, caso contrário negativo. No caso específico de fluxo líquido na
interface, será positivo para a condensação e negativo para a evaporação. Durante a
compressão o processo mais importante é a condensação do vapor sobre as gotículas de água
atomizada pelo aspersor e como conseqüência surge uma queda de pressão no vaso. A massa
de água borrifada pelo aspersor entra no pressurizador na condição de líquido comprimido,
com a entalpia da perna fria do circuito primário e se aquece rapidamente até a temperatura de
saturação. O aspersor é acionado por um sinal de pressão alta, acima de um certo valor,
denominada pressão de ligamento.
Durante a expansão o processo mais importante é a evaporação da água, onde
sua temperatura é maior que a de saturação (T > T
sat
). O surgimento de bolhas tem início com
44
a queda da pressão no interior do vaso. O fluxo de formação de bolhas pode ser considerado
constante, mas ele depende da propagação de calor no seio do líquido, da pressão e da
interação entre bolhas.
Durante um transitório no pressurizador quatro variáveis serão alteradas
externamente.
•
Taxa de surge: é o resultado das variações de temperatura no circuito primário de
refrigeração sendo considerada a única função externa verdadeira, podendo ser positiva,
quando a água entra no pressurizador, ou negativa quando sai.
•
Taxa do Aspersor: geralmente controlado por um sistema de controle automático atuando
sobre a pressão do circuito primário.
•
Taxa de alívio de vapor: depende das características das válvulas de alívio e do sistema de
controle de pressão.
•
Potência elétrica dos aquecedores: é também controlada pela pressão e/ou pelo sinal do
nível da água. Normalmente os aquecedores são colocados em diversos bancos, e serão
ligados dependendo dos pontos de controle especificados para cada banco.
3.2 Hipóteses simplificadoras
No caso específico deste modelo, tais hipóteses estão listadas a seguir:
• A pressão é uniforme em todos os volumes de controle.
•
O volume de controle V
1
será considerado constante para qualquer transitório.
•
A condução de calor entre os volumes de controle não será considerada neste modelo.
•
As perdas de calor através das paredes do pressurizador durante um transitório serão
negligenciadas neste modelo. As do estado estacionário serão calculadas em 3.6.
•
Não existe separação física entre as regiões V
1
e V
2
.
.
45
•
As válvulas de alívio, de segurança e do spray serão consideradas sempre fechadas neste
trabalho.
•
A entalpia do insurge é constante, ao passo que a do outsurge é aquela correspondente ao
volume de controle inferior.
3.3 Equações da conservação
Para se executar a análise termodinâmica dos três volumes de controle, o
modelo baseia-se na equação da continuidade (conservação de massa), na Primeira Lei da
Termodinâmica (conservação da energia). As Equações (22) e (23) correspondem
respectivamente, às Equações A
1
.2 e A
1
.29 desenvolvidas no Apêndice A
1
.
∑∑
=−+
••
se
eS
vc
0mm
dt
dm
→ Conservação de massa (22)
∑∑
•••
−++=
es
sse
e
vc
vc
vcvc
hmhm
dt
dp
VQ
dt
hdm
→ Conservação de energia (23)
Onde:
vc
m - massa do volume de controle.
s
m
•
- taxa de massa saindo do volume de controle.
e
m
•
-taxa de massa que entra no volume de controle
vc
h -entalpia específica do volume de controle.
e
h - entalpia específica de entrada no volume de controle.
s
h - entalpia específica de saída no volume de controle.
total
V - volume do pressurizador.
t
- tempo.
vc
Q
•
- fluxo instantâneo de calor no volume de controle.
46
3.4 Modelo matemático simplificado
Foi obtido com base nas Equações (22) e (23) que foram obtidas no apêndice
A
1
, considerando-se um volume de controle arbitrário com fronteira móvel e trocando massa,
calor e trabalho em regime transitório com o meio externo.O modelo do pressurizador trata
estas equações para cada volume de controle separadamente. O sistema direto foi obtido no
Apêndice A
3,
de forma que as Equações (A
3
.29) a (A
3
.33) correspondem, respectivamente, às
Equações (24) a (28).
0O
dt
dh
F
V
dt
dV
1
dt
dp
G
V
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
=−
υ
−
υ
+
υ
− (24)
() ()
0O
dt
dh
F
V'V
dt
dV
1
dt
dp
G
V'V
3
3
3
2
3
22
3
3
2
3
2
=−
υ
−
−
υ
−
υ
−
−
(25)
()
0RQ
V
hO
Vdt
dh
dt
dp
1in1
1
1
11
1
11
1
=+
υ
−
υ
++υ−
&
(26)
()
0RQ
V
hO
Vdt
dh
dt
dp
2in2
2
2
22
2
22
2
=+
υ
−
υ
++υ−
&
(27)
() ()
()
0RQ
V'V
hO
V'Vdt
dh
dt
dp
3in3
2
3
33
2
33
3
=+
−
υ
−
−
υ
++υ−
&
(28)
3.5 Discretização do modelo matemático simplificado
Definindo:
a)
y - vetor das variáveis dependentes, dado por:
y
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
2
h
h
h
V
p
(29)
47
b)
A - matriz diagonal dada por:
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
υ
υυ
=
3
2
3
2
2
2
1
1
1
O
V'V
,O
V
,O
V
,0,0
(30)
c)
b - vetor coluna dado por:
b
()
()
()
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
υ
−
+
υ
−
+
υ
−
−
−
=
3in3
2
3
2in2
2
2
1in1
1
1
3
2
RQ
V'V
RQ
V
RQ
V
O
O
&
&
&
(31)
d)
α
- matriz que contém os coeficientes das derivadas temporais de y definida por:
α
() ()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
υ−
υ−
υ−
υ
−
−
υ
−
υ
−
−
υ
−
υ
υ
−
=
1000
0100
0010
F
V'V
00
1
G
V'V
0F
V
0
1
G
V
3
2
1
3
2
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(32)
As Equações (24) a (28) podem ser escritas como:
0bAyy
dt
d
=++α ou
0bAyy
dt
d
11
=α+α+
−−
(33)
Aplicando diferenças finitas tem-se:
()
bAy
t
yy
n
1
n1n
+α−≅
Δ
−
−
+
∴
()
bAy.tyy
n
1
n1n
+αΔ≅
+
(34)
48
Esta equação corresponde à solução aproximada do sistema (33) e a matriz
α
desta mesma equação trata-se de uma matriz comprovadamente inversível.
3.6 Reator em estado estacionário
No estado estacionário, a quantidade de energia extraída pelos geradores é
igual à quantidade de energia produzida pelo reator, portanto não há variações na temperatura
nem do volume do refrigerante (m
su
= 0). O vapor e a água são mantidos no estado de
saturação
()
cteT
sat
= . Das Equações (7) e (9) respectivamente, tem-se que: 0m
it
= e 0q
it
= .
Tem-se também que:
.
su
.
sa
it
..
sp
mmmm === =0
Escrevendo o balanço de massa e energia para as três regiões:
a) Balanço de massa:
0mmmmmmm
1rb121rb12sus1e1
=−−=−−=−
∑∑
&&&&&&&
(35)
=−++=+−+++=−
∑∑
2rbcb121rbcs2rbitcb121rbs2e2
mmmmmmmmmmmm
&&&&&&&&&&&&
0 (36)
0mmmmmmmmmm
2rbcb2rbcssacbitsps3e3
=+−=+−−−−=−
∑∑
&&&&&&&&&&
(37)
b) Balanço de energia:
0RQhmhmQ
1in1s1s1e1e1in1
=+=−+
∑
∑
&
&&
&
(38)
0RQhmhmQ
2in2s2s2e2e2in2
=+=−+
∑
∑
&
&&
&
(39)
0RQhmhmQ
3in3s3s3e3e3in3
=+=−+
∑
∑
&
&&
&
(40)
onde:
hmhmhmR
g1rb1212susu1
&&&
−−= (41)
cscsg2rbgitfcb1212g1rb2
hmhmhmhmhmhmR
&&&&&&
+
−
+++= (42)
hmhmhmhmhmhmR
g2rbfcs3safcbititgsp3
&&&&&&
+
−
−
−
−=
(43)
49
Logo, vem:
(
)
hhmhmhmRQ
g121rbg1rb12121in1
−
=−−==−
&&&
(44)
g2rbfcb1212g1rb2in2
hmhmhmhmRQ
&&&&
−
++==− (45)
hmhmRQ
g2rbfcb3in3
&&
+−==−
(46)
Como conseqüência tem-se:
(
)
(
)
g121rb1waq1
hhmqq −=−λ−
&
(47)
()
[
]
(
)
(
)
gfcb12g1rb2waq1
hhmhhmqq1
−
+−=−λ−−
&&
(48)
(
)
fgcb3w
hhmq −=
&
(49)
Conclui-se então que no estado estacionário tem-se:
()
1w12g1rb1aq
1
1w12g1rb
aq
qhhmq
q)hh(m
q +−=→
λ
+−
=
&
&
(50)
(
)
()
(
)
()
12g
2aqfgcb2w
1rb
12g
aq1fgcb2w
1rb
hh
qhhmq
m
hh
q)1(hhmq
m
−
−
−
+
=→
−
λ−−−+
=
&
&
&
&
(51)
()
fg
3w
cb
hh
q
m
−
=
&
(52)
No estado estacionário há um equilíbrio de massa e de energia convectivas.
As perdas de calor dos volumes de controle através das paredes estão equilibradas com a
potencia calorífica dos aquecedores como se pode demonstrar abaixo.
Das Equações (13), (16) e (18) listadas, respectivamente, a seguir:
1waq1in1
qqQ −λ=
&
()
2witaq1in2
qqq1Q −+λ−=
&
3win3
qQ −=
&
e das Equações (44), (45) e (46) dispostas, respectivamente, a seguir:
50
(
)
g121rbg1rb12121
in1
.
hhmhmhmRQ −=−−==−
&&&
g2rbfcb1212g1rb2
in2
.
hmhmhmhmRQ
&&&&
−++==−
g2rbfcb3
in3
.
hmhmRQ
&&
+−==−
vem que:
a
in1
.
in2
.
in3
.
QQQ −−=
()
()
()()
∴−=−−−
→λ+λ−−=−−−
→λ−λ−−=−−−
→+λ−+λ−−=−
aq1w2w3w
aq111w2w3w
aq1aq11w2w3w
1waq12waq13w
qqqq
q1qqq
qq1qqq
qqqq1q
aq1w2w3w
qqqq =++ (53)
3.7 Código MODPRESS
O modelo de pressurizador chamado código MODPRESS foi montado por meio
do uso do método numérico de Euler na equação diferencial obtida através da discretização do
modelo simplificado (Equação 34), e da incorporação da linguagem computacinal MATLAB
para resolver de forma aproximada às equações do modelo proposto por Barroso (2004). A
condição inicial do referido código é o estado estacionário, onde a temperatura de saturação
foi considerada valendo 326,5
o
C e o passo de tempo considerado em qualquer simulação
feita com o uso deste código foi tomado como sendo 0,5s. A geometria do pressurizador
utilizado na simulação, cujos resultados foram considerados como base para efeitos de
comparação com dados experimentais para a comprovação do grau de confiabilidade do
referido código, encontra-se apresentada no item 4 deste trabalho.
51
3.8 Determinação do estado termodinâmico de um pressurizador
No código MODPRESS, o volume de controle V
3
pode se encontrar no estado
de vapor saturado ou vapor superaquecido, enquanto que os volumes de controle V
1
e V
2
podem se encontrar no estado saturado ou comprimido. A determinação desses estados é de
fundamental importância para que os elementos procurados sejam determinados corretamente.
O estado termodinâmico de um sistema pode ser determinado por meio do título
termodinâmico de vapor que está definido neste trabalho da seguinte maneira:
A expressão do título termodinâmico é obtida por meio da determinação das
frações de vapor e líquido saturado. A fração volumétrica de vapor para um volume de
controle específico é dada pela expressão:
i
α =
i
g
i
g
i
g
.
m
m
V
V
υ
υ
= (54)
onde:
V
g
: volume de vapor.
V
i
: volume de controle i.
m
g
: massa de vapor no volume de controle i.
m
i
: massa do fluído em um volume de controle i.
g
υ
: volume específico do vapor no volume de controle i.
υ
i
: volume específico do fluído no volume de controle i.
A expressão
i
g
m
m
, corresponde ao título termodinâmico de vapor do volume de
controle em estudo e será aqui denotado por (x
i
).
i
g
.ii
i
g
i
x
m
m
x
υ
υ
=α= a (55)
Como:
1
m
m
m
m
i
g
i
f
=+
Para a fase líquida tem-se:
i
f
i
f
i
f
i
.
m
m
V
V
1
υ
υ
==α− ,
i
fi
i
i
f
ii
1
)x1(
)x1(1
α−
υ−
=υ
υ
υ
−=α−
aa (56)
52
Substituindo-se a Equação (55) na equação (56), vem:
fi
i
g
ii
i
g
i
f
ii
)x1()x1(
x1
)x1( υ−=
υ
υ
−υ
υ
υ
−
υ
−=υ a
, daí tem-se:
∴
υ
+
υ
=
υ
→
υ
−
υ
+
υ
=υ
υ
−υ=υ−υ
gfifififgiififgii
xxxxx a
gf
fi
i
x
υ
υ−υ
= (57)
Expressando
i
x
em função de alguma variável do sistema bifásico que seja
conhecida, por exemplo, a entalpia
i
h , vem:
gf
fi
i
h
hh
x
−
= (58)
O conceito de título termodinâmico pode ser generalizado para identificar os
demais estados termodinâmicos possíveis dos volumes de controle, como mostrado a seguir:
• Líquido resfriado ou comprimido
0xhh
ifi
<< a (59)
• Líquido saturado
i
h = 0xh
if
=a (60)
• Vapor saturado
i
h =1xh
ig
=a (61)
• Vapor superaquecido
1xhh
igi
>> a (62)
Caso as fases do volume de controle em estudo estejam em equilíbrio
termodinâmico, o título termodinâmico sempre estará contido no intervalo [0,1]
53
4 VALIDAÇÃO DO CÓDIGO MODPRESS
Por meio do uso deste código podem ser feitas simulações numéricas, cujos
resultados servem de base para comparação com resultados experimentais. A validação do
código MODPRESS utilizado neste trabalho foi comprovada por meio da comparação entre
os resultados experimentais da variação temporal da temperatura de saturação, obtidos no
pressurizador NEPTUNUS (GOEMANS, 1987), e os resultados obtidos por meio de uma
simulação numérica feita com o uso do referido código, utilizando as mesmas condições
iniciais. O teste escolhido para a comparação foi o U47 experimental e o transitório
considerado foi uma taxa de surge uniforme, de valor correspondente a -3,25kg/s, durante um
intervalo de tempo de 15 a 55s. Uma vez validado, o código MODPRESS servirá de
referência para o presente estudo de análise de sensibilidade, onde as influências das
variações impostas aos parâmetros nominais nas variáveis de interesse serão computadas por
meio do referido modelo. A condição inicial do programa é o estado estacionário, onde são
conhecidos os valores das variáveis dinâmicas e o estado termodinâmico do pressurizador.
As características principais do pressurizador NEPTUNUS, utilizado para a
validação código MODPRESS, são descritas a seguir:
•
configuração do vaso:
O vaso do pressurizador possui um volume total de 1,1m
3
. Este volume está
dividido em três regiões: R1=R
11
+R
12
, R2=R
21
+R
22
e R3 com volumes respectivamente iguais
a 0,234m
3
, 0,765m
3
e 0,0969m
3
. O volume de controle V
1
(fixo) corresponde ao volume da
região R1=0,234m
3
. Entretanto, os volumes de controle V
2
e V
3
, são variáveis e seus valores
iniciais denotados por V
20
e V
30
, valem respectivamente 0,447m
3
e 0,415m
3
.
A Figura 8 ilustra esquematicamente o pressurizador NEPTUNUS utilizado na
validação do código MODPRESS. Observe-se que, exceto para R1, as demais regiões R não
coincidem necessariamente com os volumes de controle V.
54
Figura 8: Geometria do pressurizador NEPTUNUS usada na simulação.
•
Pressão e temperatura
A pressão do sistema é 12,3 MPa e a temperatura de saturação valendo
326,5
o
C.
•
Elementos aquecedores
O sistema de controle dos aquecedores elétricos é acionado tanto pela pressão
quanto pelo nível de água no vaso. Neste modelo foi considerado apenas um banco de
aquecedores instalado na região R2 e constituído de 24 aquecedores com constante de tempo
de 15 s, fornecendo potência total de 17 kw.
55
•
Taxa de surge do experimento versus tempo
O transitório começa com saída de água no instante t = 15s, de valor constante
e durante um intervalo de tempo de 40 s. A Figura (9) ilustra a taxa de
surge correspondente
ao transitório em função do tempo.
Figura 9: Taxa de surge versus tempo do experimento no pressurizador NEPTUNUS.
Estabelecida a taxa de
surge do experimento, foi feita uma simulação numérica
com o uso do código MODPRESS para o mesmo transitório do experimento e, desta forma,
foi obtido o gráfico T
sat
versus tempo. Comparando-se o gráfico da simulação com o
encontrado experimentalmente, chegou-se à conclusão da validade do MODPRESS. A Figura
10 ilustra a comparação entre os dois gráficos.
56
Figura 10: T
sat
versus tempo no pressurizador NEPTUNUS.
Analisando-se os gráficos acima, observa-se que a diferença máxima entre as
temperaturas de saturação para as duas situações e no final do transitório é da ordem de 1
o
C,
desvio considerado insignificante do ponto de vista de aplicação real. Deve-se destacar
também a capacidade do código em detectar o início e o fim do transitório com uma precisão
bastante satisfatória. Além do mais durante o transitório, os valores das temperaturas
encontram-se bastante próximos e assim torna-se aceitável a validade do referido código, e
assim desta forma ficarão merecedoras de crédito as análises que serão realizadas.
Com a intenção de deixar evidente a ação dos efeitos do transitório imposto ao
modelo do pressurizador, seguem como complementação os valores temporais dos títulos x
1
,
x
2
e x
3
dos fluídos nos volumes de controle V
l
, V
2
e V
3
, além da exposição gráfica da
variação temporal da altura do nível de V
2
para o transitório de surto do experimento. As
Figuras 11, 12, 13 e 14 ilustram tais situações.
57
Figura 11: x
1
versus tempo referente a taxa de outsurge do experimento no pressurizador NEPTUNUS.
Figura 12: x
2
versus tempo
referente a taxa de outsurge do experimento no pressurizador NEPTUNUS.
58
Figura 13: x
3
versus tempo
referente a taxa de outsurge do experimento no pressurizador NEPTUNUS.
Figura 14: L20 versus tempo para o experimento no pressurizador NEPTUNUS.
59
Analisando-se os gráficos temporais dos títulos de vapor dos volumes de
controle do modelo em questão, obtidos por meio de simulações numéricas com o uso do
código MODPRESS, pode-se verificar que os resultados obtidos estão bastante próximos dos
títulos correspondentes aos estados termodinâmicos iniciais dos volumes de controle da
modelagem. Isto é um indicativo de que o estado termodinâmico pouco se altera durante o
transitório no pressurizador. Este fato aqui comprovado complementa a consistência do
referido código, além do mais, por meio da análise de tais gráficos, pode-se conseguir obter
conclusões sobre os fenômenos que interferiram nas variações de tais títulos.
É possível que a taxa de
outsurge imposta ao pressurizador tenha sido, de
início, o fator responsável direto no sentido de substituir a água sub-resfriada do volume de
controle V
1
pela do volume V
2
mais aquecida e, como conseqüência, a entalpia e o título de
V
1
aumentaram. Durante o transitório ocorre queda de pressão no pressurizador por conta da
expansão do vapor e, por conseguinte, a temperatura desse fluído acompanha este decréscimo
contribuindo, desta forma, para a queda do seu título destacado na Figura 13. O transitório
imposto ao pressurizador provoca queda do nível da água e a conseqüência mais importante
deste fato é o aumento da eficiência relativa dos aquecedores sobre o volume líquido
resultante e, assim ficam justificados os aumentos dos títulos dos fluídos nos volumes de
controle V
1
e V
2
.
Nas proximidades dos 25s, por conta do decaimento de pressão, inicia-se o
processo de fluxos de bolhas na região líquida contribuindo, desta forma, para a redução do
crescimento dos títulos das sub-regiões dessa fase. O volume de vapor por sua vez continua
em expansão e após 30s acentua-se o fluxo de bolhas e, como conseqüência, inicia-se a queda
dos títulos dos fluídos nos volumes de controle V
1
e V
2
. A partir deste instante a ação dos
aquecedores não consegue contra-balancear o decréscimo desses títulos e, em contra partida, a
velocidade de decaimento do título de vapor começa a decrescer por conta da evaporação na
interface. Após o transitório V
3
pára de expandir-se e o calor fornecido pelos aquecedores
fica retido totalmente no interior do vaso e, estando ainda a pressão no vaso muito baixa em
relação à pressão inicial, ocorre aumento da evaporação na interface provocando diminuições
mais acentuadas nos títulos dos líquidos de V
1
e V
2
e aumento do título do vapor.
Evidentemente, com o transcorrer do tempo, o sistema tende a adquirir novamente uma
situação de estado estacionário. Quanto ao gráfico temporal de L20 para o mesmo
trasnsitório, é observada uma variação negativa. Este fato está inserido no contexto óbvio,
pois a taxa de
outsurge provoca queda do nível de água no volume V
2
.
60
5 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE REALIZADA COM O CÓDIGO MODPRESS
A análise de sensibilidade tem como objetivo básico determinar o grau de
influência da variação de certo parâmetro sobre certa variável de interesse. Deste modo toma-
se ciência da magnitude da influência do parâmetro sobre a referida variável.
Certificada a validade do referido código, a pressão e o volume de controle
intermediário V
2
, foram as variáveis de maior interesse e os parâmetros perturbados foram às
taxas de
surge e o nível inicial de água no volume de controle intermediário, pois suas
variações são bastante influentes nos processos termodinâmicos relativos ao modelo. Para se
executar a análise de sensibilidade, constrói-se o gráfico denominado curva-resposta, ou seja,
aquele que relaciona as variações das respostas com as variações do parâmetro. Com a
inclusão da reta relativa ao coeficiente de sensibilidade, torna-se possível verificar as
aproximações lineares para variações negativas ou positivas do parâmetro. Neste item, a
análise de sensibilidade com o uso do código MODPRESS, será feita para dois
pressurizadores de geometrias diferentes: pressurizador NEPTUNUS e o pressurizador do
reator IRIS.
5.1 Análise de sensibilidade do pressurizador NEPTUNUS
Para a referida análise de sensibilidade, os valores dos parâmetros
anteriormente mencionados foram tomados como sendo taxa de surto 2,4 kg/s e -2,4 kg/s, ou
seja taxa de
insurge e outsurge respectivamente, e a altura inicial L20 do volume de controle
V
2
como sendo 0,790 m. Como conseqüência o valor do volume V
2
inicial terá aqui um valor
aproximadamente igual a 0,397m
3
. A pressão inicial foi considerada como valendo 12,3MPa
ou seja o mesmo valor considerado na simulação numérica feita com o uso do código para
efeitos comparativos com dados experimentais. Os valores iniciais das variáveis são taxados
de referenciais e seus valores finais, ou seja, após os transitórios serão aqui considerados no
instante 100s. No caso de fluxo de
surge, o transitório encontra-se especificado e será
considerado no intervalo de tempo de 15 a 55 s. Para o caso específico do parâmetro L20, o
transitório considerado foi tomado como sendo taxa de
insurge de 2,4 kg/s e no mesmo
intervalo de tempo já mencionado anteriormente. Para efeitos de análise das configurações
gráficas das curvas-resposta, serão feitos cálculos dos desvios percentuais relativos das
61
variáveis de interesse pertencentes às curvas-resposta, e os valores dessas variáveis fornecidos
por meio do coeficiente de sensibilidade.
As variações percentuais impostas aos parâmetros para efeitos de análise de
sensibilidade foram consideradas num intervalo de -3% a 3% com passos percentuais de
1,5%.
Os valores iniciais dos parâmetros de interesse anteriormente mencionados
foram adotados após um estudo prévio que revelou se no final do transitório existiria volume
vazio e o banco de aquecedores continuaria submerso no caso de
outsurge, e no caso de
insurge, se o nível de água não ultrapassaria a linha divisória da abóbada superior. Estas
condições foram estabelecidas para evitar a necessidade de chaveamento dos aquecedores e
abertura de válvulas de alívio, simplificando a análise do fenômeno.
PARÂMETRO TAXA DE
INSURGE
O gráfico referente a Figura 15 mostra o valor temporal de referência do
parâmetro taxa de
insurge cujas variações percentuais foram tomadas como base para efeitos
de análises de sensibilidade das variáveis-resposta de interesse.
Figura 15: Taxa do insurge para a simulação no pressurizador NEPTUNUS.
62
A Tabela 1 abaixo, mostra a obtenção da pressão final e V
2
final em função da
variação percentual do referido parâmetro
durante uma simulação com o uso do código
MODPRESS no pressurizador NEPTUNUS. Como complemento, são exibidas as Figuras 16
e 17 que mostram o perfil de variação de cada variável em termos das variações percentuais
deste parâmetro.
Tabela 1: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de insurge no pressurizador
NEPTUNUS.
Variações da taxa
de
insurge
Valores da taxa de
insurge
(kg/s)
Pressão
Final(MPa)
V
2
Final(m
3
)
Referência+ 3% 2,472 14,2858813 0,5578447
Referência+1,5% 2,436 14,2508686 0,5554769
Referência 2,400 14,2161781 0,5531096
Referência -1,5% 2,364 14,1817694 0,5507436
Referência - 3% 2,328 14,1476337 0,5483776
Figura 16: Pressão final versus taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS.
63
Figura 17: V
2
final versus taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS.
A Tabela 2 a seguir fornece os coeficientes de sensibilidade (c.s) e as
sensibilidades (s) com base nas nos valores obtidos das variáveis em função dos valores dos
parâmetros. Os cálculos foram feitos levando-se em conta os pontos, anterior e posterior em
relação ao ponto referência.
Como as perturbações impostas no parâmetro apresentam passos percentuais
pequenos, o coeficiente de sensibilidade correspondente a cada situação, coincide
praticamente com o coeficiente angular da reta (r) que tangencia a curva resposta no ponto de
referência. Para se avaliar a natureza de cada curva-resposta, foram medidos os desvios
percentuais relativos dos valores das variáveis de interesse calculadas pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade para o parâmetro em questão como mostrados nas Tabelas 3 e 4.
Tabela 2: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final e V
2
final para
variações na taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS.
Pressão final versus taxa de insurge V
2
final versus taxa de insurge
95971,0
072,0
0690992,0
s.c == MPa.s/kg
06574,0
072,0
0047333,0
s.c == m
3
s/kg
18726,0
3,12
4,2
.95971,0s ==
39732,0
3970973,0
4,2
.06574,0s ==
As referidas Tabelas mostram que se tivéssemos tomados passos percentuais
maiores nas variações do parâmetro, as sensibilidades não seriam afetadas, pois é verificado
por meio dos valores dos desvios relativos percentuais apresentados que as curvas-resposta se
aproximam da linearidade e assim passos percentuais maiores poderiam ter sido tomados.
64
Tabela 3: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo coeficiente de
sensibilidade em função da taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (p final versus taxa de insurge)
913,11m.95971,0p
su
+
=
Taxa de
Insurge
(kg/s)
Pressão final
(Mpa)
Pressão∈ reta referencial
(MPa)
erro relativo perc. δ, onde
δ= |p(méd) – p∈ r| / p∈r
2,472 14,2858813 14,285403 0,003%
2,436 14,2508686 14,250853 0,001%
2,400 14,2161781 14,216304 0,0008%
2,364 14,1817694 14,181754 0,0001%
2,328 14,1476337 14,147204 0,003%
Conclusão: o gráfico, pressão versus insurge pode ser considerado linear.
Tabela 4: Desvios percentuais relativos no V
2
final
calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade em
função da taxa de insurge no pressurizador NEPTUNUS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (V
2
final versus taxa de insurge)
3953,0m.06574,0V
su2
+
=
Taxa de
insurge
(kg/s)
V
2
final
(m
3
)
V
2
∈ reta referencial
(m
3
)
Erro relativo perc. δ, onde
δ= |V
2
(méd) – V
2
∈ r| / V
2
∈r
2,472 0,5578447 0,5578093 0,006%
2,436 0,5554769 0,5554426 0,006%
2,400 0,5531096 0,5530761 0,006%
2,364 0,5507436 0,5507093 0,006%
2,328 0,5483776 0,5483427 0,006%
Conclusão: o gráfico, V
2
final versus insurge pode ser considerado linear.
PARÂMETRO TAXA DE
OUTSURGE
O gráfico referente a Figura 18, mostra o valor temporal de referência do
parâmetro taxa de
outsurge cujas variações percentuais servirão de base para efeitos de
análise de sensibilidade das variáveis-resposta de interesse anteriormente mencionadas.
65
Figura 18: Taxa de outsurge para simulação no pressurizador NEPTUNUS.
A Tabela 5 a seguir mostra a obtenção da pressão final e de V
2
final em função
da variação percentual deste parâmetro durante uma simulação feita com o uso do código no
pressurizador NEPTUNUS. As Figuras 19 e 20 mostram o perfil da variação de cada variável
em termos das variações percentuais do parâmetro em questão enquanto a Tabela 6 fornece os
coeficientes de sensibilidade e as sensibilidades das variáveis de interesse.
Tabela 5: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de outsurge
no pressurizador NEPTUNUS.
Variações da taxa
de
outsurge
Valores da taxa
outsurge (kg/s)
Pressão Final (MPa) V
2
Final (m
3
)
Referência + 3% -2,472 11,4870927 0,2212973
Referência +1,5% -2,436 11,4961637 0,2230227
Referência -2,400 11,5085988 0,2256414
Referência -1,5% -2,364 11,5210220 0,2282625
Referência - 3% -2.328 11.5334335 0.2308860
66
Figura 19 : Pressão final versus taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS.
Figura 20: V
2
final versus taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS.
Tabela 6: Coeficiente de sensibilidade e sensibilidade das curvas- resposta da pressão final e V
2
final, para
variações na taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS.
Pressão final versus taxa de outsurge V
2
final versus taxa de outsutge
34526,0
072,0
024858,0
s.c == MPa.s/kg
07277,0
072,0
005239,0
s.c == m
3
.s/kg
06736,0
3,12
4,2
.34526,0s =
−
=
43981,0
3970973,0
4,2
.07277,0s =
−
=
67
As Tabelas 7 e 8 a seguir mostram desvios percentuais relativos irrelevantes
das variáveis calculadas pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade, para as variações do
parâmetro e, daí se conclui que tais curvas são praticamente lineares.
Tabela 7: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo coeficiente de
sensibilidade em função da taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (p final versus taxa de outsurge)
3372,12m.34526,0p
su
+
=
Taxa de
outsurge
(kg/s)
Pressão final
(MPa)
Pressão∈reta referencial
(MPa)
Erro relativo perc. δ, onde
δ= |p(méd) – p∈ r| / p∈r
-2,472 11,4870927 11,4837172 0,02%
-2,436 11,4961637 11,4961466 0,0001%
-2,400 11,5085988 11,5085760 0,0001%
-2,364 11,5210220 11,5210053 0,0001%
-2,328 11,5334335 11,5334347 0,0001%
Conclusão: o gráfico, pressão versus outsurge pode ser considerado linear.
Tabela 8: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função da taxa de outsurge no pressurizador NEPTUNUS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (V
2
versus taxa de outsurge)
4003,0m.07277,0V
su2
+
=
Taxa de
outsurge
(kg/s)
V
2
final
(m
3
)
V
2
∈ reta referencial
(m
3
)
Erro relativo perc. δ, onde
δ= |V
2
(méd) – V
2
∈ r| / V
2
∈r
-2,472 0,2212973 0,2204125 0,04%
-2,436 0,2230227 0,2230323 0,004%
-2,400 0,2256414 0,2256520 0,005%
-2,364 0,2282625 0,2282717 0,004%
-2,328 0,2308860 0,2308914 0,002%
Conclusão: o gráfico, V2 versus outsurge pode ser considerado linear.
PARÂMETRO L20
A Tabela 9 fornece a variação da pressão final e V
2
final em função da
variação percentual do parâmetro L20 e as Figuras 21 e 22 fornecem um perfil da curva-
resposta relativa a cada variável. A Tabela 10 fornece o coeficiente de sensibilidade e as
sensibilidades das variáveis em questão, ao passo que as Tabelas 11 e 12 fornecem os desvios
68
percentuais relativos das variáveis medidas pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade em
função de L20.
Tabela 9: Pressão (final) e V2(final) em função da variação percentual de L20 no pressurizador NEPTUNUS.
Variações de
L20
Valores de L20
(m)
Pressão Final (MPa) V
2
Final(m
3
)
Referência+3% 0,8137000 14,2259830 0,5652875
Referência+1,5% 0,8018500 14,2211543 0,5591964
Referência) 0,7900000 14,2161781 0,5531096
Referênci -1,5% 0,7781500 14,2110691 0,5470269
Referência - 3% 0,7663000 14,2058412 0,5409481
Figura 21: Pressão final versus L20 no pressurizador NEPTUNUS.
Figura 22: V
2
final versus L20 no pressurizador NEPTUNUS.
69
Tabela 10: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final e V
2
final para a
variações de L20 no pressurizador NEPTUNUS.
Pressão final versus L20 V
2
final versus L20
42194,0
0237,0
01,0
s.c == MPa/m
51348,0
0237,0
01217,0
s.c == m
2
02710,0
3,12
79,0
.42194,0s ==
02153,1
3970973,0
79,0
.51348,0s ==
Tabela 11: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo coeficiente de
sensibilidade em função de L20 no pressurizador NEPTUNUS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (p final versus L20)
883,1320L.42194,0p
+
=
L20(m)
Pressão final
(MPa)
pressão
∈ reta referencial
(MPA)
erro relativo perc.
δ, onde
δ= |p(méd) – p∈ r| / p∈r
0,8137000 14,2259830 14,2263325 0,002%
0,8018500 14,2211543 142213325 0,001%
0,7900000 14,2161178 14,2163326 0,001%
0,7781500 14,2110691 14,2113326 0,001%
0,7663000 14,2058412 14,2063326 0,003%
Conclusão: o gráfico, pressão versus L20 pode ser considerado linear.
Tabela 12: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função de L20 no pressurizador NEPTUNUS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (V
2
final versus L20)
14746,020L.51348,0V
2
+
=
L20(m) V
2
final(m)
V
2
∈ reta referencial(m)
erro relativo perc.
δ, onde
δ= |V
2
(méd) – V
2
∈ r| / V
2
∈r
0,8137000 0,5652875 0,5648186 0,08%
0,8018500 0,5591964 05587339 0,08%
0,7900000 0,5531096 0,5526492 0,06%
0,7781500 0,5470269 0,5465645 0,08%
0,7663000 0,5409481 0,5404797 0,08%
Conclusão: o gráfico, pressão versus L20 pode ser considerado linear.
Analisando os valores das sensibilidades obtidas em cada curva-resposta, pode-
se concluir que as variações percentuais na taxa de
insurge e na do outsurge pouco
contribuíram na variação da pressão final; no entanto, estas variações afetaram de forma mais
significativa o volume V
2
. Com respeito às variações provocadas em L20, ficou também
constatado que a variável V
2
foi a mais afetada. O fato de a variável pressão final ter sido a
70
menos afetada, de certo modo já era esperado, pois uma das funções do pressurizador é o
controle de variações de pressão.
O método direto aplicado apresenta desvantagem no caso da curva-resposta ser
muito acentuada, tornar-se então obrigatório nesta situação a utilização de pontos nas
vizinhanças do ponto de referência. No entanto, neste trabalho, esta desvantagem ficou
praticamente anulada, pois as curvas-resposta apresentam-se praticamente lineares, o que
possibilita a escolha de pontos mais afastados do ponto de referência.
5.2 Análise de sensibilidade do pressurizador do reator IRIS
O MODPRESS, código em MATLAB, para o pressurizador do IRIS não pode
ser validado através de comparação experimental, pois como foi mencionado na revisão de
literatura, tal pressurizador trata-se de um projeto ainda na fase de desenvolvimento.
A análise de sensibilidade em questão irá levar em conta dados geométricos que
não sejam conflitantes com a proposta de Carelli et al (2004), ou seja, será considerado um
volume inicial de vapor em torno 44m
3
que corresponde a um percentual em torno de 58% do
volume total do pressurizador.
Identicamente como foi considerado na análise de sensibilidade do
pressurizador NEPTUNUS, a condição inicial do programa é o estado estacionário, onde são
conhecidos o estado termodinâmico do sistema e os valores das variáveis dinâmicas. As
dimensões geométricas do pressurizador em questão para a referida análise, estão
especificadas na Figura 23 e que corresponde um corte transversal do vaso do reator IRIS.
71
Figura 23: Geometria simplificada para a simulação do pressurizador do reator IRIS.
O pressurizador do IRIS é composto de três regiões. A região (1) trata-se de um
cilindro localizado na porção inferior do vaso. Tal região possui diâmetro DR1 valendo 2,9m,
altura de 1,181m e volume aproximadamente igual a 7,8m
3
.
A região (2) é formada por uma porção cilíndrica e outra correspondente a um
setor esférico. A altura do cilindro constituinte desta região vale 0,199m e seu diâmetro DR2
vale 6,223m. A altura desta região é denotada por L20 e vale 0,92m seu volume foi obtido
somando-se o volume do cilindro com o do setor esférico obtendo-se o valor aproximado de
20,67m
3
.
As regiões (1) e (2) correspondem a um volume inicial de água de
aproximadamente 28,47m
3
. A região (3) equivale a uma calota esférica de volume
aproximado 48,46m
3
e trata-se de uma região de vapor. O raio (R) da semi-esfera corresponde
ao raio do cilindro constituinte da região (2). O volume total do pressurizador calculado
aproximadamente vale 76,93m
3
. Nestas condições, o percentual de vapor em relação ao
volume total do pressurizador vale aproximadamente 62%. É notório que as condições
geométricas iniciais aqui apresentadas, produz uma proposta que se aproxima bastante da
proposta inicial de Carelli, et al (2004).
A região (1) corresponde ao volume de controle V
1
que é considerado fixo. A
região (2) é variável e seu volume corresponde ao volume de controle V
2
e a região (3)
também é variável e seu volume corresponde ao volume de controle V
3
.
72
A pressão inicial do sistema foi considerada no programa como valendo
15,5MPa e a temperatura de saturação correspondente valendo 328,5ºC. O sistema banco de
aquecedores, encontra-se instalado na região (1) e é constituído de 60 aquecedores tendo cada
um altura correspondente a 1m e foi considerado desativado durante os transitórios.
Tendo em vista a importância de comparação dos aspectos dos gráficos obtidos
para as duas situações de análise de sensibilidade, serão tomados aqui, parâmetros de mesma
natureza e consideradas as mesmas variáveis. A taxa de
surge foi tomada como sendo 20kg/s
e durante um intervalo de tempo de 15 a 140s, para o caso do parâmetro L20, o transitório
considerado também foi a taxa de
insurge. Será feita também aqui uma análise dos desvios
percentuais relativos dos valores das variáveis de interesse calculadas por meio do código e
pelo coeficiente de sensibilidade.
As variações percentuais provocadas nos parâmetros foram consideradas as
mesmas implementadas na análise de sensibilidade do pressurizador NEPTUNUS e os valores
das variáveis após os transitórios foram agora considerados no instante 250s.
PARÂMETRO TAXA DE
INSURGE
Identicamente ao procedimento feito para o pressurizador NEPTUNUS a
Figura 24 a Tabela 13 e as Figuras 25 e 26 mostram respectivamente o valor temporal de
referência da taxa de
insurge os resultados e os gráficos das variáveis-resposta em termos das
variações impostas neste parâmetro. As sensibilidades que aparecem na Tabela 14 e os
desvios percentuais relativos que estão apresentados nas Tabelas 15 e 16 complementam de
forma respectiva à mensuração de tais variações e o perfil de cada curva- resposta.
73
Figura 24: Taxa do insurge para a simulação no pressurizador do IRIS.
Tabela 13: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de insurge no pressurizador do
IRIS.
Variações da
Taxa de
insurge
Valores da taxa
de insurge (kg/s)
Pressão Final (MPa) V
2
Final (m
3
)
Referência + 3% 20,6 16,3406629 24,1965543
Referência+1,5% 20,3 16,3264711 24,1387297
Referência 20 16,3111483 24,0763231
Referência-1,5% 19,7 16,2981178 24,0240000
Referência - 3% 19,4 16,2851041 23,9716744
Figura 25: Pressão final versus taxa de insurge no pressurizador do IRIS.
74
Figura 26: Volume final versus taxa de insurge no pressurizador do IRIS.
Tabela 14: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final e V
2
final para
variações na taxa de insurge no pressurizador do IRIS.
Pressão final versus taxa de insurge V
2
final versus taxa de insurge
04725,0
6,0
028353,0
s.c
== MPa.s/kg 19122,0
6,0
1147297,0
s.c
== m3.s/ kg
06097,0
5,15
20
.04725,0s
== 18500,0
6721408,20
20
.19122,0s
==
Tabela 15: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo coeficiente de
sensibilidade em função da taxa de insurge no pressurizador do IRIS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (p final versus taxa de insurge)
36615,15m.04725,0p
su
+
=
Taxa de
insurge
(kg/s)
Pressão final
(MPa)
Pressão
∈ reta referencial
(MPa)
Erro relativo perc.
δ, onde
δ= |p(med) – p∈ r| / p∈r
20,6 16,3406629 16,3395000 0,007%
20.3 16,3264711 16,3253250 0,007%
20 16,3111483 16,3111500 0,000%
19,7 16,2981178 16,2969750 0,007%
19,4 16,2851041 16,2828000 0,010%
Conclusão: o gráfico, pressão versus insurge pode ser considerado linear.
75
Tabela 16: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função da taxa de insurge no pressurizador do IRIS.
Equação da reta tangente que passa pelo ponto de referência (V
2
final versus insurge)
25192,20m.19122,0V
su2
+
=
Taxa de
insurge
(kg/s)
V
2
final
(m
3
)
V
2
∈ reta referencial
(m
3
)
erro relativo perc.
δ, onde
δ= |V
2
(méd) – V
2
∈ r| / V
2
∈r
20,6 24,1965543 24,1910520 0,02%
20,3 24,1387297 24,1336860 0,02%
20 24,0763231 24,0763200 0,00%
19,7 24,0240000 24,0189540 0,02%
19,4 23,9716749 23,9615880 0,04%
Conclusão: o gráfico, V
2
final versus insurge pode ser considerado linear.
PARÂMETRO TAXA DE
OUTSURGE
Na Figura 27, mostra-se graficamente o valor temporal de referência da taxa
de
outsurge cujas variações serão tomadas como base para a determinação das análises de
sensibilidade das variáveis-resposta de interesse.
Figura 27: Taxa de outsurge para a simulação no pressurizador do IRIS.
A Tabela 17 mostra a obtenção da pressão final e de V
2
final em termos das
variações percentuais impostas no parâmetro em questão durante uma simulação feita com o
76
uso do código MODPRESS no pressurizador do IRIS, enquanto as Figuras 28 e 29 mostram
os gráficos que fornecem o perfil da variação de cada variável. A Tabela 18 fornece os
coeficientes de sensibilidade e as sensibilidades das variáveis e, as Tabelas 19 e 20 fornecem
respectivamente os desvios percentuais relativos das variáveis medidas pelo código e pelo
coeficiente de sensibilidade para as variações implementadas no referido parâmetro.
Tabela 17: Pressão final e V
2
final em função da variação percentual da taxa de outsurge no pressurizador do
IRIS.
Variações da taxa
de
outsurge
Valores da taxa de
outsurge
(kg/s)
Pressão Final
(MPa)
V
2
Final
(m
3
)
Referência+ 3% -20,6 15,0983073 15,5621917
Referência+1,5% -20,3 15,1055380 15,6449755
Referência -20 15,1126205 15,7295923
Referência -1,5% -19,7 15,1199886 15,8138150
Referência - 3% -19,4 15,1270725 15,8986262
Figura 28: Pressão final versus taxa de outsurge no pressurizador do IRIS.
77
Figura 29: V
2
final versus taxa de outsurge no pressurizador do IRIS.
Tabela 18: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final e V
2
final, para
variações na taxa de outsurge no pressurizador do IRIS.
Pressão final versus taxa de outsurge V
2
final versus taxa de outsutge
02408,0
6,0
014451,0
s.c
== MPa.s/kg 28139,0
6,0
1688395,0
s.c
== m
3
.s/kg
03107,0
5,15
20
02408,0s
=
−
= 27224,0
6721408,20
20
.28139,0s
=
−
=
Tabela 19: Desvios percentuais relativos na pressão final calculados pelo código e pelo coeficiente de
sensibilidade em função da taxa de outsurge no pressurizador do IRIS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (p final versus taxa de outsurge)
59422,15m.02408,0p
su
+
=
Taxa de
outsurge
(kg/s)
Pressão final
(MPa)
Pressão
∈ reta referencial
(MPa)
erro relativo perc.
δ, onde
δ= |p(med) – p∈ r| / p∈r
-20,6 15,0983073 15,0981720 0,0008%
-20,3 15,1055380 15,1053960 0,0009%
-20 15,1126205 15,1126200 0,0000%
-19,7 15,1199886 15,1198440 0,0009%
-19,4 15,1270725 15,1270680 0,0000%
Conclusão: o gráfico, pressão versus outsurge pode ser considerado linear.
78
Tabela 20: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função da taxa de outsurge no pressurizador do IRIS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (V
2
final versus taxa de outsurge)
35739,21m.28139,0V
su2
+
=
Taxa de
outsurge
(kg/s
V
2
final(m
3
)
V
2
∈ reta referencial
(m
3
)
erro relativo perc.
δ, onde
δ= |V
2
(méd) – V
2
∈ r| / V
2
∈r
-20,6 15,5621917 15,5607560 0,009%
-20,3 15,6449755 15,6451173 0,000%
-20 15,7295923 15,7295900 0,000%
-19,7 15,8138150 15,8140070 0,001%
-19,4 15,8986262 15,8984240 0,001%
Conclusão: o gráfico, V
2
versus outsurge pode ser considerado linear
PARÂMETRO L20
A Tabela 21 fornece a variação da pressão final e V
2
final em função da
variação percentual do parâmetro L20 e Figuras 30 e 31 fornecem um perfil da curva-
resposta relativa a cada variável. A Tabela 22 fornece o coeficiente de sensibilidade e as
sensibilidades das variáveis em questão, ao passo que as tabelas 23 e 24 fornecem os desvios
percentuais relativos de tais variáveis medidas pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função de L20.
Tabela 21: pressão final e V
2
final em função da variação percentual de L20 no pressurizador do IRIS.
Variações de
L20
Valores deL20
(m)
Pressão Final (MPa) V
2
final (m)
Referência+ 3% 0,9660000 16,3231860 25,0015859
Referência+1,5% 0,9430000 16,3171196 24,,5389553
Referência 0,9200000 16,3111483 24,0763231
Referência-1,5% 0,8970000 16,3052700 23,6136914
Referência – 3% 0,8740000 16,2994820 23,1510623
79
Figura 30: Pressão final versus L20 no pressurizador do IRIS.
Figura 31: V2 final versus L20 no pressurizador do IRIS.
Tabela 22: Coeficientes de sensibilidade e sensibilidades das curvas-resposta da pressão final e V2 final para
variações de L20 no pressurizador do IRIS.
Pressão final versus L20 V
2
final versus L2
25760,0
046,0
0118496,0
s.c
== MPa/m 11443,20
046,0
9252638,0
s.c
== m
2
01529,0
5,15
92,0
25760,0s
== 89518,0
6721408,,20
92,0
11443,20s
==
80
Tabela 23: Desvios percentuais relativos na pressão calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função de L20 no pressurizador do IRIS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (pressão final versus L20)
07416,1620L25760,0p
+
=
L20
(m)
pressão final
(MPa)
Pressão
∈ reta referencial
(MPa)
erro relativo perc.
δ, onde
δ= |p(méd) – p∈ r| / p∈r
0,9660000 16,3231868 16,3230016 0,001%
0,9430000 16,3171196 16,3170768 0,0003%
0,9200000 16,3111483 16,3111520 0,0000%
0,8970000 16,3052700 16,3052272 0,0003%
0,8740000 16,2994820 16,2993024 0,001%
Conclusão: o gráfico, pressão versus L20 pode ser considerado linear
Tabela 24: Desvios percentuais relativos no V
2
final calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade
em função de L20 no pressurizador do IRIS.
Equação da reta que define o coeficiente de sensibilidade (V
2
final versus L20)
57104,520L.11443,20V
2
+
=
L20 (m) V
2
final(m
3
)
V
2
∈ reta referencial(m
3
)
Erro relativo perc.
δ, onde
δ= |V
2
(med) – V
2
∈ r| / V2∈r
0,9660000 25,0015859 25,0015794 0,000%
0,9430000 24,5389553 24,5389475 0,000%
0,9200000 24,0763231 24,0763156 0,000%
0,8970000 23,6136915 23,6136837 0,000%
0,8740000 23,1510623 23,1510518 0,000%
Conclusão: o gráfico, V
2
versus L20 pode ser considerado linear.
5.3 Resultados das Análises de Sensibilidade
Com base nos valores obtidos para as sensibilidades referentes a cada curva –
resposta em cada um dos pressurizadores, nota-se que variações provocadas nos parâmetros
taxa de
insurge, taxa de outsurge e em L20 afetaram de forma mais significativa na variável
V
2
final como já era esperado.
As referidas sensibilidades ainda comprovaram que, para a mesma variação
implementada em cada um dos parâmetros, a referente a taxa de
insurge foi mais influente na
variação da variável pressão final em comparação com o efeito provocado pela variação na
taxa de
outsurge nesta mesma variável. No caso específico das perturbações experimentadas
por V
2
, as variações da taxa de outsurge contribuíram mais que as do insurge, no entanto
ficou constatado que as variações em L20, foram as que mais afetaram a variável V
2
final.
81
Verificou-se também por meio da análise de sensibilidade que os desvios
percentuais relativos calculados pelo código e pelo coeficiente de sensibilidade foram
praticamente irrelevantes em cada situação e, assim sendo, este fato comprova que as
superfícies-resposta obtidas em todas as situações analisadas, apresentaram comportamento
linear.
Tendo em vista que no pressurizador NEPTUNUS as válvulas de spray, de
segurança e de alívio foram consideradas desativadas durante os transitórios, o
comportamento das mudanças das variáveis em termos das variações dos parâmetros, não
poderiam diferir em comportamento para os dois pressurizadores. Isto ficou comprovado
através dos resultados da análise implementada.
82
6 CONCLUSÕES
Levando-se em consideração as perturbações obtidas nas variáveis de interesse,
conseqüências das variações impostas nos parâmetros escolhidos, foram constatadas as
seguintes conclusões: A variável-resposta mais afetada em todas as situações analisadas foi o
volume intermediário V
2
final. Ficou ainda comprovado, por meio das análises de
sensibilidades aqui implementadas, que para a variável pressão final, variações impostas no
parâmetro taxa de
insurge foram mais significativas quando comparadas com os efeitos das
variações no parâmetro taxa de
outsurge nessa mesma variável. Todavia, constatou-se que
para a variável V
2
final a situação ocorreu de forma inversa. Constatou-se ainda que
variações impostas no parâmetro L20 foram as mais influentes nas perturbações sofridas por
V
2
final. No entanto, em se tratando da variável pressão final, estas variações foram as que
menos influenciaram. Comprovou-se ainda, por meio da referida análise de sensibilidade, que
o pressurizador do IRIS foi o que apresentou maior capacidade de conter variações de pressão
e este fato, naturalmente, só pode ter sido decorrência de sua geometria diferenciada em
relação ao pressurizador NEPTUNUS. Tendo em vista as hipóteses simplificadoras
consideradas no pressurizador NEPTUNUS, como desativação das válvulas de alívio de
segurança e do spray, comprovou-se a equivalência no comportamento das mudanças nas
variáveis-resposta em relação às variações dos parâmetros para os dois pressurizadores. Este
fato constatado evidencia o grau de confiabilidade do código MODPRESS.
83
REFERÊNCIAS
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86
APÊNDICES
A
1
- Conservação da massa e da energia
Neste apêndice será feita uma apresentação compacta do balanço de massa e de
energia, além da dedução da equação da primeira Lei da Termodinâmica aplicada
especificamente ao modelo utilizado neste trabalho.
Lei da Conservação da Massa
Considerem-se os fluxos de massa num volume de controle arbitrário e fixo em
relação a um sistema de coordenadas de referência, num intervalo de tempo
Δt, conforme
Figura (A
1
.1).
FIGURA (A
1
.1): Balanço de massa
Na Figura acima:
m
t
: massa no volume de controle no instante t.
m
t + Δt
: massa no volume de controle no instante t + Δt.
Δm
e
: massa que entra no volume de controle no intervalo de tempo Δt.
Δm
s
: massa que sai do volume de controle no intervalo de tempo Δt.
p : pressão a qual o sistema está submetido.
υ
e
: volume específico da massa que entra no volume de controle.
υ
s
: volume específico da massa que sai do volume de controle.
v
e
:velocidade da massa que entra no volume de controle.
v
s
: velocidade da massa que sai do volume de controle.
87
De acordo com a figura, pode-se escrever:
⇒
Δ
+=Δ+
Δ+ etstt
mmmm
()
(
)
0mmmm
esttt
=
Δ
−
Δ
+
−
Δ+
(A
1
.1)
Dividindo a expressão anterior por
Δt e tomando-se o limite quanto Δt → 0
obtém-se o fluxo instantâneo de massa para o volume de controle.
0
t
mm
t
mm
esttt
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ−Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ+
dt
dm
t
mm
lim
Vcttt
0t
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
Δ+
→Δ
s
s
0t
m
t
m
lim
•
→Δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
e
e
0t
m
t
m
lim
•
→Δ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
Δ
Substituindo na equação anterior e considerando-se múltiplas entradas e saídas do
sistema obtêm-se:
∑∑
=−+
••
Se
eS
VC
0mm
dt
dm
(A
1
.2)
onde:
Vc
m
dt
d
: derivada temporal da massa contida no volume de controle
∑
•
s
s
m : fluxos de massa de diversas origens saindo do volume de controle
∑
•
e
e
m : fluxos de massa de diversas origens entrando do volume de controle
Lei da conservação da energia
O princípio da conservação da energia permite chegar a uma expressão geral
da 1ª Lei da Termodinâmica para um sistema de massa fixa, a qual pode ser estendida para
um sistema de fluxo. Considerando um fluxo de massa entrando num certo volume de
controle de fronteira móvel, conforme figura (A
1
.2), temos:
88
FIGURA A
1
.2: Balanço de energia
onde:
m
t
: massa do volume de controle no instante t.
m
t + Δt
: massa no volume de controle no instante t + Δt.
E
t
: energia do fluído no volume de controle no instante t.
E
t+Δt
: energia do fluído no volume de controle no instante t+Δt.
ΔQ : calor que cruza a fronteira do volume de controle no intervalo de tempo Δt.
ΔW
Vc
: trabalho realizado pelas forças de pressão aplicadas nas partes móveis da fronteira do
volume de controle.
Δm
e
: massa entrando no volume de controle no intervalo de tempo Δt.
Δm
s
: massa saindo do volume de controle no intervalo de tempo Δt.
p: pressão a qual o sistema está submetido.
p
e
: pressão de entrada.
p
s
: pressão de saída.
υ
e
: volume específico da massa que entra no volume de controle.
υ
s
: volume específico da massa que sai do volume de controle.
E
e
: energia da massa que entra no volume de controle.
E
s
: energia da massa que sai do volume de controle.
v
e
: velocidade da massa que entra no volume de controle.
v
s
: velocidade da massa que sai do volume de controle.
A primeira Lei da Termodinâmica é dada pela expressão:
1
Q
2
=E
2
– E
1
+
1
W
2
(A
1
.3)
89
Dividindo-se ambos os membros desta expressão por
Δt, vem:
t
W
t
EE
t
Q
2112
Δ
+
Δ
−
=
Δ
Δ
(A
1
.4)
Ou,
t
W
t
EE
t
Q
12
Δ
Δ
+
Δ
−
=
Δ
Δ
(A
1
.5)
Onde:
2
E : energia do sistema no instante t + Δt.
1
E : energia do sistema no instante t.
ΔQ: calor que cruza a fronteira do volume de controle no intervalo de tempo Δt.
ΔW: trabalho total realizado que inclui o trabalho das forças de pressão e os trabalhos sobre as
massas
Δm
e
e Δm
s
para introduzi-la e retirá-la respectivamente do volume de controle.
ΔE: variação da energia do sistema no intervalo de tempo Δt
Pelo princípio da conservação da energia, temos:
stt2
EEE +=
Δ+
(A
1
.4)
et1
EEE += (A
1
.5)
logo:
)EE()EE(EE
esttt12
−+−=−
Δ+
(A
1
.6)
→Δυ−=Δ
eeee
mpW trabalho realizado sobre
e
m
Δ
para introduzi-la no volume de controle.
→Δυ=Δ
ssss
mpW trabalho realizado sobre
s
m
Δ
para retirá-la do volume de controle.
vc
WΔ : trabalho realizado pelas forças de pressão sobre a fronteira móvel do volume de
controle. Logo
WΔ , será dado pela seguinte expressão:
)mpmp(WW
eeesssvc
Δυ−
Δ
υ+Δ=Δ (A
1
.7)
90
Substituindo as equações (A
1
.7) e (A
1
.6) em (A
1
.5), rearranjando e dividindo
por
Δt, vem:
t
mpmpW
t
EEEE
t
Q
eeesssVcesTtt
Δ
Δ
υ
−
Δ
υ
+
Δ
+
Δ
−+−
=
Δ
Δ
Δ+
(A
1
.8)
A energia de certo incremento de massa
m
Δ
, pode ser obtida por meio da
seguinte expressão:
∫
=Δ
Δm
edm)m(E (A
1
.9)
onde:
zg
2
v
ue
2
++= (A
1
.10)
u: energia interna específica de
m
Δ ,em J.
v: velocidade de escoamento, em m/s.
g: aceleração da gravidade, em m/s
2
.
z: altura relativa a uma referência conveniente de uma partícula de massa
m
Δ , em m.
Da Equação (A
1
.10), conclui-se que a energia de certo sistema específico
corresponde à soma das energias interna, cinética e potencial. A entalpia específica é dada
pela seguinte expressão:
υ+= puh (A
1
.11)
Para os incrementos de massa
se
mem
Δ
Δ
, pode-se escrever:
eee
e
m
ee
meEdmeE Δ=∴
∫
=
Δ
(A
1
.12)
sss
s
m
ss
meEdmeE Δ=∴
∫
=
Δ
(A
1
.13)
Substituindo-se as Equações (A
1
.12) e (A
1
.13) na Equação (A
1
.8), vem:
t
mpmpW
t
memeEE
t
Q
eeesssvceessttt
Δ
Δ
υ
−
Δ
υ
+
Δ
+
Δ
Δ−Δ+−
=
Δ
Δ
Δ+
(A
1
.14)
Escrevendo de outra forma a equação acima, vem:
91
() ()
t
W
ep
t
m
t
EE
ep
t
m
t
Q
Vc
sss
sTtt
eee
e
Δ
Δ
++υ
Δ
Δ
+
Δ
−
=+υ
Δ
Δ
+
Δ
Δ
Δ+
(A
1
.15)
Os termos
eee
ep
+
υ
e
sss
ep
+
υ
da Equação (A
1
.15), assumem
respectivamente a seguinte forma:
gz
2
v
hep
e
2
e
eeee
++=+υ (A
1
.16)
gz
2
v
hep
s
2
s
ssss
++=+υ
(A
1
.17)
Empregando (A
1
.16) e (A
1
.17) em (A
1
.15), vem:
t
W
gz
2
v
h
t
m
t
EE
gz
2
v
h
t
m
t
Q
Vc
s
2
s
s
sTtt
e
2
e
e
e
Δ
Δ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
Δ
Δ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
Δ
Δ
+
Δ
Δ
Δ+
(A
1
.18)
Quando
0t →Δ
, o sistema e o volume de controle praticamente coincidem.
Tomando-se pois o limite de ambos os membros da Equação (A
1
.18) para este intervalo de
tempo, tem-se:
Vc
0t
Q
t
Q
lim
&
=
Δ
Δ
→Δ
(A
1
.19)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
Δ
Δ
→Δ
gz
2
v
hmgz
2
v
h
t
m
lim
e
2
e
eee
2
e
e
e
0t
&
(A
1
.20)
dt
dU
t
EE
lim
Vcttt
0t
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Δ
−
Δ+
→Δ
(A
1
.21)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
Δ
Δ
→Δ
gz
2
v
hmgz
2
v
h
t
m
lim
s
2
s
sss
2
s
s
s
0t
&
(A
1
.22)
dt
pdV
W
t
W
lim
Vc
Vc
Vc
0t
==
Δ
Δ
→Δ
&
(A
1
.23)
onde:
=
•
Vc
Q fluxo instantâneo de calor cruzando a fronteira do volume de controle.
.
92
==
dt
dE
dt
dU
VcVc
derivada temporal da energia interna do fluído no volume de controle.
=
•
Vc
W Potência devida ao trabalho quase-estático das forças de pressão sobre a fronteira
móvel do volume de controle
.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
•
gz
2
v
hm
e
2
e
e
e
= energia instantânea entrando no volume de controle.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
•
gz
2
v
hm
s
2
s
s
s
= energia instantânea saindo do volume de controle.
Tem-se então a seguinte expressão:
dt
pdV
gz
2
v
hm
dt
dU
gz
2
v
hmQ
Vc
s
2
s
s
s
Vc
e
2
e
e
e
Vc
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
•••
(A
1
.24)
Eliminando-se as parcelas relativas às energias cinéticas e potencial do fluido
que entra e sai, por não influírem no tipo de estudo realizado e considerando-se múltiplas
entradas e saídas do sistema, resulta:
∑∑
•••
++=+
s
s
s
e
VcVc
e
e
Vc
hm
dt
dV
p
dt
dU
hmQ (A
1
.25)
Somando-se o termo
dt
dp
V
vc
em ambos os membros da equação (A
1
.25),vem:
∑∑
•••
+++=++
s
s
s
e
Vc
VcVc
Vce
e
Vc
hm
dt
dp
V
dt
dV
p
dt
dU
dt
dp
VhmQ (A
1
.26)
Mas,
.
dt
dH
dt
dp
V
dt
dV
p
dt
dU
Vc
controledevolume
doentalpiadaDerivada
Vc
VcVc
=++
44443444421
(A
1
.27)
Portanto:
∑∑
•••
−+⋅+=
es
sse
e
Vc
Vc
Vc
hmhm
dt
dp
VQ
dt
dH
∴
(A
1
.28)
∑∑
•••
−++=
es
sse
e
Vc
Vc
VcVc
hmhm
dt
dp
VQ
dt
hdm
(A
1
.29)
93
A
2
–
Derivada temporal do volume específico
i
υ
A expressão
dt
d
i
υ
aparece no código do MODPRESS. Seu valor depende da
entalpia, da pressão e do número de
fases do volume a ser analisado.
a) Simples fase: Neste caso temos simplesmente que
(
)
p,h
ii
υ
=
υ
. Derivando em ralação ao
tempo, com aplicação da regra da cadeia, vem:
dt
dp
pdt
dh
hdt
d
iiii
⋅
∂
υ
∂
+⋅
∂
υ∂
=
υ
(A
2
.1)
i
i
i
i
G
dp
d
eF
dh
d
onde
=
υ
=
υ
b) Mistura bifásica: Nesta situação, o volume específico é dado por:
)x()x1(
igifi
υ+−υ=υ
)x()x(
igiffi
υ
+υ−υ=υ
fgifi
x υ+υ=υ (A
2
.2)
O estado termodinâmico de uma mistura bifásica é bem determinado por
apenas uma grandeza termodinâmica. Assim, pode-se dizer que na equação acima, todas as
variáveis são função da pressão p, por exemplo. Logo:
dp
dx
dp
d
x
dp
d
dp
d
i
fg
fg
i
fi
ν+
υ
+
υ
=
υ
(A
2
.3)
Expressando x em função de alguma variável da mistura bifásica que seja
conhecida, por exemplo, a entalpia h
i
:
fg
fi
i
h
hh
x
−
=
(A
2
.4)
94
Derivando em relação à p, vem:
dp
dh
h
h
dp
dh
h
1
dp
dh
h
h
dp
dh
h
1
dp
dx
fg
2
fg
ff
fg
fg
2
fg
ii
fg
i
+−−= (A
2
.5)
Simplificando:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
dp
dh
h
dp
dh
h
h
1
dp
dh
dp
dh
h
1
dp
dx
fg
f
fg
i
fg
fi
fg
i
(A
2
.6)
Substituindo (A
2
.6) em (A
2
.3), vem:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
υ
+
υ
+
υ
=
υ
dp
dh
h
dp
dh
h
h
1
dp
dh
dp
dh
hdp
d
x
dp
d
dp
d
fg
f
fg
i
fg
fi
fg
fgfg
i
fi
(A
2
.7)
Usando a regra a cadeia:
dt
dp
dp
d
dt
d
ii
υ
=
υ
na equação (A
2
.7), vem:
dt
dp
dp
dh
h
h
dp
dh
h
h
dp
dh
hdp
d
x
dp
d
dt
dp
dp
dh
hdt
d
fg
fg
f
fg
fg
if
fg
fgfg
i
fi
fg
fg
i
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
υ
−
υ
+
υ
+
υ
=
υ
(A
2
.8)
O resultado final é:
dt
dp
dp
dh
h
h
dp
dh
h
h
dp
dh
hdp
d
x
dp
d
dt
dh
hdt
d
fg
fg
f
fg
fg
if
fg
fgfg
i
fi
fg
fg
i
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
υ
−
υ
+
υ
+
υ
=
υ
(A
2
.9)
onde:
fg
fg
i
h
F
υ
=
(A
2
.10)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
υ
−
υ
+
υ
=
dp
dh
h
h
dp
dh
h
h
dp
dh
hdp
d
x
dp
d
G
fg
fg
f
fg
fg
if
fg
fgfg
i
f
i
(A
2
.11)
Observa-se que, qualquer que seja a situação, fase simples ou bifásica, temos:
dt
dp
G
dt
dh
F
dt
d
i
i
i
i
+=
υ
(A
2
.12)
onde F
i
e G
i
dependem de cada situação.
95
A
3
– Equações diretas do modelo
Para executar este desenvolvimento necessita-se da equação da continuidade
(conservação de massa) e da primeira lei da termodinâmica (conservação de energia) em suas
formas mais gerais, ou seja, considerando-se um volume de controle arbitrário, com fronteira
móvel, trocando massa, calor e trabalho, em regime transitório, com o exterior. Uma
derivação dessas equações é apresentada no apêndice A1. As formas finais destas equações
estão representadas na seqüência e o MODPRESS trata estas equações para cada fase
separadamente, isto é, volume e temperaturas diferentes em cada volume de controle.
Balanço de massa
se
vc
mm
dt
dm
&&
∑∑
−= (A
3
.1)
Balanço de energia
eessvc
vc
hmhm
dt
dp
V
dt
dQ
dt
dH
&&
∑∑
+−+= (A
3
.2)
A estas equações, adiciona-se a consideração de que o volume total do
pressurizador não varia com o tempo.
0
dt
dV
0
dt
dV
dt
dV
dt
dV
total3
21
==++ a
(A
3
.3)
Fazendo uso dos indexadores i = 1, 2, 3 para designar os volumes de controle e
reescrevendo as Equações (A
1
.2) e (A
1
.29), vem:
∑∑
=−=
e
i
s
isiei
Ommm
dt
d
&&
(A
3
.1a)
onde: O
i
: fluxo líquido de massa em cada região. Da Figura 7, e levando-se em as setas
contínuas, temos:
96
1rb12su1
mmmO
&&&
−−= (A
3
.4)
it2rbcbcs1rb122
mmmmmmO
&&&&&&
+
−+++= (A
3
.5)
2rbcssacbitsp3
mmmmmmO
&&&&&&
+
−−−−= (A
3
.6)
()
dt
dp
VRQhm
dt
d
H
dt
d
iiiniiii
++== (A
3
.2a)
onde: R
i
: fluxo líquido de energia em cada região por conta do saldo do fluxo de massa.
Então:
∑∑
−=
es
siseiei
hmhmR
&&
(A
3
.2b)
da Equação (13), tem-se:
1waq1
in1
.
qqQ −λ= (A
3
.7)
g
1rb
.
12
.
su
.
su1
hmhmhmR
12
−−= (A
3
.8)
() ()
ent.liqhhentrada0m
susu
=⇒> e para
(
)
1susu
hhsaida0m
=
⇒
<
()
11212
hhocondensaçã0m =⇒>
e para
21212
hh0m
=
⇒
<
da Equação (16), tem-se:
it2w2aqin2
qqqQ +−= (A
3
.9)
g
.
2rbhg
.
itcs
.
csf
.
cbg
.
1rb12
.
122
hmhmhmhmhmhmR −++++= (A
3
.10)
da Equação (18), temos:
3witin3
qqQ −−= (A
3
.11)
3
sa
.
f
cs
.
f
cb
.
hg
it
.
sp
sp
.
g
2rb
.
3
hmhmhmhmhmhmR −−−−+= (A
3
.12)
Para se chegar ao sistema de equações, deve-se levar em conta a não variação
com o tempo do volume total pressurizado, ou seja:
97
()
∑∑∑
=
υ
+υ→=υ→=
i
i
i
i
i
i
i
iitotal
0
dt
d
m
dt
dm
0m
dt
d
0V
dt
d
(A
3
.13)
Usando agora a equação (A
3
.1a), vem:
∑
∑
∑∑
υ
−=
υ
=
υ
+υ
i
i
i
ii
i
ii
i
iii
m
O
dt
d
0
dt
d
mO
a
(A
3
.14)
Substituindo a Equação (A
2
.12) a seguir
dt
dp
G
dt
dh
F
dt
d
i
i
i
i
+=
υ
em (A
3
.14),
determina-se a derivada temporal da pressão.
∑
∑
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+υ−
=
3
1i
ii
3
1i
i
iiii
Gm
dt
dh
FmO
dt
dp
(A
3
.15)
Combinando (A
3
.1a) e (A
3
.2a), tem-se:
()
dt
dp
VRQhm
dt
d
ii
ini
.
ii
++=
dt
dp
VRQ
dt
dh
mh
dt
dm
ii
ini
.
i
i
.
i
i
++=⋅+⋅
i
ini
.
i
i
i
.
ii
RQ
dt
dp
V
dt
dh
mhO
+=−⋅+⋅
i
ini
.
iii
i
i
.
RQhO
dt
dp
V
dt
dh
m
+=+−⋅
i
ini
.
iii
i
i
i
RQhO
dt
dp
V
dt
dhV
+=+−⋅
υ
i
ini
.
ii
i
i
i
RQhO
dt
dp
dt
dh
1
V +=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
υ
(A
3
.16)
Reescrevendo a Equação da massa como:
i
i
i
i
O
dt
V
d
dt
dm
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
υ
=
98
vem:
i
2
i
i
i
i
i
O
dt
d
V
dt
dV
=
υ
υ
−υ
(A
3
.17)
Usando a Equação (A
3
.17), fazendo i = 1, 2, 3 e sabendo que V
1
= constante.
tem-se:
Para i = 1:
∴=
υ
υ
−υ
1
2
1
1
1
1
1
0
dt
d
V
dt
dV
2
11
1
1
O
dt
d
V
υ−=
υ
⋅ (A
3
.18)
Substituindo (A
2
.11) em (A
3
.18), vem:
∴υ−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
111
1
11
O
dt
dp
G
dt
dh
FV
1
1
2
1
1
1
1
O
Vdt
dp
G
dt
dh
F
υ
−=+
(A
3
.19)
Para i=2:
22
2
2
2
2
22
2
O
dt
dp
G
dt
dh
F
V
dt
dV
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
υ
−⋅
υ
(A
3
.20)
Para i=3:
()
33
3
3
2
3
22
3
O
dt
dp
G
dt
dh
F
V'V
dt
dV1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
υ
−
−⋅
υ
−
(A
3
.21)
onde:
1total
VV'V −=
Agora é possível trabalhar com cinco equações e cinco incógnitas e a
Equação (A
3
.19) deve ser usada para se calcular m
12
. Assim:
99
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
υ
+−=
dt
dp
G
dt
dh
F
V
mmm
1
1
1
2
1
1
1rbsu12
&&&
(A
3
.22)
Combinando-se as Equações (A
3
.20) e (A
3
.21), pode-se escrever:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
υ
−
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅
υ
+
υ
υ
−
dt
dp
G
dt
dh
F
V'V
O
dt
dp
G
dt
dh
F
V
O
3
3
3
2
3
2
32
2
2
2
2
2
2
3
2
(A
3
.23)
A Equação (A
3
.16) escrita para i = 2 transforma-se em:
2in2222
2
2
RQhO
dt
dp
h
dt
d1
V +=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
υ
(A
3
.24)
Assim:
()
2in2
2
2
22
2
2
2
2
RQ
V
hO
Vdt
dp
dt
dh
+
υ
+
υ
−υ= (A
3.
25 )
Fazendo i=3 na Equação (A
3
.16) , tem-se:
()
3in3333
3
2
RQhO
dt
dp
h
dt
d1
V'V +=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅
υ
−
(A
3
.26)
Assim:
()
3in3
2
3
33
2
3
33
RQ
V'V
hO
V'Vdt
dp
h
dt
d
+
−
υ
+
−
υ
−υ= (A
3
.27)
Para i = 1, a Equação (A
3
.17) torna-se:
()
1in1
1
1
11
1
1
11
RQ
V
hO
Vdt
dp
h
dt
d
+
υ
+
υ
−υ= (A
3
.28)
Das Equações (A
3
.20), (A
3
.21), (A
3
.28), (A
3
.25) e (A
3
.27) chegam-se,
respectivamente, às Equações (A
3
.29) a (A
3
.33) que compõem o sistema direto do código
MODPRESS:
100
dt
p
G
V
2
2
2
2
∂
υ
−
+
dt
dV1
2
2
υ
dt
h
F
V
2
2
2
2
2
∂
υ
−
2
O
−
= 0 (A
3
.29)
()
dt
p
G
V'V
3
2
3
2
∂
υ
−
−
dt
dV1
2
3
υ
−
()
dt
h
F
V'V
3
3
2
3
2
∂
υ
−
−
3
O
−
= 0 (A
3
.30)
dt
dp
1
υ−
dt
dh
1
+
()
1in1
1
1
11
1
1
RQ
V
hO
V
+
υ
−
υ
+
&
= 0 (A
3
.31)
dt
dp
2
υ−
dt
dh
2
+
()
2in2
2
2
22
2
2
RQ
V
Oh
V
+
υ
−
υ
+
&
= 0 (A
3
.32)
dt
dp
3
υ−
dt
dh
3
+
() ()
(
)
3in3
2
3
33
2
3
RQ
V'V
Oh
V'V
+
−
υ
−
−
υ
+
&
= 0 (A
3
.33)
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