( PDF ) Ambientalização quântica: proteção global através de operações e transição quântica clássica

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Ambientalismo Quˆantico: Prote¸c˜ao

Global atrav´es de Opera¸c˜oes Locais e

Transi¸c˜ao Quˆantico-Cl´assico

Eduardo Mascarenhas

17 de Setembro de 2010

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Ambientalismo Quˆantico:

Prote¸c˜ao Global atrav´es de

Opera¸c˜oes Locais e

Transi¸c˜ao Quˆantico-Cl´assico

Eduardo Mascarenhas

Orientador: Prof. Marcelo Fran¸ca

Disserta¸c˜ao apresentada `a Universidade Federal de Minas Gerais como requisito

parcial para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias – F´ısica.

Belo Horizonte

Agosto de 2010

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...para M´a e V´o, que deram suas vidas por mim...

”I believe whatever doesn’t kill you simply makes you

stranger.”

The Joker

Agradecimentos

Agrade¸co ao Padrinho (ou Chef˜ao) por ter zelado por minha vida tanto em

aspectos acadˆemicos quanto pessoais e por ter feito v´arias propostas irrecus´aveis.

Agrade¸co `a Camilla que de fato divide uma vida comigo, tanto em risadas

inﬁnd´aveis quanto em situa¸c˜oes dif´ıceis. Todo mundo vai nos agradecimentos

ver se seu nome aparece e eu acho isso desnecess´ario. N˜ao citarei mais ningu´em

aqui, mas saibam que sou muito grato a todos e valorizo muito a participa¸c˜ao

de cada um na minha vida. E cada um sabe o que fez por mim.

Agrade¸co ao CNPq pela pouca e boa grana durante o mestrado.

Resumo

N´os estudamos como proteger informa¸c˜ao quˆantica em sistemas quˆanticos sujei-

tos a dissipa¸c˜ao local. N´os mostramos que, combinando o uso de sistemas de trˆes

n´ıveis, monitoramento do ambiente e realimenta¸c˜ao local baseada na informa¸c˜ao

adquirida no monitoramento, podemos, deterministicamente e completamente,

proteger qualquer informa¸c˜ao quˆantica dispon´ıvel, incluindo emaranhamento

inicialmente dividido por diferentes partes. Estes resultados podem representar

um ganho em recursos e ou distˆancia em protocolos de comunica¸c˜ao como re-

petidores quˆanticos e teleporta¸c˜ao assim como tempo em mem´orias quˆanticas.

Mostramos, tamb´em, que o monitoramento local de ambientes fornece uma im-

plemeta¸c˜ao f´ısica do protocolo ´otimo de convers˜ao de estados emaranhados.

Utilizando o mesmo formalismo, mostramos, tamb´em, a transi¸c˜ao de uma

intera¸c˜ao inteiramente quantizada para uma semicl´assica em sistemas quˆanticos

com n´umero baixo de excita¸c˜oes. Em particular, simulamos as zonas de Ram-

sey de microondas utilizadas em interferometria de ´atomos de Rydberg, preen-

chendo a lacuna entre a evolu¸c˜ao Jaynes-Cummings fortemente emaranhadora

e a rota¸c˜ao semicl´assica dos estados internos do ´atomo. N´os tamb´em relacio-

namos a informa¸c˜ao que ﬂui com os f´otons que escapam da cavidade `a gera¸c˜ao

de emaranhamento entre campo da cavidade e ´atomo, e detalhamos os papeis

ocupados pela forte dissipa¸c˜ao e pelo bombeamento externo na preserva¸c˜ao da

coerˆencia atˆomica ao longo da intera¸c˜ao. Mostramos que, no limite cl´assico, a

informa¸c˜ao contida nos f´otons tende a zero e que a vasta gama de possibilida-

des quˆanticas desaparece de tal forma que o sistema segue sempre uma ´unica

trajet´oria, a trajet´oria cl´assica, e al´em disso m´ultiplos observadores registram o

mesmo movimento cl´assico.

Conte´udo

Agradecimentos 4

Resumo 5

Introdu¸c˜ao 8

1 Conhecimento, Opera¸c˜oes e Correla¸c˜oes 11

I Conhecimento do Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II Evolu¸c˜ao de Sistemas Isolados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Medi¸c˜oes de Sistemas Quˆanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A Invariˆancia do Estado n˜ao Condicionado . . . . . . . . . . 16

IV Conhecimento e Correla¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Emaranhamento e Opera¸c˜oes Quˆanticas . . . . . . . . . . 18

B Emaranhamento de Estado Puro . . . . . . . . . . . . . . 19

C Emaranhamento de Estado Misto . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Ambientalismo Quˆantico 24

I Sistemas Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Medindo o Ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A Detec¸c˜ao Imperfeita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III Retroalimenta¸c˜ao Quˆantica (Feedback ) . . . . . . . . . . . . . . . 30

A Feedback no Limite Markoviano . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Prote¸c˜ao Global por Opera¸c˜oes Locais 35

I Adquirindo e Preservando Informa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Codiﬁca¸c˜ao Dinˆamica Local em Q-trits . . . . . . . . . . . . . . . 40

A Um Exemplo com Saltos Quˆanticos em Eletrodinˆamica

Quˆantica de Cavidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III Reciclagem Local via Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A C´odigo para Saltos Quˆanticos . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B C´odigo para Difus˜ao de Estado . . . . . . . . . . . . . . . 46

C Imperfei¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Transi¸c˜ao Quˆantico-Cl´assico 53

I A Transi¸c˜ao em Eletrodinˆamica Quˆantica . . . . . . . . . . . . . 55

A O Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

B Assinaturas do Quˆantico e do Cl´assico . . . . . . . . . . . 55

II A Transi¸c˜ao e a Ressonˆancia Estoc´astica . . . . . . . . . . . . . . 57

A Ressonˆancia Estoc´astica na Informa¸c˜ao dos F´otons . . . . 60

CONTE

UDO 7

B Trajet´orias Cl´assicas e Quˆanticas . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Conclus˜ao 68

I Ru´ıdo Cl´assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Introdu¸c˜ao

Os experimentos e teoria de mecˆanica quˆantica causaram e causam descon-

forto ﬁlos´oﬁco e pr´atico a muitos que os avaliam. Isto se deve basicamente

aos rumos que esta teoria tomou abandonando fortes pilares da f´ısica cl´assica

que por s´eculos guiaram (e ainda guiam) a intui¸c˜ao e entendimento humano do

mundo `a nossa volta. Esta teoria fundamentalmente nos impede de conhecer

e descrever um sistema f´ısico com a certeza que temos na perspectiva cl´assica.

Surpreendentemente, ´e exatamente essa incerteza intr´ınseca que nos possibilita

dar uma descri¸c˜ao para correla¸c˜oes muito fortes que n˜ao podem ser descritas por

nenhuma teoria cl´assica. Como a falta de informa¸c˜ao (na perspectiva cl´assica)

pode levar a sistemas t˜ao fortemente correlacionados compondo redes de comu-

nica¸c˜ao muito mais poderosas que as redes cl´assicas? Parte desta discrepˆancia

entre o cl´assico e quˆantico se deve `as correla¸c˜oes do tipo emaranhamento. Entre-

tanto, este mesmo fator que coloca a mecˆanica quˆantica como uma possibilidade

de realizar comunica¸c˜ao e processamento de informa¸c˜ao de forma muito superior

`a cl´assica usual tamb´em gera os empecilhos para tal. Um sistema que arma-

zena ou processa informa¸c˜ao quˆantica est´a sujeito a interagir com o ambiente `a

sua volta, o que pode correlacionar (e at´e emaranhar) este sistema com o seu

ambiente. Assim os dados quˆanticos podem ser perdidos para o ambiente sendo

corrompidos al´em de qualquer poss´ıvel repara¸c˜ao.

O processamento de informa¸c˜ao quˆantica depende da capacidade de man-

ter coerˆencia assim como emaranhamento entre diferentes integrantes de um

sistema. Entretanto muitos sistemas propostos para implementa¸c˜ao de proto-

colos quˆanticos s˜ao naturalmente sujeitos `a inevit´avel dissipa¸c˜ao local, como

armadilhas de ´ıons [1], sistemas de eletrodinˆamica quˆantica de cavidades [2]

e ensembles atˆomicos [3]. Obviamente, isso acaba agindo contra a eﬁciˆencia

destes sistemas atrav´es do mecanismo de descoerˆencia. Diferentes estrat´egias

foram criadas para proteger parcialmente ou restaurar a coerˆencia, tais como

destila¸c˜ao de emaranhamento [4], repetidores quˆanticos [5] e retroalimenta¸c˜ao

quˆantica [75], entretanto, todas estas propostas apresentam combina¸c˜oes de di-

ferentes custos como o aumento de recursos para criar a redundˆancia necess´aria

ou a necessidade de realizar opera¸c˜oes multi-qbit, isto ´e opera¸c˜oes n˜ao-locais.

Uma grande motiva¸c˜ao deste trabalho ´e a manipula¸c˜ao e a prote¸c˜ao de ema-

ranhamento, um recurso global, utilizando apenas opera¸c˜oes locais. Mostra-

remos uma estrat´egia completamente local e determin´ıstica capaz de vencer a

a¸c˜ao inevit´avel da dissipa¸c˜ao. Nossa proposta depende de trˆes elementos b´asicos:

a capacidade de monitorar o ambiente detectando as excita¸c˜oes que chegam ao

reservat´orio; a possibilidade de rapidamente realimentar o sistema com uma ex-

cita¸c˜ao; e o uso de sistemas de trˆes n´ıveis para codiﬁcar a informa¸c˜ao quˆantica.

CONTE

UDO 9

Apesar de envolver algum tipo de redundˆancia, esse tipo de codiﬁca¸c˜ao ´e muito

mais “barato” que os c´odigos de corre¸c˜ao usuais para dissipa¸c˜ao, porque acres-

centa apenas um n´ıvel extra a cada constituinte e n˜ao tem como requisito al-

gum emaranhamento extra ou opera¸c˜oes globais. Tamb´em mostraremos que o

monitoramemnto ambiental pode representar uma implementa¸c˜ao dinˆamica do

protocolo local ´otimo capaz de transformar estados com algum emaranhamento

em estados maximamente emaranhados.

A intera¸c˜ao com o ambiente que prejudica protocolos quˆanticos pode, de

fato, chegar a um est´agio capaz de suprimir as caracter´ısticas quˆanticas de um

dado sistema induzindo uma transi¸c˜ao de comportamento at´e que o sistema

se torne efetivamente cl´assico. A transi¸c˜ao quˆantico-cl´assico seria ent˜ao indu-

zida pelo ru´ıdo quˆantico no ambiente que perturba o sistema. Neste regime

de comportamento cl´assico, suprime-se o efeito da incerteza quˆantica intr´ınseca

que, normalmente, d´a origem a inﬁnitas trajet´orias poss´ıveis para a evolu¸c˜ao do

conhecimento do observador sobre o sistema. Todas as trajet´orias ﬁcam muito

semelhantes de tal forma que o sistema efetivamente sempre siga uma trajet´oria,

assim recuperando a no¸c˜ao determinista cl´assica. Estudamos este efeito em um

sistema comum em eletrodinˆamica quˆantica de cavidades, em que um sistema

de dois n´ıveis (dois n´ıveis eletrˆonicos de um ´atomo formando um qbit) interage

com um oscilador harmˆonico (um modo de campo eletromagn´etico conﬁnado na

cavidade ressonante), sendo que o oscilador ´e bombeado por uma for¸ca externa

cl´assica (um gerador de microondas) e sofre dissipa¸c˜ao causada pela intera¸c˜ao

com o ru´ıdo ambiental. Um fator intrigante deste sistema ´e que a transi¸c˜ao

para o comportamento cl´assico acontece a temperaturas extremamente baixas e

com um n´umero de excita¸c˜oes tamb´em muito baixo, uma excita¸c˜ao em m´edia,

regimes em que esperar´ıamos efeitos quˆanticos.

E poss´ıvel mostrar que, ao medir quantidades associadas ao ambiente, po-

demos adquirir (ou recuperar) informa¸c˜ao sobre o sistema. Em particular, mos-

tramos que as excita¸c˜oes que o oscilador perde para o ambiente carregam in-

forma¸c˜ao sobre o comportamento do sistema e sobre as correla¸c˜oes internas

entre as partes (´atomo e campo da cavidade). Cada excita¸c˜ao que deixa o os-

cilador, quando aniquilada, causa uma mudan¸ca abrupta no emaranhamento

´atomo-cavidade, salto esse que nos permite quantiﬁcar a informa¸c˜ao carregada

por cada f´oton detectado no reservat´orio.

A medida que a presen¸ca do ambiente

se torna mais signiﬁcativa, o emaranhamento (uma assinatura quˆantica) entre

´atomo e cavidade, advindo da intera¸c˜ao fortemente emaranhadora entre os mes-

mos, vai desaparecendo at´e que se torne efetivamente nulo no limite cl´assico.

Entretanto a informa¸c˜ao contida nos f´otons que escapam da cavidade apresenta

um efeito de ressonˆancia estoc´astica quˆantica, em que a informa¸c˜ao ´e nula para

ru´ıdo nulo, cresce rapidamente at´e um valor m´aximo para uma dada intensidade

de ru´ıdo e decresce gradualmente para altas intensidades. A regi˜ao de m´aximo

de informa¸c˜ao corresponde `a situa¸c˜ao em que o qbit, o oscilador e o ambiente

est˜ao maximamente emaranhados, assim marcando a regi˜ao em que a transi¸c˜ao

come¸ca a acontecer.

O fenˆomeno de ressonˆancia estoc´astica j´a foi estudado em uma enorme vari-

edade de contextos, de eras glaciais a sistemas sensoriais biol´ogicos. O pr´oprio

conceito de evolu¸c˜ao tem sido atribu´ıdo, em conjectura, a ﬂutua¸c˜oes ambientais

inevit´aveis. O fenˆomeno foi primeiramente proposto para explicar a ocorrˆencia

de eras glaciais, ou como pequenas perturba¸c˜oes na ´orbita do planeta podem

afetar o clima global induzindo transi¸c˜oes entre estados de baixa e alta tempera-

CONTE

UDO 10

tura. Se as ﬂutua¸c˜oes s˜ao muito pequenas as transi¸c˜oes s˜ao muito infrequentes,

se s˜ao muito grandes, as transi¸c˜oes s˜ao muito frequentes e ambas situa¸c˜oes n˜ao

correspondem ao que ´e observado. Portanto, deve haver um n´ıvel ´otimo de ﬂu-

tua¸c˜oes. As grandes eras glaciais supostamente acontecem a cada 100.000 anos.

Entretanto, n˜ao t˜ao dr´asticas mudan¸cas acontecem a cada 5 anos, o que conti-

nua realimentando a discuss˜ao de que a¸c˜oes humanas s˜ao ou n˜ao respons´aveis

por r´apidas mudan¸cas do clima global [6].

Fato ´e que os efeitos induzidos por ﬂutua¸c˜oes ambientais s˜ao extremamente

importantes tanto dentro quanto fora da escala quˆantica. Esta ´e uma disserta¸c˜ao

voltada para o estudo de informa¸c˜ao em ambientes quˆanticos. No primeiro

cap´ıtulo, vamos apresentar alguns conceitos b´asicos de mecˆanica quˆantica in-

cluindo informa¸c˜ao, opera¸c˜oes e correla¸c˜oes. No segundo cap´ıtulo, nos voltamos

para sistemas abertos, ou seja, sistemas que se comunicam com seus ambientes.

Descrevemos como o monitoramento do ambiente pode afetar a informa¸c˜ao so-

bre o sistema e apresentamos um tipo de retroalimenta¸c˜ao que pode vir a ser

usada para obter ou controlar certos tipos de comportamento do sistema em

quest˜ao. No terceiro cap´ıtulo buscamos estrat´egias locais de monitoramento do

ambiente e retroalimenta¸c˜ao do sistema para preservar informa¸c˜ao e emaranha-

mento [7]. No quarto cap´ıtulo mostramos uma transi¸c˜ao de comportamento de

quˆantico a cl´assico e fornecemos uma perspectiva sobre a informa¸c˜ao que pode

ser obtida com o monitoramento [8]. Finalmente, conclu´ımos a disserta¸c˜ao no

cap´ıtulo cinco com perpectivas futuras.

Cap´ıtulo 1

Conhecimento, Opera¸c˜oes e

Correla¸c˜oes

I Conhecimento do Observador

Em Mecˆanica Quˆantica, abandonamos a descri¸c˜ao cl´assica de sistemas f´ısicos

baseada em posi¸c˜ao ou estado bem deﬁnido (sem incerteza) e adotamos uma des-

cri¸c˜ao em que o conhecimento do observador se baseia em uma distribui¸c˜ao de

amplitudes de probabilidades (cujo m´odulo quadrado ´e uma probabilidade) para

os poss´ıveis resultados de medidas ou observa¸c˜oes. A descri¸c˜ao probabil´ıstica na

f´ısica apareceu com a Mecˆanica Estat´ıstica muito antes da MQ. Entretanto exis-

tem grandes diferen¸cas entre o caso cl´assico e o quˆantico [9]. A incerteza sobre

resultados de medidas no conhecimento de um observador ´e intr´ınseca `a MQ,

enquanto que no caso cl´assico ´e inteiramente atribu´ıda `a ignorˆancia do obser-

vador. Com a estrutura linear da MQ, qualquer estado com a menor incerteza

poss´ıvel pode ser compreendido como sendo uma superposi¸c˜ao de outros estados

tamb´em de menor incerteza, assim n˜ao havendo estado de incerteza nula (numa

perspectiva cl´assica). Esta mesma estrutura de incerteza, em sistemas compos-

tos, se traduz em uma caracter´ıstica unicamente quˆantica, o emaranhamento.

As distribui¸c˜oes de probabilidade quˆanticas (matrizes densidade) de sistemas

compostos podem, assim como no caso cl´assico, apresentar correla¸c˜oes entre os

resultados de medidas individuais (locais) dos subsistemas. Entretanto essas

correla¸c˜oes podem n˜ao possuir an´alogas em ME cl´assica, sendo assim nomeadas

emaranhamento. Antes de examinar sistemas sob uma determinada parti¸c˜ao,

vamos primeiro focar no caso de sistemas isolados n˜ao particionados e rever

algumas caracter´ısticas de estados quˆanticos.

O estado de conhecimento do observador ´e representado por uma matriz

densidade ou estado quˆantico ρ, cujos autovalores ρ

s˜ao reais e n˜ao negativos,

ρ ´e hermitiana, positiva semi-deﬁnida e possui tra¸co um, tr{ρ} =



= 1,

o que garante sua interpreta¸c˜ao probabil´ıstica. A matriz est´a associada a um

ensemble de sistemas identicamente preparados, sobre o qual todos os resultados

de medida obedecer˜ao `a distribui¸c˜ao estat´ıstica contida em ρ. Toda a informa¸c˜ao

contida em ρ ´e referente `a probabilidades com que aparatos capazes de medir

o sistema forneceriam seus poss´ıveis resultados. A quantidade de informa¸c˜ao

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 12

contida em ρ (uma matriz d × d) pode ser quantiﬁcada por sua pureza

δ = tr{ρ

} =



≤ δ ≤ 1 (1.1)

e equivalentemente pela entropia de von Neumann

S = −tr{ρ log ρ} = −



log ρ

, log d ≥ S ≥ 0. (1.2)

Um estado que apresenta m´axima informa¸c˜ao quˆantica

´e dito puro e nesse

caso δ = 1, S = 0. Estados com menor teor de informa¸c˜ao sobre resultados de

medida s˜ao ditos mistos. No caso maximamente misto δ = 1/d, S = log d.

A matriz ou ensemble ρ sempre pode ser expressa como uma soma convexa

n˜ao ´unica de projetores

ρ =



|ψ

ψ

|, tr{ρ} = 1, (1.3)

tal que ´e poss´ıvel preparar ρ com um aparato que prepara P

com probabilidade

. Quando os projetores {P

} s˜ao ortogonais temos que as probabilidades p

s˜ao os autovalores de ρ. Os projetores por sua vez correspondem a estados puros

tr{P

} = tr{P } = 1, que podem ser representados de maneira computacional-

mente mais simples por vetores de estado |ψ com norma um ψ|ψ = 1. Assim

os vetores de estado cont´em sempre a maior quantidade de informa¸c˜ao que um

estado quˆantico pode oferecer. Apesar disso, esses vetores ainda apresentam

incertezas estat´ısticas intr´ınsecas na MQ no sentido de que os resultados de me-

didas ainda s˜ao probabil´ısticos e n˜ao determin´ısticos. Eles sempre podem ser

expressos de maneira tamb´em n˜ao ´unica como uma superposi¸c˜ao coerente de

outros estados puros

|ψ =



|φ

. (1.4)

A n˜ao unicidade na representa¸c˜ao de um mesmo estado misto pode ser ﬁsica-

mente interpretada como a n˜ao unicidade de maneiras de se preparar um mesmo

objeto f´ısico, que levam a mesma distribui¸c˜ao ρ. A n˜ao unicidade no caso puro

representa a incerteza m´ınima para qualquer observador e sempre haver˜ao inﬁ-

nitas perguntas (ou medi¸c˜oes) para as quais as respostas ser˜ao probabilisticas.

Agora suponha um observador A e um outro observador B, cujos conheci-

mentos sobre um dado sistema s˜ao dados por ρ

e ρ

respectivamente. Podemos

nos perguntar o qu˜ao diferentes s˜ao os estados de A e B deﬁnindo uma esp´ecie

de distˆancia (embora n˜ao seja uma quantidade sim´etrica) estat´ıstica entre ρ

, a ﬁdelidade [11]

F =







√



. (1.5)

Considere um caso especial em que um dos estados ´e puro ρ

= |ψψ|. Nesse

caso temos

√

= ρ

e a ﬁdelidade se reduz ao produto interno dos operadores

F = tr{ρ

} = ψ|ρ

|ψ, (1.6)

Alertamos ao leitor que nosso tratamento para informa¸c˜ao ´e diferente do tratamento

original de Shannon [10]

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 13

tal que 0 ≤ F ≤ 1 sendo F = 1 sse ρ

= ρ

e F = 0 sse ρ

e ρ

“moram”em

subespa¸cos ortogonais. Um observ´avel do sistema tamb´em pode ser represen-

tado por uma matriz e tamb´em possui uma decomposi¸c˜ao em autovalores e

autovetores. Segue o valor m´edio de um observ´avel X dado que o estado ´e ρ:

X = tr{ρX}.

II Evolu¸c˜ao de Sistemas Isolados

Um sistema isolado ´e em geral apenas uma abstra¸c˜ao que no entanto serve de

base para toda a descri¸c˜ao de sistemas realistas n˜ao isolados, chamados sistemas

abertos. Antes de abordarmos sistemas abertos vamos primeiro examinar o caso

mais simples e apresentar a equa¸c˜ao que governa a evolu¸c˜ao temporal do sistema

e sua respectiva solu¸c˜ao. A evolu¸c˜ao de um sistema isolado depende apenas do

seu hamiltoniano H e ´e dada pela equa¸c˜ao de von Neumann que no caso restrito

a estados puros se reduz `a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (ES). Apesar de se tratar

de uma descri¸c˜ao restrita vamos come¸car pela ES e apresentar uma motiva¸c˜ao

para a mesma.

At´e onde entendo

a maneira e estrat´egia empregadas por Erwin Schr¨odinger

ao derivar sua famosa equa¸c˜ao parecem um tanto quanto obscuras [12]. Traba-

lhos anteriores de Einstein, Planck e de Broglie sugeriam um comportamento

ondulat´orio de part´ıculas pequenas e discretiza¸c˜ao de espectros de energia. Hoje

interpretamos a uni˜ao do comportamento ondulat´orio e de part´ıcula como sendo

devido `a limita¸c˜ao da descri¸c˜ao de sistemas f´ısicos `a distribui¸c˜oes de amplitudes

de probabilidades, que se traduz na linearidade da MQ. Esse processo de quan-

tiza¸c˜ao levou `a associa¸c˜ao de grandezas observ´aveis do sistema (por exemplo o

hamiltoniano) a operadores lineares e hermitianos.

Antes desta e outras interpreta¸c˜oes da MQ, acredito que a ideia central

era associar uma onda, por exemplo uma onda plana ψ(r, t) = e

i(k·r−wt)

, a

uma part´ıcula de tal forma a respeitar a conserva¸c˜ao de energia. A energia da

part´ıcula ´e dada por seu hamiltoniano H e a energia do quantum de onda por

E = ω. Impondo a igualdade de energia chegamos `a ES

Hψ = Eψ = ωψ

Hψ = i

∂

∂t

ψ. (1.7)

O espa¸co de ondas planas ´e isomorfo a um espa¸co vetorial linear tal que

ψ −→ |ψ e H −→ H. Podemos ent˜ao reescrever a ES na forma que nos ´e mais

adequada

d|ψ = −



H|ψdt. (1.8)

Essa motiva¸c˜ao para a ES ´e equivalente a um processo de quantiza¸c˜ao da des-

cri¸c˜ao f´ısica. Fato ´e que a ES, em seu alcance restrito a todos os estados puros,

´e uma lei de dinˆamica determin´ıstica geral sendo adequada tamb´em para outros

sistemas quˆanticos como o grau de liberdade de momento angular intr´ınseco,

part´ıculas em potenciais n˜ao triviais [13] e sistemas de muitos corpos. Podemos

A t´ıtulo de curiosidade discuto brevemente, do meu ponto de vista, a origem da ES. Obvi-

amente o leitor interessado pode procurar os trabalhos originais que formulam uma mecˆancia

ondulat´oria para part´ıculas.

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 14

resolver a ES e portanto obter a evolu¸c˜ao de um estado puro arbitr´ario de um

sistema fechado (assumindo um hamiltoniano independente do tempo e  = 1)

|ψ(t) = U(t)|ψ(0) = e

−iHt

|ψ(0). (1.9)

No caso geral de estados mistos arbitr´arios a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao ´e a de von

Neumann

dρ = −i[H, ρ]dt, (1.10)

sendo o comutador [H, ρ] = [H, •] ρ = Hρ − ρH com a solu¸c˜ao

ρ(t) = e

−i[H,•]t

ρ(0). (1.11)

Podemos ainda explicitar essa solu¸c˜ao em termos do operador evolu¸c˜ao U(t),

que corresponde a uma opera¸c˜ao unit´aria. Fazendo uso da s´erie (generaliza¸c˜ao

da s´erie de Taylor) da exponencial do comutador, temos

ρ(t) =



(−i)

[H, •]

ρ(0)

= ρ(0) −it[H, ρ(0)] −

[H, [H, ρ(0)]] + ···



I − iHt −

+ ···



ρ(0)



I + iHt −

+ ···







(−iHt)



ρ(0)





(iHt)



= e

−iHt

ρ(0)e

iHt

ρ(t) = U(t)ρ(0)U(t)

†

. (1.12)

E f´acil mostrar que no caso de estados puros a equa¸c˜ao de von Neumann se reduz

`a ES. Se ρ(0) = P = |ψ(0)ψ(0)| ent˜ao ρ(t) = U|ψ(0)ψ(0)|U

†

= |ψ(t)ψ(t)|,

assim recuperamos a solu¸c˜ao (1.9) e portanto a ES.

III Medi¸c˜oes de Sistemas Quˆanticos

Aqui serei muito objetivo de forma similar a [9, 15, 16], indicando [14] para

uma discuss˜ao extensa. Medir ou observar um sistema f´ısico ´e uma forma de

tentar adquirir informa¸c˜ao sobre o mesmo. A MQ como um todo pode ser for-

mulada a partir de prepara¸c˜oes e medidas de sistemas quˆanticos [14]. Medidas

projetivas s˜ao bem conhecidas entre f´ısicos e s˜ao apresentadas em cursos intro-

dut´orios como sendo a ´unica forma de medida, entretanto s˜ao um caso particular

de todas as medidas quˆanticas. Existem tamb´em medidas n˜ao projetivas que

possuem um papel importante nas se¸c˜oes que se seguem.

Um conjunto {Π

} de operadores de medida ([9, 14, 17]), constitui um pro-

cesso de medi¸c˜ao quando particiona a identidade do espa¸co vetorial do sistema

quˆantico obedecendo



†

= I,



†



≥ 0 ∀ n. (1.13)

Se a medida ´e projetiva todos os operadores do conjunto s˜ao projetores orto-

gonais. A equa¸c˜ao (1.13) vale para qualquer medida incluindo n˜ao projetivas,

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 15

sendo o ´unico vinculo que garante a conserva¸c˜ao da probabilidade. Cada ope-

rador de medida Π

pode ser interpretado como a n-´esima sa´ıda (resultado)

poss´ıvel em um aparato de medida caracterizado pelo conjunto {Π

}. O apa-

rato tamb´em pode ser pensado como sendo um conjunto de detectores {Π

Aqui se torna expl´ıcita a incerteza estat´ıstica intr´ınseca da MQ. Suponha que o

conhecimento do observador seja dado inicialmente por ρ(0). Na realiza¸c˜ao de

uma medida cada sa´ıda ou resultado acontece com probabilidade

= tr{Π

ρ(0)Π

†

}, (1.14)

e de acordo com o postulado de medida (von Neumann e L¨uders) o estado

quˆantico evolui condicionado ao disparo do n-´esimo detector

(∆t) =

ρ(0)Π

†

, (1.15)

em que ∆t ´e o tempo decorrido durante o processo de medida. No caso de

estados puros temos |ψ

(∆t) = Π

|ψ(0) a menos de normaliza¸c˜ao. Isso quer

dizer que a informa¸c˜ao do resultado de uma medida muda o conhecimento do

observador levando a uma nova distribui¸c˜ao de probabilidade ρ

(∆t) condicio-

nada ao resultado n. A rela¸c˜ao (1.13) ´e necess´aria para manter a conserva¸c˜ao da

probabilidade, tal que



= 1. Usando a propriedade c´ıclica e linearidade

do tra¸co temos



= tr





†



= tr{ρ} = 1. (1.16)

Se, por alguma raz˜ao, o observador perder ou ignorar o resultado da medida

o seu conhecimento ser´a dado pela mistura estat´ıstica dos poss´ıveis resultados,

ou seja, o estado n˜ao condicionado ao resultado

ρ(∆t) =



ρ(0)Π

†

. (1.17)

A medida n˜ao seletiva que gera o estado n˜ao condicionado, em geral, diminui o

n´ıvel de informa¸c˜ao aumentando a entropia do estado. Assim um estado inicial

puro, em geral, evolui para um estado misto de pureza menor que um. A medida

se torna seletiva quando o observador registra o resultado de medida.

Medidas quˆanticas s˜ao opera¸c˜oes completamente positivas, pois obedecem a

equa¸c˜ao (1.13). Opera¸c˜oes completamente positivas mapeam estados quˆanticos

em estados quˆanticos, ou seja, estas opera¸c˜oes preservam as propriedades de

estados quˆanticos (todas as poss´ıveis medidas sobre o novo estado tamb´em re-

sultam em outros estados quˆanticos com probabilidades n˜ao negativas). Assim

um mapa positivo Λ leva um estado σ a um outro estado ρ = Λσ, tal que para

qualquer conjunto de operadores de medida tr{Π

ρΠ

†

} ≥ 0, ∀ n. Um mapa

´e completamente positivo se o mesmo vale para todas suas extens˜oes triviais

tr{Π

(Λ ⊗ I

)σΠ

†

} ≥ 0, ∀ n, d sendo que agora o estado σ e os operadores Π

atuam em um sistema cuja dimens˜ao ´e a do sistema original vezes d, sendo d

a dimens˜ao da identidade I

. As opera¸c˜oes completamente positivas obedecem

os postulados de medida e podem ser expressas na forma de Kraus como na

equa¸c˜ao (1.17).

A opera¸c˜ao quˆantica mais geral em um sistema A pode ser obtida com uma

intera¸c˜ao hamiltoniana com um sistema B seguida de uma medida n˜ao seletiva

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 16

no sistema B ou o tra¸co parcial neste segundo sistema

(∆t) = tr

{Uρ

†

}. (1.18)

Uma considera¸c˜ao importante ´e o grau de correla¸c˜ao inicial entre os sistemas

A e B. Foi mostrado recentemente que para obtermos um mapa completamente

positivo, i. e., um mapeamento de estados quˆanticos a estados quˆanticos, ´e

necess´ario que os sistemas sejam apenas classicamente correlacionados, ou seja,

com disc´ordia nula [18]. Aqui, trataremos apenas o caso em que inicialmente o

sistema A e seu entorno B s˜ao descorrelacionados. Portanto temos um estado

inicial ρ

= ρ

⊗



|ii|, que ao ser substituido na equa¸c˜ao (1.18) nos

fornece

(∆t) =



j|U|i

√

(0)i|U

†

|j

√



(0)Π

†

, Π

= j|U|i

√

. (1.19)

Este exemplo gen´erico representa uma medida n˜ao projetiva (ignorando o

resultado de medida) em A, em que o sistema (A) interage com o ambiente (B)

atrav´es da unit´aria U e em seguida o observador realiza uma medida projetiva

(e n˜ao seletiva) no ambiente na base {|j} (na qual efetuamos o tra¸co).

A Invariˆancia do Estado n˜ao Condicionado

O aparato de medida pode ser rearranjado produzindo sa´ıdas diferentes daquelas

produzidas pelo arranjo inicial, mas ainda assim mantendo o mesmo estado n˜ao

condicionado. Vamos deﬁnir primeiro o vetor que representa a medida n˜ao

seletiva (que gera o estado n˜ao condicionado)

Π = [Π

, Π

, ··· , Π

, ···] , (1.20)

tal que a equa¸c˜ao (1.17) pode ser escrita como

ρ(∆t) = ΠρΠ

†

, (1.21)

tal que





†

= I. (1.22)

Agora podemos deﬁnir outros conjuntos {Ξ

} de operadores de medida que

s˜ao equivalentes ao conjunto {Π

}, no sentido de fornecerem o mesmo estado

n˜ao condicionado. O rearranjo do aparato corresponde a uma transforma¸c˜ao

unit´aria sobre o vetor transposto Π

e nos conduz a um novo vetor

= UΠ

= [Ξ

, Ξ

, ··· , Ξ

, ···]

, (1.23)

com Ξ = ΠU

. A unit´aria U (U

†

U = I), n˜ao atua em ρ e sim apenas superp˜oe

os operadores de medida.

Para eliminar alguns somat´orios introduzimos o vetor de operadores Π e as opera¸c˜oes

†



†

, Π

†

, Π

†

, · · · , Π

†

, · · ·



e Π





†

, Π

†

, Π

†

, · · · , Π

†

, · · ·



CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 17

Temos, ent˜ao o estado n˜ao condicionado

Ξρ(0)Ξ

†

= ΠU

ρ(0)[ΠU

]

†

= ΠU

ρ(0)U

∗

†

= Πρ(0)U

∗

†

= Πρ(0)(U

†

∗

†

= Πρ(0)(I)

∗

†

⇒ ρ(∆t) = Ξρ(0)Ξ

†

= Πρ(0)Π

†

(1.24)

Essa invariˆancia do estado n˜ao condicionado indica que, quando n˜ao acessamos

o resultado da medida, a evolu¸c˜ao do estado ´e a mesma independentemente da

estrat´egia de medida.

IV Conhecimento e Correla¸c˜oes

Todo sistema f´ısico est´a imerso em uma vizinhan¸ca de outros sistemas ou partes.

O espa¸co de estados do sistema global ´e o produto tensorial do espa¸co das

partes. As partes do sistema global podem trocar energia e informa¸c˜ao atrav´es

de uma grande classe de intera¸c˜oes. Este processo de intera¸c˜ao ou troca pode

gerar correla¸c˜oes entre resultados de medidas realizadas nos subsistemas. Desta

forma quando h´a correla¸c˜oes entre um sistema A e um sistema B ´e poss´ıvel inferir

informa¸c˜oes sobre B dado que possu´ımos um resultado de medida realizada em

A. Por outro lado quando ignoramos uma das partes correlacionadas podemos

perder informa¸c˜ao sobre os subsistemas restantes.

Superposi¸c˜oes de estados e a estrutura tensorial da Mecˆanica Quˆantica d˜ao

origem a um tipo de correla¸c˜ao unicamente quˆantica, o emaranhamento. Esse

tipo de correla¸c˜ao e suas implica¸c˜oes foram notados inicialmente por Einstein,

Podolsky e Rosen (EPR), que acreditavam que a MQ n˜ao era uma teoria com-

pleta e que o emaranhamento era uma evidˆencia desta incompletude [19], e

Schr¨odinger [20]. Em mecˆanica estat´ıstica cl´assica a descri¸c˜ao probabil´ıstica

surge de uma m´edia sobre estados que podemos interpretar como sendo reais,

ou seja, pode ser dito que o sistema est´a em um estado e ao medirmos descobri-

mos qual, assim as probabilidades atribu´ıdas aos poss´ıveis resultados s˜ao reﬂexo

da ignorˆancia do observador. Tamb´em no caso cl´assico (correla¸c˜oes cl´assicas),

quando medimos um de dois subsistemas (AB) correlacionados temos instan-

taneamente informa¸c˜ao sobre o outro, entretanto isto n˜ao viola a relatividade

especial (RS) [21] (informa¸c˜ao n˜ao viaja acima da velocidade da luz). Dado

que os subsistemas realmente estavam em um dado estado, com a medida em A

apenas descobrimos tamb´em qual era o estado de B. Resumindo, em mecˆanica

estat´ıstica cl´assica qualquer propriedade do sistema pode ser interpretada como

sendo real e local. O mesmo n˜ao pode ser dito sobre MQ.

Em MQ mesmo os estados mais puros e com maior teor de informa¸c˜ao ainda

s˜ao distribui¸c˜oes de amplitudes de probabilidade (como visto em se¸c˜oes anteri-

ores). Por este motivo, aqui optamos por n˜ao atribuir realidade ao estado do

sistema. O trabalho EPR mostrou uma incompatibilidade entre realismo, locali-

dade e MQ. Trabalhos seguintes forneceram um crit´erio (desigualdades de Bell)

capaz de discernir certas classes teorias cl´assicas de outras teorias [22]. Diversos

testes experimentais das desigualdades de Bell sugerem que a natureza pode, de

fato, ser modelada pela MQ [23]. Estes trabalhos analisam o grau de correla¸c˜ao

dos subsistemas e assim as correla¸c˜oes quˆanticas se mostraram n˜ao locais tal

que alguns estados emaranhados violam as desigualdades. Entretanto existem

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 18

estados emaranhados que admitem um an´alogo cl´assico. Portanto, parte da MQ

(alguns estados) pode ser simulada por distribui¸c˜oes de probabilidade cl´assicas.

A fronteira, ou a existˆencia da mesma, em que come¸ca o mundo cl´assico e ter-

mina o mundo quˆantico permanece oculta. Aqui n˜ao continuaremos a abordar

temas como realidade, localidade, contextualidade e continuaremos a adotar a

interpreta¸c˜ao probabil´ıstica da MQ.

Desde os debates sobre o EPR houve muito trabalho ﬁlos´oﬁco, matem´atico e

f´ısico sobre o emaranhamento [25] impulsionado nas ´ultimas d´ecadas pelo pros-

pecto de informa¸c˜ao e computa¸c˜ao quˆantica. Se o sistema A-B est´a emaranhado

(correlacionado quanticamente) os subsistemas podem se comunicar e enviar bits

(e q-bits) de informa¸c˜ao um ao outro de maneira superior a comunica¸c˜ao estri-

tamente cl´assica. Emaranhamento possui v´arias aplica¸c˜oes interessantes como

distribui¸c˜ao quˆantica de chave criptogr´aﬁca [26], teleporta¸c˜ao de um estado

quˆantico desconhecido [27] e outros protocolos de computa¸c˜ao quˆantica [17].

Vamos inicialmente mostrar a forma geral de estados bipartidos e classiﬁca-

los de acordo com o tipo de correla¸c˜ao [29, 30, 31]. Um estado n˜ao correlacionado

do sistema AB ´e dito fator´avel e pode ser expresso por

= ρ

⊗ ρ

, (1.25)

ou seja, ´e um produto de um estado de A com um estado de B. Um estado n˜ao

emaranhado ´e dito separ´avel e pode ser expresso por



⊗ ρ

, (1.26)

tamb´em ´e uma mistura estat´ıstica de estados n˜ao correlacionados. Um estado

que apresenta correla¸c˜oes quˆanticas (talvez cl´assicas tamb´em) ´e dito emaranhado

e tem que ser expresso na forma mais geral de um estado do sistema (n˜ao pode

ser separado nem fatorado). Aqui optamos pela representa¸c˜ao



i,ν,j,µ

(iν)(jµ)

|iνjµ|, (1.27)

que ´e uma matriz de quatro indices, tal que i e j designam estados do sistema

A e ν, µ fazem referˆencia a B.

A Emaranhamento e Opera¸c˜oes Quˆanticas

O sistema composto AB, em geral, possui um hamiltoniano interno da forma

H = H

⊗ I

+ I

⊗ H

+ H

int

. (1.28)

Quando n˜ao h´a intera¸c˜ao entre os subsistemas, H

int

= 0 e o n´ıvel de correla¸c˜ao

permanece invariante. Por exemplo, um estado inicial fator´avel permanece fa-

tor´avel, dado que sua evolu¸c˜ao ´e dada pela solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de von Neumann

(t) = e

−i(H

⊗ ρ

i(H

= e

−iH

⊗ e

−iH

= ρ

(t) ⊗ ρ

(t). (1.29)

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 19

Um estado separ´avel tamb´em permanece separ´avel sob opera¸c˜oes unit´arias lo-

cais. De fato, deﬁnimos emaranhamento como uma quantidade que n˜ao ´e alte-

rada por opera¸c˜oes unit´arias locais U

⊗ U

[32]



⊗ U

†

⊗ U

†



= E [ρ

] , (1.30)

em que E ´e uma medida de emaranhamento. Quando o hamiltoniano ´e n˜ao

local e possui um termo de intera¸c˜ao n˜ao nulo o emaranhamento pode tanto

aumentar quanto diminuir.

Foi descoberto [33] que medidas seletivas locais (e comunica¸c˜ao cl´assica)

⊗ Π

podem levar um estado emaranhado com an´alogo cl´assico a outro

com mais emaranhamento e sem an´alogo cl´assico. Este processo de aumento

de emaranhamento com opera¸c˜oes locais foi denominado destila¸c˜ao. Entretanto

o emaranhamento n˜ao aumenta com medidas n˜ao seletivas. Uma medida n˜ao

seletiva em geral diminui a informa¸c˜ao contida no estado diminuindo sua pureza.

E perda de pureza, em geral, signiﬁca perda de emaranhamento [34]. Assim o

emaranhamento de um estado condicionado a resultados de medidas locais pode

aumentar, por´em o emaranhamento do estado n˜ao condicionado diminui se o

processo de medida ´e local. Isto vale tanto para o emaranhamento do estado

n˜ao condicionado quanto para a m´edia de emaranhamento dos poss´ıveis estados

condicionados e a hierarquia ´e dada por

E [ρ] ≤



E [ρ

] ≤ E [ρ

] , (1.31)

tal que o i-´esimo estado condicionado ´e dado por

⊗ Π

†

⊗ Π

†

(1.32)

e o estado n˜ao condicionado por ρ =



. Em seguida mostrou-se que h´a

diferentes tipos de emaranhamento (al´em de local e n˜ao local): emaranhamento

livre destil´avel e emaranhamento preso n˜ao destil´avel. Tamb´em foi mostrado que

todo estado destil´avel possui transposta parcial negativa (n˜ao necessariamente

a rec´ıproca) [35]. Uma matriz transposta parcial de um estado ρ

pode ser

encontrada ao trocarmos os indices (trasposi¸c˜ao convencional) de apenas um

dos subsistemas



i,ν,j,µ

(iν)(jµ)

|iµjν|, (1.33)

tal que a transposta parcial de um estado separ´avel ´e um outro estado quˆantico,

pois esta ´e uma opera¸c˜ao positiva. Entretanto existem estados emaranhados

que possuem transposta parcial com autovalores negativos. Portanto a trans-

posi¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao n˜ao completamente positiva e pode ser utilizada como

um crit´erio de distilabilidade de emaranhamento.

B Emaranhamento de Estado Puro

E poss´ıvel quantiﬁcar o emaranhamento de estados puros bipartidos atrav´es de

v´arios quantiﬁcadores de emaranhamento. Neste caso crit´erios de n˜ao localidade

e separabilidade coincidem. Um estado puro n˜ao correlacionado ´e expresso por

|a⊗|b = |ab. Qualquer estado puro que n˜ao pode ser expresso por |ab ´e dito

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 20

emaranhado. Podemos expressar um estado puro arbitr´ario com a decomposi¸c˜ao

de Schmidt

|Ψ

 =



, (1.34)

em que {|a

} e {|b

} s˜ao bases ortonormais (que diagonalizam os estados

reduzidos das partes) em A e B, respectivamente e d = min{d

, d

}, sendo d a

menor das dimens˜oes dos subsistemas. Um estado puro fator´avel possui apenas

um coeﬁciente λ

n˜ao nulo (λ

= 0, ∀ n = e; ∃! e | λ

= 1). Um estado

maximamente emaranhado possui todos os coeﬁcientes iguais (λ

√

∀ n).

Vamos considerar um breve exemplo para ilustrar diferen¸cas entre correla¸c˜oes

cl´assicas e quˆanticas. Considere o estado classicamente correlacionado

[|0000| + |1111|] . (1.35)

Assumindo que os observadores podem se comunicar classicamente temos a se-

guinte situa¸c˜ao. Se o observador Agata em posse do sistema (A) realiza uma

medida projetiva na base {|0, |1} ele obt´em com probabilidade 1/2 o estado

global |00 ou |11, assim obtendo informa¸c˜ao sobre o outro sistema (B) em

posse do observador Borat.

O conhecimento de Agata ao ignorar o sistema B e toda informa¸c˜ao vinda

de Borat ´e dado pelo tra¸co parcial em B sobre o estado global

= tr

{ρ

} =





⊗ b|





⊗ |b





b|







i,ν,j,µ

(iν)(jµ)

|iνjµ|





|b









b,ν,µ

(iν)(jµ)

b|νµ|b





|ij|



A(ij)

|ij|. (1.36)

No exemplo em considera¸c˜ao ρ

= tr

{ρ

} =

[|00| + |11|] = ρ

, que ´e

um estado maximamente misto e possui o menor grau de informa¸c˜ao quˆantica.

Se o observador Agata opta por medir na base {|+, |−}, com |± =

[|0 ± |1],

ele obt´em um dos estados ρ

= |±±| ⊗ ρ

e n˜ao adquire nova informa¸c˜ao

sobre o estado do sistema B, na verdade perde toda informa¸c˜ao quˆantica de B.

Agora considere o estado emaranhado

|Ψ

 =

[|00 + |11] =

[| + ++ | −−] . (1.37)

Neste caso n˜ao importa em que base o observador Agata realiza a medida, ele

sempre obt´em nova informa¸c˜ao sobre o sistema B. Este ´e um estado maxima-

mente emaranhado de dois q-bits.

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 21

i Quantiﬁca¸c˜ao pela entropia das partes

Dois sistemas que interagem podem compartilhar informa¸c˜ao e se tornarem

emaranhados. Quando o estado global ´e puro podemos quantiﬁcar o grau de

informa¸c˜ao quˆantica compartilhada entre as partes com a entropia de von Neu-

mann dos estados reduzidos das partes. Esta quantiﬁca¸c˜ao se baseia na perda de

informa¸c˜ao quˆantica que uma das partes sofreria ao ignorar a outra parte. Essa

informa¸c˜ao perdida ´e exatamente a informa¸c˜ao compartilhada, ou a correla¸c˜ao.

Assim o emaranhamento de |Ψ

 =



 ´e

E(Ψ

) = S(ρ

) = −tr {ρ

log ρ

} = −



|λ

log |λ

. (1.38)

ii Convers˜ao ´otima de estados puros

Uma pergunta muito importante foi feita e respondida em [36]. Suponha que

Agata e Borat dividam um estado puro emaranhado Ψ e que eles gostariam

de convertˆe-lo em outro estado puro emaranhado Φ. Qual ´e a probabilidade

m´axima de sucesso em tal convers˜ao se as duas partes, que podem se comuni-

car classicamente, podem realizar apenas opera¸c˜oes locais nos subsistemas? A

resposta ´e dada por

P (Ψ → Φ) = min

l∈[1,d]



n=l

|α



n=l

|β

, (1.39)

tal que α

e β

s˜ao os coeﬁcientes de Schmidt de Ψ e Φ respectivamente em

ordem decrescente. Aqui mostramos apenas a motiva¸c˜ao da demonstra¸c˜ao.

Introduzimos a fam´ılia de fun¸c˜oes que n˜ao aumentam sob estrat´egias locais

(Ψ) =



n=l

|α

. Suponha que a optimiza¸c˜ao de (1.39) ´e dada por l = k.

Antes da convers˜ao E

´e dada por E

(Ψ), ap´os a convers˜ao ela ´e dada pela media



(Ψ → Φ)E

(Φ). Portanto P



(Ψ → Φ)E

(Φ) ≤ E

(Ψ) devido ao fato de que

n˜ao aumenta no processo e assim a igualdade vale quando a probabilidade

´e m´axima.

C Emaranhamento de Estado Misto

Caracterizar o emaranhamento de um estado bipartido arbitr´ario, de pureza

arbitr´aria, ´e uma tarefa computacionalmente e matematicamente mais com-

plexa quando comparada ao caso de estados puros. Entretanto, o volume de

estados mistos ´e maior que o volume de estados puros e em muitas situa¸c˜oes

real´ısticas a intera¸c˜ao com o meio ambiente faz com que estados mistos sejam

uma descri¸c˜ao mais adequada do conhecimento do observador. Existem v´arios

quantiﬁcadores de emaranhamento e cada um tem suas vantagens e aplica¸c˜oes.

Vamos apresentar apenas alguns destes quantiﬁcadores, aqueles que de fato ire-

mos computar em se¸c˜oes seguintes (n˜ao abordaremos robustez e testemunhas

de emaranhamento, por exemplo).

Um quantiﬁcador que estende a entropia de emaranhamento de estados puros

para o caso misto ´e o emaranhamento de forma¸c˜ao [37]. O emaranhamento de

forma¸c˜ao quantiﬁca os recursos necess´arios para criar um dado estado quˆantico.

Lembrando que um estado misto pode ser preparado de diferentes maneiras

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 22

a partir de estados puros podemos deﬁnir o emaranhamento m´edio de uma

prepara¸c˜ao. O emaranhamento de forma¸c˜ao ´e o menor valor do emaranhamento

m´edio minimizado sobre todas as poss´ıveis prepara¸c˜oes a partir de estados puros

E(ρ) = min

{Ψ

}



E(ψ

). (1.40)

Para estados de dois qbits h´a uma express˜ao fechada para o emaranhamento

de forma¸c˜ao dada pela concorrˆencia[38]. Entretanto, calcular o emaranhamento

de forma¸c˜ao de sistemas mais gerais permanece uma tarefa de for¸ca bruta [39]

salvo situa¸c˜oes de alta simetria [40].

Um outro quantiﬁcador de emaranhamento ´e a negatividade da transposta

parcial da matriz densidade do sistema[41]. Esse quantiﬁcador ´e simples de ser

computado e fornece uma boa cota para o emaranhamento destil´avel do sistema.

Portanto antes de mostrar como fazˆe-lo vamos tentar motivar o uso do mesmo.

Esse quantiﬁcador se baseia no uso de uma opera¸c˜ao que n˜ao ´e f´ısica no

sentido que leva um estado quˆantico a uma distribui¸c˜ao que pode possuir “pro-

babilidades”negativas. Essa opera¸c˜ao ´e a transposi¸c˜ao parcial. A transposi¸c˜ao

´e uma opera¸c˜ao positiva, ou seja, leva estados quˆanticos a outros obedecendo os

postulados da teoria, em especial, autovalores n˜ao negativos. Entretanto ´e uma

opera¸c˜ao que n˜ao ´e completamente positiva, pois quando realizada em somente

uma das partes do sistema pode levar a autovalores negativos. A transposi¸c˜ao

parcial leva a uma matriz n˜ao positiva quando h´a emaranhamento entre as par-

tes. Ao transpor parcialmente um estado fator´avel encontramos outro estado

tamb´em n˜ao negativo e o mesmo para estado separ´aveis. Por que a transposta

parcial de um estado emaranhado pode levar a uma matriz negativa? Uma in-

terpreta¸c˜ao heur´ıstica ´e a de invers˜ao temporal. Suponha um estado que evolui

com uma unit´aria ρ(t) = Uρ(0)U

†

. Agora, considere a evolu¸c˜ao em um referen-

cial transposto da matriz transposta dada por σ(t) = Rσ(0)R

†

com R = U

e σ(0) = ρ

(0). Por ﬁm note que a transposi¸c˜ao (no referencial original) ´e

equivalente a uma invers˜ao temporal no referencial transposto ρ

(t) = σ(−t)

com a revers˜ao temporal σ(−t) = R

†

σ(0)R, ou a rec´ıproca σ

(t) = ρ(−t). A

equivalˆencia ´e completa se a transposta do estado inicial ´e o pr´oprio estado e

se U

†

= U

∗

, e assim ρ

(t) = U

†

ρ(0)U = ρ(−t). Agora, se o sistema for com-

posto de duas partes e se as partes forem correlacionadas o que acontece ao

realizarmos a invers˜ao temporal em apenas um dos sistemas? A resposta para

boa parte dos estados emaranhados ´e que n˜ao podemos fazer essa invers˜ao sem

chegarmos a um absurdo. A ideia ´e que as correla¸c˜oes quˆanticas, a partir de

um certo grau, impedem que os sistemas correlacionados sejam tratados como

sistemas independentes, pois para sistemas abaixo desse grau a invers˜ao ´e ma-

tematicamente poss´ıvel. Seria essa uma proibi¸c˜ao para algum tipo de viagem

no tempo? Fato ´e que podemos ent˜ao usar a negatividade da transposta parcial

como um quantiﬁcador de emaranhamento, e deﬁnimos a negatividade como

duas vezes a soma do m´odulo dos autovalores negativos da transposta parcial.

Foi mostrado que a transposi¸c˜ao parcial ´e um crit´erio capaz de discernir to-

dos estado emaranhados de n˜ao emaranhados para sistemas de dimens˜oes at´e

2 ⊗ 3 [42]. Acima disso acreditamos que negatividade ´e a melhor aproxima¸c˜ao

para um quantiﬁcador de emaranhamento livre [43, 44], pelo menos no caso

bipartido.

E facil mostrar que positividade sobe transposi¸c˜ao parcial (ptp) sig-

niﬁca que o estado n˜ao pode ser destilado. Suponha um ρ ptp e uma opera¸c˜ao

local A ⊗ B que leva ρ em um estado maximamente emaranhado. Temos que

CAP

ITULO 1. CONHECIMENTO, OPERAC¸

OES E CORRELAC¸

OES 23

0 ≤ (A ⊗ BρA

†

⊗ B

†

)

= A ⊗ B

∗

†

⊗ B

, ou seja, uma opera¸c˜ao local

assistida de comunica¸c˜ao cl´assica leva um estado ptp a outro ptp e portanto

n˜ao h´a um par A ⊗ B que leve um estado positivo sob transposi¸c˜ao parcial

a um estado ntp emaranhado. Assim se um estado pode ser destilado ent˜ao

ele ´e negativo sob transposi¸c˜ao parcial. A pergunta rec´ıproca permanece mais

de dez anos sem resposta. Um estado ntp sempre pode ser destilado? Recen-

temente h´a uma tentativa de resposta (aﬁrmativa) ainda sendo avaliada pela

comunidade cient´ıﬁca [44]. Entretanto h´a estados emaranhados que s˜ao ptp,

esses s˜ao chamados estados com emaranhamento preso. O exemplo mais sim-

ples pode ser encontrado em [45], em que um estado de emaranhamento preso ´e

construido a partir de bases inextens´ıveis de estados produto (BIP). Uma BIP

para um sistema multipartido ´e um conjunto de estados ortonormais, cujo su-

bespa¸co complementar n˜ao cont´em estados produto. Portanto um estado da

forma I −



|ii| ´e um estado emaranhado, entretanto ´e ptp, pois os estados

{|i} formam uma BIP, assim ´e um estado de emaranhamento preso.

Cap´ıtulo 2

Ambientalismo Quˆantico

I Sistemas Abertos

Vamos agora considerar sistemas que interagem com outros sistemas em seu

entorno, sistemas que interagem com o seu ambiente. Esses sistemas s˜ao cha-

mados sistemas abertos, pois em geral este tipo de intera¸c˜ao faz com que al-

guns quantidades n˜ao se conservem. A intera¸c˜ao com o ambiente leva ao que

chamamos de descoerˆencia do sistema, que podemos deﬁnir como perda de in-

forma¸c˜ao quˆantica. Assumimos ent˜ao que o sistema ´e preparado em um dado

estado, usualmente um estado puro, e que n˜ao est´a correlacionado com o am-

biente inicialmente. Podemos expressar o estado inicial sistema-ambiente por

|Ψ(0) = |S|E, em que S e E designam estados do sistema e ambiente, res-

pectivamente. Correla¸c˜oes aparecem como um resultado da intera¸c˜ao e o estado

passa a ser expresso por um estado emaranhado |Ψ(t) =



√

(t)|E

(t).

Entretanto assumimos que o ambiente quase n˜ao ´e afetado pela intera¸c˜ao com

o sistema, como um reservat´orio e que o estado global pode ser aproximado por

um estado produto em que o estado reduzido do sistema sofre altera¸c˜oes em pri-

meira ordem no acoplamento da intera¸c˜ao. Esta ´e a chamada aproxima¸c˜ao de

Born. Tamb´em consideramos que o ambiente rapidamente perde sua mem´oria

sobre sua historia passada quando comparado ao tempo que o sistema leva para

evoluir apreciavelmente. Esta ´e a aproxima¸c˜ao de Markov. Discuss˜oes sobre

estas aproxima¸c˜oes podem ser encontradas em [46, 47]. Inicialmente conside-

ramos um hamiltoniano que pode descrever um sistema que interage com um

n´umero grande de sistemas bosˆonicos, por exemplo, o campo eletromagn´etico

em torno do sistema (uma vers˜ao fermiˆonica pode ser encontrada em [48]). O

hamiltoniano cont´em termos livres do sistema e do ambiente e um termo de

acoplamento de dipolo el´etrico e ´e da forma

H = H

+ H

int

= ω

†

S +



∞

dωωb

†

(ω)b(ω)



∞

dωik(ω)



S − S

†



b(ω) + b

†

(ω)



, (2.1)

em que S s˜ao operadores do sistema e b s˜ao operadores do reservat´orio, ω

´e

a frequˆencia caracter´ıstica do sistema e ω s˜ao frequˆencias do reservat´orio de-

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 25

signando o cont´ınuo de graus de liberdade do ambiente e k(ω) ´e o fator de

acoplamento do sistema com cada modo do ambiente. O sistema ser´a domi-

nantemente acoplado a modos centrados em sua frequˆencia caracter´ıstica ω

Al´em disso assumimos um acoplamento suave a estes modos , o que nos permite

fazer uma aproxima¸c˜ao por uma constante nesta regi˜ao do espectro k(ω) =

√

e estender o limite de integra¸c˜ao a todas as frequˆencias. Na representa¸c˜ao de

intera¸c˜ao o hamiltoniano apresenta termos do tipo Sbe

−i(ω

+ω)t

, Sb

†

−i(ω

−ω)t

e seus conjugados hemitianos. Na regi˜ao pr´oxima `a ressonˆancia os termos do

primeiro tipo geram uma dinˆamica que se d´a em uma escala de tempo muito

menor que a da dinˆamica gerada pelos termos do segundo tipo. Ao calcular o

operador de evolu¸c˜ao temos algo do tipo (omitindo a integral em ω)

U(t) = exp



√



Sb(ω)



−i(ω

+ω)t

dt + Sb

†

(ω)



−i(ω

−ω)t



+ h.c.



≈ exp



√

γSb

†

(ω)t + h.c.



. (2.2)

Diante desta aproxima¸c˜ao temos o hamiltoniano de intera¸c˜ao na representa¸c˜ao

de intera¸c˜ao

int

= i



Πb

†

(t) − Π

†

b(t)



, (2.3)

com o banho representado pelo operador b(t) =



∞

−∞

dωb(ω)e

−i(ω−ω

, e o sis-

tema pelo operador Π =

√

γS. A evolu¸c˜ao do estado global ´e dada pela equa¸c˜ao

estoc´astica de Schr¨odinger [49]

(S) d|Ψ(t) =



ΠdB

†

(t) − Π

†

dB(t)



|Ψ(t), (2.4)

com o ru´ıdo branco (ou processo de Wiener) quˆantico B(t) =



b(s)ds. A

estat´ıstica deste processo ´e dada pelo estado do banho que consideramos ser um

estado de equil´ıbrio termodinˆamico

−βH

tr{e

−βH

}

, (2.5)

em que β = /kT sendo , k, T a constante de Plank, a de Boltzmann e a

temperatura do reservat´orio. Portanto temos os valores medios e correla¸c˜oes do

banho t´ermico markoviano

dB(t)dB

†



) = (N + 1)δ(t − t



)dt

dB

†

(t)dB(t



) = N δ(t − t



)dt

dB

†

(t) = dB(t) = 0, (2.6)

sendo N = 1/(e

βω

− 1) o n´umero m´edio de excita¸c˜oes no ambiente. A equa¸c˜ao

de dinˆamica poder ser interpretada no c´alculo de Stratonovich, em que as regras

usuais de c´alculo s˜ao v´alidas. Entretanto a equa¸c˜ao n˜ao pode ser recursivamente

iterada e o c´alculo de m´edias se torna invi´avel, pois na integra¸c˜ao o operador

ou fun¸c˜ao a ser integrado ´e avaliado no meio do intervalo de integra¸c˜ao sendo

assim dependente do ru´ıdo (para mais informa¸c˜oes sobre c´alculo estoc´astico

ver o apˆendice ou a bibliograﬁa citada).

E conveniente transformar a equa¸c˜ao

para a representa¸c˜ao de Ito, em que n˜ao exitem as diﬁculdades acima citadas,

entretanto abrimos m˜ao das regras usuais de c´alculo. Vamos nos concentrar

no caso de temperatura nula e para realizarmos a convers˜ao basta integrar a

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 26

equa¸c˜ao e diferenciar a express˜ao fazendo uso das regras de Ito dB(t)dB

†



) =

δ(t − t



)dt e dB

†

(t)dB(t



) = [dB

†

(t)]

= [dB(t)]

= 0, resultando em

(I) d|Ψ =



−

†

Πdt + ΠdB

†

− Π

†



|Ψ. (2.7)

A extens˜ao para estados mistos pode ser encontrada a partir da regra de Ito

dρ

= d|ΨΨ| + |ΨdΨ|+ d|ΨdΨ|.

Agora, se formos ignorantes em rela¸c˜ao ao ambiente e nos focarmos apenas

nas propriedades do sistema, nosso conhecimento sobre o sistema ser´a dado pelo

estado reduzido do sistema

ρ(t) = tr

{|Ψ(t)Ψ(t)|}, cuja dinˆamica ´e descrita

por uma equa¸c˜ao mestra. Fazendo a m´edia no ambiente dρ = tr

{dρ

}, temos

a equa¸c˜ao mestra

dρ = L[Π]ρdt =



−

{Π

†

Π, ρ} + ΠρΠ

†



dt, (2.8)

em que a barra indica uma m´edia no ambiente, uma m´edia do processo es-

toc´astico. Ao ignorar o ambiente, intencionalmente ou n˜ao, n´os tamb´em per-

demos informa¸c˜ao sobre o sistema e essa evolu¸c˜ao leva, em geral, a perda de

pureza e emaranhamento do estado preparado inicialmente.

II Medindo o Ambiente

Podemos optar por continuamente realizar medidas seletivas sobre o ambiente

e n˜ao tomar uma m´edia sobre o mesmo. Ao coletar seletivamente os resul-

tados de medida podemos adquirir informa¸c˜ao ´util sobre o sistema. Consi-

dere o estado inicial |Ψ(0) = |S|0, com o reservat´orio no estado de v´acuo

e assuma que h´a excita¸c˜oes no sistema. Se o hamiltoniano de intera¸c˜ao per-

mite a troca de excita¸c˜oes, depois de um tempo curto o estado global evolui

para |Ψ(dt) =

√

|0 +

√

|1, com p

1(0)

a probabilidade de uma

(nenhuma) excita¸c˜ao atingir o ambiente. Isto pode ser diretamente veriﬁ-

cado iterando a equa¸c˜ao (2.7), com |S

 = [I −

†

Πdt]|S/

√

, e |S

 =

√

dt|S/

√

, com p

= dtS|Π

†

Π|S. A interpreta¸c˜ao em termos de medi¸c˜oes

quˆanticas ´e obvia, com os operadores Γ

= Π

√

dt e Γ

= I −

†

Πdt, tal

que



†

= I. A equa¸c˜ao (2.8) nos fornece o estado reduzido do sis-

tema ρ(dt) = p

S

| + p

S

|, uma mistura estat´ıstica de todas as

possibilidades, enquanto ao medir o ambiente temos |S

0(1)

 com probabilidade

0(1)

. Isso corresponde a medir o operador n´umero no reservat´orio dΛ(t), sendo

Λ(t) =



†

(s)b(s)ds, cujos autovalores s˜ao os n´umeros de excita¸c˜ao contados

no intervalo de tempo dt, um ou zero sendo as ´unicas possibilidades [49, 50].

Tal processo de medida ´e chamado de processo de saltos quˆanticos [51].

Em princ´ıpio, h´a inﬁnitas maneiras de se medir o ambiente. Outro jeito

diferente de se medir o ambiente ´e atrav´es de uma medida homodina. Em uma

medida homodina, o sinal emitido pelo sistema ´e combinado em um divisor

de feixes com um campo cl´assico e o sinal resultante ´e medido. O operador

medido ´e uma quadratura do campo de sa´ıda. Os operadores do campo de

sa´ıda podem ser encontrados a partir da revers˜ao temporal do campo de entrada

sai

(t) = U

†

dB(t)U = Πdt + dB(t), sendo U = exp



−i



int

(s)ds



. O sinal

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 27

medido ´e dado pelo operador

dΛ

sai

(t) = U

†

dΛ(t)U

= dΛ(t) + Π

†

Πdt + ΠdB

†

(t) + Π

†

dB(t). (2.9)

Ao combinarmos o sinal com um campo cl´assico de amplitude complexa Ωe

iφ

o operador do sistema, ou o operador que representa o detector, sofre uma

altera¸c˜ao dada por Π → Ωe

iφ

+ Π. No limite de detec¸c˜ao homodina o campo

cl´assico ´e muito intenso o que corresponde ao limite de amplitude inﬁnita. Neste

limite, o operador medido ´e a quadratura

dΘ = lim

Ω→∞

dΛ

sai

(t) − Ω

Ω

= (Π

†

iφ

+ Πe

−iφ

)dt + dB

†

(t)e

iφ

+ dB(t)e

−iφ

. (2.10)

Este tipo de medida leva a um tipo de evolu¸c˜ao difusiva muito diferente do

processo descont´ınuo de saltos quˆanticos, e ´e chamada de difus˜ao de estado

quˆantico [52].

Os resultados de medida s˜ao, em ´ultima instˆancia, registros cl´assicos e, por-

tanto, podem ser expressos por processos estoc´asticos cl´assicos (e n˜ao quˆanticos).

Os autovalores dos operadores que representam o sinal medido s˜ao, de fato, pro-

cessos estoc´asticos cl´assicos. No caso dos saltos quˆanticos, os autovalores s˜ao

dados pelo processo de Poisson dN(t), que corresponde a um jogo de cara ou

coroa, entretanto, a probabilidade n˜ao ´e necessariamente balanceada. O pro-

cesso de Poisson segue uma distribui¸c˜ao dicotˆomica (dN (t) = 0, 1). Assim N(t)

assume valores naturais com probabilidade poissoniana

p(N) =

−N

, (2.11)

onde N ´e o valor m´edio de N e o incremento dN(t) assume zero ou um com

probabilidade

p(dN) = dN

−dN

, (2.12)

tal que dN = λ(t)dt e N(t) =



λ(t)dt, sendo λ(t) uma fun¸c˜ao determinada

pelo processo f´ısico em quest˜ao, por exemplo, a taxa de transi¸c˜ao entre dois

estados de um sistema. No caso dos saltos quˆanticos λdt = p

= Π

†

Πdt.

Expandindo a probabilidade do incremento em primeira ordem em dt temos

p(dN) = dN

(1 − dN), (2.13)

com p(dN = 1) = λdt(1 − λdt) = λdt e p(dN = 0) = 1 − λdt.

Na difus˜ao de estado, o processo cl´assico que reproduz as m´edias do processo

quˆantico ´e a corrente de detec¸c˜ao

dQ(t) = Π

†

iφ

+ Πe

−iφ

dt + dW (t), (2.14)

tal que dΘ = dQ e (dΘ)

 = (dQ)

. O processo W (t) ´e equivalente a um

movimento browniano ou passeio aleat´orio na reta (ru´ıdo branco), tal que W (t)

assume qualquer valor real com uma distribui¸c˜ao de probabilidade gaussiana

p[W (t)] =



2π(t − t

)

exp



−

(W (t) − W (t

))

2(t − t

)



, (2.15)

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 28

com a distribui¸c˜ao equivalente para o incremento

p[dW ] =

√

2πdt

exp



−

2dt



. (2.16)

A ciˆencia de processos estoc´asticos come¸cou nos trabalhos de movimento brow-

niano com Brown, Einstein e Langevin. O processo de Wiener, antes mesmo

de receber este nome, foi o primeiro a ser considerado pela comunidade ci-

ent´ıﬁca e passou a ser empregado na descri¸c˜ao de medidas homodinas em

Optica

Quˆantica e medidas de corrente el´etrica em Estado S´olido. O processo de Pois-

son tamb´em foi empregado em modelagem de dispositivos de estado s´olido com

correntes geradas por el´etrons individuais, que depositam sua carga de forma

quantizada em um anodo. Hoje o processo de Poisson ´e empregado na des-

cri¸c˜ao de foto-detec¸c˜ao de sistemas emissores de luz em baixa intensidade. Tais

processos obedecem as usuais regras de Ito dN

(t)dN



) = δ

δ(t − t



)dN

(t),

(t)dW



) = δ

δ(t − t



)dt (ver [53] ou o apˆendice).

Assim, consideraremos apenas estes processos Markovianos, ou seja, proces-

sos cuja estat´ıstica futura n˜ao depende de resultados passados. Isto se traduz

em fun¸c˜oes de correla¸c˜ao temporal semelhantes a

∆ξ(t)∆ξ(t



) ∝ δ(t − t



). (2.17)

Em geral, a fun¸c˜ao ξ(t) n˜ao ´e diferenci´avel devido `a independˆencia dos valores de

∆ξ(t) em tempos diferentes. Temos, ent˜ao, as equa¸c˜oes de dinˆamica estoc´astica

da forma

(o til indica que a equa¸c˜ao n˜ao preserva tra¸co)

dρ(t) = A

[Π]ρ(t)dt + B

[Π]ρ(t)dξ(t), (2.18)

que fornecem a evolu¸c˜ao do estado condicionado a realiza¸c˜oes do processo ξ(t),

em que o superoperador A est´a associado a uma evolu¸c˜ao determin´ıstica e B

associado ao ru´ıdo atuando no sistema. O ru´ıdo (ou uma fun¸c˜ao do mesmo) dξ

registra os resultados de medida e representa a informa¸c˜ao que adquirimos ao

medir o ambiente, e assim nosso conhecimento sobre o sistema evolui de acordo

com essa informa¸c˜ao atrav´es da equa¸c˜ao estoc´astica.

Os operadores do sistema Π podem, agora, ser interpretados como detec-

tores que cercam o sistema no ambiente. Para os saltos quˆanticos, ´e ´obvio

que A

[Π] = −

{Π

†

Π, •}, e B

[Π] =



Π • Π

†

− 1•



, e ξ = N com o processo

de Poisson assumindo o valor 1 se o detector ´e disparado e o valor zero caso

contr´ario. Para chegarmos a uma equa¸c˜ao que descreva uma evolu¸c˜ao condici-

onada em um processo de difus˜ao de estado podemos retornar `a equa¸c˜ao com

ru´ıdo quˆantico e notar que o termo em dB se anula pois este operador aniquila

o v´acuo do reservat´orio dB|0 = 0. Al´em disso podemos somar `a equa¸c˜ao um

termo nulo ΠdB|Ψ, tal que a parte estoc´astica da equa¸c˜ao passa a ser o termo

de quadratura dB + dB

†

, cuja medida resulta no autovalor dW . A partir deste

ponto basta renormalizar a equa¸c˜ao (se for conveniente) e derivar a extens˜ao

mais geral para estados mistos usando c´alculo de Ito. H´a uma inﬁnidade de

equa¸c˜oes de difus˜ao e gostar´ıamos de obter uma que se relacionasse com a vis˜ao

canˆonica de medi¸c˜oes quˆanticas. Para isso basta avaliar o limite em que a am-

plitude do campo cl´assico ´e muito grande na equa¸c˜ao de saltos. Assim chegamos

Adotaremos a interpreta¸c˜ao de Ito para as equa¸c˜oes estoc´asticas, a menos que explicita-

mente indicada a interpreta¸c˜ao de Stratonovich. Mais informa¸c˜oes sobre c´alculo estoc´astico

ver o apˆendice ou a bibliograﬁa citada.

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 29

a A

[Π] = L[Π], e B

[Π] = •Π

†

+ Π• (desprezando a fase e

−iφ

), com o detector

gravando a intensidade dξ = dQ. Os operadores de medida s˜ao portanto da

forma

= I −

†

Πdt + ΠJdt, Jdt = dQ, (2.19)

e tamb´em obedecem a uma rela¸c˜ao que particiona a identidade



dµ(J)Γ

†

= I, (2.20)

em que dµ(J) =



2π

−

dJ ´e uma medida de integra¸c˜ao normalizada sobre

os resultados de medida. A probabilidade de cada resultado de medida ´e dada

por dp(J) = dµΓ

†

.

Portanto temos a solu¸c˜ao formal

ρ(t) = ρ(0) +



[Π]ρ(t)dt +



[Π]ρ(t)dξ(t). (2.21)

Assim as poss´ıveis solu¸c˜oes ou trajet´orias da equa¸c˜ao estoc´astica s˜ao dadas por

realiza¸c˜oes do processo estoc´astico e podem ser denotadas por ρ

(t) (para a

u-´esima trajet´oria). Entretanto, a integra¸c˜ao destas equa¸c˜oes pode ser muito

dif´ıcil devido `a n˜ao linearidade e n˜ao comutatividade, por exemplo. Assim

muitas vezes recorremos a t´ecnicas num´ericas de itera¸c˜ao usando geradores de

n´umeros aleat´orios e algoritimos tipo Monte Carlo.

Fazendo a m´edia sobre todas as realiza¸c˜oes, a equa¸c˜ao estoc´astica nos leva

`a equa¸c˜ao mestra

dρ(t)

= A

[Π]ρ(t) + B

[Π]ρ(t)



dξ(t)



= L[Π]ρ(t), (2.22)

que descreve a dinˆamica determin´ıstica do sistema sobre o efeito m´edio do ru´ıdo,

ou seja, o estado n˜ao condicionado. O super operador L ´e chamado operador

de Lindblad. Nesta ´ultima rela¸c˜ao utilizamos a hip´otese de Langevin

ρ(t)dξ(t) =



ρ(t)



dξ(t)



, (2.23)

que ´e bem justiﬁcada por considera¸c˜oes f´ısicas de causalidade, tal que ρ(t) de-

pende de dξ(t−dt) = ξ(t)−ξ(t−dt), mas n˜ao depende de dξ(t) = ξ(t+dt)−ξ(t).

Ou seja, o estado no tempo t depende apenas de como o ru´ıdo o afetou no in-

tervalo (t − dt, t] e n˜ao em (t, t + dt]. O passado n˜ao depende do futuro.

Independentemente da estrat´egia de monitoramento a equa¸c˜ao mestra ser´a

a mesma, ou seja, fazendo a m´edia sobre todas as traje´orias (ou sobre o ru´ıdo),

sendo elas geradas por qualquer processo de detec¸c˜ao, obtemos o estado n˜ao

condicionado aos resultados de medida. Essa ´e a invariˆancia do estado n˜ao

condicionado.

A Detec¸c˜ao Imperfeita

Todo aparato de detec¸c˜ao est´a sujeito a imperfei¸c˜oes, o que leva a uma eﬁciˆencia

η total do processo de medida menor que um. Para descrever condi¸c˜oes experi-

mentais real´ısticas precisamos incorporar a eﬁciˆencia dos detectores nas equa¸c˜oes

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 30

de dinˆamica condicional. Podemos fazer isso de uma forma simples. A equa¸c˜ao

condicional representa uma evolu¸c˜ao que distingue entre os poss´ıveis resultados

de medida. A ineﬁciˆencia dos detectores faz com que os resultados de medida se

confundam e alguns n˜ao mais possam ser distinguidos. No nosso caso, quando

nenhum dos detectores ´e disparado n˜ao sabemos se houve a emiss˜ao de um sinal

por parte do sistema e os detectores falharam ou se de fato o sistema n˜ao emi-

tiu um sinal que possa ser detectado. Entretanto quando um dos detectores ´e

disparado admitimos que podemos dizer qual deles detectou o sinal. A equa¸c˜ao

que descreve esse tipo de ineﬁciˆencia ´e dada pela soma da equa¸c˜ao mestra es-

toc´astica pesada pela eﬁciˆencia η com a equa¸c˜ao mestra n˜ao condicional que

n˜ao distingue os resultados pesada por 1 − η

dρ = (1 − η)Lρdt + η [A

ρdt + B

ρdN]

= Lρdt + η



†



ρ − ΠρΠ

†



dt + B

ρdN

, (2.24)

tal que cada processo de Poisson ´e renormalizado diminuindo a probabilidade

de cada detector ser disparado

dN = ηΠ

†

Πdt. (2.25)

No caso de difus˜ao para um sistema em que os detectores tem uma eﬁciˆencia

ﬁnita temos que somar a equa¸c˜ao n˜ao condicionada com os operadores renorma-

lizados

√

1 − ηΠ e a equa¸c˜ao condicionada com os operadores renormalizados

√

ηΠ

dρ = Lρdt +

√



ρΠ

†

+ Πρ −Π

†

+ Πρ



dW. (2.26)

A corrente de detec¸c˜ao tamb´em ﬁca menos sens´ıvel ao sinal do sistema e ﬁca

mais sens´ıvel ao ru´ıdo branco dQ = ηΠ

†

+ Πdt +

√

ηdW .

Os processos de difus˜ao de estado quˆantico mais gerais s˜ao tratados em [54],

em que os ru´ıdos podem assumir valores complexos e podem ser mutuamente

correlacionados. Apesar disso, o formalismo aqui desenvolvido ´e geral para a

maioria dos prop´ositos e apresenta os principais fundamentos da difus˜ao de

estado.

Essa ´e a forma mais simples de considerar imperfei¸c˜oes. Sistua¸c˜oes mais

real´ısticas podem ser encontradas em [55] tanto no contexto de

Optica quanto

no contexto de S´olidos.

III Retroalimenta¸c˜ao Quˆantica (Feedback )

Nas se¸c˜oes passadas mostramos como o conhecimento quˆantico de um obser-

vador evolui condicionalmente aos resultados cl´assicos de medida em diferentes

esquemas de medi¸c˜ao. Mostramos tamb´em que os resultados de medida podem

ser expressos por um processo ou ru´ıdo estoc´astico cl´assico ξ(t), cujo valor m´edio

est´a associado a algum observ´avel do sistema. Assim, adquirimos informa¸c˜ao

cl´assica sobre o aparato de medi¸c˜ao o que nos fornece informa¸c˜ao quˆantica sobre

o sistema mudando nosso estado de conhecimento sobre o mesmo.

Agora, suponha que numa situa¸c˜ao pr´atica desejamos um certo compor-

tamento do sistema, por exemplo que uma dada grandeza f´ısica se conserve.

Uma forma de tentar obter esse controle sobre o sistema ´e a chamada retro-

alimenta¸c˜ao quˆantica, onde o observador atua sobre o sistema de acordo com os

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 31

resultados de medida [56]. Dado o resultado de medida dξ(t −τ) no tempo t −τ

o aparato que realiza a realimenta¸c˜ao atua com um hamiltoniano proporcional

a um observ´avel F no tempo t. O aparato leva o tempo τ para processar o

resultado de medida e ativar o hamiltoniano de feedback. Podemos supor uma

retro-alimenta¸c˜ao hamiltoniana, em que o hamiltoniano ´e linear nos resultados

de medida

= F

dξ(t −τ)

, (2.27)

originando uma dinˆamica na representa¸c˜ao de Stratonovich dada por

(S) dρ(t) = Fρ(t)dξ(t − τ) ; Fρ = −i[F, ρ], (2.28)

com a correspondente representa¸c˜ao de Ito

(I) dρ(t) =



Fdξ(t−τ )

− I



ρ(t) =



n=1

[Fdξ(t −τ)]

ρ(t). (2.29)

O estado condicionado ´e dado pela soma do processo de medida com o processo

Figura 2.1: Representa¸c˜ao do loop de feedback. O sistema emite um sinal que

´e gravado na fotocorrente I(t) =

dξ(t)

pelo detetor Π. Os resultados de medida

ditam a a¸c˜ao do feedback pelo operador F .

de feedback, entretanto, como h´a um atraso τ na realimenta¸c˜ao, a equa¸c˜ao

resultante ´e n˜ao markoviana

dρ(t) =



Fdξ(t−τ )

− I



+ A

[Π]dt + B

[Π]dξ(t)



ρ(t), (2.30)

assim diﬁcultando (ou impossibilitando) o c´alculo da m´edia no ensemble para

encontrar o estado n˜ao condicionado. A diﬁculdade surge com a dependˆencia

do estado em rela¸c˜ao ao passado dos resultados de medida, tal que ρ(t) de-

pende de dξ(t −τ ). Ap´os estudarmos o caso markoviano, poderemos obter uma

aproxima¸c˜ao para o estado n˜ao condicionado em primeira ordem em τ. Para

o feedback baseado em saltos quˆanticos, em que os resultados de medida s˜ao

dados pelo processo de Poisson, temos a equa¸c˜ao (de Ito n˜ao markoviana)

dρ(t) =





− I



dN(t − τ) + Ldt + η





†



− Π •Π

†



dt + B

dN(t)



ρ(t),

(2.31)

em que o mecanismo de feedback age de forma unit´aria e pontual no tempo, ou

seja, age num tempo inﬁnitesimal e causa altera¸c˜oes apreci´aveis no estado sem

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 32

alterar sua pureza. Para feedback baseado em medi¸c˜oes que causam a difus˜ao

de estado, em que os resultado de medida s˜ao dados pelo processo

dQ(t)

X

(t)

dt +

dW (t)

√

(com dW o processo de Wiener e η a eﬁciˆencia de detec¸c˜ao),

temos

dρ(t) =



dQ(t − τ) +

2η

dt + Ldt



ρ(t) +

√



ρΠ

†

+ Πρ −Xρ



dW (t).

(2.32)

A renormaliza¸c˜ao do feedback com o coeﬁciente de eﬁciˆencia ´e justiﬁcada ﬁsi-

camente, pois, caso contr´ario, obter´ıamos uma contradi¸c˜ao, no limite em que

η = 0 a dinˆamica apresentaria feedback nulo. Isto n˜ao estaria correto, pois

nesse limite o aparato de feedback ainda funciona atuando no sistema. O que

deﬁnimos como ineﬁciˆencia ´e a inabilidade de distinguir os resultados e n˜ao a

ausˆencia dos mesmos.

Note que, no caso de feedback difusivo, a ineﬁciˆencia de detec¸c˜ao faz com

que haja uma esp´ecie de difus˜ao ou decoerˆencia na vari´avel conjugada a F

devido ao termo em F

= −[F, [F, •]] = −{F

, •} + 2F • F = 2L[F ]. De

acordo com o que desenvolvemos anteriormente, este termo descreve um processo

em que (mesmo que teoricamente) h´a um detector representado pelo operador

hermitiano F . De fato, pode ser demonstrado que o monitoramento fraco, ou

impreciso, do observ´avel F origina uma dinˆamica n˜ao condicionda (que pode

alterar e diminuir a pureza do estado) dada por −k[F [F, •]], onde k ´e a “for¸ca”

do monitoramento [9, 16]. Assim, o feedback difusivo induz uma dinˆamica

equivalente ao monitoramento de um observ´avel, o que gera ganho de informa¸c˜ao

sobre F e perda de informa¸c˜ao sobre o observ´avel conjugado.

No nosso caso,

k = 1/2η, indicando que quanto mais ineﬁciente a detec¸c˜ao maior o efeito de

perda. O outro termo ´e, de fato, linear no hamiltoniano de feedback e age

continuamente de acordo com a corrente de detec¸c˜ao dQ(t − τ).

A Feedback no Limite Markoviano

Agora, podemos investigar o caso especial em que o tempo de atraso da rea-

limenta¸c˜ao τ tende a zero, assim a resposta do feedback se torna imediata ao

resultado de medida. Ao tomar este limite, temos que lembrar que o feedback

age ap´os a medida, o que sugere

dρ(t) =



Fdξ(t−τ )



I + A

[Π]dt + B

[Π]dξ(t)



− I



ρ(t). (2.33)

Esta equ¸c˜ao se reduz a (2.30) para tempo de resposta ﬁnito, tal que dξ(t −

τ)dξ(t) = dξ(t − τ)dt = 0, entretanto, no limite τ → 0 temos que conside-

rar termos da forma e

Fdξ(t)

dξ(t) e utilizar as regras diferenciais de Ito para

potˆencias dξ

. Assim, podemos encontrar as equa¸c˜oes condicionadas no limite

markoviano em que o tempo de atraso ´e nulo. Em seguida, podemos obter o

estado n˜ao condicionado

dρ(t) = M

[Π, F ]ρ(t)dt, (2.34)

O monitoramento do operador n´umero ou energia de um sistema (a

†

a, σ

...) nos leva a

equa¸c˜oes mestras de defasagem. Um exemplo de fase e n´umero conjugados.

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 33

fazendo a m´edia estoc´astica da equa¸c˜ao condicionada.

Portanto, para feedback via saltos quˆanticos, temos a equa¸c˜ao markoviana

condicionada (incluindo ineﬁciˆencia na dete¸c˜ao)

dρ =



−iF

Π]dN + L[e

−iF

Π]dt + η





†



−e

−iF

Π •Π

†





ρ, (2.35)

que pode ser facilmente interpretada, pois o a retro-alimenta¸c˜ao sem atraso nos

permite deﬁnir um novo aparato de medida com os detectores dados pela a¸c˜ao

do antigo detector seguida da a¸c˜ao unit´aria de feedback Ξ = e

−iF

Π. Agora

tomando a m´edia sobre o ensemble temos a equa¸c˜ao mestra de feedback via

saltos

dρ = M

[Π, F ]ρdt = L[e

−iF

Π]ρdt, (2.36)

que nos fornece a evolu¸c˜ao do sistema com retro-alimenta¸c˜ao (via saltos) quando

n˜ao temos acesso aos resultados de m´edia.

No caso de feedback via difus˜ao temos a equa¸c˜ao condicionada

dρ =



L[Π]dt +

L[F ]

dt − i[F, •Π

†

+ Π•]dt +

√

dW +

√

ηB



ρ, (2.37)

e a equa¸c˜ao n˜ao condicionada

dρ = M

[Π, F ]ρdt =



L[Π]dt +

L[F ]

dt − i[F, •Π

†

+ Π•]dt



ρ. (2.38)

i Tempo de Re-Alimenta¸c˜ao Curto

Numa situa¸c˜ao pr´atica, o tempo de resposta do mecanismo de feedback deve ser

pequeno para que o objetivo da estrat´egia de feedback seja alcan¸cado, entretanto

n˜ao pode ser nulo, pois a eletrˆonica do aparato necessita de um intervalo de

tempo τ para processar o sinal de medida e ativar o feedback. Devido a este

tempo de atraso n˜ao conseguimos derivar equa¸c˜oes n˜ao condicionadas exatas,

pois encontramos m´edias que n˜ao se fatoram do tipo dξ(t − τ)ρ(t). Apesar

disto, se τ for suﬁcientemente pequeno, podemos perturbar a equa¸c˜ao mestra

markoviana e obter uma aproxima¸c˜ao (em primeira ordem) para o estado n˜ao

condicionado. Vamos ent˜ao obter uma perturba¸c˜ao de primera ordem do limite

markoviano realizando uma aproxima¸c˜ao sobre a m´edia da equa¸c˜ao (2.30).

Considere o efeito do ru´ıdo sobre o estado condicionado no tempo t −τ dado

por ρ(t −τ + dt) = [I + B

dξ(t −τ )]ρ(t −τ ). Ap´os o tempo de atraso, quando o

feedback for responder a este efeito do ru´ıdo, o estado evolui. A aproxima¸c˜ao,

de ordem zero, que fazemos ´e considerar que esta evolu¸c˜ao ´e dada pela equa¸c˜ao

mestra markoviana de feedback

ρ(t) = e

[I + B

dξ(t −τ)]ρ(t −τ). (2.39)

O feedback acontece no pr´oximo passo inﬁnitesimal, de forma que o estado no

tempo t + dt ´e dado pela itera¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.30). Agora tomando a m´edia

Aqui ´e necessario encontrar as equa¸c˜oes com detec¸c˜ao perfeita, ambas condicionada e

n˜ao condicionada, para depois derivar a equa¸c˜ao (2.35) utilizando o m´etodo para derivar a

evolu¸c˜ao que inclue ineﬁciˆencia mostrado em se¸c˜oes anteriores.

CAP

ITULO 2. AMBIENTALISMO QU

ANTICO 34

da equa¸c˜ao (2.30) temos

dρ = L[Π]ρdt +



Fdξ(t−τ )

− I



ρ(t) (2.40)

Substituindo (2.39) no termo de feedback fazemos com que a m´edia se fatore

(dξ(t −τ))(ρ(t −τ)), e temos

dρ = L[Π]ρdt +



Fdξ(t−τ )

− I



[I + B

dξ(t −τ)]e

−M

ρ, (2.41)

onde usamos ρ(t − τ) = e

−M

ρ(t). Para obtermos a corre¸c˜ao linear em τ

quando τ ´e pequeno temos que expandir e

±τM

 I ± τM

, nos levando a

dρ = L[Π]ρdt + [e

Fdξ

− I] {I + B

dξ + τ[M

, B

]dξ}ρ, (2.42)

onde abandonamos a dependˆencia temporal do ru´ıdo, pois todos os termos s˜ao

avaliados em t − τ e essa dependˆencia desaparece com a m´edia no ensemble.

Para feedback via saltos quˆanticos temos

dρ = M

ρdt + τ



− I



, Π • Π

†

]ρ. (2.43)

Cap´ıtulo 3

Prote¸c˜ao Global por

Opera¸c˜oes Locais

“Think globally, act locally.”

Todo sistema f´ısico est´a imerso em uma vizinhan¸ca de outros sistemas f´ısicos,

o seu ambiente. Geralmente, o sistema troca energia e informa¸c˜ao com o seu

ambiente atrav´es de processos de intera¸c˜ao quˆanticos que acabam por correlaci-

onar o sistema e seu ambiente. Se n˜ao temos controle dos graus de liberdade do

ambiente, eventualmente perdemos informa¸c˜ao sobre o sistema em um processo

de descoerˆencia [57]. Este ´e um grande obst´aculo para a computa¸c˜ao quˆantica

e para o processamento de informa¸c˜ao quˆantica, pois esta intera¸c˜ao ambiental

daniﬁca os dados quˆanticos, no sentido em que ela perturba estados de qbits

causando erros e degradando recursos como o emaranhamento, necess´ario para

alguns algoritmos quˆanticos. Na escala quˆantica, o ambiente, por muito tempo,

foi visto como uma entidade vil˜a, cuja a¸c˜ao deveria ser eliminada para que in-

forma¸c˜ao quˆantica pudesse ser perpetuada. Com uma perspectiva diferente,

podemos explorar os recursos dispon´ıveis no ambiente, ou seja, a informa¸c˜ao

relacionada a correla¸c˜oes sistema-ambiente. Se pudermos observar o ambiente

tamb´em poderemos inferir sobre propriedades do sistema, o que previne perdas

e possibilita a corre¸c˜ao de erros ao realimentarmos o sistema com a informa¸c˜ao

que adquirimos do ambiente. Esse feedback de informa¸c˜ao permite a reciclagem

do sistema ap´os ter sofrido danos parciais e a restaura¸c˜ao dos estados inicial-

mente preparados ou recursos. Abordaremos a prote¸c˜ao de recursos quˆanticos

globais, como o emaranhamento, atrav´es de a¸c˜oes locais nos subsistemas que

comp˜oem o sistema maior. A possibilidade de proteger informa¸c˜ao quˆantica

globalmente com apenas opera¸c˜oes locais pode reduzir os recursos necess´arios

para a computa¸c˜ao quˆantica, simpliﬁcar o pr´oprio processo de prote¸c˜ao e per-

mitir comunica¸c˜ao quˆantica baseada em emaranhamento.

C´odigos de corre¸c˜ao de erro foram desenvolvidos para suprimir a degrada¸c˜ao

induzida pelo ambiente [58, 59, 60, 61, 62]. Tais c´odigos se baseiam em re-

dundˆancia e opera¸c˜oes globais, ou seja, eles usam muitos qbits f´ısicos para codi-

ﬁcar os qbits l´ogicos e usam opera¸c˜oes globais nestes v´arios qbits para corrigir

os erros e/ou detectar a ocorrˆencia de s´ındromes de erro. C´odigos passivos,

chamados de c´odigos que evitam erros, tamb´em foram desenvolvidos e estes se

baseam em subespa¸cos livres de descoerˆencia, em que um subespa¸co do sistema

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 36

n˜ao evolui com o acoplamento ao reservat´orio [63]. Os primeiros c´odigos de

corre¸c˜ao de erro concebidos usavam medidas projetivas sobre o sistema para de-

tectar os erros e opera¸c˜oes unit´arias para corrig´ı-los. N˜ao muito tempo depois, e

ainda recentemente, medidas sobre o ambiente e feedback foram implementados

em protocolos de corre¸c˜ao de erros [64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71]. No contexto

de erros causados por emiss˜ao espontˆanea, c´odigos h´ıbridos combinando par-

tes passivas e ativas foram considerados [64, 65, 66, 67], em que h´a claramente

dois tipos diferente de erros, aqueles que s˜ao corrigidos pela codiﬁca¸c˜ao dos da-

dos quˆanticos em subespa¸cos livres de descoerˆencia e aqueles que precisam de

uma a¸c˜ao direta dado que o erro ocorreu. Tais c´odigos de corre¸c˜ao de emiss˜ao

espontˆanea se baseam na habilidade de continuamente monitorar o ambiente

(medidas globais em ambientes independentes em [64] e uma medida sobre um

ambiente global em [66]), de codiﬁcar os qbits l´ogicos em estados emaranhados

dos qbits f´ısicos e de realizar opera¸c˜oes globais complicadas em v´arios subsis-

temas para a corre¸c˜ao ativa de erros. Posteriormente, percebeu-se que uma

redu¸c˜ao signiﬁcativa na redundˆancia seria poss´ıvel quando a distˆancia entre os

sistemas f´ısicos for muito maior que o comprimento de onda das excita¸c˜oes emi-

tidas [67], o que tamb´em torna o processo de detec¸c˜ao de erro um processo local.

Uma redu¸c˜ao adicional no n´umero de recursos necess´arios foi fornecida com o

aux´ılio de um hamiltoniano capaz de bombear globalmente o sistema [69]. Por-

tanto, ambientes estatisticamente independentes provavelmente fornecem um

cen´ario mais adequado para computa¸c˜ao quˆantica a baixo custo. Entretanto,

estas propostas n˜ao s˜ao eﬁcientes no sentido em que com um n´umero crescente

de qbits l´ogicos ´e necess´ario controlar coletivamente o comportamento de mui-

tos sistemas atrav´es de intrincadas opera¸c˜oes globais para proteger a informa¸c˜ao

quˆantica, pois esta est´a codiﬁcada em estados emaranhados de v´arios qbits.

Vamos explicar o que queremos dizer com opera¸c˜oes locais e globais. Consi-

dere uma rede, cujos s´ıtios s˜ao sistemas quˆanticos e que cada sistema quˆantico

pode ser composto de subsistemas menores: no nosso caso, sistemas de trˆes

n´ıveis (qtrits). Opera¸c˜oes globais s˜ao opera¸c˜oes que n˜ao s˜ao um produto de

opera¸c˜oes individuais nos subsistemas e as opera¸c˜oes locais s˜ao. Opera¸c˜oes

locais em qdits em conjunto podem ser facilmente implementadas, entretanto

opera¸c˜oes como medidas em mais de 2 qdits pr´oximos podem ser de dif´ıcil im-

plementa¸c˜ao. Al´em disso, se os subsistemas est˜ao em s´ıtios distantes opera¸c˜oes

globais podem ser imposs´ıveis de se implementar. Portanto, c´odigos de corre¸c˜ao

de erros baseados apenas em opera¸c˜oes locais s˜ao muito mais desej´aveis.

N´os propomos um c´odigo de corre¸c˜ao de decaimento estritamente local que

tamb´em combina protocolos ativos e passivos, em que um qbit l´ogico ´e local-

mente codiﬁcado em um qtrit. Isso signiﬁca que o n´umero de sistemas f´ısicos

necess´arios para codiﬁcar um qbit l´ogico ´e o m´ınimo. Este tipo de c´odigo se-

ria adequado para sistemas que naturalmente apresentam mais de dois n´ıveis

de excita¸c˜ao como spins-1, ´atomos, ´ıons, osciladores harmˆonicos e outros. Em

nosso c´odigo os erros s˜ao detectados por medidas locais em ambientes inde-

pendentes e o sistema ´e deterministicamente reciclado por um feedback local.

Portanto o c´odigo local n˜ao necessita nem de estados emaranhados e nem de

opera¸c˜oes globais e a informa¸c˜ao n˜ao est´a necessariamente espalhada em muitos

sistemas, em vez disso ´e acess´ıvel localmente o que facilita o processo de deco-

diﬁca¸c˜ao. T´ecnicas similares de codiﬁca¸c˜ao em qdits foram empregadas para a

corre¸c˜ao de erro em vari´aveis cont´ınuas e perda de fase em qdits [72, 73]. Para

o c´odigo de emiss˜ao espontˆanea a dimens˜ao m´ınima do qdit ´e d = 3, que ´e

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 37

muito mais simples que os c´odigos mostrados em [72, 73]. Como o protocolo ´e

estritamente local, pode ser usado para proteger estados emaranhados divididos

por partes diferentes separadas espacialmente, e assim permitindo comunica¸c˜ao

quˆantica baseada em emaranhamento entre elas. Feedback cont´ınuo tem sido

aplicado na supress˜ao de descoerˆencia devida `a emiss˜ao espontˆanea [74], e es-

trat´egias baseadas em feedback tamb´em foram criadas para gerar e proteger

estados emaranhados [75]. Novamente, todas as propostas eﬁcientes para man-

ter o emaranhamento necessitam de opera¸c˜oes globais e portanto n˜ao permitem

comunica¸c˜ao distante baseada em emaranhamento diferentemente de nossa pro-

posta.

I Adquirindo e Preservando Informa¸c˜ao

Vamos considerar um sistema global composto de subsistemas internos que est˜ao

acoplados fracamente a seus respectivos reservat´orios locais. A dinˆamica deste

sistema pode ent˜ao ser descrita por uma equa¸c˜ao mestra que leva os sistemas

ao equil´ıbrio termodinˆamico com seus respectivos reservat´orios. Consideramos

que a temperatura ambiente ´e nula, o que de fato ´e uma boa aproxima¸c˜ao

para situa¸c˜oes alcan¸cadas em experimentos atuais principalmente quando as

frequˆencias caracter´ısticas dos sistemas s˜ao muito maiores que a frequˆencia de

radia¸c˜ao t´ermica. Os sistemas ent˜ao sofrem dissipa¸c˜ao completa at´e se equili-

brarem com o ambiente. A equa¸c˜ao mestra de dissipa¸c˜ao local para dois qbits

pode ser expressa por

dρ = {L[Π

] + L[Π

]}ρdt, (3.1)

tal que o operador Π

= Π⊗I

aniquila excita¸c˜oes no qbit A e Π

similarmente

em B.

Figura 3.1: Dois qbits l´ogicos sofrendo dissipa¸c˜ao independentemente. Um dos

qbits pode estar em um laborat´orio em posse de um observador Agata e o outro

pode estar distante em outro laborat´orio em posse de Borat.

O observador deve poder ler informa¸c˜ao do ambiente com rela¸c˜ao `a emiss˜ao

de excita¸c˜oes vindas de cada subsistema numa escala de tempo muito mais curta

que a taxa de decaimento dos subsistemas e ainda mais longa que os tempos de

correla¸c˜ao dos reservat´orios. Podemos mostrar que o monitoramento local dos

ambientes de cada subsistema assistido de comunica¸c˜ao cl´assica dos resultados

obtidos j´a ´e suﬁciente para aumentar a eﬁciˆencia da comunica¸c˜ao quˆantica. No

caso comum de qbits codiﬁcados em sistemas de dois n´ıveis, com um monitora-

mento que conta as excita¸c˜oes do tipo saltos quˆanticos, apenas a traje´oria em

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 38

que n˜ao h´a emiss˜ao ´e ´util. De fato, a estrat´egia come¸ca a falhar assim que um

´unico qbit decai, pois seu estado ´e projetado no n´ıvel de menor energia e assim

fatorado do estado global do sistema, o que elimina o emaranhamento entre este

qbit em particular com o resto do sistema. Com um monitoramento difusivo n˜ao

h´a um efeito t˜ao dr´astico e existem trajet´orias que apresentam muito emaranha-

mento em algumas faixas de tempo. Entretanto, na m´edia, o monitoramento

por saltos ´e superior ao difusivo apresentando mais emaranhamento. Os detec-

tores podem ser representados por operadores, que optamos por cham´a-los de

operadores de salto, que levam qualquer estado do qbit ao estado fundamental.

Estes operadores s˜ao da forma Π =

√

γ|01|, em que γ ´e o fator de acoplamento

com o reservat´orio e |0(1) ´e o estado fundamental (excitado) do qbit.

Figura 3.2: Dois qbits l´ogicos com seus respectivos ambientes sendo monitora-

dos. A estrat´egia de monitoramento pode variar, sendo que os deterores repre-

sentam qualquer tipo de dete¸c˜ao, tanto via saltos quanto via difus˜ao.

Primeiramente, vamos avaliar como o monitoramento ambiental pode me-

lhorar um simples esquema de teleporta¸c˜ao para o qual Agata e Borat pre-

cisam dividir um par de qbits maximamente emaranhados. Considere o es-

tado inicial de Bell dado por |ψ(0) = |10 + |01. Sem qualquer monitora-

mento o estado conjunto se tornar´a uma mistura estat´ıstica e o emaranha-

mento pr´e-existente eventualmente desaparecer´a. Essa perda de emaranha-

mento pode ser evidenciada pelo emaranhamento de forma¸c˜ao (calculado a

partir da concorrˆencia de Wootters [38]) do estado solu¸c˜ao da equa¸c˜ao mestra

E(t) = −

1+f(t)

log

1+f(t)

−

1−f(t)

log

1−f(t)

, com f(t) =

√

1 − e

−2γt

. Como

o emaranhamento de forma¸c˜ao ´e sempre maior ou igual ao emaranhamento que

pode ser extra´ıdo, quanto mais tempo Agata e Borat demorarem para realizar

a teleporta¸c˜ao mais recursos ser˜ao necess´arios j´a que eles precisariam de mais e

mais c´opias para que possam destilar um estado maximamente emaranhado.

Ao medirem continuamente seus respectivos ambientes, contando as ex-

cita¸c˜oes, e comunicarem os resultados de medida, o conhecimento de Agata

e Borat passa a ser dado pela equa¸c˜ao de saltos quˆanticos



ψ =



−



†

+ Π

†



dt + [Π

− I] dN

+ [Π

− I] dN





ψ. (3.2)

Quando h´a uma detec¸c˜ao o emaranhamento ´e destru´ıdo, portanto o emara-

nhamento obtido pelos observadores pode ser calculado a partir da realiza¸c˜ao

sem saltos dN

= 0 ∀ i e sua respectiva probabilidade. Com a condi¸c˜ao de

simetria γ

= γ

o estado inicial ´e preservado na trajet´oria em que os de-

tetores n˜ao s˜ao disparados, ou seja |



N=0

(t) = e

−

γt

|ψ(0), assim mantendo

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 39

o emaranhamento original. O efeito do reservat´orio ´e tornar a trajet´oria sem

saltos cada vez menos prov´avel com o tempo, com sua probabilidade dada por

(t) = 



N=0

(t)|



N=0

(t) = e

−γt

. Este m´etodo ´e uma alternativa ao protocolo

usual de destila¸c˜ao j´a que em qualquer tempo as duas partes dividem um estado

maximamente emaranhado. Portanto com este monitoramento ou temos ema-

ranhamento m´aximo (com probabilidade P

(t)) ou n˜ao temos emaranhamento.

Quando o monitoramento ´e difusivo, o estado passa a ser descrito pela

equa¸c˜ao



ψ =



−



†

+ Π

†



dt + Π

+ Π





ψ. (3.3)

Aqui n˜ao h´a um efeito abrupto no emaranhamento, entretanto ele ´e muito irre-

gular diferentemente do caso anterior. Na ﬁgura temos duas poss´ıveis realiza¸c˜oes

mostrando os efeitos do monitoramento no emaranhamento, que apesar de gerar

muito emaranhamento em alguns intervalos de tempo tamb´em faz com que o

mesmo siga um movimento difusivo at´e a dissipa¸c˜ao.

0 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 3.3: Duas poss´ıveis realiza¸c˜oes do emaranhamento com monitoramento

difusivo.

Em m´edia, o emaranhamento via monitoramento ´e sempre maior (ou igual)

que o emaranhamento de forma¸c˜ao. Isso pode ser facilmente entendido ao lem-

brarmos que estamos decompondo o estado da equa¸c˜ao mestra em um ensemble

que em geral ´e diferente do ensemble que minimiza a m´edia de emaranhamento.

Fato ´e que o monitoramento via saltos preserva mais emaranhamento do que o

monitoramento via difus˜ao (ﬁgura 3.5).

O monitoramento por saltos apresenta uma outra possibilidade que a difus˜ao

de estado n˜ao apresenta. Podemos usar o monitoramento para converter um

estado parcialmente emaranhado |ψ(0) =

√

α|00 +

√

1 − α|11 em um maxi-

mamente emaranhado. Na evolu¸c˜ao sem o disparo dos detetores o estado evolui

para |ψ(t) =

√

α|00 +

√

1 − αe

−γt

|11 com probabilidade α + (1 − α)e

−2γt

Quando e

−γt



α/(1 − α), |ψ(t) ´e um estado maximamente emaranhado.

Isto acontece com probabilidade 2α, que ´e exatamente a probabilidade ´otima

de convers˜ao. Isso mostra que o monitoramento via saltos fornece uma imple-

menta¸c˜ao do protocolo local ´otimo de convers˜ao em estados emaranhados.

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 40

II Codiﬁca¸c˜ao Dinˆamica Local em Q-trits

Muitos dos sistemas f´ısicos utilizados como portadores de qbits apresentam uma

estrutura de n´ıveis muito mais rica do que apenas os dois simples n´ıveis ocupados

pelo estado do qbit. Dentro das possibilidades de uma dada situa¸c˜ao podemos

ent˜ao escolher os n´ıveis do sistema f´ısico a serem ocupados pelo qbit. Aqui h´a

de fato uma liberdade inﬁnita de escolhas, pois os estados escolhidos podem

ser auto estados de qualquer observ´avel do sistema, que inclusive pode mudar

dinamicamente. Vamos ent˜ao explorar esta multidimensionalidade natural em

alguns sistemas e codiﬁcar o qbit l´ogico localmente em um ´unico ente quˆantico,

diferentemente da maioria dos processos de codiﬁca¸c˜ao que utilizam v´arios entes

para abrigar um ´unico qbit. Vamos mostrar que usando qtrits {|0, |1, |2} para

guardar informa¸c˜ao quˆantica podemos melhorar as estrat´egias de preserva¸c˜ao

de emaranhamento baseadas em monitoramento ambiental mostradas acima.

Agata e Borat possuem agora qtrits que sofrem dissipa¸c˜ao em forma de cascata,

tal que a ocupa¸c˜ao dos estados do qtrit ´e deslocada um n´ıvel em dire¸c˜ao ao

n´ıvel fundamental cada vez que h´a uma emiss˜ao de excita¸c˜ao, com as transi¸c˜oes

|2 → |1 e |1 → |0 de taxas γ

e γ

. Consideramos tamb´em que estas

transi¸c˜oes s˜ao indistingu´ıveis, o que acrescenta novas possibilidades como por

exemplo o fato de que agora um salto quˆantico n˜ao necessariamente corrompe

a informa¸c˜ao do qbit mas a desloca dentro do qtrit.

Vamos come¸car pelo monitoramento via saltos e pela situa¸c˜ao mais favor´avel:

a completa degenerescˆencia de decaimento γ

= γ

, ou seja a taxa de ambas

transi¸c˜oes ´e a mesma. Agata e Borat dividem um estado inicial no espa¸co

{|1, |2}

⊗ {|1, |2}

, o que representa a codiﬁca¸c˜ao inicial. Primeiramente

note que a trajet´oria sem saltos n˜ao afeta o subspa¸co que escolhemos para

inserir a informa¸c˜ao. O estado inicial pode ser por exemplo |ψ(0) = |12+ |21.

Agora quando Agata detecta um excita¸c˜ao ela n˜ao pode identiﬁcar de qual das

duas transi¸c˜oes de seu qtrit a excita¸c˜ao foi emitida e isso pode ser descrito

por um operador de dete¸c˜ao da forma Π =

√

γ[|12| + |01|]. Portanto ao

detetarmos uma excita¸c˜ao vinda do qtrit de Agata o estado evolui para |ψ(t +

dt) = |02 + |11. Este estado ainda ´e maximamente emaranhado quando

interpretado como um estado de dois qbits l´ogicos, entretanto os estados em

que o qbit l´ogico de Agata est´a codiﬁcado n˜ao s˜ao os mesmos da codiﬁca¸c˜ao

inicial e est˜ao deslocados um n´ıvel a baixo. A partir deste ponto uma emiss˜ao

no qtrit de Agata destruiria o emaranhamento e sem a emiss˜ao o estado tamb´em

seria degradado em dire¸c˜ao a dissipa¸c˜ao, pois os estados fundamental e primeiro

excitado correspondem a autovalores diferentes do operador de evolu¸c˜ao, sendo

que o fundamental, de fato, n˜ao evolui. O emaranhamento m´edio com esta

estrat´egia de monitoramento, em que o espa¸co de codiﬁca¸c˜ao ´e condicionado

aos resultado de medida, ´e superior ao emaranhamento m´edio da estrat´egia

com qbits f´ısicos, em que o espa¸co de codiﬁca¸c˜ao ´e ﬁxo.

Com o monitoramento difusivo, primeiramente temos que veriﬁcar que o

estado dos qtrits permanece em um subespa¸co de dois qbits, o que n˜ao ´e ´obvio

a primeira vista. O estado dos qtrits pode ser expresso por sua decomposi¸c˜ao

de Schimidt

|ψ(t) =



i=0

(t)|λ

(t)

|λ

(t)

, (3.4)

e mostramos numericamente que um dos coeﬁcientes ´e sempre nulo tanto para

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 41

realiza¸c˜oes quanto na m´edia λ

= λ

= 0. Isso garante que a informa¸c˜ao em cada

um dos qtrits permanece dentro de um qbit l´ogico, entretanto este subespa¸co

que contem a informa¸c˜ao tem uma evolu¸c˜ao muito irregular apresentando tanto

movimentos difusivos quanto saltos abruptos. O qbit l´ogico de Agata est´a no

subespa¸co deﬁnido pelos vetores correspondentes a λ

e λ

. Podemos esco-

lher como base l´ogica a base da decomposi¸c˜ao de Schimidt tal que |λ

(t) ´e o

estado excitado e |λ

(t) o estado fundamental, tal que, para tempos longos,

|ψ(t) = |λ

(t) = |0. Podemos ent˜ao veriﬁcar como evolui a base l´ogica do

qtrit de Agata em rela¸c˜ao aos estados correspondentes a n´umero de excita¸c˜ao do

qtrit expandindo um dos vetores da base |λ

(t) =



i=0

i|λ

(t)|i. Al´em da di-

fus˜ao reﬂetida na magnitude das componentes i|λ

(t) tamb´em temos abruptas

mudan¸cas de fase, no caso o sinal da componente.

0 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4

ï1

ï0.5

0.5

(33)

0|h



1|h



2|h



Figura 3.4:

A esquerda, uma realiza¸c˜ao do emaranhamento com monitoramento

difusivo com a codiﬁca¸c˜ao em qtrits e os correspondentes coeﬁcientes de Schi-

midt.

A direita, a realiza¸c˜ao correspondente de um dos vetores da base l´ogica

escolhida mostrando a evolu¸c˜ao das componentes em rela¸c˜ao a base de n´umero

de excita¸c˜ao.

O monitoramento com a codiﬁca¸c˜ao dinˆamica em qtrits nos permite pre-

servar mais emaranhamento quando comparado ao monitoramento com a codi-

ﬁca¸c˜ao simples em qbits. O monitoramento via saltos ainda se mostra superior

ao difusivo sendo a melhor estrat´egia, entretanto, em um dado sistema, o mo-

nitoramento pode ser limitado a observa¸c˜oes difusivas e mesmo assim ´e poss´ıvel

obter mais emaranhamento com a codiﬁca¸c˜ao dinˆamica.

A Um Exemplo com Saltos Quˆanticos em Eletrodinˆamica

Quˆantica de Cavidades

Uma outra conﬁgura¸c˜ao poss´ıvel apresenta excita¸c˜oes emitidas que ainda n˜ao

permitem identiﬁcar os poss´ıveis canais de decaimento mas que s˜ao mais prov´aveis

quanto mais alto for o n´umero de excita¸c˜oes no estado (ω

= ω

e γ

). Por exemplo, no caso especiﬁco de osciladores harmˆonicos, o opera-

dor de dete¸c˜ao via saltos no subespa¸co estudado (|n = 0, 1, 2) ´e dado por

Π =

√

γ(|01| +

√

2|12|). Neste caso, tanto a emiss˜ao quanto a n˜ao emiss˜ao

afetam o emaranhamento, fazendo uma convers˜ao entre estados puros, pois os

operadores de medida redistribuem popula¸c˜ao entre os n´ıveis de energia de cada

subsistema. Vamos descrever uma situa¸c˜ao em eletrodinˆamica quˆantica de ca-

vidades em que estas ideias podem ser aplicadas. Suponha que Agata e Borat

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 42

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(22)

(33)

Figura 3.5: Medias de emaranhamento alterando o tipo de codiﬁca¸c˜ao de qbits

para qtrits e o tipo de monitoramento (Q para difusivo N para via saltos).

querem estabelecer um canal quˆantico de comunica¸c˜ao e possuem ´atomos com

dois n´ıveis eletrˆonicos de excita¸c˜ao efetivos e cavidades ressonantes capazes de

conﬁnar com resolu¸c˜ao um modo de campo eletromagn´etico, sendo que tudo que

podem fazer ´e monitorar a perda de f´otons das cavidades e interagir os ´atomos

com as cavidades. Na proposta da referˆencia [28], Agata primeiramente prepara

uma cavidade vazia (no estado |0) em seguida faz com que um ´atomo muito

est´avel de dois n´ıveis ({|g, |e}) no estado excitado |e interaja com a cavidade,

de tal forma a obter um estado emaranhado

√

α|0e +

√

1 − α|1g. E ent˜ao ela

envia o ´atomo a Borat. Assumindo que a taxa de decaimento atˆomico ´e muito

menor que a da cavidade, isto ´e γ

 γ, o tempo de coerˆencia do segundo

limita a distˆancia ating´ıvel pelo primeiro. De fato, a distˆancia entre Agata e

Borat teria que ser muito menor que v/γ, sendo v a velocidade atˆomica.

Como discutido anteriormente esta estrat´egia pode ser melhorada se Agata

utilizar os trˆes primeiros n´ıveis do campo em sua cavidade. A ideia ´e que,

ao inv´es de estar vazia, a cavidade inicialmente contem um f´oton (estado |1).

Ent˜ao, depois da intera¸c˜ao ´atomo-campo, o estado ﬁnal ser´a

√

α|1e+

√

1 − α|2g.

Se nenhum salto acontecer no intervalo [0, t) ent˜ao o estado evolui para |χ

(t) =

−γt/2

(

√

α|e1 +

√

1 − αe

−γt/2

|g2), com probabilidade P

(t) = αe

−γt

+ (1 −

α)e

−2γt

. Entretanto se um salto ocorrer no campo da cavidade em um tempo

< t, ent˜ao o novo estado do sistema no tempo t ´e dado por |χ

(t) =

−γt

(

√

α|e0+

√

1 − α

√

−γt/2

|g1). Note que, pelo fato de que γ

= 2γ

o estado ﬁnal ´e sempre o mesmo independentemente do particular momento

em que acontece o salto. Podemos, ent˜ao, tratar todas trajet´orias com um

salto quˆantico como sendo somente uma e computar a probabilidade de acon-

tecer apenas um salto por P

(t) =



(t, t

)dt

= p



1−e

−γt



, em que

(t, t

) = pe

−γt

fornece a densidade de probabilidade para a trajet´oria em

que acontece um salto em t = t

, com p = α + 2(1 −α)e

−γt

. O emaranhamento

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 43

m´edio das trajet´orias ´e dado por

E(α, t) =





(α, t,

−→

J i

(α, t,

−→

J i

)

−→

J i

. (3.5)

No caso desta estrat´egia com o qtrit na cavidade esta express˜ao se reduz a

2⊗3

(α, t) = E

+ E

, pois o emaranhamento n˜ao depende do tempo

de salto podendo ser tratado como constante na integral sobre os tempos de

salto, e o somat´orio ´e truncado no segundo termo pois trajet´orias com mais

de 2 saltos possuem zero de emaranhamento e n˜ao contribuem para a m´edia.

Similarmente podemos encontrar a m´edia para a estrat´egia com qbits E

2⊗2

Figura 3.6: a) Contribui¸c˜ao da trajet´oria sem saltos E

para E

2⊗3

; b)

(direita superior) Contribui¸c˜ao da trajet´oria com um salto E

para E

2⊗3

; c) E

2⊗3

− E

2⊗2

; d) E

2⊗3

com α = 0.5 para diferentes temperaturas com o

n´umero m´edio de excita¸c˜oes no reservat´orio dado por n. Tempo de decaimento

1/γ = 0.129s como na montagem experimental em [76].

Al´em disso, podemos escolher t de tal forma a maximizar a trajet´oria de um

salto e α para maximizar o emaranhamento do estado quando o ´atomo atinge

Borat, assim criando um emaranhamento duradouro. Na amostragem em cores

comparamos os protocolos (qbit e qtrit) como fun¸c˜oes de t e α mostrando as

regi˜oes ´otimas em que cada estrat´egia ´e melhor e tamb´em evidenciando que

para todos os tempos e estados iniciais a codiﬁca¸c˜ao em qtrits ´e mais eﬁciente

na presen¸ca de decaimento e monitoramento ambiental. Tamb´em mostramos a

m´edia de emaranhamento para diferentes temperaturas do reservat´orio. Expe-

rimentos t´ıpicos de EDQ de cavidade na regi˜ao de microondas s˜ao realizados a

temperaturas baixas o suﬁciente para n˜ao afetarem o esquema de forma muito

signiﬁcativa.

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 44

Os esquemas propostos podem ser imediatamente incorporados a alguns pro-

tocolos de comunica¸c˜ao previamente conhecidos. Uma das ideias principais para

transmitir informa¸c˜ao quˆantica em redes de comunica¸c˜ao unidimensionais se

baseia em repetidores quˆanticos [5]. Neste caso, o prop´osito ´e transmitir ema-

ranhamento a longas distˆancias usando esta¸c˜oes intermedi´arias para recuperar

o emaranhamento de tempos em tempos atrav´es de destila¸c˜ao. Uma vez que se

recupera emaranhamento em um esta¸c˜ao intermediaria teleporta-se este emara-

nhamento para pr´oxima esta¸c˜ao. Naturalmente, como a codiﬁca¸c˜ao dinˆamica

permite manter emaranhamento por tempos mais longos entre as esta¸c˜aes, h´a

uma redu¸c˜ao no n´umero total de recursos necess´arios.

III Reciclagem Local via Feedback

Agora vamos permitir que os observadores atuem sobre o sistema de acordo com

os resultados que obtˆem das medidas do ambiente para que possam corrigir os

erros induzidos pelo ambiente e reciclar o qbit l´ogico. Vamos come¸car revendo

alguns conceitos b´asicos de corre¸c˜ao quˆantica de erros [60]. Primeiramente esco-

lhemos um subespa¸co, o espa¸co c´odigo, do sistema para codiﬁcar o qbit l´ogico.

O sistema est´a sujeito a um erro induzido pelo ambiente E que pode ser repre-

sentado em uma expans˜ao em tempo curto por Eρ = [1 + Ldt]ρ. O sistema

pode ser reciclado depois da ocorrˆencia de erros se h´a uma opera¸c˜ao de res-

taura¸c˜ao R tal que REρ = ρ para todos estados no espa¸co c´odigo ρ = P

ρP

sendo P

o projetor no espa¸co c´odigo. Estamos interessados em erros induzidos

por reservat´orios markovianos, sendo que tais erros podem ser decompostos em

outros erros mais espec´ıﬁcos atraves de um processo de medida com operado-

res de medida Γ

dξ

, tal que



dµ(dξ)Γ

dξ

ρΓ

†

dξ

= Eρ. Corre¸c˜ao de erros canˆonica

deve ent˜ao ser aplicada como a¸c˜oes discretas em intervalos de tempo a serem

tomados como muito pequenos e tem que corrigir simultaneamente diferentes

erros Γ

dξ

. Ao medirmos e contarmos as excita¸c˜oes no ambiente n´os podemos

criar opera¸c˜oes de reciclagem espec´ıﬁcas para cada um dos erros, al´em disso

podemos escolher um espa¸co c´odigo que ´e livre de descoerˆencia em rela¸c˜ao a

pelo menos um dos erros para que n˜ao precisemos corrigir todos eles. Ent˜ao

encontramos um espa¸co c´odigo que ´e auto-espa¸co do operador Γ

e temos que

reciclar o sistema apenas quando um outro erro acontece. Precisamos encontrar

uma opera¸c˜ao R que reverta a medida quˆantica e optamos por fazˆe-lo deter-

ministicamente e n˜ao probabilisticamente [77]. Por ﬁm a dinˆamica do sistema

dentro do espa¸co c´odigo deve ser dada por

ρ(t + dt)P

= P



dµ(dξ)R

dξ

ρ(t)Γ

†

dξ

†

dξ

= P

ρ(t)P

, (3.6)

ou seja, qualquer estado ´e preservado dentro do espa¸co c´odigo.

A C´odigo para Saltos Quˆanticos

Voltando ao estado condicionado de Agata e Borat com o monitoramento via

saltos e codiﬁca¸c˜ao em qtrits podemos perceber que a informa¸c˜ao sobre o de-

caimento do sistema n˜ao somente permite que os observadores mantenham um

estado emaranhado, mas tamb´em fornece a oportunidade de localmente e de-

terministicamente restaurar o estado inicial atrav´es de uma retro alimenta¸c˜ao

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 45

hamiltoniana bombeando uma excita¸c˜ao de volta ao qtrit emissor revertendo

as transi¸c˜oes de decaimento (|1 → |2, |0 → |1). Vamos ent˜ao recordar as

condi¸c˜oes para reversibilidade deterministica de um salto quˆantico [64, 78] e

assim desenvolver um c´odigo local de corre¸c˜ao de erros via saltos quˆanticos. A

opera¸c˜ao de reciclagem ´e ent˜ao uma unit´aria R tal que RΠ =

√

γP

(sem perda

de generalidade negligenciamos os efeitos de ambas opera¸c˜oes fora do espa¸co

c´odigo), portanto Π =

√

γR

†

. Note que isto implica que o epa¸co c´odigo deve

ser um auto-espa¸co do operador Γ

, pois Π

†

Π = γP

†

= γP

. Portanto,

em um monitoramento via saltos, podemos deterministicamente restaurar dados

quˆanticos no espa¸co c´odigo com um mecanismo direto de feedback com hamilto-

niano H

= F

e opera¸c˜ao de reciclagem R = e

−iF

se o operador de detec¸c˜ao

obedecer as condi¸c˜oes acima. O super-operador na equa¸c˜ao de feedback pode

ser identiﬁcado com a opera¸c˜ao de revers˜ao e

= R = R • R

†

Figura 3.7: Representa¸c˜ao do processo de reciclagem local. O qbit logico ´e repre-

sentado pelo circulo azul nos estados do qtrit. O estado ´e preservado enquanto

o sistema n˜ao emite uma excita¸c˜ao. Quando ele emite, o estado codiﬁcado des-

cende nos estados do qtrit e ´e reciclado de volta ao seu subespa¸co original pela

a¸c˜ao do feedback.

Agora vamos nos voltar para o exemplo espec´ıﬁco de localmente proteger

informa¸c˜ao quˆantica de emiss˜ao espontˆanea. Suponha que dispomos de qtrits

f´ısicos, cada um com n´ıveis de energia {|0, |1, |2} e novamente com o operador

de salto Π =

√

γ(|12| + |01|) que n˜ao distingue as transi¸c˜oes do qtrit. No

caso de transi¸c˜oes distingu´ıveis o protocolo que vamos desenvolver n˜ao funci-

ona, pois neste caso os erros se reduzem a erros de qbits que n˜ao podem ser

revertidos localmente. Outra condi¸c˜ao importante ´e que as taxas de decaimento

das transi¸c˜oes sejam iguais o que garante a existˆencia do espa¸co livre de des-

coerˆencia para o operador de n˜ao detec¸c˜ao. Todos os estados s˜ao levados ao

estado fundamental. Para encontrar o espa¸co c´odigo basta calcular Π

†

Π = γP

com P

= |11| + |22|. A opera¸c˜ao de reciclagem ´e ent˜ao dada por R =

√

†

+ |02| e o operador de feedback F = λ



√

(Π

†

− Π) + |02| − |20|



CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 46

com λ ≈ 1, 2092i. Essa opera¸c˜ao de revers˜ao claramente realimenta o sistema

com uma excita¸c˜ao ap´os um decaimento ser detectado. Informa¸c˜ao ´e, ent˜ao,

preservada no espa¸co c´odigo enquanto o detector n˜ao ´e disparado.

A medida

que o sistema evolui, eventualmente h´a um decaimento e o estado do qtrit pode

parcialmente ou completamente sair do espa¸co c´odigo. Ent˜ao, o detector ´e dis-

parado e o mecanismo de feedback ´e ativado e o sistema ´e reciclado de volta a

seu estado original. Se o monitoramento ´e completamente perfeito e o tempo

de atraso no feedback ´e nulo, ent˜ao o qbit l´ogico ´e localmente e perfeitamente

protegido do seu acoplamento com o ambiente. O processo de reciclagem ´e

ilustrado na ﬁgura 3.7. Agora suponha que temos n qtrits, cada um com seu

pr´oprio processo de reciclagem, ent˜ao poder´ıamos proteger qualquer estado glo-

bal no espa¸co c´odigo {|1, |2}

⊗n

, assim protegendo, de forma ativa, n qbits

l´ogicos codiﬁcados localmente em n qtrits.

B C´odigo para Difus˜ao de Estado

Podemos come¸car a analisar imperfei¸c˜oes no protocolo com um tipo de im-

perfei¸c˜ao importante que se manifesta como ru´ıdo adicional nos resultados de

medida, que pode ser adicionado intencionalmente ou n˜ao pelo observador, com

o processo de medida ent˜ao correspondendo a difus˜ao de estado. Nos referimos

ao limite difusivo como um limite de ineﬁciˆencia, pois o ru´ıdo cl´assico adicional

apaga parte da informa¸c˜ao sobre o processo de intera¸c˜ao por tr´as da dinˆamica,

que ´e um processo de troca de excita¸c˜ao. No limite de saltos o observador ´e

claramente informado se houve ou n˜ao uma troca de excita¸c˜ao, o que n˜ao ´e

verdade no limite difusivo. Entretanto, podemos dizer que ao entrarmos neste

limite estamos mudando a maneira de detectar os erros, mudando a maneira

com que medimos e adquirimos informa¸c˜ao, e ent˜ao mostramos que para atingir

a corre¸c˜ao de erros, a codiﬁca¸c˜ao e o hamiltoniano de feedback tem que ser re-

derivados. Desta forma, a reciclagem baseada em difus˜ao ´e diferente da baseada

em saltos e representa um outro c´odigo de corre¸c˜ao de erros.

Alguns objetivos podem ser alcan¸cados com a difus˜ao de estado, como a es-

tabiliza¸c˜ao de um estado arbitr´ario (mas conhecido) puro de um qbit [79] e at´e

mesmo corre¸c˜ao de erros global [69] (baseada em codiﬁca¸c˜ao e opera¸c˜oes glo-

bais). N´os mostramos que, assim como no caso de saltos, ´e imposs´ıvel proteger

um estado desconhecido arbitr´ario de um qbit e, portanto, um estado arbitr´ario

de muitos qbits da intera¸c˜ao com o ambiente atrav´es de feedback local baseado

em difus˜ao. Entretanto, introduzindo a codiﬁca¸c˜ao em qtrits podemos alcan¸car

este objetivo.

No limite difusivo a equa¸c˜ao mestra n˜ao condicional de feedback ´e da forma

(para apenas um operador de salto Π e sem imperfei¸c˜oes)

dρ = −



†

F + F Π, ρ



dt + L[Π − iF ]ρdt. (3.7)

Para proteger um estado arbitr´ario precisamos adicionar um hamiltoniano cons-

tante da forma H = −

(Π

†

F + F Π) que cancela o primeiro termo e precisamos

encontrar um hamiltoniano de feedback apropriado F que cancele a fonte de

descoerˆencia no segundo termo. O operador de salto pode ser escrito como

Π = M + X + iY , sendo M um m´ultiplo da identidade e X e Y operadores

hermitianos. No caso especiﬁco de emiss˜ao espontˆanea temos M = 0 e X e Y

s˜ao os operadores de momento angular apropriadamente renormalizados para o

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 47

qtrit f´ısico X =

√

(|12| + |01|+ h.c.) e Y =

√

(−i|12| − i|01|+ h.c.).

Agora, suponha que o espa¸co c´odigo seja estabilizado por um operador, que

nomeamos estabilizador, S, o que quer dizer que o espa¸co c´odigo ´e um auto-

espa¸co de S com autovalor +1. Ent˜ao, o hamiltoniano adequado de feedback

seria dado por F = Y − iXS, tal que L[Π − iF ] = L[M + X(I − S)], assim o

espa¸co c´odigo ´e aniquilado pelo termo (I −S) e portanto ´e preservado ao longo

da evolu¸c˜ao. Entretanto o hamiltoniano de feedback deve ser hermitiano, logo

S deve anti-comutar com X, SX + XS = 0 [69]. No caso de qbits, o ´unico es-

tabilizador local seria dado pela identidade, que n˜ao anti-comuta com nenhum

outro operador e assim seria imposs´ıvel encontrar um hamiltoniano de feedback

e proteger um qbit com feedback baseado em difus˜ao.

|0>

|1>

|2>

|1>

|0>

Figura 3.8: Representa¸c˜ao do processo local de recigclagem. Os qubits l´ogicos

s˜ao codiﬁcados na regi˜ao azul entorno dos estados do qutrit. O sistema sofre

erros inﬁnitesimais continuamente e o estado ´e daniﬁcado de maneira irregular,

de tal forma que, parte da informa¸c˜ao deixa o espa¸co c´odigo e a pate restante

tamb´em ´e daniﬁcada. Ent˜ao, o erro e detectado e o mecanismo de feedback

´e ativado e o estado ´e reciclado pela a¸c˜ao de feeback retornando ao subspa¸co

original.

No caso de qtrits podemos encontrar um estabilizador local que anti-comuta

com o operador de momento angular X. O estabilizador ´e ent˜ao deﬁnido por

S|0 = |0, S|2 = |2 e S|1 = −|1, o que deﬁne o espa¸co c´odigo como sendo

{|0, |2}

⊗n

. O processo de reciclagem pode ser descrito por um sequˆencia de

opera¸c˜oes (ver tamb´em a ﬁgura 3.8). Em um intervalo de tempo muito curto os

detectores registram o resultado de medida dQ(t) e o sistema evolui de acordo

(t + dt) =



I −

†

Πdt + ΠdQ(t)



(t), o que daniﬁca o estado inicial.

Entretanto, imediatamente ap´os a detec¸c˜ao o mecanismo de feedback ´e ativado e

o estado acima ´e multiplicado pela opera¸c˜ao R = e

−iF dQ(t)

, portanto a evolu¸c˜ao

do sistema passa a ser

(t + dt) =



I −



†

Π − i

(Π

†

F + F Π) + iF Π



dt + (Π − iF ) dQ(t)



(t)



I −



γdt

+ XdQ



(I − S)



(t). (3.8)

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 48

Como deﬁnimos o hamiltoniano de feedback e o estabilizador adequados, ´e f´acil

ver que, se o estado inicial est´a dentro do espa¸co c´odigo (P

(t) = |S

(t)),

ele permanece no espa¸co c´odigo (I − S)|S

 = 2(I − P

)|S

 = 0.

Entretanto a reciclagem baseada em difus˜ao pode ser mais sens´ıvel a im-

perfei¸c˜oes quando comparada com o limite de saltos, ao menos em realiza¸c˜oes

individuais. A falta de informa¸c˜ao em um monitoramento difusivo se manifesta

(quando consideramos ineﬁciˆencias, por exemplo atraso no tempo de feedback)

na forma de trajet´orias altamente irregulares e induz um minimiza¸c˜ao (parcial,

sen˜ao global) do emaranhamento quando feita a m´edia sobre trajet´orias [80].

C Imperfei¸c˜oes

Agora, analisamos a performance do protocolo sujeito a ineﬁciˆencias. Como a

detec¸c˜ao de erros depende de medidas no ambiente, o protocolo depende for-

temente da eﬁciˆencia de medida. O tempo de atraso de feedback tem que ser

signiﬁcativamente menor que o tempo de decaimento, caso contr´ario, o sistema

dissipa antes da a¸c˜ao de feedback. A resolu¸c˜ao temporal dt da medida tem que

ser muito menor que o tempo de decaimento, entretanto, tem que ser maior

que o tempo de correla¸c˜ao caracter´ıstico do reservat´orio. Focamos a an´alise

no c´odigo baseado em saltos pois apresenta efeitos interessantes em realiza¸c˜oes

individuais.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.8

0.85

0.9

0.95

(t)

(tïo)

(t)

(tïo)

Figura 3.9: Emaranhamento E

de uma ´unica realiza—cc˜ao com estado inicial

|12 + |21 e tempo de atraso de feedback τ ≈ 0.7/γ. Tamb´em mostramos

os registros dos resultados de medida nos dois qutrits e suas vers˜oes atrasadas

indicando a a¸c˜ao de feedback.

E claro que recursos globais, como emaranhamento, tamb´em podem ser

preservados pelo protocolo de reciclagem. Portanto, partes distantes em uma

rede de comunica¸c˜ao quˆantica podem manter estados emaranhados na presen¸ca

de erros induzidos pelo ambiente e podem realizar protocolos de comunica¸c˜ao

quˆantica como teleporta¸c˜ao e codiﬁca¸c˜ao densa. Para tal prop´osito, utilizar es-

tados mais robustos pode aumentar a eﬁciˆencia de comunica¸c˜ao. Por exemplo,

estados que n˜ao sofrem de morte s´ubita de emaranhamento. Estados tipo W

s˜ao conhecidos por sua robustez e em nosso protocolo de reciclagem tomam a

forma |12+ |21 e |112+ |121+ |211 para dois e trˆes qtrits respectivamente.

H´a um mecanismo a mais que torna tais estados mais robustos ao tempo de

atraso de feedback. Vamos examinar o caso mais simples com um estado inicial

|12 + |21 e um tempo de atraso τ . Suponha que uma excita¸c˜ao ´e emitida e

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 49

detectada do primeiro qtrit e o estado salta para |02+ |11 saindo parcialmente

do espa¸co c´odigo. Agora, este estado evolui para |02 + e

−γτ /2

|11 enquanto a

a¸c˜ao do feedback ´e atrasada, e quando o feedback ﬁnalmente acontece o estado

´e devolvido ao espa¸co c´odigo na forma |12+ e

−γτ /2

|21, entretanto n˜ao ´e com-

pletamente restaurado. Se uma excita¸c˜ao ´e detectada do segundo qtrit o estado

evolui e ao ﬁm do tempo de atraso temos novamente um estado maximamente

emaranhado e

−γτ /2

[|11 + |20], e ent˜ao o estado ´e ﬁnalmente restaurado pelo

feedback. Assim, a indesej´avel evolu¸c˜ao que acontece durante o atraso de feed-

back em um dos qtrits pode ser revertida pelo atraso em outro qtrit. Esta ´e a

sequˆencia de eventos mais favor´avel dado um tempo de atraso. O emaranha-

mento seria completamente degradado se um ´unico qtrit emitisse duas excita¸c˜oes

consecutivas dentro de um mesmo tempo de atraso e essa seria a pior situa¸c˜ao.

Na ﬁgura (3.9) n´os mostramos uma particular realiza¸c˜ao apresentando efeitos

do tempo ﬁnito de atraso de feedback no emaranhamento. Na ﬁgura (3.10)

mostramos o emaranhamento m´edio como sendo fun¸c˜ao do tempo e do tempo

de atraso. Como mostrado nas ﬁguras quanto maior o tempo de atraso menos

efetivo se torna o processo de reciclagem, embora uma quantidade consider´avel

de emaranhamento ainda pode ser preservada ap´os longos tempos e com um

tempo de atraso apreci´avel.

E facil ver que estados como |11 + |22 seriam

apenas degradados na presen¸ca de atraso do feedback.

0.05

0.1

0.7

0.8

0.9

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Figura 3.10: Emaranhamento m´edio (negatividade) do feedback baseado em

saltos em fun¸c˜ao do tempo e do tempo de atraso de feedback.

O protocolo ´e muito mais afetado por ineﬁciˆencias de medida como podemos

ver na ﬁgura (3.11). A evolu¸c˜ao sem saltos come¸ca a se assemelhar a evolu¸c˜ao

da equa¸c˜ao mestra n˜ao condicional `a medida que a eﬁciˆencia de medida dimi-

nui. Esta evolu¸c˜ao popula a componente do estado fundamental e diminui a

coerˆencia e emaranhamento no espa¸co c´odigo. Como consequˆencia o processo

de reciclagem se torna cada vez menos efetivo, `a medida que a eﬁciˆencia dimi-

nui. Ainda assim, um efeito interessante que ajuda a manter o protocolo efetivo

para pequenas ineﬁciˆencias ´e que quando um salto acontece, seguido de feed-

back, a componente do estado fundamental ´e eliminada, o que aumenta tanto a

popula¸c˜ao quanto a coerˆencia no espa¸co c´odigo acarretando um salto de emara-

nhamento (este efeito tamb´em ter´a um papel importante no pr´oximo capitulo).

Assim, neste processo, um salto quˆantico sempre aumenta o emaranhamento e

isto ´e mostrado na ﬁgura (3.12).

Quando os detectores possuem uma eﬁciˆencia menor que um, a evolu¸c˜ao leva

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 50

0.85

0.9

0.95

0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 3.11: Negatividade m´edia do feedback baseado em saltos como uma

fun¸c˜ao do tempo e da eﬁciˆencia de medida.

0 1 2 3 4 5 6

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Figura 3.12: Emaranhamento de uma ´unica realiza¸c˜ao com o estado inicial

|12 + |21 e eﬁciˆencia de medida η ≈ 0.98.

`a perda de pureza e temos, em geral, um estado misto de qtrits. N˜ao h´a uma

express˜ao fechada para o emaranhamento de forma¸c˜ao de tais estados. Aqui,

escolhemos a negatividade da transposta parcial da matriz densidade como uma

cota superior ao emaranhamento destil´avel. Para manter a consistˆencia na

compara¸c˜ao usamos a negatividade em ambas as ﬁguras (3.10, 3.11), mesmo que

no caso de tempo de atraso seja poss´ıvel determinar o valor do emaranhamento.

Em sess˜oes anteriores dissemos que a indistinguibilidade dos canais de de-

caimento do qtrit ´e de extrema importˆancia para o protocolo de corre¸c˜ao fun-

cionar. Agora, relaxamos essa condi¸c˜ao e analisamos a eﬁciˆencia do proto-

colo quando as transi¸c˜oes se tornam cada vez mais distingu´ıveis. O operador

de detec¸c˜ao ´e separado em outros dois, Π

√



√

α|12| +

√

1 − α|01|



√



√

1 − α|12|+

√

α|01|



, cada um correspondendo a uma transi¸c˜ao.

Se α = 1/2 as transi¸c˜oes s˜ao indistingu´ıveis e se α = 1 (ou zero) as transi¸c˜oes s˜ao

completamente distingu´ıveis. Note que, ao mudar a distinguibilidade tamb´em

se muda a dinˆamica global (n˜ao somente o processo de detec¸c˜ao), tal que, para

α = 1/2, temos L[Π] = L[Π

] + L[Π

]. Entretanto, para α = 1/2 temos

L[Π] = L[Π

]+L[Π

]. Depois que os detectores s˜ao disparados a mesma a¸c˜ao de

feedback ´e aplicada. Como mostramos na ﬁgura (3.13) o protocolo ainda ´e eﬁcaz

mesmo que as transi¸c˜oes sejam um pouco distingu´ıveis. Entretanto, `a medida

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 51

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 3.13: Average entanglement (negativity) of the jump feedback as a func-

tion of time and distinguishability α.

que as transi¸c˜oes se tornam mais distingu´ıveis, os erros se tornam dominantes

e o sistema perde emaranhamento rapidamente.

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 3.14: Emaranhamento m´edio (negatividade) do feedback via saltos em

fun¸c˜ao do tempo e taxa de transi¸c˜ao β.

Mesmo que as transi¸c˜oes sejam indistingu´ıveis, as taxas de transi¸c˜ao podem

ser diferentes, o que faz uma transi¸c˜ao mais provavel que a outra. Este ´e o caso

de osciladores harmˆonicos, por exemplo. O operador de salto pode ser expresso

por Π =

√

γ[

√

β|12| + |01|], gerando uma probabilidade para a transi¸c˜ao

|2 → |1 proporcional a β. Quando as taxas s˜ao desbalanceadas a evolu¸c˜ao sem

saltos perturba o espa¸co c´odigo, o que signiﬁca que nossa estrat´egia poderia ser

combinada com um protocolo de corre¸c˜ao do tipo “bang-bang”. Al´em disso, os

saltos tamb´em perturbam a informa¸c˜ao codiﬁcada e a deslocam para fora do

espa¸co c´odigo.

A medida que a transi¸c˜ao superior se torna mais prov´avel, o

CAP

ITULO 3. PROTEC¸

AO GLOBAL POR OPERAC¸

OES LOCAIS 52

protocolo se torna menos efetivo. Entretanto, para transi¸c˜oes desbalanceadas

que correspondem a um oscilador harmˆonico (β = 2), o protocolo ainda pode

proteger uma quantidade consider´avel, como mostramos na ﬁgura (3.14).

Outro tipo poss´ıvel de imperfei¸c˜ao no mecanismo feedback seria uma im-

precis˜ao na implementa¸c˜ao da opera¸c˜ao de reciclagem, como uma ﬂutua¸c˜ao na

constante do hamiltoniano de maneira similar a um efeito de desordem. Por

exemplo, o hamiltoniano poderia ser dado pelo hamiltoniano ideal com um peso

que assume valores distribu´ıdos de forma gaussiana centrados no valor ideal

λ cada vez que o feedback ´e disparado. O hamiltoniano de feedback com de-

sordem seria dado por



1 +



F , com δ uma vari´avel aleat´oria gaussiana com

m´edia zero. Este efeito de desordem corresponde a uma opera¸c˜ao de recicla-

gem imperfeita que est´a sujeita a ﬂutua¸c˜oes aleat´orias e ´e dada por uma fam´ılia

a um parˆametro de matrizes unit´arias aleat´orias: a opera¸c˜ao ideal vezes uma

aleat´oria Re

−iF

. Este processo desordenado de reciclagem geralmente n˜ao

restaura o estado inicial, pois as as opera¸c˜oes de feedback podem diferir consi-

deravelmente da ideal (para valores apreci´aveis da variˆancia da distribui¸c˜ao de

desordem var(δ)), assim levando a uma degrada¸c˜ao de recursos globais durante

per´ıodos em que o sistema cessa a emiss˜ao. Mostramos a negatividade m´edia

na ﬁgura (3.15). Pode ser visto que o protocolo tolera pequenas ﬂutua¸c˜oes no

hamiltoniano e acreditamos que este efeito de desordem seja menos impactante

do que ineﬁciˆencia de medida e tempo de atraso. Entretanto, para valores al-

tos de desordem, o efeito seria bem mais danoso do que o tempo de atraso do

feedback, pois o emaranhamento decresce aproximadamente linearmente com o

tempo de atraso e apresenta um curvatura decrescente com a desordem.

0.05

0.1

0.7

0.8

0.9

var(b)

0.8

0.85

0.9

0.95

Figura 3.15: Negatividade m´edia como fun¸c˜ao do tempo e ﬂutua¸c˜oes no ha-

miltoniano. As ﬂutua¸c˜oes s˜ao quantiﬁcadas pela variˆancia var(δ) da gaussiana

centrada no valor ideal da for¸ca do hamiltoniano λ.

Cap´ıtulo 4

Transi¸c˜ao Quˆantico-Cl´assico

O problema do limite quˆantico cl´assico tem estado no n´ucleo da teoria quˆantica

desde o in´ıcio com argumentos que v˜ao desde complementaridade [81] at´e des-

coerˆencia [82]. O limite pode ser associado a propriedades intr´ınsecas de um

dado sistema f´ısico assim como tamb´em a propriedades dinˆamicas de sistemas

interagentes. Debates mais antigos focaram no tamanho relativo dos sistemas

interagentes, como por exemplo, um espelho era tomado como cl´assico pois a

transferˆencia de momento causada pelo impacto de um f´oton ´e insigniﬁcante

quando comparada `a in´ercia do espelho. Argumentos mais recentes tem se

focado na gera¸c˜ao de emaranhamento, isto ´e, a tal chamada aproxima¸c˜ao semi-

cl´assica ´e v´alida quando um sistema quˆantico altera o estado f´ısico de outro

sistema sem que ambos os sistemas se emaranhem. Casos extremos, como la-

sers de 10

fotons gerando rota¸c˜oes nos estados internos de um ´atomo s˜ao bem

compreendidos. Entretanto, se o campo de bombeio tem em m´edia apenas um

f´oton ele ainda pode se comportar classicamente? Intui¸c˜ao diria n˜ao. Experi-

mentos e c´alculos anteriores dizem sim e agora teoria de informa¸c˜ao quˆantica

pode dizer como.

Alguns tipos de transi¸c˜ao quˆantico cl´assico est˜ao associados ao acoplamento

a ambientes externos. De fato, ao trocar informa¸c˜ao com graus de liberdade

externos, um sistema quˆantico pode perder alguns de seus aspectos quˆanticos,

tais como a possibilidade de fenˆomenos de interferˆencia ou a sua n˜ao localidade.

Por exemplo, fun¸c˜oes de Wigner de estados quˆanticos de osciladores harmˆonicos

sujeitos a forte decoerˆencia rapidamente convergem para distribui¸c˜oes no espa¸co

de fase com descri¸c˜ao cl´assica[83]. Da mesma forma, matrizes densidade de dois

qbits emaranhados sujeitos a reservat´orios independentes rapidamente conver-

gem para estados separ´aveis [84], que apresentam apenas correla¸c˜oes cl´assicas e

podem se descritos por teorias de vari´aveis ocultas reais e locais [22].

Uma abordagem comum para se estudar o limite cl´assico que surge da a¸c˜ao

de um reservat´orio externo ´e considerar o sistema e graus de liberdade externos

como sendo um grande conjunto isolado e, assim, ao assumir algumas proprie-

dades gerais sobre o ambiente, tomar uma m´edia de seus efeitos sobre o sistema

tomando o tra¸co parcial sobre o ambiente. Essa estrat´egia ´e encontrada tanto no

m´etodo de equa¸c˜ao mestra quanto no de equa¸c˜oes de Heisenberg-Langevin [49],

e de fato, descreve a dinˆamica do sistema. Entretanto, ao ignorar a informa¸c˜ao

contida no reservat´orio, limitamos nosso entendimento do papel do ambiente na

transi¸c˜ao quˆantico cl´assico que o sistema eventualmente apresenta. Uma alter-

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 54

nativa ´e considerar o reservat´orio como um outro sistema quˆantico, resolvendo

a dinˆamica hamiltoniana para todos os graus de liberdade (sistema e ambiente).

Entretanto, devido `a natureza de um reservat´orio (inﬁnitos graus de liberdade),

este m´etodo requer fortes aproxima¸c˜oes e permite solu¸c˜oes apenas em regimes

de dinˆamica particulares.

Ambas estrat´egias descritas acima foram usadas para analisar um sistema

´optico quˆantico que apresenta uma transi¸c˜ao quˆantico-cl´assico e pode ser encon-

trado, por exemplo, em interferometria de ´atomos de Rydberg [85]. O sistema

´e um ´atomo de dois n´ıveis interagindo linearmente com um campo de cavidade

quantizado que ´e bombeado por uma fonte cl´assica externa e perde fotons para

um reservat´orio externo. A transi¸c˜ao ocorre no comportamento do campo da

cavidade e acontece mesmo para n´umeros muito baixos de fotons. Vamos assu-

mir que o campo ´e preparado em um estado coerente |α com n´umero de f´otons

muito baixo, por exemplo |α|

= 1. Em um limite, v´alido quando a cavidade

´e fracamente acoplada ao reservat´orio (cavidades de altor fator de qualidade) ´e

poss´ıvel resolver analiticamente a equa¸c˜ao mestra e descrever adequadamente,

por exemplo, colapsos e ressurgimentos na popula¸c˜ao atˆomica [86] que servem

como uma assinatura da natureza quantizada do campo da cavidade. No outro

limite, os autores em [87] usaram dinˆamica hamiltoniana completa do sistema

e reservat´orio para mostrar que esse mesmo campo fraco coerente da cavidade

pode se comportar classicamente, isto ´e, preparando superposi¸c˜oes dos estados

internos do ´atomo (modiﬁcando o estado quˆantico do ´atomo sem se emaranhar

com o mesmo). Este regime descreve apropriadamente as zonas de Ramsey de

microondas (cavidades de baixo fator de qualidade).

Claramente, o ambiente tem um papel importante no comportamento do

campo da cavidade. Entretanto, as abordagens adotadas at´e agora fazem uso de

aproxima¸c˜oes que permitem solu¸c˜oes apenas nos casos extremos de acoplamento

muito fraco ou muito forte com o ambiente. Portanto ainda n˜ao h´a nenhuma

indica¸c˜ao de quando nem como a transi¸c˜ao quˆantico-cl´assico de fato acontece

ou qualquer detalhe sobre o papel desempenhado pelo ambiente na transi¸c˜ao.

No presente trabalho, adotamos um m´etodo menos restritivo, a teoria de

trajet´orias quˆanticas ou monitoramento cont´ınuo do reservat´orio. Esta aborda-

gem apresenta algumas vantagens: 1) o m´etodo permite uma solu¸c˜ao num´erica

da equa¸c˜ao mestra sem mais aproxima¸c˜oes e para qualquer regime dinˆamico em

que a mesma ´e valida; 2) na maioria dos casos, h´a um signiﬁcado f´ısico claro

descrevendo um aparato que monitora continuamente o reservat´orio, assim re-

cuperando parte da informa¸c˜ao dilu´ıda no reservat´orio; 3) o m´etodo fornece

detalhes mais profundos sobre a troca de informa¸c˜ao entre o sistema e o reser-

vat´orio, assim revelando como a intera¸c˜ao com um reservat´orio externo pode

levar ao comportamento cl´assico de um dado sistema f´ısico.

De fato, ao revelar a evolu¸c˜ao do sistema ´atomo-cavidade em trajet´orias, po-

demos identiﬁcar a transi¸c˜ao quˆantico cl´assico do campo da cavidade em fun¸c˜ao

do fator de acoplamento ao reservat´orio e, ao mesmo tempo, proporcionando

uma descri¸c˜ao f´oton a f´oton da aproxima¸c˜ao semicl´assica. Tamb´em podemos

detalhar os papeis espec´ıﬁcos desempenhados pela dissipa¸c˜ao e pelo campo de

bombeio na inibi¸c˜ao da inerente cria¸c˜ao de emaranhamento pela intera¸c˜ao de di-

polo ´atomo-campo. Assim, n˜ao somente recuperamos os resultados encontrados

em [87] para a dinˆamica atˆomica, mas tamb´em os estendemos, evitando as for-

tes aproxima¸c˜oes tomadas nestes trabalhos anteriores e analisando a dinˆamica

e o emaranhamento entre os diferentes subsistemas f´ısicos em todos os regimes

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 55

de dissipa¸c˜ao. Finalmente, podemos anti-correlacionar o emaranhamento as-

sistido pelo ambiente [88] e a evolu¸c˜ao semi-cl´assica, isto ´e, mostramos que a

segunda ´e v´alida quando a a¸c˜ao ambiental n˜ao ´e capaz de criar emaranhamento

signiﬁcativo entre o campo e o ´atomo.

I A Transi¸c˜ao em Eletrodinˆamica Quˆantica

A O Sistema

O sistema que analisamos consiste de um modo ressonante de uma cavidade,

cujo operador de cria¸c˜ao ´e a

†

, ressonantemente acoplado a dois n´ıveis internos de

um ´atomo, cujo operador de cria¸c˜ao ´e σ

†

, em uma intera¸c˜ao Jaynes-Cummings

(JC) [89]. De fato, j´a utilizamos o modelo JC sem dizer que o ﬁzemos quando

tratamos da intera¸c˜ao de um sistema com seu ambiente quˆantico. O modelo JC

descreve a intere¸c˜ao de dipolo el´etrico de dois n´ıveis atˆomicos com um modo do

campo eletromagn´etico ao desconsiderarmos os termos contragirantes na cha-

mada aproxima¸c˜ao de onda girante (assim como feito no segundo cap´ıtulo). O

hamiltoniano ´e ent˜ao dado por

= ω

†

a + ω

†

σ + g(σa

†

+ σ

†

a), (4.1)

cujos auto-estados s˜ao os chamados polaritons

|n+ =

√

[sen(θ

)|g, n + cos(θ

)|e, n − 1] (4.2)

|n− =

√

[cos(θ

)|g, n − sen(θ

)|e, n − 1], (4.3)

com auto-energias E

= nω

±g



n + ∆

, tan(2θ) = −g

√

n/∆, sendo ∆ =

− ω

a dessintonia entre o ´atomo e a cavidade. Aqui, trataremos apenas o

caso ressonante.

O oscilador ´e bombeado por um campo cl´assico ressonante de amplitude Ω

e acoplado a um reservat´orio com taxa de decaimento γ e `a temperatura zero.

Assumimos que o tempo de relaxamento atˆomico ´e muito mais longo que as

outras escalas de tempo. Isso ´e verdade, por exemplo, para ´atomos circulares

de Rydberg dentro de uma zona de Ramsey de microondas. A evolu¸c˜ao do

do estado do sistema ´atomo-cavidade na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao ´e ent˜ao

governada pela equa¸c˜ao mestra

dρ = −i [H, ρ] dt + L[

√

γa]ρdt, (4.4)

sendo H = g(σa

†

+ σ

†

a) + Ω(a

†

+ a) e g o fator de acoplamento entre o campo

e o ´atomo.

B Assinaturas do Quˆantico e do Cl´assico

Vamos agora considerar algumas simples situa¸c˜oes que mostram os casos extre-

mos de comportamento (quˆantico e cl´assico). Primeiro, vamos considerar o caso

quˆantico mais simples em que n˜ao h´a acoplamento ao reservat´orio γ = 0 nem

bombeamento Ω = 0 e o estado inicial ´e |ψ(0) = |g|1 =

√

[|1++|1−], ´atomo

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 56

n˜ao excitado e um foton na cavidade. Neste caso ﬁca claro a cria¸c˜ao de emara-

nhamento entre campo e ´atomo, pois o estado evolui para |ψ(t) = cos(gt)|g1−

isen(gt)|e0. O estado reduzido do ´atomo ´e ρ

= cos

(gt)|gg|+ sen

(gt)|ee|,

que, `a medida que evolui, tra¸ca uma linha reta que liga os p´olos da Bola de

Bloch. Para isso basta olharmos para o vetor de Bloch

B(x, y, z) = tr{ρ

X}ˆx + tr{ρ

Y }ˆy + tr{ρ

Z}ˆz, (4.5)

que neste caso se reduz a B(0, 0, z(t)) = [cos

(gt) − sen

(gt)]ˆz que passa pelo

centro da Bola. De fato, tomaremos como uma assinatura quˆantica vetores de

Bloch que penetram em dire¸c˜ao ao centro da Bola, este sendo um caso extremo,

pois esta caracter´ıstica indica que o qbit est´a maximamente emaranhado com o

resto do sistema, isto ´e, quanto B = 1, o qbit n˜ao est´a emaranhado e quando

B = 0, o qbit est´a maximamente emaranhado com o resto do sistema.

Figura 4.1: A estrutura de n´ıveis do sistema ´atomo-cavidade e um esquema de

medida em que a luz que sai da cavidade ´e homodinada.

Em uma outra situa¸c˜ao o ´atomo pode interagir com um campo cl´assico (e n˜ao

um quˆantico como no caso anterior). Neste caso a evolu¸c˜ao do ´atomo passa a ser

dada por um hamiltoniano da forma H

= Ω(σ

†

+σ) e o estado fundamental do

qbit evolui para |ψ(t) =

√

−iΩt

|+−e

iΩt

|−] = cos(Ωt)|g−isen(Ωt)|e, que

corresponde a uma evolu¸c˜ao unit´aria, ou seja, o vetor de Bloch ﬁca conﬁnado a

superf´ıcie da Bola, pois o estado ´e puro durante todo tempo de evolu¸c˜ao. Al´em

disso, o vetor tra¸ca um circulo de raio m´aximo na superf´ıcie da Bola. Este

c´ırculo ´e o que chamamos de ciclo de Rabi.

Essas foram apenas situa¸c˜oes mais ilustrativas. Agora assuma que o sistema

´e inicialmente preparado no estado |ψ(0) = |g|

2Ω

iγ

, sendo |g o estado funda-

mental atomico e |

2Ω

iγ

 ´e um estado coerente do campo com n´umero m´edio de

fotons

4Ω

. Este ´e um estado estacion´ario do sistema quando n˜ao h´a acopla-

mento entre cavidade e ´atomo, ou seja, ´e um estado estacion´ario da cavidade

bombeada em dissipa¸c˜ao. Para mostrar isso, podemos analisar a equa¸c˜ao de

difus˜ao de estado que descreve uma situa¸c˜ao em que a luz que sai da cavidade

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 57

´e homodinada (ﬁgura 4.1)

d|α =



−iΩ(a

†

+ a)dt −

†

adt +

√

γadQ(t)



|α. (4.6)

Um estado coerente ´e auto-estado do operador de destrui¸c˜ao a|α = α|α, assim

temos

d|α =



†

(−iΩ −

α)dt + α (−iΩdt +

√

γdQ)



|α, (4.7)

tal que apenas o termo proporcional a a

†

pode perturbar o estado coerente,

entretanto se α =

2Ω

iγ

o termo em a

†

se anula e o estado ganha apenas uma

fase global. Isto acontece para todas as trajet´orias independentemente do valor

da corrente de homodinagem dQ, assim todas as trajet´orias convergem para o

estado coerente estacion´ario. De fato, o mesmo se repete para qualquer escolha

de monitoramento do reservat´orio, por exemplo detec¸c˜ao direta dos fotons. Isto

demonstra uma das propriedades cl´assicas de estados coerentes. Evidentemente,

quando existe a intera¸c˜ao entre ´atomo e cavidade a dinˆamica n˜ao ´e t˜ao simples

e ambos (´atomo e cavidade) s˜ao afetados. Entretanto, nesta simples situa¸c˜ao

envolvendo apenas a cavidade, j´a podemos deﬁnir condi¸c˜oes que indicam o com-

portamento cl´assico. Um sistema se comporta de maneira efetivamente cl´assica

quando todos os poss´ıveis observadores (que observam o ambiente) concordam

entre si sobre o que ´e observado, mesmo que repitam o experimento um n´umero

grande de vezes. Assim o sistema passa a ser descrito efetivamente por uma

unica trajet´oria, a trajet´oria cl´assica.

No caso em que ´atomo e cavidade s˜ao um sistema isolado esperamos cria¸c˜ao

de emaranhamento mesmo que o estado da cavidade seja um estado coerente

(assim como mostraremos em seguida). E quando o ´atomo interage com um

campo cl´assico, o ´atomo executa oscila¸c˜oes de Rabi (o circulo na esfera de

Bloch). Podemos agora derivar um resultado [87, 90] que mostra que quando

a dissipa¸c˜ao e o bombeio da cavidade s˜ao muito maiores que o acoplamento

´atomo-campo, o ´atomo percebe um campo efetivamente cl´assico. Esse resultado

demonstra que a ausˆencia de emaranhamento entre ´atomo e cavidade de fato

implica no comportamento cl´assico do sistema. Considere que neste limite (o

limite cl´assico) o campo permanece sendo bem descrito por um estado coerente,

assim n˜ao se emaranhando com o ´atomo e o estado pode ser escrito como ρ

ρ ⊗ |αα|. Substituindo ρ

na equa¸c˜ao que descreve a dinˆamica do sistema

(4.4) e fazendo o tra¸co parcial no campo, temos para o ´atomo a equa¸c˜ao ˙ρ =

−[g(ασ

†

+ α

∗

σ), ρ], que descreve os ciclos de Rabi, ou seja, o ´atomo interage

com um campo que ´e efetivamente cl´assico, cuja amplitude ´e a amplitude do

estado coerente. Portanto, se por alguma raz˜ao, n˜ao houver emaranhamento

o sistema se comporta classicamente independentemente do n´umero m´edio de

f´otons no campo.

II A Transi¸c˜ao e a Ressonˆancia Estoc´astica

Aqui, sempre consideraremos uma for¸ca de bombeio que ´e equivalente `a dis-

sipa¸c˜ao, isto ´e, γ ≈ 2Ω, pois estamos interessados em campos de baixos n´umeros

quˆanticos se comportando de forma cl´assica. Analisamos o comportamento

do sistema em fun¸c˜ao do tempo e em fun¸c˜ao de γ. Primeiramente, avalia-

mos a pureza global δ(t) = tr{ρ

(t)}, a pureza do ´atomo δ

e do campo δ

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 58

Analisamos tamb´em a ﬁdelidade do campo com o seu estado coerente inicial

= α|ρ

(t)|α.

0 25 50 75 100

0.6

0.8

0 25 50 75 100

0.7

0.8

0.9

0 25 50 75 100

0.7

0.8

0.9

1.1

0 25 50 75 100

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 4.2: Pureza global δ, pureza atˆomica δ

, pureza do campo δ

e ﬁdelidade

como fun¸c˜oes do tempo t em unidades de π/100g para g = 10 kHz. Azul

(tracejado) γ = 0.02g, verde (pontilhado) γ = 0.2g, vermelho (linha solida)

γ = 2g, azul claro (linha ﬁna) γ = 20g, roxo (pontilhado-tracejado) γ = 200g.

No limite γ = Ω → 0 (evolu¸c˜ao Jaynes-Cummings) o estado global perma-

nece quase puro [δ(t) ≈ 1] e δ

´e idˆentica a δ

como esperado j´a que o sistema

´atomo-campo ´e isolado e δ

s(f)

quantiﬁca o emaranhamento ´atomo-campo (ﬁ-

gura 4.2). Neste regime, o campo da cavidade deve ser tratado quanticamente.

Note que a evolu¸c˜ao cria muito emaranhamento entre o ´atomo e o campo da

cavidade, mas praticamente nenhum emaranhamento entre o sistema (´atomo-

campo) e o reservat´orio. No outro limite, em que γ, Ω  g [γ = 200g nas ﬁguras]

as purezas global e atˆomica s˜ao muito similares , δ(t) ≈ δ

(t) e δ

(t), F

(t) ≈ 1,

o que indica que o ´atomo se emaranha com o reservat´orio enquanto o campo

permanece num estado quase-puro a uma distˆancia estat´ıstica neglig´ıvel do es-

tado coerente |2Ω/iγ. Neste limite, o campo da cavidade se comporta clas-

sicamente. Estas s˜ao as condi¸c˜oes experimentais encontradas em [85], em que

g ≈ 10 kHz, γ ≈ 2 MHz e |α|

≈ 1. Entre estes limites, descobrimos que δ, δ

, δ

diminuem com a dissipa¸c˜ao, passam por um m´ınimo em γ ≈ 2g e depois aumen-

tam novamente, portanto apresentando comportamentos t´ıpicos de ressonˆancia

estoc´astica (ﬁgura 4.3) [6, 88]. Note que o comportamento do sistema ´atomo-

cavidade-reservat´orio apresenta curvas t´ıpicas do que costuma-se chamar na

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 59

literatura de ressonˆancia estoc´astica [6, 88], tanto para o emaranhamento com

o reservat´orio (quantiﬁcado pela pureza global δ) quanto para a informa¸c˜ao dos

f´otons (ﬁgura 4.10). A ressonˆancia acontece quando duas frequˆencias de troca

de excita¸c˜ao s˜ao similares (g ≈ γ) sendo que uma delas corresponde a um pro-

cesso estoc´astico. O fato de que todas a purezas passam por um minimo na

0 0.5 1 1.5 2

x 10

0.4

0.6

0.8

min(b)

0 0.5 1 1.5 2

x 10

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

min(b

)

0 0.5 1 1.5 2

x 10

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

min(b

)

0 0.5 1 1.5 2

x 10

0.2

0.4

0.6

0.8

min(F

)

Figura 4.3: Valores minimos das purezas e ﬁdelidade em fun¸c˜ao da dissipa¸c˜ao

em um intervalo de tempo [0, π/g] para g = 10 kHz.

mesma regi˜ao γ ≈ g sugere que, para esta dissipa¸c˜ao, existe um m´aximo de

emaranhamento tripartido entre ´atomo, campo da cavidade e ambiente. Esta

interpreta¸c˜ao ´e consistente com as taxas de dinˆamica: ´atomo e cavidade, e cavi-

dade e ambiente trocam excita¸c˜oes em taxas similares que em escalas de tempo

1/g ≈ 1/γ geram emaranhamento genu´ıno tripartido entre os trˆes subsistemas.

Este fato tamb´em representa o in´ıcio da transi¸c˜ao. Para valores mais altos de

γ, o emaranhamento com o reservat´orio apenas decresce e o campo da cavidade

rapidamente converge para o estado coerente estacion´ario, como mostrado na

ﬁgura 4.5.

De acordo com esta an´alise, para pequenas taxas de decaimento, o ´atomo

segue uma trajet´oria de Bloch consistente com a evolu¸c˜ao Jaynes-Cummings

com um campo coerente fraco. Por outro lado, para alta dissipa¸c˜ao (γ = 20g) o

´atomo pode girar de |g para [|g − |e]/

√

2 quase unitariamente, enquanto que

para taxas ainda maiores (γ = 200g) a evolu¸c˜ao atˆomica ´e quase unit´aria para

um ciclo de Rabi inteiro (ﬁgura 4.6).

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Figura 4.4: Negatividade ´atomo-campo em fun¸c˜ao do tempo em unidades de

π/100g kHz para diferentes valores de γ. Azul tracejado γ = 0.02g, verde

pontilhado γ = 0.2g, vermelho linha solida γ = 2g, azul claro linha ﬁna γ = 20g,

roxo pontilhado-tracejado γ = 200g.

Encerramos esta se¸c˜ao notando que as trajet´orias quˆanticas nos permiti-

ram preencher o gap entre a evolu¸c˜ao quantizada e a semicl´assica do sistema

´atomo-campo, identiﬁcando os valores de γ em que a transi¸c˜ao acontece. Entre-

tanto, tamb´em notamos que ao realizar a m´edia sobre as trajet´orias (obtendo a

solu¸c˜ao da equa¸c˜ao mestra) ignoramos a informa¸c˜ao contida no reservat´orio. Na

pr´oxima se¸c˜ao mostramos que esta informa¸c˜ao pode ser recuperada nos permi-

tindo interpretar a transi¸c˜ao em termos da informa¸c˜ao dispon´ıvel no reservat´orio

em experimentos de foto-detec¸c˜ao. Esta interpreta¸c˜ao fornece uma vis˜ao mais

detalhada do papel do ambiente na transi¸c˜ao.

A Ressonˆancia Estoc´astica na Informa¸c˜ao dos F´otons

Primeiramente, vamos analisar a trajet´oria sem saltos de um monitoramento via

saltos obtida quando o observador n˜ao detecta nenhum f´oton no reservat´orio.

Para dissipa¸c˜ao muito pequena esta trajet´oria ´e a mais prov´avel e corresponde

`a t´ıpica evolu¸c˜ao Jaynes-Cummings entre um ´atomo e um campo coerente fraco

(nas ﬁguras este regime corresponde `a γ = 0.02g). Nesse limite, um f´oton que ´e

bombeado para dentro da cavidade pelo campo externo permanece na cavidade

por tempo suﬁciente para ser absorvido e reemitido pelo ´atomo mais de uma

vez. Esta evolu¸c˜ao coerente gera emaranhamento entre ´atomo e cavidade como

podemos ver na ﬁgura 4.5. Isto tamb´em ´e indicado nos caminhos seguidos pelo

vetor de Bloch da trajet´oria sem saltos com γ = 0.02g e 0.2g como mostrado

na ﬁgura 4.7. De fato, estes caminhos s˜ao muito similares aos obtidos a partir

da evolu¸c˜ao n˜ao condicionada (ﬁgura 4.6), o que ´e razo´avel, pois, neste regime,

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 61

0 0.5 1 1.5 2

x 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

max(N)

Figura 4.5: Negatividade maxima alcan¸cada pela matriz densidade do sistema

´atomo-campo durante um ciclo de Rabi em fun¸c˜ao de γ (Hz).

h´a de fato um probabilidade muito pequena de um f´oton escapar da cavidade

durante um ciclo de Rabi, isto ´e, a trajet´oria sem saltos e a evolu¸c˜ao n˜ao condi-

cionada s˜ao quase o mesmo processo f´ısico. Note tamb´em, que quando g  γ,

a evolu¸c˜ao ´atomo-campo ´e quase hamiltoniana durante um ciclo de Rabi em

acordo com o que observamos nas ﬁguras para γ = 0.02g, o que ´e consistente

com o regime inteiramente quantizado.

No outro limite, para γ muito grande, o movimento atˆomico na Bola de

Bloch ´e quase conﬁnado `a superf´ıcie mostrando supress˜ao de emaranhamento.

Em outras palavras, quando γ  g, a trajet´oria sem saltos cria muito pouco

emaranhamento entre ´atomo e cavidade, apesar da intera¸c˜ao direta de dipolo.

Note que, neste regime, a trajet´oria sem saltos ´e dominada pelo bombeamento

cl´assico e pelo termo de dissipa¸c˜ao proporcional ao operador n´umero do campo

−

†

a e a intera¸c˜ao entre ´atomo e cavidade pode ser considerada como uma

perturba¸c˜ao que rotaciona o estado atˆomico. Note tamb´em que a fonte de

bombeio tem um papel importante, pois sem ela n˜ao h´a evolu¸c˜ao coerente do

estado ´atomico, apenas dissipa¸c˜ao. Entretanto, neste limite de alta dissipa¸c˜ao,

a trajet´oria sem saltos ´e muito rara, o que nos obriga a investigar efeitos de

saltos quˆanticos no sistema, pois trajet´orias t´ıpicas apresentam muitos saltos

neste regime.

Para analisar os efeitos dos saltos quˆanticos vamos primeiro tratar simples

exemplos que ilustram a f´ısica do sistema. Na ﬁgura 4.8 temos o emaranha-

mento e os resultados de medida de uma trajet´oria com γ = 2g. A ﬁgura

deixa claro que, nesta trajet´oria, saltos quˆanticos (f´otons espalhados) causam

descontinuidades no emaranhamento entre o ´atomo e o campo da cavidade. Na-

turalmente uma trajet´oria n˜ao ´e suﬁciente para um entendimento mais amplo,

mas as mudan¸cas dinˆamicas induzidas pelos saltos nesta particular trajet´oria

indicam como os f´otons que escapam da cavidade podem inﬂuenciar o sistema

em realiza¸c˜oes do experimento de detec¸c˜ao. Note que γ = 2g corresponde `a

regi˜ao da transi¸c˜ao, ou da ressonˆancia estoc´astica, como mostrado anterior-

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 62

ï1 ï0.5 0 0.5 1

ï1

ï0.8

ï0.6

ï0.4

ï0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

a=0.02g

a=0.2g

a=2g

a=20g

a=200g

a=0

Figura 4.6: Um corte da Bola de Bloch em y = 0 com o movimento do vetor de

Bloch atomico B(x, 0, z). BS ´e a esfera de Bloch.

mente. Em seguida mostramos que este ´e, de fato, o regime em que estes saltos

de emaranhamento s˜ao mais signiﬁcativos.

Antes de tratar o efeito global resultante dos saltos de emaranhamento vamos

mostrar um breve c´alculo que ilustra este mecanismo de cria¸c˜ao de emaranha-

mento assistido pelo ambiente. Primeiramente note que o operador de salto ´e

proporcional `a I

⊗ a (identidade no ´atomo e operador aniquila¸c˜ao no campo).

Este operador ´e local no espa¸co vetorial conjunto ´atomo-campo, portanto n˜ao

pode criar emaranhamento a partir de um estado desemaranhado. Entretanto,

se h´a algum emaranhamento preexistente entre ´atomo e cavidade, ent˜ao o opera-

dor de salto pode aumentar o grau de emaranhamento dependendo da trajet´oria

em quest˜ao. Por exemplo, vamos imaginar que, para uma dada trajet´oria, e um

dado tempo t

, o estado global ´atomo-cavidade ´e

|φ(t

) =





|g(|0 + |1) + |e



|0 +

√

|2



, (4.8)

com emaranhamento, calculado a partir da entropia de von Neumann E(t

) ≈

0.733. Se depois de um tempo dt registrarmos um salto no reservat´orio, ent˜ao

o sistema em t

+ dt evolui para o estado de Bell |φ

 =

√

(|g|0 + |e|1)

para o qual o emaranhamento ´e m´aximo E

= 1. O operador de salto pode ser

visto como parte de uma medida indireta com um sistema auxiliar (neste caso o

reservat´orio como vimos no primeiro cap´ıtulo) seguida de uma medida projetiva

neste mesmo sistema auxiliar. De fato, se incluirmos o reservat´orio, ent˜ao depois

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 63

ï1 ï0.8 ï0.6 ï0.4 ï0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ï1

ï0.8

ï0.6

ï0.4

ï0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

a=0.02g

a=0.2g

a=2g

a=20g

a=200g

Figura 4.7: Um corte da Bola de Bloch em y = 0 com o movimento do vetor de

Bloch atomico para a trajet´oria sem saltos B(x, 0, z).

0 50 100

0.2

0.4

0.6

0.8

20 40 60 80 100

Outcomes

Figura 4.8:

A esquerda: o emaranhamento de uma trajet´oria com γ = 2g e

F = γ/2; `a direita: os respectivos registros de medida indicando tempos em que

acontecem saltos com o tempo em unidades de π/100g com g = 10 kHz.

de um tempo dt podemos escrever o estado global ´atomo-cavidade-reservat´orio

como

|Φ(t

+ dt) =

√

|φ

|1 +

√

|φ

|0, (4.9)

em que p

´e a probabilidade de ocorrer um salto. Portanto, ao monitorar o

ambiente podemos aumentar o emaranhamento entre os subsistemas. De fato,

isto sugere uma maneira probabil´ıstica de preparar estados de Bell.

Vamos agora deﬁnir ∆E(t) = E(t+dt)−E(t) como sendo a varia¸c˜ao do ema-

ranhamento para uma dada trajet´oria em fun¸c˜ao do tempo. Esta quantidade

nos mostra como uma ´unica detec¸c˜ao no reservat´orio pode afetar o emaranha-

mento no sistema em um dado momento da trajet´oria. Por exemplo, na ﬁgura

4.9 mostramos

∆E

NJ,1

(T ) = E



Π|φ

(T )

|Π|φ

(T )|



− E



|φ

(T )

||φ

(T )|



, (4.10)

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 64

0 0.5 1 1.5 2

x 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

6 E

Figura 4.9: A magnitude dos saltos de emaranhamento em fun¸c˜ao de γ (Hz)

para trajet´orias com apenas um salto no tempo T =

3π

, com g = 10 kHz.

(sendo Π =

√

γa) em fun¸c˜ao de γ, o que nos diz a quantidade de emaranha-

mento criada por um ´unico salto (no tempo T ) em fun¸c˜ao da taxa de dissipa¸c˜ao

em um trajet´oria sem saltos em tempos anteriores |φ

(T ). Note que escolhe-

mos T =

3π

, pois nossas simula¸c˜oes mostraram que em torno deste ponto as

detec¸c˜oes geram saltos de emaranhamento signiﬁcativos para a grande maioria

das trajet´orias. A ﬁgura mostra que, quanto maior a dissipa¸c˜ao γ, menor o

salto de emaranhamento, o que nos ajuda a entender a evolu¸c˜ao semicl´assica do

estado atˆomico quando γ  g: o campo da cavidade interage com o ´atomo sem

se emaranhar com o mesmo. Ainda podemos argumentar que, neste regime,

o n´umero de saltos ´e muito grande o que poderia resultar em emaranhamento

signiﬁcativo entre ´atomo e cavidade, entretanto este n˜ao ´e o caso. Por exemplo,

se g = 10 kHz, γ = 200g, e T =

3π

, as trajet´orias mais prov´aveis apresentam

centenas de saltos. Entretanto, a magnitude dos saltos e a quantidade de ema-

ranhamento criado pela evolu¸c˜ao sem saltos decrescem mais r´apido com γ do

que o aumento do n´umero de f´otons detectados, que cresce linearmente com a

taxa de dissipa¸c˜ao. Isto se torna claro quando analisamos o efeito combinado

do n´umero de saltos e o emaranhamento criado por eles.

Para realizar tal an´alise, vamos relembrar a fun¸c˜ao que registra os resultados

de medida O(t) =

dN(t)

(com uma realiza¸c˜ao mostrada em 4.8), em que N ´e o

processo de Poisson. dN (t) ´e zero se n˜ao h´a uma detec¸c˜ao e ´e um se h´a uma

detec¸c˜ao no reservat´orio no intervalo de tempo (t, t + dt]. Ent˜ao temos a fun¸c˜ao

que nos fornece o total de emaranhamento criado (ou destru´ıdo em princ´ıpio)

por detec¸c˜oes de f´otons no ambiente em uma dada trajet´oria

(T ) =



∆E(t)dN(t). (4.11)

Podemos agora tomar a m´edia sobre o emaranhamento criado por saltos E

como mostrado (com simula¸c˜oes) na ﬁgura 4.10. Note que E

´e pequeno para

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 65

g  γ, atinge um m´aximo quando o acoplamento entre cavidade e reservat´orio

´e da mesma ordem do acoplamento entre ´atomo e cavidade (γ ≈ g), e depois de-

cresce at´e zero quando a dissipa¸c˜ao aumenta. Esta curva claramente apresenta

a mesma ressonˆancia estoc´astica que j´a hav´ıamos encontrado para o emaranha-

mento tripartido do sistema e outras propriedades. O emaranhamento assistido

pelo reservat´orio, de fato, costuma apresentar este tipo de ressonˆancia [88]. Para

tornar nosso entendimento sobre esta ressonˆancia um pouco natural basta lem-

brarmos que o n´umero de dete¸c˜oes N(t) cresce linearmente com a dissipa¸c˜ao e

a magnitude dos saltos tem um decaimento tipo exponencial com a dissipa¸c˜ao.

Assim, fazendo uma aproxima¸c˜ao um pouco grosseira E

(T ) ≈ ∆E(t)N(t) ﬁca

claro que E

deve apresentar um m´aximo. Obviamente, para obtermos o valor

exato de E

temos que efetuar toda a integral e e aqui simulamos a mesma.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Figura 4.10: O efeito resultante dos f´otons detectados na intera¸c˜ao entre campo

e ´atomo: E

(T =

3π

) em fun¸c˜ao de γ (Hz).

Agora podemos interpretar a transi¸c˜ao quˆantico-cl´assico em uma perspec-

tiva f´oton-a-f´oton. Para dissipa¸c˜ao pequena, quando nenhum f´oton ´e detectado

no reservat´orio, a evolu¸c˜ao ´e aproximadamente determinada pelo hamiltoniano

Jaynes-Cummings, isto ´e, quase independente do reservat´orio. Cada f´oton per-

manece tempo suﬁciente dentro da cavidade para que haja intera¸c˜ao coerente

com o ´atomo. Quando estes f´otons escapam da cavidade e s˜ao detectados podem

induzir grandes saltos de emaranhamento no sistema, entretanto estes eventos

s˜ao t˜ao raros que o efeito resultante dos saltos ´e neglig´ıvel. No outro regime,

quando γ  g, cada f´oton interage durante um tempo muito curto com o ´atomo,

o que ´e evidenciado pelo alto n´umero de saltos em trajet´orias t´ıpicas. Neste caso

, vimos que a evolu¸c˜ao sem saltos cria muito pouco emaranhamento entre ´atomo

e cavidade, mas induz uma rota¸c˜ao do estado atomico. Tamb´em vimos que,

devido ao seu car´ater local, saltos n˜ao podem emaranhar um estado desema-

ranhado (apenas aumentar emaranhamento pre-existente). Portanto, j´a que a

evolu¸c˜ao sem saltos cria pouco emaranhamento logo os saltos n˜ao aumentam este

emaranhamento signiﬁcativamente. Entretanto, saltos podem colaborar com a

rota¸c˜ao do estado do ´atomo produzindo pequenas mudan¸cas na raz˜ao entre as

popula¸c˜oes dos estados fundamental e excitado do ´atomo. Portato, apesar dos

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 66

saltos serem muito frequentes, o sistema se comporta semiclassicamente, isto ´e,

de acordo com um hamiltoniano efetivo em que o campo quantizado da cavi-

dade bombeia classicamente o ´atomo. A transi¸c˜ao de um regime para o outro

acontece para taxas de dissipa¸c˜ao que correspondem a saltos quˆanticos que s˜ao

tanto frequentes quanto emaranhadores.

B Trajet´orias Cl´assicas e Quˆanticas

Finalmente, vamos mostrar que no limite cl´assico todo observador registra apro-

ximadamente a mesma trajet´oria para o sistema. Vamos, ent˜ao, propor um

experimento ﬁct´ıcio em que metade da luz que ´e emitida pela cavidade ´e de-

tectada diretamente por um observador (S) e a outra metade ´e homodinada

por outro observador (D). O estado de conhecimento de ambos observadores

n˜ao ´e um estado puro em geral, pois um observador n˜ao tem acesso aos resul-

tados de medida do outro observador. Note que, quando diferentes jogadores

observam a mesma bola em jogo tamb´em n˜ao tˆem acesso aos resultados de me-

dida alheios, entretanto, concordam quanto `a trajet´oria da bola. Obviamente,

quando a dissipa¸c˜ao ´e muito pequena todas as trajet´orias mais prov´aveis s˜ao

parecidas, pois a presen¸ca do reservat´orio ´e muito fraca e o sistema ´e pouco

perturbado. A medida que a dissipa¸c˜ao aumenta as trajet´orias mais prov´aveis

come¸cam a apresentar diferentes comportamentos e voltam a ser semelhantes

quando a dissipa¸c˜ao ´e muito grande.

ï1 ï0.5 0 0.5 1

ï1

ï0.8

ï0.6

ï0.4

ï0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

S; a=200g

D; a=200g

S; a=2g

S; a=20g

D; a=2g

D; a=20g

Figura 4.11: As trajet´orias (em especial o vetor de Bloch atˆomico) registradas

por diferentes observadores sendo que um deles monitora o reservat´orio por

homodinagem (D) e o outro por detec¸c˜ao direta (S) da luz emitida pela cavidade.

CAP

ITULO 4. TRANSIC¸

AO QU

ANTICO-CL

ASSICO 67

No nosso experimento ﬁct´ıcio, a luz que sai da cavidade ´e dividida igualmente

em um separador de feixes. Em um dos bra¸cos do separador de feixes temos um

dos observadores monitorando o reservat´orio com detec¸c˜ao direta da luz, este ´e o

observador S, cujo conhecimento segue uma evolu¸c˜ao com saltos quˆanticos. No

outro bra¸co temos o observador D, cujo conhecimento sofre difus˜ao de estado.

As equa¸c˜oes de movimento para o estado de conhecimento dos observadores

s˜ao dadas pelas equa¸c˜oes estoc´asticas de salto e difus˜ao respectivamente, ambas

com 50% de eﬁciˆencia, o que descreve as observa¸c˜oes simultˆaneas. Como mos-

trado na ﬁgura 4.11 no regime da ressonˆancia estoc´astica a trajet´oria com saltos

apresenta grandes discontinuidades induzidas pelas detec¸c˜oes e ´e muito diferente

da trajet´oria com difus˜ao, que ´e muito irregular.

A medida que aumentamos

o acoplamento com o reservat´orio o n´umero de saltos aumenta, entretanto o

tamanho das discontinuidades come¸ca diminuir. Contudo, a trajet´oria difusiva

´e ainda muito irregular e difere consideravelmente da trajet´oria com saltos para

tempos maiores que meio ciclo de Rabi (

). Finalmente, no limite em que o

acoplamento com o ambiente ´e muito forte, as trajet´orias registradas pelos dois

observadores ﬁcam muito parecidas e come¸cam a convergir para a trajet´oria

cl´assica, em que o ´atomo faz um c´ırculo na superf´ıcie de Bloch.

Cap´ıtulo 5

Conclus˜ao

A compreens˜ao de um observador sobre a natureza depende da informa¸c˜ao

contida no estado de conhecimento deste observador. Para obter informa¸c˜ao

sobre qualquer sistema o que um observador faz, em geral, ´e medir ou observar

o ambiente em torno do sistema de interesse, pois parte da informa¸c˜ao sobre o

sistema pode ser encontrada no ambiente. Na escala cl´assica basta medir pe-

quenas fra¸c˜oes do ambiente para que o observador obtenha informa¸c˜ao cl´assica

e tenha uma boa descri¸c˜ao da trajet´oria de um sistema (por exemplo) e para

que outros observadores que medirem outras fra¸c˜oes do ambiente tamb´em re-

gistrem aproximadamente a mesma trajet´oria

[91]. Na escala quˆantica isto

´e muito diferente. No regime quˆantico o ambiente perturba o sistema de tal

forma que diferentes observadores podem registrar trajet´orias muito diferentes

para um mesmo sistema. Isto se deve ao fato de que, para se obter uma quanti-

dade razo´avel de informa¸c˜ao quˆantica sobre um sistema, n˜ao basta medir uma

pequena fra¸c˜ao do ambiente, ´e necess´ario medir o ambiente como um todo. As-

sim um ambiente que, de certa forma, absorve informa¸c˜ao do sistema ´e capaz

de inutilizar (induzindo dissipa¸c˜ao, por exemplo) componentes de um aparato

de processamento de informa¸c˜ao quˆantica e induzir classicalidade em sistemas

quˆanticos.

N´os mostramos que para sistemas que sofrem dissipa¸c˜ao, codiﬁcar qbits em

qtrits preserva coerˆencia e emaranhamento por tempos muito mais longos se

as excita¸c˜oes perdidas para os reservat´orios locais podem ser detectadas por

observadores externos. Portanto, sistemas que tˆem seus reservat´orios em moni-

toramento cont´ınuo s˜ao n˜ao somente adequados, mas tamb´em vantajosos para

alguns protocolos de informa¸c˜ao quˆantica. Al´em disso, o esquema de monitora-

mento ´e ainda melhorado se as partes s˜ao capazes de retro-alimentar localmente

o sistema com a informa¸c˜ao recuperada pela observa¸c˜ao do ambiente. Isto leva,

naturalmente, a uma redu¸c˜ao em recursos para protocolos como repetidores

quˆanticos, teleporta¸c˜ao e corre¸c˜ao de erros, assim como tamb´em aumenta o

tempo de coerˆencia de mem´orias quˆanticas. Tamb´em mostramos uma maneira

´optima de utilizar as informa¸c˜ao que escapa para o reservat´orio para converter

estados puros em estados maximamente emaranhados.

Uma pequena parte da luz reﬂetida por um objeto cl´assico ´e suﬁciente para identiﬁcar

sua posi¸c˜ao sem ambiguidades.

CAP

ITULO 5. CONCLUS

AO 69

Tamb´em mostramos que, monitorar o ambiente pode nos ajudar a compreen-

der melhor o limite cl´assico fornecendo uma explica¸c˜ao para o comportamento

cl´assico das zona de Ramsey de microondas com perspectivas tanto globais

quanto f´oton-a-f´oton. Mostramos que o emaranhamento com o reservat´orio

apresenta uma ressonˆancia estoc´astica com o acoplamento entre sistema e re-

servat´orio e que este ponto de ressonˆancia ´e caracterizado por um valor m´aximo

do emaranhamento tripartido (´atomo-campo-ambiente). Mostramos que em um

monitoramento via saltos quˆanticos os f´otons que escapam da cavidade carregam

informa¸c˜ao que pode identiﬁcar completamente o regime de comportamento do

sistema. De fato, em um trabalho futuro mostramos que o monitoramento via

saltos fornece mais informa¸c˜ao que o monitoramento difusivo e que a adi¸c˜ao de

ru´ıdo cl´assico aos resultados de medida apaga esta informa¸c˜ao sobre o sistema.

Apˆendice: C´alculo

Estoc´astico

I Ru´ıdo Cl´assico

A hip´otese de Langevin (a fun¸c˜ao em quest˜ao ´e independente do ruido) torna

o c´alculo estoc´astico relativamente f´acil, entretanto ela literalmente muda as

regras usuais de c´alculo. Vamos ent˜ao deﬁnir a integra¸c˜ao estoc´astica para

que possamos proceder com os c´alculos de forma consistente e dar uma breve

justiﬁcativa matem´atica para a hip´otese de causalidade de Langevin. Considere

a integral

ζ(t, t

) =



g(t)dξ(t), (5.1)

em que ξ(t) ´e um ru´ıdo cl´assico arbitr´ario e g(t) ´e uma fun¸c˜ao estoc´astica ar-

bitr´aria. Existem duas maneiras usuais de se deﬁnir e interpretar a integral,

uma ´e o c´alculo de Ito e a outra o de Stratonovich. Vamos primeiro aproximar

a integral por uma soma discreta, em que o tempo ´e dividido em pequenos in-

tervalos ∆t = t

i+1

−t

e ∆ξ(t

) = ξ(t

i+1

) −ξ(t

). Na vers˜ao de Ito a fun¸c˜ao g(t)

´e avaliada no in´ıcio de cada intervalo na forma

(I) ζ(t, t

) = lim

∆t→0

∞



i=0

g(t

) [ξ(t

i+1

) − ξ(t

)] , (5.2)

e na vers˜ao de Stratonovich o integrando ´e avaliado na m´edia dos valores que

assume nos extremos do intervalo na forma

(S) ζ(t, t

) = lim

∆t→0

∞



i=0

g(t

i+1

) + g(t

)

[ξ(t

i+1

) − ξ(t

)] . (5.3)

Para ilustrar a diferen¸ca entre os dois m´etodos vamos considerar o exemplo em

que g(t) = ξ(t). Para um ru´ıdo arbitr´ario essa integral no c´alculo de Ito ´e dada

CAP

ITULO 5. CONCLUS

AO 71

por

(I) ζ(t, t

) =



ξ(t)dξ(t) = lim

∆t→0

∞



i=0

ξ(t

)∆ξ(t

)

= lim

∆t→0

∞



i=0



[ξ(t

) + ∆ξ(t

)]

− ξ

i) − [∆ξ(t

)]



= lim

∆t→0

∞



i=0



i+1

) − ξ

) − [∆ξ(t

)]





(t) − ξ

) −



[dξ(t)]



, (5.4)

e no c´alculo de Stratonovich dada por

(S) ζ(t, t

) =



ξ(t)dξ(t) = lim

∆t→0

∞



i=0

ξ(t

i+1

) + ξ(t

)

[ξ(t

i+1

) − ξ(t

)]



(t) − ξ

)



. (5.5)

Note que o resultado da integral (S) poderia ter sido obtido pelas regras usu-

ais de c´alculo, tal que ter´ıamos o diferencial da primitiva dζ(t) = ξ(t)dξ(t). O

mesmo n˜ao seria poss´ıvel para a integral (I) e ter´ıamos uma corre¸c˜ao na diferen-

cial da primitiva dζ(t) =



(t)



−

[dξ(t)]

(aqui n˜ao ﬁzemos uma convers˜ao

de (S) para (I) e sim avaliamos o diferencial de cada integral). O resultado da

integral tamb´em depende de qual o ru´ıdo envolvido. No c´alculo de Ito ava-

liamos o integrando no in´ıcio dos pequenos intervalos de soma o que facilita

avaliar m´edias como g(ξ(t), t)dξ(t) =



g(ξ(t), t)



dξ(t)



e permite a itera¸c˜ao

em pequenos intervalos (dt) das equa¸c˜oes diferenciais de Ito, pois g(ξ(t), t) ´e es-

tatisticamente indepˆendente de dξ(t) por condi¸c˜oes de causalidade. Entretanto

essa vantagem tem um custo de forma que as regras de c´alculo s˜ao alteradas.

Nesta se¸c˜ao mostramos quais s˜ao as altera¸c˜oes necess´arias. Por outro lado o

c´alculo de Stratonovich tamb´em tem suas vantagens, al´em de preservar as re-

gras de calculo pode ser a escolha mais ´obvia e intuitiva na modelagem de alguns

processos f´ısicos, como no caso da retro-alimenta¸c˜ao quˆantica (assim como ve-

remos adiante).

Vamos tratar os processos de Poisson e de Wiener N (t) e W (t) respectiva-

mente e mostrar como converter equa¸c˜oes diferenciais do c´alculo de Stratonovich

para o c´alculo de Ito. Suponha ζ(ξ(t), t) uma fun¸c˜ao arbitr´aria de um ru´ıdo ξ(t),

podemos encontrar a diferencial de Ito para ζ com uma s´erie da forma

dζ =

∂ζ

∂t

dt +



n=1

∂

∂ξ

[dξ]

. (5.6)

Aqui temos que considerar termos em v´arias ordens em dξ, pois a distribui¸c˜ao

de probabilidade de dξ pode apresentar momentos n˜ao nulos em v´arias ordens o

que altera o valor m´edio dζ. Al´em das contribui¸c˜oes para a m´edia as potˆencias

dξ

tamb´em contribuem para as realiza¸c˜oes do processo ζ. Os momentos da

CAP

ITULO 5. CONCLUS

AO 72

distribui¸c˜ao p(ξ) podem ser obtidos por uma fun¸c˜ao geradora de momentos

(S) M

(x) = e

xξ



xξ

p(ξ)dξ



r=0

ξ,r

= ξ



p(ξ)dξ, (5.7)

em que m

ξ,r

´e o momento de ordem r, que pode ser obtido por m

ξ,r

= [d

(x)/dx

x=0

Outra fun¸c˜ao geradora que tamb´em nos fornece informa¸c˜ao ´util ´e a fun¸c˜ao ge-

radora de cumulantes

(x) = ln [M

(x)] =



r=1

ξ,r

, (5.8)

sendo k

ξ,r

o r-´esimo cumulante. Equivalentemente para o incremento da fun¸c˜ao

ξ temos

(S) M

∆ξ

(x) = e

x∆ξ



x∆ξ

p(∆ξ)d(∆ξ)



r=0

∆ξ,r

; m

∆ξ,r

= ∆ξ



∆ξ

p(∆ξ)d(∆ξ).(5.9)

Portanto para o caso de Poisson temos

(x) =



N=0

−N

= exp



N(e

− 1)



(5.10)

(x) = N(e

− 1) = N



r=1

, (5.11)

com todos os cumulantes iguais

N,r

= N , r = 1, 2, 3, ··· . (5.12)

Isso faz com que todos os momentos e cumulantes de p(dN ) sejam iguais, pois

temos

(x) = exp



dN(e

− 1)



= 1 + dN(e

− 1), (5.13)

com

dN,r

= k

dN,r

= dN

= dN ∀ r. (5.14)

Ent˜ao ao tratarmos de diferenciais envolvendo o processo de Poisson temos que

considerar todas a derivadas parciais da fun¸c˜ao de interesse ζ em rela¸c˜ao a N,

com a regra diferencial de Ito dN

= dN, pois todos os momentos de p(dN)

contribuem para o valor m´edio da diferencial dζ. O mesmo n˜ao acontece para

a distribui¸c˜ao gaussiana. No caso gaussiano temos a fun¸c˜ao M-geradora

(x) = e

(t−t

, (5.15)

e K-geradora que termina no segundo termo

(x) = W x +

(t − t

, (5.16)

CAP

ITULO 5. CONCLUS

AO 73

o que faz com que os momentos e cumulantes de p(dW ) de ordem superior a

dois sejam nulos com

dW,1

= k

dW,1

= 0, m

dW,2

= k

dW,2

= dt. (5.17)

Assim n˜ao precisamos considerar termos em ordem superior a (dW )

= dt, pois

essa diferencial est´a associada ao segundo momento de uma gaussiana e todos

os momentos superiores de p(dW ) s˜ao nulos (de ordem superior a dt) e n˜ao

contribuem para a diferencial de uma fun¸c˜ao que dependa de W (t). Podemos

resumir as caracter´ısticas dos processos com as regras diferenciais de Ito. Os

processos obedecem as regras diferenciais

dNdN = dN, dN dt = 0, dtdt = 0

dW dW = dt, dW dt = 0. (5.18)

Assim podemos explicitar a diferencial de uma fun¸c˜ao ζ arbitr´aria do ru´ıdo N(t)

dζ(N (t), t) =

∂ζ

∂t

dt +



exp



∂

∂N



− 1



ζ(t)dN (t), (5.19)

dζ(W (t), t) =



∂ζ

∂t

∂

∂W



dt +

∂ζ

∂W

dW (t), (5.20)

para o ru´ıdo W (t) com os exemplos ζ = e

e ζ = e

, cujas diferenciais s˜ao

dζ = [e − 1]e

dN e dζ = e

[dW +

dt].

Por ﬁm vamos considerar o caso em que ζ obedece uma equa¸c˜ao diferencial

de Stratonovich e encontrar a equivalente equa¸c˜ao de Ito. Suponha que um

fenˆomeno f´ısico pode ser modelado por uma equa¸c˜ao de movimento da forma

(S)

ζ =

dζ(t)

= α(ζ, ξ, t) + β(ζ, ξ, t)

dξ

, (5.21)

cuja solu¸c˜ao em primeira ordem ´e

ζ(t + dt) = e

ζdt

∂

∂ζ

ζ(t) =



n=0



ζdt

∂

∂ζ



ζ(t). (5.22)

Agora aplicando as regras diferenciais de Ito podemos obter a correspondente

equa¸c˜ao diferencial de Ito

ζ(t + dt) = ζ(t) + αdt +



n=1



βdξ

∂

∂ζ



ζ(t), (5.23)

assim temos a convers˜ao (S)→(I) para um ru´ıdo arbitr´ario

(S) dζ = αdt + βdξ

(I) dζ = αdt +



n=1



βdξ

∂

∂ζ



ζ(t). (5.24)

CAP

ITULO 5. CONCLUS

AO 74

Para os processos de Poisson e de Wiener temos as conver¸c˜oes

(S) dζ(N) = αdt + βdN

(I) dζ(N) = αdt +



∂

∂ζ

− 1



ζ(t)dN (5.25)

(S) dζ(W ) = αdt + βdW

(I) dζ(W ) =



α +

∂β

∂ζ



dt + βdW (5.26)

respectivamente.

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