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Davi Michel Valladão
Alocação ótima e medida de risco de um ALM para fundo de
pensão via programação estocástica multi-estágio e bootstrap
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio.
Orientador: Álvaro Veiga
PUC-Rio, março de 2008
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Sumário
1 Introdução 5
1.1. Previdência privada 5
1.2. Modelos de ALM 6
1.3. Programação estocástica 8
1.4. Árvore de decisão 10
2 Revisão da literatura 12
3 Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 19
3.1. Descrição 19
3.2. Função objetivo 21
3.3. Restrições 23
3.3.1. Restrição de balanço 23
3.3.2. Restrição de inventário de ativos 24
3.3.3. Restrição de máximo de alocação em ações (regulatória) 25
3.3.4. Restrição de liquidez 26
4 Geração de cenários 27
4.1. Modelando incertezas através de cenários 27
4.2. Precificação de ativos 28
4.3. Modelo estocástico 30
4.4. Geração de cenários em árvore 38
5 Modelo do passivo 48
5.1. Premissas 48
5.2. Contribuições e benefícios 50
5.3. Geração de cenários em árvore para o passivo 53
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6 Medição e controle do risco de equilíbrio 56
6.1. Risco de equilíbrio e programação estocástica 56
6.2. Medição do risco de equilíbrio via bootstrap 58
6.3. Controle do risco de equilíbrio 61
7 Resultados 62
7.1. Descrição dos exercícios 62
7.2. Exercício 1 64
7.3. Exercício 2 71
7.4. Exercício 3 75
8 Conclusão 81
9 Bibliografia 83
4
Resumo
Davi Michel Valladão. Alocação ótima e medida de risco de um ALM
para fundo de pensão via programação estocástica multi-estágio e
bootstrap. PUC-Rio, 2008. xxxp. Dissertação de Mestrado - Departamento
de Atuária, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Este trabalho desenvolve um modelo de programação estocástica como
aplicação de um ALM e um novo método de medição e controle do risco de
equilíbrio de um fundo de pensão no contexto brasileiro.
ALM pode ser definido como um processo de formulação, implementação,
monitoramento e revisão das estratégias relacionadas com ativos, futuros
investimentos e passivos com a finalidade de atingir os objetivos financeiros,
necessidades de caixa e requisitos de capital (solvência) dado a tolerância ao risco
e outras restrições da organização. Este problema de otimização baseado na
estrutura de árvore de cenários é conhecido como modelo de programação
estocástica multi-estágio.
A carteira ótima de um fundo de pensão é uma das aplicações mais comuns
de um ALM. O principal objetivo financeiro de um fundo de pensão é assegurar o
pagamento de benefícios investindo o dinheiro arrecadado com as contribuições.
Para isto, a política de alocação deve garantir de forma permanente duas
condições: equilíbrio e liquidez – solvências de longo e curto prazo.
Este documento propõe um método de medição e controle do risco de
equilíbrio que leva em consideração o fato de o gestor do fundo reagir à evolução
dos fatores de risco rebalanceando a carteira. Como aproximação deste efeito, os
cenários de rentabilidade do portfolio embutidos na programação estocástica são
utilizados como amostra dos retornos futuros. Estas observações serão sorteadas
por bootstrap para gerar os cenários futuros usados para descontar os fluxos do
desembolso do período seguinte ao final do horizonte de planejamento.
Palavras-chave
ALM, fundos de pensão, programação estocástica, risco de solvência, risco
de equilíbrio, risco de liquidez
Introdução 5
1
Introdução
Este trabalho propõe uma metodologia complexa para a gestão de ativos e
passivos de uma instituição de previdência privada com o foco na obtenção de
uma carteira ótima e uma medição de risco de insolvência da instituição. Para o
melhor entendimento, serão desenvolvidos alguns conceitos básicos essenciais
para utilização deste método.
1.1.
Previdência privada
A previdência privada, também conhecida como complementar, tem como
objetivo oferecer planos que complementem o benefício ou pensão da previdência
pública (oficial). O participante contribui ao longo de sua vida ativa com a
finalidade de acumular recursos para auxiliá-lo em sua aposentadoria através de
pagamentos vitalícios, temporários ou pecúlio (montante pago de uma só vez). A
previdência privada pode ser classificada em aberta ou fechada. A aberta está
disponível a qualquer indivíduo sendo este capaz de escolher os modelos
adequados ao seu perfil e planejar sua aposentaria de acordo com as suas
possibilidades. O PGBL e o VGBL são os produtos mais conhecidos de
previdência aberta no Brasil. A previdência fechada por sua vez é restrita às
pessoas vinculadas a empresa ou associação que oferece o benefício. Este trabalho
considera como objeto de estudo as instituições de previdência privada fechada,
conhecidos como fundos de pensão. O estudo será concentrado nos planos de
benefício definido (BD).
Os planos BD são aqueles que o beneficiário sabe exatamente quanto vai
receber depois de sua aposentadoria, sendo que a contribuição mensal é que varia.
Os fundos de pensão vêm deixando de oferecer estes planos a novos participantes
por conta dos riscos relacionados à dificuldade de previsão dos fatores de risco
envolvidos. Essas instituições ficam sujeitas a gastos maiores com o pagamento
de benefícios caso os participantes vivam mais que o esperado e, além disso,
Introdução 6
correm o risco de mudanças nas condições do mercado impossibilitarem a
obtenção da rentabilidade necessária para cumprir as metas atuariais de suas
carteiras. No entanto, os planos BD residuais têm um percentual significativo, em
alguns casos, a maior parte da carteira dos grandes fundos do país.
A migração para os planos de contribuição definida (CD), ou seja, aqueles
onde o benefício depende das contribuições acumuladas ao longo de tempo, está
rapidamente mitigando os riscos do não cumprimento das obrigações contratadas.
No entanto, sabendo que o risco inerente aos planos BD é significativamente alto
e que os fundos de pensão são entidades que movimentam milhões ou até bilhões
de reais para investir as contribuições de seus participantes, os gestores desses
fundos têm a importante tarefa de decidir em que ativos investir e o quanto de
dinheiro deve ser alocado em cada um desses investimentos. Durante muitos anos
foram desenvolvidas ferramentas que servem como sistemas de apoio à decisão
para esses gestores. Essas ferramentas (ou modelos) costumam ter como resposta
a alocação ótima do fundo dado suas características e restrições. Esses modelos
são conhecidos como “Asset and Liability Management” ou modelos de ALM.
1.2.
Modelos de ALM
A expressão Asset and Liability Management (ALM) designa a prática de
gerir um negócio onde as decisões tomadas consideram ativos e passivos de forma
coordenada. O ALM é uma atividade crucial para qualquer organização que
recebe e investe recursos com o objetivo de cumprir seus requisitos de capital
(solvência) bem como sua demanda de caixa.
ALM pode ser definido como um processo contínuo de formulação,
implementação, monitoramento e revisão das estratégias relacionadas com ativos,
investimentos futuros e passivos para atingir os objetivos financeiros,
necessidades de caixa e requisitos de capital dado a aversão ao risco da
organização e outras restrições.
O ALM pode ter aspectos significativamente diferentes de acordo com o
contexto onde é desenvolvido. Os traders do mercado de derivativos, por
exemplo, consideram ativos e passivos entidades similares. No entanto, um fundo
de pensão corporativo (patrocinado por uma empresa) não pode mudar o seu
Introdução 7
passivo, tendo como conseqüência um ALM totalmente voltado para a política de
investimentos.
Geralmente, os fundos de pensão possuem duas fontes de recursos para
cumprir com suas obrigações ao longo do tempo: a apreciação dos ativos somada
às receitas provenientes dos mesmos, e as contribuições dos participantes e do
patrocinador. É de responsabilidade do gestor do fundo balancear os ativos e os
passivos de forma a cumprir as requisições de capital e garantir o pagamento dos
benefícios prometidos aos participantes. Para isso, a alocação dos ativos deve
garantir permanentemente duas condições: equilíbrio e liquidez – solvência de
longo e curto prazo, respectivamente.
A condição de equilíbrio define que o valor dos ativos deve sempre ser o
suficiente para pagar todos os benefícios até a extinção do plano. Isto significa
que a diferença entre o valor total dos ativos e o valor presente líquido dos
benefícios deve ser positiva. A condição de liquidez por sua vez define que o
programa de investimentos deve fornecer caixa suficiente para pagar em dia os
benefícios e as demais despesas. Isto significa que o caixa deve estar sempre
positivo.
Níveis de capital e caixa são variáveis aleatórias afetadas tanto pela política
de investimentos, uma variável de decisão, quanto pelo valor futuro dos ativos e
passivos, conhecidos como fatores de risco. Então, a medição de risco de um
fundo de pensão será expressa pelas probabilidades de insolvência de longo prazo
e de um caixa negativo. Há muitos métodos e ferramentas criados com o objetivo
de modelar e resolver este ALM sob suas condições de solvência. Estes modelos
encontrados na literatura costumam tratar apenas o equilíbrio para efeitos de
regulação. É muito difícil lidar com essas condições adequadamente devido a
complicações na implementação e a restrições computacionais relacionadas ao
tempo de resolução do problema.
A ferramenta mais moderna para a solução do problema é a utilização de
uma programação estocástica multi-estágio. Este problema de otimização baseia-
se numa decisão sob incerteza (decisão de hedge) estruturada em uma árvore de
cenários que representa o futuro do mercado e da economia como um todo.
Alocações condicionais são escolhidas nos diferentes estágios da estrutura
representando uma carteira dinâmica dependente de seu passado único e das
múltiplas possibilidades do futuro.
Introdução 8
1.3.
Programação estocástica
A programação estocástica (PE) é definida como um modelo de otimização
que incorpora incertezas na modelagem através da inclusão de variáveis aleatórias
com distribuição de probabilidade conhecida. Estas variáveis são conhecidas
como fatores de risco. O objetivo é encontrar uma solução ótima que seja
admissível para todas as possíveis realizações desses fatores. A solução do
problema de PE é balanceada para todos os possíveis cenários, ou seja, todas as
possíveis realizações são incorporadas em um mesmo problema para uma tomada
de decisão sob incerteza.
A classe de modelos de PE considerada a mais importante dentro do ALM
são os modelos de recurso. Um modelo de recurso é aquele em que uma decisão
de primeiro estágio é tomada sem o conhecimento dos valores futuros dos fatores
de risco e, em seguida, uma decisão de recurso é tomada dependendo da
realização obtida. No ALM isso ocorre, por exemplo, quando é escolhida uma
carteira de alto risco que nos piores cenários é incapaz de pagar todos os
benefícios futuros. A decisão de recurso nesse caso é a tomada de um empréstimo
que, por sua vez, terá um custo de captação.
Um problema é considerado de recurso simples quando este apresenta
apenas dois estágios. O primeiro estágio é aquele onde se toma decisões sem saber
o valor dos coeficientes no futuro e o segundo é quando decisões de recurso são
tomadas tendo toda a informação necessária. Para esse tipo de problema temos a
seguinte formulação:
(
)
[
]
0
..
,'.min
≥
=
+=
x
bxAas
xfExcz
θ
Onde a f(x,θ) é a função de segundo estágio dada por:
(
)
(
)
( )
( )
0
...
'.min,
≥
−=
=
θ
θθ
θθ
y
xTyWas
ydxf
Introdução 9
Nessa formulação x representa as decisões de primeiro estágio e y(θ) as
decisões de recurso. A variável y(θ) é dependente do conjunto de valores dos
fatores de risco θ. A matriz A é a matriz de coeficientes determinísticos e W e T
dos estocásticos, sendo x e y variáveis não-negativas.
O problema pode ser reescrito como uma otimização linear única:
0,,,
..
..
..
'..'.min
1
11
1
≥
=++
=+
=
+=
∑
=
Q
QQ
Q
i
ii
yyx
ryWxT
ryWxT
bxAas
ydpxcz
K
OM
Onde ri = realização de θ e pi = P(θ = ri), i = 1, ... , Q
A programação estocástica é linear quando a função objetivo e as restrições
são funções lineares das variáveis do problema. A utilização de uma abordagem
linear viabiliza a solução de problemas de grande porte, em termos de número de
variáveis e restrições.
Outra classificação desses modelos é quanto ao número de estágios. Uma
programação estocástica de dois estágios é representada por um vetor x de solução
inicial a priori e um vetor y(θ) de ajuste a posteriori, onde os acontecimentos
futuros θ já são conhecidos. No caso multi-estágio, os acontecimentos futuros
são revelados progressivamente de forma que haja um vetor de ajuste para cada
novo estágio do problema.
{
}
,,
11 −
=
E
θ
θ
θ
K
(
)
(
)
(
)
{
}
11
,,
−
=
E
yyy
θ
θ
θ
K
,
Onde E é o número de estágios do problema
A melhor forma de representar um problema de PE multi-estágio é através
da estrutura de árvore de decisão.
Introdução 10
1.4.
Árvore de decisão
Uma das atividades mais comuns no mercado financeiro é considerar os
possíveis estados futuros da economia. O preço e a tendência de cada ativo
refletem a avaliação do mercado quanto às realizações futuras possíveis.
Especialistas defendem seus pontos de vista sobre o futuro do mercado e os
investidores alocam seu dinheiro de acordo com o risco e o retorno de cada ativo.
Existem muitas maneiras de estimar cenários que representem o futuro da
economia. Na árvore de decisão, os nós estão relacionados à probabilidade
discreta de eventos específicos. Um conjunto de nós consecutivos e interligados
representa um possível cenário. Para representar o futuro, a estrutura de árvore é
dividida em cenários S = (S
0
, ..., S
T
) de T estágios onde s ∈ S são as possíveis
realizações de todos os fatores de risco envolvidos que ocorrem com
probabilidade p
s
. Uma árvore genérica de decisão com 5 estágios é dada por:
Onde S
1
possui k
1
realizações possíveis dado S
0
= s
0
, S
2
possui k
2
dado S
1
=
s
1
, e assim por diante. Nessa formatação, existem k
1
* k
2
* k
3
* k
4
* k
5
possíveis
cenários (caminhos) futuros que podem ou não ter probabilidades distintas.
Introdução 11
Cada cenário é uma realização possível, porém somente o conjunto de todas
elas é que representa o futuro. Na prática é inviável incluir todos os cenários
possíveis, no entanto um conjunto finito e suficientemente pequeno pode
representar bem os fatores de risco.
A programação estocástica multi-estágio baseada em uma árvore de
possibilidades permite a realocação da carteira em cada estágio da estrutura. A
tomada de decisão é condicional, ou seja, uma solução ótima é obtida para cada
nó da árvore levando em consideração a informação até aquele ponto e o futuro
relativo às suas ramificações.
As equações do problema de otimização são, de uma forma geral, pensadas
como as relações entre dois nós consecutivos e interligados. Pode-se citar como
exemplo de relação, a equação de “Asset Inventory“ (inventário de ativos)
presente nos principais modelos existentes. Esta restrição diz ao problema que o
valor alocado em um ativo no nó B será o valor do mesmo em A, rentabilizado
pelo retorno do mesmo no período mais as respectivas transações.
A modelagem dessas relações bem como a escolha de uma função objetivo
adequada às características de cada fundo é essencial para uma resposta coerente
do programa. No entanto, mesmo com uma boa modelagem, a escolha correta dos
cenários utilizados ainda é crucial para a obtenção de bons resultados. A próxima
seção é responsável pela revisão da literatura dos modelos de ALM dando ênfase
aos artigos que utilizam a programação estocástica como metodologia principal.
Revisão da literatura 12
2
Revisão da literatura
A modelagem moderna de uma carteira ótima foi precedida por outras
técnicas menos complexas que a programação estocástica. Antes da década de 80,
eram utilizadas técnicas de imunização da carteira do fundo, isto é, uma
abordagem atemporal baseada no casamento de durations do passivo e do ativo
que deveria ser refeita a cada instante do processo.
A política de investimentos de um fundo de pensão também podia ser obtida
através de modelos de otimização baseados na média-variância de Markowitz.
Apesar de já considerar incerteza em suas decisões, este modelo ainda era
inadequado em diversas situações devido a sua natureza estática e de período
único.
A motivação para o acelerado desenvolvimento dos modelos ALM com
programação estocástica foi baseada no fato de o principal fator determinante do
desempenho da carteira ser o valor investido em cada classe de ativos, (ações,
renda fixa, caixa,...), ou seja, a política de investimentos. Análises de regressões
de Brinson, Hood e Beebower (1986) testaram e confirmaram a influência desta
política de investimentos sobre o desempenho financeiro de 91 fundos de pensão
de grande porte, comparando com outros fatores relevantes como a escolha
individual de ativos, “market timing” e custos.
Mais a frente, foram desenvolvidos modelos de otimização com recurso
simples. Kallberg, White e Ziemba (1982) publicaram o primeiro importante
trabalho descrevendo um modelo de programação estocástica de recurso simples,
ou seja, de dois estágios. A carteira dinâmica proposta por este modelo pôde
descrever melhor alguns aspectos do problema de um fundo de pensão. Estes
modelos, por sua vez, foram rapidamente evoluídos para os modelos de
programação estocástica multi-estágio que permitiam representar o problema de
forma mais realista.
Desde então, a literatura dos modelos de programação estocástica aplicada à
gestão de ativos e passivos pode ser dividida em três grandes temas: modelos
Revisão da literatura 13
estocásticos para os fatores de risco, geração de cenários em árvore e modelagem
da programação estocástica. Alguns artigos estudam detalhadamente uma única
área enquanto outros abordam todo o processo englobando os três temas. Os
modelos estocásticos são utilizados como base de cálculo para a geração de
cenários em árvore que, por sua vez servem como inputs do modelo de
programação estocástica.
Os artigos dedicados à descrição de modelos estocásticos para a previsão
dos fatores de risco utilizam variações da modelagem econométrica clássica.
Kouwenberg (2001) descreve um modelo VAR usando o retorno contínuo dos
ativos e o crescimento contínuo do salário dos participantes de um fundo de
pensão como variáveis endógenas correlacionadas. A classe de ativos “caixa” e o
salário são modelados como um VAR(1) enquanto que as outras classes (renda
fixa, imóveis e ações) usam a modelagem de um passeio aleatório.
O passeio aleatório de Kouwenberg que descreve os principais
investimentos tem como previsão determinística a média histórica dos retornos.
Todos os cenários estocásticos são gerados em torno desta média. Dessa forma, o
gestor do fundo não possui liberdade de avaliar a sensibilidade da alocação ótima
quanto à variação dos fatores de risco. Além disso, para países emergentes como o
Brasil onde somente os anos mais recentes refletem a evolução de uma economia
estável, esse modelo é bastante inadequado.
É possível adaptar um modelo VAR para a economia brasileira utilizando
como base o artigo Minella (2003) cujo foco é a análise da política monetária para
diferentes períodos. No entanto, a utilização deste modelo para previsão
macroeconômica não é muito eficiente. As previsões de indicadores
macroeconômicos como juros e inflação baseadas somente em dados passados
não refletiriam o futuro da economia. Uma previsão equivocada da rentabilidade
dos títulos levaria a uma alocação ótima sem sentido.
Uma alternativa quando os dados passados não são suficientes para
representar o futuro da economia é a utilização de modelos que determinam as
relações de longo prazo entre as variáveis macroeconômicas. O modelo VEC de
Koivu, Pennanen e Ranne (2004) aplicado para a Finlândia permite imputar as
médias de longo prazo da taxa básica de juros, do spread longo-curto da estrutura
a termo, o retorno de dividendos (ações) e aluguéis (imóveis). O segundo modelo,
Aderson, Hoffman e Rasche (1998) foi proposto para a economia americana
Revisão da literatura 14
descreve como relações de longo prazo a equação de demanda por moeda, a
relação de Fisher e o spread longo-curto da estrutura a termo da taxa de juros.
A simplicidade do modelo de reversão à média descrito por Dert (1998) é
uma boa opção para o caso brasileiro. Uma quantidade menor de parâmetros para
estimação e a possibilidade de imputar as médias de convergências dos retornos
permite um melhor ajuste do modelo mantendo o seu propósito de retratar a
realidade futura da economia segundo a visão do gestor.
O modelo de Dert usa como variáveis endógenas o retorno contínuo das
classes de ativos (ações, imóveis, renda fixa e caixa) além do crescimento
contínuo da inflação, do produto e dos salários dos participantes do fundo. As
médias dos retornos dos ativos são tais que a maior rentabilidade média é das
ações seguido por imóveis, renda fixa e caixa. As volatilidades, por sua vez,
apresentam a mesma ordem decrescente havendo apenas uma única mudança: a
renda fixa é mais volátil que os imóveis.
O segundo tema, ou seja, a geração de cenários em árvore, é descrito por
dois papers principais: Gülpinar, Rustem e Settergren (2004) e Kouwenberg
(2001). O primeiro demonstra detalhadamente como estruturar os cenários em
árvore de forma a representar o futuro das variáveis econômicas e atuariais em
estudo. Já o segundo, além de descrever um método eficiente de geração de
cenários em árvore, aborda os outros dois temas da literatura e suas interrelações.
O primeiro artigo se divide em três abordagens de geração: por simulação,
otimização e híbrida (simulação/otimização). Na primeira abordagem, cenários
dos preços dos ativos, gerados aleatoriamente através do modelo estocástico
escolhido, são agrupados nos chamados clusters. O centróide de cada cluster,
selecionado como o cenário mais próximo de seu centro, dá origem aos nós da
árvore. Essa abordagem pode ser feita por simulação seqüencial ou paralela. Na
segunda, a geração de cenários em árvore por otimização, os cenários de preços e
suas probabilidades são escolhidos de forma a minimizar o quadrado da diferença
entre propriedades estatísticas de cada estágio da árvore e do modelo estocástico
original. Seqüencias de otimizações não-lineares ou uma única otimização não-
linear para toda a estrutura são as duas categorias desta abordagem. Por fim, a
geração da árvore de cenários híbrida (simulação / otimização), apresenta uma
redução do esforço computacional com relação à segunda. A obtenção dos preços
é feita por simulação e as probabilidades são obtidas pela otimização.
Revisão da literatura 15
Os procedimentos são testados com dados históricos (backtesting)
utilizando o software de otimização foliage para escolha de portfólio (Gülpinar
2002). A segunda abordagem usando uma otimização única é, teoricamente, a
melhor forma de representar os fatores de risco. Porém o esforço computacional
não demonstra ganhos na comparação de resultados do backtesting com as outras
abordagens.
O segundo paper, Kouwenberg (2001), além de apresentar um modelo
VAR para os fatores de risco e uma modelagem de programação estocástica,
também descreve uma metodologia muito eficaz na geração de cenários em
árvore. O “Ajusted Random Sampling” é baseado numa geração aleatória dos
cenários ajustando seus principais momentos com o modelo estatístico original. O
uso de variáveis antitéticas permite o ajuste de todos os momentos centrais
ímpares da árvore com o modelo econométrico para os fatores de risco. Com a
média e a simetria ajustadas, os ramos condicionais da árvore de possibilidades
sofrem uma transformação na variância para completar o ajuste com a distribuição
original.
A facilidade de implementação e o menor esforço computacional do
modelo de Kouwenberg fazem desse método uma forma eficiente de geração de
cenários estruturados em árvore usando um modelo econométrico simples para os
fatores de risco.
Os artigos dedicados ao terceiro e último tema, a descrição dos modelos de
programação estocástica, apresentam algumas características que diferenciam o
tipo de modelagem adotada: o horizonte de planejamento, a função objetivo, as
variáveis de decisão e as restrições.
A escolha do horizonte de planejamento depende da aplicação do modelo
ALM. Horizonte de médio prazo se relaciona a aplicações para bancos, como
Kusy e Ziemba (1986), ou seguradoras, como Cariño e Ziemba (1998). Horizontes
de longo prazo, por sua vez, são caracterizados por modelos para fundos de
pensão como Dert (1998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000), Kouwenberg (2001)
e Koivu, Pennanen e Ranne (2004).
A função objetivo apresenta duas linhas claras de modelagem. A primeira,
Kusy e Ziemba (1986), Cariño e Ziemba (1998) e Koivu, Pennanen e Ranne
(2004) maximizam a riqueza (ou lucro) esperada ao final do horizonte.
Especificamente para os fundos de pensão, instituições sem fins lucrativos,
Revisão da literatura 16
maximizar o lucro é equivalente a minimizar as contribuições pagas. A
minimização do conhecido “cost of funding” é adotada por Dert (1998), Drijver,
Haneveld e Vlerk (2000) e Kouwenberg (2001). As duas linhas de modelagem da
função objetivo têm como variáveis de decisão a política de investimento dos
ativos, no entanto para a segunda linha são acrescidas variáveis relacionadas à
política de contribuições do fundo.
Duas restrições básicas são usadas em todos os modelos ALM via
programação estocástica. A primeira delas trata da conservação de riqueza de cada
investimento, ou seja, o valor de cada investimento cresce com sua rentabilidade e
varia de acordo com as transações realizadas. A segunda é o balanço de caixa, isto
é, a soma das entradas de caixa (venda de ativos, contribuições, dividendos,...)
deve ser igual à soma das saídas (compra de ativos, benefícios, custos de
transação,...).
Limites na alocação e na política de contribuições também são bastante
comuns nos artigos da literatura. Além de adotarem estes limites, Dert (1998),
Drijver, Haneveld e Vlerk (2000), Kouwenberg (2001) e Koivu, Pennanen e
Ranne (2004) utilizam equações para modelar o estado de solvência da instituição.
Dert (1998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000) utilizam uma “chance constraint”
para impor um limite máximo de probabilidade de insolvência. Sendo assim, o
problema é transformado numa programação estocástica multi-estágio mista
inteira, isto é, variáveis binárias são utilizadas para contar os cenários que
caracterizam insolvência e uma restrição exige que um percentual máximo desses
cenários insolventes.
Duas críticas podem ser feitas aos trabalhos citados no parágrafo anterior.
Primeiramente, o esforço computacional de uma programação inteira é muito
maior, além de só permitir a escolha de um limite superior para a probabilidade de
insolvência. A segunda diz respeito ao cálculo da reserva técnica (RT). Dert
(1998), Drijver, Haneveld e Vlerk (2000) e Kouwenberg (2001) fazem esse
cálculo usando a taxa de desconto atuarial determinada por lei. KPR, por sua vez,
usam a denominada “technical interest rate” calculada como uma proporção das
rentabilidades dos ativos dependente do nível de solvência do fundo. Esta
proporção é estimada externamente já que o nível de solvência é uma variável de
decisão obtida a posteriori. Todas essas modelagens não utilizam a taxa de
desconto adequada.
Revisão da literatura 17
Segundo Veiga (2003), o cálculo da reserva técnica deve considerar a
rentabilidade de carteira para representar corretamente o custo de oportunidade do
fundo. A escolha de uma taxa de desconto fixa independente da política de
investimentos pode ser interpretada como uma aproximação do portfólio por um
único contrato de renda fixa sem risco. A legislação brasileira determina que a
rentabilidade deste contrato deva ser a variação anual do índice de inflação IGP-M
mais 6%. Esta aproximação é adotada devido à dificuldade de se obter a
rentabilidade da carteira já que esta depende da reserva técnica e vice versa.
Outra crítica importante aos trabalhos citados é a ausência de uma medida
do risco de equilíbrio (insolvência) dos fundos de pensão. Nesses artigos, o risco
de insolvência pode ser aproximado pela probabilidade de uma riqueza final
negativa ou por um patrimônio menor que a RT calculada com uma taxa de
desconto fixa. Entretanto, as duas formas não representam a verdadeira
probabilidade de insolvência do fundo.
Neste trabalho é proposto um modelo de programação estocástica multi-
estágio para a Gestão de Ativos de Passivos (ALM) de um fundo de pensão com
plano BD, além de desenvolver um novo método de medição e controle do risco
de equilíbrio no contexto brasileiro. O modelo proposto é capaz de encontrar
política de investimentos estratégica para fundos de pensão que maximiza a sua
riqueza garantindo o cumprimento de suas obrigações e penalizando possíveis
cenários que não cumpram o requisito de capital ao longo do horizonte. O ponto
de partida deste modelo é a situação atuarial e financeira atual do fundo,
caracterizada pela alocação inicial dos ativos, prêmios, reservas, contribuições e
benefícios no início do período, além das características de cada participante.
Serão considerados limites de alocação, custos de transação e restrições de
liquidez além das equações usuais de conservação de riqueza e balanço de caixa.
São consideradas três principais fontes de incerteza ou fatores de risco nessa
abordagem:
• O desenvolvimento da vida e carreira de cada participante, influenciando
também o valor dos fluxos atuariais reais
• A evolução temporal do passivo nominal, ou seja, benefícios menos
contribuições, corrigida pela inflação
• As rentabilidades de cada classe de ativos considerada como possível
investimento
Revisão da literatura 18
O método de medição do risco de equilíbrio aqui proposto leva em
consideração o fato de o gestor do fundo de pensão reagir à evolução dos fatores
de risco rearranjando sua carteira. Como uma aproximação deste efeito, cenários
dos retornos financeiros da carteira embutidos na programação estocástica serão
utilizados como uma amostra dos retornos futuros além do horizonte de
planejamento. Os retornos futuros serão obtidos com a técnica de bootstrapp
utilizando as observações da amostra obtida.
Será desenvolvido também um modelo financeiro para o plano, incluindo
um modelo para os fluxos dos benefícios líquidos e um modelo estocástico para
os retornos dos ativos. As classes de ativos escolhidas são ações, imóveis, renda
fixa e caixa. As rentabilidades dessas classes serão modeladas por um “Vector
Auto-Regressive Model” (VAR) de reversão a média (baseado em Dert - 1998)
que inclui variáveis macroeconômicas como produto e inflação. Um método para
a geração de cenários em árvore baseado em Kouwenberg (2001) também será
desenvolvido.
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 19
3
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio
3.1.
Descrição
O modelo desenvolvido neste artigo utiliza uma programação linear
estocástica multi-estágio para a gestão de ativos e passivos de fundos de pensão
brasileiros, em especial os de grande porte. São contempladas 4 classes de ativos:
1- ações, 2- imóveis, 3- renda fixa e 4- caixa. São incluídas considerações de
liquidez, custos de transação, empréstimos, além das restrições de balanço, de
inventário de ativos e de regulação (relativas à legislação brasileira dos fundos de
pensão).
A restrição de equilíbrio é incluída no trabalho de forma inovadora. Os
fluxos reais do passivo (até a extinção do fundo) são descontados pela
rentabilidade da carteira, ou seja, considerando o real custo de oportunidade da
instituição. A distribuição de probabilidades desta rentabilidade é aproximada
pelas observações contidas no horizonte de planejamento. Para efeitos de
comparação, calcula-se também a reserva técnica com a taxa de desconto
determinada pela legislação brasileira (IGP-M+6%) - como é feito nos artigos da
literatura.
A definição da notação, das variáveis e dos parâmetros é o próximo passo
para a descrição do modelo de PE. Define-se a notação N
t
como o número de nós
no estágio t ∈ {1,..., T}, e n
t
∈ {1,..., N
t
} representando um nó qualquer no
mesmo instante. As variáveis do problema são maiores ou iguais a zero e podem
ser classificadas como variáveis de decisão ou variáveis de estado. As variáveis
de decisão são as escolhidas pelo otimizador de forma a maximizar a função
objetivo. As variáveis de estado são apenas conseqüências dos valores escolhidos
para as de decisão. Estas duas variáveis definem por completo a situação o
portfólio em um determinado estágio da árvore de decisão. Os parâmetros
utilizados podem ser fixos ou variantes com a posição relativa na árvore. Os fixos
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 20
são conhecidos como parâmetros determinísticos e os variantes como parâmetros
estocásticos ou fatores de risco.
Definição das variáveis de decisão
• c
i
(n
t
) = valor (R$) comprado do ativo i no nó n
t
• v
i
(n
t
) = valor (R$) vendido do ativo i no nó n
t
• e(n
t
) = empréstimo (R$) tomado no nó n
t
Definição das variáveis de estado
• a
i
(n
t
) = valor (R$) alocado no ativo i no nó n
t
• y(n
T
) = max [0, riqueza no nó n
T
menos requisito de capital]
• w(n
T
) = max [0, requisito de capital menos riqueza no nó n
T
]
Definição dos parâmetros determinísticos
• pe = penalização por uma riqueza final menor que o requisito de capital
• bo = bonificação por uma riqueza final maior que o requisito de capital
• sp = spread da taxa de empréstimo sobre o juros
• ma = percentual máximo de ações no portfólio
• ct = custo de transação percentual
• cc
i
= capacidade máxima de compra do ativo i
• cv
i
= capacidade máxima de venda do ativo i
• a
i
(inicial) = valor (R$) alocado no ativo i antes da primeira decisão
• L
*
= requisito de capital
Definição dos parâmetros estocásticos ou fatores de risco
• l(n
t
) = fluxo de caixa nominal do passivo no nó n
t
• r
i
(n
t
) = retorno do ativo i entre os nós interligados n
t-1
e n
t
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 21
3.2.
Função objetivo
Existem duas formas de se representar a função objetivo de um fundo de
pensão. A primeira delas é minimizar as contribuições do participante e do
patrocinador, e a segunda é maximizar a utilidade esperada do patrimônio do
fundo ao final do horizonte de estudos mantendo a política de contribuição
constante. Intuitivamente pode-se dizer que estas são equivalentes, pois quanto
mais dinheiro sobrando maiores seriam as reduções nas contribuições. Foi
escolhida para esse trabalho a segunda opção já que, na prática, a política de
contribuições não é uma variável que tenha flexibilidade de ser alterada pelo
gestor a cada período.
Sendo assim, a função objetivo do modelo é maximizar a utilidade esperada
da riqueza do fundo ao final do horizonte de estudos. Sabendo que os fundos de
pensão são instituições sem fins lucrativos, fica claro que a escolha de uma função
utilidade côncava que represente um indivíduo avesso ao risco é a mais adequada.
Devido a algoritmos de solução mais eficientes para o problema de otimização
com muitas restrições e variáveis, e à facilidade de interpretação dos parâmetros,
foi escolhida uma função utilidade linear. A utilidade do fundo relacionada à
riqueza em um nó terminal n
T
é dada por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
TTTTT
nwpenybonwnyunriquezau ..,
−
=
=
Sabendo que y(n
T
) e w(n
T
) representam respectivamente o quanto a riqueza
final excede o requisito de capital (L
*
) e o quanto falta para atingir o mesmo valor
(L
*
), é possível afirmar que a aversão ao risco do fundo de pensão é caracterizada
pela escolha dos parâmetros pe e bo. A função de utilidade será côncava se pe >
bo, pois assim o portfólio escolhido é menos arriscado evitando prejuízos nos
cenários mais pessimistas. A figura abaixo exemplifica uma utilidade linear de um
indivíduo avesso ao risco para um requisito de capital nulo (L
*
= 0).
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 22
O valor da função objetivo é a utilidade esperada da riqueza ao final do
horizonte de planejamento, ou seja, é a média das utilidades de todos os nós
terminais.
(
)
[
]
[
]
wpeyboEriquezauE ..
−
=
Logo,
( ) ( )
[ ]
∑
=
−=
N
n
TTn
T
T
nwpenybopz
1
...max
Onde
T
n
p
é a probabilidade de ocorrência do nó terminal n
T
Neste trabalho os cenários são considerados equiprováveis e os parâmetros
pe e bo são, respectivamente, 1 e 2. Sendo assim, temos que
pp
T
n
=
e a função
objetivo passa a ser:
( ) ( )
[ ]
∑
=
−=
N
n
TT
T
nwnypz
1
.2.max
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 23
3.3.
Restrições
As relações importantes entre variáveis e parâmetros são expressas pelas
restrições. Foram considerados quatro tipos de restrições para o modelo:
• Restrição de balanço
• Restrição de inventário de ativos
• Restrição de máximo de alocação em ações (regulatória)
• Restrição de liquidez
3.3.1.
Restrição de balanço
Restrição de balanço para os primeiros estágios
A restrição de balanço determina de forma coerente a evolução da riqueza
do fundo ao longo do tempo. O valor total dos ativos no instante t+1 será o valor
total em t rentabilizado e, em seguida, subtraído das obrigações líquidas do fundo.
As classes de ativos consideradas são: 1- ações; 2- imóveis; 3- renda fixa; 4-
caixa. A restrição é expressa pela equação abaixo:
( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( ) { }
2,,1,0,,,
..1.1
1
1
1
4
1
11131
4
1
1
−∈∀∀=
+−−++−++
+
=
+
=
++++
=
+
∑
∑∑
Ttterligadosinnnna
nvncctnlnenrspnenanr
tt
A
i
ti
i
tititttt
i
titi
K
O modelo considera que os fluxos de caixa do passivo são acumulados no
final de cada período enquanto que os empréstimos são tomados no início e pagos
no final. A figura abaixo ilustra a ordem cronológica dos desembolsos e outros
fatos relevantes.
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 24
Restrição de balanço para o último estágio
No último estágio a restrição de balanço apresenta uma modificação que
define o superávit ou déficit ao final do horizonte. Se o valor dos ativos
rentabilizado e descontado das obrigações do penúltimo período é positivo
caracteriza-se um superávit, caso contrário um déficit.
( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
terligadosinnnnwny
nlnenrspnenanr
TTTT
TTTT
i
TiTi
,,
.1.1
1
113
4
1
1
−
−−
=
−
∀−=
−++−++
∑
Se o lado esquerdo da equação for positivo logo o valor de y(n
T
) será maior
que zero w(n
T
) será nula. Da mesma forma se o lado esquerdo for negativo w(n
T
)
será positiva e y(n
T
) será igual a zero.
]
3.3.2.
Restrição de inventário de ativos
A restrição de inventário de ativos especifica que o valor investido em um
ativo em t+1 será o valor investido em t rentabilizado, somado as compras e
subtraído as vendas do mesmo ativo em t+1. Esta restrição garante a conservação
da riqueza de cada ativo individual e a coerência do valor alocado com as
transações efetuadas.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{ }
2,...,0;32,1
,.1
1111
−∈∀=∀
−++=
++++
Ttei
nvncnanrna
tititititi
É importante destacar que a classe de ativos “4- caixa” não é contemplada
por essa equação pela ausência de custos de transação. Além disso, não faria
sentido comprar ou vender “caixa”.
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 25
Nesta equação é de fácil percepção que a escolha do valor das variáveis de
decisão c
i
(n
t+1
) e v
i
(n
t+1
) define completamente a variável de estado a
i
(n
t+1
), já que
a
i
(n
t
) do período anterior e as rentabilidades são conhecidos. Percebe-se também a
necessidade de uma restrição de inventário de ativos para a primeira decisão.
(
)
(
)
(
)
(
)
32,1,
000
einvncinicialana
iiii
=∀−=−
Nessa equação não é necessário a rentabilidade do ativo já que as alocações
a
i
(n
0
) e a
i
(inicial) estão praticamente no mesmo instante de tempo como pode ser
visto na representação abaixo:
3.3.3.
Restrição de máximo de alocação em ações (regulatória)
A legislação brasileira determina que no máximo 50% da carteira de um
fundo de pensão deve ser investimento em renda variável, com exceções aos casos
de ações “hedgiadas” por opções. Para efeitos de simplificação não serão
consideradas opções e conseqüentemente o limite de ma = 50% será rígido.
( ) ( )
Ttnamana
i
tit
,...,0,.
4
1
1
=∀≤
∑
=
Modelo da Programação Estocástica Multi-Estágio 26
3.3.4.
Restrição de liquidez
A restrição de liquidez foi incluída para evitar que o gestor do fundo possa
comprar ou vender uma quantidade de títulos maior que a capacidade do mercado.
Esta inovação é de suma importância no contexto brasileiro já que os grandes
fundos do país conseguem movimentar o mercado de preços com suas posições
em carteira. As equações definem que o valor da variável de decisão de compra
(venda) deve ser menor ou igual à capacidade de compra (venda) do mercado. Os
parâmetros de capacidade de compra cc
i
e o de venda cv
i
não são observáveis
diretamente, sendo assim escolhidos de acordo com a opinião e a sensibilidade do
gestor do fundo.
(
)
( )
32,1,,...,0,
32,1,,...,0,
eiTtcvnv
eiTtccnc
iti
iti
=∀=∀≤
=
∀
=
∀
≤
Geração de cenários 27
4
Geração de cenários
4.1.
Modelando incertezas através de cenários
Um dos principais problemas de um ALM é a modelagem da incerteza sobre
os valores futuros dos fatores de risco. Isso é feito através da geração de um
número finito de cenários que representam de forma coerente as relações entre as
variáveis econômicas e atuariais ao longo do horizonte de estudo. Sendo assim,
um instante futuro é representado por um “estado da natureza” e este definido por
um conjunto de valores como os retornos dos ativos, a inflação, os fluxos de
desembolso do passivo, entre outros. Estes estados são computados de forma
independente sendo imputados no modelo de otimização da carteira. Um caminho
de estados consecutivos do início ao final do horizonte de estudo define um
cenário.
Uma grande quantidade de cenários é utilizada para obter uma representação
razoável de um futuro incerto. O modelo presume que o tomador de decisão não
sabe a priori qual desses cenários realmente se realizará, preservando assim a
incerteza do processo decisório. A estrutura de árvore de possibilidades é a melhor
escolha para representar esses caminhos, pois assim os estados da natureza são
representados por nós e as informações sobre as variáveis de interesse se revelam
gradativamente ao longo do tempo. No instante t = 0 existe um único estado que
pode ser observado, ou seja, os valores atuais dos fatores de risco. No instante
seguinte novos nós são criados dado a existência de seu antecessor. De forma
geral pode-se dizer que para cada nó existem alguns estados sucessores
equiprováveis e apenas um antecessor, representando, respectivamente, a
incerteza do ambiente futuro e o conhecimento de um passado único.
Geração de cenários 28
4.2.
Precificação de ativos
Os modelos de ALM têm como objetivo a escolha de um portfólio
estratégico onde os recursos são alocados em classes de ativos. As rentabilidades
de cada classe de ativos bem como as contas do passivo são funções de variáveis
econômicas que, por sua vez, tornam-se essenciais para a escolha do portfólio
ótimo de qualquer instituição financeira.
O retorno da classe 1- Ações será a variação percentual de uma cesta com
proporções fixas de ações conhecida com Ibovespa. Isto corresponde a comprar
títulos das empresas que melhor representam o índice. Este tipo de aproximação
considera que o gestor deva rebalancear a carteira para manter as proporções
originais de cada ação. Esta rentabilidade é calculada da seguinte maneira:
(
)
( )
1)(
1
1
−=
−t
t
t
IBOVESPAíndice
IBOVESPAíndice
nr
O retorno dos Imóveis (classe de ativos nº 2) normalmente é modelado por
duas componentes: a rentabilidade 2a de compra e venda, e 2b dos aluguéis. A
rentabilidade da componente de compra e venda é a valorização do imóvel no
mercado. É obtida da seguinte forma:
(
)
( )
1)(
1
2
−=
−t
t
ta
imóveldopreço
imóveldopreço
nr
Enquanto que o retorno relativo aos aluguéis é relacionado com a entrada de
caixa dos imóveis arrendados:
(
)
( )
t
t
tb
imóveldopreço
alugueldomédiovalor
nr =)(
2
A soma das duas componentes r
2a
(n
t
) e r
2b
(n
t
) compõe a rentabilidade da
classe de ativos imobiliária.
Geração de cenários 29
)()()(
222 tbtat
nrnrnr +=
A rentabilidade desta classe de ativos pode ser modelada somente pela
componente de aluguel, já que esta representa a maior parte do retorno no
investimento. No entanto, no Brasil, não existe um índice representativo dos
preços dos imóveis tornando impossível o cálculo preciso desta rentabilidade.
Para aproximar o retorno dos aluguéis, é utilizada a variação percentual da série
da atividade de aluguéis da pesquisa do PIB.
(
)
( )
1)()(
1
22
−≈≈
−
t
t
tbt
PIBdoaluguéisdeatividade
PIBdoaluguéisdeatividade
nrnr
O retorno dos investimentos da classe 3, Renda fixa, será aproximado pelo
custo mínimo do dinheiro no mercado, o CDI, mais um spread fixo escolhido de
acordo com a sensibilidade do gestor da carteira. A média do spread entre a taxa
longa a curta da estrutura a termo da taxa de juros é uma possível escolha para
esse parâmetro. O exemplo que será exposto utilizará um spread de 0,5%.
spreadCDInr
tt
+=)(
3
O retorno da classe 5, Caixa, pode ser considerado como a rentabilidade
mensal de depósitos bancários de curto prazo modelados pelo CDI, o “custo
mínimo do dinheiro”.
tt
CDInr =)(
4
Geração de cenários 30
4.3.
Modelo estocástico
Seguindo a metodologia de Dert (1998), as séries históricas dos fatores de
risco são modeladas por um Vetor Auto-Regressivo (VAR) com reversão à média.
A média por sua vez será imputada externamente, pois dessa forma o gestor o
fundo terá uma maior sensibilidade com relação à resposta do modelo à variação
dos fatores de risco, além de permitir análises econômicas externas para a
determinação de tais parâmetros. O modelo utilizado apresenta a formulação onde
o tradicional índice t (utiliza aqui para representar os estágios) é substituído por q:
)N(0,~ ,+) -(X+=X
qq1-qq
Σ
εεµαµ
Onde
=
q
q
q
q
q
q
x
x
x
x
x
X
5
4
3
2
1
e
(
)
econômicariávelvay
jyx
jq
jqjq
=
=
∀
+
=
5,...,1,1ln
As variáveis econômicas y
iq
são dadas por:
(
)
( )
( )
( )
( )
−
=
Ibovespadoriaçãova
CDI
MIGPdoriaçãova
aluguéisdosriaçãova
PIBdoocresciment
y
iq
%
%
%
%
%
A estimação dos parâmetros α e Σ
é feita com dados passados através
método de mínimos quadrados ordinários, enquanto que a média µ é determinada
externamente. Os dados da amostra têm freqüência trimestral começando em abril
de 1996 e terminando em abril de 2007.
Geração de cenários 31
Foi acrescentada uma variável dummy D
q
dicotômica para modelar os
efeitos da alta dos juros do início da amostra até o terceiro trimestre de 1999. Essa
variável assume o valor 1 neste período de alta e 0 nos demais.
)N(0,~ ,D+) -(X+=X
qqq1-qq
Σ+
εεµαµ
O modelo VAR considera a premissa que as variáveis utilizadas devam ser
estacionárias. Sendo assim, são feitos testes de raiz unitária ADF de todas as
componentes do vetor X
q
.
Teste Augmented Dickey-Fuller
Hipótese nula: x
i
tem uma raiz unitária
Estatística t p-valor* Exógenas
x
1q
5,44323 0,00% Nenhuma
x
2q
4,40789 0,00% Nenhuma
x
3q
3,01184 0,34% Nenhuma
x
4q
3,41062 6,49% Intercepto e tendência linear
x
5q
5,73548 0,00% Nenhuma
*MacKinnon (1996) p-valores unilaterais.
A única variável com p-valor acima de 5% é a relacionada ao CDI. Podemos
considerar um nível de significância de 10% e ratificar a estacionariedade desta
série com alguns argumentos econômicos. O início da amostra é de um período
conturbado com algumas crises internacionais relevantes e alguns resquícios do
processo de hiperinflação brasileiro (ver figura abaixo). Em 1996, os juros ainda
eram altos devido à reação do banco central a hiperinflação no início do plano real
em 1994. As crises da Ásia e da Rússia, em 97 e 98 respectivamente, seguidas da
mudança do regime de câmbio fixo para flutuante em 99, também respondem por
novas altas na taxa básica de juros, e conseqüentemente no CDI. Em 2002, mais
um sobressalto nos juros é marcado pela crise eleitoral. Considerando que para um
futuro em estado de equilíbrio, a série do CDI será estacionária retornando a sua
média de longo prazo, já que choques na taxa básica da economia não são
permanentes.
Geração de cenários 32
.10
.15
.20
.25
.30
.35
.40
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06
CDI
tempo
A estimação do modelo depende da escolha do vetor de médias µ. Sabendo
que y ≈ ln (1+y) para valores pequenos de y, são escolhidas as médias
representando diretamente os valores das variáveis econômicas y
jq
. Para efeitos de
um exemplo ilustrativo o vetor de médias é ajustado para que o retorno médio das
ações seja o mais alto seguido pelos imóveis, títulos de renda fixa e, por último,
caixa. As taxas de crescimento do PIB e da inflação escolhidas são valores típicos
utilizados no mercado brasileiro: µ = [4% 11% 4% 10% 12%]’
As defasagens do modelo de reversão à média é ratificada pelo critério de
informação de Schwarz.
VAR Lag Order Selection Criteria
Endogenous variables: X1-0.04 X2-0.11 X3-0.04 X4-0.10 X5-0.14
Exogenous variables: DUMMY1
Date: 01/16/08 Time: 18:03
Sample: 1996Q2 2007Q2
Included observations: 41
Lag LogL LR FPE AIC SC HQ
0 249.0769 NA 4.64e-12 -11.90619 -11.69722 -11.83009
1 311.3638 106.3434 7.61e-13 -13.72506
-12.47123* -13.26849*
2 338.6265 39.89674* 7.21e-13* -13.83544 -11.53675 -12.99838
3 355.7474 20.87909 1.23e-12 -13.45109 -10.10754 -12.23355
4 393.1773 36.51696 9.22e-13 -14.05743* -9.669012 -12.45941
* indicates lag order selected by the criterion
LR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level)
FPE: Final prediction error
AIC: Akaike information criterion
SC: Schwarz information criterion
HQ: Hannan-Quinn information criterion
Geração de cenários 33
Testes de normalidade, correlograma, e LM para autocorrelação dos
resíduos são feitos para verificar se o modelo está ou não ajustado.
Nos testes de normalidade, é aceita a hipótese nula de que os resíduos são
uma normal multivariada, para um nível de significância de 10%.
VAR Residual Normality Tests
Orthogonalization: Cholesky (Lutkepohl)
H0: residuals are multivariate normal
Date: 01/16/08 Time: 18:02
Sample: 1996Q2 2007Q2
Included observations: 44
Component Skewness Chi-sq df Prob.
1 0.264753 0.514023 1 0.4734
2 -0.258253 0.489095 1 0.4843
3 0.373866 1.025021 1 0.3113
4 0.601359 2.651970 1 0.1034
5 -0.061608 0.027834 1 0.8675
Joint 4.707943 5 0.4526
Component
Kurtosis
Chi
-
sq
df
Prob.
1 2.363071 0.743744 1 0.3885
2
2.
251011
1.028470
1
0.3105
3 3.238052 0.103893 1 0.7472
4 4.142902 2.394748 1 0.1217
5
2.112829
1.442965
1
0.2297
Joint 5.713819 5 0.3351
Component Jarque-Bera df Prob.
1 1.257766 2 0.5332
2 1.517565 2 0.4682
3 1.128914 2 0.5687
4 5.046718 2 0.0802
5 1.470798 2 0.4793
Joint 10.42176 10 0.4043
Geração de cenários 34
No correlograma é possível encontrar alguns outliers que não comprometem
o ajuste do modelo.
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Cor(X1-0.04,(X1-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X1-0.04,(X2-0.11)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X1-0.04,(X3-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X1-0.04,(X4-0.10)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
Cor(X1-0.04,(X5-0.14)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X2-0.11,(X1-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X2-0.11,(X2-0.11)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X2-0.11,(X3-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X2-0.11,(X4-0.10)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
Cor(X2-0.11,(X5-0.14)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X3-0.04,(X1-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X3-0.04,(X2-0.11)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X3-0.04,(X3-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X3-0.04,(X4-0.10)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
Cor(X3-0.04,(X5-0.14)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X4-0.10,(X1-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X4-0.10,(X2-0.11)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X4-0.10,(X3-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X4-0.10,(X4-0.10)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
Cor(X4-0.10,(X5-0.14)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X5-0.14,(X1-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X5-0.14,(X2-0.11)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X5-0.14,(X3-0.04)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12
Cor(X5-0.14,(X4-0.10)(-i))
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2
Cor(X5-0.14,(X5-0.14)(-i))
Autocorrelations with 2 Std.Err. Bounds
No teste LM é aceita a hipótese nula para um nível de significância de 0,5%
e para todas as defasagens. Considerando que a única defasagem que apresenta
um p-valor menor que 1% será considerado que não há correlação serial dos
resíduos.
VAR Residual Serial Correlation LM
Tests
H0: no serial correlation at lag order h
Date: 01/16/08 Time: 18:00
Sample: 1996Q2 2007Q2
Included observations: 44
Lags LM-Stat Prob
1 46.76944 0.0052
2 32.57312 0.1421
3 29.51903 0.2428
4 23.98112 0.5205
5 37.79575 0.0484
6 17.61537 0.8583
7 22.78966 0.5898
8 37.12698 0.0562
9 22.80507 0.5889
10 15.89880 0.9178
11 20.18159 0.7372
12 27.08200 0.3518
Probs from chi-square with 25 df.
Geração de cenários 35
Os coeficientes estimados são:
Vector Autoregression Estimates
Date: 01/16/08 Time: 18:00
Sample (adjusted): 1996Q3 2007Q2
Included observations: 44 after adjustments
Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]
X1-0.04 X2-0.11 X3-0.04 X4-0.10 X5-0.14
X1(-1)-0.04 -0.148696 -0.422790 0.040368 -0.008872 -0.431145
(0.15288) (0.15454) (0.31828) (0.09198) (0.66828)
[-0.97266] [-2.73583] [ 0.12683] [-0.09646] [-0.64516]
X2(-1)-0.11 -0.185559 0.114880 -0.176425 -0.078176 0.612786
(0.13395) (0.13541) (0.27888) (0.08059) (0.58556)
[-1.38526] [ 0.84839] [-0.63261] [-0.97000] [ 1.04650]
X3(-1)-0.04 -0.045314 0.064160 0.418518 0.067767 -0.139294
(0.07164) (0.07242) (0.14915) (0.04310) (0.31317)
[-0.63252] [ 0.88594] [ 2.80600] [ 1.57221] [-0.44479]
X4(-1)-0.10 -0.229618 -0.919097 0.176557 0.657944 0.066837
(0.17779) (0.17972) (0.37014) (0.10697) (0.77717)
[-1.29154] [-5.11405] [ 0.47700] [ 6.15098] [ 0.08600]
X5(-1)-0.14 0.086285 0.030370 -0.174167 -0.088930 0.140459
(0.03676) (0.03716) (0.07654) (0.02212) (0.16070)
[ 2.34710] [ 0.81722] [-2.27559] [-4.02068] [ 0.87403]
DUMMY1 -0.005198 0.040466 -0.035506 0.033293 -0.022069
(0.02044) (0.02066) (0.04255) (0.01230) (0.08933)
[-0.25437] [ 1.95886] [-0.83455] [ 2.70783] [-0.24704]
R-squared 0.221419 0.161970 0.267869 0.726326 -0.067228
Adj. R-squared 0.118974 0.051702 0.171536 0.690317 -0.207653
Sum sq. resids 0.071650 0.073218 0.310567 0.025937 1.369165
S.E. equation 0.043423 0.043895 0.090404 0.026125 0.189817
F-statistic 2.161345 1.468883 2.780651 20.17029 -0.478747
Log likelihood 78.81001 78.33392 46.54473 101.1651 13.90645
Akaike AIC -3.309546 -3.287905 -1.842942 -4.325687 -0.359384
Schwarz SC -3.066247 -3.044607 -1.599644 -4.082388 -0.116086
Mean dependent -0.013253 -0.075235 0.049865 0.084688 -0.080483
S.D. dependent 0.046262 0.045076 0.099323 0.046947 0.172729
Determinant resid covariance (dof adj.) 5.13E-13
Determinant resid covariance 2.46E-13
Log likelihood 326.5464
Akaike information criterion -13.47938
Schwarz criterion -12.26289
Geração de cenários 36
Um forecast estocástico usando os coeficientes estimados gera valores
aleatórios para o vetor ε
q
~ N(0,Σ) computando os valores de X
t
. A matriz Σ é
dada por:
Matriz de variâncias e covariâncias dos resíduos
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
0,0018855
0,0003465
0,0008809
0,0002845
0,0000837
x
2
0,0003465
0,0019268
0,0015547
0,0000203
0,0001228
x
3
0,0008809
0,0015547
0,0081728
0,0000263
0,0032965
x
4
0,0002845
0,0000203
0,0000263
0,0006825
0,0005307
x
5
0,0000837
0,0001228
0,0032965
0,0005307
0,0360307
A geração de cenários independentes permite uma melhor compreensão da
evolução dos fatores de risco. As figuras abaixo mostram 100 cenários
independentes dos retornos dos e das variáveis macroeconômicas para os
próximos 20 trimestres.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-50
0
50
100
150
tempo
%
Cenários dos retornos das Ações
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-20
-10
0
10
20
30
40
tempo
%
Cenários dos retornos dos Imóveis
Geração de cenários 37
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10
0
10
20
30
40
tempo
%
Cenários dos retornos da Renda fixa
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10
0
10
20
30
40
tempo
%
Cenários dos retornos do Caixa
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-20
-10
0
10
20
30
tempo
%
Cenários do crescimento do PIB
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-40
-20
0
20
40
60
tempo
%
Cenários da taxa de inflação
Geração de cenários 38
4.4.
Geração de cenários em árvore
Um modelo de PE necessita de uma representação coerente de incerteza.
Esta por sua vez é expressa pela função de distribuição de probabilidade conjunta
contínua dos fatores de risco. O processo decisório, na realidade, utiliza uma
aproximação discreta desta distribuição. A obtenção de uma amostra estruturada
dos cenários futuros dos parâmetros estocásticos é conhecida como geração de
cenários em árvore. Nos modelos muti-estágios, a cada período, novas
ramificações interligam o estado atual a estados futuros, criando assim a estrutura
de árvore de possibilidades.
A formulação discreta dos fatores de risco e um espaço de probabilidade
adequado tornam um número grande, porém finito de cenários suficientes para
representar o futuro. Em uma situação ideal seria incluído todo o universo de
possibilidades dos cenários, com todas as realizações pessimistas e otimistas. No
entanto, dado um histórico único dos parâmetros sob incerteza, o futuro pode ser
caracterizado por um número tratável de realizações para o próximo estágio.
O nó raiz da estrutura representa a situação atual dos fatores de risco sendo
diretamente observável nos dados problema. Os nós seguintes representam os
estados futuros condicionados a seu estado passado único, o nó antecessor. As
ligações entre os nós, além de caracterizarem as equações do modelo de PE,
representam o período de ocorrência dos parâmetros sob incerteza.
A geração de cenários em árvore é bastante discutida na literatura. Em
aplicações financeiras, são comuns modelos baseados em modelos VAR, como
Boender (1997), componentes principais, como Mulvey e Vladimirou (1992), e
simulações estocásticas, como em Dempster e Thorlacius (1998), Carino et al.
(1994) e Mulvey (1996). Este trabalho baseia-se em um modelo de simulação,
com ajuste dos momentos de um VAR, conhecido como “Adjusted Random
Sampling” de Kouwenberg (2001).
O estudo de caso deste trabalho utiliza um horizonte de estudo de 20 anos
com uma estrutura de árvore de 5 estágios de tamanhos distintos. Devido a
limitações computacionais e a necessidade de manutenção do horizonte de longo
prazo, os últimos estágios são mais longos que os primeiros de forma a completar
o horizonte com o número de estágios definido. Esta escolha está relacionada à
Geração de cenários 39
necessidade de uma precisão maior nos eventos mais recentes. A decisão de
realocação do instante zero é a mais importante já que o modelo pode ser usado
novamente no ano seguinte com o histórico atualizado. A duração dos estágios,
em ordem cronológica, é de 1, 1, 3, 5 e 10 anos. A estrutura escolhida das
realizações condicionadas ao nó antecessor é de 10 ramificações para o primeiro
estágio, 6 para o segundo e o terceiro estágios, e 4 para o quarto e o quinto
(1-10-6-6-4-4).
A geração de cenários em árvore para os parâmentros estocásticos apresenta
uma complicação bastante específica do contexto brasileiro. A falta de dados ou
mesmo um curto período recente de desenvolvimento de uma economia estável
(plano real, inflação controlada,...) faz com que o modelo estocástico para os
fatores de risco tenha uma freqüência trimestral ao invés de anual. A estrutura da
árvore, por sua vez, é caracterizada com um tamanho de estágio mínimo de 1 ano.
Essa incompatibilidade de freqüência exige uma adaptação na metodologia
proposta por Kouwenberg.
O modelo VAR de reversão à média descrito anteriormente é utilizado como
base para a geração da árvore propriamente dita. É necessário acrescentar um
novo índice à notação do modelo econométrico. Define-se
t
q
X
como o vetor dos
Geração de cenários 40
fatores de risco do trimestre q do estágio t, e dur(t) como a duração do estágio t
em trimestres.
t
X
0
é o valor observável dos fatores de risco para o início do
estágio t.
(
)
(
)
Σ+−+=
−
,0~,
1
NXX
t
q
t
q
t
q
t
q
εεµαµ
O processo é iniciado com a previsão determinística do modelo estocástico
descrito. São computadas as previsões das variáveis econômicas para o primeiro
trimestre (q = 1) do primeiro estágio (t = 1).
(
)
(
)
tdurqXX
t
q
t
q
,,1,
1
K=∀−+=
−
µαµ
O retorno das ações, ou seja, a variação percentual do índice Ibovespa, pode
ser utilizado como exemplo para demonstrar as etapas do processo de geração de
cenários em árvore. Estas etapas são igualmente aplicadas para os outros fatores
do modelo VAR. Calculando os fatores de risco, o retorno determinístico das
ações no primeiro estágio é dado por:
0 1 2 3 4
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Retorno das ações no estágio e=1
t
%
t=1
q
Observa-se a tendência de queda na rentabilidade média da renda variável,
pois o último dado histórico (18,77%), utilizado no instante q = 0 da previsão, é
Geração de cenários 41
maior do que a média µ escolhida (14,00%). É esperado que, no longo prazo, o
retorno das ações convirja para a média.
A componente de incerteza é incluída somando um resíduo normalmente
distribuído, com média nula e matriz de variâncias e covariâncias Σ, aos valores
determinísticos calculados. Na prática, isto é feito através da geração de valores
aleatórios com distribuição N(0, Σ) para os resíduos. A notação utilizada para
estes resíduos é:
(
)
(
)
t
t
q
NiNi ,,1,,0~ K=Σ
ε
Onde N
t
é o número de nós do estágio t.
Esta geração é feita através de valores antitéticos para a previsão um passo a
frente dos fatores de risco. Os N
t
/ 2 primeiros valores são gerados aleatoriamente
utilizando a distribuição dos resíduos. A segunda metade é computada como os
mesmos valores da primeira com sinais trocados. Esta técnica garante que todos
os momentos centrais ímpares (média, simetria,...) da amostra sejam iguais aos da
distribuição contínua original. É necessário que o número de realizações
condicionais seja par.
( )
i
N
i
t
q
t
t
q
εε
−=
+
2
No primeiro estágio, por exemplo, 10 ramos estão condicionados ao nó raiz.
Os cinco primeiros valores de ε são gerados aleatoriamente e os últimos cinco são
computados como valores antitéticos dos primeiros.
Geração de cenários 42
ε
1
(1)
1
ε
1
(2)
1
ε
1
(3)
1
ε
1
(4)
1
ε
1
(5)
1
ε
1
(6) = -
1
ε
1
(7) = -
1
ε
1
(8) = -
1
ε
1
(9) = -
1
ε
1
(10) = -
1
ε
1
(1)
1
ε
1
(2)
1
ε
1
(3)
1
ε
1
(4)
1
ε
1
(5)
1
A simulação estocástica com valores antitéticos garante o ajuste da média e
da simetria, no entanto esta técnica não garante um ajuste de variância de cada
uma das cinco componentes de ε. A notação destas componentes é dada por:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
=
i
i
i
i
i
i
t
q
t
q
t
q
t
q
t
q
t
q
5
4
3
2
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Se uma variável aleatória
ε
~ N(0,
σ
2
) for multiplicada por um coeficiente
γ
,
a média será mantida e a variância multiplicada por
γ
2
. Sendo assim, existe um
único multiplicador
γ
que ajusta a variância amostral de cada variável do modelo
VAR.
Geração de cenários 43
( )
( )
∑
=
==
t
N
i
t
jq
t
j
t
jq
j
t
jq
i
N
padrãodesvio
1
2
.
1
(.))(
ε
σ
ε
σ
γ
Onde
σ
j
é a j-ésima componente da diagonal de
Σ
.
=Σ
2
2
2
2
2
5
4
3
2
1
σ
σ
σ
σ
σ
Multiplicando os resíduos por
γ
são computados os erros ajustados que serão
usados no cálculo dos fatores de risco no trimestre q = 1 do estágio t = 1.
(
)
(
)
54,3,2,1,* ejii
t
jq
t
jq
t
jq
=∀=
εγη
As previsões estocásticas dos fatores são feitas somando os erros ajustados
aos valores determinísticos. São computados os valores X para t = 1 e q = 1.
(
)
t
q
t
q
t
q
XX
ηµαµ
+−+=
−1
O exemplo do retorno das ações para o primeiro trimestre do primeiro
estágio na figura abaixo retrata a inclusão de incerteza na previsão determinística.
São computadas 10 realizações condicionadas ao nó raiz.
Geração de cenários 44
0 1 2 3 4
08
10
12
14
16
18
20
22
Retorno estocástico ajustado das ações em e=1
t
%
q
t=1
Tendo computado os fatores de risco em q = 1, é possível fazer a previsão
determinística para q = 2 e recomeçar a metodologia para o segundo trimestre do
primeiro estágio. O processo é completado para o primeiro estágio computando os
coeficientes estocásticos para os trimestres restantes. Formam-se assim, dez
cenários de rentabilidades para o primeiro estágio.
0 1 2 3 4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Cenários para os retornos das ações no estágio e=1
t
%
q
t=1
A inicialização do processo para t = 2 é feita usando as rentabilidades do
último trimestre de t = 1 como os “nós raízes” do segundo estágio. Para t = 1
temos a seguinte formulação:
t
tdur
t
XX
)(
1
0
=
+
Geração de cenários 45
A metodologia é repetida para os estágios t = 2, 3, 4, e 5 obtendo,
respectivamente, 60, 360, 1440 e 5760 “caminhos” para os fatores de risco do
início ao fim do horizonte de planejamento.
A entrada de dados de uma programação estocástica é caracterizada como o
valor que representa cada fator de risco durante o período de duração de cada
estágio. No caso dos retornos dos ativos, suas representações na PE serão suas
variações percentuais entre dois nós consecutivos da estrutura de árvore, com
cotações anuais.
Sabendo que
t
jq
y
é a variação percentual, cotada anualmente, do fator de
risco j no trimestre q do estágio t, é possível calcular a variação relativa ao estágio
t da seguinte forma:
( )
( )
11
)(
1
1
−
+=
∏
=
tdur
q
tdur
t
jq
t
j
yy
&
Dado pela definição das variáveis do modelo econométrico tem-se que:
(
)
t
jq
t
jq
yx += 1ln
É possível reescrever a equação dos fatores de risco da seguinte forma:
( ) ( )
( )
( )
∑∑
∏
==
=
=+=
+=+
)(
1
)(
1
1
)(
1
.
)(
1
1ln.
)(
1
1ln1ln
tdur
q
t
jq
tdur
q
t
jq
tdur
tdur
q
t
jq
t
j
x
tdur
y
tdur
yy
&
Logo,
1.
)(
1
exp
)(
1
−
∑
=
=
tdur
q
t
jq
t
j
x
tdur
y
&
Geração de cenários 46
Os retornos dos ativos são:
1.
Ações:
( )
1.
)(
1
exp
)(
1
551
−
∑
==
=
tdur
q
t
q
t
t
x
tdur
ynr
&
2.
Imóveis:
( )
1.
)(
1
exp
)(
1
222
−
∑
==
=
tdur
q
t
q
t
t
x
tdur
ynr
&
3.
Renda fixa:
( )
spreadx
tdur
ynr
tdur
q
t
q
t
t
+
−
∑
==
=
1.
)(
1
exp
)(
1
543
&
4.
Caixa:
( )
1.
)(
1
exp
)(
1
444
−
∑
==
=
tdur
q
t
q
t
t
x
tdur
ynr
&
Uma representação gráfica das rentabilidades sob a forma de árvore de
possibilidades permite uma melhor avaliação da evolução desses fatores ao longo
do horizonte de planejamento.
0 1 2 3 4 5
6
8
10
12
14
16
18
tempo
%
Cenários dos retornos de Ações
0 1 2 3 4 5
10.5
11
11.5
12
tempo
%
Cenários dos retornos de Imóveis
0 1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
13
tempo
%
Cenários dos retornos da Renda Fixa
0 1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
13
tempo
%
Cenários dos retornos do Caixa
A estrutura de árvore de possibilidades é melhor percebida quando os
gráficos são observados para os dois primeiros estágios.
Geração de cenários 47
0 1 2
6
8
10
12
14
16
18
tempo
%
Cenários dos retornos de Ações
0 1 2
10.8
11
11.2
11.4
11.6
tempo
%
Cenários dos retornos de Imóveis
0 1 2
8
9
10
11
12
tempo
%
Cenários dos retornos da Renda Fixa
0 1 2
8
9
10
11
12
tempo
%
Cenários dos retornos do Caixa
A análise de risco-retorno das 4 classes de investimentos é mais precisa se
usarmos todos os gráficos na mesma escala. O maior retorno médio são ações
seguidas por imóveis, renda fixa e caixa. A maior volatilidade também é
representada pela renda variável seguida por renda fixa e caixa, e por último os
investimentos imobiliários.
0 1 2 3 4 5
6
8
10
12
14
16
18
tempo
%
Cenários dos retornos de Ações
0 1 2 3 4 5
6
8
10
12
14
16
18
tempo
%
Cenários dos retornos de Imóveis
0 1 2 3 4 5
6
8
10
12
14
16
18
tempo
%
Cenários dos retornos da Renda Fixa
0 1 2 3 4 5
6
8
10
12
14
16
18
tempo
%
Cenários dos retornos do Caixa
Modelo do passivo 48
5
Modelo do passivo
5.1.
Premissas
O desenvolvimento de métodos e modelos para a alocação dos ativos de um
fundo de pensão tem como principais objetivos o cumprimento das metas atuariais
do passivo e a garantia de pagamento de todos os benefícios concedidos pela
instituição.
Diferente de outras entidades, como seguradoras, resseguradoras, bancos e
até mesmo traders de derivativos, onde o passivo é uma variável de decisão, os
fundos de pensão não controlam ativamente seus desembolsos. Neste caso, os
fluxos do passivo são usados apenas como fatores de risco na escolha da política
de investimentos da instituição.
O cálculo da alocação ótima via ALM depende da existência dos dados dos
participantes do fundo. Na falta de dados reais, a base de dados utilizada neste
trabalho foi criada artificialmente respeitando algumas premissas.
Planos BD deixaram de ser oferecidos por fundos de pensão devido aos
riscos envolvidos. Sendo assim, este exemplo considera um número fixo de
participantes com único decremento (morte). Os 110200 participantes do fundo
estão divididos em:
•
45000 ativos
•
60000 aposentados
•
3600 pensionistas cônjuges
•
1600 pensionistas filhos
Os participantes ativos encontram-se, no máximo, a vinte anos de sua
aposentaria. Destes indivíduos 55% são homens e 45% mulheres. A modelagem
dos futuros pensionistas (cônjuges e filhos) é baseada no conceito de “Família
Padrão” (Marinha do Brasil). O homem é casado e tem o primeiro filho aos 27 e o
segundo aos 29. Os pensionistas cônjuges apresentam um percentual invertido
Modelo do passivo 49
com 55% de mulheres. Os pensionistas filhos por sua vez são 50% do sexo
masculino e 50% do feminino.
Os participantes ativos são agrupados em cinco faixas salariais.
•
30% dos ativos: R$ 1000,00 – R$ 3000,00;
•
40% dos ativos: R$ 3001,00 – R$ 5000,00;
•
20% dos ativos: R$ 5001,00 – R$ 7000,00;
•
8% dos ativos: R$ 7001,00 – R$ 9000,00;
•
2% dos ativos: R$ 9001,00 – R$ 15000,00;
A proporção dos aposentados também é de 55% de homens e 45% de
mulheres. A idade de aposentaria é fixa: 65 anos para homens e 60 para mulheres.
Dentro do grupo de atuais pensionistas indiretos, 60% são cônjuges e 40% são
filhos do beneficiário original.
Da mesma forma que os participantes ativos, os aposentados e pensionistas
também são divididos por faixas de benefícios. São elas:
•
30% dos aposentados e pensionistas: R$ 1000,00 – R$ 3000,00;
•
40% dos aposentados e pensionistas: R$ 3001,00 – R$ 5000,00;
•
20% dos aposentados e pensionistas: R$ 5001,00 – R$ 7000,00;
•
8% dos aposentados e pensionistas: R$ 7001,00 – R$ 9000,00;
•
2% dos aposentados e pensionistas: R$ 9001,00 – R$ 15000,00;
É através da base de dados descrita que serão calculados os benefícios e as
contribuições, ou seja, os fluxos atuariais utilizados no modelo de ALM via
programação estocástica. O fator de risco considerado nesse cálculo é a
probabilidade de morte. Para isso, é utilizada a tábua de mortalidade AT-83,
determinada por lei.
Modelo do passivo 50
5.2.
Contribuições e benefícios
As contribuições para o fundo são de 16% do salário do participante ativo,
sendo 8% pagos pelo indivíduo e 8% pagos pela instituição patrocinadora. A
evolução salarial dos membros ativos é dada por um dissídio real de 2% ao ano.
Os pagamentos são feitos até o funcionário completar a idade de aposentaria. A
partir desta data, o participante passa a ser beneficiário de 90% de seu último
salário como ativo. Este benefício, por sua vez, é corrigido pela inflação
(IGP-M) anualmente.
Após a morte do participante, seu benefício é repassado para seu cônjuge. O
falecimento do cônjuge tem como conseqüência o repasse do benefício para os
filhos. Assim, o pagamento é dividido igualmente entre os filhos vivos de até 21
anos.
Considerando todas as premissas descritas, é possível representar o cálculo
das contribuições e benefícios usando variáveis indicadoras que caracterizam o
estado do participante. Definem-se as variáveis indicadoras.
vivopteparticipan
mortopteparticipan
pI
morto
=
,0
,1
)(
vivopteparticipandocônjuge
mortopteparticipan
docônjuge
pI
mortoconj
=
,0
,1
)(
_
vivopteparticipandofilho
mortopteparticipan
dofilho
pI
o
o
mortof
1
1
,0
,1
)(
_1
=
vivopteparticipandofilho
mortopteparticipan
dofilho
pI
o
o
mortof
2
2
,0
,1
)(
_2
=
anosatécomvivopteparticipandofilho
anosdemaiscom
pteparticipan
dofilho
pI
o
o
maiorf
211
211
,0
,1
)(
_1
=
anosatécomvivopteparticipandofilho
anosdemaiscom
mortopteparticipan
dofilho
pI
o
o
maiorf
212
212
,0
,1
)(
_2
=
ativopteparticipan
aposentado
pteparticipan
pI
aposentado
=
,0
,1
)(
Outras definições:
•
salário (p,t) = salário do participante p no instante t
•
último_salário (p) = último salário como ativo do participante p
Modelo do passivo 51
Utilizando tais definições, é possível formular o valor dos fluxos atuariais
reais de interesse. A contribuição do participante p no instante t é dada por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
pIpItpsaláriotpãocontribuiç
aposentadomorto
−−= 1.1.,.16,0,
O cenário médio das contribuições é computado como o valor esperado da
expressão anterior. Considerando que a variável indicadora de aposentadoria é
determinística, a esperança é obtida substituindo a indicadora de morte pela
probabilidade de morte q
x
da tábua AT-83.
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
pIqtpsaláriotpãocontribuiçE
aposentadoteparticipanidade
−−= 1.1.,.16,0,
_
A contribuição total esperada será a soma das contribuições médias de todos
os NP participantes no instante t.
( )
[ ]
( )
[ ]
∑
=
=
NP
p
tpãocontribuiçEttotalãocontribuiçE
1
,_
Os benefícios são divididos em três componentes relacionadas às três
possíveis condições de recebimento. A primeira delas é o pagamento direto ao
participante titular p quando este se encontro vivo e aposentado. Da mesma forma
que a contribuição, são calculados os valores esperados de cada componente
substituindo a indicadora de morte por q
x
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
pIpIpsalárioúltimotpbenefício
aposentadomorto
.1._.90,0,1 −=
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
pIqpsalárioúltimotpbenefícioE
aposentadoteparticipanidade
.1._.90,0,1
_
−=
A segunda componente é caracterizada pela morte do participante titular p
com seu respectivo cônjuge ainda em vida. Neste caso, o benefício é repassado
integralmente ao seu dependente direto.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
pIpIpsalárioúltimotpbenefício
mortoconjmorto _
1.._.90,0,2 −=
Modelo do passivo 52
(
)
[
]
(
)
(
)
conjidadeeparticiantidade
qqpsalárioúltimotpbenefícioE
__
1.._.90,0,2 −=
A terceira e última componente é marcada pelo falecimento do titular p e
seu cônjuge, repassando a aposentadoria para os dois filhos (família padrão). O
benefício é divido igualmente entre os dependentes indiretos enquanto estes foram
vivos e menores de 21 anos.
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
maiorfilhomaiorfilhomortofilhomortofilho
mconjmorto
IIII
pIpIpsalárioúltimotpbenefício
_2_1_2_1
_
.1.1.
..._.90,0,3
−−
=
(
)
[
]
(
)
( ) ( )
maiorfilhomaiorfilhofilhoidadefilhoidade
conjidadeteparticipanidade
IIqq
qqpsalárioúltimotpbenefícioE
_2_12_1_
__
.1..1.
..._.90,0,3
−−
=
Somando as médias das três componentes é obtido o valor do benefício
esperado em t relacionado ao participante p.
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
tpbenefícioEtpbenefícioEtpbenefícioEtpbenefícioE ,3,2,1, ++=
O benefício total esperado é também em t calculado como a soma dos
benefícios esperados de todos os NP participantes no mesmo instante de tempo.
( )
[ ]
( )
[ ]
∑
=
=
NP
p
tpbenefícioEttotalbenefícioE
1
,_
Os fluxos atuariais reais FR, ou seja, sem inflação, são calculados como a
diferença entre benefícios e contribuições totais.
(
)
[
]
(
)
[
]
ttotalãocontribuiçEttotalbenefícioEtFR __)( −=
Esses fluxos reais são transformados em nominais usando os cenários de
inflação acumulada da árvore de possibilidades para serem posteriormente
utilizados como fatores de risco do modelo de programação estocástica.
Modelo do passivo 53
5.3.
Geração de cenários em árvore para o passivo
Os fluxos líquidos do passivo são utilizados como um fator de risco no
modelo de otimização da carteira de um fundo de pensão. Esses desembolsos são
estruturados na forma de árvore de possibilidades representando assim os cenários
condicionais necessários à formulação do problema de programação estocástica.
O modelo de PE utiliza todos os seus parâmetros e variáveis em termos
nominais. Desta forma, torna-se necessário a transformação dos fluxos reais em
desembolsos nominais. A transformação dos pagamentos reais em nominais é
feita usando cenários de inflação acumulada do período em estudo.
A modelagem do passivo real, descrita anteriormente, é responsável por
um conjunto de fluxos anuais reais e determinísticos FR(k).
Utilizando cenários de inflação acumulada sob a forma de árvore, os fluxos
reais determinísticos tornam-se nominais estocásticos. Para uma árvore
simplificada com estágios de duração de 1 ano, este processo é suficiente para a
obtenção dos dados na forma do problema de otimização.
O exemplo ilustrativo descrito neste trabalho é caracterizado por estágios
com durações diferentes maiores ou iguais a um. Neste caso, os estágios com mais
de um ano de duração apresentam mais de um fluxo relacionado.
Modelo do passivo 54
Os fluxos nominais estocásticos dependem dos cenários de inflação
acumulada do instante 0 até o momento do desembolso. O cálculo da inflação
acumulada é feito usando a variação percentual anualizada do índice geral de
preços (IGP-M) no trimestre q, definida anteriormente na seção 5.3 como
t
q
y
3
.
Considerando esta variável relacionada ao nó n
t
, ou seja,
(
)
t
t
q
ny
3
, a inflação anual
do ano k relacionado ao nó n
t
é dada por:
( ) ( )
( )
11,_
4
34
4
1
3
−
+=
∏
−=
k
kq
t
t
qt
nyknanualinf
Logo, tem-se a inflação acumulada como:
( )
(
)
( )( )
osinterligadnn
inanualinf
tdur
nacuminfknacuminf
tt
k
i
ttt
1
1
1
,
,_1.
4
1
,_1,_
−
=
−
∀
+
−
+=
∏
Com isto, são calculados os fluxos nominais estocásticos:
(
)
(
)
(
)
)(.,_1, kFRknacuminfknFN
tt
+
=
Os fluxos relativos ao estágio t devem ser acumulados ao final do período
com o objetivo de obter um único fluxo para cada nó da estrutura. Esta
acumulação deveria ser feita utilizando a rentabilidade da carteira como taxa de
desconto. Porém, o retorno do portfólio depende da decisão de alocação que por
sua vez depende dos fluxos acumulados do passivo em cada nó da árvore. Para
Modelo do passivo 55
resolver este problema, é considerada a aproximação do retorno da carteira como
a taxa básica de juros, representando 100% alocado em um único contrato de
renda fixa. Os fluxos acumulados no nó n
t
são:
( ) ( ) ( )( )
( )( )
(
)
∑
=
−
+=
4/
1
4
,_1.,
tdur
k
ktdur
ttt
knanualjurosknFNnl
Medição e controle do risco de equilíbrio 56
6
Medição e controle do risco de equilíbrio
6.1.
Risco de equilíbrio e programação estocástica
O risco de equilíbrio, mais conhecido como risco de insolvência, é definido
como a probabilidade do não cumprimento das obrigações de um fundo de pensão
até a sua extinção. O valor acumulado das obrigações futuras de um fundo de
pensão em um determinado instante de tempo é conhecido como reserva
matemática (RM). A RM no instante zero, ou seja, o capital inicial mínimo
necessário para o pagamento de todos os desembolsos dado uma tolerância ao
risco depende da evolução dos fluxos atuariais (benefícios e contribuições) e da
taxa de desconto utilizada.
Os fluxos atuariais são calculados usando processos estocásticos e premissas
bem conhecidas na literatura. Já a escolha do fator de desconto ainda é bastante
discutida. Segundo a legislação brasileira a taxa de desconto real deve ser de 6%
fixa (usando o índice de inflação IGP-M como referência). No entanto, segundo
Veiga (2003) a taxa de desconto dos benefícios e contribuições deve ser a
rentabilidade da carteira do fundo, pois só assim reflete o verdadeiro custo de
oportunidade da instituição.
Considerando um capital inicial c(0) é possível definir um modelo
simplificado (sem custos de transação, administrativos, ...) para a evolução do
patrimônio do fundo ao longo do tempo. Sejam c(k), r(k), contr(k) e bene(k),
respectivamente, o capital do fundo, a rentabilidade da carteira, as contribuições e
os benefícios no ano k, tem-se:
[
]
[
]
)()()1(.)(1)( kbenekcontrkckrkc
−
+
−
+
=
O processo recursivo permite calcular o patrimônio (capital) do fundo no
momento de sua extinção (k = K
ext
) em função do capital inicial, dos fluxos
atuariais e retornos da carteira ao longo do tempo.
Medição e controle do risco de equilíbrio 57
( )
[ ]
( ) ( )
0)()()1()1())(1(
..)1()1())(1()0())(1()(
21
≥−+−−−++
+−
++
+=
∏∏
==
extextextextext
K
i
K
i
ext
KbeneKcontrKbeneKcontrKr
benecontrircirKc
extext
O valor mínimo de c(0) para o cumprimento de todas as obrigações do
fundo é encontrado fazendo c(K
ext
) = 0. Este valor mínimo define a reserva
matemática no instante 0 em função dos fluxos atuariais e retornos da carteira ao
longo do tempo. O capital inicial deve ser maior ou igual que a reserva
matemática para garantir o estado de solvência do fundo.
)0(
))(1(
)()(
...
))2(1))(1(1(
)2()2(
))1(1(
)1()1(
)0(
1
RM
ir
KcontrKbene
rr
contrbene
r
contrbene
c
ext
K
i
extext
=
+
−
++
++
−
+
+
−
≥
∏
=
A equação anterior prova que a taxa de desconto usada no cálculo da reserva
matemática deve ser a rentabilidade da carteira. Sendo assim, a taxa de desconto
regulatória (~IGP-M + 6%) pode ser interpretada como uma aproximação do
portfólio por um único título de renda fixa indexado ao IGP-M com um spread de
fixo de 6%. Esta aproximação, na grande maioria das vezes, não é adequada já
que na prática os valores para rentabilidade do fundo são bem diferentes.
O modelo de programação estocástica faz indiretamente o cálculo correto do
desconto do passivo. Em cada cenário, os pagamentos no estágio t são feitos após
o capital de t-1 ter sido rentabilizado. O patrimônio em t será o total de ativos
rentabilizado em t-1 subtraído dos pagamentos do passivo e outros custos em t.
Isto equivale ao cálculo analítico descrito acima.
O problema do modelo de PE é a restrição computacional na escolha do
número de estágios e a estrutura de nós da árvore. Não é desejável para o modelo
que se escolham estágios de grande duração devido à imprecisão dos fatores de
risco envolvidos. Conseqüentemente, isto restringe o horizonte da PE a algumas
poucas décadas enquanto que as obrigações dos fundos de pensão podem passar
dos cem anos. Para resolver este problema, este trabalho propõe um método de
medição e controle de risco de equilíbrio via bootstrap visando tratar o período
seguinte ao horizonte de planejamento do modelo de PE.
Medição e controle do risco de equilíbrio 58
6.2.
Medição do risco de equilíbrio via bootstrap
Bootstrap é uma forma de sortear valores utilizando uma distribuição
amostral aproximada para estudar as propriedades de um estimador ou mesmo
para utilizar as observações para algum cálculo estocástico. Nesse trabalho o
bootstrap é usado para calcular a reserva matemática sorteando as rentabilidades
do portfólio e a inflação através da distribuição de probabilidade intrínseca à
árvore de possibilidades.
Para a realização do bootstrap são necessárias as definições de duas
variáveis: S e N, que são respectivamente o estágio e o nó escolhidos para sortear
os fatores de risco de interesse. O sorteio é feito baseado na distribuição de
probabilidade conjunta dessas duas variáveis aleatórias. A probabilidade de
sortear o cenário de inflação e rentabilidade do estágio s do nó n é dada por:
(
)
(
)
(
)
sSPSnNPnNesSP
=
=
=
=
=
.|
Sabe-se que para cada estágio os nós são equiprováveis e que cada estágio
possui um tamanho diferente. Logo, P(N = n | S) é uma distribuição uniforme e
P(S = s) é ponderada pelo tamanho do estágio em relação ao horizonte de
planejamento.
( )
Sestágiodonósde
SnNP
#
1
| ==
( )
(
)
( )
∑
=
==
T
i
idur
kdur
sSP
1
Medição e controle do risco de equilíbrio 59
Para cada ano seguinte à PE existe um fluxo real PR(k) determinístico do
passivo e um cenário de retorno e inflação, r(k) e inf_anual(k) respectivamente. O
horizonte de planejamento considerado para a PE é de 20 anos.
Estes fluxos devem ser descontados pela rentabilidade real da carteira até o
final do último período do modelo de otimização, ou seja, para o instante k = 20.
Os fluxos descontados são dados por:
)(.
)(1
)(_1
)(.
)(_1
)(1
1
)(
2121
kPR
ir
ianualinf
kPR
ianualinf
ir
kPR
k
i
k
i
desc
+
+
=
+
+
=
∏∏
==
O valor acumulado dos fluxos descontados é a reserva matemática em
valores reais referente ao final último período da PE.
( ) ( )
∑
=
=
ext
K
k
desc
kPRRM
21
20
Medição e controle do risco de equilíbrio 60
Sorteando 5000 diferentes cenários de rentabilidade e inflação, é calculada
uma distribuição de probabilidade aproximada da reserva matemática real no ano
k = 20.
A medição do risco de equilíbrio é feita comparando a riqueza final de cada
nó em valores reais com a distribuição da reserva. Desta forma é possível calcular
uma probabilidade de insolvência para cada nó terminal da PE.
A probabilidade de insolvência de nó terminal n
T
é calculada a partir da
distribuição da reserva matemática RM(20).
( ) ( ) ( )
( )
( )
<+−
+
= 20
)20,(inf_1
1
_
*
RMLnwny
nacum
Pninsolprob
TT
T
T
Seja a variável indicadora:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
≥+−
+
<+−
+
=
20
)20,(inf_1
1
,0
20
)20,(inf_1
1
,1
*
*
RMLnwny
nacum
RMLnwny
nacum
nI
TT
T
TT
T
Tinsolvente
Logo a probabilidade de insolvência pode ser expressa como:
( )
( )
T
N
n
Tinsolvente
T
N
nI
ninsolprob
T
T
∑
=
=
1
_
Assim é possível obter a distribuição da probabilidade de insolvência como
a principal medida do risco. Sua média é o principal parâmetro que define o
estado de equilíbrio de um fundo de pensão.
Medição e controle do risco de equilíbrio 61
6.3.
Controle do risco de equilíbrio
O método de controle do risco e equilíbrio é um processo iterativo com o
objetivo de reduzir o risco de insolvência. A primeira etapa é feita com o modelo
de PE com o requisito de capital nulo, ou seja, L
*
= 0. Neste caso, a penalização
sob a função objetivo começa atuar em todos os cenários com a riqueza final (no
fim do último período da PE: k = 20) seja menor que zero.
Se a medida do risco de equilíbrio, ou seja, a probabilidade de insolvência
média, estiver fora da tolerância ao risco da instituição, o modelo de otimização
deve ser usado novamente com um valor diferente para o requisito de capital L
*
.
Os valores possíveis são a média ou algum quantil da distribuição de reserva
calculada na iteração zero. Nestes casos, a função objetivo começa a ser
penalizado em todos os cenários onde o a riqueza final é menor que o L
*
escolhido.
Resultados 62
7
Resultados
7.1.
Descrição dos exercícios
A análise de resultados do modelo apresentado é feita através da
implementação de três exercícios ilustrativos. Os objetivos principais destes
exercícios são a diferenciação entre probabilidade de “underfunding” e de
insolvência, a influência de uma variação no capital inicial sob o estado de
equilíbrio e a rentabilidade da carteira, análises comparativas da alocação inicial
ótima sob diferentes requisitos de capital, além de uma análise detalhada da
influência do método de controle de risco para um capital inicial.
O Exercício 1 consiste na utilização do modelo para diferentes capitais
iniciais afim de analisar suas probabilidades de “underfunding” e insolvência. Este
processo é feito para quatro casos distintos:
•
Caso 1: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital nulo
•
Caso 2: Processo iterativo
o
Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de
capital nulo para obter da distribuição da reserva através do
bootstrap da rentabilidade da carteira
o
Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de
capital igual à média da distribuição da reserva real obtida
(R$ 4.167.800,00)
•
Caso 3: Processo iterativo
o
Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital
nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da
rentabilidade da carteira
o
Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital
igual à quantil de 1% da distribuição da reserva obtida
(R$ 4.355.500,00)
Resultados 63
•
Caso 4: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital
igual a reserva real calculada segundo a legislação, com taxa de
desconto real de 6% (R$ 4.925.000,00)
O Exercício 2 consiste na análise da alocação inicial ótima variando o
capital inicial. Um estudo de sensibilidade é feito retirando a restrição que limita o
investimento em renda variável. Esse exercício é feito para os diferentes casos:
•
Caso 1: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital nulo
•
Caso 2: Processo iterativo
o
Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de
capital nulo para obter da distribuição da reserva através do
bootstrap da rentabilidade da carteira
o
Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de
capital igual à média da distribuição da reserva real obtida
(R$ 4.167.800,00)
•
Caso 3: Processo iterativo
o
Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital
nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da
rentabilidade da carteira
o
Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital
igual à quantil de 1% da distribuição da reserva obtida
(R$ 4.355.500,00)
•
Caso 4: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital
igual a reserva real calculada segundo a legislação, com taxa de
desconto real de 6% (R$ 4.925.000,00)
O Exercício 3 consiste na análise detalhada de um exemplo com o capital
inicial de R$ 4.200.000,00. Os resultados analisados são: a alocação ótima
esperada, a árvore de alocação, a riqueza final em termos reais, a distribuição do
retorno real do portfólio, a distribuição da reserva técnica real e o valor da mesma
determinado pela legislação, e por último a distribuição da probabilidade de
insolvência. Esse exercício é feito para os diferentes casos:
•
Caso 1: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital nulo
•
Caso 3: Processo iterativo
Resultados 64
o
Etapa 1: Utilização do modelo de PE com um requisito de capital
nulo para obter da distribuição da reserva através do bootstrap da
rentabilidade da carteira
o
Etapa 2: O modelo de PE é utilizado com um requisito de capital
igual à quantil de 1% da distribuição da reserva obtida
(R$ 4.355.500,00)
7.2.
Exercício 1
Uma definição importante para a compreensão das análises feitas neste
exercício é a diferença entre probabilidade de “underfunding” e de insolvência.
Define-se probabilidade de underfunding como a proporção de cenários com
déficit no final do horizonte de planejamento da PE. A probabilidade de
insolvência, por sua vez, é a probabilidade do fundo, em algum instante entre 0 e
∞, não honrar seus compromissos com seus beneficiários.
Os artigos da literatura de ALM via PE são capazes de medir somente a
probabilidade de underfunding. Se o estado de um fundo é de underfunding então
este estará insolvente. No entanto, um fundo insolvente pode ou não ter o estado
de underfunding. Logo, conclui-se que a probabilidade de insolvência é sempre
maior ou igual à de underfunding. A probabilidade de underfunding é uma
aproximação subestimada do risco de equilíbrio do fundo. Com o método de
bootstrap proposto torna-se possível a medição da probabilidade de insolvência e
uma avaliação mais adequada sobre este o risco. Podemos observar comparação
dessas probabilidades nos 4 casos:
Resultados 65
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Probabilidade
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 1
Underfunding Insolvência
Deficit level
R$ 3.167.394,53
R$ 4.262.868,33
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Probabilidade
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 2
Underfunding Insolvência
Deficit level
R$ 3.175.243,26
R$ 4.252.649,42
Resultados 66
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Probabilidade
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 3
Underfunding Insolvência
Deficit level
R$ 3.175.243,26
R$ 4.246.861,46
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Probabilidade
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 4
Underfunding Insolvência
Deficit level
R$3.175.282,43
R$ 4.246.547,29
Resultados 67
Os casos de 1 a 4 apresentam uma ordem crescente de requisito de capital.
Sendo assim, é possível concluir que, apesar de uma diferença percentual
pequena, o capital inicial necessário para atingir uma probabilidade de
underfunding de 10% aumenta com o requisito de capital. Em sentido contrário,
para uma probabilidade de insolvência de 10% o capital inicial diminui com o
aumento do requisito de capital.
Este resultado pode ser interpretado como um trade-off entre os risco de
“médio” (20 anos) e de longo prazo (extinção do fundo). Com o requisito de
capital mais alto o modelo assume maiores riscos do médio prazo para evitar os
riscos de insolvência, ou seja, de longo prazo.
Uma análise comparativa dos 4 casos para a probabilidade de underfunding
mostra que as diferenças são quase imperceptíveis.
Com o gráfico aproximado, é possível perceber que o caso de RC = 0 possui
a menor probabilidade de underfunding, enquanto os outros casos são
praticamente idênticos. Fica confirmado que a probabilidade de underfunding é
diretamente proporcional ao requisito de capital solicitado.
Resultados 68
O mesmo acontece com a probabilidade de insolvência. Os quatro casos são
praticamente idênticos e suas diferenças só são visualmente perceptíveis com o
gráfico aproximado.
Resultados 69
O gráfico aproximado ratifica o fato de a probabilidade de insolvência ser
inversamente proporcional ao requisito de capital solicitado.
Esses resultados mostram que o método de medição de risco via bootstrap é
bastante eficiente, permitindo uma avaliação mais adequada do estado de
solvência do fundo. No entanto, o processo iterativo para o controle do risco de
equilíbrio mostrou-se pouco influente dado as diferenças não significativas nas
probabilidades de déficit (underfunding e insolvência).
Uma avaliação sobre a evolução de rentabilidade de carteira com o aumento
de capital é feita através dos gráficos seguintes. As três linhas representam a
média e o intervalo de confiança criado com mais ou menos 3 desvios-padrões.
Resultados 70
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600
Retorno da carteira
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 1
-5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600
Retorno da carteira
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 2
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600
Retorno da carteira
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 3
Resultados 71
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
2100 2600 3100 3600 4100 4600 5100 5600
Retorno da carteira
Capital inicial (milhões de R$)
Caso 4
A pouca variabilidade da rentabilidade da carteira quanto ao aumento do
capital inicial pode ser explicada pela escolha de um modelo de reversão a média
para os fatores de risco cuja volatilidade estimada é bem baixa. Eventos extremos
são pouco prováveis nesse modelo, pois os fatores sempre retornam para a média
de longo prazo definida no modelo.
Os valores mais baixos de capital inicial apresentam uma queda na média e
um aumento na volatilidade do retorno do portfólio. Isto ocorre porque o capital
baixo tem como conseqüência um aumento nas dívidas reduzindo a rentabilidade
média da carteira e aumentando o seu desvio padrão.
7.3.
Exercício 2
A análise comparativa da alocação inicial ótima dos quatro casos é feita para
os seguintes valores de capital inicial: 2,7; 3,7; 4,1; 4,2 e 4,4 bilhões de reais.
Estes valores representam aproximadamente 100%, 67%, 21%, 13%, 7% e 4% de
probabilidade de insolvência.
Para o menor capital inicial, de 2,7 bilhões, a relação entre as alocações
ótimas iniciais de cada caso apresenta-se diferente das demais. Com 100% dos
cenários insolventes, o aumento do requisito de capital representa um aumento no
retorno e no risco da carteira. Isto acontece porque um aumento no retorno da
carteira é a única solução para um fundo que já não tem nada a perder.
Resultados 72
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
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20
30
40
50
60
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80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
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80
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100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
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20
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50
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90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
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40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
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50
60
70
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100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
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40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimapara c(0) = R$ 2.700.000,00
Para os outros casos a lógica se inverte. Com o aumento do requisito de
capital a aversão ao risco do fundo aumenta. Isto ocorre porque a penalização na
função objetivo atua em mais cenários quando o requisito de capital é maior.
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
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20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
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30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
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30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
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90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimapara c(0) = R$ 3.700.000,00
Resultados 73
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
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80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
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80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
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100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
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20
30
40
50
60
70
80
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100
Optimal Initial Allocation
%
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Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
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30
40
50
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90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
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20
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100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
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0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
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50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimaparac(0) = R$ 4.100.000,00
1 2 3 4
0
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40
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Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
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90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
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80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
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90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
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20
30
40
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80
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100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
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80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimaparac(0) = R$ 4.200.000,00
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
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90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Ações
Imóveis
Renda Fixa
Caixa
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimaparac(0) = R$ 4.400.000,00
Resultados 74
Apesar das diferenças pouco significativas, observa-se um resultado
bastante intuitivo comparando, caso a caso, a alocação inicial para os quatro
diferentes c(0): quanto maior o capital inicial mais arriscada será a alocação
ótima. Este resultado é mais facilmente percebido se repetirmos o exercício sem a
restrição de máximo de alocação de 50% em ações determinada por lei, usando os
capitais iniciais de 3,7 e 4,4 bilhões de reais. Esta restrição mostra-se bastante
conservadora com relação à participação dos fundos brasileiros nos mercados
financeiros.
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimapara c(0) = R$ 3.700.000,00
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Initial Allocation
%
Case
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoinicial ótimapara c(0) = R$ 4.400.000,00
Resultados 75
7.4.
Exercício 3
O exercício 3 tem como objetivo comparar o efeito da iteração proposta no
método de controle do risco de equilíbrio sob as diferentes saídas do modelo de
programação estocástica. Para isto são analisados os casos 1 e 3, ou seja, um RC
nulo e um processo iterativo usando o quantil de 1% de distribuição da reserva
matemática como requisito de capital.
A primeira análise é feita sobre a alocação ótima esperada. São calculadas
as médias percentuais da alocação da carteira para cada estágio da árvore de
decisão. A diferença entre os dois casos é pequena, porém demonstra uma
tendência maior do Caso 3 de evitar a presença de novos cenários insolventes.
Este caso adota uma carteira mais conservadora com um percentual menor de
ações e maior de títulos de renda fixa.
0 1 2 3 41
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Expected Allocation
%
t
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoótima esperada– Caso1
Resultados 76
0 1 2 3 41
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Optimal Expected Allocation
%
t
Stocks
Properties
Bonds
Cash
Alocaçãoótima esperada– Caso3
Este resultado pode ser melhor observado na árvore de alocação. Essa
estrutura representa a alocação estratégica em cada nó decisório deixando clara a
dispersão da carteira segundo os vários cenários condicionados. A diferença entre
os casos pode ser percebida com um número maior de cenários com grande
concentração em investimentos de renda fixa e pouca em renda variável para o
Caso 3.
0 1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
t
%
Stock Allocation
0 1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
t
%
Property Allocation
0 1 2 3 4
0
20
40
60
80
100
t
%
Bond Allocation
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
t
%
Cash Allocation
Ações
CaixaRenda fixa
Imóveis
Árvorede alocação– Caso1
Resultados 77
0 1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
t
%
Stock Allocation
0 1 2 3 4
0
10
20
30
40
50
60
70
t
%
Property Allocation
0 1 2 3 4
0
20
40
60
80
100
t
%
Bond Allocation
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
%
Cash Allocation
Ações
CaixaRenda fixa
Imóveis
Árvorede alocação– Caso3
O resultado seguinte é a distribuição da riqueza final em valores reais. Esta
distribuição é aproximada pelo histograma da riqueza real dos nós terminais dada
por:
( ) ( ) ( )
(
)
*
)20,(inf_1
1
_ Lnwny
nacum
nrealriqueza
TT
T
T
+−
+
=
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
R$
scenarios
Real final wealth
Riquezafinal emvaloresreais– Caso1
cenários
R$
Resultados 78
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
R$
scenarios
Real final wealth
Riquezafinal emvaloresreais– Caso3
cenários
R$
Não existem diferenças significantes entre as riquezas finais para os casos 1
e 3. Esse resultado ratifica a baixa influência da iteração na probabilidade de
underfunding (riqueza final negativa).
Da mesma forma a distribuição da rentabilidade da carteira e,
conseqüentemente, da reserva matemática também se mostram indiferentes à
iteração de controle do risco de equilíbrio.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
%
scenarios
Real portfolio return
Rentabilidadereal da carteira– Caso 1
cenários
R$
Resultados 79
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
%
scenarios
Real portfolio return
Rentabilidadereal da carteira–Caso3
cenários
R$
3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500
0
50
100
150
R$
scenarios
Real Technical Reserve using portfolio real return as discount rate
Reservamatemáticareal – Caso1
cenários
R$
3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
R$
scenarios
Real Technical Reserve using portfolio real return as discount rate
Reservamatemáticareal – Caso3
cenários
R$
Resultados 80
É importante observar que o valor da reserva legal de R$ 4.925.000,00
(calculada com a taxa de desconto real de 6%) é maior do que todos os cenários
da distribuição aproximada da reserva matemática. Esta barreira legal é
desnecessariamente restritiva ao desempenho financeiro do fundo.
Como último resultado, a distribuição da probabilidade de insolvência é
levemente afetada pelos efeitos da iteração. É possível perceber uma redução do
número de cenários de probabilidade 1 e um aumento das probabilidades nulas.
Observa-se também que a grande maioria dos cenários tem 0 ou 1 como
probabilidade de insolvência. Isto pode ser explicado pela baixa volatilidade do
retorno da carteira e da reserva matemática, fazendo com que o patrimônio ao
final de 20 anos seja maior ou menor que todas as observação da reserva gerada.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
R$
scenarios
Insolvency probability
Probabilidadede insolvência– Caso1
cenários
R$
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
R$
scenarios
Insolvency probability
Probabilidadede insolvência– Caso3
cenários
R$
Conclusão 81
8
Conclusão
Este trabalho propôs um modelo de programação estocástica multi-estágio
aplicado ao ALM de fundo pensão e uma metodologia inovadora de medição e
controle do risco de equilíbrio da instituição. Os objetivos destes modelos são
encontrar a alocação ótima do fundo e medir a sua probabilidade de insolvência.
O processo se inicia com a estimação dos coeficientes do modelo
estocástico utilizados na geração de cenários em árvore para os fatores de risco. A
precificação dos ativos é feita utilizando esses fatores que também transformam a
modelagem do passivo real determinístico em fluxos nominais estocásticos. Estes
fluxos, assim como as rentabilidades dos ativos, são imputados no modelo de PE
com um requisito de capital nulo (L
*
= 0) para obtenção da alocação ótima da
carteira. Com o portfólio ótimo utiliza-se a técnica do bootstrap para obter a
distribuição da rentabilidade real da carteira que, por sua vez, é a base do cálculo
da distribuição da reserva matemática em termos reais. Com este resultado torna-
se possível a medição do risco de equilíbrio do fundo através da distribuição da
probabilidade de insolvência. No caso de uma probabilidade de insolvência média
aceitável o processo termina, caso contrário o requisito de capital L
*
é substituído
por um quantil da distribuição da reserva técnica. Um fluxograma geral demonstra
de forma sucinta as interações entre as diferentes partes do processo.
Modelo de
Programação
Estocástica
Modelo
Estocástico
Precificação
de ativos
Modelo do
passivo
Geração do
passivo em
árvore
Coeficientes
estimados
Retornos
dos ativos
Fluxos de caixa reais
determinísticos
Fluxos de caixa nominais estocásticos
Cenários
de inflação
Alocação
Ótima Final
Geração de
Cenários em
Árvore
Bootstrap
Medição de
Risco
Aceitação do
Nível de
Risco
Fatores
de risco
Novo requisito de Capital
Alocação
ótima
Distribuição do retorno
real da carteira e da
reserva matemática
Distribuição da
probabilidade de
insolvência
34
Conclusão 82
A diferenciação entre a probabilidade de underfunding obtida pelos outros
modelos da literatura, e a probabilidade de insolvência calculada pelo método de
medição de risco aqui proposto, mostra-se como um importante passo na
avaliação do estado de equilíbrio dos fundos de pensão. Foi provado que a
probabilidade de underfunding é uma medida subestimada do risco levando a
interpretações equivocadas do estado de solvência do fundo.
O método de controle do risco através do processo iterativo de aumentar o
requisito de capital mostrou-se pouco influente nas probabilidades de
underfunding e insolvência. Sendo assim, é possível dizer que a iteração proposta
é desnecessária e que o capital inicial do fundo é o principal fator que determina o
seu estado de equilíbrio.
A restrição que determina o máximo de 50% da carteira em renda variável
mostra-se bastante restritiva quanto à participação dos fundos de pensão no
mercado acionário brasileiro. Em um contexto de queda de juros esse máximo
será uma barreira já que esses fundos tendem a buscar ativos mais arriscados para
obter maiores retornos.
Como última conclusão, foi observada que a reserva determinada pela
legislação é superestimada em relação à distribuição da reserva matemática
calculada com a rentabilidade da carteira. A utilização de 6% como taxa de
desconto real é uma aproximação bastante inadequada para o retorno do portfólio
tendo como conseqüência um valor de reserva muito maior que o necessário.
Bibliografia 83
9
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Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
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