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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE F
´
ISICA – CCEN
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM F
´
ISICA
TESE DE DOUTORADO
ALGORITMOS NUM
´
ERICOS DE MATRIZES ALEAT
´
ORIAS
APLICADOS A SISTEMAS MESOSC
´
OPICOS
por
Francisco Assis Gois de Almeida
Tese apresentada ao programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
F´ısica da Universidade Federal de Pernambuco como
parte dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor
em F´ısica.
Banca examinadora:
Prof. Antˆonio Murilo Santos Macˆedo (Orientador - UFPE)
Prof. Renˆe Rodrigues Montenegro Filho (DF - UFPE)
Prof. Mauro Copelli Lopes da Silva (DF - UFPE)
Prof. Francisco Anacleto Barros Fidelis de Moura (IF - UFAL)
Prof. Peter Alexander Bleinroth Schulz (IFGW - Unicamp)
Recife - PE, Brasil
Fevereiro - 2010
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A meus pais, Manoel Aurelino e Maria Altair,
minha esposa, Ana Salete,
e minha filha, Lara.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agrade¸co a Deus pela minha existˆencia e por me guiar diante das
dificuldades pessoais e acadˆemicas que passei at´e chegar na conclus˜ao deste doutorado.
Durante tantos anos de gradua¸c˜ao, mestrado e doutorado, recebi amor e incentivo dos
meus pais. Mesmo com idades avan¸cadas e me tendo como ´unico filho, entenderam e
apoiaram meu afastamento durante quatro anos em Recife. Agrade¸co muito por isso e
por muito mais.
Tamb´em sou muito grato a minha esposa Salete por respeitar este afastamento, me
incentivando e sempre demonstrando o seu amor por mim. Agrade¸co a todos da fam´ılia de
Salete que deram suporte a minha pequena e amada filha Lara durante minha ausˆencia,
em especial `a Sra. Valdenora.
O prof. Antˆonio Murilo foi um orientador muito dedicado em passar seus conhe-
cimentos e em promover o meu desenvolvimento profissional. Esteve sempre disposto a
debater assuntos de pesquisa, inclusive por telefone e em hor´arios fora do seu expediente.
Ele tamb´em foi muito compreensivo com problemas pessoais durante o meu doutorado.
Por tudo isso, me sinto satisfeito, grato e honrado por ter sido orientado por uma pessoa
t˜ao ´etica e competente.
Tenho muita gratid˜ao ao prof. Cl´audio Macˆedo, que al´em de ser um dos meus
maiores exemplos de ´etica profissional, me proporcionou uma boa base de conhecimentos
cient´ıficos e guiou meu crescimento acadˆemico durante o meu bacharelado e mestrado em
f´ısica. Tamb´em sou grato ao prof. Andr´e Maur´ıcio pelas colabora¸c˜oes cient´ıficas e por
ter sido uma pessoa importante no meu encaminhamento acadˆemico.
O departamento de f´ısica da UFPE sempre forneceu excelentes condi¸c˜oes para o estudo
e para o desenvolvimento das atividades cient´ıficas com muito conforto. Sou grato a todos
professores e funcion´arios do DF.
Agrade¸co tamb´em:
aos meus colegas do grupo de f´ısica mesosc´opica pelas contribui¸c˜oes cient´ıficas e por
sempre estarem dispostos a ouvir e ajudar: Sergio Rodr´ıguez P´erez, Gerson
Cortˆes, Jorge Gabriel, Anderson Barbosa e Fredson Braz;
iv
AGRADECIMENTOS v
aos companheiros de curso pelo coleguismo: Paulo Renato, Vladimir e Pl´ınio;
aos amigos de Aracaju que de alguma forma me apoiaram: Ramon Ayres, Tiago
Ara´ujo e Cl´elio Brazil;
a meu primo Nilo e `a Sra. Maria Jos´e pelo apoio dado aos meus pais durante
minha ausˆencia;
aos amigos que fiz em Recife, por terem me dado aten¸c˜ao e companhia durante qua-
tro anos longe dos meus parentes: Edsom, Felippe, Leonardo, Marcos, Vag-
ner, Miro, Neuri, Cinthia, Claudilene, Denise, Jana e Samira. Em especial,
agrade¸co a Ana Ruth por ter me proporcionado entender de forma t˜ao perfeita o
significado da palavra amizade.
a todos meus parentes e amigos que sempre torceram para que eu conseguisse
realizar o sonho de obter o t´ıtulo de doutor.
Por fim, agrade¸co ao CNPq pelo apoio financeiro.
I am he as you are he as you are me
and we are all together.
—LENNON/MCCARTNEY (I am the Walrus, 1967)
RESUMO
O ponto quˆantico ca´otico (PQC) ´e um sistema fundamental para o estudo do transporte
quˆantico em sistemas mesosc´opicos. Experimentalmente, ´e poss´ıvel acoplar PQC’s for-
mando redes de diversas topologias. Neste trabalho, desenvolvemos algoritmos para a
concatena¸c˜ao das matrizes de espalhamentos dos PQC’s de uma rede de topologia ar-
bitr´aria, e assim, encontramos a matriz de espalhamento efetiva do sistema. Com o
formalismo de Landauer-B¨uttikker, relacionamos os observ´aveis de transporte `a matriz
de espalhamento do sistema. Para concatena¸c˜oes em s´erie dos PQC’s, usamos o m´etodo
da matriz de transferˆencia ou uma parametriza¸c˜ao de estube. Para concatenar em para-
lelo, desenvolvemos uma opera¸c˜ao alg´ebrica que serve para matrizes de transferˆencia ou
de espalhamento. Implementamos estes algoritmos numericamente e, atrav´es da teoria
de matrizes aleat´orias, simulamos a estat´ıstica de contagem de carga para trˆes sistemas
f´ısicos na aproxima¸c˜ao de quase-part´ıculas independentes e na presen¸ca de coerˆencia de
fase: um ´unico PQC, uma cadeia de PQC’s e um anel de quatro PQC’s. Estudamos a
eficiˆencia num´erica dos nossos algoritmos e mostramos que eles s˜ao mais eficientes que os
baseados na abordagem hamiltoniana. Obtemos as distribui¸c˜oes dos cumulantes de trans-
ferˆencia de carga (CTC’s) para os trˆes sistemas, variando alguns dos seus parˆametros:
simetrias de reversibilidade temporal, n´umero de canais de espalhamento e transparˆencias
dos contatos. Comparamos nossa simula¸c˜ao com resultados j´a conhecidos na literatura,
principalmente para o regime semicl´assico. Neste caso, atrav´es de m´etodos de inferˆencia
bayesiana, conseguimos obter com grande precis˜ao corre¸c˜oes devido `a localiza¸c˜ao fraca e
variˆancias de alguns CTC’s. Al´em disso, exploramos o limite quˆantico extremo, onde as
distribui¸c˜oes dos CTC’s apresentam n˜ao-analiticidades, as quais justificamos atrav´es de
um argumento geom´etrico, achando explicitamente os valores dos CTC’s onde essas n˜ao-
analiticidades podem aparecer. Observamos algumas semelhan¸cas entre distribui¸c˜oes de
condutˆancia para sistemas com diferentes parˆametros, onde os resultados sugerem uma
aproximada lei de escala cl´assica (lei de Ohm), a qual torna estas distribui¸c˜oes muito
pr´oximas. Uma caracter´ıstica marcante das discuss˜oes dos resultados neste trabalho ´e a
caracteriza¸c˜ao do regime de transporte atrav´es das distribui¸c˜oes dos CTC’s.
vii
RESUMO viii
Palavras-chave: F´ısica mesosc´opica, estat´ıstica de contagem de carga, limite quˆantico
extremo, redes de pontos quˆanticos, simula¸c˜ao computacional.
ABSTRACT
The chaotic quantum dot (CQD) is fundamental to study quantum transport in me-
soscopic systems. It is experimentally possible to connect CQDs to build networks of
arbitrary topologies. In this work, we developed algorithms to concatenate the scatte-
ring matrices of a CQDs network of arbitrary topology, finding the effective scattering
matrix of the system. We relate the transport observables to the scattering matrix of the
system through the Landauer-B¨uttikker formalism. We perform concatenations in series
using the transfer matrix method or a stub parameterization. To concatenate in parallel
we developed an algebraic operation applicable to transfer or scattering matrices. We
numerically implemented these algorithms and using random matrix theory we simula-
ted the charge counting statistics for three distinct systems, with in the approximation
of independent quasi-particles and in the presence of phase coherence: a single CQD,
a linear chain of CQDs and a four-CQD ring. We studied the numerical efficiency of
our algorithms, showing that they are more efficient than those based on the Hamilto-
nian approach. We obtained the distributions of the charge transfer cumulants (CTCs)
for three systems, varying some of their parameters: time-reversal symmetry, number of
scattering channels and transparencies of the contacts. We compared our simulations
with known results in the literature, especially for the semiclassical regime. In this case,
we used methods of Bayesian inference to obtain accurate values for weak localization
corrections and variances of some CTCs. Furthermore, we explored the extreme quan-
tum limit, where the distributions of the CTCs present nonanalyticities that we justify
through a geometrical argument, obtaining the explicit values of the CTCs where the
nonanalyticities can appear in their distributions. We noticed some similarities between
the conductance distributions for systems with different parameters, where the results
suggest an approximate classical scaling law (Ohm’s law), which makes these distribu-
tions closer. A central feature of the discussions about the results in this work is the
characterization of the transport regime through CTC distributions.
Keywords: Mesoscopic physics, charge counting statistic, extreme quantum limit,
quantum dot network, computer simulation.
ix
SUM
´
ARIO
Cap´ıtulo 1—Transporte quˆantico em sistemas mesosc´opicos 1
1.1 Tunelamento quˆantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Escalas caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Comprimento de onda de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Caminho livre m´edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Comprimento de relaxa¸c˜ao de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Ponto de contato quˆantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Ponto quˆantico ca´otico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Estat´ıstica de contagem de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 A f´ormula de Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2 Contagem de el´etrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.3 A f´ormula de Levitov-Lesovik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.4 Cumulantes de transferˆencia de carga . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Limite cl´assico: lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Distribui¸c˜ao dos autovalores de transmiss˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Interferˆencia quˆantica: localiza¸c˜ao fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Flutua¸c˜oes universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.11 Caracteriza¸c˜ao dos regimes de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.12 M´etodos para estudar transporte em sistemas mesosc´opicos . . . . . . . . 32
1.13 Sum´ario geral da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Cap´ıtulo 2—A teoria de matrizes aleat´orias 36
2.1 Revers˜ao temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 O ensemble gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Classes de universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Distribui¸c˜ao de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
x
SUM
´
ARIO xi
2.2.3 Gera¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 O ensemble circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Classes de universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Gera¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Cap´ıtulo 3—Algoritmos de transporte via teoria de matrizes aleat´orias 44
3.1 Abordagem hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Abordagem da matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Concatena¸c˜ao em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Concatena¸c˜ao em s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2.1 Matriz de transferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2.2 Estube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Cap´ıtulo 4—Distribui¸c˜oes de cumulantes de transferˆencia de carga num ponto
quˆantico n˜ao-ideal 56
4.1 Implementa¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Estat´ıstica de contagem de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Semelhan¸cas entre distribui¸c˜oes de condutˆancia . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Cap´ıtulo 5—Inferˆencia bayesiana 75
5.1 O teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Regress˜ao linear bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3 Localiza¸c˜ao fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Cap´ıtulo 6—Transporte em redes de pontos quˆanticos 82
6.1 Cadeia linear de pontos quˆanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1.1 Implementa¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1.2 Estat´ıstica de contagem de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Anel de quatro pontos quˆanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
SUM
´
ARIO xii
6.2.1 Implementa¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.2 Estat´ıstica de contagem de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Semelhan¸cas entre distribui¸c˜oes de condutˆancia . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Cap´ıtulo 7—N˜ao-analiticidades nas distribui¸c˜oes dos cumulantes de transferˆencia
de carga 100
7.1 Um ´unico canal de espalhamento aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2 Distribui¸c˜ao geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3 Sum´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Cap´ıtulo 8—Conclus˜oes e perspectivas 109
Apˆendice A—Distribui¸c˜ao gaussiana de matrizes aleat´orias 112
Apˆendice B—Parametriza¸c˜ao de Box-M¨uller 114
Apˆendice C—Parametriza¸c˜ao de Hurwitz e algoritmo para gerar matrizes do
ECU 115
Apˆendice D—An´alise de eficiˆencia num´erica 117
Apˆendice E—A matriz de transferˆencia 119
Apˆendice F—Concatena¸c˜ao em s´erie de duas matrizes de espalhamento 121
Apˆendice G—Unitariedade na concatena¸c˜ao via estube 123
LISTA DE FIGURAS
1.1 Ilustra¸c˜ao conceitual de um experimento de interferˆencia. Um feixe de
el´etrons ´e separado em dois caminhos distintos que se encontram logo em
seguida. Figura retirada da ref. [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ponto de contato quˆantico. O cinza mais claro representa um g´as de
el´etrons bidimensional. O cinza mais escuro ´e a constri¸c˜ao impenetr´avel
de largura L e abertura de tamanho W . Os sinais − e + representam a
voltagem aplicada para que ocorra o transporte dos el´etrons da esquerda
para a direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Ponto de contato adiab´atico. A varia¸c˜ao na largura da constri¸c˜ao provoca
uma barreira de potencial efetiva dependente do canal de propaga¸c˜ao. Em
uma dada energia, somente alguns canais podem ultrapassar a barreira,
os quais s˜ao abertos. Em (c), as linhas tracejadas representam os canais
fechados e as s´olidas, os canais abertos. Figura retirada da ref. [1]. . . . . 7
1.4 Reservat´orios macrosc´opicos em equil´ıbrio termodinˆamico nas extremida-
des de um condutor mesosc´opico, cada um caracterizado pelo seu potencial
eletroqu´ımico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Bandas de condu¸c˜ao e de valˆencia alinhadas com uma jun¸c˜ao de um Al-
GaAs (semicondutor tipo n) com um GaAs (semicondutor intr´ınseco) (a)
antes e (b) depois da transferˆencia de carga. Figura retirada da ref. [2]. . 11
1.6 Condutˆancia versus potencial do port˜ao de voltagem do sistema descrito
pela fig. 1.5. Figura retirada da ref. [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Em (a), um ponto quˆantico constru´ıdo sobre um GE-2D e em (b), sua
vis˜ao cl´assica. O ponto quˆantico tem analogia cl´assica a uma cavidade na
qual os el´etrons s˜ao refletidos nas fronteiras, semelhante a uma mesa de
bilhar. Figura retirada da ref. [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
xiii
LISTA DE FIGURAS xiv
1.8 Estrutura da matriz de espalhamento. A onda incidente no canal 2 vindo
da esquerda com amplitude 1 ´e separada em amplitudes transmitidas e re-
fletidas em todos os canais de forma misturada. As flechas pretas ilustram
os canais em que ´e poss´ıvel a onda se propagar, indicando a dire¸c˜ao de
propaga¸c˜ao. As brancas representam a impossibilidade da propaga¸c˜ao da
onda naquele canal com o sentido indicado. Figura retirada da ref. [1]. . 14
1.9 Jun¸c˜ao dupla de tunelamento em (a) e o diagrama de circuito equivalente
em (b). Figura retirada da ref. [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Poss´ıveis processos de transmiss˜ao pelas duas barreiras em (a). A trans-
miss˜ao depende fortemente do deslocamento de fase χ ou equivalentemente,
da energia E. Em (b), a linha horizontal tracejada ´e a transmiss˜ao pro-
mediada em χ. Figura retirada da ref. [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Um grande n´umero de canais causa promedia¸c˜ao nas propriedades de trans-
porte. As linhas tracejadas s˜ao as transmiss˜oes de seis canais independen-
tes com fases aleat´orias. A linha s´olida ´e a m´edia da transmiss˜ao sobre os
seis canais. Figura retirada da ref. [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.12 Condutˆancia em fun¸c˜ao de um campo magn´etico perpendicular aplicado
a um fio de ouro quase-unidimensional. A m´edia sobre as flutua¸c˜oes est´a
representada pela linha clara em torno de 372,3e
2
/h. O desvio padr˜ao est´a
representado por metade da largura em cinza em torno da m´edia e ´e da
ordem de 0,6e
2
/h. Figura retirada da ref. [10]. . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Vis˜ao esquem´atica de um ponto quˆantico. Cada guia ´e caracterizado pelo
n´umero de canais de espalhamento abertos N
1
e N
2
. Γ
1
e Γ
2
s˜ao as trans-
parˆencias das barreiras. As simetrias f´ısicas da dinˆamica dos el´etrons na
cavidade ca´otica est˜ao rotuladas por β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Concatena¸c˜ao em paralelo. Em (a), L centros espalhadores em paralelo e
em (b), o centro espalhador efetivo da concatena¸c˜ao dos L centros. . . . . 48
3.3 Concatena¸c˜ao em s´erie via matriz de transferˆencia. Em (a), L centros
espalhadores em s´erie e em (b), o centro espalhador efetivo da concatena¸c˜ao
dos L centros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
LISTA DE FIGURAS xv
3.4 Concatena¸c˜ao em s´erie de trˆes centros espalhadores atrav´es de uma trans-
forma¸c˜ao de estube. Em (a), os trˆes centros espalhadores em s´erie. Em
(b), o guia 3 gira em torno do centro espalhador 2 at´e formar o sistema
(c), onde o centro A ´e a concatena¸c˜ao em paralelo dos centros 1 e 3. Ainda
em (c), o centro B ´e um espalhador entre o guia efetivo da esquerda devido
ao sistema em paralelo e um guia fict´ıcio `a direita, com
B
r =
2
S,
B
r
= 1
e
B
t
= 0 =
B
t. Em (d), a concatena¸c˜ao em s´erie dos centros A e B forma
um estube caracterizado por
C
S. Em (e), a separa¸c˜ao dos guias 1 e 4 desfaz
a transforma¸c˜ao de estube. Em (f) o centro efetivo da concatena¸c˜ao do
sistema em (a) ´e obtido atrav´es do bloco de reflex˜ao do centro C, S =
C
r. 52
4.1 Diagrama de centros de espalhamento para um ponto quˆantico. As barrei-
ras s˜ao representadas por suas transparˆencias Γ
1
e Γ
2
. A cavidade ca´otica
´e caracterizada pelo seu ´ındice de simetria β. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Distribui¸c˜oes de condutˆancia e de potˆencia do ru´ıdo de disparo para um
ponto quˆantico com contatos ideais. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao
os valores de N
2
, enquanto N
1
= 4 para ambos os pain´eis. Usamos β = 1
para P
1
e β = 2 para P
2
. Os s´ımbolos s˜ao dados da simula¸c˜ao e as curvas
s´olidas s˜ao resultados exatos extra´ıdos da ref. [23]. . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Estat´ıstica da condutˆancia para um ponto quˆantico com contatos ideais,
β = 1 e N
1
= 5. Em (a) temos a distribui¸c˜ao completa de condutˆancia
obtida pela simula¸c˜ao, onde N
2
= 5, 9, 13 e 21 dos s´ımbolos mais claros
aos mais escuros. Ainda em (a), os valores de g est˜ao normalizados pelo
valor esperado pela lei de Ohm: g
Ohm
= 5N
2
/(5 + N
2
). Em (b) temos a
variˆancia de g [eq. ( . )], enquanto o terceiro cumulante de g est´a em (c)
[eq. ( . )]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um ponto quˆantico ca´otico
com um ´unico canal de espalhamento em cada guia e Γ
1
= Γ
2
= 2/3 e β =
1, 2 e 4 (do mais claro para o mais escuro: quadrado, c´ırculo e triˆangulo.).
Os pontos s˜ao os dados da simula¸c˜ao e as linhas s´olidas s˜ao resultados
exatos [51]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
LISTA DE FIGURAS xvi
4.5 Valores de condutˆancia obtidos aleatoriamente via simula¸c˜ao para um
ponto quˆantico ca´otico com apenas um canal de espalhamento, contatos
de transparˆencia 2/3 e β = 1. Cada uma das mil realiza¸c˜oes num´ericas
gerou um valor de g, representados por pequenos c´ırculos abertos. A reta
em g = 0,2060731 representa a m´edia da amostra. A faixa cinza em torno
da reta, tem largura do dobro do desvio padr˜ao da amostra 2 × 0,2462341. 66
4.6 Distribui¸c˜oes de condutˆancia e de potˆencia do ru´ıdo de disparo para um
ponto quˆantico com guias sim´etricos, barreiras de transparˆencia Γ = 0,5
e β = 4. As curvas est˜ao rotuladas pelos n´umeros de canais em cada um
dos guias. As linhas s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Distribui¸c˜oes dos terceiro e quarto CTC’s para um ponto quˆantico com
β = 1, N
1
= N
2
= 8 e Γ
1
= Γ
2
= Γ. As linhas s˜ao apenas guias de olhos. 68
4.8 M´edias dos quatro primeiros CTC’s em fun¸c˜ao das transparˆencias das bar-
reiras para um ponto quˆantico ca´otico com dois canais de espalhamento
abertos em cada um dos dois guias e β = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.9 Estat´ısticas de g e de p em fun¸c˜ao do n´umero de canais para um ponto
quˆantico ca´otico com β = 1. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os
valores de N
1
, enquanto Γ
1
= Γ
2
= 0,6. Os pontos fechados ilustram os
resultados via SUSY [28] e os abertos representam os dados da simula¸c˜ao.
As linhas s´olidas (SUSY) e pontilhadas (simula¸c˜ao) s˜ao apenas guias de
olhos. Em (d), temos o desvio relativo da condutˆancia em escala ln-ln. As
retas tracejadas s˜ao regress˜oes lineares obtidas atrav´es dos pontos N
2
=
7, 8, 9 e 10, com coeficientes angulares −0,42; −0,415 e −0,45; e lineares
0,18; −0,446 e −0,658; respectivamente para N
1
= 1, 3 e 5. . . . . . . . . 70
4.10 Estat´ısticas de g e de p em fun¸c˜ao de N
1
para um ponto quˆantico ca´otico
com β = 1 e Γ
1
= Γ
2
= 0,6. Os s´ımbolos s˜ao extrapola¸c˜oes para N
2
→ ∞
atrav´es de resultados da simula¸c˜ao com 10 ≤ N
2
/N
1
≤ 15. As curvas s˜ao
guias de olhos para os resultados exatos para um ponto de contato quˆantico
(PCQ) com N
1
canais abertos e transparˆencia Γ
1
= 0,6. . . . . . . . . . . 71
LISTA DE FIGURAS xvii
4.11 Estat´ısticas de g e de p em fun¸c˜ao das transparˆencias das barreiras para
um ponto quˆantico ca´otico com dois canais de espalhamento em cada um
dos guias e β = 1. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os valores de Γ
1
. Os
pontos ilustram os resultados via SUSY [28] e as linhas s´olidas representam
os dados da simula¸c˜ao. Em (d), temos o desvio relativo da condutˆancia
em escala ln-ln. Atrav´es de uma extrapola¸c˜ao num´erica, estimamos o
desvio relativo no limite Γ
2
→ 0: σ/g ≈ 0,6455; 0,8619; 1,1582 e 2,9789;
respectivamente para Γ
1
= 1; 0,7; 0,4 e Γ
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.12 Distribui¸c˜oes de condutˆancia para um ponto quˆantico ca´otico de guias
e contatos sim´etricos com β = 1. Cada distribui¸c˜ao est´a caracterizada
pelos parˆametros (N; Γ). Perceba a semelhan¸ca entre as distribui¸c˜oes de
sistemas com diferentes (N; Γ). Os valores das transparˆencias n˜ao-ideais
(Γ = 1) foram estimados atrav´es da minimiza¸c˜ao da diferen¸ca entre as
distribui¸c˜oes, a qual foi quantificada pela entropia relativa [eq. ( . )]. As
linhas s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1 Corre¸c˜ao da condutˆancia em rela¸c˜ao `a lei de Ohm (δg = g − N/2) para
um ponto quˆantico com contatos ideais, N canais em cada guia e cavidade
com β = 1. Os pontos s˜ao dados da simula¸c˜ao. A reta pontilhada foi
obtida atrav´es de uma regress˜ao linear tradicional, a qual se baseia em
m´ınimos quadrados: (0,81 ± 0,97)/N − 0,278 ± 0,031. A regress˜ao linear
bayesiana forneceu a reta tracejada: (0,058 ±0,067)/N −0,2507 ±0,0031.
A curva s´olida ´e o resultado exato, gerado pela eq. ( . ). . . . . . . . . 81
6.1 Diagrama de centros de espalhamento para uma cadeia de L pontos quˆanticos.
As barreiras s˜ao representadas por suas transparˆencias Γ
i
, com i = 1, 2, . . . , L+
1. As cavidades ca´oticas s˜ao C
j
, com j = 1, 2, . . . , L. . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Coeficientes dos termos principais dos quatro primeiros CTC’s baseados
na eq. ( . ). Os pontos foram estimados atrav´es de ajustes polinomiais
de curvas usando os resultados da simula¸c˜ao com Γ = 0,7; . . . ; 1 e N =
20, . . . , 50. As linhas s˜ao guias de olhos para resultados exatos [eq. ( . )]
obtidos via teoria de circuitos [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
LISTA DE FIGURAS xviii
6.3 Coeficientes das corre¸c˜oes de localiza¸c˜ao fraca para g e p baseados na eq.
( . ). Os pontos foram estimados atrav´es de m´etodos bayesianos (cap.
5) usando os resultados da simula¸c˜ao com Γ = 0,7; . . . ; 1 e N = 20, . . . , 50.
As linhas s˜ao guias de olhos para resultados exatos [eq. ( . )] obtidos via
teoria de circuitos [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 Coeficientes da variˆancia da condutˆancia baseados na eq. ( . ). Os pon-
tos foram estimados atrav´es de m´etodos bayesianos (cap. 5) usando os
resultados da simula¸c˜ao com Γ = 0,7; . . . ; 1 e N = 20, . . . , 50. As linhas
s˜ao guias de olhos para resultados exatos [eq. ( . )] obtidos via teoria de
circuitos [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para uma cadeia com guias de
oito canais, contatos ideais e cavidades com β = 1, para L = 1, 2, 4 e 6.
As linhas s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.6 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para uma cadeia com guias de
dois canais, barreiras com Γ = 0,7 e cavidades com β = 2, para L = 1, 2,
3 e 6. As linhas s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7 Diagrama de centros de espalhamento para um A4PQ. As barreiras s˜ao
representadas por suas transparˆencias Γ
i
, com i = 1, 2, . . . , 6. As cavidades
ca´oticas s˜ao C
j
, com j = 1, 2, . . . , 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.8 Circuito cl´assico equivalente ao A4PQ, o qual est´a representado na fig. 6.7.
As resistˆencias s˜ao R
j
= (Γ
j
N
j
)
−1
, pois s˜ao o inverso da condutˆancia de
cada contato do sistema original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.9 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um A4PQ com guias de N
canais, contatos ideais e cavidades com β = 2. As linhas s˜ao apenas guias
de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.10 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um A4PQ com guias de
nove canais, contatos de transparˆencia Γ e cavidades com β = 1. As linhas
s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
LISTA DE FIGURAS xix
6.11 Distribui¸c˜oes de condutˆancia para uma cadeia de L pontos (a) e para um
A4PQ (b). Em todos os sistemas os guias e os contatos s˜ao iguais e β = 2
para todas as cavidades ca´oticas. Cada distribui¸c˜ao est´a caracterizada
pelo parˆametro (N; Γ). Perceba a semelhan¸ca entre as distribui¸c˜oes de
sistemas com diferentes (N; Γ). Os valores das transparˆencias n˜ao-ideais
(Γ = 1) foram estimados atrav´es da minimiza¸c˜ao da diferen¸ca entre as
distribui¸c˜oes, a qual foi quantificada pela entropia relativa [eq. ( . )]. As
linhas s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1 Distribui¸c˜oes do autovalor de transmiss˜ao de um ponto quˆantico com ape-
nas um canal de espalhamento aberto em cada guia e contatos de trans-
parˆencia 2/3, para as trˆes classes de simetria de Wigner-Dyson. Figura
retirada da ref. [51]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.2 Terceiro (a) e quarto (b) CTC’s em fun¸c˜ao dos dois autovalores de trans-
miss˜ao para n = 2.
`
A esquerda, temos as curvas em 3D mostrando a forma
expl´ıcita das superf´ıcies HS
3
2
(a) e HS
4
2
(b).
`
A direita temos as curvas de
n´ıvel CN
3
2
(a) e CN
4
2
(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3 Distribui¸c˜oes geom´etricas da condutˆancia. Os n´umeros rotulando as curvas
s˜ao os valores de n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4 Distribui¸c˜oes de condutˆancia para um ponto quˆantico ca´otico com β = 1,
dois canais em cada guia e barreiras de transparˆencia Γ = 0,2, 0,6 e 1. As
linhas s˜ao apenas guias de olhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.1 Distribui¸c˜oes da condutˆancia, g e do quarto CTC, q
4
, para um ponto
quˆantico ca´otico com dois canais abertos de espalhamento em cada um
dos dois guias, transparˆencia das barreiras de 40% e β = 4, usando os trˆes
m´etodos num´ericos apresentados no cap. 3 com 10
5
realiza¸c˜oes. . . . . . 117
D.2 Eficiˆencia do m´etodo ST em rela¸c˜ao aos m´etodos MW e MT versus o
n´umero de canais. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os valores de β. . 118
E.1 Centro espalhador conectado a dois guias. As ondas dentro dos guias 1
e 2 incidem ou refletem no centro espalhador. As amplitudes de ondas
incidentes s˜ao a
1,2
e das refletidas s˜ao b
1,2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
LISTA DE FIGURAS xx
F.1 Concatena¸c˜ao em s´erie de duas matrizes de espalhamento. Em (a), dois
centros espalhadores em s´erie e em (b), o centro espalhador efetivo. As am-
plitudes de onda no guia m com sentido de propaga¸c˜ao σ est˜ao denotadas
por a
m
σ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
LISTA DE TABELAS
1.1 Ordens de grandeza de algumas escalas de comprimento relevantes para
a f´ısica mesosc´opica. l
m
´e o caminho livre m´edio, l
φ
´e o comprimento de
relaxa¸c˜ao de fase e λ
F
´e o comprimento de onda de Fermi. Tabela baseada
na ref. [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
xxi
CAP
´
ITULO 1
TRANSPORTE QU
ˆ
ANTICO EM SISTEMAS
MESOSC
´
OPICOS
O transporte de el´etrons ´e um tema de grande importˆancia para a f´ısica da mat´eria
condensada, pois ´e atrav´es dele que se pode caracterizar s´olidos: supercondutores, metais,
semicondutores e isolantes. Classicamente, a equa¸c˜ao de Boltzmann rege o transporte
eletrˆonico, a qual descreve a evolu¸c˜ao temporal da fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de uma part´ıcula
em um fluido, levando em conta os efeitos de colis˜oes. Este formalismo fornece uma boa
aproxima¸c˜ao em escalas macrosc´opicas da dinˆamica quˆantica subjacente. Como exemplo,
atrav´es da equa¸c˜ao de Boltzmann ´e poss´ıvel deduzir a lei de Ohm [1], a qual relaciona
a condutˆancia, G, com as dimens˜oes do sistema da seguinte forma: para um condutor
retangular de comprimento L e ´area transversal W
G =
σW
L
, ( . )
onde σ ´e a condutividade, a qual depende da constitui¸c˜ao do material. Por´em, quando
se reduz o tamanho dos condutores surgem efeitos quˆanticos, os quais a equa¸c˜ao de
Boltzmann n˜ao pode descrever [2, 1]. A f´ısica mesosc´opica trata, justamente, destes sis-
temas, onde os efeitos ondulat´orios dos el´etrons s˜ao relevantes. Neste regime, o transporte
quˆantico de unidades de carga ´e o respons´avel pela caracteriza¸c˜ao do sistema, n˜ao interes-
sando seu tamanho, seu material, sua composi¸c˜ao atˆomica ou sua estrutura, como ficar´a
claro neste cap´ıtulo. Isso esclarece a distin¸c˜ao entre a f´ısica mesosc´opica e outras ´areas
como ciˆencia dos materiais, engenharia eletrˆonica e f´ısica do estado s´olido e molecular
[1, 2].
Neste cap´ıtulo, apresentaremos fundamentos da f´ısica mesosc´opica com ˆenfase em
fenˆomenos de transporte quˆantico. Discutiremos algumas escalas de tempo e de com-
primento importantes para a descri¸c˜ao do transporte. Apresentaremos a estat´ıstica de
contagem de carga (ECC) e introduziremos o formalismo de espalhamento de Landauer-
B¨uttikker, o qual relaciona a ECC com a matriz de espalhamento do sistema.
1
1.1 TUNELAMENTO QU
ˆ
ANTICO 2
1.1 TUNELAMENTO QU
ˆ
ANTICO
Geralmente o el´etron sofre espalhamento
1
durante seu transporte, devido `as intera¸c˜oes
com outros el´etrons, com ´ıons, com fˆonons, etc. Nestes processos, um fenˆomeno que
acontece em sistemas quˆanticos, que n˜ao existe em sistemas cl´assicos ´e o tunelamento. Um
el´etron ´e capaz de ultrapassar um potencial mesmo n˜ao tendo energia “suficiente” para
tal feito na vis˜ao cl´assica. Para entendermos melhor este conceito, considere a equa¸c˜ao
de Schr¨odinger independente do tempo para um el´etron em um campo eletrost´atico
Eψ
E
(r) =
−
2
2m
∇
2
+ U(r)
ψ
E
(r), ( . )
onde E, m e r s˜ao respectivamente a energia, a massa e a posi¸c˜ao do el´etron, U(r) ´e o
potencial eletrost´atico e ψ
E
(r) ´e a fun¸c˜ao de onda. Vamos considerar o caso simples de
um el´etron se movendo em uma dimens˜ao num guia de onda [1]. Para isso fazemos U = 0
para |y| < a/2, |z| < b/2 e U = ∞ nos outros casos, deixando o el´etron para se mover
livremente na dire¸c˜ao x. Assim obtemos a solu¸c˜ao
ψ
k
x
,n
(x, y, z) = ψ
k
x
(x)φ
n
(y, z), ( . )
onde
ψ
k
x
(x) = exp(ik
x
x) ( . )
e
φ
n
(y, z) =
2
√
ab
sin[k
n
y
(y − a/2)] sin[k
n
z
(z − b/2)]. ( . )
Portanto, o movimento transversal ´e quantizado e o espectro ´e
E
n
(k
x
) =
(k
x
)
2
2m
+ E
n
; E
n
=
(π)
2
2m
n
2
y
a
2
+
n
2
z
b
2
, ( . )
onde k
x
´e a componente do vetor de onda na dire¸c˜ao x e n ≡ (n
y
, n
z
) ∈ N
2
.
Podemos adicionar uma modelagem de barreira de potencial da seguinte forma
U(x) =
U
0
, 0 < x < d,
0, outros casos.
( . )
1
Os processos de espalhamento s˜ao tamb´em chamados classicamente de colis˜oes. No entanto, quan-
ticamente evitamos usar este termo, pois ele faz referˆencia a trajet´oria, que ´e um conceito inv´alido na
mecˆanica quˆantica.
1.2 ESCALAS CARACTER
´
ISTICAS 3
Considerando as ondas incidentes vindas da esquerda para a direita com energia E, temos
ψ(x) =
exp(ikx) + r exp(−ikx), x < 0,
B exp(iκx) + C exp(−iκx), 0 < x < d,
t exp(ikx), x > d,
( . )
onde k =
2m(E − E
n
)/, κ =
2m(E − E
n
− U
0
)/ =
k
2
− 2mU
0
/
2
, t ´e a ampli-
tude de transmiss˜ao e r a de reflex˜ao. O coeficiente de transmiss˜ao T(E) = |t|
2
determina
a fra¸c˜ao da onda transmitida que atravessa o obst´aculo, enquanto o coeficiente de reflex˜ao
R(E) = |r|
2
= 1 − T (E) informa a fra¸c˜ao refletida. Impondo a normaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao
de onda e condi¸c˜oes para que ela seja cont´ınua, obtemos
T (E) =
4k
2
κ
2
(k
2
− κ
2
)sen
2
(κd) + 4k
2
κ
2
. ( . )
Classicamente, part´ıculas com energia abaixo da barreira (E < U
0
) devem ser totalmente
refletidas (T = 0). Por´em, pela mecˆanica quˆantica, essas part´ıculas possuem uma chance
finita de serem transmitidas: T (E U
0
) ∝ exp(−2d
2m(U
0
+ E
n
− E)/) 1.
1.2 ESCALAS CARACTER
´
ISTICAS
A f´ısica mesosc´opica est´a no limiar entre os efeitos cl´assicos presentes em materiais
macrosc´opicos e os efeitos quˆanticos de sistemas extremamente pequenos. Para enten-
dermos a transi¸c˜ao entre estes dois regimes, precisamos ser mais espec´ıficos e definirmos
escalas de comprimento importantes para a caracteriza¸c˜ao do transporte. Sistemas com
tamanho muito maior que as escalas que mostraremos aqui possuem um comportamento
ˆohmico e podem ser tratados classicamente. As ordens de grandeza de algums destas
escalas est˜ao na tab. 1.1. Mais detalhes sobre estas escalas est˜ao presentes nas refs.
[2, 3].
1.2.1 Comprimento de onda de Fermi
Em condutores a baixas temperaturas, somente os el´etrons com energias pr´oximas `a
energia de Fermi, E
F
= (k
F
)
2
/(2m), participam do transporte. O comprimento de onda
de Fermi ´e referente a esta energia e ´e dado por
λ
F
=
2π
k
F
. ( . )
1.2 ESCALAS CARACTER
´
ISTICAS 4
1mm
l
m
no regime Hall quˆantico
100µm
l
m
e l
φ
em semicondutores com alta mobilidade
10µm
1µm
Dispositivos semicondutores comerciais (1900)
100nm
λ
F
em semicondutores
l
m
em filmes met´alicos polycristalinos
10nm
1nm
λ
F
em metais
distˆancia entre ´atomos
1
˚
A
Tabela 1.1 Ordens de grandeza de algumas escalas de comprimento relevantes para a f´ısica
mesosc´opica. l
m
´e o caminho livre m´edio, l
φ
´e o comprimento de relaxa¸c˜ao de fase e λ
F
´e o
comprimento de onda de Fermi. Tabela baseada na ref. [2].
1.2.2 Caminho livre m´edio
Sabemos que processos de espalhamento modificam o momento da part´ıcula espa-
lhada. A distˆancia que ela percorre at´e que seu momento inicial seja destru´ıdo ´e chamado
de caminho livre m´edio.
Alguns modelos cl´assicos como o de Drude-Sommerfeld (ou modelo do el´etron livre)
[4] consideram que a colis˜ao entre um el´etron e um ´ıon acontece instantaneamente, ou
seja, o el´etron muda seu momento abruptamente. Neste caso, o caminho livre m´edio pode
ser definido como l
m
= θ
c
v
F
, onde v
f
= k
f
/m ´e a velocidade de Fermi e θ
c
´e o tempo
m´edio entre suscessivas colis˜oes do el´etron. Por´em, a intera¸c˜ao entre o el´etron e o centro
espalhador n˜ao ´e instantˆanea e, portanto, o processo de espalhamento ocorre num certo
intervalo de tempo. Sendo asim, podemos definir o tempo de relaxa¸c˜ao do momento do
el´etron da seguinte forma
θ
m
=
θ
c
α
m
, ( . )
onde 0 ≤ α
m
≤ 1 denota a efetividade de um espalhamento em destruir o momento
inicial. Ent˜ao, de uma maneira geral, o caminho livre m´edio ´e dado por
l
m
= v
F
θ
m
. ( . )
1.2 ESCALAS CARACTER
´
ISTICAS 5
Figura 1.1 Ilustra¸c˜ao conceitual de um experimento de interferˆencia. Um feixe de el´etrons ´e
separado em dois caminhos distintos que se encontram logo em seguida. Figura retirada da ref.
[2].
1.2.3 Comprimento de relaxa¸c˜ao de fase
Este comprimento de relaxa¸c˜ao ´e inerente `a mecˆanica quˆantica e n˜ao possui an´alogo
cl´assico, pois diferente do espa¸co de fase da mecˆanica cl´assica, o estado da part´ıcula
na mecˆanica quˆantica ´e definido por sua fun¸c˜ao de onda, a qual possui uma fase. Em
analogia com a relaxa¸c˜ao de momento, podemos escrever o tempo de relaxa¸c˜ao de fase
como
θ
φ
=
θ
c
α
φ
, ( . )
onde agora 0 ≤ α
φ
≤ 1 ´e a efetividade de um espalhamento em destruir a fase inicial.
A fase ´e muito importante no fenˆomeno de interferˆencia. Um exemplo de um experi-
mento de interferˆencia est´a ilustrado na fig. 1.1 onde um feixe de el´etrons ´e separado em
dois caminhos que se unem em seguida. Se as fases n˜ao forem destru´ıdas nos caminhos 1
e 2, efeitos de interferˆencia quˆantica poder˜ao ser observados. Por exemplo, em um cristal
perfeito os dois caminhos devem ser idˆenticos e, portanto, a interferˆencia ´e construtiva,
n˜ao havendo relaxa¸c˜ao de fase (θ
φ
→ ∞ que significa α
φ
→ 0). Em oposi¸c˜ao, se aplicar-
mos um campo magn´etico perpendicular ao plano dos caminhos, este poder´a mudar as
fases relativas e consequentemente mudar a interferˆencia na uni˜ao dos caminhos.
´
E importante entender o efeito de adicionar impurezas aleatoriamente em cada um
dos caminhos. Qualquer potencial est´atico e independente de spin n˜ao pode causar re-
laxa¸c˜ao de fase, pois existe uma rela¸c˜ao definida entre as fases para os dois caminhos.
Em outras palavras, as equa¸c˜oes de movimento de qualquer potencial estacion´ario s˜ao
revers´ıveis temporalmente. Sendo assim, impurezas n˜ao-magn´eticas e est´aticas n˜ao cau-
sam relaxa¸c˜ao de fase. Os ´unicos processos que s˜ao capazes de provocar relaxamento
1.3 PONTO DE CONTATO QU
ˆ
ANTICO 6
de fase s˜ao aqueles que quebram a simetria de revers˜ao temporal. Dentre eles est˜ao
os espalhamentos inel´asticos causados por intera¸c˜oes el´etron-el´etron ou el´etron-fˆonon e
espalhamentos com mudan¸ca de spin.
´
E importante introduzirmos o conceito de mobilidade. Seja v
d
a velocidade de deriva
dos el´etrons adquirida com a aplica¸c˜ao de um campo el´etrico
E. A mobilidade mede a
resposta na velocidade de deriva com a aplica¸c˜ao do campo el´etrico da seguinte forma
M =
|v
d
|
|
E|
=
|e|θ
m
m
, ( . )
onde e ´e a carga e m a massa do el´etron.
Para sistemas com alta mobilidade θ
φ
θ
m
e, consequentemente, o comprimento de
relaxa¸c˜ao de fase ´e dado por
l
φ
= v
F
θ
φ
l
m
. ( . )
Por outro lado, quando a mobilidade ´e baixa, θ
φ
θ
m
, indicando que o movimento ´e
difusivo. Neste caso, temos
l
φ
=
Dθ
φ
, ( . )
onde D = v
2
F
θ
m
/d ´e a constante de difus˜ao e d ´e a dimens˜ao do g´as de el´etrons.
1.3 PONTO DE CONTATO QU
ˆ
ANTICO
O sistema mesosc´opico mais simples ´e o ponto de contato quˆantico (PCQ), o qual est´a
ilustrado na fig. 1.2. Ele consiste de uma constri¸c˜ao de largura L e abertura de tamanho
W , a qual divide duas regi˜oes condutoras onde o transporte ´e praticamente bal´ıstico:
l
m
L.
Para entendermos o PCQ, vamos modelar o transporte quˆantico por analogia a guias
de onda seguindo a ref. [1]. Vamos introduzir a ideia desta modelagem em dois passos.
O primeiro ´e comparar o PCQ a guias de onda ideais e em seguida, introduzir o conceito
de canais de propaga¸c˜ao de el´etrons. O segundo ´e incluir espalhamento entre canais,
mostrando que a complexidade desse espalhamento pode ser modelada pela matriz de
espalhamento.
Vamos iniciar estudando o caso ilustrado na fig. 1.3. Trata-se de um guia de onda
com se¸c˜ao transversal vari´avel |y| < a(x)/2 e |z| < b(x)/2, tendo a condi¸c˜ao de que
para x → ±∞ a se¸c˜ao transversal ´e constante: a
∞
e b
∞
. Assim, no meio do guia as
constri¸c˜oes v˜ao estreitando e os resultados para um guia de onda ideal n˜ao se aplicam.
Al´em do mais, resolver a equa¸c˜ao de Schr¨odinger se torna complicado, pois as vari´aveis
1.3 PONTO DE CONTATO QU
ˆ
ANTICO 7
Figura 1.2 Ponto de contato quˆantico. O cinza mais claro representa um g´as de el´etrons
bidimensional. O cinza mais escuro ´e a constri¸c˜ao impenetr´avel de largura L e abertura de
tamanho W . Os sinais − e + representam a voltagem aplicada para que ocorra o transporte
dos el´etrons da esquerda para a direita.
Figura 1.3 Ponto de contato adiab´atico. A varia¸c˜ao na largura da constri¸c˜ao provoca uma
barreira de potencial efetiva dependente do canal de propaga¸c˜ao. Em uma dada energia, somente
alguns canais podem ultrapassar a barreira, os quais s˜ao abertos. Em (c), as linhas tracejadas
representam os canais fechados e as s´olidas, os canais abertos. Figura retirada da ref. [1].
1.3 PONTO DE CONTATO QU
ˆ
ANTICO 8
n˜ao s˜ao separ´aveis e consequentemente, o movimento n˜ao se torna unidimensional.
Por outro lado, podemos por simplicidade considerar guias de ondas adiab´aticos:
|a
(x)|, |b
(x)| 1 e a(x)|a
(x)|, b(x)|b
(x)| 1.
Sob estas condi¸c˜oes, as paredes s˜ao localmente planas e paralelas, permitindo aproximar
as fun¸c˜oes de ondas `as do guia de onda ideal [eq. ( . )]. Com isso, podemos separar as
vari´aveis localmente
ψ
n
(x, y, z) = ψ(x)Φ
n
[a(x), b(x), y, z], ( . )
Φ
n
[a(x), b(x), y, z] =
2
a(x)b(x)
sin[k
n
y
(y − a(x)/2)] sin[k
n
z
(z − b(x)/2)], ( . )
−
2
2m
∂
2
∂x
2
+ E
n
ψ(x) = Eψ(x), ( . )
E
n
(x) =
(π)
2
2m
n
2
y
a
2
(x)
+
n
2
z
b
2
(x)
. ( . )
Esse resultado ´e muito similar ao caso do movimento unidimensional, tendo a sutileza
de que a energia E
n
, que faz o papel do potencial, depende de x e do canal de propaga¸c˜ao
[n ≡ (n
y
, n
z
)]. Vemos na fig. 1.3(c) que cada canal possui uma barreira de potencial
efetiva ao redor da parte mais estreita da constri¸c˜ao. Tamb´em observamos que quanto
maior os n´umeros n
y
e n
z
, maior essa barreira se torna.
Vamos nos concentrar em uma energia E fixa. Em um certo canal, n´os comparamos E
com a altura m´axima da sua barreira, considerada impenetr´avel. Se E for maior que essa
altura, os el´etrons conseguem ultrapassar a constri¸c˜ao. Caso contr´ario, eles s˜ao refletidos.
Como a altura da barreira cresce com o ´ındice de canais, existe somente um n´umero finito
de canais abertos nos quais os el´etrons podem ultrapassar a constri¸c˜ao. Todos os outros
canais s˜ao fechados.
Sendo assim, o guia de onda adiab´atico com uma se¸c˜ao transversal vari´avel sem bar-
reira de potencial funciona como um guia de onda ideal com uma barreira de potencial,
como considerado na se¸c˜ao anterior. Vamos definir um coeficiente de transmiss˜ao depen-
dente do canal τ
n
(E). Como aparentemente a adiabaticidade implica em barreiras de
potencial aproximadamente cl´assicas (potencial infinito), podemos considerar T = 1 para
os canais abertos e T = 0 para os fechados.
Vamos determinar a corrente na constri¸c˜ao. Para um guia de onda ideal, o vetor de
1.3 PONTO DE CONTATO QU
ˆ
ANTICO 9
Figura 1.4 Reservat´orios macrosc´opicos em equil´ıbrio termodinˆamico nas extremidades de um
condutor mesosc´opico, cada um caracterizado pelo seu potencial eletroqu´ımico.
onda n˜ao depende de x e, k
y
→ k
n
y
e k
z
→ k
n
z
. Neste caso, temos
dk
x
2π
dk
y
2π
dk
z
2π
(···) →
dk
x
2π
1
ab
n
(···). ( . )
No limite assint´otico x → ±∞ o guia de onda ´e ideal e, portanto, a corrente el´etrica ´e
I = 2e
n
+∞
−∞
dk
x
2π
v
x
(k
x
)f
n
(k
x
), ( . )
onde o fator 2 aparece devido a degenerescˆencia de spin, f
n
(k
x
) ´e o fator de preenchimento
do n´ıvel (n, k
x
) e v
x
= k
x
/m ´e a velocidade. Se o canal ´e fechado (T = 0) o fator de
preenchimento para ondas que vˆem da direita e da esquerda ´e igual f
n
(k
x
) = f
n
(−k
x
) e a
contribui¸c˜ao para esses modos se anula na integra¸c˜ao. J´a para canais abertos o fator de
preenchimento para os sentidos opostos do momento s˜ao diferentes. Para esclarecer isso,
precisamos entender como os el´etrons entram no guia e portanto vamos explicar o conceito
de reservat´orio. Trata-se de um elemento macrosc´opico em equil´ıbrio termodinˆamico
conectado ao sistema mesosc´opico que envia e/ou recebe part´ıculas como visto na fig.
1.4. Assim, as part´ıculas provenientes do reservat´orio esquerdo possuem um fator de
preenchimento f
1
(E) ≡ f
F
(E−µ
1
) e analogamente para os da direita f
2
(E) ≡ f
F
(E−µ
2
),
onde f
F
(E − µ) = {1 + exp[(E − µ)/k
B
T ]}
−1
´e a fun¸c˜ao de Fermi. Como os fatores
1.3 PONTO DE CONTATO QU
ˆ
ANTICO 10
de preenchimento dependem apenas da energia ´e conveniente introduzir a mudan¸ca de
vari´avel k
x
→ E ⇒ v
x
= ∂E/∂k
x
⇒ dE = v
x
k
x
dk
x
. Dessa forma, a eq. ( . ) pode ser
reescrita como
I =
2e
2π
n(abertos)
dE[f
1
(E) − f
2
(E)]
≡
2e
2π
N
abertos
(µ
1
− µ
2
) ≡ G
Q
N
abertos
V,
( . )
onde V = (µ
1
−µ
2
)/e ´e a diferen¸ca de potencial entre os reservat´orios e G
Q
= 2e
2
/2π =
2e
2
/h ≈ 7.7480917 × 10
−5
Ohm
−1
´e o quantum de condutˆancia. Com isso, percebemos
que a condutˆancia do sistema I/V ´e quantizada em termos de G
Q
. Esse fator ´e formado
de constantes fundamentais, n˜ao dependendo, portanto, de propriedades do material,
tamanho da estrutura mesosc´opica, geometria, topologia ou de nenhum modelo te´orico
concreto usado para calcular as propriedades de transporte. Iremos ver a seguir [eq.
( . )] que o n´umero de canais abertos ´e determinado somente pela parte mais estreita
do PCQ e, consequentemente, o restante da geometria n˜ao influencia as propriedades de
transporte.
A quantiza¸c˜ao da condutˆancia foi primeiramente observada em heteroestruturas se-
micondutoras de GaAs e AlGaAs como mostra a fig. 1.5 [5, 6, 2]. A superf´ıcie entre
os semicondutores confina el´etrons formando um g´as de el´etrons bidimensional (GE-2D).
Isso equivale ao guia de onda com b → 0, fazendo com que apenas a menor sub-banda
(n
z
= 1) seja relevante. Al´em disso, na borda das estruturas s˜ao colocados dois eletrodos
eletricamente isolados dos el´etrons, aplicando um potencial que cria “paredes” que ser-
vem para confinar os el´etrons. A constri¸c˜ao formada pelas paredes no gap dos eletrodos
possui largura correspondente ao tamanho a do modelo de guia de onda. Uma voltagem
mais negativa repele mais os el´etrons e portanto, a mais negativa equivale ao tamanho
m´ınimo a
min
, o qual ´e ent˜ao controlado pela voltagem do port˜ao. Assim, um novo canal
indexado por n = (n
y
, 1) se abre quando, `a medida que mudamos a
min
, a energia do topo
da barreira W
n
ultrapassa a energia de Fermi
W
n
≡
2
π
2
2a
2
min
m
n
2
y
= E
F
=
2
k
2
F
2m
( . )
e portanto
N
abertos
= int(k
F
a
min
/π). ( . )
Sendo assim, espera-se que a dependˆencia da condutˆancia em rela¸c˜ao `a voltagem (que
est´a ligado ao n´umero de canais abertos) se assemelhe a degraus de altura G
Q
. Isso foi
1.4 PONTO QU
ˆ
ANTICO CA
´
OTICO 12
Figura 1.6 Condutˆancia versus potencial do port˜ao de voltagem do sistema descrito pela fig.
1.5. Figura retirada da ref. [5].
medido no experimento de 1988 [5] como mostra a fig. 1.6.
1.4 PONTO QU
ˆ
ANTICO CA
´
OTICO
Assim como ´e poss´ıvel confinar lateralmente o GE-2D, tamb´em se pode construir
bilhares ca´oticos mesosc´opicos, que s˜ao cavidades onde os el´etrons se movimentam em
seu interior balisticamente, ou seja, considerando que L ´e o raio m´edio da cavidade, para
o movimento ser bal´ıstico ´e necess´ario que L l
m
. Para que possamos observar efeitos
de interferˆencia, deve haver coerˆencia de fase, L l
φ
. Para que a dinˆamica ca´otica
dos el´etrons na cavidade seja considerada universal, ´e necess´ario que as escalas de tempo
sejam grandes comparadas com o tempo erg´odico
2
θ
erg´odico
. Al´em disso, o material dentro
da cavidade deve ser um bom metal, o que significa que: (i) /θ
erg´odico
∆, onde ∆ ´e o
espa¸camento m´edio de n´ıveis de energia da cavidade, e (ii) λ
F
l
m
para que as fun¸c˜oes
de onda sejam estendidas ao inv´es de localizadas [7].
Acoplando reservat´orios macrosc´opicos ao bilhar (cavidade aberta) e mantendo-os fora
do equil´ıbrio, ´e poss´ıvel estudar o transporte de cargas (ver fig. 1.7). Este sistema tamb´em
´e conhecido como ponto quˆantico (PQ). Como o sistema est´a aberto, existe uma escala
de tempo de permanˆencia do el´etron na cavidade θ
permanˆencia
. Para que a dinˆamica do
sistema continue sendo universal, θ
permanˆencia
θ
erg´odico
. Al´em disso, θ
permanˆencia
precisa
2
Tempo acima do qual a dinˆamica ´e erg´odica.
1.5 MATRIZ DE ESPALHAMENTO 13
ser muito maior que o tempo de Ehrenfest
3
, pois assim preservamos as caracter´ısticas
quˆanticas da dinˆamica. Nestas condi¸c˜oes, os observ´aveis de transporte n˜ao dependem de
propriedades microsc´opicas do ponto quˆantico, como, por exemplo, sua geometria. Estas
caracter´ısticas justificam o uso da teoria de matrizes aleat´orias, a qual iremos expor no
cap. 2.
(a) (b)
Figura 1.7 Em (a), um ponto quˆantico constru´ıdo sobre um GE-2D e em (b), sua vis˜ao cl´assica.
O ponto quˆantico tem analogia cl´assica a uma cavidade na qual os el´etrons s˜ao refletidos nas
fronteiras, semelhante a uma mesa de bilhar. Figura retirada da ref. [8].
1.5 MATRIZ DE ESPALHAMENTO
Os modelos de guias de onda usados at´e aqui n˜ao devem ser entendidos como realistas
do ponto de vista experimental. Na verdade, o que est´a entre os reservat´orios ´e uma regi˜ao
de espalhamento como ilustrado na fig. 1.8.
Assim, as amplitudes das ondas incidentes a e das refletidas b est˜ao relacionadas da
seguinte forma:
b
α
l
=
β
l
S
αβ
ll
a
β
l
( . )
onde, α e β variam no n´umero de guias e l e l
no n´umero de canais. Portanto, conside-
rando que o guia 1 (2) possui N
1
(N
2
) canais de espalhamento abertos, os coeficientes da
eq. ( . ) s˜ao combinados em uma matriz de espalhamento (ou matriz S) com dimens˜ao
N
1
+ N
2
[9], tendo a seguinte estrutura de bloco
S =
S
11
S
12
S
21
S
22
≡
r t
t r
, ( . )
onde, as dimens˜oes de r, t, r
e t
s˜ao N
1
×N
1
, N
2
×N
1
, N
2
×N
2
e N
1
×N
2
, respectivamente.
3
Tempo que determina qual descri¸c˜ao rege a dinˆamica do sistema: cl´assica ou quˆantica. Abaixo
(acima) do tempo de Ehrenfest o comportamento do sistema ´e cl´assico (quˆantico).
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 14
Figura 1.8 Estrutura da matriz de espalhamento. A onda incidente no canal 2 vindo da
esquerda com amplitude 1 ´e separada em amplitudes transmitidas e refletidas em todos os
canais de forma misturada. As flechas pretas ilustram os canais em que ´e poss´ıvel a onda se
propagar, indicando a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao. As brancas representam a impossibilidade da
propaga¸c˜ao da onda naquele canal com o sentido indicado. Figura retirada da ref. [1].
Se for aplicado um campo magn´etico B, seus elementos obedecem `as seguintes rela¸c˜oes
estendidas de Onsager [2]
r
nm
(B) = r
mn
(−B),
r
nm
(B) = r
mn
(−B),
t
nm
(B) = t
mn
(−B).
( . )
Perceba que na ausˆencia de campo magn´etico, t
= t. Al´em disso, a matriz de espalha-
mento ´e unit´aria S
†
S = 1, implicando na conserva¸c˜ao de carga
S
†
S
nn
=
n
|r
nn
|
2
+
m
|t
mn
|
2
= 1. ( . )
´
E importante destacar que a matriz de espalhamento carrega toda informa¸c˜ao do
transporte dos el´etrons no sistema mesosc´opico, que em sua forma mais geral, distribui
as amplitudes de transmiss˜ao em canais distintos.
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA
Na realidade, os detectores de corrente geralmente medem uma m´edia de v´arias leitu-
ras. Como a transferˆencia de el´etrons ´e um processo estoc´astico, seria interessante medir
a probabilidade de um certo valor de corrente ser detectado, o que n˜ao ´e simples. Entre-
tanto, o ru´ıdo da corrente (segundo cumulante da distribui¸c˜ao de probabilidade) ´e uma
medida comum do ponto de vista experimental e a determina¸c˜ao do terceiro cumulante
foi realizada recentemente [10].
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 15
Em ´optica quˆantica, a caracteriza¸c˜ao do estado quˆantico do campo eletromagn´etico ´e
dada pela estat´ıstica de contagem de f´otons. Por exemplo, para a radia¸c˜ao coerente de um
laser, esta estat´ıstica ´e poissoniana. O an´alogo de contar f´otons em f´ısica mesosc´opica
´e contar el´etrons. Existem muitas diferen¸cas entre estas “part´ıculas”, dentre as quais
destacamos o fato dos el´etrons interagirem e os f´otons n˜ao, e al´em disso, os primeiros
obedecem ao princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli e possuem uma energia de Fermi, que s˜ao
caracter´ısticas n˜ao apresentadas por f´otons. Estas diferen¸cas influenciam a estat´ıstica de
contagem, a qual se apresenta de uma forma mais complexa para el´etrons do que para
seu an´alogo ´optico [11].
Apesar das dificuldades experimentais e te´oricas, a estat´ıstica de contagem dos el´etrons
´e a grande chave do entendimento do transporte quˆantico e ´e o que discutiremos aqui.
1.6.1 A f´ormula de Landauer
Seguindo a ref. [1], vamos calcular a corrente atrav´es de uma se¸c˜ao transversal de um
guia de onda tomando como base a eq. ( . ). Os el´etrons com k
x
> 0 s˜ao provenientes
do reservat´orio esquerdo e, portanto, o fator de preenchimento ´e f
1
(E). El´etrons com
k
x
< 0 em um dado canal n, s˜ao provenientes da regi˜ao de espalhamento. Sendo assim,
uma parte desses el´etrons pode ter vindo do reservat´orio esquerdo e terem sido refletidos.
Com isso, o fator de preenchimento tamb´em ´e f
1
(E) e a fra¸c˜ao desses el´etrons ´e deter-
minada por R
n
(E) =
n
|r
nn
|
2
. A outra parte ´e formada pelos el´etrons transmitidos
atrav´es da regi˜ao de espalhamento, tendo fator de preenchimento f
2
(E). Assim, o fator
de preenchimento efetivo dos el´etrons com k
x
< 0 ´e R
n
(E)f
1
(E) − (1 − R
n
(E))f
2
(E).
Sendo assim, podemos escrever a corrente
I = 2e
n
∞
0
dk
x
2π
v
x
(k
x
)f
1
(E)
+
0
−∞
dk
x
2π
v
x
(k
x
) [R
n
(E)f
1
(E) + (1 − R
n
(E))f
2
(E)]
.
= 2e
n
∞
0
dk
x
2π
v
x
(k
x
)[1 − R
n
(E)][f
1
(E) − f
2
(E)]. ( . )
Para encontrar a equa¸c˜ao da ´ultima linha, fizemos a mudan¸ca de vari´avel k
x
→ −k
x
na
segunda integral. Usando a rela¸c˜ao de conserva¸c˜ao de carga 1−R
n
=
m
|t
mn
|
2
= (t
†
t)
nn
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 16
e mudando a integra¸c˜ao de k
x
para E obtemos
I =
e
π
∞
0
dE tr(t
†
t)[f
1
(E) − f
2
(E)]. ( . )
Perceba que usamos a nota¸c˜ao do tra¸co tr(t
†
t) =
n
(t
†
t)
nn
=
p
τ
p
, onde τ
p
, denomi-
nados autovalores de transmiss˜ao, s˜ao os autovalores da matriz hermitiana t
†
t e devido
`a rela¸c˜ao de unitariedade da matriz de espalhamento devemos ter 0 ≤ τ
p
≤ 1.
Os autovalores de transmiss˜ao dependem da energia. Contudo, no regime de resposta
linear [2], que ´e quando a voltagem aplicada ´e muito menor que a escala de energia t´ıpica
dessa dependˆencia, eles podem ser calculados em torno da superf´ıcie de Fermi. Assim,
obtemos a express˜ao para a condutˆancia
G = G
Q
p
τ
p
(E
F
). ( . )
O c´alculo da corrente no guia de onda direito produz o mesmo resultado devido `a con-
serva¸c˜ao de corrente.
A eq. ( . ) ´e conhecida como “a f´ormula de Landauer” [12] e relaciona a transmiss˜ao
com a condutˆancia para estruturas mesosc´opicas.
1.6.2 Contagem de el´etrons
Vamos revisar alguns conceitos b´asicos de estat´ıstica, os quais ser˜ao usados para
descrever a ECC seguindo a ref. [1]. Seja P
N
a probabilidade de N eventos acontecerem
numa medida durante um intervalo de tempo de ∆t. Logicamente, a distribui¸c˜ao de
probabilidade ´e normalizada
N
P
N
= 1 e com ela podemos estimar qualquer cumulante
da distribui¸c˜ao. O primeiro cumulante ´e a m´edia
N =
N
NP
N
, ( . )
o segundo ´e a variˆancia
N
2
=
(N − N)
2
=
N
2
− N
2
, ( . )
onde a m´edia de qualquer fun¸c˜ao de N ´e dada por F (N) =
N
F (N)P
N
.
Nem sempre a distribui¸c˜ao de probabilidade fornece a descri¸c˜ao estat´ıstica mais con-
veniente. Alternativamente, podemos usar a fun¸c˜ao caracter´ıstica da distribui¸c˜ao de
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 17
probabilidade
Λ(χ) ≡
e
iχN
. ( . )
Os k-´esimos momentos e cumulantes da distribui¸c˜ao s˜ao obtidos respectivamente por
N
k
=
d
k
Λ
d(iχ)
k
χ=0
,
N
k
=
d
k
ln(Λ)
d(iχ)
k
χ=0
.
( . )
Decompondo ∆t = ∆t
1
+ ∆t
2
, de modo que tenhamos dois intervalos de medi¸c˜oes in-
dependentes, ent˜ao Λ(χ, ∆t) = Λ(χ, ∆t
1
)Λ(χ, ∆t
2
) → ln [Λ(χ, ∆t)] = ln [Λ(χ, ∆t
1
)] +
ln [Λ(χ, ∆t
2
)] e consequentemente todos os cumulantes s˜ao proporcionais a ∆t.
Vamos tomar como evento a transferˆencia de el´etrons em uma estrutura mesosc´opica.
Assim a quantidade a se contar ´e a carga Q que vai da esquerda para a direita durante um
intervalo de tempo ∆t. Portanto, Q = I∆t, onde a m´edia de corrente ´e obtida pela
f´ormula de Landauer. Vamos agora mais longe e buscar descrever a estat´ıstica completa
da vari´avel aleat´oria Q dentro da abordagem de espalhamento.
Primeiramente vamos considerar que os el´etrons s˜ao transmitidos em apenas um sen-
tido e que as transferˆencias s˜ao descorrelacionadas. Para calcular a fun¸c˜ao caracter´ıstica,
vamos dividir o intervalo ∆t em muitos intervalos pequenos dt. A probabilidade de um
el´etron ser transferido nesse pequeno intervalo de tempo ´e Γdt 1, onde Γ ´e a taxa de
transferˆencia e, portanto, a probabilidade de nenhum el´etron ser transmitido ´e 1 − Γdt.
Assim, desprezando a transferˆencia de mais de um el´etron por ter probabilidade muito
pequena, a fun¸c˜ao caracter´ıstica para o intervalo dt ´e
Λ
dt
(χ) =
e
iχQ/e
= (1 − Γdt) + (Γdt)e
iχ
. ( . )
Como os el´etrons passam independentemente, a fun¸c˜ao caracter´ıstica para o intervalo ∆t
´e o produto das fun¸c˜oes caracter´ısticas dos intervalos menores
Λ
∆t
(χ) = [Λ
dt
(χ)]
∆t/dt
= exp
Γ∆t(e
iχ
− 1)
= exp
N(e
iχ
− 1)
, ( . )
onde
˜
N ≡ Γ∆t. Usamos o fato de que ∆t/dt → ∞ e a identidade e
x
= lim
n→∞
(1+x/n)
n
.
Usando a eq. ( . ), podemos obter o n´umero m´edio de el´etrons
N = Q/e = −iΛ
∆t
(χ = 0) =
N. ( . )
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 18
Tomando a transformada inversa de Fourier, obtemos a probabilidade de N part´ıculas
serem transferidas num intervalo de tempo ∆t
P
N
=
2π
0
dχ
2π
Λ(χ)e
−iNχ
≈
2π
0
dχ
2π
e
−iNχ+
e
N(e
iχ
−1)
=
N
N
N!
e
−
˜
N∆t
, ( . )
a qual ´e uma distribui¸c˜ao de Poisson. Casos de transferˆencias de el´etrons descorrelaciona-
das podem acontecer, por exemplo, em jun¸c˜oes de tunelamento, onde todos os autovalores
de transmiss˜ao s˜ao pequenos. Neste caso, a corrente ´e pequena implicando que o intervalo
de tempo entre transferˆencias sucessivas ´e grande. Obviamente, este ´e apenas um caso
particular, pois em geral a transferˆencia de el´etrons ´e correlacionada.
1.6.3 A f´ormula de Levitov-Lesovik
A eq. ( . ) ´e v´alida para o caso de τ
p
1. Para o caso intermedi´ario 0 < τ
p
< 1,
os el´etrons transmitidos s˜ao correlacionados. O resultado para a fun¸c˜ao caracter´ıstica no
caso de muitos canais a temperatura finita ´e dado pela f´ormula de Levitov-Lesovik (FLL)
[13]
ln[Λ(χ)] = 2∆t
dE
2π
p
ln{1 + τ
p
(e
iχ
− 1)f
1
(E)[1 − f
2
(E)]
+τ
p
(e
−iχ
− 1)f
2
(R)[1 − f
1
(E)]}. ( . )
A soma em p indica que a contagem de el´etrons em canais diferentes ´e independente. A
integra¸c˜ao na energia tamb´em sugere que el´etrons s˜ao transferidos independentemente
em cada intervalo de energia. Por´em, ´e importante notar que as transmiss˜oes de el´etrons
de um reservat´orio a outro s˜ao correlacionadas devido ao princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli.
Para entendermos a FLL, vamos seguir a ref. [1] e considerar o caso limite de tempe-
ratura desprez´ıvel k
B
T eV . Nesse caso, a integral na energia ´e confinada no intervalo
min(µ
1
, µ
2
) < E < max(µ
1
, µ
2
) e o integrando n˜ao depende de energia. Lembrando que
µ
1
− µ
2
= eV , obtemos
ln[Λ(χ)] = ±
2eV ∆t
2π
p
ln[1 + τ
p
(e
±iχ
− 1)], ( . )
onde ± se refere ao sinal da voltagem. Vamos por simplicidade considerar V > 0. Defina
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 19
N
tent
≡ 2eV ∆t/2π e considere como sendo um inteiro. A fun¸c˜ao caracter´ıstica se torna
Λ(χ) =
p
Λ
p
(χ);
Λ
p
(χ) = [(1 − τ
p
) + τ
p
e
iχ
]
N
tent
=
N
tent
N=0
N
tent
N
τ
N
p
(1 − τ
p
)
N
tent
−N
e
iNχ
.
Portanto, temos a distribui¸c˜ao binomial
P
(p)
N
=
N
tent
N
τ
N
p
(1 − τ
p
)
N
tent
−N
, ( . )
a qual ´e muito conhecida da teoria dos jogos: um dado sucesso de chance τ
p
acontece N
vezes em N
tent
tentativas.
Em temperatura zero e voltagem positiva, todos os el´etrons saem do reservat´orio
esquerdo tentando atingir o direito. A interpreta¸c˜ao binomial sugere que o feixe de
el´etrons incidentes ´e muito regular: o intervalo de tempo entre as chegadas sucessivas de
el´etrons ´e a mesma, ∆t/N
tent
= e/G
Q
V . Cada um desses el´etrons pode passar a barreira
(com probabilidade τ
p
) ou ser refletido (com probabilidade R
p
= 1−τ
p
). O n´umero m´edio
dos el´etrons que passam ´e N
tent
τ
p
, de acordo com a f´ormula de Landauer. Assim a Eq.
( . ) descreve a probabilidade P
N
de N dos N
tent
el´etrons que chegam at´e a barreira
conseguirem ultrapass´a-la, sendo N
tent
− N refletidos.
Para o caso de mais de um canal, a distribui¸c˜ao binomial j´a n˜ao descreve mais o
transporte. Mas, ainda assim, podemos obter uma convolu¸c˜ao de distribui¸c˜oes binomiais
correspondentes a cada canal.
Em geral, os el´etrons aparecem do reservat´orio esquerdo de uma forma irregular.
Se τ
p
´e pequeno, podemos considerar que o intervalo entre a emiss˜ao de cada el´etron
´e grande. Sendo assim, dois el´etrons emitidos sequencialmente s˜ao descorrelacionados.
Se tomarmos o limite de τ
p
1 na FLL, obtemos a fun¸c˜ao caracter´ıstica ( . ) com
N/∆t = (G
Q
V/e)
p
τ
p
= GV/e = I/e. Ent˜ao, a distribui¸c˜ao de Poisson ( . ) ´e o
limite da distribui¸c˜ao binomial ( . ) para τ
p
1 e N N
tent
.
1.6.4 Cumulantes de transferˆencia de carga
Sabemos que a distribui¸c˜ao de transferˆencia de carga depende dos autovalores de
transmiss˜ao do sistema. Por´em, veremos na sec. 1.8 que, em sistemas com dinˆamica
ca´otica, os autovalores de transmiss˜ao s˜ao vari´aveis aleat´orias. Neste caso, a distribui¸c˜ao
1.6 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 20
de transferˆencia de cargas flutua estatisticamente e, consequentemente, seus cumulantes
s˜ao vari´aveis aleat´orias. Sendo assim, ao inv´es de analisar a distribui¸c˜ao completa de
transferˆencia de carga, ´e conveniente analisar a estat´ıstica de cada cumulante de trans-
ferˆencia de cargas separadamente. Por isso, iremos apresentar estes cumulantes em fun¸c˜ao
dos autovalores de transmiss˜ao.
Nosso principal interesse ´e a estat´ıstica de contagem de carga no limite de temperatura
desprez´ıvel k
B
T eV . Nesta situa¸c˜ao, a FLL [eq. ( . )] ´e
ln[Λ(χ)] =
j
ln[1 + τ
j
(e
iχ
− 1)], ( . )
onde fizemos N
tent
≡ eV ∆t(π)
−1
= 1 para obtermos cumulantes de transferˆencia de
carga adimensionais (CTC). Vamos definir a seguinte fun¸c˜ao polinomial de ordem m
f
m
(τ) ≡
d
m
d(iχ)
m
ln[1 + τ(e
iχ
− 1)]
χ=0
. ( . )
Das eqs. ( . ), ( . ) e ( . ) conclu´ımos que o m-´esimo CTC ´e
q
m
(τ) =
n
j=1
f
m
(τ
j
), ( . )
onde τ ≡ {τ
j
}
n
j=1
´e o conjunto de autovalores de transmiss˜ao n˜ao nulos. Por simplici-
dade, iremos obter resultados para at´e m = 4. Sendo assim, os primeiros CTC’s s˜ao a
condutˆancia, g = q
1
, a potˆencia do ru´ıdo de disparo, p = q
2
, o terceiro e quarto CTC’s
q
3
e q
4
. Suas dependˆencias expl´ıcitas dos autovalores de transmiss˜ao s˜ao obtidas atrav´es
das eqs. ( . ) e ( . )
g = q
1
=
n
j=1
τ
j
,
p = q
2
=
n
j=1
τ
j
(1 − τ
j
),
q
3
=
n
j=1
τ
j
(1 − τ
j
)(1 − 2τ
j
),
q
4
=
n
j=1
τ
j
(1 − τ
j
)(1 − 6τ
j
+ 6τ
2
j
). ( . )
1.7 LIMITE CL
´
ASSICO: LEI DE OHM 21
Figura 1.9 Jun¸c˜ao dupla de tunelamento em (a) e o diagrama de circuito equivalente em (b).
Figura retirada da ref. [1].
A condutˆancia ´e o primeiro CTC e est´a ligado `a m´edia da distribui¸c˜ao de corrente,
pois I = GV . Analogamente, a potˆencia do ru´ıdo de disparo representa a variˆancia da
corrente e, por isso, ´e o primeiro quantificador das flutua¸c˜oes estat´ısticas da contagem de
carga transferidas. O terceiro CTC est´a ligado `a assimetria da distribui¸c˜ao de corrente.
O achatamento da curva de distribui¸c˜ao de corrente ´e quantificado pelo quarto CTC. Por
exemplo, numa distribui¸c˜ao gaussiana, os cumulantes de ordem maior que dois s˜ao nulos,
enquanto em um processo poissoniano, todos os cumulantes s˜ao iguais `a m´edia.
1.7 LIMITE CL
´
ASSICO: LEI DE OHM
Para ilustrarmos a diferen¸ca entre a condutˆancia em sistemas mesosc´opicos e a lei de
Ohm, seguiremos a ref. [1] usando o exemplo da dupla jun¸c˜ao de tunelamento. Considere
um el´etron que se propaga livremente sendo interceptado por duas barreiras de tunela-
mento (|t
1
|, |t
2
| 1) como ilustrado na fig. 1.9.
`
A primeira vista, com base nas regras da
mecˆanica quˆantica, ´e intuitivo achar que a amplitude do processo total de tunelamento
deve ser proporcional ao produto das amplitudes parciais Am ∝ t
1
t
2
. Usando a f´ormula
de Landauer, conectando a probabilidade de transmiss˜ao com a condutˆancia, conclu´ımos
que, neste ponto de vista, a condutˆancia total escala com o produto das condutˆancias de
cada barreira
G ∝
G
1
G
2
G
Q
. ( . )
Partindo da vis˜ao cl´assica, fazemos uso da lei de Ohm e obtemos
G =
1
1/G
1
+ 1/G
2
=
G
1
G
2
G
1
+ G
2
. ( . )
Com isso, podemos ver o paradoxo da dupla jun¸c˜ao de tunelamento. Qual das duas
estimativas ´e a correta?
1.7 LIMITE CL
´
ASSICO: LEI DE OHM 22
Figura 1.10 Poss´ıveis processos de transmiss˜ao pelas duas barreiras em (a). A transmiss˜ao
depende fortemente do deslocamento de fase χ ou equivalentemente, da energia E. Em (b), a
linha horizontal tracejada ´e a transmiss˜ao promediada em χ. Figura retirada da ref. [1].
Vamos fazer um tratamento quˆantico mais rigoroso para o caso de um ´unico canal
de propaga¸c˜ao. Temos que capturar todas as possibilidades de transferˆencia do el´etron
entre as barreiras, incluindo as reflex˜oes com amplitudes r
1,2
. Assim, Am ´e a soma das
amplitudes de todos os processos poss´ıveis de transferˆencia [fig. 1.10]. Um parˆametro
importante para essa descri¸c˜ao ´e o deslocamento de fase χ/2 que o el´etron adquire quando
viaja entre as barreiras. Portanto,
Am = t
1
e
iχ/2
t
2
+ t
1
e
iχ/2
r
2
e
iχ/2
r
1
e
iχ/2
t
2
+ . . . =
t
1
t
2
e
iχ/2
1 − r
1
r
2
e
iχ
. ( . )
Consequentemente a probabilidade de transmiss˜ao ´e
T ≡ |Am|
2
=
τ
1
τ
2
1 + R
1
R
2
+ 2
√
R
1
R
2
cos χ
; R
1,2
≡ 1 − τ
1,2
, ( . )
mostrando que nenhuma das duas estimativas anteriores est´a correta. Note que a trans-
miss˜ao depende explicitamente do deslocamento de fase χ, como se pode ver na fig.
1.10(b).
A pr´oxima etapa ´e promediar a transmiss˜ao sob todos os valores poss´ıveis de χ. Esse
procedimento tem um sentido f´ısico. Como a fase adquirida ´e proporcional `a energia,
temos que dχ/dE ∝ τ /, onde τ ´e o tempo t´ıpico da propaga¸c˜ao do el´etron entre as
barreiras. Sendo assim, a m´edia em χ ´e equivalente a promediar sob um largo intervalo de
energia. Esta promedia¸c˜ao equivale a desprezar as interferˆencias entre as transmiss˜oes de
diferentes processos. Assim, estaremos somando probabilidades ao inv´es de amplitudes,
1.7 LIMITE CL
´
ASSICO: LEI DE OHM 23
Figura 1.11 Um grande n´umero de canais causa promedia¸c˜ao nas propriedades de transporte.
As linhas tracejadas s˜ao as transmiss˜oes de seis canais independentes com fases aleat´orias. A
linha s´olida ´e a m´edia da transmiss˜ao sobre os seis canais. Figura retirada da ref. [1].
que ´e a abordagem da f´ısica cl´assica. Promediando a transmiss˜ao, temos
T
χ
=
π
−π
dχ
2π
T =
τ
1
τ
2
1 − R
1
R
2
=
τ
1
τ
2
τ
1
+ τ
2
− τ
1
τ
2
≈
τ
1
τ
2
τ
1
+ τ
2
. ( . )
Vamos agora para o caso multicanal. Considerando o modelo simplista de inde-
pendˆencia entre os canais, temos
G =
p
τ
1,p
τ
2,p
1 + R
1,p
R
2,p
+ 2
R
1,p
R
1,p
cos χ
p
. ( . )
O caso de seis canais est´a ilustrado na fig. 1.11, onde as curvas tracejadas s˜ao as
contribui¸c˜oes de cada canal, sendo fun¸c˜oes peri´odicas da energia. Contudo, os per´ıodos e
as fases iniciais de cada canal s˜ao diferentes. Sendo assim, a m´edia das seis contribui¸c˜oes
apresenta pequenas e irregulares flutua¸c˜oes como se pode ver na linha s´olida. Al´em do
mais, quanto maior o n´umero de canais, menor ser˜ao essas flutua¸c˜oes (autopromedia¸c˜ao).
Sendo assim, esperamos que no limite de muitos n´umeros de canais a condutˆancia seja
muito pr´oxima da sua m´edia.
Perceba que a m´edia da condutˆancia (promedia¸c˜ao sobre χ
p
) para canais independen-
1.8 DISTRIBUIC¸
˜
AO DOS AUTOVALORES DE TRANSMISS
˜
AO 24
tes n˜ao ´e a lei de Ohm, pois
G = G
Q
p
τ
1,p
τ
2,p
τ
1,p
+ τ
2,p
= G
Q
p
τ
1,p
p
τ
2,p
p
τ
1,p
+
p
τ
2,p
≡ G
Ohm
. ( . )
Esse modelo simples n˜ao produz a lei de Ohm no limite de muitos canais devido `a inde-
pendˆencia dos canais, pois durante o processo de espalhamento os canais s˜ao misturados.
Essa mistura pode ser modelada pela matriz S. Por´em, esse modelo ilustra a importˆancia
dos deslocamentos de fases para o transporte em estruturas mesosc´opicas. Por outro lado,
ainda n˜ao ´e poss´ıvel controlar em detalhes estes deslocamentos, pois eles dependem da
configura¸c˜ao de impurezas/defeitos do sistema, os quais s˜ao incontrol´aveis pelos processos
de fabrica¸c˜ao que existem atualmente. Portanto, precisamos de uma descri¸c˜ao estat´ıstica
adequada para esses deslocamentos de fase.
1.8 DISTRIBUIC¸
˜
AO DOS AUTOVALORES DE TRANSMISS
˜
AO
A FLL demonstra explicitamente que, em geral, as propriedades de transporte depen-
dem de todos os autovalores de transmiss˜ao τ
p
e n˜ao apenas da soma deles, como sugere
a f´ormula de Landauer [1]. O conjunto de todos os autovalores de transmiss˜ao pode ser
visto como um “c´odigo-chave” que identifica completamente o sistema (pin-code). Geral-
mente existem in´umeros autovalores, mas muitos deles s˜ao aproximadamente nulos, sendo
importante apenas um n´umero finito destes autovalores. Para estudar propriedades de
transporte, pode-se a princ´ıpio estimar os autovalores de transmiss˜ao de uma estrutura
mesosc´opica atrav´es de dados experimentais [14].
A desordem de condutores faz com que os autovalores de transmiss˜ao sejam aleat´orios.
Por´em, no processo geral de transporte, estes autovalores s˜ao estatisticamente dependen-
tes. Por exemplo, como visto na sec. 1.5, a matriz de espalhamento mais geral mistura
as amplitudes de propaga¸c˜ao em canais diferentes. Sendo assim, a informa¸c˜ao da es-
tat´ıstica do sistema est´a na distribui¸c˜ao conjunta de autovalores de transmiss˜ao ρ(τ),
onde τ ≡ {τ
p
}
n
p=1
e n ´e n´umero de autovalores de transmiss˜ao n˜ao nulos. Esta distri-
bui¸c˜ao pode ser interpretada da seguinte forma: ρ(τ)dτ ´e a probabilidade de obtermos um
c´odigo-chave no intervalo infinitesimal entre τ e τ + dτ . Para exemplificar a dependˆencia
estat´ıstica dos autovalores de transmiss˜ao, vale a pena lembrar da distribui¸c˜ao conjunta
dos autovalores de transmiss˜ao para um ponto quˆantico acoplado idealmente a dois reser-
vat´orios, com N
1
canais de espalhamento abertos em um dos acoplamentos e N
2
canais
1.8 DISTRIBUIC¸
˜
AO DOS AUTOVALORES DE TRANSMISS
˜
AO 25
no outro acoplamento
ρ(τ) ∝
p<q
|τ
p
− τ
q
|
β
p
τ
(β/2)(|N
2
−N
1
|+1−2/β)
p
, ( . )
onde β ´e o ´ındice de simetria da dinˆamica dos el´etrons, que ser´a visto em mais detalhes no
pr´oximo cap´ıtulo. Este resultado foi obtido atrav´es da teoria de matrizes aleat´orias [7].
Perceba que, neste caso, a dependˆencia estat´ıstica dos autovalores de transmiss˜ao est´a
evidenciada pelo fato de n˜ao podermos escrever a distribui¸c˜ao conjunta como produto
das distribui¸c˜oes individuais de cada autovalor.
Tendo em m˜aos ρ(τ), podemos estudar estatisticamente qualquer fun¸c˜ao de autova-
lores. Por exemplo, considere h ≡ F(τ). Sua m´edia ´e calculada da seguinte forma
h =
C
dτρ(τ)F(τ), ( . )
onde C representa a integra¸c˜ao limitada pelo hipercubo {0 ≤ τ
p
≤ 1}
n
p=1
. Al´em disso,
podemos ter a distribui¸c˜ao completa de h fazendo
P (h) =
C
dτρ(τ)δ[h − F(τ)]. ( . )
Vamos agora considerar o caso particular de h ser uma estat´ıstica linear dos autova-
lores de transmiss˜ao, ou seja, F(τ) =
n
p=1
f(τ
p
). Al´em disso, a distribui¸c˜ao marginal do
i-´esimo autovalor de transmiss˜ao ´e
γ
i
(τ
i
) ≡
1
0
dτ
1
. . .
1
0
dτ
i−1
1
0
dτ
i+1
. . .
1
0
dτ
n
ρ(τ). ( . )
Por´em, ´e comum considerar que todos os canais s˜ao equiprov´aveis, existindo simetria de
permuta¸c˜ao de autovalores na distribui¸c˜ao conjunta
ρ(τ
1
, . . . , τ
i
, . . . , τ
j
, . . . , τ
n
) = ρ(τ
1
, . . . , τ
j
, . . . , τ
i
, . . . , τ
n
). ( . )
Consequentemente, temos que
γ
i
(τ
i
) = γ
j
(τ
j
) ≡ γ(τ). ( . )
1.8 DISTRIBUIC¸
˜
AO DOS AUTOVALORES DE TRANSMISS
˜
AO 26
Levando em conta estas considera¸c˜oes, a m´edia de h pode ser simplificada para
h = n
1
0
dτf(τ)γ(τ ). ( . )
Desta forma, podemos definir a densidade de autovalores P (τ) como
P (τ) ≡ nγ(τ ). ( . )
O significado de P (τ) ´e simples. Suponha que tenhamos M realiza¸c˜oes de uma estrutura
mesosc´opica com n autovalores de transmiss˜ao. Como os canais s˜ao equiprov´aveis, con-
sideramos uma amostra de M × n autovalores. A probabilidade de obtermos um destes
autovalores entre τ e τ + dτ ´e
P (τ)
n
dτ. Com isso, a m´edia da estat´ıstica linear h ´e dada
por
h =
1
0
dτf(τ)P (τ ). ( . )
Analogamente, define-se a densidade conjunta de dois autovalores de transmiss˜ao
P (τ
i
, τ
j
) ≡ n
2
γ(τ
i
, τ
j
), ( . )
onde γ(τ
i
, τ
j
) ´e a distribui¸c˜ao marginal conjunta de dois autovalores de transmiss˜ao,
definida por
γ(τ
i
, τ
j
) ≡
k
1
0
dτ
k
k=i, k=j
ρ(τ). ( . )
Perceba que se τ
i
= τ
j
≡ τ , γ(τ, τ) = γ(τ), que ´e a distribui¸c˜ao marginal simples [eq.
( . )]. Devido `a propriedade sim´etrica de ρ [eq. ( . )], o segundo momento de uma
estat´ıstica linear pode ser dado por
h
2
=
1
0
dτ
1
0
dτ
f(τ)f(τ
)P (τ, τ
). ( . )
A densidade conjunta de autovalores ´e de grande utilidade no c´alculo da variˆancia de
estat´ısticas lineares, pois
var(h) ≡ (h − h)
2
= h
2
− h
2
( . )
Estimativas das densidades P (τ) e P (τ, τ
) s˜ao muito comuns em teorias semicl´assicas,
onde a m´edia e a variˆancia dos observ´aveis (estat´ısticas lineares) s˜ao suficientes para
1.9 INTERFER
ˆ
ENCIA QU
ˆ
ANTICA: LOCALIZAC¸
˜
AO FRACA 27
caracterizar suas estat´ısticas. Por´em, ´e importante lembrar que a distribui¸c˜ao de h n˜ao
pode ser obtida atrav´es destas densidades. Sendo assim, a informa¸c˜ao estat´ıstica completa
de h ´e obtida atrav´es da distribui¸c˜ao conjunta de todos os autovalores, como mostra a
eq. ( . ).
Existem grandezas que s˜ao estat´ısticas n˜ao-lineares, como ´e o caso da concorrˆencia
4
, a
qual quantifica o emaranhamento orbital entre estados de dois el´etrons n˜ao-interagentes
em uma estrutura mesosc´opica com dois canais de espalhamento [15]
C = 2
τ
1
(1 − τ
1
)τ
2
(1 − τ
2
)
τ
1
+ τ
2
− 2τ
1
τ
2
. ( . )
Neste caso, as densidades P (τ) e P (τ, τ
) tamb´em n˜ao s˜ao suficientes para caracterizar a
estat´ıstica n˜ao-linear, sendo necess´ario conhecer-se a distribui¸c˜ao conjunta ρ(τ).
1.9 INTERFER
ˆ
ENCIA QU
ˆ
ANTICA: LOCALIZAC¸
˜
AO FRACA
Imagine um el´etron entrando numa regi˜ao de espalhamento ca´otica, podendo ser trans-
mitido ou refletido. Classicamente, o movimento ca´otico implica que as probabilidades
de transmiss˜ao e de reflex˜ao devem ser iguais. Por´em, quanticamente, a probabilidade
de reflex˜ao pode ser uma pouco diferente da de transmiss˜ao. Esse efeito ´e an´alogo ao
que acontece num condutor quˆantico desordenado e ´e chamado de “localiza¸c˜ao fraca”
(LF) [16]. Em uma formula¸c˜ao semicl´assica, a diferen¸ca da probabilidade de reflex˜ao em
rela¸c˜ao `a de transmiss˜ao ´e devido `a interferˆencia entre pares de trajet´orias invertidas tem-
poralmente. Um campo magn´etico suficientemente forte ´e capaz de quebrar a simetria
de revers˜ao temporal, destruindo assim a interferˆencia e igualando as probabilidades de
transmiss˜ao e reflex˜ao [7].
Os efeitos de interferˆencia ficam embutidos nos autovalores de transmiss˜ao e, conse-
quentemente, afetam os observ´aveis de transporte. Considere um observ´avel X (
¯
X) para
um sistema com (sem) simetria de revers˜ao temporal. Defina a corre¸c˜ao causada pela
quebra de simetria
δX ≡ X −
¯
X
. ( . )
Esta corre¸c˜ao ´e tradicionalmente estudada no regime semicl´assico (G G
Q
), onde seu
valor, denominado localiza¸c˜ao fraca, n˜ao depende do n´umero de canais (N) do sistema
4
A concorrˆencia ´e um quantizador de emaranhamento entre estados de dois qbits. Quando ela ´e 1, o
emaranhamento ´e m´aximo (estados de Bell). Quando seu valor ´e 0, o estado ´e separ´avel, o que significa
que n˜ao h´a emaranhamento. [17]
1.10 FLUTUAC¸
˜
OES UNIVERSAIS 28
[7]. Por isso, podemos definir a LF como
X
LF
= lim
N→∞
X(N) −
¯
X(N)
. ( . )
Vamos colocar como exemplo a condutˆancia. Considere que G ´e a m´edia da con-
dutˆancia na presen¸ca de simetria de revers˜ao temporal. Como a condutˆancia tende `a lei
de Ohm no limite semicl´assico, sua corre¸c˜ao devido `a LF ´e dada por
G
LF
= G − G
Ohm
, ( . )
com G G
Q
. Neste caso, vemos claramente que a LF implica na corre¸c˜ao quˆantica da
lei de Ohm, devido aos efeitos de interferˆencia.
´
E importante ressaltar que a palavra “localiza¸c˜ao” ´e consequˆencia desta corre¸c˜ao ser
usualmente negativa para a condutˆancia (G
LF
< 0) e o termo “fraca” ´e devido a sua
pequena magnitude (G
LF
∼ G
Q
) comparada ao termo dominante (G
LF
G
Ohm
) no
regime semicl´assico. Para outros observ´aveis, esta corre¸c˜ao pode ser positiva, como por
exemplo, a potˆencia do ru´ıdo de disparo para pontos quˆanticos com contatos n˜ao-ideais,
onde a LF apresenta efeitos de amplifica¸c˜ao-supress˜ao [52].
1.10 FLUTUAC¸
˜
OES UNIVERSAIS
Na sec. 1.8, vimos que os autovalores de transmiss˜ao s˜ao considerados aleat´orios.
Consequentemente, as fun¸c˜oes destes autovalores tamb´em s˜ao aleat´orias, como por exem-
plo, os cumulantes de carga. Sabemos que se aumentarmos as dimens˜oes de um condutor,
o n´umero de autovalores de transmiss˜ao do sistema aumentar´a e, consequentemente, sua
condutˆancia tamb´em aumentar´a, pois a mesma depende linearmente do n´umero de canais
abertos do sistema. Por´em, a variˆancia n˜ao se comporta desta forma, pois ela ´e da ordem
de G
2
Q
e satura com o aumento das dimens˜oes do sistema [7].
A condutˆancia em uma mesma estrutura mesosc´opica, sob as mesmas condi¸c˜oes, n˜ao
flutua no tempo. Por´em, este valor varia para uma estrutura mesosc´opica idˆentica (cons-
tru´ıda com o mesmo material e pelo mesmo processo), pois a distribui¸c˜ao de impure-
zas/defeitos ´e incontrol´avel no processo de constru¸c˜ao do sistema e, portanto, se modifica
de uma amostra para outra, influenciando o valor da condutˆancia. Estas varia¸c˜oes podem
ser observadas numa mesma estrutura mesosc´opica aplicando um campo magn´etico, pois
os padr˜oes de interferˆencias causados pelo campo s˜ao similares aos causados pela mudan¸ca
na distribui¸c˜ao de impurezas [7]. Na fig. 1.12 podemos ver medidas experimentais [10]
1.10 FLUTUAC¸
˜
OES UNIVERSAIS 29
Figura 1.12 Condutˆancia em fun¸c˜ao de um campo magn´etico perpendicular aplicado a um fio
de ouro quase-unidimensional. A m´edia sobre as flutua¸c˜oes est´a representada pela linha clara
em torno de 372,3e
2
/h. O desvio padr˜ao est´a representado por metade da largura em cinza em
torno da m´edia e ´e da ordem de 0,6e
2
/h. Figura retirada da ref. [10].
que comprovam as flutua¸c˜oes de condutˆancia para um fio de ouro quase-unidimensional
em fun¸c˜ao do campo magn´etico.
´
E importante exemplificar teoricamente com o caso de um ponto quˆantico acoplado
idealmente a reservat´orios, com N
1
e N
2
sendo os n´umeros de canais abertos em cada
contato. A m´edia e a variˆancia da condutˆancia s˜ao [7]
G/G
Q
=
N
1
N
2
N
1
+ N
2
− 1 + 2/β
; ( . )
var(G/G
Q
) =
2
β
N
1
N
2
(N
1
− 1 + 2/β)(N
2
− 1 + 2/β)
(N
1
+ N
2
− 2 + 2/β)(N
1
+ N
2
− 1 + 4/β)(N
1
+ N
2
− 1 + 2/β)
2
, ( . )
onde β ´e o ´ındice de simetria da cavidade (ver cap. 2). Agora vamos considerar casos
particulares. Considere o regime semicl´assico, ou seja, N
1
, N
2
1. Com isso, temos
G/G
Q
=
N
1
N
2
N
1
+ N
2
+
1 −
2
β
N
1
N
2
(N
1
+ N
2
)
2
; ( . )
var(G/G
Q
) =
2(N
1
N
2
)
2
β(N
1
+ N
2
)
4
. ( . )
Perceba que na eq. ( . ), o primeiro termo ´e a lei de Ohm para a associa¸c˜ao em s´erie
de dois condutores de condutˆancias N
1
e N
2
em unidades de G
Q
. O segundo termo ´e a
1.11 CARACTERIZAC¸
˜
AO DOS REGIMES DE TRANSPORTE 30
corre¸c˜ao em decorrˆencia da LF, o qual ´e nulo na ausˆencia de simetria de revers˜ao temporal
(β = 2). Se o sistema for sim´etrico N
1
= N
2
≡ N temos
G/G
Q
=
N
2
+
1 −
2
β
1
4
; ( . )
var(G/G
Q
) =
1
8β
. ( . )
Neste caso, vemos que tanto a corre¸c˜ao de LF como a variˆancia da condutˆancia n˜ao
dependem do tamanho do sistema (N) e s˜ao muito menores que G. Isso ratifica a
flutua¸c˜ao universal de condutˆancia para o ponto quˆantico sim´etrico.
Vamos considerar agora o caso n˜ao-sim´etrico N
2
N
1
, onde temos
G/G
Q
= N
1
+
N
1
− 1 +
2
β
N
1
N
2
; ( . )
var(G/G
Q
) =
2
β
N
1
(N
1
− 1 + 2/β)
N
2
2
. ( . )
Novamente notamos a lei de Ohm presente no primeiro termo da eq. ( . ), que se refere
`a associa¸c˜ao de um condutor de resistˆencia 1/(N
1
G
Q
) com outro condutor aproximada-
mente perfeito (resistˆencia 1/(N
2
G
Q
) 1). A corre¸c˜ao de LF ´e praticamente desprez´ıvel,
pois ´e da ordem de N
1
/N
2
1. A eq. ( . ) mostra que a variˆancia tamb´em ´e prati-
camente nula comparada `a m´edia da condutˆancia. Nesta situa¸c˜ao, aumentar N
1
n˜ao
influencia consideravelmente a estat´ıstica da condutˆancia do sistema, pois as flutua¸c˜oes
s˜ao desprez´ıveis em torno do valor esperado pela lei de Ohm.
A variˆancia de outros cumulantes de carga tamb´em apresentam comportamentos
an´alogos ao da condutˆancia. Sendo assim, as flutua¸c˜oes universais podem ser vistas
em outros observ´aveis de corrente [7].
1.11 CARACTERIZAC¸
˜
AO DOS REGIMES DE TRANSPORTE
Os cumulantes de carga s˜ao estat´ısticas lineares dos autovalores de transmiss˜ao [ver eq.
( . )], como por exemplo a condutˆancia G/G
Q
=
p
τ
p
. Sendo assim, como visto na sec.
1.8, suas m´edias e variˆancias podem ser obtidos atrav´es das densidades de autovalores
de transmiss˜ao P (τ) e P (τ, τ
). Por sua vez, quando G G
Q
estamos no regime
semicl´assico, o qual tem como caracter´ıstica o grande n´umero de canais de transmiss˜ao
abertos e, portanto, o c´odigo-chave ´e denso, levando a uma promedia¸c˜ao dos observ´aveis
de transporte, como visto na sec. 1.7. Consequentemente, as distribui¸c˜oes dos cumulantes
1.11 CARACTERIZAC¸
˜
AO DOS REGIMES DE TRANSPORTE 31
de carga tendem a se tornar gaussianas. Sendo assim, neste regime, as m´edias e as
variˆancias caracterizam quase toda a estat´ıstica destes observ´aveis e, portanto, P (τ) e
P (τ, τ
) s˜ao capazes de fornecer a ECC completa do sistema.
No entanto, quando o n´umero de canais ´e pequeno, esta autopromedia¸c˜ao n˜ao acontece
e, consequentemente, as distribui¸c˜oes dos cumulantes de carga n˜ao s˜ao necessariamente
gaussianas e em muitas situa¸c˜oes s˜ao t˜ao irregulares, que apresentam n˜ao-analiticidades
(ver cap. 7). Neste caso, m´edia e variˆancia informam pouco da estat´ıstica de cada
observ´avel. Portanto, para se ter uma boa descri¸c˜ao estat´ıstica do cumulante de carga
´e preciso conhecer sua distribui¸c˜ao completa, a qual n˜ao pode ser obtida atrav´es das
densidades P (τ) e P (τ, τ
), sendo necess´ario ter ρ(τ) para se caracterizar completamente
a ECC. Este regime ´e chamado de limite quˆantico extremo (LQE), o qual ´e inalcan¸c´avel
por t´ecnicas anal´ıticas baseadas em teoria de perturba¸c˜ao.
O transporte quˆantico pode ser caracterizado atrav´es dos seus observ´aveis. O pri-
meiro cumulante de carga ´e a condutˆancia, o qual desempenha papel fundamental nesta
caracteriza¸c˜ao. Podemos, atrav´es deste observ´avel, entender como acontece a transi¸c˜ao
dos regimes de transporte da seguinte forma:
Limite quˆantico extremo:
- G ∼ G
Q
;
-
var(G)/ G ∼ 1;
- P (G) = distribui¸c˜ao irregular.
Regime semicl´assico:
- G ≈ G
Ohm
+ G
LF
;
-
var(G)/ G 1;
- P (G) ≈ gaussiana.
Regime cl´assico:
- G = G
Ohm
;
-
var(G)/ G = 0;
- P (G) = δ(G − G
Ohm
).
Apesar deste esquema ser muito simplista, ele nos possibilita ter uma boa intui¸c˜ao so-
bre a caracteriza¸c˜ao do transporte. Obviamente, cumulantes de carga de ordem maior,
como a potˆencia do ru´ıdo de disparo (segundo cumulante de carga), s˜ao mais sens´ıveis a
1.12 M
´
ETODOS PARA ESTUDAR TRANSPORTE EM SISTEMAS MESOSC
´
OPICOS 32
esta transi¸c˜ao entre regimes de transporte. Sendo assim, a caracteriza¸c˜ao do transporte
depender´a do observ´avel de interesse. Por exemplo, pode existir uma situa¸c˜ao onde a
distribui¸c˜ao de condutˆancia ´e praticamente gaussiana, indicando proximidade do regime
semicl´assico, mas a do quarto cumulante de carga ´e irregular, revelando estar pr´oxima
do LQE. Este comportamento ser´a discutido com mais detalhes nos cap´ıtulos 4 e 6.
1.12 M
´
ETODOS PARA ESTUDAR TRANSPORTE EM SISTEMAS MESOSC
´
OPI-
COS
Um dos mais simples e eficientes m´etodos para estudar o transporte quˆantico em
sistemas mesosc´opicos consiste em decompor o sistema como partes de um circuito, onde
seus elementos s˜ao divididos entre reservat´orios, conectores e n´os [1]. Os reservat´orios s˜ao
descritos por fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao de equil´ıbrio, os conectores s˜ao caracterizados por
seus autovalores de transmiss˜ao, os quais s˜ao vari´aveis determin´ısticas, enquanto os n´os
possuem deslocamentos de fase incontrol´aveis devido `a desordem (ou ao caos em pontos
quˆanticos).
A parte mais dif´ıcil na descri¸c˜ao de circuitos ´e eliminar graus de liberdade irrelevantes,
relacionados a escalas muito pequenas, em decorrˆencia da desordem ou do caos. Existem
algumas t´ecnicas que se prop˜oem resolver este problema, dentre elas a abordagem de
fun¸c˜oes de Green de Keldysh [1], a expans˜ao perturbativa diagram´atica do grupo unit´ario
[18, 19] e o modelo sigma n˜ao-linear supersim´etrico [20]. No entanto, somente algumas
t´ecnicas conseguem explorar o regime n˜ao-perturbativo caracterizado pelo limite quˆantico
extremo. Para um ´unico ponto quˆantico com contatos ideais, este regime j´a foi acessado
atrav´es de teoria de matrizes aleat´orias [21, 18] e por integrais de Selberg [22, 23, 24, 25].
No entanto, j´a sabemos que o efeito de contatos n˜ao-ideais influencia consideravel-
mente a estat´ıstica dos cumulantes de transferˆencia de carga, como por exemplo a corre¸c˜ao
devido `a localiza¸c˜ao fraca da potˆencia do ru´ıdo de disparo [52]. Al´em disso, as trans-
parˆencias das barreiras que modelam os contatos podem ser controladas experimental-
mente atrav´es de port˜oes de voltagem [26]. As distribui¸c˜oes de CTC’s s˜ao mensur´aveis
experimentalmente em muitas situa¸c˜oes [27, 10] e s˜ao fundamentais na caracteriza¸c˜ao
geral do transporte quˆantico.
Recentemente, a estat´ıstica dos CTC’s para um ponto quˆantico n˜ao-ideal em regime
de transporte arbitr´ario foi estudado atrav´es do modelo sigma n˜ao-linear supersim´etrico,
onde foram encontradas express˜oes integrais multidimensionais para os momentos dos
CTC’s [28, 29]. Os resultados destas integrais foram extra´ıdos numericamente. Al´em de
se tratar de um m´etodo complexo e pouco intuitivo, n˜ao ´e poss´ıvel obter as distribui¸c˜oes
1.12 M
´
ETODOS PARA ESTUDAR TRANSPORTE EM SISTEMAS MESOSC
´
OPICOS 33
completas dos CTC’s atrav´es do modelo sigma supersim´etrico, as quais s˜ao relevantes
no estudo do transporte no limite quˆantico extremo. Este regime ´e importante para
o entendimento das flutua¸c˜oes quˆanticas dos observ´aveis de transporte e, al´em disso, ´e
acess´ıvel atrav´es de experimentos [27].
Diante destas dificuldades metodol´ogicas, motivamo-nos a tratar o transporte em
um ponto quˆantico n˜ao-ideal numericamente. A elimina¸c˜ao dos graus de liberdade in-
control´aveis devido ao caos da cavidade ´e feita atrav´es de um algoritmo que gera ale-
atoriamente a matriz de espalhamento do ponto quˆantico, com a qual calculamos os
observ´aveis f´ısicos. Depois de v´arias realiza¸c˜oes num´ericas, obtemos uma amostra sufici-
entemente grande dos observ´aveis para estudarmos sua estat´ıstica. Assim, obtemos suas
distribui¸c˜oes de probabilidade, com as quais conseguimos caracterizar toda a estat´ıstica
dos CTC’s em qualquer regime de transporte [30].
O acoplamento de pontos quˆanticos possibilita descrever teoricamente efeitos mais
gerais presentes no transporte quˆantico em estruturas mesosc´opicas. Um deles ´e o efeito
de descoerˆencia, o qual pode ser implementado em um ponto quˆantico, acoplando-o a um
estube ca´otico, o qual consiste de outra cavidade ca´otica [31] que s´o possui uma abertura,
referente ao acoplamento. O estube pode absorver e reinjetar el´etrons no sistema com
fases modificadas aleatoriamente. O acoplamento de pontos, formando redes, tamb´em
facilita a conex˜ao entre a teoria e os experimentos na descri¸c˜ao da dependˆencia dos
observ´aveis de transporte com varia¸c˜oes de temperatura e campo magn´etico [19]. Outra
vantagem de acoplar pontos ´e o estudo de efeitos de reservat´orios supercondutores ou
ferromagn´eticos atrav´es de um modelo que acopla dois pontos quˆanticos [32, 33]. No caso
ferromagn´etico (supercondutor), um dos pontos desempenha o papel do transporte de
el´etrons com spin para cima (el´etrons) e o de spin para baixo (buracos) ´e descrito pelo
outro ponto. Todos estes efeitos s˜ao importantes na evolu¸c˜ao dos conceitos te´oricos para
descrever o transporte quˆantico e tamb´em para o desenvolvimento de nanotecnologia,
como por exemplo a spintrˆonica e a computa¸c˜ao quˆantica.
Sendo assim, percebemos a importˆancia de desenvolver um m´etodo que permita estu-
dar o transporte de unidades de carga em redes de pontos quˆanticos nas condi¸c˜oes mais
gerais poss´ıveis. Por isso, constru´ımos algoritmos capazes de encontrar o centro espalha-
dor efetivo do acoplamento de pontos quˆanticos em redes de topologias arbitr´arias. De-
senvolvemos regras para concatenar pontos quˆanticos acoplados em s´erie ou em paralelo,
an´alogas `as regras de circuitos cl´assicos. Estas regras s˜ao algebricamente bem definidas
e de simples manipula¸c˜ao. Com elas, podemos obter a matriz de espalhamento efetiva
de redes de pontos quˆanticos de qualquer topologia. Atrav´es dos geradores num´ericos de
1.13 SUM
´
ARIO GERAL DA TESE 34
matrizes aleat´orias, usamos estes algoritmos para obter as distribui¸c˜oes de probabilidade
dos CTC’s em regimes arbitr´arios de transporte de maneira precisa e eficiente.
1.13 SUM
´
ARIO GERAL DA TESE
Vimos neste cap´ıtulo introdut´orio uma revis˜ao sobre conceitos gerais do transporte
quˆantico em sistemas mesosc´opicos. Comentamos sobre as propriedades ondulat´orias
dos el´etrons e de como os efeitos de interferˆencia podem influenciar os observ´aveis de
transporte. Apresentamos a estat´ıstica de contagem de carga e a importˆancia dela para
a caracteriza¸c˜ao dos sistemas mesosc´opicos.
Revisaremos a teoria de matrizes aleat´orias no pr´oximo cap´ıtulo, a qual descreve a
universalidade da dinˆamica ca´otica presente em cavidades. Mostraremos como modelar
as simetrias de revers˜ao temporal e de rota¸c˜ao de spin no transporte quˆantico. Apresenta-
remos o ensemble de matrizes aleat´orias gaussiano, usado para descri¸c˜ao hamiltoniana, e
o circular, usado para modelar diretamente as matrizes de espalhamento. Descreveremos
algoritmos para gerar numericamente estes ensembles.
O cap. 3 ser´a destinado ao desenvolvimento de algoritmos baseados em teoria de ma-
trizes aleat´orias para estudar transporte em redes de pontos quˆanticos. Apresentaremos
um algoritmo fundamentado no formalismo hamiltoniano. Em seguida, desenvolveremos
algoritmos mais eficientes baseados no formalismo da matriz de espalhamento, onde cria-
remos regras de concatena¸c˜ao de centros de espalhamento em s´erie e em paralelo, tornando
poss´ıvel aplicar estes algoritmos em redes de pontos quˆanticos de qualquer topologia.
Nossos algoritmos ser˜ao aplicados a um ponto quˆantico n˜ao-ideal no cap. 4. Mostra-
remos as distribui¸c˜oes de probabilidade dos quatro primeiros CTC’s variando os n´umeros
de canais de espalhamento e as transparˆencias das barreiras. As irregularidades nas
distribui¸c˜oes dos CTC’s ser˜ao vistas explicitamente no limite quˆantico extremo, inclu-
sive n˜ao-analiticidades. Al´em disso, mostraremos semelhan¸cas entre as distribui¸c˜oes de
condutˆancias com diferentes parˆametros do sistema.
No cap. 5, abordaremos m´etodos de inferˆencia bayesiana, que usaremos para estimar
com precis˜ao valores de localiza¸c˜ao fraca e variˆancia dos CTC’s. Estas estimativas ser˜ao
feitas atrav´es de dados da nossa simula¸c˜ao, os quais contˆem elevado ru´ıdo num´erico.
Estudaremos o transporte em duas topologias de redes de pontos quˆanticos no cap.
6: uma cadeia finita de pontos e um anel de quatro pontos. Usaremos nossos algoritmos
para estudar estes sistemas. Mostraremos a concordˆancia dos nossos resultados com
outros obtidos recentemente para estes sistemas no regime semicl´assico. Apresentaremos
as distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s, os quais no limite quˆantico extremo tamb´em
1.13 SUM
´
ARIO GERAL DA TESE 35
possuem n˜ao-analiticidades. As semelhan¸cas nas distribui¸c˜oes de condutˆancia tamb´em
ser˜ao observadas nestes sistemas.
No cap. 7, desenvolveremos um argumento geom´etrico que justifica as n˜ao-analiticidades
nas distribui¸c˜oes dos CTC’s. Al´em disso, calcularemos os valores expl´ıcitos dos CTC’s
onde estas n˜ao-analiticidades podem ocorrer.
Finalmente no cap. 8, apresentaremos as conclus˜oes e perspectivas do nosso trabalho.
CAP
´
ITULO 2
A TEORIA DE MATRIZES ALEAT
´
ORIAS
A teoria de matrizes aleat´orias (TMA) [34] ´e uma ferramenta estat´ıstica moderna
com aplica¸c˜oes em diversas ´areas da ciˆencia, descrevendo sistemas que apresentam pro-
priedades universais. Esta ´e uma das caracter´ısticas mais marcantes do caos quˆantico
[35, 36, 37], o que torna ideal para uma descri¸c˜ao via TMA.
No transporte de cargas atrav´es de pontos quˆanticos ca´oticos, a dinˆamica no interior
da cavidade pode ser descrita por uma matriz hamiltoniana (H) aleat´oria, pertencente
ao ensemble gaussiano, o qual possui classes de universalidade que dependem de v´ınculos
e simetrias da cavidade. As classes mais comuns s˜ao as de Wigner-Dyson (WD), usadas
para descrever o transporte de cargas n˜ao-interagentes no regime bal´ıstico. A classe
ortogonal se aplica a cavidades que possuem simetria de revers˜ao temporal e de rota¸c˜ao de
spin. A classe unit´aria ´e aplicada em cavidades onde existe a quebra da revers˜ao temporal,
causada, por exemplo, pela aplica¸c˜ao de um forte campo magn´etico. Finalmente, a
classe simpl´etica descreve sistemas com simetria de revers˜ao temporal, na ausˆencia de
invariˆancia de rota¸c˜ao de spin.
A matriz de espalhamento (S) ´e fundamental para estudar as propriedades de trans-
porte atrav´es do formalismo de Landauer-B¨uttiker. Apesar de ser poss´ıvel conhecer esta
matriz atrav´es do hamiltoniano [38], a cavidade ca´otica pode ser descrita diretamente por
S sem se referir a H. Para isso, fazemos uso do ensemble circular [39], o qual possui as
mesmas trˆes classes de universalidade de WD.
Neste cap´ıtulo, faremos uma breve revis˜ao da teoria de matrizes aleat´orias, baseada na
ref. [34] e mostraremos como gerar numericamente o ensemble gaussiano e o circular, os
quais usaremos para estudar transporte quˆantico por, respectivamente, duas abordagens
distintas: a hamiltoniana e a da matriz de espalhamento.
36
2.1 REVERS
˜
AO TEMPORAL 37
2.1 REVERS
˜
AO TEMPORAL
Atrav´es de considera¸c˜oes f´ısicas, o operador de revers˜ao temporal deve ser antiunit´ario
[40], tendo portanto a seguinte forma
T = KC, ( . )
onde K ´e um operador unit´ario fixo e C toma o complexo conjugado da express˜ao que o
sucede. Sendo assim, um estado que sofre revers˜ao temporal se transforma para
ψ
R
= Tψ = Kψ
∗
. ( . )
Pela condi¸c˜ao φ|A|ψ = ψ
R
|A
R
|φ
R
e por ( . ), deduzimos que a transforma¸c˜ao sob
revers˜ao temporal de um operador autoadjunto A ´e
A
R
= KA
T
K
−1
, ( . )
onde A
T
´e o transposto de A. Um sistema ´e invariante sob revers˜ao temporal se seu
hamiltoniano ´e autodual, isto ´e
H
R
= H. ( . )
Quando a representa¸c˜ao dos estados ´e mudada por uma transforma¸c˜ao unit´aria, ψ → Uψ,
T se transforma de acordo com
T → UTU
−1
= UTU
†
, ( . )
e consequentemente
K → UKU
T
. ( . )
A dupla aplica¸c˜ao da revers˜ao temporal n˜ao deve mudar fisicamente o sistema, podendo
haver apenas a introdu¸c˜ao de uma fase no estado. Portanto, temos
T
2
= α1, |α| = 1. ( . )
Consequentemente,
T
2
= KCKC = KK
∗
= α1. ( . )
2.2 O ENSEMBLE GAUSSIANO 38
Mas 1 = KK
†
= K
∗
K
T
e portanto
K = αK
T
= α
αK
T
T
= α
2
K. ( . )
Sendo assim α = ±1. Isso implica dizer que a matriz unit´aria K ´e sim´etrica,
KK
∗
= 1, ( . )
ou antissim´etrica,
KK
∗
= −1. ( . )
Estas alternativas correspondem, respectivamente, aos casos de spins inteiros (b´osons) e
semi-inteiros (f´ermions) [40].
2.2 O ENSEMBLE GAUSSIANO
A dinˆamica universal de el´etrons n˜ao-interagentes no interior de uma cavidade ca´otica
pode ser descrita por um hamiltoniano H que pertence ao ensemble gaussiano de matrizes
aleat´orias, onde seus elementos s˜ao independentes e distribu´ıdos gaussianamente. Por
outro lado, as simetrias e v´ınculos da dinˆamica da cavidade determinam a classe de H.
2.2.1 Classes de universalidade
S˜ao trˆes as classes de universalidade de WD: ortogonal, simpl´etica e unit´aria. Elas se
diferenciam quanto a existˆencia ou n˜ao de simetrias de revers˜ao temporal e de invariˆancia
por rota¸c˜ao de spin. Devido a estas simetrias, alguns v´ınculos s˜ao impostos `a matriz
hamiltoniana, mudando sua forma de uma classe para outra.
Ensemble gaussiano ortogonal (EGO): Considere que a dinˆamica possui simetria
de revers˜ao temporal e invariˆancia sob rota¸c˜ao de spin, tendo portanto a eq. ( . ) como
v´alida. Sendo assim, sempre existe um operador unit´ario U tal que
K = UU
T
. ( . )
Pela eq. ( . ), uma transforma¸c˜ao ψ → U
−1
ψ leva K `a unidade. Ent˜ao, neste caso,
podemos sempre escolher uma representa¸c˜ao de estados onde
K = 1. ( . )
2.2 O ENSEMBLE GAUSSIANO 39
Logo, de ( . ), ( . ) e de ( . ), temos que H = H
T
. Como H = H
†
, o hamiltoniano
deve ser uma matriz real e sim´etrica.
Ensemble gaussiano simpl´etico (EGS): Considere que a dinˆamica possui simetria
de revers˜ao temporal, mas n˜ao seja invariante sob rota¸c˜ao de spin, tendo consequente-
mente a eq. ( . ) como v´alida. Neste caso, podemos escolher sempre uma representa¸c˜ao
onde o operador unit´ario K possua a seguinte forma
K = i
σ
2
0 ···
0 σ
2
···
.
.
.
.
.
.
.
.
.
, ( . )
onde cada um de seus elementos ´e um bloco 2 × 2 e σ
2
´e uma das trˆes matrizes de Pauli
σ
1
=
0 1
1 0
, σ
2
=
0 −i
i 0
, σ
3
=
1 0
0 −1
. ( . )
No caso simpl´etico, temos apenas a condi¸c˜ao de reversibilidade temporal H
R
= H e a
hermiticidade do hamiltoniano, que leva a
H
R
= H
†
, ( . )
que ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que os elementos de H sejam quat´ernions
reais [34]. Sendo assim, o hamiltoniano em geral ´e decomposto na base de quat´ernions
da seguinte forma
H =
0
H +
3
n=1
n
He
n
( . )
onde
n
H com n = 0, 1, 2, ou 3 ´e uma matriz real e {e
n
}
3
n=0
´e uma base quaterniˆonica.
Por exemplo, essa base pode ser o espa¸co L.I. de matrizes 2×2, composto pela identidade
e
0
= 1, referente `a parte real do quat´ernion e pelas matrizes de Pauli e
n
= iσ
n
, com n = 1,
2 ou 3, que correspondem `as partes imagin´arias quaterniˆonicas. O conjugado hermitiano
da matriz quaterniˆonica real ´e
H
†
=
0
H
T
−
3
n=1
(
n
H)
T
e
n
. ( . )
Como H = H
†
, conclu´ımos que a parte real do hamiltoniano deve ser sim´etrica e as
imagin´arias antissim´etricas.
2.2 O ENSEMBLE GAUSSIANO 40
Ensemble gaussiano unit´ario (EGU): Se considerarmos que a dinˆamica n˜ao possui
simetria de revers˜ao temporal, o hamiltoniano n˜ao precisa ser nem real e nem autodual.
O seu ´unico v´ınculo ´e ser hermitiano. Portanto, podemos escrevˆe-lo da seguinte forma:
H =
0
H +
1
Hi, ( . )
onde
0
H e
1
H s˜ao respectivamente as partes reais e imagin´arias do hamiltoniano e, por-
tanto, s˜ao matrizes reais. Como o hamiltoniano ´e hermitiano, conclu´ımos que sua parte
real ´e sim´etrica e a imagin´aria ´e antissim´etrica.
2.2.2 Distribui¸c˜ao de probabilidade
Uma forma geral de escrever o hamiltoniano ´e
H =
0
H +
β−1
n=1
n
He
n
( . )
onde β ´e o ´ındice de simetria da cavidade e assume os valores: 1 para o EGO, 2 para o
EGU e 4 para o EGS. Para β = 2, e
1
= i e para β = 4, e
n
= iσ
n
. Al´em disso,
0
H ´e
sim´etrica e
n
H com n = 1, 2 ou 3 ´e antissim´etrica. Podemos escrever a distribui¸c˜ao para
o hamiltoniano como
P (H) ∝ exp
−
β
4V
tr(H
2
)
( . )
onde
n
H
p,q
= 0 ( . )
e
n
H
pq
m
H
rs
= δ
pr
δ
qs
δ
nm
V
2δ
n0
−
1
β
δ
pq
+
1
β
. ( . )
Mais detalhes sobre a dedu¸c˜ao das equa¸c˜oes ( . ) e ( . ) est˜ao no apˆendice A.
2.2.3 Gera¸c˜ao num´erica
Para obter numericamente o hamiltoniano pertencente ao ensemble gaussiano, preci-
samos gerar uma matriz real sim´etrica e mais β −1 matrizes reais antissim´etricas. Supo-
nha que o hamiltoniano tenha dimens˜ao M. Por simplicidade, chamaremos de n´umeros
gaussianos (NG), as vari´aveis aleat´orias reais regidas por uma distribui¸c˜ao gaussiana de
2.3 O ENSEMBLE CIRCULAR 41
m´edia nula. Os valores da variˆancia s˜ao dados de acordo com a eq. ( . ). Sendo assim,
para a matriz sim´etrica precisamos de M NG com variˆancia de 2V para a sua diago-
nal e de M(M − 1)/2 NG com variˆancia V/β para o restante do seu triˆangulo superior,
que deve ser igual ao triˆangulo inferior. As matrizes antissim´etricas precisam apenas de
M(M − 1)/2 NG de variˆancia V/β para seu triˆangulo superior, seu triˆangulo inferior ´e
simplesmente o negativo do superior e sua diagonal ´e nula.
Sendo assim, o problema se resume em gerar n´umeros aleat´orios gaussianos. Isso pode
ser feito usando a parametriza¸c˜ao de Box-M¨uller [41], a qual transforma dois n´umeros
aleat´orios independentes uniformemente distribu´ıdos no intervalo [0, 1[ em duas vari´aveis
aleat´orias independentes distribu´ıdas por uma gaussiana de variˆancia 1 e m´edia 0, os
quais multiplicados por σ e somados a µ s˜ao n´umeros aleat´orios distribu´ıdos por uma
gaussiana de m´edia µ e variˆancia σ
2
. A parametriza¸c˜ao de Box-M¨uller est´a descrita no
apˆendice B.
2.3 O ENSEMBLE CIRCULAR
Sabemos de problemas b´asicos de mecˆanica quˆantica (como po¸co ou barreiras de
potencial) que atrav´es dos autoestados do hamiltoniano do sistema, ´e poss´ıvel obter os
coeficientes de reflex˜ao e de transmiss˜ao das part´ıculas, no que diz respeito ao transporte
na regi˜ao de espalhamento. Por´em, como vimos na sec. 1.5, a matriz de espalhamento j´a
cont´em essa informa¸c˜ao, pois ela relaciona as amplitudes das fun¸c˜oes de onda que entram
na regi˜ao de espalhamento com as amplitudes de sa´ıda. Para que haja conserva¸c˜ao da
densidade de probabilidade, essa matriz deve ser unit´aria. Como no regime de caos,
o espalhamento ´e visto como um processo estoc´astico, Dyson introduziu seu ensemble
circular de matrizes aleat´orias, onde as matrizes s˜ao unit´arias [42].
2.3.1 Classes de universalidade
As classes de WD tamb´em est˜ao presentes no ensemble circular, referentes `as simetrias
da cavidade j´a mencionadas na se¸c˜ao anterior. Vamos ver a forma das matrizes deste
ensemble para cada uma das trˆes classes.
Ensemble circular unit´ario (ECU): Sem a imposi¸c˜ao da revers˜ao temporal, a
´unica exigˆencia para a matriz pertencente ao ECU ´e que ela seja unit´aria, ou seja,
U
−1
2
= U
†
2
. ( . )
2.3 O ENSEMBLE CIRCULAR 42
Ensemble circular ortogonal (ECO): Impondo simetrias de revers˜ao temporal e
de invariˆancia sob rota¸c˜ao de spin, temos a eq. ( . ) como v´alida. Portando, a matriz
do ECO al´em ser unit´aria, deve ser sim´etrica. Toda matriz com este v´ınculo pode ser
escrita como
U
1
= U
T
2
U
2
. ( . )
Ensemble circular simpl´etico (ECS): Impondo simetria de revers˜ao temporal,
sem a invariˆancia sob rota¸c˜ao de spin, a equa¸c˜ao v´alida ´e a ( . ). Por isso, a matriz do
ECS al´em ser unit´aria, deve ser antissim´etrica. Respeitando estas imposi¸c˜oes, podemos
escrever essa matriz como
U
4
= U
R
2
U
2
, ( . )
onde o R se refere `a opera¸c˜ao de autodualidade referente `a equa¸c˜ao ( . ), onde, de acordo
com a eq. ( . ), K = e
2
1 e e
2
´e a segunda unidade quaterniˆonica. Sendo assim, U
4
´e
uma matriz de quat´ernions reais [34].
2.3.2 Medida de Haar
Considere a matriz U
2
do ECU e W e V matrizes unit´arias N ×N, tais que U
2
= WV.
Ent˜ao, nas vizinhan¸cas de U
2
, temos
U
2
+ dU
2
= W(1 + idX)V ( . )
onde dX ≡ dX
(1)
+ idX
(2)
´e uma matriz hermitiana infinitesimal. O volume (medida) da
vizinhan¸ca, ´e definido por
µ
2
(dU
2
) =
i≤j
dX
(1)
i,j
i<j
dX
(2)
i,j
, ( . )
a qual n˜ao depende das escolhas de W e V e ´e, justamente, a medida invariante sob
transforma¸c˜oes unit´arias do grupo unit´ario U(N) (medida de Haar) [42, 34]. Sendo assim,
a probabilidade de uma matriz do ECU ser encontrada entre U
2
+ dU
2
´e proporcional `a
esta medida
P (U
2
)dU
2
= Nµ
2
(dU
2
), ( . )
onde N ´e uma constante de normaliza¸c˜ao.
2.4 SUM
´
ARIO 43
2.3.3 Gera¸c˜ao num´erica
Para gerar uma matriz do ECU, usaremos o algoritmo da ref. [43], o qual se baseia na
parametriza¸c˜ao de Hurwitz [44]. Ela consiste na escolha apropriada de ˆangulos de Euler
para que a matriz U
2
seja decomposta em transforma¸c˜oes unit´arias elementares. Isto
gera uma medida de Haar em fun¸c˜ao dos ˆangulos de Euler. Variando estes ˆangulos no
dom´ınio apropriado, obtemos matrizes pertencentes ao ECU. Para obter matrizes ECO e
ECS, geramos U
2
e depois usamos respectivamente as parametriza¸c˜oes ( . ) e ( . ). A
descri¸c˜ao da parametriza¸c˜ao de Hurwitz e do algoritmo para gerar matrizes pertencentes
ao ECU est´a presente no apˆendice C.
2.4 SUM
´
ARIO
Neste cap´ıtulo vimos uma revis˜ao da teoria de matrizes aleat´orias focada na descri¸c˜ao
da dinˆamica ca´otica presente em pontos quˆanticos. Apresentamos o ensemble gaussiano
e o circular, os quais descrevem respectivamente o hamiltoniano e a matriz de espalha-
mento da cavidade ca´otica. Em cada um destes ensembles, mostramos as classes de
universalidade de Wigner-Dyson, as quais dependem de simetrias de revers˜ao tempo-
ral dos sistemas. Descrevemos algoritmos num´ericos para gerar aleatoriamente matrizes
destes ensembles.
No pr´oximo cap´ıtulo, apresentaremos algoritmos baseados em teoria de matrizes
aleat´orias para simular o transporte quˆantico em sistemas mesosc´opicos. Desenvolve-
remos regras de concatena¸c˜ao em s´erie e em paralelo de centros espalhadores atrav´es do
formalismo da matriz de espalhamento, com as quais construiremos algoritmos eficien-
tes para serem aplicados no c´alculo do centro espalhador efetivo de redes de topologias
arbitr´arias.
CAP
´
ITULO 3
ALGORITMOS DE TRANSPORTE VIA TEORIA DE
MATRIZES ALEAT
´
ORIAS
Como vimos na sec. 1.4, o sistema fundamental para o estudo do transporte na f´ısica
mesosc´opica ´e o ponto quˆantico. O caso do ponto com dois guias pode ser esquematizado
pela fig. 3.1. Nas extremidades dos guias est˜ao os reservat´orios macrosc´opicos que forne-
cem/recebem el´etrons. O acoplamento entre os guias e a cavidade ca´otica ´e representado
por uma barreira de potencial, onde a probabilidade de tunelamento do el´etron pode ser
quantificada pela sua transparˆencia
1
.
Figura 3.1 Vis˜ao esquem´atica de um ponto quˆantico. Cada guia ´e caracterizado pelo n´umero
de canais de espalhamento abertos N
1
e N
2
. Γ
1
e Γ
2
s˜ao as transparˆencias das barreiras. As
simetrias f´ısicas da dinˆamica dos el´etrons na cavidade ca´otica est˜ao rotuladas por β.
No regime de caos quˆantico, podemos fazer uso da TMA, modelando a matriz de
espalhamento do ponto quˆantico bal´ıstico como um membro do ensemble circular [7] ou
usando a abordagem hamiltoniana, onde uma matriz de ensemble gaussiano representa o
hamiltoniano da cavidade [45]. Uma das maneiras de inserir barreiras de transparˆencias
arbitr´arias no problema de espalhamento, ´e atrav´es do formalismo de matriz de trans-
ferˆencia [39] ou o de estube [46]. Alternativamente, ´e poss´ıvel obter a matriz de espalha-
mento do ponto quˆantico atrav´es do hamiltoniano da cavidade [38].
Os geradores num´ericos de matrizes aleat´orias apresentados no cap. 2 tornam poss´ıvel
a simula¸c˜ao do transporte em redes de pontos quˆanticos ca´oticos. Para formar as redes,
devemos concatenar os centros de espalhamento em s´erie e/ou em paralelo, de maneira
an´aloga `as concatena¸c˜oes de resistˆencias em circuitos cl´assicos.
1
A transparˆencia da barreira de potencial ´e controlada no experimento por port˜oes de voltagem [26].
44
3.1 ABORDAGEM HAMILTONIANA 45
Neste cap´ıtulo, mostraremos como construir algoritmos para simular redes de pontos
quˆanticos acoplados a guias condutores com n´umeros arbitr´arios de canais de espalha-
mento abertos e contatos de transparˆencias quaisquer. O problema consiste em achar a
matriz de espalhamento efetiva do sistema, pois ´e atrav´es dela que podemos extrair os
autovalores de transmiss˜ao, que s˜ao o c´odigo de identifica¸c˜ao do sistema mesosc´opico.
Gerando aleatoriamente esta matriz in´umeras vezes, obtemos uma amostragem sufici-
entemente grande para analisar estatisticamente o sistema. Para isso, usaremos duas
abordagens diferentes: a hamiltoniana e a da matriz de espalhamento.
3.1 ABORDAGEM HAMILTONIANA
A matriz de espalhamento de um ponto quˆantico acoplado a dois guias pode ser obtida
atrav´es do hamiltoniano da cavidade e das transparˆencias das barreiras que modelam o
acoplamento dos guias com a cavidade. Esta transforma¸c˜ao pode ser feita diretamente
pelo uso da f´ormula de Mahaux-Weidenm¨uller [38]
S(E) = 1 − 2πiW
†
E1 − H + iπWW
†
−1
W, ( . )
onde H ´e o hamiltoniano M ×M da cavidade ca´otica, pertecente ao ensemble gaussiano,
W ´e uma matriz determin´ıstica M × N
T
que modela o acoplamento dos guias com a
cavidade, N
T
= N
1
+ N
2
e S(E) ´e a matriz de espalhamento N
T
× N
T
referente ao
transporte dos el´etrons com energia E.
A matriz W cont´em informa¸c˜ao sobre o n´umero total de canais abertos nos dois guias,
o espa¸camento m´edio de n´ıveis de energia da cavidade e a transparˆencia das barreiras.
Ela pode ser separada em duas partes
W =
W
1
W
2
, ( . )
onde W
µ
´e M×N
µ
e µ = 1 ou 2 ´e o´ındice dos guias. Para desprezar processos diretos como
a transmiss˜ao de el´etrons de um guia para outro sem passar pela cavidade
2
, precisamos
impor a seguinte condi¸c˜ao de ortogonalidade [45, 47]
W
†
µ
W
ν
= ω
µ
M∆
π
2
δ
µν
, ( . )
onde ∆ ´e o espa¸camento m´edio de n´ıveis da cavidade e ω
µ
´e uma matriz diagonal dada
2
Para o el´etron passar de um guia para o outro, ´e necess´ario que se forme um estado ressonante
intermedi´ario.
3.1 ABORDAGEM HAMILTONIANA 46
por
ω
µ
= diag(ω
µ,1
, ω
µ,2
, . . . , ω
µ,N
µ
), ( . )
a qual est´a relacionada `a probabilidade de transmiss˜ao Γ
µ,j
do canal j no guia µ da
seguinte forma
α
µ,j
≡ −ln(ω
µ,j
),
Γ
µ,j
= sech
2
(α
µ,j
/2).
( . )
J´a que queremos simular um ponto quˆantico ca´otico, apenas caracter´ısticas locais
universais no espectro ser˜ao consideradas. Sendo assim, vamos desprezar a dependˆencia
em energia da matriz de espalhamento considerando E = 0 e impor a universalidade
atrav´es da implementa¸c˜ao do limite de escala de Dyson [37, 48]. Uma caracter´ıstica
marcante desta abordagem ´e que sempre no final dos c´alculos, o limite M → ∞ deve ser
tomado para garantir a universalidade dos observ´aveis.
Vamos considerar por simplicidade que todos os canais possuem a mesma probabili-
dade de tunelamento Γ
µ
= Γ
µ,j
. Usando as vantagens das rela¸c˜oes de ortogonalidade da
base discreta de Fourier, podemos parametrizar as matrizes de acoplamento da seguinte
forma
(W
µ
)
jk
= e
−α
µ
/2
2λ
π(M + 1)
sen
j(N
1
δ
µ2
+ k)π
M + 1
, ( . )
a qual respeita a eq. ( . ), devido a rela¸c˜ao assint´otica M∆ ≈ πλ para M 1, onde
V = λ
2
/M ´e um parˆametro relacionado `a variˆancia da distribui¸c˜ao de H dada pela eq.
( . ). Com esta parametriza¸c˜ao da matriz W e com o gerador num´erico do ensemble
gaussiano descrito na sec. 2.2, podemos fazer o uso da eq. ( . ) para obter a matriz de
espalhamento do sistema e assim extrair os autovalores de transmiss˜ao, que caracterizam
o ponto quˆantico. Devido ao uso da eq. ( . ), esse algoritmo ´e chamado de Mahaux-
Weidenm¨uller (MW).
Apesar das vantagens do controle direto do hamiltoniano, verificamos que este m´etodo
numericamente ´e muito ineficiente comparado com os outros que mostraremos a seguir,
os quais s˜ao baseados na abordagem da matriz de espalhamento. A compara¸c˜ao de-
talhada da eficiˆencia num´erica entre os diferentes algoritmos aplicados para o caso de
um ponto quˆantico est´a presente no apˆendice D. Devido a essa ineficiˆencia num´erica,
iremos nos limitar a descrever este algoritmo para um ponto quˆantico acoplado a dois
guias. Descreveremos o algoritmo para uma rede geral atrav´es da abordagem de matriz
de espalhamento que apresentaremos na pr´oxima se¸c˜ao.
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 47
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO
Os circuitos cl´assicos s˜ao formados por agrupamentos em s´erie e/ou paralelo dos
seus elementos: resistˆencias, capacitores, etc. Impondo conserva¸c˜ao de corrente (lei de
Kirchhoff) ´e poss´ıvel definir regras de concatena¸c˜ao para cada um desses elementos. Por
exemplo, a resistˆencia resultante da concatena¸c˜ao de resistˆencias em s´erie ´e a soma delas.
Para resistˆencias em paralelo, a resultante ´e o inverso da soma dos inversos de cada uma.
Quanticamente, os elementos que formam os circuitos s˜ao centros espalhadores que
podem ser caracterizados por uma matriz de espalhamento. As concatena¸c˜oes dos centros
espalhadores produzem uma matriz de espalhamento efetiva que, devido `a conserva¸c˜ao
de corrente, deve ser unit´aria.
Os centros espalhadores que estudaremos aqui s˜ao pontos quˆanticos ca´oticos bal´ısticos
e barreiras de transparˆencias arbitr´arias. Os primeiros possuem matrizes de espalhamento
aleat´orias pertencentes ao ensemble circular. Por outro lado, as matrizes de espalhamento
das barreiras s˜ao determin´ısticas com a seguinte estrutura: seja Γ
j
a transparˆencia do
canal j da barreira de N canais. Sendo assim, os coeficientes de transmiss˜ao e de reflex˜ao
s˜ao t
j
=
Γ
j
e r
j
= i
1 − Γ
j
. Assim, os blocos das matrizes de espalhamento das
barreiras s˜ao
r = r
= diag(r
1
, r
2
, . . . , r
N
),
t = t
= diag(t
1
, t
2
, . . . , t
N
).
( . )
A seguir, vamos mostrar como concatenar os centros espalhadores em paralelo e em
s´erie.
3.2.1 Concatena¸c˜ao em paralelo
Considere uma rede de L centros espalhadores em paralelo, como ilustrado na fig. 3.2.
Os centros espalhadores s˜ao caracterizados por sua matrizes de espalhamento {
1
S, . . . ,
L
S}
e pelos n´umeros de canais em cada um dos seus guias {
1
N
1
, . . . ,
L
N
1
} e {
1
N
2
, . . . ,
L
N
2
}.
Podemos reduzir esse sistema a um centro espalhador efetivo com N
µ
=
L
α=1
α
N
µ
canais
no guia µ. Para isso, vamos definir a opera¸c˜ao de concatena¸c˜ao em paralelo da seguinte
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 48
(a)
(b)
Figura 3.2 Concatena¸c˜ao em paralelo. Em (a), L centros espalhadores em paralelo e em (b),
o centro espalhador efetivo da concatena¸c˜ao dos L centros.
forma
α
S ⊗
γ
S ≡
α
S
11
0
α
S
12
0
0
γ
S
11
0
γ
S
12
α
S
21
0
α
S
22
0
0
γ
S
21
0
γ
S
22
=
α
r 0
α
t
0
0
γ
r 0
γ
t
α
t 0
α
r
0
0
γ
t 0
γ
r
. ( . )
Os blocos nulos representam a impossibilidade do transporte vertical entre guias do centro
α para os do centro γ. Perceba que se
α
S e
γ
S s˜ao unit´arias, ent˜ao a matriz de espalha-
mento efetiva tamb´em ´e (
α
S ⊗
γ
S)(
α
S ⊗
γ
S)
†
= 1 = (
α
S ⊗
γ
S)
†
(
α
S ⊗
γ
S), ratificando a
conserva¸c˜ao de corrente.
Assim, a matriz de espalhamento efetiva da concatena¸c˜ao dos centros espalhadores α
e γ em paralelo ´e
S =
α
S ⊗
γ
S =
r t
t r
, ( . )
com seus blocos s˜ao dados por
v =
α
v 0
0
γ
v
, ( . )
onde v pode ser r, r
, t ou t
.
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 49
Para obter a concatena¸c˜ao do sistema em paralelo exibido pela fig. 3.2, usamos a
associatividade da opera¸c˜ao ( . ), (
α
S ⊗
γ
S) ⊗
δ
S =
α
S ⊗ (
γ
S ⊗
δ
S) =
α
S ⊗
γ
S ⊗
δ
S.
Assim, podemos concatenar recursivamente os centros dois a dois da seguinte maneira:
1. concatene os dois primeiros centros para obter uma matriz resultante;
2. use a matriz resultante da opera¸c˜ao bin´aria e concatene-a com o pr´oximo centro
para obter uma nova matriz resultante;
3. repita o item 2 at´e alcan¸car o L-´esimo centro espalhador.
A matriz resultante desta concatena¸c˜ao em paralelo recursiva ´e a matriz de espalhamento
efetiva do sistema
1
S ⊗ . . . ⊗
L
S.
3.2.2 Concatena¸c˜ao em s´erie
Vamos mostrar dois m´etodos diferentes e independentes de concatenar centros espa-
lhadores em s´erie.
3.2.2.1 Matriz de transferˆencia
Como vimos na se¸c˜ao 1.5, a matriz de espalhamento de um centro espalhador conec-
tado a dois guias relaciona as amplitudes que entram no centro com as que saem. No
entanto, h´a como relacionar as amplitudes de um guia com as do outro usando o conceito
de matriz de transferˆencia. Seja
S ≡
r t
t r
, ( . )
a matriz de espalhamento de um centro espalhador. Com um pouco de ´algebra, pode se
mostrar que sua matriz de transferˆencia ´e [39]
M =
(t
†
)
−1
r
(t
)
−1
−(t
)
−1
r (t
)
−1
. ( . )
Maiores detalhes sobre a defini¸c˜ao da matriz de transferˆencia e a dedu¸c˜ao da eq. ( . )
est˜ao presentes no apˆendice E.
H´a um problema de dimens˜ao de matrizes na eq. ( . ). Perceba que para inverter
a matriz de transferˆencia, ´e necess´ario que ela seja quadrada. Isso s´o seria poss´ıvel se o
n´umero de canais dos dois guias fossem iguais. Por´em, quando os guias possuem n´umeros
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 50
de canais diferentes, podemos executar c´alculos via matriz de transferˆencia usando um
truque. Ele consiste em criar “pseudocanais” com transparˆencia no guia com menor
n´umero de canais, para igualar com o n´umero de canais do outro guia. Assim, podemos
manipular todos os c´alculos tendo apenas o cuidado de no final tomar o limite de → 0
para fechar os pseudocanais
3
.
(a)
(b)
Figura 3.3 Concatena¸c˜ao em s´erie via matriz de transferˆencia. Em (a), L centros espalhadores
em s´erie e em (b), o centro espalhador efetivo da concatena¸c˜ao dos L centros.
Uma das maiores vantagens no uso da matriz de transferˆencia para concatena¸c˜ao de
centros espalhadores em s´erie ´e que, por ela relacionar amplitudes de um guia com as do
outro, sua opera¸c˜ao de concatena¸c˜ao em s´erie ´e, simplesmente, o produto convencional
de matrizes. Por exemplo, uma rede de L centros espalhadores em s´erie, como ilustrada
na fig. 3.3, possui a seguinte matriz de transferˆencia efetiva
M =
L
M . . .
2
M
1
M. ( . )
Podemos obter os autovalores de transmiss˜ao invertendo o primeiro bloco da matriz
de transferˆencia efetiva [ver eq. ( . )]: (M
11
)
−1
= t
†
=⇒ t
†
t =⇒ autovalores de
transmiss˜ao.
Al´em disso, ´e importante notar que se a matriz de espalhamento de uma concatena¸c˜ao
em paralelo de dois centros espalhadores for transformada numa matriz de transferˆencia
de acordo com as equa¸c˜oes ( . - . ), a estrutura de bloco da opera¸c˜ao de concatena¸c˜ao
3
O algoritmo de matriz de transferˆencia com o artif´ıcio dos pseudocanais foi testado simulando um
ponto quˆantico ca´otico assim´etrico, produzindo os mesmo resultados que est˜ao ilustrados na fig. 4.2, os
quais ser˜ao discutidos com mais detalhes no pr´oximo cap´ıtulo.
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 51
em paralelo se conserva, ou seja
α
M ⊗
γ
M =
α
M
11
0
α
M
12
0
0
γ
M
11
0
γ
M
12
α
M
21
0
α
M
22
0
0
γ
M
21
0
γ
M
22
. ( . )
Podemos sempre transformar S em M atrav´es das eqs. ( . ) e ( . ) e assim, realizar
concatena¸c˜oes em s´erie e em paralelo via matriz de transferˆencia usando as eqs. ( . ) e
( . ). Chamaremos este algoritmo de matriz de transferˆencia (MT).
3.2.2.2 Estube
Vamos definir a opera¸c˜ao de concatena¸c˜ao das matrizes de espalhamento de dois
centros espalhadores em s´erie α e γ da seguinte forma [2]
α
S •
γ
S =
α
r +
α
t
[(1 −
γ
r
α
r
)
−1
]
γ
r
α
t
α
t
[(1 −
γ
r
α
r
)
−1
]
γ
t
γ
t[(1 −
α
r
γ
r
)
−1
]
α
t
γ
r +
γ
t[(1 −
α
r
γ
r
)
−1
]
α
r
γ
t
. ( . )
A dedu¸c˜ao da eq. ( . ) est´a presente no apˆendice F.
Considere agora o sistema de trˆes centros espalhadores em s´erie como visto na fig. 3.4.
Podemos concatenar o sistema usando uma transforma¸c˜ao de estube [46], a qual consiste
em transformar o sistema (a) no (c) girando os guias em torno do centro espalhador
2, como ilustrado em (b). Como n˜ao estamos considerando processos de espalhamento
inel´asticos, em cada guia os el´etrons n˜ao podem mudar de canal [2], podemos considerar
os guias 1 e 4 como se fossem apenas um de N
1
+ N
4
canais de espalhamento, bem como
os guias 2 e 3 como um efetivo de N
2
+ N
3
canais. Entre esses guias efetivos est´a a
concatena¸c˜ao em paralelo dos centros espalhadores 1 e 3, com uma observa¸c˜ao: devido a
rota¸c˜ao em (b), os guias 3 e 4 permutam de posi¸c˜ao em rela¸c˜ao a (a), fazendo com que o
centro 3 em (c) possua a seguinte matriz de espalhamento
3
S
=
3
r
3
t
3
t
3
r
, ( . )
onde seus blocos s˜ao dados pela matriz de espalhamento original em (a)
3
S =
3
r
3
t
3
t
3
r
. ( . )
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 52
(a)
(b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 3.4 Concatena¸c˜ao em s´erie de trˆes centros espalhadores atrav´es de uma transforma¸c˜ao
de estube. Em (a), os trˆes centros espalhadores em s´erie. Em (b), o guia 3 gira em torno do
centro espalhador 2 at´e formar o sistema (c), onde o centro A ´e a concatena¸c˜ao em paralelo dos
centros 1 e 3. Ainda em (c), o centro B ´e um espalhador entre o guia efetivo da esquerda devido
ao sistema em paralelo e um guia fict´ıcio `a direita, com
B
r =
2
S,
B
r
= 1 e
B
t
= 0 =
B
t. Em
(d), a concatena¸c˜ao em s´erie dos centros A e B forma um estube caracterizado por
C
S. Em
(e), a separa¸c˜ao dos guias 1 e 4 desfaz a transforma¸c˜ao de estube. Em (f) o centro efetivo da
concatena¸c˜ao do sistema em (a) ´e obtido atrav´es do bloco de reflex˜ao do centro C, S =
C
r.
3.2 ABORDAGEM DA MATRIZ DE ESPALHAMENTO 53
Em outras palavras, devemos permutar os blocos com “linha” com os que n˜ao a possuem.
Portanto, o centro efetivo A possui a matriz de espalhamento dada pela opera¸c˜ao ( . )
A
S =
1
S ⊗
3
S
. ( . )
Podemos visualizar o centro B na figura (c) como um espalhador entre o guia efetivo
formado pelos guias 2 e 3 `a esquerda e um guia fict´ıcio `a direita, onde h´a canais de
espalhamento de transparˆencia nula (canais fechados). Sendo assim, o bloco
B
r de
B
S,
que caracteriza o transporte entre os canais nos guias 2 e 3 ´e a matriz de espalhamento
do centro 2. Como n˜ao h´a transporte no guia fict´ıcio `a direita do centro B, conclu´ımos
que
B
S =
2
S 0
0 1
. ( . )
Usando a opera¸c˜ao ( . ), podemos concatenar os centros e A e B para obtermos a matriz
de espalhamento do centro efetivo C ilustrado em (d)
C
S =
A
S •
B
S =
A
r +
A
t
[(1 −
2
S
A
r
)
−1
]
2
S
A
t 0
0 1
. ( . )
Sendo assim, percebemos que
C
S possui a mesma estrutura de
B
S. Por´em, seu bloco de
reflex˜ao caracteriza o transporte entre os guias 1 e 4. Como ilustrado em (e), podemos
separar os guias 1 e 4 para obter sistema (f), o qual ´e o centro espalhador efetivo do
sistema original (a), com sua matriz de espalhamento sendo dada pelo bloco
C
r
S = R + T
[(1 −
2
SR
)
−1
]
2
ST, ( . )
onde, de acordo com as eqs. ( . ), ( . ) e ( . )
R =
A
r =
1
r 0
0
3
r
, T
=
A
t
=
1
t
0
0
3
t
,
T =
A
t =
1
t 0
0
3
t
, R
=
A
r
=
1
r
0
0
3
r
. ( . )
A prova de que a matriz de espalhamento efetiva desta concatena¸c˜ao em s´erie via estube
[eq. ( . )] ´e unit´aria SS
†
= 1 est´a no apˆendice G.
Chamaremos de estube (ST) o algoritmo que realiza concatena¸c˜oes em s´erie usando
3.3 SUM
´
ARIO 54
a eq. ( . ) e atrav´es da eq. ( . ) faz as concatena¸c˜oes em paralelo. Fica claro que
para concatenar em s´erie uma cadeia de v´arios centros espalhadores, podemos usar a eq.
( . ) para concatenar os centros trˆes a trˆes, at´e chegar nos ´ultimos trˆes centros, onde
finalmente obtemos a matriz de espalhamento efetiva da cadeia.
3.3 SUM
´
ARIO
Neste cap´ıtulo apresentamos algoritmos baseados em teoria de matrizes aleat´orias
para serem aplicados ao estudo do transporte quˆantico em sistemas mesosc´opicos atrav´es
do formalismo de espalhamento de Landauer-B¨utikker.
Mostramos a abordagem hamiltoniana atrav´es do algoritmo de Mahaux-Weidenm¨uller,
que se demonstrou ineficiente numericamente. Usando o formalismo de matriz de espa-
lhamento, desenvolvemos regras de concatena¸c˜ao em s´erie e em paralelo de centros es-
palhadores, os quais podem ser barreiras de tunelamento (matrizes determin´ısticas) ou
cavidades ca´oticas (matrizes aleat´orias). Inspirados no acoplamento de resistores em um
circuito cl´assico, adaptamos a lei de Kirchhoff (conserva¸c˜ao de corrente) para exprimir a
unitariedade das matrizes de espalhamento.
Desenvolvemos uma opera¸c˜ao alg´ebrica bem definida para concatena¸c˜ao em paralelo
de centros espalhadores, a qual se aplica a matrizes de espalhamento ou de transferˆencia.
Para concatenar em s´erie, mostramos o m´etodo da matriz de transferˆencia, regrado por
opera¸c˜oes usuais de multiplica¸c˜oes de matrizes. Este m´etodo ´e de simples implementa¸c˜ao
se as matrizes t e t
forem quadradas. Mostramos como superar esta dificuldade com
a cria¸c˜ao de pseudocanais que servem para controlar as ordens das matrizes de t e t
.
Alternativamente, o m´etodo de estube possibilita a concatena¸c˜ao dos centros em s´erie
trˆes a trˆes. Apesar de ser um algoritmo menos intuitivo do que o de matriz de trans-
ferˆencia, nosso estube ´e parametrizado de forma a descartar qualquer restri¸c˜ao com as
ordens das matrizes de espalhamento, que dependem do n´umero de canais do sistema, sem
necessidade de cria¸c˜ao de pseudocanais. Al´em disso, o apˆendice D mostra que, numerica-
mente, este estube proporciona um algoritmo mais eficiente que o baseado em matrizes
de transferˆencia.
Existem outras parametriza¸c˜oes de estube para encontrar a matriz de espalhamento
efetiva de redes de pontos quˆanticos, como por exemplo a que foi desenvolvida na ref.
[32]. Nesse m´etodo de estube, criam-se pseudoguias (equivalente `a ideia de pseudoca-
nais que usamos no m´etodo de matriz de transferˆencia) para modelar a rede de centros
espalhadores em um ´unico centro efetivo. Com isso, geralmente a matriz de espalha-
3.3 SUM
´
ARIO 55
mento efetiva ´e de ordem maior do que a usual
4
, tendo in´umeros blocos nulos ou iguais `a
identidade devido `a modelagem de pseudoguias. Estes blocos carregam informa¸c˜oes re-
dundantes, as quais s˜ao eliminadas com aplica¸c˜oes de t´ecnicas perturbativas de expans˜ao
diagram´atica. Numericamente, esta redundˆancia seria de dif´ıcil elimina¸c˜ao, fazendo com
que o processador realizasse mais c´alculos inutilmente com matrizes maiores do que deve-
riam ser. Sendo assim, nossa parametriza¸c˜ao de estube ´e otimizada para o uso de m´etodos
num´ericos por fornecerem matrizes de menor ordem poss´ıvel, eliminando as informa¸c˜oes
redundantes desde sua implementa¸c˜ao. No entanto, nada impede de se trabalhar alge-
bricamente com nossos algoritmos para construir a matriz de espalhamento efetiva do
sistema e depois aplicar m´etodos diagram´aticos, os quais conseguem acessar o regime
semicl´assico do transporte quˆantico.
No pr´oximo cap´ıtulo, aplicaremos nossos algoritmos para simular o transporte em um
ponto quˆantico n˜ao-ideal. Mostraremos as distribui¸c˜oes dos quatro primeiros cumulantes
de transferˆencia de cargas em diversos regimes de transporte, variando os n´umeros de
canais de espalhamento abertos nos dois guias e as transparˆencias das barreiras. Enfa-
tizaremos o limite quˆantico extremo, onde discutiremos em detalhes a importˆancia de
se conhecer as distribui¸c˜oes completas dos observ´aveis neste regime, as quais apresen-
tam diversas irregularidades, como a presen¸ca de n˜ao-analiticidades. Mostraremos que
as distribui¸c˜oes de condutˆancia apresentam semelhan¸cas mesmo com parˆametros diferen-
tes do sistema, sugerindo uma lei de escala aproximada que torna as distribui¸c˜oes mais
pr´oximas, a qual remete `a lei de Ohm. A aplica¸c˜ao dos nossos algoritmos em redes de
pontos quˆanticos mais complexas ser´a apresentada no cap. 6.
4
A matriz de espalhamento ´e quadrada e, em geral, sua ordem ´e dada pela a soma do n´umero de
canais de espalhamento abertos nos guias acoplados aos reservat´orios.
CAP
´
ITULO 4
DISTRIBUIC¸
˜
OES DE CUMULANTES DE
TRANSFER
ˆ
ENCIA DE CARGA NUM PONTO
QU
ˆ
ANTICO N
˜
AO-IDEAL
O ponto quˆantico ´e um dos sistemas mesosc´opicos mais fundamentais para o estudo
do transporte de cargas. No entanto, a maioria dos m´etodos anal´ıticos s´o conseguem
descrever transporte quˆantico neste sistema em situa¸c˜oes particulares, como para contatos
ideais ou no regime semicl´assico. O m´etodo de supersimetria ´e n˜ao-perturbativo e capaz
de fornecer resultados de momentos dos cumulantes de transferˆencia de carga para os
diversos regimes de transporte. No entanto, al´em de ser um m´etodo matematicamente
complexo e pouco intuitivo, supersimetria n˜ao ´e capaz de fornecer a distribui¸c˜ao completa
dos observ´aveis de transporte.
Motivados pelas dificuldades dos m´etodos anal´ıticos, implementamos numericamente
simula¸c˜oes baseadas nos algoritmos expostos no cap. 3 para o caso particular de um ponto
quˆantico. Atrav´es deste m´etodo num´erico, mostraremos as distribui¸c˜oes de probabilidade
dos quatro primeiros cumulantes de transferˆencia de carga para um ponto quˆantico, va-
riando a transparˆencia dos seus contatos, o n´umero de canais dos guias e as simetrias
da cavidade. Exploraremos a importˆancia de conhecer completamente estas distribui¸c˜oes
para a caracteriza¸c˜ao do transporte quˆantico, principalmente no limite quˆantico extremo,
onde as distribui¸c˜oes geralmente apresentam n˜ao-analiticidades. Al´em disso, apresen-
taremos uma lei de escala aproximada que enfatiza semelhan¸cas entre distribui¸c˜oes de
condutˆancia para diferentes valores de parˆametros do sistema.
4.1 IMPLEMENTAC¸
˜
AO NUM
´
ERICA
Para simular numericamente um ponto quˆantico acoplado n˜ao-idealmente a dois guias
como representado na fig. 3.1, levamos em conta o diagrama de centros de espalhamento
ilustrado na fig. 4.1. O sistema ´e formado por trˆes centros espalhadores: barreira 1
- cavidade ca´otica - barreira 2. O apˆendice D mostra uma compara¸c˜ao num´erica dos
algoritmos MW, MT e ST. Como esperado, eles produzem aproximadamente os mesmos
56
4.1 IMPLEMENTAC¸
˜
AO NUM
´
ERICA 57
Figura 4.1 Diagrama de centros de espalhamento para um ponto quˆantico. As barreiras s˜ao
representadas por suas transparˆencias Γ
1
e Γ
2
. A cavidade ca´otica ´e caracterizada pelo seu
´ındice de simetria β.
resultados, por´em o ST ´e o mais eficiente e, por isso, ele ser´a usado como padr˜ao para os
resultados que mostraremos a seguir.
Vamos apresentar em detalhe o algoritmo de ST para simular este sistema. Os dados
de entrada s˜ao:
Transparˆencias das barreiras: Γ
1
e Γ
2
;
N´umero de canais de espalhamento abertos em cada um dos guias: N
1
e N
2
;
´
Indice de simetria da cavidade: β;
N´umero de realiza¸c˜oes num´ericas: n
rel
.
As matrizes de espalhamento das barreiras s˜ao determin´ısticas e, portanto, s˜ao fixas
para todas as realiza¸c˜oes. Considerando que em cada contato, os canais possuem as
mesmas transparˆencias, seguimos a eq. ( . ) e obtemos as matrizes de espalhamento das
duas barreiras
S
j
=
r
j
1 t
j
1
t
j
1 r
j
1
, ( . )
onde t
j
=
Γ
j
e r
j
= i
1 − Γ
j
. A matriz de espalhamento da cavidade, S
cav
, ´e um mem-
bro do ensemble circular e, por isso, em cada realiza¸c˜ao num´erica, ´e gerada aleatoriamente
seguindo o algoritmo descrito na sec. 2.3.3.
A concatena¸c˜ao dos trˆes centros espalhadores em s´erie ´e feita atrav´es da f´ormula de
estube [eq. ( . )]
S = R + T[(1 − S
cav
R)
−1
]S
cav
T, ( . )
onde S ´e a matriz de espalhamento efetiva do sistema
1
e
R =
r
1
1 0
0 r
2
1
, T =
t
1
1 0
0 t
2
1
. ( . )
1
Na ref. [46], h´a uma demonstra¸c˜ao de que S ´e uma matriz aleat´oria distribuida de acordo com o
n´ucleo de Poisson.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 58
Com isso, cada realiza¸c˜ao num´erica gera a matriz efetiva do sistema, que por sua vez
fornece uma realiza¸c˜ao dos autovalores de transmiss˜ao {τ
j
}. Consequentemente, podemos
obter realiza¸c˜oes de qualquer fun¸c˜ao de {τ
j
}, como por exemplo os quatro primeiros CTC’s
[eqs. ( . ) e ( . )]
g =
n
j=1
τ
j
,
p =
n
j=1
τ
j
(1 − τ
j
), ( . )
q
3
=
n
j=1
τ
j
(1 − τ
j
)(1 − 2τ
j
),
q
4
=
n
j=1
τ
j
(1 − τ
j
)(1 − 6τ
j
+ 6τ
2
j
).
Calculamos os CTC’s n
rel
vezes, armazenando os resultados de cada realiza¸c˜ao em
um arquivo de sa´ıda. Com n
rel
suficientemente grande
2
, implementamos a contagem
de frequˆencia de cada um dos CTC’s, extraindo seus histogramas. Normalizando os
histogramas para que tenham suas integrais iguais `a unidade, obtemos a distribui¸c˜ao de
probabilidade dos CTC’s.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA
Iniciamos com resultados da simula¸c˜ao para o caso de contatos ideais. Na fig. 4.2,
verificamos o ˆexito da concordˆancia dos dados da nossa simula¸c˜ao com resultados exatos
para a distribui¸c˜ao da condutˆancia, para β = 1, e da potˆencia do ru´ıdo de disparo,
para β = 2, de um ponto quˆantico simples com contatos ideais e N
1
= 4. Note que
quanto menor N
2
, mais irregulares s˜ao as distribui¸c˜oes e, `a medida que aumentamos
N
2
, as distribui¸c˜oes se tornam mais suaves e se assemelham a gaussianas. Por´em, as
distribui¸c˜oes para N
1
< N
2
apontam efeitos de assimetria (n˜ao-gaussianos).
A fig. 4.2 servir´a como um ´otimo exemplo para analisarmos a transi¸c˜ao entre o limite
quˆantico extremo (LQE) e o regime semicl´assico atrav´es das distribui¸c˜oes de g e de p.
Vamos iniciar esta an´alise mostrando alguns detalhes para a distribui¸c˜ao de condutˆancia.
Para N
2
= 1, esta distribui¸c˜ao apresenta um comportamento linear P
1
(g) = 2g para
g ≤ 1 e se torna nulo para g > 1, pois com apenas 1 canal em um dos guias, s´o h´a um
2
Usamos n
rel
= 10
5
para obtermos as distribui¸c˜oes dos observ´avies exibidos nesta tese.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 59
Figura 4.2 Distribui¸c˜oes de condutˆancia e de potˆencia do ru´ıdo de disparo para um ponto
quˆantico com contatos ideais. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os valores de N
2
, enquanto
N
1
= 4 para ambos os pain´eis. Usamos β = 1 para P
1
e β = 2 para P
2
. Os s´ımbolos s˜ao dados
da simula¸c˜ao e as curvas s´olidas s˜ao resultados exatos extra´ıdos da ref. [23].
´unico autovalor de transmiss˜ao n˜ao-nulo e, portanto, 0 ≤ (g = τ
1
) ≤ 1. Podemos integrar
P
1
(g) multiplicado por g, visando obter g. Assim temos,
g =
1
0
dggP
1
(g) =
1
0
dgg(2g) =
2
3
, ( . )
o qual ´e o resultado esperado pela eq. ( . ) para β = 1. Da mesma forma podemos
obter o segundo momento de g
g
2
=
1
0
dgg
2
P
1
(g) =
1
0
dgg
2
(2g) =
1
2
( . )
e em seguida a variˆancia
var(g) ≡ (g − g)
2
= g
2
− g
2
=
1
2
−
2
3
2
=
1
18
, ( . )
de acordo com a eq. ( . ). Para N
2
= 2, o maior valor de g ´e max(N
1
, N
2
) = 2 e por isso,
a sua distribui¸c˜ao se anula para g > 2. Por outro lado, percebemos que a distribui¸c˜ao
se anula de uma forma mais suave, comparado ao caso N
2
= 1, indicando efeitos da
autopromedia¸c˜ao das propriedades de transporte com o aumento do n´umero de canais,
como visto na sec. 1.7. O m´aximo da curva ´e em torno de g = 1,085, que ´e diferente
do valor m´edio g = 8/7 = 1,142857, onde a barra denota o per´ıodo da d´ızima. Al´em
disso, vemos que a curva possui uma assimetria em torno do m´aximo, ratificando que a
distribui¸c˜ao n˜ao ´e gaussiana.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 60
Para N
2
= 4, vemos que a assimetria se torna menor e que a curva se assemelha a
uma gaussiana. Fazendo um ajuste de curva gaussiano (m´ınimos quadrados), obtemos
que a m´edia ´e 1,777 e que a variˆancia ´e 0,112. Por outro lado, pelas eqs. ( . ) e ( . ),
obtemos os valores g = 16/9 = 1,7 e var(g) = 100/891 = 0,112233445566778900,
os quais mostram boa concordˆancia com os resultados obtidos pelo ajuste de curvas
gaussiano, indicando proximidade do regime semicl´assico. Esta proximidade ´e menor
para N
2
= 9, pois o ajuste gaussiano fornece m´edia 2,5811 e variˆancia 0,0894, enquanto
os resultados exatos s˜ao g = 18/7 = 2,571428 e var(g) = 225/2548 ≈ 0,0883. Por
que os resultados obtidos pelo ajuste gaussiano est˜ao mais pr´oximo para N
2
= 4 do que
para N
2
= 9? Afinal, aumentando o n´umero de canais, os resultados n˜ao deveriam se
aproximar mais dos esperados para o regime semicl´assico, onde as distribui¸c˜oes s˜ao muito
pr´oximas de gaussianas? Para entendermos este efeito de assimetria vamos analisar o
terceiro cumulante da distribui¸c˜ao de g, o qual foi calculado recentemente para um ponto
quˆantico com contatos ideais atrav´es da t´ecnica de integrais de Selberg [22]
(a)
(b) (c)
Figura 4.3 Estat´ıstica da condutˆancia para um ponto quˆantico com contatos ideais, β = 1
e N
1
= 5. Em (a) temos a distribui¸c˜ao completa de condutˆancia obtida pela simula¸c˜ao, onde
N
2
= 5, 9, 13 e 21 dos s´ımbolos mais claros aos mais escuros. Ainda em (a), os valores de g
est˜ao normalizados pelo valor esperado pela lei de Ohm: g
Ohm
= 5N
2
/(5 + N
2
). Em (b) temos
a variˆancia de g [eq. ( . )], enquanto o terceiro cumulante de g est´a em (c) [eq. ( . )].
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 61
g
3
var(g)
=
4[(1 − 2/β)
2
− (N
1
− N
2
)
2
]
β(N
1
+ N
2
− 3 + 2/β)(N
1
+ N
2
− 1 + 2/β)(N
1
+ N
2
− 1 + 6/β)
. ( . )
Note que quando N
1
= N
2
e β = 2 o terceiro cumulante ´e nulo, e com β = 2 ele possui
um valor finito, mas que se torna desprez´ıvel quando aumentamos o n´umero de canais.
Esta regra se estende a cumulantes de g de ordem ´ımpar e maior que 1, implicando que
a distribui¸c˜ao de g tende a se tornar sim´etrica em torno do esperado pela lei de Ohm
no limite de muitos canais. Na verdade, no limite de grande n´umero de canais os cu-
mulantes de g de ordem maior que dois se tornam desprez´ıveis comparados `a variˆancia
e por isso, as distribui¸c˜oes tendem a adquirir um formato aproximadamente gaussiano
3
[22]. Para ilustrarmos melhor o efeito do terceiro cumulante, veja a fig. 4.3, onde temos
N
1
= 5, β = 1 e percebemos que para N
2
= 5 a distribui¸c˜ao se assemelha muito com uma
gaussiana, e para N
2
= 9, 13 e 21, a largura da distribui¸c˜ao (variˆancia) vai diminuindo
e efeitos de assimetria da distribui¸c˜ao se tornam mais acentuados. Este comportamento
´e ratificado em (b) e (c), pois a variˆancia diminui `a medida que N
2
aumenta, o terceiro
cumulante comparado `a variˆancia ´e desprez´ıvel para N
2
∼ 5 e, `a medida que N
2
aumenta,
ele se torna significante e negativo, justificando o comportamento das distribui¸c˜oes de g
com N
1
= N
2
. Por´em, pelas na eqs. ( . ) e ( . ), no limite de N
1
, N
2
1, temos
g
3
∝ (N
1
− N
2
)
2
(N
1
N
2
)
2
(N
1
+ N
2
)
−7
, onde vemos que mesmo para |N
1
− N
2
| 1,
o terceiro cumulante ´e desprez´ıvel, enfatizando a tendˆencia de P
1
(g) a uma distribui¸c˜ao
aproximadamente gaussiana no regime semicl´assico, mesmo para um ponto quˆantico as-
sim´etrico. Al´em disso, a condi¸c˜ao N
2
N
1
(ou vice-versa) significa fisicamente que
estamos pr´oximo do limite do ponto de contato quˆantico (N
2
→ ∞), pois o contato com
N
2
canais ´e muito aberto, fazendo com que o sistema deixe de ser uma cavidade ca´otica,
tendo praticamente o ponto de contato com N
1
canais dominando o transporte. No
PCQ, o transporte de cargas ´e estoc´astico, mas n˜ao ´e ca´otico e, portanto, os cumulantes
de carga s˜ao determin´ısticos, ou seja, passam a ser regidos por uma distribui¸c˜ao do tipo
delta de Dirac. Neste caso, a variˆancia e todos os cumulantes de ordem maior dos CTC’s
s˜ao nulos. Por isso que, em (a), `a medida que aumentamos N
2
, as curvas se estreitam
e se tornam mais altas em torno de g
Ohm
= N
1
N
2
/(N
1
+ N
2
), que no limite do PCQ ´e
g
Ohm
= N
1
+ O(1/N
2
).
Voltando para a fig. 4.2, vamos analisar a distribui¸c˜ao da potˆencia do ru´ıdo de disparo
3
J´a se sabe que no regime semicl´assico a distribui¸c˜ao de condutˆancia ´e centralmente gaussiana. Por´em
em suas caldas (g < 1/4 e g > 3/4), elas se comportam de maneira diferente: a ref. [49] considera que
o comportamento ´e lei de potˆencia, enquanto a ref. [50] afirma ser exponencial. Como trata-se de
uma regi˜ao de eventos raros, n˜ao temos precis˜ao num´erica suficiente para verificar o comportamento das
distribui¸c˜oes neste regime.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 62
para um ponto quˆantico com contatos ideais, N
1
= 4 e β = 2. Note que a distribui¸c˜ao
de p para N
2
= 2 possui derivada descont´ınua
4
, pois para p > 0,5 a distribui¸c˜ao ´e linear
P
2
(p) = 25(
1
2
− p) e ´e n˜ao-linear para p < 0,5 [22]. Com o aumento do n´umero de
canais, as irregularidades s˜ao suavizadas devido `a autopromedia¸c˜ao das propriedades de
transporte, como mostram as curvas para N
2
> 2. Para N
2
= 3, a curva ´e suave e seu
m´aximo ´e em aproximadamente 0,435. Por outro lado a express˜ao exata para a m´edia de
p ´e [23]
p =
N
1
N
2
(N
1
− 1 + 2/β)(N
2
− 1 + 2/β)
(N
1
+ N
2
− 2 + 2/β)(N
1
+ N
2
− 1 + 4/β)(N
1
+ N
2
− 1 + 2/β)
=
β
2
N
1
N
2
var(g)
g
. ( . )
Assim, para N
2
= 3, p = 3/7 = 0,428571428571, revelando que o m´aximo da curva, ape-
sar de pr´oximo, n˜ao ´e a m´edia da distribui¸c˜ao. Al´em disso, percebemos que a distribui¸c˜ao
´e assim´etrica e, portanto, n˜ao ´e gaussiana. Para N
2
= 4, fizemos um ajuste de curva gaus-
siano e percebemos que a distribui¸c˜ao n˜ao se aproxima muito bem de uma gaussiana,
apesar do seu m´aximo em p ≈ 0,507 estar muito pr´oximo da m´edia p = 0,507936. Para
entendermos isso, obtivemos alguns dos momentos centrais de p atrav´es da integra¸c˜ao
num´erica
(∆p)
m
= (p − p)
m
=
dp(p − p)
m
P
2
(p) ( . )
e encontramos a variˆancia, a obliquidade e a curtose
5
var(p) ≈ 7,68 10
−3
;
γ
1
(p) ≡
(∆p)
3
var(p)
3/2
≈ 4,03 10
−2
;
γ
2
(p) =
(∆p)
4
var(p)
2
− 3 ≈ −9,574 10
−2
. ( . )
Com isso, vemos que a obliquidade ´e da ordem de 10
−1
, indicando que a cauda direita
da distribui¸c˜ao ´e um pouco mais longa que a esquerda (assimetria). Al´em disso, o fato
da curtose ser da ordem de −10
−1
justifica o motivo pelo qual o pico da curva ´e mais
4
N˜ao-analiticidades s˜ao comuns em distribui¸c˜oes de CTC’s no limite quˆantico extremo e ser˜ao discu-
tidas em detalhes no cap. 7.
5
A obliquidade (γ
1
) e a curtose (γ
2
) est˜ao respectivamente relacionados aos terceiro e quarto cumu-
lantes de uma distribui¸c˜ao gaussiana, onde γ
1
= 0 = γ
2
. Estes valores s˜ao muito usados para comparar
a proximidade de uma distribui¸c˜ao arbitr´aria `a uma gaussiana. Se γ
1
= 0, indica que a distribui¸c˜ao
´e assim´etrica comparada a uma gaussiana. A distribui¸c˜ao possui um achatamento diferente da curva
gaussiana se γ
2
= 0.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 63
“achatado” do que o de uma gaussiana usual. Para N
2
= 8, observamos que o m´aximo
da distribui¸c˜ao p ≈ 5,993 est´a pr´oximo da m´edia p = 256/429 = 0,596736. Atrav´es
de integra¸c˜ao num´erica, obtemos a variˆancia, a obliquidade e a curtosa de p, que s˜ao
respectiva e aproximadamente: 5,23 10
−3
, 8,88 10
−2
e −9,46 10
−2
. Estes valores ratificam
que a curva n˜ao ´e gaussiana.
´
E importante destacar que a an´alise da fig. 4.2 indica que
as distribui¸c˜oes de g tendem a apresentar caracter´ısticas gaussianas com o aumento do
n´umero de canais com maior facilidade que as distribui¸c˜oes de p. Isso pode ser entendido
pelo fato dos cumulantes de carga de ordem superior serem mais sens´ıveis aos efeitos de
interferˆencia
6
, sendo necess´ario um maior n´umero de canais para que a autopromedia¸c˜ao
seja suficiente para suavizar estes efeitos, alcan¸cando o regime semicl´assico.
At´e agora apresentamos resultados para contatos ideais. Os efeitos da transparˆencia
em contatos s˜ao relevantes para o transporte quˆantico, pois eles incluem o tunelamento,
o qual ´e um efeito puramente quˆantico (ver sec. 1.1). Por´em, n˜ao existem resultados
exatos para as distribui¸c˜oes dos CTC’s neste caso, as quais podemos obter com nossas
simula¸c˜oes. No entanto, o caso particular de um ponto quˆantico ca´otico com apenas
um canal de espalhamento foi estudado analiticamente na ref. [51], atrav´es da teoria de
matrizes aleat´orias, onde foi deduzida uma express˜ao integral exata da distribui¸c˜ao do
autovalor de transmiss˜ao ρ(τ ) para contatos de transparˆencia Γ e β = 1, 2 e 4. Assim,
atrav´es de uma integra¸c˜ao num´erica encontramos ρ(τ). Como visto na sec. 1.8, podemos
usar a seguinte rela¸c˜ao para obtermos a distribui¸c˜ao de qualquer CTC
P
m
(q) =
1
0
dτρ(τ)δ[q − f
m
(τ)]. ( . )
Vamos exemplificar o uso da eq. ( . ) escrevendo as distribui¸c˜oes da condutˆancia e
da potˆencia do ru´ıdo de disparo com dependˆencias expl´ıcitas de, respectivamente, g e p.
Come¸camos com a condutˆancia
P
1
(g) =
1
0
dτρ(τ)δ(g − τ) = ρ(τ = g)Θ(g)Θ(1 − g), ( . )
onde Θ ´e a fun¸c˜ao degrau
Θ(x) ≡
0, x < 0;
1, x ≥ 0.
( . )
6
Lembramos que os efeitos de interferˆencia ficam embutidos na estat´ıstica dos autovalores de trans-
miss˜ao e, por sua vez, o CTC de ordem m ´e uma soma de polinˆomios de grau m destes autovalores [ver
eq. ( . )].
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 64
Este resultado ´e simples de entender, pois para apenas um canal de espalhamento a
condutˆancia adimensional ´e igual ao autovalor de transmiss˜ao e, portanto, as distribui¸c˜oes
de g e τ s˜ao iguais. Agora vamos mostrar como fica para a potˆencia do ru´ıdo de disparo
P
2
(p) =
1
0
dτρ(τ)δ[p − τ(1 − τ)]. ( . )
Podemos usar a propriedade da delta de uma fun¸c˜ao arbitr´aria
δ[h(x)] =
j
δ(x − x
j
)
|h
(x
j
)|
, ( . )
onde x
j
s˜ao ra´ızes de h(x). Na eq. ( . ), a fun¸c˜ao do argumento da delta ´e h(τ) =
p−τ +τ
2
, com ra´ızes τ
±
(p) = (1±
√
1 − 4p)/2. Al´em disso, |h
(τ
±
)| = |1−2τ
±
| =
√
1 − 4p.
Como a integra¸c˜ao ´e no intervalo 0 ≤ τ ≤ 1 e por isso, temos que impor que 0 ≤ p ≤ 1/4.
Com isso, encontramos
P
2
(p) =
Θ(p)Θ(1/4 − p)
√
1 − 4p
{ρ[τ
+
(p)] + ρ[τ
−
(p)]}. ( . )
Perceba pela equa¸c˜ao acima que a distribui¸c˜ao P
2
(p) apresenta n˜ao-analiticidade em
p = 1/4. Iremos mostrar detalhes sobre n˜ao-analiticidades nas distribui¸c˜oes de qualquer
CTC de uma forma geral (independente da topologia da rede, transparˆencias, n´umero de
canais, etc.) no cap. 7.
Podemos seguir este mesmo procedimento para obtermos a distribui¸c˜ao de qualquer
CTC. Para CTC’s de ordem superior, a dificuldade ´e a solu¸c˜ao anal´ıtica da equa¸c˜ao
polinomial imposta pela fun¸c˜ao delta: q − f
m
(τ) = 0. Por´em, podemos encontrar a
solu¸c˜ao numericamente e, consequentemente, obter as distribui¸c˜oes dos CTC’s.
Na fig. 4.4, comparamos os resultados da simula¸c˜ao com os exatos obtidos atrav´es da
eq. ( . ) para contatos n˜ao-ideais e percebemos a grande semelhan¸ca entre os resultados.
Com apenas um canal de espalhamento, a predominˆancia do LQE pode ser notada nas
distribui¸c˜oes. O esperado para uma distribui¸c˜ao de CTC no regime semicl´assico ´e que
seja aproximadamente uma gaussiana, a qual em escala log-normal ´e uma par´abola com
concavidade negativa. No entanto, ´e not´avel como as curvas para os quatro CTC’s est˜ao
longe desse comportamento parab´olico. Al´em disso, vemos que os comportamentos para
diferentes β’s s˜ao bem distintos por causa da alta sensibilidade dos CTC’s aos efeitos
de interferˆencia neste regime. Observamos tamb´em n˜ao-analiticidades nas distribui¸c˜oes
dos quatro CTC’s. Note que nos valores extremos dos CTC’s as distribui¸c˜oes s˜ao n˜ao-
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 65
Figura 4.4 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um ponto quˆantico ca´otico com um
´unico canal de espalhamento em cada guia e Γ
1
= Γ
2
= 2/3 e β = 1, 2 e 4 (do mais claro para
o mais escuro: quadrado, c´ırculo e triˆangulo.). Os pontos s˜ao os dados da simula¸c˜ao e as linhas
s´olidas s˜ao resultados exatos [51].
anal´ıticas, pois ou elas, ou suas derivadas s˜ao descont´ınuas. Al´em disso, o valor do CTC
onde as n˜ao-analiticidades ocorrem n˜ao varia com β, o qual influencia apenas no valor
da distribui¸c˜ao. As figuras tamb´em sugerem que as distribui¸c˜oes sejam mais irregulares
para CTC’s de ordem maior. Todas estas caracter´ısticas irregulares das distribui¸c˜oes
est˜ao justificadas atrav´es de uma an´alise mais geral no cap. 7.
Vamos observar com mais detalhes a distribui¸c˜ao de condutˆancia para β = 1 na fig.
4.4, pois ela demonstra muito bem a complexidade do LQE. A m´edia e o desvio padr˜ao
(raiz quadrada da variˆancia) s˜ao g ±
var(g) ≈ 0,20661 ± 0,24726. Vamos supor que
n˜ao conhecemos a distribui¸c˜ao e que a ´unica informa¸c˜ao que temos ´e da m´edia e desvio
padr˜ao. Sendo assim, intuitivamente estimamos que se fiz´essemos v´arias medi¸c˜oes de
condutˆancia do sistema, encontrar´ıamos in´umeras vezes valores em torno de g = 0,20661
e que a margem de erro desta estimativa seria σ
g
= 0,24726. Como o desvio padr˜ao ´e
maior que a m´edia, tamb´em ser´ıamos induzidos a acreditar que a distribui¸c˜ao ´e larga,
pois, geralmente, esta caracter´ıstica ´e atribu´ıda `a variˆancia. No entanto, percebemos a
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 66
Figura 4.5 Valores de condutˆancia obtidos aleatoriamente via simula¸c˜ao para um ponto
quˆantico ca´otico com apenas um canal de espalhamento, contatos de transparˆencia 2/3 e β = 1.
Cada uma das mil realiza¸c˜oes num´ericas gerou um valor de g, representados por pequenos
c´ırculos abertos. A reta em g = 0,2060731 representa a m´edia da amostra. A faixa cinza em
torno da reta, tem largura do dobro do desvio padr˜ao da amostra 2 × 0,2462341.
pobreza desta estimativa, pois vemos na fig. 4.4 que esta distribui¸c˜ao diverge para g = 0,
indicando que se fizermos v´arias medi¸c˜oes de condutˆancia do sistema, encontraremos
in´umeras vezes valores muito pr´oximos de zero. Para enfatizar a diferen¸ca entre estas
estimativas, veja a fig. 4.5, a qual mostra a flutua¸c˜ao da condutˆancia obtida por nossa
simula¸c˜ao para o exemplo que estamos discutindo (um canal, β = 1 e Γ = 2/3) em fun¸c˜ao
das realiza¸c˜oes num´ericas. Com apenas mil realiza¸c˜oes, os resultados se concentram em
valores muito pr´oximos de zero. Perceba como a m´edia e o desvio padr˜ao da amostra
s˜ao realmente pobres para estimar a estat´ıstica da condutˆancia. Esta figura ´e an´aloga ao
resultado experimental para um fio quase-unidimensional de ouro exibido pela fig. 1.12.
O papel das realiza¸c˜oes num´ericas ´e similar ao do campo magn´etico na fig. 1.12. No
entanto, percebemos que no caso experimental, a m´edia e o desvio padr˜ao fornecem uma
boa estimativa da estat´ıstica da condutˆancia. Isso ´e devido `a proximidade do regime
semicl´assico, pois para o fio de ouro em quest˜ao g ±
var(g) ≈ 186,15 ± 0,3 (em
unidades de G
Q
= 2e
2
/h). Perceba que a m´edia ´e muito maior que o quantum de
condutˆancia (186,15 1) e que o desvio padr˜ao ´e pequeno comparado com a m´edia,
sugerindo proximidade do regime semicl´assico
7
. Sendo assim, alertamos do perigo em
fazer estimativas dos CTC’s no LQE atrav´es de m´edias e variˆancias, pois neste regime as
7
A ref. [10] mostra que a distribui¸c˜ao de condutˆancia para a amostra da fig. 1.12 se aproxima muito
bem de uma gaussiana.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 67
distribui¸c˜oes s˜ao irregulares
8
.
Figura 4.6 Distribui¸c˜oes de condutˆancia e de potˆencia do ru´ıdo de disparo para um ponto
quˆantico com guias sim´etricos, barreiras de transparˆencia Γ = 0,5 e β = 4. As curvas est˜ao
rotuladas pelos n´umeros de canais em cada um dos guias. As linhas s˜ao apenas guias de olhos.
Na fig. 4.6, vemos que para contatos n˜ao-ideais o comportamento das distribui¸c˜oes
dos CTC’s com a varia¸c˜ao do n´umero de canais ´e similar ao caso ideal (fig. 4.2), j´a que,
`a medida que o n´umero de canais aumenta, as distribui¸c˜oes se tornam mais regulares,
com formato aproximadamente gaussiano, sugerindo proximidade do regime semicl´assico.
Neste regime, para um ponto quˆantico sim´etrico, as m´edias de g e p s˜ao [52, 18]
g =
NΓ
2
+
1 −
2
β
Γ
4
,
p =
NΓ
8
(2 − Γ). ( . )
Para fig. 4.6, temos Γ = 1/2 e β = 4 e, portanto,
g =
N
4
+
1
16
p =
3N
32
. ( . )
Perceba na figura que `a medida que N aumenta, os m´aximos das distribui¸c˜oes se aproxi-
mam dos valores dados pela eq. ( . ), ratificando a tendˆencia ao regime semicl´assico.
A varia¸c˜ao das distribui¸c˜oes com Γ pode ser notada na fig. 4.7, onde percebemos
que `a medida que Γ diminui, as irregularidades das distribui¸c˜oes aumentam. Sabemos
8
Quando a distribui¸c˜ao ´e gaussiana, podemos caracteriz´a-la totalmente pela m´edia e pela variˆancia,
pois todos seus outros cumulantes s˜ao nulos. Por isso, no regime semicl´assico, ´e comum caracterizar a
estat´ıstica dos CTC’s pela m´edia (que inclui LF) e pela variˆancia, pois neste regime, as distribui¸c˜oes s˜ao
aproximadamente gaussianas [23].
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 68
que ao reduzirmos Γ estamos dificultando o transporte dos el´etrons e consequentemente
diminuindo a condutˆancia. Quando Γ ´e suficiente pequeno `a ponto de g ∼ 1, surgem
caracter´ısticas do LQE, dentre elas, as irregularidades nas distribui¸c˜oes dos CTC’s. Al´em
disso, se Γ = 0 n˜ao h´a transporte e, consequentemente, a distribui¸c˜ao de qualquer CTC’s
´e uma fun¸c˜ao delta localizada em zero. Percebemos esta tendˆencia nas distribui¸c˜oes de
q
3
e q
4
para Γ = 0,1, onde notamos que as curvas come¸cam a ficar estreitas e altas, em
valores pr´oximos de zero.
Figura 4.7 Distribui¸c˜oes dos terceiro e quarto CTC’s para um ponto quˆantico com β = 1,
N
1
= N
2
= 8 e Γ
1
= Γ
2
= Γ. As linhas s˜ao apenas guias de olhos.
Nossa simula¸c˜ao permite calcular m´edias facilmente sem precisar realizar integra¸c˜oes
ponderadas com as distribui¸c˜oes. Basta fazer m´edias aritm´eticas dos valores gerados pelas
realiza¸c˜oes num´ericas. Apesar das distribui¸c˜oes de CTC’s serem altamente irregulares no
LQE, veja na fig. 4.8 como os valores m´edios dos CTC’s possuem comportamentos suaves
em fun¸c˜ao das transparˆencias das barreiras. Por´em, note como as superf´ıcies se tornam
mais curvadas `a medida que a ordem do CTC aumenta. Para entender isso, voltamos a
lembrar que o CTC de ordem m ´e uma soma de polinˆomios de grau m dos autovalores de
transmiss˜ao, que representamos como o vetor multidimensional τ. Por isso, quanto maior
m, mais sens´ıvel o CTC com varia¸c˜oes de parˆametros que influenciam τ, dentre eles, a
transparˆencia das barreiras
9
. Percebemos tamb´em nas figuras que elas s˜ao sim´etricas
com respeito `a troca de Γ
1
por Γ
2
. Esta invariˆancia ´e esperada, j´a que o ponto quˆantico
´e um sistema que possui simetria no sentido do transporte, ou seja, ´e invariante injetar
os el´etrons no sistema pela direita ou pela esquerda
10
.
9
Veremos na sec. 6.1 um resultado anal´ıtico [33] que, para guias sim´etricos, a m´edia de um CTC de
ordem m no regime semicl´assico ´e um polinˆomio de Γ de ordem m.
10
Num experimento, o sentido do transporte ´e controlado pelo sinal da voltagem aplicada ao sistema.
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 69
Figura 4.8 M´edias dos quatro primeiros CTC’s em fun¸c˜ao das transparˆencias das barreiras
para um ponto quˆantico ca´otico com dois canais de espalhamento abertos em cada um dos dois
guias e β = 1.
Recentemente, express˜oes integrais exatas para momentos dos CTC’s foram obtidas
usando o m´etodo de supersimetria (sigla inglesa: SUSY) [28] para um ponto quˆantico
ca´otico com β = 1, n´umero de canais e transparˆencias arbitr´arias. Observe nas figs. 4.9 e
4.11 como nossos resultados est˜ao de acordo com os obtidos via SUSY. Na fig. 4.9, vemos
que mesmo para contatos n˜ao-ideais, fixando valores de N
1
e Γ = 0,6, as m´edias de g e p
s˜ao crescentes com N
2
. Como j´a discutimos, o limite de N
2
→ ∞ o sistema efetivamente
´e um PCQ com N
1
canais abertos e, portanto, deixa de ser ca´otico. Neste regime de
PCQ, os autovalores de transmiss˜ao s˜ao determin´ısticos e s˜ao todos iguais τ
j
= Γ
1
, com
j = 1, . . . , N
1
. Sendo assim, a condutˆancia do PCQ ´e g
PCQ
=
N
1
j=1
τ
j
= N
1
Γ
1
e a
potˆencia do ru´ıdo de disparo ´e p
PCQ
=
N
1
j=1
τ
j
(1 − τ
j
) = N
1
Γ
1
(1 − Γ
1
). Como no nosso
exemplo, Γ
1
= 0,6, temos g
PCQ
= 0,6N
1
e p
PCQ
= 0,24N
1
. Portanto, esperamos que tanto
a condutˆancia como a potˆencia de ru´ıdo de disparo possuam o comportamento assint´otico
(N
2
N
1
) de g ≈ g
PCQ
e p ≈ p
PCQ
. Al´em disso, como no limite do PCQ o sistema
deixa de ser ca´otico, os CTC’s n˜ao mais flutuam estatisticamente e, consequentemente,
4.2 ESTAT
´
ISTICA DE CONTAGEM DE CARGA 70
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.9 Estat´ısticas de g e de p em fun¸c˜ao do n´umero de canais para um ponto quˆantico
ca´otico com β = 1. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os valores de N
1
, enquanto Γ
1
=
Γ
2
= 0,6. Os pontos fechados ilustram os resultados via SUSY [28] e os abertos representam
os dados da simula¸c˜ao. As linhas s´olidas (SUSY) e pontilhadas (simula¸c˜ao) s˜ao apenas guias
de olhos. Em (d), temos o desvio relativo da condutˆancia em escala ln-ln. As retas tracejadas
s˜ao regress˜oes lineares obtidas atrav´es dos pontos N
2
= 7, 8, 9 e 10, com coeficientes angulares
−0,42; −0,415 e −0,45; e lineares 0,18; −0,446 e −0,658; respectivamente para N
1
= 1, 3 e 5.
suas variˆancias devem ser nulas. Para que a variˆancia da condutˆancia seja nula no limite
do PCQ, devemos ter g
2
= g
2
≈ g
2
PCQ
= 0,36N
2
1
. Apesar de em (b), a curva de g
2
n˜ao consegue mostrar de maneira convincente este assint´otico, podemos ver que isso ´e
verdade atrav´es do desvio relativo em (d). Notem que no limite do PCQ, a curva passa
a ter um comportamento linear, indicando uma lei de potˆencia do tipo σ/g ∝ N
γ
2
, com
γ < 0. Assim, no limite de N
2
→ ∞ o desvio relativo ´e nulo, indicando que g n˜ao flutua
estatisticamente, conforme o esperado para o PCQ. Visando maior rigor na investiga¸c˜ao
do limite do PCQ, obtemos atrav´es da simula¸c˜ao g, g
2
e p para 10 ≤ N
2
/N
1
≤ 15
e em seguida estimamos seus valores para N
2
→ ∞ atrav´es de extrapola¸c˜ao num´erica.
Estes resultados est˜ao ilustrados na fig. 4.10, onde notamos que nossas extrapola¸c˜oes
est˜ao de acordo com o esperado no limite do PCQ.
A fig. 4.11 ilustra os resultados para um ponto quˆantico com apenas dois canais de
espalhamento abertos e variando as transparˆencias das barreiras. Perceba que as m´edias
de g, g
2
e de p se anulam quando Γ
2
→ 0. Consequentemente, o desvio padr˜ao da
4.3 SEMELHANC¸ AS ENTRE DISTRIBUIC¸
˜
OES DE CONDUT
ˆ
ANCIA 71
Figura 4.10 Estat´ısticas de g e de p em fun¸c˜ao de N
1
para um ponto quˆantico ca´otico com
β = 1 e Γ
1
= Γ
2
= 0,6. Os s´ımbolos s˜ao extrapola¸c˜oes para N
2
→ ∞ atrav´es de resultados da
simula¸c˜ao com 10 ≤ N
2
/N
1
≤ 15. As curvas s˜ao guias de olhos para os resultados exatos para
um ponto de contato quˆantico (PCQ) com N
1
canais abertos e transparˆencia Γ
1
= 0,6.
condutˆancia (σ) tamb´em se anula neste limite, pois g
2
= g
2
= 0. Este resultado
´e esperado, j´a que se pelo menos uma das barreiras tem transparˆencia nula, n˜ao h´a
transporte e, portanto, todos os CTC’s se anulam e deixam de flutuar estatisticamente.
Por´em, apesar de neste limite σ e g se anularem, a raz˜ao entre eles possui um valor
finito e n˜ao-nulo (0, 6455 σ/g 2, 9789), como podemos ver em (d). Al´em disso,
quanto menor Γ
1
, maior o desvio relativo da condutˆancia. Isso ratifica as altas flutua¸c˜oes
no LQE, pois mesmo quando g 1, a flutua¸c˜ao da condutˆancia relativa ao seu valor
m´edio ainda ´e consider´avel.
4.3 SEMELHANC¸AS ENTRE DISTRIBUIC¸
˜
OES DE CONDUT
ˆ
ANCIA
´
E intuitivamente simples entender o motivo pelo qual a m´edia da condutˆancia depende
de forma crescente do n´umero de canais e da transparˆencia das barreiras, pois aumentar
N ou Γ torna mais prov´avel a transmiss˜ao de cargas e, portanto, aumenta a condutˆancia.
Se fixarmos um valor de N e de Γ para um ponto com guias e contatos iguais, sempre
´e poss´ıvel fixar N
> N e encontrar um Γ
que produz o mesmo valor da m´edia da
condutˆancia, ou seja, g
N,Γ
= g
N
,Γ
. Como um exemplo concreto, considere o caso
semicl´assico onde a m´edia da condutˆancia obedece a lei de composi¸c˜ao de Ohm para dois
resistores idˆenticos de resistˆencia R = 1/(NΓ) em s´erie. Neste caso g = 1/(2R) = NΓ/2
e consequentemente, Γ
= NΓ/N
. Todavia, sabemos que a m´edia ´e apenas o primeiro
momento de uma distribui¸c˜ao e, por isso, ´e interessante investigar se esta reescala se
estende para toda a distribui¸c˜ao da condutˆancia.
4.3 SEMELHANC¸ AS ENTRE DISTRIBUIC¸
˜
OES DE CONDUT
ˆ
ANCIA 72
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.11 Estat´ısticas de g e de p em fun¸c˜ao das transparˆencias das barreiras para um
ponto quˆantico ca´otico com dois canais de espalhamento em cada um dos guias e β = 1. Os
n´umeros rotulando as curvas s˜ao os valores de Γ
1
. Os pontos ilustram os resultados via SUSY
[28] e as linhas s´olidas representam os dados da simula¸c˜ao. Em (d), temos o desvio relativo
da condutˆancia em escala ln-ln. Atrav´es de uma extrapola¸c˜ao num´erica, estimamos o desvio
relativo no limite Γ
2
→ 0: σ/g ≈ 0,6455; 0,8619; 1,1582 e 2,9789; respectivamente para Γ
1
=
1; 0,7; 0,4 e Γ
2
.
Considere que P
1
(P
1
) ´e a distribui¸c˜ao de condutˆancia para o sistema com N e Γ (N
e
Γ
). Primeiramente, fixamos N e Γ. Em seguida escolhemos N
> N e variamos Γ
< Γ,
analisando a diferen¸ca entre as distribui¸c˜oes P
1
e P
1
atrav´es da entropia relativa (ou
distˆancia de Kullback–Leibler)
11
[53]
K(P
1
, P
1
) ≡
dgP
1
(g) log
P
1
(g)
P
1
(g)
. ( . )
Com esta an´alise, verificamos que nenhum valor de Γ
torna as distribui¸c˜oes iguais, ou
seja, sempre temos K(P
1
, P
1
) = 0. Por´em, similaridades not´aveis emergem quando N
´e suficientemente pr´oximo de N. Usando a nota¸c˜ao (N; Γ), percebemos pela fig. 4.12
grandes semelhan¸cas entre as distribui¸c˜oes de condutˆancia dos pares {(3; 0,63), (2; 1)},
11
Na teoria de probabilidade e na teoria da informa¸c˜ao, a entropia relativa ´e muito usada para quanti-
ficar a diferen¸ca entre distribui¸c˜oes de probabilidade. Apesar de n˜ao se tratar de uma m´etrica leg´ıtima,
pois n˜ao ´e sim´etrica [K(P
1
, P
1
) = K(P
1
, P
1
)], ´e conceito muito importante para a teoria da informa¸c˜ao
quˆantica [54] e para a f´ısica estat´ıstica [55, 56].
4.4 SUM
´
ARIO 73
Figura 4.12 Distribui¸c˜oes de condutˆancia para um ponto quˆantico ca´otico de guias e contatos
sim´etricos com β = 1. Cada distribui¸c˜ao est´a caracterizada pelos parˆametros (N; Γ). Perceba
a semelhan¸ca entre as distribui¸c˜oes de sistemas com diferentes (N; Γ). Os valores das trans-
parˆencias n˜ao-ideais (Γ = 1) foram estimados atrav´es da minimiza¸c˜ao da diferen¸ca entre as
distribui¸c˜oes, a qual foi quantificada pela entropia relativa [eq. ( . )]. As linhas s˜ao apenas
guias de olhos.
{(3; 0,31), (1; 1)} e {(2; 0,46), (1; 1)}. Estes pares s˜ao obtidos fixando N, N
e Γ = 1 e
variando Γ
para achar o m´ınimo da entropia relativa
dK(P
1
, P
1
)
dΓ
= 0, com
d
2
K(P
1
, P
1
)
dΓ
2
> 0, ( . )
indicando que as distribui¸c˜oes s˜ao as mais pr´oximas poss´ıveis. Atrav´es dos valores
num´ericos destes pares, observados na fig. 4.12, percebemos que eles sugerem a seguinte
lei de escala aproximada
P
1
P
1
Γ
=NΓ/N
( . )
com N
pr´oximo de N. Perceba que a rela¸c˜ao Γ
= NΓ/N
lembra a lei cl´assica de Ohm.
N˜ao achamos nenhuma lei de escala aproximada semelhante para distribui¸c˜oes dos outros
CTC’s.
4.4 SUM
´
ARIO
Vimos neste cap´ıtulo resultados da estat´ıstica de contagem de carga atrav´es dos quatro
primeiros CTC’s para um ´unico ponto quˆantico ca´otico com contatos n˜ao-ideais. Usamos
os algoritmos descritos no cap. 3 para realizar simula¸c˜oes num´ericas, obtendo a estat´ıstica
completa dos CTC’s: distribui¸c˜oes e cumulantes. Parte desde cap´ıtulo foi publicado na
ref. [30]. Nossa simula¸c˜ao tamb´em colaborou em um trabalho que est´a em fase de
4.4 SUM
´
ARIO 74
reda¸c˜ao para publica¸c˜ao, o qual trata da aplica¸c˜ao do m´etodo de supersimetria para
calcular momentos dos CTC’s em um ponto quˆantico n˜ao-ideal [28].
Variamos as simetrias da cavidade, a transparˆencia das barreiras e os n´umeros de
canais de espalhamento. Observamos que as distribui¸c˜oes no limite quˆantico extremo s˜ao
bastante irregulares apresentando, inclusive, n˜ao-analiticidades. No regime semicl´assico,
vimos a tendˆencia das distribui¸c˜oes serem aproximadamente gaussianas e, por isso, a
m´edia e variˆancia fornecem uma boa descri¸c˜ao estat´ıstica do CTC.
Notamos semelhan¸cas entre distribui¸c˜oes de condutˆancias com diferentes parˆametros,
sugerindo uma lei de escala cl´assica aproximada (lei de Ohm) que torna as distribui¸c˜oes
as mais pr´oximas poss´ıveis.
No pr´oximo cap´ıtulo, veremos a descri¸c˜ao de um m´etodo de inferˆencia bayesiana, que
utilizaremos nas estimativas num´ericas de corre¸c˜oes devido `a localiza¸c˜ao fraca e variˆancias
dos CTC’s. Este m´etodo ser´a usado no cap. 6, onde simularemos numericamente redes
de pontos quˆanticos com diferentes topologias: uma cadeia finita de pontos quˆanticos e
um anel de quatro pontos quˆanticos.
CAP
´
ITULO 5
INFER
ˆ
ENCIA BAYESIANA
As corre¸c˜oes devido `a localiza¸c˜ao fraca e variˆancias dos CTC’s desempenham papel
fundamental na caracteriza¸c˜ao do transporte quˆantico, pois estas propriedades s˜ao con-
sequˆencias de interferˆencias quˆanticas e do caos presentes em nanoestruturas. Todavia,
nossa simula¸c˜ao gera resultados com um elevado ru´ıdo num´erico para estas grandezas.
Uma maneira de superar esta dificuldade ´e usar m´etodos de inferˆencia bayesiana, os quais
apresentaremos neste cap´ıtulo.
Para a estat´ıstica ortodoxa, a probabilidade ´e interpretada como frequˆencia: realize um
experimento, conte quantas vezes acontece um determinado evento e divida pelo n´umero
de realiza¸c˜oes. Se o sinal de uma determinada grandeza medida ´e n´ıtido, mesmo com
poucas realiza¸c˜oes do experimento, podemos obter uma boa estimativa. Por´em, se o sinal
´e ruidoso, precisamos de in´umeras medi¸c˜oes para que possamos melhorar a estimativa, o
que nem sempre ´e poss´ıvel. Por outro lado, podemos entender probabilidade como l´ogica,
j´a que mesmo sem o experimento, se tivermos uma boa informa¸c˜ao sobre o fenˆomeno e
sobre seu processo de medi¸c˜ao, podemos estimar as chances do evento acontecer. Estas
informa¸c˜oes podem, por exemplo, ser baseadas em leis f´ısicas rigorosas, as quais podem
ser utilizadas para melhorar a estimativa do sinal ruidoso. Como acoplar essas duas
estimativas para inferir o resultado final? Para isso, podemos usar a inferˆencia bayesiana,
a qual iremos de maneira resumida apresentar aqui. Basear-nos-emos nas refs. [57, 56],
nas quais existem conte´udos mais detalhados sobre o tema. Para leitores que n˜ao est˜ao
habituados `a estat´ıstica bayesiana, recomendamos antes uma leitura na ref. [58], a qual
´e um texto de divulga¸c˜ao que explica de maneira simplificada a ideia de Thomas Bayes,
interpreta e deduz o seu teorema e faz aplica¸c˜oes simples em diagn´osticos m´edicos e testes
de paternidade.
5.1 O TEOREMA DE BAYES
Para deduzirmos o teorema de Bayes, primeiramente considere as nota¸c˜oes:
P (A|B): probabilidade de um evento A ser verdade, dado que a proposi¸c˜ao B seja
verdadeira;
75
5.1 O TEOREMA DE BAYES 76
AB: ambos A e B s˜ao verdadeiros;
BA: ambos B e A s˜ao verdadeiros.
Os dois ´ultimos itens ilustram a comutatividade da l´ogica de Arist´oteles: AB = BA.
Ao inv´es de A e B, vamos agora dar nomes as nosso eventos:
I: informa¸c˜ao de base sobre certo fenˆomeno;
H: hip´otese sobre o fenˆomeno a ser testada;
D: dados do fenˆomeno.
O teste da nossa hip´otese ´e verificar se H ´e verdadeiro, dado que D e I sejam ver-
dadeiros tamb´em e, portanto, precisamos calcular P (H|DI). Para isso, fa¸camos uso da
regra do produto da teoria da probabilidade
P (HD|I) = P (H|DI)P (D|I);
P (DH|I) = P (D|HI)P (H|I). ( . )
Por´em, como HD = DH, ent˜ao
P (HD|I) = P (DH|I). ( . )
Portanto, das eqs. ( . ) e ( . ) temos
P (H|DI) = P (H|I)
P (D|HI)
P (D|I)
. ( . )
A eq. ( . ) ´e conhecida como o teorema de Bayes ou a f´ormula de Bayes. Ela possui um
significado profundo sobre processos de estimativas e por isso, vamos interpret´a-la. Seus
termos s˜ao conhecidos da seguinte forma:
P (H|DI): probabilidade a posteriori da hip´otese, condicionada `a veracidade dos
dados;
P (H|I): probabilidade a priori da hip´otese;
P (D|I): probabilidade direta dos dados;
P (D|HI): probabilidade do dados (ou probabilidade condicional), sob a condi¸c˜ao
da hip´otese ser verdadeira;
5.2 REGRESS
˜
AO LINEAR BAYESIANA 77
Podemos entender o processo de inferˆencia bayesiana da seguinte forma:
1. Informa¸c˜ao de base: verificamos certo fenˆomeno e inicialmente temos certa in-
forma¸c˜ao sobre ele I;
2. Hip´otese: baseado em argumentos l´ogicos sobre a informa¸c˜ao de base, criamos uma
hip´otese para o fenˆomeno: P (H|I);
3. Dados: obtemos dados do fenˆomeno, por exemplo, atrav´es de experimentos;
4. Inferˆencia: usando a f´ormula de Bayes, unimos a hip´otese aos dados e, com isso,
obtemos a probabilidade a posteriori da hip´otese.
Formalmente, a probabilidade direta dos dados pode ser obtida fazendo a decomposi¸c˜ao
P (D|I) = P (DH|I) + P (DH|I) = P (D|HI)P (H|I) + P (D|HI)P (H|I),
onde a barra sobre H indica a nega¸c˜ao da hip´otese. Por´em, uma maneira alternativa
e pr´atica ´e absorver P (D|I) como uma constante de normaliza¸c˜ao da probabilidade a
posteriori.
5.2 REGRESS
˜
AO LINEAR BAYESIANA
Vamos agora exemplificar esta inferˆencia bayesiana atrav´es de uma regress˜ao linear
para ajustar uma reta a um conjunto de pontos ruidosos.
Informa¸c˜ao de base: Considere um fenˆomeno, no qual nossa informa¸c˜ao de base ´e que
uma determinada grandeza y possui um comportamento linear em fun¸c˜ao de x
I : f(x; a, b) = ax + b. ( . )
Dados: Considere um determinado processo de medi¸c˜ao (experimento, m´etodos num´ericos,
etc.) que fornece os pontos
D : {(x
i
, y
i
)}
N
i=1
, ( . )
os quais n˜ao est˜ao alinhados, apresentando flutua¸c˜oes em rela¸c˜ao ao comportamento
linear.
Hip´otese e probabilidade a priori : O ru´ıdo dos dados ´e definido como
i
(a, b) ≡ f(x
i
; a, b) − y
i
. ( . )
5.2 REGRESS
˜
AO LINEAR BAYESIANA 78
A probabilidade a priori deve conter o m´ınimo de informa¸c˜ao poss´ıvel de D, para
evitar que estejamos “vendo” coisas nos dados que n˜ao est˜ao neles. Sendo assim,
considere que n˜ao conhecemos D e vamos supor que o processo de medi¸c˜ao n˜ao
produz erro sistem´atico, em outras palavras, considerar que se trata de um ru´ıdo
branco gaussiano
1
P (; σ) =
1
σ
√
2π
exp
−
2
2σ
2
. ( . )
Assim, a probabilidade conjunta dos ru´ıdos ´e
P [
i
(a, b), . . . ,
N
(a, b); σ] =
N
i=1
P [
i
(a, b); σ]
= (σ
√
2π)
−N
exp
−
1
2σ
2
N
i=1
2
i
(a, b)
. ( . )
Nossa hip´otese consiste em dar valores a a, b e σ. Logo, a eq. ( . ) ´e, justamente,
a probabilidade a priori de nossa hip´otese
P (H|I) = P [
i
(a, b), . . . ,
N
(a, b); σ] ≡ P
0
(a, b; σ). ( . )
Probabilidade condicional: Considerando H e I, temos valores fixos de a e b e, por-
tanto, a fun¸c˜ao f(x; a, b). Com isso, tendo os dados D, podemos calcular numeri-
camente os desvios
i
(a, b) pela eq. ( . ), para i = 1, . . . , N. Em seguida fazemos
um histograma desses desvios e obtemos a distribui¸c˜ao condicional de ru´ıdo h().
A probabilidade conjunta ´e, portanto,
h[
i
(a, b), . . . ,
N
(a, b)] =
N
i=1
h[
i
(a, b)] ( . )
Aqui, a eq. ( . ) ´e a probabilidade condicional dos dados, considerando que H e
I s˜ao verdade
P (D|HI) = h[
i
(a, b), . . . ,
N
(a, b)] ≡ P
1
(a, b). ( . )
Probabilidade a posteriori : Agora fazemos uso da f´ormula de Bayes, dada pela eq.
1
Para uma discuss˜ao detalhada do motivo e das ocasi˜oes que podemos usar ru´ıdo branco gaussiano,
consulte a ref. [56].
5.2 REGRESS
˜
AO LINEAR BAYESIANA 79
( . ) e calculamos a probabilidade a posteriori
P (D|HI) ≡ P (a, b; σ) ∝ P
0
(a, b; σ)P
1
(a, b). ( . )
Estimativa: Para estimar os parˆametros de H, precisamos definir intervalos: a ∈ A,
b ∈ B e σ ∈ Σ. A escolha de A e B pode ser feita, por exemplo, baseando-se em
estimativas convencionais de m´etodos de m´ınimos quadrados (regress˜ao linear tra-
dicional) ou por argumentos sustentados em informa¸c˜oes privilegiadas do sistema,
como por exemplo, considerar que a seja positivo para certo fenˆomeno. J´a o inter-
valo Σ pode ser baseado no desvio padr˜ao dos dados. Assim, podemos normalizar
a probabilidade a posteriori fazendo
P (a, b; σ) =
P
0
(a, b; σ)P
1
(a, b)
A
da
B
dbP
1
(a, b)
Σ
dσP
0
(a, b; σ)
. ( . )
Desejamos encontrar a reta que melhor se ajusta ao pontos. Sendo assim, precisa-
mos estimar explicitamente a e b. N˜ao temos interesse direto no parˆametro σ, o qual
´e conhecido como “parˆametro inconveniente”. Para elimin´a-lo de nossa estimativa,
integramos em σ nossa probabilidade a posteriori e ficamos apenas com a probabi-
lidade marginal conjunta de a e b como nossa nova probabilidade a posteriori.
P (a, b) =
Σ
dσP (a, b; σ) ( . )
Os valores estimados a
∗
e b
∗
s˜ao os que tornam m´axima a probabilidade a posteriori
dentro dos intervalos A e B
P (a
∗
, b
∗
) = max[P (a, b)] ( . )
Os erros desta inferˆencia podem ser estimados pelo desvio de cada parˆametro em
rela¸c˜ao `a estimativa.
∆
a
≡
A
da(a − a
∗
)
2
B
dbP (a, b), ( . )
∆
b
≡
A
da
B
db(b − b
∗
)
2
P (a, b). ( . )
Com isso, os coeficientes a
∗
± ∆
a
e b
∗
± ∆
b
ajustam a melhor reta para os dados.
5.3 LOCALIZAC¸
˜
AO FRACA 80
5.3 LOCALIZAC¸
˜
AO FRACA
Para concretizar a regress˜ao linear bayesiana atrav´es de um exemplo, vamos aplic´a-
la na estimativa da corre¸c˜ao de localiza¸c˜ao fraca para um ponto quˆantico com contatos
ideais, N canais em cada guia e cavidade com β = 1. Como visto na sec. 1.9, podemos
obter g
LF
, tomando o limite N → ∞ de δg = g − g
Ohm
= g − N/2.
A simula¸c˜ao fornece g, por´em n˜ao podemos aumentar demasiadamente o valor de N
pois, como visto no apˆendice D, o tempo de processamento cresce como lei de potˆencia em
fun¸c˜ao do n´umero de canais. Tamb´em existe o problema de precis˜ao num´erica, pois para
N 1 ⇒ g ∼ g
Ohm
⇒ δg/g 1, o que significa que devemos ter uma alta precis˜ao
num´erica para obtermos diretamente um bom resultado de δg. Na pr´atica isso ´e invi´avel,
pois o algoritmo envolve in´umeras opera¸c˜oes matriciais como somas, multiplica¸c˜oes e
invers˜oes. Sendo assim, estas opera¸c˜oes carregam um grande erro num´erico que aumenta
com o crescimento das ordens das matrizes (2N × 2N). Al´em disso, temos os erros
estat´ısticos, pois se trata de um m´etodo num´erico estoc´astico.
Para contornar o problema da inviabilidade computacional de fazer N extremamente
grande, a primeira ideia ´e obter resultados para valores de n´umero de canais razoavelmente
grandes e depois extrapolar para N → ∞. Para isso, fazemos um gr´afico cartesiano de
δg ×1/N e, em seguida, fazemos uma regress˜ao linear, do tipo δg = ax+b, onde x ≡ 1/N.
Assim, podemos obter a corre¸c˜ao de LF da condutˆancia pelo coeficiente linear da reta,
pois g
LF
= δg(x = 0) = b.
Atrav´es da fig. 5.1 podemos observar como o ru´ıdo num´erico ´e alto, e por isso a
estimativa deve ser cautelosa, visto que temos poucos dados (N = 20, . . . , 50). Note que
a estimativa bayesiana est´a mais pr´oxima do resultado exato, o qual ´e obtido atrav´es da
eq. ( . )
δg =
N
2
2N + 1
−
N
2
= −
1
4
+
1
8N
+ O(
1
N
2
). ( . )
Al´em disso, observe que os erros dos coeficientes das retas da regress˜ao linear tradicional
s˜ao da ordem de dez vezes maiores do que os estimados por regress˜ao linear bayesiana.
Analisando o valor de interesse, o erro relativo da estimativa bayesiana de g
LF
em rela¸c˜ao
ao resultado exato ´e |0,2507 − 0,25|/0,25 = 0,28%, enquanto da estimativa de m´ınimos
quadrados ´e |0,278 − 0,25|/0,25 = 11,2%.
H´a uma sutileza na escolha dos intervalos A, B e Σ. No caso da estimativa de
localiza¸c˜ao fraca, sabemos que os resultados obtidos atrav´es de m´etodos de expans˜ao
perturbativa diagram´atica sugerem que, em geral, 0 < a < b. Al´em disso, pela dispers˜ao
ilustrada na fig. 5.1, consideramos que −0,35 < b < −0,15. Para o intervalo Σ, calculamos
5.4 SUM
´
ARIO 81
Figura 5.1 Corre¸c˜ao da condutˆancia em rela¸c˜ao `a lei de Ohm (δg = g−N/2) para um ponto
quˆantico com contatos ideais, N canais em cada guia e cavidade com β = 1. Os pontos s˜ao
dados da simula¸c˜ao. A reta pontilhada foi obtida atrav´es de uma regress˜ao linear tradicional,
a qual se baseia em m´ınimos quadrados: (0,81 ± 0,97)/N − 0,278 ± 0,031. A regress˜ao linear
bayesiana forneceu a reta tracejada: (0,058 ± 0,067)/N − 0,2507 ± 0,0031. A curva s´olida ´e o
resultado exato, gerado pela eq. ( . ).
os erros absolutos
i
(a, b) [ver eq. ( . )] para todos os pontos (variando i) e em todo o
intervalo (A, B). Em seguida definimos min[
i
(a, b)] < σ < max[
i
(a, b)].
5.4 SUM
´
ARIO
Ao contr´ario dos m´etodos ortodoxos, os quais atribuem apenas frequˆencia `a probabi-
lidade, a estimativa bayesiana incorpora l´ogica ao processo de inferˆencia. Quanto maior
a quantidade de informa¸c˜oes seguras sobre o fenˆomeno, mais precisa ´e a estimativa.
A regress˜ao linear bayesiana tem se mostrado importante para extrapolar numeri-
camente o valores da corre¸c˜ao da localiza¸c˜ao fraca e da variˆancia dos cumulantes de
transferˆencia de carga. Se os dados obtidos pela simula¸c˜ao n˜ao fossem t˜ao ruidosos, o
resultado da regress˜ao linear tradicional seria suficiente. Por´em, isso n˜ao acontece nos
nossos resultados, pois o alto ru´ıdo num´erico ´e capaz de induzir uma estimativa pobre
pelo m´etodo de m´ınimos quadrados.
No pr´oximo cap´ıtulo, estudaremos duas redes de pontos quˆanticos: uma cadeia e um
anel de quatro pontos. Usaremos a regress˜ao linear bayesiana para comparar nossos resul-
tados com os obtidos por outros m´etodos anal´ıticos no regime semicl´assico. Al´em disso,
mostraremos a estat´ıstica de contagem de carga em regimes arbitr´arios de transporte.
CAP
´
ITULO 6
TRANSPORTE EM REDES DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS
Vimos no cap. 4 a estat´ıstica de contagem de carga em um ´unico ponto quˆantico
ca´otico. Por´em, os algoritmos apresentados no cap. 3 permitem a simula¸c˜ao de pontos
quˆanticos acoplados formando redes de topologias arbitr´arias. Os modelos de redes de
pontos quˆanticos s˜ao importantes no estudo do transporte quˆantico com efeitos de des-
coerˆencia [31], temperatura e campo magn´etico [19], e com acoplamento de reservat´orios
ferromagn´eticos e supercondutores [32]. Al´em disso, ´e poss´ıvel acoplar pontos quˆanticos
em experimentos [59, 60, 61, 62]. O estudo de diversas topologias tamb´em possui im-
portˆancia em nanotecnologia para a otimiza¸c˜ao de dispositivos, pois deve haver uma
topologia mais adequada dependendo da finalidade do dispositivo.
A maioria dos m´etodos anal´ıticos possuem limita¸c˜oes ainda maiores para estudar redes
de topologias mais complexas em regimes arbitr´arios de transporte. Por isso, implemen-
tamos numericamente simula¸c˜oes baseadas nos algoritmos expostos no cap. 3 para duas
redes de pontos quˆanticos: uma cadeia de pontos e um anel de quatro pontos. Mos-
traremos os resultados da estat´ıstica de contagem de carga destes sistemas em diversos
regimes de transporte. No regime semicl´assico, estimamos valores de corre¸c˜oes devido `a
localiza¸c˜ao fraca e variˆancias de CTC’s, comparando com recentes resultados obtidos via
teoria de circuitos [33] e t´ecnicas diagram´aticas [32]. Al´em disso, apresentaremos distri-
bui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s em regimes arbitr´arios de transporte e mostraremos
que as semelhan¸cas nas distribui¸c˜oes de condutˆancia, vistas em um ´unico ponto quˆantico
(sec. 4.3), existem nas estruturas estudadas neste cap´ıtulo e tamb´em sugerem uma lei de
escala aproximada baseada na lei de Ohm.
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS
6.1.1 Implementa¸c˜ao num´erica
Modelamos uma cadeia de pontos quˆanticos seguindo a ilustra¸c˜ao da fig. 6.1. Con-
sideramos que todas as cavidades ca´oticas da cadeia possuem as mesmas caracter´ısticas
de simetria f´ısica e, portanto, o mesmo β.
Os dados de entrada s˜ao
82
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 83
Figura 6.1 Diagrama de centros de espalhamento para uma cadeia de L pontos quˆanticos. As
barreiras s˜ao representadas por suas transparˆencias Γ
i
, com i = 1, 2, . . . , L + 1. As cavidades
ca´oticas s˜ao C
j
, com j = 1, 2, . . . , L.
N´umero de pontos quˆanticos da cadeia: L;
Transparˆencia das barreiras: Γ
j
, com j = 1, . . . , L + 1;
N´umero de canais de espalhamento abertos em cada um dos guias: N
j
, com j =
1, . . . , L + 1;
´
Indice de simetria das cavidades: β;
N´umero de realiza¸c˜oes num´ericas: n
rel
.
Como podemos ver na fig. 6.1, a cadeia linear ´e um acoplamento em s´erie de 2L + 1
centros de espalhamento: L + 1 barreiras e L cavidades ca´oticas. Usando o algoritmo de
estube podemos concatenar os centros espalhadores trˆes a trˆes at´e reduzirmos o sistema
`a um ´unico centro espalhador efetivo, cuja matriz de espalhamento fornece os autovalores
de transmiss˜ao que caracterizam o transporte quˆantico da cadeia.
An´alogo ao algoritmo para um ´unico ponto quˆantico descrito na sec. 4.1, as matrizes
das barreiras s˜ao determin´ısticas
S
j
=
r
j
1 t
j
1
t
j
1 r
j
1
, ( . )
onde t
j
=
Γ
j
e r
j
= i
1 − Γ
j
, com j = 1, . . . , L + 1. As matrizes de espalhamento das
cavidades,
j
S
cav
, com j = 1, . . . , L + 1, s˜ao membros do ensemble circular e, por isso, em
cada realiza¸c˜ao num´erica, devem ser geradas aleatoria e independentemente seguindo o
algoritmo descirto na sec. 2.3.3.
Come¸camos o procedimento da esquerda para direita, concatenando a primeira bar-
reira, a primeira cavidade e a segunda barreira. Pela f´ormula de estube [eq. ( . )]
S ← R + T[(1 −
1
S
cav
R)
−1
]
1
S
cav
T, ( . )
onde S ´e a matriz de espalhamento efetiva da primeira cavidade acoplada `as duas pri-
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 84
meiras barreiras e
R =
r
1
1 0
0 r
2
1
, T =
t
1
1 0
0 t
2
1
.
Com esta opera¸c˜ao os trˆes primeiros centros de espalhamento s˜ao efetivados em apenas
um com matriz de espalhamento S dada pela express˜ao . . Agora devemos concatenar
este centro efetivo com a segunda cavidade e a terceira barreira. Fazendo uso da f´ormula
de estube, temos
S ← R + T
[(1 −
2
S
cav
R
)
−1
]
2
S
cav
T, ( . )
onde agora
R =
r 0
0 r
3
1
, T
=
t
0
0 t
3
1
,
T =
t 0
0 t
3
1
, R
=
r
0
0 r
3
1
. ( . )
e r, r
, t e t
s˜ao os blocos de S. Desta forma concatenamos o centro efetivo obtido
pela primeira itera¸c˜ao do algoritmo (referente `a primeira cavidade com as duas primeiras
barreiras) com a segunda cavidade e a terceira barreira, obtendo a matriz de espalhamento
efetiva dos cinco primeiros centros espalhadores. Desta forma, podemos seguir o mesmo
procedimento, concatenando os centros em s´erie at´e reduzir o sistema a um ´unico centro
espalhador. Para isso, fazemos as seguintes itera¸c˜oes para j de 3 a L
S ← R + T
[(1 −
j
S
cav
R
)
−1
]
j
S
cav
T, ( . )
com
R =
r 0
0 r
j+1
1
, T
=
t
0
0 t
j+1
1
,
T =
t 0
0 t
j+1
1
, R
=
r
0
0 r
j+1
1
. ( . )
Assim, conseguimos a matriz efetiva da cadeia, com a qual calculamos os quatro primeiros
CTC’s seguindo a eq. ( . ). An´alogo ao que fizemos para um ´unico ponto quˆantico
[sec. 4.1], depois de n
rel
realiza¸c˜oes deste procedimento obtemos m´edias, variˆancias e
distribui¸c˜oes de probabilidade dos quatro CTC’s.
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 85
6.1.2 Estat´ıstica de contagem de carga
Para n˜ao ampliar incontrolavelmente a quantidade de parˆametros do sistema, vamos
nos restringir a mostrar resultados para guias com mesmo n´umero de canais N e com
barreiras de mesma transparˆencia Γ.
Existem resultados anal´ıticos da estat´ıstica de contagem de carga no limite semicl´assico,
calculados recentemente atrav´es da teoria de circuitos [33]. Dentre tais resultados, os ter-
mos principais dos quatro primeiros CTC’s s˜ao
g/N =
Γ
L + 1
,
p/N =
1
(L + 1)
3
(L + 1)
2
+ 2
3
Γ − Γ
2
,
q
3
/N =
1
(L + 1)
5
(L + 1)
4
+ 10(L + 1)
2
+ 4
15
Γ − [(L + 1)
2
+ 2]Γ
2
+ 2Γ
3
,
q
4
/N =
1
(L + 1)
7
−
(L + 1)
6
− 42(L + 1)
4
− 56(L + 1)
2
− 8
105
Γ−
3(L + 1)
4
+ 20(L + 1)
2
+ 12
5
Γ
2
+ 4[(L + 1)
2
+ 2]Γ
3
− 6Γ
4
. ( . )
´
E importante lembrar que o termo principal da condutˆancia ´e justamente o resultado
da lei de Ohm cl´assica, pois a resistˆencia resultante do acoplamento em s´erie de L + 1
conectores cl´assicos de resistˆencia 1/(NΓ) ´e (L+1)/(NΓ) que ´e o inverso da condutˆancia.
Al´em disso, perceba na eq. ( . ) que a dependˆencia do m-´esimo cumulante em rela¸c˜ao a
Γ ´e um polinˆomio de grau m com o termo independente nulo.
Visando comparar os resultados da simula¸c˜ao com a eq. ( . ), obtemos as m´edias dos
cumulantes para β = 2, com g 1. Sendo assim, considere as seguintes express˜oes
polinomiais de Γ para os CTC’s:
g/N ≡ λΓ,
p/N ≡ ζ
1
Γ + ζ
2
Γ
2
,
q
3
/N ≡ ξ
1
Γ + ξ
2
Γ
2
+ ξ
3
Γ
3
,
q
4
/N ≡ κ
1
Γ + κ
2
Γ
2
+ κ
3
Γ
3
+ κ
4
Γ
4
. ( . )
Atrav´es de resultados com N = 20, . . . , 50 e Γ = 0,7; . . . ; 1, estimamos cada um desses
coeficientes atrav´es de ajustes polinomiais de curvas (m´ınimos quadrados). Os resultados
est˜ao expostos na fig. 6.2, mostrando uma ´otima concordˆancia com os resultados exatos.
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 86
Figura 6.2 Coeficientes dos termos principais dos quatro primeiros CTC’s baseados na eq.
( . ). Os pontos foram estimados atrav´es de ajustes polinomiais de curvas usando os resultados
da simula¸c˜ao com Γ = 0,7; . . . ; 1 e N = 20, . . . , 50. As linhas s˜ao guias de olhos para resultados
exatos [eq. ( . )] obtidos via teoria de circuitos [33].
´
E interessante notar como os coeficientes das potˆencias pares de Γ s˜ao negativos, enquanto
os dos termos ´ımpares s˜ao positivos e todos tendem a se anular `a medida que o n´umero
de pontos da cadeia aumenta.
A teoria de circuitos tamb´em fornece express˜oes para a corre¸c˜ao devido `a localiza¸c˜ao
fraca dos CTC’s no limite semicl´assico. Para a condutˆancia e para a potˆencia do ru´ıdo
de disparo, os resultados s˜ao [33]
g
LF
=
1 −
2
β
L
(L + 1)
2
L − 1
3
+ Γ
,
p
LF
=
1 −
2
β
L[(L + 1)
2
− 4]
3(L + 1)
4
L − 13
15
+ Γ
. ( . )
Visando comparar os resultados da nossa simula¸c˜ao com a eq. ( . ) consideramos,
por simplicidade, apenas β = 1. Assim, obtemos m´edias dos cumulantes com β = 1 e
subtra´ımos dos resultados j´a obtidos para β = 2, conseguindo a diferen¸ca
δq
m
≡ q
m
β=1
− q
m
β=2
, ( . )
para o m-´esimo cumulante (g = q
1
e p = q
2
). Logicamente, δq
m
depende de N e de Γ e a
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 87
Figura 6.3 Coeficientes das corre¸c˜oes de localiza¸c˜ao fraca para g e p baseados na eq. ( . ).
Os pontos foram estimados atrav´es de m´etodos bayesianos (cap. 5) usando os resultados da
simula¸c˜ao com Γ = 0,7; . . . ; 1 e N = 20, . . . , 50. As linhas s˜ao guias de olhos para resultados
exatos [eq. ( . )] obtidos via teoria de circuitos [33].
LF ´e obtida com a extrapola¸c˜ao para um n´umero infinito de canais [q
m
]
LF
≡ δq
m
(N →
∞). Como a LF ´e uma fun¸c˜ao linear em rela¸c˜ao a Γ, atrav´es dos mesmos parˆametros
usados para inferir os termos principais dos cumulantes (N = 20, . . . , 50 e Γ = 0,7; . . . ; 1),
fizemos uma regress˜ao linear (m´ınimos quadrados) para achar os coeficientes das retas
para cada valor fixo de N. Por´em, os resultados destes coeficientes em fun¸c˜ao de N
apresentam grande ru´ıdo num´erico e o resultado para LF ´e obtido com N → ∞ . Para
superar este problema, usamos a regress˜ao linear bayesiana descrita no cap. 5 para
extrapolar estes coeficientes no limite de 1/N → 0. Assim obtemos os coeficientes das
seguintes retas
g
LF
≡ λ
0
+ λ
1
Γ,
p
LF
≡ ζ
0
+ ζ
1
Γ. ( . )
A fig. 6.3 mostra como nossa inferˆencia para localiza¸c˜ao fraca concorda muito bem com
os resultados exatos obtidos via teoria de circuitos.
A variˆancia da condutˆancia no limite semicl´assico tamb´em foi calculada recentemente
atrav´es da teoria de circuitos [48]
var(g) =
2
β
Γ(Γ − 2)
L
(L + 1)
4
+
2
15β
1 +
15L − 1
(L + 1)
4
. ( . )
Por´em, os resultados da nossa simula¸c˜ao apresentam ru´ıdos num´ericos da mesma natureza
dos observados para as corre¸c˜oes de localiza¸c˜ao fraca. Usando o m´etodo de regress˜ao
linear bayesiana de maneira an´aloga ao que foi feito para a LF, estimamos para β = 1,
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 88
Figura 6.4 Coeficientes da variˆancia da condutˆancia baseados na eq. ( . ). Os pontos foram
estimados atrav´es de m´etodos bayesianos (cap. 5) usando os resultados da simula¸c˜ao com
Γ = 0,7; . . . ; 1 e N = 20, . . . , 50. As linhas s˜ao guias de olhos para resultados exatos [eq. ( . )]
obtidos via teoria de circuitos [33].
os coeficientes da par´abola
var(g) ≡ λ
0
+ λ
1
Γ + λ
2
Γ
2
. ( . )
Nossos resultados est˜ao de acordo com a teoria de circuitos, como mostra a fig. 6.4.
Como nos resultados dos termos principais dos CTC’s, exibidos pela fig. 6.2, tamb´em
percebemos para a variˆancia de g que o sinal dos coeficientes s˜ao alternados com a odem
da potˆencia de Γ, pois λ
0
> 0, λ
1
< 0 e λ
2
> 0.
A condi¸c˜ao de validade das eqs. ( . ), ( . ) e ( . ) ´e que o transporte, para o
observ´avel de interesse, esteja no regime semicl´assico. Como discutido na sec. 1.11, se
g 1, ent˜ao a condutˆancia possui comportamento semicl´assico e isso garante a validade
dos seus valores estimados pelas eqs. ( . ), ( . ) e ( . ). Sendo assim, a validade da eq.
( . ) ´e estabelecida quando NΓ(L + 1)
−1
1. Os outros observ´aveis s˜ao mais sens´ıveis
aos efeitos quˆanticos e, por isso, para que eles tenham comportamento semicl´assico, o
valor m´edio da condutˆancia deve ser cada vez maior.
´
E importante ter este cuidado, para
evitar confus˜ao na an´alise dos assint´oticos Γ 1 e/ou L 1. Por exemplo, na fig. 6.2,
o coeficiente λ = (L + 1)
−1
tende a se anular `a medida que o n´umero de pontos aumenta.
Por´em, devemos ter em mente que isto n˜ao significa que a condutˆancia se anula, pois
este resultado ´e obtido mantendo g ≈ NΓ(L + 1)
−1
1. Com estas condi¸c˜oes, vamos
verificar pelas eqs. ( . ), ( . ) e ( . ) o assint´otico L 1, chamado de limite do fio
quˆantico no regime semicl´assico. Pela eq. ( . ), percebemos que os valores m´edios dos
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 89
CTC’s tendem a
g =
g
Ohm
NΓ
L + 1
+
1 −
2
β
1
3
,
p =
g
Ohm
3
+
1 −
2
β
1
45
,
q
3
=
g
Ohm
15
+
1 −
2
β
O(N
0
),
q
4
=
g
Ohm
105
+
1 −
2
β
O(N
0
). ( . )
Estes resultados est˜ao de acordo com a ref. [63]. Por indu¸c˜ao, percebemos que para um
CTC de ordem geral
q
m
=
g
Ohm
(2m − 1)!!
+
1 −
2
β
O(N
0
). ( . )
Como a distribui¸c˜ao de transferˆencia de carga ´e caracterizada por todos os CTC’s, a eq.
( . ) nos informa que a distribui¸c˜ao ´e, em m´edia, caracterizada apenas pelo seu primeiro
cumulante, que ´e a condutˆancia segundo a lei de Ohm, pois todos os outros s˜ao m´ultiplos
deste e, quanto maior a ordem do CTC, menores eles s˜ao, devido ao fator duplo fato-
rial no denominador. Por´em, apesar da lei de Ohm caracterizar a distribui¸c˜ao de carga,
ainda temos efeitos quˆanticos relacionados `a coerˆencia temporal, como por exemplo, a
potˆencia do ru´ıdo de disparo, que em m´edia ´e aproximadamente um ter¸co da condutˆancia,
mostrando uma supress˜ao do fator Fano, definido como F = p/g, cujo valor F = 1
sugere uma distribui¸c˜ao de carga poissoniana, a qual representa transmiss˜ao n˜ao correla-
cionada de carga
1
. Outras caracter´ısticas quˆanticas s˜ao a existˆencia da corre¸c˜ao de LF e
a flutua¸c˜ao universal da condutˆancia [ver eq. ( . )]
var(g) =
2
15β
. ( . )
A eq. ( . ), tamb´em est´a de acordo com a ref. [63].
At´e agora estudamos o regime semicl´assico do transporte quˆantico em cadeias. Va-
mos passar a investigar a estat´ıstica dos CTC’s para cadeias em regimes arbitr´arios de
transporte.
Na fig. 6.5, vemos distribui¸c˜oes para N = 8 e contatos ideais. Vamos analisar
1
Para que em m´edia uma distribui¸c˜ao de carga seja poissoniana, todos os cumulantes devem ser iguais
`a m´edia, ou seja, q
m
= g.
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 90
Figura 6.5 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para uma cadeia com guias de oito canais,
contatos ideais e cavidades com β = 1, para L = 1, 2, 4 e 6. As linhas s˜ao apenas guias de
olhos.
em detalhes as distribui¸c˜oes de condutˆancia. Inicialmente fizemos um ajuste de curva
gaussiano (m´ınimos quadrados) da distribui¸c˜ao de condutˆancia para L = 1 e obtivemos
m´edia 3,765 e variˆancia 0,118. Por outro lado, a simula¸c˜ao fornece g = 3,766, var(g) =
0,118 e γ
1
(g) = 4,574 × 10
−3
, onde vemos que a m´edia e a variˆancia s˜ao muito pr´oximos
dos valores obtidos pelo ajuste de curva gaussiano, e que a obliquidade [eq. ( . )] ´e muito
pequena, indicando que a distribui¸c˜ao ´e muito pr´oxima de uma gaussiana. Agora, vamos
fazer uma investiga¸c˜ao an´aloga para o caso L = 2. Com o ajuste de curva gaussiano,
temos m´edia e variˆancia iguais a 2,387 e 0,121. Atrav´es da simula¸c˜ao, obtemos g =
2,387, var(g) = 0,122 e γ
1
(g) = 9,732 × 10
−3
, onde percebemos que, apesar da m´edia e
variˆancia estarem muito pr´oximas dos valores obtidos com o ajuste de curva gaussiano,
h´a um crescimento consider´avel da obliquidade em rela¸c˜ao ao caso L = 1, sugerindo que
a distribui¸c˜ao est´a se afastando do comportamento gaussiano, devido ao aumento da sua
assimetria. Este afastamento se confirma na an´alise do caso L = 4. O ajuste de curva
gaussiano resulta em 1,295 de m´edia e variˆancia 0,117, enquanto a simula¸c˜ao produz
g = 1,299 e var(g) = 0,117 e γ
1
(g) = 6,81 × 10
−2
, onde obliquidade tem um aumento
consider´avel em rela¸c˜ao aos casos anteriores. Para L = 6, visivelmente percebemos
6.1 CADEIA LINEAR DE PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 91
Figura 6.6 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para uma cadeia com guias de dois
canais, barreiras com Γ = 0,7 e cavidades com β = 2, para L = 1, 2, 3 e 6. As linhas s˜ao apenas
guias de olhos.
que a distribui¸c˜ao n˜ao ´e gaussiana e, aparentemente, ´e n˜ao-anal´ıtica
2
em g = 1. Estes
comportamentos tamb´em est˜ao presentes nas distribui¸c˜oes de p, q
3
e q
4
, indicando que
ao aumentarmos o n´umero de pontos da cadeia, mantendo N e Γ fixos, as distribui¸c˜oes
se tornam mais irregulares e o transporte tende ao limite quˆantico extremo.
No caso de N = 2 e Γ = 0,7, ilustrado pela fig. 6.6, fica evidente a proximidade do
limite quˆantico extremo devido ao n´ıvel de irregularidades das distribui¸c˜oes. Como visto
na sec. 4.2, ´e pouco informativo analisarmos m´edias e variˆancias neste regime, pois vemos
nitidamente que nenhuma das distribui¸c˜oes aparenta ser aproximadamente gaussiana e,
portanto, a caracteriza¸c˜ao de cada CTC deve ser dada por sua distribui¸c˜ao inteira.
Note tamb´em nas figs. 6.5 e 6.6, que com o aumento do n´umero de pontos da cadeia
as distribui¸c˜oes tendem a se aglomerar em valores dos CTC’s pr´oximos de zero. Isto
ocorre pois o crescimento do n´umero de pontos, mantendo o n´umero de canais e as
transparˆencias das barreiras fixas, aumenta a desordem [64] e causa localiza¸c˜ao, g 1.
Por sua vez, como a condutˆancia ´e a soma dos autovalores de transmiss˜ao, isto implica
que τ se aproxima de
0 e, consequentemente, todos os CTC’s tamb´em tendem a valores
muito pequenos, pois pelas eqs. ( . ) e ( . ): q
m
=
i
f
m
(τ
i
= 0) = 0. Este fenˆomeno
2
Detalhes sobre as n˜ao-analiticidades nas distribui¸c˜oes dos CTC’s ser˜ao apresentados no cap. 7.
6.2 ANEL DE QUATRO PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 92
´e an´alogo `a localiza¸c˜ao do transporte eletrˆonico em um condutor causado pelo aumento
da densidade de impurezas [65].
6.2 ANEL DE QUATRO PONTOS QU
ˆ
ANTICOS
6.2.1 Implementa¸c˜ao num´erica
Figura 6.7 Diagrama de centros de espalhamento para um A4PQ. As barreiras s˜ao repre-
sentadas por suas transparˆencias Γ
i
, com i = 1, 2, . . . , 6. As cavidades ca´oticas s˜ao C
j
, com
j = 1, 2, . . . , 4.
Figura 6.8 Circuito cl´assico equivalente ao A4PQ, o qual est´a representado na fig. 6.7. As
resistˆencias s˜ao R
j
= (Γ
j
N
j
)
−1
, pois s˜ao o inverso da condutˆancia de cada contato do sistema
original.
Chamamos de anel de quatro pontos quˆanticos (A4PQ) o sistema ilustrado na fig.
6.7. Uma das novidades neste sistema ´e que as cavidades 1 e 3 possuem, cada uma delas,
3 contatos. Como se pode ver na fig. 6.8, isto ´e an´alogo a um n´o em um circuito cl´assico,
onde a corrente el´etrica se divide em duas mantendo a soma constante (conserva¸c˜ao de
corrente). Como visto na sec. 3.2, nos inspiramos nesta analogia para acharmos a matriz
de espalhamento efetiva do sistema.
Os dados de entrada para simula¸c˜ao deste sistema s˜ao os seguintes parˆametros:
6.2 ANEL DE QUATRO PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 93
Transparˆencia das barreiras: Γ
j
, com j = 1, . . . , 6.;
N´umero de canais de espalhamento abertos em cada um dos guias: N
j
, com j =
1, . . . , 6.;
´
Indice de simetria das cavidades: β;
N´umero de realiza¸c˜oes num´ericas: n
rel
.
As matrizes das barreiras s˜ao determin´ısticas
S
j
=
r
j
1 t
j
1
t
j
1 r
j
1
, ( . )
onde t
j
=
Γ
j
e r
j
= i
1 − Γ
j
, com com j = 1, . . . , 6. As matriz de espalhamento
das cavidades,
j
S
cav
, com j = 1, . . . , 4, s˜ao membros do ensemble circular e, por isso, em
cada realiza¸c˜ao num´erica, devem ser geradas aleat´oria e independentemente seguindo o
algoritmo descrito na sec. 2.3.3.
Iniciamos com a concatena¸c˜ao em s´erie das barreiras 2 e 4 com a cavidade 2
S
A
≡ R + T[(1 −
2
S
cav
R)
−1
]
2
S
cav
T, ( . )
onde S
A
´e a matriz de espalhamento efetiva desta primeira concatena¸c˜ao e
R =
r
2
1 0
0 r
4
1
, T =
t
2
1 0
0 t
4
1
.
Em seguida concatenamos da mesma forma as barreiras 3 e 5 com a cavidade 4, onde
analogamente temos
S
B
≡ R + T[(1 −
4
S
cav
R)
−1
]
4
S
cav
T, ( . )
onde S
B
´e a matriz de espalhamento efetiva desta segunda concatena¸c˜ao e
R =
r
3
1 0
0 r
5
1
, T =
t
3
1 0
0 t
5
1
.
Agora, vamos concatenar em paralelo os centros efetivos A e B atrav´es da opera¸c˜ao
definida pela eq. ( . )
S
C
≡ S
A
⊗ S
B
. ( . )
6.2 ANEL DE QUATRO PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 94
Com isso, obtemos o equivalente a uma cadeia com cinco centros espalhadores em
s´erie compostos pelas seguintes matrizes de espalhamento, da esquerda para a direita:
S
1
,
1
S
cav
, S
C
,
3
S
cav
e S
1
. An´alogo ao algoritmo para a cadeia descrito na sec. 6.1.1,
concatenamos em s´erie os trˆes primeiros centros espalhadores
S ← R + T
[(1 −
1
S
cav
R
)
−1
]
1
S
cav
T, ( . )
onde
R =
r
1
1 0
0 r
C
, T
=
t
1
1 0
0 t
C
,
T =
t
1
1 0
0 t
C
, R
=
r
1
1 0
0 r
C
( . )
e S ´e a matriz de espalhamento efetiva da concatena¸c˜ao da barreira 1, cavidade 1 e do
centro efetivo C. Finalmente, obtemos a matriz efetiva do A4PQ concatenando em s´erie
S com as matrizes de espalhamento da cavidade 4 e a barreira 6
S ← R + T
[(1 −
4
S
cav
R
)
−1
]
4
S
cav
T, ( . )
onde
R =
r 0
0 r
6
1
, T
=
t
0
0 t
6
1
,
T =
t 0
0 t
6
1
, R
=
r
0
0 r
6
1
. ( . )
e r, r
, t e t
s˜ao os blocos de S.
Com esta matriz de espalhamento efetiva a qual calculamos os quatro primeiros CTC’s
seguindo a eq. ( . ) e depois de n
rel
realiza¸c˜oes deste procedimento obtemos m´edias,
variˆancias e distribui¸c˜oes de probabilidade dos quatro CTC’s.
6.2.2 Estat´ıstica de contagem de carga
Por simplicidade, vamos particularizar nossos resultados para o caso de todos os guias
com mesmo n´umero de canais abertos N e contatos de mesma transparˆencia Γ.
No regime semicl´assico, o termo principal e a corre¸c˜ao de localiza¸c˜ao fraca da con-
6.2 ANEL DE QUATRO PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 95
dutˆancia foram calculados recentemente atrav´es de t´ecnicas diagram´aticas usando uma
parametriza¸c˜ao de estube diferente da que mostramos nesta tese [32]
g =
NΓ
3
+
1 −
2
β
(1 + 2Γ)
9
. ( . )
Visando comparar este resultado com nossa simula¸c˜ao, fizemos uma inferˆencia an´aloga
`a que usamos para a cadeia de pontos quˆanticos e obtivemos o seguinte resultado para
β = 1
g = (0,3334 ± 0,0003)NΓ − [(0,110 ± 0,004) + (0,224 ± 0,007)Γ], ( . )
Perceba que h´a um excelente n´ıvel de concordˆancia com o resultado anal´ıtico. Por outro
lado, observe que o erro para corre¸c˜ao devido `a localiza¸c˜ao fraca ´e consideravelmente
maior comparado ao erro para o termo principal. Isto ´e consequˆencia do ru´ıdo num´erico
presente no c´alculo da corre¸c˜ao de LF. Por isso, optamos pelo m´etodo de regress˜ao linear
bayesiana para estimar g
LF
(cap. 5). O termo principal n˜ao ´e t˜ao ruidoso e, consequente-
mente, a regress˜ao linear tradicional, baseada em m´ınimos quadrados, foi suficiente para
estim´a-lo.
O termo principal da eq. ( . ) tamb´em pode ser obtido analiticamente atrav´es da
resistˆencia resultante do circuito cl´assico equivalente ao A4PQ, ilustrado na fig. 6.8.
Perceba que se todas as resistˆencias s˜ao iguais a R = (NΓ)
−1
, usando as regras cl´assicas
de acoplamento de resistˆencias em s´erie e em paralelo, resultantes da lei de Ohm e da
conserva¸c˜ao de corrente (lei de Kirchhoff), obtemos 3R como resistˆencia resultante e,
portanto, a condutˆancia do sistema ´e o inverso da resistˆencia: g = (3R)
−1
= NΓ/3. Por
isso, consideramos que o termo principal da eq. ( . ) ´e equivalente `a lei de Ohm, a
qual se baseia em f´ısica cl´assica, e como visto na sec. 1.9, o segundo termo da eq. ( . )
representa a localiza¸c˜ao fraca, a qual ´e uma corre¸c˜ao do valor cl´assico devido a efeitos
de interferˆencias, os quais s˜ao apenas justificados por argumentos quˆanticos. A analogia
a circuitos cl´assicos se estende a todos os sistemas f´ısicos apresentados at´e aqui ou a
qualquer topologia de rede de pontos quˆanticos, conectada a reservat´orios compostos de
metais normais
3
: o termo principal da condutˆancia ´e a lei de Ohm.
Vamos observar tamb´em as distribui¸c˜oes dos CTC’s em condi¸c˜oes arbitr´arias. Na
fig. 6.9 temos as distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para contatos ideais e β = 2.
Perceba que as distribui¸c˜oes de condutˆancia para N = 6 e 4 s˜ao semelhantes a gaussianas
3
Outros efeitos surgem quando os reservat´orios s˜ao ferromagn´eticos e/ou supercondutores. Em muitos
destes casos, o termo principal da condutˆancia n˜ao pode ser justificado classicamente.
6.2 ANEL DE QUATRO PONTOS QU
ˆ
ANTICOS 96
Figura 6.9 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um A4PQ com guias de N canais,
contatos ideais e cavidades com β = 2. As linhas s˜ao apenas guias de olhos.
e os valores de condutˆancia dos seus centros, apresentam proximidade com o esperado
pela lei de Ohm (N/3), ratificando caracter´ısticas semicl´assicas. Como esperado, note
que estas caracter´ısticas gaussianas diminuem para CTC’s de ordem superior, pois eles
s˜ao mais sens´ıveis `as flutua¸c˜oes dos autovalores de transmiss˜ao e precisam de um valor
de N cada vez maior, para que suas distribui¸c˜oes tendam a se aproximar de gaussianas
e, com isso, passem a adquirir comportamentos semicl´assicos. Al´em disso, notamos que
as distribui¸c˜oes s˜ao mais irregulares para valores menores de N. Isto ´e esperado, pois
quanto menor N, menor a condutˆancia e quando g atinge valores da ordem de 1, as
distribui¸c˜oes apresentam irregularidades, as quais enfatizam o limite quˆantico extremo.
Variando valores da transparˆencia com N = 9 e β = 1, notamos pela fig. 6.10 que
quanto maior Γ, mais as distribui¸c˜oes se assemelham a gaussianas. As distribui¸c˜oes de
condutˆancia para Γ = 1 e Γ = 0,6 se assemelham a gaussianas com centros pr´oximos do
esperado para o regime semicl´assico [eq. ( . )]. Como discutido na figura anterior, aqui
tamb´em percebemos que quanto maior a ordem do CTC, mais irregulares s˜ao as distri-
bui¸c˜oes. Al´em disso, observe que as irregularidades se destacam para valores menores
6.3 SEMELHANC¸ AS ENTRE DISTRIBUIC¸
˜
OES DE CONDUT
ˆ
ANCIA 97
Figura 6.10 Distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um A4PQ com guias de nove
canais, contatos de transparˆencia Γ e cavidades com β = 1. As linhas s˜ao apenas guias de
olhos.
de Γ. Na figura anterior vimos este efeito com a redu¸c˜ao de N. Na verdade, estes com-
portamentos indicam que quando os parˆametros N, Γ e β s˜ao tais que g ∼ 1, o limite
quˆantico extremo se manifesta e, com isso, as distribui¸c˜oes apresentam irregularidades.
6.3 SEMELHANC¸AS ENTRE DISTRIBUIC¸
˜
OES DE CONDUT
ˆ
ANCIA
Assim como observamos, para o caso de um ´unico ponto quˆantico, semelhan¸cas entre
as distribui¸c˜oes de condutˆancia com diferentes parˆametros do sistema (sec. 4.3), tamb´em
constatamos este comportamento para sistemas de topologias diferentes, como a cadeia
de pontos e o A4PQ.
A fig. 6.11 mostra alguns exemplos destas semelhan¸cas. Em (a) temos resultados de
P
1
para uma cadeia com L = 1 (ponto simples) e 2 (dois pontos em s´erie) variando N
(n´umero de canais em cada um dos guias) e Γ (contatos de mesma transparˆencia) para
tornar as distribui¸c˜oes mais pr´oximas o poss´ıvel do caso L = 2 com (3; 1). Os resultados
6.4 SUM
´
ARIO 98
(a) (b)
Figura 6.11 Distribui¸c˜oes de condutˆancia para uma cadeia de L pontos (a) e para um A4PQ
(b). Em todos os sistemas os guias e os contatos s˜ao iguais e β = 2 para todas as cavidades
ca´oticas. Cada distribui¸c˜ao est´a caracterizada pelo parˆametro (N; Γ). Perceba a semelhan¸ca
entre as distribui¸c˜oes de sistemas com diferentes (N; Γ). Os valores das transparˆencias n˜ao-
ideais (Γ = 1) foram estimados atrav´es da minimiza¸c˜ao da diferen¸ca entre as distribui¸c˜oes, a
qual foi quantificada pela entropia relativa [eq. ( . )]. As linhas s˜ao apenas guias de olhos.
sugerem a seguinte lei de escala aproximada
P
1
P
1
Γ
=(NΓ/N
)(L
+1)/(L+1)
, ( . )
a qual tamb´em lembra a lei de Ohm para cadeia g = NΓ/(L + 1) [eq. ( . )]. Para o
A4PQ com guias de N canais e barreiras de transparˆencia Γ, temos resultados ilustrados
em (b), os quais sugerem novamente a mesma lei de escala aproximada da eq. ( . )
P
1
P
1
Γ
=NΓ/N
, ( . )
onde novamente podemos recordar a lei de Ohm para este sistema g = NΓ/3. Al´em
disso, os resultados sugerem que a aproxima¸c˜ao desta lei de escala para o A4PQ ´e maior
em compara¸c˜ao ao ponto quˆantico simples e `a cadeia de pontos.
6.4 SUM
´
ARIO
Vimos neste cap´ıtulo a implementa¸c˜ao dos algoritmos descritos no cap. 3 para duas
redes de pontos quˆanticos de diferentes topologias: uma cadeia de pontos e um anel de
quatro pontos.
Apresentamos a estat´ıstica de contagem de carga no regime semicl´assico, onde compa-
ramos nossos resultados com os obtidos por m´etodos anal´ıticos [33, 32], obtendo termos
principais, corre¸c˜oes devido `a localiza¸c˜ao fraca e variˆancia dos CTC’s. Al´em disso, ana-
6.4 SUM
´
ARIO 99
lisamos as distribui¸c˜oes.
Analisamos as distribui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s em regimes arbitr´arios de
transporte. Notamos, que as semelhan¸cas entre distribui¸c˜oes de condutˆancias com di-
ferentes parˆametros, que vimos no cap. 4 para um ´unico ponto quˆantico, tamb´em se
manifestam nos dois sistemas estudados neste cap´ıtulo, sugerindo uma aproximada lei
de escala cl´assica (lei de Ohm) que torna as distribui¸c˜oes as mais pr´oximas poss´ıveis.
Al´em disso, assim como vimos para um ponto quˆantico no cap. 4, as distribui¸c˜oes dos
CTC’s no limite quˆantico extremo s˜ao bastante irregulares e geralmente apresentam n˜ao-
analiticidades. Sendo assim, estas n˜ao-analiticidades n˜ao devem depender do sistema
f´ısico no limite quˆantico extremo e ser˜ao estudadas de forma detalhada e geral no pr´oximo
cap´ıtulo.
CAP
´
ITULO 7
N
˜
AO-ANALITICIDADES NAS DISTRIBUIC¸
˜
OES DOS
CUMULANTES DE TRANSFER
ˆ
ENCIA DE CARGA
A presen¸ca de n˜ao-analiticidades em distribui¸c˜oes de CTC’s j´a foram percebidas na
literatura anteriormente [21, 23, 66, 67, 68, 69]. Tamb´em notamos em nossos resultados
que as n˜ao-analiticidades das distribui¸c˜oes de CTC’s est˜ao presentes em todos os sistemas
que estudamos: um ´unico ponto quˆantico, cadeia de pontos quˆanticos e o A4PQ. A ref.
[23] justifica estas irregularidades nas distribui¸c˜oes de g e p atrav´es de um argumento
geom´etrico, o qual generalizamos para qualquer CTC [30] e iremos apresent´a-lo aqui.
Mais detalhes sobre esta generaliza¸c˜ao est˜ao presentes na ref. [32].
7.1 UM
´
UNICO CANAL DE ESPALHAMENTO ABERTO
Vimos na sec. 4.2, para o caso de apenas um canal de espalhamento, que as dis-
tribui¸c˜oes dos CTC’s podem ser dadas em termos da distribui¸c˜ao do ´unico autovalor de
transmiss˜ao do sistema, como mostra a eq. ( . ). Usando nesta equa¸c˜ao as propriedades
da delta [eq. ( . )], obtemos
P
m
(q) =
k
j=1
ρ(τ
∗
j
)
|f
m
(τ
∗
j
)|
Θ(τ
∗
j
)Θ(1 − τ
∗
j
), ( . )
onde {τ
∗
j
}
k
j=1
s˜ao as k ra´ızes da equa¸c˜ao f
m
(τ) −q = 0. Assim, percebemos trˆes fontes de
poss´ıveis n˜ao-analiticidades em P
m
. A primeira delas ´e quando algum τ
∗
j
´e raiz de f
m
(τ)
e ρ(τ
∗
j
) = 0. A segunda fonte ´e a fun¸c˜ao degrau que limita os autovalores entre 0 e 1. A
terceira est´a embutida em ρ(τ), pois esta pode apresentar irregularidades a depender do
sistema f´ısico. Para exemplificar melhor, considere a distribui¸c˜ao da potˆencia de ru´ıdo de
disparo [eq. ( . )]
P
2
(p) =
Θ(p)Θ(1/4 − p)
√
1 − 4p
{ρ[τ
+
(p)] + ρ[τ
−
(p)]}, ( . )
100
7.2 DISTRIBUIC¸
˜
AO GEOM
´
ETRICA 101
com τ
±
(p) = (1 ±
√
1 − 4p)/2. Na fig. 7.1, temos a distribui¸c˜ao do autovalor de trans-
miss˜ao que produz as distribui¸c˜oes dos CTC’s na fig. 4.4. Para p = 1/4, τ
+
= τ
−
= 1/2
e, para estes valores, vemos que ρ(1/2) = 0 para todos os valores de β. Al´em disso,
o denominador da eq. ( . ) ´e nulo em p = 1/4 e, consequentemente, P
2
diverge neste
valor, como visto na fig. 4.4. Temos outra poss´ıvel fonte de n˜ao-analiticidades, devido `a
limita¸c˜ao imposta pelas fun¸c˜oes Θ, ou seja, 0 ≤ p ≤ 1/4. Como j´a analisamos o limitante
superior (p = 1/4), nos resta analisar as distribui¸c˜oes em p = 0. Neste ponto, temos
P
2
(0
−
) = 0,
P
2
(0
+
) = ρ(1) + ρ(0). ( . )
Note na fig. 7.1, que para β = 1, 2 e 4, respectivamente, temos os seguintes valores
aproximados: ρ(0) = ∞, 4, 0 e ρ(1) = 0,2; 0,3 e 0,45. Com isso, em p = 0
+
, P
2
= 0 e para
p = 0
−
, P
2
= 0, o que representa uma descontinuidade. Desta mesma forma, notamos
outra descontinuidade, pois em p =
1
4
+
a distribui¸c˜ao ´e nula e diverge para p =
1
4
−
. Estas
descontinuidades, aparecem como consequˆencia da limita¸c˜ao de p impostas pela fun¸c˜ao
Θ. Por´em, perceba que o fato de P
2
(0) divergir para β = 1 ´e consequˆencia de ρ(0) → ∞,
o que n˜ao acontece para β = 2 e 4. Sendo assim, vemos que quando as irregularidades s˜ao
consequˆencias expl´ıcitas da eq. ( . ) (denominador nulo e as limita¸c˜oes devido `a fun¸c˜ao
degrau), elas se manifestam nos trˆes valores de β. Por outro lado, quando as distribui¸c˜oes
herdam irregularidades de ρ, estas s˜ao consequˆencias de caracter´ısticas f´ısicas, pois ρ
carrega toda a informa¸c˜ao da estat´ıstica de transporte do sistema: simetrias (que inclui
os valores de β), transparˆencias das barreiras, n´umero de canais em cada guia, topologias,
etc. Inspirados neste fato, decidimos analisar as n˜ao-analiticidades nas distribui¸c˜oes dos
CTC’s para um sistema f´ısico geral, visando separar as causas f´ısicas (herdadas de ρ) das
outras poss´ıveis.
7.2 DISTRIBUIC¸
˜
AO GEOM
´
ETRICA
Para iniciarmos uma an´alise mais abrangente, considere a f´ormula geral para a distri-
bui¸c˜ao do m-´esimo CTC
P
m
(q) =
C
dτρ(τ)δ
q −
n
j=1
f
m
(τ
j
)
, ( . )
7.2 DISTRIBUIC¸
˜
AO GEOM
´
ETRICA 102
Figura 7.1 Distribui¸c˜oes do autovalor de transmiss˜ao de um ponto quˆantico com apenas um
canal de espalhamento aberto em cada guia e contatos de transparˆencia 2/3, para as trˆes classes
de simetria de Wigner-Dyson. Figura retirada da ref. [51].
onde τ ≡ {τ
i
}
n
i=1
, ρ(τ) ´e a distribui¸c˜ao conjunta dos autovalores de transmiss˜ao, C denota
o hipercubo de aresta 1 e dimens˜ao n. O valor de n ´e a quantidade de autovalores de
transmiss˜ao n˜ao-nulos [1]. Por exemplo, para um ponto quˆantico simples (fig. 4.1),
n = min(N
1
, N
2
); para uma cadeia de L pontos (fig. 6.1), n = min(N
1
, . . . , N
L+1
) e para
A4PQ (fig. 6.7), n = min(N
1
, N
2
+ N
3
, N
5
+ N
4
, N
6
). O integrando da eq. ( . ) possui
dois fatores que carregam diferentes informa¸c˜oes do sistema. A distribui¸c˜ao conjunta ρ
cont´em a estat´ıstica completa dos autovalores de transmiss˜ao e, portanto, carrega toda
informa¸c˜ao f´ısica do sistema, bem como as simetrias da cavidade, a topologia da rede,
as transparˆencias das barreiras, etc. No entanto, a fun¸c˜ao δ, exceto pelo valor de n,
n˜ao cont´em nenhuma informa¸c˜ao f´ısica do sistema e ´e uma consequˆencia da eq. ( . ).
Considerando o argumento da fun¸c˜ao δ,
q =
n
j=1
f
m
(τ
j
), ( . )
teremos do ponto de vista geom´etrico uma hipersuperf´ıcie em R
n+1
no espa¸co {q; τ }
que denotaremos por HS
m
n
. Por´em, se deixarmos q fixo, teremos a curva de n´ıvel da
hipersuperf´ıcie HS
m
n
, a qual denotaremos por CN
m
n
. Note que CN
m
n
´e uma hipersuperf´ıcie
em R
n
no espa¸co τ . Para o caso particular de n = 2, vemos na fig. 7.2 as ilustra¸c˜oes
destas superf´ıcies para m = 3 e 4. Por exemplo, para τ
1
e τ
2
pr´oximos de 0,5, CN
4
2
´e
aproximadamente uma elipse, correspondendo ao centro da curva de n´ıvel `a direita de
(b).
7.2 DISTRIBUIC¸
˜
AO GEOM
´
ETRICA 103
(a)
(b)
Figura 7.2 Terceiro (a) e quarto (b) CTC’s em fun¸c˜ao dos dois autovalores de transmiss˜ao
para n = 2.
`
A esquerda, temos as curvas em 3D mostrando a forma expl´ıcita das superf´ıcies
HS
3
2
(a) e HS
4
2
(b).
`
A direita temos as curvas de n´ıvel CN
3
2
(a) e CN
4
2
(b).
Vamos agora introduzir uma distribui¸c˜ao que elimina a informa¸c˜ao f´ısica inserida em
ρ, contendo apenas a fun¸c˜ao δ e, por isso, chamar-lhe-emos de “distribui¸c˜ao geom´etrica”
P
G
m
(q) ≡
dV
G
dq
=
d
dq
C
dτ Θ
q −
n
j=1
f
m
(τ
j
)
, ( . )
onde V
G
´e o volume limitado por CN
m
n
. Vamos analisar como P
G
m
(q) pode apresentar
irregularidades. A express˜ao de V
G
muda sua forma quando CN
m
n
toca algum dos v´ertices
do hipercubo causando descontinuidades em P
G
m
(q) = |dV
G
/dq|. Para tocar nos v´ertices,
todos os valores de τ
i
precisam ser 0 ou 1. Por´em, temos como consequˆencia da eq. ( . )
que f
m
(0) = 0 e f
m
(1) = δ
m,1
. Por isso, nos v´ertices g ´e um inteiro no intervalo [0, n] e
q
m=1
= 0. Al´em disso, existem duas situa¸c˜oes onde a derivada de P
G
m
(q) ´e descont´ınua.
A primeira acontece quando CN
m
n
passa por um valor extremo (m´aximo ou m´ınimo) ou
7.2 DISTRIBUIC¸
˜
AO GEOM
´
ETRICA 104
por um ponto de sela
1
. Isto acontece quando
∇q =
n
i=1
ˆτ
i
f
m
(τ
i
) = 0 ⇒ f
m
(τ
i
) = 0, ( . )
onde ˆτ
i
´e o vetor unit´ario na dire¸c˜ao τ
i
e
∇ ≡
n
i=1
ˆτ
i
∂
∂τ
i
´e definido no espa¸co τ. A segunda corresponde ao toque de CN
m
n
em fronteiras diferentes
de v´ertices, como arestas por exemplo. Os outros elementos s˜ao tocados quando um ou
mais τ
j
= 0 ou 1, e os outros τ
i=j
s˜ao tais que o vetor normal da hipersuperf´ıcie CN
m
n
seja
perpendicular a eles, ou seja, paralelo a ˆτ
j
. O vetor normal ´e proporcional ao gradiente
de CN
m
n
e, portanto, esta condi¸c˜ao ´e satisfeita com
ˆτ
i
·
∇
n
k=1
ˆτ
k
f
m
(τ
k
) = 0 ⇒ f
m
(τ
i
) = 0,
ˆτ
j=i
= 0 ou 1. ( . )
Podemos condensar estas condi¸c˜oes, considerando que Z ≡ {˜τ
k
}
l
k=1
´e o conjunto das l
ra´ızes de f
m
(τ) entre 0 e 1. Ent˜ao, os valores de CTC’s onde a distribui¸c˜ao geom´etrica ´e
n˜ao-anal´ıtica s˜ao
˜g = η, ( . )
˜q
m=1
=
l
k=1
η
k
f
m
(˜τ
k
), ( . )
onde η e η
k
s˜ao inteiros que satisfazem as rela¸c˜oes 0 ≤ η ≤ n e 0 ≤
l
k=1
η
k
≤ n.
A eq. ( . ) j´a apresenta explicitamente os valores irregulares da condutˆancia. Vamos
agora aplicar a eq. ( . ) nos trˆes pr´oximos CTC’s. Para o caso da potˆencia do ru´ıdo de
disparo, p = q
2
, temos f
2
(τ) = 1 − 2τ e, consequentemente, Z = {1/2} e f
2
(1/2) = 1/4.
Portanto, com a eq. ( . ), vemos que
˜p = η/4, ( . )
1
Esta singularidade ´e an´aloga `as de Van Hove para a densidade de estados eletrˆonicos de um s´olido
cristalino [70].
7.2 DISTRIBUIC¸
˜
AO GEOM
´
ETRICA 105
Figura 7.3 Distribui¸c˜oes geom´etricas da condutˆancia. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os
valores de n.
com 0 ≤ η ≤ n. Para o terceiro CTC, Z = {1/2 ±
√
3/6}, f
3
(1/2 ±
√
3/6) = ∓
√
3/18 e,
portanto, temos
˜q
3
= (η
1
− η
2
)
√
3/18, ( . )
com 0 ≤ η
1
+ η
2
≤ n. Analogamente, para o quarto CTC Z = {1/2, 1/2 ± 1/
√
6},
f
4
(1/2) = −1/8, f
4
(1/2 ± 1/
√
6) = 1/24 e, assim,
˜q
4
= (−3η
1
+ η
2
+ η
3
)/24, ( . )
onde 0 ≤ η
1
+ η
2
+ η
3
≤ n.
Atrav´es desta an´alise geom´etrica ´e poss´ıvel saber todos os valores dos CTC’s onde a
distribui¸c˜ao geom´etrica ´e n˜ao-anal´ıtica. Por´em, as n˜ao-analiticidades s˜ao suavizadas `a
medida que n aumenta. Por exemplo, de acordo com a eq. ( . ), a distribui¸c˜ao geom´etrica
da condutˆancia para n = 1, 2 e 3 ´e
n = 1 : P
G
1
(g) =
1
0
dτ
1
δ(g − τ
1
)
= Θ(g) − Θ(g −1),
n = 2 : P
G
1
(g) =
1
0
dτ
1
1
0
dτ
2
δ(g − τ
1
− τ
2
)
= (2 − g)Θ(2 − g) − 2(1 − g)Θ(1 − g) − gΘ(−g),
n = 3 : P
G
1
(g) =
1
0
dτ
1
1
0
dτ
2
1
0
dτ
3
δ(g − τ
1
− τ
2
− τ
3
)
=
1
2
(g
2
− 6g + 9)Θ(3 − g) −
3
2
(g
2
− 4g + 4)Θ(2 − g)+
3
2
(g
2
− 2g + 1)Θ(1 − g) −
1
2
g
2
Θ(−g).
As fun¸c˜oes degrau demonstram explicitamente as n˜ao-analiticidades nos valores esperados
7.3 SUM
´
ARIO 106
por nossa an´alise geom´etrica, como mostra a eq. ( . ). Por´em, a fig. 7.3 indica que para
n = 3 as n˜ao-analiticidades s˜ao suavizadas e a distribui¸c˜ao se torna mais regular. Isto
ilustra o teorema central do limite, que estabelece que a soma de vari´aveis aleat´orias
independentes tende a uma vari´avel aleat´oria regida por uma distribui¸c˜ao gaussiana com
o aumento do n´umero das vari´aveis independentes. Como na distribui¸c˜ao geom´etrica,
τ
1
, τ
2
, . . . , τ
n
s˜ao distribu´ıdas aleat´oria e independentemente, a distribui¸c˜ao geom´etrica
de g =
n
i=1
τ
i
tende a uma distribui¸c˜ao gaussiana `a medida que n aumenta.
7.3 SUM
´
ARIO
A distribui¸c˜ao f´ısica dada pela eq. ( . ) cont´em a distribui¸c˜ao conjunta de autovalores
ρ(τ), a qual pode suavizar as irregularidades provocadas pela parte geom´etrica. Sendo
assim, a justificativa geom´etrica informa os valores de CTC’s onde ´e poss´ıvel ocorrer
n˜ao-analiticidades em suas distribui¸c˜oes, os quais, para os quatro primeiros CTC’s, s˜ao
explicitamente
Q
1,n
= {0, 1, ..., n},
Q
2,n
= {0, 1/4, ..., n/4},
Q
3,n
= {0, ±
√
3/18, ..., ±
√
3n/18},
Q
4,1
= {−1/8, 0, 1/24},
Q
4,2
= Q
4,1
∪ {−1/4, −1/12, 1/12},
Q
4,3
= Q
4,2
∪ {−3/8, −5/24, −1/24, 1/8},
Q
4,4
= Q
4,3
∪ {−1/2, −1/3, −1/6, 1/6}, ( . )
Q
4,5
= Q
4,4
∪ {−5/8, −11/24, −7/24, 5/24},
Q
4,6
= Q
4,5
∪ {−3/4, −7/12, −5/12, 1/4},
Q
4,7
= Q
4,6
∪ {−21/24, −17/24, −13/24, 7/24},
Q
4,8
= Q
4,7
∪ {−1, −5/6, −2/3, 1/3},
Q
4,9
= Q
4,8
∪ {−9/8, −23/24, −19/24, 3/8},
Q
4,10
= Q
4,9
∪ {−5/4, −13/12, −11/12, 5/12},
onde Q
m,n
´e o conjunto de valores de q
m
onde suas distribui¸c˜oes de probabilidade podem
apresentar n˜ao-analiticidades.
Todos os valores de CTC’s onde as distribui¸c˜oes mostradas nesta tese apresentam
irregularidades est˜ao presentes na eq. ( . ). Por exemplo, na fig. 7.4, temos distri-
7.3 SUM
´
ARIO 107
Figura 7.4 Distribui¸c˜oes de condutˆancia para um ponto quˆantico ca´otico com β = 1, dois
canais em cada guia e barreiras de transparˆencia Γ = 0,2, 0,6 e 1. As linhas s˜ao apenas guias
de olhos.
bui¸c˜oes dos quatro primeiros CTC’s para um ponto quˆantico sim´etrico com dois canais
de espalhamento em cada guia e β = 1. Note que em g = 0, h´a descontinuidades em P
1
,
para Γ = 0,4, e em sua derivada, para Γ = 0,6 e 1. Para g = 1, as curvas sugerem que
a derivada de P
1
seja descont´ınua. N˜ao percebemos nenhum tipo de anomalia em g = 2.
Nas distribui¸c˜oes dos demais CTC’s, notamos irregularidades em:
p : 0, 1/4 e 1/2;
q
3
: ±
√
3/9(≈ ±0,19245), ±
√
3/18(≈ ±0,096225) e 0;
q
4
: −1/4, −1/8, −1/12, 0, 1/24 e 1/12.
Todos estes valores est˜ao de acordo com as previs˜oes expostas na eq. ( . ) para n = 2.
Ainda na fig. 7.4, note que mesmo com a varia¸c˜ao dos valores de Γ, as n˜ao ana-
liticidades ocorrem nos mesmo valores dos CTC’s, influenciando apenas os valores da
distribui¸c˜ao. A interpreta¸c˜ao deste comportamento ´e que a informa¸c˜ao da transparˆencia
das barreiras est´a na distribui¸c˜ao conjunta de autovalores, a qual n˜ao pode alterar os
7.3 SUM
´
ARIO 108
pontos de poss´ıveis n˜ao-analiticidades. Todavia, a mudan¸ca de parˆametros f´ısicos (topo-
logia da rede, simetria da cavidade, transparˆencia das barreiras, etc.) podem suavizar
estas irregularidades, por causa da influˆencia no valor de ρ(τ).
Publicamos parte deste cap´ıtulo na ref. [30].
CAP
´
ITULO 8
CONCLUS
˜
OES E PERSPECTIVAS
Nesta tese, estudamos transporte quˆantico em redes de pontos quˆanticos atrav´es da
teoria de matrizes aleat´orias e de m´etodos num´ericos.
Apresentamos algoritmos para encontrar a matriz de espalhamento efetiva de redes
de pontos quˆanticos com topologias arbitr´arias. A analogia com circuitos cl´assicos ´e
evidente, pois nesse caso as leis de Ohm (linearidade) e de Kirchhoff (conserva¸c˜ao de
corrente) geram regras simples para concatenar os elementos do circuito (resistˆencias,
capacitores, etc) em s´erie e em paralelo. Dentro da proposta de decompor sistemas me-
sosc´opicos em elementos de circuito, nossa ideia foi de identificar cada elemento como
um centro espalhador, caracterizado por sua matriz de espalhamento. Por´em, agora a
corrente n˜ao se comporta classicamente, pois ´e composta de quase-part´ıculas coerentes,
as quais possuem caracter´ısticas ondulat´orias. Sendo assim, a conserva¸c˜ao de corrente ´e
estabelecida pela unitariedade da matriz de espalhamento e, portanto, as opera¸c˜oes de
concatena¸c˜ao destas matrizes devem conservar a unitariedade da matriz de espalhamento
efetiva. Com estes princ´ıpios, desenvolvemos uma opera¸c˜ao alg´ebrica bem definida que
serve para concatenar matrizes de espalhamento (ou de transferˆencia) em paralelo. As
concatena¸c˜oes em s´erie s˜ao feitas atrav´es da regra multiplicativa das matrizes de trans-
ferˆencia ou por uma parametriza¸c˜ao de estube. Tendo estas regras de concatena¸c˜oes
em s´erie e em paralelo, podemos obter o centro espalhador efetivo de qualquer rede de
pontos quˆanticos de maneira an´aloga ao que se faz para se obter a resistˆencia resultante
de um circuito com resistˆencias em s´erie e/ou em paralelo. Por virtude desta analogia
cl´assica, consideramos este algoritmo de concatena¸c˜oes muito pr´atico. Al´em disso, com
a parametriza¸c˜ao de estube, as matrizes efetivas s˜ao sempre as menores poss´ıveis, elimi-
nando redundˆancias em cada estapa da implementa¸c˜ao do algoritmo, garantindo assim a
otimiza¸c˜ao num´erica.
Implementamos simula¸c˜oes em fortran usando os algoritmos de concatena¸c˜ao e
os geradores num´ericos de matrizes aleat´orias. Comprovamos que, numericamente, os
algoritmos baseados no formalismo de espalhamento (estube e matriz de transferˆencia)
s˜ao muito mais eficientes que o m´etodo de Mahaux-Weidenm¨uller, o qual baseia-se no
formalismo hamiltoniano. Cada um dos resultados de simula¸c˜ao desta tese foi obtido
109
CONCLUS
˜
OES E PERSPECTIVAS 110
em poucos minutos (muitas vezes segundos) rodando o programa em um computador
dom´estico (CPU de 2,6 GHz e mem´oria RAM de 4Gb), o que comprova a eficiˆencia
num´erica dos algoritmos.
Estudamos a estat´ıstica dos quatro primeiros cumulantes de transferˆencia de carga
(CTC’s) em trˆes sistemas:
um ´unico ponto quˆantico;
uma cadeia de pontos quˆanticos;
um anel de quatro pontos quˆanticos.
Obtivemos as distribui¸c˜oes dos CTC’s e discutimos como caracterizar o regime de trans-
porte atrav´es destas distribui¸c˜oes. Focalizamos nossa aten¸c˜ao no limite quˆantico extremo,
que ´e um regime n˜ao-perturbativo, onde as distribui¸c˜oes s˜ao irregulares e apresentam n˜ao-
analiticidades em muitas situa¸c˜oes. Atrav´es de um argumento geom´etrico, justificamos
estas n˜ao-analiticidades e calculamos valores expl´ıcitos dos CTC’s onde suas distribui¸c˜oes
podem ser n˜ao-anal´ıticas. Estas irregularidades refor¸cam a necessidade de se conhecer
toda a distribui¸c˜ao dos observ´aveis e n˜ao se limitar a apenas seus cumulantes como
m´edias e variˆancias. Existem v´arios experimentos que mostram que as distribui¸c˜oes de
condutˆancia s˜ao irregulares [10, 27] e que m´edia e variˆancia n˜ao s˜ao suficientes para
caracterizar seu comportamento estat´ıstico, essencial para o entendimento do sistema
mesosc´opico. Sendo assim, refor¸camos a importˆancia de se conhecer as distribui¸c˜oes dos
observ´aveis, principalmente no limite quˆantico extremo, onde os efeitos ocasionados por
interferˆencias quˆanticas s˜ao mais intensos. Al´em disso, observamos que, nos trˆes sistemas
estudados, uma lei de escala aproximadamente cl´assica (lei de Ohm) torna as distribui¸c˜oes
de condutˆancia mais pr´oximas.
Descrevemos a inferˆencia bayesiana e exemplificamos com a regress˜ao linear bayesi-
ana. Este m´etodo foi fundamental para obter as corre¸c˜oes de localiza¸c˜ao fraca e variˆancias
dos CTC’s no regime semicl´assico. Nesta situa¸c˜ao, o tamanho das matrizes ´e grande e,
consequentemente, o tempo computacional e os erros num´ericos aumentam. Por isso,
os resultados apresentam elevado ruido num´erico e seria invi´avel obter uma amostragem
suficientemente grande destes resultados, pois levaria muito tempo de processamento.
Atrav´es de m´etodos bayesianos, conseguimos unir os poucos dados da nossa amostra
ruidosa com argumentos l´ogicos provenientes de leis f´ısicas do fenˆomeno. Com isso, me-
lhoramos nossa estimativa, obtendo resultados precisos para localiza¸c˜ao fraca e variˆancias
dos CTC’s, os quais foram comparados a resultados exatos obtidos por t´ecnicas anal´ıticas.
O fato destes observ´aveis estimados possu´ırem valores muito pequenos dentro da escala
CONCLUS
˜
OES E PERSPECTIVAS 111
de observa¸c˜ao (o termo dominante do observ´avel ´e muito maior) tamb´em provoca dados
ruidosos em medidas experimentais. Sendo assim, recomendamos o m´etodo bayesiano
como uma poderosa ferramenta para estimar valores atrav´es de dados ruidosos, tanto em
c´alculos num´ericos como em experimentos.
Abordamos transporte quˆantico considerando a aproxima¸c˜ao de quase-part´ıculas in-
dependentes e na presen¸ca da coerˆencia de fase em redes de pontos quˆanticos ligados a
reservat´orios normais. O pr´oximo passo que propomos para aproximar as simula¸c˜oes rea-
lizadas nesta tese dos experimentos ´e adapt´a-las para estudar sistemas de quase-part´ıculas
interagentes e com descoerˆencia, incluir efeitos de reservat´orios ferromagn´eticos e super-
condutores e modelar a transi¸c˜ao entre as classes de universalidade dos ensembles atrav´es
da varia¸c˜ao de um campo magn´etico. Como os nossos algoritmos servem para uma rede
de topologia arbitr´aria, muitos destes efeitos podem ser modelados atrav´es de cavidades
fict´ıcias acopladas ao sistema, as quais desempenham o papel do efeito f´ısico real como a
descoerˆencia [31], os graus de liberdade part´ıcula-buraco (ou de spin) em decorrˆencia da
presen¸ca de reservat´orios supercondutores (ou ferromagn´eticos) [32, 33], a dependˆencia
de temperatura, campo magn´etico e intera¸c˜ao das quase-part´ıculas [19]. Sendo assim,
a generalidade dos nossos algoritmos indicam uma boa adapta¸c˜ao a estes efeitos para
trabalhos futuros.
AP
ˆ
ENDICE A
DISTRIBUIC¸
˜
AO GAUSSIANA DE MATRIZES
ALEAT
´
ORIAS
Seja H uma matriz M ×M hermitiana pertencente ao ensemble gaussiano de matrizes
aleat´orias, que satisfaz portanto `a seguinte distribui¸c˜ao
P (H) ∝ exp
−a tr(H
2
)
. (A. )
Por´em, como H = H
†
temos que tr(H
2
) = tr(|H|
2
) =
pq
|H
pq
|
2
=
p
(|H
pp
|
2
+ 2
q<p
|H
pq
|
2
). Ent˜ao
P (H) ≡
pq
P (H
pq
), (A. )
onde
P (H
pq
) ∝
exp (−a |H
pq
|
2
) , se p = q;
exp (−2a |H
pq
|
2
) , se p = q.
(A. )
Em geral, cada elemento de H ´e um quat´ernio real da seguinte forma
H
pq
=
0
H
pq
+
1
H
pq
e
1
+
2
H
pq
e
2
+
3
H
pq
e
3
n
H
pq
∈ R
n
H
pq
= 0 para n > β −1
n
H
pp
= 0 para n > 0
|H
pq
|
2
=
β−1
n=0
n
H
2
pq
(A. )
onde β = 1 (EGO), 2 (EGU) ou 4 (EGS).
De (A. ) e (A. ), temos que
H
pq
= 0, (A. )
|H
pq
|
2
=
β
2a
, se p = q,
β
4a
, se p = q.
(A. )
112
DISTRIBUIC¸
˜
AO GAUSSIANA DE MATRIZES ALEAT
´
ORIAS 113
Portanto, para n de 0 a β − 1
n
H
pq
= 0, (A. )
|H
pq
|
2
=
β
2a
=
0
H
2
pp
, se p = q,
β
4a
= β
n
H
2
pq
, se p = q,
(A. )
Escolhendo a =
β
4V
em (A. ) temos que
P (H) ∝ exp
−
β
4V
tr(H
2
)
, (A. )
n
H
pq
= 0 (A. )
e
n
H
pq
m
H
rs
= δ
pr
δ
qs
δ
nm
V
2δ
n0
−
1
β
δ
pq
+
1
β
, (A. )
para n, m de 0 a β − 1 e p, q, r, s de 1 a M.
AP
ˆ
ENDICE B
PARAMETRIZAC¸
˜
AO DE BOX-M
¨
ULLER
Sejam u
1
e u
2
vari´aveis aleat´orias independentes e distribu´ıdas uniformemente no
intervalo [0, 1[. Considere a seguinte parametriza¸c˜ao
x
1
=
−2 ln(u
1
) cos(2πu
2
),
x
2
=
−2 ln(u
1
) sen(2πu
2
).
(B. )
Percebe-se que x
1
e x
2
est˜ao no intervalo ] − ∞, +∞[. Por´em, precisamos saber a distri-
bui¸c˜ao que as rege. Para isso, vamos escrever u
1
e u
2
em fun¸c˜ao de x
1
e x
2
u
1
= exp[−(x
2
1
+ x
2
2
)/2],
u
2
= (2π)
−1
arctan(x
2
/x
1
).
(B. )
A distribui¸c˜ao conjunta de u
1
e u
2
´e f
u
(u
1
, u
2
) = 1. Atrav´es do jacobiano, obtemos a
distribui¸c˜ao conjunta de x
1
e x
2
dx
1
dx
2
f
x
(x
1
, x
2
) = du
1
du
2
= dx
1
dx
2
∂(u
1
, u
2
)
∂(x
1
, x
2
)
. (B. )
Portanto, temos
f
x
(x
1
, x
2
) =
∂(u
1
, u
2
)
∂(x
1
, x
2
)
=
1
2π
exp[−(x
2
1
+ x
2
2
)/2]. (B. )
A independˆencia estat´ıstica entre x
1
e x
2
est´a garantida, j´a que a distribui¸c˜ao conjunta ´e
o produto de duas distribui¸c˜ao normais
f
x
(x
1
, x
2
) = f(x
1
)f(x
2
) (B. )
onde f(x) ≡ (2π)
−1/2
exp(−x
2
/2).
Assim, atrav´es da parametriza¸c˜ao (B. ), transformamos duas vari´aveis aleat´orias in-
dependentes uniformemente distribu´ıdas no intervalo [0,1[ em duas vari´aveis aleat´orias
gaussianas independentes x
1
e x
2
com m´edias nulas e variˆancias iguais `a unidade [41].
114
AP
ˆ
ENDICE C
PARAMETRIZAC¸
˜
AO DE HURWITZ E ALGORITMO
PARA GERAR MATRIZES DO ECU
Vamos descrever aqui o algoritmo que usamos para gerar aleatoriamente matrizes do
ensemble circular unit´ario [43, 44]. Inicialmente, vamos decompor a matriz N ×N unit´aria
U
2
em transforma¸c˜oes mais elementares, as quais tamb´em s˜ao unit´arias E
(i,j)
(φ, ψ, χ) e
seus ´unicos elementos n˜ao nulos s˜ao:
E
(i,j)
k,k
= 1; k = 1, . . . , N; k = i, j;
E
(i,j)
i,i
= cos(φ
i,j
) exp(iψ
i,j
);
E
(i,j)
i,j
= sen(φ
i,j
) exp(iχ
i,j
);
E
(i,j)
j,i
= −sen(φ
i,j
) exp(−iχ
i,j
);
E
(i,j)
j,j
= cos(φ
i,j
) exp(−iψ
i,j
).
(C. )
Com base nestas matrizes unit´arias elementares, fa¸camos as seguintes N − 1 rota¸c˜oes
compostas:
E
(i)
=
N
j=i+1
E
(i,j)
(φ
i,j
, ψ
i,j
, χ
i,j
), (C. )
onde χ
i,j
= χ
i
δ
N,j
e com o produt´orio matricial sendo definido na ordem crescente dos
´ındices
M
i=1
A
i
≡ A
1
A
2
. . . A
M
. (C. )
Finalmente, podemos obter U
2
atrav´es da seguinte composi¸c˜ao
U
2
= e
iα
1
i=N−1
E
(i)
. (C. )
Se os ˆangulos variam nos intervalos
0 ≤ φ
i,j
≤ π/2; 0 ≤ ψ
i,j
< 2π; 0 ≤ χ
i,j
< 2π; 0 ≤ α < 2π, (C. )
115
PARAMETRIZAC¸
˜
AO DE HURWITZ E ALGORITMO PARA GERAR MATRIZES DO ECU 116
respeitando a medida de Haar
µ
2
(dU
2
) = dα
N
i=1
N
j=1
d
(cos φ
i,j
)
2(N−j+1)
dψ
i,j
N−1
k=0
dχ
k
, (C. )
U
2
pertence ao ECU.
Sendo assim, devemos escolher os ˆangulos α, ψ
i,j
e χ
i
variando uniformemente no
intervalo [0, 2π[. Al´em disso, a vari´avel ξ
i,j
≡ (cos φ
i,j
)
2(N−j+1)
deve variar uniformemente
no intervalo [0, 1[ e portanto, devemos tomar φ
i,j
= arccos
ξ
1
2(N−j+1)
i,j
.
AP
ˆ
ENDICE D
AN
´
ALISE DE EFICI
ˆ
ENCIA NUM
´
ERICA
Aplicamos os trˆes m´etodos de simula¸c˜ao (MW, ST e MT) para o caso de um ponto
quˆantico acoplado a dois guias sim´etricos com N canais e contatos de transparˆencia Γ,
visando comparar a eficiˆencia num´erica entre eles. As realiza¸c˜oes num´ericas foram geradas
atrav´es da implementa¸c˜ao dos algoritmos em fortran rodando em uma CPU com taxa
de processamento (clock ) de 2,6 GHz em um sistema operacional GNU/Linux 64 bits.
Figura D.1 Distribui¸c˜oes da condutˆancia, g e do quarto CTC, q
4
, para um ponto quˆantico
ca´otico com dois canais abertos de espalhamento em cada um dos dois guias, transparˆencia das
barreiras de 40% e β = 4, usando os trˆes m´etodos num´ericos apresentados no cap. 3 com 10
5
realiza¸c˜oes.
A maior dificuldade no m´etodo de MW surge do fato de que o n´umero de ressonˆancias
da cavidade M deve ser muito grande, para que se possa gerar o n´ucleo de Poisson. No
entanto, percebemos que o uso de 10
5
realiza¸c˜oes com a regra pr´atica de M = 4N ´e
suficiente para produzir pelo menos 98% de precis˜ao no c´alculo da m´edia da condutˆancia
para contatos ideais e portanto, adotamos isso como padr˜ao para todos os c´alculos via
MW. Apesar dessa aproxima¸c˜ao finita, a fig. D.1 mostra que as distribui¸c˜oes obtidas
atrav´es do m´etodo de MW s˜ao muito pr´oximas das obtidas atrav´es dos m´etodos de ST e
MT, os quais possuem apenas erros estat´ısticos usais e num´ericos.
Observamos que para os trˆes m´etodos, o tempo de processamento por realiza¸c˜oes T
CPU
117
AN
´
ALISE DE EFICI
ˆ
ENCIA NUM
´
ERICA 118
varia com o n´umero de canais de acordo com a seguinte lei de potˆencia
T
CPU
= ϑN
γ
. (D. )
Usando os valores dos parˆametros ϑ e γ estimados atrav´es do ajuste num´erico de pon-
tos via regress˜ao linear em escala log-log, analisamos a eficiˆencia dos m´etodos atrav´es
do tempo de processamento e conclu´ımos que o m´etodo ST ´e sempre o mais eficiente.
Podemos definir uma medida de eficiˆencia do m´etodo ST em rela¸c˜ao aos m´etodos de MW
ou MT da seguinte forma
η ≡
T
(MW ou MT)
CPU
T
(ST)
CPU
− 1. (D. )
Na fig. D.2, mostramos que para 1 ≤ N ≤ 30 a eficiˆencia do m´etodo ST est´a entre 7,5%
e 32,5%, em rela¸c˜ao a MT, e entre 150% and 310%, em rela¸c˜ao ao MW.
Figura D.2 Eficiˆencia do m´etodo ST em rela¸c˜ao aos m´etodos MW e MT versus o n´umero de
canais. Os n´umeros rotulando as curvas s˜ao os valores de β.
AP
ˆ
ENDICE E
A MATRIZ DE TRANSFER
ˆ
ENCIA
Figura E.1 Centro espalhador conectado a dois guias. As ondas dentro dos guias 1 e 2 incidem
ou refletem no centro espalhador. As amplitudes de ondas incidentes s˜ao a
1,2
e das refletidas
s˜ao b
1,2
.
Considere o centro espalhador ilustrado na fig. E.1. As amplitudes de ondas incidentes
e refletidas no guia m (= 1 ou 2) s˜ao respectivamente
a
m
≡
a
m
1
a
m
2
.
.
.
a
m
N
m
e b
m
≡
b
m
1
b
m
2
.
.
.
b
m
N
m
. (E. )
Como sabemos, a matriz de espalhamento relaciona as amplitudes de ondas incidentes
com as refletidas da seguinte forma
b
1
b
2
= S
a
1
a
2
=
r t
t r
a
1
a
2
. (E. )
Por outro lado, a matriz de transferˆencia relaciona as amplitudes de um guia com as
do outro, podendo ser definida da seguinte forma
b
2
a
2
≡ M
a
1
b
1
. (E. )
´
E conveniente, escrever explicitamente M em termos dos blocos de transmiss˜ao e reflex˜ao
119
A MATRIZ DE TRANSFER
ˆ
ENCIA 120
da matriz S. Da eq. (E. ), temos
b
1
= ra
1
+ t
a
2
,
b
2
= ta
1
+ r
a
2
.
(E. )
Com isso, podemos extrair as seguintes rela¸c˜oes
b
2
= [t − r
(t
)
−1
r]a
1
+ r
(t
)
−1
b
1
,
a
2
= −(t
)
−1
ra
1
+ (t
)
−1
b
1
,
(E. )
A unitariedade da matriz de espalhamento implica que
t − r
(t
)
−1
r = (t
†
)
−1
. (E. )
Das eqs. (E. ), (E. ) e (E. ), conclu´ımos que a matriz de transferˆencia possui a
seguinte forma expl´ıcita
M =
(t
†
)
−1
r
(t
)
−1
−(t
)
−1
r (t
)
−1
. (E. )
As matrizes de transmiss˜ao n˜ao s˜ao quadradas em geral, resultando em um problema
na sua invers˜ao, o qual est´a devidamente solucionado e explicado na sec. 3.2.2.1.
AP
ˆ
ENDICE F
CONCATENAC¸
˜
AO EM S
´
ERIE DE DUAS MATRIZES
DE ESPALHAMENTO
(a)
(b)
Figura F.1 Concatena¸c˜ao em s´erie de duas matrizes de espalhamento. Em (a), dois centros
espalhadores em s´erie e em (b), o centro espalhador efetivo. As amplitudes de onda no guia m
com sentido de propaga¸c˜ao σ est˜ao denotadas por a
m
σ
.
Considere o sistema ilustrado na fig. F.1. As matrizes de espalhamento s˜ao
1
S =
1
r
1
t
1
t
1
r
,
2
S =
2
r
2
t
2
t
2
r
, e S =
r t
t r
, (F. )
onde S ≡
1
S •
2
S ´e a matriz de espalhamento resultante da concatena¸c˜ao em s´erie dos
dois centros espalhadores.
´
E interessante expressar S em termos dos blocos de reflex˜ao e
transmiss˜ao dos centros 1 e 2.
Usando a nota¸c˜ao da fig. F.1, j´a que as matrizes de espalhamento relacionam as
121
CONCATENAC¸
˜
AO EM S
´
ERIE DE DUAS MATRIZES DE ESPALHAMENTO 122
amplitudes de ondas incidentes com as refletidas, temos as seguintes equa¸c˜oes
a
1
−
=
1
ra
1
+
+
1
t
a
2
−
,
a
2
+
=
1
ta
1
+
+
1
r
a
2
−
.
(F. )
a
2
−
=
2
ra
2
+
+
2
t
a
3
−
,
a
3
+
=
3
ta
2
+
+
2
r
a
3
−
.
(F. )
a
1
−
= ra
1
+
+ t
a
3
−
,
a
3
+
= ta
1
+
+ r
a
3
−
.
(F. )
Das eqs. (F. ) e (F. ), obtemos
a
1
−
= {
1
r +
1
t
[(1 −
2
r
1
r
)
−1
]
2
r
1
t}a
1
+
+
1
t
[(1 −
2
r
1
r
)
−1
]
2
t
a
3
−
,
a
3
+
=
2
t[(1 −
1
r
2
r)
−1
]
1
ta
1
+
+ {
2
r
+
2
t[(1 −
1
r
2
r)
−1
]
1
r
2
t
}a
3
−
.
(F. )
Com isso, das eqs. (F. ), (F. ) e (F. ) conclu´ımos que a matriz de espalhamento efetiva
da concatena¸c˜ao em s´erie dos dois centros ´e
S =
1
r +
1
t
[(1 −
2
r
1
r
)
−1
]
2
r
1
t
1
t
[(1 −
2
r
1
r
)
−1
]
2
t
2
t[(1 −
1
r
2
r)
−1
]
1
t
2
r
+
2
t[(1 −
1
r
2
r)
−1
]
1
r
2
t
. (F. )
AP
ˆ
ENDICE G
UNITARIEDADE NA CONCATENAC¸
˜
AO VIA ESTUBE
Considere a eq. ( . ) com U ≡
2
S e A ≡ (1 −UR
)
−1
S = R + T
AUT. (G. )
Para mostrar que a concatena¸c˜ao em s´erie via estube produz uma matriz de espalhamento
unit´aria, precisamos provar que SS
†
= 1. Para isso, vamos realizar o seguinte c´alculo
SS
†
= RR
†
+ XR
†
+ RX
†
+ XX
†
, (G. )
onde X ≡ T
AUT. Lembramos que a matriz
A
S [eqs. ( . ) e ( . )] ´e unit´aria.
Vamos calcular o segundo e o terceiro termos da eq. (G. ) usando a rela¸c˜ao TR
†
+
R
T
†
= 0, a qual ´e consequˆencia da unitariedade da matriz
A
S
XR
†
= −T
AUR
T
†
= (RX
†
)
†
. (G. )
Por´em,
A(1 − UR
) = 1 → AUR
= A − 1. (G. )
Portanto, das eqs. (G. ) e (G. ) obtemos
XR
†
= T
(1 − A)T
†
= (RX
†
)
†
. (G. )
Agora vamos desenvolver o quarto termo da eq. (G. ) atrav´es da eq. (G. ), da rela¸c˜ao
R
R
†
+ TT
†
= 1 vinda da unitariedade da matriz
A
S e de UU
†
= 1
XX
†
= T
AU(1 − R
R
†
)U
†
A
†
T
†
= T
(A + A
†
− 1)T
†
. (G. )
Da rela¸c˜ao RR
†
+ T
T
†
= 1 proveniente da unitariedade de
A
S e das eqs. (G. ),
(G. ) e (G. ), conclu´ımos finalmente que S ´e unit´aria
SS
†
= 1. (G. )
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