ads:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA MECÂNICA
ANÁLISE DE TUBOS DE CALOR PULSANTES DE BAIXA TEMPERATURA COM
ÊNFASE NA ESTIMATIVA DO COEFICENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
TESE SUBMETIDA À
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR
EM ENGENHARIA MECÂNICA
FRANCO ANDREY SILVÉRIO DE SOUZA
FLORIANÓPOLIS, JULHO DE 2010
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA MECÂNICA
ANÁLISE DE TUBOS DE CALOR PULSANTES DE BAIXA TEMPERATURA COM
ÊNFASE NA ESTIMATIVA DO COEFICENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
FRANCO ANDREY SILVÉRIO DE SOUZA
Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de
DOUTOR EM ENGENHARIA
ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA
sendo aprovada em sua forma final.
_______________________________________
Professor Sérgio Colle, Dr. Sc. - Orientador
____________________________________________________
Eduardo Alberto Fancello, Dr. Sc. – Coordenador do Curso
BANCA EXAMINADORA
__________________________________
Professora Márcia Mantelli, Ph. D.
__________________________________
Professor Amir Antônio Martins
de Oliveira Junior, Ph. D.
_____________________________________
Professor Paulo Couto, Dr. Eng.
__________________________________
Professor Júlio César Passos, Dr. Eng.
__________________________________________
Professor Gherhardt Ribatski, Ph. D.
ads:
iii
A diferença entre o possível e o impossível está na vontade humana.
Louis Pasteur
iv
Aos meus amores: Karin, Bernardo e Vinícius.
Aos meus pais: João e Arlete.
Aos meus irmãos: Fábio, Fernando, Fredy e Fernanda.
À minha sogra: Sílvia.
v
Agradecimentos
Aos professores da área de Refrigeração e Climatização do Instituto Federal de Santa
Catarina (IFSC) - Campus São José, por terem assumido as minhas atividades durante o meu
afastamento.
Ao professor Sérgio Colle pela competente orientação e empenho.
Ao professor Júlio Cezar Passos pelas contribuições relativas à análise dos processos de
evaporação e condensação.
Ao engenheiro João Felipe Almeida Destri por sua assistência no desenvolvimento do
programa de aquisição de dados e na montagem dos Experimentos I e II.
Ao engenheiro Júlio Nelson Scussel por sua assistência no desenvolvimento do programa
de aquisição de dados do Experimento III.
Ao técnico Danti Régis de Souza e aos bolsistas Fábio Cezar Canesin e Daniel Bonin, por
suas contribuições nas montagens experimentais.
vi
Sumário
Lista de Figuras .......................................................................................................................ix
Lista de Tabelas .....................................................................................................................xiv
Lista de Símbolos..................................................................................................................xvii
Resumo ....................................................................................................................................xx
Abstract .................................................................................................................................xxii
1 Introdução ............................................................................................................................1
1.1 Gerenciamento Térmico de Componentes Eletrônicos ..................................................1
1.2 Características Operacionais dos Tubos de Calor Pulsantes ..........................................8
1.3 Aplicações Envolvendo Baixas Temperaturas .............................................................10
1.4 Transferência de Calor num Tubo de Calor Pulsante...................................................10
1.5 Fechamento do Capítulo...............................................................................................14
2 Revisão Bibliográfica.........................................................................................................15
2.1 Estudos Experimentais..................................................................................................15
2.2 Estudos Teóricos...........................................................................................................27
2.3 Estudos Teórico-Experimentais....................................................................................31
2.4 Fechamento do Capítulo...............................................................................................35
3 Descrição dos Experimentos .............................................................................................36
3.1 Dispositivos Periféricos................................................................................................36
3.2 Seleção do Fluido de Trabalho .....................................................................................37
3.3 Procedimentos de Carga ...............................................................................................38
3.4 Descrição do Experimento I .........................................................................................39
3.5 Descrição do Experimento II........................................................................................42
3.6 Descrição do Experimento III.......................................................................................43
3.7 Fechamento do Capítulo...............................................................................................46
4 Análise dos Resultados Experimentais ............................................................................47
4.1 Resultados do Experimento I........................................................................................47
vii
4.2 Resultados do Experimento II ......................................................................................51
4.2.1 Análise Comparativa dos Resultados do Experimento II .................................57
4.4 Resultados do Experimento III .....................................................................................59
4.5 Fechamento do Capítulo...............................................................................................69
5 Método para Estimar o Coeficiente de Transferência de Calor no Interior do
Evaporador do Tubo de Calor Pulsante..........................................................................70
5.1 Apresentação e Desenvolvimento do Método ..............................................................70
5.1.1 Validação da Técnica de Discretização por Funções-Tenda ............................83
5.2 Estimador Inverso com Gradientes Conjugados...........................................................89
5.2.1 Determinação e Minimização da Função-Objetivo do Problema.....................89
5.2.2 Especificação e Análise da Matriz de Sensibilidade do Problema ...................90
5.3.3 Descrição do Método dos Gradientes Conjugados ...........................................93
5.3 Validação do Método Proposto ....................................................................................97
5.4 Análise de Sensibilidade do Método proposto .............................................................99
5.4.1 Caso de Coeficiente de Transferência de Calor Constante...............................99
5.4.2 Caso de Coeficiente de Transferência de Calor Variável ...............................103
5.5 Estimativa do Coeficiente de Transferência de Calor do Experimento III.................105
5.5.1 Análise Comparativa de Resultados ...............................................................109
5.6 Conclusões do Capítulo ..............................................................................................110
6 Conclusões ........................................................................................................................111
6.1 Conclusões Gerais ......................................................................................................111
6.2 Conclusões dos Resultados Experimentais.................................................................112
6.3 Conclusões sobre a Estimativa do Coeficiente de Transferência de Calor.................114
6.4 Recomendações para Estudos Posteriores ..................................................................115
Referências Bibliográficas ...................................................................................................116
Publicações Decorrentes do Presente Estudo .....................................................................121
Apêndice A Propriedades Termofísicas ..........................................................................122
A.1 Cálculo das Propriedades Termofísicas do Dióxido de Carbono ...............................122
A.2 Propriedades Termofísicas do Material do Tubo do TCP ..........................................122
A.3 Referências Bibliográficas do Apêndice A.................................................................123
Apêndice B Incertezas de Medição..................................................................................124
B.1 Conceito de Incerteza .................................................................................................124
B.2 Incertezas Relativas ao Fluxo de Calor Externo.........................................................125
B.3 Incertezas Relativas ao Ganho de Calor Externo .......................................................126
viii
B.4 Incertezas Relativas ao Cálculo das Resistências Térmicas .......................................128
B.5 Incertezas Relativas às Medições de Temperatura .....................................................128
B.6 Incertezas Relativas às Medições de Pressão .............................................................129
B.7 Incertezas dos Instrumentos de Medição....................................................................133
B.8 Referências Bibliográficas do Apêndice B.................................................................134
Apêndice C Dedução das Equações (5.30) a (5.41).........................................................135
C.1 Dedução das Equações (5.30) a (5.35) .......................................................................135
C.2 Dedução das Equações (5.36) a (5.41) .......................................................................140
Apêndice D Raízes da Equação (5.12) .............................................................................143
Apêndice E Raízes da Equação (5.90) .............................................................................144
Apêndice F Algoritmo do Método Proposto...................................................................145
F.1 Algoritmo do Método Proposto com Newton-Raphson e Polak-Ribière ...................145
ix
Lista de Figuras
Figura 1.1 Tendências da dissipação térmica e das tecnologias de resfriamento de
componentes eletrônicos durante as últimas décadas....................................2
Figura 1.2 Corte transversal num conjunto de chip e sumidouro de calor e seu circuito
térmico equivalente simplificado...................................................................3
Figura 1.3 Vista em corte de um tubo de calor típico .....................................................7
Figura 1.4 (a) Desenhos esquemáticos de tubos de calor pulsantes em circuitos aberto
e fechado; (b) Principais componentes de um tubo de calor pulsante...........8
Figura 1.5 Diagrama pressão-entalpia típico de um tubo de calor pulsante de CO
2
.......9
Figura 1.6 Variação do título do fluido de trabalho de um TCP operando com água e
temperaturas de evaporação iguais a 25 °C e 100 °C ..................................11
Figura 1.7 Variação do título do fluido de trabalho de um TCP operando com CO
2
e
temperaturas de evaporação iguais a 5 °C e -20 °C.....................................12
Figura 2.1 Exemplos de alguns dos tubos de calor pulsantes de Akachi (1993) ..........16
Figura 2.2 Distribuição das fases líquido e vapor tubo num capilar.............................17
Figura 2.3 Esquema e radiografias do TCP de Kawara et al. (1996)............................18
Figura 2.4 (a) Aleta Kenzan típica e dados relativos ao seu desempenho. (b)
Sumidouro de calor Heatline
TM
produzido pela TS Heatronics Co. Ltda. ..19
Figura 2.5 (a) Montagem para visualização do escoamento do fluido de trabalho no
experimento de Tong et al. (2001). (b) Esquema do TCP...........................20
Figura 2.6 Esquema do experimento de Khandekar et al. (2003).................................21
Figura 2.7 Aparato experimental utilizado por Khandekar et al. (2003) ......................22
Figura 2.8 Influência dos padrões de escoamento sobre o máximo fluxo de calor
alcançado no TCP estudado por Khandekar et al. (2003) ...........................23
Figura 2.9 Fotografias e esquema do experimento de Khandekar et al. (2003) ...........24
Figura 2.10 Esquema da seção de testes utilizada por Khandekar et al. (2009) .............26
x
Figura 2.11 Variação da pressão interna e espectro de frequências do experimento
realizado por Khandekar et al. (2009) .........................................................26
Figura 2.12 Esquema do modelo massa-mola-amortecedor de Wong et al. (1999).......27
Figura 2.13 Esquema e discretização dos TCPs modelados por Shaffi et al. (2001) .....28
Figura 2.14 Esquema da evaporação e condensação em película do modelo de Zhang e
Faghri (2002) ...............................................................................................29
Figura 2.15 Esquema do aparato experimental de Swanepoel et al. (2000) ...................32
Figura 2.16 Comparação entre o coeficiente de transferência de calor calculado pela
Equação (2.14) e o coeficiente experimental de Dobson e Graf (2003)......33
Figura 2.17 Comparação entre os resultados experimentais e teóricos do modelo de
redes neurais de Khandekar (2004) .............................................................35
Figura 3.1 Desenho esquemático do Experimento I .....................................................39
Figura 3.2 Seção de testes do Experimento I. ...............................................................40
Figura 3.3 Compressor Stirling estudado por Heidrich et al. (2005)............................40
Figura 3.4 Seção de testes do Experimento II...............................................................43
Figura 3.5 Desenho da câmara de vácuo e da seção de testes do Experimento III.......45
Figura 3.6 Desenho da seção de testes do Experimento III, destacando a resistência
elétrica do evaporador, o circuito de resfriamento e o condensador ...........46
Figura 4.1 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento I, para razão de
enchimento de 50% e inclinação de 0° ........................................................48
Figura 4.2 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento I, para razão de
enchimento de 50% e inclinação de 45° ......................................................49
Figura 4.3 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento I, para razão de
enchimento de 50% e inclinação de 90° ......................................................49
Figura 4.4 Variação da resistência térmica do TCP do Experimento II, em relação à
potência fornecida, para diferentes frações de enchimento e ângulo de
inclinação igual a 45°...................................................................................52
Figura 4.5 Variação da resistência térmica do TCP do Experimento II, em relação à
potência fornecida, para diferentes frações de enchimento e ângulo de
inclinação igual a 90°...................................................................................53
xi
Figura 4.6 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de
enchimento de 30% e inclinação de 45° ......................................................54
Figura 4.7 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de
enchimento de 30% e inclinação de 90° ......................................................55
Figura 4.8 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de
enchimento de 50% e inclinação de 45° ......................................................55
Figura 4.9 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de
enchimento de 50% e inclinação de 90° ......................................................56
Figura 4.10 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de
enchimento de 70% e inclinação de 45° ......................................................56
Figura 4.11 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de
enchimento de 70% e inclinação de 90° ......................................................57
Figura 4.12 Variação da pressão do fluido de trabalho no interior do evaporador do TCP
do Experimento III, em relação aos fluxos de calor aplicados ....................59
Figura 4.13 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 2 W/cm²..............................60
Figura 4.14 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 4 W/cm²..............................60
Figura 4.15 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 6 W/cm²..............................61
Figura 4.16 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 8 W/cm²..............................61
Figura 4.17 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 10 W/cm²............................62
Figura 4.18 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 12 W/cm²............................62
Figura 4.19 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 14 W/cm²............................63
xii
Figura 4.20 Variação da temperatura média da superfície externa do condensador do
Experimento III............................................................................................64
Figura 4.21 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador do
Experimento III............................................................................................64
Figura 4.22 Variação da temperatura do fluido de trabalho no interior do evaporador do
Experimento III............................................................................................65
Figura 4.23 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de
2
W/cm2 ....................................................................65
Figura 4.24 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de 4 W/cm² .....................................................................66
Figura 4.25 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de 6 W/cm² .....................................................................66
Figura 4.26 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de 8 W/cm² .....................................................................67
Figura 4.27 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de 10 W/cm² ...................................................................67
Figura 4.28 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de 12 W/cm² ...................................................................68
Figura 4.29 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para
um fluxo de calor de 14 W/cm² ...................................................................68
Figura 5.1 Seção transversal do tubo do evaporador do TCP do Experimento III .......71
Figura 5.2 Esquema da discretização do coeficiente de transferência de calor utilizando
funções-tenda...............................................................................................76
Figura 5.3 Comparação entre as temperaturas da parede externa do tubo do TCP
calculadas pelas Equações (5.65) e (5.70) ...................................................88
Figura 5.4 Variação do desvio percentual entre a temperatura da parede externa do
tubo do TCP calculada pela Equação (5.65) e pela Equação (5.70)............88
xiii
Figura 5.5 Determinante de sensibilidade do problema-teste direto caracterizado pela
Tabela (5.1) e pela Equação (5.99)..............................................................93
Figura 5.6 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor estimados e os
coeficientes de transferência de calor com dependência temporal do
problema-teste direto referencial .................................................................98
Figura 5.7 Efeito do RMS, gerado por erro aleatório na temperatura externa do tubo,
sobre o coeficiente de transferência de calor constante estimado pelo
método proposto ........................................................................................102
Figura 5.8 Efeito do BIAS, gerado por erro aleatório na temperatura externa do tubo,
sobre o coeficiente de transferência de calor constante estimado pelo
método proposto ........................................................................................102
Figura 5.9 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor estimados e os
coeficientes do problema inverso referencial com saltos temporais..........105
Figura 5.10 Comparação entre a temperatura da superfície externa do evaporador do
Experimento III e a temperatura estimada, utilizando os coeficientes
constantes da Tabela 5.13..........................................................................107
Figura 5.11 Coeficientes de transferência de calor com dependência temporal estimados,
utilizando os dados do Experimento III.....................................................108
Figura 5.12 Comparação entre a temperatura da superfície externa do evaporador do
Experimento III e a temperatura estimada, considerando o coeficiente de
transferência de calor variável com o tempo .............................................108
Figura B.1 Desenho do transdutor de pressão absoluta do Experimento III ...............130
Figura B.2 Gráfico da pressão real absoluta em função da tensão do transdutor de
pressão subminiatura .................................................................................132
Figura C.1 Esquema do ajuste de funções-tenda para os parâmetros
)(
'
th
i
,
),(
'
trT
i
,
)(
'
tT
f
e
)(
'"
tq
e
...........................................................................................136
xiv
Lista de Tabelas
Tabela1.1 Principais métodos de resfriamento de componentes eletrônicos .................4
Tabela 1.2 Razão entre calor latente e sensível num tubo de calor pulsante.................14
Tabela 2.1 Desempenho típico do sumidouro de calor Heatlane
TM
DLC .....................18
Tabela 2.2 Comparação entre o TCP de Khandekar et al. (2006) e outros dispositivos
passivos usados para transferir calor ...........................................................25
Tabela 3.1 Lista de equipamentos usados nos experimentos realizados .......................36
Tabela 3.2 Comparações entre alguns dos fluidos mais usados em refrigeração..........37
Tabela 3.3 Dimensões e características de operação dos trocadores de calor frio e
quente do compressor Stirling estudado por Heidrich et al. (2005) ............40
Tabela 3.4 Características de projeto do TCP do Experimento I ..................................41
Tabela 3.5 Características de projeto do TCP do Experimento II .................................42
Tabela 3.6 Características de projeto do da câmara de vácuo do Experimento III .......44
Tabela 3.7 Características de projeto do TCP do Experimento III................................45
Tabela 4.1 Resistência térmica global do TCP do Experimento I.................................50
Tabela 4.2 Máxima potência transferida pelo TCP do Experimento II.........................54
Tabela 4.3 Análise comparativa do máximo fluxo de calor transferido pelo TCP do
Experimento II.............................................................................................58
Tabela 5.1 Dados do problema-teste para validação da técnica de discretização
utilizando funções-tenda..............................................................................87
Tabela 5.2 Resultados complementares aos resultados apresentados na Figura 5.5 .....93
Tabela 5.3 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor estimados e os
coeficientes os coeficientes do problema-teste referencial, sem variação
temporal .......................................................................................................97
Tabela 5.4 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático
na temperatura da parede externa do tubo, para coeficiente de transferência
de calor constante ......................................................................................100
xv
Tabela 5.5 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático
na temperatura do fluido de trabalho, para coeficiente de transferência de
calor constante ...........................................................................................100
Tabela 5.6 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático
no fluxo de calor, para coeficiente de transferência de calor constante ....101
Tabela 5.7 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático
na temperatura da parede externa do tubo, para coeficiente de transferência
de calor variável.........................................................................................103
Tabela 5.8 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático
na temperatura do fluido de trabalho, para coeficiente de transferência de
calor variável .............................................................................................104
Tabela 5.9 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático
no fluxo de calor, para coeficiente de transferência de calor variável.......104
Tabela 5.10 Parâmetros numéricos para estimar os coeficientes de transferência de calor
do Experimento III.....................................................................................106
Tabela 5.11 Coeficientes de transferência de calor constantes estimados pelo método
proposto, a partir dos dados do Experimento III .......................................106
Tabela 5.12 Erros percentuais médios entre a temperatura da superfície externa do
evaporador do Experimento III e a temperatura estimada.........................109
Tabela 5.13 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor do TCP do
Experimento III e os coeficientes de Kotthoff et al. (2004) ......................110
Tabela B.1 Especificações da aferição do transdutor de pressão.................................130
Tabela B.2 Parâmetros de aferição do transdutor de pressão.......................................130
Tabela B.3 Resultados da aferição do transdutor de pressão .......................................131
Tabela B.4 Correlação obtida na aferição do transdutor de pressão ............................131
Tabela B.5 Comparação entre os resultados fornecidos pela correlação obtida na
aferição do transdutor de pressão e os valores referenciais.......................132
Tabela B.6 Incerteza de medição do transdutor de pressão .........................................133
Tabela B.7 Incertezas dos instrumentos de medição utilizados durante os experimentos
realizados ...................................................................................................134
Tabela D.1 Raízes da Equação (5.12) aplicada ao problema-teste da Tabela 5.1 e ao
TCP do Experimento III ............................................................................143
Tabela E.1 Raízes da Equação (5.90) aplicada ao problema-teste da Tabela 5.1........144
xvi
Tabela F.1 Processo iterativo do algoritmo do método proposto, com Newton-Raphson
e Polak-Ribière ..........................................................................................146
xvii
Lista de Símbolos
Nomenclatura
A : área (m
2
)
CO
2
: dióxido de carbono
Cp : calor específico à pressão constante (kJ/kgK)
d : diâmetro (m)
f : fator de atrito
g : aceleração da gravidade (m/s
2
)
G : fluxo de massa por unidade de área (kg/sm
2
)
h
: entalpia, (kJ/kg), coeficiente de transferência de calor (W/m
2
K)
h
lv
: calor latente de vaporização (J/kg)
SL
H
: razão entre entalpia sensível e latente
I
: corrente (A)
k
: condutividade térmica (W/m.K)
L
: comprimento (m)
m
: massa (kg)
⋅
m
: fluxo de massa (kg/s)
N
: número de curvas
p
: pressão (N/m
2
)
P
: potência (W)
'
q
: taxa de transferência de calor (W)
"
q
: fluxo de calor (W/m
2
)
R
: constante do gás (J/kgK)
Re
: repetitividade
R
T
: resistência térmica
s
: desvio padrão
xviii
T
: temperatura (°C ou K)
t
: coeficiente de Student
u
: incerteza de medição
V
: volume (m
3
); tensão (V)
x
: título; posição (m)
Símbolos Gregos
υ
: velocidade (m/s)
β
: inclinação em relação ao eixo horizontal (graus ou radianos)
µ
: viscosidade dinâmica (Ns/m
2
)
ρ
: densidade (kg/m
3
)
σ
: tensão superficial (N/m)
τ
: tempo (s)
ϖ
: freqüência angular (rad/s)
ϖ
o
: freqüência de ressonância (rad/s)
Números Adimensionais
Bo
: número de Bond =
(
)
[
]
2/1
/
σρρ
vl
gd
−
Ja
: número de Jacob = ) /(
Tcph
lv
∆
Ka
: número de Karman =
) /() (Re
232
ef
Ldpf
µρ
∆=
Nu
: número de Nusselt = kdh /) (
Pr : número de Prandtl = kcp /) (
µ
Re : número de Reynolds =
µ
µ
υ
ρ
/) (/) ( dGd
=
xix
Subíndices
adb : seção adiabática
amb : ambiente
cond : condensador
crít : crítico
i : interno
e : externo
ef : efetivo
evap : evaporador
ext : externo
f : fluido
iso : isolamento
l : líquido
máx : máximo
mín : mínimo
o : saída
pol : poliuretano
v : vapor
sat : saturação
Abreviaturas
RE : razão de enchimento do fluido de trabalho (volume de líquido/volume interno total)
GC : gradientes conjugados
ODP : potencial de redução da camada de ozônio
NR : Newton-Raphson
TCP : tubo de calor pulsante
WGP : potencial de aquecimento global
xx
Resumo
A utilização de tubos de calor pulsantes (TCPs) como dispositivos de controle térmico
de equipamentos eletrônicos que operando acima da temperatura ambiente, tem sido objeto de
investigações teóricas e experimentais. Todavia, até o presente, ainda não foram realizados
estudos sobre o comportamento destes dispositivos em aplicações de baixas temperaturas.
Neste contexto, o presente estudo tem como principal objetivo a investigação teórico-
experimental do comportamento térmico de TCPs, em temperaturas típicas de refrigeração,
utilizando o dióxido de carbono (CO
2
) como fluido de trabalho.
Três experimentos foram realizados, sendo que no Experimento I o comportamento
térmico de um TCP em circuito fechado, com múltiplas curvas foi avaliado em termos da
variação da potência fornecida, da razão de enchimento do fluido de trabalho e do ângulo de
inclinação. O máximo fluxo de calor transferido foi de 75 W, no modo de operação direto
(condensador situado acima do evaporador), para razão de enchimento de 75% e ângulo de
inclinação de 45°.
No Experimento II o desempenho do TCP foi avaliado em relação aos mesmos parâmetros
do Experimento I, havendo porém um acréscimo significativo do número de curvas da
serpentina e também uma redução do diâmetro interno do tubo. Estas mudanças tiveram como
principal objetivo melhorar o desempenho do TCP de CO
2
nos modos de operação horizontal
e contra gravidade. Nesta configuração o máximo fluxo de calor transferido foi de 170 W,
também no modo de operação direto, para razão de enchimento de 50% e ângulo de inclinação
de 90°.
O Experimento III foi idealizado de modo a permitir a obtenção dos parâmetros
experimentais necessários para a estimativa do coeficiente de transferência de calor por
convecção no interior do evaporador do TCP, permitindo a realização de análises
xxi
comparativas entre o TCP e outros dispositivos de transferência de calor usados em
refrigeração. Para tanto, é proposta uma metodologia cujo desenvolvimento pressupõe a
formulação de um problema inverso de transferência de calor, cuja solução pode tornar-se
instável devido aos erros de medição inerentes às grandezas experimentais. Como solução do
problema inverso obtém-se inicialmente uma expressão analítica aproximada para o perfil de
temperaturas ao longo da espessura de parede do tubo, partindo da solução da equação da
difusão de calor. Esta expressão é posteriormente simplificada utilizando-se o conjunto de
parâmetros experimentais. Complementarmente, é realizada uma análise de sensibilidade com
o objetivo de avaliar a confiabilidade e a estabilidade das soluções obtidas a partir da
metodologia proposta, em relação à presença de erros de medição inerentes aos parâmetros
experimentais. Os erros máximos de estimativa do coeficiente de transferência foram menores
do que 12%.
Palavras-chave: tubo de calor pulsante, refrigeração, dióxido de carbono, coeficiente de
transferência de calor, transferência de calor inversa, método dos gradientes conjugados.
xxii
Abstract
The use of pulsating heat pipes (PHPs) as heat control devices, for electronic components
working above room temperature has been the subject of theoretical and experimental
investigations. However, so far, there are not studies on the behavior of these devices in
applications involving low temperatures. In this context, the main objective of this study is the
theoretical and experimental investigation of the thermal behavior of closed loop pulsating
heat pipes (CLPHPs), working at typical refrigeration temperatures, using carbon dioxide
(CO
2
) as the working fluid.
Three experiments were performed, being that in Experiment I the thermal behavior of a
multi-turn CLPHP was studied in relation to the variation of the supplied power, the filing
ratio of the working fluid and the inclination angle. The maximum heat flux achieved was 75
W, in down head operation mode (evaporator placed bellow the condenser), for filling ratio of
75% and inclination angle of 45°.
In Experiment II the performance of the CLPHP was investigated monitoring the same
parameters, however considering greater number of turns in relation to Experiment I, as well
as smaller tube inner diameter. These changes were made in order to achieve horizontal and
against-gravity operation modes. In this configuration the maximum heat flux achieved was
170 W, also in down head operation mode, for filling ratio of 50% and inclination angle of
90°.
Experiment III was designed to provide the experimental parameters required to estimate
the convection heat transfer coefficient inside the evaporator of a single loop pulsating heat
pipe (SLPHP), allowing the realization of comparative analysis between SLPHP and other
heat transfer devices used in refrigeration applications. For this reason it is proposed a
methodology whose development requires the confrontation of an ill-posed heat transfer
xxiii
problem whose solution may be unstable, due to measurement errors inherent to the
experimental data. An inverse method is used to solve the related ill-posed boundary value
problem, which is formulated in terms of integral equations. As solution of the inverse
problem, is obtained initially an approximate analytical expression for the temperature profile
along the tube wall thickness, starting from the heat diffusion equation. This expression is
further simplified using the experimental parameters. In addition, a sensibility analysis
respective to the uncertainty related to the heat flux as well as the tube outer wall temperature
and working fluid temperature is also carried out. The maximum estimation errors of the heat
transfer coefficient were less then 12%.
KEYWORDS: pulsating heat pipe, refrigeration, carbon dioxide, heat transfer coefficient,
inverse heat transfer, conjugate gradient method.
1
Capítulo 1
Introdução
Este capítulo introdutório apresenta as principais tecnologias empregadas para o
gerenciamento térmico, destacando as suas principais potencialidades e limitações. Ênfase
maior é atribuída aos tubos de calor pulsantes (TCPs), sendo estabelecidas relações ente o
desempenho térmico e a aplicabilidade destes dispositivos em relação às demais tecnologias
existentes. Em seguida, são apresentadas novas perspectivas de utilização dos TCPs e os
desafios relativos a estas novas aplicações.
1.1 Gerenciamento Térmico de Componentes Eletrônicos
Os recentes avanços no projeto e manufatura de componentes eletrônicos resultaram no
aumento significativo da densidade de fluxo de calor a ser dissipada, decorrente da
miniaturização e do aumento significativo dos níveis de potência associados. Paralelamente, a
complexidade das tecnologias usadas para o resfriamento de componentes eletrônicos tem
aumentado significativamente. Os desafios mais recentes incluem a dissipação de fluxos de
calor entre 10 e 40 W/cm
2
. A Figura 1.1 mostra a correspondência entre a densidade de
potência e a evolução das tecnologias usadas para o resfriamento de componentes eletrônicos,
ao longo das últimas décadas (Azar, 2000).
2
1999-
20005+
Densidade de potência e Tecnologia de resfriamento
1960-1970+1970-1992+1993-1999
Tempo
Alta potênc
ia
Baix
a potência
Materiais ava
nça
dos
Alta
velocidade
Baixa potência
Maio
r velocidade
Altíssima p
otên
cia
Tecnologia dealta capacidade
Tecnologia debaixa capacidade
(convecção natural)
Tecnologia dealta capacidade
(miniaturização)
Tecnologia debaixa capacidade(convecção forçada)
1999-
20005+
D
ensidad
e de pot
ência e T
ecnolog
ia de res
friament
o
1960-1970+1970-1992+1993-1999
Tempo
Alta potênc
ia
Baix
a potência
Materiais ava
nça
dos
Alta
velocidade
Baixa potência
Maio
r velocidade
Altíssima p
otên
cia
Tecnologia dealta capacidade
Tecnologia debaixa capacidade
(convecção natural)
Tecnologia dealta capacidade
(miniaturização)
Tecnologia debaixa capacidade(convecção forçada)
Figura 1.1 Tendências da dissipação térmica e das tecnologias de resfriamento de
componentes eletrônicos durante as últimas décadas.
Nos anos sessenta, o consumo/dissipação de potência dos primeiros equipamentos
eletrônicos foi relativamente elevado. Como a miniaturização não era considerada, grandes
espaços refrigerados eram usados para acomodar as tecnologias existentes. Entretanto, já na
década seguinte, limitações de velocidade de processamento dos computadores e também de
espaço físico disponível tornaram-se fatores decisivos. Estes por sua vez, forçaram avanços
nos projetos de circuitos eletrônicos e de materiais, reduzindo drasticamente as demandas de
potência. Apesar desta redução, novas tecnologias de resfriamento precisaram ser
desenvolvidas para atender as exigências de miniaturização de componentes e a conseqüente
diminuição do porte dos equipamentos (como por exemplo, a refrigeração por circulação
forçada de ar). Esta realidade foi substancialmente alterada na década de noventa, quando a
tecnologia bipolar (transistores bipolares) foi substituída pela tecnologia CMOS
(Complementary Metal-Oxide-Semiconductor), provocando um crescimento sem
prescedentes. Atualmente, não há nenhum indicativo de que este crescimento irá se estabilizar
num determinado patamar e as projeções apontam para níveis de fluxos de calor da ordem de
60 W/cm
2
, já na próxima década.
3
O controle térmico de um equipamento eletrônico requer que o calor gerado num
determinado chip seja removido por convecção natural e/ou forçada e por irradiação, de modo
a manter a sua temperatura em níveis aceitáveis. Estes mecanismos de transferência de calor
podem ser melhor entendidos a partir da análise de um corte transversal numa montagem
típica de chip e sumidouro de calor, sobre placa de circuito impresso, conforme mostrado na
Figura 1.2 (Karimi e Kulhan, 2004).
Figura 1.2 Corte transversal num conjunto de chip e sumidouro de calor e seu circuito térmico
simplificado equivalente.
A maior parte do calor gerado pelo chip difunde-se através do material térmico (condutor
térmico responsável pela junção chip-sumidouro de calor) e do sumidouro de calor, onde é
removido por uma combinação de radiação e convecção. O restante do calor gerado atravessa
os isoladores cerâmicos, o substrato e a placa de circuito impresso, sendo então dissipado para
o ambiente. Esta dissipação de calor pode ser dividida em dois níveis: o interno e o externo. O
nível interno é aquele relacionado com o calor transferido do chip para os materiais vizinhos e
o externo é relativo ao calor transferido do conjunto para o ambiente. Estes processos de
transferência de calor podem ser intensificados a partir da utilização de métodos de
resfriamento térmico, sendo os mais empregados sumarizados na Tabela 1.1 (Kakac, 1994;
Lin et al., 2002).
4
Tabela 1.1 Principais métodos de resfriamento de componentes eletrônicos.
Tecnologias monofásicas
Tecnologias bifásicas Tecnologias especiais
Convecção natural
Convecção forçada
Ebulição livre
Filme de líquido
Jato/borrifo de líquido
Ebulição em micro-canais
Dispositivos termoelétricos
Tubos de calor
Tubos de calor pulsantes
A convecção natural é o método mais antigo de resfriamento térmico, sendo o ar o fluido
mais usado como agente de resfriamento. Alternativamente, podem ser empregados outros
fluidos com propriedades térmicas mais adequadas (como por exemplo, os fluidos
dielétricos). A transferência de calor é intensificada pela movimentação do fluido, decorrente
das forças de empuxo termicamente induzidas. Este método, apesar de não necessitar de
trabalho externo para a movimentação do fluido, apresenta resistências térmicas elevadas.
Sendo assim, se um chip típico fosse mergulhado num líquido dielétrico, o máximo fluxo de
calor retirado por convecção natural seria da ordem de 1 W/cm
2
(para uma temperatura de 85
°C). Valores típicos do coeficiente de transferência de calor para o ar em convecção natural
situam-se entre 5 e 12 W/m
2
K, enquanto que para os líquidos dielétricos fluor-químicos esta
faixa altera-se para 200 a 500 W/m
2
K (Cengel, 1998).
O resfriamento por convecção forçada permite obter-se um acréscimo de 5 a 12 vezes do
coeficiente de transferência de calor, quando comparado aos valores relativos à convecção
natural (Moffat, 1998). Este método exige a aplicação de trabalho externo (bomba/ventilador),
implicando principalmente numa elevação de custos, aumento dos níveis de ruído e
diminuição de confiabilidade. O ar tem sido o fluido mais utilizado no resfriamento de
componentes eletrônicos por convecção forçada. No entanto, atualmente vários equipamentos
empregam líquido como agente refrigerante. Apesar de sua maior capacidade térmica, a
refrigeração com líquidos apresenta problemas adicionais, tais como: vazamento, corrosão,
peso adicional e condensação, entre outros. Os principais fluidos empregados no resfriamento
por convecção forçada são a água (refrigeração indireta) e os fluidos dielétricos (refrigeração
direta).
5
Dos métodos de resfriamento de componentes eletrônicos que utilizam mudança de fase, a
ebulição livre (pool boiling) é o mais simples. Essencialmente, os métodos bifásicos de
resfriamento destacam-se pelas elevadas taxas de transferência de calor alcançadas e pelo
superaquecimento de parede relativamente baixo. Os coeficientes de transferência de calor
obtidos são cerca de 10 a 100 vezes maiores do que os obtidos na convecção forçada sem
mudança de fase, para um mesmo fluido de resfriamento (Chu, 1999). Entretanto, este método
apresenta sérias restrições relativas ao espaço disponível nos circuitos/equipamentos
eletrônicos.
Menos convencional do que os anteriores, o método de resfriamento por filme de líquido
faz uso da gravidade para gerar um escoamento de fluido refrigerante sobre uma superfície
inclinada aquecida (por exemplo, um chip). A ebulição do fluido é induzida, de modo a obter-
se uma intensificação da transferência de calor. Apesar de apresentar maiores coeficientes de
transferência de calor do que a ebulição livre, esta técnica é muito pouco utilizada,
principalmente, devido à necessidade de sistemas auxiliares adicionais, limitações de espaço e
dificuldades de controle da ebulição (Grimley et al., 1998).
O método de resfriamento por jato de líquido utiliza jatos de líquido refrigerante que são
direcionados sobre uma superfície aquecida, resultando num modo extremamente eficaz de
dissipação de calor. Obtêm-se elevados fluxos de calor (até 70 W/cm
2
), em temperaturas
relativamente baixas. Ao atingirem as superfícies os jatos formam camadas limites
(hidrodinâmica e térmica) muito finas, resultando em coeficientes de transferência de calor
monofásicos da ordem de 10
4
W/m
2
K (Incropera, 1999). Entretanto, este método apresenta
uma série de inconvenientes, tais como: circuito de recirculação do fluido refrigerante,
sistema de controle da velocidade do jato, erosão da superfície resfriada e entupimento da
tubeira do jato. A erosão da superfície resfriada pode ser reduzida, ou mesmo evitada,
substituindo-se o jato por um borrifo de líquido refrigerante. Nesta variante, o fluido
refrigerante é aplicado à superfície sob a forma de um spray muito fino e com baixa
velocidade, resultando num processo contínuo de formação e evaporação de uma fina camada
de líquido. Excetuando-se a limitação relativa à corrosão, as demais restrições apresentadas na
técnica de resfriamento por jato de líquido mantêm-se neste método.
6
A refrigeração por ebulição em micro-canais é uma técnica baseada no bombeamento de
um fluido refrigerante através de um conjunto de micro-canais feitos na superfície aquecida.
À medida que se desloca no interior dos canais, o fluido refrigerante sofre um processo de
ebulição, gerando altíssimos fluxos de calor (da ordem de 100 W/cm
2
, ou mais; Bowers e
Mudawar, 1994). Apesar de empregar componentes adicionais, este método de resfriamento
pode ser empregado em situações onde exista restrição de espaço. Como exemplo cita-se o
micro-sistema desenvolvido por Lin et al. (2002): composto por um evaporador e um
condensador com micro-canais e uma micro-bomba, interligados em circuito fechado e
usando água como fluido refrigerante. Esta técnica faz parte de uma nova tendência
tecnológica, com ênfase na transferência de calor com ebulição (boiling heat transfer) em
micro-componentes.
A utilização de dispositivos termoelétricos para o resfriamento de componentes de
circuitos eletrônicos baseia-se no efeito Peltier, ou seja, no surgimento de um gradiente de
temperatura decorrente da passagem de corrente elétrica através de um condutor formado pela
junção de dois materiais com características termoelétricas diferentes. Este método permite a
implantação de um sistema de resfriamento compacto, silencioso, livre de partes móveis e de
fácil controle. Dentre as suas maiores desvantagens incluem-se a baixa capacidade de
dissipação de calor e o baixo desempenho térmico.
Os tubos de calor são dispositivos passivos de transferência de calor bifásica, capazes de
transferir grandes quantidades de calor a partir de pequenos gradientes de temperatura
(Gaugler, 1942). Sua configuração básica é formada por uma carcaça evacuada, dividida em
três seções (evaporador, seção adiabática e condensador) e que contém uma estrutura capilar e
um fluido de trabalho no seu interior. A Figura 1.3 mostra um tubo de calor em corte,
destacando a estrutura capilar, os escoamentos internos (líquido/vapor) e as suas principais
seções.
7
Figura 1.3 Vista em corte de um tubo de calor típico.
O processo de carregamento do tubo de calor se inicia com a evacuação da carcaça e
posterior adição do fluido de trabalho, em quantidade suficiente para saturar a estrutura
capilar. Numa condição de equilíbrio termodinâmico, a pressão interna é igual à pressão de
saturação associada à temperatura do tubo de calor. À medida que calor é adicionado ao
evaporador, este equilíbrio é perturbado, gerando vapor com pressão e temperatura
ligeiramente maiores do que os valores inicialmente existentes. Esta elevação de pressão gera
um escoamento de vapor no sentido do evaporador para o condensador, onde o fluido de
trabalho se condensa devido à rejeição de calor para o ambiente. O líquido resultante do
processo de condensação retorna para o evaporador, devido às forças capilares geradas pela
estrutura capilar. Este processo repete-se continuamente, gerando grandes fluxos de calor a
partir de pequenos gradientes de temperatura (da ordem de 2°C; Faghri, 1995).
Apesar de o primeiro tubo de calor com estrutura capilar ter sido inventado em 1963, foi
somente no início da década de 1990 que este dispositivo passou a ser usado em maior escala
pela indústria eletrônica. Atualmente, os tubos de calor são uma tecnologia consolidada e
amplamente utilizada como ferramenta de gerenciamento térmico em diversas aplicações
(notebooks, estações de trabalho, mainframes, fontes de potência e trocadores de calor).
Algumas das principais limitações apresentadas por estes dispositivos, incluem os limites
capilar, viscoso, sônico, de arraste (entrainment) e de ebulição.
O tubo de calor pulsante (TCP) é um dispositivo de transferência de calor relativamente
novo (surgiu em meados de 1990), que se enquadra na família dos dispositivos passivos de
8
transferência de calor bifásica. A estrutura básica de um TCP é caracterizada pelos seguintes
componentes:
•
Uma serpentina construída a partir de um tubo metálico com dimensões capilares,
carregado parcialmente com um determinado fluido de trabalho e sem a presença de
estrutura capilar interna. Esta serpentina pode ser configurada tanto em circuito aberto
quanto em circuito fechado (Figura 1.4a).
•
Um evaporador e um condensador (Figura 1.4b).
•
Uma seção adiabática (opcional), situada entre o evaporador e o condensador.
Figura 1.4 (a) Desenhos esquemáticos de tubos de calor pulsantes em circuitos aberto e
fechado. (b) Principais componentes de um tubo de calor pulsante.
1.2 Características Operacionais dos Tubos de Calor Pulsantes
Apesar de serem relativamente fáceis de construir, os TCPs apresentam características
operacionais termo-hidrodinâmicas bastante complexas. Com o objetivo de facilitar a
compreensão destas características, consideremos inicialmente uma situação onde um TCP de
CO
2
esteja completamente isotérmico. Nesta condição, as fases de líquido e de vapor
existentes no interior do tubo encontram-se em equilíbrio termodinâmico, na pressão de
saturação correspondente à temperatura do TCP. O estado termodinâmico de todos os
9
meniscos de líquido e de todas as bolhas de vapor, independentemente dos seus tamanhos e de
suas posições, são representados pelos pontos A e B do digrama pressão-entalpia da Figura
1.5. Suponha-se agora que a temperatura do TCP seja lentamente aumentada para um novo
valor fixo, forçando o sistema a estabelecer uma nova condição de equilíbrio. Este novo
equilíbrio ocorrerá numa pressão de saturação correspondente à nova temperatura do
dispositivo e as fases de vapor e de líquido passarão a ter os seus estados termodinâmicos
representados pelos pontos A’ e B’. Durante a transição para esta nova condição de equilíbrio,
ocorrerá a transferência de certa quantidade de massa do líquido para o vapor (evaporação).
Um processo similar ocorrerá se o sistema for lentamente resfriado até a condição de
equilíbrio representada pelos pontos A” e B”. Entretanto, em condições reais de operação, o
TCP não é isotérmico, visto que existem gradientes de temperatura tanto entre as seções do
evaporador e do condensador, quanto no interior destes componentes. Estes gradientes são
decorrentes principalmente da não uniformidade do processo de transferência de calor.
Consequentemente, são gerados desequilíbrios de pressão que induzem as forças responsáveis
pelo transporte do fluido e pela instabilidade do escoamento bifásico gerado.
Figura 1.5 Diagrama pressão-entalpia típico de um tubo de calor pulsante de CO
2
.
10
O processo de absorção de calor no evaporador induz um deslocamento ascendente do
ponto A, em relação à linha de líquido saturado do diagrama pressão-entalpia.
Simultaneamente, a rejeição de calor no condensador, induz um deslocamento descendente do
ponto B, em relação à linha de vapor saturado. Sendo assim, um estado auto-sustentado de
desequilíbrio termodinâmico se estabelece no interior do TCP.
1.3 Aplicações Envolvendo Baixas Temperaturas
O presente estudo tem como principal objetivo investigar experimentalmente o
comportamento térmico de TCPs, operando em temperaturas inferiores a 5 °C. Esta faixa de
temperatura é adequada para determinadas aplicações de refrigeração, onde o TCP pode ser
usado como um trocador de calor passivo de baixa resistência térmica e elevada capacidade
de dissipação de calor. Por exemplo, há a possibilidade de se empregar um TCP como
trocador de calor intermediário, conectando a extremidade fria do compressor a ciclo stirling
ao ambiente que se deseja refrigerar.
1.4 Transferência de Calor num Tubo de Calor Pulsante
Nos tubos de calor convencionais e nos termossifões bifásicos, os processos de
transferência de calor predominantes ocorrem sob a forma de calor latente. Tal situação
sugere que esta também seja a forma predominante nos tubos de calor pulsantes. Entretanto,
uma análise mais aprofundada precisa ser realizada antes de se confirmar esta hipótese. Como
um TCP é um dispositivo com volume interno fixo, se as suas temperaturas de operação
forem mantidas constantes, haverá um equilíbrio termodinâmico entre as fases líquido e vapor
saturados (exceto na presença de metaestabilidade). Assim, se uma determinada bolha de
vapor colapsa devido à rejeição de calor numa determinada posição do condensador,
liberando calor na forma latente, haverá a formação de uma bolha de vapor equivalente, numa
dada posição do evaporador, devido à absorção de calor. Conseqüentemente, quando o TCP
estiver operando numa condição de regime quase-permanente, a fração enchimento FE
(volume de líquido do fluido de trabalho/volume interno do TCP) permanecerá praticamente
constante ao longo do período de funcionamento do dispositivo. As Figuras 1.6 e 1.7 mostram
11
a variação do título do fluido de trabalho em relação à razão volumétrica de vapor (1-FE), de
um TCP carregado com a água e CO
2
, operando em temperaturas de evaporação distintas. O
título do fluido de trabalho, na temperatura de evaporação correspondente, é obtido a partir
das seguintes equações:
v
l
v
l
V
V
x
ρ
ρ
+
=
1
1
(1.1)
FE
FE
V
V
v
l
−
=
1
(1.2)
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,0000
0,0005
0,0010
0,0015
0,0020
0,0025
Título do Fluido de Trabalho
Razão Volumétrica de Vapor
Água a 100
o
C
Água a 25
o
C
Figura 1.6 Variação do título do fluido de trabalho de um TCP operando com água e
temperaturas de evaporação iguais a 25 °C e 100 °C.
Observa-se na Figura 1.6 que o título da água é extremamente baixo em toda a faixa de
razões volumétricas de vapor aplicáveis aos TCPs (20 a 80%), quando estes operam entre
temperaturas de evaporação e condensação maiores do que a temperatura ambiente.
Entretanto, de acordo com a Figura 1.7, pode ser observado que o título do fluido de trabalho
12
apresenta valores relativamente elevados na operação em baixas temperaturas. Estas
diferenças na ordem de grandeza do título do fluido de trabalho têm conseqüências diretas
sobre os mecanismos de transferência de calor associados aos TCPs.
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Título do Fluido de Trabalho
Razão Volumétrica de Vapor
Dióxido de carbono a 5
o
C
Dióxido de carbono a -20
o
C
Figura 1.7 Variação do título do fluido de trabalho de um TCP operando com CO
2
e
temperaturas de evaporação iguais a 5 °C e -20 °C.
Como o volume interno do dispositivo é fixo, se a razão de enchimento e as temperaturas
de evaporação e condensação forem consideradas constantes, o título do fluido de trabalho
também será constante durante a operação do TCP. Como não há trocas de calor na seção
adiabática, parte do condensador será utilizada para resfriar o fluido de trabalho da
temperatura de evaporação até a temperatura de condensação, e parte será responsável pela
sua condensação. Estes processos de resfriamento e condensação podem ser comparados a
partir das equações a seguir apresentadas.
condlcondm
condmevapm
SL
hh
hh
H
,,
,,
−
−
= (1.3)
13
onde
)(
,,,, evaplevapvevaplevapm
hhxhh −+= (1.4)
)(
,,,, condlcondvcondlcondm
hhxhh −+= (1.5)
sendo
SL
H a razão entre entalpia sensível e latente,
evapm
h
,
a entalpia da mistura de líquido e
vapor na temperatura de evaporação,
condm
h
,
a entalpia da mistura de líquido e vapor na
temperatura de condensação,
evapl
h
,
e
evapv
h
,
as entalpias do líquido e do vapor saturados na
temperatura de evaporação,
condl
h
,
e
condv
h
,
a entalpia do líquido e do vapor saturados na
temperatura de condensação.
A Tabela 1.2 apresenta valores calculados de
SL
H para um TCP carregado com água e
com dióxido de carbono (CO2), operando em faixas distintas de temperatura. De acordo com
a tabela, pode ser observado que a parcela sensível é predominante em operações acima da
temperatura ambiente. Entretanto, em aplicações envolvendo baixas temperaturas, as parcelas
sensível e latente praticamente se equivalem. Apesar de coerentes, estes resultados não são
conclusivos, uma vez que foram obtidos admitindo-se várias simplificações relativas aos
processos térmicos e hidrodinâmicos relativos à operação do TCP.
14
Tabela 1.2 Razão entre calor latente e sensível num tubo de calor pulsante.
Fluido
de
trabalho
Temperatura
de
evaporação
Temperatura
de
condensação
Razão
volumétrica
do vapor
Título na
entrada do
condensador
Razão entre
entalpia sensível e
latente (
SL
H
)
0,2 0,00016 826
0,3
0,00027
482
0,4
0,00042
310
0,5
0,00062
206
0,6
0,00093
138
0,7
0,00150
89
Água
100°C
25°C
0,8 0,00250 52
0,2 0,031 6,4
0,3
0,052
3,7
0,4
0,079
2,4
0,5
0,113
1,6
0,6
0,161
1,0
0,7
0,230
0,7
CO
2
5°C
-20°C
0,8 0,338 0,4
1.5 Fechamento do Capítulo
O crescente aumento das potências e densidades de fluxo de calor a serem dissipadas tem
gerado demandas por tecnologias capazes de atender os requisitos atuais de confiabilidade,
durabilidade e custo. Dentre as tecnologias existentes, os tubos de calor pulsantes apresentam-
se como uma possibilidade promissora tanto para o resfriamento de componentes eletrônicos
quanto para aplicações envolvendo temperaturas de operação abaixo da temperatura ambiente.
Neste contexto, será realizada no próximo capítulo deste estudo uma revisão bibliográfica
relativa aos tubos de calor pulsantes, buscando estabelecer o estado da arte destes
dispositivos, tanto no campo experimental quanto analítico/numérico.
15
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
Ainda que um tubo de calor pulsante (TCP) opere em regime bifásico, o entendimento do
seu comportamento pressupõe a compreensão do escoamento monofásico oscilatório. Sendo
assim, a revisão bibliográfica deste estudo iniciou pela leitura dos trabalhos de Siegel e
Perlmuter (1962), Kurzweg e Zhao (1984), Zhao e Cheng (1995) e Sert e Beskok (2003). Os
principais trabalhos relativos aos TCPs, destacando suas potencialidades e limitações, são
apresentados e discutidos, sendo divididos nos seguintes grupos: estudos experimentais,
estudos teóricos e estudos teórico-experimentais.
2.1 Estudos Experimentais
A descrição conceitual mais antiga de um tubo de calor pulsante encontra-se na patente de
Smyrnov e Savchencov (1975). Posteriormente, o conceito de escoamento bifásico oscilatório
termicamente auto-induzido foi patenteado por Akachi (1993). Como resultado desta
operacionalização, vinte e quatro diferentes configurações, denominadas tubo de calor em
circuito (loop heat pipe), foram patenteadas com o objetivo de superar algumas das
deficiências apresentadas pelos tubos de calor convencionais. As resistências térmicas destes
dispositivos situaram-se entre 0,082 a 0,233 K/W, para a água, e 0,077 a 0,189 K/W para o
R11, com potências fornecidas variando de 310 W a 920 W. Todas as configurações
propostas caracterizavam-se por apresentar, pelo menos, uma válvula direcional, impondo ao
escoamento um sentido preferencial, conforme mostrado na Figura 2.1.
16
Figura 2.1 Exemplos de alguns dos tubos de calor pulsantes de Akachi (1993).
Os tubos utilizados por Acachi (1993) apresentavam diâmetros internos definidos a partir
do número de Bond, dado pela Equação (2.1), que representa a razão entre as forças de corpo
gravitacional e a forças de tensão superficial que atuam no sistema composto por bolhas de
vapor e meniscos de líquido, existente no interior de um tubo capilar, conforme mostrado na
Figura 2.1. A Equação (2.1) é obtida considerando uma condição de equilíbrio entre as forças
de campo gravitacional e as forças de tensão superficial, de modo que as bolhas permaneçam
estáticas em relação à parede do tubo (Harmathy, 1960; White e Beardmore, 1962). À medida
que o diâmetro do tubo aumenta, as forças de tensão superficial são reduzidas, levando à
estratificação das fases líquido e vapor. Todavia, a partir de um determinado diâmetro
máximo (diâmetro crítico), o dispositivo não tem condições de operar no modo pulsante.
Assim, para que a condição de equilíbrio aconteça e o dispositivo opere como um TCP, o
número de Bond deve ser menor do que o seu valor crítico, definido a partir do diâmetro
crítico do tubo. Cabe salientar, que não há consenso na literatura quanto ao número de Bond
crítico para a determinação do diâmetro crítico, sendo que Akachi et al. (1996) assumem que
o Bond crítico é igual a 2 enquanto Shafii et al. (2001) assumem o valor 1,84.
(
)
σ
ρρ
ivl
dg
Bo
−
=
(2.1)
17
Figura 2.2 Distribuição fases líquido e vapor tubo num capilar.
A partir do caminho traçado pelas primeiras patentes, seguiu-se uma série de
investigações experimentais relativas aos TCPs. Resultados qualitativos com ênfase na
compreensão fenomenológica destes dispositivos são mais abundantes do que dados
quantitativos. Outro aspecto a ressaltar está relacionado à grande diversidade geométrica
proposta para os TCPs.
Maezawa et al. (1995) estudaram um tubo de calor pulsante em circuito aberto (open loop
pulsating heat pipe), formado por uma serpentina de cobre com vinte curvas, vinte e quatro
metros de comprimento, utilizando o R142b como fluido de trabalho. Foram analisados
principalmente os efeitos da razão de enchimento (volume de líquido/volume interno total) e
do ângulo de inclinação, além das flutuações de temperatura das paredes dos tubos na região
adiabática.
Kawara et al. (1996) utilizaram emissão de prótons para visualizar a distribuição das fases
do fluido de trabalho no interior de um tubo de calor pulsante em circuito aberto. Um feixe de
prótons de 20 mm de diâmetro incide na seção de testes, sendo posteriormente convertido em
luz visível numa tela fluorescente. O TCP foi construído com canais de geometria retangular
com seção de 0,6x9,7 mm
2
, montados sobre uma base plana de 190x50x1,3 mm
3
. A Figura
2.3 apresenta um extrato das radiografias obtidas a partir do feixe de prótons, nas quais o
líquido aparece com cor mais escura.
Os trabalhos de Akachi et al. (1996) e Akachi e Polášek (1997) serviram de base para que
a empresa japonesa TS-Heatronic Co. Ltda. desenvolvesse uma série de TCPs, dentre os quais
se destacam principalmente aqueles denominados de Heatlane
TM
e aleta Kenzan (Figura 2.4).
18
Uma versão atual de sumidouro de calor Heatlane
TM
, usada para o resfriamento de
semicondutores, com (200x130x170) mm e 1,1 kg, apresenta as características de
desempenho especificadas na Tabela 2.1.
Figura 2.3 Esquema e radiografias do TCP de Kawara et al. (1996).
Tabela 2.1 Desempenho típico do sumidouro de calor Heatlane
TM
DLC.
Fluido de
trabalho
Velocidade
do ar
Resistência
térmica
Diferença de
temperatura
Queda de
pressão
estática
Máxima
potência
dissipada
1,5 m/
s
0,079
°
C/W
39,5
°
C
18 Pa
1170 W
2,0 m/s
0,077
°
C/W
38,5
°
C
24 Pa
1829 W
3,0 m/s
0,065
°
C/W
32,5
°
C
47 Pa
2150 W
Butano
4,0 m/s
0,063
°C/W 31,5 °C
67 Pa 2220 W
19
Figura 2.4 (a) Aleta Kenzan típica e dados relativos ao seu desempenho. (b) Sumidouro de
calor Heatline
TM
produzido pela TS Heatronics Co. Ltda.
Maezawa et al. (1997) testaram tubos de calor pulsantes em circuito aberto, feitos a partir
de tubos de cobre com 52,5 m de comprimento, 40 curvas e diâmetros internos de 2 mm e 1
mm. Utilizaram como fluido de trabalho o R142b, com uma razão de enchimento igual a
50%. Os melhores resultados observados foram obtidos para o modo de operação vertical,
com fornecimento de calor na parte inferior do TCP. O desempenho foi apenas satisfatório no
modo de operação com fornecimento de calor na parte superior do TCP.
Hosoda et al. (1999) fabricaram um tubo de calor pulsante em circuito fechado,
denominado MCL-HTD (meandering closed-loop heat-transport device), com o objetivo de
investigar experimentalmente e analiticamente a capacidade de transporte de calor e os
padrões de escoamento existentes. Os tubos foram fabricados em vidro transparente, com 10
curvas, diâmetro interno de 2,4 mm e externo de 4 mm. Para favorecer a visualização do
escoamento utilizou-se água misturada com uma pequena quantidade de tinta preta como
fluido de trabalho. Os resultados mostraram que a condutividade térmica equivalente do
MCL-HTD de vidro foi relativamente maior do que a de um dispositivo equivalente de cobre.
20
Entretanto, deve-se considerar o fato de que as medições do calor transferido pelo TCP foram
realizadas com precisão relativamente baixa, prejudicando significativamente os resultados
obtidos.
Tong et al. (2001) realizaram um estudo de visualização num tubo de calor pulsante em
circuito fechado, sem seção adiabática, fabricado em tubo de vidro com diâmetro interno de
1,8 mm, com 10 curvas no evaporador e 400 mm de comprimento total. Água foi usada como
fluido de trabalho, com razão de enchimento igual a 60%. Para fazer as imagens do
escoamento do fluido de trabalho foi usado um dispositivo do tipo CCD (charge coupled
device), conforme mostrado na Figura 2.5. Foram analisados os efeitos da potência fornecida
e do ângulo de inclinação sobre os padrões de escoamento e sobre o desempenho térmico do
TCP. Observou-se predominância do padrão de escoamento do tipo “slug flow” durante todos
os testes realizados.
Figura 2.5 (a) Montagem para visualização do escoamento do fluido de trabalho no
experimento de Tong et al. (2001). (b) Esquema do TCP.
Khandekar et al. (2003) analisaram experimentalmente o funcionamento de um tubo de
calor pulsante em circuito fechado com o objetivo principal de obter um melhor entendimento
dos seus limites de operação. O TCP foi feito em tubo de cobre com 2 mm de diâmetro
interno, 3 mm de diâmetro externo e 5 curvas no evaporador, conforme esquema mostrado na
Figura 2.6. Três diferentes fluidos de trabalho foram utilizados: água, etanol e R123. O TCP
foi testado na posição vertical (evaporador localizado na parte inferior) e na posição
21
horizontal, com a temperatura do evaporador variando entre 25 e 100 °C. Observou-se que o
TCP apresentou seu melhor desempenho, em termos do máximo calor transferido, quando a
razão de enchimento situou-se entre 25 e 65%, independentemente do tipo de fluido de
trabalho utilizado. Para frações de enchimento abaixo do limite inferior desta faixa, houve
secagem (dry-out) parcial do evaporador em determinados testes.
Figura 2.6 Esquema do experimento de Khandekar et al. (2003).
Charoensawan et al. (2003) apresentaram resultados da análise experimental de um tubo
de calor pulsante feito em cobre, com diâmetro interno de 1,0 mm e externo de 2,0 mm. Três
diferentes fluidos de trabalho foram utilizados: água, etanol e R123. Em todos os
experimentos foram mantidas fixas a razão de enchimento (60%), a temperatura de
condensação (20 °C) e a temperatura de evaporação (80 °C). Foram analisados os efeitos do
diâmetro interno, número de curvas e ângulo de inclinação. Os resultados indicaram uma forte
influência da gravidade e do número de curvas sobre o desempenho térmico do TCP.
Khandekar
et al. (2003) complementaram o trabalho de Charoensawan et al. (2003), a
partir de resultados de visualização do escoamento, obtidos com o aparato experimental
22
mostrado na Figura 2.7. A necessidade desta análise complementar surgiu em decorrência da
busca pela confirmação da hipótese de que a performance do TCP (como por exemplo, em
termos da sua resistência térmica global) é dependente dos padrões de escoamento existentes
no interior dos tubos.
Os estudos de visualização permitiram confirmar que o desempenho do TCP pode tornar-
se menos dependente da sua inclinação em relação à horizontal, desde que um número de
curvas crítico (N
crít
) seja atingido. Por definição, o número de curvas crítico é aquele que
permite a operação adequada do TCP contra a gravidade (evaporador localizado abaixo do
condensador). Os resultados também mostraram que o máximo calor transportado nas
diferentes regiões do TCP é fortemente dependente dos padrões de escoamento, conforme
mostrado na Figura 2.8. Concluiu-se, por conjectura e pela visualização experimental, que
instabilidades são inerentes à operação dos TCPs e também que condições de não-equilíbrio
metaestável ocorrerão no interior dos tubos.
Figura 2.7 Aparato experimental utilizado por Khandekar et al. (2003).
23
Figura 2.8 Influência dos padrões de escoamento sobre o máximo fluxo de calor alcançado no
TCP estudado por Khandekar et al. (2003).
Khandekar et al. (2006) traçaram uma genealogia para os sistemas passivos bifásicos de
transferência de calor, situando os TCPs na família dos tubos de calor, que inclui, entre
outros, os tubos de calor convencionais e os termossifões. São também apresentadas as
equações fundamentais associadas a estes dispositivos e as principais dificuldades
encontradas nas suas soluções. Em seguida são apresentados os resultados experimentais
obtidos para um TCP em circuito aberto, feito em tubo de cobre com 2 mm de diâmetro
interno, 3 mm de diâmetro externo e vinte curvas, conforme fotografias e esquema da bancada
experimental, mostrados na Figura 2.9. Os fluidos de trabalho utilizados foram água e etanol.
O máximo fluxo de calor obtido foi de 12 W/cm
2
, correspondendo a uma potência máxima de
aproximadamente 400 W.
Os resultados obtidos levaram às seguintes conclusões:
•
O TCP poderá operar em qualquer orientação, desde que haja uma condição simultânea de
elevado número de curvas e alto fluxo de calor.
•
Em geral, a partida do TCP (start-up) por incremento de potência somente será possível a
partir de um fluxo de calor mínimo. Esta mínima potência é muito menor no modo de
operação vertical do que no horizontal. Além deste valor mínimo, o TCP mantém-se
continuamente ativo à medida que a potência fornecida é incrementada.
24
•
A resistência térmica global do TCP decresce continuamente com o aumento do fluxo de
calor, até que a transferência de calor atinja o limite imposto pelo coeficiente de
transferência de calor do fluido de condensação.
•
O TCP não opera adequadamente para frações de enchimento inferiores a 20% ou
superiores a 80%. Além disto, existe uma razão de enchimento ótima situada entre estes
dois limites. Por outro lado, observou-se também que o TCP apresenta moderada
sensibilidade à variação da razão de enchimento, quando ele opera dentro desses limites.
Esta sensibilidade diminui ainda mais, à medida que a potência fornecida é aumentada.
Figura 2.9 Fotografias e esquema do experimento de Khandekar et al. (2003).
Resultados adicionais são apresentados tendo como base uma analogia com aletas (Tabela
2.2), sendo o desempenho térmico do TCP comparado (no modo de operação vertical, com
aquecimento na parte inferior) com o desempenho de três outros dispositivos: uma aleta
maciça de cobre, um mini-tubo de calor convencional e uma aleta maciça de material
supercondutor (condutividade térmica infinita). De acordo com os resultados, observa-se que
25
o TCP apresenta uma vantagem considerável quando comparado a uma aleta de cobre
equivalente, tanto em termos de desempenho térmico quanto de peso. Entretanto, o seu
desempenho é ligeiramente menor do que o desempenho do mini-tubo de calor. Esta pequena
desvantagem pode ser compensada pela maior simplicidade de fabricação do TCP.
Tabela 2.2 Comparação entre o TCP de Khandekar et al. (2006) e outros dispositivos passivos
usados para transferir calor.
T
bloco
T
base
T
ar
Calor transferido
*
(°
°°
°C) (°
°°
°C) (°
°°
°C)
Aleta de cobre
(380 W/mK)
TCP
(4500 W/mk)
Mini-tubo de calor
(12.344 W/mK)
Aleta supercondutora
(∞
∞∞
∞ W/mK)
160 140 24 206 W 400 W 431 W 451 W
126 111 24 154 W 300 W 323 W 338 W
92 82 24 103 W 200 W 215 W 225 W
Peso 62,9 g 36,1 g (FE 50%, etanol) 33,7 g -----
* N=40 aletas (20 curvas do TCP), L=125 mm (altura da aleta), h
ar
=82 W/m
2
K
d=3 mm (diâmetro da aleta de cobre e supercondutora)
d
int
=2 mm e d
ext
=3 mm para o TCP e d
int
=3 mm e d
ext
=2,5 mm para o mini-tubo de calor
Khandekar et al. (2009) estudaram o tubo de calor pulsante em circuito fechado, mostrado
na Figura 2.10, numa perspectiva de analisar os regimes de operação e os padrões de
escoamento existentes. O etanol foi utilizado como fluido de trabalho e a razão de enchimento
foi mantida em 60%. A temperatura do evaporador variou entre 20 e 80
o
C
(aproximadamente), para uma potência fornecida de 20 W. Foram utilizados tubos de vidro
com dimensões capilares (diâmetro interno de 2 mm e externo de 3 mm) na seção adiabática,
para permitir a visualização do escoamento. Um transdutor de pressão absoluta foi conectado
ao evaporador de modo a obter a pressão no seu interior. Os resultados mais significativos
dizem respeito à constatação da existência de múltiplos regimes periódicos de operação quase
estáticos, com múltiplas freqüências de oscilação (comportamento randômico), conforme
pode ser observado na Figura 2.11.
26
Figura 2.10 Esquema da seção de testes utilizada por Khandekar et al. (2009).
Figura 2.11 Variação da pressão interna e espectro de frequências do experimento realizado
por Khandekar
et al. (2009).
27
2.2 Estudos Teóricos
Os estudos teóricos com ênfase na modelagem matemática dos TCPs têm-se caracterizado
principalmente por apresentarem uma série de simplificações metodológicas e/ou
fenomenológicas. Conseqüentemente, os modelos atualmente existentes caracterizam-se
principalmente por:
•
Comparar o funcionamento do TCP a ação de um sistema massa-mola-amortecedor,
composto por um único elemento ou por múltiplos elementos.
•
Aplicar as equações de conservação da massa, momento e energia a um determinado
volume de controle do TCP.
•
Utilizar a teoria do caos.
•
Ajustar correlações semi-empíricas, baseadas em grupos adimensionais.
•
Empregar o conceito de redes neurais artificiais.
Neste contexto, Wong et al. (1999) apresentaram um modelo aproximado de um TCP em
circuito aberto, baseado apenas na cinemática de um sistema plugues de líquido-bolhas de
vapor e sem nenhuma consideração relativa à transferência de calor, de acordo com a Figura
2.12. Foram analisados os efeitos da imposição de um pulso de pressão ao sistema, a partir de
uma análise paramétrica relativa aos plugues de líquido e a razão de enchimento. Apesar deste
modelo fornecer algumas informações adicionais relativas ao funcionamento do TCP, as suas
excessivas simplificações não podem ser ignoradas, do modo que torna-se difícil aplicá-lo em
situações práticas de engenharia.
Figura 2.12 Esquema do modelo massa-mola-amortecedor de Wong
et al. (1999).
28
Zuo e North (2000) modelaram um TCP comparando a sua pulsação à ação de um
mecanismo massa-mola-amortecedor de único elemento. Tal efeito foi representado por uma
equação diferencial homogênea de segunda ordem, com a constante da mola dependente do
tempo. Devido as suas simplificações extremas, este modelo apresenta muito pouca
aplicabilidade.
Shafii et al. (2001) desenvolveram modelos analíticos para TCPs em circuitos fechado e
aberto. Tais modelos consideram a existência de múltiplos plugues de líquido e bolhas de
vapor no interior do TCP (Figura 2.13). Os comportamentos térmico e dinâmico destes
elementos são obtidos a partir da solução das equações de conservação, empregando o método
das diferenças finitas e desconsiderando a existências das curvas do TCP. São avaliados os
efeitos da gravidade, diâmetro interno, razão de enchimento e temperatura da parede interna
do tubo, sobre o desempenho térmico (transferência de calor) do TCP. Apesar da sua maior
complexidade metodológica e da relativa coerência de parte dos resultados, quando
comparados a dados experimentais, esse modelo não permite avaliar fenômenos tais como:
formação, colapso e aglomeração de bolhas, padrões de escoamento, movimentos oscilatório-
caóticos, entre outros.
Figura 2.13 Esquema e discretização dos TCPs modelados por Shaffi et al. (2001).
29
Zhang e Faghri (2002) modelaram analiticamente a transferência de calor nas seções do
evaporador e do condensador de um TCP em circuito aberto, com base em processos de
evaporação e condensação em película (Figura 2.14). As soluções obtidas para a transferência
de calor serviram de base para a obtenção do desempenho térmico global do TCP. As
limitações encontradas são similares àquelas existentes no modelo de Shaffi et al. (2001).
Figura 2.14. Esquema da evaporação e condensação em película do modelo de Zhang e Faghri
(2002).
Maezawa et al. (2000) realizaram estudos que identificaram a existência de caos em
algumas condições de operação de um TCP. Foi estabelecida uma série tempo-temperatura
para a parede interna do tubo, na região adiabática do TCP, permitindo o mapeamento
bidimensional de um atrator caótico (strange attractor). Simultaneamente, foi elaborado um
modelo teórico global de um TCP em circuito fechado. Com base nos resultados fornecidos
pelo modelo, concluiu-se que o escoamento do fluido de trabalho é governado pela dinâmica
caótica estabelecida pela potência fornecida ao TCP. Apesar destes estudos terem
acrescentado uma nova perspectiva de análise dos TCPs, os resultados gerados não
contribuem significativamente com o projeto destes dispositivos.
Ma et al. (2006) desenvolveram um modelo matemático para prever o movimento
oscilatório do fluido de trabalho no interior de um mini-tubo de calor pulsante, admitindo que
o movimento do fluido de trabalho no interior do dispositivo é governado por uma equação
similar a equação governante do movimento mecânico vibratório com amortecimento, de
acordo com a seguinte expressão:
)] cos(1[
2
2
τω
τ
τ
+=++
m
B
x
m
k
d
dx
m
c
d
xd
(2.3)
30
onde
) (
Vvll
LLAm
ρρ
+= (2.4)
+
=
22
2
)Re(
2
)Re(
h
vv
vv
h
ll
ll
D
L
f
D
L
fAc
µµ
(2.5)
v
l
L
TRA
k
ρ
= (2.6)
∆−∆
=
−−
2
)()(
,
mín
condevap
satmáx
condevap
sat
evapsat
llv
TT
T
hA
B
ρ
(2.7)
A Equação (2.3) é uma equação diferencial não-homogênea, de segunda ordem, cuja
solução, submetida às condições de contorno do problema, tem a seguinte forma:
)()( Ψ+Φ=
m
B
x
τ
(2.8)
(
)
1 2
1) ( 1
22
22
−
−−−
=Φ
−
ξωξ
τωξτωξ
τϖξ
senhesen
(2.9)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
11
ω
ξ
τϖξξ
τωξ
τωξ
−
−
+−−
=Ψ
−
senh
coshe
(2.10)
31
onde
0
2
ω
ξ
m
c
= (2.11)
m
k
=
0
ω
(2.12)
Durante a solução da Equação (2.3) foi considerado que a frequência natural de oscilação
da coluna do fluido de trabalho é igual à frequência de variação da diferença de temperatura
entre o evaporador e do condensador do mini-tubo de calor pulsante. Tal consideração teve
como base o entendimento de que as variações de temperatura dependem das variações da
pressão interna, resultantes do movimento oscilatório do sistema e, consequentemente, de que
a frequência de variação de temperatura depende da frequência natural do sistema.
Os autores concluíram que os resultados obtidos a partir do modelo proposto apresentam
relativa coerência com resultados teóricos disponíveis na literatura. Entretanto, deve-se
considerar o fato de que tanto a obtenção quanto a resolução da equação diferencial proposta
requer uma série de simplificações, restringindo a sua aplicabilidade.
2.3 Estudos Teórico-Experimentais
Swanepoel et al. (2000) aplicaram as equações de conservação a um TCP em circuito
aberto formado por um plugue de líquido, cercado por bolhas de vapor envoltas por um filme
fino de líquido. Um aparato experimental (Figura 2.15) foi montado com o objetivo de validar
os resultados teóricos. Observou-se que os resultados teóricos eram discordantes dos
experimentais e não houve nenhum indicativo quanto à possibilidade de aplicar este modelo a
um sistema com múltiplos conjuntos de plugues e bolhas.
32
Figura 2.15 Esquema do aparato experimental de Swanepoel et al. (2000).
Dobson e Graf (2003) propuseram a definição de um coeficiente de transferência de calor
médio para um tubo de calor pulsante em circuito fechado, formado por um tubo de alumínio
dobrado em forma de uma serpentina com as seguintes dimensões: 1243,8 mm de
comprimento, 1,9 mm de diâmetro interno e 3,28 mm de diâmetro externo. Dois blocos de
alumínio foram utilizados para acomodar o evaporador e o condensador. O primeiro foi
aquecido eletricamente e o segundo foi resfriado por um circuito de água. Amônia foi
utilizada como fluido de trabalho e as temperaturas de operação variaram entre 20 °C e 80 °C,
para fluxos de calor situados entre 20 W e 250 W. O TCP foi modelado globalmente com
base no conceito de resistências térmicas, considerando-se
TCPcondevap
hhh == , de acordo com
a equação abaixo.
−
−
=
condievapicondevap
TCP
TCP
AATT
q
h
,,
'
11
)(
(2.13)
33
Uma análise de regressão multilinear foi utilizada para a obtenção de uma correlação para
o coeficiente de transferência de calor, cuja forma é a seguir apresentada.
]/[ 23,5
2586,00,132025,0'
KmWFETqh
TCPTCPTCP
−
=
β
(2.14)
onde
2
condevap
TCP
TT
T
+
= (2.15)
e
β
é o ângulo de inclinação em relação à horizontal.
RE é a razão de enchimento (volume de líquido/volume interno do TCP).
A Figura 2.16 ilustra resultados comparativos entre o coeficiente de transferência de calor
calculado pela Equação (2.14) e o obtido experimentalmente.
Figura 2.16 Comparação entre o coeficiente de transferência de calor calculado pela Equação
(2.14) e o coeficiente experimental de Dobson e Graf (2003).
34
Khandekar et al. (2003) elaboram um modelo semi-empírico para TCPs em circuito
fechado, com base em grupos adimensionais que correlacionam os seguintes parâmetros:
propriedades termofísicas do fluido de trabalho, diâmetro interno do tubo (d
i
), ângulo de
inclinação (
β
), número de curvas (N), comprimento do evaporador (L
evap
) e razão de
enchimento (fixada em 50%).
Foram correlacionados os dados publicados por Charoensawan et al. (2003), resultando
na correlação dimensional dada pela Equação 2.16, a qual permite calcular o máximo fluxo de
calor transferido pelo TCP, quando é imposta uma determinada diferença de temperatura entre
o evaporador e o condensador (
condevap
sat
T
−
∆ ).
]/[ Pr ])([ 54,0
2
243,127,047,048,027,0
'
"
cmWJaKaeN
LNd
q
q
l
evapi
β
π
−
== (2.16)
onde
efl
lli
l
L
pd
fKa
Re
2
2
µ
ρ
∆
== , sendo
adb
condevap
ef
L
LL
L +
+
=
2
(2.17)
l
ll
l
k
Cp
µ
Pr =
(2.18)
( )
condevap
sat
l
lv
TCp
h
Ja
−
∆
=
(2.19)
A Equação (2.16) foi obtida pelo método dos mínimos quadrados acoplado ao método da
eliminação de Gauss, resultando num desvio médio de 30% entre os valores calculados e os
experimentais. Sua validade é restrita a situações onde o número de Bond esteja próximo ao
valor crítico (igual a 2) e para uma razão de enchimento do fluido de trabalho (água, etanol e
R123) igual a 50%.
Khandekar (2004) complementou os estudos de Khandekar
et al.
(2003), modelando um
TCP em circuito aberto utilizando o conceito de redes neurais artificiais. Os resultados
35
obtidos apresentam razoável precisão, conforme mostrado na Figura 2.17. Entretanto, a
modelação por rede neural exige um extenso banco de dados experimentais para que possam
ser obtidos resultados globais confiáveis.
Figura 2.17 Comparação entre os resultados experimentais e teóricos do modelo de redes
neurais de Khandekar (2004).
2.4 Fechamento do Capítulo
De acordo com o estado da arte atual, que os TCPs tem sido amplamente estudado numa
perspectiva de utilização para o controle térmico de equipamentos e componentes eletrônicos,
em situações onde as temperaturas de operação encontram-se acima da temperatura ambiente.
Os estudos experimentais são predominantes, enfatizando a determinação dos limites de
operação em termos da razão de enchimento, do ângulo de inclinação e do fluxo de calor
transferido. Os estudos analíticos são escassos, imprecisos e pouco contribuem para o projeto
e otimização dos TCPs. Isto se deve principalmente às extremas simplificações decorrentes
das complexas características thermo-hidrodinâmicas associadas ao funcionamento destes
dispositivos. Até o presente, não foram encontrados na literatura estudos relativos à operação
dos TCPs em aplicações envolvendo temperaturas de operação abaixo da temperatura
ambiente.
36
Capítulo 3
Descrição dos Experimentos
Este capítulo apresenta a descrição da metodologia experimental e dos principais
dispositivos usados nos experimentos realizados. Três experimentos foram planejados com o
propósito de permitir a análise do comportamento térmico dos TCPs de CO
2
em aplicações
típicas de refrigeração e a obtenção do conjunto de parâmetros experimentais necessários para
estimar o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do evaporador.
Deve-se ressaltar que o conhecimento do coeficiente de convecção é de fundamental
importância para a realização de análises comparativas entre o TCP e outros dispositivos de
transferência de calor usados em refrigeração.
3.1 Dispositivos Periféricos
Os experimentos foram realizados com o auxílio dos equipamentos periféricos de suporte
descritos na Tabela 3.1. As incertezas individuais e combinadas de todos os dispositivos
utilizados (equipamentos, instrumentos e sensores) são detalhadamente apresentadas no
Apêndice B.
Tabela 3.1 Lista de equipamentos usados nos experimentos realizados.
Equipamento Fabricante
Modelo Experimento
Agilent 34970A I e II
Sistema de aquisição de dados
National
Magazine SCXI-1000 com
cassetes SCXI-1302 e 1328
III
Fonte de potência (CC) Heinzinger PTN 125-10 I, II e III
Fonte de tensão (CC) ICEL PS/7000 III
Banho termostático Lauda RK 8 KP I, II e III
37
3.2 Seleção do Fluido de Trabalho
O dióxido de carbono (CO
2
) foi escolhido como fluido de trabalho por apresentar
propriedades termofísicas adequadas para aplicações em baixa temperatura (Apêndice A) e
também pelo fato de ele ser um fluido quimicamente neutro. A Tabela 3.2 (Kim
et al.
, 2004)
apresenta comparações entre algumas das principais características dos fluidos mais usados
em refrigeração. O potencial de redução da camada de ozônio (
Ozone Depletion Potencial
–
ODP) é definido como sendo a razão entre o impacto causado à camada de ozônio pelo
refrigerante e o impacto causado pela massa equivalente de R-11. O potencial de aquecimento
global (
Global Warming Potencial
– GWP) é a razão entre o aquecimento da atmosfera
terrestre causado pelo refrigerante e o impacto causado pela massa equivalente de CO
2
(R-
744).
Tabela 3.2 Comparações entre alguns dos fluidos mais usados em refrigeração.
R-12 R-22 R-134a R-407C R-410A R-717 R-290 R-744
ODP/GWP 1/8.500 0,05/1.700 0/1.300 0/1.600 0/1.900 0/0 0/3 0/1
Flamabilidade/toxidade Não/Não Não/Não Não/Não Não/Não Não/Não Sim,/Sim Sim/Não Não/Não
Massa molecular (kg/kmol) 120,9 86,5 102 86,2 72,6 17 44,1 44
Pressão crítica (MPa) 4,11 4,97 4,07 4,64 4,79 11,42 4,25 7,38
Temperatura crítica (°C)
112 96 101,1 86,1 70,2 133 96,7 31,1
Pressão reduzida
a
0,07 0,1 0,07 0,11 0,16 0,04 0,11 0,47
Temperatura reduzida
b
0,71 0,74 0,73 0,76 0,79 0,67 0,74 0,90
Capacidade de refrigeração
c
(kJ/m
3
) 2.734 4.356 2.868 4.029 6.763 4.382 3.907 22.545
Data de início do uso comercial 1931 1936 1990 1998 1998 1859 ? 1869
Número de Bond
d
a -20 °C
1,26 1,19 1,21 1,22 1,24 0,59 0,83 1,39
Número de Bond
d
a 5 °C
1,139 1,33 1,36 1,38 1,44 0,64 0,93 1,88
Legenda:
R-12: diclorodifluormetano; R-22: clorodifluormetano; R-134a: tetrafluoretano; R-407C: mistura ternária de
difluormetano/pentafluoretano/tatrafluoretano (23/25/52%); R-410A: mistura binária de difluormetano/pentafluoretano (50/50%); R-717:
amônia (NH
3
); R-290: propano; R-744: dióxido de carbono (CO
2
).
a
Razão entre a pressão de saturação (a 0 °C) e a pressão crítica
b
Razão entre a temperatura de 0 °C e a temperatura crítica
c
Capacidade volumétrica de refrigeração à temperatura de 0 °C
d
Número de Bond Calculado para um diâmetro interno de 1,27 mm
38
De acordo com a tabela anterior, observa-se que a capacidade volumétrica de refrigeração
do CO
2
(a 0
°
C) é cerca de 3 a 10 vezes maior do que a capacidade volumétrica de
refrigeração dos demais refrigerantes. Sendo assim, os sistemas que empregam o dióxido de
carbono como fluido refrigerante têm como vantagem adicional a possibilidade de redução
das suas dimensões (volume). Além disto, as propriedades de transporte (viscosidade e
condutividade térmica) do CO
2
são mais favoráveis do que as dos demais refrigerantes (Kim
et al.
, 2004). Elevadas condutividades térmicas são essenciais para a intensificação dos
coeficientes de transferência de calor, tanto no escoamento monofásico quanto no bifásico. A
viscosidade, particularmente a da fase líquida, e também a razão entre a viscosidade do
líquido e do vapor, são parâmetros importantes para a definição dos padrões de escoamento,
coeficientes de transferência de calor convectivos e perdas de carga. Comparativamente, a
condutividade térmica do CO
2
na forma de líquido ou de vapor saturados é cerca de 30 a 60%
maior do que a condutividade térmica do R-134a. Enquanto, a viscosidade do CO
2
líquido é
apenas 40% da viscosidade do R134a líquido e praticamente igual para a fase vapor. Apesar
de o número de Bond obtido com o CO
2
ser maior do que o obtido para os demais fluidos da
Tabela 3.2, deve-se salientar que ele se manteve abaixo do seu valor crítico (igual a 2).
3.3 Procedimentos de Carga
O carregamento do fluido de trabalho foi realizado utilizando-se um recipiente de carga,
devido principalmente às dificuldades de se realizar a pesagem da massa de fluido com a
precisão necessária (décimos de gramas). Neste processo, o recipiente de carga é inicialmente
submetido a um vácuo da ordem de 10
-9
mbar e em seguida é inundado com CO
2
proveniente
de um cilindro. A carga correspondente à razão de enchimento (FE) desejada é ajustada pela
liberação do excedente de massa de fluido contida no volume de carga. Posteriormente,
conecta-se o volume de carga à válvula do TCP (Swagelok B-2JN), previamente evacuado,
iniciando o processo de carregamento. A massa contida no interior do volume de carga é
então transferida para o TCP, por resfriamento e gravidade, com incerteza de ±2%.
39
3.4 Descrição do Experimento I
Este experimento foi planejado com o objetivo de verificar a influência da razão de
enchimento (FE), do ângulo de inclinação (
β
) e da potência fornecida, sobre o desempenho
térmico do TCP de CO
2
. Para tanto, foi montado o aparato experimental da Figura 3.1, cuja
seção de testes é mostrada esquematicamente na Figura 3.2. As dimensões da seção de testes
foram definidas com base nas dimensões do compressor Stirling de pistão livre estudado por
Heidrich
et al.
(2005), mostrado esquematicamente na Figura 3.3. Os trocadores de calor frio
e quente da máquina Stirling estudada apresentam as dimensões e características de operação
especificadas na Tabela 3.3.
Figura 3.3 Desenho esquemático do Experimento I.
40
Figura 3.2 Seção de testes do Experimento I.
Figura 3.3 Compressor Stirling estudado por Heidrich
et al.
(2005).
Tabela 3.3 Dimensões e características de operação dos trocadores de calor frio e quente do
compressor Stirling estudado por Heidrich
et al.
(2005).
Trocador
de calor
Capacidade
[W]
Diâmetro
[mm]
Comprimento
[mm]
Temperatura
[
°
°°
°
C]
Frio 600 100 80 -10
Quente 1200 100 100 50
41
O TCP testado foi produzido em tubo de cobre, dobrado na forma de uma serpentina,
cujas características de projeto são apresentadas na Tabela 3.4. O condensador é inserido no
interior de um tubo de PVC por onde circula o fluido de resfriamento (etanol), proveniente do
criostato. Um bloco de alumínio foi usado para acomodar o evaporador e a resistência de
aquecimento, fabricada na forma de cartucho cilíndrico. Os espaços existentes entre os tubos
do evaporador e a superfície do bloco foram preenchidos com pasta térmica OT 201 – Omega
Thermally Conductive Silicone Paste. A resistência de aquecimento foi conectada a uma fonte
de potência de corrente contínua, responsável pelo fornecimento da potência requerida em
cada teste. A seção de testes é isolada do ambiente externo por uma camada de poliuretano
expandido. O ganho máximo de calor através do isolamento térmico foi estimado em 2,7 W,
conforme mostrado no Apêndice B. Este ganho é corresponde a 3,6% da máxima potência
fornecida ao TCP (75 W). A aquisição dos dados de temperatura foi realizada utilizando o
equipamento Agilent controlado pelo software LabView, com frequência de aquisição de 1
Hz. Termopares do tipo T, com 0,5 mm de diâmetro e calibrados com incertezas de ±0,1
°
C,
foram instalados sobre as superfícies externas dos tubos, no evaporador, no condensador e na
seção adiabática.
Tabela 3.4 Características de projeto do TCP do Experimento I.
Comprimento total de tubo no evaporador 1120 mm
Comprimento total do tubo na seção adiabática
1288 mm
Comprimento total de tubo no condensador 1020 mm
Comprimento total de tubo da serpentina 3428 mm
Diâmetro interno do tubo 1,5 mm
Diâmetro externo do tubo 2,0 mm
Número de curvas do evaporador 7
Fluido do banho termostático etanol
Temperatura do fluido de resfriamento -20 °C
42
3.5 Descrição do Experimento II
Este experimento foi planejado também com o objetivo de verificar a influência da razão
de enchimento (FE), do ângulo de inclinação (
β
) e da potência fornecida, sobre o desempenho
térmico do TCP de CO
2
. Entretanto, houve uma redução do diâmetro interno do tubo e um
incremento significativo do número de curvas da serpentina, em relação à serpentina da seção
de testes do Experimento I. Estas mudanças foram realizadas com o objetivo principal de
melhorar o desempenho térmico do TCP no modo de operação invertido (evaporador situado
acima do condensador), conforme descrito por Charoensawan
et al.
(2003). A aquisição dos
dados de temperatura, assim como no Experimento I, foi realizada utilizando um equipamento
Agilent controlado pelo software LabView, com frequência de aquisição de 1 Hz. Termopares
do tipo T, com 0,5 mm de diâmetro e calibrados com incertezas de ±0,1
°
C, foram instalados
sobre a superfície externa do tubo, no evaporador, no condensador e na seção adiabática O
ganho máximo de calor através do isolamento térmico foi de 2,7 W, correspondendo a 1,6%
da máxima potência fornecida ao TCP (170 W).
As principais características de projeto do TCP deste experimento são mostradas na
Tabela 3.5. Os dispositivos periféricos utilizados foram os mesmos que aqueles utilizados no
Experimento I. A Figura 3.4 mostra uma perspectiva da serpentina do Experimento II.
Tabela 3.5 Características de projeto do TCP do Experimento II.
Comprimento total de tubo no evaporador 2560 mm
Comprimento total de tubo na seção adiabática
2944 mm
Comprimento total de tubo no condensador 2006 mm
Comprimento total de tubo da serpentina 7510 mm
Diâmetro interno do tubo 1,27 mm
Diâmetro externo do tubo 2,4 mm
Número de curvas do evaporador 16
Fluido do banho termostático etanol
Temperatura do fluido de resfriamento -20 °C
43
Figura 3.4 Desenho da seção de testes do Experimento II.
3.6 Descrição do Experimento III
Este experimento foi projetado de modo a permitir a obtenção dos parâmetros necessários
para a estimativa do coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do
evaporador do TCP (Capitulo 5). Para tanto, diferentemente dos dois experimentos anteriores,
adotou-se a configuração em circuito simples mostrada nas Figuras 3.5 e 3.6. Tal
configuração tem menor desempenho térmico do que as configurações de serpentinas com
múltiplas curvas, todavia, apresenta vantagens do ponto de vista experimental, tais como, a
instalação da resistência elétrica diretamente sobre a superfície externa do tubo, formando um
único evaporador contínuo e a possibilidade de se posicionar a tomada de pressão próxima à
seção do evaporador e a redução das dimensões da seção de testes, resultando numa câmara
de vácuo relativamente pequena, cujas dimensões são apresentadas na Tabela 3.6.
44
Tabela 3.6 Características de projeto do da câmara de vácuo do Experimento III.
Material Aço inox
Diâmetro interno
170 mm
Espessura 2,5 mm
Altura 280 mm
O circuito do TCP foi produzido em tubo de cobre, de acordo com as especificações
mostradas na Tabela 3.7. Optou-se pelo cobre para reduzir os gradientes de temperatura na
direção radial. O condensador é inserido no interior de um tubo de cobre por onde circula o
fluido de resfriamento (etanol), proveniente do banho termostático. O evaporador é formado a
partir da instalação de uma resistência elétrica diretamente sobre a superfície externa do tubo.
A seção de testes foi inserida numa câmara de vácuo com o objetivo de minimizar as trocas de
calor por convecção. A pressão no interior da câmara foi mantida em aproximadamente 10
-3
mbar, através do funcionamento contínuo de uma bomba de vácuo. A resistência de
aquecimento, formada a partir de um fio da liga Ni-Cr, foi coberta com material isolante para
eliminar as trocas de calor por radiação com as paredes da câmara de vácuo. A incerteza do
fluxo de calor no evaporador, obtida de acordo com o Apêndice B, foi menor do que 3,5%.
Termopares do tipo T, com 0,5 mm de diâmetro e calibrados com incertezas de ±0,1
°
C,
foram instalados sobre a superfície externa do tubo, no evaporador e no condensador. Uma
fonte de tensão contínua foi utilizada para alimentar um transdutor de pressão do tipo
subminiatura, calibrado com incerteza de ± 0,05 bar (conforme Apêndice B) e instalado
imediatamente após o evaporador. O sensor de pressão do transdutor é do tipo analógico
(diafragma), com frequência de ressonância de 38 kHz. A temperatura do fluido de trabalho
durante a operação do TCP é obtida indiretamente, através de uma correlação da pressão de
saturação medida, dada pela Equação (3.1), que apresenta um erro máximo de 0,34%. A
temperatura de saturação, a temperatura da parede do tubo e o fluxo de calor na superfície
externa da seção do evaporador, constituem o conjunto de parâmetros experimentais
necessários para estimar o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do
TCP.
][39120000043930.0][730008964733.0
][0735455773.0][66828906.39486445.69][
43
2o
barPbarP
barPbarPCT
satsat
satsatsat
+
+−+−=
(3.1)
45
Os dados de pressão e temperatura foram adquiridos com frequência de 20 Hz, utilizando
um console National SCXI 1000, com placas de aquisição SCXI-1328 e SCXI-1302,
controladas pelo software LabView. A razão de enchimento e o ângulo de inclinação foram
mantidos fixos em 60% e 90
°
, respectivamente.
Tabela 3.7 Características de projeto do TCP do Experimento III.
Comprimento do evaporador 33,16 mm
Comprimento do condensador 240 mm
Comprimento da seção adiabática 307 mm
Comprimento total do tubo 580 mm
Diâmetro interno do tubo 1,27 mm
Diâmetro externo do tubo 2,4 mm
Fluido do banho termostático etanol
Temperatura do fluido de resfriamento
-30 °C
Figura 3.5 Desenho da câmara de vácuo e da seção de testes do Experimento III.
46
Figura 3.6 Desenho da seção de testes do Experimento III, destacando a resistência elétrica do
evaporador, o circuito de resfriamento e o condensador.
3.7 Fechamento do Capítulo
Neste capítulo foram descritos os experimentos planejados com o intuito de se estudar os
tubos de calor pulsantes numa perspectiva de avaliar a possibilidade de utilizá-los como
trocadores de calor passivos de baixa temperatura. Os experimentos realizados permitiram
verificar a influência da razão de enchimento, do ângulo de inclinação, da potência fornecida
e do número de curvas sobre o desempenho térmico do TCP em aplicações típicas de
refrigeração. Permitiram também que fosse obtido o conjunto de parâmetros necessários à
estimativa do coeficiente de convecção no interior do evaporador. No capítulo seguinte serão
apresentados e discutidos os principais resultados experimentais obtidos.
47
Capítulo 4
Análise dos resultados Experimentais
Nos Experimentos I e II os testes foram interrompidos quando a temperatura média da
superfície externa do evaporador atingiu 5
°
C, ou abaixo deste valor, quando a temperatura da
superfície do evaporador apresentou crescimento assintótico. A adoção destes critérios de
parada tem como objetivos a redução do tempo de duração dos testes e a minimização do
risco de danos causados por pressões muito elevadas, geradas a partir da secagem do
evaporador. No Experimento III, devido à curta duração dos testes realizados, não houve
necessidade de se utilizar um critério de parada.
4.1 Resultados do Experimento I
Conforme descrito no capítulo anterior, no Experimento I, o comportamento térmico do
TCP foi estudado em termos da variação da potência fornecida, da razão de enchimento e do
ângulo de inclinação. Para uma determinada razão de enchimento (FE) e num dado ângulo de
inclinação (
β
), variou-se a potência fornecida ao TCP até que um patamar de estabilização
fosse atingido.
As Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 mostram a variação da temperatura média da superfície externa
do evaporador, da seção adiabática e do condensador, em relação ao ângulo de inclinação e à
potência fornecida, para uma razão de enchimento de 50%.
No modo de operação horizontal (Figura 4.1) foi observado um aumento da amplitude das
oscilações, a partir de 4000 segundos, acompanhadas por um deslocamento das curvas de
temperatura, quando a potência fornecida ao TCP alcançou 50 W. É provável que este efeito
48
resulte principalmente de uma mudança no padrão do escoamento do CO
2
, visto que não
houve nenhuma alteração das condições experimentais (razão de enchimento, ângulo de
inclinação e potência fornecida) durante a realização do teste.
0 2000 4000 6000 8000
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
E C
β
ββ
β
= 0°
°°
°
E C
β
ββ
β
= 0°
°°
°
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
25 W
50 W 75 W
Condensador
Seção adiabática
Evaporador
RE = 50%
Figura 4.1 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento I, para razão de enchimento de
50% e inclinação de 0
°
.
Para uma inclinação de 45
°
(Figura 4.2) também foram observadas oscilações de
temperatura proeminentes, mas apenas quando a potência fornecida atingiu 75 W. Entretanto,
não houve nenhuma mudança na tendência das curvas de temperatura. No modo de operação
vertical (Figura 4.3), não foram observadas flutuações de temperatura com amplitudes
significativas até o momento em que o teste foi interrompido, ou seja, quando o último
patamar de estabilização foi atingido. O TCP não operou adequadamente contra gravidade
( 0
<
β
, evaporador acima do condensador), em qualquer nível de potência e razão de
enchimento, sugerindo a ocorrência de secagem do evaporador (
dry out
). Este comportamento
era esperado, uma vez que o TCP testado apresenta um número de curvas relativamente
pequeno, não satisfazendo exigências necessárias para a operação em ângulos de inclinação
negativos, conforme descrito por Charoensawan
et al.
(2003).
49
0 2000 4000 6000 8000
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
25 W 75 W
Evaporador
Seção adiabática
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
50 W
Condensador
RE = 50%
Figura 4.2 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento I, para razão de enchimento de
50% e inclinação de 45
°
.
0 2000 4000 6000 8000
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
Condensador
Seção adiabática
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
25 W
50 W
RE = 50%
Figura 4.3 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento I, para razão de enchimento de
50% e inclinação de
90°.
50
É importante ressaltar que a temperatura média da superfície externa do condensador
variou com o ângulo de inclinação, para uma mesma potência fornecida. Como a temperatura
e a vazão do fluido de condensação (etanol) foram mantidas fixas durante os testes, é provável
que este comportamento esteja relacionado à ocorrência de diferentes padrões de escoamento
no interior dos tubos do condensador.
A Tabela 4.1 mostra os efeitos da potência fornecida (
P
), da razão de enchimento (RE) e
do ângulo de inclinação (
β
) sobre a resistência térmica global do TCP, calculada de acordo
com as seguintes equações:
P
TT
R
condevap
condT
−
=
,
(4.1)
e
P
TT
R
oleevap
oleT
tan
tan,
−
=
(4.2)
Tabela 4.1 Resistência térmica global do TCP do Experimento I.
R
T,Condensador
(K/W)
FE 25% 25% 25% 50% 50% 50% 75% 75% 75%
β
ββ
β
0°
°°
°
45°
°°
°
90°
°°
°
0°
°°
°
45°
°°
°
90°
°°
°
0°
°°
°
45°
°°
°
90°
°°
°
25W
0,309 0,154 0,233 0,250 0,226 0,242 0,321 0,142 0,238
50W
S 0,202 0,239 0,282 0,189 0,226 S 0,135 0,233
75W
S S S S 0,187 L S L 0,218
100W
S S S S L L S L S
R
T,Etanol
(K/W)
FE 25% 25% 25% 50% 50% 50% 75% 75% 75%
β
ββ
β
0°
°°
°
45°
°°
°
90°
°°
°
0°
°°
°
45°
°°
°
90°
°°
°
0°
°°
°
45°
°°
°
90°
°°
°
25W
0,509 0,439 0,376 0,341 0,362 0,508 0,417 0,450 0,346
50W
S 0,448 0,354 0,357 0,285 0,457 S 0,405 0,312
75W
S S S S 0,278 L S L 0,302
100W
S S S S L L S L S
S: secagem do evaporador (dry out)
L: limite de temperatura atingido (5 °C) ou último nível de estabilização atingido
51
De acordo com a Tabela 4.1, observa-se que o TCP comportou-se adequadamente para
uma potência fornecida de 25 W. Entretanto, em 50 W ocorreu secagem do evaporador, no
modo de operação horizontal (
o
0
=
β
), para razões de enchimento de 25% e 75%. Para
potência de 75 W houve a secagem do evaporador ou foi atingido o limite de operação, na
maioria dos testes realizados.
O máximo fluxo de calor alcançado durante os testes foi 1,4 W/cm
2
(baseado na área
interna do tubo do evaporador), correspondendo a 75 W de potência fornecida, 70% de razão
de enchimento e 45
°
de inclinação. O fato de o máximo fluxo de calor transferido ter ocorrido
para ângulo de inclinação menor do que 90
°,
pode ser um indicativo de que o TCP operou
numa zona situada entre um tubo de calor pulsante e um termossifão. Esta hipótese baseia-se
no fato de que o número de Bond ultrapassou o valor crítico sugerido por Akachi
et al
.
(1996),
2
=
Bo
, durante parte dos testes do Experimento I, variando entre 1,64 e 2,22. Estes
valores correspondem às temperaturas limites de operação de -20 °C e 5 °C, respectivamente.
Não foi possível avaliar o comportamento do TCP no modo de operação contra gravidade
(
0
0<
β
, evaporador acima do condensador), uma vez que nesta condição não puderam ser
realizados testes, devido à secagem quase que imediata do evaporador, mesmo em níveis de
potências relativamente baixos (menores do que 5 W).
4.2 Resultados do Experimento II
Neste experimento ocorreu um acréscimo significativo do número de curvas em relação
ao TCP do Experimento I (de 7 para 16 curvas, no evaporador) e também uma redução do
diâmetro interno do tubo da serpentina (de 1,5 para 1,27 mm). Estas mudanças foram
efetuadas com o objetivo de melhorar o desempenho do TCP de CO
2
nos modos de operação
horizontal (
o
0=
β
) e contra gravidade (
o
0<
β
). O aumento do número de curvas eleva o
nível das perturbações internas (gradientes de pressão e temperatura), melhorando o
desempenho térmico do TCP em situações onde o ângulo de inclinação seja relativamente
pequeno (Charoensawan
et al.
, 2003). A redução do diâmetro interno resulta numa redução do
número de Bond, ou seja, aumenta o efeito das forças viscosas sobre o fluido de trabalho e,
conseqüentemente, contribui para a manutenção de meniscos de líquido e bolhas de vapor,
criando as condições primárias necessárias para o surgimento de pulsações no interior do
52
dispositivo. A potência mínima necessária para acionar o TCP foi de aproximadamente 10W,
em todos os testes realizados.
As Figuras 4.4 e 4.5 mostram o efeito da potência fornecida sobre a resistência térmica
global do TCP, para frações de enchimento de 30%, 50% e 70% e para dois ângulos de
inclinação: 45° e 90°. A resistência térmica foi calculada dividindo-se a diferença entre as
temperaturas médias das superfícies externas do evaporador e do condensador pela potência
fornecida ao dispositivo. Em ambos os casos foram observadas reduções da resistência
térmica à medida que a potência fornecida foi aumentada. Isto ocorre devido ao fato de que
em potências relativamente baixas (inferiores a 30 W) as forças dissipativas devido à fricção,
aceleração e gravidade ainda não são suficientemente grandes para gerar pulsações
significativas do fluido de trabalho. À medida que a potência fornecida aumenta, as pulsações
tornam-se maiores e o dispositivo aumenta a sua eficiência térmica, resultando numa redução
da sua resistência térmica. Entretanto, a redução da resistência térmica é limitada pela
eficiência do condensador e pela temperatura do fluido de condensação (etanol). Fator que
explica a tendência de estabilização do valor da resistência térmica do TCP para potências
relativamente elevadas.
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
Resistência Térmica [K/W]
Potência Fornecida [W]
RE = 70%
RE = 50%
RE = 30%
Figura 4.4 Variação da resistência térmica do TCP do Experimento II, em relação à potência
fornecida, para diferentes frações de enchimento e ângulo de inclinação igual a 45°.
53
0 20 40 60 80 100 120 140
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
Resistência Térmica [K/W]
Potência Fornecida [W]
RE = 70%
RE = 50%
RE = 30%
Figura 4.5 Variação da resistência térmica do TCP do Experimento II, em relação à potência
fornecida, para diferentes frações de enchimento e ângulo de inclinação igual a 90°.
As Figuras 4.6 a 4.11 mostram a variação da temperatura média da superfícies externa do
evaporador, da seção adiabática e do condensador, para diferentes frações de enchimento,
ângulos de inclinação e níveis de potência. Pode ser observado que as amplitudes de oscilação
das temperaturas medidas diminuem à medida que a razão de enchimento aumenta. Observa-
se também que maiores inclinações correspondem a maiores potências transferidas pelo TCP.
Assim como no Experimento I, em alguns testes foram observadas mudanças de tendência das
curvas de temperatura sem que houvesse algum tipo de alteração das condições
experimentais, indicando novamente uma possível ocorrência de mudanças no padrão do
escoamento do CO2. As máximas potências transferidas pelo TCP ocorreram para inclinação
de 90° (evaporador na posição inferior), conforme mostrado na Tabela 4.2. Nestas condições,
o máximo fluxo de calor alcançado foi 1,7 W/cm
2
(baseado na área interna do tubo do
evaporador). O número de Bond permaneceu abaixo do valor crítico sugerido por Akachi
et
al.
(1996), variando entre 1,39 e 1,90.
54
No Experimento II, não foi possível avaliar o comportamento do TCP nos modos de
operação horizontal (
0
0=
β
) e contra gravidade (
0
0<
β
), devido também à secagem quase
que imediata do evaporador, mesmo em níveis de potências relativamente baixos.
Tabela 4.2 Máxima potência transferida pelo TCP do Experimento II.
Máxima potência transferida
Razão de enchimento
Inclinação
120 W 30%
90°
170 W 50%
90°
130 W 70%
90°
0 5000 10000 15000
-20
-15
-10
-5
0
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
20
30
40
Condensador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
RE = 30%
Seção adiabática
Evaporador
60
50
70
90
80
100 W
Figura 4.6 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de enchimento de
30% e inclinação de 45°.
55
0 5000 10000 15000
-20
-15
-10
-5
0
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
20
60
50
40
30
70
90
80
Seção adiabática
Condensador
110
120 W
100
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
RE = 30%
Evaporador
Figura 4.7 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de enchimento de
30% e inclinação de 90°.
0 4250 8500 12750 17000
-20
-15
-10
-5
0
5
10
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
10
20
RE = 50%
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
Condensador
Seção adiabática
Evaporador
110
100
120
130
140 W
50
30
70
60
40
90
80
Figura 4.8 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de enchimento de
50% e inclinação de 45°.
56
0 4250 8500 12750 17000
-20
-15
-10
-5
0
5
10
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
50
30
70
20
60
40
90
80
110
100
120
130
140
150
160
170W
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
RE = 50%
Condensador
Seção adiabática
Evaporador
Figura 4.9 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de enchimento de
50% e inclinação de 90
°
.
0 5750 11500 17250 23000
-20
-15
-10
-5
0
5
10
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 45°
°°
°
E
C
RE = 70%
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
Condensador
Seção adiabática
Evaporador
50
70
60
90
80
110
100
120 W
10
20
30
40
Figura 4.10 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de enchimento de
70% e inclinação de
45°
.
57
0 4250 8500 12750 17000
-20
-15
-10
-5
0
5
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
β
ββ
β
= 90°
°°
°
E
C
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
RE = 70%
10
20
50
30
70
60
40
90
80
110
100
120
130 W
Condensador
Seção adiabática
Evaporador
Figura 4.11 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador, do
condensador e da seção adiabática do TCP do Experimento II, para razão de enchimento de
70% e inclinação de
90°
.
4.2.1 Análise Comparativa dos Resultados do Experimento II
Khandekar
et al.
(2003) correlacionaram o máximo fluxo de calor transferido por um TCP
em circuito fechado, usando números adimensionais. Foi utilizada uma base de dados
experimentais, para a água, o etanol e o R-123 como fluidos de trabalho. A correlação obtida
tem a forma da Equação (4.3), que apresenta um desvio médio de ±30% e é válida apenas
para razão de enchimento de 50%.
[
]
]/[ )exp( Pr 54,0
2
48,0
27,027,043,147,0"
cmWNJaKaq
l
β
−
=
(4.3)
onde
efl
condevap
satli
efl
lli
L
pd
L
pd
Ka
2
2
2
2
µ
ρ
µ
ρ
−
∆
≈
∆
=
(4.4)
58
condevap
satl
lv
TCp
h
Ja
−
∆
=
(4.5)
l
ll
l
k
Cp
µ
Pr
=
(4.6)
onde
"
q
é o máximo fluxo de calor transferido pelo TCP (W/cm
2
),
Ka
é número de Karman,
Ja
é o número de Jacob,
Pr
é o número de Prandtl,
N
é o número de curvas no evaporador e
β
é o ângulo de inclinação em relação a horizontal.
A Tabela 4.3 mostra uma comparação entre os resultados experimentais obtidos no
Experimento II e os resultados obtidos a partir da Equação (4.3), sendo o fluxo de calor
experimental calculado com base na área interna do evaporador.
Tabela 4.3 Análise comparativa do máximo fluxo de calor transferido pelo TCP do
Experimento II.
Experimento II Khandekar
et al.
(2003)
FE = 50%; N = 16;
β
= 0
°
;
- 5,6 W/cm
2
FE = 50%; N = 16;
β
= 45
°
1,4 W/cm
2
8,1 W/cm
2
FE = 50%; N = 16;
β
= 90
°
1,7 W/cm
2
11,9 W/cm
2
Observa-se na tabela anterior que a correlação de Khandekar
et al.
(2003) não reproduziu
adequadamente os resultados obtidos no Experimento II. Entretanto deve-se salientar que a
referida correlação é uma equação dimensional, sendo obtida para um TCP operando com
fluidos distintos do CO
2
(água, etanol e R-123), numa faixa de temperaturas de operação
acima da temperatura ambiente (entre 20
°
C e 80
°
C).
59
4.4 Resultados do Experimento III
As Figuras 4.12 a 4.29 apresentam resultados experimentais obtidos com sete fluxos de
calor distintos, para razão de enchimento de 60% e inclinação de 90
o
. Os fluxos foram
calculados dividindo a potência fornecida à resistência elétrica de aquecimento (2, 5, 10, 15,
20, 25, 30 e 35 W) pela área da superfície externa do evaporador. Na Figura 4.12 é mostrada a
variação da pressão do fluido de trabalho no evaporador, em relação aos sete fluxos de calor
aplicados. Esta informação é complementada pelas Figuras 4.13 a 4.19, onde a variação da
amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho, em relação ao fluxo de calor
correspondente, é apresentada individualmente. Pode ser observado que as amplitudes de
oscilação da pressão foram maiores do que a incerteza do transdutor de pressão (±0,05 bar).
Observa-se também que para fluxos de até 6 W/cm
2
há um crescimento gradativo da
amplitude da pressão, até um pico crítico, a partir do qual ocorrem oscilações seguindo uma
curva descendente. Para fluxos maiores ou iguais a 8 W/cm
2
ocorre uma queda brusca após a
qual as oscilações permanecem em torno de uma reta quase horizontal. Este efeito sugere uma
predominância de vapor no interior do evaporador, no início da operação do TCP. À medida
que o fluido de trabalho absorve calor a sua pressão aumenta, até que sejam gerados
gradientes suficientemente grandes. Estes gradientes fazem com que mais líquido entre no
evaporador, substituindo parte do vapor e dando origem às oscilações.
0 10 20 30 40 50 60
16
20
24
28
32
36
40
44
2 W/cm
2
4 W/cm
2
6 W/cm
2
10 W/cm
2
8 W/cm
2
14 W/cm
2
Pressão Absoluta [bar]
Tempo [s]
12 W/cm
2
Figura 4.12 Variação da pressão do fluido de trabalho no interior do evaporador do TCP do
Experimento III, em relação aos fluxos de calor aplicados.
60
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
2 W/cm
2
Figura 4.13 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 2 W/cm².
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
4 W/cm
2
Figura 4.14 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 4 W/cm².
61
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
6 W/cm
2
Figura 4.15 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 6 W/cm².
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
8 W/cm
2
Figura 4.16 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 8 W/cm².
62
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
10 W/cm
2
Figura 4.17 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 10 W/cm².
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
12 W/cm
2
Figura 4.18 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 12 W/cm².
63
0 10 20 30 40 50 60
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Amplitude de Oscilação da Pressão [bar]
Tempo [s]
14 W/cm
2
Figura 4.19 Variação da amplitude de oscilação da pressão do fluido de trabalho no
evaporador do Experimento III, para fluxo de 14 W/cm².
Nas Figuras 4.20, 4.21 e 4.22 a temperatura média da superfície externa do condensador,
a temperatura média da superfície externa do evaporador e a temperatura do fluido de
trabalho, são plotadas em relação aos fluxos de calor no evaporador do TCP. Esta informação
é complementada pelas Figuras 4.23 a 4.29, onde as variações da temperatura do
condensador, do evaporador e do fluido de trabalho são apresentadas em relação ao fluxo de
calor correspondente. De acordo com o esperado, observa-se que a temperatura do fluido de
trabalho está situada entre as temperaturas médias das superfícies externas do condensador e
do evaporador.
64
0 10 20 30 40 50 60
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
14 W/cm
2
12 W/cm
2
10 W/cm
2
8 W/cm
2
4 W/cm
2
2 W/cm
2
Temperatura [oC]
Tempo [s]
6 W/cm
2
Figura 4.20 Variação da temperatura média da superfície externa do condensador do
Experimento III.
0 10 20 30 40 50 60
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 W/cm
2
4 W/cm
2
6 W/cm
2
8 W/cm
2
10 W/cm
2
12 W/cm
2
14 W/cm
2
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
Figura 4.21 Variação da temperatura média da superfície externa do evaporador do
Experimento III.
65
0 10 20 30 40 50 60
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
2 W/cm
2
4 W/cm
2
6 W/cm
2
8 W/cm
2
10 W/cm
2
12 W/cm
2
14 W/cm
2
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
Figura 4.22 Variação da temperatura do fluido de trabalho no interior do evaporador do
Experimento III.
0 10 20 30 40 50 60
-25
-20
-15
-10
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
2 W/cm
2
Figura 4.23 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 2 W/cm
2
.
66
0 10 20 30 40 50 60
-30
-25
-20
-15
-10
-5
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
4 W/cm
2
Figura 4.24 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 4 W/cm².
0 10 20 30 40 50 60
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
6 W/cm
2
Figura 4.25 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 6 W/cm².
67
0 10 20 30 40 50 60
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
8 W/cm
2
Figura 4.26 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 8 W/cm².
0 10 20 30 40 50 60
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
10 W/cm
2
Figura 4.27 V Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 10 W/cm².
68
0 10 20 30 40 50 60
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
12 W/cm
2
Figura 4.28 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 12 W/cm².
0 10 20 30 40 50 60
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Fluido
Condensador
Evaporador
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
14 W/cm
2
Figura 4.29 Variação da temperatura do fluido de trabalho e da temperatura média da
superfície externa do condensador e do evaporador do Experimento III, para um fluxo de
calor de 14 W/cm².
69
4.5
Fechamento do Capítulo
Os resultados obtidos nos Experimentos I e II indicam que o TCP de CO
2
com múltiplas
curvas tem potencialidades para ser usado em aplicações envolvendo baixas temperaturas.
Entretanto, as baixas densidades de fluxos observadas indicam a necessidade de se aumentar
ainda mais o número de curvas da serpentina para de modo que o dispositivo seja operar
adequadamente em aplicações envolvendo pequenas inclinações (
o
0
≈
β
) e contra a
gravidade (evaporador posicionado acima do condensador,
o
0
<
β
).
No Experimento III foi obtido o conjunto de parâmetros experimentais necessários à
estimativa do coeficiente de transferência de calor no interior do evaporador do TCP, sendo a
temperatura do fluido de trabalho obtida a partir de uma correlação com a pressão de
saturação medida. Os fluxos de calor alcançados foram superiores aos fluxos máximos dos
Experimentos I e II. Entretanto deve ser observado que no Experimento III os testes foram
realizados em períodos de tempo relativamente curtos (60 segundos). Esta estratégia foi
adotada, principalmente, devido ao interesse em se obter o coeficiente de convecção interno
durante a partida (
start up
) do dispositivo.
70
Capítulo 5
Método para Estimar o Coeficiente
de Transferência de Calor no Interior
do Evaporador do Tubo de Calor Pulsante
5.1 Apresentação e Desenvolvimento do Método
O presente método tem como foco principal a obtenção do coeficiente de transferência de
calor em película no interior do evaporador do tubo de calor pulsante do Experimento III.
Para tanto, será obtida inicialmente uma expressão analítica aproximada para o perfil de
temperaturas ao longo da espessura de parede do tubo, partindo da solução da equação da
difusão de calor. Esta expressão será posteriormente simplificada utilizando a temperatura da
parede externa do tubo, a temperatura do fluido de trabalho e o fluxo de calor externo
medidos.
Supondo condução transiente unidimensional na parede do tubo do evaporador do TCP do
Experimento III e também que as propriedades termofísicas do material são constantes, a
equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas (Özi
ş
ik, 1993), sem geração interna,
aplicada à seção do tubo da Figura 5.1, reduz-se a:
p
ei
c
trr
t
trT
r
trT
r
rr
sendo ,0 e r em ,
),(1),(1
ρ
λ
α
α
=><<
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
(5.1)
sendo
λ
a condutividade térmica,
ρ
a densidade e
p
c
o calor específico do material do tubo.
71
Figura 5.1 Seção transversal do tubo do evaporador do TCP do Experimento III.
Como o tubo do evaporador do TCP do Experimento III está sujeito a convecção na
superfície interna (em
i
r
) e a fluxo de calor prescrito na superfície externa (em
e
r
), as
seguintes condições de contorno e condição inicial podem ser escritas:
[
]
0 te em ,)(),( )(
),(
>=−−=
∂
∂
−
ifii
rrtTtrTth
r
trT
λ
(5.2)
0 e em ),(
),(
''
>==
∂
∂
trrtq
r
trT
ee
λ
(5.3)
0 e rr em ,)(),(
e0
=<<==
trTrFtrT
i
(5.4)
sendo )(
th
i
o coeficiente de transferência de calor por convecção em película, ),(
trT
i
a
temperatura da parede interna do tubo, )(
tT
f
a temperatura do fluido de trabalho,
0
T
a
temperatura inicial da parede do tubo, )(
"
tq
e
o fluxo de calor na parede externa do tubo,
i
r
o
raio interno e
e
r
o raio externo do tubo.
As Equações (5.1) a (5.4) caracterizam um problema de valor de contorno (PVC) não
homogêneo (em
ei
rr
e ), para o qual o coeficiente )(
th
i
é desconhecido. A solução geral deste
PVC pode ser obtida diretamente por funções de Green, de acordo com o método descrito em
Stakgold (1968). A função de Green do problema não homogêneo é obtida a partir da solução
do PVC homogêneo associado, ou problema de Newmann, dado pelas Equações (5.5), (5.6) e
(5.7).
72
'
''''
e r em ,
),|,(1),|,(1
ttrr
t
trtrG
r
trtrG
r
rr
ei
><<
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
α
(5.5)
'
''
te em ,0
),|,(
trr
r
trtrG
i
>==
∂
∂
λ
(5.6)
'
''
t te em ,0
),|,(
>==
∂
∂
e
rr
r
trtrG
λ
(5.7)
A função de Green ),|,(
''
trtrG
representa fisicamente a temperatura da parede do tubo,
numa posição
r
e num tempo
t
, devido a uma fonte de calor pontual instantânea e
imaginária, situada numa posição
'
r
, que libera a sua energia espontaneamente no tempo
'
tt =
.
Uma vez determinada a função de Green do problema de Newmann, a distribuição de
temperaturas na parede do tubo ),(
trT
pode ser expressa na forma integral dada pela Equação
(5.8), de acordo com o detalhamento analítico de solução para o caso da geometria de seção
anular apresentado em Colle
et al.
(2008).
'''
'
''
0
2
1
'''
0
'
''
'
)},()],|,([{ )(),|,(),(
dttrftrtrGrdrrFtrtrGrtrT
i
i
rr
t
i
t
e
r
i
r
=
=
=
∫
∑
∫
+=
λ
α
(5.8)
O primeiro termo à direita da igualdade da Equação (5.8) representa a contribuição da
condição inicial sobre o perfil de temperaturas na parede do tubo e o segundo termo incorpora
o efeito das não homogeneidades presentes nas condições de contorno. Na condição inicial a
função de Green é nula.
De acordo com Colle
et al.
(2008), a solução do problema de Newmann dado pelas
Equações (5.5) a (5.7) é a seguinte:
)(
1
'
00
''
'2
),( ),(
)(
1
),|,(
tt
m
mm
m
m
erRrR
N
trtrG
−⋅−
∞
=
∑
=
βα
ββ
β
(5.9)
73
onde
)()(
)(
2)(
1
2
'
0
2
'
0
2
'
0
2
2
emim
imm
m
rJrJ
rJ
N
ββ
ββ
π
β
−
=
(5.10)
)()()()(),(
0
'
0
'
000
rYrJrYrJrR
mememmm
βββββ
−=
(5.11)
Nas três equações anteriores,
0
J
e
0
Y
são funções de Bessel do primeiro tipo e ordem
zero, e
'
0
J
e
'
0
Y
são as suas derivadas em relação ao raio.
As autofunções ),(
0
rR
m
β
e a norma )(
m
N
β
do PVC, dadas pelas Equações (5.10) e
(5.11), são obtidas da Tabela 3.3 de Özi
ş
ik (1993). Os autovalores
m
β
são as raízes positivas
da Equação (5.12), conforme detalhes apresentados no Apêndice D.
0)( )()()(
'
0
'
0
'
0
'
0
=−
imememim
rYrJrYrJ
ββββ
(5.12)
Substituindo as Equações (5.9), (5.10) e (5.11) na Equação (5.8), tem-se como solução
PVC a seguinte equação:
'
)(
2
'
1
"
00
'
)(
2
1
00
'''
0
'
2
1
0
'
'
''
)(
)(
),( ),(
)]
'
(),([ )(
)(
),( ),(
)( ),(
)(
),(
),(
0
0
dtetq
N
rRrRr
dtetTtrTth
N
rRrRr
drrFrRre
N
rR
trT
tt
t
tt
t
t
m
m
e
m
emme
m
fii
m
m
immi
m
e
r
i
r
m
m
m
m
−−
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
∑
∫
∫
∑
∫
∑
+−
−=
αβ
αβ
αβ
β
ββ
λ
α
β
ββ
λ
α
β
β
β
(5.13)
Como 0
0
=
β
também é uma raiz da Equação (5.12), os somatórios à direita da igualdade
da Equação (5.13) deverão iniciar com 0
=
m
, resultando na Equação (5.14), que representa o
perfil de temperaturas ao longo da parede da seção transversal do tubo.
74
'
)(
2
'
0
"
00
'
)(
2
0
00
'''
0
'
2
0
0
'
'
''
)(
)(
),( ),(
)]
'
(),([ )(
)(
),( ),(
)( ),(
)(
),(
),(
0
0
dtetq
N
rRrRr
dtetTtrTth
N
rRrRr
drrFrRre
N
rR
trT
tt
t
tt
t
t
m
m
e
m
emme
m
fii
m
m
immi
m
e
r
i
r
m
m
m
m
−⋅−
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
∑
∫
∫
∑
∫
∑
+−
−=
αβ
αβ
αβ
β
ββ
λ
α
β
ββ
λ
α
β
β
β
(5.14)
Substituindo 0
0
=
β
nas Equações (5.10) e (5.11), obtém as autofunções e a norma do
problema, de acordo com:
1),(
00
=
rR
β
,
22
0
2
)(
1
ie
rr
N
−
=
β
(5.15)
Assim, a Equação (5.14) pode ser reescrita como segue:
'
)(
2
'
1
"
00
''"
22
'
)(
2
1
00
'
22
'''
0
'
2
1
0
'
'
0
22
'
'
''
''
)(
)(
),( ),(
)(
2
)]
'
(),([ )(
)(
),( ),(
)]
'
(),([ )(
2
)( )(
)(
),(
2
),(
0
0
0
0
dtetq
N
rRrRr
dttq
rr
r
dtetTtrTth
N
rRrRr
dttTtrTth
rr
r
drrFrRre
N
rR
drrT
rr
trT
tt
t
t
tt
t
t
t
m
m
e
m
emme
e
ie
e
m
fii
m
m
immi
fii
ie
i
e
r
i
r
m
m
m
m
e
r
i
r
ie
−−
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
∑
∫
∫
∫
∑
∫
∫
∑
∫
+
−
+−
−−
−
−
+
−
=
αβ
αβ
αβ
β
ββ
λ
α
λ
α
β
ββ
λ
α
λ
α
β
β
(5.16)
75
Resolvendo a primeira integral à direita da Equação (5.16), pode-se escrever:
'
)(
2
'
1
"
00
''"
22
'
)(
2
1
00
'
22
'''
0
'
2
1
0
0
'
'
''
''
)(
)(
),( ),(
)(
2
)]
'
(),([ )(
)(
),( ),(
)]
'
(),([ )(
2
)( )(
)(
),(
),(
0 0
0
0
dtetq
N
rRrRr
dttq
rr
r
dtetTtrTth
N
rRrRr
dttTtrTth
rr
r
drrFrRre
N
rR
TtrT
tt
tt
tt
t
t
t
m
m
e
m
emme
e
ie
e
m
escii
m
m
immi
escii
ie
i
e
r
i
r
m
m
m
m
−−
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
∑
∫∫
∫
∑
∫
∫
∑
⋅+
−
+−
−−
−
−+=
αβ
αβ
αβ
β
ββ
λ
α
λ
α
β
ββ
λ
α
λ
α
β
β
(5.17)
Aplicando a Equação (5.17) às superfícies interna (
i
rr
=
) e externa do tubo (
e
rr
=
), no
instante
k
tt
=
, obtém-se:
'
)(
2
'
1
"
00
''"
22
'
)(
2
1
22
0
'
22
0
0
'
'
''
''
)(
)(
),( ),(
)(
2
)]
'
(),([ )(
)(
),(
)]
'
(),([ )(
2
),(
0 0
0
0
dtetq
N
rRrRr
dttq
rr
r
dtetTtrTth
N
rRr
dttTtrTth
rr
r
GTtrT
t
k
t
k
t
k
t
t
k
t
k
t
k
t
m
m
e
m
emime
e
ie
e
m
fii
m
m
imi
fii
ie
i
i
kki
−−
∞
=
−−
∞
=
∑
∫∫
∫
∑
∫
+
−
+−
−−
−
−+=
αβ
αβ
β
ββ
λ
α
λ
α
β
β
λ
α
λ
α
(5.18)
'
)(
2
'
1
"
2
0
''"
22
'
)(
2
1
00
'
22
0
0
'
'
''
''
)(
)(
),(
)(
2
)]
'
(),([ )(
)(
),( ),(
)]
'
(),([ )(
2
),(
0 0
0
0
dtetq
N
rRr
dttq
rr
r
dtetTtrTth
N
rRrRr
dttTtrTth
rr
r
GTtrT
t
k
t
k
t
k
t
t
k
t
k
t
k
t
m
m
e
m
eme
e
ie
e
m
fii
m
m
emimi
fii
ie
i
e
kke
−−
∞
=
−−
∞
=
∑
∫∫
∫
∑
∫
+
−
+−
−−
−
−+=
αβ
αβ
β
β
λ
α
λ
α
β
ββ
λ
α
λ
α
(5.19)
onde
drrRrTe
N
rR
G
m
e
r
i
r
k
m
m
m
im
i
k
t
),(
)(
),(
'
0
'
0
2
1
0
0
β
β
β
αβ
∫
∑
−
∞
=
=
(5.20
)
drrRrTe
N
rR
G
m
e
r
i
r
k
m
m
m
em
e
k
t
),(
)(
),(
'
0
'
0
2
1
0
0
β
β
β
αβ
∫
∑
−
∞
=
=
(5.21
)
76
As Equações (5.18) e (5.19) são as equações de recorrência, na forma integral, para a
obtenção do coeficiente de transferência de calor )(
'
th
i
. Estas equações constituem um
problema inverso, cuja solução deve ser numérica. O método de solução proposto neste
estudo pressupõe que as equações de recorrência na forma integral sejam convertidas em
equações algébricas. Sendo assim, é necessário que as variáveis das Equações (5.17) e (5.18)
sejam discretizadas através do ajuste de funções de interpolação, em cada um dos
subintervalos de tempo do domínio discretizado ],0[
t
. Colle
et al.
(2008) obtiveram êxito ao
utilizar funções de interpolação lineares do tipo tenda para discretizar o fluxo de calor na
resistência de contato entre o tubo de alumínio do núcleo e o condutor de aço coberto com
alumínio, de um cabo OPGW (Optical Ground Wire
)
. Funções-tenda serão também utilizadas
expressar as variáveis envolvidas no problema da obtenção do coeficiente de transferência de
calor no interior do evaporador do TCP. Nesta técnica, a função interpolação em cada ponto é
igual à soma de duas funções lineares, cuja composição centrada no ponto, lembra a forma de
uma tenda. A Figura 5.2 mostra a discretização do coeficiente de transferência de calor
através de funções-tenda.
Figura 5.2. Esquema da discretização do coeficiente de transferência de calor utilizando
funções-tenda.
A discretização das demais variáveis que aparecem na Equação (5.17), de acordo com
o Apêndice C, resulta nas seguintes equações:
1
1
'
'
,
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
i
ttt
t
tta
th
(5.22)
77
jj
jj
i
ttt
t
tta
th −=∆
∆
−
=
+
+
+
1
'
1
'
,
)(
)( (5.23)
1
1
'
'
,
)(
),(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
i
ttt
t
ttb
trT
(5.24)
jj
jj
i
ttt
t
ttb
trT −=∆
∆
−
=
+
+
+
1
'
1
'
,
)(
),( (5.25)
1
1
'
'
,
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
f
ttt
t
ttc
tT
(5.26)
jj
jj
f
ttt
t
ttc
tT
−=∆
∆
−
=
+
+
+
1
'
1
'
,
)(
)( (5.27)
1
1
'
'"
,
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
e
ttt
t
ttq
tq
(5.28)
jj
jj
e
ttt
t
ttq
tq −=∆
∆
−
=
+
+
+
1
'
1
'"
,
)(
)( (5.29)
Aproximando agora as integrais das Equações (5.18) e (5.19) por somas de integrais
calculadas nos subintervalos de tempo )(
t
∆
e substituindo as variáveis envolvidas por suas
componentes discretas, chega-se às Equações (5.30) e (5.31).
78
∑ ∑
∫∫
∑
∫∫
∑ ∑
∫
∫
∑
∫
∫
∞
= =
+
−−
+
−
−−
−
=
+
+−
∞
= =
+
−−
+++
−
−−
−−−
=
+
+++
−
−−−
+
+
+
−
+
−
+−
−
−
+−
−
−+=
1
k
1j
1
'
)(
2
'"
1
'
)(
2
'"00
k
1j
1
'"
1
'"
22
1
k
1j
1
'
)(
2
1
'
)(
2
22
0
k
1j
1
'
1
'
22
0
0
)( )(
)(
),( ),(
)
'
( )
'
(
2
)]
'
(),([ )(
)]
'
(),([ )(
)(
),(
)]
'
(),([ )(
)]
'
(),([ )(
2
),(
''
'
''
'
''
''
''
m
j
t
j
t
m
e
j
t
j
t
m
e
m
emime
j
t
j
t
e
j
t
j-
t
e
ie
e
m
j
t
j
t
m
fii
j
t
j
t
m
fii
m
imi
j
t
j
t
fii
j
t
j
t
fii
ie
ii
kki
dtetqdtetq
N
rRrRr
dttqdttq
rr
r
dtetTtrTth
dtetTtrTth
N
rRr
dttTtrTth
dttTtrTth
rr
r
GTtrT
t
k
tt
k
t
t
k
t
t
k
t
αβαβ
αβ
αβ
β
ββ
λ
α
λ
α
β
β
λ
α
λ
α
(5.30)
∑
∫∫
∑
∑
∫∫
∑
∫
∫
∑
∑
∫
∫
=
+
−−
+
−
−−
−
∞
=
=
+
+−
=
+
−−
+++
−
−−
−−−
∞
=
=
+
+++
−
−−−
+
+
+
−
+
−
+−
−
−
+−
−
−+=
k
1j
1
'
)(
2
'"
1
'
)(
2
'"
1
2
0
k
1j
1
'"
1
'"
22
k
1j
1
'
)(
2
1
'
)(
2
1
00
k
1j
1
'
1
'
22
0
0
''
'
''
'
''
''
''
)( )(
)(
),(
)
'
( )
'
(
2
)]
'
(),([ )(
)]
'
(),([ )(
)(
),( ),(
)]
'
(),([ )(
)]
'
(),([ )(
2
),(
j
t
j
t
m
e
j
t
j
t
m
e
m
m
eme
j
t
j
t
e
j
t
j-
t
e
ie
e
j
t
j
t
m
fii
j
t
j
t
m
fii
m
m
emimi
j
t
j
t
fii
j
t
j
t
fii
ie
i
e
kke
dtetqdtetq
N
rRr
dttqdttq
rr
r
dtetTtrTth
dtetTtrTth
N
rRrRr
dttTtrTth
dttTtrTth
rr
r
GTtrT
t
k
tt
k
t
t
k
t
t
k
t
αβαβ
αβ
αβ
β
β
λ
α
λ
α
β
ββ
λ
α
λ
α
(5.31)
Substituindo as Equações (5.22) a (5.29) nas integrais das Equações (5.30) e (5.31), de
acordo com as deduções do Apêndice C, tem-se que:
−
−−
−−
=
∫
−
mkjjj
km
i
t
t
i
AbadtetrTth
tt
j
j
'
)(
2
'
'
'
),( )(
1
αβ
(5.31)
+
−−
++
=
∫
+
mkjjj
km
i
t
t
i
AbadtetrTth
tt
j
j
'
)(
2
'
'
'
),( )(
1
αβ
(5.32)
−
−−
−−
=
∫
−
mkjjj
km
f
t
t
AcadtetTth
tt
j
j
'
)(
2
'
'
'
)( )(
1
αβ
(5.33)
79
+
−−
++
=
∫
+
mkjjj
km
f
t
t
AcadtetTth
tt
j
j
'
)(
2
'
'
'
)( )(
1
αβ
(5.34)
−
−−
−
=
∫
−
mkjj
km
t
t
e
Cqdtetq
tt
j
j
'
)(
2
'"
'
)(
1
αβ
(5.35)
+
−−
+
=
∫
+
mkjj
km
t
t
e
Cqdtetq
tt
j
j
'
)(
2
'"
'
)(
1
αβ
(5.36)
−−−
=
∫
−
0''
'
),( )(
1
mkjjji
t
t
i
BbadttrTth
j
j
(5.37)
+++
=
∫
+
0''
'
),( )(
1
mkjjji
t
t
i
BbadttrTth
j
j
(5.38)
−−−
=
∫
−
0''
'
)( )(
1
mkjjjf
t
t
BcadttTth
j
j
(5.39)
+++
=
∫
+
0''
'
)( )(
1
mkjjjf
t
t
BcadttTth
j
j
(5.40)
−−
=
∫
−
0'
'"
)(
1
mkjj
t
t
e
Dqdttq
j
j
(5.41)
++
=
∫
+
0'
'"
)(
1
mkjj
t
t
e
Dqdttq
j
j
(5.42)
onde
kj
t
ee
e
t
eA
m
tjktjk
tjk
m
tjk
m
mkj
mm
mm
≤
∆
−
−
∆
−=
∆+−−∆−⋅−
∆−−∆−−
−
para ,
21
2
)1()(
)(
2
)(
2
22
22
αβαβαβ
αβαβ
αβαβ
(5.43)
80
1 para ,
21
2
)1(
2
)(
2
)(
2
2
)(
2
2
−≤
∆
−
+
∆
+−=
∆+−−∆−−
∆−−∆−−
+
kj
t
ee
e
t
eA
m
tjk
m
tjk
m
tjk
m
m
tjk
m
m
mkj
αβαβαβ
αβαβ
αβαβ
(5.44
)
kj
t
ee
eC
m
tjk
m
tjk
m
tjk
m
m
mkj
≤
∆
−
−=
∆⋅+−−∆⋅−−
∆−−
−
para ,
1
2
)1(
2
)(
2
)(
2
2
αβαβ
αβαβ
αβ
(5.45)
1 para ,
1
2
)1(
2
)(
2
)(
2
2
−≤
∆
−
+−=
∆+−−∆−−
∆−−
+
kj
t
ee
eC
m
tjk
m
tjk
m
tjk
m
m
mkj
αβαβ
αβαβ
αβ
(5.46
)
3
00
t
BB
mkjmkj
∆
==
+−
(5.47)
2
00
t
DD
mkjmkj
∆
==
+−
(5.48)
De acordo com as Equações (5.31) e (5.42), o coeficiente de transferência de calor, a
temperatura da parede interna do tubo, a temperatura do escoamento e o fluxo de calor
externo são agora representados discretamente pelos coeficientes
j
a
,
j
b
,
j
c
e
j
q
,
respectivamente, para
pt /1
=
∆
,
tjt
j
∆⋅=
,
pj ..., ,2 ,1
=
, sendo
p
o número de pontos do
domínio de tempo discretizado.
Substituindo agora Equações (5.31) a (5.42) nas Equações (5.30) e (5.31), chega-se às
seguintes equações:
j
i
kj
k
j
i
kj
e
j
i
kj
k
j
i
kj
e
jjj
i
kj
k
j
i
kj
i
jjj
i
kj
k
j
i
kj
i
i
kkki
qDD
r
qDD
r
cbaBB
r
cbaBB
r
GbtrT
)(
)(
)( )(
)( )(
),(
1
0
1
0
1
0
1
0
+
=
−
+
=
−+
=
−
+
=
−
+
∑
++
∑
+−+
∑
−−
∑
+−==
λ
α
λ
α
λ
α
λ
α
(5.49)
81
j
e
kj
k
j
e
kj
e
j
e
kj
k
j
e
kj
e
jjj
e
kj
k
j
e
kj
i
jjj
e
kj
k
j
e
kj
i
e
kkke
qDD
r
qDD
r
cbaBB
r
cbaBB
r
GdtrT
)(
)(
)( )(
)( )(
),(
1
0
1
0
1
0
1
0
+
=
−
+
=
−+
=
−
+
=
−
+
∑
++
∑
+−+
∑
−−
∑
+−==
λ
α
λ
α
λ
α
λ
α
(5.50)
Ou, ainda,
j
i
kj
i
kj
i
kj
k
j
i
kj
e
jjj
i
kj
i
kj
i
kj
k
j
i
kj
i
i
kk
qDDDD
r
cbaBBBB
r
Gb
)(
)( )(
0
1
0
0
1
0
+−+
=
−
+−+
=
−
+++
∑
−++
∑
+−=
λ
α
λ
α
(5.51)
j
e
kj
ei
kj
e
kj
k
j
e
kj
e
jjj
e
kj
e
kj
e
kj
k
j
e
kj
i
e
kk
qDDDD
r
cbaBBBB
r
Gd
)(
)( )(
0
1
0
0
1
0
+−+
=
−
+−+
=
−
+++
∑
−++
∑
+−=
λ
α
λ
α
(5.52)
onde
drrRrTe
N
rR
TG
m
e
r
i
r
k
m
m
m
im
i
k
t
),(
)(
),(
'
0
'
0
2
1
0
0
β
β
β
αβ
∫
∑
−
∞
=
+=
(5.53
)
drrRrTe
N
rR
TG
m
e
r
i
r
k
m
m
m
em
e
k
t
),(
)(
),(
'
0
'
0
2
1
0
0
β
β
β
βα
∫
∑
⋅−
∞
=
+=
(5.54
)
∑
=
∞
=
−−
1
2
0
)(
),(
m
mkj
m
im
i
kj
A
N
rR
B
β
β
;
∑
=
∞
=
++
1
2
0
)(
),(
m
mkj
m
im
i
kj
A
N
rR
B
β
β
(5.55)
∑
=
∞
=
−−
1
00
)(
),( ),(
m
mkj
m
emim
e
kj
A
N
rRrR
B
β
β
β
;
∑
=
∞
=
++
1
00
)(
),( ),(
m
mkj
m
emim
e
kj
A
N
rRrR
B
β
β
β
(5.56)
82
∑
=
∞
=
−−
1
00
)(
),(),(
m
mkj
m
emim
i
kj
C
N
rRrR
D
β
β
β
;
∑
=
∞
=
++
1
00
)(
),( ),(
m
mkj
m
emim
i
kj
C
N
rRrR
D
β
β
β
(5.57)
∑
=
∞
=
−−
1
2
0
)(
),(
m
mkj
m
em
e
kj
C
N
rR
D
β
β
;
∑
=
∞
=
++
1
2
0
)(
),(
m
mkj
m
im
e
kj
C
N
rR
D
β
β
(5.58)
+++−−
−
==
−
==
0
22
000
22
00
2
;
2
mkj
ie
e
kj
i
kjmkj
ie
e
kj
i
kj
B
rr
BBB
rr
BB
(5.59)
+++−−
−
==
−
==
0
22
000
22
00
2
;
2
mkj
ie
e
kj
i
kjmkj
ie
e
kj
i
kj
D
rr
DDD
rr
DD
(5.560)
Adicionalmente,
j
k
j
is
kjjjj
k
j
is
kj
i
kk
qDcbaBGb )(
11
∑
+−
∑
−=
=
+−
=
+−
(5.61)
+
∑
+−
∑
−=
=
+−
=
+−
j
k
j
es
kjjjj
k
j
es
kj
e
kk
qDcbaBGd )(
11
(5.62)
onde
)(
0 −−−
+=
i
kj
i
kj
i
is
kj
BB
r
B
λ
α
; )(
0 −−−
+=
e
kj
e
kj
e
es
kj
BB
r
B
λ
α
(5.63)
)(
00 +−+−+−
+++=
i
kj
i
kj
i
kj
i
kj
i
is
kj
BBBB
r
B
λ
α
; )(
00 +−+−+−
+++=
e
kj
e
kj
e
kj
e
kj
e
es
kj
BBBB
r
B
λ
α
(5.64)
83
Explicitando os termos de discretização onde kj
=
, nas Equações (5.61) e (5.62), e
levando em conta o fato de que no último subintervalo do domínio discretizado tem-se apenas
a parcela esquerda da respectiva função de interpolação, chega-se finalmente às expressões
algébricas de recorrência para a determinação do coeficiente de transferência de calor no
interior do evaporador do TCP.
k
is
kk
k
is
kkj
k
j
is
kjkk
is
kkjjj
k
j
is
kj
i
k
k
aB
qDqDcaBcbaBG
b
1
)(
1
1
1
1
−
−
−
=
+−−
−
=
+−
+
+++−−
=
∑∑
(5.65)
k
es
kkj
k
j
es
kjkkk
es
kkjjj
k
j
es
kj
e
kk
qDqDcbaBcbaBGd )( )(
1
1
1
1
−
−
=
+−−
−
=
+−
+
∑
+−−−
∑
−= (5.66)
5.1.1 Validação da Técnica de Discretização por Funções-Tenda
Com o intuito de validar a técnica de discretização das variáveis da Equação (5.17),
considere-se inicialmente um problema-teste no qual o coeficiente de transferência de calor
i
h , o fluxo de calor externo (
"
e
q
) e a temperatura do fluido de trabalho (
f
T ) sejam conhecidos
e constantes ao longo do tempo. Para este caso o PVC é governado pelas equações que
seguem:
p
ei
c
trr
t
trT
r
trT
r
rr
sendo ,0 e r em ,
),(1),(1
ρ
λ
α
α
=><<
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
(5.67)
0 te em ),(
),(
>==−
∂
∂
ifiii
rrThtrTh
r
trT
λ
(5.68)
84
0 e em ,
),(
''
>==
∂
∂
trrq
r
trT
ee
λ
(5.69)
0 e rr em ,)(),(
e0
=<<== trTrFtrT
i
(5.70)
De acordo com Özişik (1993), a solução do PVC dado pelas Equações (5.67) a (5.70),
utilizando a técnica da Transformada Integral, tem a seguinte forma:
+=
∫
∑
−
∞
=
t
m
t
m
m
t
m
m
m
m
dttAeFe
N
rR
trT
0
''
'
2
_
2
1
0
),()(
)(
),(
),(
ββ
β
β
αβαβ
(5.71)
onde
[
]
"
00
'
),( ),( ),(
eemeesciimim
qrRrThrRrtA
ββ
λ
α
β
+= (5.72)
'''
0
'
_
)( ),()( drrFrRrF
m
e
r
i
r
m
ββ
∫
=
(5.73)
'
'2'
0
'
)],([)(
∫
=
e
r
i
r
mm
drrRrN
ββ
(5.74)
As autofunções ),(
0
rR
m
β
e os autovalores
m
β
que aparecem nas Equações (5.71) a
(5.74), são obtidas a partir da solução do problema homogêneo associado, dado pelas
seguintes equações:
p
ei
c
trr
t
trT
r
trT
r
rr
sendo ,0 e r em ,
),(1),(1
ρ
λ
α
α
=><<
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
(5.75)
0 te em 0),(
),(
>==−
∂
∂
iii
rrtrTh
r
trT
λ
(5.76)
0 e em ,0
),(
>==
∂
∂
trr
r
trT
e
λ
(5.77)
85
0 e rr em ,)(),(
e0
=<<== trTrFtrT
i
(5.78)
A solução do problema homogêneo, utilizando a técnica de separação de variáveis, é
obtida pela equação:
)( )(),(
00
tGrRtrT = (5.79)
Substituindo a Equação (5.79) na Equação (5.75) obtém-se:
1
0
0
0
0
2
0
2
0
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
1
C
dt
tdG
tGdr
rdR
rRr
dr
rRd
rR
==+
α
(5.80)
Como
1
C
é uma constante, tem-se que:
0)(
)(
)(
1
)(
)(
1
01
0
0
2
0
2
0
=−+ rRC
dr
rdR
rRr
dr
rRd
rR
(5.81)
0)(C
)(
01
0
=− tG
dt
tdG
α
(5.82)
As equações (5.81) e (5.82) apresentam as seguintes soluções:
) () ()(
1031020
rCYCrCJCrR −+−=
(5.83)
tC
eCtG
40
1
)(
α
= (5.84)
Fazendo
2
1 m
C
β
−= e 1
4
=C , as Equações (5.83) e (5.84) tornam-se:
) () (),(
2
03
2
020
rYCrJCrR
mmm
βββ
+= (5.85)
86
t
m
m
etG
0
2
),(
βα
β
−
= (5.86)
Consequentemente, a Equação (5.79) pode ser reescrita com segue:
t
mm
m
erYCrJCtrT
2
03
2
02
2
)] () ([),(
βα
ββ
−
+= (5.87)
Substituindo a Equação (5.87) na condição de contorno dada pela Equação (5.76),
colecionando termos e isolando
23
/ CC , obtém-se:
) ( ) (
) ( ) (
0
'
0
0
'
0
2
3
imimim
imimim
rYhrY
rJhrJ
C
C
βββλ
βββλ
+
+
−= (5.88)
Substituindo agora Equação (5.87) na condição de contorno dada pela Equação (5.77),
colecionando termos e isolando novamente
23
/ CC , obtém-se:
) (
) (
'
0
'
0
2
3
em
em
rY
rJ
C
C
β
β
−= (5.89)
Igualando as Equações (5.88) e (5.89), chega-se a equação que permite determinar os
autovalores
m
β
, que aparecem nas Equações (5.71) a (5.74).
0
) (
) (
) ( ) (
) ( ) (
'
0
'
0
0
'
0
0
'
0
=+
−
−
em
em
imimem
imimem
rY
rJ
rYhrY
rJhrJ
β
β
βββλ
βββλ
(5.90)
As constantes
2
C e
3
C , obtidas a partir da Equação (5.89), têm as seguintes formas:
) (
'
02 em
rYC
β
= (5.91)
) (
'
03 em
rJC
β
−= (5.92)
87
Finalmente, as autofunções ),(
0
rR
m
β
podem ser obtidas substituindo-se as Equações
(5.91) e (5.92) na Equação (5.85).
) () () () (),(
2
0
'
0
'
0
2
00
rYrJrYrJrR
mememmm
βββββ
−= (5.93)
No sentido de comparar os resultados fornecidos pela Equação (5.66) com os resultados
fornecidos pela Equação (5.71), considerem-se os dados do problema-teste da Tabela 5.1. As
Figuras 5.3 e 5.4 mostram comparações entre a temperatura da parede externa do tubo do
evaporador do TCP obtida pela Equação (5.66) e pela Equação (5.71), utilizando os dados da
Tabela 5.1. A Figura 5.4 mostra que o desvio percentual máximo da solução numérica em
relação à solução analítica da técnica da transformada integral foi relativamente baixo,
aproximadamente 3,5%, tornando-se praticamente nulo a partir de 15 segundos. Estes
resultados mostram que a solução numérica reproduz com boa precisão os resultados obtidos
pelo método da transformada integral, indicando que o equacionamento da solução numérica
é coerente.
Tabela 5.1 Dados do problema-teste para validação da técnica de discretização utilizando
funções-tenda.
Tubo de cobre
3
kg/m 8954=
ρ
W/mK386
=
λ
J/kgK 1,383=
p
c
Temperatura
do CO
2
253 K (-20°C)
Diâmetros
Interno = 1,7 mm
Externo = 2,4 mm
Coeficiente
de transferência
de calor
Kh
Kh
i
i
2
2,
2
1,
W/m5000
W/m1000
=
=
Comprimento
do evaporador
50 mm
Número de
autovalores
20
Fluxo de calor
60 kW/m
2
(6 W/cm
2
)
Passo de tempo
s 1,0
=
∆
t
Temperatura inicial
253 K (-20°C)
Total de pontos
600
Os autovalores
m
β
do problema-teste da Tabela 5.1 são obtidos da Equação (5.90),
conforme valores apresentados no Apêndice E.
88
0 10 20 30 40 50 60
-25
0
25
50
75
100
Equação (5.70), 1000 W/m²K
Equação (5.65), 1000 W/m²K
Equação (5.70), 5000 W/m²K
Equação (5.65), 5000 W/m²K
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
Figura 5.3 Comparação entre as temperaturas da parede externa do tubo do TCP calculadas
pelas Equações (5.65) e (5.70).
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Desvio Percentual na Estimativa
da Temperatura [%]
Tempo [s]
1000 W/m²K
5000 W/m²K
Figura 5.4 Variação do desvio percentual entre a temperatura da parede externa do tubo do
TCP calculada pela Equação (5.65) e pela Equação (5.70).
89
5.2 Estimador Inverso com Gradientes Conjugados
5.2.1 Determinação e Minimização da Função-Objetivo do Problema
De acordo com a Beck et al. (1985), um dos métodos mais eficazes de solução de
problemas inversos é o método da especificação de função. Neste método o parâmetro a ser
estimado é calculado simultaneamente em todo o intervalo de tempo considerado (estimação
em domínio completo), a partir da minimização de uma função-objetivo com alguma técnica
de estabilização usada nos procedimentos de estimação. A função objetivo adotada deve
correlacionar os parâmetros obtidos experimentalmente e os estimados. Conforme descrito
por Özisik e Orlande (2000), a função-objetivo que fornece a menor variância das grandezas
envolvidas é a norma dos mínimos quadrados ou soma dos resíduos quadráticos. Tal função,
aplicada ao problema da estimativa do coeficiente de transferência de calor a partir da
Equação (5.65), tem a seguinte forma:
∑
−=
=
p
k
kk
dYS
1
2
)( (5.94)
onde
S é soma dos resíduos quadráticos ou função objetivo.
k
d é a temperatura estimada da parede do tubo em
e
rr =
e no tempo
k
t .
k
Y é a temperatura da parede do tubo em
e
rr =
e no tempo
k
t , obtida
experimentalmente.
p
é o número total de pontos do domínio discretizado.
O problema da estimativa do coeficiente de convecção no interior do evaporador do TCP
pressupõe a minimização da função objetivo. Consequentemente, a derivada de S em relação
a
k
a deve ser nula. O que, matematicamente, é representado pela seguinte equação:
( )
0 ) (2
1
=−
∂
∂
−=
∂
∂
∑
=
p
k
kk
k
k
k
dY
a
d
a
S
(5.95)
90
A forma matricial da equação escalar anterior, é representada da seguinte forma:
( )
0 2 =−
∂
∂
−=∇
dY
d
S
a
T
(5.96)
onde
],,,[
21
p
aaa L=a
(5.97)
e
[ ]
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
p
p
pp
p
p
p
p
p
T
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
ddd
a
a
a
,,,
21
33
2
3
1
22
2
2
1
11
2
1
1
21
2
1
L
MLMM
L
L
L
L
M
a
d
(5.98)
5.2.2 Especificação e Análise da Matriz de Sensibilidade do Problema
Uma importante grandeza a ser analisada durante a solução de problemas inversos é a
denominada matriz de sensibilidade ( J ), cujos termos são chamados de coeficientes de
sensibilidade (
kj
J , pk ,,2,1
L
=
, pj ,2,1
L
=
). Para o problema em questão, a matriz de
sensibilidade é apresentada pela equação abaixo.
91
21
3
2
3
1
3
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
p
ppp
p
p
p
T
T
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
L
MLMM
L
L
L
a
d
J (5.99)
Os coeficientes de sensibilidade que aparecem na Equação (5.99) são obtidos derivando-
se as Equações (5.65) e (5.66), resultando nas seguintes Equações:
( )
( )
−+
∂
∂
−
∂
∂
−+
∂
∂
−=
∂
∂
−
−
=
+−
∑
kk
k
k
k
es
kk
k
j
jj
k
j
j
k
j
es
kj
k
k
cb
a
b
aB
a
a
cb
a
b
aB
a
d
1
1
(5.100)
k
is
kk
k
is
kk
k
j
jj
k
j
j
k
j
is
kj
k
is
kk
k
is
kk
j
k
j
is
kj
kk
is
kk
jjj
k
j
is
kj
i
is
kk
k
k
aB
cB
a
a
cb
a
b
aB
aB
qDqDcaBcbaBGB
a
b
1
)(
) 1(
)(
1
1
2
1
1
1
1
0
−
−
−
=
+−
−
−
−
=
+−−
−
=
+−−
+
+
∂
∂
−+
∂
∂
−
+
+
+++−−−
=
∂
∂
∑
∑∑
(5.101)
O coeficiente de sensibilidade representa a variação da temperatura
k
d em relação ao
parâmetro estimado
k
a . Valores pequenos de
kj
J
indicam que grandes variações em
k
a
levam à pequenas variações em
k
d . Nesta situação, a estimação de
k
a é dificultada, uma vez
que um mesmo valor da temperatura
k
d pode ser obtido para uma ampla faixa de
k
a .
Adicionalmente, quando os coeficientes de sensibilidade são pequenos, resulta que o
determinante de sensibilidade JJ
T
aproxima-se de zero e o problema inverso torna-se mal-
condicionado (ill-posed), de acordo com a terminologia de Beck et al. (1985). Nestas
condições pode-se demonstrar (Özisik e Orlande, 2000) que os termos da matriz de
92
sensibilidade, J , são linearmente dependentes, ou seja, cada um deles pode ser escrito como
uma combinação linear dos demais. Assim, é desejável que os coeficientes de sensibilidade
sejam linearmente independentes e que tenham grandes magnitudes de modo que o
determinante de sensibilidade também apresente magnitude elevada. Deste modo, o problema
inverso terá menor sensibilidade em relação aos erros de medição e os parâmetros a serem
estimados apresentarão maior precisão. A maximização da matriz de sensibilidade depende
principalmente da metodologia de solução e do número total de medições dos parâmetros
experimentais.
A Figura 5.5 mostra a variação do determinante de sensibilidade JJ
T
, do problema-teste
caracterizado pelos dados da Tabela 5.1, obtido a partir da Equação (5.99). As curvas foram
geradas considerando-se um número variável de pontos do domínio discretizado (tempo) e
diferentes valores do coeficiente de transferência de calor. Observa-se que a magnitude de
JJ
T
aumenta à medida que o coeficiente de transferência de calor aumenta. O mesmo
comportamento é também observado quando o número de pontos do domínio discretizado
(tempo de simulação) aumenta. A Tabela 5.2 complementa a Figura 5.5, mostrando que o
determinante de sensibilidade do problema–teste já é relativamente alto (maior do que 10
+3
)
mesmo quando o coeficiente de convecção e o tempo de simulação são relativamente baixos
(200 W/m
2
K e 10 s). Esta constatação é um importante indicativo de que os coeficientes de
sensibilidade do método proposto tendem a ser linearmente independentes. Ou seja, que as
soluções obtidas a partir do problema inverso dado pelas Equações (5.65) e (5.66) são
relativamente estáveis.
93
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0,0
4,0x10
4
8,0x10
4
1,2x10
5
1,6x10
5
2,0x10
5
2,4x10
5
2,8x10
5
3,2x10
5
Coeficiente de Transferência de Calor [W/m
2
K]
Determinante de Sensibilidade
60 s
50 s
40 s
30 s
20 s
10 s
Figura 5.5 Determinante de sensibilidade do problema-teste direto caracterizado pela Tabela
(5.1) e pela Equação (5.99).
Tabela 5.2 Resultados complementares aos resultados apresentados na Figura 5.5.
Tempo
]/[
2
kmWh
i
60 s 50 s 40 s 30 s 20 s 10 s
100 1,8E+02 1,4E+02 1,2E+02 1,4E+01 1,3E+00 1,2E-01
200 1,4E+02 1,4E+02 1,3E+02 1,2E+02 1,1E+02 1,2E+01
300 1,3E+03 1,2E+03 1,2E+03 1,1E+03 1,6E+02 1,1E+02
400 1,7E+03 1,6E+03 1,4E+03 1,3E+03 1,1E+03 1,3E+02
500 1,1E+04 1,1E+04 1,7E+03 1,5E+03 1,3E+03 1,7E+02
600 1,2E+04 1,1E+04 1,1E+04 1,8E+03 1,4E+03 1,1E+03
5.2.3 Descrição do Método dos Gradientes Conjugados
Conforme descrito anteriormente, a estimativa do coeficiente de transferência de calor
implica em se determinar os mínimos da função-objetivo não-linear caracterizada pela
Equação (5.94). Dentre as técnicas de minimização disponíveis, o método dos gradientes
94
conjugados é uma das mais simples e eficazes. A sua aplicação pressupõe a execução dos
seguintes passos:
•
Caracterização do problema direto.
•
Caracterização do problema inverso.
•
Estabelecimento do procedimento iterativo
•
Determinação do critério de parada.
•
Elaboração do algorítimo computacional.
Tanto o problema direto, quanto o inverso, foram devidamente caracterizados nas seções
anteriores. Porém, as demais etapas a serem seguidas dependem ainda da definição da
metodologia de solução a ser utilizada. Shewchuck (1994) apresenta uma descrição minuciosa
dos principais métodos de solução de problemas não-lineares envolvendo os gradientes
conjugados. No presente estudo optou-se por utilizar o método dos gradientes conjugados
não-linear, normalizado e pré-condicionado (Apêndice F), sendo o pré-condicionamento
realizado de acordo com a técnica de Polak-Ribière (
"
SH ≈
) e as raízes da função objetivo
obtidas pela técnica de Newton-Raphson. Tanto a normalização quanto o pré-
condicionamento são artifícios matemáticos usados para minimizar as instabilidades inerentes
à solução de problemas inversos não-lineares através do método dos mínimos quadrados. A
normalização adotada é realizada tomando-se como referência a temperatura média da parede
externa do tubo no evaporador do TCP, conforme equação abaixo:
σ
médiak
anormalizadk
dd
d
−
=
,
(5.102)
onde
∑
=
=
p
k
kmédia
d
p
d
1
1
(5.103)
e σ é o desvio médio quadrático, definido como:
( )
∑
=
−=
p
k
médiak
dd
p
1
2
1
σ
(5.104)
95
O pré-condicionamento é obtido pela redução do número de condicionamento da matriz
dos coeficientes do sistema a ser resolvido. O número de condicionamento da matriz dos
coeficientes, é obtido multiplicando a norma da matriz dos coeficientes pela norma da sua
inversa, conforme equação abaixo.
O pré-condicionamento é obtido multiplicando a matriz dos parâmetros a serem
minimizados por uma matriz auxiliar, denominada pré-condicionador. Na técnica de Polak-
Ribière, o pré-condicionador
H
, é a matriz da derivada segunda da função-objetivo S , em
relação ao parâmetro a ser estimado
k
a . Assim, multiplicando-se a Equação (5.96) pelo pré-
condicionador
H
, obtém-se:
( )
0 2 =−
∂
∂
−
dYH
a
d
T
(5.105)
onde
( )
∂
∂
−
∂
∂
−=∇∇=
a
d
a
d
SH
2
2
2 T
(5.106)
2
2
2
1
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
p
a
d
a
d
a
d
M
a
d
(5.107)
96
[ ]
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
p
p
pp
p
p
p
p
p
T
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
ddd
a
a
a
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
21
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
,,,
L
MLMM
L
L
L
L
M
a
d
(5.108)
As derivadas segundas de
k
d em relação aos coeficientes
k
a são obtidas a partir da
Equação (100), de acordo com:
k
is
kk
v
j
k
j
kv
j
jj
v
j
k
j
kv
j
j
k
j
is
kj
k
is
kk
v
k
k
is
kk
k
j
jj
k
j
j
k
j
is
kj
is
kk
k
is
kk
v
k
k
is
kk
v
j
jj
v
j
j
k
j
is
kj
is
kk
k
is
kk
v
k
k
is
kk
j
k
j
is
kj
kk
is
kk
jjj
k
j
is
kj
i
is
kk
k
k
v
aB
a
b
a
a
aa
a
cb
a
a
a
b
aa
b
aB
aB
a
a
cB
a
a
cb
a
b
aBB
aB
a
a
cB
a
a
cb
a
b
aBB
aB
a
a
qDqDcaB
cbaBG
B
a
b
a
1
)(
)1(
)(
)1(
)()(
) 1(
)(
)( 2
22
1
1
2
1
1
2
2
1
1
3
1
1
1
1
0
2
−
−
=
+−
−
−
−
=
+−−
−
−
−
=
+−−
−
−
−
=
+−−
−
=
+−
−
+
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
−+
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
−
+
+
∂
∂
−
∂
∂
−+
∂
∂
+
+
∂
∂
−
∂
∂
−+
∂
∂
+
+
∂
∂
++
+−−
=
∂
∂
∂
∂
∑
∑
∑
∑
∑
(5.109)
As derivadas segundas de
k
d que aparecem na Equação (109) são obtidas a partir da
Equação (101), de acordo com a Equação (5.110).
97
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
−+
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
−
−
=
+−
∑
v
k
v
k
k
k
kv
k
k
es
kk
v
j
k
j
kv
j
jj
v
j
k
j
kv
j
j
k
j
es
kj
k
k
v
a
b
a
a
a
b
aa
b
aB
a
b
a
a
aa
a
cb
a
a
a
b
aa
b
aB
a
d
a
2
22
1
1
)(
(5.110)
5.3 Validação do Método Proposto
Consideremos inicialmente um problema-teste inverso com coeficiente de transferência
de calor não conhecido, mas constante com o tempo. A Tabela 5.3 mostra os coeficientes
obtidos usando o estimador inverso com gradientes conjugados (método proposto), tomando
como referência os dados da Tabela 5.1 do problema-teste direto da Seção 5.2. Os
coeficientes de convecção do problema-teste direto são usados para gerar os dados de
temperatura na parede do tubo. Em seguida, estes dados são utilizados como parâmetros de
entrada do problema inverso. Os coeficientes de transferência de calor do problema inverso
são então estimados pelo método proposto. De acordo com os resultados, observa-se que
houve uma boa concordância entre os valores estimados e os valores do coeficiente de
convecção do problema direto referencial.
Tabela 5.3 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor estimados e os
coeficientes os coeficientes do problema-teste referencial, sem variação temporal.
Problema direto referencial
Problema inverso
Erro [%]
Kh
lreferenciai
2
,
W/m1000=
Kh
lreferenciai
2
,
W/m5000=
Kh
estimadoi
2
,
W/m9886 999,999=
Kh
estimadoi
2
,
W/m24999,99973 =
1,14 10
-06
5,36 10
-06
O método proposto deve também ser capaz de solucionar problemas inversos onde o
coeficiente de convecção varie com o tempo. Para tanto, vamos considerar novamente o
problema-teste inverso da Seção 5.3, todavia, definindo-se um coeficiente de transferência de
calor variando no tempo de acordo com as seguintes equações:
98
2
1,0
, 62345)(
i
lreferenciai
r
t
,th
α
ττ
== (5.111)
2
001,0
, )1( 8,4567)(
i
lreferenciai
r
t
eth
α
τ
τ
=−=
−
(5.112)
A Figura 5.6 mostra resultados do método proposto, tomando como referência o
problema-teste direto da Seção 5.2. Os coeficientes de transferência de calor referenciais, das
Equações (5.111) e (5.112), são usados para gerar os perfis de temperatura na parede do tubo
do problema referencial direto. Em seguida, estes perfis são utilizados como dados de entrada
do problema inverso. Os coeficientes de transferência de calor do problema inverso são então
estimados. Observa-se novamente uma boa concordância entre os valores estimados e os
referenciais.
Os resultados obtidos mostram que o método proposto foi capaz de estimar com boa
precisão os coeficientes de convecção no interior do TCP, tanto em situações onde não há
variação temporal quanto em situações onde os coeficientes variam com o tempo.
0 10 20 30 40 50 60
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
2
i
r
t
α
τ
=
)(
estimadoi
th
)1( 8,4567)(
001,0
τ
−
−= eth
lreferenciai
1,0
6,2345)(
τ
=
lreferenciai
th
Coeficiente de Transferência de Calor
[W/m
2
K]
Tempo [s]
Figura 5.6 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor estimados e os
coeficientes de transferência de calor com dependência temporal do problema-teste direto
referencial.
99
5.4 Análise de Sensibilidade do Método Proposto
A determinação do coeficiente de transferência de calor no interior do evaporador do TCP
através do método proposto requer, além do modelo matemático, a obtenção experimental dos
seguintes parâmetros: temperatura da parede interna do tubo (obtida através da medição da
pressão interna), temperatura da parede externa do tubo e fluxo de calor. Consequentemente, é
necessária uma análise da sensibilidade do estimador em relação aos erros experimentais
associados à medição destas grandezas.
5.4.1 Caso de Coeficiente de Transferência de Calor Constante
As Tabelas 5.4, 5.5 e 5.6 mostram resultados do método proposto aplicado ao problema-
teste inverso da Seção 5.3, para coeficiente de convecção constante, considerando a presença
de erros sistemáticos na temperatura da parede externa do tubo
e
T , na temperatura do
escoamento
esc
T e no fluxo de calor externo
"
e
q
. De acordo com as Tabelas 5.4 e 5.5 observa-
se que a agregação de erro sistemático nas temperaturas da parede externa do tubo e do
escoamento, fez com que os coeficientes de convecção estimados divergissem dos resultados
referenciais. Entretanto estas divergências, já esperadas, mostraram-se relativamente pequenas
em toda a faixa analisada. As maiores divergências ficaram abaixo de 1% para
KmWh
lreferenciai
2
,
/ 1000= e abaixo de 5% para KmWh
lreferenciai
2
,
/ 5000= , quando o erro
sistemático alcançou
K
1
±
. Cabe salientar que esta faixa de erro é bastante superior à faixa
de incerteza dos termopares usados na medição de temperatura, estimada em K
1,0
±
(Apêndice B).
Pode-se observar na Tabela 5.6 que os maiores desvios ocorridos entre os valores
estimados e os referenciais situam-se em torno dos 19%, para um erro sistemático do fluxo de
calor externo de ±15%. Entretanto, deve ser observado que as magnitudes de erro
consideradas são maiores do que as incertezas de medição do fluxo de calor externo do
Experimento III, que ficaram abaixo dos 3,5%.
100
Tabela 5.4 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático na
temperatura da parede externa do tubo, para coeficiente de transferência de calor constante.
Erro sistemático na
temperatura da parede
externa do tubo
][
K
lreferenciai
h
,
]/[
2
KmW
estimadoi
h
,
]/[
2
KmW
100
,
,,
x
h
hh
lreferenciai
estimadoilreferenciai
−
[%]
1000
1009,6
1007,2
1004,8
1002,4
997,6
995,3
992,9
990,6
0,96
0,72
0,48
0,24
0,24
0,47
0,71
0,94
00,1
−
75,0
−
50,0
−
25,0
−
25,0
+
50,0
+
75,0
+
00,1
+
5000
5234,9
5174,1
5114,8
5056,7
4944,5
4890,2
4837,1
4785,2
4,7
3,5
2,3
1,1
1,1
2,2
3,3
4,3
Tabela 5.5 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático na
temperatura do fluido de trabalho, para coeficiente de transferência de calor constante.
Erro sistemático
na temperatura do
fluido de trabalho
][K
lreferenciai
h
,
]/[
2
KmW
estimadoi
h
,
]/[
2
KmW
100
,
,,
x
h
hh
lreferenciai
estimadoilreferenciai
−
[%]
1000
1009,3
1006,9
1004,6
1002,3
997,7
995,4
993,2
990,9
0,93
0,69
0,46
0,23
0,23
0,46
0,68
0,91
00,1
−
75,0
−
50,0
−
25,0
−
25,0
+
50,0
+
75,0
+
00,1
+
5000
5232,5
5172,4
5113,6
5056,2
4945,0
4891,3
4838,7
4787,1
4,7
3,4
2,3
1,1
1,1
2,2
3,2
4,3
101
Tabela 5.6 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático no
fluxo de calor, para coeficiente de transferência de calor constante.
Erro sistemático no
fluxo de calor externo
[%]
lreferenciai
h
,
]/[
2
KmW
estimadoi
h
,
]/[
2
KmW
100
,
,,
x
h
hh
lreferenciai
estimadoilreferenciai
−
[%]
1000
863,8
905,0
950,2
1055,0
1116,2
1184,7
13,62
9,50
4,98
5,50
11,62
18,47
15
−
10
−
5
−
5
+
10
+
15
+
5000
4337,9
4538,4
4758,1
5267,5
5565,1
5897,9
13,24
9,23
4,84
5,35
11,30
17,96
Nas Figuras 5.7 e 5.8 o coeficiente de convecção constante estimado pelo método
proposto é plotado em relação ao RMS e ao Bias, gerados pela presença de erro aleatório na
temperatura da parede externa do tubo, de acordo com as Equações (5.113) e (5.114). O erro
aleatório foi gerado a partir de uma função distribuição normal (Gaussiana), com média nula e
desvio padrão igual a 0,4. A faixa de variação do erro foi de 38,1
−
a K 22,1 , em torno da
média. O valor do desvio padrão adotado é da ordem de grandeza do desvio padrão obtido
durante os procedimentos de aquisição das temperaturas do Experimento III. De acordo com
as duas figuras anteriores citadas, verifica-se que a presença do erro aleatório na temperatura
da parede externa tem menor efeito sobre o coeficiente de convecção calculado do que o erro
sistemático. Este comportamento se deve principalmente ao fato de que a distribuição normal
adotada para a geração do erro aleatório tem média nula. Consequentemente, durante a
normalização da temperatura da parede externa do tubo (Equação 5.88), tem-se uma
atenuação dos efeitos provocados pelo erro aleatório.
∑
=
−=
np
i
iinversoeidiretoe
TT
np
RMS
1
2
,,,,
)(
1
(5.113)
∑
−=
np
i
iinversoeidiretoe
TT
np
Bias )(
1
,,,,
(5.114)
102
0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
[(h
i,estimado
- h
i,referencial
)/ h
i,referencial
] x
100
Referencial, 50 kW/m
2
K
Referencial, 25 kW/m
2
K
Referencial, 5 kW/m
2
K
RMS
Referencial, 1 kW/m
2
K
Figura 5.7 Efeito do RMS, gerado por erro aleatório na temperatura externa do tubo, sobre o
coeficiente de transferência de calor constante estimado pelo método proposto.
-0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
[(h
i,estimado
- h
i,referencial
)/ h
i,referencial
] x
100
Referencial, 50 kW/m
2
K
Referencial, 25 kW/m
2
K
Referencial, 5 kW/m
2
K
Bias
Referencial, 1 kW/m
2
K
Figura 5.8 Efeito do BIAS, gerado por erro aleatório na temperatura externa do tubo, sobre o
coeficiente de transferência de calor constante estimado pelo método proposto.
103
5.4.2 Caso de Coeficiente de Transferência de Calor Variável
As Tabelas 5.7, 5.8 e 5.9 mostram resultados do método proposto aplicado ao problema-
teste inverso da Seção 5.3, considerando os dois casos de variação temporal do coeficiente de
transferência de calor, dados pelas Equações (5.111) e (5.112), com erros sistemáticos
presentes na temperatura da parede externa do tubo
e
T , na temperatura do escoamento
esc
T e
no fluxo de calor externo
"
e
q .
Nas Tabela 5.7 e 5.8 pode ser observado que os maiores desvios entre os coeficientes
estimados e os referenciais ficaram abaixo dos 5%, em toda a faixa de variação do erro
sistemática considerada. Já na Tabela 5.9 verifica-se que maiores desvios ficaram abaixo dos
12%.
Tabela 5.7 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático na
temperatura da parede externa do tubo, para coeficiente de transferência de calor variável.
Erro sistemático na
temperatura da parede
externa do tubo
][K
lreferenciai
th )(
]/[
2
KmW
100
)(
)()(
x
th
thth
refernciali
máximo
estimadoirefernciali
−
[%]
Equação (5.11)
2,99
1,47
1,43
4,18
00,1
−
50,0
−
50,0
+
00,1
+
Equação (5.12)
3,95
1,93
1,86
3,65
104
Tabela 5.8 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático na
temperatura do fluido de trabalho, para coeficiente de transferência de calor variável.
Tabela 5.9 Análise da sensibilidade do método proposto em relação ao erro sistemático no
fluxo de calor, para coeficiente de transferência de calor variável.
Erro sistemático no
fluxo de calor externo
[%]
lreferenciai
th )(
]/[
2
KmW
100
)(
)()(
x
th
thth
refernciali
máximo
estimadoirefernciali
−
[%]
Equação (5.11)
11,27
5,34
4,83
9,23
10
−
5
−
5
+
10
+
Equação (5.12)
9,13
4,47
4,24
8,24
A Figura 5.9 apresenta, complementarmente, resultados do método proposto aplicado a
situações onde o coeficiente de transferência de calor, além da variação temporal, apresenta
saltos específicos ao longo do período de análise considerado. Esta análise é importante
porque permite avaliar o comportamento do estimador em situações onde o padrão do
escoamento do fluido sofre alterações repentinas, inerentes à operação dos tubos de calor
pulsantes. Para tanto, será considerado novamente o problema referencial inverso da Seção
5.3, mas agora com o coeficiente de convecção interno variando de acordo com a Equação
(5.115).
Erro sistemático
na temperatura do
fluido de trabalho
][K
lreferenciai
th )(
]/[
2
KmW
100
)(
)()(
x
th
thth
refernciali
máximo
estimadoirefernciali
−
[%]
Equação (5.11)
2,95
1,46
1,41
2,79
00,1
−
50,0
−
50,0
+
00,1
+
Equação (5.12)
4,44
2,15
2,04
3,97
105
≤<=
≤<=
≤<=
≤<=
≤<=
≤≤=
==−=
−
stKmWu
stKmWu
stKmWu
stKmWu
stKmWu
stKmWu
u
r
t
euth
i
i
ilreferenciai
6050 ,/ 0003
5040 ,/ 2800
4003 ,/ 2600
3020 ,/ 2400
2010 ,/ 2200
100 ,/ 2000
e
:onde ),1( )(
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
001,0
,
α
τ
τ
(5.115)
0 10 20 30 40 50 60
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Calculado
Referencial
Coeficiente de Convecção [kW/m²K]
Tempo [s]
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
Figura 5.9 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor estimados e os
coeficientes do problema inverso referencial com saltos temporais.
Observa-se na figura anterior que o método proposto é capaz de assimilar saltos do
coeficiente de convecção, apresentando uma boa concordância com os valores referenciais.
5.5 Estimativa do Coeficiente de Transferência de Calor do Experimento III
Os parâmetros experimentais juntamente com o método proposto podem agora ser
utilizados para estimar o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do
evaporador do TCP do Experimento III. Com este propósito, duas possibilidades serão
consideradas. Na primeira, o coeficiente de convecção é considerado constante e, na segunda,
106
admite-se uma dependência temporal dos coeficientes discretos
k
a das Equações (5.65) e
(5.66), de acordo com a Equação (5.116).
tkt
r
t
ua
k
i
k
kkk
∆=== ,
,
2
1,0
α
ττ
(5.116)
sendo
u
um coeficiente a determinar.
Na Tabela 5.11 são apresentados os coeficientes de transferência de calor constantes,
estimados pelo método proposto. Foram utilizados como dados de entrada os parâmetros
numéricos da Tabela 5.10, a temperatura da superfície externa do evaporador e a temperatura
do fluido de trabalho, obtidas no Experimento III.
Tabela 5.10 Parâmetros numéricos para estimar os coeficientes de transferência de calor do
Experimento III.
Parâmetro Valor
Passo de tempo considerado 0,05 s
Número de autovalores considerados 20
Número total de pontos considerados 1200
Tolerância dos gradientes conjugados
10
-7
Tabela 5.11 Coeficientes de transferência de calor constantes estimados pelo método
proposto, a partir dos dados do Experimento III.
Fluxo de calor
[W/cm²]
estimadoi
h
,
[W/m²K]
2 18692,6
4 25008,0
6 36153,3
8 46778,6
10 56103,7
12 64955,4
14 68211,1
A Figura 5.10 mostra uma comparação entre a temperatura da superfície externa do
evaporador experimental e a temperatura gerada pelo método proposto, a partir dos
coeficientes de convecção constantes estimados (Tabela 5.11). Observa-se uma boa
107
concordância entre a temperatura estimada e os dados experimentais, indicando que os
coeficientes de convecção foram corretamente estimados.
0 10 20 30 40 50 60
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Experimental
Estimada
14 W/cm
2
12 W/cm
2
2 W/cm
2
10 W/cm
2
8 W/cm
2
6 W/cm
2
4 W/cm
2
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
Figura 5.10 Comparação entre a temperatura da superfície externa do evaporador do
Experimento III e a temperatura estimada, utilizando os coeficientes constantes da
Tabela 5.13.
A Figura 5.11 mostra os coeficientes de transferência de calor com dependência temporal
estimados pelo método proposto, utilizando os dados do Experimento III.
Na Figura 5.12 são apresentados resultados comparativos entre a temperatura da
superfície externa do evaporador do Experimento III e a temperatura gerada pelo método
proposto, considerando que o coeficiente de transferência de calor varia com o tempo.
Verifica-se novamente uma boa concordância entre as temperaturas estimadas e as
experimentalmente obtidas.
108
0 10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
70
80
14 W/cm
2
12 W/cm
2
10 W/cm
2
8 W/cm
2
6 W/cm
2
4 W/cm
2
2 W/cm
2
Coeficiente de Convecção Estimado
[kW/m
2
K]
Tempo [s]
Figura 5.11 Coeficientes de transferência de calor com dependência temporal estimados,
utilizando os dados do Experimento III.
0 10 20 30 40 50 60
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
2 W/cm
2
Experimental
Estimada
Temperatura [
o
C]
Tempo [s]
14 W/cm
2
12 W/cm
2
10 W/cm
2
8 W/cm
2
6 W/cm
2
4 W/cm
2
Figura 5.12 Comparação entre a temperatura da superfície externa do evaporador do
Experimento III e a temperatura estimada, considerando o coeficiente de transferência
de calor variável com o tempo.
109
A Tabela 5.12 complementa as Figuras 5.10 e 5.12, apresentando os erros percentuais
médios entre a temperatura da superfície externa do evaporador experimental e a temperatura
estimada pelo método proposto. Pode ser observado que o erro aumenta à medida que o fluxo
de calor aumenta e também que os erros são menores quando o coeficiente de convecção é
considerado constante. Entretanto, deve ser levado em conta o fato de que a dependência
temporal dada pela Equação (5.116) é apenas uma das formas de variação possíveis de serem
utilizadas e, sendo assim, outras funções podem ser utilizadas para reduzir ainda mais o erro
de estimação do coeficiente de transferência de calor.
Tabela 5.12 Erros percentuais médios entre a temperatura da superfície externa do evaporador
do Experimento III e a temperatura estimada.
Coeficiente de convecção
constante
Coeficiente de convecção
variável
Fluxo de calor
[W/cm²]
Erro médio
[%]
Erro médio
[%]
2 0,5 0,9
4 0,8 1,6
6 1,3 3,5
8 2,2 8,3
10 2,4 13,5
12 4,2 27,4
14 11,4 28,3
5.5.1 Análise Comparativa de Resultados
Gorenflo e Kotthoff (2005) publicaram uma extensa revisão sobre ebulição nucleada do
CO
2
. Entre os artigos revisados o estudo de Kotthoff et al. (2004) apresenta resultados
experimentais obtidos em condições similares às condições do Experimento III. O coeficiente
de transferência de calor em ebulição nucleada foi obtido para um tubo de cobre, com 8 mm
de diâmetro externo e 0,62 µm de rugosidade (sendo 0,63 µm no tubo do Experimento III),
para amplas faixas de fluxos de calor (0,002 até 10 W/cm
2
), de pressões (5,18 até 46,12 bar) e
de temperaturas de saturação (-56,56 até 10.91 °C). Estas faixas incluem grande parte das
condições nas quais os testes do Experimento III foram realizados (2 a 8 W/cm², 17,36 a
38,44 bar e -24,15 a 3,72 °C). A Tabela 5.13 mostra uma comparação entre os coeficientes
constantes da Tabela 5.13 e os coeficientes do estudo anteriormente citado.
110
Tabela 5.13 Comparação entre os coeficientes de transferência de calor do TCP do
Experimento III e os coeficientes de Kotthoff et al. (2004).
Coeficiente de transferência de calor Temperatura de saturação do CO
2
(temperatura do escoamento)
[°C]
Fluxo de calor
[W/cm²]
Presente estudo
[W/m²K]
Kotthoff et al. (2004)
*
[W/m²K]
Erro
[%]
-13,64 2 18692,6
≈
17100 9,31
-14,05 4 25008,0
≈
29300 14,65
-10,99 6 36153,3
≈
41900 13,72
-9,71 8 46778,6
≈
56900 17,79
-6,15 10 56103,7
≈
68500 18,10
* valores interpolados diretamente da Figura 1 do artigo original
Resguardadas as diferenças metodológicas, pode-se afirmar que os coeficientes de
transferência de calor estimados no presente estudo são consistentes com os coeficientes de
convecção obtidos experimentalmente por
Kotthoff et al. (2004).
5.6 Conclusões do Capítulo
A metodologia proposta mostrou ser uma ferramenta versátil e eficaz para a obtenção do
coeficiente transferência de calor no interior do evaporador do TCP, tanto em condições
teóricas (problemas-teste) quanto reais (Experimento III). Sendo capaz de realizar estimativas
em situações onde coeficiente de convecção é constante ou variável com o tempo.
As análises de sensibilidade realizadas mostram que o método proposto fornece soluções
estáveis, com elevada confiabilidade e capazes de assimilar os erros inerentes às grandezas
medidas.
111
Capítulo 6
Conclusões
6.1
Conclusões Gerais
Este estudo teve como foco principal a verificação da adequabilidade de uso dos tubos de
calor pulsantes CO
2
como trocadores passivos de calor em aplicações envolvendo baixas
temperaturas de evaporação e de condensação (aplicações de refrigeração). Ainda que o TCP
tenha apresentado um desempenho razoável em termos das densidades de fluxo de calor
alcançadas no modo de operação vertical (evaporador situado abaixo do condensador) não foi
possível avaliar o seu desempenho nos modos horizontal e contra gravidade (evaporador
situado acima do condensador), visto que nestas condições houve a secagem do evaporador já
na partida do dispositivo. Estas limitações tornam evidente que há a necessidade de se buscar
novas configurações que possibilitem a operação contra-gravidade, de modo que os TCPs de
baixa temperatura alcancem um desempenho térmico equivalente ao desempenho de outras
tecnologias bifásicas existentes, tais como os termossifões e os tubos de calor convencionais.
Analisando os processos de transferência de calor inerentes a operação de um TCP de
CO
2
, constatou-se que as trocas de calor na forma sensível são predominantes, quando o TCP
opera em condições onde as temperaturas de evaporação e de condensação estão acima da
temperatura ambiente. Entretanto, em aplicações envolvendo baixas temperaturas às parcelas
sensível e latente praticamente se equivalem. Apesar de coerentes, estes resultados não são
conclusivos, uma vez que foram obtidos admitindo-se várias simplificações relativas aos
processos térmicos e hidrodinâmicos relativos à operação do TCP.
Cada um dos três experimentos realizados, independentemente das suas especificidades,
faz parte do contexto geral deste trabalho. O Experimento I possibilitou além da obtenção dos
primeiros resultados experimentais relativos ao desempenho térmico de um TCP em circuito
112
fechado operando em baixa temperatura, o aperfeiçoamento dos procedimentos de carga do
fluido de trabalho e o desenvolvimento do software de gerenciamento experimental. No
Experimento II houve uma redução do diâmetro interno do tubo e um incremento significativo
do número de curvas, em relação à serpentina do experimento anterior. Estas mudanças foram
realizadas com o objetivo principal de melhorar o desempenho térmico do TCP no modo de
operação contra gravidade (evaporador posicionado acima do condensador).
6.2
Conclusões dos Resultados Experimentais
De acordo com os resultados obtidos a partir da realização dos Experimentos I, II e III,
pode-se concluir que:
•
Os resultados observados no Experimento I mostram que a configuração testada não
operou adequadamente para pequenos ângulos inclinação (modo de operação horizontal,
o
0
≈
β
), ainda que o número de Bond tenha se mantido abaixo do valor crítico ( 2
≈
Bo ),
independentemente da razão de enchimento e da potência fornecida, em todos os testes
realizados. O máximo fluxo de calor transferido foi de 1,4W/cm
2
(baseado na área da
superfície interna do tubo, na região do evaporador), para razão de enchimento de 50% e
ângulo de inclinação de 45
°
. Resultados análogos foram obtidos por Khandekar et al.
(2003), para um TCP feito de tubo de cobre, com 2 mm de diâmetro interno, 5 curvas, e
que utilizava como fluidos de trabalho água, etanol e R124.
•
O maior número de curvas da serpentina do Experimento II, em relação à serpentina do
Experimento I, elevou moderadamente o máximo fluxo de calor transferido pelo TCP
para 1,7 W/cm², correspondendo a uma razão de enchimento de 50% e inclinação de 90
°
(evaporador posicionado abaixo do condensador). Para razão de enchimento de 50%, e
inclinação de 45
°
, o máximo fluxo transferido foi 1,4 W/cm². Estes fluxos são
significativamente menores do que os valores correspondentes de 8,1 W/cm² e 11,9
W/cm², obtidos a partir da correlação proposta por Khandekar et al. (2003). Entretanto
esta correlação é uma equação dimensional, sendo obtida para um TCP operando com
fluidos distintos do CO
2
(água, etanol e R-123), numa faixa de temperaturas de operação
acima da temperatura ambiente (entre 20 e 80
°
C).
113
•
Durante os testes realizados nos Experimentos I e II foi observado que a temperatura
média do condensador variou com o ângulo de inclinação e com a razão de enchimento,
para uma mesma potência fornecida. Como a temperatura e a vazão do fluido de
resfriamento (etanol) foram mantidas fixas, é provável que este comportamento esteja
relacionado à ocorrência de diferentes regimes de escoamento no interior dos tubos deste
componente. Observou-se também que resistência térmica do global do TCP é reduzida à
medida que a potência fornecida é aumentada. Isto se deve ao fato de que em potências
relativamente baixas as forças dissipativas devidas à fricção, aceleração e gravidade, ainda
não são suficientemente grandes para gerar pulsações significativas do fluido de trabalho.
À medida que a potência fornecida aumenta as pulsações tornam-se maiores e o
dispositivo aumenta a sua eficiência térmica, resultando numa redução da sua resistência
térmica. Entretanto, a redução da resistência térmica é limitada pela eficiência do
condensador e pela temperatura do fluido de condensação. Fato este que explica uma
tendência de estabilização do valor da resistência térmica do TCP em potências
relativamente elevadas.
•
Em todos os testes foi observado que a temperatura média do condensador variou com o
ângulo de inclinação e com a razão de enchimento, para uma mesma potência fornecida.
Como a temperatura e a vazão do fluido de condensação (etanol) foram mantidas fixas
durante os testes, é provável que este comportamento esteja relacionado à ocorrência de
diferentes regimes de escoamento no interior dos tubos deste componente. Observou-se
também que a resistência térmica do TCP é reduzida à medida que a potência fornecida é
aumentada. Isto se deve ao fato de que em potências relativamente baixas as forças
dissipativas devidas à fricção, aceleração e gravidade ainda não são suficientemente
grandes para gerar pulsações significativas do fluido de trabalho. À medida que a potência
fornecida aumenta as pulsações tornam-se maiores e o dispositivo aumenta a sua
eficiência térmica, resultando numa redução da sua resistência térmica. Entretanto, a
redução da resistência térmica é limitada pela eficiência do condensador e pela
temperatura do fluido de condensação. Fato este que explica uma tendência de
estabilização do valor da resistência térmica do TCP em potências relativamente elevadas.
•
No Experimento III observou-se que a temperatura do fluido de trabalho obtida a partir de
uma correlação com a pressão de saturação medida no interior do TCP, é
114
termodinamicamente coerente uma vez que está situada numa faixa compreendida entre a
temperatura média da parede externa do condensador e a temperatura média da parede
externa do evaporador. Observou-se também que os fluxos transferidos foram superiores
aos máximos fluxos dos Experimentos I e II. Entretanto deve ser observado que no
Experimento III os testes foram realizados em períodos de tempo muito curtos (60
segundos). Esta estratégia foi adotada, principalmente, devido ao interesse em se obter o
coeficiente de transferência de calor durante a partida do dispositivo.
6.3
Conclusões sobre a Estimativa do Coeficiente de Transferência de Calor
Inicialmente as equações discretas do método proposto foram revisadas a partir de um
problema-teste teórico com coeficiente de transferência de calor conhecido, denominado
problema-teste direto. Como este problema apresenta solução conhecida, foi possível
comparar os resultados fornecidos pelas equações de recorrência do método proposto com os
resultados obtidos pela técnica da transformada integral. O maior desvio observado entre as
temperaturas da parede externa do tubo do evaporador calculadas pelas duas metodologias foi
relativamente baixo, aproximadamente 3,5%.
Em seguida, partiu-se para a fase de avaliação das potencialidades do método proposto
em situações onde o coeficiente de transferência de calor não é conhecido. Considerou-se
então dois problemas-teste inversos, sendo que no primeiro o coeficiente de transferência de
calor a ser estimado é constante e no segundo varia com o tempo. Um problema-teste direto
com coeficiente de transferência de calor conhecido foi usado para gerar os dados de
temperatura na parede do tubo. Em seguida, estes dados foram utilizados como parâmetros de
entrada do problema inverso. Os coeficientes do problema inverso são então estimados pelo
método proposto. Em ambos os casos o máximo desvio obtido entre os coeficientes do
problema referencial direto e os coeficientes estimados pelo método proposto foi menor do
que 10
-05
%. Complementarmente, as análises de sensibilidade realizadas mostram que o
método proposto fornece soluções estáveis, com elevada confiabilidade e capazes de assimilar
os erros inerentes às grandezas medidas.
Posteriormente, foi estimado o coeficiente de transferência de calor no interior do
evaporador do TCP do Experimento III utilizando os parâmetros os medidos. Novamente
foram consideradas as hipóteses de coeficiente de transferência de calor constante e variável.
115
Porém, neste caso, a checagem dos coeficientes estimados é feita de forma indireta. Ou seja, o
coeficiente estimado é usado para gerar os dados de temperatura na parede externa do
evaporador. Estes dados são então comparados aos dados experimentais. O desvio médio
entre as temperaturas estimadas pelo método proposto e as temperaturas experimentais variou
de 0,5 a 11,4%, para coeficiente de transferência de calor constante, e 0,9 a 28,3%, para
coeficiente variável. Apesar destes resultados serem relativamente bons, é necessário
considerar a possibilidade de existência de outras formas de dependência temporal do
coeficiente de transferência de calor que levem a diminuição dos erros entre os parâmetros
estimados e os dados experimentais.
Finalmente, resguardadas as diferenças metodológicas, é possível afirmar que os
coeficientes de transferência de calor estimados pelo método proposto são consistentes com
os coeficiente de transferência de calor obtidos experimentalmente por
Kotthoff et al. (2004).
6.4
Recomendações para Estudos Posteriores
Em termos do desempenho térmico do TCP em aplicações de baixa temperatura é
necessário testar outras configurações e fluidos de trabalho, buscando elevar as densidades de
fluxo de calor transferido e também a operação contra gravidade (evaporador posicionado
acima do condensador).
Experimentos que permitam a visualização do escoamento do CO2 e a obtenção do
espectro de frequências do CO
2
interior do TCP, são fundamentais para a determinação dos
padrões de escoamento associados à operação destes dispositivos em baixas temperaturas.
Esta informação serve de base para quaisquer avanços futuros no projeto destes dispositivos.
Em termos da diminuição dos erros de estimativa do método, novas funções para
caracterizar a variação temporal do coeficiente de transferência de calor no interior do
evaporador do TCP devem ser consideradas e testadas.
116
Referências Bibliográficas
AKACHI H. U. S. Patent, Patent No. 521920, 1993.
AKACHI H. U. S. Patent, Patent No. 5490558, 1998.
AKACHI H.; POLÁŠEK F. and ŠTULC P. Pulsating Heat Pipes, Proc. 5
th
Heat Pipe Symp.,
pp. 208-217, Melbourne, Australia, 1996.
AZAR K. The History of Power Dissipation. Electronics Cooling, Vol. 6, No. 1, 2000.
BECK J. V., BlackWell B. and St. Clair Jr. C. R. Inverse Heat Conduction: Ill-posed
Problems, John Wiley & Sons, New York, 1985.
BOWERS M. B. and Mudawar I. High Heat Flux Boiling in Low Flow Rate, Low Pressure
Drop Mini-channel and Micro-channel Heat Sinks, International Journal of Heat and Mass
Transfer, Vol. 37, pp. 321-332, 1994.
CENGEL Y. A. Heat Transfer – A Practical Approach, MCGraw Hill, 1998.
CHAROENSAWAN P.; KHANDEKAR S.; GROLL M. and TERDTOON P. Closed Loop
Pulsating Heat Pipes – Part A: Parametric Experimental Investigations, Applied Thermal
Engg., Vol. 23/16, pp. 2009-2020, 2003.
CHU R. C. A Review of IBM Sponsored Research and Development Projects for Computer
Cooling, Proc. 15
th
IEEE Semi-Therm Symposium, pp. 151-165, 1999.
117
COLLE, S.; ANDRADE M. A.; PINHO J. T.; SILVA J. C. V.; BEDIA M.; VEIGA C. E. and
SCUSSEL J. N. Temperature Response of OPGW with Mixed Armored Aluminum Covered
Steel Wires and Aluminum Alloy Wires Submitted to Short-Circuit. Transaction of
International Wire and cable Symposium (IWCS), Vol. 1, pp. 137-146, 2008.
DOBSON R. T. and GRAF G. Thermal. Characterisation of an Amonia-Charged Pulsating
Heat Pipe. 7
th
IHPS - International Heat Pipe Symposium, JeJu, South Korea, 2003.
FAGHRI A. Heat Pipe Science and Technology, Taylor and Francis, 1995.
G. KARIMI and J. R. KULHAN. Review and Assessment of Pulsating Heat Pipe Mechanism
for High Heat Flux Electronic Cooling, 9
th
IEEE Inter Society Conference on Thermal
Phenomena, pp. 52-59, 2004.
GAUGLER R. S., U. S. Patent, Patent No. 2350348-1944, 1942.
GORENFLO D. and KOTTHOFF S., Review on Pool Boiling Heat Transfer of Carbon
Dioxide, International Journal of Refrigeration, Vol. 28, pp. 1169-1185, 2005.
GRIMLEY T. A.; MUDAWAR I. and INCROPERA F. P. Limits to Critical Heat Flux
Enhancement in Liquid Film over Structured Surface that Simulates a Microelectronic Chip,
Trans. ASME, Journal of Heat Transfer, Vol. 110, pp. 535-538, 1998.
GROLL M. and KHANDEKAR S. State of the Art on Pulsating Heat Pipes, 2
th
ASME Int.
Conf. on Mini-channels and Micro-channels, Rochester (NY), USA, pp. 33-44, 2004.
HARMATHY T. Z. Velocity of Large Bubbles in Media Of Infinite or Restricted Extent, A.
I. Ch. E. Journal, Vol. 6, No. 2, pp. 281-288, 1960.
HEIDRICH J. W. F.; PRATA A. T.; LILIE D. E. B. Heat and Fluid Flow in a Free Piston
Stirling Refrigerator, International Conference on Compressors and Their Systems, London,
pp. 71-80, 2005.
118
HOSODA M.; NISHIO S. and SHIRAKASHI R., Study of Meandering Closed-Loop Heat
Transport Devise (Vapor-Plug Propagation Phenomena), JSME International Journal,
Series B, Vol. 42, No. 4, pp. 727-743, 1999.
INCROPERA F. P. Liquid Cooling of Electronic Devices by Single-Phase Convection,
John Wiley & Sons, New York, 1999.
KAKAC S. Introduction to ASI on Cooling of Electronic Systems, Cooling of Electronics
Systems, Kulwar Academic Publishers, pp. 1-15, 1994.
KARIMI, G., CULHAN, J. R. Review and Assessment of Pulsating Heat Pipe Mechanism for
High Heat Flux Electronic Cooling, 9th ITherm Conference (Intersociety Conference on
Thermal and Thermomechanical Phenomena in Electronic Systems), Las Vegas, USA, 2004.
KAWARA Z.; TAKAHASHI O.; SERIZAWA A. and KOHNO M. Visualization of Flow in a
Heat Pipe by Proton Radiography, Proc. 24
th
Visualization and Information Symp., pp.27-23,
Osaka, Japan, 1996.
KHANDEKAR S. Thermo-Hydrodynamics of Closed Loop Pulsating Heat Pipes, Doctorial
Dissertation, Universität Stuttgart, Germany, 2004.
KHANDEKAR S.; CHAROENSAWAN P.; GROLL M. and TERDTOON P. Closed Loop
Pulsating Heat Pipes – Part B: Visualization and Semi-Empirical Modeling, Applied
Thermal Engg., Vol. 23/16, pp. 2021-2033, 2003.
KHANDEKAR S.; DOLLINGER N. and GROLL M. Understanding Operational Regimes of
Pulsating Heat Pipes: an Experimental Study, Applied Thermal Engg., Vol. 23/6, pp. 707-
719, 2003.
KHANDEKAR S. and GROLL M., Insights Into the Performance Models of Closed Loop
Pulsating Heat Pipes and Some Design Hints, 18
th
National & 7
th
ISHMT-ASME Heat and
Mass Transfer Conference, IIT Guwahati, India, 2006.
119
KHANDEKAR S.; GAUTAN A. P. and SHARMA P. K. Multiple Quasi-Steady States in a
Closed Loop Pulsating Heat Pipe, International Journal of Thermal Sciences., Vol. 48, pp.
535-546, 2009.
KIM M-H., PETTERSEN J. and BULLARD C. W. Fundamental Process and System Design
Issues in CO
2
Vapor Compression Systems, Progress in Energy and Combustion Science,
Vol. 30, pp. 119-174, 2004.
KOTTHOFF S, CHANDRA U. and GORENFLO D., New Measurements of Pool Boiling
Heat Transfer for Carbon Dioxide in a Wide Temperature Range, Proceedings of Sixth IIR –
Gustav Lorentzen Conference, Glasgow, England, 2004.
KURWEG U. and ZHAO L. Heat transfer by High Frequency Oscillations: A New
Hydrodynamic Technique for Achieving Large Effective Thermal Conductivities, Physics of
Fluids, Vol. 27, pp. 2624-2627, 1984.
LIN S.; SEFIANE K. and CHRISTY J. Prospect of Confined Flow Boiling in Thermal
Management of Microsystems, Applied Thermal Engg., Vol. 22, pp. 825-837, 2002.
MA H. B.; HANLON M. A. and CHEN C. L. An Investigation of Oscillating Motions in a
Miniature Pulsating Heat Pipe, Microfluid and Nanofluid, Vol. 2, No. 2, pp. 171-179, 2006.
MAESAWA S.; MINAMISAWA K. and AKACHI H. Thermal Performance of Capillary
Tube Termosyphon, Proc. 9
th
International Heat Pipe Conference, Vol. 2, pp. 791-795,
Albuquerque, New Mexico, USA, 1995.
MAESAWA S.; NAKAJIMA R. and AKACHI H. Experimental Chaos in Oscillating
Capillary Tube Heat Pipes, Preprints 10
th
Int. Heat Pipe Conf., Vol. ¾, Stuttgart, Germany,
1997.
MAEZAWA S.; SATO F. and GI K. Chaotic Dynamics of Looped Oscillating Heat Pipes
(Theoretical Analysis on Single Loop), Proc. 6
th
Int. Heat Pipe Symp., pp. 273-280, Chiang
Mai, Thailand, 2000.
120
MOFFAT R. J. Air Cooling of Electronics Components, in Advances in Thermal Modeling
of Electronics Components and Systems, Vol. 1, Hemisphere Publishing Corporation, New
York, USA, 1998.
ÖZI
Ş
IK M. N. Heat Conduction, John Wiley & Sons, New York, 1993.
ÖZI
Ş
IK M. N. and ORLANDE H. R. B. Inverse Heat Transfer: Fundamental and
Applications, Taylor & Francis, New York, 2000.
SERT C. and BESKOK A. Numerical Simulation of Reciprocating Flow Forced Convection
in Two-Dimensional Channels, ASME Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 125, pp.
403-412, 2003.
SHAFII M. B.; FAGHRI A. and ZHANG Y. Thermal Modeling of Unlooped and Looped
Pulsating Heat Pipes, ASME Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 123, pp. 1159-1172,
2001.
SHEWCHUCK J. R. An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the
Agonizing Pain, School of Computer Science, Carnegie Melon University, Pittsburgh, USA,
1994.
SIEGEL R. and PERLMUTTER M. Heat Transfer for Pulsating Laminar Duct Flow, ASME
Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 84, pp. 111-123, 1962.
SMYRNOV G. and SAVCHENCOV G. USSR Patent, Patent No. 504065, 1975.
STAKGOLD, I., Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Vol. II, MacMilan
Series in Advanced Mathematics and Theoretical Physics, New York, 1968.
SWANEPOEL G.; TAYLOR A. and DOBSON R. Theoretical Modeling of Pulsating Heat
Pipes, Int. Heat Pipe Symp., pp. 227-234, Chiang Mai, Thailand, 2000.
TONG B. Y.; WONG T. N. and OOI K. Closed-Loop Pulsating Heat Pipe, Applied Thermal
Engg.
, Vol. 21/18, pp. 1845-1862, 2001.
121
WHITE E. and BEARDMORE R. The Velocity of Rise of Single Cylindrical Air Bubbles
Through Liquids Contained in Vertical Tubes, Chem. Engg. Science, Vol. 17, pp. 351-261,
1962.
WONG T.; TONG B. Y.; LIM S. M. and OOI K. Theoretical Modeling of Pulsating Heat
Pipe, Proc. 11
th
Int. Heat Pipe Conf., pp. 159-163, Tokyo, Japan, 1999.
ZHANG Y. and FAGHRI A. Heat Transfer in a Pulsating Heat Pipe with Open End,
International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, pp. 755-764, 2002.
ZHAO T. and CHENG P. A Numerical Solution of Laminar Forced Convection in a Pipe
Subjected to a Reciprocating Flow, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol.
3, pp. 3011-3022, 1995.
ZUO Z. J. and NORTH M. T. Miniature High Heat Flux Heat Pipes for Cooling Electronics,
Proc. of SEE, Hong Kong, pp. 573-579, 2000.
Publicações Decorrentes do Presente Estudo
SOUZA F. A. S., DESTRI J. F. A. and COLLE S. An Experimental Investigation of an CO
2
Pulsating Heat Pipe, Proc. 14
th
Int. Heat Pipe Conf., Florianópolis, Brazil, 2007.
SOUZA F. A. S., COLLE S. and CANESIN F. C. Experimental Investigation of an CO
2
Pulsating Heat Pipe, 1
th
EBECEM – Encontro Brasileiro Sobre Ebulição, Condensação e
Escoamento Multifásico Líquido-Gás, Florianópolis, Brasil, 2008.
SOUZA F. A. S. and COLLE S. An inverse Methodology to Estimate the Heat Transfer
Coefficient in the Evaporator Section of a CO
2
Pulsating Heat Pipe, 15
th
Int. Heat Pipe Conf.,
Clemson, USA, 2010.
122
Apêndice A
Propriedades Termofísicas
A.1 Cálculo das Propriedades Termofísicas do Dióxido de Carbono
As propriedades termodinâmicas do dióxido de carbono foram obtidas a partir do
software EES (Engineering Equation Solver), versão comercial 6.883-3D, que utiliza a
equação fundamental de estado desenvolvida por Span e Wagner (1996), válida para
temperaturas situadas entre o ponto triplo e1100K, e pressões até 800MPa.
A viscosidade e a condutividade térmica são determinadas de acordo com a metodologia
proposta por Vesovic e outros (1990). A correlação para a viscosidade é válida para
temperaturas entre 200K e 1500K e a correlação da condutividade térmica é válida para
temperaturas entre 200K e 1000K. Tanto a viscosidade quanto condutividade térmica são
aplicáveis para pressões até 100MPa.
A tensão superficial é obtida através da correlação de Somayajulu (1998).
A.2 Propriedades Termofísicas do Material do Tubo do TCP
As propriedades termofísicas do material do tubo do TCP (cobre) foram obtidas de Özi
ş
ik
(1993).
123
A.3 Referências Bibliográficas do Apêndice A
ÖZI
Ş
IK M. N. Heat Conduction, John Wiley & Sons, New York, 1993.
R. SPAN AND W. WAGNER. A New Equation of State for Carbon Dioxide Covering the
Fluid Region form the Triple-Point Temperature to 1100 K at Pressures up to 800 MPa, Ref.
Data, Vol. 25, No. 6, 1996.
VESOVIC V.; WAKEHAM W. A.; OLCHOWY G. A.; SENGERS J. V.; WATSON J. T. R
and MILLAT J. The Transport Properties of Carbon Dioxide, Journal of Physical
Chemistry, Data, Vol. 19, No. 3, 1990.
SOMAYAJULU G.R. A Generalized Equation for Surface Tension from the Triple Point to
the Critical Point, International Journal of Thermophysics, Vol. 9, No. 4, 1988.
124
Apêndice B
Incertezas de Medição
B.1 Conceito de Incerteza
Quando se relata o resultado de medição de uma grandeza física, é obrigatório que seja
dada alguma indicação quantitativa da qualidade do resultado, de forma tal que aqueles que o
utilizam possam avaliar sua confiabilidade. Sem esta indicação, resultados de medição não
podem ser comparados, seja entre eles mesmos ou com valores de referência fornecidos numa
especificação ou norma. É, portanto, necessário que haja um procedimento prontamente
implementado, facilmente compreendido e de aceitação geral para caracterizar a qualidade de
um resultado de uma medição, isto é, para avaliar e expressar sua incerteza (INMETRO-
ABNT, 1994).
O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história
da medição, embora erro e análise de erro tenham sido, há muito tempo, uma prática da
ciência da medição ou metrologia. É agora amplamente reconhecido que, quando todos os
componentes de erro conhecidos ou suspeitos tenham sido avaliados e as correções adequadas
tenham sido aplicadas, ainda permanece uma incerteza sobre quão correto é o resultado
declarado, isto é, uma dúvida acerca de quão corretamente o resultado da medição representa
o valor da grandeza que está sendo medida.
No presente estudo a estimativa das incertezas foi realizada de acordo com o conceito de
incerteza combinada (Gonçalves Jr., 2002), conforme descrição a seguir apresentada.
125
Seja
G
uma grandeza calculada em função de diversas grandezas de entrada relacionadas
por:
) ,..., , ,(
321
N
xxxxfG
=
(B.1)
A incerteza combinada da grandeza G pode ser estimada por:
22
3
3
2
2
2
2
1
1
2
)()()()()(
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
N
N
xu
x
G
xu
x
G
xu
x
G
xu
x
G
Gu L (B.2)
ou
∑
=
∂
∂
=
N
i
i
i
xu
x
G
Gu
1
2
)()(
(B.3)
onde
)(Gu
representa a incerteza padrão da grandeza G;
)( ),...,( ),( ),(
321
N
xuxuxuxu
, representam as incertezas padrão associadas às grandezas
de entrada
N
xxxx ,..., , ,
321
, respectivamente.
B.2 Incertezas Relativas ao Fluxo de Calor Externo
Em todos os experimentos, a potência fornecida ao TCP foi obtida indiretamente a partir
das medições de tensão e corrente, de acordo com a seguinte equação:
IVP
=
(B.4)
onde
P
é a potência fornecida pela fonte de potência [W]
V
é a tensão [V]
I
é a corrente [A]
126
Sendo a incerteza padrão, obtida a partir da Equação (B.1.3), tem a seguinte forma:
{
}
2/1
22
)]( [)]( [ )( IuVVuIPu
+=
(B.5)
Dividindo-se agora toda a Equação (B.4) pela área do evaporados do TCP, obtém-se uma
expressão para o fluxo de calor externo. Ou seja:
evapievap
e
Ld
P
A
P
q
"
π
==
(B.6)
onde
i
d é o diâmetro interno do tubo [m].
evap
L é o comprimento do evaporador [m].
A incerteza padrão associada ao fluxo de calor externo, obtida a partir das Equações (B.5)
e (B.6), é expressa pela equação:
2/1
2
2
2
2
2
"
)(
)(
)(
1
)(
−
+
−+
=
evap
evapi
i
evapi
evapi
e
Lu
Ld
P
du
Ld
P
Pu
Ld
qu
π
π
π
(B.7)
B.3 Incertezas Relativas ao Ganho de Calor Externo
O ganho de calor do ambiente, nos Experimentos I e II, foi calculado a partir da equação
unidimensional da condução do calor (Equação B.7), em regime permanente, aplicada entre a
superfície externa do tubo do TCP e a face externa do isolamento térmico. O ganho máximo
foi estimado em 2,7 W, quando a diferença entre a temperatura da superfície externa do tubo
127
do TCP e a temperatura externa do isolamento térmico alcançou 50
°
C. Para o cálculo da
incerteza padrão associada ao ganho de calor externo,
) /() /(
'
polpolpol
eamb
polpolpol
iso
ganho
AL
TT
AL
T
q
λλ
−
=
∆
=
(B.8)
onde
amb
T é a temperatura ambiente [K].
e
T é a temperatura da superfície externa do tubo do TCP [K].
pol
L é a espessura do isolamento de poliuretano [m].
pol
A é a área do isolamento de poliuretano [m].
A incerteza padrão associada ao ganho de calor externo, obtida também a partir das
Equações (B.5) e (B.6), é dada pela equação:
2/1
2
2
2
2
2
2
2
'
)(
/
)(
/
)(
) /(
)(
) /(
1
)(
∆
+
∆
+
∆
−
+
∆
=
pol
polpol
iso
pol
polpol
iso
pol
polpol
isol
iso
polpolpol
ganho
Au
L
T
u
AL
T
Lu
AL
T
Tu
AL
qu
pol
λ
λ
λ
λ
(B.9)
onde
{
}
2/1
22
)]([)]([ )(
eambiso
TuTuTu +=∆ (B.10)
128
B.4 Incertezas Relativas ao Cálculo das Resistências Térmicas
A resistência térmica do TCP e a sua correspondente incerteza foram calculadas de acordo
com as seguintes equações:
P
TT
P
T
R
ce
T
−
=
∆
= (B.11)
{
}
2/1
22
)]([)]([ )(
ce
TuTuTu +=∆ (B.12)
2/1
22
)()(
)(
+
∆
∆
=
P
Pu
T
Tu
Ru
T
(B.13)
onde
e
T
é a temperatura da superfície externa do tubo na região do evaporador [K].
c
T
é a temperatura da superfície externa do tubo na região do condensador [K].
Durante as medições de temperatura o valor de referência numa dada posição/região do
TCP foi obtido a partir da média aritmética das leituras individuais de cada um dos
termopares envolvidos.
B.5 Incertezas Relativas às Medições de Temperatura
As medições de temperatura foram realizadas com termopares do tipo T (cobre-
constantam), calibrados numa faixa de variação compreendida entre -30 e 30 °C. A incerteza
de medição de cada um dos termopares, estimada em ±0,1 K, foi obtida empregando-se as
seguintes equações:
n
Tu
Re
)( ±= (B.14)
129
st Re
±
=
(B.15)
1
1
2
_
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
(B.16)
∑
=
=
n
i
i
x
n
x
1
_
1
(B.17)
onde
n
é número de medidas efetuadas (neste caso, trinta medidas para cada valor de
referência).
Re
é a repetitividade, ou seja, faixa de dispersão dentro da qual se situa o erro aleatório
(normalmente para uma probabilidade de 95%).
t
é o coeficiente (ou fator) de Studet ( 295e30
≈
→
=
=
t%dade Probabili n ).
i
x
é o valor do iésimo evento.
_
x
é o valor médio de todos os eventos.
s
é o desvio padrão da amostra de N medidas.
B.6 Incertezas Relativas às Medições de Pressão
As medições de pressão foram realizadas com transdutor de pressão absoluta
subminiatura da Omega, modelo PX600-2KGV (Figura B.1), calibrado de acordo com os
procedimentos apresentados a seguir.
130
Figura B.1 Desenho do transdutor de pressão absoluta do Experimento III.
Tabela B.1 Especificações da aferição do transdutor de pressão.
Data de Calibração: 12/08/09
Validade da Calibração: 09/2010
Número de Série (fabricante): 122110110
Faixa de Operação: 0 - 100 bar
Incremento Digital: 0,001
Tabela B.2 Parâmetros de aferição do transdutor de pressão.
Pressão Atmosférica [bar] 1,017
Temperatura Ambiente [°C]
20 ± 1,0
Fonte do transdutor [V] 11,999
Sistema de medição padrão:
Máquina de peso morto DH-Budenberg 580 Series
Sistema de aquisição: Agilent Technologies / Data Aquisition - 34970 A
131
Tabela B.3 Resultados da aferição do transdutor de pressão.
Pontos
r
P
[bar]
p
IM [bar]
V [V] Pontos
r
P
[bar]
p
IM [bar]
V [V]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2,02
6,02
11,02
21,02
31,02
41,01
46,01
51,01
56,01
61,01
66,01
71,01
0, 04
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,00
0,03
0,00
0,0005
0,0015
0,0027
0,0051
0,0075
0,0099
0,0111
0,0123
0,0135
0,0146
0,0158
0,0170
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
-
76,01
81,00
91,00
11,01
81,00
21,01
71,00
31,01
61,00
41,01
51,01
-
0,00
0,01
0,02
0,00
0,00
0,00
0,03
0,00
0,00
0,00
0,00
-
0,0182
0,0194
0,0218
0,0027
0,0194
0,0051
0,0170
0,0075
0,0147
0,0099
0,012
-
onde
r
P
é a pressão real absoluta.
p
IM é a incerteza de medição pontual.
V é o sinal de tensão do transdutor.
Tabela B.4. Correlação obtida na aferição do transdutor de pressão.
Curva ajustada
142841,0 370969,4176 −= VP
e
132
Tabela B.5 Comparação entre os resultados fornecidos pela correlação obtida na aferição do
transdutor de pressão e os valores referenciais.
Pontos
r
P
[bar]
p
IM [bar]
e
P [bar]
Pontos
r
P
[bar]
p
IM [bar]
e
P [bar]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2,02
6,02
11,02
21,02
31,02
41,01
46,01
51,01
56,01
61,01
66,01
71,01
0,00
0,00
0,00
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
1,92
5,97
10,99
21,02
31,05
41,06
46,05
51,06
56,05
61,03
65,99
71,02
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
-
76,01
81,00
91,00
11,01
81,00
21,01
71,00
31,01
61,00
41,01
51,01
-
0,02
0,02
0,02
0,00
0,02
0,01
0,02
0,01
0,01
0,01
0,01
-
75,99
80,96
90,90
10,99
80,98
21,01
70,98
31,06
61,04
41,05
51,05
-
onde
e
P é a pressão estimada.
R
2
= 1.00000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
Tensão [V]
Pressão Real Absoluta [bar]
Figura B.2 Gráfico da pressão real absoluta em função da tensão do transdutor de pressão
subminiatura.
133
Tabela B.6 Incerteza de medição do transdutor de pressão.
pressão
IM
±0,05 bar
c
E
±0,10 bar
onde
pressão
IM é a incerteza de medição do transdutor de pressão.
c
E é o maior erro da curva ajustada.
22
)()(
appressão
IMIMIM +=
FSDPIM
p
⋅=
)1(
)(
GPN
PP
EPEIM
ie
a
+−
−
==
∑
p
IM é a incerteza de medição pontual.
a
IM é a incerteza de medição do ajuste.
DP
é o desvio padrão máximo.
FS é o fator de Student.
EPE
é o erro padrão de estimativa.
i
P é o valor medido no iésimo ponto.
N é o número de pontos.
GP é o grau do polinômio da curva ajustada.
B.7 Incertezas dos Instrumentos de Medição
Na Tabela B.7.1 são apresentadas as incertezas dos instrumentos de medição utilizados
nos experimentos realizados.
134
Tabela B.7 Incertezas dos instrumentos de medição utilizados durante os experimentos
realizados.
Grandeza Medida
Equipamento Faixa de Variação
Incerteza Associada
Temperatura Termopares do tipo T
-30 a 30 °C ±0,1 °C
Pressão Transdutor de pressão
0 a 100 bar ±0,05 bar
Tensão (CC) Fonte de potência 0 a 125 V ±0,1 V
Corrente (CC) Fonte de potência 0 a 10 A ±0,01 A
Massa Balança de precisão 0,25 a 500 g ±0,005 g
Comprimento Paquímetro 0 a 150 mm ±0,02 mm
B.8 Referências Bibliográficas do Apêndice B
INMETRO-ABNT. Guia para a Expressão da Incerteza de Medição, 2
a
Ed., 1994.
GONÇALVES JR., A. A. Metrologia – Parte I, Laboratório de Metrologia e Automação,
Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Santa Catarina,
Florianópolis, Brasil, 2002.
135
Apêndice C
Dedução das Equações (5.30) a (5.41)
C.1 Dedução das Equações (5.30) a (5.35)
Aplicando-se a técnica de integração por partes às Equações (5.1.30) a (5.1.35), tem-se:
∫ ∫∫∫
−
−
−−
−
−
−
−
=
j
j
j
j
t
k
t
m
i
j
t
j
t
i
dt
dt
tdf
dttgdttgtfdtetrTth
1
'
'
'
1
''
1
1
''
1
'
1
'
)
'
(
2
''
1
)(
)( )()(),( )(
βα
(C.1)
∫ ∫∫∫
+
+
−−
+
+
+
−
=
1
'
'
'
2
''
2
1
''
2
'
2
'
)
'
(
2
''
1
)(
)( )( )( ),( )(
j
j
j
j
t
k
t
m
i
j
t
j
t
i
dt
dt
tdf
dttgdttgtfdtetrTth
βα
(C.2)
∫ ∫∫∫
−
−
−−
−
−
−
−
=
j
j
j
j
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
dt
dt
tdf
dttgdttgtfdtetTth
1
'
'
'
3
''
3
1
''
3
'
3
'
)
'
(
2
''
1
)(
)( )( )( )( )(
βα
(C.3)
∫ ∫∫∫
+
+
−−
+
+
+
−
=
1
'
'
'
4
''
4
1
''
4
'
4
'
)
'
(
2
''
1
)(
)( )( )( )( )(
j
j
j
j
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
dt
dt
tdf
dttgdttgtfdtetTth
βα
(C.4)
∫ ∫∫∫
−
−
−−
−
−
−
=
j
j
j
j
t
k
t
m
j
t
j
t
e
dt
dt
tdf
dttgdttgtfdtetq
1
'
'
'
5
''
5
1
''
5
'
5
'
)
'
(
2
'
1
"
)(
)( )( )( )(
βα
(C.5)
∫ ∫∫∫
+
+
−−
+
+
−
=
1
'
'
'
6
''
6
1
''
6
'
6
'
)
'
(
2
'
1
"
)(
)( )( )( )(
j
j
j
j
t
k
t
m
j
t
j
t
e
dt
dt
tdf
dttgdttgtfdtetq
βα
(C.6)
136
Sendo
)(
'
th
i
−
,
)(
'
th
i
+
,
),(
'
trT
i
−
,
),(
'
trT
i
+
, )(
'
tT
f
−
, )(
'
tT
f
+
,
)(
'"
tq
e
−
e
)(
'"
tq
e
+
as
componentes das funções tenda utilizadas para as discretizações de
)(
'
th
i
,
),(
'
trT
i
, )(
'
tT
f
e
)(
'"
tq
e
, conforme mostrado na Figura C.1.
Figura C.1 Esquema do ajuste de funções-tenda para os parâmetros
)(
'
th
i
,
),(
'
trT
i
, )(
'
tT
f
e
)(
'"
tq
e
.
De acordo com a figura anterior, as funções
)(
'
1
tf
,
,
L
)(
'
6
tf
são definidas como
mostrado a seguir:
1
2
2
1
'
1
'
1
'
'''
1
;
)()()(
),( )()(
−
−−−
−−
−=∆
∆
−
=
∆
−
∆
−
==
jj
jjjjjjj
ii
ttt
t
ttba
t
ttb
t
tta
trTthtf
(C.7)
jj
jjjjjjj
ii
ttt
t
ttba
t
ttb
t
tta
trTthtf −=∆
∆
−
=
∆
−
∆
−
==
+
+++
++
1
2
2'
1
'
1
'
1
'''
2
;
)()()(
),( )()( (C.8)
1
2
2
1
'
1
'
1
'
'''
3
;
)()()(
)( )()(
−
−−−
−−
−=∆
∆
−
=
∆
−
∆
−
==
jj
jjjjjjj
fi
ttt
t
ttca
t
ttc
t
tta
tTthtf (C.9)
137
1
2
2
1
'
1
'
1
'
'''
4
;
)()()(
)( )()(
−
−−−
−−
−=∆
∆
−
=
∆
−
∆
−
==
jj
jjjjjjj
fi
ttt
t
ttca
t
ttc
t
tta
tTthtf (C.10)
1
1
'
'"'
5
;
)(
)()(
−
−
−
−=∆
∆
−
==
jj
jj
e
ttt
t
ttq
tqtf (C.11)
jj
jj
e
ttt
t
ttq
tqtf −=∆
∆
−
==
+
+
+
1
'
1
'"'
6
;
)(
)()( (C.12)
Cujas derivadas, em relação à
'
t
, são:
2
1
'
'
'
1
)(
2
)(
t
ttba
dt
tdf
jjj
∆
−
=
−
(C.13)
2
1
'
'
'
2
)(
2
)(
t
ttba
dt
tdf
jjj
∆
−
=
+
(C.14)
2
1
'
'
'
3
)(
2
)(
t
ttca
dt
tdf
jjj
∆
−
=
−
(C.15)
2
1
'
'
'
4
)(
2
)(
t
ttca
dt
tdf
jjj
∆
−
=
+
(C.16)
)(
'
'
5
j
q
dt
tdf
=
(C.17)
j
q
dt
tdf
-
)(
'
'
6
=
(C.18)
Por sua vez, as funções ),(
'
1
tg
,
L
),(
'
6
tg
têm a seguinte forma:
)
'
(
2
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
)()()()()()(
t
k
t
m
etgtgtgtgtgtg
−−
======
βα
(C.19)
138
Definindo-se as relações discretas: tjt
j
∆−=
−
)1(
1
,
1
;
+
∆=
jj
ttjt , t)(jt
j
∆+=
+
1
1
,
tkt
k
∆= , tt ∆=
'
ζ
, pode-se então reescrever as Equações (C.5) a (C.19), como segue:
2'
1
)1()( +−= jbatf
jj
ζ
(C.20)
2'
2
)1()(
ζ
−+= jbatf
jj
(C.21)
2'
3
)1()( +−= jcatf
jj
ζ
(C.22)
2'
4
)1()(
ζ
−+= jcatf
jj
(C.23)
)1()()(
'"'
5
+−==
−
jqtqtf
je
ζ
(C.24)
)1()()(
'"'
6
ζ
−+==
+
jqtqtf
je
(C.25)
t
jba
dt
tdf
jj
∆
+−
=
)1(
2
)(
'
'
1
ζ
(C.26)
t
jba
dt
tdf
jj
∆
−−
=
)1(
2
)(
'
'
2
ζ
(C.27)
t
jca
dt
tdf
jj
∆
+−
=
)1(
2
)(
'
'
3
ζ
(C.28)
t
jca
dt
tdf
jj
∆
−−
=
))1(
2
)(
'
'
4
ζ
(C.29)
)(
'
'
5
j
q
dt
tdf
=
(C.30)
j
q
dt
tdf
-
)(
'
'
6
=
(C.31)
139
tk
m
etgtgtgtgtgtg
∆−−
======
)(
2
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
)()()()()()(
ζβα
(C.32)
Substituindo-se as Equações (C.20) a (C.31), nas Equações (C.1) a (C.6), obtém-se:
∫∫
−
∆−−∆−−−−
−
−
−
+−−=
j
j
tk
m
m
jj
tjk
m
m
jj
t
k
t
m
i
j
t
j
t
i
dej
ba
e
ba
dtetrTth
1
)(
2
2
)(
2
2
'
)
'
(
2
''
1
)1( 2 ),( )(
ζζ
αβαβ
ζβαβαβα
(C.33)
∫∫
+
∆−−∆−−−−
+
+
+
−−−−=
1
)(
2
2
)(
2
2
'
)
'
(
2
''
1
)1( 2 ),( )(
j
j
tk
m
m
jj
tjk
m
m
jj
t
k
t
m
i
j
t
j
t
i
dej
ba
e
ba
dtetrTth
ζζ
αβαβ
ζβαβαβα
(C.34)
∫∫
−
∆−−∆−−−−
−
−
−
+−−=
j
j
tk
m
m
jj
tjk
m
m
jj
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
dej
ca
e
ca
dteTth
1
)(
2
2
)(
2
2
'
)
'
(
2
'
1
)1( 2 )(
ζζ
αβαβ
ζβαβαβα
(C.35)
∫∫
+
∆−−∆−−−−
+
+
+
−−−=
1
)(
2
2
)(
2
2
'
)
'
(
2
'
1
)1( 2 )(
j
j
tk
m
m
jj
tjk
m
m
jj
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
dej
ca
e
ca
dteTth
ζζ
αβαβ
ζβαβαβα
(C.36)
∫∫
−
∆−−∆−−−−
−
−
−=
j
j
tk
m
m
j
tjk
m
m
j
t
k
t
m
j
t
j
t
e
de
q
e
q
dtetq
1
)(
2
2
)(
2
2
'
)
'
(
2
'
1
"
)(
ζ
αβαβ
ζβαβαβα
(C.37)
∫∫
+
∆−−∆−−−−
+
+
−−=
1
)(
2
2
)(
2
2
'
)
'
(
2
'
1
"
)(
j
j
tk
m
m
j
tjk
m
m
j
t
k
t
m
j
t
j
t
e
de
q
e
q
dtetq
ζ
αβαβ
ζβαβαβα
(C.38)
Resolvendo agora as integrais à direita das igualdades das Equações (C.33) a (C.38) e
rearranjando os termos das equações resultantes, chega-se finalmente a:
)( ),( )(
'
)
'
(
2
''
1
mkjjj
t
k
t
m
i
j
t
j
t
i
AbadtetrTth
β
βα
−
−−
−
−
−
=
∫
(C.39)
)( ),( )(
'
)
'
(
2
''
1
mkjjj
t
k
t
m
i
j
t
j
t
i
AbadtetrTth
β
βα
+
−−
+
+
+
=
∫
(C.40)
)( )( )(
'
)
'
(
2
''
1
mkjjj
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
AcadtetTth
β
βα
−
−−
−
−
−
=
∫
(C.41)
140
)( )( )(
'
)
'
(
2
''
1
mkjjj
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
AcadtetTth
β
βα
+
−−
+
+
+
=
∫
(C.42)
)( )(
'
)
'
(
2
'
1
"
mkjj
t
k
t
m
j
t
j
t
e
Cqdtetq
β
βα
−
−−
−
−
=
∫
(C.43)
)( )(
'
)
'
(
2
'
1
"
mkjj
t
k
t
m
j
t
j
t
e
Cqdtetq
β
βα
+
−−
+
+
−=
∫
(C.44)
onde
)]}([
2
{
1
)(
2
)1( )(
)(
2
)(
2
22
22
t
ee
e
t
eA
m
tjktjk
tjk
m
tjk
m
mkj
mm
mm
∆
−
−
∆
−=
∆+−−∆−−
∆−−∆−−
−
αβαβαβ
β
βαβα
αββα
(C.45)
)]}([
2
{
1
)(
2
)1( )(
)(
2
)(
2
22
22
t
ee
e
t
eA
m
tjktjk
tjk
m
tjk
m
mkj
mm
mm
∆
−
+
∆
+−=
∆−−−∆−−
∆−−∆−−
+
αβαβαβ
β
βαβα
βαβα
(C.46)
kj
t
ee
eC
m
tjk
m
tjk
m
tjk
m
m
mkj
≤
∆
−
−=
∆⋅+−−∆⋅−−
∆−−
−
para ,
1
2
)1(
2
)(
2
)(
2
2
αβαβ
αβαβ
αβ
(C.47)
1 para ,
1
2
)1(
2
)(
2
)(
2
2
−≤
∆
−
+−=
∆+−−∆−−
∆−−
+
kj
t
ee
eC
m
tjk
m
tjk
m
tjk
m
m
mkj
αβαβ
αβαβ
αβ
(C.48
)
C.2 Dedução das Equações (5.36) a (5.41)
De acordo com as componentes das funções tenda apresentadas na Figura C.1, tem-se
que:
1
1
'
'
;
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
i
ttt
t
tta
th (C.49)
141
jj
jj
i
ttt
t
tta
th −=∆
∆
−
=
+
+
+
1
'
1
'
;
)(
)( (C.50)
1
1
'
'
;
)(
),(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
i
ttt
t
ttb
trT (C.51)
1
1
'
'
;
)(
),(
−
−
+
−=∆
∆
−
=
jj
jj
i
ttt
t
ttb
trT (C.52)
1
1
'
'
;
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
f
ttt
t
ttc
tT
(C.53)
1
1
'
'
;
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
f
ttt
t
ttc
tT
(C.54)
1
1
'
'"
;
)(
)(
−
−
−
−=∆
∆
−
=
jj
jj
e
ttt
t
ttq
tq (C55)
jj
jj
e
ttt
t
ttq
tq −=∆
∆
−
=
+
+
+
1
'
1
'"
;
)(
)( (C.56)
Substituindo-se as Equações (C.49) a (C.56) nas Equações (5.36) a (5.41), juntamente
com relações discretas definidas na seção anterior, chega-se então a:
−
−
−
−
−
∫∫
=+−∆=
0
1
'''
1
)1( ),()(
mkjjj
j
j
jji
j
t
j
t
i
BbadjtbadttrTth
ζζ
(C.57)
+
+
−
+
−
∫∫
=−+∆=
0
1
'''
1
)1( ),()(
mkjjj
j
j
jji
j
t
j
t
i
BbadjtbadttrTth
ζζ
(C.58)
−
−
−−
−
−
−
∫∫
=+−∆=
0
1
'
)
'
(
2
''
1
)1( )( )(
mkjjj
j
j
jj
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
BcadjtcadtetTth
ζζ
βα
(C.59)
142
+
+
−−
+
+
+
∫∫
=−+∆=
0
1
'
)
'
(
2
''
1
)1( )( )(
mkjjj
j
j
jj
t
k
t
m
f
j
t
j
t
i
BcadjtbadtetTth
ζζ
βα
(C.60)
−
−
−
=+−∆=
∫∫
−
0
1
'
'"
)1( )(
1
mkjj
j
j
j
t
t
e
Dqdjtqdttq
j
j
ζζ
(C.61)
+
+
−
=−+∆=
∫∫
+
0
1
'
'"
)1( )(
1
mkjj
j
j
j
t
t
e
Dqdjtqdttq
j
j
ζζ
(C.62)
onde
3
00
t
BB
mkjmkj
∆
==
+−
(C.63)
143
Apêndice D
Raízes da Equação (5.12)
Tabela D.1 Raízes da Equação (5.12) aplicada ao problema-teste da Tabela 5.1 e ao TCP do
Experimento III.
[
0
β
,
K
,
19
β
]
[
20
β
,
K
,
39
β
]
[
40
β
,
K
,
59
β
]
[
60
β
,
K
,
79
β
]
0
5642,934986
11164,10022
16710,27085
22263,38218
27819,35045
33376,76461
38935,01024
44493,77746
50052,89325
55612,25343
61171,79155
66731,46323
72291,23773
77851,09305
83411,01305
88970,98561
94531,00149
100091,0535
105651,1358
111211,2440
116771,3744
122331,5239
127891,6901
133451,8708
139012,0643
144572,2692
150132,4841
155692,7081
161252,9401
166813,1793
172373,4252
177933,6770
183493,9342
194614,4629
200174,7336
205735,0082
211295,2862
216855,5675
222415,8517
227976,1388
233536,4284
239096,7203
244657,0145
250217,3108
255777,6091
261337,9091
266898,2109
272458,5142
278018,8191
283579,1253
294699,7418
200174,7336
205735,0082
211295,2862
216855,5675
222415,8517
227976,1388
233536,4284
239096,7203
244657,0145
250217,3108
255777,6091
261337,9000
266898,2109
272458,5142
278018,8191
283579,1253
289139,4329
294699,7418
322501,3028
328061,6179
333621,9339
339182,2507
344742,5682
350302,8866
355863,2056
361423,5253
366983,8456
372544,1666
144
Apêndice E
Raízes da Equação (5.90)
Tabela E.1 Raízes da Equação (5.90) aplicada ao problema-teste da Tabela 5.1.
KmWh
i
2
1,
/ 1000=
KmWh
i
2
2,
/ 5000=
[
1
β
,
K
,
20
β
] [
1
β
,
K
,
20
β
]
56,32027384
5643,715330
11164,50639
16710,54386
22263,58755
27819,51497
33376,90181
38935,12789
44493,88044
50052,98481
55612,33584
61171,86648
66731,53192
72291,30114
77851,15193
83411,06801
88971,03714
94531,04999
100091,0993
105651,l792
125,8187402
5646,833733
11166,13065
16711,63580
22264,40897
27820,17302
33377,45061
38935,59851
44494,29236
50053,35103
55612,66549
61172,16619
66731,80668
72291,55478
77851,38747
83411,28785
88971,24325
94531,24398
100091,2825
105651,3528
145
Apêndice F
Algoritmo do Método Proposto
F.1 Algoritmo do Método Proposto com Newton-Raphson e Polak-Ribière
O algorítimo do método proposto com Newton-Raphson e Polak-Ribière, mostrado na
Tabela F.1, pressupõe a definição da função-objetivo S , do valor inicial do parâmetro a ser
estimado
u
, do número máximo de iterações do gradiente conjugado
max
i , da tolerância de
erro do gradiente conjugado 1<
GC
ε
, do número máximo de iterações do Newton-Raphson
max
j e da tolerância de erro do Newton-Raphson 1<
NR
ε
. Os processos iterativos terminam
quando o número máximo de iterações
max
i é excedido ou quando ||)0(|| ||)(|| rir
GC
ε
< .
146
Tabela F.1 Processo iterativo do algoritmo do método proposto, com Newton-Raphson e
Polak-Ribière.
hile
1
0
0
1
dorcondicionapré oCalcular
1
0
0
onador précondici oCalcular
"residual memória alimpar para iterações de máximo número"
0
0
1
2
2
max
0
2
max
0
1
w
end
end if
ii
β
dsd
else
k
sd
n or
β
kif
kk
δ
δδ
β
δ
S
(u)
δ
δδ
(u)-
end while
jj
α
duu
(u)
(u)][
α
do
δ
and
α
jWhile j
δ
j
do
δε
and
δ
iWhile i
δδ
δ
sd
s
(u)
(u)
n
k
i
GCGCGC
GCGC
velho
mnovo
GC
T
GCm
GC
"
GC
T
GCm
novovelho
'
GC
GC
"
T
GC
GC
T'
NRd
d
GCnovo
novo
GC
T
GCnovo
GCGC
GC
"
'
GC
GC
GC
+=
+=
⇐
⇐
≤=
+=
−
=
⋅⇐
⋅⇐
≈−
⋅⇐
⇐
=
+=
+=
⋅
⋅
−⇐
><
⇐
⇐
><
⇐
⋅⇐
⇐
⋅⇐
≈
−⇐
=
⇐
⇐
−
−
sr
rH
SH
sr
Sr
Sd
dS
dr
rH
SH
Sr
ε
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
