( PDF ) Análise conjunta de fatores baseada em escolhas: estimação e inferências

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FERNANDO DE SOUZA BASTOS

ALISE CONJUNTA DE FATORES BASEADA EM ESCOLHAS:

ESTIMAC¸

AO E INFER

ENCIAS

Disserta¸c˜ao apresentada `a Universi-

dade Federal de Vi¸cosa, como parte

das exigˆencias do Programa de P´os-

Gradua¸c˜ao em Estat´ıstica Aplicada e

Biometria, para obten¸c˜ao do t´ıtulo de

Magister Scientiae.

VIC¸ OSA

MINAS GERAIS - BRASIL

2010

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FERNANDO DE SOUZA BASTOS

ALISE CONJUNTA DE FATORES

BASEADA EM ESCOLHAS: ESTIMAC¸

AO E

INFER

ENCIAS

Disserta¸c˜ao apresentada `a Universidade Fe-

deral de Vi¸cosa, como parte das exigˆencias do

Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Estat´ıstica

Aplicada e Biometria, para obten¸c˜ao do

t´ıtulo de “Magister Scientiae”.

APROVADA:

Paulo Roberto Cecon Jos´e Ivo Ribeiro J´unior

Co-Orientador Co-Orientador

Rodrigo Gava Sidney Martins Caetano

Carlos Henrique Os´orio Silva

Orientador

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Aos meus pais Adalberto de Aguiar Bastos e

Maria Jos´e de Souza Bastos.

Agradecimentos

• Agrade¸co primeiro `a Deus, por sempre estar presente me minha vida e estar

sempre me aben¸coando!

• Agrade¸co a minha m˜ae e a meu pai, pois nunca mediram esfor¸cos para ajudar

a mim e a meu irm˜ao, em especial a minha m˜ae, mesmo que a palavra “obri-

gado”signiﬁque tanto, n˜ao expressar´a por inteiro o quanto vocˆe fez por mim,

te amo muito.

•

A minha fam´ılia, agrade¸co todo o amor, carinho, compreens˜ao e respeito. Em

especial a minha tia Tereza, sem a sua for¸ca e sua dedica¸c˜ao n˜ao poderia chegar

onde cheguei, do fundo do cora¸c˜ao o meu muito obrigado!

• Ao Professor Carlos Henrique, meu orientador, por sua paciˆencia, dedica¸c˜ao e

amizade.

• Aos Professores Jos´e Ivo e Paulo Cecon, meus coorientadores, por dedicarem

um tempo para me ajudar sempre que precisei, muito obrigado!

• A Lucy Tiemi Takahashi, pela amizade, for¸ca e carinho!

• A meus cumpadres, Bruno Benjamin e Diogo da Silva Machado, pela amizade

e companheirismo!

• A minha namorada Elizete, por fazer parte da minha vida, por me escutar,

me dar carinho, me aturar e estar sempre presente desde nosso primeiro baile.

• Ao meu irm˜ao Renato Luiz, pelo companheirismo e amizade.

•

A Vi¸cosa, por ter sido a cidade que me acolheu em seu ber¸co.

iii

• Aos amigos da UFV e de Vi¸cosa, que me “aturam”durante 7 anos, amigos

da matem´atica e estat´ıstica, alunos e professores. Muitas das pessoas que

passaram e passam pelo que eu passei e passo: ﬁcar longe da fam´ılia em

busca de um ideal comum. Tenho muito a agradecer e a muitas pessoas. N˜ao

cito nomes para n˜ao ser injusto com pessoas que me auxiliaram at´e onde j´a

cheguei...

• A todos que colaboraram direta ou indiretamente para a concretiza¸c˜ao deste

sonho, o meu muito obrigado.

Sum´ario

Lista de Tabelas viii

Resumo x

Abstract xii

Introdu¸c˜ao 1

1 Hist´orico da Modelagem nos Estudos da Preferˆencia do Consumi-

dor 4

2 An´alise Conjunta de Fatores (Conjoint Analysis) 8

2.1 Importˆancia da An´alise Conjunta de Fatores . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Conceitua¸c˜ao de Alguns Termos T´ecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Etapas para Elabora¸c˜ao de uma Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Exemplos de Utiliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Modelo para a Utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Exemplo de Aplica¸c˜ao da ANCF. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2 Diﬁculdades na Implementa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 An´alise Conjunta de Fatores Baseada em Escolhas (Choice Based

Conjoint Analysis) 30

3.1 Modelos de Escolha Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Modelos N˜ao-Ordenados de Escolha M´ultipla . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 O Modelo Logit Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.2 Raz˜ao de Escolhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Fun¸c˜ao de Verossimilhan¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Fun¸c˜ao de M´axima Verossimilhan¸ca pelo Algoritmo de Newton-

Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Exemplo de Aplica¸c˜ao da ANCFE e de como Estimar os Parˆametros

da Fun¸c˜ao de M´axima Verossimilhan¸ca . . . . . . . . . . . . . 43

4 Compara¸c˜ao entre os Resultados da ANCF e da ANCFE (Simula-

¸c˜ao) 52

5 Considera¸c˜oes Finais 60

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 62

Apˆendices 70

A 70

vii

Comandos do SAS (vers˜ao 9.1) utilizados para gerar dados correspondentes

as notas de aceita¸c˜ao ou de inten¸c˜ao de compra atribu´ıdas por 200

consumidores para 8 alternativas de um produto hipot´etico (trata-

mento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

B 75

Comandos do SAS (vers˜ao 9.1) utilizados para implementar o exemplo da

ANCFE apresentado no cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

C 78

Comandos do MAPLE 12, vers˜ao de avalia¸c˜ao, utilizados para implementar

o algoritmo de Newton-Raphson e determinar os valores dos betas no

exemplo de aplica¸c˜ao da ANCFE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Lista de Tabelas

2.1 N´ıveis do fator “Pre¸co”, “Cor”e “Marca”utilizados no estudo por sim-

ula¸c˜ao de dados para a exempliﬁca¸c˜ao da ANCF . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Valores do componente determin´ıstico associados aos oito tratamen-

tos antes da simula¸c˜ao do erro aleat´orio . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Notas atribuidas pelo consumidor 1 aos oito tratamentos . . . . . . . 22

2.4 Estimativas dos coeﬁcientes da preferˆencia dos n´ıveis dos fatores e

importˆancias relativas (%) dos fatores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 N´ıveis do fator “Franquia”e “Tip os de Cobertura”utilizados para a

exempliﬁcar a aplica¸c˜ao da ANCFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Notas atribu´ıdas aos oito tratamentos e respectivas escolhas, apresen-

tados somente para os consumidores 1 e 2, do estudo por simula¸c˜ao

para comparar os resultados obtidos com a ANCF e ANCFE. . . . . 53

4.2 Coeﬁcientes da Preferˆencia (CP) dos n´ıveis dos fatores e Importˆancias

Relativas (IR) (%) dos fatores obtidos na an´alise agregada dos dados

simulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Sa´ıda do SAS conﬁrmando a convergˆencia do modelo . . . . . . . . . 55

viii

4.4 Medidas referentes ao ajuste do modelo dadas pelo Log de verossim-

ilhan¸ca, pelo Crit´erio Bayesiano de Schwarz (SBC) e pelo Crit´erio de

Informa¸c˜ao de Akaike (AIC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Testes Likelihood Ratio, Score e Wald para testar a hip´otese de nuli-

dade β

= β

= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6 Estimativas dos parˆametros e das raz˜oes de escolha de tratamentos

que se obt´em na mudan¸ca dos n´ıveis de um fator mantendo os outros

ﬁxados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7 Probabilidades estimadas e observadas (frequˆencia de escolha), asso-

ciadas `as diversas alternativas dos tratamentos. . . . . . . . . . . . . 58

Resumo

BASTOS, Fernando de Souza M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, abril de 2010.

An´alise conjunta de fatores baseada em escolhas: Estima¸c˜ao e inferˆencias.

Orientador: Carlos Henrique Os´orio Silva. Coorientadores: Paulo Roberto Cecon,

Jos´e Ivo Ribeiro J´unior.

Qualquer empresa orientada para o mercado consumidor tem por objetivo ofere-

cer um produto ou servi¸co, melhor do que seus concorrentes, para que o consumidor

venha a prefer´ı-lo e at´e mesmo pagar um pre¸co maior por ele. Portanto ´e de in-

teresse conhecer m´etodos de an´alise estat´ıstica que possam auxiliar nas pesquisas

que visem estudar a preferˆencia do consumidor. Uma das metodologias de maior

difus˜ao para a an´alise do mercado consumidor utilizada atualmente ´e a conjoint

analysis traduzida como An´alise Conjunta de Fatores (ANCF), conforme proposto

por Minim et al. (2006). Apesar da literatura sobre a utiliza¸c˜ao desta metodologia

em pesquisas de mercado ser extensa, ainda existem muitas oportunidades para o

estudo de sua utiliza¸c˜ao, principalmente, relacionadas `a an´alise per si, tais como a

inclus˜ao de intera¸c˜oes entre fatores no modelo e testes de signiﬁcˆancia para as im-

portˆancias relativas dos fatores. Quando utilizada para avaliar muitos atributos ou

atributos com muitos n´ıveis, a ANCF na sua forma tradicional n˜ao ´e indicada. Uma

alternativa ´e apresentar todos os tratamentos ao consumidor e este escolhe o(s) de

sua preferˆencia ao inv´es de atribuir notas ou rank a todos, o que na pr´atica ´e mais

representativo do ambiente real de compra. Essa metodologia ´e denominada, Choice

Based Conjoint Analysis, traduzida como An´alise Conjunta de Fatores Baseada em

Escolhas (ANCFE). Na presente disserta¸c˜ao descreve-se o modelo da ANCF e suas

pressuposi¸c˜oes, al´em de mostrar como ´e feito a estima¸c˜ao dos parˆametros do mod-

elo, apresenta-se algumas das principais vantagens e desvantagens do modelo e um

exemplo de aplica¸c˜ao. Descreve-se tamb´em detalhadamente o desenvolvimento do

modelo da ANCFE, a estima¸c˜ao dos parˆamtros por m´axima verossimilhan¸ca, com

exemplos de aplica¸c˜ao, al´em de apresentar um estudo por simula¸c˜ao de dados para

ilustrar uma compara¸c˜ao entre as metodologias ANCF e ANCFE. Neste estudo

foram simuladas notas de aceita¸c˜ao ou inten¸c˜ao de compra atribu´ıdas por 200 con-

sumidores para 8 alternativas de um produto hipot´etico. Na an´alise dos resultados

da simula¸c˜ao ´e possivel notar que em termos de interpreta¸c˜ao as duas metodolo-

gias se complementam, diﬁcultando a escolha de uma delas. Por´em, a metodologia

ANCFE tem a vantagem de ser mais pr´oximo do ambiente real de compra.

Abstract

BASTOS, Fernando de Souza M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, april, 2010.

Choice based conjoint analysis: estimation e inference. Adviser: Carlos

Henrique Os´orio Silva. Co-advisers: Paulo Roberto Cecon, Jos´e Ivo Ribeiro J´unior.

In order to achieve consumer preference and higher sell prices, enterprises nowa-

days must develop products and services that are better than thoses oﬀered by the

competitors. Better in the sense that they meet consumers desires or needs be-

cause they were developed from research work that evaluated consumer preferences.

Conjoint analysis (CA) is a statistical methodology very useful in such studies. Al-

though the literature on CA applied to marketing research is vast, there still exists

plenty of topics for important research work such as inclusion of interaction among

attributes (or factors) in the regression model and signiﬁcance test for the relative

importance of attributes estimated from CA. When there exists many important

attributes, for example ﬁve or more, the usual CA should not be used because re-

quires consumer to evaluate many alternatives of a product or service (treatments).

An alternative is to use choice based conjoint analysis (CBCA) in which the set of

treatments is presented and the consumer is required only to choose one or more of

its preference, ratter than to evaluted each one as in the usual CA. Hence, CBCA

xii

xiii

even presents a more realistic scenario than CA. In this text we present a review on

consumer preference studies, including its origins and examples of applications, a re-

view on conjoint analysis (CA) with modelling details, interpretation of results and

examples. We present in details this alternative to CA named choice based conjoint

analysis (CBCA). Details of the model development and estimation by maximum

likelihood are presented as well as an example of application, a simulation study to

compare both techniques, CA and CBCA, involving preference rates given by 200

consumers to eight alternatives of an hypothetical product. From this simulation

study we concluded that both techniques give important informations and should be

considered complementary to each other rather than competitive ones. References

and appendix with SAS and Maple programs complement are text.

Introdu¸c˜ao

O mundo est´a se transformando muito rapidamente e aproximando pessoas e

mercados, com isso, surgem novas oportunidades a partir da mudan¸ca de vida das

pessoas, o consumidor, neste contexto, torna-se cada vez mais exigente. Logo, como

todo empreendimento tem como objetivo ﬁnal a aceita¸c˜ao e a satisfa¸c˜ao de um

consumidor, as empresas para competirem com sucesso, devem entender e estar

cada vez mais pr´oximas dos clientes, ou seja, ´e de fundamental importˆancia que a

empresa conhe¸ca e compreenda o seu consumidor e o comportamento dele.

Nesse contexto, para lan¸car um novo produto, melhorar um j´a existente, desco-

brir e testar novos mercados, saber como um produto j´a existente est´a posicionado

num mercado-alvo e qual o impacto da mudan¸ca de uma ou mais caracter´ısticas,

as empresas necessitam da mensura¸c˜ao da estrutura de preferˆencia do consumidor.

Uma das metodologias mais empregadas atualmente para mensurar essa estrutura

´e a an´alise conjunta de fatores (ANCF) outra metodologia que pode ser empregada,

por´em ´e pouco conhecida no Brasil ´e a An´alise Conjunta de Fatores Baseada em

Escolhas (ANCFE) a qual vamos apresentar nesta disserta¸c˜ao.

Objetivos

• Fazer uma revis˜ao bibliogr´aﬁca sobre a estrutura de preferˆencias do consumi-

dor;

• Mostrar detalhadamente como ´e feito uma an´alise com a ANCF;

• Mostrar em detalhes como foi desenvolvido o modelo estat´ıstico empregado na

ANCFE;

• Mostrar como o modelo da ANCFE pode ser ajustado pelo algoritmo de

Newton-Raphson;

• Desenvolver um exemplo por simula¸c˜ao de dados, para realizar ambas as

an´alises, ANCF e ANCFE, de modo que se possa comparar os resultados

obtidos (inferˆencias estat´ısticas) a partir das duas metodologias.

Estrutura do Trabalho

No Cap´ıtulo I ´e apresentado um hist´orico dos estudos da preferˆencia do con-

sumidor, suas origens, aplica¸c˜oes, exemplos de utiliza¸c˜ao e as diﬁculdades de imple-

menta¸c˜ao.

O Cap´ıtulo II aborda o problema da mensura¸c˜ao da estrutura de preferˆencias do

consumidor utilizando a An´alise Conjunta de Fatores (ANCF). Descrevem-se o mod-

elo da ANCF e suas pressuposi¸c˜oes, al´em de mostrar como ´e feito a estima¸c˜ao dos

parˆametros do modelo, apresenta-se algumas das pricipais vantagens e desvantagens

do modelo e um exemplo de aplica¸c˜ao.

O Cap´ıtulo I II aborda a mensura¸c˜ao da estrutura de preferˆencias do consum-

idor utilizando a An´alise Conjunta de Fatores Baseada em Escolhas (ANCFE).

Descreve-se detalhadamente o desenvolvimento do modelo da ANCFE, a estima¸c˜ao

dos parˆamtros por m´axima verossimilhan¸ca, com exemplos de aplica¸c˜ao.

O Cap´ıtulo IV apresenta um estudo por simula¸c˜ao de dados para ilustrar uma

compara¸c˜ao entre as metodologias ANCF e ANCFE. Neste estudo foram simuladas

notas de aceita¸c˜ao ou inten¸c˜ao de compra atribu´ıdas por 200 consumidores para 8

alternativas de um produto hipot´etico.

Para ﬁnalizar, o cap´ıtulo V apresenta um resumo onde s˜ao ressaltadas as princi-

pais contribui¸c˜oes e limita¸c˜oes da tese, juntamente com recomenda¸c˜oes para futuros

trabalhos. Uma se¸c˜ao de referˆencias bibliogr´aﬁcas e de apˆendices com programas

SAS e Maple complementa o texto.

Cap´ıtulo 1

Hist´orico da Modelagem nos

Estudos da Preferˆencia do

Consumidor

A estrutura de preferˆencias do consumidor pode ser entendida como as atividades

diretamente relacionadas a o comportamento de escolha, decis˜ao de compra e de

consumo de bens e/ou servi¸cos, incluindo os processos de decis˜ao que antecedem e

sucedem estas a¸c˜oes. Deﬁnir os fatores que inﬂuenciam esta estrutura e mensur´a-los

corretamente ´e uma necessidade vital n˜ao apenas para as empresas, mas para toda

a organiza¸c˜ao que se assuma como orientada para o mercado.

Segundo Da Silva (2004) as origens das t´ecnicas hoje utilizadas para o estudo e

an´alise das preferˆencias e escolha dos consumidores surgiram na primeira metade do

s´eculo passado e tˆem origem nos modelos probabil´ısticos utilizados em experiˆencias

biol´ogicas de escolha bin´aria.

A primeira aplica¸c˜ao na ´area econˆomica, foi denominada Conjoint Measurement

(Lucey e Tukey, 1964), sendo os autores, respectivamente, um psic´ologo matem´atico

e um estat´ıstico. Ap´os a publica¸c˜ao deste trabalho houve uma grande evolu¸c˜ao das

t´ecnicas, principalmente, com o estudo de pesquisadores da ´area de marketing, os

quais estavam interessados em modelos e t´ecnicas que enfatizassem a transforma¸c˜ao

de respostas subjetivas aos est´ımulos objetivos em parˆametros estimados. As formas

funcionais propostas pela teoria de Conjoint Measurement forneceram a base te´orica

para relacionar a utilidade do produto aos valores dos fatores do produto e, adotou-se

o nome de Conjoint Analysis para ressaltar esta distin¸c˜ao.

Atualmente, o termo conjoint analysis traduzido como An´alise Conjunta de Fa-

tores (ANCF), conforme proposto por Minim et al.(2006) ´e muitas vezes confundido

com o de Preferˆencia Declarada (PD), mas na verdade ´e um dos m´etodos que fazem

parte das t´ecnicas empregadas na PD (Brito, 2007).

A t´ecnica de PD refere-se a uma fam´ılia de t´ecnicas, que utiliza declara¸c˜oes de in-

div´ıduos sobre suas preferˆencias, dentro de um conjunto de alternativas hipot´eticas,

objetivando deﬁnir fun¸c˜oes utilidade e estimar os parˆametros destas fun¸c˜oes (Kroes

e Sheldon, 1988). Foi originada na d´ecada de 70 na ´area de Marketing, na busca

de solu¸c˜oes para os problemas comumente encontrados nas pesquisas de Preferˆencia

Revelada (PR). A PR segundo Dutra et al.(2002), s˜ao t´ecnicas baseadas em escolhas

reais dos indiv´ıduos para an´alise de preferˆencia e previs˜ao de comportamento. Lobo

(2003) aﬁrma que, para alguns tipos de an´alises, como mudan¸cas e implanta¸c˜oes de

novos servi¸cos oferecidos, a PR ´e uma t´ecnica pouco eﬁcaz. Portanto, as t´ecnicas

de PD s˜ao uma alternativa para suprir as deﬁciˆencias apresentadas pela PR.

Desde o primeiro artigo sobre a aplica¸c˜ao da metodologia conjunta ao estudo da

conduta do consumidor, os m´etodos baseados em PD tˆem se tornado a metodologia

mais amplamente aplicada para medir e analisar preferˆencias do consumidor. Abaixo

cita-se alguns trabalhos que utilizaram a PD.

• Kocur et al; Guide to Forecasting Travel Demand with Direct Utility Assess-

ment, 1982.

• Kroes e Sheldon; Stated Preference Methods: An Introduction, 1988.

• Permain et al; Stated Preference Techniques: A Guide to Practice, 1991.

• Hensher; Stated Preference Analysis of Travel Choice: The State of Practice,

1994.

• Souza; Delineamento Experimental em Ensaios Fatoriais Utilizados em Pre-

ferˆencia Declarada, 1999.

• Louviere et al; Stated Choice Methods: Analysis and Application, 2000.

• Train; Discrete Choice Methods with Simulation, 2003.

No ano de 1990, Green e Srinivasan propuseram uma taxonomia das diferentes

abordagens de PD:

• Abordagem Composicional: Modelos Auto−explicativos;

• Abordagem Decomposicional: Modelos Conjuntos (Preferˆencias ou Escol-

has);

• Abordagem Composicional − Decomposicional: Modelos H´ıbridos.

Na abordagem composicional, o consumidor avalia os n´ıveis de cada fator em

forma sequencial e isolada dos outros fatores. Partindo-se das avalia¸c˜oes em separado

dos fatores e seus n´ıveis, deseja-se conhecer a preferˆencia global por um tratamento

(produto/ servi¸co/ conceito).

A abordagem decomposicional objetiva estimar a importˆancia de cada fator (util-

idades dos n´ıveis dos fatores) a partir da avalia¸c˜ao do efeito conjunto do tratamento.

Desta forma, mediante a avalia¸c˜ao de combina¸c˜oes de n´ıveis, quer-se conhecer a con-

tribui¸c˜ao de cada fator na forma¸c˜ao da preferˆencia do consumidor.

A abordagem h´ıbrida, formada pela uni˜ao dos modelos de preferˆencia composi-

cionais e decomposicionais, envolve duas tarefas: uma que submete o entrevistado

`a avalia¸c˜ao de fatores independentemente dos outros e outra, posterior, onde este

desenvolve um exerc´ıcio conjunto (C´ordova, 2002).

Na abordagem decomposicional, dois m´etodos principais tˆem sido sugeridos: uma

abordagem baseada em preferˆencias, a qual requer que o entrevistado classiﬁque

cada alternativa numa escala m´etrica (rating) e outra, baseada em escolha, em

que o entrevistado escolhe uma entre diferentes alternativas. Ambos os m´etodos

operacionalizam a mensura¸c˜ao das preferˆencias a partir do princ´ıpio comportamental

denominado “maximiza¸c˜ao da utilidade”(Ben-Akiva e Lerman, 1985).

A an´alise conjunta de fatores (conjoint analysis)(ANCF) ´e um exemplo de mod-

elagem empregada na abordagem baseada em preferˆencias; e a an´alise conjunta de

fatores baseada em escolhas (Choice Based Conjoint Analysis)(ANCFE) na mode-

lagem baseada em escolha.

Existe, no Brasil, uma grande quantidade de trabalhos que utilizam a ANCF,

como ser´a visto no pr´oximo cap´ıtulo. Entretanto, poucos trabalhos abordam a

ANCFE.

Cap´ıtulo 2

An´alise Conjunta de Fatores

(Conjoint Analysis)

A Conjoint Analysis, a qual se traduz como An´alise Conjunta de Fatores (ANCF),

´e uma metodologia que permite interpretar preferˆencias com base em modelos ajus-

tados aos dados obtidos em estudos planejados para este prop´osito. Deseja-se, em

geral, estimar a importˆancia de fatores pr´e-estabelecidos na forma¸c˜ao da preferˆencia

do consumidor por diferentes vers˜oes de um produto, servi¸co ou situa¸c˜ao hipot´etica.

De acordo com Green e Rao (1971), esta ´e uma t´ecnica utilizada para estu-

dar o efeito conjunto de duas ou mais vari´aveis independentes sobre a ordena¸c˜ao

de uma vari´avel dependente. O objetivo ´e estudar a inﬂuˆencia que cada vari´avel

independente exerce na vari´avel dependente.

Para Hair Junior (1998), a ANCF ´e uma t´ecnica que baseia-se na premissa de

que os consumidores avaliam o valor ou a utilidade de um produto ou servi¸co por

meio da combina¸c˜ao do valor ou utilidade de cada fator que o comp˜oe.

De acordo com Siqueira (2000), a an´alise conjunta de fatores ´e um m´etodo es-

tat´ıstico utilizado para analisar dados prim´arios obtidos por experimenta¸c˜ao e ´e um

m´etodo que auxilia na compreens˜ao da preferˆencia dos consumidores por produtos

ou servi¸cos que possuam os mesmos fatores.

Kotler (2000) deﬁne a ANCF como uma t´ecnica estat´ıstica por meio da qual as

preferˆencias por diferentes produtos s˜ao decompostas, para determinar o valor e a

importˆancia relativa atribu´ıda, pelos mesmos, a cada fator do produto.

Pode-se entender ent˜ao que, a hip´otese fundamental da ANCF quando aplicada

`as pesquisas de mercado, ´e que a avalia¸c˜ao de diferentes alternativas ´e baseada em

valores subjetivos m´etricos de utilidade alocados a cada n´ıvel dos fatores que se

combinam para formar a alternativa. O conceito de utilidade ´e oriundo da Teoria

do Consumidor

∗

e representa o benef´ıcio ou a satisfa¸c˜ao percebida por um consum-

idor (Varian, 1999). Atualmente esse conceito ´e muito empregado nos estudos de

preferˆencia declarada.

2.1 Importˆancia da An´alise Conjunta de Fatores

Desde o surgimento das primeiras contribui¸c˜oes `as teorias sobre as quais a an´alise

conjunta se sustenta at´e as formas mais modernas do m´etodo, grande evolu¸c˜ao tem

ocorrido no sentido de aumentar a conﬁabilidade e o poder de predi¸c˜ao do m´etodo

sobre a preferˆencia dos consumidores na hora da aquisi¸c˜ao de um novo produto.

Alguns trabalhos apresentam revis˜oes detalhadas dos desenvolvimentos relacionados

aos t´opicos envolvidos com o m´etodo de an´alise conjunta como, por exemplo: Green

e Srinivasan (1990), Wittink et al. (1994) e Carroll e Green (1995).

O fato desta metodologia possuir a capacidade de responder a uma gama de

quest˜oes de marketing, faz com que esta teoria continue a ser estudada e gere uma

quantidade crescente de aplica¸c˜oes pr´aticas. Gerentes de marketing se defrontam

∗

A Teoria do consumidor, ou Teoria da escolha, ´e uma teoria microeconˆomica, que busca descr-

ever como os consumidores tomam decis˜oes. De acordo com esta teoria os fatores que inﬂuˆenciam

as escolhas dos consumidores est˜ao basicamente ligados a sua restri¸c˜ao or¸cament´aria, suas escolhas

e a suas preferˆencias.

com in´umeras diﬁculdades quando avaliam lucros futuros, vendas e participa¸c˜ao de

mercado para novos produtos ou para modiﬁca¸c˜oes de produtos existentes ou para

diferentes estrat´egias de marketing. Esta t´ecnica pode auxiliar no progn´ostico de

muitas quest˜oes, tais como:

• A lucratividade e/ou a participa¸c˜ao de mercado para um novo produto dada a

oferta atual dos concorrentes. Deve o novo produto ser introduzido? Em caso

positivo, qual a conﬁgura¸c˜ao ´otima para este?

• O impacto de novos produtos dos concorrentes sobre o lucro ou a participa¸c˜ao

de mercado se a empresa n˜ao efetuar mudan¸cas na sua posi¸c˜ao competitiva.

Quais as poss´ıveis rea¸c˜oes competitivas? Deve-se modiﬁcar o pre¸co ou outro

fator dos produtos da empresa em resposta `a competi¸c˜ao?

• Deslocamentos de consumidores ou dos produtos atuais da empresa para novos

produtos oferecidos por esta ou de produtos dos concorrentes para o novo

produto da empresa.

• Resposta aos itens anteriores de forma diferenciada, em termos de segmentos

de mercado.

• Rea¸c˜oes competitivas `as estrat´egias da empresa de introdu¸c˜ao de novos pro-

dutos.

• Respostas dos segmentos perante planos alternativos de marketing.

Para um melhor entendimento da terminologia empregada em estudos que uti-

lizam a ANCF, a conceitua¸c˜ao de alguns termos t´ecnicos ´e apresentada a seguir.

2.2 Conceitua¸c˜ao de Alguns Termos T´ecnicos

• Consumidor, Respondente ou Julgador - Correspondem `as pessoas que

participam da avalia¸c˜ao dos tratamentos, respondem question´arios, etc. Em

geral, trata-se de uma amostra aleat´oria de consumidores.

• Fator ou Atributo - Os fatores ou atributos s˜ao caracter´ısticas, que comp˜oem

o tratamento (produto ou servi¸co), objeto de estudo da an´alise conjunta.

Tamb´em s˜ao denominados fatores control´aveis, vari´aveis independentes ou

atributos e, geralmente, s˜ao representados por letras mai´usculas.

• N´ıvel de fator - S˜ao desmembramentos ou alternativas dos fatores que servem

para qualiﬁc´a-los ou quantiﬁc´a-los.

• Tratamentos - Os tratamentos s˜ao as combina¸c˜oes de n´ıveis de fatores que

ser˜ao apresentadas aos consumidores.

• Est´ımulos -

E o conjunto de tratamentos aos quais o consumidor ´e apresen-

tado para avaliar, julgar, atribuir uma nota, responder perguntas a respeito e

etc. Pode ser uma instru¸c˜ao, um question´ario, um objeto real a ser pesquisado.

• Ortogonalidade -

E uma restri¸c˜ao matem´atica que exige que os efeitos dos

fatores sejam estimados de forma independente uns dos outros. Dessa forma,

o c´alculo de um efeito n˜ao ´e alterado por varia¸c˜oes dos outros efeitos.

• M´etodo do perﬁl completo ou fatorial completo (full-proﬁle) - M´etodo

de forma¸c˜ao dos tratamentos, que consiste na completa descri¸c˜ao do trata-

mento pela combina¸c˜ao de um n´ıvel de cada fator.

• Planejamento fatorial fracionado - Planejamentos empregados para re-

duzir o n´umero de tratamentos a serem avaliados com a abordagem do perﬁl

completo.

• An´alise conjunta tradicional - Metodologia que emprega os princ´ıpios

“cl´assicos”de an´alise conjunta, usando um modelo aditivo de preferˆencia do

consumidor.

• Utilidade parcial -

E a estimativa de an´alise conjunta para as preferˆencias

ou utilidades associadas a cada n´ıvel dos fatores. Conhecida tamb´em como

coeﬁciente da preferˆencia (CP) do modelo da ANCF tradicional.

• Efeitos principais - S˜ao os efeitos que cada fator tem individualmente sobre

a preferˆencia dos consumidores.

• Utilidade total - Se refere ao valor atribu´ıdo pelo consumidor ao tratamento.

Em an´alise conjunta ´e assumido que a utilidade ´e formada pela combina¸c˜ao das

utilidades parciais de um espec´ıﬁco conjunto de n´ıveis de fatores (tratamento).

• Modelo de composi¸c˜ao - Classe de modelos multivariados que relaciona

as vari´aveis dependentes e independentes.

E o modelo estat´ıstico adotado na

ANCF. Pode ou n˜ao incluir intera¸c˜oes entre os fatores. A escolha do modelo

para a ANCF depende dos objetivos e restri¸c˜oes do estudo. Para a estima¸c˜ao

dos parˆametros do modelo existem muitas alternativas (Artes, 1991).

2.3 Etapas para Elabora¸c˜ao de uma Pesquisa

Para conduzir uma pesquisa utilizando a an´alise conjunta, Della Lucia (2008)

aconselha seguir os seguintes passos: sele¸c˜ao de fatores, determina¸c˜ao dos n´ıveis

do fator, escolha do modelo para a an´alise, sele¸c˜ao do m´etodo de coleta de da-

dos, deﬁni¸c˜ao do arranjo de tratamentos e da forma de apresenta¸c˜ao, avalia¸c˜ao dos

tratamentos, an´alise dos dados e a interpreta¸c˜ao dos resultados, como descritos a

seguir:

1. Sele¸c˜ao dos fatores - Esse passo exige conhecimento t´ecnico do produto,

pois todos os fatores do produto que possam afetar o processo de decis˜ao

dos consumidores devem ser identiﬁcados. Nesta etapa, pode-se realizar um

question´ario aberto com um pequeno n´umero de consumidores para identiﬁcar

os fatores relevantes. Os pesquisadores podem incluir ainda fatores que eles

julgam importantes pelo hist´orico de reclama¸c˜oes ou por contatos pr´evios com

os consumidores.

2. Determinar os n´ıveis de cada fator - Os n´ıveis dos fatores devem ser signi-

ﬁcativos, informativos e realistas. Devem capturar a forma como os indiv´ıduos

respons´aveis pela decis˜ao de compra pensam. A escolha dos n´ıveis de fatores

adequados inﬂuenciam diretamente na validade do julgamento de preferˆencia

dos consumidores.

3. Escolha do modelo para a an´alise - O modelo deﬁne a forma de com-

bina¸c˜ao entre os fatores para que os mesmos expliquem a preferˆencia do con-

sumidor. O mais comum ´e o modelo aditivo ou de efeitos principais, em que

as contribui¸c˜oes dos fatores s˜ao somadas para gerar a preferˆencia global pelo

tratamento.

4. Sele¸c˜ao do m´etodo de coleta de dados - Os principais procedimentos

de coleta de dados na ANCF s˜ao os m´etodos trade-oﬀ e o de perﬁl com-

pleto deﬁnido na p´agina anterior. No m´eto do trade-oﬀ, os tratamentos s˜ao

apresentados aos consumidores, de modo que os fatores em avalia¸c˜ao sejam

comparados dois a dois por vez. Os consumidores dever˜ao ordenar to dos os

tratamentos em termos de sua preferˆencia. Nesse m´etodo, o n´umero de fatores

n˜ao deve ser muito grande, devido a uma poss´ıvel sobrecarga de informa¸c˜ao

para os consumidores.

5. Planejamento experimental: Deﬁni¸c˜ao do arranjo de tratamentos e da

forma de apresenta¸c˜ao - O delineamento do experimento inclui a deﬁni¸c˜ao

da ordem de apresenta¸c˜ao dos tratamentos e do n´umero de consumidores. A

escolha do delineamento ´e precedida pela deﬁni¸c˜ao dos tratamentos, originados

pela combina¸c˜ao de n´ıveis de fatores por meio de um arranjo fatorial. Quando

o n´umero de fatores e n´ıveis ´e pequeno, pode-se adotar um fatorial completo

no experimento. Contudo, ao se aumentar o n´umero de fatores e n´ıveis, poder´a

ocorrer um grande aumento no n´umero de tratamentos, o que leva `a fadiga do

consumidor, tornando invi´avel a utiliza¸c˜ao do fatorial completo, dando lugar

ao uso de fatoriais fracionados.

6. Avalia¸c˜ao dos tratamentos - Os tratamentos s˜ao avaliados pelos consumi-

dores de maneira global quanto `a inten¸c˜ao de compra, aceita¸c˜ao ou preferˆencia.

7. An´alise dos dados - Os dados da avalia¸c˜ao dos consumidores podem ser

submetidos `a an´alise individual, agregada ou por segmentos.

(a) An´alise individual - Os CP’s e as IR’s s˜ao estimadas para cada consum-

idor, ou seja, para cada consumidor ´e deﬁnida uma fun¸c˜ao para predizer

sua preferˆencia.

(b) An´alise agregada - Um ´unico modelo ´e ajustado para todos os consum-

idores.

dos participantes; posteriormente, agrupam-se os consumidores que ap-

resentaram comportamento semelhante, com base nestes valores de CP’s.

Em seguida, realiza-se a an´alise agregada, sendo estimados os CP’s para

cada n´ıvel de cada fator em um mesmo segmento ou grupo. Alternati-

vamente, podem-se agrupar os consumidores com base em question´arios

demogr´aﬁcos (sexo, renda, proﬁss˜ao etc.) e analisar cada grupo. A se-

gunda alternativa permite identiﬁcar grupos de interesse primeiro e depois

proceder `a an´alise agregada para cada grupo.

8. Interpreta¸c˜ao dos resultados - Os resultados s˜ao avaliados em termos da

contribui¸c˜ao de cada n´ıvel de cada fator (representada pelos valores de CP’s) e

quanto `a importˆancia relativa dos fatores na inten¸c˜ao de compra ou preferˆencia

dos consumidores.

2.3.1 Exemplos de Utiliza¸c˜ao

H´a in´umeros estudos que se valeram da ANCF. Abaixo s˜ao apresentados alguns

trabalhos brasileiros atuais:

Dantas (2001) utilizou a ANCF para avaliar o impacto de fatores da embalagem

de couve minimamente processada. A informa¸c˜ao, o tipo de produ¸c˜ao, a cor do

r´otulo e o pre¸co foram fatores que afetaram signiﬁcativamente a inten¸c˜ao de compra

de tal produto, enquanto a visibilidade fornecida pela embalagem n˜ao proporcionou

altera¸c˜oes no julgamento.

Carneiro (2002) utilizou a ANCF para estudar o impacto da embalagem de ´oleo

de soja na inten¸c˜ao de compra, com a avalia¸c˜ao dos fatores marca, pre¸co, informa¸c˜ao

nutricional e sobre o tipo de soja. Quatro grupos de consumidores foram identiﬁca-

dos; para os grupos 1 e 2, a informa¸c˜ao sobre o tipo de soja e o pre¸co foram fatores

importantes, respectivamente; para o grupo 3, os quatro fatores tiveram a mesma

importˆancia e, para o grupo 4, o pre¸co foi o mais importante.

Abadio (2003) utilizou a t´ecnica para avaliar o efeito de diferentes fatores de

informa¸c˜ao da embalagem de suco de abacaxi na inten¸c˜ao de compra do consumidor.

Foram avaliados cinco fatores: (1) Marca (trˆes n´ıveis) que apresentou



IR = 24%, (2)

Deﬁni¸c˜ao do Produto (dois n´ıveis) com



IR = 1,4%, (3) Informa¸c˜ao sobre tecnologia

(trˆes n´ıveis) com



IR = 10,6%, (4) Tipo de produ¸c˜ao (dois n´ıveis) com



IR = 9,5% e

(5) Pre¸co (dois n´ıveis) com



IR = 25,9%. Neste estudo tamb´em foi aplicado o teste

t para inferir quanto `as diferen¸cas signiﬁcativas entre os coeﬁcientes de preferˆencia.

Castro (2006) aplicou a ANCF na Ind´ustria Hoteleira para avaliar os pacotes

de servi¸cos preferidos pelos clientes de um hotel na cidade de S˜ao Paulo. Foram

avaliados cinco fatores: (1) Equipamentos (com trˆes n´ıveis) que resultou em uma



IR = 27,60%, (2) Apartamentos (com trˆes n´ıveis) com



IR = 32,39%, (3) Servi¸cos

de quarto (com trˆes n´ıveis) e



IR = 17,15%, (4) Caf´e da Manh˜a (dois n´ıveis) e



= 12,77% e (5) Conforto do Banheiro (dois n´ıveis) com



IR = 10,19% .

Della Lucia (2008) aplicou a ANCF na avalia¸c˜ao da inten¸c˜ao de compra e da

escolha do iogurte light sabor morango. Ela estimou a



IR de trˆes fatores, todos

com dois n´ıveis cada um e obteve os seguintes resultados: (1) Informa¸c˜ao sobre o

conte´udo de a¸c´ucar,



IR = 60,2%, (2) Informa¸c˜ao sobre o conte´udo de gordura,



= 10,6% e (3) Informa¸c˜ao sobre o conte´udo de prote´ına,



IR = 29,2% .

2.4 Modelo para a Utilidade

Considere um experimento com r fatores, cada um com m

n´ıveis. Assim, ´e

poss´ıvel deﬁnir J =



s=1

tratamentos distintos. Seja U

a utilidade do j-´esimo

tratamento para o n-´esimo consumidor. Considere o seguinte modelo de efeitos

aditivos entre os fatores (sem intera¸c˜oes entre eles),

= β



s=1



i=1

+ ε

, (2.1)

em que,

1. β



s=1



i=1

´e o componente determin´ıstico, obtido pela combina¸c˜ao

de um vetor de incidˆencias, 1 × (1 +



s=1

), que deﬁne quais n´ıveis dos fa-

tores comp˜oem o tratamento e, um vetor (1 +



s=1

) × 1, n˜ao observ´avel de

utilidades parciais,

β = (β

, β

, ..., β

, β

, ..., β

)



= 1 quando o i-´esimo n´ıvel do s-´esimo fator est´a presente no j-´esimo

tratamento e X

= 0 caso contr´ario. β

´e o intercepto

†

ou constante do

modelo e corresponde `a nota m´edia de todos os tratamentos, β

´e o coeﬁciente

de preferˆencia (CP) associado ao i-´esimo n´ıvel do s-´esimo fator (denominados

part-worths) para s = 1, 2, ..., r fatores cada um com m

n´ıveis.

2. e ε

´e o erro aleat´orio, n˜ao observ´avel que inclui o efeito de todas as outras

vari´aveis n˜ao contempladas pelo modelo tais como, diferen¸cas de preferˆencias

entre os indiv´ıduos, erros de medi¸c˜ao na execu¸c˜ao do experimento e/ou na

coleta e digita¸c˜ao dos dados, dentre outras.

Considerando-se um estudo com n = 1, 2, 3, ..., N, consumidores, onde cada um

avalia todos os j = 1, 2, 3, ..., J, tratamentos, ou, J

∗

< J tratamentos conveniente-

mente selecionados (fatorial fracionado); deﬁni-se o vetor

Y = (U

...U

···U

··· U

···U

)



e a matriz

X = (X

··· X

)



onde,

†

Pode-se trabalhar com as utilidades centradas na m´edia. Neste caso, na an´alise dos dados por

consumidor (an´alise individual) U

= Y

−

e, na an´alise dos dados de todos os consumidores

(an´alise agregada) U

= Y

−

Y ou seja, Y

´e a nota do consumidor,

´e a m´edia do consumidor

Y ´e a m´edia geral. Ao centrar o valor das notas, o objetivo ´e tornar o intercepto do modelo ou

constante do modelo de regress˜ao (β

) igual a zero.







1 X

··· X

1 X

··· X

. ···

1 X

··· X







(2.2)

´e a mesma matriz para n = 1, 2 , ··· , N e,

β = (β

, β

, ..., β

, β

, ..., β

)



de onde obt´em-se o sistema,

Y = Xβ + ε.

O objetivo da ANCF ´e estimar o vetor β e h´a diversas metodologias dispon´ıveis

(Artes, 1991). Uma alternativa ´e pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados ordin´arios, o

que requer a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes normais X





β = X



Y . Na ANCF,

para facilitar a interpreta¸c˜ao das estimativas



imp˜oe-se as restri¸c˜oes



i=1

= 0,

para todo fator s. Estas restri¸c˜oes completam o posto da matriz X, de modo que o

sistema de equa¸c˜oes normais passa a ter solu¸c˜ao ´unica e, adicionalmente, permitam

interpreta¸c˜oes importantes para as estimativas dos



•



< 0 signiﬁcam efeito desfavor´avel, ou seja, que diminuem a nota de pre-

ferˆencia pelo produto, enquanto;

•



> 0 signiﬁcam efeito favor´avel na preferˆencia do consumidor.

Com os valores



, pode-se estimar a Importˆancia de um fator s, que ´e dado

por,

= max(



) − min(



)

A Importˆancia Relativa (IR) de cada fator ´e estimada como:

(%) =



s=1

· 100 (2.3)

A importˆancia relativa pode ser interpretada como o “impacto”, ou o efeito que

o fator tem sobre a preferˆencia do produto pelo consumidor.

Considere o seguinte exemplo de aplica¸c˜ao da ANCF:

2.4.1 Exemplo de Aplica¸c˜ao da ANCF.

Realizou-se um pequeno estudo por simula¸c˜ao de dados a ﬁm de exempliﬁcar

a ANCF. Considera-se 3 (trˆes) fatores com 2 (dois) n´ıveis cada de acordo com a

Tabela (2.1),

Tabela 2.1: N´ıveis do fator “Pre¸co”, “Cor”e “Marca”utilizados no estudo por sim-

ula¸c˜ao de dados para a exempliﬁca¸c˜ao da ANCF

Pre¸co Cor Marca

Baixo Alto Preto Branco X

0 1 0 1 0 1

Quer-se mostrar como mensurar a importˆancia dos fatores sobre a inten¸c˜ao de

compra de 200 consumidores. O que vamos fazer ent˜ao ´e obter utilidades atribu´ıdas

pelos 200 consumidores aos 8 (oito) tratamentos que se obt´em pela combina¸c˜ao em

um fatorial completo. Para isso, ﬁxamos primeiro os valores da parte detemin´ıstica

dados na Tabela 2.2.

Tabela 2.2: Valores do componente determin´ıstico associados aos oito tratamentos

antes da simula¸c˜ao do erro aleat´orio

Tratamentos

A B C D E F G H

Componente Determin´ıstico 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3

Posteriormente, no software SAS, vers˜ao 9.1, licenciado para a Universidade

Federal de Vi¸cosa (veja apˆendice 1), simulamos n´umeros com distribui¸c˜ao normal,

m´edia 0 e variˆancia 1 e tomamos a parte inteira desses n´umeros para formar a parte

aleat´oria do modelo (ε

). Para obter as utilidades atribu´ıdas aos tratamentos con-

sideramos o valor absoluto da soma entre a parte determin´ıstica (tabela (2 .3)) e os

valores ε

simulados. Isso foi feito de forma que as utilidades associadas a cada

tratamento pelos 200 consumidores hipot´eticos fossem n´umeros no intervalo de 1 a

10. Sendo nota 1 para a menor inten¸c˜ao e nota 10 para a maior inten¸c˜ao. Comu-

mente em tais estudos na ´area de Ciˆencia e Tecnologia de Alimentos (Della Lucia,

2008) notas 1 e 10 correspondem a deﬁnitivamente n˜ao compraria e deﬁnitivamente

compraria, respectivamente.

A fun¸c˜ao utilidade para a an´alise desse exemplo ´e:

= (β

+ β

) + (β

+ β

) + (β

+ β

) + ε

para n = 1, 2, ..., 200 e j = 1, 2, ..., 8.

Para um melhor entendimento do exemplo vamos mostrar como ´e feita a an´alise

indiv´ıdual dos dados e no ﬁnal mostraremos o resultado da an´alise agregada.

Na Tabela 2.3 est˜ao apresentados os dados simulados do consumidor 1.

Tabela 2.3: Notas atribuidas pelo consumidor 1 aos oito tratamentos

Tratamentos (N´ıveis dos Fatores)

Fatores A B C D E F G H

Pre¸co 0 0 0 0 1 1 1 1

Cor 0 0 1 1 0 0 1 1

Marca 0 1 0 1 0 1 0 1

Notas (Y

) 8 4 6 5 4 5 4 3

Centradas (U

) 3,125 -0,875 1,125 0,125 -0,875 0,125 -0,875 -1,875

Na tabela (2.3), tem-se que U

= Y

− Y

, em que Y

´e a nota de preferˆencia

do consumidor 1 e

8 + 4 + 6 + 5 + 4 + 5 + 4 + 3

= 4, 875

a nota m´edia do consumidor 1.

O modelo, para o consumidor 1, pode ser representado compactamente sob a

forma matricial como U

= Xβ



+ ε







3, 125

−0, 875

1, 125

0, 125

−0, 875

0, 125

−0, 875

−1, 875













1 1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1 0

1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1































Para a an´alise dos dados simulados do consumidor 1, o sistema de equa¸c˜oes

normais que fornece uma solu¸c˜ao ´e:



Xβ

◦

= X



ou seja,







8 4 4 4 4 4 4

4 4 0 2 2 2 2

4 0 4 2 2 2 2

4 2 2 4 0 2 2

4 2 2 0 4 2 2

4 2 2 2 2 4 0

4 2 2 2 2 0 4













◦













3, 5

−3, 5

1, 5

−1, 5

2, 5

−2, 5







As restri¸c˜oes nos parˆametros, s˜ao as seguintes:



i=1



i=1



i=1

= 0.

Essas restri¸c˜oes na forma matricial, B



β = ∅ s˜ao,







0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1













◦



















O sistema de equa¸c˜oes normais com restri¸c˜oes nos parˆametros, ´e dado por:





X B



∅













∅



isto ´e,







8 4 4 4 4 4 4 0 0 0

4 4 0 2 2 2 2 1 0 0

4 0 4 2 2 2 2 1 0 0

4 2 2 4 0 2 2 0 1 0

4 2 2 0 4 2 2 0 1 0

4 2 2 2 2 4 0 0 0 1

4 2 2 2 2 0 4 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0



























3, 5

−3, 5

1, 5

−1, 5

2, 5

−2, 5







Resolvendo o sistema de equa¸c˜oes normais com restri¸c˜oes nos parˆametros, tˆem-se

a solu¸c˜ao ´unica que fornece as estimativas desejadas:



β.











X B



∅



−1





∅



dadas por,





















1/8 0 0 0 0 0 0 −1/2 −1/2 −1/2

0 1/8 −1/8 0 0 0 0 1/2 0 0

0 −1/8 1/8 0 0 0 0 1/2 0 0

0 0 0 1/8 −1/8 0 0 0 1/2 0

0 0 0 −1/8 1/8 0 0 0 1/2 0

0 0 0 0 0 1/8 −1/8 0 0 1/2

0 0 0 0 0 −1/8 1/8 0 0 1/2

−1/2 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0

−1/2 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 0

−1/2 0 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0













3, 5

−3, 5

1, 5

−1, 5

2, 5

−2, 5







ou,



β =





















0, 875

−0, 875

0, 375

−0, 375

0, 625

−0, 625







Note que



= 0 por que se utilizou as notas centradas na nota m´edia.

As importˆancias dos fatores s˜ao,

= [0, 875 − (−0, 875)] = 1, 750

= [0, 375 − (−0, 375)] = 0, 750

= [0, 625 − (−0, 625)] = 1, 250

E as importˆancias relativas s˜ao,



1, 750

3, 75

.100 = 46, 67%



0, 750

3, 75

.100 = 20%



1, 250

3, 75

.100 = 33, 33%

Notemos que o pre¸co do produto hipot´etico ´e o fator que apresenta maior impacto

na inten¸c˜ao de compra do consumidor 1, com importˆancia relativa (



IR ) de 46, 67%.

Observa-se que o consumidor estudado prefere um produto com pre¸co baixo,

de cor preta e da marca X

. A estimativa da nota de inten¸c˜ao de compra desse

tratamento pode ser obtida somando-se os CPs dos seus n´ıveis:



= 0, 875 + 0, 375 + 0, 625 = 1, 875

O mesmo consumidor apresentou menor inten¸c˜ao de compra para o produto com

pre¸co alto, cor branca e marca X

, cuja estimativa de inten¸c˜ao de compra ´e:

Tabela 2.4: Estimativas dos coeﬁcientes da preferˆencia dos n´ıveis dos fatores e im-

portˆancias relativas (%) dos fatores.

Fatores N´ıveis Coeﬁcientes Importˆancias

da preferˆencia Relativas (%)

Pre¸co Baixo 0,875 46,67

Alto -0,875

Cor Preto 0,375 20

Branco -0,375

Marca X

0,625 33,33

-0,625



= −0, 875 − 0, 375 − 0, 625 = −1, 875

2.4.2 Diﬁculdades na Implementa¸c˜ao

Quando se utiliza a ANCF, o consumidor ´e solicitado a avaliar tratamentos em

geral hipot´eticos, realizando, obrigatoriamente, um “trade-oﬀ”, que ´e uma avalia¸c˜ao

considerando-se rela¸c˜oes de custo e benef´ıcio na qual ele expressa sua preferˆencia de

modo comparativo entre os fatores.

O consumidor, por´em, ao avaliar ou informar a preferˆencia por um determi-

nado tratamento, n˜ao avalia cada fator separadamente, mas o conjunto de fatores

simultˆaneos que o tratamento cont´em, o que torna a decis˜ao muitas vezes n˜ao con-

sciente e dif´ıcil de ser manifestada com exatid˜ao. Al´em disso, se um produto, por

exemplo, for deﬁnido pela combina¸c˜ao de n´ıveis de dez fatores determinantes de

decis˜ao, com dois n´ıveis cada, ent˜ao podem ser teoricamente deﬁnidos 2

= 1024

alternativas para o produto.

Como a metodologia de an´alise estat´ıstica empregada no estudo deve ter por

objetivo diminuir o esfor¸co do consumidor, e replicar a situa¸c˜ao real de compra `a

situa¸c˜ao de pesquisa, h´a alguns problemas decorrentes da avalia¸c˜ao simultˆanea de

muitos atributos na ANCF, por exemplo, escolha n˜ao honesta devido ao tempo, o

alto custo envolvido, al´em de certa complexidade que pode ocorrer na implementa¸c˜ao

da metodologia.

Logo nas situa¸c˜oes em que um grande n´umero de alternativas de tratamentos

precisam ser submetidos `a avalia¸c˜ao pelos consumidores, n˜ao ´e um bom procedi-

mento requerer que cada consumidor avalie todas as alternativas, como na ANCF.

Uma poss´ıvel solu¸c˜ao ´e apresentar os tratamentos a cada indiv´ıduo e ele escolher´a

uma, nenhuma ou mais de uma alternativa. Esse m´etodo de an´alise ´e denominado

Choice Based Conjoint Analysis(ANCFE) (veja por exemplo Toubia et al. (2003) e

Train (1993)) e ´e o objeto de estudo desta disserta¸c˜ao.

Cap´ıtulo 3

An´alise Conjunta de Fatores

Baseada em Escolhas (Choice

Based Conjoint Analysis)

3.1 Modelos de Escolha Discreta

Na modelagem da decis˜ao de escolha e compra do consumidor surgem os de-

nominados Modelos de Escolha Discreta. O termo escolha discreta (discrete choice)

refere-se `a situa¸c˜oes em que a vari´avel resposta do modelo ´e do tipo discreta e es-

peciﬁca a decis˜ao de escolha do consumidor. Em especial, na ANCFE, o modelo

Logit Multinomial (Multinomial Logit Models) ´e utilizado para modelar a complexa

decis˜ao de escolha. Portanto, ´e importante que se entenda as etapas do desenvolvi-

mento deste modelo bem como a estima¸c˜ao dos seus parˆametros na ANCFE.

Segundo Ben-Akiva e Lerman (1985), o problema b´asico abordado pela an´alise

de escolha discreta ´e a modelagem da escolha de um conjunto de alternativas mu-

tuamente exclusivas e coletivamente exaustivas. O modelo consiste de fun¸c˜oes

parametrizadas de utilidade em termos de vari´aveis independentes observ´aveis e

parˆametros desconhecidos, e seus valores s˜ao estimados a partir de uma amostra

observada de escolhas feitas pelos consumidores.

Um dos principais objetivos dos modelos de escolha discreta ´e justamente medir

a preferˆencia do consumidor sobre produtos e servi¸cos competitivos, expressando

matematicamente a importˆancia dos diferentes fatores de escolha. A t´ecnica ´e con-

stru´ıda com base no pressuposto de que consumidores tomam decis˜oes complexas

baseadas n˜ao apenas em cada fator isoladamente, mas na combina¸c˜ao de diver-

sos fatores. Neste processo de escolha, decis˜oes de compra s˜ao tomadas n˜ao s´o

com base em fatores racionais, mas tamb´em s˜ao inﬂuenciadas por fatores subjetivos

que o consumidor n˜ao consegue verbalizar diretamente. Esta subjetividade estaria

relacionada aos valores associados `as caracter´ısticas dos fatores que comp˜oem um

produto, como, por exemplo, sua Marca.

Os produtos ou servi¸cos pesquisados s˜ao descritos por meio de “conﬁgura¸c˜oes”.

Cada conﬁgura¸c˜ao ´e uma combina¸c˜ao de “n´ıveis”de diferentes “fatores”. Por exem-

plo, o produto “Arroz”pode ser descrito pelos fatores “Marca”, “Pre¸co”e “Tipo”. O

fator “Tipo”pode ter dois n´ıveis: “Tipo 1”e “Tipo 2”. A combina¸c˜ao dos n´ıveis de

cada fator constr´oi uma conﬁgura¸c˜ao, como por exemplo: “Arroz: Marca X, Tipo

1, R$10,00”.

Diversas conﬁgura¸c˜oes de um produto s˜ao apresentadas ao consumidor, que por

sua vez escolhe uma, nenhuma ou mais de uma conﬁgura¸c˜ao. O objetivo do modelo

´e conseguir captar a subjetividade do processo de escolha do consumidor. Emb-

ora n˜ao declare sua preferˆencia por esta ou aquela marca ou n´ıvel de pre¸co, estas

informa¸c˜oes estar˜ao representadas pelas suas escolhas, e ser˜ao captadas pelo mod-

elo estat´ıstico. Na pr´atica, no entanto, ´e frequente que indiv´ıduos aparentemente

similares efetuem diferentes escolhas quando se deparam com um conjunto de alter-

nativas. De fato, um indiv´ıduo poderia fazer diferentes escolhas quando defrontado

com as mesmas alternativas em ocasi˜oes diferentes. Portanto, existem in´umeras

diﬁculdades de modelagem.

Existem na literatura dois tipos de modelos matem´aticos para explicar o com-

portamento de escolha do consumidor: os modelos determin´ısticos e os modelos

probabil´ısticos (tamb´em denominados estoc´asticos). Ambos s˜ao focados no resul-

tado e sempre respondem a alguma pergunta espec´ıﬁca, como por exemplo: “Que

marca ser´a escolhida?”, “Qual a probabilidade desta marca ser a escolhida?”, “Qual

a probabilidade de se escolher o produto com pre¸co mais alto?”, etc.

Os modelos determin´ısticos propostos na literatura nunca tiveram importˆancia

pr´atica em estudos de preferˆencia do consumidor.

Nos modelos probabil´ısticos as utilidades das alternativas s˜ao vari´aveis aleat´orias,

logo o modelo ´e utilizado para estimar a probabilidade de uma alternativa ter a

m´axima utilidade e, por conseguinte, a probabilidade com a qual ser´a escolhida

(Louviere, 1984).

Dentre os modelos probabil´ısticos de escolha discreta podemos citar os modelos

baseados na maximiza¸c˜ao da utilidade (Meyer e Kahn, 1991); o modelo de Markov

∗

(Bronson, 1985); e o modelo de aprendizado linear (Lilien, Kotler e Moorthy, 1992).

Outros modelos probabil´ısticos encontrados s˜ao fundamentalmente extens˜oes ou ca-

sos particulares desses modelos citados (Goldstein, 1997).

Os modelos probabil´ısticos de escolha discreta baseados na maximiza¸c˜ao da util-

idade s˜ao classiﬁcados em duas categorias: Modelos de Escolha bin´aria (duas alter-

nativas para escolha) e Modelos de Escolha m´ultipla (mais de duas alternativas).

Adicionalmente, os modelos de escolha m´ultipla abrangem modelos n˜ao-ordenados

no qual o entrevistado efetua uma ´unica escolha do conjunto de alternativas e orde-

nados no qual o entrevistado efetua uma ordena¸c˜ao total ou parcial do conjunto de

escolha.

Nesta disserta¸c˜ao, abordaremos somente os modelos de escolha discreta baseados

na maximiza¸c˜ao da utilidade, pois estes s˜ao os empregados na metodologia denom-

inada an´alise conjunta de fatores baseada em escolhas (ANCFE) ou choice based

conjoint analysis.

∗

Muito utilizado para previs˜ao de participa¸c˜ao de mercado por ser bastante simples e eﬁcaz.

3.2 Modelos N˜ao-Ordenados de Escolha M´ultipla

A base te´orica para a formula¸c˜ao dos modelos de escolha discreta ´e dada pela

teoria da utilidade aleat´oria que tem como premissa fundamental que um indiv´ıduo,

em um processo de escolha, analise as vari´aveis envolvidas e tome suas decis˜oes

considerando todas estas, de forma a maximizar seu benef´ıcio ou utilidade, ou seja,

o indiv´ıduo seleciona j , se e somente se:

> U

, ∀ j = k, j, k ∈ {1, 2, ..., J},

Em (2.4) apresentamos uma alternativa para o modelo da utilidade U

. Na

ANCFE s˜ao realizadas algumas modiﬁca¸c˜oes essenciais. Considere r fatores pre-

sentes no experimento, cada um com m

n´ıveis, assim podemos deﬁnir J =



s=1

tratamentos distintos. Deﬁne-se,

= X

β + ε

, (3.1)

em que,

• X



, x

, ··· , x



´e o vetor cujas entradas s˜ao os c´odigos dos n´ıveis dos

r fatores presentes no tratamento j, ou seja, X

representa o n´ıvel do fator i

presente no tratamento j i = 1, 2, ··· , r e j ∈ {1, 2, ··· , J};

• β = [β

, β

, ··· , β

] ´e o vetor de parˆametros a serem estimados, sendo que na

ANCFE apenas um parˆametro ´e estimado por fator.

Considere que a probabilidade P do n-´esimo consumidor escolher a j-´esima al-

ternativa ser´a dada por:

P (Y

= j|X) = P (U

> U

), ∀ j = k ∈ {1, 2, ..., J}

= P (X

β + ε

> X

β + ε

)

= P (ε

< ε

+ X

β − X

β)

= P (ε

< 

, ε

< 

, ..., ε

< 

), j = k (3.2)

onde:

• U

´e a fun¸c˜ao utilidade do tratamento j deﬁnida no estudo.

• Y

´e a vari´avel resposta correspondente `a escolha do consumidor n.

• ε

, ´e o erro aleat´orio associado a mensura¸c˜ao da escolha do tratamento j pelo

consumidor n.

• X = [X

, X

, ··· , X

]



J×r

´e a matriz cujas linhas s˜ao os vetores de incidˆencias

correspondentes aos n´ıveis de fatores de cada tratamento.

• 

= ε

+ X

β − X

A express˜ao (3.2) recebe a denomina¸c˜ao de modelo de utilidade estoc´astico e

requer que se estabele¸ca uma distribui¸c˜ao para o termo aleat´orio, ε

. Neste con-

texto dois modelos multinomiais denominados logit e probit, tˆem sido comumente

considerados.

No modelo probit assume-se que o erro aleat´orio comporta-se segundo uma dis-

tribui¸c˜ao normal,

F (ε

) = Φ(ε

) =



−∞

√

2π

−

dt (3.3)

No modelo logit, o erro comporta-se segundo uma distribui¸c˜ao de Gumbel (Ben-

Akiva; Lerman, 1985),

F (ε

) = e

−e

−ε

(3.4)

Devido `a necessidade de se avaliar integrais m´ultiplas da distribui¸c˜ao normal, o

modelo probit tem tido uso limitado neste contexto. O modelo logit, pelo contr´ario,

tem sido amplamente utilizado em muitos campos, tais como, economia, em pesquisas

de mercado, engenharia, transporte, etc (Greene, 2002).

3.2.1 O Modelo Logit Multinomial

Assumindo-se que os termos aleat´orios da fun¸c˜ao de utilidade s˜ao independentes

(ind.) em rela¸c˜ao `as alternativas de escolha e identicamente distribu´ıdos (i.d.) com

distribui¸c˜ao Gumbel (logit), tem-se,

P (Y

= j|X) = P (ε

< 

, ε

< 

, ..., ε

< 

)

ind

= P (ε

< 

)P (ε

< 

). ··· .P (ε

< 

), j = k



k=1

k=j

P (ε

< 

) (3.5)

J´a que para duas vari´aveis aleat´orias W e L, tem-se,

P (W ≤ L) = E

(W ≤ l|l)]



∞

−∞

(t)P

(W ≤ t)dt



∞

−∞

(t)F

(t)dt

Considerando que 

= ε

+ X

β − X

β, temos a partir da express˜ao (3.5),

P (Y

= j|X) = E









k=1

k=j

P (ε

< ε

+ X

β − X

β|ε

)









∞

−∞

f(ε

) ·



k=1

k=j

(ε

+ X

β − X

β)dε

i.d.



∞

−∞

−ε

· e

−e

−ε



k=1

k=j

−e

−

„

β−X

dε



∞

−∞

−ε



k=1

−e

−

„

β−X

dε



∞

−∞

−ε

· exp(−



k=1

−

(

β−X

)

dε



∞

−∞

−ε

· exp



−e

−ε



k=1

−(X

β−X

β)



dε

Fazendo t = e

−ε

tem-se que dt = −e

−ε

dε

. Notemos que se ε

→ ∞ ent˜ao

t → 0 e se ε

→ −∞ ent˜ao t → ∞, logo,

P (Y

= j|X) =



∞

−∞

−ε

· exp



−e

−ε



k=1

−(X

β−X

β)



dε



∞

−exp



−t



k=1

−(X

β−X

β)





∞

exp



−t



k=1

−(X

β−X

β)



−exp



−t



k=1

−(X

β−X

β)





k=1

−(X

β−X

β)

∞



k=1

−(X

β−X

β)



k=1

β)

Portanto obt´em-se o modelo para a escolha utilizado na ANCFE,

P (Y

= j|X) =

β)



k=1

β)

, ∀ j = 1, 2, ..., J (3.6)

O modelo (3.6) ´e denominado modelo logit multinomial (MLM) e representa a

probabilidade de escolha da j-´esima alternativa (dentre J poss´ıveis) para o n-´esimo

consumidor. A rigor P (Y

= j|X) ´e uma probabilidade de escolha condicional, dado

o conjunto de fatores (X) que comp˜oem todos os tratamentos.

3.2.2 Raz˜ao de Escolhas

A ANCFE fornece um resultado inferencial de particular interesse, que ´e a

raz˜ao entre a probabilidade de escolha do tratamento p e a probabilidade de es-

colha do tratamento q, onde q ´e obtido de p ﬁxando r − 1 n´ıveis dos r fatores

presentes nesses tratamentos e alterando o n´ıvel de apenas 1 fator, ou seja, se

= [x

, x

, ··· , x

] ´e o vetor dos n´ıveis dos fatores presentes no trata-

mento p e, X

= [x

, x

, ··· , x

] ´e o vetor dos n´ıveis dos fatores presentes

no tratamento q, ent˜ao x

= x

para um ´unico i ∈ {1, 2, ··· , r}.

Sem perda de generalidade, consideremos x

= x

e x

= x

, ∀i ∈ {1, 2, ··· , k−

1, k + 1, ··· , r}. A raz˜ao considerada ser´a denominada como raz˜ao de escolhas e

denotada por,

, X

) =

P (Y

= p|X)

P (Y

= q|X)

= e

−x

)β

. (3.7)

• Se RE

, X

) > 1, ent˜ao a probabilidade de se escolher o produto p ´e maior

do que a probabilidade de se escolher o produto q, que ´e obtido de p pela troca

do n´ıvel do fator k.

• Se RE

, X

) < 1, ent˜ao a probabilidade de se escolher o produto p ´e menor

do que a probabilidade de se escolher o produto q.

Outra interpreta¸c˜ao importante da raz˜ao de escolhas ´e que a rela¸c˜ao entre a pro-

babilidade de escolha dos tratamentos p e q depende exclusivamente de seus com-

ponentes observ´aveis sendo, por isso, poss´ıvel incluir ou retirar outros tratamentos

ao modelo sem que a rela¸c˜ao entre p e q se altere.

3.3 Fun¸c˜ao de Verossimilhan¸ca

Deﬁnido o modelo (3.6) para a ANCFE e dada uma amostra aleat´oria das es-

colhas de N consumidores, (Y

= i, Y

= j, Y

= k, ..., Y

= l), i, j, k, . . . , l ∈

{1, 2, ..., J}, deﬁne-se como fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca a probabilidade conjunta

desta amostra. Os estimadores de m´axima verossimilhan¸ca fornecem as estimativas

dos parˆametros (β

, β

, . . . , β

) que maximizam a probabilidade da amostra (ap´os

conhecidas as escolhas). Portanto, ajustar o modelo por m´axima verossimilhan¸ca

consiste em estimar o vetor β que maximiza a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca deﬁnida

como L(β) = P (Y

= i, Y

= j, Y

= k, ..., Y

= l ) para i, j, k, . . . , l ∈ {1, 2, ..., J}.

Sob a pressuposi¸c˜ao de independˆencia entre as decis˜oes de escolha dos consumidores,

tem-se,

(β) =



j=1

P (Y

= j|X)

onde I

´e a indicadora da escolha da j-´esima alternativa pelo indiv´ıduo n.

Assim, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca pode ser escrita como:

L(β) =



n=1

(β) =



n=1



j=1









β)



k=1



β)







, (3.8)

onde n

representa o n´umero de vezes que o tratamento j foi escolhido.

3.3.1 Fun¸c˜ao de M´axima Verossimilhan¸ca pelo Algoritmo

de Newton-Raphson

Como L(β) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao linear em β, a maximiza¸c˜ao, isto ´e, a solu¸c˜ao



que maximiza L(β) ´e por m´etodos num´ericos iterativos. O m´etodo conhecido como

Newton-Raphson (Gallant, 1984) o qual escreveremos a seguir, ´e uma alternativa

para solucionar este problema.

Resumidamente, o m´etodo consiste em sugerir “valores iniciais”para as estima-

tivas dos parˆametros e, a partir destes valores d´a-se in´ıcio a um processo iterativo o

qual termina segundo algum crit´erio de paragem.

O algoritmo

Considere a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (3.8), a qual deﬁne uma fun¸c˜ao n˜ao linear

de r parˆametros (β

, β

, . . . , β

), queremos encontrar o ponto



β = (



, . . . ,



) de

m´aximo dessa fun¸c˜ao, isto ´e, o ponto onde sua derivada ´e nula. Considere o vetor g

de derivadas parciais (vetor gradiente) avaliado no ponto β

= (β

, β

, . . . , β













, em que g

∂L(β)

∂β

, i = 1, 2, ··· , r

O ponto β

´e tomado como uma aproxima¸c˜ao inicial para a solu¸c˜ao



β = (



, . . . ,



que satisfaz g

≡ 0.

Considere a aproxima¸c˜ao de Taylor de primeira ordem de g

, pelo ponto β

dada

por,

≈ g

+ H

(



β − β

) = 0

logo,



β = β

− H

−1

(3.9)

onde H

∂g

∂β



´e a matriz hessiana calculada no ponto β

, ou seja,

∂g

∂β









∂g

∂β

∂g

∂β

...

∂g

∂β

∂g

∂β

∂g

∂β

...

∂g

∂β

... ... ... ...

∂g

∂β

∂g

∂β

...

∂g

∂β







e H

−1

´e a sua inversa.

Na pr´atica o algoritmo do m´etodo de Newton-Raphson para fun¸c˜oes de r vari´aveis

consiste nos seguintes passos:

1. Determinar o gradiente de L(β) no ponto β

e a matriz Hessiana;

2. Determinar o incremento H

−1

;

3. Encontrar a seguinte aproxima¸c˜ao,

= β

+ H

−1

;

4. Veriﬁcar se β

cumpre um determinado crit´erio de paragem. Caso contr´ario

voltar ao passo 1, tomando como aproxima¸c˜ao inicial o valor de β

O crit´erio de paragem pode ser um (ou a combina¸c˜ao) destes crit´erios:

• ||β

− β

|| < 

- Tolerˆancia absoluta;

•

||β

− β

||β

< 

- Tolerˆancia relativa;

• Impor um n´umero m´aximo de itera¸c˜oes.

Gallant (1987, p.39) faz o seguinte alerta com respeito `a determina¸c˜ao dos

parˆametros:

“O sucesso em termos de convergˆencia para



β n˜ao ´e garantido por qualquer

m´etodo. A experiˆencia indica que a falha no processo de convergˆencia depende da

distˆancia do valor inicial a resposta correta e do grau de parametriza¸c˜ao da fun¸c˜ao

resposta relativamente ao conjunto de dados utilizado. Estes problemas est˜ao in-

terrelacionados no sentido de que fun¸c˜oes respostas mais apropriadas conduzem a

uma amplitude maior do raio de convergˆencia. Quando a convergˆencia n˜ao ocorre,

deve-se tentar encontrar valores iniciais melhores (mais pr´oximos de



β) ou utilizar

uma fun¸c˜ao resposta mais parcimoniosa (com menos fatores na ANCFE). Uma

boa maneira de veriﬁcar a precis˜ao da solu¸c˜ao num´erica ´e provocando dist´urbios

nas condi¸c˜oes iniciais e veriﬁcando se os novos valores iniciais conduzem `a mesma

solu¸c˜ao.”

Vejamos agora um exemplo de como estimar os parˆametros na ANCFE.

3.3.2 Exemplo de Aplica¸c˜ao da ANCFE e de como Estimar

os Parˆametros da Fun¸c˜ao de M´axima Verossimilhan¸ca

Para ilustrar a estima¸c˜ao dos parˆametros no modelo da ANCFE considere um ex-

emplo hipot´etico no qual os tratamentos s˜ao quatro planos de sa´ude (J = 4) e que

estes sejam deﬁnidos pela combina¸c˜ao de dois fatores (r = 2). Os fatores utilizados

para compor o plano de sa´ude s˜ao franquia e Tipos de cobertura cada um com dois

n´ıveis de acordo com a Tabela (3.1) ,

Tabela 3.1: N´ıveis do fator “Franquia”e “Tipos de Cobertura”utilizados para a

exempliﬁcar a aplica¸c˜ao da ANCFE

Franquia Cobertura

baixa Alta pequena total

0 1 0 1

Assim temos a matriz dos planos de sa´ude dada por:

X =































0 0

1 0

0 1

1 1







em que A, B, C e D s˜ao os tratamentos (planos de sa´ude) submetidos `a escolha.

Considere que tenha sido realizada uma pesquisa com uma amostra aleat´oria de

30 funcion´arios, e que n

= 5, n

= 8, n

= 7 e n

= 10, onde, n

, j = A, B, C, D

´e o n´umero de vezes que o plano de sa´ude j foi escolhido. Considere tamb´em,

β =





o vetor de parˆametros a ser determinado. Dessa forma podemos deﬁnir as fun¸c˜oes

utilidade, para o n−´esimo funcion´ario, n = 1, 2, ..., 30, da seguinte forma:

= X



+ ε

, j = A, B, C, D

Como queremos somente ilustrar como ´e feita a estima¸c˜ao dos parˆametros, iremos

considerar ε

= 0 e assim, determin´a-los matematicamente. A utilidade que o

n−´esimo funcion´ario associa ao plano j ´e dada, ent˜ao, por:



















+ β













+ β







, j = A, B, C , D

A partir da fun¸c˜ao utilidade acima podemos deﬁnir a probabilidade de escolha

do j−´esimo plano de sa´ude pelo n−´esimo funcion´ario, pelo modelo (3.6), ou seja,

P (Y

= A|X) =

1 + exp(β

) + exp(β

+ β

)

;

P (Y

= B|X) =

exp(β

)

1 + exp(β

) + exp(β

+ β

)

;

P (Y

= C|X) =

exp(β

)

1 + exp(β

) + exp(β

+ β

)

;

P (Y

= D|X) =

exp(β

+ β

)

1 + exp(β

) + exp(β

+ β

)

Para determinar os parˆametros, considere a fun¸c˜ao de m´axima verossimilhan¸ca

para cada funcion´ario, dada por:

L(β) = (P (Y

= j|X))

j = A, B, C, D, n = 1, 2, ..., 30,

onde I

´e a indicadora da escolha do tratamento j pelo indiv´ıduo n.

Logo, considerando a amostra completa, podemos escrever L(β), como:

L(β) =



i=1



j=A

(P (Y

= j|X))

E comum utilizar a fun¸c˜ao log de verossimilhan¸ca, obtida ap´os a aplica¸c˜ao do

logaritmo natural em ambos os lados da express˜ao acima, assumindo a forma:

L(β) =



i=1



j=A

l n(P (Y

= j|X)) (3.10)

O gr´aﬁco da fun¸c˜ao (3.10) ´e apresentado na ﬁgura (3 .1), no qual se veriﬁca que

ela possui um ponto de m´aximo.

A partir dessa fun¸c˜ao obtemos o vetor gradiente,







∂L(β)

∂β

∂L(β)

∂β







[β

,β

]

–4

–2

beta[1]

–4

–2

beta[2]

–160

–140

–120

–100

–80

–60

–40

Figura 3.1: log de verossimilhan¸ca

e sua matriz Hessiana,







∂

L(β)

∂β

∂

L(β)

∂β

∂

L(β)

∂β

∂

L(β)

∂β







[β

,β

]

Aplicando-se o resultado (3.9) o m´etodo iterativo de Newton-Raphson ´e dado

por:



1,t+1

2,t+2





1,t

2,t



+ ( −(H

)

−1

) · g

, t = 0, 1, ...

Por inspe¸c˜ao ao gr´aﬁco da fun¸c˜ao log de verossimilhan¸ca supomos os valores

iniciais de β,









O m´etodo iterativo foi implementado no software Maple 12, vers˜ao de avalia¸c˜ao.

Como crit´erio de paragem foi estabelecido o n´umero m´aximo de 10 itera¸c˜oes, cujos

resultados s˜ao apresentados a seguir,







0, 3334149328

0, 1638762253



, β







0, 4050081140

0, 2677265572









0, 4054650864

0, 2682639673



, β







0, 4054651065

0, 2682639863









0, 4054651078

0, 2682639863



, β



256





0, 4054651091

0, 2682639883









0, 4054651071

0, 2682639857



, β







0, 4054651084

0, 2682639857









0, 4054651097

0, 2682639877



, β



110

210





0, 4054651097

0, 2682639870



com esses dois ´ultimos valores, temos para todo n = 1, 2, ··· , N,

P (Y

= A|X) = 0, 1733

P (Y

= B|X) = 0, 2600

P (Y

= C|X) = 0, 2267

P (Y

= D|X) = 0, 3400

Note, que como esperado,



j=A

P (Y

= j|X) = 1.

De acordo com os resultados, podemos concluir que o n-´esimo consumidor tem

maior probabilidade de escolher o plano D e menor probabilidade de escolha do

plano A.

As raz˜oes de escolhas s˜ao:

• Fixando os n´ıveis do fator franquia e variando os n´ıveis do fator cobertura:

(C, A) =

P (Y

= C|X)

P (Y

= A|X)

= 1, 308

Que mostra que a probabilidade de escolher o plano C ´e 1, 308 vezes maior do

que a probabilidade de escolher o plano A. Observe que se tivessemos calculado

a raz˜ao de escolhas entre o produto D e B o valor encontrado seria o mesmo,

mostrando que o plano D ´e preferido em rela¸c˜ao ao plano B.

• Fixando os n´ıveis do fator cobertura e variando os n´ıveis do fator franquia:

(B, A) =

P (Y

= B|X)

P (Y

= A|X)

= 1, 5

Que mostra que a probabilidade de escolher o plano B ´e 1, 5 vezes maior do

que a probabilidade de escolher o plano A. Observe que se tivessemos calculado

a raz˜ao de escolhas entre o produto D e C o valor encontrado seria o mesmo,

mostrando que o plano D ´e preferido em rela¸c˜ao ao plano C.

Cap´ıtulo 4

Compara¸c˜ao entre os Resultados

da ANCF e da ANCFE

(Simula¸c˜ao)

Simulou-se utilidades atribu´ıdas por 200 consumidores a oito alternativas de

um produto hipot´etico (tratamentos). Os oito tratamentos foram deﬁnidos pela

combina¸c˜ao em um fatorial completo de 3 (trˆes) atributos com 2 (dois) n´ıveis cada

identiﬁcado de acordo com a Tabela 2.1. Na implementa¸c˜ao das an´alises no soft-

ware SAS, vers˜ao 9.1, licenciado para a UFV, as notas simuladas foram utilizadas

diretamente na ANCF, e as escolhas (correspondentes `as notas m´aximas) foram uti-

lizadas na ANCFE, conforme os dados apresentados na Tabela (4.1) , apenas para

os consumidores 1 e 2.

Tabela 4.1: Notas atribu´ıdas aos oito tratamentos e respectivas escolhas, apresen-

tados somente para os consumidores 1 e 2, do estudo por simula¸c˜ao para comparar

os resultados obtidos com a ANCF e ANCFE.

Tratamentos (N´ıveis dos Fatores)

Fatores A B C D E F G H

Pre¸co 0 0 0 0 1 1 1 1

Cor 0 0 1 1 0 0 1 1

Marca 0 1 0 1 0 1 0 1

Consumidor 1

Notas 8 4 4 5 4 5 4 3

Escolhas 1 0 0 0 0 0 0 0

Consumidor 2

Notas 7 4 5 6 6 2 4 2

Escolhas 1 0 0 0 0 0 0 0

A partir das notas simuladas dos 200 consumidores foi poss´ıvel implementar

a ANCF e proceder a an´alise agregada para determinar a importˆancia relativa dos

fatores e a utilidade que os consumidores associam aos n´ıveis dos fatores (Coeﬁcientes

da preferˆencia). Um resumo dos resultados ´e apresentado:

Tabela 4.2: Coeﬁcientes da Preferˆencia (CP) dos n´ıveis dos fatores e Importˆancias

Relativas (IR) (%) dos fatores obtidos na an´alise agregada dos dados simulados.

Fatores N´ıveis CP IR

Intercepto 4,4881

Pre¸co Baixo 0,9506 48,672%

Alto -0,9506

Cor Preto 0,5119 26,208%

Branco -0,5119

Marca X

0,4906 25,120%

-0,4906

Esses resultados permitem concluir que o atributo pre¸co ´e o de maior impacto

na opini˜ao dos consumidores uma vez que possue uma estimativa de IR=48,672% e

que o tratamento obtido com a combina¸c˜ao pre¸co baixo, cor preta e marca X

´e o

preferido pelos consumidores.

Ap´os a aplica¸c˜ao da ANCF as escolhas (correspondentes `as notas m´aximas)

foram utilizadas para implementar a ANCFE no software SAS, vers˜ao 9.1, licenciado

para a UFV (Veja apˆendice 1). Segue os resultados obtidos com o SAS e algumas

inferˆencias de interesse.

Antes de interpretar os resultados do modelo ´e importante analisar se o modelo

´e adequado, o primeiro indicador ´e o crit´erio de convergˆencia apresentado na tabela

(4.3)

Se o modelo n˜ao converge os resultados n˜ao s˜ao conﬁ´aveis.

Na tabela (4.4) apresenta-se a estimativa −2LogL, o Crit´erio de informa¸c˜ao de

Tabela 4.3: Sa´ıda do SAS conﬁrmando a convergˆencia do modelo

Convergence Status

Convergence criterion (GCONV = 1E − 8) satisﬁed.

Akaike (AIC) (Akaike, 1974; Akaike, 1987) e o Crit´erio Bayesiano de Schwarz (SBC)

(Schwarz, 1978; Sclove 1987) que s˜ao crit´erios para selecionar o melhor modelo entre

os modelos candidatos. O modelo que produz o menor valor tanto de AIC quanto

de SBC ´e considerado o melhor. Esta tabela mostra as estimativas de −2LogL, de

AIC e de SBC do modelo sem covari´aveis, ou seja, somente com β

e do modelo

com covari´aveis e mostra que as covari´aveis s˜ao importantes para o modelo pois as

estimativas dos testes apresentaram menor valor para este modelo com covari´aveis.

Tabela 4.4: Medidas referentes ao ajuste do modelo dadas pelo Log de verossimil-

han¸ca, pelo Crit´erio Bayesiano de Schwarz (SBC) e pelo Crit´erio de Informa¸c˜ao de

Akaike (AIC).

Model Fit Statistics

Criterion Without With

Covariates Covariates

-2Log L 1280,936 872,291

AIC 1280,936 878,291

SBC 1280,936 889,481

A pr´oxima tabela apresenta os testes de Verossimilhan¸ca, Score e Wald. Como

a tabela (4.4) mostrou que as covari´aveis s˜ao importantes para o modelo aplica-se

os testes Likelihood Ratio, Score e Wald os quais testam a hip´otese nula de que os

trˆes coeﬁcientes de interesse s˜ao simultaneamente iguais a zero. Como interpreta¸c˜ao

do p-valor (p −valor < 0, 0001), rejeitamos a hip´otese nula, ou seja, pelo menos um

, i = 1, 2, 3 difere de zero.

Tabela 4.5: Testes Likelihood Ratio, Score e Wald para testar a hip´otese de nulidade

= β

= 0.

Testing Global Null Hypothesis: β = 0 (H

= β

= 0)

Testing Chi-square DF Pr>ChiSq

Likelihood Ratio 408,645 3 < .0001

Score 361,039 3 < .0001

Wald 258,129 3 < .0001

Na tabela (4.6) vemos que os trˆes coeﬁcientes inﬂuˆenciam na escolha do consum-

idor (p − valor < 0, 0001).

Tabela 4.6: Estimativas dos parˆametros e das raz˜oes de escolha de tratamentos que

se obt´em na mudan¸ca dos n´ıveis de um fator mantendo os outros ﬁxados.

Analysis of Maximum Likelihood Estimates

Fator DF Parameter Standard Raz˜ao

Estimate Error Chi-Square Pr>ChiSq de Escolhas

Pre¸co 1 -2,565 0,221 134,400 < .0001 0,077

Cor 1 -1,047 0,130 64,958 < .0001 0,351

Marca 1 -0,980 0,128 58,771 < .0001 0,375

As raz˜oes de escolhas apresentadas na tabela (4.6) s˜ao calculadas e interpretadas

da seguinte forma:

• RE

(E, A) =

0, 0385

0, 4999

= 0, 077, para facilitar a interpreta¸c˜ao podemos fazer,

(A, E) =

(E, A)

= 12, 98 de onde concluimos que, a probabilidade de

escolher o produto A ´e quase 13 (treze) vezes maior do que a probabilidade de

escolher o produto E.

• RE

(B, D) =

(D, B)

= 2, 84, logo, a probabilidade de escolher o produto

B ´e quase 3 (trˆes) vezes maior do que a probabilidade de escolher o produto

D e;

• RE

(A, B) =

(B, A)

= 2, 66, logo, a probabilidade de escolher o produto

A ´e quase 3 (trˆes) vezes maior do que a probabilidade de escolher o produto

Da mesma forma como podemos concluir baseado na tabela (4.2) que o produto A

com a combina¸c˜ao pre¸co baixo, cor preta e marca X

´e o preferido pelos consumidores

´e poss´ıvel visualizar baseado na tabela (4.6) que este tamb´em ´e o mais escolhido pelos

consumidores na simula¸c˜ao.

Na tabela (4.7) apresenta-se as estimativas da probabilidade de escolha dos trata-

mentos em estudo.

Tabela 4.7: Probabilidades estimadas e observadas (frequˆencia de escolha), associ-

adas `as diversas alternativas dos tratamentos.

Preco Cor Marca Prob. Est. Prob. Obser.

baixo preto X

0,4999 0,74

baixo preto X

0,1875 0,31

baixo branco X

0,1754 0,29

baixo branco X

0,0658 0,09

alto preto X

0,0385 0,07

alto preto X

0,0144 0,02

alto branco X

0,0135 0,02

alto branco X

0,0051 0

Conforme esperado observa-se que a maior probabilidade de escolha est´a associ-

ada ao produto que tamb´em teve maior preferˆencia como visto na ANCF, visto que

as maiores notas foram atribuidas escolhas.

As probabilidades observadas apresentadas na Tabela 4.7 correspondem `as frequˆencias

de escolhas observadas e est˜ao sujeitas a fatores aleat´orios n˜ao controlados na pesquisa.

Com o objetivo priorit´ario de compreender o processo de tomada de decis˜ao do

consumidor a ANCF considera que a tarefa de julgamento baseada em ordena¸c˜ao

captura as escolhas do consumidor. Entretanto, pesquisadores argumentam que

essa n˜ao ´e a forma mais realista de descrever um processo de decis˜ao real e outros

apontam para a falta de teoria formal que conecte esses julgamentos com escolha.

A ANCFE surgiu com a ﬁnalidade de suprir esses problemas, pois todos concordam

que a ANCFE ´e mais representativo do real pro cesso de selecionar um produto a

partir de um conjunto de produtos competitivos. Al´em disso, a ANCFE oferece

a op¸c˜ao de n˜ao escolher qualquer um dos est´ımulos apresentados o que permite a

contra¸c˜ao do mercado se todas as alternativas em um conjunto s˜ao sem atrativos

ao contr´ario da ANCF que considera que as preferˆencias dos consumidores sempre

ser˜ao alocadas ao conjunto de est´ımulos.

Cap´ıtulo 5

Considera¸c˜oes Finais

A personaliza¸c˜ao de produtos e servi¸cos exigem altos custos e por isso as orga-

niza¸c˜oes orientadas para o mercado n˜ao tˆem condi¸c˜oes de atender individualmente

cada consumidor. No entanto, observa-se uma tendˆencia crescente dessas orga-

niza¸c˜oes em focalizar seus esfor¸cos em segmentos cada vez menores de consumidores

que respondem, ou poderiam responder, positivamente `as ofertas das organiza¸c˜oes

e, portanto, h´a a necessidade de modelos que permitam, antes do comprometimento

de recursos das organiza¸c˜oes, caracterizar as preferˆencias do consumidor de forma

mais precisa e aproveitar este conhecimento na identiﬁca¸c˜ao de a¸c˜oes lucrativas fo-

calizadas neste.

No texto desta disserta¸c˜ao mostraram-se em detalhes como foi desenvolvido e

como pode ser ajustado o modelo utilizado na An´alise Conjunta de Fatores Baseada

em Escolhas (Choice Based Conjoint Analysis)(ANCFE), que ´e uma alternativa

da An´alise Conjunta de Fatores (Conjoint Analysis)(ANCF), para a qual h´a uma

carˆencia de publica¸c˜oes, principalmente na literatura Brasileira.

Ap´os a apresenta¸c˜ao e compara¸c˜ao das metodologias ANCF e ANCFE, o estudo

pode auxiliar as organiza¸c˜oes na identiﬁca¸c˜ao de oportunidades de mercado e na for-

mula¸c˜ao e avalia¸c˜ao de estrat´egias alternativas de marketing para melhor aproveitar

as oportunidades que possam surgir.

Algumas sugest˜oes para a complementa¸c˜ao deste trabalho,

1. Em rela¸c˜ao `a modelagem, sugere-se o estudo dos modelos ordinais no qual o

respondente informa uma ordena¸c˜ao de suas preferˆencias.

2. Ainda em rela¸c˜ao a modelagem, a inferˆencia Bayesiana possui a caracter´ıstica

de p ossibilitar a incorpora¸c˜ao de conhecimento pr´evio do pesquisador em

rela¸c˜ao ao problema abordado. Nesse sentido sugere-se o estudo do mod-

elo e a estima¸c˜ao utilizando a inferˆencia Bayesiana, que poder´a ﬂexibilizar

a modelagem por possibilitar que se incorpore mais parˆametros ao modelo,

para contemplar outros efeitos tais como a intera¸c˜ao entre fatores ou ainda

caracter´ısticas demogr´aﬁcas do respondente.

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Apˆendice A

Comandos do SAS (vers˜ao 9.1) utilizados para gerar dados correspon-

dentes as notas de aceita¸c˜ao ou de inten¸c˜ao de compra atribu´ıdas por

200 consumidores para 8 alternativas de um produto hipot´etico (trata-

mento)

options ls=78 ps=60 NODATE PAGENO=1; title ’Escolha de um produto

hipot´etico’;

/* Defini¸c~ao dos fatores e seus n´ıveis */

proc format; value Preco 0 = ’baixo’ 1=’ alto ’; value Cor 0 =

’preto’ 1=’branco’; value Marca 0 = ’ X ’ 1=’ Y ’; run;

/* Gerando os tratamentos, que s~ao combina¸c~oes dos n´ıveis dos

fatores e a quantidade de consumidores que far~ao parte do estudo */

data teste; format Preco Preco. Cor Cor. Marca Marca.; do cons = 1

to 200; do Preco = 0 to 1; do Cor = 0 to 1; do Marca = 0 to 1; if

(Preco=0) and (Cor=0) and(Marca=0) then trat=’A’; if (Preco=0) and

(Cor=0) and(Marca=1) then trat=’B’; if (Preco=0) and (Cor=1)

and(Marca=0) then trat=’C’; if (Preco=0) and (Cor=1) and(Marca=1)

then trat=’D’; if (Preco=1) and (Cor=0) and(Marca=0) then trat=’E’;

if (Preco=1) and (Cor=0) and(Marca=1) then trat=’F’; if (Preco=1)

and (Cor=1) and(Marca=0) then trat=’G’; if (Preco=1) and (Cor=1)

and(Marca=1) then trat=’H’; output; end; end; end; end; run;

/* Nesta simula¸c~ao ao inv´es de se fixar valores beta (CP) optou-se

por estabelecer valores para o componente determin´ıstico de cada

tratamento, geramos valores com distribui¸c~ao normal m´edia 0 e

vari^ancia 1, consideramos como erro aleat´orio a parte inteira dos

valores gerados e definimos a utilidade como sendo o valor absoluto

da soma da parte determin´ıstica com o erro aleat´orio*/

data a; set teste; IA=(trat=’A’); IB=(trat=’B’);IC=(trat=’C’);

ID=(trat=’D’); IE=(trat=’E’); IF=(trat=’F’);IG=(trat=’G’);

IH=(trat=’H’); UA=7; UB=6.5; UC=6; UD=5.5; UE=5; UF=4.5; UG=4; UH=3;

e =normal(1239); e1=floor(e); DU = IA*UA + IB*UB + IC*UC + ID*UD +

IE*UE + IF*UF + IG*UG + IH*UH; U = int(DU + e1); run;

/* Escolhendo o valor maximo da utilidade atribuido por todos os

consumidores do estudo a cada tratamento*/

proc means data=a nway noprint max;

class cons ;

var U;

output out=outmn(drop=_TYPE_ _FREQ_) max=mx_U;

run;

proc sort data=a;

by cons ;

run;

proc sort data=outmn;

by cons ;

run;

/* Transformando o valor m´aximo na escolha do consumidor*/

data join;

merge a(in=a) outmn(in=b);

by cons ;

escolha=(U-mx_U)=0; t = 2 - escolha; run;

proc print data=join; var cons trat U mx_U escolha; run;

proc sort data=join; by trat cons; run;

proc freq data=join; tables trat*escolha; run;

proc means data=join; var escolha; by trat; run;

/*Simula¸c~ao da ANCF*/

proc transreg data=join maxiter=50 utilities short; * data=a;

ods select ConvergenceStatus FitStatistics Utilities;

model linear(U) =

class(Preco Cor Marca / zero=sum);

output ireplace predicted;

run;

/* Simula¸c~ao da ANCFE*/

proc phreg data=join outest=betas;

strata cons;

model t * escolha(0) = Preco Cor Marca;

run;

proc print data=betas;

run;

data p; set join;

retain sum 0;

set a end=eof;

if _n_ = 1 then

set betas(rename=(Preco=b1 Cor=b2 Marca=b3));

keep Preco Cor Marca p;

array x[3] Preco Cor Marca;

array b[3] b1-b3;

* criar x * b para cada combina¸c~ao;

p = 0;

do j = 1 to 3;

p = p + x[j] * b[j];

end;

* Exponenciar x * b e depois somar;

p = exp(p);

sum = sum + p;

* Output a soma exp(x * b);

if eof then call symput(’sum’,put(sum,best12.));

run;

* Dividir cada exp(x * b) pela soma exp(x * b);

data p;

set p;

p = p / (&sum);

format Preco Preco. Cor Cor. Marca Marca.;

run;

proc sort; * ordenar p do maior pro menor;

by descending p;

run;

proc print;

run;

Apˆendice B

Comandos do SAS (vers˜ao 9.1) utilizados para implementar o exemplo

da ANCFE apresentado no cap´ıtulo 3

data a; input trat$ franquia cobertura; cards; A 0 0 B 1 0 C 0 1 D 1

1 ; run;

data c; do cons = 1 to 30;

do trat = ’A’, ’B’, ’C’,’D’; * 5A, 8B, 7C, 10D;

if (cons =1) or (cons =2) or (cons =3) or (cons =4) or (cons=5)

then escolha=(trat in (’A’)); if (cons =6) or (cons =7) or (cons

=8) or (cons =9) or (cons=10) or (cons =11) or (cons =12) or (cons

=13) then escolha=(trat in (’B’)); if (cons =14) or (cons =15) or

(cons =16) or (cons =17) or (cons =18) or (cons=19) or (cons =20)

then escolha=(trat in (’C’)); if (cons =21) or (cons =22) or (cons

=23) or (cons =24) or (cons =25) or (cons=26) or (cons =27) or

(cons =28) or (cons =29) or (cons =30) then escolha=(trat in

(’D’)); output;end; end; run; proc print data=c; run;

proc sort data=a; by trat; run; proc sort data=c; by trat cons; run;

data dados; merge a c; by trat; run;

proc print data=dados; var cons trat franquia cobertura escolha;

run;

proc freq data=dados; tables trat*escolha; run;

data dados; set dados; escolha2=2-escolha; run; proc phreg

data=dados nosummary outest=betas; model escolha2 = franquia

cobertura/ ties = discrete; strata cons; title ’ choice based

conjoint analysis ’; title2 ’ exemplo tese MS’; run;

data p;

retain sum 0;

set a end=eof;

if _n_ = 1 then

set betas(rename=(franquia=b1 cobertura=b2));

*keep trat sens rad price p; *OU;

keep trat franquia cobertura p;

array x[2] franquia cobertura;

array b[2] b1-b2;

* criar x * b para cada combina¸c~ao;

p = 0;

do j = 1 to 2;

p = p + x[j] * b[j];

end;

* calcular Exp(x * b) e somar ;

p = exp(p);

sum = sum + p;

* Output sum exp(x * b);

if eof then call symput(’sum’,put(sum,best12.));

run;

*proc print data=p; * neste ponto tem-se p=exp(xb);

run;

proc format;

value franqf 0 = ’baixa’ 1 = ’alta’ ;

value coberf 0 = ’pequena’ 1 = ’total’ ;

run;

* Dividir cada exp(x * b) por sum exp(x * b);

data p;

set p;

p = p / (&sum);

format franquia franqf. cobertura coberf. ;

run;

* ordenar do maior pro menor valor de p;

proc sort;

by descending p;

run;

proc print data=p;

run;

Apˆendice C

Comandos do MAPLE 12, vers˜ao de avalia¸c˜ao, utilizados para implemen-

tar o algoritmo de Newton-Raphson e determinar os valores dos betas no

exemplo de aplica¸c˜ao da ANCFE..

> #Iniciamos o programa com restart para apagar tudo que est´a na mem´oria do Maple;

> restart;

> #Pacotes para trabalhar com ´algebra linear;

> with(linalg):

> with(LinearAlgebra):

> #n[i]=N´umero de pessoas que escolheram o tratamento i=1,2,3,4.

> n[1]:=5:n[2]:=8:n[3]:=7:n[4]:=10:

> #Definindo o vetor formado pelas escolhas de todos os tratamentos;

> v := Vector([n[1],n[2],n[3],n[4]]):

> #Total de consumidores que participaram da pesquisa;

> S:=(sum(’v[k]’,k=1..4));

> #N´ıveis dos fatores;

> x[11]:=0;x[12]:=1;x[21]:=0;x[22]:=1;

> #Matriz dos tratamentos;

> m:=Matrix([[x[11],x[21]],[x[12],x[21]],[x[11],x[22]],[x[12],x[22]]]);

> #Matriz dos par^ametros;

> mbet:=Matrix([[beta[1],beta[2]]]);

> #Transposta da matriz dos par^ametros;

> transmbet:=Transpose(mbet);

> #Produto da matriz dos tratamentos com a matriz dos par^ametros;

> M:=MatrixMatrixMultiply(m, transmbet);

> X[1]:=M[1,1]:

> X[2]:=M[2,1]:

> X[3]:=M[3,1]:

> X[4]:=M[4,1]:

> v1 := Vector([exp(X[1]),exp(X[2]),exp(X[3]),exp(X[4])]);

> Soma[X[j]]:=(sum(’v1[k]’,k=1..4));

> #Probabilidades de escolha de cada tratamento;

> P[1]:=exp(X[1])/Soma[X[j]];

> P[2]:=exp(X[2])/Soma[X[j]];

> P[3]:=exp(X[3])/Soma[X[j]];

> P[4]:=exp(X[4])/Soma[X[j]];

> #Definindo a fun¸c~ao de Max´ıma Verossimilhan¸ca;

> L:=(P[1]^n[1])*(P[2]^n[2])*(P[3]^n[3])*(P[4]^n[4]);

> #Fun¸c~ao log de verossimilhan¸ca;

> LogL:=ln(L);

> #Gr´afico 3d da fun¸c~ao log de verossimilhan¸ca;

> smartplot3d[beta[1], beta[2]]( LogL );

> #Estimativas dos par^ametros;

> R := Optimization[Maximize]( LogL );

> #Pacote para trabalhar com matriz Hessiana;

> with(VectorCalculus):

> #Definindo a matriz Hessiana;

> H:=Hessian( LogL, [beta[1],beta[2]] );

> whattype(H);

> G:=Jacobian( [LogL], [beta[1],beta[2]] );

> whattype(G);

> Hinv:=(-1)*MatrixInverse(<<H(1,1),H(1,2)>|<H(2,1),H(2,2)>>);

> dif(L1c1):=Hinv[1,1];

> dif(L1c2):=Hinv[1,2];

> #dif(L1c3):=Hinv[1,3]:

> dif(L2c1):=Hinv[2,1];

> dif(L2c2):=Hinv[2,2];

> P1:=dif(L1c1)*diff(LogL,beta[1])+dif(L1c2)*diff(LogL,beta[2]):

> P2:=dif(L2c1)*diff(LogL,beta[1])+dif(L2c2)*diff(LogL,beta[2]):

> #Aproxima¸c~ao de Taylor de primeira ordem da fun¸c~ao gradiente;

> F1:=beta[1]+P1:

> F2:=beta[2]+P2: