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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
MARCELO CARLOS DA SILVA
AVALIAÇÃO DA COMPETÊNCIA ARITMÉTICA EM CRIANÇAS DE 1
a
e 2
a
SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
S
ão Paulo
2007
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1
MARCELO CARLOS DA SILVA
AVALIAÇÃO DA COMPETÊNCIA ARITMÉTICA EM CRIANÇAS DE 1
a
e 2
a
SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada ao Curso de
Pós-Graduação Stricto Sensu em
Distúrbios do Desenvolvimento da
Universidade Presbiteriana Mackenzie de
São Paulo como parte dos requisitos
necessários à obtenção do Grau de
Mestre em Distúrbios do Desenvolvimento
Orientador: Prof. Dr. Elizeu Coutinho de Macedo
S
ão Paulo
2007
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2
MARCELO CARLOS DA SILVA
AVALIAÇÃO DA COMPETÊNCIA ARITMÉTICA EM CRIANÇAS DE 1
a
e 2
a
SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação de Mestrado apresentada à
Universidade Presbiteriana Mackenzie
para obtenção do Grau de Mestre em
Distúrbios do Desenvolvimento
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________________________
Prof. Dr. Elizeu Coutinho de Macedo (Orientador)
_____________________________________________________
Prof
a
. Dr
a
Cristiane Silvestre de Paula
_____________________________________________________
Prof. Dr. Marcelo Duduchi Feitosa
3
DEDICATÓRIA
Dedico esse trabalho a Deus, minha fonte
de energia, pela persistência e coragem
que me concedeu, imprescindível para
percorrer este caminho, e a minha mãe,
por sua paciência e compreensão em
minha ausência, o que por muitas vezes.
Seu apoio foi de fundamental importância
para o desenvolvimento desse trabalho.
Gostaria de registrar aqui, o quanto sou
grato por seu carinho, afeto e por
acreditar nos meus ideais.
4
AGRADECIMENTOS
À Deus, Inteligência Suprema do Universo, da qual sou criatura e filho.
Aos irmãos Claudia, Cláudio e Tereza por terem sido o apoio, na falta do
qual, esse desafio teria se agigantado.
Aos meus sobrinhos, e a Rose, minha Cunhada, nas horas certas, estavam
sempre com as mãos estendidas para ajudar.
Aos amigos, Reinaldo Magalhães, Ana Cristina Rosa, Roseli Feitosa e Maria
José Gomes, pela ajuda e interação positiva, cota de participação intelectual
e/ou afetiva na realização desse trabalho.
Aos professores e teóricos que me iluminaram pelos seus conhecimentos e
experiências.
Ao professor Elizeu Coutinho de Macedo, meu orientador, pela orientação,
segurança e confiança dadas a mim, do começo ao fim deste trabalho, além
de ter me propiciado, pela sua convivência, conhecer um modo afetivo de
ensinar e aprender, mesmo nos momentos mais difícieis.
À diretora, Tânia da Silva Boretto, à Selma, Verinha, Ana e Elaine da EMEF
Jardim São Luiz, onde realizei este estudo. Muito obrigado pela
compreensão e ajuda num momento muito especial da minha vida e por
terem acreditado em mim.
Aos professores e colegas que trabalham comigo.
Aos alunos e seus professores que fizeram parte desta pesquisa e que tanto
me ajudaram.
Ao GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO, pelo apoio com o auxilio da
BOLSA MESTRADO.
5
O presente trabalho foi realizado com o apoio do INSTITUTO PRESBITERIANO
MACKENZIE, entidade educacional voltada ao desenvolvimento científico e
tecnológico, por intermédio do MACKPESQUISA.
6
"Não é o desafio com que nos deparamos
que determina quem somos e o que
estamos nos tornando, mas a maneira
com que respondemos ao desafio. Somos
combatentes, idealistas, mas plenamente
conscientes. Porque o ter consciência não
nos obriga a ter teoria sobre as coisas: só
nos obriga a sermos conscientes.
Problemas para vencer, liberdade para
provar. E, enquanto acreditarmos no
nosso sonho, nada é por acaso".
(Henfil)
“O melhor de se poder escrever é a
certeza de que, quem ler irá refletir,
criticar e depois escrever melhor".
(Autor desconhecido).
7
RESUMO
A compreensão e contagem dos números, o cálculo e a resolução de problemas
apresentados verbalmente, são habilidades fundamentais para a competência
aritmética e para a escolarização. Alterações nessas habilidades podem
comprometer o desempenho acadêmico de crianças e ainda caracterizarem
distúrbios como a acalculia e a dificuldades de aprendizagem como a discalculia. O
objetivo do presente estudo foi avaliar a competência aritmética dos alunos da 1
a
e
2
a
série do Ensino Fundamental, comparando as séries na prova do Sistema de
Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo (SARESP) e na Prova de
Aritmética, verificando a existência de correlações entre as duas provas.
Participaram do estudo 240 alunos da 1
a
e
2
a
série do Ensino Fundamental de uma
escola municipal da cidade de São Paulo. Foram conduzidos testes estatísticos
inferenciais para comparação de desempenho entre as duas séries para as
seguintes variáveis dependentes: Pontuação na Prova SARESP a partir de dois
critérios diferentes de correção (Categoria de Respostas e de Contagem Acertos) e
na Prova de Aritmética (Correção por Contagem de Acertos). Resultados mostraram
que crianças da 2ª série tenderam a obter desempenho melhor que aquelas da 1ª
série, sendo observadas diferenças significativas na Prova de Matemática do
SARESP e Aritmética quando foi usado o critério de correção por contagem
absoluta. No entanto, as duas séries foram iguais quando o critério de correção
adotado na prova SARESP foi a de categorias de respostas propostas pelos seus
criadores. Foram observadas correlações positivas significativas entre os dois
critérios de correção da SARESP, bem como o de contagem absoluta da Prova de
Aritmética.
Palavras-Chave: Avaliação, Matemática, Aritmética, Teste, Educação.
8
ABSTRACT
Number understanding and counting, calculation and solution of arithmetic
operations presented orally are basic abilities for the arithmetical skills and the
learning success. Alterations of these abilities can jeopardized the academic
performance of children and also indicate impairments such as acalculia or learning
impairments dyscalculia. The objective of the present study was to evaluate the
arithmetic abilities of 1
st
and 2
nd
grade students from the Basic Education with the
Arithmetic Test and to compare the score with the one achieved in the São Paulo’s
School Performance Evaluation System (SPSPES). The aim was to verify
correlations between the two tests. In the study 240 pupils of 1
st
and 2
nd
grade of the
Basic Municipal School in São Paulo were evaluated. The test scores were
compared between the two grades with the dependent variable: the SPSPES score
in two categories based on different correction criteria (Type of Answer and Correct
Answers) and the Arithmetic Test score based on correct answers. Results showed
better performance of 2
nd
grade students when compared to the 1
st
grade students
with significant differences in SPSPES and Arithmetic Test for the Correct Answer
category. However, there was no difference between the two grades for the Type of
Answer Category, proposed by the creators of SPSPES evaluation. To conclude, a
positive correlation was found between the two correction categories of SPSPES and
Correct Answer of the Arithmetic Test.
Key-words: Evaluation, Mathematics, Arithmetic, Test, Education.
9
Lista de Ilustrações
Figura 1. Comparação entre os estágios do desenvolvimento e a história
da humanidade............................................................................
28
Figura 2. Construções Humanas vista na História da Humanidade............
29
Figura 3. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na
questão 1, separados em função da série e do tipo de erro........
73
Figura 4. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na
questão 2, separados em função da série e do tipo de erro........
74
Figura 5. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na
questão 3, separados em função da série e do tipo de erro........
74
Figura 6. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na
questão 4, separados em função da série e do tipo de erro........
75
Figura 7. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na
questão 5, separados em função da série e do tipo de erro........
76
Figura 8. Número de participantes que cometeram erros na questão 6,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
76
Figura 9. Número de participantes que cometeram erros na questão 7,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
77
Figura 10. Número de participantes que cometeram erros na questão 8,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
78
Figura 11. Número de participantes que cometeram erros na questão 9,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
78
Figura 12. Número de participantes que cometeram erros na questão 10,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
79
Figura 13. Número de participantes que cometeram erros na questão 11,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
80
Figura 14. Número de participantes que cometeram erros na questão 12,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
81
Figura 15
. Número de participantes que cometeram erros na questão 13,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
81
Figura 16. Número de participantes que cometeram erros na questão 14,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
82
10
Figura 17. Número de participantes que cometeram erros na questão 15,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
83
Figura 18. Número de participantes que cometeram erros na questão 16,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
83
Figura 19. Número de participantes que cometeram erros na questão 17,
separados em função da série e do tipo de erro..........................
84
Figura 20. Número de participantes que acertaram a primeira parte do
subteste 1.....................................................................................
85
Figura 21. Número de participantes que acertaram a segunda parte do
subteste 1.....................................................................................
86
Figura 22. Número de participantes que acertaram a primeira parte do
subteste 2.....................................................................................
86
Figura 23. Número de participantes que acertaram a segunda parte do
subteste 2.....................................................................................
87
Figura 24. Número de participantes que acertaram o subteste 3................
88
Figura 25. Número de participantes que acertaram a contas de adição do
subteste 4.....................................................................................
88
Figura 26. Número de participantes que acertaram a contas de subtração
do subteste 4................................................................................
89
Figura 27. Número de participantes que acertaram a contas de
multiplicação do subteste 4..........................................................
90
Figura 28. Número de participantes que acertaram a contas de divisão do
subteste 4.....................................................................................
90
Figura 29. Número de participantes que acertaram a contas de adição do
subteste 5.....................................................................................
91
Figura 30. Número de participantes que acertaram a contas de subtração
do subteste 5................................................................................
91
Figura 31. Número de participantes que acertaram a contas de
multiplicação do subteste 5..........................................................
92
Figura 32. Número de participantes que acertaram a contas de divisão do
subteste 5.....................................................................................
92
Figura 33. Número de participantes que acertaram o subteste 6................
93
11
Lista de Tabelas
Tabela 1. Classificação das Estruturas Cognitivas...................................... 27
Tabela 2. Áreas corticais e associação.......................................................
38
Tabela 3. Valores médios de acerto e desvio padrão na Prova de
Matemática do SARESP (Critério de correção 1 e 2) e na Prova
de Aritmética para as duas séries inicias. Valores de t, graus de
liberdade e Significância na comparação entre as duas séries...
71
Tabela 4. Correlação de Pearson entre a Prova da SARESP (Critério de
correção 1 e 2) e da Prova de Aritmética.....................................
72
12
Sumário
1. Introdução………………………………………………………………………… 14
2. Objetivo…………………………………………………………………………… 21
2.1 Objetivo geral………………………………………………………………… 21
2.2 Objetivos específicos……………………………………………………… 21
3. Revisão da literatura e fundamentos teóricos...........................................
22
3.1 Breve história da Matemática.................................................................. 22
3.2 Desenvolvimento da Competência Aritmética......................................... 29
3.2.1 - Estruturas das operações aritméticas............................................. 32
3.2.2 - Bases neurológicas da Competência Aritmética............................. 37
3.2.3 - Dificuldades para o cálculo..............................................................
40
3.2.4 - Relação entre habilidade para cálculo e outras funções cognitivas
43
3.3 Avaliação da Competência Aritmética e as Orientações Gerais para o
Ensino de Matemática ..........................................................................
44
3.3.1 - Estudos que avaliam Competência Aritmética.............................. 50
3.3.2 - Modelos Teóricos de Testes que Avaliam a Competência
Aritmética........................................................................................
58
3.3.3 - O SARESP e a avaliação da competência aritmética..................... 61
3.3.4. A Prova de Aritmética e a Avaliação da Competência Aritmética.... 63
4. Casuística e método.....................................................................................
66
13
4.1. Casuística................................................................................................ 66
4.1.1. Sujeitos............................................................................................. 66
4.1.2. – Material......................................................................................... 66
4.1.2.1 - Prova de Matemática do SARESP/2005................................ 66
4.1.2.2. - Prova de Aritmética............................................................... 67
4.2. Procedimento...........................................................................................
68
4.3. Procedimento para Análise dos Resultados............................................
69
5. Resultados.................................................................................................... 71
5.1 - Análise dos tipos de erros na prova SARESP.......................................
72
5.2 - Análise do padrão de resposta dos participantes na Prova de
Aritmética............................................................................................................
84
6. Discussão e Conclusão............................................................................... 94
7. Referência Bibliográfica.............................................................................. 102
8. Anexos.......................................................................................................... 106
14
1 - INTRODUÇÃO
O desempenho dos alunos ainda tem sido o objetivo principal da avaliação
das aprendizagens escolares. Embora alguns considerem que a avaliação apenas
possui um caráter de selecionar, classificar ou certificar, outros enfatizam seu caráter
formativo e diagnóstico, onde o erro é visto não mais como uma falta, mas como um
indicador da disfunção de uma aprendizagem.
A psicologia cognitiva aparece como importante referência teórica para o
professor preocupado em compreender o sujeito aprendiz, compreender que os
processos mentais existem e que podem ser estudados e que o ser humano
processa de maneira ativa a informação que recebe. Desta forma, a avaliação passa
a ser vista como um campo de análise, estudos e avaliação de processos mentais.
Segundo RAAD (2005), a avaliação neuropsicológica pode ser útil para a
compreensão de diferentes funções como a competência aritmética. Num conjunto
de habilidades, essa competência não é unitária e pode ser subdividida em
componentes. Assim, é de suma importância desenvolver instrumentos que possam
avaliar tais habilidades verificando suas características psicométricas de precisão e
validade, bem como definir quais são os desempenhos esperados para cada nível
escolar.
A prática constante de sistemas de avaliação pode indicar pistas importantes
sobre o desempenho em vários domínios, como na Matemática, de alunos em
processo de formação de conhecimento. Além disso, a avaliação pode revelar o
grau de qualidade de educação do país, servindo de parâmetros para avaliações de
maior porte, como é o caso do TIMS - Third International Maths and Science Study,
elaborado pela OCDE (Organização para Cooperação e Desenvolvimento
15
Econômico). Estudos que envolvem alunos de 9, 13 e 17 anos de diversos países a
respeito de seus conhecimentos em Matemática e Ciências ajudam na comparação
do nível de conhecimento entre diferentes realidades educacionais (Revista
Educação, 1998).
Existe, hoje em dia, uma defasagem muito acentuada em pesquisas sobre
avaliação das aprendizagens matemáticas. Somente nos anos 80, que aparecem
alguns estudos (GREGÓRIE, 2000) claramente preocupados em compreender os
aspectos cognitivos do processamento matemático em diferentes países. No Brasil
na década de noventa, diversos programas de avaliação, como o Sistema de
Avaliação da Educação Básica-SAEB(BRASIL, 1995); o Sistema de Avaliação do
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo-SARESP (SÃO PAULO, 1996) e o
Exame Nacional do Ensino Médio-ENEM (BRASIL, 1998), foram implantados
visando detectar o nível de desempenho escolar dos alunos do Ensino Fundamental
e Médio. Os resultados obtidos nestes testes têm evidenciado que grande parte dos
alunos de escolas públicas brasileiras não chega a dominar os conhecimentos
matemáticos básicos das séries iniciais do Ensino Fundamental. Os resultados
sobre solução de problemas aritméticos, sobretudo evidenciaram um desempenho
insatisfatório, com percentuais, em sua maioria, abaixo de 50%, conforme os
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
A atividade cognitiva das crianças e o processo ensino-aprendizagem
constituem um terreno de investigação de especial importância e requer não só uma
análise no campo dos conteúdos de ensino, como também o estudo dos processos
gerais de aquisição do conhecimento.
A aprendizagem da Matemática pelas crianças está diretamente ligada à
compreensão do mundo que as rodeiam. A ciência matemática é um aspecto
16
importante na vida cotidiana do sujeito: como no caso de situações de partilhar
objetos, ou naquele de utilização do sistema monetário, por exemplo. Diante da
necessidade de apropriar-se das relações quantitativas que se estabelecem em uma
situação de compra e venda, ou mesmo em situações de reconhecimento do espaço
físico quando viajam ou atentam para questões de deslocamentos, velocidade e
tempo, as crianças valem-se do pensamento lógico-matemático para interpretar a
realidade (KAMII, 1987).
As noções físicas, matemáticas e biológicas são resultados efetivo de um
complexo processo cognitivo no qual intervém a experiência cotidiana da criança, a
maturação e as aprendizagens escolares. Nesse sentido, a experiência escolar
corresponde somente a uma parte da elaboração de conhecimento dos sujeitos,
mas, ao mesmo tempo, carrega em si um campo propício de relações e
interconexões com os estudos da aquisição de conhecimentos (VERGNAUD, 1994).
BRYANT e NUNES (1997) lembram que, na organização social de muitas
comunidades, as pessoas expressam grande preocupação com as habilidades
matemáticas da população, e que estas preocupações devem ser transportadas
para a esfera da escola como o espaço legítimo de alunos e professores que lidam
com essa forma de conhecimento. Os autores alertam para o fato de que o ensino
da Matemática deverá estar fundamentado na idéia de tornar as crianças
"alfabetizadas" e "numeralizadas" para a atualidade, de modo que dominem o
sistema escrito lingüístico e numérico e o das operações aritméticas. Apontam,
sobretudo, para que tal aprendizagem reflita um tipo de sujeito dinâmico, pois quanto
mais conseguirmos saber sobre como as crianças aprendem matemática e as
implicações desta aprendizagem no pensamento, maiores serão as possibilidades
de os professores auxiliarem na formação de um sujeito ativo e transformador da
17
realidade que o rodeia.
O aprendizado da ciência matemática deveria estar relacionado com uma real
"alfabetização" nos aspectos quantitativos da realidade, possibilitando o
desenvolvimento da capacidade de projetar e arquitetar soluções para os problemas
que envolvem grandezas e medidas (KAMII, 1987).
Compreender que o desenvolvimento das estruturas lógicas está relacionado
aos conteúdos da própria Matemática, como mostra PIAGET et al (1965); PIAGET
(1987); PIAGET e GARCÍA (1997) é de importância fundamental para a reflexão
sobre a aprendizagem de sentido mais amplo e para a melhoria do ensino. Desta
forma, procura-se um aprimoramento do raciocínio lógico do aluno e da modificação
das estruturas do sujeito. Seja nas formas de representação mais simples, seja nas
mais sofisticadas, como é o caso, por exemplo, do emprego e da utilização dos
sinais matemáticos.
A ação e a reflexão da criança têm papel decisivo no processo educativo e
são fatores recorrentes da sua atividade sobre a realidade. Segundo PIAGET
(1987), o conhecimento é construído pela própria criança com base na relação direta
com as ações e operações que é capaz de fazer sobre a realidade. Neste sentido,
KAMII (1987) apresenta o número como algo que não pode ser ensinado de maneira
direta. Segundo ela, o meio em que vivemos pode nos proporcionar muitas coisas
que, indiretamente, irão facilitar o desenvolvimento do conhecimento lógico-
matemático.
Estudos como o de ROMANALTO (1997), têm evidenciado preocupações
quanto a avaliação do desempenho em matemática. Para ele o conceito de número
não é um produto puro do pensamento, independente da experiência e sim uma
relação do homem com o ambiente.
18
Para GRÉGOIRE (2000) a avaliação do processamento cognitivo presente na
competência aritmética deve incluir diferentes aspectos como a articulação de
conhecimentos matemáticos, lingüísticos e factuais e a memória e a automatização
de procedimentos.
Para isto vemos em algumas pesquisas a preocupação de verificar qual a
relação da matemática com o processamento da informação. Dentre elas, JENSEN
E WHANG (1994) avaliam a rapidez de relembrar fatos aritméticos com origem na
memória de longo prazo. Realizaram um estudo comparando 73 alunos anglo-
americanos e 155 chineses americanos num teste de inteligência e numa medida de
consistência e rapidez de relembrar fatos aritméticos.
BULL e JOHNSTON (1997) verificaram as relações entre memória de curto
prazo, velocidade de processamento, a habilidade de sequênciamento e
recuperação de informação na memória de longo prazo com a habilidade aritmética
em crianças com sete anos, constatando que a habilidade aritmética era o melhor
predicado para a velocidade de processamento.
GEARY et al (1991) compararam a recuperação de fatos numéricos na
memória de longo prazo de crianças normais com a de crianças que tem falta de
habilidade em matemática. A pesquisa, que foi realizada num período de dez meses,
mostrou que crianças normais apresentam um aumento de dependência entre a
recuperação de memória e cálculos, quando estão resolvendo problemas de adição.
Essas crianças apresentaram um aumento na velocidade de calcular e recuperar
fatos da adição na memória a longo prazo.
BARTH et al. (2006) detectaram que crian
ças de cinco anos podem
consequentemente avaliar, representar, adicionar, e comparar quantidades
numéricas discretas. Cinco estudos investigaram se os adultos e crianças pré-
19
escolares podem executar cálculos aritméticos simples em numerosidade não
simbólica. A pesquisa demonstrou que os adultos e crianças podem processar
quantidades numéricas através das representações aproximadas de seus valores.
Os adultos e as crianças com nenhum treinamento na aritmética executaram com
sucesso a aritmética aproximada em grandes grupos de elementos.
BRANNON e WALLE (2001) realizaram dois estudos que avaliaram o
conhecimento numérico ordinal em crianças investigando o relacionamento entre o
conhecimento numérico ordinal e verbal. Primeiramente, procuraram projetar uma
tarefa que avaliaria o conhecimento ordinal das crianças de 2 anos de idade, que
são mais novos do que alguns testados previamente e a maioria de quem possuía
pouco conhecimento do sistema de contagem verbal. Logo depois, procuraram
investigar o relacionamento entre a habilidade de contagem verbal das crianças e a
sua habilidade de fazer comparações numéricas ordinais. Os resultados mostraram
que as crianças fazem discriminações puramente numéricas e representam relações
ordinais com elementos grandes. As crianças que demonstraram dificuldades no
conhecimento numérico verbal não podiam fazer julgamentos ordinais. Entretanto,
uma vez que as crianças possuíam a competência numérica verbal mínima, um
conhecimento mais adicional era inteiramente relacionado à competência ordinal. O
número pode transformar-se em uma dimensão saliente enquanto as crianças
começam a aprender contar. Uma representação análoga do valor do número pode
estar relacionado com o sucesso na tarefa ordinal.
Com o interesse de contribuir para a melhoria do ensino de matemática no
ensino fundamental, especificamente nas séries iniciais, o atual estudo vem
apresentar alguns questionamentos, tais como: 1) Existe diferença entre a
competência aritmética e o nível de inteligência não verbal em crianças de 1
a
e 2
a
20
série? 2) Diferentes provas de competência aritmética discriminam crianças de
séries diferentes? 3) Existe correlação entre a prova de matemática do SARESP
(Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo) e a Prova de
Matemática?
Assim, as respostas a estas questões poderão contribuir da seguinte forma:
ajudar na escolha dos testes mais adequados para avaliação; diagnosticar
dificuldades específicas com cálculo; disponibilizar instrumentos válidos de avaliação
para os profissionais da área de educação.
21
2 - OBJETIVO
2.1 – Objetivo Geral
Avaliar a competência aritmética dos alunos da 1
a
e
2
a
série do Ensino Fundamental
de escola pública.
2.2 – Objetivos Específicos
Comparar o desempenho na Prova de Matemática do SARESP (Sistema de
Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo) de alunos das duas séries
do ensino fundamental (1
a
e 2
a
série);
Comparar o desempenho na Prova de Matemática (CAPOVILLA, no prelo) de
alunos das suas séries do ensino fundamental (1
a
e 2
a
série);
Verificar a existência de correlações entre as 2 provas;
22
3 - REVISÃO DA LITERATURA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1 - Breve história da matemática
Boa parte do que se chama hoje de Matemática, deriva de idéias que
originalmente, estavam centradas no conceito de número, grandeza e forma.
Até o século XVII, pensou-se que a Matemática se ocupava do mundo que
nossos sentidos percebem, e foi somente no século XIX que a Matemática Pura se
libertou das limitações sugeridas por observações da natureza. É claro que a
Matemática no início surgiu como parte da vida diária do homem, e se há validade
no princípio biológico da sobrevivência do mais apto, a persistência humana
provavelmente tem relação como desenvolvimento, no homem, de conceitos
matemáticos.
O desenvolvimento do conceito de número foi um processo longo e gradual.
Diferentemente da linguagem, a Matemática foi sendo desenvolvida pelo homem a
fim de que ele pudesse dar cabo de suas necessidades diuturnas de sobrevivência e
de preservação da espécie, portanto a Matemática é um fato social (NETO, 2002).
A arqueologia registra que nos primórdios da vida o homem viveu da caça e
da coleta. Era predador-nômade. Sua evolução de homo habilis para homo erectus e
deste para homo sapiens e para homo sapiens sapiens acontece com o aumento do
crânio e o conseqüente aumento do volume da massa cefálica. Assim, inicialmente a
Matemática apresentava uma função adjetiva com o objetivo de aumentar ou
diminuir a coleta podendo fazer alguma classificação e seriação (NETO, 2002).
Especificamente o homo sapiens sapiens necessitava de instrumentos mais
elaborados para sua sobrevivência. Neste sentido, os conceitos de números,
23
contagem, noções intuitivas de paralelismo e perpendicularismo, simetria, esquemas
de ação para construir escoras, travessas, cunhas e dar inclinações passaram a ser
importantes para realização de atividades cotidianas. Porém continuava nômade e
predador embora eficiente na sua sobrevivência. O colapso da natureza pela ação
predadora fez com que ele começasse cultivar plantas e domesticar animais,
tornando-se um produtor-sedentário (NETO, 2002).
Com a complexidade deste sistema de sobrevivência dá origem a um novo
homem que trabalhava e acabava produzindo novos conhecimentos: fertilidade da
terra, a descoberta do fogo o induziu a cozer os alimentos, surgiu a necessidade da
cerâmica, as sementes foram valorizadas, criaram técnicas de plantio e seleção de
matrizes. Os símbolos adquirem com isto, valores mais elaborados.
Com o aparecimento dos primeiros algarismos teve começo o
desenvolvimento da escrita. Por volta do segundo milênio a.C., os fenícios elaboram
o princípio de uma escrita alfabética. Partindo de uma necessidade concreta, o
homem criou os algarismos e com eles formou os sistemas de numeração. Mas na
Europa, há poucos séculos, ainda utilizavam-se os dedos da mão para calcular, ou
então com fichas sobre a mesa. Essa questão nos remete ao conceito de número,
que segundo IFRAH (1998):
É verdade que os números figuram entre os conceitos mais complexos e abstratos
que espécie humana encontrou a seu dispor. Essa invenção é, sem qualquer
dúvida, uma das maiores conquistas da humanidade, para não dizer a maior.
Assim, entre a linguagem, a escrita e aritmética, foi esta última que exigiu tempo e
esforço da humanidade para ser assimilada. (IFRAH, 1998, p.24)
É interessante citarmos que a aritmética sempre teve um poder místico sobre
os povos no curso das civilizações. Para alguns, os números eram identificados
como forças divinas chegando até inserir seu valor simbólico como um elemento
24
essencial do nome de uma pessoa. E isto se estende até hoje onde os números
ainda influenciam algumas pessoas sobre sua força e poder de direcionar a vida
delas (IFRAH, 1998).
Muitos foram os sistemas de numeração elaborados pelo homem no decorrer
da história. Dentre eles, podem ser citados os Aramaicos do Egito; Aramaicos da
Mesopotâmia; Egípcios; Etruscos; Grécia; Maias; Mesopotâmicos; Fenícios e o
sistema de algarismos romanos usado até nossos dias para datas, números de
capítulos de livros. (IFRAH, 1998).
Hoje adotamos a numeração posicional de base 10 que teve sua origem na
Índia no fim do século V a.C., e foi divulgado pela Europa por volta do ano 825 d.C.
pelo matemático árabe Mohamed Bem Mussa Al Khawarismi. Mas, o primeiro
aparecimento de um zero foi na Índia por volta do ano 876 d.C. Em Hindu, a palavra
zero é escrita por "sunya", que para os indianos significava "vazio" ou "em branco"
(IFRAH, 1998). Neste momento o homem começou a perceber que a grande
vantagem deste sistema, era na grande economia de notação, ou seja, passou a
usar apenas 10 símbolos, neste caso, O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com esses
símbolos podemos escrever qualquer inteiro positivo.
Este movimento de criação numérica mostra como uma determinada
civilização recebe de uma anterior um determinado conceito produzido e passa,
então, a trabalhá-lo a partir de sua capacidade de abstrair, capacidade esta,
totalmente determinada pelas relações sociais e pela forma de organização do
trabalho humano. Esgotada a possibilidade criadora de um determinado grupo
social, o conceito estaciona em seu desenvolvimento, até que uma outra situação
criadora retome sua inércia impulsionando-o novamente na busca de maior
ampliação e aprofundamento (NETO, 2002).
25
É exatamente sobre isto que IFRAH (1998), menciona ao abordar o
importante papel que a civilização Árabe desempenhou no desenvolvimento, criação
e divulgação dos conhecimentos matemáticos da época.
"Os árabes não se contentaram em conservar as fundações das culturas grega,
babilônica e hindu. trazendo também sua própria e considerável contribuição para
o edifício. Ao recolher e traduzir obras do passado, eles lhes acrescentaram, de
fato, vários comentários, neles misturando métodos gregos e hindus, combinando-
os às vezes a procedimentos de origem babilônica. Com admirável espírito de
síntese, eles conseguiram aliar o rigor da sistematização dos matemáticos e
filósofos gregos ao aspecto essencialmente pratico da ciência hindu, levando a um
progresso admirável a aritmética, a álgebra, a geometria, a trigonometria e a
astronomia" (IFRAH, 1998; p. 298).
Assim, o leque de conhecimento da humanidade, a partir deste período,
torna-se mais amplo e passa a evoluir de forma mais intensa e acelerada, pois com
a criação e difusão das linguagens escrita e numérica, o ser humano já não é
apenas coletor e produtor de alimentos e ferramentas, este usa a lógica e técnica
em suas ações e observações no contato com o meio natural e social. Inventa
ferramentas mais sofisticadas e eficazes, elabora técnicas e estratégias de controle
dos diversos aspectos dos movimentos quantitativos. O ápice do desenvolvimento
da cognição concreta atingida neste período desabrocha não apenas as linguagens
das palavras e numérica, mas principalmente a linguagem científica que enriquecem
e aprofundam o saber das diversas áreas do conhecimento como medicina,
matemática, astronomia e engenharia ( NETO, 2002).
Apesar da criança não repetir os passos dados pelo homem na construção do
arsenal matemático existente, ela, na construção do seu saber, percorre algumas
etapas semelhantes. Assim, pode-se dizer que as relações recíprocas entre o
desenvolvimento do indivíduo (ontogênese) e o da sua espécie (filogênese) levam a
uma integração entre as teorias de Piaget a Antropologia (NETO, 2002). Não que se
queira fazer o aluno repetir a história da humanidade, mas apenas como um dado,
26
um referencial. Por exemplo, a noção de permanência da massa parece fazer parte
da revolução do Neolítico, isto é, do fim do Paleolítico. No início da agricultura surgiu
a necessidade de vasilhas permanentes para armazenamento de grãos. Elas já
haviam sido elaboradas com cabeças e carapaças, mas não resistiam ao fogo, além
de serem pequenas, por isso seu uso era pouco sistemático. Teve início a
fabricação de cestos trançados e, depois, seu recobrimento com barro para resistir
ao fogo. Surgiu a cerâmica. Duas são as direções que forçam a acomodação da
permanência da massa: o próprio tamanho da “massa” da argila (grandeza contínua)
e a manipulação dos conteúdos das vasilhas (grãos: grandezas discretas; líquidos:
grandezas contínuas). Os grãos são a concretização da permanência, pois a
variação de suas disposições, de vasilha para vasilha, não altera sua quantidade. As
noções de permanência permitem a troca (NETO, 2002).
NETO (2002), apresenta um quadro muito interessante que compara os
estágios do desenvolvimento cognitivo (tabela 1).
27
Classificação das Estruturas Cognitivas
Estágio Característica Idade Noções Matemáticas
Meses
1. Sensório - Motor
1. Atividades reflexas
2. Primeiros hábitos
3. Coordenação entre visão e
preensão
4. Permanência do objeto,
intencionalidade de atos.
5. Diferenciação de
esquemas de ação
6. Solução de problemas
0 – 1
1 – 4
4 – 8
8 – 11
11 – 18
18 – 24
Maior/Menor
Noção de espaço, formas.
Anos
2. Pré – Operatório
1. Função simbólica
(linguagem)
2. Organizações
representativas, pensamento
intuitivo.
3. Regulação representativa
2 – 4
4 – 5
5 – 7
Desenhos, ordem
Contagem, figuras
geométricas.
Correspondência termo a
termo, conservação do
número, classificação
simples.
3. Operações Concretas
1. Operações simples, regras,
pensamento estruturado,
fundamentado na
manipulação de objetos.
2.Multiplicação lógica
7 – 8
8 – 11
Reversibilidade,
classificação, seriação,
transitividade,
conservação do tamanho,
distância, área,
conservação de
quantidade discreta,
conservação da massa
Classe-inclusão, cálculo,
frações, conservação do
peso, conservação do
volume
4.
Operações
Formais
1. Lógica hipotético-dedutiva,
raciocínio abstrato.
2. Estruturas formais
11 – 13
13 – 15
Proporções, combinações
Demonstração, Álgebra
Tabela 1
- Classificação das Estruturas Cognitivas. NETO, E.R. (2002. p.35).
Segundo NETO (2002), a Figura 1 ilustra um paralelo entre a história da
humanidade e os estágios de desenvolvimento de Piaget. Este quadro é apenas um
28
referencial, uma hipótese de trabalho e pesquisa. O autor mostra a necessidade de
referenciais para pesquisar as seqüências de construções dos alunos. Uma
seqüência é a histórica, a outra é lógica, outra é a da confecção prática, e cada uma
delas possui variantes.
Figura 1 – Comparação entre os estágios do desenvolvimento e a história da
humanidade. NETO, E.R. (2002. p.42).
O autor apresenta um esquema para esta análise muito importante que
verificamos na Figura 2. Relaciona ações que utiliza para programar atividades de
construção dos conceitos matemáticos nas etapas apropriadas. É claro que os
alunos seguem caminhos próprios porque já possuem histórias prévias diferentes.
Mas são as atividades que desencadeiam essas construções individuais. Segundo o
autor, esta figura deve ser vista com cuidado. Os conceitos listados devem ser vistos
em construção.
29
Figura 2 – Construção Humana vista na História da Humanidade. NETO, E.R.
(2002. p.26).
3.2 - Desenvolvimento da Competência Aritmética
Conforme a neuropsicologia cognitiva, a competência aritmética inclui três
principais habilidades: 1) Habilidade de compreensão e contagem dos números; 2)
Habilidade de calcular; e 3) Habilidade de resolver problemas apresentados
verbalmente (HAAD, 2005).
Assim, falar do desenvolvimento da competência Aritmética é falar sobre a
construção da noção de número. Com o aparecimento da função simbólica, próximo
aos dois anos, a criança começa a construir seu vocabulário de acordo com suas
necessidades. Um pouco depois começa a construir as palavras: um, dois, três...,
que ainda não representam números (NETO, 2002).
Para MIRANDA e GIL-LLARIO (2001), o conceito de n
úmero, base da
30
matemática é uma completa abstração que se interioriza a partir da diversidade de
experiências. Este conceito é tão importante para a matemática como a consciência
fonética é para a leitura. A instrução da aritmética mais fundamental se apóia sobre
a associação de que a criança é capaz de realizar várias ações como: organizar o
espaço que a cerca, comparar e discriminar entre objetos em virtude da percepção
das semelhanças e diferenças; agrupar os objetos em função de critérios, e
estabelecer correspondências. Desta forma, a criança pode contar com várias
informações acerca do que é o número.
Para que uma criança possa numerar é necessária a aplicação coordenada
de uma série de princípios. Tais princípios são apresentados segundo o modelo
clássico de GALLISTEL e GELMAN (2005) da seguinte forma:
Princípio de Correspondência: aplicação de um número a cada um dos
objetos que deve ser numerado e, só um número por objeto;
Princípio de Ordem: eleição ordenada de números (primeiro o 1, logo o
2, etc) ao aplicar em forma de correspondência a cada um dos objetos;
Princípio de Cardinalidade: o valor numérico do conjunto que se conta
expressa pelo valor cardinal final que o representa;
Irrelevância da ordem de numeração, isto é, a relação entre um
determinado objeto e certo número concreto é irrelevante, já que podem contabilizar-
se no lugar e posição diferente em comparação aos demais objetos. O importante é
não repetir o número nem saltar a ordem numeral da série.
MIRANDA e GIL-LLARIO (2001) afirmam que a elaboração do conceito de
número precisa de: 1) domínio da noção de conservação, ou seja, da certeza de que
o todo está composto por um conjunto de partes que podem ser distribuídos de
31
diversas maneiras sem que haja variedades; 2) da noção de seriação que faz
referência à capacidade para ordenar elementos de uma série de funções de algum
critério. Deve-se compreender que cada número pode ser ordinal e cardinal; por
exemplo, o número 5 é um símbolo de um conjunto que representa uma classe
(princípio de cardinal idade), mais também pode representar o quinto (5°) lugar em
uma série. Quando se é capaz de utilizar ambos os sistemas, se possui uma
compreensão adequada do número, a qual abre caminho para as operações
matemáticas.
NETO (2002) descreve três momentos importantes da criação do número. Em
um primeiro momento a criança vai sabendo os nomes, imitando os adultos: um,
dois, três, etc. Mas os usa apenas como nomes de objetos. Ás vezes, na contagem,
a criança pula objetos ou conta várias vezes o mesmo objeto. Esse usar como nome
é útil também para os adultos. Quando digo “O meu ônibus é o 37”, estou
simplesmente dando seu nome. Não significa que a empresa possua 37 ônibus, nem
que o meu seja o trigésimo sétimo e, além disso, passa um ônibus 37 a cada dez
minutos. Do mesmo modo dizemos o número do telefone, da casa, do sapato, etc.
Em um segundo momento os elementos continuam recebendo nomes, mas
apenas um nome para cada elemento. Se perguntarmos quantos são ela diz o
“numeral” certo (se não errar), mas esse “numeral” não indica a quantidade, e sim
até onde ela chegou. Esse tipo de contagem envolve esquemas de seriação. Esses
esquemas evoluem passando da seriação simples à complexa em torno dos sete
anos, quando 5 poderá indicar 5°. As crianças também já terão a conservação da
quantidade. Esse esquema também é útil ao adulto. Quando digo “A minha casa é a
6ª, a partir da esquina”, quero dizer que existem 5 casas antes da minha.
Em um terceiro momento a criança constrói a noção de número. Isso significa
32
seriar e, além disso, incluir em cada número todos os anteriores. O dois inclui o um,
o três inclui o um e o dois, portanto, inclui o um três vezes e assim por diante. Desse
modo a contagem envolve esquemas de inclusão de classes, significando, nesse
caso, que cada número é constituído da adição repetida de uns e nessa construção
a adição já está incluída.
A noção de número é uma complexa síntese entre seriação e inclusão de
classes. Essas noções são construídas a partir das necessidades no cotidiano, que
coloca variadas relações entre objetos, ações, ocorrências, etc. Necessita da
conservação da quantidade. Mas não sabemos com exatidão como ocorrem essas
construções. Por isso é um erro duplo ensinar número ou adição. O que a escola
deve fazer é criar um ambiente rico e solicitador. A criança deve contar, juntar e
contar o total, repartir e contar quanto ganha cada um, quanto sobra, quanto falta.
Mas nada de simbolizações matemáticas no início. O professor deve saber que a
resposta da criança será de acordo com suas estruturas mentais e pode ser a
esperada. Lembrar que muito erro constrói (NETO, 2002).
A avaliação das habilidades matemáticas pressupõe, portanto, o
conhecimento das mudanças nas estruturas lógico-formais das operações
matemáticas ao longo dos anos de escolarização, bem como das estruturas neurais
envolvidas na realização de cálculos.
3.2.1 - Estruturas das operações aritméticas
As operações matemáticas, segundo MIRANDA e GIL-LLARIO (2001),
consistem em processos que permitem manipular simbolicamente dados. Essas
operações requerem que se tenha adquirido o conceito de número, a função
33
simbólica, a compreensão da reversibilidade, assim como uma correta percepção do
tempo e da orientação espacial. As estratégias empenhadas pelas crianças variam
em função da idade, em busca da rentabilidade. No início, as estratégias preferidas
são as que se cercam mais do manipulativo. Assim, uma das primeiras estratégias
utilizadas por elas é a utilização de objetos ou os próprios dedos para enumerar
ordenadamente um conjunto.
Graças a compreensão e aplicação dos conceitos básicos das operações, a
criança cada vez mais vai acumulando informações relativa aos números e suas
propriedades, como operar com eles; que por vez, facilita construção do
pensamento matemático. Esta informação é denominada pelos autores (MIRANDA e
GIL-LLARIO, 2001) de "fatos numéricos" e caracteriza-se pela intervenção de
processos de memorização e regras.
Definir alguém como competente em matemática envolve reconhecer um
conjunto de atitudes, de forma integrada, e de capacidades e de conhecimentos
relativos a esta área. Esta competência desenvolve-se através de uma experiência
matemática rica e diversificada e da reflexão sobre essa experiência, de acordo com
a maturidade dos alunos.
Piaget, conforme declaram KAMII (1987), foi um dos estudiosos que mais
contribuiu para o reconhecimento dessas habilidades e de que a lógica e a
matemática podem ser tratadas como formas de organização da atividade intelectual
humana.
" (...) todo estudante normal é capaz de um bom raciocínio matemático se sua
atenção está concentrada sobre assuntos de seu interesse, e se por esse método
as inibições emocionais, que com freqüência fazem-no sentir-se inferior nessa
área, são removidas. Na maioria das aulas de matemática, toda diferença está no
fato de que se pede ao estudante para aceitar uma disciplina intelectual já
totalmente organizada fora dele mesmo, ao passo que, no contexto de uma
atividade autônoma, ele é chamado a descobrir as relações e idéias por si
34
mesmo, a recriá-las até que chegue o momento de ser ensinado e guiado"'. (p.98-
99)
O raciocínio lógico-matemático é um dos atributos do desenvolvimento
cognitivo de cada pessoa. É fruto de construções internas, e que não podem ser
ensinadas, mas sim estimuladas para que sejam construídas internamente. Esta
estimulação parte de objetos instigantes para que se desenvolva o pensar e o
raciocinar sobre algo. Logo, a melhor forma de se estimular o desenvolvimento do
raciocínio lógico-matemático é colocando a criança em contato com o ensino da
matemática. Este contato pode se dar de diversas formas, jogos, músicas e
situações-problemas.
A criança constrói suas bases matemáticas pela necessidade de resolução de
problemas de seu tempo, impostas por situações da sociedade. A aprendizagem da
matemática parte de um sentido de número para uma construção abstrata deste. O
número não é dado imediato da natureza, é uma construção da mente humana.
Segundo KAMII (1987) Piaget define o número como resultado da elaboração
simples, porém importante de dois tipos de relações que a criança faz em contato
com os objetos, através de uma abstração interior de natureza reflexiva: a
cardinalidade e a ordinalidade. A criança ao enumerar um conjunto de objetos,
conta-os como se fossem todos iguais, atribuídos a uma mesma classe chegando,
assim, ao seu valor cardinal. No entanto, para manter uma seqüência e não contar o
mesmo objeto mais de uma vez, é necessário uma ordenação: contar primeiro o
objeto, depois o seguinte, e assim por diante. A criança pequena parece não sentir a
necessidade de ordenação, o que pode ser observado quando na contagem de
objetos ela salta alguns ou conta o mesmo objeto várias vezes. Embora para contá-
los não é necessário que ela coloque-os numa ordem espacial, é preciso ordená-los
35
mentalmente, ou seja, colocá-los em série (GALLISTEL e GELMAN, 2005).
A capacidade de enumerar oralmente uma série de elementos não assegura
que a criança compreenda a relação entre o nome do número e sua quantificação.
PIAGET (1987) afirma que não se pode confiar nas aparências verbais, ele acredita
que a numeração falada auxilia a criança na aquisição dos números, no entanto, "a
linguagem por si só não basta para transmiti-lo completamente" (p. 56).
Construir o conceito de número implica em se estabelecer relações mentais,
como por exemplo, saber onde "tem mais" e onde "tem menos" entre dois conjuntos.
A diferença entre a construção do número e a quantificação de objetos é que a
primeira não é observável, pois ocorre no pensamento da criança e a segunda pode
ser observada em seu comportamento.
A quantificação de um conjunto de objetos requer da criança a capacidade de
colocar os elementos deste conjunto numa relação de inclusão hierárquica. Isto quer
dizer que é necessário que ao ler compreenda que o "um" está incluído em "dois", o
"dois" em "três" e etc. Segundo KAMII (1987, p.35), "para comparar o todo com a
parte, a criança tem que fazer duas ações mentais opostas ao mesmo tempo: cortar
o todo em duas partes e colocar outra vez as partes no todo". Para construir esta
relação de inclusão, a criança precisa coordenar os aspectos quantitativos e
qualitativos da classe e da subclasse envolvidas, como por exemplo, ela precisa
compreender que na classe dos animais, estão incluídas as subclasses cachorros e
gatos e isto só é possível a partir dos sete anos aproximadamente.
Dessa forma, o número é construído através da coordenação mental de
relações, portanto, um processo interno que só ocorre quando o pensamento da
criança se torna móvel o suficiente para ser capaz de ser reversível. Isso leva tempo,
pois a criança passa por diversas etapas no seu desenvolvimento cognitivo até que
36
esteja de posse dessa noção. Quando se trata do sistema de base decimal, a
coordenação dos elementos passa a ser de outra ordem, como as dezenas e
centenas. Desta forma, a criança precisa dominar mais sistematicamente seu
conjunto de regras. Conforme afirma MOURA (1992),
"Para o entendimento do sistema de numera
ção é necessário que a criança
compreenda que se trata de um conjunto de regras criadas pelo homem durante
a sua evolução histórica. O aluno deve, portanto, compreender a natureza do
signo numérico e como ele se combina para representar as quantidades. A posse
do sistema de numeração significa o domínio do conjunto de regras que leva a
criança à capacidade de operar com as quantidades no papel, de forma
sistemática". (p. 42)
DOCKRELL e MCSHANE (1997), explicam que "a partir da habilidade de
contar se desenvolvem habilidades matemáticas básicas" (p. 45). As crianças
possuem, naturalmente, a noção de quantidade, muito antes de aprender os
números. Por isso, crianças que não têm habilidade para contar, provavelmente
terão dificuldades com os números.
Segundo JOHNSON e MYKLEBUST (1987), "uma criança inicialmente
assimila e integra as experiências não-verbais, depois ela aprende a associar os
símbolos numéricos à experiência e, finalmente, expressa as idéias de quantidade,
espaço e ordem usando a linguagem matemática" (p. 64).
Aprender matemática significa fundamentalmente, utilizar-se do que distingue
o ser humano, ou seja, a capacidade de pensar, refletir sobre o real vivido e o
concebido, transformar este real, utilizando em sua ação, como ferramenta, o
conhecimento construído em interações com as necessidades surgidas no aqui e no
agora.
Segundo MORENO (1987), observa-se confusões muito freqüentes entre as
noções matemáticas elementares e sua representação gráfica. Algumas crianças
37
afirmam que "um conjunto é um redondo" ou "um conjunto é somar todas as coisas"
e que ''uma soma é por números" ou "algo que se aprende na escola". A
precipitação em se ensinar a criança a utilizar signos aritméticos antes dela ter
construído a noção que lhes dão significado, conduz a fins vazios de conteúdos; ela
poderá fazer uso dos símbolos aritméticos através de memorização. A criança pode
utilizar-se do símbolo
1
numérico, por exemplo, sem ter construído o conceito de
número.
Estudos sobre o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático têm
marcado a escolarização contribuindo para o desenvolvimento, pois "demonstram
que crianças ou adultos escolarizados apresentam melhor desempenho que
indivíduos não-escolarizados em várias tarefas destinadas a avaliar o
desenvolvimento cognitivo" (SCHLIEMANN e CARRAHER, 2001, p.70).
3.2.2 - Bases neurológicas da Competência Aritmética
Para apresentar as bases neurológicas da competência aritmética, não
podemos deixar de citar Luria, grande estudioso da área da neuropsicologia.
LURIA (1981) descreve duas regiões cerebrais que estão ligadas às
habilidades matemáticas: a occipitoparietal e frontal.
Na região occipitoparietal desenvolve-se as habilidades de conceito de
número e operações matemáticas; percepção dos nomes de quantidade;
estruturação categórica dos números, ligado ao ler ou escrever dos mesmos;
reconhecimento das relações entre os números. Já na região frontal as habilidades
1
Na teoria de Piaget os símbolos diferem dos signos no sentido de que os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com
os objetos representados e são criados pela criança (exemplo "ooooo” ou "//////”r) e ao contrário, os signos são criados por
convenção e não mantêm nenhuma semelhança com os objetos que representam. (KAMII, 1990, p. 40)
38
estão relacionadas à recodificação da informação no contexto da solução de
problemas, compreensão de sistemas conceituais e lógico-gramaticais das relações
numéricas e da habilidade de planejamento de uma solução.
É muito atraente o esquema das áreas corticais, que medeiam as diferentes
aptidões relacionadas com a competência aritmética. Na tabela 2, apresentamos um
quadro adaptado de Keller e Sutton (apud GARCIA, 1998) que medeiam esta
associação.
Região Habilidades
Hemisf
ério Direito
Organização viso-espacial
Hemisf
ério dominante na linguagem
Habilidades lingüísticas
Áreas de associação do hemisfério dominante
Leitura e compreens
ão de problemas verbais,
compreensão de conceitos e procedimentos
matemáticos.
L
óbulos frontais
Cálculos mentais rápidos, conceitualização
abstrata, habilidades de solução de problemas,
execução oral e escrita.
L
óbulos parietais
Funções motoras, uso das sensações tácteis.
L
óbulo Parietal esquerdo
Habilidades de sequenciação.
L
óbulos Occipitais
Discriminação visual de símbolos matemáticos
escritos.
L
óbulos Temporais
Percepção auditiva, memória verbal a longo
prazo.
L
óbulo temporal dominante
Memória de séries, realizações matemáticas
básicas, subvocalização durante a solução de
problemas.
Tabela 2
- Áreas corticais e associação. GARCIA, J.N. (1998, p. 215)
39
Para ALONSO e FUENTES (2001), a capacidade para o cálculo é uma
função cerebral altamente complexa que resulta da colaboração de várias áreas
posteriores do hemisfério esquerdo. Com o passar do tempo, este enfoque modular
tem recebido um amplo apoio empírico por meio de estudos de capacidades
numéricas em animais, crianças e adultos normais e pacientes com lesões
cerebrais, tanto no âmbito cognitivo como anatômico, confirmando que as áreas
parietais são cruciais para o processamento numérico.
De acordo com os mesmo autores, ao realizar qualquer tarefa aritmética
mental, por mais distintas e elementares que sejam as regiões cerebrais são
ativadas, fato que nos faz pensar mais em termos de circuitos cerebrais do que
numa idéia frenológica que atribua a uma determinada região a responsabilidade do
cálculo aritmético. A convergência entre os resultados analisados da sua pesquisa
permite afirmar que numa região em particular evidencia-se pela implicação na
compreensão do sentido numérico: a parte inferior do lobo parietal.
BRUANDET, M. et al. (2004) declaram que teorias atuais relacionam que o
processamento numérico e as habilidades humanas para a aritmética estão
baseados nos circuitos cerebrais que são colocados parcialmente sob o controle
genético e são modificados mais tarde com a educação e instrução. A área pequena
dos sulcos intraparietal esquerdo e direito é ativada sistematicamente sempre que
as quantidades numéricas são manipuladas.
Atualmente uma pesquisa realizada por RAAD (2005), apresenta uma
associação das áreas corticais cuja competência aritmética, neurologicamente, é
baseada em um sistema funcional formado pela interação de diversas regiões
corticais:
40
"... incluindo o hemisfério direito, que media a organização visual-espacial; os
lobos occipitais, que mediam a discriminação de números escritos e sinais de
operação; o lobo parietal esquerdo, que medeia habilidade de seqüência; o lobo
temporal dominante, que media a memória de séries de números, fatos de
números, e funções subvocais envolvidas na solução de problema de palavras;
áreas de associação mais altas no hemisfério dominante, que mediam a
compreensão de conceitos numéricos e operações e a decodificação e
compreensão de problema de palavras; e a área frontal, que media habilidades
de solução de problemas e é crucial para a produção do desempenho aritmético
escrito e oral”. (p.28)
3.2.3 - Dificuldades para o cálculo
O estudo das operações aritméticas do número e de sua evolução foi por
muito tempo motivo de atenção. Durante o século XX sucede-se uma longa série de
trabalhos envolvendo esses temas. A sistematização das pesquisas é muito recente.
Considerando a abordagem psicológica, podemos afirmar que uma série de
pesquisas vindas da neuropsicologia, vem esclarecer o estudo de problemas da
aritmética, como a acalculia.
Ao se tratar da história das dificuldades de aprendizagem da matemática,
sabemos que esses estudos são antigos, já que, segundo GARCIA (1998), em 1920
utilizavam-se o termo "discalculia" para descrever uma síndrome das dificuldades
apresentadas pelas crianças na efetuação do cálculo.
A primeira explicação histórica para as dificuldades de aprendizagem da
matemática foi a neuropsicológica, que definiu, além do termo "discalculia", o termo
"acalculia".
Entende-se por acalculia um transtorno relacionado com a aritmética
adquirida após uma lesão cerebral, sabendo-se que as habilidades da matemática já
foram desenvolvidas e consolidadas. Ao contrário disso, o termo discalculia é
utilizado para referir-se às crianças com dificuldades de matemática que não
41
possuem lesão neurológica.
Para JOHNSON, MYKLEBUST (1987), as crianças com discalculia são
capazes de compreender e usar a linguagem falada. Podem ler e escrever, mas não
conseguem aprender a calcular, ou seja, não conseguem aprender os processos da
matemática.
Entre outras características da discalculia, essas crianças podem apresentar
deficiência no que diz respeito à organização viso-espacial, não conseguindo
distinguir as diferenças de forma, tamanho, quantidade nem identificar, em grupos
de objetos qual objeto, por exemplo, tem maior tamanho.
Encontramos na obra de GARCIA (1998, p.213) seis classificações dadas ao
termo discalculia:
1. A discalculia verbal, com manifestações em dificuldades em nomear as
quantidades matemáticas, os números, os termos, os símbolos e as relações.
2. A discalculia practognóstica, ou dificuldades para enumerar, comparar,
manipular objetos reais ou em imagens, matematicamente.
3. A discalculia léxica, em relação às dificuldades na leitura de símbolos
matemáticos.
4. A discalculia gráfica, em relação às dificuldades na escrita de símbolos
matemáticos.
5. A discalculia ideognóstica, ou dificuldades em fazer operações mentais
e na compreensão de conceitos matemáticos.
6. A discalculia operacional, em relação às dificuldades na execução de
operações e cálculos matemáticos.
42
Como citamos anteriormente a neuropsicologia definiu além da discalculia, a
acalculia. Ela está associada a alterações específicas de cálculo observadas após
dano cerebral. Assim, segundo NOVICK e ARNOLD (1988), atualmente distinguem-
se três possibilidades principais de acalculia: primária, secundária e espacial.
Na acalculia primária há uma dificuldade aritmética não associada a
problemas de linguagem ou visoespaciais, podendo haver problemas com a
compreensão sobre o significado ou o conceito dos números, com a execução de
cálculos numéricos, independentemente de se os números são apresentados
oralmente ou visualmente e, finalmente, dificuldade com estimativas matemáticas.
As acalculias secundárias existem paralelamente a algum distúrbio mais
amplo subjacente e os tipos mais freqüentes são a acalculia afásica e a acalculia
espacial. A acalculia associada à alexia ou agrafia para números, também chamada
de acalculia afásica, tem como características mais freqüentes as nomeações
incorretas de números escritos e os problemas com os nomes falados dos números.
Geralmente ocorrem trocas de nomes semelhantes, problemas com os nomes das
operações de cálculo associadas aos símbolos gráficos e maiores dificuldades com
problemas apresentados verbalmente. A habilidade de cálculo é preservada.
Por fim, a acalculia espacial é devida a distúrbios visoespaciais e
compreende erros geralmente por negligência do lado esquerdo do campo visual
durante a leitura e escrita de números. As características mais freqüentes são erros
na escrita e na leitura dos números, especialmente quando eles têm muitos dígitos;
dificuldades de reconhecer e corrigir tais erros; com habilidade preservada em
cálculos mentais ou problemas verbais.
Distúrbios aritméticos específicos em crianças, de origem desenvolvimental
em vez de adquirida, não têm recebido muita atenção investigadora, havendo uma
43
descrição clínica antiga de um distúrbio aritmético na infância publicada nos anos de
1930. Desde aquela época, estudos de caso e estudos retrospectivos têm dominado
a escassa literatura nessa área (NOVICK & ARNOLD, 1988). Segundo
WECHESLER (1981), deve ser considerado que problemas com aritmética em
crianças podem refletir uma variedade de distúrbios, tais como um distúrbio global
(por exemplo, inteligência rebaixada), um distúrbio específico (por exemplo, distúrbio
visoespacial ou lingüístico), ou um verdadeiro distúrbio em aritmética.
3.2.4 - Relação entre habilidade para cálculo e outras funções cognitivas
O cálculo, desde o ponto de vista neuropsicológico, é uma função muito
complexa. Em uma simples operação aritmética intervem uma grande quantidade de
mecanismos neurocognitivos, tais como: mecanismos de processamento verbal e
gráfico da informação; percepção; reconhecimento e em seu caso produção da
caligrafia e ortografia numérica e algébrica; representação número/símbolo;
discriminação visoespacial; memória de curto e longo prazo; raciocínio sintático e
conservação atencional (BOLLER e GRAFMAN, 1985).
A memória de longo prazo, por sua parte, estaria relacionada com as funções
de cálculo de duas formas distintas: por um lado apontando informações acerca das
regras gerais de cálculo de uma operação concreta e por outra, recordando os
resultados de operações elementares que usualmente se aprenderia na infância. Se
faltar este último mecanismo, sempre se poderia recorrer às regras gerais da
operação, a fim de aumentar o tempo e a possibilidade do erro. Desta forma, se a
criança não recordar o valor correto da operação 7 + 4, poderá recordar do princípio
matemático da soma, podendo então, realizar a operação contando de unidade em
44
unidade, quatro vezes a partir do 7, 8,9, 10, 11. (BOLLER e GRAFMAN, 1985).
Para McCLOSKEY et al (1985), todas as funções cognitivas mencionadas se
agrupariam em dois grandes sistemas:
1. SISTEMA DE PROCESSAMENTO NUMÉRICO: seria o encarregado da
compreensão e produção de números gráficos e verbais, junto com as regras
de valorização de quantidades e de dígitos em função de sua situação em
uma quantidade de vários números, segundo o sistema arábico decimal
usado em nossa cultura.
2. SISTEMA DE CÁLCULO: encarregado de: 1) compreensão e recordação de
símbolos e princípios das operações matemáticas; 2) recordação de fatos
matemáticos (por exemplo, resultado de tábuas aritméticas); 3) e execução
dos processos matemáticos (por exemplo, associar quantidades a seguinte
coluna, separação correta das quantidades parciais nas multiplicações por
mais de um dígito, ou dos restos nas divisões).
3.3 - Avaliação da Competência Aritmética e as Orientações Gerais para o
Ensino de Matemática
Para o diagnóstico das dificuldades na aprendizagem da aritmética, podem
ser utilizados testes padronizados que informam a respeito de cálculos e raciocínio.
Mas, os resultados de tais testes não podem ser analisados isoladamente, é preciso
também investigar muitas outras habilidades. JOHNSON e MYKLEBUST (1987)
afirmam que os seguintes distúrbios podem ser encontrados em graus diversos:
Incapacidade para estabelecer correspondência unívoca; Incapacidade para contar
45
com sentido; Incapacidade para associar símbolos auditivos e visuais; Incapacidade
para aprender os sistemas cardinal e ordinal de contagem; Incapacidade para
visualizar conjuntos de objetos dentro de um grupo maior; Incapacidade para
compreender o princípio de conservação de quantidade (uma nota de dez reais vale
o mesmo que duas de cinco); Incapacidade para executar operações aritméticas;
Incapacidade para compreender o significado dos sinais de operação; Incapacidade
para compreender a organização dos números na página; Incapacidade para
obedecer e recordar a seqüência dos passos que devem ser dados em operações
matemáticas diversas; Incapacidade para compreender os princípios de medida;
Incapacidade para ler mapas e gráficos; Incapacidade para escolher os princípios
para solucionar problemas de raciocínio aritmético.
A dificuldade de aprendizagem em estudantes é uma grande preocupação do
sistema de ensino de nosso país, e o ensino da matemática faz parte dessa
preocupação. A seguir é apresentada uma síntese do Documento da Secretaria
Municipal de Educação da Cidade de São Paulo com as habilidades e competências
a serem desenvolvidas nos alunos da 1ª e 2ª Série do Ensino Fundamental I.
A Matemática desenvolvida na Unidade Escolar onde a pesquisa foi
desenvolvida obedece além das orientações apresentadas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997), o documento “Orientações Gerais para o
Ensino de Língua Portuguesa e de Matemática no Ciclo I” (SÃO PAULO, 2006). Este
documento norteia o trabalho de Língua Portuguesa e Matemática trazendo a
concepção, os objetivos, as expectativas de aprendizagem, e as orientações para o
ensino das duas áreas.
Segundo o documento:
46
“ao pensar o processo de ensino e aprendizagem é preciso considerar três
variáveis fundamentais e as relações que acontecem entre elas: aluno, o
professor e o conhecimento matemático.
Considerando a rela
ção entre o professor e o conhecimento matemático,
caberá ao professor ser o mediador entre o conhecimento matemático e o
aluno e para isso ele precisará:
Desenvolver uma concepção do conhecimento matemático como
ciência viva, aberta à incorporação de novos conhecimentos;
Ter conhecimento dos conceitos e procedimentos que se pretende
ensinar;
Transformar o conhecimento matemático formalizado em
conhecimento escolar que possa ser compreendido pelo aluno.
O documento também destaca a importância da contextualização dos
conhecimentos, alegando que a mesma ajuda os alunos a torná-los mais
significativos estabelecendo relações com suas vivências cotidianas, porém, é
preciso também promover a descontextualização garantindo que possam observar
regularidades, buscando generalizar e transferir estes conhecimentos a outros
contextos, pois um conhecimento torna-se pleno quando puder ser aplicado em
situações diferentes daquelas que lhe deram origem.
O estabelecimento de conexões é fundamental para que os alunos
compreendam os conteúdos matemáticos e contribui para o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas.
Segundo o documento, na construção das relações entre o professor, o aluno
e o conhecimento matemático cabe ao aluno o papel de agente da construção do
conhecimento e ao professor o papel de organizador, consultor e mediador.
Esta concepção rompe com a idéia de que cabe ao professor transmitir os
conteúdos por meio de explicações, exemplos e demonstrações seguidas de
exercícios de fixação.
Por outro lado, acentua a idéia de que o aluno é agente da construção de seu
conhecimento quando, numa situação de resolução de problemas, ele é estimulado
a estabelecer conexões entre os conhecimentos já construídos e os novos.
47
O documento também destaca a importância de observar que a
aprendizagem acontece na interação entre alunos. A cooperação entre pares na
busca de soluções, o esforço em explicitar o pensamento e compreender o do outro,
favorecem a reestruturação e ampliação do próprio pensamento.
Como objetivos gerais do ensino de matemática, o documento cita:
• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender
a realidade, para estimular a curiosidade, a investigação e a capacidade de
resolver problemas.
• Observar aspectos quantitativos e qualitativos presentes em diferentes
situações e estabelecer relações entre eles, utilizando conhecimentos
relacionados aos números, às operações, às medidas, ao espaço e às
formas, ao tratamento das informações.
• Resolver situações problema, a partir da interpretação de enunciados orais
e escritos, desenvolvendo procedimentos para planejar, executar e checar
soluções (formular hipóteses, fazer tentativas ou simulações), para
comunicar resultados e compará-los com outros, validando ou não os
procedimentos e as soluções encontradas.
• Comunicar-se matematicamente apresentando resultados precisos,
argumentar sobre suas hipóteses, fazendo uso da linguagem oral e de
representações matemáticas e estabelecendo relações entre elas.
• Sentir-se seguro para construir conhecimentos matemáticos, incentivando
sempre os alunos na busca de soluções.
• Interagir com seus pares de forma cooperativa na busca de soluções para
situações problemas, respeitando seus modos de pensar e aprendendo com
eles. (SÃO PAULO, 2006; p. 42-43)
O documento apresenta uma relação de competências que os alunos deverão
ter desenvolvido no final de cada ano do ciclo I. Achamos melhor destacar somente
as competências que estão associadas com o nosso estudo e com as séries em
questão (1
a
e 2
a
séries).
Para a 1
a
série são elas:
Desenvolver um sentido numérico relacionado a pequenas quantidades
que não precisam ser contadas e podem ser identificadas de forma
rápida por meio de uma percepção global, por exemplo, as seqüências
numéricas que vão até 5 ou 6.
Fazer o uso da contagem oral, sendo capaz de continuar uma contagem
quando ela for interrompida, sem ter que retornar ao número inicial. Em
situação de contagem, contar todos os elementos, cada um uma só vez,
mantendo a ordem ao enunciar os nomes dos números e observando
que o último número mencionado deve corresponder ao total de objetos.
Identificar, ler e escrever números em situações contextualizadas,
principalmente os números que aparecem com freqüência na sala de
48
aula, como os números do calendário, número de alunos da sala,
número de meninos e meninas, números que indicam valores das
moedas e cédulas, entre outras. Para lidar com eles os alunos utilizam a
contagem sem precisar pensar em dezenas e unidades. A freqüência do
uso desses números possibilita realizarem as primeiras constatações
sobre as regularidades da seqüência numérica e a memorizarem alguns
resultados de cálculo.
Utilizar procedimentos de contagem, correspondência e de estimativa
para identificar quantidades.
Resolver problemas expressos oralmente ou por meio de enunciados
escritos, envolvendo a adição e a subtração, especialmente em
situações relacionadas às idéias de combinação e transformação.
Compreender os conceitos da adição e da subtração, resolvendo
problemas que envolvam estes conceitos, por meio de estratégias
pessoais, fazendo uso de recursos de cálculo mental e estimativa.
Compreender o conceito da multiplicação, resolvendo situações que
trabalhem com agrupamentos de mesma quantidade, como dobros,
triplo, entre outras. . (SÃO PAULO, 2006; p. 46-48)
Os alunos, ao final do 2º ano do Ciclo I, deverão ter desenvolvido
competências para:
Desenvolver um sentido numérico compreendendo o significado de
números pela análise de sua ordem de grandeza.
Identificar, ler e escrever números naturais evidenciando a
compreensão de algumas regras da escrita posicional como a
formação de agrupamentos e o principio aditivo, que permite
escrever o número 574 como 500 + 70 + 4.
Identificar seqüências numéricas e localizar números naturais
escritos com três e quatro dígitos.
Resolver problemas, expressos oralmente ou por enunciados
escritos, envolvendo a adição e a subtração, em situações
relacionadas aos seus diversos significados.
Resolver problemas expressos oralmente ou por enunciados
escritos, envolvendo a multiplicação e a divisão, especialmente em
situações relacionadas à comparação entre razões e à configuração
retangular.
Expressar verbalmente e por meio de registros os procedimentos de
soluções de um problema, estabelecendo comparação com outros
procedimentos reconhecendo que uma mesma situação problema
pode ser resolvida por diferentes estratégias.
Compreender os conceitos da divisão (repartir quantidades iguais e
determinar quanto cabe).
Resolver cálculos envolvendo adição, subtração, multiplicação e
divisão, por meio de estratégias pessoais, fazendo uso de recursos
como cálculo mental e estimativa.
Resolver cálculos envolvendo adição, subtração, por meio de
estratégias pessoais e pelo uso de técnica operatória convencional.
(SÃO PAULO, 2006; p. 49-51)
FINI (2001) apresenta-nos dados segundo os quais muitos alunos não
conseguem realizar operações básicas nem resolver problemas aritméticos que
49
seriam esperados para sua série e idade:
"Os dados mostraram que 70% dos alunos das séries finais do ensino básico,
depois de muitos anos em sala de aula, não sabiam resolver problemas, mesmo
quando apareciam sob a forma de situação do cotidiano, como compra em
supermercado. Apenas 21% aos alunos apresentavam conhecimento consolidado
das quatro operações; 1,5% dos alunos da 4
a
série conseguiam realizar operações
simples com números decimais." (p.60)
A explicação para este elevado número de alunos que não desenvolveram as
habilidades necessárias pode ser devida a aspectos pedagógicos. O ensino da
matemática, muitas vezes faz-se tradicionalmente, sem referência ao que os alunos
já sabem, e muitos autores relatam a necessidade de apontar situações diárias em
que é utilizada a matemática, para que a aprendizagem seja mais bem assimilada e
mais motivadora. Neste sentido, KAMII, DECLARCK (1986) apontam que, após
vários anos de estudo, o aprendizado da matemática por meio de jogos em grupo
apresenta um resultado mais satisfatório do que no ensino tradicional. Indicam que a
resolução de problemas, por exemplo, é uma parte muito importante na aritmética
porque envolve ações mentais que não podem ser observadas diretamente. Os
problemas aritméticos, de maneira geral, apresentam situações que acontecem na
vida diária das pessoas, envolvendo propriedades quantitativas e relações que
podem ser analisadas matematicamente. É preciso que a criança compreenda o
problema e raciocine para descobrir como resolvê-lo.
FINI (2001) afirma que professores do Ensino Fundamental podem apontar
dificuldades que os alunos apresentam quando tentam solucionar problemas, tais
como: não conseguem ler o problema porque apresentam dificuldades específicas
de leitura; não entendem o que é solicitado porque não entendem as palavras; não
sabem escolher corretamente a operação necessária para a resolução.
50
3.3.1 - Estudos que avaliam Competência Aritmética
RIDING e BORG (1987) realizaram um estudo com 84 crianças, 42 meninos e
42 meninas, todos com 11 anos de idade, dos quais foram submetidos a um teste de
40 questões de cálculos numéricos, subdivididos em 4 subtestes, com 10 itens cada.
Os cálculos testavam a habilidade nas operações básicas de adição, subtração,
multiplicação e divisão. Também como instrumento foi utilizado o inventário de
personalidade de Eysenck Junior. Os resultados revelaram uma significativa
interação entre extroversão, gênero e tipo de operação utilizada nos cálculos. No
estudo, as meninas extrovertidas ou introvertidas apresentaram desempenho similar.
No que diz respeito às dificuldades apresentadas por elas foram maior na
multiplicação e divisão. Na sua maioria, 64,05% das crianças demonstraram reação
quanto ao tipo de operação utilizada nos cálculos, seguida de uma relação forte com
a extroversão ou introversão.
JENSEN e WHANG (1994) compararam 73 alunos anglo-americanos e 155
chineses americanos que pertenciam ao 4° e 6° ano de escolaridade, num teste de
inteligência e numa medida de consistência e rapidez de relembrar fatos aritméticos
(situações onde se verificava cálculos aritméticos) com origem na memória de longo
prazo, e comprovaram que, acessando o conhecimento aritmético elementar, os
chineses são mais automatizados.
É interessante lembrarmos que as habilidades dos alunos são fatores que
fazem diferenças no ambiente escolar, principalmente quando estão relacionadas à
velocidade de processamento de informação. Na aprendizagem de matemática,
existem crianças com habilidades desenvolvidas para álgebra ou geometria e outras
para a aritmética. BULL e JOHNSTON (1997) verificaram as relações entre memória
de curto prazo, velocidade de processamento, habilidade de sequênciamento e
51
recuperação de informação na memória a longo prazo em crianças com sete anos.
Resultados mostraram que a habilidade aritmética, observada através do subteste
de aritmética do WISC-R, era o melhor predicado para a velocidade de
processamento e que as crianças com dificuldades em aritmética automatizam fatos
aritméticos básicos, talvez para suprir uma deficiência na velocidade do
processamento.
Interessados no desempenho da memória humana, DARK e BENBOW
(1991), compararam o desempenho da memória de trabalho tanto com a
precocidade verbal quanto a matemática. Avaliaram 77 jovens com idades entre 13
e 14 anos, que estavam no 6° e 7° anos de escolaridade, no qual foram pedidos
listas com dígitos, letras e palavras. O estudo examinou a capacidade de
representação da memória de trabalho para o dígito, a letra, a palavra, e os estimulo
da posição e a manipulação. Verbalmente os jovens demonstraram a capacidade
realçada para palavras, e matematicamente mostraram a capacidade realçada para
estimulo do dígito e da posição. Na manipulação da memória de trabalho,
matematicamente destacou-se a um melhor desempenho verbal com dígitos e
letras. Comprovaram que diferentes talentos intelectuais se correlacionam com
diferentes características da memória de trabalho e que é na memória que as
diferenças no estímulo de palavras e dígitos são representadas.
GEARY et al (1991) comparam a recuperação de fatos aritméticos na
memória a longo prazo de crianças normais com aquelas que apresentavam
dificuldades em matemática. O estudo foi realizado num período de dez meses onde
as crianças tinham contato com situações-problema de cálculos de adição,
subtração, multiplicação e divisão, mostrando que crianças normais apresentam um
aumento de dependência entre a recuperação de memória e cálculos, quando estão
52
resolvendo problemas de adição. Essas crianças apresentaram um aumento na
velocidade de calcular e recuperar fatos da adição na memória de longo prazo.
Porém, as crianças com falta de habilidade matemática não mostraram mudanças
nas estratégias durante a resolução de problemas ou velocidade na execução das
estratégias.
Com o propósito de investigar as competências matemáticas adquiridas por
estudantes nas séries iniciais do ensino fundamental e também as questões
relacionadas ao desempenho dos gêneros em provas de matemática, o estudo
desenvolvido por BRITO et al. (1998) investigou 410 crianças, 192 do gênero
masculino e 218 do gênero feminino que eram matriculadas na 5
a
série do ensino
fundamental de escolas públicas. Todos os alunos foram submetidos a um
questionário introdutório e uma prova de matemática contendo conteúdos de
aritmética que devem ser ensinados durante as séries anteriores e também na 5
a
série. Em média os meninos apresentaram 49,06 de acertos, enquanto as meninas,
48,06. Quando foi analisado o desempenho dos alunos na prova de acordo com o
gênero constatou-se que não houve diferença significativa de desempenho, com o
p> 0,05.
HIRATSUK e MARTOS (2001) desenvolveram um estudo com o objetivo de
criar situações que apresentassem diferentes usos de números naturais e inteiros e,
além disso, que permitissem a identificação dos números naturais como números
inteiros positivos. O estudo foi desenvolvido com 30 alunos regularmente
matriculados na 6
a
série do ensino fundamental de uma escola pública da cidade de
Rio Claro no Estado de São Paulo e teve como procedimento distribuir
aleatoriamente a cada grupo de seis alunos os temas e as atividades propostas. Os
temas propostos foram: 1) Altura; 2) Peso em quilogramas; 3) Idade em meses e 4)
53
Gols no Campeonato Nacional. A partir daí, foi solicitado aos alunos que
desenvolvessem as atividades propostas a cada grupo, que continham situações-
problemas com cálculos que utilizam números naturais e inteiros e, após o término,
cada aluno deveria entregar um relatório individual com um pequeno resumo dos
aspectos positivos e negativos encontrados. Após a análise dos resultados,
concluiu-se que o trabalho contribuiu de forma significativa para o desenvolvimento
do tópico matemático "identificação dos números naturais com os números inteiros
positivos" (p. 35). Também foi percebido que os alunos, durante as atividades,
encontravam-se em situações de interesse e/ou entendimento da tarefa, com a
construção de significados que vem de encontro com a compreensão da relação
matemática entre conjunto dos números inteiros positivos e os números naturais.
ZAZKIS e CAMPBELL (1996) comentam que muitos estudos têm revelado
numerosas complexidades na compreensão da aritmética elementar em vários
contextos pedagógicos. Para uma melhor compreensão desses fatos, os autores
desenvolveram uma pesquisa envolvendo a divisibilidade e a estrutura multiplicativa
de números naturais. Usaram a estrutura teórica construtivista orientada, analisando
e interpretando os dados adquiridos em entrevistas clínicas com professores, que
eram submetidos a questionários com situação-problema para serem solucionados.
As respostas dos participantes às perguntas e às tarefas indicaram disposições para
acessórios processuais, mesmo quando algum grau de compreensão conceitual era
evidente. Os resultados deste estudo fornecem uma vista geral preliminar de
estruturas cognitivas na teoria elementar do número.
Numa perspectiva de investigar a capacidade dos alunos de transferir o que
se aprende em sala de aula para as situações do cotidiano que exigem solucionar
problemas com cálculos aritméticos, o estudo (BRITO, 2000) foi desenvolvido com
54
114 crianças, 60 do gênero masculino e 54 do gênero feminino, de 4
a
, 5
a
, 6
a
, 7
a
e 8ª
séries do ensino fundamental. Os alunos foram submetidos a uma prova de
matemática, tipo lápis e papel, com problemas aritméticos de situações do cotidiano
contendo cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão. Os resultados
indicaram diferenças significativas nas médias de desempenho quando os sujeitos
foram agrupados por séries. Mas, quando os sujeitos foram agrupados por gênero,
por idade e capacidade de transferir para situações do cotidiano, não foram
encontradas diferenças significativas.
BARTH et al. (2006), detectaram que as crianças de cinco anos podem
conseqüentemente avaliar, representar, adicionar, e comparar quantidades
numéricas discretas. Cinco experiências investigaram se os adultos e crianças pré-
escolares podem executar cálculos aritméticos simples em numerosidade não
simbólica. No primeiro estudo, os adultos executaram tarefas numéricas da
comparação e da adição com grandes quantidades de elementos, apresentados
como disposições visuais dos pontos ou como uma mistura das disposições de
pontos de seqüências. No segundo estudo testaram a capacidade dos adultos para
a subtração não simbólica comparando o desempenho em tarefas da comparação
ao desempenho em tarefas da subtração com as disposições visuais. Para fornecer
uma comparação direta da adição e das tarefas da subtração dos estudos
anteriores, o terceiro estudo apresentou ambas tarefas em um contexto mais natural,
para isto desenvolveram um paradigma aritmético não simbólica usando seqüências
de eventos animados. No quarto estudo, testaram crianças de cinco anos com
nenhum treinamento relevante na aritmética simbólica para determinar se as
capacidades para a adição não simbólica e a subtração estão presentes antes da
instrução aritmética. Foram apresentadas às crianças situações de adição e
55
subtração e tarefas de comparação adaptadas de forma animada usadas com os
adultos na experiência três, acompanhadas por uma narração (comando). Já no
quinto estudo, foram reaplicados os testes do estudo quatro com controles
adicionais que permitiram testes de estratégias baseadas em somar e subtrair, além
do conhecimento de fatos simbólicos relevantes na aritmética. A pesquisa
demonstrou que os adultos e crianças podem processar quantidades numéricas
através das representações aproximadas de seus valores. Os adultos e as crianças
com nenhum treinamento em aritmética executaram com sucesso a aritmética
aproximada em grandes grupos de elementos.
BRANNON e WALLE (2001) realizaram dois estudos que avaliaram o
conhecimento numérico ordinal em crianças de 2 a 3 anos de idade, investigando o
relacionamento entre o conhecimento numérico ordinal e verbal. Primeiramente,
procuraram projetar uma tarefa que avaliaria o conhecimento ordinal das crianças de
2 anos de idade, que são mais novos do que alguns testados previamente e a
maioria de quem possuía pouco conhecimento do sistema de contagem verbal. Logo
depois, procuraram investigar o relacionamento entre a habilidade de contagem
verbal das crianças e a sua habilidade de fazer comparações numéricas ordinais.
Com isto detectaram que mesmo depois que aprenderam a seqüência de contagem
verbal, crianças parecem ser incapazes de reconhecer como as transformações
espaciais afetam as relações de equivalência entre duas quantidades. Assim parece
que aprender a seqüência de contagem verbal é um pré-requisito para indicar o
conhecimento explícito de alguns conceitos numéricos.
GINSBURG e RUSSELL (1981,
apud GRÉGOIRE, 2000) exploraram a
possível interação entre: tipo de população (branca e negra); classe social (nível
baixo e médio); e estado familiar (monopariental ou normal) com níveis de
56
conhecimentos matemáticos em pré-escolares. Seu objetivo era verificar, além do
estudo dessas interações, se o fracasso escolar poderia ser previsto a partir de
diferenças nos conhecimentos matemáticos precoces (pré-escolares). Este estudo
teve 144 crianças como sujeitos. Metade freqüenta creches e a outra metade eram
pré-escolares. Metade de
cada
uma das populações pertenciam a um meio muito
desfavorecido e a outra metade proviam da classe média. Em cada um dos níveis
sociais, metade das crianças eram negras e a outra metade branca. A variável
estado familiar estava equilibrada em cada um dos subgrupos. Em 3 sessões, as
crianças eram submetidas individualmente a 17 tarefas. Essas tarefas abrangiam o
campo possível de conhecimentos lógico-matemáticos precoces, os quais foram
agrupados em três itens:
1. Avaliação dos aspectos não escolares e não numéricos do pensamento
matemático: a) na avaliação do conceito de "mais", a criança deveria indicar
entre dois conjuntos, de configuração variada, qual tinha mais; b) seriação de
sete varinhas; c) conservação numérica clássica; d) adição de elementos e
compreensão do resultado;
2. Avaliação através de tarefas não-escolares que podem ser resolvidas por
procedimentos de contagem: a) contagem sem suporte; b) enumeração de
coleções diferentes de 3 a 19 objetos; c) cardinalidade; d) indiferença da
ordem; e) princípio de abstração com
contagem de uma coleção heterogênea;
f) determinação do maior de dois números ditos oralmente; g) regra da
unidade com
o acréscimo ou a retirada de uma unidade num conjunto de
objetos; h) aplicação da regra 12; i) adição-cálculo - resolução com ou sem
suportes de adições de números que vão de dois a sete.
57
3. Avaliação da representação do número: a) avaliação de uma representação
qualquer do número; b) leitura dos números; c) escrita dos números.
Neste estudo, através dos resultados, observa-se um grande efeito da idade
sobre todas as provas, com exceção da prova “princípio de abstração” realizada com
sucesso por todas as crianças. Aos quatro anos, é introduzida pela variável estatuto
social uma “diferença significativa nas provas de conservação, de equivalência
numérica de quantidades iguais diversamente dispostas e na comparação de
grandeza de dois números enunciados” (p.52). Essa diferença desaparece aos cinco
anos (efeito da idade com a entrada na pré-escola) para as últimas provas. A
variável população (negra e branca) exerce um efeito sobre a seriação e a regra da
unidade.
Os resultados são interessantes por duas razões. Primeiro por que permitem
fazer um inventário, ao mesmo tempo amplo e preciso dos conhecimentos lógico-
matemáticos das crianças pequenas e, segundo lugar, os resultados demonstram
que à exceção da conservação e da equivalência, as crianças chegam ao ensino
fundamental, com conhecimentos já numerosos e significativos.
Recentemente foi desenvolvido um estudo no interior de São Paulo, onde
participaram 195 crianças do ensino fundamental de 1
a
a 4
a
série de escolas
publicas, com idades entre 7 e 12 anos. Parte do estudo buscou evidências de
validade de um teste de aritmética pela análise do efeito de série escolar sobre o
desempenho neste teste. As análises revelaram efeito significativo de série, sendo
que a média de acertos da 1
a
série foi de 25,90; da 2
a
de 40,26; da 3
a
de 49,97 e da
4
a
de 48,00. Com a Prova de Matemática desenvolvida por CAPOVILLA (no prelo) o
pesquisador pode observar que os desempenhos dos alunos na 3
a
e 4
a
série não
aumentaram, fornecendo evidências de validade desse instrumento para a avaliação
58
destes níveis escolares (RAAD, 2005).
3.3.2 – Modelos Teóricos de Testes que Avaliam a Competência Aritmética
Para o diagnóstico das dificuldades na aprendizagem da aritmética, podem
ser utilizados testes padronizados que informam a respeito de cálculos e raciocínio.
Mas, os resultados de tais testes não podem ser analisados isoladamente, é preciso
também investigar muitas outras habilidades. A maioria dos testes de avaliação das
aprendizagens matemáticas concentra-se nos desempenhos, padecendo de uma
falta de modelo teórico que permita compreender as causas profundas dos
fenômenos observados.
Verificaremos dois exemplos desse tipo de teste. O primeiro é o Wide Range
Achievement Test, conhecido como WRAT (JASTACK & WILKINSON, 1984, apud
GRÉGOIRE, 2000), muito utilizado nos Estados Unidos. Segundo o autor, o teste
permite determinar com precisão onde um sujeito enfrenta dificuldades e permite
prescrever programas de correção para o tratamento dessas dificuldades
específicas.
A parte da aritmética do WRAT é utilizada em crianças de 5 a 11 anos, onde
inclui sete perguntas orais, essencialmente relacionados com a numeração e 44
cálculos escritos. Existe uma comparação global do sujeito com o de um grupo de
referência. O aluno com resultados bem inferiores aos desse grupo é considerado
em dificuldade, sem que nenhuma explicação para essa situação possa ser
antecipada.
O segundo teste
é o Key Mat Revised (CONNOLLY, 1988, apud GRÉGOIRE,
2000). É apresentado como um inventário diagnóstico das bases em matemática,
59
sendo bem mais analítico que o WRAT. São avaliados três grandes categorias de
capacidades: (1) os conceitos de base, (2) as operações e (3) as aplicações. Cada
categoria é dividida então em subcategorias e áreas. Os resultados brutos são
transformados e comparados com os de uma amostra representativa da população.
Nesses dois exemplos, verifica-se uma análise um tanto quanto insuficiente
para a avaliação, permitindo fazer uma primeira apreciação da situação, mas não
proporciona nenhuma compreensão real das dificuldades encontradas. Verifica-se
também que não apresenta nenhum suporte sólido para uma ação corretiva eficaz,
correndo o risco de não passar de uma repetição da explicação que já fracassaram
anteriormente.
GRÉGOIRE (2000) apresenta também modelos avaliativos centrados nas
competências. Tais modelos estão regularmente baseados nas provas piagetianas,
e continuam ocupando, um lugar importante no diagnóstico dos distúrbios de
aprendizagem matemática. Embora criado há 50 anos, o modelo piagetiano de
número continua sendo uma referência para a avaliação diagnóstica. Certos erros
dos alunos só podem ser realmente compreendidos através da ligação com o
domínio de conceito de número. Este modelo refere-se às operações mentais
específicas realizadas pela criança que refletem o nível de desenvolvimento
cognitivo. Elas verificam o comportamento operatório relativas ao período das
operações concretas. São compostas de seis provas: conservação de quantidades
discretas, conservação de líquidos, conservação de massa, inclusão de classes
(frutas e flores) e seriação de bastonetes.
Podemos então verificar um exemplo de avaliação baseada nas provas
piagetianas, o UDN 80 (MELJAC, 1980, apud GRÉGOIRE, 2000). Esta avaliação é
apresentada como uma amostragem de oportunidades durante as quais as crianças
60
examinadas demonstram suas possibilidades de manuseio do número e das
operações mentais associadas. O objetivo é ajudar a entender as dificuldades de
aprendizagem de matemática e servir de guia durante as ações de reeducação. A
UND 80 é composta por 13 provas agrupadas em quatro categorias:
Categoria 1 : provas sobre estruturas lógicas elementares
(classificação e seriação);
Categoria 2 : provas de conservação;
Categoria 3 : provas sobre o uso dos números em situações variadas;
Categoria 4 : provas envolvendo a noção de "origem", de ponto de
partida de uma ação.
Segundo GREGÓIRE (2000) existe uma diferença muito importante entre
competência e desempenho. Segundo ele o desempenho está ligado a
comportamentos observáveis produzidos pelo sujeito, já a competência é composta
de um conjunto de capacidades organizadas que subjazem os desempenhos. As
competências não são observáveis e só podem ser inferidas a partir dos
desempenhos. A avaliação numa abordagem centrada nas competências apresenta
a necessidade de validar a ligação entre competências e a tarefa tomada como seu
revelador, evitando que as tarefas selecionadas meçam capacidade alheias às
competências visadas.
A seguir serão descritas duas provas brasileiras que avaliam a competência
aritmética de estudantes, baseadas em diferentes constructos teóricos: SARESP e
Prova de Aritmética (Capovilla, no prelo).
61
3.3.3 - O SARESP e a avaliação da competência aritmética
Aplicado na rede estadual de ensino de São Paulo, este é um sistema de
avaliação de acompanhamento longitudinal dos estudantes, com alternância dos
graus avaliados para medir o progresso dos alunos nos níveis de Educação
Fundamental e Média. Busca subsidiar a tomada de decisões da política
educacional e oferecer as escolas informações objetivas sobre os pontos críticos do
processo de ensino-aprendizagem. Desta forma, intenta incrementar a autonomia
pedagógica das escolas. Em sua definição influi também a formulação do Sistema
Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB).
O SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo) teve
início em 1996 com o Ensino Fundamental, incluindo medições em todas as séries
de forma seqüencial, nas áreas de matemática, português, ciências e
história/geografia, e contemplando medições posteriores no Ensino Médio.
Em 1997, avaliou todos os alunos de 3
a
e 7
a
série, considerando conteúdos
do ano letivo anterior em Português, Matemática, Ciências e Geografia e História.
Em 1998 avaliou todos os estudantes de 4
a
e 8
a
série, também sobre a base de
conteúdos do ano anterior nas áreas de conhecimento indicadas, sendo a maior
medição efetuada no Brasil a abarcar a mais de um milhão de alunos. Em ambos os
anos, além da prova de rendimento escolar, foi incluído um questionário para as
escolas e outro para os estudantes, a fim de estabelecer um perfil de ambos e
buscar variáveis que afetam o rendimento. Os resultados são analisados nas
unidades escolares, em instâncias regionais e no âmbito central.
O sistema contempla a comparação de resultados e determinação de ganhos
nas aprendizagens, sobre a base da construção de escalas cujos pontos
representam diferentes níveis de desenvolvimento e aprendizagem. Essas escalas
62
permitem as escolas determinarem se houve avanços nas aprendizagens de um ano
para o outro. Este procedimento permite a escola, conhecer em que ponto da escala
de habilidades se encontram seus alunos e, por outra parte, dispor de informações
para analisar a prática pedagógica e as possibilidades de adequar os conhecimentos
e habilidades desenhadas. Além disto, permite posicionar uma escola em relação
com resultados apresentados por um conjunto de escolas que integram as diretorias
de ensino do sistema escolar.
Em suas primeiras edições, o SARESP avaliou habilidades cognitivas
desenvolvidas pelos alunos durante o processo de escolarização em séries e
componentes curriculares diversos. Nos últimos anos, porém, o Sistema vem se
centrando na avaliação das habilidades cognitivas de Leitura e Escrita adquiridas
pelos alunos ao longo de todas as séries do Ensino Fundamental e Médio. No ano
de 2005 foi incluída também, a avaliação das habilidades cognitivas na área de
Matemática. A seleção e a definição dessas habilidades está fundamentada nas
Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
-
CENP/SEE, nos Parâmetros Curriculares Nacionais
–
PCNs e no que de fato ocorre
no sistema de ensino paulista.
O SARESP utiliza basicamente dois tipos de instrumentos de avaliação para
atingir seus objetivos. O primeiro consiste na aplicação de provas para medir o
desempenho dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de
questões objetivas, tanto no Ensino Fundamental (3
a
a 8
a
séries), quanto no Ensino
Médio. Essas provas apresentam também um tema para Redação do tipo narrativo-
descritivo para o Ensino Fundamental. No Ensino Médio o tema é dissertativo-
argumentativo. Já para a 1
a
e 2
a
séries do Ensino Fundamental, as provas serão
63
constituídas de questões predominantemente abertas. Para cada série e período,
serão construídos instrumentos diferentes, mas com questões equivalentes.
O segundo instrumento consiste em questionário aplicado aos alunos, por
meio do qual são coletadas informações sobre suas características pessoais, o
contexto socioeconômico e cultural em que vivem, sua trajetória escolar, suas
percepções acerca dos professores e da gestão da escola e, também, sua
participação nos projetos da SEE/SP. Objetiva-se, com este questionário, traçar os
perfis dos alunos nos diferentes níveis de escolaridade e verificar as possíveis
interferências desses fatores na aprendizagem.
As provas de matemática do SARESP/2005 para a 1ª e 2ª série do Ensino
Fundamental procuram avaliar uma série de habilidades, tais como: contagem de
elementos (mais ou menos) e representação através de uma escrita numérica;
comparação de escritas numéricas, demonstrando compreender regras do sistema
de numeração decimal; comparação do número de elementos de duas coleções;
organização de escritas numéricas apresentadas, em ordem crescente ou
decrescente; identificação de formas geométricas tridimensionais; leitura de
informações no calendário; reconhecimento do valor de cédulas e moedas; leitura de
tabelas e gráficos simples; reconhecimento da regra de formação de uma seqüência
numérica e dando continuidade a ela e resolução de situação-problema que envolve
adição, subtração e multiplicação (Anexo 1 e 2).
3.3.4. A Prova de Aritmética e a Avaliação da Competência Aritmética
Poucos pesquisadores têm explorado sistematicamente as capacidades
numéricas (aritmética) das crianças. Verifica-se neste sentido a existência de uma
64
enorme escassez de instrumentos disponíveis no Brasil.
RAAD (2005) apresenta um instrumento (Prova de Aritmética) desenvolvido
recentemente por CAPOVILLA (no prelo) o qual utilizamos neste trabalho.
É importante destacarmos que este instrumento está em processo de
validação e que nosso estudo contribuirá neste processo, além do mesmo
apresentar uma vantagem em relação aos demais instrumentos, pois pode ser
aplicado pelo próprio professor.
Segundo RAAD (2005), este instrumento busca avaliar aspectos citados por
diversos pesquisadores. As habilidades de raciocínio e flexibilidade conceitual
segundo LURIA (1981), e os aspectos relacionados quanto aos erros cometidos
pelos alunos que podem oferecer uma melhor compreensão do problema de cálculo
segundo LEZAK (1995) e WECHSLER (1981).
São eles: (1) Erros de manter o lugar, que incluem interpretação incorreta do
ponto decimal ou do tamanho do número, reversões de seqüência ou reversões
parciais, transposição de um número; (2) Erros de dígito, que envolvem substituição
do dígito, com colocação de dígito errado (que pode ocorrer como um análogo da
falta de fala, que ocorre de forma freqüente na afasia) ou como uma perseverança
relacionada a uma desatenção em metade com campo visual; substituições e
omissões também podem surgir de falta de cuidado ou distração; (3) Erros de
empréstimo ou carregamento, que podem ocorrer devido as falhas para emprestar
ou carregar; Erros de fato básico, que podem ser erros relacionados à tabela de
multiplicação; (4) Erros algoritmos, com falha em executar todos os passos em um
procedimento, desalinhando números, seguindo uma seqüência incorreta (direcional
ou prioridade) ao longa do problema, ou substituindo uma operação por outra; e (5)
Erros devido á habilidade prejudicada para auto-monitoramento de tarefas
65
automáticas. Esse erro ocorre ao tentar fazer duas coisas ao mesmo tempo, por
exemplo, ao tentar monitorar a performance enquanto se realiza o cálculo. Esse erro
tipicamente se mostra como substituições, posicionamento errados (de números,
decimais), omissões que não estão sempre de um lado ou de outro do problema,
falhas em tabela de multiplicação e não completar todos os passos de uma
operação. Eles são facilmente reconhecidos e indivíduos com tal padrão tende a
completar mais problemas corretamente do que incorretamente, não havendo um
padrão de erro regular. Pacientes com dano frontal também produzem esses tipos
de erros, sendo o problema subjacente de auto-monitoramento (LEZAK, 1995;
WECHSLER, 1981).
A Prova de Aritmética contém seis subtestes. Tem como objetivo chegar ao
escore máximo que é 60 pontos procurando avaliar uma série de habilidades, tais
como: escrita de números e seus nomes; escrita de seqüências numéricas em
ordem crescente e decrescente; comparação de relação maior/menor; resolução de
cálculos apresentados como “contas montadas”; resolução de cálculos apresentados
oralmente e resolução de situação-problema redigidos por extenso (Anexo 3).
66
4 – CASUÍSTICA E MÉTODO
4.1 – Casuística e método
4.1.1. Sujeitos
Fizeram parte do estudo 240 alunos (110 meninos e 130 meninas), sendo 120
(57 meninos e 63 meninas) da 1
a
e 120 (53 meninos e 67 meninas) da 2
a
série do
Ensino Fundamental de uma escola municipal da cidade de São Paulo, situada na
região sul, no bairro de Jardim São Luiz. Foram avaliados 120 alunos de cada série,
desde que tivessem feito os dois testes. Não participaram crianças com deficiências
sensoriais ou motoras incapacitantes.
4.1.2. – Material
Para a avaliação utilizaram-se como instrumentos a Prova de Matemática do
SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo) do ano de
2005, a Prova de Aritmética de CAPOVILLA (no prelo).
4.1.2.1 - Prova de Matemática do SARESP/2005
A Prova de Matemática do SARESP/2005 esta dividida em três provas, sendo
a primeira prova com 17 questões para a 1
a
e 2
a
série, a segunda uma prova com 20
questões para a 3
a
série e a terceira com 20 questões para a 4
a
série. Todas
apresentando para cada questão uma habilidade associada e escore total máximo
de 100 pontos (Anexo 2).
As quest
ões 1, 2 e 3 avaliam a habilidade de contagem de elementos (mais
ou menos) e representação através de uma escrita numérica.
A questão 4 avalia claramente a habilidade de comparação da escrita
numérica através da compreensão de regras utilizada no sistema de numeração
67
decimal.
As questões 5, 6 e 15 avaliam a habilidade de comparação da relação
maior/menor e crescente/decrescente, bem como a formação de uma seqüência
numérica.
As questões 7, 8, 9, 10, 16 e 17 apresentam a habilidade de resolução de
problema apresentados verbalmente e por extenso, com ênfase nas operações de
adição e subtração.
As questões 12, 13 e 14 avaliam as habilidades de contagem e resolução de
problemas, envolvendo a leitura de calendário, sistema monetário e interpretação de
tabelas e gráficos.
Da relação das 17 questões somente a 11, procura identificar as formas
geométricas tridimensionais, em elementos da natureza e de objetos criados pelo
homem (corpos redondos e poliedros) que faz parte da geometria.
4.1.2.2. - Prova de Aritmética de CAPOVILLA
A Prova de Aritmética de CAPOVILLA (no prelo) contém seis subtestes.
O subteste 1 envolve a escrita de números e seus nomes. O sujeito deve ler e
escrever números. Na primeira parte, o participante vê cinco números escritos de
forma algébrica devendo escrevê-los por extenso. Na segunda parte, o aplicador diz
cinco números e o participante deve escrever tais números de forma algébrica.
O subteste 2, de escrita de seqüências numéricas, o participante deve
escrever os números em duas seqüências. Inicialmente, a partir do número 50, em
ordem crescente, de dois em dois números, até o número 60. As instruções são
fornecidas por escrito e exemplificam o início da resposta, com os números 50 - 52.
São corrigi das as respostas a partir do número 54. Na segunda parte, o participante
68
deve escrever uma seqüência a partir do número 30, em ordem decrescente, de três
em três números, até o número 15. As instruções também são fornecidas por escrito
e exemplificam o início da resposta, com os números 30
- 27. São corrigidas as
respostas a
partir do número 24.
O subteste 3, de relação maior - menor, são apresentados por escrito quatro
pares de dois números e o participante deve indicar qual é o maior, circulando-o.
O subteste 4 apresenta cálculos para o participante resolver, sendo os
cálculos já apresentados como "contas montadas" com as quatro operações básicas
de adição, subtração, multiplicação e divisão. Há quatro contas para cada uma das
quatro operações básicas.
O subteste 5 de cálculos numéricos mas os cálculos são apresentados
oralmente pelo aplicador e a criança deve solucioná-los montando a conta no papel.
Também há quatro contas para cada uma das operações básicas.
O subteste 6 de resolução de problemas, apresenta quatro situação-problema
redigidos por extenso que devem ser lidos e solucionados pelo participante, também
envolvendo cálculos simples com as quatro operações básicas. O escore total
máximo é de 60 pontos (Anexo 3).
4.2 Procedimento
Antes de iniciar a avaliação com as crianças, o autor visitou a escola,
solicitando permissão ao diretor para realizar o estudo. Os Termos de
Consentimento Livre e Esclarecido foram enviados para os pais de todas as crianças
e apenas participaram do estudo aquelas que trouxeram o termo assinado. Os
professores também foram informados do estudo. O Anexo 4 apresenta o modelo da
69
Carta de Informação sobre a Pesquisa e o Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido.
As avaliações foram feitas coletivamente em uma sala de aula especificada
pela direção da escola.
As 240 crianças foram avaliadas por séries, em grupo de 20 crianças de cada
série. Metade das turmas foi avaliada antes do intervalo e a segunda metade após o
intervalo, nos dois períodos. Assim, foi controlado o efeito de fadiga durante a
aplicação dos testes.
Cada sessão de avaliação durou em média 60 minutos com intervalo de uma
semana. O número total de sessões variou de 2 a 4.
As crianças foram submetidas aos testes coletivamente na seguinte ordem de
aplicação:
1. Prova de Matemática do SARESP/2005
2. Prova de Matemática de CAPOVILLA
A aplicação dos testes foi feita pelo próprio autor.
4.3 – Procedimento para Análise dos Resultados
Antes de realizar as provas estatísticas para comparação das séries, as
folhas de resposta foram corrigidas do seguinte modo:
Na Prova SARESP as respostas foram corrigidas de duas formas: 1)
Conforme o critério de categoria de respostas elaborada pelos criadores da prova;
2). Contagem em termos absolutos de itens respondidos corretamente. Assim, a
correção de acordo com o critério de categoria de resposta considera os valores
70
indicados pelos criadores da prova para a pontuação dos sujeitos. Neste caso, a
pontuação máxima é 100 (ver Anexo 5). No segundo caso era feita apenas a
correção da questão e era indicado o valor 0 (zero) se o item fosse incorreto e 1
(um) caso a resposta fosse correta. Desta forma, embora a prova tivesse 17
questões, a pontuação máxima era de 44 pontos, pois algumas questões tinham
vários sub-itens.
Na Prova de Aritmética as respostas foram corrigidas de apenas uma
maneira, com a contagem em termos absolutos de itens respondidos. Assim,
embora a prova tenha apenas 6 sub-testes, a pontuação máxima era de 60 pontos.
Após a tabulação e correção dos dados, foram conduzidos testes estatísticos
inferenciais. O Teste t para amostras independentes foi realizado a fim de verificar
efeito da Série escolar para as três variáveis: os dois critérios de correção da Prova
SARESP e o critério de correção da Prova de Aritmética.
Correlação de Pearson foram conduzidas entre os resultados dos dois
critérios da Prova de Matemática da SARESP e da Prova de Aritmética. O programa
estatístico SPSS 12.0 foi usado para a realização dos cálculos.
71
5. RESULTADOS
A análise dos resultados da Prova de Matemática do SARESP indica que a
pontuação obtida pelos alunos das duas séries foi acima da metade dos pontos
possíveis para os dois critérios de correção. Na correção de acordo com o critério 1,
a pontuação máxima era 100 e os alunos da 1ª série obtiveram, na média, 67 e os
da 2ª série 68. No entanto, não foram encontradas diferenças significativas entre
estas duas séries (t
[238]
=0,339; p=0,735). Já a correção a partir do critério 2,
contagem em termos absolutos, mostra diferença significativa entre as duas séries
(t
[238]
=4,837; p<0,000).
A comparação entre os alunos das duas séries na Prova de Aritmética indica
que os da 2ª série pontuaram significativamente mais do que os da 1ª série
(t
[238]
=7,805; p<0,000). A Tabela 2 indica os valores médios de acerto nos dois testes
e a comparação entre as séries.
1ª Série
2ª Série
Teste t Graus de
Liberdade
P
(significância)
SARESP-Critério
1
Média
D.P
67,583
23,323
68,525
19,549
0,339
238,000
0,735
SARESP-Critério
2
Média
D.P
25,883
13,445
33,000
8,891
4,837
238,000
0,000
Prova de
Aritmética
Média
D.P
19,067
8,997
29,825
12,127
7,805
238,000
0,000
Tabela 3. Valores médios de acerto e desvio padrão na Prova de Matemática do
SARESP (Critério de correção 1 e 2) e na Prova de Aritmética para as
duas séries inicias. Valores de t, graus de liberdade e Significância na
comparação entre as duas séries.
Correlações de Pearson foram conduzidas entre as duas provas, com os
72
respectivos critérios de correção para verificar o grau de concordância entre elas.
Resultados mostram correlações significativas entre as duas provas, sendo que a
maior correlação (r=0,844) foi observada entre os dois critérios de correção da Prova
de Matemática do SARESP. A Prova de Aritmética se correlacionou com os dois
critérios de correção da SARESP, sendo maior com o critério de contagem em
termos absolutos.
SARESP
Critério 1
SARESP
Critério 2
Prova de
Aritmética
SARESP-Critério
1
Pearson
Significância
1,000
0,844
0,000
0,482
0,000
SARESP-Critério
2
Pearson
Significância
1,000
0,528
0,000
Prova de
Aritmética
Pearson
Significância
1,000
Tabela 4. Correlação de Pearson entre a Prova da SARESP (Critério de correção 1
e 2) e da Prova de Aritmética.
A fim de compreender melhor o desempenho dos alunos na Prova de
Matemática do SARESP e na Prova de Aritmética, a seguir são analisados os tipos
de respostas dados pelos alunos das duas séries.
5.1 - Análise dos tipos de erros na prova SARESP
A fim de analisar as respostas incorretas dadas pelos participantes, foram
feitas análises a partir dos critérios de correção da própria prova da SARESP.
Embora os
A quest
ão 1 foi respondida corretamente por 209 (87,1%) participantes, sendo
96 (45,9%) da primeira série e 116 (55,6%) da segunda. A análise dos erros revela
que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª, sendo que os erros
73
do tipo B (não escreve o número correto, mas escreve 8 ou 10, possivelmente por
não ter contado corretamente) foram os mais cometidos, seguidos dos do tipo C
(escreve outros números que não 8, 9 ou 10). A Figura 3 ilustra a distribuição das
respostas incorretas emitidas pelos sujeitos das duas séries iniciais.
Questão 1
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D
1a. Série
2a. Série
Figura 3. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na questão 1,
separados em função da série e do tipo de erro.
Na questão 2, 195 (81,25%) participantes responderam corretamente, sendo
97 (49,7%) da primeira série e 98 (50,3%) da segunda. Na análise dos erros
verificamos que não houve diferença significativa entre as crianças da 1ª série e da
2ª, sendo que os erros do tipo C (escreve outros números que não 18, 19 ou 20)
foram cometidos na mesma proporção pelas duas séries, embora nas do tipo B
(não escreve o número correto, mas escreve 18 ou 20, possivelmente por não ter
contado corretamente) verifica-se uma pequena diferença, onde os participantes da
2ª série erraram mais. A Figura 4 ilustra a distribuição das respostas incorretas
emitidas pelos sujeitos das duas séries iniciais.
74
Questão 2
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D
1a. Série
2a. Série
Figura 4. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na questão 2,
separados em função da série e do tipo de erro.
Verificamos na questão 3 que 199 (82,9%) participantes responderam
corretamente, onde 85 (42,7%) da primeira série e 114 (57,7%) da segunda. A
análise dos erros revela que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as
da 2ª, sendo visível na Figura 5 que os erros do tipo do tipo B (escreve corretamente
de 7 a 8 números ditados) foram os mais cometidos, seguidos dos do tipo C
(escreve corretamente de 3 a 6 números ditados) e do tipo D (escreve corretamente
até 2 números).
Questão 3
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F
1a. Série
2a. Série
Figura 5. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na questão 3,
separados em função da série e do tipo de erro.
75
Já questão 4 foi respondida corretamente por 184 (76,6%) participantes,
sendo 85 (46,1%) da primeira série e 97 (52,9%) da segunda. A análise dos erros e
a Figura 6 revelam que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª,
sendo que os erros do tipo C (indica corretamente apenas três números dentre os
quatro a serem assinalados) foram os mais cometidos, seguidos dos do tipo B
(indica corretamente os números de duas das situações) e dos do tipo D (indica
corretamente o número de apenas uma das situações).
Questão 4
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F
1a. Série
2a. Série
Figura 6. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na questão 4,
separados em função da série e do tipo de erro.
A questão 5 foi respondida corretamente por 188 (78,3%) participantes, sendo
82 (43,6%) da primeira série e 106 (56,4%) da segunda. Verifica-se na análise dos
erros as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª, sendo que os
erros do tipo C (indica que há mais bolas do que carrinhos) foram os mais
cometidos, seguidos dos do tipo D (indica as duas coleções). A Figura 7 mostra a
distribuição das respostas incorretas dadas pelos participantes de cada série.
76
Questão 5
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E
1a. Série
2a. Série
Figura 7. Gráfico do número de participantes que cometeram erros na questão 5,
separados em função da série e do tipo de erro.
Após a análise dos resultados verificamos que a questão 6 foi respondida
corretamente por 129 (53,7%) participantes, sendo 50 (38,7%) da primeira série e 79
(61,3%) da segunda. Já na análise dos erros verificamos que os erros do tipo C
(escreve a seqüência, mas apenas um dos números ficou fora de lugar) foram os
mais cometidos pelos participantes das duas séries, seguidos pelos dos tipos E
(escreve outros números que não são da seqüência), revelando assim, que as
crianças da 1ª série cometem mais erros destes tipos do que as da 2ª, ficando
visível também na Figura 8, que as crianças da 2ª série apresentam mais erros do
tipo E.
Questão 6
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
77
Figura 8. Número de participantes que cometeram erros na questão 6, separados
em função da série e do tipo de erro.
Ao analisar as respostas corretas da questão 7, verificamos que 196 (81,6%)
participantes responderam corretamente esta questão, sendo 86 (43,8%) da primeira
série e 110 (56,2%) da segunda. A análise dos erros revela que as crianças da 1ª
série cometeram mais erros que as da 2ª (Figura 9), sendo que os erros do tipo B
(resolve graficamente o problema, como o desenho de 13 figurinhas, mas não
escreve a resposta em língua materna e nem usa algarismo para tal) foram os mais
cometidos, seguidos dos do tipo C (escreve com resposta 103), dos do tipo F
(escreve como resposta um número totalmente ilegível) e do tipo G (ausência de
resposta).
Questão 7
0
2
4
6
8
10
12
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
Figura 9. Número de participantes que cometeram erros na questão 7, separados
em função da série e do tipo de erro.
Com 155 (64,6%) sujeitos que responderam corretamente a questão 8,
verificamos que 67 (43,2%) são da primeira série e 88 (56,8%) da segunda. Já na
análise dos erros verificamos que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que
as da 2ª, sendo que os erros do tipo C (dá como resposta diferente um número
diferente de 39,mas acima de 20) foram os mais cometidos pelas duas séries (Figura
78
10).
Questão 8
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F
1a. Série
2a. Série
Figura 10. Número de participantes que cometeram erros na questão 8, separados
em função da série e do tipo de erro.
A questão 9 foi respondida corretamente por 143 (59,5%) participantes, sendo
68 (47,5%) da primeira série e 75 (52,5%) da segunda. A análise dos erros revela
que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª, embora não
demonstrando uma diferença significativa. Mais percebe-se que principalmente os
erros do tipo C (dá uma resposta diferente de 7, porém menor que 16) foram os mais
cometidos pelos alunos da 2ª série do que da 1ª , seguidos dos do tipo E (dá como
resposta um número maior ou igual a 16) que é mais cometido pelos da 1ª série. Isto
fica bem visível na Figura 11.
Questão 9
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
79
Figura 11. Número de participantes que cometeram erros na questão 9, separados
em função da série e do tipo de erro.
Analisando as respostas corretas da questão 10, verificamos que ela foi
respondida corretamente por 131(54,6%) participantes, onde 55 (41,9%) da primeira
série e 76 (58,1%) da segunda. A análise dos erros revela que as crianças da 1ª
série cometeram mais erros que as da 2ª, sendo que os erros do tipo G (ausência de
resposta) foram os mais cometidos, embora que para a 2ª série as do tipo E (dá
como resposta um número maior ou igual a 17) são mais cometidos do que os da 1ª
série. A Figura 12 ilustra a distribuição das respostas incorretas emitidas pelos
sujeitos das duas séries iniciais.
Questão 10
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
Figura 12. Número de participantes que cometeram erros na questão 10, separados
em função da série e do tipo de erro.
Já a questão 11 foi respondida corretamente por 181 (75,4%) participantes,
sendo 78 (43,1%) da primeira série e 103 (56,96%) da segunda. A análise dos erros
revela novamente que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª,
onde os erros do tipo F (ausência de resposta) foram os mais cometidos, seguidos
dos do tipo D (indica com um X as duas representações dos corpos redondos: bola e
80
lata, bola e chapéu, lata e chapéu). Na Figura 13 a distribuição desses erros são
ilustrados.
Questão 11
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F
1a. Série
2a. Série
Figura 13. Número de participantes que cometeram erros na questão 11, separados
em função da série e do tipo de erro.
A questão 12 foi respondida corretamente por 171 (71,3%) participantes,
sendo 84 (49,1%) da primeira série e 87 (50,9%) da segunda, não havendo
diferença significativa. Na análise dos erros verifica-se que os do tipo D (responde
incorretamente os dois subitens) foram os mais cometidos pelos alunos da 2ª série
do que os da 1ª, embora que os erros do tipo B (acerta o número de dias do mês de
novembro mas erra o último domingo do mês) são os mais cometido pelos da 1ª
série (Figura 14).
81
Questão 12
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E
1a. Série
2a. Série
Figura 14. Número de participantes que cometeram erros na questão 12, separados
em função da série e do tipo de erro.
Verificamos que a questão 13 foi respondida corretamente por 156 (65%)
participantes, sendo 68 (43,6%) da primeira série e 88 (56,4%) da segunda. Após a
analise dos erros constatamos que as crianças da 1ª série cometeram mais erros do
tipo B (responde nove reais) e do tipo D (responde oito reais), seguidos dos do tipo
C (responde oito reais e cinqüenta centavos). Já as crianças da 2ª série
apresentaram mais erros do tipo D e C. A Figura 15 ilustra a distribuição das
respostas incorretas.
Questão 13
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F
1a. Série
2a. Série
Figura 15. Número de participantes que cometeram erros na questão 13, separados
82
em função da série e do tipo de erro.
A questão 14 foi respondida corretamente por 196 (81,6%) participantes,
sendo 95 (48,5%) da primeira série e 101 (52,5%) da segunda. Analisando os erros
verificamos que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª, embora
os erros mais cometidos pelos da 2ª série são os do tipo C (indica outra cor e o
número correspondente) e D (responde incorretamente aos dois subitens),
contrapondo a distribuição dos erros apresentados pelas crianças da 1ª série (Figura
16).
Questão 14
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E
1a. Série
2a. Série
Figura 16. Número de participantes que cometeram erros na questão 14, separados
em função da série e do tipo de erro.
Analisando as 136 (56,6%) respostas corretas da questão 15, 62 (45,6%)
foram da primeira série e 74 (54,4%) da segunda. Aqui, a análise dos erros também
revela que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª, sendo que os
erros do tipo C (completa corretamente a segunda seqüência, mas não completa
corretamente a primeira) foram os mais cometidos pelos da 1ª série, e os do tipo
D(não completa nenhuma das seqüências, mas reconhece que a primeira é
crescente e a segunda decrescente) pelos da 2ª (Figura 17).
83
Questão 15
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
Figura 17. Número de participantes que cometeram erros na questão 15, separados
em função da série e do tipo de erro.
Já a questão 16 foi respondida corretamente por 139 (57,9%) participantes,
sendo 65 (46,7%) da primeira série e 74 (53,3%) da segunda. Nesta questão
também verificamos que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª,
apresentando como maior freqüência os erros do tipo C (indica como resposta um
número menor que 56). A Figura 18 ilustra a distribuição dessas respostas
incorretas.
Questão 16
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
Figura 18. Número de participantes que cometeram erros na questão 16, separados
em função da série e do tipo de erro.
84
Na questão 17, 155 (64,6%) participantes responderam corretamente, sendo
68 (43,8%) da primeira série e 87 (56,2%) da segunda. A análise dos erros (Figura
19) revela que as crianças da 1ª série cometeram mais erros que as da 2ª, sendo
que os erros do tipo C (indica como resposta 60, 70 ou 80 reais) foram os mais
cometidos pelas duas séries, seguidos dos do tipo E (indica como resposta um
número diferente dos indicados nas alternativas anteriores), embora não podemos
deixar de verificar na 1ª série uma freqüência alta nos erros do tipo G(ausência de
resposta).
Questão 17
0
5
10
15
20
25
30
35
B C D E F G
1a. Série
2a. Série
Figura 19. Número de participantes que cometeram erros na questão 17, separados
em função da série e do tipo de erro.
4.2 - Análise do padrão de resposta dos participantes na Prova de Aritmética.
A fim de analisar as respostas corretas dadas pelos participantes, foram feitas
análises a partir dos critérios de correção da prova de Aritmética.
A analise dos acertos da primeira parte do primeiro subteste (de escrita de
números por extenso) revela que as crianças da 2ª série são melhores na escrita
dos números. Observa-se que freqüência dos acertos diminui conforme aumenta
85
complexidade na composição dos algarismos (unidade, dezena, centena e milhar).
Figura 20 ilustra a distribuição das respostas corretas emitidas pelos sujeitos das
duas séries iniciais.
Subteste 1 (parte 1)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q1a1 Q1a2 Q1a3 Q1a4 Q1a5
1a Série
2a Série
Figura 20. Número de participantes que acertaram a primeira parte do subteste 1.
Na segunda parte do primeiro subteste (escrita dos números de forma
algébrica), verifica-se, após a análise dos revela que as crianças da 2ª série são
melhores na escrita dos números. A diferença se acentua quando os mesmos são
compostos de 3 a 4 algarismos (centena e milhar). A Figura 21, mostra nas questões
Q1b4 (número 210) e Q1b5 (número 3187) uma diferença significativa nas respostas
corretas entre as duas séries.
86
Subteste 1 (parte 2)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q1b1 Q1b2 Q1b3 Q1b4 Q1b5
1a Série
2a Série
Figura 21. Número de participantes que acertaram a segunda parte do subteste 1.
No segundo subteste (de escrita de seqüências numéricas), a análise dos
acertos na primeira parte (seqüência em ordem crescente) revela mais uma vez que
as crianças da 2ª série são melhores do que os da 1ª e que o número de acertos
diminui nas duas séries de acordo com os últimos números da seqüência (Figura
22).
Subteste 2 (parte 1)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q2a1 Q2a2 Q2a3 Q2a4 Q2a5
1a Série
2a Série
Figura 22. Número de participantes que acertaram a primeira parte do subteste 2.
Analisando os acertos da segunda parte (seqüência em ordem decrescente)
87
do segundo subteste percebe-se que as crianças da 2ª série são melhores no
registro das seqüências, embora que o número de acertos diminui em comparação
com o número de acertos na seqüência em ordem crescente. Fica claro estas
crianças apresentam maior dificuldade em estabelecer uma seqüência na ordem
decrescente. Figura 23 ilustra a distribuição das respostas corretas emitidas pelos
sujeitos das duas séries iniciais.
Subteste 2 (parte 2)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q2b1 Q2b2 Q2b3 Q2b4 Q2b5
1a Série
2a Série
Figura 23. Número de participantes que acertaram a segunda parte do subteste 2.
A análise dos acertos do terceiro subteste (de relação maior/menor) revela
que as crianças da 2ª série são melhores em estabelecer este tipo de relação,
verificando que esta diferença se acentua quando a relação acontece com números
maiores. A Figura 24 mostra esta diferença principalmente na questão Q34 (maior
número presente na relação maior/menor - 731).
88
Subteste 3
0
20
40
60
80
100
120
140
Q31 Q32 Q33 Q34
1a Série
2a Série
Figura 24. Número de participantes que acertaram o subteste 3.
Observando a figura 23 e após a analise dos acertos, verifica-se que nas
contas de adição apresentadas como “contas montadas” e que fazem parte do
subteste 4 (cálculos numéricos), as crianças da 2ª série são melhores do que os da
1ª, principalmente quando o calculo acontece com números maiores (Figura 25).
Percebe-se também que em ambas as séries o número de acertos também
diminuem conforme a seqüência.
Subteste 4 (Adição)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q41 Q42 Q43 Q44
1a Série
2a Série
Figura 25. Número de participantes que acertaram a contas de adição do subteste
4.
Nas contas de subtra
ção do subteste 4, a diferença entre as duas séries é
89
mais acentuada. Após a análise dos acertos verifica-se que os alunos da 2ª série
acertam mais, e conforme aumenta os números (unidade, dezena, centena e milhar)
o número de acertos nas questões diminui (Figura 26).
Subteste 4 (Subtração)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q45 Q46 Q47 Q48
1a Série
2a Série
Figura 26. Número de participantes que acertaram a contas de subtração do
subteste 4.
Já nas contas de multiplicação do mesmo subteste, a diferença é mais
acentuada. Além de diminuir o número de acertos, os mesmos diminuem com a
complexidade das contas, principalmente com multiplicação com dois algarismos. A
analise dos acertos revela que as crianças da 2ª série são melhores nesses cálculos
e que existe uma diferença significativa. A Figura 27 ilustra a distribuição das
respostas corretas emitidas pelos sujeitos das duas séries iniciais.
90
Subteste 4 (Multiplicação)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q49 Q410 Q411 Q412
1a Série
2a Série
Figura 27. Número de participantes que acertaram a contas de multiplicação do
subteste 4.
Verifica-se nas contas de divisão que as crianças da 1ª série não pontuaram e
que ainda as crianças da 2ª série apresentam melhores.resultados. Essa diferença é
significativa e mostrar que essas crianças não apresentam muito contato com esse
tipo de operação. Essa diferença é visível na Figura 28.
Subteste 4 (Divisão)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q413 Q414 Q415 Q416
1a Série
2a Série
Figura 28. Número de participantes que acertaram a contas de divisão do subteste
4.
Tratando do subteste 5 ( cálculos apresentados oralmente), a análise dos
acertos das contas de adição revela que as crianças da 2ª série são melhores do
91
que os da 1ª série. Observa-se, como citado anteriormente que a diferença se
acentua conforme aumenta o número utilizado (Figura 29).
Subteste 5 (Adição)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q51 Q52 Q53 Q54
1a Série
2a Série
Figura 29. Número de participantes que acertaram a contas de adição do subteste
5.
Nas contas de subtração do mesmo subteste, é notável a diminuição do
número de acertos, mais ainda com uma maior freqüência dos alunos da 2ª série.
Os alunos da 1ª série apresentam uma dificuldade acentuada com cálculos com n
úmeros maiores (Figura 30).
Subteste 5 (Subtração)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q55 Q56 Q57 Q58
1a Série
2a Série
Figura 30. Número de participantes que acertaram a contas de subtração do
subteste 5.
92
Na multiplicação (Figura 31) a análise dos acertos revela que as crianças da
2ª série são bem melhores do que os da outra série. Observando que ambas a
séries apresentam grande dificuldade com multiplicação com dois algarismos (Q512-
multiplicação com dois algarismos). É visível também que o número de acertos das
crianças da 1ª série é quase nulo.
Subteste 5 (Multiplicação)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q59 Q510 Q511 Q512
1a Série
2a Série
Figura 31. Número de participantes que acertaram a contas de multiplicação do
subteste 5
Ao trabalhar com a divisão no subteste 5, verifica-se as crianças da 2ª série
são melhores e que as crianças da 1ª série quase não pontuam. Como citado
anteriormente, isto deve-se a falta de contato dos alunos com este tipo de operação
em sala de aula. Observa-se ainda, que a freqüência dos acertos diminui de acordo
com o aumento dos números utilizados nas contas. A Figura 32 ilustra a distribuição
das respostas corretas emitidas pelos sujeitos das duas séries iniciais.
Subteste 5 (Divisão)
0
20
40
60
80
100
120
140
Q513 Q514 Q515 Q516
1a Série
2a Série
93
Figura 32. Número de participantes que acertaram a contas de divisão do subteste
5.
A analise dos acertos da primeira subteste 6 (resolução de problemas com
cálculos simples – 4 operações) revela a superioridade crianças da 2ª série em
relação aos da 1ª série. O número de acertos também varia de acordo com as
operações. A de adição (Q61) são as mais pontuadas, seguidas da de subtração
(Q62),multiplicação (Q63) e divisão (Q64). A Figura 33 mostra esta diferença com
ilustração da distribuição das respostas corretas.
Subteste 6
0
20
40
60
80
100
120
140
Q61 Q62 Q63 Q64
1a Série
2a Série
Figura 33. Número de participantes que acertaram o subteste 6.
94
6. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO
Este estudo buscou avaliar a Competência Aritmética, comparando o
desempenho de alunos de 1ª e 2ª série do Ensino Fundamental. O referencial
teórico foi o da neuropsicologia cognitiva, pois considera que a competência
aritmética inclui três principais habilidades: 1) Habilidade de compreensão e
contagem dos números; 2) Habilidade de calcular; e 3) Habilidade de resolver
problemas apresentados verbalmente (HAAD, 2005).
A avaliação neuropsicológica pode ser útil para a compreensão de diferentes
funções como a competência aritmética. Num conjunto de habilidades, essa
competência não é unitária e pode ser subdividida em componentes. Assim, é de
suma importância desenvolver e verificar a eficácia de instrumentos que avaliam
habilidades aritméticas, analisando suas características psicométricas de precisão e
validade, bem como definir quais são os desempenhos esperados para cada nível
escolar.
A avaliação das habilidades matemáticas pressupõe, portanto, o
conhecimento das mudanças nas estruturas lógico-formais das operações
matemáticas ao longo dos anos de escolarização, bem como das estruturas neurais
envolvidas na realização de cálculos.
Verificamos nos PCNs de 1
a
a 4
a
série do Ensino Fundamental uma análise
significativa da importância da Competência Aritmética no processo de ensino.
Segundo o documento, uma boa habilidade em cálculo depende de consistentes
pontos de apoio, em que se destacam o domínio da contagem e das combinações
95
aritméticas, conhecidas por denominações diversas como tabuadas, listas de fatos
fundamentais, leis, repertório básico, etc. (BRASIL, 1997).
A realização deste trabalho possibilitou uma reflexão sobre a necessidade de
criação de instrumentos mais adequados para a avaliação da Competência
Aritmética, além de ajudar no diagnóstico das dificuldades na aprendizagem da
aritmética, Mas, os resultados de tais testes não podem ser analisados
isoladamente, é preciso também investigar muitas outras habilidades.
Neste estudo a avaliação da competência aritmética foi feita através de duas
provas baseadas em diferentes constructos teóricos: Prova de Matemática do
SARESP e Prova de Aritmética (CAPOVILLA, no prelo).
A aplicação destas provas mostrou que a pontuação obtida pelos alunos das
duas séries foi acima da metade dos pontos possíveis para os dois critérios de
correção (de categoria de respostas elaborada pelos criadores da prova SARESP e
de contagem em termos absolutos de itens respondidos), mostrando que os alunos
da 2ª série têm desempenho melhor em questões relativas à Competência
Aritmética.
Comparando o primeiro critério de correção da Prova de Matemática do
SARESP não foram encontradas diferenças significativas entre as duas séries.
Acreditamos que seja devido ao fato de as categorias de respostas apresentarem
sérias limitações. Estas limitações podem ser analisadas, por exemplo, pela
discrepância muito grande de uma categoria à outra (Anexo 5).
Em alguns casos, apresenta para a categoria B, menos da metade da
pontuação correta, que seria a categoria A. Sendo que em alguns casos algumas
categorias nem recebem pontuação. Vemos isto, por exemplo, na correção da
96
questão 8. Com a categoria A (escreve a resposta 39) temos uma pontuação de 5
pontos, onde a categoria B (resolve graficamente o problema, com uso de marcas
para representar 39 pessoas, mais não escreve a resposta utilizando algarismos)
recebe menos da metade, ou seja, dois pontos. Já a categoria C(responde um
número diferente de 39, mais acima de 20) pontua apenas com 1 ponto. As demais
categorias de resposta, D (responde um número diferente de 39, mas menor ou
igual a 20), E(escreve um número totalmente ilegível) e a F(ausência de resposta),
não recebem pontuação.
É importante ressaltar que mesmo não tendo discriminado as duas séries, o
critério de correção por categorias da SARESP não pode ser desprezado, pois a
pontuação obtida pelos sujeitos a partir deste critério se correlacionou com as
demais provas, apresentando uma maior correlação com o critério de correção por
contagem absoluta.
Para nós, é importante que os criadores dos critérios de correção por
categoria da Prova de Matemática do SARESP revejam estas categorias para uma
melhor adequação dos resultados e melhora do instrumento. Desta forma,
mudanças discretas no conhecimento aritmético poderão ser detectadas através da
prova.
Ao analisar os resultados com o segundo critério de correção da Prova de
Matemática do SARESP (contagem em termos absolutos de itens respondidos), foi
encontrada diferença significativa nos resultados obtidos através das duas provas. A
comparação entre os alunos das duas séries na Prova de Aritmética indicou que os
da 2ª série pontuaram significativamente mais do que os da 1ª série.
A Prova de Aritmética se correlacionou com os dois critérios de correção da
SARESP, sendo maior com o critério de contagem em termos absolutos, fornecendo
97
evidencias de validade, em termos de escore geral e em cada subteste, pela relação
com os desempenhos em instrumentos que avaliam constructos relacionados,
concordando com a pesquisa de RAAD (2005).
Com isto fica certo que quanto maior a série escolar em que a criança está
melhor tende a ser seu desempenho nas provas estudadas, ficando evidente que
existe validade da prova em relação à progressão escolar.
Com estes resultados não podemos nos esquecer que a dificuldade de
aprendizagem em estudantes é uma grande preocupação do sistema de ensino de
nosso país, e o ensino da matemática faz parte dessa preocupação.
Para isto, a analise dos erros ofereceram evidencias importantes que poderão
auxiliar na adequação dos instrumentos de avaliação da Competência Aritmética.
Concordando com LEZAK (1995) e WECHSLER (1981) os aspectos relacionados
quanto aos erros cometidos pelos alunos podem oferecer uma melhor compreensão
do problema de cálculo.
Os erros observados nos resultados dos testes estão relacionados à: erros de
contagem, onde se verifica uma resposta de números próximos do número correto
(sucessor e antecessor); dificuldade com números maiores (números composto com
centenas e milhares); dificuldade em escrever corretamente uma seqüência
numérica, principalmente a ordem decrescente; dificuldade em expressar
corretamente qual a relação de um número maior e outro menor; dificuldade em
relacionar número de elementos de uma coleção; dificuldade de cálculo envolvendo
adição sem recorrer a desenhos; dificuldade de cálculo de subtração com idéias
diferentes da acostumada como, por exemplo, a de quantos faltam para completar o
todo, e dificuldade de.relacionar a multiplicação com a adição.
98
Esses erros estão relacionados aos erros apresentados por LEZAK (1995) e
WECHSLER (1981), descritos anteriormente e que podem ser: (1) Erros de manter o
lugar; (2) Erros de dígito; (3) Erros de empréstimo ou carregamento; (4) Erros
algoritmos; (5) Erros devido á habilidade prejudicada para auto-monitoramento de
tarefas automáticas. Esse erro ocorre ao tentar fazer duas coisas ao mesmo tempo,
por exemplo, ao tentar monitorar a performance enquanto se realiza o cálculo.
Já as análises das respostas corretas da Prova de Aritmética, revelaram,
como citado anteriormente, uma superioridade dos alunos da 2ª série em relação
aos da primeira.
Verificamos que os maiores acertos quanto a escrita de números, tanto por
extenso como algebricamente, ocorreram com números menores, demonstrando
uma dificuldade dos alunos em trabalhar com números que são escritos com 3 e 4
algarismos.
A habilidade de estabelecer uma seqüência numérica (ordem crescente e
decrescente) também foi verificada nas provas. Os resultados revelaram que a maior
parte dos alunos das duas séries foi melhor quando a seqüência é estabelecida do
menor para o maior, mostrando uma diferença significativa quando esta seqüência é
decrescente.
Ao verificar as operações aritméticas, a Prova de aritmética vai de encontro a
MIRANDA e GIL-LLARIO (2001), que afirmam que as operações matemáticas
consistem em processos que permitem manipular simbolicamente os dados. Essas
operações requerem que se tenha adquirido o conceito de número, a função
simbólica, a compreensão da reversibilidade, assim como uma correta percepção do
tempo e da orientação espacial.
99
Nos resultados verificamos que a maioria das crianças foi melhor nas
operações de adição, seguidas da de subtração, multiplicação e divisão. Mesmo
assim, notou-se que os mesmos, em todas as 4 operações, foram melhores em
cálculos que envolviam números menores (com unidade e dezena), demonstrando
grande dificuldade com a multiplicação e divisão. Principalmente, multiplicação e
divisão por dois algarismos.
As estratégias empenhadas pelas crianças variaram em função da idade, em
busca da rentabilidade. No início, as estratégias preferidas foram as que se cercam
mais do manipulativo e do ilustrativo. Assim, fica claro que uma das primeiras
estratégias utilizadas por elas é a utilização de objetos ou os próprios dedos para
enumerar ordenadamente um conjunto.
Neste estudo verificou-se uma diminuição de acertos quando as contas
passaram a ser apresentados oralmente, mostrando uma dificuldade acentuada dos
alunos na representação numérica dos cálculos e de seus resultados. Isto confirma
o que McCLOSKEY et al (1985) mostram sobre a importância do sistema de cálculo
que é encarregado da compreensão e recordação de símbolos e princípios das
operações matemáticas, dos fatos matemáticos (por exemplo, resultado de tábuas
aritméticas), da execução dos processos matemáticos (como por exemplo, associar
quantidades a seguinte coluna, separação correta das quantidades parciais nas
multiplicações por mais de um dígito, ou dos restos nas divisões).
Assim, este estudo mostrou que os alunos têm melhor desempenho em
cálculos que envolvem adição e subtração, apresentando grande dificuldade em
cálculos com multiplicação e divisão. Talvez esta dificuldade seja decorrente do não
contato em sala de aula com estas operações.
Ainda temos muito a aprender sobre o que as crian
ças sabem sobre número
100
de elementos antes de aprenderem a falar. De fato, por outro lado, temos um grande
número de elementos de informações sobre o desenvolvimento significativo que é
claramente ligado à matemática e que ocorre com bastante freqüência antes que as
crianças vão para a escola aprender a contar. A contagem, portanto, foi o nosso
ponto de partida na exploração do crescimento do conhecimento matemático dessas
crianças.
Neste estudo podemos verificar que ainda existe a necessidade de
adequação de alguns instrumentos de avaliação da Competência Aritmética e da
necessidade de validação de instrumentos que possibilitem o professor a analisar o
processo de construção do conhecimento matemático.
A atividade cognitiva das crianças e o processo ensino-aprendizagem
constituem um terreno de investigação de especial importância e requer não só uma
análise no campo dos conteúdos de ensino, como também o estudo dos processos
gerais de aquisição do conhecimento e de sua avaliação.
Não podemos nos esquecer que a aprendizagem da Matemática pelas
crianças está diretamente ligada à compreensão do mundo que as rodeiam. A
ciência matemática é um aspecto importante na vida cotidiana do sujeito: como no
caso de situações de partilhar objetos, ou naquele de utilização do sistema
monetário, por exemplo. Diante da necessidade de apropriar-se das relações
quantitativas que se estabelecem em uma situação de compra e venda, ou mesmo
em situações de reconhecimento do espaço físico quando viajam ou atentam para
questões de deslocamentos, velocidade e tempo, as crianças valem-se do
pensamento lógico-matemático para interpretar a realidade (KAMII, 1987).
Para que este processo seja adequado sugerimos que a avaliação desses
aspectos sejam mediados por estudos futuros que possam garantir a utilização de
101
instrumentos computadorizados capazes de avaliar a Competência Aritmética, que
achamos essencial para a construção do conhecimento matemático, e diagnosticar
dificuldades específicas que estão contidas na aquisição desta competência.
102
7 – REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
ALONSO,D; FUENTES, L.I. Mecanismos Cerebrales del Pensamiento Matemático.
Revista de Neurologia, 33(6), 568-576, 2001.
BARTH,H. et al. Non-symbolic arithmetic in adults and young children. Cognition,
98:199-222, 2006.
BOLLER, F; GRAFMAN,J. Acalculia. Handbook of Clinical Neurology. Clinical
Neuropsychology. JAM Friedericks, 31: 473-481, 1985.
BRANNON, E.M., WALLE ,G. A.V. The Development of Ordinal Numerical
Competence in Young Children. Cognitive Psychology, 43: 53-81, 2001.
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______. Ministério da educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: 1
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a
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106
8 – ANEXOS
ANEXO 1
Habilidades de Matemática da 1ª e 2ª série do Ensino Fundamental.
Habilidade Descrição
1 Fazer contagem dos elementos de coleções (menos de 10 elementos) e indicar o
resultado por meio de uma escrita numérica
2 Fazer contagem dos elementos de coleções (mais de 10 elementos) e indicar o resultado
por meio de uma escrita numérica
3 Fazer contagem dos elementos de coleções (mais de 10 elementos) e indicar o resultado
por meio de uma escrita numérica
4 Comparar escritas numéricas, demonstrando compreender regras do sistema de
numeração decimal
5 Comparar o número de elementos de duas coleções dadas e indicar a que tem maior ou
menor quantidade de elementos
6 Organizar escritas numéricas apresentadas, em ordem crescente ou decrescente
7 Resolver situação-problema que envolve adição e calcular o resultado por meio de
estratégias pessoais ou convencionais (idéia: juntar os elementos de duas coleções
presentes; números envolvidos menores que 10)
8 Resolver situação-problema que envolve adição e calcular o resultado por meio de
estratégias pessoais ou convencionais (idéia: um grupo de elementos que sofre uma
transformação; números envolvidos são da ordem de dezenas)
9 Resolver situação-problema que envolve subtração e calcular o resultado por meio de
estratégias pessoais ou convencionais (idéia: uma coleção que sofre uma
transformação; números envolvidos: um maior que 10 e menor que 20 e outro menor
que 10)
10 Resolver situação-problema que envolve subtração e calcular o resultado por meio de
estratégias pessoais ou convencionais (idéia: comparação do número de elementos de
duas coleções; números envolvidos: um maior que 10 e menor que 20 e o outro menor
que 10)
11 Identificar formas geométricas tridimensionais, em elementos da natureza e de objetos
criados pelo homem
(separar corpos redondos dos poliedros)
12 Fazer a leitura de informações no calendário
13 Reconhecer o valor de cédulas e moedas
14 Fazer leitura de tabelas e gráficos simples e identificar dados nelas apresentados.
(solicitado: dado um gráfico de colunas deve-se informar a opção mais freqüente e a
freqüência dessa opção)
15 Reconhece a regra de formação de uma seqüência numérica e dá continuidade a ela
(solicitado: completar duas seqüências, uma crescente e outra decrescente)
16 Resolve situação-problema que envolve subtração, compreendendo seus significados, e
calcula o resultado por meio de estratégias pessoais ou convencionais. (idéia envolvida:
completar; subtração com recurso)
17 Resolver situação-problema que envolve adição de parcelas iguais.
107
ANEXO 2
SARESP
2005
–
P
ROVA DE
M
ATEMÁTICA
–
1
ª E
2
ª
S
ÉRIES
EF
-
T
ARDE
1. A
NA COLECIONA BONECAS
.
Q
UANTAS SÃO AS BONECAS DE
A
NA
?
D
ESCUBRA E
ESCREVA O RESULTADO DENTRO DO QUADRADINHO
:
2. J
OÃO COLECIONA FIGURINHAS
.
Q
UANTAS SÃO AS FIGURINHAS DE
J
OÃO
?
D
ESCUBRA E ESCREVA O RESULTADO DENTRO DO QUADRADINHO
.
3. E
SCREVA EM CADA QUADRADINHO OS NÚMEROS QUE A PROFESSORA VAI DITAR
.
4. P
ARA CADA DOIS QUADRADINHOS
,
PINTE O QUADRADINHO EM QUE ESTÁ ESCRITO O
MAIOR NÚMERO
:
112 97
27 72
108
100 300
588 900
5. O
QUE TEM MAIS
:
CARRINHOS OU BOLAS
?
M
ARQUE COM UM
X
O QUADRADINHO
COM A RESPOSTA CORRETA
.
C
ARRINHOS
B
OLAS
6. C
OPIE OS NÚMEROS ABAIXO DO MENOR PARA O MAIOR
.
17, 98, 34, 46, 75, 89, 50, 63, 91
______ , _______ , _______ , ______ , ______ , ______ , ______ , ______ , ______
7. N
UM ÁLBUM HÁ
9
FIGURINHAS DE ANIMAIS E
4
FIGURINHAS DE FLORES
.
A
O TODO
,
QUANTAS FIGURINHAS HÁ NESSE ÁLBUM
?
R
ESPOSTA
: ______________________
8. N
UMA FESTA ESTAVAM
20
MENINAS E NENHUM MENINO
.
D
EPOIS
,
CHEGARAM
19
MENINOS
.
Q
UANTAS CRIANÇAS FORAM A ESSA FESTA
?
R
ESPOSTA
:
______________________
9. C
ARLINHOS TINHA
16
BOLINHAS DE GUDE E DEU
9
AO SEU PRIMO
J
ÚLIO
.
C
OM
QUANTAS BOLINHAS DE GUDE
C
ARLINHOS FICOU
?
109
R
ESPOSTA
: ______________________
10.
A
LEX TEM
17
REAIS E SUA IRMÃ
L
ÚCIA TEM
8
REAIS
.
Q
UANTOS REAIS
A
LEX TEM A
MAIS QUE SUA IRMÃ
?
R
ESPOSTA
: ______________________
11. U
M DESSES OBJETOS MOSTRADOS NAS FOTOS É MAIS DIFÍCIL DE ROLAR PORQUE
NÃO TEM SUPERFÍCIE ARREDONDADA
.
D
ESCUBRA QUAL É ESSE OBJETO E FAÇA UM
X
NO QUADRADINHO ABAIXO DELE
.
12. O
LHE O CALENDÁRIO
.
E
LE É DO MÊS DE
N
OVEMBRO
.
A
S LETRAS INDICAM OS DIAS
DA SEMANA
(D
OMINGO
,
S
EGUNDA
,
T
ERÇA
,
Q
UARTA
,
Q
UINTA
,
S
EXTA E
S
ÁBADO
)
E
OS NÚMEROS INDICAM OS DIAS DO MÊS
.
MÊS DE NOVEMBRO
D S T Q Q S S
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
(a) Q
UANTOS DIAS TÊM O MÊS DE
N
OVEMBRO
?
R
ESPOSTA
: ______________________
110
(b) O
ÚLTIMO DOMINGO DE NOVEMBRO
,
QUE DIA SERÁ
?
R
ESPOSTA
: ______________________
13. N
A CARTEIRA DO PAPAI TEM TODAS AS CÉDULAS E MOEDAS DA FIGURA ABAIXO
.
E
LE FOI AO JORNALEIRO E GASTOU TODAS ESSAS CÉDULAS E MOEDAS
.
Q
UANTO PAPAI
GASTOU NO JORNALEIRO
?
A
SSINALE COM UM
X
O QUADRADINHO COM A RESPOSTA CERTA
.
(a)
OITO REAIS
(b)
OITO REAIS E CINQÜENTA CENTAVOS
(c)
NOVE REAIS
(d)
NOVE REAIS E CINQÜENTA CENTAVOS
14. A
PROFESSORA
V
ILMA PERGUNTOU A SEUS ALUNOS QUAL SUA COR PREFERIDA
.
D
EPOIS
,
ELA ORGANIZOU UM GRÁFICO E MOSTROU A ELES
,
QUANTOS ALUNOS
ESCOLHERAM CADA COR
.
E
LA EXPLICOU QUE SEIS ALUNOS ESCOLHERAM A COR
AMARELA
.
D
E ACORDO COM ESSE GRÁFICO
,
RESPONDA
:
111
(a) Q
UAL A COR PREFERIDA DA TURMA
? _______________________
(b)
Q
UANTOS ALUNOS ESCOLHERAM ESSA COR
?_________________
15.
E
SCREVA MAIS TRÊS NÚMEROS EM CADA LISTA DE NÚMEROS
,
OBSERVANDO A SUA
SEQÜÊNCIA
:
(a) 210, 212, 214, 216, ________, ________, _______
(b) 80, 75, 70, 65, ________, ________, ________
16. N
O ÁLBUM DO
R
ICARDO CABEM
56
FIGURINHAS
.
E
LE JÁ COLOU
19
FIGURINHAS
.
Q
UANTAS FIGURINHAS
R
ICARDO PRECISA COMPRAR PARA COMPLETAR SEU
ÁLBUM
?
R
ESPOSTA
:
______________________
17. A
MANDA GASTA TODO DIA
15
REAIS NO MERCADO
.
Q
UANTO ELA VAI GASTAR EM
6
DIAS
?
R
ESPOSTA
:
______________________
112
ANEXO 3 – PROVA DE ARITMÉTICA
113
114
115
ANEXO 4
UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
CARTA DE INFORMAÇÃO SOBRE PESQUISA
Estou conduzindo um estudo que tem por finalidade avaliar a competência aritmética dos
alunos da 1
a
e 2
a
série do Ensino Fundamental. Esta pesquisa está sendo desenvolvida sob
orientação do Prof. Dr. Elizeu Coutinho de Macedo, na Universidade Presbiteriana
Mackenzie. As crianças que participarem da pesquisa farão atividades, em que serão treinadas
habilidades que favorecem o desenvolvimento da competência aritmética. As atividades
poderão ser realizadas individualmente no computador ou em grupos com a utilização de
outros recursos. As atividades realizadas não envolvem qualquer risco para a criança, e os
resultados serão mantidos em sigilo, de tal forma que nenhuma criança poderá ser
identificada. Os resultados de desempenho da classe da criança serão encaminhados para os
responsáveis da escola.
_______________________________ _______________________________
Marcelo Carlos da Silva Prof. Dr. Elizeu Coutinho de Macedo
Pesquisador (2114-8874) Orientador (2114-8874)
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Pelo presente instrumento, que atende às exigências legais, o(a) senhor(a)________________
_________________________________, portador do R.G.___________________________,
responsável pelo(a) menor ______________________________________ participante da
pesquisa, após leitura da CARTA DE INFORMAÇÃO AO SUJEITO DA PESQUISA
(acima), esta ciente dos serviços e procedimentos aos quais será submetido, não restando
quaisquer dúvidas a respeito do lido e do explicado, firma seu CONSENTIMENTO LIVRE E
ESCLARECIDO de concordância em participar da pesquisa proposta.
Fica claro que o sujeito de pesquisa ou seu representante legal podem, a qualquer momento,
retirar seu CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO e deixar de participar do estudo
alvo da pesquisa e fica ciente que todo trabalho realizado torna-se informação confidencial,
guardada por força do sigilo profissional.
São Paulo, _____/______/_______ ____________________________
ASSINATURA
116
ANEXO 5
DESCRIÇÃO DAS HAB ILIDADES E PONTUAÇÃO POR CATEGORIA DE RESPOSTA
PROVA DE MATEMÁTICA – ENSINO FUNDAMENTAL - 1ª e 2ª SÉRIES – SARESP/2005
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Escreve a resposta correta: 8 ou oito Escreve a resposta correta: 9 ou nove.
A 3
Não escreve o número correto, mas escreve 7
(sete) ou
9 (nove) possivelmente por não ter
contado corretamente.
N
ão escreve o número correto, mas escreve 8
(oito) ou
10 (dez), possivelmente por não ter
contado corretamente.
B 1
Escreve outros números que não 7, 8 ou 9 Escreve outros números que não 8, 9 ou 10
C 0
1
Fazer contagem dos
elementos de
cole
ções (menos de
10 elementos) e
indicar o resultado por
meio de uma escrita
num
érica
Aus
ência de resposta Ausência de resposta
D 0
Escreve a resposta correta: 16 ou dezesseis. Escreve a resposta correta: 19 ou dezenove.
A 3
Não escreve o número correto, mas escreve 15
(quinze) ou
17 (dezessete), possivelmente por
n
ão ter contado corretamente.
N
ão escreve o número correto, mas escreve o
18 (dezoito) ou 20 (vinte), possivelmente por
n
ão ter contado corretamente.
B 1
Escreve outros números que não 15, 16 ou 17. Escreve outros números que não 18, 19 ou 20.
C 0
2
Fazer contagem dos
elementos de
cole
ções (mais de 10
elementos) e indicar o
resultado por meio de
uma escrita num
érica
Aus
ência de resposta Ausência de resposta
D 0
Escreve corretamente pelo menos 9 dos
n
úmeros ditados (erra apenas um ou deixa em
branco um dos quadradinhos).
Escreve corretamente pelo menos
9 dos
n
úmeros ditados (erra apenas um ou deixa em
branco um dos quadradinhos).
A 7
Escreve corretamente de 7 a 8 números ditados
Escreve corretamente de 7 a 8 números ditados
B 4
Escreve corretamente de 3 a 6 números ditados.
Escreve corretamente de 3 a 6 números ditados.
C 2
Escreve corretamente até 2 números ditados. Escreve corretamente até 2 números ditados.
D 1
Escreve os números de forma totalmente
ilegível.
Escreve os n
úmeros de forma totalmente
ilegível.
E 0
3
Produzir escritas
num
éricas
demonstrando
compreender regras
do sistema de
numera
ção decimal
Aus
ência de respostas. Ausência de respostas.
F 0
117
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Indica o número maior em cada uma das
situações, ou seja: 108, 400, 54 ou 900
Indica o n
úmero maior em cada uma das
situações, ou seja: 112, 72, 300 ou 900
A 7
Indica corretamente apenas três números
dentre os quatro a serem assinalados. (Não
se considera correta caso estejam
assinalados dois n
úmeros da mesma cor)
Indica corretamente apenas tr
ês números
dentre os quatro a serem assinalados. (Não
se considera correta caso estejam
assinalados dois n
úmeros da mesma cor)
B 4
Indica corretamente os números de duas
das situações
Indica corretamente os n
úmeros de duas
das situações
C 1
Indica corretamente o número de apenas
uma das situações
Indica corretamente o n
úmero de apenas
uma das situações
D 0
Não indica nenhum número corretamente Não indica nenhum número corretamente E 0
4
Comparar escritas
num
éricas,
demonstrando
compreender regras
do sistema de
numera
ção decimal
Aus
ência de respostas em todas as
situações
Aus
ência de resposta em todas as
situa
ções
F 0
Indica corretamente, por meio de um X ou
outra marca qualquer, que h
á mais balas do
que pirulitos. (Nesta categoria não se leva
em conta se o aluno escreveu ou não a
quantidade dos grupos)
Indica corretamente, por meio de um X ou
outra marca qualquer, que h
á mais
carrinhos do que bolas. (Nesta categoria
n
ão se leva em conta se o aluno escreveu
ou não a quantidade dos grupos)
A 3
No interior de cada quadradinho escreve um
n
úmero que corresponde a quantidade de
cada grupo (20 para balas e 18 para
pirulitos), mas n
ão indica qual dos dois
grupos tem mais elementos
No interior de cada quadradinho escreve um
n
úmero que corresponde a quantidade de
cada grupo (19 para carrinhos e 14 para
bolas), mas n
ão indica qual dos dois grupos
tem mais elementos
B 0
Indica que há mais pirulitos do que balas Indica que há mais bolas do que carrinhos C 0
Indica as duas coleções Indica as duas coleções D 0
5
Comparar o número
de elementos de
duas cole
ções
dadas e indicar a
que tem maior ou
menor quantidade
de elementos
Aus
ência de resposta Ausência de resposta
E 0
118
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Escreve corretamente a seqüência em
ordem crescente: 16, 25, 34, 42 ,57, 69, 73,
80, 98
Escreve corretamente a seq
üência em
ordem crescente: 17, 34, 46, 50, 63, 75, 89,
91, 98
A 7
Escreve a seqüência em ordem decrescente
Escreve a seqüência em ordem decrescente
B 4
Escreve a seqüência, mas apenas um dos
números ficou fora de lugar
Escreve a seq
üência, mas apenas um dos
números ficou fora de lugar
C 3
Escreve a seqüência, mas existem dois ou
mais números fora do lugar
Escreve a seq
üência, mas existem dois ou
mais números fora do lugar
D 1
Escreve outros números que não são da
seqüência
Escreve outros n
úmeros que não são da
seqüência
E 0
Escreve os números de forma totalmente
ilegível
Escreve os n
úmeros de forma totalmente
ilegível
F 0
6
Organizar escritas
num
éricas
apresentadas, em
ordem crescente ou
decrescente
Aus
ência de resposta
Aus
ência de resposta
G 0
Escreve a resposta: 14 (ou quatorze). Esse
resultado pode ser obtido por diferentes
estrat
égias, principalmente cálculo mental
Escreve a resposta
: 13 (ou treze). Esse
resultado pode ser obtido por diferentes
estrat
égias, principalmente cálculo mental
A 5
Resolve graficamente o problema, como o
desenho de
14 bolinhas, mas não escreve a
resposta em língua materna e nem usa
algarismos para tal.
Resolve graficamente o problema, como o
desenho de
13 figurinhas, mas não escreve
a resposta em língua materna e nem usa
algarismos para tal.
B 2
Escreve como resposta 104
Escreve como resposta
103
C 2
Dá como resposta um número diferente de
14, mas acima de 8
D
á como resposta um número diferente de
13, mas acima de 9
D 1
Dá como resposta um número diferente de
14, porém menor ou igual a 8
D
á como resposta um número diferente de
13, porém menor ou igual a 9
E 0
Escreve como resposta um número
totalmente ilegível
Escreve como resposta um n
úmero
totalmente ilegível
F 0
7
Resolver situação-
problema que
envolve adi
ção e
calcular o resultado
por meio de
estrat
égias pessoais
ou convencionais
(id
éia: juntar os
elementos de duas
cole
ções presentes;
números envolvidos
menores que 10)
Aus
ência de resposta
Aus
ência de resposta
G 0
119
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Escreve a resposta 22 (ou vinte e dois).
Esse resultado pode ser obtido por
diferentes estrat
égias
Escreve a resposta
39 (ou trinta e nove).
Esse resultado pode ser obtido por
diferentes estrat
égias
A 5
Resolve graficamente o problema, como o
uso de marcas para representar as
22
pessoas, mas n
ão escreve a resposta por
meio de algarismos ou por palavras
Resolve graficamente o problema, como o
uso de marcas para representar as
39
pessoas, mas n
ão escreve a resposta por
meio de algarismos ou por palavras
B 2
Dá como resposta diferente um número
diferente de 22, mas acima de 12
D
á como resposta diferente um número
diferente de 39, mas acima de 20
C 1
Dá uma resposta um número diferente de
22, mas um número menor ou igual a 12
D
á uma resposta um número diferente de
39, mas um número menor ou igual a 20
D 0
Escreve como resposta um número
totalmente ilegível
Escreve como resposta um n
úmero
totalmente ilegível
E 0
8
Resolver situação-
problema que
envolve adi
ção e
calcular o resultado
por meio de
estrat
égias pessoais
ou convencionais
(id
éia: um grupo de
elementos que sofre
uma transforma
ção;
números envolvidos
são da ordem de
dezenas)
Aus
ência de resposta Ausência de resposta F 0
Escreve a resposta 8 (oito). Esse resultado
pode ser obtido por diferentes estrat
égias,
inclusive cálculo mental
Escreve a resposta
7 (sete). Esse resultado
pode ser obtido por diferentes estrat
égias,
inclusive cálculo mental
A 5
Resolve graficamente o problema, como o
uso de marcas para representar cada um
dos
15 enfeites iniciais e a retirada de 7,
mas n
ão escreve a resposta em língua
materna e nem usa algarismos para tal
Resolve graficamente o problema, como o
uso de marcas para representar cada um
dos
16 bolinhas iniciais e a retirada de 9,
mas n
ão escreve a resposta em língua
materna e nem usa algarismos para tal
B 2
Dá uma resposta diferente de 8, porém
menor que 15
D
á uma resposta diferente de 7, porém
menor que 16
C 1
Dá como resposta o número 22
(possivelmente, teria feito uma adição)
D
á como resposta o número 25
(possivelmente, teria feito uma adição)
D 0
Dá como resposta um número maior ou
igual a 15
D
á como resposta um número maior ou
igual a 16
E 0
Escreve como resposta um número
totalmente ilegível
Escreve como resposta um n
úmero
totalmente ilegível
F 0
9
Resolver situação-
problema que
envolve subtra
ção e
calcular o resultado
por meio de
estrat
égias pessoais
ou convencionais
(id
éia: uma coleção
que sofre uma
transforma
ção;
números envolvidos:
um maior que 10 e
menor que 20 e
outro menor que 10)
Ausência de resposta Ausência de resposta G 0
120
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Escreve a resposta: 9 (nove). Esse resultado
poder ser ob tido por diferentes estrat
égias,
inclusive cálculo mental
Escreve a resposta:
9 (nove). Esse resultado
poder ser ob tido por diferentes estrat
égias,
inclusive cálculo mental
A 5
Resolve graficamente o problema, como o uso
de desenhos, mas n
ão escreve a resposta em
língua materna e nem usa algarismos para tal
Resolve graficamente o problema, como o uso
de desenhos, mas n
ão escreve a resposta em
língua materna e nem usa algarismos para tal
B 2
Dá uma resposta diferente de 9, porém menor
que 16
D
á uma resposta diferente de 9, porém menor
que 17
C 1
Dá como resposta o número 23. (possivelmente,
teria feito uma adi
ção)
D
á como resposta o número 25. (possivelmente,
teria feito uma adi
ção)
D 0
Dá como resposta um número maior ou igual a
16
D
á como resposta um número maior ou igual a
17
E 0
Escreve como resposta um número totalmente
ilegível.
Escreve como resposta um n
úmero totalmente
ilegível.
F 0
10
Resolver situação-
problema que envolve
subtra
ção e calcular o
resultado por meio de
estrat
égias pessoais
ou convencionais
(id
éia: comparação do
número de elementos
de duas coleções;
números envolvidos:
um maior que 10 e
menor que 20 e o
outro menor que 10)
Aus
ência de resposta
Aus
ência de resposta
G 0
Indica corretamente a figura “que não rola”: a
caixa
Indica corretamente a figura
“que não rola”: a
caixa
A 5
Indica com um X todas as três representações
dos corpos redondos: lata, bola e chapéu,
possivelmente porque n
ão tenha entendido a
comanda do problema.
Indica com um X todas as tr
ês representações
dos corpos redondos: lata, bola e chapéu,
possivelmente porque não tenha entendido a
comanda do problema.
B 3
Indica com um X as duas representações dos
corpos redondos: bola e lata, bola e chapéu, lata
e chapéu.
Indica com um X as duas representa
ções dos
corpos redondos: bola e lata, bola e chapéu, lata
e chapéu.
C 0
Indica com um X apenas uma das
representa
ções dos corpos redondos.
Indica com um X apenas uma das
representações dos corpos redondos.
D 0
Indica com X todas as representações Indica com X todas as representações E 0
11
Identificar formas
geom
étricas
tridimensionais, em
elementos da
natureza e de objetos
criados pelo homem
(separar corpos
redondos dos
poliedros)
Aus
ência de resposta Ausência de resposta F 0
121
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Responde corretamente aos dois subitens: 31
dias (n
úmero de dias do mês de outubro) e dia 2
(primeiro domingo de outubro)
Responde corretamente aos dois subitens: 30
dias (n
úmero de dias do mês de novembro) e dia
24 (
último domingo de novembro)
A 7
Acerta o número de dias do mês de outubro mas
erra o dia do primeiro domingo do mês.
Acerta o n
úmero de dias do mês de novembro
mas erra o último domingo do mês.
B 4
Responde corretamente qual é o primeiro
domingo do m
ês de outubro e erra o número de
dias desse mês.
Responde corretamente qual
é o último domingo
do mês de novembro e erra o número de dias
desse mês.
C 4
Responde incorretamente os dois subitens.
Responde incorretamente os dois subitens.
D 0
12
Fazer a leitura de
informa
ções no
calendário
Aus
ência de resposta.
Ausência de resposta.
E 0
Responde corretamente: sete reais e cinqüenta
centavos
Responde corretamente: nove reais e cinq
üenta
centavos
A 7
Responde sete reais Responde nove reais B 4
Responde oito reais Responde oito reais e cinqüenta centavos C 4
Responde oito reais e cinqüenta centavos
Responde oito reais
D 0
Assinala duas ou mais alternativas Assinala duas ou mais alternativas E 0
13
Reconhecer o valor
de c
édulas e moedas
Aus
ência de resposta Ausência de resposta F 0
Responde corretamente aos dois subitens: azul
(cor preferida) e
7 (número do que escolheram
essa cor)
Responde corretamente aos dois subitens: verde
(cor preferida) e
8 (número do que escolheram
essa cor)
A 7
Responde corretamente qual a cor preferida,
mas erra ao escrever a quantidade de alunos
que a escolheu
Responde corretamente qual a cor preferida,
mas erra ao escrever a quantidade de alunos
que a escolheu
B 3
Indica outra cor e o número correspondente
Indica outra cor e o número correspondente
C 3
Responde incorretamente aos dois subitens
Responde incorretamente aos dois subitens
D 0
14
Fazer leitura de
tabelas e gr
áficos
simples e identificar
dados nelas
apresentados.
(solicitado: dado um
gr
áfico de colunas
deve-se informar a
op
ção mais freqüente
e a freqüência dessa
opção) Ausência de resposta Ausência de resposta E 0
122
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Completa corretamente os dois subitens: 168,
170, 172
para a primeira seqüência e 55, 50, 45
para a segunda
Completa corretamente os dois subitens:
218,
220, 222
para a primeira seqüência e 60, 55, 50
para a segunda
A 7
Completa corretamente a primeira seqüência,
mas não completa corretamente a segunda
Completa corretamente a primeira seq
üência,
mas não completa corretamente a segunda
B 4
Completa corretamente a segunda seqüência,
mas n
ão completa corretamente a primeira
Completa corretamente a segunda seq
üência,
mas não completa corretamente a primeira
C 4
Não completa corretamente nenhuma das
seqüências, mas reconhece que a primeira é
crescente e a segunda decrescente.
N
ão completa corretamente nenhuma das
seq
üências, mas reconhece que a primeira é
crescente e a segunda decrescente.
D 2
Não completa corretamente nenhuma das
seqüências e nem reconhece que a primeira é
crescente e a segunda decrescente
N
ão completa corretamente nenhuma das
seq
üências e nem reconhece que a primeira é
crescente e a segunda decrescente
E 0
Responde a seqüência com símbolos totalmente
ilegíveis
Responde a seq
üência com símbolos totalmente
ilegíveis
F 0
15
Reconhece a regra de
forma
ção de uma
seqüência numérica e
dá continuidade a ela
(solicitado: completar
duas seq
üências, uma
crescente e outra
decrescente)
Aus
ência de resposta Ausência de resposta G 0
Responde corretamente: 31 doces (a diferença
pode ser obtida por diferentes estratégias)
Responde corretamente:
37 figurinhas (a
diferen
ça pode ser obtida por diferentes
estratégias)
A 8
Indica como resposta 41 doces Indica como resposta 47 figurinhas B 3
Indica como resposta um número menor que 50 Indica como resposta um número menor que 56 C 2
Indica como resposta 69 doces Indica como resposta 75 doces D 0
Indica como resposta um número maior ou igual
a 50
Indica como resposta um n
úmero maior ou igual
a 56
E 0
Escreve como resposta um número totalmente
ilegível
Escreve como resposta um n
úmero totalmente
ilegível
F 0
16
Resolve situação-
problema que
envolve subtra
ção,
compreendendo seus
significados, e calcula
o resultado por meio
de estrat
égias
pessoais ou
convencionais. (id
éia
envolvida: completar;
subtra
ção com
recurso)
Aus
ência de resposta Ausência de resposta G 0
123
DESCRIÇÃO
ITEM HABILIDADE
MANHÃ TARDE
CATE-
GORIA
PONTOS
Responde corretamente: 60 reais e obtém
esse resultado por meio de adição(ões).
Responde corretamente:
90 reais e obtém
esse resultado por meio de adição(ões).
A 4
Responde corretamente: 60 reais e obtém
esse resultado por meio de uma
multiplica
ção
Responde corretamente:
90 reais e obtém
esse resultado por meio de uma
multiplica
ção
B
9
Indica como resposta 30, 40 ou 50 reais Indica como resposta 60, 70 ou 80 reais C 2
Indica como resposta 17 reais
Indica como resposta
21 reais
D 0
Indica como resposta um número diferente
dos indicados nas alternativas anteriores
Indica como resposta um n
úmero diferente
dos indicados nas alternativas anteriores
E 0
Escreve como resposta um número
totalmente ilegível
Escreve como resposta um n
úmero
totalmente ilegível
F 0
17
Resolver situação-
problema que
envolve adi
ção de
parcelas iguais.
Aus
ência de resposta Ausência de resposta G 0
Obs. M
áximo de pontos possíveis = 100 pontos
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