( PDF ) Amplitudes de espalhamento na cromodinâmica quântica em altas energias no formalismo de dipolos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

Amplitudes de espalhamento na

Cromodinâmica Quântica em altas

energias no formalismo de dipolos

∗

João Thiago de Santana Amaral

Tese de Doutorado realizada sob orientação da Profes-

sora Dra. Maria Beatriz Gay Ducati e apresentado ao

Instituto de Física da UFRGS em preenchimento dos re-

quisitos para a obtenção do título de Doutor em Física.

Porto Alegre

2008

∗

Trabalho ﬁnanciado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíﬁco e Tecnológico (CNPq) e pela

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).

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Este trabalho é dedicado

A Maria Carmelita, minha mãe.

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Agradecimentos

Nos últimos anos tenho usado menos as palavras, porém não posso deixar de fazer alguns

agradecimentos:

Primeiramente agradeço a Maria Carmelita, minha mãe, a quem dedico esta tese. Uma

mãe formidável, exemplo de força, luta e amor. Obrigado por fazer de mim o que sou.

Agradeço a minha amada irmã Camila, amiga e companheira, por todos esses anos de

convivência, paciência e carinho. Vocês são as mulheres da minha vida. Agradeço ao meu

pai João pelo amor e apoio em todos os momentos, aos meus avós, tios e primos, seres que

tanto amo e que são o que tenho de mais importante na vida.

Agradeço a Maria Beatriz, minha orientadora, pelos ensinamentos, pela amizade e pela

paciência durante esses anos de doutorado. As discussões, as conversas de meio ou ﬁm de

tarde, as reuniões, os seminários, as confraternizações, todos esses momentos foram e são

sinônimos de grande aprendizado para toda a vida. Obrigado pelas oportunidades e temas

de pesquisa oferecidos e pelo ambiente cientíﬁco construído no GFPAE, favorável em todos

os aspectos.

Agradeço a Stoian Ivanov Zlatev, meu orientador de mestrado, que ajudou a tornar real

a minha vinda a Porto Alegre, não há palavras para agradecer pela força incrível que ele

me deu.

Agradeço à minha namorada Cacyara que eu adoro, um anjo que apareceu na minha

vida neste ano. Obrigado pelo seu sorriso, pelo seu olhar, pelo seu carinho, pela paciência,

especialmente neste ano tão decisivo e repleto de em oções. Obrigado por me fazer tão bem

e feliz.

Agradeço a Alan e Samuel, amigos e irmãos, sempre do meu lado na alegria e na tristeza,

desde o início dessa jornada. Simplesmente referências de amizade. Sem eles, tudo seria

muito mais difícil. Agradeço a todos os amigos que ﬁz no IF, Aninha, Karen (grandes

amores...), as famílias das salas M204 e M208, quantos felizes momentos dos quais sinto

tanta falta, "‘mermão"’ Fábio Bemﬁca, enﬁm, todos aqueles que cruzaram meu caminho de

forma tão bela. Agradeço também aos amigos e companheiros do Movimento da Quarta,

nossa, quantas saudades!

Agradeço a todos os colegas e amigos do GFPAE, que contribuíram tanto, e de tantas

maneiras, para a consolidação deste trabalho: Cristiano, Eduardo, Emmanuel, Gustavo,

Mairon, Magno, Victor, Thunder e Werner. Agradeço especialmente ao amigo Marcos

André, um cara fantástico que sempre me apoiou muito desde os primeiros contatos e com

quem aprendi bastante. Um exemplo de amizade e caráter.

Agradeço a todos os que iluminaram de forma tão maravilhosa os cinco meses que passei

na França: os inesquecíveis Alex, Milena, Thalita, Juliano, Marcelo Napa, Stephi, a grande e

também inesquecível Família Lotecolim que tanto alegrou os meus dias, assim como Marie,

a bela, m eiga e iluminada garotinha ruiva. Agradeço a Gregory Soyez, grande amigo e

colaborador, grande companheiro nos bons e maus momentos, e a Edmond Iancu, com

quem aprendi tanto em tão pouco tempo, um ser ímpar e uma mente brilhante.

Agradeço de forma bastante especial a Verinha, uma amiga, um a irmã... o mundo seria

mais feliz se todos fossem metade do que Verinha é. Ela representa muito para mim, e será

assim por toda a vida. Devo a ela a oportunidade de ter conhecido uma turma fantástica

de biólogos, especialmente os amigos para toda a vida, Mateus, Manoel e Lu.

Agradeço aos amigos Célia e Márcio, meus aﬁlhados e (felizmente) amigos inseparáveis.

Sou muito feliz por tê-los ao meu lado. Doze anos de amizade e cumplicidade em todos os

momentos. Amo vocês.

Agradeço a Nisse, Alex, Mauro e Lucas, grandes amigos com quem morei durante alguns

bons anos, não há palavras para expressar o quanto foi bom compartilhar o dia-a-dia com

vocês. Nisse, saudades das conversas na cozinha! Não posso esquecer de Michel, grande

parceiro e, assim como eu, grande fã de Carga Pesada.

Agradeço a Leandro, amigo e parceiro em todas as empreitadas em qualquer hora do

dia, um cara a quem se pode conﬁar a própria vida. Muito obrigado, meu amigo! Agradeço

também a Adri, mulher de muita força e garra, sempre cuidando dos que estão à sua volta.

Fui muito feliz dividindo o apê com os dois. Aliás, agradeço a Leandro duplamente, pois

além de tudo me trouxe dois presentes: Cacy, minha musa, e Mari, sua alma gêmea, uma

amiga mais que especial, sempre trazendo emoções para as nossas vidas. Beijo, menina!

Agradeço a Domingos, Kátia e Lu Adam, amigos especiais que, apesar dos contatos não

muito frequentes, sempre estão na minha mente e no meu coração.

Agradeço aos meus estudantes pelos desaﬁos e pela grande oportunidade de aprender

com eles.

Agradeço a todos os amigos de Aracaju, todos mesmo. Vocês são a minha base, são

parte de mim. Obrigado por existirem.

Naturalmente, muito obrigado também aos professores e funcionários do IF, que permi-

tiram sempre um ambiente de trabalho formidável. Agradeço também ao CNPq e à CAPES

pelo apoio ﬁnanceiro.

Obrigado a todos os que passaram pela minha vida, seja por alg uns minutos, seja por

anos. Vocês são parte da minha história.

Resumo

Numa colisão hadrônica em altas energias, a densidade de quarks e glúons dentro do

hádron cresce rapidamente, o que leva também ao crescimento das seções de choque. Esse

comportamento, previsto pela Cromodinâmica Quântica (QCD) , foi revelado experimen-

talmente pela primeira vez através das medidas do es palhamento profundamente inelástico

(DIS) elétron-próton, o processo mais simples que descreve as propriedades da QCD no

regime de altas energias.

No formalismo de dipolos, as seções de choque do DIS p odem ser expressas em termos

da amplitude de espalhamento dipolo-próton, cuja evolução com a energia é descrita pela

QCD perturbativa por meio de equações de evolução não-lineares. A mais simples dessas

equações é a equação de Balitsky-Kovchegov (BK), que consiste em uma aproximação de

campo médio das equações de Balitsky-JIMWLK e cujas principais propriedades são extraí-

das no espaço de momentum. A partir dessas propriedades, desenvolvemos o modelo AGBS

para a amplitude de espalhamento dipolo-próton no espaço de momentum. Esse modelo fe-

nomenológico é utilizado para descrever medidas do espalhamento profundamente inelástico

(DIS) da função de estrutura do próton F

. A descrição dos dados mais recentes do DIS é

realizada através do procedimento de ajuste e inclui a contribuição de quarks pesados. Uma

análise similar, usando o mesmo modelo e o mesmo conjunto de dados de F

, inclui o efeito

das ﬂutuações no número de glúons, cuja importância foi descoberta apenas recentemente.

Devido à complexidade das equações da QCD para as amplitudes, alguns mo delos sim-

ples de partículas têm sido desenvolvidos com o objetivo de compreender melhor a evolução

e o espalhamento na QCD em altas energias. Na segunda parte da tese, desenvolvemos

um desses modelos, um modelo estocástico (1+1)-dimensional, que reproduz a evolução e

espalhamento na QCD em altas energias, no caso com parâmetro de impaco ﬁxo. Uma das

dimensões corresponde à rapidez, enquanto a outra corresponde ao logaritmo do inverso do

tamanho transversal de um dipolo. O modelo exibe um mecanismo de saturação similar à

saturação gluônica na QCD, assim como todas as características qualitativas esperadas na

QCD, t anto em relação aos aspectos de campo médio como aos efeitos de ﬂutuações com

parâmetro de acoplamento ﬁxo. O modelo se encontra na classe de universalidade do pro-

cesso de reação-difusão, como também esperado para a QCD. As e quações de evolução para

as amplitudes geradas por este modelo aparecem como uma extensão natural das equações

Balitsky-JIMWLK da QCD, nas quais o alvo e o projétil são tratados simetricamente.

Abstract

In a high energy hadron collision the density of quarks and gluons inside the hadron

grows fast , which leads to the growth of the cross sections. This behaviour, predicted by

Quantum Chromodynamics (QCD), was experimentally revealed for t he ﬁrst time through

the measurements of electron-proton deep inelastic scattering (DIS), the simplest process

which describes the properties of QCD in the high energy regime.

Within the dipole picture, the DIS cross sections can be expressed in terms of the dipole-

proton scattering amplitude, whose evolution with energy is described by perturbative QCD

through nonlinear evolution equations. The simplest of them is the Balitsky-Kovchegov

(BK) equation, which consists in a mean ﬁeld approximation of the Balitsky-JIMWLK equa-

tions and whose main properties are extracted in momentum space. From these prop erties,

we develop the AGBS model for the dipole-proton scattering amplitude in momentum space.

This phenomenological model is used to describe measurements of deep inelastic scattering

(DIS) of the F

proton structure function. The description of the most recent DIS data

is done by the ﬁtting pro cedure and includes heavy quark contribution. A similar analy-

sis, using the same model and the same data set, includes the eﬀect of the gluon number

ﬂuctuations, whose importance has been only recently discovered.

Because of the complexity of the QCD equations for the amplitudes, some simple particle

models have been developed aiming to better understand the evolution and scattering in

QCD at high energies. In the second part of the thesis, we develop one of these models, a

(1+1)-dimensional stochastic model, which reproduces the QCD evolution and scattering

at high energies at ﬁxed impact parameter. One of the dimensions corresponds to rapidity,

while the another corresponds to the logarithm of the inverse of the size of a dipole. The

model exhibits a saturation mechanism similar to the gluon saturation in QCD, as well as

all the qualitative features expected in QCD, concerning both mean ﬁeld aspects and the

eﬀects of ﬂuctuations at ﬁxed coupling. The mo del appears to be in the universality class

of the reaction-diﬀusion process, as also expected for QCD. The evolution equations for

the amplitudes generated by the model appear a natural extension of the QCD Balitsky-

JIMWLK equations, in which the target and the projectile are symmetrically treated.

Artigos relacionados

1. J. T. de Santana Amaral, M. A. Betemps, M. B. Gay Ducati and G. Soyez, Phys.

Rev. D 76, 094018 (2007).

2. E. Basso, M. B. Gay Ducati, E. G. de Oliveira, J. T. de Santana Amaral, Eur. Phys.

J. C58, 9 (2008).

3. E. Iancu, J. T. de Santana Amaral, G. Soyez and D. N. Triantaf yllopoulos, Nucl. Phys.

A 786, 131 (2007).

Artigos publicados em anais de eventos

1. E. Basso, M. B. Gay Ducati, E. G. de Oliveira, and J. T. de Santana Amaral, Braz.

J. Phys. 38, 3B, 483 (2008).

2. J. T. de Santana Amaral, M. B. Gay Ducati, M. A. Betemps and G. Soyez, Int. J.

Mod. Phys. E 16, 2818 (2007).

3. J. T. de Santana Amaral, Int. J. Mod. Phys. E 16, 2814 (2007).

4. J. T. de Santana Amaral, M. A. Betemps, M. B. Gay Ducati and G. Soyez, Braz. J.

Phys. 37, 648 (2007).

Conteúdo

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias . . . . . . . . . . . 7

2.1 Propriedades da QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 O espalhamento profundamente inelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 A função de estrutura F

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 O modelo de pártons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 F

na QCD: o referencial de momentum inﬁnito . . . . . . . . . . . . 15

2.3.3 O regime de altas energias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Colisão entre dois hádrons em altas energias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Cinemática da colisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2 Descrição da colisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3 Intervalo de rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Espalhamento dipolo-hádron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 O formalismo de dipolos e a equação BFKL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 A equação JIMWLK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Hierarquia de Balitsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 A equação BK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 Para além das equações de Balitsky-JIMWLK: as ﬂutuações . . . . . . . . . 42

3.7.1 As equações de laços de pomeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7.2 Resultados a partir da sFKPP e conseqüências para a QCD . . . . . 47

3.7.3 O escalamento difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos . . . . . . . . . . . 51

4.1 DIS no referencial de dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Seção de choque σ

dip

: fenomenologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 O modelo GBW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 O modelo IIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Conteúdo ix

4.3 O modelo AGBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1 A parametrização para

T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Descrição dos dados para γ

∗

p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1 Conjunto de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.5 O efeito das ﬂutuações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5.1 Conjunto de dados e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias . . . . . . . . . . 70

5.1 Construção do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Equações de evolução para os observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.1 Densidades de número de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 O limite para o contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 Amplitudes de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4 Resultados analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.1 Evolução BFKL do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.2 Correções de unitariedade na aproximação de campo médio . . . . . . 85

5.4.3 Flutuações no número de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A. Equivalência entre as equações BK e FKPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B. A função de estrutura F

no espaço de momentum . . . . . . . . . . . . . 100

C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD . . . . . 109

C.1 Densidades de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

C.2 Amplitudes de Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Capítulo 1

Introdução

A Cromodinâmica Quântica (QCD) é uma teoria de gauge não Abeliana que descreve as

interações fortes em termos de partículas de spin 1/2 chamadas quarks e de partículas de

spin 1 chamadas glúons; tanto os quarks como os glúons são também chamados de pártons

e portam um número quântico adicional, a chamada carga de cor. Essa consiste em uma

das principais diferenças da QCD em relação à Eletrodinâmica Quântica (QED), na qual

a partícula mediadora da interação eletromagnética, o fóton, não possui carga elétrica. O

grupo de gauge da QCD é o SU(N

), onde N

= 3. Os quarks possuem N

valores distintos

para sua carga de cor enquanto os glúons possuem N

−1 valores. Essa teoria possui duas

propriedades fundamentais: a liberdade assintótica e o conﬁnamento: quando investigamos

os fenômenos descritos pela QCD em distâncias cada vez menores (ou transferências de

momentum cada vez maiores), menor é o parâmetro de acoplamento α

. Por outro lado,

quando a investigação é realizada em grandes distâncias, α

torna-se grande e as observações

mostram que os estados ligados da teoria são os hádrons (prótons, nêutrons, mésons, etc.).

Em pequenas distâncias, as interações são descritas em termos dos estados próprios da teoria

livre, ou seja, os pártons.

A investigação da estrutura dos hádrons é realizada experimentalmente através de coli-

sões e, naturalmente, quanto maior a energia de uma colisão hadrônica, maior a possibilidade

de investigação dessa estrutura. No regime no qual o acoplamento é forte, caracterizado

por uma escala de energia Λ

QCD

≃ 200 MeV, a capacidade de realizar cálculos é limitada; a

física neste regime é chamada de não perturbativa. Algumas colisões, no entanto, envolvem

transferências de momentum muito grandes em relação a Λ

QCD

. Em tal regime, dito pertur-

bativo, as colisões podem ser descritas através de colisões microscópicas entre pártons e as

seções de choque podem ser calculadas a partir do Lagrangeano da QCD. Como nesse caso

o acoplamento é fraco, α

≪ 1, tais cálculos são realizados usando a teoria de perturbações

com respeito a α

No entanto, a partir de cálculos na QCD, veriﬁca-se que as seções de choque hadrônicas

crescem com o aumento da energia. Mais especiﬁcamente, elas crescem com uma potência

de s, o quadrado da energia de centro de massa do processo, o que corresponde a uma

Capítulo 1. Introdução 2

violação do limite de Froissart, que determina que as seções de choque totais, em altas

energias, devem crescer como ln

s. Esse comportamento é comprovado experimentalmente,

por exemplo, nas medidas do espalhamento profundamente inelástico (DIS) elétron-próton

[1–3]. A partir destas, observa-se que a densidade part ônic a, especialmente de glúons,

cresce com o aumento da energia. Assim, no limite de altas ene rgias, a QCD envolve altas

densidades partônicas.

Naturalmente, as seções de choque hadrônicas não podem crescer indeﬁnidamente e em

algum ponto é necessário lidar com a recombinação gluônica e espalhamentos múltiplos para

que a unitariedade seja restaurada.

O processo mais simples que apresenta as principais características da QCD no limite de

altas energias é o DIS. O DIS elétron-próton é descrito pela r eação e p → e X, ou seja, um

elétron e um próton interagem, tendo como resultado o elétron e um estado hadrônico X.

Tal interação é mediada por um fóton virtual γ

∗

com momentum (momentum transferido)

. Esse processo depende de duas variáveis cinemáticas: a virtualidade do fóton Q

≡ −q

que mede a resolução com a qual o fóton sonda o próton, e o chamado x de Bjorken, que

está relacionado à energia do centro de massa s = Q

/x, signiﬁcando que o limite de altas

energias corresponde ao limite de pequeno x. Usualmente introduz-se a variável chamada

rapidez deﬁnida por Y = log(1/x).

Na ﬁgura 1.1 é possível visualizar de forma esquemática a conﬁguração típica do pró-

ton em diferentes regiõe s do espaço de fase. Consideremos inicialmente o próton no caso

quando tanto a virtualidade Q

quanto a energia (e portanto Y ) são p equenas. O próton é

representado por três pártons (quarks). Se a energia for mantida ﬁxa e a virtualidade Q

for aumentada, aumentará também a resolução com a qual o fóton invest iga a estrutura do

próton, o número de pártons cresce, mas a área ocupada por eles diminui. Particularmente,

o número de pártons cresce logaritmicamente enquanto seus tamanhos típicos diminuem

com 1/Q

, de modo que o próton torna-se cada vez mais diluído. Este tipo de evolução é

descrita na QCD pelas equações de Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi, chamadas

equações DGLAP [4–6].

Consideremos agora outro tipo de evolução, que consiste em manter Q

ﬁxo e aumentar

a energia (ou Y ), ou seja, uma evolução na direção de pequeno x de Bjorken. Neste caso,

observa-se um crescimento rápido da distribuição de pártons, mais especiﬁcamente glúons,

porém estes ocupam aproximadamente a mesma área. Esta evolução é descrita pela equa-

ção linear de Balitsky-Kuraev-Fadin-Lipatov, chamada equação BFKL [7–9]. As equações

DGLAP e BFKL prevêem, contudo, um crescimento indeﬁnido das distribuições partônicas

à medida que a energia aumenta, ou seja no regime de pequeno x. Em particular, a solução

da equação BFKL leva a seções de choque que crescem como uma potência da energia, o que

indica que há informações físicas importantes que não estão presentes na equação BFKL.

Capítulo 1. Introdução 3

Non perturbative

log(Q

)

log(1/x)

DGLAP

BFKL

Q = Q

(Y )

Fig. 1.1: Represe ntação esquemática do próton no espaço de fase deﬁnido pelas variáveis

do DIS, Q

e Y = log(1/x)

A compreensão do regime de grande densidade gluônica nos espalhamentos em altas

energias tem sido um dos maiores desaﬁos da QCD perturbativa. Devido ao tamanho ﬁnito

do próton, o crescimento das distribuições partônicas, e conseqüentemente, as seções de

choque, não podem crescer indeﬁnidamente. Espera-se, então que os pártons comecem a

se sobrepor e efeitos de recombinação e de espalhamentos múltiplos tornem-se importantes

no regime de pequeno x. A física que descreve a interação entre pártons que se sobrepõem

é chamada física da saturação partônica [10–15] e a escala que separa os regimes diluído e

saturado, é chamada de escala de saturação, Q

(x), que é uma função crescente da energia.

A física da saturação foi introduzida por Gribov, Levin e Ryskin [10], que consideraram

o mecanismo de recombinação partônica (gluônica) na evolução na QCD em altas energias,

resultando em uma equação de evolução com termos não lineares, a equação GLR. Outro

formalismo, desenvolvido por Ayala Filho, Gay Ducati e Levin [13–15], estende o tratamento

da QCD perturbativa até o início do regime de altas densidades partônicas através do cálculo

da distribuição gluônica que é solução de uma equação não linear, a equação AGL. Esta inclui

múltiplos espalhamentos da partícula virtual que prova o núcleo ou núcleon, na chamada

aproximação de duplo logaritmo dominante (DLLA), levando à unitarização da distribuição

gluônica no regime de pequeno x.

Mais recentemente, foi desenvolvido o formalismo denominado Color Glass Condensate

(CGC) [16–23]. O resultado central desse formalismo é uma equação de evolução funcional,

Capítulo 1. Introdução 4

a equação de Jalilian-Marian-Iancu-McLerran-Weiger-Leodinov-Kovner ( JIMWLK) [16–24],

que é equivalente a uma hierarquia inﬁnita de equações para as funções de correlação dos

campos clássicos de cor. Quando aplicada à amplitude de espalhamento entre um projétil

simples e um CGC, a evolução JIMWLK reproduz as equações de Balitsky para as am-

plitudes de espalhamento [25–27], e por esse motivo estas são usualmente referidas como

equações de Balitsky-JIMWLK. No limite de grande número de cores N

e efetuando uma

aproximação de campo médio, chega-se a uma única equação não linear determinística, ori-

ginalmente derivada por Kovchegov [28, 29], re ferida como equação de Balitsky-Kovchegov

(BK). A BK é a equação mais simples que descreve a QCD no limite de altas energias, e

corresponde à equação (linear) BFKL, mas com um termo adicional não linear, responsável

pela diminuição do crescimento da densidade de glúons, incluindo, assim como o formalismo

AGL, correções de unitariedade através de efeitos (não lineares) de múltiplos espalhamentos.

Foi mostrado recentemente [30–32] que a equação BK se encontra na classe de equiva-

lência da equação diferencial parcial não linear de Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov

(FKPP) [33], a qual admite as chamadas soluções de ondas progressivas. Em termos de

variáveis da QCD, este fato traduz-se no chamado escalamento geométrico [34]. O esca-

lamento geométrico foi observado no colisor ep HERA, nas medidas do espalhamento γ

∗

inclusivo [35]. Est a característica fenomenológica do espalhamento profundamente inelás-

tico (DIS) é expressa como uma propriedade de escalamento da seção de choque fóton

virtual-próton

∗

, Y ) = σ

∗



(Y )



, (1.0.1)

onde Q

= 1/x

e λ ∼ 0, 3. Ou seja, a seção de choque depende da variável de escalamento

τ = Q

(Y ) ao invés de Q

e Q

(Y ) separadamente (ver Figura 1.2). Como veremos, o

escalamento geométrico é equivalente à formação de soluções de ondas progressivas para a

equação BK.

Grande parte do progresso recente no campo da QCD em altas energias tem aparecido

da gradual compreensão das analogias entre a evolução gluônica na QCD em altas energias

e um processo estocástico, similar ao processo de reação-difusão A ⇋ AA [36, 37]. Estas

analogias levam à conclusão que as propriedades das amplitudes de espalhamento da QCD

em muito altas energias, inclusive na vizinhança do limite de unitariedade, são fortemente

inﬂuenciadas p elas ﬂutuações no número de glúons no regime diluído, e portanto não podem

ser calculadas corretamente a partir de aproximações de campo médio como a equação BK.

Foi veriﬁcado [38] que as ﬂutuações relevantes não são levadas em conta p elas equações

de Balitsky JIMWLK, e então novas equações foram propostas [38–41], levando a uma ge-

neralização da hierarquia de Balitsky-JIMWLK que abrange tanto saturação quanto efeitos

de ﬂutuações, no limite de grande N

. Estas novas equações são chamadas de equações de

Capítulo 1. Introdução 5

Fig. 1.2: Dados de HERA para a seção de choque para o DIS γ

∗

p na região x < 0, 01 e

< 450 GeV

versus a variável de escalamento Q

(x) [35].

laços de pomerons. Estas, no entanto, são equações muito complexas, e tendo em vista esta

complexidade, muitos autores têm investigado modelos mais simples com um número de

dimensões transversais menor que na QCD real [42– 47]. Esses modelos permitem estudos

mais diretos da saturação e unitarização com o crescimento da energia.

Esta tese é organizada da seguinte maneira:

O Capítulo 2 é devotado à descrição do DIS elétron-próton. Descrevemos a cinemática

do processo e introduzimos a função de estrutura do próton F

(x, Q

), relacionada com as

funções de distribuição de quarks e antiquarks dentro do próton, e diretamente proporcional

à seção de choque σ

∗

. Descrevemos o referencial de momentum inﬁnito, no qual ﬁca

explícito que o experimento do DIS fornece informação especíﬁca sobre distribuição de

quarks no próton, e discutiremos o comportamento das funções de distribuição partônicas

no limite de altas energias.

No Capítulo 3 apresentamos uma revisão das equações de evolução não lineares da QCD

Capítulo 1. Introdução 6

para as amplitudes de espalhamento. Após a descrição de uma colisão entre partículas ha-

drônicas genéricas, consideramos a colisão entre um projétil simples, um dipolo, e um alvo

suﬁcientemente energético. Vemos de forma breve como esse alvo é descrito pelo CGC e

apresentamos a equação JIMWLK. Como aplicação da equação JIMWLK, apresentamos a

equação de evolução para a amplitude de espalhamento dipolo-hádron, resultando na hie-

rarquia de Balitsky-JIMWLK, no formalismo de dipolos. Na aproximação de espalhamento

fraco (alvo diluído), obtém-se a equação BFKL e realizando a aproximação de campo médio

tem-se como resultado a equação BK. A equação é apresentada e as propriedades assintóti-

cas de suas soluções são revisadas. O capítulo é ﬁnalizado com uma revisão dos efeitos das

ﬂutuações no número de glúons, que não são incluídos na hierarquia de Balitsky-JIMWLK

e completamente desprezados pela equação BK.

No Capítulo 4 tratamos da aplicação do formalismo de dipolos à fenomenologia do DIS

através de modelos para a seção de choque de dipolos. Com estes, é possível reproduzir

as medidas do DIS para F

. Descrevemos dois dos principais modelos no espaço de coor-

denadas presentes na literatura e desenvolvemos o modelo AGBS, um novo e mais recente

modelo que exprime a seção de choque de dipolos em termos da amplitude de espalhamento

dipolo-próton no espaço de momentum, o primeiro da literatura. Duas abordagens distin-

tas são realizadas: a primeira dentro do formalismo de campo médio, através das soluções

assintóticas da equação BK e a segunda com a inclusão das ﬂutuações. Os resultados ex-

perimentais são reproduzidos com sucesso e veriﬁcamos que não há evidência de efeitos das

ﬂutuações no DIS em HERA, dentro do formalismo de tal modelo.

No Capítulo 5 desenvolvemos um modelo unidimensional para a QCD em altas energias.

Nesse modelo estocástico de partículas, a rapidez Y corresponde à dimensão temporal e

a dimensão espacial é a posição de uma partícula em um eixo unidimensional inﬁnito, e

está associada com o tamanho de um dipolo na QCD. O modelo reproduz as características

da evolução da QCD em altas energias e generaliza as equações de Balitsky-JIMWLK da

QCD para as amplitudes de espalhamento, incluindo naturalmente as ﬂutuações. Todas as

propriedades esperadas através das equações resultantes são conﬁrmadas pelos resultados

numéricos, o que torna o modelo interessante para a investigação de novas estruturas na

própria QCD. Este modelo foi completamente idealizado e desenvolvido durante o período

no qual eu realizei um doutorado sanduíche, ﬁnanciado pela CAPES, no Institut de Physique

Théorique, Saclay, França, entre Junho e Outubro de 2006.

Capítulo 2

A Cromodinâmica Quântica no limite de

altas energias

Neste Capítulo, após uma breve introdução à Cromodinâmica Quântica, apresentamos o

espalhamento profundamente inelástico, o experimento que revelou pela primeira vez a

estrutura hadrônica no limite de altas energias. Introduzimos, nesse contexto, a função

de estrutura F

do próton, grandeza mensurável experimentalmente e cuja fenomenologia

tem sido intensamente investigada. Discutimos o comportamento de F

, bem como da

distribuição de glúons, no limite de interesse, o de altas energias.

2.1 Propriedades da QCD

O Lagrangeano da QCD, que descreve a interação de quarks e glúons é (como usual, índices

repetidos são somados)

L = −

µν

µν,a



sabores

(iγ

− m)

. (2.1.1)

Antes de descrevermos os componentes desse Lagrangeano, é importante explicarmos algu-

mas notações:

(i) Índices do alfabeto grego (α, β, . . . , µ, ν, . . .) são índices de Lorentz.

(ii) i, j, k, l são índices de cor dos quarks (i, j, k, l = 1, 2, 3).

(iii) a, b, c, d, e são índices de cor dos glúons (a, b, c, d, e = 1, . . . 8).

(iv) N

, como dito na Introdução, é o número de cores.

No Lagrangeano, ψ corresponde ao campo de quarks e F

µν

é o tensor associado com o

campo de glúons A

, e é construído a partir destes como

µν

= ∂

− ∂

− g

abc

, (2.1.2)

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 8

onde g

é a constante de acoplamento forte, expressa em termos de α

por meio da equação

4π

, (2.1.3)

e f

abc

são as constantes de estrutura do grupo de cor SU(N

), que são antissimétricas sob

a troca de quaisquer de dois índices e satisfazem a identidade de Jacobi

abe

ecd

+ f

cbe

aed

+ f

dbe

ace

= 0 (2.1.4)

A derivada covariante D

possui a forma

)

= ∂

+ ig

)

(2.1.5)

quando atua nos campos de quarks e

)

= ∂

+ ig

)

(2.1.6)

quando atua nos campos de glúons. t

e T

são os geradores de SU(N

) nas representações

fundamental e adjunta, respectivamente. Seus comutadores são

, t

] = if

abc

, (2.1.7)

, T

] = if

abc

, (T

)

= −if

abc

. (2.1.8)

Os geradores t

são normalizados como

Tr(t

) =

(2.1.9)

e obedecem as relações



−



, (2.1.10)

= C

, C

− 1

. (2.1.11)

para os geradores T

, temos

Tr(T

) = f

acd

bcd

= C

, C

= N

. (2.1.12)

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 9

a, µ

−ig

)

(a)

b, β

c, γ

a, α

−g

abc

[(p − q)

αβ

+ (q − r)

βγ

+ (r − p)

γα

]

(p + q + r = 0)

(b)

a, α

b, β

c, γ

d, δ

eab

ecd

αγ

βδ

− g

αδ

βγ

]



ead

ebc

αβ

γδ

− g

αγ

βδ

]

−ig



eac

ebd

αβ

γδ

− g

αδ

βγ

]

(c)

Fig. 2.1: Regras de Feynman para os vértices da QCD.

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 10

O anticomutador dos geradores t



, t



1 + d

abc

, (2.1.13)

onde d

abc

são antissimétricos sob a troca de quaisquer de dois índices e satisfazem as relações

abb

= 0, d

acd

bcd

− 4

, (2.1.14)

abe

ecd

+ f

cbe

aed

+ f

dbe

ace

= 0. (2.1.15)

Como descrito na Introdução, a QCD possui a propriedade chamada liberdade assintó-

tica, o que signiﬁca que para processos que envolvem grandes transferências de momentum,

o parâmetro de acoplamento α

torna-se muito pequeno e a teoria de perturbações é apli-

cável. Levando em conta correções de um laço no propagador do glúon, tem-se a seguinte

expressão para o acoplamento variável

) =

12π

(33 − 2n

) log(Q

/Λ

QCD

)

, (2.1.16)

onde n

é o número de sabores. As regras de Feynman para os vértices da QCD são

resumidas na Figura 2.1.

2.2 O espalhamento profundamente inelástico

O espalhamento profundamente inelástico (DIS) é o espalhamento de um lépton–carregado

ou neutro–com um núcleon com grande transferência de momentum. Es te processo pode

ser expresso por

l(k) + N(P ) → l

′

) + X(P

) (2.2.17)

e é representado na ﬁgura 2.2. Se considerarmos o caso de corrente neutra, o lépton, que

inicialmente possui quadri-momentum k

interage com o núcleon, cujo quadri-momentum

é P

, através da troca de um bóson de gauge (γ

∗

, Z

). No estado ﬁnal, tem-se o lépton

com quadri-momentum k

′µ

e um estado hadrônico X. Aqui, consideramos o DIS inclusivo,

caracterizado pela detecção, no estado ﬁnal, apenas do lépton. No caso de corrente neutra,

onde o lépton pode ser um elétron ou um múon, o DIS é dominado pela troca de um fóton.

A reação representada em (2.2.17) é descrita por três variáveis cinemáticas. Uma delas,

ﬁxada pelas condições experimentais, é a energia E do lépton incidente, ou, alternativa-

mente, o quadrado da energia do centro de massa W = (k + P )

. As outras duas variáveis

independentes são escolhidas entre os seguintes invariantes:

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 11

′

Fig. 2.2: Espalhamento profundamente inelástico

(i) O quadrado do momentum transferido

≡ −Q

= (k − k

′

)

(2.2.18)

onde Q

> 0 é a chamada de virtualidade do bóson de gauge.

(ii) O quadrado da energia do centro de massa do sistema fóton-núcleon

s = (P + q)

, (2.2.19)

que é a massa invariante do estado hadrônico X.

(iii) A variável

ν =

P · q

s + Q

− m

, (2.2.20)

onde m

é a massa do núcleon, que, no referencial de repouso do alvo, é igual a ν =

E−E

′

, onde E e E

′

são as energias do elétron no estado inicial e ﬁnal, respectivamente.

(iv) A variável chamada x de Bjorken, deﬁnida por

x =

2P · q

+ s − m

. (2.2.21)

(v) A variável chamada de inelasticidade

y =

P · q

P · k

s + Q

− m

W − m

(2.2.22)

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 12

que no referencial de repouso do núcleon é a fração de energia do lépton no estado

inicial, carregada pelo fóton y = ν/E.

Como s ≥ m

, x possui valores no intervalo entre 0 e 1. O limite de altas energias no

qual estamos interessados corresponde a valores de s ≫ Q

, o que, da Eq.(2.2.21) implica

em x → 0. Assim, o regime de altas energias corresponde a um regime de pequeno x de

Bjorken,

s → ∞, x ≈

→ 0 (2.2.23)

Como é de nosso interesse, consideremos o DIS elétron-próton, ou seja, o caso especial no

qual o lépton é um elétron e o núcleon é um próton de massa m

= M. Assim, estamos

interessados no processo inclusivo ep → eX e a estrutura do próton em pequenas distâncias

é sondada por um fóton virtual.

No referencial de repouso do próton, a seção de choque diferencial para o processo é

dada por

d σ

d E

′

d Ω

2MQ

′

µν

, (2.2.24)

onde α

é a constante de acoplamento da interação eletromagnética, Ω ≡ (θ, φ) é o ângulo

sólido que caracteriza a direção do elétron no estado ﬁnal,

µν

′µ

+ k

′ν

− (k · k

′

µν

] (2.2.25)

é o tensor leptônico e W

µν

é o tensor hadrônico, que pode ser parametrizado como

µν



−g

µν

(ν, Q

)





−

P · q



−

P · q



(ν, Q

(2.2.26)

Na equação acima, W

e W

são as chamadas funções de estrutura e, em termos destas, a

seção de choque para o DIS é dada pela expressão

d σ

d E

′

d Ω

4α

′2



sin

+ W

cos



. (2.2.27)

Introduz-se as funções de estrutura adimensionais [48]

(x, Q

) ≡ MW

(ν, Q

) (2.2.28)

(x, Q

) ≡ νW

(ν, Q

) (2.2.29)

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 13

Em termos destas e das variáveis x e y, obtém-se

d σ

d x d y

4πα



(x, Q

) +



1 − y −

xyM



(x, Q

)



. (2.2.30)

É possível relacionar as funções de estrutura às seções de choque totais de foto absorção

virtual, tendo como resultado

∗

4π

− 2xF

) (2.2.31)

∗

4π

2xF

(2.2.32)

onde σ

∗

L,T

são as seções de choque de foto absorção longitudinal e transversal, re spectiva-

mente. Deﬁnindo as funções de estrutura longitudinal e transversal como

= F

− 2xF

(2.2.33)

= 2xF

(2.2.34)

tem-se

∗

L,T

4π

L,T

(x, Q

) (2.2.35)

Como F

= F

+ F

, a seção de choque de foto absorção virtual σ

∗

é proporcional a F

∗

4π

(x, Q

). (2.2.36)

Se o próton fosse uma partícula carregada pontual, assim como o elétron, a seção de choque

de foto-absorção seria simplesmente

∗

4π

δ(x − 1), (2.2.37)

onde a função delta corresponde à conservação de momentum. De fato, como as partículas

incidentes encontram-se na camada de massa, tem-se exatamente que x =1. Isso mostra

que a função de estrutura F

(x, Q

) é uma medida da estrutura do próton relativa à de um

elétron pontual.

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 14

2.3 A função de estrutura F

2.3.1 O modelo de pártons

Antes do advent o da QCD, Bjorken [49,50] e Feynman [51] formularam o chamado modelo

de pártons, que é baseado na suposição de que o fóton virtual espalha com os constituintes

do próton, que são tratados como partículas livres. A Figura 2.3 representa o DIS descrito

pelo modelo de pártons. O fóton virtual espalha com um dos pártons (os quarks de valência)

que compõem o próton, que depois da colisão contribui para a formação do estado hadrônico

X no estado ﬁnal.

Fig. 2.3: O modelo de pártons.

Dentro deste modelo, no qual um próton é tratado como constituído por partículas

puntuais, obtém-se que as funções de estrutura F

e F

dependem apenas da variável x, e

não de x e Q

separadamente. Mais especiﬁcamente, essas funções são relacionadas,

(x) = 2xF

(x) =



x f

(x), (2.3.38)

onde a soma é realizada sobre os sabores dos quarks e f

(x) são as funções de distribuição

dos quarks. A relação acima é chamada de relação de Callan-Gross [52].

O escalamento em x acima, que é uma conseqüência do modelo de pártons, foi previsto

por Bjorken; ele sugeriu que, em energias muito altas, a dependência das funções de estrutura

em Q

desaparece, e elas se tornam funções de x apenas. Mais precisamente, isso ocorre no

limite

ν, Q

→ ∞, x =

2Mν

ﬁxo, (2.3.39)

que é o chamado escalamento de Bjorken, que foi de fato identiﬁcado no DIS elétron-próton

no SLAC [53].

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 15

2.3.2 F

na QCD: o referencial de momentum inﬁnito

O modelo de pártons é apenas a aproximação de mais baixa ordem à realidade, pois os

constituintes partônicos dos hádrons não são objetos livres. Eles são descritos pela QCD,

a teoria da interação de quarks e glúons. De acordo com essa teoria, novos subprocessos

podem contribuir para a seção de choque do DIS elétron-próton.

O diagrama que representa o modelo de pártons, Figura 2.3, corresponde à contribuição

para a seção cho que de ordem O(α

). No entanto, o quark de valência pode emitir um

glúon, antes ou depois de interagir com o fóton, o que leva aos processos representados

pelos diagramas da Figura 2.4. Há também as contribuições gluônicas, representadas pelos

diagramas da Figura 2.5, nos quais um glúon, emitido, por exemplo, pelo quark de valência,

ﬂutua em um par quark-antiquark (quarks de mar), e um deles interage com o fóton virtual.

Todos os diagramas descritos acima contribuem para a seção de choque com termos de ordem

O(α

∗

Fig. 2.4: Contribuições adicionais (de ordem O(α

)) para o processo ep → eX.

Na QCD os quarks e glúons podem irradiar quanta virtuais (quarks ou glúons) e in-

teragir uns com os outros através da troca desses quanta. Surge então a questão sobre a

possibilidade de existir, na QCD, uma descrição partônica para processos hadrônicos.

As excitações virtuais dentro dos hádrons podem ter energias e momenta arbitrariamente

grandes, e assim as interações associadas podem ter escalas de tempo arbitrariamente peque-

nas. Torna-se complicado, então, separar as interações que ocorrem dentro do alvo daquelas

com o projétil (o fóton virtual no DIS). Devido à liberdade assintótica, ﬂutuações com mo-

menta muito grandes ocorrem com baixa probabilidade, o que permite cálculos em teoria

de perturbações. Assim, torna-se possível desenvolver uma representação partônica para os

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 16

∗

¯q

∗

¯q

Fig. 2.5: Contribuições adicionais (de ordem O(α

)) para o processo ep → eX.

processos em pequenos tempos, ou com grandes momenta transferidos. O tratamento de

tal representação, no entanto, depende da escolha do referencial no qual os processos são

vistos.

Um referencial especial é o chamado referencial de momentum inﬁnito (IMF), que fornece

uma maneira de separar as ﬂutuações hadrônicas das ﬂutuações de vácuo que possuem

mesmo tempo de vida e mesmos momenta. O IMF consiste em realizar uma transformação

de Lorentz para um referencial no qual o hádron (de massa M) possui um momentum

longitudinal muito grande, P

≫ M. O quadri-momentum do hádron é P

= (P, 0, 0, P),

onde deﬁnimos P

≡ P .

Consideremos uma ﬂutuação de um quark dentro do hádron, e assumamos, por sim-

plicidade, que esse quark possua momentum longitudinal P . Todos os quanta envolvidos

nessa ﬂutuação possuem momenta longitudinais grandes e é possível calcular o tempo de

vida da ﬂutuação gluônica com momentum longitudinal k

= (k

, k

), onde k

= ζP

com 0 ≤ ζ ≤ 1 e k

⊥



+ k

≪ ζP . O tempo de vida pode ser estimado pelo princípio

de incerteza

∆t ∼

∆E

, (2.3.40)

onde ∆E é a diferença de energia entre os est ados ﬁnal e inicial no vértice de emissão

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 17

gluônica(as massas dos pártons são desprezadas):

∆E =



+ k

⊥



(1 − ζ)

+ k

⊥

− P

= ζP



1 +

⊥



1/2

+ (1 − ζ)P



1 +

⊥

(1 − ζ)



1/2

− P

≃ ζP +

⊥

2ζP

+ (1 − ζ)P +

⊥

2(1 − ζ)P

− P

⊥

2ζP

⊥

2(1 − ζ)P

⊥

(1 − ζ + ζ)

2(ζ − ζ

≃

⊥

2ζP

(2.3.41)

Assim, tem -se que ∆t ∼ 2ζP/k

⊥

e essa estimativa deve ser comparada com o tempo de vida

para uma ﬂutuação de vácuo, ∆t

vac

∼ 1/k

. Como k

⊥

≪ ζP ,

∆t ∼

2ζP

⊥

≫ ∆t

vac

∼

ζP

, (2.3.42)

o que diz que, no IMF, as ﬂutuações hadrônicas típicas são bem separadas das ﬂutuações

de vácuo, e portanto a representação partônica faz sentido.

Veremos que o tempo de vida do quark da ﬂutuação é muito maior que o tempo de colisão.

Assim, esse quark e stá praticamente na camada de massa antes e depois do espalhamento.

Se k

≈ (ζP, 0, 0, ζP ) denota seu quadri-momentum original, a conservação de energia

implica em

0 ≈ (k + q)

= −Q

+ 2ζP · q = −2xP · q + 2ζP · q = 2(x − ζ)P · q ⇒ ζ ≈ x, (2.3.43)

ou seja, o espalhamento seleciona um quark com fração do momentum longitudinal ζ igual

ao x de Bjorken. Isso conﬁrma que no DIS em altas energias, sondamos os constituintes do

próton que possuem ζ ≪ 1.

Para obtermos o tempo de colisão, consideremos um IMF especíﬁco, o chamado referen-

cial de Breit, no qual o fóton virtual possui momentum longitudinal zero, q

= (q

, q

, 0).

Como P → ∞,

P · q

→ 0 (2.3.44)

e pode-se deduzir que, nesse referencial, o momentum do fóton virtual é principalmente

transversal: q

≪ q

⊥

e Q

≃ q

⊥

. Assim, variando experimentalmente a virtualidade Q

controla-se a resolução do fóton virtual no plano transversal. O tempo de colisão p ode ser

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 18

estimado por

∆t

col

∼

P · q

2P x

. (2.3.45)

Para que uma ﬂutuação de um quark seja capaz de absorver o fóton virtual, seu tempo de

vida deve ser maior que o tempo de colisão. Essa condição, juntamente com as equações

(2.3.42) e (2.3.45), implicam em que os pártons que participam no DIS possuem momentum

transversal k

⊥

∼

. Pelo princípio da incerteza, esses pártons estão localizados em uma

área ∼ 1/Q

no plano transversal.

A partir do que foi discutido na seção anterior, pode-se concluir que o DIS é um experi-

mento que analisa a distribuição de quarks no próton. O fóton virtual contabiliza o número

de quarks e antiquarks que possuem uma fração de momentum longitudinal x e que ocupam

uma área transversal da ordem de 1/Q

. Isso motiva escrever a seguinte fórmula para a

função de estrutura F

(x, Q

) =



x[f

(x, Q

) + f

¯q

(x, Q

)]. (2.3.46)

(x) e f

¯q

(x) são as funções de distribuição dos quarks e dos antiquarks, respectivamente.

2.3.3 O regime de altas energias

A Eq.(2.3.46) apresenta, para F

, uma dependência em ambos x e Q

, ao contrário do que é

previsto pelo modelo de pártons. Essa violação do escalamento de Bjorken é um exemplo de

evolução quântica na QCD: as funções de estrutura variam com Q

e x, e tal variação é in-

duzida através de processos radiativos na própria teoria quântica de campos. O escalamento

de Bjorken, conﬁrmado no primeiro experimento do DIS no SLAC, aparece apenas como

uma propriedade aproximada dos dados, e em um regime cinemático limitado. A partir

da discussão anterior, espera-se que o número de pártons (quarks e glúons) intervenientes

cresça com o aumento de Q

, pois o espaço de fase para a radiação é aumentado, o que pode

ser traduzido como um crescimento de F

com Q

para x ﬁxo.

Na Figura 2.6, onde são mostrados os resultados para F

com os dados mais recentes

obtidos em HERA [1–3]. O crescimento citado acima é claramente visível para valores pe-

quenos de x (essencialmente, F

cresce como uma potência de 1/x). Fisicamente, aumentar

é como aperfeiçoar a resolução de um microscópio: com seu aumento, é possível discri-

minar pártons que estão cada vez mais localizados no espaço transversal e cujo tempo de

vida é cada vez menor. Essa é a base para as equações DGLAP [4–6], que descrevem a

evolução das funções de estrutura com o aumento de Q

Estamos, no entanto, especialmente interessados na evolução para o regime de altas

energias, que é responsável pelo crescimento rápido de F

quando x decresce. Embora não

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 19

1 10 10

ZEUS

(GeV

)

-log

ZEUS 96/97

Fixed Target

NLO QCD Fit

Fig. 2.6: A função de estrutura F

medida pelo experimento ZEUS, como uma função de

para diferentes valores de x [3].

seja diretamente medida pelo DIS, é o rápido crescimento da densidade de glúons que domina

a evolução em pequeno x. Para que esse fato seja melhor compreendido, consideremos um

párton na camada de massa que emite um glúon suave que carrega uma pequena fração do

seu momentum longitudinal, x ≪ 1 e um momentum transversal pequeno. A probabilidade

diferencial para que isso ocorra é:

brem

≃

⊥

(2.3.47)

onde C

= C

se o párton original é um quark, e C

= C

se o párton é um glúon (ver Seção

2.1). O aumento logarítmico nos momenta transversais em (2.3.47) ocorre tanto para quarks

ou glúons emitidos. No entanto, o aumento logarítmico em pequeno x está relacionado ao

fato de que a partícula suave emitida é um glúon (a probabilidade de emissão de um quark

suave não é singular em x → 0). A radiação gluônica é, portanto, ampliada se comparada

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 20

com a radiação de quarks na evolução quântica com a diminuição de x. Assim, no regime

de pequeno x do DIS, o quark sondado pelo fóton virtual é tipicamente produzido pela

dissociação de um glúon.

Na ordem mais baixa da teoria de perturbações, tem-se

∂F

(x, Q

)

∂ ln Q

≃

3π







xG(x, Q

), (2.3.48)

onde xG(x, Q

) é a função de distribuição de glúons. Usando a equação acima, é possível

extrair a distribuição de glúons a partir da função de estrutura F

medida em HERA e

alguns resultados são mostrados na Figura 2.7, a distribuição de glúons é comparada com a

distribuição de quarks de valência e de mar em um próton. Nesse gráﬁco, xG é multiplicada

por 0, 05, o que conﬁrma o fato de que, em pequeno x, a evolução gluônica é dominante.

ZEUS

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-3

-2

-1

(a)

ZEUS NLO QCD fit

) = 0.118

tot. error

uncorr. error

=10 GeV

xg(× 0.05)

xS(× 0.05)

Fig. 2.7: As distribuições de quarks (xu

, xd

), glúons (xG) e quarks de mar (xS) em um

próton como medidas em HERA. A distribuição de glúons é multiplicada por

0, 05 [54].

Nesta tese, não trataremos diretamente com a função de distribuições de glúons, mas

Capítulo 2. A Cromodinâmica Quântica no limite de altas energias 21

com amplitudes de espalhamento e sua evolução na direção do regime de altas energias.

Como veremos, a compreensão da evolução das amplitudes tem conseqüências imp ort antes

no estudo dos processos em altas energias, incluindo a fenomenologia do DIS elétron próton.

Capítulo 3

Evolução das amplitudes de

espalhamento na QCD

Neste Capítulo, apresentaremos a cinemática de uma colisão entre dois hádrons em termos

das chamadas coordenadas de cone de luz. A variável rapidez, diretamente relacionada com

a energia da colisão, e escolhida como o parâmetro da evolução na QCD em altas energias, é

introduzida. Consideramos o espalhamento de um projétil simples, um dipolo, e um hádron

energético. As equações de evolução para as amplitudes de espalhamento são apresentadas,

bem como as principais propriedades das suas soluções.

3.1 Colisão entre dois hádrons em altas energias

3.1.1 Cinemática da colisão

Para descrever a cinemática de uma colisão em altas energias, é conveniente utilizar as

chamadas variáveis de cone de luz. Para um quadri-vetor arbitrário v

= (v

, v

onde v

= v

, essas variáveis são deﬁnidas como

≡ (v

, v, v

−

), v

≡

√

± v

), v ≡ (v

, v

), (3.1.1)

o que implica na seguinte forma para o produto escalar de dois quadri-vetores:

′

= v

′

+ v

′

+ v

′

+ v

′

+ v

−

)(v

′+

+ v

′−

) −

− v

−

)(v

′+

− v

′−

) − v · v

′

= v

′−

+ v

−

′+

− v · v

′

. (3.1.2)

A ﬁm de veriﬁcarmos a utilidade destas deﬁnições, consideremos uma partícula que se

move com velocidade próxima à da luz no eixo z, no sentido de z positivo. Sua trajetória

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 23

encontra-se ao longo do cone de luz p ositivo ( z ≃ t) e a partícula está em x

−

≃ 0 enquanto

nos referimos a x

≃

√

2t como o tempo do cone de luz. Naturalmente, para uma partícula

que se move rapidamente no sentido de z negativo (z ≃ −t), os papéis de x

e x

−

invertem: x

−

≃

√

2t faz o papel de tempo e x

≃ 0 é a coordenada longitudinal. De

agora em diante, usaremos a terminologia associada com a partícula (mais especiﬁcamente,

o hádron) que se m ove para a direita (z positivo), ou seja, nos referiremos a x

como o

tempo e a x

−

como a coordenada longitudinal.

Consideremos a colisão entre duas partículas hadrônicas e escolhamos o eixo longitudinal

de colisão de modo que ele coincida com o eixo z. Chamaremos de projétil a partícula que

se move no sentido de z negativo, denotaremos seu momentum longitudinal por Q

= −Q

e sua massa por M

, e chamaremos de alvo a partícula que se move no sentido de z positivo,

denotando seu momentum longitudinal por P

= P

e sua massa por M

Os quadri-momenta do projétil e do alvo, são dados, resp ectivamente, por



, 0,



, Q



−

, 0, Q

−



(3.1.3)

Para partículas que se movem com velocidades próximas à da luz, de modo que P

≫ M

e Q

≫ M

, temos P

≃

√

, P

−

≃ 0, Q

−

≃

√

, Q

≃ 0, e a energia da colisão é

s ≡ (P

+ Q

)(P

+ Q

) ≃ 2P

−

Uma colisão em altas energias produz muitas partículas no estado ﬁnal. Sejam m

e k

a massa e o quadri-momentum de uma dessas partículas, respectivamente. Deﬁnimos uma

variável bastante conveniente para caracterizar as partículas emitidas, a chamada rapidez

y ≡



−



(3.1.4)

Usando a Eq.(3.1.2), temos que 2k

−

= k

+ m

, e portanto

y =



2(k

)

+ m



= ln





√



+ m





= ln







+ m

√

−





. (3.1.5)

Diante da deﬁnição de rapidez (3.1.4), é possível identiﬁcar três situações:

(i) Uma partícula é emitida perpendicularmente ao eixo de colisão. Neste caso, k

= 0 e

= k

−

e y = 0.

(ii) Uma partícula é emitida na região de z positivo. Neste caso, k

> 0 e k

> k

−

e a

partícula possui rapidez positiva y > 0.

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 24

−

Fig. 3.1: Colisão entre o projétil P e o alvo A. Os pártons de valência são acompanhados

por conjuntos coerentes de pártons virtuais.

(iii) Uma partícula é emitida na região de z negativo. Neste caso, k

< 0 e k

−

> k

e a

partícula possui rapidez positiva y < 0.

Seja θ o ângulo de emissão da partícula em relação ao eixo dos z positivos e consideremos

o caso no qual a massa da partícula é nula. O resultado obtido é que a rapidez é igual à

pseudo-rapidez η, que é uma grandeza facilmente medida experimentalmente. Fazendo

= 0 em (3.1.4), temos

η =



+ k

− k





1 + cos θ

1 − cos θ



= −ln tan(θ/2). (3.1.6)

3.1.2 Descrição da colisão

A colisão em altas energias entre um projétil P e um alvo A hadrônicos é representada na

Figura 3.1.2. Assintoticamente antes da colisão, esses hádrons são constituídos apenas por

seus pártons de valência. À medida que projétil e alvo evoluem até o instante da colisão,

os pártons de valência são acompanhados por um conjunto coerente de pártons virtuais.

Formalmente, isso corresponde a decompor os estados iniciais em superposições de estados

de Fock de quarks e glúons. Por exemplo, se um dos hádrons envolvidos for um próton,

tem-se

|próton = |q

 + |q

g + ··· + |q

g ···ggq¯qgg (3.1.7)

A colisão ocorre, portanto, entre as partículas vestidas e os pártons liberados pela colisão

formam as partículas do estado ﬁnal.

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 25

A população de pártons virtuais que vestem os pártons de valência é composta principal-

mente de glúons. Como veremos a seguir, a probabilidade de que o um dos participantes da

colisão esteja vestido de um glúon é inversamente proporcional ao momentum longitudinal

do glúon k

, o que, para pequenos momenta longitudinais, leva a divergências logarítmi-

cas após a integração sobre k

. No entanto, como estes glúons virtuais possuem momenta

longitudinais muito pequenos, eles não podem ser transformados em partículas reais, ou

seja, não realizam nenhum papel na colisão. Assim, pode-se considerar que o momentum

longitudinal dos glúons que vestem o alvo (ou o projétil) é limitado inferiormente. Este li-

mite é determinado pela cinemática da colisão e no regime de altas energias torna-se muito

pequeno.

Seja z

o limite inferior dos momenta longitudinais relativos ao alvo e z

−

o limite

correspondente para o projétil (z

, z

< 1). Na colisão projétil-alvo, as partículas liberadas

vêm das colisões elementares entre os pártons virtuais. As únicas colisões possíveis são

aquelas que implicam em partículas com suﬁciente momenta longitudinais para poder dar

lugar a uma massa invariante positiva,

s = k

, (3.1.8)

onde k

é o momentum transversal típico das partículas no estado ﬁnal, k

+ m

≃ k

Notemos que o tratamento perturbativo só se justiﬁca quando

≫ Λ

QCD

⇒ α

) ≪ 1, (3.1.9)

onde Λ

QCD

é uma escala característica do regime não perturbativo da QCD e vale aproxi-

madamente 200 MeV. É p ossível ver que, no limite de altas energias (s grande) os valores

de z

ou de z

, ou mesmo dos dois, são muito pequenos.

3.1.3 Intervalo de rapidez

Analisemos agora algumas propriedades importantes das partículas virtuais que vestem o

projétil e o alvo e que são liberadas na colisão entre eles, mais especiﬁcamente no que diz

respeito à variável rapidez, a qual, como vimos tem uma grande importância no estudo de

colisões em altas energias:

(i) A rapidez máxima em uma colisão é y

max

= ln(

√

) e corresponde a uma

partícula que vestia o alvo com um momentum longitudinal máximo P

. A menor rapidez

possível para uma partícula proveniente do alvo é ln(

√

) e o intervalo de rapidez

no qual as partículas do alvo são emitidas é Y

= ln(1/z

(ii) A rapidez mínima é y

min

= −ln(

√

−

) e corresponde a uma partícula que

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 26

vestia o projétil com um momentum longitudinal máximo Q

−

. A maior rapidez possível

para uma partícula que provém do projétil é −ln(

√

−

) e o intervalo de rapidez no

qual as partículas do projétil são emitidas é então Y

= ln(1/z

As partículas emitidas ocupam, portanto, um intervalo total de rapidez

max

− y

min

= ln(

√

) + ln(

√

−

)

= ln(2P

−

) = ln(s/k

) ≡ Y. (3.1.10)

Assim, tem-se que Y = ln(1/z

) = Y

+ Y

. Por abuso de linguagem, chamamos Y de

rapidez total da colisão. Seja y

′

a rapidez que deﬁne o limite entre os intervalos Y

e Y

ou seja, a rapidez deﬁnida por

′

= y

max

− Y

= y

min

+ Y

. (3.1.11)

Com esta deﬁnição, tem-se que as partículas ﬁnais com rapidez y > y

′

provém do alvo e

aquelas com y < y

′

provém do projétil. O valor de z

pode ser escolhido arbitrariamente

entre k

/s e 1, o que impõe o valor de z

, e vice-versa. Em ter mos da rapidez, isso consiste

em escolher uma maneira de dividir a rapidez total Y em duas partes, escolhendo Y

conseqüentemente Y

. Tal liberdade pode ser considerada como uma escolha de referen-

cial para descrever a colisão. A partir de agora e nos próximos capítulos, trataremos de

referenciais tais que Y

≃ 0 e portanto Y

≃ Y .

3.2 Espalhamento dipolo-hádron

Deﬁnida a cinemática e descrita a colisão entre dois hádrons genéricos, podemos partir para

o estudo do espalhamento e da evolução na QCD em altas energia s, tendo como principal

objetivo apresentar as equações de evolução (em termos da rapidez Y ) para a amplitude de

espalhamento de um projétil com um hádron energético.

Consideremos inicialmente um quark–por exemplo, um quark de valência da função de

onda de um hádron–que se move rapidamente com momentum longitudinal p

. Existe uma

probabilidade dP deste quark emitir um glúon macio (com pequeno x) com momentum

longitudinal no intervalo de k

a k

+ dk

, com k

= xp

≪ p

, tal que

dP ∝ α

. (3.2.12)

Esta emissão está representada de forma diagramática na Figura 3.2(a). Se x é suﬁcien-

temente pequeno e devido ao acoplamento de três glúons da QCD, o glúon com fração do

momentum x pode ser gerado pela emissão intermediária de um ou mais glúons que possuem

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 27

seus momenta longitudinais fortemente ordenados o que implica em

x ≪ x

≪ ··· ≪ x

≪ 1 (3.2.13)

A Figura 3.2(b) mostra o diagrama que leva em conta correções radiativas de mais baixa

ordem e que descreve a emissão de um glúon adicional, com momentum longitudinal k

< p

. A contribuição relativa para este processo pode ser estimada como



= ¯α

. (3.2.14)

≪ p

(a)

(b)

(c)

Fig. 3.2: (a) Emissão de um glúon com pequeno x por um párton rápido; (b) a correção

radiativa de mais baixa ordem; (c) uma cascata de glúons.

No caso de emissões intermediárias de n glúons, tem-se formada uma cascata gluônica,

representada pelo diagrama na Figura 3.2(c). A ordem relati va para a contribuição de tal

cascata é

¯α



. . .

n−1





¯α



, (3.2.15)

onde o termo fatorial surge do ordenamento em p

. Se x é muito pequeno, ¯α

ln(1/x) ∼ 1,

ou seja, em altas energias, a rapidez Y , deﬁnida como ln(1/x), pode comp ensar o pequeno

valor do acoplamento ¯α

. Assim, torna-se necessário realizar uma ressoma de todos esses

termos aumentados de (¯α

Y )

e esta leva ao surgimento do chamado pomeron BFKL.

Imaginemos agora que desejamos medir a distribuição de glúons de um hádron ener-

gético genérico. Uma forma de fazer isso é sondar o hádron com um pequeno dipolo de

cor, constituído por um quark, cuja coordenada transversal é x, e por um antiquark, cuja

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 28



Dipolo

Alvo

Fig. 3.3: Pomeron BFKL.

coordenada transversal é y. Se r = |x − y| é o tamanho deste dipolo, ele sondará os com-

ponentes gluônicos do hádron com momenta tais que k ∼ 1/r ≫ Λ

QCD

. Como veremos no

Capítulo 4, essa descrição de uma colisão em termos de dipolos pode ser bem compreendida

no DIS elétron-próton: em um referencial especial, o fóton virt ual possui energia suﬁciente

para se dividir em um par quark-antiquark, o qual interage com o próton.

Assume-se que o hádron (o alvo, que se move para a direita) é energético o suﬁciente,

de modo que uma descrição partônica de sua função de onda seja possível, e que o dipolo (o

projétil, que se move para a esquerda) é lento o suﬁciente, de modo que sua decomposição

em estados de Fock possua apenas uma componente, um par q ¯q em um estado singleto de

cor. A interação entre o dipolo e o hádron é ilustrada na Figura 3.3. À esquerda temos o

diagrama de mais baixa ordem, no qual a interação ocorre por meio da troca de dois glúons.

À direita, é mostrada a situação na qual o glúon com pequeno x que interage com o dipolo

é gerado por uma cascat a gluônica. A soma sobre a cascata representa o chamado pomer on

BFKL ou, equivalentemente, os componentes com pequeno x da função de onda hadrônica.

É importante notar que a ﬁgura corresponde ao quadrado de um diagrama em teoria de

perturbações, já que o interesse principal é a determinação da probabilidade de encontrar

um dado modo na função de onda do hádron.

3.3 O formalismo de dipolos e a equação BFKL

Em vez de realizar a ressoma de diagramas, pode-se equivalentemente estudar a evolução

da função de onda do alvo ou da amplitude de espalhamento após um acréscimo ∆Y em

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 29

rapidez. Mais ainda, pode-se ver o último glúon suave como sendo emitido pelo dipolo,

que é um objeto simples e portanto possui uma evolução que pode ser facilmente estudada.

Nesta tese, trabalharemos num limite bastante especial, que é o limite de grande número

de cores, ou seja, de grande N

. Neste limite, um glúon de coordenada transversal z

pode ser considerado como um par quark-antiquark no ponto z. Assim, o estado ﬁnal é

composto de dois dipolos (x, z) e (z, y), ou seja, ao invés de considerarmos uma função

de onda composta por quarks, antiquarks e glúons, é suﬁciente considerar um onium, que

é um sistema de dipolos q¯q brancos (sem cor). Este é o chamado formalismo de dipolos

introduzido por Mueller [55–57]. Na Figura 3.4 temos a representação da evolução de um

dipolo à medida que a rapidez (energia) aumenta. Emissões sucessivas de glúons suaves

podem ser consideradas como independentes. No formalismo de dipolos, os glúons emitidos

são substituídos por dipolos, ou seja, a emissão gluônica é equivalente à divisão de dipolos.

Fig. 3.4: Passos consecutivos da evolução de um dipolo no limite de grande N

A probabilidade diferencial de um dipolo (x, y) se dividir em dois dipolos (x, z) e (z, y)

dP =

¯α

2π

(x − y)

(x − z)

(z − y)

z dY ≡

¯α

2π

xyz

z dY (3.3.16)

Denotemos por T

 a amplitude de espalhamento para um dipolo composto por um quark

de coordenada transversal x e um antiquark de coordenada transversal y. A notação ·

denota a média sobre todas as realizações do campo de cor do alvo, e pode ser entendida

como o valor médio para o operador da m atriz T sobre a função de onda do alvo. Se uma

transformação de Lorentz (boost) é realizada no dipolo, aumentando sua rapidez de Y para

Y +δY , esse dipolo pode se dividir em dois dipolos (x, z) e (z, y), e cada um desses dipolos

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 30

pode interagir com o alvo, o que leva à seguinte equação linear:

∂

∂Y

T



¯α

2π



xyz



T



+ T



− T





¯α

2π



xyz



T



+ T



− T





. (3.3.17)

Esta é a versão, na linguagem de dipolos, da equação BFKL [7–9]. O último termo do

integrando de (3.3.17) é a contribuição virtual (o dipolo original interage antes de se dividir).

Na linguagem diagramática, a evolução BFKL é representada na Figura 3.5.

δY

Fig. 3.5: Evolução BFKL.

O fato desta equação ser linear leva à expectativa de que sua solução cresça exponenci-

almente. De fato, se considerarmos independência do parâme tro de impacto, ou seja, uma

solução homogênea do tipo T (r = |x − y|)

, obtemos, realizando uma transformada de

Mellin,

T (r)



dγ

2iπ

(γ; r

¯α

χ(γ)Y −γ log(r

)

, (3.3.18)

onde χ(γ) corresponde aos auto-valores do núcleo BFKL no espaço de Mellin, mostrados na

Figura 3.6,

χ(γ) = 2ψ(1) − ψ(γ) − ψ(1 − γ), ψ(γ) ≡ d ln Γ(γ)/dγ, (3.3.19)

(γ; r

) descreve transformada de Mellin da condição inicial em Y = 0,

(γ; r

) =



∞





(r), (3.3.20)

e r

é uma escala de referência arbitrária introduzida por razões dimensionais. Independen-

temente da forma da condição inicial T

(r), ela deve satisfazer a condição de transparência

de cor, se anula com r

quando r → 0, e satura em um valor constante quando r ∼ 1/Q

com Q

sendo o corte infravermelho nas condições iniciais.

A integral na Eq.(3.3.20) é absolutamente convergente para 0 < Re < 1. Assim, o

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 31

χ(γ)

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10

Fig. 3.6: Os autovalores do núcleo BFKL.

contorno para a integração complexa na Eq.(3.3.18) pode ser escolhida como

C = {γ = γ

+ iγ

; −∞ < γ

< ∞},

com 0 < γ

< 1.

Para um tamanho de dipolo ﬁxo, é possível obter o comportamento em altas energias

através da expansão em torno do ponto de sela γ = 1/2, e o resultado é

T (r)

∼

exp



Y −

log

)

2χ

′′

(1/2)¯α



, (3.3.21)

onde ω

= 4¯α

π ln 2. Esta expressão possui dois problemas principais:

(i) O crescimento exponencial da amplitude com a rapidez Y , que leva a um crescimento

da seção de choque com uma potência da energia, o que viola a unitariedade da amplitude

de espalhamento, T ≤ 1 e, conseqüentemente, o limite de Froissart, que aﬁrma que o

crescimento das seções de choque totais com a energia, em valores assintóticos de energia,

é limitado por

σ ≤

const

s (3.3.22)

(ii) Difusão para uma região não perturbativa: à medida que a rapidez aumenta, mesmo

que uma condição inicial seja centrada em torno de um pequeno valor de r, a amplitude pode

sofrer difusão para grandes tamanhos de dipolos, ou seja, para a região não perturbativa.

Nesta, os momenta transversais de alguns dipolos tornam-se da ordem de Λ

QCD

, levando

a uma constante de acoplamento α

(Λ) ∼ 1 e, p ortanto, invalidando a aplicação da QCD

perturbativa, ou seja, a própria evolução BFKL.

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 32

Devido a tais problemas, vê-se que a equação BFKL não é ideal para a descrição da

evolução em altas energias, e neste regime efeitos não lineares tornam-se importantes. Como

veremos a seguir, tais efeitos surgem quando, por exemplo no caso do espalhamento de um

único dipolo com um hádron, é considerada a situação na qual os dois dipolos resultant es

da separação do dipolo original interagem com o hádron simultaneamente, resultando em

um diagrama adicional, que descreve a fusão de glúons, ou fusão de pomerons, ou ainda,

na linguagem de dipolos, a fusão de dipolos. Nas próximas seções, veremos como essas não

linearidades se reﬂetem nas equações de evolução das amplitudes de espalhamento.

3.4 A equação JIMWLK

O método que descreve a fusão de pomerons é o Condensado de Vidros de Cor (CGC),

cuja evolução é dada pela chamada equação JIMWLK [16–24]. O CGC é uma teoria efetiva

na QCD e cujo nome corresponde a algumas de suas características básicas: Condensado

representa a grande densidade de glúons que pode atingir valores da ordem O(1/α

), Vidros

diz respeito a uma separação clara de escalas de tempo entre os graus de liberdade suaves

e rápidos na função de onda e Cor representa a carga de cor portada pelos glúons.

A motivação essencial para a formulação do CGC é a separação de escalas nos m omenta

longitudinais entre os pártons rápidos e os glúons suaves emitidos. Denotando p or p

e k

os correspondentes quadri-momenta no cone de luz, tem-se que k

≪ p

, o que por sua

vez leva a uma separação análoga no que diz respeito às energias, pois k

−

= k

/2k

≫ p

Tem-se, como conseqüência, uma separação também na escala de tempo: o tempo de vida

∆x

∼ 1/k

−

dos glúons suaves é muito menor se comparado à escala de tempo típica

∼ 1/p

−

para a dinâmica dos pártons rápidos. Assim, embora estes párt ons rápidos sejam na

realidade ﬂutuações virtuais, eles aparecem para os glúons macios como uma fonte estática

(independente de x

) randômica, à qual está associada a densidade de carga de cor ρ

−

, x).

Esta está localizada próxima ao cone de luz x

−

≃ 0 e a corrente correspondente possui apenas

uma componente +, que pode ser representada por J

−

, x) = δ

µ+

−

, x).

Os glúons macios correspondem aos campos de cor determinados pela equação de Yang-

Mills na presença dessa corrente, ou seja,

νµ

)

(x) = δ

µ+

−

, x). (3.4.23)

Em certos gauges, pode-se resolver esta equação clássica e obter o campo de gauge A[ρ] como

uma função de uma dada fonte. Os observáveis de interesse na QCD em altas energias, por

exemplo o número de ocupação de glúons ou a amplitude de um dipolo externo com o hádron,

podem ser expressos como operadores construídos com as componentes A

do campo de

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 33

[ρ]

Y + ∆YY

′

Y +∆Y

[ρ]

Y + ∆Y

Fig. 3.7: Evolução da distribuição de probabilidade de cargas de cor.

gauge no alvo. Para qualquer operador O[α] que representa o observável, seu valor médio é

dado pela integral funcional

O[ρ]

≡



DαO[ρ]W

[ρ], (3.4.24)

onde W

[ρ] serve como um peso e fornece a densidade de probabilidade de haver uma

distribuição ρ em uma dada rapidez Y . Tal interpretação probabilística está baseada no

fato da fonte ser randômica, pois corresponde à carga de cor vista pelos glúons suaves no

período curto de suas ﬂutuações virtuais; isto ocorre em um tempo arbitrário e é instantâneo

comparado ao tempo de vida da própria fonte. Nas duas equações acima, não há nada

relacionado com a dinâmica da QCD em pequeno x, a qual deve estar incluída na distribuição

[ρ], já que esta é a única quantidade da Eq.(3.4.24) que depende da rapidez Y . Vejamos,

então, como se procede a evolução dessa distribuição.

Lembremos que Y = ln(1/x) = ln(P

), onde P

é o momentum longitudinal total

do hádron. Está claro que, em qualquer valor de rapidez, todos os modos com momenta

longitudinais muito maiores do que k

devem ser incluídos na fonte. Se a rapidez do

hádron for aumentada de Y para Y + ∆Y , alguns modos que anteriormente eram suaves

necessariamente tornam-se rápidos e, p ortanto, devem ser integrados para serem incluídos

na fonte, o que levará a uma modiﬁcação na distribuição de probabilidade. A teoria nesta

nova escala Y +∆Y é novamente deﬁnida pelas Eqs.(3.4.23) e (3.4.24) simplesmente fazendo

Y → Y + ∆Y . A Figura 3.7 mostra uma interpretação simples da evolução em rapidez.

Nesta, o glúon com rapidez Y

′

é representativo dos modos semi-rápidos que são integrados,

ou seja, Y ≪ Y

′

≪ Y + ∆Y .

A derivação da equação de evolução para W

[ρ] não será apresentada aqui, p orém pode

ser encontrada nos artigos originais [16, 17,20–22, 24], bem como em [19,58]. O resultado

mais importante para nós é que esta equação pode ser escrita em uma formulação Hamil-

toniana em uma forma mais compacta, não em termos de ρ, mas em termos do campo de

cor α

−

, x) ≡ A

−

, x). O resultado é a equação JIMWLK (Jalilian-Marian, Iancu,

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 34

McLerran, Weigert, Leodinov, Kovner) na forma Hamiltoniana

∂

∂Y

[α] = −HW

[α] ≡



δα

(x)

(x, y)

δα

(y)

[α], (3.4.25)

com

(x, y) =



(2π)

xyz

(1 +

†

−

†

−

†

). (3.4.26)

Na equação acima,

xyz

≡

− z

)(y

− z

)

(x − z)

(z − y)

(3.4.27)

V (x) = P exp





−

, x)T



(3.4.28)

corresponde a uma linha de Wilson expressa na representação adjunta.

Naturalmente, nesta representação-α, o valor médio do operador O é obtido através da

integral

O[α]

≡



DαO[α]W

[α]. (3.4.29)

Para que se obtenha a evolução do observável, efetua-se a derivação da expressão acima

com respeito a Y . Como a única quantidade do integrando que depende da rapidez é a

distribuição de probabilidade W

[α], usa-se a Eq.(3.4.25) e o resultado é

∂

∂Y

O

= −HO

≡





δα

(x)

(x, y)

δα

(y)



. (3.4.30)

3.5 Hierarquia de Balitsky

Consideremos um projétil que consiste em um par quark-antiquark, um dipolo que se pro-

paga no campo de cor do alvo hadrônico. A matriz S correspondente é obtida como a média

em cor do produto das matrizes S individuais para o quark (com coordenada transversal x)

e o antiquark (com coordenada transversal y):

S(x, y; A

) =

tr(V

†

). (3.5.31)

Aqui,

†

= P exp





−

, x)t



(3.5.32)

onde o símbolo P denota o ordenamento em x

−

das matrizes de cor A

−

, x)t

no expoente,

da direita para a esquerda na ordem crescente dos seus argumentos x

−

. A Eq.(3.5.32) é

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 35

uma linha de Wilson (na representação fundamental), ordenada na trajetória, representada

pela trajetória do dipolo.

A matriz S para o espalhamento dipolo-hádron é obtida efetuando a média sobre todos

os campos de cor no alvo, o que fornece

S

 ≡ S(x, y)



tr(V

†

)



. (3.5.33)

Para obtermos sua evolução com a energia, substituímos O = S

na Eq.(3.4.30) e o resul-

tado é

∂

∂Y

S



¯α

2π



xyz



−S



+ S





, (3.5.34)

onde

xyz

≡

(x − y)

(x − z)

(y −z)

(3.5.35)

e ¯α

= α

/π. Esta equação não é uma equação fechada, mas a primeira equação de uma

hierarquia inﬁnita, a chamada hierarquia de Balitsky, pois a evolução da função de dois

pontos das linhas de Wilson está acoplada à evolução da função de quatro pontos, que por

sua vez está acoplada à de seis pontos e assim por diante. Tomemos, por exemplo, a segunda

equação desta hierarquia, satisfeita p ela função de 4 pontos no lado direito da Eq.(3.5.34).

Ela tem a forma

∂

∂Y

S



¯α

2π



xzw

(−S



+ S

) S



¯α

2π



zyw





−S



+ S



¯α

2π



xyz

− M

xzw

− M

zyw

] Q

xzwy

+ Q

xwzy



,(3.5.36)

onde

xzwy

≡



tr(V

†

)) − tr(V

†

))



(3.5.37)

é o operador de quadrupolo, que já torna a segunda equação da hierarquia bastante com-

plicada. Contudo, como vemos, este termo possui um fator 1/N

, e portanto é suprimido

no limite de grande N

. Assim, neste limite, esta equação é reduzida aos termos das duas

primeiras linhas da Eq.(3.5.36).

É importante notar que a hierarquia descrita acima foi obtida considerando a evolução

do alvo (o CGC), mas também pode ser interpretada em termos da evolução do projétil, o

que foi feito originalmente por Balitsky [25–27,59]. A evolução é implementada realizando

uma transformação de Lorentz (boost) no projétil, que evolui através da radiação de glúons

(com pequeno x). No limite de grande N

no qual o projétil é uma coleção de N dipolos, sua

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 36

evolução consiste na separação destes dipolos em dois novos dipolos, seguida pela interação

do sistema ﬁnal de N + 1 dipolos com o alvo.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Fig. 3.8: Diagramas para o espalhamento de um único dipolo: (a) contribuição de árvore;

(b,c,d) um passo na evolução do projétil; (e,f) um passo na evolução do alvo.

Nesta tese, estamos particularmente interessados na evolução da amplitude de espalha-

mento, ao invés da matriz S. Assim, usando T

= 1 −S

, a primeira equação de Balitsky

para a amplitude de espalhamento tem a forma:

∂

∂Y

T



¯α

2π



xyz



−T



+ T



+ T



− T





. (3.5.38)

Na Figura 3.8, são mostrados diagramas de Fe ynman que ilustram os processos contidos na

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 37

Eq.(3.5.38) na perspectiva da evolução do projétil. O proce sso de espalhamento é tomado na

ordem mais baixa da teoria de perturbações. O espalhamento entre o dipolo e o alvo começa

com a troca de dois glúons, como mostrado na Figura 3.8(a). Os diagramas 3.8(b) e (c)

representam as contribuições presentes na evolução BFKL (o termo virtual e o espalhamento

de um dos dipolos com o alvo, respectivamente) e o diagrama 3.8(d) descreve o espalhamento

simultâneo dos dois dipolos com o alvo, representado pelo termo quadrático na eq.(3.5.38).

Os diagramas 3.8(e) e (f) ilustram o espalhamento do ponto de vista da evolução do alvo,

ou seja do CGC, e correspondem aos diagramas 3.8(c) e (d), respectivamente.

Observemos que o termo de espalhamento múltiplo é da ordem dos outros quando T T ∼

T , ou seja, quando T ∼ 1. Assim, este termo é uma contribuição obrigatória próximo ao

limite de unitariedade e deve, portanto, ser levado em conta. No regime no qual as energias

são relativamente baixas, o alvo consiste em um sistema diluído e temos o caso no qual o

espalhamento é fraco. Isto que implica em T ≪ 1 e, portanto, T T  ≪ T  ≪ 1. Neste caso,

o termo que corresponde ao múltiplo espalhamento da Eq.(3.5.38) torna-se desprezível e a

equação para a amplitude de espalhamento dipolo-hádron reduz-se à equação linear BFKL.

3.6 A equação BK

A equação de Balitsky (3.5.38) não é uma equação fechada para T

, mas a primeira

equação de uma hierarquia inﬁnita. Para que seja obtida uma equação fechada para a

amplitude de espalhamento de um dipolo, pode-se considerar que o alvo é suﬁcientemente

grande e homogêneo. Neste caso, considera-se a aproximação de campo médio T



T



T



na Eq.(3.5.38). Chamando N

(x, y) ≡ T



, tem -se como resultado a

equação abaixo:

∂

(x, y) =

¯α

2π



z M

xyz

(x, z) + N

(z, y) − N

(x, y) − N

(x, z)N

(z, y)]

(3.6.39)

Esta expressão é a equação de Balitsky-Kovchegov (equação BK) [25–29], que é a equação

mais simples que pode ser obtida na QCD perturbativa que inclui tanto as contribuições

BFKL em altas energias como as correções de unitariedade.

Consideremos o caso no qual a amplitude N

(x, y) independe do parâmetro de impacto

b = (x + y)/2 e depende apenas do tamanho do dipolo r = |x − y|. Após a integração da

parte angular, e após ser realizada a transformada de Fourier

(k) =



2π

−ik·r

(r)



∞

(kr)N

(r), (3.6.40)

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 38

obtém-se a equação BK no espaço de momentum para a amplitude N

(k = |k|)

∂

(k) =

¯α



′

(k−k

′

)



′

) −

′2

+ (k −k

′

)

(k)



− ¯α N

(k). (3.6.41)

Esta equação pode ser reescrita de maneira compacta [29]

∂

N = ¯αχ(−∂

)N − ¯αN

, (3.6.42)

onde χ é dado pela Eq.(3.3.19) e L = ln(k

), k

sendo uma escala ﬁxa. O núcleo (3.3.19)

é um operador integro-diferencial que pode ser deﬁnido por meio da expansão em série

χ(−∂

) = χ(γ

)1 + χ

′

(γ

)(−∂

− γ

1) +

′′

(γ

)(−∂

− γ

(3)

(γ

)(−∂

− γ

+ . . . (3.6.43)

para um γ

entre 0 e 1.

Recentemente Munier e Peschanski [30–32] mostraram que a equação BK encontra-

se na classe de universalidade da equação de Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (F-

KPP) [33]. Esta é uma equação conhecida na física estatística de não equilíbrio e sua

dinâmica é utilizada para descrever muitos sistemas de reação-difusão na aproximação de

campo médio, e tem sido bastante estudada há mais de 60 anos.

Esta redução da equação BK foi obtida ao se aplicar uma aproximação de ponto de sela

(conhecida também como aproximação difusiva) ao núcleo (3.3.19), ou seja, ao considerar a

expansão (3.6.43) até a segunda ordem na derivada ∂

, em torno de γ

, após a qual a

equação BK ﬁca

∂

N = ¯α¯χ(−∂

)N − ¯αN

, (3.6.44)

com

¯χ(−∂

) = χ





′′





−∂



. (3.6.45)

A mudança de variáveis

t =∝ Y, x ∼ L, u(x, t) ∝ N

(k), (3.6.46)

resulta na equação FKPP para u(t, x) (ver Apêndice A):

∂

u(t, x) = ∂

u(t, x) + u(t, x) − u

(t, x). (3.6.47)

Sabe-se que esta equação admite ondas progressivas como soluções assintóticas, ou seja,

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 39

a solução u(x, t) para a equação (3.6.47) adquire a forma u(x −v

t) de uma frente viajante

para grandes valores de t a uma velocidade crítica v

, sem deformação (ver ﬁgura 3.9). A

seguir, faremos uma breve revisão dos principais resultados proveniente s da Eq.(3.6.47) e

em seguida abordaremos os aspectos relevantes relativos à equação BK (3.6.42).

t = 0

X(t

)

X(t

)

X(t

)

u(x, t)

Fig. 3.9: Comportamento de ondas progressivas de u(t, x), solução de (3.6.47)

A solução da Eq.(3.6.47) corresponde a uma superposição linear de ondas [30–32]:

u(t, x) =



dγ

2iπ

(γ) exp {−γ(x

+ vt) + ω(γ)t}, (3.6.48)

onde ω(γ) é a transformada de M ellin do núcleo da equação, ou seja, ∂

+ 1, e deﬁne a

relação de dispersão da equação linearizada, x

= x − vt é a posição relativa da frente de

onda. Cada onda parcial cujo número de onda é γ possui uma velocidade de fase

(γ) =

ω(γ)

(3.6.49)

obtida pela imposição de que o fator exponencial na Eq.(3.6.48) seja independente do tempo.

A velocidade de grupo é deﬁnida pelo ponto de sela γ

do fator de fase exponencial:

v =

dω

dγ



≡ v

. (3.6.50)

Basicamente, a verdadeira velocidade da frente depende da competição entre as singularida-

des de u

(γ) (a transformada de Mellin da condição inicial u(t = 0, x)) e o ponto de sela do

fator de fase. Supõe-se que u(t = 0, x) seja uma função monotônica que conecta de forma su-

ave 1 e 0 quando x vai de −∞ até ∞, com comportamento assintótico u(t = 0, x)

x→∞

∼ e

−γ

No caso onde γ

≥ γ

, tem-se que a solução é levada ao comportamento crítico corres-

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 40

pondente a ondas progressivas para tempos grandes,

u(t, x)

t→∞

∼ e

−γ

(3.6.51)

e o expoente crítico γ

corresponde a uma onda que possui uma velocidade de fase mínima

igual à velocidade de grupo

ω(γ

)

dω

dγ



. (3.6.52)

Esta discussão pode ser traduzida em termos da QCD através da equação BK. Aqui,

assim como em todos os capítulos seguintes, nos concentraremos apenas no caso no qual

a constante de acoplamento forte ¯α

é ﬁxa. Como vimos anteriormente na discussão da

equação BFKL, a solução da parte linear da Eq.(3.6.42) é dada por

(k) =



dγ

2iπ

(γ)e

−γL+ ¯α

χ(γ)Y

, (3.6.53)

onde L faz o papel da variável espacial x. Para a determinação da quantidade análoga à

velocidade de grupo v

, pode-se comparar a Eq.(3.6.53) com (3.6.48) e vê-se que a relação

de dispersão é dada por

ω(γ) = ¯α

χ(γ). (3.6.54)

A velocidade de fase possui um mínimo em γ

. A partir das Eqs.(3.6.50) e (3.6.52), γ

é a

solução da equação implícita

′

(γ

) = χ(γ

), (3.6.55)

o que implica em γ

= 0, 6275.... Neste ponto, deve-se analisar a condição inicial N

(γ),

que deve ser tal que N(Y = 0, k) ∼ k

para grandes valores de L, ou seja, deve satisfazer

a propriedade de transparência de cor. Isso corresponde a γ

= 1. Assim, tem-se que

≤ γ

e, portanto, uma situação similar à discutida anteriormente para o comportamento

assintótico de u(t, x) da equação FKPP. A velocidade crítica da frente de onda é

= ¯α

χ(γ

)

, (3.6.56)

o que corresponde à seleção da onda mais lenta possível. Para o núcleo de ordem dominante

(3.3.19), obtém-se v

= 4.88¯α

. Usando-se a aproximação difusiva para o núcleo BFKL,

descrita anteriormente, é possível chegar a uma expressão para a solução assintótica para

a equação BK independente do parâmetro de impacto. Em particular, para a cauda da

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 41

amplitude, obtém-se

N (k, Y )

k≫Q

≈



(Y )



−γ

log



(Y )



exp



−

log

(Y ))

2¯αχ

′′

(γ



, (3.6.57)

Na expressão acima, Q

(Y ) é a escala de saturação, a qual mede a posição da frente de onda.

Mais precisamente, é L

(Y ) = log(Q

) = v

Y que mede a posição da frente. Um cálculo

mais detalhado permite a extração de duas correçõ es subdominantes adicionais, resultando

na escala de saturação [30–32]

(Y ) = k

exp



Y −

2γ

log(Y ) −



2π

¯αχ

′′

(γ

)

√



. (3.6.58)

log(k

)

4035302520151050-5

0.1

0.01

0.001

1e-04

1e-05

Fig. 3.10: Comportamento de onda viajante da equação BK através de uma simulação

numérica [60] para valores de rapidez Y = 0, 5, 10, 15, 20, 25.

É importante saber que, na realidade, a utilização da aproximação difusiva é apenas

uma m aneira mais direta de veriﬁcar essas propriedades da equação BK [60], pois é possível

provar a existência de ondas progressivas mesmo para equações mais complicadas que a

FKPP, com núcleos mais complicados que ∂

+ 1. Na ﬁgura 3.10 é apresentado o resultado

de uma simulação numérica da evolução em rapidez da equação BK [60]. Pode-se ver que

a amplitude de espalhamento apresenta um comportamento ass intótico similar ao represen-

tado na Figura 3.9 para u(x, t): para valores assintóticos da rapidez ela viaja para valore s

cada vez maiores de L, mantendo a sua forma.

Consideremos agora o limite de nosso interesse, ou seja, o de altas energias, que corres-

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 42

ponde a valores muito grandes da rapidez Y . Neste limite, o expoente em (3.6.57) tende a

zero e portanto a exponencial tende a 1, levando a uma amplitude

N (k, Y )

Y →∞

= N



(Y )



k≫Q



(Y )



−γ

log



(Y )



. (3.6.59)

a expressão acima mostra que, para valores assintóticos da rapidez, a amplitude N(k, Y )

deixa de depender separadamente de k e Y e apresenta uma dependência apenas na variável

de escalamento k

(Y ).

A equação (3.6.59) possui uma propriedade interessante. Ela mostra que a amplitude,

em altas energias, não depende separadamente das variáveis k e Q

, mas apenas da razão

entre elas, ou seja, apresenta o escalamento geométrico. Essa propriedade expressa o fato

de que quando se move ao longo da linha de saturação, o comportamento das amplitudes

de espalhamento permanece invariável.

A saturação introduz naturalmente a escala Q

que fornece um corte infravermelho que

resolve o problema de instabilidade no infravermelho da equação BFKL. As correções subdo-

minantes em (3.6.57) também possuem um papel importante. O último termo introduz uma

dependência explícita da rapidez Y e, portanto, viola o escalamento geométrico. Contudo,

este termo pode ser desprezado quando

log

(Y ))

2¯αχ

′′

(γ

< 1.

Isto signiﬁca que o escalamento geométrico é obtido para

log



(Y )







2χ

′′

(γ

)¯αY ,

ou seja, em uma janela que estende-se

√

Y acima da escala de saturação. Assim, em altas

energias, as conseqüências da saturação podem ser observadas arbitrariamente longe, na

cauda diluída, onde N

(k) é muito menor que 1.

3.7 Para além das equações de Balitsky-JIMWLK: as

ﬂutuações

3.7.1 As equações de laços de pomeron

Vimos nas seções anteriores que as equações da hierarquia de Balitsky, também chamadas

de equações de Balitsky-JIMWLK, para as amplitudes de espalhamento são obtidas quando

é considerado o espalhamento entre um dip olo e um alvo denso, cuja função de onda é

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 43

descrita pelo formalismo do CGC. Como foi observado, essas equações (ver por exemplo,

Eq.(3.5.38)) p ossuem uma ampla região de validade, desde o regime diluído, no qual T ≪

1, onde temos o domínio da evolução BFKL, até o regime de altas densidades, no qual

T ∼ 1 e os efeitos não lineares (efeitos de saturação ou correções de unitariedade) tornam-

se importantes. Entretanto, as equações de Balitsky-JIMWLK não incluem as chamadas

ﬂutuações no número de glúons, cuja importância foi apenas recentemente descoberta [38,

61–63]. Basicamente, a equação JIMWLK, em sua essência, não leva em conta as divisões de

pomerons (apenas fusão), importantes no limite de densidade pequena, ou seja, no regime

diluído.

Diante da constatação da importância das ﬂutuações na evolução para o regime de altas

energias, concluiu-se que as equações de Balitsky-JIMWLK est ão incompletas. As novas

equações, obtidas por Iancu e Triantafyllopoulos [38], incluem tanto fusão como a divisão

de pomerons, e por isso são chamadas de Equações de Laços de pomeron.

Para entendermos essas novas equações, consideremos o espalhamento entre um alvo

denso e um projétil composto por 2 dipolos. Alguns diagramas relativos a esse espalha-

mento são mostrados na Figura 3.11. A partir da Eq.(3.5.36), é fácil ver que a evolução



(2)



envolverá termos de mesma ordem e termos não lineares, ou seja, amplitudes de

espalhamento para 3 dipolos



(3)



. Tais termos são representados, respectivamente, pe-

los diagramas 3.11(b) e (c) (evolução do projétil) ou 3.11(d) e (e) (evolução do alvo). O

diagrama 3.11(a) corresponde à contribuição do tipo árvore.

Nas Figuras 3.11(f) e (g) são mostrados dois diagramas de mesma ordem em α

que

os diagramas para evolução linear (Figuras 3.11(b) e (d)). O diagrama 3.11(f) é correta-

mente incluído na versão completa das equações de Balitsky-JIMWLk, porém, no limite de

grande N

torna-se uma contribuição subdominante. O diagrama de ﬂutuação 3.11(g), que

corresponde a uma divisão de pomeron, ou fusão de pomeron, dependendo da perspectiva

na qual enxergamos a evolução, não está presente no formalismo de Balitsky-JIMWLK. Na

linguagem de dipolos, esse diagrama pode ser obtido a partir da divisão de dipolos dentro

do alvo (diluído), como mostrado na Figura 3.12. Naturalmente, essas ﬂutuações no alvo

são completamente ignoradas quando é realizada uma aproximação de campo médio, ou

seja, quando consideramos a equação BK, válida quando o número de partículas no alvo é

muito grande.

Na aproximação de grande N

e no nível de tr oca de dois glúons, o novo termo, re-

presentado pelo diagrama acima, foi calculado por Iancu e Triantafyllopoulos [38] e aqui

apresentaremos alguns dos principais passos [60]. É importante frisar que esp era-se que as

ﬂutuações sejam importantes quando o alvo é ainda diluído, o que é sempre o caso para

dipolos com tamanhos suﬁcientemente pequenos. Nesse caso, o alvo pode ser considerado

como uma superposição de dipolos e o glúon no canal s no diagrama de ﬂutuação pode ser

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 44

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

Fig. 3.11: Diagramas para o espalhamento de um par de dipolos: (a) contribuição de

árvore; (b, c) um passo na evolução do projétil; (d, e) um passo na evolução do

alvo; (f) um diagrama suprimido para grande N

; (g) o diagrama que falta, de

ordem dominante tanto em α

como em N

considerado como emitido através de uma divisão de dipolo no alvo, como representado na

Figura 3.12. Como é considerada a aproximação de troca de dois glúons, a amplitude de

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 45

≡

Fig. 3.12: Para um alvo diluído, o diagrama de ﬂutuação pode ser obtido a partir da divisão

de um dipolo no alvo.

espalhamento está relacionada com a densidade de dipolos através da fórmula

T

 = α



(xy|uv) n

. (3.7.60)

onde A

é a amplitude de dipolo-dipolo no nível de troca de dois glúons

(xy|uv) =



(x − u)

(y −v)

(x − v)

(y −u)



. (3.7.61)

Essa relação pode ser invertida e obtém-se

n

 = α

−2

∇

T

.

a nova contribuição para a evolução de



(2)



é, portanto,

∂



(2)





ﬂut

¯α

2π



2π



(3.7.62)



uvz

|uz)A

|zv)∇

∇

T

 + (1 ↔ 2),

que se torna da mesma ordem que a contribuição BFKL quando T

∼ α

T , ou T ∼ α

ou seja, no regime diluído. Embora isso pareça irrelevante para a física de saturação, é

importante lembrar que, devido à transparência de cor, a amplitude se torna arbitrariamente

pequena para tamanhos pequenos de dipolos. Assim, mesmo para alvos densos, há sempre

uma região do espaço de fase na qual o sistema é diluído e sua evolução governada por

efeitos de ﬂutuações.

Nossa discussão tem sido até agora centrada na equação de evolução para



(2)



, mas,

como tem-se uma hierarquia inﬁnita de equações, é importante generalizar um pouco e con-

siderar a evolução de



(j)



, que é a amplitude de espalhamento de um projétil que contém

j dipolos. Essa evolução contém três contribuições: um termo linear BFKL proporcional a

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 46



(j)



, um termo negativo de saturação proporcional a



(j+1)



e um termo de contribui-

ção das ﬂutuações, proporcional a



(j−1)



. De uma maneira mais simples, sua estrutura

(suprimindo as coordenadas transversais) tem a forma

∂T

(j)



∂Y

= j ¯α

T

(j)

 − j ¯α

T

(j+1)

 +

j(j − 1)

¯α

T

(j−1)

. (3.7.63)

O ponto crucial nessa discussão é que é possível mostrar [38, 60, 64] que essa hierarquia

inﬁnita para as amplitudes médias pode ser reescrita como uma única equação de Langevin:

¯α

∂T

∂Y

2π



xyz

+ T

− T

]

2π



2π



uvz

(xy|uz)

|u − v|

(u − z)



∇

uvz;Y

, (3.7.64)

onde ν

uvz;Y

é um ruído branco Gaussiano, que satisfaz

ν

uvz;Y

 = 0 (3.7.65)

ν

′

 = δ

δ(¯α

Y − ¯α

′

) (3.7.66)

e todas as outras correlações se anulam.

A nova hierarquia gerada pela inclusão do termo de ﬂutuação possui uma dependên-

cia do plano transversal muito mais complicada que a hierarquia de Balitsky-JIMWLK. É

possível simpliﬁcar o problema realizando uma aproximação local na amplitude do espalha-

mento dipolo-dipolo A

. Assume-se que dois dipolos interagem apenas se tiverem o mesmo

tamanho e se seus centros de massa são suﬁcientemente próximos de modo a permitir uma

sobreposição dos dois dipolos, tem-se

T

 = κα

|x − y|

n

,

onde κ é um fator de ordem 1. Uma segunda aproximação possível se refere à dependência

no parâmetro de impacto [38]. Após uma transformada de Fourier do tamanho do dipolo

r = |x −y| para o momentum k e considerando independência no parâmetro de impacto, a

hierarquia toma uma forma simpliﬁcada. Para as duas primeiras equações, tem-se

∂

T

 = ¯α

χ(−∂

) T

 − ¯α



(2)

k,k



∂



(2)



= ¯α

χ(−∂

)



(2)



− ¯α



(3)



+ (1 ↔ 2)

+ ¯α

κα

δ(k

− k

) T

,

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 47

onde ρ

= log(k

). Essa forma simpliﬁcada da hierarquia de equaçõ es para as amplitudes

de espalhamento também pode ser reescrita na forma de uma equação de Langevin

∂

T (ρ) = ¯α



χ(−∂

)T (ρ) − T

(ρ) +



κα

T (ρ)η(ρ, Y )



, (3.7.67)

onde η é um termo de ruído que satisfaz

η(ρ, Y ) = 0,

(3.7.68)

η(ρ

, Y

)η(ρ

, Y

) =

¯α

δ(ρ

− ρ

)δ(Y

− Y

Esse termo, sendo local, é mais simples do que aquele para o caso geral, (3.7.64). A equação

acima é estocástica e descreve um formalismo evento-por-evento. Cada realização do termo

de ruído corresponde a uma evolução particular do alvo e pode-se mostrar que, após a média

sobre todas elas ser efetuada, a hierarquia para a evolução de





é recuperada.

É importante observarmos que, formalmente, a Eq.(3.7.67) é a equação BK com um

termo de ruído adicional. Se, da mesma maneira que para a equação BK pura, for realizada

a aproximação difusiva descrita na Seção anterior, e uma mudança de variáveis (ver Apêndice

A), chega-se à equação FKPP estocástica (sFKPP) [37, 65], que consiste em adicionar um

termo de ruído à equação FKPP, que surge quando deve-se considerar efeitos de discreteza:

∂

u(x, t) = ∂

u(x, t) + u(x, t) − u

(x, t) +



u(x, t) η(x, t).

Quando o número de partículas N torna-se muito grande (o que na QCD corresponde a

→ 0), a aproximação de campo médio é justiﬁcada e a equação FKPP (não estocástica)

é válida.

3.7.2 Resultados a partir da sFKPP e conseqüências para a QCD

A equação sFKPP tem sido bastante estudada no que diz respeito a problemas em física

estatística, tanto p or métodos numéricos como analíticos, com resultados que descreveremos

de forma breve e adaptaremos ao nosso problema relacionado com a QCD.

Um dos resultados mostrados pelas simulações numéricas é qu e, para um número N

de partículas grande (e ﬁnito), a frente gerada se propaga com uma velocidade assintótica

que é menor do que a velocidade correspondente v

para a equação FKPP. Além disso,

quando N cresce, a convergência de v

para v

é extremamente lenta: v

− v

∼ 1/ ln

quando N ≫ 1. Para o problema correspondente da QCD isso implica na seguinte depen-

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 48

dência em Y da escala de saturação:

∗

≡ lim

Y →∞

dρ

(Y )

≃ v

−

(1/α

)

quando α

≪ 1, (3.7.69)

Assim, quando α

diminui, o exponente de saturação v

∗

converge apenas lentamente para

seu respectivo valor de campo médio (3.6.56).

Devido às ﬂutuações inerentes no termo de ruído, realizações diferentes da mesma evolu-

ção levam a um conjunto de frentes que possuem a mesma forma, mas são deslocadas umas

das outras ao longo do eixo ρ. Isso quer dizer que a posição ρ

≡ ln(Q

) da frente é uma

variável aleatória, caracterizada por um valor médio ρ

(Y ), o qual, para Y grande, cresce

de acordo com a Eq. (3.7.69) (já que esse é o comportamento assintótico comum a todas as

frentes do conjunto), e também por uma dispersão σ

≡ ρ

 − ρ



, a qual espera-se que

cresça linearmente com Y : σ

(Y ) ∼ ¯α

DY . A partir de simulações numéricas, mostrou-se

que o coeﬁciente de difusão D escala como 1/ ln

N quando N ≫ 1. Para a QCD, isso

implica em:

≃

(1/α

)

quando α

≪ 1 , (3.7.70)

que se anula, como esperado, quando α

→ 0, mas apenas muito lentamente.

Os resultados da equação sFKPP são consistentes com estudos dos modelos estocásticos

de partículas cuja aproximação de campo médio é a equação FKPP. Nesse contexto, Brunet

e Derrida [66] explicaram o escalamento 1/ ln

N da correção da velocidade da frente v

−v

para grande N, permitindo o cálculo do coeﬁciente C. Traduzindo para a QCD, tem-se:

∗

≃ v

−

′′

(γ

)

2 ln

(1/α

)

, quando α

≪ 1. (3.7.71)

Na QCD, o coeﬁciente C = π

′′

(γ

)/2 é numericamente grande, C ≈ 150.

3.7.3 O escalamento difusivo

Vimos anteriormente que, devido às ﬂutuações, diferentes realizações do alvo levam a fren-

tes com posições ρ

distintas. É importante frisar que essas frentes, mesmo na presença

de ﬂutuações, apresentam padrão de ondas progressivas, ou seja, apresentam escalamento

geométrico, assim como as soluçõ es da equação BK. Veremos, no entanto, que quando efetu-

amos uma média sobre todas as realizações, o que agora signiﬁca uma média sobre todas as

posições das frentes de onda, o comportamento assintótico da amplitude de espalhamento

T (ρ) torna-se completamente diferente.

Consideremos a amplitude de um único evento, T e trabalhemos numa notação no espaço

de coordenadas, de modo que ρ = ln(1/r

). Essa amplitude, para uma dada realização,

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 49

possui um momentum de saturação ρ

(Y ) e satura ao valor T = 1 na região atrás da frente

formada. Além disso, a partir de resultados provenientes da equação FKPP [67], a amplitude

toma a forma de escalamento T (ρ, Y ) ≃ e

(ρ−ρ

)

em um intervalo ﬁnito em ρ − ρ

adiante

da frente, ou seja, a frente é compacta, diferentemente da solução da frente da equação BK,

que estende-se até distâncias ρ − ρ

∼

√

Y (janela de escalamento geométrico), e portanto,

sua espessura cresce com a rapidez.

Para o que virá adiante, é suﬁciente descrever o comportamento de T através da seguinte

interpolação:

T (ρ, ρ

) =







1 para ρ ≤ ρ

exp [−γ

(ρ − ρ

)] para ρ ≥ ρ

(3.7.72)

Recentemente, Marquet, Soyez e Xiao [68] mostraram que os valores de ρ

são distribuídos,

com uma boa aproximação, de acordo com uma densidade de probabilidade Gaussiana

(ρ

) ≃

√

πσ

exp



−

(ρ

− ρ

)



, (3.7.73)

onde ρ

 ≃ v

∗

Y e σ

≃ D ¯α

Y , como visto anteriormente. A amplitude média T  é, então,

determinada através da fórmula

T (ρ, ρ

) =

∞



−∞

dρ

P (ρ

) T (ρ, ρ

). (3.7.74)

Usando as Eqs.(3.7.72) e a Eq.(3.7.73) pode-se mostrar que

T  =

Erfc





exp



− γ





2 − Erfc



−



, (3.7.75)

onde z ≡ ρ − ρ

 e Erfc(x) é a função erro complementar:

Erfc(x) =











2 −

exp(−x

)

√

πx

para x ≪ −1

1 para x = 0

exp(−x

)

√

πx

para x ≫ 1.

(3.7.76)

O primeiro termo do lado direito da Eq.(3.7.75) vem da parte de saturação da Eq.(3.7.72)

enquanto o segundo termo vem da parte descrita pelo decaimento exponencial da mesma.

Consideremos duas situações interessantes:

(i) Baixas energias, ou σ ≪ 1/γ

. Neste caso, a amplitude mantém o perﬁl de um único

Capítulo 3. Evolução das amplitudes de espalhamento na QCD 50

evento, exceto no pequeno intervalo |z|

∼

σ, onde ela é mais suave:

T (z) =







1 para z ≪ −σ

−γ

para z ≫ σ.

(3.7.77)

Nesse regime, o escalamento geométrico se manifesta no nível das amplitudes médias, si-

tuação similar à aproximação de camp o médio, exceto pelos fa tos de que a frente agora é

compacta e possui uma velocidade menor.

(ii) Altas energias, ou seja, σ ≫ 1/γ

. Neste caso, o primeiro termo da Eq.(3.7.75)

domina em todas as regiões, exceto a distâncias extremamente grandes adiante da frente,

tais que z

∼

. Por exemplo, no intervalo σ ≪ z ≪ γ

, no qual a amplitude média é

pequena, obtém-se

T (z) ≃

√



1 +



−z

/σ

. (3.7.78)

Por outro lado, para valores muito grandes de ρ, tais que z ≫ σ

, a contribuição dominante

para a amplitude média vem da segunda parte da Eq.(3.7.72), ou seja, da cauda exponencial

em (3.7.75). Tem-se, assim,

T (z) ≃ exp(−γ

z) exp





. (3.7.79)

A expressão para a amplitude média toma, em altas energias, a seguinte forma:

T (z) =







Erfc(z/σ) para −∞ < z ≪ γ

∼ e

−z

para γ

≪ z.

(3.7.80)

Nessa última expressão, consideramos um perﬁl mais realístico, de modo que a cauda ex-

ponencial, para muito grandes valores de z, seja determinada pela parte de transparência

de cor. A partir da expressão acima, tem-se que, quando z ≪ γ

, o perﬁl da amplitude

média não possui nenhum vestígio de γ

e muito menos do escalamento geométrico. Em

vez disso, ela obedece um novo tipo de escalamento: escala como uma função de z/σ, o

chamado escalamento difusivo.

Neste Capítulo foram revisadas algumas das principais propriedades da evolução das

amplitudes de espalhamento no formalismo de dipolos. Nos próximos capítulos essas propri-

edades serão utilizadas em aplicações fenomenológicas, mais especiﬁcamente ao DIS elétron-

próton, e abordadas novamente em um outra perspectiva, a de um modelo unidimensional

para o espalhamento na QCD em altas energias.

Capítulo 4

Fenomenologia aplicada ao DIS:

formalismo de dipolos

Neste capítulo abordaremos algumas aplicações fenomenológicas ao DIS, mas especiﬁca-

mente ao DIS no referencial de dipolo, o qual permite que o processo seja escrito de forma

fatorizada. Dentro deste formalismo, faremos uma breve revisão de alguns modelos para

a seção de choque de dipolo e desenvolveremos o modelo fenomenológico AGBS, o mais

recente proposto na literatura, que permite escrever a seção de choque de dipolo através

de uma análise no espaço de momentum. Compararemos nossos resultados com os obtidos

pelos outros modelos, todos desenvolvidos no espaço de coordenadas.

4.1 DIS no referencial de dipolo

Consideremos a colisão entre um fóton virtual e um próton em altas energias, ou seja pe queno

x. Vimos que, em p equeno x, o fóton virtual sonda um quark que é tipicamente um quark

de mar que é emitido pelos glúons com pequeno x no próton. É conveniente separar es sa

emissão de quarks da função de onda do próton através de uma mudança de referencial

no qual vemos o processo. Este novo referencial–chamado de referencial de dipolo– pode

ser obtido realizando uma transformação de Lorentz (boost), de modo que a maior parte

da energia ainda é carregada pelo próton, mas o fóton possui energia suﬁciente para se

dissociar, bem antes do espalhamento, em um par quark-antiquark q¯q, um dipolo de cor, o

qual então interage com o próton. Este processo é representa do na Figura 4.1.

Mais especiﬁcamente, esse referencial é descrito, usando as co ordenadas do cone de luz,

por

= (

√

2P, 0, 0), q

= (−

−

, 0, q

−

) (4.1.1)

onde q

≫ Q, mas com α

ln(q/Q) ≪ 1. Pode-se mostrar que o tempo de vida do par q¯q é

muito maior que o tempo de colisão, de modo que suas coordenadas transversais permanecem

’congeladas’ durante a interação com o próton.

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 52

Fig. 4.1: Ilustração da transformação de Lorentz levando do referencial de Breit para o

referencial de dipolo.

Chamando de κ e κ

′

os quadri-momenta do quark e do antiquark do par, respectivamente,

tem-se



2zq

−

, κ, zq

−



, (4.1.2)

′µ



2(1 − z)q

−

, −κ, (1 − z)q

−



, (4.1.3)

onde z e (1 − z) são as frações de momentum do fóton carregadas pelo quark e antiquark,

respectivamente. Para calcular o tempo de formação do dipolo ∆t

form

, deve-se calcular a

diferença de energia entre o par q¯q e o fóton virtual. A energia do par é

q¯q

(κ + κ

′

)

+ (κ + κ

′

)

−

√



−

2z(1 − z)q

−



, (4.1.4)

e a energia do fóton virtual é obtida analogamente,

∗

+ q

−

√



−



. (4.1.5)

Assim,

∆E = E

par

− E

∗

√



2z(1 − z)q

−



(4.1.6)

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 53

Para κ

∼

z(1 − z)Q

[48],

∆E ≃

√

−

. (4.1.7)

Usando

x =

2Mν

, ν =

P · q

√

2P q

−

, (4.1.8)

tem-se que

∆E ≃

√

−

P Q

Mν

= 2P x. (4.1.9)

Finalmente, o tempo de formação do par é estimado através da fórmula

∆t

form

∼

∆E

≃

2P x

. (4.1.10)

Como x ≪ 1, temos que o tempo de formação do par é muito maior que o tempo da colisão,

∆t

form

≫ ∆t

col

∼

. (4.1.11)

Equivalentemente, pode-se dizer que o dipolo viaja uma longa distância l ∼ 1/2P x antes

do espalhamento com o alvo.

Esta representação física é expressa numa fórmula fatorizada para as seções de cho-

que σ

∗

T,L

(e portanto, para a seção de choque total σ

∗

). Estas são dadas pela seguinte

convolução:

∗

T,L

, Y ) =





T,L

(r, z; Q

)



dip

(r, Y ), (4.1.12)

onde |Ψ

T,L

(r, z; Q

são as funções de onda do fóton (transversal e longitudinal) que forne-

cem as densidades de probabilidade para um fóton se separar em um dipolo com tamanho

transversal r. Estas podem ser calculadas na Eletrodinâmica Quântica (QED) perturba-

tiva [69,70] e suas formas explícitas são

|Ψ

(r, z; Q

4π





+ (1 − z)



(

r) + m

(



(4.1.13)

|Ψ

(r, z; Q

4π





(1 − z)

(



(4.1.14)

onde

= z(1 − z)Q

+ m

, m

é a massa do quark com sabor q e K

0,1

são as funções de

McDonald de ordem zero e um, respectivamente.

A função σ

dip

é a seção de choque total da interação dipolo-próton, e é dada, através do

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 54

1−z

Fig. 4.2: Representação do DIS no referencial de dipolos em termos das variáveis envolvi-

das: o tamanho do dipolo r, o parâmetro de impacto b e as frações de momentum

carregadas pelos constituintes do dipolo.

teorema óptico, por

dip

(r, Y ) = 2



b T (r, b)

, (4.1.15)

onde T (r, b)

é a amplitude de espalhamento para um dipolo cujo tamanho transversal

é dado pelo vetor r = x − y, em um dado parâmetro de impacto b =

x+y

. A Figura 4.2

ilustra a interação do dipolo com o próton, apresentando as variáveis envolvidas no processo.

4.2 Seção de choque σ

dip

: fenomenologia

Como as formas explícitas das funções de onda do fóton virtual são conhecidas, resta-nos ter

uma expressão para a seção de choque dipolo-próton. Diferentes modelos têm se mostrado

muito eﬁcientes na descrição dos dados do DIS.

Aqui, faremos uma breve revisão de dois destes modelos, o chamado modelo GBW

[71,72], e sua extensão à análise DGLAP, resultando no modelo de saturação BGBK [73,74],

e o modelo IIM [75] (ou ajuste CGC). Em seguida descreveremos em detalhes o modelo

AGBS [76], o foco deste capítulo. Outros modelos que também descrevem com sucesso os

dados do DIS podem ser encontrados na literatura. Estes incluem o modelo de Forshaw e

Shaw [77–79], baseado nas idéias da teor ia de Regge combinadas com a idéia de saturação,

o modelo de McDermott, Frankfurt, Guzey e Strikman [80], bastante próximo ao modelo

BGK, e a análise feita por Kowalski, Motyka e Watt [81], que leva em conta o problema da

dependência no parâmetro de impacto da amplitude de espalhamento.

Os modelos GBW e IIM consideram que a amplitude de espalhamento não depende do

parâmetro de impacto b, o que é uma suposição razoável em altas e nergias. Neste caso, o

próton é tratado como um disco homogêneo de raio R

e a seção de choque dipolo-próton em

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 55

(4.1.12) torna-se proporcional à amplitude de espalhamento através da relação (r = |x− y|)

∗

dip

(r, Y ) = 2πR

T (r)

. (4.2.16)

Vimos na Seção anterior que a função de estrutura do próton F

pode ser escrita em termos

da seção de choque γ

∗

p através da fórmula

(x, Q

) =

4π



∗

(x, Q

) + σ

∗

(x, Q

)



Assim, através das equações (4.1.12), (4.1.13), (4.1.14) e (4.2.16), é possível expressar F

em termos da amplitude de espalhamento T (r)

(x, Q

) =

2πα





|Ψ

(z, r)|

+ |Ψ

(z, r)|



T (r)

(4.2.17)

É importante observar que a amplitude de espalhamento depende do tamanho r do dipolo,

ou seja, é expressa no espaço de coordenadas. Esta é uma característica comum aos m odelos

GBW e IIM, descritos a seguir.

4.2.1 O modelo GBW

O modelo de saturação desenvolvido por Golec-Biernat e Wüsthoﬀ, ou modelo GBW [71,72],

é um modelo fenomenológico que incorpora de uma maneira simples elementos básicos da

física de sat uração. Este modelo está contido na seguinte parametrização para a seção de

choque de dipolo:

dip

(x, r) = σ

T (r)

= σ



1 − e

−r

(x)/4



, (4.2.18)

onde Q

(x) = Q

/x)

, Q

= 1 GeV e σ

, x

e λ são parâmetros livres, extraídos a partir

do ajuste aos dados de HERA para F

em pequeno x.

A Eq.(4.2.18) interpola entre o regime de transparência de cor (σ

dip

∝ r

) para pequenos

tamanhos de dipolos e limite de disco negro (σ

dip

≈ σ

) para grandes tam anhos de dipolos,

com a tr ansição entre estes regimes ocorrendo em uma escala r ∼ 1/Q

(x). Contudo, o

modelo ignora algumas propriedades da evolução na QCD tanto no regime diluído, onde

ele falha em descrever a violação do escalamento de Bjorken, como na transição para a

saturação, onde a transparência de cor é modiﬁcada pela evolução BFKL já para pequenos

dipolos r < 1/Q

(x).

O modelo GBW fornece um ajuste muito bom aos primeiros dados de HERA para

∗

para x < 0.01 e para valores pequenos e intermediários de Q

(até em torno de 100

GeV

). Os valores dos parâmetros obtidos a partir do ajuste original são σ

= 23 milibarns,

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 56

λ = 0.288 e x

= 3.04 × 10

−4

[71, 72]. Tanto para a função de estrutura F

como para a

função de estrutura difrativa F

este modelo reproduziu os dados de HERA com bastante

sucesso.

Com o advento de dados de HERA mais precisos, este modelo precisou ser aperfeiçoado

para fornecer uma descrição melhor de F

em valores de virtualidade do fóton Q

> 20

GeV

. Isto foi feito por Bartels, Golec-Biernat e Kowalski [73,74], incorporando ao modelo

de saturação uma densidade de glúons que evolui de acordo com as equações de evolução

DGLAP, o que aperfeiçoa a parte de pequeno r da seção de cho que de dipolo. Esta é dada

por

dip

= σ



1 − exp



−

(µ

)xg(x, µ

)

3σ



, (4.2.19)

o que recupera o resultado conhecido na QCD perturbativa que para dipolos com tamanhos

pequenos a seção de choque de dipolo é proporcional à distrib uição de glúons com a escala

∼ 1/r

. A distribuição de glúons evolui com a escala de acordo com as equações DGLAP

em ordem dominante. O comportamento da seção de choque (4.2.19) em grande r não é

modiﬁcada em relação ao modelo GBW.

O modelo BGBK foi utilizado para a descrição dos dados de HERA para a função de

estrutura F

, bem como para fazer predições para as contribuições de quar ks pesados F

c¯c

. Foram obtidas boas descrições para os dados, bem como apresentadas predições para

a função de estrutura longitudinal F

e função de estrutura difrativa.

4.2.2 O modelo IIM

O modelo proposto por Iancu, Itakura e Munier [75], também chamado de modelo IIM ou

ajuste CGC, foi originalmente utilizado para reproduzir os dados de F

no regime cinemático

x < 0.01 e Q

< 50 GeV

. Os parâmetros livres neste modelo são exatamente os mesmos

do modelo GBW, ou seja, σ

= 2πR

, x

e λ.

A amplitude de espalhamento dipolo-próton, que entra na Eq.(4.2.16), é expressa da

seguinte maneira,

T (r)











[

ln(2/rQ

)

κλY

]

para rQ

≤ 2

1 − e

−a ln

(brQ

)

para rQ

> 2.

(4.2.20)

A primeira expressão de (4.2.20) é obtida a partir da análise da equação BFKL com

uma condição de contorno na linha de saturação, enquanto a segunda expressão é obtida a

partir da equação BK [82–84] ou mesmo a partir do formalismo do Condensado de Vidros

de Cor (CGC) [23]. Os parâmetros a e b são ﬁxos de modo a garantir que a amplitude e

sua derivada sejam contínuas em rQ

= 2 e, no artigo original, γ

e κ = χ

′′

(γ

)χ(γ

) foram

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 57

ﬁxados nos seus valores obtidos a partir do núcleo BFKL em ordem dominante, γ

≈ 0.6275

e κ ≈ 9.9. A amplitude T

foi variada entre os valores 0.5 e 0.9, o valor 0.7 fornecendo

bons resultados do ajuste. Na análise original, o ajuste aos dados de HERA não incluem

contribuições dos quarks pesados. Apenas recentemente [85] o modelo IIM foi aperfeiçoado

com a inclusão dos quarks pesados (charm e bottom).

A parametrização do modelo IIM para a amplitude de espalhamento, e conseqüentemente

para a seção de choque de dip olo, também foi usada para outras aplicações fenomenológicas,

tanto para a física de HERA como de RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider).

4.3 O modelo AGBS

Tanto o modelo GBW como o IIM incorp oram comportamentos esperados para a seção

de choque de dipolos. Em particular, o modelo IIM fornece uma parametrização para a

amplitude de espalhamento completamente baseada na QCD perturbativa, reproduzindo o

seu comportamento nos regimes diluído e saturado.

Como vimos no Capítulo 3, o comportamento assintótico das soluções da equação BK é

naturalmente expresso no espaço de momentum, es pecialmente no regime diluído, obtido a

partir das soluçõ es de ondas progressivas da equação BK. Isto nos motivou para desenvolver-

mos um modelo de dipolos para expressar a seção de choque σ

∗

em termos da amplitude

neste espaço, a qual designaremos por

T (k, Y )

. Chamamos este modelo de AGBS [76],

como referência aos nomes dos autores (Amaral-Gay Ducati-Betemps-Soyez). Este modelo

é o primeiro da literatura desenvolvido em espaço de momentum no formalismo de dipolos.

Para compreendermos este modelo, iniciamos observando que, realizando a transformada

de Fourier

T (r, Y ) = r



2π

ik·r

T (k, Y )

= r



∞

dk kJ

(kr)

T (k, Y ) (4.3.21)

para a amplitude de espalhamento, podemos reescrever a função de estrutura F

em termos

T (k, Y ). Após algumas manipulações algébricas (ver Apêndice B), podemos reescrever

a expressão (4.2.17) e chegamos à seguinte expressão para F

(x, Q

) =

4π



∞



dz |

Ψ(k

, z; Q

T (k, Y ), (4.3.22)

A partir de agora, omitiremos a notação ·.

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 58

onde a função de onda do fóton é agora expressa no espaço de momentum,

Ψ(k

, z; Q





+ 4











+ (1 − z)







4(k

)



+ 4

)

arcsinh





− 2





(4.3.23)

(1 − z)

+ m





−

+ 2

+ k



+ 4

)

arcsinh















O modelo AGBS consiste em propor uma parametrização para

T (k, Y ), a primeira no es-

paço de momentum da literatura, e tal proposta não consiste em usar diretamente soluções

numéricas da equação BK como entrada, mas sim utilizar nossos conhecimentos das pro-

priedades de suas soluções a ﬁm de apresentar uma expressão analítica para

T (k, Y ). Esta

parametrização para a amplitude será então inserida em (4.3.22) com o objetivo de repro-

duzir medidas experimentais recentes obtidas para F

. Como veremos, a reprodução de tais

medidas é realizada com sucesso.

4.3.1 A parametrização para

A expressão (3.6.57) dá apenas a descrição da chamada ’cauda’ diluída da frente de onda

T (k, Y ) ≪ 1 (k ≫ Q

). Para descrever a frente de maneira completa, precisamos também

das expressões para

T na vizinhança da escala de saturação e na própria região de saturação.

Na região de infravermelho, pode-se mostrar, por exemplo, calculando a transformada de

Fourier da função Heaviside T (r) = Θ(rQ

− 1), que a amplitude comporta-se como



(Y )

, Y



k≪Q

= c − log



(Y )



(4.3.24)

onde c é uma constante que não possui um valor ﬁxo.

As parametrizações (3.6.57) e (4.3.24) descrevem completamente o comportamento as-

sintótico da amplitude. Falta obter a transição entre estes dois regimes, ou seja, sermos

capazes de descrever o comportamento da amplitude em torno da escala de saturação. Em

princípio, a maneira mais simples de fazê-lo seria usar (3.6.57) para k > Q

e (4.3.24)

para k < Q

e determinar a constante c assumindo uma distribuição contínua. Contudo,

tal deﬁnição por partes pode introduzir oscilações em T (r, Y ) no espaço de coordenadas

levando mesmo a amplitudes negativas. Portanto, a melhor maneira de obter a descrição da

transição para a saturação é realizar um procedimento de ajuste através de uma interpolação

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 59

analítica entre os dois comportamentos assintóticos.

A ﬁm de obter tal m odelo de interpolação que descreve a transição do regime diluído

para o de saturação, construímos o último a partir do primeiro. Inicialmente, deixemos de

lado o termo logarítmico em ambas (3.6.57) e (4.3.24), já que a interpolação entre eles é

uma tarefa mais simples. Partimos então de uma função monotonicamente decrescente de

L que reproduz (a menos do fator logarítmico) a expressão para a c auda da frente de onda,

Eq.(3.6.57). Chamaremos esta função de

dil

= A exp



−γ

log



(Y )



−

− log

(2)

2¯α

′′

(γ



, (4.3.25)

onde

L = log



1 +

(Y )



. (4.3.26)

e a escala de saturação

(Y ) = k

exp (v

Y ), v

= ¯α

′

(γ

) (4.3.27)

A amplitude é unitarizada por meio de uma eikonal, ou seja, T

unit

= 1 − exp(−T

dil

), e a

expressão ﬁnal para

T (k) é obtida após reinserirmos os comportamentos logarítmicos nos

domínios infravermelho e ultravioleta. A expressão precisa para realizar a unitarização

consiste puramente em um artifício matemático e não em uma escolha ﬁsicamente moti-

vada. Vale ressaltar que testamos outras escolhas, por exemplo, T

dil

/(1 + T

dil

), e obtivemos

resultados similares. Optamos pela forma eikonal por causa de sua simplicidade.

Entre alguns fatores logarítmicos testados, uma escolha que nos forneceu bons resultados

foi

T (k) =



log





+ 1



(1 − e

−T

dil

) (4.3.28)

As equações (4.3.25)–(4.3.28) compõem o modelo AGBS para a amplitude de espalhamento

e será utilizada para descrever, a função de estrutura F

dada por (4.3.22).

4.4 Descrição dos dados para γ

∗

4.4.1 Conjunto de dados

O procedimento de ajuste foi realizado utilizando as últimas medidas de HERA, de H1

[1] e ZEUS [2, 3], da função de estrutura do próton F

. Como nosso método pretende

descrever o comportamento a pequeno x, mas considerando valores não tão grandes de Q

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 60

Massas k

(10

−3

GeV

) v

′′

(GeV

−1

)

= 50 MeV, m

= 50 MeV 3.782 ± 0.293 0.213 ± 0.004 4.691 ± 0.221 2.770 ± 0.045

= 50 MeV, m

= 1.3 GeV 7.155 ± 0.624 0.193 ± 0.003 2.196 ± 0.161 3.215 ± 0.065

= 140 MeV, m

= 1.3 GeV 3.917 ± 0.577 0.161 ± 0.005 2.960 ± 0.279 4.142 ± 0.167

Tab. 4.1: Resultados do ajuste aos dados de F

. Os valores dos parâmetros com seus

respectivos erros são indicados.

Massas χ

/nop

= 50 MeV, m

= 50 MeV 0.960

= 50 MeV, m

= 1.3 GeV 0.988

= 140 MeV, m

= 1.3 GeV 1.071

Tab. 4.2: Valores de χ

por ponto para distintos valores para as massas dos quarks.

(o que signiﬁcaria incluir correções DGLAP), nossa análise é aplicável ao seguinte regime

cinemático:







x ≤ 0.01,

0.045 ≤ Q

≤ 150 GeV

(4.4.29)

Isto nos dá um total de 279 pontos. Os dados de H1 devem ser reescalados por um fator

1,05 que se encontra na incerteza de normalização.

No que diz r espeito aos parâmetros, mantemos γ

= 0.6275 and ¯α = 0.2 ﬁxos e, para a

convolução com a função de onda do fóton, assumimos situações diferentes para as massas

dos quarks: o valor da massa para os quarks leves m

foi escolhido como sendo 50 ou 140

MeV enquanto usamos m

= m

ou m

= 1.3 GeV para a massa do charm. Assim, nossos

parâmetros livres são v

, χ

′′

, k

e R

4.4.2 Resultados

Os parâmetros obtidos a partir do ajuste são mostrados juntamente com o χ

por número de

pontos nas Tabelas 4.1 e 4.2. Plotamos também a com paração com os resultados experimen-

tais para F

na Figura 4.3, bem como prediçõe s para a função de estrutura d e charm F

Figura 4.4. Para ambos os casos, as curvas correspondem a m

= 50 MeV e m

= 1.3 GeV.

Veriﬁca-se uma boa concordância com as medidas para F

devido ao pequeno valor de χ

fornecido pelo ajuste. Além disso, a F

prevista pela parametrização está em concordância

razoável com os resultados experimentais, o que mostra a robustez do modelo AGBS.

No nosso método, a escala de saturação Q

corresponde à escala na qual a amplitude de

espalhamento de dip olo é T (k = Q

(Y ), Y ) = [1+log(2)](1−1/e) ≈ 1.07. Vale observar que,

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 61

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

0.01

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

0.0061

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

0.0037

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

0.0022

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

0.00135

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

8.2 10

-4

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

5 10

-4

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

3 10

-4

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

1.8 10

-4

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

1.1 10

-4

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

6.7 10

-5

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

4 10

-5

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

2.5 10

-5

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

1.5 10

-5

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

9 10

-6

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

5.5 10

-6

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

3.3 10

-6

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

2 10

-6

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

1.2 10

-6

-1

1 10

-3

-2

-1

/ (2

)

7.5 10

-7

Fig. 4.3: Resultados para o ajuste da seção de choq ue fóton virtual-próton. Os pontos e

o ajuste são mostrados como uma função de Q

para valores diferentes de x. O

sinal de mais cor responde aos pontos de ZEUS e a cruz aos de H1 [1–3].

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 62

-4

-3

-2

0.1

0.2

0.3

0.4

=2.0

-4

-3

-2

=4.0

-4

-3

-2

0.1

0.2

0.3

0.4

=7.0

0.2

0.4

0.6

=11.0 Q

=18.0

0.2

0.4

0.6

=30.0

-4

-3

-2

0.1

0.2

0.3

0.4

=60.0

-4

-3

-2

=130.0

-4

-3

-2

-4

-3

-2

0.1

0.2

0.3

0.4

ZEUS

Fig. 4.4: Predições para as medidas de H1 [86, 87] e ZEUS [88] da função de estrutura do

charm. Para cada sub gráﬁco, o valor de Q

é dado em GeV

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 63

Parametrização Massas dos quarks nop χ

/nop

GBW [71] m

= 140 MeV, m

= 1.5 GeV 372 1.5

IIM [75] m

= 140 MeV, sem charm 156 0.81

BGBK [74] m

= 0 MeV, m

= 1.3 GeV 288 1.06

AGBS m

= 50 MeV, m

= 1.3 GeV 279 0.988

Tab. 4.3: Comparação entre os resultados das parametrizações em [71,74,75] e resultados

obtidos através do modelo AGBS.

quando trabalha-se no espaço de momentum, o comportamento logarítmico da amplitude no

infravermelho permite que esta tome valores maiores que um, o que não é uma contradição

com a unitariedade.

Para o ajuste correspondente a m

= 50 MeV e m

= 1.3 GeV, obtemos Q

= 0.206

GeV para x = 10

−4

e Q

= 0.257 GeV para x = 10

−5

. Embora estes valores pareçam

muito pequenos, devemos enfatizar que estes correspondem a valores maiores de T . Se, no

entanto, extrairmos a escala de saturação a partir da condição T = 1/2 quando k = Q

obtemos Q

= 0.296 (resp. Q

= 0.375) GeV para x = 10

−4

(resp. x = 10

−5

). Estes últimos

valores são ainda um tanto menores que as escalas de saturação observada em estudos

anteriores (Q

≈ 1 GeV para x ≈ 10

−5

) e, portanto, conﬁrmam a tendência da escala de

saturação decrescer quando efeitos de quarks pesados são le vados em conta. Assim, a janela

de escalamento geométrico é deslocada para menores valores de Q

, o que signiﬁca que as

correções de saturação possuem menos importância do que esperado a partir da análise sem

efeitos de quarks pesados, especialmente na vizinhança da escala de saturação. Observemos,

no entanto, que para Q

≪ Q

a amplitude é completamente saturada em ambos os casos

e, portanto, a predição para F

permanece a mesma.

Neste ponto, é interessante c omparar nossos resultados com os obtidos em métodos ante-

riores na literatura. Na última década alguns modelos de dipolo do DIS a pequeno-x foram

propostos e foram bem sucedidos na descrição dos dados experimentais. Entre estes, nossas

comparações serão focadas particularmente nos modelos GBW e IIM e desenvolviment os

recentes em relação ao modelo BGBK, que como vimos consiste no modelo GBW aprimo-

rado com a inclusão de uma densidade de glúons que evolui de acordo com a equação de

evolução DGLAP. Alguns resultados destes modelos são mostrados na Tabela 4.3.

Primeiramente, deve-se lembrar que os modelos citados acima foram desenvolvidos no

espaço de coordenadas e não no espaço de momentum. Nossa escolha de trabalhar neste

último está diretamente motivada pela análise da equação BK no espaço de momentum

levando a resultados assintóticos universais nos quais nos baseamos. Embora a maioria dos

outros métodos consiga reproduzir F

com um bom χ

, nosso modelo pode ser diferenciado

dos anteriores em dois aspectos principais. Por um lado, nossa análise baseia-se na equação

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 64

BK para considerar efeitos de unitariedade. Assim, espera-se que nosso método seja mais

preciso que o usado em [71, 72] e [74], especialmente no domínio de pequeno-x e baixo Q

sob investigação. Por outro lado, ao incluirmos o charm massivo nós aprimoramos o modelo

IIM, embora, numa análise um pouco distinta da apresentada aqui [85], este tenha sido

aperfeiçoado com a inclusão de quarks pesados. Além disso, em ambos modelos GBW e

IIM, algumas diﬁculdades são encontradas após realizar-se suas respectivas transformadas

de Fourier. Estes aspectos foram analisados em detalhe em [89]. No caso do mo delo GBW,

a transformada de Fourier da seção de choque de dipolo apresenta um comportamento

perturbativo não realístico, enquanto no modelo IIM ela apresenta valores não positivos.

Estas diﬁculdades inexistem em nosso modelo, já que a transformada de Fourier (amplitude

de espalhamento no espaço de coordenadas) permanece entre 0 e 1. Além disso, a seção de

choque resultante apresenta a propriedade de transparência de cor, i.e. σ

dip

∼ r

quando

r → 0 e a propriedade de saturação, i.e. σ

dip

∼ σ

para grande r.

Estas características associadas com a boa descrição dos dados e χ

pequeno mostram

que a amplitude de espalhamento proposta neste capítulo pode ser uma boa parametrização

para investigar as propriedades dos observáveis em energias de RHIC e LHC, considerando o

modelo de dipolos. No que diz respeito à arbitrariedade do modelo AGBS, embora os resul-

tados não dependam signiﬁcativamente da escolha feita para a unitarização da amplitude,

é interessante para estudos futuros veriﬁcar se é possível obter mais informações analíticas

diretamente a partir da equação BK.

4.5 O efeito das ﬂutuações

Os modelos GBW e IIM foram recentemente utilizados para investigar se as ﬂutuações

estão presentes nas medidas do DIS em HERA. Kozlov, Shoshi e Xiang [90] usam as duas

parametrizações GBW e IIM e consideram as expressões correspondentes para T (r, Y ) como

amplitudes de espalhamento para um único evento. Assim, a inclusão formal das ﬂutuações

consiste em efetuar a média sobre todas as posições das frentes de onda individuais, dada

pela Eq.(3.7.74). A amplitude média é, e ntão, inserida na expressão para a função de

estrutura F

e o procedimento de ajuste aos dados é realizado.

Em [90] os autores fazem o ajuste aos dados de HERA para F

, usando os últimos dados

da colaboração H1 [1], num regime cinemático mais restrito, com x < 0.01 e Q

max

= 50

GeV

. O parâmetro livre adicional é o co eﬁciente de difusão D e os resultados dos ajustes

são mostrados nas tabelas abaixo, que apresentam os parâmetros extraídos e o valor do

/n.d.p. para os casos com e sem ﬂutuações.

A partir destas tabelas, temos que, para os dois modelos, os ajustes são melhorados

quando as ﬂutuações são incluídas, especialmente para o caso do modelo GBW. Os valores

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 65

/d.o.f x

(×10

−4

) v

R(fm) D

266.22 1.74 4.11 0.285 0.594 0

173.39 1.14 0.0546 0.225 0.712 0.397

Tab. 4.4: modelo GBW: Os parâmetros da amplitude evento por evento (segunda linha) e

da amplitude média (terceira linha) [90].

/d.o.f x

(×10

−4

) v

R(fm) D

150.45 0.983 0.5379 0.252 0.709 0

122.62 0.807 0.0095 0.198 0.812 0.325

Tab. 4.5: modelo IIM: Os parâmetros da amplitude evento por evento (segunda linha) e da

amplitude média (terceira linha) [90].

obtidos para o expoente de saturação v

também são consistentes com as predições da QCD

perturbativa, e os valores obtidos para o coeﬁciente de difusão são similares aos valores

obtidos na literatura. Os resultados, contudo, são inconclusivos: o melhoramento no ajuste

no caso do modelo IIM não é tão expressivo quando para o caso do modelo GBW, e isso

pode ser devido ao fato deste não incluir, na sua parametrização para a amplitude de

espalhamento, termos de violação do escalamento geométrico, originalmente presentes no

modelo IIM. Assim, por meio dessa análise, não é possível aﬁrmar se as ﬂutuações existem

ou não em HERA.

Realizamos, então, uma análise similar à descrita acima, mas no espaço de momentum,

através do modelo AGBS. Em termos de unidades logarítmicas, o modelo pode ser reescrito

como

AGBS

(ρ, Y ) = L



1 − e

−T

dil



, (4.5.30)

onde

dil

= exp



−γ

(ρ − ρ

) −

− log

(2)

2¯αχ

′′

(γ



, (4.5.31)

L = ln



1 + e

(ρ−ρ

)



com Q

(Y ) = k

, (4.5.32)

= 1 + ln



(ρ−ρ

)

+ e

−

(ρ−ρ

)



. (4.5.33)

Como foi dito, para incluir as ﬂutuações, consideramos a parametrização acima como a

expressão para a amplitude para um único evento, e a amplitude média é obtida através da

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 66

integração abaixo:



AGBS

(ρ, ρ

)





+∞

−∞

dρ

(ρ

)

AGBS

(ρ, ρ

). (4.5.34)

Esta é a expressão que deve ser inserida em (4.3.22) para reproduzir os dados do DIS

para a função de estrutura F

com as ﬂutuações corretamente incluídas.

4.5.1 Conjunto de dados e resultados

Nesta análise, assim como a realizada no trabalho original do modelo AGBS, todos os

últimos dados das medidas de HERA de F

das Colaborações H1 e ZEUS [1–3] são ajustados,

considerando o regime cinemático (4.4.29), o que também corresponde a 279 pontos.

No que diz respeito aos parâmetros, mantemos ﬁxos ¯α = 0.2, e γ

= 0.6275, cujo valor

corresponde ao obtido a partir do núcleo BFKL em ordem dominante. Os outros parâmetros

da amplitude, v

, k

e χ

′′

(γ

), s ão deixados livres, assim como o raio do próton R

, que ﬁxa

a normalização da seção de choque dipolo-próton em relação à amplitude de espalhamento,

e o coeﬁciente de difusão D, que é o único novo parâmetro em relação à análise de campo

médio. Consideramos apenas quarks leves e os valores para suas massas são m

u,d,s

= 50 e

140 MeV.

/n.d.p

(×10

−3

) v

R(GeV

−1

) χ

′′

(γ

) D (×10

−2

)

0.949 3.79 ± 0.30 0.213 ± 0.003 3.576 ± 0.059 4.69 ± 0.23 0

0.949 3.79 ± 0.30 0.213 ± 0.003 3.576 ± 0.059 4.69 ± 0.23 0.0 ± 1.1

Tab. 4.6: Parâmetros extraídos do ajuste aos dados de H1 e ZEUS para F

no caso onde

u,d,s

= 50 MeV, tanto da amplitude de evento por evento (segunda linha) e da

amplitude média (terceira linha).

/n.d.p k

(×10

−3

) v

R(GeV

−1

) χ

′′

(γ

) D (×10

−3

)

0.942 1.69 ± 0.16 0.176 ± 0.004 4.83 ± 0.12 6.43 ± 0.29 0

0.942 1.69 ± 0.16 0.176 ± 0.004 4.83 ± 0.12 6.43 ± 0.29 0.0 ± 9.6

Tab. 4.7: Parâmetros extraídos do ajuste aos dados de H1 e ZEUS para F

no caso onde

u,d,s

= 140 MeV, tanto da amplitude de evento por evento (segunda linha) e da

amplitude média (terceira linha).

As Figuras 4.5 e 4.6 mostram a função de estrutura F

como uma função de x para

valores pequenos e moderados de Q

, respectivamente. As Tabelas 4.6 e 4.7 apresentam os

valores dos parâmetros obtidos do ajuste nos casos sem ﬂutuações (primeira linha) e com

ﬂutuações (segunda linha). O primeiro caso corresponde ao valor D = 0 para o coeﬁciente

de difusão.

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 67

É possível veriﬁcar, a partir das tabelas com os parâmetros e das ﬁguras com os gráﬁcos,

que os dados de F

são reproduzidos com sucesso tanto no caso com ﬂutuações, como no caso

sem ﬂutuações. Isto é mostrado pelos bons valores do χ

/n.o.p. e pelas curvas nas Figuras

4.5 e 4.6. Se compararmos os resultados para ambos os casos (ver Tabelas 4.6 e 4.7), vemos

que o valor do χ

/n.d.p. não é sensível à inclusão das ﬂutuações, e portanto não varia em

relação ao caso sem ﬂutuações, e o mesmo pode ser dito para os parâmetros. Especialmente

para o coeﬁciente de difusão D, seu valor obtido na presença de ﬂutuações é muito pequeno,

mais especiﬁcamente muito próximo do seu valor de campo médio, D = 0. Assim, no

formalismo do modelo AGBS, não há nenhuma evidência da presença das ﬂutuações no DIS

nas energias de HERA. Isto indica que o tratamento de campo médio, com parâmetro de

acoplamento ﬁxo (¯α

ﬁxo), é suﬁciente para investigar a fenomenologia da QCD em altas

energias, pelo menos para as energias de HERA.

0.2

0.4

−6

−3

=0.3

−6

−3

=0.4

−6

−3

=0.5

−6

−3

=0.65

0.1

0.2

0.3

=0.11

=0.15

=0.2

=0.25

0.1

=0.045

=0.065

=0.085

Fig. 4.5: Predições para os dados de H1 e ZEUS para a função de estrutura F

versus x

para pequenos valores de Q

, dados em GeV

. O ajuste foi realizado com massas

dos quarks leves m

u,d,s

= 140 MeV.

É importante compararmos nossos resultados com os obtidos na Ref. [90]. Como foi

dito no início desta Seção, embora esta análise resulte em uma boa descrição dos dados de

HERA, ela não é conclusiva em relação à presença de ﬂutuações. Em particular, o valor de

D extraído do ajuste está de acordo com os valores previstos na literatura [47,91], ou seja,

um número de ordem O(1), o que indica que as ﬂutuações poderiam estar presentes em

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 68

0.5

1.5

−4

−3

−2

=70

−4

−3

−2

=90

−4

−3

−2

=120

−4

−3

−2

=150

0.5

1.5

=27

=35

=45

=60

0.5

1.5

=18

=20

=22

=25

0.5

1.5

=8.5

=10

=12

=15

0.5

1.5

=3.5

=4.5

=6.5

0.5

1.5

=1.5

=2.5

=2.7

Fig. 4.6: Predições para os dados de H1 e ZEUS para a função de estrutura F

versus x

para valores moderados de Q

, dados em GeV

. O ajuste foi realizado com massas

dos quarks leves m

u,d,s

= 140 MeV.

HERA. No entanto, deve-se observar novamente que em [90] o ajuste é realizado utilizando

apenas os dados de ZEUS, ou seja, não inclui os dados de H1, e em um regime cinemático

mais restrito.

Na realidade, se repetirmos a análise feita em [90]–mesmo conjunto de dados (apenas

ZEUS) e mesmo regime cinemático–usando o modelo AGBS, os resultados obtidos são bas-

Capítulo 4. Fenomenologia aplicada ao DIS: formalismo de dipolos 69

/n.d.p k

(×10

−3

) v

R(GeV

−1

) χ

′′

(γ

) D

0.788 4.26 ± 0.43 0.214 ± 0.005 3.497 ± 0.068 4.34 ± 0.28 0

0.782 4.02 ± 0.56 0.190 ± 0.030 3.64 ± 0.21 3.84 ± 0.21 0.92 ± 1.16

Tab. 4.8: Parâmetros extraídos do ajuste aos dados de ZEUS para F

, no caso onde

u,d,s

= 50 MeV.

/n.o.p

(×10

−3

) v

R(GeV

−1

) χ

′′

(γ

) D

0.778 1.97 ± 0.22 0.177 ± 0.006 4.68 ± 0.14 5.95 ± 0.94 0

0.768 1.38 ± 0.12 0.120 ± 0.010 5.459 ± 0.043 5.46 ± 0.55 1.78 ± 0.38

Tab. 4.9: Parâmetros extraídos do ajuste aos dados de ZEUS para F

, no caso onde

u,d,s

= 140 MeV.

tante similares, como pode ser visto na Tabela 4.9, com valores do χ

/n.d.p. melhores.

Nossa análise é, portanto, mais completa, pois inclui todos os últimos dados de HERA para

o DIS e considera um regime cinemático mais amplo.

Nossos resultados e nossas principais conclusões parecem esclarecer alguns dos principais

aspectos da investigação dos efeitos das ﬂutuações em HERA e conﬁrmar a robustez do

modelo AGBS na descrição de processos nos quais o formalismo de dipolos pode ser aplicado.

Para valores de energia muito maiores que as de HERA, será possível veriﬁcar se as ﬂutuações

estão presentes em um futuro não muito distante, nos experimentos realizados no LHC. Mais

especiﬁcamente, veriﬁcaremos se estas realmente afetam fortemente a evolução na QCD ou

se são suprimidas pela variação do acoplamento forte α

, como foi recentemente sugerido por

desenvolvimentos recentes realizados no contexto do modelo unidimensional que reproduz

com bastante sucesso as principais características do espalhamento e da evolução na QCD

em altas energias [47,92], que será descrito no próximo Capítulo.

Capítulo 5

Um modelo unidimensional para a QCD

a altas energias

Como vimos nos capítulos anteriores, as equações de laços de pomerons são as principais

candidatas para descrever a evolução das amplitudes de espalhamento em direção ao limite

de altas energias. Contudo, estas equações possuem uma estrutura muito complicada, o

que torna difícil uma análise detalhada do espalhamento na QCD em altas energias, prin-

cipalmente no que diz respeito às soluções dessas equações. Após certas aproximações

para simpliﬁcar a estrutura não local das equações de laços d e pomeron, vimos que estas

reduzem-se a uma equação de Langevin, conﬁrmando as recentes descobertas associadas

com a correspondência entre a QCD em altas energias e os processos de reação-difusão

da física estatística. Diante desta correspondência, nos últimos anos alguns autores têm

se voltado para o desenvolvimento de modelos estocásticos de partículas que apresentam

características do espalhamento e da evolução na QCD em altas energias. Neste capítulo,

apresentamos em detalhes um desses modelos.

5.1 Construção do modelo

Nesta seção, formularemos o modelo estocástico de partículas para evolução em altas ener-

gias e espalhamento na QCD. Como explicado na Introdução, este é um modelo (1+1)-

dimensional onde uma das dimensões refere-se à rapidez Y (o logaritmo da energia), que

realiza o papel de tempo para a evolução em altas energias, enfuando a outra é uma di-

mensão espacial–a posição da partícula ao longo de um eixo unidimensional inﬁnito. Em

analogia com a QCD, deve-se ter em mente que essa dimensão espacial corresponde a um

tamanho, mais precisamente o logaritmo do inverso do tamanho transversal de um dipolo.

Primeiramente, descreveremos a versão discreta do modelo, na qual a dimensão espacial

é associada a uma rede unidimensional cujos pontos são identiﬁcados por i. Obviamente,

essa versão é a mais adequada para implementação numérica que será discutida em seções

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 71

posteriores.

Um sistema de partículas é caracterizado pelo número de partículas n

(ou números de

ocupação) em todos os sítios da rede (alguns destes podem estar vazios). A composição

do sistema varia de forma randômica à medida que a rapidez aumenta, e esta variação é

realizada através da dissociação de partículas (uma partícula se divide em duas) de acordo

com uma lei a ser especiﬁcada nos próximos parágrafos. A distribuição de partículas é,

portanto, estocástica, e o estado do sistema na rapidez Y é descrito pela probabilidade

P ({n}, Y ) de encontrar uma dada conﬁguração {n} ≡ {. . . , n

, n

i+1

, . . . } de partículas.

A ﬁm de tratar do problema de espalhament o, a primeira suposição é a de que o elemento

de matriz–S médio para o espalhamento elástico é dada pela seguinte forma fatorizada:

S



{n},{m}

({n}, Y − Y

) P

({m}, Y

) S({n}, {m}), (5.1.1)

onde Y é a separação total em rapidez entre os dois sistemas de partículas, de tipos direita,

de índice R, e esquerda, de índice L. Estes índices referem-se ao fato de que, em um

espalhamento real, os dois sistemas que colidem propagam-se em direções opostas ao longo

do eixo de colisão. A rapidez total é dividida entre o alvo (R), que possui rapidez Y − Y

e o projétil (L), que possui rapidez −Y

(com Y

> 0), e as respectivas distribuições de

probabilidades P

({n}, Y −Y

) e P

({m}, Y

) descrevem os respectivos sistemas no momento

do espalhamento. A quantidade S({n}, {m}) é a matriz–S para o espalhamento elástico

entre duas dadas conﬁgurações {n} e {m} do alvo e, respectivamente, do projétil. A soma

na equação (5.1.1) é realizada sobre todas as conﬁgurações possíveis dos dois sistemas.

A matriz–S deve ser independente da rapidez divisora Y

, ou seja, independente da

escolha de um referencial de Lorentz, o que implica em

0 =

d S



{n},{m}



(Y − Y

)

∂P

)

∂Y

∂P

(Y − Y

)

∂Y

)



S({n}, {m}) . (5.1.2)

Esta condição, que relaciona propriedades do espalhamento com as da evolução com Y ,

representa um vínculo ainda maior na última, e pode ser usado para ﬁxar a estrutura da

lei de evolução sob suposições adicionais. Enumeraremos aqui as principais suposições nas

quais nos basearemos no que diz respeito à evolução:

(i) Espalhamentos múltiplos na aproximação eikonal. Denotemos por σ

= 1 − τ

matriz–S que descreve o espalhamento entre duas partículas elementares com posições

i e j, e τ

é a matriz–T correspondente, a qual assumimos que seja real. Cada partícula

do alvo pode interagir com todas as partículas do projétil e diferentes partículas do

alvo interagem independentemente umas das outras. Assim, a matriz–S para dadas

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 72

conﬁgurações do alvo e do projétil é dada por

S({n}, {m}) =



i,j

. (5.1.3)

(ii) Uma emissão de partícula por passo na evolução. Assumiremos que, quando a rapidez

cresce em um passo (Y → Y + dY ), a evolução consiste na emissão de uma única

partícula adicional, com uma probabilidade que em geral depende de todos os números

de ocupação no sistema.

Essas duas suposições são naturais sob a perspectiva da QCD perturbativa em altas

energias: a aproximação eikonal é o méto do padrão para ressom ar espalhamentos múltiplos

na QCD em altas energias, tanto para glúons [16–22, 25–27] quanto para dipolos [55, 56,

93, 94]. Além disso, a evolução na QCD em altas energias na aproximação de logaritmo

dominante consiste na emissão de um glúon no canal s em cada passo da evolução. Ao

contrário de outros modelos na literatura [42–45], nosso modelo não inclui um mecanismo

para recombinação de partículas, o que concorda com o fato de que não há recombinação de

glúons ou dipolos no canal s na aproximação de logaritmo dominante. Ainda, como veremos

a seguir, a saturação ocorre através de efeitos de altas densidades na taxa de emissão, similar

ao que acontece com a saturação gluônica no formalismo da evolução JIMWLK [23].

(iii) Após um passo na evolução, a conﬁguração do sistema é modiﬁcada apenas pela adição

de uma nova partícula em um sítio arbitrário. Assim, a conﬁguração permanece igual

à anterior à evolução, exceto pela presença da partícula adicional. Esta suposição é

um vínculo ainda mais forte que a suposição (ii), a qual permitiria qualquer estado

ﬁnal com uma partícula adicional.

A partir dessas condições, é possível obter a equação de evolução para as distribuições

de probabilidade na forma genérica

∂P ({n}, Y )

∂Y





(. . . , n

− 1, . . . ) P (. . . , n

− 1, . . . , Y ) − f

({n}) P ({n}, Y )



, (5.1.4)

onde f

({n}), que é a taxa de depósito – a probabilidade por unidade de rapidez de encontrar

uma partícula extra no sítio i após um passo na evolução, partindo de uma conﬁguração

original {n}. O termo positivo no lado direito da Eq.(5.1.4) mostra que para atingir uma

conﬁguração ﬁnal {n} após um passo na evolução, é preciso iniciar com uma conﬁguração

com uma partícula a menos no sítio i, onde i é arbitrário. O termo negativo é necessário

para a conservação da probabilidade.

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 73

A ﬁm de completar a construção do modelo, é preciso deduzir uma forma explícita para

a taxa de depósito f

({n}), o que é obtido explorando a condição de invariância de Lorentz,

ou seja, inserindo a equação (5.1.4) em (5.1.2). Obtemos



({n}) t

({m}) − f

({m}) t

({n})] = 0, (5.1.5)

onde deﬁnimos

({n}) = 1 −



, (5.1.6)

que formalmente é igual à amplitude para o espalhamento de uma partícula do projétil no

sítio i com um alvo com uma conﬁguração {n}. A solução mais geral para a Eq.(5.1.5)

possui a forma

({n}) =



({n}) com c

= c

, (5.1.7)

onde c

independe dos números de ocupação. Convém escolher c

∝ δ

, já que tal escolha

leva a um modelo intuitivo e relativamente simples que possui ainda uma estrutura rica,

como veremos mais adiante. Em particular, ﬁxaremos este modelo escolhendo

∆

, (5.1.8)

onde τ ≡ τ

e ∆ é o espaçamento da rede ao longo do eixo espacial discretizado. O fato

de c

ser proporcional a ∆ é natural, pois a densidade f

/∆ será bem deﬁnida no limite

contínuo ∆ → 0. Escolher c

proporcional a 1/τ também é natural, pois no limite de baixa

densidade f

deve ser da ordem O(1) quando medida em unidades de τ . De fato, quando

os n

’s são relativamente pequenos, tais que n

≪ 1, a amplitude de espalhamento t

equação (5.1.6) é reduzida a t

≈



e portanto a dependência paramét rica de c

τ exibida acima é claramente necessária para que essa condição seja satisfeita.

A forma explícita para a taxa de depósito é, portanto, dada pela expressão

({n})

∆

1 −



({n})

, (5.1.9)

que, a menos de um fator de normalização, é simplesmente a amplitude para o espalhamento

entre a nova partícula produzida no s ítio i e as partículas pré-existentes no sistema, a partir

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 74

das quais a nova partícula foi emitida.

Para compreendermos melhor o conteúdo físico da fórmula acima, é necessário conhecer

um pouco mais sobre a amplitude de espalhamento elementar τ

. Nas próximas seções,

apresentaremos um modelo explícito para essa quantidade, também baseado na analogia com

a QCD. Por enquanto, mencionaremos apenas que τ

depende da separação |i−j| e decresce

rapidamente quando esta separação aumenta. Em particular, τ ≡ τ

é independente de i e é

considerada pequena: τ ≪ 1 (a quantidade análoga na QCD é de O(α

)). Temos, portanto,

≪ 1 para qualquer par (ij).

Consideremos agora alguns casos-limite da Eq.(5.1.9), que já apresentam a similaridade

entre este modelo e a QCD no limite de altas energias:

(i) Quando os números de ocupação são relativamente p equenos, de mo do que n

≪

1/τ

, é possível expandir σ

≈ 1 −n

. Neste caso, a densidade da taxa de depósito para

um sítio i se torna proporcional aos números de ocupação em todos os sítios:

({n})

∆

≈



quando n

≪ 1/τ

para qualquer j, (5.1.10)

o que descreve uma situação na qual a partícula extra em i é emitida incoerentemente por

qualquer partícula pré-existente no sistema. Quando a aproximação (5.1.10) é válida para

qualquer sítio i, fala-se em um regime diluído ou linear. Como τ

é uma função decrescente

da separação |i − j|, o regime diluído é realizado quando todos os números de ocupação

obedecem a condição n

≪ 1/τ. O formalismo de dipolos em QCD [55,56] é o meio correto

de comparação para nosso modelo nesse regime; de fato, se o análogo da taxa de depósito é

calculado neste formalismo, o resultado encontrado é que este comporta-se linearmente com

a densidade de dipolos [94].

(ii) Quando pelo menos um dos números de ocupação n

torna-se tão grande que

≪ 1 (isto exige n

∼

1/τ

), a taxa de depósito em i satura em seu valor máximo de

O(1/τ) :

({n})

∆

≈

quando n

∼

1/τ

para algum j. (5.1.11)

Em particular, uma condição suﬁciente para ter saturação em um dado sítio i é que o

número de ocupação respectivo n

satisfaça n

∼

1/τ. Isto também é similar à situação na

QCD, onde a taxa de emissão de glúons na equação JIMWLK satura quando os números

de ocupação são suﬁcientemente grandes.

Antes de prosseguirmos, é interessante realizarmos uma discussão física da evolução

descrita pela Eq.(5.1.4). Para isto, imaginemos um mecanismo microscópico esp ecíﬁco que

leva a esta evolução. É natural assumir que o processo que leva à produção da partícula

extra em um passo da evolução é a divisão de uma partícula em duas partículas novas.

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 75

Para que tal mecanismo seja consistente com a Eq.(5.1.4), uma suposição adicional é no

entanto necessária: pelo menos uma das duas partículas produzidas após tal divisão deve

permanecer no mesmo sítio da rede que a partícula que a originou. Introduzindo a taxa de

emissão g

j→ji

({n}) parra uma partícula no sítio j se dividir em duas partículas em j e i,

respectivamente, com i arbitrário, chegamos à seguinte equação

∂P ({n}, Y )

∂Y





j→ji

(. . . , n

− 1, . . . ) P (. . . , n

− 1, . . . , Y ) − g

j→ji

({n}) P ({n}, Y )



(5.1.12)

que leva à Eq. (5.1.4) após a identiﬁcação f

({n}) =



j→ji

({n}). O processo na Eq.(5.1.12)

é bastante peculiar no sentido que a partícula que se divide não desaparece no estado ﬁnal,

mas é substituída por uma nova partícula no mesmo sítio (incidentalmente, esta discussão

também mostra que uma generalização natural deste modelo seria permitir a divisão mais

geral i → jk com i, j, e k genéricos, e com uma taxa g

i→jk

({n})). Na analogia com a QCD

— na qual as posições das partículas correspondem a tamanhos de dipolos — isto corres-

ponderia a um processo no qual um dipolo de tamanho j se divide em dois dipolos, um com

o mesmo tamanho j e o outro com um tamanho arbitrário i. Isto é bastante diferente da re-

presentação (BFKL) da divisão de dipolos na QCD para N

grande [55,56], onde os dipolos

resultantes p ossuem tamanhos genéricos, que são tipicamente comparáveis ao tamanho do

dipolo original. Contudo, apesar dessa dissimilaridade explícita no nível de inter pretação

física, a evolução gerada pelas Eqs.(5.1.4) e (5.1.9) possui muitas características em comum

com a evolução na QCD em altas energias, como se tornará claro nas seções subseqüentes.

Observemos que podemos expressar o modelo na forma Hamiltoniana

∂P ({n}, Y )

∂Y

= −

∆





1 − exp



−

∂

∂n



1 − exp





ln σ



P ({n}, Y )

≡ H P ({n}, Y ), (5.1.13)

onde o operador diferencial exp (−∂/∂n

) é o op er ador de translação que reduz o número

de ocupação no sítio i por um: exp (−∂/∂n

) F (. . . , n

, . . . ) = F (. . . , n

− 1, . . . ) para uma

função genérica F({n}). Isto torna explícito o fato de que o Hamiltoniano que determina

a evolução do modelo é ‘auto–dual’, ou seja, é invariante sob a transformação de auto–

dualidade [95] que neste modelo consiste em efetuar a troca

∂

∂n

←→ −



ln σ

, (5.1.14)

e então reverter a ordem dos operadores. Es ta auto–dualidade é a expressão da restrição

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 76

de invariância de transformações de Lorentz (boosts) na estrutura do Hamiltoniano da

evolução [95,96]. Assim, esta condição é automaticamente satisfeita neste modelo, no qual

a invariância de Lorentz já está presente em sua construção. Além disso, a presença de

dois tipos de exponenciais — uma envolvendo número de ocupação de partículas e a outra

envolvendo a derivada com respeito a ele — na Eq.(5.1.13) é remanescente dos dois t ipos de

linhas de Wilson que aparecem no Hamiltoniano da QCD proposto nas Referências [97,98].

Nesse caso,



|ln σ

| é substituído pelo campo de cor produzido pelos glúons no canal–s

e ∂/∂n

pela derivada funcional com respeito à densidade de carga de cor destes glúons.

É também interessante considerar a versão aproximada da equação acima, que formal-

mente é obtida através da expansão do operador exp (−∂/∂n

) em ordem linear na derivada:

∂P ({n}, Y )

∂Y

≈ −



∂

∂n



({n}) P ({n}, Y )



. (5.1.15)

Menos formalmente, este é simplesmente o limite no qual a diferença entre os dois termos no

lado direito da Eq.(5.1.4) é assimilada com uma derivada em relação a n

, o que faz sentido

quando n

≫ 1 para qualquer i. Este é o limite de grandes números de ocupação, no qual

as ﬂutuações associadas com a discreteza do número de partículas torna-se desprezível.

Neste limite, obviamente a auto–dualidade da evolução é perdida, já que a propriedade

do sistema ser denso depende do referencial. Além disso, deve ser intuitivamente claro que,

qualquer que seja o sistema que escolhamos, o sistema não pode ser denso em todos os sítios.

De fato, sendo o eixo espacial inﬁnito, haverá sempre um número inﬁnito de sítios nos quais

os números de ocupação são zero ou pequenos, de ordem O(1), e isto para qualquer Y .

Assim, a Eq.(5.1.15) é meramente uma aproximação formal, que para uma dada rapidez

Y tem, no máximo, um intervalo de validade em x limitado — ela se refere à evolução do

conjunto das partículas em uma região com grande ocupação.

Esta discussão é remanescente da equação JIMWLK na QCD, que foi estabelecida [16–

22] para sistemas com uma densidade de glúons relativamente alta e que ignora as ﬂutuações

nos números de glúons [38]. E de fato pode-se reconhecer a equação (5.1.15) como uma

versão da equação JIMWLK neste modelo.

Esta analogia já foi discutida no contexto do modelo em zero dimensões na Referên-

cia [46]. Para resumir, este modelo unidimensional que nós intr oduzimos reduz-se a versões

unidimensionais do formalismo de dipolos no regime diluído e, respectivamente, ao for-

malismo JIMWLK no regime de grande ocupação, e em geral fornece uma interpolação

auto–dual entre os dois formalismos, como é necessário para invariância de Lorentz.

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 77

5.2 Equações de evolução para os observáveis

Consideremos um observável genérico O. Por observável designaremos uma quantidade cujo

valor evento-por-evento O{n} depe nde da conﬁguração {n} das partículas no sistema. Seu

valor médio na rapidez Y , que é uma quantidade mensurável, é dado por

O



{n}

P ({n}, Y ) O({n}). (5.2.16)

Se diferenciarmos em relação a Y e realizarmos a mudança n

− 1 → n

nas contribuições

que surgem a partir do termo de ganho (sinal positivo) na Eq.(5.1.4), é fácil obter a equação

de evolução para O

(ver Apêndice C):

∂ O

∂Y





({n})



O(. . . , n

+ 1, . . . ) − O({n})



. (5.2.17)

Com esta equação para um observável genérico, obteremos as equações de evolução para

dois tipos de observáveis nos quais estaremos interessados, as densidades de partículas e

as amplitudes de espalhamento para projéteis que contém um dado número de partículas.

Demonstraremos que o limite contínuo destas equações é bem deﬁnido e as compararemos

com as equações correspondentes na QCD.

5.2.1 Densidades de número de partículas

Entre os observáveis a serem estudados, o mais simples é o número de ocupação médio em

um dado sítio i, n



. Usando a Eq.(5.2.17) e substituindo O = n

, obtemos

∂ n



∂Y



∆(1 −



)



= f

({n})

, (5.2.18)

que possui uma interpretação física bastante natural: a taxa de variação no número de

médio de partículas em um sítio i dado é igual ao valor médio da t axa de depósito nesse

sítio. Há dois casos-limite da Eq.(5.2.18) que são particularmente interessantes, os quais

correspondem aos dois casos-limite de f

discutidos na seção anterior, são eles:

(i) Se o sistema é relativamente diluído em torno do sítio i–signiﬁcando que, para as

conﬁgurações típicas, temos n

≪ 1/τ e também n

≪ 1/τ para todos os sítios j que não

estão tão distantes de i–podemos linearizar f



com respeito aos números ( médios) de

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 78

ocupação e portanto obter:

∂ n



∂Y

≈

∆



n



. (5.2.19)

Neste regime, a ocupação de partículas no sítio i e nos sítios vizinhos passa por uma evolução

linear, levando a um crescimento rápido (exponencial em Y ) nos respectivos números médios

de ocupação. Este crescimento rápido é análogo ao crescimento BFKL na distribuição de

glúons (ou dipolos) na QCD no regime diluído [7–9].

(ii) Se, por outro lado, o s istema é denso em i, signiﬁcando que a taxa de depósito

f



satura em seu valor máximo, o crescimento do número (médio) de ocupação em i é

consideravelmente reduzido:

∂ n



∂Y

≈

∆

. (5.2.20)

Esta equação mostra que, quando o número de ocupação em i torna-se de O(1), seu cres-

cimento subseqüente com Y é muito lento, linear em Y . Este é o mecanismo de saturação

neste modelo, e é similar à saturação gluônica na QCD, onde os números de ocupação para

os modos saturados também crescem linearmente com Y [23, 99,100]

Deve-se notar que a Eq.(5.2.18) não é uma equação fechada para n



, mas a primeira

de uma hierarquia: se expandirmos σ

= exp{n

ln σ

} em potências de n

, geramos

correlações dos números de ocupação com qualquer k ≥ 1. Isto nos leva a considerar as

equações de evolução satisfeitas pelos números de ocupação gerais, ordenados de forma

normal, deﬁnidos como

(k)

...i

≡ n

− δ

) . . . (n

− δ

− ··· − δ

k−1

). (5.2.21)

O ordenamento normal se refere à subtração de funções-δ, que são necessárias para garan-

tir que, ao construirmos n

(k)

, contamos apenas conjuntos de k partículas que são todas

diferentes umas das outras. A equação de evolução correspondente é

∂



(k)

...i



∂Y



j=1



({n}) n

(k−1)

...i



, (5.2.22)

onde a notação

signiﬁca que a variável i

deve ser omitida.

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 79

5.3 O limite para o contínuo

Nesta seção, discutiremos o limite contínuo deste modelo. Claramente, este limite é obtido

pela substituição i → x

= i∆ e então fazer ∆ → 0, de modo que x

→ x, com x sendo a

variável espacial contínua. Portanto, uma soma em i é convertida em uma integração em x:

∆



→



dx F (x), (5.3.23)

enquanto uma soma sobre todas as conﬁgurações possíveis da função de onda do onium

(coleção de dipolos) torna-se uma integral de trajetória, ou seja,



{n}

→



[Dn(x)]. (5.3.24)

As densidades de ocupação de k corpos (ordenadas de forma normal) são obtidas a partir

dos números de ocupação correspondentes após dividirmos por ∆

e depois fazermos ∆ → 0.

Por exemplo, a densidade de 2 corpos é dada por

(2)

(x, y) = lim

∆→0



∆

−

∆



= n(x) n(y) − δ(x − y) n(x), (5.3.25)

enquanto a taxa de depósito pode ser imediatamente obtida a partir da Eq. (5.1.9):

f(x) = lim

∆→0

({n})

∆

1 − exp





dz n(z) ln σ(x|z)



≡

t(x)

. (5.3.26)

É possível, então, expressar as equações de evolução para as densidades de partículas no

limite contínuo. Por exemplo, a densidade de 1 e 2 corpos são dadas, respectivamente, por

∂ n(x)

∂Y

= f(x)

(5.3.27)

∂



(2)

(x, y)



∂Y

= f(x)n(y) + f(y)n(x)

(5.3.28)

É importante observar que a Eq.(1.3.24) não possui singularidades quando y = x, graças à

subtração da função–δ na deﬁnição (5.3.25) da densidade de 2 corpos.

5.3.1 Amplitudes de espalhamento

Consideremos agora o problema de espalhamento assumindo que o projétil consiste em

uma única partícula localizada em i. Em QCD isso corresponderia a um projétil com um

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 80

único dipolo de tamanho r

∝ exp(−x

/2). Isto, por sua vez, implicitamente signiﬁca que

trabalhamos em um referencial no qual quase toda a rapidez Y é carregada pelo projétil,

cuja função de onda evolui de acordo com a Eq.(5.1.4), enquanto a rapidez do projétil é tão

baixa que sua evolução pode ser desprezada. Substituindo m

→ δ

em (5.1.3) obtém-se

({n}) =



. Usando Eq. (5.2.17), obtém-se a seguinte equação

∂ s



∂Y



∆(1 − σ

)

s

− s



, (5.3.29)

que não é uma equação fechada–o elemento de matriz S médio para um projétil de uma

partícula está relacionado ao elemento para um projétil com posto por duas partículas–mas

apenas à primeira equação de uma hierarquia inﬁnita. A equação geral desta hierarquia pode

ser obtida estudando o espalhamento de um projétil composto por m partículas, em dadas

posições i

, i

, . . . i

. Para uma dada conﬁguração {n} do alvo, a matriz S correspondente

. . . s



···



(σ

. . . σ

)

(5.3.30)

e então a Eq.(5.2.17) implica em

∂ s

. . . s



∂Y



∆(1 − σ

. . . σ

)

s

. . . s

− s

. . . s



. (5.3.31)

Embora obtida aqui pela evolução do alvo, estas equações podem ser facilmente reinter-

pretadas como descrevendo a evolução no projétil. Para isso, é imp ortante observar que o

núcleo na equação acima, ou seja, a quant idade à frente do valor médio no lado direito é

precisamente f

({m}), a taxa de depósito no sítio j calculada para uma dada conﬁguração

{m} do projétil. Assim, a equação acima pode ser interpretada da seguinte maneira: uma

separação ocorre no projétil, levando a um sistema com m + 1 partículas. em seguida este

novo sistema espalha com o alvo, surgindo assim o primeiro termo da equação, enquanto o

segundo termo (com sinal negativo) corresponde à possibilidade de que nenhuma partícula

extra foi criada.

O conteúdo físico dessa hierarquia pode ser discutido na sua versão contínua,

∂ s

. . . s



∂Y



({m}) s

. . . s

− s

. . . s



, (5.3.32)

Neste ponto é instrutivo comparar essas equações com as equações de Balitsky-JIMWLK e

também com as equações mais completas, as equações de laços de pomeron apresentadas

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 81

no Capítulo 3..

Lembremos que a hierarquia de Balitsky em QCD foi obtida realizando evoluções dife-

rentes no projétil e no alvo: assume-se que o projétil é diluído e que evolui de acordo com o

formalismo de dipolos (nos restringimos à versão com grande N

da hierarquia de Balitsky,

mais apropriado para comparação com o presente modelo), enquanto o alvo é denso e evolui

de acordo com a equação JIMWLK. Diante destas suposições, as equações de Balitsky são

formalmente invariantes sob transformações de Lorentz (boosts), mas o todo o esquema

parece incompleto, pois um projétil que evolui eventualmente torna-se denso e, mesmo um

alvo que parece denso em uma escala de resolução (para moment a relativamente pequenos)

necessariamente possui uma cauda diluída em momenta transversais grandes, que dirige a

sua evolução [63]

Este problema é superado, por construção, no presente modelo, no qual o alvo e o

projétil são tratados simetricamente, e é interessante ver como isto se reﬂete na estrutura

das equações de evolução. A primeira equação da hierarquia (5.3.32),

∂ s



∂Y



s

− s

, (5.3.33)

é formalmente similar à equação de Balitsky correspondente, da qual ela difere apenas pela

substituição do núcleo de dipolo (a taxa para a separação de dipolos em QCD) pela ampli-

tude de espalhamento reduzida τ

z/τ, que realiza o papel da taxa de separação elementar

no modelo. Observemos que a separação é mais restrita no mo delo do que na QCD, já que

um dos dipolos resultantes x e z está restrito a ter o mesm o tamanho x do dipolo original.

Parece, portanto, natural identiﬁcar a separação elementar x → xz, com taxa τ

z/τ

neste modelo, com a separação de dipolos em QCD. Com esta identiﬁcação, as diferenças

entre a hierarquia gerada neste modelo e as equações de Balitsky tornam-se visíveis nas

equações de ordens mais altas. Consideremos a segunda equação:

∂ s



∂Y



+ τ

− τ

s

− s

. (5.3.34)

A respectiva equação de Balitsky envolveria apenas os dois termos positivos, τ

e τ

numerador do núcleo, que descrevem as separações independentes das partículas em x e em

y, respectivamente. O termo adicional negativo, −τ

, corresponde a efeitos de saturação

na evolução do projétil, reﬂetindo o fato de que as duas separações não são realmente

independentes. E ste termo é formalmente suprimido por uma potência de τ com respeito

aos termos anteriores, mas como veremos a seguir, ele realiza um papel essencial na evolução.

Esta discussão pode ser facilmente generalizada para as equações de mais altas ordens

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 82

na hierarquia: as análogas às equações de Balitsky podem ser obtidas a partir das equações

gerais (5.3.32) substituindo o núcleo f

({m}) por sua versão linearizada

({m}) −→



i=1

τ(x

|z)

, (5.3.35)

que descreve a separação independente x

→ x

z de qualquer das m partículas do projétil.

Isto é claramente similar à QCD, já que isto corresponde a dizer que o projétil evolui de

acordo com a aproximação diluída (5.1.10) para a equação mestre (5.1.4). Também como

na QCD, pode-se checar que o mesmo conjunto de equações seria obtido evoluindo o alvo

de acordo com a versão da equação JIMWLK dentro deste modelo, Eq.(5.1.15)

Portanto, claramente a hierarquia do modelo vai além das equações de Balitsky-JIMWLK

incluindo efeitos de saturação na evolução do projétil, ou, equivalentemente, ﬂutuações no

número de partículas na evolução do alvo. É interessante, então, entender melhor o papel fí-

sico do termo adicional, como por exemplo o termo negativo do núcleo na Eq.(5.3.34). Para

isto e para facilitar a comparação com as equações de laços de pomerons da QCD, é conve-

niente reescrever as equações acima em termos das amplitudes de espalhamento t

≡ 1 −s

As duas primeiras equações são

∂ t



∂Y



t

− t

 (5.3.36)

∂ t



∂Y





(t

− t

 +

(t

− t

 +

t

(1 − t

)(1 − t

)



. (5.3.37)

Observemos que t

= (1 − s

)(1 − s

) é a amplitude para o espalhamento simultâneo

de duas partículas no projétil. A hierarquia também admite o ponto ﬁxo t = 1, o que

sugere que as soluções correspondentes saturam no limite de disco negro (que corresponde a

absorção total) em altas energias: t

··· → 1 as Y → ∞. Este comportamento limite

será visto nas simulações numéricas nas próximas seções.

Podemos facilmente reconhecer, neste modelo unidimensional, as análogas das equa-

ções BFKL e BK: a primeira é obtida desprezando o termo não linear no lado direito da

Eq.(5.3.36); a segunda corresponde a tr atar este termo em um a aproximação de campo mé-

dio que assume a fatorização t

 ≈ t

t

. Esta fatorização é, contudo, inconsistente

com as equações de ordens mais altas na hierarquia, começando pela Eq.(5.3.37). Essa que-

bra da aproximação de campo médio está associada com a presença de termos de ﬂutuação,

como o último termo ∝ τ

. Esse termos são importantes, pois geram as correlações no

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 83

regime diluído.

Consideremos o regime no qual o alvo é tão diluído que a amplitude de espalhamento

média é muito fraca: t

∼

τ. Isto corresponde à cauda diluída da distribuição do alvo para

grandes valores de x, onde o número médio de ocupação é n

∼

1. Neste regime, o último

termo no lado direito da Eq.(5.3.37) pode ser aproximado como (τ

/τ), que é comparável

ou mesmo maior que os termos BFKL, como (τ

/τ) t

. Isto mostra que, neste regime

diluído, a amplitude de duas partículas tt é ainda muito pequena, mas é obtida a partir

da amplitude de uma partícula t, através do último termo na Eq.(5.3.37). Vale notar que

no regime diluído pode-se escrever

∂ t



∂Y



ﬂuct

≃



t

 ≃



n

 ≃



∂ n



∂Y

, (5.3.38)

De acordo com esta e quação, a variação na amplitude de duas partículas em um passo da

evolução pode ser interpretada como a seguinte evolução no alvo: primeiro, uma partícula

nova é criada em z, através do processo de separação w → wz, para qualquer w; então, a

nova partícula do alvo espalha simultaneamente com as duas partículas do projétil em x e

Vemos então que a correlação de duas partículas t

 − t

t

 é obtida a partir de

ﬂutuações do alvo através de espalhamento múltiplo, mecanismo que é bastante similar ao

identiﬁcado no contexto da QCD [38], e que inspirou a extensão da hierarquia de laços de

pomeron. Sua estrutura geral é realmente similar àquela para as amplitudes de espalhamento

no modelo, no sentido de incluírem termos BFKL, termos não lineares responsáveis por

unitarização e termos de ﬂutuações que geram correlações no regime diluído.

5.4 Resultados analíticos

Para realizar um estudo analítico da evolução descrita por este modelo, é necessário especiﬁ-

car a forma da amplitude elementar de espalhamento partícula-partícula τ (x|z). Inspirados

pela analogia com a QCD, na qual esta quantidade corresponde à amplitude para o espa-

lhamento dipolo-dipolo, escolhemos

τ(x|z) = τ exp(−|x − z|). (5.4.39)

A origem, na QCD, para esta fórmula pode ser reconhecida da seguinte m aneira: após

traduzirmos para as notações da QCD, ou seja, x ≡ ln(r

) com r sendo o tamanho

do dipolo atual e r

uma escala arbitrária de referência, Eq.(5.4.39) torna-se equivalente a

τ(r

) = τ r

, onde r

= min(r

, r

) e r

= max(r

, r

) [63]. Com a identiﬁcação adi-

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 84

cional τ = α

, temos uma boa aproximação para a amplitude que descreve o espalhamento

central entre dois dipolos elementares na QCD. Por central queremos dizer uma colisão que

ocorre em parâmetro de impacto relativo igual a ze ro. Está subentendido também que é

tomada a média sobre as orientações dos vetores bidimensionais r

e r

5.4.1 Evolução BFKL do modelo

Iniciaremos com a versão linearizada da Eq.(5.3.36), que aqui faz o papel da equação BFKL.

Com a forma especíﬁca de τ(x|z) dada acima, temos

∂ t

∂Y



dz exp(−|x − z|) t

(5.4.40)

onde assumimos que as médias estão implícitas. Deﬁnindo a transformada de Mellin com

respeito a exp(−x)

t(γ, Y ) =

∞



−∞

dx exp(γx) t(x, Y ), (5.4.41)

obtemos

t(γ, Y ) =

t(γ, Y = 0) exp [χ(γ)Y ], onde a função característica é a transformada

de Mellin do núcleo na Eq.(5.4.40) e tem a forma

χ(γ) =

1 − γ

1 + γ

. (5.4.42)

Assim, a solução geral da Eq.(5.4.40) é

t(x, Y ) =



dγ

2πi

t(γ, 0) exp[χ(γ)Y − γx] , (5.4.43)

onde o contorno de integração C é paralelo ao eixo imaginário e com parte real tal que

|Re(γ)| < 1. Da Eq.(5.4.41), vemos que

t(γ, 0) é a transformada de Mellin da amplitude de

espalhamento em Y = 0. Por deﬁnição, assumiremos que o alvo é inicialmente composto de

um único dipolo de tamanho r

= exp(−x

/2), e neste caso temos

t(γ, 0) = τ χ(γ) exp(γx

Analisemos agora alguns limites especiais da equação acima, à qual nos referiremos

usando uma terminologia inspirada na QCD:

(i) O limite de altas energias Y → ∞ para x ﬁxo. No plano cinemático (Y, x), isto

corresponde à evolução ao longo de um eixo vert ical. Neste limite, a integral é dominada

pela região em torno do ponto γ

que satisfaz χ

′

(γ

) = 0. Facilmente encontramos γ

= 0

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 85

e χ(γ

) = 2, e realizando a integração Gaussiana em torno deste ponto de sela, obtemos

t(x, Y ) =

√

2πY

exp



2Y −

(x − x

)



. (5.4.44)

A dependência em Y da amplitude é similar ao que ocorre na QCD, já que em ambos os

casos ela cresce exponencialmente com Y . No entanto, a analogia não é completa, pois

a amplitude acima é independente do tamanho r do dipolo do projétil. Em contraste, a

amplitude respectiva na QCD é proporcional a r, o que no entanto é uma dependência

relativamente fraca comparada com o resultado correspondente em ordem ﬁxa na teoria

de perturbações, t(r) ∼ r

(transparência de cor). Observemos também a dependência

Gaussiana da Eq.(5.4.44) em x − x

, o que descreve difusão com um raio ∝ Y

1/2

. Isto é

novamente similar à conhecida difusão BFKL na variável logarítmica ln(1/r

(ii) Aproximação de duplo logaritmo (DLA): Esta é a evolução ao longo de uma dire-

ção no plano (Y, x) tal que a diferença x − x

entre os tamanhos dos dipolos cresce mais

rapidamente que a rapidez Y . Quando x −x

≫ Y , a integral é dominada por um valor de

γ que é perto de 1. O ponto de sela ocorre em γ

DLA

= 1 − [Y /(x − x

)]

1/2

e chegamos em

t(x, Y ) =

√

[(x − x

)Y ]

−1/4

exp



−(x − x

) +



4(x − x



. (5.4.45)

Este é exatamente correspondente ao resultado na QCD, o que não deveria ser uma surpresa:

no limite de duplo logaritmo da QCD, um dos dipolos que surgem tem um tamanho igual

ao do dipolo original, uma caraterística que está na construção do nosso modelo. Em

particular, o resultado acima mostra transparência de cor, ou seja, t(x) ∝ exp[−(x − x

)],

numa completa analogia com o comportamento, na QCD, t(r) ∼ r

para valores muito

pequenos de r

5.4.2 Correções de unitariedad e na aproximação de campo médio

Como ﬁcou explícito na análise anterior, a evolução em altas energias descrita pela Eq.(5.4.40)

leva a uma amplitude de espalhamento que cresce rapidamente com Y , e portanto eventual-

mente viola o limit e de unitariedade t ≤ 1. Assim, para estudar o comportamento em altas

energias, é necessário incluir os termos não lineares responsáveis pelas correções de unitari-

edade. Faremos isto primeiramente na aproximação de campo médio t

 ≈ t

t

, na

qual Eq.(5.3.36) é reduzida a apenas uma equação não linear

∂ t

∂Y



dz exp(−|x − z|) (t

− t

) (5.4.46)

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 86

que é a versão do modelo análoga à equação BK. Tal analogia não é apenas formal, mas cobre

muitos aspectos essenciais: (a) Assim como a equação BK, Eq.(5.4.46) é consistente com

unitariedade e, além disso, sua solução se aproxima ao limite de unitariedade em grande Y

(t = 1 é um ponto ﬁxo); (b) No limite de espalhamento fraco t ≪ 1, Eq.(5.3.36) é reduzida

a uma equação linear que descreve um crescimento exponencial com Y e difusão em x.

Juntas, essas propriedades implicam na Eq.(5.4.46) estar na classe de universalidade da

equação FKPP, assim como a equação BK, o que também implica na evolução em direção

à saturação ser dirigida pela dinâmica linear no regime diluído–a forma precisa dos termos

não lineares não é importante desde que forneçam saturação. Portanto, é fácil adaptar a

análise da equação BK das referências [23, 30–32,101] para a Eq.(5.4.46) com os resultados

descritos abaixo.

Para valores suﬁcientemente grandes de Y (para que se perca a memória da condição

inicial e o comportamento universal seja alcançado), a solução t(x, Y ) é uma onda viajante,

ou seja, uma frente que interpola entre t = 1 para valores negativos grandes de x e t → 0

para valores positivos grandes e que se propaga na direção de valores maiores de x à medida

que Y cresce. A p osição x

(Y ) desta frente deﬁne a linha de saturação, a direção de evolução

no plano (Y, x) ao longo da qual a amplitude de espalhamento é constante e de O(1). Como

mencionado antes, a localização dessa linha pode ser inferida a partir da solução da equação

linearizada (BFKL) (5.4.40). Retornamos então a esta solução, Eq.(5.4.43) e consideramos

uma terceira direção no plano (Y, x), correspondente à linha de saturação.

(ii) A linha de saturação: Quando a rapidez cresce ao longo desta linha, a posição x

(o inverso do tamanho do dipolo) deve também crescer para que a amplitude permaneça

constante. Para Y grande o suﬁciente, pode-se usar a aproximação de ponto de sela na

Eq.(5.4.43). A condição de ponto de sela

′

(γ

)Y − x

= 0, (5.4.47)

juntamente com a condição de que o expoente se anula (para que a amplitude seja rigoro-

samente constante) ao longo da linha de saturação

χ(γ

)Y − γ

= 0, (5.4.48)

determinam unicamente o valor do ponto de sela de saturação γ

e a linha x

(Y ) (a menos

de uma constante aditiva), que nesta aproximação é simplesmente uma linha reta: x

(Y ) ≈

Y . Obtemos

′

(γ

) =

χ(γ

)

⇒ γ

√

, e λ

χ(γ

)

= 3

√

3 . (5.4.49)

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 87

É possível ainda melhorar a estimativa para λ

levando em conta mais apropriadamente os

efeitos não lineares. Obtém-se, assim [101]

≡

(Y )

≈

χ(γ

)

−

2γ

= 3

√

3 −

√

, (5.4.50)

que concorda com os resultados a partir da equação FKPP [37]. A amplitude na vizinhança

da linha de saturação pode ser obtida através de uma expansão em torno do ponto de sela

de saturação, o que implica em

t(x, Y ) = c

τ(x − x

+ c

) exp



−γ

(x − x

) −

(x − x

)

2χ

′′

(γ



. (5.4.51)

Isto é válido estritamente para 1 ≪ x − x

≪ 2χ

′′

(γ

)Y , que corresponde uma larga ja-

nela para grande Y . Na Eq.(5.4.51), c

e c

são constantes desconhecidas de ordem O(1),

′′

(γ

) = 27.

Observemos que na região x − x

≪



2χ

′′

(γ

)Y , onde o termo de difusão no expoente

pode ser desprezado, a amplitude exibe escalamento geométrico, ou seja, depende de x e

Y apenas através da combinação x − x

(Y ). Isto é o que signiﬁca uma onda progressiva:

uma frente que, quando Y cresce, é simplesmente deslocada para valores maiores de x, sem

distorção na sua forma.

Também é instrutivo traduzir o cenário descrito acima para um número médio de par-

tículas no alvo, n(x, Y ). Na cauda da frente em x ≫ x

(Y ), na qual t ≪ 1, temos

t(x, Y ) ≈



dz τ(x|z)n(z, Y ), onde a integração em z tem um pico em z = x. Assim,

um dipolo pequeno (com grande x), espalha com dipolos do alvo com tamanho similar

(z ∼ x), e o fato de a interação ser fraca corresponde ao fato de que o alvo parece di-

luído nessa escala de resolução: n(x, Y ) ≪ 1/τ. Quando Y cresce neste regime diluído, n

cresce muito rapidamente, exponencialmente com Y , assim como t. Em torno da posição

da frente (x ∼ x

(Y )), temos t ∼ O(1) e portanto n ∼ O(1/τ): nesta escala de resolução,

o alvo é denso. Finalmente, atrás da frente, onde t satura em 1, o número de ocupação

não satura, mas permanece crescendo com Y , embora apenas lentamente (ver Eq.(5.2.20)):

n(x, Y ) ≈ (Y − Y

)/τ, onde Y

∼ ln(1/τ) é a rapidez crítica para que a saturação seja al-

cançada na taxa de depósito em x: f(x) = 1/τ para Y > Y

. O valor preciso de Y

depende

de x e das condições iniciais em Y = 0.

5.4.3 Flutuações no número de partículas

Como discutido em seções anteriores, as equações de evolução envolvem termos de ﬂutua-

ções, que reﬂetem o aspecto discreto do número de partículas e são inconsistentes com a

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 88

aproximação de campo médio. Como os números de ocupação são grandes na saturação,

pode-se esperar que os efeitos de tais ﬂutuações sejam relativamente pequenos e possam ser

tratados em teoria de perturbações em torno dos resultados de campo médio. No entanto,

como foi recentemente entendido na QCD [38,61–63], a evolução em altas energias é de fato

dramaticamente sensível a ﬂutuações, e a razão física para isso está implícita na discussão

da seção anterior: a evolução é dirigida pelo crescimento e pela difusão BFKL na cauda

diluída da frente, onde os números de ocupação são pequenos (da ordem de um) e portanto

os efeitos de ﬂutuações no número de partículas são realmente importantes.

A análise das aproximações linear e de campo médio sugere que o modelo em considera-

ção encontra-se na classe de universalidade do processo de reação-difusão, e esta conclusão

será reforçada pela análise numérica na próxima seção. Portanto, é possível ﬁar-se na

correspondência com a física estatística a ﬁm de caracterizar os aspectos universais da

dinâmica na presença de ﬂutuações. Estes são em sua maioria qualitativos e referem-se ao

comportamento em tempo grande (aqui, grande Y ) em acoplamento fraco (aqui τ ≪ 1).

Abaixo são enumerados os principais aspectos qualitativos da dinâmica na presença das

ﬂutuações:

(i) Para uma dada condição inicial em Y = 0, a evolução estocástica até Y gera um

conjunto estatístico de frentes (ao invés de uma única frente para a dinâmica determi-

nística na aproximação de campo médio), com as distintas frentes no conjunto dife-

rindo por suas respectivas posições de frente. Portanto, x

(Y ) (a linha de saturação)

torna-se agora uma variável aleatória.

(ii) Em uma boa aproximação, a distribuição de x

em Y é uma Gaussiana, com um valor

médio x

 e uma dispersão σ

(Y ) = x

 − x



que crescem linearmente com Y :

x

 = λ

Y e σ

(Y ) = D

Y .

(iii) O valor assintótico da velocidade média λ

é signiﬁcativamente menor que sua predição

na aproximação de campo médio

′

(γ

) =

χ(γ

)

⇒ γ

√

, e λ

χ(γ

)

= 3

√

3 . (5.4.52)

onde

χ(γ) =

1 − γ

1 + γ

. (5.4.53)

O respectivo desvio é conhecido analiticamente no limite formal de acoplamento fraco

[66], com um resultado que, quando adaptado a este modelo ﬁca

≃

χ(γ

)

−

′′

(γ

)

2 ln

= 3

√

3 −

√

3 π

2 ln

, (5.4.54)

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 89

válido quando ln

τ ≫ 1. No mesmo limite, o coeﬁciente de difusão da frente D

comporta-se como D

∼ 1/ ln

(1/τ) [102], e então se anula, como esperado, quando

τ → 0. Deve-se notar, contudo, a convergência lenta, logarítmica em τ, destes resul-

tados para seus respectivos limites de campo médio, o que reﬂete a forte sensibilidade

da evolução às ﬂutuações.

(iv) Quando Y cresce, o valor assintótico de λ

é rapidamente alcançado (exponencialmente

em Y ), ao contrário da lenta convergência prevista pelo resultado de campo médio

(5.4.50).

(v) As frentes individuais no conjunto exibem escalamento geométrico, mas apenas em

uma região compacta: para cada frente, há apenas uma distância ﬁnita x −x

≤ ∆x

com ∆x

≃ (1/γ

) ln(1/τ), além da frente, onde a amplitude escala como t(x) ∝

−γ

(x−x

)

, com γ

= 1/

√

3. Em contraste, na amplitude de campo médio a janela de

escalamento x − x

∝

√

Y cresce com Y , e portanto pode tornar-se arbitrariamente

grande.

(vi) Observáveis físicos, como a amplitude de dipolo média t(x)

, são obtidos realizando

a média sobre o conjunto. Nesta média, a propriedade de escalamento geométrico

desaparece por causa da dispersão nas posições das frentes [62,63], e é eventualmente

substituída, em valores de Y suﬁcientemente grandes, por um novo tipo de escala-

mento [38,63], conhecido como escalamento difusivo [103]. Especiﬁcamente, t(x)

estimada como

t(x)

≃

Erfc



x − x



√



, (5.4.55)

Essa aproximação de escalamento difusivo é válida quando D

Y ≫ 1 e em uma grande

região em torno da linha de saturação média x



, tal que |x − x

| ≪ γ

Y .

Ela também interpola suavemente na direção do limite de disco negro t(x) = 1

quanto x → −∞. Para distâncias maiores x − x



∼

Y , o comportamento de

transparência de cor é recuperado, t(x) ∝ exp[−(x −x

)], com um pré-fator que é

sensível às ﬂutuações (ver Refs. [38,103] para detalhes).

5.5 Resultados numéricos

Nesta seção, apresentamos alguns resultados da investigação numérica do modelo unidimen-

sional descrito neste capítulo.

Consideremos primeiramente a evolução de um único evento, Figura 5.1. A formação do

padrão de onda viajante o corre por meio de dois mecanismos distintos:

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 90

80706050403020100-10

0.1

0.01

0.001

(a)

T 

100806040200

0.1

0.01

(b)

Fig. 5.1: Evolução evento-por-evento da amplitude de espalhamento: (a) Evolução em ra-

pidez da amplitude para um único evento. (b) Amplitude para 10 eventos (linhas

tracejadas) e amplitude média (linha sólida) para Y = 5, 12.5, e 20.

• partículas são produzidas em sít ios já ocupados. Esta evolução é basicamente gover-

nada pela dinâmica de campo médio e resulta na formação de uma frente de onda;

• às vezes uma ﬂutuação rara surge bem adiante da extremidade da frente, na região

que era anteriormente desocupada. A evolução subseqüente é, portanto, uma compe-

tição entre o crescimento BFKL, local, daquela ﬂutuação particular e o crescimento e

progressão da frente de onda de campo médio. Quando um conjunto de eventos, tais

ﬂutuações levam a uma dispersão crescente na posição das frentes (ver gráﬁco direito

da Figura 5.1).

Efetuando a média sobre um grande número de eventos (N

= 10

), obtém-se as distri-

buições médias mostradas na Figura 5.2. À esquerda são observadas grandes ﬂutuações no

número médio de partículas por sítio quando n ≈ 10

−5

= 1/N

. Essas correspondem a

ﬂutuações raras (apenas poucos eventos possuem número de ocupação não nulos nos res-

pectivos sítios) na cauda diluída da frente. No que diz respeito à amplitude média, embora

seja possível notar um padrão de onda viajante no gráﬁco à direita na Figura 5.2, a forma

da frente média na realidade varia com Y – sua inclinação diminui com Y – o que reﬂete a

violação do escalamento geométrico por meio das ﬂutuações.

Para estudar a violação do escalamento geométrico mais detalhadamente, é necessário

primeiro estudar a estatística da posição da frente (a escala de saturação x

) como uma

função da rapidez. Para um dado evento t(x, Y ), a posição da frente é determinada por

t(x = x

(Y ), Y ) = t

, com t

sendo um número constante que escolhemos t

= 0.1. Espera-

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 91

n

100806040200

1000

100

0.1

0.01

0.001

1e-04

1e-05

(a) Número de partículas por sítio

T 

100806040200

0.1

0.01

0.001

1e-04

1e-05

(b) Amplitude de espalhamento

Fig. 5.2: Evolução das quantidades médias obtidas após 10

eventos. Os resultados são

apresentados como uma função de x para, da esquerda para a direita, Y =

0, 2, 4, . . . , 20.

mean ﬁeld

τ = 0.01

speed

20181614121086420

5.5

4.5

3.5

(a) Velocidade média da frente viajante

diﬀ

= 1.2 24

20151050

(b) Dispersão na posição das frentes

Fig. 5.3: Estatística da posição da frente (ou escala de saturação) x

. Tanto a posição

média como a dispersão ao quadrado crescem linearmente com a rapidez.

Capítulo 5. Um modelo unidimensional para a QCD a altas energias 92

se que tanto o valor médio de x

(Y ) quanto a dispersão associada cresçam linearmente com

Y . Para o valor médio isto é veriﬁcado no gráﬁco à esquerda na Figura 5.3, que exibe

os resultados numéricos para ∂

x

(Y ). Este gráﬁco mostra que o valor assintótico em

grande Y da velocidade é atingido muito rapidamente e, além disso, este é signiﬁcativamente

menor que a correspondente predição da aproximação de campo médio, λ

= 3

√

3. Para

a dispersão, σ

= x

 − x



, os resultados são mostrados no gráﬁco à direita na Figura

5.3. Esta é bem ﬁtada por um crescimento linear, σ

≃ D

Y , com um coeﬁciente de difusão

da frente D

= 1.224. Assim, a estatística da escala de saturação segue realmente o padrão

esperado para um processo de reação-difusão.

limit

Y = 20

Y = 16

Y = 12

Y = 8

Y = 4

(x − x

(Y ))/σ(Y )

T 

6420-2-4-6

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Fig. 5.4: A amplitude média re presentada como uma função da variável de escalamento

difusivo. Quando a rapidez cresce, o resultado assintótico (5.4.55) (indicado na

ﬁgura por limit) é de fato obtido.

Consideremos novamente a análise da forma da amplitude média a ﬁm de veriﬁcar outra

predição importante do problema de reação-difusão: o surgimento do escalamento difusivo

em grande Y (ver Eq. (5.4.55)). Para isso, a amplitude média foi plotada, a partir das

simulações numéricas, como uma função da variável de escalamento esperada, (x −x

)/σ,

com x

 e σ

obtida da análise anterior (Figura 5.3) para vários valores da rapidez Y . Como

manifestado na Figura 5.4, a amplitude média realmente converge para a curva assintótica

esperada, Eq. (5.4.55), quando Y cresce. Assim, a propriedade de escalamento difusivo é

completamente satisfeita pelo nosso modelo.

Capítulo 6

Conclusões

Nesta tese, foram abordados alguns dos principais aspectos da evolução e do espalhamento

na QCD no regime de altas energias. A partir das propriedades do DIS, é possível com-

preender com o ocorre a evolução na direção do limite de altas energias e a importância dos

efeitos não lineares que levam a uma provável saturação partônica. Esses efeitos levam ao

surgimento de equações de evolução não lineares para as amplitudes de espalhamento. Em

particular, para o espalhamento dipolo-hádron, as amplitudes de espalhamento podem ter

sua evolução descrita pelas equações de laços de pomeron, que basicamente consistem nas

equações de Balitsky-JIMWLK levando em conta, não apenas a fusão de pomerons, mas a

divisão de pomerons, ou seja, levando em conta as ﬂutuações do número de glúons (ou dipo-

los). No regime no qual as energias não são muito altas, a equação linear BFKL é recuperada

e, considerando uma aproximação de campo médio, obtém-se a chamada equação BK, que é

a mais simples equação de evolução para a amplitude de espalhamento dipolo-hádron. Por

ser mais simples, é também a equação mais estudada e as propriedades (assintóticas) de

suas soluções são bem conhecidas.

Usando essas propriedades da equação BK, realizamos uma análise de suas implicações

fenomenológicas no espalhamento profundamente inelástico (DIS) [76]. Propusemos uma

expressão para a amplitude de espalhamento no espaço de momentum, o modelo AGBS, que

interpola entre o comportamento da amplitude dipolo-próton no regime de saturação e as

amplitudes de ondas progressivas, previstas pela QCD perturbativa no regime ultravioleta a

partir da equação BK. Esta expressão foi usada para calcular a função de estrutura do próton

(no formalismo de dipolos) e testada através de ajustes aos resultados experimentais

de HE RA. Obtivemos bons ajustes com massas de quarks leves m

u,d,s

= 50, 140 MeV e

massa do charm m

= 1.3 GeV. Embora haja outros modelos na literatura que conseguem

reproduzir F

com um bom χ

, nosso modelo pode ser diferenciado principalmente nos

seguintes aspectos:

(i) A análise baseia-se na equação BK para considerar efeitos de unitariedade. Assim,

espera-se que nosso método seja mais preciso que os modelos no espaço de coordenadas

Capítulo 6. Conclusões 94

na literatura, em particular GBW e IIM, especialmente no domínio de pequeno-x e

baixo Q

sob investigação;

(ii) Em ambos modelos GBW e IIM, algumas diﬁculdades são encontradas após realizar-se

suas respectivas transformadas de Fourier. No primeiro, a transformada de Fourier da

seção de choque de dipolo apresenta um comportamento perturbativo não realístico,

enquanto no segundo ela apresenta valores negativos. Estas diﬁculdades inexistem

em nosso modelo, já que a transformada de Fourier (amplitude de espalhamento no

espaço de coordenadas) permanece entre 0 e 1.

Essas características associadas com a boa descrição dos dados e χ

pequeno mostram

que a amplitude de espalhamento proposta neste capítulo é uma boa parametrização para

investigar as propriedades dos observáveis em energias de RHIC e LHC que podem ser

descritos dentro do formalismo de dipolos.

Neste sentido, realizamos uma nova aplicação do modelo AGBS [104], a ﬁm de investigar

os efeitos das ﬂutuações no DIS nas energias de HERA. Tal análise foi feita no espaço de

coordenadas utilizando os modelos GBW e AGBS e os resultados foram inconclusivos no que

diz respeito à presença de ﬂutuações em HERA. A análise apresentada nesta tese, através

do modelo AGBS, mostra que não há evidência da presença de ﬂutuações nas medidas da

função de estrutura do próton F

, o que é representado pelo valor muito pequeno, próximo

a zero, do coeﬁciente de difusão D. Foi possível chegar a essa conclusão realizando o ajuste

a todos os dados de HERA (H1 e ZEUS) para as medidas do DIS, ao contrário do que foi

feito no outro estudo envolvendo os modelos GBW e IIM, que utilizou apenas dados de H1.

O estudo apresentado aqui, portanto, é mais completo.

O Capítulo 5 desta tese foi dedicado a apresentar um trabalho de natureza puramente

teórica, mas que certamente possui conseqüências profundas no que diz respeito à feno-

menologia da QCD em altas energias. Este foi realizado durante o doutorado sanduíche

que realizei no SPhT, Saclay, França, ﬁnanciado pelo Programa de Estágio de Doutorando

no Exterior da CAPES. Esse est ágio foi realizado sob a responsabilidade do Dr. Edmond

Iancu e teve uma duração de cinco meses, tendo como resultado outra publicação cientíﬁca

Referência [47].

O trabalho consiste na construção de um modelo estocástico de partículas (1+1)-dimensional

que reproduz a evolução e o espalhamento em altas energias na QCD em parâmetro de im-

pacto ﬁxo. O modelo mostra-se interessante em vários aspectos:

(i) Sua estrutura é consistente com princípios físicos gerais que são válidos na QCD:

invariância de Lorentz, espalhamentos múltiplos e evolução através da emissão de

uma partícula adicional por unidade de rapidez;

Capítulo 6. Conclusões 95

(ii) O modelo exibe um mecanismo de saturação similar à saturação gluônica: as novas

partículas criadas pela evolução são emitidas coerentemente a partir das partículas

pré-existentes, com uma taxa de emissão que satura em alta densidade devido aos

espalhamentos múltiplos entre a partícula adicional e as que a originaram.

(iii) O modelo encontra-se na classe de universalidade do processo de reação-difusão, como

também esperado em QCD, e exibe todas as características qualitativas esp eradas na

QCD em parâmetro de impacto ﬁxo, no que diz respeito tanto aos aspectos de campo

médio (crescimento BFKL no regime diluído, a formação de uma frente de saturação

com escalamento geométrico) como os efeitos das ﬂutuações (dispersão nas posições

das frentes, quebra do escalamento geométrico na descrição estatística, convergência

para escalamento difusivo em altas energias).

(v) O modelo é suﬁcientemente simples para permitir investigações numéricas detalhadas.

(vi) Os aspectos estruturais do modelo são particularmente interessantes, já que estes po-

dem inspirar buscas por estruturas corresp ondentes na QCD. Em particular, as equa-

ções de evolução para as amplitudes de espalhamento neste modelo aparecem como

uma generalização natural (dentro dos limites do modelo) das equações de Balitsky–

JIMWLK, com o projétil e o alvo tratados simetricamente: para cada um desses

dois sistemas, as equações incluem ﬂutuações e múltiplos espalhamentos tanto com as

partículas internas ao sistema (efeitos de saturação) quanto com as do outro sistema

(correções de unitariedade).

Diante dessas características, é natural que esse modelo unidimensional inspire buscas

por novas estruturas na QCD. Na realidade, um importante passo nesse sentido já foi rea-

lizado na Referência [92], onde o modelo foi considerado no caso no qual o parâmetro τ (o

análogo de α

da QCD) não é ﬁxo, e sim variável, com uma dependência explícita da variável

espacial x (na QCD o logaritmo do inverso do tamanho transversal do dipolo). O principal

resultado desse estudo é que o efeito das ﬂutuações no número de glúons é suprimido pelo

efeito da variação do parâmetro de acoplamento. Isso implica, para as energias de interesse

da fenomenologia da QCD (mesmo nas energias do LHC), o tratamento de campo médio

(equação BK), com acoplamento variável, ser suﬁciente para descrever o espalhamento e a

evolução.

Diante desse resultado, surgem boas perspectivas da continuidade do trabalho desenvol-

vido até então. Evidentemente, é interessante realizar aplicações do modelo unidimensional

para o estudo de observáveis físicos. O primeiro passo neste sentido é a descrição de pro-

cessos difrativos dentro do formalismo do modelo em questão. Tal descrição foi realizada

no formalismo da QCD em [103], onde nos limites da aproximação de grande N

, os autores

Capítulo 6. Conclusões 96

estabeleceram o comportamento em altas energias das seções de choque difrativa e inclusiva

para o DIS em parâmetro de impacto e parâmetro de acoplamento α

ﬁxos. Esse estudo

entrará num projeto para a realização de um pós-doc e os primeiros rascunhos já foram

iniciados.

Apê ndice A

Equivalência entre as equações BK e

FKPP

Neste Apêndice, explicitaremos os cálculos que levam ao resultado importante obtido por

Munier e Peschanski [30], a equivalência entre as equações BK e FKPP.

Após a aproximação difusiva realizada no núcleo BFKL, a equação BK toma a forma

∂

N = ¯α

¯χ(−∂

)N − ¯α

= ¯α







′′

(1/2)

(∂

+ 1/2)

N − ¯α



= ¯α





N + ¯α

′′

(1/2)

(∂

+ 1/2)

− ¯α

= ¯α





N + ¯α

′′

(1/2)

(∂

+ ∂

+ 1/4)N − ¯α

= ¯α





N + ¯α

′′

(1/2)

∂

N + ¯α

′′

(1/2)

∂

N + ¯α

′′

(1/2)

N − ¯α

(A.0.1)

Deve-se primeiramente introduzir a notação

ω = χ





, D = χ

′′

(1/2) (A.0.2)

e deﬁnir

¯γ = 1 −



1 + 8

. (A.0.3)

Efetuando a mudança de variáveis

t =

¯α

(1 − ¯γ)

Y, x = (1 − ¯γ)



L +

¯α



u(t, x) =

D(1 − ¯γ)



¯α

D(1 − ¯γ)

1 − ¯γ

−

(1 − ¯γ)



, (A.0.4)

Apêndice A. Equivalência entre as equações BK e FKPP 98

é possível chegar à equação FKPP para a função u(t, x).

Primeiramente, temos, na nova notação,

∂

N = ¯α





N +

¯α

∂

N +

¯α

∂

N +

¯α

N − ¯α

(A.0.5)

Consideremos termo a term o da equação acima. A derivada no lado esquerdo pode ser

escrita como:

∂

N = (∂

∂t

∂Y

+ (∂

∂x

∂Y

¯α

(1 − ¯γ)

∂



D(1 − ¯γ)

u(t, x)



¯α

(1 − ¯γ) + ∂



D(1 − ¯γ)

u(t, x)



∴ ∂

N = ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) + ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) (A.0.6)

O primeiro termo do segundo membro:

¯α

ωN = ¯α

D(1 − ¯γ)

u(t, x) (A.0.7)

O segundo termo:

¯α

∂

N =

¯α

∂

(∂

¯α

∂



(∂

∂x

∂L



¯α

∂

[(∂

N)(1 − ¯γ)]

= ¯α

D(1 − ¯γ)

∂

(∂

= ¯α

D(1 − ¯γ)

∂

= ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) (A.0.8)

O terceiro termo do segundo membro:

¯α

∂

N = ¯α

D(1 − ¯γ)

∂

= ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) (A.0.9)

O quarto termo:

¯α

= ¯α

(1 − ¯γ)

u(t, x) (A.0.10)

Apêndice A. Equivalência entre as equações BK e FKPP 99

Por ﬁm, o quinto termo:

−¯α

= −¯α

(1 − ¯γ)

(t, x) (A.0.11)

Reunindo todos os termos

¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) + ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) =

¯α

D(1 − ¯γ)

u(t, x) + ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x) + ¯α

(1 − ¯γ)

∂

u(t, x)

+ ¯α

(1 − ¯γ)

u(t, x) − ¯α

(1 − ¯γ)

(t, x) (A.0.12)

Multiplicando a equação acima por

¯α

(1−¯γ)

∂

u(t, x) +

1 − ¯γ

∂

u(t, x) =

2ω

D(1 − ¯γ)

u(t, x) + ∂

u(t, x)

1 − ¯γ

∂

u(t, x) +

4(1 − ¯γ)

u(t, x) − u

(t, x)

∴ ∂

u(t, x) = ∂

u(t, x) − u

(t, x) +

8ω + D

4D(1 − ¯γ)

u(t, x)

∴ ∂

u(t, x) = ∂

u(t, x) − u

(t, x) +

8ω

+ 1

4(1 − ¯γ)

u(t, x)

∴ ∂

u(t, x) = ∂

u(t, x) − u

(t, x) + u(t, x)

∴ ∂

u(t, x) = ∂

u(t, x) + u(t, x)(1 − u(t, x)), (A.0.13)

que é a equação FKPP para u(t, x).

Apê ndice B

A função de estrutura F

no espaço de

momentum

Neste Apêndice, explicitamos os cálculos que levam à expressão (4.3.22) para a função de

estrutura F

do próton, ou seja,

(x, Q

) =

4π



∞



dz|

Ψ(k

, z; Q

T (k, Y )

onde

Ψ(k

, z; Q





+ k









+ (1 − z

)]





4(k

)



+ 4

)

asinh





− 2



(1 − z)

+ m



−

+ 2k

+ 4



+ 4

)

asinh















= z(1 − z)Q

+ m

. (B.0.1)

Revisando as fórmulas necessárias, temos primeiramente que a função de estrutura F

dada por

(x, Q

) =

4π

[σ

∗

+ σ

∗

] (B.0.2)

onde σ

∗

(x, Q

) (σ

∗

(x, Q

)) são as seções de cho que para o espalhamento de um fóton

virtual transversal (longitudinal) e o próton, dadas por

∗

T,L

, Y ) =





T,L

(r, z; Q

)



∗

dip

(r, Y ), (B.0.3)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 101

onde σ

∗

dip

(r, Y ) é a seção de choque dipolo-próton, que, considerando indep endência do

parâmetro de impacto, é proporcional à amplitude de espalhamento T (r, Y ) através da

relação

∗

dip

(r, Y ) = 2πR

T (r, Y ),

onde R

é o raio do próton. Ψ

T,L

(z, r) são as funções de onda que descrevem o fóton virtual

que se divide em um par q¯q, cujas formas explícitas são

|Ψ

(r, z; Q

4π





+ (1 − z)



(

r) + m

(



(B.0.4)

|Ψ

(r, z; Q

4π





(1 − z)

(



. (B.0.5)

Aqui, m

denota as massas dos quarks e K

e K

são funções de McDonald de ordem zero e

um, respectivamente. Usando as expressões acima, a função de estrutura é dada, no espaço

de coordenadas, por

(x, Q

) =

2πα





|Ψ

(z, r)|

+ |Ψ

(z, r)|



T (r, Y ). (B.0.6)

A ﬁm de simpliﬁcar a notação, escrevemos o termo que contém as funções de onda como

Φ(r, z) = Φ

(r, z) + Φ

(r, z), (B.0.7)

onde

T,L

(r, z) = |Ψ

T,L

(r, z)|

. (B.0.8)

Assim, podemos escrever

(x, Q

) =

2πα



dz Φ(r, z) T (r, Y ). (B.0.9)

Agora, realizamos a transformada de Fourier

T (r, Y ) = r



2π

ik·r

T (k, Y ))

= r



∞

dk kJ

(kr)

T (k, Y ). (B.0.10)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 102

A transformação inversa é

T (k, Y ) =



2πr

−ik·r

T (r, Y ))



∞

(kr)T (r, Y ). (B.0.11)

O mesmo pode ser feito para Φ(r, z). Escrevemos

Φ(r, z) =



−ik·r

Φ(k, z) (B.0.12)

e sua inversa é facilmente obtida:

Φ(k, z) =



(2π)

ik·r

Φ(r, z). (B.0.13)

Usando (B.0.10) e (B.0.12) em (B.0.9), obtemos

(x, Q

) =

2πα



−ik·r

Φ(k, z) × r



′

2π

′

·r

T (k

′

, Y ))

2πα



′

2π

Φ(k, z)

T (k

′

, Y ))



−i(k−k

′

)·r

2πα



′

2π

Φ(k, z)

T (k

′

, Y ))(2π)

δ(k − k

′

)



Φ(k, z)

T (k, Y )



(2π)

ik·r

Φ(r, z)

T (k, Y )

4π



r r

ik·r

Φ(r, z)

T (k, Y )

4π



T (k, Y )



r r

ik·r

Φ(r, z)

4π



T (k, Y )



∞

dr r



2π

dθe

irk cos θ

Φ(r, z)

2πα



T (k, Y )



∞

dr r

(kr)Φ(r, z) (B.0.14)

e portanto

(x, Q

) =



∞

dk k





∞

dr r

(kr)Φ(r, z)



T (k, Y ) (B.0.15)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 103

Usando (B.0.7), (B.0.8) e as formas explícitas para as funções de onda, temos

(x, Q

) =

4π





∞

dk k





∞

dr r

(kr)



+ (1 − z)

]

(

r) + m

(





∞

dr r

(kr)[4Q

(1 − z)

(

r)]



T (k, Y )

2π





∞

dk k



+ (1 − z)

]



∞

dr r

(kr)K

(

+ [4Q

(1 − z)

+ m

]



∞

dr r

(kr)K

(



T (k, Y )

2π





∞

dk k



+ (1 − z)

]

Ω

+ [4Q

(1 − z)

+ m

]Ω



T (k, Y ). (B.0.16)

Aqui,

Ω

≡



∞

dr r

(kr)K

(

r) (B.0.17)

Ω

=≡



∞

dr r

(kr)K

(

r) (B.0.18)

Obviamente, para obtermos as formas explícitas para Ω

e Ω

, devemos realizar as integra-

ções em r. Estas podem ser feitas usando Mathematica e os resultados são

Ω



2, 3;

; −



(B.0.19)

Ω





2, 2;

; −



− 2k



3, 3;

; −



(B.0.20)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 104

onde

é uma função hipergeométrica. A função de estrutura toma a forma

(x, Q

) =

2π





∞

dk k



+ (1 − z)

]



2, 3;

; −



+ [4Q

(1 − z)

+ m

]





2, 2;

; −



− 2k



3, 3;

; −



T (k, Y ) (B.0.21)

As funções hipergeométricas podem ser simpliﬁcadas através das seguintes equações [105]:



2, 2;

; w



4w(1 − w)



1 −

1 − 2w



w(1 − w)

arcsin(

√



, (B.0.22)



2, 3;

; w



16w(1 − w)



1 + 2w −

1 − 4w



w(1 − w)

arcsin(

√



, (B.0.23)



3, 3;

; w



64w

(1 − w)



3 − 8w + 8w



w(1 − w)

arcsin(

√

w) − 3(1 − 2w)



(B.0.24)

Aplicaremos essas simpliﬁcações para obtermos Eq.(4.3.22). Primeiro, chamamos a

para simpliﬁcar a notação. Assim,

(x, Q

) =

2π





∞

dk k



+ (1 − z)

]



2, 3;

; −



+ [4Q

(1 − z)

+ m

]

15a





2, 2;

; −



− 2k



3, 3;

; −



T (k, Y ) (B.0.25)

Calcularemos termo a termo da expressão acima. Para isso, a relação arcsin(ix) = iarcsinh(x)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 105

será útil. Iniciaremos com a função hipergeométrica do primeiro termo:



2, 3;

; −





−



1 +







1 + 2



−



−

1 − 4



−







−



1 +



arcsin





−







−3

16k



1 +







1 −

−

1 +





1 +



arcsin









−3a



+4a







1 −

−

1 +





1 +



i arcsinh









16a

+ 4a

)





+ a





1 +



arcsinh





− 1 +





48a

+ 4a

)



+ a



+ 4a

)

arcsinh





− 2a



48a

+ 4a

)



4(k

+ a

)



+ 4a

)

arcsinh





− 2a



⇒



2, 3;

; −



16a

+ 4a

)



4(k

+ a

)



+ 4a

)

arcsinh





− 2a



(B.0.26)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 106

A primeira função hipergeométrica do segundo termo pode ser escrita como



2, 2;

; −





−



1 +







1 −

1 − 2



−







−



1 +



arcsin





−







−3a



1 +







1 −

1 +





1 +



i arcsinh









12a

+ 4a

)



+ 2a



+ 4a

)

arcsinh





− 1



12a

+ 4a

)



2(k

+ 2a

)



+ 4a

)

arcsinh





− 1



⇒

15a



2, 2;

; −



+ 4a

)



2(k

+ 2a

)



+ 4a

)

arcsinh





− 1



+ 4a

)



2(k

+ 2a

)(k

+ 4a

)



+ 4a

)

arcsinh





− (k

+ 4a

)



+ 4a

)



2(k

+ 2a

)(k

+ 4a

)



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 4a



+ 4a

)



+ 2a

)(k

+ 4a

)



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 4a



+ 4a

)



+ 6a

+ 8a



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 4a



+ 4a

)



+ 12a

+ 16a



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 4a



(B.0.27)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 107

A segunda função hipergeométrica do segundo termo é dada por:



3, 3;

; −



16a



1 +







3 − 8



−



+ 8

16a





1 +



arcsinh





− 3



1 − 2



−







15a



1 +





3 +



+ 4a

)

arcsinh





− 3



1 +





15a

16a

+ 4a

)



12a

+ 8k



+ 4a

)

arcsinh





− 3



1 +





15a

+ 4a

)



12a

+ 8k



+ 4a

)

arcsinh





− 3



+ 2a





⇒

15a



3, 3;

; −



+ 4a

)



12a

+ 8k



+ 4a

)

arcsinh





−3



+ 2a





+ 4a

)



12a

+ 8k



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 6a



+ 4a

)



12a

+ 8a

+ 2k



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 6a



+ 4a

)



12a

+ 8a

+ 2k



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 6a



+ 4a

)



24a

+ 16a

+ 4k



+ 4a

)

arcsinh





−

+ 6a



(B.0.28)

Subtraindo (B.0.28) de (B.0.27), obtemos

+ 4a

)



+ 2a

−

+ 4a

+ 2k



+ 4a

)

arcsinh







16a

+ 4a

)



+ a

−

+ 2a

+ k



+ 4a

)

arcsinh







(B.0.29)

Apêndice B. A função de estrutura F

no espaço de momentum 108

A função de estrutura toma a forma

(x, Q

) =

2π



16a

+ 4a

)



∞

dk k



+ (1 − z)

]



4(k

+ a

)



+ 4a

)

arcsinh





− 2a



(1 − z)

+ m



+ a

−

+ 2a

+ k



+ 4a

)

arcsinh







T (k, Y )

(B.0.30)

ou ainda

(x, Q

) =

4π





+ 4a





∞



+ (1 − z)

]



4(k

+ a

)



+ 4a

)

arcsinh





− 2a



(1 − z)

+ m



+ a

−

+ 2a

+ k



+ 4a

)

arcsinh







T (k, Y )

(B.0.31)

Na notação original, obtemos ﬁnalmente

(x, Q

) =

4π





+ 4





∞



+ (1 − z)

]





4(k

)





+ 4



arcsinh





− 2





(1 − z)

+ m





−

+ 2

+ k





+ 4



arcsinh















T (k, Y )

(B.0.32)

que é exatamente a Eq.(4.3.22).

Apê ndice C

Evolução de observáveis no modelo

unidimensional para a QCD

Aqui, explicitaremos os cálculos necessários para a obtenção da evolução de observáveis no

formalismo do modelo unidimensional para a QCD em altas energias, descrito no Capí-

tulo 5, mais especiﬁcamente a evolução das densidades de partículas e das amplitudes de

espalhamento.

Primeiramente, obteremos a equação de evolução (5.2.17), para o valor médio de um

observável O arbitrário. Para isso, partimos da Eq.(5.2.16),

O



{n}

P ({n}, Y ) O({n}). (C.0.1)

Derivando-a em relação a Y , temos

∂ O

∂Y



{n}

∂P ({n}, Y )

∂Y

O({n})



{n}



(··· , n

− 1, ···)P (··· , n

− 1, ··· , Y ) − f

({n})P ({n}, Y )] O({n}),

(C.0.2)

onde usamos a equação (5.1.4). Fazendo n

→ n

+1 para o primeir o termos entre colchetes,

obtemos

∂ O

∂Y



{n}



({n}) P ({n}, Y ) [O(··· , n

+ 1, ···) − O({n})]



{n}

P ({n}, Y )f

({n}) [O(··· , n

+ 1, ···) − O({n})]





({n})



O(. . . , n

+ 1, . . . ) − O({n})



. (C.0.3)

Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 110

C.1 Densidades de partículas

Para obtermos a evolução das densidades de partículas, podemos usar Eq.(5.2.17) direta-

mente, mas aqui efetuaremos um cálculo mais detalhado e clar o, para ﬁns de aprendizado.

Primeiramente, consideremos o número médio de ocupação no sítio i. Substituindo O = n

em (5.2.16), temos

n





{n}

P ({n}, Y ) n

(C.1.4)

A evolução em Y :

∂ n



∂Y



{n}

∂P ({n}, Y )

∂Y



{n}



(··· , n

− 1, ···)P (··· , n

− 1, ··· , Y ) − f

({n})P ({n}, Y )] n

(C.1.5)

Fazemos, na soma sobre todas as conﬁgurações, n

→ n

+ 1 para todo k. Para todos os

termos da soma em j, as contribuições dos termos de ganho e perda se cancelam, exceto

para o caso quando j = i. Assim, temos

∂ n



∂Y



{n}

P ({n}, Y )f

({n})(n

+ 1 − n

)



{n}

P ({n}, Y )f

({n})

= f

({n})

, (C.1.6)

que é exatamente Eq.(5.2.18).

Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 111

Para o número médio de ocupação de 2 corpos:

∂



(2)



∂Y



{n}

∂P ({n}, Y )

∂Y

− δ

)



{n}



(··· , n

− 1, ···)P (··· , n

− 1, ··· , Y )

− f

({n})P ({n}, Y )] n

− δ



{n}

P ({n}, Y ) [f

({n})(n

+ 1)(n

− δ

) − f

({n})n

− δ

)

({n})n

+ 1 − δ

) − f

({n})n

− δ

)] (C.1.7)



{n}

P ({n}, Y )



({n}) [n

− δ

+ n

− n

+ δ

]

({n}) [n

+ n

− n

+ n

]





{n}

P ({n}, Y )



({n})n

+ f

({n})n



∂



(2)



∂Y

= f

({n})n

+ f

({n})n



(C.1.8)

Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 112

De maneira análoga, obtemos, ﬁnalmente, para o número médio de ocupação de k corpos:

∂



(k)

···i



∂Y



{n}





(. . . , n

− 1, . . .)P (. . . , n

− 1, . . . , Y ) − f

({n})P ({n}, Y )



× n

− δ

)(n

− δ

) ··· × (n

− δ

− . . . − δ

k−1

)



{n}

P ({n}, Y )



({n})(n

− δ

) ···(n

− δ

− . . . − δ

k−1

)

({n})n

− δ

) ···(n

− δ

− . . . − δ

k−1

)

({n})n

− δ

) ··· × (n

k−1

− δ

k−1

− . . . − δ

k−2

k−1

)

∂



(k)

···i



∂Y



j=1



({n}) n

(k−1)

...i



, (C.1.9)

que é exatamente Eq.(5.2.22)

C.2 Amplitudes de Espalhamento

Como vimos, a matriz S que descreve o espalhamento no qual o projétil consiste em uma

única partícula no sítio i é

({n}) =











(C.2.10)

e o seu valor médio é

s

({n})



{n}

P ({n}, Y )



. (C.2.11)

Sua equação de evolução:

∂ s



∂Y



{n}

∂P ({n}, Y )

∂Y





{n}



(··· , n

− 1, ···)P (··· , n

− 1, ··· , Y ) − f

({n})P ({n}, Y )]



Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 113



{n}

P ({n}, Y )



({n}) [σ

− 1]



∆



{n}

P ({n}, Y )





1 −





[σ

− 1]



∆



{n}

P ({n}, Y )



− 1] [1 − σ

] s



{n}

P ({n}, Y )



(1 − σ

)∆

− s

)

∂ s



∂Y



∆(1 − σ

)

s

− s



. (C.2.12)

Para um projétil compost o por m partículas, a matriz S é

···s



× ··· ×



(σ

× ··· × σ

)

(C.2.13)

e seu valor médio

s

···s





{n}

P ({n}, Y )



(σ

× ··· × σ

)

(C.2.14)

Derivando em relação a Y , obtemos

∂ s

···s



∂Y



{n}



(. . . , n

− 1, . . .)P (. . . , n

− 1, . . . , Y )

− f

({n})P ({n}, Y )]



(σ

× ··· × σ

)



{n}

P ({n}, Y )



({n}) [σ

× ··· × σ

− 1]



(σ

× ··· × σ

)

Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 114



{n}

P ({n}, Y )



∆



1 −





[σ

× ··· × σ

− 1]



(σ

× ··· × σ

)



{n}

P ({n}, Y )



∆

(1 − σ

× ··· × σ

)

×[s

···s

− s

···s

]



∆

(1 − σ

× ··· × σ

) s

···s

− s

···s





∆



1 −



k=1



s

···s

− s

···s



∂ s

···s



∂Y



({m}) s

···s

− s

···s



, (C.2.15)

que é exatamente a Eq.(5.3.31).

Tomando o limite contínuo, as equações de evolução para projéteis comp ostos por uma

e duas partículas tomam as formas dadas pelas Eqs.(5.3.33) e (5.3.34), respectivamente:

∂ s



∂Y



s

− s

, (C.2.16)

∂ s



∂Y



+ τ

− τ

s

− s

. (C.2.17)

Desejamos obter essas equações em termos das amplitudes de espalhamento, ou seja, as

Eqs.(5.3.36) e (5.3.37). Para isso, tomemos a primeira equação acima. Substituindo s =

1 − t, obtemos

∂ 1 − t



∂Y



(1 − t

)(1 − t

) − (1 − t

),

−

∂ t



∂Y



1 − t

− t

+ t

− 1 + t

,

∂ t



∂Y



t

− t

. (C.2.18)

Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 115

Para obtermos a equação para tt, procedemos de maneira similar:

∂ (1 − t

)(1 − t

)

∂Y



+ τ

− τ

×(1 − t

)(1 − t

) − (1 − t

)(1 − t

)

∂ t



∂Y

∂ t



∂Y

∂ t



∂Y



+ τ

− τ

×(1 + t

− t

)(1 − t

) − 1 + t

+ t

− t







t

− t

 +

t

− t



+ τ

− τ

1 − t

+ t

− t

+ t

− 1 + t

+ t

− t







t

− t

 +

t

− t



+ τ

− τ

−t

− t

+ t



(C.2.19)

Reagrupando os termos, obtemos

∂ t



∂Y





t

− t

 +

t

− t



−

t

+ t

− t



(C.2.20)

O terceiro termo do integrando pode ser reescrito:

−

t

+ t

− t

 = −

t

+ t

− 1 − t

)

= −

t

(1 − t

) − (1 − t

)]

= −

t

− 1)(1 − t

)

= +

t

(1 − t

)(1 − t

) (C.2.21)

Apêndice C. Evolução de observáveis no modelo unidimensional para a QCD 116

Assim, obtemos ﬁnalmente

∂ t



∂Y





t

− t

) +

t

− t

)

t

(1 − t

)(1 − t

). (C.2.22)

Bibliograﬁa

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