ads:
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Ricardo Dezso Sabo
Saberes Docentes:
A análise combinatória no Ensino Médio
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2010
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Ricardo Dezso Sabo
Saberes Docentes:
A análise combinatória no Ensino Médio
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da
Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva
Coutinho.
São Paulo
2010
ads:
Banca Examinadora
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
A minha querida esposa Vera Lúcia, pela
paciência, incentivo, presença e amor em todos os
momentos dessa caminhada.
A
GRADECIMENTOS
A Deus, por me oferecer a vida e o dom de aprender e educar. Um dia, perguntaram-me
qual o sonho, quando criança, que eu ainda não havia realizado? Ao analisar minha
vida e tudo que recebi, tenho a certeza de que Deus ofereceu-me muito mais do que eu
poderia sonhar.
Ao Diretor Presidente do Colégio Bandeirantes, Mauro de Salles Aguiar que,
desde o início, acreditou e incentivou este projeto, oferecendo-me todas as
condições de realizá-lo e financiando-o integralmente por meio de uma bolsa
de estudo.
À minha orientadora Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho que, com o
seu companheirismo, orientação e paciência, me conduziu neste novo caminho de estudo
e pesquisa.
À Professora Doutora Maria Inez Rodrigues Miguel, pelas orientações,
ensinamentos e por me acolher inicialmente como seu orientando no início do
curso de mestrado.
Aos Professores Doutores Saddo Ag Almouloud e Maria José Ferreira da Silva, por me
introduzirem no campo da pesquisa acadêmica em Educação Matemática.
À Professoras Doutoras Sandra Maria Pinto Magina e Auriluci de Carvalho
Figueiredo, por participarem da banca e, gentilmente, apresentarem
observações, nortearem e delinearem esta pesquisa.
Aos colegas do programa de mestrado Márcio, Eliane e Anderson, que acompanharam
esta caminhada, oferecendo-me apoio e conforto.
A meus grandes amigos do Colégio Bandeirantes Carlos, Gleney, Hélio e
Manoel Lopes. Obrigado pela preciosa amizade e incentivo. Tenho a certeza
de que nossas ricas conversas estão presentes no texto deste projeto.
À professora Patrícia, por dedicar parte de seu tempo e compreensão no
desenvolvimento do abstract deste estudo.
Aos professores Anderson, Francisco, Joaquim, Marcos, Rinaldo e Rosana,
pela generosa participação na pesquisa.
A todos meus queridos amigos de quem, nos últimos anos, me ausentei de seus convívios
para desenvolver este projeto.
A minha família pelo incentivo, por entender minha ausência e pelo orgulho
que sempre manifestou com relação às minhas conquistas acadêmicas. A
minha irmã Márcia, pela generosa contribuição e orientações. Em especial e
com muito carinho no coração, um agradecimento reservado a meus pais
Dezso e Iolanda.
Em certos momentos, apenas agradecer não revela toda a gratidão e prestimosidade que
o convívio revela. Há alguns anos Deus colocou em minha vida uma pessoa que se
mostrou verdadeiramente companheira, que me apoiou e não me deixou desistir.
Portanto, tenho a certeza de que esse título não é só meu, sinto-me na obrigação de
dividi-lo com minha amável e valorosa esposa Vera Lúcia.
Por fim, agradeço a todos que, em algum momento, passaram por minha vida.
Tenho a certeza de que estas experiências contribuíram e arquitetaram o
resultado deste projeto.
O Autor
R
ESUMO
Diante do cenário descrito por pesquisas acadêmicas que apresentam as dificuldades
dos alunos em apropriar-se dos conceitos de análise combinatória e tendo como hipótese
que os equívocos dos alunos possam emergir dos saberes e da prática do professor.
Este trabalho teve o objetivo de investigar, por meio de entrevistas semiestruturadas os
saberes do professor de Matemática do Ensino Médio com relação ao ensino desse
tema. Entende-se que lançar mão de entrevistas semiestruturadas, como instrumento de
coleta de dados, privilegiou o processo interpretativo da fala do professor, ressaltando,
assim, os significados que ele possui. Nesse contexto, formulou-se a seguinte questão de
pesquisa: Quais saberes podem ser identificáveis por meio da fala do professor do
Ensino Médio, utilizando-se de entrevistas semiestruturadas, em relação ao ensino dos
conceitos de análise combinatória? O quadro teórico construiu-se pela utilização da
Teoria Antropológica do Didático de Yves Chevallard, com o objetivo de analisar e
organizar o objeto matemático; das teorias de Tardif a fim de orientar com relação aos
Saberes Docentes e dos trabalhos de Ponte, Nacarato e outros, com o objetivo de
entender como se dá a formação e o desenvolvimento profissional do professor. Esta
pesquisa revelou que, entre os entrevistados, observou-se a reprodução pelo professor
da prática docente, e o saber herdado dos professores que participaram de suas
experiências escolares, pois a troca de experiências entre os colegas de profissão
favorece a construção de novos saberes e/ou a sedimentação e a evolução de saberes
antigos. Com relação ao uso de fórmulas, observou-se uma situação divergente, visto
que alguns professores afirmaram que valorizam o uso do Princípio Multiplicativo, e
outros, o emprego de fórmula, e estes demonstraram não saber justificar e explicar a
validade das mesmas. Houve professores que afirmaram ter dificuldades para distinguir,
quando leem os enunciados dos problemas, se a ordem dos elementos é ou não
relevante. Assim sendo, os resultados apontaram para a importância das oportunidades
de participação em grupos de formação continuada ou grupos de discussão que
propiciem uma reavaliação dos saberes docentes e a construção de novos saberes,
podendo favorecer, nesse contexto, mudanças na prática docente.
Palavras-Chave: Análise Combinatória, Saberes Docentes, Desenvolvimento
Profissional, Teoria Antropológica do Didático.
A
BSTRACT
Given the scenario described by academic research, which provides us with the difficulties
faced by students when understanding the concepts of combinatorial analysis and the
hypothesis that the students’ misconceptions might result from the teacher’s knowledge
and methodology, this work aims at investigating, by means of semi-structured interviews,
the knowledge of mathematics teachers of secondary school education in relation to this
subject. We believe that resorting to semi-structured interviews as a tool for data
collection favored the interpretative process of the teacher's speech, thus emphasizing its
meanings. In this context, we formulated the following research question: What knowledge
can be identified by the high school teacher’s speech, using semi-structured interviews,
regarding the teaching of the concepts of combinatorial analysis? The theoretical
framework was outlined with the use of Yves Chevallard’s Anthropological Theory of
Didactic as to analyze and organize the mathematical object; Tardif's theories so as to
guide us in relation to the teacher's knowledge and the works of Ponte, Nacarato and
others, in order to understand how the training and professional development of teachers
is carried out. This research has shown that, among the teachers that were interviewed,
they reproduce the teaching practices and knowledge inherited from the teachers who
participated in their own school experiences taking into account that that the exchange of
experiences among colleagues favors the constructions of new knowledge and/or the
sedimentation and evolution of old knowledge. Regarding the use of formulas, we see a
divergent situation, as some teachers say they value the use of the Multiplicative Principle
and others value the use of formulas, although the latter don’t seem to be able to justify or
explain their validity. There were teachers who said that, when reading the instructions for
class exercises, have difficulty figuring out whether the order of the elements is relevant or
not. Thus, our results highlighted the importance of providing teachers with opportunities
of participation in continuing education or discussion groups that lead to a reassessment
of a teacher's knowledge and the construction of new knowledge, in a way that a teacher’s
practice may also be modified.
Keywords: Combinatorial Analysis, Teachers’ Knowledge, Professional Development,
Anthropological Theory of Didactics.
S
UMÁRIO
Considerações Preliminares .......................................................................
13
1 Revisão Bibliográfica ................................................................................
19
2 Problemática ..............................................................................................
33
2.1 Problema de Pesquisa ......................................................................... 33
2.2 Aspectos Metodológicos .......................................................................
36
2.3 A entrevista como técnica de metodologia de pesquisa ...................... 42
2.4 Categorização – Tipo de Entrevistas ....................................................
46
2.4.1 Entrevista Estruturada ................................................................ 46
2.4.2 Entrevista Livre ........................................................................... 48
2.4.3 Entrevista Semiestruturada .........................................................
49
3 Construindo a Fundamentação Teórica ................................................. 53
3.1 Teoria Antropológica do Didático ......................................................... 54
3.2 Considerações sobre o objeto matemático .......................................... 65
3.2.1 Um breve estudo histórico .......................................................... 66
3.2.2 Enumeração – Árvore de Possibilidades – PFC .........................
70
3.2.3 Permutação Simples ...................................................................
78
3.2.4 Arranjo Simples ...........................................................................
83
3.2.5 Combinação ................................................................................
87
3.2.6 Permutação com repetição ......................................................... 90
3.3 Raciocínio Combinatório ...................................................................... 100
3.4 Formação de Professores .................................................................... 113
3.4.1 Formação Inicial de Professores ................................................ 115
3.4.2 Desenvolvimento Profissional .....................................................
121
3.4.3 Saberes Docentes ...................................................................... 126
4 Análise das Entrevistas ............................................................................
133
4.1 Descrição dos Professores participantes das Entrevistas ....................
134
4.2 Análises ................................................................................................ 140
4.2.1 Influência do Ensino Médio e Superior ....................................... 140
4.2.2 Participação em Projetos e Desenvolvimento Profissional .........
144
4.2.3 PCN e o Ensino de Análise Combinatória .................................. 147
4.2.4 Uso de fórmulas – Demonstrações e Generalizações ................
150
4.2.5 Dificuldades Profissionais ........................................................... 157
4.2.6 Valorização dos Cálculos ............................................................
159
4.2.7 Uso do PFC – Enumeração – Árvore de Possibilidades ............ 161
4.2.8 Ordem dos Elementos ................................................................ 165
4.2.9 Conceitos fundamentais a serem discutidos no Ensino Médio ...
170
Considerações Finais .................................................................................. 175
Referências ...................................................................................................
189
Apêndice A – Questões da Entrevista ........................................................... 195
Apêndice B – Questionário – Livro Didático ...................................................
201
Apêndice C – Poema “De Vetula” .................................................................. 203
Apêndice D – Carta de Apresentação da Entrevista ......................................
207
L
ISTA DE FIGURAS
Figura 1: Desenho das pontes da cidade de Königsberg .............................. 69
Figura 2: Árvore de possibilidades Problema 1 ............................................. 73
Figura 3: Princípio Fundamental da Contagem Problema 3 .......................... 79
Figura 4: Princípio Fundamental da Contagem Problema 4 .......................... 81
Figura 5: Princípio Fundamental da Contagem Problema 6 .......................... 84
Figura 6: Princípio Fundamental da Contagem Problema 7 .......................... 85
Figura 7: Princípio Fundamental da Contagem Problema 10 ........................ 92
Figura 8: Anagramas iniciados por A Problema 12 ........................................
94
Figura 9: Anagramas da palavra BARATA Problema 12 ............................... 95
Figura 10: Árvore de Possibilidades Lançamento de duas moedas .............. 102
Figura 11: MDC – Algoritmo de Euclides ....................................................... 104
Figura 12: Triângulo de Pascal ...................................................................... 105
L
ISTA DE QUADROS
Quadro 1: Perfil dos professores ................................................................... 140
É na inconclusão do ser, que se sabe como tal, que se funda a
educação como processo permanente. Mulheres e homens se
tornaram educáveis na medida em que se reconheceram
inacabados. Não foi a educação que fez mulheres e homens
educáveis, mas a consciência de sua inconclusão é que gerou sua
educabilidade.
Este é um saber fundante da nossa prática educativa, da
formação docente, o da nossa inconclusão assumida. (FREIRE,
2005, p. 58)
13
C
ONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Desde 1988, quando ainda era estudante do 2º ano do curso de
licenciatura, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São
Paulo – USP, trabalho como professor de Matemática em escolas públicas e
privadas na cidade de São Paulo.
Durante esses anos, lecionando no Ensino Médio, percebi em conversas
informais de sala de professores que, por diferentes razões, alguns professores
de Matemática assumiam que evitavam ou até não abordavam de forma
estruturada e fundamentada os estudos de análise combinatória com seus alunos
no Ensino Médio. Havia professores que justificavam essa posição argumentando
que a análise combinatória é um tema árduo e laborioso para ensinar ou que os
alunos não têm habilidades para aprender e trabalhar com conceitos tão
sofisticados. Conheci professores que afirmavam que o tempo – o ano letivo –
apresenta-se insuficiente e, desse modo, torna-se necessário optar por outros
temas, que julgavam mais importantes.
Assim, ao longo desses anos, percebi, com relação à postura dos
professores, certo esquivo e descuido nas abordagens desse tema nas aulas de
Matemática no Ensino Médio.
Em determinadas ocasiões, ouvi professores relatando que eles próprios
não entendem esses conceitos de forma clara e significativa, por essa razão,
justificam que evitam abordá-lo ou optam, apenas, por apresentar aos alunos um
processo de aplicação de fórmulas, sem significado e justificativa.
Santos (2005) pontua que os professores por ele pesquisado, por não
saberem com clareza os conceitos matemáticos que permeiam o ensino de
14
análise combinatória, utilizam-se de um conjunto de fórmulas prontas para
ensinar. Nessas circunstâncias, tenho a hipótese de que o aluno necessita lançar
mão da memorização para escolher a fórmula certa na resolução de problemas
específicos, ou seja, nesse contexto, o ensino de análise combinatória,
provavelmente, resuma-se apenas ao emprego de fórmulas na resolução de
problemas-padrão.
Com relação à formação inicial e ao desenvolvimento profissional do
professor, Lopes (2000) argumenta:
Um dos fatores responsáveis pela má qualidade de ensino é, sem dúvida
alguma, a formação do professor. É possível dizer que a maioria dos
profissionais que se formaram ou estão se formando, não tem claro o
papel da escola, os objetivos da aprendizagem, a razão dos conteúdos a
serem trabalhados, enfim, não tem claro o seu próprio papel de
educador. (LOPES, 2000, p. 12)
No panorama descrito por Lopes (2000), entendemos que a formação
inicial do professor deve constituir-se, como um ambiente de estudo, no qual o
licenciando encontre um espaço para o aprendizado, para discussões e o
comprometimento com o ensino. Assim, a formação inicial poderá, de fato,
proporcionar, além do domínio dos conceitos matemáticos, habilidades para
articular os diversos conceitos, como também refletir sobre a prática docente.
Sob essa ótica, com relação ao desenvolvimento profissional do professor,
acreditamos que este precisa ser entendido como um processo que permeie e
perdure por todo o exercício de sua prática docente. Segundo Ponte (1998) os
conhecimentos e competências adquiridos pelo professor durante sua
escolarização tornam-se, em muitos casos, insuficientes para o exercício de suas
funções. Assim sendo, temos a hipótese de que valorizar o desenvolvimento
profissional por toda a carreira do professor torna-se cada vez mais necessário, a
fim de “acurar” e desenvolver sua prática docente.
Por outro lado, com relação ao uso de fórmulas na construção dos
conceitos de análise combinatória, Sturm (1999) expõe em sua pesquisa uma
abordagem alternativa, na qual as fórmulas apresentam-se como decorrência da
experiência do aluno, inseridas em um processo de resolução de problemas de
contagem. Assim, o autor afirma:
15
[...] o ensino de Análise combinatória deve se dar através de situações-
problema. As fórmulas devem aparecer em decorrência das experiências
dos alunos na resolução de problemas, devem ser construídas e não ser
o elemento de partida para o ensino de cada tema: Arranjo, Permutação
e Combinação. (STURM, 1999, p. 3)
Ainda, com relação ao uso da fórmula, como recurso para abordar os
conceitos de análise combinatória, Esteves (2001) argumenta:
Inicialmente, defendemos que melhor seria proporcionar aos alunos
situações problema para que, de forma independente, os mesmos
resolvam-nos sem o uso ou conhecimento de fórmula. Adotamos tal
posição por acreditar que o aluno pode apresentar uma concepção
errônea, conforme a maneira que o conteúdo for abordado. Isto é, se as
fórmulas são apresentadas após ligeira abordagem e apresentação
formal da definição de cada tipo de agrupamento, tal fato poderá gerar
dificuldade por parte do aluno em reconhecer o tipo de agrupamento
envolvido no problema e, consequentemente, a fórmula que deve utilizar.
Com isso, o aluno estaria sendo induzido ao domínio da técnica, sem se
preocupar com a interpretação do problema, o que na análise
combinatória é fundamental. (ESTEVES, 2001, p. 33)
Concordamos com as afirmações apresentadas pelos dois autores, pois
acreditamos que o uso de fórmulas na resolução de problemas de análise
combinatória na escola básica necessita apresentar-se, de fato, como decorrência
da construção dos conceitos estudados, podendo, desse modo, contribuir para o
desenvolvimento do raciocínio combinatório do aluno.
Em 2005 e 2006, participei de um curso de Pós-Graduação em Educação
Matemática no Centro Universitário Fundação Santo André e tive a oportunidade
de conhecer teorias em Educação Matemática, mais especificamente, as teorias
da didática francesa. Nesse período, estudei e discuti metodologias de pesquisa
nessa área, além de ler e analisar algumas dissertações, conhecer e conviver
com professores de diferentes idades, práticas e concepções e, o mais
importante, começar a entender e experimentar como se formalizam e são
construídas as pesquisas em Educação Matemática.
Assim, associando minhas inquietações sobre o ensinar análise
combinatória, os problemas descritos em diversas pesquisas que permeiam este
tema, minhas observações a respeito das posturas dos professores e a
oportunidade de voltar para a universidade com o objetivo específico de estudar e
pesquisar a Educação Matemática, criei motivação e matriculei-me, no início de
16
2007, no curso de mestrado acadêmico da Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo – PUC/SP.
Temos, então, o objetivo de investigar, por meio de entrevistas, os saberes
do professor do Ensino Médio, em relação ao ensino e à aprendizagem de análise
combinatória, como também detectar, se possível, na fala dos professores
participantes fatores que podem influenciar as diversas abordagens desse tema
pelo professor nas aulas de Matemática.
O presente trabalho está desenvolvido e estruturado nos seguintes
capítulos.
No capítulo 1, apresentaremos a revisão bibliográfica formada por
trabalhos acadêmicos relacionados com o tema: o ensino de análise
combinatória. Optamos por destacar nesta revisão bibliográfica a metodologia, o
público-alvo e os resultados evidenciados pelos autores das pesquisas.
No capítulo 2, descreveremos a trajetória, indagações e reflexões que nos
conduziram à problemática e à questão de pesquisa propriamente dita.
Abordaremos a metodologia utilizada, apresentando as razões que nos levaram
ao uso das entrevistas semiestruturadas, apresentando discussões e reflexões a
respeito do uso desse instrumento, como mecanismo de coleta de dados inserido
em um trabalho de pesquisa acadêmica.
No capítulo 3, apresentaremos o objeto matemático e o referencial teórico
que subsidiarão nossas análises e reflexões. Nesta parte do trabalho,
discutiremos os Saberes Docentes, segundo a taxonomia de Tardif (2002), o
processo de Formação e Desenvolvimento Profissional do docente, conforme
autores como: Ponte (1998); Nacarato e Paiva (2006) e outros. Apresentaremos a
Teoria Antropológica do Didático (TAD), segundo Chevallard (1999), com o intuito
de entender o objeto matemático e abordaremos aspectos que podem influenciar
o Desenvolvimento do Raciocínio Combinatório, conforme Batanero et al. (1996) e
outros autores.
No capítulo 4, apresentaremos a análise das entrevistas. Para isso,
utilizaremos o referencial teórico a fim de compreender e analisar a fala dos
professores participantes e, desse modo, levantar hipóteses com o objetivo de
responder à questão de pesquisa.
17
Finalizaremos o trabalho apresentando nossas considerações e
conclusões, buscando, também, sugerir novas questões e problemáticas para
futuras pesquisas, que poderão utilizar-se dos resultados aqui apresentados,
como ponto de partida e sustentação.
Vale pontuar que este estudo está inserido em um projeto de pesquisa
atualmente em desenvolvimento no grupo PEA-MAT, com financiamento da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo – FAPESP que há 10
anos desenvolve projetos de pesquisa e de formação de professores em parceria
com escolas públicas do Estado de São Paulo. O presente projeto estuda os
conceitos referentes ao bloco dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN –
conhecido como Tratamento da Informação, no qual, a análise combinatória está
inserida. Assim sendo, temos a pretensão de utilizar os resultados desta pesquisa
a fim de apoiar, orientar e planejar as atividades que serão, futuramente,
abordadas e desenvolvidas pelo grupo, com relação ao ensino e à aprendizagem
de análise combinatória.
18
As Ciências precisam servir às pessoas e a organização da
escola deve visar ao desenvolvimento das competências pessoais.
As Ciências não são um fim em si mesmo, nem são um obstáculo ao
desenvolvimento pessoal, mas precisam ser consideradas na
perspectiva de meios para instrumentar as ações, na busca da
realização de nossos projetos, pessoais e coletivos. E é nessa
perspectiva que as escolas precisam organizar-se, reestruturando
seus tempos e seus espaços. (MACHADO, 2009, p. 17).
19
1
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Antes de iniciar esta pesquisa, buscamos identificar os trabalhos
acadêmicos relacionados a nosso tema de investigação. Desse modo, a
finalidade da revisão bibliográfica desenvolvida neste capítulo consiste,
basicamente, em conhecer, entender e elencar temas, objetivos, público-alvo e
conceitos já pesquisados, desenvolvidos e estudados em diferentes trabalhos
acadêmicos, vinculados ao ensino e à aprendizagem de análise combinatória,
como também quais as possíveis indagações que essas pesquisas apresentam e
que, ainda, precisam ser respondidas.
Para isso, utilizamos sites de diferentes universidades que desenvolvem e
disponibilizam estudos realizados na área de Educação Matemática. Lançamos
mão, também, do banco de dados do CEMPEM – Círculo de Estudo, Memória e
Pesquisa em Educação Matemática – que nos ofereceu uma série de
dissertações e teses que foram desenvolvidas, por diferentes universidades
brasileiras, desde 1970, na área de Educação Matemática.
Durante as leituras desses trabalhos, consideramos importante analisar os
problemas de pesquisa, o referencial teórico e a metodologia utilizada, os
resultados apresentados e o público-alvo em questão. Sendo redundante,
salientarmos que o foco desta breve análise organiza-se para identificar e tomar
conhecimentos dos trabalhos já desenvolvidos, como também se utilizar deste
material para apoiar e balizar nossas investigações.
Portanto, neste contexto, destacamos dois artigos científicos e cinco
dissertações relacionadas ao ensino e à aprendizagem de análise combinatória:
( i )
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996)
Título: Razonamiento Combinatorio en Alumnos de Secundaria
20
( ii )
Roa, Batanero, Godino e Cañizares (1997)
Título: Estrategias em la Resolución de Problemas Combinatorios por
Estudiantes con Preparación Matemática Avanzada.
( iii )
Sturm (1999)
Título: As possibilidades de um ensino de análise combinatória sob
uma abordagem alternativa.
( iv )
Esteves (2001)
Título: Investigando os fatores que influenciam o raciocínio
combinatório em adolescentes de 14 anos – 8
a
série do Ensino
Fundamental.
( v )
Rocha (2002)
Título: O ensino de análise combinatória: uma discussão sobre o uso
do princípio multiplicativo na resolução de problemas.
( vi )
Costa (2003)
Título: As concepções dos professores de Matemática sobre o uso da
modelagem no desenvolvimento do raciocínio combinatório no Ensino
fundamental.
( vii )
Santos (2005)
Título: Tratamento da informação: currículos prescritos, formação de
professores e implementação na sala de aula.
No artigo apresentado por Batanero et al. (1996), os autores analisam o
raciocínio combinatório em alunos do Ensino Médio com idades de 14 e 15 anos.
Para isso, selecionaram uma amostra de 720 alunos de nove escolas das cidades
de Granada e Córdoba, dos quais 352 haviam recebido instruções com relação
aos estudos de análise combinatória e os 368 restantes não haviam tido nenhum
contato com o tema.
Nessas circunstâncias, os pesquisadores objetivaram encontrar respostas
às seguintes questões: Que papel representa a combinatória em relação à
probabilidade e à matemática discreta? A capacidade combinatória é apenas uma
ferramenta matemática ou um componente fundamental do raciocínio lógico?
Existem variáveis que possam afetar os procedimentos e os erros dos alunos ao
21
resolver problemas de análise combinatória? Como deveriam ser consideradas
estas variáveis no ensino desse tema?
Batanero et al. (1996) afirmam que o ensino de análise combinatória,
usualmente, está centrado na aprendizagem de definições e fórmulas, a fim de
resolver exercícios que envolvem cálculos. Além disso, os autores afirmam que os
professores consideram o ensino desse tema difícil e, em muitas situações,
preferem não abordá-lo. Assim, nesse contexto, essa pesquisa apresenta os
estudos de análise combinatória como um meio a fim de desenvolver o raciocínio
combinatório, não sendo, dessa forma, apenas, uma ferramenta para o cálculo de
problemas que envolvem os estudos de probabilidades.
Conforme os autores citados, a pesquisa pontuou que os alunos
apresentam dificuldades generalizadas ao resolver problemas de análise
combinatória. Os erros usualmente apontados foram: um não procedimento de
enumeração sistemática, respostas intuitivas errôneas, não se lembrar de
fórmulas ou utilizá-las de forma incorreta, uso e interpretações errôneas do
diagrama de árvore, como também erros com relação à ordem e à repetição dos
elementos que formam os agrupamentos.
Batanero et al. (1996) concluem que os problemas abordados nas aulas de
análise combinatória deveriam enfatizar o uso de procedimentos, como a
enumeração sistemática, a árvore de possibilidades e o raciocínio recursivo dos
alunos, ao invés de destacar, apenas, o uso de fórmulas, algoritmos e definições.
Assim sendo, para os autores, o ensino de análise combinatória proporcionaria
melhores oportunidades para avaliar preferencialmente o raciocínio combinatório
dos alunos, a fim de compreender suas capacidades e concepções com relação a
esse tema.
O trabalho de Roa et al. (1997) apresenta um estudo com alunos do 5º ano
de Licenciatura em Matemática em relação aos processos de resolução de
problemas de análise combinatória. Nesse contexto, os pesquisadores
objetivaram investigar o raciocínio combinatório desses alunos na resolução de
problemas de contagem, a fim de encontrar resposta à seguinte questão: Como
poderíamos explicar a falta de capacidade de raciocínio combinatório em alunos
com forte preparação em relação aos estudos da Matemática?
22
A amostra foi formada por quatro alunos do 5º ano do curso de Licenciatura
em Matemática que colaboraram voluntariamente com a pesquisa. Os alunos
foram selecionados entre os que obtiveram as melhores e as piores notas com
relação a um questionário escrito, composto por 13 problemas com diferentes
graus de dificuldades que foi aplicado em 29 alunos matriculados no curso de
licenciatura. Vale citar que foi solicitado a esses alunos que detalhassem os
processos de resolução dos problemas, tal como eles explicariam a seus futuros
alunos no Ensino Médio.
Roa et al. (1997) afirmam que, em geral, os licenciandos demonstraram
dificuldades na resolução dos problemas. Segundo os autores, este resultado
mostra-se preocupante, pois a grande parte das questões era composta por
problemas combinatórios simples, usualmente abordados nas aulas de análise
combinatória no Ensino Médio.
Com o objetivo de analisar as estratégias seguidas pelos alunos a fim de
discriminar as que tiveram sucesso, como também detectar os pontos errôneos
foram selecionados os melhores e piores alunos desse grupo, com relação aos
resultados do questionário. Assim, cada um dos alunos foi entrevistado
individualmente durante uma hora e meia, aproximadamente, sobre os processos
de resolução e os raciocínios utilizados.
Como resultado Roa et al. (1997) mostram que os alunos apresentam
dificuldades em relação ao uso dos diagramas de árvores como possível
estratégia de resolução de problemas. Assim, as estratégias do tipo: fixar
variáveis, reduzir o problemas para problemas mais simples, decompor os
problemas em partes, generalizar as soluções mostraram-se fatores que
possibilitaram distinguir os alunos que obtiveram bons resultados nas resoluções
dos problemas para aqueles que não. Os autores concluem que essas estratégias
quando bem aplicadas vêm se mostrando fundamentais no momento de resolver
problemas de contagem.
Para finalizar, os autores ressaltam que, para organizar os estudos de
análise combinatória, é preciso considerar os processos sistemáticos de
enumeração e o raciocínio recursivo como elementos centrais e importantes para
desenvolver processos algorítmicos e definições das operações combinatórias.
23
Em sua dissertação, Sturm (1999) descreve uma proposta de utilização do
Princípio Fundamental da Contagem em problemas que envolvem o ensino e a
aprendizagem de análise combinatória, em detrimento do emprego imediato de
fórmulas.
Segundo o autor, sua pesquisa realizou-se com 33 alunos da 2
a
série do
Ensino Médio, utilizando-se de três aulas semanais de 40 minutos. Sturm (1999)
classifica que o estudo foi desenvolvido sob uma perspectiva qualitativa, na qual o
investigador analisou sua própria prática pedagógica como professor da turma.
A questão de pesquisa que orientou seu trabalho foi: Investigar as
possibilidades pedagógicas de um ensino de análise combinatória sob uma
abordagem alternativa. Com ela definida, o autor apresenta os seguintes objetivos
para seu estudo:
Analisar uma proposta de ensino de análise combinatória e sua
experimentação em sala de aula;
Identificar as possibilidades e limites com relação ao ensino e
aprendizagem da proposta, no sentido de colaborar em futuras
investigações sobre a análise combinatória;
Contribuir para o trabalho de professores de Matemática do Ensino
Médio que busquem aprimorar sua formação em relação ao ensino e
aprendizagem de análise combinatória.
Com o propósito de abordar os conceitos relativos à análise combinatória,
o autor descreve que, no decorrer do trabalho de pesquisa, apresentou aos
alunos situações-problema que tinham o objetivo de gerar discussões sobre as
diferentes abordagens de resoluções. Diante disso, Sturm (1999) afirma que o
objetivo dessas estratégias foi evidenciar a importância de aspectos, como a
ordenação e repetição dos elementos envolvidos nos problemas propostos. Por
fim, como consequência da socialização e dos debates que se desenvolveram no
decorrer das aulas, o autor sistematizava o uso das fórmulas.
O principal instrumento de registro utilizado por Sturm (1999) foi um
"Diário", no qual foi anotado, com o máximo de detalhes, o que ocorreu durante
24
as aulas. Para o autor, os resultados apresentados mostram aspectos positivos
em relação ao uso do Princípio Fundamental da Contagem na resolução de
problemas em detrimento do uso imediato e sem significação das fórmulas. O
autor descreve, também, que a maior parte dos alunos compreendeu a
funcionabilidade e a potencialidade do uso do Princípio Fundamental da
Contagem na resolução dos problemas de contagem, utilizando-o de forma
adequada e condizente.
Para finalizar, evidencia que a maioria dos estudos acadêmicos relativos ao
ensino de análise combinatória estão focados no aluno, ou seja, essas pesquisas
não destacam ou exibem o pensamento e as concepções do professor,
ressaltando, assim, a importância de trabalhos nessa área.
A maioria da bibliografia relativa ao tema tem seu foco no aluno. Mesmo
os textos destinados ao professor discutem a Análise Combinatória em si
ou propõem sugestões de ensino, sem colocar-se na posição do
professor. Os textos não trazem a tona o pensamento do professor, sua
relação com o tema, suas concepções, sua visão sobre a importância da
Análise Combinatória. A importância de estudos deste tipo pode se
revelar na possibilidade de dialogar com os professores que vêm
buscando alternativas para seu trabalho. (STURM, 1999, p. 86)
Concordamos com o autor, pois entendemos que pesquisar os saberes do
professor em relação ao ensino de análise combinatória, como sugerido por
Sturm (1999), seja, de fato, um fator que poderá contribuir a fim de conhecermos
e compreendermos com mais clareza, como se desenvolve o processo de
construção desses conceitos pelos alunos nas aulas de Matemática da escola
básica.
A dissertação desenvolvida por Esteves (2001) objetivou estudar a
aquisição e o desenvolvimento dos primeiros conceitos de análise combinatória
em adolescentes de 14 anos de idade que cursavam a última série do Ensino
Fundamental de oito anos (8
a
série).
Nessa pesquisa, Esteves (2001) optou por construir uma sequência de
ensino fundamentada nas Teorias dos Campos Conceituais (Vergnaud, 1991), no
conceito de Transposição Didática (Chevallard, 1991), nas noções de Registros
de Representação (Duval, 1995) e no conceito de Contrato Didático (Brousseau,
1996). Segundo a autora, a sequência de ensino foi composta por problemas
25
ligados à realidade dos alunos e focada na formação dos conceitos que envolvem
análise combinatória – conceitos de arranjo, permutação e combinação.
Para isso, a autora trabalhou com dois grupos de alunos, um experimental
e outro de referência, em uma instituição da rede privada de ensino do Estado de
São Paulo. O grupo experimental era composto de 14 duplas (28 alunos com
idade aproximada de 14 anos), todos estudantes da 8
a
série do Ensino
Fundamental que apresentavam, como característica comum, nunca terem
estudado análise combinatória nas séries anteriores. O grupo de referência era
composto por 30 alunos (com idade aproximada de 16 anos) que cursavam a 2
a
série do Ensino Médio que, como o grupo experimental, não tiveram a
oportunidade, até aquele momento, de estudar os conceitos de análise
combinatória.
A autora delineou seu problema de pesquisa pelas seguintes questões:
“Em função do ensino oferecido, os sujeitos demonstram progresso verificável no
que tange ao campo conceitual considerado?” Além disso, a autora apresentou
uma segunda questão de investigação, denominada por ela como, “questão
derivada”: “Tal evolução se diferencia daquela observada no grupo de
referência?”.
Nessa investigação, Esteves (2001) observou o uso de distintas
representações – desenhos, enumeração, árvore de possibilidades, princípio
multiplicativo – usualmente, utilizados pelos alunos nas resoluções dos problemas
de contagem. Segundo a autora, foi possível identificar nos alunos dificuldades
para interpretar os enunciados dos problemas, como também detectar o não uso
frequente da árvore de possibilidades ou o uso incorreto desta representação na
resolução dos problemas.
Para Esteves (2001), os resultados encontrados mostram que os alunos
apresentam dificuldade na resolução de problemas relativos à análise
combinatória. As principais causas desse fracasso estão vinculadas às confusões
sobre a relevância, ou não, da ordem dos elementos que compõem o enunciado
do problema, sobretudo em situações que envolvem o conceito de combinação.
26
A pesquisadora também enumerou outras dificuldades apresentadas pelos
alunos, como por exemplo, a falta de organização em enumerar os dados
sistematicamente, dúvidas na identificação da operação aritmética usada, como
também interpretações incorretas dos problemas, quando estes apresentavam
mais de uma etapa.
Como sugestão a futuras pesquisas, a autora sugere o desenvolvimento de
trabalhos relacionados à interpretação dos enunciados de problemas que
envolvem análise combinatória, com o objetivo de avaliar os estudantes em
relação à interpretação dos problemas, como também estabelecer uma
vinculação entre a inteligibilidade dos enunciados e as resoluções dos problemas
apresentados pelos alunos.
Rocha (2002) apresenta o objetivo discutir a aplicação de um método
específico que denominou alternativo, a fim de construir o ensino dos conceitos
de análise combinatória por uma abordagem qualitativa, desenvolvido, segundo
os pressupostos construtivistas nas aulas de Matemática do Ensino Médio.
A autora propõe o uso do Princípio Fundamental da Contagem, como
proposta alternativa na resolução dos problemas. Desse modo, a apresentação
das definições e fórmulas torna-se, efetivamente, uma consequência das
discussões e argumentações desenvolvidas durante as aulas.
Nesse contexto, segundo a autora, o professor passa a assumir o papel de
observador, consultor, organizador, mediador, interventor, controlador e
incentivador da aprendizagem, deixando de lado o papel apenas de comunicador
do conhecimento.
Este trabalho de pesquisa foi delimitado pela seguinte problemática:
“Podemos questionar a validade de se empregar novos métodos e estratégias,
visto que o resultado das provas tem revelado que alunos trabalhados de uma
forma diferenciada, ou não, apresentam a mesma habilidade em trabalhar
Matemática?”.
A autora descreve que a pesquisa foi realizada com alunos de duas
escolas. Em 1998, em uma Escola Técnica Estadual do Estado de São Paulo com
turmas dos 3º e 4º anos do curso técnico de eletrônica (Ensino Médio), no período
27
noturno, sendo utilizadas duas aulas semanais de Matemática. As salas de aulas
eram compostas, em média, por 40 alunos por turma.
Em 2001, em uma escola privada do Estado de São Paulo, com turmas do
2º ano do Ensino Médio no período diurno. A pesquisa desenvolveu-se com
quatro turmas de alunos em uma média de 30 alunos por turma e duas aulas
semanais.
As atividades propostas pela pesquisadora visaram a possibilitar e
desenvolver, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, a resolução de
problemas que envolvem análise combinatória, assim como a compreensão dos
conceitos de Arranjos, Permutações e Combinações a partir dos problemas
relacionados ao cotidiano dos alunos.
Ao ter como referência a relação aluno-conteúdo, a interação professor-
aluno e as contribuições do uso do Princípio Fundamental da Contagem na
resolução dos problemas, Rocha (2002) enumera os seguintes resultados: a
necessidade de negociação dos significados em sala de aula, a possibilidade dos
alunos interagirem com o conteúdo, a importância do papel mediador do professor
como representante do conhecimento, a importância e função da linguagem na
formação de conceitos de contagem e a implementação do ensino de análise
combinatória de forma produtiva e significativa.
Costa (2003) desenvolveu uma dissertação em que apresenta como
objetivo investigar os instrumentos disponíveis para o professor de Matemática
ensinar análise combinatória no Ensino Fundamental por processo de
Modelagem.
O autor propõe pesquisar os conhecimentos dos professores sobre o
objeto matemático, ou seja, os conceitos que envolvem análise combinatória –
arranjo, permutação e combinação. Delimitou seu problema de pesquisa da
seguinte forma: “Como o professor de Matemática está instrumentalizado para
ensinar Combinatória no Ensino Fundamental?” Quais as concepções do
professor que influenciam sua prática pedagógica e como uma formação
continuada pode alterar ou reforçar estas concepções?
28
A investigação foi realizada com professores da rede pública que
lecionavam no Ensino Fundamental e Médio do Estado de São Paulo que
participaram do curso de Atualização dos Conhecimentos (Formação Continuada)
realizado pelo convênio PUC-SP e SEE-SP, denominado “Construindo Sempre
Matemática”.
Nessa pesquisa, o autor optou por analisar os Parâmetros Curriculares
Nacionais de Matemática do Ensino Fundamental (PCN – 1998), a Proposta
Curricular para o Ensino da Matemática do Estado de São Paulo – 1º grau (PCEM
– 1991) e duas coleções de livros didáticos, usualmente adotados por professores
da rede pública: Matemática Pensar e Descobrir – Giovanni e Giovanni Jr e
Matemática ao Vivo – Imenes, Jakubovic e Lellis.
Além disso, Costa (2003) aplicou e analisou com os professores
participantes dois questionários: um quantitativo e outro qualitativo.
O questionário quantitativo tinha como objetivo caracterizar os professores
quanto ao uso do livro didático, seu conhecimento em relação aos PCN e os
Parâmetros Curriculares, caracterizações gerais de sua formação inicial, como
também alguns aspectos gerais em relação às condições de trabalho
Por outro lado, o questionário qualitativo era formado por questões que
exigiam respostas dissertativas e apresentava o objetivo de investigar as
concepções dos professores sobre o estudo de análise combinatória no Ensino
Fundamental, como também analisar os saberes desses professores a respeito
do objeto matemático em questão.
Em seus resultados de pesquisa, Costa (2003) afirma que a situação do
ensino brasileiro, especialmente, no caso da Matemática é paradoxal, pois
existem bons materiais de apoio: os parâmetros norteadores (PCN-EF), os livros
didáticos e as propostas curriculares estaduais. No entanto, é possível observar
que o professor não conhece os PCN-EF suficientemente e, ainda, o que é mais
grave, não conhece o objeto matemático – conceitos que envolvem análise
combinatória – o suficiente para que possa ensiná-lo a seus alunos, seja por meio
da Modelagem ou não.
29
Santos (2005) investigou nos professores participantes de um curso de
formação continuada as diferentes maneiras, como as noções de combinatória,
probabilidade e estatística incorporam-se aos currículos praticados em sala de
aula na Educação Básica.
Para isso, o autor delineou sua problemática de pesquisa com as seguintes
questões: como os professores da Educação Básica lidam, eles próprios, com
conteúdos de combinatória, estatística e probabilidade? Qual a opinião dos
professores da Educação Básica sobre a proposta de trabalhar com tais
conteúdos no Ensino Fundamental e Médio? Os professores acreditam que seus
alunos são capazes de resolver situações-problema relacionadas ao bloco
Tratamento da Informação? Qual o impacto que os cursos de formação
continuada de professores podem trazer para a colocação em prática dessas
propostas curriculares?
Para realizar sua pesquisa, Santos (2005) acompanhou a formação
continuada de um grupo de 52 professores da rede pública do Estado de São
Paulo, durante o 2º semestre de 2004, participantes do programa de formação
continuada, denominado “Teia do Saber”.
Assim, o “Teia do Saber” foi um programa desenvolvido pela Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo que visava à capacitação de professores de
Ensino Fundamental e Médio que estavam atuando em sala de aula nas escolas
estaduais.
O objetivo da pesquisa, segundo Santos (2005), foi identificar as principais
dificuldades reveladas pelos professores participantes do curso de formação, com
relação aos conceitos referentes ao bloco dos PCN, conhecidos como Tratamento
da Informação, no qual a análise combinatória, a probabilidade e a estatística
estão inseridos.
Além de participar do grupo de formação e observar a participação dos
professores, Santos relata, também, que entrevistou e registrou, em vídeo, as
aulas de quatro professores participantes.
Pelos resultados apresentados na pesquisa, o autor cita que foi possível
perceber que alguns professores julgam que esses conteúdos – análise
30
combinatória, probabilidade e estatística – são temas complexos para serem
trabalhados no Ensino Fundamental. Assim, para Santos (2005), é possível
perceber que esses professores desconhecem a proposta dos PCN em relação a
esses temas, como também não há clareza da importância desses conceitos na
formação dos alunos.
Outro aspecto evidenciado pelo autor diz respeito ao conhecimento que os
professores demonstram em relação ao tema, Tratamento da Informação. Santos
(2005) entende que seja difícil trabalhar esses conceitos com os alunos quando o
professor não conhece com bastante profundidade o objeto matemático em
questão. Dessa forma, o autor concluiu, com relação ao ensino de análise
combinatória, que os professores por não saberem com clareza os conceitos que
permeiam o tema, utilizam um conjunto de fórmulas prontas para ensiná-lo.
Com relação ao curso de formação continuada – “Teia do Saber” – Santos
(2005) constatou haver falta de discussões consistentes em relação à prática do
ensino desses conteúdos em sala de aula. Segundo o autor, isso pode estar
relacionado ao pouco tempo destinado para o desenvolvimento deste módulo.
Dessa forma, a contribuição desse curso na formação dos professores
participantes apresentou-se de forma insuficiente, pois os docentes
demonstraram dificuldades para colocar em prática as propostas para o ensino
desses conteúdos nas aulas de Matemática.
Conforme relata o autor, é essencial que os cursos de formação continuada
coloquem os professores diante de pesquisas, propostas curriculares e, além de
trabalhar os conteúdos matemáticos, procurem discutir maneiras de desenvolver
esses conteúdos em sala de aula, com o objetivo de promover uma aprendizagem
significativa.
Como sugestão para futuras pesquisas, o autor propõe investigar quais as
discussões feitas durante os cursos de formação continuada a respeito das
informações contidas nos PCN e quais conhecimentos profissionais devem ser
mobilizados pelos professores para pôr essas propostas em prática.
Dos sete trabalhos acadêmicos analisados, cinco delimitam a problemática
investigando a construção dos conceitos de análise combinatória pelos alunos, os
31
outros dois limitam suas questões de pesquisa com o propósito de analisar as
concepções dos professores com relação ao ensino de análise combinatória no
Ensino Fundamental. Portanto, nesse contexto, não encontramos pesquisas
relacionadas aos saberes do professor que leciona no Ensino Médio, período, no
qual usualmente esse tema é abordado e estudado na Escola Básica
1
.
Assim sendo concordamos parcialmente com Sturm (1999) ao afirmar que,
usualmente, o foco das pesquisas que abordam o tema análise combinatória,
atenta a respeito do aprendizado e saberes do aluno.
A revisão bibliográfica aqui apresentada expõe que existem pesquisas que
focam os saberes do professor, entretanto compreendemos ser pertinente e
profícuo investigar os saberes do professor que leciona no Ensino Médio com
relação aos conceitos matemáticos que permeiam os estudos de ensino de
análise combinatória, como também entender como ocorrem às relações desses
saberes com a construção do conhecimento pelos alunos, nas aulas de
Matemática.
Para isso, temos a intenção de utilizar os resultados das pesquisas aqui
listadas a fim de subsidiar e balizar o desenvolvimento de nossa pesquisa. Vale
pontuar que o baixo número de trabalhos por nós listados com relação a esse
tema, também, nos motivou a desenvolver esta pesquisa.
Portanto, no contexto delineado acreditamos que dialogar com o professor
e analisar sua fala, utilizando-se de entrevistas, seja, de fato, producente, visto
que poderemos compreender, com apuro, de que forma o professor compreende,
e domina esses conceitos, como também de que maneira esse professor entende
e observa o processo de ensino e aprendizagem do tema análise combinatória no
Ensino Médio.
____________
1
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1996 determina no Título V, Capítulo I, Da
Composição dos Níveis Escolares, no Artigo 21, que a Educação Básica é formada pela Educação Infantil,
Ensino Fundamental e Ensino Médio.
32
Um sistema didático se forma cada vez que algumas pessoas
se deparam com uma questão cuja resposta não seja evidente e
decidem fazer algo para resolvê-la. Nesse caso, as pessoas se
transformam em estudantes da questão, sem que por isso devam
ser forçosamente alunos. De fato, os estudantes poderiam ser
pesquisadores de matemática, biólogos, químicos, economistas e
até mesmo músicos ou pintores que colocam questões matemáticas
para que as respostas sejam utilizadas em seu trabalho. Também
podem ser, claro, professores que estudam questões de matemática
no âmbito de uma atividade docente. (CHEVALLARD et al., 2001,
p. 195).
33
2
PROBLEMÁTICA
2.1
P
ROBLEMA DE
P
ESQUISA
Diante do cenário descrito pelas pesquisas acadêmicas que envolvem o
ensino de análise combinatória, apresentadas em nossa revisão bibliográfica que
nos mostram, como resultados a falta de conhecimento do professor em relação
ao objeto matemático. As dificuldades apresentadas pelo professor ao ensinar os
conceitos de análise combinatória e a necessidade de cursos de formação
continuada que objetivem fundamentar e discutir esse tema de forma significativa.
Desse modo, temos a hipótese que investigar os saberes do professor em
relação ao ensino de análise combinatória, seja de fato pertinente e propício para
entendermos os equívocos e problemas observáveis nos alunos, problemas estes
que emergem em pesquisas relacionadas a esse tema, como por exemplo,
Batanero et al. (1996); Sturm (1999) e Esteves (2001).
Durante as leituras dos trabalhos que compõem a revisão bibliográfica, os
objetivos específicos de pesquisa, bem como nossa problemática e hipótese,
foram aos poucos, delineando-se. Enquanto esses elementos delineavam-se,
buscávamos com base nas leituras e pesquisas a respeito do tema estabelecer os
fundamentos teóricos que poderiam nos auxiliar a justificar e fundamentar nosso
trabalho.
Nesse contexto, com relação aos saberes docentes, tomaremos os estudos
desenvolvidos por Tardif (2002), como linha delineadora de nossa pesquisa. O
autor observa que os saberes do professor estão relacionados com a pessoa e
sua identidade, ou seja, é um saber social e, assim sendo, está intimamente
relacionado ao contexto da socialização profissional. Conforme o autor, para
34
compreendermos esses saberes, devemos entender e relacioná-los com os
elementos que constituem o trabalho docente.
O saber do professor não é um conjunto de conteúdos cognitivos
definidos de uma vez por todas, mas um processo em construção ao
longo de uma carreira profissional na qual o professor aprende
progressivamente a dominar seu ambiente de trabalho, ao mesmo tempo
em que se insere nele e o interioriza por meio de regras de ação que se
tornam parte integrante de sua consciência prática. (TARDIF, 2002, p.
14)
Dessa forma, entendemos que os saberes do professor estão atrelados às
condições sociais e de trabalho por ele vividas, como também pela sua
personalidade e experiência profissional, ou seja, esses saberes estão
assentados entre o que o professor é e o que ele faz e, desse modo, situam-se
entre o individual e o social.
Com relação à formação do professor, temos a hipótese que ele precisa
assumir o papel de agente participativo e protagonista no processo de seu
desenvolvimento profissional. Acreditamos que o professor necessita observar
seu desenvolvimento profissional, como uma atividade contínua que se reconstrói
e modifica-se no decorrer de sua história, sendo assim um processo inerente e
delineado por sua prática docente.
Nesse contexto, Ferreira (2006) refere que o desenvolvimento profissional
do professor mostra-se como um processo que se dá por toda a sua experiência
docente e, segundo a autora, a parceria entre a universidade e a escola poderá
mostrar-se, como um caminho fecundo e viável para mudanças significativas no
ensino da Matemática.
Ainda com relação à formação e à prática docente, Freire (1996) atenta
sobre a necessidade de uma reflexão crítica a respeito do discurso teórico e da
prática docente.
Por isso é que, na formação permanente dos professores, o momento
fundamental é o da reflexão crítica sobre a prática. É pensando
criticamente a prática de hoje ou de ontem que se pode melhorar a
próxima prática. (FREIRE, 1996, p. 39)
Sob essa ótica, entendemos que o professor precisa assumir a
responsabilidade em relação a seu desenvolvimento profissional, participando de
35
projetos e cursos de formação, avaliando continuamente sua prática docente e,
desse modo, assumindo o papel de sujeito construtor e transformador de seu
processo formativo.
No contexto delineado, temos a intenção de investigar, por meio de
entrevistas semiestruturadas os saberes do professor de Matemática do Ensino
Médio, com relação ao ensino de análise combinatória. Entretanto, temos a
clareza que entender o desenvolvimento profissional do professor, como também
a historicidade de sua vida docente sejam, de fato, fatores relevantes e essenciais
para conhecer, com clareza, como se delineia e molda a rede de significados e
compreensões do professor em relação ao ensino de análise combinatória.
Portanto, entendemos que lançar mão de entrevistas, como instrumento de
coleta de dados, privilegiará o processo interpretativo da fala do professor
participante da pesquisa, ressaltando os significados e os valores por ele
apropriados em relação a seus saberes docentes relacionados ao tema de nossa
pesquisa.
Por fim, esperamos que esta pesquisa contribua com reflexões, estudos,
entendimentos e debates sobre o ensino de análise combinatória, em particular,
em relação aos saberes do professor sobre o tema. Assim, sob essa ótica
formulamos a seguinte questão de pesquisa:
Quais saberes podem ser identificáveis por meio da
fala do professor do Ensino Médio, utilizando-se de
entrevistas semiestruturadas, em relação ao ensino dos
conceitos de análise combinatória?
Salientamos que nossa preocupação está, também, voltada ao processo
de aprendizagem dos conceitos de Análise Combinatória, embora isso, não seja o
foco desta pesquisa. Assim sendo, em admitindo a hipótese de que os saberes
dos alunos sobre esses conceitos já descritos, por exemplo, nas pesquisas de
Sturm (1999); Esteves (2001); Rocha (2002) são influenciados e direcionados
pelos saberes dos professores, estaremos, de alguma forma, identificando
36
também, suas influências na construção dos conceitos dos alunos a respeito
desse tema.
2.2
A
SPECTOS
M
ETODOLÓGICOS
A pesquisa apresenta-se inserida no projeto: Processo de ensino
aprendizagem envolvendo raciocínio estatístico e probabilístico, do grupo de
pesquisa PEA-MAT – Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática – da
PUC/SP. Nesse contexto, temos a intenção de utilizar os resultados obtidos com
este trabalho, com relação aos saberes docentes sobre o ensino de análise
combinatória, a fim de planejar, orientar e delimitar as atividades que serão,
futuramente, abordadas e desenvolvidas pelo grupo de professores em formação
continuada que participam deste projeto.
Consideramos que este trabalho caracteriza-se como uma pesquisa
qualitativa, pois temos a intenção de discutir e entender a complexidade e a
singularidade dos saberes, valores, percepções e significados do professor com
relação ao ensino de análise combinatória.
Para Bogdan e Biklen (1994), a pesquisa qualitativa apresenta
características básicas identificáveis, mas nem todos os estudos investigativos
planteiam todas estas características com igual eloquência.
A questão não é tanto se determinada investigação é ou não totalmente
qualitativa; trata-se sim de uma questão de grau. Como referimos
anteriormente, os estudos que recorrem à observação participante e à
entrevista em profundidade tendem a ser bons exemplos. (BOGDAN,
BIKLEN, 1994, p. 47).
Percebemos que a pesquisa qualitativa parte da necessidade de
conhecermos uma determinada realidade para, desse modo, compreendermos,
de fato, o fenômeno em questão. Por essa ótica, temos as hipóteses de que
entrevistar professores do Ensino Médio poderá contribuir para o entendimento da
forma em que se fundamentam e se organizam os saberes do professor em
relação ao ensino de análise combinatória, como também refletir como esses
saberes poderão, ou não, inferir em sua prática docente.
37
Nossa pesquisa iniciou-se no primeiro semestre de 2007, com um
levantamento sobre os trabalhos acadêmicos em Educação Matemática,
relacionados ao ensino de análise combinatória. Este levantamento mostrou que
há cinco trabalhos relacionados a este tema, três investigam a aprendizagem do
aluno e os outros dois estão relacionados à prática docente do professor do
Ensino Fundamental.
Usualmente, o tema análise combinatória é abordado no 2º ano do Ensino
Médio, portanto, o levantamento bibliográfico mostrou que não existem pesquisas
a respeito dos saberes do professor que ministra aulas no Ensino Médio em
relação ao ensino de análise combinatória. Nesse contexto, entendemos que seja
pertinente e enriquecedor compreender como se estabelecem e constituem-se
esses saberes com relação a esse público-alvo.
Ao ter o tema e o público-alvo delimitados, passamos a pesquisar, estudar
e discutir como poderíamos proceder com relação à coleta de dados a serem
analisados.
O processo de escolha da metodologia de pesquisa utilizada neste trabalho
a fim de coletar dados e informações não se deu de forma espontânea, imediata e
linear. Esta escolha foi resultado de um processo de estudos, leituras e
discussões que teve o propósito de decidir pela metodologia mais apropriada,
para que pudéssemos objetivar, de fato, uma reflexão sobre a formação e o
desenvolvimento profissional dos participantes, a fim de que conhecendo esse
contexto fosse possível compreender os saberes docentes em relação ao ensino
de análise combinatória nas aulas de Matemática do Ensino Médio.
O processo de discussão iniciou-se com a possibilidade de utilizarmos um
questionário, como instrumento de coleta de dados. Em consequência dessa
possibilidade, após estudos e leituras que embasaram e colaboraram na
elaboração de um “questionário modelo”
2
, decidimos aplicá-lo em um “grupo
piloto”. O questionário tinha a intenção de coletar dados sobre os livros
usualmente utilizados pelos professores de Matemática nas aulas de análise
combinatória. Foi composto por três questões sendo duas de múltipla escolha.
____________
2
Este questionário encontra-se no Apêndice B deste trabalho.
38
Com relação à aplicação do questionário e à postura do professor ao
participar da pesquisa, houve docentes que alegaram falta de tempo e, por esse
motivo, recusaram-se a participar. Por outro lado, com relação aos que aceitaram
responder ao questionário, observamos que houve professores que optaram por
responder de imediato, outros, preferiram responder em outro local ou momento,
ou seja, em casa ou na escola onde lecionavam, justificando a necessidade de
consultar os nomes dos livros que, usualmente, utilizavam na preparação das
aulas de análise combinatória.
Nesse contexto, foi possível notar, com relação à postura dos professores
que optaram por responder ao questionário de imediato, ou seja, no momento da
entrega, alguns responderam às questões, inserindo o nome do livro que
lembravam naquele momento. Por outro lado, alguns questionários foram levados
para ser respondidos em casa ou na escola, mas não foram devolvidos. Vale
observar que não temos o número exato dos questionários que não retornaram,
mas temos a certeza de que nem todos entregues foram devolvidos para serem
analisados
3
.
Com relação à entrega dos questionários, pedimos o auxílio de professores
e colegas do programa de mestrado, que levaram os questionários aos
professores de Matemática nas escolas onde lecionam. Nesse processo, não nos
preocupamos com o número de questionários entregues. Analisamos que houve
descuido e falta de apuro com relação a esse fato, o que resultou em não termos
o número exato dos questionários distribuídos.
Ao analisar a situação descrita, concordamos com Laville e Dionne (1999)
quando assinalam alguns pontos negativos e difíceis que o questionário pode
acarretar:
Um problema importante no recurso aos questionários emerge da taxa
amiúde muito baixa de retorno desses questionários, não se dando as
pessoas o trabalho de respondê-los. [...]
Acrescentamos, enfim, que a obrigação de redigir uma resposta poderá
provocar aversão a vários dos interrogados previstos, seja por preguiça
ou porque não se sentem capazes: por isso a taxa de resposta se achará
reduzida. (LAVILLE, DIONNE, 1999, p. 186)
____________
3
De todos os questionários entregues, apenas 24 retornaram para análise.
39
Diante dessa experiência e como sugerem Laville e Dionne (1999), se o
pesquisador temesse que os inconvenientes do recurso ao questionário
uniformizado impedissem-no de atingir seu objetivo, podia-se voltar a outros
instrumentos e técnicas que se prestassem à coleta de testemunhos. Assim,
diante do que observamos, decidimos mudar a técnica de recolhimento dos
dados.
Como resultado do exposto, resolvemos utilizar as entrevistas, pois
acreditamos que este instrumento de coleta de dados por não ser tão uniforme e
rígido, como o questionário, ofereça maior flexibilidade e profundidade, por
privilegiar o processo interpretativo em relação à fala dos entrevistados, como
também poderá contribuir na compreensão do contexto, dos significados e valores
que o professor tem sobre seus conceitos de combinatória, tanto do ponto de
vista do conteúdo matemático como do conhecimento didático.
Assim sendo deparamo-nos com um novo dilema: qual o modelo de
entrevista que usaríamos em nossa pesquisa? Tendo como foco o público que
seria investigado, como também a questão de pesquisa que desejávamos
responder, optamos pelas entrevistas semiestruturadas.
Conjecturamos que as entrevistas semiestruturadas por não terem a
desmedida liberdade das entrevistas livres, como também não se configurarem
rígidas, como as entrevistas estruturadas, mostram-se como um modelo ágil e
flexível, permitindo um aprofundamento e um detalhamento das respostas do
entrevistado.
Além disso, podem ser elencados outros fatores que nos influenciaram por
essa escolha, tais como: a valorização da visão do entrevistado, a possibilidade
de aprofundar tópicos que não se apresentam claros na fala do entrevistado, a
elasticidade que permite ao pesquisador discernir como e quando abordar
assuntos mais complexos e delicados, a interação do entrevistado e entrevistador
que poderá favorecer as respostas mais espontâneas e fidedignas, como também
a opção de valorizar as observações das atitudes e comportamentos do
entrevistado, ou seja, a linguagem não verbal.
40
Outro fator que consideramos relevante a pontuar com relação ao uso das
entrevistas semiestruturadas, está relacionado à possibilidade de entender a
singularidade e a história de vida de cada indivíduo participante da pesquisa.
Desta forma, caracterizamos que, no contexto descrito, delimitamos as
razões que nos motivaram a optar pela escolha das entrevistas semiestruturadas
como a metodologia de pesquisa na coleta dos dados. O roteiro da entrevista que
usamos, encontra-se no Apêndice A deste trabalho.
Após definirmos o instrumento de coleta de dados, decidimos desenvolver
uma entrevista piloto que, primeiramente, teve a função de nos auxiliar em uma
avaliação crítica com relação à pertinência das questões que compuseram a
entrevista que utilizamos.
Temos a convicção de que esse instrumento de coleta de dados, a
entrevista piloto, colaborou para entendermos como os campos teóricos,
delimitados na pesquisa poderiam nos auxiliar na análise das falas dos
entrevistados. Assim, percebemos que a entrevista piloto nos proporcionou iniciar
a construção da tessitura de um texto que gerou articulações profícuas e
enriquecedoras, entre a teoria apresentada no trabalho e a fala do entrevistado.
Outro fator que podemos assinalar, no qual a entrevista piloto nos ajudou,
relaciona-se ao papel do entrevistador. Nesse contexto, analisando-a, pudemos
observar que, em determinados momentos, o entrevistador interferia na fala do
entrevistado, expondo de certo modo sua opinião e visão sobre o assunto,
alterando, assim, a fala do professor participante. Em outros momentos, nos quais
seria interessante o entrevistador aprofundar a fala do entrevistado, isso não
ocorreu. Portanto, com relação a esses fatores, entendemos que a entrevista
piloto auxiliou a delimitar e caracterizar o papel do entrevistado na realização das
entrevistas analisadas neste trabalho.
Novamente, é bom considerar que a escolha do professor participante da
entrevista piloto não se mostrou uma tarefa imediata e fácil. Após algumas
recusas, uma colega do curso de mestrado apresentou-nos a uma professora que
aceitou participar e colaborar com a pesquisa. A entrevista piloto deu-se no
41
primeiro semestre de 2009, na casa da professora, foi documentada em vídeo e
durou, aproximadamente, 100 minutos.
Entendemos que estabelecemos o papel que a entrevista piloto assumiu
em nossa pesquisa, caracterizando-se como um instrumento de auxílio e
orientador no aprimoramento de nosso instrumento de coleta de dados (as
questões da entrevista), auxiliando na reavaliação da postura do entrevistador e,
também, contribuindo para redirecionar nossas análises com relação ao campo
teórico que delimitamos e a questão de pesquisa que desejávamos responder.
Assim, no contexto delineado, avaliamos que a entrevista piloto mostrou-se
produtiva, auxiliando na elaboração e realização dos encontros que
desenvolvemos em nosso trabalho.
Por fim, para a seleção dos professores que participariam das entrevistas,
optamos por delimitar aqueles que lecionam ou lecionaram o tema análise
combinatória no Ensino Médio, recentemente, em escolas da rede pública e/ou
privada. Assim, entrevistamos seis professores
4
que avaliamos e que
apresentavam características relevantes com relação à questão de pesquisa que
pretendíamos responder.
Primeiramente, vale pontuar que, após algumas recusas, selecionamos
quatro professores que aceitaram participar das entrevistas e que apresentavam
as características aqui explicitadas. Os outros dois professores participantes das
entrevistas eram licenciandos matriculados no 3º ano de licenciatura em
Matemática em uma universidade privada da cidade de São Paulo.
Um deles apresentava uma larga experiência na prática docente em
cursinhos preparatórios para vestibulares, e o outro não possuía experiência com
relação à prática docente, embora fosse formado em administração de empresas
e ministrasse cursos em sua área de atuação, dentro e fora da empresa onde
trabalhava. A escolha por esses professores justificou-se, pois queríamos,
também, pesquisar como a formação inicial do professor poderia contribuir e
interferir ou não no desenvolvimento de seus saberes docentes em relação aos
estudos de análise combinatória e, assim, em sua prática docente.
____________
4
A descrição e as características dos professores participantes das entrevistas serão apresentadas no tópico
4.1 do trabalho.
42
Em junho de 2009, realizamos as entrevistas com os professores
participantes, que foram documentadas em vídeo e realizadas em lugar escolhido
pelos próprios professores. Ao início das entrevistas, foram entregues uma Carta
de Apresentação e o Termo de Consentimento
5
, que foi lido e assinado pelos
participantes. As entrevistas duraram, aproximadamente, em média 100 minutos,
com pequenas variações, de acordo com a disponibilidade e a oralidade de cada
professor.
As transcrições das entrevistas gravadas em vídeo foram devolvidas aos
professores participantes, para que pudessem lê-las, conferi-las e devolvê-las e,
nesse contexto, discordar, complementar ou sugerir alterações. Nesse processo,
as entrevistas foram devolvidas sem nenhuma alteração, comprovando, assim, a
fidedignidade das transcrições.
Ainda com relação às transcrições, para a análise, efetuamos recortes no
texto das entrevistas transcritas e selecionamos os fragmentos, com o objetivo de
destacar apenas os trechos que avaliamos pertinentes, a fim de respondermos
nossa questão de pesquisa. Estes recortes não alteraram o teor e o significado da
fala dos professores entrevistados. A redação e a análise das entrevistas
encontram-se no capítulo 4 deste trabalho.
2.3
A
ENTREVISTA COMO TÉCNICA DE METODOLOGIA DE PESQUISA
A fim de propor uma pesquisa qualitativa para entender e discutir os
saberes do professor de Matemática do Ensino Médio em relação aos conteúdos
de análise combinatória e, consequentemente, entender sua prática, optamos por
utilizar a entrevista como metodologia de coleta de dados
6
.
Acreditamos que a entrevista privilegia o processo interpretativo da fala do
entrevistado, ressaltando, desse modo, elementos subjetivos e inerentes a ele,
contribuindo na compreensão do contexto, dos significados e valores que o
____________
5
O modelo da Carta de Apresentação e o Termo de Consentimento encontram-se no Apêndice D deste
trabalho.
6
No Apêndice A do trabalho, encontram-se as questões que compõem a entrevista que foram divididas em
quatro grupos, cada um com objetivos diferenciados e específicos.
43
professor possui sobre seus conceitos matemáticos, seu saber pedagógico e
didático e sua prática docente.
Assim sendo temos a convicção de que a entrevista nos trará subsídios e
proporcionará, como técnica de coleta de dados, meios flexíveis para
contextualizar e diagnosticar o comportamento, os valores, a história, as crenças
e os saberes do professor, diante de sua prática docente, no que se refere ao
processo de construção dos conceitos de análise combinatória.
A entrevista pode ser caracterizada como uma conversa intencional,
conduzida e encorajada pelo entrevistador, a fim de obter informações do
entrevistado. Esta visão é corroborada por Rosa e Arnoldi (2006), que citando
Thompson afirmam:
A entrevista é uma ferramenta imprescindível para se trabalhar
buscando-se contextualizar o comportamento dos sujeitos, fazendo sua
vinculação com os sentimentos, crenças, valores e permitindo,
sobretudo, que se obtenham dados sobre o passado recente ou
longínquo, de maneira explícita, porém tranquila, e em comunhão com o
seu entrevistador que deverá, inicialmente, transmitir atitudes que
transformem em transferência e troca mútua de confiabilidade.
(THOMPSON, 1992; apud ROSA e ARNOLDI, 2006, p. 17)
Reconhecemos que o posicionamento e a habilidade do pesquisador é um
fator essencial na construção de uma relação de confiança que influenciará o
processo da entrevista com informações íntegras e fidedignas. Assim sendo,
concordamos com Laville e Dionne (1999) que afirmam que o pesquisador deve
demonstrar uma grande habilidade se quiser levar seu interlocutor ao que seja
essencial, preservando, dessa forma, a espontaneidade e o caráter pessoal de
suas respostas.
Desse modo, observando essa técnica como um procedimento
metodológico para coleta de dados atrelado a uma relação de confiança entre o
entrevistador e o entrevistado, compactuamos com Rosa e Arnoldi (2006) que
pontuam:
Analisando a entrevista como uma técnica de coleta de dados, podemos
afirmar que não se trata de um simples diálogo, mas sim, de uma
discussão orientada para um objetivo definido, que, através de um
interrogatório, leva o informante a discorrer sobre temas específicos,
resultando em dados que serão utilizados na pesquisa. (ROSA e
ARNOLDI, 2006, p. 17)
44
Por essa perspectiva, observamos que a entrevista, como procedimento
metodológico, contribui com fatores que favorecem o desenvolvimento de uma
atmosfera que está permeada pela percepção, expectativa, sentimento e
interpretações – do entrevistado como também do entrevistador – com o objetivo
de explicar e não apenas descrever o tema pesquisado.
Ainda pontuando sobre a relação entre pesquisador-entrevistado e a
atmosfera que permeia essa relação, Szymanski et al. (2002) contribuem:
Se na sua essência, uma entrevista é uma situação de interação
humana, estamos respondendo aos estados emocionais e índices não
verbais que nosso interlocutor está emitindo, o que não significa
“adivinhar” o que o outro está sentindo – o que é impossível – mas
descrever a impressão que causou. (Szymanski et al., 2002, p. 40)
Vale salientar que é papel do entrevistador não utilizar o juízo de valor, ao
observar indícios não verbais que se apresentam no decorrer da entrevista, a fim
de analisar as respostas do entrevistado. É fundamental, segundo Szymanski et
al. (2002), que as intervenções referentes aos índices não verbais devam ter o
caráter de comentário sobre uma impressão pessoal e o cuidado de oferecer ao
entrevistado a possibilidade de não concordar nem responder.
Um fator determinante que contribuiu para decidirmos por essa técnica
metodológica de coleta de dados está relacionado à flexibilidade e amplitude que
as entrevistas proporcionam. Concordamos com Laville e Dionne (1999) que
destacam a importância desses fatores, como instrumentos inerentes da
entrevista, salientando momentos, nos quais o entrevistador pode contar com as
possibilidades de aprofundar e esclarecer respostas superficiais dos
entrevistados. Nesse contexto, os autores argumentam:
A entrevista oferece maior amplitude que o questionário, quanto à sua
organização: esta não estando mais irremediavelmente presa a um
documento entregue a cada um dos interrogados, os entrevistadores
permitem-se, muitas vezes, explicar algumas questões no curso da
entrevista, reformulá-las às necessidades do entrevistado. Muitas vezes,
eles mudam a ordem das perguntas em função das respostas obtidas, a
fim de assegurar mais coerência em suas trocas com o interrogado.
(LAVILLE; DIONNE, 1999, p. 187-188)
Notamos que podemos observar a flexibilidade que o uso de entrevista
proporciona, como uma possibilidade de construção de um relacionamento e
45
familiaridade mais estreita entre o entrevistado e o entrevistador, possibilitando
um testemunho mais fidedigno possível a respeito do tema investigado.
Ainda sobre a relação entre pesquisador e entrevistado, Szymanski et al.
(2002) destacam a importância da construção de um relacionamento estreito e
sincero entre eles. Atentar na construção desse relacionamento é um fator
essencial para constituir igualdade na relação entre os participantes da entrevista.
Assim, as autoras destacam:
A intencionalidade do pesquisador vai além da mera busca de
informação; [...]. Deseja instaurar credibilidade e quer que o interlocutor
colabore, trazendo dados relevantes para o seu trabalho. A concordância
do entrevistado em colaborar na pesquisa já denota sua intencionalidade
– pelo menos de ser ouvido e considerado verdadeiro no que diz – o que
caracteriza o caráter ativo de sua participação, levando-se em conta que
também ele desenvolve atitudes de modo a influenciar o entrevistador.
(SZYMANSKI et al., 2002, p. 12)
Acreditamos que o entrevistador deva ter habilidade para conduzir a
entrevista, buscando respostas profundas, para que seu interlocutor evidencie
pontos essenciais para a investigação, prevalecendo sempre a essência da
argumentação do entrevistado, ou seja, o caráter pessoal das respostas.
Nesse contexto, vale salientar que a espontaneidade e as particularidades
das respostas do entrevistado poderão causar para o entrevistador discordância e
conflitos entre os diferentes pontos de vista. Nesta situação, é papel determinante
do entrevistador, não causar alteração no discurso do entrevistado e sim
incentivá-lo a expressar, o que sente e acredita, ou seja, estimulá-lo a detalhar e
exprimir sua opinião.
Segundo Bogdan e Biklen (1994), o papel do entrevistador não consiste em
modificar pontos de vista, mas compreender a opinião dos sujeitos e as razões
que os levam a assumi-los.
Portanto, observamos a entrevista como um processo metodológico de
pesquisa que não se limita, apenas, a uma coleta de dados mas sim a um
conjunto de procedimentos complexos fundamentados na relação de
confiabilidade entre o entrevistado e o pesquisador. Tudo isso permeado pela
fala, crenças, histórias, signos e significados do entrevistador/entrevistado
visando, assim, a construir uma teia de informações e significados propícios e
46
convincentes para conduzir os resultados e conclusões da pesquisa, os mais
fidedignos possíveis.
2.4
C
ATEGORIZAÇÃO
–
T
IPO DE
E
NTREVISTAS
A categorização das entrevistas não se dá de forma única, definida e
precisa. Estas diferentes designações e subdivisões podem diferir de autor para
autor. Assim sendo podem ser classificadas, observando a forma de estruturação
das questões, o propósito a que se destinam, o meio utilizado para realização das
entrevistas (por exemplo, telefone, meios tecnológicos, face a face, etc.), o
público a que se destina (por exemplo, classe social, nível de instrução, etc.) ou
pelas diferentes e diversas maneiras que os autores desejam categorizá-las.
Neste trabalho, optamos por categorizá-las pela forma como as questões
estão estruturadas, pois entendemos que o modo pelo qual elaborarmos a
entrevista, será determinante nas informações coletadas e, dessa forma, poderá
propiciar análises e conclusões as mais autênticas possíveis.
No contexto de classificação, ou seja, observando o nível de estruturação e
o roteiro das questões, Rosa e Arnoldi (2006) categorizam as entrevistas em três
divisões:
Entrevista Estruturada
Entrevista Semiestruturada
Entrevista Livre
7
2.4.1
E
NTREVISTA
E
STRUTURADA
A entrevista estruturada segue uma sequência padronizada e de forma
dirigida, com questões formalmente elaboradas, de preferência fechadas, com um
____________
7
Alguns autores, ao classificarem as entrevistas de acordo com o nível de estruturação das questões
utilizam, nesse contexto, a nomenclatura: entrevista aberta. Dentre esses autores, podemos citar Bogdan,
R.; Biklen, S. (1994).
47
alto grau de predeterminação das perguntas e um roteiro preestabelecido. Em
outras palavras, este tipo de entrevista caracteriza-se por priorizar a obtenção das
informações por meio de respostas curtas e concisas, priorizando maior
uniformidade no tipo de respostas recolhidas.
Segundo Rosa e Arnoldi (2006), normalmente, os dados coletados por
meio de um roteiro estruturado serão submetidos a uma análise quantitativa.
Assim, observando as características da entrevista estruturada, podemos
conjecturar que, eventualmente, ela facilita a replicação do estudo, como também
a análise dos dados. Por outro lado, também, reduz a espontaneidade e
flexibilidade do entrevistado, limita ou anula a possibilidade de aprofundar
questões e fatores relevantes à pesquisa, como não leva em conta as
circunstâncias e elementos pessoais do entrevistado. Desse modo, tais lacunas
devem, posteriormente, ser completadas e elucidadas, sempre que possível, por
outro método de coleta de dados, como por exemplo, uma base documental,
observações, questionários, etc.
No presente trabalho, iniciamos as entrevistas, seguindo um roteiro
preestabelecido constituído por questões dirigidas e fechadas, que objetivavam
apenas identificar, conhecer e obter informações gerais do professor entrevistado.
Assim, exemplificando esse contexto, podemos apresentar as seguintes
questões: Qual sua carga horária em aulas semanais? Tempo de magistério? Há
quanto tempo leciona no Ensino Médio?
Estas questões evidenciam um roteiro de entrevista estruturada, mas, por
outro lado, percebemos que caracterizamos a estrutura geral de nossa entrevista,
como semiestruturada, pois optamos por um roteiro de questões que oferece uma
relativa flexibilidade ao pesquisador, permitindo, assim, por exemplo, enfatizar
pontos, como também modificar a sequência das questões; por outro lado,
favorecer ao entrevistado aprofundar pontos de vista e reflexões.
48
2.4.2
E
NTREVISTA
L
IVRE
As entrevistas livres não possuem um roteiro fixo de questões; em certos
casos, apenas, uma sequência de tópicos que deverão ser contemplados. Nesse
tipo de entrevista, é comum o entrevistador apresentar um tópico e o entrevistado
ter a liberdade de discorrer sobre ele.
Desta forma, envolto por uma conversa informal, esta entrevista permite ao
entrevistado expor seus pontos de vista, opiniões, detalhes que possa achar
pertinentes, ou seja, suas concepções e interpretações do tópico proposto.
Em decorrência da liberdade de explanação permitida ao entrevistado;
neste modelo de entrevista, a interferência do pesquisador deve ser mínima, para
que o entrevistado construa sua narrativa baseado nas lembranças e experiências
de sua vida. Neste sentido, Rosa e Arnoldi (2006), citando Fernandes (1991),
argumentam:
As entrevistas livres são feitas através de um relato oral que coleta
informações em que o interlocutor desenvolve suas ideias quase sem
interferência do entrevistador. Tem-se, nesse caso, uma narrativa que
segue uma sequência em função do que e como o sujeito recorda, da
seleção que ele faz de acontecimentos e pessoas a ele relacionadas e
do que ele pretende relatar. (FERNANDES, 1991; apud ROSA e
ARNOLDI, 2006, p. 31)
Como consequência do relato oral do entrevistado, consideramos que, nas
entrevistas livres, o pesquisador obtém grande parte das informações advindas,
basicamente, da visão individual do interlocutor, ou seja, a narrativa é constituída
por informações resultantes das lembranças do entrevistado.
Neste tipo de entrevista, é essencial que o entrevistador encoraje o
entrevistado a esclarecer e pormenorizar detalhes de sua narrativa a fim de
clarificar as informações. Nesse aspecto, concordamos com Bogdan e Biklen
(1994) que argumentam:
Neste caso, o entrevistador deve encorajar o sujeito a falar sobre uma
área de interesse e, em seguida, explorá-la mais profundamente,
retomando os tópicos e os temas que o respondente iniciou. Neste tipo
de entrevista, o sujeito desempenha um papel crucial na definição do
conteúdo da entrevista e na condução do estudo. (BOGDAN e BIKLEN,
1994, p. 135)
49
Nas entrevistas livres, podemos notar que o discurso do entrevistado e o
papel do entrevistador, ao ouvir e intervir o mínimo possível, apresentam-se como
fatores essenciais, para que as informações relatadas sejam, efetivamente,
fidedignas e concisas.
2.4.3
E
NTREVISTA
S
EMIESTRUTURADA
Na entrevista semiestruturada, o pesquisador elabora um roteiro de
planejamento de questões e tópicos que deverão ser investigados e,
diferentemente, das entrevistas estruturadas, este roteiro permite uma relativa
flexibilidade ao pesquisador. Dessa forma, podem ser enfatizados minúcias e
pontos citados pelo entrevistado, como também modificar a sequência das
questões originalmente formuladas.
Este tipo de entrevista possibilita ao entrevistado liberdade para
desenvolver suas respostas, valorizando seus pensamentos e reflexões,
aprofundando, assim, aspectos que considere relevante. Desta forma, a interação
entre pesquisador e entrevistado pode contribuir para formulação de respostas
mais espontâneas.
As questões que estruturarão a entrevista, deverão ser abrangentes de
modo a ir ao encontro dos objetivos de investigação. Com relação à elaboração
de entrevistas semiestruturadas, Rosa e Arnoldi (2006) afirmam que:
As questões, nesse caso, deverão ser formuladas de forma a permitir
que o sujeito discorra e verbalize seus pensamentos, tendências e
reflexões sobre os temas apresentados. O questionamento é mais
profundo e, também, mais subjetivo, levando ambos a um
relacionamento recíproco, muitas vezes, de confiabilidade. [...] Exigem
que se componha um roteiro de tópicos selecionados. As questões
seguem uma formulação flexível, e a sequência e as minúcias ficam por
conta do discurso dos sujeitos e da dinâmica que acontece naturalmente.
(ROSA e ARNOLDI, 2006, p. 30-31)
Na entrevista semiestruturada, podemos observar a relação de confiança
entre pesquisador e entrevistado, a estrutura dos tópicos/questões a serem
abordados e o papel do pesquisador ao investigar o que lhe intriga, que são de
50
fundamental importância no aprofundamento e na construção de uma teia de
informações que, posteriormente, serão analisadas.
Para finalizar, entendemos que a entrevista utilizada neste trabalho
caracteriza-se como semiestruturada, pois, por um lado, o entrevistador não
seguiu um roteiro preestabelecido, possibilitando, em certos momentos, mudança
com relação ao roteiro das questões e um aprofundamento das respostas
apresentadas. Por outro lado, permitiu, também, ao entrevistado discorrer sobre o
tema com certa liberdade, valorizando suas reflexões e pontos de vista. Vale
pontuar que o roteiro e os objetivos das questões que compõem a entrevista
encontram-se no apêndice A do trabalho.
51
52
Como professor devo saber que sem a curiosidade que me
move, que me inquieta, que me insere na busca, não aprendo nem
ensino. Exercer a minha curiosidade de forma correta é um direito
que tenho como gente e a que corresponde o dever de lutar por ele,
o direito à curiosidade. Com curiosidade domesticada posso
alcançar a memorização mecânica do perfil deste ou daquele
objeto, mas não o aprendizado real ou o conhecimento cabal do
objeto. A construção ou a produção do conhecimento do objeto
implica o exercício da curiosidade, sua capacidade crítica de
“tomar distância” do objeto, de observá-lo, de delimitá-lo, de
condi-lo, de “cercar” o objeto ou fazer sua aproximação metódica,
sua capacidade de comparar, de perguntar. (FREIRE, 1996, p. 85)
53
3
CONSTRUINDO A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Ao ter em mente o cenário, no qual nossa pesquisa se desenvolve, a
metodologia de coleta de dados escolhida e a problemática que buscamos
responder, pretendemos, nesta parte do trabalho, delimitar nosso quadro teórico.
Assim, neste capítulo do trabalho, dialogaremos com Yves Chevallard
(1999) a respeito da Teoria Antropológica do Didático (TAD) com o objetivo de
utilizarmos esses pressupostos para organizar, analisar e entender o objeto
matemático, desta forma, compreender como os conteúdos da análise
combinatória se articulam.
Estudaremos a taxonomia de Tardif (2002) com relação aos saberes
docentes, a fim de refletirmos e compreendermos de que maneira esses saberes
se organizam e se desenvolvem com relação à prática do professor.
Desejamos destacar os trabalhos de autores, como por exemplo, Ponte e
Nacarato, entre outros, em relação à formação e ao desenvolvimento profissional
do professor. Nesse contexto, entendemos que a formação inicial, como também
o desenvolvimento profissional do professor podem contribuir e interferir com
relação ao desenvolvimento de seus saberes docentes. Assim, pretendemos
utilizar esta discussão para analisar e compreender a fala dos professores
entrevistados com relação à sua historicidade, formação acadêmica e prática
docente.
54
3.1
T
EORIA
A
NTROPOLÓGICA DO
D
IDÁTICO
A Teoria Antropológica do Didático representa uma importante contribuição
para a Didática Matemática, pois fornece condições e subsídios teóricos que
permitem analisar como os conhecimentos matemáticos estão relacionados e
como essas relações podem objetivar, efetivamente, a Transposição Didática
8
dos
conceitos matemáticos envolvidos.
Chevallard (1999) afirma que a Teoria Antropológica do Didático (TAD)
estuda o homem frente ao saber matemático e, mais especificamente, frente a
situações matemáticas.
Para Miguel:
...o uso da Teoria Antropológica do Didático por possibilitar a
organização do estudo em dois aspectos conectados, didático e
matemático, além de permitir, em cada caso, que as atividades
propostas pelos autores dos livros didáticos analisados e a concepção
da sequência de ensino pretendida pudessem ser descritas sob o ponto
de vista prático e do saber matemático envolvido. (MIGUEL, 2005, p. 31)
O postulado básico da TAD é admitir que qualquer atividade humana possa
ser descrita por um modelo, que se resume pela palavra “praxeologia”.
Ao analisar sob esta ótica, podemos observar o ato de ensinar e aprender
Matemática como sendo, também, o resultado de atividades humanas. Deste
modo, segundo a Teoria Antropológica do Didático, podemos descrevê-lo por uma
organização praxeológica, com o objetivo de analisar, estudar e explicitar de que
forma essa ação se realiza.
De acordo com Almouloud (2007), uma Organização Praxeológica é
formada por um conjunto de técnicas, tecnologias e teorias organizadas para um
tipo de tarefa.
A palavra praxeologia é formada por dois termos gregos, práxis e logos,
que significam, respectivamente, prática e razão. Ela reporta-se ao fato
de que uma prática humana, no interior de uma instituição, está sempre
acompanhada de um discurso, mais ou menos desenvolvido, de um
logos que a justifica, a acompanha e que lhe dá razão. (ALMOULOUD,
2007, p. 117)
____________
8
“Um conteúdo de saber que tenha sido definido como saber a ensinar, sofre, a partir de então, um conjunto
de transformações adaptativas que irão torná-lo apto a ocupar um lugar entre os objetos de ensino. O
‘trabalho’ que faz de um objeto de saber a ensinar, um objeto de ensino, é chamado de transposição
didática.” (CHEVALLARD, 1991, p. 45)
55
Chevallard (1999) refere-se que a noção de tarefa está relacionada a um
objetivo relativamente preciso, deve ser expressa por meio de um verbo. Desse
modo, segundo o autor, Calcular o número de anagramas
9
da palavra PUC é uma
tarefa, mas, se observarmos simplesmente o verbo Calcular, tem-se o que
Chevallard (1999) nomeia, como gênero de tarefas.
O autor pontua que os gêneros de tarefas, no decorrer dos anos de
escolaridade, vão se enriquecendo e aprimorando. Para exemplificar esse
processo, vamos observar um aluno da 5
a
série do Ensino Fundamental. Para
esse aluno, o gênero de tarefa Calcular pode caracterizar-se como uma tarefa
que objetive o ato de efetuar uma operação numérica ou determinar o valor
numérico de uma expressão aritmética. Assim, para esse aluno, Calcular significa
utilizar-se de operações que envolvem a soma, a subtração, a multiplicação e a
divisão com números por ele conhecido.
Por outro lado, para um aluno do Ensino Médio, o gênero de tarefa Calcular
pode expressar tarefas mais complexas, como por exemplo, determinar o número
de anagramas de uma determinada palavra.
Segundo Chevallard:
Tarefas, tipos de tarefas e gênero de tarefas não são dados da natureza,
mas “artefatos”, “obras”, construções institucionais, cuja reconstrução em
tal instituição, e, por exemplo, em tal classe, é um problema completo,
que é o objetivo específico da didática. (CHEVALLARD, 1999, p. 3)
Uma praxeologia relativa a uma tarefa ou a um gênero de tarefas
determina uma maneira ou “caminho” de como realizá-las. Esta “maneira de
fazer” uma determinada tarefa é chamada, segundo Chevallard (1999) de técnica.
(do grego, Tekhnikós: relativo à arte, à ciência ou ao saber, ao conhecimento ou à
prática de uma profissão).
Com o propósito de estabelecer uma significação mais precisa e, também,
uma interpretação do que é técnica, Bosch e Chevallard, citados por Miguel
(2005), pontuam:
____________
9
Anagrama é qualquer formação com um conjunto de letras, que poderá ter sentido ou não.
56
O sentido do termo técnica é mais amplo do que o usual; não é apenas
um procedimento estruturado e metódico, mas, uma maneira particular
de se realizar determinada tarefa. Uma técnica pode resolver algumas
tarefas de determinado tipo, mas, não obrigatoriamente todas; essa
característica é definida como a capacidade intelectual da técnica
(BOSCH; CHEVALLARD, 1999, apud MIGUEL, 2005, p. 35)
Para exemplificar o sentido do termo técnica, vamos observar o problema:
Calcular o número de anagramas da palavra PUC. Nessa situação, podemos
identificar, como possíveis técnicas a fim de realizar a tarefa descrita, a
Enumeração ou o Princípio Fundamental da Contagem, entre outras possíveis.
A enumeração consistiria em enumerar todos os anagramas possíveis da
palavra PUC. Consideramos que essa técnica poderia se observada como a mais
simples e elementar, podendo ser trabalhada, com êxito, com alunos do Ensino
Fundamental, fato mostrado por Esteves (2001) em sua pesquisa.
PUC UPC UCP PCU CPU CUP
Assim, por simples contagem, podemos concluir que temos seis
anagramas para a palavra PUC.
O Princípio Fundamental da Contagem – PFC – consiste na multiplicação
do número de possibilidades de cada etapa identificada no problema. Vale
pontuar que Esteves (2001) discute e apresenta o uso dessa técnica – PFC – na
resolução de problemas com alunos dos últimos anos do Ensino Fundamental.
Assim, no caso do número de anagramas da Palavra PUC temos três
etapas, ou seja:
1
a
etapa: determinar a primeira letra que formará o anagrama, nessa
situação, temos três possibilidades, a letra P ou a letra U, ou a
letra C.
2
a
etapa: determinar a segunda letra que formará o anagrama, nessa
situação, temos apenas duas possibilidades, pois uma letra já
foi escolhida na etapa anterior.
57
3
a
etapa: determinar a terceira e última letra que formará o anagrama,
nessa situação, temos apenas uma possibilidade, pois duas
letras já foram escolhidas nas etapas anteriores, restando,
então, uma única letra.
Desse modo, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:
3 2 1
× ×
, ou seja, seis anagramas.
Portanto, nesse problema, o uso do Princípio Fundamental da Contagem,
como também da enumeração caracterizam-se como uma maneira particular de
realizar uma determinada tarefa, isto é, distinguem-se como técnicas disponíveis,
a fim de estipular um “caminho” para a realização de uma tarefa específica,
determinada pelo problema.
Chevallard (1999) considera que, em princípio, uma praxeologia relativa a
algum tipo de tarefa contém, pelo menos, uma determinada técnica, e essa
combinação tarefa-técnica é denominada pelo autor, como bloco [prático-técnico]
e que comumente se identificará como um saber-fazer.
O autor citado afirma que, em uma determinada instituição, existe um
número restrito de técnicas que são institucionalmente reconhecidas; contudo, as
mesmas técnicas podem não ser reconhecidas em outra instituição. Para
exemplificar o fato, tomemos, como exemplo, a resolução de um problema de
contagem.
No Ensino Médio, o aluno poderá recorrer ao uso de fórmulas a fim de
determinar a resposta para o problema, esta técnica não é reconhecida para um
aluno da 5
a
série do Ensino Fundamental, pois seria comum observar esse aluno
enumerando as possíveis soluções para o problema proposto.
Neste contexto, notamos que dependendo da instituição – neste caso, deve
ficar claro que instituição não está se referindo apenas a diferentes escolas, pode
estar relacionada, também, como por exemplo, a países com diferentes culturas
ou até a diferentes salas de aulas da mesma escola – as técnicas podem ser
reconhecidas, ou não, como um possível “caminho” para a resolução de
determinada tarefa.
58
A fim de justificar o uso de uma determinada técnica em uma instituição,
Chevallard et al. (2001) desenvolvem uma significação específica para o termo
tecnologia.
Para que uma técnica possa ser utilizada de maneira normalizada, deve
aparecer como algo ao mesmo tempo correto, compreensível e
justificado. A existência de uma técnica supõe, também, a existência
subjacente de um discurso interpretativo e justificativo da técnica e de
âmbito de aplicabilidade e validade. Chamaremos a esse discurso sobre
a técnica de uma tecnologia. (CHEVALLARD et al., 2001, p. 125)
A tecnologia é um discurso racional com o objetivo de justificar e
demonstrar as técnicas utilizadas para uma determinada tarefa ou gênero de
tarefas. Este discurso racional varia no espaço institucional, ou seja, um discurso
que possui certa racionalidade em uma determinada instituição poderá parecer
pouco racional, ou até, sem significação em outro espaço institucional.
A fim de exemplificar o que é, segundo Chevallard, uma tecnologia vamos
utilizar, como exemplo, o uso da fórmula de Arranjo Simples na resolução de
problemas de análise combinatória. Assim, nesse caso, podemos caracterizar a
demonstração da fórmula, como a tecnologia utilizada, ou seja, como o discurso
tecnológico que valida o uso desta técnica na resolução de problemas de
contagem. Portanto, nessa situação, a demonstração da fórmula é a justificativa
para o uso da técnica, ou seja, o emprego da fórmula, na realização de uma
tarefa determinada
10
.
Assim sendo, segundo Chevallard (1999), em uma instituição qualquer que
seja o tipo de tarefa, a técnica relativa a esta tarefa estará sempre associada a
uma tecnologia ou a um vestígio de tecnologia.
Nesse contexto, observamos que a tecnologia assume a função de
explicar, esclarecer e tornar inteligível a técnica, isto é, expor por que a técnica
escolhida tem êxito na forma como é desenvolvida. Como a tecnologia está
associada diretamente à técnica empregada, temos que este componente
tecnológico pode se modificar, conforme os tipos de tarefas e técnicas envolvidas.
____________
10
A generalização para o uso da fórmula de Arranjo Simples, como discurso tecnológico, encontra-se no
capítulo 3.2 deste trabalho.
59
Em uma organização matemática, é comum lançarmos mão de processos
demonstrativos a fim de explicar e tornar inteligível uma determinada técnica.
Assim, nesse contexto, as demonstrações de teoremas denotam a tecnologia que
justifica a técnica utilizada.
Por exemplo, o Princípio Fundamental da Contagem caracteriza-se como
uma técnica disponível, a fim de determinar um “caminho” para a realização de
uma tarefa determinada, ou seja, a resolução de problemas de contagem que
possuem duas etapas sucessivas e independentes.
Por outro lado, essa técnica (o Princípio Fundamental da Contagem) pode,
também, ser aplicada a problemas que envolvem mais de duas etapas. Para
justificar esse resultado, necessitamos demonstrá-lo. Assim, esta demonstração
representa a tecnologia que exercerá a função de esclarecer e justificar a técnica,
ou seja, o uso do Princípio Fundamental da Contagem em problemas que
envolvam mais de duas etapas
11
.
Chevallard et al. (2001) pontuam, quanto à relação entre técnica e
tecnologia, que:
Além de justificá-la e torná-la inteligível, a tecnologia também tem a
importante função de trazer elementos para modificar a técnica e ampliar
seu alcance, superando, assim, suas limitações e permitindo, em alguns
casos, a produção de uma nova técnica. (CHEVALLARD et al., 2001, p.
125)
Caracterizamos que a existência de uma tecnologia é uma das condições
necessária para a existência de uma técnica; por essa razão, a tecnologia tem,
também, a função de produzir técnicas.
Chevallard (1999) afirma que toda tecnologia, por sua vez, precisa de uma
justificativa que se denomina Teoria da Técnica. O discurso tecnológico contém
afirmações mais ou menos explícitas e, então, há a necessidade de descrever
essa tecnologia com precisão e rigor, permitindo efetivamente uma formalização.
Passa-se, assim, a um nível superior de justificação, explicação e produção, ou
seja, o nível da Teoria. Miguel (2005), lançando mão dessa Teoria, argumenta:
____________
11
A demonstração do Princípio Fundamental da Contagem em problemas que envolvem mais de duas
etapas encontra-se no capítulo 3.2 deste trabalho.
60
A teoria é a especulação abstrata da tecnologia; no plano teórico estão
as definições, os teoremas, as noções mais abrangentes e abstratas que
servem para explicar, justificar e produzir tecnologias. Cria-se, então, um
bloco tecnológico-teórico associado ao saber. (MIGUEL, 2005, p. 36)
Para exemplificar como a Teoria justifica o discurso tecnológico, vamos
utilizar, novamente, como exemplo, a demonstração (tecnologia) do Princípio
Fundamental da Contagem em problemas que envolvem mais de duas etapas.
Na situação descrita, identificamos a Álgebra como sendo a Teoria que
justifica o uso desta tecnologia. Assim, no campo da Álgebra, podemos “lançar
mão” da Teoria dos Números e do Princípio da Indução Finita para justificar a
tecnologia, ou seja, a demonstração do Princípio Fundamental da Contagem para
problemas que envolvem mais de duas etapas.
Podemos observar a Álgebra justificando, na situação descrita, uma
determinada tecnologia (a demonstração do Princípio Fundamental da Contagem
para
n
etapas). Por consequência desta tecnologia, temos uma técnica (o uso do
PFC em problemas que envolvem
n
etapas), apresentando-se como um possível
“caminho” para executar uma tarefa. Nesse caso, resolver um problema de
contagem.
Chevallard argumenta que:
Em grego, theôria tem tomado a partir de Platão o sentido moderno de
“especulação abstrata”. Porém, na origem, significa simplesmente a ideia
de contemplação de um espetáculo – os theôros eram os espectadores
que olhavam a ação sem participar. Disso, os enunciados teóricos
aparecem frequentemente como “abstratos”, afastados das
preocupações dos “simples” tecnólogos e técnicos. Este efeito de
abstração é relativo ao que se baseia a grande generalidade dos
enunciados teóricos – sua capacidade para justificar, para explicar, para
produzir. (CHEVALLARD, 1999, p. 5)
Para Chevallard et al. (2001), toda obra matemática tem sua gênese com
base na solução de algum tipo de tarefa problemática. Desta tarefa, emanam
técnicas com o propósito de resolver essas problemáticas. Nesse contexto, torna-
se necessário um discurso racional que justifique essas técnicas, ou seja, o
discurso tecnológico. Por fim, a formalização desse discurso tecnológico, com
precisão e rigor, fundamenta-se no campo da Teoria.
61
Para esses autores:
Uma obra matemática surge sempre como resposta para uma questão
ou para um conjunto de questões. Mas em que se materializa tal
resposta? Em uma primeira aproximação, poderíamos dizer que a
resposta matemática para uma questão se cristaliza em um conjunto
organizado de objetos ligados entre si por diversas inter-relações, isto é,
em uma organização matemática. Essa organização é o resultado final
de uma atividade matemática que, como toda atividade humana,
apresenta dois aspectos inseparáveis: a prática matemática ou “práxis”,
que consta de tarefas e técnicas, e o discurso fundamentado ou “logos”
sobre essa prática, que é constituída por tecnologias e teorias.
(CHEVALLARD et al., 2001, p. 275)
Desta forma, notamos, em princípio, que, em torno de uma determinada
tarefa, encontramos um tripé formado por uma técnica, uma tecnologia e uma
teoria. Podemos observar uma organização praxeológica, como uma organização
matemática constituída por dois blocos: o bloco [prático – técnico] que constitui o
saber fazer e o bloco [tecnológico – teórico] que representa o saber.
A fim de elucidar como a praxeologia permeia as organizações
matemáticas, Chevallard et al. (2001) afirmam que:
Não é possível, nem para o matemático profissional nem para os alunos
de uma série fundamental, atuar matematicamente com verdadeira
eficácia sem entender o que está fazendo. Mas também não se pode
entender em profundidade uma organização matemática determinada se,
simultaneamente, não for realizada uma prática matemática eficaz. Não
há práxis sem logos, mas também não há logos sem práxis. Ao unir as
duas faces da atividade matemática, obtemos a noção de praxeologia:
para responder a um determinado tipo de questão matemática é
necessário elaborar uma praxeologia matemática constituída por um tipo
de problema determinado, uma ou várias técnicas, suas tecnologias e a
teoria correspondente. (CHEVALLARD et al., 2001, p. 275)
Portanto, podemos notar que não é possível para o matemático, o
professor de Matemática, ou mesmo, o aluno atuar matematicamente sem
compreender o que está fazendo. Por outro lado, não se pode entender uma
organização matemática, sem uma prática matemática eficaz. Então, não há
práxis sem logos, como também não há logos sem práxis.
Assim sendo a noção de praxeologia é a união destas duas facetas da
atividade matemática, ou seja, o fazer matemática, o bloco [prático – técnico] e o
compreender matemática, o bloco [tecnológico – teórico].
62
Outro ponto que há de se observar, é o fato que, constantemente, em uma
instituição, aparecem novas tarefas problemáticas e, consequentemente, o
surgimento de novas praxeologias que serão consideradas relevantes e
necessárias por alguns membros da instituição naquele determinado momento.
Nesta conjuntura, podemos considerar que as praxeologias são temporais, ou
seja, em uma determinada época de uma instituição algumas técnicas se
sobressaem e são relevantes, porém, se analisarmos estas técnicas em outro
período de tempo, elas poderão estar ultrapassadas e sem relevância.
Como exemplo de uma técnica que nos dias de hoje se mostra sem
relevância, poderíamos citar a utilização da tábua de logaritmos para a
determinação da mantissa. Hoje em dia, com os avanços da tecnologia
computacional, temos as calculadoras que nos fornecem esses valores com mais
rapidez e facilidade, assim, o uso da tábua de logaritmo tornou-se obsoleta.
Para Chevallard (1999), a noção de praxeologia aparece como uma noção
genérica, cujo estudo é conveniente que seja aprofundado, sobretudo, mediante o
estudo empírico e as análises dos dados de observações recolhidos.
Estudar uma problemática é determinar uma tarefa ou um gênero de
tarefas que conduz a elaboração de uma organização praxeológica. Assim,
segundo o autor citado, em um mundo ordinário da
skholé
12
, estudar uma questão
é quase sempre recriar para si mesmo e seus companheiros de estudo uma
organização praxeológica já produzida em qualquer outra instituição.
Segundo Chevallard et al.
Estudar é uma atividade fundamental, um processo vital. Existem muitas
questões, grandes ou pequenas, que obrigam todos nós,
periodicamente, a “voltar para a escola”, embora esta não tenha muros,
nem professores! A escola, isto é, o que os gregos chamavam de skholé
não é um mero parênteses no qual nos fecham durante a infância e a
adolescência. É toda uma dimensão de nossa vida (CHEVALLARD et al.,
2001, p. 300)
____________
12
A palavra escola tem a sua origem na palavra grega skholé ou na palavra latina schola. Paradoxalmente,
estas duas palavras têm significados diferentes: skholé está associada ao descanso e ao ócio, e schola
nos remete à ideia de local onde se ensina. Ou seja, a origem latina de escola designa a instituição onde
se ministra o ensino, e a palavra grega nos remete a um modo de temporalizar este ensino em que se
privilegia, sobretudo, o ócio, ou seja, os tempos que estão fora do tempo (CORREIA, 2005, p. 416)
63
Ao analisar uma problemática sob esta ótica, podemos conjecturar que,
estudar uma obra ou estudar um conceito é, então, compreender uma resposta a
um determinado problema, isto é, estudar um conceito já existente, analisá-lo,
reformulá-lo e transportá-lo ao habitat de estudo.
Acreditamos que o processo de estudar, analisar, reformular e transportar
um conceito ao
habitat
de estudo, que poderá ser, por exemplo, a sala de aula ou
qualquer outro ambiente de estudo, é o papel intrínseco do professor, ou seja, o
professor é protagonista e responsável no processo da construção dos
conhecimentos na escola.
Torna-se necessário e imprescindível que o professor aproprie-se do
conhecimento matemático, como também observe este conhecimento, como uma
organização praxeológica, na qual o desenvolvimento dos conceitos matemáticos
está permeado pelos blocos [prático – técnico], o fazer Matemática e o bloco
[tecnológico – teórico], o compreender Matemática.
64
A procura por técnicas de contagem está diretamente
vinculada à história da Matemática e à forma pela qual as pessoas
têm seu primeiro contato com esta disciplina. A primeira técnica
matemática aprendida por uma criança é “contar”, ou seja,
enumerar os elementos de um conjunto de forma a determinar
quantos são os seus elementos. As operações aritméticas são
também motivadas (e aprendidas pelas crianças) através de sua
aplicação a problemas de contagem. (MORGADO et al., 1991, p.
17)
65
3.2
C
ONSIDERAÇÕES SOBRE O OBJETO MATEMÁTICO
Acreditamos que a resolução de situações-problema, a articulação do
conhecimento matemático com as demais áreas do conhecimento e a dimensão
histórica da ciência com relação à sociedade e à cultura nas diferentes épocas
são meios valorosos no processo formativo dos alunos, como também dos
professores.
Desse modo, observando a Matemática como uma parcela do
conhecimento humano essencial na formação do estudante do Ensino Médio, os
PCNEM sugerem:
Nessa etapa da escolaridade, portanto, a Matemática vai além de seu
caráter instrumental, colocando-se como ciência com características
próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador
importante junto às demais Ciências da Natureza. Enquanto ciência, sua
dimensão histórica e sua estreita relação com a sociedade e a cultura
em diferentes épocas ampliam e aprofundam o espaço de
conhecimentos não só nesta disciplina, mas nas suas inter-relações com
outras áreas do saber. (BRASIL, 2006, p. 111)
Entendemos que o professor precisa assumir o papel de agente integrador
entre o conhecimento matemático e as demais áreas do conhecimento, como
também parceiro na relação entre a cultura do ambiente escolar e sociedade que
a permeia.
Com relação às competências do professor, Machado (2009) afirma que o
professor competente consegue articular temas aparentemente desconectados,
construindo significados por meio de relações advindas de múltiplos conteúdos e
integrando-os em feixes significativos.
Nesse contexto e nesta parte da pesquisa, vamos expor e discutir os
conhecimentos que permeiam o ensino de análise combinatória no Ensino Médio.
Iniciaremos por um breve estudo histórico do tema para, em seguida, analisar as
resoluções de problemas particulares com o objetivo de generalizar resultados.
Queremos com isso mostrar que as fórmulas, usualmente, empregadas como
único objeto de ensino nesse campo da Matemática, são, na verdade, o resultado
de um processo da construção do raciocínio combinatório e não seu início.
66
A validade do Princípio Fundamental da Contagem – PFC – para
problemas que envolvem mais de duas etapas, ou seja, para o caso geral
(problemas que envolvem
n
etapas
) será demonstrado utilizando-se do Princípio
da Indução Finita – PIF.
3.2.1
U
M BREVE ESTUDO HISTÓRICO
13
Os problemas relacionados à contagem têm provocado interesse e
curiosidade, em diferentes culturas, desde a antiguidade. No Ocidente, os
primeiros problemas relacionados à análise combinatória têm origem na Escola
Pitagórica (540, a.C.). Podemos, também, encontrar estudos ligados ao binômio
(
)
1
n
x
+ com
2
n
=
na obra Elementos de Euclides (300, a.C.).
O triângulo de Pascal já era conhecido por Chu Shih-Chieh, na China, em
torno de 1300, e antes disso pelos hindus e árabes. Um dos primeiros e mais
antigo documento chinês chamado “Pa Kua” do século III a.C., descreve questões
sobre combinatória, apresentando problemas sobre o cálculo do número de
permutações de uma série de segmentos dispostos ao redor de um círculo.
O matemático árabe Al-Karaji (fim do século X) já conhecia a lei de
formação dos elementos do triângulo de Pascal, que posteriormente, no Ocidente,
recebeu o nome de Relação de Stifel.
+
+ =
+ +
1
1 1
n n n
p p p
O matemático hindu Bhaskara (1114-1185?) sabia calcular o número de
permutações, combinações e arranjo de
n
objetos. Em uma parte da sua obra,
Lilavati, dedicada à combinatória, Bhaskara mostra uma regra para selecionar m
objetos entre n objetos dados.
____________
13
Utilizamos BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1974, e EVES, H.
Introdução a História da Matemática. São Paulo: Editora da UNICAMP, 2004, no desenvolvimento deste
estudo histórico.
67
No século XIII, encontramos evidências de cálculos combinatórios e
probabilísticos no poema “De Vetula”
14
. Este poema apresenta uma discussão da
resolução de um problema que se refere às possibilidades de resultados da soma
dos números das faces no lançamento de três dados. Baseado na existência
deste poema e em evidências de que alguns leitores medievais entendiam os
cálculos combinatórios e probabilísticos contidos nele, concluiu-se que, os
cálculos elementares de combinatória e probabilidade foram estabelecidos e
conhecidos, na Europa, anteriormente ao ano de 1250.
De Vetula, um poema que contém cálculos probabilísticos no lançamento
de três dados, foi escrito na metade do século XIII. O poema foi
amplamente circulado, lido e avaliado. Existe forte evidência de que
alguns leitores medievais claramente entenderam como os cálculos
probabilísticos foram obtidos. Baseado na discussão feita aqui, conclui-
se que cálculos probabilísticos elementares foram estabelecidos e
conhecidos na Europa, pelo ano 1250. Uma tradução da parte relevante
do poema é apresentada e é baseada no texto em latim que aparece em
Klopsch,1967. (BELLHOUSE, 2000, p. 123)
Para tornar compreensível essa afirmação, tomemos um extrato deste
poema para ilustrar a forma como seu autor utiliza o raciocínio combinatório e
probabilístico, fundamentado na enumeração dos resultados possíveis para a
soma dos pontos obtidos quando lançamos três dados
15
.
Talvez, diremos que certos números são melhores
Do que outros para uso em jogos, pela razão que,
Desde que um dado tem seis lados e seis números unitários,
Em três dados, existem dezoito,
Dos quais apenas três podem estar nas faces superiores dos dados.
Eles variam em diferentes maneiras e deles,
Dezesseis números compostos são produzidos. Eles não são, porém,
De igual valor, desde que o maior e o menor deles
Ocorre raramente e os do meio mais frequentemente,
E o restante, o quanto mais próximo estão daqueles do meio,
Melhores são e mais frequentemente ocorrem.
Esses, quando ocorrem, têm apenas uma configuração de faces nos
dados,
Existem cinquenta e seis maneiras dos números ocorrerem,
E os números podem não ser nem maior, nem menor.
Quando os três números que compõem o terno são iguais,
desde que seis números podem ocorrer com outro,
existem, também, seis configurações de faces nos dados, uma para
cada número.
Mas, quando um deles não é igual aos outros,
____________
14
Este poema encontra-se no artigo “De Vetula”: a medieval manuscript containing probability
calcularions in Revue Internationale de Statistique, Review, v. 68, n. 2, p. 123-136 – August, 2000.
15
O poema em latim encontra-se no apêndice C do trabalho.
68
E dois são iguais, as configurações das faces nos dados podem variar
de trinta maneiras,
Porque, se você duplica algum dos seis números,
Depois você tem acrescentado alguns dos números que restam, então,
Você obterá trinta, como se você multiplicasse seis por cinco;
Mas, se todos os três números são diferentes,
Então você irá contar vinte configurações das faces nos dados
Por essa razão: Três números podem ser sucessivos (BELLHOUSE,
2000, p. 134-135)
No Ocidente, a primeira apresentação do Triângulo de Pascal foi
observada quase um século antes do nascimento de Pascal (1623-1662), na
página de rosto de um livro sobre aritmética comercial do matemático, astrônomo
e cartógrafo alemão Petrus Apianus (1495-1552).
Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou o triângulo de Pascal
com as potências de
(
)
x y
+
e Pascal publicou um tratado mostrando como
utilizar os elementos do triângulo aritmético para calcular os coeficientes do
desenvolvimento do binômio
(
)
n
a b
+ .
Pascal não foi o primeiro a estudar o triângulo aritmético, mas, por um
longo tempo (até 1935) foi considerado pelo mundo ocidental, o primeiro a
descobrir os resultados deste triângulo. Foi o primeiro a estudar as propriedades
do triângulo aritmético sistematicamente, ao analisar as relações e aplicações das
disposições dos números com as combinações e utilizá-los na resolução de
problemas de probabilidade. Assim, por consequência desses estudos, aplicações
e trabalhos por ele realizados, este triângulo ficou conhecido como Triângulo de
Pascal.
Com relação aos trabalhos de Pascal, Batanero et al. (1996) ressaltam que
as contribuições e os estudos de Pascal provocaram um forte desenvolvimento na
formulação dos princípios fundamentais da análise combinatória.
Leonhard Euler (1707-1783), também, contribuiu no desenvolvimento das
teorias combinatórias. Motivado pelo Problema das Sete Pontes de Königsberg,
desenvolveu um teorema no campo da Teoria dos Grafos, parte importante,
atualmente, na análise combinatória.
69
O problema resolvido por Euler, em 1736, tinha a seguinte questão: “Seria
possível fazer um passeio pela cidade de Königsberg de maneira a cruzar todas
as pontes da cidade, uma e uma só vez e voltar ao ponto de partida?”.
A cidade, localizada perto da foz do rio Pregel, era famosa por suas sete
pontes, cinco delas davam acesso a uma ilha. Euler, utilizando a teoria dos
grafos, mostrou que a resposta a esta questão é negativa, ou seja, não é possível
cruzar todas as pontes da cidade uma única vez e retornar ao ponto de partida.
Figura 1: Desenho das pontes da cidade de Königsberg.
(EVES, 2004, p. 500)
Atualmente, segundo Morgado et al. (1991), a análise combinatória tem
tido um crescimento considerável. Segundo os autores, esse crescimento deve-se
ao desenvolvimento e à importância dada a problemas relacionados à
enumeração, como por exemplo, o armazenamento de informações em bancos
de dados nos computadores, a pesquisas operacionais e a problemas que podem
ser modelados empregando a teoria dos grafos.
No mesmo tipo de argumentação desses autores, Batanero et al. (1996)
afirmam que a análise combinatória é um amplo campo da Matemática com
numerosas aplicações teóricas e práticas. Segundo a autora, podemos observar,
no campo da Matemática essa teoria sendo empregada em criação de
experimentos, na teoria dos números, lógica, geometria, ciência da computação,
como também em problemas recreativos. Os autores citados apontam a presença
da teoria combinatória em outras áreas científicas, como por exemplo, na física,
química, biologia e economia.
A partir do exposto, assumiremos a premissa de que a análise
combinatória permeia não apenas os distintos ramos da Matemática, como
70
também as diversas ciências. Concordamos com Batanero et al. (1996), que
destacam a importância de sua abordagem no contexto escolar (como
componente curricular), sugerindo ser possível construir os conhecimentos de
análise combinatória com base nas atividades e situações-problema relacionadas
às aplicações e às relações que estes conhecimentos têm com a própria
Matemática e as demais ciências.
3.2.2
E
NUMERAÇÃO
–
Á
RVORE DE
P
OSSIBILIDADES
–
PFC
Utilizaremos situações-problema para discutir a construção da árvore de
possibilidades e o processo de enumeração sistemática como técnicas, no
sentido usado por Chevallard (1999), na resolução de problemas de análise
combinatória. Buscaremos mostrar, também, que nos problemas que apresentam
um número elevado de possibilidades de respostas, essas técnicas mostram-se
limitadas, mas, por outro lado, apresentam-se como “frutíferos caminhos”
motivadores, a fim de sistematizar e compreender o Princípio Fundamental da
Contagem – PFC.
Em relação ao uso de diferentes representações no ensino da análise
combinatória, Esteves (2001) afirma que incentivar o uso de diagramas, tabelas,
enumerações ou a árvore de possibilidades, ou seja, servir-se das diversidades
de representações, são meios valorosos a fim de sistematizar a compreensão do
Princípio Fundamental da Contagem.
Acreditamos que a atividade de resolver problemas de análise combinatória
seja, de fato, fonte de motivação à aprendizagem, pois apresenta, como citado
por Batanero et al. (1996), um dos pilares da aprendizagem significativa da
Matemática.
Nesse contexto, entendemos que a atividade de resolver problemas
caracteriza-se como a descontextualização e a despersonificação dos conteúdos
matemáticos no momento da institucionalização, e a recontextualização e a
repersonificação do conhecimento no momento da aplicação desses novos
conhecimentos na resolução de novos problemas.
71
Como consequência de uma conceitualização matemática objetiva,
“conhecer” o “saber” matemático, por parte de uma pessoa, não pode
reduzir-se a identificar as definições e propriedades dos objetos
matemáticos. Deve implicar ser capaz de usar a linguagem e o sistema
conceitual matemático na resolução de problemas. Um sujeito não pode
atribuir um sentido pleno dos objetos matemáticos a menos que estes se
relacionem com a atividade a que indissoluvelmente emerge.
(BATANERO et al., 1996, p. 96-97)
A valorização do uso de resolução de problemas no ensino da Matemática
também pode ser observada nos PCNEM.
A resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática,
pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o
indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa
competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de
aplicação dos conceitos e técnicas matemáticos, pois, neste caso, o que
está em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na
memória um exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos
daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus
conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas. (BRASIL,
2006, p. 112)
Assim sendo, julgamos que utilizar de resolução de problemas seja um
“caminho nutritivo” para estruturar o ensino de análise combinatória. Dessa
maneira, as fórmulas, usualmente utilizadas no ensino desse conteúdo, tornar-se-
ão decorrência do desenvolvimento dos significados construídos nas resoluções,
ou seja, as fórmulas deixarão de ser o ponto de partida na construção dos
conhecimentos, sendo assim, uma representação de seu significado.
Chevallard et al. (2001) evidenciam que o “saber matemático” não é
somente saber definições e teoremas para reconhecer o momento de utilizá-los e
aplicá-los, mas sim “dedicar-se aos problemas” em um sentido amplo, o que inclui
encontrar boas perguntas, como também soluções.
Portanto, neste capítulo, lançaremos mão de diversas situações-problema
a fim de desenvolver, discutir e generalizar algumas noções referentes ao estudo
da análise combinatória que usualmente são desenvolvidas nas aulas de
Matemática do Ensino Médio, ou seja, problemas relacionados ao agrupamento
simples de objetos (problemas que envolvem o Princípio Fundamental da
Contagem, Arranjo, Permutação e Combinação). Assim, neste capítulo, temos o
objetivo de apresentar o objeto matemático, tanto por um olhar matemático como
didático.
72
Problema 1: Em uma sala de aula, há três meninos, Carlos, André e Bruno
e duas meninas, Daniela e Mariana. De quantos modos
poderemos selecionar um casal composto de menino-menina?
Se interpretarmos o problema proposto nos termos da Organização
Praxeológica (Chevallard, 1999), poderemos identificar a seguinte tarefa: se um
conjunto tem seus elementos categorizados em dois subconjuntos, determinar o
número de agrupamentos, contendo um elemento de cada subconjunto.
Podemos denotar a enumeração, como uma técnica possível para a tarefa
delimitada no problema, ou seja, na situação descrita necessitamos listar,
“exaustivamente” todos os agrupamentos possíveis com base nos dados
apresentados.
Ao se utilizar dessa técnica e enumerar todos os casos possíveis, teremos
como resposta, os seguintes agrupamentos:
Carlos e Daniela Carlos e Mariana
André e Daniela André e Mariana
Bruno e Daniela Bruno e Mariana
Assim, o número total de duplas que poderemos formar com base nos dos
dois subconjuntos descritos no enunciado (três meninos e duas meninas) serão
seis duplas.
Por outro lado, uma segunda técnica relacionada à resolução do problema
proposto (à tarefa proposta) é a esquematização da enumeração por meio da
árvore de possibilidades. Desse modo, teremos:
73
Figura 2: Árvore de possibilidades Problema 1.
Ao se considerar as duas técnicas de solução apresentadas – listar os
casais por enumeração ou construir a árvore de possibilidade a fim de
esquematizar a enumeração – podemos observar que, se o número de
possibilidades de respostas fosse elevado, representar todas elas seria um
processo trabalhoso e, desse modo, ofereceria dificuldades na descrição de todas
as duplas (menino – menina) que constituem a resolução do problema.
A fim de exemplificar tal dificuldade, observemos o próximo problema
(tarefa):
Problema2: Em uma sala de aula, há 43 meninos e 32 meninas, de
quantos modos poderemos selecionar uma dupla composta de
menino-menina?
A resposta a esse problema é
= ⋅
1376 43 32
casais, visto que cada menino
escolhido poderá se tornar a dupla de cada uma das meninas. É compreensível
perceber que enumerar uma quantidade tão grande de casais, ou mesmo,
construir uma árvore de possibilidades com um número tão elevado de ramos
torna-se uma técnica árdua, na qual, possivelmente, estorvaria encontrar todas as
soluções do problema. Acreditamos que esse tipo de técnica traria dificuldades
74
operatórias, do ponto de vista didático, pois, provavelmente, dispersaria a atenção
do aluno e, dessa forma, afastá-lo-ia do foco da resolução do problema proposto.
Para a tarefa descrita, ou seja, pelo problema proposto, lançaremos mão
de uma técnica diferenciada das duas apresentadas e discutidas no problema 1 –
o Princípio Fundamental da Contagem.
Chevallard (1999) aponta que, no decorrer dos anos de escolaridade
vividos pelos alunos, as tarefas e técnicas, bloco [prático-técnico] vão se
aprimorando. Desse modo, entendemos que a utilização do Princípio
Fundamental da Contagem pode ser observada, como um aprimoramento da
enumeração e/ou da construção da árvore de possibilidades, mostrando-se como
um meio facilitador na resolução de problemas que apresentam um número
elevado de soluções.
Vale lembrar que entendemos, como afirmado por Esteves (2001), que a
enumeração e a construção da árvore de possibilidades são técnicas valorosas
que contribuem na sistematização e compreensão do Princípio Fundamental da
Contagem. Logo, o número de soluções torna-se uma variável didática
16
de
importante manipulação pelo professor.
Princípio Fundamental da Contagem – PFC: se um acontecimento é
composto de duas etapas sucessivas, e a 1
a
etapa pode ocorrer de m
maneiras diferentes e, para cada uma das m maneiras de ocorrência da 1
a
etapa, uma 2
a
etapa pode ocorrer de n maneiras diferentes, então, o número
de modos de ocorrência do acontecimento é
⋅
m n
.
Assim sendo a fim de utilizar o Princípio Fundamental da Contagem na
resolução do problema proposto, necessitamos, primeiro, identificar as duas
etapas do acontecimento (do problema) e, posteriormente, as diferentes maneiras
de ocorrência de cada etapa. Desse modo, teremos, para o exemplo anterior:
1
a
etapa: escolha de um menino entre os 43 disponíveis.
2
a
etapa: escolha de uma menina entre as 32 disponíveis.
____________
16
Uma situação didática é caracterizada pelo milieu, e este é organizado a partir da escolha das variáveis
didáticas, que são aquelas para as quais a mudança de valores provoca modificações nas estratégias
ótimas, o que a torna um ponto importante no estudo de modelos de aprendizagem segundo a Teoria das
Situações. (ALMOULOUD, 2007, p. 36).
75
Então, aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, o número de
casais que poderemos formar será:
⋅ =
43 32 1376
.
Vale pontuar que as três técnicas descritas – a enumeração, a construção
da árvore de possibilidades e o Princípio Fundamental da Contagem –
caracterizam-se como técnicas disponíveis, a fim de determinar um “caminho”
para a realização de uma tarefa específica, determinada no problema. Retomando
o apresentado em 3.1, entendemos que nas tarefas descritas (problemas
propostos) apontamos três técnicas particulares, a fim de solucionar o problema
apresentado.
Por outro lado, o Princípio Fundamental da Contagem vale também para
problemas que implicam mais que duas etapas, ou seja, para o caso geral
(problemas que implicam
k
etapas). Para demonstrar a validade dessa afirmação,
torna-se necessário lançarmos mão do Princípio da Indução Finita – PIF.
Princípio da Indução Finita – PIF
17
: suponha que para cada inteiro
>
n a
está dada uma afirmação
(
)
A n
de forma que:
(
)
A a
é verdadeira.
Se
(
)
A m
é verdadeira para todo inteiro
m
tal que
≤ ≤
a m k
, então
(
)
+
1
A k
é verdadeira.
Nessas condições,
(
)
A n
é verdadeira para todo inteiro
>
n a
.
Segundo Chevallard (1999), para que uma técnica seja utilizada de
maneira normalizada, deve aparecer como algo compreensível e justificado.
Assim sendo, o autor denomina como tecnologia ao discurso racional que tem o
objetivo de justificar e demonstrar as técnicas utilizadas para uma determinada
tarefa.
Nos próximos parágrafos, temos a intenção de apresentar a justificativa da
utilização do Princípio Fundamental da Contagem em problemas (tarefas) que
apresentam mais de duas etapas, ou seja, como afirmado por Chevallard (1999),
apresentar um discurso interpretativo e justificativo da técnica, do âmbito de
aplicabilidade e validade, a tecnologia, conforme visto em 3.1.
____________
17
O enunciado e a demonstração desse teorema encontram-se em BACHX, A. de C.; POPPE, L. M. B.;
TAVARES, R. N. O. Prelúdio à Análise Combinatória, São Paulo: Editora Nacional, 1975.
76
Assim, para um problema composto por
n
etapas sucessivas, o Princípio
Fundamental da Contagem pode ser enunciado da seguinte forma:
Se um acontecimento
i
A
pode ocorrer de
i
m
maneiras diferentes para
=
( 1,2,3,..., )
i n
, então, a sequência de
n
acontecimentos sucessivos
1 2 3
( , , , ..., )
n
A A A A
pode ocorrer de
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 2 3
...
n
m m m m
.
Para demonstrar o uso do Princípio Fundamental da Contagem para n
etapas sucessivas, utilizaremos o Princípio da Indução Finita – PIF. Assim, a
demonstração poderá ser desenvolvida da seguinte maneira:
(
)
I
Para
2
n
=
, o teorema recai na definição do Princípio Fundamental da
Contagem.
(
)
II
Suponhamos que o teorema seja verdadeiro para
= ≥
( 2)
n k k , isto é,
a sequência de acontecimentos sucessivos
1 2 3
( , , , ..., )
k
A A A A
pode
ocorrer de
1 2 3
...
k
m m m m
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
maneiras diferentes (hipótese de
indução), e provemos que ela é verdadeira para
1
n k
= +
.
(
)
III
Seja agora a sequência de acontecimentos sucessivos
+
1 2 3 1
( , , , ..., , )
k k
A A A A A , onde
1
k
A
+
pode ocorrer de
1
k
m
+
maneiras
diferentes.
(
)
IV
Seja
∗
=
1 2 3
( , , , ..., )
k
X x x x x
uma sequência de ocorrências, onde
i
x
é uma das
i
m
possíveis ocorrências de =
( 1, 2, 3, ..., )
i
A i k
, ou seja:
(
)
∗
=
1 2 3
, , , ..., , ...,
i k
X x x x x x
77
Pela hipótese de indução,
∗
X
pode ser determinada de
1 2 3
...
k
m m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
maneiras diferentes.
(
)
V
Seja
1
k
x
+
uma das
1
k
m
+
maneiras pelas quais
1
k
A
+
pode ocorrer.
Como, por
(
)
IV
,
∗
X
pode ser determinada por m maneiras diferentes,
e
+
1
k
X
de
1
k
m
+
maneiras diferentes, segue-se pelo Princípio
Fundamental da Contagem (PFC), que
∗
X
e
+
1
k
X
podem ser
determinadas de
(
)
1 1 2 3 1
...
k k k
m m m m m m m
+ +
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
modos diferentes.
Todavia, determinar
∗
X
e
+
1
k
X
equivale a determinar a sequência de
ocorrências
(
)
+
1 2 3 1
, , , ..., , ..., ,
i k k
x x x x x x
.
(
)
VI
Assim, a determinação das ocorrências
+
1 2 3 1
, , , ..., , ..., ,
i k k
x x x x x x
pode ser efetuada de
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 2 3 1
...
k k
m m m m m
maneiras diferentes, e a
demonstração por indução está completa.
Com relação à demonstração do Princípio Fundamental da Contagem para
k etapas, Costa (2003) faz a seguinte observação:
Não consideramos que a demonstração do princípio multiplicativo seja
essencial para o trabalho com o aluno. No entanto, é importante que um
professor de matemática seja ele do Ensino Fundamental, Médio ou
Superior tenha a preocupação em entendê-la, já que as demonstrações
ocupam o cerne da Matemática (COSTA, 2003, p. 21)
Concordamos com Costa (2003), pois entendemos que a demonstração do
Princípio Fundamental da Contagem em seu caso geral não deve ser o objetivo
principal do trabalho do professor com os alunos do Ensino Fundamental e Médio.
Por outro lado, consideramos valioso que este saber esteja integrado aos saberes
do professor, pois acreditamos que este precisa observar as demonstrações
como um discurso racional, por ele utilizado e ensinado, que apresenta o objetivo
de justificar, validar e explicar as técnicas.
78
3.2.3
P
ERMUTAÇÃO
S
IMPLES
Novamente, lançaremos mão de situações-problema a fim de apresentar,
discutir e desenvolver a noção de permutação simples, ou seja, a permutação
envolvendo elementos distintos. Uma permutação simples de n objetos distintos é
qualquer agrupamento ordenado desses n objetos.
Problema 3: Quantas filas distintas de quatro pessoas serão possíveis
formar com quatro garotos: André, Bruno, Carlos e Daniel?
O problema nos apresenta a tarefa – dado um conjunto com quatro
elementos, organizar uma fila com todos esses elementos. Assim, utilizaremos o
Princípio Fundamental da Contagem, como técnica disponível para realizar a
tarefa especificada pelo problema. Desse modo, teremos caracterizado o bloco
[prático-técnico] que identifica, segundo Chevallard (1999), um saber fazer.
Assim, primeiro necessitamos identificar o número de etapas que compõem
o problema. Ora, como temos de organizar uma fila com quatro garotos,
poderemos estabelecer que existem quatro etapas distintas e sucessivas.
1
a
etapa: escolher o garoto que ocupará o primeiro lugar na fila. Nesse
caso, temos André ou Bruno ou Carlos ou Daniel, ou seja, temos
quatro possibilidades para a etapa (4 possibilidades para o 1º
lugar).
2
a
etapa: escolher o segundo garoto da fila. Nesse momento, um dos
meninos já foi escolhido como primeiro da fila, então, sobram-
nos três possibilidades de escolha para a etapa. Por exemplo: se
o primeiro menino escolhido foi Daniel, então, sobram André ou
Bruno ou Carlos para serem escolhidos, ou seja, três
possibilidades.
3
a
etapa: escolher o terceiro garoto da fila. Nesse momento, já foi escolhido
um par de garotos, portanto, sobram outros dois garotos para
ocupar o terceiro lugar na fila.
79
4
a
etapa: escolher o último da fila, ou seja, o quarto garoto que formará a
fila. Aqui temos uma única possibilidade, pois os demais meninos
já foram escolhidos nas etapas anteriores.
Desse modo, podemos representar o raciocínio descrito da seguinte forma:
Figura 3: Princípio Fundamental da Contagem Problema 3.
Portanto, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem como técnica
disponível à tarefa apresentada (problema proposto), poderemos afirmar que será
possível formar
4 3 2 1
⋅ ⋅ ⋅
, ou seja, 24 filas distintas.
Vale ressaltar que o mesmo problema poderia, também, ser resolvido
empregando a enumeração dos elementos ou a construção da árvore de
possibilidades, como técnicas disponíveis. Entendemos que na tarefa descrita
pelo enunciado do problema, temos uma resposta que não se mostra
excessivamente grande, ou seja, temos apenas 24 filas a ser organizadas, o que
não inviabilizaria a utilização das técnicas mencionadas.
Nesse momento do trabalho, optaremos por desenvolver um processo de
generalização da permutação simples de n objetos, empregando para isso, o
Princípio Fundamental da Contagem. Vale salientar que entendemos que
generalizar não significa demonstrar.
Assim, nesta parte do trabalho pretendemos apenas observar casos
particulares (problemas que envolvem números pequenos de dados), a fim de
poder ampliar e compreender, o que acontece para uma situação geral, ou seja,
para n finito,
∈
n
. Ressaltamos que utilizaremos como modelo balizador, as
soluções discutidas e apresentadas nos problemas anteriores.
80
Batanero et al. (1996) ressaltam que a utilização de problemas envolvendo
um número reduzido de objetos facilita a compreensão, como também a
resolução dos problemas que apresentam no enunciado um elevado número de
objetos a serem organizados. Acreditamos que esse passo que estamos
desenvolvendo no trabalho – a generalização – apresenta-se de acordo com as
pesquisas e afirmações dessa autora.
Por outro lado, observamos que a generalização mostra-se como um
discurso racional que explica e justifica a utilização de uma determinada técnica
em seu âmbito de aplicabilidade e validade, em nosso caso o uso do Princípio
Fundamental da Contagem, para a permutação de n elementos. Dessa forma,
notamos que a generalização apresenta-se como o discurso tecnológico para a
técnica descrita, conforme apresentamos em 3.1.
Retomando, segundo Chevallard (1999), a tecnologia tem a importante
função, também, como discurso racional, de modificar a técnica ou ampliar seu
alcance, superando, desse modo, suas limitações e permitindo, em alguns casos,
a produção de novas técnicas.
Entendemos que generalizar a permutação simples para uma situação
geral em n, ou seja, mostrar que a permutação de n elementos de um
determinado conjunto é dada por
!
n
P n
=
(fórmula da permutação de n elementos)
pode ser vista; neste caso, como a produção de uma nova técnica, pois, o uso da
fórmula na resolução de problemas que envolvem permutação de elementos,
pode ser observada como uma técnica disponível para realizar a tarefa
determinada pelo problema.
Problema 4: Dados n objetos distintos, determine o número de
permutações dos n objetos.
Com o objetivo de identificar a tarefa proposta no problema, poderíamos
interpretá-lo da seguinte maneira: Dados um conjunto com n elementos,
determinar o número de filas com todos esses elementos.
Para a tarefa descrita, lançaremos mão, novamente, do Princípio
Fundamental da Contagem, como técnica disponível. Dessa forma, para enfileirar
81
os n objetos distintos, necessitamos, primeiro, identificar o número de etapas que
constituem o problema. Ora, como há n objetos a serem enfileirados, temos,
nessa situação, n etapas.
Consideremos os n objetos (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
) que ocuparam
enfileiradamente as n posições (p
1
, p
2
, p
3
, ..., p
n
). Assim, teremos:
1
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a 1
a
posição (p
1
). Nessa situação,
qualquer um dos n objetos poderá ocupar essa posição,
portanto, temos n possibilidades para essa etapa.
2
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a 2
a
posição (p
2
). Como um dos
objetos já foi escolhido para ocupar a 1
a
posição, portanto,
sobra-nos
1
n
−
possibilidades para essa etapa.
3
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a 3
a
posição (p
3
). Raciocinando da
mesma forma que na etapa anterior podemos concluir que temos
2
n
−
possibilidades para essa etapa.
Analogamente, poderemos repetir esse raciocínio para as demais etapas,
ou seja, até a última etapa (n
a
etapa), desse modo, vem:
n
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a n
a
posição (p
n
). Ora, aqui temos
apenas uma possibilidade, pois os demais objetos já foram escolhidos nas etapas
anteriores.
O raciocínio descrito nos parágrafos anteriores pode ser esquematizado da
seguinte forma:
Figura 4: Princípio Fundamental da Contagem Problema 4
82
Portanto, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, temos que, a
permutação de n objetos que denotaremos por
n
P
será dada por:
(
)
(
)
(
)
1 2 3 ... 2 1 !
n
P n n n n n
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
⇒
!
n
P n
=
Vale ressaltar que pela definição de fatorial tomaremos
0
1
P
=
e
1
1
P
=
.
Pela discussão desenvolvida nos parágrafos anteriores, entendemos que a
generalização da permutação de n elementos de um conjunto, utilizando-se como
técnica o Princípio Fundamental da Contagem, apresenta-se como um discurso
racional e compreensível que justifica o uso da técnica, ou seja, a generalização
expõe por que a técnica escolhida tem êxito na forma, como é desenvolvida.
Assim, entendemos que a generalização caracteriza, de fato, a tecnologia que
justifica a técnica utilizada.
Por outro lado, esse discurso lógico-racional produziu, como resultado, a
fórmula
!
n
P n
=
que pode ser utilizada como técnica na resolução de problemas
que apresentam como tarefa a permutação de elementos. Assim, entendemos
que a tecnologia (a generalização) produziu uma nova técnica, ou seja, o uso da
fórmula, como técnica disponível na resolução de problemas que envolvem
permutação de elementos.
Para exemplificar o uso da fórmula como técnica, observemos, novamente,
o enunciado do problema já discutido por nós:
Problema 5: Quantas filas distintas de quatro pessoas serão possíveis
formar com quatro garotos: André, Bruno, Carlos e Diogo?
A tarefa determinada pelo problema é enfileirar quatro elementos (quatro
garotos) de um conjunto determinado. Enfileirar os quatro garotos caracteriza
indicar todas as permutações possíveis entre os quatro elementos do conjunto.
Podemos observar a fórmula
!
n
P n
=
como a técnica disponível, a fim de
realizar a tarefa especificada. Portanto, nesse caso, se faz necessária a
substituição de
4
n
=
na fórmula
!
n
P n
=
, ou seja:
4
! 4! 4 3 2 1 24
n
P n P= ⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ = filas
83
Ao usar
!
n
P n
=
como técnica disponível ao problema proposto, poderemos
afirmar ser possível organizar 24 filas distintas com os quatros garotos.
O uso da fórmula com técnica disponível caracteriza, o que Chevallard
(1999) denomina como o bloco [prático-técnico], que constitui o saber-fazer, ou
seja, a combinação tarefa-técnica.
3.2.4
A
RRANJO
S
IMPLES
A fim de discutirmos a noção de arranjo simples, novamente, lançaremos
mão de analisar a resolução de uma situação-problema, empregando como
técnica disponível o Princípio Fundamental da Contagem. Ressaltamos que
entendemos por arranjo simples de n elementos tomados p a p, a qualquer
conjunto ordenado de p elementos (sem repetição) escolhidos entre os n
elementos tomados.
Assim, observemos o seguinte problema.
Problema 6: Quantas filas distintas de três pessoas serão possíveis formar
com cinco meninas: Ana, Beatriz, Carla, Dora e Emília?
Novamente, discutiremos a resolução desse problema, empregando como
técnica o Princípio Fundamental da Contagem. Para isso, em um primeiro passo,
necessitamos determinar o número de etapas do problema. Ora, como devemos
organizar filas de três pessoas, podemos estabelecer que o problema apresenta
três etapas. De fato:
1
a
etapa: escolher a menina que ocupará a 1
a
posição na fila. Nessa etapa,
temos Ana ou Beatriz, ou Carla, ou Dora, ou Emília, ou seja,
temos cinco possibilidades para esta etapa.
2
a
etapa: escolher a segunda menina da fila. Como uma menina já foi
escolhida na 1
a
etapa, então, sobram-nos quatro possibilidades
de escolha para esta etapa.
84
3
a
etapa: escolher a terceira menina da fila, ou seja, a última da fila. Como
neste momento já foram escolhidas duas meninas, então, temos
três possibilidades de escolhas (três meninas restantes) para
esta etapa.
Esquematizando o raciocínio teremos:
Figura 5: Princípio Fundamental da Contagem Problema 6.
Assim ao usar o Princípio Fundamental da Contagem podemos formar
⋅ ⋅ =
5 4 3 60
filas distintas.
Vale pontuar que no problema descrito, utilizar como técnica, o processo
de enumeração dos elementos ou a construção da árvore de possibilidades não é
descartado, mas torna a resolução laboriosa, pois teremos 60 filas a serem
determinadas.
Por outro lado, entendemos que o emprego de técnicas, como a
enumeração e a árvore de possibilidades poderia, de fato, ser observada como
um facilitador a fim de esquematizar o uso correto do Princípio Fundamental da
Contagem, ou seja, contribuir no desenvolvimento do raciocínio combinatório,
como sugerido por Esteves (2001).
Nesta parte do trabalho, generalizaremos o resultado de arranjo simples,
ou seja, denotaremos a tecnologia que justifica a técnica utilizada para n
elementos. Para isso, analisaremos a resolução da seguinte situação-problema,
na qual, usaremos, como técnica disponível, o Princípio Fundamental da
Contagem.
85
Problema 7: Quantas filas compostas de p elementos (p posições e
<
p n
)
serão possíveis de organizar dados n elementos distintos?
Primeiro, precisamos determinar o número de etapas do problema. Como
as filas que serão organizadas possuem p posições, podemos estabelecer que o
problema apresenta p etapas. Desse modo, temos:
1
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a 1
a
posição na fila. Nesta etapa,
teremos n objetos disponíveis para serem escolhidos, ou seja,
teremos n possibilidades para esta etapa.
2
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a 2
a
posição na fila. Como um
objeto já foi escolhido (objeto que ocupou a 1
a
posição), então,
sobrarão
1
n
−
possibilidades para esta etapa.
3
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a 3
a
posição na fila. Raciocinando
da mesma forma que na etapa anterior, poderemos concluir que
teremos
2
n
−
possibilidades para esta etapa.
Analogamente, poderemos repetir esse raciocínio para as demais etapas,
ou seja, até a p
a
etapa (lembremos que temos de enfileirar p objetos em p
posições)
p
a
etapa: escolher o objeto que ocupará a p
a
posição na fila. Bem como
temos no total n objetos para serem enfileirados e
1
p
−
objetos já foram
escolhidos nas etapas anteriores, poderemos concluir que há
( 1)
n p
− −
objetos a
escolher, ou seja,
1
n p
− +
objetos.
O raciocínio descrito nos parágrafos anteriores pode ser esquematizado da
seguinte forma:
Figura 6: Princípio Fundamental da Contagem Problema 7.
86
Portanto, utilizando como técnica o Princípio Fundamental da Contagem,
temos que o total de filas possíveis que podemos organizar será:
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +
1 2 3 ... 1
n n n n n p
Ressaltamos que organizar filas de p elementos, dados n elementos
distintos denotaremos por Arranjo de n elementos tomados p a p, e usaremos a
notação:
,
n p
A
.
Assim sendo teremos:
(
)
(
)
(
)
(
)
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +
,
Produto de fatores
1 2 3 ... 1
n p
A n n n n n p
p
Vale notar que se multiplicarmos e dividirmos o segundo membro da
igualdade por
(
)
−
!
n p
teremos:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅
=
−
−
,
1 2 3
!
...
!
1
n p
n n n n n p
A
n p
n p
⇒
( )
=
−
,
!
!
n p
n
A
n p
Esta última igualdade é a fórmula usualmente apresentada em livros
didáticos do Ensino Médio. Acreditamos que a fórmula não revela, explicitamente,
os dados e a questão do problema, como também não favorece o
desenvolvimento do raciocínio combinatório. Nesse sentido, concordando com
Esteves (2001) que afirma ser essencial que os alunos entendam e desenvolvam
os conhecimentos de análise combinatória baseados nas representações, com o
objetivo de conduzir a uma formalização, ou seja, o uso das fórmulas.
Assim, percebemos que o uso de técnicas, como a enumeração, a árvore
de possibilidades e o Princípio Fundamental da Contagem são favoráveis na
construção do raciocínio combinatório e fator essencial para o desenvolvimento e
entendimento das fórmulas no estudo de problemas de análise combinatória, uma
vez que constituem diferentes representações desse mesmo objeto: o arranjo de
p
elementos tomados de
n
objetos distintos.
Por outro lado, notamos, novamente, que a tecnologia (a generalização)
produziu uma nova técnica na resolução de problemas que apresentam como
tarefa, a organização de filas em um conjunto de elementos. Esta produção pode
87
ser observada pelo uso da fórmula
( )
=
−
,
!
!
n p
n
A
n p
, como técnica disponível na
realização de uma tarefa específica, determinada pelo problema, que se refere ao
reconhecimento da configuração desse tipo de agrupamento
18
.
3.2.5
C
OMBINAÇÃO
Entendemos que a noção de combinação, ou seja, agrupamentos nos
quais a ordem dos elementos não é relevante, seja complexa e de custoso
entendimento para o aluno, como também para o professor.
Esteves (2001) destaca que os alunos por ela pesquisados apresentaram
dificuldades para distinguir diferenças entre problemas que envolviam arranjo e
combinação. Segundo a autora, nos problemas que eram necessários determinar
se a ordem dos elementos era ou não relevante, os alunos mostraram
dificuldades para desenvolver resoluções ou as desenvolviam de forma
equivocada.
Com relação às dificuldades apresentadas pelos professores e alunos,
Hariki afirma:
Problemas combinatórios são usualmente considerados difíceis pela
maioria dos alunos e professores de Matemática. Talvez a principal
dificuldade seja a da conexão correta entre o problema dado e a teoria
matemática correspondente. É difícil determinar se o problema
combinatório dado é um problema de arranjo, de permutação ou de
combinação, ou então se é suficiente usar diretamente o princípio
multiplicativo. (HARIKI, 1996, p. 29)
Diante do exposto, propomo-nos, inicialmente, analisar a resolução de uma
situação-problema particular, para, em seguida, generalizar resultados, tal como
temos desenvolvido neste capítulo.
Problema 8: Quantos grupos distintos de três pessoas serão possíveis
formar com quatros meninos: André, Bruno, Carlos e
Daniel?
____________
18
Entendemos que se anuncia aqui mais um eixo de pesquisa, que no entanto não será abordado em nosso
trabalho: o estudo dos conteúdos de Análise Combinatória na perspectiva da Teoria dos Registros de
Representações Semióticas (DUVAL, 1995).
88
Segundo a Organização Praxeológica de Chevallard (1999), o problema
apresenta a seguinte tarefa: dado um conjunto com quatro elementos, quantos
subconjuntos de três elementos são possíveis organizar?
Para resolver este problema, primeiro, utilizaremos como técnica a
enumeração de todas as filas compostas de três garotos, ou seja, enumeraremos
os agrupamentos nos quais a ordem mostra-se relevante. Desse modo, estamos
utilizando conhecimentos construídos e discutidos anteriormente – noção de
arranjo – a fim de desenvolver e generalizar um novo conhecimento, a noção de
combinação.
Assim sendo de antemão, sabemos que utilizando como técnica o Princípio
undamental da Contagem há
4,3
4 3 2 24
A⋅ ⋅ = = filas.
Enumerando estas 24 filas, teremos:
Conforme apresentado nos parágrafos anteriores, podemos direcionar
nossa discussão vinculando a noção de arranjo (agrupamentos nos quais a ordem
é relevante) com um novo conhecimento, o de combinação (agrupamentos nos
quais a ordem não é relevante).
André Bruno Carlos André Bruno Daniel André Carlos Daniel Bruno Carlos Daniel
Bruno André Carlos Bruno André Daniel Carlos André Daniel Carlos Bruno Daniel
Bruno Carlos André Bruno Daniel André Carlos Daniel André Carlos Daniel Bruno
André Carlos Bruno André Daniel Bruno André Daniel Carlos Bruno Daniel Carlos
Carlos André Bruno Daniel André Bruno Daniel André Carlos Daniel Bruno Carlos
Carlos Bruno André Daniel Bruno André Daniel Carlos André Daniel Carlos Bruno
Temos, nesta
situação, um grupo
formado por:
Bruno Carlos
Daniel
Temos, nesta
situação, um grupo
formado por:
André Carlos
Daniel
Temos, nesta
situação, um grupo
formado por:
André Bruno
Daniel
Temos, nesta
situação, um grupo
formado por:
André Bruno
Carlos
Total: 4 grupos de meninos
6 filas = 3! filas
6 filas = 3! filas
6 filas = 3! filas
6 filas = 3! filas
89
Portanto, pelo que foi apresentado, é possível determinar quatro
subconjuntos distintos das 24 filas enumeradas. Cada subconjunto é formado por
três elementos, e a permutação desses três elementos delimitará seis filas
distintas, ou seja,
= = ⋅ ⋅ =
3
3! 3 2 1 6
P . Então, das 24 filas enumeradas teremos
3!
filas que determinarão o mesmo subconjunto. Por exemplo, o grupo formado por
Bruno, Carlos e Daniel é o mesmo grupo formado por Carlos, Bruno e Daniel e,
assim por diante.
Logo, das 24 filas enumeradas, podemos observar que quatro delas foram
contadas
3!
vezes.
Então:
⋅ ⋅
= = =
4,3
3
24 4 3 2
4
6 3!
A
P
Assim sendo podemos concluir que determinar o número de agrupamentos
para os quais a ordem é relevante,
poderá ser realizado a partir da divisão do
total de número de filas (arranjo) pela permutação do número de elementos das
filas.
Ressaltamos que organizar grupos de
p
elementos, dados
n
elementos
distintos denotaremos por combinação de
n
elementos tomados
p
a
p
, e
usaremos a notação:
,
n p
C
, ou seja, no problema discutido,
4,3
C
.
O passo que daremos agora é a generalização da noção de combinação e,
para isso, tomaremos o seguinte problema, visando à explicitação da
configuração desse tipo de agrupamento.
Problema 9: Quantos grupos compostos de
p
elementos serão possíveis
organizar dados
n
elementos distintos?
De acordo como o que foi discutido nos parágrafos anteriores, sabemos
que o número total de filas de
p
elementos que podemos organizar dados
n
elementos distintos é:
(
)
(
)
(
)
(
)
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +
,
Produto de fatores
1 2 3 ... 1
n p
A n n n n n p
p
.
90
Por outro lado, generalizando o resultado do problema discutido, podemos
observar que cada grupo é composto por
p
elementos, então, o total de grupos
que poderemos formar será:
(
)
(
)
(
)
(
)
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +
= =
,
,
1 2 3 ... 1
!
n p
n p
p
A
n n n n n p
C
p P
Usualmente nos livros didáticos, é apresentada a seguinte fórmula:
( )
,
!
! !
n p
n
C
p n p
=
−
. Acreditamos que esta fórmula não revela claramente os dados e
a questão do problema, tornando a resolução um ato puramente “mecânico”, ou
seja, uma aplicação simples e imediata da fórmula.
Esteves (2001) salienta que, quando não se reforça o uso da fórmula,
valoriza-se o uso da árvore de possibilidades, do método da tentativa e erro, do
desenho e do Princípio Fundamental da Contagem para um melhor
desenvolvimento do raciocínio combinatório. Neste contexto, concordamos com
Esteves, pois entendemos, também, que a aplicação fugaz da fórmula não
valoriza nem favorece o desenvolvimento do raciocínio combinatório
Por outro lado, novamente, observamos que a generalização (a tecnologia)
produziu uma nova técnica, diferente das técnicas anteriores (a enumeração, a
construção da árvore de possibilidades, o Princípio Fundamental da Contagem,
como também o uso da noção de arranjo com a finalidade de determinar o
número de combinações) em problemas que envolvem organizar grupos de
elementos. Esta ampliação pode ser observada pelo uso da fórmula
( )
,
!
! !
n p
n
C
p n p
=
−
, como técnica disponível na realização da tarefa determinada
pelo problema.
3.2.6
P
ERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Nos livros didáticos, a permutação com repetição é usualmente abordada
utilizando-se problemas que envolvem anagramas, ou seja, problemas que
apresentam palavras com letras repetidas. Desse modo, iniciaremos a discussão
deste tema apoiados em dois tipos distintos de tarefas:
91
no primeiro tipo, discutiremos a construção dos anagramas da palavra
BOTA
. Nessa situação, as quatro letras apresentam-se distintas.
no segundo tipo, discutiremos a construção dos anagramas da palavra
BATA
. Nesse caso, temos a letra
“A”
aparecendo duas vezes, ou seja,
repetindo-se.
No contexto apresentado, temos a intenção de utilizar um conhecimento
desenvolvido e discutido anteriormente em nosso trabalho, a Permutação Simples
(caso da palavra
BOTA
), a fim de desenvolver e generalizar um novo
conhecimento, a Permutação com Repetição (caso da palavra
BATA
).
Problema 10: Quantos anagramas poderemos formar com a palavra
BOTA
?
Se interpretarmos o problema proposto nos termos da Organização
Praxeológica de Chevallard (1999), poderemos identificar a seguinte tarefa: dado
um conjunto de quatro elementos quantos agrupamentos compostos com todos
os elementos serão possíveis formar considerando a ordem?
Inicialmente, optaremos por resolver o problema, utilizando como técnica o
Princípio Fundamental da Contagem. Assim sendo necessitaremos,
primeiramente, identificar o número de etapas que compõem o problema. Ora,
como temos de enfileirar quatro letras, podemos estabelecer que temos quatro
etapas sucessivas.
1
a
etapa: Selecionar a letra que ocupará a 1
a
posição. No caso, temos
quatro possibilidades, ou seja, podemos escolher qualquer letra
das quatro que compõem a palavra
BOTA
.
2
a
etapa: escolher a letra que ocupará a 2
a
posição. Nesta etapa, sabemos
que uma letra já foi escolhida na 1
a
etapa, assim sendo sobram-
nos três possibilidades de escolha para esta etapa.
3
a
etapa: escolher a 3
a
letra que comporá o anagrama. Como duas letras já
foram escolhidas nas etapas anteriores, resta-nos escolher uma
das duas letras restantes, ou seja, temos nesta etapa duas
possibilidades
92
4
a
etapa: Selecionar a última letra do anagrama. Nesta situação, temos
apenas uma única possibilidade, pois todas as demais letras já
foram escolhidas nas etapas anteriores.
O raciocínio descrito poderá ser esquematizado da seguinte forma:
Figura 7: Princípio Fundamental da Contagem Problema 10.
Portanto, após a discussão apresentada e utilizando o Princípio
undamental da Contagem com técnica disponível, podemos afirmar ser possível
formar
4 3 2 1 24
⋅ ⋅ ⋅ =
, ou seja,
4
24 4!
P
= =
.
Na tarefa descrita, poderíamos optar por outra técnica, ou seja, o uso da
fórmula de Permutação Simples. Portanto, nessa situação é necessária a
substituição de
4
n
=
na fórmula
!
n
P n
=
, ou seja:
4
! 4! 4 3 2 1 24
n
P n P=
⇒
= = ⋅ ⋅ ⋅ = anagramas.
Tanto o uso do Princípio Fundamental da Contagem, como a fórmula da
Permutação Simples caracterizam-se, como afirmado por Chevallard (1999) o
bloco [prático-técnico] que constitui o saber fazer.
Problema 11: Quantos anagramas serão possíveis determinar com a
palavra
BATA
?
Resolveremos este problema empregando o conhecimento discutido nos
parágrafos anteriores, ou seja, a formação de anagramas nos quais
não
há letras
repetidas.
93
A fim de iniciar nossa discussão, observaremos a palavra
BATA
da
seguinte forma,
1
2
BA
T
A
, ou seja, como um anagrama formado por quatro letras
distintas
(
)
2
1
A
A
≠
. Assim sendo, sabemos que a palavra
1
2
BA
T
A
apresenta,
utilizando como técnica o Princípio Fundamental da Contagem,
4 3 2 1 24
⋅ ⋅ ⋅ =
anagramas (
4
4! 24
P = = anagramas).
Por outro lado, se enumerarmos os 24 anagramas, ou seja, optarmos por
lançar mão da técnica da enumeração para melhor entender a tarefa apresentada
no problema, teremos:
BTA
1
A
2
BTA
2
A
1
BA
1
TA
2
BA
2
TA
1
BA
1
A
2
T
BA
2
A
1
T
A
1
BA
2
T
A
2
BA
1
T
A
1
A
2
BT
A
2
A
1
BT
A
1
BT A
2
A
2
BT A
1
TBA
1
A
2
TBA
2
A
1
TA
1
BA
2
TA
2
BA
1
TA
1
A
2
B
TA
2
A
1
B
A
1
TA
2
B
A
2
TA
1
B
A
1
A
2
TB
A
2
A
1
TB
A
1
TB A
2
A
2
TB A
1
Ora, observando a enumeração descrita e considerando
1 2
A A
=
, teremos
24
12 anagramas
2
= distintos para a palavra
BATA
, ou seja, a permutação de
1
A
e
2
A
(
)
= =
2
2! 2
P
determinam o mesmo anagrama. Por exemplo, os pares
2
1
BTA
A
e
1
2
BTA
A
determinam o anagrama
BTAA
. Portanto, podemos concluir
que a palavra
BATA
apresenta: 12
24
2
=
4!
2!
=
4
2
P
P
=
anagramas
Podemos sintetizar uma nova técnica para a tarefa descrita da seguinte
forma: o total de anagramas da palavra
BATA
será a permutação de todas as
letras da palavra dada (no caso quatro letras) divididas pela permutação das
letras que se encontram repetidas (no caso o par de letras
A – 2 letras
)
Usaremos a notação
2
4
P
para designar a permutação com repetição de
quatro elementos, no qual temos dois desses elementos repetidos. Portanto, de
acordo com o que foi discutido nos parágrafos anteriores, temos:
2
4
4
2
4!
12
2!
P
P
P
= = =
.
94
Ainda, consideramos que não é possível determinar a generalização da
fórmula da
permutação com repetição
, ou seja, determinar a tecnologia que nos
esclarecerá e tornará inteligível a técnica descrita. Assim, vamos analisar o
próximo problema.
Problema 12: Quantos anagramas são possíveis determinar com a palavra
BARATA
?
Considerando a palavra
BARATA
da seguinte forma,
2
3
1
A
B R T
A
A
, ou seja,
como um anagrama formado por seis letras distintas
(
)
3
1 2
A
A
A
≠ ≠
temos,
utilizando como técnica o Princípio Fundamental da Contagem,
6
720 6!
P
= =
anagramas.
Neste contexto, vamos analisar uma situação particular desses 720
anagramas, situação na qual temos uma permutação entre
21
3
, e
A
A
A
, ou seja,
utilizaremos a enumeração como técnica para entender melhor o que acontece
quando as letras
21
3
, e
A
A
A
permutam entre si.
Figura 8: Anagramas iniciados por A Problema 12
Notemos que a permutação de
21
3
, e
A
A
A
(
)
= =
3
3! 6
P
determina o
mesmo anagrama, ou seja, o anagrama
AAABRT
.
Pela discussão desenvolvida
anteriormente, podemos concluir que o total de anagramas, que é possível
determinar com a palavra
BARATA
, será:
95
Figura 9: Anagramas da palavra BARATA Problema 12
Então, sintetizando o que foi discutido, podemos concluir que o total de
anagramas da palavra
BARATA
será a permutação de todas as letras da palavra
(no caso seis letras) divididas pela permutação das letras repetidas (no caso três
letras).
Antes de generalizarmos a
permutação com repetição,
ou seja,
desenvolvermos a tecnologia que justificará a técnica utilizada, entendemos que
vale a pena discutirmos o caso no qual há diferentes letras repetidas. Para isso
vamos analisar o próximo problema.
Problema 13: Quantos anagramas serão possíveis determinar com a
palavra
BATATA
?
A tarefa proposta neste problema é diferente das anteriores, pois a palavra
BATATA
é formada por seis letras (como a palavra anterior
BARATA
), e entre
essas seis letras temos três letras
As
e duas letras
Ts
, ou seja, três letras
As
repetidas e duas letras
Ts
repetidas.
Elaboraremos a técnica para a tarefa descrita no problema, comparando
com as técnicas utilizadas nas tarefas dos problemas anteriores, ou seja, no caso
no qual temos apenas um tipo de letra repetida.
Desse modo, vamos observar a palavra
BATATA
, como sendo um
anagrama com apenas três letras repetidas (apenas as letras
As
), assim,
teremos:
21
BAT A
T
A
, ou seja,
2
1
T
T
≠
.
O total de anagramas de
21
BAT A
T
A
é mesmo que da palavra
BARATA
(problema anterior), pois, nas duas tarefas temos palavras compostas por seis
letras e, dessas seis letras, há três letras repetidas (as três letras
As
). Pelo
96
apresentado no exercício anterior, podemos concluir que o total de anagramas de
21
BAT A
T
A
será:
3
6
6
3
720 6!
120
6 3!
P
P
P
= = = =
anagramas.
Notemos que desses 120 anagramas, a permutação de
1
T
e
2
T
determina
o mesmo anagrama, discussão apresentada nos problemas anteriores. Por
exemplo,
21
BAT A
T
A
e
12
BAT A
T
A
representam o mesmo anagrama
BATATA
,
assim sendo podemos concluir que o total de anagramas da palavra
BATATA
será:
3 3
3,2
6 6
6
2
120
60
2 2!
P P
P
P
= = = =
Com base nas discussões desenvolvidas nos problemas apresentados,
podemos generalizar o seguinte resultado, ou seja, apresentar um discurso
racional e compreensível que justificará a técnica utilizada para
n
elementos que,
assim, caracterizará a tecnologia.
Assim sendo, o total de anagramas possíveis de se construir com base nas
palavras que apresentam letras repetidas, será a permutação de todas as letras
que compõem a palavra, divididas pela permutação das letras que se apresentam
repetidas.
Poderemos expressar a generalização descrita no parágrafo anterior de
outra forma: Para isso, consideremos uma palavra formada por
n
letras, dos
quais:
n
1
letras são iguais à letra
L
1
n
2
letras são iguais à letra
L
2
n
3
letras são iguais à letra
L
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
r
letras são iguais à letra
L
r
97
Analogamente ao que foi descrito para as tarefas apresentadas nos
problemas anteriores, poderemos generalizar o resultado do número de
permutações nas condições descritas como:
1 2 3
, , ,...,
1 2 3
!
! ! ! !
r
n n n n
n
r
n
P
n n n n
=
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
Vale ressaltar que, no caso particular, no qual
1 2 3
... 1
r
n n n n
= = = = =
,
teremos:
1,1,1,...,1
!
!
1! 1! 1! 1!
n
n
P n
= =
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
, ou seja, o resultado apresentado é o mesmo do
número de permutações simples de
n
elementos distintos.
Uma observação que consideramos relevante a ser pontuada, relaciona-se
aos tipos de tarefas que envolvem permutação com repetição. Todos os exemplos
apresentados neste trabalho referem-se a tarefas relacionadas a anagramas, mas
esse conhecimento está relacionado, também, a outras situações-problema, como
por exemplo, problemas que envolvem filas de pessoas, sequências de números,
ordem de resultados em sorteios e demais situações nos quais objetive enfileirar
elementos repetidos.
Pelo exposto neste capítulo, entendemos que conseguimos explanar e
discutir de forma organizada e clara os conhecimentos usualmente trabalhados
nas aulas de análise combinatória no Ensino Médio, tudo isso permeado pela
Teoria Antropológica do Didático e por resultados de pesquisas acadêmicas.
Nesse contexto, compreendemos que desenvolvemos, segundo Chevallard
(1999), uma organização matemática (organização praxeológica) para os
conteúdos de análise combinatória, usualmente, abordados e discutidos no
Ensino Médio.
Por outro lado, acreditamos que tal organização abra mais um eixo de
pesquisa, ou seja, como os livros didáticos e os materiais apostilados usualmente
utilizados por professores do Ensino Médio apresentam essa organização
matemática, permitindo ao aluno o desenvolvimento do raciocínio combinatório?
Salientamos que, em nossa pesquisa, esse eixo não será abordado, ficando,
desse modo, como perspectiva a novos trabalhos.
98
Para finalizar, consideramos que, neste capítulo, conseguimos alcançar
nosso objetivo, ou seja, generalizar resultados – desenvolver as tecnologias para
as técnicas usualmente utilizadas nas aulas de Matemática – como também,
discutir técnicas, mostrando a fórmula, como o resultado de um processo da
construção do raciocínio combinatório e não o início deste.
99
Embora a análise combinatória disponha de técnicas gerais
que permitem atacar certos tipos de problemas, é verdade que a
solução de um problema combinatório exige quase sempre
engenhosidade e a compreensão plena da situação descrita pelo
problema. Esse é um dos encantos desta parte da matemática, em
que problemas fáceis de enunciar revelam-se por vezes difíceis,
exigindo uma alta dose de criatividade para a solução.
(MORGADO et al, 1991, p. 2 )
100
3.3
R
ACIOCÍNIO
C
OMBINATÓRIO
Os trabalhos acadêmicos que fazem parte de nossa revisão bibliográfica
sugerem e abordam a construção dos conceitos de Análise Combinatória,
utilizando-se de práticas como: enumeração, árvore de possibilidades, tentativa e
erro, contagem direta, desenhos e, como também, o Princípio Fundamental da
Contagem. Diante dos resultados descritos por esses autores, entendemos que
estas técnicas (Chevallard, 1999) caracterizam-se, como elementos fundamentais
para a construção dos conceitos de contagem.
Esteves afirma que:
Para o conteúdo Análise Combinatória, quando não reforçamos a
fórmula, acreditamos que estamos valorizando o uso da árvore de
possibilidade, do método de tentativa e erro, do desenho e do princípio
fundamental da contagem para um melhor desenvolvimento do raciocínio
combinatório. Assim, a fórmula no papel deixa de ser apenas uma
ferramenta para desenvolver os problemas de maneira mais econômica.
(ESTEVES, 2001, p. 13)
Sob essa ótica, as fórmulas relacionadas ao ensino de análise
combinatória deixam de ser o cerne das aulas de Matemática apresentando-se,
desse modo, como o produto do estudo e da compreensão dos conceitos
construídos nas aulas de Matemática.
Convergindo com os resultados apresentados em pesquisas acadêmicas,
encontramos orientações semelhantes nos PCNEM, que conduzem a observar o
ensino de análise combinatória não só como uma rotina atrelada a uma
aplicabilidade de fórmulas mas sim focalizando-o como um processo permeado
por resoluções de problemas que objetiva o desenvolvimento do raciocínio
combinatório. Assim, segundo os PCNEM, temos:
A Contagem, ao mesmo tempo em que possibilita uma abordagem mais
completa da probabilidade por si só, permite também o desenvolvimento
de uma nova forma de pensar em Matemática denominada raciocínio
combinatório.
As fórmulas devem ser consequência do raciocínio combinatório
desenvolvido frente à resolução de problemas diversos e devem ter a
função de simplificar cálculos quando a quantidade de dados é muito
grande. Esses conteúdos devem ter maior espaço e empenho de
trabalho no ensino médio, mantendo de perto a perspectiva da resolução
de problemas aplicados para se evitar a teorização excessiva e estéril.
Espera-se que assim o aluno possa se orientar frente a informações de
natureza estatística ou probabilística. (BRASIL, 2006, p. 126-127)
101
Vale salientar que, pesquisas acadêmicas, como por exemplo, Esteves
(2001) e Costa (2003), como também os PCNEF valorizam uma “abordagem
informal”, dos conceitos de análise combinatória, desde os primeiros anos da
escola básica. “Abordagem informal”, nesta situação, caracteriza-se pela
utilização de desenhos, enumeração das soluções, construção da árvore de
possibilidades, como também a utilização do princípio fundamental da contagem,
neste caso, como um processo multiplicativo elementar, em situações-problema
simples, que envolvem um número pequeno de possibilidades.
Com relação à construção dos conceitos de análise combinatória, temos a
premissa que a utilização do diagrama de árvores e a valorização do uso do
Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas, sejam, de fato,
“caminhos” propícios para potencializar o desenvolvimento do raciocínio
combinatório.
Por outro lado, Batanero et al. (1996) pontuam que procedimentos
recursivos são inerentes ao processo da construção da árvore de possibilidades,
como também é possível observá-los quando enunciamos e utilizamos o Princípio
Fundamental da Contagem.
Quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos na resolução de
problemas envolvendo arranjo e permutação, Batanero et al. (1996) já afirmavam
que, possivelmente, a chave para as dificuldades e o lento desenvolvimento
espontâneo da capacidade de realização de operações combinatórias, por parte
dos sujeitos, deve-se, também, a uma relação inadequada e insuficiente com a
recursão e a indução matemática.
Assim, analisando a árvore de possibilidades, podemos observar que, para
construir os “ramos” posteriores, necessitamos das estruturas dos “ramos”
antecedentes. Desta forma, o procedimento de construção repete-se
sucessivamente no processo de formação da árvore, ou seja, podemos destacar
um procedimento recursivo nesta construção.
Para exemplificar a construção da árvore de possibilidades como um
processo recursivo, vamos optar por resolver um problema de análise
combinatória utilizando essa técnica nos termos da organização praxeológica.
102
Um jogo consiste em lançar uma moeda duas vezes seguida. Quais os
possíveis resultados desse jogo?
Figura 10: Árvore de Possibilidades Lançamento de duas moedas
É possível notar que para construir os ramos que representam o segundo
lançamento do dado, é necessário ter a construção dos ramos que representam o
primeiro lançamento. Dessa forma, podemos observar que a construção da árvore
de possibilidades é um procedimento recursivo
Por outro lado, analisando o Princípio Fundamental da Contagem para
k
etapas, também, podemos observar a recursividade. Esta se faz presente no ato
de identificar o número de possibilidades de cada “etapa”, pois poderemos
destacar que a análise das possibilidades de uma determinada “etapa” repete-se
na análise das possibilidades da “etapa” posterior.
Para exemplificar como a recursividade se faz presente na utilização do
Princípio Fundamental da Contagem, também, lançaremos mão da análise da
resolução de um problema de análise combinatória nos termos da Organização
Praxeológica já apresentada.
Quantos anagramas serão possíveis determinar com a palavra
PUC
?
Retomemos à técnica desenvolvida anteriormente neste texto, assim,
dispomos de três letras que serão permutadas, então, o problema será composto
por três etapas.
103
A 1
a
etapa consiste em determinar a primeira letra que formará o
anagrama. Nesta situação, temos três possibilidades, a letra
P
, ou a letra
U
, ou a
letra
C
.
2
a
etapa consiste em determinar a segunda letra que formará o anagrama.
Nesta situação, temos apenas duas possibilidades, pois uma letra já foi escolhida
na etapa anterior (1
a
etapa).
Notamos que, após determinar o número de possibilidades da 1
a
etapa, o
processo recursivo repete-se, pois, nessa situação, tem-se de observar o número
de letras que restam e, assim, determinar o número de possibilidades para a 2
a
etapa.
3
a
etapa consiste em determinar a terceira e última letra que formará o
anagrama; nesta situação, temos apenas uma possibilidade, pois duas letras já
foram escolhidas nas etapas anteriores, restando, então, para esta etapa, uma
única letra.
Novamente, o processo recursivo é observado, pois das letras restantes
determina-se o número de possibilidades desta 3
a
etapa, ou seja, uma
possibilidade.
Assim, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, temos:
3 2 1 6
× × =
anagramas.
Acreditamos que o raciocínio recursivo é um elemento inerente e
necessário no desenvolvimento do raciocínio combinatório, como também na
construção dos conceitos de análise combinatória, ou seja, é um elemento
importante no discurso tecnológico.
Segundo Batanero et al. (1996), um processo é recursivo quando a
definição do procedimento contém uma versão de si mesmo, como um
subprocedimento. Por exemplo, o algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo
divisor comum
(
)
mdc
de dois números inteiros
19
, pode ser caracterizado como
recursivo. Neste algoritmo, podemos observar uma sucessão de divisões que se
repetem até o momento em que se determina o
mdc
dos dois números inteiros
dados.
____________
19
Este algoritmo é encontrado no livro sétimo dos Elementos de Euclides. Vale pontuar que há evidências
históricas de que este método seja ainda anterior a esta obra.
104
Para exemplificar e ilustrar este algoritmo, vamos analisar o cálculo do
(
)
1128,336
mdc
20
:
Figura 11: MDC – Algoritmo de Euclides
Em razão das sucessivas divisões que compõem o exemplo acima,
podemos notar um processo recursivo. De fato, o resto da divisão de 1128 por
336, que é igual a 120, tornar-se-á o divisor da divisão subsequente, ou seja, da
divisão de 336 por 120. Este processo repetir-se-á até o momento em que se
encontre um resto igual a zero, determinando, assim, o máximo divisor comum
dos dois números dados. Neste exemplo, teremos que:
(
)
1128,336 24
mdc =
.
A definição do processo recursivo é característica deste algoritmo, ou seja,
podemos identificar que existe um procedimento que contém uma versão de si
mesmo como subprocedimento. Nesta situação, este subprocedimento pode ser
reconhecido como as sucessivas divisões que compõem o algoritmo.
Não é apenas em procedimentos algoritmizados que podemos observar, na
Matemática, processos recursivos. Algumas definições, também, “lançam mão”
desse recurso. A fim de exemplificar o fato, vamos observar a definição de
potência de um número real com expoentes naturais.
−
=
= ∈
⋅ >
1
1 se 0
se 0
n
n
n
a n
a a n
Ao observar a definição de potenciação dada, podemos notar a presença
de um processo recursivo, pois, para calcular o valor de
n
a
torna-se necessário
conhecer, anteriormente, o valor de
1
n
a
−
.
____________
20
Exemplo retirado de MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números uma Introdução à Matemática. São Paulo:
Edusp, 2003
105
Com o intuito de familiarizar os alunos do Ensino Médio com relação à
aprendizagem dos processos recursivos, Kenney e Bezuska (1993) citados por
Sturm (1999) afirmam, por exemplo, que uma boa ocasião para começar a usar
relações de recorrência seria na definição de fatorial. Observemos:
( )
=
= ∈
⋅ − >
1 se 0
!
1 ! se 0
n
n n
n n n
Nesta definição, podemos, novamente, notar que o processo recursivo se
faz presente, pois para calcular
!
n
é necessário conhecer, de antemão, o valor de
(
)
1 !
n
−
Outra fonte indicada por Sturm (1999), rica em modelos recursivos, é o
triângulo de Pascal. Com relação a este triângulo, o autor salienta que o modelo
aditivo básico, para a formação do triângulo de Pascal –
Relação de Stifel –
pode
ser constatado no momento em que são introduzidos os conceitos de
combinação:
+
+ =
+ +
1
1 1
n n n
p p p
Figura 12: Triângulo de Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 1
1 4 4 1
1 5 10 1
1 6 15 2
10 5
3 3
6
0 15
6 1
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3
0 3
4 4 4 4
0 1 3 4
5 5 5 5
0 1 2 5
6 6 6 6
0 1 2 3
5 5
3
3 3
1 2
4
2
4
6 6
54
6
6
106
Por outro lado, o processo de recursão ocorre, também, nas
demonstrações por indução completa. Segundo Lorenzo (1974) citado por
Batanero et al. (1996), as demonstrações por indução completa são
consideradas, por Poincaré, como o raciocínio matemático por excelência no
campo da aritmética e na Teoria dos Números. Nesse contexto, acreditamos que
o desenvolvimento do raciocínio recursivo, como também o raciocínio indutivo são
elementos essenciais para o desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Ao valorizar, também, a excelência do raciocínio indutivo, Blanton et al.
(2007), pontuam a necessidade de abordar, desde os primeiros anos da escola
básica, o desenvolvimento das habilidades das crianças com relação aos
conceitos aritméticos. Segundo os autores citados, esses jovens estudantes
desenvolvem importantes hábitos de pensamento e conhecimento, caracterizando
sucesso nas aulas de Matemática nas séries posteriores.
Com relação à linguagem formal algébrica e às formas de raciocínio
indutivo que as crianças desenvolvem nos primeiros anos da escola básica, os
autores pontuam:
Em particular (as crianças) desenvolvem cada vez mais o sistema de
linguagem formal algébrico – articulando com significados em sua
expressão da linguagem natural – para descrever generalizações.
Elas adquirem a primeira linguagem de prova, incluindo formas de
indução e raciocínio dedutivo e apreciação para argumentos gerais e
limitações de argumentos empíricos. (BLANTON et al., 2007. p. 8)
Podemos, assim, observar que a preocupação com o desenvolvimento do
raciocínio algébrico, desde os primeiros anos escolares, poderá contribuir,
sistematicamente ao desenvolvimento de formas de indução, como também do
raciocínio dedutivo e a uma linguagem de prova.
No epílogo do livro “Método de Indução Matemática” de Sominski (1996),
Yu. A. Gástev descreve, em termos gerais, a indução, como a passagem do
particular para o geral, assim sendo ele descreve:
Em geral, toda construção matemática (ou lógica) que consiste na
passagem de um ou vários objetos iniciais novos, mediante uma ou
várias operações de passagem, pode ser considerada como o
fundamento do método correspondente “indutivo” de definição ou
demonstração. (SOMINSKI, 1996, p. 62)
107
Portanto, Gástev mostra-nos que, para estabelecer a validade de um
teorema ou resultado matemático que se mostra verdadeiro para um grande
número de observações de casos particulares, é necessário “lançar mão” do
Método da Indução Finita ou Método da Indução Completa.
Peirce, em obra anterior, apresenta ideias semelhantes sobre o raciocínio
indutivo. Para esse autor, citado por Dias e Marcos (2005), a indução pode ser
entendida como o processo de observar casos particulares com o objetivo de
inferir generalizações verdadeiras para um resultado determinado. Assim sendo,
Peirce afirma:
O raciocínio indutivo ou sintético é mais do que a mera aplicação de uma
regra geral a um caso particular. Parte de uma premissa menor para
uma maior. A indução é a inferência de uma regra a partir do caso e do
resultado. Sendo assim, ela ocorre quando generalizamos a partir de
certo número de casos em que algo é verdadeiro e inferimos que a
mesma coisa será verdadeira do total da classe. (PEIRCE, 1975, apud
DIAS e MARCOS, 2005, p. 5)
Com o objetivo de exemplificar e ilustrar a necessidade de utilização do
método da indução completa, a fim de deduzir e determinar um específico
resultado matemático, analisaremos o comportamento da função:
(
)
2
41
f n n n
= − +
com
n
∈
21
.
Para essa função se calcularmos
(
)
1
f
,
(
)
2
f
,
(
)
3
f
,...,
(
)
40
f
, verificaremos
que todos os resultados serão números primos. Contudo, baseado nessas
observações particulares não podemos afirmar, com certeza, que essa função
seja geradora de números primos. De fato, observando o caso no qual,
41
n
=
teremos:
(
)
(
)
2 2
41 41 41 41 41 41
f f= − + ⇒ =
, ou seja, um número não primo. Esse
exemplo ilustra, de forma simples e clara, que resultados particulares não
evidenciam a generalização de um resultado ou de um teorema matemático.
Assim, esse exemplo ilustra, o que tanto Gástev como Peirce afirmam, ou
seja, que observações de casos particulares não garantem, com certeza, um
resultado matemático. Para concluirmos que um resultado matemático é
verdadeiro, baseado em situações particulares, necessitamos demonstrá-lo
empregando, para isso, o Princípio da Indução Completa, também nomeado por
alguns autores como Princípio da Indução Finita.
____________
21
Exemplo retirado de MILIES, C. P.; COELHO, S. P. Números Uma Introdução à Matemática. São Paulo:
Edusp, 2003.
108
Segundo Lorenzo (1974), citado por Batanero et al. (1996), por meio da
indução completa é possível construir conceitos, demonstrar e generalizar novas
propriedades com base em uma síntese criadora de elementos mais concretos. A
autora sintetiza esse processo pautando-se em três componentes:
Esse raciocínio é resultado, em síntese, de três componentes:
O passo básico: verificação analítica de uma propriedade para n=1.
O passo indutivo: verificação analítica de que tal proposição do teorema
é válida para um número qualquer, então é válido para a seguinte.
A conclusão correta: a proposição do teorema vale para todos os
números. (BATANERO et al., 1996, p. 63)
Com relação ao método da indução completa, a autora citada ainda
ressalta que dada uma propriedade é necessário, previamente, sua identificação
com base nos casos particulares, mediante um processo empírico indutivo, no
qual as conclusões serão mais amplas que as premissas. A autora descreve que:
A fase da busca de hipótese de recorrência tem um caráter psicológico,
e está caracterizado pelo processo de ensaio e erro, pela analogia, pela
ideia feliz,..., similarmente ao trabalho científico das ciências empíricas.
Porém, a validade da hipótese é um processo dedutivo de
demonstração. (BATANERO et al., 1996, p. 63)
Ainda, no epílogo do livro “Método de Indução Matemática”, Sominski
(1996) salienta a importância de notar que a indução matemática é um método
dedutivo, isto é, um método de argumentação puramente dedutivo. O autor
argumenta:
O “princípio da indução matemática” é uma proposição precisa [...] que
permite obter, a partir da base
22
e do passo indutivo, uma demonstração
puramente dedutiva da proposição para todos os números naturais n. [...]
Desse modo, o problema pode ser aplicado para qualquer número
natural. (SOMINSKI, 1996, p. 59)
Seguindo esse raciocínio, Gástev (1996) prossegue:
Em outras palavras, o nome “indução matemática” deve-se
simplesmente ao fato de que se associa em nossa consciência com as
argumentações “indutivas” tradicionais [...]; mas o passo indutivo,
contrariamente aos critérios baseados na experiência de verossimilhança
dos argumentos indutivos das ciências naturais (e sociais), é uma
proposição geral que não necessita de nenhuma hipótese particular e é
demonstrado segundo os rigorosos cânones dos argumentos dedutivos.
É, por isso, que a “indução” matemática é denominada também
“completa” ou “perfeita”, já que [...] é um método [...] de demonstração.
(SOMINSKI, 1996, p. 59-60)
____________
22
O autor considera base como sendo a validade da proposição para um determinado número natural ou
vários números naturais.
109
As dificuldades apontadas por Batanero et al. (1996) com relação a
problemas associados aos conceitos de arranjo e permutação, também, são
pontuadas por Esteves (2001). Em sua pesquisa, a autora analisou alguns
problemas de análise combinatória que envolviam processos recursivos, com
relação a esses problemas, ela ressalta:
Ao analisar as concepções apresentadas pelos alunos, [...] pudemos
classificar algumas que dificultaram a aprendizagem do conteúdo análise
combinatória. [...]
A falta de um procedimento recursivo que os levasse à formulação de
todas as possibilidades. Isto acontecia quando os alunos resolviam
problemas por enumeração, mediante tentativa e erro, principalmente
nos casos em que a formação de todas as possibilidades se tornava
exaustivo. (ESTEVES, 2001, p. 190)
Assim sendo, observando os resultados obtidos na pesquisa citada,
podemos inferir que a dificuldade para entender e operacionalizar processos
recursivos impossibilitou que alguns alunos resolvessem problemas
combinatórios. Vale notar, também, que a autora descreve que esses problemas
de contagem envolviam um número elevado de possibilidades, o que tornou o
processo de enumeração extenso e exaustivo.
Nessa situação, o processo recursivo “contornaria” o elevado número de
possibilidades de resposta para o problema, sendo assim, uma possível opção de
“caminho de resolução” que o aluno poderia “lançar mão”.
Esteves (2001), também, salienta em sua pesquisa a dificuldade
apresentada pelo aluno na construção e utilização do diagrama de árvores na
resolução de problemas combinatórios. O diagrama de árvores pode ser
caracterizado, também, como um processo recursivo.
Segundo Batanero et al. (1996), o diagrama de árvores, como recurso na
resolução de problemas, tem um caráter recursivo, pois, uma árvore com
n
níveis de ramificações forma-se a partir de outra árvore com
−
1
n
níveis de
ramificações, ou seja, reforçamos aqui, novamente, a recursividade como
elemento do discurso tecnológico.
Com relação aos problemas combinatórios que envolvem o raciocínio
recursivo, Batanero et al. (1996) descrevem que:
110
Nas atividades de resolução de problemas combinatórios que envolvem
arranjo e permutação de um número finito e fixo de elementos, pode-se
identificar os seguintes aspectos:
Formação das configurações para valores pequenos.
Descrição dos processos de formação de todas as configurações.
Demonstração lógica, mas não formal de que o processo descrito
garanta que não falte nenhuma das possíveis configurações.
(BATANERO et al., 1996, p. 65)
Os autores citam, também, que nas resoluções de problemas que
envolvem permutação e arranjo, é possível, geralmente, analisar o problema com
base na formação de processos pequenos, com o objetivo de configurar o
problema para processos com um número mais elevado de elementos.
A fim de exemplificar o fato, vamos analisar um problema de contagem que
envolve o conceito de permutação.
Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra
FUTEBOL
?
Primeiramente, se o problema sugerido envolvesse apenas três letras,
como no caso da palavra
PUC
, o desenvolvimento da solução do problema seria
mais simples. Entretanto, com relação ao processo recursivo, este não mudaria,
ou seja, é o mesmo processo independente do número de letras que forma a
palavra.
Assim sendo como descrito por Batanero et al. (1996), utilizando-se de
uma configuração de valores pequenos, (por exemplo, três letras, a palavra
PUC
)
podemos descrever e induzir um processo de resolução para valores maiores.
Defendemos a hipótese de que esse é um recurso didático bastante importante e
acessível ao aluno, permitindo-lhe desenvolver um raciocínio recursivo e dedutivo
a fim de resolver situações-problema propostas, ou seja, o número de elementos
é uma variável didática importante na construção do raciocínio recursivo. Dessa
forma, torna-se um discurso tecnológico acessível ao aluno, potencializando a
construção do significado dos conceitos abordados.
Entretanto, a autora salienta que o raciocínio recursivo não é o único
componente na resolução de problemas combinatórios, mesmo sendo uma das
principais características nos problemas de enumeração e contagem. Desse
modo, ela pontua que, para analisar as dificuldades encontradas pelos alunos na
111
resolução de problemas de combinatória, é necessário, também, valorizar uma
abordagem que ofereça uma diversidade de tipos de problemas de contagem, tais
como: problemas de existência, problemas de enumeração, problemas de
recorrência, problemas de classificação e problemas de otimização. Também vale
observar que em todos estes contextos os diferentes tipos de problemas podem
ser organizados e apresentados em termos da praxeologia identificada no tópico
3.2.
Por outro lado, entendemos que isso nos mostra uma diversidade de
enfoque e contextos para a construção de conceitos, conforme “prega” Vergnaud
(1990) em sua Teoria dos Campos Conceituais. Embora reconheçamos a
pertinência, o estudo da combinatória nesse quadro teórico não é o objetivo de
nossa pesquisa, sendo, como em outros tópicos levantados ao longo deste texto,
perspectivas para novos estudos.
Para finalizar, observando algumas definições matemáticas, alguns
processos de resolução de problemas e certos tipos de demonstrações – que
envolvem o Método da Indução Finita – notamos que a recursividade se faz
presente em muitos temas da Matemática, inclusive, alguns abordados na escola
básica.
O raciocínio recursivo pode ser identificado como um dos fatores
característicos no desenvolvimento do raciocínio combinatório. Neste contexto,
acreditamos que abordar situações-problema que envolvam processos recursivos
desde os primeiros anos da escola básica seja um fator valoroso, a fim de auxiliar
na construção dos conceitos que envolvem a análise combinatória e, por
consequência, ajudar no desenvolvimento do raciocínio combinatório
Assim, tentamos mostrar nesta parte da pesquisa que abordar problemas
recursivos, problemas de contagem e problemas que envolvem o raciocínio e a
linguagem algébrica, desde a escola básica, são de fundamental importância para
desenvolver o raciocínio combinatório. Como citado por Batanero et al. (1996),
esses não são os únicos componentes na construção dos conceitos de contagem,
mas são características fundamentais para compreender fatores que influenciam
o desenvolvimento deste tipo de raciocínio.
112
Nascer sabendo é uma limitação porque obriga a apenas
repetir e, nunca, a criar, inovar, refazer, modificar. Quanto mais se
nasce pronto, mais refém do que já se sabe e, portanto, do
passado; aprender sempre é o que mais impede que nos tornemos
prisioneiros de situações que, por serem inéditas, não saberíamos
enfrentar.
Diante dessa realidade, é absurdo acreditar na ideia de que
uma pessoa quanto mais vive, mais velha fica; para que alguém
quanto mais vivesse mais velho ficasse, teria de ter nascido pronto
e ir se gastando...
Isso não ocorre com gente, e sim com fogão, sapato,
geladeira. Gente não nasce pronta e vai se gastando; gente nasce
não pronta, e vai se fazendo. Eu, no ano que estamos, sou a minha
mais nova edição (revista e, às vezes, um pouco ampliada); o mais
velho de mim (se é o tempo à medida) está no meu passado e não
no presente. (CORTELLA, 2006, p. 13).
113
3.4
F
ORMAÇÃO DE
P
ROFESSORES
Compreendemos que ensinar não implica de modo obrigatório aprender, ou
seja, o aluno ter acesso às informações não requer, necessariamente, imbuir-se
de uma compreensão clara e reflexiva dos conteúdos e conceitos que permeiam
as informações.
Além disso, acreditamos que o professor deva ser o protagonista na
organização do processo de ensino e aprendizagem. Entendemos que tomar o
professor como protagonista, na organização desse processo, não avilta ou
deprecia o papel do aluno, tornando-o como um mero coadjuvante. Vemos o
papel de protagonista do professor, como sendo o responsável e criterioso no
processo da organização da construção do conhecimento, ou seja, entendemos
que se o professor não assumir, de fato, o papel como um dos principais
responsáveis pela educação dos estudantes, esse processo não acontecerá de
forma espontânea e natural.
Tardif (2002) pontua que ensinar é, obrigatoriamente, entrar em relação
com o outro. Ponte (1994) ressalta que o professor é o elemento-chave do
processo de aprendizagem e torna-se impossível imaginar uma transformação
significativa no sistema educativo, sem uma participação empenhada do
professor.
Com relação ao papel que o professor desempenha como representante
institucional do conhecimento, Tardif (2002) afirma que o professor é o principal
autor e mediador da cultura e dos saberes escolares em relação ao trabalho
cotidiano com os alunos. Nesse sentido, interessar-se pelos saberes e pela
subjetividade dele é tentar penetrar no próprio cerne do processo concreto de
escolarização, assim, o professor é visto, também, como sujeito do conhecimento.
Ensinar é, portanto, fazer escolhas constantemente em plena interação
com os alunos. Ora, essas escolhas dependem da experiência dos
professores, de seus conhecimentos, convicções e crenças, de seu
compromisso com o que fazem, de suas representações a respeito dos
alunos e, evidentemente, dos próprios alunos. (TARDIF, 2002, p. 132)
Por outro lado, com relação às pesquisas sobre a formação inicial do
professor, Nacarato e Paiva (2006), também, evidenciam o papel do professor
114
como agente participativo e protagonista no processo de seu desenvolvimento
profissional. Por essa perspectiva, elas afirmam:
As pesquisas vêm destacando o protagonismo do professor no que diz
respeito aos processos de desenvolvimento profissional e de formação: o
professor tem tido voz e vem sendo ouvido; as pesquisas não têm sido
sobre o professor mas, principalmente, com o professor: há uma
preocupação com o repertório de saberes do futuro profissional,
considerando que esse não pode ser reduzido aos saberes do conteúdo
matemático apenas; é enfatizada a importância da aprendizagem
compartilhada e dos grupos colaborativos para o desenvolvimento
profissional, dentre outros. (NACARATO e PAIVA, 2006, p. 24)
Reconhecemos que promover a aprendizagem é uns dos principais
objetivos do professor e da escola. Além disso, entendemos a necessidade da
participação efetiva do professor, como protagonista na construção de seu
conhecimento e de seu desenvolvimento profissional. Neste contexto,
acreditamos que pesquisar, refletir e compreender a formação do professor pode
expor vestígios de como se organiza e se constrói a teoria, as definições, os
conceitos e seus saberes com relação ao tema “análise combinatória”.
Ponte (1998) afirma que falar em formação de professores é um terrível
desafio, pois, em primeiro lugar, há vários fatores que influenciam a formação do
professor, tais como: sua formação inicial, sua formação continuada e
especializada, as teorias e investigações empíricas sobre o assunto, as
legislações e regulamentações, como também as práticas do professor e as
instituições de ensino.
Em segundo lugar, o autor caracteriza que a formação do professor é um
campo de ideologias políticas, ou seja, há diferentes grupos investigando esta
formação com distintos pontos de vista a defender. Cyrino (2006) contribui com
essa visão, afirmando que pesquisar a formação do professor é um desafio pelo
fato de ser um campo de lutas ideológicas e políticas, nos quais as pessoas
envolvidas são imperativas.
Em terceiro lugar, Ponte (1998) evidencia que a formação do professor é
um campo em que todos se consideram no direito de emitir opiniões e, desse
modo, resulta a impressão de que nunca se obtém avanços.
115
Diferentes pesquisas, com diversas abordagens e pontos de vista, têm sido
realizadas com relação à formação e ao trabalho do professor. Nesta pesquisa,
não temos a ambição de promover um estudo amplo, profundo e absoluto das
diferentes opiniões e discordâncias que se apresentam. Temos, assim, a intenção
de discutir e dialogar sobre algumas das propostas que acreditamos ser
concernentes e utilizá-las como subsídios e suporte na elaboração das entrevistas
e das análises dos resultados em nossa pesquisa, a fim de compreender melhor
os saberes do professor do Ensino Médio com relação ao ensino dos conceitos
relativos à análise combinatória.
3.4.1
F
ORMAÇÃO
I
NICIAL DE
P
ROFESSORES
Ao observar as experiências de vida como fundamentais para o
desenvolvimento humano, Cortella (2006) apresenta a seguinte reflexão:
“Seres
humanos nascem incompletos, não prontos, e vão se aperfeiçoando ao longo da
vida”
. Assim, por esse ponto de vista, nos damos a liberdade de parafraseá-lo
apresentando a seguinte analogia:
o professor gradua-se incompleto, não pronto,
e vai se formando ao longo de sua docência.
Entendemos que a formação do
professor deva ser vista como um processo não linear e contínuo, para que este
possa tornar-se, efetivamente, agente de mudanças no campo educativo.
Tardif (2002) evidencia a importância ao observar a formação do professor
como um processo contínuo. Neste contexto, o autor observa que os saberes do
professor são temporais, ou seja, reconstroem-se e modificam-se no decorrer de
sua história. Por esse ponto de vista, Tardif (2002) defende que o futuro
professor, antes mesmo de ensinar, viveu, aproximadamente, 16 anos de sua
vida, em salas de aula e nas escolas, ou seja, em seu futuro local de trabalho.
Desse modo, segundo o autor, essa imersão e convivência tornam-se
necessariamente formadoras.
Em suma, antes mesmo de começarem a ensinar oficialmente, os
professores já sabem, de muitas maneiras, o que é o ensino por causa
de toda a sua história escolar anterior. Além disso, muitas pesquisas
mostram que esse saber herdado da experiência escolar anterior é muito
forte, que ele persiste através do tempo e que a formação universitária
não consegue transformá-lo nem muito menos abalá-lo. (TARDIF, 2002,
p. 20)
116
Nesse contexto, assumindo, como estabelece Tardif (2002), os saberes
docentes como temporais, podemos observar a formação inicial do professor de
Matemática como um processo contínuo, que se principia desde o momento em
que ele é introduzido no sistema educativo escolar. Concordando com essa
perspectiva, Cyrino destaca que:
[...] é preciso considerar que a formação do professor de matemática não
se inicia no momento em que ele é admitido num curso de licenciatura
em matemática, pois ele tem contato com aspectos que caracterizam a
profissão docente muito antes de iniciar o curso de licenciatura, em toda
a sua formação. (CYRINO, 2006, p. 78)
Reconhecemos a importância de levar em consideração as características
culturais, como também o contexto nos quais se desenvolveram e desenvolvem
os conhecimentos do futuro professor de Matemática, pois estes elementos
mostram-se substanciais e integrantes de sua história e são fatores que podem
contribuir e influenciar em sua formação.
Por essa ótica, no que diz respeito à análise combinatória, Costa (2003),
em sua pesquisa observou que o professor privilegia o uso excessivo de fórmulas
e técnicas na resolução de problemas. Segundo o autor, isso se mostra como o
resultado da formação acadêmica que ele recebeu, na qual o professor mostra
que possui, apenas, uma visão padronizada e formalizada em relação aos
conteúdos referentes à análise combinatória.
Por outro lado, Costa (2003) relata, também, que as dificuldades
apresentadas pelos alunos do Ensino Médio e Fundamental – resultados de
pesquisas anteriores realizadas por Esteves (2001) e Batanero et al. (1996) – são
semelhantes às respostas dadas pelos professores por eles pesquisados.
Assim sendo, com relação ao ensino de análise combinatória, poderíamos
conjecturar que o professor, por não vivenciar um aprendizado contextualizado e
significativo dos conceitos em sua formação – tanto a formação vivenciada na
escola básica como também a formação acadêmica no curso de licenciatura –
apresenta dificuldades para abordar o tema em suas aulas, como evidenciado por
Costa (2003) em sua pesquisa.
117
Portanto, acreditamos que pesquisar e entender como se estruturam os
saberes do professor em relação à análise combinatória, poderá nos fornecer
vestígios de suas dificuldades, convicções e opiniões e entender de que maneira
o professor percebe a importância e o modo de como abordar os conceitos de
análise combinatória na escola básica.
Tardif (2002) salienta que conhecer os conceitos da disciplina ministrada
não garante, efetivamente, condições que assegurem a aprendizagem dos
conhecimentos pelos alunos. Segundo o autor, conhecer bem a matéria que se
deve ensinar é apenas uma condição necessária e não suficiente do trabalho
pedagógico.
Sob essa ótica, Ponte (2002) caracteriza que os cursos de formação inicial
de professores de Matemática não podem evidenciar, apenas, os conceitos e
definições matemáticas. Necessitam, também, priorizar, igualmente, as relações
entre os diferentes temas, desenvolver um tratamento histórico e epistemológico
dos conceitos e construir um conhecimento pedagógico e didático amplo e
diversificado, sublinhando, assim, aspectos que caracterizam mais fortemente a
identidade desses cursos. Segundo o autor, constrói-se um terreno mais
adequado e propício para que os conhecimentos pedagógicos e didáticos do
professor permeiem os conceitos e definições matemáticas.
Paiva (2006) contribui com essa visão, afirmando que na formação inicial
do futuro professor de Matemática deve-se priorizar um conhecimento amplo e
diversificado. Assim, os conceitos serão estudados sob vários enfoques, aliados
aos aspectos epistemológicos e históricos de seu desenvolvimento. Desse modo,
o professor de Matemática além de ter um domínio dos conceitos a serem
ensinados, também, terá habilidade de articulá-los.
Sob essa mesma perspectiva Pires et al. (2006) contribuem declarando a
importância de um tratamento pedagógico e histórico em relação aos
conhecimentos matemáticos do futuro professor.
Entendemos que, sendo concebidos como cursos de formação inicial em
Educação Matemática, os cursos de licenciatura devem apoiar-se em
conhecimento matemático visceralmente vinculado ao tratamento
pedagógico e histórico. Desse modo, conteúdos que deverão ser
explorados pelos futuros professores na educação básica precisam ser
118
trabalhados na licenciatura, ainda que sejam “conhecidos” pelos
licenciandos em sua vivência como alunos dos ensinos fundamental e
médio, uma vez que é necessário um aprofundamento, seja em seus
aspectos epistemológicos, históricos, em suas articulações com outros
conteúdos matemáticos em outras disciplinas educacionais e de seu
papel na formação dos alunos. (PIRES et al., 2006, p. 131)
Com relação às diferentes disciplinas estudadas no curso de licenciatura
de Matemática, Batanero et al. (1996) desenvolveram uma pesquisa, na qual
entrevistaram 22 professores formados e 14 alunos que cursavam a graduação
em licenciatura em Matemática, com o objetivo de pesquisar a vivência e opinião
desses professores e dos futuros docentes, com relação à disciplina “análise
combinatória” estudada no curso de graduação.
Os autores relatam que entre as diferentes disciplinas que integram o curso
de graduação e que fazem parte da proposta do programa oficial, os participantes
da pesquisa consideraram o estudo de análise combinatória como o mais difícil.
Para Batanero et al. (1996), a identificação das operações combinatórias
baseadas nos enunciados dos problemas e nas propriedades dos números
binomiais foram qualificadas pelos pesquisados, como os temas mais difíceis
abordados no curso de licenciatura.
Em sua pesquisa com alunos do Ensino Fundamental, Esteves (2001),
também, identificou dificuldades semelhantes em alunos da 8
a
série com relação
à interpretação dos enunciados de problemas que envolviam a análise
combinatória.
Assim, acreditamos que esse contexto contribui, explica, como também
justifica, mais uma vez, as razões que nos levam a pesquisar os saberes do
professor em relação ao ensino de análise combinatória.
Com relação ao papel da didática na formação do professor de
Matemática, Varizo (2006) afirma que a didática da Matemática é, sem dúvida
alguma, a pedra basilar de sua formação. Sob essa ótica, argumenta:
Assim, essa disciplina deve oferecer ao professor os saberes teóricos e
práticos próprios de um conhecimento interdisciplinar, compreendendo
como interdisciplinaridade a articulação que se deve fazer entre o
conhecimento matemático acadêmico e os conhecimentos socioculturais,
filosóficos, psicológicos, pedagógicos, históricos, antropológicos e
tecnológicos, voltados para o ensinar e aprender matemática. (VARIZO,
2006, p. 55)
119
Ponte (1994) relata que a didática deve mobilizar reflexões sobre a prática
pedagógica, ressaltando a natureza das atividades de aprendizagem e sua
articulação com os objetivos no ensino da disciplina. Desta forma, o autor
evidencia o papel do professor como agente direto na ação educativa. Para esse
autor:
A didática, longe de se reduzir a um mero repositório de métodos e
técnicas de ensino, constitui o enquadramento teórico fundamental em
que se situam os quadros de referência de ação do professor. Toda a
sua atuação com os alunos pressupõe uma perspectiva didática,
explícita ou implícita. É a partir dela que cada professor seleciona
objetivos, organiza atividades, formula critérios de avaliação, determina
procedimentos de atuação para cada tipo de circunstâncias. (PONTE,
1994, p. 9)
Nesse mesmo sentido, Varizo (2006) argumenta que a didática da
Matemática não pode ser uma disciplina isolada e ministrada, apenas, no final dos
cursos de licenciatura, ou seja, a didática deve apropriar-se de um espaço próprio
e valoroso na formação inicial do professor, sendo observada, também, pelo
licenciando, como um conhecimento científico e significativo em sua formação.
Acreditamos na necessidade de uma relação de “simbiose” entre os
conceitos matemáticos e os conhecimentos didáticos do professor. Apoiamo-nos
em Ponte (1999), que considera o professor como um profissional multifacetado,
pois ele deve assumir competências em diversos domínios, ou seja, não basta
apenas possuir conhecimentos em sua área disciplinar ou ter um bom
relacionamento com os alunos ou, ainda, dominar algumas técnicas de ensino. A
atividade do professor requer uma combinação de conhecimentos científicos e
acadêmicos, como também conhecimentos de ordem educacional.
Um professor tem de ter conhecimentos na sua área de
especialidade e
conhecimentos e competências de índole educacional. Tem de ser capaz
de conceber projetos e artefatos — nomeadamente, aulas e materiais de
ensino. Tem de ser capaz de identificar e diagnosticar problemas —
tanto problemas de aprendizagem de alunos e grupos de alunos, como
problemas organizacionais e de inserção da escola na comunidade. A
atividade do professor requer uma combinação de conhecimentos
científicos e acadêmicos de base na sua especialidade com
conhecimentos de ordem educacional. (PONTE, 1999, p. 13-14)
Nesta perspectiva, o autor mostra que a didática não deve assumir um
caráter de cunho estritamente normativo, deve desempenhar o papel de
ferramenta conceitual para a análise de situações de ensino e aprendizagem.
120
Assim, deste modo, constitui um domínio de teorização, investigação empírica e
reflexão sobre os objetivos, métodos e conteúdos do saber escolar, como também
sobre a dinâmica do processo de ensino e aprendizagem.
Mizukami (2006) evidencia que a formação inicial apresenta funções e
limites bem circunscritos, mas constitui um espaço, no qual o futuro professor
deve ter a possibilidade de compreender e comprometer-se com a aprendizagem,
como um processo que se desenvolverá ao longo de toda sua vida profissional.
Assim, argumenta:
Para tanto (a formação inicial), deve oferecer aos futuros professores
uma sólida formação teórico-prática que alavanque e alimente processos
de aprendizagem e desenvolvimento profissional ao longo de sua
trajetória docente. [...]. É função da formação inicial ajudar os futuros
professores a compreender esse processo e a conceberem a profissão
não reduzida ao domínio de conceitos de uma área específica, [...] é uma
procura constante de formas de melhoria de sua prática pedagógica em
relação a populações específicas com as quais interage. (MIZUKAMI,
2006, p. 216)
Diante das ideias e argumentos expostos, entendemos que os cursos de
formação inicial de professores de Matemática necessitam, por um lado,
proporcionar a construção do conhecimento matemático, oportunizando um
aprofundamento nas diversas áreas da Matemática (resolução de problemas,
trabalhos investigativos, modelagem matemática, abordagem histórica, etc.),
como também construir as relações, propriedades e significados dos objetos
matemáticos.
Assim, com relação ao tema análise combinatória, acreditamos que os
cursos de licenciatura em Matemática têm a necessidade de abordar, discutir e
construir os objetos matemáticos que envolvem a análise combinatória e que
constituem o
saber,
como o
saber-fazer
(os dois blocos da organização
praxeológica), tais como: o Princípio Fundamental da Contagem, a árvore de
possibilidades, a permutação, o arranjo, a combinação, o princípio da inclusão e
exclusão e os números binomiais, como também consideramos de igual
importância articular esses conceitos com discussões e debates que
compreendam a epistemologia, a historicidade e a forma de como esses
conceitos poderão ser abordados nas aulas de Matemática do Ensino
Fundamental e Médio.
121
Santos (2005) argumenta que os conteúdos relacionados ao bloco,
Tratamento da Informação, nos quais a análise combinatória está inserida,
necessitam ser trabalhados com base em atividades que proponham aos alunos
dos cursos de licenciatura discussões centradas em pesquisas e propostas
curriculares.
Além disso, o autor evidencia que os cursos de licenciatura devem priorizar
um ensino baseado em processos de investigações, utilizando-se da resolução de
problemas, ou seja, oferecer disciplinas que possam subsidiar o estudante de
licenciatura em Matemática a compreender e lidar bem com sua futura realidade,
ou seja, a sala de aula.
Por outro lado, acreditamos que as disciplinas vinculadas à área da
Educação Matemática devem permear e favorecer a formação do futuro
profissional evitando, desta forma, ser apenas um apêndice curricular no curso de
licenciatura. Desse modo, estas disciplinas terão, de fato, objetivos que garantirão
discussões, análises e construção do saber pedagógico-disciplinar em
Matemática favorecendo, ao licenciando, uma visão ampla e consistente do papel
do professor.
3.4.2
D
ESENVOLVIMENTO
P
ROFISSIONAL
Entendemos o professor como um profissional cada vez mais distante da
atribuição de um executor de regras preestabelecidas ou de um técnico
especialista em um determinado conjunto de procedimentos. Assim, acreditamos
que o professor seja um profissional que reflita, investigue e construa seu saber,
tendo, desta forma, uma atitude ativa em suas ações na sala de aula, como
também no planejamento dessas ações.
Por essa perspectiva, Tardif (2002) propõe considerar o professor como um
sujeito que possui, utiliza e produz saberes específicos a seu próprio trabalho.
Segundo o autor, os professores de profissão possuem saberes específicos que
são mobilizados, utilizados e produzidos por eles no âmbito de suas tarefas
cotidianas.
122
Ferreira (2006) considera o professor como sujeito produtor de saber e
destaca a importância de entender o desenvolvimento profissional do professor,
como um processo que se dá ao longo de toda sua experiência docente, não
ocorrendo de forma linear nem possuindo uma duração preestabelecida. A autora
destaca, também, que as características do indivíduo, sua personalidade, sua
motivação para mudar, pressões sociais, cognição, etc. têm, também, importantes
impactos sobre o processo de desenvolvimento profissional.
Por outro lado, com relação às pesquisas realizadas recentemente sobre a
formação e experiências profissionais do professor, Ferreira (2006) aponta que a
parceria entre a universidade e a escola pode ser vista como um caminho fecundo
e viável para uma mudança significativa no ensino e na prática da Matemática em
todos os níveis.
Nesse sentido, Ferreira (2006) aponta como fecunda a parceria entre a
universidade e a escola. Entendemos que podemos caracterizar nosso grupo de
pesquisa PEA-MAT, no qual este trabalho está inserido, como uma profícua
parceria, pois há 10 anos esse grupo desenvolve projetos de formação
continuada de professores em parceria com escolas públicas do Estado de São
Paulo e a universidade.
Pretendemos com este trabalho de pesquisa, colaborar na formação dos
professores participantes do grupo com relação aos conceitos que permeiam o
ensino de análise combinatória, como também entender, com mais clareza, os
saberes docentes que envolvem o tema.
Ainda com relação à formação do professor, Ponte (1998) salienta que
essa formação pode ser encarada de um modo mais amplo. Segundo o autor, a
formação não precisa estar subordinada a uma lógica de transmissão de um
conjunto de conhecimentos.
Para Ponte (1998) os conhecimentos e competências adquiridos pelo
professor durante sua escolarização tornam-se, em muitos casos, insuficientes
para o exercício de suas funções, pois, segundo ele, a sociedade está em
constante mudança e, desta forma, estas alterações impõem à escola e, por
consequência, ao professor, responsabilidades cada vez mais complexas.
123
Neste contexto, observamos a escola inserida em um mundo caracterizado
por mudanças contínuas, como citado por Ponte (1998) e, por outro lado, o
professor sendo um importante elemento responsável pela construção do
conhecimento no ambiente escolar. Entendemos que se torna cada vez mais
evidente a necessidade e a precisão na formação do professor, de um
desenvolvimento profissional contínuo por toda sua carreira docente. Ainda,
segundo Ponte (1998), o desenvolvimento profissional pode ser visto, como uma
capacitação do professor para o exercício de sua atividade profissional,
envolvendo um processo de múltiplas etapas e que, em última análise, está
sempre incompleto.
Nacarato et al. (2006) citando Ferreira (2003) entendem que se
desenvolver profissionalmente pode ser entendido como aprender e caminhar
para mudanças, ou seja, ampliar, aprofundar e reconstruir os próprios saberes e
práticas. Dessa forma, os conceitos de aprendizagem, mudanças e
desenvolvimento profissional encontram-se entrelaçados.
Com relação ao desenvolvimento profissional do professor, Tardif (2002)
evidencia a importância de incorporar a prática profissional à formação do
professor, a fim de produzir conhecimento e competências. Neste contexto, o
autor pontua:
[...] ela (a prática profissional) constitui um lugar de aprendizagem
autônomo e imprescindível. Lugar tradicional de mobilização de saberes
e de competências específicas, a prática é considerada uma instância de
produção desses mesmos saberes e competências; ao incorporar uma
parte da formação, a prática torna-se, enfim, um espaço de comunicação
e de transmissão desses saberes e competências. (TARDIF, 2002, p.
288)
Corroborando com esta visão, Marinque e André (2006), citando Charlot
(2000) afirmam:
[...] a ideia de saber implica a de sujeito, de atividade do sujeito, de
relação do sujeito com ele mesmo (deve desfazer-se do dogmatismo
subjetivo), de relação desse sujeito com os outros (que co-constroem,
controlam, validam, partilham esse saber). Essa maneira de considerar o
saber permite que se explicite o seu caráter dinâmico e em constante
transformação. (CHARLOT, 2000, apud MARINQUE, ANDRÉ, 2006, p.
139)
124
Assim, acreditamos que o professor ao longo de sua carreira, deve tomar
sempre uma postura de aprendiz e investigador, acompanhando, dessa forma, as
mudanças sociais, tecnológicas e as evoluções que o ambiente escolar possa
apresentar. Ponte (1998) afirma que o desenvolvimento profissional ao longo de
toda carreira é um aspecto marcante da vida docente e, além disso, o autor afirma
que essa postura de investimento na carreira docente deva ser de inteira
responsabilidade do professor.
[...] o desenvolvimento profissional de cada professor é algo que é da
sua inteira e total responsabilidade. Investir na profissão, agir de modo
responsável, definir metas para o seu progresso, fazer balanços sobre o
percurso realizado, refletir com regularidade sobre a sua prática, não
fugir às questões incômodas, mas enfrentá-las de frente, são atitudes
que importa valorizar. Estas atitudes podem ser mais ou menos
favorecidas pelo contexto exterior, mas, mesmo nas condições mais
difíceis, estão sempre ao alcance de todo o professor. (PONTE, 1998, p.
10-11)
Contribuindo neste aspecto da autonomia e responsabilidade do professor
em relação a seu desenvolvimento pessoal, Marinque e André (2006) defendem a
necessidade do docente investir pessoalmente nas próprias ações, como
também, nas do outro, para que haja interferência no processo de aprendizagem,
assim, a relação com o saber envolverá sentidos e valores, atribuídos – pelo
professor que aprende – ao saber, ao mundo e a si próprio.
Freire (1996) também evidencia o papel e a postura do professor, como
responsável permanente pela sua formação. O autor destaca o
“inacabamento”
e
“inconclusão”
do ser humano, como sendo próprio da experiência vital, assim, por
esse viés, salienta que, na formação permanente do professor, o momento
fundamental é o da reflexão crítica sobre a prática, ou seja, é pensando
criticamente a prática de hoje ou de ontem, que se pode melhorar a próxima
prática.
Assim sendo, ao analisar a formação do professor como um processo
contínuo e intrínseco de sua vida docente, entendemos que o projeto de formação
desenvolvido em nosso grupo de pesquisa, PEA-MAT, corrobora neste aspecto,
pois, existem professores inseridos no projeto desde seu início, em 1999.
Valorizando a reflexão, a discussão, as experiências das práticas docentes de
cada um e as relações entre os sujeitos participantes do grupo, o projeto de
125
pesquisa denominado:
Processo de ensino aprendizagem envolvendo raciocínio
estatístico e probabilístico,
visa à formação docente, validando, partilhando e
reconstruindo seus saberes, tornando, dessa forma, esse processo dinâmico e
em constante transformação.
Inclui-se nesse projeto a vertente para o desenvolvimento do raciocínio
combinatório, do qual nosso trabalho é parte e que ainda não entrou em fase de
discussão e desenvolvimento como os professores participantes.
Desse modo, o produto do processo de formação contínua pode ser
observado, mais amplamente, sob dois vieses: um deles está diretamente ligado
à formação do professor participante, e outro que poderia ser caracterizado como
consequência do primeiro, ou seja, uma mudança efetiva, substancial e valorosa
na prática docente desse professor.
Na presente pesquisa, pretendemos corroborar na preparação e
planejamento das atividades desse projeto e, como consequência, na formação
dos professores participantes para o tema “análise combinatória”. Vale salientar
que as poucas referências na área, citadas em nosso capítulo 1, atestam para a
relevância desse trabalho.
Para finalizar, entendemos que o professor deva assumir o papel judicioso
e responsável em relação a seu desenvolvimento profissional, assim sendo,
torna-se importante assumir iniciativas, participar de projetos e a todo o momento
avaliar sua prática docente, ou seja, assumir o papel de sujeito no processo
formativo.
Por outro lado, neste contexto, as universidades como agentes produtores
de pesquisa e, por consequência, de saberes, como citado por Tardif (2002),
podem assumir o papel de interlocutores entre essas pesquisas e o professor.
Dessa forma, a instituição universitária assume o papel de coparticipante e
parceiro, ou seja, facilitador e norteador no processo formativo e contínuo da vida
e prática docente do professor.
126
3.4.3
S
ABERES
D
OCENTES
No decorrer deste trabalho de pesquisa, deparamo-nos com a discussão a
respeito dos saberes docentes, como também de que forma esses saberes
podem influenciar a prática do professor. Assim, percebemos a necessidade de
estudar e compreender, de forma mais estruturada e coesa, os saberes que
apoiam e influenciam a prática do professor na realização de seu trabalho em sala
de aula.
Neste trabalho, não temos a intenção de esgotar ou aprofundar de forma
absoluta os diferentes entendimentos que possam existir sobre os saberes do
professor. Nosso intento qualifica-se em alicerçar, entender e argumentar, de
forma ampla e coerente, as relações que existem entre os saberes do professor e
sua prática docente, com o objetivo de entender melhor, como esses saberes
permeiam a ação do professor no processo de construção dos conceitos de
análise combinatória nas aulas de Matemática.
Desse modo, tomaremos como linha delineadora e balizadora as
proposições e pesquisas de Tardif (2002), pois entender a natureza dos saberes
docentes, sua importância, como são adquiridos e qual a relação desses saberes
com a prática docente são aspectos importantes para entender a formação e a
prática do professor.
Tardif (2002) considera que saber alguma coisa não é mais suficiente, é
preciso, também, saber ensinar. O saber transmitido não possui, em si mesmo,
nenhum valor formador, somente a atividade de transmissão que lhe confere esse
valor.
Shulman (2005) destaca a importância do saber ensinar, para ele, o
processo de ensino inicia-se necessariamente em uma circunstância, na qual o
professor compreende aquilo que se deve aprender e como se deve ensinar.
Desse modo, o ensino pode ser entendido como algo mais do que, apenas, o
aumento da compreensão de um determinado tema.
Tardif (2002) inicia suas considerações observando que o saber do
professor está relacionado com a pessoa e sua identidade, com sua experiência
127
de vida e história profissional, com suas relações com os alunos e os demais
atores escolares. Desse modo, para compreendermos esses saberes, temos de
relacioná-los com esses elementos constitutivos do trabalho docente.
Portanto, o saber dos professores não é o “foro íntimo” povoado de
representações mentais, mas um saber sempre ligado a uma situação de
trabalho com outros (alunos, colegas, pais, etc.), um saber ancorado
numa tarefa complexa (ensinar), situado num espaço de trabalho (a sala
de aula, a escola), enraizado numa instituição e numa sociedade.
(TARDIF, 2002, p. 15)
Nessa perspectiva, o autor evidencia que as relações do professor com os
saberes não são exclusivamente cognitivas, ou seja, não estão apenas atreladas
a representações e processos mentais, mas são, também, uma confluência de
vários saberes, oriundos da sociedade, das instituições escolares, dos outros
atores educacionais, das universidades, etc. Desse modo, Tardif (2002)
argumenta que, ao se falar dos saberes do professor, é necessário, também,
levar em consideração o que eles nos dizem a respeito de suas relações sociais
com esses grupos, instâncias, organizações, etc.
Neste contexto, o autor define os saberes docentes, como um saber plural
e temporal, ou seja, um saber oriundo, permeado e amalgamado por saberes
desenvolvidos durante toda a formação profissional, como também por saberes
provenientes das relações sociais vivenciadas pelos professores.
Com o objetivo de caracterizar, distinguir e estruturar os saberes docentes,
Tardif (2002) categoriza-os em:
Saberes da formação profissional (das ciências da educação e da ideologia
pedagógica):
Estes saberes são caracterizados pelo conjunto de saberes
transmitidos pelas instituições de formação de professores, ou seja, os saberes
enraizados nas ciências da educação. O autor salienta que as ciências da
educação não se limitam, apenas, a produzir conhecimentos, mas procuram,
também, incorporá-los à prática do professor, assim, esses saberes transformam-
se em saberes destinados à formação científica ou erudita do professor. Vale
salientar que Tardif (2002) afirma que usual e concretamente isso se dá por meio
dos programas de formação inicial ou contínua do professor.
128
Saberes disciplinares
: são os que correspondem aos diversos campos do
conhecimento. Frequentemente, nas universidades, vemos esses saberes
integrados e organizados na forma de disciplinas, como por exemplo, Matemática,
História, Literatura, etc..
Normalmente são oferecidos pelos departamentos das universidades e,
costumeiramente, caracterizam-se por não apresentarem vínculos com a
Faculdade de Educação e os cursos de formação de professores, ou seja,
apresentam-se de forma independente. Esses saberes, usualmente, integram-se
à prática docente por meio da formação inicial e contínua dos professores nas
diversas disciplinas oferecidas pelas universidades.
Neste contexto, não podemos esquecer que as Diretrizes Curriculares para
a Formação de Professor estão trazendo contribuições com o objetivo de construir
vínculos mais vigorosos entre a Faculdade de Educação e as disciplinas
vinculadas ao campo do conhecimento específico; por outro lado, observamos
que as pesquisas desenvolvidas na área da Educação Matemática, como também
na área da Educação mostram que esses vínculos estão se tornando cada vez
mais estreitos e amalgamados.
Saberes curriculares:
Para Tardif (2002), esses saberes correspondem aos
discursos, objetivos, conteúdos e métodos a partir dos quais a instituição escolar
categoriza e apresenta os saberes sociais por ela definidos e selecionados, como
modelos de cultura erudita. Assim, apresentam-se concretamente sob a forma de
programas escolares (objetivos, conteúdos, métodos) que os professores
apropriam-se, compreendem e aplicam.
Sob nosso ponto de vista, as propostas curriculares apresentadas por
órgãos públicos institucionais (por exemplo, os Parâmetros Curriculares Nacionais
ou a Proposta Curricular dos Estados), o próprio livro didático, como também as
diferentes propostas de abordagens metodológicas apresentadas,
frequentemente, por Secretarias de Educação, podem ser entendidas e
caracterizadas, segundo este ponto de vista em saberes curriculares.
Ainda com relação aos saberes disciplinares e curriculares, Tardif (2002)
observa que o professor não é responsável pela definição nem pela seleção dos
129
saberes que a escola e a universidade transmitem. Assim, o vínculo que o
professor estabelece com esses saberes manifesta-se, como uma relação de
exterioridade, ou seja, as universidades assumem a tarefa de produção e de
legitimação dos saberes científicos e pedagógicos, ao passo que o papel do
professor compete, prioritariamente, apropriar-se e utilizar-se desses saberes no
decorrer de sua formação.
Por outro lado, contradizendo, em parte, as observações de Tardif (2002),
acreditamos que o professor seja, efetivamente, o responsável pelo saber
transmitido, como também pela seleção dos saberes que serão trabalhados na
sala de aula.
Justificamos esta afirmação assumindo o ponto de vista de Chevallard
(1991), no qual o autor mostra que o responsável pela Transposição Didática, ou
seja, as escolhas dos conteúdos escolares, como também os recursos didáticos
adotados são atribuições e escolhas feitas pelo professor, em sua última etapa do
ensino, ou seja, a sala de aula.
Saberes experienciais:
Tardif (2002) entende estes saberes como o
conjunto de saberes atualizados, adquiridos e necessários no âmbito da prática
da profissão docente e que não provêm das instituições de formação nem dos
currículos. Segundo o autor, o professor, em sua prática profissional, desenvolve
saberes específicos baseados em seu trabalho cotidiano, como também no
conhecimento do meio, ou seja, nas relações que envolvem o trabalho docente.
Assim, o autor designa esses saberes como experienciais.
Estes saberes não se encontram sistematizados em doutrinas ou teorias.
São saberes práticos (e não da prática: eles não se superpõem à prática
para melhor conhecê-la, mas se integram a ela e dela são partes
constituintes enquanto prática docente) e formam um conjunto de
representações a partir das quais os professores interpretam,
compreendem e orientam sua profissão e sua prática cotidiana em todas
as suas dimensões. (TARDIF, 2002, p. 49).
Tardif (2002) pontua que esses saberes originam-se da experiência
docente e, desta forma, são validados pela própria prática do professor. Assim,
incorporam-se às experiências individuais, como também coletivas dos
professores, sob a forma de habilidades, ou seja, esses saberes são aqueles
práticos que se relacionam ao “saber-fazer” e ao “saber-ser” do professor.
130
Assim sendo, constroem-se por meio das relações com os pares, como
também pelos confrontos entre os diferentes saberes produzidos pela experiência
coletiva do professor. Desta forma, esses saberes adquirem certa objetividade.
Por essa visão, segundo o autor, o docente não é apenas um prático, mas
também um formador que atua em uma rede de interações com outras pessoas.
Nesse sentido, a prática pode ser vista como um processo de
aprendizagem através do qual os professores retraduzem sua formação
e a adaptam à profissão [...]. A experiência provoca, assim, um efeito de
retomada crítica (retroalimentação) dos saberes adquiridos antes ou fora
da prática profissional. Ela filtra e seleciona os outros saberes,
permitindo assim aos professores reverem seus saberes, julgá-los e
avaliá-los e, portanto, objetivar um saber formado de todos os saberes
retraduzidos e submetidos ao processo de validação constituído pela
prática cotidiana. (TARDIF, 2002, p. 53)
Nesse contexto, segundo Tardif (2002) podemos entender que os saberes
experienciais não podem ser caracterizados como os demais saberes, pois se
apresentam de forma heterogênea, formados por todos os demais saberes, mas
retraduzidos, “polidos” e submetidos às certezas construídas na prática e na
experiência docente. Desta forma, os saberes experienciais podem ser
caracterizados como o núcleo vital do saber docente.
Portanto, acreditamos que podemos remeter o professor, como o
profissional que apresenta a capacidade de dominar, integrar e mobilizar os
diferentes saberes descritos, objetivando sua prática docente. Entendemos que a
prática docente não pode ser vista, como um processo técnico, simples,
espontâneo e “prosaico” mas sim como um processo dificultoso, complexo e
singular, ou seja, um processo não só informativo, mas permeado por relações
entre teorias e práticas profissionais.
Tardif (2002) pontua que o saber não pode ser visto, como uma
propriedade inerente, que é capaz de caracterizar e adjetivar as capacidades
cognitivas do indivíduo, como também não é possível observar esses saberes,
como simples organizadores ou “agenciadores pedagógicos” do sujeito. Nessa
perspectiva, as competências profissionais dos professores estão diretamente
ligadas às suas capacidades de racionalizar sua própria prática, de criticá-la,
revisá-la, objetivá-la, buscando fundamentá-la em razões sociais,
131
Finalizando, segundo este autor o professor não é somente o indivíduo que
aplica conhecimentos produzidos por outros, ele pode ser caracterizado como um
sujeito que assume sua prática com base nos significados que ele mesmo
constrói, ou seja, um indivíduo que possui conhecimento e um saber-fazer
provenientes de sua própria atividade, a partir das quais ele a utiliza para
estruturá-la, organizá-la e orientá-la, objetivando sua prática docente.
Assim sendo, pesquisas sobre o ensino podem registrar o ponto de vista do
professor, ou seja, registrar sua subjetividade, seus conhecimentos e saberes e
como esses saberes estruturam-se e são utilizados em sua prática docente
cotidiana, empregando de um diálogo fecundo com os professores. Observando
esse ponto de vista, concordamos com Tardif (2002) e pretendemos com esta
pesquisa utilizar-se das entrevistas, como meio de “diálogo fecundo”, a fim de
compreender como os saberes do professor interferem, organizam e estruturam o
ensino dos conceitos de análise combinatória nas aulas de Matemática.
132
As Ciências precisam servir às pessoas e a organização da
escola deve visar ao desenvolvimento das competências pessoais.
As Ciências não são um fim em si mesmo, nem são um obstáculo ao
desenvolvimento pessoal, mas precisam ser consideradas na
perspectiva de meios para instrumentar as ações, na busca da
realização de nossos projetos, pessoais e coletivos. E é nessa
perspectiva que as escolas precisam organizar-se, reestruturando
seus tempos e seus espaços. (MACHADO, 2009, p. 17).
133
4 ANÁLISE DAS ENTREVISTAS
Entendemos que o desenvolvimento de uma pesquisa não se apresenta de
forma linear nem tão pouco se constrói de forma espontânea, contínua e imediata,
ou seja, a pesquisa desenvolve-se como o resultado de um processo de
maturação, discussão, reformulação e de apuração constante.
Neste contexto, percebemos que as entrevistas que analisaremos neste
capítulo organizaram-se e aprimoraram-se com base na aplicação e avaliação da
entrevista piloto, que nos apresentou contribuições que alicerçaram e delinearam
o processo de desenvolvimento e maturação da entrevista que utilizamos na
pesquisa.
Assim sendo, acreditamos que o papel da entrevista piloto, em nosso
trabalho, tenha auxiliado na organização, pertinência e análise das questões,
como também na discussão de uma avaliação ponderada e crítica em relação ao
papel do entrevistador no processo investigativo e em compreendermos, com
mais clareza, como os campos teóricos, delimitados no trabalho, auxiliarão e
subsidiarão as análises dos resultados que observamos.
Portanto, no contexto delineado, podemos pontuar que a realização da
entrevista piloto revelou que:
Encontrar professores que aceitem participar de uma pesquisa
acadêmica não é uma tarefa imediata e fácil. Observamos que parte dos
professores convidados a participar e colaborar com a pesquisa, não
aceitou o convite, alegando falta de tempo ou justificando não possuír
dados relevantes que pudessem colaborar com o trabalho.
134
A postura do entrevistador pode influenciar as respostas do entrevistado
e, desse modo, as informações colhidas na entrevista estarão
“contaminadas” pelo ponto de vista do entrevistador. Foi possível
observar essa conduta no momento da análise da entrevista piloto.
Estas observações atentaram-nos para o fato de termos mais acuidade
e atenção quanto à postura do entrevistador no processo da pesquisa.
Algumas questões que constituíam a entrevista piloto, mostraram-se
desfocadas em relação à questão de pesquisa que pretendíamos
responder; por outro lado, alguns pontos que necessitavam ser
abordados não faziam parte do corpo da entrevista. Desse modo,
avaliamos e discutimos a pertinência de cada questão, reformulando
algumas e inserindo outras.
Como consequência dos resultados obtidos na análise da entrevista piloto,
optamos, primeiramente, por reorganizar as questões que constituíam a
entrevista, tendo como objetivo responder nossa questão de pesquisa. Além
disso, refletimos e discutimos sobre o papel do entrevistador com o intuito de que
este não influenciasse ou “contaminasse” as respostas colhidas dos entrevistados
e, também, reestruturamos alguns pontos teóricos que avaliamos pertinentes e
importantes nas análises que iremos discutir e desenvolver.
Para finalizar, avaliamos que a entrevista piloto desempenhou seu objetivo,
pois nos proporcionou, nesta fase da pesquisa, um aprimoramento de nosso
instrumento de coleta de dados (as questões que compõem a entrevista), uma
reavaliação quanto à postura do entrevistador e um redirecionamento mais
diretivo e orientado em relação à questão que pretendíamos responder.
4.1
D
ESCRIÇÃO DOS
P
ROFESSORES PARTICIPANTES DAS
E
NTREVISTAS
Antes de iniciarmos as análises das entrevistas, entendemos ser oportuno
desenvolver uma sucinta descrição dos professores participantes com o intuito de
apresentá-los, como também caracterizá-los. Realizamos entrevistas com seis
professores, que foram escolhidos por apresentarem características distintas e
135
relevantes à nossa pesquisa, tais como, idade, tempo de magistério, nível ao qual
leciona, número de aulas semanais, rede pública e/ou privada e formação
acadêmica. Entendemos que a procura por essa heterogeneidade seja um ponto
valoroso e enriquecedor com relação às análises que iremos descrever e
desenvolver.
Vale salientar que optamos por selecionar entrevistados que lecionam ou
lecionaram o tema análise combinatória recentemente em escolas da rede pública
e/ou privada. Destacamos que dois dos participantes da pesquisa eram
licenciandos matriculados no 3º ano de licenciatura em Matemática em uma
universidade privada da cidade de São Paulo, e um deles apresentava uma larga
experiência na prática docente no Ensino Médio e em cursinhos preparatórios
para vestibulares, e o outro não possuía experiência alguma. Justificamos esse
tipo de escolha, pois acreditamos ser relevante entender como o ambiente
acadêmico universitário poderá ou não influenciar o desenvolvimento dos
saberes, como também a prática docente do futuro professor, ou seja, como os
saberes denominados por Tardif (2002) de
Saberes da Formação Profissional
poderão compor e modelar a prática docente do licenciando.
Assim sendo, iniciaremos este capítulo evidenciando particularidades
gerais do perfil dos professores participantes, como idade, tempo de experiência
profissional, número de aulas semanais, formação acadêmica, etc. Salientamos
que os nomes pelos quais designaremos os professores são fictícios, a fim de
preservar a privacidade de cada um.
Professor Abel
Abel tem 32 anos de idade e cursou o Ensino Fundamental e Médio em
escolas públicas. Durante a entrevista, ele evidenciou enfaticamente que estudou
o Ensino Médio na Escola Técnica Federal de São Paulo, e no 2º ano, teve
contato com o tema, análise combinatória.
Segundo Abel, seu professor do Ensino Médio não salientava o uso de
fórmulas nas resoluções dos problemas nem comentava a existência delas.
Assim, neste contexto, ele afirmou que teve contato com as fórmulas, apenas, no
136
momento em que começou a lecionar. Quando aluno, Abel afirma que teve muita
dificuldade para aprender análise combinatória e justificou-a pelo fato do
professor não apresentar as fórmulas, como técnicas possíveis da resolução dos
problemas. Em sua prática docente, ele afirmou que se utiliza de diferentes
técnicas para abordar a resolução de problemas de análise combinatória.
Em sua graduação, Abel formou-se em Licenciatura e Bacharelado em
Matemática por uma universidade privada há sete anos, mas afirma que não
estudou análise combinatória no período da graduação. Hoje, é mestre em
Educação Matemática, leciona há oito anos no Ensino Médio em escolas públicas
e privadas e na época em que a entrevista foi realizada, ministrava 52 aulas
semanais.
Professor Felipe
Felipe tem 27 anos, estudou o Ensino Fundamental e Médio em escolas
públicas. No 2º ano do Ensino Médio, estudou análise combinatória, utilizando-se
apenas de fórmulas nas resoluções dos problemas. Segundo Felipe, estas
resoluções envolviam, apenas, uma aplicabilidade direta de fórmulas, sendo,
portanto, necessário decorá-las.
Graduou-se em Licenciatura em Matemática por uma universidade privada
há sete anos, mas, segundo ele, iniciou sua experiência docente 2 anos antes, ou
seja, há 9 anos. No Ensino Superior, estudou análise combinatória, mas o
professor optou por apresentar as fórmulas e, em seguida, uma lista de
problemas nas quais estas eram diretamente aplicadas.
Atualmente é mestre em Educação Matemática e leciona no Ensino
Fundamental e Médio em escolas públicas do Estado de São Paulo, sua carga
horária semanal era de 27 aulas no período da entrevista.
Professor José
José tem 54 anos e leciona há 35 anos em escolas privadas e cursinhos
preparatórios para vestibulares. Em 1974, iniciou o curso de graduação em
137
engenharia em uma universidade pública de São Paulo. Segundo José, em seu
primeiro ano da graduação, começou a lecionar em cursinhos preparatórios para
o vestibular e em cursos de madureza
23
. O tempo destinado ao exercício da
prática docente fez com que desistisse do curso de engenharia. Salientou que, no
início de sua prática docente, necessitou estudar muito, a fim de preparar suas
aulas.
José estudou o Ensino Fundamental e Médio em escolas públicas.
Segundo ele, naquela época, a escola pública oferecia um estudo de qualidade,
com ótimos professores. No Ensino Médio, estudou análise combinatória, mas, o
que o marcou fortemente foram as aulas a que assistiu no cursinho preparatório
para o vestibular.
Hoje está cursando o 3º ano de Licenciatura em Matemática em uma
universidade privada de São Paulo, afirma que no curso de licenciatura estudou
análise combinatória e destaca que essas aulas ensinaram-no a ver como o erro
do aluno pode contribuir de forma positiva para a construção do conhecimento.
José pontuou que a universidade tornou-o mais humilde, o que influenciou sua
prática docente e, segundo ele, deixou-o com a “consciência pesada” pelas aulas
que ministrou no passado.
Professor Mário
Mário tem 38 anos, é formado em Administração de Empresas por uma
universidade privada e cursou Especialização em Empreendedorismo pela
mesma universidade. Hoje, trabalha em uma empresa de seguros na área de
projetos vinculados à informática. Está cursando o 3º ano de Licenciatura em
Matemática, em uma universidade privada de São Paulo no período noturno.
____________
23
Segundo o Dicionário Interativo da Educação Brasileira Madureza é o nome dado ao curso de
educação de jovens e adultos que ministrava disciplinas dos antigos ginásio e colegial, a partir da Lei de
Diretrizes e Bases da Educação (LDB), de 1961. Fixava em 16 e 19 anos as idades mínimas para o início
dos cursos, respectivamente, de Madureza Ginasial e de Madureza Colegial. A clientela dos exames de
madureza era formada, na sua maioria, de autodidatas que tentavam suprir a formação escolar dentro de
suas próprias condições de vida e de trabalho. Em 1971, o Curso de Madureza foi substituído pelo Projeto
Minerva e, posteriormente, pelo curso Supletivo. Disponível em:
<http://www.educabrasil.com.br/eb/dic/dicionario.asp?id=293> Acesso em 11 ago 2009.
138
Mário afirmou que sempre gostou da área de Educação e observou no
curso de Licenciatura em Matemática uma oportunidade de organizar e dar
significado à sua vida profissional e pessoal. Ao terminar o curso de licenciatura
pretende, em um primeiro momento, conciliar seu emprego atual com a prática
docente.
Citou que não estudou análise combinatória no Ensino Médio e salientou
que, na época, em que era aluno foi possível perceber que o professor mostrava-
se despreparado para desenvolver e ensinar vários temas. Nesse contexto, Mário
apresentou, por hipótese, que esse fato pode ter sido decisivo, para que o
professor optasse em não abordar esse tema nas aulas de Matemática.
Em sua fala, mostrou que teve contato com análise combinatória apenas
nas aulas a que assistiu no cursinho preparatório para vestibulares, no qual o
tema foi abordado de forma superficial e com aplicações diretas de fórmulas.
No Ensino Superior – Licenciatura em Matemática – ele afirma que discutiu
e aprendeu com profundidade o tema análise combinatória e salientou que seu
Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) está relacionado ao ensino de análise
combinatória no Ensino Fundamental.
Professor Raul
Raul tem 44 anos de idade e leciona há 17 anos. É formado em
Licenciatura e Bacharelado em Matemática por uma universidade privada.
Começou a lecionar logo após se formar e hoje, trabalha na rede pública e
privada, ministrando 71 aulas semanais.
Raul afirma que sempre estudou em escolas públicas, cursou o Ensino
Médio em uma Escola Técnica Estadual de São Paulo e nos 4 anos do curso,
nunca teve contato com os tópicos de análise combinatória.
Na graduação, não estudou análise combinatória; afirmou que se utilizou
do livro didático e do auxílio de colegas professores para aprender análise
combinatória.
139
Professora Rita
Rita tem 41 anos de idade, leciona desde os 16 para alunos da pré-escola
(cursou magistério no Ensino Médio). É formada em Licenciatura em Matemática,
por uma universidade privada e leciona Matemática no Ensino Fundamental e
Médio, desde 1993. Há dez anos trabalha apenas com alunos do Ensino Médio.
Nesses 16 anos de experiência como professora de Matemática, apenas
em 1993, lecionou em uma escola pública. Os demais anos trabalhou na rede
privada.
Rita afirmou que aprendeu análise combinatória no Ensino Médio,
decorando fórmulas e aplicando-as, diretamente, nas resoluções de problemas.
Em sua prática docente, pontuou que se utiliza de materiais concretos e filmes
para ensinar análise combinatória e destacou que a fórmula não é enfatizada na
resolução dos problemas, sendo desenvolvida, apenas, no final do processo.
No Ensino Superior, com relação aos tópicos de análise combinatória,
segundo Rita, repetiu-se o mesmo esquema das aulas do Ensino Médio, ou seja,
foi valorizada a aplicabilidade direta das fórmulas nas resoluções de problemas.
Atualmente, está matriculada em um curso de Pós-Graduação a distância
em Educação Matemática
Latu-Sensu
(especialização) e ministra dez aulas
semanais no Ensino Médio.
A seguir, apresentaremos um quadro resumo com o perfil dos professores
participantes da pesquisa.
140
Quadro 1: Perfil dos professores
P
ROFESSOR
I
DADE
(A
NOS
)
T
EMPO QUE
L
ECIONA
N
ÍVEL EM QUE
LECIONA
N
O
DE
A
ULAS
S
EMANAIS
R
EDE
F
ORMAÇÃO
A
BEL
32 8 anos Médio 52 aulas
Pública e
Privada
Bacharelado e
Licenciatura em
Matemática
Mestrado em Educação
Matemática
F
ELIPE
27 9 anos
Fundamental
e Médio
27 aulas Pública
Licenciatura em
Matemática
Mestrado em Educação
Matemática
J
OSÉ
54 35 anos
Fundamental
e Médio
Está na
coordenação
Privada Licenciando (3º ano)
M
ÁRIO
38
Não tem
experiência
——— ——— ——— Licenciando (3º ano)
R
AUL
44 17 anos
Fundamental
e Médio
71 aulas
Pública e
Privada
Bacharelado e
Licenciatura em
Matemática
R
ITA
41 16 anos Médio 10 aulas Privada
Licenciatura em
Matemática
4.2
A
NÁLISES
4.2.1 Influência do Ensino Médio e Superior
Entrevistador: Faça um paralelo de como e o que você aprendeu
sobre análise combinatória no Ensino Médio e na graduação e a sua prática
docente em sala de aula. Estas aulas influenciaram de alguma forma sua
prática? Descreva um pouco sobre isso. O que leva você a concluir isso?
Abel
: Não, e posso dizer isso com toda clareza, não influenciou em nada.
Tive muita dificuldade no Ensino Médio. Eu tive que reaprender. Ela influenciou
negativamente, porque eu tive um grande obstáculo a superar. Eu tive contato
com as fórmulas depois, quando eu fui ensinar porque, até então, eu não entendia
nada. Não tive análise combinatória no Ensino Superior.
141
Felipe
: Influenciou num sentido contrário. Na verdade, eu acho que o ideal
era construir um conhecimento para o aluno. Na verdade, eu acho que os
professores eram muito bons, porém para o mundo atual essas práticas não
valem mais, porque é muito mecânico, seguindo modelos, e quando o aluno
chega numa situação diferente, não sai mais nada. Acho que se deve construir
com o aluno o conhecimento. Eu tive um pouco de análise combinatória no
Ensino Superior. Foi o mesmo modelo do Ensino Médio.
José
: Olha, é difícil dizer [...] Acho que o cursinho me marcou muito [...],
então, eu não sei dizer se influenciaram ou não. Eu acho que sim, não sei
especificamente, porque eu tive bons professores, bem didáticos, tive uma
influência geral para a área de exatas.
Entrevistador: e as aulas da graduação
influenciaram?
A minha prática mudou radicalmente e eu tenho pensado muito
[...]. A professora da Faculdade sabe trabalhar muito bem com isso, a liberdade
que você tem de poder expor suas ideias, pois assim dá-se oportunidade para a
fluência do raciocínio do aluno [...]. A Universidade, sem dúvida alguma, te dá
uma liberdade ou talvez eu fiquei um pouco mais humilde em se sentar como
aluno e falar “Caramba, eu não sei..”. Eu achei que sabia muito, mas [...] percebi
que eu não sabia mais nada. É a tranquilidade de como que a professora da
Faculdade lida com o desconhecido, como uma pergunta que previamente não se
tenha preparado. Esta tranquilidade e serenidade é de alguém que sabe muito a
matéria.
Mário
: Eu tive grande defasagem em análise combinatória, em geometria
[...]. Pela falta de conhecimento do professor. [...] Então, eu não sei se era uma
insegurança por parte dele ou se realmente ele não conseguiria dar todo o
programa. Hoje, como licenciando, eu verifico que era a formação mesmo!
A professora da Faculdade colocava as situações para nós que você tinha
que usar algum conhecimento prévio de contagem ou o princípio fundamental da
contagem, para você tentar resolver a situação-problema, e aí depois ela ia
construindo e chegava a uma definição do que era uma permutação ou um
arranjo. [...] Aí o que aconteceu? Eu tive essa transição da educação básica para
142
a educação superior, tive essa defasagem, sem o conteúdo de análise
combinatória.
Raul
: Não estudei. Não estudei logaritmo, não estudei análise
combinatória. Estudei em colégio público e tem um diferencial que é pior ainda,
porque eu fiz Ensino Médio técnico. Não tive Análise Combinatória na Faculdade.
Rita
: [...] os professores não usavam que nem hoje, o concreto. Eles
usavam mais fórmula, decoreba mesmo! É decoreba mesmo, a fórmula e o
exercício. [...]
Sim, eu estudei análise combinatória na Faculdade. A professora
dava a parte de teoria para saber como chegou, né? Não muito prática, a aula
não, é mais teórica! Era mais decoreba de fórmulas. [..] o que me influenciou foi a
bagagem teórica que isso eu não tive no Ensino Médio, mas a Didática, mesmo,
eles não ensinam prá gente, né?
As falas dos entrevistados mostram situações distintas com relação à
influência do ensino de análise combinatória na formação inicial (Ensino Médio e
Superior) e a prática docente. Os professores Abel, Felipe e Rita afirmam,
enfaticamente, que a formação inicial que vivenciaram, com relação aos estudos
de análise combinatória, não influenciou a prática docente e, além disso, segundo
eles, apresentou-se como um contraexemplo a essa prática. Isso se mostra claro
na fala dos professores Abel e Felipe. O professor Raul pontua que nunca
estudou análise combinatória no Ensino Médio e Superior.
Por outro lado, os professores José e Mário apresentam um quadro distinto
em relação à formação inicial que estão vivenciando no Ensino Superior. Segundo
eles, esta formação está propiciando subsídios, como também oportunidades de
discussão em relação aos estudos de análise combinatória e um repensar com
relação à prática docente.
Mizukami (2006) evidencia que a formação inicial deve oferecer uma
formação teórico-prática que alimente e alavanque os processos de
aprendizagem e de desenvolvimento profissional. Por essa ótica, entendemos que
a fala do professor José evidencia esse desenvolvimento profissional
caracterizado por Mizukami (2006), pois, segundo ele, a experiência ao voltar
143
para a universidade fez com que se sentisse mais humilde, fazendo-o perceber o
quanto pode aprender a fim de melhorar sua prática docente.
Segundo Tardif (2002), pesquisas mostram que o saber herdado da
experiência escolar vivenciada pelos professores é muito forte, persistindo através
do tempo. E, muitas vezes, nem a formação universitária consegue transformá-lo.
Assim, com relação à influência desse saber herdado, relatado pelo autor,
entendemos que as falas dos professores Abel, Felipe e Rita não caracterizam
esse contexto, pois, segundo esses participantes a influência da formação inicial
não se mostra valorizada e, muito menos, herdada por esses professores. Eles
relataram que a formação escolar, tanto no Ensino Médio como no Superior em
relação ao tema análise combinatória, é vista e entendida como um
contraexemplo em relação às práticas docentes por eles exercidas.
Como contraponto ao apresentado pela fala dos professores Abel, Felipe e
Rita e contribuindo com essa discussão, podemos notar que os relatos dos
professores José e Mário apresentam um aspecto antagônico em relação aos
estudos de análise combinatória que estão vivenciando no Ensino Superior.
Segundo eles, essa experiência – a graduação – está contribuindo e favorecendo
na construção ou nas mudanças da prática docente (no caso do professor José).
José e Mário pontuam que essa contribuição justifica-se, pois o ambiente
universitário por eles vivenciado valoriza as discussões e a construção dos
conceitos estudados.
Logo, considerando a situação relatada pelos professores José e Mário,
concordamos com Ponte (2002), ao atentar que os cursos de formação inicial não
podem evidenciar apenas os conceitos e definições matemáticas, mas
necessitam, também, priorizar o tratamento histórico e epistemológico dos
conceitos e a construção de um conhecimento pedagógico e didático amplo e
diversificado. Desse modo, podemos conjecturar que a formação inicial – a
graduação – vivenciada e narrada pelos professores José e Mário está
contribuindo nos aspectos evidenciados por Ponte (2002).
Portanto, podemos desenvolver a hipótese de que a formação inicial do
professor poderá influenciar de forma fecunda sua prática docente, desde que,
essa formação contribua, efetivamente, no desenvolvimento de relações entre os
144
temas matemáticos e os conhecimentos pedagógicos e didáticos. Assim sendo,
por essa perspectiva, concordamos com Ponte (2002), pois acreditamos que a
formação inicial do professor de Matemática deve priorizar a relação entre as
definições e conceitos matemáticos e o tratamento pedagógico e didático desses
conceitos.
4.2.2 Participação em Projetos e Desenvolvimento Profissional
Entrevistador: Você participou de algum projeto de formação
direcionado para professores? Qual? Por quanto tempo? Descreva um
pouco esse projeto. Foi abordado o tema análise combinatória?
Abel
: Fiz mestrado em Educação Matemática. Tive uma experiência
recente que foi muito interessante. Eu fiz um minicurso da Revista do Professor
de Matemática, na USP. Foi com um professor da UNICAMP e foi sobre análise
combinatória, para mim, foi o máximo. Não me lembro o nome dele. [...] foi
fantástico e ele não utilizou fórmulas.
Entrevistador: Se no Ensino Médio seu
professor optou em não utilizar fórmulas e esse professor da UNICAMP
também não, por que no Ensino Médio foi tão ruim e agora foi tão bom?
Eu
acho que agora eu estou mais experiente. Essa foi a diferença. Eu já tinha vivido
um pouco mais.
Entrevistador: Como você avalia seu professor do Ensino
Médio que optou por esse caminho?
Eu acho que ele escolheu o caminho
certo.
Felipe
: Não. Só o mestrado.
José
: Não.
Entrevistador: O curso de licenciatura já é uma formação?
É.
Mário
: Sou um pouco aventureiro. Fui numa semana de licenciatura no
IME, em 2005. Tivemos seminários. O que eu mais gostei de lá, foi sobre a
“História da Matemática”. Esse seminário foi para professores do Ensino Médio.
Fiz também uma oficina de probabilidade, mas achei que foi algo muito “jogado”,
145
eram professores do CAEM
24
. Eles não estão muito preocupados se você
entendeu ou não. Dá a impressão que eles querem cumprir a jornada, ficando
tudo muito “solto”. Também fiz uma oficina do uso do CABRI em geometria nas
demonstrações. Foi um curso de 2 dias com o professor Vincenzo. Essa oficina
foi mais interessante porque eu já tive. Trabalhou o teorema de Tales, utilizando o
ambiente dinâmico do CABRI, fazer determinadas construções e verificar que
aquele objeto tem realmente aquelas propriedades.
Raul
: Ah! Faz um tempinho que eu não participo, eu participei do Ensino
Médio em Rede, que foi o último que eu participei no Estado. O Ensino Médio em
rede foi em 2005. Ah, era mais por vídeo e por apostila. Era no próprio colégio e o
coordenador conduzia, né? E de vez em quando a gente entrava online, de vez
em quando, muito de vez em quando a gente respondia um questionariozinho
muito abrangente. No meu caso, não colaborou muito porque o Ensino Médio em
rede, tava muito focado em linguagem.
Rita
: Ah, sim vários! É estou fazendo a pós. É fiz Pedagogia. Sou formada
em Pedagogia. Na nossa Rede Sagrado Coração, tem congresso a cada 2 anos.
Então, a gente se reúne, são seis escolas, esse ano vai ser em Curitiba, há 2
anos atrás foi em Brasília. Tem a “Rede Pitágoras”
25
que dá muito curso pra
gente de formação, todo ano.
Os professores entrevistados afirmaram que participam ou participaram de
cursos, congressos ou seminários nos últimos anos. Entendemos que essa
participação pode caracterizar-se como uma busca por um desenvolvimento
profissional, pois segundo Ponte (1998), o desenvolvimento profissional deve ser
de responsabilidade do professor.
____________
24
O CAEM é um orgão de extensão do IME – Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São
Paulo. Seu objetivo é prestar serviços de assessoria a professores de Matemática. Dentre outras
atividades, o CAEM oferece vários tipos de cursos, oficinas, palestras e seminários para professores dos
níveis Infantil, Fundamental e Médio. Com exceção dos Cursos de Atualização, as atividades são gratuitas
para professores da rede pública estadual e da rede pública dos municípios do Estado de São Paulo.
http://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em 29 jul 2009.
25
A escola onde a professora Rita leciona, utiliza-se de material didático (apostilas e livros) escritos e
elaborados por um sistema de ensino privado denominado “Rede Pitágoras”.
146
Nesse sentido, podemos inferir que os professores Abel e Felipe, ao
afirmarem que voltaram para a universidade a fim de desenvolver uma pesquisa
acadêmica em um curso de Mestrado em Educação Matemática, ou o professor
José que retornou à universidade com o objetivo de terminar seu curso de
graduação em licenciatura, mostraram uma postura que podemos caracterizar
como uma preocupação, como também um investimento na carreira docente.
Entendemos que a participação em cursos e congressos, como citado pelos
professores Mário e Rita, também, caracterizam essa preocupação.
Ponte (1998) afirma que os conhecimentos e competências adquiridos pelo
professor durante sua escolarização tornam-se, em muitos casos, insuficientes
para o exercício de suas funções, pois, segundo ele, a sociedade está em
constante mudança que impõe à escola e, por consequência, ao professor,
responsabilidades cada vez mais complexas. Assim, temos a hipótese que
valorizar o desenvolvimento profissional por toda a carreira docente torna-se cada
vez mais necessário a fim de “lapidar” os saberes e, por consequência, a prática
docente, tal percepção de insuficiência pode ser observada na fala dos
professores entrevistados.
Outro aspecto foi notado quando o professor Abel relatou que participou,
recentemente, de um minicurso, no qual foi abordado o tema análise
combinatória. Este minicurso caracterizou-se por discutir a abordagem do ensino
de análise combinatória, não enfatizando o uso de fórmulas. Segundo o professor
Abel, a proposta do minicurso evidenciava a eficiência da utilização do Princípio
Fundamental da Contagem, como elemento oportuno e favorável na resolução de
problemas. Embora tenha tido aspectos comuns com sua formação no Ensino
Médio, Abel indica a maturidade própria como diferencial.
Vale notar que o professor Abel, em sua fala esclareceu também que,
quando era aluno no Ensino Médio, seu professor optou por não valorizar o uso
de fórmulas nas resoluções de problemas de análise combinatória. Essa opção,
segundo ele, não favoreceu seu aprendizado.
Por outro lado, antagonicamente, o professor Abel evidenciou, de forma
positiva, a proposta do minicurso do qual participou recentemente como
professor. Neste minicurso, o uso das fórmulas também não foi valorizado.
147
Quando indagado sobre essa contradição de ideias, o professor Abel afirmou que
nos dias de hoje mostra-se mais experiente e pontua que seu professor no Ensino
Médio escolheu o caminho correto.
Segundo Tardif (2002), a prática do professor integra diferentes saberes,
com os quais o docente mantém distintas relações. Desse modo, segundo o
autor, o saber docente é plural e temporal, ou seja, é um saber oriundo e
permeado por saberes desenvolvidos durante toda sua formação profissional,
como também, por saberes provenientes das relações sociais vivenciadas pelos
professores. Nesse contexto, entendemos que a prática docente experienciada
pelo professor Abel nos últimos anos colaborou no desenvolvimento de seus
saberes específicos, baseados em sua experiência profissional, ou seja, as
relações que envolvem seu trabalho cotidiano e o meio no qual sua prática está
inserida colaboraram para a mudança por ele evidenciada. Entendemos que
embora tenha tido aspectos comuns com sua formação no Ensino Médio, Abel
indicou a maturidade própria como diferencial.
Sendo assim, entendemos que a experiência profissional vivida pelo
professor Abel foi um fator determinante para a validação desses saberes (o
ensino de análise combinatória utilizando-se do Princípio Fundamental da
Contagem) e, consequentemente, proporcionando e colaborando em mudanças
na sua prática docente, tal como aponta Tardif (2002) sobre a pluralidade e a
temporalidade do saber docente.
4.2.3 PCN e o Ensino de Análise Combinatória
Entrevistador: Você conhece a proposta dos PCN em relação ao
ensino de análise combinatória?
Abel
: Não!
Felipe
: Posso ter dado uma lida “por cima”, mas, praticamente, não!
148
José
: Eu “abaixei” uma série de PCN e comecei a analisar com a
professora nas aulas lá na Faculdade. Tem algumas atividades que eu achei
interessante, [...]. Havia uma série, não me recordo qual, estava muito bem escrita
e ela complementa os PCN. [...] O professor do Ensino Médio, por comodidade, é
mais fácil não dar vazão a nenhum tipo de dúvida do aluno, pensa que é o
detentor do saber, e o aluno deve ficar quieto. O professor acomoda-se e acaba
nem seguindo essas orientações. Pelo pouco... Não sou especialista, mas pelo
pouco que eu observei nessa série, achei coerente, de forma adequada na parte
específica de análise combinatória.
Mário
: Eu tive de analisar os PCN. Eu analisei livros didáticos. Eu peguei
duas coleções de livros didáticos do Ensino Fundamental e outra do Ensino
Médio. Então, eu tive de verificar como é que os autores abordam a análise
combinatória, tanto na educação de 5
a
a 8
a
séries como no Ensino Médio. Então,
eu usei algumas coisas dos PCN em relação a, como é que o autor faz uma
contextualização em relação ao assunto de análise combinatória, tanto no Ensino
Médio como no Ensino Fundamental.
Raul
: Não. Não conheço, eu não estudei os PCN de Ensino Médio a fundo.
Rita
: Ah! É mais ou menos, acho que é um pouco ligada à “Rede
Pitágoras”, mas na prática eu acredito que é sim porque o Ensino Médio tá muito
ligado aos PCN agora. Então é, eles querem isso, eles querem que o aluno
aprenda é, aprenda aprendendo, não só decoreba como na minha época que foi
assim, que também não acho que era muito errado, porque tem muita coisa que
eu lembro até hoje, né? Então, eu não sei até que ponto tá. Então, os PCN da
Matemática eles colocam isso que você tem que tentar mostrar a realidade, o
concreto, mostrar pela lógica, pelo raciocínio prático e o aluno perceber que
aquilo é útil para a vida dele, pra tentar ter interesse pelo estudo, né?
Com exceção dos professores José e Mário, os demais afirmaram
desconhecer a proposta dos PCN em relação aos estudos de análise
combinatória no Ensino Médio. Os professores José e Mário expuseram que
tiveram a oportunidade de ler e analisar esses documentos nas aulas do curso de
149
graduação. Segundo eles, tais análises não foram realizadas com profundidade
e/ou detalhamento, mas ofereceram condições superficiais para que eles
pudessem perceber que os PCN evidenciam um ensino de Matemática
contextualizado e preocupado com o aprendizado do aluno. A professora Rita não
revelou explicitamente que leu ou que conhece os PCN, mas conjectura que
esses documentos apresentam, como proposta, a valorização do uso de materiais
concretos, como também a contextualização dos temas abordados nas aulas.
Entendemos que os PCN podem ser caracterizados, segundo a taxonomia
de Tardif (2002), como
Saberes Curriculares
. Para esse autor, esses saberes
correspondem aos objetivos, conteúdos e métodos com base nos quais os órgãos
institucionais categorizam e apresentam, como saberes sociais e modelos de
cultura erudita a serem ensinados. Assim, segundo o autor, esses saberes
mostram-se concretamente sob a forma de programas escolares, que os
professores necessitam compreender e deles se apropriar para aplicá-los.
Observamos, ainda, que os professores participantes de nossa pesquisa,
conhecem pouco o que sugere os PCN com relação ao ensino de análise
combinatória. Conjecturamos que eles se apropriam desse conhecimento, ou
parte dele, por meio dos livros didáticos e/ou apostilas, por eles utilizados nas
aulas ou em sua preparação. Temos essa hipótese, pois, usualmente, grande
parte dos livros didáticos, utilizados nas redes pública e privada, faz parte do
PNLEM (Programa Nacional do Livro Didático do Ensino Médio) e estes seguem,
muitas vezes, as propostas e recomendações dos PCN e das Orientações
Curriculares.
Portanto, pela fala dos professores participantes das entrevistas, com
exceção de José e Mário que no curso de graduação realizaram um trabalho que
proporcionou pesquisar e discutir os PCN, temos a hipótese de que os
professores não costumam ler ou analisar as propostas curriculares elaboradas e
oferecidas pelos órgãos institucionais, a fim de organizar e preparar suas aulas.
Fortalecendo esta hipótese, Costa (2003) evidencia esse aspecto, expondo que a
situação do ensino brasileiro, especialmente, no caso da Matemática, é
paradoxal, pois existem bons materiais de apoio, como os Parâmetros
Curriculares (PCN) e os livros didáticos; no entanto o professor não os conhece
150
suficientemente. Assim sendo, acreditamos que seria válido e profícuo oferecer e
estimular projetos de desenvolvimento profissional, nos quais os professores
tivessem a oportunidade de ler, analisar e discutir essas propostas, a fim de
desenvolver e construir de forma mais ampla e coesa esses saberes,
denominados por Tardif (2002) de
Saberes Curriculares
.
4.2.4 Uso de fórmulas – Demonstrações e Generalizações
Entrevistador: Como os alunos observam e entendem a validade das
fórmulas? É difícil para justificar a validade das fórmulas? Os alunos
apresentam facilidade para compreender? Você poderia enumerar algumas
dificuldades observadas nos alunos.
Abel
: Eles entendem de onde saiu a fórmula, eu procuro mostrar, de
arranjo, de combinação, de permutações. E vou falar pra você, eu só fico restrito
a esses casos. Procuro mostrar de onde saiu a fórmula. [...] geralmente, eu parto
de um caso particular e vou generalizar, assim parece ser uma forma mais
agradável. Eles apresentam bastante dificuldade. Eles dificilmente acompanham o
raciocínio que a gente está fazendo, estão interessados no resultado final e
esperam uma receita para seguir. [...] Quando você chega à fórmula eles dizem
“Então, é só isso?” “Se eu usar isso dá certo?” Parece que o aluno está
procurando alguma coisa para se firmar, para se agarrar e falar “Agora estou mais
tranquilo”. [...] Mas eu não considero importante a valorização do uso das
fórmulas. [...] Eu apresento a fórmula de uma forma secundária, mas eles
colocam isso como uma coisa primordial. Por mais que se tente escurecer a
fórmula, eles a preferem.
Felipe
: Não, eles não questionam a origem das fórmulas. Você dá a
fórmula e eles usam. Eu utilizo as fórmulas nas aulas. [...] Na verdade, é dada a
fórmula para o aluno e uma bateria de exercícios para ele fazer, e ele faz, em
cima da fórmula. Agora, quando se dá um problema sem a fórmula eles
perguntam: “que fórmula se deve usar?”
Entrevistador: E se ele perguntasse
151
sobre as fórmulas, como você explicaria?
Para ser sincero, no momento, eu
não saberia como explicar.
José
: No meu caso em particular, eu nunca trabalhei as fórmulas, tanto no
Ensino Médio como no cursinho. A fórmula era a última coisa a ser trabalhada e o
que importava era a resolução. E aí você vai trabalhando os conceitos do
Princípio Aditivo, do Princípio Fundamental da Contagem, Multiplicativo e aí você
chega à questão de trabalhar com os números, placas de carros. O aluno percebe
depois, e a gente acaba batizando de arranjos, que são os subconjuntos
ordenados. E é interessante que eu não uso as fórmulas, mas no final eu acabo
dando as fórmulas porque em alguns vestibulares mais antigos, te dão Arranjos
5,6 como índice. Então, a gente tem de trabalhar. Se ele não lembrar a fórmula, o
que interessa é o raciocínio, pelo menos, eu não sei se todo mundo trabalha
assim. Eu trabalho dessa maneira, porque eu também tinha dificuldade de ficar
guardando fórmulas. É mais fácil você guardar o fundamento e se caso você
precisar da fórmula, você escreve a fórmula.
Mário
: Eu buscaria um pouco, hoje, buscaria pela demonstração [...] Eu
acho que talvez, como um professor hoje, um futuro professor, eu tentaria buscar
a origem. Como é que o “cara” do século XIV, XV, o que ele usou para montar a
fórmula? Qual foi o princípio? [...] Tentaria estudar e aprender isso antes de
apresentar a fórmula. Tem uma demonstração dessa fórmula? Quem fez?
Entrevistador: Se o aluno pedisse para você demonstrar, você teria de
pesquisar
. Sim, teria de pesquisar. Pesquisaria e buscaria alguma segurança. É
uma coisa que eu ainda não domino. [...] É difícil! Mas acho que é uma coisa que
hoje, como licenciando eu penso muito. É uma responsabilidade que eu tenho um
dia, ter esse amadurecimento e esse conhecimento matemático.
Raul
: Alguma coisa eu mostro. Às vezes, eu mostro alguns exemplos
assim que o próprio Matemático na época quando ele fez a descoberta, aquela
coisa toda um pouco de História e, às vezes, eu não entro. Não costumo
aprofundar muito na parte técnica Matemática, que é aquela técnica de prova por
absurdo. Não dá para entrar muito, às vezes, você vai demonstrar por equação,
por exemplo, divide todo mundo por quatro aí depois como que o cara teve essa
152
ideia de fazer isso aí? Isso aí foi ensaio e erro, o cara dividiu tudo por quatro e
não funcionou e aí ele pega e fala e se eu multiplicar tudo por
1
4
e se eu fizer,
humm! O cara começa a fazer uma experiência. Até que ele consegue fazer uma
demonstração de uma equação, de uma fórmula. Se você entrar demais nessa
parte técnica, o aluno não tira muito proveito disso. [...] É pra isso que existe a
fórmula, pra expandir, pra resultados grandes, pra coisa que você não vai ter
condição de fazer a árvore de possibilidades. Então, mostrar que a fórmula é
extremamente importante, aí alguns que têm mais habilidade em Matemática
resolvem com a fórmula, bonitinho. [...] Até a gente tem muita dificuldade em
entender o uso da fórmula. Análise combinatória é uma coisa cruel, porque você
lê o problema e você tem que definir qual o recurso que você vai usar, uso o que
aqui? Arranjo, permutação, arranjo com repetição, até para o professor é
complicado isso. [...] essa é uma dificuldade minha, para mim, isso já é difícil.
Rita
: Só se eu falar que tem assim, se eu ensinar de outras maneiras, eu
gosto muito dos quadradinhos, só se eu falar. Oh, vocês podem fazer pela
fórmula! Aí eles até anotam, mas muitos não usam, não! Eles usam a prática
mesmo, principalmente, que eles estão muito envolvidos com o baralho no Ensino
Médio. Então, eles põem muito na prática, né? Eu vejo. [...] A fórmula no meu
método de Pitágoras do nosso livro mesmo, ela aparece só no final assim mesmo,
[...] a gente fala muito de anagrama, mas eu nem comento a fórmula. [...] A
combinação, eu procuro trabalhar mais na fórmula, porque combinação eles
acham mais prático. Eu também. Aí, é mais difícil para entender assim no abstrato
né? [...], mas a combinação eles fazem geralmente com a fórmula, porque eles
não entendem muito esse negócio de ordem e não ordem e
!
p
,
(
)
!
n p
−
, então,
essa parte, eu procuro mostrar prá eles.
Em suas falas, os professores Felipe, Mário, Raul e Rita revelaram uma
valorização do emprego das fórmulas na resolução de problemas de análise
combinatória. Acreditamos, como pontuado por Sturm (1999) e Esteves (2001),
que essa valorização restringe e avilta a utilização de outras técnicas, no sentido
dado por Chevallard (1999), como por exemplo, a construção da árvore de
possibilidades, o processo de enumeração das soluções e o Princípio
153
Fundamental da Contagem. Podemos perceber também que eles mesmos não se
sentem seguros quanto ao conteúdo, o que inferimos pela forma como se referem
à explicação dos significados das fórmulas. Veja na fala da Rita: “esse negócio de
ordem e não ordem...” Esta forma de se referir às duas possibilidades de
configuração de um problema de contagem mostra que a professora também não
se sente segura quanto a esse conhecimento específico e, por consequência,
quanto ao conhecimento pedagógico desse conteúdo, nos termos de Shulman
(2005).
Ou seja, mesmo valorizando o uso das fórmulas na resolução de
problemas, percebemos que os professores Felipe, Mário, Raul e Rita não
demonstraram segurança com relação à elaboração de uma justificativa que
valide e legitime o uso dessas fórmulas, ou seja, temos como hipótese que esses
professores nos mostram falta de conhecimento matemático com relação às
generalizações ou demonstrações dessas fórmulas.
Com relação ao uso de fórmulas na resolução de problemas de análise
combinatória, Costa (2003) constatou que os professores participantes de sua
pesquisa mostraram insegurança, como também falta de conhecimento na
resolução de problemas, apresentando dificuldades para resolver problemas sem
o auxílio de fórmulas.
Santos (2005) observou os mesmos resultados descritos por Costa (2003),
ou seja, a falta do conhecimento matemático e didático sobre o ensino de análise
combinatória, como também uma valorização do uso das fórmulas nas resoluções
de problemas de contagem.
Segundo este autor, os professores pesquisados observam que ensinar
análise combinatória significa apresentar um conjunto de fórmulas de permutação,
arranjos e combinação, a fim de mostrar aos alunos como devem ser utilizadas.
Assim sendo, revalidando as afirmações de Costa (2003) e Santos (2005),
entendemos que os professores Felipe e Raul, em suas falas, mostram que
ensinar análise combinatória é para eles, apenas, utilizar-se de um conjunto de
fórmulas com o objetivo de encontrar um resultado correto para um determinado
problema.
154
Percebemos que mesmo a indicação do emprego da fórmula não garante a
resolução do problema, já que se deve primeiro reconhecer as características de
ordenação ou não ordenação nos agrupamentos a serem construídos. Os livros
didáticos usualmente organizam esses conteúdos em capítulos bem delimitados e
distintos, assim, podemos inferir que o uso da fórmula não garante a
compreensão do problema a ser resolvido ou mesmo o significado do que seja um
arranjo ou uma combinação.
Vale salientar que a professora Rita em sua fala não mostrou claramente
uma valorização com relação ao uso das fórmulas nem pareceu conhecer, em
profundidade, as justificativas que validam ou legitimam o uso dessas fórmulas,
ou seja, as demonstrações ou generalizações.
Por outro lado, ela pontua que nos problemas que envolvem combinação
(problemas nos quais a ordem dos objetos não se mostra relevante) há um
destaque no uso das fórmulas. Segundo ela, a fórmula, nessa situação, mostra-se
mais prática, pois o aluno não distingue direito problemas nos quais a ordem é ou
não relevante.
Diante da fala da professora Rita, entendemos que, para ela, não está claro
o papel da fórmula na construção dos conceitos de análise combinatória.
Conjecturamos que a fórmula, na situação descrita, apresenta-se, apenas, como
mais uma técnica (Chevallard, 1999), sem justificativa, a fim de resolver
problemas de análise combinatória.
Nesse contexto, entendemos que a professora, por não conhecer a origem
ou uma justificativa que autentique o uso dessas fórmulas, opta, apenas por
utilizá-las como um sustentáculo a seu saber e sua prática docente. Entendemos
que se reforça aqui a hipótese do uso da fórmula pela organização estanque dos
livros didáticos.
Por outro lado, com relação à fala do professor Mário, acreditamos que a
ausência da prática docente, ou seja, a não oportunidade de desenvolver,
segundo a taxonomia de Tardif (2002), os
Saberes Experienciais
, caracteriza-se
como um fator que nos faz entender, o motivo pelo qual ele afirma que necessita
pesquisar a origem, o uso e a validade das fórmulas, a fim de buscar segurança
155
em um contexto que, segundo ele, ainda não entende e domina. Vale dizer que o
professor Mário desenvolveu em 2009 um trabalho de conclusão de curso, cujo
tema foi a Análise Combinatória para séries finais do Ensino Fundamental, e esta
parece ser a sua única experiência com o ensino e a aprendizagem desse
conteúdo até o momento.
Tardif (2002) define como
Saberes Disciplinares,
aqueles que
correspondem aos diversos campos do conhecimento. Segundo o autor, esses
saberes integram-se à prática docente, usualmente, pela formação inicial e
contínua dos professores nas diversas disciplinas oferecidas pelas universidades.
Entendemos que o uso ou a valorização, ou não das fórmulas na resolução de
problemas de análise combinatória, podem caracterizar-se, segundo a taxonomia
de Tardif (2002), como
Saberes Disciplinares
, pois, entendemos que estes
integram a prática docente e apresentam-se, geralmente, como resultado da
formação inicial ou continuada do professor.
Assim sendo, compreendemos que as falas dos professores Felipe, Mário,
Raul e Rita mostraram que o
Saber Disciplinar
resume-se, substancialmente, na
aplicação de fórmulas específicas na resolução de problemas de análise
combinatória, ou seja, no contexto apresentado. Temos a hipótese de que o
professor apropria-se de um conjunto de fórmulas, como técnicas disponíveis (no
sentido usado por Chevallard, 1999), com o objetivo de encontrar um “caminho”
que o conduza a um resultado, mesmo que esta técnica não seja inteligivelmente
validada e justificada.
Nesse contexto, podemos dizer que é um ensino por ostensão, no qual se
mostra ao aluno como fazer, cabendo a este repetir procedimentos. Assim,
embora o discurso teórico-tecnológico esteja disponível ao aluno, este não é
devidamente discutido e explorado, para que se construa seu significado em
relação às técnicas que os professores explicam/justificam.
Assim, diante do exposto, acreditamos que o professor desconheça a
tecnologia e a teoria que possam justificar e tornar compreensível o uso da
técnica escolhida (o uso da fórmula) na realização de uma tarefa específica, ou
seja, a resolução de um problema de contagem. Salientamos que, no tópico 3.2
de nosso trabalho, apresentamos e discutimos de forma organizada e
156
fundamentada, como compreendemos o uso da fórmula como técnica, no sentido
dado por Chevallard (1999), ou seja, nesse tópico do trabalho discutimos o uso
das fórmulas, como o resultado de um processo da construção do raciocínio
combinatório e não o início dessa construção.
Vale pontuar que Felipe e Rita mostraram, em suas falas que seus
professores de Matemática, no Ensino Médio, valorizavam a aplicabilidade e
memorização de fórmulas na resolução de problemas de análise combinatória,
isto é, a fórmula sendo apresentada, apenas, como uma técnica sem justificativa
e significado para o aluno. Felipe e Rita avaliaram negativamente essa prática
docente e pontuaram que esse tipo de abordagem não pode ser valorizado nos
dias de hoje.
Por outro lado, nas falas desses professores, observamos uma valorização
da memorização e aplicabilidade imediata das fórmulas na resolução de
problemas nas aulas de análise combinatória. Assim, na situação descrita, temos
a hipótese de que os professores Felipe e Rita reproduzem, de certo modo, a
prática docente dos professores que participaram de sua historicidade.
Desse modo, caracterizamos que os saberes designados por Tardif (2002)
como
Saberes de Formação Profissional e Saberes Disciplinares
apresentam-se,
na situação descrita, como fator presente e influenciador sob a formação
acadêmica, como também na prática docente desses professores, ou seja, a
influência da experiência vivida nos anos escolares e a formação acadêmica
recebida na universidade mostram-se, ainda, presentes e vivas nas práticas
docentes dos professores Felipe e Rita.
Segundo Costa (2003), o professor, sem conhecer com bastante
profundidade um dado assunto matemático, torna difícil explorar as diferentes
formas de ensiná-lo. Assim, finalizando, entendemos que os professores Felipe,
Mário, Raul e Rita não apresentaram em suas falas clareza na construção dos
conceitos que envolvem os estudos de análise combinatória e, dessa forma,
apropriam-se do uso das fórmulas, a fim de estruturar técnicas e, desse modo,
adquirir solidez sobre esse conhecimento, com o objetivo de encontrar uma
solução aos problemas propostos.
157
4.2.5 Dificuldades Profissionais
Entrevistador: Quando você enfrenta dificuldades profissionais
(dificuldades acadêmicas e didáticas) a quem recorre? Descreva um pouco
sobre isso.
Abel
: Eu tenho muitos livros em casa, valorizo isso e busco diversas
alternativas. No ano passado, eu comprei a “Matemática no Ensino Médio”, que é
uma coleção fantástica! Descobri uns tesouros ali. É da Sociedade Brasileira de
Matemática. Atualmente, eu tenho recorrido bastante à bibliografia que tenho.
Felipe
: Procuro um professor com mais experiência ou em alguns livros
didáticos que tenho disponíveis.
José
: Olha, eu recorro a livros, à Internet e agora tem as professoras da
Faculdade a quem posso recorrer.
Mário
: Aos colegas. Essa coisa dialógica é uma coisa muito importante! Eu
nunca consegui estudar e ser um aluno autodidata, estudar sozinho. Pra mim, a
discussão, a troca de informações e até mesmo [...] quando eu sou um aluno em
casa, eu mando e-mail. E esta coisa de discutir, de demonstrar, olha eu fiz dessa
maneira, e o professor não corrigir o erro, mas ele tentar que você consiga chegar
naquele objetivo. Isso é uma coisa que eu aprendo muito. [...] Então, isso é
prazeroso, essa troca. Quer dizer, o pouco que você sabe, pode ajudar a pessoa
e o que a pessoa sabe também pode te ajudar.
Raul
: Sem dúvida, tem de sentar junto e se você tem um grupo legal na
escola que você tá, que nem o grupo daqui de Matemática é muito legal. Tem
alguns professores que a gente senta muito e, eu fui fazer um exercício e me
perdi aqui, você lembra isso aqui, ah! Eu lembro esse aqui é, assim, então a
gente troca muita informação e que isso funciona mais que um curso, é bem legal.
[...] É, oh! Didática é com os colegas, entendeu? Quando eu digo colegas, pode
ser coordenador, pode ser diretor, pode ser colegas professores, e o que você tá
fazendo? Aquela turma tá desse jeito. O que a gente pode fazer? Mais a parte
158
didática pedagógica em termos de estruturar a turma ou um grupo, ou qualquer
coisa assim. Agora, quando é a didática em sala de aula mesmo, de ir pra lousa,
é sentar com um colega e falar como é que você tá ensinando isso? “Meu”, tem
algum exemplo legal? Que livro você tá usando? “Meu”, esse livro que eu tô
usando, essa matéria não tá legal, entendeu? E você também sentar e ler, pegar
abrir um livro, olhar, falar assim tem um exercício bacana aqui, é o modo de
abordar o assunto desse livro, tá melhor do que desse livro, se bem que eles são
muito parecidos, né? Os livros de Ensino Médio...
Rita
: Ah! Com os colegas da escola, alguns que têm boa vontade e às
vezes, vou procurar livros e se eu não sei no momento, eu procuro depois trazer e
já me enganei também. Não vou falar que não me enganei, porque me enganei.
Aí, eu converso com eles, refaço tudo, mas assim, agora com essa internet que
você tem acesso a tudo, é mais fácil, antes eu ia à biblioteca. Agora, eu não
preciso ir, né? A biblioteca virtual tá em casa, né?
Em suas falas, os professores Felipe, Mário, Raul e Rita expõem que a
relação entre os pares, ou seja, a troca de informação e experiência entre os
colegas de profissão favorece, como também produz saberes. Segundo a
taxonomia de Tardif (2002), esses saberes são denominados de
Saberes
Experienciais
. Para o autor, os
Saberes Experienciais
são adquiridos no âmbito
da prática docente, baseados nos trabalhos cotidianos, ou seja, nas relações,
pessoais ou não, que envolvem o trabalho docente, sendo desta forma validados
e legitimados pela própria prática do professor.
Nas situações descritas pelos entrevistados, entendemos ser possível
perceber que a troca de experiências e ideias, o diálogo, as discussões entre os
colegas de profissão ou a procura por profissionais mais experientes podem ser
caracterizados, como uma busca por aspectos que possam favorecer o
desenvolvimento desses saberes que, possivelmente, se agregarão à prática
docente.
Contribuindo com essa discussão, Ferreira (2006) ressalta também que o
professor pode ser observado como um sujeito produtor de saber. A autora
destaca a importância de entender o desenvolvimento profissional do professor,
159
como um processo que se dá ao longo de toda a sua experiência docente, não
ocorrendo de forma linear nem possuindo uma duração preestabelecida.
Portanto, considerando as falas dos entrevistados e baseando-se nas
afirmações de Tardif (2002) e Ferreira (2006), acreditamos que as trocas de
experiências docentes contribuem, de fato, para o desenvolvimento de saberes,
de forma não linear e em um contexto não formal, apesar de ser um ambiente
acadêmico, uma vez que ocorre dentro da instituição “escola”. Tardif (2002) refere
que a prática pode ser vista, como um processo de aprendizagem por meio do
qual os professores retraduzem sua formação e adaptam-na à profissão.
Dessa forma, no contexto apresentado pelos entrevistados, entendemos
que a experiência docente por eles retratada, valida a própria prática cotidiana,
tomando, dessa forma, o caráter de um processo contínuo de aprendizagem e
desenvolvimento profissional.
Por outro lado, os professores Abel e José pontuam que recorrem a livros
não didáticos e didáticos em momentos de dificuldades profissionais. Acreditamos
que essa busca por diferentes literaturas, também, contribui para o
desenvolvimento dos
Saberes Experienciais
, pois, no contexto descrito pelos
entrevistados, esta busca está inserida e vinculada às experiências e à prática
docente vivenciada por eles.
Observamos aqui um indício de autonomia na busca de fontes de
conhecimento, tanto para o aspecto específico do conteúdo como no aspecto
didático (José conversa com os professores da Faculdade). Dessa forma,
integram essa autonomia a seus
Saberes Experienciais
e, consequentemente, a
sua prática.
4.2.6 Valorização dos Cálculos
Entrevistador: Na resolução de problemas de análise combinatória,
enfatizam-se os cálculos? Os alunos utilizam a calculadora na resolução de
problemas de análise combinatória?
160
Abel
: Não! Eu procuro admitir outras formas. Incentivo eles a descreverem
como é que eles chegaram à resposta. Eu valorizo o raciocínio que ele escreveu.
José
: Em uma prova, eu tiro alguma coisa porque em princípio, ele não te
trouxe a solução correta, mas eu valorizo menos e valorizo mais o raciocínio. Eu
olho e vejo: Poxa, vou tirar 0,1. Então, se a questão valer dois pontos eu dou 1,9.
Assim, eu mostro pra ele que se for uma prova tipo teste, ele teria errado.
Mário
: Eu acho que ele poderia deixar representado e usar a calculadora,
não haveria nenhum problema. [...] Eu não seria muito rígido em termos de
resultados, como por exemplo, se ele não simplificou, ele errou na hora de
multiplicar 10 por 9. Eu avaliaria como ele montou o exercício. [...] Valorizaria
totalmente o raciocínio do aluno. [...] Não sei, eu posso ser só um sonhador, mas
eu acho que não é porque você teve professores na sua formação de um jeito,
você precisa ser como aquele professor.
Raul
: Oh! Em análise combinatória, precisa que ser valorizado. Tem
porque tem que ser preciso, né? Porque falar qual é a quantidade de, então, ele é
cálculo exato, né? Então, quando você tá diante da situação, não é uma
estimativa, é exato, entendeu? Então, tem que ser valorizado sim.
Rita
: Ah, tem questões que não! Tem questões que eu deixo só indicado
assim. [...] É eu deixo indicado, porque eu acho que nesse momento a parte de
cálculo já tá definida ou vai definir, então, pra mim, naquele momento eu quero
saber se ele entendeu o raciocínio do problema e não quanto vai dar a resposta,
né?
Com relação à valorização dos cálculos na resolução e correção de
problemas de análise combinatória, com exceção do professor Raul, os demais
professores afirmaram que não os valorizam. Segundo esses professores, o
fundamental é considerar o raciocínio do aluno.
Em sua pesquisa, Esteves (2001) cita que o aprendizado dos conceitos de
análise combinatória baseado apenas em técnicas de cálculos não se apresenta
favorável para o desenvolvimento do raciocínio combinatório. Batanero et al.
161
(1996) pontuam que valorizar o uso da enumeração sistemática dos elementos
que compõem os agrupamentos, a construção da árvore de possibilidades e o
Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas de análise
combinatória são representações favoráveis para o desenvolvimento desse
raciocínio.
Assim, acreditamos que o uso e a compreensão da enumeração dos
elementos, a construção da árvore de possibilidades e o Princípio Fundamental
da Contagem são técnicas, no sentido dado por Chevallard (1999), importantes
que favorecem a significação das fórmulas e dos cálculos que usualmente
permeiam o ensino de análise combinatória, contribuindo, assim, no
desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Acreditamos que valorizar, apenas, os cálculos que permeiam o ensino de
análise combinatória no Ensino Médio, não contribuem para o desenvolvimento
do raciocínio combinatório, sendo assim não necessitam ser observados como
elementos fundamentais na construção dos conceitos de contagem.
4.2.7 Uso do PFC – Enumeração – Árvore de Possibilidades
Entrevistador: Como o Princípio Fundamental da Contagem é
introduzido nas aulas? O seu uso é enfatizado? Os alunos utilizam
processos de enumeração de soluções? E a árvore de possibilidades?
Descreva um pouco isso.
Abel
: No mês que se trabalha a análise combinatória, eu costumo gastar,
pelo menos, uma semana e meia, quase metade do mês trabalhando o Princípio
Fundamental da Contagem. Eu acho que é a maneira mais ampla de resolver
problemas de análise combinatória. [...] Os alunos utilizam a enumeração, isso é
fantástico! [...] A árvore de possibilidades dificilmente é utilizada. Nem nas
explicações, eu costumo valorizar. A gente começa com alguns problemas da
árvore de possibilidades, mas são problemas muito restritos.
162
Felipe:
Acho que as fórmulas são mais valorizadas que o Princípio
Fundamental da Contagem. [...] No começo, eles utilizam bastante a enumeração,
mas quando há um número muito grande, eles perguntam: “Mas será que não
tem uma fórmula para isso, professor?” [...] Sim, eles usam bastante a árvore de
possibilidades, acho que é porque é a primeira coisa que é dada.
José:
Se ele sabe o Princípio Multiplicativo, pronto, acabou! O resto é uma
consequência lógica de uma etapa que você vai seguir, resolvendo problemas,
colocando problemas, ficando mais complexo. [...] É comum, eles utilizarem a
enumeração para resolver problemas.
Mário:
Eu acho que o Princípio Fundamental da Contagem é a gênese do
objeto. Na minha visão, é o ponto fundamental. [...] Para mim, foi fundamental
isso, entender o que é, da forma que a professora da Faculdade explicou para
nós e fez essa exposição. [...] Fazer com que o aluno use a árvore de
possibilidades em determinadas situações, eu acho que ajuda muito, pois é uma
forma do aluno mapear as possibilidades, verificar se teve repetição, se não teve
repetição.
Raul:
O Princípio Fundamental da Contagem é muito enfatizado porque é o
“pé da coisa”. Então, eu acho que o Princípio Fundamental é fundamental. Os
alunos usam e, geralmente, eles tentam correr para o Princípio Fundamental e
tem hora que não dá, não tem como usar o Princípio Fundamental porque quando
você começa a ter repetição, alguma coisa, já não dá para usar o Princípio
Fundamental. Mas acho que ele é o mais importante, tem de ser dado, tem de ser
visto e mostrar que ali você começa no Princípio Fundamental, que você começa
a fazer aquela árvore de possibilidades, aí você começa a mostrar que tem um
recurso paralelo, entendeu? E o que existe além do recurso paralelo? Existe a
fórmula que é a multiplicação só, mas é uma fórmula, entendeu? Então, se vão
multiplicar duas ou três coisas pra te dar o Princípio Fundamental, então, porque
é um princípio multiplicativo mesmo, ele não é... Pode ser aditivo, mas ele
fundamentalmente é um princípio multiplicativo, mas a multiplicação é uma
extensão da adição, dá até pra fazer o princípio aditivo, mas aí vai ser a contagem
163
da árvore de possibilidades. [...]
é muito gostoso fazer com a árvore de
possibilidades. Eu também gosto de fazer e faço com eles e tal.
Rita:
Eu começo mostrando o Princípio Fundamental para eles. [...] aí eles
percebem que é só multiplicar, fazer o produto. Faço diferença do “
e
” e do “
ou
”, aí
eu fico realizada. [...] Então, isso pra mim me ajuda muito. Quando eles aprendem
o “
e
” e o “
ou
”, no começo. [...] A árvore de possibilidades não usamos bastante,
só bem na introdução, no princípio [...] Muito pouco os alunos utilizam a árvore de
possibilidades, quase nunca. [...] Uns 10% utilizam a enumeração [...], eu percebo
isso na prova, alguns não conseguem, aí tentam fazer, aí param na metade.
Em suas falas, os professores Abel, José, Mário e Rita valorizaram o uso
do Princípio Fundamental da Contagem nas aulas de análise combinatória.
Segundo eles, o uso do Princípio Multiplicativo favorece o entendimento dos
conceitos de contagem e o desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Acreditamos que o emprego do Princípio Fundamental da Contagem na
resolução de problemas, como técnica, no sentido dado por Chevallard (1999),
seja valoroso e necessita estar integrado aos saberes do professor, pois, no
contexto delineado, o Princípio Fundamental da Contagem pode ser observado,
como uma técnica disponível, a fim de abordar e resolver problemas de análise
combinatória, como também ser observado com o objetivo de generalizar
resultados, ou seja, justificar o uso das fórmulas na resolução de problemas.
Entendemos que o uso das fórmulas, nas aulas de análise combinatória,
caracterizar-se-á, como um processo de entendimento, discussão e
desenvolvimento a fim de formalizar os conceitos matemáticos. Vale ressaltar que
discutimos e explicitamos isso no tópico 3.2.
Por outro lado, as falas dos professores Felipe e Raul destacam uma
valorização do uso de fórmulas na resolução de problemas de contagem, em
detrimento do emprego do Princípio Multiplicativo, coerente com a fala deles
apresentadas nas duas questões anteriores. Felipe afirmou que os alunos
questionam a existência dessas fórmulas durante as aulas, mas citou que não
saberia justificar a pertinência, a origem, como também a aplicabilidade das
fórmulas na resolução dos problemas. Nesse mesmo sentido, observamos,
164
também, a fala do professor Raul que evidenciou de forma positiva o uso do
Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas, mas, não
mostrou evidências, como também clareza sobre essa importância.
O professor Raul afirmou que nos problemas que envolvem repetições de
elementos torna-se inviável o uso do Princípio Fundamental da Contagem. Vale
salientar que no tópico 3.2 sugerimos e exemplificamos a utilização do Princípio
Multiplicativo, como uma possível técnica disponível, no sentido dado por
Chevallard (1999), a fim de abordar e resolver problemas nos quais há repetição
de elementos. Desse modo, temos a hipótese de que o professor Raul
desconhece ou não domina por completo parte dos conteúdos relacionados a
esse tema.
Assim sendo, acreditamos que, no contexto delineado, os professores
Felipe e Raul apresentam, segundo a Taxonomia de Tardif (2002), lacunas em
relação ao desenvolvimento de seus
saberes disciplinares
no ensino de análise
combinatória.
Tardif (2002) refere que o saber do professor está em confluência entre as
várias fontes de saberes provenientes de sua historicidade, da instituição escolar,
de outros atores educativos, etc. Ponte (1998) afirma que os conhecimentos e
competências adquiridos pelo professor durante sua escolarização tornam-se em,
muitos casos, insuficientes para o exercício de suas funções. Nesse contexto, o
professor Raul, em sua fala, comentou que não estudou em sua história escolar
análise combinatória nem no Ensino Médio, como também nos anos de
graduação.
Desse modo, conjecturamos que os conceitos sobre o ensino de análise
combinatória do professor Raul desenvolveram-se das relações por ele
construídas com seus pares, nas instituições onde trabalhou e nos livros em que
teve oportunidade de pesquisar, o que entendemos que poderia justificar as
lacunas aqui apresentadas.
Percebemos, também, que a autonomia docente tem seu papel
favorecendo a procura de formação continuada, pesquisas em livros ou cursos de
desenvolvimento profissional. A mesma justificativa adapta-se à fala do professor
165
Felipe, que argumentou que sempre estudou análise combinatória, decorando
fórmulas e aplicando-as a problemas estereotipados.
Com relação ao uso da árvore de possibilidades e da enumeração das
soluções; na fala dos entrevistados, não notamos a valorização dessas técnicas,
no sentido usado por Chevallard (1999). Esteves (2001) afirma que incentivar o
uso de diagramas, tabelas, enumerações ou a árvore de possibilidades são meios
valorosos a fim de sistematizar a compreensão do Princípio Fundamental da
Contagem.
Sob essa ótica, entendemos que a enumeração e a árvore de
possibilidades são técnicas (Chevallard, 1999) que não participaram da
historicidade (processo de escolarização), como também do desenvolvimento
profissional dos professores Raul e Felipe. Assim sendo, justifica-se a não
valorização do uso dessas técnicas (Chevallard, 1999) no ensino de análise
combinatória.
4.2.8 Ordem dos Elementos
Entrevistador: Com relação a problemas que envolvem a ordem dos
objetos e os problemas, nos quais a ordem não se mostra relevante, como
os alunos enfrentam esse tipo de problema? Os alunos associam os
conceitos de arranjo, combinação e permutação? Como é feita essa
associação?
Abel:
Acho que a maior dificuldade é identificar o tipo de problema.
Normalmente, o livro didático apresenta os problemas de arranjo, são os
problemas em que a ordem é importante. Procuro, quando vou falar dos
problemas que não têm ordem, compará-los com os problemas que têm ordem.
[...] Procuro sempre mostrar o contraponto. Quando se mistura, eles têm
dificuldade em ver quando tem ou não ordem, onde a ordem é relevante e onde a
ordem não é relevante. [...] Eles veem como problemas separados, os problemas
se misturam no final, quando eles estão mais amadurecidos. [...]. Eles esperam
que o professor dê a resposta, porque eles sabem que o professor sabe. [...] Eles
166
veem arranjo, combinação e permutação como coisas separadas, o que eles
percebem é que todas são baseadas em operações de fatorial, mas para eles são
coisas bem distintas.
Felipe:
Eles sentem muita dificuldade nessa parte, quando a ordem é
importante ou não, eles têm dificuldades. Eu tento mostrar para eles. A dificuldade
maior é mesmo na leitura do problema, na interpretação. [...] Quando entendem o
que o problema está pedindo fica mais fácil. [...] Quando eles entendem se tem ou
não ordem, eles já sabem que fórmula usar. [...] Combinação eles apresentam
mais dificuldades. Aí, ele começa a fazer confusão com a fórmula do outro, que
tem uma “diferencinha” na fórmula. [...] Os conceitos de arranjo, combinação e
permutação são ensinados separadamente, só no final, quando fazem exercícios
complementares se misturam. Eles sentem mais dificuldades em diferenciar um
do outro. [...] Na verdade, na parte de fórmulas, é mais mecânico mesmo! Agora
se for um problema para ele usar arranjo ou permutação, acho que a maioria não
consegue fazer, diferenciar um do outro.
José:
Primeiro, eu trabalho exemplos clássicos de diretor, vice e
tesoureiro, dai introduzo, imediatamente, uma comissão que não tem nenhum
cargo. [...] Mas sempre deixando o aluno atravessar esse problema, para que ele
perceba o que aconteceu daqui para cá. [...] Aí você mostra para ele que se
tiverem dois cargos você divide por
2!
. E se tiverem quatro,
4!
[...]. Existem
vestibulares que não vão pedir o raciocínio e vão pedir exatamente a fórmula e
ele precisa escrever “essa porcaria” que “não tem pé nem cabeça” e nem sei por
que ele vai usar. [...] É verdade que você quando coloca a teoria à frente, você
realmente está induzindo. [...] Os problemas de arranjo, permutação e
combinação são ensinados separadamente. Acho que, no final, depois de toda a
teoria, aí você passa a trabalhar com isso (misturado). [...] Eu procuro deixar claro
que permutação é um caso particular, é arranjo. E o grande problema é o arranjo
e a combinação, por que a permutação é um caso particular de arranjo. [...] Como
eu te falei, a minha crítica está voltada a esse tipo de coisa de ser mais
observador do que eu fui e atrapalhar menos os alunos do que eu atrapalhava.
[...] A maior dificuldade é a transposição entre arranjo e combinação, esta é a
chave! De quando basicamente tem duas coisas, com ordem e sem ordem.
167
Mário:
Aí, eu olharia o tipo de resolução e o raciocínio do aluno, quer dizer,
como é que ele organiza essas informações? [...] Acho que a gente tem que
valorizar muito as possíveis maneiras desenvolver o problema sem ter de ficar
preso a um determinado esquema de resolução. Eu acho que aí vai da
experiência docente. O professor buscar outros tipos de, como é que eu
resolveria esse problema aqui, usando a fórmula de combinação? [...] Na
permutação, eu tenho a ideia de que é assim, a ordem é importante. Arranjo, eu
acho que aí você tem de tentar explicar para o aluno que você tem de tentar
distinguir o que é um arranjo, e o que é uma combinação e por que eu acho que
em determinada, até para mim mesmo, em determinados momentos parece que a
coisa é igual. Até mesmo para ser um futuro professor, um futuro educador, eu
precisaria trabalhar isso, na hora em que você tentar institucionalizar isso. [...] Por
isso, que eu falo, isso é um nó, em você ensinar a combinação e arranjo. Esse
tipo de notação, o que é
n
a
n
elementos de um conjunto de
n
elementos? Eu
acho que é um nó! Se isso está esclarecido para o aluno e mesmo para mim, que
assim eu vou ter mais segurança, eu vou ensinar isso para o aluno.
Raul:
O aluno tem muita dificuldade. Então aí às vezes, o problema é
explícito, ele deixa claro que tem essas diferenças de ordem, de número. Aí você
consegue mostrar pro aluno essa palavra que o texto no problema está indicando,
qual é o caminho, dá prá você e, às vezes, o texto do problema é um pouquinho
mais sofisticado pra você perceber, aí é difícil! É difícil até pra gente. É ler o
problema com eles e mostrar aqui ô tá a chave da coisa. [...] mas mesmo assim
de vez em quando pra gente que já está acostumado definir, às vezes, você
balança entre arranjo e combinação. [...] O tema que é desenvolvido na aula tem
de ser o mesmo que é trabalhado nos exercícios. [...] O aluno aplica diretamente,
porque tá dentro do assunto, se você pega isso solto, fica mais difícil. [...] Eles
fazem associação e isso, às vezes, até atrapalha. É, porque, às vezes, ele
começa a misturar o que é arranjo, o que é permutação e o que é combinação,
mas ele dá uma misturada, mas, assim, enquanto você tá dando o assunto, você
tá só em arranjo, só em combinação, entendeu, é melhor!
Rita:
Eles têm dificuldades quando tem ordem e quando não tem ordem.
[...] Isso aí é de perguntar, professora, é arranjo, é combinação, é permutação, o
168
tempo inteiro. Eles querem que, às vezes, eu dou o exercício e fala, dá uma dica
desse. [...] Então, eles têm dificuldades, eles não sabem quando é ordenado, às
vezes, eles fazem combinação e não dá certo. [...] A apostila mistura, tem desafio
dos três juntos. Ela tem uma parte só arranjo, só permutação, depois combinação,
depois envolvendo os três conceitos. Tem exercícios que a gente usa arranjo e
combinação no mesmo exercício. No começo, é dividido em tópicos e depois
mistura tudo. [...] Quando eu dou aquela parte final, eles conseguem um pouco
fazer essa associação, mas não, eles aprendem por bloco. Acho que é meio
isolado assim, depois eles vão percebendo que era a mesma coisa assim, não
sei! Arranjo e combinação eles confundem muito.
Os professores participantes das entrevistas mencionaram que os alunos
apresentam dificuldades para estabelecer distinções diante de problemas nos
quais a ordem dos objetos mostra-se ou não relevante. Segundo esses
professores, os alunos têm dificuldades para interpretar e identificar na leitura dos
problemas, se a ordem dos elementos que compõe os agrupamentos é ou não
relevante.
Ainda, em relação às dificuldades dos alunos, Batanero et al. (1996); Sturm
(1999) e Esteves (2001), também, destacam em suas pesquisas esse tipo de
dificuldade, na qual o conhecimento de arranjo (ordem relevante) interfere na
construção do conceito de combinação (ordem não relevante). As dificuldades
para interpretar os enunciados dos problemas são outro resultado importante das
pesquisas que também são citados por estes professores.
Por outro lado, Costa (2003) relata que as dificuldades apresentadas pelos
alunos no Ensino Médio em relação à ordem dos elementos são semelhantes
àquelas apresentadas pelos professores participantes de sua pesquisa. Citamos
aqui as falas de Raul e Felipe, que se referem à dificuldade de diferenciação
pelos alunos de Arranjo e Permutação, sem considerar que a permutação é um
caso particular de arranjo, conforme mostramos no tópico 3.2 e que, portanto, não
necessita dessa diferenciação.
Nesse contexto, entendemos que, segundo a praxeologia de Chevallard
(1999), os professores e, por consequência, os alunos, não compreendem, como
também não se apropriam do significado da técnica disponível a fim de realizar a
169
tarefa proposta pelo problema. Salientamos, novamente, que discutimos o
significado de técnica e tarefa, no sentido dado por Chevallard (1999), em relação
ao tema análise combinatória, no tópico 3.2 de nossa pesquisa.
Em nossas entrevistas, os professores Felipe, Mário e Raul afirmaram que
sentem dificuldades para distinguir, quando leem os enunciados dos problemas,
se a ordem dos elementos é ou não relevante. Nessa situação, entendemos que
os
Saberes Disciplinares
, segundo a taxonomia de Tardif (2002), não se mostram
organizados e totalmente compreensíveis por esses professores, o que vai ao
encontro do que analisamos nas respostas dadas no item anterior da entrevista.
Concordamos com Costa (2003) quando este afirma que é fundamental que o
professor reconheça quando a construção dos agrupamentos, em problemas de
análise combinatória, depende ou não da ordem, para que em um processo de
ensino ele possa mediar situações de aprendizagem.
Assim sendo, no contexto delineado, acreditamos ser fundamental ao
professor apropriar-se dos conceitos relacionados ao objeto matemático, como
também tomar posse de competências, a fim de colaborar e favorecer a
construção desses conceitos pelos alunos.
Machado (2009) observa que a grande competência do professor é
traduzida na tecedura de uma rede de significações. Portanto, entendemos que
nas falas dos professores Felipe, Mário e Raul, essa rede de significações em
relação aos conceitos que permeiam os estudos de análise combinatória não se
apresenta de forma organizada e inteligível.
Tardif (2002) cita que conhecer bem a matéria a ser ensinada é apenas
uma condição necessária e não suficiente do trabalho pedagógico. No caso dos
professores Felipe, Mário e Raul, temos a hipótese que, por eles não conhecerem
o objeto matemático de forma fundamentada e clara, não demonstraram
segurança nas entrevistas em relação ao ensino desses temas nas aulas de
Matemática.
Por outro lado, Ferreira (2006) destaca a importância de entender o
desenvolvimento profissional do professor, como um processo que se dá ao longo
de toda sua experiência docente sem possuir uma duração preestabelecida. Por
170
esse enfoque e, analisando a problemática destacada nas falas dos professores
Felipe, Mário e Raul, entendemos que se torna necessário e enriquecedor, para
esses professores, a participação em cursos de formação continuada ou em
grupos colaborativos de discussão de conteúdos (pedagógicos e disciplinares), a
fim de estruturar e organizar seus
Saberes Disciplinares
em relação ao ensino de
análise combinatória.
Novamente, destacamos que este trabalho está inserido no grupo de
pesquisa PEA-MAT que, atualmente, realiza um trabalho de formação e
desenvolvimento profissional com professores da escola básica, com relação aos
conceitos referentes ao bloco dos PCN conhecidos, como Tratamento da
Informação, nos quais a análise combinatória está inserida. Assim, temos a
pretensão de utilizar os resultados desta pesquisa a fim de discutir, planejar,
organizar e estruturar as atividades que serão futuramente estudadas e
desenvolvidas pelo grupo em relação ao ensino de análise combinatória.
4.2.9 Conceitos fundamentais a serem discutidos no Ensino Médio
Entrevistador: Quais os conceitos que você considera importantes e
fundamentais que o aluno saiba com relação à análise combinatória no
Ensino Médio? Cite aspectos importantes a serem abordados em uma
avaliação.
Abel:
É importante que ele saiba distinguir as diferentes estratégias que
temos para resolver problemas de análise combinatória. Identificar o tipo de
problema que você está lidando e tentar adotar a estratégia certa. Cercar o
problema. [...] Abordar problemas básicos, alguns com ordem, outros sem ordem
e misturar um pouco. [...] Acho que uma prova adequada deveria ter estas três
etapas, ou seja, problemas em que a ordem é clara, outros em que a ausência da
ordem seja clara e outras em que isso não esteja muito claro. Aí ele tem de
investigar e identificar e se possível perceber se o aluno está dominando o
assunto ou não.
171
Felipe:
Acho importante que ele saiba diferenciar num problema quando
ele vai usar o arranjo, quando ele vai usar a permutação ou combinação. Saber
em quais problemas ele deve utilizar o princípio multiplicativo. Saber em que
momentos ele pode usar a enumeração. Saber diferenciar quando é mais fácil
utilizar um caso ou outro caso.
José:
Acho que usar questões práticas, visto que os enunciados são
viciados, mesmo tomando todo o cuidado. [...] Colocar o aluno diante de situações
práticas, situações em que ele possa manipular. Se o aluno souber fazer a árvore
de possibilidades e souber contagem, mesmo que ela seja manual. [...] Saber
organizar, se souber sistematizar. Importante é o aluno conseguir diferenciar e
resolver problemas nos quais a ordem é ou não importante.
Mário:
Primeiro, eu acho que o Princípio Fundamental da Contagem, o
princípio fundamental aditivo deve estar bem claro. [...] Fazer uma discussão com
os alunos, acho que é por aí. Avaliaria quais são os métodos que o aluno tem
para organizar. Como é que ele consegue interpretar o problema. [...] Quer dizer a
forma, o conceito combinatório está claro para o aluno? O que é permutação,
combinação e arranjo.
Raul:
Uma sequência boa seria se ele soubesse tirar a informação do
problema, os dados do problema tá, identificar o que ele vai usar, na maioria das
vezes, qual fórmula, qual recurso ele vai usar e saber aplicar então nessa
sequência. Diferenciar em que tipo de situação, que tipo de fórmula vai se
encaixar e saber aplicar a fórmula. [...] Então você tem que fazer uma avaliação
em primeiro lugar, em minha opinião, prá testar o recurso técnico do aluno, ou
seja, se ele consegue aplicar a fórmula. [...] se ele consegue articular a parte
matemática da coisa, se ele não consegue articular a parte matemática da coisa,
não adianta ele ler o problema, não tem como, ele não tem recurso para resolver
o problema.
Rita:
Saber distinguir bem o que é arranjo, permutação e combinação e
colocar na prática esses conceitos. Acho assim que é o fundamental eles
saberem. [...] Na prova, é importante o aluno saber montar o raciocínio do
172
problema, não se importando com os cálculos. Ah! Identificar o arranjo, a
permutação, uma combinação e não sei, eu acho, assim, é o fundamental.
Com relação aos conceitos fundamentais que os alunos do Ensino Médio
deveriam apropriar-se em relação aos estudos de análise combinatória, em suas
falas, os professores entrevistados mostraram entendimentos divergentes.
Por um lado, os professores Abel e José entendem ser importante que o
aluno saiba interpretar os problemas e distinguir se a ordem dos elementos que
faz parte dos agrupamentos mostra-se relevante ou não no desenvolvimento de
resolução dos problemas. Por outro lado, os professores Felipe e Raul valorizam
e explicitam a importância da aplicabilidade do uso de fórmulas pelos alunos nas
resoluções de problemas, o que confirma as afirmações anteriores feitas por
esses professores, que indicam valorizar as fórmulas em detrimento dos
conceitos. Os professores Marcos e Rita enfatizam a importância do aluno
distinguir e identificar o tipo de problema, ou seja, se o problema está relacionado
ao conceito de arranjo, permutação ou combinação, Nesse caso, vale pontuar que
Marcos e Rita não explicitam se o uso de fórmulas é enfatizado ou não na
resolução dos problemas.
Sob essa ótica, temos a hipótese de que o desenvolvimento profissional
permeado pelas experiências e práticas docentes, discussões com os pares e a
maturidade profissional de cada um esboça e constroi uma teia de saberes que
podemos denominar como
Saberes Experienciais
desses professores.
Em nosso caso, os participantes das entrevistas mostraram que esses
saberes apresentam-se de forma distinta e, em certos casos, divergentes, em
relação ao ensino de análise combinatória. Por exemplo, enquanto os professores
Abel e José valorizam a identificação pelos alunos em relação à ordem dos
elementos, os professores Felipe e Raul destacam a aplicabilidade de fórmulas.
Segundo Batanero et al. (1996), Esteves (2001) e Costa (2003), o objetivo da
resolução de problemas nos estudos de análise combinatória deve caracterizar-se
com base no desenvolvimento dos conceitos matemáticos, com o objetivo de que
os alunos construam esses conceitos e os formalizem, a fim de que possam
entender a aplicação e o uso das fórmulas.
173
Nesse contexto, entendemos que a fórmula tornar-se-á a tecnologia, no
sentido dado por Chevallard (1999), com relação ao conceito construído.
Tecnologia esta que permite o desenvolvimento do raciocínio combinatório, tal
como apresentado nos tópicos 3.2 e 3.3, uma vez que os significados de arranjo,
combinação ou permutação foram construídos, a fórmula serve apenas para
operacionalizar os procedimentos.
Assim sendo, novamente, enfatizamos a necessidade de valorizarmos a
participação dos professores em atividades para o desenvolvimento profissional
que visem a desenvolver e socializar seus
saberes experienciais
, segundo a
taxonomia de Tardif (2002), a fim de que essas discussões possam contribuir
para que o professor apresente a capacidade de dominar, interagir e socializar
esses saberes.
Eles precisam também discutir e compreender as inter-relações entre os
diversos tipos de saberes, pois são estas que formam a identidade profissional do
professor. Nesse item da entrevista, pudemos evidenciar, por exemplo, a
influência dos saberes disciplinares sobre os saberes experienciais e vice-versa,
sobretudo, nas falas de Raul e Felipe.
174
Se assumirmos o postulado de que os professores são atores
competentes, sujeitos ativos, deveremos admitir que a prática deles
não é somente um espaço de aplicação de saberes provenientes da
teoria, mas também um espaço de produção de saberes específicos
oriundos dessa mesma prática. Noutras palavras, o trabalho dos
professores de profissão deve ser considerado como um espaço
prático específico de produção, de transformação e de mobilização
de saberes e, portanto, de teorias, de conhecimento e de saber-
fazer específicos ao ofício do professor. Essa perspectiva equivale
a fazer do professor – tal como o professor universitário ou o
pesquisador da educação – um sujeito do conhecimento, um ator
que desenvolve e possui sempre teorias, conhecimentos e saberes
de sua própria ação. (TARDIF, 2002, p. 234-235)
175
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A presente pesquisa iniciou-se com uma análise bibliográfica a fim de
selecionarmos os trabalhos acadêmicos, na área de Educação Matemática,
desenvolvidos em relação ao tema: o ensino de análise combinatória. Diante
desta análise, concordamos com Sturm (1999), ao afirmar que, usualmente, o
foco das pesquisas sobre o tema análise combinatória, atenta a respeito do
aprendizado do aluno, não destacando atenção com relação aos saberes do
professor.
A maioria da bibliografia relativa ao tema tem o seu foco no aluno.
Mesmo os textos destinados ao professor discutem a Análise
Combinatória em si ou propõem sugestões de ensino, sem colocar-se na
posição do professor. Os textos não trazem à tona o pensamento do
professor, sua relação com o tema, suas concepções, sua visão sobre a
importância da Análise Combinatória. A importância de estudos deste
tipo pode se revelar na possibilidade de dialogar com os professores que
vêm buscando alternativas para seu trabalho. (STURM, 1999, p. 86)
Nesse contexto, compreendemos ser enriquecedor investigar os saberes
do professor do Ensino Médio, com relação ao ensino do tema. Por outro lado,
pesquisas acadêmicas, como as desenvolvidas por Sturm (1999), Esteves (2001)
e Rocha (2002) que mostram as dificuldades dos alunos para interpretar os
enunciados dos problemas e as confusões com relação à relevância ou não da
ordem dos elementos que compõem os agrupamentos e a falta de organização
para enumerar os elementos sistematicamente, ou seja, estas pesquisas
apresentam algumas das dificuldades dos alunos com relação à aprendizagem
dos conceitos de contagem.
Assim, diante desse cenário, em admitindo a hipótese de que os saberes
dos alunos são influenciados pela prática e saberes do professor, acreditamos ser
profícuo compreender, como se dá e desenvolvem-se os saberes docentes em
176
relação ao ensino de análise combinatória, assim, colaborar em futuras pesquisas
relacionadas ao aprendizado do tema.
Novamente, vale pontuar que este trabalho de pesquisa encontra-se
inserido no projeto:
Processo de ensino aprendizagem envolvendo raciocínio
estatístico e probabilístico,
do grupo de pesquisa PEA-MAT da PUC/SP,
financiado pela FAPESP, que desenvolve um trabalho de formação continuada
com professores da rede pública da cidade de São Paulo há 10 anos.
Assim, nesse contexto, temos a intenção de utilizar os resultados obtidos
neste trabalho, a fim de planejar, orientar e delimitar as atividades que
futuramente serão abordadas, analisadas e discutidas pelos professores
participantes do projeto.
Nossas considerações iniciaram-se com relação às influências da formação
inicial (Escola Básica e Ensino Superior) e ao ensino de análise combinatória.
Nesse contexto, as falas dos professores expuseram uma situação antagônica;
por um lado, os professores Abel, Felipe, Rita e Raul afirmaram, enfaticamente,
que a formação inicial vivenciada, com relação aos estudos de análise
combinatória no Ensino Médio e Superior não influenciou a prática docente e,
além disso, segundo eles, apresentou-se como um contraexemplo a essa prática.
Por outro lado, os professores José e Mário avaliaram que a experiência
que estão vivendo no Ensino Superior propicia subsídios, como também
oportunidades de discussão em relação aos estudos de análise combinatória e,
um repensar sobre a prática docente
26
. Nessa situação, acreditamos que a
maturidade e as experiências de vida desses professores participam e colaboram,
de certo modo, com relação à visão relatada por eles sobre os estudos de análise
combinatória vivenciados no Ensino Superior.
Ponte (2002) atenta que os cursos de formação inicial não podem
evidenciar, apenas, os conceitos e definições matemáticas, mas precisam,
também, priorizar o tratamento histórico e epistemológico dos conceitos e a
construção de um conhecimento pedagógico e didático amplo e diversificado.
____________
26
Vale pontuar que os professores Mário e José são estudantes matriculados no 3º ano de graduação em
Licenciatura em Matemática. A justificativa, a descrição e as características dos professores participantes
da pesquisa encontram-se no tópico 4.1 de nosso trabalho.
177
Nesse contexto, entendemos que o relato dos professores Mário e José
evidenciaram esses aspectos com relação aos estudos de análise combinatória,
pois, segundo esses professores, o ambiente universitário, que estão vivenciando
valoriza os aspectos históricos, as discussões e a construção dos conceitos
estudados.
Com relação à formação inicial (Ensino Fundamental e Médio), segundo
Tardif (2002), existem muitas pesquisas que mostram que o saber herdado da
experiência escolar vivida pelos professores apresenta-se muito forte, persistindo
através do tempo e, muitas vezes, nem a formação universitária consegue
transformá-lo.
Nesse contexto, discordamos parcialmente do autor, pois, por um lado, as
falas dos professores Abel, Felipe, Rita e Raul afirmaram que a influência da
formação inicial não influiu na prática docente. Os professores relataram que a
formação escolar no Ensino Médio com relação ao tema análise combinatória, é
vista e entendida como um contraexemplo em relação às práticas docentes por
eles exercidas.
Por outro lado e, contraditoriamente, os professores Felipe, Rita e Raul
revelaram, em suas falas que nas aulas de análise combinatória valorizam a
memorização e a aplicabilidade das fórmulas, ou seja, uma prática semelhante às
aulas que vivenciaram no Ensino Médio que avaliaram como contraproducente.
Na situação descrita, temos a hipótese de que os professores Felipe, Rita e
Raul reproduzem, de certo modo, a prática docente dos professores que
participaram das experiências escolares por eles vividas. Ou seja, mesmo
afirmando que esta formação inicial não lhes influenciou, mas em alguns
momentos da entrevista, a fala desses professores mostrou que a prática docente
por eles descrita, em relação ao ensino de análise combinatória, reproduz, de
certa forma, o saber herdado das experiências escolares vividas.
Portanto, temos a hipótese de que a prática docente, em relação ao ensino
de análise combinatória, apresenta-se, em parte, como resultado das interações
dos saberes profissionais do professor com as experiências vividas por essa
prática. Tudo isso permeado por sua historicidade que inclui a vida escolar e
178
acadêmica do professor que acreditamos que possa influenciar sua prática e o
desenvolvimento de seus saberes docentes, com relação ao tema: análise
combinatória.
Quanto ao desenvolvimento profissional, todos os professores
entrevistados afirmaram ter participado nos últimos anos de cursos, congressos e
seminários.
Nesse contexto, consideramos interessante enfatizar o relato do professor
Abel que participou, recentemente, de um minicurso, cujo tema o ensino de
análise combinatória foi abordado. Este minicurso caracterizou-se por discutir o
ensino de análise combinatória, não enfatizando o uso de fórmulas e sim o
emprego do Princípio Fundamental da Contagem, proposta que o professor Abel
avaliou como interessante e adequada.
Em sua fala, o professor esclareceu, também, que no Ensino Médio,
quando era aluno, seu professor optou por não valorizar o uso de fórmulas na
resolução de problemas de análise combinatória. Esta opção, segundo ele, não
favoreceu seu aprendizado. Nesse contexto, ele afirmou que
“teve de reaprender
e superar um grande obstáculo”
. Quando indagado sobre esta contradição de
ideias, o professor Abel afirmou que, nos dias de hoje, mostra-se mais experiente
e pontua que seu professor no Ensino Médio escolheu o caminho correto.
Tardif (2002) considera que a prática do professor integra distintos saberes,
com os quais o docente mantém diferentes relações. Desse modo, segundo o
autor, o saber docente é plural e temporal, ou seja, é um saber oriundo e
permeado por saberes desenvolvidos durante toda sua formação profissional,
como também, por saberes provenientes das relações sociais vivenciadas pelos
professores.
Assim, temos a hipótese de que a prática docente vivenciada pelo
professor Abel nos últimos anos, colaborou no desenvolvimento de seus saberes
docentes e, consequentemente, em seu desenvolvimento profissional.
Desse modo, entendemos que o meio no qual sua prática está inserida, as
relações que envolvem seu trabalho cotidiano e a participação em cursos de
formação continuada contribuíram, de fato, para as mudanças, por ele
179
evidenciadas, ou seja, no contexto de nosso trabalho, o uso do Princípio
Fundamental da Contagem, em detrimento do emprego de fórmulas nas aulas de
análise combinatória.
Assim, conjecturamos que a experiência profissional do professor Abel
validou e autenticou os saberes por ele enfatizados e, consequentemente,
proporciona e colabora nas mudanças em sua prática docente.
No contexto delineado, temos a hipótese de que a participação em
congressos, cursos e seminários, as experiências vividas, a prática docente e a
historicidade do professor podem contribuir e influenciar, de certa forma, em seu
desenvolvimento profissional, proporcionando mudanças e questionamentos em
relação à sua prática, como exemplificado pelo professor Abel.
Por fim, outro aspecto que pretendemos destacar com relação ao
desenvolvimento profissional do professor está relacionado à participação em
congressos, cursos e seminários. Entendemos que esta participação deva ser de
responsabilidade do professor, a fim de que lhe seja significativa e, desse modo,
possa objetivar e colaborar no desenvolvimento de seus saberes profissionais e,
consequentemente, seja possível gerar e promover mudanças em sua prática
docente.
Com relação ao uso de fórmulas e suas justificativas (generalizações ou
demonstrações), os professores Felipe, Mário, Raul e Rita, em suas falas,
evidenciaram uma valorização do emprego das fórmulas nos estudos de análise
combinatória, mas, por outro lado, afirmaram que não saberiam explicar e
justificar a validade e a origem das mesmas.
Costa (2003) e Santos (2005), em suas pesquisas, constataram que os
professores participantes mostraram insegurança, como também falta de
conhecimento matemático na resolução de problemas de análise combinatória,
apresentando, na situação descrita, dificuldades para resolvê-los sem o auxílio de
fórmulas. Vale notar que essa característica, também, foi observada na fala dos
professores participantes de nossa pesquisa.
180
Tardif (2002) define como
Saberes Disciplinares
aqueles que
correspondem aos diversos campos do conhecimento. Segundo o autor, esses
saberes integram-se à prática docente, usualmente, pela formação inicial e
contínua dos professores nas diversas disciplinas oferecidas pelas universidades.
Sob essa ótica, acreditamos que o uso, como a valorização ou não das
fórmulas na resolução de problemas de análise combinatória podem caracterizar-
se, segundo a taxonomia de Tardif (2002), como
Saberes Disciplinares
, pois,
entendemos que esses saberes integram a prática docente e apresentam-se,
geralmente, como resultado da formação inicial ou continuada do professor.
Assim, compreendemos que as falas dos professores Felipe, Mário, Raul e
Rita mostraram que o
Saber Disciplinar
em relação ao ensino de análise
combinatória resume-se, substancialmente, na aplicação de fórmulas específicas
na resolução de problemas, ou seja, no contexto apresentado. Temos a hipótese
de que o professor apropria-se de um conjunto de fórmulas, como técnicas
disponíveis, no sentido usado por Chevallard (1999) com o objetivo de encontrar
um “caminho” que o conduza a um resultado, mesmo que essa técnica não seja
inteligivelmente validada e justificada.
Temos a hipótese de que seja profícuo, com relação ao ensino de análise
combinatória que o professor aborde o uso das fórmulas nas aulas de análise
combinatória, como resultado de um processo da construção do raciocínio
combinatório e não o início dessa construção.
No tópico 3.2, salientamos que apresentamos e discutimos como
compreendemos o uso da fórmula, como consequência de um processo de
generalização ao emprego do Princípio Fundamental da Contagem, ou seja, no
contexto de nosso trabalho, apresentamos, como entendemos a tecnologia, em
nosso caso, a fórmula, justificando e generalizando a técnica empregada, nos
termos de Chevallard (1999).
Portanto, conjecturamos que o professor quando não tem clareza com
relação aos conceitos matemáticos que envolvem os estudos de análise
combinatória, apropria-se do uso de fórmulas, a fim de estruturar técnicas, no
sentido dado por Chevallard (1999). Desse modo, adquire solidez sobre esse
181
conhecimento, com o objetivo de encontrar uma solução para os problemas
propostos.
Os professores participantes de nossa pesquisa expuseram que a relação
entre os pares, ou seja, a troca de informação e experiência entre os colegas de
profissão, com relação ao ensino de análise combinatória, favorece como também
produz saberes. Entendemos que as falas dos professores entrevistados
mostraram que a troca de experiências e ideias, o diálogo, as discussões entre os
colegas de profissão e a procura por profissionais mais experientes podem
caracterizar-se, como uma busca por aspectos que possam favorecer o
desenvolvimento dos saberes docentes e, possivelmente, a prática do professor.
Tal compreensão se fortalece pelo fato de que estes professores apresentam
características profissionais bastante distintas, conforme apresentado no tópico
4.1.
Segundo a taxonomia de Tardif (2002), esses saberes são denominados
Saberes Experienciais,
que são adquiridos pela prática docente e nas relações
pessoais e, assim, são validados e legitimados pela própria prática. Ferreira
(2006) ressalta ser importante entender o desenvolvimento profissional do
professor, como um processo que se dá ao longo de toda sua experiência
docente, não ocorrendo de forma linear nem possuindo uma duração
preestabelecida.
Assim sendo, temos a hipótese de que as experiências docentes relatadas
pelos professores entrevistados, com relação às trocas de saberes e experiências
entre os colegas de profissão, validaram a própria prática cotidiana, tomando,
dessa forma, o caráter de um processo contínuo de aprendizagem e
desenvolvimento profissional.
Portanto, entendemos que valorizar o diálogo e as discussões informais,
em relação ao ensino de análise combinatória, possa ser um meio valoroso, a fim
de contribuir para a formação e o desenvolvimento profissional do professor em
relação a esse tema.
A respeito do uso do Princípio Fundamental da Contagem na resolução de
problemas de análise combinatória, os professores Abel, José, Mário e Rita
182
afirmaram que valorizam seu uso. Por outro lado, os professores Felipe e Raul
enfatizaram que valorizam o uso das fórmulas na resolução de problemas de
contagem.
Acreditamos que o emprego do Princípio Fundamental da Contagem na
resolução de problemas de análise combinatória, como técnica, no sentido usado
por Chevallard (1999), seja valoroso, pois favorece a generalização de resultados,
ou seja, a própria fórmula, como também o entendimento dos conceitos de forma
significativa. Desse modo, entendemos que o uso das fórmulas nas aulas de
análise combinatória, caracterizar-se-á como um processo de entendimento,
discussão e desenvolvimento, para formalizar os conceitos relacionados aos
estudos deste tema. Portanto, no contexto delimitado, entendemos que seja
fundamental que o uso do Princípio Multiplicativo esteja integrado aos saberes
docentes.
Pontuamos, novamente, que no tópico 3.2 sugerimos e exemplificamos o
emprego do Princípio Multiplicativo, como uma possível técnica disponível, no
sentido dado por Chevallard (1999), a fim de abordar, resolver e estudar
problemas de contagem no Ensino Médio sem o uso das fórmulas.
Contraditoriamente, vale observar que as falas dos professores Raul e
Felipe evidenciaram, de forma positiva, o uso do Princípio Fundamental da
Contagem na resolução de problemas, mas não mostraram evidências e clareza
sobre essa importância, pois, em suas falas, há uma valorização do uso das
fórmulas. Assim sendo, acreditamos que nesse contexto, os professores Felipe e
Raul apresentaram, segundo a Taxonomia de Tardif (2002), lacunas no
desenvolvimento de seus
Saberes Disciplinares
com relação ao ensino de análise
combinatória.
Temos a hipótese de que os conceitos sobre o ensino de análise
combinatória apresentados pelo professor Felipe que expôs ter aprendido análise
combinatória, utilizando-se de fórmulas, e o professor Raul, o qual afirmou não ter
estudado análise combinatória no Ensino Médio e Superior, desenvolveram-se
com base na historicidade de cada um, das relações por eles construídas com
seus pares, das influências com os livros que tiveram oportunidade de pesquisar.
183
Desse modo, entendemos que esses fatores poderiam justificar as lacunas aqui
apresentadas.
Com relação ao uso da construção da árvore de possibilidades e da
enumeração das soluções, não notamos nas falas dos entrevistados valorização
dessas técnicas, no sentido usado por Chevallard (1999).
Esteves (2001) afirma que incentivar o uso de diagramas, tabelas,
enumerações ou a árvore de possibilidades são meios valorosos, a fim de
sistematizar a compreensão do Princípio Fundamental da Contagem.
Sob essa ótica, temos a hipótese de que a enumeração e a árvore de
possibilidades são técnicas (Chevallard, 1999) que não participaram da
historicidade, do processo de escolarização, como também do desenvolvimento
dos saberes dos professores de nossa pesquisa. Assim sendo, entendemos que
esse contexto pode justificar e nos fazer compreender a não valorização desses
professores, com relação ao uso dessas técnicas em suas práticas docentes no
ensino de análise combinatória.
Com relação aos problemas em que são necessários analisar a ordem dos
elementos que compõem os agrupamentos, os professores Felipe, Mário e Raul
afirmaram que sentem dificuldades para distinguir, quando leem os enunciados
dos problemas, se a ordem dos elementos é ou não relevante.
Nessa situação, entendemos que os
Saberes Disciplinares
, segundo a
taxonomia de Tardif (2002), não se mostraram organizados e totalmente
compreensíveis por esses professores. Costa (2003) afirma ser fundamental que
o professor reconheça quando a construção dos agrupamentos, em problemas de
análise combinatória, depende ou não da ordem, para que em um processo de
ensino ele possa mediar situações de aprendizagem.
No caso dos professores Felipe, Mário e Raul, temos a hipótese de que por
não conhecerem o objeto matemático de forma fundamentada e clara, não
demonstraram segurança nas entrevistas com relação ao ensino desses temas
nas aulas de Matemática.
184
Por outro lado, segundo Batanero et al. (1996); Sturm (1999) e Esteves
(2001), os alunos, também, apresentam confusão sobre a relevância ou não da
ordem dos elementos que compõem os agrupamentos e dificuldades para
interpretar os enunciados dos problemas.
Nesse contexto e com base na hipótese de que os saberes dos alunos são
influenciados pela prática e saberes do professor, conjecturamos que as
dificuldades apresentadas pelos alunos podem ser consequência da falta de
conhecimento específico do professor a respeito do objeto estudado.
Acreditamos que a situação descrita seja importante e fundamental para o
professor participar de cursos de formação continuada, a fim de discutir, planejar,
organizar e estruturar seus
Saberes Disciplinares
(Tardif, 2002) em relação ao
ensino de análise combinatória.
Ferreira (2006) afirma ser importante entender o desenvolvimento
profissional do professor como um processo que se dá ao longo de toda sua
experiência docente, sem uma duração preestabelecida.
Nesse sentido, julgamos estar colaborando com essa formação, pois os
resultados obtidos neste trabalho ajudaram a organizar e estruturar as atividades
que, futuramente, os professores participantes do grupo de pesquisa PEA-MAT
que realizam um trabalho de formação e desenvolvimento profissional com
relação aos estudos de análise combinatória, irão abordar, discutir e desenvolver
nos futuros encontros.
Os professores participantes de nossa pesquisa mostraram entendimentos
divergentes com relação aos conceitos fundamentais que os alunos do Ensino
Médio deveriam apropriar-se com relação aos estudos de análise combinatória.
Nas entrevistas, constatamos que os professores Abel e José entendem
ser importante que o aluno saiba interpretar os problemas e distinguir se a ordem
dos elementos que fazem parte dos agrupamentos mostra-se relevante ou não no
desenvolvimento na resolução dos problemas.
Os professores Felipe e Raul valorizaram e explicitaram a importância da
aplicabilidade do uso de fórmulas pelos alunos, e os professores Marcos e Rita
185
salientaram a importância do aluno distinguir e identificar o tipo de problema, ou
seja, se este está relacionado ao conceito de arranjo, permutação ou combinação.
Temos a hipótese de que o desenvolvimento profissional do professor
mostra-se permeado pelas experiências e práticas docentes, pelas discussões
com os pares e a historicidade e maturidade profissional que cada um possui.
Assim, no caso dos professores que participaram de nossa pesquisa,
temos a hipótese que as divergências observadas, com relação aos conceitos
fundamentais de análise combinatória que necessitam ser abordados no Ensino
Médio, mostram-se como resultado de toda formação escolar, acadêmica, como
também do desenvolvimento profissional de cada professor.
Portanto, sendo redundante, acreditamos na necessidade de valorizar a
participação do professor em programas de desenvolvimento profissional que
visem a desenvolver e socializar os saberes docentes, a fim de que essas
discussões sejam, de fato, enriquecedoras para a formação contínua do
professor.
Assim sendo, com o objetivo de finalizar nossas considerações finais
retomaremos à questão de pesquisa de nosso trabalho:
Quais saberes podem
ser identificáveis por meio da fala do professor do Ensino Médio, utilizando-
se de entrevistas semiestruturadas, em relação ao ensino dos conceitos de
análise combinatória?
Considerando as reflexões apresentadas nas análises das entrevistas e os
pontos abordados nas considerações finais, entendemos que os saberes do
professor do Ensino Médio com relação ao ensino de análise combinatória
caracterizam-se divergentes, como também, de certo modo, distintos. Essa
dissonância apresenta-se, como o resultado da formação inicial do professor, de
sua historicidade, de seu desenvolvimento profissional, das relações que o
professor construiu e constrói com seus pares, como também o conhecimento de
que ele se apropriou com relação ao objeto matemático em questão.
Dessa forma, entendemos que podemos sintetizar as análises
desenvolvidas em nosso trabalho, com relação aos saberes do professor que
186
ensina os conceitos de análise combinatória no Ensino Médio, em alguns
aspectos:
Alguns professores participantes da pesquisa reproduzem, de certo
modo, a prática docente e o saber herdado dos professores que
participaram de suas experiências escolares, em relação ao ensino de
análise combinatória, ou seja, valorizam a memorização e a
aplicabilidade das fórmulas na resolução de problemas;
Entendemos que os saberes docentes são temporais e permeados pelos
saberes oriundos do meio, no qual a prática do professor apresenta-se
inserida. Desse modo, a participação em cursos de formação continuada
mostra-se como provocadora de mudanças dessa prática. O fato
apresentou-se presente nas falas de alguns dos professores
participantes da pesquisa. Salientamos que acreditamos ser esta
participação de responsabilidade do professor a fim de que, de fato, seja
significativa para ele;
As análises das entrevistas mostraram-nos que a troca de informação e
experiência entre os colegas de profissão, com relação ao ensino de
análise combinatória, favorece, como também produz saberes. Nesse
contexto, temos a hipótese de que as trocas de experiências entre os
professores validam a prática docente cotidiana, tornando-se, assim,
como um processo contínuo de aprendizagem e desenvolvimento
profissional;
Com relação ao uso das fórmulas, a análise das entrevistas mostrou
uma situação divergente, pois alguns professores disseram valorizar o
uso do Princípio Fundamental da Contagem em detrimento do emprego
da fórmula, e outros valorizam o uso das fórmulas, mas não mostraram
saber justificar e validar sua origem. Entendemos que seja profícuo ao
professor abordar o uso da fórmula como consequência do Princípio
Multiplicativo, ou seja, como o resultado de um processo da construção
do raciocínio combinatório e não o início dessa construção. Nesse
contexto, temos a hipótese de que a participação dos professores em
cursos de formação continuada, nos quais esse processo de construção
seja evidenciado e valorizado, podendo contribuir para um
187
desenvolvimento e reavaliação dos saberes docentes e, por
consequência, de sua prática.
Com relação aos problemas nos quais é necessário analisar a ordem
dos elementos que compõem os agrupamentos, alguns professores
mostraram dificuldades para distinguir, quando leem os enunciados dos
problemas, se a ordem dos elementos é ou não relevante. Novamente,
acreditamos que a participação em cursos de formação continuada a fim
de discutir, planejar, organizar e estruturar os saberes docentes desses
professores seja proficiente e valorosa.
Para finalizar, como sugestões a futuras pesquisas, entendemos que seja
interessante organizar um estudo, em que seja possível observar a prática
docente do professor do Ensino Médio em relação ao ensino de análise
combinatória, a fim de elucidar e pontuar se os saberes docentes aqui discutidos
e analisados participam, de fato, da prática cotidiana do professor.
Com o objetivo de validar os resultados da pesquisa, acreditamos que
planejar uma pesquisa quantitativa, com o mesmo público-alvo, a fim de identificar
a relação que existe entre os saberes do professor e o ensino de análise
combinatória seja interessante e essencial para legitimar os resultados aqui
apresentados.
Por fim, acreditamos que os resultados apresentados neste trabalho
possam contribuir para que identifiquemos e entendamos os saberes docentes do
professor do Ensino Médio em relação ao ensino de análise combinatória.
188
189
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, S. Ag.
Fundamentos da didática da matemática
. Curitiba:
Editora UFPR, 2007.
BACHX, A. de C.; POPPE, L. M. B.; TAVARES, R. N. O.
Prelúdio à Análise
Combinatória
, São Paulo: Editora Nacional, 1975.
BATANERO, C.; NAVARRO – PELAYO, V; GODINO, J. D.
Razonamiento
Combinatorio
, Madrid: Editorial Síntesis, 1996.
BATANERO, C.; GODINO, J. D.; NAVARRO – PELAYO, V.; Razonamiento
Combinatorio en Alumnos de Secundaria. In:
Educación Matemática
, v. 8 n. 1,
p.26-39, 1996. Disponível em:<http://www.ugr.es/~batanero.htm>. Acesso em: 29
jun 2009.
BELLHOUSE, D. R. Bellhouse D. R.
“De Vetula”: a medieval manuscript
containing probabi lity alculations
. In
International Statistical Review
, 68/2, 123-
136, 2000
BLANTON, M.; SCHIFTER, D. ING, V.; LOFGREN P.; WILLIS, C.; DAVIS F.;
CONFREY, J..
Early Algebra
, in Algebra, Gateway to a Technological
Future,
University of the District of Columbia, 2007.
BOGDAN, R; BIKLEN, S.;
Investigação Qualitativa em Educação: uma
introdução à teoria e aos métodos
, Porto: Porto Editora, 1994.
BOYER, C. B.
História da Matemática.
Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo:
Editora Edgard Blucher, 1974.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica.
Orientações
Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza
, Matemática e suas
Tecnologias, Vol. 2, Brasília: SEF/MEC. 2006.
190
CHEVALLARD, Y.;
La Transposición Didáctica. Del Saber Sábio al Saber
Enseñado
. Bueno Aires: Aique Grupo Editor, 1991.
CHEVALLARD, Y.
El análisis de las prácticas docentes en la teoria
antropológica de lo didáctico.
Recherches en Didactique des Mathématiques,
Vol. 19, nº 2, p. 221-266, 1999.
CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCÓN, J.
Estudar Matemáticas O elo
perdido entre o ensino e a aprendizagem
. Porto Alegre: ArtMed, 2001.
CORREIA, J. A
. Contributos para a construção de “narrativas educativas” de
esquerda.
Perspectiva, Vol. 23, nº 02, p. 407-426, 2005.
CORTELLA, M. S.;
Não nascemos prontos! : Provocações Filosóficas.
Petrópolis: Vozes, 2006.
COSTA, C. A. da;
As concepções dos professores de matemática sobre o
uso da modelagem no desenvolvimento do raciocínio combinatório no
ensino fundamental.
São Paulo, 2003, 151f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2003.
CYRINO, M. C. C. T. Preparação e emancipação profissional na formação inicial
do professor de matemática. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A
Formação do Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
.
Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
DIAS, I., C.; MARCOS, S., T.
As Espécies de Raciocínio: Dedução, Indução e
Abdução.
Artigo apresentado à disciplina Teoria Semiótica: Texto e Imagem e ao
Núcleo de Estudos Avançados de Semiótica, sob a coordenação da Profª Drª
Linda Bulik, no Programa de Pós-Graduação em Comunicação da Universidade
de Marília, São Paulo, 2005.
ESTEVES, I.
Investigando os fatores que influenciam o raciocínio
combinatório em adolescentes de 14 anos – 8ª
série do ensino fundamental
.
São Paulo, 2001, 203f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Centro das Ciências Exatas e Tecnologia, Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, 2001.
EVES, H.
Introdução a História da Matemática
. São Paulo: Editora da
UNICAMP, 2004.
191
FERREIRA, A. C.. O trabalho colaborativo como ferramenta e contexto para o
desenvolvimento profissional: compartilhando experiências. In: NACARATO, A. M.
e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A Formação do Professor que Ensina Matemática:
perspectivas e pesquisas
. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
FREIRE, P..
Pedagogia da autonomia: saberes necessários a prática
educativa.
São Paulo: Paz e Terra, 1996.
HARIKI, S.
Conectar problemas: uma nova estratégia de resolução de
problemas combinatórios
. In: Revista Educação e Matemática, nº 37, Portugal:
1996.
LAVILLE, C.; DIONNE, J.;
A Construção do Saber: manual de metodologia da
pesquisa em ciências humanas
,
Porto Alegre: Artmed, 1999.
LOPES, J. de A.
Livro didático de matemática: Concepção seleção e
possibilidades frente a descritores de análise e tendências em educação
matemática.
São Paulo, 2000, 264f. Tese (Doutorado em Educação Matemática)
– Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, 2000.
MACHADO, N. J.
Educação competência e qualidade.
In Coleção Ensaios
Transversais, vol. 37, São Paulo: Escrituras Editora, 2009.
MARINQUE, A. L. e ANDRÉ, M. E. D. A.. Relações com saberes na formação do
professor. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A Formação do
Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
. Belo Horizonte:
Autêntica, 2006.
MIGUEL, M. I. R.
Ensino e Aprendizagem do Modelo Poisson: uma
experiência com modelagem.
São Paulo, 2005, 260f. Tese (Doutorado em
Educação Matemática) – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, 2005.
MILIES, C. P.; COELHO, S. P.
Números Uma Introdução à Matemática
. São
Paulo: Edusp, 2003.
MIZUKAMI, M. G. N.. Aprendizagem da docência: conhecimento específico,
contextos e práticas pedagógicas. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A Formação do Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
.
Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
192
MORGADO, A. C. O. et al.
Análise Combinatória e Probabilidade
. Coleção do
Professor de Matemática, Rio de Janeiro. Sociedade Brasileira de Matemática,
1991.
NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. A Formação do professor que ensina
matemática: estudos e perspectivas a partir das investigações realizadas pelos
pesquisadores do GT 7 da SBEM. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A Formação do Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
.
Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
NACARATO, A. M.;
et al
. Professores e futuros professores compartilhando
aprendizagens: dimensões colaborativas em processos de formação. In:
NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A Formação do Professor que
Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
. Belo Horizonte: Autêntica,
2006.
PAIVA, M. A. V.; O professor de Matemática e sua formação inicial do professor
de Matemática. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A Formação do
Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
. Belo Horizonte:
Autêntica, 2006.
PIRES, M. C. P.; SILVA, M. A.; SANTOS, R. C.. Reflexões sobre a formação
inicial de professores de matemática, a partir de depoimentos de coordenadores
de curso de licenciatura. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A
Formação do Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
.
Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
PONTE, J. P.. O desenvolvimento profissional do professor de matemática. In:
Educação e Matemática
, n. 31, p. 9-20, 1994. Disponível em:
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos-por-temas.htm>. Acesso em: 04
dez 2008.
PONTE, J. P.. Da formação ao desenvolvimento profissional. In:
Actas do
ProfMat
98
p. 27-44, Lisboa: APM, 1998. Disponível em :
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/index.htm> Acesso em: 04 dez 2008.
PONTE, J. P.. Didáticas específicas e construção do conhecimento profissional.
In: TAVARES, J.; PEREIRA, A.; PEDRO, A. P..
Investigar e Formar em
Educação: Atas do IV Congresso da SPCE
, p. 59-72, Lisboa, 1999. Disponível
em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos-por-temas.htm>. Acesso
em: 04 dez 2008.
193
PONTE, J. P.. A Vertente Profissional da Formação Inicial de Professores de
Matemática. In:
Educação Matemática em Revista
, ano 9, n. 11, p. 3-8, 2002.
Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos-por-temas.htm>.
Acesso em: 04 dez 2008.
ROA, R.; BATANERO, C.; GODINO, J. D.; CAÑIZARES, M. J..
Estrategias en la
Resolución de Problemas Combinatorios por Estudiantes con Preparación
Matemática Avanzada
. Epsilon, n. 36, p. 433-446, 1997. Disponível
em:<http://www.ugr.es/~batanero.htm>. Acesso em: 29 jun 2009.
ROCHA, J. C.
O ensino da análise combinatória: Uma discussão sobre o uso
do princípio multiplicativo na resolução de problemas
. São Paulo, 2002, 96f.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade de
São Paulo, 2002.
ROSA, M. V. F. P. C.; ARNOLDI, M. A. G. C.;
A Entrevista na Pesquisa
Qualitativa: mecanismos para validação dos resultados
, Belo Horizonte:
Autêntica, 2006.
SANTOS, C. R. dos;
O tratamento da informação: currículos prescritos,
formação de professores e implementação na sala de aula.
São Paulo, 2005,
126f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC/SP, 2005.
SHULMAN, L.
CONOCIMIENTO Y ENSEÑANZA: FUNDAMENTOS DE LA
NUEVA REFORMA
In Profesorado. Revista de Currículum y Formación del
Profesorado, (2005) Disponível em: <http://www.ugr.es/~recfpro/rev92ART1.pdf>.
Acesso em 3/3/2009.
SOMINSKI, I. S.
Método de Indução Matemática
. Coleção Matemática
Aprendendo e Ensinando. São Paulo: Atual; Moscou: MIR, 1996.
STURM, W.
As Possibilidades de um Ensino de Análise Combinatória sob
uma Abordagem alternativa.
Campinas, 1999, 94f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas, 1999.
SZYMANSKI, H.; ALMEIDA, L. R.; PRANDINI, R. C. A. R.;
A Entrevista na
Pesquisa em Educação: a prática reflexiva
. Brasília: Plano Editora, 2002.
TARDIF, M..
Saberes docentes e formação profissional.
Petrópolis: Editora
Vozes, 2002.
194
VARIZO, Z. C. M.. Os caminhos da Didática e sua relação com a formação de
professores de Matemática. In: NACARATO, A. M. e PAIVA, M. A. V. (Org.)
A
Formação do Professor que Ensina Matemática: perspectivas e pesquisas
.
Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
VERGNAUD, G.
La Teorie des Champs Conceptuals
RDM, V10, N23, 1990.
195
A
PÊNDICE
A
–
Q
UESTÕES DA
E
NTREVISTA
GRUPO 1: Identificação do professor.
Objetivo: Identificar, conhecer e obter informações gerais do professor
entrevistado, por essa razão, algumas questões que fazem parte deste grupo são
fechadas, ou seja, questões pontuais a respeito de dados específicos sobre o
professor.
Nome do professor:
Idade:
Há quanto tempo leciona? (tempo de experiência)
Universidade que se formou? Quanto tempo se formou?
Leciona em qual rede no momento (pública e/ou privada)?
Tempo na escola atual?
Qual o período que leciona?
Leciona no ensino médio? Há quanto tempo?
Qual sua carga horária (aulas) por semana?
Quantas turmas?
Quantos alunos/turma?
Grupo 2: História do professor
Objetivo: Conhecer e entender as influências que as experiências e os
fatos da vida profissional, como também, da vida escolar do professor, podem, ou
não, influenciar na sua prática docente em relação ao ensino de análise
combinatória.
Descreva como eram as aulas de matemática, no ensino médio, na sua
vida escolar.
196
Quando você cursou o ensino médio, você estudou análise combinatória?
Descreva as aulas de análise combinatória a que você assistiu no ensino médio
(a resolução de situações-problema, o uso de fórmulas)?
Faça uma análise de como e o que aprendeu sobre análise combinatória
no Ensino Médio e sua prática em sala de aula? Você avalia que suas aulas de
Matemática, mas precisamente as aulas de análise combinatória são parecidas
com as aulas a que você assistiu quando era aluno no ensino médio? O que leva
você a concluir isso?
Descreva, de modo geral, como eram as aulas no curso de Licenciatura no
Ensino Superior?
Você estudou análise combinatória no ensino superior? Descreva como era
ministrado o curso de análise combinatória na faculdade? Hoje como você analisa
a contribuição do curso de análise combinatória, na faculdade, e sua prática na
sala de aula?
Você participou de algum projeto de formação direcionado para
professores? Qual? Por quanto tempo? Descreva um pouco esse projeto. Foi
abordado o tema análise combinatória?
Grupo 3: Saberes do professor
Objetivo: Neste grupo de questões, visamos investigar os saberes
matemáticos e didáticos do professor em relação ao tema análise combinatória e
assim entender como o professor pesquisado compreende e procede com relação
ao ensino de análise combinatória no Ensino Médio.
Com a carga horária semanal que você tem, sobra tempo para estudar,
pesquisar e preparar aula? Descreva como você prepara as aulas de análise
combinatória?
Os alunos questionam sobre a validade e origem das fórmulas em análise
combinatória? Quando há esse questionamento, de que forma você procede?
Como você explica o uso das fórmulas, nas aulas de análise combinatória a seus
alunos?
197
Ao explicar a validade e origem dessas fórmulas, os alunos têm facilidade
em compreender, ou seja, é difícil justificar para os alunos essas fórmulas? Quais
são essas dificuldades?
Quando você enfrenta dificuldades profissionais (dificuldades acadêmicas e
didáticas) a quem recorre? Descreva um pouco sobre isso.
Você conhece os PCN? Como conheceu? Eles participam na preparação
de suas aulas?
Os professores da escola discutem os PCN? De que forma? Você sabe os
que os PCN orientam sobre os estudos de análise combinatória no ensino médio?
Explique um pouco sobre isso.
Grupo 4: Prática do professor
Objetivo: Comparar a prática docente do professor com os resultados
apresentados em pesquisas e com as propostas dos PCN, em relação ao tema
análise combinatória. Investigar se a prática docente pode ser caracterizada como
uma reprodução da história escolar do professor, ou seja, se prática do professor
assemelha-se as aulas de análise combinatória por ele assistidas quando estava
cursando o Ensino Médio.
Planejamento
Em que série do Ensino Médio, usualmente, você aborda o tema análise
combinatória? Quantas aulas semanais? Quanto tempo do ano letivo é dedicado
ao tema: análise combinatória? Você considera esse tempo suficiente e bom? O
que você mudaria então?
Como é desenvolvido, em linhas gerais, o planejamento das aulas em
relação ao ensino de análise combinatória?
Com relação ao planejamento das aulas de análise combinatória, quais os
fatores que influenciam sua decisão sobre: o que, como, e quando abordar um
determinado conceito.
198
Preparação de aula
Com relação às aulas de análise combinatória, você prepara suas aulas?
Qual o material que usualmente você utiliza para essa preparação? Descreva um
pouco esse processo.
Você se baseia nas propostas dos PCN e/ou nas propostas curriculares do
Estado de São Paulo? Fale um pouco sobre isso.
Qual a influência do livro didático na preparação das aulas de análise
combinatória?
Livro didático
Você utiliza o livro didático nas aulas de análise combinatória? Descreva de
que forma o livro didático participa de sua aula (preparação e o uso em sala de
aula)?
Nas aulas de análise combinatória, além do livro didático, você utiliza
outros materiais de apoio? Quais? Como? Quando? Descreva um pouco sobre
isso.
O tema desenvolvido nas aulas de análise combinatória e os exercícios
propostos costumam, sempre, serem os mesmos? Em algum momento, isso não
acontece? Descreva um pouco isso? O livro didático valoriza essa disposição de
exercícios ou há momentos no qual o livro não valoriza essa disposição.
Qual a reação dos alunos quando alguns exercícios não são
especificamente os conceitos trabalhados na aula?
Abordar problemas
Descreva as estratégias usualmente utilizadas por você, para iniciar um
novo conceito de análise combinatória. O que você avalia importante abordar nas
aulas de análise combinatória? Exemplifique.
Nas primeiras aulas de análise combinatória, você aborda a origem e a
história matemática? Descreva. Você relaciona os conceitos que serão estudados
no o dia a dia do aluno?
199
Descreva um pouco as interpretações dos problemas pelos alunos. Os
alunos têm dificuldades para interpretá-los? Você lê os problemas aos alunos?
Na resolução de problemas de análise combinatória, enfatizam-se os
cálculos? Os alunos utilizam a calculadora na resolução de problemas de análise
combinatória?
Descreva o uso de fórmulas nas aulas de análise combinatória. As
fórmulas são usualmente utilizadas pelos alunos? Como as notações permeiam
as aulas de resolução de problemas? Você as considera importantes?
Como o Princípio Fundamental da Contagem é introduzido nas aulas de
análise combinatória? O uso do Princípio Fundamental da Contagem é
enfatizado? Descreva um pouco isso?
Com relação a problemas que envolvem a ordem dos objetos e problemas
nos quais a ordem não é relevante, os alunos apresentam dificuldades? Qual
estratégia você utiliza para contornar e superar essas dificuldades?
Ainda a respeito das resoluções de problemas, os alunos utilizam de
processos de enumeração? Quando o número de possibilidades é elevado, como
eles contornam a situação no caso da enumeração.
Os alunos utilizam a árvore de possibilidades na resolução de problemas?
Descreva como isso acontece e em que situação.
Além da enumeração e da árvore de possibilidades, quais outras
estratégias de resolução usualmente são utilizadas pelos alunos?
Os alunos apresentam dificuldades na resolução de problemas que
envolvem conceitos de arranjo e combinação? Quais são essas dificuldades?
Nas aulas, como é abordada a construção das fórmulas de arranjo e
combinação? Isso é feito? Como? Os alunos se interessam saber o porquê
dessas fórmulas? Eles apresentam dificuldades para entendê-las e diferenciá-las?
Atitudes do aluno
No momento no qual o aluno está resolvendo problemas, é comum ele
associar “palavras chave” para saber que tipo de problema está resolvendo, ou
que tipo de fórmula irá utilizar? Descreva um pouco sobre isso.
200
De forma geral, em relação ao curso de análise combinatória, o que você
acha importante que o aluno saiba?
Preparação da Avaliação
Explicite pontos (temas, conceitos, aspectos) que você considera
relevantes na preparação de uma prova/avaliação de análise.
201
A
PÊNDICE
B
–
Q
UESTIONÁRIO
–
L
IVRO
D
IDÁTICO
Este questionário servirá para nortear uma pesquisa que visa a analisar
livros didáticos usualmente utilizados por professores de Matemática do Estado
de São Paulo. Desde já, agradecemos sua participação e prontidão ao responder.
Observação
: se você não se lembrar dos nomes, autores e editora dos
livros utilizados, então, apenas, descreva a capa do livro, ou, cite, alguns dados
como nome de autores, editora, etc.
Você leciona em escola:
( ) Pública ( ) Privada ( ) Ambas
Nos últimos 5 anos, você leciona(ou) no:
( ) Ensino Fundamental ( ) Ensino Médio ( ) Ambos
Quais os livros didáticos (coleção de livros didáticos) que você utiliza(ou)
nas aulas de Matemática? Podem ser os livros adotados, os que você utiliza no
preparo de suas aulas, ou, até aqueles que você pesquisa para estudar
determinados conteúdos. Utilize as linhas abaixo para citá-los.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
202
203
A
PÊNDICE
C
–
P
OEMA
“D
E
V
ETULA
”
204
205
206
207
A
PÊNDICE
D
–
C
ARTA DE
A
PRESENTAÇÃO DA
E
NTREVISTA
Caro Professor,
Eu, Ricardo Dezso Sabo, aluno da pós-graduação na Pontifícia
Universidade Católica, tenho desenvolvido, em meu trabalho de mestrado, um
estudo que apresenta como tema os saberes dos professores do Ensino Médio
em relação ao ensino de análise combinatória, sob a orientação da Prof
a
Dra.
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho.
Considerando relevante sua experiência no Ensino Médio com relação às
aulas de análise combinatória, considero importante contar com seu apoio para
abordar a questão apresentada em minha pesquisa. Por essa razão, solicito que
me concedesse uma entrevista, na qual pudéssemos tratar e discutir o referido
tema.
Temos a intenção de que a entrevista nos permita traçar um esboço de sua
atuação profissional (sua “vida de professor”), como também seus saberes
profissionais, sob a perspectiva de seu trabalho no ensino de análise
combinatória.
A entrevista será gravada em vídeo e o procedimento metodológico a ser
adotado com as gravações compreenderá:
a) uma transcrição do que foi dito;
b) uma edição do que foi dito, recriando-se o texto em primeira pessoa;
c) assinatura de documento de cessão de direitos dos documentos
escritos.
Quanto à identificação do entrevistado no corpo da dissertação,
adotaremos pseudônimos a fim de preservar a privacidade de cada participante
da pesquisa.
Na certeza de que sua contribuição poderá se refletir na constituição de
propostas que poderão contribuir de forma significativa no ensino de análise
combinatória, agradeço-lhe antecipadamente.
Atenciosamente,
Ricardo Dezso Sabo
208
Carta de Cessão
Eu, _____________________________________________, portador do
RG número _________________, declaro para os devidos fins que concedo os
direitos da minha narrativa, transcrita e textualizada a partir da entrevista, gravada
em __________, para que Ricardo Dezso Sabo possa utilizá-la em sua pesquisa
de Mestrado em Educação Matemática desenvolvida na Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo sob a orientação da Prof
a
Dra. Cileda de Queiroz e Silva
Coutinho.
Subscrevo a presente.
______________________________________
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
