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DEICIANA PAGANO ESPÓSITO
ANÁLISE DE TRILHA EM DADOS DE PRODUÇÃO E TECNOLÓGICOS
DA CANA-DE-AÇÚCAR
VIÇOSA
Dissertação apresentada à
Universidade Federal de Viçosa, como
parte das exigências do Programa de
Pós-Graduação em Estatística Aplicada
e Biometria, para obtenção do título de
Magister Scientiae.
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MINAS GERAIS – BRASIL
2010
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DEICIANA PAGANO ESPÓSITO
ANÁLISE DE TRILHA EM DADOS DE PRODUÇÃO E TECNOLÓGICOS
DA CANA-DE-AÇÚCAR
APROVADA: 04 de fevereiro de 2010.
______________________________ _________________________
Prof. Márcio Henrique Pereira Barbosa Prof. Cosme Damião Cruz
(Co-Orientador) (Co-Orientador)
_______________________________ ____________________________
Prof. Antônio Policarpo Souza Carneiro Prof. Paulo Roberto Cecon
_______________________________
Dissertação apresentada à
Universidade Federal de Viçosa, como
parte das exigências do Programa de
Pós-Graduação em Estatística Aplicada
e Biometria, para obtenção do título de
Magister Scientiae.
Prof. Luiz Alexandre Peternelli
(Orientador)
A Deus, por guiar meu caminho.
Aos meus pais, Ademar e Marília, que com muito amor, me
mostraram os diferentes caminhos da vida, dando-me
apoio e liberdade para seguir aquele que escolhi,
e por estarem sempre ao meu lado.
Aos meus irmãos, Rafael e Ademar Júnior,
pela amizade e confiança.
OFEREÇO
Ao meu namorado Marcello, pelo carinho, apoio
nos momentos difíceis, e por fazer
parte da minha vida.
DEDICO
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela minha vida, por me guiar, fortalecer, iluminar meu caminho,
ajudando-me a vencer os obstáculos, e pela proteção em todos os
momentos.
À minha família, Ademar, Marília, Ademar Júnior, Rafael, Walkíria, Carolyne
e Ana Rafaela, pelo apoio, incentivo e confiança.
Ao meu namorado Marcello, pela compreensão, pelo estímulo, amor e cari-
nho.
Ao meu orientador Luiz Alexandre Peternelli, pelo valioso ensino, incentivo,
confiança, amizade e pela convivência que com certeza foi fundamental na
minha formação acadêmica e pessoal.
Aos professores Cosme Damião Cruz e Márcio Henrique Pereira Barbosa,
por todas as sugestões, ensinamentos e disponibilidade.
Aos professores do Curso de Mestrado em Estatística Aplicada e Biometria,
pelos ensinamentos, atenção e pelo caráter humano transmitido aos seus
alunos e orientados.
Ao secretário da Pós-Graduação Altino, pelo empenho em sempre ajudar e
pelas mensagens de amizade e incentivo.
Aos colegas do Curso de Estatística Aplicada e Biometria, pela valiosa
amizade e companheirismo.
À banca, composta por Márcio Henrique Pereira Barbosa, Cosme Damião
Cruz, Antônio Policarpo Souza Carneiro e Paulo Roberto Cecon, que aceita-
ram o convite que lhes foi feito e, dessa forma, colaboraram para conclusão
deste trabalho.
À Universidade Federal de Viçosa e ao Departamento de Estatística, pela
oportunidade de realização do curso.
À Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais, pela oportunidade
concedida para a realização deste curso.
À Escola Estadual do Ribeirão de São Domingos pelo apoio.
A todos os meus parentes e amigos, sempre presentes na minha vida
pessoal e profissional.
A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram para a realização deste
trabalho.
SUMÁRIO
RESUMO...................................................................................................................vii
ABSTRACT................................................................................................................ix
1. INTRODUÇÃO GERAL..........................................................................................1
2. REFERENCIAL TEÓRICO.....................................................................................6
2.1. Correlações genotípica, fenotípica e de ambiente..............................................6
2.1.1. Estimação dos coeficientes de correlação...................................................6
2.1.2 Teste de significância para o coeficiente de correlação.............................11
2.2. Análise de trilha...............................................................................................13
2.2.1. Estimação dos coeficientes de trilha (efeitos diretos e indiretos).............14
2.3. Multicolinearidade...........................................................................................19
2.3.1. Conceito e causas .....................................................................................19
2.3.2. Efeitos da multicolinearidade sobre a análise de trilha.............................23
2.3.3. Diagnóstico de multicolinearidade...........................................................24
2.3.3.1. Análise da matriz de correlação.........................................................24
2.3.3.2. Fatores de inflação da variância ........................................................25
2.3.3.3. Análise dos autovalores e autovetores da matriz...............................25
2.3.3.4. Decomposição em valores singulares................................................27
2.3.3.5. Determinante de ................................................................................29
2.3.4. Processos alternativos ao de mínimos quadrados quando ocorre a
multicolinearidade...............................................................................................29
2.3.4.1. Regressão em crista............................................................................30
2.3.4.2. Regressão em componentes principais..............................................34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................37
CAPÍTULO 1..............................................................................................................41
ANÁLISE DE TRILHA PARA COMPONENTES DO RENDIMENTO NA
SELEÇÃO DE FAMÍLIAS DE CANA-DE-AÇÚCAR.............................................41
RESUMO....................................................................................................................41
1. INTRODUÇÃO.....................................................................................................43
2. MATERIAL E MÉTODOS....................................................................................47
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO............................................................................52
4. CONCLUSÕES......................................................................................................62
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................63
ANEXO 1...................................................................................................................66
ANEXO 2...................................................................................................................67
APÊNDICE ................................................................................................................68
CAPÍTULO 2..............................................................................................................70
ANÁLISE DE TRILHA SOB MULTICOLINEARIDADE EM ..............................70
CANA-DE-AÇÚCAR ...............................................................................................70
RESUMO....................................................................................................................70
1. INTRODUÇÃO......................................................................................................72
2. MATERIAL E MÉTODOS....................................................................................75
2.1. Obtenção dos dados e suas inter-relações........................................................75
onde.....................................................................................................................76
C é o coeficiente que representa a transformação do caldo extraído em todo o
caldo absoluto, dado por C = (1,0313 – 0,00575 x Fibra). A fibra é a matéria
seca insolúvel na água, contida na cana-de-açúcar. Esta é determinada em
função do Brix do caldo extraído da prensa hidráulica, peso de bagaço úmido
(PBU) e peso de bagaço seco (PBS), conforme Fernandes (2003), por meio da
expressão Fibra = (0,08 x PBU) + 0,876............................................................76
• Pol (teor de sacarose aparente) representa a porcentagem aparente de sacarose
contida numa solução de açúcares. A pol na cana é obtida em função da Pol no
caldo extraído, multiplicado pela fibra e pelo coeficiente “C” que transforma a
Pol%caldo extraído em Pol%cana. ....................................................................76
Pol%cana = Pol%caldo x (1 – 0,01 x Fibra) x C,...............................................76
• Açúcares redutores (AR) são os principais precursores da cor mais escura do
açúcar no processo industrial. O cálculo dos açúcares redutores na cana-de-
açúcar é feito pela fórmula: ................................................................................76
Para avaliar possíveis ocorrências de multicolinearidade na matriz de
trabalho, foram utilizados os seguintes procedimentos: análise da matriz de
correlação, fatores de inflação da variância, análise dos autovalores e
autovetores da matriz, decomposição em valores singulares e determinante de
. ......................................................................................................................78
2.3. Estimação dos coeficientes de trilha quando ocorre a multicolinearidade......79
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO............................................................................82
Tabela 1. Estimativas dos coeficientes de correlação entre caracteres Cor ICUMSA,
Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos, Ácido aconítico
avaliados no caldo de cana-de-açúcar.........................................................................83
Figura 1. Gráfico de crista para as estimativas dos coeficientes de trilha entre as
variáveis explicativas Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos
fenólicos, Ácido aconítico e a variável básica Cor ICUMSA, correspondentes aos
valores de no intervalo . O valor foi usado para a estimação dos coeficientes de
trilha............................................................................................................................88
4. CONCLUSÕES......................................................................................................95
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................96
CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................................106
RESUMO
ESPÓSITO, Deiciana Pagano, M. Sc., Universidade Federal de Viçosa,
fevereiro de 2010. Análise de trilha em dados de produção e
tecnológicos da cana-de-açúcar. Orientador: Luiz Alexandre Peternelli.
Co-orientadores: Márcio Henrique Pereira Barbosa e Cosme Damião Cruz.
Com o objetivo de quantificar os efeitos diretos e indiretos, por meio
da análise de trilha, utilizando valores fenotípicos e genotípicos dos compo-
nentes de produção – número de colmos por parcela, diâmetro médio de col-
mos e comprimento médio de colmos – sobre produtividade de colmos por
hectare em cana-de-açúcar, foram obtidos dados de dois experimentos nas
fases de cana-planta e cana-soca, em etapa inicial de seleção do programa
de melhoramento da cana-de-açúcar no estado de Minas Gerais. Foram
avaliados, ao nível de parcela, os caracteres tonelada de colmos por hectare
(TCH), como variável principal, e seus componentes de produção, número
de colmos (NC), diâmetro médio de colmos (DC) e comprimento médio de
colmos (CC), como variáveis explicativas. Os coeficientes de determinação
foram elevados em todas as análises de trilha, indicando que os componen-
tes avaliados explicam grande parte da variação existente na produção de
colmos. Pela análise dos efeitos diretos fenotípicos e genotípicos, NC foi a
variável que melhor se correlacionou com TCH, em ambos os experimentos
e estágios, demonstrando a possibilidade de obtenção de ganhos significati-
vos por meio da seleção indireta para TCH via NC. A avaliação das relações
de causa e efeito entre os componentes de produção em cana-de-açúcar
possibilitou verificar que houve variação entre os experimentos, o que prova-
velmente se deve à origem diferenciada das famílias avaliadas. Como na
técnica de análise de trilha os parâmetros são estimados a partir de matrizes
de correlações que podem ser mal condicionadas por efeito de multicolinea-
ridade entre as variáveis envolvidas, foram avaliados dados em cana-soca,
obtidos do programa de melhoramento da cana-de-açúcar da Universidade
Federal de Viçosa, para comparar o método baseado na regressão em crista
e a exclusão de variáveis por componentes principais para a estimação dos
coeficientes de trilha em presença de multicolinearidade. Foram amostradas
dez plantas por parcela para realização das análises das variáveis explicati-
vas Brix (teor de sólidos solúveis), Pol (teor de sacarose aparente), pH (indi-
ca o grau de acidez), AR (açúcares redutores), ART (açúcares totais recupe-
ráveis), Cu (cobre), Al (alumínio), Mg (magnésio), Ca (cálcio), K (potássio),
Ácido aconítico, Compostos fenólicos, e da variável principal Cor ICUMSA. A
matriz de correlação obtida dos dados foi submetida a diferentes métodos
para diagnóstico de multicolinearidade. Sob multicolinearidade severa, os
métodos baseados na regressão em crista e em componentes principais
apresentaram resultados semelhantes na estimação dos coeficientes de tri-
lha, proporcionando sensível redução na magnitude dos fatores de inflação
da variância associados aos efeitos diretos e indiretos da análise de trilha.
Assim, foi possível identificar neste estudo, os caracteres alumínio (Al), po-
tássio (K) e Compostos fenólicos como aqueles que melhor explicam a Cor
do caldo. Contudo, os demais caracteres devem ser levados em considera-
ção devido a elevada correlação existente e a baixa magnitude do efeito di-
reto, evidenciando a necessidade de seleção simultânea de caracteres, com
ênfase também nos caracteres cujos efeitos indiretos são significativos. Para
fins de melhoramento, a seleção indireta para Cor do caldo, por meio de ín-
dice de seleção envolvendo as variáveis Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg,
Ca, K, Compostos fenólicos e Ácido aconítico é recomendável.
ABSTRACT
ESPÓSITO, Deiciana Pagano, M. Sc., Universidade Federal de Viçosa,
February, 2010. Path analysis for yield components and technological
data of sugarcane. Advisor: Luiz Alexandre Peternelli. Co-Advisors: Márcio
Henrique Pereira Barbosa and Cosme Damião Cruz.
In order to quantify the direct and indirect effect through path analysis
using phenotypic and genotypic values of yield components – number of
stalks per plot, average diameter of stalks and their average length – affect-
ing tons of cane per hectare, data from two experiments of sugarcane were
considered. Regarding the productivity of cane per hectare data from two dif-
ferent experiments were obtained from cane plants and ratoon canes, in the
beginning of the selection program of sugarcane improvement in the state of
Minas Gerais. The following characteristics were evaluated at plot level: the
tons of cane per hectare (TCH), as the main variable ,and its yield compon-
ents, number of stalks (NS), mean diameter of stalks (DS) and average
length of stalks (LS) as explicative variables. The coefficient of determination
were high in all path analyses, which, in turn, indicates that the evaluated
components explain, considerably, the variation in TCH. Through the analys-
is of the direct fenotypic and genotypic effects, NS was the variable that best
correlated to TCH in both experiments and stages showing a possibility of
obtaining significant gain through indirect selection to TCH by NS. The eval-
uation of the cause and effect relations among the production components of
sugarcane helped to verify the variation across the experiments, which is
probably related to the different origins of the families evaluated. In the trail
analysis, the parameters are estimated from matrix correlations that may be
ill-conditioned by the multicollinearity effect among the involved variables.
Due to this fact, the data were evaluated by using ratoon canes obtained
from the program of sugarcane improvement at the Federal University of
Viçosa in order to compare the method based on ridge regression and the
exclusion of variables for main components to estimate the path coefficients
under the presence of multicollinearity. Ten plants per plot were used to
carry out the analyses on explaining variables Brix (percentage soluble
solids), Pol, pH (potential of Hydrogen), RS (reduction sugar), TRS (Total re-
duction sugar), Cu (copper), Al (aluminum), Mg (magnesium), Ca (Calcium),
K (Potassium), aconitic acid, phenolic compounds and the main variable
sugarcane juice color (ICUMSA color). The matrix containing correlation ob-
tained from the data were submitted to different methods to have the multi-
collinearity diagnostic. Under severe multicollinearity, the methods based on
ridge regression and in main components presented similar results in the es-
timation of the path coefficients, causing sensitive reduction in the magnitude
of the variance inflation factor associated with the direct and indirect effects
of the path analysis. Therefore, in this study, it was possible to identify the
variables Al, K and phenolic compounds as the ones that explain the sugar-
cane juice color. However, the other characters must be taken into account
due to their great correlation and low magnitude of the direct effect, making
evident the necessity of simultaneous selections of characters, with emphas-
is on characters that have significant indirect effect. For purposes of im-
provement, the indirect selection for the ICUMSA color through index selec-
tion involving variables such as Brix, Pol, RS, TRS, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K,
phenolic compounds and aconitic acid is recommended.
1. INTRODUÇÃO GERAL
Atualmente a cana-de-açúcar é uma das principais culturas agrícolas
do país. Na economia brasileira, ela representa um papel especialmente
importante para a produção de açúcar e álcool principalmente, com área
cultivada de 8,5 milhões de hectares, de acordo com dados relativos ao
terceiro levantamento de safra feito pela Companhia Nacional de
Abastecimento – CONAB, 2009 (Goes et al., 2009).
Nos últimos 30 anos, a cultura da cana-de-açúcar incorporou
tecnologias capazes de aumentar os níveis de produtividade. O
melhoramento genético foi a ferramenta que garantiu e continuará garantindo
a sustentabilidade dessa cultura, tornando-se resistente a pragas e doenças,
reduzindo custos, aumentando a eficiência e a produtividade, com a
disponibilização de novas variedades de plantas adaptáveis às condições de
cada região (Goes et al., 2009).
O conhecimento das correlações entre os caracteres tem grande
importância em programas de melhoramento, principalmente quando a
seleção de um caráter desejável apresenta dificuldades e/ou, problemas de
medição e identificação, por se tratar de um caráter de baixa herdabilidade
(Cruz, 2006).
As relações existentes entre os caracteres são, em geral, avaliadas por
meio das correlações genotípicas, fenotípicas e de ambiente. Tais estudos
têm sido amplamente utilizados para medir o grau de associação entre
caracteres, em diversas culturas, como na moranga, por Amaral Júnior et al.
(1994); na soja, por Peluzio et al. (1998); no pimentão, por Miranda et al.,
(1988). Nesses estudos, a correlações genotípicas se mostraram, na maioria
das vezes, superiores às fenotípicas, indicando herdabilidade elevada dos
caracteres e evidenciando uma contribuição satisfatória dos fatores genéticos
nas correlações em estudo. Para Carvalho et al. (2001), citado por Benin et al.
(2003), a seleção de caracteres de alta herdabilidade, fácil aferição e
1
identificação, e que evidencie alta correlação com o caráter desejado,
possibilita ao melhorista obter maior progresso, em menor espaço de tempo.
Entretanto, essas correlações não representam uma medida de causa
e efeito, e não provêem informações a respeito dos efeitos diretos e indiretos
de um grupo de caracteres em relação a um determinado caráter considerado
de maior importância. Segundo Ferreira et al. (2007), a interpretação direta
das suas magnitudes pode resultar em equívocos na estratégia de seleção,
pois uma alta correlação entre duas variáveis pode ser resultado do(s)
efeito(s) de outra(s) sobre elas.
Dessa forma, informações mais úteis e indispensáveis no
melhoramento podem ser obtidas por meio da análise de trilha (path analysis),
desenvolvida pelo geneticista Sewall Wright em 1918-1921, segundo Johnson
e Wichern (1992). Essa técnica tem sido utilizada no estudo dos efeitos
diretos e indiretos de um conjunto de variáveis sobre um determinado caráter,
considerado como principal, caracterizado por grande complexidade, porém,
de considerável importância econômica.
A decomposição da correlação depende do conjunto de caracteres
estudados, os quais, normalmente são avaliados pelo conhecimento prévio do
pesquisador de sua importância e de possíveis inter-relações expressas em
“diagramas de trilha” (Cruz et al., 2004). A construção gráfica de esquema
causal possibilita a obtenção de um conjunto de equações simultâneas.
O método da análise de trilha tem sido eficiente para revelar a
verdadeira natureza das inter-relações de causa e efeito entre um caráter de
importância econômica e seus componentes. O emprego desta técnica para
estudo do relacionamento entre caracteres em plantas teve início com Dewey
e Lu (1959), sendo atualmente aplicada em diversas culturas, inclusive na
cana-de-açúcar.
Com a finalidade de se obter subsídios para o melhoramento da cana-
de-açúcar, tem-se dado ênfase ao estudo das correlações entre caracteres
determinantes da produção e das técnicas de identificação de genótipos (ou
indivíduos) promissores com base em características indiretas, pois embora o
2
caráter produção seja o principal objetivo no melhoramento da cana-de-
açúcar, é preciso considerar outras variáveis na estratégia de seleção.
Os componentes associados à produtividade da cana-de-açúcar
apresentam herança complexa e provavelmente controlados por genes de
efeitos pleiotrópicos com outros caracteres, justificando a identificação e a
análise de outras variáveis de controle genético menos complexo associadas
a essas variáveis principais.
O emprego da análise de trilha nos programas de melhoramento da
cana-de-açúcar é de grande valia nas suas etapas iniciais. Esta metodologia
visa apontar as características mais adequadas para que seja feita uma
seleção indireta dos genótipos mais produtivos, uma vez que quantificar a
produção destes genótipos é um trabalho bastante demorado devido ao
grande número de genótipos avaliados nestas etapas.
As relações entre variáveis importantes para a cultura da cana-de-
açúcar têm sido objeto de estudos por meio da análise de trilha. Kang et al.
(1983) demonstraram a importância do desdobramento dos coeficientes de
correlação genotípica envolvendo produção de cana e seus componentes, via
análise de trilha. Ferreira et al. (2007) utilizaram a análise de trilha para a
cultura da cana-de-açúcar, com o objetivo de quantificar os efeitos diretos e
indiretos de componentes de produção sobre as variáveis tonelada de cana
por hectare e massa média de colmos.
Todavia, a técnica de análise de trilha pode apresentar dificuldades,
pois seus parâmetros são estimados a partir de matrizes de correlações ou
covariâncias fenotípicas ou genotípicas, as quais podem ser mal
condicionadas por efeito de multicolinearidade entre as variáveis envolvidas.
Em presença de multicolinearidade, as variâncias associadas aos
estimadores dos coeficientes de trilha que medem efeitos diretos de variáveis
explicativas sobre uma principal, podem atingir valores demasiadamente
elevados, sendo evidência de serem as estimativas pouco confiáveis, o que
pode levar à interpretação equivocada ou sem nenhuma coerência com o
fenômeno biológico estudado (Cruz e Carneiro, 2006).
3
Diagnósticos de multicolinearidade devem ser feitos de forma a
viabilizar certos estudos, como a análise de trilha. Várias técnicas têm sido
propostas para diagnosticar a presença de multicolinearidade, sendo
características desejáveis de um procedimento de diagnóstico aquelas que
refletem diretamente o grau do problema de multicolinearidade e provêm
informações úteis na determinação de quais variáveis estão envolvidas
(Montgomery e Peck, 1992).
Os métodos alternativos à estimação de mínimos quadrados, para
contornar os efeitos da multicolinearidade e aumentar a estabilidade dos
coeficientes de regressão, fornecem estimadores tendenciosos, mas,
conforme Gunst e Mason (1977) apresentam, em geral, melhor desempenho
quando comparados aos estimadores de mínimos quadrados.
O método de regressão em crista ou em cumeeira (Cruz e Carneiro,
2006), originalmente proposto por Hoerl e Kennard (1970a,b), e a regressão
em componentes principais (Montgomery e Peck,1992), são procedimentos
alternativos propostos para combater os problemas induzidos pela
multicolinearidade. O método de regressão em crista se baseia em obter
estimativas de coeficientes de regressão a partir de uma versão ligeiramente
modificada das equações normais (Cruz e Carneiro, 2006). No segundo
procedimento, os componentes principais correspondentes aos autovalores
próximos de zero são removidos da análise e o método dos mínimos
quadrados é aplicado aos componentes restantes.
Em virtude do estudo das relações entre variáveis importantes para a
cultura da cana-de-açúcar, via análise de trilha, o presente trabalho tem por
objetivo quantificar os efeitos diretos e indiretos, por meio da análise de trilha,
utilizando valores fenotípicos e genotípicos dos componentes de produção –
número de colmos por parcela, diâmetro médio de colmos e comprimento mé-
dio de colmos – sobre a produtividade de colmos por hectare em cana-de-
açúcar, nas fases de cana-planta e cana-soca em etapa inicial de seleção do
programa de melhoramento da cana-de-açúcar no estado de Minas Gerais,
favorecendo, assim, o processo de seleção indireta de genótipos mais produ-
tivos. Além disso, em virtude do dano que a multicolinearidade pode causar
4
ao processo de estimação dos coeficientes de trilha, o presente trabalho visa
também, comparar dois métodos alternativos de contornar os efeitos adversos
da multicolinearidade na estimação dos coeficientes de trilha, determinando,
através da análise de trilha, o efeito dos principais constituintes orgânicos e
inorgânicos sobre a cor do caldo em cultivares de cana-de-açúcar.
5
2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1. Correlações genotípica, fenotípica e de ambiente
O grau de associação linear entre duas variáveis quaisquer pode ser
definido pela correlação de Pearson (Ferreira, 2007)
.
A correlação simples
permite avaliar a magnitude e o sentido das relações entre dois caracteres,
sendo de grande utilidade no melhoramento, por permitir avaliar a viabilidade
da prática da seleção indireta, que, em alguns casos, pode levar a progressos
mais rápidos que a seleção do caráter desejado (Cruz, 2006).
Segundo Falconer (1987), em estudos genéticos, é necessário distin-
guir duas causas de correlação entre características: a genética, resultante de
ligação gênica (causa de correlação transitória) ou do pleiotropismo (proprie-
dade pela qual um gene afeta duas ou mais características), e a de ambiente.
O ambiente é uma causa de correlação quando duas características são influ-
enciadas pelas mesmas diferenças de condições de ambiente. A associação
entre duas características que pode ser observada diretamente é a correlação
de valores fenotípicos, ou a correlação fenotípica.
2.1.1. Estimação dos coeficientes de correlação
O estimador do coeficiente de correlação entre duas variáveis
aleatórias
X
e
Y
é dado pela expressão
,
11
1
)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
YX
XY
YX
XY
XY
SQDSQD
SPD
n
SQD
n
SQD
n
SPD
YVXV
YXvoC
r
em que
n
YX
YXSPD
n
i
i
n
i
i
n
i
iiXY
11
1
,
6
n
X
XSQD
n
i
i
n
i
iX
2
1
1
2
e
n
Y
YSQD
n
i
i
n
i
iY
2
1
1
2
.
As variáveis
X
e
Y
seguem distribuição normal bivariada conforme
demonstrado por Montgomery e Peck (1992).
Pode ser provado que a correlação está sempre no intervalo [-1, 1],
como apresentado por Bain e Engelhardt, 1992; Casella e Berger, 2002.
De acordo com Cruz et al. (2004), para estimação dos coeficientes de
correlação genotípica, fenotípica e de ambiente entre dois caracteres
X
e
Y
,
recomenda-se as análises individuais, segundo um modelo estatístico
apropriado, e a análise da soma dos valores de
X
e
Y
,
de tal forma que os
produtos médios (covariâncias), associados a cada fonte de variação, possam
ser estimados por meio de
2
)()()(
),(
YVXVYXV
YXCov
Os componentes de covariância podem ser estimados por meio da
esperança do produto médio das fontes de variações, que são obtidas de
maneira equivalente às esperanças dos respectivos quadrados médios da
análise de variância, sendo necessário apenas substituir a expressão de
variância pela covariância.
Considerando os caracteres
ij
X
e
ij
Y
, medidos em
g
genótipos ou
tratamentos (i = 1, 2, ...,
g
), avaliados em blocos ao acaso com
r
repetições
(j = 1, 2, ...,
r
), tem-se o esquema da análise de variância apresentado na
Tabela 1.
Tabela 1. Esquema da análise de variância dos caracteres X, Y e da soma X + Y, para o
experimento em blocos casualizados.
QM
FV GL XYX+YE(QM)
Blocos r –1
Tratamentos g – 1
x
QMT
y
QMT
yx
QMT
22
g
r
Resíduo (r –1) (g – 1)
x
QMR
y
QMR
yx
QMR
2
7
Os produtos médios associados a tratamentos e resíduo são obtidos,
respectivamente, por meio das expressões
2)(
yxyxxy
QMTQMTQMTPMT
e
2)(
yxyxxy
QMRQMRQMRPMR
.
O esquema da análise, incluindo os produtos médios e suas respecti-
vas esperanças matemáticas, é apresentado na Tabela 2.
Tabela 2. Esquema da análise com os produtos médios e suas respectivas
esperanças matemáticas, para o experimento em blocos casualizados.
FV GL PM E(PM)
Blocos r –1
Tratamentos g – 1
xy
PMT
gxyxy
r
Resíduo (r –1) (g – 1)
xy
PMR
xy
Com base nos resultados das análises apresentadas nas Tabelas 1 e
2, os coeficientes de correlação são estimados por meio das expressões des-
critas a seguir:
i) Correlação fenotípica
yx
xy
f
QMTQMT
PMT
r
ii) Correlação de ambiente
yx
xy
a
QMRQMR
PMR
r
iii) Correlação genotípica
22
ˆˆ
ˆ
gygx
gxy
g
r
Sendo
8
r
PMRPMT
xyxy
gxy
ˆ
;
r
QMRQMT
xx
gx
2
ˆ
e
r
QMRQMT
yy
gy
2
ˆ
.
em que
gxy
ˆ
: estimador da covariância genotípica entre os caracteres
X
e
Y
;
2
ˆ
gx
e
2
ˆ
gy
: estimador das variâncias genotípicas dos caracteres
X
e
Y,
res-
pectivamente.
A herdabilidade (
2
x
h
) pode ser estimada por meio de:
,
ˆ
ˆ
2
2
2
fx
gx
x
h
em que
2
ˆ
fx
: estimador da variância fenotípica do caráter
X
.
Como
,
ˆ
2
r
QMT
x
fx
tem-se que
.
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
x
gx
x
x
gx
x
x
gx
x
h
r
QMT
QMT
r
h
r
QMT
h
Por analogia,
e
ˆ
ˆ
2
2
2
fy
gy
y
h
9
.
ˆ
2
2
y
gy
y
h
r
QMT
O complemento aritmético da herdabilidade é dado por:
22
1
xx
he
.
Sendo,
,
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
1
2
22
2
2
2
2
fx
gxfx
x
fx
gx
x
e
e
onde
2
2
22
2
ˆ
ˆ
ˆ
gx
x
gxx
x
fx
rrr
QMT
,
tem-se que,
.
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
2
22
2
2
2
2
22
2
2
x
x
x
x
x
x
fx
x
fx
gxgx
x
x
e
QMT
QMT
e
r
r
e
Por analogia,
.
ˆˆ
ˆ
ˆ
2
22
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
fy
y
y
e
QMT
QMT
e
r
e
Como
yx
xygxy
yx
xy
f
QMTQMT
r
QMTQMT
PMT
r
ˆˆ
yx
xy
yx
gxy
QMTQMTQMTQMT
r
ˆˆ
10
,
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
yx
yxxy
gygx
yxgxy
yx
yx
xy
yx
gygx
gxy
y
y
x
x
xy
y
gy
x
gx
gxy
eehh
eehh
r
r
ee
h
r
h
r
r
constata-se que
ayxgyxf
reerhhr
.
A partir da expressão
ayxgyxf
reerhhr
, é possível observar alguns fa-
tos interessantes:
a) Se
.0;1
22
y
f
ggyfxx
h
r
rrhreh
Logo, a correlação genotípica pode ser maior que a correlação fenotípica,
quando a herdabilidade é muito alta.
b) Se
.
22
1
;
2
1
222
ag
fxyx
rr
rehh
c) Se
afxx
rreh
1;0
22
2.1.2 Teste de significância para o coeficiente de correlação
De acordo com Dunn e Clark (1974), a hipótese de que o coeficiente de
correlação é igual a zero; isto é,
,0:
0:
1
0
H
H
pode ser testada pelo teste
t
, dado por
2
1
2
r
nr
t
.
Se
é realmente zero, esta estatística tem uma distribuição
t
com n-
2 graus de liberdade. O
t
calculado dos dados é comparado com
2,2
n
t
; se
11
esta magnitude é maior que
2,2
n
t
, conclui-se que
é diferente de zero,
isto é, a hipótese de nulidade é rejeitada.
De acordo com Vencovsky e Barriga (1992), quando a correlação é fe-
notípica e o coeficiente de correlação é calculado diretamente de um conjunto
de n pares de dados, a significância pode ser verificada em tabela apropriada,
com n-2 graus de liberdade, conforme descrito anteriormente. Porém, a con-
sulta desta tabela não é válida quando o coeficiente de correlação é estimado
a partir de componentes da variância e da covariância, como acontece no
caso da correlação genética entre caracteres.
Dessa forma, para verificar a significância da correlação genética (
g
r
),
sob a hipótese de que a verdadeira correlação (parâmetro) é nula, esses au-
tores apresentam um teste t, dado por
)(
gg
rvârrt
,
com aproximadamente n – 2 =
1
g
– 1 graus de liberdade, sendo n o número
de tratamentos genéticos avaliados e
1
g
o número de graus de liberdade rela-
tivos a tratamentos.
A variância estimada
)(
g
rvâr
é obtida sob a hipótese da nulidade, por
meio da expressão
21
2
2
2
21
21
2
1
2
21
])1)(1[(])2(1][)1(1[
)(
ttbg
rtt
ttbg
rtbtb
rvâr
ff
g
,
em que
21
, gg
: número de graus de liberdade relativos a tratamentos e resíduo, res-
pectivamente;
b
: número de repetições do ensaio;
22
2
2
22
2
1
ˆˆ
ˆ
;
ˆˆ
ˆ
eygy
gy
exgx
gx
tt
e
5,02222
)]ˆˆ)(ˆˆ[(
ˆˆ
eygyexgx
exygxy
f
r
,
onde
gxy
ˆ
: estimador da covariância genotípica entre os caracteres
X
e
Y
;
12
exy
ˆ
: estimador da covariância ambiental entre os caracteres
X
e
Y
;
2
ˆ
gx
e
2
ˆ
gy
: estimador das variâncias genotípicas dos caracteres
X
e
Y,
res-
pectivamente;
2
ˆ
ex
e
2
ˆ
ey
: estimador das variâncias ambientais dos caracteres
X
e
Y,
res-
pectivamente.
2.2. Análise de trilha
Uma melhor compreensão das causas envolvidas nas associações en-
tre caracteres é dada pela análise de trilha ou “path analysis”, desenvolvida
pelo geneticista Sewall Wright em 1918-1921, segundo Johnson e Wichern
(1992). Esse método consiste no desdobramento das correlações em efeitos
diretos e indiretos,
permitindo medir a influência direta de uma variável sobre
a outra. De acordo com Cruz et al. (2004), as estimativas dos efeitos diretos e
indiretos são obtidas por meio de equações de regressão, em que as variá-
veis são previamente padronizadas.
A análise de trilha, apesar de envolver princípios de regressão, é, em
essência, um estudo da decomposição do coeficiente de correlação,
permitindo avaliar se a relação entre duas variáveis é de causa e efeito ou se
é determinada pela influência de outra(s) variável(is). A análise de trilha pode
ser feita a partir de correlações fenotípicas, genotípicas ou ambientais (Cruz,
2006).
Conforme Johnson e Wichern (1992), a análise de trilha consiste em
duas partes:
a) estabelecimento de um modelo de relacionamento de causa e efeito,
ou diagrama causal, entre as variáveis;
b) decomposição das correlações observadas em um conjunto de termos
denominado coeficientes de trilha, os quais representam os caminha-
mentos (trilhas) simples e complexos.
Assim, é possível medir os efeitos diretos e indiretos de uma variável
sobre a outra.
13
2.2.1. Estimação dos coeficientes de trilha (efeitos diretos e indiretos)
Considerando-se, para efeito ilustrativo, uma variável básica
Y
e três
variáveis explicativas (
1
X
,
2
X
,
3
X
), que se relacionam por meio do seguinte
modelo, conforme descrito por Li (1975),
)()()(
321
321
XbXbXbY
YXYXYX
.
Subtraindo-se a média de cada variável, tem-se
)()()(
332211
321
XXbXXbXXbYY
YXYXYX
.
Dividindo-se ambos os membros pelo desvio-padrão da variável básica
)(
Y
, tem-se
YY
YX
Y
YX
Y
YX
Y
XXb
XXbXXb
YY
)(
)(
)()(
33
2211
3
21
.
Multiplicando-se e dividindo-se o 2º membro da expressão acima pelo
desvio-padrão de cada variável explicativa (
221
,,
XXX
, respectivamente),
da seguinte maneira
.
)(
)(
)()(
3
33
2
22
1
11
33
2211
Y
X
X
Y
YX
X
X
Y
YX
X
X
Y
YX
Y
XXb
XXbXXb
YY
Dessa expressão, obtém-se
upxpxpxpy
yxyxyx
321
321
,
em que
Y
YY
y
;
14
i
X
ii
i
XX
x
)(
;
)(
u
;
Y
p
; e
.
Y
XYX
yi
ii
b
p
Sendo
).,(2),(2
),(2),(2),(2
),(2)()()()()(
32
32131
21321
32
32131
21321
upxpCovupxpCov
xpxpCovupxpCovxpxpCov
xpxpCovupVxpVxpVxpVyV
yxyx
yxyxyxyxyx
yxyxyxyxyx
Ou de maneira mais simplificada
).,(2),(2
),(2),(2),(2
),(2)()()()()(
32
32131
21
2
3
2
2
2
1
2
32
32131
21321
uxCovppuxCovpp
xxCovppuxCovppxxCovpp
xxCovppuVpxVpxVpxVpyV
yxyx
yxyxyxyxyx
yxyxyxyxyx
Sendo
,
)(
)
i
X
ii
i
XX
xi
tem-se que
i
X
i
i
XX
VxV
)(
, então,
.1
)(
)(
2
i
X
i
i
XV
xV
De modo análogo, tem-se
1)(
yV
e
1)(
uV
.
15
.),(
1
),(),(),(),(
1
,),()
i
i
i
i
YXi
XY
ii
XY
X
i
Y
i
rXYCov
XYCovXYCovXYCovXYCov
XX
YY
CovxyCovii
.),(
1
),(),(),(),(
1
,),()
ji
ji
ji
ji
XXji
XX
jiji
XX
X
j
X
i
ji
rXXCov
XXCovXXCovXXCovXXCov
XX
XX
CovxxCoviii
.0
),(),(),(),(
1
,),()
XCovXCovXCovXCov
XX
CovxuCoviv
ii
X
x
i
i
i
i
É possível verificar as seguintes relações:
;222)(
2
231312
222
323121321
prpprpprpppppyV
yxyxyxyxyxyxyxyxyx
;)
ˆ
()(
2
pyVyV
231312
222
323121321
222)
ˆ
( rpprpprpppppyV
yxyxyxyxyxyxyxyxyx
e
.
),(),(),(),(
),(),(
1312
1312111
13211
3211
3211
3211
rprppr
xuCovpxxCovpxxCovpxxCovpr
xupxpxpxpCovrxyCov
yxyxyxYX
yxyxyxYX
yxyxyxYX
De maneira análoga são determinadas as demais correlações:
2312
3212
rpprpr
yxyxyxYX
e
3213
2313 yxyxyxYX
prprpr
.
16
Da expressão
231312
222
323121321
222)
ˆ
( rpprpprpppppyV
yxyxyxyxyxyxyxyxyx
pode ser estimado o coeficiente de determinação do modelo causal
²)(R
, que
mede os efeitos das variáveis explicativas sobre a variável principal.
O coeficiente de determinação (R²) é dado por:
SQTotal
oSQRegressã
2
R
Como
)
ˆ
()
ˆ
(oSQRegressã
1
2
yVyy
n
i
i
e
)()(SQTotal
1
2
yVyy
n
i
i
,
o coeficiente de determinação pode ser
expresso por:
.
V(y)
)y
ˆ
V(
²
R
Dado que
1)(
yV
, então,
231312
2222
323121321
222 rpprpprpppppR
yxyxyxyxyxyxyxyxyx
.
Pode ser estimado também o efeito da variável residual sobre a
variável principal, fazendo-se:
.²1
²1
²1
²)(
222)(
2
2
2
2
231312
222
323121321
Rp
Rp
pR
pRyV
prpprpprpppppyV
yxyxyxyxyxyxyxyxyx
17
Os estimadores dos coeficientes de trilha, obtidos pelo processo
descrito acima, são de mínimos quadrados, pois provêm das equações
normais
YXXX '
ˆ
'
, cujas matrizes são derivadas do modelo
upxpxpxpy
yxyxyx
321
321
(Cruz et al., 2004). No sistema de equações
normais,
XX'
é a matriz de correlações genotípicas ou fenotípicas entre as
variáveis explicativas do modelo;
ˆ
é o vetor dos estimadores dos
coeficientes de trilha;
Y
X
'
é a matriz de correlações genotípicas ou
fenotípicas entre a variável principal e cada variável explicativa do modelo,
como segue:
3
2
1
3
2
1
ˆ
e
1
1
1
','
3231
2321
1312
yx
yx
yx
YX
YX
YX
p
p
p
rr
rr
rr
XX
r
r
r
YX
3
2
1
3
2
1
1
1
1
3231
2321
1312
yx
yx
yx
YX
YX
YX
p
p
p
rr
rr
rr
r
r
r
Os resultados da análise de trilha permitem melhor interpretação por
meio do diagrama apresentado na Figura 1.
18
Figura 1. Diagrama causal ilustrativo dos efeitos das variáveis explicativas (
1
X
,
2
X
,
3
X
) e residual (u) sobre a variável dependente Y.
2.3. Multicolinearidade
2.3.1. Conceito e causas
O termo multicolinearidade, segundo Gujarati (2000), foi criado por
Ragnar Frisch em 1934. Significava originalmente a existência de uma
“perfeita” (ou exata) relação linear entre algumas ou todas as variáveis
explicativas de um modelo de regressão.
Segundo Neter et al. (1990) e Kutner et al. (2005), a multicolinearidade
ocorre quando existe algum nível de inter-relação entre as variáveis
independentes do modelo de regressão linear múltipla. Algumas vezes o
termo multicolinearidade é utilizado apenas nos casos em que a correlação
entre as variáveis é muito alta. De acordo com Belsley et al. (1980), os termos
colinearidade, multicolinearidade, e mal-condicionamento são todos usados
para denotar a mesma situação.
Algumas questões frequentemente relacionadas à regressão múltipla
incluem o estabelecimento da importância relativa e da magnitude do efeito
das variáveis explicativas sobre a variável dependente; a identificação de
19
preditores que poderiam ser eliminados do modelo devido ao pequeno ou
nenhum efeito sobre a variável resposta; a possibilidade de inclusão de
variáveis ainda não participantes do modelo (Neter et al, 1990; Kutner et al.,
2005).
Segundo esses autores, na ausência de multicolinearidade, respostas
relativamente simples podem ser dadas a essas questões. No entanto, em
muitas situações não experimentais, tais como, em finanças, economia,
ciências sociais e biológicas, as variáveis independentes tendem a ser
correlacionadas entre si e com outras variáveis que estão relacionadas com a
variável dependente, mas que não estão incluídas no modelo.
Quanto às possíveis fontes de multicolinearidade, Montgomery e Peck
(1992) destacam as seguintes:
1. O método utilizado na obtenção dos dados;
2. Restrições sobre o modelo ou sobre a população;
3. Especificação do modelo;
4. Modelos super parametrizados.
De acordo com Belsley et al. (1980), intuitivamente, pode-se entender o
virtual dano resultante de dados provenientes de variáveis multicolineares, ao
constatar que tais variáveis não fornecem informações muito diferentes
daquelas já inerentes em outras, o que torna difícil inferir sobre as influências
individuais dessas variáveis independentes sobre a resposta.
Em muitos casos, quando é envolvido um grande número de variáveis
ou não há conhecimento prévio da associação entre elas, resultados
inapropriados, gerados pela multicolinearidade, podem ser interpretados,
levando a conclusões que não seriam as mais pertinentes (Cruz e Carneiro,
2006).
Como observado por Kutner et al. (2005), a multicolinearidade tende a
produzir estimativas de mínimos quadrados
j
ˆ
com variâncias muito
grandes. Considerando-se o modelo de regressão linear múltipla com as
variáveis padronizadas
1
x
,
2
x
e
y
:
2211
xxy
,
20
onde as equações normais de mínimos quadrados são
yXXX
ˆ
)(
y
y
r
r
r
r
2
1
2
1
12
12
ˆ
ˆ
1
1
,
e onde
12
r
é a correlação entre
1
x
e
2
x
e
jy
r
é a correlação entre
j
x
e
y
,
2,1
j
. A inversa de
)'( XX
é
)1(
1
)1(
)1()1(
1
)(
2
12
2
12
12
2
12
12
2
12
1
rr
r
r
r
r
XXC
e as estimativas dos coeficientes de regressão são
.
)1(
ˆ
,
)1(
ˆ
2
12
1122
2
2
12
2121
1
r
rrr
r
rrr
yyyy
Se existe multicolinearidade forte entre
1
x
e
2
x
, então o coeficiente de
correlação
12
r
será próximo de mais ou menos 1. Assim, de
1
)'(
XX
tem-se
que
2
12
)
ˆ
(,1
jjj
CVr
e
2
1221
)
ˆ
,
ˆ
(
CCOV
, se
1
12
r
ou
1
12
r
.
Logo, a multicolinearidade forte entre
1
x
e
2
x
resulta em variâncias e
covariâncias grandes para os estimadores de mínimos quadrados dos
coeficientes de regressão.
Para o caso de mais de duas variáveis, a multicolinearidade produz
efeitos similares. Os elementos da diagonal principal da matriz
1
)'(
XXC
são
pj
R
C
j
jj
....,,2,1,
1
1
2
,
onde o
2
j
R
é o coeficiente de determinação múltipla da regressão de
j
x
sobre as variáveis independentes restantes. Assim, uma forte
21
multicolinearidade entre
j
x
e qualquer subconjunto das demais variáveis
independentes, implicará em
2
j
R
próximo de 1. Como a variância de
j
ˆ
é
2122
)1()
ˆ
(
jjjj
RCV
,
a multicolinearidade pode produzir uma variância da estimativa de mínimos
quadrados do coeficiente de regressão
j
ˆ
muito grande. Em geral, a
covariância de
i
ˆ
e
j
ˆ
deverá também ser grande, se as variáveis
i
x
e
j
x
estão envolvidas em uma relação de multicolinearidade.
A multicolinearidade também tende a produzir estimativas de mínimos
quadrados dos coeficientes de regressão muito grandes, afetando o quadrado
da distância entre o estimador de mínimos quadrados
ˆ
e o verdadeiro vetor
de parâmetros
(Hoerl e Kennard, 1970a), assim,
).
ˆ
()
ˆ
(
ˆ
2
L
L
O valor esperado do quadrado da distância,
)(
2
1
LE
, é
,)'(
)
ˆ
(
)
ˆ
(
)
ˆ
()
ˆ
()(
12
1
1
2
2
XXTr
V
E
ELE
p
j
j
p
j
jj
onde o traço
)(Tr
da matriz é apenas a soma dos elementos da diagonal
principal de
)'( XX
. Dessa forma,
p
j
j
LE
1
22
1
)(
,
onde
pj
j
,...,2,1,0
são os autovalores da matriz
)'( XX
, considerada
na forma de correlações. Assim, se a matriz
)'( XX
é mal condicionada em
22
razão da multicolinearidade, pelo menos um dos
j
será muito pequeno,
implicando que a distância da estimativa de mínimos quadrados
ˆ
ao
parâmetro
poderá ser muito grande. Equivalentemente, tem-se que
)
ˆ
2
ˆˆ
(
)
ˆ
()
ˆ
()(
2
E
ELE
ou
12
)'()
ˆˆ
(
XXTrE
.
Isto é, o vetor
ˆ
é geralmente maior que o vetor
. Dessa forma, o
método de mínimos quadrados produz estimativas dos coeficientes de
regressão que podem ser muito grandes em valor absoluto.
Mandel (1982) argumenta que apesar do método dos mínimos
quadrados, em geral, produzir estimativas dos parâmetros individuais do
modelo demasiadamente instáveis na presença de multicolinearidade, não
implica, necessariamente, que o modelo não seja bom preditor. Se as
predições estiverem restritas a regiões do espaço das variáveis
independentes onde a multicolinearidade se verifica, o modelo ajustado
frequentemente produzirá predições satisfatórias.
2.3.2. Efeitos da multicolinearidade sobre a análise de trilha
Sendo a análise de trilha uma forma de estudo de regressão, com base
em matrizes de correlações, pode-se deduzir, por analogia, o virtual dano que
a multicolinearidade causa ao processo de estimação dos coeficientes
(Carvalho, 1995).
Assim, existindo multicolinearidade em níveis considerados moderados
a severos entre um conjunto de variáveis explicativas, as variâncias
associadas a certos estimadores, como, por exemplo, os coeficientes de trilha
que medem os efeitos diretos de variáveis explicativas sobre uma variável
principal, podem atingir valores excessivamente elevados, sendo evidência de
23
serem as estimativas pouco confiáveis ou sem nenhuma coerência com o
fenômeno biológico em estudo (Cruz e Carneiro, 2006). Coimbra et al. (2005),
por exemplo, ao estudarem o grau de multicolinearidade sobre a análise de
trilha em canola, concluíram que a aplicação da análise de trilha sobre o grau
de multicolinearidade severa produz resultados sem nenhuma importância
biológica para o melhorista de plantas.
2.3.3. Diagnóstico de multicolinearidade
O diagnóstico de multicolinearidade dito eficiente é aquele que, além
de informar sobre a existência da multicolinearidade, apresenta o grau de
severidade e identifica as variáveis envolvidas no problema (Montgomery e
Peck, 1992).
Dentre os procedimentos mais comumente utilizados para detectar a
multicolinearidade, conforme indicam vários autores, estão os seguintes:
2.3.3.1. Análise da matriz de correlação
Para Belsley et al. (1980), uma medida muito simples para examinar a
multicolinearidade consiste na análise dos elementos não-diagonais (
ij
r
)
na
matriz
)'( XX
de trabalho.
Se as variáveis independentes (
ji
xx ,
) apresentarem dependência
linear aproximada entre si, então
ij
r
, tomado em valor modular
ij
r
será
próximo à unidade. De acordo com esses autores, enquanto um alto
coeficiente de correlação entre duas variáveis independentes pode de fato
apontar para um possível problema de colinearidade, a ausência de
correlações altas não pode ser vista como evidência de nenhum problema. É
possível três ou mais variáveis independentes estarem envolvidas em uma
relação de multicolinearidade, sem que quaisquer pares dessas variáveis
24
sejam altamente correlacionadas. Tal situação não é diagnosticada pelo
exame da matriz de correlação.
2.3.3.2. Fatores de inflação da variância
Os elementos diagonais
pj
R
C
j
jj
....,,2,1,
1
1
2
da matriz
1
)'(
XXC
, na forma de correlação, denominados por Marquardt, em 1970,
de fatores de inflação da variância (VIFs) constituem um importante
diagnóstico da multicolinearidade, conforme Belsley et al. (1980). Esses
mesmos autores observam que, como a variância do j-ésimo coeficiente de
regressão de mínimos quadrados (
j
ˆ
) é
2122
)1()
ˆ
(
jjjj
RCV
, é
possível considerar
jj
C
como o fator pelo qual a variância de
j
ˆ
é
aumentada devido à dependência linear entre as variáveis.
De acordo com Neter et al. (1990), o maior valor de VIF entre todas as
variáveis é frequentemente usado como um indicador da severidade da
multicolinearidade, e a ocorrência de qualquer VIF com valor superior a 10
constitui indicativo de que a multicolinearidade pode estar influenciando
indevidamente as estimativas de mínimos quadrados.
2.3.3.3. Análise dos autovalores e autovetores da matriz
Segundo Belsley et al. (1980), Kendall (1957) e Silvey (1969) as raízes
características ou autovalores de
X
X
'
,
denotados por
p
...,,,
21
, podem
ser usados para medir o grau de multicolinearidade nos dados. Se existe uma
ou mais dependências lineares aproximadas nesses dados, um ou mais
autovalores serão pequenos.
25
Montgomery e Peck (1992) notam que alguns autores preferem
examinar o número de condição (NC) de
X
X
'
,
definido como a razão entre o
maior e o menor autovalor dessa matriz, ou seja,
mín
NC
max
Como critério para a classificação da multicolinearidade de uma matriz,
esses autores argumentam que, em geral, se o número de condição é menor
que 100, não existe problema sério com a multicolinearidade; para um valor
de NC entre 100 e 1000 implica em multicolinearidade moderada a forte; se o
número de condição for maior que 1000, constitui indício de
multicolinearidade severa.
A análise dos autovalores também pode ser usada para identificar a
natureza da dependência linear aproximada nos dados, de acordo, ainda,
com Montgomery e Peck (1992). A matriz
X
X
'
pode ser decomposta como
'' TTXX
,
sendo
: matriz diagonal pxp, cujos elementos da diagonal são os
autovalores
),...,2,1( pj
j
de
XX'
, ou seja,
p
000
............
0...0
0...0
2
1
;
T:
matriz ortogonal pxp, cujas colunas
)...,,,(
21 p
ttt
são os autovetores
normalizados de
X
X
'
, isto é,
pppp
p
p
p
ttt
ttt
ttt
tttT
...
............
...
...
]...[
21
22221
11211
21
.
Assim, se
'' TTXX
e sabendo
ITT
'
, tem-se:
TXXT )'('
,
ou ainda,
26
jjj
tXXt
)'(
'
,
e
)(0)'(
'
jktXXt
kj
.
Se um autovalor
)(
j
é próximo de zero, indicando uma dependência
linear entre as observações, os elementos do autovetor associado a esse
autovalor descrevem a natureza dessa dependência linear.
2.3.3.4. Decomposição em valores singulares
De acordo com Lawson e Hanson (1974) e Belsley et al. (1980),
qualquer matriz X nxp, sendo n observações e p variáveis, pode ser
decomposta da seguinte forma:
'UDTX
,
onde U é uma matriz nxp cujas colunas são os autovetores associados aos p
autovalores não nulos de
XX'
,
T é uma matriz pxp dos autovetores
normalizados de
X
X
'
,
ITTUU
''
e D é uma matriz diagonal pxp com
elementos diagonais não-negativos
pj
j
,...,2,1,
, denominados valores
singulares de X. Então,
'UDTX
é a forma de decomposição de X em seus
valores singulares.
Para Belsley et al. (1980) a decomposição em valores singulares está
estritamente relacionada com os conceitos de autovalores e autovetores,
dado que
''²')''(' TTTTDUDTUDTXX
,
de modo que o quadrado dos valores singulares de X são os autovalores de
X
X
'
.
Belsley et al. (1980) notam que a matriz X mal-condicionada afeta o
tamanho dos valores singulares, havendo um valor singular pequeno para
cada dependência linear aproximada. A magnitude do mal-condicionamento
depende de quão pequeno é o valor singular mínimo em relação ao valor
27
singular máximo
máx
. Dessa forma, Belsley et al. (1980) definem o índice de
condição da matriz X como:
pj
k
máx
k
...,2,1,
.
Assim, o maior valor para
k
representa o número de condição da
matriz X. Segundo Montgomery e Peck (1992), a vantagem adicional dessa
técnica é que os algoritmos para gerar a decomposição dos valores
singulares são numericamente mais estáveis em relação àqueles da análise
dos autovalores e autovetores, embora, na prática, não seja, provavelmente,
uma desvantagem severa a preferência pela análise dos autovalores e
autovetores.
Sabendo que
12
)'(
XX
é a matriz de variâncias e covariâncias do
estimador de mínimos quadrados
yXXX ')'(
ˆ
1
, onde
2
é a variância
comum dos componentes de
no modelo linear
Xy
, e utilizando a
decomposição em valores singulares,
'UDTX
, a matriz de variância e
covariância de
ˆ
, isto é,
)
ˆ
(
V
, pode ser escrita, conforme Belsley et al.
(1980), como:
')'()
ˆ
(
1212
TTXXV
e a variância do j-ésimo coeficiente de regressão é o j-ésimo elemento
diagonal dessa matriz, ou
p
i
j
kj
p
i
j
kj
k
tt
V
1
2
2
1
2
2
2
)
ˆ
(
.
À exceção de
2
, o j-ésimo elemento diagonal de
'
1
TT
é o j-ésimo
fator de inflação da variância, ou seja
.
1
2
1
2
2
p
i
j
kj
p
i
j
kj
j
tt
VIF
Claramente, a ocorrência de um ou mais valores singulares pequenos,
ou autovalores pequenos, pode inflacionar dramaticamente a variância de
j
ˆ
.
28
2.3.3.5. Determinante de
X
X
'
Conforme Montgomery e Peck (1992), o determinante de
X
X
'
pode
ser usado como um índice de multicolinearidade. Desde que a matriz
X
X
'
esteja na forma de correlação, a possível variação dos valores do
determinante é
1'0
XX
. Se
1'
XX
, as variáveis independentes são
ortogonais. Se
0'
XX
, existe uma dependência linear completa entre
essas variáveis. À medida que
XX'
se aproxima de zero, a
multicolinearidade se torna mais intensa. Esses autores ainda observam que,
embora esta técnica seja facilmente aplicada, ela não fornece qualquer
informação sobre a origem da multicolinearidade.
É importante notar que esse intervalo do determinante não se aplica ao
caso do uso da matriz de correlação genotípica (Peternelli, 2009).
2.3.4. Processos alternativos ao de mínimos quadrados quando ocorre a
multicolinearidade
Para solucionar os problemas adversos da multicolinearidade, várias
técnicas têm sido propostas, tais como, a obtenção de dados adicionais, a
reespecificação do modelo e o uso de outros métodos de estimação de
mínimos quadrados que são especificamente planejados para combater os
problemas induzidos pela multicolinearidade (Montgomery e Peck, 1992).
Esses autores observam, no entanto, que o uso desses procedimentos
nem sempre é possível ou mesmo viável. Quando a multicolinearidade é
devido a restrições sobre o modelo ou sobre a população, a coleta de dados
adicionais é uma solução pouco recomendável. Em relação à eliminação de
variáveis, apesar de ser uma técnica, em geral, altamente efetiva, poderá não
estabelecer uma solução satisfatória se as variáveis retiradas do modelo
tiverem um grande poder explicativo em relação à resposta, prejudicando
29
sobremaneira o poder de predição do modelo. E ainda, muitos dos
procedimentos de seleção de variáveis são seriamente distorcidos pela
multicolinearidade, podendo resultar em um modelo final com grau de
multicolinearidade não muito inferior ao modelo original.
Os métodos alternativos ao de mínimos quadrados, especificamente
planejados para combater os problemas induzidos pela multicolinearidade,
fornecem estimadores tendenciosos, mas, conforme Gunst e Mason (1977)
apresentam, em geral, melhor desempenho quando comparados aos
estimadores de mínimos quadrados. Dentre esses procedimentos, são citados
dois métodos: um denominado “ridge regression” (regressão em crista ou em
cumeeira, conforme Cruz e Carneiro, 2006), originalmente proposto por Hoerl
e Kennard (1970a,b); e o outro denominado regressão em componentes
principais, segundo Chatterjee e Price (1977).
2.3.4.1. Regressão em crista
Esse procedimento é denominado regressão em crista devido à
similaridade ao método de análise em crista originalmente desenvolvido por
Hoerl em 1959 para descrever o comportamento de superfícies de resposta
multidimensionais (Hoerl, 1985).
De acordo com Cruz e Carneiro (2006), o método de regressão em
crista se baseia em obter estimativas de coeficientes de regressão a partir de
uma versão ligeiramente modificada das equações normais. Especificamente,
o estimador em cristas
*
ˆ
é definido como a solução para
yXIkXX '
ˆ
)'(
*
ou
yXIkXX ')'(
ˆ
1*
,
onde
10
k
, uma vez que
XX'
se encontra na forma de correlações.
Hoerl e Kennard (1970a) destacam as seguintes propriedades
aplicáveis à regressão em crista:
30
1. O estimador em crista
*
ˆ
é uma transformação linear do estimador
de mínimos quadrados
ˆ
, assim,
.')'()
ˆ
(
')'()
ˆ
(
)(')'()
ˆ
(
)(')'()
ˆ
(
)(')'()
ˆ
(
')'(
ˆ
1*
1*
1*
1*
1*
1*
XXIkXXE
XXIkXXE
EXXIkXXE
XEXIkXXE
yEXIkXXE
yXIkXX
Logo,
*
ˆ
é um estimador tendencioso de
, visto que
ˆˆ
*
,
em que
.)'(
)'(
)'()'()'()'(
')'(
1
1
11
1
IkXXkI
IkXXIk
IkXXIkXXIkIkXXIkXX
XXIkXX
11*
)'([])'([)
ˆ
(
IkXXkIkXXkIE
.
Logo,
1**
)'()
ˆ
()(Viés
IkXXkE
.
Alguns fatos:
i)
)]
ˆ
(
ˆ
[
**
EE
Como
,')'()
ˆ
(
e')'(
ˆ
1*
1*
XXIkXXE
yXIkXX
assim,
.')'()
ˆ
(
ˆ
')'()(')'()
ˆ
(
ˆ
1**
11**
XIkXXE
XXIkXXXXIkXXE
Logo,
31
]')'[()]
ˆ
(
ˆ
[
1**
XIkXXEEE
ii)
)]}
ˆ
([)]'
ˆ
({[
**
EEE
Como
,)'()
ˆ
(
)'()
ˆ
(
1*
1*
IkXXkE
IkXXkE
assim
.)]([)'(')]}
ˆ
([)]'
ˆ
({[
2*
1
22**
j
p
j
ViésIkXXkEEE
2. Covariância de
*
ˆ
.)'(')'()
ˆ
(
)'()'(')'()
ˆ
(
}]'')'][(')'{[()
ˆ
(
})]'
ˆ
(
ˆ
)][
ˆ
(
ˆ
{[)
ˆ
(
211*
11*
11*
*****
IkXXXXIkXXCOV
IkXXXEXIkXXCOV
XIkXXXIkXXECOV
EEECOV
3. O erro quadrático médio de
*
ˆ
é designado por
)
ˆ
(
*
EQM
, cuja
esperança é dada por
)]
ˆ
()'
ˆ
[()]
ˆ
([
***
EEQME
ou
))].
ˆ
(())'
ˆ
([(
))]
ˆ
(())'
ˆ
(
ˆ
[(2))]
ˆ
(
ˆ
())'
ˆ
(
ˆ
[(
))]}
ˆ
((
))
ˆ
(
ˆ
[))]'
ˆ
(())
ˆ
(
ˆ
{[()]
ˆ
([
**
*******
*
******
EEE
EEEEEE
E
EEEEEQME
Logo,
32
,)'('
)(
)'('])'(')'[(
]Viés[)()]
ˆ
([
22
1
2
2
22112
1
2*
1
**
kIXXk
k
kIXXkkIXXXXkIXXTr
VEQME
p
j
j
j
p
j
p
j
j
sendo
,
)(
)'(')'[()(
1
2
2112
1
*
p
j
j
j
p
j
j
k
IkXXXXIkXXTrV
onde
p
...,,,
21
são os autovalores de X’X.
Esta propriedade tem dois corolários importantes:
i) A variância de
*
ˆ
é uma função decrescente de k;
ii) O viés é uma função crescente de k.
4. Se
'
é limitado, então existe um valor de
0
k
, tal que
p
i
i
EQMEQM
1
12*
)
ˆ
()
ˆ
(
,
propriedade esta denominada teorema da existência.
Segundo Montgomery e Peck (1992), a escolha correta da constante k
tem sido objeto de muitas discussões acerca do emprego da regressão em
crista, com diferentes procedimentos propostos por vários autores.
Hoerl e Kennard (1970a) sugerem que um valor apropriado de k pode
ser determinado pela inspeção do traço de crista. O traço de crista é um
diagrama dos elementos de
*
ˆ
por k, para valores de k normalmente no
intervalo [0,1].
De acordo com Montgomery e Peck (1992), se a multicolinearidade é
severa, será evidente a instabilidade nos coeficientes de regressão pelo traço
de crista. À medida que o valor de k aumenta, algumas estimativas em crista
irão variar dramaticamente, e para algum valor de k, a estimativa em crista
*
ˆ
será estável. Então, o objetivo é selecionar um valor razoavelmente
33
pequeno de k, cujas estimativas em crista
*
ˆ
são estáveis, o que certamente
produzirá um conjunto de estimativas com um
)
ˆ
(
*
EQM
menor que as
estimativas de mínimos quadrados.
Segundo Hoerl e Kennard (1970b), um valor adequado para k pode ser
obtido pela observação do traço de crista e pela escolha de k, onde:
- Os coeficientes já se estabilizaram e terão o comportamento
semelhante ao de um sistema ortogonal;
- Os coeficientes com sinais aparentemente incorretos em
0
k
, serão
mudados para o sinal apropriado;
- Os resíduos não serão muito elevados em relação ao resíduo obtido
em
0
k
.
Newell e Lee (1981) verificaram que a regressão em crista tem se
mostrado uma alternativa conveniente, não somente superando o problema
da inflação da variância e da instabilidade das estimativas dos coeficientes de
regressão, como também, possibilitando ao pesquisador maior estudo das
inter-relações entre as variáveis independentes envolvidas no modelo.
2.3.4.2. Regressão em componentes principais
A aplicação da análise de componentes principais é recomendada por
Chatterjee e Price (1977), dentre outros, como procedimento alternativo ao de
mínimos quadrados, para contornar os problemas de multicolinearidade
apresentados pelos dados.
Os componentes principais podem ser obtidos, segundo Hocking
(1976) e Montgomery e Peck (1992), considerando o modelo na forma
canônica
Zy
,
onde
ZZXTXTTXTZ ''',',
e
)...,,,(
21 p
diag
é
uma matriz diagonal pxp dos autovalores de
X
X
'
e T é uma matriz ortogonal
pxp, cujas colunas são os autovetores associados a
p
...,,,
21
. As colunas
34
da matriz
]...,,,[
21 p
ZZZZ
, que definem um novo conjunto de variáveis
ortogonais, são denominadas componentes principais.
O estimador de mínimos quadrados de
é
yZyZZZ '')'(
ˆ
11
,
e a matriz de covariância de
ˆ
é
1212
)'()
ˆ
(
ZZV
.
Assim, um autovalor pequeno de
X
X
'
significa que a variância do
correspondente coeficiente de regressão ortogonal será grande. Como
p
i
p
j
ji
ZZZZ
11
'
'
,
frequentemente, o autovalor
j
é referido como a variância do j-ésimo
componente principal. E a matriz de covariância dos coeficientes de
regressão padronizados
ˆ
é
21
')
ˆ
()
ˆ
(
TTTVV
.
Para a obtenção do estimador dos componentes principais, as
variáveis independentes são consideradas em ordem decrescente de seus
autovalores, isto é,
p
...
21
. Os “s” últimos desses autovalores, com
p
s
, são considerados como sendo aproximadamente iguais a zero. As
colunas da matriz correspondentes a esses autovalores próximos de zero,
são excluídas da análise, e a regressão em componentes principais é, então,
obtida pela aplicação do método dos mínimos quadrados aos componentes
restantes. Isto é,
ˆˆ
B
PC
,
onde
1...
21
sp
bbb
e
0...
21
pspsp
bbb
. Então, o estimador em
componentes principais é
35
0
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
⋮
⋮
sp
PC
ou em termos de variáveis padronizadas
.'
ˆ
ˆ
1
'1
sp
J
jjj
PCPC
ytXt
T
De acordo com Montgomery e Peck (1992), em um estudo de
simulação, Gunst e Mason em 1977, mostram que a regressão em
componentes principais oferece considerável melhoria sobre os mínimos
quadrados quando os dados são mal-condicionados.
36
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WRIGHT, S. Correlation and causation.
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, v.
20, n. 7, p. 557-585, 1921.
39
40
CAPÍTULO 1
ANÁLISE DE TRILHA PARA COMPONENTES DO RENDIMENTO NA
SELEÇÃO DE FAMÍLIAS DE CANA-DE-AÇÚCAR
RESUMO
41
A análise de trilha é um recurso que o melhorista dispõe para entender as
causas envolvidas nas associações entre caracteres e decompor a correlação
existente em efeitos diretos e indiretos, através de uma variável principal e
das suas variáveis explicativas. O presente trabalho foi proposto para
quantificar os efeitos diretos e indiretos, por meio da análise de trilha,
utilizando valores fenotípicos e genotípicos dos componentes de produção –
número de colmos por parcela, diâmetro médio de colmos e comprimento
médio de colmos – sobre a produtividade de colmos por hectare em cana-de-
açúcar, nas fases de cana-planta e cana-soca, em etapa inicial de seleção do
programa de melhoramento da cana-de-açúcar no estado de Minas Gerais.
Dados de cana-planta e cana-soca da fase inicial de seleção foram obtidos de
dois experimentos. Cada experimento foi constituído de vinte e duas famílias
de cana-de-açúcar, e conduzido no Centro de Experimentação em Cana-de-
açúcar (CECA), da Universidade Federal de Viçosa, no delineamento
experimental em blocos casualizados com cinco repetições. O plantio foi
realizado em abril de 2007. Foram avaliados os caracteres tonelada de
colmos por hectare (TCH), variável principal; e seus componentes de
produção, variáveis explicativas: comprimento médio de colmos (CC),
diâmetro médio de colmos (DC) e número de colmos (NC). Os coeficientes de
determinação foram elevados em todas as análises de trilha, indicando que os
componentes avaliados explicam grande parte da variação existente na
produção de colmos. Pela análise dos efeitos diretos fenotípicos e
genotípicos, NC foi a variável que melhor se correlacionou com TCH, em
ambos os experimentos e estágios, demonstrando a possibilidade de
obtenção de ganhos significativos por meio da seleção indireta para TCH via
NC. A avaliação das relações de causa e efeito entre os componentes de
produção em cana-de-açúcar possibilitou verificar que houve variação entre
os experimentos, o que provavelmente se deve à origem diferenciada das
famílias avaliadas.
42
1. INTRODUÇÃO
43
Nos programas de melhoramento genético de cada cultura, a estimati-
va da correlação entre as variáveis é importante quando se deseja realizar a
seleção simultânea entre as características ou quando o caráter de interesse
apresenta baixa herdabilidade ou difícil mensuração ou identificação (Marche-
zan, et al., 2005).
O conhecimento das relações existentes entre variáveis é de grande
importância, visto que a obtenção de ganhos genéticos e a definição dos
melhores genótipos são, muitas vezes, dirigidas a um conjunto de variáveis
agronômicas e comerciais (Ferreira, 2007).
O grau de associação linear entre duas variáveis quaisquer pode ser
definido pela correlação de Pearson. Robinson e Cockerhan (1965)
mencionam que as correlações, juntamente com as variâncias, são os
parâmetros que mais interessam no melhoramento de uma cultura.
Segundo Falconer (1987), nos estudos genéticos, é necessário
distinguir duas causas de correlação entre características: a genética e a de
ambiente. A causa de correlação genética é, principalmente, o pleiotropismo –
propriedade pela qual um gene condiciona mais de um caráter
simultaneamente –, embora ligações gênicas sejam uma causa de correlação
transitória. O ambiente é uma causa de correlação, pela qual duas
características são influenciadas pelas mesmas diferenças de condições de
ambientes. Ainda de acordo com este mesmo autor, a correlação fenotípica é
definida como a associação entre duas variáveis que pode ser observada
diretamente.
As relações existentes entre os caracteres são, em geral, avaliadas por
meio das correlações fenotípicas, genotípicas e ambientais. De acordo com
Cruz et al. (2004), a correlação fenotípica tem causas genéticas e ambientais,
porém, somente as genéticas envolvem uma associação de natureza
herdável, podendo, portanto, ser utilizada para orientar programas de
melhoramento. Assim, em estudos genéticos é indispensável distinguir e
quantificar o grau de associação genética e ambiental entre os caracteres.
É de grande utilidade em programas de melhoramento vegetal a
estimação dos coeficientes de correlações genotípica, fenotípica e de
44
ambiente dos caracteres intimamente ligados à produção de grãos ou frutos,
uma vez que esse é um caráter complexo, governado por vários genes e
quase sempre de baixa herdabilidade (Falconer, 1987).
Em alguns casos, a seleção com base em uma característica de fácil
avaliação que está altamente correlacionada com a variável de difícil seleção
pode levar a progressos mais rápidos. Dessa forma, utiliza-se a correlação
entre caracteres, pois, através do conhecimento da magnitude do
desempenho de uma característica, pode-se avaliar a influência sobre a outra
característica.
Todavia, podem ocorrer alguns equívocos nas estratégias de seleção
das características avaliadas a partir da quantificação da magnitude das
correlações entre as variáveis, pois um alto ou baixo coeficiente de correlação
entre dois caracteres pode ser resultado do efeito de um terceiro sobre eles,
ou de um grupo de caracteres (Cruz et al., 2004). Portanto, para o melhor
entendimento dos fenômenos de associação entre as variáveis, o estudo da
análise de trilha é indispensável no melhoramento.
A análise de trilha foi desenvolvida pelo geneticista Sewall Wright em
1918-1921 para explicar as relações causais em genética de população
(Johnson e Wichern, 1992). Seu objetivo é fornecer explicações plausíveis de
correlações observadas pela construção de modelos de relação de causa e
efeito entre as variáveis. De acordo com Cruz (2006), a análise de trilha,
apesar de envolver princípios de regressão, é, em essência, um estudo da
decomposição do coeficiente de correlação, permitindo avaliar se a relação
entre duas variáveis é de causa e efeito ou se é determinada pela influência
de outra(s) variável(is).
De acordo com Li (1956), a análise de trilha é um método de análise
multivariada apropriado para lidar com um sistema “fechado” de variáveis
linearmente relacionadas. Caso estas variáveis não se relacionem
linearmente, faz-se necessária uma transformação de escalas para que o
método possa ser aplicado. Por sistema linear fechado, entende-se que cada
variável pode ser tanto uma combinação linear de algumas outras variáveis,
45
como pode ser um dos fatores básicos, e nesse caso pode ainda ser
correlacionada ou não a outros fatores do sistema.
Embora seja a correlação uma característica intrínseca a dois
caracteres em dada condição experimental, sua decomposição depende do
conjunto de caracteres estudados. Esses caracteres, normalmente, são
avaliados pelo conhecimento prévio do pesquisador de sua importância e de
possíveis inter-relações expressas em “diagramas de trilha” (Cruz et al.,
2004). A construção gráfica de esquema causal possibilita a obtenção de um
conjunto de equações simultâneas. De acordo com Li (1956), o diagrama
causal é baseado em um conhecimento a priori de relações causais, ou em
uma hipótese que o investigador escolhe para que seja testada.
Dewey e Lu (1959), em seus estudos sobre correlações e coeficientes
de trilha, exemplificaram o uso deste último método e evidenciaram sua utili-
dade na análise dos coeficientes de correlação, quando se estuda o inter-rela-
cionamento de caracteres agronômicos desejáveis.
Atualmente, a análise de trilha é amplamente utilizada por melhoristas
de plantas (amendoim, por Santos et al., 2000; feijão, por Kurek et al., 2001;
arroz, por Marchezan et al., 2005; algodão, por Hoogerheide et al., 2007; tri-
go, por Gondim et al., 2008). Estudos sobre relações entre variáveis importan-
tes para a cultura da cana, via análise de trilha, também são encontrados na
literatura (Kang et al., 1983; Reddy e Reddi, 1986; Sukhchain et al., 1997;
Barbosa et al., 2002; Ferreira et al., 2007; Silva et al., 2009).
O emprego da análise de trilha nos programas de melhoramento da
cana-de-açúcar visa apontar as características mais adequadas para que seja
feita uma seleção indireta dos genótipos mais produtivos, uma vez que
quantificar a produção destes genótipos é um trabalho bastante demorado
devido ao grande número de genótipos avaliados nas etapas iniciais.
Segundo Reddy e Reddi (1986), o rendimento de cana constitui uma
característica complexa influenciada por vários caracteres inter-relacionados.
A interdependência entre os caracteres frequentemente influencia a relação
direta com o rendimento e, como resultado, a informação baseada em
coeficientes de correlação se torna não confiável. Mas a análise dos
46
coeficientes de trilha permite a decomposição dos coeficientes de correlação
em efeitos diretos e indiretos e fornece uma relação mais prática dos
caracteres, ajudando na identificação de componentes de grande efeito.
Assim, a análise de trilha aparece como um recurso bastante útil para
otimizar o processo de identificação de genótipos (ou indivíduos) promissores
nos programas de melhoramento genético com base em características
indiretas. Do mesmo modo, o estudo de formas mais eficientes de se realizar
tais análises são de suma importância dentro dos objetivos dos programas de
melhoramento de plantas, em especial, o da cana-de-açúcar.
No entanto, estudos sobre as relações entre variáveis importantes para
a cultura da cana, via análise de trilha, ainda são necessários, visto que
diferentes estruturas genéticas populacionais têm sido consideradas (Ferreira,
2007).
Dessa forma, o objetivo deste trabalho foi quantificar os efeitos diretos
e indiretos, por meio da análise de trilha, utilizando valores fenotípicos e
genotípicos dos componentes de produção – número de colmos por parcela,
diâmetro médio de colmos e comprimento médio de colmos – sobre a
produtividade de colmos por hectare em cana-de-açúcar, nas fases de cana-
planta e cana-soca, em etapa inicial de seleção do programa de
melhoramento da cana-de-açúcar, no estado de Minas Gerais, favorecendo,
assim, o processo de seleção indireta de genótipos mais produtivos
2. MATERIAL E MÉTODOS
47
Foram utilizados dados de dois experimentos de cana-de-açúcar. Cada
experimento foi constituído de vinte e duas famílias resultantes de vinte e
dois cruzamentos biparentais de diferentes genótipos de cana-de-açúcar.
Esses cruzamentos foram realizados em 2006, na Estação de Floração e
Cruzamentos, localizada na Serra do Ouro, município de Murici – AL, situada
à latitude 9º13’ S, longitude 35º50’W e a 450-500m de altitude. As plântulas
obtidas de cada família foram transplantadas, conforme metodologia descrita
por Barbosa e Silveira (2000), em abril de 2007, no Centro de
Experimentação em cana-de-açúcar (CECA), localizado em Oratórios – MG
(latitude 20º25’S, longitude 42º48’W e 494m de altitude), pertencente à
Universidade Federal de Viçosa.
Cada parcela foi constituída por dois sulcos espaçados de 1,40 m,
sendo cada sulco composto por dez plantas eqüidistantes a 0,5 m. A
adubação dos experimentos foi realizada de acordo com aquela recomendada
para a cultura (Korndörfer et al., 1999). Foi utilizado, nos experimentos, o
delineamento em blocos casualizados com cinco repetições.
Em junho de 2008 e julho de 2009, no estágio de cana-planta e cana-
soca, respectivamente, da fase inicial de seleção (Fase T1), foram avaliados
em cada parcela, os caracteres: a) comprimento médio de colmos (CC) em
metros, mensurando-se um colmo (amostrado aleatoriamente) de cada tou-
ceira, desde a base do colmo até o primeiro dewlap visível; b) diâmetro médio
de colmos (DC) em milímetros, com a amostragem feita no quinto entrenó,
contado da base do colmo para o ápice, mensurando-se um colmo (amostra-
do aleatoriamente) de cada touceira com paquímetro; c) número de colmos
por parcela (NC); d) tonelada de colmos por hectare (
direto
TCH
), obtido de for-
ma direta, pela expressão
)/tp(TCH
direto
10parceladatotalpeso
,
em que tp é o tamanho da parcela em m², sendo neste trabalho igual a 14 m².
Os componentes de produção – número de colmos por parcela (NC),
diâmetro médio de colmos (DC) e comprimento médio de colmos (CC) –
explicam a produtividade de colmos por hectare (TCH) em cana-de-açúcar, de
forma indireta, pela expressão apresentada por Ferreira et al. (2007):
48
tp
DC
CCNCdTCH
indireto
100
1
2
2
onde CC e DC são expressas em centímetros e d é a densidade específica do
colmo, g cm
-3
. Chang e Milligan (1992) sugeriram utilizar para d o valor 1,0 g
cm
-3
.
Como a relação entre as variáveis explicativas NC, DC e CC e a
variável principal TCH é estruturalmente multiplicativa, foi estabelecida a
transformação dos dados para a escala logarítmica, de modo que fosse obtida
a determinação completa do seguinte modelo aditivo de regressão linear
múltipla (Ferreira et al., 2007):
pCCpDCpNCpTCH
ACDCNC
)log()log()log(log
em que:
CCDCNC
ppp ,,
são as medidas dos efeitos diretos (ou coeficientes de
trilha) dos componentes de produção NC, DC e CC, respectivamente, sobre a
variável principal TCH;
p
é o efeito direto de outras variáveis, não
consideradas no modelo, sobre a variável principal;
é o erro padronizado
associado ao modelo; NC, DC, CC e TCH são os valores observados
padronizados.
As análises de trilha foram realizadas conforme diagrama causal
apresentado na Figura 1, no qual a produção de colmos é determinada pelos
seus componentes, por meio dos efeitos diretos e indiretos de cada um
desses componentes.
49
Pelo desdobramento da correlação em efeitos diretos e indiretos,
os
coeficientes de trilha foram obtidos pela solução simultânea das seguintes
equações:
ACDCACDCNCACNCACTCH
ACDCACDCNCDCNCDCTCH
ACNCACDCNCDCNCNCTCH
prprpr
rpprpr
rprppr
em que:
yi
r
: correlação entre a variável principal (y) e a i-ésima variável explicativa;
i
p
: medida do efeito direto da variável i sobre a variável principal;
ijj
rp
: medida do efeito indireto da variável i, via variável j, sobre a variável
principal.
O coeficiente de determinação foi calculado pela seguinte expressão:
ACDCACDCACNCACNCDCNCDCNCACDCNC
rpprpprpppppR 222²
222
O efeito residual sobre a variável principal foi estimado por meio de:
50
Figura 1.
Diagrama causal ilustrando os efeitos diretos e indiretos das variáveis
explicativas: número de colmos (NC) por parcela, diâmetro médio de colmos (DC) e
comprimento médio de colmos (CC) sobre a variável principal tonelada de colmos por
hectare (TCH). As setas em dupla direção indicam a associação mútua entre duas
variáveis, determinada pelo coeficiente de correlação
)(
ij
r
e as setas em única direção
representam o efeito direto, determinado pelo coeficiente de trilha
)(
i
p
.
2
1 Rp
Quanto à aplicação de testes de significância para as correlações, a li-
teratura apresenta vários trabalhos (Barbosa et al., 2002, Ferreira, et al. 2007;
Hoogerheide et al., 2007
;
Silva et al., 2009). Segundo Vencovsky e Barriga
(1992) quando a correlação é fenotípica, a significância pode ser verificada
por meio de teste t usual, conforme apresentado em diversos livros de Esta-
tística (Exemplo: Dunn e Clark, 1974). No entanto, quando o coeficiente de
correlação é estimado a partir de componentes de variância e da covariância,
como acontece no caso da correlação genotípica entre caracteres, a fórmula
usual para o teste t não mais se aplica. Assim, neste estudo, as significâncias
das correlações fenotípicas e genotípicas foram avaliadas, respectivamente,
conforme Dunn e Clark (1974) e Vencovsky e Barriga (1992).
Para que a avaliação do grau de associação entre diferentes
caracteres de importância agronômica tenha uma estimativa confiável em
termos biológicos, é fundamental identificar e quantificar o grau de
multicolinearidade entre as variáveis estudadas. Assim, antes de realizar a
análise de trilha, foi feito o diagnóstico de multicolinearidade nas matrizes de
correlações genotípicas e fenotípicas.
Para a classificação da multicolinearidade foi realizado o exame do
número de condição (NC) da matriz X’X, definido como a razão entre o maior
e o menor autovalor dessa matriz. De acordo com Montgomery e Peck (1992),
se o número de condição é menor que 100, a multicolinearidade não é um
problema sério; para um valor de NC entre 100 e 1000 implica em
multicolinearidade moderada a forte; se NC for maior que 1000, constitui
indício de multicolinearidade severa.
Todas as análises foram efetuadas com o auxílio do programa
computacional Genes (Cruz, 2009).
51
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados da análise de variância de cada caráter quanto aos qua-
drados médios e coeficientes de variação, para cada experimento nos estági-
os de cana-planta e cana-soca, estão apresentados na Tabela 1.
52
Tabela 1. Resumo das análises de variância e estimativas dos coeficientes de variação
experimental e das médias, relativas a quatro caracteres de cana-de-açúcar para o
experimento 1 e 2 nas fases de cana-planta e cana-soca.
Variável TCH
Experimento 1 Experimento 2
Cana-planta Cana-soca Cana-planta Cana-soca
FV GL QM
Tratamentos 21 1101,799** 1683,9408** 1790,3471** 4321,007**
Blocos 4 1080,368 575,7840 2296,5703 1192,6654
Resíduo 84 192,8171 538,5915 188,6848 528,8105
Média 73,9188 110,5870 62,0286 107,1240
CV(%) 18,79 20,99 22,15 21,47
h² 82,50 68,01 89,46 87,76
Variável NC
Experimento 1 Experimento 2
Cana-planta Cana-soca Cana-planta Cana-soca
FV GL QM
Tratamentos 21 1031,781** 1137,1844** 1727,1048** 2414,0455**
Blocos 4 1577,395 1010,4773 2130,9773 1359,7955
Resíduo 84 226,2859 434,9820 234,8677 376,8907
Média 94,9909 114,4545 76,0 105,8636
CV(%) 15,84 18,22 20,17 18,34
h² 78,09 61,75 86,40 84,39
Variável DC
Experimento 1 Experimento 2
Cana-planta Cana-soca Cana-planta Cana-soca
FV GL QM
Tratamentos 21 0,1111** 0,0663** 0,1934** 0,0851**
Blocos 4 0,0064 0,0140 0,0419 0,0801
Resíduo 84 0,0145 0,0146 0,0147 0,0190
Média 2,3777 2,5276 2,385 2,5282
CV(%) 5,04 4,78 5,08 5,46
h² 87,08 77,98 92,40 77,66
Variável CC
Experimento 1 Experimento 2
Cana-planta Cana-soca Cana-planta Cana-soca
FV GL QM
Tratamentos 21 639,257** 1182,5637** 2246,0107** 2670,8563**
Blocos 4 2485,869 269,3480 2670,9983 695,6063
Resíduo 84 180,7348 218,2783 248,0905 293,8546
Média 199,0869 253,4674 201,1296 258,0306
CV(%) 6,75 5,83 7,83 6,64
h² 71,73 81,54 88,95 90,00
** Significativo a 1% pelo teste F.
TCH: Tonelada de colmos por hectare; NC: Número de colmos; DC: Diâmetro médio de
colmos; CC: Comprimento médio de colmos.
Ocorreram diferenças significativas entre famílias em relação a todos
os caracteres estudados. Houve boa precisão experimental em ambos os ex-
perimentos, pois a maioria dos caracteres apresentaram coeficiente de varia-
ção (CV) inferior a 20%), conforme critério de classificação de Gomes (1987).
53
Com base nos resultados das análises de variância, foram obtidas as
estimativas do coeficiente de herdabilidade (h²) no sentido amplo, em nível de
parcela experimental. Os caracteres apresentaram h² relativamente elevados,
acima de 60%, sendo todos considerados favoráveis para a seleção na cultu-
ra da cana-de-açúcar.
Pelo exame do número de condição, dado pela razão entre o maior e o
menor autovalor da matriz X’X, foi possível identificar o grau de multicolineari-
dade presente. Assim, em ambos os experimentos e estágios, a multicolinea-
ridade pode ser classificada como fraca, uma vez que o número de condição
encontrado para cada matriz foi inferior a 100.
As estimativas dos coeficientes de correlação genotípica e fenotípica,
entre os caracteres em estudo, para os estágios de cana-planta e cana-soca
do experimento 1, estão apresentadas na Tabela 2.
Tabela 2. Estimativas dos coeficientes de correlação fenotípica e (genotípica) entre as
variáveis: número de colmos (NC), diâmetro médio de colmos (DC), comprimento médio de
colmos (CC) e tonelada de cana por hectare (TCH), avaliadas em famílias de cana-de-
açúcar referentes ao experimento 1.
Cana-planta Cana-soca
Variáveis DC CC TCH DC CC TCH
NC
0,3199
(0,4583)*
0,3004
(0,2798)
0,8452**
(0,8587)**
0,0844
(0,2613)
0,2905
(0,3582)
0,8063**
(0,7595)
DC
0,4191
(0,4493)
0,5874**
(0,6962)**
0,4974*
(0,5643)*
0,5756**
(0,8167)**
CC
0,656**
(0,6941)*
0,4748*
(0,534)*
**
,
* Significativo a 1% e a 5% pelo teste t.
Embora a correlação genotípica entre TCH e NC (0,7595) seja relativa-
mente alta, esta não foi significativa para a fase de cana-soca. Esse resultado
se mostra semelhante ao encontrado por Ferreira et al. (2007), em que obtive-
ram correlações genotípicas não significativas entre TCH e NC e TCH e CC
ao analisarem dados dessa mesma fase.
54
A significância da correlação genotípica foi verificada neste trabalho
pela expressão
)(
gg
rvârrt
, assim, quando a variância da correlação ge-
notípica entre dois caracteres foi alta, o valor encontrado para t foi pequeno,
implicando num baixo poder do teste, o que poderia explicar a não significân-
cia da correlação genotípica entre TCH e NC.
Observa-se que houve boa concordância de sinais nas correlações fe-
notípicas e genotípicas, para os dois estágios. Quanto às magnitudes, houve
ligeira tendência das correlações genotípicas superarem as fenotípicas. As-
sim, é possível deduzir que os componentes genotípicos têm maior influência
na determinação das correlações que os componentes de ambiente. No en-
tanto, os valores encontrados para a correlação genotípica podem estar supe-
restimados, uma vez que esta é proveniente de cálculos indiretos a partir de
componentes da variância e da covariância.
Kang et al. (1983) também encontraram correlações fenotípicas e ge-
notípicas com magnitudes próximas, permitindo concluir que a variância e a
covariância ambiental foram reduzidas a nível desprezível, isto é, a influência
do ambiente sobre estas relações foi pequena.
A maioria das correlações fenotípicas e genotípicas entre os compo-
nentes de produção (NC, DC, C) com TCH foram altas ou moderadas e positi-
vas, à semelhança dos resultados obtidos por Ferreira et al. (2007). As maio-
res estimativas das correlações fenotípicas e genotípicas foram para número
de colmos (NC), no estágio de cana-planta (0,8452 e 0,8587, respectivamen-
te) e no estágio de cana-soca (0,8063 e 0,7595, respectivamente). Conside-
rando apenas os coeficientes de correlação, o componente de produção NC
é, portanto, de principal importância na determinação de TCH.
A estimativa do coeficiente de correlação genotípica entre DC e TCH,
no estágio de cana-soca (0,8167) foi superior à fase de cana-planta (0,6962),
no entanto, o mesmo não ocorreu para os demais caracteres.
A Tabela 3 apresenta as estimativas das correlações genotípicas e fe-
notípicas, entre os caracteres em estudo, para os estágios de cana-planta e
cana-soca do experimento 2.
55
Tabela 3. Estimativas dos coeficientes de correlação fenotípica e (genotípica) entre as
variáveis: número de colmos (NC), diâmetro médio de colmos (DC), comprimento médio de
colmos (CC) e tonelada de cana por hectare (TCH), avaliadas em famílias de cana-de-
açúcar referentes ao experimento 2.
Cana-planta Cana-soca
Variáveis DC CC TCH DC CC TCH
NC
0,6702**
(0,7812)**
0,7014**
(0,7633)**
0,9434**
(0,9550)**
0,4648*
(0,6149)**
0,7032**
(0,7458)**
0,9393**
(0,9473)**
DC
0,6879**
(0,7146)**
0,8414**
(0,9103)**
0,6675**
(0,7380)**
0,6868**
(0,8168)**
CC
0,8230**
(0,8547)**
0,8312**
(0,8632)**
**
,
* Significativo a 1% e a 5% pelo teste t.
As estimativas dos coeficientes de correlação fenotípica e genotípica
entre TCH e seus componentes número de colmos (NC), diâmetro médio de
colmos (DC) e comprimento médio de colmos (CC) foram significativas a 1%
pelo teste t. Resultado concordante foi encontrado no trabalho de Silva et al.
(2009) para o estágio de cana-planta.
As estimativas dos coeficientes de correlação fenotípica e genotípica
entre TCH e os seus componentes número de colmos (NC), diâmetro médio
de colmos (DC) e comprimento médio de colmos (CC), no estágio de cana-
planta, foram positivos e elevados (superiores a 0,80), sugerindo, inicialmente
que um aumento em qualquer um desses componentes causaria aumento
correspondente em TCH.
Assim, caso apenas os coeficientes de correlação anteriormente
citados fossem considerados neste estudo, os três componentes avaliados
teriam praticamente a mesma importância ao determinar TCH, já que as
estimativas apresentaram valores bastante próximos. Tal estudo está de
acordo com aqueles apresentados por Silva et al. (2009). Observa-se ainda
elevada correlação fenotípica e genotípica entre as características NC e DC
(0,6702 e 0,7812, respectivamente), NC e CC (0,7014 e 0,7633,
respectivamente) e DC e CC (0,6879 e 0,7146, respectivamente), conforme
Tabela 3.
56
No estágio de cana-soca, as estimativas dos coeficientes de correlação
fenotípica e genotípica se mostraram similares em magnitude em relação às
estimativas da fase de cana-planta, havendo uma pequena redução nas
correlações fenotípicas e genotípicas entre as variáveis TCH e DC.
No estudo de correlação, quanto mais variáveis são consideradas,
mais complexas se tornam as associações indiretas entre elas. Dessa forma,
o coeficiente de trilha fornece um meio eficaz de desdobramento das causas
diretas e indiretas de associação, permitindo medir a importância relativa de
cada fator causal (Dewey e Lu, 1959).
Assim, para o experimento 1, os coeficientes de correlação das
variáveis explicativas NC, DC e CC sobre TCH foram decompostos em
efeitos diretos e indiretos, como apresentado na Tabela 4.
Tabela 4. Análise de trilha fenotípica e genotípica dos componentes de produção número de
colmos (NC), diâmetro médio de colmos (DC), comprimento médio de colmos (CC) sobre
tonelada de cana por hectare (TCH) para o experimento 1.
Cana-planta Cana-soca
Variáveis Fenotípica Genotípica Fenotípica Genotípica
NC
Efeito direto sobre TCH 0,6650 0,6440 0,7636 0,6041
Efeito indireto via DC 0,0712 0,0977 0,0432 0,1839
Efeito indireto via CC 0,1090 0,1170 -0,0005 -0,0285
Total 0,8452 0,8587 0,8063 0,7595
DC
Efeito direto sobre TCH 0,2226 0,2132 0,5120 0,7037
Efeito indireto via NC 0,2127 0,2952 0,0644 0,1578
Efeito indireto via CC 0,1521 0,1879 -0,0008 -0,0449
Total 0,5874 0,6962 0,5756 0,8167
CC
Efeito direto sobre TCH 0,3630 0,4181 -0,0017 -0,0795
Efeito indireto via NC 0,1998 0,1802 0,2218 0,2164
Efeito indireto via DC 0,0933 0,0958 0,2547 0,3971
Total 0,6560 0,6941 0,4748 0,5340
Coeficiente de determinação (R²) 0,9309 0,9916 0,9096 0,9911
Efeito da variável residual 0,2629 0,0914 0,3007 0,0945
Tanto nas correlações fenotípicas quanto genotípicas, os efeitos diretos
e indiretos dos caracteres NC, DC e CC sobre TCH foram todos positivos no
estágio de cana-planta. Os diretos foram superiores aos indiretos ao se
analisar NC e CC. No entanto, para a variável DC, os efeitos diretos e
57
indiretos apresentaram, praticamente, as mesmas magnitudes, refletindo os
valores de correlações fenotípicas e genotípicas entre as variáveis DC e NC
(0,3199 e 0,4583, respectivamente) e DC e CC (0,4191 e 0,4493,
respectivamente) como apresentado na Tabela 1, fazendo com que houvesse
fracionamento por igual do coeficiente de correlação entre os efeitos direto e
indireto.
Embora as variáveis DC e CC tenham apresentado estimativas de
correlação genotípica e fenotípica moderadas com TCH, os efeitos diretos
foram baixos. Sendo o efeito direto da variável DC (0,2226) inferior ao valor
de efeito da variável residual (0,2629), o que reduz sua importância em
relação às variáveis NC e CC.
Verifica-se ainda pela Tabela 4 que o efeito indireto genotípico de DC
via NC (0,2952) foi mais importante que o próprio efeito direto (0,2132) sobre
TCH. Segundo Vencovsky e Barriga (1992), caracteres com alta correlação
favorável, como é o caso da variável DC em cana-planta, com correlação
genotípica igual a 0,6962, mas com baixo efeito direto, indicam que a melhor
estratégia deverá ser a seleção simultânea de caracteres, com ênfase
também nos caracteres cujos efeitos indiretos são significativos.
Na fase de cana-planta, destaca-se NC como a variável que mais
contribuiu para explicar TCH. Esse resultado está de acordo com os obtidos
por Silva et al. (2009) e Barbosa et al. (2002), que obtiveram altos efeitos
diretos de NC sobre TCH. Os trabalhos de James (1971), Reddy e Reddi
(1986), apresentaram contribuição semelhante de NC e DC sobre TCH,
seguidos de CC. Sukhchain et al. (1997) também obtiveram altos efeitos
diretos de NC sobre TCH, sugerindo a seleção de clones para elevação da
produção de colmos com base nesta variável.
Os coeficientes de trilha fenotípicos (Tabela 4) explicaram bem as
variações em TCH, como indica o alto valor do coeficiente de determinação
do modelo (R² = 0,9309) e pelo efeito residual pequeno (0,2629). Tal
resultado reflete a excelente contribuição das variáveis do modelo para a
produção de colmos, sendo estas variáveis dadas, algumas vezes, no cálculo
58
de TCH indireto. Melhor ainda foi a análise usando valores genotípicos, que
explicou em 99,11% a variação em TCH.
Foram encontrados no estágio de cana-soca, efeitos diretos positivos e
superiores aos efeitos indiretos entre as variáveis TCH e NC e TCH e DC,
tanto para as correlações fenotípicas quanto genotípicas. Contudo, o efeito di-
reto de CC sobre TCH foi negativo e inferior aos efeitos indiretos, evidencian-
do a baixa contribuição dessa variável para TCH nessa fase (Tabela 4). Pos-
sivelmente, a correlação moderada positiva entre TCH e CC está sendo cau-
sada pelos efeitos indiretos, via NC e DC.
O comportamento apresentado pela variável CC em relação a TCH é
indicativo da ausência de causa e efeito entre essas variáveis. Segundo Cruz
et al. (2004), nessa situação, o caráter independente não é o principal
determinante das alterações na variável principal, existindo outros fatores que
poderão proporcionar maior impacto em termos de ganhos de seleção.
A variável DC se destacou pela maior estimativa de efeito direto
genotípico sobre TCH (0,7037), o que pode ser explicado pelo aumento da
correlação genotípica entre DC e TCH.
O componente de produção NC apresentou a maior estimativa de
efeito direto fenotípico sobre TCH (0,7636), com aumento desse efeito direto
em relação à fase anterior da cultura (Tabela 4),
indicando que no estágio de
cana-soca, esse componente teve maior contribuição para a produção de
cana, seguido de DC. Verifica-se que em ambas as fases da cultura, o
componente NC se manteve como o mais explicativo. Resultados
semelhantes foram obtidos por Silva et al. (2009).
No trabalho apresentado por Kang et al. (1983) a decomposição dos
coeficientes de correlação genotípica mostrou que diâmetro médio de colmos
(DC) e número de colmos (NC) produziram igual contribuição para TCH,
seguido de médio de colmos (CC). Para as correlações fenotípicas, os três
componentes NC, DC e CC, apresentaram igual importância para a produção
de cana-de-açúcar. De acordo com estes autores, ainda que do ponto de vista
prático, os coeficientes de trilha genotípicos deveriam ser mais importantes
para decidir sobre um critério de seleção mais eficaz.
59
Contudo, caracteres genotipicamente correlacionados, mas não
fenotipicamente correlacionados podem não ser de valor prático na seleção,
pois esta é geralmente baseada no fenótipo (Shukla et al., 1998). Assim, os
dois tipos de correlação foram considerados neste estudo para facilitar a
decisão sobre a eficiência de um critério de seleção indireta.
Assim como ocorreu na fase de cana-planta, tanto para as correlações
fenotípicas quanto genotípicas, os coeficientes de determinação (R²),0,9096 e
0,9911, respectivamente,
e os baixos efeitos residuais,
0,3007 e 0,0945,
respectivamente, representaram satisfatoriamente a contribuição de NC, DC e
CC para TCH (Tabela 4).
As estimativas dos efeitos diretos e indiretos dos componentes de
produção NC, DC e CC sobre TCH, do experimento 2, encontram-se na
Tabela 5.
Tabela 5. Análise de trilha fenotípica e genotípica dos componentes de produção
número de colmos (NC), diâmetro médio de colmos (DC), comprimento médio de
colmos (CC) sobre tonelada de cana por hectare (TCH) para o experimento 2.
Cana-planta Cana-soca
Variáveis Fenotípica Genotípica Fenotípica Genotípica
NC
Efeito direto sobre TCH 0,6076 0,5211 0,7041 0,6397
Efeito indireto via DC 0,2051 0,2821 0,1133 0,1870
Efeito indireto via CC 0,1307 0,1519 0,1219 0,1205
Total 0,9434 0,9550 0,9393 0,9473
DC
Efeito direto sobre TCH 0,3060 0,3611 0,2439 0,3041
Efeito indireto via NC 0,4072 0,4071 0,3273 0,3934
Efeito indireto via CC 0,1282 0,1422 0,1157 0,1193
Total 0,8414 0,9103 0,6868 0,8168
CC
Efeito direto sobre TCH 0,1863 0,1989 0,1733 0,1616
Efeito indireto via NC 0,4262 0,3977 0,4951 0,4771
Efeito indireto via DC 0,2105 0,2580 0,1628 0,2245
Total 0,8230 0,8547 0,8312 0,8632
Coeficiente de determinação (R²) 0,9841 0,9963 0,9729 0,9840
Efeito da variável residual 0,1262 0,0604 0,1647 0,0778
No estágio de cana-planta, os efeitos diretos e indiretos dos caracteres
NC, DC e CC sobre TCH foram todos positivos, com efeitos diretos superiores
60
aos indiretos para NC. Para as variáveis DC e CC, alguns dos efeitos
indiretos superaram os diretos.
O componente de produção NC teve a maior estimativa de efeito direto
sobre TCH tanto para a correlação fenotípica quanto genotípica (0,6076 e
0,5211, respectivamente). Assim, como ocorreu para o experimento 1, nessa
fase da cana-de-açúcar, destaca-se NC como a variável que mais contribuiu
para explicar TCH.
Os coeficientes de trilha fenotípicos e genotípicos explicaram
satisfatoriamente as variações em TCH, como indica o alto valor do
coeficiente de determinação (R² = 0,9841 e 0,9963, respectivamente) e o
efeito residual pequeno (0,1262 e 0,0604, respectivamente), refletindo a
excelente contribuição das variáveis do modelo para a produção de colmos.
No estágio de cana-soca, os efeitos diretos dos componentes de
produção DC e CC foram baixos, à semelhança da fase de cana-planta,
evidenciando a baixa contribuição dessas variáveis para TCH (Tabela 5).
O componente de produção NC apresentou a maior estimativa de
efeito direto sobre TCH, para a correlação fenotípica (0,7041) assim, como
para a correlação genotípica (0,6397), à semelhança dos resultados obtidos
anteriormente, indicando que em ambos os experimentos, constituídos de
diferentes famílias, e estágios, esse componente teve maior contribuição para
a produção de cana-de-açúcar. Verifica-se também que houve aumento
desse efeito direto em relação à fase de cana-planta, o que pode ser
justificado pela redução dos efeitos indiretos de NC via DC e CC.
Nessa fase da cana-de-açúcar, os coeficientes de trilha fenotípicos e
genotípicos também explicaram grande parte das variações em TCH, como
indica o alto valor do coeficiente de determinação (R² = 0,9729 e 0,9840,
respectivamente) e o efeito residual pequeno (0,1647 e 0,0778,
respectivamente), refletindo, mais uma vez, a excelente contribuição das
variáveis do modelo para a produção de colmos.
O rendimento de cana constitui uma característica complexa
influenciada por vários caracteres inter-relacionados, e a análise dos
coeficientes de trilha ajuda na identificação dos componentes de grande
61
efeito. Assim, a variável NC, de fácil mensuração, foi o componente que
apresentou maior contribuição para a produção de cana-de-açúcar, com
possibilidade de obtenção de ganhos significativos por meio da seleção
indireta para TCH via NC, em ambos os experimentos e estágios.
Através dos dois experimentos foi possível avaliar diferentes famílias e
comparar os resultados das análises de trilha. A variação apresentada entre
os experimentos se deve, provavelmente, à origem diferenciada das famílias
avaliadas.
4. CONCLUSÕES
Em ambos os experimentos e fases, houve maior influência dos
componentes genotípicos, em relação aos fenotípicos, na determinação das
correlações.
Os coeficientes de determinação indicaram que número de colmos
(NC), diâmetro médio de colmos (DC) e comprimento médio de colmos (CC)
explicaram grande parte da variação existente na produção de colmos.
A variável NC foi o componente que apresentou maior contribuição
para a produção de cana-de-açúcar, com possibilidade de obtenção de
ganhos significativos por meio da seleção indireta para TCH via NC, em
ambos os experimentos e estágios.
A avaliação das relações de causa e efeito entre os componentes de
produção em cana-de-açúcar possibilitou verificar que houve variação entre
os experimentos, o que provavelmente se deve à origem diferenciada das
famílias avaliadas. Assim, os resultados obtidos são pertinentes apenas para
este estudo, havendo necessidade de avaliação de maior número de
experimentos.
62
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65
ANEXO 1
Tabela 1. Cruzamentos biparentais de cana-de-açúcar
utilizados para estudo da análise de trilha do Experimento 1.
Família Cruzamento
1 SP81-3250 x LAICA 96-09
2 IAC86-2210 x RB725053
3 RB72454 x SP80-3280
4 RB855113 x RB855156
5 RB855584 x RB855046
6 RB997810 x LAICA96-09
7 RB92579 x SP80-1816
8 IAC86-2210 x SP70-1143
9 SP81-3250 x RB92579
10 RB925345 x RB945957
11 UFAL011569 x VAT90-61
12 IAC86-2210 x CO 997
13 RB855156 x SP71-1406
14 RB867515 x RB855002
15 RB825548 x RB92579
16 RB998118 x Q 107
17 L 60-14 x SP80-1842
18 TUC71-7 x RB928064
19 RB865513 x TUC71-7
20 F 150 x RB855584
21 RB855546 x RB92579
22 SP91-1049 x VAT 90-212
66
ANEXO 2
Tabela 2. Cruzamentos biparentais de cana-de-açúcar
utilizados para estudo da análise de trilha do Experimento 2.
Família Cruzamento
1 RB825548 x RB935925
2 RB855002 x RB945961
3 RB725147 x RB92579
4 RB935744 x RB806043
5 RB845210 x RB845197
6 RB735220 x SP77-5181
7 RB825317 x RB835089
8 RB935686 x RB815627
9 RB92579 x RB855035
10 RB92606 x RB805340
11 RB935744 x RB845197
12 RB865547 x RB855206
13 H39-3633 x RB92606
14 RB825237 x RB835486
15 RB855546 x RB955970
16 RB855063 x RB955970
17 RB825237 x RB92579
18 RB92606 x RB72199
19 H64-1881 x RB75126
20 RB855025 x RB931003
21 RB855322 x RB835019
22 RB825237 x H39-3633
67
APÊNDICE
PADRONIZAÇÃO DE VARIÁVEIS
A padronização de uma variável consiste em dividir o desvio de cada
observação em relação à média, pelo respectivo desvio-padrão (Cruz et al.,
2004). Segundo Li (1975), o processo de padronização faz das variáveis
originais todas iguais em média (zero) e em variância (unidade), sendo
desnecessárias as unidades físicas em que as variáveis são medidas.
De acordo ainda com este autor, a análise de trilha lida com as
relações entre as variáveis padronizadas, em que os coeficientes de trilha são
coeficientes de regressão parcial padronizados. Em essência, a análise de
trilha é um estudo da decomposição do coeficiente de correlação (Cruz,
2006).
No entanto, é possível verificar que esse coeficiente de correlação
permanece o mesmo se as variáveis são padronizadas ou não.
O coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é dado por
.
)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
YVXV
YXVOC
r
XY
Aplicando-se a padronização nas variáveis X e Y, tem-se
.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
YX
YX
XY
YY
V
XX
V
YYXX
VOC
r
Como
)()(
2
xVarabaXVar
(Bain e Engelhardt, 1992),
68
.
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ˆ
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1
ˆˆ
,
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ˆ
22
YVXV
YYXX
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r
YX
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XY
Sendo
),(),( YXabCOVbYaXCOV
(Bain e Engelhardt, 1992),
.
)(
ˆ
)(
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1
),(
ˆ
ˆˆ
1
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ˆ
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1
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1
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YXVOCYXVOCYXVOCYXVOC
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XY
Sendo
),(),( YXCOVbYaXCOV
(Bain e Engelhardt, 1992),
.
)(
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),(
ˆ
ˆˆ
1
YVXV
YXVOC
r
YX
YX
XY
.
)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
YVXV
YXVOC
r
XY
69
CAPÍTULO 2
ANÁLISE DE TRILHA SOB MULTICOLINEARIDADE EM
CANA-DE-AÇÚCAR
RESUMO
As técnicas estatísticas multivariadas têm sido regularmente aplicadas
em diversas investigações científicas, gerando grande demanda por conheci-
mentos específicos, tanto a respeito da sua aplicação quanto das suas pres-
suposições ou limitações. Para que a avaliação do grau de associação entre
diferentes caracteres tenha uma estimativa confiável, é fundamental identificar
e quantificar o grau de multicolinearidade entre as variáveis estudadas. Os
problemas causados pela multicolinearidade não são devidos simplesmente à
sua presença, mas sim ao seu grau de manifestação. Com o objetivo de com-
parar o método baseado na regressão em crista e a exclusão de variáveis por
componentes principais para a estimação dos coeficientes de trilha em pre-
sença de multicolinearidade, foram avaliados dados em cana-soca, obtidos do
programa de melhoramento da cana-de-açúcar da Universidade Federal de
Viçosa. O ensaio foi conduzido no delineamento em blocos casualizados, com
oito cultivares e cinco repetições. Dez plantas por parcela foram amostradas
para realização das análises das variáveis explicativas Brix (teor de sólidos
solúveis), Pol (teor de sacarose aparente), pH (indica o grau de acidez), AR
(açúcares redutores), ART (açúcares totais recuperáveis), Cu (cobre), Al (alu-
mínio), Mg (magnésio), Ca (cálcio), K (potássio), Ácido aconítico, Compostos
fenólicos, e da variável principal Cor ICUMSA. Esse material foi coletado e
preparado conforme descrito por Santos (2008). A matriz de correlação obtida
dos dados foi submetida a diferentes métodos para diagnóstico de multicoline-
aridade. Sob multicolinearidade severa, o método baseado na regressão em
crista e a exclusão de variáveis por componentes principais apresentaram re-
sultados semelhantes na estimação dos coeficientes de trilha, proporcionando
sensível redução na magnitude dos fatores de inflação da variância associa-
70
dos aos efeitos diretos e indiretos da análise de trilha. Assim, foi possível
identificar, neste estudo, os caracteres alumínio (Al), potássio (K) e compos-
tos fenólicos como aqueles que melhor explicam a Cor do caldo. Contudo, os
demais caracteres devem ser levados em consideração devido a elevada cor-
relação existente e a baixa magnitude do efeito direto, evidenciando a neces-
sidade de seleção simultânea de caracteres, com ênfase também nos carac-
teres cujos efeitos indiretos são significativos. Para fins de melhoramento, a
seleção indireta para Cor do caldo, por meio de índice de seleção envolvendo
as variáveis Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos e
Ácido aconítico é recomendável.
71
1. INTRODUÇÃO
Em problemas de regressão múltipla, é esperado encontrar
dependências entre a variável resposta e as variáveis explicativas, no
entanto, na maioria dos problemas de regressão, dependências também
ocorrem entre as variáveis explicativas (Montgomery e Runger, 2008). Assim,
segundo Neter et al. (1990) e Kutner et al. (2005), a multicolinearidade ocorre
quando existe algum nível de inter-relação entre as variáveis independentes
do modelo de regressão linear múltipla. Algumas vezes o termo
multicolinearidade é utilizado apenas nos casos em que a correlação entre as
variáveis é muito alta.
Para Vittinghoff et al. (2005), a multicolinearidade denota uma
correlação entre variáveis explicativas, alta o suficiente para degradar
substancialmente a precisão das estimativas dos coeficientes de regressão
para algumas ou todas as variáveis explicativas correlacionadas.
Em muitos casos, quando é envolvido grande número de variáveis ou
não há conhecimento prévio da associação entre elas, resultados
inapropriados, gerados pela multicolinearidade, podem ser interpretados,
levando a conclusões que não seriam as mais pertinentes (Cruz e Carneiro,
2006).
Como a análise de trilha é uma forma de estudo de regressão, baseada
em matrizes de correlações, pode-se deduzir, por analogia, o virtual dano que
a multicolinearidade causa ao processo de estimação dos coeficientes
(Carvalho, 1995). Para obtenção dos efeitos diretos e indiretos da análise de
trilha, é necessário, que a matriz X’X esteja bem condicionada, contudo, os
problemas de multicolinearidade podem torná-la singular, fazendo,
consequentemente, com que as estimativas de mínimos quadrados não
sejam confiáveis (Cruz e Carneiro, 2006).
Os métodos alternativos ao de mínimos quadrados, especificamente
planejados para combater os problemas induzidos pela multicolinearidade,
fornecem estimadores tendenciosos, mas, conforme Gunst e Mason (1977)
72
apresentam, em geral, melhor desempenho quando comparados aos
estimadores de mínimos quadrados.
Um desses procedimentos consiste na exclusão de variáveis por meio
da técnica de componentes principais (Montgomery e Peck, 1992), em que os
componentes principais correspondentes aos autovalores próximos de zero
são removidos da análise e o método dos mínimos quadrados é aplicado às
variáveis restantes.
Quando a exclusão de variáveis não é de interesse do pesquisador, a
análise de trilha é realizada com todas as variáveis, mas é adotado um
procedimento equivalente ao da análise de regressão em crista, como
recomendado por Carvalho (1995). Nesse método procura-se obter
estimativas mais estáveis para os parâmetros do modelo, alterando
ligeiramente o sistema de equações normais pela adição de uma constante à
diagonal da matriz
XX'
, à semelhança do método de regressão em crista
proposto por Hoerl e Kennard (1970a,b).
Para solucionar o problema é necessário fazer o diagnóstico de
multicolinearidade dos dados antes de se realizar o processamento. Nesse
diagnóstico são adotados alguns procedimentos básicos, considerando que o
diagnóstico eficiente é aquele que, além de informar sobre a existência da
multicolinearidade, apresenta o grau de severidade e identifica as variáveis
envolvidas no problema (Montgomery e Peck, 1992).
Neste contexto, o estudo dos caracteres precursores da cor do açúcar
através dos coeficientes de trilha permite entender as causas envolvidas nas
associações entre esses caracteres e decompor a correlação existente em
efeitos diretos e indiretos, através de uma variável principal, como a Cor do
caldo de cana, e as variáveis explicativas Brix, Pol, pH, AR, ART, Cu, Al, Mg,
Ca, K, Ácido aconítico e Compostos fenólicos.
De acordo com CLARKE & LEGENDRE (1999) a Cor do caldo de cana
e do açúcar tem sua origem em vários compostos, como: flavonóides,
compostos fenólicos, pigmentos e aqueles que reagem com os açúcares
redutores, são os que mais afetam a Cor do caldo. Deste modo, o
conhecimento desses compostos é imprescindível na qualidade do açúcar, já
73
que um dos indicadores utilizados na avaliação da qualidade do açúcar para
exportação é a Cor. Assim, este trabalho tem por objetivo comparar o método
baseado na regressão em crista e a eliminação de variáveis para a estimação
dos coeficientes de trilha em presença de multicolinearidade, fazendo uso de
dados em cana-soca, obtidos do programa de melhoramento da cana-de-
açúcar da Universidade Federal de Viçosa, para avaliação das variáveis
explicativas Brix, Pol, pH, AR, ART, Cu, Al, Mg, Ca, K, Ácido aconítico,
Compostos fenólicos, sobre a variável principal Cor ICUMSA.
74
2. MATERIAL E MÉTODOS
Os dados foram obtidos de um experimento conduzido na área do De-
partamento de Fitotecnia da Universidade Federal de Viçosa, município de Vi-
çosa, Minas Gerais. O plantio das mudas foi realizado em março de 2005 com
o primeiro corte da cana-planta em maio de 2006. As avaliações ocorreram
em cana-soca nos meses de abril e outubro de 2007.
Esse experimento foi delineado em blocos casualizados com oito culti-
vares de cana-de-açúcar, cinco repetições e parcelas de cinco sulcos com 10
m de comprimento. Para as análises tecnológicas foram amostradas dez col-
mos por parcela. Os tratamentos foram constituídos pelas cultivares
RB72454, RB867515, RB835486, RB855156, SP80-1816, SP79-1011,
RB855536 e RB92579.
Em abril e outubro de 2007, foram identificadas e coletadas
aleatoriamente dez colmos por parcela, durante cinco dias consecutivos. Esse
material foi coletado e preparado conforme descrito por Santos (2008). Após a
extração do caldo, foram realizadas as análises tecnológicas, e as análises
dos compostos orgânicos e inorgânicos, conforme Manual de controle
químico da fabricação de açúcar – CTC (2001). Dentre as variáveis avaliadas
foram utilizadas, nesse estudo, apenas as seguintes: análises tecnológicas
(Brix, Pol, pH, AR, ART); compostos inorgânicos (Cu, Al, Mg, Ca, K);
compostos orgânicos (Ácido aconítico, Compostos fenólicos) e Cor ICUMSA.
2.1. Obtenção dos dados e suas inter-relações
Nesta sessão são apresentadas, resumidamente, as variáveis utiliza-
das nas análises e suas inter-relações. Esta apresentação se faz necessária
para que possa ser visualizada a forma de relacionamento dessas variáveis,
ficando mais fácil discutir a possível existência de multicolinearidade entre es-
sas variáveis.
75
• Brix (teor de sólidos solúveis) é o parâmetro mais utilizado na indús-
tria do açúcar e do álcool. Este mede o índice de refração das soluções dis-
solvidas em uma solução açucarada fornecendo sua massa em porcentagem.
Para a determinação do Brix na cana, é utilizada a seguinte equação:
Brix%cana = Brix do caldo x (1 – 0,01) x C,
onde
C é o coeficiente que representa a transformação do caldo extraído em todo o
caldo absoluto, dado por C = (1,0313 – 0,00575 x Fibra). A fibra é a
matéria seca insolúvel na água, contida na cana-de-açúcar. Esta é
determinada em função do Brix do caldo extraído da prensa hidráulica,
peso de bagaço úmido (PBU) e peso de bagaço seco (PBS), conforme
Fernandes (2003), por meio da expressão Fibra = (0,08 x PBU) +
0,876.
• Pol (teor de sacarose aparente) representa a porcentagem aparente
de sacarose contida numa solução de açúcares. A pol na cana é obtida em
função da Pol no caldo extraído, multiplicado pela fibra e pelo coeficiente “C”
que transforma a Pol%caldo extraído em Pol%cana.
Pol%cana = Pol%caldo x (1 – 0,01 x Fibra) x C,
em que
Pol%caldo = (1,0078 x leitura sacarimétrica + 0,0444) x (0,2607 – 0,009882 x
Brix).
• Açúcares redutores (AR) são os principais precursores da cor mais
escura do açúcar no processo industrial. O cálculo dos açúcares redutores na
cana-de-açúcar é feito pela fórmula:
AR%cana = AR%caldo x (1 – 0,01 x Fibra) x C,
onde
AR%caldo = (3,641 – 0,0343 x Pureza). A pureza é a porcentagem de
sacarose (Pol) contida nos sólidos solúveis (Brix), sendo o principal indicador
de maturação da cana-de-açúcar, obtida pela fórmula: Pureza = [(Pol % cana)
/ (Brix % cana)] x 100.
76
• Açúcares totais recuperáveis (ATR) representam a quantidade de
açúcares (na forma de açúcares invertidos ou ART) que são recuperados na
usina (kg/ton.cana), admitindo-se perdas na lavagem de cana, extração
(perda de pol no bagaço), torta de filtros e outras perdas indeterminadas. O
ATR é obtido por:
ATR = 9,5263 x Pol%cana + 9,05 x AR.
• pH, índice que indica o grau de acidez ou alcalinidade do caldo, cujos
valores são obtidos em laboratório.
• Cu (cobre), Al (alumínio), Mg (magnésio), Ca (cálcio) e K (potássio)
são compostos inorgânicos encontrados no caldo da cana, cujas análises são
realizadas em laboratório.
• Compostos fenólicos e Ácido aconítico são precursores da cor, oriun-
dos da própria planta, têm importância fundamental na qualidade dos produ-
tos, influenciando e afetando a cor do açúcar. As determinações desses com-
postos nas amostras de caldo de cana são realizadas em laboratório.
• Cor ICUMSA é um dos caracteres empregados na avaliação da quali-
dade e comercialização do açúcar para exportação. Quanto mais baixa a uni-
dade ICUMSA (U.I), mais claro, ou mais branco, é o açúcar (Simioni et al.,
2006). O termo ICUMSA é a sigla da International Commission for Uniform
Methods of Sugar Analysis (Comissão Internacional para Métodos Uniformes
de Análise de Açúcar). Para o cálculo dos valores em Unidades ICUMSA
(U.I.), é utilizada a seguinte fórmula:
1000
cb
Tlog
Cor(U.I.)
,
em que
log T = Logaritmo da transmitância;
b = Comprimento interno da cubeta (cm);
c = Concentração de sacarose em função do Brix a 20°C (g/mL).
77
2.2. Avaliação da multicolinearidade
Para avaliar possíveis ocorrências de multicolinearidade na matriz de
trabalho, foram utilizados os seguintes procedimentos: análise da matriz de
correlação, fatores de inflação da variância, análise dos autovalores e
autovetores da matriz, decomposição em valores singulares e determinante
de
X
X
'
.
A análise da matriz de correlação
é um procedimento que envolve a
análise dos elementos não-diagonais (
ij
r
) da matriz de trabalho. Se as
variáveis independentes (
ji
xx ,
) apresentarem dependência linear aproximada
entre si, então,
ij
r
será próximo de 1. Contudo, a ausência de correlação alta
entre quaisquer pares de variáveis considerados não evidencia ausência de
multicolinearidade, principalmente quando está envolvido grande número de
variáveis (Cruz e Carneiro, 2006).
Os elementos diagonais
jj
C
da matriz
1
)'(
XXC
, denominados por
Marquardt (1970) de fatores de inflação da variância (VIFs), constituem um
importante diagnóstico da multicolinearidade, apresentado em Montgomery e
Peck (1992). A ocorrência de qualquer VIF com valor superior a 10 constitui
indicativo de possíveis efeitos adversos provocados pela multicolinearidade,
sobre os estimadores em uso, de acordo com Neter et al. (1990).
A análise dos autovalores e autovetores da matriz de correlação é um
procedimento eficaz de diagnóstico de multicolinearidade. Quando existe uma
ou mais dependências lineares entre as variáveis, um ou mais autovalores (
p
...,,,
21
) da matriz de correlação serão pequenos, segundo Belsley et al.
(1980). Se um autovalor é próximo de zero, indicando uma dependência linear
entre as observações, os elementos do autovetor associado a esse autovalor
descrevem a natureza dessa dependência linear (Carvalho e Cruz, 1996).
Montgomery e Peck (1992) notam que o exame do número de
condição (NC) de
X
X
'
,
definido como a razão entre o maior e o menor
autovalor dessa matriz é um critério para a classificação da
78
multicolinearidade. Esses autores argumentam que, em geral, se o número de
condição é menor que 100, não existe problema sério com a
multicolinearidade; para um valor de NC entre 100 e 1000 implica em
multicolinearidade moderada a forte; se o número de condição for maior que
1000, constitui indício de multicolinearidade severa.
Outro procedimento de diagnóstico é a decomposição em valores
singulares. De acordo com Lawson e Hanson (1974) e Belsley et al. (1980),
qualquer matriz X nxp, sendo n observações e p variáveis, pode ser
decomposta da seguinte forma
'UDTX
, onde
p
ITTUU
''
e D é uma
matriz diagonal pxp com elementos diagonais não-negativos
pj
j
,...,2,1,
,
denominados valores singulares de X. Então,
'UDTX
é a forma de
decomposição de X em seus valores singulares. Montgomery e Peck (1992)
notam que a matriz X mal-condicionada afeta o tamanho dos valores
singulares, havendo um valor singular pequeno para cada dependência linear
aproximada. A magnitude do mal-condicionamento depende de quão pequeno
é o valor singular mínimo em relação ao valor singular máximo.
A avaliação do determinante de
X
X
'
é também utilizada para
diagnosticar a multicolinearidade. Quando a matriz
XX'
está na forma de
correlação, a possível variação dos valores do determinante é
1'0
XX
.
Se
1'
XX
, as variáveis independentes são ortogonais. Se
0'
XX
,
existe uma dependência linear completa entre essas variáveis, e à medida
que
XX'
se aproxima de zero, a multicolinearidade se torna mais intensa
(Montgomery e Peck,1992).
2.3. Estimação dos coeficientes de trilha quando ocorre a
multicolinearidade
Para atenuar os efeitos adversos da multicolinearidade, na estimação
dos coeficientes de trilha, foram utilizadas duas metodologias: o método
79
denominado “ridge regression” (regressão em crista ou em cumeeira,
conforme Cruz e Carneiro, 2006), originalmente proposto por Hoerl e Kennard
(1970a,b); e a regressão em componentes principais, segundo Montgomery e
Peck (1992).
Na regressão em crista os coeficientes de trilha foram obtidos pela
solução da equação
YXkIXX ')'(
*
em que
X
X
'
é a matriz de correlações entre as variáveis independentes do
modelo de regressão;
k
é uma constante, em geral, pertencente ao intervalo
]1,0[
, adicionada aos elementos da diagonal da matriz
X
X
'
;
I
é a matriz
identidade;
*
é o vetor dos estimadores dos coeficientes de trilha; e
Y
X
'
é a
matriz de correlações entre a variável dependente com cada variável
independente do modelo de regressão. O valor adequado referente à
constante
k
foi determinado, neste ensaio, pelo exame do traço de crista
(Hoerl e Kennard, 1970b). O traço de crista foi obtido plotando os parâmetros
estimados (coeficientes de trilha) em função dos valores de
k
no intervalo de
]1,0[
. O menor valor de
k
capaz de estabilizar a maioria dos estimadores dos
coeficientes de trilha foi empregado.
Na exclusão de variáveis, por componentes principais, aqueles
componentes principais correspondentes aos autovalores próximos de zero
foram removidos e a análise de trilha foi aplicada às variáveis restantes.
Assim, para a exclusão de variáveis, foi realizada a análise com base
em componentes principais e identificada a variável que apresentou maior
valor no autovetor associado ao componente principal de menor autovalor,
sendo essa variável excluída. A seguir, foi feito o diagnóstico de
multicolinearidade a fim de verificar o seu grau na nova matriz. Sendo
constatados, ainda, os efeitos da multicolinearidade, foi realizada uma nova
análise, dessa forma, foi, novamente, identificada e excluída a variável que
apresentou maior valor no autovetor associado ao componente principal de
menor autovalor. Esse processo foi repetido até obter um grau de
multicolinearidade considerado fraco, que não constitui problemas sérios. O
80
grau de multicolinearidade da matriz
XX'
foi estabelecido de acordo com os
critérios indicados por Montgomery e Peck (1992), que se baseiam no valor
do número de condição (NC = razão entre o maior e o menor autovalor de
X
X
'
).
O método baseado na regressão em crista e a exclusão de variáveis
foram comparados por meio dos coeficientes de trilha obtidos para os
caracteres avaliados. Todas as análises foram efetuadas com o auxílio do
programa computacional Genes (Cruz, 2009).
81
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
As estimativas dos coeficientes de correlação entre Cor ICUMSA
(variável principal) e as variáveis explicativas Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al,
Mg, Ca, K, Compostos fenólicos, Ácido aconítico, foram significativas a 1% e
5% pelo teste t (Tabela 1), sendo essas estimativas positivas e negativas, e a
maioria relativamente elevadas.
Pelo exame da matriz de correlações, constata-se que a maior
correlação ocorreu entre as variáveis Pol x ATR (0,9984). Esse valor
se
aproxima da unidade, portanto, é possível que esteja ocorrendo alto grau de
colinearidade entre as variáveis. Contudo, os demais métodos devem ser
aplicados para que essa hipótese seja confirmada.
82
Tabela 1. Estimativas dos coeficientes de correlação entre caracteres Cor ICUMSA, Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu,
avaliados no caldo de cana-de-açúcar.
Caracteres Brix Pol AR ATR pH Cu Al Mg
Cor ICUMSA -0,8450** -0,8341** 0,6757** -0,8433** -0,8202** 0,8556** 0,8049** 0,7319
*
Brix 0,9918** -0,8463** 0,9970** 0,8825** -0,9360** -0,8995** -0,8454
*
Pol -0,9047** 0,9984** 0,8634** -0,9058** -0,8694** -0,8070
*
AR -0,8791** -0,6719** 0,6789** 0,6818** 0,5666
*
ATR 0,8766** -0,9231** -0,8820** -0,8275
*
pH -0,9361** -0,7861** -0,8768
*
Cu 0,8619** 0,9239
*
Al 0,7671
*
Mg
Ca
K
Compostos
fenólicos
**
,
* Significativo a 1% e a 5% pelo teste t, respectivamente.
83
A Tabela 2 apresenta os resultados dos testes para diagnóstico de
multicolinearidade aplicados à matriz de correlações correspondente às
variáveis explicativas Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos
fenólicos, Ácido aconítico.
Tabela 2. Diagnóstico de multicolinearidade da matriz de correlação
)'( XX
envolvendo as
variáveis explicativas Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos, Ácido
aconítico.
Ordem Autovalores Valor singular Índice de condição VIF
1 8,8302 2,9716 1 775,447
2 1,2037 1,0971 2,7085 -
3 0,8974 0,9473 3,1369 -
4 0,4246 0,6516 4,5604 -
5 0,3163 0,5624 5,2839 15,8185
6 0,1873 0,4327 6,8670 254,1085
7 0,0826 0,2873
10,3417
12,7769
8 0,0400 0,2001 14,8532 48,1777
9 0,0155 0,1245 23,8701 12,6058
10 0,0017 0,0415 71,5836 216,5727
11 0,0008 0,0283 104,8491 4,7194
12 0,0000 0,0027 1102,355 3,1433
Determinante: 0,0 Número de condição (NC): 1215187,160574
O número de condição (NC) encontrado foi excessivamente alto,
assim, a multicolinearidade pode ser classificada como severa, conforme
critério de Montgomery e Peck (1992). Verifica-se que alguns autovalores
apresentam estimativas iguais a zero ou próximas de zero, sugerindo a
existência de diversas relações lineares determinantes de efeitos prejudiciais
de multicolinearidade.
A decomposição da matriz de correlações em valores singulares e a
determinação dos índices de condição, dados pela relação entre o maior e
os demais valores singulares, fornecem também informações sobre o grau
de multicolinearidade presente. Valores singulares pequenos e índice de
condição elevado indicam problemas sérios proporcionados pela
multicolinearidade. Pela Tabela 2, verifica-se que o valor singular e o índice
84
de condição, associados à 10ª, 11ª e 12ª ordens, apresentam estimativas
que traduzem a existência de problemas de multicolinearidade.
Foram encontrados 10 valores dos fatores de inflação da variância
(VIFs) superiores a 10, em valor absoluto, indicando que está ocorrendo
multicolinearidade em grau elevado.
Nas matrizes de correlação, o determinante varia de zero a um, caso
as variáveis sejam perfeitamente correlacionadas ou ortogonais entre si,
respectivamente. O determinante correspondente à matriz em estudo foi
nulo, consistindo num indicativo da existência de problemas de
multicolinearidade nessa matriz. O próprio diagnóstico por certos critérios se
torna problemático, pois alguns deles, como VIF, dependem de elementos
da matriz inversa que pode ser gerada, apesar de singular, por meio de um
processamento computacional com erro numérico.
As causas da multicolinearidade podem ser avaliadas com base nas
informações apresentadas na Tabela 3. A análise dos elementos dos
autovetores associados aos últimos autovalores, de menor magnitude, indica
que Pol, Brix e Cu são características que, em combinações com outras,
podem estar proporcionando os problemas na matriz estudada.
85
Tabela 3. Autovalores e autovetores da matriz de correlação
)'( XX
entre as variáveis explicativas Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos,
Ácido aconítico.
Ordem
Autovalores Autovetores
Brix Pol AR ATR pH Cu Al Mg Ca K
Compostos
fenólicos
Ácido
aconítico
1
8,8302 0,3279 0,3245 -0,2709 0,327 0,3161 -0,3262 -0,2975 -0,2957 -0,2007 -0,3048 -0,2108 -0,2166
2
1,2037 0,07 0,1417 -0,4164 0,1031 -0,2014 0,1713 -0,0834 0,1883 0,5533 0,3348 -0,4442 -0,2512
3
0,8974 0,1886 0,1734 -0,1248 0,1774 -0,017 -0,0713 -0,2285 -0,1508 0,4636 0,0535 0,4823 0,5972
4
0,4246 0,0062 -0,1201 0,4492 -0,0746 -0,1108 -0,0494 -0,4543 -0,194 0,3441 -0,044 0,2755 -0,5686
5
0,3163 -0,1315 -0,1765 0,3207 -0,1545 0,0812 -0,1549 -0,0221 -0,4599 0,2732 -0,0698 -0,6139 0,3549
6
0,1873 -0,0087 0,0319 -0,1531 0,0151 0,134 0,0317 0,5498 -0,6426 0,0699 0,3478 0,2248 -0,2544
7
0,0826 -0,1959 -0,1377 -0,1026 -0,1672 0,7682 0,2398 -0,3555 0,0709 -0,0306 0,3499 0,0335 0,0278
8
0,0400 0,1899 0,0796 0,2645 0,1239 0,4735 0,0714 0,4542 0,3194 0,4311 -0,373 0,0102 -0,0977
9
0,0155 0,3671 0,2293 0,4356 0,3132 -0,0592 0,6134 -0,0677 -0,1178 -0,2208 0,2242 -0,1373 0,0936
10
0,0017 0,1034 0,1147 0,3456 0,1774 0,0678 -0,6248 0,0756 0,2664 -0,0643 0,5893 -0,0446 0,0103
11
0,0008 0,784 -0,4008 -0,1109 -0,4499 0,0019 -0,0491 0,0157 0,0207 -0,0333 0,0723 -0,0147 0,016
12
0,0000 -0,0067 -0,7391 -0,0877 0,6678 -0,0003 0,0022 -0,0001 -0,0008 0,0003 -0,0018 0,0002 -0,0002
86
Tendo em vista os resultados obtidos no diagnóstico de
multicolinearidade, foram realizadas duas análises, uma incluindo todas as
variáveis, com as estimativas obtidas pelo método baseado em regressão
em crista; e a outra com exclusão de variáveis, baseada na regressão em
componentes principais.
O valor de
k
para as análises de trilha com base no método de
regressão em crista foi determinado pelo exame do traço de crista
apresentado na Figura 1. Foi admitido que as estimativas estavam
estabilizadas a partir de um valor de k igual a 0,1. De acordo com Cruz e
Carneiro (2006), com o método de crista é esperado que as estimativas dos
efeitos diretos e indiretos sejam tendenciosas, porém associadas a menores
VIFs.
87
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Valor de k
valor do parâmetro
Figura 1. Gráfico de crista para as estimativas dos coeficientes de trilha entre as variáveis
explicativas Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos, Ácido
aconítico e a variável básica Cor ICUMSA, correspondentes aos valores de
k
no
intervalo
10
k
. O valor
1,0
k
foi usado para a estimação dos coeficientes de
trilha.
O estimador de componentes principais reduz os efeitos da
multicolinearidade por usar um subconjunto de componentes principais no
modelo (Montgomery e Peck, 1992). Assim, foram identificadas, nesta
ordem, as variáveis Pol, ATR, Cu, Brix e K, como aquelas que podem ser
descartadas do estudo realizado para contornar os efeitos da
multicolinearidade. No entanto, estas características estão sendo apontadas
por um critério estatístico.
Carvalho et al. (1999), em estudo de análise de trilha sob
multicolinearidade em pimentão, mencionam que no descarte de variáveis
não necessariamente a que tem maior importância econômica é a que mais
88
explica a variável básica, o que torna difícil o processo de exclusão,
principalmente quando várias variáveis necessitam ser eliminadas.
Após a exclusão dessas variáveis, foi realizado o diagnóstico de
multicolinearidade conforme critérios citados anteriormente, resultando em
multicolinearidade fraca (NC: Número de condição = 84,25).
Os resultados das análises de trilha aplicando os dois métodos estão
apresentados na Tabela 4.
89
90
Tabela 4. Estimativas dos efeitos diretos e indiretos das variáveis explicativas Brix, Pol,
AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos, Ácido aconítico sobre a variável
básica Cor ICUMSA, obtidas pelo método baseado na regressão em crista (Método 1) e
com exclusão de variáveis por componentes principais (Método 2).
Método 1 Método 2
k = 0,1 k = 0,0
Variáveis Efeito VIF Efeito VIF
Brix
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0816 9,5811
Efeito indireto via Pol -0,0890 7,8072
Efeito indireto via AR -0,0024 3,1792
Efeito indireto via ATR -0,1009 7,9488
Efeito indireto via pH -0,0579 3,9298
Efeito indireto via Cu -0,0871 6,6211
Efeito indireto via Al -0,2026 3,0537
Efeito indireto via Mg 0,0490 2,6099
Efeito indireto via Ca -0,0432 0,5773
Efeito indireto via K -0,1648 4,4016
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,0972 0,5298
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0409 0,5422
Total -0,845
Pol
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0898 9,6071
Efeito indireto via Brix -0,0810 7,7860
Efeito indireto via AR -0,0026 3,6334
Efeito indireto via ATR -0,1010 7,9712
Efeito indireto via pH -0,0567 3,7618
Efeito indireto via Cu -0,0843 6,2009
Efeito indireto via Al -0,1958 2,8529
Efeito indireto via Mg 0,0468 2,3780
Efeito indireto via Ca -0,0410 0,5189
Efeito indireto via K -0,1559 3,9375
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,1048 0,6163
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0409 0,5412
Total -0,8341
AR
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,0028 5,3734 0,104 3,1087
Efeito indireto via Brix 0,0691 5,6688
Efeito indireto via Pol 0,0812 6,4961
Efeito indireto via ATR 0,0889 6,1799
Efeito indireto via pH 0,0441 2,2778 0,0322 6,0771
Efeito indireto via Cu 0,0632 3,4832
Efeito indireto via Al 0,1536 1,7546 0,3844 1,9985
Efeito indireto via Mg -0,0329 1,1722 0,0111 1,6453
Efeito indireto via Ca 0,0229 0,1614 0,0724 0,2170
Efeito indireto via K 0,1017 1,6771
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,1176 0,7764 0,1555 1,0162
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0371 0,4460 -0,0839 0,5888
Total 0,6757 0,6757
Continuação...
Tabela, continuação.
Método 1 Método 2
k = 0,1 k = 0,0
Variáveis Efeito VIF Efeito VIF
ATR
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,1012 9,6800
Efeito indireto via Brix -0,0814 7,8676
Efeito indireto via Pol -0,0896 7,9112
Efeito indireto via AR -0,0025 3,4305
Efeito indireto via pH -0,0575 3,8774
Efeito indireto via Cu -0,0859 6,4397
Efeito indireto via Al -0,1987 2,9359
Efeito indireto via Mg 0,0480 2,5007
Efeito indireto via Ca -0,0428 0,5661
Efeito indireto via K -0,1609 4,1933
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,1016 0,5793
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0408 0,5388
Total -0,8433
pH
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0656 6,1081 -0,0479 13,4629
Efeito indireto via Brix -0,0720 6,1642
Efeito indireto via Pol -0,0775 5,9167
Efeito indireto via AR -0,0019 2,0038 -0,0699 1,4032
Efeito indireto via ATR -0,0887 6,1447
Efeito indireto via Cu -0,0871 6,6226
Efeito indireto via Al -0,1771 2,3324 -0,4432 2,6566
Efeito indireto via Mg 0,0508 2,8075 -0,0172 3,9406
Efeito indireto via Ca -0,0654 1,3225 -0,2073 1,7788
Efeito indireto via K -0,1762 5,0306
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,0913 0,4677 -0,1207 0,6121
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0380 0,4677 0,0859 0,6175
Total -0,8202 -0,8202
Cu
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,0931 9,1482
Efeito indireto via Brix 0,0764 6,9344
Efeito indireto via Pol 0,0813 6,5120
Efeito indireto via AR 0,0019 2,0460
Efeito indireto via ATR 0,0934 6,8140
Efeito indireto via pH 0,0614 4,4218
Efeito indireto via Al 0,1941 2,8038
Efeito indireto via Mg -0,0536 3,1172
Efeito indireto via Ca 0,0597 1,1013
Efeito indireto via K 0,1856 5,5829
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0915 0,4697
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0384 0,4758
Total 0,8556
Continuação...
Tabela, continuação.
Método 1 Método 2
k = 0,1 k = 0,0
Variáveis Efeito VIF Efeito VIF
Al
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,2253 4,5686 0,5638 4,2987
Efeito indireto via Brix 0,0734 6,4041
Efeito indireto via Pol 0,0780 5,9993
Efeito indireto via AR 0,0019 2,0637 0,0709 1,4452
Efeito indireto via ATR 0,0892 6,2207
Efeito indireto via pH 0,0516 3,1184 0,0377 8,3201
Efeito indireto via Cu 0,0802 5,6144
Efeito indireto via Mg -0,0445 2,1487 0,0150 3,0159
Efeito indireto via Ca 0,0302 0,2822 0,0958 0,3796
Efeito indireto via K 0,1520 3,7408
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0849 0,4044 0,1122 0,5294
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0400 0,5163 -0,0903 0,6817
Total 0,8049 0,8049
Mg
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0580 4,4204 0,0196 5,1257
Efeito indireto via Brix 0,0690 5,6569
Efeito indireto via Pol 0,0724 5,1683
Efeito indireto via AR 0,0016 1,4249 0,0589 0,9979
Efeito indireto via ATR 0,0837 5,4762
Efeito indireto via pH 0,0575 3,8794 0,0420 10,3503
Efeito indireto via Cu 0,0860 6,4510
Efeito indireto via Al 0,1728 2,2207 0,4325 2,5294
Efeito indireto via Ca 0,0480 0,7130 0,1522 0,9590
Efeito indireto via K 0,1616 4,2304
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0762 0,3255 0,1007 0,4261
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0328 0,3489 -0,0742 0,4607
Total 0,7319 0,7319
Ca
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,0931 3,2444 0,2951 3,6051
Efeito indireto via Brix 0,0379 1,7049
Efeito indireto via Pol 0,0395 1,5365
Efeito indireto via AR 0,0007 0,2672 0,0255 0,1871
Efeito indireto via ATR 0,0465 1,6889
Efeito indireto via pH 0,0461 2,4897 0,0337 6,6426
Efeito indireto via Cu 0,0596 3,1054
Efeito indireto via Al 0,0731 0,3974 0,1829 0,4527
Efeito indireto via Mg -0,0299 0,9714 0,0101 1,3634
Efeito indireto via K 0,1491 3,6038
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0483 0,1308 0,0638 0,1712
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0296 0,2827 -0,0668 0,3733
Total 0,544 0,544
Continuação...
91
Tabela, continuação.
Método 1 Método 2
k = 0,1 k = 0,0
Variáveis Efeito VIF Efeito VIF
K
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,1939 7,3714
Efeito indireto via Brix 0,0694 5,7210
Efeito indireto via Pol 0,0722 5,1318
Efeito indireto via AR 0,0015 1,2225
Efeito indireto via ATR 0,0839 5,5066
Efeito indireto via pH 0,0597 4,1685
Efeito indireto via Cu 0,0891 6,9287
Efeito indireto via Al 0,1766 2,3185
Efeito indireto via Mg -0,0483 2,5369
Efeito indireto via Ca 0,0716 1,5862
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0780 0,3416
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0363 0,4252
Total 0,8312
Compostos Fenólicos
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,1794 2,1866 0,2372 2,3644
Efeito indireto via Brix 0,0442 2,3215
Efeito indireto via Pol 0,0524 2,7080
Efeito indireto via AR 0,0019 1,9079 0,0682 1,3361
Efeito indireto via ATR 0,0573 2,5646
Efeito indireto via pH 0,0334 1,3064 0,0244 3,4855
Efeito indireto via Cu 0,0474 1,9649
Efeito indireto via Al 0,1066 0,8450 0,2668 0,9625
Efeito indireto via Mg -0,0246 0,6581 0,0083 0,9236
Efeito indireto via Ca 0,0251 0,1941 0,0794 0,2610
Efeito indireto via K 0,0843 1,1515
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0472 0,7202 -0,1066 0,9509
Total 0,578 0,578
Ácido Aconítico
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0726 2,0653 -0,1641 2,2527
Efeito indireto via Brix 0,0460 2,5154
Efeito indireto via Pol 0,0505 2,5175
Efeito indireto via AR 0,0015 1,1604 0,0532 0,8126
Efeito indireto via ATR 0,0569 2,5254
Efeito indireto via pH 0,0344 1,3831 0,0251 3,6902
Efeito indireto via Cu 0,0491 2,1078
Efeito indireto via Al 0,1239 1,1421 0,3101 1,3008
Efeito indireto via Mg -0,0262 0,7468 0,0089 1,0482
Efeito indireto via Ca 0,0379 0,4441 0,1201 0,5974
Efeito indireto via K 0,0968 1,5175
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,1166 0,7625 0,1541 0,9980
Total 0,5074 0,5074
Coeficiente de determinação (R²) 0,7820 0,7921
Efeito da variável residual 0,4669 0,4560
Determinante da matriz
XX'
2,23x10
-6
3,0x10
-3
A análise de trilha, após a exclusão de variáveis por meio da
regressão em componentes principais, mostrou resultados semelhantes à
análise de trilha baseada na regressão em crista. Os fatores de inflação das
variâncias (VIFs) foram pequenos, para ambos os métodos, mostrando
serem confiáveis em expressar as verdadeiras relações de causa e efeito
entre os caracteres estudados.
O coeficiente de determinação obtido na análise de trilha baseada no
método de regressão em crista (0,7820) foi semelhante ao encontrado pelo
método da regressão em componentes principais (0,7921).
Nos dois métodos, os efeitos diretos e indiretos das variáveis
explicativas sobre Cor ICUMSA oscilaram entre valores positivos e
negativos, e não foram superiores à unidade.
Na regressão em crista e na regressão em componentes principais,
os efeitos diretos da variável Al (0,225 e 0,5638, respectivamente) foram
superiores aos indiretos. As variáveis K e Compostos fenólicos
apresentaram situação semelhante na regressão em crista, com efeitos
diretos iguais a 0,1939 e 0,1794, respectivamente. A variável Compostos
fenólicos mostrou efeito direto igual a 0,2372 na análise baseada em
componentes principais, porém, teve um efeito indireto via Al maior
(0,2668).
Para efeito de seleção, é importante identificar, dentre os caracteres
de alta correlação com a variável principal, aqueles de maior efeito direto em
sentido favorável à seleção, de tal forma que a resposta correlacionada por
meio da seleção indireta seja eficiente (Cruz et al., 2004). Portanto, Al, K e
Compostos fenólicos são as características que mais se associam à Cor.
Assim, quanto maior o teor de Al, K e/ou Compostos fenólicos, mais elevada
será a Cor do caldo.
Segundo Santos (2008), o excesso de K não é desejável para
produção de açúcar, pois como é o maior constituinte das cinzas
(substâncias inorgânicas), está em altas concentrações no caldo,
dificultando a cristalização, reduzindo o rendimento industrial. Em um estudo
para comprovar a correlação da quantidade de Compostos fenólicos totais
92
com a cor do açúcar produzido, Simioni et al., (2006) relatam que quanto
maior a concentração de Compostos fenólicos, maior será a Cor ICUMSA.
Observa-se também que o Al é a variável que apresenta maior
influência indireta sobre as demais variáveis explicativas, seguida de K.
As variáveis AR e Cu apresentaram baixo efeito direto e correlação
relativamente alta, de mesmo sinal em relação ao Al. De acordo com Santos
(2008), embora AR não seja o principal determinante que explique a Cor do
caldo, é uma característica diretamente relacionada com essa variável
principal. Zarpelon (1988), citado por Santos (2008), salienta ser conhecido
o fato que os açúcares redutores do caldo elevam a cor do açúcar.
De acordo com Cruz et al. (2004), quando uma variável explicativa
apresenta correlação favorável com a variável principal e efeito direto em
sentido desfavorável, é indicativo da ausência de causa e efeito, ou seja, o
caráter independente não é o principal determinante das alterações na variá-
vel principal, existindo outros fatores que poderão proporcionar maior impac-
to em termos de ganhos de seleção. Tal situação é observada para os ca-
racteres Mg (considerando apenas o resultado encontrado pelo método de
regressão em crista) e Ácido aconítico que apresentaram correlação positiva
com Cor do caldo e efeito direto em sentido contrário. Conforme Stupiello
(2001), citado por Santos (2008), quanto mais altas as concentrações de áci-
do aconítico no caldo, pior será para clarificação devido à competição com o
ácido fosfórico pelo cálcio.
Todas as variáveis avaliadas apresentaram baixos valores de efeitos
diretos, sendo estes, inferiores ao valor de efeito da variável residual, com
exceção da variável Al (ao considerar o resultado obtido com a exclusão de
variáveis).
As variáveis Brix, Pol, ATR e pH mostraram relação inversa com a
Cor do caldo, com estimativas de correlação elevadas e efeitos diretos nega-
tivos e baixos.
Diante dos resultados encontrados, é plausível sugerir que as variá-
veis explicativas não devem ser totalmente descartadas devido ao baixo
efeito direto sobre a variável principal. Segundo Cruz et al., 2004, caracteres
93
com alta correlação, mas com baixo efeito direto indicam que a melhor estra-
tégia deverá ser a seleção simultânea de caracteres, com ênfase também
nos caracteres cujos efeitos indiretos são significativos.
94
4. CONCLUSÕES
Os procedimentos utilizados para detectar a multicolinearidade
mostraram ser eficientes para a quantificação da intensidade com que a
multicolinearidade se manifesta e também para a identificação das variáveis
envolvidas.
Sob multicolinearidade severa, o método baseado na regressão em
crista e a exclusão de variáveis por componentes principais apresentaram
resultados semelhantes na estimativa dos coeficientes de trilha, proporcio-
nando sensível redução na magnitude dos fatores de inflação da variância
associados aos efeitos diretos e indiretos da análise de trilha.
As variáveis Al, K e Compostos fenólicos são as que melhor explicam
a variável Cor do caldo. Contudo, os demais caracteres devem ser levados
em consideração devido a elevada correlação existente e a baixa magnitude
dos efeitos diretos, evidenciando a necessidade de seleção simultânea de
caracteres, com ênfase também nos caracteres cujos efeitos indiretos são
significativos.
Todos os caracteres apresentaram alta correlação com a Cor do cal-
do. No entanto, a análise de trilha revelou que nenhuma correlação repre-
sentou associação de causa e efeito, tendo em vista as baixas estimativas
dos efeitos diretos.
Para fins de melhoramento, a seleção indireta para Cor do caldo, por
meio de índice de seleção envolvendo as variáveis Brix, Pol, AR, ATR, pH,
Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos e Ácido aconítico é recomendável.
95
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97
APÊNDICE
98
99
Tabela 1. Estimativas dos efeitos diretos e indiretos das variáveis explicativas
Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K, Compostos fenólicos, Ácido aconítico
sobre a variável básica Cor ICUMSA, obtidas pelo método baseado em análise
de regressão em crista (Método 1).
Método 1
k = 0,05
Variáveis Efeito VIF
Brix
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0745 16,0307
Efeito indireto via Pol -0,0975 14,5737
Efeito indireto via AR 0,0136 5,1221
Efeito indireto via ATR -0,1175 14,7165
Efeito indireto via pH -0,0460 5,5203
Efeito indireto via Cu -0,0687 11,7054
Efeito indireto via Al -0,2335 4,1304
Efeito indireto via Mg 0,0710 3,6417
Efeito indireto via Ca -0,0486 0,8122
Efeito indireto via K -0,1848 7,4172
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,1089 0,6232
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0543 0,6240
Total -0,845
Pol
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0983 16,4138
Efeito indireto via Brix -0,0739 14,2336
Efeito indireto via AR 0,0145 5,8537
Efeito indireto via ATR -0,1177 14,7580
Efeito indireto via pH -0,0450 5,2843
Efeito indireto via Cu -0,0665 10,9625
Efeito indireto via Al -0,2257 3,8589
Efeito indireto via Mg 0,0677 3,3182
Efeito indireto via Ca -0,0461 0,7300
Efeito indireto via K -0,1747 6,6353
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,1174 0,7250
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0543 0,6228
Total -0,8341
AR
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0160 7,9234
Efeito indireto via Brix 0,0630 10,3630
Efeito indireto via Pol 0,0889 12,1263
Efeito indireto via ATR 0,1036 11,4416
Efeito indireto via pH 0,0350 3,1996
Efeito indireto via Cu 0,0499 6,1580
Efeito indireto via Al 0,1770 2,3733
Efeito indireto via Mg -0,0476 1,6357
Efeito indireto via Ca 0,0257 0,2270
Efeito indireto via K 0,1140 2,8261
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,1318 0,9133
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0493 0,5132
Total 0,6757
Continuação,,,
100
101
Tabela, continuação.
Método 1
k = 0,05
Variáveis Efeito VIF
ATR
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,1179 16,4028
Efeito indireto via Brix -0,0743 14,3826
Efeito indireto via Pol -0,0982 14,7678
Efeito indireto via AR 0,0141 5,5268
Efeito indireto via pH -0,0457 5,4466
Efeito indireto via Cu -0,0678 11,3847
Efeito indireto via Al -0,2289 3,9712
Efeito indireto via Mg 0,0695 3,4894
Efeito indireto via Ca -0,0482 0,7963
Efeito indireto via K -0,1803 7,0662
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,1138 0,6815
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0541 0,6200
Total -0,8433
pH
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0521 7,8531
Efeito indireto via Brix -0,0657 11,2688
Efeito indireto via Pol -0,0849 11,0447
Efeito indireto via AR 0,0108 3,2283
Efeito indireto via ATR -0,1033 11,3764
Efeito indireto via Cu -0,0687 11,7080
Efeito indireto via Al -0,2040 3,1549
Efeito indireto via Mg 0,0736 3,9174
Efeito indireto via Ca -0,0736 1,8604
Efeito indireto via K -0,1975 8,4772
Efeito indireto via Compostos Fenólicos -0,1023 0,5501
Efeito indireto via Ácido Aconítico 0,0504 0,5382
Total -0,8202
Cu
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,0734 14,8024
Efeito indireto via Brix 0,0697 12,6767
Efeito indireto via Pol 0,0890 12,1559
Efeito indireto via AR -0,0109 3,2962
Efeito indireto via ATR 0,1088 12,6156
Efeito indireto via pH 0,0488 6,2114
Efeito indireto via Al 0,2237 3,7925
Efeito indireto via Mg -0,0775 4,3495
Efeito indireto via Ca 0,0672 1,5493
Efeito indireto via K 0,2081 9,4080
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,1025 0,5525
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0509 0,5476
Total 0,8556
Continuação,,,
102
103
Tabela, continuação.
Método 1
k = 0,05
Variáveis Efeito VIF
Al
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,2596 5,6558
Efeito indireto via Brix 0,0670 11,7072
Efeito indireto via Pol 0,0855 11,1988
Efeito indireto via AR -0,0109 3,3248
Efeito indireto via ATR 0,1039 11,5171
Efeito indireto via pH 0,0410 4,3805
Efeito indireto via Cu 0,0633 9,9257
Efeito indireto via Mg -0,0644 2,9982
Efeito indireto via Ca 0,0340 0,3970
Efeito indireto via K 0,1703 6,3038
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0951 0,4758
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,053 0,5941
Total 0,8049
Mg
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0839 5,6453
Efeito indireto via Brix 0,0630 10,3413
Efeito indireto via Pol 0,0793 9,6477
Efeito indireto via AR -0,0091 2,2957
Efeito indireto via ATR 0,0975 10,1387
Efeito indireto via pH 0,0457 5,4494
Efeito indireto via Cu 0,0679 11,4047
Efeito indireto via Al 0,1991 3,0038
Efeito indireto via Ca 0,0541 1,0030
Efeito indireto via K 0,1811 7,1288
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0853 0,3829
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0436 0,4015
Total 0,7319
Ca
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,1048 4,1774
Efeito indireto via Brix 0,0346 3,1167
Efeito indireto via Pol 0,0433 2,8682
Efeito indireto via AR -0,0039 0,4305
Efeito indireto via ATR 0,0542 3,1269
Efeito indireto via pH 0,0366 3,4973
Efeito indireto via Cu 0,0471 5,4899
Efeito indireto via Al 0,0842 0,5376
Efeito indireto via Mg -0,0433 1,3554
Efeito indireto via K 0,1672 6,0729
Efeito indireto via Compostos Fenólicos 0,0541 0,1538
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0392 0,3253
Total 0,544
Continuação,,,
104
105
Tabela, continuação.
Método 1
k = 0,05
Variáveis Efeito VIF
K
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,2173 11,369
Efeito indireto via Brix 0,0633 10,4585
Efeito indireto via Pol 0,0790 9,5795
Efeito indireto via AR -0,0084 1,9696
Efeito indireto via ATR 0,0978 10,1950
Efeito indireto via pH 0,0474 5,8556
Efeito indireto via Cu 0,0703 12,2491
Efeito indireto via Al 0,2035 3,1360
Efeito indireto via Mg -0,0700 3,5398
Efeito indireto via Ca 0,0806 2,2314
Efeito indireto via Compostos
Fenólicos 0,0874 0,4018
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0481 0,4893
Total 0,8312
Compostos Fenólicos
Efeito direto sobre Cor ICUMSA 0,2010 2,3542
Efeito indireto via Brix 0,0403 4,2439
Efeito indireto via Pol 0,0574 5,0550
Efeito indireto via AR -0,0105 3,0738
Efeito indireto via ATR 0,0667 4,7481
Efeito indireto via pH 0,0265 1,8351
Efeito indireto via Cu 0,0374 3,4738
Efeito indireto via Al 0,1228 1,1430
Efeito indireto via Mg -0,0356 0,9182
Efeito indireto via Ca 0,0282 0,2730
Efeito indireto via K 0,0945 1,9405
Efeito indireto via Ácido Aconítico -0,0626 0,8287
Total 0,578
Ácido Aconítico
Efeito direto sobre Cor ICUMSA -0,0963 2,1752
Efeito indireto via Brix 0,0420 4,5984
Efeito indireto via Pol 0,0554 4,6994
Efeito indireto via AR -0,0082 1,8695
Efeito indireto via ATR 0,0662 4,6755
Efeito indireto via pH 0,0273 1,9429
Efeito indireto via Cu 0,0388 3,7263
Efeito indireto via Al 0,1428 1,5448
Efeito indireto via Mg -0,0380 1,0420
Efeito indireto via Ca 0,0427 0,6248
Efeito indireto via K 0,1085 2,5572
Efeito indireto via Compostos
Fenólicos 0,1306 0,8969
Total 0,5074
Coeficiente de determinação (R²) 0,7915
Efeito da variável residual 0,4566
Determinante da matriz
XX'
5,80x10
-8
CONSIDERAÇÕES FINAIS
106
Este trabalho apresentou no capítulo 1 a técnica de análise de trilha
para quantificar os efeitos diretos e indiretos em dados de cana-de-açúcar,
nos estágios de cana-planta e cana-soca. Dentre os caracteres avaliados,
em dois experimentos, número de colmos (NC) foi a variável que melhor se
correlacionou com tonelada de colmos por hectare (TCH), demonstrando a
possibilidade de obtenção de ganhos significativos por meio da seleção
indireta para TCH via NC.
A análise de trilha possibilitou verificar que houve variação entre os
experimentos, o que provavelmente se deve à origem diferenciada das
famílias avaliadas. Assim, os resultados obtidos são pertinentes apenas para
este estudo, havendo necessidade de avaliação de um maior número de
experimentos.
No capítulo 2, foram comparados dois métodos alternativos de
estimação dos coeficientes de trilha em presença de multicolinearidade,
fazendo uso de dados em cana-soca, obtidos do programa de melhoramento
da cana-de-açúcar da Universidade Federal de Viçosa
reais obtidos do
programa de melhoramento da cana-de-açúcar. O método baseado na
regressão em crista e a exclusão de variáveis por componentes principais
apresentaram resultados semelhantes na estimativa dos coeficientes de
trilha, portanto, a escolha de um desses procedimentos depende do
conhecimento e interesse do pesquisador. Com os resultados encontrados
neste estudo, foi possível
identificar os caracteres Al, K e compostos
fenólicos como aqueles que melhor explicam a Cor do caldo. Para fins de
melhoramento, a seleção indireta para Cor do caldo, por meio de índice de
seleção envolvendo as variáveis Brix, Pol, AR, ATR, pH, Cu, Al, Mg, Ca, K,
Compostos fenólicos e Ácido aconítico é recomendável.
107
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