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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS
DESENVOLVIMENTO DE MODELOS MECÂNICOS, DE CONFIABILIDADE E DE
OTIMIZAÇÃO PARA APLICAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Caio Gorla Nogueira
Orientador: Prof. Tit. Wilson Sergio Venturini
São Carlos
2010
Tese apresentada ao Departamento de
Engenharia de Estruturas da EESC-USP como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Doutor em Engenharia de Estruturas.
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DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha amada esposa Camila
por estar presente o tempo todo e aos meus pais
João Roberto e Angela Maria por tudo...
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por seu incrível amor de Pai, ao Senhor Jesus Cristo pelo sacrifício
de vida eterna que me rendeu a salvação e ao Espírito Santo por ser mestre na arte de ensinar
e consolar. Sem sua presença Senhor, jamais eu teria chegado até aqui.
Ao professor e orientador Wilson Sergio Venturini que foi sempre solícito na
orientação, acreditou em mim e me ajudou demais em todos os sentidos. Obrigado por tudo
“chefe”.
Agradeço à minha querida esposa Camila pelo seu apoio sempre enérgico, sincero e
por se dispor a largar toda sua vida aqui para me acompanhar até a França. Tudo em prol da
ciência. Amo você.
Aos meus pais João Roberto e Angela Maria que sempre me ensinaram o caminho
certo, com amor, carinho e dedicação. Sua ajuda e presença foram indispensáveis. Amo
vocês.
Também aos meus irmãos Leonardo e Camila pelas conversas, incentivos,
preocupações e momentos maravilhosos. Estarei sempre perto. Amo vocês.
Ao meu primo Rafael pelo grande auxílio na elaboração dos textos em inglês dos
artigos e da tese. Valeu!
Não posso deixar de lembrar de minhas queridas avós Ivone e Maria da Glória.
Sempre me incentivaram a continuar firme na pesquisa, pelos cafés com bolo de fubá, tortas e
carinhos e mimos de vovós. Também amo vocês.
Aos meus sogros Carlos Camilo e Eva Aparecida pelo interesse e acolhida em sua
casa nos vários dias de trabalho. Também os amo.
À minha comunidade Leão de Judá por orar por mim e estar sempre presente. Sei
que a amizade em Cristo será para sempre. Em especial ao Fabiano e Mateus pela grande
amizade, orações, grupos e churrascos.
Aos professores Alaa Chateauneuf e Philippe Bressolette por me receberem na
França durante o estágio de 1 ano e por serem sempre muito atenciosos e dispostos a
compartilhar seu conhecimento e experiência para o bom desenvolvimento do trabalho e pela
estada em terras européias.
Ao professor André Teófilo Beck pelo exame de qualificação, pelas diversas
conversas enriquecedoras sobre confiabilidade estrutural e pela amizade conquistada.
Ao professor José Luiz Antunes de Oliveira e Souza por participar do exame de
qualificação e por suas considerações que melhoraram a pesquisa.
Aos professores Humberto Breves Coda e José Samuel Giongo pelos “papos” sobre
pesquisa e pelo grande incentivo.
Agradeço aos companheiros de departamento pelo convívio sempre agradável e
tranquilo. Em especial, aos amigos Edson Leonel, Walter Oliveira, Eduardo Toledo, Fernando
Menezes e Edmar Borges pelas conversas, risadas e idéias compartilhadas.
Aos colegas do Polytech’Clermont Ferrand na França e em especial à Priscila,
Wallace, Edson, Tânia e Regina (todos Brasil) pela grande força que nos deram, Jinane
(Líbano), Hassan e Omar (Tunísia), Miguel (Chile), Kien (Vietnã), Emílio (Colômbia),
Facundo e Eduardo (“hermanos” argentinos) e Badaoui (Argélia).
Aos professores e demais funcionários do SET na EESC-USP pela dedicação e
auxílio durante minha formação.
À FAPESP pela bolsa de estudos e apoio financeiro no Brasil e à CAPES pela bolsa
durante o estágio no exterior.
E disse Jesus: “...não tenham medo, pois
eu estarei convosco todos os dias até os
confins do mundo.” (Mt 28,20)
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ..............................................................................................vii
LISTA DE TABELAS...............................................................................................xi
RESUMO.................................................................................................................xiii
ABSTRACT ............................................................................................................xiv
1. INTRODUÇÃO ..............................................................................................................15
1.1 C
ONSIDERAÇÕES
I
NICIAIS
..........................................................................................15
1.2 O
BJETIVOS
.................................................................................................................15
1.3 M
ÉTODOS
U
TILIZADOS
..............................................................................................16
1.4 O
RGANIZAÇÃO DA
T
ESE
............................................................................................19
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA......................................................................................21
2.1 G
ENERALIDADES
.......................................................................................................21
2.2 M
ODELAGEM
M
ECÂNICA DE
E
STRUTURAS EM
C
ONCRETO
A
RMADO
........................21
2.2.1 Comportamento do concreto à tração..............................................................22
2.2.1.1 O conceito dos estádios do concreto.............................................................22
2.2.1.2 O modelo da ABNT NBR 6118:2003 ..........................................................24
2.2.1.3 O modelo do CEB – Bulletin 158 (1985).....................................................26
2.2.1.4 Modelos com leis constitutivas modificadas................................................30
2.2.2 Comportamento do concreto ao cisalhamento.................................................35
2.2.2.1 A analogia da treliça clássica........................................................................36
2.2.2.2 A analogia da treliça generalizada................................................................37
2.2.2.3 Mecanismos complementares: introdução....................................................39
2.2.2.4 Mecanismos complementares: engrenamento dos agregados ......................42
2.2.2.5 Mecanismos complementares: efeito de pino...............................................46
2.2.3 Considerações sobre a revisão bibliográfica...................................................54
2.3 C
ONFIABILIDADE
E
STRUTURAL E
O
TIMIZAÇÃO
.........................................................58
2.3.1 Aspectos gerais.................................................................................................58
2.3.2 Alguns dos trabalhos pioneiros sobre confiabilidade ......................................58
2.3.3 Métodos aproximados, confiabilidade de componentes e de sistemas.............61
2.3.4 Métodos de otimização e suas aplicações na engenharia................................66
2.3.5 Acoplamento confiabilidade-otimização ..........................................................70
2.3.6 Considerações sobre a revisão bibliográfica...................................................75
3. O MODELO MECÂNICO ............................................................................................79
3.1 G
ENERALIDADES
.......................................................................................................79
3.2 T
EORIA DE
T
IMOSHENKO
:
E
LEMENTO
F
INITO DE
P
ÓRTICO
P
LANO
............................79
3.2.1 Dedução da matriz de rigidez do elemento de viga .........................................81
3.2.2 Extensão para a matriz de rigidez do elemento de pórtico plano....................88
3.3 N
ÃO
-L
INEARIDADE DOS
M
ATERIAIS
..........................................................................91
3.3.1 Concreto ...........................................................................................................91
3.3.2 Aço....................................................................................................................99
3.4 N
ÃO
-L
INEARIDADE
G
EOMÉTRICA
...........................................................................102
3.4.1 Cinemática adotada........................................................................................103
3.4.2 Campo de deformações ..................................................................................104
3.4.3 Relação entre deformação e tensão ...............................................................105
3.4.4 Matriz de rigidez tangente e vetor de forças internas....................................106
3.4.5 Forma lagrangeana atualizada......................................................................109
3.5 M
ODELOS DE
R
ESISTÊNCIA AO
C
ISALHAMENTO
......................................................110
3.5.1 Aspectos gerais...............................................................................................110
3.5.2 Contribuição do concreto e o engrenamento dos agregados.........................112
3.5.3 Contribuição da armadura transversal..........................................................113
3.5.4 Contribuição da armadura longitudinal ........................................................117
3.5.5 A parcela corretora de força cortante............................................................121
3.6 A
NÁLISE
N
ÃO
-L
INEAR DE
P
ÓRTICOS
P
LANOS
.........................................................122
3.6.1 Aspectos gerais...............................................................................................122
3.6.2 Combinação entre os modelos de não-linearidades ......................................124
3.6.3 Integração numérica ......................................................................................126
3.6.4 Estratégia de solução do problema não-linear ..............................................129
3.7 D
ETERMINAÇÃO DA
C
ARGA
Ú
LTIMA OU
C
ARGA DE
V
IOLAÇÃO DE
E
STADO
L
IMITE
130
3.7.1 Aspectos gerais...............................................................................................130
3.7.2 ELU – esgotamento da capacidade resistente da seção ................................131
3.7.3 ELU – perda de estabilidade global...............................................................133
3.7.4 ELS – deformações excessivas .......................................................................133
3.7.5 Algoritmo de busca.........................................................................................135
3.8 E
XEMPLOS DE
A
PLICAÇÃO
......................................................................................137
3.8.1 Exemplo 1 .......................................................................................................137
3.8.2 Exemplo 2 .......................................................................................................138
3.8.3 Exemplo 3 .......................................................................................................140
3.8.4 Exemplo 4 .......................................................................................................142
3.8.5 Exemplo 5 .......................................................................................................143
3.8.6 Exemplo 6 .......................................................................................................145
3.8.7 Exemplo 7 .......................................................................................................149
3.8.8 Exemplo 8 .......................................................................................................154
3.8.9 Exemplo 9 .......................................................................................................156
3.8.10 Exemplo 10 .....................................................................................................159
3.8.11 Exemplo 11 .....................................................................................................163
4. MODELOS DE CONFIABILIDADE.........................................................................167
4.1 G
ENERALIDADES
.....................................................................................................167
4.2 E
STATÍSTICA
A
PLICADA
..........................................................................................167
4.2.1 Variáveis aleatórias........................................................................................168
4.2.2 Funções de densidade de probabilidades (FDP) ...........................................168
4.2.3 Funções de distribuição acumulada de probabilidades (FDA) .....................169
4.2.4 Média, variância e desvio-padrão de uma variável aleatória .......................170
4.3 E
STADOS
L
IMITES
....................................................................................................171
4.4 P
ROBABILIDADE DE
F
ALHA
.....................................................................................173
4.5 Í
NDICE DE
C
ONFIABILIDADE
....................................................................................175
4.6 C
OMPONENTES E
S
ISTEMAS
.....................................................................................176
4.6.1 Idealização em série .......................................................................................177
4.6.2 Idealização em paralelo .................................................................................177
4.6.3 Limites de primeira e segunda ordem ............................................................179
4.7 M
ÉTODOS DE
C
ÁLCULO
...........................................................................................182
4.7.1 Aspectos gerais...............................................................................................182
4.7.2 Métodos de simulação ....................................................................................182
4.7.3 Métodos aproximados ....................................................................................186
4.7.4 FORM e SORM...............................................................................................188
4.7.5 Técnica dos gradientes numéricos .................................................................189
4.7.6 Algoritmo de busca HLRF..............................................................................190
4.7.7 Método da superfície de resposta...................................................................191
4.7.7.1 Polinômio aproximador ..............................................................................193
4.7.7.2 Regressão por mínimos quadrados.............................................................195
4.7.7.3 Evolução das superfícies de respostas........................................................197
4.8 E
XEMPLOS DE
A
PLICAÇÃO
......................................................................................199
4.8.1 Exemplo 1 .......................................................................................................199
4.8.2 Exemplo 2 .......................................................................................................202
4.8.3 Exemplo 3 .......................................................................................................206
4.8.4 Exemplo 4 .......................................................................................................209
4.8.5 Exemplo 5 .......................................................................................................214
4.8.6 Exemplo 6 .......................................................................................................220
4.8.7 Exemplo 7 .......................................................................................................230
5. MODELOS DE OTIMIZAÇÃO.................................................................................239
5.1 G
ENERALIDADES
.....................................................................................................239
5.2 C
ONCEITOS
I
MPORTANTES
.......................................................................................240
5.2.1 Formulação de um problema de otimização ..................................................240
5.2.2 Propriedades dos pontos de mínimo ..............................................................241
5.2.3 Ponto de mínimo global..................................................................................242
5.2.4 Ponto de mínimo local....................................................................................242
5.2.5 Condições necessárias e suficiente.................................................................243
5.2.6 Restrições ativas e inativas ............................................................................243
5.3 M
ÉTODO DE
O
TIMIZAÇÃO TIPO
SQP .......................................................................244
5.4 O
TIMIZAÇÃO DA
S
EÇÃO
T
RANSVERSAL DE UM
E
LEMENTO DE
B
ARRA
....................245
5.4.1 Hipóteses do modelo.......................................................................................245
5.4.2 Compatibilidade de deformações ...................................................................246
5.4.3 Intervalo de variação de
β
x
............................................................................249
5.4.4 Equações de equilíbrio ...................................................................................252
5.4.5 Formulação do problema de otimização........................................................255
5.4.5.1 Elementos horizontais ................................................................................256
5.4.5.2 Elementos verticais ou inclinados ..............................................................257
5.5 O
TIMIZAÇÃO DE
P
ÓRTICOS
P
LANOS
........................................................................260
5.5.1 Tipo de abordagem.........................................................................................260
5.5.2 Considerações sobre a implementação computacional .................................262
5.6 E
XEMPLOS DE
A
PLICAÇÃO
......................................................................................266
5.6.1 Exemplo 1 .......................................................................................................266
5.6.2 Exemplo 2 .......................................................................................................270
5.6.3 Exemplo 3 .......................................................................................................273
5.6.4 Exemplo 4 .......................................................................................................279
6. OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE.............................................287
6.1 G
ENERALIDADES
.....................................................................................................287
6.2 Í
NDICE DE
C
ONFIABILIDADE
-A
LVO
,
β
A
....................................................................289
6.3 F
ORMULAÇÃO
C
LÁSSICA DOS
M
ODELOS TIPO
RBDO .............................................291
6.3.1 Formulação RBDO para componentes ..........................................................291
6.3.2 Formulação RBDO para sistemas..................................................................292
6.3.3 Formulação RBDO mista: componentes e sistema ........................................294
6.3.4 Fluxograma Geral da Formulação RBDO.....................................................295
6.4 M
ODELO
SF-RBDO
(S
AFETY
F
ACTORS
).................................................................296
6.4.1 Aspectos gerais...............................................................................................296
6.4.2 Fluxograma do modelo SF-RBDO .................................................................297
6.4.3 Calibração dos coeficientes parciais de segurança.......................................299
6.4.4 Considerações especiais sobre o modelo .......................................................301
6.5 M
ODELO
BS-RBDO
(B
ETA
S
URFACE
)....................................................................303
6.5.1 Aspectos gerais...............................................................................................303
6.5.2 Fluxograma do modelo BS-RBDO .................................................................305
6.5.3 Construção das superfícies de confiabilidade................................................306
6.5.4 Considerações especiais sobre o modelo .......................................................307
6.6 E
XEMPLOS DE
A
PLICAÇÃO
......................................................................................308
6.6.1 Exemplo 1 .......................................................................................................308
6.6.2 Exemplo 2 .......................................................................................................313
6.6.3 Exemplo 3 .......................................................................................................317
6.6.4 Exemplo 4 .......................................................................................................322
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................................................325
7.1 C
ONCLUSÕES
...........................................................................................................325
7.2 S
UGESTÕES PARA
T
RABALHOS
F
UTUROS
.................................................................333
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................335
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
vii
LISTA DE FIGURAS
F
IGURA
2-1
–
E
STÁDIOS DE COMPORTAMENTO DO CONCRETO
............................................................................... 23
F
IGURA
2-2
–
D
IAGRAMA TENSÃO
×
DEFORMAÇÃO DO CONCRETO À TRAÇÃO
(ABNT
NBR
6118:2003) .............. 24
F
IGURA
2-3
–
T
ENSÕES NORMAIS
σ
E DE CISALHAMENTO
τ
EM UM ELEMENTO FLETIDO DE CONCRETO ARMADO
.. 27
F
IGURA
2-4
–
D
EFORMAÇÕES MÉDIAS AO LONGO DA SEÇÃO
.................................................................................. 28
F
IGURA
2-5
–
D
IAGRAMA MOMENTO
-
CURVATURA PARA FLEXÃO SIMPLES
(CEB-158,
1985)................................ 29
F
IGURA
2-6
–
L
EI CONSTITUTIVA À TRAÇÃO ADOTADA PARA O CONCRETO
(T
ORRES ET AL
.
2004) ........................ 31
F
IGURA
2-7
–
A
NALOGIA DA TRELIÇA CLÁSSICA DE
R
ITTER
-M
ÖRSCH
................................................................... 37
F
IGURA
2-8
–
V
ARIAÇÃO DA TENSÃO NA ARMADURA TRANSVERSAL DE UMA VIGA EM CONCRETO ARMADO
........ 39
F
IGURA
2-9
–
M
ECANISMOS COMPLEMENTARES NA TRANSFERÊNCIA DO CISALHAMENTO
(H
E
&
K
WAN
2001)..... 41
F
IGURA
2-10
–
M
ODELO FÍSICO PARA O ESTUDO DO ENGRENAMENTO DOS AGREGADOS
(W
ALRAVEN
1981)......... 43
F
IGURA
2-11
–
Á
REA DE CONTATO MATRIZ
-
AGREGADO E AS CONDIÇÕES DE TENSÃO
(W
ALRAVEN
1981)............. 43
F
IGURA
2-12
–
D
ESLOCAMENTOS E TENSÕES NAS FACES DA FISSURA
(D
EI
P
OLI ET AL
.
1987)............................... 44
F
IGURA
2-13
–
E
FEITO DE PINO DA ARMADURA NAS FACES DAS FISSURAS
(H
E
&
K
WAN
2001)............................. 46
F
IGURA
2-14
–
H
IPÓTESE PARA O CÁLCULO DO DESLOCAMENTO DE PINO
(H
E
&
K
WAN
2001).............................. 53
F
IGURA
3-1
–
C
INEMÁTICA DO ELEMENTO DE VIGA DE
T
IMOSHENKO
.................................................................... 81
F
IGURA
3-2
–
C
ONVENÇÕES DE SINAIS DO ELEMENTO FINITO DE VIGA
................................................................... 82
F
IGURA
3-3
–
I:
C
OMPORTAMENTO EXPERIMENTAL DO CONCRETO
,
II:
M
ODELO DE DANO DE
M
AZARS
(1984)..... 93
F
IGURA
3-4
–
D
IAGRAMA TENSÃO DE COMPRESSÃO
×
DEFORMAÇÃO PARA O CONCRETO
(20MP
A
)....................... 98
F
IGURA
3-5
–
D
IAGRAMA TENSÃO DE TRAÇÃO
×
DEFORMAÇÃO PARA O CONCRETO
(20MP
A
)............................... 98
F
IGURA
3-6
–
M
ODELOS ELASTOPLÁSTICOS PARA O AÇO
:
ENCRUAMENTO ISÓTROPO
(A)
E CINEMÁTICO
(B)....... 100
F
IGURA
3-7
–
R
EPRESENTAÇÃO DA CINEMÁTICA ADOTADA
................................................................................. 104
F
IGURA
3-8
–
E
LEMENTO FINITO DE PÓRTICO PLANO COM SISTEMA LOCAL E GLOBAL DE COORDENADAS
........... 107
F
IGURA
3-9
–
R
ELAÇÃO TENSÃO
×
DEFORMAÇÃO UNIDIMENSIONAL PARA O MODELO DE DANO
.......................... 115
F
IGURA
3-10
–
E
STADO DE DEFORMAÇÃO PARA AS BIELAS DE CONCRETO E ARMADURA TRANSVERSAL
............. 116
F
IGURA
3-11
–
D
ISTRIBUIÇÃO DE FORÇAS PARA UM ELEMENTO FISSURADO EM CONCRETO ARMADO
.................. 117
F
IGURA
3-12
–
E
SQUEMA DE AÇÃO DO EFEITO DE PINO
........................................................................................ 118
F
IGURA
3-13
–
H
IPÓTESE DE VIGA SOBRE BASE ELÁSTICA E O EFEITO DE PINO
..................................................... 119
F
IGURA
3-14
–
D
ISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES E DISCRETIZAÇÃO DA SEÇÃO
:
(
A
)
CONCRETO E
(
B
)
AÇO
.................... 127
F
IGURA
3-15
–
E
SQUEMA DE SOLUÇÃO PARA
1
INCREMENTO DE CARGA
.............................................................. 130
F
IGURA
3-16
–
I
DEALIZAÇÕES ADOTADAS PARA O CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS RELATIVOS
........................... 134
F
IGURA
3-17
–
F
LUXOGRAMA DO MODELO MECÂNICO E BUSCA DA CARGA ÚLTIMA DE UMA ESTRUTURA
........... 136
F
IGURA
3-18
–
V
IGA BIAPOIADA COM FORÇA CONCENTRADA NO MEIO DO VÃO
................................................... 137
F
IGURA
3-19
–
V
IGA ENGASTADA COM CARGA CONCENTRADA A
1
METRO DO BALANÇO
.................................... 139
F
IGURA
3-20
–
V
IGA HIPERESTÁTICA COM MOMENTO FLETOR APLICADO NO APOIO
............................................ 140
F
IGURA
3-21
–
V
IGA EM BALANÇO COM FORÇA CONCENTRADA NA EXTREMIDADE LIVRE
................................... 142
F
IGURA
3-22
–
V
IGA BIAPOIADA COM MOMENTO CONCENTRADO NO MEIO DO VÃO
............................................. 144
F
IGURA
3-23
–
D
ESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS DA VIGA
.................................................................................. 144
F
IGURA
3-24
–
V
IGA ANALISADA
:
DIMENSÕES REAIS
(
EM CM
)
E APROXIMAÇÕES DO MODELO NUMÉRICO
........... 145
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
viii
F
IGURA
3-25
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DA VIGA ANALISADA
........................................................................ 147
F
IGURA
3-26
–
D
EFORMAÇÕES NA ARMADURA TRANSVERSAL NA SEÇÃO
AA ..................................................... 148
F
IGURA
3-27
–
V
IGA BIAPOIADA ANALISADA
:
GEOMETRIA
(
MEDIDAS EM CM
)
E CARREGAMENTOS
..................... 149
F
IGURA
3-28
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO PARA VIGA COM
3φ10
MM
................................................................. 150
F
IGURA
3-29
–
D
IAGRAMA MOMENTO
×
CURVATURA PARA VIGA COM
3φ10
MM
.................................................. 151
F
IGURA
3-30
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO PARA VIGA COM
5φ10
MM
................................................................. 152
F
IGURA
3-31
–
D
IAGRAMA MOMENTO
×
CURVATURA PARA A VIGA COM
5φ10
MM
.............................................. 152
F
IGURA
3-32
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO PARA VIGA COM
7φ10
MM
................................................................. 153
F
IGURA
3-33
–
D
IAGRAMA MOMENTO
×
CURVATURA PARA VIGA COM
7φ10
MM
.................................................. 153
F
IGURA
3-34
–
C
OLUNA BIAPOIADA ANALISADA POR
E
L
-M
ETWALLY ET AL
(1990) ............................................ 154
F
IGURA
3-35
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DA COLUNA ANALISADA
.................................................................. 155
F
IGURA
3-36
–
P
ÓRTICO ANALISADO
.................................................................................................................... 157
F
IGURA
3-37
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DO NÓ
11
DO PÓRTICO
...................................................................... 158
F
IGURA
3-38
–
D
ETALHES DAS VIGAS ANALISADAS
V1
E
V2
(
UNIDADES EM MILÍMETROS
) ................................. 160
F
IGURA
3-39
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DA VIGA
V1 ..................................................................................... 161
F
IGURA
3-40
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DA VIGA
V2 ..................................................................................... 161
F
IGURA
3-41
–
G
EOMETRIA E CARREGAMENTOS DO PÓRTICO ANALISADO
........................................................... 164
F
IGURA
3-42
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO HORIZONTAL DO PONTO DE APLICAÇÃO DA FORÇA
.......................... 165
F
IGURA
4-1
–
FDA
E
FDP
DE
VA
DISCRETAS E CONTÍNUAS
................................................................................. 170
F
IGURA
4-2
–
R
EGIÃO SEGURA E DE FALHA NO ESPAÇO FÍSICO DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
............................... 173
F
IGURA
4-3
–
I
NTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA PROBABILIDADE DE FALHA
....................................................... 174
F
IGURA
4-4
–
D
EFINIÇÃO DO ÍNDICE DE CONFIABILIDADE NO ESPAÇO NORMAL
-
PADRÃO
.................................... 176
F
IGURA
4-5
–
I
DEALIZAÇÃO DE SISTEMAS EM SÉRIE E PARALELO
......................................................................... 178
F
IGURA
4-6
–
L
INEARIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO LIMITE DE DOIS MODOS DE FALHA
.............................. 181
F
IGURA
4-7
–
S
IMULAÇÃO DE
MC
SIMPLES E
MC
COM AMOSTRAGEM POR IMPORTÂNCIA
................................... 185
F
IGURA
4-8
–
A
PROXIMAÇÕES DO TIPO
FORM
E
SORM ..................................................................................... 189
F
IGURA
4-9
–
P
LANOS DE EXPERIÊNCIA UTILIZADOS
............................................................................................ 192
F
IGURA
4-10
–
B
USCA DO PONTO DE PROJETO
:
ABORDAGEM CLÁSSICA
............................................................... 198
F
IGURA
4-11
–
B
USCA DO PONTO DE PROJETO
:
ABORDAGEM ADAPTATIVA COM REDIVISÃO DO PLANO
............... 199
F
IGURA
4-12
–
C
URVAS DA FUNÇÃO ANALÍTICA E DAS SUPERFÍCIES DE FALHA PARA
SR1
E
WR1....................... 203
F
IGURA
4-13
–
C
ONVERGÊNCIA DAS ANÁLISES DE CONFIABILIDADE
................................................................... 205
F
IGURA
4-14
–
Í
NDICES DE CONFIABILIDADE OBTIDOS POR TODOS OS MÉTODOS CONSIDERADOS
........................ 205
F
IGURA
4-15
–
C
URVAS DA FUNÇÃO ANALÍTICA E DAS SUPERFÍCIES DE FALHA PARA
SR1,
WR1
E
SR2 .............. 207
F
IGURA
4-16
–
C
ONVERGÊNCIA DAS ANÁLISES DE CONFIABILIDADE
................................................................... 208
F
IGURA
4-17
–
Í
NDICES DE CONFIABILIDADE OBTIDOS POR TODOS OS MÉTODOS CONSIDERADOS
........................ 208
F
IGURA
4-18
–
V
IGA CONSIDERADA NA ANÁLISE
................................................................................................. 209
F
IGURA
4-19
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DAS VIGAS
........................................................................................ 210
F
IGURA
4-20
–
D
IFERENÇAS PERCENTUAIS DETERMINÍSTICAS ENTRE OS MODELOS
............................................. 211
F
IGURA
4-21
–
C
ONVERGÊNCIA DO ÍNDICE DE CONFIABILIDADE
.......................................................................... 212
F
IGURA
4-22
–
D
IFERENÇAS PERCENTUAIS PROBABILÍSTICAS ENTRE OS MODELOS
.............................................. 213
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
ix
F
IGURA
4-23
–
P
ÓRTICO ANALISADO
,
CARREGAMENTOS E GEOMETRIA
............................................................... 214
F
IGURA
4-24
–
R
ESULTADOS DOS ÍNDICES DE CONFIABILIDADE PARA O MODO DA FALHA
1 ................................ 216
F
IGURA
4-25
–
R
ESULTADOS DOS ÍNDICES DE CONFIABILIDADE PARA O MODO DA FALHA
2 ................................ 216
F
IGURA
4-26
–
D
IFERENÇA PERCENTUAL ENTRE OS RESULTADOS
........................................................................ 217
F
IGURA
4-27
–
N
ÚMERO DE CHAMADAS DO MODELO MECÂNICO EM ELEMENTOS FINITOS PARA CADA MÉTODO
. 218
F
IGURA
4-28
–
G
EOMETRIA
,
CARREGAMENTO E DISCRETIZAÇÃO DO PÓRTICO CONSIDERADO
............................. 220
F
IGURA
4-29
–
M
ODOS DE FALHA POSSÍVEIS DO PÓRTICO
.................................................................................... 221
F
IGURA
4-30
–
C
ONFIGURAÇÃO DEFORMADA DA ESTRUTURA
............................................................................. 222
F
IGURA
4-31
–
D
IAGRAMA DE FORÇA NORMAL
.................................................................................................... 223
F
IGURA
4-32
–
D
IAGRAMA DE FORÇA CORTANTE
................................................................................................. 223
F
IGURA
4-33
–
D
IAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
................................................................................................ 224
F
IGURA
4-34
–
D
IMENSÕES E DETALHAMENTO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
................................................... 225
F
IGURA
4-35
–
D
IAGRAMA FORÇA
×
DESLOCAMENTO VERTICAL DO NÓ
21.......................................................... 226
F
IGURA
4-36
–
D
IAGRAMA FORÇA
×
DESLOCAMENTO HORIZONTAL DO NÓ
11..................................................... 226
F
IGURA
4-37
–
E
QUAÇÕES DE ESTADO LIMITE CONSIDERANDO
LG...................................................................... 227
F
IGURA
4-38
–
E
QUAÇÕES DE ESTADO LIMITE CONSIDERANDO
NLG................................................................... 227
F
IGURA
4-39
–
E
QUAÇÕES DE ESTADO LIMITE CONSIDERANDO
TSD-NLG.......................................................... 228
F
IGURA
4-40
–
C
OMPARAÇÃO ENTRE OS ÍNDICES DE CONFIABILIDADE
................................................................ 229
F
IGURA
4-41
–
G
EOMETRIA E DIMENSÕES DA ESTRUTURA ANALISADA
................................................................ 230
F
IGURA
4-42
–
P
OSICÃO DOS
14
MODOS DE FALHA DO PÓRTICO
........................................................................... 231
F
IGURA
4-43
–
V
ALORES DE CARGA ÚLTIMA DE CADA MODO DE FALHA
.............................................................. 232
F
IGURA
4-44
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DO MEIO DO VÃO DA VIGA INFERIOR
................................................ 233
F
IGURA
4-45
–
C
OMPARAÇÃO ENTRE OS ÍNDICES DE CONFIABILIDADE DE CADA MODO DE FALHA
...................... 233
F
IGURA
4-46
–
C
ONVERGÊNCIA DA RESISTÊNCIA DO CONCRETO PARA CADA MODO DE FALHA
............................ 234
F
IGURA
4-47
–
C
ONVERGÊNCIA DA RESISTÊNCIA DO AÇO PARA CADA MODO DE FALHA
...................................... 235
F
IGURA
4-48
–
C
ONVERGÊNCIA DA FORÇA APLICADA PARA CADA MODO DE FALHA
............................................ 235
F
IGURA
4-49
–
S
ENSIBILIDADE DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS PARA CADA MODO DE FALHA
................................. 236
F
IGURA
4-50
–
E
QUAÇÕES DE ESTADO LIMITE CONSIDERANDO MODELO
LG ....................................................... 237
F
IGURA
4-51
–
E
QUAÇÕES DE ESTADO LIMITE CONSIDERANDO MODELO
NLG .................................................... 237
F
IGURA
4-52
–
E
QUAÇÕES DE ESTADO LIMITE CONSIDERANDO MODELO
TSD-NLG............................................ 237
F
IGURA
5-1
–
M
ÍNIMOS LOCAIS E GLOBAL DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
.................................................. 242
F
IGURA
5-2
–
S
EÇÃO TRANSVERSAL GENÉRICA DE UM ELEMENTO DE BARRA EM CONCRETO ARMADO
................ 246
F
IGURA
5-3
–
D
IAGRAMA GENÉRICO DE DEFORMAÇÕES
...................................................................................... 247
F
IGURA
5-4
–
R
EGIÕES POSSÍVEIS DE DEFORMAÇÃO DA SEÇÃO
............................................................................ 249
F
IGURA
5-5
–
T
ENSÕES
,
DEFORMAÇÕES E FORÇAS RESULTANTES
........................................................................ 252
F
IGURA
5-6
–
C
ONFIGURAÇÕES POSSÍVEIS DE ARMADURA PARA ELEMENTOS VERTICAIS OU INCLINADOS
........... 259
F
IGURA
5-7
–
C
ONVENÇÃO PARA AS DIMENSÕES DA SEÇÃO TRANSVERSAL DOS ELEMENTOS
.............................. 259
F
IGURA
5-8
–
D
IVISÃO DA ESTRUTURA EM TRECHOS PARA OTIMIZAÇÃO
............................................................. 261
F
IGURA
5-9
–
F
LUXOGRAMA DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO DETERMINÍSTICA
.................................................... 263
F
IGURA
5-10
–
G
EOMETRIA DA VIGA OTIMIZADA
................................................................................................. 267
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
x
F
IGURA
5-11
–
V
ARIAÇÃO DO CUSTO EM FUNÇÃO DA ALTURA DA VIGA
.............................................................. 268
F
IGURA
5-12
–
C
OMPARAÇÃO GRÁFICA ENTRE AS RESPOSTAS ÓTIMAS
................................................................ 270
F
IGURA
5-13
–
R
ELAÇÃO ENTRE ALTURA DA SEÇÃO E CUSTO POR METRO DE PILAR
............................................ 272
F
IGURA
5-14
–
R
ELAÇÃO ENTRE ALTURA DA SEÇÃO E POSIÇÃO RELATIVA DA LINHA NEUTRA
............................. 273
F
IGURA
5-15
–
R
ELAÇÃO ENTRE ALTURA DA SEÇÃO E ÁREA DE ARMADURA TOTAL
............................................ 273
F
IGURA
5-16
–
E
STRUTURA CONSIDERADA NESTE EXEMPLO
................................................................................ 274
F
IGURA
5-17
–
R
ESULTADOS DA ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO
.................................................................................. 276
F
IGURA
5-18
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DO PONTO DE APLICAÇÃO DA FORÇA
................................................ 277
F
IGURA
5-19
–
C
ONVERGÊNCIA DO ÍNDICE DE CONFIABILIDADE
.......................................................................... 278
F
IGURA
5-20
–
C
OORDENADAS DO PONTO DE PROJETO NO ESPAÇO FÍSICO
........................................................... 279
F
IGURA
5-21
–
E
STRUTURA ANALISADA
,
DISCRETIZAÇÃO E MODO DE FALHA CONSIDERADO
.............................. 280
F
IGURA
5-22
–
D
IAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DO PÓRTICO NA PRIMEIRA ITERAÇÃO
................................ 282
F
IGURA
5-23
–
H
ISTÓRIA DE CONVERGÊNCIA DA FUNÇÃO CUSTO TOTAL DO PÓRTICO
......................................... 283
F
IGURA
5-24
–
C
ONFIGURAÇÕES ESTRUTURAIS ÓTIMAS DO PÓRTICO
................................................................... 283
F
IGURA
5-25
–
Í
NDICES DE CONFIABILIDADE PARA OS DOIS MODOS DE FALHA
.................................................... 285
F
IGURA
6-1
–
F
LUXOGRAMA PARA ANÁLISES DO TIPO
RBDO.............................................................................. 295
F
IGURA
6-2
–
F
LUXOGRAMA DO MODELO
SF-RBDO........................................................................................... 298
F
IGURA
6-3
–
A
PROXIMAÇÃO PARA O ÍNDICE DE CONFIABILIDADE
-
ALVO
............................................................ 300
F
IGURA
6-4
–
V
ETOR EXATO DOS CO
-
SENOS DIRETORES PARA DOIS MODOS DE FALHA
........................................ 302
F
IGURA
6-5
–
F
LUXOGRAMA DO MODELO
BS-RBDO .......................................................................................... 305
F
IGURA
6-6
–
E
VOLUÇÃO DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO COM SUPERFÍCIE DE CONFIABILIDADE
......................... 308
F
IGURA
6-7
–
E
SQUEMA ESTRUTURAL
,
DISCRETIZAÇÃO E VARIÁVEIS DE OTIMIZAÇÃO
........................................ 310
F
IGURA
6-8
–
H
ISTÓRICO DE CONVERGÊNCIA E COEFICIENTES PARCIAIS DE SEGURANÇA
.................................... 311
F
IGURA
6-9
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DA VIGA DO PONTO LOCALIZADO NO MEIO DO VÃO
............................ 312
F
IGURA
6-10
–
E
SQUEMA ESTRUTURAL
,
DISCRETIZAÇÃO E VARIÁVEIS DE OTIMIZAÇÃO
...................................... 313
F
IGURA
6-11
–
H
ISTÓRICO DE CONVERGÊNCIA E COEFICIENTES PARCIAIS DE SEGURANÇA
.................................. 314
F
IGURA
6-12
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO DO PONTO LOCALIZADO NO MEIO DO PRIMEIRO VÃO
........................ 315
F
IGURA
6-13
–
C
ONVERGÊNCIA DOS ÍNDICES DE CONFIABILIDADE PARA DOIS MODOS DE FALHA
........................ 316
F
IGURA
6-14
–
E
STRUTURA ANALISADA
,
DISCRETIZAÇÃO E MODOS DE FALHA
.................................................... 318
F
IGURA
6-15
–
C
ONVERGÊNCIA DO ÍNDICE DE CONFIABILIDADE E CUSTO TOTAL DO PÓRTICO
............................. 319
F
IGURA
6-16
–
C
OEFICIENTES PARCIAIS CALIBRADOS PARA BETA ALVO DE
4,2 ................................................... 321
F
IGURA
6-17
–
T
RAJETÓRIA DE EQUILÍBRIO PARA O PONTO CENTRAL NO MEIO DO VÃO DA VIGA
......................... 321
F
IGURA
6-18
–
Í
NDICES DE CONFIABILIDADE PARA DOIS MODOS DE FALHA DO PÓRTICO
...................................... 322
F
IGURA
6-19
–
Á
BACO PARA DIMENSÕES DA SEÇÃO TRANSVERSAL
..................................................................... 324
F
IGURA
6-20
–
Á
BACOS PARA POSIÇÃO RELATIVA DA LINHA NEUTRA E COEFICIENTES PARCIAIS
........................ 324
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
xi
LISTA DE TABELAS
T
ABELA
3-1
–
D
ESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS E ROTAÇÕES DOS NÓS
............................................................... 138
T
ABELA
3-2
–
D
ESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS E ROTAÇÕES DOS NÓS
............................................................... 139
T
ABELA
3-3
–
T
EORIA EXATA DE
T
IMOSHENKO VERSUS VALORES NUMÉRICOS
.................................................... 140
T
ABELA
3-4
–
D
ESLOCAMENTOS TRANSVERSAIS E ROTAÇÕES DOS NÓS
............................................................... 141
T
ABELA
3-5
–
T
EORIA EXATA DE
T
IMOSHENKO VERSUS VALORES NUMÉRICOS
.................................................... 141
T
ABELA
3-6
–
C
OMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA A VIGA EM BALANÇO
........................................................ 143
T
ABELA
3-7
–
D
IMENSÕES DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS E CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS
............................... 146
T
ABELA
3-8
–
P
ROPRIEDADES E PARÂMETROS DA ANÁLISE
................................................................................. 146
T
ABELA
3-9
–
P
ROPRIEDADES DOS MATERIAIS E PARÂMETROS DA ANÁLISE
........................................................ 150
T
ABELA
3-10
–
P
ROPRIEDADES DOS MATERIAIS E PARÂMETROS DA ANÁLISE
...................................................... 155
T
ABELA
3-11
–
V
ALORES DE CARGA ÚLTIMA PARA O PILAR ANALISADA
............................................................. 156
T
ABELA
3-12
–
P
ROPRIEDADES DOS MATERIAIS E PARÂMETROS DA ANÁLISE
...................................................... 157
T
ABELA
3-13
–
R
ESULTADOS DA ANÁLISE EM TERMOS DE CARGA ÚLTIMA DA ESTRUTURA
................................. 158
T
ABELA
3-14
–
P
ROPRIEDADES DOS MATERIAIS E PARÂMETROS DA ANÁLISE PARA AMBAS AS VIGAS
................. 160
T
ABELA
3-15
–
V
ALORES DAS CARGAS ÚLTIMAS PARA AS VIGAS
V1
E
V2........................................................... 163
T
ABELA
4-1
–
P
OLINÔMIOS DE PRIMEIRO GRAU
................................................................................................... 193
T
ABELA
4-2
–
P
OLINÔMIOS DE SEGUNDO GRAU SEM TERMOS CRUZADOS
............................................................ 194
T
ABELA
4-3
–
P
OLINÔMIOS DE SEGUNDO GRAU COM TERMOS CRUZADOS
............................................................ 194
T
ABELA
4-4
–
R
ESULTADOS DA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
............................................................................. 201
T
ABELA
4-5
–
R
ESULTADOS DA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
............................................................................. 204
T
ABELA
4-6
–
R
ESULTADOS DA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
............................................................................. 207
T
ABELA
4-7
–
P
ARÂMETROS ADOTADOS NA ANÁLISE
.......................................................................................... 210
T
ABELA
4-8
–
E
FICIÊNCIA NUMÉRICA DOS MÉTODOS DE CONFIABILIDADE
.......................................................... 213
T
ABELA
4-9
–
V
ARIÁVEIS ALEATÓRIAS ADOTADAS
............................................................................................. 215
T
ABELA
4-10
–
S
ENSIBILIDADES DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
............................................................................ 219
T
ABELA
4-11
–
V
ALORES DE FORÇA ÚLTIMA
(
EM K
N)
PARA CADA MODO DE FALHA
........................................... 226
T
ABELA
4-12
–
P
ONTOS DE PROJETO
,
SENSIBILIDADES DAS VARIÁVEIS E PROBABILIDADES DE FALHA
................ 228
T
ABELA
4-13
–
P
ARÂMETROS UTILIZADOS NA ANÁLISE
....................................................................................... 231
T
ABELA
5-1
–
P
ARÂMETROS UTILIZADOS NA ANÁLISE MECÂNICA E DE OTIMIZAÇÃO
........................................... 268
T
ABELA
5-2
–
C
OMPARAÇÃO ENTRE AS RESPOSTAS ÓTIMAS DO PROBLEMA
........................................................ 269
T
ABELA
5-3
–
P
ARÂMETROS UTILIZADOS NA ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO
............................................................... 271
T
ABELA
5-4
–
R
ESULTADOS PARA
N
=
1000
K
N
E
M
=
1000
K
N.
CM
..................................................................... 272
T
ABELA
5-5
–
R
ESULTADOS PARA
N
=
1500
K
N
E
M
=
4500
K
N.
CM
..................................................................... 272
T
ABELA
5-6
–
P
ARÂMETROS MECÂNICOS E DE OTIMIZAÇÃO DA ANÁLISE
............................................................ 275
T
ABELA
5-7
–
R
ESULTADOS DO DIMENSIONAMENTO E DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO DA VIGA
.......................... 275
T
ABELA
5-8
–
V
ARIÁVEIS ALEATÓRIAS UTILIZADAS NA ANÁLISE
........................................................................ 277
T
ABELA
5-9
–
P
ARÂMETROS MECÂNICOS E DE OTIMIZAÇÃO DA ANÁLISE
............................................................ 281
T
ABELA
5-10
–
V
ARIÁVEIS ALEATÓRIAS UTILIZADAS NA ANÁLISE
...................................................................... 282
T
ABELA
6-1
–
Í
NDICES DE CONFIABILIDADE
-
ALVO E PROBABILIDADES DE FALHA PARA
ELU.............................. 289
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
xii
T
ABELA
6-2
–
Í
NDICES DE CONFIABILIDADE
-
ALVO E PROBABILIDADES DE FALHA PARA
ELS .............................. 290
T
ABELA
6-3
–
P
ROPRIEDADES E PARÂMETROS UTILIZADOS NA ANÁLISE MECÂNICA
............................................ 309
T
ABELA
6-4
–
R
ESULTADOS DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO
................................................................................. 310
T
ABELA
6-5
–
R
ESULTADOS DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO PARA O MODO MAIS PROVÁVEL DE FALHA
............... 314
T
ABELA
6-6
–
P
ARÂMETROS MECÂNICOS E DE OTIMIZAÇÃO DA ANÁLISE
............................................................ 319
T
ABELA
6-7
–
V
ARIÁVEIS ALEATÓRIAS UTILIZADAS NA ANÁLISE
........................................................................ 319
T
ABELA
6-8
–
R
ESULTADOS DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO PARA O MODO DE FALHA CONSIDERADO
.................. 320
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
xiii
RESUMO
NOGUEIRA, C.G. Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de
otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. Tese de Doutorado. Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2010.
Este trabalho apresenta desenvolvimentos na modelagem mecânica de estruturas de
barras em concreto armado, bem como no acoplamento entre modelos de confiabilidade e
otimização do tipo RBDO para obtenção de dimensões ótimas, respeitando os requisitos de
segurança especificados em projeto. Quanto à modelagem mecânica via Método dos
Elementos Finitos (MEF), além do comportamento não-linear geométrico e dos materiais, foi
considerada a contribuição dos mecanismos complementares de resistência ao cisalhamento,
dados pelo engrenamento de agregados e efeito de pino das armaduras longitudinais. Além
disso, um modelo simplificado que avalia a contribuição da armadura transversal também foi
proposto. Foi desenvolvida uma formulação de otimização que deixa a posição da linha neutra
livre, ao contrário de formulações existentes. Esta formulação resultou em projetos mais
economicos dos que aqueles encontrados na literatura. Na questão do acoplamento de
confiabilidade e otimização, foram exploradas melhorias no Método de Superfície de
Resposta e no acoplamento direto via Método de Confiabilidade de Primeira Ordem e Técnica
dos Gradientes Numéricos. Estas resultaram em maior precisão dos resultados e aumento na
velocidade de convergência. Os modelos mecânicos, incluindo análise não-linear e
mecanismos complementares, a formulação de otimização e as técnicas de confiabilidade
foram implementados em um programa computacional para dimensionamento ótimo de
elementos em concreto armado. O programa foi utilizado na resolução de vários problemas-
exemplo. Verificou-se que a consideração dos mecanismos complementares de resistência ao
cisalhamento produziram acréscimo na carga última, quando comparadas com as respostas
sem tais efeitos. Verificou-se também que os mesmos mecanismos produziram um aumento,
até mais significativo, nos índices de confiabilidade obtidos. As dimensões ótimas de
elementos estruturais também foram comparadas, considerando-se modelos lineares e não-
lineares dos materiais. O estudo mostrou que os custos da estrutura otimizada são menores,
quando se considera os efeitos de comportamento não-linear dos materiais.
Palavras-chave: método dos elementos finitos; análise não-linear; efeito de pino;
engrenamento de agregados; concreto armado; confiabilidade; otimização; acoplamento
RBDO.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
xiv
ABSTRACT
NOGUEIRA, C.G. Development of mechanical, reliability and optimization models for
application in reinforced concrete structures. Ph.D Thesis, School of Engineering São
Carlos, University of São Paulo, São Carlos, 2010.
This work presents some developments in the mechanical modeling of reinforced
concrete bar structures, as well in the coupling of reliability and RBDO optimization models,
with the purpose of obtaining optimal dimensions considering the safety requirements
specified in design. As for the mechanical modeling via Finite Element Method (FEM), in
addition to geometrical and material nonlinear behaviors, the contribution of shear resistance
complementary mechanisms (aggregate interlock and dowel action of longitudinal
reinforcement) was taken into account. Moreover, a simplified model that evaluates the
contribution of shear reinforcement was also proposed. In an improvement of existing
formulations, an optimization scheme was developed which leaves the position of the neutral
axis free. This improvement resulted in more economical cross-sections, than those found in
the literature. With respect to the coupling of reliability and optimization methods,
improvements were sought in the Response Surface Method and in the direct coupling via
First Order Reliability and Numerical Gradients methods. These improvements resulted in
greater precision and in increased convergence speed. The mechanical models, including non
linear effects and complementary mechanisms , the optimization and reliability formulations
were implemented in a computational code for the optimum design of reinforced concrete
structures. The program was used to solve a number of example problems. It was found that
the complementary mechanisms resulted in an increase of ultimate loads, when compared to
the response obtained without these effects. These mechanisms also resulted in an even
greater increase of the elements reliability. Optimal dimensions of the structural elements
were also compared, considering linear and non-linear material models. The cost of the
optimum structure was found to be smaller when non linear effects are taken into account.
Keywords: finite element method; non-linear analysis; dowel action; aggregate interlock;
reinforced concrete; reliability; optimization; RBDO coupling.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
15
1. Introdução
1.1 Considerações Iniciais
Neste trabalho é desenvolvido um programa computacional para a análise de
estruturas de vigas, pilares e pórticos planos em concreto armado, com a possibilidade de
determinar as dimensões ótimas dos elementos estruturais impondo-se a segurança desejada.
A linha de pesquisa é a mesma adotada no trabalho de Nogueira (2005), dando continuidade
com novos desenvolvimentos tanto no modelo mecânico, quanto nos modelos de
confiabilidade e otimização.
A economia e a segurança são objetivos que competem entre si na concepção de
novas construções. O balanço entre esses objetivos é feito através de procedimentos semi-
probabilísticos, conforme as diversas recomendações de normas e códigos de projeto de
estruturas. Dessa forma, admite-se que a estrutura possa ser concebida a partir da obtenção
das dimensões de seus componentes que resulte no menor custo inicial, respeitando os
requisitos de segurança, dados por índices de confiabilidade-alvo para cada estado limite. Na
literatura, esse tipo de abordagem é chamado de RBDO (Reliability-Based Design
Optimization) ou Otimização baseada em Confiabilidade.
1.2 Objetivos
O principal objetivo deste trabalho é obter a configuração econômica de estruturas
em concreto armado, aliada aos requisitos de segurança a partir de modelos que levem em
conta as incertezas dos parâmetros de projeto de maneira mais adequada. Dessa forma, o que
se faz é minimizar do custo inicial do projeto através de algoritmos apropriados de
otimização, combinados com modelos de confiabilidade estrutural para garantir a segurança
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
16
das novas configurações, dando um passo na direção da consolidação de métodos
probabilísticos no projeto de estruturas.
Para isso, um série de outros objetivos menores são necessários, no sentido de
compor uma ferramenta computacional eficiente capaz de realizar essas análises de
otimização baseada em confiabilidade. Dentre esses objetivos estão: desenvolvimento de um
modelo mecânico mais preciso do ponto de vista da obtenção de forças últimas para estados
limites últimos e de serviço; desenvolvimento de modelos de confiabilidade mais eficientes
do ponto de vista de tempo de processamento, para diminuir o tempo gasto nas análises de
confiabilidade estrutural; desenvolvimento de um modelo geral de otimização de seções
transversais em concreto armado que leve em consideração a posição da linha neutra e a
curvatura da seção como variáveis do próprio processo de otimização; acoplamento de todos
esses modelos para construção da ferramenta computacional baseada na abordagem de
RBDO, necessária para atingir o objetivo principal deste trabalho.
O trabalho, visa, portanto, avançar na concepção de modelos mecânicos para atingir
uma situação de projeto que consiste na obtenção da estrutura, a partir de um custo mínimo
para a segurança desejada. Essa situação é bastante relevante hoje para a prática da engenharia
de estruturas, pois pode proporcionar projetos com mais qualidade e competitivos, uma vez
que a segurança estrutural, aliada à economia, será atingida com maior precisão. Esse
procedimento poderá também ser adaptado para utilização em escritórios de projeto,
aproximando a engenharia de um método de dimensionamento mais racional, seguro e
econômico.
1.3 Métodos Utilizados
Para o modelo mecânico, foi adotado o Método dos Elementos Finitos (MEF) com a
utilização de um elemento de pórtico plano convencional. O comportamento não-linear dos
materiais aço e concreto foi considerado a partir de modelos de plasticidade e de dano,
respectivamente. Da mesma forma, os efeitos de segunda ordem oriundos das excentricidades
geradas pelos deslocamentos dos nós da estrutura e das cargas externas atuantes foram
considerados pela utilização da não-linearidade geométrica com a forma lagrangeana
atualizada de acordo com o trabalho de Paula (2001).
Em conjunto com essa formulação não-linear inicial do MEF, foram incorporados os
efeitos do cisalhamento considerando as parcelas resistentes do concreto íntegro,
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
17
engrenamento dos agregados, efeito de pino das armaduras longitudinais e da armadura
transversal na composição final da resistência à força cortante. Uma das contribuições deste
trabalho consiste justamente na utilização desses efeitos combinados e adaptados à
formulação de dano. Como o comportamento de estruturas de concreto é determinado pela
evolução das fissuras, cada um desses efeitos está ligado a esse fenômeno de evolução e,
portanto, pode ser definido em função da variável de dano, uma vez que esta é quem penaliza
a rigidez do material em função do panorama de fissuração.
Na sequência, um algoritmo de busca da condição limite da estrutura foi incorporado
ao modelo mecânico, com o objetivo de determinar com grande precisão numérica as cargas
últimas para determinados estados limites (ELU e ELS). Com isso, foi possível obter as
respostas para as análises de confiabilidade.
Neste contexto, o módulo de confiabilidade do programa foi desenvolvido
considerando-se o Método de Superfície de Resposta (RSM), o Método de Confiabilidade de
Primeira Ordem (FORM – First Order Reliability Method) e o Método de Confiabilidade de
Segunda Ordem (SORM – Second Order Reliability Method). Na abordagem via RSM,
superfícies polinômicas de primeiro e segundo grau foram utilizadas, juntamente com técnicas
de melhoramento de precisão (técnica adaptativa com redivisão do plano de experiência) e
velocidade de convergência (regressão com fatores-peso). O FORM e o SORM são métodos
de busca do ponto de projeto sendo que a equação de estado limite é aproximada por um
hiperplano ou um hiperparabolóide, respectivamente. Para esses métodos, foi adotada uma
estratégia de cálculo dos gradientes da equação de estado limite a partir do Método das
Diferenças Finitas, que neste trabalho foi chamada de Técnica dos Gradientes Numéricos
(TGN). A resolução do problema da confiabilidade utilizando essa técnica mostrou-se bem
mais rápida e estável, mesmo para equações de estado limite não-lineares, do que com o uso
do RSM, sendo, portanto, bastante interessante sua utilização. Uma pequena contribuição para
o avanço dos métodos baseados em superfícies de resposta foi dada ao melhorar a busca do
ponto de projeto com técnicas de redivisão do plano e de regressão com fatores-peso
adaptadas para polinômios de primeiro e segundo graus com a consideração ou não de termos
cruzados. Kaymaz & MacMahon (2005) mostraram o uso da técnica de regressão com
fatores-peso, porém somente para polinômios de primeiro grau. A avaliação da segurança de
sistemas também foi considerada no trabalho a partir de associações em série e paralelo. O
cálculo da probabilidade de falha dos sistemas baseou-se na teoria dos limites de primeira e
segunda ordem propostos por Ditlevsen (1979).
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
18
A economia no projeto foi tratada a partir da minimização do custo inicial da
estrutura, considerando restrições mecânicas de projeto tanto para momento fletor quanto para
força normal, além de restrições construtivas e de caráter limitante das variáveis. Foram
criadas rotinas para otimização de elementos horizontais, verticais e inclinados em concreto
armado, com posterior acoplamento dessas rotinas para formar a rotina de otimização dos
pórticos planos. A técnica de otimização empregada foi o SQP (Sequential Quadratic
Programming) ou Programação Sequencial Quadrática. Com isso foi possível generalizar uma
formulação para otimização de elementos de barras em concreto armado, podendo inclusive
incorporar ao dimensionamento ótimo parâmetros decisivos como a posição relativa da linha
neutra da seção e a curvatura da seção, resultando, de fato, em configurações otimizadas.
Dessa forma, não foi fixado nenhum parâmetro ao processo de otimização, o que permitiu ao
algoritmo liberdade para buscar as melhores soluções.
Finalmente, o acoplamento entre os modelos de otimização e de confiabilidade se
deu com o objetivo de obter soluções com menor custo inicial, mas ao mesmo tempo com a
segurança garantida. Dois modelos foram propostos para alcançar esse objetivo: SF-RBDO
(Safety Factor) e o BS-RBDO (Beta Surface). No primeiro, a união entre a confiabilidade e a
otimização ocorre por meio da calibração adequada para a segurança-alvo dos coeficientes
parciais de segurança, definidos para cada variável aleatória considerada, de acordo com a
proposta de Castillo et al. (2003). Já no segundo modelo, a restrição de confiabilidade é obtida
a partir das informações do ponto ótimo da iteração anterior. Uma superfície quadrática ou
linear em função das variáveis de otimização e do índice de confiabilidade-alvo é definida no
ponto ótimo e utilizada para a determinação do próximo ponto candidato a ótimo, repetindo-
se esse processo até a convergência. A grande contribuição da tese se encontra neste contexto,
pois estende a formulação desses modelos para o campo não-linear. O SF-RBDO foi muito
bem formulado no trabalho de Castillo et al. (2003) para comportamento elástico-linear dos
materiais e da estrutura. Neste trabalho, sua formulação foi ampliada para a consideração das
não-linearidades tanto dos materiais quanto geométrica, o que generalizou o modelo. Quanto
à abordagem via BS-RBDO, esta foi proposta no trabalho de Nogueira (2005), porém
adotando-se resolução analítica do problema de otimização via técnica dos Multiplicadores de
Lagrange, o que proporcionou grandes simplificações ao modelo. A contribuição para este
modelo foi justamente sua generalização para um número qualquer de variáveis de
otimização, possibilidade de construção da restrição de confiabilidade com polinômios de
primeiro grau, ao invés de somente com funções quadráticas e resolução via SQP.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
19
Para demonstrar a capacidade do programa desenvolvido, diversos exemplos de
estruturas foram analisados e comparados, na medida do possível, com outros autores.
1.4 Organização da Tese
Esta tese está dividida em sete capítulos e aborda os seguintes assuntos: mecânica
das estruturas, modelagem numérica de estruturas em concreto armado e aspectos econômicos
e de segurança das estruturas através das teorias de confiabilidade, otimização estrutural e o
acoplamento de ambas.
Neste primeiro capítulo encontram-se os objetivos e as motivações que conduziram
este trabalho.
O segundo capítulo apresenta alguns dos diversos trabalhos encontrados na literatura
sobre os temas enunciados, bem como comentários do autor sobre cada um dos temas.
No terceiro capítulo estão descritos com detalhes todos os conceitos envolvidos no
desenvolvimento do modelo mecânico, as formulações para o comportamento do concreto ao
cisalhamento, não-linearidades dos materiais e geométrica e a resolução do problema não-
linear. O algoritmo desenvolvido para busca de cargas últimas de estruturas considerando
estados limites últimos e de serviço também é apresentado. Diversos exemplos de aplicação
são apresentados para mostrar a capacidade do modelo.
O quarto capítulo apresenta os conceitos importantes sobre teoria da confiabilidade
estrutural, bem como os modelos desenvolvidos para busca das probabilidades de falha das
estruturas em concreto armado, tanto para componentes quanto para sistemas. Exemplos
também são apresentados com o objetivo de evidenciar o comportamento dos modelos.
No quinto capítulo a otimização matemática é apresentada. Os conceitos necessários
para o trabalho são apresentados, bem como todas as formulações para a otimização de seções
transversais de elementos de barra quaisquer em concreto armado. O acoplamento desses
modelos para gerar a rotina de otimização de pórticos planos também é apresentado.
Exemplos de validação dessas rotinas completam o capítulo.
Os dois modelos de acoplamento entre confiabilidade e otimização são, por fim,
apresentados no capítulo seis. Os detalhes das formulações dos modelos SF (Safety Factor) e
BS (Beta Surface), bem como exemplos de aplicação são mostrados para finalizar o trabalho.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
20
Finalmente, o capítulo sete traz as conclusões sobre a pesquisa e as sugestões para os
próximos trabalhos. As referências bibliográficas citadas ao longo de toda a pesquisa são
apresentadas no final da tese.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
21
2. Revisão Bibliográfica
2.1 Generalidades
Neste capítulo são apresentados alguns trabalhos relacionados aos temas abordados
na tese, com o objetivo de mostrar o seu desenvolvimento desde o surgimento até o estado
atual no contexto científico mundial, além de alguns conceitos fundamentais sobre
comportamento de estruturas em concreto armado, teoria de otimização e confiabilidade
estrutural. Algumas considerações sobre os assuntos serão feitas no final de cada seção.
2.2 Modelagem Mecânica de Estruturas em Concreto Armado
Atualmente, existem diversos modelos desenvolvidos para representar o
comportamento das estruturas em concreto armado. O desenvolvimento desses modelos parte
de diversas observações experimentais, sendo que elementos estruturais são analisados de
modo a proporcionar informações que servem como subsídios para a criação dos modelos.
Assim, as hipóteses são adotadas de acordo com a complexidade que se deseja imprimir ao
modelo, permitindo ou não análises mais precisas dos problemas de engenharia. Em geral,
modelos mais precisos são também mais complexos, acarretando maiores custos
computacionais, fato esse que pode inviabilizar a utilização desses modelos por conta dos
recursos atuais de informática.
Dois aspectos muito importantes na modelagem de elementos estruturais em
concreto armado são: comportamento à tração e o comportamento ao cisalhamento. É claro
que em serviço, todos esses mecanismos atuam simultaneamente, caracterizando a grande
complexidade do material concreto armado. A seguir, esses aspectos são discutidos com
detalhes.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
22
2.2.1 Comportamento do concreto à tração
De uma maneira geral, os códigos normativos atuais responsáveis pelas diretrizes do
projeto de estruturas de concreto assumem que, após ser atingida a resistência à tração do
concreto, inicia-se um processo de fissuração que “elimina” a parte resistente de todo o
concreto abaixo da linha neutra, ou seja, considera-se que o concreto tracionado não mais
contribui na resposta do elemento estrutural. Dessa forma, o diagrama tensão-deformação do
concreto à tração sofre uma descontinuidade abrupta a partir do ponto que caracteriza o seu
limite de resistência, indicando o início da fissuração do material. Entretanto, diversos ensaios
experimentais mostraram que o concreto não é um material perfeitamente frágil, mas que
possui certa resistência à tração. Por conta dessas observações experimentais, tem se tornado
possível, no contexto das modelagens numéricas, a substituição dos modelos totalmente
frágeis por modelos que levam em conta a perda gradual de rigidez à tração a partir da
fissuração, bem como a contribuição do concreto íntegro entre fissuras. Esses modelos são
mais representativos da realidade, já que existe material concreto em serviço abaixo da linha
neutra e em seções localizadas entre as fissuras.
2.2.1.1 O conceito dos estádios do concreto
Tradicionalmente, a análise em serviço das estruturas em concreto armado é baseada
nas hipóteses clássicas de estádios de comportamento, nas quais se considera a seção íntegra
ou fissurada dependendo da intensidade de solicitação.
Os estádios de comportamento são definidos como configurações específicas de
tensões ao longo de uma seção transversal de concreto armado, provenientes da solicitação
provocada pelas ações externas (Figura 2-1).
No estádio I-a, a seção de concreto armado é submetida a pequenas solicitações, de
modo que o concreto resiste às tensões de tração sem a necessidade da armadura. Dessa
forma, não há fissuração na estrutura e com isso, a proporcionalidade entre tensão e
deformação é mantida. Com o aumento da solicitação, as tensões de tração crescem até que o
módulo da tensão na fibra mais tracionada atinge a resistência à tração do concreto. Nessa
situação, surge a primeira fissura que caracteriza o estádio I-b. É importante salientar que no
estádio I-b, o concreto começa a danificar na região tracionada (as fibras atingem a resistência
à tração), mas ainda assim, o concreto tracionado contribui na resistência da estrutura.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
23
L.N.
σ
ct
< f
ct
I-a
C.G.
h
bw
M
σ
cc
< f
cc
L.N.
σ
ct
= f
ct
I-b
σ
cc
< f
cc
L.N.
σ
ct
= 0
II
σ
cc
< f
cc
R
st
L.N.
σ
ct
= 0
III
σ
cc
= f
cc
R
st
Figura 2-1 – Estádios de comportamento do concreto
O estádio II é caracterizado como sendo aquele em que o concreto abaixo da linha
neutra encontra-se totalmente fissurado e, portanto, não resiste mais à tração. Assim, no
estádio II, toda a região tracionada de concreto é desprezada, não contribuindo no
desempenho global da estrutura. A consideração dessa hipótese faz com que “não exista”
mais material concreto abaixo da linha neutra, o que não corresponde à realidade. Finalmente,
para intensidades elevadas de solicitação, a seção atinge o estádio III, que é definido como o
estado de ruptura do concreto comprimido, ou seja, o módulo da tensão na fibra mais
comprimida de concreto atinge o valor da resistência à compressão. Diante desse contexto,
vale comentar que a ruína da estrutura não é caracterizada somente pela ruptura do concreto
comprimido. Em vários casos, a armadura pode vir a apresentar um alongamento excessivo
antes mesmo de que o concreto comprimido atinja a ruptura. Essa consideração se tornou
importante, a partir do instante em que foi constatada uma fissuração exagerada proveniente
do alongamento excessivo da armadura de tração em peças submetidas a solicitações normais.
O elevado grau de fissuração provoca um estado último, sem que necessariamente tenha
ocorrido a ruptura do concreto no banzo comprido da peça. Portanto, atualmente, a
verificação da segurança é feita admitindo-se que o esgotamento da capacidade resistente
possa ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva
da armadura tracionada.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
24
2.2.1.2 O modelo da ABNT NBR 6118:2003
A norma brasileira de projeto de estruturas de concreto ABNT NBR 6118:2003
define as propriedades dos materiais estruturais para utilização na prática da engenharia. Isso
é de extrema importância, pois assim, é possível conhecer os limites e propriedades mecânicas
desses materiais para o adequado projeto e verificação das estruturas em concreto armado e
protendido. Para o concreto não fissurado, solicitado à tração, a NBR 6118:2003 adota um
diagrama tensão-deformação bi-linear. O primeiro trecho do diagrama é descrito por uma
relação linear entre tensões e deformações até o limite de 90% da resistência característica do
concreto à tração. O segundo trecho se estende até o alongamento máximo de 0,5‰, que
corresponde a uma tensão igual à própria resistência característica do concreto à tração
(Figura 2-2).
σ
f
ctk
ε
0,9f
ctk
0,5‰
E
ci
Figura 2-2 – Diagrama tensão × deformação do concreto à tração (ABNT NBR 6118:2003)
A partir do limite à tração (
ctk
f ), o concreto tracionado é admitido como totalmente
fissurado, de modo que deixa de contribuir na resistência global da estrutura. Entretanto, no
capítulo 17, item 17.3, a norma brasileira afirma que nos estados limites de serviço, as
estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. O parâmetro
responsável pela separação entre esses dois limites é definido pelo momento de fissuração,
calculado da seguinte forma:
t
cct
R
y
If
M
⋅
⋅
=
α
(2-1)
sendo que:
α
é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão
com a resistência à tração direta (1,2 para seções T ou duplo T e 1,5 para seções retangulares);
ct
f
é a resistência à tração direta do concreto com o quantil apropriado a cada verificação
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
25
particular (para determinação do momento de fissuração no estado limite de formação de
fissura deve ser usado o
inf,ctk
f
e para o estado limite de deformação excessiva deve ser usado
o
ctm
f
);
c
I
é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
t
y
é a distância do centro de
gravidade da seção à fibra mais tracionada.
Na falta de ensaios para obtenção da resistência à tração do concreto, a ABNT NBR
6118:2003 permite a sua avaliação a partir da resistência característica do concreto à
compressão (expressa em megapascal):
3
2
3,0
ckctm
ff ⋅=
(2-2)
ctmctk
ff ⋅= 7,0
inf,
(2-3)
ctmctk
ff ⋅= 3,1
sup,
(2-4)
Diante disso, em uma peça em concreto armado existem seções que estão
trabalhando no estádio I e também no estádio II, em função da intensidade da solicitação
comparada com o respectivo momento de fissuração. É por conta desse panorama que a
norma brasileira permite no cálculo dos deslocamentos imediatos, a consideração de uma
rigidez equivalente ponderada a partir das rigidezes dos estádios I e II (Branson
1
, 1966), dada
a seguir:
cci
k
R
c
k
R
cieq
IEI
M
M
I
M
M
EEI ⋅⋅≤
⋅
−+⋅
⋅= 85,0185,0
2
33
(2-5)
sendo que:
ci
E corresponde ao módulo de elasticidade tangente do concreto dado por
ck
f⋅5600 ;
k
M é o momento fletor na seção crítica do vão considerado;
2
I
é o momento de
inércia da seção fissurada de concreto no estádio II.
Apesar de ser um modelo bastante simples, é possível incorporá-lo nos códigos
computacionais em elementos finitos. Para isso, basta atualizar a rigidez de cada elemento
finito antes de iniciar o próximo passo de carga, com o valor dado pela Equação 2-5. Desse
modo, é possível até mesmo verificar o grau de deterioração que o elemento se encontra a
partir da relação
KR
MM
.
1
Branson, D.E. (1966). Deflections of reinforced concrete flexural members. ACI Journal, June.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
26
2.2.1.3 O modelo do CEB – Bulletin 158 (1985)
O CEB, no Bulletin 158 - Design Manual on Cracking and Deformations (1985),
adota um modelo que utiliza uma configuração intermediária de comportamento em relação
aos estádios I e II. A justificativa do modelo está ligada ao fato de que não são todas as seções
de uma peça estrutural que estão fissuradas, pois ainda existem seções que trabalham segundo
as hipóteses do estádio I, uma vez que não atingiram o momento de fissuração. Além disso, na
região entre duas fissuras consecutivas, existe uma porção de concreto que se encontra íntegro
e, portanto, contribui na resistência global da estrutura. Isso ocorre por conta da transferência
de tensões de tração entre a armadura e esse concreto íntegro por meio da aderência entre os
materiais, fazendo com que a armadura desempenhe um papel fundamental nesse processo.
Esse efeito é conhecido na literatura como tension stiffening que corresponde a uma
contribuição à tração do concreto íntegro entre fissuras. Vários autores têm estudado esse
assunto, propondo modelos para sua consideração em modelagens numéricas de estruturas de
concreto armado e protendido.
Sanches Jr (1998) fez um estudo sobre procedimentos de cálculo de esforços e
deslocamentos em estruturas de pavimentos considerando modelos específicos para o
concreto armado. Dentre os modelos adotados estão as propostas de Debernardi
2
(1983) e
Ghali & Favre
3
(1986). Ambos os modelos propõem um método para o cálculo de uma
configuração média com a diferença de que, o primeiro faz um equacionamento relativo à
configuração média deformada, enquanto que no segundo é feita uma interpolação apropriada
direta entre os estádios I e II.
Quando uma seção atinge o momento de fissuração, surge a primeira fissura e o
concreto passa a apresentar um comportamento não-elástico. Com isso, a tensão na seção da
fissura, que antes era resistida pelo concreto e pelo aço, agora é transferida totalmente para o
aço da armadura nas fibras onde ocorreram as fissuras. Dessa forma, há uma “migração” das
tensões de tração para a armadura, que por sua vez, sofre um acréscimo de deformação.
Porém, na seção imediatamente adjacente à seção fissurada, o concreto encontra-se íntegro, de
modo que a armadura transfere por aderência, parte das tensões, produzindo assim, um
acréscimo de tensão de tração no concreto íntegro e, conseqüentemente, uma diminuição nas
tensões da armadura. Assim, a compatibilidade de deformações entre o aço e o concreto é
restabelecida e a seção passa a trabalhar novamente como uma seção homogênea (Figura 2-3).
2
DEBERNARDI, P.G. (1983). La deformazione differita in C.A. sogette a fessurazione: considerazione sui
metodi approssimati di calcolo. L’Industria Italiana del Cemento. Roma, v. 7/8, p. 499-510.
3
GHALI, A.; FAVRE, R. (1986). Concrete structures: stress and deformations. Chapman and Hall, 1
a
edição.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
27
Apenas para ilustrar, os índices “2” apresentados na Figura 2-3 significam que as grandezas
são referentes ao estádio II.
Sr
Md
Md
Tensões na armadura tracionada
Tensões no concreto tracionado
σ
s2
Tensões no concreto comprimido
σ
sm
σ
c2
σ
cm
τ
b
Tensões de aderência no concreto
τ
bm
σ
ct
Figura 2-3 – Tensões normais σ
σσ
σ e de cisalhamento τ
ττ
τ em um elemento fletido de concreto armado
Para levar em conta a contribuição do concreto entre fissuras, deve-se calcular uma
deformação média para a armadura tracionada. Essa deformação assume um valor
intermediário entre o valor máximo na seção fissurada e o valor mínimo no ponto médio entre
fissuras, dada por:
(
)
21
1
sssm
εζεζε
⋅+⋅−=
(2-6)
sendo que:
1s
ε
e
2s
ε
correspondem às deformações da armadura tracionada nos estádios I e II,
respectivamente;
ζ
é o coeficiente que leva em conta a distribuição de tensões via aderência
entre o aço e o concreto. O coeficiente
ζ
é definido, para o caso de flexão pura, pelas
seguintes expressões:
2
21
1
⋅⋅−=
k
R
M
M
ββζ
→
para o caso de
Rk
MM > ;
0
=
ζ
→
para o caso de
Rk
MM
< .
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
28
Os coeficientes
1
β
e
2
β
são responsáveis por considerar, respectivamente, a
influência das condições de aderência e o tipo de carregamento sobre a estrutura. Assim:
a) condições de aderência
0,1
1
=
β
→
para barras de alta aderência
(
)
5,1≥
b
η
;
5,0
1
=
β
→
para barras lisas
(
)
0,1=
b
η
.
b) condições de carregamento
0,1
2
=
β
→
para o primeiro carregamento ou para cargas pouco repetitivas não
permanentes;
5,0
2
=
β
→
para cargas permanentes ou com grande número de ciclos.
O concreto também assume uma configuração média de deformações a partir dos
valores definidos nos estádios I e II, dada por:
(
)
21
1
cccm
εζεζε
⋅+⋅−=
(2-7)
Diante disso, é possível definir uma expressão para a curvatura média que representa
a configuração intermediária entre os estádios I e II (Figura 2-4), a partir das deformações
médias nos materiais:
( )
21
11
1
1
rr
d
r
cmsm
m
⋅+⋅−=
−
=
ζζ
ε
ε
(2-8)
sendo que:
m
r
1
é a curvatura média;
d
é a altura útil da seção transversal considerada;
1
1
r
e
2
1
r
correspondem, respectivamente, às curvaturas no estádio I e II.
ε
cm
ε
sm
(1−ζ).ε
c
1
(1−ζ).ε
s
1
ε
c
1
ε
s
1
ε
c
2
ε
s
2
ζ.ε
c
2
ζ.ε
s
2
Figura 2-4 – Deformações médias ao longo da seção
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
29
Com o cálculo da curvatura média, determina-se a nova rigidez da seção transversal,
que representa a contribuição do concreto entre fissuras. Isso produz um acréscimo à rigidez
global da estrutura (Figura 2-5), uma vez que a rigidez média é maior que o valor da rigidez
obtida considerando-se a seção totalmente fissurada na região tracionada.
m
k
m
r
M
EI
1
=
(2-9)
Em termos computacionais, o tension stiffening, segundo o modelo do CEB-158
(1985), é incorporado ao modelo de elementos finitos, a partir da consideração desse valor de
rigidez média,
m
EI , na montagem da matriz de rigidez global da estrutura.
M
r
M
1/r
Estádio I
E
I
1
E
I
2
Estádio II
M
k
1
/
r
1
1
/
r
m
1
/
r
2
Figura 2-5 – Diagrama momento-curvatura para flexão simples (CEB-158, 1985)
Nos casos de elementos estruturais em que a força normal é nula (flexão simples), a
formulação descrita acima pode ser aplicada sem restrições. Porém, quando se tratar de
elementos em concreto armado sujeitos à flexão composta (flexo-tração ou flexo-
compressão), o modelo empregado deve sofrer algumas modificações para levar em conta a
influência da força normal. Quando esta for uma força de compressão, que é o caso mais
comum, a deformação média diminui, fazendo com que a fissuração da seção também
diminua. Com isso, a porção íntegra do concreto será um pouco maior, aproximando o
elemento mais próximo do estádio I. O modelo para a consideração adequada do concreto
íntegro entre fissuras para elementos submetidos à flexão composta está descrito com maiores
detalhes no manual do CEB-158 (1985).
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
30
2.2.1.4 Modelos com leis constitutivas modificadas
Uma das formas de considerar a contribuição do concreto fissurado é a utilização de
leis constitutivas que possuem um trecho descendente no diagrama tensão × deformação do
concreto à tração. Essa metodologia foi proposta, pela primeira vez, por Scanlon (1971) e
depois estudada por diversos autores (Lin & Scordelis
4
, (1975); Bazant & Oh
5
, (1984);
Prakhia & Morley
6
, (1990) entre outros). Porém, aqui, faz-se necessário distinguir dois
conceitos importantes. Na literatura, o efeito do tension stiffening é geralmente definido como
sendo a capacidade de redistribuição gradual de tensões do concreto para a armadura em
função da formação da primeira e demais fissuras. Essas tensões, em parte, regressam ao
concreto íntegro na região entre duas fissuras consecutivas, o que caracteriza uma
contribuição desse concreto à tração na rigidez global da estrutura. O segundo conceito
importante consiste no chamado modelo de tension softening do concreto, onde a perda de
rigidez ocorre gradualmente a partir da resistência à tração até um valor pré-determinado de
deformação, que caracteriza o fim total da capacidade resistente do concreto tracionado. Isso é
feito, atualmente, com a consideração de um ramo descendente no diagrama tensão-
deformação do concreto à tração após o pico de tensão, definido pela resistência do concreto à
tração.
A semelhança entre esses dois modelos está ligada ao fato de que ambos introduzem
uma perda gradual de resistência à tração. Assim, o tension softening apenas traduz o
comportamento real de materiais quase-frágeis como o concreto, que mesmo em condições de
fissuração, ainda apresentam certa resistência à tração, ao passo que o tension stiffening
evidencia que o concreto íntegro entre fissuras colabora com a rigidez da estrutura.
Durante a década de 80, abordagens alternativas desse problema foram realizadas.
Uma delas foi a utilização dos conceitos da mecânica do dano, primeiramente introduzidos
por pesquisadores franceses na tentativa de modelar a fissuração e seus efeitos no concreto
armado. Paralelamente, outro grupo de pesquisadores tentou adaptar os conceitos de
plasticidade de metais para simular fraturas no concreto a partir de modelos microscópicos.
Todas essas abordagens contribuíram para que o comportamento do concreto à tração fosse
4
Lin, C.S.; Scordelis, A.C. (1975). Nonlinear analysis of RC shells of general form.
Journal of Structural
Division, ASCE
, 101(3), p. 523-538.
5
Bazant, Z.P.; Oh, B.H. (1984). Deformation of progressively cracking reinforced concrete beams.
ACI Journal,
81(3), p. 268-278.
6
Prakhia, G.K.W.; Morley, C.T. (1990). Tension stiffening and moment-curvature relations of reinforced
concrete elements.
ACI Structural Journal,
87(5), p. 597-605.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
31
mais bem entendido e representado por modelos teóricos para uso em simulações
computacionais.
O modelo da Figura 2-6 foi utilizado por Torres et al. (2004) que propuseram uma
estratégia para determinar uma lei constitutiva equivalente para o concreto à tração com o
objetivo de simular estruturas em concreto armado e protendido em condições iniciais de
serviço, bem como seu comportamento à flexão ao longo do tempo.
σ
t
f
ct
α
1.
f
ct
ε
ct
α
2.
ε
ct
ε
t
Figura 2-6 – Lei constitutiva à tração adotada para o concreto (Torres et al. 2004)
De acordo com os autores, essa metodologia é baseada na seleção adequada de dois
parâmetros (
1
α
e
2
α
) definindo uma lei constitutiva equivalente para o concreto tracionado,
permitindo, assim, considerar o efeito do tension stiffening no comportamento global dessas
estruturas. Os valores desses coeficientes foram determinados a partir de um algoritmo que
minimiza os quadrados das distâncias entre as relações momento × curvatura do modelo
proposto e as mesmas relações obtidas a partir dos modelos do CEB e do Eurocode 2. As
grandes vantagens do modelo proposto, segundo os autores, são as determinações
independentes de
1
α
e
2
α
, o que facilita o processamento, bem como a versatilidade de
utilização, no sentido de que o modelo pode ser facilmente incorporado em qualquer
procedimento computacional de análise de estruturas de concreto. Os parâmetros
1
α
e
2
α
são
dados por:
014,0
1
≥
⋅
−⋅=
ct
fA
N
α
(2-10)
ρρ
α
⋅
⋅−
⋅
+⋅−=
n
hd
nh
d
06,1
31,1
1,153,20
2
(2-11)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
32
sendo que:
N
é a força normal atuante na seção; A é a área da seção transversal do elemento
de concreto;
hd
é a relação entre altura útil e altura total da seção; n corresponde à razão
entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto;
ρ
é a taxa de armadura longitudinal de
tração.
Hsu & Zhang (1996) fizeram um estudo teórico-experimental em chapas de concreto
armado para avaliar a influência do concreto entre fissuras (tension stiffening) no
comportamento global do sistema. Foram realizados ensaios em elementos de chapa com duas
configurações distintas de armadura, sendo que na primeira, as barras foram colocadas
paralelamente aos lados dos elementos e na segunda, a mesma armadura foi rotacionada de
45
o
com a horizontal no plano dos elementos. A modelagem numérica foi realizada
considerando-se três conjuntos de leis constitutivas para o aço e para o concreto. As
diferenças entre essas leis foram estabelecidas justamente para incorporar ou não a
contribuição do concreto íntegro entre fissuras. Os autores concluíram que o efeito do tension
stiffening é significativo e deve ser considerado, pois melhora a resposta da estrutura na fase
pós-fissuração, uma vez que as leis constitutivas tanto à tração quanto à compressão do
concreto e tração do aço são modificadas, adotando-se para isso as respectivas médias de
tensões e deformações nesses materiais.
Abrishami & Mitchell (1996) fizeram um estudo da influência da fissuração
longitudinal sobre o efeito do tension stiffening em elementos tracionados em concreto
armado. Foram ensaiados diversos corpos-de-prova (tirantes em concreto armado) variando a
relação
b
dc , isto é, cobrimento por diâmetro da barra, bem como a resistência à compressão
do concreto. Concluíram que o aumento do diâmetro das barras da armadura, ou seja, uma
redução na relação
b
dc provoca maior fissuração longitudinal e, conseqüentemente, uma
redução significativa no efeito do tension stiffening. Além disso, concretos de alta resistência
combinados com diâmetros maiores de barras, após a fissuração longitudinal, assumem um
comportamento pós-fissuração praticamente igual aos concretos de resistência convencional.
Para levar em conta o efeito da fissuração longitudinal sobre o comportamento pós-fissurado
do concreto armado, os autores propuseram uma relação constitutiva modificada por um
parâmetro que depende diretamente da relação
b
dc , dada por:
t
ct
t
f
ε
ψ
ψ
ψ
σ
⋅+
⋅
⋅
⋅
=
5001
321
→
para
ctt
εε
>
(2-12)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
33
sendo que:
1
ψ
leva em conta as características de aderência da armadura longitudinal, de
modo que assume 1,0 para barras de alta aderência, 0,7 para barras de média aderência e 0,0
para barras com pequena aderência;
2
ψ
leva em conta a natureza do carregamento atuante,
assumindo 1,0 para carregamentos monotônicos de curta duração e 0,7 para carregamentos de
longa duração e/ou cargas cíclicas;
3
ψ
é o fator que considera a fissuração longitudinal na
peça, que depende da relação entre o cobrimento de concreto e o diâmetro das barras da
armadura longitudinal, ou seja, da relação
b
dc da peça estrutural. Assim, o coeficiente
3
ψ
é
calculado por:
→= 0,1
3
ψ
para 5,2>
b
dc
(
)
→−⋅= 18,0
3 b
dc
ψ
para 5,225,1 ≤<
b
dc
→= 0
3
ψ
para 25,1<
b
dc
Kaklauskas & Ghaboussi (2001) propuseram um método para obtenção de leis
constitutivas à tração e à compressão para o concreto a partir de resultados de ensaios de
flexão de vigas em concreto armado. Com o conhecimento prévio de resultados experimentais
como os diagramas entre momento fletor × deformação na fibra mais comprimida e mais
tracionada de concreto, bem como as relações entre momento × curvatura da seção e
momento × deformação da armadura, o método é desenvolvido calculando-se, a partir das
equações de equilíbrio da seção, as tensões médias no concreto comprimido e no concreto
tracionado. Esse procedimento é repetido para todos os passos de carga, obtendo-se assim, as
leis constitutivas médias para o concreto comprimido e tracionado. De acordo com essa
metodologia, os autores afirmaram que é possível levar em conta o efeito do tension
stiffening, da retração, não-linearidade do material e da aderência aço-concreto na
determinação das respectivas leis constitutivas para o concreto, uma vez que todo o
procedimento é baseado em resultados experimentais.
Wang & Hsu (2001) adotaram um novo conjunto de leis constitutivas para análise
não-linear de estruturas em concreto armado, a partir do modelo FA-STM (Fixed-Angle
Softened-Truss Model). A premissa básica do FA-STM é assumir que as fissuras se
desenvolvam na direção das tensões principais de compressão, porém com um ângulo fixo, ou
seja, ao determinar-se a direção da primeira fissura no ponto, esta é mantida até o final da
análise. As leis constitutivas foram escritas em função das tensões e deformações principais
caracterizando o trecho pós-pico do concreto à compressão e à tração com tension stiffening.
O aço foi tratado com uma lei elastoplástica modificada e o comportamento do concreto ao
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
34
cisalhamento também foi descrito a partir das tensões e deformações principais, obtendo,
segundo os autores, um módulo de deformação G consistente. Para a determinação da falha,
foi adotado o critério de Kupfer & Gerstle
7
(1973). O modelo apresentou bons resultados na
análise de vigas e painéis de cisalhamento. É interessante destacar que na lei constitutiva do
concreto à compressão adotada, no trecho pós-pico, existe um coeficiente que leva em conta
as taxas de armadura nas duas direções, o que possibilita a verificação da influência tanto da
armadura longitudinal, quanto da armadura transversal no comportamento pós-pico do
concreto comprimido.
De Borst (2002) elaborou uma revisão dos chamados “smeared-crack models” e sua
adequação ao contexto dos modelos de dano no contínuo para simulação do comportamento
mecânico de materiais “quase-frágeis”, como o concreto e as rochas. Na verdade, esses
materiais recebem essa denominação porque ainda apresentam alguma resistência após
atingirem o pico no diagrama tensão × deformação à tração. Diante disso, o autor discutiu as
possíveis melhorias que podem ser incorporadas a esses modelos, tais como o fator de
retenção de cisalhamento e os conceitos de tension softening e tension stiffening. Concluiu
que além de reduzir dificuldades numéricas que podem surgir nesses modelos, o fator de
retenção de cisalhamento pode ser entendido fisicamente como uma representação do
engrenamento dos agregados do concreto.
Bischoff (2003) fez um estudo sobre a influência de fibras metálicas no efeito do
tension stiffening e na fissuração de estruturas em concreto armado. A análise foi realizada a
partir de comparações entre tirantes em concreto armado com e sem fibras e barras isoladas de
aço. O autor concluiu que a presença de fibras altera significativamente o comportamento do
concreto à tração após a fissuração, promovendo um aumento no tension stiffening, pois
considera agora, além do concreto entre fissuras, a contribuição da fibra que atravessa a
fissura. Além disso, o uso de fibras também proporciona uma diminuição do espaçamento
entre fissuras. Conseqüentemente, com a maior contribuição do concreto à tração, a estrutura
ganha rigidez, o que se traduz em menores deslocamentos, melhorando o comportamento em
serviço. A incorporação dos efeitos das fibras na modelagem numérica de estruturas em
concreto armado pode ser realizada, segundo o autor, pela consideração de um fator de
aderência modificado que depende da relação entre a tensão de tração após a fissuração do
concreto e a própria tensão de fissuração.
7
Kupfer, H.B.; Gerstle, K.H. (1973). Behavior of concrete under biaxial stresses.
Journal of Engineering
Mechanics Division, ASCE,
99(4), p. 853-866.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
35
Bentz (2005) fez um estudo sobre os principais modelos de tension stiffening
existentes na literatura, comparando seu desempenho em painéis de cisalhamento. Foram
estudados três modelos consagrados da literatura, com o intuito de propor um modelo que
levasse em conta, diretamente, a aderência entre o aço e o concreto. O autor explicou que o
tension stiffening é função direta da aderência, o que justifica a inclusão de um termo que
quantifique, mesmo que simplificadamente, sua influência no modelo. Assim, foi proposta
uma nova expressão (lei constitutiva para o concreto à tração em termos da deformação
principal) para considerar o tension stiffening, que depende de um parâmetro de aderência
calculado a partir da relação entre a área de concreto tracionada na peça e o somatório dos
perímetros das barras de armadura contidas nessa área. Os resultados do modelo foram
bastante satisfatórios quando comparados com testes de painéis de cisalhamento em concreto
armado. Segundo o autor, um modelo mais adequado para o efeito do tension stiffening,
certamente garantirá melhores previsões de aberturas de fissuras para situações em serviço de
estruturas em concreto armado.
2.2.2 Comportamento do concreto ao cisalhamento
O comportamento à flexão das estruturas em concreto armado já foi tema de diversas
investigações experimentais e teóricas, de modo que é possível, atualmente, prevê-lo de forma
bastante satisfatória e consistente. Entretanto, não é o que ocorre quando se trata do
comportamento do concreto armado ao cisalhamento. O mecanismo de resistência ao
cisalhamento observado nos elementos em concreto armado é muito complexo, por conta dos
vários componentes que atuam na transferência das tensões cisalhantes. Dessa forma, torna-se
difícil incluir todos esses componentes em uma teoria simples e prática. Apesar de várias
teorias já terem sido propostas, ainda na prática, nenhuma delas pode ser considerada
plenamente satisfatória.
Do ponto de vista de distribuição de tensões ao longo de um elemento estrutural, a
força cortante produz inclinações nas tensões principais em relação ao eixo do elemento. Isso
faz com que as fissuras também sofram rotações acompanhando a direção principal de
compressão. Como as fissuras resultam inclinadas em relação ao eixo da peça, naturalmente
surgem regiões delimitadas pelas próprias fissuras denominadas bielas ou diagonais
comprimidas. Essas bielas são responsáveis por transferir as tensões de compressão dos
pontos de aplicação das forças externas até os apoios.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
36
A configuração das fissuras e o modo como se comportam os componentes
resistentes nas peças em concreto armado, obviamente depois da fissuração do concreto,
fizeram com que Wilhelm RITTER
8
, em Zurique e Emil MÖRSCH
9
, em Stuttgart, no final do
século XIX e início do século XX, formulassem a analogia de treliça clássica.
2.2.2.1 A analogia da treliça clássica
A analogia da treliça clássica de Ritter-Mörsch considera que um elemento estrutural
em concreto armado fissurado, quando solicitado por momento fletor e força cortante,
apresente comportamento semelhante a uma treliça. Para que isso ocorra, evidentemente, são
admitidas algumas hipóteses. Em primeiro lugar, admite-se que a treliça seja isostática com
banzos paralelos. Assim, o banzo comprimido corresponde à zona comprimida de concreto e
o banzo tracionado corresponde à armadura de tração. As diagonais comprimidas são
inclinadas de 45º com os banzos, representando as bielas de concreto entre as fissuras e,
finalmente, as diagonais tracionadas ou os pendurais representam os estribos verticais ou as
barras inclinadas da armadura transversal, conforme ilustrado na Figura 2-7.
Posteriormente, a teoria da treliça clássica foi submetida à prova a partir de ensaios
experimentais de vigas em concreto armado. O objetivo desses ensaios era obter a distribuição
de esforços resistentes mediante a consideração das deformações do concreto e das
armaduras, de modo a verificar a qualidade do modelo. Os resultados experimentais
comprovaram que a treliça clássica conduz a uma configuração de armadura transversal
superior à necessária na prática. Além disso, os ensaios permitiram o conhecimento de novas
evidências que violavam as hipóteses básicas assumidas pelo modelo da treliça clássica. A
tensão na armadura transversal observada nos ensaios mostrou-se menor que a prevista pela
treliça clássica. Isso significa que vigas armadas a partir da analogia de treliça atingem a ruína
com carga superior à teórica. A tensão de compressão nas bielas de concreto foi cerca de 10%
maior do que a tensão prevista pela treliça clássica, o que aumenta o risco de ruptura por
compressão das bielas de concreto antes do escoamento dos estribos, resultando em peças
superarmadas ao cisalhamento. Esse fato ocorreu porque a inclinação das fissuras variou entre
30º e 45º, ao passo que na treliça clássica era fixa em 45
o
em relação ao eixo da peça. As
medidas de deformação do concreto na borda comprimida e dos estribos mostraram que a
região de concreto comprimido pela flexão é curva, inclinando-se na direção dos apoios e,
8
Ritter, W. (1899). Die bauweise hennebique.
Schweizeriche Bauzeitung,
33(7), p. 59-61.
9
Mörsch, E. (1909).
Concrete-steel construction
. McGraw-Hill
,
New York.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
37
conseqüentemente, equilibrando uma parcela da força cortante que atua na seção. Isso permite
concluir que o banzo comprimido da treliça é inclinado e não paralelo ao banzo tracionado
como considera a analogia da treliça clássica.
A
F
A
F
Rcc
Rst
z
z z
viga com estribos verticais
treliça clássica
Figura 2-7 – Analogia da treliça clássica de Ritter-Mörsch
Observaram-se ainda nos ensaios que uma parcela da força cortante não é absorvida
pelo banzo comprimido e nem pela armadura transversal. Concluiu-se que essa parcela é
resistida por mecanismos secundários complementares à treliça. Esses mecanismos são
definidos pelo campo de tensões de tração oriundo da aderência entre o aço e o concreto, pela
resistência residual à tração do concreto fissurado (tension stiffening), pelo efeito de pino
proveniente da flexão da armadura longitudinal que cruza as fissuras inclinadas e pelo
engrenamento dos agregados. Diante desses fatos, algumas modificações foram introduzidas
no modelo da treliça clássica de Ritter-Mörsch, dando origem à analogia de treliça
generalizada.
2.2.2.2 A analogia da treliça generalizada
O modelo de treliça generalizada distingue-se da treliça clássica pelas seguintes
características: a treliça é internamente hiperestática, o banzo comprimido apresenta
inclinação variável e as diagonais comprimidas possuem ângulo de inclinação entre 30º e 45º
com o banzo tracionado.
Para efeitos de dimensionamento das armaduras transversais, o modelo de treliça
generalizada torna-se, na prática, um procedimento de difícil utilização. Assim, para
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
38
aplicações práticas, foi desenvolvido um artifício que contorna essa dificuldade, permitindo
obter armaduras transversais de modo mais simples e mais econômicas do que as armaduras
previstas pela analogia da treliça clássica.
Para que a segurança contra ruína por força cortante seja garantida, a força cortante
resistente deve ser maior ou igual à força cortante solicitante na seção. Além disso, a condição
de ruptura das bielas comprimidas também deve ser sempre verificada. Essas exigências são
traduzidas matematicamente pelas seguintes expressões:
2RdSd
VV ≤
(2-13)
3RdSd
VV ≤
(2-14)
sendo que:
Sd
V é a força cortante solicitante de cálculo na seção;
2Rd
V é a força cortante
resistente de cálculo correspondente à ruptura por compressão das bielas diagonais de
concreto;
3Rd
V é a força cortante resistente de cálculo que corresponde à ruptura por tração
diagonal nos elementos com armadura transversal.
O artifício consiste em admitir que a força cortante resistente dos elementos em
concreto armado,
3Rd
V , seja a soma de duas parcelas. A primeira parcela se refere à
contribuição do concreto,
c
V , representando o somatório das contribuições do banzo
comprimido, do efeito de pino da armadura longitudinal e do engrenamento dos agregados. A
segunda parcela,
sw
V , corresponde à contribuição da armadura transversal. No
dimensionamento faz-se
3RdSd
VV = , o que resulta em:
swcsd
VVV +=
(2-15)
Desse modo conclui-se que a armadura transversal deve resistir não à força cortante
total, mas sim a apenas uma parcela definida por:
cSdsw
VVV −=
(2-16)
Com o emprego desse artifício, é possível manter formalmente a analogia da treliça
clássica para o cálculo da armadura transversal, beneficiando-se de sua simplicidade, porém
compensando as imperfeições de sua teoria original, obtendo-se assim áreas de armaduras
transversais mais econômicas. A Figura 2-8 sugere que esse artifício é semelhante a
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
39
considerar uma translação da curva real das tensões na armadura transversal, fazendo-a
superpor-se à reta teórica das tensões previstas pelo modelo da treliça clássica.
O V
r
f
yd
σ
sw
V
sw
V
sd
V
V
c
treliça clássica
experimental
V
sd
:V solicitante de cálculo
V
c
:parcela de V
sd
resistida pelos
mecanismos complementares
V
sw
:parcela de V
sd
resistida pela
armadura transversal
V
r
:V de fissuração
Figura 2-8 – Variação da tensão na armadura transversal de uma viga em concreto armado
Collins et al. (1996) apresentaram um resumo dos diversos modelos de previsão de
resistência ao cisalhamento, adotados pelo ACI Code (1989), para o projeto de estruturas de
concreto à força cortante. Com base em resultados experimentais de vigas em concreto
armado, os autores propuseram uma nova metodologia para projeto. O método tem como
hipótese principal que a resistência ao cisalhamento em vigas é dada pela soma das parcelas
resistentes do concreto, dos estribos e da protensão, se houver. A formulação é extremamente
dependente do ângulo que as fissuras formam com a horizontal e de um parâmetro que traduz
a capacidade do concreto em transferir tensões de cisalhamento. Nesse parâmetro, está
incluída diretamente a influência da dimensão dos agregados e a abertura das fissuras.
Segundo os autores, o método é mais preciso que os modelos propostos pelo ACI Code
(1989), pois considera diretamente a existência das tensões de tração no concreto fissurado e
também a influência que a deformação da armadura longitudinal de tração exerce sobre a
resistência do concreto ao cisalhamento.
2.2.2.3 Mecanismos complementares: introdução
Com os diversos ensaios experimentais realizados, a treliça clássica proposta por
Ritter-Mörsch mostrou-se conservadora, uma vez que a resistência ao cisalhamento da seção
era atribuída somente à armadura transversal. Em decorrência desses ensaios, as normas
internacionais nos dias de hoje adotam um termo empírico adicional correspondente à
contribuição do concreto, ou também chamado de contribuição dos mecanismos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
40
complementares de resistência ao cisalhamento, que leva em conta outras fontes de
resistência. Dentre essas fontes estão: o engrenamento dos agregados, o efeito de pino da
armadura longitudinal que cruza as fissuras e a resistência residual à tração do concreto
fissurado. Conseqüentemente, por conta desse empirismo, cada código de projeto adota uma
expressão diferente para o cálculo dessa parcela de contribuição. A ABNT NBR 6118:2003,
em particular, adota essa parcela como sendo função apenas da resistência do concreto à
tração e das dimensões da seção transversal. A Figura 2-9 ilustra as parcelas que resistem ao
cisalhamento para uma seção fissurada de concreto armado, sendo caracterizadas pelo
concreto íntegro,
c
V , armadura transversal,
sw
V , engrenamento dos agregados,
a
V e efeito de
pino da armadura longitudinal,
d
V . No entanto, a grande dificuldade de se quantificar de
maneira fechada os efeitos complementares, segundo He & Kwan (2001), está ligada ao fato
de que seus componentes não são constantes, mas variam por conta das redistribuições de
tensões provenientes do aumento da abertura das fissuras, do grau de danificação do concreto
e do escoamento da armadura, o que torna difícil a tarefa de incorporar alguns desses efeitos
adequadamente às formulações de projeto.
Em uma tentativa de resolver o problema, Hoang & Nielsen (1998) aplicaram a
teoria da plasticidade para analisar o comportamento último ao cisalhamento de vigas em
concreto armado. Os autores desenvolveram expressões para o cálculo da força última e da
força de fissuração admitindo que a estrutura atinja a ruína por força cortante. A hipótese
principal do modelo foi considerar que as fissuras diagonais são linhas de escoamento com
dissipação de energia, fato esse que possibilitou, a partir do PTV, desenvolver o modelo.
Foram definidas expressões para os casos de vigas simplesmente apoiadas e contínuas sem
armadura transversal, assim como para vigas simplesmente apoiadas com armadura
transversal. É interessante destacar que a formulação apresentada depende fortemente de um
fator de eficiência, que engloba o comportamento pós-pico do concreto à compressão, o
deslizamento das faces das fissuras e o estado de danificação local do concreto. Os resultados
obtidos com a formulação aplicada foram satisfatórios quando comparados com ensaios
experimentais. Os autores concluíram que a abordagem plástica é bastante interessante para o
projeto de estruturas de concreto, pois proporciona uma visão clara a respeito dos mecanismos
de ruína da estrutura considerada.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
41
V
d
V
a
:parcela do engrenamento dos
agregados
V
d
:parcela do efeito de pino
V
a
V
sw
V
cc
R
R
cc
R
st
Figura 2-9 – Mecanismos complementares na transferência do cisalhamento (He & Kwan 2001)
Bhatt & Kader (1998) mostraram resultados de análises não-lineares com o método
dos elementos finitos (elementos 2-D) para a obtenção de valores de resistência à força
cortante de vigas retangulares em concreto armado, a partir de um modelo mecânico para o
concreto. Os autores reuniram diversos resultados de ensaios realizados com vigas em
concreto armado e compararam com os testes numéricos variando os parâmetros importantes
no comportamento ao cisalhamento, com o objetivo de calibrar um modelo prático para a
predição de cargas últimas referentes ao modo de ruína por força cortante. Para a modelagem
do concreto à tração, foi considerado o fenômeno do tension stiffening. Já na compressão, os
autores adotaram uma lei constitutiva que, após o pico de tensão, considera um trecho
descendente somente se houver armadura transversal. O critério de ruptura foi estabelecido
em função das tensões octaédricas no material. Segundo os autores, o modelo apresentou
resultados melhores para vigas com menor espaçamento entre estribos, o que lhes garantiu um
comportamento mais dúctil.
Neves et al. (2000) apresentaram um modelo simplificado de resistência ao
cisalhamento para vigas em concreto armado a partir de um modelo de dano. O método dos
elementos finitos foi empregado considerando na formulação o elemento de viga de
Timoshenko para o cálculo das distorções e curvaturas consistentes. O modelo de
cisalhamento desenvolvido assume que a resistência à força cortante é a soma de uma parcela
referente ao concreto e outra correspondente à armadura transversal. Além disso, os autores
consideraram com base em resultados experimentais, que a armadura transversal só começa a
contribuir a partir do surgimento de fissuras no concreto, o que numericamente significa que
as tensões residuais da fase não-linear, decorrentes à danificação do concreto são absorvidas
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
42
integralmente pela armadura transversal. Segundo os autores, apesar de ainda ser um modelo
simplificado, é possível representar melhor os casos de vigas subarmadas transversalmente,
pois se torna possível representar o estado limite último por escoamento da armadura
transversal.
A seguir, será apresentada uma descrição particular para cada mecanismo
complementar de resistência ao cisalhamento, isto é, efeito de pino e engrenamento dos
agregados, com descrição de cada comportamento, aspectos de modelagem computacional e
os principais trabalhos publicados.
2.2.2.4 Mecanismos complementares: engrenamento dos agregados
Vários modelos foram propostos na tentativa de explicar e prever o comportamento
do engrenamento dos agregados. Laible et al.
10
(1977) apud Millard & Johnson (1984)
desenvolveram um modelo a partir da consideração de que o engrenamento é proveniente de
um atrito local e um atrito global, ambos nas faces da fissura. Esse atrito local provoca o
engrenamento dos agregados miúdos, ao passo que o atrito global causa o engrenamento dos
agregados graúdos. Um modelo alternativo foi proposto por Fardis & Buyukozturk
11
(1979)
apud Millard & Johnson (1984) no qual o engrenamento dos agregados ocorre somente em
função do deslizamento friccional de duas superfícies rígidas, representadas por uma série de
segmentos de parábola. Walraven (1981) sugeriu posteriormente que o concreto pode ser
representado por um sistema de duas fases, ou seja, os agregados e a matriz de cimento, de
modo que possa ser modelado como uma distribuição de esferas rígidas de vários tamanhos,
distribuídas em profundidades diferentes em uma matriz de cimento de comportamento
rígido-plástico (Figura 2-10). O modelo considera que tensões de cisalhamento e tensões de
compressão locais surjam na interface dessas esferas, à medida que ocorre a abertura de
fissuras e o deslizamento de suas faces. Assim, a força cortante, nesse modelo, é resistida por
uma combinação entre esmagamento e deslizamento dessas esferas rígidas sobre a matriz de
cimento (Figura 2-11).
10
Laible, J.P.; White, R.N.; Gergely, P. (1977). Experimental investigation of seismic shear transfer across
cracks in concrete nuclear containment vessels.
Reinforced concrete structures in seismic zones.
Detroit,
American Concrete Institute, 1977. ACI Special Publication SP-53, p. 203-206.
11
Fardis, M.N.; Buyukozturk, O. (1979). Shear transfer model for reinforced concrete.
Proceedings of the
American Society of Civil Engineers.
v. 105, n. EM2, April, p. 255-275.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
43
Figura 2-10 – Modelo físico para o estudo do engrenamento dos agregados (Walraven 1981)
a
x
a
y
a
x
a
y
σ
pu
σ
pu
σ
pu
τ
pu
τ
pu
τ
pu
Figura 2-11 – Área de contato matriz-agregado e as condições de tensão (Walraven 1981)
Millard & Johnson (1984) fizeram ensaios experimentais com o objetivo de analisar
o mecanismo de transferência de tensões de cisalhamento ao longo das fissuras em estruturas
de concreto armado. Os autores compararam os resultados com os modelos teóricos citados
no parágrafo anterior e verificaram que o modelo de Walraven (1981) apresentou a melhor
previsão. Os ensaios foram realizados de modo a eliminar a aderência entre o aço e o concreto
para que as espessuras das fissuras permanecessem constantes. Entretanto, os autores
concluíram que em estruturas de concreto armado, a aderência provoca uma variação nas
espessuras das fissuras, influenciando no engrenamento dos agregados.
Dei Poli et al. (1987) procuraram quantificar a magnitude da contribuição do
engrenamento dos agregados na resistência à força cortante em vigas de seção I em concreto
armado, assim como a extensão da influência desse mecanismo complementar no
dimensionamento da armadura transversal. Para isso, os autores utilizaram o modelo de
Bazant & Gambarova
12
(1980) (rough crack model) e o modelo de Walraven (1981), ambos
com algumas adaptações, comparando-os com os resultados das formulações do CEB e do
ACI. A contribuição do engrenamento dos agregados depende, basicamente, dos
deslocamentos relativos
t
δ
e
n
δ
entre as faces das fissuras, uma vez que as tensões na
interface são funções, essencialmente, desses deslocamentos (Figura 2-12). Vale ressaltar
12
Bazant, Z.P.; Gambarova, P.G. (1980). Rough cracks in reinforced concrete.
Journal of the Structural
Division, ASCE,
v. 106, n. 4, April, p. 819-842.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
44
também que a contribuição do engrenamento dos agregados deve ser limitada à resistência das
bielas comprimidas de concreto formadas no interior da peça de modo que, a partir disso, fica
claro que esse mecanismo complementar depende fortemente da própria resistência à
compressão do concreto. Finalmente, os autores concluíram que as previsões dos códigos
normativos para dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado, embora um
pouco conservadores, se aproximam do comportamento real em vigas de seção I para valores
pequenos e médios de tensão última de cisalhamento.
σ
pu
τ
pu
σ
pu
τ
pu
t
n
δ
t
δ
n
Figura 2-12 – Deslocamentos e tensões nas faces da fissura (Dei Poli et al. 1987)
Dei Poli et al (1990) propuseram um modelo que incorpora o escorregamento entre
os estribos e o concreto, e a rigidez à flexão das bielas comprimidas como sendo um
componente do engrenamento dos agregados. O efeito de pino foi desconsiderado. De acordo
com os autores, os estribos encontram-se na iminência do escoamento na interface das
fissuras de cisalhamento. Porém, em função da aderência estribo-concreto entre fissuras, as
deformações e tensões no estribo são menores que o limite de escoamento. Assim, a
deformação no estribo na interface com a fissura foi dada pela deformação de escoamento do
aço ponderada por um coeficiente alfa que leva em conta o efeito do tension stiffening local.
Com esse modelo, tornou-se possível, segundo os autores, determinar a taxa ótima de
armadura transversal para melhorar a ductilidade da seção transversal ao cisalhamento.
Zararis (1997) estudou os mecanismos complementares de resistência ao
cisalhamento em elementos de membrana em concreto armado e verificou que a primeira
parcela mobilizada corresponde às forças desenvolvidas nas armaduras. O engrenamento dos
agregados somente surge nas fissuras desses elementos, em substituição à perda de parte das
tensões de cisalhamento nas armaduras. Além disso, segundo o autor, a natureza do fenômeno
não é de caráter friccional, mas sim de reação em virtude da mudança do estado de tensão,
originado pela perda de capacidade das armaduras. A perda da capacidade resistente ao
cisalhamento das barras da armadura pode ocorrer por duas razões: escorregamento das barras
entre as faces das fissuras ou pelo escoamento da armadura na seção da fissura. Assim, as
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
45
forças de engrenamento se desenvolvem para substituir essas forças perdidas e equilibrar
novamente o carregamento externo. A justificativa para a desconsideração da hipótese de
comportamento friccional do engrenamento dos agregados se apóia na distribuição de tensões
nas faces das fissuras. Essas tensões apresentam componentes de cisalhamento e de tração, de
modo que esse estado não pode ser representado por um estado com tensões de compressão, o
que descarta a possibilidade de uma representação friccional para o comportamento do
engrenamento dos agregados nas faces da fissura.
Martín-Pérez & Pantazopoulou (2001) estudaram o comportamento dos diversos
mecanismos complementares na degradação da resistência ao cisalhamento de elementos em
concreto armado. Nas superfícies das fissuras, a transferência de tensões de cisalhamento,
segundo os autores, se dá pelo engrenamento dos agregados e efeito de pino da armadura
tracionada. A partir de resultados experimentais, foi verificado que a rigidez ao cisalhamento
desses mecanismos diminui rapidamente à medida que a abertura das fissuras aumenta. Isso
significa que esses mecanismos de resistência dependem fortemente dos estados de
deformações dos materiais. Com isso, a contribuição do engrenamento dos agregados foi
obtida como sendo função direta da deformação principal de tração no concreto,
1
ε
, que pode
ser entendida como um indicador da largura das fissuras. A expressão foi calibrada em testes
com painéis de cisalhamento, de modo a explicitar uma parcela de tensão de cisalhamento
relacionada ao engrenamento dos agregados. Para essa parcela, os autores obtiveram a
seguinte expressão:
0018,0
1
0001342,0
1
ε
τ
+
⋅
=
c
ag
E
(2-17)
sendo que:
c
E é o módulo de elasticidade longitudinal do concreto em MPa.
He & Kwan (2001) também estudaram o assunto e consideraram que as tensões de
cisalhamento que surgem a partir do deslizamento relativo entre as faces de uma fissura,
devem ser absorvidas pelo engrenamento dos agregados e pelo efeito de pino da armadura
longitudinal. Assim, o módulo de elasticidade transversal do concreto, segundo os autores,
deve ser a soma de uma parcela referente ao engrenamento dos agregados,
a
G , e outra
referente ao efeito de pino,
d
G . Essa proposta na verdade, baseia-se na idéia do fator de
retenção de cisalhamento,
µ
, que consiste em uma simples redução imposta ao módulo de
elasticidade transversal do concreto para levar em conta o efeito da fissuração. Os autores
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 46
utilizaram esse modelo e adaptaram-no em função da necessidade de levar em conta, de
alguma forma, as aberturas das fissuras. A seguinte expressão foi adotada:
0
004,0
1
2
11
≥⋅
−
−⋅=
o
c
a
GG
εε
µ
(2-18)
sendo que:
c1
ε
é a deformação correspondente à tensão de tração máxima da direção principal
1;
o
G é o módulo de elasticidade transversal do concreto íntegro. A parcela
c11
εε
− pode,
segundo os autores, ser considerada como uma medida da abertura das fissuras. O
complemento do módulo transversal correspondente ao efeito de pino será mostrado no ítem
2.2.2.5.
2.2.2.5 Mecanismos complementares: efeito de pino
Conceitualmente, o efeito de pino ocorre em virtude do surgimento de uma força de
reação decorrente da tentativa de corte e flexão local das barras da armadura, quando estas
atravessam uma fissura. As faces da fissura tendem a sofrer um deslizamento proveniente de
tensões de cisalhamento nessas faces, causando nas barras da armadura um deslocamento
transversal relativo, mobilizando essa força de reação (Figura 2-13). Essa força é responsável
pelo efeito de pino da armadura e confere, juntamente com o engrenamento dos agregados,
uma resistência adicional ao cisalhamento em elementos de concreto armado.
∆
γ
12
γ
12
γ
12
γ
12
x
y
1
2
θ
Figura 2-13 – Efeito de pino da armadura nas faces das fissuras (He & Kwan 2001)
Vários pesquisadores já estudaram esse fenômeno através de ensaios experimentais e
puderam identificar alguns parâmetros que exercem influência direta sobre o efeito de pino.
Krefeld & Thurston (1966) concluíram que quanto maior o cobrimento de concreto e maior
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 47
for a largura da viga, maior será a força mobilizada pelo efeito de pino. Entretanto,
Baumann
13
(1968) apud Jimenez et al. (1979) não observou nenhuma variação no efeito de
pino quando o cobrimento de concreto foi aumentado. Com relação à presença de armadura
transversal, Gergely
14
(1969) e Houde
15
(1973) apud Jimenez et al. (1979) afirmaram que o
efeito de pino em vigas de concreto sem armadura transversal é limitado a cerca de 20% a
25% da força cortante última. Jimenez et al (1979) estudaram posteriormente o efeito de pino
em elementos em concreto armado e concluíram que existe uma leve interação desse
mecanismo com a aderência entre o aço e o concreto. Isso ocorre por conta da fissuração
longitudinal proveniente da perda de aderência entre os materiais, afetando diretamente o
efeito de pino. A presença de estribos ajuda a diminuir essa fissuração longitudinal e,
conseqüentemente, melhora a contribuição do efeito de pino na resistência ao cisalhamento
dos elementos desde que o estribo esteja a menos de 25mm da fissura.
Millard & Johnson (1984) fizeram ensaios em vigas em concreto armado para
investigar o comportamento do efeito de pino da armadura longitudinal e sua contribuição na
resistência ao cisalhamento. Os parâmetros analisados foram: diâmetro das barras da
armadura longitudinal, resistência à compressão do concreto e a força de tração na armadura.
Os resultados experimentais foram comparados com um modelo teórico baseado na teoria de
vigas sobre base elástica. Para diâmetros maiores da armadura longitudinal, foi observado um
aumento na rigidez ao cisalhamento e também na tensão cisalhante última. O aumento da
resistência do concreto apresentou variações quase que insignificantes na força de pino. Com
relação às tensões normais da armadura longitudinal, o aumento dessas tensões provocou uma
perda na rigidez e na tensão última de cisalhamento. Nesse caso, a ruína ocorreu não por
fendilhamento, mas sim pelo esmagamento do concreto ao redor da armadura longitudinal. De
acordo com os autores, esse fato ocorreu, pois a tensão axial da armadura causou danificação
no concreto logo abaixo das barras e, conseqüentemente, reduziu a capacidade resistente
desse concreto, diminuindo a resistência de pino. O modelo teórico baseado na teoria de vigas
sobre base elástica apresentou bons resultados na previsão da rigidez inicial de cisalhamento e
também na estimativa da força de pino última, sendo recomendado pelos autores. Além disso,
vale ressaltar que o efeito de pino tem comportamento não-linear, uma vez que a rigidez ao
13
Baumann, T. (1968). Versuche zum studium der verdubelungswirkung der biegezugbewehrung eines
stahlbetonbalken.
Material Prufungsamt Fur Das Bauwesen Der Technischen Hochshule,
Munchen, Bericht N
o
77.
14
Gergely, P. (1969). Splitting cracks along the main reinforcement in concrete members.
Dept. of Strucutral
Enguneering,
Report, Cornell University.
15
Houde, J. (1973). Study of force-displacement relantionships for the finite element analysis of reinforced
concrete.
Structural Concrete Series,
n. 73-2, McGill University, Montreal, Dec.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 48
cisalhamento pode ser afetada pelo esmagamento e/ou fendilhamento do concreto abaixo das
barras, isto é, do cobrimento, bem como pelo escoamento da armadura longitudinal de tração.
Assim, os autores concluíram que o efeito de pino das barras da armadura consiste,
basicamente, na composição de três mecanismos de transferência de tensões: cisalhamento
direto, uma espécie de enroscamento das barras no concreto e a flexão localizada dessas
barras quando estas cruzam as fissuras. Concluíram também que o mecanismo de flexão local
das barras será predominante sobre os outros se o cobrimento de concreto for pequeno,
garantindo pouca rigidez ao apoio das barras. Caso contrário, os dois primeiros mecanismos
serão preponderantes no comportamento do efeito de pino. Portanto, fica claro que o
cobrimento de concreto exerce papel fundamental no mecanismo de pino e, assim, na
resistência ao cisalhamento de elementos em concreto armado.
Desde que o efeito de pino foi reconhecido na década de 30 como um mecanismo
eficiente de transferência de tensões de cisalhamento em situação de serviço, a analogia com
uma viga sobre base elástica foi introduzida. Assim, as barras da armadura funcionam como
vigas apoiadas sobre uma base elástica representada por molas. Essa base que serve de apoio
para as barras de aço é definida, no caso da armadura tracionada ser positiva, pelo próprio
cobrimento inferior de concreto. A representação adequada do comportamento do efeito de
pino é afetada por disposições geométricas das armaduras na seção transversal, tais como,
cobrimento de concreto, espaçamento entre as barras na seção e armadura transversal, de
modo que isso acarreta grande complexidade ao fenômeno. Aliado a isso, existe também o
fato de que o comportamento dos materiais, no caso o aço e o concreto, é não-linear,
influenciando também no processo. Por conta disso, apesar de vários ensaios realizados desde
a década de 50, existem poucos modelos matemáticos para a modelagem do efeito de pino.
Em função de sua simplicidade e coerência, a hipótese de viga sobre base elástica é aceita e
utilizada até hoje como fundamento de todos esses métodos de predição do efeito de pino em
elementos de concreto armado. A grande vantagem dessa abordagem é que todas as
particularidades do fenômeno são incorporadas em um único parâmetro definido como sendo
o coeficiente de rigidez, k, da porção de concreto abaixo das barras, ou seja, o cobrimento. De
maneira geral, esse coeficiente de mola pode assumir valores constantes, em casos de
abordagem puramente linear, ou pode variar em função do deslocamento transversal da barra
da armadura, bem como também em função de parâmetros que levem em conta o grau de
danificação do concreto na região que interfere no comportamento de pino.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 49
Dulacska
16
(1972) e Soroushian et al.
17
(1986) apud Dei Poli et al. (1992) utilizaram
os conceitos de análise limite para determinar um modelo de previsão da força última de pino,
du
V . Em ambos os trabalhos, a hipótese de comportamento rígido-plástico foi assumida tanto
para o concreto do cobrimento, quanto para as barras da armadura. As expressões propostas
são respectivamente:
cybdu
ffdV ⋅⋅⋅=
2
267,1
(2-19)
⋅
⋅+⋅⋅⋅=
c
y
b
cbdu
f
f
d
fdV
γ
γ
175,0574,2
33,0
2
2
(2-20)
4
b
y
dk
E
⋅
=
γ
(2-21)
sendo que:
b
d é o diâmetro da barra;
c
f é a resistência à compressão do concreto em MPa;
y
f é a resistência de escoamento das barras da armadura;
y
E é o módulo de elasticidade
longitudinal do aço;
k
corresponde ao coeficiente de mola do cobrimento de concreto. Na
segunda expressão, foi assumido para o coeficiente
k
o valor de 271,7MPa/mm.
Posteriormente, Dei Poli et al. (1992) fizeram ensaios para a verificação da
resistência de pino em concretos de média (30MPa) e alta resistência (75MPa). Os resultados
foram comparados com os modelos de base elástica, Dulacska (1972) e Soroushian et al.
(1986). Os autores apresentaram duas alternativas para o cálculo do coeficiente
k
,
considerando-se o comportamento não-linear dos materiais e o grau de deterioração do
concreto que envolve as barras. Na primeira alternativa, o coeficiente
k
foi formulado como
sendo função da intensidade de carregamento,
u
VV
, que pode ser considerado como uma
danificação da estrutura, e também do coeficiente de rigidez do cobrimento de concreto,
c
k
,
proposto por Soroushian et al.
18
(1987), que é dado por:
16
Dulacska, H. (1972). Dowel action of reinforcement crossing cracks in concrete.
ACI Journal, Proceedings,
v.
69, n. 12, December, p. 754-757.
17
Soroushian, P.; Obaseki, K.; Rojas, M.C.; Sim, J. (1986). Analysis of dowel action bars acting against concrete
core.
ACI Journal, Proceedings,
v. 83, n. 4, July-August, p. 642-649.
18
Soroushian, P.; Obaseki, K.; Rojas, M.C. (1987). Bearing strength and stiffness of concrete under reinforcing
bars.
ACI Materials Journal,
v. 84, n. 3, May-June, p. 179-184.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 50
3
2
127
b
c
c
d
f
k ⋅=
(2-22)
Para o cálculo de
u
V
foi utilizada a Equação 2-19. Assim, tem-se para a primeira
alternativa:
c
kk
⋅=
ω
(2-23)
sendo que:
ω
é um parâmetro dado em função da intensidade do carregamento, de acordo
com as seguintes expressões:
→
=
12,2
ω
para 4,0≤
u
VV
→
−⋅⋅+
=
3
4
4,08cosh026,0544,0
1
u
V
V
ω
para 4,0>
u
VV
A segunda alternativa de cálculo do coeficiente
k
foi proposta por Brenna et al.
19
(1990) apud Dei Poli et al. (1992) e é baseada no deslocamento normalizado,
b
dW
1
, também
considerado aqui como uma medida da danificação da estrutura.
0
kk
⋅=
ω
(2-24)
sendo que:
b
c
d
f
k
7,0
0
600 ⋅=
3
4
2
2
1
2
405,1
1
+
−⋅⋅+⋅
=
cb
d
W
da
b
ω
c
fa
⋅−= 011,059,0 ; 23,00075,0 −⋅=
c
fb
; 44,00038,0 +⋅=
c
fc
; 58,00025,0 +⋅=
c
fd
O parâmetro
1
W corresponde ao deslocamento transversal teórico das barras da
armadura longitudinal, obtido pela teoria de vigas sobre base elástica segundo a seguinte
expressão:
19
Brenna, A.; Dei Poli, S.; Di Prisco, M. (1990). Dowel action: some experimental and theoretical results
regarding special concretes.
Studi & Ricerche,
School for the Design of RC Structures, Milan University of
Technology, v. 11-89, pp. 321-380.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 51
by
JE
V
W
⋅⋅⋅
=
3
1
2
α
(2-25)
sendo que:
α
corresponde à rigidez relativa da fundação, isto é, do cobrimento de concreto;
b
J
é o momento de inércia de uma barra da armadura. Os respectivos valores são dados pelas
expressões abaixo:
4
4
by
bc
JE
dk
⋅⋅
⋅
=
α
(2-26)
64
4
b
b
d
J
⋅
=
π
(2-27)
Dei Poli et al. (1992) concluíram que os modelos teóricos forneceram bons
resultados para concretos de resistência normal (30MPa), podendo ser utilizados para a
previsão do efeito de pino de elementos estruturais em concreto armado. Para o caso de
concretos de alta resistência (75MPa), os modelos não representaram muito bem o
comportamento do efeito de pino, necessitando de um número maior de testes. A hipótese de
viga sobre base elástica pode ser bem utilizada na prática para a previsão do efeito de pino,
desde que sejam incluídos índices de danificação no cálculo do coeficiente
k
de rigidez do
concreto.
Jélic et al. (1999) fizeram um estudo com o objetivo de verificar qual a real
importância do efeito de pino e sua dependência do diâmetro das barras em vigas em concreto
armado. Para isso, os autores ensaiaram quatro vigas idênticas, variando-se somente os
diâmetros das barras da armadura tracionada, porém mantendo-se a área de armadura
constante para todos os casos. Os resultados experimentais apontaram que uma vez que a área
de armadura é constante, a capacidade última das vigas ao cisalhamento foi praticamente a
mesma, não importando o diâmetro das barras ou a sua tensão de escoamento. Além disso, os
autores realizaram a modelagem numérica dos ensaios desconsiderando o efeito de pino. Após
as modelagens, foi verificado que o efeito de pino não apresentou nenhuma influência
significativa sobre o comportamento das vigas, podendo ser desconsiderado em casos
práticos.
Martín-Pérez & Pantazopoulou (2001) estudaram o comportamento de estruturas em
concreto armado submetidas à tensões de cisalhamento, modelando cada parcela que exerce
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 52
influência no processo. O estudo teve como objetivo a modelagem das diferentes fontes que
contribuem na resistência ao cisalhamento. Segundo os autores, o primeiro mecanismo que
atua contra o deslizamento das faces das fissuras é o engrenamento dos agregados. À medida
que as solicitações e, conseqüentemente, a abertura das fissuras aumenta, o engrenamento dos
agregados deixa de colaborar significativamente. A partir daí, o efeito de pino passa a ser o
principal mecanismo de resistência ao cisalhamento. Esse tipo de modelagem é bastante
interessante, pois permite considerar os efeitos das deformações e, conseqüentemente, de sua
degradação ao longo da atuação do carregamento, fato esse que não é possível verificar
através da utilização das expressões de resistência ao cisalhamento, fornecidas pelos códigos
de projeto.
He & Kwan (2001) desenvolveram um modelo numérico para simular o
comportamento de elementos em concreto armado fortemente influenciados pelo
cisalhamento. O efeito de pino foi amplamente discutido e implementado seguindo uma
abordagem coerente para incorporação em um código computacional de análise estrutural via
método dos elementos finitos. Os autores enfatizaram a dificuldade de modelar o efeito de
pino, pois consiste em um mecanismo bastante complexo e de difícil observação em ensaios
experimentais. O modelo incorpora a contribuição do efeito de pino, a partir da modificação
da parcela da matriz constitutiva de cada elemento finito referente à contribuição ao
cisalhamento. Assim, conforme descrito na seção anterior, o módulo de elasticidade
transversal recebe, além da contribuição do engrenamento dos agregados, a parcela
correspondente ao efeito de pino, dada por:
12
12
γ
τ
d
d
G
=
(2-28)
sendo que:
12
γ
é a distorção que ocorre nas faces de um elemento fissurado (Figura 2-13);
d
12
τ
corresponde à tensão de cisalhamento nas faces de um elemento fissurado devido à força de
pino proveniente da armadura longitudinal. Essa tensão pode ser calculada por:
1212
γ
ρ
τ
⋅⋅⋅=
LK
A
d
s
s
d
(2-29)
sendo que:
s
ρ
é a taxa de armadura na direção da fissura;
s
A
é a área da seção transversal da
barra que cruza a fissura;
L
é o comprimento efetivo submetido ao efeito de pino;
d
K
corresponde à rigidez de pino da armadura longitudinal.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 53
A parcela
12
γ
⋅L fornece o deslocamento transversal,
∆
, sofrido pela barra da
armadura longitudinal submetida ao efeito de pino. Esse deslocamento pode ser calculado a
partir da hipótese de viga sobre base elástica, na qual cada barra corresponde a uma viga
apoiada sobre uma base de molas, representando no caso, o cobrimento de concreto (Figura
2-14).
∆
V
d
L
∆
/2
V
d
V
d
Figura 2-14 – Hipótese para o cálculo do deslocamento de pino (He & Kwan 2001)
O comprimento efetivo
L,
na verdade, trata da região da barra onde a deformação
decorrente do efeito de pino é significativa. Assim, tem-se:
α
π
=
L
(2-30)
Com relação à rigidez de pino da armadura longitudinal,
d
K
, Vintzeleou & Tassios
(1987) a partir de ensaios experimentais mostraram que a curva força de pino × deslocamento
assume comportamento aproximadamente elastoplástico-perfeito. Dessa forma, enquanto a
força de pino for menor que a capacidade última,
du
V
, a rigidez
d
K
assume o valor de
3
α
⋅⋅
by
JE . Após atingir a capacidade última de pino, a rigidez passa a ser calculada por
∆
du
V
. O valor de
du
V
é obtido pela Equação 2-19.
He & Kwan (2001) concluíram que o efeito de pino é mais significativo quando a
força aplicada se aproxima da capacidade última do elemento. Além disso, em peças com
menor taxa de armadura transversal, o efeito de pino também aumenta, já que uma maior
porção de força cortante, em função da falta de estribos, deve ser absorvida pela armadura
longitudinal.
El-Ariss (2007) fez um estudo sobre o efeito de pino da armadura longitudinal e o
acréscimo de resistência ao cisalhamento que este provoca em vigas em concreto armado. O
autor propôs um modelo simplificado para incorporar o efeito de pino a partir da teoria de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 54
vigas sobre base elástica. É interessante destacar que juntamente com a força cortante na
barra, que corresponde ao efeito de pino, surge também um momento fletor contrário ao
momento atuante. Esse fato faz com que surja um estado de deformações proveniente desse
momento que deve ser descontado do estado inicial, garantindo assim mais rigidez à seção. O
estudo concluiu que a importância do efeito de pino aumenta à medida que a taxa de armadura
transversal diminui.
2.2.3 Considerações sobre a revisão bibliográfica
O comportamento estrutural do concreto armado é, sem dúvida, bastante complexo.
Tal fato tem levado muitos pesquisadores a estudar esse material com o objetivo de
estabelecer critérios consistentes para sua utilização no projeto de estruturas. As iniciativas
dos pesquisadores e profissionais de engenharia civil têm sido direcionados à determinação de
um modelo ou um conjunto de modelos que permitam representar, de maneira confiável e
realista, o comportamento das estruturas em concreto armado. Nesse aspecto, o objetivo seria
alcançado a partir da situação em que as pesquisas científicas propusessem uma maneira única
e fechada que fosse capaz de representar o material. Vale lembrar que no caso das estruturas
de aço, os modelos existentes hoje, baseados na teoria da plasticidade, proporcionam ótimo
entendimento dos fenômenos que regem o desempenho do aço, garantindo mais segurança e
conhecimento do comportamento dessas estruturas. Isso ocorre em função, evidentemente,
das características do material aço, que pode ser considerado como um material homogêneo.
Entretanto, essa realidade não se aplica ao concreto, já que se trata de um material
heterogêneo e de comportamento bastante peculiar por conta da fissuração que ocorre ao
longo da pasta de cimento.
Neste trabalho, a proposta de desenvolvimento de modelos mecânicos-probabilísticos
consistentes depende, em sua essência, da boa representação do comportamento estrutural,
bem como dos materiais que compõem essas estruturas.
Com base em diversos ensaios realizados encontrados na literatura, foi constatado
que o concreto tracionado, mesmo depois do surgimento das fissuras, contribui com a
resistência global da estrutura, pois garante um acréscimo de rigidez à tração que
anteriormente era desprezado. Esse fato, atualmente, já é considerado de maneira aproximada
nos códigos de projeto através do cálculo de valores intermediários de rigidez, visando
incorporar essa contribuição do concreto à tração. O CEB-FIP MC 90 considera esse modelo
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 55
a partir do cálculo de uma curvatura média definida entre os estádios I e II. Aqui, vale
comentar que existem duas definições importantes que serão abordadas a seguir.
O
tension stiffening
consiste no acréscimo de rigidez que o concreto íntegro entre
fissuras proporciona à estrutura, em função da interação entre o aço e o concreto nessa região.
Alguns autores consideram que o
tension stiffening
é incorporado ao modelo, quando se adota
um trecho descendente após ser atingida a resistência à tração do concreto. É evidente que
essa consideração proporciona um acréscimo de rigidez à estrutura, pois agrega ao modelo um
material que realmente existe na estrutura, porém era desconsiderado. No entanto, esse trecho
pós-pico do diagrama tensão × deformação à tração do concreto é definido por muitos
pesquisadores como
tension softening
e representa a perda gradual de resistência à tração do
concreto fissurado. Na região entre fissuras, a tensão de tração da armadura diminui, uma vez
que uma parcela desta é transmitida ao concreto íntegro adjacente por meio da tensão de
aderência que existe na interface desses materiais. Essa parcela passa então a ser resistida pelo
concreto, o que garante um acréscimo de rigidez à estrutura.
De maneira geral, o comportamento dos elementos em concreto armado à flexão é
bastante consolidado, uma vez que já são bem conhecidos os mecanismos de transferência de
tensões normais ao longo do material, bem como a contribuição das armaduras longitudinais.
As melhorias nesse campo podem ainda ser direcionadas aos modelos de materiais, na
tentativa de desenvolver critérios melhores para o seu comportamento. No entanto, esse
panorama ainda não pode ser observado atualmente com relação ao cisalhamento.
O que se pôde perceber ao longo da revisão bibliográfica é que as pesquisas atuais
ainda estão em franco desenvolvimento, no tocante ao comportamento dos elementos em
concreto armado ao cisalhamento. É evidente que muito já se conhece sobre esse
comportamento, porém ainda não existem definições claras e fechadas que abranjam todos os
fenômenos envolvidos no processo. A treliça de Ritter-Mörsch é, sem dúvida, a base para os
modelos de cisalhamento, inclusive para o projeto de elementos estruturais submetidos à força
cortante. Porém, foi a partir dos ensaios de verificação do modelo de treliça que se percebeu a
existência de uma parcela que contribuía na resistência do elemento e que, inicialmente, não
era computada pela teoria. A partir dessa época, acreditou-se na existência de uma
contribuição do concreto na resistência ao cisalhamento desses elementos. É justamente sobre
essa parcela do concreto que se concentram a grande maioria das pesquisas ainda nos dias de
hoje.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 56
Os pesquisadores concordam com a existência de mecanismos que compõem essa
contribuição do concreto na resistência ao cisalhamento. Dentre esses mecanismos
complementares de resistência estão o engrenamento dos agregados e o efeito de pino. Para
cada um desses fenômenos, já foram propostos diversos modelos para sua consideração direta
ou indireta no comportamento dos elementos em concreto armado, inclusive abrangendo
também sua implementação em códigos computacionais para análise numérica de estruturas.
A grande maioria dos trabalhos analisados mostrou que esses efeitos são
significativos e que sua consideração é importante para uma representação mais adequada do
comportamento estrutural do concreto armado. A seguir serão feitos alguns comentários
específicos sobre cada um desses mecanismos de transferência do cisalhamento e sua relação
com este trabalho.
O engrenamento dos agregados se traduz em uma contribuição na resistência ao
cisalhamento a partir do instante em que as fissuras atingem os agregados. Nesse instante, as
partículas de agregados se opõem à propagação das fissuras, proporcionando um acréscimo de
resistência. No entanto, os modelos observados nos trabalhos apresentam parâmetros relativos
à geometria dos agregados e até às propriedades mecânicas dos mesmos. Tais parâmetros
tornam bastante complexa a consideração do engrenamento em códigos computacionais e, no
caso de elementos finitos unidimensionais, sua implementação torna-se praticamente
impossível. Existem outras maneiras de considerar esse mecanismo, nas quais se reduz o
módulo de elasticidade transversal do concreto. É importante destacar que os pesquisadores
concordam que o engrenamento dos agregados está diretamente associado à abertura das
fissuras. Quanto maior a fissuração, menor será a contribuição dos agregados. Por conta disso,
uma maneira de se tentar reduzir o módulo elástico transversal do concreto seria a partir de
um parâmetro que levasse em conta a deformação principal de tração, uma vez que esta pode
ser relacionada diretamente com a abertura das fissuras no concreto. Por conta disso, o autor
deste trabalho acredita que os modelos de dano podem já incorporar o fenômeno do
engrenamento dos agregados. A evolução do dano, em especial no modelo de Mazars adotado
neste trabalho, se dá através das deformações de tração. Dessa forma, quando a deformação
principal de tração aumenta, a variável de dano também aumenta, penalizando a rigidez
transversal dos elementos. Juntamente com isso, os parâmetros do modelo de dano quando
são devidamente calibrados através de ensaios experimentais, já são capazes também de levar
em conta esse fenômeno que é intrinsecamente relacionado à massa de concreto. Assim, neste
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 57
trabalho, o engrenamento dos agregados será considerado a partir do modelo de dano do
concreto.
O efeito de pino também é considerado como um dos mecanismos de resistência ao
cisalhamento que é atribuído ao concreto. Na verdade, esse efeito ocorre na armadura
longitudinal quando uma fissura a intercepta. Os pesquisadores concordam que o efeito de
pino é uma soma de três fenômenos: momento fletor local da armadura, força cortante local
da armadura e o “
kinking
”, que consiste em uma espécie de enroscamento da barra no
concreto adjacente. Porém, a avaliação adequada de cada um desses efeitos de maneira
isolada em laboratório é uma tarefa praticamente impossível, o que impossibilita conhecer
qual a sua importância individual na resistência de pino global. Um outro fator importante que
representa mais incertezas ainda sobre o efeito de pino é o conhecimento de quais as variáveis
que realmente influem em seu comportamento. Existem pesquisadores que afirmam que o
diâmetro das barras é de extrema importância no efeito de pino, o que de fato faz sentido, pois
a flexão local da barra depende diretamente da inércia de cada barra. Entretanto, existem
outros pesquisadores que não acreditam que o diâmetro seja importante, mas sim a área total
da camada de armadura. Jélic et al. (1999) afirmaram que o efeito de pino não depende do
diâmetro, mas sim da área de armadura. Além disso, por conta dessas incertezas e
divergências sobre o comportamento de pino, esses autores sugeriram que esse mecanismo
não deve ser levado em conta nas análises numéricas de elementos em concreto armado.
Os modelos existentes para a consideração do efeito de pino em modelagens
numéricas são baseados no conceito de viga sobre base elástica aliada a um processo que
limita a contribuição de pino quando a armadura longitudinal atinge seu limite. Porém,
segundo recomendações de alguns autores, a utilização da teoria de base elástica deve ser
acompanhada com alguma maneira de levar em conta a deterioração do concreto adjacente,
uma vez que em situações próximas ao estado limite último da estrutura, essas regiões de
contato entre as barras e o concreto podem estar bastante danificadas.
É importante salientar que a grande maioria dos modelos observados que consideram
esses mecanismos complementares na transferência do cisalhamento se aplica a modelagens
2D e 3D de estruturas em concreto armado. Dessa forma, a proposta deste trabalho de
considerar esses mecanismos de resistência em elementos finitos unidimensionais, juntamente
com o acoplamento aos modelos de dano é, por conta disso, uma forma de contribuição.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 58
2.3 Confiabilidade Estrutural e Otimização
2.3.1 Aspectos gerais
Nesta etapa são apresentados os principais trabalhos sobre confiabilidade estrutural e
otimização que se referem a esta pesquisa, enfocando os métodos existentes para a avaliação
da confiabilidade de elementos estruturais e de sistemas. Também serão abordados os
trabalhos que se referem ao acoplamento confiabilidade-otimização, juntamente com as várias
possibilidades de aplicações.
A preocupação em se garantir a segurança das construções já vem de muitos séculos
atrás. O código “normativo” mais antigo que se tem conhecimento e que aborda essa questão
estrutural é o código de Hamurabi, rei da Babilônia, há cerca de 4000 anos atrás. Neste
código, previa-se que as responsabilidades eram definidas em termos das conseqüências de
uma eventual ruína, segundo a afirmação: “Olho por olho, dente por dente”.
2.3.2 Alguns dos trabalhos pioneiros sobre confiabilidade
As primeiras formulações matemáticas do problema da segurança estrutural podem
ser atribuídas a Mayer
20
(1926), Wierzbicki
21
(1936) e Streletskii
22
(1947) apud Nowak &
Collins (2000). Eles concluíram que as forças externas assim como as resistências dos
materiais são variáveis aleatórias e que, para cada estrutura ou elemento estrutural, existe uma
possibilidade de ruína. Com esses trabalhos, o conceito de segurança absoluta das estruturas
foi abandonado, pois sempre há, por menor que seja, uma probabilidade de ocorrer a ruína.
Freudenthal (1947), a partir dos conceitos anteriores, compilou e discutiu o uso de
teorias estatísticas para avaliação da segurança estrutural. Ele propôs, baseado no método das
tensões admissíveis, que a probabilidade de falha deve ser calculada pela integração de uma
região caracterizada pelas distribuições de probabilidade das variáveis, chamada de domínio
de falha. O autor ainda publicou outros trabalhos dentre os quais investigou essa
probabilidade envolvendo o estado limite último e de serviço; apresentou as equações de
20
Mayer, M. (1926).
Die sicherheit der bauwerke und ihre berechnung nac grenzkraften statt nach zulassigen
spannungen.
Berlin: Springer Verlag.
21
Wierzbicki, W. (1936).
Safety of structures as a probabilistic problem.
(Technical Review) Przeglad
Techniczny (in Polish), Warsaw, Poland.
22
Streletskii, N.S. (1947).
statistical basis of evaluation of the structural safety factor.
Stroizdat, Moscow: State
Publishing House for Buildings. (in Russian).
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 59
probabilidade de falha na forma em que são utilizadas até hoje; tratou de otimização estrutural
com restrições de risco, sendo um dos primeiros autores a abordarem o acoplamento
confiabilidade e otimização (Freudenthal
23
1956; Freudenthal et al.
24
1966 e Kupfer &
Freudenthal
25
1977) apud Neves (2004). Trata-se, portanto, de um dos autores que foram
pioneiros no tema e que merece destaque no cenário mundial de desenvolvimento de
pesquisas em confiabilidade estrutural.
A seguir, são descritos dois trabalhos importantes no desenvolvimento da teoria de
confiabilidade estrutural:
Primeiramente, Cornell (1969) foi quem propôs o índice de confiabilidade em
segundo momento, isto é, dependente somente dos valores de média e desvio-padrão das
variáveis aleatórias, como sendo a razão entre a média e o desvio-padrão da função de estado
limite. Esta definição é utilizada até os dias de hoje.
Hasofer & Lind (1974) introduziram o conceito do formato invariante do índice de
confiabilidade que também perdura até hoje, sendo provavelmente um dos trabalhos mais
importantes e citados sobre confiabilidade estrutural. Estabeleceram um critério de segurança
estrutural definido por: “Para que haja segurança, a distância da origem do espaço normal-
padrão até a superfície de falha deve ser maior que
β
(índice de confiabilidade) desde que
todas as variáveis sejam medidas em unidades de desvio-padrão”. Dessa maneira, os autores
definiram que o índice de confiabilidade representa a menor distância entre a média das
variáveis aleatórias, definida pela origem do sistema, e a superfície de falha no espaço normal
padrão. Esses conceitos ainda são utilizados até hoje e estabelecem as bases para o estudo
moderno de confiabilidade.
Ang & Cornell (1974) afirmaram em seu trabalho que o caráter aleatório de uma
variável pode ser bem representado por uma média e uma medida de dispersão, que pode ser
dada pelo coeficiente de variação ou desvio-padrão.
Rackwitz & Fiessler (1978) apresentaram um algoritmo consistente para o cálculo do
índice de confiabilidade. Diferentemente dos métodos anteriores, a idéia básica do método é
levar em conta, além da média e desvio-padrão, as funções marginais de probabilidades das
variáveis. Além disso, os autores propuseram que as variáveis que não fossem normalmente
23
Freudenthal, A.M. (1956). Safety and probability of structural failure.
Transactions of ASCE
, v. 121, p. 1337-
1397.
24
Freudenthal, A.M.; Garrelts, J.M.; Shinozuka, M. (1966). The analysis of structural safety.
Journal of the
Structural Division, ASCE
, v. 92, n. ST1, February, p. 267-325.
25
Kupfer, H.; Freudenthal, A.M. (1977). Structural optimization and risk control.
In: Proceedings of the Second
International Conference on Structural safety and Reliability
, Warner Verlag, p. 627-639.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 60
distribuídas fossem transformadas em normais equivalentes. Consideraram as cargas como
seqüências aleatórias dependentes do tempo. É interessante destacar o tratamento utilizado
pelos autores para os processos dependentes do tempo. Esses processos foram transformados
em variáveis aleatórias a partir de seus valores extremos. Segundo os autores, o procedimento
desenvolvido pode ser usado diretamente em cálculos de probabilidade ou para verificar
outras abordagens que tratam de combinações de cargas.
Fiessler et al. (1979) fizeram uma revisão sobre os métodos aproximados de
confiabilidade, em especial o FORM (
First Order Reliability Method
), enfocando a obtenção
de novas aproximações do tipo SORM (
Second Order Reliability Method
). De acordo com os
autores, a probabilidade de falha depende do índice de confiabilidade, da curvatura da
equação de estado limite no ponto de projeto e do tamanho do vetor de variáveis aleatórias.
Em casos em que as variáveis se distanciam muito da distribuição normal e/ou quando o
número de variáveis aleatórias é grande, as chances de grandes curvaturas nas equações de
estado limite aumentam. Nesses casos, a curvatura pode introduzir erros consideráveis na
aproximação FORM, sendo mais indicado o uso do SORM. No entanto, os autores
concluíram que de um modo geral, a estimativa de primeira ordem para a probabilidade de
falha é suficientemente precisa para os problemas práticos em engenharia. É importante
ressaltar que podem existir casos em que a curvatura da superfície de falha é tão acentuada
que mesmo o SORM pode ainda apresentar erros no cálculo da probabilidade de falha.
Com relação aos métodos aproximados, de acordo com Gupta & Manohar (2004), os
pesquisadores Box e Wilson
26
em 1954 foram originalmente os primeiros a propor o Método
de Superfícies de Resposta (RSM) como procedimento estatístico para encontrar condições
operacionais de um processo químico cujas respostas foram otimizadas.
No contexto da confiabilidade estrutural, Bucher e Bourgund em 1990 foram os
pioneiros a utilizar o RSM como forma de produzir uma aproximação explícita da equação de
estado limite do problema. Segundo os autores, duas únicas iterações eram suficientes para
representar a equação de estado limite e, consequentemente, resolver o problema. Porém,
Rajashekhar & Ellingwood (1993) ponderaram que em alguns casos apenas duas iterações
poderiam não ser suficientes. O critério por eles proposto foi então estabelecer que a
convergência aconteceria quando a distância entre os pontos de projetos sucessivos fosse
26
Box, G.E.P.; Wilson, K.B. (1954). The exploration and exploitation of response surfaces: some general
considerations and examples.
Biometrics
1954; 10: 16-60.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 61
menor que uma tolerância pré-estabelecida. Com esses trabalhos, a aplicação do RSM em
análise de confiabilidade estrutural tornou-se bastante utilizada.
2.3.3 Métodos aproximados, confiabilidade de componentes e de sistemas
Melchers (1983) fez uma associação em paralelo para avaliar a confiabilidade de
sistemas estruturais. O autor verificou que as resistências individuais dos componentes
refletem fortemente na confiabilidade do sistema.
Ditlevsen & Bjerager (1984) estudaram a confiabilidade de sistemas estruturais de
alta redundância. Segundo os autores, essa determinação é difícil, pois os sistemas apresentam
diversas possibilidades de falha. Por conta disso, na tentativa de simplificar as análises
fazendo-se a escolha de apenas alguns modos de falha, a probabilidade de falha do sistema
pode se tornar um falso estimador de sua segurança. Para contornar esse problema, os autores
sugeriram o cálculo de limites inferiores e superiores para a probabilidade de falha do sistema.
Enevoldsen et al. (1994) propuseram um algoritmo adaptativo baseado no método de
superfície de resposta (RSM) para a estimativa do índice de confiabilidade em casos de
funções de estados limite especiais. O método foi empregado para funções de estados limites
que envolvem ruídos, problemas com mínimos locais e descontinuidades na primeira
derivada. A técnica foi formulada empregando-se apenas o plano de experiência composto e
foi dividida em duas etapas. Na primeira etapa, o domínio que contém o ponto mais provável
de falha é determinado em um processo de busca global. Na segunda etapa, uma superfície de
resposta mais precisa é encontrada em torno do mesmo ponto de falha definido na etapa
anterior, caracterizando um processo de busca local. A chave do algoritmo, segundo os
autores, consiste no fato de que após o cálculo do ponto de projeto da próxima iteração do
RSM, verifica-se se o ponto encontrado está no domínio definido por uma distância máxima
entre o centro do plano composto e o ponto de canto que constitui o plano. Se o ponto
encontrado estiver fora dos limites definidos por essa distância máxima, reinicia-se o processo
com uma nova distância máxima. Procedendo dessa forma, os autores afirmam que se obtém
estabilidade numérica no processo de busca do ponto mais provável de falha e,
conseqüentemente, na estimativa do índice de confiabilidade.
Val et al. (1996) propuseram um método de busca direcional para solução do
processo de otimização necessário para a determinação do índice de confiabilidade e posterior
probabilidade de falha. O método proposto foi testado na análise de confiabilidade de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 62
estruturas em concreto armado e comparado com outros procedimentos já existentes de
otimização. Segundo os autores, a convergência foi estável, porém mais lenta do que a dos
métodos baseados em gradientes.
Na seqüência, Val et al. (1997) analisaram estruturas de pórticos planos em concreto
armado acoplando o modelo mecânico diretamente com o FORM. Com isso, os gradientes
para a avaliação da confiabilidade foram obtidos diretamente por diferenças finitas. Além
disso, os autores, seguindo as orientações de Reitman
27
(1990) e Taerwe
28
(1993),
introduziram uma variável aleatória sobre a incerteza do modelo, sendo definida pela razão
entre os resultados experimentais e do modelo numérico. No entanto, os autores comentaram
que o forte caráter não-linear do comportamento dessas estruturas pode, em muitas vezes,
proporcionar dificuldades de convergência na busca direta dos gradientes exigida pelo
método. Para evitar esse tipo de inconveniente, foi proposta uma transformação de
coordenadas do sistema cartesiano para o sistema polar. Dessa forma, o ponto de projeto
passou a ser definido por uma distância
r
e por um vetor de ângulos (um ângulo para cada
variável aleatória). O problema de otimização, segundo os autores, tornou-se um problema de
minimização sem restrições, com a avaliação da equação de estado limite,
(
)
φ
,rG feita agora
com apenas uma iteração. Concluíram que a grande vantagem dessa formulação é que ela
mostrou-se mais estável no instante do cálculo do índice de confiabilidade, pois a avaliação
dos gradientes da equação de estado limite foi feita de maneira mais precisa, com melhor
convergência e com menos esforço computacional.
Kim & Na (1997) apontaram os dois principais fatores responsáveis pela qualidade
da aproximação gerada pelo RSM: os pontos de amostragem escolhidos e a forma da
superfície. Por conta disso, os autores propuseram uma abordagem seqüencial para o método
de superfícies de resposta, na qual é utilizado o método da projeção do gradiente para garantir
que os novos pontos de amostragem do plano de experiência estejam localizados bem
próximos da superfície de falha. Inicialmente, assumem um polinômio de primeiro grau para
representar o estado limite e calculam o índice de confiabilidade com o algoritmo de
Rackwitz & Fiessler (1978). O procedimento é repetido até a convergência em termos do
índice de confiabilidade.
27
Reitman, M.A. (1990).
Analysis of statically indeterminate reinforced concrete bar structures, considering
nonlinear properties of the materials and histories of short-term loadings
. D.Sc. thesis, Reinforced Concrete
Institute, Moscow, (in Russian).
28
Taerwe, L.R. (1993). Towards a consistent treatment of model uncertainties in reliability formats for concrete
structures.
Safety and Performance Concepts. CEB Bulletin d’Information N
o
219
, Lausanne, Switzerland.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 63
Melchers & Ahammed (2001) apresentaram duas técnicas iterativas para busca do
ponto de intersecção de funções de estado limite não-lineares e determinação da probabilidade
conjunta. Trata-se de uma tentativa de se considerar múltiplos pontos de projeto na
determinação da probabilidade de falha global de um sistema em paralelo. Uma das técnicas,
a mais interessante, é chamada técnica de aproximações seqüenciais sucessivas que consiste
em buscar o novo ponto de projeto a partir do ponto de projeto anterior, que é convertido na
origem do sistema. Portanto, a cada iteração do método, a origem do espaço normal padrão é
modificada para o último ponto de projeto encontrado, com determinação do novo ponto a
partir dos métodos tradicionais de confiabilidade. Segundo os autores, as técnicas obtêm uma
boa precisão com pequeno custo computacional.
Guan & Melchers (2001) fizeram um estudo bastante interessante e importante para
o entendimento e avanço dos métodos aproximados baseados na construção de superfícies de
respostas. Os autores estudaram a variação existente nos resultados em função da escolha dos
pontos do plano de experiência, definidos pelo coeficiente
m
. Esse coeficiente determina o
valor da variável aleatória, a partir de uma soma ou subtração de
m
vezes o seu desvio-padrão
de um valor específico, que normalmente na primeira iteração é a média da variável, e nas
demais iterações, a respectiva coordenada do ponto de projeto. É justamente a escolha desses
pontos do plano que consiste na grande dificuldade das aproximações via superfícies de
respostas, pois uma escolha inadequada pode conduzir o algoritmo de busca do ponto de
projeto para pontos distantes do ponto de projeto, não obtendo assim a convergência para a
solução do problema. Os autores também ponderam que não existem orientações bem
definidas ou teorias que permitam determinar os pontos mais adequados para composição dos
planos de experiência. Concluíram que para valores de
m
crescentes entre 2 e 3, de maneira
geral, a superfície de resposta permanece estável, porém superestima o valor da probabilidade
de falha, isto é, ocorre uma diminuição no índice de confiabilidade em relação aos valores
obtidos nas simulações de Monte Carlo e FORM. No entanto, para valores de
m
maiores do
que 3, mesma com pequenas variações, os autores verificaram grandes oscilações dos
resultados. Os autores recomendaram
m
= 3
como valor ótimo para o coeficiente.
Soares et al. (2001) criticaram o uso dos coeficientes parciais de segurança de
maneira generalizada para todos os tipos de estruturas. Essa prática, de acordo com os autores,
gera confiabilidade não-uniforme para as estruturas projetadas e, em alguns casos, pode
conduzi-las a situações contra a segurança. Dessa forma, os autores sugeriram uma maneira
de calibrar os coeficientes parciais de minoração das resistências do concreto e do aço, a partir
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 64
de índices de confiabilidade-alvo, tentando garantir assim, maior uniformidade na segurança
das estruturas. A idéia proposta é utilizar esse método de calibração para o maior número
possível de configurações geométricas e carregamentos, para que com isso, possa ser gerado
um conjunto de coeficientes parciais que proporcione maior uniformidade de segurança para
as estruturas projetadas.
Soares et al. (2002) apresentaram um método probabilístico para avaliação da
confiabilidade de pórticos em concreto armado em regime não-linear físico e geométrico. A
análise de confiabilidade foi realizada por meio do acoplamento do modelo mecânico em
elementos finitos e do método de superfícies de resposta. Foram apresentadas relações entre
os coeficientes parciais de segurança e os índices de confiabilidade para pilares e pórticos em
concreto armado. Os autores concluíram, através de uma análise paramétrica de colunas em
concreto armado, que o forte comportamento não-linear é muito importante na estimativa da
confiabilidade, o que pode ocasionar oscilações em torno do ponto de projeto, dificultando
bastante a obtenção dos referidos coeficientes parciais de segurança.
Gayton et al. (2003) apresentaram um novo método de superfícies de resposta para
análise de confiabilidade estrutural. O objetivo do método, chamado de CQ2RS (
Complete
Quadratic Response Surface with Resampling
), é proporcionar menor tempo computacional, a
partir de intervenções do engenheiro e informações anteriores de outros projetos. Assim, o
conhecimento do profissional é utilizado para reduzir o domínio de busca do primeiro ponto
de projeto, definindo um plano de experiência mais próximo do ponto de projeto, bem como
limitando a quantidade de pontos necessários do plano. Trata-se de um método complexo,
porém segundo os autores, econômico, pois a partir da segunda etapa do método não há mais
necessidade de fazer chamadas ao modelo mecânico.
Roos & Bucher (2003) estudaram uma nova abordagem para a determinação de
superfícies de respostas para problemas fortemente não-lineares. Esta nova estratégia de
aproximação é baseada em técnicas de busca aleatória de pontos amostrais com refinamento
determinístico desses pontos combinadas com esquemas de interpolação local e global. A
grande vantagem dessa nova estratégia é a possibilidade de calcular probabilidades de falha
em problemas com equação de estado limite fortemente não-linear de maneira robusta e
eficaz. Além disso, de acordo com os autores, o uso da técnica permitiu que as dificuldades
para a análise de confiabilidade em regiões próximas a descontinuidades fossem resolvidas
quando comparadas com as antigas funções polinomiais.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 65
Gupta & Manohar (2004) discutiram casos em que existem múltiplos pontos de
projeto e sua importância no cálculo da probabilidade de falha global. Para isto, propuseram
um método baseado nas técnicas de superfícies de resposta capaz de identificar pontos ou
regiões sobre a superfície limite que contribuem, significativamente, no valor da
probabilidade de falha. Definiu-se, portanto, uma superfície de resposta global unindo-se os
diversos pontos de projeto. A probabilidade de falha foi estimada a partir de simulações de
Monte Carlo sobre a superfície delimitada. O estudo também propôs um conjunto de medidas
de importância, que servem para classificar as variáveis aleatórias de projeto de acordo com
sua influência sobre a probabilidade de falha global. Essas medidas podem auxiliar na escolha
de quais variáveis serão determinísticas e probabilísticas na análise de segurança estrutural.
Kaymaz & McMahon (2005) propuseram uma nova maneira de construir as
superfícies de resposta considerando polinômios de primeiro grau, a partir de uma regressão
ponderada, em que os pontos mais próximos da equação de estado limite ganham maior peso
na regressão. O objetivo dessa abordagem é melhorar a aproximação da equação de estado
limite real do problema na primeira iteração do RSM e com isso diminuir a quantidade de
iterações adicionais para resolver o problema. Os autores fizeram alguns testes e concluíram
que a técnica produz de fato uma melhora significativa tanto na precisão das respostas em
termos de índice de confiabilidade, quanto no tempo de processamento.
Wong et al. (2005) fizeram um estudo sobre os possíveis problemas que ocorrem nas
análises de confiabilidade quando se utiliza o método de superfícies de respostas. Essas falhas
são oriundas muitas vezes da própria natureza dos problemas não-lineares ou até mesmo pela
má representação da equação de estado limite pelo RSM. Em diversos casos, os autores
constataram a dificuldade do método em encontrar a convergência pelo fato de não conseguir
representar bem a equação de estado limite do problema. Para solucionar isso, foram
propostas três melhorias: maior precisão na busca das cargas últimas da estrutura, onde o
próximo incremento de carga é determinado por um método de comprimento de arco;
definição do coeficiente que multiplica o desvio-padrão das variáveis no cálculo dos pontos
do plano de experiência, a partir dos coeficientes de variação de cada variável e finalmente,
uma técnica que corrige os pontos do plano quando algum desses cai fora do domínio físico
factível. De acordo com os autores, essas técnicas melhoram bastante o desempenho do RSM
na análise de confiabilidade de estruturas.
Neves et al. (2006) desenvolveram um procedimento para análise de confiabilidade
de grelhas em concreto armado com múltiplos modos de falha com reduzido custo
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 66
computacional. O método é composto pelo acoplamento de um modelo não-linear de grelhas
com um pacote computacional de confiabilidade, definido pelo método de superfícies de
resposta (RSM) e simulação de Monte Carlo. Primeiramente, o método determina as respostas
mecânicas em termos de força última para cada modo de falha, de acordo com as variações
das variáveis aleatórias definidas a partir do RSM. Após isso, são encontradas as superfícies
de falha e, conseqüentemente, definido o domínio seguro composto. Ao final dessa etapa são
realizadas diversas simulações de Monte Carlo para obtenção da probabilidade de falha do
sistema definido pelo domínio composto, independentemente, de novas chamadas do modelo
mecânico, o que certamente reduz o tempo de processamento. Segundo os autores, o
procedimento mostrou-se estável e com possibilidade de análise de sistemas complexos de
grelhas em concreto armado.
No ano seguinte, Neves et al. (2007) continuaram o estudo sobre a influência dos
demais modos de falha individuais na probabilidade final do sistema formado por uma grelha
em concreto armado. A grande diferença deste trabalho para o anterior consiste na estratégia
de seleção dos modos mais importantes de falha para a confiabilidade do sistema. Para
capturá-los, o modelo mecânico não-linear continua a busca pela carga última mesmo quando
um determinado modo computado já foi atingido. Assim, para cada modo secundário, isto é,
que ocorre depois do modo principal de falha, a sua probabilidade já estará condicionada,
visto que pela redistribuição de esforços já ocorreu a formação de rótula plástica nos modos
anteriores. Dessa forma, segundo os autores, é possível verificar a probabilidade de um
sistema em paralelo através da montagem de um domínio composto via superfícies de
resposta para o sistema em grelhas.
2.3.4 Métodos de otimização e suas aplicações na engenharia
A teoria da otimização matemática aplicada à engenharia de estruturas teve um
avanço considerável durante os últimos quarenta anos, especialmente após o trabalho pioneiro
de Schmidt (1960). Diversos livros e artigos foram publicados comprovando o grande
desenvolvimento desse campo. Porém, sua aplicação prática ainda não é muito expressiva
sendo acessível somente a grandes especialistas da área.
Um trabalho bastante interessante foi publicado por Cohn & Dinovitzer (1994).
Nesse trabalho, os autores apresentaram uma coletânea com aproximadamente 500 aplicações
da otimização, ainda determinística, em problemas de engenharia estrutural, contemplando
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 67
diversos tipos de estruturas, desde treliças planas até chapas, tanto em concreto armado
quanto em aço. Na mesma linha, Sarma & Adeli (1998) posteriormente publicaram um estudo
sobre as aplicações da otimização de custos de estruturas em concreto armado, restringindo-se
às vigas, pilares, lajes, pórticos, pontes e tanques de água.
Um alvo muito comum entre os pesquisadores da área de otimização matemática é o
desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima. Existem hoje diversos métodos de
resolução, mas ainda nenhum deles pode receber o título de método universal, isto é, viável e
eficaz para todo o tipo de problema. De acordo com Camp et al.
29
(1998) apud Nina (2006) as
técnicas de otimização usadas no projeto de estruturas podem ser divididas em três tipos:
programação matemática, método dos critérios de otimização e algoritmos heurísticos (como
é o caso dos algoritmos genéticos, por exemplo). Em particular, a programação matemática
pode ser dividida em linear e não-linear. A diferença entre elas é que a primeira aproxima a
função-objetivo e as restrições a partir de uma combinação linear das variáveis de projeto, ao
passo que a programação não-linear trabalha diretamente com as restrições como funções
não-lineares das variáveis de projeto.
A programação matemática não-linear foi desenvolvida inicialmente para resolver
problemas de otimização não-linear sem restrições. As condições necessárias para alcançar a
solução ótima desses problemas provém das condições de Kuhn-Tucker
30
(1951). A
otimização de elementos estruturais em concreto armado é um problema não-linear com
restrições, portanto, bastante complexo de se resolver. No entanto, a aplicação direta das
condições de Kuhn-Tucker é muito complexa para a maior parte dos problemas, de modo que
outras alternativas foram criadas para suprir tal necessidade. O método dos critérios de
otimização juntamente com o método dos multiplicadores de Lagrange foi uma alternativa
interessante e vem sendo utilizada com frequência em boa parte dos problemas atuais de
engenharia de estruturas. Exemplos de aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange
podem ser encontrados em Chou (1977), Moharrami & Grierson (1993), Al-Salloum &
Siddiqi (1994), Soares (1997) e Nogueira (2005).
O método dos algoritmos genéticos difere dos demais porque não necessita de uma
relação explícita entre a função-objetivo e as restrições do problema. O método gera diversas
29
Camp, C.; Pezeshk, S.; Cao, G. (1998). Optimized design of two-dimensional structures using a genetic
algorithm.
Journal of Structural Engineering
, ASCE, v. 124, n. 5, Mai, p. 551-559.
30
Kuhn, H.W.; Tucker, A.W. (1951). Nonlinear programming.
Proceedings of 2
nd
Berkeley Symp. on
Mathematics, Statistics and Probability
. University of California Press, Berkeley, California, p. 481-492.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 68
populações de variáveis, de modo que cada uma dessas populações é considerada como uma
solução em potencial (Jenkins 1992 e Rath & Ahlawat 1999).
Spires & Arora (1990) utilizaram um método de programação sequencial quadrática
(SQP) para a otimização de estruturas em concreto armado de acordo com o ACI. Para a
função-objetivo foi considerado o custo inicial total, computando os custos do concreto, do
aço e das fôrmas de madeira. A grande contribuição do trabalho foi a consideração de
restrições em termos de frequência de vibração estrutural com o objetivo de controlar melhor
os deslocamentos provocados pelo vento e terremotos.
Kanagasundaram & Karihaloo (1991) propuseram um procedimento para otimização
de vigas isostáticas, contínuas e pilares em concreto armado que considera como variáveis,
além das dimensões da seção transversal, a resistência do concreto. O problema foi resolvido
através de técnicas de programação linear. Os autores concluíram que a consideração da
resistência à compressão como variável a ser otimizada resultou em seções mais esbeltas, pois
o algorito sempre conduziu a solução com valores mais elevados de resistência do concreto.
O trabalho de Kocer & Arora (1996) traz a comparação de várias técnicas de
otimização aplicadas à minimização dos custos de uma torre de transmissão em concreto
protendido. Concluíram que o método dos algoritmos genéticos foi o mais eficaz,
apresentando uma redução de custo de cerca de 25% em relação ao projeto original.
Soares (1997) desenvolveu um algoritmo para pré-dimensionamento ótimo do
conjunto de vigas de um pavimento através de um método de aproximações combinadas e
multiplicadores de Lagrange. A otimização foi feita para as seções mais solicitadas das vigas
considerando como variáveis de otimização as alturas das vigas e as áreas de aço. O autor
admitiu que o somatório dos mínimos locais interagidos representam o mínimo global da
estrutura, pois sua formulação abrange somente vigas, não sendo estendida para as grelhas.
Rath & Ahlawat (1999) desenvolveram uma técnica de otimização para as dimensões
da seção transversal, com variação da altura e largura ao longo do comprimento de elementos
isolados em concreto armado submetidos à flexão. A função-objetivo considerada foi o custo
total, com o material, fabricação e montagem da estrutura. O processo é iniciado admitindo-se
seção retangular. As dimenões ótimas, bem como a área de aço são obtidas via SQP,
resultando em uma seção transversal tipo I com altura e largura variáveis ao longo do
comprimento. na segunda etapa do processo, otimiza-se o diâmetro e o número de barras da
armadura longitudinal via algoritmos genéticos. Os autores concluíram que as reduções de
materiais e custos das vigas variaram entre 40 e 56% comparadas com o projeto padrão desses
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 69
elementos. Este tipo de otimização leva a economias consideráveis especialmente nos casos
de peças pré-moldadas produzidas em grande escala.
Ferreira et al. (2003) apresentaram um modelo de otimizacão para as áreas de aço à
tração e compressão para vigas T em concreto armado sujeitas à flexão simples. As restrições
foram elaboradas para a seção mais solicitada, pois esta é quem define as dimensões
transversais das vigas, bem como a quantidade de armadura. O comportamento não-linear dos
materiais foi considerado na formulação através do diagrama parábola-retângulo para o
concreto comprimido e de uma lei elastoplástica perfeita para o aço das armaduras. A
resistência residual à tração, ou
tension softening
, do concreto não foi considerada na
formulação. As vantagens desse tipo de abordagem em relação à prática corrente de projeto de
vigas são soluções mais econômicas, bem como o uso de comportamento não-linear para os
materiais, o que confere mais qualidade ao modelo.
Continuando na mesma linha, Barros (2004) obteve uma solução analítica para a
otimização de seções retangulares de vigas em concreto armado, considerando armadura
dupla, com restrições de equilíbrio baseadas no Eurocode 2. A diferença nesta formulação é a
presença da força normal na seção, além do momento fletor. Assim, a solução ótima obtida
apresentou caráter geral e dependente da posição da linha neutra e da altura útil da seção.
Vianna (2003) desenvolveu um modelo de otimização aplicado a pórticos planos em
concreto armado. A rotina de pórtico foi montada a partir das rotinas individuais de
otimização de vigas e pilares, com o objetivo de melhorar as soluções na fase de pré-
dimensionamento das estruturas e, com isso, ganhar em termos de tempo de entrega dos
projetos. O método utilizado na busca do ponto ótimo das vigas foi o método dos
multiplicadores de Lagrange, juntamente com um procedimento de tentativas sucessivas para
a otimização dos pilares. Assim, segundo o autor, a maior vantagem da formulação foi que o
resultado ótimo não dependeu do valor inicial das variáveis, pois mesmo para valores muito
diferentes da configuração ótima, o modelo foi capaz de buscá-lo, sendo prejudicado somente
nas primeiras iterações por permitir grandes redistribuições de esforços na estrutura.
Nina (2006) seguiu a mesma linha de pesquisa de Vianna (2003), mas com maior
abrangência. Foi apresentada a mesma concepção de otimização de pórticos planos em
concreto armado, porém com a diferença de consideração de domínios de deformações para
os pilares. Ao invés de otimizar os pilares somente restritos ao domínio 5, como fez Vianna
(2003), a autora estendeu a formulação dos pilares para todos os domínios. Dessa forma,
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 70
obteve-se uma variação muito maior na seção dos pilares, permitindo sua aplicação para
diversos tipos de construção e diferentes casos de carregamento.
Nie (2006) apresentou uma abordagem baseada em programação sequencial
quadrática (SQP) para resolver o sistema de equações não-lineares gerado em um problema de
otimização não-linear, com a utilização da técnica numérica de busca
line search
. Neste
método, o sistema de equações não-lineares é transformado em um problema de programação
não-linear restrita a cada iteração de busca, no qual algumas equações satisfeitas no ponto
atual são tratadas como restrições e outras atuam como funções-objetivo. Na verdade, a
contribuição do método é que os sistemas de equações não-lineares é resolvido com o uso de
estratégias de otimização restrita.
Wei et al. (2008) propuseram uma nova variação para os métodos quasi-Newton-
SQP para problemas de otimização restrita. Os autores apresentaram somente as hipóteses
assumidas para garantir e demonstrar a convergência superlinear do método.
2.3.5 Acoplamento confiabilidade-otimização
A literatura nomeia esse acoplamento como RBDO (
Reliability-Based Design
Optimization
) ou em português, Projeto Ótimo baseado em Confiabilidade. Muitos trabalhos
já foram propostos nesta linha ao longo dos anos, no entanto Frangopol (1985a) mostrou dois
motivos pelos quais a otimização baseada em confiabilidade é bem menos popular do que a
otimização determinística. Em primeiro lugar, a falta de um método definitivo de incoporação
de incertezas, resultando em índices de confiabilidade não uniformes mesmo em situações
semelhantes de projeto. E em segundo lugar, a própria definição de otimização baseada em
confiabilidade é ainda muito divergente entre os diversos pesquisadores da área. Isso faz com
que o RBDO seja ainda menos utilizado e menos aceito do que a otimização determinística
em casos práticos de engenharia. Porém, pondera também que o projeto baseado na
otimização determinística obtido sem a consideração das incertezas pode condizir a resultados
não confiáveis.
Frangopol (1985b) abordou o problema da otimização com restrições em
confiabilidade enfatizando a sensibilidade do ponto ótimo em relação às variáveis de projeto.
Para isso, o autor utilizou o método das direções factíveis. Afirmou ainda que estudos nessa
linha podem ser aplicados aos casos com várias restrições em confiabilidade e outros
parâmetros.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 71
A partir dos anos 90, as pesquisas tornaram-se mais intensas gerando diversos
trabalhos sobre o acoplamento confiabilidade e otimização. SriVidya & Ranganathan (1995)
apresentaram um procedimento de otimização de pórticos planos em concreto armado, com
restrições dadas em índices de confiabilidade e probabilidades de falha, tanto para
componentes isolados quanto para o sistema como um todo. A probabilidade de falha do
sistema foi obtida fazendo-se a média entre os limites bi-modais. Os processos de otimização
e confiabilidade foram realizados de maneira independente. Os índices de confiabilidade
foram determinados a partir de análises de primeira ordem e o processo de otimização restrita
baseou-se em uma série de processos de otimização irrestrita combinado com o método da
função de penalidade interna. Esse procedimento é conhecido hoje como Projeto Ótimo
Baseado em Confiabilidade (
RBDO – Reliability-Based Design Optimization
).
Al-Hartly & Frangopol (1997) apresentaram um procedimento de otimização de
vigas em concreto protendido considerando os métodos de confiabilidade em segundo
momento tanto para componentes quanto para sistemas. Os autores consideraram as
distribuições de tensões no estágio inicial e final, juntamente com a resistência à flexão das
vigas como funções de estado limite para o projeto baseado em confiabilidade. Concluíram
que esse campo de protensão é bastante vasto e propício para a aplicação dos modelos de
RBDO.
Kaymaz et al. (1998) desenvolveram um método de otimização de estruturas baseado
em confiabilidade, combinando superfície de respostas com a simulação de Monte Carlo. A
aproximação da equação de estado limite é obtida a partir da superfície de resposta e, em
seguida, a probabilidade de falha é calcula realizando a simulação de Monte Carlo sobre o
polinômio aproximado. O problema de otimização foi resolvido pelo método Simplex.
Barakat et al. (1999) fizeram a otimização do peso de pilares de aço submetidos a
forças laterais com restrições impostas no índice de confiabilidade considerando múltiplos
modos de falha. Os autores destacaram que o peso mínimo encontrado nesse caso foi maior
do que o peso mínimo obtido com a consideração de um único modo de falha. Concluíram
que ao considerar somente o primeiro modo de falha, a estimativa da probabilidade de falha
resultou contra a segurança.
Royset et al. (2001a) desenvolveram um procedimento para resolver
aproximadamente problemas de otimização baseados em confiabilidade para sistemas
estruturais em série. O sistema, do ponto de vista de confiabilidade, é definido como sendo
um conjunto de equações de estado limite independentes do tempo, nas quais se encontram as
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 72
variáveis aleatórias e os parâmetros de projeto. Segundo os autores é impossível resolver
esses problemas de maneira exata, pois na grande maioria dos casos, a confiabilidade
estrutural pode somente ser estimada. Neste trabalho, o problema de natureza probabilística
foi transformado num problema determinístico de otimização semi-infinita, que foi resolvido
independentemente do problema de confiabilidade, o que torna essa abordagem totalmente
desacoplada. Neste trabalho os autores focaram a análise na resolução de dois tipos de
problema de otimização baseado em confiabilidade: minimização do custo do projeto sujeita a
restrições mecânicas e de confiabilidade; maximização da confiabilidade do projeto sujeita a
restrições mecânicas e de custo.
Royset et al. (2001b) apresentaram uma extensão do procedimento desenvolvido em
Royset et al. (2001a), onde consideraram os custos de falha somados à função de custo inicial.
A grande vantagem da técnica consiste em que os processos de confiabilidade e otimização
são totalmente independentes, o que permite a escolha de quaisquer métodos consagrados
para a resolução de cada etapa da técnica. Os autores concluíram que o procedimento
desenvolvido levou a resultados idênticos aos da análise tradicional quando as funções de
estado limite eram lineares. Para o caso de funções não-lineares, os resultados sugeriam uma
boa aproximação da resposta real do problema de otimização.
Melchers (2001) realizou uma discussão sobre otimização de estruturas baseada em
confiabilidade, separando esta última em duas partes distintas e independentes: confiabilidade
técnica e confiabilidade subjetiva. A confiabilidade técnica representa a chance de
sobrevivência da estrutura baseada somente nas informações sobre os carregamentos atuantes
sobre ela, a resistência dos materiais que a compõem e a eficácia dos métodos construtivos. Já
a confiabilidade subjetiva engloba todos os efeitos humanos, erros de organização e uso
abusivo em serviço da estrutura. O autor com isso propôs que a otimização deve ser realizada
para cada uma dessas considerações sobre a confiabilidade de maneira independente e
respeitando esses critérios técnicos e não-técnicos na segurança da estrutura.
Frangopol & Maute (2003) fizeram um levantamento do estado da arte dos métodos
de otimização estrutural baseados em confiabilidade (RBDO). Apresentaram a evolução
desses métodos, desde sua criação com o uso restrito aos problemas determinísticos até o
emprego na resolução de problemas de otimização baseados em confiabilidade com a
consideração da variação da confiabilidade no tempo e previsão de tempo de vida útil da
estrutura. Os autores enfatizaram a utilização do RBDO em aplicações para resolução de
estruturas civis e aeroespaciais. Concluíram que os custos de inspeção, manutenção e até
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 73
eventuais reparos devem ser adicionados aos problemas de otimização baseados em
confiabilidade para que as estruturas sejam projetadas para um tempo máximo de vida útil.
Barakat et al. (2003) propuseram uma abordagem de otimização multi-objetiva
baseada em confiabilidade para verificação e projeto de vigas em concreto protendido com o
objetivo de produzir margens uniformes de segurança, levando em consideração todos os
possíveis estados limites e restrições existentes no ACI. Os autores concluíram que melhores
decisões no projeto podem ser tomadas quando o projetista conhece melhor as relações
existentes entre os objetivos do projeto dados pela confiabilidade dos componentes e do
sistema e suas implicações econômicas.
Streicher & Rackwitz (2004) propuseram um modelo para otimização estrutural
baseado em confiabilidade com variação no tempo. O algoritmo maximiza uma função-
objetivo considerando o benefício da obra, os custos de construção e manutenção e, também,
uma parcela de custos referentes a uma possível falha da estrutura. Além da obtenção da
estrutura ótima, o modelo permitiu a previsão dos intervalos de manutenção para que a
estrutura atinja um determinado índice de confiabilidade. O problema foi formulado no
espaço reduzido com utilização do FORM para o cálculo da probabilidade de falha em
sistemas em série. O problema de otimização foi resolvido com a aplicação de um novo
algoritmo baseado em gradientes chamado JOINT-5. O algoritmo necessita das segundas
derivadas da função de estado limite, isto é, a matriz hessiana. Entretanto, determina-se a
matriz hessiana somente na segunda iteração, pois na primeira iteração esta é nula. A partir da
segunda iteração, a hessiana é mantida constante até a convergência, não impondo assim,
aumento exagerado ao custo computacional empregado.
Nogueira (2005) apresentou um modelo de otimização e confiabilidade para
estruturas de vigas em concreto armado. O método de otimização utilizado foi a dos
multiplicadores de Lagrange juntamente com o método de superfície de respostas para a
análise de confiabilidade. No processo de RBDO, uma restrição dada em termos de uma
superfície de confiabilidade foi acrescentada ao problema de otimzação juntamente com as
demais restrições mecânicas. O processo funcionou bem para exemplos simples de vigas,
atingindo a solução ótima com a segurança requerida, mas ainda com simplificações, pois a
superfície de confiabilidade de segundo grau implementada considerou somente a altura da
seção e a armadura tracionada.
Cheng et al. (2006) apresentaram uma nova abordagem para resolver o problema de
RBDO, na qual o projeto ótimo é obtido pela resolução de uma sequência de sub-problemas
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 74
definidos por uma aproximação sobre a função-objetivo e também sobre as restrições. Em
cada um desses sub-problemas, uma nova formulação foi introduzida para aproximar as
restrições de confiabilidade no ponto candidato, ao invés de uma expansão em série de
Taylor. Dessa forma, o índice de confiabilidade aproximado e suas sensibilidades são obtidas
a partir de uma fórmula baseada nas condições de otimalidade do ponto mais provável de
falha. Os autores demonstraram que através dessa nova técnica, a aproximação para o ponto
mais provável de falha foi melhorando em cada sub-problema, o que garantiu menor tempo de
processamento e ao mesmo tempo maior eficácia na busca da solução ótima.
Aoues & Chateauneuf (2008) fizeram um estudo comparando as abordagens
existentes para RBDO e propuseram uma nova técnica para resolver o problema. Segundo os
autores, o uso de uma única condição para a segurança de todo o sistema não é suficiente para
controlar as confiabilidades dos componentes individuais, ou seja, vários elementos com altas
taxas de armadura longitudinal podem ser obtidos com freqüência. Por outro lado, a
introdução somente de restrições baseadas na confiabilidade dos componentes não é suficiente
para garantir o requisito de confiabilidade do sistema e nem conduzir ao mínimo custo global.
Assim, o método proposto é baseado na atualização da confiabilidade alvo dos componentes
estruturais, tal que a segurança alvo do sistema seja garantida. Como existem infinitas
soluções possíveis para a segurança de um mesmo sistema, o método proposto busca a
solução correspondente à maior redução do custo esperado. Dessa maneira, segundo os
autores, tanto para os componentes quanto para o sistema, as restrições de confiabilidade são
respeitas e o mínimo global é alcançado.
Verzenhassi (2008) realizou um estudo de busca do coeficiente de segurança parcial
ótimo que minimiza o custo esperado total de sistemas estruturais, o que chamou de
otimização de risco baseada em confiabilidade. O objetivo do algoritmo de otimização
desenvolvido é procurar o coeficiente de segurança ótimo, atrelado à confiabilidade ótima
para cada projeto diferente. Uma das conclusões do trabalho foi que a confiabilidade ótima é
fortemente dependente das consequências e dos custos esperados de falhas.
Shan & Wang (2008) apresentaram uma nova técnica para resolver problemas de
otimização baseada em confiabilidade (RBDO). Fundamentalmente, a proposta transforma o
problema de RBDO em um problema de otimização determinística, no qual se elimina
totalmente a análise de confiabilidade. A técnica transforma as restrições de confiabilidade em
novas restrições determinísticas, a partir de uma aproximação via média para o ponto de
projeto de cada restrição, definindo assim, o Espaço de Projeto Confiável. O processo clássico
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 75
de RBDO dividido em duas partes independentes entre si, ou seja, “loop” de otimização e
loop de confiabilidade, passa a ser definido em duas etapas também independentes entre si:
construção do espaço de projeto confiável e resolução do processo de otimização
determinística. Segundo os autores, essa nova técnica é eficaz com praticamente a mesma
velocidade de processamento de uma análise de otimização puramente determinística, pois
elimina totalmente o “loop” de confiabilidade.
Beck & Verzenhassi (2008) fizeram um estudo sobre o projeto ótimo de estruturas de
torres submetidas a ventos de tornado, com o intuito de encontrar a melhor relação entre
segurança e economia na presença de incertezas. Os autores propuseram uma metodologia de
otimização do risco baseada em confiabilidade para encontrar o coeficiente de segurança
ótimo minimizador do custo total esperado da estrutura. Para isso foram considerados os
custos esperados de falha na função-objetivo do problema. Concluíram que em projetos de
estruturas submetidas a carregamentos dependentes do tempo como os tornados, a
confiabilidade ótima é fortemente dependente do período de vida útil considerado no projeto
da estrutura.
2.3.6 Considerações sobre a revisão bibliográfica
As pesquisas sobre confiabilidade estrutural, otimização e modelos acoplados do tipo
RBDO estão em franco desenvolvimento nos dias atuais. Mais especificamente, os avanços
começaram a aparecer a partir da década de 50 no caso da confiabilidade e da otimização, ao
passo que os modelos acoplados começaram a receber mais atenção cerca de 10 anos depois.
Com relação à teoria da confiabilidade, verificou-se que os métodos utilizados para
avaliação do índice de confiabilidade e das probabilidades de falha estão bastante
consolidados no meio científico. Além disso, aceita-se hoje que o índice de confiabilidade é
uma medida de segurança de uma estrutura, o que fornece à teoria forte respaldo para uma
consolidação cada vez maior na análise de segurança estrutural. Isso se aplica não somente a
elementos estruturais isolados, mas ao sistema estrutural como um todo. Com relação aos
métodos utilizados na análise de confiabilidade, verificou-se ao longo da pesquisa
bibliográfica grande popularidade por parte do método de superfície de resposta. Diversos
estudos foram realizados sobre esse método, com apresentação de diversas melhorias para
convergência e estabilidade numérica. O uso do FORM diretamente com cálculo dos
gradientes numéricos das equações de estado limite também foi constatado para resolução do
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 76
problema de confiabilidade. Para verificar o desempenho de ambos os métodos de
confiabilidade aplicados a problemas não-lineares, decidiu-se implementar a busca dos
gradientes numéricos neste trabalho para comparação com o cálculo via superfície de
resposta. Portanto, entende-se que hoje os métodos de confiabilidade estão consolidados e
cada vez mais aplicados à análise da segurança estutural.
A otimização matemática possui uma gama enorme de métodos e variações para a
busca do ponto ótimo. Isso se dá devido ao fato da grande dificuldade de se obter um método
universal capaz de resolver qualquer problema. Verificou-se ainda o uso de multiplicadores de
Lagrange e um crescente desenvolvimento de métodos de programação não-linear sequencial
quadrática, ou também chamados de SQP. Ainda, a utilização da otimizacão matemática
aplicada ao dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado ganhou destaque
nos últimos anos, porém já é reconhecido que somente a otimização determinística não é
suficiente para o projeto de estruturas. Os pesquisadores já concordam que uma abordagem
combinada com a teoria da confiabilidade, para com isso aliar o fator econômico com o
aspecto de segurança torna-se totalmente necessário nos dias atuais.
Diante disso, existe hoje um forte investimento dos centros de pesquisa no
desenvolvimento de modelos acoplados de otimização baseada em confiabilidade. Diversos
trabalhos já foram publicados sobre esse acoplamento de RBDO com aplicação a estruturas
em concreto armado, considerando não mais somente a confiabilidade de componentes, mas
também a confiabilidade de sistemas. Portanto, a dinâmica básica do problema é otimizar o
custo de uma estrutura submetida à restrições de confiabilidade para componentes e para o
sistema como um todo. Uma outra linha de pesquisa que está se desenvolvendo bem é a
otimização onde se busca os níveis de confiabilidade ótimos para a estrutura, considerando-se
para isso os custos de falha e manutenção na função-objetivo. Assim, procura-se otimizar o
risco da estrutura atingir determinadas falhas em função do investimento no projeto e na
construção da mesma.
Observou-se, portanto, ao longo de toda essa revisão bibliográfica que o projeto de
estruturas tende a evoluir para a resolução de um problema de otimização, impondo-se
restrições de segurança a partir da análise de confiabilidade, tanto para a construção inicial da
estrutura quanto para toda a sua vida útil. Dessa forma, este trabalho está inserido nesta linha
de evolução, porém ainda no desenvolvimento de modelos para o projeto considerando a
construção inicial, sem levar em conta esses custos de falha. Acredita-se que a partir deste
trabalho, os modelos desenvolvidos e apresentados nesta tese possam ser consolidados para
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 77
então passar para a etapa seguinte, que é a consideração dos custos de falha e obtenção de
índices de confiabilidade ótimos para o projeto de estruturas.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 78
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 79
3. O Modelo Mecânico
3.1 Generalidades
Neste capítulo são apresentados todos os conceitos envolvidos na construção do
modelo mecânico em elementos finitos utilizado neste trabalho. Inicialmente, apresenta-se a
formulação para obtenção da matriz de rigidez do elemento de pórtico plano considerando as
hipóteses de Timoshenko, com o objetivo de incorporar as deformações de cisalhamento nas
análises estruturais. Em seguida, são discutidos os modelos de não-linearidades material e
geométrica empregados no programa. Atenção especial é dada ao modelo de resistência ao
cisalhamento, pois é uma das contribuições relevantes desta pesquisa. Os conceitos para
análise não-linear de pórticos planos, o módulo de busca de cargas últimas, bem como alguns
exemplos numéricos para validação do programa são ainda apresentados, finalmente, neste
capítulo.
3.2 Teoria de Timoshenko: Elemento Finito de Pórtico Plano
A hipótese de Euler-Bernoulli para flexão de vigas considera que as deformações
causadas por tensões de cisalhamento são sempre nulas em toda a seção transversal. Tal
consideração pode ser adotada em vigas cujo comprimento é bem superior à sua altura. No
entanto, em vigas curtas ou com pequeno módulo de elasticidade transversal o efeito das
deformações por cisalhamento, ou distorções, não pode mais ser desprezado. Nesses casos, a
consideração da distorção torna-se essencial para a adequada representação do campo de
deslocamentos da viga. A teoria de Timoshenko, por conta disso, deve então ser empregada
para a formulação adequada do comportamento à flexão de vigas.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 80
A hipótese fundamental da teoria de Timoshenko considera que as seções planas
permanecem planas após a deformação, porém não mais ortogonais ao eixo da barra. Tal fato,
evidentemente, constitui-se em uma melhor aproximação do comportamento real das vigas à
flexão. Basicamente, a consideração da distorção provoca um acréscimo na curvatura das
seções, somando-se a parcela de energia proveniente da força cortante à energia interna de
flexão pura. Com isso, a rigidez da peça sofre uma pequena redução definida por um fator
específico, provocando um aumento dos deslocamentos nodais da estrutura.
Diversos autores propuseram elementos finitos para a viga de Timoshenko (Nickel &
Secor
31
1972, Prathap & Bhashyam
32
1982, Heyliger & Reddy
33
1988) apud Neves (2000). As
formulações diferem entre si apenas na escolha da função interpoladora para aproximar o
campo de deslocamentos transversais e as rotações, baseando-se no método dos
deslocamentos ou em métodos mistos. O modelo mais simples para a formulação em
elementos finitos é aquele que considera funções lineares de interpolação tanto para os
deslocamentos transversais quanto para as rotações. Entretanto, essa aproximação se mostra
muito rígida para vigas pouco deformáveis à força cortante, provocando uma espécie de
bloqueio da solução, ou como é conhecido na literatura, travamento por cortante (
shear
locking
).
O travamento ocorre em virtude da inconsistência da ordem das funções de
aproximação para os deslocamentos transversais e rotações. Para evitar esse tipo de problema,
as funções empregadas para este fim devem ser definidas por polinômios de ordem
compatível com as grandezas aproximadas, no caso deslocamentos, rotações e distorções.
Através dessa técnica, determina-se uma nova matriz de rigidez, em que a parcela da força
cortante tem sua contribuição diminuída, aliviando o travamento da solução. Neves (2000)
ponderou que a necessidade de continuidade das funções aproximadoras consiste em outro
fator importante nesse tipo de análise. Dessa forma, a escolha dos graus de liberdade deve
considerar essa questão da continuidade das funções, já que em um procedimento baseado em
elementos finitos, as funções aproximadoras escritas em função dos parâmetros nodais devem
representar grandezas contínuas.
31
Nickel, R.E.; Secor, G.A. (1972). Convergence of consistently derived Timoshenko beam finite elements.
Int.
J. Num. Meth. Eng.,
5, p. 243-253.
32
Prathap, G.; Bhashyam, G.R. (1982). Reduced integration and the shear-flexible beam element.
J. Num. Meth.
Eng.,
18, p. 195-210.
33
Heyliger, P.R.; Reddy, J.N. (1988). A higher order beam finite element for bending and vibration problems.
Journal of sound and vibration,
126(2), p. 309-326.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 81
Com relação à escolha dos parâmetros nodais em formulações que consideram a
deformação por cisalhamento, vale comentar que o diagrama de forças cortantes apresenta
descontinuidades frente a forças concentradas, fazendo com que a distorção não seja contínua
nesses pontos. Assim, ela não pode ser utilizada como parâmetro nodal. Da mesma forma, a
rotação total da seção, dada pela soma da rotação de flexão com a distorção, também não é
contínua (Figura 3-1). Logo, a rotação total não serve para ser utilizada como parâmetro nodal
dos elementos.
Y
φ
γ
θ
X
deformada
real
aproximação
da deformada
Figura 3-1 – Cinemática do elemento de viga de Timoshenko
Neste trabalho, em função dessas peculiaridades do comportamento do problema,
foram adotados como parâmetros nodais, o deslocamento total correspondente aos momentos
fletores e forças cortantes, bem como a rotação provocada somente pela parcela de flexão, já
que são grandezas contínuas em todos os pontos dos elementos.
3.2.1 Dedução da matriz de rigidez do elemento de viga
A dedução da matriz de rigidez do elemento de viga de Timoshenko baseia-se, neste
trabalho, nas formulações apresentadas por Neves (2000) e Branco (2002).
Para garantir a continuidade das funções aproximadoras foram adotados como
parâmetros nodais, os deslocamentos transversais provenientes do momento fletor e força
cortante,
1
v e
2
v , e as rotações provenientes somente do momento fletor,
1
φ
e
2
φ
.
Para a convenção de sinais, adotou-se a convenção compatível com o método dos
elementos finitos, de modo que ao final de todo o processo, os ajustes de sinais necessários
para a convenção clássica da Resistência dos Materiais foram realizados, conforme Figura
3-2.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 82
esforços
V
1
V
1
V
2
V
2
v
1
v
2
v
1
v
2
M
1
M
2
M
1
M
2
φ
1
φ
2
φ
1
φ
2
esforços
deslocamentos deslocamentos
Método dos Elementos Finitos Resistência dos Materiais
Y
X
Figura 3-2 – Convenções de sinais do elemento finito de viga
Admitindo-se que o deslocamento total dos nós seja dado pela soma das parcelas de
flexão,
f
v
e de cisalhamento,
c
v
, conforme já mencionado, tem-se a seguinte relação:
cft
vvv
+=
(3-1)
Da mesma forma, a relação é mantida em termos da primeira e segunda derivada,
resultando em:
dx
dv
dx
dv
dx
dv
c
f
t
+=
(3-2)
2
2
2
2
2
2
dx
vd
dx
vd
dx
vd
c
f
t
+=
(3-3)
Por questões de facilidade de nomenclatura, a Equação 3-2 pode ser escrita como:
γ
φ
θ
+
=
(3-4)
Isolando-se um elemento infinitesimal, é possível escrever as equações de equilíbrio
do problema:
V
dx
dM
=
(3-5)
q
dx
dV
−=
(3-6)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 83
sendo que:
M
é o momento fletor;
V
é a força cortante;
q
corresponde à carga distribuída ao
longo do elemento.
A Resistência dos Materiais fornece ainda as seguintes expressões:
2
2
dx
vd
EIM
f
−=
(3-7)
3
3
dx
vd
EIV
f
−=
(3-8)
(
)
φθγ
−== kGAkGAV
(3-9)
sendo que:
E
é o módulo de elasticidade longitudinal do material;
I
é o momento de inércia da
seção transversal do elemento;
G
é o módulo de elasticidade transversal do material;
A
é área
da seção transversal do elemento;
k
é o fator de forma da seção transversal, dado por: 2,11
para seções retangulares e 9,01 para seções circulares;
γ
é a distorção da seção transversal.
No método dos elementos finitos, a força distribuída ao longo do elemento é
transformada em um vetor de forças nodais equivalentes, facilitando a automação do processo
sem causar perda de precisão da solução. Assim, admite-se que a distorção γ é constante ao
longo do elemento finito, o que permite escrever:
0=
dx
dV
(3-10)
Substituindo-se a Equação 3-9 na 3-10 resulta:
( )
0=−⋅
φθ
kGA
dx
d
(3-11)
( )
0=−
φθ
dx
d
(3-12)
A Equação 3-12 significa que a derivada da distorção deve ser nula. Assim,
substituindo-se as Equações 3-7, 3-8 e 3-9 em 3-5 têm-se:
( )
φθ
−⋅=
−
kGA
dx
vd
EI
dx
d
f
2
2
(3-13)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 84
O que resulta em:
( )
0
3
3
=−⋅+
φθ
kGA
dx
vd
EI
f
(3-14)
Considerando-se as Equações 3-8 e 3-10 é possível escrever:
0
3
3
=
−=
dx
vd
EI
dx
d
dx
dV
f
(3-15)
E, portanto, tem-se que:
0
3
3
4
4
=−=−
dx
d
EI
dx
vd
EI
f
φ
(3-16)
A Equação 3-16 mostra que a terceira derivada da rotação de flexão deve ser nula.
Com isso, escolhe-se uma função interpoladora de segundo grau para as rotações, dada por:
2
axbxc
++=
φ
(3-17)
Convém lembrar da Equação 3-4 que:
dx
dv
dx
dv
f
t
−=−=
φθγ
(3-18)
A Equação 3-14 está escrita em função da terceira derivada dos deslocamentos de
flexão. Porém, da Equação 3-2 sabe-se que a primeira derivada dos deslocamentos de flexão é
a própria rotação de flexão. Isso significa que a Equação 3-14 pode ser reescrita como:
( )
0
2
2
=−⋅+
φθ
φ
kGA
dx
d
EI
(3-19)
Agora, o próximo passo é substituir na Equação 3-19, as expressões dadas em 3-17 e
3-18, resultando em:
( )
0
2
2
2
=+++
γ
kGAaxbxc
dx
d
EI
(3-20)
(
)
02 =+⋅
γ
kGAaEI
(3-21)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
85
Da Equação 3-21 resulta uma expressão para a distorção em função dos parâmetros
gerais, das características geométricas da seção e das propriedades mecânicas dos materiais.
kGA
aEI
2
−=
γ
(3-22)
O objetivo agora é definir uma aproximação para o campo de deslocamentos
transversais do elemento, a partir das expressões já obtidas. Substituindo as Equações 3-17 e
3-22 na 3-4 resulta em:
kGA
aEI
axbxc
dx
dv
t
2
2
−++==
θ
(3-23)
A Equação 3-23 fornece a função aproximadora para as rotações totais do elemento.
Assim, integrando-se essa expressão é possível obter o polinômio interpolador dos
deslocamentos transversais do elemento finito de viga de Timoshenko.
−⋅+++= x
kGA
EIx
a
bx
cxdv
t
2
32
32
(3-24)
Admitindo-se a seguinte constante:
2
6
kGAL
EI
g
=
(3-25)
É possível reescrever a Equação 3-24 da seguinte forma:
( )
xgLx
abx
cxdv
t
23
2
3
2
−⋅+++=
(3-26)
A Equação 3-26 representa o polinômio aproximador do campo de deslocamentos
transversais, contendo as parcelas de flexão e de cisalhamento. Da mesma forma, a Equação
3-17 fornece o polinômio aproximador das rotações, que nesse caso, é definido somente
contendo a parcela de flexão. No entanto, esses polinômios estão expressos em função dos
parâmetros gerais e devem ser definidos em termos dos parâmetros nodais dos elementos,
com os devidos ajustes de sinais para a convenção conveniente. Assim, nos nós do elemento
têm-se as seguintes condições de contorno:
11
,0
φφ
==→=
vvx
t
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
86
22
,
φφ
==→=
vvLx
t
Em termos matriciais tem-se:
( )
=
×
−
2
2
1
1
2
23
01
1
2
1
3
0100
1000
φ
φ
v
v
d
c
b
a
LL
L
L
g
L
(3-27)
A Equação 3-27 representa um sistema cujas incógnitas são as constantes
a, b, c, d
em função dos parâmetros nodais do elemento. A resolução do sistema resulta em:
(
)
( )
( ) ( )
[ ]
( )
+⋅
−⋅+−+⋅+⋅−
+⋅
+−+⋅
=
1
1
2
2211
3
2211
12
13232
12
223
v
gL
gLvgLv
gL
LvLv
d
c
b
a
φ
φφ
φφ
(3-28)
A rotação total em termos dos parâmetros gerais é obtida derivando-se a Equação 3-
26:
2
2
3
axbxc
agL
+++
−
=
θ
(3-29)
A primeira derivada da rotação total representa a curvatura
r1
da seção ao longo do
elemento finito. Derivando-se a Equação 3-29 em função de
x
tem-se:
axb
dx
d
2
+=
θ
(3-30)
Substituindo-se as constantes
a
e
b
pelos respectivos valores da Equação 3-28 resulta
na expressão da curvatura ao longo do elemento finito em função dos parâmetros nodais, dada
por:
(
)
(
)
+
+−+
⋅−
+
−⋅++⋅+−
⋅=
g
LvLv
L
x
g
gLgLvv
Ldx
d
21
226
21
12332
2211
3
2121
2
φφφφθ
(3-31)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
87
O desenvolvimento segue com a determinação da distorção da seção transversal em
função dos parâmetros nodais, a partir da substituição na Equação 3-22 do valor da constante
a
, obtido na Equação 3-28, resultando em:
( )
( )
2121
22
21
φφγ
LLvv
gL
g
−−+−⋅
+⋅
=
(3-32)
A próxima etapa consiste na determinação da matriz de rigidez do elemento de viga
de Timoshenko, a partir da minimização do funcional de energia de deformação contendo as
parcelas de flexão e de cisalhamento. Para isso, tem-se o funcional de energia:
dx
kGA
dx
r
EI
U
LL
∫∫
⋅+
⋅=
0
2
0
2
2
1
2
γ
(3-33)
Substituindo-se no funcional de energia, as Equações 3-31 e 3-32 têm-se a expressão
final da energia de deformação do elemento:
( )
(
)
(
)
(
)
( )
−−+−⋅
+−⋅++++⋅++⋅
⋅
+
=
211211212
21
22
2
2
1
2
1
22
2
2
3
12666
126622
21
vvLvLvvvL
gLvvgLgL
Lg
EI
U
φφφ
φφφφ
(3-34)
Para explicitar a matriz de rigidez do elemento de viga de Timoshenko, basta
minimizar a energia de deformação definida pela Equação 3-34, o que significa derivá-la em
relação aos parâmetros nodais e igualar cada uma das parcelas a zero. Esse procedimento
determina a condição de mínima energia potencial total do elemento, definindo sua posição de
equilíbrio.
( )
( )
2211
3
1
22
21
6
φφ
LvLv
gL
EI
v
U
+−+⋅
+⋅
=
∂
∂
(3-35)
( )
( ) ( )
[ ]
gLvgLv
gL
EIU
−⋅−++⋅−−⋅
+⋅
−
=
∂
∂
1323
21
2
2211
2
1
φφ
φ
(3-36)
( )
( )
2211
3
2
22
21
6
φφ
LvLv
gL
EI
v
U
+−+⋅
+⋅
−
=
∂
∂
(3-37)
( )
( ) ( )
[ ]
gLvgLv
gL
EIU
+⋅+−−⋅+⋅
+⋅
−
=
∂
∂
2313
21
2
2211
2
2
φφ
φ
(3-38)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
88
As Equações 3-35 a 3-38 podem ser organizadas convenientemente na forma
matricial, resultando na matriz de rigidez do elemento com a parcela de flexão e de
cisalhamento. O resultado de todo esse processo determina a montagem do sistema clássico
de equações
[
]
{
}
{
}
FuK =⋅
, onde
[
]
K
é a matriz de rigidez do elemento finito;
{
}
u
é o vetor
de parâmetros nodais com dois deslocamentos transversais e duas rotações;
{
}
F
é o vetor de
esforços solicitantes em cada elemento com duas forças cortantes e dois momentos fletores.
( ) ( )
( ) ( )
=
×
+⋅
−
−⋅
−−−
−⋅
−
+⋅
−
⋅
+
2
2
1
1
2
2
1
1
22
2323
22
2323
2
26
2
26
612612
2
26
2
26
612612
21
M
V
M
V
v
v
g
LL
g
LL
LLLL
g
LL
g
LL
LLLL
g
EI
φ
φ
(3-39)
É interessante agora definir as expressões da curvatura nas extremidades de cada
elemento finito em função dos parâmetros nodais, obtidos com a resolução do sistema
definido pela Equação 3-39. Vale ressaltar que as curvaturas das extremidades dos elementos
serão muito importantes para o cálculo das deformações dos pontos ao longo das seções
transversais dos elementos e, conseqüentemente, dos modelos de materiais utilizados para a
análise das estruturas.
A Equação 3-31 corresponde à curvatura ao longo do comprimento de um elemento.
As curvaturas dos extremos de cada elemento (nó inicial e nó final) são obtidas substituindo-
se na Equação 3-31 os valores convenientes de x, ou seja, x=0 e x=L. Assim, já colocando as
curvaturas na forma matricial tem-se:
( )
( )
×
+⋅
−
−⋅
−−
−⋅
−
+⋅
⋅
+
=
=
=
2
2
1
1
22
22
0
2
1
46
1
26
1
26
2
1
46
21
1
1
1
φ
φ
v
v
g
LL
g
LL
g
LL
g
LL
g
r
r
Lx
x
(3-40)
3.2.2 Extensão para a matriz de rigidez do elemento de pórtico plano
O objetivo deste trabalho é desenvolver uma ferramenta computacional que permita a
análise de pórticos planos em concreto armado. Por conta disso, é preciso desenvolver a
formulação da matriz de rigidez do elemento de pórtico plano considerando as deformações
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
89
de cisalhamento. Para isso, deve-se acrescentar ao elemento de viga, a contribuição da força
normal.
O desenvolvimento é análogo ao anterior. Adota-se uma aproximação para o campo
de deslocamentos axiais ao longo do elemento como sendo um polinômio de ordem 1, isto é:
baxu
+
=
(3-41)
Aplicando-se as condições de contorno do elemento finito obtêm-se os seguintes
valores para as constantes a e b:
L
uu
abaLuLx
bux
12
2
1
0
−
=→+=→=
=→=
Com isso, tem-se a expressão que define o campo de deslocamentos axiais ao longo
do elemento finito e, consequentemente, sua primeira derivada:
1
12
ux
L
uu
u +⋅
−
=
(3-42)
L
uu
dx
du
12
−
=
(3-43)
Para a obtenção da matriz de rigidez do elemento de pórtico plano deve-se escrever a
energia de deformação axial do elemento, dada por:
∫
⋅=
L
dx
dx
du
L
EA
U
0
2
(3-44)
A integral anterior resulta na energia de deformação final:
(
)
2
121
2
2
2
2
uuuu
L
EA
U +−⋅=
(3-45)
Da mesma forma, aplica-se agora sobre a energia de deformação, o princípio da
mínima energia potencial total, o que resulta na matriz de rigidez referente à contribuição da
força normal:
( )
21
1
uu
L
EA
u
U
−⋅=
∂
∂
(3-46)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
90
( )
12
2
uu
L
EA
u
U
−⋅=
∂
∂
(3-47)
Considerando-se somente a parcela referente à força normal, o sistema de equações
[
]
{
}
{
}
FuK =×
fica definido como:
=
×
−
−
⋅
2
1
2
1
11
11
N
N
u
u
L
EA
(3-48)
A seguir, finalmente, tem-se a matriz de rigidez completa do elemento finito de
pórtico plano de Timoshenko, isto é, considerando as parcelas de flexão, cisalhamento e força
normal. Essa matriz foi obtida através da superposição da matriz referente à força normal,
definida pela Equação 3-48, com a matriz do elemento de viga, definida na seção anterior.
Vale ressaltar que se o valor da constante g, dada pela Equação 3-25, for nulo, a
matriz de rigidez do elemento de pórtico plano de Timoshenko resultará na matriz de rigidez
de Euler-Bernoulli para o mesmo elemento, que levará em conta somente as parcelas de
flexão e de força normal.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
+⋅
⋅+
+⋅
−
+⋅
⋅−
+⋅
+⋅
−
+⋅+⋅
−
+⋅
−
−
+⋅
⋅−
+⋅
−
+⋅
⋅+
+⋅
+⋅+⋅
−
+⋅+⋅
−
=
gL
EIg
gL
EI
gL
EIg
gL
EI
gL
EI
gL
EI
gL
EI
gL
EI
L
EA
L
EA
gL
EIg
gL
EI
gL
EIg
gL
EI
gL
EI
gL
EI
gL
EI
gL
EI
L
EA
L
EA
K
21
24
21
6
0
21
22
21
6
0
21
6
21
12
0
21
6
21
12
0
0000
21
22
21
6
0
21
24
21
6
0
21
6
21
12
0
21
6
21
12
0
0000
22
2323
22
2323
(3-49)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
91
3.3 Não-Linearidade dos Materiais
3.3.1 Concreto
Para representar o comportamento não-linear do concreto neste trabalho, foi
escolhido o modelo de dano de Mazars (1984), que é baseado na chamada Mecânica do Dano
no Contínuo. Modelos de dano são interessantes, pois tentam representar, através de
penalizações definidas pelos estados de danificação dos pontos ao longo da seção transversal,
as perdas de rigidez que ocorrem no concreto provenientes da fissuração.
De acordo com Álvares (1993), o conceito de dano foi proposto por Kachanov
34
(1958) na tentativa de modelar o efeito da fissuração distribuída na ruptura frágil em metais
após um período de deformação lenta. Posteriormente, a denominada Mecânica do Dano no
Contínuo foi formalizada com base na termodinâmica dos processos irreversíveis por
Lemaitre & Chaboche
35
(1985). Assim, a mecânica do dano tem como objetivo considerar o
efeito da deterioração do material com relação às propriedades elásticas em sólidos solicitados
por ações mecânicas ou térmicas. Em função disso, a teoria de dano é capaz de formular
modelos interessantes para representar o concreto, uma vez que este material apresenta um
comportamento não-linear oriundo de sua danificação, à medida que as ações externas atuam
sobre a estrutura. Basicamente, os dois efeitos provocados pela danificação no
comportamento mecânico macroscópico do material são: a redução da rigidez (módulo de
elasticidade) e da resistência (softening).
Driemeier (1995) afirmou que o desenvolvimento do dano no concreto, associado à
microfissuração pode ser considerado contínuo e se inicia com pequenas tensões ou
deformações. Além disso, as deformações permanentes são também devidas ao processo de
evolução de microfissuras, podendo-se acoplar os efeitos da plastificação e danificação em
um único modelo.
Para maiores detalhes sobre a evolução dos modelos de dano ao longo do tempo,
bem como sobre os conceitos gerais da mecânica do dano, os trabalhos de Perego (1990),
Driemeier (1995), Botta (1998), Pituba (1998), Neves (2000), Paula (2001) e Branco (2002)
trazem um bom histórico sobre a mecânica do dano e suas aplicações na análise do
comportamento de estruturas de concreto.
34
Kachanov, L.M. (1958). On the time to failure under creep conditions.
IZV. Akad. Nauk. SSR, Otd. Tekhn.
n. 8,
p. 26-31.
35
Lemaitre, J.; Chaboche, J.C. (1985
). Mechanique des materiaux solides
. Paris, Dunod-Bordas.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
92
Dentre os modelos de dano encontrados na literatura, o modelo de Mazars (1984)
pode ser considerado como sendo um dos mais simples, porém com boa adequação à
modelagem de estruturas de barras em concreto armado. As hipóteses do modelo são as
seguintes:
a) O concreto, na evolução do dano, apresenta comportamento elástico. Isso
significa que as deformações permanentes, observadas em ensaios experimentais,
em situação de descarregamento são desprezadas. A Figura 3-3 ilustra esse
comportamento, onde as curvas em preto representam as situações de
carregamento e descarregamento no ensaio e a curva em azul ilustram as
hipóteses adotadas. O modelo de dano considera que no descarregamento, a
curva retorna para a origem, o que significa ausência de deformação plástica
residual e somente perda de rigidez do material;
b) O dano é causado somente pela existência de alongamentos. Para que haja
evolução do dano, é preciso que pelo menos uma das componentes do tensor de
deformações principais seja de tração;
c) Análises experimentais evidenciam que a danificação conduz de um modo geral,
a um estado de anisotropia induzida do concreto. Para reduzir o número de
variáveis internas, o modelo é simplificado considerando-se o dano isótropo, ou
seja, o estado de danificação em um ponto é definido por uma única grandeza
escalar e é o mesmo para todas as direções;
d) O dano é representado localmente por uma variável escalar D que pode variar de
zero a um. Quando
0
=
D
tem-se material totalmente íntegro isento de qualquer
defeito, ao passo que quando
1
=
D
significa que o material se encontra
totalmente deteriorado. A evolução da variável de dano ocorre quando um
determinado valor de referência para o alongamento é superado pela deformação
equivalente, que é função do estado de deformações da estrutura.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 93
ε
p
σ
ε
I II
ε
σ
E
ε
p
E
(1-D)
ε
p
:
deformação residual
Figura 3-3 – I: Comportamento experimental do concreto, II: Modelo de dano de Mazars (1984)
Para representar o estado de alongamento em um determinado ponto da estrutura,
define-se a grandeza deformação equivalente a partir de:
( ) ( ) ( )
2
3
2
2
2
1
~
+
++
++=
εεεε
(3-50)
sendo que:
(
)
+
i
ε
representa as componentes positivas do tensor de deformações principais,
dadas por:
( )
[ ]
iii
εεε
+=
+
2
1
(3-51)
com
( )
<→
>→
=
+
00
0
i
ii
i
ε
εε
ε
O modelo admite que o início da danificação aconteça quando o valor da deformação
equivalente atinge o valor de deformação correspondente ao pico de tensão do ensaio uniaxial
de tração, representado neste trabalho por
0
d
ε
.
A ABNT NBR 6118:2003 prescreve que na falta de resultados experimentais de
resistência à tração para o concreto, pode-se considerar um valor médio, um valor
característico inferior e outro superior, definidos, respectivamente, por:
3
2
,
3,0
ckmct
ff =
(3-52)
mctctk
ff
,inf,
7,0
=
(3-53)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 94
mctctk
ff
,sup,
3,1
=
(3-54)
Assim, a favor da segurança, considera-se neste trabalho que a resistência à tração do
concreto seja dada pela Equação 3-53. Todos os valores são expressos em megapascals.
Da mesma maneira, o módulo de elasticidade longitudinal inicial pode ser calculado
como sendo
ck
f5600 , dado também em megapascal. Assim, o valor inicial da deformação
para que o concreto comece a danificar é dado por:
ck
ctk
d
f
f
5600
inf,
0
=
ε
(3-55)
Partindo-se da hipótese de que a degradação do concreto inicia-se a partir de
0
d
ε
, foi
estabelecido o seguinte critério de danificação:
(
)
(
)
0
ˆ
~
,
~
≤−=
DSDf
εε
(3-56)
sendo que:
(
)
DS
ˆ
representa a deformação equivalente em função do dano.
Portanto, a danificação terá inicio somente quando
(
)
0,
~
=Df
ε
. Na primeira iteração
do processo incremental, a variável
(
)
DS
ˆ
recebe o valor da deformação inicial
0
d
ε
.
A variável escalar de dano apresenta lei de evolução definida em termos de taxas de
variação no tempo e atende ao princípio da irreversibilidade do processo de danificação,
proveniente da segunda lei da termodinâmica, sendo expressa pelas relações dadas a seguir:
<=
<
→=
0;0
0
0
ff
ou
f
D
&
&
(3-57)
( )
( )
=
=
→=
+
0
0
~~
f
e
f
FD
&
&
&
εε
(3-58)
sendo que:
(
)
ε
~
F é uma função contínua e positiva da deformação equivalente. Essa função é
escrita em termos de parâmetros numéricos internos do modelo de dano. Esses parâmetros são
calibrados a partir das curvas de tensão × deformação à tração e à compressão obtidas em
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 95
ensaios uniaxiais de corpos de prova em concreto, tendo como objetivo representar da melhor
maneira possível o comportamento experimental. Dessa forma, estabelece-se uma
correspondência entre a variação de deformação equivalente e a variação do dano na
estrutura, dada por:
00
~
≥↔≥ D
&
&
ε
(3-59)
O modelo de dano de Mazars (1984) é definido por duas variáveis independentes de
dano,
T
D e
C
D com o objetivo de se considerar a não simetria do comportamento do
concreto à tração e à compressão. O procedimento é perfeitamente justificável até mesmo
porque o próprio processo de fissuração acontece de maneira diferente para cada
comportamento. Na tração, as fissuras se desenvolvem numa direção perpendicular à direção
da carga, ao passo que na compressão, as fissuras surgem paralelas à direção da carga.
Além disso, uma das características desse modelo de Mazars é a formulação para
carregamento crescente, de modo que em problemas nos quais descarregamentos possuem
influência significativa, há a necessidade de se considerar o comportamento unilateral do
concreto, isto é, o fenômeno de recuperação da rigidez provocado pelo fechamento das
fissuras quando uma peça de concreto é tracionada e posteriormente comprimida. O
comportamento unilateral do concreto não é considerado nesta formulação.
Assim, as leis de evolução das variáveis de dano são definidas por:
(
)
(
)
+
=
εε
&
&
~
~
TT
FD
(3-60)
(
)
(
)
+
=
εε
&
&
~
~
CC
FD
(3-61)
sendo que: as funções
T
F e
C
F são escritas da seguinte forma:
( )
(
)
( )
[ ]
0
~
2
0
~
1
~
dT
B
TTTd
T
e
BAA
F
εε
ε
ε
ε
−
+
−
=
(3-62)
( )
(
)
( )
[ ]
0
~
2
0
~
1
~
dC
B
CCCd
C
e
BAA
F
εε
ε
ε
ε
−
+
−
=
(3-63)
Integrando-se as Equações 3-60 e 3-61 para casos de carregamento radial, obtêm-se
os valores de
T
D e
C
D :
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 96
(
)
( )
[ ]
0
~
0
~
1
1
dT
B
TTd
T
e
AA
D
εε
ε
ε
−
−
−
−=
(3-64)
(
)
( )
[ ]
0
~
0
~
1
1
dC
B
CCd
C
e
AA
D
εε
ε
ε
−
−
−
−=
(3-65)
sendo que:
T
A ,
T
B ,
C
A ,
C
B são parâmetros internos do modelo calibrados
experimentalmente, conforme comentado anteriormente. Mazars (1984) propôs limites de
variação para esses parâmetros internos do modelo baseado nas análises experimentais, de tal
forma que:
4
0
5
33
54
1010
10210
1010
5,10,1
0,17,0
−−
≤≤
⋅≤≤
≤≤
≤≤
≤≤
d
C
T
C
T
B
B
A
A
ε
(3-66)
A variável de dano é então composta pela combinação linear das parcelas de dano à
tração e à compressão, conforme a expressão abaixo:
CCTT
DDD
αα
+=
(3-67)
Os valores de
T
α
e
C
α
são dados em função do tipo de solicitação, ou seja, para
casos de tração uniaxial tem-se 1=
T
α
, compressão uniaxial tem-se 1
=
C
α
e para estados
multiaxiais, deve-se respeitar a condição 1
=+
CT
αα
.
Perego (1990) propôs uma maneira de calcular os coeficientes
T
α
e
C
α
para os
casos gerais de estados multiaxiais. Esta abordagem foi adotada neste trabalho. Assim, tem-
se:
(
)
+
+
∑
=
V
i
Ti
T
ε
ε
α
(3-68)
(
)
+
+
∑
=
V
i
Ci
C
ε
ε
α
(3-69)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 97
sendo que:
+
V
ε
é uma variável cinemática que representa o estado local de extensão, sendo
definida por:
(
)
(
)
∑
∑
++
+
+=
i
Ci
i
TiV
εεε
(3-70)
Vale ressaltar que são consideradas somente as parcelas positivas dos tensores de
deformação
T
ε
e
C
ε
, o que condiz com a hipótese deste modelo de dano, no qual a
danificação só acontece para alongamentos, isto é, quando 0>
i
ε
. Mazars (1984) propõe as
seguintes expressões para o cálculo dessas parcelas positivas dos tensores de deformação:
( )
( )
I
E
E
iT
+
+
∑
−
+
=
σ
ν
σ
ν
ε
1
(3-71)
( )
( )
I
E
E
iC
−
−
∑
−
+
=
σ
ν
σ
ν
ε
1
(3-72)
sendo que: I é o tensor identidade de quarta ordem; E é o módulo de elasticidade
longitudinal do material;
ν
é o coeficiente de Poisson do material;
(
)
+
σ
e
(
)
−
σ
são as partes
positiva e negativa do tensor de tensões de um estado de tensão principal fictício, obtido a
partir do estado de deformações atual e a relação elástica isótropa inicial (
εσ
0
~
D= ).
Diante disso, o tensor de tensões desse estado de tensão principal fictício e suas
componentes positiva e negativa ficam escritos da seguinte forma:
(
)
(
)
−+
+=
iii
σσσ
~
(3-73)
( )
( )
iii
σσσ
+=
+
2
1
(3-74)
( )
( )
iii
σσσ
−=
−
2
1
(3-75)
Finalmente, pode-se escrever o tensor de tensões reais na forma tangente em função
do estado de deformações, do tensor de propriedades elásticas e da variável de dano, que
penaliza igualmente todas as componentes elásticas do material.
(
)
εσ
0
1 DD−=
(3-76)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 98
As Figuras 3-4 e 3-5 mostram o comportamento do concreto utilizando o modelo de
dano para ensaios de compressão e tração uniaxial, respectivamente. Esses resultados foram
obtidos com o programa desenvolvido neste trabalho, simulando os ensaios de tração e
compressão em corpos-de-prova de concreto com seção transversal quadrada.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,005 0,01 0,015 0,02
Deformação
Tensão de compressão, kN/cm2
Figura 3-4 – Diagrama tensão de compressão × deformação para o concreto (20MPa)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 0,00015 0,0003 0,00045 0,0006
Deformação
Tensão de tração, kN/cm2
Figura 3-5 – Diagrama tensão de tração × deformação para o concreto (20MPa)
Verifica-se que à medida que a danificação do material aumenta, o módulo de
elasticidade diminui provocando a perda de rigidez do elemento, bem como sua capacidade
resistente. Com a utilização desse modelo de dano é possível considerar o trecho pós-pico de
resistência à tração do concreto nas regiões tracionadas, garantindo assim, maior rigidez aos
elementos estruturais. Trata-se, portanto, da consideração dos efeitos de tension softening nas
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 99
seções. Dessa forma, a modelagem de barras em concreto armado se torna mais parecida com
a realidade observada nos ensaios.
3.3.2 Aço
Diferentemente do concreto, a resposta mecânica do aço frente às solicitações
normais é bastante previsível. Isso ocorre por conta do melhor controle de produção dos aços,
com garantia de homogeneidade do material, conduzindo assim a pequena variabilidade em
suas propriedades mecânicas. Os estudos da microestrutura dos metais indicam que função de
determinados estados de tensão ocorrem discordâncias, isto é, movimentos entre os cristais do
metal, sem que haja perda de coesão ou ruptura interna. Esse fenômeno pode ser observado
após ser atingido o limite de escoamento do material, a partir do qual a relação de
proporcionalidade entre tensões e deformações não coincide mais com a inicial. Ocorre um
rearranjo na estrutura interna do material conferindo-lhe novo comportamento quando
solicitado novamente.
Por conta desse tipo de comportamento, a Teoria da Plasticidade revela-se apropriada
para descrever o comportamento dos metais, uma vez que a plastificação após o escoamento e
a ductilidade são características marcantes desse tipo de material. Os modelos propostos pela
teoria da plasticidade para representar o aço baseiam-se no surgimento e acúmulo de
deformações residuais ou plásticas permanentes. Além disso, em virtude do bom
comportamento do aço, os modelos elastoplásticos uniaxiais são muito interessantes para
simular o material.
A modelagem do comportamento uniaxial do aço define alguns aspectos da relação
constitutiva elastoplástica que devem ser citados. Primeiramente, a deformação
correspondente a uma certa intensidade de tensão é dependente da “história” do carregamento,
que é registrada pela deformação plástica acumulada,
p
ε
. Dessa forma, o comportamento
elastoplástico é dissipativo, uma vez que a energia de deformação é parcialmente recuperada
num ciclo de carga-descarga. Significa que no descarregamento, a parcela de deformação
elástica do material é totalmente recuperada permanecendo somente a deformação plástica
acumulada. Finalmente, o material pode assumir um comportamento chamado de
encruamento positivo ou hardening, que consiste em uma nova fase após o escoamento, onde
o material por conta dos rearranjos internos de sua estrutura apresenta perda de rigidez, porém
ainda mantém a capacidade de suportar as tensões até a ruptura.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 100
Como na plasticidade trabalha-se com histórias de carregamentos, é conveniente que
os modelos sejam formulados em taxas de variação. As grandezas são apresentadas em taxas
porque são definidas em função de sua derivada em relação ao tempo. No aspecto
computacional, os modelos não são descritos em taxas, mas sim em passo finito com as
deformações aplicadas em incrementos discretos. Nesse contexto, vale a pena citar os
trabalhos de Owen & Hinton (1980), Proença (1988) e Driemeier (1995). O primeiro aborda a
teoria da plasticidade no âmbito do método dos elementos finitos, o segundo apresenta grande
revisão bibliográfica sobre o assunto e formulações de modelos elastoplásticos inclusive com
aplicações para o concreto e, o terceiro trabalho trata do comportamento de metais frente a
situações que provocam fadiga, com ênfase na propagação de trincas.
Para representar o comportamento do aço das armaduras, podem ser utilizados
modelos do tipo elastoplástico perfeito, elastoplástico com encruamento isótropo linear
positivo e com encruamento cinemático (Figura 3-6). A associação dos dois modelos de
encruamento (isótropo e cinemático) caracteriza o modelo elastoplástico com encruamento
misto e a degeneração dos mesmos modelos (anulando-se os módulos de encruamento
isótropo e cinemático do material) caracteriza o modelo elastoplástico perfeito.
σ
ε
A
σ
y
σ
y
σ
y'
σ
y'
σ
y''
o
ε
p
ε
e
ε
e
ε
p
o
σ
y'
σ
y'
σ
y
σ
y
B
ε
σ
ε
'
o'
Figura 3-6 – Modelos elastoplásticos para o aço: encruamento isótropo (A) e cinemático (B)
A seguir, apresenta-se a formulação do modelo elastoplástico com encruamento
isótropo linear positivo adotado para o desenvolvimento do programa computacional deste
trabalho. Basicamente, a diferença fundamental entre ambos os modelos ilustrados na Figura
3-6 é que no modelo do tipo A quando a deformação de escoamento é atingida, a superfície de
plastificação é aumentada, de modo que a próxima tensão de escoamento, isto é, o próximo
limite para o critério de plastificação passa a ser a tensão corrigida anterior. Já no modelo do
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 101
tipo B, que é o modelo com encruamento cinemático, quando a deformação de escoamento é
atingida o que ocorre é uma translação do sistema definindo uma nova origem para o mesmo,
de modo que a superfície de plastificação definida pelo critério permaneça constante e sem
mudança de seus limites.
O algoritmo do modelo elastoplástico adotado pode ser escrito da seguinte forma:
1.
Previsão elástica da tensão:
(
)
111
+++
−=
i
p
ii
E
εεσ
(3-77)
sendo que:
σ
i+1
é a tensão no aço; E é o módulo de elasticidade do aço;
ε
i+1
é a deformação
total;
ε
p
i+1
é a deformação plástica ou residual; i é o incremento atual.
2.
Deformação no passo atual:
iii
εεε
∆+=
+1
(3-78)
sendo que:
∆ε
i
é o incremento de deformação total obtido pelas relações de compatibilidade
entre deslocamentos e deformações.
3.
Critério de plastificação:
(
)
0
111
≤+−=
+++
i
y
ii
Kf
ασσ
(3-79)
sendo que:
σ
y
é a tensão de escoamento do aço; K é o módulo plástico de encruamento
isótropo positivo do aço;
α
ι+1
é uma medida da deformação plástica no estado de tensão i+1.
4.
Condição de consistência:
0
1
=∆
+
i
f
λ
(3-80)
sendo que:
∆λ
é a variação da deformação plástica.
5.
Deformação plástica atual:
(
)
11 ++
⋅∆+=
ii
p
i
p
sign
σλεε
(3-81)
com
<⇔−
>⇔+
=
01
01
σ
σ
sign
6.
Lei de encruamento isótropo:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 102
λαα
∆+=
+
ii
1
(3-82)
7.
Variação da deformação plástica:
(
)
( )
KE
signE
ii
+
∆⋅
=∆
σε
λ
(3-83)
8.
Módulo elastoplástico corrigido:
K
E
EK
E
S
+
=
(3-84)
9.
Tensão corrigida:
0
11
>∆
⇒
=
++
λεσ
i
S
i
E
(3-85)
Para levar em conta a plastificação dos elementos na análise incremental, basta
substituir o módulo de elasticidade pelo seu valor corrigido na montagem da contribuição das
armaduras na matriz de rigidez dos elementos finitos.
3.4 Não-Linearidade Geométrica
Além das ações verticais provenientes dos pesos próprios dos materiais e das ações
variáveis normais, os edifícios também são solicitados por ações horizontais. Dentre elas, as
forças do vento constituem a principal forma de ação horizontal sobre as estruturas. Como no
caso das cargas verticais, as forças horizontais provocam deslocamentos na estrutura que, para
o bom funcionamento da mesma, precisam estar dentro dos limites estabelecidos pelos
códigos normativos de projeto. Os deslocamentos horizontais associados às cargas verticais
do edifício provocam momentos fletores de segunda ordem sobre os elementos estruturais que
devem ser levados em consideração na análise de edifícios altos. Assim, para o estudo dos
pórticos planos é essencial a consideração desse comportamento que, na literatura, é
conhecido como não-linearidade geométrica, pois significa realizar o equilíbrio da estrutura
na posição deslocada. A ABNT NBR 6118:2003 traz uma série de recomendações e
considerações sobre quando e como computar esses esforços.
Nos métodos mais elaborados, a consideração da não-linearidade geométrica se faz
através de formulações que levam em conta a modificação de posição da estrutura, combinada
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 103
ao comportamento não-linear dos materiais. Esses efeitos são incorporados na matriz de
rigidez e no vetor de esforços solicitantes da estrutura, de modo a contemplar de maneira
consistente os efeitos do comportamento dos materiais e deslocamentos da estrutura na
análise do equilíbrio global.
É importante esclarecer que devido à natureza não-linear do problema, o princípio da
superposição de efeitos não é mais válido, uma vez que não existem mais relações lineares
entre esforços e deslocamentos na estrutura. Assim, se faz necessário a divisão do
carregamento aplicado em um número finito de passos de carga, tornando o processo não-
linear em uma sucessão de cálculos lineares realizados em cada um desses passos. Assim, no
decorrer de cada passo de carga, as variáveis não-lineares são mantidas constantes e
atualizadas no início do próximo passo, quando o processo iterativo encontra sua
convergência.
Neste trabalho, os efeitos da não-linearidade geométrica nas estruturas de pórticos
planos em concreto armado foram considerados utilizando a descrição lagrangeana atualizada
na análise do equilíbrio com hipótese de pequenos deslocamentos. Considerou-se,
incorporada à lei constitutiva, a deformação de Green com forma quadrática no lugar da
deformação linear. Do mesmo modo, para que a formulação ficasse consistente, foi
empregado o tensor de tensões de Piola-Kirchhoff de 2
a
espécie. A seguir, estão descritos os
passos da formulação até as expressões da matriz de rigidez tangente e do vetor de forças
internas dos elementos.
3.4.1 Cinemática adotada
Seja um ponto P em uma barra qualquer definida no plano XY. Um deslocamento
arbitrário em função das componentes horizontal e vertical pode ser escrito por:
(
)
(
)
(
)
θ
sin, ⋅−= yxuyxu
p
(3-86)
(
)
(
)
(
)
θ
cos, ⋅+−= yyxvyxv
p
(3-87)
(
)
cf
vvxv +=
(3-88)
sendo que: v
f
e v
c
são, respectivamente, as parcelas de deslocamento à flexão e ao
cisalhamento que compõem o valor de referência v(x).
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 104
Y
X
y
v
p
u
p
u
y.sen(
θ
)
y.cos(
θ
)
θ
p
q
p'
q'
v
Figura 3-7 – Representação da cinemática adotada
Considerando a aproximação em segunda ordem pode-se escrever:
(
)
(
)
( )
( )
2
'
1cos
'sin
2
xv
xv
−=
=
=
θ
θ
θ
(3-89)
Portanto, o campo de deslocamentos do ponto P pode ser reescrito como:
(
)
(
)
(
)
xvyxuyxu
p
', ⋅−=
(3-90)
( ) ( )
(
)
2
'
,
2
xv
yxvyxv
p
⋅−=
(3-91)
3.4.2 Campo de deformações
A partir daqui, por simplicidade de notação, os termos (x,y) e (x) serão omitidos na
formulação.
Por se tratar da análise de estruturas de barras, o tensor de deformações é composto
somente por:
=
YXY
XYX
εγ
γε
ε
(3-92)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 105
sendo que:
X
ε
e
XY
γ
são, respectivamente, as deformações longitudinal e tangencial com
termos de segunda ordem justamente para considerar a não-linearidade geométrica;
Y
ε
é a
deformação na direção perpendicular ao eixo longitudinal. Essas parcelas são calculadas por:
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
22
2
1
x
v
x
u
x
u
ppp
X
ε
(3-93)
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
y
v
x
v
y
u
x
u
x
v
y
u
pppppp
XY
γ
(3-94)
Combinando as Equações 3-94 e 3-93 com as Equações 3-91 e 3-90 e desprezando-
se os termos com produtos de ordem superior (Branco, 2002), obtêm-se os campos de
deformações longitudinal e tangencial para o elemento finito de pórtico plano, conforme
segue:
( ) ( ) ( )
'1'''
2
1
'
2
1
'
22
uvyvuu
X
+⋅−++=
ε
(3-95)
2
'
'''
3
v
vuv
XY
−−−=
φγ
(3-96)
sendo que:
φ
é a rotação da seção transversal do elemento finito proveniente somente da
parcela de flexão.
3.4.3 Relação entre deformação e tensão
Uma outra forma de calcular as deformações é a partir do conceito de estiramento,
chamado aqui de λ.
( )
2
2
+
+
==
dx
dv
dx
dxdu
dx
ds
λ
(3-97)
sendo que: ds é o comprimento infinitesimal de uma fibra qualquer do corpo na posição
deslocada; dx é o comprimento inicial da mesma fibra; du e dv são as componentes
infinitesimais dos deslocamentos axial e transversal, respectivamente, da fibra.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 106
Com isso, as deformações linear e de Green podem ser representadas por:
121
22
−
+
++=
dx
dv
dx
du
dx
du
L
ε
(3-98)
+
+=
22
2
1
dx
dv
dx
du
dx
du
G
ε
(3-99)
Para que a formulação fique consistente, o tensor de deformação de Green deve ser
conjugado com um tensor de tensão compatível, que no caso, é o tensor de tensão de Piola-
Kirchhoff de 2ª espécie, dado por:
=
=
λ
τ
λ
σ
XY
X
XY
XX
S
S
S
(3-100)
Em regime de pequenas deformações, como é o caso deste trabalho, o estiramento
assume um valor unitário, de modo que o tensor de tensão de Piola-Kirchhoff de 2ª espécie
seja igual ao tensor de tensão convencional. Dessa forma, a matriz de propriedades elásticas,
0
D
, que relaciona tensão e deformação é a mesma para as deformações linear e de Green, o
que significa escrever a seguinte relação consistente:
=
γ
ε
G
DS
0
(3-101)
sendo que:
=
G
E
D
0
0
0
e
( )
ν
+
=
12
E
G
.
3.4.4 Matriz de rigidez tangente e vetor de forças internas
O elemento finito utilizado neste trabalho, conforme já apresentado, é um elemento
de pórtico plano com dois nós e três graus de liberdade por nó (Figura 3-8). A matriz de
rigidez básica do elemento foi obtida considerando as hipóteses de Timoshenko, que permite
levar em conta as deformações por cisalhamento na análise não-linear. É evidente que a
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 107
formulação é facilmente degenerada para as hipóteses de Euler-Bernoulli, bastando anular a
constante de Weaver,
g
.
Y,V
X,U
y'
x'
v
i
v
f
u
i
u
f
θ
i
θ
f
nó inicial
nó final
Figura 3-8 – Elemento finito de pórtico plano com sistema local e global de coordenadas
O vetor de forças internas que considera a não-linearidade geométrica na formulação
é obtido levando-se em consideração as parcelas das forças longitudinais e tangenciais,
conforma segue:
∫∫
+=
00
00int
V
XY
XY
V
XX
XX
dVSBdVSBF
(3-102)
sendo que:
V
0
corresponde ao volume do elemento na posição inicial indeslocada;
XX
B
e
XY
B
são as matrizes de incidência que contém as derivadas das funções de forma do problema.
Essas matrizes podem ser obtidos por:
(
)
(
)
(
)
(
)
TTTTTTTTTT
XX
CuAyAuCyyCBuBAuAAB −−−++=
(3-103)
(
)
(
)
(
)
(
)
uBBuBBuAAuBDB
TTTTTTTT
XY
2
3
−−−=
(3-104)
Os vetores
A
T
,
B
T
,
C
T
e
D
T
relacionam as deformações dadas pelas Equações 3-95 e
3-96 com os deslocamentos nodais dos elementos como segue:
[
]
uAuNNu
T
==
00'200'1'
(3-105)
[
]
uBuNNNNv
T
==
'6'50'4'30'
(3-106)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 108
[
]
uCuNNNNv
T
==
''6''50''4''30''
(3-107)
( ) ( ) ( ) ( )
uDu
g
g
Lg
g
g
g
Lg
g
T
=
+
−
++
−
+
−
=
2121
2
0
2121
2
0
00
γ
(3-108)
sendo que:
Ni’
e
Ni’’
com
i
= 1 a 6 são as derivadas primeira e segunda das funções de forma
adotadas para o problema;
g
é a constante de Weaver para a viga de Timoshenko que está
inserida no termo correspondente à parcela do cisalhamento no polinômio interpolador para o
campo de deslocamentos transversais do elemento finito. Seu valor já foi definido
anteriormente, mas será repetido aqui por comodidade. Portanto, tem-se
2
0
6 kGALEIg =
.
Com os deslocamentos nodais e as funções de forma é possível interpolar o campo
de deslocamentos ao longo do eixo de cada elemento finito. Tem-se, portanto, o vetor de
deslocamentos do eixo e a matriz com as funções de forma para cada grau de liberdade de
cada elemento finito:
( ) ( )
ux
v
u
xd
φ
=
=
0
(3-109)
( )
=
650430
002001
NNNN
NN
x
φ
(3-110)
( )
( ) ( )
( )
+
−−
−
+
=
−
+
+
=
+
+−
+
+
=
+
−
−+
+
=
=
−=
3
0
2
00
0
3
0
2
00
3
0
2
00
0
3
0
2
00
0
0
1
21
6
232
21
1
5
221
21
4
23221
21
1
3
2
11
L
x
L
x
g
L
x
g
g
L
N
L
x
L
x
L
x
g
g
N
L
x
L
x
g
L
x
g
g
L
N
L
x
L
x
L
x
gg
g
N
L
x
N
L
x
N
(3-111)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 109
Finalmente, de posse de todas essas informações, a matriz de rigidez tangente,
composta por uma parcela de flexão,
K
Tf
e por uma parcela de cisalhamento,
K
Tc
é obtida a
partir de:
TcTfT
KKK +=
(3-112)
∫∫
∫∫
+=
+=
00
00
00
00
V
XY
XY
V
XY
T
XYTc
V
XX
XX
V
XX
T
XXTf
dVSGdVBGBK
dVSGdVBEBK
(3-113)
sendo que:
G
são as matrizes de incidência da não-linearidade geométrica dadas por:
( )
TTTT
XY
TTTT
XX
BBuBABBAG
yCAyACBBAAG
3
−−−=
−−+=
(3-114)
3.4.5 Forma lagrangeana atualizada
A formulação lagrangeana atualizada é caracterizada por descrever a situação da
estrutura em relação à última configuração equilibrada, isto é, todas as informações
necessárias para o próximo passo de carga são retiradas do passo anterior convergido. Para
que a implementação computacional seja adequada, são necessárias duas atualizações.
A primeira consiste em atualizar continuamente as coordenadas cartesianas nodais,
acrescentando o vetor de deslocamentos incrementais à última configuração de equilíbrio.
Assim, no início do próximo incremento de carga, a estrutura estará com novas coordenadas
nodais e, portanto, na posição deslocada. Essa passagem é definida por:
uXX ∆+=
0
(3-115)
sendo que:
X
é o vetor com as coordenadas nodais do passo atual;
0
X
é o vetor que contém
as coordenadas cartesianas nodais do passo anterior convergido;
u∆
é o vetor com os
incrementos de deslocamento da última iteração do passo atual.
A segunda atualização é feita sobre o tensor de tensão, pois na descrição lagrangeana
atualizada, a mudança contínua de referencial requer a transformação do tensor de tensão para
a nova configuração. A maneira adequada de realizar essa transformação é utilizar o tensor de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 110
Cauchy, relacionando-o com o tensor de Piola-Kirchhoff de 2ª espécie. No entanto, para
pequenas deformações, o tensor de Cauchy coincide, na configuração atual, com o tensor de
tensão de Piola-Kirchhoff de 2ª espécie da configuração anterior. Desse modo, a cada passo
do processo incremental, basta adicionar o incremento de tensão do passo,
S∆
, ao tensor do
passo anterior,
0
S
, conforme segue:
SSS ∆+=
0
(3-116)
Com isso, tem-se a matriz de rigidez e o vetor de forças internas da análise não-linear
geométrica para o elemento finito de pórtico plano com a consideração das deformações por
cisalhamento. Resta ainda combinar essa formulação com a não-linearidade dos materiais
para obter a forma completa da matriz de rigidez e do vetor de força internas.
3.5 Modelos de Resistência ao Cisalhamento
3.5.1 Aspectos gerais
Nesta seção é apresentado um modelo aproximado de resistência ao cisalhamento
aplicado às vigas em concreto armado. Este modelo foi incorporado ao modelo mecânico
desenvolvido com o objetivo de representar melhor o comportamento das vigas e, com isso,
melhorar também a determinação da trajetória de equilíbrio e das forças últimas das mesmas,
proporcinando dessa forma maior precisão para as análises de confiabilidade e otimização.
Fazem parte do modelo de resistência ao cisalhamento os mecanismos
complementares de transferência de tensões cisalhantes, isto é, engrenamento dos agregados e
efeito de pino, bem como a contribuição da armadura transversal.
De maneira geral, o efeito de pino foi considerado através da teoria de vigas sobre
base elástica. O engrenamento dos agregados foi incorporado de maneira indireta pelo próprio
modelo de dano e a armadura transversal foi levada em consideração a partir das deformações
principais de tração ponderadas pelo dano no concreto combinado com a analogia de treliça
para determinação da força nos estribos.
Quando se considera o comportamento não-linear dos materiais e da estrutura, a
interação entre as tensões normais e de cisalhamento fazem com que os planos principais de
tração e compressão assumam valores diferentes de 45
o
. He & Kwan (2001) afirmam ainda
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 111
que as contribuições de mecanismos complementares de resistência ao cisalhamento, como é
o caso do efeito de pino, bem como a transferência direta das tensões para os estribos, não
podem ser obtidas diretamente em modelos de elementos finitos. Tais contribuições
necessitam de um tratamento especial que deve ser combinado ao modelo computacional de
elementos finitos.
A seguir, são apresentadas as hipóteses adotadas para a formulação do modelo e sua
incorporação ao modelo de elementos finitos:
•
A força cortante resistente na seção é obtida pela soma das contribuições do
concreto (íntegro e engrenamento dos agregados), do efeito de pino da
longitudinal e da armadura transversal;
•
As contribuições da armadura transversal e do efeito de pino só começam a
ser contabilizadas quando a variável de dano for diferente de zero, ou seja,
quando se inicia o processo de evolução da microfissuração diagonal. Desse
modo, o efeito de pino já é levado em conta a partir do início da danificação e
não somente quando há uma fissura discreta. Essa hipótese foi adotada, pois o
modelo de dano não considera a fissura discreta, mas sim o crescimento dos
microdefeitos até a localização da fratura;
•
A armadura transversal é definida em termos de taxa ao longo dos elementos
finitos e as tensões são calculadas através do modelo elastoplástico do aço;
•
A parcela resistida pelo concreto sofre interferência do momento fletor na
seção, pois a variável de dano leva em conta esse efeito. Assim, em função da
forte danificação por conta das tensões normais, a parcela do concreto pode
ser reduzida rapidamente;
•
A integridade das bielas comprimidas do concreto é feita impondo-se a
condição limite de 2‰ sobre a deformação principal de compressão.
Na sequência, são apresentadas as contribuições consideradas no modelo de
resistência ao cisalhamento, juntamente com suas formulações para o cálculo de cada parcela
resistente. Os detalhes de cada mecanismo de transferência de tensões de cisalhamento já
foram discutidos anteriormente na revisão bibliográfica.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 112
3.5.2 Contribuição do concreto e o engrenamento dos agregados
No início do processo de carregamento, o comportamento do concreto é elástico-
linear, de modo que toda a força cortante na seção é absorvida pelo concreto. Portanto, uma
vez que ainda não houve danificação, tem-se
V = V
c
e nenhuma parcela é transferida para a
armadura transversal.
Após a resolução do sistema de equações algébricas na análise em elementos finitos,
são obtidas as componentes de deformação longitudinal,
X
ε
e deformação transversal,
XY
γ
segundo as Equações 3-95 e 3-96. Uma vez iniciada a danificação, essas componentes são
utilizadas juntamente com os critérios de dano para avaliar a distribuição real das tensões
sobre os elementos, conforme segue:
( ) ( )
−=
→−=
XY
X
c
c
G
E
DDD
γ
ε
τ
σ
εσ
0
0
11
0
(3-117)
É interessante notar que a tensão
σ
Y
é nula e não a deformação
ε
Y
, sendo esta dada
por uma relação entre a deformação
ε
X
e o coeficiente de Poisson do material. Os esforços
resistentes são então obtidos pela integração das tensões normais e tangenciais ao longo de
uma seção transversal, já modificadas pela danificação conforme segue:
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
2
2
2
2
2
2
h
h
cwc
h
h
cwc
h
h
cwc
ydybM
dybV
dybN
σ
τ
σ
(3-118)
Para as tensões normais, ainda existe a parcela explícita da armadura longitudinal
que será mostrada posteriormente. É importante salientar quanto à força cortante que o valor
mostrado na Equação 3-118 não expressa a capacidade total de resistência ao cisalhamento de
uma viga em concreto armado, pois ainda precisam ser contabilizadas as parcelas da armadura
transversal e do efeito de pino.
De acordo com essa abordagem, o engrenamento dos agregados é considerado
automaticamente pelo modelo de dano, pois este expressa uma redução gradual do módulo de
elasticidade transversal à medida que a danificação aumenta com o carregamento.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 113
Fisicamente, o dano vai aumentando conforme a deformação principal de tração aumenta, o
que caracteriza uma evolução das microfissuras no interior da massa de concreto. Com isso,
considera-se que o atrito existente entre as superfícies dos agregados e as paredes das
microfissuras diminui, provocando, dessa forma, uma diminuição da parcela resistente do
concreto pelo engrenamento dos agregados. Essa hipótese é perfeitamente compatível com a
formulação do modelo de dano por conta da diminuição de
G
pelo fator
(1-D)
. Portanto,
considera-se neste trabalho que a parcela do engrenamento dos agregados está presente no
valor de
V
c
dado pela Equação 3-118. Além disso, tem-se ainda todo o processo de calibração
dos parâmetros internos do modelo de dano, que é feito para cada resistência diferente do
concreto. Assim, ao se calibrar esses parâmetros através de um processo de minimização do
erro entre a resposta mecânica com dano e a resposta de uma determinada lei constitutiva, o
engrenamento dos agregados é automaticamente levado em conta, pois os parâmetros do
modelo vão refletir tal contribuição. Trata-se de um procedimento simples de minimização de
erro entre duas respostas, que pode ser observado com mais detalhes em Nogueira (2005).
À medida que o carregamento aumenta, a danificação dos elementos também
aumenta. Se não houver nenhum mecanismo extra de resistência, quando o dano atingir a
unidade na seção transversal, a resistência à força cortante da seção vai a zero. Esse
comportamento é perfeitamente normal, uma vez que toda a porção de concreto encontra-se
danificada com rigidez nula, limitando a resistência ao cisalhamento somente ao concreto. Tal
comportamento é típico, por exemplo, em vigas sem armadura transversal e pequena taxa de
armadura longitudinal.
3.5.3 Contribuição da armadura transversal
Com o objetivo de verificar a distribuição de tensões na armadura transversal das
vigas em concreto armado, Belarbi & Hsu (1990) fizeram uma série de ensaios experimentais
em vigas de seção T, comparando os resultados dos ensaios com modelagens numéricas. Os
autores concluíram que, de um modo geral, as tensões nos estribos aumentam do banzo
comprimido para o banzo tracionado, porém diminuem quando se aproximam das regiões
com armadura longitudinal, aliviando assim os estribos. Também observaram que as respostas
numéricas dependem do ângulo de inclinação das bielas comprimidas, o que proporciona
certa dificuldade para a modelagem adequada da contribuição da armadura transversal.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 114
De acordo com as observações experimentais, o critério para determinar o início da
contribuição da armadura transversal formada por estribos na resistência ao cisalhamento de
elementos em concreto armado consiste no próprio critério de dano. Em um ponto ocorre
danificação se, neste ponto, segundo o critério de dano de Mazars, a deformação equivalente
ultrapassar o limite de deformação do material, que para o concreto corresponde à deformação
máxima de tração. A deformação equivalente é definida pelo somatório das componentes
positivas do tensor de deformações. Isso significa que somente deformações de alongamento
podem causar danificação no concreto. Mais ainda, admite-se que no concreto, a abertura de
fissuras diagonais está diretamente associada à deformação principal de tração
1
ε
. Portanto, a
deformação dos estribos será associada também à deformação principal
1
ε
.
Após o início da danificação, admite-se que o tensor de deformações seja
decomposto em duas parcelas:
de
εεε
+=
(3-119)
sendo que: o símbolo
e
corresponde à parcela de deformação que é elástica e, portanto,
recuperável; o símbolo
d
corresponde à parcela de deformação de dano, que é dissipada ao
longo do processo.
Aplicando-se o tensor de propriedades elásticas do material e o modelo de dano, tem-
se o tensor de tensão elástico corrigido, dado por:
(
)
εεσεσ
000
1
DDDDD −=→−=
(3-120)
A Equação 3-120 fornece a parcela efetiva resistida pelo concreto, isto é, previsão
elástica menos a parcela dissipada pela danificação. Com isso, pode-se escrever a parcela de
deformação de dano em função da parcela de tensão dissipada:
εεεσ
DDD
dd
=→=
0
(3-121)
Esse comportamento pode ser visto de maneira detalhada na Figura 3-9.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 115
E(1-D)
E
ε
E
p
r
e
v
i
s
ã
o
e
l
á
s
t
i
c
a
ε
D e
ε
σ
D
σ
e
σ
c
a
r
g
a
r
e
c
a
r
g
a
/
d
e
s
c
a
r
g
a
Figura 3-9 – Relação tensão × deformação unidimensional para o modelo de dano
Adotando esse raciocínio, a deformação da armadura transversal será dada, portanto,
pela parcela dissipada da deformação principal de tração rotacionada para a direção da
armadura transversal, que em geral, é vertical. Da mesma forma, a deformação da biela
comprimida no ponto será dada pela deformação principal de compressão, conforme ilustra a
Figura 3-10. Assim, tem-se:
(
)
[
]
αεε
Dsen
sw 1
max
=
(3-122)
sendo que:
D
é a variável de dano calculada em cada ponto de Gauss ao longo da altura da
seção de cada elemento finito;
α
é a direção principal do estado de deformação no ponto de
Gauss.
Sanches Jr. & Venturini (2007) desenvolveram um modelo semelhante a esse, porém
adotaram o estado de deformação do ponto médio da seção como sendo o alongamento dos
estribos. No entanto, em regime não-linear, o ponto médio pode não representar a máxima
tensão de cisalhamento na seção de concreto, conforme ponderado por Belarbi & Hsu (1990).
Desse modo, neste trabalho adota-se o máximo valor do produto dado pela Equação 3-122
como sendo a deformação da armadura transversal.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 116
ε
sw
ε
sw
α
α
α
α
1
ε
1
ε
1
ε
1
ε
1
ε
2
ε
2
ε
2
ε
2
ε
2
1
d
ε
1
d
ε
1
d
ε
1
d
ε
1
d
Figura 3-10 – Estado de deformação para as bielas de concreto e armadura transversal
É importante notar que nas fibras mais tracionadas da seção, isto é, aproximadamente
nas posições das camadas da armadura longitudinal de tração, o ângulo que reflete a direção
principal de tração,
α
, é muito próximo de zero, o que implica em seno igual a zero. Assim, a
deformação nos estribos não será dada por esses pontos próximos à armadura longitudinal,
refletindo o comportamento observado em ensaios, nos quais nas proximidades da armadura
longitudinal de tração, as tensões de cisalhamentos nos estribos são muito pequenas por conta
de sua transferência para as próprias barras da armadura longitudinal. Por outro lado, nos
pontos próximos à borda mais comprimida da seção, embora o seno de
α
esteja próximo da
unidade, o dano, bem como a deformação principal de tração são pequenos, de modo que
dificilmente a deformação dos estribos será dada por esses pontos. Diante disso, os maiores
valores de deformação da armadura longitudinal estarão contidos na região central da seção,
porém não necessariamente no seu ponto médio.
Após o cálculo da deformação, a tensão na armadura transversal é dada pelo modelo
elastoplástico adotado para o aço, conforme descrito anteriormente.
O próximo passo é avaliar a parcela de força transferida para a armadura transversal.
Isso é feito a partir da analogia da treliça de Ritter-Mörsch, conforme ilustrada no trecho de
viga da Figura 3-11.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 117
Rcc,
α
Rcc
Rst
Rsw=Vsw
σ
cc,
α
σ
ct,
α
σ
sw.Asw
Y
α
X
α
X
Y
z
α
z
c
o
s
(
α
)
z cotg(
α
)
Figura 3-11 – Distribuição de forças para um elemento fissurado em concreto armado
A tensão de tração do concreto na direção principal,
α
σ
,ct
, já é levada em
consideração pela contribuição do concreto,
V
c
. As forças
R
cc
e
R
st
são, respectivamente, as
resultantes de compressão no concreto do banzo superior e de tração na armadura
longitudinal. A força em cada estribo é dada pelo produto
swsw
A
σ
que, segundo a analogia de
treliça, pode ser considerada para uma faixa de largura igual à altura útil da seção,
d
. Assim,
finalmente, define-se a parcela de força cortante transferida para a armadura transversal em
termos de sua taxa, da largura e altura útil da seção:
dbV
wswswsw
ρσ
=
(3-123)
sendo que:
sw
ρ
é a taxa de armadura transversal da seção do elemento definida por
w
sw
bs
A
⋅
;
s
é o espaçamento entre os estribos;
b
w
é a largura da seção transversal do elemento.
3.5.4 Contribuição da armadura longitudinal
As barras que compõem a armadura longitudinal contribuem na resistência à força
cortante através do mecanismo complementar conhecido como efeito de pino (
dowel action
).
As normas de projeto de estruturas em concreto armado consideram esse mecanismo na
própria parcela de contribuição do concreto. Neste trabalho, o efeito de pino será considerado
como uma parcela independente que, somadas às outras parcelas, compõem a resistência total
à força cortante.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 118
Conceitualmente, o efeito de pino é uma força de reação proveniente da tentativa de
corte e flexão local das barras da armadura, quando estas são interceptadas por uma fissura.
As faces da fissura tendem a sofrer um deslizamento em função das tensões de cisalhamento
nessas faces, causando nas barras um deslocamento transversal relativo, mobilizando essa
força de reação,
V
d
(Figura 3-12).
p
l
a
n
o
d
a
f
i
s
s
u
r
a
c
o
r
t
e
e
f
l
e
x
ã
o
l
o
c
a
l
b
a
r
r
a
s
a
p
ó
s
a
d
e
f
o
r
m
a
ç
ã
o
V
d
V
d
V
d
V
d
V
d
V
d
Figura 3-12 – Esquema de ação do efeito de pino
Desde que o efeito de pino foi reconhecido na década de 30 como um mecanismo
eficiente de transferência de tensões de cisalhamento em situações de serviço, a analogia com
uma viga sobre base elástica foi introduzida. Assim, as barras da armadura funcionam como
vigas apoiadas sobre uma base elástica, que no caso da armadura longitudinal, é definida pelo
próprio cobrimento de concreto. A representação adequada do efeito de pino é afetada por
disposições geométricas das armaduras na seção transversal, tais como, a espessura do
cobrimento de concreto, o espaçamento entre as barras longitudinais e quantidade de
armadura transversal, acarretando, desse modo, grande complexidade ao fenômeno. Além
disso, deve-se considerar o comportamento não-linear do concreto, que introduz ainda mais
complexidade ao estudo. Por conta disso, apesar de vários ensaios realizados a partir da
década de 50, conforme comentados na revisão bibliográfica, existem poucos modelos
matemáticos para modelagem do efeito de pino. Em função de sua simplicidade e coerência, a
hipótese de viga sobre base elástica é aceita e utilizada até hoje como fundamento de todos
esses métodos de predição do efeito de pino em elementos de concreto armado. A grande
vantagem dessa abrodagem é que todas as particularidades do fenômeno são incorporadas em
um único parâmetro definido como sendo a rigidez da base elástica definida pelo concreto. De
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 119
maneira geral, esse coeficiente de rigidez pode assumir valores constantes, em casos de
abordagem puramente linear, ou pode variar em função do deslocamento transversal da barra
da armadura, bem como também em função dos parâmetros que levam em conta o grau de
danificação do concreto na região que interfere no comportamento de pino.
Diante disso, He & Kwan (2001) apresentaram um modelo interessante para calcular
o valor dessa rigidez, levando-se em conta as propriedades do concreto do cobrimento, da
armadura e da geometria do local. Eles propuseram o cálculo da parcela do efeito de pino a
partir do uso da relação linear entre força e deslocamento de uma viga semi-infinita. Esse
modelo foi escolhido e adaptado para a consideração do efeito de pino neste trabalho.
A Figura 3-13 mostra a hipótese de viga sobre base elástica e uma barra isolada
solicitada pelo deslocamento relativo de pino.
∆
V
d
V
d
L
∆
2
Figura 3-13 – Hipótese de viga sobre base elástica e o efeito de pino
Desse modo, pode-se escrever a força de pino como sendo:
∆=
dd
KV
(3-124)
sendo que:
K
d
é a rigidez da base;
∆
é o deslocamento de pino sofrido pela barra da armadura.
O comprimento
L
ilustrado na Figura 3-13 representa o quanto da barra está sujeita
ao deslocamento de pino
∆
. De acordo com He & Kwan (2002), esse comprimento pode ser
calculado pela razão
λπ
, onde
λ
é um parâmetro que representa a rigidez relativa da
fundação, isto é, do cobrimento de concreto, sendo dado por:
4
4
ss
sc
IE
k
φ
λ
=
(3-125)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 120
sendo que:
k
c
é o módulo de fundação para o cobrimento de concreto;
φ
s
é o diâmetro da barra
da armadura;
E
s
é o módulo de elasticidade do aço;
I
s
corresponde ao momento de inércia da
barra, que no caso de barras circulares é dado por 64
4
s
πφ
.
Soroushian et al. (1987) propuseram, a partir de ensaios experimentais, uma
expressão para o valor do módulo de fundação do cobrimento de concreto:
3
2
1
127
s
c
c
fc
k
φ
=
(3-126)
sendo que:
f
c
é a resistência à compressão do concreto dada em N/mm
2
;
c
1
é um coeficiente
que varia de 0,6 no caso de espaçamento horizontal entre barras de até 25mm a 1,0 para os
casos de espaçamento acima de 25mm.
Assim, o deslocamento de pino pode ser calculado como:
(
)
(
)
(
)
[
]
αγααε
2
1
coscos
XY
senDL +=∆
(3-127)
sendo que:
α
é a direção principal de tração definida com a horizontal;
D
é o valor da variável
de dano em cada ponto de Gauss ao longo da altura dos elementos finitos.
Finalmente, é possível obter o valor da rigidez de pino para um número
n
b
de barras
ou ainda em função da área da camada de armadura:
3
2
3
4
λ
πφ
λ
ss
s
s
ssbd
IE
A
IEnK ==
(3-128)
He & Kwan (2001) assumem que a força última de pino é função direta do diâmetro
da barra e das resistências do concreto e do aço de acordo coma seguinte expressão:
scsdu
ffV
2
27,1
φ
=
(3-129)
É importante destacar que em todas essas expressões apresentadas para o modelo de
pino, as variáveis devem ser utilizadas segundo as seguintes unidades:
N
(Newton) e
mm
(milímetro).
Assim, tem-se a seguinte relação para o cálculo da tensão proveniente do efeito de
pino da armadura longitudinal:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 121
>>→
≤≤→
∆
=
sksckc
s
scss
sksckc
s
sssb
d
ffouff
A
ff
ffeff
A
IEn
2
3
27,1
φρ
λρ
τ
(3-130)
sendo que:
ρ
s
e
A
s
são, respectivamente, a taxa de armadura longitudinal e a área total da
armadura longitudinal ao longo da seção transversal de cada elemento finito.
É importante notar que a Equação 3-130 fornece o valor da tensão de pino em cada
ponto de Gauss ao longo da altura dos elementos finitos, uma vez que o deslocamento de pino
dado pela Equação 3-127 depende dos valores de deformação e de dano que são, por sua vez,
calculados em cada ponto de Gauss da altura.
Como as tensões de pino se desenvolvem através das faces das fissuras, torna-se
necessário rotacionar a tensão dada pela Equação 3-130 para a direção principal de tração,
aqui assumida como sendo a direção de inclinação das fissuras. Essa rotação é feita da
seguinte forma:
(
)
αττ
α
2
,
cos
dd
=
(3-131)
Conhecendo-se os valores da tensão de pino,
τ
d,
α
, para cada ponto de Gauss de
altura, integra-se ao longo do comprimento do elemento finito e obtém-se o valor da força
resultante correspondente à contribuição do efeito de pino para cada elemento finito.
É importante notar que toda essa formulação está diretamente relacionada com a
danificação em cada ponto de Gauss. Assim, as tensões de pino se desenvolvem
proporcionalmente à quantidade de dano que existe em cada ponto. Dessa forma, à medida
que a danificação vai aumentando sobre os pontos de Gauss, estes vão aumentando sua
contribuição no efeito de pino, de modo que ao final do processo de carregamento, toda a
força de pino compatível com aquele estado de deformação final da estrutura é mobilizada ao
longo dos elementos finitos.
3.5.5 A parcela corretora de força cortante
O modelo para o cálculo da força cortante em elementos de concreto armado,
conforme apresentado até aqui, está inserido no problema não-linear global de análise de
estruturas tratado neste trabalho. Por simplicidade, a matriz de rigidez tangente não sofre
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 122
nenhuma modificação por conta desses efeitos de cisalhamento considerados. A correção
ocorre somente no vetor de forças nodais, a partir dos valores de força cortante calculados
pelo modelo.
Por se tratar de um modelo aproximado, é possível que ao final de uma iteração, a
força cortante dada pela soma de todas as parcelas, isto é,
dswc
VVV ++
seja maior que a força
cortante elástica possível para aquela configuração deslocada. Nesse caso, a correção da força
cortante ocorre sobre a parcela que é transferida para a armadura transversal, de modo que
resulta
dcsw
VVVV −−=
. Dessa forma, não há força cortante residual para ser aplicada na
iteração seguinte.
No entanto, a situação inversa também pode ocorrer, na qual a soma das
contribuições resulte menor que a força cortante máxima possível na seção. Quando isso
acontecer, surgirá uma parcela residual dada por
dswcR
VVVVV −−−=
que deverá ser
aplicada na iteração seguinte em forma de carregamento residual da mesma forma que no
processo não-linear clássico de correção.
3.6 Análise Não-Linear de Pórticos Planos
3.6.1 Aspectos gerais
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) é um procedimento eficiente para formular
o problema não-linear de estruturas, pois permite, através de uma única equação escalar
escrever o equilíbrio para o corpo inteiro em estudo. Existem outras maneiras de formular o
problema, como é o caso do Método dos Resíduos Ponderados, porém a abordagem escolhida
neste trabalho foi o PTV.
Em uma abordagem não-linear, além das deformações elásticas, existem parcelas de
deformações residuais e perda de rigidez dos elementos. Isso significa que, por conta do
comportamento não-linear da estrutura, as forças internas não resultam iguais às forças
externas após um incremento de carga direto. Surgem com isso, resíduos de força que
“sobram” na estrutura, fazendo com que o equilíbrio não seja verificado diretamente. A
solução para esse problema consiste em formular uma função-resíduo e reaplicá-la sobre a
estrutura, tantas vezes quanto forem necessárias até atingir o equilíbrio. A função-resíduo é
formulada a cada iteração do processo incremental-iterativo mediante a diferença entre as
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 123
forças internas e as forças externas, de modo que seja reaplicada sobre a estrutura assumindo
o papel de uma variação de força externa. Este processo é encerrado quando se atinge o
equilíbrio em termos da tolerância pré-estabelecida.
Pelo PTV, o trabalho virtual é dado pela soma da variação da energia de deformação
interna
U
∆
, com a variação do trabalho virtual das forças externas
W
∆
. A variação do
trabalho total
T
∆
pode então ser escrita como segue:
WUT
∆
+
∆
=
∆
(3-132)
Por outro lado, também é possível pelo PTV, definir o trabalho virtual de um campo
de deslocamentos virtuais
u
δ
, que seja compatível e homogêneo nas condições de contorno
sobre uma função-resíduo
r
, descrita em unidades de força, ao longo de um elemento
infinitesimal na posição atual, conforme segue:
∫
⋅=∆
V
udVrT
δ
(3-133)
Combinando-se as Equações 3-132 e 3-133 tem-se:
WUudVr
V
∆+∆=⋅
∫
δ
(3-134)
A parcela referente à energia interna da estrutura na Equação 3-134 é escrita em
termos do trabalho das componentes de tensão sobre as respectivas componentes de
deformação, dada por:
∫
⋅=∆
V
dVU
δεσ
(3-135)
A outra parcela refere-se à energia desenvolvida sobre a estrutura proveniente das
forças externas, que podem atuar sobre o volume
V
ou sobre uma determinada área
A
da
estrutura:
∫∫
⋅+⋅=∆
AV
udAtudVbW
δδ
(3-136)
sendo que:
b
é o vetor de forças por unidade de volume;
t
é o vetor de forças por unidade de
área atuando sobre a estrutura ou parte dela.
Portanto, a Equação 3-134 passa a ser escrita como:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 124
∫∫∫∫
⋅−⋅−⋅=⋅
AVVV
udAtudVbdVudVr
δδδεσδ
(3-137)
Os parâmetros de volume e área estão definidos em todas essas equações para a
posição atual deslocada. No entanto, esses parâmetros são desconhecidos na posição
deslocada, o que torna inviável o uso do PTV. Por conta disso, a expressão anterior deve ser
reescrita em termos dos parâmetros de volume e área na posição atual indeslocada, como
segue:
∫∫∫∫
⋅−⋅−⋅=⋅
0000
000000
AVVV
udAtudVbdVSudVr
δδδεδ
(3-138)
É importante destacar que na forma do PTV dada pela Equação 3-138, as tensões na
parcela da energia interna são dadas pelo tensor de Piola-Kirchhoff de 2ª espécie,
S
,
caracterizando de forma consistente a forma lagrangeana. Além disso, vale lembrar que, na
descrição lagrangeana, o estado do corpo é formulado em termos das coordenadas iniciais
conhecidas de cada ponto. Ainda dentro desse contexto, a forma lagrangeana atualizada
permite que uma configuração conhecida seja tomada como um estado inicial sendo
continuamente atualizada no decorrer da análise. Portanto, a Equação 3-138 prescreve de
maneira consistente a forma lagrangeana atualizada do PTV.
3.6.2 Combinação entre os modelos de não-linearidades
Para considerar os efeitos das não-linearidades geométrica e dos materiais na análise
de estruturas de pórticos planos em concreto armado, deve-se combinar adequadamente os
modelos de dano e elastoplástico com a forma lagrangenana atualizada. Assim, o problema
consiste em montar a matriz de rigidez tangente combinada e o vetor de forças internas
considerando ao mesmo tempo os efeitos da NLM e da NLG.
Quando se considera também a influência das deformações por cisalhamento, o
elemento de pórtico plano é solicitado por um estado bidimensional de tensões. Dessa forma,
o cálculo da deformação equivalente do modelo de dano de Mazars, dada pela Equação 3-50,
necessita das deformações principais para que seja possível obter o valor da variável escalar
de dano. Calculadas as deformações principais, obtém-se o tensor de tensão corrigido pelo
dano. Entretanto, por conta da distorção considerada, o tensor de tensão é dividido em uma
parcela longitudinal e outra parcela transversal não-nula. Esse fato permite escrever de outra
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 125
forma a equação que define o PTV (Equação 3-138), de modo que se considere a taxa de
variação da tensão de Piola-Kirchhoff de 2
a
espécie. Essa taxa de variação da tensão, por sua
vez, é calculada em função da taxa de variação do dano, combinando desse modo no tensor de
tensões, os efeitos da NLG e do modelo de dano. Mais detalhes sobre essas transformações
podem ser encontrados em Paula (2001).
Após essas considerações, obtêm-se a matriz de rigidez tangente e o vetor de forças
internas para o elemento de pórtico plano com modelo de dano, influência do cisalhamento e
não-linearidade geométrica:
(
)
∫∫∫
++−=
000
00
0
0
0
1
VV
T
V
T
T
dVSGdVBDBdVBDDBK
εη
(3-139)
∫
=
0
0
int
V
T
dVSBF
(3-140)
sendo que:
η
é uma função que considera as derivadas da deformação equivalente em relação
às componentes de deformações, dada por:
( )
ε
ε
εη
∂
∂
=
~
~
F
(3-141)
(
)
(
)
(
)
εαεαε
~
~
~
CCTT
FFF +=
(3-142)
As funções
(
)
ε
~
T
F
e
(
)
ε
~
C
F
são as mesmas dadas pelas Equações 3-62 e 3-63 e
repetidas aqui apenas por conveniência.
( )
(
)
( )
[ ]
0
~
2
0
~
1
~
dT
B
TTTd
T
e
BAA
F
εε
ε
ε
ε
−
+
−
=
( )
(
)
( )
[ ]
0
~
2
0
~
1
~
dC
B
CCCd
C
e
BAA
F
εε
ε
ε
ε
−
+
−
=
A derivada da deformação equivalente em relação à parte longitudinal do tensor de
deformação depende do sentido da deformação das fibras, isto é:
tração
X
→=
∂
∂
1
~
ε
ε
e
compressão
X
→−=
∂
∂
2
~
ν
ε
ε
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 126
Como se trata de estruturas de pórticos planos, ou seja, os elementos finitos são
elementos de barra, as integrais no volume podem ser escritas em função apenas do
comprimento e da altura de cada elemento, admitindo a base como constante. Assim, tem-se
as equações da matriz de rigidez tangente e do vetor de forças internas reescritas da seguinte
forma:
(
)
∫∫∫∫∫∫
++−=
L h
w
L h
T
w
L h
T
w
T
dhdLSGbdhdLBDBbdhdLBDDBbK
εη
00
1
(3-143)
∫∫
=
L h
T
w
dhdLSBbF
int
(3-144)
3.6.3 Integração numérica
A integração numérica é utilizada neste trabalho para obter os esforços resistentes ao
longo dos elementos finitos, bem como a parcela da matriz de rigidez do concreto. Com a
utilização dos modelos não-lineares para os materiais, a distribuição de tensões ao longo das
seções transversais é também não-linear, o que praticamente impossibilita a integração
analítica. Assim, a integração numérica permite generalizar os procedimentos.
As técnicas adotadas neste trabalho são as quadraturas de Gauss e Gauss-Lobatto. A
diferença entre elas é que no método de Gauss-Lobatto consideram-se os pontos extremos e o
ponto médio do intervalo de integração, ao passo que no método de Gauss são considerados
somente os pontos internos do domínio. O princípio desses métodos é a substituição das
integrais analíticas por somatórios, cuja precisão depende do número de pontos colocados.
Dessa forma, a quantidade de pontos deve ser suficiente para aproximar a função a ser
integrada, de modo que o erro tenda a zero. Em análises com linearidade do material, para a
integração das tensões ao longo da altura da seção transversal, 2 pontos são suficientes, pois a
distribuição de tensões é linear. Quando se considera o comportamento não-lineardo material,
como o modelo de dano para o concreto, a distribuição de tensões assume uma forma
qualquer na seção transversal impossibilitando o cálculo analítico. Branco (2002) recomenda
que devem ser adotados pelo menos 10 pontos de Gauss na altura para o modelo de dano de
Mazars do concreto. Da mesma forma, para a formulação lagrangeana atualizada, Paula
(2001) sugere pelo menos 6 pontos ao longo do comprimento do elemento. Com isso, a matriz
de rigidez da estrutura também é montada a partir da contribuição dos pontos de Gauss do
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 127
comprimento e da altura dos elementos, nos quais são calculadas as deformações, tensões,
bem como todas as variáveis internas dos modelos dos materiais.
A Figura 3-14 ilustra o processo da integração numérica das tensões ao longo da
altura de um elemento finito, bem como a contribuição da armadura longitudinal.
H
B
C
G
p
o
n
t
o
s
d
e
G
a
u
s
s
(a)
C
G
(b)
As3
As2
As1
c
a
m
a
d
a
s
d
e
a
r
m
a
d
u
r
a
m
o
d
e
l
o
l
i
n
e
a
r
m
o
d
e
l
o
d
e
d
a
n
o
σ
cc
σ
ct
σ
cc
σ
ct
Rs3
Rcc
Rct
Rs2
Rs1
L
N
d
i
s
t
r
i
b
u
i
ç
ã
o
d
e
t
e
n
s
õ
e
s
d
i
s
t
r
i
b
u
i
ç
ã
o
d
e
f
o
r
ç
a
s
Ys3
Ys2
Ys1
Figura 3-14 – Distribuição de tensões e discretização da seção: (a) concreto e (b) aço
A parcela que representa a contribuição do concreto na matriz de rigidez da estrutura
pode então ser dada por:
( )
[
]
∑ ∑
= =
++−=
pgl
i
i
pgh
j
j
w
ij
ij
ij
ij
T
ijij
ij
T
ijC
wx
L
wy
hb
SGBDBBDDBK
1 1
00
22
1
η
(3-145)
sendo que:
wy
e
wx
são, respectivamente, os pesos ponderadores da integração numérica ao
longo da altura e do comprimento dos elementos;
pgl
e
pgh
são, respectivamente, o número de
pontos de Gauss ao longo do comprimento e da altura dos elementos.
Da mesma forma, pode-se escrever a contribuição do concreto no vetor de forças
internas como sendo:
( )
∑ ∑
= =
=
pgl
i
i
pgh
j
j
w
ij
T
ij
C
wx
L
wy
hb
SBF
1 1
int
22
(3-146)
A contribuição das camadas de armadura longitudinal também é baseada na
quadraturas de Gauss e Gauss-Lobatto com integração numérica ao longo do comprimento.
Na altura, a contribuição é feita da mesma forma, porém para um número de camadas. Assim,
para a contribuição na matriz de rigidez e no vetor de forças internas tem-se:
[
]
∑ ∑
= =
+=
pgl
i
i
cam
j
j
ij
ij
ij
S
T
ijS
wx
L
AssGBEBK
1 1
2
σ
(3-147)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 128
( )
∑ ∑
= =
=
pgl
i
i
cam
j
j
ij
T
ij
S
wx
L
AssBF
1 1
int
2
σ
(3-148)
sendo que:
cam
é o número de camadas de armadura longitudinal ao longo da altura dos
elementos finitos.
A matriz de rigidez tangente global, bem como o vetor de forças internas da estrutura
toda são obtidas pela soma algébrica sobreposta das contribuições do concreto e da armadura
longitudinal de todos os elementos finitos.
As Equações 3-146 e 3-148 calculam o vetor de forças internas, tanto para o concreto
quanto para o aço das armaduras longitudinais, que, por sua vez, devem ser somados para
equilibrar o vetor de forças externas aplicado sobre a estrutura. O que é interessante mostrar
aqui é que esses vetores são compostos pelos esforços resistentes calculados segundo os
modelos já apresentados e devidamente rotacionados para o sistema global, de modo a ficar
coerente com as forças externas, que também estão relacionadas no sistema global. Assim, as
expressões em forma de integrais são convertidas para forma de somatórios extamente como
mostrados nas Equações 3-146 e 3-148 chegando-se, portanto, à forma final das forças
internas resistentes da estrutura. Apenas para ilustração, as expressões dos esforços nas
formas integrais são dadas por:
( )
∑
∫
=
+=
cam
i
i
ss
A
c
AdAN
1
σσ
(3-149)
dbdAdAV
wswsw
A
d
A
c
ρσττ
α
++=
∫∫
,
(3-150)
( )
∑
∫
=
+=
cam
i
i
ss
A
c
yAydAM
1
σσ
(3-151)
sendo que:
∫
A
d
dA
α
τ
,
e
db
wswsw
ρσ
são, respectivamente, as parcelas resistentes do efeito de
pino e da armadura transversal já definidas anteriormente;
y
é a distância do ponto de Gauss
ou da camada de armadura longitudinal até o centro de gravidade da seção transversal dos
elementos finitos.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 129
3.6.4 Estratégia de solução do problema não-linear
O problema não-linear é caracterizado quando o trabalho dado pela Equação 3-132,
resulta diferente de zero. Isso significa que o trabalho das forças internas não é igual ao
trabalho das forças externas, gerando um vetor de resíduos. Em termos de energia, o vetor de
resíduos pode ser entendido como a parcela de energia de deformação não absorvida pela
estrutura para um determinado nível de deslocamentos. Para que o equilíbrio seja atingido, o
vetor de resíduos deve ser reaplicado sobre a estrutura na forma de carregamentos nodais.
Esta etapa gera modificações na matriz de rigidez global da estrutura, provenientes da não
verificação dos critérios de plastificação das armaduras e danificação do concreto que, por sua
vez, são função dos deslocamentos residuais oriundos da aplicação do vetor de resíduos. Por
conta disso, esse processo tem caráter não-linear podendo ser representado por:
(
)
[
]
FuuKK =⋅+
(3-152)
sendo que:
K
é a parte linear da matriz de rigidez global;
(
)
uK
é a parte não-linear da matriz
de rigidez dependente dos deslocamentos residuais;
u
é o vetor de deslocamentos nodais;
F
é o vetor de forças externas aplicadas sobre a estrutura.
Como o comportamento dos materiais é diferente para cada intensidade de
carregamento aplicado, o que se faz é dividi-lo em incrementos que podem ser iguais ou
diferentes, ao invés de aplica-lo de uma só vez. Assim, a resolução do problema não-linear
consiste em linearizar o processo em um conjunto de iterações lineares sucessivas para cada
incremento de carga, até que se atinja o estado estrutural equilibrado no incremento. Para isso,
utiliza-se a técnica incremental-iterativa de Newton-Raphson com atualização da matriz de
rigidez a cada iteração.
A matriz de rigidez é atualizada a cada iteração sofrendo a influência dos modelos
constitutivos do aço e do concreto, bem como da não-linearidade geométrica. Esses efeitos
não-lineares provocam o desequilíbrio entre as forças internas e externas gerando o vetor de
resíduos. O vetor de resíduos,
i
r∆
, é reaplicado sobre a estrutura, conforme já citado, até que
o equilíbrio seja atingido, isto é, quando a norma do vetor de resíduos resultar menor ou igual
a uma tolerância pré-estabelecida,
ξ
. Quando isso ocorre, diz-se que a resultante de forças
sobre a estrutura é nula e que o processo atingiu a convergência. Aplica-se um novo
incremento de carga e repete-se todo o procedimento até completar todo o carregamento
externo atuante sobre a estrutura. A Figura 3-15 retrata o procedimento iterativo de Newton-
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 130
Raphson para 1 incremento genérico de carga salientando a atualização da matriz de rigidez a
cada iteração, o que garante maior velocidade de convergência. O equilíbrio ocorre, no caso,
quando a norma do resíduo verifica a relação:
ξ
≤−=∆
ext
i
i
FFr
int
(3-153)
sendo que:
int
i
F
é o vetor de forças internas da estrutura na iteração
i
;
ext
F
é o vetor de forças
externas aplicadas sobre a estrutura.
u
F
u
f
F
f
u
1
u
2
u
k
u
f-1
F
1
F
2
F
k
F
f-1
1
K1
1
K2
1
Kk
1
Kf
∆r1
Figura 3-15 – Esquema de solução para 1 incremento de carga
3.7 Determinação da Carga Última ou Carga de Violação de Estado Limite
3.7.1 Aspectos gerais
Nesta etapa do trabalho são mostradas as estratégias computacionais para obtenção
de cargas últimas referentes aos estados limites últimos de esgotamento da capacidade
resistente da seção transversal, perda de estabilidade global da estrutura e ao estado limite de
serviço de deformação excessiva.
A ABNT NBR 8681:2003 define estado limite como sendo um estado a partir do
qual a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção. No contexto
da confiabilidade, um estado limite corresponde à fronteira entre o desempenho desejado e
indesejado da estrutura, isto é, uma função matemática que define se a estrutura apresenta
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 131
uma falha ou está segura. Vale ressaltar que, na análise de segurança estrutural, a falha pode
ser definida de várias maneiras, sendo que, para cada modo de falha, pode-se associar uma
função de estado limite. Portanto, falha não significa necessariamente a ruína de uma
estrutura. Esse conceito é extremamente importante para este trabalho, visto que se pretende
considerar nas análises de confiabilidade, a influência de múltiplos modos de falha do
sistema, de modo que é interessante falar em cargas de violação de estado limite. Assim, ao se
atingir um estado limite, a carga obtida pelo modelo mecânico fica definida como uma carga
de violação de estado limite.
3.7.2 ELU – esgotamento da capacidade resistente da seção
A falha por esgotamento da capacidade resistente de uma seção transversal em
concreto armado é definida neste trabalho quando os materiais atingirem os valores limites de
deformação pré-estabelecidos para uma dada intensidade de carregamento. Para o concreto,
foram adotados os seguintes limites de deformação: 2,0‰ para compressão nos casos de
seções úteis inteiramente comprimidas e ruptura das bielas comprimidas no cisalhamento;
3,5‰ para flexão nos casos de seções úteis não inteiramente comprimidas; 10‰ para as
armaduras de flexão e de cisalhamento.
De acordo com essa definição, quando em uma dada seção transversal da estrutura,
as deformações nos materiais atingirem algum desses valores, admite-se que houve violação
da condição de estado limite, que pode não implicar na ruína do sistema. Isso significa que
apenas o primeiro modo de falha foi atingido. Dessa forma, se a análise numérica continuar,
será possível, à medida que o sistema estrutural permitir, a determinação de outros modos de
falha pelo surgimento de mais violações de estado limite até a falha total da estrutura. Essa é,
portanto, a estratégia adotada para determinação de cargas últimas de um ou mais modos de
falha.
A verificação das deformações procede da seguinte forma:
Ao final de cada iteração do processo incremental são verificadas as deformações
dos materiais em cada ponto de Gauss de comprimento e de altura ao longo de todos os
elementos finitos. Portanto, são feitas
NE × NPGL × NPGH
verificações para o concreto e
NE × NPGL × NCAM
para o aço. Se em algum ponto houver a violação de um ou mais dos
limites de deformação impostos, admite-se que a carga última foi atingida. Após ser atingida
essa deformação limite, o programa armazena todos os valores importantes do passo anterior
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 132
convergido e volta para este passo, reaplicando um incremento de carga menor do que o
incremento normal definido no início da análise. Esse procedimento é repetido até uma
tolerância pré-estabelecida para a busca da carga última.
Em termos matemáticos, é possível definir funções locais de estado limite para o
concreto e para o aço, conforme segue:
ijl
SS
ijl
S
ijk
CC
ijk
C
G
G
εε
ε
ε
−=
−
=
lim
lim
(3-154)
sendo que:
NE
é o número de elementos finitos (
i
);
NPGL
,
NPGH
e
NCAM
são,
respectivamente, o número de pontos de Gauss no comprimento (
j
), na altura (
k
) e o número
de camadas de armadura longitudinal (
l
);
limC
ε
e
limS
ε
são, respectivamente, os limites de
deformação para o concreto e para o aço.
Com isso, a carga última da estrutura ou carga de violação de estado limite fica
definida como:
(
)
(
)
[
]
{
}
00min
≤∪≤=
SCult
GGPP
(3-155)
Diante disso, verifica-se que a carga última da estrutura é obtida quando pelo menos
uma das duas condições da Equação 3-154 é desrespeitada, ou seja,
G < 0
, o que caracteriza
um ponto no domínio de falha do concreto ou do aço. Cada busca de carga última no contexto
de deste trabalho caracteriza uma chamada completa do modelo mecânico de elementos
finitos.
Apenas reforçando o que já foi dito, para a consideração de múltiplos modos de
falha, após ser identificado o primeiro modo com a formação da primeira rótula plástica, basta
permitir que o programa continue a análise até que a condição do estado limite definida na
Equação 3-154 seja atingida para as demais seções consideradas. Assim, ao final do processo,
serão obtidas as cargas últimas correspondentes aos modos de falha (ELU) desejados, desde
que a estrutura ainda seja estável, o que permitirá o desenvolvimento da análise de
confiabilidade de sistemas na etapa posterior deste trabalho.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 133
3.7.3 ELU – perda de estabilidade global
A falha por perda de estabilidade global da estrutura é considerada neste trabalho
quando a matriz de rigidez global do sistema torna-se singular, ou seja, o determinante da
matriz é nulo. Nesse caso não é definida nenhuma função de estado limite como no caso do
esgotamento da seção, pois a carga última é encontrada quando o processo incremental-
iterativo não apresentar convergência. Em termos computacionais, a cada iteração verifica-se
a singularidade da matriz de rigidez global, que traduz sua capacidade de resolver o sistema
de equações algébricas. Quando a matriz se torna singular, automaticamente o processo
iterativo é interrompido, pois a tangente ao ponto procurado é nula. É conveniente ressaltar
que este estado limite de perda de estabilidade, em função da maneira como é considerado,
pode ser aplicado a qualquer tipo de estrutura, seja uma viga, pilar ou pórtico, caracterizando
sempre ruína da estrutura.
3.7.4 ELS – deformações excessivas
O estado limite de serviço de deformações excessivas é atingido quando em um
determinado vão de uma estrutura, o deslocamento relativo ultrapassa o valor limite
estabelecido por norma. Para verificar esta condição no programa desenvolvido foram
adotadas duas considerações: deslocamento relativo em vãos com extremidades apoiadas ou
engastadas e deslocamento relativo em vãos com uma das extremidades em balanço. A Figura
3-16 ilustra essas considerações.
Assim, os deslocamentos são dados por:
a)
vãos apoiados:
( )
12
3
13
UU
L
L
UUf −−−=
(3-156)
b)
balanço à direita:
13
UUf −=
(3-157)
c)
balanço à esquerda:
23
UUf −=
(3-158)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 134
sendo que:
f
é a flecha ou o deslocamento máximo relativo;
L
é o comprimento do vão onde
será determinada a flecha;
L
3
distância da seção onde será determinada a flecha até a
extremidade esquerda do vão;
U
1
é o deslocamento do nó da extremidade esquerda do vão;
U
2
é o deslocamento do nó da extremidade direita do vão;
U
3
é o deslocamento do nó onde será
determinada a flecha.
L
Q
F1 F2
U1
U2
U3
flecha
configuração deslocada
L3
A) Idealização para vãos apoiados
B) Idealização para vãos em balanços
balanço à direita
U2
U1
F2
F1
Q Q
U3
U3
flecha
balanço à esquerda
Figura 3-16 – Idealizações adotadas para o cálculo de deslocamentos relativos
A formulação apresentada acima é geral, pois pode ser utilizada tanto para vigas
quanto para pilares e, consequentemente, para pórticos planos. No caso dos pórticos, os
deslocamentos nas vigas são analisados para o caso de vãos apoiados ou balanços conforme o
padrão, os deslocamentos relativos entre pavimentos são considerados como casos verticais
de vãos apoiados e para a verificação do deslocamento máximo horizontal do pórtico, este é
considerado como um tramo em balanço, cujo comprimento é a altura total do pórtico. A
única diferença é que quando os elementos estiverem na vertical, o deslocamento global
utilizado na análise será o deslocamento na direção horizontal, ao invés do deslocamento na
direção vertical como na caso das vigas.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 135
Assim, a verificação do estado limite de serviço em deformações excessivas pode ser
representado por:
ffG −=
lim
(3-159)
sendo que:
f
lim
é a flecha máxima permitida por normas.
Para valores de
G < 0
caracteriza-se uma configuração de falha da estrutura quanto
ao estado limite de serviço.
3.7.5 Algoritmo de busca
O modelo mecânico desenvolvido permite considerar carregamentos externos fixos,
que são aplicados de uma única vez, bem como carregamentos variáveis, que são divididos e
aplicados por incrementos. O modelo ainda considera os efeitos não-lineares geométricos e
dos materiais em um procedimento incremental-iterativo. A cada iteração, atualiza-se a matriz
de rigidez da estrutura, obtida mediante a contribuição de todos os pontos de Gauss dos
elementos finitos e resolve-se o sistema de equações algébricas
FuK =⋅
.
Assim, o modelo permite obter os deslocamentos nodais e os esforços internos nos
elementos finitos ao final de cada incremento equilibrado. Dessa forma, toda a trajetória de
equilíbrio da estrutura em caráter não-linear pode ser obtida, refinando-se os resultados do
processo à medida que se aumenta o número de passos de carga. Isso ocorre porque com
incrementos de ordem menor, as previsões elásticas sempre resultam mais próximas da
resposta real, fazendo com que as correções não-lineares sejam menores e mais rápidas.
Para a obtenção de cargas últimas em pórticos em concreto armado, adapta-se o
referido modelo mecânico, de modo que, a cada iteração, seja verificado o estado limite
último ou de serviço conforme requerido. Uma vez violada a condição definida pelo estado
limite, considera-se que, nesse momento, ocorreu uma falha. Caso não seja verificada a
condição de violação, as variáveis do modelo são atualizadas sempre após a convergência do
processo iterativo.
Quando se atinge o estado limite, o processo é interrompido e reiniciado com um
incremento de carga menor. Uma das maneiras de realizar esse processo consiste em dividir o
passo de carga atual por um escalar pré-definido, por exemplo, 2. Dessa forma, o incremento
de carga aplicado sempre é dado pela metade do incremento anterior convergido. Todas as
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 136
variáveis da última iteração do passo anterior convergido são armazenadas e reutilizadas no
início do novo passo de carga, repetindo a análise via elementos finitos para o novo
incremento de carga. Todo esse processo é repetido até que o novo incremento aplicado seja
desprezível quando comparado com o passo de carga inicial da estrutura. Esta condição de
parada do algoritmo ocorre quando a norma dos novos incrementos for menor que uma
tolerância pré-estabelecida. A carga última fica então definida pela soma de todos os
incrementos de carga aplicados até a tolerância atingida. A Figura 3-17 mostra o fluxograma
do modelo mecânico e do módulo de busca de cargas últimas.
Início
Iteração
Divide Carga
Sim
Não
Recupera Valores
Deslocamentos
Deformações
Tensões
Forças Internas
E.L.U?
Convergiu?
Limite?
Incremento de Carga
Matriz de Rigidez
Resíduo de Forças
Sim
Fim
Figura 3-17 – Fluxograma do modelo mecânico e busca da carga última de uma estrutura
Esse procedimento de busca das cargas últimas foi desenvolvido para melhorar a
precisão das respostas mecânicas nas análises de confiabilidade, garantindo maior eficácia na
resolução de problemas. Além disso, o procedimento garante eficiência também, uma vez que
os incrementos de carga não precisam necessariamente ser muito pequenos para fornecer a
precisão desejada, pois o algoritmo de busca, mesmo para incrementos iniciais grandes é
capaz de encontrar a carga resistente com um reduzido número de passos. Assim, o processo
pode ser tão refinado quanto se queira, bastando especificar a tolerância de parada.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 137
3.8 Exemplos de Aplicação
Nesta seção são apresentados diversos exemplos numéricos de estruturas, desde a
consideração de situações bem simples com comportamento elástico-linear até os casos onde
são considerados todos os desenvolvimentos mecânicos desta pesquisa.
3.8.1 Exemplo 1
Este exemplo trata de uma viga biapoiada submetida a uma força concentrada no
meio do vão. O objetivo do exemplo é apenas comparar os resultados obtidos pelo programa
desenvolvido com a teoria técnica de flexão e a formulação de Soares (2001), dada em termos
do sistema corrotacional, em uma análise puramente linear.
Y
X
F
1 5
200 200
F
20
30
Prop. mecanicas
Ec
ν
2500
kN/cm2
0,2
Figura 3-18 – Viga biapoiada com força concentrada no meio do vão
A estrutura foi discretizada em 4 elementos finitos de mesmo comprimento. A
técnica de quadratura de Gauss-Lobatto com 3 pontos no comprimento de cada elemento e
também 3 pontos na altura foi utilizada para a integração numérica. Os resultados da análise
estão apresentados na Tabela 3-1.
É interessante destacar que essa análise foi realizada considerando o equilíbrio da
estrutura na posição indeformada (linearidade geométrica) e o material em regime elástico-
linear. Dessa forma, verifica-se a hipótese de proporcionalidade entre força e deslocamento, o
que permitiu a aplicação do carregamento de 1000kN em um único passo de carga. Apenas
para orientação, esses resultados referem-se ao eixo médio da estrutura e o tempo de
processamento resultante foi insignificante.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 138
Tabela 3-1 – Deslocamentos transversais e rotações dos nós
Nó
T.Técnica/Bernoulli Soares (2001) Programa/Bernoulli
Deslocamentos
1
0,0 0,0
0,0
2
-8,1481 -8,0875
-8,1481
3
-11,8519 -11,7640
-11,8518
4
-8,1481 -8,0875
-8,1481
5
0,0 0,0
0,0
Rotações
1
-0,088889 -0,088227
-0,088888
2
-0,066667 -0,066170
-0,066666
3
0,0 0,0
0,0
4
0,066667 0,066170
0,066666
5
0,088889 0,088227
0,088888
Concluiu-se que os resultados foram praticamente os mesmos quando comparados
com os valores exatos para esse caso estudado.
3.8.2 Exemplo 2
Neste exemplo, foi analisada uma viga engastada submetida a uma força
concentrada, comparando os resultados fornecidos pelo programa com as teorias exatas de
Bernoulli e Timoshenko. O objetivo do exemplo foi verificar a capacidade da formulação em
determinar a influência da deformação por cisalhamento em peças com relação altura/vão de
1/5. Novamente, trata-se de uma análise elástico-linear material e geométrica, com
carregamento de 1000kN aplicado em um único passo. Foram utilizados 3 pontos de Gauss no
comprimento e na altura das seções transversais para a integração numérica. A estrutura foi
discretizada em 4 elementos finitos de mesmo comprimento.
Com relação à teoria de Euler-Bernoulli, os resultados obtidos com o programa
desenvolvido no presente trabalho foram excelentes, tanto em deslocamentos quanto em
rotações dos nós. Já na segunda situação, com a consideração da deformação por
cisalhamento, os valores dos deslocamentos diferem um pouco dos valores exatos obtidos
com a teoria técnica.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 139
Y
X
F
1 5
300
20
80
F
100
Prop. mecanicas
Ec Gc
ν
2500
kN/cm2
1042
kN/cm2
0,2
Figura 3-19 – Viga engastada com carga concentrada a 1 metro do balanço
A Tabela 3-2 apresenta os valores obtidos na análise, destacando-se em itálico os
resultados do programa desenvolvido neste trabalho.
Tabela 3-2 – Deslocamentos transversais e rotações dos nós
NÓ T.Técnica/Bernoulli Programa/Bernoulli T.Técnica/Timoshenko Programa/Timoshenko
Deslocamentos
1
0,0
0,0
0,0
0,0
2
-0,6250
-0,6250
-0,6970
-0,6842
3
-2,1875
-2,1875
-2,3315
-2,3059
4
-4,2188
-4,2187
-4,4348
-4,3964
5
-6,3281
-6,3281
-6,5441
-6,5058
Rotações
1
0,0
0,0
0,0
0,0
2
-0,011719
-0,011718
-0,011719
-0,011718
3
-0,018750
-0,018750
-0,018750
-0,018750
4
-0,021094
-0,021093
-0,021094
-0,021093
5
-0,021094
-0,021093
-0,021094
-0,021093
A Tabela 3-3 mostra as diferenças percentuais entre os deslocamentos obtidos com a
teoria técnica (teoria de Timoshenko) e numéricos.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 140
Tabela 3-3 – Teoria exata de Timoshenko versus valores numéricos
NÓ 1 2 3 4 5
Deslocamentos
0% 1,83% 1,09% 0,86% 0,58%
Rotações
0% 0% 0% 0% 0%
Diante disso, verificou-se o bom desempenho da formulação implementada em
situações onde a deformação proveniente do cisalhamento é importante.
3.8.3 Exemplo 3
Este exemplo trata da análise linear material e geométrica de uma viga de concreto
hiperestática, submetida a um momento fletor concentrado de 10
7
kN.cm sobre o apoio. A
estrutura foi discretizada em 4 elementos finitos de mesmo comprimento, com 3 pontos de
Gauss na altura e no comprimento. O objetivo do exemplo foi avaliar novamente o
comportamento da formulação, no tocante ao cisalhamento, no estudo de estruturas com
grande relação altura/vão (
33,31=LH
). Para esse tipo de estrutura, espera-se que a
deformação por cisalhamento influencie significativamente o campo de deslocamentos. A
Figura 3-20 ilustra a estrutura e as propriedades mecânicas empregadas na análise.
Y
X
1
5
20
120
Prop. mecanicas
Ec Gc
ν
2500
kN/cm2
1042
kN/cm2
0,2
M
M
400
Figura 3-20 – Viga hiperestática com momento fletor aplicado no apoio
Foram realizadas análises com a teoria de Euler-Bernoulli, isto é, sem considerar a
deformação por cisalhamento e, na seqüência, com a teoria de vigas de Timoshenko para
avaliar as diferenças nos deslocamentos decorrentes da influência das distorções. A Tabela
3-4 mostra os resultados.
Com relação à teoria de Euler-Bernoulli, os resultados obtidos pelo programa foram
excelentes. Ao se considerar a deformação por cisalhamento na análise da estrutura, verificou-
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 141
se um pequeno desvio dos resultados tanto de deslocamentos quanto de rotações dos nós em
relação aos valores exatos. A Tabela 3-5 ilustra as diferenças percentuais entre os valores
exatos e numéricos para o caso da teoria de Timoshenko.
É interessante destacar que para essa estrutura com relação
33,31=LH
, já existe
uma diferença considerável entre os deslocamentos obtidos com e sem a consideração da
deformação de cisalhamento. A maior diferença percentual foi encontrada para o
deslocamento do nó 4, da ordem de 29,86% (entre teoria técnica de Bernoulli e Timoshenko),
indicando que a consideração da teoria de Timoshenko, nesse caso, é absolutamente
necessária na análise.
Tabela 3-4 – Deslocamentos transversais e rotações dos nós
NÓ T.Técnica/Bernoulli Programa/Bernoulli T.Técnica/Timoshenko Programa/Timoshenko
Deslocamentos
1
0,0
0,0
0,0
0,0
2
-7,8125
-7,8125
-8,6047
-8,4751
3
-6,9444
-6,9444
-8,2119
-8,0047
4
-2,6042
-2,6041
-3,7132
-3,5318
5
0,0
0,0
0,0
0,0
Rotações
1
-0,138889
-0,138888
-0,164238
-0,160094
2
-0,026042
-0,026041
-0,049807
-0,045921
3
0,034722
0,034722
0,015710
0,018818
4
0,043403
0,043402
0,032312
0,034125
5
0,0
0,0
0,0
0,0
Tabela 3-5 – Teoria exata de Timoshenko versus valores numéricos
NÓ 1 2 3 4 5
Deslocamentos
0% 1,51% 2,52% 4,88% 0%
Rotações
2,52% 7,80% 16,51% 5,31% 0%
Diante disso, considerou-se que os resultados da formulação implementada foram,
mais uma vez, satisfatórios.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 142
3.8.4 Exemplo 4
Este exemplo trata da simulação do comportamento de uma viga em balanço
submetida a carregamento vertical concentrado na extremidade livre. O objetivo do exemplo é
verificar a influência da deformação de cisalhamento no campo de deslocamentos transversais
da viga, bem como o comportamento do elemento finito utilizado, com relação ao travamento
da solução por cortante.
A estrutura foi discretizada em 10 elementos finitos de mesmo comprimento. A
seção transversal foi adotada com largura constante e igual a 1,0m, ao passo que a altura
apresentou-se variável justamente para verificar a influência da deformação de cisalhamento,
mediante comprimento constante de 2,0m. Aplicou-se o carregamento de 10kN em um único
passo de carga. A Figura 3-21 mostra o esquema da estrutura.
A análise foi realizada em regime elástico-linear empregando-se a teoria de
Timoshenko para levar em conta o efeito da deformação por cisalhamento. A teoria técnica de
flexão (hipóteses de Euler-Bernoulli) e a formulação desenvolvida por Paccola (2004) foram
utilizadas para efeito de comparação. Para as propriedades mecânicas, foram adotados os
seguintes valores: módulo de elasticidade longitudinal de
10
10 kN/m
2
, módulo de elasticidade
transversal de
9
105
⋅
kN/m
2
e coeficiente de Poisson de 0,2.
Y
X
L
F
Figura 3-21 – Viga em balanço com força concentrada na extremidade livre
A coluna “Influência do cisalhamento” foi obtida calculando-se a diferença
percentual entre os valores contidos nas colunas “Teoria Técnica” e “Este Trabalho”. Assim,
verificou-se que a teoria técnica pode ser aplicada nos casos onde a relação H/L é menor que
0,2, isto é, 1/5. Já nos casos onde H/L é maior que 1/5, a teoria técnica passa a não representar
bem o campo de deslocamentos em estruturas lineares, pois o efeito da deformação por
cortante torna-se significativo. Nesses casos, a teoria de Timoshenko deve ser empregada para
a análise estrutural.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 143
Tabela 3-6 – Comparação dos resultados para a viga em balanço
Deslocamento vertical
H H/L T.Técnica Este Trabalho Paccola (2004) Influência do cisalhamento
0,00002 0,00001 4,00E+6 4,00E+6 3,99E+6 0%
0,0002 0,0001 4,00E+3 4,00E+3 3,99E+3 0%
0,002 0,001 4,00 4,00 3,99 0%
0,02 0,01 4,00E-3 4,00E-3 3,99E-3 -0,0048%
0,2 0,1 4,00E-6 4,01E-6 4,02E-6 -0,49%
0,3 0,15 1,19E-6 1,19E-6 1,20E-6 -0,71%
0,4 0,2 5,00E-7 5,09E-7 5,12E-7 -1,99%
0,5 0,25 2,56E-7 2,63E-7 2,65E-7 -3,12%
1,0 0,5 3,20E-8 3,59E-8 3,68E-8 -12,49%
Vale ressaltar que os deslocamentos aqui apresentados para alturas menores que 0,02
não possuem sentido real, sendo utilizados somente para efeito de comparação com os valores
fornecidos pela teoria técnica de flexão e pela teoria de Timoshenko. Com relação à
formulação de Paccola (2004), verificou-se que a partir de H/L maior que 0,2, as diferenças
entre os deslocamentos começaram a ser mais pronunciadas, de modo que os valores obtidos
foram sempre maiores que os valores encontrados no presente trabalho. Isso ocorreu porque
em sua formulação, Paccola (2004) utilizou um elemento finito de pórtico plano com 3 nós (9
graus de liberdade) e aproximação quadrática em deslocamentos, que permitiu maior
flexibilidade à estrutura. Isso significa que, para esse caso, o elemento finito convencional de
2 nós (6 graus de liberdade) e aproximação cúbica em deslocamentos, utilizado neste trabalho,
é mais rígido que o elemento finito de 3 nós (9 graus de liberdade) e aproximação quadrática
em deslocamentos utilizada por Paccola (2004).
Finalmente, salienta-se que mesmo para o caso de altura tendendo a zero (H =
0,00002), não houve travamento da solução por cortante.
3.8.5 Exemplo 5
Neste exemplo analisa-se uma viga biapoiada submetida a um momento fletor no
sentido anti-horário concentrado no meio do vão, conforme Figura 3-22.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 144
Y
X
P
P
L
L/2
h
Prop. mecanicas e características geométricas
Ec Gc
ν
largura
L
h
1000000
kN/m2
500000
kN/m2
0,2 1,0m 3,0m 0,3m
Figura 3-22 – Viga biapoiada com momento concentrado no meio do vão
Tem-se como objetivo, verificar a influência direta da discretização da estrutura na
solução do problema. Nesse caso, foi considerada somente a teoria de Euler-Bernoulli, uma
vez que a relação
H/L
é de 1/10, o que significa que a parcela de deslocamento
correspondente à força cortante pode ser desprezada sem comprometer os resultados. O
momento fletor aplicado foi de
mkN
⋅
−
1000 . A análise ainda está no regime elástico-linear
com equilíbrio na posição indeslocada, portanto trata-se de linearidade geométrica. Foram
utilizadas redes contendo 2, 4, 6 e 8 elementos finitos, comparando os resultados com a
solução exata do problema. Os resultados estão apresentados na Figura 3-23.
-0,035
-0,03
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3
Posição X, m
Deslocamento transversal, m
Teoria Técnica 4 elementos 6 elementos 8 elementos
Figura 3-23 – Deslocamentos transversais da viga
Como pôde ser observado no gráfico abaixo, o emprego de somente 2 elementos
finitos não conseguiu determinar a deformada da estrutura. Esse comportamento ocorreu, pois
o nó livre do meio do vão apresentou deslocamento nulo já que o momento foi aplicado sobre
ele com resposta anti-simétrica. Além disso, o fato de não existirem nós intermediários ao
longo dos elementos impossibilita a quantificação dos deslocamentos entre o ponto de
F
F
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 145
aplicação do momento e os apoios. Para as demais discretizações, verificou-se que a
deformada da estrutura foi determinada com precisão a partir de uma rede de 6 elementos
finitos, aproximando-se da solução exata do problema.
Com este exemplo, apesar de simples, foi possível observar que as análises em
elementos finitos são claramente dependentes da discretização da rede, o que deve ficar ainda
mais evidente quando se considera o comportamento não-linear das estruturas.
3.8.6 Exemplo 6
Neste exemplo pretende-se mostrar o desempenho do modelo que considera a
contribuição da armadura transversal na resistência total de vigas em concreto armado, a
partir da comparação entre as deformações dos estribos medidas no ensaio experimental e as
obtidas pelo modelo aproximado desenvolvido neste trabalho.
Para isso, a estrutura considerada na análise foi uma viga em concreto armado com
3,80m de vão, seção transversal “ I “ e submetida a duas forças concentradas de 60kN cada,
aplicadas conforme o esquema mostrado na Figura 3-24. De acordo com Neves (2000) esta
estrutura foi ensaiada no laboratório da EESC-USP na disciplina de Análise Experimental de
Estruturas e instrumentada para obter as deformações do ponto médio do estribo na seção AA.
125130125
60kN 60kN
18 3
4
30
20
333
88
30
30
13,1
8,8
SR BI BA
As
As'
Asw
62,5
AA: ponto do estribo instrumentado
Figura 3-24 – Viga analisada: dimensões reais (em cm) e aproximações do modelo numérico
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 146
Como o programa desenvolvido neste trabalho não permite considerar diretamente
peças com seção “ I “, foram feitas adaptações na seção transversal. Assim, fixou-se a altura
em 30cm como na seção real (SR) e calculou-se a base mantendo-se, no primeiro caso, a
inércia da seção constante (BI) e, no segundo caso, a área constante (BA). Os valores dessas
adaptações são mostrados na Tabela 3-7.
Tabela 3-7 – Dimensões das seções transversais e características geométricas
Seção Base (cm) Altura (cm) Inércia (cm
4
) Área (cm
2
)
Real 20
30 29484 264
BI – ‘Base pela Inércia’ 13,1 30 29484 393
BA – ‘Base pela Área’ 8,8 30 19800 264
O carregamento de 60kN foi aplicado em 12 incrementos iguais de 5kN cada
conforme feito no ensaio. Os parâmetros com o “ * “ referentes às propriedades elásticas,
resistências dos materiais, cobrimento da armadura e discretização utilizada na Tabela 3-8
foram adotados para o modelo numérico, pois não havia referência sobre seus valores em
Neves (2000). Foram adotadas as hipóteses de Timoshenko juntamente com o modelo
aproximado para computar a contribuição da armadura transversal.
A seguir são apresentadas as propriedades dos materiais, quantidades de armadura e
parâmetros utilizados na construção do modelo numérico.
Tabela 3-8 – Propriedades e parâmetros da análise
Descrição Parâmetro Valor
Resistência do aço * f
S
500MPa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
177890MPa
Módulo plástico do aço * K
Y
17789MPa
ε
d0
0,000065
A
T
0,995
B
T
8000
A
C
0,85
Parâmetros de dano
B
C
1620
Cobrimento da armadura longitudinal * C 1cm
Incrementos de carga
λ
12
Número máximo de iterações It
max
1000
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Número de nós 31
Discretização da estrutura (10 elementos em cada trecho) *
Número de elementos
finitos
30
Armadura longitudinal de tração A
S
5
φ
12,5mm
Armadura longitudinal “porta-estribos” A
S
’
3
φ
6,3mm
Armadura transversal A
SW
φ
6,3mm c/ 15cm
Resistência à compressão do concreto * f
C
28MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
29632MPa
Coeficiente de Poisson do concreto *
ν
0,2
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 147
Os resultados analisados correspondem aos diagramas Força × Deslocamento do
meio do vão e Força × Deformação do estribo na seção AA, conforme as Figuras 3-25 e 3-26,
respectivamente.
As curvas em azul e amarelo foram obtidas pelo modelo mecânico desenvolvido
neste trabalho. Apenas para facilitar a vizualização, as deformações do estribo estão
multiplicadas por 10
7
. Observou-se que as duas maneiras de contornar o problema da seção “
I “, isto é, aproximação por seção retangular mantendo-se ora a inércia, ora a área como sendo
as mesmas, apresentaram diferenças consideráveis. Na trajetória de equilíbrio da viga, ficou
evidente que a seção com maior base, dada pela inércia da seção original, representou melhor
o comportamento experimental observado. Um comentário importante a ser feito é que não
houve referência em Neves (2000) sobre a discretização em elementos finitos utilizada, de
modo que adotou-se, portanto, neste trabalho uma rede de 30 elementos finitos.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00
Deslocamento no meio da vão, cm
Força, kN
Experim. Neves (2000) Base pela Inércia Base pela Área
Figura 3-25 – Trajetória de equilíbrio da viga analisada
Com relação às deformações no estribo AA obtidas com o modelo desenvolvido,
constatou-se que a aproximação com seção retangular “Base pela Área” apresentou resultados
melhores que a abordagem com “Base pela Inércia”. Esse fato ocorreu porque na
aproximação do tipo BI, obteve-se maior área de seção transversal do que na aproximação do
tipo BA. Isso fez com que a rigidez do primeiro caso fosse maior do que no segundo caso, de
modo que menos deformação principal de dano,
ε
1d
, que é a deformação que vai para a
armadura transversal de acordo com o modelo deste trabalho fosse transferida para os
estribos. Consequentemente, houve maior contribuição do concreto íntegro no mecanismo de
absorção das tensões de cisalhamento. Daí, entende-se porque houve melhor desempenho com
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 148
a aproximação do tipo BA, pois neste caso, ocorreu menor contribuição do concreto e, por
conseguinte, maior contribuição da armadura transversal na absorção das tensões, o que fez
com a curva de solicitação dos estribos no ponto escolhido se aproximasse mais da curva
experimental.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500
Deformação no estribo
Força, kN
Experim. Neves (2000)-BI Neves (2000)-BA Base pela Inércia Base pela Área
Figura 3-26 – Deformações na armadura transversal na seção AA
O modelo aproximado para considerar a contribuição da armadura transversal na
resistência de vigas em concreto armado apresentou resultados bastante satisfatórios neste
exemplo. Observou-se que o critério de início para a contribuição dos estribos dado pelo
modelo de dano representou com boa precisão o resultado experimental. No ensaio, a
armadura transversal começou a ser solicitada efetivamente a partir da carga de 15kN, ao
passo que nos modelos numéricos BI e BA o início da solicitação se deu a partir da carga de
10kN. Assim, considera-se que o modelo aproximado para contribuição das armaduras
transversais na resposta de vigas em concreto armado está coerente com os resultados
experimentais observados e, portanto, apto para utilização juntamente com modelos de dano,
nas modelagens numéricas de estruturas de barras em concreto armado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 149
3.8.7 Exemplo 7
Este exemplo consiste em uma viga biapoiada em concreto armado com três taxas
distintas de armadura longitudinal submetida a duas forças concentradas nos terços do vão,
conforme Figura 3-27.
Esta estrutura foi ensaiada por Álvares (1993) no Laboratório de Estruturas da
EESC-USP. O comportamento experimental de cada viga foi obtido mediante ensaios com
controle de força, onde os deslocamentos transversais foram medidos com o auxílio de
relógios comparadores posicionados nos apoios e no ponto central do vão. Em função dessas
particularidades, a experimentação numérica aqui realizada seguiu exatamente as mesmas
condições dos ensaios experimentais.
O objetivo deste exemplo é verificar o comportamento do modelo mecânico
desenvolvido, comparando os resultados de uma análise numérica não-linear material com as
respostas das vigas ensaiadas.
O carregamento foi aplicado em incrementos iguais de 2kN, com esquema de
integração numérica de Gauss-Lobatto ao longo do comprimento e da altura dos elementos
finitos. A armadura transversal foi composta por
φ
5mm a cada 12cm. É interessante notar
que os parâmetros de dano apresentados na Tabela 3-9 foram obtidos pela calibração
numérica de acordo com os modelos constitutivos propostos por Popovics (1973) e Figueiras
(1983) para compressão e tração, respectivamente.
80 80 80
30
12
30
12
30
12
2
φ
5
2
φ
5
2
φ
5
3
φ
10
5
φ
10
7
φ
10
40kN 40kN
Figura 3-27 – Viga biapoiada analisada: geometria (medidas em cm) e carregamentos
Os demais parâmetros e propriedades dos materiais utilizados na análise também
estão escritos na Tabela 3-9.
F
F
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 150
Tabela 3-9 – Propriedades dos materiais e parâmetros da análise
Descrição Parâmetro Valor
Resistência do aço f
Y
500MPa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
196000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
19600MPa
ε
d0
0,000065
A
T
0,9097
B
T
10398,7
A
C
0,9781
Parâmetros de dano
B
C
1276,4
Resistência à compressão do concreto f
C
27MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
29100MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Número máximo de iterações It
max
500
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Número de nós 7
Discretização da estrutura (elementos de igual comprimento)
Número de elementos
finitos
6
Para cada taxa de armadura, a viga foi analisada segundo os modelos de Bernoulli e
Timoshenko com consideração dos efeitos de pino e contribuição da armadura transversal.
As Figuras 3-28 e 3-29 mostram as respostas da viga com pequena taxa de armadura
longitudinal.
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
Deslocamento no meio do vão, cm
Força, kN
Exper.1 Exper.2 Bernoulli Timoshenko
Figura 3-28 – Trajetória de equilíbrio para viga com 3φ
φφ
φ10mm
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 151
0
320
640
960
1280
1600
1920
2240
2560
2880
3200
0 0,000025 0,00005 0,000075 0,0001 0,000125 0,00015 0,000175
Curvatura no meio do vão, 1/cm
Momento fletor, kN.cm
Estádio I Estádio II EI equiv. Bernoulli Timoshenko
Figura 3-29 – Diagrama momento × curvatura para viga com 3φ
φφ
φ10mm
A diferença de comportamento estrutural entre os modelos de Bernoulli e
Timoshenko foi muito pequena até o escoamento da armadura longitudinal, visto que esta
viga possui relação H/L = 1/8, o que faz com que a influência das deformações de
cisalhamento seja praticamente nula. Após o escoamento da armadura, foi possível verificar
uma diferença mais significativa entre os dois modelos, pois nessa região ocorre maior
contribuição da armadura transversal e do efeito de pino. É interessante notar a partir do
diagrama momento × curvatura da seção do meio do vão comparado com os estádios I e II e o
modelo do CEB-FIP com rigidez equivalente, que houve grande perda de rigidez da estrutura.
Isso ocorreu porque o modelo de dano de Mazars (1984) utiliza uma única variável de dano
aplicada em todas as direções para penalizar as propriedades elásticas do material, fato que
não ocorre na realidade em estruturas de concreto. Por conta desse comportamento justifica-se
a maior flexibilidade da estrutura produzida pelos modelos numéricos, quando comparadas
com as respostas experimentais.
As Figuras 3-30 e 3-31 trazem as respostas da viga com taxa média de armadura
longitudinal. Verificou-se diferença significativa entre os deslocamentos obtidos com ambos
os modelos para a carga última de 58kN, evidenciando assim a influência do efeito de pino e
armadura transversal nas regiões de pico da trajetória de equilíbrio da estrutura.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 152
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
Deslocamento no meio do vão, cm
Força, kN
Exper.1 Exper.2 Bernoulli Timoshenko
Figura 3-30 – Trajetória de equilíbrio para viga com 5φ
φφ
φ10mm
0
480
960
1440
1920
2400
2880
3360
3840
4320
4800
0 0,000025 0,00005 0,000075 0,0001 0,000125 0,00015 0,000175 0,0002
Curvatura no meio do vão, 1/cm
Momento fletor, kN.cm
Estádio I Estádio II EI equiv. Bernoulli Timoshenko
Figura 3-31 – Diagrama momento × curvatura para a viga com 5φ
φφ
φ10mm
As Figuras 3-32 e 3-33 mostram as respostas da viga com alta taxa de armadura
longitudinal. Notou-se que para esta situação, a diferença entre as duas respostas foi mais
gradual, chegando à máxima diferença na carga final. Isso ocorreu graças à contribuição do
efeito de pino da armadura longitudinal, que se tornou mais evidente por conta da maior taxa
de armadura longitudinal. Essa característica também pôde ser observada no diagrama
momento × curvatura, onde no final do processo de carregamento, o modelo completo de
Timoshenko garantiu uma rigidez um pouco maior. Além disso, verificou-se que as curvas
numéricas se aproximaram um pouco mais das curvas experimentais, em função do melhor
comportamento do modelo de dano para vigas armadas com altas taxas de armadura. Em
casos como este, a danificação acaba ficando mais espalhada ao longo do comprimento da
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 153
estrutura e, com isso, aproxima-se mais das hipóteses do próprio modelo, que não considera
localização do dano e nem formação de fissura discreta. Nas vigas com pequena e média taxa
de armadura longitudinal, o cenário de danificação se aproxima mais da formação de fissura
discreta, se distanciando um pouco das hipóteses do modelo e dos resultados experimentais.
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
Deslocamento no meio do vão, cm
Força, kN
Exper.1 Exper.2 Bernoulli Timoshenko
Figura 3-32 – Trajetória de equilíbrio para viga com 7φ
φφ
φ10mm
0
640
1280
1920
2560
3200
3840
4480
5120
5760
6400
0 0,000025 0,00005 0,000075 0,0001 0,000125 0,00015 0,000175 0,0002 0,000225 0,00025
Curvatura no meio do vão, 1/cm
Momento fletor, kN.cm
Estádio I Estádio II EI equiv. Bernoulli Timoshenko
Figura 3-33 – Diagrama momento × curvatura para viga com 7φ
φφ
φ10mm
Diante disso, os resultados foram considerados satisfatórios, principalmente para
vigas com alta taxa de armadura longitudinal. A contribuição dos estribos e do efeito de pino
mostrou-se atuante principalmente nos passos finais de carregamento, onde os deslocamentos
obtidos com o modelo de Timoshenko, bem como a curvatura foram significativamente
menores que os obtidos com o modelo de Bernoulli. Esse fato evidenciou a contribuição dos
mecanismos considerados em conjunto com o modelo de dano, o que torna o modelo em
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 154
elementos finitos desenvolvido um procedimento interessante na análise de estruturas em
concreto armado.
3.8.8 Exemplo 8
Este exemplo apresenta uma comparação entre os resultados obtidos por El-
Metwally et al. (1990) extraídos do trabalho de Paula (2001) e os resultados do modelo
mecânico desenvolvido neste trabalho. As análises foram realizadas considerando as não-
linearidades dos materiais aço e concreto, bem como a não-linearidade geométrica. A
estrutura analisada consiste de um pilar em concreto armado biapoiada submetido a uma força
vertical excêntrica, com comprimento de 340,3cm, seção transversal quadrada de 15cm e
armadura longitudinal total de 4
φ
10mm, conforme Figura 3-34.
L
15cm
15cm
2
φ
10mm
2
φ
10mm
F
M=F.e
Figura 3-34 – Coluna biapoiada analisada por El-Metwally et al (1990)
Os dados da estrutura, propriedades mecânicas e parâmetros importantes utilizados
na análise estão mostrados na Tabela 3-10.
Adotou-se para o módulo de elasticidade do concreto o valor de 15000MPa. Esse
valor permitiu representar a rigidez inicial observada nos resultados de El-Metwally et al.
(1990), embora não tenha sido encontrada nenhuma referência sobre o valor real utilizado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
155
Para representar a não-linearidade geométrica foi utilizada a descrição lagrangeana
atualizada, com método de integração numérica de Gauss-Lobatto para o comprimento e para
a altura dos elementos finitos.
Tabela 3-10 – Propriedades dos materiais e parâmetros da análise
Descrição Parâmetro Valor
Resistência do aço f
Y
400Mpa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
210000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
21000MPa
ε
d0
0,00018
A
T
0,995
B
T
8000
A
C
0,85
Parâmetros do modelo de dano
B
C
1050
Resistência à compressão do concreto f
C
26,5MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
15000MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Número máximo de iterações It
max
300
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Número de nós 21
Discretização da estrutura (elementos de igual comprimento)
Número de elementos
finitos
20
Cobrimento de concreto c 1,5cm
Excentricidade da força e 12,7cm
A Figura 3-35 mostra os resultados obtidos com o modelo mecânico desenvolvido
considerando três situações: apenas não-linearidade dos materiais (NLM), não-linearidades
dos materiais e geométrica (NLM + NLG) e ambas as não-linearidades com modelo de
cisalhamento e efeito de pino da armadura longitudinal (NLM + NLG + EP).
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Deslocamento transversal no meio do vão, cm
Força aplicada, kN
Exper. El Metwally et al (1990) NLM NLM + NLG NLM + NLG + EP
Figura 3-35 – Trajetória de equilíbrio da coluna analisada
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
156
As curvas em azul, verde e amarelo representam os resultados obtidos com o modelo
mecânico desenvolvido. Verificou-se que estes foram melhores que os resultados
apresentados por El-Metwally et al. (1990) apud Paula (2001), pois se aproximaram mais da
resposta experimental da estrutura marcada em preto.
A carga última obtida no ensaio foi da ordem de 65,18kN, ao passo que nos modelos
numéricos foram obtidos os seguintes valores:
Tabela 3-11 – Valores de carga última para o pilar analisada
Modelo F
última
(kN)
El-Metwally et al (1990) 61,06
NLM 96,00
NLM + NLG 63,00
NLM + NLG + EP 64,00
El-Metwally et al. (1990) considera as não-linearidades geométrica e do concreto
através de um modelo hipoelástico, o que difere do modelo de dano considerado neste
trabalho. É interessante destacar a importância de se considerar o comportamento não-linear
geométrico em estruturas submetidas à forças axiais excêntricas, conforme pode ser
observado pela diferença entre as curvas azul, verde e amarelo e os respectivos valores de
cargas últimas mostrados na Tabela 3-11.
Todos os resultados foram obtidos considerando as hipóteses de Bernoulli, com
exceção da resposta marcada pela cor amarela, que foi obtida considerando a hipótese de
Timoshenko e efeito de pino da armadura longitudinal. Verificou-se que com a contribuição
do efeito de pino, a carga última da coluna ficou mais próxima da carga experimental,
mostrando a boa capacidade do modelo.
Os resultados obtidos constituem um bom indicativo da eficácia do modelo
desenvolvido para determinar cargas últimas como representar a trajetória dos deslocamentos
ao longo de um processo de carregamento.
3.8.9 Exemplo 9
Este exemplo apresenta as respostas mecânicas de um pórtico em concreto armado
quando se consideram os efeitos das não-linearidades dos materiais combinadas à não-
linearidade geométrica da estrutura. Foram, portanto, realizadas quatro análises: Bernoulli e
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
157
Timoshenko com não-linearidade dos materiais (B-NLM, T-NLM); Bernoulli e Timoshenko
com não-linearidades dos materiais e geométrica (B-NLMG, T-NLMG). O pórtico analisado,
bem como sua geometria e armaduras está representado na Figura 3-36.
F
F
F
1
11
31
21
nós da discretização
40cm80cm
100cm
100cm
100cm2
50cm2
pilares
viga
1000cm
1000cm
Figura 3-36 – Pórtico analisado
O pórtico foi discretizado em 30 elementos finitos de mesmo comprimento, sendo 10
elementos por barra. O carregamento foi aplicado com incrementos de 100kN, variando-se
tanto as forças verticais sobre os pilares quanto a força horizontal. Na Tabela 3-12 estão
representados os parâmetros utilizados no exemplo. Esta estrutura foi analisada por Silva
(1996) empregando-se um modelo elastoplástico para o concreto considerando ou não
resistência à tração do concreto. Paula (2001) também estudou essa estrutura, considerando
comportamento não-linear dos materiais e geométrico.
Tabela 3-12 – Propriedades dos materiais e parâmetros da análise
Descrição Parâmetro Valor
Resistência do aço f
Y
420MPa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
210000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
21000MPa
ε
d0
0,00007
A
T
0,995
B
T
8000
A
C
0,85
Parâmetros do modelo de dano
B
C
1050
Resistência à compressão do concreto f
C
17,5MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
23430MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Número máximo de iterações It
max
100
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
158
A Tabela 3-13 traz os resultados de carga última obtidos pelos autores e por este
trabalho.
Tabela 3-13 – Resultados da análise em termos de carga última da estrutura
Modelo F
ULT
(kN)
B-NLM sem tração (Silva) 1300,00
B-NLM com tração (Silva) 1400,00
B-NLM (Paula) 1460,00
B-NLM (este trabalho) 1423,01
T-NLM (este trabalho) 1481,25
B-NLMG (Paula) 1400,00
B-NLMG (este trabalho) 1323,85
T-NLMG (este trabalho) 1400,00
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0 27,5 30,0 32,5
Deslocamento horizontal nó 11, cm
Força horizontal nó 11, kN
B-NLM B-NLMG T-NLM T-NLMG
Figura 3-37 – Trajetória de equilíbrio do nó 11 do pórtico
Verificou-se que o modelo de Timoshenko conduziu a valores maiores de carga
última da estrutura quando comparado com as mesmas análises realizadas com modelo de
Bernoulli. Isso ocorreu por conta da definição do próprio carregamento, pois as forças
verticais agindo diretamente sobre os pilares, garantiram um estado de compressão intenso
aos mesmos que, além de diminuir a danificação na estrutura, proporcionou ainda mais
resistência ao cisalhamento quando solicitada pela força horizontal. É interessante destacar
que ao se considerar os efeitos da não-linearidade geométrica e o modelo de Timoshenko
completo, os resultados marcados em itálico na tabela foram os mesmos. Isso indica boa
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
159
representatividade do modelo mecânico na obtenção daresistência de estruturas em concreto
armado. O critério adotado para a obtenção das cargas últimas foi a perda de estabilidade
global da estrutura, definida pela impossibilidade de equilíbrio no processo iterativo.
Os resultados também foram importantes para mostrar a influência do
comportamento não-linear geométrico em estruturas de edifícios, sendo, portanto, essencial a
sua consideração nas análises mecânicas atuais.
3.8.10 Exemplo 10
Este exemplo tem como objetivo verificar a resposta do modelo mecânico na análise
de vigas altas quando são considerados ou não os modelos aproximados para armadura
transversal e efeito de pino. As vigas escolhidas aqui foram analisadas experimentalmente por
Ashour (1997) e numericamente por He & Kwan (2001) e Wang & Hoogenboom (2004). A
Figura 3-38 ilustra a geometia das vigas, bem como armaduras e carregamento aplicado.
As vigas V1 e V2 correspondem às vigas CDB1 e CDB3 analisadas pelos demais
autores. A seguir são apresentados os parâmetros adotados na análise para cada uma das
vigas. A tolerância para o equilíbrio em forças e deslocamentos adotada foi de 10
-3
. O
carregamento total foi aplicado em incrementos iguais de 10kN cada, com máximo de 1000
iterações por passo. A carga última foi definida pela singularidade da matriz de rigidez, isto é,
quando o número máximo de iterações foi atingido, o que significa que o equilíbrio não pode
ser mais atingido. A integração numérica foi definida com 6 pontos de Gauss para o
comprimento de cada elemento e 20 pontos para a altura.
A viga V1 possui alta taxa de armadura transversal com estribos de 8mm de diâmetro
espaçados a cada 100mm, além de 8 barras longitudinais de 8mm cada ao longo de sua altura.
A viga V2 não possui armadura transversal e conta somente com 4 barras longitudinais de
8mm cada. A armadura longitudinal positiva e negativa é padrão para ambas vigas. As
estruturas foram discretizadas com 18 elementos finitos com comprimentos diferentes em
função de sua própria geometria, conforme a Figura 3-38.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
160
160
160
660 680 680 660
120
4
φ
12
4
φ
12
2
φ
10
2
φ
8
2
φ
8
φ
8 c/100
F F
625
160
160
660 680 680 660
120
Viga V1
Viga V2
F F
Le=160 Le=160
Le=165 Le=165
Le=170
Rede de elementos finitos
nó 1 nó 6 nó 14 nó 19
4
φ
12
4
φ
12
2
φ
10
4
φ
8
4
φ
8
φ
8 c/100
F F
625
Figura 3-38 – Detalhes das vigas analisadas V1 e V2 (unidades em milímetros)
Tabela 3-14 – Propriedades dos materiais e parâmetros da análise para ambas as vigas
Descrição Parâmetro Valor
Viga V1
Resistência à compressão do concreto f
C
30MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
30672MPa
ε
d0
0,0000661
A
T
0,8525
B
T
7998,0
A
C
0,9613
Parâmetros do modelo de dano
B
C
915,4
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,26
Resistência do aço f
Y
500Mpa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
205000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
20500MPa
Viga V2
Resistência à compressão do concreto f
C
22MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
22200MPa
ε
d0
0,0000742
A
T
0,9285
B
T
7978,0
A
C
1,075
Parâmetros do modelo de dano
B
C
1109,0
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,26
Resistência do aço f
Y
500Mpa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
205000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
20500MPa
Para cada viga foram feitas duas análises: elemento de Timoshenko, não-linear
material e com (SPOD-TSD) e sem (SPOD-T) as contribuições da armadura longitudinal e do
efeito de pino. A viga V2 obviamente foi analisada somente com e sem a contribuição do
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
161
efeito de pino, já que não possui armadura transversal, porém respeita a mesma legenda da
viga V1. Os resultados das curvas força total (2P) × deslocamento vertical do nó 14 foram
comparadas com as respostas obtidas por He & Kwan (2001). Foi escolhido o nó 14, pois foi
o ponto de ruptura observado nos ensaios de Ashour (1997). Os autores Wang &
Hoogenboom (2004) não apresentaram as respostas em forma de curvas, mas somente os
valores das cargas últimas obtidas com sua modelagem. A legenda das figuras é definido por:
Exper. = experimental; HK-T e HK-TSD = He & Kwan sem e com armadura transversal e
efeito de pino.
0
200
400
600
800
1000
1200
0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36
Deslocamento vertical nó 14, cm
Força total, kN
Exper. SPOD-T SPOD-TSD HK-T HK-TSD
Figura 3-39 – Trajetória de equilíbrio da viga V1
0
100
200
300
400
500
600
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
Deslocamento vertical nó 14, cm
Força total, kN
Exper. SPOD-T SPOD-TSD HK-T HK-TSD
Figura 3-40 – Trajetória de equilíbrio da viga V2
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
162
Em ambas as vigas foi possível verificar que ao se considerar a contribuição da
armadura transversal e do efeito de pino, tanto os deslocamentos quanto a carga última foram
modificados quando comparados com as respostas obtidas somente com a hipótese de
Timoshenko para vigas. É interessante destacar que as respostas da análise de He & Kwan
(2001) foram encontradas com o uso de elementos finitos planos para o concreto ao invés de
elementos de barra utilizados neste trabalho. Já Wang & Hoogenboom (2004) utilizaram uma
composição de elementos de chapa para a parte central da seção transversal incorporando as
barras de 8mm e a armadura transversal e elementos de barra para a armadura longitudinal
principal.
Acredita-se que a armadura transversal proporcionou forte contribuição na
resistência da viga V1, por conta da alta taxa empregada. Essa foi a grande diferença entre as
respostas, pois o efeito de pino contribui menos significativamente que a armadura transversal
na resistência de vigas em concreto armado, conforme pode ser observado nas curvas acima,
já que a diferença entre os valores de carga última é bem mais acentuada na viga V1 do que
na viga V2.
Dois fatores importantes que devem ser comentados a respeito das análises: o
primeiro é que em nenhum dos trabalhos citados neste exemplo, o coeficiente de Poisson e a
posição das camadas de armadura longitudinal foram fornecidos. Dessa forma, estes foram
estimados aproximadamente em função dos desenhos e do esquema de ensaio observado em
Ashour (1997). Foi adotado cobrimento superior e inferior para o concreto de 3cm e
espaçamento entre camadas da armadura longitudinal principal de 1,5cm. As barras de 8mm
foram espaçadas igualmente a partir da altura que sobrou após o posicionamento da armadura
principal na seção. O segundo fator diz respeito à não-linearidade do concreto, pois somente
neste trabalho foi utilizado modelo de dano, com calibração própria dos parâmetros internos.
Em função disso e pela própria natureza do modelo de Mazars (1984), as respostas
apresentaram maior dispersão, uma vez que a perda de rigidez é a mesma para todas as
direções no modelo considerado, o que torna a estrutura mais flexível.
A Tabela 3-15 traz os valores da cargas últimas obtidas nas diversas análises
comentadas neste exemplo e a relação entre os valores obtidos numericamente e
experimentalmente. Analisando a resposta em termos de carga última, o modelo TSD de He
& Kwan (2001) foi mais eficiente para a viga V1. Já para a viga V2, o modelo TSD deste
trabalho apresentou melhor resultado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
163
Conclui-se, portanto, que o modelo mecânico desenvolvido apresentou
comportamento satisfatório para a busca de cargas útlimas em estruturas em concreto armado,
principalmente com o uso dos modelos aproximados de resistência ao cisalhamento
propostos. Dessa forma, o modelo fica apto para o uso em análises de confiabilidade de
estruturas de barras em concreto armado.
Tabela 3-15 – Valores das cargas últimas para as vigas V1 e V2
Modelo F
ULT
(kN) F
ULT
/ F
EXP
V1 = 1079,2 1,000
Experimental
V2 = 559,2 1,000
V1 = 1060,0 0,982
Wang & Hoogenboom (2004)
V2 = 456,0 0,815
V1-T = 1055,0 0,977
V1-TSD = 1071,2 0,992
V2-T = 438,4 0,783
He & Kwan (2001)
V2-TSD = 532,2 0,951
V1-T = 880,0 0,815
V1-TSD = 1198,7 1,110
V2-T = 480,0 0,858
Este Trabalho (SPOD)
V2-TSD = 540,0 0,965
3.8.11 Exemplo 11
A estrutura analisada neste exemplo é um pórtico de dois andares com um vão entre
pilares de 3,50m e altura total de 4,20m. As ações verticais foram consideradas constantes no
valor de 700kN aplicadas sobre os pilares. Essas forças foram modeladas como cargas fixas.
Aplicou-se um processo de deslocamento controlado, de modo que a força horizontal no topo
do pórtico foi medida em cada passo do processo. Esse pórtico foi ensaiado por Vecchio &
Emara
36
(1992) apud Pituba (2003). A Figura 3-41 mostra a estrutura analisada e seus
detalhes de geometria.
Foram utilizados 10 elementos finitos por pilar e 5 elementos por viga, totalizando
30 nós e 30 elementos finitos. A integração numérica foi definida com 6 pontos de Gauss no
36
Vecchio, F.J.; Emara, M.B. (1992). Shear deformations in reinforced concrete frames.
ACI Structural Journal,
v. 89, n. 01, p. 46-56.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
164
comprimento de cada elemento finito e 20 pontos ao longo da altura das seções. O
carregamento foi aplicado na forma de controle de deslocamentos horizontais no ponto de
aplicação da força
F
. A armadura transversal adotada foi de
φ
10mm a cada 18cm para as
vigas e pilares. O equilíbrio foi considerado satisfeito a partir da tolerância em deslocamentos
de 0,001%.
B B B B
B B B B
A
A
A
A
3,50m
2,20m 2,00m
700kN
700kN
F
40cm
30cm
4
φ
20mm
40cm
4
φ
20mm
30cm
seção AA
seção BB
Figura 3-41 – Geometria e carregamentos do pórtico analisado
As propriedades dos materiais foram listadas abaixo:
•
Resistência à compressão do concreto: 29,5MPa;
•
Módulo de elasticidade longitudinal do concreto: 30400MPa;
•
Coeficiente de Poisson do concreto: 0,2;
•
Resistência de escoamento do aço: 418MPa;
•
Resistência última do aço: 596MPa;
•
Módulo de elasticidade longitudinal do aço: 192500MPa;
•
Módulo plástico do aço: 1925MPa.
A estrutura foi analisada considerando-se os modelos de dano para o concreto e
elastoplástico com encruamento isótropo positivo para o aço das armaduras. Foi considerado
também os efeitos não-lineares geométricos. Os parâmetros de dano foram calibrados à
compressão e à tração, respectivamente, a partir dos modelos de Popovics (1973) e Figueiras
(1983), assumindo os seguintes valores:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
165
0,1204;9717,0;0,10390;9205,0;000065,0
0
=====
CCTTd
BABA
ε
Com o objetivo de verificar o desempenho dos modelos mecânicos desenvolvidos
neste trabalho, a estrutura foi verificada com os modelos de Bernoulli (B) e de Timoshenko
com contribuição da armadura transversal e do efeito de pino (TSD). A Figura 3-42 ilustra os
resultados da análise.
Ambas as respostas numéricos obtidas com o modelo mecânico desenvolvido neste
trabalho retratam comportamento não-linear dos materiais e geométrico. Verificou-se que a
carga última horizontal com o modelo de Bernoulli foi de 367,6kN e com o modelo de
Timoshenko completo foi de 375,7kN. O comportamento diferenciado ficou evidente somente
nos estágios finais de carregamento, pois a grande perda de rigidez do concreto faz com que a
armadura transversal e o efeito de pino sejam mobilizados, garantindo um pouco mais de
resistência à estrutura. Esse comportamento está de acordo com as hipóteses assumidas para o
deenvolvimento desses modelos. A carga última obtida por La Borderie et al. (1991) foi de
306,9kN, resultando um valor menor que o resultado experimental de 332,3kN.
Um outro dado interessante de comparação é a carga horizontal que provocou o
primeiro estágio de fissuração do pórtico. Para o resultado experimental, essa carga foi de
52,5kN. O modelo de La Borderie et al. (1991) registrou um valor de 91,0kN, enquanto que
os modelos B e TSD resultaram praticamente o mesmo valor de 74,5kN.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Deslocamento horizontal, cm
Força horizontal, kN
Exper. La Borderie et al (1991) B TSD
Figura 3-42 – Trajetória de equilíbrio horizontal do ponto de aplicação da força
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
166
As diferenças percentuais em termos de carga última sempre comparadas com o
resultado experimental foram: +9,6% (B); +11,6% (TSD) e -7,6% (La Borderie et al).
Acredita-se que a maior rigidez dos modelos B e TSD, para esse caso, ocorreu por conta das
forças de compressão de 700kN em cada pilar, provocando o enrijecimento das colunas contra
a danificação do concreto. Vale lembrar que o dano com o modelo de Mazars só ocorre a
partir de deformações de tração no concreto.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
167
4. Modelos de Confiabilidade
4.1 Generalidades
A avaliação da segurança é algo imprescindível em qualquer projeto de uma
estrutura. Com o avanço das técnicas e sistemas construtivos, bem como dos modelos
teóricos, a análise da segurança estrutural pode ser feita com mais precisão nos dias atuais. A
metodologia de projeto é baseada na abordagem semi-probabilística que, apesar de
representar satisfatoriamente o comportamento estrutural, não leva em conta de maneira
explícita, o grau de incerteza presente nas variáveis, o que pode causar situações indesejáveis.
Essas incertezas são inerentes às variáveis, uma vez que não existe certeza absoluta sobre as
ações e a capacidade resistente dos elementos estruturais. É neste contexto que a teoria da
confiabilidade entra em cena, pois permite calcular probabilidades de ocorrência de falhas nas
estruturas, considerando de maneira adequada as incertezas das variáveis de projeto, a partir
de distribuições de probabilidades. A seguir, são apresentados os conceitos importantes
empregados, juntamente com os modelos de confiabilidade utilizados e desenvolvidos nesta
pesquisa.
4.2 Estatística Aplicada
A análise de confiabilidade tem como premissa considerar as incertezas dos
parâmetros ou variáveis de projeto a partir de suas informações estatísticas. Assim, as
variáveis consideradas passam a ser definidas não mais por um único valor fixo, mas por um
conjunto de informações tais como, uma medida central, uma medida de dispersão e uma
distribuição de probabilidades. A vantagem de se trabalhar dessa forma é que as incertezas
inerentes às variáveis de projeto na engenharia são consideradas de uma maneira consistente.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
168
4.2.1 Variáveis aleatórias
Montgomery & Runger
37
(1999) apud Verzenhassi (2008) dizem que uma variável
aleatória pode ser definida como uma função que fornece um número real para cada resultado
de um experimento aleatório dentro de um determinado espaço amostral. Neste trabalho, as
variáveis aleatórias serão representadas por letras maiúsculas e as suas realizações por letras
minúsculas. O evento
{
}
xX ≤
significa que a variável aleatória
X
deve assumir qualquer
valor menor ou igual a
x
.
As variáveis aleatórias podem ser do tipo discretas ou contínuas. As variáveis
discretas possuem um domínio finito ou infinito contável de valores possíveis. Têm como
propriedade principal funções de distribuição acumulada de probabilidades,
F
X
(x)
,
descontínuas. Um exemplo de variável discreta pode ser observado a seguir, onde a variável
pode assumir somente quatro valores discretos possíveis.
( )
<≤→→
<≤→→
<≤→→
<≤→→
=
MPafse
MPafse
MPafse
MPafse
fX
c
c
c
c
c
40304
30203
20102
1001
(4-1)
As variáveis aleatórias contínuas possuem a função
F
X
(x)
contínua no intervalo
considerado. São definidas, na realidade, por um número infinito de pontos no seu domínio.
Um exemplo de variável aleatória contínua pode ser dado a partir da seguinte relação:
( )
(
)
2
10
−=
MPaf
fX
c
c
(4-2)
para
MPaf
c
25
=
, por exemplo, a variável aleatória contínua assume o valor de
(
)
MPaX 5,025 =
.
4.2.2 Funções de densidade de probabilidades (FDP)
Uma vez que o valor de uma variável aleatória representa o resultado de um
experimento, pode-se associar a esse resultado uma probabilidade de ocorrência. A regra que
37
Montgomery, D.C.; Ruger, G.C. (1999).
Estatística aplicada e probabilidades para engenheiros
. Tradução de
Verônica Calado. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
169
descreve todas as medidas de probabilidades associadas a todos os valores possíveis da
variável aleatória é chamada de distribuição de probabilidades.
Assim, a função de densidade de probabilidades de uma variável aleatória expressa a
probabilidade de ocorrência de um determinado valor da variável considerada.
Matematicamente, expressa-se essa lei como sendo
(
)
xXP =
para todo valor de
x
.
Para uma variável aleatória discreta, a distribuição de probabilidades é, de maneira
geral, definida por apenas um conjunto de valores possíveis, acompanhada da probabilidade
de ocorrência de cada um desses valores. Já no caso de variáveis aleatórias contínuas, tem-se
uma função de densidade de probabilidades,
f
X
(x)
, que fornece a distribuição de “massa” de
probabilidades da variável. Logo, a probabilidade de
x
estar dentro de um intervalo
a
e
b
é
calculada pela integral de
f
X
(x)
de
a
até
b
.
( ) ( )
∫
=≤≤
b
a
X
dxxfbXaP
(4-3)
Melchers (1999) e o Probabilistic Model Code (2001) trazem tabelas com várias
distribuições contínuas de probabilidades, seus parâmetros e suas respectivas FDPs.
4.2.3 Funções de distribuição acumulada de probabilidades (FDA)
A função de distribuição acumulada de probabilidades de uma variável aleatória
X
é
definida para qualquer número
x
no intervalo (
+∞
≤
≤
∞
−
x
), sendo dada por:
( )
[ ]
( )
∫
∞−
=≤=
x
XX
dxxfxXPxF
(4-4)
A expressão acima quer dizer que o número
F
X
(x)
corresponde à probabilidade de
que a variável aleatória
X
assuma qualquer valor menor que
x
. Essa definição é aplicável tanto
para as variáveis aleatórias discretas quanto para as contínuas.
É interessante destacar que a FDP de uma variável aleatória é a derivada em relação
à
x
da FDA. É por isso que se faz a distinção entre variáveis contínuas e discretas, pois é
possível que a FDA não tenha derivadas em todo o domínio de
x
, sendo neste caso definida
como variável discreta.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
170
( )
(
)
dx
xdF
xf
X
X
=
(4-5)
A Figura 4-1 ilustra um exemplo de possíveis FDA e FDP de variáveis aleatórias
discretas e contínuas.
1.0
0.0
0.5
1.0
0.5
0.0
x
x
FDP
FDA
x1
x2 x3
x4 x5
x6
x6
x5x4
x3x2
x1 x1
x2 x3
x4 x5
x6
x6
x5x4
x3x2
x1
FDA
FDP
x
x
0.0
0.5
1.0
0.5
0.0
1.0
VA discreta
VA contínua
Figura 4-1 – FDA e FDP de VA discretas e contínuas
Mais detalhes sobre esses assuntos podem ser encontrados em Ang & Tang (1975),
Nowak & Collins (2000) e Beck (2006).
4.2.4 Média, variância e desvio-padrão de uma variável aleatória
Uma variável aleatória é descrita completamente na forma de sua distribuição de
probabilidades e de seus parâmetros associados. Na prática, a forma dessas distribuições
podem ser desconhecidas para determinadas variáveis aleatórias. Nesses casos, essas variáveis
podem ser descritas de maneira aproximada a partir de algumas quantidades especiais. São
elas:
•
Média ou valor esperado: representa o centro de gravidade da “massa” de
distribuição de probabilidades da variável. Pode ser calculada por:
( ) ( )
∫
∞
∞−
== dxxxfXE
XX
µ
(4-6)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
171
•
Variância: é uma medida de dispersão dos valores da variável aleatória em
torna da média. É definida por:
( ) ( )
∫
∞
∞−
−= dxxfx
XXX
2
2
µσ
(4-7)
•
Desvio-padrão: é dado pela raiz quadrada da variância.
2
XX
σσ
=
(4-8)
Existe ainda o coeficiente de variação,
CV(X)
, que é uma medida adimensional da
dispersão da variável aleatória em torno da média. Valores baixos de
CV
indicam que os
valores da variável estão distribuídos próximos à média, ao passo que valores altos do
coeficiente de variação, indicam forte dispersão dos resultados em torno da média. O
CV
pode
ser calculado por:
X
X
X
CV
µ
σ
=
(4-9)
As expressões integrais apresentadas acima referem-se ao caso de variáveis
aleatórias contínuas. Para o caso de variáveis discretas, essas integrais são transformadas em
somatórias discretas para os pontos onde a variável for definida. Essas expressões podem ser
encontradas em Beck (2006).
4.3 Estados Limites
Um estado limite pode ser definido como a fronteira entre o estado desejado e o
indesejado de uma estrutura. Existem diversos estados limites a serem considerados em um
projeto estrutural. Segundo a ABNT NBR 8681:2003, os estados limites últimos se referem a
situações que determinam a paralisação total ou parcial de uma construção. Dentre eles
podem-se citar: ruptura dos materiais (ruptura do concreto comprimido, deformação excessiva
da armadura), instabilidade global, ruína das ligações e colapsos progressivos. Já os estados
limites de serviço são aqueles que causam efeitos estruturais que não respeitam as condições
especificadas para o uso normal da construção, ou ainda que são indícios de
comprometimento da durabilidade da mesma. Dentre eles estão os estados limites de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
172
deformações excessivas, vibração excessiva, deformações permanentes, formação e abertura
de fissuras.
Para cada estado limite especificado, as variáveis importantes devem ser
identificadas em termos de esforços solicitantes, propriedades dos materiais e dimensões
geométricas da estrutura. Essas variáveis podem ser então classificadas como aleatórias ou
não dependendo da sua relevância para o comportamento da estrutura frente ao estado limite
considerado. Assim, cada estado limite é então escrito como função dessas variáveis
aleatórias e/ou determísticas, conforme segue:
(
)
(
)
nva
XXXXfXG
,...,,,
321
=
(4-10)
sendo que:
nva
é o número de variáveis aleatórias do problema.
Uma particularidade dessa função é exatamente quando
G(X) = 0
, que significa a
realização das variáveis que determina o contorno que separa a região segura da região de
falha. Nesse caso, tem-se a equação de estado limite, sendo um conceito bastante importante
na confiabilidade estrutural. Cada modo de falha estabelecido é descrito por uma equação de
estado limite específica. Para a análise de confiabilidade de um único componente, uma única
equação de estado limite é necessária, ao passo que na análise de um sistema com 5 modos de
falha, por exemplo, serão necessárias 5 equações de estado limite. Quando
G(X) > 0
tem-se
uma realização segura da estrutura para o estado limite considerado. Para
G(X) < 0
tem-se
uma situação de falha. A Figura 4-2 ilustra as curvas de nível da função de distribuição
conjunta de probabilidades,
f
X1,X2
(x
1
,x
2
)
, a equção de estado limite, bem como onde estão as
regiões de segurança e de falha da estrutura. Neste caso, a figura foi definida apenas para o
caso de duas variáveis aleatórias e uma equação de estado limite, porém o conceito é válido
para
n
variáveis aleatórias e
k
equações de estado limite.
Neste trabalho, conforme já mencionado anteriormente, os estados limites
considerados em conjunto com o modelo mecânico são os estados limites últimos de ruptura
dos materiais e de perda de estabilidade da estrutura, bem como o estado limite de serviço
para o caso de deformações excessivas.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
173
X
1
X
2
G(X)=0
G(X)<0
G(X)>0
região de falha
eq.de est.limite
região de segurança
Figura 4-2 – Região segura e de falha no espaço físico das variáveis aleatórias
4.4 Probabilidade de Falha
A probabilidade de falha é uma medida da violação de um estado limite. Seja
R
a
variável aleatória de resistência,
S
a variável aleatória de solicitação de um elemento
estrutural e a equação de estado limite definida por
G = R – S
. Chama-se de o problema
fundamental da confiabilidade, a avaliação da probabilidade de falha que verifica a situação
em que:
[
]
0
≤−= SRPP
f
(4-11)
O conjunto de todas as realizações de
R
e
S
que resultam na condição dada pela
Equação 4-11 constituem a região ou também chamado domínio de falha. Portanto, a
probabilidade de falha é o somatório de todas essas realizações possíveis dentro do domínio
de falha, sendo definida por:
( )
∫ ∫
+∞
∞− ∞−
=
s
SRf
drdssrfP
,
,
(4-12)
sendo que:
f
R,S
(r,s)
é a função conjunta de densidade de probabilidades de
R
e
S
;
r
e
s
são os
valores assumidos pelas variáveis aleatórias
R
e
S
. Quando as variáveis aleatórias forem
independentes entre si, a função conjunta de densidade de probabilidades pode ser substiuída
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
174
pelo produto direto das funções marginais de cada variável. Assim, o cálculo da probabilidade
de falha é dado por:
( ) ( )
∫ ∫
+∞
∞− ∞−
=
s
SRf
drdssfrfP
(4-13)
A probabilidade de falha pode ser associada à área de interferência entre as
distribuições de probabilidades de
R
e
S
, conforme a Figura 4-3. Portanto, quanto maior for
essa área de interferência entre as curvas, maior será a probabilidade de falha.
f
r
,f
s
r,s
f
s
(s) f
r
(r)
distribuição da probabilidade de falha
µ
s
µ
r
Figura 4-3 – Interpretação geométrica da probabilidade de falha
Assim, uma maneira de diminuir essa probabilidade é afastar as médias de ambas as
distribuições, através da imposição, por exemplo, de coeficientes de segurança. Um outro
modo de aumentar a segurança é diminuir a variabilidade das variáveis, definida pelo seu
desvio-padrão. Com relação às propriedades dos materiais, a diminuição dessa variabilidade
pode ser conseguida por meio de processos de produção melhores e mais controlados, onde a
dispersão dos resultados seja cada vez menor. As incertezas referentes à geometria dos
elementos também podem ser diminuídas com processos de execução melhores, restando
somente a variabilidade das ações externas, que é mais difícil de controlar.
O cálculo direto da probabilidade de falha através da integral da Equação 4-12 pode
ser bastante complexo de se fazer. Isso porque na prática não se conhece a distribuição
conjunta das variáveis aleatórias, tendo-se somente as informações individuais de cada
variável. Por conta disso, diversos métodos foram desenvolvidos com o objetivo de contornar
esse problema e, com isso, avaliar a probabilidade de falha. São eles: métodos de simulação e
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
175
métodos aproximados. Os métodos utilizados neste trabalho serão descritos com detalhes nas
seções posteriores.
4.5 Índice de Confiabilidade
O conceito de índice de confiabilidade foi proposto por Hasofer & Lind (1974) e é
extremamente importante, pois permite calcular a probabilidade de falha para cada estado
limite. É definido em termos geométricos como sendo a menor distância entre a origem do
espaço normal-padrão das variáveis aleatórias e a equação de estado limite. O ponto sobre a
equação de estado limite que define essa menor distância é chamado de ponto de projeto,
P
*
(Figura 4-4).
Um caso particular do problema fundamental da confiabilidade é quando tem-se as
duas variáveis aleatórias independentes entre si e com distribuição normal de probabilidades.
Nesse caso, o índice de confiabilidade pode ser obtido por:
22
SR
SR
σσ
µ
µ
β
+
−
=
(4-14)
sendo que:
µ
R
e
µ
S
são as respectivas médias da resistência e da solicitação;
σ
R
e
σ
S
são os
respectivos desvios-padrão.
De maneira geral, a equação de estado limite é definida por várias variáveis
aleatórias, inclusive com distribuições marginais de probabilidades diferentes da normal.
Assim, genericamente, o cálculo do índice de confiabilidade e das coordenadas do ponto de
projeto é feito através da resolução do seguinte problema de otimização:
( )
0:
min
1
2
=
=
∑
=
i
nva
i
i
u
uGsujeito
u
β
(4-15)
sendo que:
u
i
são as variáveis aleatórias no espaço normal-padrão.
Inicialmente, as variáveis aleatórias estão definidas no espaço físico, pois se tratam
de quantidades físicas como propriedades de resistência dos materiais, medidas geométricas
dos elementos e carregamentos aplicados sobre a estrutura. No entanto, o índice de
confiabilidade é definido no espaço adimensional das variáveis aleatórias conhecido com
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
176
espaço normal-padrão. Assim, deve-se preceder uma transformação sobre as variáveis do
espaço físico para o espaço normal-padrão. Essa transformação recebe o nome de
transformação isoprobabilística, pois tem como objetivo preservar o mesmo conteúdo de
probabilidades em ambos os espaços. A transformação depende do tipo de distribuição de
probabilidades de cada variável e das correlações existentes entre elas. Soares (2001) e Beck
(2006) descrevem os procedimentos para efetuar adequadamente essa transformação. Para
variáveis aleatórias normais e independentes, essa transformação pode ser feita
simplificadamente da seguinte maneira:
i
ii
i
x
u
σ
µ
−
=
(4-16)
sendo que:
x
i
corresponde ao valor da variável no espaço físico.
região de segurança
eq.de est.limite
região de falha
G(U)>0
G(U)<0
G(U)=0
U
2
U
1
P*
β
espaço normal-padrão
0
Figura 4-4 – Definição do índice de confiabilidade no espaço normal-padrão
Uma vez obtido o índice de confiabilidade, a probabilidade de falha pode ser
estimada por aproximações de primeira ou segunda ordem.
4.6 Componentes e Sistemas
Os conceitos de componentes e sistemas, do ponto de vista da confiabilidade, tem a
ver com o número de modos de falha importantes de uma estrutura. Basicamente, a
confiabilidade de componente corresponde à análise com a consideração de um modo de falha
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
177
apenas, ao passo que a confiabilidade de sistema remete ao cálculo da segurança considerando
vários modos de falha.
De maneira geral, as estruturas são formadas por diversos elementos estruturais. É
interessante notar que em muitos casos, a falha de um elemento não significa necessariamente
a falha de estrutura. Isso ocorre em função das possíveis reservas de resistência que a
estrutura possui, conferindo-lhe capacidade extra após a ocorrência de uma determinada falha.
Essas reservas recebem o nome de redundância. Dessa forma, a verificação da falha de uma
estrutura mais complexa requer a consideração das sequências de falha possíveis em que esta
pode acontecer.
Estruturas isostáticas são exemplos de componentes, pois a falha de uma única seção
transversal conduz a estrutura ao colapso. Já as estruturas hiperestáticas constituem exemplos
de sistema com redundâncias, uma vez que a falha em uma única seção transversal não
conduz a estrutura à ruína. Nesses casos, é necessário que a falha aconteça em mais de um
modo para que o colapso total ou interrupção de seu funcionamento ocorra. Por conta disso,
os sistemas são idealizados por meio da interação dos modos de falha importantes e de como
eles determinam o comportamento da estrutura.
4.6.1 Idealização em série
No sistema em série, a falha de um componente conduz o sistema à falha. Dessa
forma, a confiabilidade de um sistema em série é medida pela confiabilidade do seu
compontente mais frágil. Por isso, sistemas em série são conhecidos como sistemas de
correntes (Figura 4-5), para os quais a falha acontece no elo mais fraco (
weakest link system
).
A probabilidade de falha do sistema é então definida pelo evento união das probabilidades de
falha individuais de todos os componentes,
E
i
, conforme segue:
(
)
nf
EEEEPP ∪∪∪∪=
...
321
(4-17)
sendo que:
n
corresponde ao número de modos de falha do sistema.
4.6.2 Idealização em paralelo
No sistema em paralelo, para que o sistema falhe é necessário que todos ou muitos
dos seus componentes falhem. Portanto, a resistência de uma estrutura idealizada como um
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
178
sistema em paralelo é definida pela resistência de todos os seus componentes. A analogia dos
sistemas em paralelo é a de uma estrutura de barras tracionadas por uma placa muito rígida,
conforme Figura 4-5.
falha no elo mais fraco
SISTEMA EM SÉRIE
falha nas três barras
SISTEMA EM PARALELO
F
Figura 4-5 – Idealização de sistemas em série e paralelo
A probabilidade de falha do sistema em paralelo é definida pela intersecção entre os
eventos de falha individuais dos componentes, conforme segue:
(
)
nf
EEEEPP ∩∩∩∩=
...
321
(4-18)
Sistemas em paralelo são também chamados de redundantes. Essa redundância pode
ser do tipo ativa ou passiva. Na redundância ativa todos os elementos contribuem
simultaneamente para o desempenho da estrutura, mesmo em pequenas intensidades de
carregamento. Na redundância passiva, um determinado elemento só passa a contribuir depois
que outro falhe, ficando dessa forma em caráter de espera até que sua presença seja necessária
para o funcionamento da estrutura. Esse tipo de redundância passiva é interessante, pois
permite vizualizar a idéia de reserva de resistência de uma estrutura. A influência da
redundância ativa depende do comportamento mecânico dos materiais que constituem os
elementos estruturais. Em sistemas de materiais dúcteis com comportamento elastoplástico
perfeito por exemplo, a falha ocorre quando todos os elementos falham, isto é, atinjem o
escoamento. Já em sistemas com materiais frágeis, por exemplo, a falha de um único
elemento pode conduzir rapidamente todo o sistema à falha, a menos que esse elemento
contribua pouco para a redundância do sistema.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
179
Quando a redundância é do tipo ativa, os limites para a probabilidade de falha dos
sistema em paralelo podem ser calculados por:
( ) ( )
i
i
f
n
i
i
EPPEP
min
1
≤≤
∏
=
(4-19)
Nesses casos, o limite inferior representa a situação de independência entre os modos
de falha individuais, ao passo que o limite superior corresponde à dependência perfeita entre
os modos.
Beck (2006) afirmou que, na redundância passiva, a avaliação da probabilidade de
falha do sistema requer o cálculo de probabilidade condicionais através de uma árvore de
falhas. Essa árvore de falha é construída verificando-se a ocorrência de cada uma das
sequências de falha possíveis, que são determinadas por eventos condicionais.
4.6.3 Limites de primeira e segunda ordem
Um sistema é definido pela existência de vários modos de falha, sendo que cada
modo de falha é descrito por uma equação de estado limite. Os diversos métodos de
confiabilidade permitem avaliar a probabilidade de falha individual de cada modo, de forma
que é necessário fazer uma combinação dessas probabilidades individuais para se obter a
probabilidade de falha do sistema. Assim, o domínio de falha total é definido pela união dos
domínios de falha de todos modos. Da mesma forma, essa raciocínio pode ser estendido para
a confiabilidade de componentes, pois a falha destes pode ser caracterizada pela falha por
qualquer um de seus modos potenciais. Com isso, o domínio de falha de um componente
também pode ser escrito como sendo a união de seus modos potenciais e, com isso, ser
representado por um sistema em série.
Em termos matemáticos, a probabilidade de falha do sistema pode ser escrita da
seguinte forma:
( )
( ) ( )
...
1
−∩∩+∩−=
∑∑∑∑∑∑
> >>=
i ij
n
jk
kji
i
n
ij
ji
n
i
if
EEEPEEPEPP
(4-20)
Esta expressão pode ser, entretanto, bastante difícil de se calcular, pois depende das
intersecções de dois ou mais eventos de falha. O que se faz então é estabelecer limites para a
probabilidade de falha, a partir da desconsideração de alguns dos termos da Equação 4-20.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
180
Assim, esses limites ficam cada vez mais estreitos à medida que se consideram mais termos
na aproximação. Considerando os termos de primeira ordem
P(E
i
)
obtém-se um limite
superior para a probabilidade de falha do sistema. Ao se considerar também os termos de
segunda ordem
P(E
i
∩
E
j
)
obtém-se um limite inferior e assim por diante. Em função disso,
são estabelecidos os chamados limites uni e bi-modais da probabilidade de falha de um
sistema.
Os limites de primeira ordem são dados por:
( )
[ ]
( )
[ ]
∏
=
−−≤≤
n
i
ifi
n
i
EPPEP
1
11max
(4-21)
O limite inferior representa a condição na qual os modos de falha são totalmente
dependentes, de forma que a falha acontecerá sempre no modo mais fraco. Já o limite superior
corresponde à situação na qual todos os modos são independentes. Assim, a segurança da
estrutura é dada pela sobrevivência de todos os seus membros. Esses limites podem ser
bastante amplos em casos onde não há um modo de falha dominante.
Os limites de segunda ordem, por outro lado, são dados por:
( ) ( )
( )
( )
( )
[ ]
∑ ∑∑ ∑
= =
>
=
−
=
∩−≤≤
∩−+
n
i
n
i
ji
ji
if
n
i
i
j
jii
EEPEPPEEPEPEP
1 22
1
1
1
max0;max
(4-22)
Algumas considerações sobre esses limites são oportunas neste momento. Primeiro,
o uso do operador
[
]
•max
garante que não haja nenhuma contribuição negativa na
probabilidade de falha por conta da desconsideração dos termos de terceira ordem. Segundo, o
limite inferior depende da ordenação dos modos de falha, sendo adotada como regra geral, a
ordenação dos modos em grau de importância, ou seja, em ordem decrescente de
probabilidade de falha individual. Assim, na primeira posição está o modo com a maior
probabilidade de falha e em último lugar está o modo com a menor probabilidade de falha, ou
seja, o modo menos importante.
Geralmente, as probabilidade de intersecção entre os modos de falha são difícieis de
se avaliar. O que se faz então para calcular os limites bi-modais do sistema é linearizar as
equações de estado limite de cada modo em seu respectivo ponto de projeto (Figura 4-6).
Com isso, torna-se possível estimar os termos de segunda ordem
P(E
i
∩
E
j
)
a partir dos
coeficientes de correlação entre os modos de falha obtidos em função da área da intersecção
aproximada.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
181
U
2
U
1
β
1
0
β
2
G
1
(U)=0
G
2
(U)=0
P
1
*
P
2
*
intersecção real
intersecção aproximada
Figura 4-6 – Linearização das equações de estado limite de dois modos de falha
Os coeficientes de correlação entre pares de modos de falha podem ser obtidos por:
ji
ji
ij
GG
GG
∇⋅∇
∇
⋅
∇
=
ρ
(4-23)
sendo que: o numerador representa o produto escalar entre os gradientes dos modos de falha
i
e
j
; o denominador corresponde ao produto simples dos módulos desses gradientes (Ang &
Tang 1975).
Com isso, calcula-se as probabilidades de ocorrência dos eventos A e B, para cada
combinação de pares de modos
ij
:
( )
( )
( ) ( )
−
−
−Φ⋅−Φ=
−
−
−Φ⋅−Φ=
2
2
1
1
ij
jiji
jij
ij
iijj
iij
BP
AP
ρ
βρβ
β
ρ
βρβ
β
(4-24)
Finalmente, obtém-se as probabilidades das intersecções entre pares de modos de
falha, a partir da Equação 4-24. Assim, para o limite inferior tem-se:
(
)
(
)
(
)
ijijji
BPAPEEP +=∩
(4-25)
E para o limite superior, a probabilidade da intersecção é dada por:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
182
(
)
(
)
(
)
[
]
ijijji
BPAPEEP ;max=∩
(4-26)
Os limites dados pela Equação 4-22 são assintóticos, isto é, se estreitam à medida
que as probabilidades de falha individuais diminuem. Vale comentar que esses limites podem
ser bastante largos quando não houver um modo de falha dominante sobre os demais.
Mais informações sobre confiabilidade de sistemas e redundâncias podem ser
encontradas nos trabalhos de Ditlevsen & Bjerager (1984), Shiraishil & Furuta (1998), Nowak
& Collins (2000) e Ghali et al (2009).
4.7 Métodos de Cálculo
4.7.1 Aspectos gerais
O objetivo de toda a análise de confiabilidade estrutural é avaliar a probabilidade de
ocorrência de uma falha específica de uma estrutura. Isso pode ser feito, conforme já descrito
na seção 4.4, através da integral da função densidade conjunta das variáveis aleatórias sobre o
domínio de falha considerado. Entretanto, essa integral pode ser bastante difícil de se calcular
na prática, justamente pela dificuldade de conhecimento da função densidade conjunta. Em
função disso, diversos métodos foram criados com o objetivo de contornar essa dificuldade e
avaliar a probabilidade de falha das estruturas. Nesta seção, esses métodos serão brevemente
descritos, juntamente com os métodos que foram empregados neste trabalho.
4.7.2 Métodos de simulação
Simulação é uma técnica que visa representar o comportamento de acontecimentos
reais, a partir de hipóteses, leis e modelos matemáticos condizentes com a realidade estudada.
Na engenharia, a simulação numérica (experimentação feita por meio de programas
computacionais) é realizada para prever o desempenho de sistemas reais. Com relação às
estruturas, simulações são vistas como uma forma de realizar numericamente um experimento
impossível de ser realizado na prática. Ensaios para avaliação de probabilidades de falha de
estruturas são praticamente impossíveis de serem realizados, pois essas probabilidades são
geralmente muito pequenas, o que requereria um grande número de estruturas ensaiadas. Isso
é impossível de ser feito por conta do altíssimo custo gerado nesses ensaios, além do fato de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
183
que para estruturas como grandes pontes, por exemplo, não seria possível reproduzir pontes
iguais apenas para ensaios de probabilidades de falha. É exatamente por esses motivos que a
simulação é uma técnica bastante atrativa e eficiente para o cálculo de probabilidades de falha
de estruturas.
Os métodos de simulação são conhecidos como exatos, pois o seu resultado se
aproxima cada vez mais do valor exato, à medida que o número de simulações tende ao
infinito. No entanto, a palavra exato é um pouco forte demais, visto que esses resultados são
obtidos para conjuntos amostrais finitos e através de modelos de comportamento
aproximados. Além disso, a simulação depende fortemente dos números aleatórios gerados
por computador, o que confere a elas um certo caráter de previsibilidade, pois esses números
obedecem a funções determinísticas internas dos computadores, conferindo-lhes, portanto, um
caráter pseudo-aleatório.
O método de Monte Carlo é um dos métodos de simulação mais conhecidos pela
comunidade científica mundial. Aliado às técnicas de redução de variância, isto é, menor
número de simulações, sua aplicação tem crescido nos dias atuais, graças à sua simplicidade e
grande eficácia. O método foi utilizado neste trabalho através do programa computacional
StRAnD (Structural Reliability Analysis and Design) desenvolvido por Beck (2007). O
programa permite avaliar a probabilidade de falha das estruturas via simulação de Monte
Carlo simples (MCS) e simulação de Monte Carlo com Amostragem por Importância (MCAI)
entre outros métodos.
O método de Monte Carlo requer o conhecimento das distribuições de probabilidades
das variáveis aleatórias envolvidas no problema. O seu princípio consiste em realizar diversas
repetições do modelo estrutural considerado, onde em cada uma delas é gerado um conjunto
de valores aleatórios para as variáveis aleatórias mediante suas distribuições de
probabilidades. Esse conjunto de valores aleatórios é gerado de acordo com algumas regras
especiais, de modo a resultar em valores confiáveis. O processo de geração aleatória pode ser
encontrado com detalhes em Nowak & Collins (2000), Neves (2004) e Beck (2006).
Para cada conjunto de amostras das variáveis do problema determina-se a resposta
mecânica da estrutura e, consequentemente, obtém-se uma avaliação das equações de estado
limite. A probabilidade de falha é então estimada pela quantidade de realizações que
representaram falha sobre a quantidade total de realizações da estrutura. Matematicamente,
tem-se:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
184
( )
≥→
<→
=
00
01
G
G
XI
r
(4-27)
sendo que: I(X
r
) é o estimador da realização, marcando 1 em caso de falha e 0 em caso de
segurança para o modo considerado.
A probabilidade de falha pode então ser estimada por:
( )
s
n
r
r
f
n
XI
P
s
∑
=
=
1
(4-28)
sendo que: n
s
é o número total de realizações da estrutura.
Juntamente com a estimativa da probabilidade de falha, avalia-se também a variância
dessa estimativa, que corresponde ao erro relacionado com a simulação realizada.
( )
[ ]
ss
n
r
fr
P
nn
PXI
s
f
−
−
=
∑
=
2
1
2
2
σ
(4-29)
Quanto maior o número de simulações, menor é o erro associado ao processo. A
quantidade de simulações está diretamente ligada ao valor da probabilidade de falha. Quanto
menor a probabilidade de falha, maior deve ser o número de simulações necessárias para se
obter a mesma variância. Uma boa aproximação para a quantidade de simulações pode ser
dada fazendo-se 100/P
f
. Essa é a grande dificuldade do uso do método de Monte Carlo
simples na engenharia de estruturas, pois os problemas estruturais são caracterizados, de um
modo geral, por probabilidades muito pequenas. Isso significa um número muito grande de
simulações para que se atinja uma estimativa aceitável (baixa variância) da probabilidade de
falha. Modelos mecânicos mais refinados em elementos finitos ou elementos de contorno
conduzem a elevados tempos de processamento para a obtenção de uma resposta mecânica, o
que torna o seu uso combinado à simulação de Monte Carlo praticamente inviável. Nesses
casos, uma alternativa que pode ser viável é a redução do número de simulações através do
uso de técnicas de amostragem por importância (redução de variância).
A amostragem por importância procura deslocar os pontos de amostragem, isto é, as
realizações aleatórias das variáveis, para regiões importantes do domínio de falha. Assim, ao
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
185
invés de simular uma grande quantidade de pontos afastados do domínio de falha, desloca-se
a função de amostragem para as suas proximidades e faz-se uma simulação reduzida.
A probabilidade de falha é então dada por:
( )
( )
( )
rX
rX
s
n
r
r
f
Xh
Xf
n
XI
P
s
⋅=
∑
=1
'
(4-30)
sendo que: f
X
é a função densidade conjunta das variáveis aleatórias; h
X
é a nova função de
amostragem; I
’
(X
r
) é o novo estimador da realização r.
A grande dificuldade da amostragem por importância reside na escolha da função h
X
.
Uma técnica interessante e bastante utilizada hoje foi proposta por Borgound & Bucher
(1986). A proposta é centrar a nova função de amostragem no ponto de projeto do modo de
falha considerado e realizar as simulações. Encontra-se o ponto de projeto através de algum
algoritmo de otimização, aplica-se a técnica e em seguida são as feitas as simulações. De
acordo com Beck (2006), o número de simulações necessárias torna-se praticamente
independente da ordem de grandeza da propabilidade de falha quando se usa a amostragem
por importância. Sugere ainda que 3000 simulações por modo de falha são suficientes para se
obter boa aproximação da probabilidade de falha do respectivo modo, com dispersão de
aproximadamente 5%. A Figura 4-7 ilustra os métodos de MCS e MCAI e suas respectivas
diferenças.
região de segurança
região de falha
G(U)>0
G(U)<0
U
2
U
1
região de segurança
região de falha
G(U)>0
G(U)<0
U
2
U
1
P* P*
Monte Carlo simples Monte Carlo com amostragem
por importância
Figura 4-7 – Simulação de MC simples e MC com amostragem por importância
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
186
4.7.3 Métodos aproximados
Os métodos aproximados são uma alternativa para a resolução do problema da
confiabilidade, pois estimam a probabilidade de falha a partir do índice de confiabilidade.
Conforme já mencionado anteriormente, o índice de confiabilidade pode ser definido como
uma medida geométrica da probabilidade de falha e é aceito hoje em dia como uma medida da
segurança estrutural. Assim, o problema consiste em determinar qual é o ponto sobre a
equação de estado limite que possui a menor distância até a origem do espaço normal-padrão.
Esse ponto recebe o nome de ponto de projeto e possui grande importância no processo.
O índice de confiabilidade é obtido, conforme já descrito na seção 4.5, pela resolução
do problema de otimização dado pela Equação 4-15 e repetido aqui apenas por conveniência:
( )
0:
min
1
2
=
=
∑
=
i
nva
i
i
u
uGsujeito
u
β
O ponto de projeto é automaticamente determinado, pois corresponde às coordenadas
u
i
, ou seja, às variáveis otimizadas que fornecem a menor distância da equação de estado
limite e a origem do espaço normal-padrão. Trata-se, portanto, de um processo geral que pode
envolver um número qualquer de variáveis aleatórias.
A seguir, apresenta-se um passo-a-passo para o cálculo do ponto de projeto, bem
como os detalhes de cada passo.
1. Escolher um ponto de partida para iniciar o processo de busca. Esse ponto não
precisa necessariamente estar sobre a equação de estado limite. Normalmente, escolhe-se as
médias das variáveis aleatórias no espaço físico;
2. Avaliação da equação de estado limite no espaço físico, que pode ser explícita
ou implícita. As equações explícitas são definidas dessa forma porque apresentam diretamente
as variáveis aleatórias que participam do modo de falha. No caso das equações implícitas, são
relacionadas grandezas que são função das variáveis aleatórias, sendo necessário obtê-las
numericamente. Por exemplo, é o caso de uma equação de estado limite escrita em termos do
momento fletor de uma viga. O momento resistente é função das resistências do aço e do
concreto, que são variáveis aleatórias do problema. Define-se então os valores dessas
resistências e faz-se a análise numérica da estrutura para se obter o momento fletor resistente.
Isso ocorre principalmente quando se considera o caráter não-linear dos materiais;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
187
3. Cálculo da matriz Jacobiana (J) e da inversa da Jacobiana (J
-1
). O índice de
confiabilidade é definido no espaço normal-padrão das variáveis não-correlacionadas. Por
conta disso, é necessário realizar uma transformação isoprobabilística do espaço físico para o
espaço normal-padrão (X para U). Essa transformação é gerida pela matriz Jacobiana. Assim,
a matriz Jacobiana e a sua inversa são dadas por:
=
=
−
n
n
X
X
X
X
X
X
J
J
σ
σ
σ
σ
σ
σ
...00
............
0...0
0...0
1
...00
............
0...
1
0
0...0
1
2
1
2
1
1
(4-31)
As matrizes apresentadas acima se referem ao caso onde as variáveis aleatórias são
independentes entre si e possuem distribuição normal de probabilidades. Caso haja correlação
entre as variáveis e distribuições diferentes, o processo de obtenção das matrizes Jacobianas
muda um pouco, pois primeiro é necessário transformar as variáveis do espaço físico
correlacionado para o espaço normal-padrão correlacionado e só depois passar para o espaço
normal-padrão não-correlacionado. Esse processo está bem explicado em Beck (2006);
4. Transformação do ponto de X para U através da seguinte relação:
{
}
MXJU −⋅= , onde M é o vetor com todas as médias das variáveis aleatórias;
5. Cálculo dos gradientes da equação de estado limite. Deve-se avaliar
primeiramente os gradientes da equação de estado limite no espaço físico (
X
G∇ ) e depois
transformá-los para o espaço normal-padrão (
U
G∇ ). Novamente, essa etapa depende da forma
da equação de estado limite. Caso esta esteja na forma explícita, as derivadas com relação a
cada uma das variáveis aleatórias são diretas. Porém, caso a equação de estado limite seja
implícita, as derivadas devem ser avaliadas por diferenças finitas. Esse procedimento será
explicado logo adiante. Assim, a transformação dos gradientes fica definida por:
(
)
X
T
U
GJG ∇⋅=∇
−
1
(4-32)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
188
6. Cálculo dos fatores de sensibilidade (
α
). A principal função dos fatores de
sensibilidade é mostrar quais variáveis aleatórias tem de fato importância na determinação da
probabilidade de falha da estrutura, sendo utilizados, portanto, para eliminar variáveis com
pouca importância. Respeitam a seguinte relação: 1...
22
3
2
2
2
1
=++++
n
αααα
;
7. Cálculo do novo ponto pelo algoritmo HLRF;
8. Transformação do novo ponto de U para X através da seguinte relação:
MUJX +⋅=
−
1
;
9. Cálculo do índice de confiabilidade no novo ponto calculado;
10. Verificação do critério de convergência. Caso este seja satisfeito, finaliza-se o
processo, caso contrário retorna-se ao passo 3 até que a convergência seja atingida.
Uma vez encontrado o índice de confiabilidade da estrutura, determina-se a
probabilidade de falha através de uma aproximação do tipo FORM ou SORM.
A seguir, são descritos o algoritmo HLRF, a técnica dos gradientes por diferenças
finitas e o Método das Superfícies de Resposta. Todos esses procedimentos fazem parte desse
algoritmo de busca do ponto de projeto apresentado nesta seção.
4.7.4 FORM e SORM
Uma vez determinado o índice de confiabilidade, a probabilidade de falha pode ser
estimada utilizando uma aproximação de primeira ordem (FORM) ou até mesmo para uma
maior precisão, uma aproximação de segunda ordem (SORM).
No FORM, a equação de estado limite é apoximada por um hiperplano tangente ao
ponto de projeto, de modo que a probabilidade de falha é avaliada por:
(
)
β
−Φ=
FORMf
P
,
(4-33)
sendo que: Φ() é a distribuição acumulada de probabilidades no espaço normal-padrão (onde
a média é zero e o desvio-padrão é unitário).
Já o SORM pode ser utilizado quando a equação de estado limite apresenta forte não-
linearidade na região próxima ao ponto de projeto. Nesses casos, a aproximação de primeira
ordem pode produzir erros excessivos. O que se faz é centrar no ponto de projeto uma
superfície quadrática e corrigir a probabilidade de falha a partir de um fator dependente dessa
superfície. Breitung (1984) propôs a utilização de um hiper-parabolóide ajustado através das
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
189
curvaturas principais da equação de estado limite no espaço normal-padrão. Assim, o
processo consiste em escolher uma base adequada para a construção do parabolóide e depois
avaliar o conteúdo de probabilidades definido pelo parabolóide. As curvaturas do parabolóide
são obtidas a partir das curvaturas da equação de estado limite e da matriz hessiana no ponto
de projeto. Assim, a probabilidade de falha corrigida é dada pela seguinte expressão:
( )
∏
−
=
−
⋅−Φ=
1
1
,
1
1
nva
i
i
SORMf
a
P
β
β
(4-34)
sendo que: a
i
são as curvaturas do parabolóide.
A Figura 4-8 ilustra as aproximações de primeira e segunda ordem e suas diferenças
em termos do erro em relação à aproximação da equação de estado limite.
G(U)=0
U
2
U
1
P*
P*
G(U)
SORM
=0
erro SORM
erro FORM
G(U)
FORM
=0
Figura 4-8 – Aproximações do tipo FORM e SORM
4.7.5 Técnica dos gradientes numéricos
A busca do ponto de projeto requer a avaliação das derivadas parciais da equação de
estado limite no ponto candidato. Na Técnica dos Gradientes Numéricos (TGN), essas
derivadas são obtidas via diferenças finitas no espaço físico, a partir das respostas diretas do
modelo mecânico de elementos finitos. Em seguida, faz-se a transformação dos gradientes do
espaço físico para o espaço normal-padrão, conforme descrito no algoritmo da seção 4.7.3.
Basicamente, para se determinar a derivada em relação à variável aleatória x
i
, fixa-se
as demais variáveis no ponto candidato e faz-se uma pequena variação na variável x
i
. Em
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
190
seguida, a resposta mecânica da estrutura é obtida pelo modelo de elementos finitos. Assim a
derivada parcial é avaliada da seguinte forma:
(
)
(
)
i
ninnii
xX
i
X
x
xxRxxxxR
x
G
∆
−∆+∆+
=
∂
∂
=
,...,,...,
(4-35)
sendo que: R é a resposta mecânica da estrutura;
∆
x
i
corresponde ao incremento dado somente
na variável aleatória x
i
. Com relação ao incremento,
∆
x
i
, dado a cada variável, pode-se adotar
um valor da ordem de 1% do respectivo desvio-padrão.
Esse tipo de procedimento, de um modo geral, conduz a uma redução considerável
no número de avaliações da equação de estado limite comparado a outros métodos como as
superfícies de resposta. No entanto, problemas de convergência podem surgir em caso de forte
comportamento não-linear dos materiais da estrutura. A convergência também pode ser
afetada quando as variáveis aleatórias apresentarem distribuições de probabilidades diferentes
da normal e/ou em casos de correlação.
4.7.6 Algoritmo de busca HLRF
Esse algoritmo de busca foi desenvolvido especificamente para resolver o problema
de otimização na busca do índice de confiabilidade. O crédito pelo algoritmo é de Hasofer &
Lind (1974) e Rackwitz & Fiessler (1978). O algoritmo procura aproximar de maneira
perpendicular o ponto u à superfície dada pela equação de estado limite.
A formulação do algoritmo segue exatamente o procedimento descrito na seção
4.7.3. Serão mostrados, a seguir, os cálculos dos fatores de sensibilidade α, do índice de
confiabilidade β e do novo ponto candidato à ponto de projeto u, respectivamente nesta
ordem.
{ }
{
}
k
U
k
i
U
k
i
G
G
∇
∇
=
α
(4-36)
{
}
{
}
k
U
k
i
T
k
i
U
k
U
k
G
uGG
∇
⋅∇−
=
β
(4-37)
{
}
{
}
k
ik
k
i
u
αβ
−=
+
1
(4-38)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
191
sendo que:
{
}
U
G∇ é o vetor gradiente com as derivadas parciais de equação de estado limite;
U
G∇ é a norma do vetor gradiente. Essa norma é dada por
iUU
uGG ∂∂=∇ .
O processo é repetido até a convergência em termos do índice de confiabilidade e das
coordenadas do ponto de projeto. É interessante comentar que não existe garantia de
convergência do algoritmo, nem de que o ponto encontrado seja de fato o ponto de mínimo do
problema. Uma alternativa para contornar esse problema é arbitrar diferentes valores para o
ponto inicial na primeira iteração do algoritmo.
4.7.7 Método da superfície de resposta
Um dos grandes problemas enfrentados até hoje nas análises de confiabilidade é o
tempo de processamento gasto pra encontrar a probabilidade de falha. Os métodos de
simulação, embora bastante simples, requerem geralmente um número muito grande de
avaliações das equações de estado limite do problema, até mesmo considerando técnicas de
amostragem por importância. Aliado a esse fato, os modelos não-lineares utilizados hoje,
como é o caso deste trabalho, tornam ainda mais demoradas as avaliações das respostas da
estrutura, o que inviabiliza o uso direto dos métodos de simulação. Por outro lado, o uso
direto do algoritmo HLRF juntamente com a técnica dos gradientes numéricos para a busca
do ponto de projeto pode apresentar problemas de convergência para estruturas com forte
comportamento não-linear. Assim, uma outra alternativa para a resolução do problema de
confiabilidade é a utilização do Método da Superfície de Resposta (RSM – Response Surface
Method). A proposta inicial do uso desse método para confiabilidade estrutural foi dada por
Bucher & Borgound (1990), onde o ponto de projeto é encontrado mediante construções
sucessivas de superfícies de resposta.
A idéia do método é construir uma aproximação da equação de estado limite em
torno do ponto candidato a ponto de projeto. Sobre essa aproximação, o algoritmo HLRF é
utilizado para buscar o ponto de projeto até a sua convergência. Vale ressaltar que com a
utilização da superfície de resposta para aproximar a equação de estado limite, sua avaliação e
suas derivadas no ponto atual se tornam analíticas e sem esforço computacional extra,
deixando o processo bem mais simples e estável. Esse procedimento é perfeitamente
compatível com o algoritmo de solução apresentado na seção 4.7.3.
A construção da aproximação para a equação de estado limite é feita com base em
valores determinísticos das variáveis aleatórias dados por planos de experiência. Esses planos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
192
impõem variações fixas para cada variável de acordo com um critério pré-estabelecido. A
Figura 4-9 mostra os planos de experiência mais comuns encontrados na literatura e utilizados
neste trabalho.
0.7
µ
2
0.7
µ
1
Fatorial Completo
u
2
u
1
1.3
µ
2
µ
2
1.3
µ
1
µ
1
0.7
µ
2
0.7
µ
1
Mínimo
u
2
u
1
1.3
µ
2
µ
2
1.3
µ
1
µ
1
0.7
µ
2
0.7
µ
1
Composto
u
2
u
1
1.3
µ
2
µ
2
1.3
µ
1
µ
1
0.7
µ
2
0.7
µ
1
0.7
µ
1
0.7
µ
2
µ
1
1.3
µ
1
µ
2
1.3
µ
2
u
1
u
2
Estrela Hiper-Cubo
u
2
u
1
1.3
µ
2
µ
2
1.3
µ
1
µ
1
Figura 4-9 – Planos de experiência utilizados
Infelizmente, não é possível generalizar qual plano de experiência é o melhor. A
melhor alternativa de plano varia de problema para problema, sendo necessário um estudo
prévio sobre qual será a melhor escolha. O pontos são determinados impondo-se sobre as
médias uma variação positiva ou negativa em função do desvio-padrão de cada variável.
Assim, para cada variável aleatória tem-se:
i
X
i
xi
mx
σµ
±=
(4-39)
O coeficiente m é utilizado para determinar a amplitude de variação sobre a média
que o ponto terá. Existem alguns trabalhos sobre a melhor escolha desse coeficiente, porém
ainda assim não existe um consenso sobre o assunto. De um modo geral, valores entre 1,0 e
3,0 fornecem certa estabilidade de convergência para os planos, sendo, portanto, boas
alternativas para esse coeficiente. Outros valores também podem ser utilizados de acordo com
a natureza do problema em estudo.
Os pontos são gerados no espaço físico e depois transformados para o espaço
normal-padrão segundo a transformação isoprobabilística conveniente. Para cada ponto do
plano, uma chamada ao modelo mecânico é feita e uma resposta da estrutura é obtida. De
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
193
posse do vetor de respostas mecânicas e dos valores das variáveis aleatórias definidos em
cada ponto do plano, faz-se uma regressão por mínimos quadrados e determina-se os
coeficientes da função aproximadora do estado limite considerado.
As funções mais comuns e que apresentam melhor desempenho para essa
aproximação são os polinômios (Lemaire, 1998). Soares et al. (2002) concluíram ainda que
polinômios de ordem menor são melhores que polinômios de ordem mais alta. Por conta
disso, foram adotados neste trabalho polinômios de primeiro e segundo graus, sendo que estes
últimos podem ou não conter os termos cruzados. Quanto maior o número de variáveis
aleatórias envolvidas na análise, maior será o número de coeficientes desses polinômios.
Consequentemente, maior será o número de chamadas ao modelo mecânico e maior será o
tempo de processamento. Além da abordagem tradicional para a construção das superfícies de
resposta, foi introduzida também uma abordagem baseada em fatores-peso, priorizando os
pontos que resultaram mais próximos à equação de estado limite. Desenvolveu-se também
uma técnica adaptativa, na qual o plano de experiência é reestruturado no ponto de projeto,
diminuindo a distância entre os pontos e o centro do plano, com o objetivo de obter maior
precisão em torno do ponto de projeto.
4.7.7.1 Polinômio aproximador
O primeiro passo consiste em adotar o grau do polinômio aproximador da equação de
estado limite na vizinhança do ponto candidato à ponto de projeto. As expressões a seguir
representam as opções de polinômios de primeiro e segundo graus em função do número de
variáveis aleatórias, bem como a presença ou não de termos cruzados para o polinômio de
segundo grau.
Tabela 4-1 – Polinômios de primeiro grau
NVA Forma do polinômio
1
(
)
110
uaaUG +=
2
(
)
22110
uauaaUG ++=
3
(
)
3322110
uauauaaUG +++=
4
(
)
443322110
uauauauaaUG ++++=
5
(
)
55443322110
uauauauauaaUG +++++=
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
194
Tabela 4-2 – Polinômios de segundo grau sem termos cruzados
NVA Forma do polinômio
1
(
)
2
12110
uauaaUG ++=
2
(
)
2
2423
2
12110
uauauauaaUG ++++=
3
(
)
2
3635
2
2423
2
12110
uauauauauauaaUG ++++++=
4
(
)
2
4847
2
3635
2
2423
2
12110
uauauauauauauauaaUG ++++++++=
5
(
)
2
51059
2
4847
2
3635
2
2423
2
12110
uauauauauauauauauauaaUG ++++++++++=
Tabela 4-3 – Polinômios de segundo grau com termos cruzados
NVA Forma do polinômio
1
(
)
2
12110
uauaaUG ++=
2
(
)
215
2
2423
2
12110
uuauauauauaaUG +++++=
3
(
)
329318217
2
3635
2
2423
2
12110
uuauuauuauauauauauauaaUG +++++++++=
4
(
)
431442133212
41113110219
2
4847
2
3635
2
2423
2
12110
uuauuauua
uuauuauuauauauauauauauauaaUG
++
++++++++++++=
5
(
)
54205319431852174216321551144113
31122111
2
51059
2
4847
2
3635
2
2423
2
12110
uuauuauuauuauuauuauuauua
uuauuauauauauauauauauauauaaUG
+++++++
+++++++++++++=
Diante disso, pode-se generalizar a quantidade de coeficientes para cada tipo de
poilinômio, e com isso, conhecer o número mínimo de pontos que o plano precisa ter para que
a regressão seja feita com sucesso. Em alguns tipos de planos de experiência a quantidade de
pontos supera o mínimo necessário. Isso é irrelevante, pois no processo de regressão por
mínimos quadrados, essa quantidade excedente é incorporada às matrizes e a regressão é feita
normalmente. Assim, o número de coeficientes pode ser calculado por:
Polinômio de primeiro grau: 1
+
=
NVANCOEF
Polinômio de segundo grau sem termos cruzados: 12
+
⋅
=
NVANCOEF
Polinômio de segundo grau com termos cruzados:
(
)
!
!
!
NVA
GP
NVAGP
NCOEF
⋅
+
=
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
195
sendo que: GP e NVA são, respectivamente, o grau do polinômio e o número de variáveis
aleatórias.
4.7.7.2 Regressão por mínimos quadrados
Uma vez escolhida a forma da superfície de resposta e tendo já o vetor de respostas
mecânicas, o próximo passo é fazer a regressão via método dos mínimos quadrados para obter
os coeficientes do polinômio aproximador. O vetor de respostas é composto por uma resposta
mecânica para cada ponto do plano de experiência.
A regressão consiste em minimizar a distância entre as respostas dadas pelo
polinômio e as repostas obtidas com o modelo mecânico. Trata-se de um problema de
otimização descrito da seguinte forma:
( )( )
∑
=
−=
np
i
i
i
RUQd
1
2
min
(4-40)
sendo que: Q(U) é o polinômio aproximador; R é o vetor de respostas mecânicas da estrutura;
np é o número de pontos do plano de experiência.
O polinômio Q(U) também pode ser escrito da seguinte forma:
{
}
{
}
UAUQ
T
=)(
(4-41)
sendo que: {A} é o vetor de coeficientes do polinômio a ser determinado; {U} é o vetor com
os termos do polinômio. Esses vetores podem ser escritos da seguinte forma:
{
}
{
}
n
T
aaaaA ,,,,
210
K
=
(4-42)
{
}
{
}
n
T
GP
uuuU ,,,,1
21
1
K
=
(4-43)
{
}
{
}
22
22
2
11../,2
,,,,,,1
nn
T
ctsGP
uuuuuuU
K
=
(4-44)
{
}
{
}
nnnn
T
ctcGP
uuuuuuuuuuU
121
22
22
2
11../,2
,...,,,,,,,,1
−
=
K
(4-45)
sendo que: as legendas s/ t.c. e c/ t.c. representam, respectivamente, sem e com termos
cruzados.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
196
Diante disso, a função de minimização passa a ser escrita como:
{ } { }
(
)
{ } { }
(
)
[
]
∑
=
−−=
np
i
i
T
i
i
i
T
RAURUAd
1
min
(4-46)
O ponto de mínimo é obtido anulando-se o gradiente de d em relação aos
coeficientes a
i
do vetor {A}, ou seja:
{
}
{ }
0=
∂
∂
=∇
T
A
Ad
d
(4-47)
Desenvolvendo-se a expressão anterior, tem-se:
{ } { } { } { }
(
)
0
1
=−=∇
∑
=
np
i
i
i
T
ii
URAUUd
(4-48)
A partir da Equação 4-48 pode-se escrever as seguintes relações:
[ ]
{ } { }
(
)
∑
=
=
np
i
T
ii
UUP
1
(4-49)
{ } { }( )
∑
=
=
np
i
i
i
URV
1
(4-50)
Assim, o vetor com os coeficientes do polinômio aproximador são obtidos
resolvendo o seguinte sistema de equações algébricas:
[
]
{
}
{
}
VAP =
(4-51)
O processo apresentado até aqui permite determinar os coeficientes do polinômio da
forma tradicional, isto é, considerando a mesma importância para cada ponto do plano. Nesse
caso, não aparece na formulação, mas o fator-peso que pondera cada ponto é unitário, para
que dessa forma, a importância dos pontos seja sempre a mesma. Kaymaz & McMahon
(2005) propuseram uma maneira de incorporar a importância de cada ponto do plano de
experiência na regressão, de modo a construir uma aproximação melhor da equação de estado
limite em torno do ponto de projeto. Esse processo foi adaptado neste trabalho para a
utilização com polinômios de primeiro e segundo graus.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
197
O primeiro passo é selecionar entre os pontos do plano, qual deles fornece a melhor
aproximação para a equação de estado limite, isto é,
(
)
0≈UG . Assim, tem-se:
(
)
UGY min=
(4-52)
O próximo passo é calcular o vetor com os fatores-peso de cada ponto:
(
)
−
−
=
Y
YUG
i
i
ew
(4-53)
Em seguida, os fatores-peso são usados na regressão, de modo que cada ponto do
plano de experiência é ponderado pelo seu respectivo peso, refletindo sua importância na
montagem da superfície de resposta. Assim, pontos muito distantes fornecem pouca
influência, pois w
i
é próximo de zero, ao passo que pontos mais próximos influenciam mais,
uma vez que w
i
é mais próximo de 1. A matriz P e o vetor V ficam então da seguinte forma:
[ ]
{ } { }
(
)
∑
=
=
np
i
T
ii
i
UUwP
1
(4-54)
{ } { }( )
∑
=
=
np
i
i
ii
URwV
1
(4-55)
Os coeficientes da nova superfície são então obtidos pela Equação 4-51.
4.7.7.3 Evolução das superfícies de respostas
Após a montagem da superfície de resposta, aplica-se o algoritmo HLRF e
determina-se o ponto de projeto e o índice de confiabilidade. Esse processo é repetido até que
a distância relativa entre dois pontos de projeto consecutivos seja menor do que uma
tolerância pré-estabelecida de, por exemplo, 0,1%.
A estratégia de evolução do processo consiste em centrar o plano de experiência no
ponto de projeto obtido na iteração anterior e construir a nova superfície de resposta a partir
desse ponto, de modo que a aproximação da equação de estado limite vai sendo construída em
conjunto com a busca do ponto de projeto (Figura 4-10).
Uma técnica alternativa foi desenvolvida para melhorar a precisão da aproximação
em torno do ponto de projeto. Trata-se de diminuir a distância entre os pontos, aproximando-
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
198
os do centro do plano. No entanto, isso é feito somente depois que o ponto de projeto é
encontrado. Dessa forma, primeiro deve ser feita a busca do ponto de projeto conforme
explicado até agora e, após a convergência, o processo continua com a distância entre os
pontos diminuída até nova convergência. A redução da distância entre os pontos é imposta
pelo coeficiente m, que diminui de um valor fixo. Por exemplo, adota-se m = 3,0 para a
primeira busca do ponto de projeto. Após a convergência, adota-se m = 2,5 e assim por
diante. A Figura 4-11 ilustra esse processo.
G(U)=0
U
2
U
1
P
1
*
G
1
'(U)=0
β
1
G(U)=0
U
2
U
1
G
2
'(U)=0
β
2
P
1
*
P
2
*
G(U)=0
U
2
U
1
G
3
'(U)=0
β
3
P
2
*
P
3
*
Figura 4-10 – Busca do ponto de projeto: abordagem clássica
O número de redivisões do plano é controlado de acordo com o erro desejado, de
modo que podem, a princípio, ser feitas quantas redivisões forem necessárias. No entanto,
existem duas desvantagens desse procedimento. A primeira delas consiste no aumento do
custo computacional, visto que cada nova divisão do plano de experiência requer novas
chamadas ao modelo de elementos finitos. A segunda desvantagem ocorre por conta da alta
sensibilidade dos modelos não-lineares, pois para uma pequena perturbação imposta aos
valores das variáveis aleatórias, é possível a alteração completa do cenário de falha anterior.
Essa característica se torna mais evidente quando ocorrem, simultaneamente, modos de falha
variados, ou seja, não há predominância de um determinado modo de falha sobre outro.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
199
G(U)=0
U2
U1
G
i
'(U)=0
P
i
*
G(U)=0
U2
U1
G
i+1
'(U)=0
G(U)=0
U2
U1
G
i+2
'(U)=0
P
i
*
P
i+1
*
P
i+1
*
P
i+2
*
β
i
β
i+1
β
i+2
Figura 4-11 – Busca do ponto de projeto: abordagem adaptativa com redivisão do plano
4.8 Exemplos de Aplicação
A seguir, são apresentados alguns exemplos numéricos com o objetivo de mostrar a
utilização dos modelos de confiabilidade implementados no programa computacional
desenvolvido neste trabalho. Parte-se de situações simples, onde a equação de estado limite é
analítica e explícita até os casos que mostram o acoplamento dos modelos de confiabilidade
com o modelo mecânico desenvolvido.
4.8.1 Exemplo 1
Trata-se de um exemplo bastante simples definido por uma única equação de estado
limite linear.
(
)
21
496,0 XXXG −=
(4-56)
As variáveis aleatórias
1
X e
2
X são independentes e com distribuição normal de
probabilidades. As estatísticas utilizadas, definidas pelas médias e os coeficientes de variação,
são dadas por:
%5;800
11
==
xx
CV
µ
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
200
%20;1000
22
==
xx
CV
µ
Antes de apresentar os resultados, os métodos de superfícies de respostas foram
divididos e nomeados de acordo com a seguinte legenda:
• SR1: superfície de resposta tradicional com função de primeiro grau;
• WR1: superfície de resposta definida com pesos na regressão numérica e com
função de primeiro grau;
• SR2: superfície de resposta tradicional com função de segundo grau;
• WR2: superfície de resposta definida com pesos na regressão numérica e com
função de segundo grau;
Os métodos utilizados para calcular a probabilidade de falha e o ponto de projeto
foram: simulação de Monte Carlo (MC), First Order Reliability Method (FORM), Second
Order Reliability Method (SORM), ambos com a técnica dos gradientes numéricos e as
superfícies de respostas classificadas em SR1, WR1, SR2 e WR2. Os métodos que utilizaram
polinômios de segundo grau foram, neste caso, considerados sempre sem o termo cruzado. O
critério de parada das análises foi estabelecido por uma tolerância de 0,0001 em termos do
índice de confiabilidade e das coordenadas do ponto de projeto obtidas entre duas iterações
sucessivas.
É evidente a falta de necessidade em representar o problema com uma superfície de
resposta, pois se trata de uma equação de estado limite explícita. Além disso, as funções de
segundo grau também não significam, neste exemplo, nenhum tipo de melhoria nas respostas,
visto que a equação de estado limite é linear. Porém, decidiu-se aplicar esses métodos também
na resolução do problema, para verificar se os modelos eram capazes de chegar a uma
superfície de resposta que representasse exatamente a equação de estado limite do problema e
se, com isso, no caso das funções de segundo grau, os termos quadráticos eram anulados
diretamente pelo método.
A Tabela 4-4 traz os resultados da análise de confiabilidade do problema,
comparando as respostas para todos os métodos programados. A comparação é feita
admitindo que a resposta da simulação de Monte Carlo pura é a exata, obtida a partir de
100.000 chamadas da equação de estado limite no programa StRAnD. As demais respostas
foram obtidas com os modelos desenvolvidos. A coluna “NAEEL” representa o número de
avaliações da equação de estado limite para se obter o ponto de projeto e indica a eficiência de
cada método.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
201
Verificou-se, para este exemplo, ótima aproximação de todos os métodos quando
comparados com a resposta da simulação de Monte Carlo. O erro obtido para o índice de
confiabilidade entre a resposta exata e as demais repostas foi da ordem de 0,19%. Quanto à
eficiência dos métodos, verificou-se que a análise via FORM foi a mais rápida, com 6
avaliações da equação de estado limite. O SORM, para este caso, apresentou exatamente o
mesmo resultado, porém um pouco mais caro do ponto de vista computacional, por conta da
construção das curvaturas da equação de estado limite dadas em função das derivadas de
segunda ordem da equação de estado limite. Fica claro, portanto, que por se tratar de uma
função linear, não há a necessidade de se resolver o problema via SORM.
Todos os métodos baseados em superfícies de respostas utilizaram para esta análise o
plano de experiência estrela, definido com 5 pontos no caso de duas variáveis aleatórias, que
ao final de duas iterações completas resolveu o problema. O tempo de processamento gasto
para cada método foi considerado desprezível.
Tabela 4-4 – Resultados da análise de confiabilidade
β
ββ
β
P
f
X
1
*
X
2
*
α
αα
α
1
11
1
α
αα
α
2
22
2
NAEEL
MC
2,83657 0,22800e
-2
- - - - 100.000
FORM
2,84215 0,22405e
-2
757,48490 1527,18729 0,37397 -0,92744 6
SORM
2,84215 0,22405e
-2
757,48490 1527,18559 0,37397 -0,92744 19
SR1
2,84216 0,22405e
-2
757,48490 1527,18729 0,37397 -0,92744 10
WR1
2,84216 0,22405e
-2
757,48490 1527,18729 0,37397 -0,92744 10
SR2
2,84216 0,22405e
-2
757,48490 1527,18729 0,37397 -0,92744 10
WR2
2,84216 0,22405e
-2
757,48490 1527,18729 0,37397 -0,92744 10
Para mostrar a capacidade dos modelos de superfícies de resposta em representar
adequadamente a equação de estado limite do problema, foram escritas logo abaixo as
funções aproximadoras obtidas para o ponto de projeto com os métodos SR1, WR1, SR2 e
WR2.
218280000000000,0000034960000000,0000330000000000,1
211
−−= XXG
SR
(4-57)
002400000694051,0592164959999869,0338180000000653,1
211
−−= XXG
WR
(4-58)
860940000000005,0000010000000000,0000010000000000,0
001034960000000,0986709999999999,0
2
2
2
1
212
++
+
−
=
XX
XXG
SR
(4-59)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
202
467290008884869,0376420000000001,0525990000000021,0
518164959995738,0278509999967611,0
2
2
2
1
212
+−+
+
−
=
XX
XXG
WR
(4-60)
Embora o método WR2 tenha apresentado algum valor para os termos quadráticos da
equação de estado limite, estes ainda são insignificantes na avaliação da superfície de falha
aproximada, retratando adequadamente a equação explícita. Apenas para verificação, no
ponto de projeto, a equação de estado limite assume os seguintes valores:
00000416,0=
EXPLÍCITA
G
80000041608,0
2
=
WR
G
Com base nos valores apresentados, verifica-se que as respostas são praticamente as
mesmas, evidenciando a qualidade final do método WR2 e, conseqüentemente, dos demais
métodos apresentados.
4.8.2 Exemplo 2
Neste exemplo, foi adotada uma equação de estado limite não-linear conforme
empregada em Kim & Na (1997), com o objetivo de mostrar a capacidade dos métodos
desenvolvidos.
(
)
(
)
(
)
547,02,62,0
21
++
−=
XX
eeXG
(4-61)
Novamente as variáveis aleatórias foram consideradas como sendo normalmente
distribuídas e independentes, com médias zero e desvios-padrão unitários.
A legenda para os métodos de superfícies de respostas segue o mesmo padrão
mostrado no exemplo anterior. O critério de parada da análise foi estabelecido por uma
tolerância de 0,00001 em termos do índice de confiabilidade e das coordenadas do ponto de
projeto obtidas entre duas iterações sucessivas.
A Figura 4-12 ilustra o traçado de algumas curvas para a função considerada quando
G = 0, G = -200 e G = 200 e para as superfícies de resposta obtidas com os métodos SR1 e
WR1 quando G = 0.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
203
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X1
X2
G = 0 G = -200 G = 200 G = 0 (SR1) G = 0 (WR1)
Figura 4-12 – Curvas da função analítica e das superfícies de falha para SR1 e WR1
No estado limite, isto é, quando G = 0 verifica-se que a função escolhida é linear.
Porém, esse comportamento só é observado quando se chega à solução do problema, de modo
que a não-linearidade da função é considerada no processo de busca pelo ponto de projeto.
Conforme pode ser observado na Figura 4-12, as superfícies de resposta plotadas representam
exatamente a equação de estado limite no ponto de projeto, mostrando assim a eficácia dos
métodos.
A Tabela 4-5 mostra os resultados da análise de confiabilidade do problema para os
métodos: simulação de Monte Carlo pura, FORM, SORM, SR1 e WR1, sendo adotados,
portanto, somente polinômios lineares neste exemplo. Isso foi feito para verificar se as
funções lineares seriam capazes de resolver o problema adequadamente, já que no estado
limite, a função é linear. Além disso, é importante destacar que a técnica adaptativa de
redivisão dos planos de experiência foi utilizada com o objetivo de verificar se há ou não a
perda de qualidade da resposta para valores fixos do parâmetro m. O plano de experiência do
tipo estrela foi utilizado aqui, conforme no exemplo anterior.
De maneira geral, os métodos apresentaram bom desempenho quando comparados
com os resultados obtidos pela simulação de Monte Carlo via programa StRAnD, conforme
pode ser observado na coluna “Erro” da Tabela 4-5. Neste exemplo, alguns dos métodos de
superfícies de resposta apresentaram maior precisão que o FORM e o SORM, mostrando sua
qualidade.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
204
Tabela 4-5 – Resultados da análise de confiabilidade
β
ββ
β
P
f
X
1
*
X
2
*
α
αα
α
1
11
1
α
αα
α
2
22
2
Erro NAEEL
MC
2,33891 0,96700e
-2
- - - - 0% 100.000
FORM
2,34933 0,94036e
-2
-0,91979 2,16179 0,39151 -0,92017 0,443% 21
SORM
2,34933 0,94036e
-2
-0,91697 2,16697 0,38970 -0,92094 0,443% 34
SR1
2,34862 0,94214e
-2
-0,91966 2,16108 0,39158 -0,92015 0,413% 645 / 15
*
WR1
2,34933 0,94036e
-2
-0,91966 2,16185 0,39146 -0,92020 0,443% 590 / 10
*
A coluna “NAEEL” da Tabela 4-5 traz o número total de avaliações da equação de
estado limite para a convergência das respostas, ou seja, mostra a eficiência de cada método.
Para os métodos de superfícies de resposta, a eficiência na busca do ponto de projeto está
diretamente relacionada à escolha dos pontos determinísticos do plano de experiência e ao
parâmetro m. Inicialmente, adotou-se m = 3,0 (Guan & Melchers 2001) juntamente com a
técnica adaptativa de redivisão dos planos de experiência. Essa técnica, conforme já
explicado, reduz o parâmetro m de certo valor para cada análise convergida. Neste exemplo,
adotou-se a redução de 0,1 para m, até um limite de 0,1. Assim, as análises foram iniciadas
com m = 3,0 e prosseguiram com m = 2,9, m = 2,8 e assim por diante até o limite de m = 0,1.
Os métodos SR1 e WR1 apresentaram ótima estabilidade numérica, convergindo
para todos os valores de m. Portanto, no total, foram necessárias 645 e 590 avaliações da
equação de estado limite, respectivamente, para a resolução do problema. Os valores
marcados com “*” representam também o número de avaliações da equação de estado limite,
porém adotando m = 0,1, isto é, se a análise começasse de antemão com esse valor de m
seriam necessárias apenas 15 e 10 avaliações, respectivamente, para encontrar a solução final.
Grande destaque deve ser dado ao FORM e ao SORM que resolveram o problema
diretamente através da técnica dos gradientes numéricos, com grande eficiência e precisão.
A Figura 4-13 mostra o processo de convergência dos métodos de superfície de
resposta a partir de m = 0,5 até 0,1. É importante destacar a importância da técnica de
redivisão dos planos desenvolvida, pois através do seu emprego foi possível observar a
evolução das respostas à medida que a construção do plano mudava. Verificou-se que é
importante fazer essa varredura para que se possa identificar realmente a melhor construção
dos planos de experiência. Isso pode ser observado pela curva em azul (SR1), mostrando que,
para este exemplo, os melhores valores para m seriam 0,4 e 0,3 respectivamente. Já para o
método plotado em verde (WR1), a redivisão do plano não apresentou grandes mudanças.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
205
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Iteração
Índice de confiabilidade
MC FORM SR1 WR1
Figura 4-13 – Convergência das análises de confiabilidade
Para efeito de comparação, a Figura 4-14 ilustra os valores finais do índice de
confiabilidade do problema, onde também são apresentados os resultados obtidos por Kim &
Na (1997). As novidades na legenda são: KN-SR1 e KN-SPR1 correspondem,
respectivamente, aos resultados de Kim & Na (1997) com os métodos de superfície de
resposta tradicional e com uma técnica desenvolvida pelos autores , chamada de pontos de
técnica dos pontos projetados, ambos também com funções lineares para a montagem da
superfície.
2,339
2,349 2,349
2,262
2,349 2,348 2,349
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
Índice de confiabilidade
MC FORM SORM KN-SR1 KN-SPR1 SR1 WR1
Figura 4-14 – Índices de confiabilidade obtidos por todos os métodos considerados
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
206
De acordo com os resultados obtidos, verificou-se que os métodos desenvolvidos
apresentaram bom desempenho e que a técnica adaptativa de redivisão dos planos de
experiência é importante para observar a variação das respostas em função do parâmetro m.
4.8.3 Exemplo 3
Este exemplo traz novamente uma função não-linear como equação de estado limite,
porém com uma pequena modificação. Esta função foi analisada por Kim & Na (1997) e será
utilizada aqui para verificar também o desempenho dos métodos desenvolvidos.
(
)
(
)
[
]
(
)
200
53,02,624,0
21
−−=
+++
XX
eeXG
(4-62)
As variáveis aleatórias foram consideradas com distribuição normal de
probabilidades e independentes, com média nula e desvio-padrão unitário. A legenda para os
métodos de superfície de resposta é a mesma dos exemplos anteriores. A tolerância adotada
para o critério de convergência foi de 0,00001 em termos do índice de confiabilidade e
coordenadas do ponto de projeto.
As curvas em preto e em vermelho da Figura 4-15 representam a função adotada,
enquanto que as demais ilustram o comportamento das superfícies de falha obtidas com
alguns métodos desenvolvidos. Neste caso, observa-se que a função escolhida é não-linear
mesmo no estado limite (G = 0) e que as aproximações lineares (SR1 e WR1) permitem boa
representação somente na região do ponto de projeto, localizada onde as curvas se sobrepõem.
Por outro lado, observa-se que, para este caso, o polinômio de segundo grau já permite uma
melhor aproximação da equação de estado limite não só na vizinhança do ponto de projeto,
mas também ao longo da função.
A Tabela 4-6 apresenta os resultados da análise de confiabilidade considerando todos
os métodos do exemplo anterior e mais os métodos com superfícies de segundo grau, dados
por SR2 e WR2. A comparação em termos do índice de confiabilidade foi feita considerando
a simulação de Monte Carlo pura, obtida pelo StRAnD, como resposta exata. O número
máximo de iterações permitido nas análises via métodos de superfície de resposta foi
considerado igual a 100 e o plano de experiência adotado foi o estrela (5 pontos por
construção de superfície).
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
207
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
X1
X2
G = 0 G = -200 G = 200 G = 0 (SR1) G = 0 (WR1) G = 0 (SR2)
Figura 4-15 – Curvas da função analítica e das superfícies de falha para SR1, WR1 e SR2
Os resultados apresentaram desta vez um pouco mais de discrepâncias em relação à
resposta exata, porém ainda assim foram considerados bons. Do ponto de vista da precisão,
verificou-se que o SORM foi o melhor método, apresentando um erro de 0,446% e ainda com
ótima eficiência. Isso ocorreu por conta da aproximação de segunda ordem que o método faz
da equação de estado limite na vizinhança do ponto de projeto.
Tabela 4-6 – Resultados da análise de confiabilidade
β
ββ
β
P
f
X
1
*
X
2
*
α
αα
α
1
11
1
α
αα
α
2
22
2
Erro NAEEL
MC
2,67558 0,37300e
-2
- - - - 0% 100.000
FORM
2,70990 0,33652e
-2
-2,53967 0,94532 0,93718 -0,34884 1,266% 21
SORM
2,68758 0,35985e
-2
-2,51876 0,93754 0,93718 -0,34884 0,446% 34
SR1
2,71044 0,33597e
-2
-2,54011 0,94569 0,93716 -0,34891 1,286% 775 / 20
*
WR1
2,70990 0,33652e
-2
-2,53970 0,94526 0,93719 -0,34882 1,266% 585 / 15
*
SR2
2,70990 0,33652e
-2
-2,53969 0,94530 0,93718 -0,34883 1,266% 410 / 10
*
WR2
2,70990 0,33652e
-2
-2,53969 0,94530 0,93718 -0,34883 1,266% 410 / 10
*
Os mesmos comentários feitos no exemplo anterior com relação ao número de
iterações em função do parâmetro m são aplicados aqui. Da mesma forma, m variou de 3,0 até
0,1. Verificou-se que se fosse adotado diretamente m = 0,1, a convergência ocorreria com
poucas avaliações da equação de estado limite, conforme mostram os números com “*” na
coluna NAEEL, sendo até mesmo em alguns casos bem mais rápido que o FORM e o SORM.
Neste exemplo, destacaram-se os métodos SR2 e WR2 que utilizaram polinômios de segundo
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
208
grau na sua aproximação, mostrando grande eficiência na análise, porém menor precisão que
o SORM.
A Figura 4-16 apresenta a convergência dos métodos. Aqui, é possível observar que
o melhor valor para o parâmetro m é 0,1, pois se aproximou mais da resposta considerada
exata, mostrando a relevância da técnica adaptativa de redivisão dos planos de experiência.
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Iteração
Índice de confiabilidade
MC FORM SR1 WR1 SR2 WR2
Figura 4-16 – Convergência das análises de confiabilidade
A Figura 4-17 mostra a comparação entre os índices de confiabilidade obtidos por
todos os métodos e os resultados de Kim & Na (1997), dados por KN-SR1 e KN-SR2. O
primeiro considera função linear e o segundo uma função de segundo grau tradicional para as
superfícies de respostas.
2,676
2,709
2,688
2,710
2,709
2,701
2,709 2,709
2,777
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
Índice de confiabilidade
MC FORM SORM KN-SR1 SR1 WR1 KN-SR2 SR2 WR2
Figura 4-17 – Índices de confiabilidade obtidos por todos os métodos considerados
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
209
Com base nos resultados apresentados, mesmo para problemas com equações de
estado limite não-lineares, os métodos apresentaram bom comportamento, podendo, portanto,
ser utilizados em conjunto com o modelo mecânico em elementos finitos desenvolvido neste
trabalho para análises de confiabilidade de estruturas, bem como com o acoplamento com os
modelos de otimização.
4.8.4 Exemplo 4
Este exemplo tem como objetivo utilizar a teoria da confiabilidade estrutural para
verificar qual é o grau de influência da armadura transversal e do efeito de pino da armadura
longitudinal em uma viga isostática (Figura 4-18). Para isso, a estrutura foi analisada
considerando-se o modelo mecânico desenvolvido neste trabalho, com utilização das
hipóteses de Euler-Bernoulli (B), Timoshenko puro (T) e Timoshenko com armadura
transversal e efeito de pino (TSD), para quatro configurações diferentes de armadura
longitudinal. A armadura transversal foi mantida constante.
80cm80cm80cm
F
30cm
12cm
F
30cm
12cm
30cm
12cm
30cm
12cm
C1 C2
C3 C4
As' (
φ
5mm)
As (
φ
10mm)
Asw (
φ
5mm cada 120mm)
Armaduras:
As'
Asw
As
Figura 4-18 – Viga considerada na análise
Primeiramente, foi realizada uma análise puramente mecânica considerando os três
modelos para cada uma das quatro configurações de armadura. Os resultados foram
apresentados em forma de curvas de força última × deslocamento do meio do vão.
Os resultados mecânicos (Figura 4-19) mostraram que a consideração do modelo
completo, TSD, proporcionou melhores resultados em termos de força última. Além disso,
verificou-se que a contribuição da armadura transversal e do efeito de pino ficou mais
evidenciada à medida que a danificação da estrutura aumentou com o carregamento, conforme
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
210
o esperado. Além disso, a maior contribuição ocorreu justamente após o escoamento das
camadas mais inferiores de armadura longitudinal, evidenciando assim a capacidade dos
modelos, fornecendo tanto aumento na resistência final da estrutura, quanto diminuição nos
deslocamentos transversais.
Tabela 4-7 – Parâmetros adotados na análise
Descrição Parâmetro Valor
Resistência do aço f
Y
500MPa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
196000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
19600MPa
ε
d0
0,000065
A
T
0,9097
B
T
10398,7
A
C
0,9781
Parâmetros de dano
B
C
1276,4
Resistência à compressão do concreto f
C
27MPa
Módulo de elasticidade do concreto E
C
29100MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Número máximo de iterações It
max
150
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Número de nós 7
Discretização da estrutura (elementos de igual comprimento)
Número de elementos
finitos
6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Deslocamento do meio do vão, cm
Força, kN
B-I T-I TSD-I
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Deslocamento do meio do vão, cm
Força, kN
B-II T-II TSD-II
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Deslocamento do meio do vão, cm
Força, kN
B-III T-III TSD-III
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Deslocamento do meio do vão, cm
Força, kN
B-IV T-IV TSD-IV
Figura 4-19 – Trajetória de equilíbrio das vigas
A Figura 4-20 mostra as diferenças percentuais em termos da força última obtida
com cada modelo. Trata-se de uma medida determinística da influência da armadura
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
211
transversal e do efeito de pino sobre o comportamento global da estrutura. A curva em azul
mostra a diferença percentual entre os modelos completo e de Bernoulli e a curva vermelha,
as diferenças entre os modelos completo e de Timoshenko. Verificou-se que o modelo
completo (TSD) foi, em média, 12,8% melhor em termos de força última que o modelo de
Bernoulli e 6,2% que o modelo de Timoshenko.
4,0%
5,0%
6,0%
7,0%
8,0%
9,0%
10,0%
11,0%
12,0%
13,0%
14,0%
15,0%
1 2 3 4
Classes de armadura longitudinal
Diferença percentual
T / B TSD / T TSD / B
Figura 4-20 – Diferenças percentuais determinísticas entre os modelos
Para verificar essa influência levando-se em conta as incertezas nas resistências do
concreto e do aço, foi realizada uma análise de confiabilidade para essa estrutura. Os métodos
utilizados foram o FORM com a técnica dos gradientes numéricos e o método de superfície de
resposta tradicional com polinômio de segundo grau sem termos cruzados. O plano de
experiência adotado foi o estrela (5 pontos). A associação estatística utilizada foi: resistência
do concreto com média 27MPa e desvio-padrão de 4,05 MPa; resistência do aço com média
500MPa e desvio-padrão de 40MPa. Ambas as variáveis aleatórias foram consideradas com
distribuição normal de probabilidades e independentes. Neste caso, a técnica adaptativa de
reestruturação do plano de experiência não foi utilizada, sendo adotado m = 3,0. A tolerância
para a convergência em termos do índice de confiabilidade e do ponto de projeto foi de 0,5%.
A equação de estado limite foi dada em termos da margem de segurança, de modo que a força
aplicada foi considerada como uma variável determinística, com os seguintes valores: classe
C1, P = 53kN; classe C2, P = 63kN; classe C3, P = 69kN; classe C4, P = 72kN.
(
)
aplicadoúltimoyc
PPffG −=,
(4-63)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
212
Os resultados da análise de confiabilidade foram mostrados em forma de gráficos de
convergência do índice de confiabilidade para cada modelo mecânico considerado, conforme
Figura 4-21. Verificou-se boa concordância entre o FORM e o método de superfície de
resposta (RSM), atingindo praticamente o mesmo índice de confiabilidade em todos os casos.
A exceção foi observada apenas para a classe C1 com o modelo completo, na qual foi
encontrado um índice de confiabilidade de 3,91 e 3,42 para o FORM e o RSM,
respectivamente. Isso ocorreu provavelmente por conta da maior dificuldade do modelo de
dano em representar casos com baixa taxa de armadura longitudinal. Nesses casos, a
fissuração tende a ser menos espalhada, porém com maior localização, o que vai contra a
hipótese do modelo de dano. Já para maiores taxas de armadura, as fissuras são mais
espalhadas, mas com menor abertura, o que se aproxima melhor da hipótese do modelo de
dano considerado.
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
1 2 3 4 5 6 7
Iterações
Índice de confiabilidade C1
B-FORM B-RSM T-FORM
T-RSM TSD-FORM TSD-RSM
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
1 2 3 4 5 6 7 8
Iterações
Índice de confiabilidade C2
B-FORM B-RSM T-FORM
T-RSM TSD-FORM TSD-RSM
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Iterações
Índice de confiabilidade C3
B-FORM B-RSM T-FORM
T-RSM TSD-FORM TSD-RSM
1,5
2,0
2,5
3,0
1 2 3 4 5
Iterações
Índice de confiabilidade C4
B-FORM B-RSM T-FORM
T-RSM TSD-FORM TSD-RSM
Figura 4-21 – Convergência do índice de confiabilidade
Além disso, foi possível verificar que o modelo completo apresentou sensivelmente
maiores valores para o índice de confiabilidade que os modelos de Bernoulli e Timoshenko
puro. Isso significa que para um mesmo valor de carga aplicada, a contribuição da armadura
transversal e do efeito de pino foi visível para esta estrutura, evidenciando assim, sua
importância no comportamento global de vigas em concreto armado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
213
Para efeito de comparação, foram plotadas as diferenças percentuais entre os
modelos, do mesmo modo apresentado para a análise determinística. Verificou-se que a
influência da armadura transversal e do efeito de pino, quando se consideram as incertezas nas
resistências do concreto e do aço é ainda maior. Em média, observou-se com o modelo
completo uma segurança cerca de 31,8% maior que a obtida com o modelo de Bernoulli e
14% maior que a obtida com o modelo de Timoshenko. Esses resultados foram praticamente o
dobro dos resultados observados somente com a análise determinística. Dessa forma, conclui-
se que a influência da armadura transversal e do efeito de pino é significativa no
comportamento de vigas em concreto armado, devendo ser levadas em conta nas análises
estruturais correntes.
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
35,0%
40,0%
1 2 3 4
Classes de armadura longitudinal
Diferença percentual
T / B TSD / T TSD / B
Figura 4-22 – Diferenças percentuais probabilísticas entre os modelos
Tabela 4-8 – Eficiência numérica dos métodos de confiabilidade
C1 B T TSD C2 B T TSD
FORM
15 21 18
FORM
15 24 9
RSM
30 35 30
RSM
20 30 15
C3 B T TSD C4 B T TSD
FORM
15 12 21
FORM
9 9 9
RSM
15 45 25
RSM
20 25 15
Um último resultado a ser discutido é a eficiência dos métodos de confiabilidade
utilizados. A comparação foi feita em termos do número de chamadas do modelo de
elementos finitos (NMEF) para a obtenção do ponto de projeto. Conforme esperado, a técnica
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
214
dos gradientes numéricos foi mais rápida que o método de superfície resposta, pois foram
necessárias menos avaliações da equação de estado limite que no método de superfície de
resposta. Problemas de perda de estabilidade da técnica em função do comportamento não-
linear da estrutura não foram observados neste exemplo.
4.8.5 Exemplo 5
O objetivo deste exemplo é mostrar o desempenho dos métodos de confiabilidade
quanto a sua eficiência em atingir o ponto de projeto, bem como a influência da não-
linearidade geométrica no cálculo da confiabilidade de sistemas. Para isso, a estrutura
analisada é um pórtico simples submetido a uma carga horizontal de topo e uma carga vertical
no centro da viga, conforme Figura 4-23.
F
F
F
1
11
31
21
nós da discretização
40cm80cm
100cm
100cm
100cm2
50cm2
pilares
viga
1000cm
1000cm
Figura 4-23 – Pórtico analisado, carregamentos e geometria
O pórtico foi discretizado em 30 elementos finitos, sendo 10 elementos para cada
barra. A integração numérica foi realizada com 6 pontos de Gauss de comprimento e 20
pontos de altura para cada elemento finito da estrutura. O concreto e o aço foram
representados pelos modelos de dano e elastoplástico respectivamente.
Foram adotadas 5 variáveis aleatórias nesta análise, todas com distribuição normal de
probabilidades e independentes entre si. As cargas foram consideradas determinísticas com os
valores de 750kN para carga horizontal e 1500kN para carga vertical.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
215
Uma das variáveis aleatórias adotadas foi o módulo plástico do aço, que determina o
quanto de encruamento positivo após o escoamento o aço terá. Isso significa que quanto maior
for o módulo plástico, maior será a capacidade do aço de absorver tensões após o escoamento.
Os coeficientes de variação foram considerados todos constantes e iguais a 10% para
verificar, para esta estrutura e nas mesmas condições, quais são as variáveis mais importantes
no estado limite de serviço em deslocamentos excessivos.
Tabela 4-9 – Variáveis aleatórias adotadas
Variável Média COV(%)
X
1
: resistência à compressão do concreto 30MPa 10
X
2
: resistência à tração do aço 500MPa 10
X
3
: cobrimento da armadura 5cm 10
X
4
: módulo elástico do aço 210000MPa 10
X
5
: módulo plástico do aço 21000MPa 10
Foram considerados dois modos de falha, dados pelo estado limite de serviço em
deslocamento excessivo no topo do pórtico (modo 1) e no meio do vão da viga (modo 2). Em
seguida, a confiabilidade do sistema, isto é, a falha ocorrendo no modo 1 ou no modo 2 foi
obtida pelos limites de primeira e segunda ordem da probabilidade de falha. As equações de
estado limite foram definidas como segue:
(
)
( )
1500
750
2lim,2
1lim,1
−=
−
=
d
d
PXG
PXG
(4-64)
sendo que: P
dlim,i
corresponde à carga que leva a estrutura ao deslocamento limite permitido
para o respectivo modo de falha 1 ou 2. Para este exemplo, foi adotado o valor de 5cm para
ambos os deslocamentos limites.
O primeiro resultado apresentado a seguir corresponde à diferença entre os índices de
confiabilidade de cada modo de falha individual para LG (linearidade geométrica) e NLG
(não-linearidade geométrica), considerando os diversos métodos de confiabilidade.
As siglas adotadas para os métodos de confiabilidade tem o seguinte significado:
SRi: superfície de resposta convencional; WRi: superfície de resposta com pesos na
regressão; FORM: método de primeira ordem com técnica dos gradientes numéricos; i é o
grau do polinômio utilizado, isto é, 1 ou 2; e e m representam os planos de experiência estrela
e mínimo, respectivamente.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
216
3,07
3,03
3,07 3,07 3,07 3,07 3,07
3,04
3,08
3,00
2,95
3,00 3,00 3,00 3,00 3,00
2,97
3,00
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
FORM SR1-e WR1-e SR1-m WR1-m SR2-e WR2-e SR2-m WR2-m
Métodos de confiabilidade
Índice de confiabilidade - modo de falha 1
LG NLG
Figura 4-24 – Resultados dos índices de confiabilidade para o modo da falha 1
2,03
1,98
2,02
2,03 2,03
2,03 2,03
1,98
2,03
1,92
1,87
1,92
1,92 1,92
1,92 1,92
1,87
1,92
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
FORM SR1-e WR1-e SR1-m WR1-m SR2-e WR2-e SR2-m WR2-m
Métodos de confiabilidade
Índice de confiabilidade - modo de falha 2
LG NLG
Figura 4-25 – Resultados dos índices de confiabilidade para o modo da falha 2
Verificou-se com esses resultados que o modo mais provável de falha ocorreu para o
deslocamento excessivo da viga (modo 2). Em termos de probabilidade de falha, o problema
ficou definido da seguinte forma:
Linearidade geométrica:
Modo 1:
3
1006,107,3
−
⋅=→=
f
P
β
Modo 2:
2
1014,203,2
−
⋅=→=
f
P
β
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
217
Não-linearidade geométrica:
Modo 1:
3
1035,100,3
−
⋅=→=
f
P
β
Modo 2:
2
1076,292,1
−
⋅=→=
f
P
β
Com isso, foi possível perceber que, para este caso, a não-linearidade geométrica
exerceu maior influência sobre o segundo modo, ou seja, o deslocamento vertical da viga. É
interessante fazer a seguinte comparação sobre a segurança do pórtico considerado: os pilares
apresentaram o dobro do momento de inércia em relação à viga, bem como o dobro de
armadura longitudinal; a viga recebeu o dobro de carregamento que o pilar. Nessas condições,
a diferença entre as probabilidades de falha dos modos foi da ordem de 20 vezes. Com isso,
fica claro a grande necessidade de se tratar o problema da segurança estrutural via
probabilidades de falha.
A Figura 4-26 mostra a diferença percentual entre a LG e a NLG para cada modo de
falha, evidenciando assim a maior sensibilidade do segundo modo quando utilizado o
comportamento não-linear geométrico.
2,38%
2,44%
2,34%
2,38% 2,38% 2,38% 2,38% 2,37%
2,34%
5,33%
5,66%
5,24%
5,14% 5,14%
5,23% 5,23%
5,90%
5,38%
0,0%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
6,0%
7,0%
FORM SR1-e WR1-e SR1-m WR1-m SR2-e WR2-e SR2-m WR2-m
Métodos de confiabilidade
Diferença percentual entre LG e NLG
LG/NLG - M1 LG/NLG - M2
Figura 4-26 – Diferença percentual entre os resultados
Com relação aos métodos de confiabilidade, observou-se que foram capazes de
atingir o ponto de projeto com boa precisão e pouca variação entre si. No entanto, a
característica mais interessante sobre eles foi o tempo de processamento gasto para atingir a
convergência (tolerância em beta e nas coordenadas do ponto de projeto de 0,5%), conforme
ilustra a Figura 4-27.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
218
O FORM aplicado com a técnica direta dos gradientes numéricos foi a mais
eficiente, pois gastou no total (modo 1 + modo 2) 36 chamadas do modelo mecânico, ao passo
que o WR2-m mostrou-se o menos eficiente com um total de 168 avaliações do MEF.
Destaque deve ser dado aos métodos SR1-m e WR1-m, dados por superfícies de falha de
primeiro grau, que além da precisão alcançada, mostraram também a melhor eficiência entre
os modelos com superfícies de resposta. Em alguns casos verificou-se também a
superioridade do método com fatores-peso na regressão, mostrando assim maior capacidade
de precisão que o método convencional com pesos todos iguais a 1.
36
77
99
48 48
77 77
147
168
36
77
99
48 48
77 77
147
168
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
FORM SR1-e WR1-e SR1-m WR1-m SR2-e WR2-e SR2-m WR2-m
Métodos de confiabilidade
Avaliações do MEF
LG NLG
Figura 4-27 – Número de chamadas do modelo mecânico em elementos finitos para cada método
Em termos de tempo de processamento, o FORM gastou no total cerca de 5,5
minutos de processamento, ao passo que o WR2-m precisou de 27 minutos para obter a
convergência na análise. Dessa forma, observa-se a grande vantagem do método com
gradientes numéricos sobre os métodos de superfície de resposta em termos de velocidade de
processamento. Tal característica é muito importante para a análise de exemplos mais
complexos.
A sensibilidade das variáveis aleatórias foi obtida na análise e mostrou-se
praticamente a mesma para LG e NLG, variando um pouco entre os modos. A Tabela 4-10
mostra os valores dessa sensibilidade de cada variável na probabilidade de falha.
Para o modo de falha 1 a variável que mais influenciou a probabilidade de falha foi o
módulo de elasticidade do aço (X
4
), ao passo que para o modo 2, a variável mais importante
foi a resistência do aço (X
2
).
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
219
Tabela 4-10 – Sensibilidades das variáveis aleatórias
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
LG – modo 1
2,57% 0,24% 1,65% 95,49% 0,05%
NLG – modo 1
2,59% 0,26% 1,70% 95,39% 0,05%
LG – modo 2
1,40% 97,00% 0,47% 0,08% 1,03%
NLG – modo 2
1,50% 96,92% 0,53% 0,09% 0,95%
Todas as variáveis apresentaram sensibilidade positiva, com exceção de X
3
e X
5
, ou
seja, cobrimento da armadura e módulo plástico do aço, revelando, portanto, que acréscimos
em seus valores provocam acréscimo também na probabilidade de falha. Esse resultado é
interessante, pois de fato o aumento do cobrimento da armadura diminui a seção útil da peça,
resultando em menor capacidade resistente da mesma. Com relação ao módulo plástico do
aço, quanto menor seu valor, mais próximo o aço fica de um comportamento elásto-plástico
perfeito após o escoamento, garantindo assim maior ductilidade à estrutura. A pequena
sensibilidade das demais variáveis mostram que estas poderiam ser substituídas por seus
valores determinísticos sem causar perdas consideráveis na análise da confiabilidade dessa
estrutura.
Finalmente, a confiabilidade do sistema foi dada pela condição de união entre os dois
eventos de falha (modo 1 ou modo 2). Dessa forma tem-se os valores dos limites de primeira
e segunda ordem da probabilidade de falha do sistema, dados pelo FORM:
Linearidade geométrica:
015,2
102442,2101402,2
,
22
=
⋅≤≤⋅
−−
sistemamédio
f
P
β
(limites de primeira ordem)
006,2
102428,2102393,2
,
22
=
⋅≤≤⋅
−−
sistemamédio
f
P
β
(limites de segunda ordem)
Não-linearidade geométrica:
907,1
108922,2107608,2
,
22
=
⋅≤≤⋅
−−
sistemamédio
f
P
β
(limites de primeira ordem)
897,1
108899,2108842,2
,
22
=
⋅≤≤⋅
−−
sistemamédio
f
P
β
(limites de segunda ordem)
Os resultados mostraram a grande importância de se considerar a não-linearidade
geométrica na análise da segurança de pórticos em concreto armado, bem como a grande
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
220
vantagem do FORM com a técnica dos gradientes numéricos. Concluiu-se, portanto, que os
modelos foram capazes de representar adequadamente a confiabilidade do sistema e que estão
aptos a serem empregados em análises de otimização.
4.8.6 Exemplo 6
A estrutura analisada neste exemplo consiste em um pórtico simples em concreto
armado, submetido a uma força vertical concentrada no meio do vão e uma força horizontal
concentrada no topo do pilar esquerdo. Esse pórtico constituído de dois pilares e uma viga foi
discretizado em um total de 40 elementos finitos, sendo que para cada pilar foram adotados 10
elementos e para a viga um total de 20 elementos. Os detalhes de geometria, carregamento e
discretização da estrutura estão mostrados na Figura 4-28.
5,0m
3,0m
F/2
F
a) Estrutura considerada
b) Discretização da estrutura
1
6
11
21
31
36
41
5 elementos finitos iguais
10 elementos finitos iguais
Figura 4-28 – Geometria, carregamento e discretização do pórtico considerado
O objetivo do exemplo é obter as probabilidades de ocorrência para todos os modos
de falha possíveis desse pórtico, construindo as curvas de estado limite individuais e, em
seguida, obter a probabilidade de falha do sistema, levando em conta as possíveis
combinações dos modos que levam a estrutura ao colapso. Além disso, essa verificação é feita
a partir de três possibilidades diferentes de modelagem mecânica: Euler-Bernoulli linear
geométrico (LG), Euler-Bernoulli não-linear geométrico (NLG) e Timoshenko com
constribuição da armadura transversal e efeito de pino não-linear geométrico (TSD-NLG).
A Figura 4-29 ilustra os possíveis modos de falha considerados nesta análise.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
221
d) Modos de falha possíveis
1
6
2
3
4
5
F
F/2
7
Figura 4-29 – Modos de falha possíveis do pórtico
Os critérios de falha foram definidos em função das deformações limites de -3,5‰
para o concreto à compressão e 10‰ para o aço tracionado das armaduras longitudinais em
todos os modos de 1 a 6. O sétimo modo de falha corresponde à perda de estabilidade do
pórtico, sendo dado pela singularidade da matriz de rigidez global montada a cada iteração do
processo incremental.
O comportamento não-linear do concreto e do aço foram levados em conta pelos
respectivos modelo de dano de Mazars (1984) e modelo elastoplástico com encruamento
isótropo.
O pórtico em concreto armado foi dimensionado para valores nominais de força de
200kN na vertical (F) e 100kN na horizontal (F/2). Souza (2009) apresentou uma relação
entre valores nominais e média para solicitações permanentes, na qual:
%10
05,1
=
⋅=
P
NP
COV
F
µ
(4-65)
sendo que:
µ
P
é a média da solicitação; F
N
é o valor nominal da solicitação, isto é, aquele
valor encontrado pelo projetista na contagem das cargas atuantes sobre a estrutura; COV é o
coeficiente de variação.
Foram consideradas 3 variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas:
• Resistência do concreto: média 30,0MPa e coeficiente de variação de 15%;
• Resistência do aço: média 565,8MPa e coeficiente de variação de 8%;
•
Força aplicada P: média 210kN e coeficiente de variação de 10%.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
222
Para obtenção das curvas de estado limite individuais, o modelo mecânico-
probabilístico via elementos finitos e método das superfícies de resposta com polinômio de
primeiro grau foi utilizado. A probabilidade de falha de cada modo foi determinada forçando
a condição de falha na posição desejada. Mesmo que a falha fosse atingida em outra posição,
a análise mecânica não era interrompida, de modo a atingir a condição de falha para o modo
desejado. Com isso, as curvas individuais foram construídas em função das variáveis
aleatórias do problema.
As equações de estado limite utilizadas para construção das curvas de falha foram
dadas em função da força máxima resistente do pórtico referente ao modo considerado e da
força aplicada, conforme segue:
(
)
(
)
7,1
7,1
7,1
,,,
=
=
=
−=
iyc
i
ULTyci
PffPPffG
(4-66)
Na determinação das curvas individuais do modos de falha, para cada obtenção de
um candidato ao ponto de projeto de um determinado modo, 4 chamadas do modelo mecânico
foram feitas (NVA + 1), o que é equivalente ao método direto FORM com uso da técnica dos
gradientes numéricos. Dessa forma, o custo computacional na análise via superfície de
respostas foi o mesmo comparado ao FORM.
A seguir, são apresentadas as distribuições dos esforços internos solicitantes, bem
como a forma deformada da estrutura para F = 200kN e F/2 = 100kN. As unidades do
diagrama de momentos fletores é kN e metro.
Figura 4-30 – Configuração deformada da estrutura
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
223
Figura 4-31 – Diagrama de força normal
Figura 4-32 – Diagrama de força cortante
A Figura 4-34 traz o detalhamento das armaduras e as dimensões dos elementos
estruturais obtidas para este exemplo. O dimensionamento foi realizado segundo os métodos
semi-probabilísticos atuais, considerando, portanto, minoração das resistências do concreto e
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
224
do aço pelos coeficientes parciais com valores de 1,4 e 1,15 respectivamente, e também a
majoração das ações pelo coeficiente parcial de 1,4.
Figura 4-33 – Diagrama de momento fletor
É importante comentar que o detalhamento apresentado na Figura 4-34 é suficiente
para alimentar o programa de elementos finitos desenvolvido neste trabalho, não
contemplando, portanto, detalhes como ancoragens nos apoios, ganchos e emendas por
traspasse conforme requer o bom projeto.
Primeiramente, foi realizada uma análise mecânica da estrutura, com o objetivo de
obter os valores de força última para cada modo de falha, fixando-se as variáveis aleatórias
com seu valor médio. Para a integração numérica, foram adotados 6 pontos de Gauss no
comprimento de cada elemento finito e 20 pontos na altura de cada elemento. As forças foram
aplicadas em incremento iguais de 10kN para vertical e 5kN para horizontal, respeitando
dessa forma, a proporcionalidade entre elas. Os parâmetros de dano foram calibrados para
cada valor de resistência do concreto de maneira automática ao longo da análise. Para o
comportamento elastoplástico do aço, adotou-se módulo plástico igual a 1% do valor do seu
módulo de elasticidade dado por 196000MPa. O módulo de elasticidade do concreto foi
calculado através da expressão da ABNT NBR 6118:2003, dada por
c
f5600 .
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
225
B B E E
A
A
5,0m
3,0m
60cm
20cm
9
φ
16mm
50cm
16
φ
16mm
20cm
seção AA
seção EE
φ
5,0mm c/19,0cm
estribos
φ
5,0mm c/20,0cm
estribos
φ
6,3mm c/10,0cm
estribos
φ
5,0mm c/19,0cm
estribos
D
D
C
C
50cm
10
φ
16mm
20cm
seção BB
φ
5,0mm
c/19,0cm
φ
5,0mm
c/19,0cm
φ
5,0mm
c/20,0cm
60cm
20cm
9
φ
16mm
seção CC
φ
6,3mm
c/10,0cm
60cm
20cm
11
φ
16mm
seção DD
φ
6,3mm
c/10,0cm
Figura 4-34 – Dimensões e detalhamento dos elementos estruturais
Observou-se que para todos os modos de falha, com exceção do modo 6 (ruptura do
topo do pilar direito), a força última foi igual à força de perda de estabilidade do pórtico dada
pelo modo 7. Isso significa que antes mesmo de ocorrer falha em qualquer uma das seções
especificadas, o pórtico perde estabilidade e entra em colapso. Dessa forma, não foi possível
determinar as probabilidades de falha para os modos 1, 2, 3, 4 e 5, pois estes requerem um
estado de carregamento maior do que o estado que desestabiliza o pórtico, impossibilitando ao
programa obtê-los, pois a matriz de rigidez se torna singular. Esse comportamento foi
observado para os três tipos de modelagem mecânica (LG, NLG e TSD-NLG). A seguir, são
apresentados os valores de força última obtidos na análise mecânica:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
226
Tabela 4-11 – Valores de força última (em kN) para cada modo de falha
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7
LG
427,48 427,48 427,48 427,48 427,48
357,76 427,48
NLG
415,00 415,00 415,00 415,00 415,00
350,21 415,00
TSD-NLG
452,49 452,49 452,49 452,49 452,49
367,02 452,49
As Figuras 4-35 e 4-36 mostram a trajetória de equilíbrio dos pontos de aplicação das
forças para o modo de falha 7.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Deslocamento vertical, cm
Força aplicada, kN
LG NLG TSD NLG
Figura 4-35 – Diagrama força × deslocamento vertical do nó 21
0
50
100
150
200
250
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Deslocamento horizontal, cm
Força aplicada, kN
LG NLG TSD NLG
Figura 4-36 – Diagrama força × deslocamento horizontal do nó 11
Esse resultado permitiu definir que os modos importantes para esta estrutura foram
somente os modos 6 e 7. É interessante comentar que o pórtico apresentado possui um grau de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
227
redundância somente, de modo que a ocorrência da falha somente no modo 6, não conduz a
estrutura ao colapso, mas apenas a torna isostática. Por conta disso, um estado de
carregamento um pouco maior, conforme observado na Tabela 4-11 foi suficiente para
garantir a perda de estabilidade global da estrutura, levando-a ao colapso.
A análise de confiabilidade foi, portanto, realizada somente considerando 2 modos de
falha, de forma que a falha do sistema foi dada diretamente pelo modo 7, em função do
colapso para este caso antes da falha nos outros modos. As figuras a seguir ilustram a
configuração das curvas de estado limite individuais dos modos 6 e 7 no espaço normal-
padrão. Para plotá-las, fixou-se a resistência do concreto no ponto de projeto, variando-se as
demais variáveis aleatórias.
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Resistência do aço
Força aplicada
Modo 6 Modo 7
Figura 4-37 – Equações de estado limite considerando LG
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Resistência do aço
Força aplicada
Modo 6 Modo 7
Figura 4-38 – Equações de estado limite considerando NLG
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
228
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Resistência do aço
Força aplicada
Modo 6 Modo 7
Figura 4-39 – Equações de estado limite considerando TSD-NLG
Os resultados da análise de confiabilidade estão mostrados na Tabela 4-12.
Observou-se que em todos os modos e para todas as modelagens diferentes, a sensibilidade
das variáveis aleatórias apresentou mesma ordem de grandeza, sendo estas consideradas,
portanto, importantes na determinação da probabilidade de falha do sistema. Conforme era
esperado, o modo 7 determinou a probabilidade de falha da estrutura, pois quando este ocorre,
a falha por esmagamento do concreto comprimido no topo do pilar esquerdo (modo 6) já
ocorreu.
Tabela 4-12 – Pontos de projeto, sensibilidades das variáveis e probabilidades de falha
f
C
(MPa) f
S
(MPa) P (kN)
α
αα
α
C
(%) α
αα
α
S
(%) α
αα
α
P
(%)
P
f
Modo 1
19,09 417,11 299,06 16,93 31,19 51,88 1,94e
-9
LG
Modo 2
10,95 413,48 283,74 43,06 27,29 29,65 5,61e
-11
Modo 1
19,66 424,46 297,44 16,27 30,18 53,55 6,33e
-9
NLG
Modo 2
12,04 413,26 284,56 39,89 28,52 31,59 1,32e
-10
Modo 1
19,08 398,94 299,81 15,57 36,04 48,39 3,91e
-10
TSD-NLG
Modo 2
10,17 383,31 287,84 39,24 32,97 27,79 1,02e
-12
Apenas para efeito de comparação, a Figura 4-40 traz os valores dos índices de
confiabilidade de cada modo considerado para as três modelagens utilizadas.
Os resultados apresentaram-se coerentes com os valores obtidos para as forças
últimas na análise mecânica, apontando o modelo de Timoshenko com consideração dos
efeitos de pino, armadura transversal e não-linearidade geométrica como sendo o mais
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
229
“seguro”. A consideração do equilíbrio da estrutura na posição deslocada, premissa da não-
linearidade geométrica, provocou uma pequena redução na segurança do pórtico, mostrando
ser necessário sua consideração na análise de estruturas aporticadas. Vale lembrar que este
exemplo tratou de um pórtico simples com apenas 3 metros de altura, onde já foi possível
verificar o efeito da não-linearidade geométrica.
5,889
6,450
5,691
6,318
6,148
7,031
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
Modo 6 Modo 7
Modos de falha importantes
Índice de confiabilidade
LG NLG TSD NLG
Figura 4-40 – Comparação entre os índices de confiabilidade
Um outro fato importante é que nesse tipo de estrutura bi-apoiada, os nós do pórtico
acabam sendo os elementos responsáveis pela estabilidade estrutural. Como os nós estavam
com grande quantidade de armadura longitudinal justamente para garantir essa ligação, o
efeito de pino provocado pelas armaduras combinado à presença de estribos principalmente
no tramo após a aplicação da força concentrada, foram responsáveis por fornecer esse
acréscimo significativo à segurança do pórtico, com ênfase ao modo 7. Desse forma, fica clara
a importância de se considerar esses efeitos na modelagem de estruturas maiores.
Concluiu-se que os modelos foram capazes de obter as probabilidades de falha dos
modos importantes, sendo considerados aptos para boa utilização. A única ressalva que se faz
é com relação ao tempo de processamento das análises, onde mais uma vez o modelo
completo de Timoshenko mostrou-se bem mais caro do que os outros. A título de informação,
os tempos gastos para processamento foram: LG (41 minutos), NLG (62 minutos) e TSD-
NLG (135 minutos). Isso pode se tornar ser um problema sério especialmente para estruturas
maiores ou quando o modelo for combinado aos processos de otimização, inviabilizando sua
utilização em programação sequencial.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
230
4.8.7 Exemplo 7
Neste exemplo trata-se de uma estrutura de pórtico de 2 andares em concreto
armado, submetida a carregamentos concentrados verticais nas vigas e horizontais no topo de
cada pilar. A estrutura foi estudada por Silva (1996), que analisou um pórtico de 6 andares,
mas somente sob o aspecto mecânico, comparando deslocamentos e momentos fletores com
outros trabalhos. Neste caso, foram considerados somente os dois primeiros andares do
pórtico para a realização do estudo da confiabilidade, somente por questões de tempo de
processamento. As armaduras também foram levemente alteradas, de modo a obter mais
realizações de falha, conforme será descrito a seguir.
A Figura 4-41 ilustra a geometria, os carregamentos e as dimensões das seções
transversais dos elementos, bem como suas armaduras.
C C C C
A
4,0m
3,0m 3,0m
F/10
30cm
28cm
φ
5,0mm c/15cm
seção A
F
P
F/10
B B
As'=1,2cm2
As=6,0cm2
30cm
28cm
φ
5,0mm c/15cm
seção B
As=6,0cm2
As'=1,2cm2
AB B
30cm
28cm
φ
5,0mm c/15cm
seção CC
As=4,6cm2
As=4,6cm2
Figura 4-41 – Geometria e dimensões da estrutura analisada
O objetivo da análise é empregar os modelos mecânicos desenvolvidos neste trabalho
para o cálculo das probabilidades dos 15 modos de falha que caracterizam esse pórtico,
comparando as respostas entre si. A Figura 4-42 apresenta a marcação de cada modo de falha
da estrutura. Os primeiros 14 modos são dados pela condição limite dos materiais, ou seja, ao
se atingir a deformação limite do concreto (-3,5‰) e/ou do aço (10‰) caracteriza-se a falha.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
231
O décimo quinto modo de falha corresponde à perda de estabilidade global do pórtico,
definido numericamente pela singularidade da matriz de rigidez global.
A análise de confiabilidade foi desenvolvida considerando os modelos não-lineares
dos materiais, ou seja, dano e plasticidade para o concreto e o aço, respectivamente, em
conjunto com os seguintes modelos: Euler-Bernoulli linear geométrico (LG), Euler-Bernoulli
não-linear geométrico (NLG) e Timoshenko com armadura transversal e efeito de pino não-
linear geométrico (TSD-NLG).
1
2
3
4
11
10
9
8
12 13 14
5
6 7
modos de falha considerados
Figura 4-42 – Posicão dos 14 modos de falha do pórtico
O pórtico foi discretizado em 32 elementos finitos, sendo 4 elementos por pilar e 8
elementos por viga.
Tabela 4-13 – Parâmetros utilizados na análise
Descrição Parâmetro Valor
Módulo de elasticidade do aço E
Y
200000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
20000MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Número máximo de iterações It
max
150
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Apenas três variáveis aleatórias foram consideradas nesta análise. Todas elas
independentes e com distribuição normal de probabilidades. Os valores da associação
estatística estão definidos a seguir:
•
Resistência do concreto: média = 20MPa e COV = 15%;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
232
• Resistência do aço: média = 500MPa e COV = 8%;
• Força aplicada: média = 140kN e COV = 15%.
O método de confiabilidade utilizado foi o FORM com a técnica dos gradientes
numéricos, pois conforme pôde ser observado nas aplicações anteriores, mostrou-se mais
eficientes que os métodos de superfície de respostas. A tolerância considerada na análise de
confiabilidade foi um erro menor que 1% em termos do índice de confiabilidade e das
coordenadas do ponto de projeto.
Inicialmente, foi realizada uma análise puramente mecânica da estrutura
considerando os três diferentes modelos mecânicos, com as resistências do concreto e do aço
assumindo seus valores médios, com objetivo de determinar quais seriam os modos de falha
mais importantes. Essa avaliação foi feita em termos da carga última observada para cada
modo, conforme ilustra a Figura 4-43.
De acordo com os resultados, observou-se que todos os modos de falha, com exceção
dos modos 6, 13 e 14 apresentaram carga última maior do que a carga que leva a estrutura ao
colapso por perda de estabilidade global. Dessa forma, não foi possível capturar esses valores,
pois antes de atingí-los o pórtico entrava em colapso. Por conta disso, os valores das cargas
últimas dos demais modos são todos iguais à carga de colapso por perda de estabilidade
global.
218,1
218,1
218,1
218,1
218,1
192,6
218,1
218,1
218,1
218,1
218,1
218,1
215,2
195,4
218,1
214,2
214,2
214,2
214,2
214,2
190,5
214,2
214,2
214,2
214,2
214,2
214,2
213,2
192,7
214,2
226,0
226,0
226,0
226,0
226,0
196,6
226,0
226,0
226,0
226,0
226,0
226,0
218,3
198,9
226,0
180
190
200
210
220
230
240
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Modos de falha
Carga última, kN
LG NLG TSD-NLG
Figura 4-43 – Valores de carga última de cada modo de falha
A Figura 4-44 apresenta a curva força vertical × deslocamento vertical do meio do
vão da viga inferior para o modo 15. É interessante destacar a contribuição significativa da
armadura transversal e do efeito de pino na avaliação da carga última em relação aos modelos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
233
que não consideram os efeitos do cisalhamento. Na região pré-pico, o efeito do cisalhamento
aumenta os deslocamentos da estrutura, tornando-a mais flexível. Porém, na região de pico da
estrutura, em função da grande fissuração do concreto que ali existe, as contribuições dos
estribos e do efeito de pina se tornam mais evidentes, conferindo desse modo, um acréscimo
de resistência para a estrutura.
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Deslocamento vertical, cm
Força vertical aplicada, kN
LG NLG TSD-NLG
Figura 4-44 – Trajetória de equilíbrio do meio do vão da viga inferior
Em função desses resultados, a análise de confiabilidade foi realizada considerando
somente os modos de falha mais importantes, que são os modos 6, 13, 14 e 15.
A seguir, são apresentados os resultados da análise de confiabilidade considerando
para cada modo importante, os três modelos mecânicos citados.
2,67
2,12
2,67
2,26
2,59
2,05
2,57
2,17
2,97
2,37
2,95
2,44
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
Modo 15 Modo 6 Modo 13 Modo 14
Modos de falha
Índice de confiabilidade
LG NLG TSD-NLG
Figura 4-45 – Comparação entre os índices de confiabilidade de cada modo de falha
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
234
Conforme o esperado, observou-se uma pequena diferença entre os índices de
confiabilidade obtidos com os modelos de Euler-Bernoulli LG e NLG, uma vez que para um
pórtico de apenas dois andares como este, os efeitos da não-linearidade geométrica ainda não
são tão significativos. Essa diferença, em média, foi de 3,5% para os modos considerados. Ao
passo que, ao se utilizar o modelo com contribuição da armadura transversal e do efeito de
pino, observou-se uma aumento significativo da segurança do pórtico para os mesmos modos
considerados. A comparação foi feita em relação aos resultados de Euler-Bernoulli NLG,
resultando, em média, em uma diferença percentual de 12,5%. Isso mostra que esses efeitos
são importantes e devem ser considerados nas análises de estruturas em concreto armado.
As Figuras 4-46, 4-47 e 4-48 mostram a história de convergência das análises de
confiabilidade para cada variável aleatória e em cada modo de falha para os três modelos
mecânicos utilizados.
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Iteração
Resistência do concreto, kN/cm2
LG-15
NLG-15
TSD-NLG-15
LG-6
NLG-6
TSD-NLG-6
LG-13
NLG-13
TSD-NLG-13
LG-14
NLG-14
TSD-NLG-14
Figura 4-46 – Convergência da resistência do concreto para cada modo de falha
Atenção especial deve ser dada para a variável aleatória que representa a força
externa aplicada, na qual verificou-se que o maior valor observado foi para o modo 15 com o
modelo de Timoshenko completo na Figura 4-48 (curva em preto TSD-NLG-15). Isso ocorreu
por conta da maior confiabilidade observada com esse modelo nesse modo, visto que para
atingir o colapso da estrutura é necessário um valor maior da força aplicada. Esses valores de
força aplicada correspondem à força vertical P, sendo que as forças horizontais de projeto são
obtidas fazendo-se cada um desses valores dividido por 10.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
235
47,0
47,5
48,0
48,5
49,0
49,5
50,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Iteração
Resistência do aço, kN/cm2
LG-15
NLG-15
TSD-NLG-15
LG-6
NLG-6
TSD-NLG-6
LG-13
NLG-13
TSD-NLG-13
LG-14
NLG-14
TSD-NLG-14
Figura 4-47 – Convergência da resistência do aço para cada modo de falha
160,0
165,0
170,0
175,0
180,0
185,0
190,0
195,0
200,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Iteração
Força aplicada, kN
LG-15
NLG-15
TSD-NLG-15
LG-6
NLG-6
TSD-NLG-6
LG-13
NLG-13
TSD-NLG-13
LG-14
NLG-14
TSD-NLG-14
Figura 4-48 – Convergência da força aplicada para cada modo de falha
A sensibilidade das variáveis aleatórias pode ser observada na Figura 4-49, onde
verificou-se que a força aplicada apresentou a maior influência na determinação da
probabilidade de falha de cada modo. A resistência do concreto foi a variável mais importante
para a resistência do pórtico em todos os modos. Isso ocorreu porque na grande maioria das
vezes, a ruína ocorria por ruptura do concreto comprimido, sendo observado poucas vezes em
que a falha do modo se dava por deformação excessiva da armadura tracionada.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
236
44,9%
41,5%
36,3%
24,0%
22,5%
21,9%
44,7%
43,6%
43,4%
19,0%
17,9%
16,4%
2,3%
2,6%
4,2%
3,2%
3,6%
0,0%
2,3%
3,1%
3,2%
6,6%
6,7%
7,1%
52,8%
55,9%
59,6%
72,8%
73,9%
78,1%
53,0%
53,4%
53,4%
74,4%
75,4%
76,6%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
LG-15 NLG-15 TSD-
NLG-15
LG-6 NLG-6 TSD-
NLG-6
LG-13 NLG-13 TSD-
NLG-13
LG-14 NLG-14 TSD-
NLG-14
Modos de falha
Sensibilidade das variáveis
fc fy P
Figura 4-49 – Sensibilidade das variáveis aleatórias para cada modo de falha
Para completar a análise de confiabilidade, foram traçadas as curvas de estado limite
para cada modo de falha, fixando-se a resistência do aço em seu valor de projeto e variando-se
a resistência do concreto e a força aplicada. Todas as curvas correpondem a G(X) = 0 no
espaço normal padrão.
É interessante notar nessas curvas que há praticamente uma sobreposição entre os
modos 13 e 15 e depois entre os modos 6 e 14. Esse comportamento também pode ser
observado através dos índices de confiabilidade que são muito próximos para esses pares de
modos considerados. Um outro aspecto importante é que existe uma região onde todos os
modos se interceptam de maneira aproximada. O valor da resistência do concreto é
aproximadamente -3,0 unidades de desvio-padrão, que no espaço físico, assume o valor de
11MPa. Considerando esse valor para a resistência do concreto e o valor médio, isto é,
500MPa para o aço foi realizada uma análise de elementos finitos considerando o modelo do
tipo NLG. As respostas em termos de carga última obtidas foram praticamente as mesmas
para os quatro modos de falha, indicando que em uma situação como essa, todos os modos
ocorreriam simultaneamente. Os valores de carga última observados foram os seguintes:
157,3kN para os modos 13 e 15; 150,2kN para o modo 6 e 155,0kN para o modo 14. Esses
valores estão muito próximos do valor de 161kN obtido no gráfico (1,0 em unidades de
desvio-padrão) que, conduziria a estrutura ao colapso com todos os modos acontecendo ao
mesmo tempo. Esse resultados indicam a boa precisão do modelo mecânico para representar o
comportamento de estruturas em concreto armado no estado limite último.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
237
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Resistência do concreto
Força aplicada
LG-15 LG-6 LG-13 LG-14
Figura 4-50 – Equações de estado limite considerando modelo LG
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Resistência do concreto
Força aplicada
NLG-15 NLG-6 NLG-13 NLG-14
Figura 4-51 – Equações de estado limite considerando modelo NLG
-4,0
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Resistência do concreto
Força aplicada
TSD-NLG-15 TSD-NLG-6 TSD-NLG-13 TSD-NLG-14
Figura 4-52 – Equações de estado limite considerando modelo TSD-NLG
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
238
O tempo computacional gasto nas análises de confiabilidade, considerando os quatro
modos de falha foi de: 55 minutos para LG, 34 minutos para NLG; 4h e 28 minutos para o
modelo TSD-NLG. Conforme observado, o modelo completo consumiu muito mais tempo de
processamento que os demais, sendo inviável sua utilização em estruturas maiores. Nesses
casos, a solução é paralelizar o código para diminuir o tempo de processamento.
A probabilidade de falha do sistema, neste caso, fica definida pela probabilidade do
modo 15, ou seja, perda de estabilidade global do pórtico. Isso ocorreu porque para todos os
modelos mecânicos considerados, a estrutura atingiu o colapso antes da formação explícita
das 7 rótulas necessárias para a definição de um mecanismo.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
239
5. Modelos de Otimização
5.1 Generalidades
Um projeto estrutural é uma atividade bastante complexa, pois envolve diversas
etapas, desde a concepção da estrutura, arranjo estrutural até o dimensionamento dos
elementos e seu detalhamento. Portanto, o projeto estrutural pode ser entendido como um
processo iterativo, no qual as variáveis de projeto são determinadas através de inúmeras
aproximações sucessivas até atingirem valores aceitáveis dentro dos intervalos viáveis
recomendados pelas normas pertinentes.
Diante de todas essas dificuldades, existe ainda a preocupação com os custos das
obras, ou seja, os projetos estruturais devem, além de garantir a segurança satisfatória,
proporcionarem os menores custos. A redução de custos está ligada diretamente a uma série
de medidas que podem ser tomadas, tais como: melhores modelos de comportamento dos
materiais, graus de redundância, posicionamento dos elementos e suas dimensões. Por conta
disso, a otimização constitui-se em um procedimento valioso para elaboração de projetos
estruturais. Esse tratamento é perfeitamente possível, uma vez que o comportamento físico de
uma estrutura pode ser escrito em termos de um conjunto de funções matemáticas. Assim, as
técnicas de otimização podem ser empregadas para buscar valores extremos dessas funções.
Vale ressaltar que à medida que se busca representar melhor a realidade, o problema de
otimização também aumenta em complexidade e tamanho, dificultando a obtenção de uma
solução.
Atualmente, por conta desse par segurança × economia, os modelos de otimização
tem sido empregados em conjunto com modelos de confiabilidade, com o objetivo de obter
soluções econômicas e ao mesmo tempo suficientemente seguras. Assim, o projeto estrutural
pode perfeitamente ser encarado como um problema de minimização do custo total da
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
240
estrutura, por exemplo, sujeito a uma série de restrições mecânicas e de segurança para os
mais variados estados limites possíveis.
Neste capítulo são apresentados os conceitos fundamentais para o desenvolvimento
deste trabalho, bem como a formulação desenvolvida para a otimização das seções
transversais de elementos de barras em concreto armado e seu acoplamento com o modelo de
elementos finitos, para otimização de vigas, pilares, elementos inclinados e pórticos planos de
edifícios. Para maiores informações e detalhes sobre as técnicas de otimização, suas
aplicações e restrições, a bibliografia recomendada deve ser consultada.
5.2 Conceitos Importantes
5.2.1 Formulação de um problema de otimização
Todo o problema de otimização precisa ser tratado mediante um conjunto de etapas
específicas. O primeiro passo é definir qual é o objetivo para o qual deseja-se atingir um
máximo ou um mínimo. No caso do projeto estrutural e deste trabalho, o objetivo é minimizar
o custo inicial de elementos de barras em concreto armado. Dessa forma, define-se uma
função-objetivo que descreve o custo dos elementos estruturais em função das variáveis ou
parâmetros de projeto que serão calculados. Essas variáveis de projeto são exatamente as
quantidades que devem ser determinadas para que o custo atinja um valor mínimo dentro das
especificações requeridas. Assim, o segundo passo é definir quais são essas variáveis que
serão otimizadas.
A etapa seguinte é definir quais serão as restrições impostas ao problema. Isso deve
ser feito, para que as soluções apresentadas sejam viáveis, de modo a não produzir algo que
não faça sentido do ponto de vista físico do problema estudado. Para projetos estruturais, por
exemplo, as restrições podem ser dadas em termos de equações de equilíbrio, de
compatibilidade, situações construtivas e limites máximos e mínimos para as variáveis de
otimização.
De posse dessas informações, parte-se para a busca de um algoritmo ou método que
seja capaz de encontrar a solução do sistema. Nesse âmbito existem diversos tipos de
algoritmos com particularidades e determinados campos de aplicações, o que dificulta muito a
escolha de um único algoritmo universal de otimização. Cada problema possui características
próprias que devem ser analisadas para uma boa escolha do método. Uma boa discussão sobre
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
241
esses temas pode ser encontrada nos trabalhos de Fox (1973), Vanderplaats (1984),
Luenberger (1984), Rigo (1999) e Nocedal & Wright (1999).
O problema de minimização pode ser escrito, portanto, da seguinte forma:
(
)
xf
n
x
ℜ∈
min
sujeito à:
(
)
( )
mj
ni
xg
xh
j
i
...1
...1
0
0
=
=
≤
=
(5-1)
sendo que:
(
)
xf é a função-objetivo a ser minimizada;
(
)
xh
i
são as restrições de igualdade;
(
)
xg
j
são as restrições de desigualdade;
x
é o vetor de variáveis a serem otimizadas; n e m
são, respectivamente, o número de restrições de igualdade e desigualdade do problema.
É interessante lembrar que as funções f, h e g são todas funções escalares com valor
real nas variáveis x.
5.2.2 Propriedades dos pontos de mínimo
Nesta seção, duas propriedades dos pontos de mínimo são apresentadas. A partir
delas é possível garantir que um ponto candidato é definido como mínimo relativo da função-
objetivo analisada.
A primeira propriedade afirma que para uma função qualquer, f(x), com n variáveis a
serem otimizadas e com derivadas contínuas, o ponto de mínimo possui gradientes da função
nulos, ou seja:
(
)
0
,...,1
=
∂
∂
=
ni
i
x
xf
(5-2)
Além disso, para que o ponto encontrado a partir da Equação 5-2 seja de fato um
ponto de mínimo relativo é necessário que a matriz Hessiana de f(x) seja positiva definida.
Trata-se da segunda propriedade importante dos pontos de mínimo. Uma matriz é positiva
definida quando todos os seus autovalores são positivos e positiva semi-definida quando todos
os seus autovalores são não-negativos. Assim, tem-se a matriz Hessiana avaliada no ponto
ótimo encontrado pela Equação 5-2:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
242
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
n
nn
n
n
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
xx
f
xx
f
xx
f
x
f
H
L
MOMM
L
L
(5-3)
5.2.3 Ponto de mínimo global
O ponto de mínimo global é definido como sendo o ponto no qual a função-objetivo
alcança seu menor valor em todo o domínio considerado. Assim, x
m
é o mínimo global de f se
(
)
(
)
xfxf
m
≤ para todo e qualquer valor de x no domínio
n
ℜ .
5.2.4 Ponto de mínimo local
Um ponto de mínimo local é encontrado quando se atinge o menor valor de f na sua
vizinhança N. Os pontos de mínimo podem ser classificados em frágil e estrito. Um ponto de
mínimo local frágil é obtido quando
(
)
(
)
xfxf
m
≤ para todo Nx
∈
, onde a vizinhança de x
m
é
um conjunto aberto que contém x
m
. O ponto de mínimo estrito ou também conhecido como
forte é definido em uma vizinhança N quando
(
)
(
)
xfxf
m
< para todo Nx
∈
e
m
xx ≠ . A
Figura 5-1 mostra uma função de uma variável que possui mínimos locais e um mínimo
global.
x
f(x)
mínimo local frágil
vizinhança
mínimo global
mínimo local estrito
Figura 5-1 – Mínimos locais e global de uma função de uma variável
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
243
5.2.5 Condições necessárias e suficiente
O ponto chave para a verificação se um ponto x
m
é de fato um mínimo local é a
análise do gradiente,
(
)
m
xf∇ e da matriz Hessiana,
(
)
m
xf
2
∇ da função-objetivo, f. Para isso, é
necessário que f seja contínua e duas vezes diferenciáveis no ponto considerado. Portanto,
escrevem-se as seguintes condições:
Condição necessária de 1ª ordem:
Se x
m
é um mínimo local de f e f é contínua e diferenciável em uma vizinhança aberta
de x
m
, então
(
)
0=∇
m
xf .
Condição necessária de 2ª ordem:
Se x
m
é um mínimo local de f e f
2
∇ é contínua em uma vizinhança aberta de x
m
,
então
(
)
0=∇
m
xf e
(
)
m
xf
2
∇ é positiva semi-definida.
Condição suficiente de 2ª ordem:
Seja f
2
∇ contínua em uma vizinhança aberta de x
m
, com
(
)
0=∇
m
xf e
(
)
m
xf
2
∇
positiva definida. Então, x
m
é um mínimo local estrito de f.
É interessante perceber que a condição suficiente de segunda ordem garante uma
realizadade mais forte do que as condições necessárias, pois permite afirmar que o ponto é um
mínimo local estrito e não frágil.
5.2.6 Restrições ativas e inativas
Restrições de igualdade do tipo
(
)
0=
xh
são consideradas sempre como ativas em
qualquer ponto possível dentro do domínio do problema. No entanto, as restrições de
desigualdade do tipo,
(
)
0≤
xg
se tornam ativas no ponto quando
(
)
0=
xg
e inativas quando
(
)
0<
xg
.
As restrições inativas não exercem influência sobre o domínio de soluções possíveis
do problema de otimização, sendo somente uma espécie de fronteira desse domínio. Já as
restrições ativas limitam o domínio, de modo que o ponto candidato a um mínimo ou máximo
deve, necessariamente, satisfazer essas restrições. Dessa forma, as restrições de igualdade
estarão ativas sempre, ao passo que as restrições de desigualdade poderão ou não estar ativas.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
244
5.3 Método de Otimização tipo SQP
Os problemas de otimização foram formulados de acordo com os conceitos
apresentados neste capítulo em linguagem de programação Compaq Visual FORTRAN 6.6 da
Microsoft e resolvidos pelo algoritmo DNCONF, pertencente à biblioteca matemática IMSL
do próprio Fortran. Esse algoritmo foi desenvolvido por Schittkowski (1986) e utiliza um
Método de Programação Sequencial Quadrática – SQP (Sequential Quadratic Programming).
Assim, o problema de otimização fica definido como:
(
)
xf
n
x
ℜ∈
min
sujeito à:
(
)
0=xg
i
, para i = 1, 2,..., n
e
(
)
0≥xg
i
, para i = n
e
+ 1,..., m
supinf
xxx ≤≤
Todas as funções são consideradas contínuas e diferenciáveis. Para utilizar esse
recurso, devem ser fornecidos como dados de entrada a função-objetivo, cada restrição de
igualdade e desigualdade, os limites inferior e superior de cada variável, bem como uma
estimativa inicial das variáveis a serem otimizadas. Essa rotina DNCONF não requer a
entrada das derivadas parciais da função-objetivo e das restrições, pois estas são calculadas
por diferenças finitas automaticamente pelo programa.
O método SQP, utilizado na rotina, baseia-se na formulação e solução iterativa de
subproblemas usando uma aproximação quadrática para o lagrangeano, linearizando-se as
restrições no ponto considerado. Assim, de maneira resumida, o problema de otimização pode
ser reescrito da seguinte forma:
( )
∇+
ℜ∈
dxfdBd
T
kk
T
d
n
2
1
min
sujeito à:
(
)
(
)
0=+∇
ki
T
ki
xgdxg
, para i = 1, 2,..., n
e
(
)
(
)
0≥+∇
ki
T
ki
xgdxg
, para i = n
e
+ 1,..., m
kk
xxdxx −≤≤−
supinf
sendo que: B
k
é uma aproximação positiva definida para a Hessiana; k corresponde à iteração
atual.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
245
É interessante destacar que nesse subproblema, a variável de otimização deixa de ser
x e passa a ser a direção de busca d. Uma vez encontrado um valor para a direção de busca,
esta é usada para encontrar um novo ponto x, ou seja:
kkk
dxx
λ
+=
+
1
,
com
(
]
1,0∈
λ
(5-4)
À medida que o algoritmo se aproxima do ponto de mínimo, a direção de busca vai
recebendo valores cada vez menores, até atingir a tolerância pré-estabelecida. Quando o ponto
de mínimo não é alcançado, atualiza-se B
k
a partir do algoritmo BFGS. Mais detalhes sobre os
métodos de otimização podem ser encontrados em Stoer (1985) e Gill et al. (1985).
5.4 Otimização da Seção Transversal de um Elemento de Barra
5.4.1 Hipóteses do modelo
Ao se projetar elementos de barras em concreto armado, estes devem satisfazer as
equações de equilíbrio da estática clássica em todas as suas seções transversais, bem como
apresentar deformações compatíveis com seu estado de solicitação. A formulação apresentada
a seguir foi baseada no trabalho de Paula (1988) e adaptada para os fins desta pesquisa.
Para se caracterizar uma posição genérica no diagrama de deformação de uma seção
é necessário assumir três hipóteses:
• Admitir distribuição linear de deformações ao longo da seção;
• Adotar um valor para a curvatura da seção, de modo que o limite máximo para
cuvartura no valor de
(
)
d
01,00035,0 + não seja ultrapassado. Esses valores são
provenientes dos limites de formação de 10‰ para o aço e 3,5‰ para o
concreto;
• Adotar uma profundidade da linha neutra, que é definida pela escolha de um
valor para o parâmetro adimensional
β
x
, de acordo com:
h
x
x
=
β
(5-5)
sendo que: x é a distância da fibra mais comprimida da seção até a linha neutra; h é a altura da
seção transversal; d é a distância da fibra mais comprimida até o centro de gravidade da
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
246
armadura tracionada. A Figura 5-2 ilustra a seção genérica considerada para o
desenvolvimento da formulação.
h
X
L.N.
εc
εs
C.G.
As
As
1/r
M
N
Figura 5-2 – Seção transversal genérica de um elemento de barra em concreto armado
É necessário, portanto, adotar inicialmente a profundidade da linha neutra e a
curvatura da seção, de modo que possam ser determinadas as condições de compatibilidade de
deformações e, com isso, as tensões nas armaduras e no concreto. A partir dessas tensões
pode-se chegar via equilíbrio da seção aos esforços resistentes que suportam a força normal e
o momento fletor atuante. Por conta disso, o modelo de otimização considera como variáveis
a serem otimizadas a profundidade da linha neutra e a curvatura da seção, além das dimensões
dos elementos. Dessa forma, garante-se total liberdade para o procedimento de busca da
solução ótima, pois nenhum parâmetro importante é fixado.
5.4.2 Compatibilidade de deformações
A Figura 5-3 mostra o sistema de coordenadas adotado, bem como as grandezas
relacionadas ao estado de deformação de uma seção genérica em concreto armado.
Por compatibilidade geométrica de deformações pode-se escrever a deformação na
fibra genérica da seção,
ε
, em função da deformação do concreto,
ε
c2
, da deformação da
armadura,
ε
s
ou da deformação da fibra distante 3h/7 da fibra mais comprimida,
ε
3h/7
,
conforme:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
247
(
)
x
yy
oc
−
−
=
2
ε
ε
(5-6)
(
)
x
d
h
yy
os
−−
−
=
'
ε
ε
(5-7)
(
)
xh
yy
oh
−
−
=
7
3
7/3
ε
ε
(5-8)
X
L.N.
ε
c2
ε
s
C.G.
As'
As
1/r
compressão
tração
h/2
h/2
d'
d'
d
h
ε
3h/7
3h/7
y
o
y
ε
Figura 5-3 – Diagrama genérico de deformações
Ainda baseado na Figura 5-3, é possível escrever as deformações
ε
c2
,
ε
s
e
ε
3h/7
em
função da curvatura da seção:
x
r
c
1
2
−=
ε
(5-9)
( )
xdh
r
s
−−= '
1
ε
(5-10)
−= xh
r
h
7
31
7/3
ε
(5-11)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
248
A deformação na fibra genérica em função da curvatura da seção pode ser obtida
substituindo-se qualquer uma das Equações 5-9, 5-10 ou 5-11 em uma das Equações 5-6, 5-7
ou 5-8:
( )
o
yy
r
−=
1
ε
(5-12)
A distância entre a linha do centro geométrico da seção e a linha neutra, y
o
, pode ser
dada por:
2
h
xy
o
−=
(5-13)
Escrevendo-se a posição da fibra genérica, y, em termos adimensionais tem-se:
h
y
y
=
β
(5-14)
Substituindo-se a Equação 5-13 em 5-12 e levando-se em conta os parâmetros
adimensionais
β
x
e
β
y
tem-se:
−+=
xy
r
h
ββε
2
1
(5-15)
Fazendo-se
oy
ββ
=+ 21 e substituindo-se na Equação 5-15 tem-se a expressão
geral que define a deformação de uma fibra genérica da seção transversal em concreto
armado, para uma determinada curvatura e posição relativa da linha neutra:
( )
xo
r
h
ββε
−=
(5-16)
Em função dessa expressão pode-se calcular a deformação de camadas de armadura
dispostas em qualquer linha da seção transversal, para posterior cálculo das respectivas
tensões.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
249
5.4.3 Intervalo de variação de
β
x
Embora teoricamente a profundidade da linha neutra não tenha limites, podendo
variar de
∞
−
a +
∞
, se faz necessário estabelecer alguns limites para que a curvatura
máxima, dada pelos limites de deformações dos materiais não seja ultrapassada. Assim, esta
parte do texto destina-se a definir valores limites para a posição relativa da linha neutra,
considerando a curvatura da seção. A Figura 5-4 ilustra as possíveis regiões de deformação da
seção, paras as quais serão estabelecidos os limites da linha neutra.
I
II
III
10
-3,5
-2
alongamento
encurtamento
Figura 5-4 – Regiões possíveis de deformação da seção
A região I é definida pelo limite de deformação de 10‰ da armadura mais
tracionada, com a fibra de concreto menos tracionada variar entre deformações de -3,5‰ a
10‰, englobando dessa forma os domínios 1 e 2 de deformação. A região II do diagrama é
caracterizada pela deformação máxima de encurtamento de -3,5‰ da fibra mais comprimida
da seção trasnversal, com as deformações na armadura mais tracionada variando entre 10‰ e
zero, definindo os domínios 3, 4 e 4a. Já a região III caracteriza-se pelo encurtamento máximo
de -2‰ para a fibra distante 3/7 de h da borda mais comprimida da seção, fixando, portanto, o
domínio 5, onde toda a seção encontra-se comprimida.
Portanto, serão consideradas as seguintes situações:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
250
a) 0
≤
x
β
para região I;
b) 10
≤<
x
β
para região II;
c) 1
>
x
β
para região III.
Para 0
≤
x
β
, o estado de deformação da seção é caracterizado pela região I do
diagrama da Figura 5-4, fixando, portanto, o limite inferior de
β
x
determinado pela
deformação última de tração do aço, 10‰, pois a seção transversal encontra-se totalmente
tracionada. A posição da fibra que fornece essa condição pode ser dada por:
h
d
y
'
2
1
−=
β
(5-17)
Para que o limite último de deformação de tração do aço não seja ultrapassado, a
deformação da fibra genérica deve obedecer à seguinte inequação:
( )
01,0
≤−=
xo
r
h
ββε
(5-18)
Como
oy
ββ
=+
21 , pode-se escrever a expressão que fornece o limite inferior do
intervalo de variação de
β
x
, que é denotado por:
δβ
−+−≥
1
01,0
rh
xi
(5-19)
com
hd
'=
δ
.
Para 10
≤<
x
β
, o estado de deformação da seção transversal é caracterizado pela
região II do diagrama da Figura 5-4, fixando, portanto, um limite superior de
β
x
determinado
pela deformação última de compressão na fibra de concreto da borda mais comprimida, -
3,5‰, pois a seção transversal encontra-se parcialmente comprimida. A posição da fibra que
garante essa condição limite é dada por:
2
1
−=
y
β
(5-20)
Para evitar que o limite último de deformação de compressão na fibra de concreto da
borda mais comprimida seja ultrapassado, a seguinte inequação deve ser obedecida:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
251
( )
0035,0
−≥−=
xo
r
h
ββε
(5-21)
Como para esse caso, 0
=
o
β
, tem-se a expressão que fornece um limite superior do
intervalo de variação de
β
x
, dada por:
rh
xs
0035,0
1
≤
β
(5-22)
Finalmente, para 1
>
x
β
, o estado de deformação da seção transversal é caracterizado
pela região III do diagrama da Figura 5-4, sendo, nesse casso, um segundo limite superior de
β
x
determinado pela deformação última de compressão na fibra de concreto, distante 3h/7 a
partir da borda mais comprimida, -2,0‰. A posição da fibra, a partir da linha do centro
geométrico da seção pode ser dada por:
14
1
−=
y
β
(5-23)
Para atender a condição de deformação definida por esta situação, a deformação na
fibra genérica deve respeitar a seguinte inequação:
( )
002,0
−≥−=
xo
r
h
ββε
(5-24)
Como para esse caso, 73
=
o
β
, tem-se a expressão que fornece um segundo limite
superior do intervalo de variação de
β
x
, dada por:
7
3002,0
2
+≤
rh
xs
β
(5-25)
Diante disso, o processo de otimização, que terá coma uma das variáveis a posição
relativa da linha neutra,
β
x
, buscará a solução ótima dentro do intervalo definido por:
≤≤
2
1
xs
xs
xxi
β
β
ββ
(5-26)
A escolha de um dos limites superior de
β
x
dependerá de qual das duas condições de
deformação será atingida primeiro. É interessante destacar que ao se definir em qual dos casos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
252
a seção se encontra, a curvatura é automaticamente determinada pelo processo através das
Equações 5-9, 5-10 e 5-11.
5.4.4 Equações de equilíbrio
A partir do cálculo das deformações em fibras genéricas, conforme discutido nas
seções anteriores, torna-se possível determinar as tensões em qualquer fibra da seção
transversal, a partir das relações constitutivas dos materiais. O próximo passo é, portanto, o
cálculo dos esforços resistentes da seção, dados aqui pela força normal e momento fletor
resistente. A Figura 5-5 mostra, para o caso de seção transversal retangular e linha neutra
perpendicular ao eixo de simetria da seção, as forças resistentes utilizadas para garantir o
equilíbrio da seção. O concreto é representado pelo diagrama parábola-retângulo de tensão ×
deformação.
L.N.
ε
c2
ε
s1
C.G.
h/2
h/2
d'
y
o
y
si
b
y
ε
si
ε
sn
ε
c1
R
sn
R
c
R
si
R
s1
σ
cd
= 0,85 f
cd
y
3
y
2
y
1
1 - Geometria
2 - Deformações
3 - Tensões
4 - Resultantes
Figura 5-5 – Tensões, deformações e forças resultantes
A força normal e o momento fletor resistente podem ser dados por:
∑
=
+=
n
i
SiCR
RRN
1
(5-27)
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
253
∑
=
+=
n
i
SiSiCR
yRMM
1
(5-28)
sendo que: n é o número de camadas de armadura na seção; R
C
e M
C
são, respectivamente, as
resultantes de força normal e momento fletor do concreto.
Assim, abrindo as expressões tem-se:
∑
∫
=
−
⋅+⋅=
n
i
SiSi
y
h
CR
AdybN
O
1
2
σσ
(5-29)
∑
∫
=
−
⋅⋅+⋅⋅=
n
i
SiSiSi
y
h
CR
AydyybM
O
1
2
σσ
(5-30)
As Equações 5-29 e 5-30 permitem calcular a força normal e o momento fletor
resistente para uma dada curvatura e posição relativa da linha neutra na seção de um elemento
em concreto armado. É interessante destacar que essas expressões refletem o equilíbrio de
elementos de barras em concreto armado de maneira geral, independentemente de o elemento
ser uma viga, pilar ou estar inclinado., sendo, portanto, de caráter geral.
As integrais utilizadas para calcular a parcela resistente do concreto comprimido, em
virtude do diagrama parábola-retângulo, foram separadas em duas parcelas. Em cada uma das
integrais, a primeira parcela refere-se ao trecho retangular do diagrama de tensões, que é
obtida usando-se para
σ
c
o valor de -0,85f
cd
e os limites de integração y
1
e y
2
referentes ao
trecho retangular do diagrama. Já a segunda parcela corresponde ao trecho parabólico, sendo
obtida usando-se para
σ
c
a expressão 850f
cd
(1+250
ε
c
)
ε
c
e os limites de integração y
2
e y
3
.
Assim, as expressões dos esforços resistentes assumem a seguinte forma:
( )
Si
n
i
Si
y
y
cccd
y
y
cdR
AdybfdybfN
⋅+⋅+⋅+⋅⋅−=
∑
∫∫
=
1
3
2
2
1
250185085,0
σεε
(5-31)
( )
Si
n
i
SiSi
y
y
cccd
y
y
cdR
AydyybfdyybfM
⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−=
∑
∫∫
=
1
3
2
2
1
250185085,0
σεε
(5-32)
Efetuando-se as operações aritméticas, integrando-se e utilizando-se os limites,
obtém-se as expressões finais para a força normal e o momento fletor resistente de uma seção
em concreto armado, dadas por:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
254
( )
∑
=
⋅+
⋅+⋅+⋅
+⋅+
⋅+−−⋅⋅=
n
i
SiSicdR
A
kkkk
k
r
h
kk
k
r
h
fhbN
1
3
2
121
4
31
2
12
3
250
2
85085,0
σββ
(5-33)
∑
=
⋅⋅+
⋅
+⋅+⋅
+
⋅
+
⋅+⋅−⋅⋅=
n
i
SiSiSicdR
Ay
kkk
k
k
r
h
kkk
r
h
kfhbM
12
2
14
1
5
214
6
2
23
2
4
250
22
850425,0
σ
(5-34)
com
h
y
1
1
=
β
;
h
y
2
2
=
β
;
h
y
3
3
=
β
;
x
k
β
−=
2
1
1
;
2
2
2
32
ββ
−=k ;
233
ββ
−=k ;
3
2
3
34
ββ
−=k ;
4
2
4
35
ββ
−=k ;
2
1
2
26
ββ
−=k .
Para finalizar, deve-se agora definir os limites adimensionais para integração do
diagrama de tensões de compressão no concreto,
β
1
,
β
2
e
β
3
, a partir dos intervalos de
variação de
β
x
.
Para o caso de 10 ≤<
x
β
, a seção está parcialmente comprimida, o que significa que
tanto o concreto quanto o aço contribuem para os esforços resistentes. O objetivo é definir os
limites de integração do diagrama parábola-retângulo do concreto submetido à compressão.
Para o início do diagrama define-se
β
1
= -1/2.
As tensões de compressão no concreto se distribuem uniformemente até que a fibra,
distante 3/7 em valor adimensional a partir da borda comprimida, atinja a deformação de -
2‰. Portanto, pode-se concluir que o máximo valor permitido para a ordenada adimensional
β
2
, que é o valor que limita o fim da distribuição retangular de tensões de compressão no
concreto, é dado por
β
2
=
β
1
+ 3/7 = -1/14. O valor mínimo para
β
2
, por sua vez pode ser
dado por -1/2, pois só interessa a integral que está dentro da seção. Assim, tem-se a seguinte
expressão válida para o cálculo da ordenada adimensional
β
2
:
2
1002,0
2
−+
−
=
x
rh
ββ
(5-35)
com limites dados por:
14121
2
−≤≤−
β
.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 255
Para o terceiro limite de integração,
β
3
, dado pela ordenada adimensional que
determina o final do diagrama parabólico, este deve coincidir com a posição da fibra com
deformação nula. Portanto, tem-se 21
3
−=
x
ββ
, com valor mínimo igual a -1/2.
As seções inteiramente comprimidas, isto é, para 1>
x
β
seguem exatamente o
mesmo descrito para 10 ≤<
x
β
. Os valores de
β
1
,
β
2
e
β
3
são os mesmos, ressaltando apenas
que deve-se respeitar o limite máximo de 1/2 para
β
3
, pois novamente considera-se somente a
integral dentro da seção transversal de concreto.
Com relação a 0≤
x
β
, seção inteiramente tracionada, os limites adimensionais de
integração devem anular a integral de tensão de compressão na seção de concreto. Isso pode
ser conseguido ao adotar os valores mínimos para os limites de integração. Com isso, a força
normal resistente será fornecida somente pela armadura longitudinal da seção transversal do
elemento estrutural. Assim, tem-se: 21
321
−===
βββ
.
5.4.5 Formulação do problema de otimização
Após discutir as hipóteses adotadas, compatibilidade e equações de equilíbrio que
descrevem os elementos de barra em concreto armado, o próximo passo é formular o
problema de otimização.
A função-objetivo utilizada é o custo inicial total de projeto de uma seção transversal
de um elemento de barra em concreto armado. Para considerar o custo de toda a estrutura, esta
é dividida em trechos que mantém o mesmo sinal de momento fletor, de modo que a seção
escolhida para ser otimizada é aquela, dentro de cada trecho, que apresentar maior solicitação.
Após a definição da seção ótima, esta é extendida para todo o trecho.
As restrições do problema são dadas pelas equações de equilíbrio, tanto para força
normal quanto para momento fletor, bem como outras restrições que definem os limites das
variáveis. Embora a formulação seja geral, faz-se apenas uma pequena distinção entre a
otimização de elementos horizontais, ou vigas e elementos verticais e inclinados, como é o
caso de pilares e outros elementos estruturais. Essa distinção existe na função-objetivo e no
acréscimo de uma restrição ao problema, conforme será discutido na sequência.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 256
5.4.5.1 Elementos horizontais
O problema de otimização é escrito para elementos horizontais da seguinte forma:
Minimizar:
(
)
(
)
FSSSSC
ChbCAAChbf ⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅= 2
21
ρ
(5-36)
Sujeito à:
≥−−⋅⋅
≥−
≥−
=−
=−
0max%
0
0
0
0
21 SS
xxs
xix
dR
dR
AAhb
MM
NN
ββ
ββ
(5-37)
As variáveis a serem otimizadas são: altura da seção (h), área de aço tracionada (A
S1
),
área de aço comprimida (A
S2
), posição relativa da linha neutra (
β
x
) e curvatura da seção (1/r).
É interessante destacar que mesmo em casos onde a força normal atuante seja nula, a
formulação apresentada acima continua sendo válida, bastando igualar N
R
a zero. Um outro
aspecto importante é que para elementos horizontais são consideradas duas variáveis distintas
para área de armadura, pois representam exatamente as áreas de tração e compressão
existentes nesses elementos, podendo ser diferentes entre si. O algoritmo parte de valores
iniciais para cada uma das variáveis até, em sucessivas iterações, atingir o ponto ótimo.
Os parâmetros utilizados no problema são: b é a largura da seção mantida constante
ao longo do processo;
ρ
S
é a massa específica do aço igual a 7850kg/m
3
; C
C
, C
S
e C
F
são,
respectivamente, os custos do concreto por metro cúbico, do aço por quilograma e das fôrmas
de madeira por metro quadrado; N
R
e M
R
são, respectivamente, a força normal e o momento
fletor resistente, dados pelas Equações 5-33 e 5-34; N
d
e M
d
são, respectivamente, a força
normal e o momento fletor atuantes de cálculo;
β
xi
e
β
xs
são os limites inferior e superior para
a posição relativa da linha neutra na seção, dados pelas Equações 5-19, 5-22 e 5-25; %max é a
porcentagem máxima de armadura que a seção pode suportar.
Quando a área de armadura ultrapassa a capacidade de alojamento de uma camada,
em função da própria geometria da seção, esta é distribuída em outras camadas. O centro de
gravidade da armadura é então calculado para a obtenção do novo valor de d’. Reinicia-se o
processo na próxima iteração com o novo valor de d’ até a convergência do algoritmo. Essa
distribuição é feita dessa maneira, pois do ponto de vista da otimização pura, a formulação
direta de um problema com mais camadas de armadura não é interessante, pois a seção ótima
sempre será aquela com maior área de armadura mais afastada do centro da seção. Com isso,
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 257
o próprio algoritmo anula as áreas de aço que não estiverem na primeira camada, pois estas
contribuem menos na resistência da seção, comparadas àquelas alojadas na camada com
maior braço de alavanca. O que ocorre é que após obtida a área total de armadura, caso esta
não possa ser alojada em uma única camada, o programa distribui automaticamente essa área
total de acordo com a capacidade de alojamento de cada camada na seção. Após isso, a
estrutura é analisada novamente considerando as áreas posicionadas adequadamente nas
diversas camadas até a convergência do algoritmo para o ponto ótimo com redistribuição de
esforços insignificante entre uma iteração e a seguinte. Ou ainda o que pode acontecer é
aumentar a altura da seção para compensar a perda de resistência ao momento fletor, por
exemplo, por conta da menor área de aço nas camadas mais externas. A conclusão é que o
custo sempre resultará maior não demonstrando, portanto, a solução de mínimo custo para o
problema.
5.4.5.2 Elementos verticais ou inclinados
O problema de otimização é escrito para elementos verticais ou inclinados da
seguinte forma:
Minimizar:
(
)
FSSSC
ChbCAChbf ⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅= 2
ρ
(5-38)
Sujeito à:
≥⋅⋅−
≥−⋅⋅
≥−
≥−
=−
=−
0min%
0max%
0
0
0
0
hbA
Ahb
MM
NN
S
S
xxs
xix
dR
dR
ββ
ββ
(5-39)
As variáveis a serem otimizadas são: largura da seção (b), altura da seção (h), área de
aço total (A
S
), posição relativa da linha neutra (
β
x
) e curvatura da seção (1/r).
Conforme pode ser observado, o problema de otimização é formulado praticamente
da mesma maneira, com uma pequena distinção apenas na função-objetivo, pois otimiza-se
apenas a área de aço total do elemento, ao invés das áreas separadas de armadura e também
no custo das fôrmas que é dado agora por todas as faces do elementos.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 258
As restrições são as mesmas, com o acréscimo de uma restrição extra que define a
quantidade mínima de armadura necessária para o elemento estrutural, dada pela taxa mínima
de aço na seção, %min.
A área de armadura para os elementos verticais ou inclinados é considerada como
uma variável de otimização única, ou seja, não há distinção entre armadura positiva ou
negativa. Em projetos estruturais é convencional se adotar armaduras simétricas para pilares e
elementos inclinados, justamente para evitar problemas de posicionamento das barras na obra.
Assim, nesta formulação a área de armadura será otimizada em sua totalidade. Para distribuir
as barras dentro da seção transversal, sempre de maneira simétrica, o critério utilizado é a
recomendação da ABNT NBR 6118:2003 com relação ao espaçamento horizontal máximo
entre duas camadas de armadura que não deve ultrapassar 40cm. Isso se dá para evitar
problemas com flambagem das barras comprimidas dentro dos elementos estruturais.
O procedimento é iniciado considerando apenas duas camadas de armadura no
elemento, ambas com metade da área total de aço. Após a otimização, verifica-se se a altura
da seção resultou maior que 40cm. Em caso afirmativo, coloca-se uma camada extra de
armadura no meio da seção, porém com menos área comparada às camadas mais externas.
Várias proporções podem ser adotadas nesses casos. Uma delas, por exemplo, é admitir que
cada camada mais externa tenha 40% da área total de aço e a camada do meio contribua com
apenas 20% da área total. Desse modo, o requisito do espaçamento máximo de 40cm é
atendido e o equilíbrio da seção é mantido. É interessante destacar que após obtenção da
solução ótima, esta é introduzida nos elementos finitos e a estrutura é reprocessada para
verificar a redistribuição de esforços até que esta seja desprezível de uma iteração para outra.
Esse procedimento pode ser utilizado sempre que o espaçamento entre duas camadas
consecutivas resulte maior que 40cm, dividindo a área total em 3, 4, 5 até n camadas extras de
armadura na seção. A Figura 5-6 ilustra esse processo para o caso de até 4 camadas de
armadura alojadas na seção, porém podem ser consideradas quantas forem necessárias.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 259
CG
0,5As
0,5As
até 40cm
0,4As 0,4As
0,4As 0,4As
0,2As
0,1As
0,1As
até 40cmaté 40cm
até 40cmaté 40cmaté 40cm
Figura 5-6 – Configurações possíveis de armadura para elementos verticais ou inclinados
A Figura 5-7 apresenta a convenção utilizada neste trabalho para diferenciar a
largura e a altura da seção transversal dos elementos verticais e inclinados.
b
h
b
h
Figura 5-7 – Convenção para as dimensões da seção transversal dos elementos
Assim, a largura da seção, b, corresponde à dimensão perpendicular ao eixo do
pórtico, ao passo que a altura da seção, h, é dada pela dimensão paralela ao eixo pórtico.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 260
5.5 Otimização de Pórticos Planos
5.5.1 Tipo de abordagem
Kirsch
38
(1993) apud Nina (2006) divide a otimização estrutural em três classes de
aproximação. A primeira classe é a aproximação global, na qual a função-objetivo é
formulada para todos os pontos da estrutura, analisando dessa maneira a estrutura por
completo. O problema dessa abordagem consiste no grande trabalho computacional gerado,
pois o problema de otimização precisa ser resolvido para todos os pontos da estrutura. Aliado
a esse fato, para as estruturas em concreto armado tem-se um agravante ainda maior, por
conta de sua complexidade e do forte caráter não-linear presente nos materiais, sobretudo no
concreto. Na segunda classe tem-se a aproximação local, onde a função-objetivo e as
restrições são verificadas para alguns trechos isolados da estrutura. Por um lado, o problema
de otimização se torna mais simples, pois é resolvido apenas para alguns trechos da estrutura,
como por exemplo, para seções de máximos esforços. Por outro lado, esse processo pode
levar a resultados não satisfatórios para a estrutura como um todo. Já a terceira classe de
aproximação considera uma combinação das duas primeiras classes, extrapolando os
resultados obtidos com a aproximação local para toda a estrutura.
Este trabalho considera, portanto, essa aproximação combinada para a otimização
dos elementos estruturais isolados e, consequentemente, para os pórticos planos em concreto
armado. A estratégia utilizada para obter resultados com qualidade para a estrutura como um
todo consiste, primeiramente, na divisão da estrutura em alguns trechos com características
particulares. Essa divisão é governada principalmente pelo diagrama de momentos fletores,
que distribui os trechos em função do sinal do momento fletor até o ponto onde este é nulo,
conforme a Figura 5-8.
38
Kirsch, U. (1993). Effective approximations for topological optimization.
The World Congress on Optimal
Design of Structural Systems
, Rio de Janeiro. Anais. COPPE/Federal University of Rio de Janeiro, v. 1, p. 3-10.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 261
T4
T: trecho
T1
T2 T3
T5
T6
T7
T8
Figura 5-8 – Divisão da estrutura em trechos para otimização
Nos trechos como T5 e T7, o momento fletor é sempre positivo, caracterizando,
portanto, somente um trecho de otimização. O mesmo raciocínio vale para os trechos de
momento negativo. Para os pilares e elementos inclinados, não é necessário realizar essa
divisão, exceto quando há mudança de pavimento, pois o que interessa é o máximo momento
fletor e a máxima força normal, independentemente dos sinais, já que a armadura será sempre
simétrica. A estrutura é então otimizada separadamente para cada um dos trechos. Ao final
desse processo, para os elementos horizontais, como é o caso das vigas, adota-se a máxima
altura obtida em todos os trechos de viga e dimensiona-se normalmente os demais trechos
onde a altura foi regularizada, aproveitando, entretanto, o mesmo valor da posição da linha
neutra obtido no processo de otimização daquele trecho. Fazendo-se isso é possível considerar
no dimensionamento clássico de elementos horizontais, somente o momento fletor, pois a
influência da força normal está embutida na posição da linha neutra da seção, que é mantida
igual ao valor otimizado antes da regularização.
Com esse procedimento tem-se a aproximação local definida a partir da seção de
máximo esforço no trecho, extendendo-se os resultados para todo o trecho. Após esse
procedimento, as dimensões ótimas e as armaduras são distribuídas adequadamente ao longo
dos elementos finitos da estrutura e esta é processada novamente. O objetivo de reprocessar a
estrutura ótima é observar a redistribuição de esforços que ocorre em função das novas
dimensões e áreas de armadura. Assim, a convergência é atingida quando a redistribuição dos
esforços da iteração atual seja praticamente a mesma da iteração anterior. Dessa forma,
atinge-se de maneira indireta a aproximação global a partir da abordagem local, garantindo
bons resultados para toda a estrutura.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 262
5.5.2 Considerações sobre a implementação computacional
Nesta seção são descritas as principais partes do módulo de otimização
determinística do programa computacional desenvolvido, conforme ilustra o fluxograma da
Figura 5-9. Os números acima das figuras geométricas do fluxograma indicam a legenda dos
comentários sobre aquele ítem.
1.
Leitura dos arquivos de entrada de dados. Foram criados arquivos separados
para cada módulo do programa. Para a realização de análises de otimização determinística são
necessários os dados referentes à discretização da estrutura, dimensões iniciais, armaduras,
carregamentos, vinculação, não-linearidades e valores de convergência. Todos esses dados
estão no arquivo de entrada da parte mecânica (estrutura) do programa. Um arquivo de
impressão especial pode ou não ser requisitado pelo usuário. Nesse arquivo contém
informações específicas para impresssão, como por exemplo, dados somente de um
determinado elementos finito ou nó interessante. E finalmente, no arquivo de otimização estão
todos os dados referentes à divisão da estrutura em trechos, bem como os diâmetros de
armadura adotados, espaçamentos, elementos finitos iniciais e finais que compõem cada
trecho, custos de cada material, número de restrições e valores de convergência;
2.
Resolução do sistema de equações via MEF. O sistema gerado a partir dos
dados dos elementos é resolvido, calculando-se todos os deslocamentos dos nós, reações de
apoio, tensões, deformações em todos os pontos de Gauss e esforços internos solicitantes em
cada elemento finito. A estrutura pode ser tratada com modelos lineares ou não-lineares
conforme escolha do usuário para a análise;
3.
Busca pelos esforços máximos. Após a resolução do sistema de equações
inicia-se um loop para todos os trechos da estrutura que serão otimizados. Para cada trecho
faz-se uma seleção dos máximos valores para o momento fletor, força cortante e força normal,
armazenando-os em vetores apropriados. A otimização considera somente a força normal e o
momento fletor. A força cortante é usada depois que as dimensões ótimas foram encontradas
para dimensionar a armadura necessária para combater as tensões de cisalhamento do trecho;
4.
Decisão do tipo de elemento a ser otimizado. Verifica-se se o trecho em
questão é um trecho com elemento horizontal ou vertical/inclinado. Essa distinção é feita
através de um vetor informativo definido no próprio arquivo de entrada de dados de
otimização;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 263
Leitura do arquivo
da estrutura
INÍCIO
Leitura do arquivo
de impressão
especial
Leitura do arquivo
de otimização
MEF:
[K]{u} = {F}
1
Início da
otimização dos
trechos
Loop:
1 a Número de
trechos
Esforços
máximos
Elemento ?
horizontalvertical/inclinado
Otimiza
{B,H,As,
β
x,1/r}
Regulariza
seções
Calcula
custo
Erro custo
e redistribuição satisfatória ?
Posiciona
variáveis
não
sim
Impressão
dos resultados
FIM
Reprocessa a estrutura
2
3
4
65
7
8
10
9
11
Otimiza
{H,As,As',
β
x,1/r}
Armazena
{B,H,As,
β
x,1/r}
Armazena
{H,As,As',
β
x,1/r}
Figura 5-9 – Fluxograma do processo de otimização determinística
5.
Otimização de elementos verticais ou inclinados. A rotina de minimização do
custo utilizada neste caso é aquela definida pelas Equações 5-38 e 5-39, com posterior
armazenamento dos resultados;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 264
6.
Otimização de elementos horizontais. A rotina de minimização do custo
utilizada neste caso é aquela definida pelas Equações 5-36 e 5-37, com posterior
armazenamento dos resultados. É interessante notar que uma única chamada à rotina de
otimização é feita para cada trecho, não havendo necessidade de outras chamadas. Os
resultados são então extrapolados para todos os elementos finitos que compõem o trecho;
7.
Regularização das alturas dos elementos horizontais. Após a otimização de
todos os trechos que constituem um determinado elemento horizontal da estrutura, faz-se a
regularização das alturas obtidas. O que ocorre é que em cada trecho o problema de
otimização é resolvido gerando valores ótimos apropriados para aquele trecho. A maior altura
encontrada é então adotada para todo o elemento horizontal, mantendo-se os demais valores
ótimos de armaduras para o trecho que resultou na maior altura. Os demais trechos são então
dimensionados para o novo valor de altura adotado, mantendo-se a posição relativa da linha
neutra obtida pela otimização desses trechos, regularizando, assim, todo o elementos
horizontal da estrutura. Esse procedimento pode ser extendido para os elementos verticais
caso queira-se a mesma altura em um lance inteiro de pilar, por exemplo, ao invés de obter
alturas diferentes para cada pavimento;
8.
Posicionamento das variáveis ótimas. As larguras e alturas otimizadas são
colocadas nos elementos finitos de cada tipo, juntamente com as armaduras. Foi
implementado um artifício no programa de modo que armaduras nulas obtidas no processo de
otimização ou inferiores aos valores mínimos são substituídos por armaduras construtivas ou
pelos respectivos valores mínimos, caso o usuário queira considerar sua influência. Assim,
armaduras de compressão nulas nas vigas são substituídas por duas barras representando a
armadura construtiva ou porta-estribo. O diâmetro das barras da armadura construtiva devem
ser igual ou superior ao diâmetro dos estribos. Os critérios para cálculo de armaduras mínimas
são os mesmos dados pela ABNT NBR 6118:2003. As armaduras calculadas são posicionadas
ao longo da seção transversal em função da capacidade máxima de aço que cada camada pode
alojar. A expressão que calcula o número de barras possíveis em uma única camada pode ser
dada por:
hl
ht
bar
e
ecb
n
+
+
−
−
=
φ
φ
22
(5-40)
Porém, como o programa trabalha com área de armadura e não diretamente com
quantidade de barras, essa expressão foi transformada para calcular a área máxima alojável
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 265
em uma única camada. A área de aço possível pode ser dada por
(
)
4
2
max,
lbarS
nA
πφ
⋅=
,
resultando, portanto, na seguinte expressão direta:
+
+−−
=
hl
htl
s
e
ecb
A
φ
φπφ
22
4
4
max,
(5-41)
sendo que: n
bar
é o número de barras alojáveis em uma camada da seção transversal; b é a
largura da seção; c é o cobrimento de concreto;
φ
t
e
φ
l
são, respectivamente, os diâmetros
adotados para as armaduras transversal e longitudinal; e
h
corresponde ao espaçamento
horizontal máximo entre duas barras consecutivas na camada da seção.
Dessa forma, a armadura total obtida no processo de otimização é disposta ao longo
de camadas representando a realidade do detalhamento padrão. O mesmo ocorre com as
armaduras transversais. A partir do valor dimensionado, após a otimização, para a área de
estribos, A
sw
, e do seu espaçamento horizontal, s, transforma-se essa informação em termos de
taxa de armadura transversal, variável esta utilizada pelo programa, e posiciona-se ao longo
de cada elemento finito pertencente ao trecho em questão. Admitindo estribos verticais, a taxa
de armadura transversal é dada por:
b
s
A
sw
w
⋅
=
ρ
(5-42)
9.
Cálculo do custo inicial total. Após o posicionamento final das grandezas
ótimas na estrutura, calcula-se o custo total de cada trecho otimizado. Os resultados são
somados uns aos outros resultando assim, no custo inicial total da estrutura. Inicial porque
trata-se apenas do custo de projeto e construção da estrutura, não contemplando, portanto, os
eventuais custos de falha que podem surgir ao longo da vida útil da mesma;
10.
Cálculo do erro em termos de custo. O erro do processo de otimização global é
definido pela diferença entre o custo total obtido em duas iterações sucessivas, bem como o
erro em termos de redistribuição de esforços. A redistribuição é considerada encerrada quando
na iteração seguinte não existe variação significativa de momentos fletores nas mesmas
seções críticas dos trechos, resultando dessa maneira, em valores iguais das grandezas
otimizadas. Com isso, considera-se que o algoritmo de otimização atinge a convergência. Fim
do processo;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 266
11.
Caso o erro ainda seja superior à uma tolerância pré-estabelecida e ainda haja
redistribuição significativa, retorna-se ao passo 2 calculando novamente a estrutura. Esse
processo é então repetido até a convergência.
Os resultados são impressos em arquivos especiais de saída, novamente um arquivo
para cada parte do programa.
Destaca-se que este procedimento permite analisar diversos tipos de configurações
estruturais de pórticos planos ou até mesmo de vigas ou pilares individuais de uma maneira
bastante interessante, pois sempre considera a redistribuição de esforços na estrutura,
chegando de fato a uma configuração final se não ótima global, mas muito próxima desta.
Deve-se lembrar que o programa desenvolvido ainda não permite considerar de maneira plena
todos os critérios para o projeto definitivo dessas estruturas, pois não leva em conta
ancoragens de armaduras, perdas de aderência aço-concreto, decalagem de diagramas, cortes
de barras ao longo do seu comprimento e grampos em pilares.
5.6 Exemplos de Aplicação
A seguir, são apresentados dois exemplos de aplicação com o objetivo de analisar as
rotinas desenvolvidas para a otimização de vigas e pilares em concreto armado.
5.6.1 Exemplo 1
Este exemplo tem como objetivo verificar o modelo de otimização geral de barras em
concreto armado desenvolvido neste trabalho. A estrutura escolhida consiste em uma viga
biapoiada com 8 metros de vão, submetida a carregamento uniformemente distribuído ao
longo de seu comprimento, conforme Figura 5-10, para gerar no meio do vão momentos
fletores máximos variando entre 60.000,00 e 120.000,00 com incrementos de
10.000,00kN.cm.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 267
8,0m
h
As
As'
Asw/s
q (kN/m)
15,0cm
Figura 5-10 – Geometria da viga otimizada
As variáveis de projeto otimizadas foram: altura da seção transversal (h), áreas de
armadura de tração (A
S
), de compressão (A
S
’), posição relativa da linha neutra (
β
x
) e curvatura
da seção (1/r). Não foi considerada a armadura de cisalhamento (A
SW
/s) no processo de
otimização. A largura da seção foi adotada igual a 15cm e mantida constante durante o
processo de otimização.
Para analisar os resultados, foi realizado o dimensionamento clássico da viga,
variando-se a altura da seção transversal para os dois primeiros casos de momento acima,
fixando-se a posição relativa da linha neutra igual ao valor obtido no processo de otimização.
Dessa forma, torna-se possível a comparação entre ambos os processos. A formulação
desenvolvida também foi comparada com os resultados de Nina (2006).
A Tabela 5-1 traz os parâmetros utilizados nas análises mecânica e de otimização da
estrutura. O modelo mecânico em elementos finitos foi utilizado para computar os máximos
esforços internos fornecendo-os ao modelo de otimização. É evidente que, para este caso, os
esforços máximos poderiam ser fornecidos diretamente ao modelo de otimização por se tratar
de uma estrutura simples e isostática. Porém, esse procedimento foi adotado para verificar o
programa completo, que acopla em um modelo único as partes mecânica e de otimização,
possibilitando assim, a resolução direta de problemas mais complexos em engenharia,
inclusive com a consideração do comportamento não-linear dos materiais.
Os custos dos materiais, bem como todos os demais parâmetros de otimização foram
extraídos de Nina (2006). Os custos incluem a mão-de-obra específica referente a cada etapa
construtiva, isto é, lançamento e adensamento do concreto, corte, dobra e montagem das
armaduras, bem como travamento e escoramento das fôrmas de madeira.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 268
Tabela 5-1 – Parâmetros utilizados na análise mecânica e de otimização
Descrição (parte mecânica) Parâmetro Valor
Resistência característica do concreto f
CK
20MPa
Módulo de elasticidade tangente do concreto E
Ci
21300MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Resistência característica do aço f
YK
500MPa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
210000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
21000MPa
Massa específica do aço
ρ
Y
7850kg/m
3
Número máximo de iterações It
max
3000
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Número de nós 9
Discretização da estrutura (elementos de igual comprimento)
Número de elementos
finitos
8
Descrição (parte de otimização) Parâmetro Valor
Taxa máxima de armadura de flexão t
max
4%
Distância do CG da armadura à face tracionada da seção d’ 3cm
Coeficiente parcial de segurança para o concreto
γ
C
1,4
Coeficiente parcial de segurança para o aço
γ
Y
1,15
Custo do concreto C
C
R$ 226,58/m
3
Custo do aço C
A
R$ 4,36/kg
Custo da madeira C
M
R$ 42,10/m
2
O dimensionamento foi feito variando-se a altura com incrementos de 1cm e
calculando-se as áreas de aço correspondentes. Nas figuras, a seguinte legenda foi utilizada:
“DIM” à solução encontrada no dimensionamento, enquanto que “OPT” representa a solução
ótima.
1500,00
1520,00
1540,00
1560,00
1580,00
1600,00
1620,00
1640,00
1660,00
1680,00
1700,00
90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120
Altura da seção, cm
Custo total, R$
DIM (M=60.000,00) OPT (M=60.000,00) DIM (M=70.000,00) OPT (M=70.000,00)
Figura 5-11 – Variação do custo em função da altura da viga
Verificou-se que o modelo de otimização conseguiu buscar nos dois casos estudados
o ponto ótimo, ou seja, o ponto de menor custo. Isso foi possível graças à formulação geral
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 269
desenvolvida, sem imposição de restrições para os valores da posição da linha neutra e da
curvatura da seção. Na verdade, o algoritmo de otimização busca a melhor configuração que
resiste aos esforços solicitantes, considerando essas duas grandezas, ao passo que no
dimensionamento, normalmente, fixa-se a posição da linha neutra e obtém-se as armaduras e
altura dos elementos.
Tabela 5-2 – Comparação entre as respostas ótimas do problema
Este trabalho Nina (2006)
M
K
(kN.cm) h (cm) A
S
(cm
2
)
β
ββ
β
X
1/r (cm
-1
) Custo (R$) h (cm) A
S
(cm
2
) Custo (R$)
60.000,00 100,87 18,30 0,535 6,49 E-5
1505,18
113,70 23,31
1763,84
70.000,00 108,71 19,76 0,536 6,01 E-5
1619,46
122,57 25,18
1898,88
80.000,00 116,71 21,13 0,537 5,62 E-5
1725,83
130,83 26,92
2024,48
90.000,00 122,86 22,41 0,538 5,30 E-5
1825,73
138,58 28,55
2142,56
100.000,00 129,35 23,62 0,538 5,03 E-5
1906,73
145,91 30,09
2254,16
110.000,00 135,51 24,77 0,539 4,79 E-5
1965,04
152,89 31,56
2360,32
120.000,00 141,40 25,87 0,540 4,59 E-5
2020,75
159,55 32,97
2461,76
As colunas com altura da seção, armadura de tração e custo total da viga foram
plotadas contra o momento fletor aplicado, comparando graficamente ambos os resultados.
Verificou-se que tanto os custos finais e dimensões da seção obtidos com a formulação geral
foram sensivelmente menores que os valores encontrados em Nina (2006). Isso ocorreu
justamente pela liberdade dada ao algoritmo em termos da posição da linha neutra e curvatura
da seção, que por serem variáveis de otimização, permitem que a melhor configuração
equilibrada seja encontrada de fato. A formulação de Nina (2006) restringe a posição da linha
neutra nas proximidades do limite entre os domínios 3 e 4, assim, como utiliza nas restrições
de equilíbrio, a tensão de escoamento da armadura, ao invés de um valor qualquer de tensão,
restringindo novamente a seção. É interessante notar que os valores de β
x
encontrados no
processo encontram-se no domínio 3, com deformação do concreto em -3,5‰ e deformação
do aço variando. Com isso, quanto maior o valor β
x
, menor é a curvatura, pois à medida que a
linha neutra avança na seção, a deformação da armadura de tração diminui.
A redução no custo da viga foi, dessa forma, consideravelmente menor, o que sugere
uma possível economia na construção da estrutura. Vale comentar que em um processo
produtivo industrial ou até mesmo na construção de edifícios de múltiplos andares, esse tipo
de abordagem permitiria grande economia, com redução de cerca de 15,4% para o caso de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 270
momento fletor de 100.000,00kN.cm, por exemplo. Em todos os casos considerados, a
armadura de compressão resultou nula, já que as configurações ótimas ficaram sempre no
domínio 3 de deformação.
100
110
120
130
140
150
160
170
60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000
Momento fletor, kN.cm
Altura da seção, cm
Este trabalho Nina (2006)
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000
Momento fletor, kN.cm
Armadura de tração, cm2
Este trabalho Nina (2006)
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000
Momento fletor, kN.cm
Custo total, R$
Este trabalho Nina (2006)
Figura 5-12 – Comparação gráfica entre as respostas ótimas
Conclui-se, portanto, que o modelo apresentou bons resultados diante das
comparações feitas neste exemplo, podendo ser utilizado em conjunto com os modelos
mecânico e de confiabilidade.
5.6.2 Exemplo 2
Neste exemplo, pretende-se validar o modelo de otimização de barras em concreto
armado, aplicando-o para o caso de pilares. Foram consideradas duas combinações de
carregamento, dadas por:
•
Situação 1: N = 1000kN e M = 1000kN.cm (excentricidade = 1cm);
•
Situação 2: N = 1500kN e M = 45000kN.cm (excentricidade = 30cm).
As respostas foram comparadas também com o trabalho de Nina (2006), que
apresentou uma formulação para otimização de pilares. Os parâmetros utilizados foram
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 271
exatamente os mesmos encontrados em Nina (2006), permitindo assim a comparação
adequada entre as duas formulações.
Tabela 5-3 – Parâmetros utilizados na análise de otimização
Descrição Parâmetro Valor
Resistência característica do concreto f
CK
20MPa
Resistência característica do aço f
YK
500MPa
Módulo de elasticidade do aço E
Y
210000MPa
Massa específica do aço
ρ
Y
7850kg/m
3
Taxa máxima de armadura t
max
4%
Taxa mínima de armadura t
min
0,4%
Distância do CG da armadura à face tracionada da seção d’ 3cm
Coeficiente parcial de segurança para o concreto
γ
C
1,4
Coeficiente parcial de segurança para o aço
γ
Y
1,15
Custo do concreto C
C
R$ 226,58/m
3
Custo do aço C
A
R$ 4,36/kg
Custo da madeira C
M
R$ 42,10/m
2
As estruturas reais submetidas a esse tipo de situação de carregamento são várias,
desde pilares em concreto armado até mesmo elementos inclinados, cada vez mais comuns
hoje em dia nas construções civis. Seu acoplamento com o modelo mecânico em elementos
finitos desenvolvido neste trabalho é imediato, podendo ser utilizado no projeto de pórticos
planos em concreto armado.
Foram otimizadas a altura da seção transversal do pilar (h), área de armadura total
(A
S
), posição relativa da linha neutra (
β
x
) e curvatura da seção (1/r). A largura da seção foi
adotada igual a 19 e 24cm, respectivamente, e mantida constante durante o processo de
otimização.
Para excentricidade igual a 1cm, observou-se grande proximidade entre ambos os
resultados, conforme pode ser observado na Tabela 5-4. Porém, ainda assim, o custo total
obtido pela formulação proposta neste trabalho resultou menor, pois ao se considerar a
curvatura e a posição relativa da linha neutra como variáveis de otimização é possível
equilibrar melhor a seção resistente. A seção ótima foi dimensionada, portanto, no domínio 5,
visto que não houve preponderância do momento fletor sobre a força normal atuante. A
diferença percentual entre os valores ótimos (linha em negrito) para este caso foi de 9,8%.
Para o caso de excentricidade igual a 30cm, as observações foram as mesmas (Tabela
5-5). Como o momento fletor é preponderante sobre a força normal, o comportanto desse pilar
já se aproxima mais de comportamento de viga. Dessa forma, os pilares resultantes caíram no
domínio 4 de deformação. A diferença percentual entre os valores ótimos (linha em negrito)
para este foi de 6,5%.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 272
Tabela 5-4 – Resultados para N = 1000kN e M = 1000kN.cm
Este trabalho Nina (2006)
b (cm) h (cm) A
S
(cm
2
)
β
ββ
β
X
1/r (cm
-1
) Custo (R$/m) h (cm) A
S
(cm
2
)
β
ββ
β
X
Custo (R$/m)
19,00 38,00 4,38 1,77 3,92 E-5
71,34
38,00 4,25 1,35
78,91
19,00 39,00 3,82 1,73 3,92 E-5
70,68
39,00 3,66 1,34
78,16
19,00 40,34 3,07 1,68 3,93 E-5 69,83 40,00 3,07 1,33 77,42
19,00 41,00 3,12 2,29 2,19 E-5
70,83
41,00 3,12 1,28
78,83
19,00 42,00 3,19 2,53 1,77 E-5
72,37
42,00 3,19 1,25
80,37
Tabela 5-5 – Resultados para N = 1500kN e M = 4500kN.cm
Este trabalho Nina (2006)
b (cm) h (cm) A
S
(cm
2
)
β
ββ
β
X
1/r (cm
-1
) Custo (R$/m) h (cm) A
S
(cm
2
)
β
ββ
β
X
Custo (R$/m)
24,00 90,00 10,63 0,68 5,75 E-5
178,48
95,00 11,50 0,65
191,23
24,00 91,00 9,99 0,67 5,72 E-5
177,23
96,00 10,66 0,65
189,75
24,00 92,75 8,90 0,66
5,67
E-5
175,21 97,59 9,37 0,64 187,51
24,00 93,00 8,93 0,67 5,49 E-5
175,65
98,00 9,41 0,64
188,22
24,00 94,00 9,02 0,67 4,82 E-5
177,43
99,00 9,50 0,64
189,93
Para ilustrar o comportamento dos resultados, foram plotados gráficos de altura da
seção contra custo, posição relativa da linha neutra e armadura total, sempre considerando
excentricidade de 1cm e de 30cm, da esquerda para direita. A Figura 5-13 mostra o ponto
ótimo encontrado pelas formulações. Mesmo diminuindo ou aumentando a altura da seção
transversal do pilar, a configuração resistente resultou mais cara do que a solução ótima,
evidenciando assim a potencialidade do modelo desenvolvido.
68,00
70,00
72,00
74,00
76,00
78,00
80,00
82,00
38,0 39,0 40,0 41,0 42,0
Altura da seção, cm
Custo, R$/m
Este trabalho Nina (2006)
172,00
176,00
180,00
184,00
188,00
192,00
196,00
90,0 91,0 92,0 93,0 94,0 95,0 96,0 97,0 98,0 99,0
Altura da seção, cm
Custo, R$/m
Este trabalho Nina (2006)
Figura 5-13 – Relação entre altura da seção e custo por metro de pilar
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 273
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
38,0 39,0 40,0 41,0 42,0
Altura da seção, cm
Posição relativa da linha
neutra
Este trabalho Nina (2006)
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
90,0 91,0 92,0 93,0 94,0 95,0 96,0 97,0 98,0 99,0
Altura da seção, cm
Posição relativa da linha
neutra
Este trabalho Nina (2006)
Figura 5-14 – Relação entre altura da seção e posição relativa da linha neutra
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
38,0 39,0 40,0 41,0 42,0
Altura da seção, cm
Armadura total, cm2
Este trabalho Nina (2006)
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
90,0 91,0 92,0 93,0 94,0 95,0 96,0 97,0 98,0 99,0
Altura da seção, cm
Armadura total, cm2
Este trabalho Nina (2006)
Figura 5-15 – Relação entre altura da seção e área de armadura total
Com base nesses resultados, concluiu-se que a formulação desenvolvida para
otimização de elementos de barra em concreto armado apresentou caráter geral, com
possibilidade de emprego para qualquer tipo de elemento estrutural, não importanto se o
elemento é uma viga, pilar ou inclinado.
5.6.3 Exemplo 3
Este exemplo apresenta a comparação entre uma solução obtida via
dimensionamento convencional de vigas em concreto armado e a solução otimizada a partir
do modelo desenvolvido neste trabalho. Após a obtenção da estrutura ótima, uma análise de
confiabilidade foi realizada para comparar as duas soluções. A estrutura escolhida foi uma
viga em concreto armado bi-engastada, submetida a uma força concentrada no meio do vão. A
Figura 5-16 traz as dimensões da viga, geometria, carregamento e diagrama de momentos
fletores considerado na análise.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 274
H
20cm
F
Asw
Ast
M-
M+
M-
seção E seção E
seção V
H
20cm
H
20cm
100cm 100cm
200cm
Asc
Asw
Asc
Ast
Asw
Ast
Asc
400cm
Figura 5-16 – Estrutura considerada neste exemplo
A força F aplicada foi definida pelas grandezas G + Q = 73 + 16 = 89kN. Assim,
considerou-se carga permanente, G e ação variável, Q sobre a estrutura. As seções E
representam os engastes, cuja armadura de tração, A
ST
é negativa e armadura de compressão
ou porta-estribos, A
SC
é positiva. A seção V corresponde ao meio do vão e possui a situação
oposta à dos engastes, conforme pode ser observado na figura acima. Um outro dado
importante da análise é que a configuração do engaste ilustrada pela seção E foi considerada
somente nos trechos de 100cm da viga, ao passo que a configuração do vão, dada pela seção
V, foi usada também somente ao longo dos 200cm entre o fim das seções dos engastes. Essa
característica é importante para a otimização, pois o programa posiciona automaticamente as
seções armadas ao longo dos elementos finitos de cada trecho da viga.
A viga foi discretizada em 8 elementos finitos com 50cm de comprimento cada para
que as regiões de inversão de momento fletor ficassem bem definidas. Com isso, a viga foi
dividida em três trechos para o processo de otimização, onde os trechos 1 e 3, com 100cm
cada correspondem às seções E e o trecho 2, com 200cm é definido pela seção V.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 275
Tabela 5-6 – Parâmetros mecânicos e de otimização da análise
Descrição Parâmetro Valor
Módulo de elasticidade do aço E
S
210000MPa
Módulo plástico do aço k
S
21000MPa
Massa específica do aço
ρ
S
7850kg/m
3
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Taxa máxima de armadura longitudinal t
max
4%
Taxa mínima de armadura longitudinal t
min
0,4%
Distância do CG da armadura à face tracionada da seção d’ 4cm
Cobrimento do concreto c 3cm
Coeficiente parcial de segurança para o concreto
γ
C
1,4
Coeficiente parcial de segurança para o aço
γ
S
1,15
Coeficiente parcial de segurança para G
γ
G
1,4
Coeficiente parcial de segurança para Q
γ
Q
1,4
Diâmetro da armadura longitudinal
φ
L
12,5mm
Diâmetro da armadura transversal
φ
T
5,0mm
Espaçamento horizontal entre barras longitudinais e
h
2,0cm
Tolerância em custo no processo de otimização Tol
ot
10
-3
Incremento de carga aplicado
λ
5kN
Número máximo de iterações mecânicas It
max
300
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
Número de nós 9
Discretização da estrutura (elementos de igual comprimento)
Número de elementos
finitos
8
Custo do concreto C
C
R$ 226,58/m
3
Custo do aço C
S
R$ 4,36/kg
Custo da madeira C
F
R$ 42,10/m
2
As variáveis otimizadas foram a altura da seção transversal da viga (h), área de
armadura de tração (A
ST
), área de armadura de compressão (A
SC
), posição relativa da linha
neutra (
β
x
) e curvatura da seção (1/r). A armadura de cisalhamento não foi considerada na
análise. A largura da seção foi adotada igual a 20cm e mantida constante durante o processo
de otimização.
Tabela 5-7 – Resultados do dimensionamento e do processo de otimização da viga
Método Trecho h (cm) A
S
(cm
2
) C
C
(R$) C
S
(R$) C
F
(R$)
C
TOTAL
(R$)
1 40,00 4,35 18,13 14,91 42,10
2 40,00 4,35 36,24 29,82 84,20
DIM
3 40,00 4,35 18,13 14,91 42,10
300,54
1 33,77 4,09 15,30 14,00 36,85
2 33,77 4,09 30,61 27,99 73,71
OPT
3 33,77 4,09 15,30 14,00 36,85
264,61
Os resultados do processo também foram apresentados na forma de curvas de
convergência tanto para o custo total da viga, quanto para as variáveis de projeto, conforme a
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 276
Figura 5-17. Como a solicitação devido ao momento fletor é a mesma nos engastes e no meio
do vão, a armadura de tração obtida ora foi negativa, seções dos engastes, ora positiva, seção
do meio do vão.
264,00
265,00
266,00
267,00
268,00
269,00
270,00
271,00
1 2 3 4 5
Iteração
Custo total, R$
OPT deter.
32,6
32,8
33,0
33,2
33,4
33,6
33,8
34,0
1 2 3 4 5
Iteração
Altura da seção, cm
OPT deter.
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
1 2 3 4 5
Iteração
Armadura de tração, cm2
OPT deter.
0,400
0,420
0,440
0,460
0,480
0,500
1 2 3 4 5
Iteração
Posição relativa da linha
neutra
OPT deter.
2,25E-04
2,30E-04
2,35E-04
2,40E-04
2,45E-04
2,50E-04
2,55E-04
1 2 3 4 5
Iteração
Curvatura da seção, 1/cm
OPT deter.
Figura 5-17 – Resultados da análise de otimização
A viga resultou no domínio 3 de deformação, com
β
x
igual 0,455. A consideração da
posição relativa da linha neutra e da curvatura da seção permite que o algoritmo obtenha a
configuração estrutural das seções da maneira mais balanceada, diminuindo o custo total da
estrutura. A altura de 40cm para o dimensionamento foi escolhida segundo o critério clássico
de 10% do vão, o que, para esse caso, resultou em uma estrutura cerca de 12% mais cara.
Para comparar as duas soluções, primeiramente foi realizada uma análise puramente
mecânica, com carregamento aplicado de 89kN e, em seguida, uma análise de confiabilidade
estrutural. Na análise mecânica, adotou-se resistência do concreto igual a 25MPa e resistência
do aço no valor de 500MPa.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 277
Como era esperado, a configuração ótima apresentou menos rigidez que a estrutura
dimensionada. Para a carga total aplicada, o deslocamento vertical do meio do vão da solução
ótima foi aproximadamente o dobro do valor observado com a configuração inicial. Isso
ocorreu por conta da menor altura e menor área de armadura, ambas provenientes do processo
de otimização.
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35
Deslocamento vertical do meio do vão, cm
Força aplicada, kN
Dimensionamento Otimização
Figura 5-18 – Trajetória de equilíbrio do ponto de aplicação da força
A análise de confiabilidade foi realizada considerando-se o método FORM, com
técnica dos gradientes numéricos. A Tabela 5-8 apresenta a associação estatística empregada
na análise.
Tabela 5-8 – Variáveis aleatórias utilizadas na análise
Variável Símbolo Média C.O.V. Distribuição
Resistência do concreto X
1
= f
C
33MPa 15% Normal
Resistência do aço X
2
= f
S
576MPa 8% Normal
Ação permanente X
3
= G 76,65kN 10% Normal
Ação variável X
4
= Q 16,0kN 25% Normal
As médias do concreto e do aço foram escolhidas para que os valores característicos
resultassem, respectivamente, em 25 e 500MPa. Para a ação permanente, o valor médio
adotado foi 1,05 vezes o valor nominal de G, dado por 73kN. Já para a ação variável adotou-
se média igual ao valor nominal de 16kN.
Foi considerado somente um modo de falha, definido pela equação de estado limite
correspondente à ruptura dos materiais no meio do vão (ε
c,lim
= -3,5‰ e ε
s,lim
= 10‰). Assim,
a equação de estado limite foi dada por: G(X) = P
ULT
(X
1
,X
2
) – X
3
– X
4
.
Após a otimização da viga, o índice de confiabilidade referente ao estado limite
último da seção do meio do vão foi reduzido de 6,33 para 5,69. Em termos de probabilidade
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 278
de falha, o valor de dimensionamento foi de 1,21×10
-10
, ao passo que para otimização foi de
6,25×10
-9
.
Segundo o JCSS (2001) para consequências de falha moderadas com custo relativo
da medida de segurança considerado como sendo normal, o índice de confiabilidade requerido
para ELU deve ser de 4,2. Desse forma, ambas as soluções apresentaram requisitos mais do
que satisfatórios para a segurança a esse estado limite último.
O que é interessante discutir é que ao se otimizar uma estrutura, esta trabalhará mais
próxima de seus limites, reduzindo, portanto, sua margem de segurança. Em função disso, a
análise de confiabilidade estrutural torna-se muito importante em situações como essa, pois
permite avaliar mais precisamente, através de probabilidades de falha a segurança das
estruturas.
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
1 2 3 4 5
Iteração
Índice de confiabilidade
Dimensionamento Otimização
Figura 5-19 – Convergência do índice de confiabilidade
Em termos de sensibilidade, a resistência do concreto foi a variável que mais
apresentou influência sobre a probabilidade de falha da estrutura, conforme pode ser
observado na Figura 5-20, onde estão indicados os valores das variáveis aleatórias no ponto
de projeto e na média.
Diante dos resultados observados, concluiu-se que o algoritmo de otimização foi
capaz de encontrar a configuração ótima para a viga em estudo e, combinado à análise de
confiabilidade, mostrou-se um procedimento bastante interessante para o projeto de estruturas
de barras em concreto armado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 279
33,0
1,9
5,6
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
FORM
Situação
Resistência do concreto, MPa
Média DIM OPT
576,0 576,0 576,0
500,0
510,0
520,0
530,0
540,0
550,0
560,0
570,0
580,0
590,0
FORM
Situação
Resistência do aço, MPa
Média DIM OPT
76,7
82,9
85,8
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
FORM
Situação
Ação permanente, kN
Média DIM OPT
16,0
17,7
18,4
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
FORM
Situação
Ação variável, kN
Média DIM OPT
Figura 5-20 – Coordenadas do ponto de projeto no espaço físico
5.6.4 Exemplo 4
Este exemplo tem como objetivo mostrar o desempenho do algoritmo de otimização
de barras em concreto armado, acoplado ao programa principal, formando um procedimento
computacional para otimização de pórticos planos. Inicialmente, são mostrados os resultados
do processo de otimização determinística considerando modelo elástico-linear e não-linear
dos materiais. Em seguida, realiza-se uma análise de confiabilidade para as configurações
ótimas obtidas com cada modelo, comparando-as entre si.
O pórtico foi discretizado em 12 elementos finitos de 1,0m de comprimento cada,
com 6 pontos de Gauss ao longo de cada elemento e 20 pontos distribuídos ao longo da altura
para a integração numérica. A viga foi submetida a três forças de 50kN e os pilares foram
carregados com forças de 600kN cada, representando a existência de outros 8 pavimentos.
Para o concreto, na análise de otimização determinística, foram adotados f
ck
=
20MPa e E
c
= 21300MPa, para a resistência à compressão e o módulo de elasticidade
longitudinal, respectivamente. A largura da seção transversal da viga foi mantida constante e
igual a 15cm.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 280
B B
A
A
6,0m
3,0m
Hv
15cm
seção AA
6,0m
3,0m
50kN
a) Estrutura considerada
A
A
C
C
c) Detalhamento das armaduras na primeira iteração
Hp
Bp
seção BB
Hv
15cm
seção CC
b) Discretização da estrutura
1
3
4
7
10
11
13
d) Modos de falha considerados
50kN 50kN600kN 600kN
2
12
5 6 8 9
50kN 50kN 50kN600kN 600kN
Modo 2
Hp
Bp
seção BB
B B
50kN 50kN 50kN600kN 600kN
Modo 1
Figura 5-21 – Estrutura analisada, discretização e modo de falha considerado
Primeiramente, foi realizada a minimização do custo inicial total do pórtico,
considerando o concreto com comportamento elástico-linear e as armaduras com o modelo
elastoplástico com encruamento isótropo positivo. As dimensões dos pilares e da viga foram
obtidas no processo, bem como suas armaduras longitunais. A armadura transversal não foi
considerada no processo. Em seguida, para comparação, o mesmo procedimento foi repetido,
porém desta vez considerando o modelo de dano para o concreto, tornando a análise
totalmente não-linear. As funções de custo total da viga e dos pilares são exatamente as
mesmas já definidas neste capítulo.
Em termos da otimização, o pórtico foi dividido em 5 trechos, conforme o diagrama
de momentos fletores ilustrado na Figura 5-22. Foi considerado cada pilar como sendo um
trecho, pois os esforços escolhidos são os máximos valores do momento fletor e da força
normal, com armadura simétrica. Já a viga foi dividida em três trechos de otimização,
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 281
justamente por apresentar regiões de momento máximo positivo e negativo. Por conta disso,
cada uma dessas regiões foi otimizada separadamante. Ao final do processo, fez-se uma
regularização da altura da viga, adotando o maior valor obtido na otimização dos três trechos
com posterior dimensionamento à flexão para os trechos que tiveram a altura modificada.
Após isso, o custo total foi então avaliado para a estrutura regularizada. As dimensões ótimas
por sua vez foram distribuídas ao longo dos elementos finitos e a estrutura foi processada
novamente para verificar a redistribuição de esforços. Esse processo foi repetido até a
convergência em termos do custo total obtido e quando a redistribuição não mais foi
significativa. É interessante destacar que esse tipo de processo é automático em ferramentas
como esta, pois a estrutura é reprocessada quantas vezes forem necessárias até de fato atingir
a configuração ótima em termos também de redistribuição de esforços. Esse comportamento é
melhor observado ao se considerar os modelos não-lineares de comportamento dos materiais,
pois a danificação do concreto à medida que o carregamento é aplicado torna-se o principal
agente responsável por essa reditribuição.
Tabela 5-9 – Parâmetros mecânicos e de otimização da análise
Descrição Parâmetro Valor
Módulo de elasticidade do aço E
S
210000MPa
Módulo plástico do aço k
S
21000MPa
Massa específica do aço
ρ
S
7850kg/m
3
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,25
Taxa máxima de armadura longitudinal t
max
4%
Taxa mínima de armadura longitudinal t
min
0,4%
Distância do CG da armadura à face tracionada da seção d’ 4,3cm
Cobrimento do concreto c 3cm
Coeficiente parcial de segurança para o concreto
γ
C
1,4
Coeficiente parcial de segurança para o aço
γ
S
1,15
Coeficiente parcial de segurança para G
γ
G
1,4
Diâmetro da armadura longitudinal
φ
L
16,0mm
Diâmetro da armadura transversal
φ
T
5,0mm
Espaçamento horizontal entre barras longitudinais e
h
2,0cm
Tolerância em custo no processo de otimização Tol
ot
10
-5
Incrementos de carga aplicados
λ
50
/λ
600
1kN/12kN
Número máximo de iterações mecânicas It
max
300
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Custo do concreto C
C
R$ 226,58/m
3
Custo do aço C
S
R$ 4,36/kg
Custo da madeira C
F
R$ 42,10/m
2
Com os resultados de ambos os procedimentos, foi realizada uma análise de
confiabilidade via FORM com a técnica dos gradientes numéricos para os modos de falha
mostrados na Figura 5-21, onde a falha foi definida pela ruptura dos materiais aço e concreto,
quando estes atingirem seus limites de deformação, dados por -3,5‰ para o concreto e 10‰
para o aço. A análise de confiabilidade foi feita através do FORM para os dois modos.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 282
9890,0
7610,0
7610,0
3660,03660,0
Unidades: kN.cm
trecho 1
trecho 5
trecho 2
trecho 3
trecho 4
Figura 5-22 – Diagrama de momentos fletores do pórtico na primeira iteração
Foram consideradas três variáveis aleatórias na análise de confiabilidade, sendo todas
independentes entre si e com distribuição normal de probabilidades, com associação
estatística dada pela Tabela 5-10. A forças de 600kN foram consideradas como
determinísticas, entrando somente as forças verticais aplicadas diretamente sobre a viga como
variáveis aleatórias.
Tabela 5-10 – Variáveis aleatórias utilizadas na análise
Variável Símbolo Média C.O.V. Distribuição
Resistência do concreto X
1
= f
C
26,58MPa 15% Normal
Resistência do aço X
2
= f
S
576MPa 8% Normal
Ação permanente X
3
= G 52,5kN 10% Normal
Conforme pode ser observado na Figura 5-23, o custo obtido com o modelo não-
linear foi maior quando comparado à resposta do modelo linear. Isso ocorreu porque as
dimensões das seções transversais e as áreas de armadura resultaram um pouco maior no caso
não-linear. Porém, o que se verificou é que em situações de serviço, os esforços obtidos
considerando-se comportamento elástico-linear ou não-linear dos materiais são praticamente
os mesmos, variando muito pouco. Isso foi observado na pequena diferença nos valores de
armaduras e alturas dos elementos. É por conta disso, que as análises estruturais e o
dimensionamento, necessários ao se projetar estruturas em concreto armado, podem ser feitos
considerando comportamento elástico-linear dos materiais sem perda de precisão.
As soluções ótimas obtidas para ambos os comportamentos de materiais foram
ilustradas na Figura 5-24 em forma de detalhamento das regiões do pórtico.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 283
1125,00
1130,00
1135,00
1140,00
1145,00
1150,00
1155,00
1160,00
1165,00
1170,00
1175,00
1 2 3 4 5 6 7
Iteração
Custo total, R$
Linear Não-linear
Figura 5-23 – História de convergência da função custo total do pórtico
6,0m
3,0m
50,61cm
15cm
53,05cm
23,20cm
1,0m4,0m1,0m
P P
Ve
Vv
Ve
P
1,97cm2 1,97cm20,98cm2
Ve
5,58cm2
2,04cm2
50,61cm
15cm
Vv
5,58cm2
1,93cm2
Linear
Não-linear
53,01cm
15cm
22,87cm
2,02cm2 2,02cm21,01cm2
5,58cm2
2,32cm2
53,01cm
15cm
5,58cm2
0,84cm2
β
x = 0,731
β
x = 0,714
β
x = 0,531
β
x = 0,529
β
x = 0,527
β
x = 0,526
55,34cm
Figura 5-24 – Configurações estruturais ótimas do pórtico
As variáveis otimizadas nas análises foram: largura e altura da seção transversal dos
pilares, altura da seção transversal da viga, áreas de armadura dos pilares e da viga, posição
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 284
relativa da linha neutra e curvatura das seções dos pilares e da viga. Para fins de
processamento numérico da estrutura, todas as variáveis foram repetidas ao longo de todos os
elementos finitos pertencentes aos respectivos trechos, conforme ilustra a Figura 5-24 pelas
letras P (pilar), Ve (viga – seção do engaste) e Vv (viga – seção do meio do vão).
Como a altura dos pilares resultou maior que 40cm, foram consideradas barras extras
no meio da seção, conforme recomendações de ABNT NBR 6118:2003 sobre detalhamento
de elementos verticais em concreto armado. As respostas não foram dadas em termos de
quantidade de barras de aço nas camadas, mas sim pelas áreas de aço necessárias em cada
camada para resistir aos esforços solicitantes. Os pilares, devido ao momento fletor atuante
em conjunto com a força normal, resultaram no domínio 4, ao passo que as vigas
apresentaram domínio 3 em todas as seções. Esse tipo de informação, juntamente com a
curvatura de cada seção é bastante importante em processos de otimização, pois permite que o
processo de procura do ponto de mínimo fique livre, sem forçar situações específicas. Assim,
acredita-se que esse tipo de solução se não o for, está provavelmente muito próxima do
mínimo global da função custo definida na análise.
Apenas para comparação da segurança alcançada em cada uma das configurações
ótimas, foi realizada uma análise de confiabilidade para os modos de falha definidos na seções
dos engastes e do meio do vão da viga. Com isso foi possível observar qual o nível de
segurança atingido em um procedimento de otimização, que simula o projeto da estrutura
ainda no formato semi-probabilístico.
O índice de segurança observado para ambas as configurações ótimas (linear e não-
linear) resultou muito próximo. Isso ocorreu porque as seções resultantes do processo de
otimização foram muito parecidas entre si, com pouca diferença entre os momentos fletores
finais obtidos com os modelos linear e não-linear. Em função do processo iterativo resultante
da combinação entre a otimização e a análise mecânica da estrutura, as seções ficaram
bastante próximas entre si, apresentando, portanto, praticamente o mesmo índice de
confiabilidade para os dois modos de falha. Além disso, o fato de ambas as seções do vão e do
engaste ficarem detalhadas com a mesma área de armadura na camada mais próxima da borda
tracionada fez com que o comportamento na ruptura fosse mais próximo ainda, contribuindo
para o ocorrido.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 285
5,245
5,368
5,245
5,368
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
Linear Não-linear
Modelo mecânico
Índice de confiabilidade
Modo 1 Modo 2
Figura 5-25 – Índices de confiabilidade para os dois modos de falha
Esses resultados mostraram a grande importância de se considerar a redistribuição
dos esforços durante o processo de otimização de pórticos planos em concreto armado.
Concluiu-se que a rotina de otimização de pórticos planos funcionou de maneira bastante
satisfatória em conjunto ao modelo mecânico de elementos finitos, resultando em uma
ferramenta interessante e viável para o projeto ótimo de elementos em concreto armado
baseado em confiabilidade.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 286
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 287
6. Otimização baseada em Confiabilidade
6.1 Generalidades
Um projeto estrutural pode ser definido como um conjunto de dimensões e geometria
dos elementos, associado às propriedades dos materiais que compõem esses elementos com o
objetivo de suportar adequadamente os efeitos das ações externas. Para que isso aconteça, a
estrutura deve respeitar determinadas regras especiais que garantem esse bom funcionamento
frente às ações externas. Essas regras são traduzidas em forma de limites impostos para os
deslocamentos e tensões atuantes nos elementos. Uma vez que tais regras podem ser escritas
através de funções matemáticas, mesmo que simples, também podem proporcionar valores
especiais que definam extremos para as dimensões dos elementos estruturais. Com base nisso,
a otimização matemática torna-se um procedimento valioso para o projeto estrutural na
engenharia, recebendo o nome na literatura de Otimização Determinística ou DDO
(Deterministic Design Optimization).
Neste trabalho, ao otimizar uma estrutura em concreto armado fala-se em determinar
quais são as dimensões de uma seção transversal que produzem o menor custo de construção.
Assim, a partir de uma função que define o custo da estrutura por metro linear e um conjunto
de restrições que traduzem exatamente essas regras de bom funcionamento, um método
especial de otimização é empregado para chegar aos valores que proporcionam o extremo da
função de custo, atendendo sempre às regras dadas pelas restrições. Toda essa formulação de
um processo de otimização já foi descrita no capítulo 5 desta tese.
No entanto, esse tipo de abordagem não impõe nenhum tipo de condição sobre a
segurança estrutural daquela configuração ótima encontrada. Na verdade, espera-se que os
coeficientes de segurança utilizados nas restrições sejam capazes de fornecer esse tipo de
margem de segurança para a estrutura. O que se verifica é que esses coeficientes não
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 288
fornecem uniformidade nas probabilidades de falha dos projetos otimizados podendo gerar
diversas situações de segurança, com excesso ou até falta em alguns casos. Isso acontece por
conta da variabilidade das propriedades dos materiais, flutuações nos carregamentos e
aproximações adotadas nos modelos mecânicos contribuindo, dessa forma, para as estruturas
não se comportem como o previsto na otimização. Assim, um processo de otimização
determinística tem um forte efeito sobre a segurança estrutural. Esse tipo de abordagem é,
portanto, arriscada sem a consideração de um critério adequado para a previsão da segurança
da configuração estrutural obtida.
Para solucionar esse problema, a teoria da confiabilidade pode ser aplicada para
avaliar de maneira mais consistente a segurança estrutural, a partir do cálculo de
probabilidades de violação daquelas regras de projeto utilizadas no processo de otimização.
Com isso, o processo final fica mais interessante e completo, pois permite obter a
configuração que gera o menor custo de construção, aliada ao grau de segurança desejado no
projeto para os estados limites considerados. Essa abordagem na literatura recebe o nome de
Projeto Ótimo baseado em Confiabilidade ou RBDO (Reliability-Based Design Optimization).
Uma vez que a segurança e a economia são os principais objetivos de um projeto estrutural,
análises do tipo RBDO permitem alcançar as configurações equilibradas do ponto de vista
desses dois requitos do projeto.
Uma maneira de se fazer o projeto ótimo com base em confiabilidade é definir
previamente, para cada estado limite considerado ou para o sistema todo, um valor específico
para o índice de confiabilidade que deve ser respeitado ao final do processo de otimização.
Esse valor recebe o nome de índice de confiabilidade-alvo do modo de falha ou do sistema. É
interessante notar que, o real benefício desse tipo de abordagem é justamente fazer a escolha
certa para os valores dos índices de confiabilidade-alvo para os modos de falha considerados,
pois dessa forma o modelo será capaz de encontrar as melhores soluções para a estrutura,
inclusive com aumento de lucro. Com isso, cada empresa, por exemplo, poderia estabelecer
sua margem de lucro sobre a construção de estruturas, a partir da escolha adequada dos
índices de confiabilidade-alvo e dos modelos mecânicos utilizados.
Por outro lado, abordagens como essa encarecem bastante o tempo de processamento
das estruturas até atingir a configuração ótima. Outro aspecto importante consiste na grande
possibilidade de instabilidades numéricas que esses processos podem gerar, pois a cada
determinação de um conjunto ótimo das variáveis de projeto, mudanças significativas nos
cenários de falha podem ocorrer, inviabilizando o cálculo dos índices de confiabilidade. Esses
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 289
são, sem dúvida, os principais motivos pelos quais abordagens de RBDO não foram ainda
incorporados nas rotinas dos escritórios de projeto de estruturas. Investimentos nessas duas
linhas devem ser feitos para que um dia o emprego desses procedimentos seja possível com
frequência na prática comum da engenharia estrutural. Diversos trabalhos já existem e
continuam sendo desenvolvidos neste âmbito, obtendo-se várias maneiras de resolver o
problema, porém ainda sem chegar a um consenso sobre os métodos e modelos utilizados.
Alguns desses trabalhos são Nikolaidis & Burdisso (1988), Enevoldsen & Sørensen (1994),
Wang & Grandhi (1994), Moses (1997), Tu et al. (2000), Levitin & Lisnianski (2001),
Melchers (2001), Frangopol & Maute (2003), Kharmanda (2003), Barakat et al. (2004),
Cheng et al (2006), Verzenhassi (2008) e Aoues & Chateauneuf (2008).
6.2 Índice de Confiabilidade-Alvo, β
ββ
β
a
O índice de confiabilidade-alvo expressa os requisitos de segurança de uma estrutura
para garantir valores aceitáveis de risco estrutural para uma determinada situação. Pode ser
usado, portanto, como um parâmetro de controle da segurança no processo de otimização.
Uma discussão interessante sobre a escolha desses valores alvo encontra-se no JCSS (2001),
onde são abordados casos que envolvem vidas humanas e o custo desse tipo de perda.
O JCSS (2001) também apresenta um conjunto de valores para o índice de
confiabilidade-alvo tanto para o estado limite último quanto para o estado limite de serviço.
Esses valores dependem basicamente das consequências da falha e do custo relativo da
medida de segurança, admitindo que a falha ocasiona somente reconstrução ou reparo das
estruturas. As Tabela 6-1Tabela 6-2 ilustram esses valores para o ELU e o ELS.
Tabela 6-1 – Índices de confiabilidade-alvo e probabilidades de falha para ELU
Consequências de falha
Mínimas Moderadas Elevadas
Custo relativo da
medida de segurança
β
ββ
β
a
P
f
β
ββ
β
a
P
f
β
ββ
β
a
P
f
Alta 3,1 10
-3
3,3 5×10
-4
3,7 10
-4
Normal 3,7 10
-4
4,2 10
-5
4,4 5×10
-6
Pequena 4,2 10
-5
4,4 5×10
-6
4,7 10
-6
Os valores hachurados em cinza na tabela acima devem ser adotados nas situações
mais comuns de projeto na engenharia, correspondendo a uma consequência de falha
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 290
moderada com custo normal da medida de segurança. Essa situação corresponde, segundo o
JCSS (2001), a riscos medianos de morte, provenientes da falha, com consequências
econômicas consideráveis. Exemplos de estruturas que se enquadram nessa situação são
edifícios comerciais, industriais e residenciais. Nas classes de consequências mínimas de falha
podem ser consideradas as estruturas agrícolas, silos e postes, ao passo que nas classes
elevadas estão as pontes, teatros, hospitais e edifícios muito altos.
Uma outra maneira de escolher as consequências de falha está relacionada ao tipo de
falha do elemento, podendo ser classificada em três situações:
a)
Falha dúctil com reserva de resistência resultante de endurecimento de
deformação;
b)
Falha dúctil sem reserva de resistência;
c)
Falha frágil.
Assim, elementos estruturais que atingem a ruína repentinamente, sem aviso como é
o caso de rupturas frágeis devem ser projetados para índices de confiabilidade mais elevados
do que aqueles que entram em colapso, porém precedido de algum tipo de aviso, de modo que
medidas possam ser adotadas para se evitar consequênciais mais graves.
Outro aspecto interessante ocorre para os casos onde a falha é definida por múltiplos
modos, como é o caso de sistemas em paralelo. Nesses casos, quando os modos de falha
apresentam índices de confiabilidade muito próximos entre si, o sistema deve ser projetado
para altos índices de confiabilidade.
Tabela 6-2 – Índices de confiabilidade-alvo e probabilidades de falha para ELS
Custo relativo da
medida de segurança
Índice de Confiabilidade Probabilidade de Falha
Alta 1,3 10
-1
Normal 1,7 5×10
-2
Pequena 2,3 10
-2
A Tabela 6-2 apresenta os valores dos índices de confiabilidade-alvo para estados
limites de serviço, sendo que o JCSS (2001) afirma que esses valores são utilizados para ELS
irreversíveis, como é o caso do estado limite de abertura de fissuras no concreto. Para ELS
reversíveis, nenhum valor é recomendado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 291
6.3 Formulação Clássica dos Modelos tipo RBDO
O projeto ótimo de estruturas baseado em confiabilidade (RBDO) consiste em
formular o problema de otimização convencional, incluindo restrições de segurança definidas
por índices de confiabilidade ou probabilidades de falha. Nesse âmbito, são três as
possibilidades de formulação: RBDO para componentes, para sistemas e misto, ou seja,
considerando tanto as restrições de componentes quanto a do sistema.
Esse tipo de abordagem, conforme já foi discutido anteriormente, eleva
consideravelmente o tempo computacional gasto, pois necessita de várias resoluções do
problema de confiabilidade dentro dos “loops” de otimização. Isso se torna ainda mais crítico
quando de considera restrições sobre a segurança do sistema como um todo, aumentando em
muito esse tempo de processamento. Por esta razão, provavelmente, a otimização baseada em
confiabilidade para componentes é mais popular do que as outras na prática desse tipo de
estudo. Um outro aspecto importante é que a busca de outros modos de falha da estrutura,
que, em muitos casos, não são dominantes é uma tarefa muito complicada, pois as equações
de estado limite são muito sensíveis ao modo de falha dominante. Com isso, a influência de
outros modos de falha não pode ser avaliada porque estes estão escondidos atrás do modos
dominantes. Esse é o caso típico de estruturas de pórticos em concreto armado, nas quais
existem modos de falha que são impossíveis de serem determinados, pois ocorrem após a
falha por perda de estabilidade do pórtico. Assim, surgem problemas de ordem mecânica na
determinação dos modos de falha da estrutura e, consequentemente, na otimização do tipo
RBDO para sistemas. Neste trabalho, por conta disso, serão apresentados exemplos somente
considerando a otimização de componentes.
6.3.1 Formulação RBDO para componentes
Na confiabilidade de componentes somente um único modo de falha é considerado
como restrição no processo de otimização. Em geral, quando existe um modo predominante
sobre os outros, essa formulação torna-se ideal, evitando-se processamentos desnecessários na
avaliação da confiabilidade de outros modos de falha. Em estruturas isostáticas e sistemas
associados em série, por exemplo, essa abordagem deve ser utilizada, pois a falha de um
único modo ou estado limite caracteriza a falha de toda a estrutura.
Em termos matemáticos, a formulação pode ser descrita da seguinte forma:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 292
(
)
k
x
xf
n
k
ℜ∈
min
sujeito à:
(
)
( )
( )
≥
≥
=
alk
kj
ki
ux
xg
xh
ββ
,
0
0
(6-1)
sendo que: f(x
k
) é a função-objetivo a ser minimizada, que nesse caso é dada pelo custo inicial
total da estrutura; h
i
(x
k
) são as restrições de igualdade; g
j
(x
k
) são as restrições de desigualdade;
x é o vetor de variáveis a serem otimizadas com k elementos; i e j correspondem,
respectivamente, ao número de restrições de igualdade e desigualdade do problema; u é o
vetor de variáveis aleatórias envolvidas na análise de confiabilidade com l elementos;
β
(x,u) é
o índice de confiabilidade do componente que depende das variáveis de otimização e
aleatórias;
β
a
é o índice de confiabilidade-alvo.
A formulação descrita pela Equação 6-1 descreve dois loops distintos. No primeiro
“loop”, o mais externo, são encontrados os valores ótimos das variáveis de projeto e no
segundo “loop”, o mais interno, avalia-se a confiabilidade da configuração atual encontrada
para o componente considerado.
6.3.2 Formulação RBDO para sistemas
De um modo geral, o processo de otimização produz elementos estruturais cujos
comportamentos se aproximam de seus estados limites. Além disso, os diversos modos de
falha de uma estrutura tendem a se aproximarem entre si, fazendo com que sua importância
cresça diante do modo mais provável de falha. Assim, diversos componentes podem atingir
sua falha antes mesmo da estrutura falhar como um todo, o que requer a análise adequada da
confiabilidade do sistema no processo de otimização.
Diversos são os fatores que influenciam a capacidade resistente de estruturas,
principalmente quando estas são otimizadas. Entre eles podem ser citados o comportamento
dos materiais, a variabilidade das ações externas, correlação estatística, tipo de modelo
mecânico e grau de redundância da estrutura. Este último tem ainda uma participação maior
nesse processo, pois devido à otimização, seções que incialmente apresentavam maior
capacidade resistente podem vir a se tornar menos resistentes do que outras seção. Nesse
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado. 293
contexto, a otimização baseada em confiabilidade para sistemas torna-se bastante diferente
daquela baseada somente em um modo de falha.
Embora a abordagem de RBDO para sistemas seja altamente recomendada em vários
casos, existem problemas que precisam ser levados em conta nessa avaliação. Uma das
limitações consiste em fazer certas simplificações como a adoção de limites inferiores e
superiores para a probabilidade do sistema, bem como eliminar alguns caminhos de falha da
estrutura para que a solução seja ao menos exequível na prática. Além disso, existe a grande
possibilidade de alguns modos de falha estarem muito escondidos atrás do modo dominante
ou quando a estrutura vem ao colapso antes mesmo de ser capaz de avaliar a confiabilidade
desses modos. Uma alternativa possível é fixar quais serão os modos considerados no
processo de otimização para o cálculo da confiabilidade do sistema, mantendo-os fixos
durante todo o processo. Porém, em função dos novos valores definidos a cada iteração do
processo de otimização, esses modos podem se tornar menos importantes do que outros
modos que não estão sendo considerados, fazendo com que a estrutura não atinja de fato sua
configuração verdadeiramente ótima. Esse tipo de comportamento pode ainda ocasionar
dificuldades de convergência do processo de otimização. Uma alternativa viável para
contornar esse problema é, portanto, fazer uma avaliação prévia de quais modos são realmente
importantes antes do processo de otimização através de uma análise mecânica e, depois da
estrutura otimizada, reavaliar se esses modos continuam sendo os mais importantes. Fazendo
esse tipo de estudo prévio consegue-se minimizar bastante essas mudanças bruscas dos
cenários de falha, pois os modos mais importantes tendem a se estabilizar com poucas
iterações do processo de otimização.
A formulação para otimização baseada em confiabilidade para sistemas pode ser
dada por:
(
)
k
x
xf
n
k
ℜ∈
min
sujeito à:
(
)
( )
( )
≥
≥
=
sisalksis
kj
ki
ux
xg
xh
_
,
0
0
ββ
(6-2)
sendo que:
β
sis
(x,u) é o índice de confiabilidade do sistema;
β
a_sis
corresponde ao índice de
confiabilidade-alvo do sistema.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
294
Um dos problemas que podem surgir ao considerar somente a restrição de
confiabilidade para o sistema é que a confiabilidade de alguns dos componentes pode não
atingir os requisitos mínimos de segurança, resultando em uma configuração perigosa para
determinados modos. Como forma de evitar esse comportamento, Al-Harthy & Frangopol
(1997) propuseram uma variante da formulação descrita pela Equação 6-2, na qual a restrição
de sistema é substituída pelas restrições de todos os modos de falha importantes para a
segurança do sistema. Assim, o sistema fica definido somente pela existência desses modos
importantes, bem como suas correlações.
6.3.3 Formulação RBDO mista: componentes e sistema
De maneira geral, a formulação mista conduz a configurações mais balanceadas das
variáveis de otimização do que as abordagens individuais de componentes e sistemas, pois
elimina a possibilidade de alguns componentes resultarem com segurança inadequada. Isso se
faz pelo limite mínimo de confiabilidade garantida aos componentes na própria formulação.
Ainda assim existem desvantagens. Uma delas é que o processo pode conduzir a modos
superdimensionados ao invés de mantê-los próximos ao seu valor alvo. Não há garantia de
que essa situação seja evitada durante o processo com esse tipo de formulação. Uma outra
desvantagem diz respeito à condição de atividade ou inatividade das restrições dos modos
individuais de falha. Em casos onde várias dessas restrições se tornem ativas (
β
i
=
β
a_i
), a
restrição do sistema pode se tornar inútil e impossível de ser respeitada.
A formulação mista pode ser expressa da seguinte forma:
(
)
k
x
xf
n
k
ℜ∈
min
sujeito à:
(
)
( )
( )
( )
≥
≥
≥
=
sisalksis
malkm
kj
ki
ux
ux
xg
xh
_
_
,
,
0
0
ββ
ββ
(6-3)
sendo que: m corresponde ao modo de falha do componente considerado;
β
a_m
é o índice de
confiabilidade-alvo para o componente m.
Aoues & Chateauneuf (2008) propuseram uma alternativa de contornar o problema
da obtenção de segurança exagerada para alguns modos atualizando os índices de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
295
confiabilidade-alvo a cada iteração do processo de otimização, respeitando sempre a restrição
do sistema. Com isso, a solução ótima é encontrada para a configuração de confiabilidade-
alvo que resulte na maior redução de custo possível. Essa alternativa é interessante, pois
permite se livrar de certa maneira da dificuldade de escolher valores adequados para os
índices de confiabilidade-alvo, pois estes vão sendo adaptados a cada iteração. O processo de
determinação dos valores atualizados dos índices de confiabilidade-alvo é também um
processo de otimização inserido no processo geral, onde a função a ser minimizada é a
somatória dos quadrados das diferenças entre os valores atualizados e os valores obtidos na
iteração anterior, mediante a restrição da confiabilidade do sistema.
6.3.4 Fluxograma Geral da Formulação RBDO
Nesta seção apresenta-se um fluxograma geral para resolver problemas de
otimização baseada em confiabilidade, onde são explicadas as etapas mais importantes.
INÍCIO
Rotina de otimização
Avaliação da
confiabilidade
2
1
Ponto inicial U
Avalia G(U)
Calcula
β
(U)
G(U) = 0 ?
sim
FIM
não
Atualiza U
β
(U)-
β
a
0 ?
sim
FIM
Atualiza X
3
4
não
Figura 6-1 – Fluxograma para análises do tipo RBDO
1. Rotina de otimização. Esta etapa corresponde a todo o processo de otimização
determinística descrita no capítulo 5 e representada pela Figura 5-9. Ao final do processo tem-
se a configuração ótima para a estrutura analisada;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
296
2. Avaliação da confiabilidade. A partir da estrutura otimizada avalia-se a
confiabilidade considerando os modos de falhas e/ou sistema. O algoritmo para o cálculo do
índice de confiabilidade e do ponto de projeto encontra-se ao lado na Figura 6-1. Trata-se do
mesmo processo descrito pelo algoritmo de busca HLRF;
3. Critério de parada. Após a avaliação dos índices de confiabilidade dos modos
e/ou sistema verifica-se se estes satisfazem as restrições em confiabilidade. Se resultarem
maior ou igual aos índices de confiabilidade-alvo, o processo de encerra, caso contrário
continua até que essa condição seja satisfeita;
4. Atualização das variáveis de otimização. Caso a condição descrita em 3 não
seja satisfeita, reinicia-se o processo de otimização voltando à etapa 1 até a convergência em
termos dos índices de confiabilidade.
Os modelos de RBDO desenvolvidos neste trabalho são apresentados a seguir. Eles
respeitam exatamente este fluxograma, distinguindo-se um do outro pela maneira de
atualização das variáveis de otimização, X.
6.4 Modelo SF-RBDO (Safety Factors)
6.4.1 Aspectos gerais
Wu & Wang
39
(1998) e Wu et al.
40
(2001) apud Qu (2004) desenvolveram um
método baseado em fatores parciais de segurança com o objetivo de substituir a abordagem
clássica de RBDO por um conjunto de iterações de otimização determinística, transformando
as restrições de confiabilidade em restrições determinísticas equivalentes. Esses fatores
parciais de segurança foram definidos sobre os valores do ponto de projeto das variáveis
aleatórias para o modo de falha dominante.
Seguindo o mesmo raciocínio, Qu & Haftka (2003) propuseram o conceito de fator
de segurança probabilístico para ligar as restrições de confiabilidade ao processo de
otimização determinística. O fator de segurança probabilístico foi avaliado através de
simulações de Monte Carlo combinadas com aproximações via superfícies de respostas.
39
Wu, Y-T.; Wang, W. (1998). Efficient probabilistic design by converting reliability constraints to
approximately equivalent deterministic constraints.
Journal of Integrated Design and Process Sciences (JIDPS)
,
v. 2, n. 4, p. 13-21
40
Wu, Y-T.; Shin, Y.; Sues, R.; Cesare, M. (2001). Safety-factor based approach for probability-based design
optimization.
Proceedings of 42
nd
AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures Dynamics and Materials Conference
,
Seattle, WA, AIAA 2001-1522.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
297
Com relação aos trabalhos de Wu, os fatores de segurança são definidos com base
apenas no modo de falha dominante da estrutura, não levando em conta a contribuição de
outros modos que podem ser importantes no comportamento global do sistema. Da mesma
forma, o fator de segurança proposto por Qu e Haftka é definido para o sistema todo, o que
pode conduzir a configurações estimadas para mais ou até estimadas para menos para
determinados modos de falha da estrutura, pois tal fator é aplicado igualmente para todos os
estados limites. Com isso, o ponto ótimo não pode ser garantido.
Para resolver esse problema, Castillo et al. (2003) apresentaram uma abordagem
muito parecida à de Qu e Haftka. A diferença consistiu na determinação de um fator de
segurança para cada modo de falha do problema ao invés de um único fator global. Os autores
utilizaram o FORM para calcular os índices de confiabilidade e os fatores de segurança.
Porém, nenhuma recomendação foi feita para a confiabilidade do sistema e nem para os
índices de confiabilidade-alvo utilizados.
Todas as pesquisas analisadas apresentaram algo em comum: as técnicas de RBDO
foram sempre utilizadas considerando-se modelos analíticos clássicos para cálculo de esforços
e deslocamentos, bem como comportamento elástico-linear dos materiais. Um dos modelos de
RBDO desenvolvido neste trabalho, baseado em coeficientes parciais de segurança (Safety
Factors, SF-RBDO) considera apenas um modo de falha como restrição direta de
confiabilidade, porém avança no quesito de modelagem mecânica e de materiais, pois permite
empregar o modelo não-linear desenvolvido em elementos finitos para estruturas em concreto
armado. Esta é uma contribuição relevante do trabalho, pois permitirá realizar esse tipo de
análise para estruturas de edifício, por exemplo, levando-se em conta de maneira consistente
as perdas de rigidez dos elementos estruturais. Optou-se em trabalhar com apenas um modo
de falha, justamente para evitar problemas de convergência e instabilidade numérica na
análise de sistemas provenientes da utilização de modelos não-lineares.
6.4.2 Fluxograma do modelo SF-RBDO
A Figura 6-2 mostra o fluxograma que representa o modelo SF-RBDO com todas as
etapas do programa.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
298
INÍCIO
Rotina de otimização
Avaliação da
confiabilidade
2
1
Ponto inicial U
Avalia G(U)
Calcula
β
(U)
G(U) = 0 ?
sim
FIM
não
Atualiza U
β
(U)-
β
a
0 ?
sim
FIM
Reprocessa a estrutura
3
não
Calibra
coeficientes
4
Figura 6-2 – Fluxograma do modelo SF-RBDO
1. Rotina de otimização. Esta etapa é idêntica ao processo de otimização descrito
no capítulo 5. Vale a pena comentar que o processo de otimização determinística inicia-se
com os coeficientes parciais de segurança fornecidos pelos códigos de projeto atuais,
ponderando as variáveis aleatórias. Nesse tipo de análise existem dois tipos de variáveis: as de
projeto, que são aquelas otimizadas e as aleatórias, que são utilizadas para a análise de
confiabilidade. Portanto, o modelo SF-RBDO assume que existe um coeficiente parcial para
cada variável aleatória e para cada modo de falha. Por exemplo: ao otimizar uma estrutura que
possua 2 modos de falha e 3 variáveis aleatórias, ao todo serão 6 coeficientes parciais
divididos em dois grupos. No primeiro grupo estarão os coeficientes parciais das 3 variáveis
aleatórias para o modo de falha 1. No segundo grupo, estarão os coeficientes parciais das 3
variáveis aleatórias para o modo de falha 2;
2. Avaliação da confiabilidade. Nesta etapa, a partir da configuração ótima obtida
anteriormente calculam-se os índices de confiabilidade para todos os modos de falha e para o
sistema;
3. Critério de parada. Verifica-se se os índices de confiabilidade satisfazem aos
valores alvo estabelecidos no início da análise e se não há mais diferença significativa no
custo inicial total da estrutura. Se essas condições forem satisfeitas, fim do processo, caso
contrário, calibra-se os coeficientes parciais;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
299
4. Calibração dos coeficientes parciais. Os coeficientes parciais de cada variável
aleatória são calibrados em função dos índices de confiabilidade-alvo de cada modo de falha,
a partir de seus co-senos diretores, pois refletem a sensibilidade de cada variável no processo.
Assim, variáveis mais influentes recebem um peso maior na calibração, fazendo com que o
processo de otimização seja mais sensível àquela variável. Após isso, retorna-se ao passo de
otimização determinística com os coeficientes parciais calibrados para a confiabilidade
requerida. Note que são esses coeficientes que fazem a ponte de ligação entre as restrições de
confiabilidade e o processo de otimização. Repete-se esse algoritmo até a convergência
definida na etapa 3.
6.4.3 Calibração dos coeficientes parciais de segurança
Os coeficientes parciais para análise de otimização baseada em confiabilidade são
definidos para cada variável aleatória i, para cada modo de falha j. Assim, os coeficientes
parciais podem ser obtidos diretamente a partir do índice de confiabilidade-alvo e dos co-
senos diretores das variáveis aleatórias em cada ponto de projeto. Por definição, os co-senos
diretores representam as derivadas da função de estado limite em relação à cada vavriável
aleatória, ou seja:
(
)
*
uu
i
j
ji
u
uG
=
∂
∂
=
α
(6-4)
sendo que:
α
ji
é o co-seno diretor da variável aleatória i referente ao modo de falha j; G
j
é a
função de estado limite; u é o vetor de variáveis aleatórias; u
*
corresponde às coordenadas do
ponto de projeto referente ao modo j.
A principal hipótese adotada no modelo consiste no fato de que o vetor dos co-senos
diretores permanece sempre o mesmo para qualquer curva do índice de confiabilidade,
conforme ilustra a Figura 6-3. Assim, obtidos os valores dos co-senos diretores na iteração do
processo de otimização para a configuração atual, estes são considerados constantes para a
configuração ótima que terá o índice de confiabilidade-alvo.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
300
u
2
u
1
β
j
α
i=
α
alvo
u
1i
u
2i
β
alvo
u
2i_alvo
u
1i_alvo
G
j
(U)=0
Figura 6-3 – Aproximação para o índice de confiabilidade-alvo
A partir daí, a regra de calibração pode ser dada por:
(
)
[
]
( )
[ ]
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
d
R
iax
R
R
S
d
S
iax
S
x
x
F
x
x
x
x
F
=
Φ
=
=
Φ
=
−
−
αβ
γ
αβ
γ
1
1
(6-5)
sendo que:
i
S
γ
e
i
R
γ
são, respectivamente, os coeficientes parciais calibrados para variáveis
aleatórias de solicitação e resistência;
[
]
•
−
1
i
x
F
e
(
)
•Φ são, respectivamente, as funções
acumuladas inversas da variável aleatória i no espaço físico e no espaço normal-padrão;
β
a
é o
índice de confiabilidade-alvo do modo de falha j;
α
i
é o co-seno diretor da variável aleatória i;
i
d
x corresponde ao valor de projeto da variável aleatória i que representa o índice de
confiabilidade-alvo;
i
S
x e
i
R
x são, respectivamente, os valores de referência utilizados para as
variáveis de solicitação e de resistência. Esses valores de referência podem ser os valores
característicos ou médias das variáveis aleatórias.
Ditlevsen & Madsen (2005) deduziram expressões diretas para os valores de projeto,
x
d
dados na Equação 6-5 para algumas distribuições de probabilidades conhecidas. Entre elas
está a distribuição normal, resultando no cálculo direto dessas grandezas de acordo com a
expressão abaixo:
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
301
(
)
( )
aiiidR
aiiidS
Vx
Vx
i
i
βαµ
β
α
µ
−=
+
=
1
1
(6-6)
sendo que:
i
dS
x e
i
dR
x são, respectivamente, aos valores de projeto das variáveis de
solicitação e resistência que representa o índice de confiabilidade-alvo;
µ
i
é a média da
variável aleatória i; V
i
corresponde ao coeficiente de variação da variável aleatória i.
A definição se uma variável aleatória é de solicitação ou resistência é feita
diretamente pelo programa, a partir do sinal do seu co-seno diretor. Valores positivos
representam variáveis de resistência e valores negativos definem variáveis de solicitação.
Após a calibração dos coeficientes, esses valores são utilizados diretamente no
processo de otimização determinística da iteração seguinte até a convergência da análise.
6.4.4 Considerações especiais sobre o modelo
A primeira consideração sobre esse tipo de abordagem consiste no fato de que ao se
otimizar uma estrutura com vários modos de falha, um conjunto de coeficientes parciais de
segurança será gerado para cada modo de falha. Isso torna o método não muito útil do ponto
de vista prático da utilização desses coeficientes parciais em situação de projeto para atingir o
grau de segurança especificado. Esse problema obviamente deixa de existir para o caso de
apenas um modo de falha.
A Figura 6-4 ilustra uma solução possível para o caso de dois modos de falha com
intersecção entre eles bem definida. Ao adotar o ponto de intersecção entre as duas equações
de estado limite, os coeficientes parciais de segurança serão comuns para ambos os modos de
falha. Assim, o vetor
δ
corresponde ao novo vetor de co-senos diretores, com o qual será
feito o processo de calibração. Porém, para casos onde haja mais modos de falha para a classe
de problemas estudada não existe vetor
δ
que seja capaz de reproduzir adequadamente todos
os modos. O que Ditlevsen & Madsen (2005) recomendam é nesses casos escolher um ponto
de projeto dado pelo produto
βδ
para toda a classe de estruturas e ajustar todas as equações
de estado limite dos modos para que contenham o novo ponto. Isso se faz minimizando uma
função penalidade dada em termos dos índices de confiabilidade dos n modos de falha, índice
de confiabilidade-alvo, co-senos diretores de cada variável aleatória e do vetor
δ
. Mais
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
302
detalhes sobre esse procedimento podem ser consultados no trabalho de Ditlevsen & Madsen
(2005).
u
1
2
G
1
(U)=0
G
2
(U)=0
βα
2
βα
1
P
1
P
2
βδ
P
Figura 6-4 – Vetor exato dos co-senos diretores para dois modos de falha
A segunda consideração diz respeito à própria natureza do processo de otimização
baseada em confiabilidade. A restrição a ser atendida no algoritmo de busca da solução ótima
é a princípio inativa, ou seja, valores do índice de confiabilidade do modo de falha superiores
ao valor especificado satisfazem a restrição de segurança. Esse tipo de calibração de
coeficientes parciais, principalmente quando se utilizam os modelos não lineares de materiais,
resulta em configurações ótimas com grau de segurança até mesmo maior do que o requerido.
Porém, pode-se em determinadas situações exigir de fato que a estrutura tenha exatamente o
valor de confiabilidade especificado. Isso pode ser justificado, por exemplo, por questões
financeiras e margens de lucros das empresas, onde é necessário atingir exatamente o valor
alvo. Nesse caso, admite-se que a restrição em termos do índice de confiabilidade esteja ativa
desde o início do processo de otimização.
Problemas na busca da direção ótima dos algoritmos de otimização podem surgir em
casos desse tipo, resultando em falta de convergência, uma vez que a direção de busca pode
apontar para alguma região não factível do domínio da função-objetivo. Para contornar esse
problema, foi desenvolvido um esquema onde define-se um índice de confiabilidade-alvo
fictício, com o objetivo de transladar a região de busca do algoritmo, permitindo assim, que
este consiga encontrar o ponto que corresponde exatamente ao índice de confiabilidade-alvo
adotado. O que se faz, na verdade, é resolver um outro problema de otimização com outro
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
303
valor para o índice de confiabilidade-alvo, dado pelo índice fictício. Assim, os coeficientes
parciais são calibrados para o valor fictício ao invés do valor verdadeiro. Desse modo, a
configuração ótima converge para o valor real do índice de confiabilidade-alvo.
Esse procedimento pode ser introduzido no fluxograma da Figura 6-2 entre as etapas
3 e 4. Na primeira iteração do processo de otimização, após o cálculo do índice de
confiabilidade para a configuração ótima, calcula-se o índice de confiabilidade-fictício de
acordo com a comparação abaixo:
ja
f
aaj
ja
f
aaj
βββββ
βββββ
∆−=→>
∆+=→<
(6-7)
sendo que: β é o índice de confiabilidade; j refere-se ao modo de falha; a significa valor alvo;
f corresponde ao valor fictício;
∆β
é o incremento no índice de confiabilidade-alvo. Esse
incremento pode ser calculado através da função modular dada por:
>→−
>→−
=−=∆
ajaj
jaja
jaj
ββββ
ββββ
βββ
(6-8)
Após a segunda iteração do processo de otimização, o índice de confiabilidade-alvo
fictício pode ser obtido por interpolação simples a partir do valor da iteração anterior, ou seja:
kj
a
f
ka
f
ka
,
,
1,
β
ββ
β
⋅
=
+
(6-9)
onde: k corresponde à k-ésima iteração do processo de otimização.
6.5 Modelo BS-RBDO (Beta Surface)
6.5.1 Aspectos gerais
Soares (2001), em sua tese de doutorado, apresentou a primeira idéia sobre o modelo
de otimização baseada em confiabilidade considerando como restrição adicional uma
superfície de confiabilidade, porém sem aplicação alguma. Nogueira (2005) desenvolveu a
idéia e propôs um modelo ainda que simples para sua utilização na otimização de vigas em
concreto armado. O problema de otimização foi resolvido analiticamente através do método
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
304
dos multiplicadores de Lagrange. Inicialmente, a otimização era realizada sem a restrição de
confiabilidade e, após a segunda iteração do método, substituia-se o problema inicial de
otimização por um outro definido somente com a restrição dada pela superfície de
confiabilidade. Porém, a solução ficou restrita para casos simples de vigas com possibilidade
apenas de considerar na superfície de confiabilidade as variáveis referentes à altura da seção
transversal da viga e sua armadura de tração. Outros trabalhos como Nogueira & Venturini
(2006) e Nogueira et al. (2009) contém aplicações desse tipo de modelo.
Neste trabalho o modelo foi extendido tanto em número de variáveis de projeto
consideradas, quanto no tipo de algoritmo utilizado e natureza da superfície de confiabilidade,
generalizando-se o processo.
Além das alturas dos elementos e suas armaduras de tração, a superfície de
confiabilidade pode conter todas as variáveis de otimização, desde que estas sejam
significativas para o comportamento mecânico da estrutura. Dessa forma, armaduras de
compressão, de cisalhamento, espaçamento entre estribos, largura de seções e outras podem
ser incorporadas na superfície de confiabilidade. Um cuidado importante que deve ser tomado
diz respeito às variáveis de otimização que resultam em valores insignificantes para a resposta
mecânica ou até mesmo valores nulos, como ocorre em alguns casos, por exemplo, com a
armadura de compressão nas vigas. Nessas situações, pode-se extrair a variável da superfície
ou dar-lhe valores mínimos para que o sistema não resulte singular, travando a resolução do
algoritmo. Para as armaduras de compressão, por exemplo, pode-se dar-lhes o valor da
mínima área de aço correspondente a 2 barras de 5mm cada funcionando como armadura
construtiva. Desse modo, o processo prossegue sem interrupções, podendo inclusive resultar
em uma configuração onde a armadura de compressão é importante.
A superfície de confiabilidade pode ser construída para cada modo de falha e
também para o sistema, pois esta depende somente dos valores de seus respectivos betas,
obtidos na etapa da análise de confiabilidade. Após isso, constrói-se cada superfície
utilizando-se o método das superfícies de respostas convencional ou com fatores-peso
conforme já explicados no capítulo 4. A grande vantagem é que as superfícies podem ser
construídas agora com polinômios de primeiro e segundo graus, diferentemente do processo
realizado por Nogueira & Venturini (2006) que utilizava somente superfícies quadráticas.
Com isso, ganha-se em tempo de processamento, pois menos chamadas do modelo de
confiabilidade são necessárias para a construção das superfícies.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
305
6.5.2 Fluxograma do modelo BS-RBDO
A Figura 6-5 mostra o fluxograma que representa o modelo BS-RBDO com todas as
etapas do programa.
INÍCIO
Rotina de otimização
Monta
superfície de
β
2
1
Ponto inicial U
Avalia G(U)
Calcula
β
(U)
G(U) = 0 ?
sim
FIM
não
Atualiza U
β
(U)-
β
a
0 ?
sim
FIM
Reprocessa a estrutura
4
não
Loop:
1 a Número de
pontos PE
Avaliação da
confiabilidade
após o loop
3
Figura 6-5 – Fluxograma do modelo BS-RBDO
1. Rotina de otimização. Esta etapa é idêntica ao processo de otimização descrito
no capítulo 5. Trata-se de otimização determinística com restrição em superfície de
confiabilidade;
2. Montagem da superfície de confiabilidade. Com o ponto ótimo obtido na etapa
anterior constrói-se a superfície de confiabilidade. O procedimento é exatamente o mesmo
descrito no capítulo 4, no tópico sobre superfícies de respostas. Define-se um plano de
experiência (PE) qualquer, centrando-o no ponto ótimo. São dadas variações fixas quaisquer
para as variáveis de otimização, configurando o plano de experiência. Na análise de
confiabilidade, os pontos do PE são definidos em função da média, desvio-padrão e um
coeficiente de afastamento em relação ao centro. Aqui nesta etapa, como não existe desvio-
padrão para as variáveis de otimização, pode-se admitir uma variação qualquer, desde que não
seja muito grande. Por exemplo, neste trabalho adotou-se uma variação de 10% para cada
variável de otimização a partir do ponto ótimo. Após isso, faz-se uma análise de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
306
confiabilidade completa para cada ponto do plano de experiência. É interessante notar que
para cada ponto do PE, será associado um valor de índice de confiabilidade e que, para isso,
todo o modelo mecânico é mobilizado várias vezes, dependendo do método de confiabilidade,
para produzir a resposta de apenas um ponto do PE. Portanto, trata-se de um modelo com alto
custo computacional. Definido o vetor com os índices de confiabilidade de todos os pontos do
PE, faz-se a regressão por mínimos quadrados e obtém-se os coeficientes da superfície de
resposta que define a restrição de confiabilidade;
3. Avaliação da confiabilidade. Esta etapa corresponde ao cálculo do índice de
confiabilidade para cada ponto do plano de experiência de otimização. É função do método
escolhido, conforme já descrito no capítulo 4;
4. Critério de parada. Uma vez construída a superfície de confiabilidade, verifica-
se se o centro do PE, que corresponde ao ponto ótimo, satisfaz o valor de segurança requerido
dado pelo índice de confiabilidade-alvo. Caso contrário, volta-se ao passo 2 para otimização
determinística, porém levando-se em conta agora a restrição de confiabilidade obtida na
iteração anterior. Esse procedimento é repetido até a convergência em termos do índice de
confiabilidade e custo da estrutura.
6.5.3 Construção das superfícies de confiabilidade
O primeiro passo é escolher o grau do polinômio para a superfície de confiabilidade.
Todas as possibilidades de polinômios descritos nas Tabela 4-1,Tabela 4-2 e Tabela 4-3
podem ser utilizadas naturalmente nessa etapa. Apenas para ilustração, as expressões abaixo
mostram as superfícies de confiabilidade de primeiro e segundo grau para o caso de duas
variáveis já na forma de restrição do processo de otimização:
(
)
( )
0
0
221101
2
2423
2
121102
≥−++=
≥−++++=
a
a
xaxaaXg
xaxaxaxaaXg
β
β
(6-10)
sendo que: x
i
são as variáveis de otimização que entram na restrição de confiabilidade;
β
a
é o
índice de confiabilidade-alvo do modo de falha considerado; a
j
são os coeficientes que
definem a superfície de confiabilidade.
Com o vetor de índices de confiabilidade determinado, a regressão por mínimos
quadrados é realizada, determinando-se o vetor com os coeficientes a
j
da superfície. Assim,
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
307
define-se a matriz P e o vetor V calculados pelo somatório dos produtos entre os vetores X e
β
com X para todos os pontos do plano de experiência de otimização, ou seja:
[ ]
{ } { }
(
)
∑
=
=
np
i
T
ii
ot
XXP
1
(6-11)
{ } { }( )
∑
=
=
np
i
i
i
ot
XV
1
β
(6-12)
E finalmente, o vetor com os coeficientes da superfície de confiabilidade resulta da
resolução do sistema dado por:
[
]
{
}
{
}
otot
ot
VAP =
(6-13)
sendo que: o vetor A contém os coeficientes da superfície de confiabilidade; o vetor X é dado
pela realização das variáveis de otimização conforme a expressão do polinômio aproximador
para cada ponto do PE, segundo o mesmo procedimento descrito na seção 4.7.7; np é o
número de pontos do plano de experiência.
6.5.4 Considerações especiais sobre o modelo
A Figura 6-6 ilustra de maneira simples a construção das superfícies de
confiabilidade e a evolução do processo de otimização.
Um fato interessante a ser discutido é quando a restrição de confiabilidade dada pela
superfície de betas está ativa ou inativa. Se o índice de confiabilidade resultante da
configuração ótima for maior que o valor alvo especificado, a restrição ficará inativa, não
interferindo diretamente no processo de otimização. Assim, o ponto ótimo não estará sobre a
restrição de confiabilidade, porém esta será satisfeita. Por outro lado, a restrição de
confiabilidade passa a trabalhar como ativa no processo quando o índice de confiabilidade da
configuração ótima resultar menor que o valor alvo. Dessa forma, na próxima iteração, a
restrição em termos de betas estará ativa e determinará de maneira direta o novo ponto ótimo.
É por esse motivo que em muitos casos, a solução ótima apresenta índice de confiabilidade
maior do que o alvo.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
308
x
2
x
1
β
1
(x)-
β
a
x
2,1
x
1,1
0
1
2
β
2
(x)-
β
a
3
β
3
(x)-
β
a
n
β
n
(x)-
β
a
x
2,2
x
2,3
x
2,n
x
1,2
x
1,n
x
1,3
Figura 6-6 – Evolução do processo de otimização com superfície de confiabilidade
Esse modelo é interessante justamente em situações como a discutida anteriormente,
pois nesses casos produz uma solução ótima que de fato possui a segurança requerida com
menor custo.
6.6 Exemplos de Aplicação
6.6.1 Exemplo 1
O objetivo deste exemplo é mostrar o desempenho dos modelos de otimização
baseada em confiabilidade no projeto de uma viga em concreto armado bi-apoiada, submetida
a carregamento uniformemente distribuído e com segurança especificada por um índice de
confiabilidade-alvo de 4,2 para o estado limite último de ruptura dos materiais na seção do
meio do vão.
As variáveis de otimização consideradas foram a altura da seção (h), áreas de
armadura de tração e compressão (A
S
e A
S
’), posição relativa da linha neutra (
β
x
) e curvatura
da seção (1/r), no total de 5 variáveis de projeto. As variáveis aleatórias utilizadas na análise
de confiabilidade foram as seguintes:
- Resistência do concreto: média = 26,58MPa, COV = 15%, distribuição normal;
- Resistência do aço: média = 576,0MPa, COV = 8%, distribuição normal;
- Carga permanente: média = 36,75kN, COV = 10%, distribuição normal;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
309
- Carga variável: média = 15,0MPa, COV = 20%, distribuição normal.
Essas estatísticas foram escolhidas para valores característicos de 20MPa e 500MPa,
respectivamente, para o concreto e o aço, bem como um carregamento total de 50kN/m
distribuído uniformemente sobre a viga, com g + q = 35kN + 15kN. A média escolhida para a
carga permanente é dada por 1,05 vez o valor nominal de 35kN, ao passo que para a ação
variável, a média foi adotada como sendo o próprio valor nominal de projeto.
Cada um dos modelos de RBDO foi utilizado para esse projeto, obtendo-se, portanto,
uma configuração ótima para a estrutura, minimizando seu custo inicial total, mas ao mesmo
tempo respeitando a demanda de segurança ao ELU.
Tabela 6-3 – Propriedades e parâmetros utilizados na análise mecânica
Descrição Parâmetro Valor
Módulo de elasticidade do aço E
Y
210000MPa
Módulo plástico do aço K
Y
21000MPa
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,2
Deformação última do concreto
ε
C,lim
-0,0035
Deformação última do aço
ε
Y,lim
0,01
Incrementos de carga
λ
5kN
Número máximo de iterações It
max
3000
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Pontos de Gauss no comprimento e na altura da seção PGL , PGH 6 , 20
O problema de otimização foi definido conforme as Equações 5-36 e 5-37 para
elementos horizontais, com a consideração de uma restrição extra de confiabilidade, dada por
uma superfície de primeiro grau, para o modelo BS-RBDO. Essa restrição extra foi escrita
levando-se em conta somente a altura da seção que fornece o índice de confiabilidade-alvo.
Isso foi feito para proporcionar economia de processamento na construção das superfícies de
confiabilidade e também porque as demais variáveis de projeto, a partir da altura da seção, são
obtidas pelas equações de equilíbrio descritas no problema.
O custo inicial total da viga, considerando custos do volume de concreto, peso total
de aço para armaduras, quantidade de madeira para as fôrmas e mão-de-obra (lançamento e
adensamento do concreto, corte e dobra da armadura, travamento e escoramento das fôrmas),
foi calculado com os seguintes valores:
ρ
s
é o peso específico do aço igual a 7850kg/m
3
; C
C
é
o custo do concreto igual a 226,58R$/m
3
; C
S
é o custo do aço igual a 4,36R$/kg; C
F
é o custo
da madeira igual a 42,10R$/m
2
.
O modelo mecânico utilizado é não-linear com o concreto representado pelo modelo
de dano de Mazars e o aço pelos modelos elastoplásticos descritos neste trabalho. Por se tratar
de uma estrutura isostática, para o processo de otimização a viga foi dividida em um único
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
310
trecho, de modo que os valores ótimos encontrados para a seção otimizada foram estendidos
para toda a estrutura.
g+q=50kN/m
h
20cm
As
As'
800cm
1/r
β
x
Esquema estrutural
Variáveis de otimização
Discretização em 8 elementos finitos
1 5 9
Figura 6-7 – Esquema estrutural, discretização e variáveis de otimização
A Tabela 6-4 mostra os resultados obtidos com ambos os modelos de otimização,
bem como o tempo de processamento gasto em cada análise.
Tabela 6-4 – Resultados do processo de otimização
Modelo h (cm) A
S
(cm2) A
S
’ (cm2)
β
ββ
β
x
1/r
β
ββ
β
Custo (R$) CPU (min)
SF-RBDO 74,57 15,79 0,0 0,481 9,75×10
-5
4,2 1272,40 8
BS-RBDO 80,48 10,24 2,53 0,250 1,74×10
-4
4,2 1251,16 49
Conforme pode ser observado na Figura 6-8, cada modelo através de suas
particularidades, busca uma solução candidata à solução ótima do problema. O modelo SF
com calibração dos coeficientes parciais, para este caso estudado, mostrou-se mais rápido em
termos de consumo de tempo de processamento do que o modelo BS, embora o custo total da
viga resultou cerca de 1,7% maior que o valor encontrado pelo modelo BS.
Já o modelo BS apresentou melhores resultados, do ponto de vista de custo da
estrutura, porém gastou muito mais tempo de processamento. Isso se deve ao fato de que em
cada construção da superfície de confiabilidade, duas análise completas de busca do ponto de
projeto foram necessárias, uma vez que a superfície considerou somente a altura da seção
como variável de otimização. O comportamento oscilante da solução é resultado da qualidade
das superfícies de confiabilidade, pois estas em algumas iterações podem não conter o índice
de confiabilidade requerido, provocando nesses casos extrapolação das variáveis envolvidas
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
311
na superfície ao invés de interpolação. Para exemplificar o exposto acima, na primeira
iteração os índices de confiabilidade obtidos para os dois pontos do plano de experiência
adotado para a construção da superfície de betas foram 1,126 e 2,407. Como o índice de
confiabilidade-alvo foi de 4,2, acredita-se que isso tenha inserido no algoritmo de busca
algum tipo de perturbação, que resultou na oscilação observada nos gráficos da Figura 6-8. É
interessante destacar ainda que o modelo com superfícies de confiabilidade resultou em uma
configuração que não é muito habitual, com armadura de compressão e posição da linha
neutra no valor de 0,250. Porém, ao se considerar restrições de confiabilidade, a seção que
melhor atende aos requisitos de custo e segurança pode não ser obtida da maneira
convencional, mas sim por exemplo, adicionando-se um pouco de área de aço na parte
comprimida da seção, ao invés de aumentar ainda mais a altura desta para evitar a armadura
adicional. Vale, portanto, minimizar o custo atingindo a segurança especificada.
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Iteração
Índice de confiabilidade
SF-RBDO BS-RBDO
1000,0
1100,0
1200,0
1300,0
1400,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Iteração
Custo total, R$
SF-RBDO BS-RBDO
1,58
1,00
1,40
1,09
1,00
1,15
1,15
1,00
1,40
1,25
1,00
1,40
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
SF-RBDO BS-RBDO DIM
Modelo
Coeficientes parciais de
segurança
Concreto Aço Ação Permanente Ação Variável
Figura 6-8 – Histórico de convergência e coeficientes parciais de segurança
A Figura 6-8 também mostra um diagrama de barras no qual podem ser vistos os
coeficientes parciais de segurança para cada variável aleatória considerada. O modelo SF-
RBDO, em sua essência, calibra esses coeficientes para atingir a configuração ótima da
estrutura em função da segurança desejada. Assim, para este caso simples, a viga seria
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
312
projetada com tais valores para que atingisse índice de confiabilidade igual a 4,2. Já o modelo
BS-RBDO, que utiliza uma superfície de confiabilidade como restrição, não faz uso de
coeficientes parciais de segurança, pois toda a incerteza já está incorporada nas informações
estatísticas das variáveis. Dessa forma, esse tipo de abordagem pode eliminar o uso de
coeficientes de segurança e tratar o problema de uma maneira totalmente probabilística. As
colunas marcadas com DIM se referem aos valores dos coeficientes parciais adotados pela
NBR 6118:2003.
Para verificar o desempenho estrutural de ambas as configurações ótimas obtidas
para a viga em estudo foi realizada uma análise mecânica não-linear, onde a carga foi aplicada
em incrementos de 2,5kN até atingir o valor total de 50kN/m.
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Deslocamento vertical, cm
Força aplicada, kN/m
SF-RBDO BS-RBDO
Figura 6-9 – Trajetória de equilíbrio da viga do ponto localizado no meio do vão
Verificou-se que a configuração obtida com o modelo BS-RBDO apresentou maior
deslocamento vertical do ponto localizado no meio do vão da viga do que a seção alcançada
com o modelo SF-RBDO. Mesmo mostrando maior rigidez na fase elástica, por conta da
maior altura da seção, a menor quantidade de armadura tracionada obtida com o modelo BS
provocou maior perda de rigidez após a danificação do concreto, resultando, assim, no maior
deslocamento observado. Ambos os modelos, para o carregamento aplicado, não
apresentaram escoamento da armadura de tração.
Concluiu-se que ambos os modelos foram capazes de atingir uma configuração
estrutural com índice de confiabilidade de 4,2. O melhor resultado do ponto de vista de menor
custo foi obtido com o modelo BS-RBDO, mas do ponto de vista de comportamento
estrutural, o melhor resultado foi observado com o modelo SF-RBDO.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
313
6.6.2 Exemplo 2
O objetivo deste exemplo foi exatamente o mesmo do exemplo anterior, isto é, obter
as configurações que minimizam o custo inicial total de uma estrutura em concreto armado,
considerando a segurança dada por um índice de confiabilidade-alvo de 4,2 para o estado
limite último de ruptura dos materiais nas seções mais solicitadas. Todos os parâmetros do
modelo mecânico, de materiais, bem como dos modelos de confiabilidade e de otimização
foram adotados os mesmos para que fosse possível realizar uma comparação entre as soluções
ótimas do exemplo anterior e deste. No exemplo anterior a estrutura analisada foi uma viga
isostática em concreto armado com 8,0 metros de vão e solicitada por um carregamento
uniformemente distribuído de 50kN/m. Neste exemplo, a mesma estrutura foi verificada,
porém introduzindo-se um apoio central, dividindo a viga em 2 tramos de 4,0 metros cada um,
solicitada pelo mesmo carregamento de 50kN/m. A viga, do ponto de vista da otimização, foi
dividida em 3 trechos em função do momento fletor, sendo que o trecho 1 foi composto pelos
elementos finitos de 1 a 3, o trecho 2 pelos elementos finitos 4 e 5 e o trecho 3 pelos
elementos finitos de 6 a 8.
g+q=50kN/m
h
20cm
As
As'
1/r
β
x
Esquema estrutural
Variáveis de otimização
Discretização em 8 elementos finitos
1
5 9
400cm 400cm
Figura 6-10 – Esquema estrutural, discretização e variáveis de otimização
A Tabela 6-5 mostra os resultados obtidos com ambos os modelos de otimização,
bem como o tempo de processamento gasto em cada análise para o menor modo de falha da
estrutura, que foi dado pela falha na seção sobre o apoio central. A coluna com as áreas de
armadura de tração, denotada por A
S
, refere-se nos trechos 1 e 3 à armadura positiva e no
trecho 2, por ser a seção sobre o apoio central, à armadura negativa.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
314
Tabela 6-5 – Resultados do processo de otimização para o modo mais provável de falha
Modelo
Trecho
h (cm) A
S
(cm2) A
S
’ (cm2)
β
ββ
β
x
1/r
β
ββ
β
Custo (R$) CPU (min)
1 e 3 36,33 3,37 0,0 0,386 2,49×10
-4
SF-RBDO
2 36,33 8,01 0,0 0,402 2,39×10
-4
4,2 567,87 28
1 e 3 39,91 2,60 0,0 0,348 2,52×10
-4
BS-RBDO
2 39,91 5,80 0,33 0,240 3,65×10
-4
4,2 576,13 16
Os resultados observados para a mesma viga, porém considerando-a hiperestática
neste caso, apresentaram configurações com custo igual a aproximadamente metade do custo
para viga isostática. A mesma segurança foi obtida para a seção mais solicitada, porém com
menor consumo de materiais e melhor comportamento estrutural em serviço. Esse resultado
mostra a grande vantagem de se considerar estruturas hiperestáticas em concreto armado no
caso de grandes vãos.
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Iteração
Índice de confiabilidade
SF-RBDO BS-RBDO
500,0
525,0
550,0
575,0
600,0
625,0
650,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Iteração
Custo total, R$
SF-RBDO BS-RBDO
1,22
1,00
1,40
1,05
1,00
1,15
1,08
1,00
1,40
1,13
1,00
1,40
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
SF-RBDO BS-RBDO DIM
Modelo
Coeficientes parciais de
segurança
Concreto Aço Ação Permanente Ação Variável
Figura 6-11 – Histórico de convergência e coeficientes parciais de segurança
Neste exemplo é possível perceber com mais clareza como os modelos, em função de
sua formulação, buscam a configuração ótima. O modelo BS encontrou uma altura um pouco
maior que o modelo SF, porém com armadura menor. No entanto, desta vez foi o modelo SF
com calibração dos coeficientes parciais que resultou na solução de menor custo. O que se
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
315
pode constatar é que existem diferentes possibilidades de dimensionamento que resultam na
confiabilidade requerida mas que, certamente, existe uma configuração que produz o menor
custo com a segurança desejada.
É interessante destacar que os coeficientes parciais obtidos para a viga hiperestática
foram menores que os valores obtidos para a viga isostática, pois a própria configuração
estrutural de uma viga hiperestática, naturalmente já fornece maior resistência e,
consequentemente, maior segurança. O coeficiente parcial de minoração da resistência do
concreto resultou o maior deles, pois foi justamente a variável aleatória resistência do
concreto que apresentou maior sensibilidade no cálculo da probabilidade de falha do modo
considerado.
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Deslocamento vertical, cm
Força aplicada, kN/m
SF-RBDO BS-RBDO
Figura 6-12 – Trajetória de equilíbrio do ponto localizado no meio do primeiro vão
A configuração obtida com o modelo BS mostrou-se mais rígida tanto antes da
fissuração na fase elástica quanto após a fissuração, resultando em um deslocamento vertical
do ponto médio do primeiro vão menor que o valor obtido com o modelo SF. Embora isso
tenha ocorrido, vale ressaltar que ambas as configurações apresentaram praticamente o
mesmo comportamento mecânico, sendo, portanto, coerente com as soluções encontradas para
o mesmo índice de confiabilidade.
O gráfico a seguir apresenta a convergência do índice de confiabilidade de dois
modos de falha para ambas as soluções ótimas encontradas. Os modos são: falha na seção do
meio do vão de cada tramo (momento fletor positivo) e falha na seção do apoio central
(momento fletor negativo). Esses valores foram obtidos após a determinação da solução ótima
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
316
para cada modelo, sendo, portanto, a análise de segurança de toda a viga construída com as
seções ótimas obtidas no processo de otimização baseada em confiabilidade.
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
5,25
5,50
5,75
6,00
1 2 3 4
Iteração
Índice de confiabilidade
SF - modo 1
BS - modo 1
SF - modo 2
BS - modo 2
beta alvo
Figura 6-13 – Convergência dos índices de confiabilidade para dois modos de falha
O modo de falha 2 representa a ruptura dos materiais aço ou concreto na seção sobre
o apoio central, que foi a seção utilizada para a otimização baseada em confiabilidade, por se
tratar da seção mais crítica da estrutura. A falha nesta seção não representa o colapso da viga,
pois pela redistribuição de esforços, em caso de falha do apoio central, as seções do meio de
cada vão recebem parte dos esforços excedentes para reequilibrar a estrutura. Em estruturas
de concreto armado, a associação dos modos de falha considerada é a chamada associação em
série, pois em projeto não se deseja que nenhuma das seções de toda a estrutura atinja o
estado limite último. Por conta disso, a falha em qualquer uma das seções resistentes significa
falha da estrutura. A Figura 6-13 mostra que existe de fato reserva de resistência nas seções
do meio de cada vão, dados os valores elevados dos índices de confiabilidade. Mais ainda, a
configuração obtida com o modelo BS fornece mais resistência do que a configuração dada
pelo modelo SF para essas seções. Já na seção sobre o apoio central, foi atingido praticamente
o valor do índice de confiabilidade-alvo com ambos os modelos. Essa pequena diferença que
existe entre os valores obtidos para o segundo modo e o valor de 4,2 se deu pelo fato de que
durante o processo de otimização baseado em confiabilidade, as armaduras e dimensões das
seções, pela precisão do programa, apresentavam muitas casas decimais, ao passo que a
análise de confiabilidade realizada em seguida não contou com todas essas casas decimais de
precisão, resultando nessa pequena diferença entre os valores.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
317
Concluiu-se que os modelos apresentaram bom desempenho para obter a resposta
ótima baseada no índice de confiabilidade-alvo e que o arranjo estrutural com peças
hiperestáticas é sem, dúvida, extremamente benéfico para a segurança estrutural e também
economia do projeto.
6.6.3 Exemplo 3
Este exemplo considera a mesma estrutura analisada no exemplo 4 do capítulo 5,
onde foi realizada somente a otimização determinística do pórtico, com o cálculo dos índices
de confiabilidade dos modos de falha referentes à ruptura dos materiais nas seções dos
engastes e do meio do vão da viga. Naquele exemplo verificou-se que a seção do meio do vão
apresentou maior índice de confiabilidade do que as seções dos engastes. Por essa razão, para
que a viga venha a falhar por completo é necessário que haja a falha nos nós e depois no meio
do vão, definindo assim o mecanismo de colapso de viga do pórtico em questão. O índice de
confiabilidade desse mecanismo é, portanto, igual ao índice de confiabilidade da seção do
meio do vão, pois este ocorre depois que os nós falham. Dessa forma, a análise de otimização
baseada em confiabilidade deste exemplo será realizada considerando-se apenas a seção do
meio do vão, pois esta representa a falha da viga como um todo. O objetivo é, portanto,
otimizar o pórtico considerando os modelos SF-RBDO e BS-RBDO, bem como a otimização
determinística, respeitando a condição de segurança dada pelo índice de confiabilidade-alvo
igual a 4,2 para a seção do meio do vão.
Por comodidade, o pórtico considerado, as geometrias e os carregamentos, bem
como as propriedades dos materiais e parâmetros de otimização foram repetidos na Figura
6-14 e Tabela 6-6, respectivamente. O pórtico foi discretizado em 12 elementos finitos de
1,0m de comprimento cada, com 6 pontos de Gauss ao longo de cada elemento e 20 pontos
distribuídos ao longo da altura para a integração numérica.
Para o concreto, na análise de otimização determinística, foram adotados f
ck
=
20MPa e E
c
= 21300MPa, para a resistência característica à compressão e o módulo de
elasticidade longitudinal, respectivamente. As larguras das seções transversais dos pilares e da
viga foram mantidas constantes nos valores de 25cm e 15cm, respectivamente. Ambos os
materiais aço e concreto foram considerados com comportamento não-linear. A função-
objetivo utilizada foi o custo inicial total do pórtico, dado pelas parcelas de custo dos pilares e
da viga. As variáveis de otimização consideradas foram a altura da seção transversal de ambos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
318
os elementos, áreas de armadura de tração e compressão para a viga e área de armadura total
dos pilares, posição relativa da linha neutra e curvatura para cada elemento estrutural. O
modelo mecânico utilizou, neste exemplo, as hipóteses de Euler-Bernoulli. Para a otimização,
o pórtico foi dividido segundo os mesmos critérios adotados no exemplo 4 do capítulo 5, em
conjunto com o uso da regularização da altura da viga após a determinação das dimensões
ótimas dos três trechos de viga.
B B
A
A
6,0m
3,0m
Hv
15cm
seção AA
6,0m
3,0m
50kN
a) Estrutura considerada
A
A
C
C
c) Detalhamento das armaduras na primeira iteração
Hp
25cm
seção BB
Hv
15cm
seção CC
b) Discretização da estrutura
1
3
4
7
10
11
13
d) Modos de falha considerados
50kN 50kN600kN 600kN
2
12
5 6 8 9
50kN 50kN 50kN600kN 600kN
Modo 2
Hp
25cm
seção BB
B B
50kN 50kN 50kN600kN 600kN
Modo 1
Figura 6-14 – Estrutura analisada, discretização e modos de falha
Na otimização determinística, foram utilizados os coeficientes parciais usuais para
minoração de resistências e majoração de carregamentos. Já na otimização baseada em
confiabilidade, esses coeficientes recebem o valor unitário, pois as incertezas são
consideradas nas medidas estatísticas associadas às variáveis aleatórias do problema. No
modelo SF-RBDO, os coeficientes são calibrados e utilizados para incorporar as restrições de
confiabilidade no processo de otimização, tornando-o determinístico.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
319
Tabela 6-6 – Parâmetros mecânicos e de otimização da análise
Descrição Parâmetro Valor
Módulo de elasticidade do aço E
S
210000MPa
Módulo plástico do aço k
S
21000MPa
Massa específica do aço
ρ
S
7850kg/m
3
Coeficiente de Poisson do concreto
ν
0,25
Taxa máxima de armadura longitudinal t
max
4%
Taxa mínima de armadura longitudinal t
min
0,4%
Distância do CG da armadura à face tracionada da seção d’ 4,3cm
Cobrimento do concreto c 3cm
Coeficiente parcial de segurança para o concreto
γ
C
1,4
Coeficiente parcial de segurança para o aço
γ
S
1,15
Coeficiente parcial de segurança para G
γ
G
1,4
Diâmetro da armadura longitudinal
φ
L
12,5mm
Diâmetro da armadura transversal
φ
T
5,0mm
Espaçamento horizontal entre barras longitudinais e
h
2,0cm
Tolerância em custo no processo de otimização Tol
ot
10
-5
Incrementos de carga aplicados
λ
50
/λ
600
1kN/12kN
Número máximo de iterações mecânicas It
max
300
Tolerância em força e deslocamento Tol
f
, Tol
d
10
-3
Custo do concreto C
C
R$ 226,58/m
3
Custo do aço C
S
R$ 4,36/kg
Custo da madeira C
F
R$ 42,10/m
2
A análise de confiabilidade foi feita através do FORM. A Tabela 6-7 traz a
associação estatística para as variáveis consideradas como aleatórias no exemplo.
Tabela 6-7 – Variáveis aleatórias utilizadas na análise
Variável Símbolo Média C.O.V. Distribuição
Resistência do concreto X
1
= f
C
26,58MPa 15% Normal
Resistência do aço X
2
= f
S
576MPa 8% Normal
Ação permanente X
3
= G 52,5kN 10% Normal
A Figura 6-15 mostra a convergência do índice de confiabilidade do modo de falha 2,
dado pela ruptura dos materiais na seção do meio do vão, e do custo inicial total do pórtico ao
longo do processo iterativo.
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1 2 3 4 5 6 7
Iteração
Índice de confiabilidade
SF-RBDO Determinístico Beta alvo
800,0
900,0
1000,0
1100,0
1200,0
1 2 3 4 5 6 7
Iteração
Custo total, R$
SF-RBDO
Determinístico
Figura 6-15 – Convergência do índice de confiabilidade e custo total do pórtico
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
320
O índice de confiabilidade do modo de falha 2 (seção do meio do vão) no processo
de otimização determinística foi da ordem de 5,368 ao passo que no processo de RBDO, este
valor caiu para 4,200. Isso provocou uma redução bastante sensível no custo do pórtico,
caindo de R$ 1169,32 para R$ 964,51, o que significa um ganho de 17,5% na economia do
projeto da estrutura. A segurança sofreu uma diminuição evidentemente, porém a estrutura
ainda assim apresenta comportamento adequado ao estado limite último de ruptura dos
materiais. Esse tipo de abordagem permite um projeto estrutural mais econômico e sempre
respeitando a segurança desejada.
O modelo BS-RBDO, para este exemplo, não conseguiu atingir a convergência no
processo de otimização. Acredita-se que a montagem da superfície de confiabilidade somente
para o trecho de viga que contém o modo de falha considerado não seja suficiente para
garantir a estabilidade dos resultados. Uma das propostas para trabalhos futuros pode ser a
adaptação desse modelo para a estrutura como um todo, adequando também o problema de
otimização, de forma que este seja escrito para toda a estrutura e não para partes dela.
Tabela 6-8 – Resultados do processo de otimização para o modo de falha considerado
Modelo
Trecho
h (cm) A
S
(cm2) A
S
’ (cm2)
β
ββ
β
x
1/r
β
ββ
β
Custo (R$) CPU (min)
1 e 5 41,72 2,15 2,15 0,595 1,41×10
-4
2 e 4 43,90 6,12 0,0 0,515 1,55×10
-4
SF-RBDO
5 43,90 5,07 0,0 0,509 1,57×10
-4
4,2 964,51 20
Os trechos 1 e 5 correspondem aos pilares, com duas camadas de armadura iguais de
2,15cm
2
; os trechos 2 e 4 são as regiões de momento negativo na viga, ou seja, os trechos que
formam os nós de pórtico, com armadura negativa de 6,12cm
2
; o trecho 5 é a região do meio
do vão com momento fletor positivo e armadura positiva de 5,07cm
2
. É interessante destacar
que nesse tipo de modelo de otimização baseada em confiabilidade, as dimensões dos
elementos tendem a ser próximas, pois os coeficientes parciais calibrados são utilizados para
o projeto de todos os demais elementos, garantindo assim maior uniformidade nas dimensões
da estrutura e também nos índices de confiabilidade dos outros possíveis modos de falha.
Com relação aos coeficientes parciais, verificou-se aumento no valor do concreto e
diminuição nos valores do aço e da carga aplicada, quando comparados com os valores usuais
adotados em projetos (DIM). Com isso, concluiu-se que a variável mais influente no
dimensionamento da estrutura foi a resistência do concreto, apresentando maior sensibilidade
no cálculo da probabilidade de falha.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
321
1,57
1,40
1,04
1,15
1,13
1,40
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
SF-RBDO DIM
Modelo
Coeficientes parciais de
segurança
Concreto Aço Ação Permanente
Figura 6-16 – Coeficientes parciais calibrados para beta alvo de 4,2
Para comparar as respostas obtidas pela otimização determinística e o modelo de
RBDO, foi construída a curva força × deslocamento vertical no meio do vão da viga.
Verificou-se menor rigidez na estrutura dada pelo SF-RBDO, o que era esperado, pois o
pórtico foi projetado para um índice de confiabilidade menor do que o valor obtido no
processo de otimização determinística. Porém, mesmo apresentando maiores deslocamentos
verticais, é interessante destacar que a segurança da estrutura contra o estado limite último de
ruptura dos materiais está garantida com o valor do índice de confiabilidade desejado.
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Deslocamento vertical, cm
Força aplicada, kN
SF-RBDO Determinístico
Figura 6-17 – Trajetória de equilíbrio para o ponto central no meio do vão da viga
Para observar o comportamento de outros modos de falha do pórtico, foi realizada
uma análise de confiabilidade com as dimensões ótimas encontradas pelo modelo SF-RBDO,
considerando, além do modo de falha na seção do meio do vão, a falha nas seções da viga que
constituem os nós de pórtico com os pilares.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
322
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
5,00
1 2 3 4 5
Iteração
Índice de confiabilidade
SF - modo 1 SF - modo 2 beta alvo
Figura 6-18 – Índices de confiabilidade para dois modos de falha do pórtico
O modo 1 corresponde à falha nas seções dos nós de pórtico e o modo 2 representa a
falha na seção do meio do vão, utilizada para o projeto. Ao final do processo verificou-se que
as seções dos nós de pórtico apresentaram segurança próxima àquela obtida para o meio do
vão. Isso ocorreu por conta do próprio processo de otimização dado pela calibração dos
coeficientes parciais, que utiliza os mesmo coeficientes parciais para o projeto de todos os
elementos estruturais do pórtico. Assim, esses coeficientes são calibrados para asseguram a
confiabilidade requerida para a seção do meio do vão, porém também influenciam na
confiabilidade das outras seções, aproximando-as entre si. Esse tipo de abordagem permite
diminuir o custo final da estrutura, pois impede que outras seções fiquem
superdimensionadas.
6.6.4 Exemplo 4
Este exemplo tem como objetivo propor a construção de ábacos para
dimensionamento de vigas em concreto armado solicitadas à flexão simples, a partir da
escolha do índice de confiabilidade. A idéia é obter a altura da seção resistente, bem como as
áreas de armadura de tração e compressão, a partir do momento fletor solicitante e do grau de
segurança, dado pelo índice de confiabilidade.
Para isso, o processo de otimização baseado em confiabilidade dado pelo modelo SF-
RBDO foi utilizado, fixando-se para o índice de confiabilidade os valores de 3,0, 3,5 e 4,0. A
configuração estrutural, nesse tipo de análise não é necessária, bastando somente o momento
fletor atuante na seção. A análise de confiabilidade foi realizada através do FORM, com
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
323
equação de estado limite única, definida pela margem de segurança entre o momento fletor
resistente e o momento fletor solicitante, conforme segue:
(
)
(
)
SycRyc
MffXMffXG −= ,,,,
(6-14)
sendo que: X é o vetor de variáveis de otimização, ou seja, altura da seção transversal, áreas
de armadura tracionada e comprimida e posição relativa da linha neutra; f
c
e f
y
são os valores
das resistências do concreto e do aço, respectivamente; M
R
é o momento fletor resistente; M
S
é
o momento fletor solicitante.
O momento fletor resistente foi obtido pela sua respectiva expressão analítica, para
simplificação do problema, permitindo assim, sua utilização em procedimentos de projeto. O
equilíbrio da seção transversal ao momento fletor foi realizado adotando como pólo o centro
de gravidade da seção, resultando em:
(
)
(
)
xysxyscxwR
dfAddfAfdbM
βββ
−+−+= 1408,0
''22
(6-15)
sendo que: b
w
é a largura da seção fixada em 15cm; d é a altura útil da seção, obtida a partir
da altura da seção;
β
x
é a posição relativa da linha neutra na seção; d’ corresponde à distância
entre a borda mais tracionada da seção e o centro geométrico da armadura de tração; A
s
e A
s
’
são as áreas de armadura tracionada e comprimida, respectivamente da seção.
O ábaco foi construído para valores de índice de confiabilidade-alvo fixados iguais a
3,0, 3,5 e 4,0. O procedimento de construção pode ser resumido pelo seguinte:
a) Escolha da solicitação. Momento fletor solicitante determinístico no valor de
10.000,0kN.cm;
b) Escolha das propriedades dos materiais. O ábaco foi idealizado para f
ck
= 20MPa
e f
yk
= 500MPa. Para isso, ambas as variáveis foram consideradas aleatórias na
análise de confiabilidade com as seguintes estatísticas: f
cm
= 26,58MPa e COV =
15% (concreto); f
ym
= 576MPa e COV = 8% (aço) e ambas com distribuição
normal de probabilidade;
c) Demais parâmetros. O valor de
β
x
foi otimizado, buscando dessa forma a seção
mais econômica para os níveis de segurança especificados. O cobrimento de
concreto foi considerado igual a 2cm e d’ = 3cm;
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
324
d) Modelo de materiais. Os materiais foram considerados em seu regime elástico-
linear sem, portanto, utilização do modelo não-linear de elementos finitos
desenvolvido neste trabalho.
Para cada valor do índice de confiabilidade-alvo, otimizou-se a seção e obteve-se e
demais parâmetros importantes.
39,0
39,5
40,0
40,5
41,0
41,5
42,0
42,5
43,0
43,5
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0
Índice de confiabilidade
Altura da seção, cm
7,20
7,22
7,24
7,26
7,28
7,30
7,32
7,34
Área de aço, cm2
Altura da seção Armadura de tração
Figura 6-19 – Ábaco para dimensões da seção transversal
0,460
0,470
0,480
0,490
0,500
0,510
0,520
0,530
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0
Índice de confiabilidade
Posição relativa da linha
neutra
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0
Índice de confiabilidade
Coeficiente parcial
do concreto
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
Coeficiente parcial
do aço
Coeficiente parcial do concreto Coeficiente parcial do aço
Figura 6-20 – Ábacos para posição relativa da linha neutra e coeficientes parciais
Com esse tipo de ábaco, basta escolher a confiabilidade desejada e obter os valores
da altura da seção e da armadura tracionada, visto que a armadura comprimida resultou nula,
sendo, portanto, de caráter construtiva.
Esse tipo de ábaco pode ser obtido para qualquer valor de momento fletor, de
resistências do concreto e do aço e valores de confiabilidade-alvo, resultando ao final, em
uma coletânea para dimensionamento à flexão simples de seções transversais em concreto
armado.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
325
7. Considerações Finais
7.1 Conclusões
O trabalho abrangeu áreas do conhecimento como mecânica dos materiais e das
estruturas, segurança estrutural via teoria da confiabilidade, otimização de estruturas em
concreto armado, bem como seu acoplamento com os modelos de confiabilidade para gerar
procedimentos interessantes e atuais de projeto. Para isso foi desenvolvido um programa
computacional com elementos finitos de barra, incorporando-se diversos efeitos com o
objetivo de melhorar a resposta mecânica das estruturas, para sua utilização em conjunto com
os modelos de confiabilidade e otimização. Cada uma dessas áreas recebeu pequenas
contribuições, porém significativas para o avanço da ciência no âmbito da produção de
projetos estruturais de elementos em concreto armado mais seguros e econômicos,
características tão importantes no contexto do mercado atual.
Quanto ao modelo mecânico foram apresentadas propostas para melhorar a obtenção
numérica do comportamento de elementos em concreto armado, sobretudo ao cisalhamento.
Tais propostas se basearam na integração de um modelo de elementos finitos de barra, isto é,
unidimensional, com mecanismos complementares de resistência ao cisalhamento, dados pelo
engrenamento dos agregados e efeito de pino. Em conjunto, foi imprescindível a consideração
também da contribuição da armadura transversal no comportamento global dessas peças, visto
que em análises convencionais via elementos finitos, não é possível levar em conta essa
contribuição. Todas essas melhorias foram perfeitamente adaptadas aos modelos de dano para
o concreto e elastoplástico para o aço, de modo que o procedimento mecânico final resultou
bastante interessante e simples. Tentativas de outros autores encontrados na literatura para
considerar o efeito de pino foram sempre propostas a partir de modelos bidimensionais de
elementos finitos, ao passo que neste trabalho buscou-se a sua integração com modelos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
326
unidimensionais, contribuindo para o desenvolvimento da área. O engrenamento dos
agregados, embora não considerado a partir de um modelo próprio, está integrado ao
programa, pois verificou-se que ao se calibrar os parâmetros do modelo de dano para uma
dada resistência à compressão, esse mecanismo fica automaticamente contemplado pelo
modelo. O procedimento de calibração dos parâmetros A
C
, B
C
, A
T
e B
T
do modelo de dano de
Mazars (1984) foi realizado através da minimização da função erro entre a resposta fornecida
pelo modelo de dano e a resposta dada por uma lei constitutiva conhecida. Assim, para os
parâmetros de tração, A
T
e B
T
, foi utilizada a lei de Figueiras (1983), ao passo que para os
parâmetros de compressão, A
C
e B
C
, foi utilizada a lei de Popovics (1973). Com isso, o
conjunto de parâmetros que minimiza esse erro relativo é adotado para simular o concreto
utilizado na estrutura com a sua respectiva resistência. Vale lembrar que esse procedimento de
calibração dos parâmetros de dano é necessário para as análises de confiabilidade, pois ao se
considerar a resistência do concreto como variável aleatória, esta recebe diversos valores ao
longo do processo iterativo de busca do ponto ótimo, necessitando, dessa forma, de
parâmetros que sejam compatíveis com seu novo valor de resistência. Mais detalhes sobre
essa calibração podem ser encontrados em Nogueira (2005).
A contribuição, portanto, do engrenamento dos agregados foi considerada através da
calibração adequada do próprio modelo de dano para o concreto, fazendo parte da porção de
concreto resistente da seção transversal dos elementos.
O efeito de pino foi tratado a partir do modelo de He & Kwan (2001) que considerou
sua aplicação através de leis constitutivas para o concreto baseadas em critérios de
plasticidade e com elementos finitos bidimensionais. A contribuição se deu na adaptação
dessa formulação ao modelo de dano para o concreto com elementos finitos unidimensionais.
O modelo de dano se mostrou apropriado para essa combinação, pois permitiu considerar a
evolução de microdefeitos na perda de rigidez da estrutura em conjunto com o acréscimo de
rigidez da armadura quando esses microdefeitos tocavam os pontos de Gauss que continham
as barras de armadura. Vale comentar que o efeito de pino ficaria perfeitamente modelado se
fosse associado a um modelo baseado na mecânica do fraturamento, pois ao se formar a
fissura discreta, esta toca a armadura longitudinal mobilizando de fato esse efeito de cortante
e flexão localizado nas barras, dando origem ao efeito de pino. Portanto, trata-se de um
modelo aproximado, mas que fornece resultados satisfatórios.
O modelo para contribuição da armadura transversal em elementos de concreto
armado também foi totalmente baseado na mecânica do dano, partindo do princípio que a
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
327
deformação que vai para os estribos é aquela que não é absorvida pelo concreto, decorrente da
fissuração que evolui à medida que o carregamento vai sendo aplicado. Esse modelo foi
baseado na formulação de Sanches Jr & Venturini (2007), que considerava que a parcela que
seria transferida para os estribos estava localizada no ponto médio da seção, onde a tensão de
cialhamento é maior. Porém, verificou-se que ao se considerar a distribuição de tensões via
modelo de dano, essa fibra de máxima tensão de cialhamento pode estar um pouco deslocada
do ponto médio da seção, tendendo a se aproximar mais da área comprimida da seção. Por
conta disso, o modelo proposto neste trabalho considerou que a transferência de tensão de
cisalhamento do concreto para os estribos pode ocorrer em qualquer fibra da seção, desde que
esta apresente a maior parcela de deformação danificada rotacionada para a vertical, conforme
ilustrado no capítulo 3. Com isso, o modelo ficou mais preciso e geral. Os resultados
apresentados mostraram, de um modo geral, bom comportamento do modelo mecânico
proposto. Pouca influência se percebeu em vigas com pequena relação altura/comprimento,
pois nesses casos o acréscimo de deformações provocado pela parcela de cisalhamento é
pequena. Porém, em vigas onde essa relação foi maior, verificou-se forte contribuição desses
mecanismos, sobretudo quando comparados ao modelo de Timoshenko puro. Com isso,
concluiu-se que o modelo mecânico desenvolvido constitui-se em um procedimento
interessante para análise de barras em concreto armado. O ponto negativo do modelo é o seu
tempo de processamento, que comparado às mesmas condições de análise com as hipóteses
somente de flexão, mostrou-se bem maior.
Com relação ao módulo de busca de cargas últimas desenvolvido, concluiu-se que as
condições adotadas para atingir um estado limite último ou de serviço foram bastante
adequadas. É evidente que as cargas encontradas para o estado de ruptura dos materiais são,
na verdade, cargas de violação do estado limite naquela seção e não cargas que caracterizam
um rótula plástica. Quando uma determinada fibra da seção transversal atinge a deformação
última especificada no início da análise, o programa “entende” que uma carga de violação foi
atingida. É evidente que a seção apresenta um pouco mais de resistência, porém em situações
de projeto não se deseja que nenhuma condição limite seja atingida. Portanto, para fins de
análise de confiabilidade, essa condição é suficiente e até a favor da segurança. O mesmo não
ocorre para o estado limite de perda de estabilidade também considerado pela singularidade
da matriz de rigidez global. Nesse caso, quando essa condição é atingida, admite-se que a
falha da estrutura seja o colapso global, pois não há mais equilíbrio estável da estrutura. Já a
condição de busca da carga que leva a estrutura ao máximo deslocamento vertical ou
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
328
horizontal mostrou-se bastante confiável, sendo possível obter com grande precisão esses
deslocamentos e, consequentemente, as cargas que os representam.
A confiabilidade estrutural também foi um dos temas abordados neste trabalho. O
estudo foi direcionado, na verdade, para buscar os melhores métodos para cálculo de
probabilidades de falha com o objetivo de acoplá-los com as técnicas de otimização criando
ferramentas de projeto ótimo baseado em confiabilidade. Para isso, foram estudados os
métodos de superfície de resposta, métodos diretos como é o caso do FORM e SORM e
melhorias interessantes para acelerar a convergência e precisão dos resultados. O método de
superfície de resposta (RSM) foi amplamente explorado na pesquisa. Foram implementadas
funções polinomiais de primeiro e segundo graus, estes com termos cruzados ou não, uma
técnica de reestruturação do plano de experiência após a convergência e também uma técnica
de melhoria na obtenção das superfícies de resposta, chamada de regressão com fatores-peso.
O que se constatou é que na grande maioria dos casos estudados nos exemplos, os métodos
apresentaram convergência e foram estáveis, principalmente as funções de primeiro grau,
porém o grande ponto contra esses métodos ainda é o número de chamadas do modelo
mecânico da estrutura. É evidente que ao se estudar problemas que podem ser formulados de
maneira analítica, o número de chamadas do modelo mecânico pode não vir a ser algo
impeditivo, pois ainda assim, a obtenção das respostas é rápida. No entanto, ao se considerar
modelos não-lineares de materiais, como foi o caso deste trabalho, à medida que se aumenta o
número de variáveis aleatórias, esses métodos começam a ficar pesados do ponto de vista
computacional. Frequentemente requerem muitas chamadas do modelo de elementos finitos
para construir um único plano de experiência em cada iteração. Isso se repete a cada iteração
de busca do ponto de projeto, inviabilizando muitas vezes o seu uso. Aliado a isso, o modelo
não-linear com a contribuição dos mecanismos complementares de resistência ao
cisalhamento e armadura transversal desenvolvido neste trabalho por vezes resultava em
processamentos muito demorados, quando comparado com o mesmo modelo considerando
somente a deformação por flexão. Isso impediu de realizar análises de estruturas maiores com
esses modelos de comportamento.
A técnica de regressão com fatores-peso apresentou bons resultados, mas sem
grandes ganhos em relação à técnica convencional de regressão utilizada no RSM. Da mesma
forma, a reestruturação dos planos de experiência também se mostrou interessante em alguns
casos, porém o custo computacional acrescentado foi muito elevado, inviabilizando o uso
dessas técnicas em problemas maiores. O que se verificou também é que métodos de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
329
resolução baseados em superfícies de respostas são altamente sensíveis à forma do plano de
experiência, ou seja, a disposição dos pontos na região de interesse, bem como à distância
desses pontos até o centro do plano, dada pelo coeficiente m. Isso fez com em vários casos,
houvesse melhor desempenho de um plano de experiência em relação ao outro e até mesmo,
em casos mais extremos, de perda de convergência. De um modo geral, os modelos baseados
no RSM funcionam bem, porém podem se tornar caros do ponto de vista computacional. Isso
é um fator agravante para análises de RBDO, pois a cada iteração do processo de otimização,
as restrições de confiabilidade precisam ser avaliadas aumentando ainda mais o custo
computacional.
Uma boa alternativa encontrada para resolver esse problema foi a utilização do
FORM e SORM diretamente. Mais especificamente foi adotado o FORM, pois sua
aproximação linear no ponto de projeto é suficientemente precisa para a grande maioria dos
problemas de engenharia. O que se fez foi obter os gradientes da função de estado limite a
partir de diferenças finitas da própria condição limite definida na análise da estrutura. Essa
técnica foi chamada de gradientes numéricos. Assim, o número de chamadas do modelo de
elementos finitos é dado sempre pelo número de variáveis + 1, o que diminui bastante o custo
computacional. Com isso, foi possível analisar problemas com mais variáveis aleatórias e
realizar de maneira menos onerosa as análises de otimização baseada em confiabilidade. O
método se mostrou estável, mesmo quando considerados os comportamentos não-lineares dos
materiais e da estrutura, apresentando bons resultados. Dessa forma, concluiu-se que esse tipo
de abordagem deve ser adotada em todas as análises de confiabilidade a partir de agora, pois é
preciso, é mais eficiente e fácil de implementação nos códigos computacionais.
Para análise da confiabilidade de estruturas em concreto armado com mais de um
modo de falha possível, a associação considerada foi sempre em série, pois mesmo que a
estrutura não venha a atingir o colapso, em serviço, não se deseja que nenhum estado limite
seja atingido. Isso caracteriza um comportamento em série do ponto de vista da análise de
sistemas de confiabilidade, de modo que o projeto deve garantir a segurança contra o modo
mais provável de falha. Os limites bi-modais utilizados foram suficientes para a pesquisa
realizada.
Com relação à economia das estruturas em concreto armado, foi desenvolvido um
modelo de otimização de seções transversais dos elementos, com o objetivo de obter as
dimensões das peças a partir da minimização do custo inicial total das mesmas. A abordagem
escolhida foi a divisão da estrutura em diversos trechos conforme o diagrama de momentos
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
330
fletores da estrutura, onde em cada um desses trechos foi adotada a seção submetida à
máximos esforços de momento e de força normal para a otimização. Assim, a seção otimizada
foi extendida para todo o restante do trecho no qual ela se insere. Esse processo se repete até
que a redistribuição de esforços seja insignificante de uma iteração para outra consecutiva,
chegando com isso, à solução considerada ótima para a estrutura. A grande vantagem da
formulação desenvolvida é que ela pode ser utilizada tanto para vigas, como para pilares,
tirantes e elementos inclinados, sem necessidade de alteração do seu formato. Isso garantiu
generalidade ao modelo de otimização, podendo ser utilizado em qualquer situação de projeto.
Além disso, a inclusão da posição relativa da linha neutra e da curvatura da seção no conjunto
de variáveis de otimização fez com que a seção obtida fosse, de fato, a seção ótima, pois não
houve nenhum tipo de restrição quanto aos domínnios de deformação ou níveis de tensão no
concreto ou em qualquer camada de armadura que pudesse limitar a formulação.
Os resultados foram comparados com outra formulação e mostraram-se melhores
justamente por essa característica de liberdade de projeto da seção. Qualquer domínio pode
ser atingido dessa forma, sem restringir pilares a domínio 5 ou vigas ao valor limite 0,628
entre domínio 3 e 4, por exemplo.
A utilização dessa formulação para pórticos em concreto armado também foi bem
sucedida, bastando dividir a estrutura toda em trechos governados pelo diagrama de
momentos fletores. Vale lembrar que existem outras maneiras de resolver o problema, como
por exemplo construir uma função-objetivo única para toda a estrutura e considerar todas as
áreas de aço e dimensões dos elementos em uma única formulação, obtendo assim, o modelo
global de otimização, sem a divisão em trechos. Essa é inclusive uma das próximas etapas da
pesquisa que continuará após a conclusão deste trabalho.
O modelo de otimização, portanto, ficou geral para barras em concreto armado,
podendo ser utilizado no projeto de qualquer tipo de estruturas de barras. O fato de se
considerar a redistribuição de esforços através de iterações sucessivas do modelo fez com que
o caráter global fosse de certa forma atingido, pois a cada solução ótima proposta, a estrutura
era analisada mecanicamente e verificada do ponto de vista dos novos esforços. Esses
esforços por sua vez eram escolhidos para a próxima iteração, levando, portanto, a
redistribuição até o fim de todo o processo, garantindo a qualidade das soluções.
Os modelos de confiabilidade e de otimização foram acoplados para obter uma
ferramenta de projeto que minimiza o custo de produção da estrutura, baseado em restrições
de confiabilidade. Esse tipo de abordagem, conhecida na literarura como RBDO (Reliability-
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
331
Based Design Optimization) ou Projeto Ótimo Baseado em Confiabilidade, é interessante para
aplicação em projetos de estruturas, pois permite obter a melhor configuração estrutural em
termos de custo, que respeita a segurança pré-estabelicida pelo contratante do serviço. Além
disso, essa metodologia pode ser utilizada para projetar uma estrutura ou sistema a partir de
condições probabilísticas, visto que os coeficientes de segurança são abolidos neste caso, pois
a análise de confiabilidade supre sua função no projeto. É, portanto, uma interessante
ferramenta para melhorar a qualidade dos projetos.
Os modelos propostos neste trabalho basearam-se na mesma premissa de RBDO,
porém com maneiras de busca da solução ótima um pouco diferentes entre si. No primeiro
modelo, o SF-RBDO, a análise de confiabilidade foi utilizada para fazer o elo de ligação entre
a otimização e a segurança da estrutura, através da calibração dos coeficientes parciais de
cada variável aleatória. Assim, o algoritmo de otimização busca a solução ótima, governado
pelos coeficientes parciais, que são devidamente calibrados para atingir o índice de
confiabilidade-alvo especificado. A restrição de confiabilidade deixa de ser explícita e passa a
ser implícita nos coeficientes parciais calibrados. Esse modelo representa uma contribuição no
assunto, principalmente por extender o conceito empregado ao campo da análise não-linear de
estruturas. Tentativas de uso desse modelo de calibração foram feitas considerando apenas
modelos elásticos e lineares dos materiais, o que se encaixa adequadamente à hipótese
principal do modelo. Essa hipótese consiste em adotar os co-senos diretores do ponto de
projeto atual como sendo os mesmos para o ponto de projeto que caracteriza o índice de
confiabilidade-alvo. Quando se utiliza os modelos não-lineares de comportamento dos
materiais, o problema se torna altamente não-linear, sendo necessária, portanto, a utilização
da técnica desenvolvida neste trabalho, que calcula índice de confiabilidade-alvo fictícios para
atingir o valor real especificado da segurança. Os exemplos mostraram que a técnica
funcionou de maneira bastante satisfatória, atingindo de fato a configuração ótima para os
valores especificados de confiabilidade. O modelo também se mostrou bastante estável
mesmo no caso do pórtico estudado, atestando sua capacidade de convergência.
O segundo modelo, chamado de BS-RBDO, já considera de maneira explícita a
restrição de confiabilidade no processo de otimização. Essa restrição é obtida para cada modo
de falha da estrutura e a partir do ponto ótimo calculado na primeira iteração do processo.
Esse ponto é então admitido como o centro de um plano de experiência e variado para a
definição dos demais pontos do plano. Para cada ponto desse plano, uma análise de
confiabilidade inteira é realizada, obtendo-se o seu rspectivo valor do índice de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
332
confiabilidade. A restrição é então determinada a partir do vetor dos índices de confiabilidade
de todos os pontos do plano de experiência por um processo de regressão simples. Com isso,
na iteração seguinte a restrição de confiabilidade é incorporada ao processo, de modo que o
próximo ponto ótimo é obtido levando-se em conta a nova restrição.
Esse modelo apresentou resultados razoáveis para as vigas estudadas, embora tenha
encontrado configurações distintas daquelas obtidas com o SF-RBDO. Já no caso do pórtico,
o modelo não conseguiu atingir a convergência, sendo, portanto, ineficaz para o caso
considerado. Uma das causas desse tipo de comportamento pode estar relacionada ao fato da
divisão da estrutura em trechos, sendo que a nova restrição de confiabilidade é obtida somente
para o trecho ou trechos que contenham modos de falha considerados na análise. Isso faz com
que apenas determinadas partes da estrutura fiquem sensíveis à restrição de segurança,
deixando de certa forma com que as demais partes que compõem a estrutura fiquem soltas
com relação ao requisito de segurança. Além disso, a obtenção do plano de experiência
fazendo uma variação de 10% para cada variável de otimização, pode ter sido muito grande, o
que comprometeu a convergência do modelo. Um outro fator que pode ter levado o modelo
BS-RBDO à não convergência para o pórtico foi a utilização apenas da altura da seção
transversal como variável de projeto na superfície de confiabilidade. Isso foi feito para poupar
tempo de processamento e também porque as áreas de armadura podem ser obtidas
diretamente das restrições mecânicas do processo de otimização. No entanto, esse
procedimento não resultou na convergência da análise do pórtico estudado. Em virtude disso,
sua utilização ficou restrita a casos mais simples de configuração estrutural, onde essas
variações e simplificações na superfície de confiabilidade foram suficientes. Em termos de
generalidade, o modelo SF apresentou melhor comportamento do que o modelo BS, pois foi
capaz de obter soluções estáveis e com a segurança desejada para todos os sistemas estruturais
considerados.
Um produto que pode vir a ser muito interessante no âmbito das aplicações deste
trabalho é a produção de ábacos de dimensionamento para valores de índice de confiabilidade
pré-fixados. A altura da seção, bem como as áreas de armadura necessárias para um dado
valor de momento fletor podem ser obtidas diretamente de gráficos de confiabilidade. Assim
para uma solicitação atuante e uma confiabilidade desejada, os ábacos fornecem as dimensões
da seção para resistir ao esforço, com a segurança necessária. Esse assunto ainda requer
estudos mais aprofundados, mas pode se tornar um produto com aplicação quase que imediata
na engenharia técnica.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
333
Um outro aspecto importante necessário para ampliar o campo de atuação dos
modelos desenvolvidos é a consideração dos custos esperados de falha, que não foram
incluídos neste trabalho. Com isso, a durabilidade das estruturas pode ser verificada nos
projetos ótimos baseados em confiabilidade, pois para cada estado limite último ou de serviço,
associa-se uma probabilidade de ocorrência, garantindo um projeto mais amplo e preciso.
Aspectos importantes como o tratamento sistemático do cobrimento de armaduras dado em
função da classe de agressividade podem com isso ser incluídos, não somente em termos de
variáveis aleatórias, mas também como um requisito extra a ser considerado na própria
função-objetivo.
Acredita-se que os objetivos da tese foram alcançados e que esses modelos podem
ser adaptados com um pouco mais de trabalho para uso em projetos de engenharia de
estruturas no Brasil.
7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros
As pesquisas nestas áreas do conhecimento estão em franco desenvolvimento nos
grandes centros acadêmicos mundiais. As continuações da pesquisa são diversas tanto para a
parte de modelagem mecânica, quanto para o acoplamento dos modelos de otimização e
confiabilidade. A seguir, estão listadas algumas das sequências naturais deste trabalho:
• Desenvolvimento de um modelo de perda de aderência entre as armaduras
longitudinais e o concreto adjacente, com posterior acoplamento ao código
computacional aqui apresentado. Dessa forma, a análise das perdas de rigidez se
torna mais completa e, consequentemente, a obtenção da resistência dos elementos
estruturais fica mais precisa;
• Extensão dos modelos mecânicos e mecanismos complementares desenvolvidos para
aplicação em pórticos 3D, obtendo assim, a modelagem completa do esqueleto
estrutural de edifícios em concreto armado;
• Consideração do efeito de torção considerando a contribuição da armadura
transversal em elementos em concreto armado para pórticos 3D;
• Consideração dos custos de falha para os vários estados limites no processo de
otimização da estrutura. Esses custos são proporcionais ao custo inicial de
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
334
construção e multiplicados pela respectiva probabilidade de ocorrência, somando-se
na função-objetivo ao custo inicial;
• Otimização estrutural baseada no risco, ou seja, os parâmetros otimizados passam a
ser as probabilidades de falha dos estados limites, podendo introduzir assim as
manutenções e inspeções da estrutura ao longo de sua vida útil;
• Estender os modelos de RBDO desenvolvidos neste trabalho considerando
confiabilidade dependente do tempo;
• Construção de ábacos para dimensionamento a partir dos modelos de RBDO,
variando-se os diversos parâmetros envolvidos, bem como a utilização do
comportamento não-linear dos materiais.
Desenvolvimento de modelos mecânicos, de confiabilidade e de otimização para aplicação em estruturas de concreto armado.
335
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