( PDF ) Análise de enrijecedores à flexão com concentrador de tensões

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COPPE/UFRJCOPPE/UFRJ

ANÁLISE DE ENRIJECEDORES À FLEXÃO COM CONCENTRADOR DE TENSÕES

Rodrigo Daflon Leite

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Oceânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Oceânica.

Orientadores: Murilo Augusto Vaz

Marysilvia Ferreira da Costa

Rio de Janeiro

Março de 2010

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ANÁLISE DE ENRIJECEDORES À FLEXÃO COM CONCENTRADOR DE TENSÕES

Rodrigo Daflon Leite

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D.

________________________________________________

Profª. Marysilvia Ferreira da Costa, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Julio César Ramalho Cyrino, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Célio Albano da Costa Neto, Ph.D.

________________________________________________

Dr. Anderson Barata Custódio, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2010

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iii

Leite, Rodrigo Daflon

Análise de Enrijecedores à Flexão com Concentrador

de Tensões/ Rodrigo Daflon Leite. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2010.

XIII, 108 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Murilo Augusto Vaz

Marysilvia Ferreira da Costa

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa

de Engenharia Oceânica, 2010.

Referencias Bibliográficas: p. 99-102.

1. Enrijecedores à Flexão, Bend Stiffeners. 2.

Concentrador de tensões. I. Vaz, Murilo Augusto, et al. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Oceânica. III. Titulo.

Aos meus pais, Orisvaldo Pereira Leite

e Maria Helena Daflon Leite, avó,

Edith Daflon da Silva e à minha

namorada, Amanda Revoredo Vicentino.

AGRADECIMENTOS

Aos meus orientadores, Murilo Augusto Vaz e Marysilvia Ferreira da Costa pelo apoio,

orientação e conselhos durante a execução da dissertação e pela credibilidade e

confiança depositados em mim.

Aos meus pais, Orisvaldo Pereira Leite e Maria Helena Daflon Leite, pelo incentivo e

apoio sempre com muito amor e carinho.

À minha namorada Amanda Vicentino, pelo seu apoio, carinho, compreensão e pela

força na fase final deste trabalho.

Aos amigos de laboratório, Marcelo Caire e Nicolau Rizzo pelas sugestões e

orientações que contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.

Ao professor Célio da Costa Neto pela ajuda nos ensaios de tração.

Ao colega Fabio Sousa pela ajuda na usinagem e preparação dos corpos de prova.

À Planave, Promon e Eletrobras, empresas das quais eu trabalhei no decorrer do

curso, em especial ao Gerardo Penna, Wilson Boechat, Pascoal Bracco, Pauline Staib,

Luis Claudio Frade e Thales Lopes, por possibilitarem que eu investisse minhas forças

e dedicasse mais tempo às pesquisas.

E a todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ANÁLISE DE ENRIJECEDORES À FLEXÃO COM CONCENTRADOR DE TENSÕES

Rodrigo Daflon Leite

Março/2010

Orientadores: Murilo Augusto Vaz

Marysilvia Ferreira Costa

Programa: Engenharia Oceânica

Enrijecedores ou bend stiffeners permitem a transição suave de rigidez entre o

riser flexível e o ponto de conexão com a plataforma, porém é sabido que a flexão

excessiva pode causar danos ao enrijecedor. Estes danos podem ser agravados caso

haja um concentrador de tensões, como uma trinca, no enrijecedor.

A proposta deste trabalho é analisar enrijecedores à flexão com concentrador

de tensões e propor uma metodologia para definição da carga máxima admissível ao

enrijecedor. Neste estudo, ensaios de tração uniaxiais são realizados com corpos de

prova retirados de enrijecedores reais com e sem concentrador de tensões com o

objetivo de caracterizar o material através de um modelo hiperelástico e definir a

tensão admissível do material. Os resultados dos ensaios experimentais são

comparados com um modelo em elementos finitos.

Além disso, um modelo em elementos finitos de um enrijecedor foi utilizado

para verificar a tensão que o enrijecedor é submetido com a aplicação de uma carga

no riser com ângulos variados. Foi simulado também uma trinca como concentrador de

tensões no enrijecedor.

Com estes resultados, foi possível estabelecer a carga máxima admissível no

riser para cada ângulo de aplicação.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ANALYSIS OF BEND STIFFENERS WITH STRESS CONCENTRATION

Rodrigo Daflon Leite

March/2010

Advisors: Murilo Augusto Vaz

Marysilvia Ferreira Costa

Department: Ocean Engineering

Bend stiffeners allow the soft transistion of stiffeness between the flexible riser

and the point of connection with the platform, however we know that the extreme

bending can cause damages to the bend stiffener. These damages can be aggravated

if it has a stress concentration, as a crack, in the bend stiffener.

The propose of this work is analyze bend stiffeners with stress concentration

and propose a methodology to define the maximum permissible load. In this study, uni-

axial tensile strength tests have been carried out with specimens cut from actual bend

stiffeners with and without stress concentrator in order to characterize the material by a

hyperelastic model and define the permissible tensile of the material. The results of

experimental tests were compared with a finite element model.

Moreover, a finite elements model of a bend stiffener was used to verify the

tensile that the bend stiffener is submitted with the application of a load in the riser with

varied angles. It was also simulated a crack as a stress concentration on bend

stiffener.

Nevertheless, it was possible to establish the maximum permissible load on the

riser for each angle of application.

viii

Sumário

INTRODUÇÃO.......................................................................................................1

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...................................................................................3

POLÍMEROS.........................................................................................................8

3.1.

POLIURETANOS........................................................................................10

3.1.1.

Propriedades.......................................................................................11

3.2.

ELASTICIDADE NÃO-LINEAR....................................................................13

3.2.1.

Movimento...........................................................................................13

3.2.2.

Medidas de deformação ......................................................................16

3.2.3.

Medidas de tensão ..............................................................................23

3.2.4.

Relações constitutivas para material isotrópico elástico.......................27

3.2.5.

Modelos hiperelásticos ........................................................................34

3.3.

OBTENÇÃO DA CURVA TENSÃO X DEFORMAÇÃO................................38

3.3.1.

Preparação dos dados do ensaio de tração uniaxial............................39

3.3.2.

Ajuste dos modelos hiperelásticos.......................................................41

3.3.3.

Concentração de tensões....................................................................42

3.3.4.

Ensaio de Tração Uniaxial...................................................................46

3.3.5.

Avaliação do erro dos modelos hiperelásticos.....................................50

ANÁLISE DE ENRIJECEDORES ........................................................................53

4.1.

INTRODUÇÃO............................................................................................53

4.2.

PROJETO DE ENRIJECEDORES ..............................................................55

4.3.

MODELAGEM.............................................................................................56

4.3.1.

Elemento .............................................................................................57

4.3.2.

Características do Enrijecedor.............................................................60

4.3.3.

Condições de contorno e carregamento..............................................68

4.4.

ANÁLISE DO ENRIJECEDOR SEM CONCENTRADOR DE TENSÕES.....70

4.5.

ANÁLISE DO ENRIJECEDOR COM CONCENTRADOR DE TENSÕES ....74

4.5.1.

Trinca ..................................................................................................76

4.5.2.

Submodelamento.................................................................................77

4.5.3.

Posição 1.............................................................................................82

4.5.4.

Posição 2.............................................................................................85

4.5.5.

Posição 3.............................................................................................88

4.5.6.

Comparação dos resultados................................................................91

CONCLUSÕES....................................................................................................97

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................99

APÊNDICE A............................................................................................................103

A. Área infinitesimal deformada em função da área infinitesimal indeformada..........103

APÊNDICE B............................................................................................................105

B. Teorema de Cayley-Hamilton...............................................................................105

APÊNDICE C............................................................................................................106

C. Constantes para os ajustes das curvas dos modelos hiperelásticos ....................106

APÊNDICE D............................................................................................................108

D. Valores do erro normalizado e do coeficiente de determinação (R

) ....................108

Índice de Figuras

Figura 3.1. Cadeia linear, cadeia ramificada e cadeia cruzada (FELIPETTO, 2003).....9

Figura 3.2. (a) Polímero amorfo; (b) Polímero semicristalino (MANO, MENDES, 1999)

...................................................................................................................................10

Figura 3.3. Formação de um poliuretano (CANGEMI, 2009).......................................11

Figura 3.4. (a) Segmentos rígidos; (b) Segmentos flexíveis (VILAR, 2002).................12

Figura 3.5. Cinemática do processo de deformação (BONNET e WOOD, 1997)........14

Figura 3.6. Movimento de um corpo (BONNET e WOOD, 1997) ................................15

Figura 3.7. Seção de um corpo em equilíbrio estático (LAI et al., 1993) .....................23

Figura 3.8. Trações sobre as configurações inicial e deformada.................................25

Figura 3.9. Extensão uniaxial (MARCZAK, 2006) .......................................................33

Figura 3.10. Exemplo de comparação entre tensão x deformação verdadeiros

(

)

εσ

Figura 3.11. Corpo de prova.......................................................................................44

Figura 3.12. Corpo de prova 1 com aumento de 100 vezes........................................45

Figura 3.13. Corpo de prova 1 com aumento de 500 vezes........................................45

Figura 3.14. Corpo de prova 3 com aumento de 100 vezes........................................45

Figura 3.15. Corpo de prova 3 com aumento de 500 vezes........................................45

Figura 3.16. Gráfico tensão x deformação para o CP1 ...............................................46

Figura 3.17. Gráfico tensão x deformação para o CP2 ...............................................46

Figura 3.18. Gráfico tensão x deformação para o CP3 ...............................................46

Figura 3.19. Gráfico tensão x deformação para o CP4 ...............................................46

Figura 3.20. Gráfico tensão x deformação para o CP5 ...............................................47

Figura 3.21. Gráfico tensão x deformação para o CP6 ...............................................47

Figura 3.22. Gráfico tensão x deformação para os corpos de prova com entalhe.......48

Figura 3.23. Ajuste da curva para o CP1 ....................................................................48

Figura 3.24. Ajuste da curva para o CP1 ....................................................................48

Figura 3.25 Ajuste da curva para o CP2 .....................................................................49

Figura 3.26 Ajuste da curva para o CP2 .....................................................................49

Figura 3.27. Ajuste da curva para o CP3 ....................................................................49

Figura 3.28. Ajuste da curva para o CP3 ....................................................................49

Figura 3.29. Ajuste da curva para o CP4 ....................................................................49

Figura 3.30. Ajuste da curva para o CP4 ....................................................................49

Figura 3.31. Ajuste da curva para o CP5 ....................................................................50

Figura 3.32. Ajuste da curva para o CP5 ....................................................................50

Figura 3.33. Ajuste da curva para o CP6 ....................................................................50

Figura 3.34. Ajuste da curva para o CP6 ....................................................................50

Figura 4.1. Linhas flexíveis (SOUZA, 2008)................................................................54

Figura 4.2. Enrijecedor conectado a linha flexível (http://www.fesltd.co.uk) ................55

Figura 4.3. Famílias de elementos (HIBBITT et al., 2002)...........................................57

Figura 4.4. Tipos de elementos de acordo com o número de nós (HIBBITT et al., 2002)

...................................................................................................................................58

Figura 4.5. Exemplo de conector usado no enrijecedor (BIRCH , 1989) .....................60

Figura 4.6. Comparação força x deslocamento entre as análises dos modelos

computacionais dos corpos de prova sem entalhe......................................................62

Figura 4.7. Comparação tensão x deformação entre as análises dos modelos

computacionais dos corpos de prova sem entalhe......................................................63

Figura 4.8. Comparação força x deslocamento entre o modelo..................................63

Figura 4.9. Comparação tensão nominal x deformação nominal entre........................64

Figura 4.10. Comparação tensão nominal x deformação nominal entre o modelo

computacional e experimental até uma deformação de 30%......................................64

Figura 4.11. Entalhe com geometria quadrada ...........................................................65

Figura 4.12. Entalhe com geometria semi circular ......................................................65

Figura 4.13. Entalhe com geometria com chanfro.......................................................65

Figura 4.14. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com as simulações computacionais com entalhe de geometria quadrada ...66

Figura 4.15. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com as simulações computacionais com entalhe de geometria semi circular

...................................................................................................................................66

Figura 4.16. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com as simulações computacionais com entalhe de geometria com chanfro66

Figura 4.17. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com o entalhe com chanfro e semi circular de abertura igual a 0,175 mm ...67

Figura 4.18. Condição de contorno 1 – Superfície do Bend stiffeners engastada .......69

Figura 4.19. Condição de contorno 2 – Simetria no eixo z..........................................69

Figura 4.20. Tensão no enrijecedor sem entalhe submetido à flexão..........................71

Figura 4.21 Gráfico tensão x deformação no ponto de maior tensão do enrijecedor sem

entalhe com malha utilizando elemento hexaédrico....................................................72

Figura 4.22 Gráfico tensão x deformação no ponto de maior tensão do enrijecedor sem

entalhe com malha utilizando elemento tetraédrico ....................................................73

Figura 4.23 Comparação dos gráfico tensão x deformação no ponto de maior tensão

do enrijecedor sem entalhe.........................................................................................74

Figura 4.24. Posições das trincas analisadas no enrijecedor......................................75

Figura 4.25. Sentido das trincas analisadas no enrijecedor ........................................75

xii

Figura 4.26. Trinca como concentrador de tensões (SILVA, 2006).............................77

Figura 4.27. Densidade da malha de um submodelo..................................................78

Figura 4.28. Malha da viga..........................................................................................79

Figura 4.29. Configuração deformada da viga ............................................................79

Figura 4.30. Malha do primeiro submodelo da viga.....................................................80

Figura 4.31. Configuração deformada do primeiro submodelo da viga .......................80

Figura 4.32. Malha do segundo submodelo da viga....................................................81

Figura 4.33. Configuração deformada do segundo submodelo da viga.......................81

Figura 4.34. Malha do terceito submodelo da viga......................................................81

Figura 4.35. Configuração deformada do terceiro submodelo da viga ........................81

Figura 4.36. Gráfico tensão de Mises em cada incremento da análise dos 3 modelos82

Figura 4.37. Malha usada para simulação da menor trinca transversal na posição 1..84

Figura 4.38. Configuração deformada da análise da menor trinca transversal na

posição 1 com carga aplicada a 45º ...........................................................................84

Figura 4.39. Malha do submodelo da menor trinca transversal na posição 1..............84

Figura 4.40. Configuração deformada do submodelo da menor trinca transversal na

posição 1....................................................................................................................84

Figura 4.41. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise do modelo na Posição 1.................................................................................85

Figura 4.42. Malha usada para simulação da menor trinca transversal na posição 2..87

Figura 4.43. Configuração deformada da análise da menor trinca transversal na

posição 1 com carga aplicada a 45º ...........................................................................87

Figura 4.44. Malha do submodelo da menor trinca transversal na posição 2..............87

Figura 4.45. Configuração deformada do submodelo da menor trinca transversal na

posição 2....................................................................................................................87

Figura 4.46. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise do modelo na Posição 2.................................................................................88

Figura 4.47. Malha usada para simulação 2 ...............................................................90

Figura 4.48. Configuração deformada da análise da menor trinca transversal na

posição 3 com carga aplicada a 45º ...........................................................................90

Figura 4.49. Malha do submodelo da menor trinca transversal na posição 3..............90

Figura 4.50. Configuração deformada do submodelo da menor trinca transversal na

posição 3....................................................................................................................90

Figura 4.51. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise do modelo na Posição 3.................................................................................91

Figura 4.52. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho menor..........................................92

xiii

Figura 4.53. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho maior...........................................92

Figura 4.54. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho menor.........................................93

Figura 4.55. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho maior..........................................93

Figura 4.56. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho menor comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível...............................................................94

Figura 4.57. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho maior comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível...............................................................95

Figura 4.58. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho menor comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível...............................................................95

Figura 4.59. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho maior comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível...............................................................96

1. INTRODUÇÃO

Hoje em dia, um dos setores com maior quantidade de sistemas produtivos que

mais emprega alta tecnologia é a indústria de petróleo. O Brasil vem ocupando uma

posição de destaque mundial em extração de petróleo, especialmente em águas

profundas. Grande parte dos investimentos atuais são gastos em desenvolvimento de

tecnologias nesta área, principalmente em pesquisas relacionadas a risers de

produção.

O objetivo dos risers de produção é transportar o fluido, desde a cabeça do

poço até a unidade estacionária de produção, sendo que pela sua constituição podem

ser classificados em rígidos ou flexíveis. Considerando extração em águas profundas,

as linhas flexíveis têm exercido um importante papel em razão de muitas vantagens

oferecidas. Tais vantagens são a sua alta flexibilidade, facilidade de lançamento com a

possibilidade de armazenar grandes comprimentos em carretéis, pré-fabricação e

baixo custo de instalação e transporte quando comparados aos dutos rígidos.

Os dutos flexíveis são em geral constituídos de camadas de aço intercaladas

com polímeros formando uma estrutura com grande rigidez axial e torsional, porém

baixa rigidez à flexão. As camadas de aço proporcionam flexibilidade ao riser,

enquanto as camadas poliméricas proporcionam estanqueidade, protegem contra

corrosão e impedem a abrasão das camadas metálicas. Linhas flexíveis são,

certamente, um dos componentes mais críticos de sistemas de produção em águas

profundas.

Quando um componente submarino está conectado a alguma outra estrutura

como uma plataforma flutuante, muitas vezes é desejável limitar a flexão do

componente na região de conexão com a estrutura, uma vez que a flexão excessiva

pode causar danos ao componente. Esta situação é comumente encontrada na

indústria de extração de petróleo. Na junção entre o riser e a plataforma, o riser está

sujeito à flexão e também está exposto a grande carga axial. Se não forem utilizados

meios de proteção adequados há riscos de danos ao riser devido à flexão excessiva e

fadiga. É uma técnica comum usar enrijecedores para melhorar a capacidade de

flexão de risers. O enrijecedor à flexão ou bend stiffener é uma estrutura cônica com

medida aproximada de 1 m de diâmetro para pequenos enrijecedores e de 1 a 5 m de

comprimento total. Seu material é o poliuretano, pois apresenta propriedades

indispensáveis a esta aplicação como flexibilidade, resistência mecânica e imunidade

à água do mar.

Tem-se conhecimento de diversos trabalhos publicados ao longo dos anos que

fazem análise de enrijecedores de poliuretano sujeitos a flexão. Estes trabalhos, em

sua maioria, não levam em consideração algumas não linearidades inerentes ao

processo, como por exemplo o material hiperelástico. Não foi encontrado registro de

critérios de falha para materiais hiperelásticos.

A proposta deste trabalho é analisar enrijecedores à flexão com concentrador

de tensões e propor uma metodologia para definição da carga máxima admissível ao

enrijecedor a partir da tensão máxima admissível. Para isto realizou-se ensaio de

tração uniaxial em diversos corpos de prova de poliuretano, sendo alguns corpos de

prova com um entalhe, e em seguida, com os dados coletados, realizou-se a análise

em elementos finitos do enrijecedor com uma trinca.

São apresentados no capítulo 2, os principais trabalhos científicos para uma

perfeita compreensão da resposta dos enrijecedores.

No capítulo 3 é apresentada uma introdução aos polímeros e aos poliuretanos

proporcionando uma melhor compreensão deste material. Em seguida, é mostrada a

teoria para materiais hiperelásticos e alguns modelos propostos para o cálculo da

função de energia de deformação destes materiais. A resposta hiperelástica deste

material, assim como sua tensão máxima admissível foram determinados com ensaios

de tração em amostras extraídas de enrijecedores reais. Realizaram-se ensaios de

tração em diversos corpos de prova, sendo alguns deles com entalhes simulando um

concentrador de tensões.

O capítulo 4 apresenta as análises do enrijecedor. Primeiramente são

mostrados alguns dados para projeto e modelagem do enrijecedor. Os dados

coletados nos ensaios experimentais são validados fazendo uma comparação com os

dados da simulação dos ensaios de tração sem entalhe e com entalhe no software

Abaqus. É feito também um estudo sobre as possíveis formas geométricas dos

entalhes nos corpos de prova. Logo após, as análises são descritas. A primeira delas

é com o enrijecedor sem entalhe e as outras análises são com uma trinca posicionada

em diferentes pontos do corpo do enrijecedor variando seu tamanho e seu sentido.

Para uma melhor análise das trincas, utilizou-se o recurso do submodelamento, este

recurso é exemplificado com uma viga bi engastada, onde fez-se três submodelos.

Este capítulo traz também uma comparação de diferentes malhas possíveis de serem

utilizadas na modelagem computacional em elementos finitos.

Por fim, são apresentadas, no capítulo 5, as conclusões e algumas sugestões

para desenvolvimento de trabalhos futuros.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Os principais trabalhos que apresentam a análise, projeto e características dos

enrijecedores são descritos a seguir.

BOEF e OUT (1990) desenvolvem um modelo para o projeto e análise de

enrijecedores baseado na teoria de vigas esbeltas sujeitas a flexão pura, grandes

deslocamentos e pequenas deformações. O resultado do modelo foi comparado com

uma análise em elementos finitos que considera também a não-linearidade do

material. O modelo em elementos finitos consiste de um grupo de elementos de viga

no eixo do modelo, representando o tubo flexível. Chegam à conclusão que o modelo

de viga esbelta é uma ferramenta eficiente para o projeto preliminar de enrijecedores,

embora continue sendo necessária a análise em elementos finitos para verificação

final do projeto.

LANE et al. (1995) revisam o estado da arte em materiais e fabricação de Bend

stiffener. Descrevem um software personalizado para o projeto interativo de Bend

stiffeners baseado no modelo de viga esbelta proposto por BOEF e OUT (1990).

Comparam seus resultados com outros obtidos pelo software comercial ABAQUS



Nestes modelos construídos no ABAQUS



, adotam o poliuretano como material

hipoelastico. As tensões fornecidas pelo software proposto parecem “suaves e bem

comportadas” quando comparadas aos modelos que consideram outras não-

linearidades. A grande vantagem do software á a sua rapidez de computação e

precisão no cálculo de deslocamento.

MENICONI e LOPES (2003) apresentam a análise de fadiga realizada em

enrijecedores da FPSO-P34, que tem o mesmo projeto que os enrijecedores que

falharam por fadiga em operação no campo de Marlim em 1998 e1999 na monobóia

IMODCO-III. Realizam dois tipos de ensaios: monotônico e cíclicos. A natureza

viscoelastica do material foi confirmada após a comparação do comportamento do

material nos dois testes. Nos testes realizados, consideram o comportamento

assimétrico entre tração e compressão. Verificam também, através de ensaios

experimentais, a redução do módulo de elasticidade com o aumento da deformação e

comparam os resultados para diferentes ciclos de carregamento. Através de testes de

compressão, determinam a taxa de variação do coeficiente de Poisson.

Os autores fazem uma análise em elementos finitos, onde consideram o

comportamento do material como linear e elástico, já que a ordem de deformação é

muito pequena durante a operação. O objetivo foi encontrar a relação entre uma dada

deformação no enrijecedor e a deformação no ponto de interesse onde iniciou a trinca

de fadiga. Adotam uma análise baseada em deformação e levantam a curva de fadiga

e-N, identificando que a rugosidade das perfurações executadas nos corpos de prova

alteravam significativamente os resultados do teste.

VAZ e LEMOS (2004) apresentam uma formulação matemática e uma solução

numérica para a análise não-linear geométrica e material do Bend stiffener. Usam

equações diferenciais resultantes da compatibilidade geométrica, equilíbrio de forças e

momentos e das relações constitutivas do material, que podem ser linear elástica

simétrica ou não-linear elástica assimétrica. Comparam os resultados das duas

relações constitutivas e concluem que uma análise precisa de Bend stiffeners depende

da correta caracterização das propriedades do material.

KIEPPER (2004) revisa a tecnologia de enrijecedores e apresenta uma análise

do conjunto tubo flexível e enrijecedor pelo método dos elementos finitos utilizando o

software ABAQUS. Compara os resultados obtidos com os de um programa

numérico produzido pela COPPE/Petrobras.

CAIRE (2005) apresenta os resultados de ensaios realizados para

levantamento das características do poliuretano de enrijecedores a flexão. Realiza

ensaios de tração, compressão e fluência (sob tração e compressão). Com as curvas

e coeficientes dos ensaios de fluência, o autor nota que o comportamento do

poliuretano é viscoelástico não-linear e sugere uma teoria muito mais complexa que o

modelo viscoelástico linear por ele adotado. Ressalta também que o efeito da

temperatura sobre a resposta mecânica do poliuretano não fora levado em conta.

Desenvolve modelos de viga que representam o sistema linha

flexível/enrijecedor com comportamento do poliuretano se apresentando linear

elástico, não linear elástico assimétrico e viscoelástico linear. Compara o modelo linear

elástico com soluções em elementos finitos em duas e três dimensões. Mostra que o

efeito do esforço cortante se torna mais evidente quanto maior o carregamento

analisado, considerando um mesmo ângulo de aplicação da força. Concluiu que, para

análises mais simples, pode-se utilizar o modelo considerando apenas a não

linearidade do material com tensões simétricas, pois o efeito da não linearidade é mais

expressivo que o da assimetria. Mostra que o comportamento dependente do tempo

afeta de forma significativa a resposta do sistema linha flexível/enrijecedor.

Desenvolve também um modelo para grandes áreas de contato permitindo

estimar as pressões de contato ao longo do comprimento do enrijecedor. Observa que

a pressão de contato sempre se apresenta com maiores valores quando se utiliza a

maior folga (gap). Conclui que para se evitar possíveis problemas devido ao contato,

deve-se procurar utilizar sempre o menor gap entre a linha flexível e o enrijecedor.

LEMOS (2005) apresenta uma metodologia de análise de fadiga em risers

flexíveis conectados à FPSOs com turret e aponta o ponto de conexão com a unidade

flutuante como o ponto mais importante para avaliação de fadiga de risers flexíveis.

Apresenta o efeito da distribuição de curvaturas proveniente da representação do

enrijecedor considerando material linear elástico, não-linear elástico, assimétrico, e

material viscoelástico.

Lemos descreve mecanismos de fadiga, curvas S-N, critérios para análise de

fadiga com carregamentos multiaxiais, dano acumulado, fadiga em condições

elastoplásticas e fadiga em risers flexíveis. Apresenta uma ampla discussão sobre a

utilização de um projeto baseado em resposta aplicado à fadiga e faz um estudo de

caso da FPSO P33 da Petrobras.

O autor faz uma análise da interface riser-bend stiffener, descreve os

polímeros, propriedades elásticas e o comportamento viscoelastico. Resolve o

problema de contorno apresentado por BOEF e OUT (1990) com uma solução

numérica utilizando o método Rosembrock (denominado ODE23S) no pacote Matlab

e o método de “shoooting” com ajuda do usuário no Mathcad. Verifica que o ponto de

maior curvatura varia de acordo com o carregamento aplicado, sendo que não

necessariamente o ponto de maior deformação no material coincide com a pior

curvatura, mas o pior momento está sempre no engaste.

Lemos apresenta também, a variação da deformação máxima ao longo do

comprimento do Bend stiffener variando a rigidez do poliuretano e conclui que a

variação de deformação não é linear com a variação de rigidez do material.

Avalia o comportamento elástico não-linear assimétrico, fazendo uso de uma

aproximação por série de potências polinomial com coeficientes interpolados

previamente e resolve novamente o problema de valor de contorno numericamente,

comparando-os com os resultados dos softwares STIFFENER e ANFLEX.

Lemos reformula o problema para o caso viscoelástico linear, reescreve as

equações do modelo incluindo sua dependência com o tempo e apresenta os

resultados da aplicação de sua formulação.

MBAYE (2006) desenvolve um pré-processador para o sistema ANSYS para

geração e edição de malhas de elementos finitos de linhas flexíveis utilizadas em

plataformas.

Descreve a modelagem de uma linha flexível que utiliza elementos finitos para

a simulação das camadas da linha flexível e a interação entre elas. Utiliza elementos

de casca para modelar a carcaça intertravada, a armadura de pressão, as camadas

poliméricas e a tampa de fechamento; elementos de pórtico espacial para modelar os

arames das armaduras de tração e elementos de contato para viabilizar a interação

entre as camadas que compõe a linha flexível.

Elabora um programa em Fortran usando o método Runge-Kutta de 4ª ordem

para calcular a variação da curvatura ao longo de um segmento de linha flexível-bend

stiffener. Compara os resultados entre o modelo numérico e o sistema ANFLEX, de

propriedade da Petrobras e nota que, para todos os casos de carga analisados, os

valores de curvatura obtidos pelo programa ANFLEX são maiores que os obtidos

pelo programa numérico (Runge-Kutta).

Mbaye apresenta também a análise de flexão de uma linha flexível pelo método

de elementos finitos através de vários tipos de malhas. Conclui que modelos de linhas

flexíveis em elementos finitos são bastante sensíveis à variação do comprimento da

malha a ser utilizado.

CAIRE e VAZ (2007) avaliam a influência de uma resposta bi-linear do tubo

flexível na relação momento-curvatura do conjunto enrijecedor-tubo flexível sob

carregamentos extremos. Descrevem uma formulação analítica do problema e, devido

a variação considerável da curvatura critica com as condições de carregamento

impostas pelo riser (tensão interna e pressão externa), usam avaliações paramétricas

da distribuição da curvatura do conjunto em função da curvatura crítica, com 2,5; 5; 10

e 20% da curvatura limite. Considerando a rigidez do riser, utilizam os valores de EI

iguais a 100, 1.000 e 10.000 kNm

. e EI

igual a 10 kNm

, onde “ns” indica “sem

escorregamento entre as camadas” e “fs” indica “com escorregamento entre as

camadas”. Os resultados são comparados com modelos discretizados no software

ABAQUS para casos de carregamento extremo.

Avaliam também a influência da folga (gap) entre o enrijecedor e o tubo na

fadiga do conjunto. Apresentam os resultados de um modelo com elementos finitos

para duas opções de folga entre o riser e o enrijecedor: 5 e 20 mm.

Caire e Vaz concluem que tanto o comportamento bi-linear à flexão do tubo

quanto a folga entre o tubo e o enrijecedor não influenciam expressivamente a

distribuição da curvatura em carregamentos extremos, porém estes parâmetros podem

ser significativos caso seja considerado o carregamento por fadiga. Concluem também

que a presença da folga entre os componentes e a bi-linearidade da rigidez do tubo

levam a resultados menos conservadores e sugerem a sua incorporação na avaliação

da fadiga do conjunto.

SOUZA (2008) apresenta uma análise estrutural estática de Bend stiffeners por

meio de um modelo linear elástico, analiticamente formulado, que é governado por

uma equação diferencial não-linear de segunda ordem com coeficientes variáveis,

resultando em um problema de valor de contorno. Desenvolveu um código escrito em

Matlab para solução numérica do problema de valor de contorno, com este código

realizou uma avaliação estrutural paramétrica (geométrica) de um enrijecedor à flexão

de geometria complexa em uma instalação típica, sujeita a carregamentos extremos.

Com o resultado desta avaliação conclui que, dentre sete parâmetros geométricos de

um enrijecedor cônico complexo, o comprimento total e o diâmetro máximo têm

influencia mais significativa na distribuição da curvatura do conjunto linha flexível-

enrijecedor.

3. POLÍMEROS

Historicamente, o desenvolvimento e o avanço das sociedades têm estado

ligados às habilidades dos seus membros em produzir e manipular materiais para

satisfazer as suas necessidades. As civilizações mais antigas, por exemplo, foram

designadas pelo nível de seu desenvolvimento em relação aos materiais (Idade da

Pedra, Idade do Bronze).

A palavra Polímeros é originária do grego que significa: poli (muitos) e meros

(partes). São definidos como o conjunto de pequenas moléculas denominadas

monômeros que se ligam por meio de uma reação denominada polimerização para

formar macromoléculas.

Os polímeros podem ser naturais ou sintéticos. Dentre os vários polímeros

naturais é possível citar a celulose (plantas), caseína (proteína do leite), látex natural e

seda. Dentre os polímeros sintéticos, que revolucionaram o século XX e ficaram

popularmente conhecidos como plásticos tem-se o policloreto de vinila (PVC), a

poliamida (Nylon) e o acrílico, entre muitos outros.

Com relação ao tipo de reação de polimerização, os polímeros são

classificados basicamente em dois grupos: de adição e de condensação, conforme

ocorra uma simples adição, sem subprodutos, ou uma reação em que são abstraídas

dos monômeros pequenas moléculas, como HCl e H

O. Como exemplo de polímeros

de adição tem-se o policloreto de vinila (PVC), e como exemplo de polímeros de

condensação tem-se a poliamida.

Segundo CANGEMI (2009), os polímeros podem ser classificados quanto à

fusibilidade em termoplásticos, que podem ser fundidos por aquecimento e

solidificados por resfriamento e termorrígidos que são infusíveis e insolúveis. Os

termoplásticos, de acordo com sua durabilidade e desempenho podem ser

convencionais ou de engenharia. Os termoplásticos de engenharia apresentam

melhores propriedades térmicas e mecânicas que os convencionais. São exemplos de

termoplásticos de engenharia, o policarbonato – PC (utilizados na fabricação de CD,

janelas de aeronaves, ginásios de esportes e lentes de óculos) e as poliamidas –

Nylons (usados em engrenagens plásticas, tecidos impermeáveis etc). Como exemplo

de termoplásticos convencionais tem-se o polietileno e o polipropileno. Os

termoplásticos convencionais são encontrados principalmente nas embalagens

plásticas como garrafas, copos descartáveis, potes, sacos plásticos etc.

De acordo com o seu comportamento mecânico, os polímeros são divididos em

três grandes grupos: borrachas ou elastômeros, plásticos e fibras. As borrachas ou

elastômeros são materiais macromoleculares que exibem elasticidade em longa faixa

à temperatura ambiente. Deformam-se no mínimo 2 vezes o seu comprimento

retornando ao inicial quando o esforço é retirado. Os plásticos se fundem quando são

aquecidos e solidificam por resfriamento. As fibras possuem corpo flexível, cilíndrico,

com pequena seção transversal e com elevada razão entre comprimento e diâmetro

(LOPES, 2007). A grande diferença entre estes três grupos está no módulo de

elasticidade: borrachas ou elastômeros (70 − 700 KPa), plásticos (7 − 70 MPa) e fibras

(700 − 7000 MPa), de acordo com MANO (2000).

Os polímeros podem ser classificados ainda como lineares quando tem suas

cadeias sem ramificações ou podem apresentar ramificações, cujo grau e

complexidade pode ir até o extremo da formação de retículos, resultando então no que

se denomina polímero reticulado, ou polímero com ligações cruzadas. Estas cadeias

podem ser vistas no esquema da Figura 3.1.

Figura 3.1. Cadeia linear, cadeia ramificada e cadeia cruzada (FELIPETTO, 2003)

Como conseqüência, cada tipo de cadeia, gera propriedades diferentes no

produto, especialmente em relação à fusibilidade e solubilidade. Os ramos laterais

dificultam a aproximação das cadeias poliméricas, o que diminui as interações

intercadeias, prejudicando assim as propriedades mecânicas. A formação de retículos,

devido às ligações covalentes entre moléculas, impede o seu deslizamento e “amarra”

as cadeias umas às outras, aumentando a resistência mecânica até formar o polímero

infusível e insolúvel.

Outro fator que afeta as propriedades dos polímeros é a sua estrutura

macromolecular. Os polímeros podem existir em estado amorfo ou semicristalino. Em

um polímero amorfo, as moléculas estão orientadas aleatoriamente e estão

entrelaçadas. Os polímeros amorfos são, geralmente, transparentes. Nos polímeros

semicristalinos, as moléculas exibem um empacotamento regular, ordenado, em

determinadas regiões, sendo mais comum em polímeros lineares, devido à sua

estrutura regular. Devido às fortes interações intermoleculares, os polímeros

semicristalinos são mais duros e resistentes; como as regiões cristalinas espalham a

luz, estes polímeros são mais translúcidos. O surgimento de regiões cristalinas pode,

ainda, ser induzido por um estiramento das cadeias, no sentido de alinhar as

moléculas. Um polímero nunca será composto integralmente de regiões cristalinas.

Uma representação esquemática da estrutura pode ser vista na Figura 3.2.

Figura 3.2. (a) Polímero amorfo; (b) Polímero semicristalino (MANO, MENDES, 1999)

3.1. POLIURETANOS

O crescimento da ciência e da tecnologia do plástico leva ao desenvolvimento

de novos materiais com diferentes tipos de propriedades desejáveis. Em 1848 Wurtz

descobriu que os grupos isocianatos reagiam quantitativamente com os grupos

hidroxilas primários originando grupos uretanos. Os poliuretanos (PU’s) fazem parte de

um grupo extenso de polímeros com diferentes composições e perfis de propriedade

que foram descobertos por Otto Bayer, em 1937. Eles são normalmente produzidos

pela reação de um isocianato (di ou polifuncional) e um poliol ou outros reagentes,

contendo dois ou mais grupos reativos (MARIANO, 2009). Os compostos contendo

hidroxilas podem variar quanto ao peso molecular, natureza química e funcionalidade.

Os isocianatos podem ser aromáticos, alifáticos, ciclo-alifáticos ou policíclicos. Esta

flexibilidade de escolha de reagentes permite obter uma infinita variedade de

compostos com diferentes propriedades físicas e químicas, conferindo aos

poliuretanos uma posição importante no mercado mundial de polímeros sintéticos de

alto desempenho. A Figura 3.3 mostra o esquema de uma reação típica de obtenção

de um poliuretano.

Figura 3.3. Formação de um poliuretano (CANGEMI, 2009)

3.1.1. Propriedades

As características físicas de um polímero dependem não apenas da sua forma

e do seu peso molecular, mas também das diferenças na estrutura das cadeias

moleculares. As técnicas modernas de síntese de polímeros permitem um controle

considerável sobre várias possibilidades estruturais.

Poliuretanos são materiais versáteis, e dependendo dos monômeros e do

catalisador, uma grande variedade de materiais pode ser obtida (cerca de 77 mil

tipos), com textura maciça ou celular, podendo resultar em borrachas, plásticos ou

fibras, de natureza termoplástica ou termorrígida (MANO e MENDES, 1999). O

poliuretano é conhecido pelas suas excelentes propriedades mecânicas tais como

resistência mecânica, resistência à abrasão, resistência a óleos e alta resiliência.

Durante a reação de polimerização, há a formação de copolímeros compostos por

blocos de segmentos flexíveis e segmentos rígidos ligados em compostos de uretano.

Alguns materiais possuem longas cadeias flexíveis unidas por segmentos aromáticos

rígidos de poliuretano e poliuréia, estes são os elastômeros e espumas flexíveis. Os

poliuretanos rígidos têm um alto teor de ligações cruzadas e não apresentam as

estruturas segmentadas, presentes nos poliuretanos flexíveis. Os segmentos flexíveis

são formados por polióis e são responsáveis pela flexibilidade e estiramento. Por outro

lado, os segmentos rígidos são derivados da reação de isocianatos e extensores de

cadeia e, contribuem no travamento e na ligação das cadeias poliméricas tendendo a

se aglomerar em domínios que agem como precipitado e fornecem ao materal rigidez

e resistência mecânica. Na Figura 3.4 pode-se ver uma representação esquemática da

estrutura de fases do poliuretano com os segmentos rígidos e os segmentos flexíveis.

Figura 3.4. (a) Segmentos rígidos; (b) Segmentos flexíveis (VILAR, 2002)

Segundo VILAR (2002), a baixas temperaturas os poliuretanos tornam-se duros

e quebradiços. O poliuretano também terá maior dureza se possuir um elevado

percentual de segmentos rígidos e alto grau de reticulação, porém é comum a

ocorrência de pequenas variações de dureza devido às imperfeições do material.

O poliuretano é um material de engenharia bastante utilizado na indústria. Até

2008, o Brasil produzia cerca de 335 mil toneladas de poliuretano anuais e estima-se

que até 2012 este número seja 441 mil toneladas com uma evolução média de 4,7%

ao ano (Novas ações em busca da produção limpa, Revista Plástico Sul, 2008). Na

siderurgia, o poliuretano é utilizado em revestimentos de cilindros de laminação a frio

que tem a função de tracionar a linha. Na metalurgia, é utilizado também para revestir

cilindros e tambores e em algumas molas dos moldes de estamparia. Na indústria de

papel e celulose, o poliuretano é utilizado para revestir cilindros de prensa e rolos guia.

A indústria metro-ferroviária usa o poliuretano em talas isolantes instaladas em vias

sinalizadas ou eletrificadas. Os mercados de maior uso do poliuretano são o de

petróleo e mineração. Neste, o poliuretano é bastante usado no revestimento interno

de tubulações devido a sua proteção anti-abrasiva. Estas tubulações transportam o

rejeito e a polpa de minério gerados na produção de uma mineradora. Na indústria do

petróleo, o poliuretano é bastante utilizados nos enrijecedores de curvatura (Bend

stiffeners) localizados na conexão com o topo da plataforma, em proteções anti-

abrasivas e outros tipos de proteções. Uma plataforma de petróleo chega a ter mais de

20 toneladas de poliuretano distribuídos em algumas peças

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Poliuretano).

3.2. ELASTICIDADE NÃO-LINEAR

A não linearidade de muitos fenômenos que nos cercam estimula pessoas no

mundo inteiro a estudar tais fenômenos através de modelos matemáticos e

experimentais. Em grande parte dos materiais utilizados na engenharia, percebe-se

uma linearidade no início da trajetória de equilíbrio entre a força aplicada e o

deslocamento. No entanto, sempre existirá algum grau de não linearidade presente

após este trecho linear, que dependendo do material pode ser maior ou menor. A partir

do momento que a força não é proporcional ao deslocamento, tem-se a não-

linearidade geométrica. Quando um corpo apresentar alguns pontos com tensões

maiores que as tensões limites de escoamento e este demonstrar algum grau de

escoamento, mesmo que o restante do corpo permaneça em regime elástico, tem-se a

não-linearidade material ou não-linearidade física.

Outro tipo de não-linearidade encontrada em materiais de engenharia diz

respeito à relação constitutiva do material. Alguns materiais, como o poliuretano,

independente do nível de solicitação, possuem uma relação não-linear entre tensão e

deformação e são capazes de recuperar-se, rapidamente de uma grande deformação.

Estes materiais manifestam grandes deformações elásticas (normalmente

acompanhadas de não-linearidade geométrica), bem maiores que as encontradas em

materiais convencionais. Neste caso, a Lei de Hooke não é aplicável, isto é, as forças

deformantes não são proporcionais às deformações elásticas produzidas.

O comportamento de peças e componentes fabricados a partir de poliuretano,

como os enrijecedores, não é linear quando se faz um estudo entre tensão e

deformação.

3.2.1. Movimento

Segundo HOSS (2009), para descrever o movimento do corpo ao longo do

processo de deformação, torna-se necessária uma forma de especificar a posição de

cada partícula ao longo do tempo. Como pode ser visto na Figura 3.5, um corpo é

idealizado como um conjunto de partículas descritas pelas coordenadas (X

, X

) do

vetor posição X, com as respectivas bases cartesianas E

na posição inicial t=0. A

posição destas partículas no instante t é descrito pelas coordenadas (x

, x

) do

vetor posição x nas bases cartesianas e

Figura 3.5. Cinemática do processo de deformação (BONNET e WOOD, 1997)

Em qualquer momento, cada partícula do conjunto ocupa um ponto de uma

região fechada e cada ponto desta região é ocupado por somente uma partícula, não

podendo haver superposição ou desaparecimento de matéria. O movimento do corpo

pode ser matematicamente descrito como uma função

entre as posições inicial e

atual da partícula através da equação:

(

)

tXx ,

( 3.2.1 )

Onde:

exx =

Para um valor fixo de t, a equação ( 3.2.1 ) representa um mapeamento entre a

configuração indeformada e a configuração deformada do corpo. Para uma partícula

X, esta equação descreve o movimento ou trajetória desta partícula em função do

tempo. De acordo com HOSS (2009), o mapeamento

→

é uma transformação

matemática, e implica em um Jacobiano correspondente:

∂

Como não pode haver superposição ou desaparecimento de matéria, a

condição de existência para o movimento é dada por J>0, o que resulta em

deformação contínua.

No decorrer deste trabalho, as bases cartesianas E

e e

são consideradas

iguais, conforme pode ser visto na Figura 3.6.

Figura 3.6. Movimento de um corpo (BONNET e WOOD, 1997)

Em problemas de Mecânica dos Sólidos, tradicionalmente se trabalha com os

deslocamentos sofridos pelo corpo. Da Figura 3.6 é fácil verificar que:

(

)

XtXXxu −=−= ,

( 3.2.2 )

Onde as componentes de u são os deslocamentos dos pontos nas direções

cartesianas:

euu =

3.2.2. Medidas de deformação

3.2.2.1.

Tensor gradiente de deformação

A análise do comportamento de uma fibra infinitesimal de material, de

comprimento inicial dX, que se deforma em dx na configuração final é a forma mais

direta de se medir deformação. Da Figura 3.6, verifica-se que:

(

)

tXx

(

)

tXx

(

)

tXx

( 3.2.3 )

E os correspondentes vetores, tornam-se:

(

)

(

)

tXtdXXxxdx

pPpq

φφ

−+=−=

(

)

(

)

tXtdXXxxdx

pPpq

φφ

−+=−=

( 3.2.4 )

A definição do tensor gradiente de deformação é (LAI et al., 1993):

∇=

∂

( 3.2.5 )

Então, os vetores dx

e dx

são obtidos em termos de dX

e dX

FdXdx =

( 3.2.6 )

As equações de movimento ( 3.2.3 ) podem ser escritas também como:

(

)

tXxx ,=

( 3.2.7 )

E o tensor gradiente de deformação pode ser escrito como:

∂

( 3.2.8 )

Substituindo-se a equação ( 3.2.2 ) em ( 3.2.5 ), reescreve-se F em função dos

deslocamentos (LAI et al., 1993):

uIF

∇

( 3.2.9 )

Onde:

∂

=∇

( 3.2.10 )

O tensor F é uma medida primária de deformação, chamada gradiente de

deformação.

A relação dos comprimentos indeformado e deformado de uma fibra

infinitesimal de material é dado pela expressão ( 3.2.6 ). Partindo-se das definições de

área infinitesimal nas duas configurações, tem-se:

dXdXdA ×=

dxdxda ×=

Onde dA é a área infinitesimal indeformada e da é a área infinitesimal

deformada. É possível provar, conforme APÊNDICE A, que:

dAFFda

T−

( 3.2.11 )

De forma análoga, pode-se definir os volumes infinitesimais:

321

dXdXdXdV =

321

dxdxdxdv =

Tem-se então a expressão:

dVFdv =

( 3.2.12 )

Ou seja,

JF =

, o que evidencia que o Jacobiano da deformação deve ser

sempre positivo. Em função desta restrição, o tensor F permite a seguinte

decomposição:

RUF

VRF

( 3.2.13 )

Onde U e V são tensores simétricos positivos chamados, respectivamente,

como tensores de alongamento à direita e à esquerda. A matriz ortogonal R descreve

as rotações do corpo rígido:

1=R

( 3.2.14 )

Para problemas submetidos a deformações homogêneas extensonais, tem-se:

VUF

( 3.2.15 )

( 3.2.16 )

3.2.2.2.

Tensores de deformação de Cauchy-Green

O gradiente de deformação estudado no item anterior pode ser considerado

uma medida de deformação do corpo. Contudo, conforme visto, ele incorpora

informações sobre deformações e rotações. Sendo assim, torna-se complicada a sua

aplicação em relações constitutivas já que as mesmas devem ser construídas de

modo que não sejam previstas tensões devido a movimento de corpo rígido. Os

tensores de deformação de Cauchy-Green eliminam a falta de simetria de F e a

variância com rotações.

Pode-se reescrever a equação ( 3.2.6 ) como:

(

)

CdXdXFdXFdXFdXdx

TTT

===

( 3.2.17 )

Onde:

UFFC

( 3.2.18 )

Pode-se observar que o tensor C representa uma medida de deformação, uma

vez que relaciona o comprimento do segmento na configuração instantânea (dx) a seu

comprimento na configuração indeformada (dX). O tensor C é denominado tensor de

deformação de Cauchy- Green à direita.

Pode-se definir também:

(

)

(

)

dXBdxdxFFdxdXFdX

TTT 1

12 −

−

===

( 3.2.19 )

Onde:

VFFB

( 3.2.20 )

O tensor B é definido como tensor de deformação de Cauchy-Green à

esquerda (ou tensor de Finger) (BITTENCOURT, 2005). Todos estes tensores

deformação definidos nas equações acima (U, V, B e C) ainda caracterizam mal a

deformação, pois assim como F, não fornecem um valor nulo quando submetido a

deslocamentos de corpo rígido, fornecendo como resposta a matriz identidade.

Utilizando ( 3.2.9 ), reescreve-se ( 3.2.18 ) e ( 3.2.20 ) como:

∂

−

Onde:

trCCI

( )

(

)

trCtrCCCCCI

jiijjjii

−=−=

CI =

( 3.2.21 )

As equações ( 3.2.21 ) representam os invariantes de C.

3.2.2.3.

Tensores de deformação de Green-Lagrange

Para fornecer uma medida de deformação que se anule quando não há

deformação (por exemplo movimento de corpo rígido), define-se o tensor de Green-

Lagrange a partir da diferença do quadrado do comprimento de uma fibra material

antes e depois da deformação:

dXdXdxdxdXdx

−=−

( 3.2.22 )

( ) ( )

dXIFFdXdXIFFdXdXdx

TTTT













−=−=−

( 3.2.23 )

O tensor deformação de Green-Lagrange E é definido como o termo entre

colchetes na equação ( 3.2.23 ), ou seja:

[ ]

























∂

⋅













∂













∂













∂

=−⋅=

IFFE

( 3.2.24 )

Combinando a equação ( 3.2.24 ) com a equação ( 3.2.18 ):

( )

ICE −=

( 3.2.25 )

Sendo assim,

(

)

dXEdXdXdx

=−

( 3.2.26 )

3.2.2.4.

Tensores de deformação de Almansi

O equivalente Euleriano de E é o tensor de deformação de Almansi G. A

equação ( 3.2.22 ) pode ser reescrita conforme as equações abaixo:

(

)

dxFFIdxdXdx

TT 122 −−

−=−

( 3.2.27 )

( )

dxFFIdxdXdx













−=−

−− 122

( 3.2.28 )

O tensor deformação de Almansi G é definido como o termo entre colchetes na

equação ( 3.2.28 ), ou seja:

[ ]

























∂

⋅













∂













∂













∂

=⋅−=

−−

FFIG

( 3.2.29 )

Combinando a equação ( 3.2.29 ) com a equação ( 3.2.20 ):

(

)

−

−= BIG

( 3.2.30 )

3.2.2.5.

Alongamento

Outra medida de deformação é o alongamento (stretch). O alongamento

corresponde à razão entre os comprimentos de uma fibra de material nas

configurações deformada e indeformada:

stretch =

( 3.2.31 )

Para os casos de deformações homogêneas, o alongamento em cada direção

pode ser obtido diretamente dos valores principais de F (ATKIN e FOX, 1980):

























( 3.2.32 )

e, neste caso:













( 3.2.33 )

3.2.2.6.

Tensor deformação infinitesimal

Nos itens anteriores deste capítulo, foram definidas cinco medidas de

deformação (F, C, B, E e G), dadas pelas equações ( 3.2.9 ), ( 3.2.18 ), ( 3.2.20 ),

( 3.2.25 ) e ( 3.2.30 ). Não foi imposta nenhuma limitação quanto à extensão dessas

deformações, porém, na solução de problemas de engenharia, é comum a adoção da

hipótese de deslocamentos infinitesimais. Considerando esta hipótese, a extensão dos

deslocamentos é muito menor que as dimensões do corpo. Nestes casos, os termos

de ordem superior do gradiente do campo de deslocamentos tornam-se desprezáveis:

(

)

(

)

(

)

uuuuIFF

∇∇+∇+∇+=

(

)

(

)

1<<∇∇ uu

( 3.2.34 )

E as seguintes relações são verificadas:

(

)

2+≡∇+∇+== IuuICB

( 3.2.35 )

O tensor ε é chamado de tensor deformação infinitesimal.

3.2.3. Medidas de tensão

3.2.3.1.

Tensor Tensão de Cauchy

Seja um corpo em equilíbrio estático com um plano S passando através de um

ponto P conforme a Figura 3.7. O plano S tem um vetor normal n e divide o corpo em

duas partes (I e II). Considerando a parte I como um corpo livre, há no plano S uma

força resultante ∆F que atua sobre o incremento de área ∆A no ponto P. Realizando-

se o limite

→

∆

, obtém-se a equação ( 3.2.36 ) definida como vetor tração t (de II

para I) no ponto P.

∆

→∆ 0

lim

( 3.2.36 )

Se a parte II da Figura 3.7 for considerada um corpo livre, pela 3ª lei de

Newton, tem-se um vetor (de I para II),

−

no mesmo ponto e mesmo plano, porém em

direção oposta ao da equação anterior.

−

−=

( 3.2.37 )

Figura 3.7. Seção de um corpo em equilíbrio estático (LAI et al., 1993)

A força ∆F pode ser decomposta em uma componente normal ∆F

e suas

componentes tangenciais ∆F

e ∆F

ao plano de corte (

ssttnn

eFeFeFF ∆+∆+∆=∆

Define-se então as seguintes componentes de tensão:

∆

→∆ 0

lim

∆

→∆ 0

lim

∆

→∆ 0

lim

( 3.2.38 )

Generalizando para um contorno qualquer, tem-se as relações entre tração a

componentes de tensão como as chamadas equações de Cauchy:

jiji

( 3.2.39 )

3.2.3.2.

Tensor Tensão Piola-Kirchhoff

Uma dificuldade em problemas de engenharia é que as equações de equilíbrio

devem atender a configuração do corpo deformado. No entanto, a forma do corpo

após a deformação é desconhecida. Uma maneira de resolver este problema é obter

medidas de tensão do corpo definidos sobre a configuração indeformada.

Seja dA

a área diferencial de um material com um vetor normal n

no tempo

inicial e a área dA do mesmo material que no tempo final possui um vetor normal n. A

área dA

é chamada de área indeformada e a área é chamada de área deformada dA.

Seja df a força que atua na área dAn conforme a Figura 3.8.

Figura 3.8. Trações sobre as configurações inicial e deformada

(BONNET e WOOD, 1997)

É possível definir dois outros vetores de tensão e tensores baseados na área

indeformada.

O primeiro tensor de Piola-Kirchhoff

O primeiro tensor de Piola-Kirchhoff (também chamado de tensor tensão

Lagrangiano) é uma transformação linear T

de acordo com a equação ( 3.2.40 ):

000

nTt =

( 3.2.40 )

Pode-se obter a relação entre o primeiro tensor tensão Piola-Kirchhoff e o

tensor tensão de Cauchy. Seja:

dAttdAdf ==

( 3.2.41 )

Então:

( 3.2.42 )

Combinando a equação ( 3.2.42 ) com as equações ( 3.2.39 ) e ( 3.2.40 ), tem-

se:

dAn













( 3.2.43 )

A equação ( 3.2.11 ) pode ser reescrita com a notação da Figura 3.8 na equação

( 3.2.44 ).

dAFFdA

T−

( 3.2.44 )

Sendo assim, tem-se:

( )

(

)

010

det nFFdAdAn

−

( 3.2.45 )

Combinando as equações ( 3.2.45 ) com ( 3.2.43 ):

( )

(

)

0100

det nFFnT

−

( 3.2.46 )

Tem-se então, na equação ( 3.2.47 ), o primeiro tensor tensão Piola-Kirchhoff

( )

(

)

FFT

det

−

( 3.2.47 )

O primeiro tensor tensão Piola-Kirchhoff nos fornece a força instantânea df na

área atual dA, mas calculada por unidade de área de referencia dA

e expressa em

termos de sua normal n

. A relação entre T

e σ é obtida na equação .

−

det

( 3.2.48 )

O segundo tensor de Piola-Kirchhoff

O primeiro tensor de Piola-Kirchhoff não é simétrico, isto leva a relações

constitutivas muito complexas. Por isto se faz necessário a definição de um tensor

simétrico. Uma das formas de obter o tensor simétrico é definir uma força e um tensor

que sejam transformados da mesma forma que na equação ( 3.2.6 ):

dfFdf

10 −

−

( 3.2.49 )

Usando a definição ( 3.2.47 ), tem-se o segundo tensor de Piola-Kirchhoff mostrado na

equação ( 3.2.52 ).

( )

(

)

FFFT

det

−−

( 3.2.50 )

Comparando com o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff, percebe-se que, ao

invés de relacionar df com a área dA, a equação ( 3.2.50 ) fornece a força df

em dA

relacionada com df, deste modo tem-se de uma medida Lagrangiana.

Apesar de ser simétrico sempre que σ também for, o tensor T leva a equações

de equilíbrio mais complexas que o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff.

Sendo ρ e ρ

as densidades das configurações deformada e indeformada

respectivamente, é possível relacionar σ, T e T

a partir do princípio da conservação

da massa e da equação ( 3.2.12 ):

0 −

= FT

(

)

FTT

10 −

FTF

3.2.4.

Relações constitutivas para material isotrópico elástico

Relações constitutivas são as equações que relacionam tensão com

deformação para que, obtendo a tensão, se possa calcular a deformação e vice-versa.

Nesta seção apresenta-se relações constitutivas para materiais isotrópicos elásticos,

lineares ou não-lineares. Segundo ATKIN e FOX (1980), o material elástico segue

duas regras:

• É um material em que a relação tensão x deformação é perfeitamente

reversível (seja esta relação linear ou não).

• O estado de tensões em um ponto do corpo depende apenas de uma

medida da deformação naquele ponto e não do histórico de

deformação.

Os materiais se dividem em isotrópicos, monotrópicos ou ortotrópicos

(VALENTE, 2004):

• Isotrópico - Material com as mesmas características em todas as

direções ou, material com características simétricas em relação a um

plano de orientação arbitrária.

• Monotrópico - Material com características simétricas relativamente a

planos paralelos e a planos perpendiculares a um eixo, que constitui a

direção de monotropia do material.

• Ortotrópico - Material com características simétricas relativamente a três

planos ortogonais.

Neste trabalho foram abordados apenas materiais isotrópicos.

3.2.4.1. Material linear

Segundo LAI et al., (1993), um material linear elástico ideal tem as seguintes

características:

• A relação entre a carga aplicada e a deformação é linear.

• Ao se remover a carga, as deformações desaparecem completamente.

• As deformações são muito pequenas.

Para descrever o comportamento de um material linear elástico sob um estado

de tensões tridimensional é preciso conhecer duas propriedades: o módulo de

elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson (ν). A relação constitutiva para um material

linear elástico é a lei de Hooke, que está representada na equação ( 3.2.51 ):













−

ijkkijij

δε

211

( 3.2.51 )

Onde σ é o tensor tensão de Cauchy e ε é o tensor deformação infinitesimal. O

módulo de compressibilidade é representado pela equação ( 3.2.52 ).

( )

213 −

( 3.2.52 )

3.2.4.2. Material não-linear

A relação constitutiva apresentada na seção anterior na equação ( 3.2.51 ) só

pode ser utilizada para modelar pequenas deformações e mesmo se as deformações

forem pequenas, essa equação só pode modelar comportamentos lineares. Sabe-se

que estas limitações restringem os polímeros quase que em sua totalidade. O

comportamento dos polímeros apresenta grandes deformações no regime elástico,

além de suas relações tensão x deformação serem bastante complexas. Existem três

tipos de lei constitutiva não-linear (LAI et al., 1993) e (BONNET e WOOD, 1997):

• Hipoelasticidade – Dedicada a modelar o comportamento tensão x

deformação não-linear restrito a deformações elásticas pequenas. É

indicada para as teorias aproximadas de plasticidade.

• Materiais Hookeanos – É usada em materiais com características

próximas a materiais lineares elásticos, estendendo para deformações

finitas.

• Hiperelasticidade – Quando o trabalho feito pela tensão durante o

processo de deformação é dependente apenas do estado inicial e da

configuração final, o material é denominado hiperelástico Seu

comportamento inclui tanto cinemática não-linear quanto tensão x

deformação não linear.

Como foi demonstrado no início desta seção, para um material elástico, o

estado de tensões em um ponto do corpo depende apenas de uma medida da

deformação naquele ponto. Esta medida da deformação pode ser obtida através da

chamada elasticidade de Cauchy. Na equação ( 3.2.53 ) tem-se a equação constitutiva

geral para a elasticidade de Cauchy.

)(Bf

( 3.2.53 )

O caso tridimensional isotrópico mais geral, segundo LAI et al. (1993) é

representado pela equação ( 3.2.54 ):

210

BaBaIa ++=

( 3.2.54 )

Onde

são funções escalares dos invariantes escalares do tensor B.

Aplicando o teorema de Cayley-Hamilton (APÊNDICE B) para B, tem-se:

=−+− IIBIBIB

( 3.2.55 )

Multiplicando a equação ( 3.2.55 ) por

1−

e substituindo em ( 3.2.54 ), tem-se

a equação ( 3.2.56 ) que é a forma mais geral de relação constitutiva para um material

isotrópico elástico sob grandes deformações.

210

−

++= BbBbIb

( 3.2.56 )

Onde b

, b

e b

são funções escalares dos invariantes escalares de B.

Considerando sua incompressibilidade, as equações constitutivas ficam

bastante simplificadas, porém quando o material é considerado incompressível, a

solução do problema não pode ser obtida apenas em função dos deslocamentos. Nos

casos onde se tem materiais quase incompressíveis (coeficiente de Poisson bem

próximo a 0,5), é possível notar um comportamento muito particular onde qualquer

pequena alteração no deslocamento produz grandes alterações na tensão, de modo

que uma solução baseada simplesmente no deslocamento é muito sensível para ser

usada numericamente. Segundo HIBBITT et al. (2002), é preciso inserir uma tensão

hidrostática indeterminada

, sem alterar os deslocamentos. Tem-se assim, a

equação ( 3.2.57 ):

−

−+−=

BbBbpI

( 3.2.57 )

Segundo LAI et al. (1993), as funções

podem ser derivadas de uma função

W dos invariantes

do tensor B tal que:

∂

( 3.2.58 )

∂

−=

( 3.2.59 )

Onde W é uma função densidade de energia de deformação. Substituindo as

equações ( 3.2.58 ) e ( 3.2.59 ) na equação ( 3.2.57 ), tem-se a seguinte relação

constitutiva:

−

∂

−

∂

+−= B

( 3.2.60 )

3.2.4.3. Soluções analíticas para sólidos incompressíveis

Para determinar a função densidade de energia é preciso realizar ensaios

experimentais. Estes ensaios correspondem a uma classe de problemas que possuem

solução analítica por tratar-se de problemas submetidos a deformações homogêneas

puras obedecendo a equação ( 3.2.15 ). Nesta seção apresenta-se a solução analítica

para o casos de tração de uma lâmina incompressível.

O tensor B pode ser obtido com a equação ( 3.2.33 ) e as equações ( 3.2.21 )

nos fornecem os invariantes de deformação (VAZ e LEMOS, 2001):

Primeiro invariante de deformação:

λλλ

++=I

( 3.2.61 )

Segundo invariante de deformação:

λλλλλλ

++=I

( 3.2.62 )

Terceiro invariante de deformação:

λλλ

( 3.2.63 )

Devido à condição de incompressibilidade, pode-se eliminar o alongamento

das equações:

321

λλλ

( 3.2.64 )

λλ

( 3.2.65 )

Para que as condições de equilíbrio sejam satisfeitas, a tensão hidrostática

indeterminada

deve ser constante, como na equação ( 3.2.66 ):

tan

pteconsp

( 3.2.66 )

Substituindo as equações ( 3.2.33 ), ( 3.2.64 ), ( 3.2.65 ) e ( 3.2.66 ) na

equação ( 3.2.60 ), tem-se o seguinte campo de tensões:

1011

∂

−

∂

+−=

λσ

( 3.2.67 )

2022

∂

−

∂

+−=

λσ

( 3.2.68 )

033

∂

−

∂

+−=

λλ

( 3.2.69 )

A partir das equações ( 3.2.67 ), ( 3.2.68 ) e ( 3.2.69 ), pode-se obter soluções

analíticas para vários casos de geometria e carregamento.

3.2.4.3.1.

Tração de uma lâmina fina incompressível

Considerando o caso de tração uniaxial, representado pela Figura 3.9, pode-se

adotar as seguintes premissas descritas nas equações abaixo:

3322

σσ

( 3.2.70 )

λλ

( 3.2.71 )

λλ

( 3.2.72 )

Figura 3.9. Extensão uniaxial (MARCZAK, 2006)

Segundo LAI et al. (1993), a equação ( 3.2.72 ) descreve a condição isocórica (não há

alteração volumétrica). Neste caso, o tensor de deformação de Cauchy-Green à

esquerda torna-se:













( 3.2.73 )

Substituindo as equações ( 3.2.71 ) e ( 3.2.72 ) nas equações ( 3.2.61 ) e

( 3.2.62 ), tem-se as definições dos invariantes de deformação para o caso de

extensão uniaxial:

+=I

( 3.2.74 )

+=I

( 3.2.75 )

A pressão hidrostática é obtida substituindo as equações( 3.2.70 ) a ( 3.2.72 )

em ( 3.2.69 ), tem-se:

∂

−

∂

( 3.2.76 )

A equação ( 3.2.77 ), que representa a equação da tensão uniaxial, pode ser

obtida combinando as equações, ( 3.2.71 ), ( 3.2.76 ) com ( 3.2.67 ):













∂













−==

λλ

λσσ

( 3.2.77 )

3.2.5. Modelos hiperelásticos

Os modelos constitutivos para materiais hiperelásticos descrevem o

comportamento do material através da energia de deformação. A função densidade de

energia de deformação pode ser descrita como:

(

)

321

,, IIIWW =

(

)

321

λλλ

WW =

( 3.2.78 )

Onde,

321

λλλ

são os três principais alongamentos e

321

,, III

são os

invariantes de deformação. Os diversos modelos hiperelásticos existentes se dividem

em duas categorias (BERTONI, 2009) e (VAZ e LEMOS, 2001):

• Modelos micromecânicos: são modelos que foram desenvolvidos a partir de

informações sobre as ligações químicas do material.

• Modelos fenomenológicos: são modelos que foram baseados em observações do

comportamento do material durante testes.

Tem-se a seguir alguns exemplos de modelos micromecânicos e modelos

fenomenológicos.

Modelos Fenomenológicos

• Mooney-Rivlin (1951)

• Gent-Thomas (1958)

• Blatz-Ko (1962)

• Hart-Smith Aprimorado (1966)

• Hart-Smith (1966)

• Fung (1967)

• Veronda-Westmanns (1970)

• Ogden (1972)

• Peng-Landel (1972)

• Hyperfoam (1972)

• Knowles (1977)

• Kilian (1981)

• Van der Waals (1981)

• Humphrey- Yin (1981)

• Takamizawa-Hayashi (1987)

• Yeoh (1990)

• Yeoh-Modificado (1993)

• Yamashita-Kawabata (1993)

• Davis-De-Thomas (1994)

• Gregory (1997)

• Yeoh-Fleming (1997)

• Martins (1998)

• Amin (2002)

• Hartmann-Neff (2003)

• Bechir (2005)

• Polinomial (-)

Modelos Micromecânicos

• Neo-Hookeano (1943)

• Edwards-Vilgis (1987)

• Arruda-Boyce (1993)

• Gent (1996)

• Gent-03 Parâmetros (1999)

• Pucci-Saccomandi (2004)

• Horgan-Saccomandi (2002)

Neste trabalho, fez-se a análise do material hiperelástico em 5 modelos que

estão descritos a partir da próxima seção. Os modelos hiperelásticos apresentados a

seguir estão particularizados para o caso incompressível e fornecem como resposta os

coeficientes para o cálculo da função de energia de deformação.

3.2.5.1. Modelo de Mooney-Rivlin

É o modelo mais conhecido entre os modelos hiperelásticos. Também

chamado de modelo polinomial, é baseado no primeiro e segundo invariante de

deformação:

2 termos (polinomial de ordem 1)

)3()3(

201110

−+−= ICICW

( 3.2.79 )

3 termos (polinomial de ordem 2 considerando

)

)3)(3()3()3(

2111201110

−−+−+−= IICICICW

( 3.2.80 )

Onde C

, C

e C

são os coeficientes do material.

3.2.5.2. Modelo Neo Hooke

É um caso particular do modelo de Mooney-Rivlin de dois termos,

considerando

. A função energia de deformação fica então baseada no 1º

invariante:

)3(

110

−= ICW

( 3.2.81 )

3.2.5.3. Modelo de Ogden

É baseado diretamente nos alongamentos ao invés dos invariantes de

deformação:

( )

∑

−++=

nnn

321

ααα

λλλ

( 3.2.82 )

Onde

são constantes, podendo ser positivas ou negativas, inteiras ou

não. Neste modelo, deve-se respeitar a seguinte restrição:

∑

αµµ

( 3.2.83 )

O modelo de Ogden com 4 parâmetros, por exemplo, está descrito na equação

( 3.2.84 ):

( ) ( )

222111

321

−+++−++=

αααααα

λλλ

( 3.2.84 )

A partir deste modelo, pode-se obter outros modelos por simplificação, como o

Neo-Hooke onde

µµ

e o modelo de Mooney-Rivlin de 2 termos,

onde

101

2C=

012

2C−=

=−=

αα

3.2.5.4. Modelo de Yeoh

Este modelo é baseado no primeiro invariante de deformação. Normalmente a

sua versão mais usual é a de três termos

∑

−=

ICW

)3(

( 3.2.85 )

2 termos (polinomial reduzido de ordem 2)

120110

)3()3( −+−= ICICW

( 3.2.86 )

3 termos

130

120110

)3()3()3( −+−+−= ICICICW

( 3.2.87 )

Onde um dos três coeficientes da equação da energia específica de

deformação tem que ser negativo.

3.2.5.5. Modelo Polinomial

É um dos modelos mais recentes que tenta ajustar um polinômio de grau

desejado ao diagrama

do material:

IICW )3()3(

−+−=

∑

( 3.2.88 )

O modelo polinomial de ordem 2, por exemplo, está descrito na equação

(3.2.89):

)3)(3()3()3()3()3(

2111

202201

120110

−−+−+−+−+−= IICICICICICW

(3.2.89)

3.3. OBTENÇÃO DA CURVA TENSÃO X DEFORMAÇÃO

Para obtenção da curva tensão x deformação, realizou-se ensaios de tração e

compressão com o objetivo de caracterizar o material hiperelástico a ser usado na

modelagem numérica. Para a realização destes ensaios utilizou-se pequenas

amostras de enrijecedores como corpos de prova. Estas amostras foram usinadas

para a obtenção de cilindros utilizados nos ensaios de compressão e tiras planas, que

foram posteriormente cunhadas na forma de gravatinha para serem utilizadas nos

ensaios de tração. Os ensaios de tração e compressão foram realizados em uma

máquina Instron, modelo 5582. Realizaram-se os ensaios de tração até a ruptura do

material, e nos ensaios de compressão ensaiou-se os corpos de prova até o

surgimento de uma visível deformação em seu eixo radial (flambagem). Os ensaios

foram realizados de acordo com as normas ASTM D412 para tração e ASTM D695

para compressão.

Segundo a norma ASTM D695, testes de compressão não devem ser

considerados significativos para projetos de engenharia quando expressivas

diferenças são observadas entre as condições de ensaio normalizadas e as reais de

aplicação. Para projetos de engenharia serão necessários testes adicionais, como

testes de impacto, de fluência e de fadiga. Tendo em vista a impossibilidade do uso de

extensômetro neste ensaio, a caracterização de materiais poliméricos sob compressão

é difícil. É muito comum corpos de prova apenas se deformarem sem a ocorrência de

fratura, sendo assim, fica difícil precisar o momento da falha, portanto decidiu-se

desconsiderar os ensaios de compressão.

O ensaio de tração foi realizado com uma velocidade de travessão de

500mm/min, conforme mencionado pela norma ASTM D412. A deformação nos

estágios iniciais de ensaio foram medidas utilizando um extensômetro apropriado para

elastômeros, modelo OP-1439. Como os ensaios foram levados até a ruptura, o

extensômetro foi removido durante o ensaio. Enquanto a força ainda era muito

pequena, até que a garra fixasse o corpo de prova de maneira definitiva, observou-se

um escorregamento do corpo de prova na garra, o que ocasionou dados iniciais de

tensão e deformação diferentes de zero. Para que os gráficos tensão x deformação

obtidos partissem do eixo 0, os mesmos foram corrigidos.

3.3.1.

Preparação dos dados do ensaio de tração uniaxial

Segundo MILLER (1995), as definições para tensão e deformação de

engenharia são:

t =

( 3.3.1 )

e =

( 3.3.2 )

Onde

é o deslocamento e F é a força durante o ensaio de tração uniaxial; e

é o comprimento inicial e A

a área inicial da seção transversal do corpo de prova. A

deformação de engenharia (nominal) é obtida através do ensaio e é dada pela

equação ( 3.3.3 ). A deformação real pode ser obtida pela equação ( 3.3.4 )

empregando a deformação logarítmica, este valor é uma medida instantânea de

deformação. A relação entre a deformação nominal e a deformação real é apresentada

na equação ( 3.3.5 ):

−

( 3.3.3 )

====

∫∫

εε

( 3.3.4 )

(

)

e+= 1ln

( 3.3.5 )

Como a equação ( 3.2.60 ) utiliza o tensor

que é descrito em função dos

alongamentos

, deve-se trabalhar com os alongamentos ao invés dos

deslocamentos. A equação ( 3.3.6 ) mostra a transformação dos deslocamentos em

alongamentos:

== 1

( 3.3.6 )

Substituindo ( 3.3.6 ) em ( 3.3.5 ), tem-se a equação ( 3.3.7 ):

(

)

λε

ln=

( 3.3.7 )

Como se observa na equação ( 3.3.8 ), o volume do corpo de prova é

constante, pode-se assim ter uma representação para a tensão real a partir da área

deformada como descrito na equação ( 3.3.9 ) que é a chamada tensão de Cauchy.

( 3.3.8 )

===

( 3.3.9 )

Substituindo ( 3.3.6 ) em ( 3.3.9 ), tem-se na equação ( 3.3.10 ) a tensão

verdadeira em função do alongamento e da tensão de engenharia (nominal):

tet

)1(

( 3.3.10 )

Combinando as equações ( 3.3.10 ) e ( 3.2.77 ), tem-se a equação ( 3.3.11 )

que é uma equação com um valor de

para tração uniaxial em função de













∂













−=

( 3.3.11 )

Na Figura 3.10 tem-se um exemplo de um típico material hiperelástico, onde é

possível comparar os gráficos tensão x deformação verdadeiros (σ x ε) e tensão x

deformação nominais (t x e).

100

0 1 2 3 4

Deformação

Tensão (MPa)

t x e

Figura 3.10. Exemplo de comparação entre tensão x deformação verdadeiros

(

)

εσ

e tensão x deformação nominais

(

)

txe

3.3.2.

Ajuste dos modelos hiperelásticos

Os modelos hiperelásticos para o cálculo da energia de deformação são

usados para se obter a curva tensão x deformação do modelo. Ao se substituir as

equações ( 3.2.80 ), ( 3.2.81 ), ( 3.2.84 ), ( 3.2.86 ), ( 3.2.87 ) e (3.2.89) na equação

( 3.3.11 ), tem-se os ajustes das equações tensão x deformação para cada modelo

hiperelástico apresentado.

Ajuste para o Modelo de Mooney-Rivlin:

























−=

( 3.3.12 )

Ajuste para o Modelo de Neo Hooke:













−=

( 3.3.13 )

Ajuste para o Modelo de Ogden com 4 parâmetros:













−+













−=

−−

−

−−

−

λλµλλµ

( 3.3.14 )

Ajuste para o Modelo de Polinomial reduzido de ordem 2:

( )( )

12010

−+













−= ICCt

( 3.3.15 )

Ajuste para o Modelo de Yeoh:

( ) ( )

(

)

13012010

3332

2 −+−+













−= ICICCt

( 3.3.16 )

Ajuste para o Modelo Polinomial de ordem 2:

( ) ( )( )

(

)

(

)

(

)













−+−+

+−+−+













−=

323

20211101

12021110

ICICC

ICICCt

(3.3.17)

3.3.3. Concentração de tensões

Algumas vezes, a regularidade na distribuição de tensões ao longo de uma

determinada dimensão na seção de uma peça é interrompida por aumentos

inesperados na tensão, causados por condições extras ou alguma descontinuidade

que proporciona às tensões valores maiores que os obtidos pelas equações comuns

da Mecânica dos Materiais. Quando este aumento de tensão é muito grande, fazendo

com que em uma curta distância a intensidade da tensão aumente bastante, as

tensões são consideradas muito localizadas e a situação é descrita como

“Concentração de Tensões”.

Segundo MEDEIROS (1984), concentração de tensões é uma elevação

localizada de tensões que pode ocorrer numa peça estrutural em conseqüência de

uma causa extra que intencional ou casualmente a peça apresenta num dado local. As

causas de concentração de tensões podem ser as mais variadas possíveis, como:

• Grandes modificações na seção como, por exemplo em raízes de roscas de

parafusos, base de dente de engrenagem, no canto de um rasgo de

chaveta ou em uma viga contendo um furo;

• Pressão nos pontos de aplicação de forças externas, tais como, nos pontos

de contato de dente de engrenagem ou em blocos de sustentação junto às

extremidades de uma viga;

• Descontinuidades no próprio material como, por exemplo, bolhas de ar em

concreto ou inclusões não-metálicas no aço;

• Fendas existentes na peça ocasionadas no processo de fabricação como,

por exemplo, de soldagem, esmerilhamento ou de um trabalho de

conformação a frio;

• Tensões iniciais numa peça em conseqüência, por exemplo, do excesso de

esforço e trabalho a frio de metais ou de tensões residuais que resultam de

operações de soldagem.

Segundo TIMOSHENKO (1966), a maioria das rupturas de peças de máquinas

em serviço pode ser atribuída a pontos de concetração de tensões.

Visando criar um concentrador de tensões para simular uma trinca nos corpos

de prova utilizados nos ensaios de tração, usinaram-se alguns deles para a inserção

de entalhes de diferentes tamanhos de acordo com a Tabela 3.1. O detalhe do entalhe

assim como sua posição no corpo de prova, podem ser observados na Figura 3.11.

Figura 3.11. Corpo de prova

Tabela 3.1. Tamanho dos entalhes nos

corpos de prova

Corpo de Prova

Tamanho do Entalhe

2 mm

1 mm

Sem entalhe

Após a usinagem, os corpos de prova foram analisados no microscópio para

medição dos entalhes. Como o material é bastante irregular, a distância entre o pico e

o vale nos corpos de prova é grande e a imagem do microscópio não consegue focar o

vale e o pico juntos quando aumentada em 500 vezes. A falta de foco nestas imagens

comprometeu a medição, fez-se então a medição dos entalhes em um projetor de

perfis. A seguir, apresenta-se nas Figuras 3.12 a 3.15 a visualização pelo microscópio

da superfície de alguns corpos de prova após a usinagem e a tabela com as medidas

dos entalhes nos corpos de prova.

Figura 3.12

. Corpo de prova 1 com

aumento de 100 vezes

Figura 3.13

. Corpo de prova 1 com

aumento de 500 vezes

Figura 3.14

. Corpo de prova 3 com

aumento de 100 vezes

Figura 3.15

. Corpo de prova 3 com

aumento de 500 vezes

Tabela 3.2. Medidas dos corpos de prova (dimensões em mm)

Entalhe

Lado 1 Lado 2

Largura do CP Espessura do CP

1 2,05 2,13 9,96 3,18

2 2,15 2,06 10,03 3,07

3 1,10 1,07 10,09 3,16

4 1,13 1,09 10,02 3,01

5 - - 9,95 2,98

6 - - 10,04 3,10

3.3.4. Ensaio de Tração Uniaxial

O ensaio de tração foi realizado em 6 corpos de prova, sendo 2 deles inteiros e

os outros 4 corpos de prova contendo pequenos entalhes. Em todos os ensaios, os

corpos de prova foram ensaiados até a fratura que aparentemente ocorreu de forma

frágil.

Para os ensaios dos corpos de prova 1, 2, 3 e 4, o extensômetro foi retirado

pouco antes da ruptura e nos corpos de prova 5 e 6 (ambos sem entalhe), foi retirado

quando atingiu-se uma deformação nominal da ordem de 30%. A seguir apresentam-

se o resultado dos ensaios de tração com os gráficos tensão x deformação nominais

retirados do ensaio experimental e também a curva tensão x deformação verdadeira. A

tensão verdadeira foi calculada a partir da equação ( 3.3.10 ) e a deformação

verdadeira foi calculada a pela equação ( 3.3.7 ).

Tração Ensaio CP1

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Deformação

Tensão (MPa)

Tensão x Deformação (Verdadeiros)

Tensão x Deformação (Nominais)

Figura 3.16. Gráfico tensão x deformação

para o CP1

Tração Ensaio CP2

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Deformação

Tensão (MPa)

Tensão x Deformação (Verdadeiros)

Tensão x Deformação (Nominais)

Figura 3.17. Gráfico tensão x deformação

para o CP2

Tração Ensaio CP3

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Deformação

Tensão (MPa)

Tensão x Deformação (Verdadeiros)

Tensão x Deformação (Nominais)

Figura 3.18. Gráfico tensão x deformação

para o CP3

Tração Ensaio CP4

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Deformação

Tensão (MPa)

Tensão x Deformação (Verdadeiros)

Tensão x Deformação (Nominais)

Figura 3.19. Gráfico tensão x deformação

para o CP4

Tração Ensaio CP5

100

150

200

0 1 2 3 4 5

Deformação

Tensão (MPa)

Tensão x Deformação (Verdadeiros)

Tensão x Deformação (Nominais)

Figura 3.20. Gráfico tensão x deformação

para o CP5

Tração Ensaio CP6

100

150

200

0 1 2 3 4 5

Deformação

Tensão (MPa)

Tensão x Deformação (Verdadeiros)

Tensão x Deformação (Nominais)

Figura 3.21. Gráfico tensão x deformação

para o CP6

Na Tabela 3.3, pode-se ver os valores para as tensões e deformações

nominais e verdadeiras no momento da ruptura de cada um dos corpos de prova e na

Figura 3.22, tem-se uma comparação dos gráficos tensão x deformação verdadeiros

dos corpos de prova com entalhe. Fez-se a média da tensão verdadeira de ruptura dos

4 corpos de prova com entalhe, e o valor obtido foi 10,9 MPa, como mostrado no

gráfico. Neste trabalho, considera-se este valor como a tensão máxima admissível no

material com um concentrador de tensões.

Tabela 3.3. Tensões e deformações nominais e verdadeiras para cada corpo de prova

Tensão nominal

(MPa)

Tensão verdadeira

(MPa)

Deformação

nominal (%)

Deformação

verdadeira (%)

1 5,2 11,2 25 22

2 4,9 9,9 18 16

3 6,3 10,9 37 31

4 6,4 11,5 38 32

5 30,3 160,2 434 168

6 31,3 171,4 449 170

Tensão x Deformação (verdadeiras)

10,9

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Deformação

Tensão (MPa)

CP1 (entalhe 2 mm)

CP2 (entalhe 2 mm)

CP3 (entalhe 1 mm)

CP4 (entalhe 1 mm)

Tensão Máxima Admissível

Figura 3.22. Gráfico tensão x deformação para os corpos de prova com entalhe

Como já foi mostrado anteriormente, tem-se, a partir dos ensaios os pontos

para os gráficos tensão x deformação nominais, porém, para a entrada de dados no

modelo com o material hiperelástico é necessário fazer o ajuste dessa curva. O ajuste

das curvas foi feito pelas equações ( 3.3.12 ) a (3.3.17) e pode ser visto a seguir:

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Mooney-Rivlin

Modelo Neo-Hook

Modelo Ogden com 4 parâmetros

Figura 3.23. Ajuste da curva para o CP1

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Yeoh

Modelo Polinomial Reduzido (N=2)

Modelo Polinomial (N=2)

Figura 3.24. Ajuste da curva para o CP1

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Mooney-Rivlin

Modelo Neo-Hook

Modelo Ogden com 4 parâmetros

Figura 3.25 Ajuste da curva para o CP2

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Yeoh

Modelo Polinomial Reduzido (N=2)

Modelo Polinomial (N=2)

Figura 3.26 Ajuste da curva para o CP2

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Mooney-Rivlin

Modelo Neo-Hook

Modelo Ogden com 4 parâmetros

Figura 3.27. Ajuste da curva para o CP3

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Yeoh

Modelo Polinomial Reduzido (N=2)

Modelo Polinomial (N=2)

Figura 3.28. Ajuste da curva para o CP3

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Mooney-Rivlin

Modelo Neo-Hook

Modelo Ogden com 4 parâmetros

Figura 3.29. Ajuste da curva para o CP4

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Deformação

Trensão

Modelo Experimental

Modelo Yeoh

Modelo Polinomial Reduzido (N=2)

Modelo Polinomial (N=2)

Figura 3.30. Ajuste da curva para o CP4

0 1 2 3 4 5

Deformação

Tensão

Modelo Experimental

Modelo Mooney-Rivlin

Modelo Neo-Hook

Modelo Ogden com 4 parâmetros

Figura 3.31. Ajuste da curva para o CP5

0 1 2 3 4 5

Deformação

Tensão

Modelo Experimental

Modelo Yeoh

Polinomial Reduzido (N=2)

Modelo Polinomial (N=2)

Figura 3.32. Ajuste da curva para o CP5

0 1 2 3 4 5

Deformação

Tensão

Modelo Experimental

Modelo Mooney-Rivlin

Modelo Neo-Hook

Modelo Ogden com 4 parâmetros

Figura 3.33. Ajuste da curva para o CP6

0 1 2 3 4 5

Deformação

Tensão

Modelo Experimental

Modelo Yeoh

Polinomial Reduzido (N=2)

Modelo Polinomial (N=2)

Figura 3.34. Ajuste da curva para o CP6

Ajustou-se cada curva acima representada de acordo com os coeficientes

mostrados dos modelos do item 3.3.2 deste capítulo. As constantes para os ajustes

das curvas dos modelos hiperelásticos obtidas nos ensaios podem ser vistas no

APÊNDICE C.

3.3.5. Avaliação do erro dos modelos hiperelásticos

Os modelos hiperelásticos são comparados a partir do estudo dos erros que

cada um deles apresenta. Para mensurar este erro, avaliou-se a qualidade do ajuste

empregado de duas maneiras, sendo a primeira delas através do erro normalizado dos

modelos e a segunda através do coeficiente de determinação (R

A normalização do erro é obtida com base nos resultados dos ensaios, de

acordo com a equação ( 3.3.18 ).

erro 100=

( 3.3.18 )

Sendo E definido como o erro absoluto pela equação ( 3.3.19 ), e P, o valor absoluto

dado pelos pontos do modelo pela equação ( 3.3.20 ).

∑

−=

( 3.3.19 )

∑

( 3.3.20 )

é dado pelos pontos de tensão obtidos nos ensaios experimentais, P

pelos

pontos de tensão dos modelos hiperelásticos e N se refere ao total de pontos obtidos

nos ensaios.

A partir das equações de normalização do erro, verifica-se que quanto menor

for o erro normalizado, melhor será o modelo hiperelástico.

Para calcular o coeficiente de determinação R

, defini-se E como sendo a

média dos valores obtidos para a tensão nos ensaios experimentais, SSE a soma dos

quadrados da diferença entre os erros dos resultados de tensão dos modelos e os

resultados de tensão dos ensaios e SST a soma dos quadrados da diferença entre os

resultados de tensão dos ensaios e a média dos valores obtidos para a tensão nos

ensaios experimentais. As equações estão representadas respectivamente nas figuras

( 3.3.21 ), ( 3.3.22 ) e ( 3.3.23 ). O valor de R

é obtido a partir da equação ( 3.3.24 ).

∑

( 3.3.21 )

( )

∑

−=

EPSSE

( 3.3.22 )

( )

∑

−=

EESSE

( 3.3.23 )





















≤−

SSTSSEse

SST

SSE

( 3.3.24 )

Quanto mais próximo o valor de R

estiver de 1, melhor será o modelo. A tabela

apresentada no APÊNDICE D mostra os valores do erro normalizado e do coeficiente

de determinação (R

) para cada modelo hiperelástico proposto em cada corpo de

prova analisado. Como é possível observar nesta tabela, o melhor ajuste da curva

tensão x deformação do material é o ajuste pelo modelo Polinomial de ordem 2.

4. ANÁLISE DE ENRIJECEDORES

4.1. INTRODUÇÃO

Um sistema submarino de escoamento pode ser definido como um conjunto de

equipamentos cuja função é escoar fluidos de um ponto de partida até um ponto de

chegada. O trecho do duto submarino que fica suspenso é chamado de riser e o

trecho em contato com o solo marinho é chamado de duto submarino (flowline). Um

sistema marítimo de escoamento pode ser composto de dutos flexíveis, dutos rígidos

ou ainda ser um sistema misto, composto por ambos (trechos de dutos rígidos e

trechos de dutos flexíveis).

Riser é o trecho do duto que conecta à UEP (Unidade Estacionária de

Produção ou Plataforma) a um equipamento à meia-água ou no fundo, inclusive um

flowline. Nas UEPs, as estruturas do tipo riser ficam suspensas, em configurações de

catenária (catenária-livre ou variações). Os risers rígidos são tubos de aço, de

aproximadamente 12 metros de comprimento, formados por uma série de juntas

acopladas umas às outras, geralmente unidos por solda de topo. Podem estar

envolvidos por flutuadores para diminuir o seu peso, quando em lâminas d’água

profundas. No caso dos risers rígidos, o problema principal é, em geral, a fadiga

causada pela vibração induzida devido aos movimentos da plataforma, à onda e

corrente, e conseqüente desprendimento de vórtices. A vantagem do riser rígido é seu

menor custo quando comparado com o riser flexível, a resistência a altas pressões e

também a possibilidade de utilização em configuração de catenária permitindo também

movimentos da embarcação.

Os risers flexíveis são mangotes especiais compostos por uma superposição

de camadas poliméricas, que fornecem estanqueidade interna e externa, e de

camadas metálicas espiraladas, responsáveis pela resistência à ação dos diversos

carregamentos mecânicos aos quais as linhas flexíveis estão submetidas ao longo da

sua vida útil. Sua principal característica é a baixa rigidez à flexão. A vantagem dos

flexíveis, em geral, é a maior deflexão máxima permitida, maior capacidade de

suportar esforços, maior vida útil, além de permitirem um maior offset da plataforma

em comparação a risers rígidos. A desvantagem dos risers flexíveis é que eles são

economicamente de maior custo, e a ação da alta pressão hidrostática com o aumento

da lâmina de água pode comprometer a sua utilização. A Figura 4.1 permite uma

compreensão melhor do sistema.

Figura 4.1. Linhas flexíveis (SOUZA, 2008)

Nas linhas rígidas são normalmente utilizadas Juntas Flexíveis (Flex Joints)

cuja função principal é o de prover rigidez flexional à extremidade da linha onde está

conectada, permitindo um certo grau de liberdade de rotação. Reduz drasticamente as

tensões induzidas por movimentos relativos entre a unidade flutuante e o riser. Nas

linhas flexíveis, na conexão com o topo da plataforma, são comumente empregados

os bend stiffeners, ou enrijecedores de curvatura para proteger contra flexão

excessiva.

O bend stiffener consiste em uma seção cônica de material polimérico

(normalmente poliuretano) e é montado na ponta dos risers para permitir a transição

suave de rigidez entre o riser flexível e o ponto de conexão. É um acessório cuja falha

pode causar a ruptura da linha flexível, provocando a interrupção da produção que só

pode ser retomada após a sua substituição. Segundo SOUZA (2008), o custo total dos

prejuízos ocasionados com uma parada para substituição de um enrijecedor por

motivo de falha pode ter grandeza de milhões de dólares, além de atrasos nos

cronogramas, descumprimento de metas de produção e eventuais acidentes

ambientais. A Figura 4.2 ilustra enrijecedores conectados a uma linha flexível.

Figura 4.2. Enrijecedor conectado a linha flexível (http://www.fesltd.co.uk)

4.2. PROJETO DE ENRIJECEDORES

Os enrijecedores são normalmente projetados através de programas

computacionais utilizando modelos de viga. A norma API SPEC 17J, especificação

para dutos flexíveis, que é suportada pela norma API SPEC 17B/ISO 13628-11, traz

em seu apêndice B os requisitos mínimos para projeto, seleção de materiais,

fabricação e teste de enrijecedores. Segundo a norma API SPEC 17J, as cargas de

projeto do enrijecedor devem ser determinadas em termos de tensões efetivas e

variações angulares a partir da posição média. A combinação de tensões e ângulos

analisados deve ser suficiente para garantir todos os possíveis casos de carregamento

e o enrijecedor deve ser capaz de transferir o carregamento para a estrutura suportada

com segurança. A metodologia de projeto deve ser documentada e verificada através

de testes ou análise em elementos finitos e deve levar em conta também propriedades

não-lineares de materiais. Um projeto de enrijecedor abrange normalmente as

seguintes etapas:

• Primeiro faz-se uma análise na linha flexível desconsiderando o enrijecedor

e submetendo o duto a cargas ambientais e operacionais extremas. Desta

primeira análise são coletados os dados no ponto de conexão;

• Os dados coletados na primeira análise são utilizados para dimensionar o

enrijecedor por meio de programas computacionais que utilizam modelos

de viga;

• Faz-se, outra vez, uma análise na linha flexível, porém desta vez considera-

se o dimensionamento do enrijecedor. Dependendo do resultado, o

enrijecedor é redimensionado e o processo retorna a interagir até a

obtenção de um dimensionamento ótimo.

4.3. MODELAGEM

Muitos trabalhos de engenharia podem ser descritos em termos de equações

diferenciais. O Método dos Elementos finitos é uma ferramenta poderosa usada na

resolução de equações diferenciais para modelagem de estruturas complexas, com

aplicações, particularmente, na Mecânica do Contínuo. Nesta, é usual a presença de

não linearidades devidas tanto ao material quanto à geometria.

O emprego do

Método de Elementos finitos (FEM) tem possibilitado ao engenheiro aperfeiçoar

tanto o projeto como o processo associado à fabricação.

A idéia básica do FEM é dividir o corpo em elementos conectados por nós e

obter uma solução aproximada. Em muitos casos, para obter uma solução

razoavelmente precisa, geralmente são necessários milhares de nós, portanto,

computadores modernos são essenciais para resolver estas equações. Geralmente, a

precisão da solução melhora à medida que o número de elementos (e nós) aumenta,

mas o tempo de análise e o custo também aumentam. Neste estudo, as simulações do

enrijecedor foram realizadas com o programa comercial de elementos finitos ABAQUS,

versão 6.5.

A biblioteca do ABAQUS dispõe de uma grande variedade de elementos finitos

(elementos de placa, elementos sólidos, elementos de viga e elementos de

membrana, entre outros), caracterizados por diferentes números e tipos de graus de

liberdade e selecionados pelo usuário conforme a natureza de sua aplicação.

4.3.1. Elemento

O comportamento dos elementos é caracterizado pelos seguintes aspectos

(HIBBITT et al., 2002):

• Família;

• Graus de liberdade;

• Números de nós;

• Formulação;

• Integração.

Família

Uma das principais diferenças entre as famílias dos elementos é a geometria

de cada família, como exemplo de famílias de elementos tem-se: elementos sólidos,

elementos de casca e elementos de viga. A Figura 4.3 indica as famílias de elementos

mais comuns usadas no Abaqus.

Figura 4.3. Famílias de elementos (HIBBITT et al., 2002)

Graus de liberdade

Os graus de liberdade representam as variáveis para cálculo durante a análise.

Para este trabalho, os graus de liberdade apontam a movimentação de cada nó, isto é,

o deslocamento e a rotação em cada um dos três eixos para cada nó.

Número de nós

Os graus de liberdade são calculados para cada nó do elemento. Para

qualquer outro ponto fora dos nós, seus graus de liberdade são obtidos através da

interpolação dos nós. O tipo de interpolação é determinado pelo número de nós de

cada elemento. Elementos que tem nós apenas nos vértices usam a interpolação

linear em cada direção e são chamados de elementos lineares ou elementos de

primeira ordem. Elementos com nós no meio das arestas entre cada vértice usam a

interpolação quadrática e são chamados de elementos quadráticos ou elementos de

segunda ordem. Elementos tetraédricos com nós no meio das arestas entre cada

vértice usam uma interpolação de segunda ordem modificada e são chamados de

elementos de segunda ordem modificados.

A Figura 4.4 representa os tipos de elementos de acordo com o número de

nós.

Figura 4.4. Tipos de elementos de acordo com o número de nós (HIBBITT et al., 2002)

Formulação

A formulação do elemento se refere à teoria matemática usada para definir o

comportamento do elemento. A descrição do comportamento dos elementos pode ser

baseada nas teorias de Lagrange e Euler entre outras. Na formulação Euleriana, as

coordenadas associadas ao corpo deformado, chamadas de coordenadas espaciais,

são utilizadas como as coordenadas de referência. Já na formulação Lagrangiana, as

coordenadas associadas ao corpo antes de sua deformação, chamadas de

coordenadas materiais são empregadas como as coordenadas de referência. A

formulação Lagrangiana é a mais adequada para análises não lineares onde é

importante conhecer o histórico de deformação em cada ponto do corpo durante o

processo de carregamento. A formulação Euleriana é mais adequada para a análise

de problemas de mecânica dos fluidos, onde é necessário conhecer o movimento do

material ao longo de um volume de controle.

Um caso especial envolve materiais quase incompressíveis a grandes

deformações. Como mencionado no item 3.2.4.2, para este caso é preciso inserir uma

tensão hidrostática na relação constitutiva, pois qualquer pequena alteração no

deslocamento produz grandes alterações na tensão, e o uso numérico de uma solução

baseada simplesmente no deslocamento não é recomendado devido a sua

sensibilidade. Segundo HIBBITT et al. (2002), este comportamento singular é

removido do sistema tratando-se a tensão como uma variável de solução básica

interpolada independentemente, acoplada à solução de deslocamento através da

teoria constitutiva e da condição de compatibilidade, com este acoplamento

implementado por um multiplicador de Lagrange. Esta interpolação independente da

tensão é a base dos elementos híbridos. Mais precisamente, os elementos híbridos

são elementos de “formulação mista”, usando uma mistura de variáveis de tensão e

deslocamento com um princípio variacional acrescido para aproximar as equações de

equilíbrio e as condições de compatibilidade. A relação constitutiva para materiais

quase incompressíveis a grandes deformações foi apresentada na equação ( 3.2.60 )

(HIBBITT et al., 2002).

Integração

O software Abaqus usa técnicas numéricas para integrar cada elemento. Na

maioria dos casos é usada a técnica Gaussiana quadrática. Alguns elementos sólidos

usam integração completa ou reduzida.

Nome dos elementos

As primeiras letras no nome dos elementos indicam a família a qual o elemento

pertence, por exemplo, S4R é um elemento de casca e C3D8I é um elemento sólido.

O número de nós também é identificado no nome do elemento, C3D8 possui 8 nós e

S4R possui 4 nós. Os elementos de viga, elementos de casca axissimétricos e

membranas usam uma convenção diferente, no lugar do número de nós, a ordem da

interpolação é identificada no nome. Um elemento de viga tridimensional de primeira

ordem, por exemplo é chamado de B31 enquanto um de segunda ordem é chamado

de B32. O elemento hibrido é identificado com a letra H no nome (C3D8H ou B31H) e

a integração reduzida é identificada com a letra R no fim do nome de cada elemento

(CAX4R).

4.3.2. Características do Enrijecedor

Sabe-se que os enrijecedores sujeitos à flexão apresentam uma relação não-

linear entre tensão e deformação, por isto, tentando minimizar os erros e obter maior

precisão, utilizou-se para análise do enrijecedor o resultado dos testes com material

não linear apresentados no capítulo 3. Portanto, na abordagem proposta para este

trabalho, admite-se que o corpo do enrijecedor sujeito à flexão é homogêneo,

composto de material hiperelástico e está sujeito a grandes deformações.

Os enrijecedores são instalados abaixo da conexão com a plataforma e

precisam de algum tipo de conector para fixá-lo de forma que sua superfície esteja

engastada. Estes conectores aumentam a rigidez na região do engaste, por isto, neste

trabalho, os resultados da região engastada do enrijecedor não foram considerados.

KIEPPER (2004) mostra o aumento da rigidez na região cilíndrica do enrijecedor

através da modelagem em elementos finitos do capacete e da luva instalados no

enrijecedor. Um exemplo de conector pode ser visto na Figura 4.5.

Figura 4.5. Exemplo de conector usado no enrijecedor (BIRCH , 1989)

Os dados geométricos do enrijecedor são os mesmos utilizados por BOEF e

OUT (1990) e CAIRE (2005). Para caracterização do material, optou-se por usar na

análise do enrijecedor os dados obtidos com o CP6 mostrados no gráfico da Figura

3.21. O motivo desta escolha deve-se à ruptura do material ter ocorrido com menor

tensão e menor deformação nominais se comparada ao CP5, que são os dois corpos

de prova inteiros, isto é, sem nenhum concentrador de tensões. A Tabela 4.1 compara

a tensão e a deformação nominais nestes dois corpos de prova. Ao trabalhar com a

menor tensão de ruptura, o resultado da análise será sempre mais conservador.

Tabela 4.1. Dados de tensão e deformação nominais da ruptura dos corpos de prova

sem entalhe

Tensão nominal no

momento da ruptura (MPa)

Deformação nominal no

momento da ruptura (%)

CP5 31,26 448,74

CP6 30,27 434,23

Para avaliar a precisão do ensaio e validar seus dados, fez-se simulações dos

ensaios de tração em elementos finitos usando o software Abaqus. Para maior

agilidade e rapidez nas análises, considera-se no software Abaqus o corpo de prova

como um plano no eixo xy e neste plano tem-se a simetria geométrica nos dois eixos.

Fez-se a análise do corpo de prova sem entalhe seis vezes, variando o tipo de

elemento e a quantidade de elementos de maneira aleatória. Usou-se dois tipos de

elementos diferentes, são eles:

• S3R - elemento plano, triangular com 3 nós e integração reduzida

• S4R - elemento plano, quadrática com 4 nós e integração reduzida

O detalhe das malhas, o tipo e a quantidade de elementos utilizados nas

análises realizadas é mostrado na Tabela 4.2.

Tabela 4.2. Detalhe das malhas utilizadas nas análises do corpo de prova sem entalhe

S3R

S3R S3R S3R S4R

S4R

Tipo de elemento triangular quadrática

Número de elementos

40 4064

11384

76321

63 1344

Número de nós 37 2181

778 38795

40 1369

As figuras a seguir apresentam os gráficos comparando as seis análises

realizadas com os diferentes tipos de malha. A Figura 4.6 mostra a comparação do

gráfico Força x Deslocamento e a Figura 4.7 mostra a comparação do gráfico Tensão

x Deformação. Nota-se que nos dois gráficos a diferença entre as análises é

imperceptível, não é possível enxergar as seis curvas no gráfico, pois todas as linhas

das seis análises estão sobrepostas. Assim, aparentemente, há apenas uma curva

visível no gráfico, porém estão todas sobrepostas. Segundo HIBBITT et al. (2002), a

malha triangular, que é uma derivação da malha quadrática para os casos bi-

dimensionais, é bastante precisa na maioria dos casos de carregamentos. No entanto,

devido à flexão e a deformação do elemento, é preciso uma malha mais refinada para

analisar casos de flexão pura ou casos envolvendo grandes deformações. Na análise

apresentada dos modelos computacionais dos corpos de prova sem entalhe, percebe-

se que não é necessário grande refinamento para obter precisão aceitável do

resultado, isto se deve a simplicidade do modelo sem concentrador de tensões.

Embora sujeito a grandes deformações, a influência do tipo de malha neste modelo

simples é pequena.

Força x Deslocamento

200

400

600

800

1000

0 150 300 450

Deslocamento (mm)

Força (N)

S3R - 40 Elementos

S3R - 4064 Elementos

S3R - 76321 Elementos

S3R - 11384 Elementos

S4R - 63 Elementos

S4R - 1344 Elementos

Figura 4.6. Comparação força x deslocamento entre as análises dos modelos

computacionais dos corpos de prova sem entalhe

Tensão x Deformação

100

150

200

0 0,5 1 1,5 2

Deformação

Tensão (MPa)

S3R - 40 Elementos

S3R - 4064 Elementos

S3R - 76321 Elementos

S3R - 11384 Elementos

S4R - 63 Elementos

S4R - 1344 Elementos

Figura 4.7. Comparação tensão x deformação entre as análises dos modelos

computacionais dos corpos de prova sem entalhe

Na Figura 4.8 tem-se o gráfico força x deslocamento comparando o modelo

computacional e os ensaios dos corpos de prova sem entalhe (CP5 e CP6). Os

modelos computacionais mostrados nesse gráfico são dois, um com a malha

quadrática e outro com a malha triangular, ambos sobrepostos. Percebe-se que as

curvas andam juntas até um deslocamento de aproximadamente 300 mm e força

aproximada 560 N, após este ponto, a grandes deformações, as curvas se distanciam

um pouco.

Força x Deslocamento

200

400

600

800

1000

0 150 300 450

Deslocamento (mm)

Força (N)

CP5

CP6

Elementos Finitos - quad

Elementos Finitos - triang

Figura 4.8. Comparação força x deslocamento entre o modelo

computacional e o ensaio de tração

Os gráficos tensão nominal x deformação nominal, estão mostrados na Figura

4.9 e na Figura 4.10, sendo o primeiro para o ensaio completo até a sua ruptura e o

segundo para uma deformação de até 30%, comparando novamente os modelo

computacionais e os ensaios dos corpos de prova CP5 e CP6.

Tensão x Deformação

100

150

200

0 0,5 1 1,5 2

Deformação

Tensão (MPa)

CP 5

CP 6

Elementos Finitos - quad

Elementos Finitos - triang

Figura 4.9. Comparação tensão nominal x deformação nominal entre

o modelo computacional e experimental até a ruptura

Tensão x Deformação

0 0,1 0,2 0,3

Deformação

Tensão (MPa)

CP 5

CP 6

Elementos Finitos - quad

Elementos Finitos - triang

Figura 4.10. Comparação tensão nominal x deformação nominal entre o modelo

computacional e experimental até uma deformação de 30%

Figura 4.11. Entalhe com

geometria quadrada

Figura 4.12. Entalhe com

geometria semi circular

Realizaram-se também simulações de um ensaio

de tração com o corpos de prova com entalhe de 1mm.

Devido a dificuldade de maior exatidão na reprodução do

entalhe real para a simulação computacional, realizaram-

se diferentes análises com variações na geometria do

entalhe. Escolheu-se três tipos diferentes de geometria

para o entalhe, são elas:

• Geometria quadrada

• Geometria semi-circular

• Geometria com chanfro

As diferentes geometrias estão mostradas na

Figura 4.11, Figura 4.12 e Figura 4.13. Para cada uma

dessas geometrias escolhidas, realizou-se duas análises

com dois tamanhos diferentes para sua abertura D. Os

tamanhos escolhidos foram os seguintes:

• Abertura menor = 0,35mm

• Abertura maior = 0,70 mm

Conforme mostrado neste mesmo item

anteriormente, para análises com geometria plana e

modelos relativamente simples como este, não haverá

grande influência na escolha do tipo de malha, então

optou-se por usar a malha quadrática em todas as

análises.

Figura 4.13. Entalhe com

geometria com chanfro

Os resultados gerados pelos três tipos diferentes de entalhes são apresentados

a seguir. Na Figura 4.14 tem-se o gráfico tensão x deformação comparando os

ensaios experimentais do CP com entalhe de 1 mm e as simulações em elementos

finitos com o entalhe de geométria quadrada. Analogamente, a Figura 4.15 apresenta

o mesmo gráfico, porém neste caso realizou-se a simulação em elementos finitos com

o entalhe de geometria semi-circular, e a Figura 4.16 apresenta a comparação com a

simulação com o entalhe de geometria com chanfro.

Tensão x Deformação

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Deformação

Tensão (MPa)

MEF entalhe quadrado, abertura menor

MEF entalhe quadrado, abertura maior

CP3

CP4

Figura 4.14. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com as simulações computacionais com entalhe de geometria quadrada

Tensão x Deformação

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Deformação

Tensão (MPa)

MEF entalhe semi circular, abertura maior

MEF entalhe semi circular, abertura menor

CP3

CP4

Figura 4.15. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com as simulações computacionais com entalhe de geometria semi circular

Tensão x Deformação

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Deformação

Tensão (MPa)

MEF entalhe com chanfro, abertura maior

MEF entalhe com chanfro, abertura menor

CP3

CP4

Figura 4.16. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com as simulações computacionais com entalhe de geometria com chanfro

Os entalhes com geometria quadrada apresentado na Figura 4.11 e com

geometria com chanfro da Figura 4.13 nos mostram com nitidez um forte concentrador

de tensões devido aos vértices característicos dessas geometrias. Nos gráficos da

Figura 4.14 e da Figura 4.16 que representam essas geometrias, percebe-se que as

linhas que indicam a simulação em elementos finitos estão sobrepostas não tendo

grande influencia a abertura maior ou menor do entalhe. No entalhe com geometria

semi-circular mostrado na Figura 4.12 não há um vértice como nas outras geometrias,

sendo assim a concentração de tensões se dá devido a curvatura do entalhe.

Percebe-se a partir do seu gráfico mostrado na Figura 4.15, que há uma diferença

entre as aberturas maior e menor do entalhe. Neste caso, a abertura do entalhe

exerce forte influência no gráfico devido a sua curvatura, quanto menor a abertura do

entalhe, menor será a curvatura e maior será o concentrador de tensões nesta região.

Para exemplificar melhor a influência da curvatura e do vértice da geométrica no

concentrador de tensões, fez-se mais duas simulações com a geometria semi circular

e com chanfro e abertura de entalhe igual a 0,175 mm, menor que as analisadas

anteriormente. O resultado desta análise é mostrado na Figura 4.17, percebe-se que

com a abertura menor, temos uma concentração de tensões maior e por isto o gráfico

desta análise fica muito próximo ao da análise experimental.

Tensão x Deformação

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Deformação

Tensão (MPa)

MEF entalhe semi circular, abertura 0,175 mm

MEF entalhe com chanfro, abertura 0,175 mm

CP3

CP4

Figura 4.17. Gráfico Tensão x Deformação comparando os ensaios do CP com entalhe

de 1 mm com o entalhe com chanfro e semi circular de abertura igual a 0,175 mm

Analisando os gráficos apresentados, percebe-se que as curvas que mais se

aproximam das análises dos CPs são as curvas das simulações do entalhe com

abertura igual a 0,175mm. Estas geometrias, dentre todas mencionadas, são as que

apresentam o maior concentrador de tensões. A melhor simulação do entalhe é um

modelo com vértices como concentrador de tensões e abertura de entalhe bem

pequena.

Com os dados da curva optou-se por utilizar o ajuste para o modelo

hiperelástico polinomial de ordem 2 apresentado no gráfico da Figura 3.33 e da Figura

3.34. O motivo desta escolha deve-se à comparação entre os modelos conforme o

APÊNDICE D. Esta tabela mostra que, de acordo com o estudo feito para

determinação do erro que cada curva apresenta, o melhor ajuste para os pontos

coletados no ensaio é o ajuste para o modelo polinomial de ordem 2.

Segundo BRADLE et al. (2001), o coeficiente de Poisson para um material

hiperelástico pode ser determinado a partir dos dados de um ensaio volumétrico. Este

ensaio consiste em comprimir um corpo de prova cilíndrico anular na sua direção axial,

obtendo assim um gráfico tensão x taxa volumétrica. A partir destes dados, tem-se o

comportamento volumétrico do material. Segundo HORGAN e MURPHY (2009), a

taxa volumétrica é dada pela equação ( 4.3.1 ), onde J é a própria taxa volumétrica e

321

λλλ

são os três principais alongamentos.

321

λλλ

( 4.3.1 )

Para um material com incompressibilidade total, conforme mostrado na

equação ( 3.2.64 ) sua variação volumétrica é nula quando solicitado por pressão

hidrostática, portanto, o valor de J é 1 e seu coeficiente de Poisson é 0,5. Devido a

dificuldade de realização de testes volumétricos e a conseqüente falta de dados

experimentais, neste trabalho o coeficiente de Poisson foi arbitrado com o valor igual a

0,47.

4.3.3. Condições de contorno e carregamento

Para simulação no software Abaqus, estabeleceu-se 3 condições de contorno

neste modelo. A Figura 4.18 indica que na primeira condição de contorno a superfície

superior do enrijecedor foi engastada impedindo qualquer deslocamento nas três

direções (eixos x, y e z).

Figura 4.18. Condição de contorno 1 – Superfície do Bend stiffeners engastada

Na segunda condição de contorno utilizou-se a simetria no eixo z, esta

condição preestabelece a análise em apenas metade do conjunto e considera o

mesmo resultado na outra metade do conjunto reduzindo assim pela metade o número

de graus de liberdade do modelo. Com esta condição de contorno ganhou-se bastante

tempo nas análises. A Figura 4.19 ilustra a segunda condição de contorno.

Figura 4.19. Condição de contorno 2 – Simetria no eixo z

Usou-se também uma terceira condição de contorno para engastar o duto

flexível impedindo qualquer deslocamento nas três direções (eixos x, y e z). Devido à

simetria no eixo z, a carga foi dividida por dois e considerando o ângulo de 45º com os

eixos x e y, foi decomposta nas direções dos eixos.

4.4. ANÁLISE DO ENRIJECEDOR SEM CONCENTRADOR DE TENSÕES

Nesta primeira análise, considera-se o enrijecedor inteiro sem nenhum

concentrador de tensões. No enrijecedor aproveitou-se para fazer uma comparação

utilizando diferentes tipos de elementos com malhas hexaédricas e tetraédricas. Na

superfície do tubo, a malha utilizada foi a hexaédrica, com o elemento SFM3D4 que é

um elemento de superfície do tipo membrana, tridimensional com 4 nós. O número

total de elementos foi 578 e o de nós foi 630. No tubo, a malha utilizada foi também a

hexaédrica e o elemento foi o B31, um elemento de viga tridimensional de primeira

ordem, com um total de 34 elementos e 35 nós. A carga aplicada foi de 500 kN a um

ângulo de 45º com os eixos x e y. Na Figura 4.20 pode ser visto, em sua configuração

deformada, o comportamento da tensão de Von Mises no enrijecedor. Nesta figura, a

parte cilíndrica do enrijecedor foi desconsiderada, ficando apenas a parte cônica

devido à alta rigidez da parte cilíndrica conforme explicado no item 4.3.2.

Figura 4.20. Tensão no enrijecedor sem entalhe submetido à flexão

A análise do enrijecedor sem entalhe foi feita cinco vezes com três tipos de

elementos diferentes, conforme listados abaixo:

C3D8RH - elemento sólido, tridimensional, hexaédrico com 8 nós, integração reduzida

e hibrido

C3D8H - elemento sólido, tridimensional, hexaédrico com 8 nós e hibrido

C3D4H - elemento sólido, tridimensional, tetraédrico com 4 nós e hibrido

O detalhe dos elementos utilizados nas análises realizadas é mostrado na

Tabela 4.3.

Tabela 4.3 – Tipos de elementos utilizados nas análises do enrijecedor sem

concentrador de tensões.

C3D8RH

C3D8H

C3D4H

Tipo de elemento hexaédrico tetraédrico

Número de elementos

1746 1746 1775 15567 116637

Número de nós 2460 2460 513 3510 22898

As figuras a seguir apresentam os gráficos tensão x deformação comparando

as diferentes análises realizadas no ponto de maior tensão do enrijecedor sem

entalhe. A tensão utilizada foi a tensão de Mises e a deformação foi a deformação real

máxima principal. A Figura 4.21 mostra a comparação entre as análises feitas com a

malha utilizando elemento hexaédrico. Percebe-se uma ligeira diferença nas curvas,

onde a malha com o elemento C3D8RH utiliza a integração reduzida.

0,0% 2,5% 5,0% 7,5%

Deformação

Tensão (MPa)

C3D8RH - 1746 elementos

C3D8H - 1746 elementos

Figura 4.21 Gráfico tensão x deformação no ponto de maior tensão do enrijecedor sem

entalhe com malha utilizando elemento hexaédrico

A Figura 4.22 mostra a comparação entre as análises feitas com a malha

utilizando elemento tetraédrico. Nestas análises, o elemento utilizado foi sempre o

mesmo variando apenas o número de elementos e consequentemente o número de

nós. Percebe-se uma diferença considerável entre as curvas resultante das análises

com menor número de elementos e com o maior número de elementos.

0,0% 2,5% 5,0% 7,5%

Deformação

Tensão (MPa)

C3D4H - 1775 elementos

C3D4H - 15567 elementos

C3D4H - 116637 elementos

Figura 4.22 Gráfico tensão x deformação no ponto de maior tensão do enrijecedor sem

entalhe com malha utilizando elemento tetraédrico

A Figura 4.23 compara todas as análises realizadas com o enrijecedor sem

entalhe. A partir dela verifica-se que tanto nas análises com malha de elemento

hexaédrico quanto nas análises com malha de elemento tetraédrico, a medida que o

número de elementos aumenta as curvas estão convergindo para a esquerda no

gráfico. Percebe-se que as análises com o elemento hexaédrico C3D8RH onde

utilizou-se 1.746 elementos fornece o mesmo resultado que a análise com o elemento

tetraédrico C3D4H com 116.637 elementos. Estas duas curvas fornecem o melhor

resultado para esta análise, sendo que a malha composta por elemento tetraédrico

necessitou de mais elementos para fornecer o mesmo resultado se comparado com a

análise com a malha composta por elemento hexaédrico.

0,0% 2,5% 5,0% 7,5%

Deformação

Tensão (MPa)

C3D8RH - 1746 elementos

C3D8H - 1746 elementos

C3D4H - 1775 elementos

C3D4H - 15567 elementos

C3D4H - 116637 elementos

Figura 4.23 Comparação dos gráfico tensão x deformação no ponto de maior tensão

do enrijecedor sem entalhe

4.5. ANÁLISE DO ENRIJECEDOR COM CONCENTRADOR DE TENSÕES

Nesta análise considera-se uma trinca como concentrador de tensões no

enrijecedor. Foram realizados ensaios em 3 posições diferentes para a trinca e

utilizou-se a técnica do submodelamento para melhor análise na região do

concentrador de tensões. A malha escolhida foi a tetraédrica e as condições de

contorno e carregamento são os mesmos descritos anteriormente no item 4.3.3. Em

cada posição analisada realizou-se 4 ensaios diferentes, variando o tamanho do

comprimento da trinca e o seu sentido (longitudinal ou transversal). As posições

analisadas são mostradas na Figura 4.24 e os sentidos das trincas são mostrados na

Figura 4.25. Todas as trincas analisadas possuem seção igual a 12mm x 12mm com

os cantos arredondados e o seu comprimento variou da seguinte forma:

• Trinca menor: 100 mm

• Trinca maior: 200 mm

Figura 4.24. Posições das trincas analisadas no enrijecedor

Figura 4.25. Sentido das trincas analisadas no enrijecedor

Com o objetivo de obter a carga máxima admissível no riser, aplicou-se um

carregamento extremo de 1.000 kN. Variou-se também, o ângulo de aplicação desta

carga de 0º a 90º com o eixo horizontal, a cada 15º. Com os ângulos de aplicação de

0º e 15º percebeu-se que na maior parte das análises não foi possível achar a carga

máxima. A 0º do eixo horizontal a flexão inexiste e a 15º, ela é muito pequena, sendo

assim, nestes casos a carga máxima admissível no riser depende de outros fatores

além da flexão.

4.5.1. Trinca

Segundo PAIVA (2000), a fratura em materiais sólidos normalmente começa

com falhas do tipo trinca ou entalhe, podendo causar altas tensões em seu contorno.

O aparecimento de trincas em peças ou componentes pode provocar custos elevados,

pois aumenta o tempo e os esforços gastos na manutenção e restauração de peças, e

que, se omitida, pode levar à fratura do componente e também à falha estrutural,

colocando, em alguns casos, vidas humanas em risco. Um exemplo de trinca como

concentrador de tensões pode ser visto na Figura 4.26.

Todo material sempre terá defeitos inerentes ao processamento e/ou

usinagem, sendo muito difícil a ausência de trincas. Faz-se então necessário estudar

os efeitos das trincas e propor métodos para prever o comportamento de estruturas

com trincas sob determinadas condições de trabalho. As trincas podem se iniciar como

pequenas falhas na etapa de manufatura do material, podem aparecer durante a

fabricação da peça ou podem surgir em decorrência de danificações por fadiga,

impacto ou corrosão da estrutura final (PAIVA, 2000).

Uma ferramenta fundamental para analisar projetos e indicar níveis de

tolerância aos defeitos e distorções presentes no material é a Mecânica da Fratura.

Ela vem, ao longo dos anos, estudando normas e processos para caracterizar e

distinguir as trincas e suas conseqüências. O objetivo da Mecânica da Fratura é

determinar se uma trinca irá ou não levar a peça à fratura para tensões de operação,

seu maior desafio é prever se as trincas poderão comprometer a segurança durante a

vida útil da estrutura e quando isto ocorrerá. A presença de uma trinca em uma

estrutura normalmente induz altas concentrações de tensão na região próxima à

trinca. A mecânica da fratura fornece meios onde o campo de tensões na região

próxima à trinca, assim como as deformações podem ser caracterizadas e permite que

os projetistas aliem segurança e viabilidade econômica (SILVA, 2006). Um corpo com

uma trinca deve suporta um carregamento inferior quando comparado com um corpo

sem um concentrador de tensões.

Figura 4.26. Trinca como concentrador de tensões (SILVA, 2006)

4.5.2. Submodelamento

É crescente a necessidade de simular problemas cada vez mais próximos da

realidade e com maior riqueza de detalhes. Há alguns anos, por falta de recursos, seja

de hardware ou software, o engenheiro precisava realizar simplificações significativas

nos modelos computacionais. Com o passar dos anos, as ferramentas de auxílio

computacionais evoluíram e não são mais necessárias as simplificações de detalhes.

Hoje em dia é possível simular estruturas complexas inteiras ao invés de pequenos

elementos. Todavia, com a enorme riqueza de detalhamento nos problemas atuais,

em muitos casos o hardware disponível ainda não é suficiente para solucionar alguns

problemas no curto espaço de tempo exigido e por isso existem técnicas para auxiliar

modelagens mais complexas. Uma técnica muito utilizada quando se tem poucos

recursos computacionais é o submodelamento.

O submodelamento é um estudo mais detalhado em uma determinada área de

interesse do modelo, como por exemplo, uma região com altas tensões. Sendo assim,

haverá dois modelos: o modelo global, representando a estrutura como um todo, e o

submodelo, uma geometria local onde, na maioria dos casos é feito com uma malha

mais densa para se obter maior precisão. O submodelamento interpola as

deformações do modelo global inicial, relativamente grosseiro para o modelo local e

resolve o problema novamente, obtendo assim um estado de tensões mais preciso

(HIBBITT et al., 2002).

O submodelo é analisado separadamente do modelo global. A ligação entre os

dois se dá unicamente pelo uso do resultado do modelo global como condição de

contorno para o submodelo. É possível ainda ser usado como recurso, a análise de

um submodelo como um modelo global para um novo submodelo ainda mais

detalhado. Na Figura 4.27 é possível verificar a densidade da malha de um

submodelo.

Figura 4.27. Densidade da malha de um submodelo

(ANSYS Advanced Analysis Techniques Guide, 2005)

Quando se faz necessário maior precisão na análise de um modelo, tem-se as

seguintes opções:

• Fazer o modelo completo com uma malha refinada;

• Refinar a malha localmente e aumentar progressivamente o elemento

dentro do modelo;

• Fazer o modelo global com a malha grosseira e usar a técnica do

submodelo para refinamento local;

Diante das alternativas apresentadas, conclui-se que as três opções podem

levar aos resultados almejados, porém é necessário otimizar o processo reduzindo o

tempo necessário para a análise e os recursos computacionais necessários. A

primeira alternativa pode ser útil quando se faz necessário o mesmo grau de

detalhamento em todo o modelo, mas não é recomendada quando se quer um

detalhamento local. Dependendo dos recursos computacionais, um modelo com uma

malha muito refinada pode tornar a análise inviável. A segunda alternativa deve ser

usada apenas para uma análise local pouco mais detalhada se comparada à análise

do modelo completo. Ao refinar a malha localmente para analisar junto a um modelo

com o elemento muito maior que o elemento refinado, a transição entre os elementos

não é tão simples. A técnica mais recomendada para uma análise local bem detalhada

é a técnica do submodelo. Com o submodelo, ganha-se tempo considerável com a

análise global e também com a análise local, pois esta será feita de maneira

independente.

Como exemplo de uma análise local mais precisa, tem-se uma viga bi

engastada de 2m de comprimento e perfil retangular de 80mm x 200mm, onde se

necessita maior detalhamento no ponto de maior tensão da viga. Seu material é um

aço linear elástico isotrópico com módulo de elasticidade igual a 200GPa e coeficiente

de Poisson 0,3. Sob esta viga foi aplicada uma carga de 8KN distribuída ao longo de

seu comprimento. A viga foi modelada com elementos C3D8R, que são elementos

sólidos de 8 nós e foram gerados 320 elementos com 615 nós. A malha da viga é

mostrada na Figura 4.28, e a configuração deformada com a tensão na direção 1 após

a aplicação da carga é mostrada na Figura 4.29.

Figura 4.28. Malha da viga

Figura 4.29. Configuração deformada da

viga

Para obtenção de um resultado mais detalhado, foi feito, no exemplo acima,

uma análise local no ponto de maior tensão que é a parte superior de um dos lados

onde a viga está engastada. Nesta análise, utilizou-se como submodelo um pedaço da

viga de tamanho igual a 100mm x 100mm x 80mm, retirado do canto superior direito

do modelo global com a malha mais refinada e foi feito uma nova análise.

É possível ainda, se necessário, usar o submodelo como um modelo global e

detalhá-lo ainda mais. Para exemplificar esta situação, fez-se um segundo submodelo

tendo como modelo global o primeiro submodelo. Este segundo submodelo é um

cubo, com arestas iguais a 15 mm, retirado do canto superior direito do primeiro

submodelo. Com o resultado destas duas análises, fez-se uma comparação entre a

tensão de Mises no último nó do canto superior direito. Percebe-se que os resultados

não estão convergindo para um único valor (Figura 4.36), fez-se então outro

submodelo a partir deste último com o objetivo de chegar à convergência do resultado.

Este terceiro submodelo é novamente um cubo retirado do canto superior direito do

submodelo anterior, tendo cada lado valor igual a 2,5 mm. A Tabela 4.4 mostra a

quantidade de elementos e nós gerados em cada análise e as malhas de cada

submodelo, junto com sua configuração deformada, podem ser vistos na Figura 4.30 à

Figura 4.35.

Tabela 4.4. Características de cada submodelo

Elemento

Submodelo

Tipo Quantidade

Número de Nós

1 27 64

2 125 216

C3D8R

125 216

Figura 4.30. Malha do primeiro

submodelo da viga

Figura 4.31. Configuração deformada do

primeiro submodelo da viga

Figura 4.32. Malha do segundo

submodelo da viga

Figura 4.33. Configuração deformada do

segundo submodelo da viga

Figura 4.34. Malha do terceito submodelo

da viga

Figura 4.35. Configuração deformada do

terceiro submodelo da viga

Um gráfico comparando a análise global com as três análises locais é

apresentado na Figura 4.36. Este gráfico representa a tensão de Mises em cada

incremento realizado do último nó do canto superior direito. É possível observar no

gráfico a diferença de tensão entre a análise global e as duas análises posteriores. Em

muitos casos, quando se necessita de uma análise mais detalhada é comum o uso do

submodelo uma ou mais vezes, até a grandeza requerida (neste caso a tensão)

convergir para um valor no ponto onde se necessita medir. Neste exemplo, percebe-se

que após a análise do terceiro submodelo, a tensão no ponto medido está convergindo

para um valor constante.

O terceiro submodelo foi analisado com 125 elementos, caso tamanho

detalhamento fosse feito em todo o modelo global, este teria 256.000.000 de

elementos, o que poderia inviabilizar a análise diante de poucos recursos

computacionais.

Tensão Von Mises

150

300

450

600

Tensão (KPa)

Análise Global Primeiro submodelo Segundo submodelo Terceiro submodelo

Figura 4.36. Gráfico tensão de Mises em cada incremento da análise dos 3 modelos

Utilizou-se a técnica descrita neste capítulo em todas as análises com a

simulação de uma trinca. De acordo com o tamanho e sentido da trinca, utilizou-se

uma determinada quantidade de submodelos até que o resultado convergisse ou fosse

possível analisar o entalhe de com a precisão adequada.

4.5.3. Posição 1

Para analisar um enrijecedor com concentrador de tensões na posição 1,

assumiu-se uma trinca preexistente na região cônica próximo a região cilíndrica. As

características dos elementos utilizados nas quatro análises, variando o tamanho e o

sentido da trinca, são mostradas na Tabela 4.5.

Tabela 4.5. Elementos utilizados no enrijecedor com uma trinca na posição 1

Enrijecedor

Duto

Superfície do

Duto

Elemento

Sólido Viga Superfície

Posição 1 Modelo

C3D4H B31 SFM3D4

Global 33.503 34 578 Trinca

transversal

menor

Submodelo 1 129.162 34 578

Global 50.869 34 578

Submodelo 1 14.011 34 578

Trinca

transversal

maior

Submodelo 2 92.758 34 578

Global 25.589 34 578

Submodelo 1 7.172 34 578

Submodelo 2 44.093 34 578

Trinca

longitudinal

menor

Submodelo 3 30.217 34 578

Global 33.788 34 578

Submodelo 1 59.862 34 578

Submodelo 2 18.004 34 578

Número de Elementos

Trinca

longitudinal

maior

Submodelo 3 98.910 34 578

Como exemplo, apresenta-se na Figura 4.37 a malha usada para simulação da

trinca transversal de menor tamanho na posição 1. A Figura 4.38 representa a

configuração deformada com a tensão de Mises do segmento após a aplicação da

carga a 45º dos eixos x e y. Nesta figura excluiu-se a parte cilíndrica do enrijecedor,

pois esta parte não está sendo analisada neste trabalho. Percebe-se que a região de

maior tensão é a região do local da trinca, onde há um concentrador de tensões.

A malha usada para o submodelo desta mesma análise é indicada na Figura

4.39 e a sua configuração deformada com a carga aplicada a 45º é mostrado na

Figura 4.40.

Figura 4.37. Malha usada para simulação da menor trinca transversal na posição 1

Figura 4.38. Configuração deformada da análise da menor trinca transversal na

posição 1 com carga aplicada a 45º

Figura 4.39. Malha do submodelo da

menor trinca transversal na posição 1

Figura 4.40. Configuração deformada do

submodelo da menor trinca transversal

na posição 1

A Figura 4.41 mostra a carga máxima admissível aplicada no riser para garantir

o enrijecedor operando com uma tensão inferior a tensão máxima de 10,9 MPa

indicada no item 3.3.4.

Critério: Tensão Posição 1

225

135

163

219

352

104

124

164

252

498

353

280

886

290

438

875

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Trinca transversal menor

Trinca transversal maior

Trinca longitudinal menor

Trinca longitudinal maior

Figura 4.41. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise do modelo na Posição 1

4.5.4. Posição 2

A análise do concentrador de tensões na posição 2 realizou-se assumindo uma

trinca na posição indicada na Figura 4.24. As características dos elementos destas

análises podem ser vistos na Tabela 4.6.

Tabela 4.6. Elementos utilizados no enrijecedor com uma trinca na posição 2

Enrijecedor

Duto

Superfície do

Duto

Elemento

Sólido Viga Superfície

Posição 2 Modelo

C3D4H B31 SFM3D4

Global 33.135 34 578 Trinca

transversal

menor

Submodelo 1 245.730 34 578

Global 45.016 34 578

Submodelo 1 57.191 34 578

Trinca

transversal

maior

Submodelo 2 174,988 34 578

Global 38.476 34 578

Submodelo 1 29.804 34 578

Submodelo 2 16.565 34 578

Trinca

longitudinal

menor

Submodelo 3 61.399 34 578

Global 43.016 34 578

Submodelo 1 17.058 34 578

Submodelo 2 34.858 34 578

Número de Elementos

Trinca

longitudinal

maior

Submodelo 3 44.159 34 578

A malha usada para simulação da trinca transversal de menor tamanho na

posição 2 é mostrada como exemplo na Figura 4.42 e sua configuração deformada

com a tensão de Mises após a aplicação da carga a 45º dos eixos x e y é mostrada na

Figura 4.43.

A malha usada para o submodelo desta mesma análise é indicada na Figura

4.44 e a sua configuração deformada com a carga aplicada a 45º é mostrado na

Figura 4.45.

Figura 4.42. Malha usada para simulação da menor trinca transversal na posição 2

Figura 4.43. Configuração deformada da análise da menor trinca transversal na

posição 1 com carga aplicada a 45º

Figura 4.44. Malha do submodelo da

menor trinca transversal na posição 2

Figura 4.45. Configuração deformada do

submodelo da menor trinca transversal

na posição 2

Na Figura 4.46 pode-se ver a carga máxima admissível aplicada no riser para

que o enrijecedor opere com uma tensão inferior a 10,9 MPa.

Critério: Tensão Posição 2

729

393

260

193

156

271

177

133

110

218

134

97 79

207

319

679

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Trinca transversal menor

Trinca transversal maior

Trinca longitudinal menor

Trinca longitudinal maior

Figura 4.46. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise do modelo na Posição 2

4.5.5. Posição 3

Para análise do enrijecedor com concentrador de tensões na posição 3,

assumiu-se uma trinca na região cônica do lado oposto região cilíndrica. As

características dos elementos utilizados nestas análises são mostrados na Tabela 4.7.

Tabela 4.7. Elementos utilizados no enrijecedor com uma trinca na posição 3

Enrijecedor

Duto

Superfície do

Duto

Elemento

Sólido Viga Superfície

Posição 3 Modelo

C3D4H B31 SFM3D4

Global 27.906 34 578 Trinca

transversal

menor

Submodelo 1 59.138 34 578

Global 31.991 34 578

Submodelo 1 84.822 34 578

Trinca

transversal

maior

Submodelo 2 96.609 34 578

Global 25.057 34 578

Submodelo 1 2.770 34 578

Submodelo 2 3.472 34 578

Trinca

longitudinal

menor

Submodelo 3 12.758 34 578

Global 33.395 34 578

Submodelo 1 3.113 34 578

Submodelo 2 2.584 34 578

Número de Elementos

Trinca

longitudinal

maior

Submodelo 3 18.908 34 578

Como exemplo, apresenta-se na Figura 4.47 a malha usada para simulação da

trinca transversal de menor tamanho na posição 3. A Figura 4.48 representa a

configuração deformada com a tensão de Mises do segmento após a aplicação da

carga a 45º dos eixos x e y.

A malha usada para o submodelo desta mesma análise é indicada na Figura

4.49 e a sua configuração deformada com a carga aplicada a 45º é mostrado na

Figura 4.50.

Figura 4.47. Malha usada para simulação 2

Figura 4.48. Configuração deformada da análise da menor trinca transversal na

posição 3 com carga aplicada a 45º

Figura 4.49. Malha do submodelo da

menor trinca transversal na posição 3

Figura 4.50. Configuração deformada do

submodelo da menor trinca transversal na

posição 3

Analogamente aos itens anteriores, a Figura 4.51 mostra a carga máxima

admissível aplicada no riser o enrijecedor operar com tensão inferior a tensão máxima

de 10,9 MPa apontada no item 3.3.4.

Critério: Tensão Posição 3

107

287

229

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Trinca transversal menor

Trinca transversal maior

Trinca longitudinal menor

Trinca longitudinal maior

Figura 4.51. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise do modelo na Posição 3

4.5.6. Comparação dos resultados

Nos itens anteriores apresentaram-se os gráficos comparando a carga máxima

admissível nos quatro diferentes tipos de trinca analisados para cada posição

escolhida. Se olharmos cada tipo de trinca, comparando as posições escolhidas,

fica bem claro que a posição 3 tem a carga admissível mais baixa e a posição 1

tem a mais alta, como observa-se Figura 4.52 a Figura 4.55. Isto é, na região

cônica, quanto mais próximo a trinca estiver da ponta do enrijecedor no lado

oposto a região cilíndrica, mais crítico será esta trinca. É possível observar

também, como já era esperado, que a trinca maior tem carga admissível mais

baixa e que a trinca no sentido transversal tem carga admissível mais baixa se

comparado ao sentido longitudinal. Isto se explica pelo fato de no sentido

transversal ocorrer perda de seção no momento da flexão.

Critério: Tensão Trinca menor transversal

352

219

163

135

271

177

133

110

107

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Figura 4.52. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho menor

Critério: Tensão Trinca maior transversal

104

124

164

252

7997

134

218

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Figura 4.53. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho maior

Critério: Tensão Trinca menor longitudinal

280

353

498

886

193

260

393

729

287

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Figura 4.54. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho menor

Critério: Tensão Trinca maior longitudinal

875

438

290

225

679

319

207

156

265

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Figura 4.55. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho maior

Segundo a norma API SPEC 17J, a deformação máxima admissível para

enrijecedores de poliuretano é de 7,7%. Embora esta norma não faça menção a

deformação em materiais com trinca, usou-se este valor para, a partir das análises

mostradas neste trabalho, obter os resultados de carga máxima admissível segundo o

critério de deformação apresentado na norma. A comparação da carga máxima

admissível, com os critérios de tensão máxima e deformação máxima, é mostrada

para cada análise realizada na Figura 4.56 a Figura 4.59. Percebe-se que, mesmo

com uma trinca, a carga máxima admissível segundo os critérios de deformação da

norma API SPEC 17J é, na maioria dos casos, bem inferior a carga máxima

admissível com os critérios de tensão propostos neste trabalho, porém, no caso mais

extremo analisado que é com o ângulo de aplicação da força de 90º na posição 3 que

é a ponta do enrijecedor os dois critérios se aproximam muito. É possível observar

também que, em alguns casos, as curvas segundo o critério de deformação máxima

estão muito próximas, o que minimiza a influencia da posição da trinca para este

critério.

Trinca menor transversal

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1 - Tensão

Posição 2 - Tensão

Posição 3 - Tensão

Posição 1 - Deformação

Posição 2 - Deformação

Posição 3 - Deformação

Figura 4.56. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho menor comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível

Trinca maior transversal

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1 - Tensão

Posição 2 - Tensão

Posição 3 - Tensão

Posição 1 - Deformação

Posição 2 - Deformação

posição 3 - Deformação

Figura 4.57. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido transversal e tamanho maior comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível

Trinca menor longitudinal

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1 - Tensão

Posição 2 - Tensão

Posição 3 - Tensão

Posição 1 - Deformação

Posição 2 - Deformação

Posição 3 - Deformação

Figura 4.58. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho menor comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível

Trinca maior longitudinal

300

600

900

45 60 75 90

Ângulo de aplicação da força (

)

Carga admissivel (KN)

Posição 1 - Tensão

Posição 2 - Tensão

Posição 3 - Tensão

Posição 1 - Deformação

Posição 2 - Deformação

Posição 3 - Deformação

Figura 4.59. Gráfico Carga máxima admissível x Ângulo de aplicação da força para a

análise da trinca no sentido longitudinal e tamanho maior comparando os critérios de

tensão admissível e deformação admissível

5. CONCLUSÕES

O objetivo desta tese foi estudar falhas em enrijecedores de poliuretano à

flexão com um concentrador de tensões considerando a não linearidade na relação

constitutiva do material.

O enrijecedor permite a transição suave de rigidez entre o riser flexível e o

ponto de conexão com a plataforma, porém é sabido que a flexão excessiva pode

causar danos ao enrijecedor. Estes danos podem ser agravados caso haja uma trinca

no enrijecedor e a finalidade deste trabalho é encontrar a carga máxima admissível ao

enrijecedor a partir da sua tensão máxima admissível quando houver uma trinca.

Primeiramente procurou-se encontrar a tensão máxima para o poliuretano com

um concentrador de tensões. Realizou-se ensaios experimentais com corpos de prova

retirados de enrijecedores reais. Levou-se os ensaios de tração até a ruptura em seis

corpos de provas, sendo dois CPs sem entalhe, dois CPs com entalhe de 1 mm e dois

CPs com entalhe de 2 mm. Utilizou-se os pontos coletados em um dos ensaios com o

corpo de prova sem entalhe para fazer o ajuste da curva no software Abaqus em 6

diferentes modelos hiperelásticos. A qualidade do ajuste empregado foi verificada de

duas maneiras, a primeira através do erro normalizado dos modelos e a segunda

através do valor do coeficiente de determinação (R

). Após a avaliação da qualidade

dos ajustes, verificou-se que o melhor ajuste para este modelo hiperelástico é o

Polinomial de ordem 2. Fez-se então uma simulação do ensaio de tração em

elementos finitos no software Abaqus. Nesta simulação, usou-se a curva do ensaio

experimental ajustada pelo modelo Polinomial de ordem 2 para caracterizar o material,

o valor do coeficiente de Poisson utilizado, foi arbitrado e considerado igual a 0,47.

Analisando o resultado da simulação do ensaio e comparando com o resultado

experimental, observa-se que as curvas permanecem juntas até certo ponto e após

este ponto as curvas se distanciam um pouco. Admitiu-se então que os ensaios, nas

condições realizadas são válidos e o seu resultado pode ser usado para a análise do

enrijecedor. Como tensão máxima admissível em um enrijecedor com uma trinca,

usou-se a média da tensão de ruptura nos quatro corpos de prova com entalhe.

Fez-se então as análises do enrijecedor em elementos finitos, no software

Abaqus, com o seu material caracterizado sempre pelos dados experimentais da curva

de um dos ensaios sem concentrador de tensões. Nestas análises foi aplicado uma

carga de 1.000 kN no riser para simular a flexão. O objetivo é saber a carga máxima

admissível no enrijecedor. Em todas as análises, a parte cilíndrica do enrijecedor foi

descartada, pois esta parte tem sua rigidez aumentada por conectores.

Na análise com o enrijecedor sem concentrador de tensões, a tensão máxima

proposta não foi atingida. Fez-se depois análises com trinca em 3 diferentes posições

no enrijecedor variando também o tamanho da trinca e o sentido da trinca. Para

analisar a trinca nestes modelos, utilizou-se o recurso do submodelamento. Nestas

análises aplicou-se a carga em diferentes ângulos de inclinação, partindo de 0º até 90º

com o eixo horizontal em intervalos de 15º em 15º. Nos ângulos de 0º e 15º, o

resultado foi descartado, pois a 0º a flexão é inexistente e a 15º ela é muito pequena.

Como resultado destas análises tem-se a carga máxima admissível segundo o critério

de tensão máxima proposto neste trabalho e a carga máxima admissível segundo o

critério de deformação máxima da norma API SPEC 17J. Ao compararem-se as

diferentes análises realizadas, podemos concluir:

• Quanto maior a componente vertical da carga aplicada, menor será a carga

admissível no enrijecedor

• Quanto mais próximo da parte cônica mais fina na ponta do enrijecedor estiver

a trinca, menor será a sua carga admissível.

• Quanto maior o tamanho da trinca menor será a sua carga admissível.

• A carga máxima admissível nas trincas com sentido transversal ao eixo central

do enrijecedor será menor que em trincas com sentido longitudinal ao mesmo

eixo.

• O critério de deformação máxima da norma API SPEC 17J é mais conservador

que o critério de tensão máxima proposto neste trabalho

Este trabalho propôs um critério para análise de enrijecedores com

concentrador de tensão a partir de uma tensão máxima. Para dar continuidade a este

trabalho, tem-se como sugestão para trabalhos futuros:

• Analisar diferentes tamanhos e geometrias de trinca em outras posições do

enrijecedor para obter uma curva da carga máxima admissível em uma trinca

ao longo de toda extensão do enrijecedor

• Propor critérios de falha para o Bend stiffener, como por exemplo um critério de

Von Mises com seu eixo modificado a partir de resultados de ensaios bi-axiais.

• Considerar o comportamento assimétrico entre tração e compressão no

poliuretano.

• Avaliar a resposta do enrijecedor com um concentrador de tensões

considerando o carregamento por fadiga.

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103

APÊNDICE A

A. Área infinitesimal deformada em função da área infinitesimal indeformada

As áreas dA no instante t=0 e da no instante t podem ser escritas como:

dXdXdA ×=

dxdxda ×=

No instante t,

FdXdx =

, sendo assim, a área pode ser reescrita

como:

2121

FedAFeFdXFdXda ×=×=

Ondo e

, são as bases cartesianas. A orientação da área deformada é normal a Fe

, sendo

dAedA =

, então:

(

)

213

FeFedAdae ×=

( A.1 )

De acordo com as propriedades de multiplicação escalar entre vetores, temos:

3231

=⋅=⋅ daeFedaeFe

( A.2 )

(

)

2133

FeFeFedAdaFe ×⋅=⋅

( A.3 )

De acordo com as propriedades vetoriais,

⋅

cba

determinante cujas linhas são os componentes de a, b e c.

Então,

FFeFeFe

det

213

=×⋅

( A.4 )

A equação ( A.3 ) torna-se:

104

FdAdaeFe det

=⋅

( A.5 )

Usando as definições de matriz transposta de um tensor, a equação ( A.2 ) pode ser

reescrita como:

3231

=⋅=⋅ eFeeFe

( A.6 )

E a equação ( A.5 ) torna-se:

eFe

det













=⋅

( A.7 )

Ou seja,

det













( A.8 )

Rearranjando a equação ( A.8 ), tem-se:

dAFFda

T−

105

APÊNDICE B

B. Teorema de Cayley-Hamilton

Sendo B real e simétrico, sempre haverá 3 autovalores correspondentes para 3

autovetores perpendiculares e vice-versa (LAI et al., 1993). Os autovalores λ

satisfazem a equação característica:

=−+− III

iii

λλλ

3,2,1

A equação acima pode ser escrita na forma de matriz:

=−

























−













III

A matriz da equação acima é a matriz para o tensor B usando seus autovetores

cartesianos:

=−+− IIBIBIB

106

APÊNDICE C

C. Constantes para os ajustes das curvas dos modelos hiperelásticos

Tabela C.1. Constantes do modelo Mooney-Rivlin obtida nos ensaios

Mooney-Rivlin

CP1 -24,365

35,111

CP2 -30,177

41,252

CP3 -14,926

24,743

CP4 -13,797

23,431

CP5 2,128 1,091

CP6 2.065 1.566

Tabela C.2. Constantes do modelo Neo-Hook obtida nos ensaios

Neo Hook

CP1 6,878

CP2 7,282

CP3 6,051

CP4 5,760

CP5 2,494

CP6 2.599

Tabela C.3. Constantes do modelo Ogden com 4 parâmetros obtida nos ensaios

Ogden com 4 parâmetros

CP1 13,011

-23,589

-18,998

50,086

CP2 11,525

-20,709

-17,111

45,694

CP3 8,386 -15,395

-17,698

45,441

CP4 6,589 -12,523

-18,040

44,167

CP5 5.429 -2.552 0,025 11.185

CP6 5,563 -2.509 0,022 11.892

107

Tabela C.4. Constantes do modelo Yeoh obtida nos ensaios

Yeoh

CP1 11,132

-62,703

CP2 11,264

-88,220

395,363

CP3 10,040

-28,162

40,137

CP4 9.816 -25,552

34,972

CP5 3.267 0,086 0,002

CP6 3.510 -0.101 0,002

Tabela C.5. Constantes do modelo Polinomial Reduzido obtida nos ensaios

Polinomial Reduzido

CP1 9,642 -20,909

CP2 10,030

-31,645

CP3 8,646 -9,476

CP4 8,496 -8,752

CP5 2.647 -0,007

CP6 2.840 -0,011

Tabela C.6. Constantes do modelo Polinomial de ordem 2 obtida nos ensaios

Polinomial

CP1 -134,882

611,115 149,690

1184,594 -1646,312

CP2 -78,046 -2843,549

91,482 -3647,330

6475,834

CP3 -92,082 112,020 105,859

310,464 -348,151

CP4 -72,144 -21,677 85,197 18,159 47,585

CP5 -21,047 0,173 30,523 8,200 -1,160

CP6 -23.003 0.188 33.173 8.958 -1.271

108

APÊNDICE D

D. Valores do erro normalizado e do coeficiente de determinação (R

)

Tabela D.1. Comparação entre cada corpo de prova com os dois métodos para

encontrar o erro na curva

Moone

y-Rivlin

Neo-

Hook

Ogden - 4

parâmetros

Yeoh

Polinomial

reduzido

Polinomial

(N=2)

Erro 1,04 4,32 0,02 2,22 3,49 0,03

CP1

0,9677

0,5015 0,9994 0,9373

0,8425 0,9999

Erro 0,63 5,41 0,08 1,65 3,00 0,04

Ent.

2 mm

CP2

0,9778

0,5830 0,9981 0,9624

0,8916 0,9986

Erro 1,28 3,39 0,04 2,33 3,41 0,02

CP3

0,96 0,4474 0,9998 0,9197

0,8091 0,9999

Erro 1,14 3,44 0,07 2,02 2,91 0,02

Ent.

1 mm

CP4

0,9628

0,5028 0,9997 0,9329

0,8265 0,9998

Erro 1,73 0,32 0,47 0,12 1,46 0,06

CP5

0,9437

0,9529 0,9946 0,9691

0,9245 0,9994

Erro 0,37 1,09 0,56 0,10 1,28 0,06

Sem

Ent.

CP6

0,9878

0,9529 0,9924 0,9616

0,9190 0,9992

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