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UNIVERSIDADE DE S
˜
AO PAULO
INSTITUTO DE F
´
ISICA DE S
˜
AO CARLOS
LUCAS VIEIRA GUERREIRO RODRIGUES PERES
A modelagem estoc´astica aplicada `a
manuten¸c˜ao da diversidade cultural
S˜ao Carlos
2010
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LUCAS VIEIRA GUERREIRO RODRIGUES PERES
A modelagem estoc´astica aplicada `a
manuten¸c˜ao da diversidade cultural
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-
gradua¸c˜ao em F´ısica do Instituto de F´ısica de
S˜ao Carlos da Universidade de S˜ao Paulo, para
a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencia.
´
Area de Concentra¸c˜ao: F´ısica B´asica
Orientador: Prof. Dr. Jos´e Fernando Fontanari
S˜ao Carlos
2010
AUTORIZO A REPRODUC¸
˜
AO E DIVULGAC¸
˜
AO TOTAL OU PARCIAL
DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU
ELETR
ˆ
ONICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CI-
TADA A FONTE.
Ficha catalogr´afica elaborada pelo Servi¸co de Biblioteca e Informa¸c˜ao IFSC/USP
Peres, Lucas Vieira Guerreiro Rodrigues
A modelagem estoc´astica aplicada `a manuten¸c˜ao da diversi-
dade cultural./ Lucas Vieira Guerreiro Rodrigues Peres; orientador
Jos´e Fernando Fontanari.– S˜ao Carlos, 2010.
84p.
Disserta¸c˜ao (Mestrado em Ciˆencia -
´
Area de concentra¸c˜ao:
F´ısica B´asica) – Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos da Universidade
de S˜ao Paulo.
1. Modelos estoc´asticos. 2. Manuten¸c˜ao das diferen¸cas cul-
turais. 3. Modelo de Axelrod. 4. Mecˆanica estat´ıstica. I.T´ıtulo
Agradecimentos
Primeiramente agrade¸co `a minha fam´ılia. Pelo suporte da minha m˜ae, as comidas da
minha av´o, e as conversas noite a dentro com meu irm˜ao. Agrade¸co a minha namorada
pela companhia e pelas incont´aveis conversas aleat´orias no Skype. Agrade¸co meu orien-
tador por ter me aturado durante todo este tempo. Agrade¸co aos meus companheiros de
Rep´ublica e meus amigos, tanto aqueles me fazem sair da toca as quatro da tarde para
ir comer todo dia, como aqueles que eu vejo apenas uma vez por semana, e at´e mesmo
aqueles que eu nunca vejo mas sei que todos se esfor¸cam para tornar a minha vida sempre
um pouco mais miser´avel. Agrade¸co ao Yogg-Saron por ter me feito parar de jogar WoW
e ter tempo pra escrever esta disserta¸c˜ao. Agrade¸co ao Rorschach por ter me mostrado
que pessoas sem super poderes podem ter feitos heroicos, mas agrade¸co muito mais ao
Dr. Manhatam por mostrar que ter super poderes ´e muito mais legal. Agrade¸co ao desco-
nhecido que matou os pais de Bruce Wayne, n˜ao pela existˆencia do Batman mas sim pela
existˆencia do Coringa o qual me mostrou que um pouco de caos faz bem a vida. Agrade¸co
a infra estrutura do Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos a qual sem ela seria imposs´ıvel
realizar este trabalho e a Deus.
“If people tendo to become more alike in their beliefs, attitudes, and behavior
when they interact, why do not all such differences
eventually disappear?”
— Robert Axelrod
Resumo
PERES, Lucas Rodrigues A modelagem estoc´astica aplicada `a manuten¸c˜ao da diversidade
cultural. 2010. 85 p. Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Univer-
sidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, 2010
A modelagem estoc´astica sociocultural introduzida por Robert Axelrod ´e tradicionalmente
referida `a manuten¸c˜ao das diferen¸cas, pois gera o efeito contra-intuitivo do aparecimento
de heterogeneidades ao ser atingido o estado de equil´ıbrio, apesar de sua intera¸c˜ao fun-
damental homogenizar os interagentes. Devido `a sua simplicidade, in´umeras releituras
do Modelo de Axelrod foram propostas, como tamb´em adendos e pequenas modifica¸c˜oes.
Um campo externo constante homogenizador, interpretado como a m´ıdia, ´e um exemplo
de uma poss´ıvel altera¸c˜oes no modelo. J´a um exemplo de releitura vem com a altera¸c˜ao
funcional da intera¸c˜ao bipolar do modelo de Axelrod por uma assimila¸c˜ao cultural, usando
o mecanismo de Vi´es de Frequˆencia. Nesta disserta¸c˜ao analisaremos as simula¸c˜oes propos-
tas por Axelrod, sem e com a m´ıdia externa. Para simularmos a m´ıdia externa usaremos
o artif´ıcio de adicionar um um vizinho fict´ıcio `a cada elemento da rede. Al´em disso, ana-
lisaremos o mecanismo de assimila¸c˜ao via Vi´es de Frequˆencia, mostrando sua rela¸c˜ao com
o modelo do voto da Maioria da Mecˆanica Estat´ıstica.
Palavras-chave: Modelos estoc´asticos. Manuten¸c˜ao das diferen¸cas culturais. Modelo de
Axelrod. Mecˆanica estat´ıstica.
Abstract
PERES, Lucas Rodrigues The stochastic modeling applied to the maintenance of cultural
diversity. 2010. 85 p. Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Instituto de F´ısica de S˜ao Carlos, Uni-
versidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, 2010
The sociocultural stochastic modeling introduced by Robert Axelrod is traditionally re-
ferred to as the maintenance of cultural diversity. Since it generates the appearance of
heterogeneities on a steady state, even the primordial interaction tends to gauge the in-
teractors. Due to its simplicity, numerous interpretations of this model were studied,
as well as additions and minor modifications. One example of a possible change in the
model can be a constant external field, interpreted as the media. Another example of a
reinterpretation could be changing the Axelrod Model bipolar interaction by a cultural
assimilation, using the mechanism of frequency bias. This dissertation aims to study the
Axelrod simulation with and without the external media. In order to simulate the exter-
nal media we will add a virtual neighbor to all elements. Furthermore, we analyze the
mechanism of assimilation via Bias frequency, showing its relationship with the model of
majority voting in Statistical Mechanics.
Keywords: Stochastic models. Maintenance of cultural differences. Axelrod model. Sta-
tistical mechanics.
Lista de Figuras
Figura 2.1 - Primeiros vizinhos de uma rede quadrada (vizinhan¸ca de von Neu-
mann). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 2.2 - Diagrama de Fluxo da itera¸c˜ao Cultural no Modelo de Axelrod . . . 32
Figura 2.3 - Diagrama de Fluxo da itera¸c˜ao Cultural no Modelo de Axelrod usando
a otimiza¸c˜ao da Lista de S´ıtios Ativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 2.4 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais para um
regime homogˆeneo ⟨N
h
d
⟩ com a dimens˜ao da rede L no modelo de
Axelrod para q = 15 e F = 5. Cada s´ımbolo representa uma m´edia
sobre N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 2.5 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais para um
regime homogˆeneo ⟨N
h
d
⟩ normalizado por L
2
pela dimens˜ao da rede
L no modelo de Axelrod para q = 15 e F = 5 em uma escala di-
logar´ıtmica. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000
amostras. A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela Equa¸c˜ao 2.8 . . 35
Figura 2.6 - Dependˆencia do tempo m´edio de relaxa¸c˜ao em regimes homogˆeneos
⟨T r
h
⟩ pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 5
e F = 15. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000
amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 2.7 - Dependˆencia do tempo m´edio de relaxa¸c˜ao em regimes homogˆeneos
⟨T r
h
⟩ pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 5 e
F = 15 em uma escala dilogar´ıtmica. Cada simbolo representa uma
m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. A reta tracejada ´e a regress˜ao
linear pela Equa¸c˜ao 2.9.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 2.8 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais em regimes
inomogˆeneos ⟨N
i
d
⟩ pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod
para
q
= 3
e
F
= 50
. Cada ponto representa uma m´edia sobre
N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 2.9 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais em regimes
inomogˆeneos ⟨N
i
d
⟩ pela dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
no modelo
de Axelrod para q = 3 e F = 50 em uma escala dilogar´ıtmica. Cada
ponto representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. A reta
tracejada ´e a regress˜ao linear pela Equa¸c˜ao 2.10 . . . . . . . . . . . 38
Figura 2.10 -Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao m´edio em regimes inomogˆeneos
⟨T r
i
⟩ pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 3
e F = 50. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000
amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 2.11 -Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao m´edio em regimes inomogˆeneos
⟨T r
i
⟩ pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 3 e
F = 50 em uma escala dilogar´ıtmica. Cada s´ımbolo representa uma
m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. A reta tracejada ´e a regress˜ao
linear pela Equa¸c˜ao 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 2.12 -Dependˆencia do n ´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ e do
tempo m´edio de relaxa¸c˜ao ⟨T r⟩ pela raz˜ao da varia¸c˜ao dos fatores
culturais pela dimens˜ao do vetor de fatores culturais
q
F
no modelo de
Axelrod para L = 20 e F = 5. Cada s´ımbolo representa uma m´edia
sobre N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 2.13 -Diagrama de Fluxo para o Modelo de Axelrod com a m´ıdia Externa
proposta por Shibanai e Colaboradores . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 2.14 -Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩, com
a probabilidade de intera¸c˜ao com o s´ıtio fict´ıcio p no modelo de
Axelrod com a m´ıdia externa para redes de dimens˜ao descritas no
gr´afico, cujos conjuntos de fatores culturais tem tamanho F = 5 e
varia¸c˜ao q = 2. Cada ponto representa uma m´edia sobre N
a
= 1000
amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 2.15 -Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩, com
a probabilidade de intera¸c˜ao com o s´ıtio fict´ıcio p no modelo de
Axelrod com a m´ıdia externa para redes descritas no gr´afico, cujos
conjuntos de fatores culturais tem tamanho F = 5 e varia¸c˜ao q = 2.
Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. . . 44
Figura 2.16 -Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ nor-
malizado pela dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
com a dimens˜ao da
rede L no modelo de Axelrod com a m´ıdia externa para probabili-
dades de intera¸c˜ao p descritas no gr´afico, cujos conjuntos de fatore
culturais tem tamanho F = 3 e varia¸c˜ao q = 3. Cada s´ımbolo
representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . 45
Figura 2.17 -Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ nor-
malizado pela dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
com 1 menos a
dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod com a m´ıdia externa para
probabilidades de intera¸c˜ao p descritas no gr´afico, cujos conjuntos
de fatore culturais tem tamanho F = 3 e varia¸c˜ao q = 3. Cada
s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. . . . . . . 46
Figura 2.18 -Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ nor-
malizado pela dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
no regime L → ∞
com a intensidade do campo p no modelo de Axelrod com a m´ıdia
externa, cujos conjuntos de fatores culturais tem tamanho F = 3 e
varia¸c˜ao q = 3. A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela equa¸c˜ao
2.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 3.1 - Primeiros e segundos vizinhos de uma rede quadrada (vizinhan¸ca de
Moore). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 3.2 - Diagrama de Fluxo da Assimila¸c˜ao Cultural. . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 3.3 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ com
o n´umero de ciclos T no modelo Autˆomato de Parisi e colaboradores
para L = 100 e F = 6. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre
N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 3.4 - Diagrama de Fluxo da Assimila¸c˜ao Cultural Sequencial. . . . . . . . 52
Figura 3.5 - Exemplo de um estado absorvente inomogˆeneo de uma rede de di-
mens˜ao L = 500 e F = 1 para a dinˆamica de Vi´es de Frequˆencia
com a vizinhan¸ca de Moore. Os pontos amarelos s˜ao s´ıtios com
Ψ
i0
= 1 e os pontos cinzas Ψ
i0
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 3.6 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ com
a dimens˜ao linear L da rede quadrada no modelo Sequencial para va-
lores de F inclu´ıdos na figura. Cada s´ımbolo representa uma m´edia
sobre N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 3.7 - Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ com
a dimens˜ao quadr´atica L
2
da rede no modelo Sequencial para valores
de F inclu´ıdos na figura. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre
N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 3.8 - Dependˆencia do coeficiente angular Γ com a dimens˜ao do vetor de
fatores culturais F no modelo Sequencial com topologia de primeiros
e segundos vizinhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 3.9 - Dependˆencia de 1−Γ com a dimens˜ao do vetor de fatores culturais F
no modelo Sequencial com topologia de primeiros e segundos vizinhos
em escala monologar´ıtmica. A linha tracejada ´e a regress˜ao linear
pela fun¸c˜ao 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 3.10 -Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao normalizado ⟨T r⟩ com a di-
mens˜ao linear L da rede quadrada no modelo de Vi´es de Frequˆencia
para valores de F inclu´ıdos na figura. Cada s´ımbolo representa uma
m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 3.11 -Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao normalizado assint´otico ∆ pela
dimens˜ao do vetor de fatores culturais F no modelo proposto por
Parisi e colaboradores. A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela
fun¸c˜ao (3.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 3.12 -Exemplo de um estado absorvente inomogˆeneo de uma rede de di-
mens˜ao L = 500 e F = 1 para a dinˆamica de Vi´es de Frequˆencia
com a vizinhan¸ca de von Neumman. Os pontos amarelos s˜ao s´ıtios
com Ψ
i0
= 1 e os pontos cinzas Ψ
i0
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 3.13 -Dependˆencia do n ´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ pela dimens˜ao li-
near L no modelo com vizinhan¸ca de von Neumman para valores de
F indicados na figura. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre
N
a
= 1000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 3.14 -Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ pela dimens˜ao qua-
dr´atica L
2
com vetores de fatores culturais com dimens˜ao F = 15
para as vizinhan¸cas indicadas na figura. Cada s´ımbolo representa
uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras independentes. . . . . . . . . 60
Figura 3.15 -Diagrama de Fluxo da Assimila¸c˜ao Cultural do Modelo de Voto da
Maioria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 3.16 -Histograma do tamanho de dom´ınio normalizado T
d
no Modelo de
Voto da Maioria para uma rede de dimens˜ao L = 200 e F = 1 e um
conjunto amostral de N
a
= 5000 amostras. . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 3.17 -Rede de dimens˜ao L = 200 com vetores de fator cultura de dimens˜ao
F = 1 em um estado absorvente no modelo de voto da maioria. Os
pontos amarelos s˜ao s´ıtios com Ψ
i0
= 1 e os pontos cinzas Ψ
i0
= 0. 62
Figura 3.18 -Histograma do tamanho de dom´ınio normalizado T
d
no Modelo de
vi´es de frequˆencia para uma rede de dimens˜ao L = 200 e F = 1 e
um conjunto amostral de N
a
= 5000 amostras. . . . . . . . . . . . . 63
Figura A.1 - Vizinhan¸ca de von Neumann em fun¸c˜ao de p . . . . . . . . . . . . . 74
Figura A.2 - Vizinhan¸ca de Moore em fun¸c˜ao de p . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura A.3 - Estrutura de dados de cada Elemento da Rede . . . . . . . . . . . . 74
Figura A.4 - Estrutura de dados do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura B.1 - Diagrama de Fluxo da Contagem de Dom´ınios para a vizinhan¸ca de
von Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura B.2 - Diagrama de Fluxo da Aplica¸c˜ao de condi¸c˜oes peri´odicas de con-
torno `a Contagem de Dom´ınios com vizinhan¸ca de von Neumann. . 83
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 - Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tabela 2.2 - Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tabela 2.3 - Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tabela 2.4 - Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tabela 2.5 - Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.13 para v´arios valores de p. . . . . . . . . 45
Tabela 2.6 - Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tabela 3.1 - Coeficientes da equa¸c˜ao 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tabela 3.2 - Coeficientes da equa¸c˜ao 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Sum´ario
1 INTRODUC¸
˜
AO 25
2 O Modelo de Axelrod 29
2.1 O Modelo Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Motiva¸c˜ao e Descri¸c˜ao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Otimiza¸c˜ao do C´odigo, a lista de s´ıtios ativos . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 M´ıdia Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Motiva¸c˜ao e descri¸c˜ao do Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Modifica¸c˜oes no Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Modelo de Vi´es de Frequˆencia 49
3.1 O Modelo Autˆomato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Motiva¸c˜ao e Descri¸c˜ao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 O Modelo Sequencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Modifica¸c˜oes do Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 O Modelo Sequencial com Vizinhan¸ca de von Neumann . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Descri¸c˜ao do Modelo e a Dependˆencia com o N´umero de Vizinhos . 58
3.3.2 O Modelo de Voto da Maioria e o Crit´erio de Desempate . . . . . . 59
4 CONCLUS
˜
AO 65
Referˆencias 69
Apˆendice A -- Estrutura de Dados 73
Apˆendice B -- Contagem de Dom´ınios 77
B.1 Algoritmo de Hoshen e Kopelman, o algoritmo de r´otulo de r´otulos . . . . 77
B.2 Contagem de s´ıtios com primeiros vizinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.3 Contagem Primeiros e Segundos Vizinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.4 Inclus˜ao das Condi¸c˜oes Peri´odicas de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 82
25
1 INTRODUC¸
˜
AO
O termo cultura do hom´ografo latino cultura, ´e derivado de colere, cujo significado
´e “o ato de cultivar”. Atualmente, este termo possui diferentes significados, sendo os
mais usados: o gosto para a boa arte, culin´aria, m´usica em geral e um conjunto de
conhecimentos, cren¸cas, comportamentos que dependem da capacidade simb´olica e do
aprendizado social.
Levando em considera¸c˜ao a segunda interpreta¸c˜ao de cultura citada, podemos nos
perguntar se esse conjunto ´e est´atico no decorrer do tempo ou se com o passar deste,
temos uma modifica¸c˜ao dos elementos. Assumindo que h´a uma modifica¸c˜ao com o passar
do tempo, ´e v´alido nos questionarmos como essa modifica¸c˜ao ´e feita, por qual mecanismo
podemos alterar esse conjunto e qual a sua dependˆencia explicita com o tempo. O princ´ıpio
de todas as respostas a essas indaga¸c˜oes vem com a teoria da evolu¸c˜ao multilinear de Julian
Steward (1), que examina a forma pela qual as sociedades se adaptam ao meio que as cerca.
Steward rejeita a no¸c˜ao de progresso definido no s´eculo XIX, levando em considera¸c˜ao
a ideia darwin´ıstica de adapta¸c˜ao, argumentando que todas as sociedades tendem a se
adaptar ao seu meio ambiente. Ele argumenta tamb´em que diferentes adapta¸c˜oes podem
ser estudadas atrav´es de recursos espec´ıficos explorados pela sociedade, assim como a
tecnologia e a divis˜ao do trabalho empregada por ela. Um terceiro argumento de Steward
seria que meios ambientes e tecnologias distintas geram distintas formas de adapta¸c˜ao,
gerando assim mudan¸cas culturais na sociedade. Em outras palavras, a cultura n˜ao se
altera de acordo com uma l´ogica interna, e sim por uma rela¸c˜ao dinˆamica com um meio
ambiente tamb´em dinˆamico.
Analisando efeitos como a forma¸c˜ao de estados, integra¸c˜oes transnacionais, e “Domes-
tic Cleavages”, isto ´e, o conceito usado em ciˆencia pol´ıtica para exemplificar a segrega¸c˜ao
de pessoas votantes em blocos, podemos conjecturar que, ao interagir socialmente, o ser
humano em geral tende a adquirir e igualar trejeitos, opini˜oes, etc. Levando em consi-
dera¸c˜ao a homogeniza¸c˜ao acima descrita e os princ´ıpios da teoria de evolu¸c˜ao multilinear
26 0 INTRODUC¸
˜
AO
de Steward, nos perguntamos ent˜ao: Por que as pessoas possuem opini˜oes, gostos e ou-
tras caracter´ısticas distintas? Essa ´e a quest˜ao fundamental abordada por Axelrod ao
maquinar seu modelo homˆonimo (2). Este tem a finalidade de simular a difus˜ao cul-
tural baseando-se na influˆencia social e ´e considerado o paradigma para a modelagem
estoc´astica de comportamento coletivo. Essa modelagem visa reduzir um fenˆomeno cole-
tivo a sua essˆencia funcional, e suas caracter´ısticas b´asicas s˜ao: a simplicidade e o retorno
de resultados n˜ao triviais, como, por exemplo, a manuten¸c˜ao das diferen¸cas culturais. No
Modelo de Axelrod cada elemento interagente pode ser interpretado como um ´unico ser
humano ou uma sociedade homogˆenea culturalmente, e esses elementos s˜ao representados
por um vetor de fatores culturais de dimens˜ao F , cujas componentes podem variar no in-
tervalo [0, q −1]. Todos os elementos em quest˜ao est˜ao localizados e im´oveis, interagindo
apenas com a sua vizinhan¸ca pr´oxima. Esta intera¸c˜ao se d´a com uma probabilidade pro-
porcional a sua similaridade cultural, ou seja, proporcional ao n´umero de fatores culturais
em comum. O resultado dessa intera¸c˜ao entre os dois elementos ´e o aumento da simila-
ridade cultural entre eles, pois um deles iguala um fator cultural previamente distinto.
Elaboraremos melhor este modelo no Cap´ıtulo 2.
Apesar de termos, por constru¸c˜ao do modelo, como ´unico padr˜ao social interativo
uma for¸ca que tende a homogeneizar os elementos interagentes, a modelagem proposta
por Axelrod nos retorna um efeito inesperado: ocorre uma polariza¸c˜ao global, isto ´e, h´a
uma probabilidade n˜ao nula de o sistema atingir estados estacion´arios n˜ao homogˆeneos.
Mais interessante de enfatizar, pelo menos no ˆambito da Mecˆanica Estat´ıstica, ´e o fato de
que a competi¸c˜ao da configura¸c˜ao desordenada inicial e do vi´es de ordena¸c˜ao da intera¸c˜ao
social produz um fenˆomeno de limiar n˜ao trivial, mais precisamente, uma transi¸c˜ao de
fase, a qual separa os parˆametros do modelo de acordo com a homogeneidade do sistema
absorvente. Para entender como o sistema apresenta essa n˜ao homogeneidade lembramos
que, de acordo com as regras do Modelo de Axelrod, dois vizinhos interagentes que n˜ao
possuam nenhum fator cultural em comum s˜ao inaptos a interagir socialmente, e ´e trivial o
entendimento de que a intera¸c˜ao entre dois vizinhos cujos fatores culturais s˜ao totalmente
idˆenticos n˜ao altera o sistema. Conclu´ımos ent˜ao que os estados absorventes caracterizam-
se por ser aqueles em que cada elemento do sistema faz vizinhan¸ca com um elemento cujos
fatores culturais s˜ao totalmente distintos ou completamente idˆenticos.
Temos com o trabalho de Kennedy (3) a comprova¸c˜ao de que a forma da probabi-
lidade de intera¸c˜ao gera as inomogeneidades j´a discutidas. Kennedy efetuou simula¸c˜oes
desse modelo ignorando a regra da probabilidade proporcional `a similaridade cultural, ob-
tendo ent˜ao, como ´unico resultado, estados estacion´arios homogˆeneos. Al´em disso, uma
0 INTRODUC¸
˜
AO 27
segunda modifica¸c˜ao no modelo vem com Klemm e colaboradores (4). Eles inserem um
ru´ıdo externo ao sistema, ou seja, um fator cultural aleat´orio de um elemento escolhido
aleatoriamente ´e alterado, resultando na desestabiliza¸c˜ao dos estados inomogˆeneos finais.
Baseando-nos nesses resultados, podemos concluir que a inomogeneidade final dos estados
no Modelo de Axelrod ´e extremamente fr´agil.
Igualmente motivados pelo interesse na fragilidade da heterogeneidade dos estados
absorventes, Shibanai e colaboradores (5) introduzem uma m´ıdia externa global perene.
Essa ´e tratada durante a simula¸c˜ao como um vizinho fict´ıcio adicional e constante no
tempo. Defini-se p como a probabilidade de interagirmos com esse vizinho e, consequen-
temente, 1 − p ´e a probabilidade de interagirmos com a vizinhan¸ca pr´oxima. No jarg˜ao
f´ısico p ´e a intensidade do campo externo aplicado. Esperava-se, gra¸cas aos resultados
previamente descritos e `a tendˆencia homogeneizadora do campo aplicado, um aumento
de sistemas absorventes homogˆeneos. No entanto, o efeito observado ´e oposto. Redes,
cujas amostras, em sua maioria, atingiam estados homogˆeneos no modelo livre, atingiram
estados absorventes inomogˆeneos ao aplicarmos o campo externo. Ent˜ao, da mesma forma
que conjecturado para o modelo livre, pode-se esperar a obten¸c˜ao de pontos cr´ıticos para
a transi¸c˜ao de fase j´a descrita.
´
E importante lembrar que agora o valor do ponto cr´ıtico
tamb´em ´e dependente da intensidade do campo externo p. Essa an´alise foi efetuada por
Gonz´alez e colaboradores (6). Todavia, mostramos nessa disserta¸c˜ao que a no¸c˜ao de valor
cr´ıtico n˜ao se aplica ao sistema sob a influˆencia da m´ıdia, pois, no regimes assint´oticos da
dimens˜ao da rede L → ∞ para qualquer conjunto de valores [p, F, q], o sistema sempre
atingir´a um estado absorvente inomogˆeneo (7).
Apesar de a interpreta¸c˜ao do campo externo aplicado ser a m´ıdia, isto ´e, televis˜ao,
jornais, revistas, internet, etc, foge do escopo dessa discuss˜ao comparar os resultados
obtidos atrav´es da modelagem com resultados conhecidos da sociologia, al´em daqueles
motivadores da cria¸c˜ao do Modelo. O enfoque desta ´e a analise meticulosa dos aspectos
quantitativos e qualitativos dos modelos.
A modelagem engenhada por Axelrod inspirou outros in´umeros modelos de influˆencia
social. Por exemplo, Parisi e colaboradores (8) efetuaram uma releitura do trabalho de
Axelrod com o intuito de simplific´a-lo e diminuir o tempo de execu¸c˜ao das simula¸c˜oes.
Com isso, temos a possibilidade de estudar redes com dimens˜oes maiores, e/ou aumen-
tar o conjunto amostral, diminuindo assim o desvio padr˜ao das vari´aveis calculadas. A
primeira simplifica¸c˜ao vem assumindo q = 2 sempre, isto ´e, os fatores culturais na mo-
delagem proposta por Parisi e colaboradores s˜ao bin´arios, diminuindo em 1 as vari´aveis
28 0 INTRODUC¸
˜
AO
do sistema. A segunda simplifica¸c˜ao vem com a forma da intera¸c˜ao entre elementos da
rede. Na modelagem original havia uma intera¸c˜ao bipolar com uma probabilidade bem
definida. J´a nesse novo modelo utilizaremos o mecanismo de vi´es de frequˆencia. Este
mecanismo assume que cada elemento assimilar´a o valor cultural mais comum entre os vi-
zinhos pr´oximos, ou seja, assumiremos que as pessoas possuem a tendˆencia de assimilar os
fatores culturais da maioria. Essas simplifica¸c˜oes n˜ao alteram o resultado contra-intuitivo
do Modelo de Axelrod: mesmo com uma intera¸c˜ao homogeneizadora teremos estados ab-
sorventes inomogˆeneos. A ´unica desvantagem dessa releitura ´e a ausˆencia de transi¸c˜oes
de fase, pois, independentemente da dimens˜ao da rede ou do vetor de fatores culturais,
os estados absorventes ser˜ao inomogˆeneos. Uma discuss˜ao mais elaborada ser´a feita no
Cap´ıtulo 3.
Essa disserta¸c˜ao procura efetuar uma descri¸c˜ao qualitativa e quantitativa mais mi-
nuciosa tanto do modelo de Axelrod com e sem a inser¸c˜ao da m´ıdia (Cap´ıtulo 2), e da
releitura feita por Parisi e colaboradores (Cap´ıtulo 3). Nos dois apˆendices ap´os as con-
clus˜oes apresentaremos uma discuss˜ao mais t´ecnica sobre a estrutura de dados do sistema
(Apˆendice A) e do algoritmo de contagem de dom´ınios (9) (Apˆendice B).
29
2 O Modelo de Axelrod
2.1 O Modelo Livre
2.1.1 Motiva¸c˜ao e Descri¸c˜ao do Modelo
O prop´osito do modelo de Axelrod ´e simular computacionalmente a rela¸c˜ao entre
seres humanos no que se diz respeito `a intera¸c˜ao social, ou seja, a partir de uma dinˆamica
homogeneizadora e uma distribui¸c˜ao espacial dos indiv´ıduos, evolu´ımos temporalmente
esse sistema e encontramos um estado de equil´ıbrio dinˆamico.
Infelizmente, n˜ao temos uma vari´avel adequada para descrevermos a variedade de ele-
mentos por meio dos quais um indiv´ıduo possa influenciar e ser influenciado socialmente.
No entanto, sabemos que uma grande faixa de possibilidades ´e coberta por: cren¸cas, ati-
tudes, comportamento, linguagem, artes, normas sociais, etc. Pensar uma forma mais
gen´erica de descrever esses elementos ´e pensar em cultura. Cada um dos elementos cita-
dos acima e muitos outros s˜ao o que denominamos fatores culturais. Portanto, o termo
cultura ser´a usado para indicar o conjunto de atributos individuais sujeitos `a altera¸c˜oes
pela influˆencia/intera¸c˜ao social.
A modelagem baseia-se em assumir que o conjunto de fatores culturais de cada ele-
mento interagente ´e definido como um vetor de F componentes, sendo cada componente
um inteiro variando no intervalo [0, q −1]. Note que cada fator cultural, a priori, ´e total-
mente independente dos outros; o acoplamento destes vir´a com a defini¸c˜ao da dinˆamica
do sistema. Temos tamb´em que cada elemento interagente est´a situado em um ponto fixo
de uma rede quadrada de lado L, e interage apenas com seus vizinhos pr´oximos, caracte-
rizando a vizinhan¸ca de von Neumann (vide Figura 2.1). Assumimos condi¸c˜oes peri´odicas
de contorno neste caso. Uma das modifica¸c˜oes poss´ıveis neste modelo ´e a topologia da
intera¸c˜ao, isto ´e, com quais elementos da rede cada s´ıtio pode interagir. Ser˜ao discutidas
de forma mais detalhada as poss´ıveis mudan¸cas no modelo na Sec¸c˜ao 2.3.
Com a topologia e os estados de cada indiv´ıduo dados, basta definirmos a dinˆamica
30 1 O Modelo de Axelrod
Figura 2.1 – Primeiros vizinhos de uma rede quadrada (vizinhan¸ca de von Neumann).
de intera¸c˜ao entre estes para completar o modelo. Sabemos que, ao interagir socialmente,
os indiv´ıduos homogeneizam-se culturalmente. Em termos das vari´aveis do modelo, a
dinˆamica entre os elementos da rede torna os conjuntos de fatores culturais mais idˆenticos.
Assumimos tamb´em que, para haver essa intera¸c˜ao, ´e necess´ario pelo menos um fator
comum entre os indiv´ıduos interagentes, e a chance de a intera¸c˜ao acontecer ´e maior
quando existem mais fatores em comum.
Devido `a forma pela qual a intera¸c˜ao foi constru´ıda, ´e f´acil ver que esse sistema
tende a atingir um estado estacion´ario absorvente. Uma das vari´aveis a ser calculada
ao atingirmos esse estado ´e a distribui¸c˜ao espacial dos conjuntos de fatores, podendo
ent˜ao classific´a-los de acordo com a quantidade de regi˜oes cujos s´ıtios possuem o mesmo
estado cultural. Sistemas absorventes em que todos os s´ıtios apresentam o mesmo estado
cultural s˜ao definimos como homogˆeneos; j´a para todos os outros casos temos estados
inomogˆeneos por defini¸c˜ao. A caracter´ıstica n˜ao trivial deste modelo ´e a apari¸c˜ao de
estados absorventes n˜ao homogˆeneos, pois a intera¸c˜ao entre elementos da rede tende a
homogeniz´a-los. A apari¸c˜ao desses estados corrobora a validade do modelo proposto, pois
responde a pergunta motivadora do modelo ”[...] If people tend to become more alike in
their beliefs, attitudes, and behavior when they interact, why do not all such differences
eventually disappear? [...]”.
2.1.2 Algoritmo
Ser´a usada a estrutura de dados descrita no Apˆendice A. Levando em considera¸c˜ao a
redu¸c˜ao da dimens˜ao discutida no pr´oprio apˆendice (vide Equa¸c˜oes A.1 e A.2), definimos
de forma gen´erica o estado cultural de cada elemento pelo seguinte vetor linha
Ψ
i
= [Ψ
i,1
, Ψ
i,2
, ..., Ψ
i,F
]. (2.1)
2.1 O Modelo Livre 31
Exemplificando: para o caso particular de F = 5 e q = 10 temos um dos 5
10
estados
poss´ıveis na equa¸c˜ao abaixo
Ψ
i
= [2, 1, 0, 8, 6]. (2.2)
Consequentemente, mantendo F e q inalterados, uma rede de dimens˜ao L = 10 em um
estado completamente aleat´orio pode ser escrita como9
91292 49757 76385 14322 03195 86451 21067 67061 15220 15028
24146 14035 15731 46664 03044 47693 81783 63065 47103 12345
64576 60108 13116 61498 14391 66948 95165 21419 16038 26246
86014 74993 23666 07722 94308 01067 69454 75690 28233 98754
20202 34341 81219 61233 72651 16796 56957 96659 13916 99056
55645 06320 41097 44741 51349 90656 16162 35650 19565 53387
50062 79748 69073 07830 21458 01582 29288 30715 06884 57364
89573 60187 94144 42298 99920 46408 10849 57850 08140 29558
63027 66176 88008 70876 24964 85073 62658 94974 31589 84267
65864 53692 19646 32370 40193 79383 23754 63881 39028 39085
. (2.3)
A itera¸c˜ao d´a-se escolhendo aleatoriamente um s´ıtio i e em seguida um vizinho pr´oximo
aleat´orio j (vide Figura 2.1), tendo assim a dupla interagente. Ap´os isto calculamos a
probabilidade de intera¸c˜ao entre eles p
i→j
efetuando a soma
p
i→j
=
1
F
F
∑
k=1
δ
Ψ
i,k
,Ψ
j,k
, (2.4)
onde δ
ij
´e a delta de Kronecker. Caso a intera¸c˜ao ocorra, escolhemos aleatoriamente um
dos fatores do s´ıtio e o igualamos ao respectivo de seu vizinho. Do texto original de Robert
Axelrod podemos escrever resumidamente a intera¸c˜ao social como ”[...] with probability
equal to their cultural similarity, a randomly chosen site will adopt one of the cultural
features of a randomly chosen neighbor [...]”.
Essa itera¸c˜ao em forma de um diagrama de fluxo ´e mostrada na Figura 2.2. A si-
mula¸c˜ao come¸ca com um sistema totalmente aleat´orio, como mostrado na Rede 2.3, e
ser´a repetido a itera¸c˜ao da Figura 2.2 at´e que o sistema atinga um estado absorvente.
Note que a itera¸c˜ao da Figura 2.2 nunca altera o conjunto de fatores culturais caso a
dupla interagente possua conjuntos totalmente distintos, pois a Equa¸c˜ao 2.4 retorna valor
nulo. O mesmo efeito acontece tamb´em no caso de uma dupla interagente cujos conjun-
tos s˜ao totalmente idˆenticos. Conclu´ımos que os estados absorventes s˜ao aqueles em que
todos os s´ıtios fazem vizinhan¸ca apenas com elementos cujo conjunto de fatores culturais
32 1 O Modelo de Axelrod
Escolhe-se um sítio
Escolhe-se um vizinho
Calcula-se a probabili-
dade de interação
Iguala-se um fator
cultural
Caso Positivo
Caso Negativo
Figura 2.2 – Diagrama de Fluxo da itera¸c˜ao Cultural no Modelo de Axelrod
´e idˆentico ao seu ou totalmente distinto dele. Temos na rede seguinte um exemplo de
estado absorvente inomogˆeneo,
91292 91292 76385 76385 76385 76385 76385 76385 15220 15220
91292 91292 76385 76385 76385 76385 76385 76385 15220 15220
76385 91292 91292 76385 76385 76385 76385 76385 15220 15220
76385 91292 91292 76385 60187 60187 60187 76385 15220 15220
76385 76385 76385 76385 60187 60187 60187 60187 15220 15220
60187 60187 60187 60187 60187 60187 60187 60187 15220 15220
60187 60187 60187 60187 60187 60187 60187 42298 15220 15220
60187 60187 60187 42298 42298 42298 42298 42298 15220 15220
60187 60187 60187 42298 42298 42298 42298 42298 15220 15220
60187 60187 60187 42298 42298 42298 42298 42298 15220 15220
. (2.5)
Ao atingirmos esses estados calculamos o tamanho e a quantidade de dom´ınios equicul-
turais formados, e para isto usamos o algoritmo do Apˆendice B.
2.1.3 Otimiza¸c˜ao do C´odigo, a lista de s´ıtios ativos
A principal dificuldade encontrada para simularmos computacionalmente esse mo-
delo ´e o tempo de computa¸c˜ao necess´ario para atingirmos um estado absorvente. Uma
discuss˜ao mais detalhada da dependˆencia anal´ıtica desse tempo para diferentes homo-
2.1 O Modelo Livre 33
geneidades ser´a feita posteriormente. Otimizamos a modelagem proposta por Axelrod
introduzindo uma segunda estrutura de dados, uma lista de s´ıtios ativos. Esta consiste
em uma lista encadeada dos s´ıtios cujas intera¸c˜oes com seus vizinhos alterem o sistema.
Assim, ao inv´es de escolhermos aleatoriamente um s´ıtio da rede, escolhemos aleatoria-
mente um s´ıtio da lista, evitando escolher s´ıtios cujas poss´ıveis intera¸c˜oes n˜ao alteram o
sistema, diminuindo estrondosamente o n´umero de itera¸c˜oes in´uteis.
Para efetuarmos essa lista ´e necess´ario obter a atividade de cada s´ıtio, sendo a mesma
uma vari´avel booleana, na qual 0 ´e entendido como inativo e 1 como ativo. Ent˜ao, ap´os
gerarmos o sistema inicialmente aleat´orio (vide Rede 2.3), percorre-se a rede calculando
a atividade de cada elemento dada pela equa¸c˜ao
A
i
= 1 − δ
Na
i
,0
, (2.6)
sendo
Na
i
=
1
2
∑
vizinhos
(1 − δ
p
i→i
,0
)(1 − δ
p
i→i
,1
). (2.7)
´
E importante lembrar que a soma nos vizinhos ´e a mesma soma feita na equa¸c˜ao B.4
com a rela¸c˜ao B.5a para a vari´avel i. Sabemos que p
i→i
´e a probabilidade de intera¸c˜ao
calculada pela Equa¸c˜ao 2.4. Note tamb´em que a vari´avel Na
i
´e o n´umero de vizinhos do
s´ıtio alvo i cujas intera¸c˜oes s˜ao poss´ıveis.
Essa lista ´e atualizada a cada nova itera¸c˜ao adicionando ou removendo elementos
dela. A introdu¸c˜ao desta nos permite tamb´em obter um crit´erio de parada, pois o sistema
atinge um estado estacion´ario absorvente quando a lista de s´ıtios ativos n˜ao possuir mais
elementos. Incluindo essa otimiza¸c˜ao no algoritmo da Figura 2.2 temos a Figura 2.3.
2.1.4 Resultados
Como citado anteriormente, o efeito contra intuitivo da modelagem social de Axelrod
´e o aparecimento de estados absorventes inomogˆeneos. Isso adv´em da forma como a
probabilidade de intera¸c˜ao ´e definida (vide Equa¸c˜ao 2.4), pois um elemento cujo vizinho
interagente possui um conjunto de fatores culturais totalmente distintos do seu pr´oprio
tem uma probabilidade zero de intera¸c˜ao. Vamos analisar a dependˆencia do n´umero
m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ para os regimes homogˆeneos e inomogˆeneos. Executamos ent˜ao
o algoritmo descrito na sec¸c˜ao anterior analisando primeiramente o n´umero m´edio de
dom´ınios equiculturais formados no estado estacion´ario homogˆeneo ⟨N
h
d
⟩ em fun¸c˜ao dos
parˆametros da rede: dimens˜ao L, n´umero de fatores culturais F e varia¸c˜ao dos fatores q.
34 1 O Modelo de Axelrod
Escolhe-se um sítio da
lista de ativos
Escolhe-se um vizinho
aleatório
Calcula-se a probabili-
dade de interação
Iguala-se um fator
cultural
Caso Positivo
Caso Negativo
Atualiza-se a lista de sítios
ativos
Figura 2.3 – Diagrama de Fluxo da itera¸c˜ao Cultural no Modelo de Axelrod usando a oti-
miza¸c˜ao da Lista de S´ıtios Ativos
Analisando essa dependˆencia em fun¸c˜ao da dimens˜ao da rede L temos a Figura 2.4.
Figura 2.4 – Dependˆencia do n ´umero m´edio de dom´ınios equiculturais para um regime ho-
mogˆeneo ⟨N
h
d
⟩ com a dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 15
e F = 5. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
Note que obtivemos um pico no n´umero de dom´ınios, caracterizando o sistema como
2.1 O Modelo Livre 35
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10 100
<N
d
h
>/L
2
L
Figura 2.5 – Dependˆencia do n ´umero m´edio de dom´ınios equiculturais para um regime ho-
mogˆeneo ⟨N
h
d
⟩ normalizado por L
2
pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod
para q = 15 e F = 5 em uma escala dilogar´ıtmica. Cada s´ımbolo representa uma
m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela
Equa¸c˜ao 2.8
homogˆeneo no regime L → ∞, pois a raz˜ao
⟨N
h
d
⟩
L
2
→ 0. Obtivemos um resultado similar
ao encontrado por Axelrod em seu trabalho (2). A fim de mapearmos essa dependˆencia,
normalizaremos o n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
h
d
⟩ pela dimens˜ao da rede ao quadrado
L
2
e efetuamos o gr´afico dilogar´ıtmico da Figura 2.5. Observa-se claramente dois regimes
distintos: um transiente inicial entendido como o pico da Figura 2.4 e o o regime ho-
mogˆeneo. Como nosso enfoque ´e a caracteriza¸c˜ao do regime homogˆeneo, aproximaremos
a curva obtida pela fun¸c˜ao abaixo no intervalo L > 15, resultando nos coeficientes da
Tabela 2.1.
⟨N
h
d
⟩
L
2
= C
h
L
α
h
(2.8)
Tabela 2.1 – Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.8
Coeficientes Valor Erro
C
h
330 10
α
h
-3,03 0,01
Apesar de correto, devido ao pequeno intervalo de L em que foi efetuado as simula¸c˜oes
e, consequentemente, o gr´afico da Figura 2.5, n˜ao podemos assumir que a dependˆencia
36 1 O Modelo de Axelrod
encontrada ´e geral, ou seja, dado L, F , q teremos n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
h
d
⟩ defi-
nido pela Fun¸c˜ao 2.8. Obtivemos ent˜ao um limite para pequenos valores de L e regimes
homogˆeneos.
Como citado anteriormente um fator complicador para simularmos o Modelo de Axel-
rod nos limites assint´oticos da dimens˜ao da rede L → ∞ ´e o tempo de relaxa¸c˜ao m´edio
⟨T r⟩. Este aumenta estrondosamente com o aumento de L. Estamos interessados em
descobrir qual ´e a dependˆencia desse crescimento, al´em de analisarmos uma poss´ıvel de-
pendˆencia com a homogeneidade do estado absorvente. Para isto efetuamos o gr´afico da
Figura 2.6. Suporemos como boa aproxima¸c˜ao para a curva obtida uma express˜ao da
seguinte forma:
⟨T r
h
⟩ = K
h
L
β
h
. (2.9)
Alterando a escala do gr´afico da Figura 2.6 para uma escala dilogar´ıtmica e regredindo
linearmente a curva pela express˜ao 2.9, foram obtidos o gr´afico da Figura 2.7 e a tabela
de coeficientes 2.2.
Tabela 2.2 – Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.9
Coeficientes Valor Erro
K
h
5,42 0,07
β
h
4,018 0,003
Vamos efetuar os mesmos procedimentos para o n´umero m´edio de dom´ınios equicultu-
rais ⟨N
i
d
⟩ e para o tempo de relaxa¸c˜ao m´edio ⟨Tr
i
⟩ em regimes inomogˆeneos. Come¸cando
ent˜ao pelo numero m´edio de dom´ınios, temos o gr´afico da Figura 2.8.
Obtivemos ent˜ao o que nos parece ser uma dependˆencia da seguinte forma
⟨N
i
d
⟩ = C
i
L
α
i
. (2.10)
Para comprovarmos a nossa hip´otese refaremos o gr´afico anterior mudando a escala linear
para uma dilogar´ıtmica obtendo a curva da Figura 2.9. Efetuando uma regress˜ao linear
pela Fun¸c˜ao 2.10, obtemos os resultados da tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.9
Coeficientes Valor Erro
C
i
0,8850 0,0004
α
i
1,9977 0,0001
2.1 O Modelo Livre 37
0
1e+08
2e+08
3e+08
4e+08
5e+08
6e+08
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<Tr
h
>
L
Figura 2.6 – Dependˆencia do tempo m´edio de relaxa¸c˜ao em regimes homogˆeneos ⟨T r
h
⟩ pela
dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 5 e F = 15. Cada s´ımbolo
representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
10
100
1000
10000
100000
1e+06
1e+07
1e+08
1e+09
10 100
<Tr
h
>
L
Figura 2.7 – Dependˆencia do tempo m´edio de relaxa¸c˜ao em regimes homogˆeneos ⟨T r
h
⟩ pela
dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 5 e F = 15 em uma escala
dilogar´ıtmica. Cada simbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras. A
reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela Equa¸c˜ao 2.9.
38 1 O Modelo de Axelrod
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<N
d
i
>
L
Figura 2.8 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais em regimes inomogˆeneos
⟨N
i
d
⟩ pela dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 3 e F = 50. Cada
ponto representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
1
10
100
1000
10000
10 100
<N
d
i
>
L
Figura 2.9 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais em regimes inomogˆeneos
⟨N
i
d
⟩ pela dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
no modelo de Axelrod para q = 3 e
F = 50 em uma escala dilogar´ıtmica. Cada ponto representa uma m´edia sobre
N
a
= 1000 amostras. A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela Equa¸c˜ao 2.10
2.1 O Modelo Livre 39
Note que a dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais esta totalmente
correlacionada ao regime do estados absorvente em que nos encontramos, pois, para o re-
gime homogˆeneo, temos um decr´escimo proporcional `a L
−1
; j´a para regimes inomogˆeneos
observamos um crescimento proporcional `a L
2
. Podemos conjecturar que, al´em do n´umero
de dom´ınios, o tempo de relaxa¸c˜ao tamb´em dependa da homogeneidade dos estados ab-
sorventes. A fim de analisarmos essas diferen¸cas efetuaremos o gr´afico da Figura 2.10.
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<Tr
i
>
L
Figura 2.10 – Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao m´edio em regimes inomogˆeneos ⟨T r
i
⟩ pela
dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 3 e F = 50. Cada s´ımbolo
representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
De forma totalmente an´aloga `a executada para todos os resultados obtidos at´e o
presente momento, assumiremos como melhor aproxima¸c˜ao para os pontos do gr´afico da
Figura 2.10 a fun¸c˜ao abaixo. Alteraremos a escala linear para uma escala dilogar´ıtmica e
efetuando a regress˜ao linear, obtemos o gr´afico da Figura 2.11 e os coeficientes da Tabela
2.4:
⟨T r
i
⟩ = K
i
L
β
i
. (2.11)
Pensando na dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao m´edio ⟨T r⟩ com a dimens˜ao da rede
L como a complexidade do c´odigo, notamos um aumento significativo desse para sistemas
homogˆeneos. Concluindo que a maior parte do tempo de computa¸c˜ao gasto adv´em de
40 1 O Modelo de Axelrod
10
100
1000
10000
10 100
<Tr
i
>
L
Figura 2.11 – Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao m´edio em regimes inomogˆeneos ⟨T r
i
⟩ pela
dimens˜ao da rede L no modelo de Axelrod para q = 3 e F = 50 em uma escala
dilogar´ıtmica. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela Equa¸c˜ao 2.11.
Tabela 2.4 – Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.11
Coeficientes Valor Erro
K
i
2,25 0,01
β
i
2,031 0,001
amostras cuja a probabilidade de atingir um estado estacion´ario homogˆeneo ´e grande.
Demonstrando de uma forma visual, efetuamos a simula¸c˜ao mantendo a dimens˜ao da
rede e a dimens˜ao do conjunto de fator cultural fixos em L = 20 e F = 5, variamos
apenas o tamanho do conjunto com os poss´ıveis valores dos fatores culturais q, tendo
ent˜ao o gr´afico da Figura 2.12.
Note que obtivemos claramente uma transi¸c˜ao de fase homogˆenea para uma fase
inomogˆenea em
q
F
≈ 4.
´
E observado o efeito comentado acima: para regimes homogˆeneos
temos um enorme tempo de relaxa¸c˜ao e uma simula¸c˜ao praticamente instantˆanea para
regimes inomogˆeneos.
2.2 M´ıdia Externa 41
0
500
1000
1500
2000
2500
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
<Tr>
<N
d
>/L
2
q/F
<N
d
>/L
2
<Tr>
Figura 2.12 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ e do tempo m´edio
de relaxa¸c˜ao ⟨T r⟩ pela raz˜ao da varia¸c˜ao dos fatores culturais pela dimens˜ao do
vetor de fatores culturais
q
F
no modelo de Axelrod para L = 20 e F = 5. Cada
s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
2.2 M´ıdia Externa
2.2.1 Motiva¸c˜ao e descri¸c˜ao do Algoritmo
Um fato conhecido dos meios de comunica¸c˜ao em massa ´e a gera¸c˜ao de opini˜ao, de
uma outra forma a manipula¸c˜ao do senso comum das massas. Visando a este tipo de efeito
´e que adicionaremos ao modelo livre uma m´ıdia externa. No jarg˜ao f´ısico adicionamos a
um sistema que intrinsecamente interage homogenizando-se um campo externo tamb´em
homogenizador.
A fim de incluirmos este campo externo, usaremos o procedimento proposto por Shi-
banai e colaboradores (5). Esse procedimento consiste em adicionar um vizinho fict´ıcio
aleat´orio comum para todos os elementos da rede. Cada elemento possui uma probabili-
dade p de interagir com esse vizinho fict´ıcio e consequentemente, uma probabilidade 1 −p
de interagir com seus vizinhos pr´oximos. Note que a intensidade do campo adv´em do
valor pr´e definido de p. Aplicando esse novo algoritmo no modelo de Axelrod otimizado
pela lista de s´ıtios ativos (vide Figura 2.3), temos a Figura 2.13.
42 1 O Modelo de Axelrod
Escolhe-se um sítio da
lista de ativos
Calcula-se a probabilidade
de interagirmos com a
mídia
Iguala-se um fator
aleatório do alvo com um
da mídia
Atualiza-se a lista de sítios
ativos
Caso Positivo
Caso Negativo
Escolhe-se um vizinho
proximo aleatório
Atualiza-se a lista de sítios
ativos
Calcula-se a probabili-
dade de interação com
vizinhos
Caso Negativo
Caso Positivo
Iguala-se um fator
aleatório com o vizinho
próximo
Figura 2.13 – Diagrama de Fluxo para o Modelo de Axelrod com a m´ıdia Externa proposta por
Shibanai e Colaboradores
2.2.2 Resultados
Analogamente ao feito para o modelo de Axelrod livre, iremos analisar o n´umero m´edio
de dom´ınios formados ⟨N
d
⟩ em fun¸c˜ao dos parˆametros da rede [L, F, q] e da intensidade
do campo p. Temos primeiramente o gr´afico de ⟨N
d
⟩ para redes de v´arias dimens˜oes,
com seus conjuntos de fatores culturais de tamanho F = 5 e varia¸c˜ao de fatores q = 2
em fun¸c˜ao de p na Figura 2.14. Escolhemos esses parˆametros porque, ao analisarmos o
2.2 M´ıdia Externa 43
gr´afico da Figura 2.12 pudemos observar que, na ausˆencia da m´ıdia externa, o sistema ´e
homogˆeneo.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
<N
d
>/L
2
p
L=50
L=200
Figura 2.14 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩, com a probabi-
lidade de intera¸c˜ao com o s´ıtio fict´ıcio p no modelo de Axelrod com a m´ıdia
externa para redes de dimens˜ao descritas no gr´afico, cujos conjuntos de fatores
culturais tem tamanho F = 5 e varia¸c˜ao q = 2. Cada ponto representa uma
m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
Note que obtivemos um resultado totalmente contra-intuitivo: a partir de um valor
cr´ıtico p
crit
≈ 0, 005, quanto mais forte ´e aplicado o campo externo homogenizador mais
heterogˆeneo o sistema estabiliza-se, ou seja, o efeito da aplica¸c˜ao do campo aumenta
a probabilidade de termos um sistema absorvente heterogˆeneo. Isto vai contra a nossa
intui¸c˜ao pois o efeito do campo atuando em um ´unico s´ıtio tende a homogeneiz´a-lo. Com
este efeito comentado queremos agora descobrir a dependˆencia desse novo sistema com
a dimens˜ao da rede L. Primeiramente, efetuaremos o mesmo gr´afico da Figura 2.14
mudando apenas os limites do eixo das abcissas e inserindo mais curvas para diferentes
valores de L. Temos assim o gr´afico da Figura 2.15.
Obtivemos um decr´escimo de ⟨N
d
⟩ dependente da dimens˜ao. Perguntamo-nos agora
se no limite L → ∞ temos ⟨N
d
⟩ → 0 ou temos um valor assint´otico diferente de zero.
Vamos ent˜ao efetuar a analise da dimens˜ao para um valor fixo da intensidade do campo
p e dos parˆametros da rede q e F . Para isto efetuamos um conjunto de curvas mostrado
na Figura 2.16.
44 1 O Modelo de Axelrod
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
<N
d
>/L
2
p
L=50
L=100
L=150
L=200
Figura 2.15 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩, com a probabi-
lidade de intera¸c˜ao com o s´ıtio fict´ıcio p no modelo de Axelrod com a m´ıdia
externa para redes descritas no gr´afico, cujos conjuntos de fatores culturais tem
tamanho F = 5 e varia¸c˜ao q = 2. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre
N
a
= 1000 amostras.
Essa figura nos mostra primeiramente uma forma de classificarmos os estados de
acordo com sua homogeneidade, isto ´e, pontos que se aproximam da reta tracejada s˜ao
estados homogˆeneos; j´a os pertencentes `as diferentes retas paralelas ao eixo das abcissas
s˜ao estados inomogˆeneos. Conclu´ımos isto porque a reta tracejada ´e a reta
⟨N
d
⟩
L
2
=
1
L
2
. (2.12)
´
E f´acil ver que ⟨N
d
⟩ = 1 ou seja, um regime homogˆeneo.
Como comentado anteriormente, nossa busca ´e pela forma como o n´umero m´edio
de dom´ınios ⟨N
d
⟩ varia ao variarmos L, mais especificamente, qual ´e o valor no limite
assint´otico L → ∞ para um determinado valor de p. Afinal de contas, devido ao efeito de
inomogeneidade com a aplica¸c˜ao da m´ıdia externa mostrado anteriormente, assum´ıamos
que aumentando a ordem da matriz o estado final seria homogˆeneo. Assim, o aumento da
rede compensaria a inomogeneidade inserida pela m´ıdia. No entanto, ´e trivial ver, pelo
gr´afico da Figura 2.16, que, mesmo para campos extremamente fracos, temos no limite
assint´otico um regime heterogˆeneo. A fim de obtermos esses regimes, efetuamos o gr´afico
da Figura 2.17. Tendo estas curvas em m˜aos assumiremos que a equa¸c˜ao mais apropriada
2.2 M´ıdia Externa 45
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1000 10000
<N
d
>/L
2
L
1/L
2
p=0.01
p=0.001
p=0.002
p=0.003
Figura 2.16 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ normalizado pela
dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
com a dimens˜ao da rede L no modelo de
Axelrod com a m´ıdia externa para probabilidades de intera¸c˜ao p descritas no
gr´afico, cujos conjuntos de fatore culturais tem tamanho F = 3 e varia¸c˜ao q = 3.
Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
para esses pontos ´e a que segue:
⟨N
d
⟩
L
2
= ⟨N
d
⟩
∞
+
Γ
L
δ
. (2.13)
´
E de f´acil entendimento a denomina¸c˜ao do primeiro termo deste polinˆomio pois
⟨N
d
⟩
∞
= lim
L→∞
⟨N
d
⟩
L
2
. (2.14)
Efetuando ent˜ao a regress˜ao linear dos pontos obtidos pela Equa¸c˜ao 2.13 obtivemos os
coeficientes da Tabela 2.5.
Tabela 2.5 – Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.13 para v´arios valores de p.
p ⟨N
d
⟩
∞
Γ δ
0,001 (4, 7 ±0, 5)10
−7
0, 970 ± 0, 007 1, 992 ± 0, 002
0,002 (2 ± 1)10
−6
0, 60 ± 0, 09 1, 87 ± 0, 04
0,003 (6, 1 ±0, 2)10
−6
1, 05 ± 0, 02 2, 010 ± 0, 005
0,01 (1, 001 ± 0, 004)10
−4
0, 94 ± 0, 05 1, 98 ± 0, 01
Podemos concluir com apenas estes dados que δ ≈ 2 e Γ ≈ 1. Para finalmente1
46 1 O Modelo de Axelrod
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
<N
d
>/L
2
1/L
p=0.01
p=0.001
p=0.002
p=0.003
Figura 2.17 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ normalizado pela
dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
com 1 menos a dimens˜ao da rede L no modelo
de Axelrod com a m´ıdia externa para probabilidades de intera¸c˜ao p descritas no
gr´afico, cujos conjuntos de fatore culturais tem tamanho F = 3 e varia¸c˜ao q = 3.
Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
mapearmos a dependˆencia de ⟨N
d
⟩
∞
com a intensidade do campo p vamos efetuar essas
simula¸c˜oes para diferentes valores de p obtendo assim o gr´afico da Figura 2.18.
Vamos assumir como boa aproxima¸c˜ao desses dados a fun¸c˜ao
⟨N
d
⟩
∞
= C
∞
p
α
∞
. (2.15)
Efetuando a regress˜ao dos pontos da Figura 2.18, obtemos a Tabela 2.6.
Tabela 2.6 – Coeficientes da Equa¸c˜ao 2.15
Coeficientes Valor Erro
C
∞
5,6 0,9
α
∞
2,37 0,04
A quantidade reduzida de pontos na Figura 2.18 ´e devido ao grande tempo compu-
tacional necess´ario para obtermos cada ponto acima de L = 1000 no gr´afico da Figura
2.16. Assim, n˜ao foi poss´ıvel ainda obtermos uma dependˆencia anal´ıtica expl´ıcita do
n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais no regime L → ∞ em fun¸c˜ao de p. O enfoque
futuro ser´a aumentar a eficiˆencia do programa utilizado paralelismo computacional (MPI
2.3 Modifica¸c˜oes no Modelo 47
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.001 0.01
<N
d
>
∞
p
Figura 2.18 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ normalizado pela
dimens˜ao da rede ao quadrado L
2
no regime L → ∞ com a intensidade do campo
p no modelo de Axelrod com a m´ıdia externa, cujos conjuntos de fatores culturais
tem tamanho F = 3 e varia¸c˜ao q = 3. A reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela
equa¸c˜ao 2.15.
e OpenMp). Apesar de n˜ao termos a dependˆencia anal´ıtica explicita, este resultado nos
mostra que n˜ao h´a transi¸c˜oes de fase neste regime, como era conjecturado por Gonz´alez e
colaboradores (10). O que temos ´e sempre um sistema inomogˆeneo no limite assint´otico
de L e independente dos outros parˆametros da rede. Com isso, a ideia de termos um valor
cr´ıtico tanto para p como para a raz˜ao
F
q
em que distingui-se qual regime o sistema evolui
torna-se equivocada.
2.3 Modifica¸c˜oes no Modelo
Mostramos na sec¸c˜ao anterior a inclus˜ao da m´ıdia externa, a qual ´e uma forma de
modificarmos o modelo proposto por Axelrod. No entanto, n˜ao apenas essa inclus˜ao ´e
valida na modifica¸c˜ao da modelagem original. Pode-se pensar em alterar a topologia do
sistema, incluir outros tipos de intera¸c˜oes n˜ao apenas vizinhos pr´oximos, alterar a forma
do calculo da probabilidade, incluir um drift cultural, ou seja, altera¸c˜oes aleat´orias de
fatores culturais, etc.
No ˆambito da mudan¸ca de topologia, temos duas poss´ıveis categorias de mudan¸cas.
48 1 O Modelo de Axelrod
A primeira visa o aumento do n´umero de vizinhos pr´oximos, ou seja, mudamos da vi-
zinhan¸ca de von Neumann (vide Figura 2.1) para, por exemplo, a vizinhan¸ca de Moore
(vide Figura 3.1). No capitulo seguinte ser´a efetuada uma discuss˜ao detalhada dos efeitos
dessas mudan¸cas. A segunda categoria visa uma mudan¸ca mais dr´astica, ou seja, ser´a feito
um grafo dos vizinhos interagentes e ser´a adicionado um efeito de intera¸c˜ao a distˆancia,
o que seria uma poss´ıvel modelagem para a internet e outros meios de comunica¸c˜ao n˜ao
necessariamente homogenizadores globais, como tratado at´e o presente momento.
Vimos que a nossa intui¸c˜ao n˜ao ´e ´util para prevermos o efeito na homogeneidade
dos estados absorventes ao inserirmos uma modifica¸c˜ao no modelo original. No entanto,
conhece-se da literatura uma grande quantidade de modifica¸c˜oes na modelagem original.
Por exemplo Kennedy (3) alterou a forma expl´ıcita da probabilidade (vide Equa¸c˜ao 2.4)
e Klemm e colaboradores (4) inclu´ıram um ruido externo, o drift cultural, entre in´umeros
outros trabalhos. Estes, em espec´ıfico, resultaram em aumentos da homogeneidade. Isto
nos mostra uma fragilidade da inomogeneidade cultural, tornando a m´ıdia externa global
uma modifica¸c˜ao interessante por ir contra os resultados canˆonicos.
49
3 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
3.1 O Modelo Autˆomato
3.1.1 Motiva¸c˜ao e Descri¸c˜ao do Modelo
Domenico Parisi e colaboradores, em seu trabalho (8), tem como motiva¸c˜ao obter os
mesmos resultados do modelo de Axelrod, ou seja, a partir de uma dinˆamica homoge-
nizadora obter um estado estacion´ario inomogˆeneo, mudando, no entanto, o paradigma
sequencial do modelo de Axelrod (2) para um autˆomato e a intera¸c˜ao cultural bipolar por
um de vi´es de frequˆencia (11).
Da mesma forma que no modelo de Axelrod, cada indiv´ıduo ´e caracterizado por um
vetor de fatores culturais de dimens˜ao F. Todavia, neste caso ser´a atribu´ıdo a cada fator
valores booleanos, 0 e 1. Exceto pelo conjunto de vizinhos influenciadores, a topologia do
sistema permanece, sendo a rede quadrada de lado L com condi¸c˜oes peri´odicas de con-
torno e estados iniciais aleat´orios. Agora cada s´ıtio interage com os primeiros e segundos
vizinhos, como mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Primeiros e segundos vizinhos de uma rede quadrada (vizinhan¸ca de Moore).
Como citado anteriormente, o intercˆambio cultural entre indiv´ıduos, neste caso, n˜ao ´e
mais a intera¸c˜ao bipolar, como no modelo de Axelrod: teremos uma assimila¸c˜ao cultural,
ou seja, a cada passo temos que os fatores culturais do s´ıtio alvo receber˜ao o fator respec-
tivo mais abundante entre os seus vizinhos pr´oximos. Essa forma de intera¸c˜ao caracteriza
50 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
a regra da maioria e nomeia o modelo vi´es de frequˆencia. Note que, pela topologia de-
finida acima (vide Figura 3.1), teremos um n´umero par de vizinhos; consequentemente
um crit´erio de desempate deve ser definido. Para o desempate, neste caso, computaremos
tamb´em o valor do fator do pr´oprio s´ıtio alvo. Uma discuss˜ao mais detalhada ser´a feita
posteriormente, mostrando os efeitos nos estados absorventes decorrentes da escolha do
crit´erio de desempate.
3.1.2 Algoritmo
Como estamos supondo uma evolu¸c˜ao do tipo autˆomato, o c´odigo executar´a a assi-
mila¸c˜ao cultural para todos os s´ıtios simultaneamente, definindo assim o tempo T , cuja
denomina¸c˜ao ser´a ciclo. Em cada itera¸c˜ao calcula-se a seguinte soma para todos os fatores
de cada s´ıtio da rede,
S
j
=
8
∑
i=0
Ψ
i,j
. (3.1)
Mantendo a nota¸c˜ao do cap´ıtulo anterior, sabemos que i denota os s´ıtios e j os fatores.
Por defini¸c˜ao i = 0 ser´a o s´ıtio alvo e i > 0 seus respectivos primeiros e segundos vizinhos.
Devido `a propriedade booleana dos fatores e a condi¸c˜ao peri´odica de contorno, basta
comparar o valor de S
j
com 5 para descobrirmos qual ´e o fator mais abundante neste
caso, e com isso, alterarmos valor do s´ıtio alvo. Temos graficamente o algoritmo na
Figura 3.2.
Somam-se os valores
dos respectivos fatores
de cada vizinho
Selecionamos o
próximo fator cultural
do sítio
Iguala-se o fator do
sítio a 0
Iguala-se o fator do
sítio a 1
Caso
S
j
>= 5
Caso
S
j
< 5
Figura 3.2 – Diagrama de Fluxo da Assimila¸c˜ao Cultural.
Como comentado anteriormente, essa itera¸c˜ao ´e repetida simultaneamente em todos
os s´ıtios e, em seguida, ´e atualizada a matriz do sistema. de forma an´aloga `a do modelo
de Axelrod, as itera¸c˜oes s˜ao efetuadas at´e o sistema atingir um estado absorvente. Cal-
cularemos ent˜ao o n´umero de dom´ınios equiculturais, que, neste caso, s˜ao todos aqueles
com tamanho maior que a unidade. O algoritmo usado para o c´alculo desses dom´ınios ´e
3.1 O Modelo Autˆomato 51
o descrito no Apˆendice B.
3.1.3 Resultados
O algoritmo discutido acima foi executado em uma rede quadrada com L = 100, sendo
o n´umero de fatores culturais de cada s´ıtio F = 6. Cada ponto do gr´afico da Figura 3.3
representa uma m´edia sobre N
a
= 300 amostras. Essa figura mostra o n´umero m´edio de
dom´ınios ⟨N
d
⟩ em fun¸c˜ao do n´umero de ciclos T .
1250
1300
1350
1400
1450
1500
1550
1600
1650
1700
1750
0 2 4 6 8 10 12 14 16
<N
d
>
T
Figura 3.3 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ com o n´umero de
ciclos T no modelo Autˆomato de Parisi e colaboradores para L = 100 e F = 6.
Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
Obtivemos um comportamento decrescente do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ em
fun¸c˜ao do n´umero de ciclos. Sabemos que a grande quantidade de dom´ınios no in´ıcio da
simula¸c˜ao adv´em da aleatoriedade inicial definida pelo algoritmo. O fato interessante ´e
que apesar do n´umero diminuir com o passar do tempo, ele n˜ao atinge o valor m´ınimo
poss´ıvel, que seria 1, ou seja, o sistema em um regime homogˆeneo. Mostramos ent˜ao que o
modelo estudado por Parisi e colaboradores (8) possui a mesma propriedade n˜ao intuitiva
do modelo de Axelrod: ambos s˜ao modelos estoc´asticos com intera¸c˜oes homogenizadoras
atingindo sistemas absorventes inomogˆeneos.
52 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
3.2 O Modelo Sequencial
3.2.1 Modifica¸c˜oes do Algoritmo
Neste novo modelo voltaremos ao paradigma sequencial, mantendo a assimila¸c˜ao cul-
tural proposta por Parisi e colaboradores. Basicamente, o algoritmo utilizado ser´a uma
combina¸c˜ao da lista de s´ıtios ativos proposta no cap´ıtulo anterior com o mecanismo de
assimila¸c˜ao cultural descrito acima, conforme ilustrado na Figura 3.4.
Assimilação Cultural
Escolhe-se um sítio da
lista
Atualiza-se a lista
Calcula-se a similari-
dade cultural do sítio
alvo e de seus vizinhos
Figura 3.4 – Diagrama de Fluxo da Assimila¸c˜ao Cultural Sequencial.
´
E importante ressaltar que o passo denominado Assimila¸c˜ao Cultural ´e a repeti¸c˜ao F
vezes do algoritmo da Figura 3.2. Da mesma forma que os modelos anteriores, esta itera¸c˜ao
repete-se at´e atingirmos os estados absorventes. S´o ent˜ao calculamos as propriedades dos
dom´ınios equiculturais e do tempo para atingirmos o estado absorvente.
3.2.2 Resultados
Os dados retornados pelo programa s˜ao as m´edias do n´umero de dom´ınios ⟨N
d
⟩ e do
tempo de relaxa¸c˜ao normalizado ⟨T r⟩, onde utilizamos N
a
= 1000 amostras independen-
tes. Definimos o tempo de relaxa¸c˜ao normalizado como o n´umero de itera¸c˜oes executadas
at´e ser atingido um estado absorvente dividido pelo n´umero de s´ıtios na rede, L
2
. Lem-
bremos que um sistema ´e caracterizado ao darmos apenas sua ordem L e a dimens˜ao do
vetor cultural F , pois ainda estamos supondo valores booleanos para os fatores cultu-
rais. Primeiramente exemplificamos um estado estacion´ario para uma rede de dimens˜ao
L = 500 e F = 1 na Figura 3.5.
Queremos analisar a dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios existentes nos estados
estacion´arios (vide Figura 3.5) em fun¸c˜ao dos parˆametros da rede L e F , e, para isto,
3.2 O Modelo Sequencial 53
Figura 3.5 – Exemplo de um estado absorvente inomogˆeneo de uma rede de dimens˜ao L = 500
e F = 1 para a dinˆamica de Vi´es de Frequˆencia com a vizinhan¸ca de Moore. Os
pontos amarelos s˜ao s´ıtios com Ψ
i0
= 1 e os pontos cinzas Ψ
i0
= 0.
confeccionamos os gr´aficos do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais em fun¸c˜ao da
dimens˜ao linear L (Figura 3.6) e da dimens˜ao ao quadrado L
2
(Figura 3.7) da rede para
alguns valores de F . Como obtivemos retas que passam pela origem para o gr´afico em
fun¸c˜ao de L
2
(Figura 3.7), conclu´ımos que a dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios
deve ser dada pela rela¸c˜ao
⟨N
d
⟩ = Γ.L
2
. (3.2)
Com o prop´osito de obtermos a dependˆencia de Γ com F efetuamos as simula¸c˜oes descritas
acima, variando F desde 1 at´e 100, ou seja, para cada valor de F variamos a dimens˜ao
L de 3 a 100. Em seguida calculamos o coeficiente angular Γ das retas resultantes e
efetuamos um gr´afico de Γ em fun¸c˜ao do n´umero de fatores culturais F . Os resultados
s˜ao apresentados na Figura 3.8. Vamos supor que a dependˆencia de Γ com F seja
Γ = 1 −Ce
−bF
. (3.3)
Para comprovarmos esta hip´otese efetuaremos o gr´afico da figura 3.9. Note que obtivemos
uma reta, comprovando a hip´otese da dependˆencia do tipo exponencial. Efetuando ent˜ao
uma regress˜ao linear dos pontos obtidos atrav´es da express˜ao 3.3 obtivemos os valores dos
coeficientes C e b com seus respectivos desvios, conforme mostrado na Tabela 3.1.
54 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<N
d
>
L
F=5
F=15
F=25
Figura 3.6 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ com a dimens˜ao
linear L da rede quadrada no modelo Sequencial para valores de F inclu´ıdos na
figura. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
<N
d
>
L
2
F=5
F=15
F=25
Figura 3.7 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩ com a dimens˜ao
quadr´atica L
2
da rede no modelo Sequencial para valores de F inclu´ıdos na figura.
Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
3.2 O Modelo Sequencial 55
Tabela 3.1 – Coeficientes da equa¸c˜ao 3.3
Coeficientes Valor Erro
C 1,484 0,008
b 0,0977 0,0004
Com o sistema caracterizado, podemos obter algumas propriedades dos regimes as-
sint´oticos. Para F → ∞ obtemos ⟨N
d
⟩ = L
2
, ou seja, a quantidade de fatores e conse-
quentemente, a diversidade cultural ´e t˜ao grande que cada elemento da rede ´e distinto
de todos os outros. Al´em disso, obtemos da Figura 3.8 que a raz˜ao ⟨N
d
⟩/L
2
permanece
constante no regime assint´otico,
lim
L→∞
⟨N
d
⟩
L
2
= Γ. (3.4)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Γ
F
Figura 3.8 – Dependˆencia do coeficiente angular Γ com a dimens˜ao do vetor de fatores culturais
F no modelo Sequencial com topologia de primeiros e segundos vizinhos.
Efetuando uma an´alise similar para o tempo de relaxa¸c˜ao m´edio normalizado, apre-
sentamos primeiramente o gr´afico de ⟨T r⟩ como fun¸c˜ao de L na Figura 3.10. Observa-se
um transiente para o tempo de relaxa¸c˜ao no regime de L pequeno e, em seguida, um va-
lor constante deste. Suporemos, como primeira aproxima¸c˜ao, o tempo de relaxa¸c˜ao como
sendo constante para qualquer valor de L. A express˜ao seguinte nos mostra a dependˆencia
56 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
0.01
0.1
1
0 10 20 30 40 50
1- Γ
F
Figura 3.9 – Dependˆencia de 1 −Γ com a dimens˜ao do vetor de fatores culturais F no modelo
Sequencial com topologia de primeiros e segundos vizinhos em escala monolo-
gar´ıtmica. A linha tracejada ´e a regress˜ao linear pela fun¸c˜ao 3.3.
do tempo de relaxa¸c˜ao m´edio com a dimens˜ao:
⟨T r⟩ = ∆. (3.5)
Para encontrarmos a dependˆencia de ∆ com F , efetuaremos o gr´afico de ⟨T r⟩ no
limite assint´otico (L → ∞) contra F da Figura 3.11. Interpolaremos estes pontos pela
fun¸c˜ao
⟨T r⟩ = AF
α
, (3.6)
obtendo os resultados da Tabela 3.2.
Tabela 3.2 – Coeficientes da equa¸c˜ao 3.6
Coeficientes Valor Erro
A 0,71 0,01
α 0,465 0,004
Conclu´ımos ent˜ao que, no limite F → ∞, ⟨T r⟩ → ∞, o que j´a era esperado, pois
quanto maior o vetor de fatores culturais maior ´e a quantidade de possibilidades culturais
3.2 O Modelo Sequencial 57
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<Tr>
L
F=5
F=15
F=25
Figura 3.10 – Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao normalizado ⟨T r⟩ com a dimens˜ao linear L
da rede quadrada no modelo de Vi´es de Frequˆencia para valores de F inclu´ıdos
na figura. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
∆
F
Figura 3.11 – Dependˆencia do tempo de relaxa¸c˜ao normalizado assint´otico ∆ pela dimens˜ao do
vetor de fatores culturais F no modelo proposto por Parisi e colaboradores. A
reta tracejada ´e a regress˜ao linear pela fun¸c˜ao (3.6).
58 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
que cada s´ıtio pode ter, aumentando o tempo m´edio para o sistema atingir um estado
absorvente. O curioso deste resultado ´e a dependˆencia ⟨T r⟩ ≈
√
F .
3.3 O Modelo Sequencial com Vizinhan¸ca de von Neu-
mann
3.3.1 Descri¸c˜ao do Modelo e a Dependˆencia com o N´umero de
Vizinhos
A segunda modifica¸c˜ao feita no modelo proposto por Parisi e colaboradores ser´a na
topologia da intera¸c˜ao. Em particular, voltaremos a usar apenas os primeiros vizinhos,
semelhantemente ao usado no modelo de Axelrod (Figura 2.1), a fim de explorarmos as
poss´ıveis altera¸c˜oes no comportamento do sistema em fun¸c˜ao da vizinhan¸ca. No entanto,
manteremos uma intera¸c˜ao do tipo assimila¸c˜ao cultural.
Da mesma forma `a feita para o modelo com topologia de primeiros e segundos vizinhos,
analisaremos o comportamento do n´umero m´edio de dom´ınios equiculturais ⟨N
d
⟩. De
forma an´aloga `a feita para o modelo sequencial com topologia de primeiros e segundos
vizinhos mostramos na Figura 3.12 um exemplo de um estado absorvente inomogˆeneo.
Figura 3.12 – Exemplo de um estado absorvente inomogˆeneo de uma rede de dimens˜ao L =
500 e F = 1 para a dinˆamica de Vi´es de Frequˆencia com a vizinhan¸ca de von
Neumman. Os pontos amarelos s˜ao s´ıtios com Ψ
i0
= 1 e os pontos cinzas
Ψ
i0
= 0.
3.3 O Modelo Sequencial com Vizinhan¸ca de von Neumann 59
´
E trivial notar o aumento dr´astico do n´umero de dom´ınios ao compararmos as Figuras
3.12 e 3.5. Conclu´ımos ent˜ao que o aumento do n´umero de vizinhos interagentes aumenta
a homogeneidade do sistema. Com o efeito do aumento da homogeneidade encontrado
vamos verificar a dependˆencia de ⟨N
d
⟩ com a dimens˜ao da rede L, analisando o gr´afico do
n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ (Figura 3.13) para uma rede de dimens˜oes L variando
de 3 at´e 100 para diferentes valores de F e um conjunto amostral de N
a
= 1000 amostas
com a topologia de apenas primeiros vizinhos.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
<N
d
>
L
F=5
F=15
F=25
Figura 3.13 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ pela dimens˜ao linear L no
modelo com vizinhan¸ca de von Neumman para valores de
F
indicados na figura.
Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras.
Note que obtivemos curvas qualitativamente similares `as da figura 3.6, mostrando
ent˜ao que a altera¸c˜ao do n´umero de vizinhos interagentes n˜ao altera a dependˆencia linear
com L
2
. No entanto, como comentado anteriormente, obtivemos uma maior quantidade
de dom´ınios. Efetuando o gr´afico do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ em fun¸c˜ao da
dimens˜ao da rede L
2
para F = 15 e diferentes topologias (vide Figura 3.14), comprovamos
quantitativamente o efeito j´a observado e discutido.
3.3.2 O Modelo de Voto da Maioria e o Crit´erio de Desempate
´
E conhecido da mecˆanica estat´ıstica moderna o Modelo de Voto da Maioria, o qual
pode ser descrito como um modelo similar ao modelo de vi´es de frequˆencia com quatro
60 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
<N
d
>
L
2
Moore
von Neumann
Figura 3.14 – Dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ pela dimens˜ao quadr´atica L
2
com vetores de fatores culturais com dimens˜ao F = 15 para as vizinhan¸cas indi-
cadas na figura. Cada s´ımbolo representa uma m´edia sobre N
a
= 1000 amostras
independentes.
vizinhos mostrado acima. Esse modelo caracteriza-se por ser sequencial na rede com ape-
nas os primeiros vizinhos influenciando o s´ıtio (vide Figura 2.1) e uma intera¸c˜ao da forma
assimila¸c˜ao cultural (vide Figura 3.2), mas com F = 1. No entanto, a diferen¸ca encontra-
se no crit´erio de desempate, pois como discutido no come¸co do cap´ıtulo, o conjunto de
vizinhos pr´oximos em quest˜ao possui um n´umero par de elementos. Para o modelo de
vi´es de frequˆencia, adicionamos na conta da maioria entre os vizinhos o valor do pr´oprio
sitio alvo (Equa¸c˜ao 3.1) e, para o modelo da Maioria, assumimos que, no caso de empate,
o fator pode receber 0 ou 1 com a mesma probabilidade. O algoritmo para o modelo da
Maioria pode ser ent˜ao descrito pela Figura 3.15.
Da mesma forma que o modelo de vi´es de frequˆencia a itera¸c˜ao descrita na Figura
3.15 ´e repetida at´e atingirmos um estado absorvente, e, em seguida, contamos o tamanho
dos dom´ınios utilizando novamente o algoritmo do Apˆendice B.
Para a simula¸c˜ao do modelo de voto da maioria, utilizaremos uma rede de dimens˜ao
L = 200 e um conjunto amostral de N
a
= 5000 amostras, resultando no histograma do
tamanho de dom´ınios T
d
mostrado na Figura 3.16.
Note que obtivemos a grande maioria das amostras com
⟨T
d
⟩
L
2
= 1, ou seja, um regime
3.3 O Modelo Sequencial com Vizinhan¸ca de von Neumann 61
Somam-se os valores
dos respectivos fatores
de cada vizinho
Selecionamos o
próximo fator cultural
do sítio
Iguala-se o fator do
sítio a 0
Iguala-se o fator do
sítio a 1
Caso
S
j
> 2
Caso
S
j
< 2
O sítio recebe um valor
aleatório inteiro
entre 0 e 1 com mesma
probabilidade
Caso
S
j
= 2
Figura 3.15 – Diagrama de Fluxo da Assimila¸c˜ao Cultural do Modelo de Voto da Maioria.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
N
T
d
/N
a
<T
d
>/L
2
Figura 3.16 – Histograma do tamanho de dom´ınio normalizado T
d
no Modelo de Voto da Mai-
oria para uma rede de dimens˜ao L = 200 e F = 1 e um conjunto amostral de
N
a
= 5000 amostras.
homogˆeneo. J´a nas outras amostras, as quais em tese representam sistemas inomogˆeneos,
foi observado dom´ınios em forma de tiras. Para entendermos melhor a forma¸c˜ao destas
62 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
tiras equiculturais temos na Figura 3.17 uma rede neste tipo de estado absorvente.
Figura 3.17 – Rede de dimens˜ao L = 200 com vetores de fator cultura de dimens˜ao F = 1 em
um estado absorvente no modelo de voto da maioria. Os pontos amarelos s˜ao
s´ıtios com Ψ
i0
= 1 e os pontos cinzas Ψ
i0
= 0.
Com esses resultados conclu´ımos que, a menos de algumas amostras cujos estados
absorventes est˜ao em tiras, o modelo de voto da maioria sempre resulta em um sistema
absorvente homogˆeneo. Efetuando o mesmo c´alculo, no entanto, para o modelo de vi´es
de frequˆencia temos o histograma da Figura 3.18.
´
E trivial ver que, para o modelo de vi´es de frequˆencia, sempre obtemos sistemas
totalmente inomogˆeneos. Ao compararmos os histogramas (Figuras 3.16 e 3.18) e os
exemplos (Figuras 3.12 e 3.17) notamos uma total diferen¸ca na homogeneidade dos estados
absorventes, e ao compararmos os algoritmos (Figuras 3.15 e 3.4) conclu´ımos que a forma
do crit´erio de desempate altera drasticamente a homogeneidade do sistema.
3.3 O Modelo Sequencial com Vizinhan¸ca de von Neumann 63
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006
<N
T
d
>/N
a
<T
d
>/L
2
Figura 3.18 – Histograma do tamanho de dom´ınio normalizado T
d
no Modelo de vi´es de
frequˆencia para uma rede de dimens˜ao L = 200 e F = 1 e um conjunto amostral
de N
a
= 5000 amostras.
64 2 Modelo de Vi´es de Frequˆencia
65
4 CONCLUS
˜
AO
Este trabalho teve como enfoque o estudo de modelos estoc´asticos aplicados a sis-
temas sociais. A motiva¸c˜ao inicial adv´em do paradoxo da manuten¸c˜ao das diferen¸cas,
ou seja, assumindo que indiv´ıduos ao interagir socialmente, tornam-se gradativamente
mais parecidos, como entender a diversidade cultural? Para responder essa quest˜ao ´e
que Robert Axelrod elaborou seu modelo estoc´astico (2). Nosso intuito foi analisar mais
cuidadosamente os aspectos quantitativos desse modelo e algumas de suas modifica¸c˜oes.
Primeiramente, analisamos o comportamento do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ e do
tempo de relaxa¸c˜ao m´edio ⟨T r⟩. Nosso foco foi encontrar a dependˆencia dessas grandezas
com os parˆametros do modelo [L, F, q]. Ap´os efetuarmos v´arias simula¸c˜oes, observamos
que, para ambas as grandezas, a dependˆencia com os parˆametros do modelo depende da
homogeneidade final do sistema.
´
E trivial ver que para ⟨N
d
⟩ essa afirma¸c˜ao ´e v´alida.
Assim, foi obtido um crescimento proporcional `a L
2
no regime inomogˆeneo (vide Figura
2.9) e um decr´escimo proporcional `a L
−1
para o regime homogˆeneo (vide Figura 2.5). O
efeito curioso surge ao se analisar o ⟨T r⟩, pois este tamb´em depende da homogeneidade.
Temos ent˜ao para o regime homogˆeneo um crescimento proporcional `a L
4
(vide Figura 2.7)
e um crescimento proporcional `a L
2
no regime inomogˆeneo (vide Figura 2.11). Observa-
se, consequentemente, que a maior parte do tempo computacional ´e gasto nas amostras
homogˆeneas.
A primeira modifica¸c˜ao na modelagem original vem com a inclus˜ao da m´ıdia externa,
ou seja, adicionamos ao modelo de Axelrod um campo externo constante. Para a adi¸c˜ao
desse campo utilizamos a ideia de Shibanai e colaboradores (5), o qual adiciona para cada
elemento da rede um vizinho fict´ıcio constante, e introduzimos um novo parˆametro p como
a probabilidade de intera¸c˜ao com a m´ıdia. O interessante dessa modelagem ´e o aumento
da inomogeneidade final do sistema (vide Figura 2.14), ou seja, mesmo para campos
extremamente pequenos (p ≈ 10
−2
) redes que se estabilizavam em um regime homogˆeneo
em sua maioria, estabilizam-se agora inomogeneamente. Esse efeito ´e interessante pois,
66 3 CONCLUS
˜
AO
al´em da contra-intuitividade - afinal de contas o campo aplicado ao agir em um ´unico
elemento da rede tende a homogeniz´a-lo -, demonstra que a inomogeneidade final n˜ao ´e
algo fr´agil como era conjecturado. Al´em disso, ao analisarmos o regime assint´otico da
dimens˜ao da rede L → ∞, observamos que independente dos parˆametros dela [F, q] e da
intensidade do campo p o sistema sempre atingir´a um regime inomogˆeneo (cide Figura
2.16). Esse resultado mostra que a ideia de um coeficiente cr´ıtico como introduzido por
Gonz´alez e colaboradores (6), n˜ao ´e correta.
Para a segunda modifica¸c˜ao do sistema, alteramos a forma funcional da intera¸c˜ao
a fim de trabalharmos com um modelo cujo tempo de relaxa¸c˜ao, ou seja, o n´umero de
itera¸c˜oes necess´arias para atingirmos um estado absorvente, seja menor. Usamos o pa-
radigma introduzido por Parisi e colaboradores (8), inserindo o mecanismo de vi´es de
frequˆencia como forma de intera¸c˜ao social, al´em de termos valores bin´arios para os fato-
res culturais. De fato, foi perdido um pouco de generalidade da modelagem, pois, com
este novo paradigma, n˜ao h´a possibilidade de termos um estado estacion´ario homogˆeneo.
Apesar disto, foi efetuado uma analise quantitativa do comportamento dos estados ab-
sorventes e do tempo de relaxa¸c˜ao. Obtivemos para ⟨N
d
⟩ uma dependˆencia idˆentica ao
modelo de Axelrod inomogˆeneo (vide Figura 3.7), ou seja ⟨N
d
⟩ ∝ L
2
, mostrando assim
que essa dependˆencia adv´em apenas da inomogeneidade do sistema, e n˜ao da forma fun-
cional da intera¸c˜ao. Para o tempo de relaxa¸c˜ao tamb´em obtivemos uma dependˆencia
proporcional `a L
2
(vide Figura 3.10). No entanto, mostra-se tamb´em uma dependˆencia
proporcional `a
√
F para L fixo (vide Figura 3.11). Novamente podemos conclu´ımos que
as dependˆencias com a dimens˜ao da rede para ambas as vari´aveis em quest˜ao dependem
apenas da homogeneidade final do sistema.
A partir do modelo proposto por Parisi e colaboradores (8), foi analisado quais al-
tera¸c˜oes no mesmo mudariam a homogeneidade do sistema, pois a semelhan¸ca do modelo
acima discutido com o modelo do voto da maioria ´e enorme. No entanto, ´e sabido da li-
teratura que o modelo do voto da maioria sempre atinge estados absorventes homogˆeneos
(vide Figuras 3.16 e Figura ,3.17) em contradi¸c˜ao com o observado para o modelo de vi´es
de frequˆencia. Alteramos primeiramente o n´umero de vizinhos interagentes mudando a
vizinhan¸ca de Moore (vide Figura 3.1) para a vizinhan¸ca de von Neumman (vide Figura
2.1), e observamos apenas um aumento na heterogeneidade do sistema (vide Figura 3.14),
sendo a dependˆencia com os parˆametros do modelo L e F mantidas. Voltando a com-
para¸c˜ao com o modelo do voto da maioria conclu´ımos que o crit´erio de desempate, ou
seja, como atribuirmos o valor do s´ıtio alvo quando o n´umero de vizinhos com fator 0 ´e
idˆentico ao n´umero de vizinhos com fator 1 ´e definido, ´e o respons´avel pela homogeneidade
3 CONCLUS
˜
AO 67
final do sistema. Para um crit´erio probabil´ıstico temos estados absorventes homogˆeneos,
j´a para um crit´erio determin´ıstico obtivemos heterogeneidade nos estados absorventes.
Como sequˆencia desse trabalho, visamos aumentar a eficiˆencia do c´odigo utilizando
o m´etodo de paraleliza¸c˜ao computacional (openMP e MPI), o “Multispin Coding”. Pre-
cisamos diminuir os tempos de computa¸c˜ao e obter uma maior precis˜ao nos regimes as-
sint´oticos da dimens˜ao da rede, principalmente no modelo de Axelrod. Visamos com essas
otimiza¸c˜oes encontrar a dependˆencia do n´umero m´edio de dom´ınios ⟨N
d
⟩ e do tempo de
relaxa¸c˜ao ⟨T r⟩ com os parˆametros do modelo, tanto para um sistema livre como com o
campo externo, e assim chegar a uma descri¸c˜ao quantitativa mais precisa e completa de
ambos os modelos.
68 3 CONCLUS
˜
AO
69
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73
AP
ˆ
ENDICE A -- Estrutura de Dados
Uma das partes mais importantes para a eficiˆencia do c´odigo esta na forma de organi-
zar os dados a serem trabalhados. Para o caso do Modelo de Axelrod e do Modelo de Vi´es
de Frequˆencia temos uma matriz volum´etrica, ou seja, necessitamos de 2 ´ındices espaciais
para termos a posi¸c˜ao do elemento na rede {i, j} e um ´ındice de cultura k. Para simplifi-
carmos a busca na rede retiraremos a bidimensionalidade da matriz transformando-a em
um vetor atrav´es da transforma¸c˜ao linear A.1,
p = iL + j (A.1)
e sua inversa dada pelo conjunto de equa¸c˜oes A.2,
i =
p
L
, (A.2a)
j = mod(p, L), (A.2b)
Com p o novo ´ındice espacial, L a dimens˜ao da rede e mod(x, y) o resto da divis˜ao inteira
de x por y. Tendo as transforma¸c˜oes lineares definidas acima, necessitamos das rela¸c˜oes
entre os primeiros e segundos vizinhos e a vari´avel p. Graficamente as express˜oes da
vizinhan¸ca de von Neumann e de Moore s˜ao mostradas nas Figuras A.1 e A.2 respectiva-
mente.
Ap´os a simplifica¸c˜ao da dimensionalidade do problema necessitamos de uma forma
r´apida de acessarmos todas as informa¸c˜oes de cada elemento, ou seja, o conjunto de fatores
culturais, conjunto de vizinhos interagentes, etc. Para isso usaremos o comando struc da
linguagem C definindo o nosso novo tipo de vari´avel denominada Pessoa. Este tipo de
vari´avel ´e um conjunto de elementos de todas as vari´aveis descritas anteriormente. Uma
maneira mais f´acil de compreendermos esta estrutura ser´a observando a Figura A.3.
Nosso sistema ent˜ao ser´a um vetor de L
2
elementos de Pessoas o que aumenta o gasto
de mem´oria pois armazenamos os vizinhos durante toda a simula¸c˜ao mas ganhamos tempo
de execu¸c˜ao pois n˜ao temos que gerar o conjunto de vizinhos a cada itera¸c˜ao. Algo n˜ao
74 Apˆendice A -- Estrutura de Dados
p - L
p + 1
p + L
p - 1
Figura A.1 – Vizinhan¸ca de von Neumann
em fun¸c˜ao de p
p - L
p + 1
p + L
p - 1
p - L + 1
p + L + 1
p - L - 1
p + L - 1
Figura A.2 – Vizinhan¸ca de Moore em
fun¸c˜ao de p
Pessoa
Vizinhos
Fatores Culturais
p
Figura A.3 – Estrutura de dados de cada Elemento da Rede
comentado at´e o presente momento ´e forma de armazenamento dos vizinhos, ´e f´acil ver
da Figura A.3 que temos um vetor de n posi¸c˜oes designado aos vizinhos de cada s´ıtio.
´
E
intuitivo pensar em guardar o ´ındice de cada vizinho por exemplo para uma matriz de
L = 3 o s´ıtio p = 4 teria em seu vetor o seguinte conjunto de ´ındices v
4
= {1, 3, 5, 7}
no entanto, usaremos o conceito de ponteiros. Do livro de Schildt (52) temos a seguinte
defini¸c˜ao:
Um ponteiro ´e uma vari´avel que cont´em um endere¸co de mem´oria. Esse
endere¸co ´e normalmente a posi¸c˜ao de uma outra vari´avel na mem´oria. Se
uma vari´avel cont´em o endere¸co de uma outra ent˜ao a primeira vari´avel
´e dita para apontar para a segunda.
Com esta defini¸c˜ao m˜aos temos uma forma mais inteligente de guardarmos a lista
de vizinhos, teremos vari´aveis apontando para outros elementos do pr´oprio vetor. Ent˜ao
´e extremamente simples acessarmos n˜ao s´o o vizinho como tamb´em as informa¸c˜oes do
vizinho. Um esbo¸co desta estrutura ´e mostrada na Figura A.4.
Apˆendice A -- Estrutura de Dados 75
Pessoa
Vizinhos
Rede
Figura A.4 – Estrutura de dados do Sistema
Com a retirada da bidimensionalidade do problema, e a facilidade de termos os dados
de um s´ıtio e seus respectivos vizinhos, aumentamos drasticamente a eficiˆencia do c´odigo.
76 Apˆendice A -- Estrutura de Dados
77
AP
ˆ
ENDICE B -- Contagem de Dom´ınios
B.1 Algoritmo de Hoshen e Kopelman, o algoritmo
de r´otulo de r´otulos
Uma parte crucial da caracteriza¸c˜ao de um estado absorvente ´e a contagem do ta-
manho e da quantidade de dom´ınios equiculturais na rede. Para efetuarmos esse calculo
usaremos o m´etodo de Hoshen e Kopelman (36). Esse m´etodo caracteriza-se por atribuir
`a cada elemento da rede um r´otulo de dom´ınio e um r´otulo para este rotulo, ou seja,
percorre-se toda a rede, caracterizado uma complexidade proporcional `a L
2
, e verifica-se
a semelhan¸ca do conjunto de fatores culturais e do r´otulo de dom´ınio. Levaremos em
considera¸c˜ao apenas os vizinhos norte e oeste (vide figura 2.1) para o caso da topologia de
primeiros vizinhos. As modifica¸c˜oes do modelo para primeiros e segundos vizinhos (vide
Figura 3.1) ser´a comentado posteriormente. A priori n˜ao ser´a usado a periodicidade da
rede, usaremos condi¸c˜oes fechadas de contorno. Um segundo algoritmo ser´a aplicado para
incluirmos esta periodicidade.
Sabemos que nas condi¸c˜oes mostradas acima, ou seja, topologia de primeiros vizinhos
e condi¸c˜oes fechadas de contorno cada elemento da rede enquadra-se em uma das seguintes
situa¸c˜oes: possui 2, 1 ou nenhum vizinho idˆentico. No entanto, apenas com estas trˆes
situa¸c˜oes teremos conflitos de r´otulos. Vamos mostrar esse conflito com o exemplo que
Sauffer escreve em seu livro (59). Dada a matriz B.1.
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 1 1 0
(B.1)
Partiremos sempre do elemento do canto superior esquerdo percorrendo da esquerda da
rede para a direita e de cima para baixo. Enumeraremos apenas os s´ıtios cheios, ou
seja, com valores 1 na matriz B.1. Para o primeiro s´ıtio ocupado, que seria o do topo
superior esquerdo, daremos o valor 1 para o r´otulo de dom´ınio. Para o s´ıtio adjacente
78 Apˆendice B -- Contagem de Dom´ınios
n˜ao ´e necess´ario darmos r´otulo pois seu valor ´e nulo; seguindo para a esquerda, rotulamos
o segundo s´ıtio ocupado como 2 e consequentemente o terceiro s´ıtio ocupado como 3. A
pr´oxima linha come¸ca com um s´ıtio ocupado vizinho a um s´ıtio rotulado como 1, assim
rotulamos o mesmo como 1. O segundo s´ıtio est´a vazio e o terceiro est´a ao lado de um s´ıtio
rotulado como 2, assim rotularemos o mesmo como 2. O quarto s´ıtio ´e vizinho apenas
de um rotulado como 2, assim tamb´em o rotularemos como 2. Temos at´e o momento a
matriz B.2 de r´otulos de dom´ınios.
(
1 0 2 0 3
1 0 2 2 ?
)
(B.2)
Note que os s´ıtios vazios foram marcados com zero. A pergunta feita agora ´e: Qual r´otulo
deve ser escolhido para o s´ıtio marcado com a interroga¸c˜ao? Seu vizinho `a oeste diz 2 e seu
vizinho ao norte diz 3. Neste caso todos os s´ıtios rotulados como 3 e como 2 pertencem ao
mesmo dom´ınio o qual rotularemos como 2 a fim de termos sempre os menores n´umeros
poss´ıveis para os r´otulos. Tendo ocorrido o efeito do r´otulo comum no s´ıtio em quest˜ao
temos ent˜ao que voltar ao come¸co da matriz e rerotular todos os s´ıtios de r´otulo 3 para 2, o
que aumentaria gigantescamente a complexidade do c´odigo. A otimiza¸c˜ao deste algoritmo
vem com o trabalho de Hoshen e Kolpeman (36).
Esta otimiza¸c˜ao baseia-se em dividir o conjunto de r´otulos em subconjuntos de r´otulos
bons e ruins. Os r´otulos bons s˜ao aqueles que caracterizam dom´ınios distintos. J´a os
r´otulos ruins s˜ao aqueles que `a primeira vista temos um novo dom´ınio mas ao continuarmos
o calculo o mesmo torna-se parte de um dom´ınio j´a definido. Para efetuarmos esta divis˜ao
introduzimos um segundo conjunto de r´otulos tendo ent˜ao o que denomina o m´etodo,
r´otulos de r´otulos, do inglˆes label of label.
Para o exemplo da matriz B.1, ao chegarmos no s´ıtio do ponto de interroga¸c˜ao,
t´ınhamos 3 r´otulos marcados como bons, R(1) = 1, R(2) = 2, R(3) = 3, onde R e a
fun¸c˜ao r´otulo de r´otulo, pois ao definirmos o primeiro s´ıtio ocupado com rotula¸c˜ao 1, o
segundo s´ıtio da primeira linha a matriz B.1 como 2, e consequentemente o terceiro s´ıtio
como 3. Ao prosseguirmos com o calculo nada foi alterado para R(1) e R(2), no entanto,
encontramos que 3 ´e um r´otulo ruim, assim temos R(3) = 2.
Concluindo o calculo para a terceira linha da matriz, o primeiro s´ıtio ocupado possui
apenas um vizinho norte com o r´otulo 1, rotulamos ent˜ao como 1, mantendo R(1) inal-
terado. O segundo s´ıtio tamb´em ser´a rotulado como 1, devido `a sua vizinhan¸ca oeste.
O conflito de r´otulos ´e gerado no terceiro s´ıtio entre os r´otulos 1 e 2, tendo ent˜ao que
B.2 Contagem de s´ıtios com primeiros vizinhos 79
R(2) = 1. Obtivemos ent˜ao a matriz de r´otulos B.3.
1 0 2 0 3
1 0 2 2 2
1 1 1 1 0
(B.3)
Com o seguinte conjunto de r´otulos de r´otulos R(1) = 1, R(2) = 1,R(3) = 2. Para termos
o n´umero de dom´ınios e seus respectivos tamanhos basta ent˜ao percorrermos a matriz
rerotulando cada s´ıtio e contando os r´otulos.
B.2 Contagem de s´ıtios com primeiros vizinhos
Com a finalidade de diminuirmos a complexidade do sistema eliminando a rerotula-
gem, efetuamos duas listas encadeadas, uma com os dom´ınios e outra com os r´otulos de
r´otulos denominadas tags. Em cada elemento da lista de dom´ınios temos armazenado o
r´otulo de dom´ınio e seu tamanho. J´a na lista de tags temos o r´otulo maior em seguida o
menor.
O algoritmo proposto ´e extremamente parecido com o citado acima no fato de verifi-
carmos apenas os vizinhos norte e sul (vide Figura 2.1) e condi¸c˜oes fechadas de contorno
para cada elemento da rede. Basicamente percorremos toda a rede calculando o fator B.4
para cada elemento.
c
i
=
1
∑
j=0
[(δ
F (i,i),1
C(i, j)) + D(i, i)], (B.4)
sendo
i = i − 1 + j(L − 1), (B.5a)
F (i, j) =
q−1
∑
k=0
δ
Ψ
i,k
,Ψ
j,k
q − 1
, (B.5b)
C(i, j) = [1 −δ
mod(i,L),0
δ
j,1
][1 − δ
i
L
,0
δ
j,0
], (B.5c)
D(i, j) =
1
2
δ
C
0
(i),2
δ
γ
i
,γ
j
, (B.5d)
C
0
(i) =
1
∑
j=0
[δ
F (i,i),1
C(i, j)]. (B.5e)
Analogamente ao definido no apˆendice A, mod(x, y) ´e o resto da divis˜ao inteira de x por y,
80 Apˆendice B -- Contagem de Dom´ınios
γ ´e r´otulo de dom´ınios e δ a delta de Kronecker.
´
E f´acil ver que a fun¸c˜ao B.5a nos retorna o
vizinho norte para j = 1 e oeste para j = 0 (vide Figura A.1). J´a B.5b ´e a compara¸c˜ao do
conjunto de fator cultural do s´ıtio alvo com um de seus vizinhos normalizado pelo n´umero
total de fatores, B.5c ´e a condi¸c˜ao fechada de contorno e B.5d ´e a compara¸c˜ao dos r´otulos
de dom´ınios. Note ent˜ao que a vari´avel c
i
caracteriza cada s´ıtio em 4 categorias de acordo
com a igualdade do s´ıtio alvo e seus vizinhos e o r´otulo de dom´ınio: s´ıtio sem vizinhos
idˆenticos c
i
= 0, s´ıtios com apenas um vizinho idˆentico c
i
= 1, dois vizinhos idˆenticos com
r´otulos distinto c
i
= 2 e dois vizinhos idˆenticos com r´otulos idˆenticos c
i
= 3. Para cada
valor de c
i
enumerado anteriormente ´e feito uma a¸c˜ao com a lista de dom´ınios ou com a
lista de tags como mostrado na figura B.1
Escolhe-se um sítio da
rede
Calcula-se o fator
Adiciona-se um elemento
à lista de tags
Caso C
i
= 2
Aumenta-se em 1 o
tamanho de um domínio
já existente
Adiciona-se um elemento
à lista de domínios
Caso C
i
= 0
Caso C
i
= 1
ou C
i
= 3
Figura B.1 – Diagrama de Fluxo da Contagem de Dom´ınios para a vizinhan¸ca de von Neu-
mann.
Ap´os a confec¸c˜ao de ambas as listas efetua-se uma mesclagem dos tamanhos dos s´ıtios
de acordo com as tags obtidas. Com este procedimento aumentamos a eficiˆencia do modelo
pelo fato de n˜ao termos que percorrer todos os L
2
elementos da rede na rerotulagem para
a obten¸c˜ao dos tamanhos e do n´umero total real de dom´ınios e sim apenas nos elementos
da lista de dom´ınios e tags.
B.3 Contagem Primeiros e Segundos Vizinhos 81
B.3 Contagem Primeiros e Segundos Vizinhos
Temos que por defini¸c˜ao um dom´ınio equicultural ´e um conjunto de elementos da
rede os quais compartilham com pelo menos um vizinho os mesmos conjuntos de fatores
culturais. Note que devido a forma pela qual o dom´ınio foi definido ele ´e intimamente
correlacionado com a defini¸c˜ao da topologia. Levando isso em considera¸c˜ao teremos que
modificar o algor´ıtimo otimizado de Hoshen e Kopelman para incluirmos os segundos
vizinhos (vide Figura 3.1). Basicamente adicionaremos mais um vizinho na soma B.4, o
vizinho noroeste. Com esta adi¸c˜ao ao calculo aumenta-se o conjunto de possibilidades de
combina¸c˜oes conjunto de fatores/r´otulos de dom´ınios para 10: nenhum vizinho idˆentico,
1 vizinho idˆentico com dom´ınios idˆenticos, 1 vizinho idˆentico com dom´ınios distintos, 2
vizinhos idˆenticos com dom´ınios idˆenticos, 2 vizinhos idˆenticos com dom´ınios totalmente
distintos e 2 vizinhos idˆenticos com pelo menos 1 dom´ınio idˆentico, 3 vizinhos idˆenticos
com todos os dom´ınios idˆenticos, 3 vizinhos idˆenticos com pelo menos 2 dom´ınios idˆenticos,
3 vizinhos idˆenticos com pelo menos 1 vizinho idˆentico e 3 vizinhos idˆenticos com dom´ınios
totalmente distintos. Da mesma forma que o calculo para primeiros vizinhos calculamos o
fator B.6 e adicionamos tags, aumentamos o tamanho de um dom´ınio existente ou criamos
dom´ınios.
c
s
i
=
1
∑
j=−1
[δ
F
s
(i,i
s
),1
C
s
(i, j)] + D
s
(i, i
s
), (B.6)
sendo
i
s
= i + [j(1 − L) − (1 + L)][1 −
1
2
(1 − δ
j,0
)], (B.7a)
F
s
(i, j) =
q−1
∑
k=0
δ
Ψ
i,k
,Ψ
j,k
q − 1
, (B.7b)
C
s
(i, j) = [1 − δ
mod(i,L),0
(δ
j,0
+ δ
j,−1
)][1 − δ
i
L
,0
(δ
j,1
+ δ
j,0
)], (B.7c)
D
s
(i, j) = δ
C
s
0
(i),1
δ
γ
i
,γ
j
+ δ
C
s
0
(i),2
(δ
γ
i
,γ
j
+
1
3
) + δ
C
s
0
(i),3
(δ
γ
i
,γ
j
+ 1), (B.7d)
C
s
0
(i) =
1
∑
j=−1
[δ
F
s
(i,i),1
C(i, j)]. (B.7e)
´
E importante lembrar que ap´os o calculo do fator B.6 efetua-se o mesmo procedimento
descrito na Figura B.1 com as transforma¸c˜oes c
i
= 2 → c
s
i
= 1, 3, 4, 6, 7, 8 e c
i
= 1 → c
s
i
=
2, 5, 7. N˜ao ser´a efetuado maiores mudan¸cas na topologia como enfoque no aumento do
n´umero de vizinhos devido ao grande aumento na complexidade do calculo de tamanho e
82 Apˆendice B -- Contagem de Dom´ınios
n´umero de dom´ınios resultantes.
B.4 Inclus˜ao das Condi¸c˜oes Peri´odicas de Contorno
Usando novamente a hip´otese de correla¸c˜ao entre dom´ınios equiculturais e topologia de
vizinhos interagentes a qual foi motiva¸c˜ao para o calculo da sec¸c˜ao anterior, vamos exem-
plificar e calcular agora as modifica¸c˜oes no algoritmo de contagem de dom´ınios quando
assumimos condi¸c˜oes peri´odicas de contorno. Primeiramente exemplificaremos esta cor-
rela¸c˜ao analisando a rede de dimens˜ao L = 5, F = 2, e q = 2, utilizando a nota¸c˜ao do
modelo de Axelrod, da Figura B.8.
11 00 00 00 00
11 00 00 00 11
11 00 00 00 11
00 00 00 00 11
00 00 00 11 11
(B.8)
No caso de condi¸c˜oes fechadas de contorno ter´ıamos um total de 3 dom´ınios equi-
culturais, j´a para o caso de condi¸c˜oes peri´odicas de contorno teremos 2. Devido `a esse
fato teremos que adicionar ao algoritmo de contagem de dom´ınios a condi¸c˜ao peri´odica
a qual foi ignorada at´e o presente momento. Para isto adicionaremos ap´os a contagem
de dom´ınios uma verifica¸c˜ao nas bordas da rede, efetuando uma segunda lista de tags a
qual ser´a novamente combinada com a lista de s´ıtios ativos. Analogamente ao feito para
a contagem inicial de dom´ınios, ´e percorrido os elementos da borda superior e da borda
esquerda exceto o elemento i = 0 o qual ´e analisado separadamente, calculando o fator
B.9 e assim classificando os elementos em 3 categorias: sem vizinhos idˆenticos c
p
i
= 0 , 1
vizinho idˆentico com mesmo r´otulo c
p
i
= 2 e 1 vizinho idˆentico de r´otulo diferentes c
p
i
= 1.
c
p
i
=
1
∑
j=0
[(δ
F
p
(i,i),1
C
p
(i, j)) + D
p
(i, i)], (B.9)
B.4 Inclus˜ao das Condi¸c˜oes Peri´odicas de Contorno 83
sendo
i = i − 1 + j(L − 1), (B.10a)
F
p
(i, j) =
q−1
∑
k=0
δ
Ψ
i,k
,Ψ
j,k
q − 1
, (B.10b)
C
p
(i, j) = [δ
mod(i,L),0
δ
j,1
][δ
i
L
,
0
δ
j,0
], (B.10c)
D
p
(i, j) = δ
C
0
(i),1
δ
γ
i
,γ
j
, (B.10d)
C
p
0
(i) =
1
∑
j=0
[δ
F (i,i),1
C(i, j)]. (B.10e)
Estamos usamos a mesma nota¸c˜ao da equa¸c˜ao B.4 para as condi¸c˜oes de contorno, a
compara¸c˜ao dos fatores, etc. Note que ser´a efetuado alguma a¸c˜ao nas listas apenas para
c
p
i
= 2 onde adicionamos uma tag. De uma forma visual temos o diagrama da Figura B.2.
Escolhe-se um sítio da
rede
Calcula-se o fator
Adiciona-se um elemento
à lista de tags
Caso C
i
= 2
Caso C
i
≠ 2
Figura B.2 – Diagrama de Fluxo da Aplica¸c˜ao de condi¸c˜oes peri´odicas de contorno `a Contagem
de Dom´ınios com vizinhan¸ca de von Neumann.
Ap´os calcularmos c
p
i
para todos elementos em quest˜ao, consequentemente gerando a
lista de tags, mesclamos uma segunda vez essas tags com a lista de dom´ınios e a inclus˜ao
da periodicidade da rede esta inclu´ıda.
Necessitamos tamb´em de um calculo de condi¸c˜oes peri´odicas de contorno para a vi-
zinhan¸ca de Moore (vide Figura 3.1). Para isto efetuamos o mesmo procedimento feito
acima, adicionamos o vizinho noroeste as equa¸c˜oes B.9. Temos ent˜ao o seguinte conjunto
de express˜oes para o calculo do fator B.11.
c
ps
i
=
1
∑
j=−1
[δ
F
ps
(i,i
s
),1
C
ps
(i, i
s
)] + D
ps
(i, i
ps
), (B.11)
84 Apˆendice B -- Contagem de Dom´ınios
sendo
i
ps
= i + [j(1 − L) − (1 + L)][1 −
1
2
(1 − δ
j,0
)], (B.12a)
F
ps
(i, j) =
q−1
∑
k=0
δ
Ψ
i,k
,Ψ
j,k
q − 1
, (B.12b)
C
ps
(i, j) = [δ
mod(i,L),0
(δ
j,0
+ δ
j,−1
)][δ
i
L
,0
(δ
j,1
+ δ
j,0
)], (B.12c)
D
ps
(i, j) = δ
C
s
0
(i),1
δ
γ
i
,γ
j
+ δ
C
s
0
(i),2
(δ
γ
i
,γ
j
+
1
3
), (B.12d)
C
ps
0
(i) =
1
∑
j=0
[δ
F
s
(i,i),1
C(i, j)]. (B.12e)
Neste caso teremos v´arios crit´erios redundantes, ou seja situa¸c˜oes em que a opera¸c˜ao
sobre a lista de dom´ınios ou a lista de tags ´e a mesma no entanto, a disposi¸c˜ao dos
s´ıtios/r´otulos de dom´ınios s˜ao distintos. Temos ent˜ao o mesmo procedimento mostrado
na Figura B.2 com a transforma¸c˜ao c
p
i
= 2 → c
ps
i
= 2, 3, 4. Com isso todas as possibilida-
des de topologia de vizinhos interagentes e condi¸c˜oes de contorno foram demonstradas e
calculadas.
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