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Leonardo Berlim Schneider
DESENVOLVIMENTO DE UM CHIP MICROFLUÍDICO
PARA DIAGNÓSTICOS EM SAÚDE PÚBLICA: PROVA
DE CONCEITO
Curitiba
2010
Dissertação apresentada ao Curso de Pós-
Graduação em Física do Setor de Ciências
Exatas da Universidade Federal do Paraná,
como requisito parcial para a obtenção do grau
de Mestre em Ciências
Orientador: Prof. Dr. Wido Herwig Schreiner
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1
RESUMO
A rápida e constante evolução da tecnologia traz consigo necessidades como a
otimização dos dispositivos utilizados. O tamanho reduzido, baixo custo e a rapidez nos
resultados tornam-se características fundamentais para que uma nova tecnologia alcance
sucesso. A tecnologia lab-on-a-chip é um avanço significativo na maneira como análises
químicas e biológicas são realizadas, por oferecer diagnósticos precisos de maneira
simples, rápida e barata. Os dispositivos construídos segundo esta tecnologia são baseados
na microfluídica, ramo da mecânica dos fluidos, que consiste no estudo do comportamento
de fluidos em sistemas abaixo da escala milimétrica e influenciados por forças externas.
Nesses dispositivos, chamados de chips microfluídicos, o fluido a ser analisado escoa por
microcanais. O INCT – Diagnósticos para a Saúde Pública é um órgão que visa implantar
este tipo de tecnologia no país. Dentro deste contexto, no presente trabalho foi
desenvolvido um chip microfluídico para diagnósticos em saúde, que é um dos objetivos do
INCT. O dispositivo, que consiste em um disco de poli(metil-metacrilato) (PMMA), é
composto por microcanais com simetria radial. Ao longo dos microcanais há poços com
agentes biológicos que poderão determinar a presença ou não de determinadas doenças no
paciente. O escoamento pelos canais é possibilitado pela aplicação de rotação ao
dispositivo e, para que o dispositivo funcione plenamente, foi necessário incorporar um
stopvalve ao final de cada microcanal. Foram realizados estudos das velocidades de rotação
aplicadas ao dispositivo, pressões envolvidas e dos ângulos de abertura do ―stopvalve‖.
Também foi feita uma caracterização da máquina Gravograph LS100, utilizada para
confeccionar os dispositivos.
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2
ABSTRACT
Due to the fast and constant evolution of technology the optimization of devices
turns out to be an essential aspect. Features such as reduced size, low cost and fast results
become fundamental for the success of a new technology. Lab-on-a-chip technology is a
significant advance as far as chemical and biological analyses are concerned, since it offers
precise diagnosis in a simple, fast and inexpensive way. The devices which are designed
using this technology are based on microfluidics, an emerging field of fluid mechanics. It
consists of studying the behaviour of fluids below the millimetric range and under the
influence of external forces. In these devices, called microfluidic chips, the fluid flows in
microchannels. The INCT – Diagnósticos para a Saúde Pública, recently started, is an
institution which intends to install this technology in Brazil for the use in fast diagnostic
processes for public health. In the present work a microfluidic chip for disease diagnosis
was developed, which is one of the objectives of the INCT. The device consists of a
poly(methyl-methacrylate) (PMMA) disk with micromachined channels in radial symmetry
with wells along those microchannels. These wells are designed to contain biological
agents in the future, which will be able to indicate the presence or not of a disease in the
patient. The flow through the channels is possible since it is submitted to rotation in the
non-inertial frame. To achieve a fully functioning device, it was necessary to incorporate a
stop valve at the end of each microchannel. A fairly complete characterization of the device
was performed. A characterization of the engraving behavior of the CO
2
laser of the
Gravograph LS100 machine, used to produce the device, was also done.
3
Agradecimentos
Primeiramente, meus agradecimentos ao Prof. Dr. Wido Herwig Schreiner por ter
me acolhido em seu grupo de pesquisa, pela dedicação, orientação e principalmente pela
paciência. Seu grandioso conhecimento e sabedoria nos faz crescer a cada palavra,
motivando-nos a cada passo dado.
A minha maior gratidão deve-se aos meus pais, Ivo e Franci, por tudo que me
ensinaram e ensinam, pela minha vida e por todo apoio e motivação. Nunca me esquecerei
de que sou eternamente grato por tê-los ao meu lado.
Outras pessoas que contribuiram com minha formação são Zé Danilo e Camila,
meus irmãos de coração. Vocês sempre estiveram ao meu lado e é inestimável a ajuda que
me deram.
Sou muitíssimo grato aos meus amigos Luis ―Baboo‖ Nishino e Bernardo ―Breno‖
Brandão pelas ajudas que me deram durante a graduação e nossas conversas, elas sempre
são muito produtivas.
Também devo agradecer aos meus amigos, colegas da Física e fora dela. Em
particular aos grandes amigos Fabiano Thomazi, por toda a ajuda no laboratório, e ao Fábio
Zanetti, pela contribuição dada no final da graduação.
Agradeço ao Prof. Dr. Daniel Hioki, Prof. Dr. Fábio Schneider e seus alunos da
UTFPR, em especial à Tati e ao Fabrício, que contribuiram com o trabalho e dão
continuidade ao projeto. Também agradeço a ajuda computacional do Prof. Dr. César
Augusto Dartora, que foram fundamentais para a compreessão de parte do meu trabalho. À
4
Prof.ª Dr.ª Lucimara Stolz Roman agradeço, os recursos do DINE e o enorme incentivo no
início dos trabalhos que ela deu.
Agradeço ainda ao meu grande amigo Ezequiel Burkarter. Sou enormemente grato a
tudo que fez por mim, ensinando-me a arte laboratorial, compartilhando conhecimento e
conversando sobre os mais diversos assuntos. Ezequiel fez com que eu descobrisse o
verdadeiro sentido da estrutura macroscópica subjacente, seu significado, sua beleza e sua
lógica.
Não posso deixar de agradecer ao Prof. Dr. Cyro Ketzer Saul, que muito me ajudou
dando dicas, discutindo problemas e trocando idéias que viabilizaram e facilitaram muito
minha vida pessoal e acadêmica. Professor Cyro é sem dúvida, além de um grande mestre,
um grande amigo.
Um especial agradecimento é devido à Raisa Requi Jakubiak. Desde muito antes da
graduação, durante e depois ela vem me ajudando. Nossas conversas e nossos momentos
juntos significam muito para mim e sempre significarão.
Leonardo Berlim Schneider
ABRIL, 2010
5
―Time is fluid ... like a river with currents, eddies, backwash.‖
Mr. Spock
6
SUMÁRIO
1 Introdução
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2 Introdução Teórica
2.1 Hipótese do Contínuo
2.2 Pressão
2.3 Densidade e Massa Específica
2.4 Tensão Superficial
2.5 Viscosidade
2.5.1 Fluidos Newtonianos
2.5.2 Fluidos Não-Newtonianos
2.5.3 Fluidos Viscosos e Não-viscosos
2.5.4 Escoamentos Laminar e Turbulento
2.5.5 Escoamentos Compressível e Incompressível
2.5.6 O número de Mach
2.6 Equações Regentes
2.6.1 Equação da continuidade para fluidos compressíveis
2.6.2 Equação da continuidade para fluidos incompressíveis
2.6.3 Momento de Fluxo e Densidades de Força
2.6.3.1 Taxa de variação do momentum devido à convecção de momentum
2.6.3.2 Taxa de variação no momentum devido às forças de pressão
03
06
.............................................................................................................06
....................................................................................................................................08
...............................................................................................11
............................................................................................................................22
...........................................................................................28
.............................................................................31
.......................................................................................................34
..................................................35
..................................................................38
7
2.6.3.3 Taxa de variação no momentum devido às forças de viscosidade
2.6.3.4 Taxa de variação no momentum devido às forças de corpos
2.6.3.5 Taxa de variação do i-ésimo componente do momentum
2.6.4 A equação de movimento e a equação de Navier-Stokes
2.6.5 Número de Reynolds e a equação de Stokes
2.6.6 Equação de Navier-Stokes para Sistema de Rotação
2.6.7 Equação de Euler
2.6.8 Equação de Bernoulli
3 Algumas Aplicações de Estudos Envolvendo Microfluídica
EXPERIMENTAL
4 Processo Experimental
4.1 Materiais e Métodos
4.1.1 Caracterização da Máquina
4.1.2 Produção do ―Chip‖ Microfluídico
4.1.2.1 Evolução do ―Design‖
4.1.2.2 Teoria do ―Stopvalve‖
4.1.2.3 Funcionamento do Dispositivo Microfluídico
4.1.2.4 Realização Experimental
4.1.2.5 Seção de Fotos
5 Conclusões
6 Apêndices
Apêndice A (Forças de van der Waals e Potencial de Lennard-Jones)
Apêndice B (Fluidos Não-Newtonianos)
Apêndice C (Número de Mach)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
..................39
...............................41
...............................................................43
.........................................................................................................47
.............................................................................................................69
................................................................................77
...............................................95
112
115
137
..................................................................................................48
8
1
Introdução
A mecânica dos fluidos é um dos ramos da física que estuda o movimento dos fluidos e as
forças que atuam sobre eles, o que envolve um método racional de aproximação baseada
em leis gerais da física e consistentes com os resultados de estudos experimentais modernos
[1]. Esse importante estudo é foco da atenção de físicos e matemáticos há muito tempo. A
mecânica dos fluidos data da Grécia antiga, quando Arquimedes realizava seus estudos
sobre hidrostática e empuxo, enunciando o chamado ―Princípio de Arquimedes‖: ―Qualquer
sólido mais leve do que um fluido ficará, caso colocado no fluido, submerso de tal forma
que o peso será igual ao peso do fluido deslocado‖ [2]. Também consta que filósofos
árabes medievais, como Abū Rayhān al-Bīrūnī e Al-Khazini, no início do século XI,
estudaram os fluidos estáticos e uniram com conceitos de dinâmica, o que levou mais tarde
à hidrodinâmica [3].
Um fluido é definido como uma substância que se deforma continuamente sob a
aplicação de uma tensão de cisalhamento tangencial, não importando o quão pequena ela
seja [4]. Em outras palavras, fluido é qualquer substância capaz de escoar e que não resiste
de maneira permanentemente às mudanças provocadas pela pressão, possuindo a
propriedade de deformar-se continuamente sob a ação dessas forças externas. Os fluidos
são comumente divididos em duas subclasses: líquidos e gases [1]. Estas classes diferem
primordialmente pela densidade e pelos graus de interação intramoleculares, que são
descritas pelo potencial de Lennard-Jones [5]:
9
612
4)(
rr
rV
LJ
, (1.1)
onde r é a distância entre as moléculas, σ é o diâmetro de colisão e ε é constante de máxima
energia de atração. Apesar de fluidos serem quantizados em escala de comprimento de
distâncias intramoleculares eles aparecem contínuos em muitas aplicações de ―lab-on-a-
chip‖, desde que sejam definidos em escala de comprimento macroscópicas da ordem de 10
μm ou mais [6].
A forma do líquido é determinada pelo canal que o contém, bem como as diferentes
partes do fluido podem ser reorganizadas livremente sem afetar as propriedades
macroscópicas deste. A presença de forças de cisalhamento, em pequena magnitude,
resultará em grandes alterações nas posições relativas dos elementos de fluido. Em um
sólido, por exemplo, as alterações na posição relativa dos átomos permanecem pequenas
sob a ação de pequenas forças externas. Por esse motivo, quando essas forças que atuam
sobre o fluido deixam de agir sobre ele, este não necessariamente volta à sua configuração
original.
Os fluidos respeitam a conservação de massa, quantidade de movimento ou
momentum linear e momentum angular, de energia, e de entropia [7]. A conservação de
quantidade de movimento é descrita pelas equações de Navier-Stokes.
Em 1959, R. Feynman introduziu o conceito de Nanotecnologia, defendendo que
não havia nenhum obstáculo para a construção de micro e nano dispositivos. Desde então a
comunidade científica vem estudando e aprimorando técnicas para o desenvolvimento deste
―pequeno universo‖. Matematicamente, a riqueza e beleza do fenômeno hidrodinâmico é
expandido pelo termo não-linear
vv
).(
na equação de Navier-Stokes, onde
é a
densidade e v é a velocidade do fluido. A maneira apropriada para analisar quando o termo
não-linear é negligenciado é adimensionalisando a equação de Navier-Stokes. Quando se
adimensionalisa os termos de coordenada e velocidade e substituindo na equação de
Navier-Stokes para fluidos incompressíveis, obtém-se uma definição para o número Re,
chamado de número de Reynolds. No limite em que este número tende a zero, a equação
10
não-linear de Navier-Stokes se reduz a equação linear de Stokes
0
2
pv
[5], onde
é a viscosidade dinâmica do fluido e p é a pressão.
A partir desses estudos teóricos, procurou-se estudar microcanais fluídicos, tais
como os que são aplicados à tecnologia ―lab-on-a-chip‖. Geralmente, essa tecnologia é
utilizada na produção de ―biochips‖ descartáveis, utilizados para detecção de doenças
devido aos diagnósticos rápidos e com custo relativamente baixo [8]. O estudo realizado no
presente trabalho concerne o desenvolvimento desses microcanais e a otimização destes.
Para isso, utilizou-se de um recurso de usinagem a laser, que nos levou a produzir e estudar
toda a fluídica e o ―design‖ do dispositivo e, devido aos fenômenos relacionados a esse
contexto, visou-se otimizar a produção destes canais com uma base teórica sólida. Por se
tratar do primeiro trabalho nesta área no Departamento de Física da UFPR, procurou-se
desenvolver uma fundamentação teórica robusta e completa.
No Capítulo 2 fundamentamos a Mecânica dos Fluidos com ênfase na
Microfluídica. Este capítulo procura apontar os conceitos básicos e as equações regentes
que descrevem todo o comportamento fluídico.
No Capítulo 3 apresentamos algumas aplicações da Microfluídica. Este capítulo não
pretende abordar todos exemplos de aplicações, mas apenas apresentar uma visão geral do
estado da arte.
No Capítulo 4 reportamos todo o processo experimental e o desenvolvimento
teórico da prova de conceito, desde as primeiras idéias, passando por cálculos de energias e
pressões, até os testes envolvendo o modelo de dispositivo desenvolvido ao longo do
trabalho.
No Capítulo 5 apresentamos as conclusões do trabalho, envolvendo desde a
caracterização da máquina até a própria conclusão da prova de conceito.
Nos Apêndices entramos em detalhes sobre alguns conceitos não tão importantes
para o desenrolar deste trabalho, mas que foram importantes na compreensão do trabalho.
11
2
Introdução Teórica
A microfluídica é um ramo antigo da hidrodinâmica, porém o interesse científico e o
desenvolvimento tecnológico tem sido importante durante a última década e meia após a
rápida evolução no campo de sistemas ―lab-on-a-chip‖. A microfluídica trata de fluidos em
sistemas miniaturizados e tem aplicações em engenharia química, farmacêutica,
biotecnologia e medicina.
Neste capítulo procura-se desenvolver e estudar a teoria específica da microfluídica,
dando uma pequena ênfase na mecânica dos fluidos e expandindo os conceitos para micro-
sistemas.
2.1 Hipótese do Contínuo
Ao longo de toda a discussão a seguir leva-se em conta a hipótese do contínuo.
A estrutura molecular dos fluidos é tal que a massa não está distribuída de forma
contínua no espaço, mas está concentrada em moléculas que estão separadas por regiões
relativamente grandes. Desta forma, define-se que as propriedades do fluido variam muito
pouco de ponto a ponto.
A hipótese do contínuo conduz ao conceito de partículas de fluido, os constituintes
básicos da mecânica dos fluidos clássica. Essa hipótese é válida quando trata-se do
comportamento de fluidos sob condições normais (na STP, Standard Temperature and
Pressure, ou na CPPT, Condição Padrão de Temperatura e Pressão [4]). Comparativamente
a uma partícula puntual na mecânica clássica, uma partícula de fluido tem um tamanho
12
finito. Na escala atômica, o fluido sofre grandes flutuações quando tem suas propriedades
medidas, devido à sua estrutura molecular, mas a medida que as dimensões aumentam, as
medições tornam-se estáveis e reprodutíveis. Quando o sistema em consideração está em
escala molecular a hipótese do contínuo não é válida. Isto acontece na nanofluídica, por
exemplo, no transporte de líquidos através de nanoporos nas membranas celulares ou em
nanocanais artificiais [6]. Para ilustrar esta situação, analisa-se os três casos de medições:
microscópica, mesoscópica e macroscópica. Para uma determinada medida realizada com
uma sonda microscópica, grandes flutuações moleculares serão observadas. No caso
mesoscópico, uma determinada propriedade pode ser medida obtendo-se um valor bem
definido localmente. Para o caso macroscópico, variações suaves no líquido devido a forças
externas podem ser observadas. A Figura 2.1 ilustra essa situação.
Como conseqüência da hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é
considerada como tendo um valor definido em cada ponto no espaço. Com isto, as
propriedades dos fluidos, como massa específica, temperatura, velocidade, pressão etc., são
consideradas funções contínuas da posição e do tempo.
Microscópico
6
Mesoscópico
Macroscópico
Quantidade medida
Volume sondado
Figura 2.1: Esboço adotado por Batchelor (2000) de algumas medidas de quantidades
físicas de um líquido como uma função do volume V em escalas de medidas diferentes.
Figura adaptada de [6].
13
2.2 Pressão
O conceito de pressão é tratado como força por área que atua sobre um corpo. Forças de
cisalhamento, tensão e compressão são os três tipos de força que podem atuar sobre algum
corpo. Fluidos movem-se continuamente sobre a ação de forças tangenciais ou
cisalhamento. Sabe-se que fluidos são capazes de resistir a uma ação compressiva, que é
usualmente chamada de pressão. A pressão em um ponto de um fluido em repouso é igual
em todas as direções. O termo ―pressão‖ será usado para denotar a componente normal da
força por unidade de área. Mais especificamente: seja
A
um elemento de área e
'A
a
menor área sobre o qual pode-se considerar o fluido como meio contínuo. Se
n
F
é a
componente normal da força sobre
A
, definimos a pressão p como
A
F
p
n
AA
'
lim
. (2.1)
A unidade de pressão no sistema MKS é 1 newton por metro quadrado (1 N m
-2
).
Uma pressão de exatamente 10
5
N m
-2
(= 10
6
dina cm
-2
) é chamada 1 bar [9].
Quando trata-se de um objeto extenso ou, no caso, fluídico, deve-se considerar não
apenas a força aplicada sobre um determinado ponto, mas sim várias forças aplicadas em
vários pontos, que resultam em uma componente resultante. Desta forma, cria-se o que é
chamado de campo pressão. Este campo é a pressão referente ao conjunto de forças
aplicadas em um determinado ponto no espaço tridimensional em um determinado tempo.
Assim,
),,,( tzyxpp
. (2.2)
Podemos ter alguns tipos específicos de pressão, dependendo de algumas situações.
A pressão atmosférica é a força exercida em uma unidade de área devido ao peso da
atmosfera [1]. A pressão de 1 atmosfera padrão (atm) é definida como a pressão produzida
por uma coluna vertical de mercúrio com exatamente 76 cm de altura, de densidade
=13,5951 g cm
-1
, em um ponto onde g tenha seu valor padrão de 980,665 cm s
-2
[9]. A
chamada pressão absoluta é a soma da pressão manométrica mais a pressão atmosférica.
14
A pressão manométrica é a pressão atmosférica em um determinado local, devido à
diferença de altitude.
A pressão estática ou pressão hidrostática é a pressão em um determinado
elemento de área ―da‖ de um fluido. Temos também a pressão de estagnação, que é a
pressão estática em um ponto de estagnação em um fluxo de fluido, ou seja, a pressão
exercida por um líquido quando ele é forçado a parar de se mover [4]. Pressão estática e a
pressão de estagnação estão relacionadas com o número de Mach do fluido [10], explicado
com mais detalhes no Apêndice C.
Um conceito de pressão importante para a compreensão da mecânica dos fluidos é a
pressão de Young-Laplace, dada pela equação de Young-Laplace (2.3) [11].
21
11
RR
p
(2.3)
onde Δp é a diferença de pressão através da interface do líquido, γ é a tensão superficial, e
R
1
e R
2
são os principais raios de curvatura. Esta equação é um importante resultado do
trabalho de Laplace publicado em 1805 [28]. Laplace, a partir da termodinâmica, criou o
que é, hoje, conhecido como Teorema de Laplace, que diz: ―O aumento da pressão
hidrostática
p
, que ocorre após atravessar a fronteira entre dois fluidos é igual ao produto
da tensão superficial
e da curvatura da superfície
21
/1/1 RR
‖ [12].
Uma maneira conveniente para ilustrar como medir a curvatura de uma superfície é
usar o exemplo de uma pêra (Figura 2.2).
15
A curvatura no ponto
M
é determinada pela inserção de um eixo imaginário que
define a direção
N
normal à superfície. Em seguida, a superfície é cortada em dois planos
mutuamente ortogonais que se cruzam ao longo de
N
. A interseção desses planos com a
superfície da pêra define duas curvas, os raios de curvatura R
1
e R
2
. Nota-se que R
1
e R
2
são
tratados como quantidades algébricas: R
1
é definido como positivo se o centro do círculo
correspondente encontra-se dentro da pêra, e negativo caso contrário. Uma propriedade
notável da curvatura (
21
/1/1 RR
) é que ela é independente da orientação dos planos. Se
existe um eixo de simetria e um dos dois planos que contém esse eixo, os correspondentes
R
1
e R
2
, são referidos como os raios de curvatura principais [6].
A equação (2.3) é obtida utilizando a condição de energia mínima [13]. Esta
condição de energia mínima mostra que a variação da energia livre de Gibbs total é a soma
de inúmeras parcelas de energia livre e essa variação é igual a zero. Para se estudar os
efeitos de capilaridade devemos fazer uso desse conceito de energia livre de Gibbs, que é a
energia de sistemas onde os parâmetros de controle termodinâmico são a pressão, a
temperatura e o número de partículas. A equação de Young-Laplace é obtida através da
geometria da forma do líquido e utilizando a variação da energia livre de Gibbs total nesse
O
R
1
>0
R
2
<0
M
N
Figura 2.2: Medida da curvatura de uma superfície em um ponto particular. Figura adaptada
de [28].
16
líquido, levando em conta situações de equilíbrio ou em de quase-equilíbrio, onde a energia
livre de Gibbs, por definição, é a mínima.
A equação de Young-Laplace é uma equação que descreve a diferença de pressão
capilar através da interface entre dois fluidos estáticos, como água e ar, devido ao
fenômeno da tensão superficial, que será comentada posteriormente. A diferença de pressão
é, portanto, relacionada com a forma da superfície.
2.3 Densidade e Massa Específica
Para determinar a massa específica em uma região do fluido consideramos um ponto C de
coordenadas x
0
, y
0
e z
0
. Para esse fluido homogêneo a massa dividida pelo volume resulta
na massa específica. Assim, a massa específica
dentro de um volume V será dada por:
V
m
. (2.4)
Para determinar a massa específica no ponto C, devemos considerar um elemento de
volume
V
e um elemento de massa
m
muito menores que V e m, respectivamente.
Supõe-se que o volume
V
seja relativamente grande, porém ainda pequeno se comparado
ao volume V, pois deve fornecer valor significativo e reprodutível da massa específica em
uma região e ainda pequeno o suficiente para ser chamado de ponto. À medida que o
volume é reduzido, a massa específica tende a se aproximar de um valor assintótico, de
modo a conter apenas fluido homogêneo na vizinhança imediata do ponto C. Se o volume
V
tende a zero, então o número de moléculas que cruzam para dentro e para fora desse
volume será muito grande. Então, fazendo
V
tender a um certo
'V
na vizinhança do
ponto C, de tal maneira que esse
'V
seja um ponto crítico entre as variações significativas
de entradas e saídas de moléculas num certo volume
V
, temos que a massa específica em
um ponto C é:
V
m
VV
'
lim
. (2.5)
17
A massa específica pode ser determinada em diversas regiões do espaço. Obtemos então
uma expressão para a distribuição de massa específica como função de coordenadas
espaciais, sendo assim
),,( zyx
num determinado instante de tempo t conhecido.
Porém, essa massa específica pode variar com o tempo, fazendo com que sua representação
seja escrita como (2.6):
),,,( tzyx
. (2.6)
Essa é a expressão do campo de densidade. Como a massa específica é uma grandeza
escalar, este campo também é escalar [4].
A partir de (2.5) e utilizando-se da definição de somatório de Riemann, pode-se definir a
massa específica como sendo:
Vi
i
m
V
tzyx
1
),,,(
, (2.7)
onde
),,( zyxVV
é o volume que contém as partículas fluidas da massa específica
),,,( tzyx
.
É conveniente definir o campo velocidade em função desta massa específica, tendo
assim:
i
Vi
i
vm
V
tzyxv
.
1
),,,(
. (2.8)
Desta maneira, a velocidade é definida através do conceito de momentum linear.
Para obter a descrição completa do estado de um fluido em movimento é necessário
conhecer as três componentes do campo velocidade
),,,( tzyxv
e outras duas variáveis
termodinâmicas do fluido, campo pressão
),,,( tzyxp
e campo densidade
),,,( tzyx
.
Todas as outras quantidades termodinâmicas podem ser obtidas desses campos usando a
equação de estado do fluido.
Muitas vezes algumas grandezas devem ser adimensionalizadas. Desta forma, é
conveniente expressar a massa específica de um sólido ou líquido de forma adimensional,
18
chamada de densidade relativa. Esta é definida pela razão entre a massa específica do
material e a massa específica máxima da água que é 1000 kg/m
3
a 4° C [4], dada por
OH
d
2
. (2.9)
Esta densidade relativa é uma função da temperatura, a qual para a maioria dos líquidos
decresce com o aumento da temperatura [9]. A densidade relativa é tratada em alguns casos
da literatura como apenas densidade ou gravidade específica e representada com a notação
d, RD ou SG. Gráficos de densidade relativa para a água (com valor de referência para a
água a 4° C e massa específica de 1000 kg/m
3
) e o mercúrio são apresentados na Figura 2.3.
A densidade relativa do mercúrio varia linearmente com a temperatura e é dada por
Td .00240,060,13
, onde T é a temperatura dada em °C [4].
Para efeito de comparação, algumas densidades relativas são exemplificadas no Quadro 2.1.
-20
0
20
40
60
80
100
120
0,95
0,96
0,97
0,99
0,98
1,00
Temperatura (°C)
Densidade relativa ρ
-20
0
20
40
60
80
100
120
13,30
13,40
13,50
13,70
13,60
13,80
Temperatura (°C)
Densidade relativa ρ
(a)
(b)
Figura 2.3: Densidades da água (a) e do mercúrio (b) como funções da temperatura.
Figura adaptada de [4].
19
Líquido
Densidade Relativa
Gasolina
0,72
Etanol
0,789
Metanol
0,796
Querosene
0,82
Benzeno
0,879
Água
0,998
Água do mar
1,025
Glicerina
1,26
Mercúrio
13,55
Material
Densidade Relativa
Carvalho
0,77
Gelo (0° C)
0,917
Alumínio
2,64
Ferro Fundido
7,08
Aço
7,83
Latão
8,55
Cobre
8,91
Urânio (exaurido)
18,7
Quadro 2.1: Densidades Relativas de Líquidos a 20° C e Materiais Comuns. Quadro adaptado
de [4].
2.4 Tensão Superficial
A tensão superficial
em uma interface é definida como sendo a energia livre de Gibbs, G,
por área, com pressão p e temperatura T fixas (2.10),
Tp
A
G
,
. (2.10)
Essa equação é obtida utilizando a primeira lei da termodinâmica. A energia da superfície,
escrita em termos da temperatura T, da entropia S, da pressão P, da área A, do volume V ,
do potencial químico μ, do número de moléculas N e da tensão superficial
, é dada por:
20
NAPVTSU
(2.11)
A constante de proporcionalidade
, nessa equação, é a tensão superficial, que pode ser
compreendida como uma força por unidade de comprimento da fronteira [9]. Esta constante
é dada por:
dAdW
,
onde
dW
é a taxa de variação do trabalho em relação ao elemento de área
dA
.
Para um sistema em que a energia é dada por (2.11), a função (ou energia livre) de
Gibbs será escrita como (2.12):
PVAG
. (2.12)
A equação (2.12) nos leva a uma definição da tensão superficial
, em termos da energia, a
partir do conhecimento da função de Gibbs. Desta forma é obtida a equação (2.10).
A tensão superficial pode ser explicada com a hipótese de que a superfície externa
de um líquido é formada por uma camada com espessura de algumas moléculas. Como as
propriedades dessa camada diferem das da massa líquida em seu interior, é como se fossem
duas fases em equilíbrio [9], ou como se a superfície de um líquido se comportasse como
uma membrana elástica. As moléculas no interior do líquido são atraídas em todas as
direções pelas moléculas vizinhas, fazendo com que a resultante das forças que atuam sobre
cada uma delas seja praticamente nula. As interações de uma molécula no interior do
líquido são compensadas, em sua maioria, por forças iguais, atraentes, em todas as direções.
Entretanto, na superfície do líquido as forças não são anuladas, devido à não existência de
forças na parte superior, somente nas laterais e na parte inferior. Quando uma molécula da
superfície é ligeiramente elevada, as ligações moleculares entre ela e as moléculas vizinhas
são alongadas e há uma força restauradora que tende a recolocar a molécula deslocada de
novo na superfície [6,9,14]. Esta é a interpretação termodinâmica da tensão superficial, que
é em termos da energia das moléculas na região da superfície. Tanto a interpretação
21
mecânica (em termos de forças) quanto à interpretação termodinâmica (baseada na energia)
explicam os fenômenos de interface, particularmente a tensão superficial [10].
As forças de interação entre duas moléculas geralmente são caracterizadas por um potencial
repulsivo para distâncias muito pequenas (da ordem das órbitas dos elétrons) na molécula e
atrativo para distâncias maiores, chamado de potencial de Lennard-Jones (1.1). Este
potencial é discutido no Apêndice A. Analisando a região interfacial, notamos um
comportamento diferente. Na direção normal à interface as forças não estão balanceadas.
Este efeito, que combinado ao comportamento do potencial de Lennard-Jones, leva a uma
drenagem de moléculas para o interior do volume líquido [10]. Esta combinação de efeitos
faz com que a densidade de moléculas seja menor na região interfacial, exemplificado na
Figura 2.4.
Volume
Líquido
Vapor
Região
Interfacial
Região
Interfacial
Líquido
Densidade
Vapor
Figura 2.4: Comportamento da densidade de moléculas ao longo da direção normal à
superfície líquido-vapor. Figura adaptada de [10].
22
Por outro lado, mesmo com o decréscimo nas forças repulsivas nas direções
paralelas à interface, produzido pelo aumento do espaçamento entre as moléculas, temos
um balanceamento de forças devido à simetria radial das forças de interação. Portanto, não
há uma tendência a diminuir os espaçamentos nesta direção. Quando combinado com o
comportamento do potencial de Lennard-Jones, o comportamento das forças pode levar ao
surgimento de uma rede de tensão entre moléculas em todas as direções paralelas à
interface [10].
Outro fator que influencia decisivamente a tensão superficial é a temperatura.
Quando um líquido entra em contato com um vapor, por exemplo, esta dependência surge
pelo menos nas vizinhanças do ponto crítico. Dependendo de como a temperatura crítica é
alcançada, as propriedades dos dois fluidos tornam-se iguais e a tensão interfacial se anula
[10]. Isto indica que a tensão superficial decresce à medida que a temperatura cresce,
anulando-se à temperatura crítica.
A tensão superficial também está relacionada com a pressão de Laplace, vista
anteriormente.
Quando um fluido está em contato com outro ou com um sólido, existe uma
diferença de pressão entre os dois lados das superfícies. Desta forma, a diferença entre as
energias de superfície, descritas por Gibbs, desempenham papel fundamental no que se diz
respeito à adesão em um determinado material sobre outro. Esta adesão será maior quanto
maiores forem as energias de superfícies envolvidas. Thomas Young realizou em 1805 um
estudo da tensão superficial com base em conceitos de equilíbrio de forças e de
termodinâmica, o que mais tarde, apenas em 1880, foi implementado por Gibbs com uma
base matemática mais rigorosa e conceitos termodinâmicos. Gibbs introduziu então o
conceito de balanço de energia de superfície, contribuindo com a termodinâmica de
sistemas sólido-líquido-vapor. Com o estudo de Thomas Young pode-se relacionar a tensão
superficial com o que vem a se chamar ângulo de contato. O ângulo de contato está
representado na Figura 2.5.
23
O ângulo de contato é definido entre a tangente da superfície do líquido e uma superfície
horizontal e é dado por (2.13).
SLSVLV
cos
. (2.13)
chamada de equação de Young, onde
LV
é a tensão superficial líquido-vapor,
SV
é a
tensão superficial sólido-vapor e
SL
é a tensão superficial sólido-líquido. Se uma
superfície possui ângulo de contato
0
ou próximo deste valor, ela é dita
superhidrofílica, assim como se uma superfície possui ângulo de contato próximo a 180°,
ela é dita superhidrofóbica. Se o ângulo de contato é maior que 90°, porém não próximo de
180°, ela é dita hidrofóbica, se o ângulo for abaixo de 90° é dita de hidrofílica.
A tensão superficial em uma gota líquida faz com que a pressão no seu interior seja
maior que a pressão exterior. Este aumento na pressão ocasiona um aumento na pressão de
vapor, que tem uma relação importante com a condensação de gotas líquidas em um vapor
super-resfriado [9]. Jasper, citado por Carey [10], aponta para um decréscimo linear da
tensão superficial com a temperatura, dado por 2.14. Estudando o gráfico da tensão
superficial para um intervalo de temperatura, obteve a equação experimental 2.14, para o
caso da água [10]:
TCC
10
, (2.14)
Figura 2.5: Condições de molhabilidade de uma superfície devido à tensão superficial;
(a) superfície superhidrofílica
0
; (b) superfície com molhabilidade parcial
1800
; (c) superfície superhidrofóbica
180
0
180
(a)
(b)
(c)
24
onde C
0
e C
1
são constantes para a tensão superficial, que variam de material para material.
A tensão superficial também conduz aos fenômenos de capilaridade em uma
superfície líquida. Estes fenômenos são a ascensão ou depressão capilar. Este conceito tem
enorme importância no presente trabalho, pois em dispositivos fluídicos e microfluídicos
este conceito é uma das razões pelas quais os fluidos escoam para dentro e para fora dos
canais com certa facilidade ou dificuldade. Notavelmente, o efeito mais importante da
tensão superficial é a criação de um menisco curvo em tubos, causando a ascensão ou
depressão capilar, exemplificada na Figura 2.6.
Estes meniscos curvos são de extrema importância nos tubos de leitura de
manômetros ou barômetros que devem ser feitas no nível médio do menisco. Essa região
está afastada dos efeitos máximos da tensão superficial, ou seja, mais próximo do nível
correto do líquido. Estes efeitos, geralmente, são efeitos indesejados durante a leitura
daqueles equipamentos. As medidas de tensão superficial devem ser feitas em líquidos
puros e em contato com superfícies verticais limpas. Impurezas no líquido, sujeiras,
inclinações nas superfícies podem causar meniscos indistintos [4], tornando difícil a
determinação do nível de líquido com precisão. Os valores de tensão superficial
para a
maioria dos compostos orgânicos são notavelmente semelhantes à temperatura ambiente; a
θ
θ
h
h
Tubo
Tubo
Figura 2.6: (a) Ascensão capilar (
90
) e (b) Depressão capilar (
90
) dentro e
fora do tubo. Figura adaptada de [4].
(a)
(b)
25
faixa típica é de 25 a 40 mN/m (N/m = J/m
2
). O
da água é mais alto, cerca de 73 mN/m a
20° C. A tensão superficial diminui com a temperatura e esse decréscimo é
aproximadamente linear com a temperatura absoluta. A tensão superficial na temperatura
crítica é zero. Os valores de
são reportados usualmente para superfícies em contato com
o vapor puro do líquido em estudo ou com o ar. Para baixas pressões, os dois valores são
aproximadamente iguais [4]. Exemplos de tensões superficiais de vários líquidos puros são
apresentados no Quadro 2.2.
Líquido
Tensão Superficial
(mJ/m
2
ou mN/m)
(a) Em contato com ar
Hexano
18,4
Octano
21,8
Etanol
22,3
Metanol
22,5
Óleo Lubrificante
25-35
Querosene
26,8
Tetracloreto de carbono
27,0
Benzeno
28,9
Sangue
60,0
Glicerina
63,0
Água
72,8
Mercúrio
486.5
(b) Em contato com água
Metanol
22,7
Benzeno
35,0
Tetracloreto de carbono
45,0
Octano
50,8
Hexano
51,1
Mercúrio
375
Quadro 2.2: Tensão superficial de Líquidos Comuns a 20° C. Quadro adaptado de [4,6].
O nível de líquido é mais distinto em um tubo vertical. Quando tubos inclinados são
utilizados para aumentar a sensibilidade de manômetros é importante fazer todas as leituras
no mesmo ponto sobre o menisco e evitar a utilização de tubos com inclinações maiores
26
que 15° com relação à horizontal [4]. A ascensão capilar pode ser pronunciada se o líquido
está em um tubo de diâmetro pequeno ou em uma fenda estreita, mostrada na Figura 2.7.
Existem alguns compostos que modificam significativamente a tensão superficial de
um certo líquido sem modificar significativamente outras propriedades. Estes compostos
são chamados surfactantes. Uma propriedade fundamental dos surfactantes são as
chamadas micelas, agregados formados, geralmente, em baixas concentrações em um
determinado líquido [15]. Para isso existe uma concentração mínima na qual inicia-se a
formação de micelas, chamada de concentração micelar crítica (cmc). Os surfactantes têm
grande aplicação comercial. Estas aplicações vão desde aplicações industriais até em
laboratórios acadêmicos. Estas envolvem detergência, emulsificação, lubrificação,
capacidade espumante, capacidade molhante (no caso da água, por exemplo, que após ser
adicionada de um detergente tem sua capacidade de penetrar em superfícies amplificada),
solubilização e também utilizado na catálise (em aerossóis e na recuperação de óleos
minerais e vegetais) [4,15]. As propriedades e aplicaçãos dos surfactantes são determinadas
pelo balanço entre porções liofílicas (que ―gosta‖ de solvente) e liofóbicas (que ―odeia‖
solvente) das moléculas [15].
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
30
5
-10
-15
0
Água
Mercúrio
Diâmetro (mm)
Altura capilar (mm)
Figura 2.7: Efeito capilar em tubos pequenos. Figura adaptada de [4].
27
2.5 Viscosidade
O escoamento de qualquer fluido real é regido pelas forças de fricção tangenciais chamadas
tensões de cisalhamento [1]. Em um sólido as tensões são desenvolvidas quando um
material é deformado ou cisalhado elasticamente [4]. As tensões de cisalhamento aparecem
devido ao escoamento viscoso. Assim, podemos dizer que sólidos são elásticos e os fluidos
são viscosos. Muitos tecidos biológicos e polímeros são ditos viscoelásticos, pois possuem
características tanto de sólidos quanto de fluidos [4]. A ação de forças de cisalhamento
internas provoca a conversão de energia mecânica em calor ou energia térmica [1]. Esse
processo de dissipação de energia ocorre durante o movimento do fluido e é o resultado da
irreversibilidade termodinâmica de movimento [16]. Essa irreversibilidade sempre ocorre
até certo ponto e é devido a fricção interna e condução térmica [17]. Para um fluido em
repouso não existirá tensão de cisalhamento aplicada e o escoamento (especialmente a taxa
de deformação) do fluido pode ser usado para definir categorias de classificação de cada
fluido [4].
Agora, consideramos o comportamento de um elemento fluido entre duas placas
paralelas infinitas. A placa superior move-se a velocidade constante
u
sob a influência de
uma força constante aplicada
x
F
, mostrada na Figura 2.8.
28
A tensão de cisalhamento
yx
aplicada ao elemento fluido é dada por
y
x
y
x
A
yx
dA
dF
A
F
y
lim
0
.
Onde
y
A
é a área de contato do elemento fluido com a placa e
x
F
é a força aplicada pela
placa àquele elemento. Dado um intervalo de tempo
t
, o elemento fluido é deformado da
posição MNOP para a posição M’NOP’ (Figura 2.8). A taxa de deformação do fluido é
dada por
td
d
t
deformaçãodetaxa
t

lim
0
.
Desejamos expressar
td
d
em função de quantidades mensuráveis. A distância
l
entre M e
M’ é dada por
P
P’
M
M’
O
N
y
x

Força
x
F
Velocidade
u
Elemento de
fluido no
instante
tt
Elemento de
fluido no
instante
t
l
Figura 2.8: Deformação de um elemento fluido entre placas paralelas. Figura
adaptada de [1,4].
29
tul
.
.
Para pequenos ângulos temos

.yl
,
logo
y
u
td
d
. (2.15)
Com isso, quando submetido à tensão de cisalhamento
yx
o elemento fluido sofre
uma taxa de deformação (taxa de cisalhamento) [4] dada por (2.15).
Define-se os fluidos newtonianos como os fluidos nos quais a tensão de
cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação.
Como visto anteriormente, a viscosidade é uma medida do atrito interno do fluido,
isto é, da resistência contra deformação. O mecanismo da viscosidade gasosa é
razoavelmente bem compreendido, mas a teoria para líquidos ainda não está bem
desenvolvida. A viscosidade
de um fluido newtoniano é definida pelo estado do
material. Assim,
),( pT
. A temperatura é a variável mais importante [4] e existem
diversas equações empíricas para a viscosidade como uma função da temperatura.
Para o caso dos gases, baseado na teoria cinética,
T
. Todas as moléculas
gasosas estão em contínuo movimento aleatório. Quando há um movimento da massa de
gás em decorrência do escoamento, o deslocamento direcionado de massa sobrepõe-se aos
movimentos aleatórios e o movimento é distribuído por todo o fluido pelas colisões
moleculares. A teoria cinética concorda muito bem com as tendências experimentais, mas a
constante de proporcionalidade e fatores de correção devem ser determinados, o que limita
a aplicação prática dessa equação de proporcionalidade de
[4].
Se dois ou mais pontos experimentais estão disponíveis, os dados podem ser
correlacionados pela equação empírica [18]:
30
TS
Tb
/1
.
Esta é a chamada equação empírica de Sutherland [1]. As constantes b e S podem ser
determinadas escrevendo
TS
Tb
3
,
ou
b
S
T
b
T
1
3
.
De um gráfico de T
3/2
/
por T, pode-se obter a inclinação 1/b e o intercepto S/b. Para o ar,
.4,110
,
..
10458,1
2/1
6
KS
Ksm
kg
b
Estas constantes foram usadas com a equação de Sutherland para calcular as viscosidades
para a atmosfera padrão [7], definindo várias condições climáticas regionais, por exemplo.
Como a teoria não está bem desenvolvida para os líquidos, as viscosidades dos
líquidos não podem ser bem estimadas teoricamente [4]. O fenômeno da transferência de
quantidade de movimento por colisões moleculares é ofuscado nos líquidos pelos efeitos de
campos de força interagindo entre grupos de moléculas líquidas muito próximas.
As viscosidades dos líquidos são fortemente afetadas pela temperatura. Esta
dependência da temperatura absoluta é bem representada pela equação empírica
)/(
.
CTB
eA
, (2.16)
31
ou pela forma equivalente
)/(
10.
CTB
A
, (2.17)
onde T é a temperatura absoluta.
Outro fator que influencia na viscosidade do fluido é a pressão. A viscosidade dos
gases é essencialmente independente da pressão numa faixa entre poucos centésimos de
uma atmosfera e algumas poucas atmosferas. Entretanto, a viscosidade aumenta em
pressões elevadas ou com o aumento da massa específica [4]. As viscosidades da maioria
dos líquidos não são afetadas por pressões moderadas, porém grandes aumentos têm sido
verificados em pressões muito altas. Fluidos mais complexos que a água apresentam um
aumento de viscosidade de várias ordens de grandeza para a mesma faixa de pressão, que,
para o caso da água, a viscosidade a 10000 atm é apenas duas vezes a viscosidade a 1 atm
[4]. O comportamento da viscosidade dinâmica da água em relação à temperatura é
exemplificada pelo Quadro 2.3.
Temperatura T (°C)
Viscosidade Dinâmica
(mPa.s)
0
1,787
10
1,307
20
1,002
30
0,796
40
0,653
50
0,547
60
0,434
70
0,404
80
0,355
Quadro 2.3: Viscosidades dinâmica da água em função da temperatura [6].
2.5.1 Fluidos Newtonianos
Os fluidos mais comuns, como água, ar e gasolina, são newtonianos em condições normais.
A condição para a classificação como fluido newtoniano é dada pela sua tensão de
cisalhamento
32
dy
du
yx
.
A constante de proporcionalidade é chamada de viscosidade absoluta ou viscosidade
dinâmica
[4]. Assim, em termos das coordenadas da Figura 2.8, a lei de Newton da
viscosidade para o escoamento unidimensional é dada por (2.18).
dy
du
yx
, (2.18)
Como as dimensões de
yx
são [F/L
2
] e as dimensões de
dy
du
são [1/t],
tem dimensões
[Ft/L
2
]. Uma vez que as dimensões de força F, massa m, comprimento L e tempo t são
relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton, as dimensões de
também
podem ser expressas como [m/Lt]. Temos que a viscosidade dinâmica pode adotar unidade
slug/ft.s, que equivale a
scmg ./10478,0
3
. No sistema francês é adotado o poise (1 g/cm.s
1 poise), em homenagem ao cientista francês Poiseuille [1].
Na mecânica dos fluidos, a razão entre a viscosidade absoluta
e a massa
específica
surge com freqüência. Esta razão define o que é chamado de viscosidade
cinemática e é representada pelo símbolo
[1]. Como a massa específica tem dimensões
[m/L
3
], as dimensões de
são [L
2
/t]. No sistema Métrico Absoluto, a unidade de
é o
stoke (1 stoke
1 cm
2
/s
ft
2
/s) [1,4]. O Quadro 2.4 mostra alguns exemplos de
viscosidades de fluidos comuns.
Fluido
Viscosidade Dinâmica
sPa.
Viscosidade Cinemática
s
m
2
Ar
5
1078,1
5
1046,1
Água
3
1014,1
6
1014,1
Óleo de Mamona
51,1
3
1057,1
Quadro 2.4: Viscosidades dinâmica e cinemática de alguns fluidos comuns a condições
normais [1].
33
2.5.2 Fluidos Não-Newtonianos
Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de
deformação são chamados fluidos não-newtonianos. Muitos fluidos comuns apresentam
comportamento não-newtoniano, como as pastas dentais, argila e o amido de milho em
água. Os fluidos não-newtonianos são geralmente classificados como tendo comportamento
independente ou dependente do tempo. Esses fluidos são regidos pela equação (2.19), para
um escoamento unidimensional,
n
yx
dy
du
k
, (2.19)
onde o expoente n é chamado de índice de comportamento do escoamento e o coeficiente k
é o índice de consistência. Esse tipo de fluido é discutido com mais detalhes no Apêndice
B.
2.5.3 Fluidos Viscosos e Não-viscosos
Em um canal qualquer escoa um certo fluido com uma certa viscosidade. Esse fluido terá
forças de cisalhamento atuando sobre todos os seus elementos de área. Se considerarmos
que existe um certo atrito entre as paredes do canal e o fluido, este enfrentará uma certa
dificuldade em escoar, tendo sua velocidade reduzida. Obviamente, nem todos os fluidos
comportam-se dessa maneira. Pode-se dizer que, se um fluido escoa por um canal cujo
atrito é nulo, a velocidade será constante. Mas isso não acontece, pois existem forças
internas no fluido que definem sua viscosidade (como visto anteriormente, a viscosidade é
uma medida do atrito interno do fluido). Então, se um fluido é mais ou menos viscoso e se
a superfície em que ele se encontra em contato tem maior ou menor atrito, as condições de
escoamento serão diferentes. Quando o canal por onde fluido escoa tem dimensões
diferentes, o escoamento também terá outra característica. Pode-se estimar se as forças
viscosas são ou não desprezíveis em comparação com as forças de pressão, que atuam
sobre o fluido ou a superfície, pelo cálculo do número de Reynolds Re, dado pela equação
34
(2.56). Se o número de Reynolds for ―grande‖, os efeitos viscosos tornar-se-ão desprezíveis
pelo menos na maior parte do escoamento. Se o número de Reynolds for ―pequeno‖, os
efeitos viscosos predominarão. Essa relação ―grande‖ e ―pequeno‖ deve-se ao fato de que o
número de Reynolds é definido devido a uma série de modificações e condições impostas
nas equações de Navier-Stokes. Esses termos ―grande‖ e ―pequeno‖ significam que o termo
que possui o número Re predominam ou não sobre os outros termos da equação, que será
discutida em outra seção.
Para exemplificar esses conceitos, analisaremos a situação de uma bola arremessada
ao ar. Se essa bola possui uma velocidade
hkmv /100
e diâmetro
cml 22
, o número de
Reynolds será em torno de
370000Re
, que é um número grande quando comparado com
o número de Reynolds de uma partícula de poeira de 1 mm de diâmetro caindo com uma
velocidade terminal
scmv /1
sob o efeito da gravidade, que é de aproximadamente
7,0Re
. Para o caso da poeira, o arrasto é quase que inteiramente devido ao atrito do ar.
No caso da bola, o arrasto sobre ela é quase inteiramente devido ao aumento de pressão do
ar na região frontal.
Estas duas situações mostram o que considera-se um escoamento dominado ou não
pelo atrito com base não apenas na viscosidade do fluido, mas em todo sistema de
escoamento.
Com estes exemplos pode-se afirmar que um escoamento não-viscoso ou
escoamento invíscido [4] é o escoamento sem atrito, para o caso ideal. Isso prediz linhas de
corrente em coordenadas fixas à bola esférica. Essas linhas de corrente são simétricas da
frente para trás da bola. Como a vazão massiva é constante entre duas linhas de corrente
quaisquer, sempre que essas linhas se abrem a velocidade deve decrescer, e vice-versa.
Assim, pode-se verificar que a velocidade do ar na vizinhança dos pontos A e C deve ser
relativamente baixa e no ponto B a velocidade será alta, como mostra a Figura 2.9. O ar,
nos pontos A e C, permanece em repouso. Estes dois pontos são chamados de pontos de
estagnação.
35
A determinação da pressão em um ponto de estagnação exemplifica uma aplicação
dos conceitos sobre o número de Mach. Dado o fluxo de um fluido sem atrito em torno de
um corpo, a pressão p
0
e a velocidade v
0
em um fluxo não-perturbado, como indicado na
Figura 2.9a. No ponto de estagnação A a velocidade do fluido é zero e a pressão de
estagnação é p
s
. A equação dinâmica será aplicada para pequenos fluxos no tubo ao longo
da direção de O para A. Nesse exemplo considera-se apenas o fluxo em que não há atrito e
nenhum impacto. Embora geralmente o atrito seja desprezível para escoamentos com
valores altos do número de Reynolds, sempre haverá uma camada limite viscosa, para a
qual o atrito é significante, como mostrado na Figura 2.9b e com mais detalhes na Figura
2.10.
Figura 2.9: Configuração qualitativa de um corpo em um fluxo de fluido incompressível
com (a) escoamento não-viscoso e (b) escoamento viscoso. Figura adaptada de [1,4].
.
.
.
A
B
C
(a)
.
v
0
p
0
O
.
.
A
B
D
.
.
(b)
Ponto de
separação
v
0
p
0
O
Esteira
36
Essa camada limite faz com que os corpos produzam o que é chamado de esteira,
que é apresentado na Figura 2.9b, do ponto D em diante do sentido do escoamento. Este
ponto D é chamado de ponto de separação ou ponto de deslocamento, onde as partículas
fluidas são afastadas da superfície do objeto causando o desenvolvimento de uma esteira
[4]. Esta esteira terá sempre pressão relativamente baixa, no entanto, o ar à frente do objeto
terá uma pressão relativamente alta. Assim, o objeto estará sujeito ao que é chamado de
arrasto de pressão ou arrasto de forma, pois as linhas de corrente adquirão a forma do
objeto, como por exemplo numa asa de avião ou sobre um carro de Fórmula 1 em alta
velocidade, o ar que passa adquiri a forma destes, chamado de carenagem.
Para os escoamentos com número de Reynolds muito pequeno o escoamento é dito
viscoso, logo não existe região invíscida.
2.5.4 Escoamentos Laminar e Turbulento
Um escoamento é laminar quando as partículas fluidas movem-se em camadas lisas ou
lâminas. No turbulento, as partículas fluidas misturam-se enquanto movimentam-se ao
longo do escoamento, devido a flutuações aleatórias no campo tridimensional de
velocidades.
A turbulência é um fenômeno quase sempre indesejável, pois ele cria maior
resistência ao escoamento. Em outros casos, como é o caso do sangue, ela é muito desejada,
pois o movimento aleatório permite que todas partículas contidas no fluido entrem em
Camada limite
viscosa
Escoamento
invíscido
Figura 2.10: Esquema de uma camada limite. Figura adaptada de [4].
37
contato com a parede. A turbulência também é muito desejada quando se trabalha com
misturas de dois ou mais fluidos diferentes; neste caso, para que haja essa mistura em um
canal deve haver turbulência. Em microcanais, essa turbulência é reduzida ao ponto de não
existir, tendo-se que criar métodos para que os fluidos em questão sejam misturados.
As partículas fluidas descrevem tragetórias nos casos laminar e turbulento,
escoamentos estes ilustrados na Figura 2.11, para o caso unidimensional.
Para o escoamento dominantemente unidimensional da Figura 2.11, a velocidade do
escoamento laminar é
u
. A velocidade do escoamento turbulento é composta pela
velocidade média
u
mais as três componentes das flutuações aleatórias de velocidade
'u
,
'v
e
'w
. Embora muitos escoamentos turbulentos sejam permanentes na média, a presença
de flutuações aleatórias de velocidade e de alta freqüência torna a análise do escoamento
turbulento extremamente difícil [4]. Em um escoamento laminar unidimensional a tensão
de cisalhamento está relacionada com o gradiente de velocidade pela lei de Newton da
viscosidade, dada por (2.18).
dy
du
yx
. (2.18) (2.20)
No escoamento turbulento essa equação simples não é válida. Utiliza-se teorias semi-
empíricas e dados experimentais, já que não existem relações universais entre o campo de
tensões e o campo de velocidade média, pois existem flutuações tridimensionais aleatórias
de velocidade que transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente do
escoamento médio, aumentando a tensão de cisalhamento efetiva.
x
y
z
iuv
ˆ
kwjviuuv
ˆ
'
ˆ
'
ˆ
)'(
Laminar
Turbulento
Figura 2.11: Trajetórias de partículas em escoamentos unidimensionais laminar e
turbulento. Figura adaptada de [4].
38
Quando o número de Reynolds é grande o escoamento é caracterizado pela presença
de uma variação extremamente irregular da velocidade com o tempo em cada ponto. Isto é
chamado de turbulência plenamente desenvolvida. A velocidade varia continuamente sobre
algum valor médio, e nota-se que a amplitude dessa variação não é pequena em geral em
comparação com a magnitude da velocidade em si. Uma variação semelhante irregular da
velocidade existe entre os pontos no fluxo em um dado instante. Os caminhos das partículas
de fluidos em escoamentos turbulentos são extremamente complicadas, resultando em uma
ampla mistura de fluidos.
Nesta discussão procura-se não entrar em maiores detalhes sobre turbulência, pois
em sistemas microfluídicos o número de Reynolds é pequeno, ocasionando um escoamento
laminar pelos canais.
2.5.5 Escoamentos Compressível e Incompressível
O escoamento é dito incompressível quando as variações na massa específica são
desprezíveis, caso contrário é compressível. Os gases são considerados fluidos com
escoamento compressível, ao passo que os líquidos, em geral, possuem escoamento
incompressível.
Alguns fatores fazem a massa específica aumentar ou diminuir. Os principais
fatores são a temperatura e pressão. Para os líquidos, a temperatura tem pouca influência
sobre a massa específica e sob pressões moderadas os líquidos podem ser considerados
incompressíveis. No entanto, se existem altas pressões, líquidos podem ser considerados
compressíveis. Essas mudanças de pressão e de massa específica em líquidos são
relacionadas pelo módulo de compressibilidade ou módulo de elasticidade [4], definido
como
)/(
d
dp
E
c
. (2.21)
Se o módulo de compressibilidade for independente da temperatura, a massa específica será
uma função apenas da pressão [4].
39
Quando há reduções de pressão locais em um escoamento líquido, bolhas de vapor
são formadas. Este fenômeno é chamado de cavitação [28]. Dependendo do número e da
distribuição de partículas no líquido às quais pequenas bolhas de gás ou ar não-dissolvido
podem se agregar, a pressão no local de início da cavitação pode ser igual ou menor que a
pressão de vapor do líquido [4]. Essas partículas agem como locais de nucleação para
iniciar a vaporização.
A pressão de vapor de um líquido é a pressão parcial do vapor em contato com o
líquido saturado a uma dada temperatura [12]. Quando a pressão em um líquido é reduzida
abaixo da pressão de vapor, o líquido pode passar abruptamente para a fase vapor, como em
uma panela de pressão que é aberta abruptamente quando nesta há água fervente.
As bolhas de vapor em um escoamento líquido podem alterar a geometria do campo
de escoamento. O crescimento e o colapso de bolhas de vapor em regiões adjacentes a
superfícies sólidas podem causar danos por erosão das superfícies do material e
comprometer velocidades de escoamento, fazendo com que os fluidos dentro destes canais
ou de uma série de canais tomem rumos indesejados.
Os escoamentos de gases com transferência de calor desprezível também podem ser
considerados incompressíveis, desde que as velocidades do escoamento sejam pequenas em
relação à velocidade do som. Esse fenômeno está relacionado com o número de Mach.
2.5.6 O número de Mach
Quando se estuda o escomento de gases ou líquidos, uma das formas de saber se o
escoamento é dito compressível ou incompressível é analisar o número de Mach do
escoamento, tendo
v
como a velocidade do escoamento. Este número é dado por
S
v
v
M
. (2.22)
onde
S
v
é a velocidade do som e
v
a velocidade da fonte. Este número é discutido com
mais detalhes no Apêndice C.
40
2.6 Equações Regentes
As equações regentes para a hidrodinâmica em geral e em particular para a microfluídica
são derivadas de equações fundamentais que descrevem a taxas de variação das densidades
de fluxo de massa, momentum e energia.
A primeira equação regente da dinâmica dos fluidos a ser deduzida é a equação da
continuidade. Essa equação expressa a conservação de massa na mecânica clássica e, por
este motivo, também é chamada de equação da conservação de massa.
2.6.1 Equação da continuidade para fluidos compressíveis
É conveniente considerar o caso geral, onde o fluido é compressível. Como visto em uma
seção anterior com maiores detalhes, fluido compressível é o fluido cuja massa específica
pode variar em função do espaço e do tempo,
),,,( tzyx
.
Considerando um elemento de área arbitrário, porém fixo, em um região
em um
fluido, definimos a massa total
),( tM
dentro dessa região
como sendo a integral de
volume sobre a densidade
, expressada por
),(),( trrdtM
. (2.23)
Desde que a massa não apareça e nem desapareça espontaneamente na mecânica não-
relativística,
),( tM
pode variar somente devido ao fluxo através de uma superfície
em uma região
. Essa região
é esboçada na Figura 2.12.
41
Agora definiremos densidade de corrente de massa
),( trJ
, onde
),( trv
é a
velocidade de transmissão ou simplementes campo velocidade de Euler [6]. Esta densidade
de corrente de massa
),( trJ
é definida como a massa específica
vezes o campo
velocidade
),( trv
(também chamado de velocidade de convecção [6]). A densidade de
corrente de massa é o fluxo de massa por unidade de massa orientada por unidade de tempo
(kg.m
-2
.s
-1
), dada por
),(),(),( trvtrtrJ
. (2.24)
A corrente através do elemento de área
ad
é dada pelo produto entre da e a projeção
nv
ˆ
.
de uma densidade de corrente sobre o vetor de superfície unitário.
Derivando
),( tM
, equação (2.23), em relação ao tempo t, tem-se que
),(),( trrd
t
tM
t
e como a integral volumétrica independe de t,
),(),( tr
t
rdtM
t
. (2.25)
da
n
ˆ
v
Figura 2.12: Esboço de um campo densidade de corrente de massa
v
(setas
grandes) fluindo através de uma região arbitrária
, com um elemento de área da.
42
Integrando a densidade de corrente de massa
),( trJ
, equação (2.24), na superfície
,
obtemos
)),(),(.(
ˆ
),( trvtrndatrJda
. (2.26)
Aplicando o teorema de Gauss na equação (2.26), vê-se que
)),(),(.()),(),(.(
ˆ
trvtrrdtrvtrnda
. (2.27)
Este sinal negativo aparece na equação desde que a massa dentro da região
diminua se
v
for paralelo ao ponto em que o vetor normal
n
ˆ
é externo à superfície.
A integral de superfície sobre
da densidade de corrente de massa nos informa a
variação de massa em um determinado instante. Com isto,
),(),( trJdatM
t
.
Desta forma, pode-se igualar as equações (2.25) e (2.27). Logo:
)),(),(.(),( trvtrrdtr
t
rd
. (2.28)
Esse resultado é válido para qualquer escolha dentro da região
. No entanto, esta é a
única possibilidade se os integrandos são iguais. Por conseguinte, a equação (2.28) fornece
que:
)),(),(.(),( trvtrtr
t
.
Logo:
43
J
t
.
. (2.29)
Com isso, chega-se à equação da continuidade, dada por (2.29).
Também pode-se escrever a equação (2.29) com outra notação. Assim:
)(
jjt
v

. (2.30)
Desta forma, nota-se que o primeiro termo representa a taxa de variação de massa dentro do
volume e o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa ou vazão líquida em
massa através da superfície. A equação (2.30) indica que a soma da taxa de variação da
massa dentro do volume com a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície é igual
a zero, ou seja, há conservação de massa no sistema.
2.6.2 Equação da continuidade para fluidos incompressíveis
Como visto, o escoamento é dito incompressível quando as variações na massa específica
são desprezíveis, ou seja, quando
é constante. Quando isso ocorre,
não é uma função
do espaço nem do tempo. Em microfluídica essa situação ocorre na maioria dos casos (onde
as velocidades do fluido são muito menores que a velocidade de ondas de pressão no
líquido [6]), sendo assim de grande utilidade para o presente trabalho.
Haja visto que
é constante no espaço e tempo, a equação (2.30) tornar-se-á
jjt
v
(2.31)
e teremos que
00
jjt
v
. (2.32)
2.6.3 Momento de Fluxo e Densidades de Força
A segunda equação regente a ser deduzida é a equação de movimento para o campo de
velocidade de Euler. Cabe aqui fazer uma breve análise sobre as taxas de variação do
44
momentum devido a quatro fatores, pressão, forças de convecção, forças de viscosidade e
forças de corpos. Dada a taxa de variação do momentum em relação a esses fatores,
podemos calcular a taxa de variação do i-ésimo componente da variação do momentum de
um fluido e então apresentar as equações de Navier-Stokes e suas conseqüências.
2.6.3.1 Taxa de variação do momentum devido à convecção de momentum
Como a transmissão da densidade de massa
no campo velocidade
v
é descrita pelo
vetor
v
, a transmissão do momento vetor
v
é descrito pelo tensor
jiij
vv
'
. (2.33)
conhecido como tensor momento densidade de fluxo. O primeiro termo desse tensor
significa que não se leva em consideração a pressão p. Esse tensor nos mostra a
transferência total de momento na superfície
.
2.6.3.2 Taxa de variação no momentum devido às forças de pressão
Em cada elemento de área da sobre a superfície
atua uma força de pressão
danp
ˆ
em
. Por esse motivo, é acrescentado um termo de pressão ao tensor
ij
'
. Com isto, o tensor
momento densidade de fluxo terá a definição comumente utilizada:
jiijjiijij
vvpvv
'
. (2.34)
Assim, tem-se que o primeiro termo desse tensor leva em conta a pressão p.
2.6.3.3 Taxa de variação no momentum devido às forças de viscosidade
O tensor tensão de viscosidade é definido com a posição de vetores tomados sempre dois a
dois. Ele expressa a i-ésima componente da força de fricção por área
45
dandF
jiji
'
. (2.35)
onde
ij
'
é o tensor tensão de viscosidade. Fazendo
rv
e obedecendo à relação de
antissimetria
ijji
vv 
, então
ij
'
só poderá desaparecer para um caso particular de
campo velocidade, como deveria, já que ele contém apenas as combinações simétricas
ijji
vv
e
kk
v
das derivadas de primeira ordem. O tensor genérico de ordem dois que
satisfaz essas condições é
ijkkjiij
kkijkkijjiijij
vvv
vvvv

))(
3
2
()(
)
3
2
('
ijkkjiij
vvv
)()1()(
(2.36)
onde
é a viscosidade dinâmica aparente,
é a segunda viscosidade (fricção interna
devido a compressão) e
é a relação de viscosidade adimensional.
Para os fluidos incompressíveis
0
kk
v
. Então a equação (2.36) resumir-se-á a:
)('
jiijij
vv
. (2.37)
Estes valores de viscosidade são obtidos experimentalmente ou por cálculo numérico,
expostos e exemplificados na seção que trata de viscosidade.
2.6.3.4 Taxa de variação no momentum devido às forças de corpos
As forças de corpos são as forças externas que atuam sobre o fluido. Essas forças são
basicamente as forças gravitacional e eletromagnética. Aqui será exposta apenas a equação
devido à força gravitacional g e à força elétrica
E
. Para calcular esta taxa considerando a
força magnética, basta utilizar a força de Lorentz
BvqF
, onde
B
é o campo
magnético externo e
q
a carga elétrica de uma única partícula movendo-se neste campo.
Assim, tem-se que a densidade de força magnética é
Bv
el
. Se este termo for
46
introduzido na equação (2.38), obtém-se a taxa de variação no momentum devido às forças
gravitacional e eletromagnética. O resultado para a taxa de variação do momentum devido
às forças de corpos é dada por
).()(),(
ieliiel
body
i
t
EgrdEgrdtP
(2.38)
2.6.3.5 Taxa de variação do i-ésimo componente do momentum
O i-ésimo momentum total
),( tP
i
é derivado para se obter suas variações com o tempo
devido aos vários fatores. Em analogia à equação (2.35), a taxa de variação do momentum é
dada por
])[(),(),(),(
itititit
vvrdtrvtrrdtP
. (2.39)
Em contraste com a massa dentro de
, que de acordo com a equação (2.27), só poderá se
alterar por convecção através da superfície
, o momentum
),( tP
i
poderá se alterar
tanto por convecção quanto pela ação de forças dada pela segunda lei de Newton [6], dada
por
j
jt
Fvdm
.
(2.40)
onde
m
é a massa da partícula influenciada pelas forças externas
j
j
F
e
vd
t
sua
aceleração.
A taxa de variação do momentum
),( tP
it
é a soma de todas as contribuições das forças
que atuam no fluido. Logo:
),(),(),(),(),( tPtPtPtPtP
body
i
t
visc
it
pres
i
t
conv
itit
. (2.41)
47
2.6.4 A equação de movimento e a equação de Navier-Stokes
A equação geral de movimento para fluidos viscosos pode ser deduzido, utilizando-se os
conceitos previstos anteriormente. Substituindo a equação (2.36) e as integrais de superfície
de (2.33), (2.34) e (2.35) na equação (2.41) obtém-se
)(]'[])[(
ieliijijjijitit
Egrdpvvndavvrd
. (2.42)
Para reescrever a integral de superfície deve-se recorrer ao teorema de Gauss. Assim, as
integrais serão sobre o mesmo volume
. Como os integrandos devem ser iguais, chega-se
à equação diferencial parcial:
ieliijjijjjijitit
Egpvvvv
 ')()()(
. (2.43)
Esta expressão pode ser simplificada utilizando a seguinte identidade:
ijjijjjij
vvvvvv 
)()(
.
De acordo com a equação da continuidade (2.31) o primeiro termo
jt
v)(
com termo da
esquerda da equação (2.43). De forma análoga à equação (2.34), definimos:
ijijij
p '
. (2.44)
Então, a equação geral de movimento para o campo velocidade de Euler de um fluido
viscoso será:
ieliijjijjit
Egvvv

. (2.45)
Derivando a equação (2.44) e substituindo em (2.45) teremos
ielijjiijiijjit
Egvvpvvv

 )(][
2
, (2.46)
conhecida como equação de Navier-Stokes para fluidos compressíveis.
48
Essa equação também pode ser escrita na forma:
Egvvpvvv
elt

).(]).([
2
. (2.47)
Devido as pequenas velocidades do fluido em sistemas microfluídicos em relação as
velocidades do som, pode-se tratar os fluidos como incompressíveis, ou seja,
0. v
ou
0
jj
v
. Logo, a equação de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis será dada por:
ieliijiijjit
Egvpvvv

2
][
(2.48)
ou
Egvpvvv
elt
2
]).([
. (2.49)
2.6.5 Número de Reynolds e a equação de Stokes
Os fenômenos hidrodinâmicos mais belos e mais curiosos são conseqüência direta do termo
não-linear
vv
).(
da equação de Navier-Stokes. Exemplos destes fenômenos são os
efeitos de turbulência que ocorrem nos oceânos devido a correntes marítimas, efeitos de
turbulência que ocorrem no ar devido a mistura de gases ou fumaça e até mesmo alguns
movimentos de matérias estelares. Por outro lado, o termo não-linear também é
responsável por tornar a resolução da equação mais complexa e difícil e sua solução
analítica nunca foi encontrada. No entanto, muitos grupos de pesquisas estudam soluções
numéricas e, fazendo o limite para baixas velocidades de fluxo, que para sistemas
microfluídicos é de alta relevância, o termo não-linear pode ser desprezado. Com isto entra-
se no regime chamado de fluxo de Stokes ou fluxo laminar, onde as soluções analíticas para
uma série de problemas de fluxo podem ser encontradas. A maneira correta neste caso é
adimensionalizar a equação de Navier-Stokes. Isto significa que podemos expressar todas
as variáveis físicas, tais como comprimento e velocidade, em unidades de escala
característica. Se o sistema em questão é caracterizado por apenas uma escala de
49
comprimento L
0
e uma escala de velocidade V
0
, a expressão de coordenadas e velocidade
em termos de coordenadas e velocidades adimencionais será:
rLr
~
0
(2.50)
e
vVv
~
0
, (2.51)
onde o símbolo com til indica que se trata de uma grandeza sem dimensão física, ou seja,
um número. Assim como as escalas de comprimento e velocidade L
0
e V
0
, respectivamente,
as escalas de temperatura e pressão também devem ser adimensionalizadas. Então,
tTt
V
L
t
~~
0
0
0
(2.52)
e
pPp
L
V
p
~~
0
0
0
. (2.53)
Desta forma, temos que
tt
T
~
)1(
0
e
~
)1(
0
L
. Substituindo as equações (2.50),
(2.51), (2.52) e (2.53) na equação de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis (2.49) e
desconsiderando as forças de corpos,
Eg
el
, teremos a equação de Navier-Stokes
adimensionalizada:
v
L
V
p
L
P
vv
L
V
v
T
V
t
~
~
~
~
~
)
~
.
~
(
~
~
2
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
. (2.54)
É conveniente reescrever esta equação da seguinte maneira:
vpvvv
t
~
~
~
~
~
)
~
.
~
(
~
~
Re
2
. (2.55)
Surgindo assim a definição do número de Reynolds adimensional, Re:
50
00
Re
LV
. (2.56)
Este é o número adimensional mais importante da mecânica dos fluidos e seu siginificado
físico é um quociente entre forças de inércia e forças de viscosidade.
Quando
1Re 
, o termo de viscosidade
v
~
~
2
da equação (2.55) torna-se predominante, ao
passo que se
1Re 
, o termo de inércia
vv
~
)
~
.
~
(
tornar-se-á o termo mais importante.
A forma adimensional correspondente a condição de incompressibilidade
0
jj
v
é simples, desde que
ii
L
~
)1(
0
e
ii
vVv
~
0
, tornando-se
0
~
~
jj
v
.
Quando se faz o limite para números de Reynolds muito pequenos, ou seja,
0Re
, a equação não-linear de Navier-Stokes (2.55) se reduz à equação linear de Stokes,
vp
~
~
~
~
0
2
. (2.57)
Esta equação é a equação de Stokes independente do tempo. É conveniente apresentar a
forma dependente do tempo, fazendo com que o termo
v
t
da equação (2.49) permaneça
na equação de Stokes. Assim, teremos:
vpv
t
2
, (2.58)
conhecida como a equação de Stokes dependente do tempo. A linearidade dessa equação
torna possível, em muitos casos, a solução analítica para problemas de fluxo laminar,
apenas utilizando algumas propriedades da análise vetorial e recorrendo à equação de
Laplace para
p
,
0
2
p
.
51
2.6.6 Equação de Navier-Stokes para Sistema de Rotação
A equação de Navier-Stokes (2.47) é a relação fundamental da dinâmica dos fluidos. Para
fluidos incompressíveis a equação é dada por (2.49). Para expressar o movimento de
líquido no referencial não inercial com um disco na velocidade angular
, a derivada
temporal do lado esquerdo da equação (2.49) tornar-se-á:
vr
t
v
t
v
2)(
(2.59)
com velocidade
v
e suas derivadas agora referindo-se a medida no referencial de rotação.
Implementando a equação (2.49) (sem a presença de campo elétrico) obtemos:
vrgvpvvv
t
2)(]).([
2
(2.60)
Formalmente, a equação (2.49) e (2.60) diferem-se por duas pseudo-forças, a força
centrífuga (2.61) e a componente de força de Coriolis (2.62) :
)( rF
(2.61)
vF
coriolis
2
. (2.62)
Estas forças são exemplificadas na Figura 2.13.
52
Muitos trabalhos vêm sendo produzidos nesta área, conhecida como Microfluídica
Centrífuga. No Capítulo 3 é apresentado apenas um exemplo de aplicação nesta área, mas
são encontradas inúmeras publicações em Física, Química e até mesmo na área de
diagnósticos. Duffy et al. descrevem um sistema microfluídico centrífugo confeccionado
em um disco de PMMA para ensaios enzimáticos [54]. Em revistas de Engenharia
Biomédica também são encontrados os termos lab-on-a-disc e lab-on-a-CD.
2.6.7 Equação de Euler
Na dinâmica dos fluidos, equações de Euler governam o fluxo não-viscoso. Estas equações
correspondem as equações de Navier-Stokes com viscosidade zero e termos de condução de
calor. Geralmente escreve-se sob a forma de conservação, representando diretamente a
conservação de massa, momentum e energia.
As equações de Euler podem ser aplicadas ao fluxo compressível e incompressível, para
isso usa-se uma equação adequada do estado ou supõe-se que a divergência do campo
velocidade é zero, respectivamente.
r
0
x
0
x
Centro de
rotação
Força de Coriolis
x
l
Força Centrífuga
Figura 2.13: Dispositivo microfluídico centrífugo de raio r rotacionando com
velocidade angular
. Em seu interior há a presença de um líquido em um canal de
0
2x
de diâmetro sob influência das forças centrífuga e de Coriolis.
53
Da equação (2.49), fazendo
0
e desconsiderando as forças de corpos, obtemos
pvvv
t
1
).(
. (2.63)
Esta equação foi primeiramente obtida por L. Euler em 1755 e é chamada, em sua
homenagem, de equação de Euler, que a deduziu partindo apenas das leis de Newton [17].
Esta é uma das equações fundamentais da dinâmica dos fluidos.
Se um fluido está sob ação de um campo gravitacional, deve-se considerar o termo
g
da equação (2.49). Assim, a equação de Euler terá a forma
gpvvv
t
1
).(
. (2.64)
É conveniente reescrever esta equação de outra forma, utilizando algumas propriedades da
análise vetorial. Fazendo
vvvvv
).(
2
2
1
, teremos:
gpvvvv
t
1
2
1
2
. (2.65)
2.6.8 Equação de Bernoulli
As equações da dinâmica dos fluidos são simplificadas no caso do fluxo contínuo. Entende-
se por fluxo constante o fluxo cuja velocidade é constante no tempo, em qualquer ponto
ocupado pelo fluido. Em outras palavras,
v
é função apenas das coordenadas, ou seja,
0 tv
. A equação (2.65), em seguida, reduz-se à:
gpvvv
1
2
1
2
. (2.66)
Agora apresenta-se o conceito de linhas de corrente. A tangente de uma linha de corrente
em um determinado ponto fornece a direção da velocidade naquele ponto. Elas são
determinadas pelo seguinte sistema de equações diferenciais:
54
zyx
v
dz
v
dy
v
dx
.
Em fluxo contínuo as linhas de corrente não variam com o tempo e coincidem com as
trajetórias de partículas de fluido. No fluxo não-estacionário essa coincidência não ocorre:
tangentes às linhas de corrente fornecem as direções das velocidades das partículas de um
fluido em vários pontos no espaço em um dado instante, ao passo que as tangentes aos
caminhos fornecem as direções das velocidades das partículas de fluido dadas em vários
momentos.
A partir do produto escalar da equação (2.65) com o vetor unitário tangente às linhas de
corrente em cada ponto tem-se o vetor unitário denotado por
1
ˆ
. A projeção do gradiente em
qualquer direção é a derivada nesta direção. Conseqüentemente a projeção de
p
será
lp
. O vetor
vv
é perpendicular a
v
e sua projeção sobre a direção de
1
ˆ
é,
portanto, zero.
Nestas condições, a partir da equação (2.66), obtemos
0
2
1
2
g
p
v
l
. (2.67)
Ao longo da linha de corrente,
nteconstag
p
v
2
2
1
. (2.68)
Para diferente linhas de corrente o valor de cada constante tem um valor diferente. Esta
equação é conhecida como equação de Bernoulli.
A equação de Bernoulli para fluidos incompressíveis pode ser obtida através da
integração das equações de Euler ou aplicando a lei da conservação de energia em duas
seções ao longo de uma racionalização, ignorando a viscosidade, compressibilidade e os
efeitos térmicos. Desta forma, pode-se deduzir a equação de Bernoulli para um fluido que
escoa em um canal que afunila ou se alarga. As propriedades do fluido não variam durante
este processo e leva-se em consideração apenas as variações que ocorrem nas extremidades
55
de entrada e saída do canal. Assim, aplicando o princípio da conservação de energia a este
sistema quando o fluido se move do seu estado inicial ao estado final, teremos a igualdade
2
2
2
2
1
1
2
1
22
gz
pv
gz
pv
. (2.69)
Esta é a equação de Bernoulli para um fluido incompressível em um tubo de diâmetro
variável. Ela diz que se a velocidade de um elemento fluido aumenta quando ele se desloca
ao longo de um linha de corrente horizontal, a pressão do fluido deverá diminuir e vice-
versa. A equação de Bernoulli é válida apenas com a hipótese de que o fluido é ideal. Como
visto em uma seção anterior, quando o fluido é não-newtoniano, por exemplo, outros
fatores estão envolvidos. Se forças viscosas são consideradas, deve-se considerar a variação
de energia térmica.
A velocidade do fluxo de um fluido pode ser medida usando um dispositivo como
um medidor de Venturi [1,7], que pode ser colocado em um gasoduto para reduzir o
diâmetro do fluxo. Este dispositivo está representado na Figura 2.13.
Para um dispositivo horizontal, a equação de continuidade mostra que, para um
fluido incompressível, a redução do diâmetro provocará um aumento na velocidade de
z
1
- z
2
A
1
A
2
v
1
v
2
p
1
p
2
.
.
Figura 2.14: Esboço de um medidor de Venturi, mostrando a diferença de pressão nos
dois tubos verticais devido ao fluxo da área maior A
1
para a menor A
2
. Figura
adaptada de [7].
z
1
z
2
56
fluxo de fluido. O princípio de Bernoulli mostra que deve haver uma diminuição da pressão
na região de diâmetro reduzido. Este fenômeno é conhecido como o efeito Venturi [7].
Muitos trabalhos na atualidade utilizam-se deste efeito para a medida de pressão na
microfluídica. Perdigones et al [29] utilizam um microdispositivo de PDMS baseado no
efeito Venturi para a aspiração precisa de líquidos nestes dispositivos. Outros exemplos de
microfluídica serão discutidos na próxima seção. Além desse instrumento, outros se
utilizam do princípio de Bernoulli para executar medidas, como por exemplo o tubo de
Pitot [4]. Este segue o mesmo pricípio de vasos comunicantes, só que para a medida de
velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do
escoamento, de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A
pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na
parede [4]. Deve-se lembrar que a equação de Bernoulli aplica-se somente a escoamento
incompressível (número de Mach
3,0M
[4]).
A taxa de vazão máxima para um tubo vertical com um orifício na base pode ser calculada
diretamente da equação de Bernoulli. Assim, vê-se que a raiz quadrada da altura da coluna
de líquido no tubo é proporcional à taxa de vazão. A viscosidade diminui esta taxa de vazão
devido às forças de cisalhamento já comentadas. Isso se reflete no coeficiente de descarga,
que é uma função do número de Reynolds e da forma do orifício, rementendo-nos às
equações regentes, anteriormente apresentadas.
57
3
Algumas Aplicações de Estudos
Envolvendo Microfluídica
Os estudos envolvendo a microfluídica têm lugar em várias aplicações tecnológicas. Assim,
são apresentadas algumas pesquisas nessa área. Muitos dos avanços recentes da genômica e
farmacêutica devem seu sucesso, em parte, à impressora a jato de tinta. Estas áreas de
pesquisa dependem fortemente da microfluídica, que a cada ano tem seus volumes
reduzidos, de litros a microlitros, de microlitros a nanolitros. Alguns trabalhos já
apresentam resultados na picofluídica, que é o caso em que Wu et al. [30] realiza um estudo
na área da citometria química, onde é analisado o conteúdo de uma única célula com um
dispositivo ―microfluídico‖ na escala de picolitro.
A área de aplicação da microfluídica tem evoluído muito na última década devido a
alguns fatores. Estes fatores são a diminuição no consumo de reagentes e resíduos, a
redução do custo por análise, análises mais rápidas e resultados em poucos segundos,
experimentos e reações químicas mais seguros, melhoria da qualidade dos dados, melhor
controle nos parâmetros de processo nas reações químicas e maior resolução de separações.
Claramente, o propósito desta seção é de apontar para a atualidade destes estudos. Todavia,
não se pretende, com esta exposição, abordar todos os exemplos de aplicações, mas apenas
apresentar uma visão geral do estado da arte.
A microfluídica foi uma disciplina puramente científica por quase 30 anos. Desde
que foi inicialmente desenvolvida e utilizada comercialmente no início da década 1980 por
engenheiros de microeletrônica para desenvolver a impressora jato de tinta, este ramo
deixou de ser apenas uma disciplina para tornar-se tecnologia. Essencialmente, as
58
impressoras utilizam-se de minúsculos tubos de tinta para a cabeça de impressão, que vem
sendo aprimorados desde então. É um conceito semelhante ao ―microchip‖ de circuito
integrado, que revolucionou a eletrônica, permitindo rádios, computadores, telefones
celulares e todos os tipos de outros dispositivos cada vez menores. Mas, o alto custo,
rigidez e fragilidade do ―microchip‖ de silício é impraticável em microfluídica. Até meados
da década de 1990 não havia procura de soluções de problemas práticos nessa área, quando
ficou claro para vários pesquisadores que a microfluídica era o caminho para responder a
perguntas incômodas da biologia, tais como qual é a diferença entre o DNA de uma célula
cancerosa e uma célula saudável ou como analisar uma seqüência de genes. Para responder
a essas perguntas, começou-se a trabalhar a nível molecular, olhando para as células, genes,
DNA e proteínas de um mesmo indivíduo. Com uma quantidade muito pequena de material
a ser analisado pode-se obter resultados que antes dependiam de litros. Diante desses fatos,
nota-se que da engenharia de impressoras para a engenharia do que é chamado de ―lab-on-
a-chip‖, não é um grande salto, pois os conceitos de microfluídica sempre estiveram
presentes no cotidiano de pesquisadores e só agora avança com força total.
Atualmente, com o crescente mercado das miniaturizações, a microfluídica
despertou grande interesse entre químicos, biólogos e cientistas forênses devido às
facilidades acima apresentadas. Na química são realizados estudos com a intenção de
misturar reagentes e separar partículas sólidas e filtragem. Por diversos motivos, alguns
materiais químicos são de difícil aquisição, muitas vezes devido à escassez natural destes
ou à dificuldade de produção. Algumas reações químicas talvez nunca tenham sido
estudadas devido a esse fator. Com o avanço da microfluídica e este conceito de ―lab-on-a-
chip‖, os ensaios com determinados materiais tornaram-se viáveis. Tais sistemas definem
novos paradigmas de funcionamento e fornecem previsões sobre como a síntese molecular
pode ser revolucionada nas áreas de alto rendimento e produção de síntese química. Para
isto, alguns obstáculos na microfluídica devem ser superados, como no caso de misturas de
dois fluidos em um microcanal, por exemplo. Como visto na seção 2.5.4, em microfluídica
o escoamento é dito laminar ou não-turbulento. Se dois fluidos diferentes fluem por um
destes canais, devido a esse tipo de escoamento, eles ―caminham‖ lado a lado sem haver
mistura. Desta forma, inventam-se maneiras diversas de transpor estes obstáculos. Um
exemplo disso aparece no trabalho de deMello [31], onde ele constrói um microcanal com
59
diversas curvas por onde passam microgotas de dois fluidos. Estas microgotas formam-se
espontaneamente quando múltiplos fluxos laminares de reagentes aquosos são injetadas em
um fluido transportador. As gotículas formadas possuem volumes da ordem de picolitros.
Os fluidos passam por canais individuais e encontram-se em um único canal, onde são
movidos pela pressão do ar advindo de um terceiro canal. Os dois fluxos se sobrepõem na
região de interseção. Por estarem isoladas umas das outras, cada uma age como se
estivessem em um recipiente de reação individual. Após isso, lida-se com um caso em que
o campo de velocidade não é estacionário. Quando analisadas as equações de movimento,
deMello [31] verifica que este processo leva à formação de trajetórias caóticas, devido ao
termo não linear da equação de Navier-Stokes. Isto é mostrado na Figura 3.1, onde a
mistura caótica dentro das gotículas que se deslocam através do canal é usado para gerar a
mistura rápida.
Figura 3.1: Formação de microgotas em microcanais e a mistura de dois líquidos
diferentes; (a) Esquema e foto de microcanal, (b) Esquema da mistura e (c)
Esquema e foto de microcanal com outro formato. Figura extraída de [31].
(a)
(b)
(c)
60
Nestas figuras, a cor vermelha corresponde ao corante em solução de fluxo. Na Figura 3.1b
é apresentado um diagrama de um elemento de fluido submetido ao alongamento,
dobramento e reorientação. Na Figura 3.1c é demonstrado que a repetição deste processo
leva à diminuição da espessura das estrias e facilita a mistura eficiente dos dois líquidos,
fazendo com que o problema do escoamento laminar seja usado a seu favor.
Outros trabalhos utilizam a mesma idéia para fazer misturas de dois ou mais fluidos
em microcanais. Baghat et al. [32] constroem microcanais em PDMS (polidimetilsiloxano)
com um método diferente do exemplo anterior. Estes canais possuem em seu curso
obstruções (ou micromisturadores), da ordem de 45 m, fazendo um ziguezague dentro do
canal (Figura 3.2).
No trabalho de Bhagat et al. também é feito uma simulação computacional de como os
líquidos se comportam por entre os micromisturadores. Também foram feitos alguns
ensaios com os canais, sendo introduzidos água e fluorisceína, mostradas na Figura 3.3.
Mostrou-se neste sistema que, na interseção do canal, uma linha de determinado material é
Figura 3.2: Imagem do micromisturador obtida com microscopia eletrônica de
varredura (MEV). Figura extraída de [32].
61
submetido a uma sucessão de dobrar e esticar, característica de regimes caóticos, como em
[31].
Outro projeto desenvolvido por Baghat et al. [33] incorpora entalhes triangulares
padronizados ao longo das paredes do canal para o fluxo laminar, reforçando assim a
mistura. Ele enfatiza que para muitos destes sistemas miniaturizados biológicos a mistura é
(a)
(b)
Figura 3.3: (a) Micromisturadores atuando sobre dois líquidos, água e fluorisceína,
e a mistura propriamente dita e (b) simulação computacional da situação
experimental. Figuras extraídas de [32].
62
necessária em microcanais não só para misturar, mas para emulsificar e fazer suspensões de
dois ou mais fluidos. Bhagat et al. propõe que seus dispositivos sejam usados em
aplicações como os ensaios enzimáticos, a análise de fragmento de DNA, seqüenciamento
de DNA, análise eletroforética e separação de células [33]. Este projeto também utiliza
PDMS. Tanto em [32] quanto em [33] são utilizadas placas de vidro e são feitos os canais
no próprio PDMS, tratado termicamente e exposto a um plasma de O
2
, para que ocorra a
adesão ao vidro. A Figura 3.4 mostra os detalhes triangulares padronizados que formam os
micromisturadores de [33].
Estes fenômenos envolvendo micromisturadores são apresentados de forma mais detalhada
por Tabeling [5], o qual apresenta que não apenas regimes caóticos geram a mistura, mas
também outros métodos podem ser utilizados.
Nessa linha de pesquisa, Niu et al. [34] utilizaram fluidos eletro-reológicos. Estes
fluidos possuem, como o nome já diz, a capacidade de ter sua viscosidade modificada
quando é aplicado um campo elétrico. Assim, foi criado um dispositivo para fazer uma
mistura utilizando um canal eletro-reológico onde foi aplicado uma certa tensão elétrica.
Da mesma forma que dispositivos como estes são usados na química para reações e
misturas, há aqueles que querem o efeito contrário. Na bioquímica, na biomedicina e mais
especificamente na citologia, estudos são conduzidos à triagem celular, onde se procura
meios de separar materiais sólidos de líquidos quando se tem pequenas quantidades deste
Figura 3.4: Imagens de microscopia eletrônica de varredura dos entalhes de
micromisturadores de PDMS. Figura extraída de [33].
63
material. Grafton et al. [35] discute a concepção global de um pequeno, portátil, citômetro
de fluxo de sistema fechado. O projeto foi praticado dentro das diretrizes que se
estabeleceram para citômetros microfluídicos, no qual todos os componentes são
fortemente integrados e permitem aplicações biológicas realistas. Basicamente, o
dispositivo desenvolvido por Grafton et al. é composto por um microcanal de 120 m que
se divide em outros dois microcanais de 60 m, que por sua vez em mais dois outros de 30
m, como mostra a Figura 3.5a.
(a)
(b)
Figura 3.5: (a) Microcanais de PDMS de triagem a dois-estágios e (b) esquema
ilustrativo do comportamento das partículas a serem separadas. Figuras extraídas
de [35].
64
Grafton et al. justifica que por ser um método multi-etapas o resultado é um dispositivo
capaz de aumentar as velocidades de triagem em separadores de células microfluídicas,
aumentando por duas a três ordens de grandeza em relação a outras técnicas[35].
A maioria desses trabalhos (envolvendo PDMS) utilizam-se de técnicas de
fotolitografia básica e litografia suave (soft lithography) para produzirem os microcanais. O
PDMS é um elastômero que geralmente é utilizado em alimentos como antiespumante pela
indústria. Este polímero é utilizado devido sua grande adesão em vidro e por ser de fácil
manuseio.
Na bioengenharia, outra contribuição na área de triagem citológica é feita por Yang
et al., desenvolvendo um dispositivo microfluídico para separação do plasma sangüíneo do
hematócrito, em tempo real. O princípio da separação do plasma sangüíneo a partir de um
certo volume de sangue é baseado no efeito Zweifach-Fung [36] e foi demonstrado
experimentalmente utilizando microcanais simples, visto na Figura 3.6.
65
O dispositivo de separação do plasma é composto de uma entrada de sangue e uma
região com diversas bifurcações em paralelo, leva o plasma purificado a uma saída e as
partes sólidas do sangue à outra. A funcionalidade deste dispositivo foi demonstrada
usando sangue de carneiro desfibrinado. O dispositivo foi operado continuamente, sem
qualquer entupimento ou hemólise de células. Esse experimento demonstrou uma
Figura 3.6: (a) Fotografia fluorescente, (b) fotografia mostrando o sangue separado
do plasma, (c) fotografia feita com uma máquina CCD de alta resolução com a
abertura de shutter de 20
s, (d) imagem original usada para o tratamento da
imagem, (e) imagem final tratada e (f) imagem intermediária entre (d) e (e). Figuras
extraídas de [36].
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
66
seletividade de plasma em relação ao nível de hematócrito no sangue de quase 100%. Yang
explica que devido à estrutura simples do dispositivo e do mecanismo de controle, este
microdispositivo deverá ser utilizado para um uso contínuo e de alta eficiência e para uma
separação do plasma em tempo real a partir de amostras de sangue, para aplicações em
―lab-on-a-chip‖.
Todas estas pesquisas feitas com separação sangüínea devem-se ao fato de que a
maioria dos testes de química clínica são realizados com plasma sangüíneo. Blattert et al.
[37] desenvolveu outro método para separação do plasma do hematócrito. Este consiste em
um microcanal curvo com uma bifurcação, onde um dos canais tem seu diâmetro reduzido
e o outro aumentado, como na Figura 3.7.
Uma abordagem interessante foi feita por Terray et al. [38], onde uma armadilha
óptica é usada para posicionar e polimerizar microesferas coloidais em estruturas lineares
para criar partículas ou células dentro de redes de canais microfluídicos. Para demonstrar a
utilidade destas estruturas, duas micropartículas-válvulas são apresentadas: uma
restringindo passivamente o fluxo de partículas em uma direção e um outra que direciona o
fluxo de partículas a um dos dois canais de saída, na Figura 3.8.
Figura 3.7: Chip polimérico com as peças do dispositivo de separação e a
visualização detalhada da curva. Figura extraída de [37].
67
Embora o uso de uma armadilha óptica forneca uma série de vantagens,
a atuação destes dispositivos através de outros campos de aplicação é, certamente, possível.
Terray et al. [39] discute que colóides adequadamente selecionados também se
transformarão em campos elétrico e magnético aplicados. Devido à sua versatilidade, uma
abordagem baseada na geração de fluxo microfluídico de colóides pode realmente provar
uma técnica poderosa para a criação de complexos, altamente integrados e análise de
micro-sistemas.
Figura 3.8: Operação da válvula de retenção em (a) posição fechada, (b) posição
aberta, (c) bloqueando o canal de saída de fundo e (d) bloqueando o canal de saída
superior. As setas indicam o sentido do fluxo de fluido. Figura extraída de [38].
68
Muitas são as aplicações na área da citologia, o que faz surgir novas idéias e novas
propostas. Desta área surgem idéias que avançam para os estudos da ciência forense, bem
como aplicações diretas e utilização da microfulídica. Enquanto a comunidade forense
procura formas de melhorar a análise de DNA, gerando um resultado mais rápido, eficiente
e oportuno, o desenvolvimento de plataformas novas de análise torna-se primordial. O
advento da tecnologia de microfluídica e as bem-sucedidas miniaturizações de processos
bioquímicos padrões fez com que os ―microchips‖ fluídicos se tornassem uma opção
viável, como um novo sistema de análise rápida de genética forense. Bienvenue et al.
utiliza em seu trabalho [40] o que é conhecido como junção-T (maiores detalhes
encontrados em [5] e exemplificado pela Figura 3.9) para extrair pequenas quantidades de
DNA e analisa-las.
Stride e Edirisinghe [41] tomaram outro rumo, mas também utilizam-se desta
técnica junção-T, para a produção de microbolhas. Microbolhas de gás, estabilizadas por
tensoativo ou revestimento polimérico, tornaram-se consagrados ao longo dos últimos 30
Figura 3.9: Formação de microbolhas através do dispositivo microfluídico junção-T
e analisado com uma câmera de alta velocidade. Figura extraída de [41].
69
anos, como o tipo mais eficaz de contraste disponível para radiografia de ultra-som [41]. A
utilização em aplicações terapêuticas, incluindo a entrega da droga ao local exato da
moléstia, a terapia genética etc. também foram investigadas [41]. Desenvolvimentos em
aplicações diagnósticas e terapêuticas necessitam cada vez mais de tecnologias mais
avançadas de preparação que proporcionam um alto grau de controle sobre o tamanho de
microbolhas, composição, estabilidade e homogeneidade. Stride e Edirisinghe discutem que
o desenvolvimento de novas tecnologias, como impressão jato de tinta, atomização
eletrohidrodinâmica e processos microfluídicos oferecem melhorias significativas em
termos de controle sobre as características de microbolhas [41].
As microbolhas têm ganhado espaço não só no campo da farmacologia e
biomedicina, mas também na ciência da computação. Com a crescente complexidade em
grandes processadores de microfluídica e sistemas que envolvem a fabricação de
microbolhas com sistemas lógicos, uma análise da lógica da bolha fornece um mecanismo
de controle de processo integrando a química e a computação. Prakash e Greshenfeld [42]
mostram propriedades necessárias de uma família lógica escalável, que podem ser usadas
para criar circuitos complexos microfluídicos capazes de realizar o controle de processos
arbitrários de fluidos e computação de forma integrada. Tais circuitos podem reduzir o
tamanho, custo e complexidade dos atuais sistemas de microfluídica, permitindo assim o
desenvolvimento de reatores microfluídicos em larga escala o uso em áreas como química
combinatorial associada à descoberta de novos fármacos. Um exemplo disso é visto na
Figura 3.10.
70
Os pesquisadores vêem a microfluídica como a miniaturização de separação
biológica e técnicas de ensaio de tal forma que vários "experimentos" podem ser realizados
em um único ―chip‖, de preferência pequeno o suficiente para caber na palma da mão.
Pequenas quantidades de amostra de solvente e reagentes são dirigidos através de canais
estreitos no ―chip‖, onde são misturadas e analisadas por técnicas como a eletroforese,
detecção por fluorescência, imunoensaio, ou mesmo qualquer método laboratorial clássico.
Em seu artigo, Mitchell comenta que Stephen Quake, do Caltech, prevê que um novo
conjunto de ferramentas de manipulação de células, com base em microfluídica, surgirá em
breve [43]. Stephen Quake ressalta: "A maioria dessas ferramentas não terá análogo
macroscópico e serão ativados pelas propriedades únicas da microfluídica" [43]. E
acrescenta: "Eles vão mudar a forma como as empresas de drogas as protegem, tendo um
impacto em domínios que vão da genômica estrutural para diagnósticos médicos" [43].
Figura 3.10: Gerador de microbolhas programável. A figura mostra que pode-se
criar bolhas usando uma diferença de potencial e pressões aplicadas em
microcanais. Figura extraída de [42].
71
Muitas técnicas vêm sendo estudadas, aprimoradas e desenvolvidas para o
melhoramento da microfluídica. Não só na questão de materiais, mas também no manuseio
destes. Um dos mercados que vem ganhando força é a indústria de microdispositivos
poliméricos. A indústria de microcomponentes de polímero oferece uma grande diversidade
de materiais e tecnologia. A escolha depende de vários critérios, como as dimensões
críticas do componente final, a dureza do material e propriedades como óticas, resistência à
pressão, umidade e calor. O custo do material é um dos primeiros critérios a ser levado em
consideração. Além disso, técnicas são relevantes no processo todo, como as apresentadas
na Figura 3.12.
Figura 3.11: Exemplo de “lab-on-a-chip” para diagnóstico em saúde. Figura
extraída de [43].
72
Kim et al. [45], demonstraram o rápido e automatizado preparo de materiais
biológicos em um CD usando esporos de bactérias hard-to-lyse (Figura 3.13). Este tipo de
dispositivo é conhecido como lab-on-a-disc. Estes ―BioCDs‖ [65] são utilizados com muita
freqüência em estudos biológicos e em reações químicas.
Figura 3.12: Examplo de técnicas de fabricação de microchips. Figura extraída de
[44].
73
Martinez et al. [46] descrevem um método para a fabricação de dispositivos
microfluídicos 3D empilhando camadas de papel estampados e colados com fita dupla face.
Estes dispositivos foram testados medindo-se níveis de glicose. Utilizaram também
proteínas e uma solução de urina artificial.
Como já foi dito no começo do capítulo, não é o objetivo dessa seção apresentar
todas as aplicações dos estudos da microfluídica, mas apontar para a atualidade e relevância
de seu estudo. Nota-se a presença desses fenômenos tanto no desenvolvimento de
tecnologia de ponta na área eletrônica, como também nas áreas biológicas e de medicina.
Outras aplicações podem ser encontradas nas engenharias, nas ciências da computação,
farmacêutica, agricultura e botânica. Encontra-se aplicações também em linguística [47].
Figura 3.13: Foto de um disco feito de várias camadas de CDs com os microcanais
prontos. Figura extraída de [45].
74
4
Processo Experimental
4.1 Materiais e Métodos
O objetivo principal do presente trabalho é um estudo do estado da arte da microfluídica,
sua teoria e aplicações, visando ao desenvolvimento de microcanais e a otimização destes.
Estes microcanais serão utilizados em ―biochips‖ descartáveis, para detecção de doenças
em diagnósticos rápidos.
4.1.1 Caracterização da máquina
Como já dito na introdução, utilizou-se de um recurso de usinagem a laser para a
produção do dispositivo. A usinagem a laser nos últimos anos tem tomado papel importante
dentro de algumas áreas, destacando-se na área da medicina. A produção de ―biochips‖
descartáveis é um exemplo disso. Os ―biochips‖ podem ser um grande avanço tecnológico
dentro da área da saúde, pois abrem a possibilidade de diagnósticos mais rápidos e,
conseqüentemente, permitindo aos órgãos de saúde tomarem medidas para prevenção da
propagação de doenças. Ao invés de um paciente ter que realizar uma bateria de exames
com resultados demorados, este pode simplesmente ir ao consultório médico e, através da
utilização do ―biochip‖, sair com o resultado. Salvar vidas é um dos principais objetivos da
produção do ―chip‖ e isso se deve à rapidez e eficiência na detecção de doenças e a um
custo relativamente baixo [8].
75
O ―biochip‖ é um dispositivo que futuramente poderá ser a solução mais rápida e
viável para a detecção de doenças. Ele será composto de cadeias de microcanais onde os
fluidos biológicos (sangue, plasma sangüíneo) irão escoar. Ao longo dos canais existirão
poços e nestes algum tipo de método para detecção de doenças estarão depositados. Assim,
através de reações com o fluido biológico, é possível determinar se existe ou não a presença
de determinadas doenças no paciente. Os ―biochips‖ utilizam-se de alguns princípios de
termodinâmica [48] e de várias técnicas atualmente: microfluídica, plasmônica e
fluorescência [49].
Existem muitos processos utilizados para fabricação de ―biochips‖ tais como:
fresamento CNC (Comando Numérico Computadorizado), ablação e sinterização a laser,
fotolitografia, injeção, gofragem (processo onde são utilizados cilindros que marcam em
baixo relevo) entre outros [49]. Visando ao desenvolvimento de um ―biochip‖ necessitava-
se de um equipamento que fosse capaz de produzir microcanais de tal forma que a
microfluídica fosse viável. Para este estudo foi utilizada a técnica de ablação a laser
realizada na máquina L-Solution 100, de 30 W de potência, da Gravograph
®
, Figura 4.1.
Figura 4.1: Máquina de gravação a laser de CO
2
, modelo LASER LS100 da
Gravograph
®
.
76
A primeira etapa foi a caracterização da máquina, pois ela é comercialmente
utilizada na produção de carimbos e personalização de ítens.
A fresadora a laser é dotada de um laser de CO
2
de 30 W de potência e possui uma
área de gravação de 18 x 12 pol (460 x 305 mm). Este equipamento é operado utilizando
basicamente dois parâmetros, velocidade (do trilho) e potência (do laser). A velocidade
máxima é de 2.000 mm/s, com precisão de movimentos garantida através de guias lineares.
Para operar a máquina pode-se utilizar inúmeras interfaces gráficas. Por se tratar de um
software preciso, de fácil manuseio e de baixo custo em comparação com outros foi
utilizado o Corel Draw
®
.
Para serem feitos poços ou canais em um determinado material, o operador da fresa
pode determinar uma cor no software utilizado para desenhar o dispositivo e associar
propriedades específicas de gravação a laser para diversos elementos da composição
determinados pelo software da máquina: raster, vector e dot. Estes elementos da
composição ditam se o equipamento fará linhas, preenchimentos ou pontos,
respectivamente. Para um poço ser confeccionado deve-se selecionar o modo ―raster‖ e
para um canal o modo ―vector‖. A profundidade destes é determinada pela associação da
velocidade do trilho e da potência do laser. Como dito anteriormente, foi necessária uma
caracterização da fresa, com o propósito de obter maior precisão na confecção dos
dispositivos e para tomar conhecimento dos limites da máquina. Desta forma, determinou-
se características como largura e profundidade de canais e poços. A caracterização foi
executada da seguinte maneira: foram impressos em acrílico (PMMA – polimetil-
metacrilato) poços de 5 mm de diâmetro com velocidades e potências diferentes. Estas
foram variadas de 10 em 10%, ou seja, começou-se com 100% de potência e velocidades
até 10% da velocidade máxima. Depois foi feita outra impressão com 90% da potência e
assim sucessivamente até 10%. Após estas marcações em acrílico, foi medida a
profundidade de cada poço, utilizando um paquímetro digital. Várias tabelas com estas
medidas foram geradas. Com os resultados obtidos, observou-se um comportamento linear
entre profundidade e velocidade, mantendo potência constante. Estes resultados podem ser
verificados na Figura 4.2, onde são expostos quatro gráficos para potências diferentes.
Nota-se que o coeficiente angular das retas é sempre o mesmo, indicando que não existem
variações significantes quanto à precisão do equipamento em certa magnitude. Porém, com
77
estes resultados nada se pode afirmar em relação à precisão de um microcanal, apenas de
poços.
Estas medidas foram obtidas utilizando PMMA, pois este material é de baixo custo,
de fácil manuseio, transparente e não contém flúor (F) nem cloro (C) em sua composição.
O motivo pelo qual não poderia conter nem flúor nem cloro é devido às restrições da
máquina, pois estes compostos podem danificar as lentes e alguns componentes internos da
fresa.
Outros dois polímeros foram testados, pois é necessária precisão na profundidade
em microcanais. Estes polímeros são o poliestireno e o policarbonato.
Para estes novos testes foram preparadas três amostras de cada material. Realizou-se
40 60 80 100
0,6
0,8
1,0
1,2
Y =1,55613-0,00989 X
Potência 100%
Profundidade (mm)
Velocidade (%)
20 40 60 80 100
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Y =1,34707-0,00988 X
Potência 80%
Profundidade (mm)
Velocidade (%)
Potência 100%
Potência 80%
xy 00989,055613,1
xy 00988,034707,1
20 40 60 80 100
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Y =1,44478-0,00992 X
Potência 90%
Profundidade (mm)
Velocidade (%)
20 40 60 80 100
0,4
0,6
0,8
1,0
Y =1,24993-0,00936 X
Potência 70%
Profundidade (mm)
Velocidade (%)
Potência 90%
Potência 70%
xy 00992,044478,1
xy 00936,024993,1
Figura 4.2: Gráficos de Profundidade (mm)
Velocidade (%) para Potências
diferentes.
78
o corte das peças com dimensão de 30X50mm (Figura 4.3).
Cada amostra passou pelo processo de lixamento metalográfico das duas faces menores,
feito em 4 lixas, com granulometrias 220, 320, 400 e 600. Após esta etapa foi feito um
polimento na politriz metalográfica utilizando-se, como abrasivo, alumina de 1 m. Para
isto, o planejamento experimental adotado foi o método fatorial fracionado, que consiste
em uma otimização de um processo chamado fatorial completo. Neste método, os fatores
são variados juntos e não um por vez, ou seja, em cada tentativa completa ou réplica do
experimento, todas as combinações possíveis dos níveis são investigadas. O modelo fatorial
fracionado é um método experimental que consiste em um sub-conjunto de medidas
experimentais cuidadosamente escolhido dentre um modelo fatorial completo [63]. O sub-
conjunto é escolhido para expor informações sobre as características mais importantes do
problema estudado, usando apenas uma fração do modelo fatorial completo em termos de
medidas experimentais e recursos computacionais [64]. Assim, como na caracterização da
máquina, utilizou-se dois parâmetros de entrada: velocidade e potência. Para o tratamento
estatístico dos dados foi utilizado o software Statistica da StatSoft
®
.
Figura 4.3: Modelo das amostras com suas dimensões.
30 mm
50 mm
79
Tabela 4.1: Tabela com valores gerados pelo programa Statistica para um fatorial fracionado.
Rodada Padrão
(Standart Run)
Modelo Fatorial Fracionado (Fractional Factorial Design)
Material
Potência
Velocidade
1
Policarbonato
20
20
2
Policarbonato
50
80
3
Policarbonato
80
50
4
Polimetil-metacrilato
20
80
5
Polimetil-metacrilato
50
50
6
Polimetil-metacrilato
80
20
7
Poliestireno
20
50
8
Poliestireno
50
20
9
Poliestireno
80
80
Em cada amostra, para cada combinação dos parâmetros de entrada, foram feitos 5
canais e ainda uma repetição na face contrária a esta, totalizando 10 canais para cada
combinação. Foi estabelecida uma distânica de 5 mm entre cada canal para que a zona
termicamente afetada de um canal não interferisse na produção e futura análise do canal
seguinte. Estes canais estão exemplificados na Figura 4.4.
Destes cinco canais, foram escolhidos três para serem analisados através de um
microscópio óptico. Para tal análise, sete parâmetros de saída (Figura 4.5) foram medidos
através do programa CorelDraw
®
.
|
|
|
|
|
30 mm
50 mm
Figura 4.4: Amostra com cinco canais (verde) separados entre si por 5 mm.
80
Uma tabela com as medidas foi colocada no programa Statistica para que os dados
fossem analisados. Contudo, os resultados mostraram-se inconsistentes com algumas
literaturas e decidiu-se, então, fazer um novo planejamento experimental, retirando-se o
tipo de material como um parâmetro de entrada. Assim, devido aos resultados comparados
dos três polímeros, determinou-se que somente amostras de policarbonato [50] seriam
utilizadas para os novos ensaios. Novas medidas foram feitas com os cinco canais e dois
parâmetros de saída: largura do canal e profundidade do canal. O policarbonato foi
escolhido devido à regularidade do corte em relação aos outros materiais, apresentado na
Figura 4.6.
Os mesmos procedimentos foram adotados na preparação e usinagem das novas
amostras. A análise destas foi feita utilizando o programa Statistica e, para a obtenção de
dados, o programa Excel. Através dos dados obtidos para o policarbonato foi possível a
Figura 4.6: Microcanais feitos em a) policarbonato, b) polimetil-metacrilato e c)
poliestireno e observados com microscópio óptico.
(a)
(b)
(c)
Figura 4.5: Parâmetros de saída.
PARÂMETROS DE SAÍDA:
A) Largura do canal
B) Espessura da região termicamente afetada
C) Profundidade do canal
D) Comprimento da região termicamente afetada
E) Rebarba
F) Largura do chanfro
G) Comprimento do chanfro
E
81
determinação da maior e da menor dispersão ocorrida, estatisticamente. A menor dispersão
apresentada foi de 6,89 m e a maior foi 48,23 m. A medida destas dispersões é
importante para determinar se a fresa a laser possui resolução suficiente para fazer padrões
menores que 2 m com certa precisão. Nos dispositivos microfluídicos para diagnóstico são
utilizadas, muitas vezes, micropartículas com algum tipo de detector de doenças que podem
fluir pelos canais indesejadamente. Para que haja o bloqueio das mesmas dentro dos canais,
quando não se tem em mãos um equipamento com tal resolução, outros métodos como
filtros ou enforcamento são utilizados. Isso torna aceitável a utilização dessa dispersão na
confecção dos microcanais. No entanto, observações ao longo dos canais indicam que o
processo de ablação não é constante, o que corrobora com os valores de dispersões
encontrados. Todavia, a usinagem a laser mostrou-se eficaz na fabricação de microcanais
de ―biochips‖ descartáveis.
Apesar de o policarbonato ter sido o polímero que apresentou menor dispersão, as
provas de conceito são confeccionadas com acrílico, devido ao baixo custo e sua
disponibilidade no comércio ser maior.
(a)
Figura 4.7: a) Poço com 0,6 mm de profundidade, confeccionado com ablação a laser,
b) magnificação de (a) dos sulcos com dimensões de aproximadamente 100
m.
Imagens obtidas por microscopia eletrônica de varredura.
(b)
(a)
82
Na Figura 4.7 pode-se observar que em um poço confeccionado com este
equipamento formam-se sulcos da ordem de 100
m, devido à resolução da máquina. Desta
maneira, prova-se que o equipamento não é capaz de produzir os ―biochips‖ definitivos,
mas apenas as provas de conceito.
4.1.2 Produção do “Chip” Microfluídico
Na seção anterior demonstrou-se o processo de caracterização da máquina de ablação a
laser de CO
2
e suas limitações.
Muitos trabalhos nesta área da microfluídica vêm sendo realizados com o propósito
de otimizar microcanais e estudar o comportamento dos fluidos em seu interior. Algumas
empresas já produzem comercialmente dispositivos para diagnósticos rápidos, mas estes
são relativamente caros: possuem limitações práticas, equipamentos adjuntos dispendiosos
entre outros fatores limitantes. O presente trabalho tem como objetivo elaborar e
desenvolver insumos para a saúde pública de baixo custo, simples e eficientes. O
dispositivo desenvolvido neste trabalho poderá utilizar um método com microesferas que
detectam doenças. Estas microesferas possuem um mecanismo de captura de analitos
(moléculas alvo de uma análise química) que por sua vez ligam-se a partículas codificadas
com fluoróforos. Quando o teste é executado, um determinado tipo de analito adere à
microesfera de captura. Em seguida, moléculas repórter rotuladas com fluoróforo específico
são anexadas ao analito e expostas a um laser ou led que excitarão o fluoróforo. Caso o
analito não esteja presente, não haverá conexão entre a molécula de captura e a molécula
repórter e o resultado será negativo para aquele tipo de analito. Isto é exemplificado pela
Figura 4.8.
83
4.1.2.1 Evolução do “Design”
Como já citado anteriormente na seção de aplicações, existem vantagens importantes na
ultilização de um dispositivo microfluídico como o desenvolvido neste trabalho quando
comparado com os métodos tradicionais de análise laboratorial. Entre essas vantagens
destacam-se fatores como a diminuição no consumo de reagentes e resíduos, a redução do
custo por análise, análises mais rápidas e resultados em poucos segundos, experimentos e
reações químicas mais seguros, melhoria da qualidade dos dados, melhor controle nos
parâmetros de processo nas reações químicas e maior resolução de separações. Para atingir
estes parâmetros com sucesso, o dispositivo microfluídico desenvolvido neste trabalho deve
ter um ―design‖ ótimo que permita escoamento pleno e uniforme no interior dos canais,
possibilitando, assim, a detecção de doenças sem riscos de falha no exame.
Durante a realização deste trabalho, o ―chip‖ passou por evoluções de ―design‖. A
idéia inicial era a de que o ―chip‖ deveria consistir em cadeias de microcanais pelos quais
escoariam os fluidos biológicos. Ao longo de cada microcanal existiriam poços com
micropartículas recobertas por agentes biológicos em seu interior. Dentro desses poços
ocorreria a reação entre os anticorpos e os agentes biológicos de detecção, determinando a
Molécula de Captura
Analito
Molécula Repórter com Fluoróforo
Figura 4.8: Esquema de detecção de um analito por uma esfera ativada por uma
molécula ligante de captura e microesfera rotulada com fluoróforo ativada por
molécula ligante repórter.
Microesfera
84
presença ou não de certas doenças no paciente. Com isso, um primeiro modelo foi
projetado.
O dispositivo foi criado ao longo do comprimento de uma plataforma retangular de
maneira que o fluido seria colocado em um poço circular, com o auxílio de um dispositivo
de bombeamento, fluiria para uma galeria de distribuição e, após esta, seria distribuído
através de microcanais até os poços. Nos poços seriam colocadas as micropartículas com
agentes biológicos. O número de poços variaria de acordo com o número de doenças que se
quisesse identificar. Ao final dos canais haveria uma região de escape para onde todo o
fluido verteria, com o auxílio de uma bomba de sucção, após o processo. A tampa
necessitaria duas aberturas para o encaixe das bombas. Um esquema deste protótipo é
representado na Figura 4.9.
Figura 4.9: Primeira idéia do “biochip”. a) base do dispositivo, b) base com filtro
e microesferas, c) tampa com a entrada e a saída (círculo maior), d) “biochip”
montado.
(a)
(c)
(b)
(d)
85
Os principais problemas apresentados por esse modelo seriam a necessidade da
utilização de bombas de injeção e sucção e duas aberturas na tampa. Já as aberturas na
tampa contribuiriam para a contaminação do material a ser analisado, pois poderiam expor
o interior do ―chip‖ às impurezas do ar e até da superfície externa do dispositivo. Outro
meio de contaminação seriam as mangueiras das próprias bombas, que poderiam injetar
material biológico de outro dispositivo. Além de tudo, poços com vários agentes biológicos
diferentes em seqüência poderiam prejudicar o diagnóstico preciso, já que não haveria uma
maneira de controlar se o fluido passou ou não por todos os poços. Caso acontecesse de o
fluido não entrar em todos os poços, poderia haver falsos negativos no resultado do exame.
Outro problema encontrado neste modelo é, sem dúvida, a existência de impedâncias que
fariam com que o líquido escoasse por um caminho preferencial de menor resistência. Este
problema acarretaria outros como, por exemplo, o retorno do líquido a outros canais ou
simplesmente a passagem deste apenas por um canal. Se o fluido retornasse por algum
outro canal haveria contaminação das micropartículas, apresentando resultados falso-
positivos ou falso-negativos.
Uma das nossas preocupações fundamentais no desenvolvimento do ―biochip‖ se
relaciona com as micropartículas detectoras de doenças. Devido às suas dimensões, existe a
necessidade de criar barreiras de contenção para que elas não naveguem pelos canais. Caso
as partículas fossem transportadas pelos microcanais, há a possibilidade de entupimento e
poderia haver mistura de micropartículas diferentes, confundindo-se umas com as outras.
Isso comprometeria a exatidão do resultado do exame. Para resolver este problema, pensou-
se em construir canais com uma espécie de afunilamento ou barreira contensora. Esta
barreira fará com que tanto a entrada dos microcanais para os poços quanto a saída dos
poços para os microcanais sejam reduzidas a dimensões menores que as das partículas,
garantindo que estas permaneçam em seus respectivos poços.
Estes tipos de preocupação fizeram com que o ―design‖ do dispositivo evoluísse
para o apresentado na Figura 4.10.
86
Neste dispositivo pode-se notar, primeiramente, que o fluido escoa diretamente
pelos microcanais do poço de entrada para os poços secundários, sem passar por uma
galeria de distribuição. Nota-se também que os microcanais que levam aos poços são mais
longos do que no primeiro modelo e há apenas dois poços ao longo de cada microcanal.
Com isso, pode-se criar uma espécie de método de confirmação de que o fluido realmente
passou pelo poço com os agentes biológicos e o resultado do diagnóstico foi realmente
negativo. Este método funciona da seguinte maneira: o fluido biológico entra no primeiro
poço, onde há micropartículas com agentes biológicos. Caso o resultado do exame seja
positivo, os antígenos no fluido reagem com os anticorpos nas micropartículas e a doença é
detectada. Nos poços terciários também há micropartículas com o anticorpo da mesma
doença do poço secundário do mesmo microcanal. Isto faz com que, mesmo se o líquido
tenha passado direto pelo poço secundário, ao entrar no poço terciário ele reaja com os
anticorpos das micropartículas e sustente o resultado.
Terminada a passagem pelos poços, o líquido fluiria para uma região de escape ao
final dos canais. Contudo, este procedimento continuaria exigindo a presença das bombas
para bombeamento e sucção do fluido. A necessidade destas torna o procedimento mais
complicado, pois aumenta o número de instrumentos necessários para realizar o exame e,
Figura 4.10: Segundo design de dispositivo; confeccionado em acrílico (PMMA),
com 7 poços secundários e 7 terciários e com região de escape. O líquido entra pelo
poço maior por ajuda de bomba injetora.
87
conseqüêntemente, o custo. Além disso, a precisão na utilização de tais instrumentos não é
sempre suficiente para garantir que o procedimento sempre seja realizado sob os mesmo
parâmetros.
Mais do que isso, a passagem pelos microcanais iniciais traria grande dificuldade na
hora da construção: como o comprimento dos canais é diferente, surge o problema da
impedância. Quando o fluido entra pelo poço principal, tende a seguir pelo caminho de
menor resistência à sua passagem. Se este encontra um microcanal com dimensões muito
maiores que outro, ele seguirá pelo caminho mais ―fácil‖. Isto é justificado pela equação de
Bernoulli, dada por:
2
2
21
2
1
22
pvpv
. (4.1)
Esta equação descreve o escoamento de um fluido incompressível em um tubo de diâmetro
variável e diz que se a velocidade de um elemento fluido aumenta quando ele se desloca ao
longo de um linha de corrente horizontal, a pressão do fluido deverá diminuir e vice-versa.
Analisando a equação (4.1) em termos das forças aplicadas pelo fluido sobre as entradas
dos microcanais e mantendo o lado esquerdo da equação constante, teremos que: se
2
p
aumentar, para que os dois lados da equação mantenham-se com os mesmos valores,
2
2
v
deve diminuir. No limite em que
2
p
é infinito,
2
2
v
será zero. Com isso o fluido rejeitará o
segundo caminho, optando pelo primeiro canal. Logo, se o fluido encontrar dois caminhos a
serem percorridos, um maior e outro muito menor, o fluido optará pelo canal maior. A
equação (4.1) pode ser reescrita como sendo:
2
2
2
1
2
1
22 A
F
v
A
F
v
. (4.2)
Para solucionar esses problemas de impedância, surgiu então a idéia de criar um
dispositivo que tivesse geometria tal que facilitasse o escoamento. Desta maneira, o novo
dispositivo não necessitaria de tantos recursos como bombas de injeção e sucção ou
88
microcanais de diâmetros diferentes para que os tempos de escoamento até os poços fossem
compensados. Além disso seria evitada a possível infecção por material biológico de outros
dispositivos.
Chegou-se então à conclusão de que a geometria mais eficaz para contornar estes
empecilhos seria a geometria circular com canais radiais. A idéia de utilizar o giro do
―chip‖ como fonte de propulsão do líquido nos microcanais é sustentado pelo fato de haver
motores de CD e DVD no mercado e peças acessíveis.
Este novo ―design‖ (Figura 4.11) permitiu que muitos problemas fossem solucionados
utilizando-se de menos recursos tecnológicos. Os mecanismos de captação e expulsão do
fluido são bem simples. O material utilizado para servir de base e tampa do dispositivo foi
o PMMA (acrílico) e para selar os dois utilizou-se de uma fita dupla face Scotch
®
YR-9625
da 3M
®
do Brasil. O acrílico possui os seguintes ângulos de contato: 69,7°, 71,9° e 74,7°,
medidas estas feitas para o acrílico comercial liso, acrílico derretido e acrílico com
rugosidade dos canais e poços, respectivamente. Os canais, por serem levemente
Figura 4.11: Design circular, desenvolvido para evitar problemas de impedância em
canais mais longos e mais curtos do antigo modelo; 1 poço central, 20 poços
secundários, 20 terciários, sem stopvalves e com região de escape muito pequena.
5 cm
89
hidrofílicos, já que os ângulos medidos são de aproximadamente 70°, induzem a água
"escolher" o melhor caminho a ser percorrido. Estas medidas de ângulo de contato foram
feitas pelo método da gota séssil, em um goniômetro (Ramé-Hart 100−00). Este seria o
primeiro mecanismo. O segundo é a força centrífuga que, quando se gira o dispositivo, faz
com que o fluido vá para a borda do dispositivo e permaneça naquela região devido à força
que atua sobre ele. Os canais são de dimensões micrométricas, tornando quaisquer fluidos
incompressíveis devido ao baixo valor do número de Reynolds. Estes canais são de tal
ordem que o melhor caminho a ser seguido pelo fluido é para dentro dos microcanais do
dispositivo e não para fora, pois ele é gotejado em um poço central e distribuido
radialmente. Outros dispositivos microfluídicos possuem algumas características
interessantes, tais como dificuldade ou facilidade de escoamento fluídico e necessidade de
pressões externas, como citado anteriormente. Para o dispositivo desenvolvido neste
trabalho não houve a necessidade de regiões que criassem dificuldade ou facilidade de
escoamento devido à essa simetria. Uma vez colocado para centrifugar, este não precisa de
nenhum tipo de pressão externa para induzir a entrada ou saída do fluido, escoando pelos
canais devido à força centrífuga até uma câmara que foi chamada de região de escape,
situada ao redor deste. Este dispositivo está apresentado na Figura 4.11.
Após alguns testes notou-se que o líquido, que deveria escoar de forma isotrópica,
às vezes preenchia um canal antes de outro apesar do dispositivo ter sido elaborado para
que os líquidos fluissem em todos os canais ao mesmo tempo. Isto se deve a imperfeições
da usinagem do dispositivo. Então, para garantir que o líquido passasse por todos os canais
antes de sair para a região de escape, pensou-se em dificultar a passagem deste. Todavia,
fazer canais mais estreitos ou algum tipo de microcanal de forma geométrica diferente não
faria sentido algum, pois voltar-se-ía às dificuldades encontradas nos dispositivos
anteriores. A forma de dificultar a passagem do fluido foi usar os chamados ―stopvalves”.
Os ―stopvalves‖ são mecanismos fluídicos que têm como principal função o bloqueio
temporário do líquido que chega até estes e são regidos pela equação de pressão de Young-
Laplace [51]. Foi colocado, então, um ―stopvalve‖ no final de cada caminho fluídico. Os
―stopvalves‖ serão explicados em seção posterior.
O dispositivo passou por várias mudanças até atingir sua forma definitiva ao menos
neste trabalho, por se tratar de uma prova de conceito e não um dispositivo definitivo
90
comercial, apresentado na Figura 4.12.
O mecanismo de bombeamento por força centrífuga é bem conhecido na literatura,
onde várias taxas de vazão (5 nL/s a 0.1 mL/s) foram testadas em canais de dimensões
diferentes com diferentes rotações (60 rpm a 3000 rpm) [53]. Este método de bombeamento
fornece uma faixa maior de taxas de vazão quando comparado com outros métodos, que
pode variar em um intervalo de até 10 nL/s a 10
L/s. Além disso, a vazão por força
centrífuga não é sensível a várias propriedades físico-químicas dos líquidos e funciona bem
mesmo com diferentes condições no canal. Assim, este método pode ser utilizado para
bombear líquidos aquosos, biológicos e orgânicos [53]. Todavia, uma limitação do
bombeamento por rotação é que a direção do escoamento não é reversível [54]. Esta
limitação acaba sendo favorável no presente trabalho, pois é fundamental que o fluido
percorra um caminho sem volta. Inúmeros trabalhos são feitos utilizando como base a
chamada plataforma fluídica centrífuga. Zoval e Madou [55] utilizaram este método para
transportar fluidos em ―microchips‖ de plástico.
O funcionamento do ―biochip‖ da Figura 4.12 foi testado exaustivamente até se
Figura 4.12: Dispositivo microfluídico definitivo com suas estruturas: a) poço central
para entrada do fluido, b) microcanais, c) e d) poços secundários e terciários para
análise biológica, e) stopvalves e f) região de escape do fluido.
a
b
c
d
e
f
50 mm
70 mm
5 mm
|
|
2,5 mm
91
obter resultados satisfatórios, com escoamento pleno nos microcanais.
O dispositivo definitivo possui 1 poço central com 20 canais subjacentes que levam
aos poços secundários e terciários. Destes poços terciários, os canais seguem adiante até os
―stopvalves‖. Ao passar pelos ―stopvalves‖, o líquido segue até a região de escape, onde há
um material absorvedor, que impede que o fluido retorne aos microcanais após o manuseio
do dispositivo por mãos humanas.
A Figura 4.13 mostra detalhes do poço central, com seus microcanais adjacentes e
as ranhuras provocadas pela ablação do laser e a Figura 4.14 mostra o poço terciário com
seu microcanal que segue até o ―stopvalve‖.
Figura 4.13: Imagem feita por microscopia eletrônica de varredura do poço central,
por onde entra o líquido.
92
4.1.2.2 Teoria do “Stopvalve”
Durante os testes de rotação do dispositivo, notou-se que em alguns casos o fluido
passava por apenas alguns canais e já alcançava a região de escape. Com o intuito de forçar
a passagem uniforme do líquido por todos os canais antes de ele chegar a esta região,
chegou-se à conclusão de que era necessário dificultar o escoamento do fluido na interface
canal-região de escape. Um mecanismo eficiente de criar um bloqueio temporário à
passagem do líquido em sistemas microfluídicos é o chamado ―stopvalve‖.
―Stopvalves‖ são válvulas capilares, ou seja, válvulas passivas que utilizam a tensão
superficial do líquido para possibilitar ou impedir o escoamento. Em sistemas
Figura 4.14: a) Imagem feita por microscopia eletrônica de varredura do poço
terciário e seu microcanal que segue até o “stopvalve”, b) poço terciário de (a) com
aumento na magnificação e c) magnificação do “stopvalve”.
(a)
(b)
(c)
93
microfluídicos, a utilização das válvulas capilares se torna uma grande vantagem pois, ao
contrário de válvulas ativas, não entopem com tanta facilidade e não têm membranas
móveis nem atuadores.
Neste trabalho o tipo de válvula capilar utilizado consiste em um aumento abrupto
da secção transversal do microcanal que é suficiente para impedir a passagem de líquido
para a região de escape. Esta passagem só se torna possível quando a pressão exercida
sobre o fluido excede a chamada pressão de ruptura. No caso deste trabalho a pressão de
ruptura pode ser alcançada simplesmente aumentando-se a velocidade de rotação aplicada
sobre o dispositivo. Os parâmetros utilizados nesse processo e o funcionamento do
―stopvalve‖ são descritos a seguir.
Pode-se entender o princípio de funcionamento do ―stopvalve‖ considerando um
simples balanço de energias. Quando há qualquer mudança na energia de superfície do
sistema, esta é compensada por uma certa quantidade de trabalho realizada contra a pressão
de Laplace.
A barreira de pressão causada por tensão superficial pode ser explicada em termos
das mudanças de energia em um sistema de interface líquido-sólido-gás. A energia
interfacial total
T
U
do sistema é:
lalasasaslslT
AAAU
, (4.3)
onde
sl
A
,
sa
A
e
la
A
são áreas de interface sólido-líquido, sólido-ar e líquido-ar e
sl
,
sa
e
la
são as forças de tensão superficial por unidade de comprimento correspondentes.
Estas últimas são relacionadas ao ângulo de contato de equilíbrio
c
pela equação de
Young:
claslsa
cos
. (4.4)
Assim, usando equação (4.4) em (4.3) resulta na expressão reduzida
UUAAUAAAAU
lalaclasllalaclaslsasaslT
00
coscos)(
,
(4.5)
94
onde
sasasl
AAU
)(
0
é uma constante, já que
sasl
AA
, permanece invariante e
U
é definido como
clasllala
AA
cos
, que é uma parte variável da energia interfacial total
T
U
. A energia interfacial total
T
U
é uma função do volume do líquido
l
V
. Quando
l
V
aumenta, a área molhada muda. A pressão efetiva
P
aplicada na coluna de fluido pode ser
deduzida derivando a energia interfacial total
T
U
do sistema com respeito ao volume do
líquido
l
la
l
sl
cla
ll
T
dV
dA
dV
dA
dV
Ud
dV
dU
P
cos
. (4.6)
Para melhor previsão da barreira de pressão de um ―stopvalve‖, a análise do menisco 2D
reportada por Man et al. [60] foi aprimorada para levar em consideração efeitos 3D na
análise. Na análise de menisco 2D, assume-se que o formato do menisco é um arco circular
com ângulo apenas na direção horizontal. Contudo, na análise do menisco 3D, assume-se
que o formato do menisco é de dois arcos circulares com ângulos tanto na direção
horizontal quanto na vertical. Os ângulos dos arcos circulares, como mostrado na Figura
4.15a, são denotados como
h
2
na direção horizontal e
v
2
na direção vertical. A Figura
4.15a mostra os parâmetros do ―design‖ de um ―stopvalve‖ incluindo: altura do canal h,
largura do canal w e o ângulo de expansão β. Estes parâmetros do ―design‖ de um
―stopvalve‖ serão analisados teoricamente e comparados com resultados experimentais
posteriormente. O ―stopvalve‖ da prova de conceito desenvolvida neste trabalho possui
β=40°, sendo suficiente para os testes dinâmicos e estáticos realizados.
95
Quando um líquido é introduzido em um microcanal ele molha a região reta deste e pára no
limite de uma expansão repentina, o ―stopvalve‖. A Figura 4.16 mostra os três regimes do
avanço do menisco em um microcanal em direção ao ―stopvalve‖.
Figura 4.15: a) Representação dos parâmetros do design de um stopvalve
(adaptada de [51]), b) imagem de microscopia eletrônica de varredura do
dispositivo, com ênfase no stopvalve.
(a)
(b)
h
v
96
Quando chega à fronteira do ―stopvalve‖, o líquido pode ser movido adiante apenas se uma
pressão externa é aplicada ao fluido. A pressão necessária para mover o líquido adiante é
definida como barreira de pressão
s
P
do ―stopvalve‖. Enquanto o fluido avança sobre o
―stopvalve‖, o menisco líquido deve mudar o ângulo para alcançar o ângulo de contato de
equilíbrio nas paredes inclinadas. Neste regime, o volume de líquido aumenta através de
uma mudança em
h
e
v
, mas a posição do menisco permanece em
Lx
. Assim, a
energia interfacial total
T
U
torna-se
vh
vh
lah
h
h
h
claT
wh
w
hwLUU
sinsin
cos
sinsin2
)(2cos
2
*
0
(4.7)
Figura 4.16: a) Líquido movendo-se em um microcanal em direção ao “stopvalve”,
b) líquido no limite em que
Lx
, c) líquido logo após vencer a pressão de ruptura
e entrando na região de escape e d) líquido fluindo adentro do “stopvalve” com
ângulo de contato
c
como em (a).
L
x
Lx
Lx
w
(a)
(b)
(c)
Lx
(d)
c
c
97
e volume do líquido
1
V
torna-se
v
v
v
vh
h
h
h
h
h
l
wh
hw
wLhV
cos
sinsinsin4
cos
sinsin4
2
2
, (4.8)
onde
chc
22
e
22
cvc
.
No modelo do menisco 3D, tanto os ângulos verticais quanto os horizontais dos
arcos circulares do menisco são considerados na análise. Fazendo um gráfico da energia
interfacial
*
0
UUU
T
como função do volume do líquido
l
V
, a pressão efetiva
P
do
sistema capilar pode ser facilmente calculada pela derivada
llT
dVdUdVdU
usando a
equação (4.6). As Figuras 4.17 e 4.18 mostram a energia interfacial do sistema
U
e a
pressão
P
como função do volume do líquido
l
V
dentro de um microcanal de altura
mmh 6,0
, largura
mmw 6,0
com ângulos de expansão β diferentes. Inicialmente, a
energia descresce à medida que o líquido flui no microcanal com uma inclinação fixa até
que a região do ―stopvalve‖ seja alcançada. O menisco deve se expandir além do limite
externo do ―stopvalve‖. Essa expansão necessita de energia externa, assim, a barreira de
pressão
s
P
(mostrada na Figura 4.17) se desenvolve e pára o fluxo.
98
Da equação (4.6), podemos calcular a pressão
P
achando a derivada da energia
interfacial
U
em relação ao volume da amostra
l
V
l
la
l
sl
cla
ll
T
dV
dA
dV
dA
dV
Ud
dV
dU
P
cos
. (4.6) (4.9)
Em um microcanal reto
P
é positivo, o que indica que a tensão superficial move o fluido
e o fluxo se move adiante. Assim que a secção transversal do microcanal se expande
abruptamente,
P
torna-se negativa para uma superfície hidrofílica. Nesta situação, a
tensão superficial vira uma força retardada que pára o fluido que se move a diante. A
Volume de Líquido
l
V
(pL)
Figura 4.17: Gráfico da pressão
P
pelo volume do líquido
l
V
.
Água
9,71
c
mmh 6,0
mmw 6,0
∆p (kPa)
99
barreira de pressão
s
P
se desenvolve e o gradiente reverso de pressão acontece na
―stopvalve‖.
Dos gráficos de
U
e
P
nas Figura 4.17 e 4.18, a barreira de pressão máxima
s
P
acontece no ponto em que a barreira de pressão do ―stopvalve‖ rompe e o fluido se move
adiante sob força de pressão externa. Neste ponto, o formato do menisco precisa satisfazer
as condições de contorno para o fluido se mover para a região de expansão. Assim, para
encontrar a barreira de pressão da equação (4.6), podemos reformular como:
1121
12
11
VV
dx
dx
UU
dV
dx
dx
Ud
dV
Ud
P
s
, (4.10)
Água
9,71
c
mmh 6,0
mmw 6,0
Figura 4.18: Gráfico da energia
U
pelo volume do líquido
l
V
.
500
1500
2500
3500
4500
5500
Volume de Líquido
l
V
(pL)
Energia de Superfície (pJ)
100
onde
l
V
1
e
l
V
2
descrevem os volumes antes e depois do fluido se mover para a região de
escape, respectivamente. Para energia interfacial
U
e volume da amostra
l
V
, pode-se
derivar facilmente o
1
U
e
2
U
, assim como os volumes de amostra
l
V
1
e
l
V
2
exatamente antes e depois do ponto de transição. Finalmente, equação (4.10) vira:
vvvvhhhhhh
vhvhhhhhcla
s
whhw
whhw
P
cossinsinsin2tancossinsintan
sinsintancossinsintancoscos2
(4.11)
A equação (4.8) mostra a solução analítica para a máxima barreira de pressão válida
quando o ângulo de expansão é
90
. Prova-se que a solução analítica é a mesma que
para os resultados para a análise pelo modelo de menisco 3D sob a condição de ângulo de
expansão
90
. Para ângulos de expansão menores do que 90° (
90
), a análise pelo
modelo de menisco 3D fornece uma solução mais condizente com os resultados
experimentais do que a solução analítica da equação (4.11).
4.1.2.3 Funcionamento do Dispositivo Microfluídico
Pensando nas facilidades de manuseio e funcionamento de um ―chip‖ fluídico, chegou-se a
conclusão de que a melhor geometria para se obter um escoamento uniforme e sem a
necessidade de microbombas de compressão seria a circular com canais radiais. Desta
maneira, o fluido entra por um poço central no ―chip‖ e escoa radialmente, através dos
microcanais, para a borda deste. Este escoamento é torna-se possível devido à rotação do
dispositivo, visto que se o fluido for colocado no poço central e não houver nenhuma força
externa, este permanece imóvel devido ao efeito de capilaridade deste dispositivo ser
pequeno no início do processo. Quando colocado para girar, devido à força centrífuga
sentida pelo líquido no sistema não inercial, o líquido flui até a região de escape. A partir
101
da segunda lei de Newton (equação (2.40)),
j
jt
Fvdm
.
(2.40) (4.12)
e utilizando a equação da aceleração centrífuga,
ra
2
,
chega-se à equação diferencial
rAdrdF
2
. (4.13)
A força centrífuga no sistema não inercial é obtida pela integração da equação (4.13) e é
dada por:
2
22
r
AF
, (4.14)
onde
é a massa específica do líquido,
A
é a área da secção do capilar,
é a velocidade
angular do dispositivo e
r
é a distância do líquido no canal ao centro do dispositivo.
Esta equação é modificada a fim de se obter a pressão exercida sobre o fluido devido à
rotação do ―biochip‖. Assim temos que:
2
22
r
p
A
F
. (4.15)
Desta maneira pode-se calcular a pressão exercida sobre o líquido e comparar com os
resultados experimentais, que serão apresentados em subseção seguinte.
Porém, outras forças atuam sobre o fluido, entre elas a força de capilaridade e a
força de viscosidade. A força de capilaridade será discutida posteriormente.
102
A viscosidade é uma grandeza que descreve a resistência de um fluido ao
escoamento. Os fluidos resistem tanto aos objetos que se movem neles, como ao
movimento de diferentes camadas do próprio fluido, como visto na fundamentação teórica
do presente trabalho. A força de viscosidade é dada por:
vrcF
v
2
1
, (4.16)
onde
é o coeficiente de viscosidade dinâmica,
r
é a metade do comprimento do canal e
v
a velocidade do fluido. Fazendo uma análise numérica desta força, nota-se que devido às
características dos microcanais e devido à viscosidade da água, esta força é desprezível em
nosso caso. Temos que a viscosidade dinâmica da água é de
sPa.100030,1
3
, a
velocidade do fluido é de
smv /01,0
e
mmr 3,0
. Desta forma
NF
v
-8
105,67
,
valor este muito pequeno em comparação com a força centrífuga aplicada para os vários
tipos de dispositivos.
Para determinar se o regime do fluxo nos canais do dispositivo é laminar [6], é
necessário analisar seu número de Reynolds, dado por (4.17):
00
Re
LV
, (4.17)
onde
é densidade do fluido,
0
V
é a velocidade do fluido dentro do canal,
0
L
é
comprimento do canal,
é a viscosidade dinâmica do fluido.
Por convenção, existe um número de Reynolds aproximado onde definem-se os
limites de alguns regimes. Em sistemas cujo Re é menor do que 2000 não há turbulência.
Esse regime não turbulento é chamado de fluxo laminar. Já sistemas cujo Re é maior do
que 2000 são turbulentos. Finalmente, existem sistemas nos quais há tanta turbulência que
a equação de Navier-Stokes não tem solução analítica. Tais sistemas são caracterizados por
Re altíssimo e são chamados de puramente turbulentos. Estes sistemas possuem apenas
solução numérica e necessitam de um grande investimento computacional.
Dados os parâmetros do dispositivo e do fluido (água),
mL 05,0
0
,
smV /01,0
0
,
103
3
/1000 mkg
e
sPa.100030,1
3
, sabe-se que o sistema obedece a um regime
microfluídico [7], ou seja, possuem fluxo laminar, pois o número de Reynolds para o
dispositivo é
500Re
. Desta maneira, podemos calcular grandezas como a pressão
através da equação de Young-Laplace. Para isso utilizamos a equação de Navier-Stokes
para a obtenção da equação de pressão pela eliminação do termo não-linear, visto em seção
anterior. Em um sistema em que há uma coluna de líquido (caso estático, que será
apresentado posteriormente), a pressão é dada por:
zgpzp
0
)(
, (4.18)
onde
)(zp
é a pressão dentro do canal microfluídico,
0
p
é a pressão atmosférica, g é a
aceleração da gravidade e z é altura da coluna de líquido. A Figura 4.19 ilustra as grandezas
envolvidas no dipositivo.
A equação de Young-Laplace é dada por:
Figura 4.19: Representação das grandezas envolvidas no estudo do comportamento
do fluido em uma coluna ou poço.
Ar
Líquido
a
R
H
c
c
p
*
p
*
p
*
p
*
surf
p
H
z
eg
ˆ
p
*
.
.
.
.
.
104
21
11
RR
p
, (4.19)
onde
p
é a diferença de pressão através da interface do líquido,
é a tensão superficial e
1
R
e
2
R
são os principais raios de curvatura. Nesta nossa situação,
RRR
21
. Desta
forma a equação (4.18) se resume a
R
p
2
. (4.20)
Pela Figura 4.19 vemos que
cos
a
R
, (4.21)
onde
a
é a metade da largura da coluna ou poço e
o ângulo de contato do líquido com a
parede da coluna.
Nota-se também pela Figura 4.19 que
R
zg
2
. (4.22)
Desta forma, a equação (4.18) adquirá a forma:
cos
2
)(
0
a
pzp
. (4.23)
Devido à dimensão dos canais e pelo fato de que o polímero é levemente hidrofílico,
o líquido não flui simplesmente por atuação da força capilar nos canais, sendo necessária a
aplicação de uma força externa sobre ele.
Se um microcanal é colocado horizontalmente ao longo do eixo x, como mostrado
na Figura 4.20, a força gravitacional não pode equilibrar as forças capilares, então o fluxo
capilar irá continuar enquanto existir um canal por onde o líquido possa se propagar. A
teoria para a posição
0)( tL
do menisco, neste caso, é análoga à teoria do fluxo capilar
tratado anteriormente, exceto pelo fato de que agora a gravidade é excluída das equações. A
105
posição
0)( tL
é definida como a entrada do microcanal no poço central, que é largo o
suficiente para que não haja queda na pressão de Young-Laplace, isto é,
0
)0( pxp
.
Acima, na Figura (4.20), o menisco curvado na posição
)(tL
resulta em uma pressão
―descompensada‖ de Young-Laplace, que conduz o líquido (cinza claro) para a direita do
microcanal. Nota-se que os pontos onde a pressão é igual à pressão atmosférica
0
p
estão
representados na cor branca e o reservatório à esquerda é tão largo que a gravidade é a
força dominante no processo. Como resultado o líquido transforma-se numa superfície
plana com queda nula na pressão de Young-Laplace.
A equação (4.23) mostra que quanto menor for o canal, menor será a pressão
exercida sobre ele pelo fluido. Nestas condições, se o canal for suficientemente grande, o
segundo termo da direita da equação, no limite, irá a zero. Por conseguinte,
0
)( pzp
,
bastando apenas a pressão atmosférica para impulsionar o líquido adentro do canal.
Apesar de o dispositivo possuir um grande número de microcanais, isso não torna a Física
envolvida no processo mais complicada do que a explicada acima. Isto é explicado pelos
estudos sobre transporte de partículas sólidas em microcanais de Marmottant e Hilgenfeldt
[52]. Neste estudo teórico-experimental verificou-se que sem ter gravado um grande
número de microcanais, tal dispositivo pode facilmente processar um grande número de
células ou micro-objetos similares através de muitas linhas paralelas de transporte,
aplicando a mesma força a cada um dos objetos. Isto também é válido para fluxo de fluidos
Newtonianos, pois estes fluidos obedecem a uma equação simplificada, apresentada na
x
egg
ˆ
*
p
p
.
.
*
p
.
*
p
*
p
*
p
.
*
p
.
surf
pp
*
h
)(tL
z
x
Figura 4.20: Representação dos princípios de uma bomba capilar (cinza escuro) e
seu efeito de capilaridade. Menisco líquido (cinza claro) entrando pelo poço
principal e fluindo pelo microcanal. Figura adaptada de [6].
106
seção 2.5, viabilizando o estudo de dispositivos mais complexos através da compreensão de
análogos simples. Desta forma, em um escoamento laminar unidimensional a tensão de
cisalhamento está relacionada apenas com o gradiente de velocidade pela lei de Newton da
viscosidade para o escoamento unidimensional. A equação simplificada é dada por (4.24),
dy
du
yx
. (4.24)
Em termos comuns, isto significa que o líquido continua a fluir, independentemente das
forças que agem sobre ele. Para descrever fluxo (exato) do fluido basta utilizar, neste caso,
a equação de Stokes (4.25),
0
~
~
~
~
2
vp
. (4.25)
Finalmente, com esses recursos pode-se conhecer a Física que acontece no interior
do dispositivo durante o seu funcionamento. Pode-se utilizar então estes resultados para
eventual comparação com os dados experimentais para testar a validade dessa teoria para o
dispositivo desenvolvido neste trabalho.
4.1.2.4 Realização Experimental
O dispositivo microfluídico definitivo foi confeccionado em PMMA e para selar a base e a
tampa utilizou-se de uma fita dupla face Scotch
®
YR-9625 da 3M
®
do Brasil. Este
dispositivo possui 20 canais, 1 poço central, 20 poços secundários e 20 poços terciários. Os
poços terciários têm como função eventuais verificações do funcionamento/falha dos poços
secundários. Ao final de cada canal, existe um ―stopvalve‖ e adiante uma região de escape.
Para analisar o comportamento do fluido dentro dos canais, um dispositivo mais
simples foi construído. Este dispositivo é visto na Figura 4.21.
107
O material utilizado para servir de base e tampa do dispositivo também foi o
PMMA (acrílico) e para selar os dois utilizou-se de uma fita dupla face Scotch
®
YR-9625
da 3M
®
do Brasil. Este dispositivo possui 4 canais e apenas um poço central. Assim como o
―chip‖ da Figura 4.12, ao final de cada canal há um ―stopvalve‖ e uma pequena região de
escape do fluido.
O dispositivo mais simples, apresentado na Figura 4.21 foi confeccionado com os
mesmos parâmetros do dispositivo definitivo.
|
|
|
|
|
|
|
_
_
50 mm
19 mm
2 mm
2 mm
(a)
(b)
(c)
Figura 4.21: a) Dimensões do dispositivo simples, b) dispositivo simples e c)
detalhes do stopvalve. Figura 4.20c adaptada de [51].
108
Testes Estáticos:
Devido à dimensão dos canais e pelo fato de que o polímero ser levemente
hidrofílico, o líquido não flui por si só nos canais por capilaridade, sendo necessária a
aplicação de uma força externa sobre ele. Primeiramente foi colocada uma coluna central
(Figura 4.22) por onde o líquido desceu apenas sob a ação da gravidade, sem girar o
dispositivo ou pressionar o líquido para dentro deste. Utilizando a equação (4.23) foi
encontrado um valor para a pressão sobre o líquido ao pé da coluna. Para analisar se a
teoria era válida para nosso dispositivo, este foi testado de duas maneiras. Na primeira, o
líquido foi gotejado através de uma coluna central até que preenchesse os canais sem que o
dispositivo fosse rotacionado. Neste caso, a pressão nos canais depende da altura da coluna
de líquido.
No primeiro caso, o líquido foi gotejado dentro da coluna. Quando o líquido atingiu
a altura a, a pressão foi suficiente para escoar o fluido para dentro dos canais. Este começou
a fluir dentro dos canais, que possuem altura h = 0,6 mm. A altura b é aquela em que o
fluido preenche inteiramente os canais. Contudo, com tal pressão o fluido não é capaz de
-
-
-
-
a
b
c
Figura 4.22: Representação esquemática das alturas do líquido na coluna central. a)
altura em que o líquido começa a se deslocar; b) altura em que o líquido chega ao
stopvalve; c) altura em que a pressão faz com que o líquido passe pelo stopvalve.
109
passar pelo ―stopvalve‖. A pressão só é suficiente para vencer o ―stopvalve‖ quando a
coluna atinge a altura c. Para o caso da água, as médias calculadas das alturas medidas
foram: a = 8,40 mm, b = 19,05 mm e c = 22,75 mm. Conhecendo estas alturas é possível
determinar, através da equação (4.22), a pressão associada a cada etapa. Estas pressões das
médias das alturas são, respectivamente: p
a
= 82,15 J.m
-3
, p
b
= 186,30 J.m
-3
e p
c
= 222,49
J.m
-3
, onde
3
.11
mJPa
. Utilizando a equação (4.23) podemos calcular apenas a pressão
p
a
, pois o mecanismo de cálculo de p
c
é a pressão de Young-Laplace, dependendo então da
determinação do raio de curvatura no ―stopvalve‖. Este raio de curvatura dependerá do
ângulo de contato na região, cuja geometria impede sua medida eficaz. A pressão calculada
em a pela equação (4.23) foi de p
at
= 83,11 J.m
-3
. No caso em que o dispositivo não é
rotacionado o modelo teórico mostrou-se muito condizente com os resultados observados
experimentalmente, pois as discrepâncias obtidas nos valores das pressões teóricas e
experimentais são pequenas. A Figura 4.23 mostra um gráfico da pressão exercida por
determinado número de gotas (com um volume médio de 12,5
l). As barras de erro não
aparecem no gráfico, pois são muito menores que a escala apresentada.
Na situação ideal, o líquido necessita da mesma pressão que no caso real para entrar
no microcanal, justificado pela equação de Bernoulli (4.2). Ao entrar no microcanal o
Ideal
Real
Figura 4.23: Gráfico de Pressão em função do Número de Gotas das situações ideal e
real no caso da coluna de líquido.
a
p
b
p
c
p
Número de Gotas (#)
110
líquido flui até o ―stopvalve‖ sem variação de pressão. Após vencer a pressão de ruptura, o
líquido encontraria um canal maior, fazendo com que a pressão diminuisse abruptamente
até estabilizar com o novo canal. Na situação real, o líquido chega ao ―stopvalve‖ com o
aumento gradativo da pressão, devido à queda da energia de superfície, sendo esta
constante, apresentado na Figura 4.18. Vencendo a pressão de ruptura, a pressão exercida
pelo fluido sobre o canal diminui, até que haja uma estabilidade apresentada na Figura 4.17.
No teste dinâmico a seguir, nota-se um preenchimento pleno dos microcanais, de
forma uniforme. O líquido contido em cada canal escoa até os respectivos ―stopvalves‖ e
permanecem parados até que a rotação do dispositivo aumente. As rotações para fazer com
que o fluido mova-se pelos canais é em torno de v
400 rpm e para que passem pelos
―stopvalves‖ é de v
600 rpm.
Testes Dinâmicos:
Através da equação (4.15), calculamos as pressões com as quais o líquido entra nos
canais e vence a pressão de ruptura do ―stopvalve‖.
2
22
r
p
A
F
. (4.26)
Estas rotações variam de acordo com a espessura dos canais, já que estes têm uma flutuação
razoável, de ~ 42
m, apresentado em subseção anterior. Este dado foi obtido para o
policarbonato, material que apresentou menor flutuação de tamanho nos cortes a laser. Para
o acrílico esta flutuação é maior, o que justifica a variação na velocidade de rotação. Para as
medidas de pressão da primeira etapa não se observou grandes variações, sendo estas de ~
0,5 J.m
-3
.
Ao fluir pelos canais, o fluido sofre aumento de pressão proporcional ao quadrado
da distância que percorrem. As pressões medidas experimentalmente concordam com a
teoria. A distância do centro do dispositivo até o poço secundário é de
mr 01,0
. As
pressões relacionadas a este poço estão representadas na Figura 4.23, onde os pontos em
verde são as medidas experimentais estáticas, explicadas anteriormente, e a curva teórica
111
em vermelho.
O poço terciário localiza-se a uma distância de
mr 015,0
do centro do ―biochip‖.
Nota-se, na Figura 4.24, que para vencer a pressão de ruptura o dispositivo deve ser girado
com velocidade acima de
rpmv 430
. Já para entrar no o poço secundário, deve rotacionar
a
rpmv 650
. Estas velocidades de rotações foram constatadas experimentalmente tanto
para o dispositivo mais simples quanto para o definitivo. Apesar do dispositivo
simplificado não possuir poços, foram realizados testes com dispositivos com poços,
apresentando exatamente os mesmos resultados.
100 200 300 400 500 600 700
0
50
100
150
200
250
Comprimento do Canal
r=0,01 cm
Pressão (J.m
-3
)
Velocidade de Rotação (rpm)
Figura 4.23: Gráfico de Pressão (J.m
-3
) em função da Velocidade de Rotação (rpm)
para um braço de rotação de 1 cm . Os pontos em verde representam os pontos
experimentais e a curva em vermelho a teórica.
m
.
.
.
112
Chegando ao final do microcanal, o fluido depara-se com o ―stopvalve‖ e, como
visto anteriormente na seção Teoria do ―Stopvalve‖, pára devido ao abrupto alargamento do
canal. Este abrupto alargamento do canal também é observado quando o fluido chega aos
poços secundários e terciários. Na prática, quando o dispositivo já estiver em uso na área
médica, essa situação dos poços não ocorrerá, pois neles estarão contidas as microesferas
imersas em uma pequena quantidade de líquido. Este líquido serve apenas para umidecê-
las, com o propósito de evitar a degradação dos antígenos. Devido à presença de líquido
nestes poços, o fluido que se movimenta nos canais não encontra resistência ao entrar no
poço. Como a energia de superfície no poço é alta, o líquido que o preenche rompe a tensão
superficial do fluido que escoa pelo canal. Finalmente, o fluido adentra o poço por efeito de
capilaridade. Esta situação é um importante fator para a aplicação deste dispositivo, pois
não há necessidade de grandes rotações. Assim, pode-se utilizar de equipamentos simples e
comerciais.
As pressões relativas às velocidades de rotação do dispositivo quando o fluido
chega aos ―stopvalves‖ é apresentado na Figura 4.25.
100 200 300 400 500 600 700
0
100
200
300
400
500
600
Comprimento do Canal
r=0,015 cm
Pressão (J.m
-3
)
Velocidade de Rotação (rpm)
m
Figura 4.24: Gráfico de Pressão (J.m
-3
) em função da Velocidade de Rotação (rpm)
para um braço de rotação de 1,5 cm . Os pontos em verde representam os pontos
experimentais e a curva em vermelho a teórica.
.
.
.
113
Os ―stopvalves‖ situam-se a
mr 02,0
do centro do ―biochip‖. Para que as pressões sejam
p
a
= 82,15 J.m
-3
, p
b
= 186,30 J.m
-3
e p
c
= 222,49 J.m
-3
, as velocidades devem ser
aproximadamente a metade das apresentadas na Figura 4.23.
O ―stopvalve‖ do dispositivo do presente trabalho possui abertura angular de 40°.
Este ângulo foi pensado justamente para que as velocidades de rotação necessárias para
romper o ―stopvalve‖ não fossem muito altas, pois o objetivo é utilizar equipamentos
comerciais e de baixo custo para a rotação e análises do dispositivo. Estes equipamentos
não proporcionam rotações suficientemente altas (acima de 1000 rpm) e equipamentos mais
sofisticados são dispendiosos. Como visto na Figura 4.17, um ângulo de 40° proporciona a
metade da pressão de um ―stopvalve‖ com abertura de 90°. Caso a abertura do ―stopvalve‖
fosse de 90°, a pressão necessária para vencer a pressão de ruptura para nosso dispositivo
seria de aproximadamente 450 J.m
-3
, que seria alcançada com uma rotação de 1300 rpm.
Finalmente, por possuírem abertura angular de 40° os ―stopvalves‖ separam fisicamente o
material absorvedor contido na região de escape dos microcanais. Se os canais não
possuíssem tal abertura, o líquido entraria em contato com o material absorvedor e seria
tragado para a câmara por efeito de capilaridade. Esta situação implicaria no mau
funcionamento do dispositivo, criando regiões de diferentes pressões.
100 200 300 400 500 600 700
0
200
400
600
800
1000
Comprimento do Canal
r=0,02 cm
Pressão (J.m
-3
)
Velocidade de Rotação (rpm)
m
Figura 4.25: Gráfico de Pressão (J.m
-3
) em função da Velocidade de Rotação (rpm)
para um braço de rotação de 2 cm . Os pontos em verde representam os pontos
experimentais e a curva em vermelho a teórica.
.
.
.
114
4.1.2.5 Seção de Fotos
A seção de figuras a seguir mostra as sucessivas etapas de escoamento e
preenchimento dos poços do dispositivo.
Figura 4.26: a) Dispositivo microfluídico definitivo antes do procedimento ser
iniciado, b) com o poço central inundado (nota-se que o líquido começa a fluir por
um dos canais), c) com o poço central distribuindo o fluido pelos 20 canais antes da
inundação dos poços secundários e d) com o poço central distribuindo o fluido
pelos 20 canais e com os poços secundários preenchidos com o líquido.
(a) (b)
(c) (d)
115
A Figura 4.28 mostra a fluoresceína preenchendo completamente um dipositivo
confeccionado com PMMA preto. Esta foto é meramente ilustrativa, com o objetivo de
destacar visualmente todas as estruturas do dispositivo. Esta foto foi tirada sob efeito de
iluminação UV.
Figura 4.27: a) Dispositivo microfluídico definitivo com o poço central distribuindo
o fluido pelos 20 canais e com os poços secundários preenchidos com o líquido b)
poços secundários e terciários completamente preenchidos, c) e d) o líquido avança
pelos canais após os poços terciários até o stopvalve, porém não os ultrapassa.
(a) (b)
(c) (d)
116
Figura 4.28: Situação hipotética onde o dispositivo microfluídico definitivo fica
completamente preenchido. Esta situação não ocorre, já que o dispositivo é
centrifugado e o líquido escoa completamente para a região de escape.
117
5
Conclusões
O presente trabalho buscou provar o conceito de um dispositivo microfluídico com canais e
poços de forma otimizada. Este é um modelo de dispositivo que será utilizado para
diagnósticos em saúde pública, pois é um dos objetivos do INCT (Instituto Nacional de
Ciência e Tecnologia). Com base nisto, foram projetados dispositivos que, ao longo do
trabalho, sofreram inúmeras modificações até seu funcionamento.
Para a confecção dos modelos de dispositivos foi utilizada a técnica de ablação a
laser realizada na máquina Laser LS100 da Gravograph
®
, de 30 W de potência. Parte
importante do trabalho foi a caracterização do equipamento, onde observou-se um
comportamento linear da profundidade do poço feito pelo laser quando se varia a
velocidade, mantendo potência constante. Nota-se que o coeficiente angular das retas é
sempre o mesmo, em torno de 0,009, indicando que não existem variações significativas
quanto à precisão do equipamento em uma certa magnitude para a fabricação de poços.
Desta maneira, pode-se usinar um poço de uma mesma profundidade com a associação de
velocidades e potências diferentes. Para a medida de profundidade de canais, optou-se por
utilizar o policarbonato devido ao comportamento mais estável deste polímero.
Nos dispositivos microfluídicos para diagnóstico em saúde são utilizados, muitas
vezes, micropartículas nos poços. Estas micropartículas não podem fluir livremente pelos
canais para que não haja possíveis falso-positivos nos diagnósticos. Para que elas
permaneçam nos poços é importante determinar se a fresa a laser possui resolução
suficiente para fazer padrões menores que 2
m com precisão. Contudo, as medidas com o
policarbonato apresentaram flutuação de ~ 42
m. A caracterização da fresa a laser
118
representa uma importante contribuição para trabalhos posteriores, uma vez que futuros
usuários poderão se utilizar dos padrões por ora estabelecidos no ―design‖ de dispositivos.
Contudo, a técnica de fabricação utilizada neste trabalho apenas gera modelos de
dispositivos como prova de conceito, já que não tem a precisão necessária. Para a
fabricação de dispositivos funcionais, outras técnicas de usinagem ou microfabricação são
necessárias.
Após a caracterização da máquina foi possível produzir os dispositivos
anteriormente projetados.
Os dois primeiros modelos foram apenas projetados e nunca foram produzidos para
testes, por possuírem problemas facilmente observáveis. A necessidade de bombas de
sucção e bombeamento, trazendo empecilhos como contaminação e tornaria o processo
mais caro e complicado. Outro problema encontrado é a impedância sofrida pelo líquido a o
fluir pelos microcanais.
Já os modelos circulares que funcionam com a rotação foram confeccionados e
submetidos a inúmeros testes. O modelo de dispositivo apresentado na Figura 4.9 não
possuía ―stopvalve‖ e sua região de escape era muito pequena. À saída dos microcanais
haveria um material absorvedor na região de escape. Este material entraria diretamente em
contato com o líquido, sugando-o forçosamente para região de escape.
O modelo de dispositivo microfluídico que apresentou as melhores características
para as possíveis aplicações foi confeccionado em PMMA, possui 20 canais, 1 poço central,
20 poços secundários e 20 poços terciários. Ele possui um ―stopvalve‖ no final de cada
microcanal. Esta estrutura é um mecanismo eficiente para criar um bloqueio temporário à
passagem do líquido para a região de escape.
Para analisar o comportamento do fluido dentro dos canais, um dispositivo mais
simples foi construído. A possibilidade da utilização deste análogo foi demonstrado pelos
estudos de Marmottant e Hilgenfeldt [52].
Para a realização das primeiras medidas de pressão, foi projetado um disco de
PMMA com 4 microcanais de 0,6 mm de diâmetro e profundidade, com um poço central de
entrada do fluido, 4 ―stopvalves‖ e uma região de escape. Este dispositivo foi lacrado com
uma fita adesiva dupla-face da 3M
®
e testado de duas maneiras. No caso da coluna central a
pressão medida para a altura em que o líquido entrou no dispositivo foi de p
a
= 82,15 J.m
-3
119
e a pressão, calculada teóricamente pela equação (4.7), foi de p
at
= 83,11 J.m
-3
. A
discrepância entre a medida e a teoria foi de 0,01%.
Na segunda etapa foram feitas medidas para as velocidades de rotação necessária
para que o líquido fluisse pelos canais e vencessem a pressão de ruptura do ―stopvalve‖. As
velocidades constatadas foram de v
400 rpm e v
600 rpm, apresentando pressões de
87,73 J.m
-3
e 231,66 J.m
-3
, respectivamente. Estes valores estão de acordo com as medidas
de pressão realizadas com a coluna de líquido do dispositivo simples. Estes baixos valores
de rotação tornam viável a utilização comercial destes dispositivos.
O ―stopvalve‖ foi desenvolvido de acordo com sua teoria e quesitos de praticidade.
Desta forma, o ângulo de abertura do ―stopvalve‖ mais condizente com estes quesitos é o
de 40°.
O dispositivo definitivo foi testado em um ―spin-coater‖ com diversas velocidades
de rotação. Assim como esperado, no caso em que o líquido fluiu pelos canais e passou
pelos ―stopvalves‖ as velocidades de rotação coincidiram com as obtidas com o dispositivo
simples, de 4 microcanais. O fluido apresentou escoamento pleno e uniforme.
No presente trabalho decidiu-se usar uma fita dupla-face da 3M
®
para lacrar o
dispositivo por motivo de praticidade. Pretende-se, em trabalhos futuros, utilizar outro
método, como a adesão entre superfícies por plasma de oxigênio.
Em trabalhos futuros, o polímero utilizado para a adesão poderá ser o PDMS
(Polidimetilsiloxano). São encontrados inúmeros estudos em microfluídica que utilizam
PDMS para adesão de placas e dispositivos.
Em conclusão, o presente trabalho apresenta um modelo prático para ―chip‖ em
microfluídica, o qual, como prova de conceito, desempenhou satisfatoriamente seus testes.
O aperfeiçoamento deste ―chip‖ em termos de precisão de usinagem será necessário, tendo
em vista o agregamento de microesferas contendo os analitos, havendo a necessidade de
mais estudos microfluídicos para sua operação em diagnósticos para saúde pública caso os
parâmetros fluídicos sejam modificados. Assim, futuramente será necessário investigar
outras técnicas para uma confecção mais precisa.
120
6
Apêndices
121
Apêndice A
A.1) Forças de van der Waals
A1.1) Interação para dois átomos de hidrogênio
Dois átomos de hidrogênio A e B estão distribuídos no espaço, separados por uma distância
R, como na figura, e seus elétrons possuem vetor posição r
A
e r
B
, respectivamente.
Assim,
OAOBR
(A1)
RR
(A2)
A
B
R
n
r
A
r
B
Figura A1: Representação dos vetores posição e distâncias entre átomos de hidrogênio.
Figura adaptada de [57].
122
R
R
n
ˆ
, (A3)
onde r
A
é o vetor posição do elétron do átomo A e r
B
é o vetor posição do elétron do átomo
B.
Dado o momento de dipolo elétrico de cada átomo, sendo [57]
AA
rqD
, (A4a)
BB
rqD
, (A4b)
definimos que
A
rR

,
B
r
, pois a distância entre cada átomo é muito maior que suas
eletrosferas.
A.1.2) Cálculo da energia eletrostática de interação
O átomo A cria em B um potencial eletrostático U
UE 
. (A5)
Isto nos dá a energia de interação
W
, que pode ser escrito como sendo
...
odqqqddqdd
WWWWWW
(A6)
Os termos
dd
W
,
dq
W
,
qd
W
,
qq
W
e
od
W
são os termos de energia de interação dipolo-
dipolo, dipolo-quadrupolo, quadrupolo-dipolo, quadrupolo-quadrupolo e octopolo- dipolo,
respectivamente. Como
dd
W
é o termo dominante, pois as outras interações são pequenas
quando comparadas com este termo. Logo
dd
WW
. (A7)
123
Da eletrostática temos que
3
0
.
4
1
)(
R
RD
RU
A

. (A8)
Utilizando a equação (A5) temos que:

3
0
.
4
1
R
RD
UE
A

. (A9)
Como
A
rqDRnR
,
ˆ
, então
2
0
ˆ
.
4
R
nr
q
E
A

. (A11)
Abrindo o termo do gradiente temos:
)(
ˆ
.
ˆˆˆ
).(
ˆ
.
ˆ
.
222222
AAAAA
A
r
R
n
r
R
n
R
n
r
R
n
r
R
n
r
R
nr
.
Utilizando algumas identidades vetoriais diferenciais temos que
]
ˆ
)
ˆ
.(3[
1
ˆ
.
32
nnrr
RR
nr
AA
A
,
ou, utilizando a expansão de U em coordenadas cartesianas, faz-se a operação direta do
gradiente sobre o termo de dipolo deste, onde
124
...
2
1
.
)(
,
53
ji
ji
ij
A
R
RR
Q
R
Rrq
R
q
RU
(A12)
Assim, podemos calcular a energia de interação dipolo-dipolo fazendo
Bdd
DEW
.
)]
ˆ
.)(
ˆ
.(3.[
3
2
nrnrrr
R
e
W
BABAdd
(A13)
escolhendo Oz paralelo a
n
ˆ
, então
].3...[
3
2
BABABABAdd
zzzzyyxx
R
e
W
,
logo
].2..[
3
2
BABABAdd
zzyyxx
R
e
W
. (A14)
Pode-se escrever
dd
W
como o operador
dd
W
~
, podendo substituir x
A
, y
A
, ... ,z
B
pelas
observáveis X
A
, Y
A
, ... , Z
B
, quando atuam nos espaços de estado ε
A
e ε
B
de dois átomos de
hidrogênio:
].2..[
~
3
2
BABABAdd
ZZYYXX
R
e
W
. (A15)
A.1.3) Forças de van der Waals entre dois átomos de hidrogênio
no estado fundamental
O Hamiltoniano do sistema é dado por
ddBA
WHHH
~
00
,
125
onde H
0A
e H
0B
são os Hamiltonianos do átomo de hidrogênio no estado fundamental (n=1,
l=0 e m=0) e
dd
W
~
é o termo de perturbação do sistema
B
mln
A
mln
B
mln
A
mln ,,,,,,,,
;
B
mln
A
mlnnn
B
mln
A
mlnBA
EEHH
,,,,',,,,00
;)()(
logo
BA
I
BA
BA
B
mln
A
mlnBA
EHHHH
0,0,10,0,10,0,10,0,100,,,,00
;;)(;)(
(A16)
A.1.4) Efeito da teoria de perturbação de primeira ordem da
interação dipolo-dipolo
A correção de primeira ordem é
BA
dd
BA
W
0,0,10,0,10,0,10,0,11
;
~
;
.
Abrindo o termo de perturbação teremos
BA
BABABA
BA
ZZYYXX
R
e
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
1
;]2[;
(A17)
Evoluindo a expressão (A17) termo a termo teremos:
BA
BA
BA
BA
BA
BABA
BA
BA
ZZ
R
e
YY
R
e
XX
R
e
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
1
;2;
;;;;
126
BA
B
BABA
A
BA
BA
B
BABA
A
BA
BA
B
BABA
A
BA
ZZ
R
e
YY
R
e
XX
R
e
0,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
0,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
0,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
1
;;;;2
;;;;
;;;;
Então temos que
B
B
BA
A
A
B
B
BA
A
A
B
B
BA
A
A
ZZ
R
e
YY
R
e
XX
R
e
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
3
2
1
2
Esses produtos são iguais a zero desde que os valores médios das componentes do operador
posição sejam iguais a zero no estado estacionário do átomo, logo
0;
~
;
0,0,10,0,10,0,10,0,11
BA
dd
BA
W
. (A18)
Os outros termos
dq
W
~
,
qd
W
~
,
qq
W
~
, ..., também são iguais a zero na aproximação de
primeira ordem, pois os valores médios dos operadores de multipolo, no estado
estacionário, são iguais a zero [61].
A.1.5) Efeito de teoria de perturbação de segunda ordem da
interação dipolo-dipolo
127
A correção de segunda ordem pode ser escrita como
'''
'
2
0,0,10,0,1,,,,
'
2
2
;
~
;
mln
nlm
nnI
BA
dd
B
mln
A
mln
EEE
W
. (A19)
Aplicando o termo de perturbação
dd
W
~
em (A19) teremos:
'''
'
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
'
6
4
2
2
;]2[;
mln
nlm
nnI
BA
BABABA
BA
EEE
ZZYYXX
R
e
.
Então, colocando em evidência o sinal negativo do denominador da expressão teremos
'''
'
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
'
6
4
2
2
;]2[;
mln
nlm
nnI
BA
BABABA
BA
EEE
ZZYYXX
R
e
.
Definindo C como sendo:
'''
'
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
'4
2
;]2[;
mln
nlm
nnI
BA
BABABA
BA
EEE
ZZYYXX
eC
. (A20)
Logo,
6
2
R
C
. (A21)
128
Nota-se que, devido ao sinal negativo na fórmula, a força de van der Waals é uma força
atrativa. Esta interação é responsável pela formação dos cristais dos gases inertes e de
muitas substâncias orgânicas [56].
A.1.6) Cálculo do valor aproximado da constante C
Dada a equação (A20), precisa-se que
2n
e
2'n
. Para o estado estacionário
In
I
n
EE
n
E
E
2
. Desta maneira, o termo
'nn
EE
pode ser aproximado para zero,
sem haver um erro significante. Logo,
BA
BABABA
BA
I
ZZYYXX
E
e
C
0,0,10,0,1
2
0,0,10,0,1
4
;]2[;
2
. (A22)
Devido à simetria esférica do estado 1s, os valores médio dos termos cruzados são iguais a
zero. Então apenas os termos
B
B
BA
A
AA
A
A
ZYX
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
,,,
serão diferentes de zero. Assim, a equação (A22) tornar-se-á:
BA
BABABA
BA
I
ZZYYXX
E
e
C
0,0,10,0,1
222222
0,0,10,0,1
4
;]4[;
2
.
Aplicando a propriedade distributiva em (A23) obtém-se:
);;;;4
;;;;
;;;;(
2
0,0,10,0,1
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
2
0,0,10,0,1
0,0,10,0,1
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
2
0,0,10,0,1
0,0,10,0,1
2
0,0,10,0,10,0,10,0,1
2
0,0,10,0,1
4
BA
B
BABA
A
BA
BA
B
BABA
A
BA
BA
B
BABA
A
BA
I
ZZ
YY
XX
E
e
C
Simplificando ainda mais obtém-se:
129
)4
(
2
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
4
B
B
BA
A
A
B
B
BA
A
A
B
B
BA
A
A
I
ZZ
YY
XX
E
e
C
Devido à simetria esférica temos que
B
B
BA
A
A
B
B
BA
A
A
B
B
BA
A
A
ZZ
YY
XX
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
0,0,1
2
0,0,10,0,1
2
0,0,1
Então, a equação (A22) se resumirá a:
2
0,0,1
2
0,0,1
2
0,0,1
2
0,0,1
2
0,0,1
2
0,0,1
4
4
2
A
A
AA
A
AA
A
A
I
ZYX
E
e
C
. (A23)
Sabendo que
2222
AAAA
ZYXR
e
222
AAA
ZYX
, a equação (A23) assumirá a forma:
2
0,0,1
2
0,0,1
4
6
2
A
A
A
I
X
E
e
C
. (A24)
Desta maneira, com fazendo
22
3
AA
XR
[57], a equação (A24) será:
2
0,0,1
2
0,0,1
4
3
6
2
A
A
A
I
R
E
e
C
. (A25)
Sabe-se que o valor médio de r
2
é dado por [62]:
1315
2
2
2
22
2
lln
Z
na
r
. (A26)
130
Como para o estado fundamental do átomo de hidrogênio
1Z
,
1n
e
0l
,
4
2
222
93 arar
. (A27)
Retornando à equação (A25), utilizando (A27), temos:
2
2
4
2
0,0,1
2
0,0,1
4
9
6
23
6
2
r
E
e
R
E
e
C
I
A
A
A
I
Assim,
4
0
4
6
2
a
E
e
C
I
. (A28)
Sabe-se que
0
2
22
2 an
eZ
E
n
e
2
n
E
E
I
n
, então:
0
2
2a
e
E
I
(A29)
Substituindo (A29) em (A28) encontra-se:
5
0
2
6 aeC
. (A30)
Desta forma podemos substituir o valor de C na equação (A21) e finalmente obter a
correção de segunda ordem da interação dipolo-dipolo, dada por:
6
5
0
2
2
6
R
a
e
. (A31)
131
A.1.7) Forças de van der Waals entre diversas superfícies
Quando se fala de forças de van der Waals, geralmente é esquecido que essas forças são
responsáveis pela atração não só entre dois átomos, mas moléculas inteiras. Para isso,
utiliza-se alguns métodos, entre eles o método de Lifshitz [12]. O intuito desse tópico é de
apenas citar este outro método e mostrar alguns exemplos de interações entre superfícies
diferentes.
Define-se a constante de Hamaker, calculada através deste método.
21
2
CA
(A32)
Onde A é a constante de Hamaker, ρ
1
e ρ
2
são as densidades das superfícies e C é o termo
que calculamos na seção anterior, dada pela equação (A30).
Com isto, podemos ver alguns exemplos de interações, notando que a constante C
está presente neste método e é de extrema importância para esta compreensão.
132
A.1.8) Alguns exemplos de interações entre superfícies diferentes
1
2
r
Dois átomos
Duas esferas
R
1
R
2
ρ
1
ρ
2
D
Átomo - Superfície
D
ρ
D
R
Esfera - Superfície
r
L
=
σ
Duas correntes paralelas de
moléculas
Dois cilindros
D
L
R
1
R
2
Dois cilindros cruzados
D
Duas superfícies
D
R
1
R
2
L
6
/ rCw
)(6
21
21
RR
RR
D
A
w
DARw 6/
3
6/ DCw
52
8/3 rCLw
DRRAw 6/
21
2
12/ DAw
2/1
21
21
2/3
)(
212
RR
RR
D
AL
w
áreadeunidadepor
Figura A2: Exemplos de interações de van der Waals para diversas superfícies. Figura
adaptada de [12].
133
A.1.9) Potencial de Lennard-Jones
O potencial de Lennard-Jones é um modelo matemático que descreve a interação entre dois
átomos ou moléculas neutras. Foi proposto em 1924 por John Lennard-Jones [58]. Esse
potencial é uma aproximação. Os termos de repulsão e atração dependem
exponencialmente da distância. Sua origem física está relacionada com o princípio de Pauli.
Quando as nuvens eletrônicas ao redor dos átomos começam a sobrepor-se, a energia do
sistema aumenta de forma abrupta. Sabe-se que as forças envolvidas nesse potencial são de
atração (termo de exponencial igual a 12) e repulsão (termo de exponencial igual a 6). As
forças de van der Waals são ditas forças atrativas a longa distância e a força repulsiva em
menores distâncias é devido a sobreposição de orbitais de elétrons, relacionados à força de
troca do princípio de exclusão de Pauli. Para estes cálculos numéricos do potencial de
Lennard-Jones, utiliza-se de perturbação com correção de terceira ordem. Então temos que
o potencial de Lennard-Jones é dado por
612
4)(
rr
rV
LJ
, (A33)
onde ε é a profundidade do potencial e σ é a distância no qual o potencial é zero entre as
partículas.
Para o cálculo numérico utiliza-se a expansão de terceira ordem [59], dada por:
m
mn
mn
m
nn
knmn
nkkmmn
k
n
EE
W
W
EEEE
WWW
E
00
2
'
0000
'')3(
~
~
~~~
.
134
Apêndice B
B.1) Fluidos Não-Newtonianos
Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de
deformação são chamados fluidos não-newtonianos. Muitos fluidos comuns apresentam
comportamento não-newtoniano, como as pastas dentais, argila e o amido de milho em
água. O amido de milho em água comporta-se de forma análoga à argila em água. Quando
submetidos a uma força abrupta perpendicular à superfície, tornam-se rígidos. Se essa força
é aplicada suavemente, como um objeto colocado na superfície, este afunda lentamente,
porém de forma continua, como em um fluido muito mais denso que a água. A pasta dental
comporta-se como um ―fluido‖ quando espremida do tubo, no entanto, ela não escorre por
si só quando a tampa é removida. Há uma demarcação ou um limite de tensão abaixo do
qual a pasta dental comporta-se como um sólido. Estritamente falando, a nossa definição de
fluido é válida apenas para materiais cuja tensão limítrofe é igual a zero [4]. Os fluidos não-
newtonianos são geralmente classificados como tendo comportamento independente ou
dependente do tempo. Exemplos de comportamento independente do tempo são
apresentados no diagrama reológico da Figura B1.
135
Várias equações empíricas foram propostas para modelar as relações observadas
entre
yx
e
dydu /
para fluidos com comportamento independente do tempo [19]. Essas
relações podem ser adequadamente representadas por (B.1), para um escoamento
unidimensional,
n
yx
dy
du
k
(B.1)
onde o expoente n é chamado de índice de comportamento do escoamento e o coeficiente k
é o índice de consistência. Esta equação reduz-se à lei de Newton para
1n
com
k
[4], observado em (B.2).
dy
du
yx
(2.18) (B.2)
A equação (B.1) deve ser modificada para que haja uma concordância de sinal com
a tensão de cisalhamento
xy
, pois esta deve ter o mesmo sinal de
dydu /
[4]. Para isto, a
equação (B.1) é reescrita na forma
dy
du
dy
du
dy
du
k
n
yx
1
. (B.3)
Newtoniano
Dilatante
Pseudoplástico
Plástico ideal
Taxa de deformação
dy
du
Tensão cisalhante τ
Newtoniano
Dilatante
Pseudoplástico
Taxa de deformação
dy
du
Viscosidade aparente η
Figura B1: (a) Tensão de cisalhamento
e (b) viscosidade aparente
como função
da taxa de deformação para um escoamento unidimensional de vários fluidos não-
newtonianos. Figura adaptada de [1,4].
(a)
(b)
136
Desta forma, obtém-se o que é chamado de viscosidade aparente do fluido, o termo
1
n
dy
du
k
. (B.4)
Assim, a equação (B.3) (fluidos não-newtonianos) apresentará a mesma forma da equação
(B.2) (fluidos newtonianos), apenas substituindo a viscosidade newtoniana
pela
viscosidade aparente
. Com essa modificação é notável que a diferença é que, enquanto
é constante (exceto para efeitos de temperatura),
depende da taxa de cisalhamento. A
maioria dos fluidos não-newtonianos tem viscosidades aparentes relativamente elevadas
quando comparadas com a viscosidade da água [4].
Os fluidos para os quais a viscosidade aparente tem comportamento decrescente
com o aumento da taxa de deformação (
1n
) são chamados pseudoplásticos (tornam-se
mais finos quando sujeitos a tensões cisalhantes) [4]. A maioria dos fluidos não-
newtonianos enquadra-se neste grupo. Esta propriedade aparece em fluidos resultantes de
soluções complexas, tais como lava, óleo de motor, sangue, polímeros líquidos, soluções de
polímeros, suspensões coloidais, polpa de papel em água, plásticos derretidos e tintas
[4,20]. Se a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de deformação cresce (
1n
), o
fluido é chamado dilatante (torna-se mais espesso quando sujeito a tensões cisalhantes). As
suspensões de amido e de areia são exemplos de fluidos dilatantes [4]. Um fluido que se
comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe
y
seja excedida e,
subseqüentemente, exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de
deformação é denominado plástico ideal ou plástico de Bingham [4]. Neste caso, a tensão
de cisalhamento é
dy
du
pyyx
. (B.5)
Suspensões de argila, lama de perfuração, graxa de vedação, algumas colas e pasta dental
são exemplos de substâncias que exibem esse comportamento, apresentando
comportamento análogo ao dos sólidos em determinadas circunstâncias e podem ser
classificados como líquidos muito viscosos com taxa de deformação muito pequena [1,4].
137
Às vezes algumas substâncias plásticas são confundidas com fluido. Uma substância
plástica ou uma substância mole, como o chumbo, sabão, lodo de esgoto, barro ou uma vela
de sebo pode fluir. Entretanto, tal substância só fluirá se uma certa tensão de cisalhamento
(
y
) for excedida [1].
O estudo dos fluidos não-newtonianos é complicado devido ao fato de que
viscosidade aparente poder ser dependente do tempo. Fluidos tixotrópicos mostram um
decréscimo em
com o tempo sob uma tensão cisalhante constante, que é o caso de várias
tintas. Fluidos reopéticos mostram um aumento em
com o tempo. Existem os fluidos
chamados de viscoelásticos, que, após a deformação, retornam parcial ou inteiramente à sua
forma original quando livres da tensão aplicada [4].
B.1.1 O Sangue
Esses conceitos de viscosidade são relevantes para o presente trabalho, pois um dos fluidos
a serem utilizados nos dispositivos microfluídicos é o plasma sangüíneo. O plasma
sangüíneo compõe 55% do sangue e é composto basicamente por 92% de água e, os 8%
restantes, sais, proteínas, hormônios, nutrientes, gases e excreções. A função do plasma é
transportar essas substâncias por todo organismo, permitindo que as células recebam
nutrientes. Outra função é excretar ou secretar substâncias metabólicas [22]. Assim, o
plasma sangüíneo é um fluido newtoniano [25], devido à porcentagem elevada de água em
sua constituição. Sabe-se que, além de ser um fluido newtoniano, é incompressível e sua
equação de movimento se reduz à equação de Stokes (B.6) [6,23],
0
2
vp
(B.6)
e a equação da continuidade
0. v
, (B.7)
onde
p
é a pressão,
v
é a velocidade do fluido e
é a viscosidade dinâmica. Estas
equações serão comentadas em uma seção posterior com mais detalhes. As equações de
movimento para a célula exigem que a força resultante e o momento do líquido em cada
138
célula sangüínea seja zero, caso em que as células são consideradas flutuantes neutras e que
não há força gravitacional ou nenhuma aceleração presentes. Além disso, a deformação de
cada célula deve ser compatível com as tensões e as velocidades do plasma que o rodeiam
[23]. O sangue, em si, é um fluido não-newtoniano, que apresenta características de fluido
de Bingham, pseudoplásticos e fluidos reopéticos [21,24]. O comportamento viscoelástico
no sangue também está presente, tendo em conta as grandes deformações elásticas que as
células vermelhas do sangue são capazes e as tensões notavelmente pequenas quando estas
começam a deformar-se [24]. O sangue é uma suspensão de células em plasma. As células
sanguíneas são denominadas eritrócitos, leucócitos e plaquetas [24]. Os eritrócitos
desempenham papel primordial nas propriedades reológicas do sangue. O sangue é
aproximadamente uma emulsão polidispersa composta por uma fração volumétrica de
aproximadamente 45% de células vermelhas, fração esta chamada de hematócrito,
responsáveis pelo transporte de oxigênio aos tecidos do corpo e plaquetas, responsáveis
pela coagulação do sangue [21].
Desta forma, o sangue, em dispositivos microfluídicos, é utilizado na forma de plasma,
devido à dificuldade e complexidade de análise de um fluido não-newtoniano. Para isso, é
separado o plasma sangüíneo da parte ―vermelha‖ do sangue, geralmente através de
centrifugação [24] e utilizado apenas a parte newtoniana do sangue.
A viscosidade do sangue depende de quatro fatores, hematócrito, temperatura,
velocidade do sangue e diâmetro do capilar. Esta viscosidade é determinada pela
viscosidade do plasma sangüíneo [26]. Estes quatro fatores são válidos para o sangue, por
esse motivo é usado apenas o plasma sangüíneo na maioria dos dispositivos fluídicos. O
sangue, com hematócrito de 40% a 37° C, apresenta uma viscosidade relativa de 4
centipoise. Se essa taxa de hematócrito passa dos 80% o sangue passa a ter propriedades de
fluidos de Bingham, pois os glóbulos vermelhos ficam agregados de tal maneira que
dificulta consideravelmente o escoamento, exemplificado na Figura B2.
139
A temperatura não exerce grande influência na viscosidade do sangue em condições
normais, porém com um decréscimo razoável há um aumento significativo na viscosidade,
mostrado na Figura B3.
0
20
40
60
2
4
6
Hematócrito (%)
Viscosidade (centipoise)
80
8
10
12
14
Figura B2: Viscosidade variando em relação ao hematócrito a 37° C. Figura
adaptada de [26].
0
10
20
30
5
Temperatura (°C)
Viscosidade (centipoise)
40
10
Hematócrito 40%
Plasma
Figura B3: Viscosidade variando em relação à temperatura do hematócrito e do
plasma sangüíneo. Figura adaptada de [26].
140
Com uma variação na velocidade de escoamento do sangue a viscosidade sofre uma
certa variação, devido à característica não-newtoniana. O sangue, tendo as propriedades de
fluido plástico, não apresenta nenhum escoamento até que uma tensão limítrofe
y
seja
excedida, após isso quanto maior for a velocidade menor será a viscosidade até um
determinado limite, observado na Figura B4. Isto deve-se ao aumento considerável no
número de Reynolds, definido como
vl
Re
, (B.8)
onde
é a massa específica do fluido, v é a velocidade do fluido dentro do canal, l é um
comprimento característico descritivo da geometria do campo de escoamento e
é a
viscosidade dinâmica do fluido. Este número é o principal responsável pelas definições de
fluidos viscosos e não-viscosos e também define se o escoamento é dito laminar ou
turbulento, que será visto com maior detalhe posteriormente.
O último fator exposto anteriormente que influencia na viscosidade do sangue é o
diâmetro do canal. Até aproximadamente 0,3 mm de diâmetro de um canal o sangue tem
viscosidade constante. Em vasos de calibre menor, a viscosidade diminui paradoxalmente,
conhecido como efeito Fahraeus-Lindqvist [26]. À medida que os canais diminuem, o
0
15
30
45
5
Velocidade (mm/s)
Viscosidade (centipoise)
60
10
Hematócrito 40%
Plasma
Água
Figura B4: Viscosidade variando em relação à velocidade do hematócrito, do
plasma e da água, a 37° C. Figura adaptada de [26].
141
número de Reynolds também diminui, fazendo com que o escoamento torne-se mais lento,
evidenciando a caracterítica de fluido pseudoplástico que o sangue possui. Este fenômeno
em velocidades baixas faz com que o efeito Fahraeus-Lindqvist seja invertido ou até
mesmo desapareça [27]. Esta influência do diâmetro sobre a viscosidade do sangue está
exemplificado na Figura B5, onde verifica-se uma certa característica assintótica da curva
em questão.
Para efeito de estudo do comportamento fluídico do dispositivo, utiliza-se água em seus
canais, devido à grande semelhança que este possui com o plasma sangüíneo, já que
apresentam características fluídicas muito parecidas, apresentadas na discussão acima.
0
0,1
0,2
0,3
2
Diâmetro (mm)
Viscosidade (centipoise)
0,4
4
Figura B5: Viscosidade variando em relação ao diâmetro do capilar. Figura
adaptada de [26].
142
Apêndice C
C.1) O número de Mach
As ondas mecânicas são ondas que exigem um meio material para se propagarem. Estas
ondas propagam-se através da interação de elementos de volume adjacentes em um
determinado meio material, que é caracterizado por um arranjo específico da matéria. Desta
forma, a onda sonora propaga-se com velocidade diferente em cada meio. Uma onda sonora
propaga-se devido a sucessivas compressões e rarefações e em cada material esses
movimentos têm uma determinada característica. Ao analisar a produção e a captação de
uma onda sonora, temos três referenciais bem definidos, uma fonte sonora, um meio no
qual a onda se propaga e um observador que capta tal onda. Quando um ou mais
referenciais estão em movimento, exitem variações da freqüência, devido à propagação
desta onda. Estas variações de freqüência foram propostas em 1842 pelo físico austríaco
Johann Christian Doppler e apenas testado experimentalmente em 1845 [16]. Este
fenômeno recebeu o nome de efeito Doppler. O efeito Doppler não vale apenas para ondas
sonoras, mas também para ondas eletromagnéticas. A equação que descreve este fenômeno
é dada por
S
D
vv
vv
ff
'
(C.1)
143
onde
f
é a freqüência emitida,
'f
é a freqüência detectada,
v
é a velocidade do som
através do ar,
D
v
é velocidade do detector em relação ao ar e
S
v
é a velocidade do emissor
da onda.
Quando um detector está estacionário em relação à massa de ar e a fonte está movendo-se,
a equação (C.1) terá a forma
S
vv
v
ff
'
. (C.2)
Se uma fonte se mover em direção a um detector estacionário com uma velocidade igual à
velocidade do som, teremos que
S
vv
. Desta forma, a fonte move-se tão rapidamente que
acompanha suas próprias frentes de onda esféricas. Ao mover-se com velocidades maiores
que a velocidade do som, a fonte é dita estar com velocidade supersônica. Assim, as
equações (C.1) e (C.2) não se aplicam mais. A Figura C1 representa as fontes de onda
esféricas que se originam em várias posições da fonte.
O raio de qualquer frente de onda na Figura C1b é vt, em que v é a velocidade do som e t é
o tempo decorrido desde que a fonte emitiu essa frente de onda. As frentes de onda forma
uma espécie de envoltório na forma de um cone, chamado de cone de Mach [16]. Neste
caso, a fonte acumula perturbações e ondas mais depressa do que elas podem ser
transmitidas ao longo do caminho, causando uma região única de grande perturbação,
devido a uma abrupta elevação e queda de pressão quando a superfície atravessa qualquer
Figura C1: (a) Fonte de som S se desloca com velocidade do som; (b) Fonte S se
desloca com velocidade superior à velocidade do som, com frentes de onda formando o
cone de Mach e uma onda de choque. Figura adaptada de (16).
S
.
x
s
v
S
.
x
s
v
.
.
S
1
vt
v
s
t
θ
(a)
(b)
Superfície do
cone de Mach
144
ponto, denominada onda de choque ao longo da superfície deste cone. O ângulo
do cone
formado pelas frentes de onda é chamado ângulo do cone de Mach [16], dado por
SS
v
v
tv
vt
sen
(C.3)
onde
S
v
é a velocidadedo som e
v
a velocidade da fonte. Esse ângulo define o que é
chamado de número de Mach [4], em homenagem ao físico austríaco Ernst Mach, que
introduziu este parâmetro em 1870, dado por
S
v
v
M
. (C.4)
Este número está presente em várias áreas da física, inclusive na mecânica dos fluidos.
Quando se estuda o escomento de gases ou líquidos, uma das formas de saber se o
escoamento é dito compressível ou incompressível é analisar o número de Mach do
escoamento, tendo
v
como a velocidade do escoamento.
Várias leis poderiam ser criadas, dependendo do tipo de forças que atuam. Por exemplo, o
número de Reynolds é proporcional à relação de força de inércia / força viscosa. O número
de Reynolds é útil em problemas de fluxo incompressível, no estabelecimento de
semelhança dinâmica, como critério para o tipo de fluxo, e como um parâmetro
adimensional na correlação de dados. Dois importantes parâmetros adimensionais para
fluxo compressível são a razão de calores específicos k e o número Mach.
Imagine o fluxo de um fluido compressível em torno de dois corpos geometricamente
semelhantes (ou através de dois canais geometricamente semelhantes) em que as forças
predominantes são inércia, pressão e força elástica.
Se apenas três forças estão envolvidas, especificando duas das forças, automaticamente a
terceira força é especificada, pois as três forças estão em equilíbrio. Uma relação
significativa é a relação de força de inércia / força elástica. A inércia é proporcional a
)/(
3
tvl
ou
22
vl
, onde l é um comprimento característico ou dimensão. A força de
compressão ou força elástica é proporcional ao
2
lE
. A força de inércia / força elástica é
proporcional a
145
2
2
2
2
22
c
v
E
v
El
vl
. (C.5)
Se a inércia e a forças elásticas determinarem o fluxo de um protótipo, então a semelhança
mecânica entre modelo e protótipo é realizada quando a razão
22
/ cv
para o modelo é igual
à razão correspondente a razão
22
/ cv
para o protótipo. Às vezes a relação
Ev /
2
é
chamada de número de Cauchy [1].
Para fins de semelhança dinâmica, a relação
S
vv /
poderia ser utilizada tão bem quanto a
relação
22
/ cv
.
Para um gás ideal o número de Mach quadrado pode ser escrito na forma [1]
kRT
v
M
2
2
. (C.6)
Segundo a teoria cinético-molecular dos gases, a temperatura absoluta é diretamente
proporcional à energia cinética média do movimento molecular. A quantidade de
2
v
é
diretamente proporcional à energia cinética do fluido. Assim, o fator
2
M
é proporcional à
razão do fluxo de energia cinética pela energia molecular ou energia interna [1].
146
BIBLIOGRAFIA
[1] Raymond C. Binder, ―Fluid Mechanics‖, PRENTICE-HALL, Inc. Englewood Cliffs,
N.J., Fifth Edition, (1973);
[2] A. K. T. Assis, ―Sobre os Corpos Flutuantes‖, Tradução Comentada de um Texto de
Arquimedes, Revista SBHC, v16, p.69-80, (1996);
[3] Mariam Rozhanskaya, I. S. Levinova, ―Statics‖, p. 642, in Rashed, Roshdi & Régis
Morelon, ―Encyclopedia of the History of Arabic Science‖, vol. 1 e 3, Routledge, 614-642,
ISBN 0415124107, (1996);
[4] Robert W. Fox, Alan T. McDonald, Philip J. Pritchard, ―Introdução à Mecânica dos
Fluidos‖, 6ª Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro - RJ, (2006);
[5] Patrick Tabeling, ―Introduction to Microfluidics‖, Oxford University Press, First
Edition, N.Y., (2006);
[6] Henrik Bruus, ―Theoretical Microfluidics‖, Oxford University Press, First Edition,
N.Y., (2008);
[7] Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi, ―Fundamentos da Mecânica
dos Fluidos‖, Versão S I, Volume 1 e 2, Editora Edgard Blücher LTDA, (1997);
147
[8] C. H. Green, J. White, ―Developing Design Tools for Biological and Biomedical
Applications of Micro – and Nano-technology‖, Biochips and Bioinformatics, 2005, 196-
200.
[9] Francis W. Sears, Gerhard L. Salinger, ―Termodinâmica, Teoria Cinética e
Termodinâmica Estatística‖, 3ª Edição, Editora Guanabara Dois S.A., Rio de Janeiro – RJ,
(1979);
[10] V. P. Carey, ―Liquid-Vapor Phase Change Phenomena”, Taylor & Francis ed.,
(1992);
[11] J. S. Rowlinson, B. Widom, ―Molecular Theory of Capillarity‖, Dover Publications,
Mineola – NY, (2002);
[12] J. N. Israelachvili, ―Intermolecular and Surface Forces‖, 2ª edição, Academic Press,
(1991);
[13] P. Roura, J. Fort, ―Local Thermodynamic Derivation of Young’s Equation‖, Journal of
Colloid and Interface Science, 272, pp.420-429, (2004);
[14] C. J. Adkins, ―Equilibrium Thermodynamics‖, Cambridge University Press, (1983);
[15] D. Myers, ―Surfactant Science and Technology‖, Wiley Press, Third Edition, (2006);
[16] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, ―Fundamentos de Física – Gravitação, Ondas e
Termodinâmica”, Editora LTC, Volume 2, Sexta Edição, (1997);
[17] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ―Fluid Mechanics - Course of Theoretical Physics‖,
Volume 6, Pergamon Press, London – Paris - Frankfurt, (1959);
148
[18] ―U.S. Standard Atmosphere 1976‖, U.S. Government Printing Office, Washington,
D.C., (1976);
[19] R. I. Tanner, ―Engineering Rheology‖, Oxford: Clarendon Press, Oxford – U.K.,
(1985);
[20] http://science.nasa.gov/headlines/y2008/25apr_cvx2.htm?, acessado dia 17/12/09;
[21] J. A. A. de Carvalho, T. T. de Oliveira, ―Mecânica dos fluidos aplicada a escoamento
do sangue na microcirculação‖, 16° POSMEC. FEME/UFU, Uberlândia-MG, (2006);
[22] E. Chemello, ―Ciência Forense – Manchas de Sangue‖, Química Virtual, Janeiro -
(2007);
[23] R. Śkalak, N. Özkaya, T. C. Skalak, ―Biofluid Mechanics‖, Annu. Rev. Fluid Mech.,
1989.21:167-204;
[24] H. L. Goldsmith, R. Skalak, ―Hemodynamics‖, Annu. Rev. Fluid Mech., 1975.7:213-
247;
[25] Y. C. Fung, B. W. Zweifach, ―Microcirculation: Mechanics of Blood Flow in
Capillaries‖, Annu. Rev. Fluid Mech., 1971.3:189-210;
[26] M. A. Meier, ―Reologia do Sangue‖, Revista Brasileira de Anestesiologia, Ano 17, nº
3, julho-setembro, (1967);
[27] R. H. Haynes, ―Physical basis of the dependence of blood viscosity on tube radius‖,
Am. J. Physiol., 198:1193-1200, (1960);
[28] P. de Gennes, F. Brochard-Wyart, D. Queré, ―Capillarity and Wetting Phenomena –
Drops, Bubbles, Pearls, Waves‖, Springer-Verlag, N.Y., (2004);
149
[29] F. Perdigones, A. Luque, J.M. Quero, ―PDMS microdevice for precise liquid
aspiration in the submicroliter range based on the Venturi effect‖, Microelectronic
Engineering, (2010);
[30] H. Wu, A. Wheeler, R. N. Zare, ―Chemical cytometry on a picoliter-scale integrated
microfluidic chip‖, PNAS, August 31, vol. 101, no. 35, 12809–12813, (2004);
[31] A. J. deMello, ―Control and detection of chemical reactions in microfluidic systems‖,
NATURE, vol. 442, July 27, doi:10.1038/nature05062, (2006);
[32] A. A. S. Bhagat, E. T. K. Peterson, I. Papautsky, ―Passive Micromixer with Break-Up
Obstructions‖, Proc. of SPIE Vol. 6112 61120J-1, (2006);
[33] A. A. S. Bhagat, E. T. K. Peterson, I. Papautsky, ―A Simple Planar Micromixer with
Low Pressure Drop For Disposable Lab-on-a-Chip (LOC) Systems‖, Proc. of SPIE Vol.
6465 64650A-1, (2007);
[34] X. Niu, L. Liu, W. Wen, P. Sheng, ―Microfluidic Manipulation in Lab-chips Using
Electrorheological Fluid‖, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 18, 1187,
DOI: 10.1177/1045389X07083655, (2007);
[35] M. M. Grafton, B. Geheb, J. H. Jang, H. Chuang, P. Rajdev, L. M. Reece, P. P.
Irazoqui, S. T. Wereley, B. Jung, J. F. Leary, ―Microfabrication Of A Two-Stage Biomems
Microfluidic Cell Sorter‖, Proc. of SPIE Vol. 7207 72070A-1, (2009);
[36] S. Yang, A. Ündar, J. D. Zahn, ―A microfluidic device for continuous, real time blood
plasma separation‖, Lab Chip, 2006, 6, 871–880, (2006);
[37] C. Blattert, R. Jurischka, A. Schoth, P. Kerth, W. Menz, ―Separation of Blood Cells
and Plasma in Microchannel Bend Structures‖, Proc. of SPIE Vol. 5591, (2004);
150
[38] A. Terray, J. Oakey, D. W. M. Marr, ―Fabrication of linear colloidal structures for
microfluidic applications‖, Applied Physics Letters Volume 81, Number 9, 26 August,
(2002);
[39] A. Terray, J. Oakey, D. W. M. Marr, ―Microfluidic Control Using Colloidal Devices‖,
Science, 296, 1841, (2002);
[40] J. M. Bienvenue, L. A. Legendre, J. P. Ferrance, J. P. Landers, ―An integrated
microfluidic device for DNA purification and PCR amplification of STR fragments‖,
Forensic Sci. Int. Genet., doi:10.1016/j.fsigen.2009.02.010, (2009);
[41] E. Stride, M. Edirisinghe, ―Novel microbubble preparation technologies‖, Soft Matter,
4, 2350–2359, (2008);
[42] M. Prakash, N. Gershenfeld, ―Microfluidic Bubble Logic‖, Science 315, 832, (2007);
[43] P. Mitchell, ―Microfluidics—downsizing large-scale biology‖, NATURE, August, vol.
19, (2001);
[44] G. Andrieux, J. Eloy, E. Mounier, ―Technologies and market trends for polymer
MEMS in microfluidics and lab-on-chip‖, Proc. of SPIE Vol. 5718, (2005);
[45] J. Kim, H. Kido, J. V. Zoval, D. Gagné, R. Peytavi, F. J. Picard, M. Bastien, M.
Boissinot, M. G. Bergeron, M. J. Madou, ―Rapid and automated sample preparation for
nucleic acid extraction on a microfluidic CD (compact disk)‖, Proc. of SPIE Vol. 6112
611204-1, (2006);
[46] A. W. Martinez, S. T. Phillips, G. M. Whitesides, ―Three-dimensional microfluidic
devices fabricated in layered paper and tape‖, PNAS, December 16, vol. 105, no. 50,
(2008);
151
[47] W. Gu, X. Zhu, N. Futai, B. S. Cho, S. Takayama, ―Computerized microfluidic cell
culture using elastomeric channels and Braille displays‖, PNAS, November 9, vol. 101, no.
45, (2004);
[48] G. van Wylen, R. Sonntag, C. Borgnakke, ―Fundamentos da Termodinâmica
Clássica‖, 2ª Reimpressão, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo – SP, (2001);
[49] E. Entcheva and H. Bien, ―Acoustic micromachining of three-dimensional surfaces for
biological applications‖, Lab Chip, 2005, 5, 179-183;
[50] H. Qi, T. Chen, L. Yao and T. Zuo, ―Micromachining of microchannel on the
polycarbonate substrate withCO2 laser direct-writing ablation‖, Optics and Lasers in
Engineering 47, 594–598, (2009);
[51] Tzong-Shyng Leu, Pei-Yu Chang, "Pressure barrier of capillary stop valves in micro
sample separators", Sensors and Actuators A, 115, 508–515, (2004);
[52] P. Marmottant, S. Hilgenfeldt, ―A bubble-driven microfluidic transport element for
bioengineering‖, PNAS, June 29, vol. 101, no. 26, (2004);
[53] P. C. H. Li, ―Microfluidic Lab-on-a-Chip for Chemical and Biological Analysis and
Discovery‖, Chromatographic Science Series, Volume 94, Taylor & Francis imprint, Boca
Raton – London – New York, (2006);
[54] D. C. Duffy, H. L. Gillis, J. Lin, N. F. Sheppard, Jr., G. J. Kellogg, ―Microfabricated
centrifugal microfluidic systems: Characterization and multiple enzymatic assays‖, Anal.
Chem., 71(20), 4669-4678, (1999);
[55] J. V. Zoval, M. J. Madou, ―Centrifuge-based fluidic plataforms‖, Proc. IEEE, 92, 140-
153, (2004);
152
[56] C. Kittel, ―Introdução à Física do Estado Sólido‖, Editora LTC, 8ª Edição, (2006);
[57] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, ―Quantum Mechanics‖, vol.1 e 2, Wiley-
Interscience Publication, Paris, (1977);
[58] J. E. Lennard-Jones, ―On the Forces between Atoms and Íons‖, Proc. Roy. Soc., v. A
106, p. 463, (1924);
[59] L. Landau, E. Lifshitz, ―Mecânica quântica – Teoria não relativista‖, vol. 3, Editora
Mir, Moskou, (1985);
[60] P. F. Man, C. H. Mastrangelo, M. A. Burns, D. T. Burke, ―Microfabricated Capillarity-
Driven Stop valve and Sanple Injector‖, Proc. IEEE, 45-50, (1998);
[61] Sakurai, J. J., ―Modern Quantum Mechanics‖, Addison Wesley Publishing Company,
(1994);
[62] Jackson, J. D., ―Eletrodinâmica Clássica‖, 2ª edição, Guanabara Dois, Rio de Janeiro -
RJ, (1983);
[63] Montgomery, D. C., ―Design and analysis of experiments‖, Fifth edition, Wiley Press,
N.Y., (2001);
[64] D. C. Montgomery, G. C. Runger, ―Estatística aplicada e probabilidade para
engenheiros‖, 2ª edição, Rio de Janeiro – RJ, (2003);
[65] David D. Nolte, ―Invited Review Article: Review of centrifugal microfluidic and bio-
optical disks‖, Review of Scientific Instruments, 80, 101101-1, (2009).
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