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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CINTHYA BUENO
ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: MANIFESTAÇÕES DE
ESTUDANTES DO PRIMEIRO CICLO SOBRE GEOMETRIA
CURITIBA
2009
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CINTHYA BUENO
ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: MANIFESTAÇÕES DE
ESTUDANTES DO PRIMEIRO CICLO SOBRE GEOMETRIA
Dissertação apresentada como requisito
parcial à obtenção do grau de Mestre em
Educação, ao Programa de Pós-Graduação
em Educação, Linha de Pesquisa: Educação
Matemática, Setor de Educação, da
Universidade Federal do Paraná.
Orientadora:
Prof.
a
Dr.
a
Ettiène Cordeiro Guérios
CURITIBA
2009
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TERMO DE APROVAÇÃO
CINTHYA BUENO
ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: MANIFESTAÇÕES DE
ESTUDANTES DO PRIMEIRO CICLO SOBRE GEOMETRIA
Dissertação aprovada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre
em Educação, ao Programa de Pós-Graduação em Educação, Linha de
Pesquisa: Educação Matemática, Setor de Educação, da Universidade
Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:
Orientadora: Prof.
a
Dr.
a
Ettiène Cordeiro Guérios
Universidade Federal do Paraná
Prof.
a
Dr.
a
Maria da Conceição Ferreira Reis Fonseca
Universidade Federal de Minas Gerais
Prof.
a
Dr.
a
Maria Tereza Carneiro Soares
Universidade Federal do Paraná
Prof. Dr. Emerson Rolkouski
Universidade Federal do Paraná
Curitiba, 25 de agosto de 2009.
AGRADECIMENTOS
A Deus.
À Professora Dr.
a
Ettiène Cordeiro Guérios, pela orientação desta pesquisa
e pelas preciosas contribuições e ensinamentos.
À Professora Dr.
a
Maria da Conceição Ferreira Reis Fonseca e à
Professora Dr.
a
Maria Tereza Carneiro Soares, pelas valiosas sugestões
apresentadas no Exame de Qualificação, colaborando para um direcionamento
final à pesquisa.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação da
Universidade Federal do Paraná, pelas suas contribuições durante as disciplinas
e os seminários de pesquisa.
Aos colegas do mestrado, pelas discussões e sugestões durante os
seminários de pesquisa.
Às crianças que participaram e colaboraram nesta pesquisa.
Às escolas e às direções, tanto do ensaio, realizado como forma de
estudo-piloto, quanto da Escola Municipal que me abriu espaço para a realização
deste estudo.
À Secretaria Municipal de Educação, pela licença concedida para a
realização desta pesquisa.
À minha mãe Dircelha, meu pai Altevir e meu irmão Rodrigoh, que tanto
me incentivaram, apoiaram e auxiliaram, não só durante o curso, mas em todos
os momentos importantes de minha vida. Amo vocês!
Ao meu namorado Carlos, pela compreensão, pelo amor e pelo incentivo
em todos os momentos. Amo você!
Às minhas amigas, pelo carinho, incentivo e compreensão durante o
desenvolvimento deste trabalho.
RESUMO
Esta pesquisa observou manifestações de estudantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental
a respeito de algumas figuras geométricas (triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos).
Buscou-se, através de desenho, reconhecimento de figuras e explicações orais, verificar como
eles compreendem cada uma dessas figuras geométricas, analisando suas manifestações
orais e escritas. Algumas das atividades desenvolvidas pelos estudantes foram criadas pela
pesquisadora e, outras, extraídas das propostas por Van Hiele. Os sujeitos desta pesquisa
foram seis estudantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental de uma escola municipal de
Curitiba, Paraná, sendo dois do 1.
o
ano, dois do 2.
o
ano e dois do 3.
o
ano. A metodologia de
pesquisa foi qualitativa, com enfoque interpretativo. Os resultados mostraram que há
indícios de compreensão conceitual em geometria no Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental,
já que alguns estudantes mostraram conhecimento de propriedades de figuras geométricas,
embora não utilizem linguagem adequada. Eles se encontram em processo de alfabetização
matemática em geometria por estarem aprendendo o "alfabeto matemático" referente à
geometria, ou seja, a leitura e a escrita de figuras geométricas. As dificuldades referem-se,
em grande parte, ao não reconhecimento de figuras geométricas em desenhos que não se
assemelhem a protótipos usualmente apresentados.
Palavras-chave: Alfabetização matemática. Educação matemática. Geometria no Primeiro
Ciclo. Linguagem matemática.
ABSTRACT
The present research observed students attending the first grades of elementary school to
check their oral and written manifestations towards some geometric figures (triangle,
quadrilateral, square and rectangle). We intended to understand what each geometric figure
meant to them by analyzing their oral and written manifestations through using drawings,
recognition of figures and oral explanations. Some activities developed by the students were
created by the researcher and others were taken from Van Hiele proposals. The research
focused on six students attending a municipal elementary school in Curitiba, Paraná: two 1st
grade, two 2nd grade and two 3rd students. The research used a qualitative methodology
with an interpretative focus. Results show there are indication that students in the first grades
of elementary school have a conceptual understanding of geometry, since some of them showed
knowledge of geometric figure properties, although they were not able to use an adequate
language to express it. Those students are in the process of learning mathematical literacy in
geometry, for they are studying the “mathematical alphabet” concerning geometry, that’s to
say, geometric figure reading and writing. Main difficulties lie in the fact that they do not
recognize geometric figures if drawings are not similar to the prototypes usually shown to them.
Key-words: Mathematical literacy. Mathematical education. Geometry in elementary school
first grades. Mathematical language.
LISTA DE FIGURAS
1 - ATIVIDADE 2........................................................................................................................... 43
2 - ATIVIDADE 3........................................................................................................................... 44
3 - TRIÂNGULO REPRESENTADO PELA ESTUDANTE G ......................................................... 49
4 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE G ................................................... 50
5 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELO ESTUDANTE R................................................... 51
6 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELO ESTUDANTE R ................................................. 51
7 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2............................................................................................. 52
8 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2............................................................................................. 53
9 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2............................................................................................. 54
10 - ATIVIDADE 3 DO ESTUDO-PILOTO...................................................................................... 55
11 - TRIÂNGULO REPRESENTADO PELO ESTUDANTE F (A) NA ATIVIDADE 1..................... 59
12 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELO ESTUDANTE F (B, C) NA ATIVIDADE 1.............. 60
13 - RETÂNGULO REPRESENTADO PELO ESTUDANTE F (D) NA ATIVIDADE 1 ................... 61
14 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELO ESTUDANTE F....................................... 61
15 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELO ESTUDANTE F....................................... 62
16 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELO ESTUDANTE F....................................... 62
17 - ATIVIDADE 3 REALIZADA PELO ESTUDANTE F................................................................. 64
18 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE E (A, B) NA ATIVIDADE 1............ 66
19 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE E (C, D, E) NA ATIVIDADE 1 ....... 67
20 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE E (F, G, H) NA ATIVIDADE 1...... 67
21 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE E....................................... 68
22 - DESENHO CIRCULADO PELA ESTUDANTE E COMO TRIÂNGULO ................................... 69
23 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE E....................................... 69
24 - DESENHO CIRCULADO PELA ESTUDANTE E COMO QUADRADO ................................... 69
25 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE E....................................... 70
26 - ATIVIDADE 3 REALIZADA PELA ESTUDANTE E ................................................................. 71
27 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE D (A, B) NA ATIVIDADE 1............ 73
28 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE D (C, D) NA ATIVIDADE 1............ 74
29 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE D (E, F, G) NA ATIVIDADE 1...... 74
30 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE D....................................... 75
31 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE D....................................... 76
32 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE D....................................... 76
33 - ATIVIDADE 3........................................................................................................................... 77
34 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE C (A, B, C) NA ATIVIDADE 1 ....... 79
35 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE C (D, E) NA ATIVIDADE 1............ 80
36 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE C (F, G, H) NA ATIVIDADE 1 ..... 80
37 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE C....................................... 81
38 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE C....................................... 81
39 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE C....................................... 82
40 - ATIVIDADE 3 REALIZADA PELA ESTUDANTE C................................................................. 83
41 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE B (A, B, C) NA ATIVIDADE 1 ....... 87
42 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE B (D, E) NA ATIVIDADE 1............ 87
43 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE B (F, G, H) NA ATIVIDADE 1...... 88
44 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE B....................................... 88
45 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE B....................................... 89
46 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE B....................................... 89
47 - ATIVIDADE 3........................................................................................................................... 90
48 - TRIÂNGULO (A) E QUADRADO (B) REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE A NA
ATIVIDADE 1........................................................................................................................... 92
49 - RETÂNGULO REPRESENTADO PELA ESTUDANTE A (C) NA ATIVIDADE 1.................... 93
50 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE A....................................... 94
51 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE A....................................... 94
52 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE A....................................... 95
53 - ATIVIDADE 3........................................................................................................................... 96
SUMÁRIO
1 A PESQUISA............................................................................................................. 9
1.1 INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA.......................................................................... 9
1.2 O PROBLEMA......................................................................................................... 15
1.3 O OBJETIVO........................................................................................................... 15
2 ASPECTOS TEÓRICOS ........................................................................................... 16
2.1 LINGUAGEM E ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA ................................................ 16
2.2 O ENSINO DE GEOMETRIA NO PRIMEIRO CICLO ............................................. 23
3 METODOLOGIA DE PESQUISA.............................................................................. 41
4 ESTUDO DAS MANIFESTAÇÕES DOS ESTUDANTES......................................... 46
4.1 UM ENSAIO ............................................................................................................ 46
4.2 DESVELANDO O PENSAMENTO MATEMÁTICO DOS ESTUDANTES............... 58
4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROCESSO DE ALFABETIZAÇÃO
MATEMÁTICA EM GEOMETRIA............................................................................ 99
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 104
REFERÊNCIAS................................................................................................................ 110
APÊNDICE 1 - ATIVIDADE 2........................................................................................ 114
APÊNDICE 2 - ATIVIDADE 3........................................................................................ 115
APÊNDICE 3 - ATIVIDADES DO ENSAIO DA ESTUDANTE G .................................. 116
APÊNDICE 4 - ATIVIDADES DO ENSAIO DA ESTUDANTE M.................................. 131
APÊNDICE 5 - ATIVIDADES DO ENSAIO DO ESTUDANTE R .................................. 147
APÊNDICE 6 - ATIVIDADES DA ESTUDANTE A ....................................................... 163
APÊNDICE 7 - ATIVIDADES DA ESTUDANTE B ....................................................... 167
APÊNDICE 8 - ATIVIDADES DA ESTUDANTE C ....................................................... 176
APÊNDICE 9 - ATIVIDADES DA ESTUDANTE D ....................................................... 186
APÊNDICE 10 - ATIVIDADES DA ESTUDANTE E........................................................ 194
APÊNDICE 11 - ATIVIDADES DO ESTUDANTE F........................................................ 204
9
1 A PESQUISA
1.1 INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
O ensino da Matemática é uma das grandes preocupações dos professores
e pesquisadores, já que muitos estudantes apresentam dificuldades e, principalmente
por este motivo, não gostam da disciplina. Como professora da Rede Municipal de
Educação de Curitiba, especialmente dos estudantes dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, pude perceber a grande dificuldade destes em compreender matemática.
Essa preocupação fez-me buscar referenciais teóricos que ampliassem minha prática
docente e formular um projeto de intervenção que pudesse colaborar para a melhoria
da compreensão dos estudantes na disciplina de Matemática. Participei então, em
2004, do Projeto Fazendo Escola
1
cujo título foi: "A importância da Alfabetização
Matemática", com orientação do professor Eduardo Quadros da Silva (
PUC-PR
). Nesse
trabalho, investiguei se alguns professores e se os pais dos estudantes de minha
turma tiveram dificuldade com a matemática durante seus estudos e constatei que
aproximadamente 67% dos pais e 83% dos professores entrevistados enfrentaram
dificuldades em matemática principalmente durante o ensino fundamental.
Atualmente, trabalho na Secretaria Municipal da Educação, na Equipe de
Matemática, atuando diretamente com professores do ensino fundamental. Além disso,
trabalho como professora de Matemática em uma escola municipal de Curitiba, atuando
com três turmas de sexta série, onde percebo que a dificuldade em matemática
torna-se ainda maior.
1
A Secretaria Municipal de Educação de Curitiba lançou em 1998 o Projeto Fazendo Escola,
oferecendo uma bolsa-auxílio aos professores e pedagogos que elaborassem e desenvolvessem
um projeto com os estudantes que contribuísse para a melhoria da educação. Em 2005 o projeto
recebeu o nome de Projeto Universidade-Escola. Os profissionais que têm seus projetos aprovados
recebem orientação de professores universitários.
10
Ao analisar os resultados da Prova Brasil, realizada em 2005, na qual a
cidade de Curitiba obteve uma média de 185,83 pontos para estudantes de 4.
a
série
e 232,40 pontos para estudantes de 8.
a
série, pode-se perceber a grande dificuldade
dos estudantes em matemática, já que esses números são inferiores ao mínimo
esperado, que é de 200 pontos para a 4.
a
série e 300 pontos para a 8.
a
série. Apesar
de estes resultados serem menores que o mínimo esperado, Curitiba foi a capital do
Brasil com maior média, o que demonstra que a dificuldade é nacional. Ela tem início
nos primeiros anos e acentua-se nos anos finais do ensino fundamental. Essa grande
dificuldade dos estudantes com a matemática é uma das preocupações da
Educação Matemática, que "estuda o ensino e a aprendizagem da Matemática"
(
FIORENTINI
;
LORENZATO
, 2006, p.5).
Percebendo que estudantes da 4.
a
série (ou 5.
o
ano) do ensino fundamental
já apresentavam dificuldades em matemática, a Secretaria Municipal da Educação de
Curitiba realizou, em 2007, uma avaliação de Língua Portuguesa e de Matemática com
os estudantes da 2.
a
etapa do Ciclo I
2
(equivalente à 2.
a
série ou 3.
o
ano). Participaram
desta avaliação os estudantes de todas as escolas municipais de Curitiba que estavam
na 2.
a
etapa do Ciclo I. O resultado desta avaliação mostrou que estudantes no início
da escolarização também apresentavam dificuldade em matemática, nos mais diversos
conteúdos. Esta avaliação trouxe questões envolvendo diversas linguagens: aritmética,
geométrica, probabilística, gráfica, estatística e lógica. Uma questão relacionada à
geometria trazia o desenho de um sólido geométrico e solicitava que o estudante
apontasse em qual das quatro alternativas estavam desenhadas todas as faces do sólido.
Nesta questão, apenas 30,69% dos estudantes das escolas da Rede Municipal de Ensino
de Curitiba identificaram todas as faces do sólido geométrico de forma adequada.
Buscando verificar se os jovens de 15 anos estão bem preparados para os
desafios da vida, o
PISA
(Programa Internacional de Avaliação de Estudantes) mede
o letramento em leitura, matemática e ciências. O
Programa foi lançado pela
OCDE
2
O Ciclo I é composto pelos 1.
o
, 2.
o
e 3.
o
anos do ensino fundamental, de 9 anos.
11
(Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômicos) em virtude da
necessidade de evidências sobre o desempenho dos estudantes em comparação
internacional.
O PISA
é um compromisso assumido pelos governos dos países da
OCDE
para monitorar regularmente os resultados dos sistemas educacionais através
dos estudantes em uma estrutura comum estabelecida por consenso entre os países.
O Brasil, apesar de não fazer parte da
OCDE
, participa das avaliações realizadas
pelo
PISA
.
O PISA tem como meta produzir uma nova base para o diálogo entre políticas e
para a colaboração na definição e na operacionalização de metas educacionais –
por meios inovadores que reflitam julgamentos sobre habilidades relevantes
para a vida adulta (OCDE PISA, 2003, p.3).
No ano de 2003 a ênfase foi dada à matemática. Participam dessa avaliação
internacional os estudantes que têm entre 15 anos e três meses e 16 anos e dois
meses, desde que estejam matriculados em alguma instituição educacional (
OCDE
PISA
, 2003, p.18). Para o
PISA
, letramento em matemática é definido como:
[...] a capacidade de identificar, compreender e operar com matemática, e
de fazer julgamentos bem fundamentados sobre o papel da matemática na
vida privada atual e futura do indivíduo, na vida ocupacional, na vida social
com pares e parentes e na vida como cidadão construtivo, preocupado e
capaz de reflexão (OCDE PISA, 2003, p.23).
Além da avaliação do desempenho dos estudantes, o
PISA
também coleta
dados sobre o aluno, a família e as instituições que possam contribuir para explicar
diferenças de desempenho.
O resultado de 2003 mostrou que metade dos estudantes brasileiros está
abaixo do nível 1. É importante ressaltar que os estudantes do nível 1 "são capazes
de completar somente um único passo processual consistindo em reproduzir fatos
ou processos matemáticos básicos, ou de aplicar habilidades de cálculo simples"
(
OCDE PISA
, 2003, p.82). Dessa forma, verifica-se que o resultado apresentado pelos
estudantes brasileiros é muito preocupante.
12
O INAF
(Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional)
3
de 2002 levantou
dados sobre as habilidades matemáticas da população brasileira de 15 a 64 anos de
idade. De acordo com Fonseca (2004), habilidade matemática foi considerada como:
[...] a capacidade de mobilização de conhecimentos associados à quantificação,
à ordenação, à orientação e a suas relações, operações e representações,
na realização de tarefas ou na resolução de situações-problema, tendo sempre
como referência tarefas e situações com as quais a maior parte da população
brasileira se depara cotidianamente (FONSECA, 2004, p.13).
O livro Letramento no Brasil: habilidades matemáticas (2004) traz a discussão
sobre os resultados do
INAF
2002, realizado com 2.000 pessoas espalhadas por mais
de 140 municípios brasileiros em todos os estados da federação, em zona urbana,
rural e periferia. Além de um conjunto de tarefas que avaliaram suas habilidades em
matemática, foram coletados dados como idade, sexo, classe econômica, grau de
escolaridade etc. e observou-se que, embora diferentes variáveis mostrassem interfe-
rências no desempenho dos sujeitos, o que melhor correlaciona o desempenho no
teste é o grau de instrução a que esse sujeito teve acesso. Foram propostas aos
entrevistados 36 tarefas de matemática de diferentes complexidades que exigiam
habilidades de leitura e escrita de números e de outras representações matemáticas
de uso social frequente (gráficos, tabelas, escalas etc.) e, ainda, a análise ou solução
de situações-problema envolvendo operações aritméticas simples (adição, subtração,
multiplicação e divisão), raciocínio proporcional, cálculo de porcentagens, medidas
de tempo, massa, comprimento e área. As questões foram propostas oralmente pelo
entrevistador, com possibilidade de manipulação de suportes conhecidos da população
em geral, como calendário, cédulas e moedas, folhetos de propaganda, jornal, mapa e
aparelhos simples de medida como relógio, fita métrica e régua. É importante destacar
que os entrevistadores não eram professores de matemática ou educadores, eram
3
O INAF é uma iniciativa do Instituto Paulo Montenegro e da ONG Ação Educativa que consiste no
levantamento periódico de dados sobre as habilidades de leitura, escrita e matemática da população
brasileira. Foi lançado em 2001e tem como objetivo divulgar informações e análises que ajudem a
compreender e solucionar o problema da exclusão educacional no País.
13
entrevistadores do Ibope. A resposta do entrevistado era dada oralmente ou por gestos
como apontar, por exemplo. Uma única questão exigia a produção escrita, em que o
número de um telefone era solicitado. Para a realização das tarefas, o entrevistado
poderia utilizar recursos como lápis e papel e calculadora. O questionário apresentava
também questões sobre o julgamento que o entrevistado fazia de si mesmo em suas
capacidades de leitura de números e cálculo.
O INAF
aponta que a maior dificuldade
dos entrevistados não está em realizar operações, mas em resolver problemas.
Essas são somente algumas das situações em que a dificuldade em matemática
aparece. Cabe a nós uma indagação: por que há tanta dificuldade em matemática?
Este questionamento pode trazer as mais diversas respostas, porém focamos aqui,
nesta pesquisa, a necessidade de se trabalhar com a linguagem matemática.
Afinal, a matemática tem uma linguagem própria, diferente da linguagem
natural. A linguagem matemática utiliza termos e símbolos (signos) que são próprios
dela, ou seja, o seu próprio alfabeto e sua gramática, como bem afirma Danyluk (1991).
Essa linguagem precisa ser ensinada de maneira estruturada na escola desde os
primeiros anos de escolarização. Dessa forma, é preciso que durante o processo de
alfabetização em língua portuguesa ocorra também um processo semelhante em
matemática, ou seja, que estes estudantes aprendam a ler e a escrever a linguagem
matemática usada nas primeiras séries de escolarização. Mas que leitura é essa? Essa
leitura não é a mera decodificação de símbolos, mas a leitura com compreensão dos
conceitos apresentados. Assim, a Alfabetização Matemática envolve a compreensão,
a interpretação e a comunicação de conteúdos matemáticos ensinados na escola e
considerados iniciais para a construção do conhecimento matemático. Esse conheci-
mento matemático inicial envolve a leitura e escrita das primeiras noções de lógica,
aritmética e geometria.
O ensino da Geometria, em especial, ainda recebe uma atenção menor
por parte de alguns professores do que conteúdos numéricos, sendo estes últimos
considerados mais acessíveis e importantes por alguns professores (
BARRANTES;
BLANCO
, 2004, p.36).
14
O livro A Geometria nas séries iniciais (2003) traz alguns resultados das
pesquisas de doutorado de Nacarato e Passos, que realizaram seus estudos com
professores dos primeiros anos do ensino fundamental. Elas observam "ser comum
professores chegarem à pós-graduação sem um raciocínio geométrico formado".
(
NACARATO; PASSOS
, 2003, p.69). Este fato é algo que nos instiga, já que,
se o professor apresenta tal dificuldade, possivelmente seus alunos também a
apresentem, caso não seja realizado um trabalho específico com a compreensão de
conceitos geométricos.
Por esse motivo, a presente pesquisa procurou centrar-se no ensino da
Geometria. Dessa forma, a Alfabetização Matemática em Geometria busca a leitura
e a escrita dos conceitos relacionados à geometria, sendo que esta leitura envolve
compreensão dos conceitos geométricos presentes. Assim sendo, ao realizar a leitura e
a escrita de figuras geométricas, o estudante precisa ter compreensão da linguagem
geométrica ali presente.
Com isso, buscou-se uma escola municipal de Curitiba para observar mani-
festações de alguns estudantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental a respeito
de algumas figuras geométricas (triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos),
já que esses estudantes estão em processo de alfabetização matemática.
Para tanto, apresentam-se primeiramente alguns aspectos teóricos sobre
linguagem, linguagem matemática, alfabetização matemática e geometria.
Em seguida, faz-se um relato da Metodologia de pesquisa utilizada e um
estudo das manifestações dos estudantes, desde o ensaio realizado, sob a forma de
um estudo-piloto.
Apresentam-se, então, as manifestações dos estudantes observadas nos
diálogos entre eles e a pesquisadora durante as atividades realizadas. Trazem-se,
também, considerações sobre o movimento percebido no processo de alfabetização
matemática, onde se buscou relatar as manifestações orais e escritas de estudantes do
Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental sobre algumas figuras geométricas – triângulos,
quadriláteros, quadrados e retângulos –, observando principalmente a compreensão
15
que demonstram ter do conceito dessas figuras, seja por meio de desenhos, da
identificação de desenhos apresentados a eles ou em sua fala.
1.2 O PROBLEMA
Mediante diversas manifestações orais e escritas, procurou-se observar a
compreensão que estudantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental, que estão
em um período de alfabetização matemática, demonstram ter do conceito de algumas
figuras geométricas: triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos.
1.3 O OBJETIVO
A presente pesquisa tem como objetivo observar a compreensão que estu-
dantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental demonstram ter sobre algumas figuras
geométricas, comumente previstas como conteúdos escolares a estudantes que se
encontram em processo de alfabetização matemática em geometria.
16
2 ASPECTOS TEÓRICOS
2.1 LINGUAGEM E ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA
A Matemática tem sido vista por muitos estudantes como um "monstro", algo
difícil de ser compreendido. Rômulo Campos Lins (2004) afirma que um dos motivos
para isto é que a matemática acaba ficando muito distante do cotidiano "extraescolar".
Eles não compreendem matemática e acabam não gostando da disciplina.
Além dos estudantes, alguns professores também consideram que matemática
é difícil e que somente alguns dos estudantes (a minoria) vão compreendê-la:
De acordo com Paulus Gerdes (1981, p.3) a matemática é percebida, por
muitos indivíduos, como sendo uma disciplina abstrata e totalmente separada
das situações cotidianas, pois, muitos pensam que a matemática é uma ciência
abstrata, muito difícil de aprender e desligada do cotidiano do homem. Há
professores que afirmam abertamente nas suas aulas que a matemática é
difícil e pensam que é acessível a uma minoria (PIROLA; BRITO, 2005, p.85).
Também Corrêa (2005) comenta que apesar de as aplicações da matemática
estarem presentes nas ciências e na vida social, através dos meios de comunicação
(tanto orais quanto escritos), "a Matemática é tida socialmente como uma ciência
fria, difícil, abstrata e inumana" (p.93).
Danyluk (1991), ao pesquisar a relação de futuros professores dos
primeiros anos do ensino fundamental (estudantes do curso de Magistério) com a
Matemática, observou que:
A maioria desses futuros professores confessava não saber ensinar Matemática
e não gostar dessa ciência. Afirmavam que haviam escolhido o curso de
Magistério por acharem que, em tal curso, "não teriam muito de Matemática".
Eles mostravam não gostar de Matemática e achavam-se incapazes
de entendê-la. Esses futuros professores consideravam que quem "sabia"
Matemática era um gênio (DANYLUK, 1991, p.18).
Se os próprios professores (ou futuros professores) consideram a matemática
difícil, provavelmente repassarão esta dificuldade para seus alunos, que poderão
17
não compreender matemática, não gostar da disciplina e, consequentemente, não
saberão a importância de estudá-la. Outros professores, buscando facilitar as tarefas
de matemática para os estudantes, acabam criando posteriores dificuldades, já que
a facilitação de uma tarefa traz somente um resultado momentâneo, como afirma
Lins (2004, p.112): "[...] o que se produz com a suposta facilitação é o oposto, é a
criação de dificuldades posteriores". Estas dificuldades, criadas por falsas facilitações,
vão aparecendo aos poucos desde os primeiros anos do ensino fundamental.
Nesse momento, cabe a nós lembrarmos: por que se ensina matemática
na escola? Sobre isto, Carvalho (2005, p.103) cita D'Ambrosio (1993)
4
:
[...] D'Ambrósio, após indagar-se e refletir, 'por que se ensina matemática com
tal intensidade e universalidade?', encontra respostas 'numa multiplicidade de
razões associadas a uma quina de valores: 1. utilitário; 2. cultural; 3. formativo;
4. sociológico; 5. estético'.
Assim como Carvalho, não estamos defendendo aqui uma abordagem
exclusivamente utilitarista da matemática, mas defendemos que é possível, sim,
apresentar o aspecto utilitário desse conhecimento, em especial nos primeiros anos de
escolarização. Com isso, estaremos mostrando alguns dos usos sociais de conteúdos
matemáticos aos estudantes.
Danyluk (1991) comenta que é preciso que se tenha atenção para não
se criar repulsa pela matemática desde os primeiros anos, ou seja, no período da
alfabetização, já que nesta fase o estudante tem contato com as primeiras noções
de lógica, as de aritmética e as de geometria (
DANYLUK
, 1991, p.21). Dessa forma,
sem a repulsa inicial pela matemática, busca-se que os estudantes possam aprendê-la.
Mas o que é "aprender matemática?". Segundo Gómez-Granell (2006, p.282),
"[...] aprender matemática significa aprender a observar a realidade matematicamente,
entrar na lógica do pensamento e da linguagem matemática, usando as formas e os
significados que lhe são próprios".
4
D'AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. 2.ed. São Paulo:
Ática, 1993. (Série Fundamentos 74)
18
Se a matemática tem uma linguagem com formas e significados próprios,
cabe então a nós perguntarmos: o que se pode entender por linguagem? E por
linguagem matemática? Segundo Santos (2005, p.117):
Linguagem pode ser entendida como uma criação social que utiliza símbolos,
também criados socialmente. A linguagem matemática é um sistema simbólico
de caráter formal, cuja elaboração é indissociável do processo de construção
do conhecimento matemático e tem como função principal converter conceitos
matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis possi-
bilitando inferências, generalizações e novos cálculos que, de outro modo,
seriam impossíveis.
A linguagem matemática permite que os conceitos matemáticos sejam mais
facilmente calculáveis, bem como possíveis generalizações. Santos (2005) explica
que a linguagem natural e a linguagem matemática possuem características muito
distintas e, na aprendizagem da matemática, o estudante vai substituindo a linguagem
natural pela linguagem matemática sobretudo nos primeiros anos de escolarização,
e isto não ocorre sem dificuldades. Essa passagem para a linguagem matemática
necessita que o estudante se apoie em significados referentes à formação dos
conceitos matemáticos formados para se apropriar da linguagem específica (
SANTOS
,
2005, p.122).
Corrêa (2005, p.95) acrescenta: "Há, porém, diferenças marcantes entre a
linguagem natural e a linguagem da Matemática: uma delas é que esta não se
aprende em casa, desde pequeno, mas, sim, na escola".
Sendo a linguagem matemática aprendida na escola, compete a nós, profes-
sores, proporcionar o ensino desta linguagem aos estudantes de modo significativo,
valorizando a linguagem dos estudantes como meio de construção de significados e
conceitos matemáticos por parte deles. Porém, essa aprendizagem não é tão simples,
já que, além de a linguagem matemática ser aprendida na escola, essas duas
linguagens apresentam outras diferenças, como argumenta Santos (2005, p.123):
Tal conflito (entre as linguagens) é instaurado em decorrência das características
das duas linguagens. Enquanto a linguagem natural apresenta ambigüidades e
tem como função principal a comunicação, a linguagem matemática apresenta
outras características, que não servem somente à comunicação, como: é
precisa e não redundante, rigorosa, formal, teórica, impessoal e atemporal,
não se identificando referências a contextos particulares.
19
Sabendo o professor que essas linguagens apresentam tantas diferenças,
ele deve estar atento no sentido de ampliar o vocabulário dos estudantes na linguagem
matemática e, mais que isso, saber que, assim como a linguagem natural, a linguagem
matemática também tem diferentes níveis de elaboração, como explica Corrêa
(2005, p.95):
Essa linguagem tem registros orais e escritos e, como qualquer linguagem,
apresenta diversos níveis de elaboração, consoante a competência dos interlo-
cutores: a linguagem matemática usada pelos 'matemáticos profissionais', por
traduzir idéias de alto nível, é mais exigente do que a linguagem utilizada
para traduzir idéias numa aula. Da mesma forma, a linguagem natural assume
registros de complexidade diferente, dependendo da competência dos falantes.
Assim, não se busca a utilização de uma linguagem matemática usada pelos
"matemáticos profissionais", como ressalta Corrêa (2005), mas sim a introdução da
linguagem matemática desde os primeiros anos de escolarização, para que os
estudantes vão aprendendo a utilizá-la. Afinal, segundo Gómez-Granell (2006), a
linguagem matemática permite a abstração do essencial das relações matemáticas
envolvidas, além do crescimento do rigor, já que os termos têm um significado estrito.
Ainda segundo esse autor (p.260), a linguagem matemática tem uma outra
característica:
A característica dessa linguagem é tentar abstrair o essencial das relações
matemáticas, eliminando qualquer referência ao contexto ou à situação, ao
ponto de na linguagem algébrica – considerada como autêntica linguagem
da matemática –, os números, em si mesmos abstratos, serem substituídos
por letras, que têm um caráter muito mais genérico.
Nos anos iniciais, é preciso que o estudante comece a ter contato com essa
linguagem própria que é a linguagem matemática, a qual, segundo Corrêa (2005,
p.94), é dotada de um código e de uma gramática próprios:
A Matemática, enquanto linguagem universal, cria não só os seus próprios
signos (ou símbolos) mas também uma gramática que rege "a ordem
concebível" no interior de um sistema coerente, em que conhecimento e
linguagem possuem o mesmo princípio de funcionamento na representação.
20
Para tanto, é necessário que o estudante conheça os 'signos' e a 'gramática'
próprios da matemática, para que seja capaz de realizar a leitura da linguagem
matemática, o que precisa ocorrer desde os primeiros anos de escolarização. Pois,
como afirma Danyluk (1991, p.39):
Se ler é compreender e interpretar aquilo que está impresso em um texto,
então, ao ler o discurso matemático o leitor deve compreender e interpretar
aquilo que o texto de Matemática mostra, ou seja, os símbolos e signos
expressos pela linguagem matemática. No momento em que o leitor olha
para os símbolos ou signos impressos no texto e a sua consciência atentiva
volta-se para o desvelamento dos significados que aí estão implícitos, o ato
de ler a linguagem matemática começa a se realizar.
É importante destacar que a leitura da linguagem matemática (ou do texto
de matemática) envolve compreensão, como a autora destaca: "[...] é entendida
como ato de compreender, de interpretar e de transformar. É vista como
compreensão da expressão de uma linguagem e não apenas decifração de traços
codificados e impressos em um papel". (
DANYLUK
, 1998, p.14).
Da mesma forma que essa autora, concordamos que a leitura da linguagem
matemática envolve compreensão e interpretação dos símbolos componentes da
linguagem matemática. Estes signos (ou símbolos) são considerados por Danyluk
(1991) como parte do alfabeto da matemática, fazendo parte, portanto, do contexto
da alfabetização:
Considerando que a palavra 'alfabeto' refere-se às primeiras noções de qualquer
ciência e que a Matemática é uma ciência que possui primeiras noções, tais
como as noções iniciais de lógica, as de aritmética e as de geometria, é
possível afirmar que a escrita e a leitura dessas primeiras idéias podem ser
aprendidas e, desse modo, fazer parte do contexto alfabetização (DANYLUK,
1991, p.44).
De maneira análoga, Andrade (2005, p.158) considera que a linguagem
matemática envolve mais do que a escrita e a leitura de números, relacionando
linguagem matemática e alfabetização matemática:
21
A linguagem matemática ou a alfabetização matemática, a meu ver, não
envolve a escrita e a leitura apenas de números e cálculos mas também de
espaços, forma, medidas, grandezas, tratamento de informações – combinatória;
probabilidade e estatística; uso de, por exemplo, unidades de medidas não-
convencionais; construção, leitura e escrita do mundo em que o indivíduo
está inserido.
O termo alfabetização matemática também foi utilizado por Danyluk (1991),
para quem esse conceito "refere-se aos atos de aprender a ler e a escrever a
linguagem matemática usada nas primeiras séries da escolarização" (p.45). Explica
ainda:
Compreendo a alfabetização matemática, portanto, como fenômeno que trata
da compreensão, da interpretação e da comunicação dos conteúdos matemáticos
ensinados na escola, tidos como iniciais para a construção do conhecimento
matemático. Ser alfabetizado em matemática, então, é compreender o que
se lê e escrever o que se compreende a respeito das primeiras noções de
lógica, de aritmética e de geometria (DANYLUK, 1998, p.20).
Observa-se que essas duas autoras concordam em que a alfabetização
matemática não se relaciona apenas à leitura e à escrita de números, mas também à
leitura e à escrita das primeiras noções de geometria.
Nessa direção, entendemos a alfabetização matemática não como mera
decodificação de códigos, mas como a leitura e escrita com compreensão da linguagem
matemática pelos estudantes. Cabe, aqui, a indagação de Carvalho (2005, p.102):
Inúmeras vezes em nossa vida nos perguntamos: para que mundo, nós,
professores, estamos 'preparando' nossos alunos, se não lhes oferecemos
uma alfabetização matemática suficiente para que decidam, de forma
crítica, consciente e inteligente, a melhor maneira de agir e reagir diante da
maioria dos acontecimentos cotidianos?
Se buscamos que os estudantes tomem decisões de maneira crítica,
consciente e inteligente, precisamos, como professores, proporcionar uma alfabetização
matemática adequada para a formação desses cidadãos. Sobre a questão do exercício
da cidadania, os Parâmetros Curriculares Nacionais (
PCNs
) trazem o que segue:
22
A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais
também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas
vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos
meios de comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania, é necessário saber
calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente,
etc. (BRASIL, 2001, p.30).
Novamente tem-se a importância da leitura e interpretação, o que requer a
compreensão dos conceitos matemáticos pelos estudantes. Como bem explica
Gómez-Granell (2006, p.267):
O importante é que os alunos entendam ou construam o significado dos
conceitos matemáticos. Isto é, trata-se de entender o significado das operações
básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão), do número fracionário ou
decimal, da proporcionalidade, das relações geométricas, das transformações
algébricas, etc. Tanto nos trabalhos realizados com a aquisição de conceitos
como nos de resolução de problemas admite-se que as crianças manifestam,
desde idades muito precoces, procedimentos e formas próprias de raciocínio,
de caráter não formal – portanto, diferentes daqueles que a matemática propõe
e ensina na escola –, que lhes permite ir construindo progressivamente
os significados matemáticos. Partindo desse ponto de vista, o ensino da
matemática deveria potencializar o uso de procedimentos dos próprios alunos,
mesmo que não sejam de caráter formal.
De acordo com Gómez-Granell (2006), a linguagem não formal utilizada
pelos estudantes permite que eles vão construindo os significados matemáticos.
Cabe a nós, professores, introduzir e utilizar a linguagem matemática adequada para
que eles possam conhecê-la e, a partir daí, utilizá-la.
Quando a linguagem matemática se refere especificamente à geometria,
podemos, de acordo com Smole, Diniz e Cândido (2003), utilizar o termo linguagem
geométrica. Segundo as autoras, a geometria possui uma linguagem espacial e uma
linguagem geométrica. A linguagem espacial refere-se ao vocabulário correspondente
às noções espaciais (deslocamentos, orientações e localização espacial). Já a
linguagem geométrica está relacionada aos nomes de formas e termos geométricos
mais específicos.
Apesar de se referirem a nomes e termos, essas autoras, assim como nós,
acreditam que a dificuldade está no fato de os estudantes associarem o nome aos
conceitos, aliando a representação ao significado.
23
Dessa forma, a linguagem geométrica de que estamos falando aqui requer um
trabalho de alfabetização matemática de acordo com o que Danyluk (1991), Danyluk
(1998) e Carvalho (2005) explicam, ou seja, a leitura e a escrita de símbolos
matemáticos (no caso geométricos) com compreensão.
Assim, a linguagem geométrica está relacionada à leitura e à escrita das
figuras geométricas com compreensão, ou seja, utilizando-se dos conceitos geométricos.
Smole, Diniz e Cândido (2003, p.20) argumentam também:
É comum que os alunos criem nomes para o que não conhecem ou que
troquem nomes de figuras uns pelos outros. A tarefa do ensino de geometria,
nesse caso, é fazer a criança ter acesso à linguagem específica, o que não
se consegue pela supressão de termos criados e utilizados por ela, e sim
pela fala correta do professor quando a criança diz bolinha ou redondinho
para se referir ao círculo, o professor respeita esse dizer, porém, ao se
referir à figura, diz círculo.
Desse modo, a linguagem empregada pelos estudantes não deve ser desva-
lorizada, uma vez que, a partir dela, percebe-se que leitura está sendo realizada por
eles no âmbito da geometria. Observando a resposta dos estudantes podemos
identificar de que forma estão compreendendo essa linguagem, em especial algumas
figuras geométricas (no caso, triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos).
Considerando isso, busca-se, nesta pesquisa, observar manifestações orais e
escritas de estudantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental, os quais estão em
um período de alfabetização matemática, sobre algumas figuras geométricas.
2.2 O ENSINO DE GEOMETRIA NO PRIMEIRO CICLO
A geometria, como uma das linguagens da matemática, tem fundamental
importância no currículo de Matemática e é um dos ramos mais antigos da Ciência
Matemática, tendo se desenvolvido em face das necessidades humanas. Vale a
pena conhecer a origem dessa palavra: "A origem da palavra Geometria vem do
grego: geo provém de gaia/terra e metria de metrón/medida. Ela é comumente
definida como ciência das figuras do espaço". (
PIRES
, 2000, p.22).
24
Alguns professores e estudantes desconhecem a fundamental importância
do ensino da geometria na escola. Lorenzato (1995, p.5) justifica essa importância:
[...] sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico
ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão
resolver as situações da vida que forem geometrizadas; também não poderão
se utilizar da Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e
resolução de questões de outras áreas de conhecimento humano. Sem conhecer
Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação
das idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida.
Apesar de não termos consciência, noções de espaço e forma estão presentes
em nosso cotidiano. Lorenzato (1995, p.5) cita algumas dessas situações:
[...] as idéias de paralelismo, perpendicularismo, congruência, semelhança,
proporcionalidade, medição (comprimento, área, volume), simetria: seja pelo
visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão, na comunicação oral,
cotidianamente estamos envolvidos com a Geometria.
Fainguelernt (1995, p.46) observa que desde os primeiros meses de vida
intuitivamente as primeiras noções de Geometria já estão à nossa volta, já que a
porta do quarto da criança é a abertura por onde alguém chega até ela, ou, ainda, ao
engatinhar a criança vai descobrindo as possibilidades e impossibilidades de
deslocamentos.
Sobre a importância do ensino de geometria na escola, cabe também citar
Fainguelernt (1995, p.46), que apresenta bons motivos para ensiná-la:
A Geometria oferece um vasto campo de idéias e métodos de muito valor
quando se trata do desenvolvimento intelectual do aluno, do seu raciocínio
lógico e da passagem da intuição e de dados concretos e experimentais para
os processos de abstração e generalização. [...] A Geometria também ativa
as estruturas mentais, possibilitando a passagem do estágio das operações
concretas para o das operações abstratas. É, portanto, tema integrador entre as
diversas partes da Matemática, bem como campo fértil para o exercício de
aprender a fazer e aprender a pensar. [...] Ela desempenha papel primordial no
ensino, porque a intuição, o formalismo, a abstração e a dedução constituem
a sua essência.
Sendo tão relevante ensinar geometria, importa, segundo Pires (2000),
conhecer alguns aspectos históricos do Ensino de Geometria no Brasil desde 1955,
tomando como referência proposições curriculares.
25
De 1955 a 1965 a geometria trabalhada na escola era voltada principalmente
para a aprendizagem da nomenclatura de linhas (curvas, retas, mistas, quebradas,
pontilhadas) e figuras, além do cálculo de perímetros, áreas e volumes por meio da
memorização de fórmulas (sem justificativas). Nesse período, ensinavam-se as figuras
como objetos isolados do contexto matemático que acabavam tornando-se estereótipos,
já que estas eram apresentadas praticamente em uma única posição, e quadrados e
retângulos, por exemplo, sempre figuravam com as bases paralelas à página do livro
ou do caderno.
De 1966 a 1975 houve grande influência do movimento da Matemática
Moderna, principalmente no início desse período, e os aspectos geométricos foram
pouco enfatizados, e pontos, retas e planos eram abordados dentro da teoria dos
conjuntos. Na década de 1970 começaram a surgir propostas de trabalho a partir de
experiências feitas pelos alunos. Nesse momento propôs-se não somente a exploração
de figuras planas, mas também de figuras espaciais e atividades que envolviam,
além da classificação de figuras, a composição, decomposição, simetrias, ampliações
e reduções.
De 1976 a 1998 as propostas curriculares e artigos traziam a necessidade
de resgatar o ensino de geometria nas escolas. Nesse momento buscou-se chamar
a atenção para a importância do desenvolvimento de um pensamento geométrico,
tão importante ao estudante quanto o pensamento aritmético ou algébrico. Os
PCNs
são publicados nesse período, reforçando a importância da Geometria no currículo
de Matemática.
Em 1993, em seu artigo "O abandono do ensino da Geometria no Brasil:
causas e conseqüências", Regina Pavanello já trazia um pouco da história de como
o ensino de geometria na escola veio sendo abandonado. Citou inclusive que a Lei
n.
o
5.692/71 contribuiu para esse abandono, já que concedeu flexibilidade às escolas
sobre os programas das disciplinas.
Com isso, houve a possibilidade de que professores de Matemática deixassem
de incluí-la em sua programação, já que se sentiam inseguros em trabalhar
26
Geometria. Outros professores, por sua vez, deixaram-na para o final do ano letivo,
o que inconscientemente poderia ser visto como uma tentativa de utilizar a falta de
tempo como desculpa.
Em virtude disso, a geometria ficava restrita aos últimos capítulos de livros
didáticos e, muitas vezes, acabava não sendo trabalhada nos primeiros anos do
ensino fundamental. Consequentemente, muitos dos atuais professores não tiveram
contato com a geometria, ou este se deu de maneira breve, o que faz com que
tenham dificuldades nessa área.
Atualmente, passado tanto tempo após as constatações de Pavanello em
1993, as observações de Barrantes & Blanco realizadas em 2004 ainda permanecem
similares. Eles perceberam que a geometria ainda recebe uma atenção menor por
parte de alguns professores do que conteúdos numéricos, sendo estes considerados
mais acessíveis e importantes por alguns professores.
Gonçalves (2006, p.30) cita diversos autores, como Gálvez (1996)
5
, Guzmán
(1993)
6
, Fainguelernt (1999)
7
, Pavanello (1996, 2002a, 2002b)
8
e Fonseca (2002)
9
,
5
GÁLVEZ, G. A geometria, a psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria na escola
primária. In: PARRA, C.; SAIZ, Irmã. Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto
Alegre: Artes Médicas, 1996.
6
GUZMÁN, M. de. Enseñanza de lãs Ciencias y la Matemática. Organización de Estados
Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Editorial Popular. 1993. Disponível em:
<http://www.campus-oei.org/oeivirt/edumat.htm>. Acesso em: 15 nov. 2002.
7
FAINGUELERNT, E. K. Educação matemática: representação e construção em geometria. Piorto
Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
8
PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências.
Revista Zetetiké, v.1, n.1, p.7-17, 1996.
_____. Geometria: atuação de professores e aprendizagem nas séries iniciais. In: SIMPÓSIO DA
PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1., 2001, Curitiba. Anais... Curitiba: UFPR, 2002a.,
p.173-184.
_____. Formar professores para ensinar geometria: um desafio para as licenciaturas de Matemática.
Educação Matemática em Revista. Licenciatura em Matemática um curso em discussão. SBEM –
Sociedade Brasileira de Educação Matemática, v.9, n.11, Edição Especial, 2002b.
9
FONSECA, M. da C. F. R. et al. O ensino da geometria na escola fundamental: três questões
para a formação do professor dos ciclos iniciais. 2.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
27
que discutem sobre a questão do ensino da geometria. Eles afirmam que o ensino
desta está ausente ou quase ausente na sala de aula do ensino fundamental, sendo
encontrado de modo fragmentado e isolado da aritmética e da álgebra, e apresentado
como um conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas (
GONÇALVES
,
2006, p.30). Gonçalves concluiu ainda, em sua pesquisa, que Matemática não é a
disciplina preferida dos professores, e que a Geometria é o conteúdo de Matemática
que os professores menos gostam de ensinar, já que apenas um professor, dentre
os 18 entrevistados, afirmou gostar de geometria (p.36).
Uma justificativa para o abandono do ensino da geometria pode estar
relacionada à Geometria que os professores tiveram quando estudavam, como bem
explica Dana (1994, p.141):
A decisão dos professores sobre a geometria a ser ensinada é profundamente
influenciada pela geometria que eles tiveram (geralmente uma pincelada
durante o primeiro grau, seguida de um curso com definições e demonstrações
no segundo grau), por aquilo que está contido nos manuais escolares de
uso corrente (muito pouco) e pelo que é exigido nos exames finais de seu
nível (não muito). A mensagem de todas essas fontes geralmente é a mesma:
a geometria é maçante, sem importância, irrelevante e inadequada para a
escola elementar.
Porém, como bem observa Lorenzato (1995, p.4), "é preciso romper com
esse círculo de ignorância geométrica", justificando que professores que não tiveram
Geometria (ou tiveram muito pouco) não sabem como ensiná-la.
Gerdes (1992, p.13) menciona que os conceitos de número e de sistemas
de numeração têm sido muito mais investigados, e acredita que a razão disso possa
ser "o fato de o desenvolvimento do conceito de número estar mais vinculado ao
aparato lingüístico e, por isso, poder constituir mais facilmente objeto de reflexão do
que o de conceitos geométricos".
Apesar de não serem tão investigados como o sistema numérico, observa-se
que os
ENEMs
(Encontros Nacionais de Educação Matemática) trazem várias pesquisas
sobre a questão da geometria, como observou Andrade (2004). Em sua dissertação
de mestrado, ele examinou as publicações dos Anais dos
ENEMs
analisando as
28
atuais tendências no ensino de Geometria no Brasil no período de 1987 a 2001,
tendo identificado sete categorias para o ensino de Geometria: Geometria pelas
Transformações, Relação Álgebra e Geometria, Geometria na Perspectiva Curricular
e/ou Formação de Professores, Geometria numa Perspectiva Teórica, Geometria
numa Perspectiva Histórica, Geometria Experimental e Geometria em Ambientes
Computacionais. As duas últimas categorias foram tomadas como objeto de análise
em sua pesquisa. Nela, ele indica o percentual de trabalhos referentes à geometria
em cada um dos
ENEMs
, como se observa no quadro abaixo:
QUADRO 1 - TRABALHOS REFERENTES À GEOMETRIA
ENEM ANO DE REALIZAÇÃO
LOCAL DE
REALIZAÇÃO
PORCENTAGEM
I ENEM 1987 PUC - SP 19,2
II ENEM 1988 UEM - PR 20,0
III ENEM 1990 UFRN - RN 27,0
IV ENEM 1992 FURB - SC 18,5
V ENEM 1995 UFS - SE 23,0
VI ENEM 1998 UNISINOS - RS 20,0
VII ENEM 2001 UFRJ - RJ 19,8
FONTE: Adaptado de Andrade (2004)
Desde o início dos
ENEMs
, em 1987, observam-se trabalhos acadêmicos
preocupados com o ensino da geometria na escola. Um grande número de trabalhos
referentes ao ensino da geometria é apresentado em 1990, quando 27% deles
estavam associados a esta temática.
Pesquisadores como Follador (2004), por exemplo, investigaram a forma
como os alunos interpretam os desenhos que representam sólidos geométricos nos itens
das provas de matemática do
AVA
(Programa de Avaliação do Sistema Educacional do
Paraná). Para tanto, acompanhou oito alunos de escola pública e a forma como eles
lidam com desenhos feitos no plano para representar figuras geométricas espaciais.
Lujan (1997), por sua vez, desenvolveu a dissertação "A geometria na
1.
a
série do 1.
o
grau: um trabalho na perspectiva de Van Hiele", sob a orientação da
professora Lucila Diehl Tolaine Fini, da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp).
Ela utilizou o modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele e
29
apoiou-se na Psicologia Genética de Piaget. Realizou algumas atividades geométricas
com alunos em início de escolarização. Os sujeitos da pesquisa foram 44 alunos da
1.
a
série do 1.
o
grau, separados em um grupo experimental e em um outro de
controle. Para a seleção dos estudantes não foram aplicados os testes de Van Hiele
ou provas piagetianas. Os estudantes foram submetidos a um pré-teste, intervenção
pedagógica e um pós-teste. Lujan concluiu que os estudantes da 1.
a
série podem
adquirir conceitos geométricos se a proposta de trabalho pedagógico for condizente
com o nível cognitivo dos educandos. Ela identificou a troca de nomes das figuras
geométricas pelos estudantes, como: triângulo por retângulo e vice-versa. Observou
também que alguns não compreendiam a diferença entre quadrado e retângulo, e,
ainda, que o quadrado era a figura mais conhecida e o triângulo a menos conhecida.
Em sua pesquisa, traz atividades que podem ser desenvolvidas com as crianças
dessa faixa etária.
A preocupação com a importância do ensino de geometria também pode
ser verificada em documentos oficiais, como os Parâmetros Curriculares Nacionais:
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática
no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo
especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar,
de forma organizada, o mundo em que vive (BRASIL, 2001, p.55).
Os
PCNs
trazem o conteúdo de geometria em dois blocos: "Espaço e Forma"
e "Grandezas e Medidas". No bloco "Espaço e Forma", a geometria é destacada
como sendo de grande importância no currículo de Matemática, já que através dela
o estudante pode desenvolver a compreensão do mundo em que vive, aprende a
descrevê-lo, a representá-lo e a se localizar nele. O bloco de "Grandezas e Medidas"
apresenta ao estudante a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano, trazendo
atividades envolvendo as noções de grandezas e medidas, favorecendo uma melhor
compreensão dos conceitos relativos ao espaço e às formas. Além disso, os
PCNs
mencionam a contribuição do trabalho com as noções geométricas: "O trabalho com
noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula
30
a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e
vice-versa". (
BRASIL
, 2001, p.56).
Tal afirmação evidencia o quanto é fundamental que o professor perceba a
importância da geometria na construção do conhecimento, repensando o ensino
desta desde os primeiros anos do ensino fundamental. Pirola e Brito (2005, p.91)
argumentam que a geometria não deve ser trabalhada isoladamente, mas que "o ensino
de Geometria deve ser um trabalho contínuo em todas as séries, integrando com o
ensino dos números e medidas".
As Diretrizes Curriculares para a Educação Municipal de Curitiba, de modo
semelhante aos
PCNs
,
trazem como
objetivo do Primeiro Ciclo
10
do ensino fundamental:
"Identificar formas tridimensionais e bidimensionais em diferentes contextos, percebendo
semelhanças e diferenças entre os objetos do espaço e do plano, fazendo descrições
orais, construções e representações". (
CURITIBA
, 2006, p.260). Dessa forma, já nos
primeiros anos do ensino fundamental os estudantes das escolas municipais de
Curitiba têm contato com sólidos geométricos e figuras bidimensionais, o que gerou
em nós curiosidade em explorar o conhecimento que esses estudantes têm das
formas geométricas.
Edna Gonçalves, em seu artigo "A Geometria nas séries iniciais do Ensino
Fundamental", traz mais alguns aspectos sobre a importância do ensino da geometria:
A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema
porque estimula a exploração do mundo físico por meio da observação, da
percepção de semelhanças e diferenças, regularidades e irregularidades,
permitindo compreender, descrever e representar, de forma organizada, o
mundo em que vive, contribuindo para a aprendizagem de outros ramos da
matemática (GONÇALVES, 2006, p.37).
Em face da relevância de ensinar geometria desde os primeiros anos do
ensino fundamental, propostas pedagógicas foram elaboradas demonstrando essa
10
O Primeiro Ciclo é composto pelo primeiro, segundo e terceiro anos do ensino fundamental de
nove anos.
31
importância e trazendo conteúdos de maneira mais clara. Por exemplo, já na década
de 80, o Projeto Fundão (
IM/UFRJ
) propôs o Curso Básico de Geometria como um
curso semipresencial de três módulos para professores de todo o Estado do Rio de
Janeiro, uma vez que identificaram a necessidade, por parte dos professores, de
aprimorar sua formação em geometria. Como o curso foi concluído com êxito, a equipe
acreditou que esse poderia ser realizado a distância por profissionais interessados, de
maneira individual, utilizando o material por eles elaborado, o qual traz resultados de
pesquisas desenvolvidas com professores e licenciandos. As coordenadoras foram as
professoras Lílian Nasser e Lucia Tinoco, com a colaboração de mais oito professores.
O material traz os conceitos básicos da geometria euclidiana, sendo explorados os
aspectos conceituais e didáticos através de atividades e questionamentos.
Além desse material, o Projeto Fundão traz também outras publicações,
dentre elas "Geometria segundo a teoria de Van Hiele", já que a tese de doutorado
da professora Lílian Nasser trata da aplicação da teoria de Van Hiele para melhorar
a aprendizagem da geometria em turmas de 7.
a
série. Apesar de esta pesquisa ter
sido realizada em 1992, a proposta apresentada está de acordo com os
PCNs
, que
foram lançados pelo
MEC
(Ministério da Educação) em 1998.
A teoria de Van Hiele, ou o modelo Van Hiele de pensamento geométrico,
foi criado pelos educadores holandeses Pierre Marie van Hiele e por sua esposa
Dina van Hiele-Geldof. Eles estavam interessados, no início, em descobrir caminhos
para desenvolver a compreensão de seus alunos do curso secundário na Holanda.
Esse modelo de pensamento geométrico surgiu devido aos trabalhos de doutoramento
de ambos, finalizados simultaneamente na Universidade de Utrecht. Pierre esclareceu,
aperfeiçoou e promoveu a teoria, já que Dina faleceu logo após terminar sua tese.
O trabalho não recebeu atenção internacional imediatamente, exceto na União Soviética,
onde o currículo de Geometria foi reformulado na década de 1960, adaptando-se ao
modelo de Van Hiele. De acordo com o modelo, os estudantes progridem segundo
uma sequência de níveis de pensamento (visualização, análise, dedução informal,
dedução formal e rigor) durante a aprendizagem da geometria. O progresso para um
32
próximo nível está relacionado não à idade ou maturação, mas à vivência de
atividades adequadas para o nível. É importante que o professor tenha uma grande
preocupação pedagógica com o método de ensino, com a organização do conteúdo
a ser ministrado e com a proposição de atividades a serem desenvolvidas pelos
estudantes. Segundo a teoria, pode não haver compreensão se o nível de atividades
propostas for mais elevado do que aquele em que o estudante se encontra. A teoria
de Van Hiele, em si, não será utilizada na presente pesquisa, pois não estamos
preocupadas em observar ou analisar níveis de aprendizagem, tampouco em nivelar
o pensamento dos estudantes. O que fizemos foi utilizar o teste básico proposto
nessa teoria. Além de serem atividades previamente testadas, vêm ao encontro do
que buscamos observar.
Diante da importância de trabalhar o ensino de geometria desde os primeiros
anos, deve-se buscar alternativas para que este não seja uma simples memorização
de nomes e fórmulas.
Smole, Diniz e Cândido (2003) apresentam sugestões para o trabalho com
estudantes desde a Educação Infantil, mediante atividades que proporcionem a
ampliação da linguagem, levando-os a relacionar cada palavra ao seu significado.
É através de atividades de deslocamentos, orientações e localização espacial
que as crianças adquirem noções espaciais e desenvolvem um vocabulário
correspondente a elas, como, por exemplo, direita, esquerda, em frente, acima,
abaixo, ao lado, entre, etc. (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2003, p.20).
Lopes e Nasser publicaram o livro Geometria na era da imagem e do
movimento, que contém várias atividades para o ensino de geometria nos primeiros
anos do ensino fundamental (
LOPES
;
NASSER
, 2005). Nesse material, as autoras
sugerem que o ensino de geometria tenha início pelas figuras tridimensionais e, a
partir destas, sejam introduzidas as figuras planas. Da mesma forma, Fonseca et al.
(2002, p.46-47) explicam que o ensino das formas geométricas planas deve ser
"precedido da exploração do espaço físico, do espaço real com o qual a criança tem
contato". Os
PCNs
também citam a importância de iniciar o trabalho com os objetos
33
tridimensionais, já que "ela [a criança] constrói suas primeiras noções espaciais por
meio dos sentidos e dos movimentos" (
BRASIL
, 2001, p.126).
Nasser e Tinoco (2006, p.14) explicam que depois da familiarização com
os sólidos geométricos já é possível reconhecer as figuras planas como partes de
objetos concretos. Para eles, o estudo das figuras planas é importante porque estas
auxiliarão numa retomada da geometria espacial em nível mais aprofundado. Ressaltam
ainda que, após o trabalho com alguns sólidos geométricos e figuras planas formadas
por estes, é fundamental fazer a distinção entre figuras planas e espaciais e estabelecer
semelhanças e diferenças entre pares de figuras geométricas.
Muitos estudantes nos primeiros anos confundem figuras planas e espaciais
e, segundo Nacarato e Passos (2003), essa confusão entre conceitos geométricos
pode ocorrer devido ao uso incorreto de alguns materiais manipuláveis. Elas citam os
blocos lógicos, que são objetos tridimensionais e que normalmente são utilizados
para exemplificar figuras planas (círculo, quadrado, triângulo e retângulo). Com isto,
o estudante tem mais dificuldade em compreender os conceitos geométricos e fazer
a distinção entre figuras planas e sólidos geométricos.
Encontramos contribuições significativas quanto ao ensino de geometria em
Fischbein (1993)
11
, citado por Nacarato e Passos (2003). Ele desenvolveu pesquisas
em relação ao conceito figural, cujos resultados contribuem para o estudo de figuras
geométricas. Fischbein destaca algumas características relacionadas à natureza
conceitual das figuras geométricas. Dentre elas, ele ressalta que somente em um
sentido conceitual é possível considerar a perfeição de entidades geométricas como
linhas, círculos, quadrados, cubos etc. Nacarato e Passos (2003, p.63) explicam o
que Fischbein considera como conceitos figurais:
11
FISCHBEIN, E. The Theory of Figural Concepts. In: Education Studies in Mathematics 24.
Netherlands: Kruwer Academic Publishers, 1993. p.139-162.
34
Assim, os objetos de investigação e manipulação no raciocínio geométrico são
entidades mentais chamadas de conceitos figurais, que refletem propriedades
espaciais (formas, posição, magnitude) e que, ao mesmo tempo, possuem
qualidades conceituais, como idealidade, abstração, generalidade, perfeição.
Assim, o conceito figural é uma realidade mental que revela propriedades
figurais, porém sem quaisquer propriedades concretas sensoriais. Fischbein coloca
ainda que sem a imagem, que é controlada por uma definição, "a geometria não
existiria como um ramo da Matemática" (apud
NACARATO; PASSOS,
2003, p.64).
Fischbein (apud
NACARATO; PASSOS
, 2003, p.63) chama a atenção para
a necessidade de se considerar, com propriedade, três categorias de entidades
mentais quando se faz referência a figuras geométricas: a definição, a imagem
(baseada na experiência perceptivo-sensorial, como a imagem de um desenho)
e o conceito figural.
Pires, Curi e Campos (2000, p.36) ressaltam a diferença entre desenho e
figura geométrica: "O desenho é uma representação gráfica de um objeto matemático.
A figura geométrica já é um objeto matemático ideal, isto é, uma criação mental
do espírito".
De maneira análoga, Maia (2000, p.26 e 27) cita Vergnaud & Laborde (1994)
12
:
"A figura geométrica é um objeto ideal, do qual os desenhos concretos, que
se possa fazer, são apenas representações imperfeitas." (Platão, citado por
Arsac, op. cit.). A figura é, assim, o objeto abstrato que serve de substrato
para o raciocínio, para o pensamento, enquanto tal, pode ser identificada ao
objeto da teoria. O desenho, por sua vez, é a materialização sobre uma
folha de papel, uma tela de computador, etc. O desenho é um modelo da
figura. A figura permite a determinação de propriedades, estabelecendo
instrumentos de generalização, o desenho refere-se ao objeto concreto que se
representa na folha de papel. Importante ressaltar que se a passagem do
desenho à figura pode ajudar a situar a geometria na fronteira do sensível e
do inteligível, o desenho pode também ser um obstáculo à figura pela
atração perceptiva que ele oferece.
Percebemos, pela descrição anterior, que a expressão figura geométrica
associa-se ao que Fischbein chamou de conceitos figurais. Desta forma, ao nos
12
VERGNAUD, G.; LABORDE, C. L'apprentissage et l'enseignement dês mathématiques.
In: VERGNAUD, G. (Org.). Appresntissages et didactiques où en est-on. Paris: Hachette, 1994.
35
referirmos às representações realizadas pelos estudantes estaremos tratando-as
como desenhos, e não como figuras geométricas.
A facilidade do reconhecimento, pelos estudantes, de figuras planas elementares
é relatada por Fonseca et al. (2002, p.46):
De fato, as figuras planas elementares (quadrado, retângulo, triângulo e círculo)
são facilmente reconhecidas e nomeadas pelas crianças. São formas que
fazem parte do espaço real onde a criança se encontra, pois são comumente
usadas nas construções e nos objetos. No entanto, as figuras planas são
idealizações, já que elas não possuem espessura; portanto, o que as
crianças podem perceber são representações dessas formas.
Esse reconhecimento, porém, muitas vezes ocorre por serem protótipos
(modelos). Nasser e Tinoco (2006) explicam que os estudantes em geral utilizam
esses protótipos para considerar se a figura pertence ou não a uma classe, em vez
de utilizar a definição. De maneira análoga, Nacarato e Passos (2003), Fonseca et al.
(2002), Smole, Diniz e Cândido (2003), assim como os Van Hiele, consideram que
as figuras geométricas são inicialmente reconhecidas por sua forma como um todo,
e não por suas propriedades.
Hershkowitz (1994) cita Vinner e Hershkowitz (1983)
13
e Hershkowitz,
Vinner e Bruckheimer (1987)
14
, que descobriram que cada conceito possui um (ou
mais) exemplo-protótipo. Ela explica que estes exemplos-protótipos existem na
imagem conceitual da maioria dos sujeitos. Explica ainda que:
Os exemplos-protótipos geralmente são o subconjunto de exemplos que
possui 'a maior listagem' de atributos – todos os atributos críticos do conceito e
mais ainda aqueles atributos (não-críticos) específicos que possuem fortes
características visuais: por exemplo, o triângulo-retângulo com ângulo reto
em orientação vertical, os lados e ângulos iguais do quadrado como exemplo
de um quadrilátero, a altura interna de um triângulo e as diagonais internas
de um polígono (HERSHKOWITZ, 1994, p.17).
13
VINNER, S.; HERSHKOWITZ, R. On concept formation in geometry. ZDM, v.83, n.1, p.20-25, 1983.
14
HERSHKOWITZ, R.; BRUCKHEIMER, M.; VINNER, S. Activities with teachers based on cognitive
research. In M. M. Lindquist & A. P. Shulte (Eds.). Learning and teaching geometry K-12. Reston,
VA: National Council of Teacher of Mathematics, 1987. p.222-235.
36
Acreditamos, assim como os autores anteriormente citados, que o estudante
precisa ultrapassar a fase de manipulação de protótipos e perceber as propriedades e
definições das figuras geométricas. Para que isso ocorra, o professor tem um papel
fundamental: precisa apresentar figuras de formatos variados, evitando um mesmo
protótipo. Por exemplo: ao representar um triângulo qualquer é preciso evitar
representá-lo sempre como um triângulo isósceles ou equilátero para que os
estudantes observem a definição e as propriedades da figura e deixem de utilizar
protótipos para identificá-la. Além disso é necessário que o professor, oferecendo
exemplos e contraexemplos, proporcione situações variadas onde o estudante possa
observar o conceito de maneira completa.
Ademais, Hershkowitz (1994) explica que as crianças se apropriam dos
conceitos geométricos através de experiências de aprendizagem na escola (de maneira
estruturada) ou, ainda, com os pais, vizinhança, por meio de jogos etc. (de maneira
não estruturada). Estas estratégias de ensino, segundo a autora, apresentam
algumas características:
(a) falta de completude, na qual apenas parte dos exemplos e atributos são
apresentados; (b) falta de consciência, como também ausência do conhecimento
da existência de elementos adicionais (Hershkowitz et al., 1987) por parte do
professor ou até mesmo dos livros didáticos (ou material didático); (c) falta de
consciência das dificuldades do aluno e dos conceitos errôneos na construção
destes conceitos; e (d) generalização dos atributos do conceito (definições)
realizada (se tanto) pelo professor ou pelo material pedagógico, com o aluno
sendo visto meramente como um simples receptor passivo (HERSHKOWITZ,
1994, p.20).
Pavanello (2004) observou os trabalhos de Hoffer (1983)
15
, que aplicou
atividades com alunos de diferentes níveis de ensino, e verificou que:
[...] não conseguiam identificar figuras simples ou tinham idéias erradas
quanto ao significado das palavras usadas para designá-las. Muitos alunos
ligavam o termo triângulo ao triângulo eqüilátero com um lado paralelo à
linha de visão, mas hesitavam em dar esse nome aos escalenos, nos quais o
15
HOFFER, A. Van-Hele-based research. In: LESH, R.; LANDAA, M. Acquisition of mathematics
concets and processes. New York: Academic Press, 1983.
37
comprimento de um lado era muito maior que a altura correspondente a ele.
Ou então chamavam de triângulos figuras cujos lados eram curvos para fora
ou para dentro, parecendo fixar sua atenção mais nos três pontos do que
nas linhas que formavam a figura (PAVANELLO, 2004, p.132).
Pavanello (2004) realizou, de maneira semelhante a Hoffer (1983), uma
pesquisa em três escolas públicas de Maringá, no Paraná, com 180 estudantes de
2.
a
, 3.
a
e 4.
a
séries do ensino fundamental (20 de cada série por escola) e professores
das classes desses estudantes. Em sua pesquisa, observou que apesar de professores
e estudantes definirem um triângulo como "uma figura de três lados", não parecia a
eles incorreto que algumas figuras com três lados pudessem não ser triângulos,
reconhecendo somente os equiláteros e isósceles como tal. Ela explica ainda que:
"[...] em muitos casos, os triângulos eqüiláteros e isósceles eram designados como
triângulos 'verdadeiros' enquanto outras figuras fechadas com três lados não eram
assim consideradas" (p.133).
Um fato, na pesquisa, chamou sua atenção:
Um resultado importante da pesquisa foi constatar que alunos de séries
diferentes não apresentavam desempenhos significativamente diferentes, como
seria de se esperar. Isto indica, de certo modo, que o trabalho realizado com
a geometria deve ser praticamente o mesmo nessas séries, tanto em relação
ao conteúdo estudado, quanto ao aprofundamento das idéias geométricas
(PAVANELLO, 2004, p.135).
Esse fato é preocupante, pois só demonstra que o trabalho com os conteúdos
geométricos precisa ser retomado, e de maneira diferencial.
Pirola e Brito (2005), em uma amostra realizada com 60 estudantes do
ensino médio de uma escola pública de São Paulo, observaram o que segue:
Nesta amostra, foi possível verificar que muitos alunos chegaram ao colegial
sem o conhecimento dos atributos definidores das figuras básicas da geometria.
É provável que as figuras geométricas tenham sido ensinadas separadamente
umas das outras e sem uma relação entre seus atributos definidores. Isto
pode ter levado os alunos a não reconhecer, por exemplo, um quadrado como
retângulo e paralelogramo, pois não foram capazes de incluir o conceito na
sua classe. Pelas respostas dos alunos, pôde-se inferir que a classificação
das figuras geométricas não foi aprendida (PIROLA; BRITO, 2005, p.93).
38
Pirola e Brito (2005) acrescentam ainda alguns motivos pelos quais o ensino
dos conceitos em geometria constituem um grande problema, utilizando para isso o
modelo de formação conceitual proposto por Klausmeier (1977)
16
. O fato de a geometria
ser um dos últimos assuntos apresentados em muitos livros didáticos e os professores
alegarem não terem tempo para trabalhar esse conteúdo é um deles. Um segundo
motivo seria a pouca relação apresentada aos estudantes entre a álgebra e a
geometria, o fato de os conceitos serem apresentados apenas com o uso de definições,
bem como a grande quantidade de exercícios avaliar apenas a habilidade de trabalhar
com regras e fórmulas e não com a aprendizagem do conceito. Uma terceira razão é
a desvinculação entre as figuras planas e as construções executadas com os
instrumentos geométricos, já que o professor, muitas vezes, acaba dando uma ênfase
maior ao cálculo e abdicando do uso da régua e do compasso. A quarta razão
refere-se à desvinculação entre a geometria plana e a espacial. Alguns documentos
oficiais, como os Parâmetros Curriculares ou as Diretrizes Curriculares para a
Educação Municipal de Curitiba, já trazem a proposta de relacionar o trabalho com a
geometria espacial à geometria plana, sugerida também por Nacarato e Passos (2003)
e Fonseca et al. (2002). O ensino da geometria de forma isolada, sem o estabelecimento
de elos e relações com outras ciências, como a astronomia e a engenharia, por
exemplo, é o quinto motivo. Afinal, é importante que o exercício tenha significado
para o estudante. O sexto motivo refere-se ao fato de muitos professores se apoiarem
unicamente nos livros didáticos, em suas aulas, deixando de buscar atividades
diferenciadas para uma aprendizagem efetiva. Acrescente-se, ainda, que o número
de exemplos e não-exemplos do conceito que se está trabalhando é muito reduzido,
e os não-exemplos quase não aparecem nos textos e nas aulas de geometria. Isto
propicia que os exemplos-protótipos citados por Hershkowitz (1994) permaneçam, e
que os conteúdos da geometria escolar não sejam compreendidos conceitualmente.
16
KLAUSMEIER, H. J. Manual de psicologia educacional: aprendizagem e capacidades humanas.
Traduzido por Maria Célia Teixeira Azevedo de Abreu. São Paulo: Harper e Row, 1977.
39
Pirola e Brito (2005, p.91 e 92) observaram também que embora muitos
triângulos fossem apresentados aos estudantes de uma quinta série, grande parte
deles identificava como triângulo somente aqueles que tinham o aspecto de um
triângulo acutângulo isósceles, e que triângulos obtusângulos não eram facilmente
identificados por eles. Relataram ainda que o ensino das figuras planas tem valorizado
o aspecto visual, em vez das características mais relevantes das figuras geométricas:
Foi constatado, em observações realizadas em uma sala de aula onde o
professor ensinava alguns tópicos de geometria, que alguns alunos conseguiam
lembrar-se da figura 'losango' e desenhá-la. Entretanto, quando questionados a
respeito das características dessa figura, não conseguiram defini-la em termos
de seus atributos criteriais definidores (PIROLA; BRITO, 2005, p.87 e 88).
Com isso, identifiquei a importância de observar como os estudantes estão
compreendendo as características de algumas figuras planas, o que me levou a
optar, nesta pesquisa, por realizar essa observação, recorrendo a conversas informais
com alguns estudantes. Nasser e Tinoco (2006) ressaltam a importância de que o
professor busque formas de incentivar a maior argumentação por parte dos estudantes,
os quais devem justificar seus métodos de resolução para que, mais tarde, possam
dominar o processo dedutivo. Explicam, também, que "devemos prepará-los para
compreender demonstrações que lhes são apresentadas pelo professor ou nos
livros-texto, e até para fazer suas próprias justificativas" (p.70).
Pirola e Brito (2005, p.99) complementam:
Ao ensinar os conceitos de triângulo e de paralelogramo o professor precisa,
em primeiro lugar, identificar o nível no qual o aluno se encontra com
relação a esses conceitos, pois isso dará uma boa 'pista' sobre a dificuldade
ou facilidade que os estudantes terão para interagir com esse conceito e
construí-los nos níveis sucessivos de dificuldade. É muito importante, também,
que o professor torne disponível o conhecimento que o estudante dispõe a
respeito destas duas figuras, em termos de exemplos, não-exemplos e atributos
definidores. Também é de grande auxílio, para quem ensina, verificar se o aluno
consegue identificar a taxonomia à qual o conceito pertence, possibilitando
a ele estabelecer as relações supra-ordenadas e subordinadas.
40
Considerando o até aqui exposto, buscamos observar manifestações orais
e escritas de estudantes do Primeiro Ciclo do Ensino Fundamental, os quais estão
em processo de alfabetização matemática, sobre algumas figuras geométricas, sendo
elas triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos.
41
3 METODOLOGIA DE PESQUISA
A presente pesquisa é qualitativa com enfoque interpretativo, em que não
estamos buscando aqui possíveis generalizações, mas uma análise das diferenças e
possibilidades de diálogo entre as diferentes respostas dos estudantes. Segundo
Fiorentini e Lorenzato (2006), entendemos que há uma aproximação fenomenológico-
hermenêutica pois "parte do pressuposto de que a solução dos problemas
educacionais passa primeiramente pela busca de interpretação e compreensão dos
significados atribuídos pelos envolvidos (os sujeitos que experienciam o fenômeno)".
(
FIORENTINI
;
LORENZATO
, 2006, p.65). A pesquisa foi realizada em uma escola de
período integral da Prefeitura Municipal de Curitiba, com 6 estudantes do 1.
o
, 2.
o
e
3.
o
anos do ensino fundamental. Os estudantes selecionados permanecem oito
horas na escola, tendo feito as atividades individualmente, no período da tarde, nos
dias 26 e 27 de março de 2009. O 1.
o
, 2.
o
e 3.
o
anos citados fazem parte do ensino
fundamental de 9 anos que a Prefeitura Municipal de Curitiba passou a oferecer a
partir de 2007. Nesse ano, puderam frequentar o 1.
o
ano todas as crianças que
completassem 6 anos até o final do ano. Sendo assim, no ano de 2009 as escolas já
possuem turmas de 1.
o
, 2.
o
e 3.
o
anos do ensino fundamental de 9 anos. Esses
estudantes foram escolhidos a critério da escola (diretora e professoras). A escolha
feita pela escola não interfere na pesquisa, já que se busca observar manifestações
orais e escritas de estudantes em processo de alfabetização matemática sobre
algumas figuras geométricas (triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos).
A solicitação feita pela presente pesquisadora foi de que os estudantes não tivessem
vergonha de falar.
As atividades foram realizadas individualmente. Na atividade 1 perguntou-se a
cada um dos estudantes se eles sabiam o que era uma determinada figura geométrica
(no caso: triângulo, quadrilátero, quadrado e retângulo). A partir da resposta do estudante
pediu-se que ele fizesse o desenho da figura citada. Por exemplo: "Você sabe o que
42
é um triângulo? Então desenhe para mim um triângulo". Após o desenho, solicitou-se
que desenhasse a mesma figura geométrica, porém de maneira diferente da anterior.
Se esta diferença estivesse relacionada apenas ao tamanho, seria pedido a ele que
desenhasse essa figura de maneira diferente das anteriores, e que esta diferença não
fosse apenas no tamanho. Em seguida, foi solicitado ao estudante que explicasse
por que fez aquele desenho representando um quadrado, por exemplo. A justificativa
dele foi de fundamental importância para verificar se o desenho feito por ele
representava um protótipo ou se tinha conhecimento de algumas das propriedades
da figura geométrica em questão. A partir desta atividade, alguns indicadores do
processo de alfabetização matemática podem ser observados: o estudante, ao ouvir
a nomenclatura da figura geométrica que lhe foi solicitada, fez a representação
adequada? Quando fez o desenho, tentou representá-lo de modo diferente? Quando
o representou, no que consistiu esta diferença?
Após o desenho por parte dos estudantes, foi realizada a atividade 2, que é
uma das atividades sugeridas pelo modelo de Van Hiele
17
, o teste básico. Embora o
teste básico de Van Hiele seja citado aqui, sua teoria não será utilizada na presente
pesquisa, já que o que se pretende avaliar não é o nível de pensamento dos
estudantes, mas como eles estão compreendendo algumas figuras geométricas.
A opção por uma das atividades do teste de Van Hiele se deve à possibilidade de se
utilizar um instrumento já previamente testado que vem ao encontro do que
buscamos observar.
17
Os educadores holandeses Van Hiele (Dina van Hiele-Geldof e seu marido Pierre Marie van Hiele)
estavam interessados, no início, em descobrir caminhos para desenvolver a compreensão de seus
alunos do curso secundário na Holanda. O modelo Van Hiele de pensamento geométrico pode
orientar a formação ou, ainda, avaliar as habilidades dos estudantes.
43
FIGURA 1 - ATIVIDADE 2
A partir desta atividade observou-se como se dá a manifestação dos
estudantes frente a cada um dos desenhos apresentados, já que, após contornarem os
desenhos solicitados, os estudantes foram justificando por que os demais não haviam
sido contornados. Com base nas respostas apresentadas por eles pôde-se observar
como eles compreendem o triângulo, o quadrilátero, o quadrado e o retângulo,
verificando-se, assim como explicaram Nasser e Tinoco (2006), Nacarato e Passos
(2003), Fonseca et al. (2002), Smole, Diniz e Cândido (2003), que estes estudantes
só reconhecem os desenhos utilizando o que Hershkowitz (1994) chamou de
exemplos-protótipos.
Essas duas atividades foram aplicadas em estudantes do 1.
o
ano do ensino
fundamental em um estudo-piloto, chamado aqui de ensaio. O ensaio, relatado a
seguir, foi realizado em uma escola particular de Curitiba no mês de outubro de 2008.
Percebeu-se, por este ensaio, que somente com as atividades citadas até o momento
não se tinha claro como os estudantes compreendiam cada uma das figuras.
Pensando nisso, elaborou-se uma folha de atividade (atividade 3) com seis desenhos
para nova investigação, em que os estudantes tiveram que responder se cada um
daqueles desenhos era ou não quadrado, retângulo e triângulo, respectivamente,
justificando suas respostas.
44
FIGURA 2 - ATIVIDADE 3
Assim como no ensaio, na presente pesquisa esta folha de atividade também
foi realizada, com o objetivo de verificar as justificativas dos estudantes e como eles
compreendiam cada uma das figuras em questão (quadrado, retângulo e triângulo).
É importante ressaltar que as respostas dos estudantes foram de fundamental
importância para percebermos como eles estão compreendendo as figuras planas apre-
sentadas, e se a sua argumentação trazia alguma justificativa fundamentada. Buscou-se
verificar, aqui, não a simples memorização de definições de figuras planas que eles
têm, mas sim que compreensão cada um deles tem sobre as figuras apresentadas.
Procurou-se também que os estudantes explicassem, sem se utilizarem do
desenho, o que consideravam ser um triângulo, um quadrado e um retângulo. Dessa
maneira, tiveram que explicar o que é um triângulo, um quadrado e um retângulo a
alguém que não soubesse como é cada uma dessas figuras. Eles não poderiam
utilizar-se do desenho, somente de palavras. Em face das explicações dos estudantes,
pudemos observar mais detalhadamente como eles compreendem as figuras
citadas, já que, num processo de alfabetização matemática, estariam elaborando os
próprios conceitos de cada uma delas.
O enfoque maior foi dado à explicação dos estudantes e se suas justificativas
apresentavam argumentos baseados somente na observação de protótipos ou
se já mostravam ter compreensão de conceitos geométricos. Essa possibilidade de
argumentação e a observação dos procedimentos utilizados pelos estudantes para
apresentar uma resposta são incentivadas por Gonçalez e Brito (2005, p.224):
45
Em muitas salas de aula, é observado que apenas as respostas certas dos
alunos são aquelas passíveis de recompensa, sendo dada pouca ou nenhuma
atenção aos diferentes procedimentos que o estudante usa para resolver
um problema. Ocorrendo situações como essa, o ensino pode apresentar um
desvio, pois é enfatizado apenas o produto final e não o processo. Embora
a resposta final correta seja desejável, o excesso de cobrança e punição
quando ocorrem as respostas erradas acabam gerando atitudes negativas e
alta ansiedade durante provas e exames.
Desse modo, buscou-se a observação por diversos caminhos: por desenhos,
pela visualização e pela linguagem oral. Procurou-se, com isso, observar a compreensão
que estudantes em processo de alfabetização matemática em geometria demonstram
ter do conceito de algumas figuras geométricas, sendo elas triângulos, quadriláteros,
quadrados e retângulos.
46
4 ESTUDO DAS MANIFESTAÇÕES DOS ESTUDANTES
4.1 UM ENSAIO
Para sanar algumas das possíveis dúvidas de aplicação e respectiva
validação das atividades como instrumento desta pesquisa, decidiu-se realizar um
projeto-piloto com estudantes de mesma faixa etária dos futuros sujeitos. Buscou-se
então uma escola particular de Curitiba, que gentilmente se dispôs a colaborar com
a pesquisa. Participaram das atividades três estudantes do 1.
o
ano (chamados de G,
M e R), que realizaram as atividades propostas individualmente, em duas datas: 10 e
23 de outubro de 2008. A estudante G nasceu no dia 03 de fevereiro de 2002; a
estudante M não soube dizer o dia de seu aniversário, somente que já havia
completado 6 anos; e o estudante R nasceu dia 31 de outubro de 2002. A diretora
pedagógica da escola considerou importante relatar que a estudante M é hiperativa
e apresenta dificuldade de concentração e argumentação. As atividades realizadas
nas duas datas encontram-se relatadas nos Apêndices.
No dia 10 de outubro foram realizadas as atividades 1, 2 e a identificação
de desenhos na sala onde estávamos. Os estudantes realizaram as atividades indivi-
dualmente em uma sala de aula. Na primeira atividade foi solicitado a eles que
desenhassem a figura que lhes era pedida, oferecendo-lhes uma folha e um lápis.
Nesta atividade os estudantes mostraram ter a ideia do que é cada figura, porém
não souberam citar algo que a caracterizava como tal. Observou-se também que os
estudantes, quando solicitados a desenhar uma figura de maneira diferente, viravam
a folha, mudando a posição da folha da vertical para a horizontal. Os estudantes G e R
não quiseram desenhar uma terceira figura de maneira diferente, dizendo não saber
como representá-la. Nesta atividade, não souberam justificar por que haviam feito
aquele desenho para representar a que havia sido solicitada. A estudante M apresentou
respostas como: "porque é legal" ou "porque é animado". Em conversa com a
diretora pedagógica, esta explicou que esse tipo de resposta por parte da estudante
47
é usual quando deseja evitar responder a questões que não saiba. A estudante G
trocou o retângulo por triângulo nesta atividade. No momento não houve qualquer
interferência por parte da pesquisadora, buscando verificar se se tratava somente de
uma confusão de nomenclatura e se ela saberia justificar alguma das propriedades de
cada uma das figuras. Observou-se, no decorrer desta atividade, que a estudante não
percebeu a troca e considerou, talvez pela ausência de interferência da pesquisadora,
que estava correta. Ela não soube justificar os desenhos realizados com alguma
propriedade das figuras. Ao representar um retângulo diferente (quando solicitou a
essa que representasse um triângulo diferente), ela relatou que faria "de lado".
O estudante R, em sua justificativa, explicou que aquele desenho era um triângulo
"Porque vai ser uma casa". A mesma justificativa foi apresentada quando explicou por
que o desenho era um quadrado. Num segundo momento (no dia 23/10/2008), pediu-se
ao estudante que explicasse por que o quadrado e o triângulo representavam uma
casa, bem como que mostrasse, através de um desenho, a representação da casa
apresentada por ele. Enquanto desenhava, foi explicando onde estava cada uma das
figuras (o triângulo e os quadrados). Essa atividade não nos revelou muito sobre as
justificativas apresentadas pelos estudantes, mas contribuiu para percebermos se os
estudantes reconhecem as figuras geométricas pela nomenclatura. Além disso, foi de
grande importância verificar que, quando solicitamos que os estudantes representassem
a mesma figura de uma forma diferente, eles viravam a folha da vertical para a
horizontal para representá-la.
Aplicou-se então a atividade 2. Cada questão era lida pela pesquisadora
e os estudantes respondiam ao que era solicitado e circulavam
18
os desenhos em
seguida. A primeira questão solicitava que os estudantes circulassem os triângulos.
Os três estudantes circularam os triângulos B e E, porém não reconheceram o
triângulo C como tal. Surgiram, então, algumas dúvidas: será que os estudantes não
18
Apesar de utilizarmos o termo 'circular', estamos nos referindo, na presente pesquisa, ao ato de
contornar os desenhos.
48
identificam triângulos obtusângulos como tal? E se aparecesse um triângulo em que
a base não estivesse paralela à margem da folha, ele seria reconhecido pelos
estudantes? Se o triângulo estivesse de "ponta-cabeça", eles considerariam aquela
figura como triângulo? Essas questões foram um dos motivos que nos levaram a
retornar à escola e realizar novas atividades, como será relatado mais adiante.
A segunda questão solicitava que circulassem os quadrados. Os estudantes
identificaram o desenho R como sendo quadrado, o que já era esperado por nós.
Porém, nos surpreendemos quando somente M não reconheceu T como um quadrado,
mesmo com os lados não paralelos à folha, apesar de não apresentarem justificativas
a tal fato.
A terceira questão solicitava que circulassem os retângulos. Os três estudantes
identificaram o desenho Y como sendo um retângulo, e somente o estudante R
identificou o desenho U como retângulo. Este fato nos surpreendeu, já que o desenho
representado por U é usualmente utilizado por professores, servindo inclusive como
um protótipo de retângulo, e o desenho representado por Y normalmente não é
sequer apresentado por eles.
Ao estudante R foi solicitado que explicasse por que cada um dos desenhos
era ou não contornado por ele. Suas explicações, ainda que com uma linguagem
simples, mostraram que ele tinha conhecimento de algumas propriedades presentes
nos desenhos. Por exemplo, ao explicar por que o desenho Q não era um quadrado,
argumenta: "porque ele é um quadrado, mas não tem aqui", completando com a mão
uma parte que dizia "faltar" e considerando um dos lados do triângulo como a
diagonal do quadrado. Ao justificar por que o desenho S não era um quadrado,
também explicou: "tinha que passar aqui", fazendo com o dedo a representação de
onde estaria o lado do quadrado. Fez da mesma forma com os retângulos, quando
sua justificativa se referia ao fato de não apresentarem ângulos retos, explicando
que "faltava" ou "sobrava" uma parte do desenho. Esses questionamentos não foram
realizados com as demais estudantes, o que constituiu um outro motivo para uma
volta à escola.
49
Após a realização da atividade 2, pediu-se aos estudantes que buscassem,
no espaço em que estávamos, algo que se parecesse com as figuras solicitadas.
Verificou-se, nesta atividade, que os estudantes apontaram formas semelhantes a
um retângulo quando lhes foi solicitado que mostrassem algo que lembrasse um
quadrado. Dessa forma, pode-se verificar que as diferenças e semelhanças entre a
definição de um retângulo e de um quadrado ainda precisam ser retomadas com esses
estudantes. A estudante M apontou a janela como algo que lembra um retângulo,
porém esta pode ser representada por um retângulo e um semicírculo.
No segundo encontro, que ocorreu no dia 23 de outubro de 2008, cada um
dos estudantes foi questionado (também de maneira individual) sobre as atividades
1 e 2. A solicitação inicial foi sobre a atividade 1, em que desenharam as figuras que
lhes eram pedidas. Pediu-se a eles que explicassem por que tinham feito determinado
desenho quando solicitei triângulos, quadrados e retângulos, respectivamente.
A estudante M novamente apresentou respostas como: "tão feliz" ou "porque é
animado". A estudante G não soube dizer o nome do primeiro desenho que havia
desenhado (figura 3), quando foi solicitado que desenhasse um triângulo e ela
desenhou um retângulo.
FIGURA 3 - TRIÂNGULO REPRESENTADO
PELA ESTUDANTE G
50
Quanto ao segundo desenho, ela soube dizer que era um quadrado, porém
não soube explicar o porquê. Ao ser questionada sobre a diferença entre dois quadrados
feitos, ela falou que "um está mais magrinho" e que o terceiro foi feito com dois
risquinhos "para fazer diferente" (figura 4). Ressaltou ainda que o último foi feito com
a folha na horizontal, o que deixou o desenho diferente. Sobre o terceiro desenho
representado (em que a solicitação era que desenhasse um retângulo e ela desenhou
um triângulo), a estudante respondeu que ele era um retângulo, não sabendo explicar
por quê. Disse, ainda que com suas próprias palavras, que os desenhos eram diferentes
porque um foi feito com a folha na horizontal e o outro com a folha na vertical.
FIGURA 4 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE G
O estudante R, ao ser questionado sobre os triângulos que havia desenhado,
não soube dizer por que eles eram diferentes, falando somente que o representado
em (3) era diferente "porque é de lado". Quando questionei sobre a representação
em (4), respondeu que era um retângulo e lembrei a ele que o desenho solicitado
havia sido um quadrado. Explicou que o quadrado (5) era diferente do (4) "porque as
duas pontas são assim", referindo-se à representação, em que a base não estava
mais paralela à margem da folha (figura 5).
51
FIGURA 5 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELO ESTUDANTE R
Ao comentar sobre o retângulo justificou que eram diferentes "porque um está
em pé e o outro deitado". Questionei então sobre o terceiro retângulo representado
por ele, que também era "deitado", e ele disse que os retângulos (6) e (8) eram
iguais (figura 6).
FIGURA 6 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELO ESTUDANTE R
Fez-se, então, um questionamento aos estudantes buscando a justificativa
por terem ou não circulado cada um dos desenhos da atividade 2. Ao ser
questionada sobre a primeira questão (figura 7), a estudante M, que circulou B e E como
triângulos, não soube responder por que o desenho A não era triângulo. Ao ser
questionada sobre o desenho C respondeu: "é quadrado", e depois disse não saber.
Também não soube explicar por que o desenho D não era triângulo.
52
FIGURA 7 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2
A estudante G, que também circulou B e E, falou que o desenho A não era
triângulo "porque ele tem aqui", referindo-se ao menor dos lados do quadrilátero.
Disse que C não era triângulo "porque ele está diferente", ou seja, "ele está assim
bem fininho e os outros são maiores". Questionei se, por estar "fininho", ele não
podia ser considerado triângulo, e ela respondeu que "não porque ele tem que estar
para cima e ele está para baixo". Questionei se triângulo sempre é virado para cima
e ela respondeu que sim. Da mesma maneira, explicou que o desenho D não era
triângulo porque "tem que estar virado para baixo e tem isso. Tinha que estar virado
para cima e tem esse negocinho", referindo-se aos dois menores lados do hexágono.
O estudante R, apesar de já ter respondido a essas questões no primeiro dia,
respondeu novamente. Disse que o desenho A não era triângulo "porque ele é assim,
esse é mais comprido e é de lado", referindo-se à base do triângulo. Considerou
que, "se fosse mais comprido", não haveria aquele lado menor e fez a representação
de como seria um triângulo em (10). Anteriormente havia respondido que "é meio
torto". Considerou que o desenho C não era um triângulo porque "é mais comprido e
é de ponta-cabeça". Questionei se um triângulo não poderia ser "mais comprido" e
ele respondeu que não. Anteriormente, havia respondido somente que "ele é de
ponta-cabeça". É interessante que, ao justificar o desenho D, o estudante R explicou
que não era triângulo "porque tem esse negócio" e, ao ser questionado se seria
triângulo se não tivesse o "negócio", ele respondeu que sim, contradizendo a resposta
que havia dado para o desenho C.
A questão 2 da atividade 2 solicitava que assinalasse o(s) quadrado(s) –
figura 8. A estudante M, que havia circulado R e T, respondeu que o desenho P não
53
era quadrado "porque é o 'O'". Quando questionada por que o desenho Q não era
quadrado, ela respondeu que não sabia e acrescentou: "não sei tudo". Dessa forma, os
questionamentos com esta estudante sobre a atividade 2 só foram realizados até aqui.
FIGURA 8 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2
Com a estudante G, que havia circulado R e T, questionei inicialmente se o
desenho T era realmente quadrado, e ela respondeu que sim. Questionei sobre o
fato de ele estar virado (já que ela explicou anteriormente que o triângulo teria que
estar virado para baixo), e ela falou que mesmo virado ele era quadrado. Ao ser
questionada sobre o fato de P não ser quadrado, explicou que o desenho era um
círculo. Ao responder por que o desenho Q não era um quadrado, falou que era um
retângulo (confundindo novamente os nomes do retângulo e do triângulo, como fez
na atividade de desenho). No desenho S falou que não era quadrado "porque é um...
não lembro". O estudante R, ao explicar sobre o desenho P não ser um quadrado, e
que havia dito: "porque é um círculo", desta vez respondeu: "porque ele tinha que
ser assim" (apontando para o desenho R). Sobre o desenho Q, ele havia explicado:
"porque ele é um quadrado, mas não tem aqui", explicando dessa vez de maneira
análoga dizendo que "está faltando uma outra parte". Respondendo sobre o fato de
S não ser quadrado, havia dito anteriormente: "porque tem que passar aqui",
referindo-se ao meio do desenho. Na segunda vez, respondeu: "porque ele é mais
comprido". Questionei se o desenho não poderia ser mais comprido e ele disse que
não. Como o estudante havia dito que um dos triângulos estava "de ponta-cabeça",
questionei o fato de o desenho T ser um quadrado e ele explicou que ele está virado
mas é um quadrado. Questionei sobre a resposta apresentada por ele de que o
54
desenho C estava "de ponta-cabeça" e perguntei se T pode estar "de ponta-cabeça",
mas C não pode e ele afirmou que sim. Curioso observar que estes estudantes (G e
R) reconhecem um quadrado mesmo quando este não está com as bases paralelas
à margem da folha, mas não reconhecem um triângulo quando a base não é
paralela à margem inferior.
Enfim, concluindo a atividade 2, foram feitos questionamentos aos estudantes
G e R sobre os retângulos (figura 9). A estudante G havia circulado apenas o
desenho Y. Quando questionada sobre cada um dos desenhos, iniciando por U, ela
disse que U era retângulo e que havia esquecido de circular. Dessa forma, circulou
(com lápis de cor) U como retângulo. Sobre o desenho V, ela respondeu que não era
retângulo "porque ele está assim", apontando para o lado não perpendicular à base.
Questionei se, da forma como ele estava ele não seria retângulo, e ela representou
com a mão como deveria ser o lado cujos ângulos não têm 90
o
. Isso mostra que ela
tem conhecimento sobre o fato de um retângulo ter somente ângulos retos, mesmo
com troca no nome da figura. Ao questioná-la sobre o desenho X, ela disse que esse
desenho é um quadrado. A resposta dela para o fato de Z não ser retângulo é que é
"igual a esses aqui", apontando para os triângulos representados por B e E do
primeiro exercício.
FIGURA 9 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2
O estudante R, que assinalou U e Y, respondeu de forma semelhante nas
duas vezes aos questionamentos do fato de cada um dos desenhos não ser retângulo.
Sobre o desenho V, havia explicado anteriormente: "porque tem que desenhar aqui",
referindo-se ao lado que não forma ângulo reto, e, na segunda vez, disse: "porque
55
tem que fazer outra parte". No desenho X disse, nas duas vezes: "porque tem que
desenhar aqui e aqui", referindo-se a lados perpendiculares às paralelas da horizontal.
Na explicação do desenho Z havia dito: "porque tem que desenhar aqui e aqui para
cima", referindo-se a paralelas às retas perpendiculares do triângulo. Da segunda
vez, de maneira análoga, explicou: "porque tem que terminar a outra parte".
Nesse mesmo dia levou-se uma folha com algumas figuras geométricas para
buscar responder algumas das dúvidas que surgiram no decorrer da análise do primeiro
encontro (figura 10). Essa folha, a atividade 3, foi elaborada para compreender melhor
que conceitos os estudantes tinham sobre as figuras que lhes foram apresentadas.
FIGURA 10 - ATIVIDADE 3 DO ESTUDO-PILOTO
A estudante M, ao ser questionada se o primeiro desenho (A) era um
quadrado, respondeu que sim, fazendo o desenho ao lado. Perguntei se o segundo
desenho (B) era um retângulo, e ela afirmou que não. Perguntei a ela por que aquele
desenho não era retângulo, e ela disse que era. Por fim, disse que era um retângulo,
porém não soube dizer o porquê. Indaguei se o terceiro desenho (C) era um triângulo e
ela disse que era, porém não soube justificar sua resposta, assim como nas demais,
em que ela afirmou serem triângulos, porém não soube explicar por quê. A estudante
G, ao ser questionada se o primeiro desenho (A) era um quadrado, respondeu:
"é, só tem uma perninha aqui que é assim", referindo-se ao menor lado da figura.
Questionei se ele continuava sendo quadrado com "aquela perninha", e por quê, e ela
respondeu "Continua, porque ele já está assim, só falta essa pontinha", referindo-se
ao formato do desenho, que se assemelha a um quadrado. Perguntei ainda se o
desenho sem a "pontinha" era quadrado e ela respondeu (ficando em dúvida) que
56
era. Questionei se o segundo desenho (B) era um retângulo e ela respondeu que
sim "porque é igual àquele, é só virar ele assim de lado", apontando para o quadro
de giz da sala onde estávamos. Sobre o terceiro desenho (C) ser ou não um triângulo,
respondeu que era e virou a folha de ponta-cabeça para mostrar. Questionei se do
modo que estava (sem virar a folha) ele era triângulo e ela afirmou que era. Quanto
ao quarto desenho (D), a estudante G inicialmente disse ser um triângulo, e logo
depois mudou sua resposta dizendo que tinha uma diferença. Questionei quanto a
esta diferença e ela explicou: "um está assim, o outro está com a pontinha aqui em
cima, o outro lá embaixo", referindo-se ao vértice da direita. Afirmou que o quinto
desenho (E) era um triângulo "porque está bem certinho". Finalmente, disse que o
último desenho (F) não era triângulo "porque ele está virado para baixo e está muito
fininho". O estudante R, ao ser questionado se o primeiro desenho (A) era um quadrado,
afirmou que não, explicando: "porque tem que fazer aqui". Solicitei que desenhasse
a parte que "faltava". Afirmou que o segundo desenho (B) não era um retângulo
"porque não tem aqui", referindo-se a lados perpendiculares à base, e novamente
solicitei que desenhasse. O terceiro desenho (C) ele afirmou que não era um triângulo
"porque tinha que estar assim", referindo-se ao fato de a base não estar paralela à
parte inferior da folha. Ao se apresentado o quarto desenho (D), afirmou que também
não era um triângulo "porque é muito comprido aqui e aqui também", referindo-se ao
fato de dois dos lados serem muito maiores que o outro. O quinto desenho (E) não
foi considerado por ele como triângulo "porque ele está de lado". No último desenho
(F), disse que não era triângulo "porque é muito comprido e tinha que ser de pé". Ao
lado de cada um deles pedi a ele que fizesse o desenho de como deveria ser a
figura para que fosse um triângulo.
Quanto à identificação de um triângulo, pode-se observar que os estudantes
(G, M e R) identificam-no como uma figura plana que tem três lados desde que a
base esteja paralela à parte inferior da folha e que possua somente ângulos agudos.
Observou-se que estes estudantes ainda utilizam protótipos para reconhecerem
triângulos, provavelmente por estes só serem apresentados com ângulos agudos.
57
Com relação à identificação de um quadrado, verificou-se que a estudante
G ainda se confunde em relação às propriedades do quadrado, o que pode ser
percebido na terceira questão da atividade 2, quando afirmou que o desenho X era
um quadrado. Além disso, na atividade 3 do estudo-piloto ela afirmou que o desenho
A era um quadrado, em que "só falta essa pontinha".
A estudante M não apresentou justificativas em suas respostas quanto à
questão dos quadrados. Porém, acreditamos que ela ainda tem dificuldade de reconhecer
um quadrado mesmo através da manipulação de protótipos, já que afirmou que o
desenho C da primeira questão da atividade 2 era um quadrado. Na segunda questão
da atividade 2, mostrou corretamente os desenhos que representavam quadrados
mas não soube justificar a razão de os outros não o serem. Na atividade 3, afirmou
que o desenho A era um quadrado.
O estudante R já identifica um quadrado como um quadrilátero de quatro
lados iguais e quatro ângulos retos. Este fato pode ser observado tanto em seus
desenhos (nos quais representou quadrados em diferentes posições), quanto na
atividade 2 (em suas justificativas) e na atividade 3.
Quanto à identificação de um retângulo, observou-se que a estudante G
tem dificuldade em estabelecer relação entre a nomenclatura e a representação. Em
seus desenhos, fez a troca entre triângulo e retângulo, o que voltou a se repetir em
suas justificativas na atividade 2. Ao responder que o desenho B era um retângulo
por ser "igual ao quadro", questionamo-nos se ela estaria reconhecendo os retângulos
por suas propriedades ou pela utilização de protótipos, já que o desenho B não
possui ângulos retos.
A estudante M reconheceu o desenho Y como sendo um retângulo, porém
não identificou o desenho U, que é muito utilizado por professores, servindo inclusive
como protótipo. Como não apresentou justificativas nas atividades 1 e 2, ficamos
impossibilitadas de perceber como ela compreende um retângulo. Na atividade 3
disse que o desenho B era um retângulo, mas não soube justificar.
58
O estudante R já identifica um retângulo como um quadrilátero com quatro
ângulos retos, o que pode ser observado nas justificativas apresentadas por ele, em
que expõe, ainda que com outras palavras, a necessidade de que o desenho
apresente todos os ângulos retos. O mesmo ocorreu na atividade 3, ao explicar por
que o desenho B não era um retângulo.
Ao final de todas essas análises, questionamo-nos sobre alguns fatos: Por
que esses estudantes reconhecem quadrados e retângulos em posições diferentes
mas não identificam um triângulo quando este está "de lado"? Por que os estudantes
não reconhecem triângulos obtusângulos como triângulos? Teriam os blocos lógicos
prejudicado também na conceituação de triângulos?
Percebemos também que a justificativa dos desenhos circulados pelos
estudantes na atividade 2 seria importante para auxiliar na análise, o que foi realizado
durante a aplicação da presente pesquisa.
4.2 DESVELANDO O PENSAMENTO MATEMÁTICO DOS ESTUDANTES
Para compreender como os estudantes estão compreendendo algumas
figuras geométricas nos dirigimos a uma escola municipal de Curitiba que atende os
estudantes em período integral. Solicitamos à direção da escola alguns estudantes
do primeiro Ciclo para realização das atividades, já que estes estão em um período de
alfabetização matemática. Os estudantes A e B são do 3.
o
ano, C e D são estudantes
do 2.
o
ano e E e F são estudantes do 1.
o
ano. A escolha destes estudantes foi
realizada pela escola (diretora e professoras), o que, na metodologia adotada, não
interfere no desenvolver da pesquisa. A direção escolheu um estudante de cada
sala. Todos estes estudantes permanecem 8 horas diárias na escola e realizaram as
atividades no período da tarde. Para a coleta de dados estes estudantes saíram da
sala e dirigiram-se a um espaço separado, junto com a pesquisadora para realização
das atividades.
Através de desenho, reconhecimento de figuras e explicações orais por meio
de diálogo com a pesquisadora, buscamos desvelar o pensamento matemático destes
59
estudantes e perceber como eles estão compreendendo algumas figuras geométricas,
dentre elas o triângulo, o quadrilátero, o quadrado e o retângulo. Assim fizemos para
atingir o objetivo desta pesquisa, que é observar a compreensão que estudantes do
primeiro ciclo do ensino fundamental demonstram ter sobre algumas figuras geométricas.
Esses diálogos realizados com os estudantes são relatados em seguida, descrevendo
os questionamentos realizados a cada um dos estudantes.
Manifestações do estudante F sobre Geometria
O estudante F foi escolhido pela professora de uma turma do 1.
o
ano, pois
já havia concluído todas as atividades em sala e porque "ele já sabe ler tudo". Ao ser
questionado sobre saber o que era um triângulo afirmou que sabia e desenhou, em
(A), um triângulo.
A
FIGURA 11 - TRIÂNGULO REPRESENTADO PELO
ESTUDANTE F (A) NA ATIVIDADE 1
Quando lhe foi solicitado que desenhasse um triângulo diferente, afirmou
não saber e não quis tentar. Indagado sobre um quadrilátero, afirmou não saber o
que era. Questionado sobre um quadrado, afirmou que sabia e desenhou, em (B),
60
um quadrado. Solicitei-lhe que desenhasse um quadrado diferente e ele desenhou
em (C), porém o desenho representava um retângulo.
BC
FIGURA 12 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELO ESTUDANTE F (B, C) NA ATIVIDADE 1
Perguntei-lhe sobre o fato de o desenho representado em C ser um quadrado
e ele afirmou que era, já que tinha 4 pontas. Perguntei se o quadrado deveria ter
4 pontas e ele contou, no desenho que havia feito, as quatro pontas. Questionei se
este, representado em C, era quadrado, e ele falou que era, mudando logo sua
resposta: "não é igual". Quando questionado sobre o significado de não serem
iguais, ele explicou: "porque não é assim", referindo-se ao fato de "não ser de pé".
Quando pedi que desenhasse um retângulo, ele representou, em D, um círculo.
61
D
FIGURA 13 - RETÂNGULO REPRESENTADO PELO
ESTUDANTE F (D) NA ATIVIDADE 1
Questionei se era um retângulo e ele afirmou que sim, mas não soube
desenhar um retângulo diferente daquele.
Na atividade 2 foi solicitado que circulasse, dentre os desenhos apresentados
na primeira linha, todos os triângulos.
FIGURA 14 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELO ESTUDANTE F
Ele circulou B e E. Falou que o desenho A não era triângulo porque "tem
um risco para cá", referindo-se ao menor dos lados do quadrilátero e explicou que se
não tivesse aquele 'risco' ele seria um triângulo. Afirmou que o desenho C não era
triângulo "porque ele é pequeno, é reto aqui e tem aqui", indicando que um dos lados do
triângulo era muito menor que os outros e o outro lado era muito maior. O desenho D
não era triângulo, segundo ele, porque "tem isso", referindo-se aos dois lados menores
do hexágono. Ao ser questionado sobre o desenho ser um triângulo sem "a
pontinha", ele afirmou que "não, porque é de lado", mudando depois sua resposta
62
para "de ponta para baixo". Questionado sobre a possibilidade de estar com a "ponta
para baixo" ele afirmou que "daí não fica", indicando que só há um triângulo se a
base estiver paralela à margem inferior da folha. Foi solicitado então que circulasse,
na segunda linha, o que fosse quadrado. Ele inicialmente circulou o desenho R.
FIGURA 15 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELO ESTUDANTE F
Quando pedi que explicasse por que cada um dos desenhos era ou não
quadrado, ele afirmou que o desenho P não era quadrado por ser um círculo. Acredito
que ele pode ter aproveitado a minha fala (circule, faça um círculo), já que na
atividade anterior ele representou um círculo quando foi solicitado que representasse
um retângulo. Sobre o desenho Q ele afirmou que não era quadrado porque ele
"é de lado, um triângulo". Indagado sobre este desenho ser um triângulo, ele afirmou
que era um triângulo de lado. Quando questionei sobre o desenho S ser um quadrado,
falou que era "um quadrado mais grande que esse aqui", comparando-o com o
quadrado representado pela letra R. Perguntei então se o desenho S era um quadrado
e ele afirmou que sim. Solicitei que circulasse este desenho. Ao ser questionado
sobre o desenho T ser quadrado, afirmou que não, "porque é assim", referindo-se ao
fato de a base não ser paralela à margem da folha. Enquanto eu questionava sobre
o fato de ser ou não quadrado por "estar assim", ele afirmou que o desenho U,
representado na linha inferior, também era quadrado, e, por este motivo, circulou
também este desenho afirmando ser "igual a esse (S)".
FIGURA 16 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELO ESTUDANTE F
63
Ao partir para a atividade que envolvia retângulos, e como ele já havia
circulado o desenho U desta atividade, solicitei que trocasse de canetinha, pegando
uma de outra cor. Quando pedi que circulasse o que representasse um retângulo,
ele leu a palavra retângulo e circulou o desenho logo acima, que é representado
com a letra Q (no caso, um triângulo). Perguntei se realmente aquele desenho era
um retângulo e ele disse não saber. Depois leu a palavra retângulo logo abaixo do
desenho e afirmou que sim, que era um retângulo. Solicitei então que, na linha de
baixo, observasse todos os desenhos e circulasse o que fosse retângulo. Ele circulou
os desenhos V e X e questionei se eles eram retângulos. Ao afirmar que sim, questionei
a ele sobre cada um dos desenhos. Sobre U, ele afirmou que não era retângulo (ele
já havia circulado como sendo quadrado). O desenho V ele disse ser retângulo,
porém não soube explicar por quê. O desenho X ele afirmou ser retângulo "porque
ele é assim", referindo-se ao formato da figura. O desenho representado com a letra
Y, segundo ele, não era retângulo porque parecia um quadrado mas não era, porque
era um triângulo. Questionado sobre como deveria ser para que o desenho fosse um
quadrado, afirmou que teria que ser como o desenho R. Questionei então: se o
desenho fosse como S, ele seria um quadrado e ele não respondeu. Ao responder
sobre o fato de o desenho Z não ser retângulo, afirmou que não "porque é virado",
mostrando que estava na verdade considerando o fato de o desenho ser ou não
triângulo. Questionei então se este desenho era ou não um triângulo, e ele afirmou que
não era. Perguntei o que era um triângulo e ele explicou que "tem isso aqui" (pontas).
Na atividade 3, pediu-se que o estudante dissesse se o primeiro desenho
apresentado (A) era ou não um quadrado e ele afirmou que era: "mas é diferente
porque não tem essa pontinha aqui". Questionado sobre o fato de ser quadrado
"mesmo sem essa pontinha", falou que não, que sem a "pontinha" o desenho não
era quadrado.
64
FIGURA 17 - ATIVIDADE 3 REALIZADA PELO ESTUDANTE F
Sobre o segundo desenho (B) ser ou não um retângulo, o estudante primei-
ramente perguntou se era como o desenho U, da atividade anterior, e afirmei que
sim. Então ele disse que era, e solicitei que ele circulasse o desenho. Questionado
sobre o fato de o terceiro desenho (C) ser ou não um triângulo, ele afirmou que não
"porque ele é com a ponta assim", explicando ainda que "se fosse triângulo seria
assim", virando a folha para que a base ficasse paralela à mesa. Voltei a folha à
posição inicial e questionei se com a folha naquela posição o desenho era ou não
triângulo, e ele afirmou que não, só se a folha estivesse virada para baixo. Quanto
ao quarto desenho (D), disse que não era triângulo "porque ele é pequeno aqui e
grande ali", referindo-se à diferença da medida dos lados do triângulo. Quanto ao
quinto desenho (E) ele afirmou ser um triângulo, porque "tem ali, ali e ali", referindo-se
aos três vértices do triângulo, sem fazer menção aos ângulos. Questionei sobre o
fato de ser triângulo "mesmo com a pontinha assim", investigando sobre o fato de
ele ter dito anteriormente que outro desenho não era triângulo em uma posição mas
em outra era. Ele afirmou que sim, que seria triângulo mesmo que estivesse "de
lado", explicando que seria triângulo com a folha normal, que seria triângulo se
virássemos a folha a 90
o
para a esquerda mas que não seria triângulo se a folha
estivesse virada a 90
o
para a direita (onde a base estaria paralela à margem superior
da folha e um dos vértices estaria para baixo). Sobre o último desenho (F), afirmou
não ser triângulo por causa dos lados (dois muito grandes e um pequeno),
desenhando ao lado como teria que ser um triângulo.
65
Interpretações do pensamento matemático do estudante F
O estudante apresenta dificuldade em reconhecer as figuras geométricas
e, apesar de já saber ler, demonstra dificuldade no reconhecimento das figuras
geométricas apresentadas (tanto no desenho quanto na visualização de desenhos).
Embora tenha dito inicialmente que o quadrado tem quatro "pontas" (vértices), não
considerou o desenho T como tal. Percebe-se, portanto, que ele considera que, além de
quatro vértices, o desenho precisa ter lados paralelos à margem da folha para ser
quadrado. Observa-se, também, que ele percebe que o quadrado necessita ter os
lados perpendiculares. Caso não sejam, apesar de ter quatro vértices (como o
desenho V), ele considera como um triângulo. Afirma que alguns quadrados são
maiores, outros são menores, considerando como quadrados, portanto, os desenhos
que na verdade representam retângulos, justificando que alguns são maiores e outros
menores. Ele, que inicialmente, em seu desenho, havia mostrado saber desenhar
um triângulo, acabou circulando triângulos dizendo serem retângulos. Considera que
o triângulo tem que ter "pontas" (vértices), ignorando para tal o número de lados do
triângulo e só considerando aqueles que possuem a base paralela à margem inferior
da folha. Na atividade 3 explicou que para ser triângulo não poderia ter um dos
vértices na parte inferior, poderia ser "de lado", mas não poderia ser "de ponta-
cabeça". E não considera um triângulo obtusângulo como tal, explicando nos dois
casos que um lado é muito grande e outro é muito pequeno. Quanto ao retângulo,
percebe-se que o estudante ainda demonstra não reconhecê-lo, já que inicialmente
representou um círculo (na atividade 1), na atividade 2 circulou aqueles desenhos que
estavam próximos da palavra "retângulo" (triângulos, trapézios e paralelogramos), e
afirmou, pela sua descrição, que confundia retângulo com triângulo, já que considerou
que o desenho Z não era retângulo (no caso triângulo) porque "estava virado".
Também na atividade 3 o estudante questionou se para ser retângulo deveria ser como
o desenho U da atividade 2 (que ele havia circulado como sendo um quadrado),
mostrando mais uma vez não saber qual a representação de um retângulo.
66
Manifestações da estudante E sobre Geometria
A estudante E é do 1.
o
ano. Quando lhe perguntei se sabia o que era um
triângulo, afirmou que sabia e desenhou, em A, um retângulo. Quando pedi que
desenhasse um triângulo diferente do primeiro, ela desenhou em B novamente um
retângulo, afirmando que este era maior que o primeiro.
AB
FIGURA 18 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE E (A, B) NA ATIVIDADE 1
Perguntei se ela sabia desenhar um quadrilátero, e ela afirmou que não
sabia o que era. Perguntei se sabia o que era um quadrado e ela afirmou que sim.
Representou então, em C, um quadrado. Depois, em D, representou um quadrado
diferente do primeiro. Explicou que eles eram diferentes porque o primeiro
(representado em C) era "mais quadradinho", e que o representado em D "tem uma
perninha para cá". Questionei se poderia ter a "perninha para cá" e ela afirmou que
não poderia, e que se não tivesse essa "perninha" eles seriam iguais. Representou
então, em E, um novo quadrado, que afirmou ser diferente dos outros por ser "mais
quadradinho e mais pequenininho".
67
CDE
FIGURA 19 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE E (C, D, E) NA ATIVIDADE 1
Perguntei, então, se ela sabia o que era um retângulo. Ela afirmou que sim e
desenhou, em F, um triângulo. Questionei se ela saberia fazer um retângulo diferente e
ela afirmou que sim, fazendo a representação em G.
FGH
FIGURA 20 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE E (F, G, H) NA ATIVIDADE 1
Explicou que o primeiro era menor e, o outro, maior. Solicitei que representasse
um novo retângulo, em que a diferença, porém, não estivesse somente no tamanho.
68
Ela perguntou se eu queria um menor ou maior, e expliquei que poderia ser do
tamanho que ela quisesse, porém que tivesse alguma diferença dos retângulos
anteriores além do tamanho. Desenhou, em H, outro triângulo, dizendo que aquele
retângulo era diferente dos demais porque era maior que o feito em F, ou seja,
explicou que H era o maior, F o médio e G era o menor. Com isso, apesar de ser
solicitado que ela representasse um retângulo diferente dos anteriores, e que essa
diferença não fosse somente de tamanho, ela não deu atenção a este comando (ou
não soube representá-lo de outra maneira) e continuou utilizando o critério tamanho
para diferenciar os desenhos representados por ela.
Na atividade 2, foi solicitado a ela que circulasse, na primeira linha, o que
fosse triângulo.
FIGURA 21 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE E
Circulou, inicialmente, somente o desenho representado pela letra B. Quando
questionada se só havia aquele triângulo, circulou também o desenho representado
por E e afirmou que não havia mais triângulos. Questionada sobre o desenho A não
ser triângulo, disse que era: "porque esse aqui tem uma coisinha aqui, ó", referindo-se
ao menor dos lados do quadrilátero. O desenho representado com a letra C não foi
considerado como triângulo pela estudante "porque tem uma coisinha aqui, uma
coisinha aqui e uma coisinha aqui", referindo-se aos lados do triângulo. Indagada
sobre como deveria ser esse desenho para ser um triângulo, ela afirmou que deveria
ser maior, como o desenho B. Sobre o desenho D afirmou que não era triângulo
"porque tem aqui, aqui e aqui", referindo-se aos vértices do hexágono. Questionei se
o triângulo não poderia ter "essas pontas", e em sua resposta ela se remeteu ao
69
desenho Z (da terceira linha). Falou que, nesse caso, esse desenho também seria
triângulo, circulando-o.
FIGURA 22 - DESENHO CIRCULADO
PELA ESTUDANTE E
COMO TRIÂNGULO
Questionei se este desenho (Z) era ou não triângulo, e ela afirmou que sim.
Solicitei que, na segunda linha, observasse os desenhos e circulasse aqueles que
fossem quadrados.
FIGURA 23 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE E
Ela circulou apenas o desenho R. Quando questionada se não havia mais
algum quadrado ela circulou o desenho X, da atividade abaixo, dizendo que ele
também era quadrado.
FIGURA 24 - DESENHO CIRCULADO
PELA ESTUDANTE E
COMO QUADRADO
70
Questionada sobre o fato de o desenho P não ser quadrado, e ela explicou
que era um círculo. Perguntei se o desenho Q era quadrado e ela afirmou que não:
"ele é assim e assim", referindo-se aos lados do triângulo. Indaguei como tinha que
ser para que fosse um quadrado e ela explicou que tinha que ser "retinho assim e
assim", referindo-se à hipotenusa do triângulo, que deveria ser substituída por dois
lados como os dois apresentados no triângulo. Explicou que o desenho S não era
quadrado porque ele é retângulo. O desenho T, segundo ela, não é quadrado porque
"é tipo de uma estrela". Como ela já havia circulado dois desenhos da terceira linha
(X como quadrado e Z como triângulo), solicitei que ela trocasse a cor de canetinha.
Questionada sobre os retângulos apresentados nessa linha, ela circulou somente o
desenho representado pela letra U.
FIGURA 25 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE E
Explicou que o desenho V não é retângulo porque "tem um risquinho aqui
embaixo que sobe", referindo-se ao lado que não forma 90
o
com os demais.
Explicou que o desenho com a letra X (já circulado por ela por ser considerada um
quadrado) não era retângulo por ser quadrado. O desenho representado pela letra Y
não foi considerado retângulo "porque ele está assim", referindo-se ao fato de o
retângulo não estar com a base paralela à folha. Quando questionada se o desenho
seria retângulo se não estivesse daquela maneira (ou seja, se ele estivesse com a
base paralela à folha, ele seria retângulo?), afirmou que nesse caso ele seria
retângulo. Ao justificar o fato de o desenho representado com a letra Z (circulado
anteriormente por ser considerado um triângulo) não ser retângulo ela explicou: "é
porque ele é... ai... como é o nome desse?", referindo-se aos desenhos da primeira
71
linha desta folha. Quando afirmei que o nome era triângulo, ela disse que não era
retângulo porque era um triângulo.
Na atividade 3, a estudante afirmou que o primeiro desenho (A) era um
quadrado, e em sua justificativa mostrava os lados da figura, ou seja, devido ao fato
de o desenho ser parecido com o desenho de um quadrado ela explicou que era um
quadrado e justificou apontando os quatro maiores lados do pentágono.
FIGURA 26 - ATIVIDADE 3 REALIZADA PELA ESTUDANTE E
Ao ser questionada sobre o segundo desenho (B), afirmou que não era
um retângulo "porque esse é reto e ele vira para cá", referindo-se ao lado que não
formava 90
o
com a base. Ao lado, desenhou como ele deveria ser. O terceiro
desenho (C) não foi considerado por ela como um triângulo porque estava virado;
ela afirmou que se virássemos a folha ele iria se tornar um triângulo, mas do jeito
que estava não era. Da mesma forma, sobre o quarto desenho (D) ela afirmou que
não era um triângulo (disse parecer uma faca), mas se virássemos ele se tornaria
um triângulo. No quinto desenho (E) ela confundiu a nomenclatura, questionando se
era retângulo, e mostrei o retângulo que ela havia desenhado nesta mesma folha, ao
lado do segundo desenho. Depois ela afirmou que sim, que o desenho era um
triângulo, por causa da forma. Questionei se, mesmo virado, ele continuava sendo
triângulo e ela afirmou que sim. Perguntei por que este poderia estar virado e
continuar sendo triângulo, uma vez que o anterior, quando virado, não era triângulo
e ela explicou: "esse aqui está de ponta-cabeça (D) e esse está certo (E)". Sobre o
último desenho (F) afirmou que não era um triângulo, era um furador, e representou
ao lado como ele deveria ser para ser considerado um triângulo.
72
Interpretações do pensamento matemático da estudante E
Inicialmente confundiu um triângulo com um retângulo, o que também foi
percebido por Lujan (1997) em sua pesquisa. É interessante observar que, ao representar
quadrados, ela afirma que um deles é "mais quadradinho" que o outro, referindo-se
ao fato de os lados terem medidas praticamente iguais. Ao representar retângulos
ela desenhou triângulos, ambos com a base paralela à margem inferior da folha.
Mesmo com o comando sendo para que fizesse um retângulo (que ela fez triângulo)
diferente não apenas no tamanho, a diferença continuou no tamanho do desenho.
Na atividade 2, percebe-se que ela só considera os triângulos isósceles ou equilátero
como tal, que costumam aparecer mais em materiais didáticos. O triângulo obtusângulo
presente ali (C) não foi considerado por ela, já que deveria ser maior, como no
desenho B. O triângulo foi considerado por ela somente quando apresentava a base
paralela à margem inferior da folha, já que dizia que se virássemos a folha teríamos um
triângulo, mas daquele modo não teríamos. Quando o triângulo estava "de ponta-
cabeça", ele não era considerado como tal; já quando estava "de lado" ele estava
"certo". Também não considera triângulo obtusângulo como tal. Demonstrou que
para ser quadrado o desenho deve ter lados de mesma medida (já que circulou os
desenhos R e X) e que a base deve ser paralela à margem inferior da folha.
Da mesma forma, o retângulo não é considerado por ela quando não tem a base
paralela à margem inferior da folha. É interessante que ela observa, na atividade 3,
que o retângulo necessariamente precisa ter os ângulos retos, já que afirma que o
desenho não é retângulo porque "esse é reto e ele vira para cá". Com isso, percebe-se
que ela compreende um retângulo como uma figura de 4 lados, que tem ângulos
retos, com base paralela à margem inferior da folha. Porém, cabe lembrar que ela
ainda demonstra não ter clareza quanto ao nome, já que, ao desenhar, trocou a
nomenclatura "triângulo" por "retângulo".
73
Manifestações da estudante D sobre Geometria
A estudante D é do 2.
o
ano. Primeiramente, ela desenhou um triângulo. Na
outra folha, quando solicitei que fizesse um triângulo diferente do primeiro, ela
desenhou um triângulo com linhas curvas, e explicou que os dois eram diferentes
"porque foi feito em outro ano".
AB
FIGURA 27 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE D (A, B) NA ATIVIDADE 1
Questionei mais um pouco o que havia de diferente entre os dois triângulos
e ela disse que "tem casa que é feita com um triângulo e um retângulo". Insisti mais
um pouco e ela disse que "eles têm um lado reto e outro para cá". Indagada sobre
a possibilidade de o triângulo ter "um lado para cá", afirmou que podia. Quando
questionada sobre quadriláteros, afirmou não saber o que eram. Já quando perguntei
se sabia o que era um quadrado ela afirmou que sabia e, em C, desenhou um quadrado.
Solicitei que desenhasse um quadrado diferente do anterior, e ela o fez em D.
74
CD
FIGURA 28 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE D (C, D) NA ATIVIDADE 1
Questionei sobre por que os dois quadrados eram diferentes, e ela justificou
explicando a forma como foram desenhados (um foi desenhado começando pelo
lado, depois para cima e assim por diante). Mas concluiu que os dois tinham "quatro
coisas" (quatro lados) e por isso eram quadrados, mas que o primeiro foi feito todo
reto e o outro todo "torto", porém ambos eram quadrados. Pedi que desenhasse um
retângulo, e ela desenhou em E.
EFG
FIGURA 29 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE D (E, F, G) NA ATIVIDADE 1
75
Ao desenhar, em F, um retângulo diferente, representou-o com linhas curvas.
Ao explicar qual a diferença dos dois disse que o desenho F tinha dois lados "deitados"
e só dois (lados) que eram retos, já o desenho E era todo reto. Pedi que fizesse um
outro retângulo, diferente dos dois anteriores, mas que também fosse "todo reto". Ela
desenhou em G, e explicou que era diferente por ser menor que o anterior.
Ao iniciar a atividade 2, solicitei a ela que observasse, na primeira linha, o
que fosse triângulo e circulasse.
FIGURA 30 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE D
Ela perguntou o que era triângulo, e se era uma bolinha. Em vez de
responder, perguntei a ela se já não havia desenhado um triângulo anteriormente, e
ela afirmou que sim, dizendo ter lembrado o que era um triângulo. Circulou então os
desenhos B e E. Questionei se havia mais algum triângulo e ela circulou o desenho
C, afirmando que era, mas que estava de ponta-cabeça. Questionei se este desenho
era triângulo mesmo de ponta-cabeça e ela afirmou que sim. Explicou que o
desenho A não era triângulo porque "é uma coisa de quadrado", explicando que para
ser triângulo teria que ser como o desenho B. Sobre este desenho, ela explica que é
triângulo devido ao formato, o que não ocorreu em A. Já o desenho C ela disse que
é triângulo porque "só está de ponta-cabeça daí quando vira assim a folha fica um
triângulo". O desenho D ela inicialmente respondeu que não era triângulo porque
"parece uma coisa de avião", depois disse que poderia ser. Finalmente, quando
questionada se, do jeito que ele estava ali, era ou não um triângulo, afirmou que era,
circulando-o. O desenho E ela afirmou que era triângulo por ser igual ao B. Na
segunda linha, pedi a ela que circulasse os quadrados e ela circulou o desenho R.
76
FIGURA 31 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE D
Perguntei se havia mais algum quadrado, e ela afirmou que não. Explicou
que o desenho P não era quadrado porque era círculo. Falou ainda que o desenho Q
não era quadrado porque parecia um triângulo, porém afirmou não ser um triângulo
"porque ele é para cá", dizendo que para ser triângulo teria que ser como o desenho B.
Afirmou que o desenho S não era quadrado porque ele é um retângulo. Já o desenho T
ela afirmou inicialmente que não era quadrado, porém, quando foi explicar por que
não era, mudou de ideia e disse que era sim, pois "quando vira assim é" circulando-o
em seguida. Na atividade abaixo, solicitei que circulasse os retângulos, e ela circulou
os desenhos U e Y.
FIGURA 32 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE D
Quando indagada sobre o fato de V não ser retângulo, explicou que
"porque é puxado", explicando ainda que "não é comprido", referindo-se à base
menor do trapézio, que deveria ter o mesmo tamanho da base maior. Explicou que o
desenho X não era retângulo porque, além de "não ser comprido" como o anterior,
parecia um quadrado. Perguntei se este desenho era ou não um quadrado, ela
afirmou que não, e nem retângulo. Explicou que o desenho Z não era retângulo
porque não era comprido e apontou para a hipotenusa do triângulo, falando que "tem
essa coisinha aqui". Questionei o fato de ela afirmar que o triângulo (da primeira
linha da atividade 2) pode "ser virado" mas que o desenho Q não era triângulo
porque "estava virado". Ela não explicou mas afirmou que o desenho Q era triângulo.
77
Na atividade 3, quando perguntei se o primeiro desenho (A) era ou não
quadrado, ela afirmou que era, já que ele tem "esses coisas aqui, só esse aqui que é
diferente, mas é quadrado".
FIGURA 33 - ATIVIDADE 3
Com isso, questionei se com aquele "negocinho" sendo diferente continuava
sendo quadrado, e ela afirmou que sim. Quando indaguei se o segundo desenho (B)
era um retângulo ela respondeu que não, e quando perguntei por quê, ela indagou:
"retângulo comprido?". Respondi que era como o apresentado na atividade 2, com a
letra U. Com isso ela mudou sua resposta e disse que o desenho B era um
retângulo. Sobre o terceiro desenho (C), afirmou que era um triângulo por causa dos
lados. Disse que o quarto desenho (D) também era triângulo por causa dos lados.
Disse que o quinto desenho (E) também era triângulo e que o último desenho (F) era
um triângulo "bem puxado", mas que era, sim, um triângulo, desde que virando a
folha, e que sem virar a folha ele não era triângulo. Questionei, então, se, se eu virasse
a folha, o quarto desenho (D), que ela havia afirmado que era triângulo, continuaria
sendo triângulo, e ela afirmou que sim. Perguntei se um deles continuava sendo triângulo
mesmo com a folha virada e o outro não, e ela confirmou, ou seja, em alguns casos
o desenho continua sendo triângulo com a folha virada e em outros casos não.
Uma última atividade foi feita com esta estudante. Solicitou-se a ela que
explicasse, para alguma criança que nunca tivesse visto um triângulo, que, sem
desenhar, explicasse como é um triângulo. Ela, de forma muito rápida, disse que
desenharia no chão. Expliquei novamente que não seria possível desenhar, nem no
papel nem no chão, somente falando. Ela explicou que: "faz um A [...] daí embaixo,
bem na ponta do A, faz um risco assim". Ao explicar como seria um quadrado, disse
78
que teria que ter quatro riscos, dois pequenos e um grande embaixo e em cima.
Perguntei o que ela faria se a criança apontasse o desenho U (da atividade 2) como
sendo um quadrado e ela disse que não, que teria que ser como o desenho R.
Explicou que o quadrado teria que ser pequeno, e não comprido. Quando foi explicar
sobre o retângulo, disse que teria que ser comprido, dois "riscos" (lados) grandes e
do lado (na vertical), também teria que ser comprido, porém menor que os outros
(da horizontal).
Interpretações do pensamento matemático da estudante D
Na atividade 3 e no desenho D da atividade 2, percebeu-se que a estudante
se orienta muito pelo protótipo, explicando, ainda, que é 'porque se parece com' ou
ainda que 'é igual a'. Nota-se que ela não tem consciência das propriedades das
figuras, mas que observa se o formato da figura é ou não semelhante a um modelo.
Observa-se, ainda, que ela reconhece as figuras mesmo em posição em que a base
não é paralela à folha. Na atividade 3, mostrou ainda confundir-se com a nomenclatura
das figuras. Apesar de reconhecer a maioria dos triângulos, ela ainda acredita que
em alguns casos pode-se virar a figura e ela continuar sendo triângulo, mesmo sem
que a base permaneça paralela à folha, porém em alguns casos isso não é possível, o
triângulo "deixa de ser triângulo" quando a folha é virada. A estudante, ao desenhar
triângulos, fez o segundo não com semirretas, mas com linhas curvas. Após várias
perguntas, acabou falando que um deles havia sido com "um lado para cá",
referindo-se ao lado que não estava sendo formado por semirretas, dizendo ser
possível que isso ocorresse. Considera o quadrado o desenho que tem quatro lados,
porém, na atividade 2, só considerou os quadrados (com quatro lados de mesma
medida e quatro ângulos retos), ignorando os demais desenhos de quatro lados. Em
sua explicação sobre o quadrado, considerou-o como uma figura com 4 lados desde
que pequenos. O triângulo, segundo ela, é como um "A". Quanto ao retângulo,
explicou que teria que ser uma "figura comprida", assim como todas as suas justifi-
cativas traziam esta argumentação.
79
Manifestações da estudante C sobre Geometria
A estudante C é do 2.
o
ano. Ao ser questionada se sabia o que era um
triângulo, afirmou que sim e, ao desenhar em A, virou a folha (colocando-a na horizontal)
e fez um triângulo com a base paralela à margem inferior da folha. Solicitei que
fizesse um triângulo diferente do primeiro e ela perguntou se poderia ser de cobrinhas.
Afirmei que poderia ser do jeito que ela quisesse, e ela fez um triângulo em B, repre-
sentado com linhas curvas.
AB C
FIGURA 34 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE C (A, B, C) NA ATIVIDADE 1
Questionei se aquele desenho feito por ela era um triângulo e ela afirmou
que sim. Perguntei também se os dois triângulos eram iguais e ela afirmou que não,
já que um estava deitado (A) e outro "de pé" (B). Nesse momento ela não lembrou
que, ao desenhar o primeiro triângulo, ela havia virado a folha para fazê-lo. Perguntei se
ela poderia fazer um triângulo diferente dos dois e ela afirmou que sim, repre-
sentando-o em C. Perguntei como ela havia feito aquele triângulo, e ela explicou que
foi fazendo flechinhas. Indaguei se ele era diferente dos anteriores e ela afirmou que
sim, explicando: "porque esse aqui (C) está de pé, mas é de flechinhas, esse daqui
(B) está com cobrinha e esse daqui (A) está retinho". Questionei se ela sabia o que
era um quadrilátero e ela disse que não. Perguntei se sabia o que era um quadrado
80
e ela disse que sim, representando-o em D. Indaguei se ela sabia fazer um quadrado
diferente do anterior e ela afirmou que sim, desenhando-o em E.
DE
FIGURA 35 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE C (D, E) NA ATIVIDADE 1
Ao responder por que eles eram diferentes, ela explicou: "porque esse daqui é
de bolinha e esse aqui é retinho". Questionei se ela sabia o que era um retângulo e
ela afirmou que sim, desenhando em F. Quando questionei se sabia fazer um
retângulo diferente do anterior ela o fez em G, explicando que eram diferentes
"porque esse é reto (F) e esse é de bananinha (G)".
FGH
FIGURA 36 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE C (F, G, H) NA ATIVIDADE 1
81
Perguntei se sabia fazer um retângulo diferente desses dois, mas que fosse
reto. Ela afirmou que sim, e representou-o em H, explicando que eram diferentes
"porque esse daqui (H) tem esse risquinho que fica retinho".
Na atividade 2 solicitei que, na primeira linha, circulasse o que fosse triângulo.
Ela circulou os desenhos B e E.
FIGURA 37 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE C
Questionei se havia mais algum triângulo, e ela afirmou que não. Perguntei
por que o desenho A não era triângulo e ela explicou: "porque ele tem esse risquinho
aqui e ele não tem uma ponta", referindo-se ao menor dos lados do quadrilátero.
Sobre o desenho C, explicou: "porque ele tem uma ponta mais diferente e ele não é
de pé". Nesse momento, perguntei se o triângulo tinha que ser "de pé" e ela afirmou
que sim. Perguntei ainda a que "ponta diferente" ela se referia, e ela explicou que
um lado era maior e outro menor. Questionei por que o desenho D não era triângulo
e ela explicou: "porque ela está virado e ele está com uma ponta aqui, e ele não tem
um risco aqui", referindo-se aos menores lados do hexágono. Questionei se o desenho
seria triângulo sem a "ponta" e ela afirmou que sim. Perguntei ainda se mesmo
virado era triângulo, e ela afirmou que sim. Na segunda linha, pedi que circulasse o
que fosse quadrado e ela circulou o desenho R.
FIGURA 38 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE C
Perguntei se havia mais algum quadrado e ela afirmou que não. Ao explicar
por que o desenho P não era quadrado, disse: "porque ele é redondo". O desenho
82
Q, segundo ela, não é quadrado "porque ele é como um triângulo, ele é deitado".
Questionei então se esse desenho era um triângulo e ela afirmou que não, já que
"ele tem uma ponta aqui (de cima) que nem esse daqui (desenho B), esse daqui é
mais fino (Q), esse daqui é mais grosso (B)". O desenho S, segundo ela, não era
quadrado "porque ele tem essa ponta aqui, esse é maior (S) e esse é menor (R)".
Perguntei se tinha que ser menor e ela afirmou que sim, dizendo que se for maior
"não fica um quadrado". Explicou ainda que "se tivesse um risquinho aqui (no centro
da figura, na vertical), daí ia ficar um quadrado". Ao explicar por que o desenho T
não era quadrado, justificou: "porque ele é um... quase que nem a bandeira do
Brasil, porque ele tem essa ponta aqui, essa ponta aqui, essa ponta aqui e essa
ponta aqui", referindo-se aos vértices do desenho, afirmando que este não era um
quadrado, considerando que só seria quadrado se estivesse com lados paralelos à
margem da folha. Na terceira linha, circulou os desenhos U e Y como sendo retângulos.
FIGURA 39 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE C
Ao explicar por que o desenho V não era retângulo, ela explicou: "esse daqui
tinha que ter mais um pouquinho de ponta aqui", referindo-se à base menor do trapézio
que deveria ter a mesma medida da base maior. Explicou que o desenho X não era
retângulo "porque ele não tem o risquinho aqui e nem aqui, tinha que ter mais um
aqui", referindo-se aos lados do paralelogramo que deveriam ser maiores, de tal
forma que ficassem perpendiculares à base. Explicou que o desenho Z não era retângulo
porque "ele é que nem um triângulo só que ele fica deitado (virado)". Questionei se o
desenho Z era ou não triângulo e ela afirmou que não, dizendo: "esse (Y) tem quatro
pontas e esse (Z) tem três". Perguntei se para ser retângulo teria que ter quatro
83
pontas, e ela afirmou que sim. Questionei se o desenho V, que tem quatro pontas não
era retângulo e ela afirmou que não, porque "não tem o risquinho aqui", referindo-se
ao lado que não forma 90
o
com a base. Na atividade 3, perguntei se o primeiro
desenho (A) era um quadrado e ela disse que não, "porque ele não tem uma ponta
aqui". Afirmou, ainda, que se tivesse a "ponta" ele seria um quadrado.
FIGURA 40 - ATIVIDADE 3 REALIZADA PELA ESTUDANTE C
Disse que o segundo desenho (B) não era retângulo porque "ele tinha que
ter uma ponta aqui e uma ponta aqui", referindo-se aos lados que não são perpen-
diculares com a base. O terceiro desenho (C) ela afirmou que não era um triângulo
"porque ele tinha que ter uma ponta aqui e uma ponta pequena aqui, uma grande
aqui e uma pequena aqui", fazendo a representação de um retângulo. Pedi a ela que
desenhasse, ao lado do desenho, como ele deveria ser. Pelo desenho, percebe-se
que ela representou um retângulo, provavelmente confundindo as nomenclaturas.
Perguntei se o quarto desenho (D) era um triângulo e ela afirmou que não, desenhando
ao lado como deveria ser. Nesse momento questionei a ela se o triângulo que ela
estava desenhando não estava muito diferente do que ela havia circulado em B
(da atividade 2) e ela disse: "está porque ele está deitado (D) e esse daqui está de pé
(B da atividade 2)". Perguntei novamente se o quarto desenho (D) não era triângulo
e ela continuou afirmando que não. Perguntei então se esse segundo desenho feito
84
por ela nesta folha não estava parecendo com o retângulo representado pela letra U.
Inicialmente ela disse que não, depois disse que estava quase. Pedi então que me
mostrasse como era um triângulo, e ela apontou o desenho B da atividade 2. Perguntei
se o quinto desenho (E) era ou não um triângulo e ela disse que não, já que "ele
está virado para lá". Questionei se, "virado para lá", não poderia ser triângulo e ela
disse que não era, desenhando ao lado como este deveria ser. No último desenho
(F) ela respondeu que não era triângulo porque "ele não é mais grosso, é um pouco
fininho", desenhando ao lado como teria que ser. Perguntei novamente se o terceiro
desenho desta folha (C) não era triângulo e ela disse que não, explicando: "ele tem
uma ponta aqui, uma ponta aqui, e uma ponta aqui daí são três pontas. Esse aqui
(desenho B da atividade 2) tem uma, duas, três, só que aqui dá para fazer mais uma
bolinha e fica com quatro". Nesse momento ela representou as "bolinhas" citadas por
ela no desenho B da atividade 2. Questionei o que seria "fazer mais uma bolinha" e
ela explicou: "aqui, mais uma bolinha aqui e fica com quatro", mostrando no desenho
como ficaria. Perguntei se o triângulo tem quatro pontas e ela respondeu "acho que
tem cinco porque aqui tem quatro, cinco pontinhas". Nesse momento fez mais uma
marca no desenho B da atividade 2. Questionei o fato de ela ter dito anteriormente
que o quinto desenho da atividade 3 (E) não era triângulo porque estava virado, mas
ela circulou, na atividade 2, o desenho Y como sendo retângulo. Perguntei se o
retângulo pode ficar virado e ela disse que não. Nesse momento, fez um X abaixo do
desenho indicando que havia marcado errado, e que aquele desenho não representava
um retângulo. Pedi que imaginasse uma criança que não tivesse visto um triângulo e
solicitei a ela que explicasse a esta criança como é um triângulo, sem desenhar.
Explicou que "ia fazer assim: ia subir, daí ia descer, daí fazer uma ponta deitada, daí
faz uma pontinha, uma pontinha aqui e uma pontinha aqui". Questionei, nesse
momento, quantas "pontas" têm um triângulo e ela afirmou que eram "três, mas se
tiver duas do lado fica com cinco", marcando, no desenho feito anteriormente por
ela. Pedi que explicasse como seria um quadrado e ela disse que "ia explicar que
85
tinha quatro pontas, daí tinha que fazer uma ponta em pé, outra ponta em pé, uma
outra ponta deitada, outra ponta deitada, uma em cima, outra embaixo e outra do
lado", referindo-se, ao falar em "pontas", aos lados do quadrado. Perguntei o que
faria se a criança apontasse o desenho U como sendo um quadrado. Ela falou que
explicaria que "não é certo porque ele é como se fosse uma parte de uma casa", e
que o retângulo representado pela letra U não era assim. Disse que o desenho U
teria 6 pontas, representando-as no desenho. Solicitei então que explicasse como
teria que ser um retângulo. Nesse momento ela fez, com o movimento das mãos, a
representação de um triângulo, explicando cada uma das ações e contando as
"cinco pontas". Perguntei novamente como ela explicaria o retângulo e ela apontou
para o desenho U. Pedi que explicasse, sem apontar, como era o retângulo. Falou
que "é como uma parte de uma casa [...] com quatro pontas". Nesse momento ela se
contradisse, já que anteriormente justificou que U não era quadrado porque não era
"como uma parte de uma casa", e agora explicou que para ser retângulo teria que
ser "como uma parte de uma casa". Questionei se, sendo com quatro pontas, não
era quadrado e ela afirmou que não. Perguntei qual a diferença entre o retângulo e o
quadrado e ela explicou que um era menor (quadrado) e o outro era maior (retângulo).
Interpretações do pensamento matemático da estudante C
A estudante, na maioria das vezes, relaciona corretamente o nome das figuras
com o desenho. Percebe-se que ela ainda se confunde quanto à nomenclatura
do triângulo e do retângulo, o que pode ser observado na atividade 3, já que
desenhou triângulos quando solicitei que desenhasse retângulos e vice-versa. Na
atividade 1, em vez de fazê-los utilizando somente semirretas, o fez utilizando desenhos
como flechas, "cobrinhas", "bananinhas" e círculos. Considera que as figuras geométricas
precisam ter a base paralela à margem da folha. Ela, que inicialmente dizia que o
triângulo tem "três pontas" (referindo-se aos vértices) e que o retângulo tinha quatro,
ao final da atividade 3 afirmou que o triângulo teria que ter cinco "pontas", explicando
86
que, além das "pontas" que nós vemos (os vértices), há mais duas que ficam
"escondidas", que ela representou sobre os lados no desenho B da atividade 2. Ao
explicar o que considera um triângulo, faz a descrição deste: "ia subir, daí ia descer,
daí fazer uma ponta deitada, daí faz uma pontinha aqui, uma pontinha aqui e uma
pontinha aqui". Quando questionada sobre quantas "pontas" tem o triângulo ela
afirma que são três, mas que existem duas do lado e ficam cinco. Ela só considera
como triângulos aqueles em que a base é paralela à margem inferior da folha. Além
disso, considera que o triângulo precisa ter lados com medidas próximas, ou seja, se
a medida de um lado for muito maior que a outra não é considerado por ela como
um triângulo. O quadrado, segundo ela, só o é se estiver com a base paralela à
margem da folha. Além disso, considera-o como uma figura de quatro "pontas"
(vértices). Quando solicitada a explicar qual a diferença entre o quadrado e o retângulo,
já que ambos tinham quatro "pontas", disse que o quadrado era menor e o retângulo
maior. Além disso, na sua explicação de retângulo, afirmou que este tem seis
pontas, representando-as no desenho U. Apesar de inicialmente ela ter considerado
o retângulo Y como tal, no decorrer das atividades mudou de ideia, dizendo que
"tinha marcado errado".
Manifestações da estudante B sobre Geometria
A estudante B é do 3.
o
ano. Realizou primeiramente as atividades, e a gravação
foi feita na retomada das atividades realizadas por ela. Durante essa retomada,
modificou algumas de suas respostas e justificativas. Solicitei a ela que desenhasse um
triângulo, e ela o fez em A. Depois, ao representar um triângulo diferente, representou-o
em B. Um terceiro triângulo feito por ela foi representado em C, em que ela virou a folha
de tal forma que, quando desenhou, a base ficou paralela à margem inferior da folha.
87
ABC
FIGURA 41 - TRIÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE B (A, B, C) NA ATIVIDADE 1
Em sua justificativa, durante a retomada das atividades, questionei por que
aqueles triângulos eram diferentes e ela explicou que "um está com a ponta para
cima, este aqui está errado porque está com a ponta para baixo e esse daqui
também está errado porque está com a ponta para o lado". Ao perguntar-lhe sobre
um quadrilátero, afirmou não saber o que era. Em seguida, pedi à estudante que
desenhasse um quadrado. Ela o fez em D, e depois, em E.
DE
FIGURA 42 - QUADRADOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE B (D, E) NA ATIVIDADE 1
88
Ao explicar por que os dois quadrados eram diferentes, disse: "porque um
está sozinho, limpinho no meio, o outro já tem essas outras coisas. Esse aqui tem
quatro quadrados (referindo-se ao representado em E)". Ela não soube desenhar um
quadrado diferente, então pedi que desenhasse, em F, um retângulo. Ela representou
e, em G, fez um retângulo diferente do primeiro. Fez ainda, em H, um retângulo
diferente dos outros dois.
FGH
FIGURA 43 - RETÂNGULOS REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE B (F, G, H) NA ATIVIDADE 1
Disse que eram diferentes "porque um é mais gordinho (F), o outro é mais
fino (G) e esse aqui (H) ele é gordo e pequeno, gordo, pequeno e magro. Não, gordo
e pequeno". Disse ainda que o primeiro (F) parecia com a mesa em que estávamos
(uma mesa grande, de refeitório), já o segundo (G) parecia com o pilar e o terceiro
(H) com a carteira da sala de aula. Na atividade 2, solicitei que circulasse, na
primeira linha, o que fosse triângulo. Ela circulou os desenhos B e E.
FIGURA 44 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE B
89
Explicou que o desenho A não era triângulo porque "faltava essa ponta
aqui, certa, igual a essa", referindo-se ao menor dos lados do quadrilátero. Em seguida,
disse que o desenho C não era triângulo porque "essa parte é mais esticada que
essa e aqui tinha que ser um pouquinho mais pequeno". Com isso, mostrou que o
maior dos lados do triângulo deveria ser menor, com a medida parecida com as
demais. Quanto ao desenho D, disse que não era triângulo porque "ele tem uma
pontinha em vez de ser reto", referindo-se aos menores dos lados do hexágono.
Perguntei se, se não tivesse aquela "pontinha", ele seria triângulo e ela afirmou que
sim. Na segunda linha contornou o desenho R como sendo quadrado.
FIGURA 45 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE B
Disse que o desenho P não era quadrado porque era retângulo, depois
corrigiu dizendo que era redondo. O desenho Q não era quadrado, segundo ela, porque
"é quase igual a um triângulo". Perguntei se este desenho era ou não um triângulo e
ela disse que não, já que "essa parte é mais esticada do que essa", referindo-se à
diferença nas medidas dos lados. Explicou que o desenho S não era quadrado, já
que era um retângulo. O desenho T, segundo ela, não era quadrado porque "é igual
a uma pipa". Questionei se quando "é igual a uma pipa" não é quadrado, e ela
afirmou que não. Na terceira linha, pedi que circulasse os retângulos e ela contornou
os desenhos U e Y.
FIGURA 46 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE B
90
Disse que o desenho V não era retângulo porque "essa parte aqui tinha
que ser um pouco mais até essa ponta aqui e ser assim (formando ângulo reto) e
não assim. Senão ia ser como se cortasse o pão errado". Explicou que o desenho X
não era retângulo porque "ele é igual um quadrado". Quando perguntei se o desenho X
era ou não quadrado ela afirmou que não. Perguntei por que o desenho Y era
retângulo e ela não soube responder. Ao explicar por que o desenho Z não era
retângulo, ela disse que era porque "ele também é quase igual um triângulo". Perguntei
se o desenho era ou não triângulo e ela disse que não, já que um dos lados era maior
que os outros. Na atividade 3, disse que o primeiro desenho (A) não era quadrado
porque faltava uma "pontinha", referindo-se ao menor dos lados do pentágono.
FIGURA 47 - ATIVIDADE 3
Disse que o segundo desenho (B) não era retângulo, já que os lados
estavam “tortos”, referindo-se ao fato de os lados não serem perpendiculares à base.
Quanto ao terceiro desenho (C), afirmou não ser triângulo, já que o menor dos lados
"é torto" e o outro lado é maior que os outros dois. Disse que o quarto desenho (D)
não era triângulo, e sua justificativa foi a mesma apresentada para o desenho
anterior (um lado maior que os demais). Já o quinto desenho (E) ela disse que era
triângulo, já que "ele tem tudo igual do triângulo", referindo-se ao formato do
desenho. O último desenho (F) ela disse que não era triângulo porque "é muito
grudadinho e um lado muito pequeno". Quando solicitei que explicasse a uma
criança como deveria ser um triângulo (sem poder desenhar), ela disse que "ia falar
que embaixo é reto, em cima tem uma pontinha, e para terminar o triângulo tem que
fazer duas partes (lados) iguais". Para explicar como é um quadrado, disse que
91
"todas as partes são iguais", referindo-se aos lados do quadrado. No retângulo,
explicou que "ele é em cima e embaixo reto, só que pequeno e é mais esticado na
parte que está subindo".
Interpretações do pensamento matemático da estudante B
A retomada das atividades com a estudante fez com que ela mudasse algumas
respostas no decorrer das atividades. Inicialmente, na atividade 1, ao representar os
desenhos solicitados, representou-os em diversas posições, sem se preocupar se a
base estava ou não paralela à margem da folha. Já na retomada das atividades afirmou
ter feito errado e que, do jeito como os desenhos dos triângulos estavam, eles não
eram triângulos. Na atividade 2, considerou triângulos somente os acutângulos,
relatando, ao observar triângulos obtusângulos, que estes são "muito grudadinhos".
Afirmou que o desenho Z não é triângulo porque tem um lado maior do que o outro.
Considera que os triângulos precisam ter lados de mesma medida (ou ao menos
muito próximas), o que faz com que eles sejam apenas triângulos acutângulos
isósceles ou equiláteros. Em sua explicação de triângulo, disse que um dos lados
tem que ser reto (no caso que tem que ter a base paralela à margem inferior da
folha) e que tem que ter duas "partes" (lados) iguais (no caso, um triângulo isósceles).
O quadrado, ao ser representado de maneira diferente do primeiro, foi feito repartido
em mais quatro quadrados. Explicou que o segundo tinha quatro quadrados, já o
primeiro estava "sozinho, limpinho no meio". O quadrado só foi considerado quando
estava com a base paralela à folha, afirmando que o desenho T parecia "igual a uma
pipa" e, sendo assim, não era quadrado. Para explicar o quadrado, afirmou que teria
que ter todos os lados iguais (com mesma medida). Os retângulos representados por
ela ficaram diferentes não só no tamanho, mas também na forma de representação,
já que dois deles tinham a altura maior que o comprimento; já o terceiro tinha o
comprimento maior que a altura. Considera que os retângulos podem estar com a
base não paralela à margem da folha, já que circulou o desenho F da atividade 2.
Para explicar o retângulo, afirmou que ele precisa ter lados paralelos à margem
92
inferior da folha, retos e pequenos; já "a parte que está subindo" é maior. Isto
contradiz o desenho feito por ela e a atividade 2, em que ela circulou o desenho Y
como retângulo mesmo não apresentando a base paralela à margem da folha.
Manifestações da estudante A sobre geometria
A estudante A é do 3.
o
ano. Solicitei a ela que representasse um triângulo,
e ela o fez em A. Perguntei se sabia fazer um triângulo diferente do anterior e ela
disse que não; falou que não ia conseguir e não quis nem tentar.
AB
FIGURA 48 - TRIÂNGULO (A) E QUADRADO (B) REPRESENTADOS PELA ESTUDANTE A
NA ATIVIDADE 1
Perguntei se sabia o que era um quadrilátero, ela disse que não. Indaguei
se sabia o que era um quadrado e ela disse saber, fazendo o desenho em B. Após
ter feito o desenho, disse que "ficou meio que um triângulo". Perguntei por que e ela
disse que teria que cortar (no caso o segmento que ela fez maior). Questionei a ela o
que era um triângulo e ela corrigiu-se, dizendo que não era triângulo, e sim retângulo.
Perguntei-lhe o que um triângulo precisa ter para ser considerado triângulo e ela não
soube responder. Fiz o mesmo questionamento em relação ao quadrado e ela
também não soube responder. Solicitei que fizesse um quadrado diferente, porém ela
93
disse que não iria conseguir, e não quis tentar. Pedi que desenhasse um retângulo e
ela perguntou como eu queria que ela desenhasse ("desenho de assim ou de
assim"?, questionando se eu queria com a altura maior ou o comprimento). Expliquei
que ela deveria fazer como quisesse, e ela desenhou em C.
C
FIGURA 49 - RETÂNGULO REPRESENTADO
PELA ESTUDANTE A (C) NA
ATIVIDADE 1
Pedi que representasse um retângulo diferente, e ela disse não saber
como fazer. Perguntei a ela qual a diferença entre o quadrado e o retângulo, e ela
respondeu que o retângulo era maior e o quadrado menor. Perguntei se eles tinham
algo em comum e ela disse inicialmente que não, mudando sua resposta em
seguida. Disse que tinha "essas pontas aqui", referindo-se aos vértices do desenho.
Indaguei por que os três desenhos eram diferentes (triângulo, quadrado e retângulo)
e ela referiu-se ao formato, explicando que o quadrado já era diferente do retângulo
e que tinha um formato diferente do triângulo.
Na atividade 2, pedi a ela que circulasse, na primeira linha, o que fosse
triângulo. Ela circulou os desenhos B e E.
94
FIGURA 50 - 1.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE A
Perguntei se havia mais algum triângulo, e ela disse: "tem esse aqui (D),
mas ele tem uma pontinha diferente". Perguntei se ele era ou não triângulo e ela
disse que não era. Indaguei por que o desenho A não era triângulo, e ela disse não
saber. Depois, disse: "porque ele tem algumas pontas que são diferentes". Perguntei
que "pontas" eram diferentes e ela explicou: "as pontas não, a maneira de fazer",
mostrando que "para fazer o triângulo teria que cortar aqui, tirar essa parte aqui",
referindo-se a unir o vértice inferior esquerdo do quadrilátero com o vértice superior
direito. Ao explicar por que o desenho C não era triângulo, disse: "porque ele já é
mais fininho". Perguntei se, se fosse "fininho", não poderia ser triângulo, e ela afirmou
que "poder pode, mas esse aqui já é mais diferente porque essa parte aqui é maior
do que essa", explicando que os lados teriam que ter medidas iguais. Perguntei se o
triângulo não poderia ter "uma parte maior que a outra" e ela respondeu que não.
Questionei se o desenho D era triângulo e ela disse que não "porque tem essa parte
aqui", referindo-se aos menores dos lados do hexágono. Afirmou ainda que, se não
tivesse aquela "ponta", ele seria um triângulo. Na segunda linha, pedi a ela que circulasse
o que fosse quadrado e ela circulou o desenho R.
FIGURA 51 - 2.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE A
Perguntei se havia mais algum quadrado, e ela afirmou que não. Ao explicar
por que o desenho P não era quadrado, ela disse: "porque não tem ponta". Questionei
se, para ser quadrado, precisava ter "ponta" e ela disse que sim. Ao explicar por que
95
o desenho Q não era quadrado, disse: "porque ele já parece um triângulo". Perguntei
se ele era ou não triângulo e ela afirmou que era. Disse que o desenho S não era
quadrado "porque ele já é um pouco maior para os lados", referindo-se ao fato de
não ter lados de mesma medida. Explicou que o desenho T não era quadrado
"porque ele já tem as pontas diferentes", referindo-se à forma como os vértices estavam,
que não estavam alinhados de forma paralela à margem inferior da folha. Na terceira
linha pedi que circulasse o que fosse retângulo. Ela circulou o desenho U.
FIGURA 52 - 3.
a
QUESTÃO DA ATIVIDADE 2 REALIZADA PELA ESTUDANTE A
Questionei se havia mais algum e ela afirmou que sim, circulando então o
desenho Y, afirmando que "é retângulo mas está de assim", referindo-se aos lados
que não estavam paralelos à margem da folha. Questionei se retângulo poderia
"estar assim" e ela disse "eu acho que sim". Perguntei por que o desenho V não era
retângulo e ela explicou que "porque tem um risquinho na metade", referindo-se ao
lado do trapézio que não forma ângulo de 90
o
com a base. Explicou ainda: "tinha
que tirar esse aqui (o lado não perpendicular) e ser mais reto para lá", mostrando
que o lado deveria ser perpendicular à base. Já o desenho X ela explicou que não
era retângulo "porque ele já mais parece um quadrado de assim, deitado". Perguntei
se esse desenho era ou não um quadrado e ela afirmou que não, "porque esse
daqui (X) tem as pontas mais para lá e esse aqui (R) não. Mas parece um pouco".
Ao explicar por que o desenho Z não era retângulo, disse que "ele mais parece com
esse aqui de cima (triângulo), mas não é. Parece com um triângulo mas não é".
Perguntei se esse desenho era triângulo e ela afirmou que não. Perguntei novamente
se era retângulo e ela também afirmou que não. Na atividade 3, perguntei se o
96
primeiro desenho (A) era um quadrado. Ela disse que não, já que "ele [desenho] tem
um risquinho aqui (menor dos lados) e não tem a ponta".
FIGURA 53 - ATIVIDADE 3
O segundo desenho (B) ela afirmou não ser um retângulo, já que "ele tinha
que ter mais para cá e não ter dois para o meio", explicando ainda que "tinha que ser
reto aqui, e embaixo tinha que ser maior", referindo-se aos lados do trapézio que
deveriam ser perpendiculares às bases do trapézio, e que estas deveriam ter a mesma
medida. Quanto ao terceiro desenho (C) ela afirmou: "parece que é, mas não",
virando a folha na horizontal para observar o desenho. Afirmou que daquele modo
ele era triângulo, mas com a folha na vertical não era. O quarto desenho (D) ela
disse que não era triângulo "porque esse (D) é igual a esse (C), só que esse (C) está
para baixo e este (D) está para cima e é mais fino", referindo-se à posição de um
dos vértices. Questionei se os triângulos eram iguais, só que um "mais fino" que o
outro, e ela explicou que "um está com a ponta para baixo (D) e esse para cima (C)".
Perguntei se o quinto desenho (E) era um triângulo e ela afirmou que não, já que
"ele parece com uma flecha para lá, assim também parece com esse aqui (B da
atividade 2), mas como é assim então não", referindo-se ao fato de a base não ser
paralela à margem inferior da folha. Questionei se este desenho seria triângulo se a
folha estivesse na horizontal, e ela afirmou que sim. Perguntei se o último desenho (F)
era um triângulo e ela afirmou que não, "porque é igual a esse daqui de cima (D), só
que é mais fino também. E ele está virado para lá". Nesse momento, ela comparava
esse triângulo com o quarto desenho desta folha. Perguntei por que o triângulo não
poderia ser virado e o retângulo poderia. Nesse momento, ela afirmou que havia se
97
enganado e que o retângulo não poderia ficar virado. Solicitei então a ela que fizesse
um X embaixo do desenho circulado por ela como retângulo na atividade 2.
Por fim, pedi-lhe que explicasse a uma criança que nunca tivesse escutado
falar em triângulo como ele seria, sem a possibilidade de desenhar. Ela explicou:
"é um negócio de três pontas e com três riscos ligando as pontas", referindo-se aos
vértices e aos lados. Perguntei a ela o que diria à criança que apontasse o último
desenho apresentado na atividade 3 como um triângulo e ela disse "aí eu falaria que
é bem diferente de um triângulo", complementando: "porque é mais fino". Perguntei
a ela se, para ser triângulo, além de ter três "pontas", três "risquinhos ligando as
pontas", ainda não poderia ser fino, e ela explicou: "triângulo é mais larguinho". Apontei
então o quinto desenho (E) da atividade 3 e questionei o que falaria se uma criança
apontasse aquela figura como sendo triângulo. Ela então respondeu: "eu dizia que
está do lado errado". Perguntei como era o lado "certo", e ela disse que era "com a
ponta para cima". Não foi solicitado a esta estudante que fizesse o mesmo com o
quadrado e com o retângulo.
Interpretações do pensamento matemático da estudante A
A estudante ainda demonstra confusão entre a nomenclatura referente ao
retângulo e ao triângulo, o que pode ser percebido na primeira atividade, quando ela
desenhou um quadrado e afirmou que "estava meio que um triângulo", corrigindo-se
depois, dizendo que era retângulo. Na atividade 2, percebe-se que ela ainda não tem
segurança quanto ao que caracteriza um triângulo, já que afirmou que o desenho C
poderia ser considerado como um triângulo mas estava muito diferente, pois um lado
era maior que o outro, que o triângulo não pode ter um lado maior do que outro.
Considera que o desenho D, se não tivesse aquela "pontinha" (os dois menores
lados do hexágono), seria, sim, um triângulo. É interessante observar, também, que
ela considerou o triângulo representado pela letra Q como tal, porém não considerou
o triângulo Z, afirmando que era parecido mas não era triângulo. Considerou como
sendo triângulos, na atividade 3, somente aqueles que tinham a base paralela à
98
margem inferior da folha, virando a folha quando sentia necessidade. Além disso,
considera que triângulos obtusângulos ("muito finos", segundo ela) não são triângulos.
Em sua explicação sobre o triângulo, afirmou que era "um negócio de três pontas e
com três riscos ligando as pontas", referindo-se aos vértices e aos lados do triângulo.
Ao ser questionada sobre um dos desenhos com três lados e três vértices que ela
havia dito anteriormente que não eram triângulos, explicou que precisaria também
que ele não fosse "fininho, [...] triângulo é mais larguinho". Além disso, quando foi
mostrado o desenho de um triângulo sem a base paralela à margem inferior da folha,
afirmou que estava "do lado errado" e que precisava estar "com a ponta para cima".
Ao circular os quadrados, disse que o desenho T (quadrado com a base não paralela à
margem da folha) não o era porque ele tem as pontas diferentes, referindo-se a
como os vértices estavam. Considera que o quadrado precisa ter a medida dos
lados iguais, já que afirmou que o desenho X parecia ser um quadrado mas não era.
Já com relação aos retângulos ela circulou o desenho Y, dizendo que "é
retângulo, mas está de assim", referindo-se ao fato de a base não estar paralela à
margem da folha. Em suas justificativas, percebe-se que ela considera que, para ser
retângulo, há a necessidade de ter ângulos retos, já que suas explicações remetem
a isso. É interessante observar também que a estudante perguntou como eu queria
que ela desenhasse o retângulo (com a altura ou o comprimento maior) e, quando
solicitei que representasse um retângulo diferente, ela nem sequer quis tentar. Ao
explicar a diferença entre quadrado e retângulo, afirma que o retângulo é maior e o
quadrado é menor, mas que os dois têm as "pontas" (vértices). Como considerou
que triângulos não poderiam ser "virados", ao ser questionada sobre o desenho Y,
em que ela circulou um retângulo em que a base não estava paralela à margem da
folha, ela afirmou ter se confundido e, por este motivo, fez uma marcação embaixo
do desenho para representar que havia errado e que aquele desenho não era um
retângulo, já que estava "virado".
99
4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROCESSO DE ALFABETIZAÇÃO
MATEMÁTICA EM GEOMETRIA
Observa-se que todos esses estudantes, os quais se encontram em processo
de alfabetização matemática em geometria, estão aprendendo a ler e a escrever o
"alfabeto matemático", composto por números, cálculos, espaços, formas, medidas,
grandezas, entre outros. Ao analisarmos as atividades realizadas por estes seis
estudantes do primeiro ciclo do ensino fundamental, percebemos que alguns deles
ainda se confundem com a nomenclatura (como os estudantes A, C, D, E, F) e
utilizam protótipos para fazer o reconhecimento de algumas das figuras apresentadas.
A linguagem apresentada pelos estudantes demonstra que eles utilizam-se muito
mais da linguagem natural do que da linguagem matemática. Quando os estudantes
C e F se referem às 'pontas' para o reconhecimento de determinadas figuras
geométricas (como o triângulo e o quadrado), pode-se deduzir que os conteúdos
relativos ao trabalho com vértices vêm sendo desenvolvidos com os estudantes.
Porém, cabe uma indagação: será que a linguagem matemática é utilizada com estes
estudantes? Santos (2005) explica que a linguagem natural vai sendo substituída,
pelo estudante, pela linguagem matemática durante a aprendizagem de matemática.
Por este motivo, é necessário que a linguagem matemática esteja mais enfaticamente
presente nas aulas de Matemática, evitando-se fazer o que Rômulo Campos Lins
chama de "facilitação de conteúdos", o que posteriormente, segundo este autor,
causará dificuldades na aprendizagem dos demais conteúdos dessa disciplina. Além
disso, estes estudantes estão em período de alfabetização matemática, ou seja, estão
aprendendo a ler e a escrever a linguagem matemática usada nos primeiros anos
de escolarização.
Smole, Diniz e Cândido (2003) relatam especificamente sobre a linguagem
geométrica, que está relacionada à leitura e à escrita de formas e termos geométricos.
Sendo assim, segundo as autoras, cabe ao ensino de Geometria que os estudantes
tenham acesso à linguagem específica, o que ocorre pela fala correta do professor
100
durante as atividades escolares. Acreditamos, assim como as autoras, que uma das
possibilidades está relacionada à fala correta utilizada pelo professor para que os
estudantes possam associar o nome das figuras e dos elementos de cada figura
com os seus conceitos. Não estamos aqui, assim como as autoras, nos referindo a
uma mera memorização dos nomes das figuras geométricas, mas à construção, por
parte do estudante, dos conceitos matemáticos relacionados à geometria.
Percebemos, assim como afirmaram Fonseca et al. (2002), que as figuras
geométricas, muitas vezes, foram facilmente reconhecidas pelos estudantes, porém
desde que estivessem em um formato que é mais comum aparecer em materiais
didáticos. Nasser e Tinoco (2006) citam o reconhecimento por protótipos, e de maneira
semelhante, Nacarato e Passos (2003), Fonseca et al. (2002), Smole, Diniz e Candido
(2003) falam do reconhecimento inicial das figuras pela sua forma como um todo,
desconsiderando as propriedades da figura. Hershkowitz (1994) também fala em
exemplos protótipos, afirmando que cada conceito tem um ou mais exemplos protótipos.
Hershkowitz (1994) explica ainda que através de experiências de aprendizagem na
escola é que os estudantes se apropriam de conceitos geométricos de maneira
estruturada. Pirola e Brito (2005) relatam que o ensino de figuras planas baseia-se
muito mais no visual do que nas características mais relevantes das figuras planas. Seria
isso o que tem feito com que muitos estudantes observem protótipos para reconhecer
cada uma das figuras planas apresentadas? Pirola e Brito (2005) acrescentam
também que o número de exemplos e não-exemplos do conceito que se está
trabalhando é muito reduzido, e que os não-exemplos são raramente encontrados
em textos e aulas de geometria.
Se estamos nos referindo à linguagem geométrica, é importante rever o
que se entende por leitura. De acordo com Danyluk (1991), ler é compreender e
interpretar aquilo que o texto de Matemática mostra, ou seja, seus signos e símbolos.
Dessa forma, o reconhecimento das figuras planas pelos estudantes exige uma leitura
dos símbolos ou signos (as figuras geométricas), e esta leitura será feita de tal forma
que ele compreenda e interprete aquilo que está escrito, ou seja, que ao observar
101
uma das figuras geométricas (o triângulo, por exemplo) ele saiba reconhecê-lo não
só por "parecer-se" com outra figura, mas por ter conhecimento de elementos que
são necessários para que se tenha um triângulo. Para que isso ocorra, acreditamos,
assim como Pirola e Brito (2005), que uma possibilidade é que, a partir de diversos
exemplos e não-exemplos de uma figura, o estudante possa construir a sua própria
definição a respeito de cada uma das figuras geométricas, o que será feito repleto
de significado. Quando apresentamos apenas alguns exemplos de figuras que são
retângulos, por exemplo, o estudante pode acreditar que esgotamos as possibilidades
de retângulos e que somente aqueles são retângulos. Ademais, ao observar somente
alguns modelos, ele pode ter uma compreensão inadequada de quais são as proprie-
dades necessárias para que se construa um retângulo, por exemplo. Gómez-Granell
(2006) afirma que é preciso que os estudantes entendam ou construam o significado
dos conceitos matemáticos. Com uma quantidade de exemplos e contraexemplos
maior, como sugerem Pirola e Brito (2005), os estudantes poderão entender e construir
o conceito matemático, ou seja, estarão identificando elementos essenciais para a
definição de cada uma das figuras geométricas. Algo que pôde ser verificado através
dos dados coletados é que, com exceção da estudante D, os demais estudantes
participantes só reconhecem figuras geométricas se estas estiverem com a base
paralela à margem da folha (no caso do triângulo, a margem inferior). Acreditam que
uma figura possa estar de "ponta-cabeça" ou "virada", e que somente se girarem a folha
90
o
ou 180
o
, de maneira que o lado esteja paralelo à margem da folha, o desenho possa
ser considerado um triângulo, por exemplo. Possivelmente, os estudantes tiveram vários
exemplos de figuras em que a base se encontrava paralela à margem da folha, o
que os fez acreditar que somente se isso ocorresse seria possível que determinado
desenho fosse considerado um quadrado, por exemplo.
Muitas vezes o conceito ou a definição somente nos são apresentados, sem
que possamos ver alguns exemplos e contraexemplos. Buscou-se, aqui, identificar
que conhecimento cada um dos estudantes observados tem de cada uma das
figuras sugeridas, trazendo exemplos e contraexemplos e solicitando a eles, também,
102
que explicassem como entendem cada uma das figuras geométricas em questão,
como sugerem Pirola e Brito (2005).
Quanto ao reconhecimento dos triângulos, assim como na pesquisa realizada
por Pavanello (2002), alguns estudantes só reconheceram aqueles que eram
isósceles ou equiláteros. Assim como observou Hoffer (1983)
19
(apud
PAVANELLO
,
2002), alguns estudantes fixaram sua atenção mais nos vértices da figura do que
nos lados, já que desenharam com lados curvos (como a estudante D) ou, ainda,
com desenhos diversos (como a estudante C). Enquanto na pesquisa de Pavanello
(2002) os estudantes reconheciam triângulos isósceles e equiláteros como 'triângulos
verdadeiros', aqui eles nem consideravam os que não fossem isósceles ou equiláteros
como triângulos. Em sua pesquisa, ela esperava perceber diferenças significativas
de uma série para outra, o que não ocorreu. De maneira semelhante, percebemos
que, apesar de algumas diferenças entre as respostas dos estudantes dos diferentes
anos aqui presentes, estas foram muito pequenas. Por isso, acreditamos que esse
seja um indicador de que o trabalho com as figuras geométricas precisa ser retomado
para que os estudantes tenham um maior contato com o alfabeto matemático referente
à geometria, sem a construção de conceitos equivocados. Pirolla e Brito (2005) incluem
também o fato de que grande parte dos estudantes só reconhece como triângulos os
que são acutângulos isósceles ou equiláteros, e que triângulos obtusângulos não
são facilmente reconhecidos por eles, o que pôde ser observado nitidamente nesta
pesquisa, com exceção do que se deu com a estudante E.
Nenhum dos estudantes soube desenhar um quadrilátero, afirmando não
saberem o que era. Por este motivo, ele não foi mais citado no decorrer das atividades.
É curioso observar que a estudante D, ao explicar por que o desenho A da atividade 2
não era triângulo, afirmou que era "coisa de quadrado". Estaria ela se referindo a
um quadrilátero? No decorrer das atividades, não considerou mais quadrilátero
como quadrado.
19
Op. cit.
103
Apesar de não utilizarem a linguagem matemática, observa-se que muitos
estudantes consideram que para ser quadrado tem que ter quatro vértices e, ao
desenharem um quadrado com lados de mesma medida, relatam que este está
"mais quadradinho", o que indica que consideram que quanto mais próximas as
medidas dos lados, mais próximo de um quadrado o desenho fica.
De mesma maneira, percebe-se que muitos estudantes identificam um
retângulo se este tiver todos os ângulos retos, porém dois lados maiores que os outros
dois. Dessa forma, percebe-se que eles já consideram a definição de retângulo, e que o
fato de considerarem a medida dos lados é algo que ainda precisa ser trabalhado
com eles.
É interessante que os estudantes A, C e D, ao diferenciarem quadrado e
retângulo, afirmaram que quadrado é pequeno e retângulo é maior. Como reagiriam
estes estudantes se apresentássemos um quadrado com medidas maiores (por
exemplo, lados com 10cm) e um retângulo com medidas menores (por exemplo,
lados com medidas 2 e 4cm)? Esta seria uma investigação curiosa e estaríamos
apresentando mais um contraexemplo a eles.
104
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A dificuldade dos estudantes em Matemática pode ser percebida pelas
mais diversas avaliações, sejam elas internas, da escola; sejam municipais, como a
Avaliação do Ciclo I, realizada pela Secretaria Municipal da Educação de Curitiba; sejam
nacionais, como a Prova Brasil, ou o INAF, ou ainda internacionais, como o
PISA
.
Acreditamos que uma das causas dessa grande dificuldade possa estar relacionada
com a linguagem.
A matemática tem uma linguagem própria, diferente da linguagem natural,
e, como afirma Corrêa (2005), uma das diferenças entre elas é que a linguagem
matemática é aprendida essencialmente na escola, tendo seus próprios signos e
símbolos ou, ainda, como afirma Danyluk (1991), seu próprio alfabeto. Dessa forma,
ao ter contato com a linguagem matemática o estudante vai conhecendo seu alfabeto
e, consequentemente, sendo alfabetizado matematicamente, ou seja, vai aprendendo
a compreender o que lê e escrevendo o que compreende sobre as primeiras noções
de lógica, aritmética e geometria. É interessante observar que esta leitura envolve
não somente a decodificação dos símbolos, mas também a leitura com compreensão,
envolvida de significado. Se os estudantes realizam uma leitura com compreensão, o
conteúdo matemático tem significado para eles.
Assim, buscamos estudantes do Primeiro Ciclo de uma escola municipal de
Curitiba para a realização das atividades presentes nesta pesquisa, já que eles se
encontram em um período de alfabetização matemática. Optou-se por focar a
observação no processo de alfabetização matemática em geometria, em especial na
compreensão que estes estudantes demonstram ter sobre algumas figuras geométricas,
comumente previstas como conteúdos escolares do primeiro ciclo do ensino fundamental.
Nos estudos teóricos realizados encontrou-se o termo linguagem geométrica, utilizado
por Smole, Diniz e Cândido (2003), que se refere à leitura e à escrita de figuras
geométricas, o que vai ao encontro do que procuramos observar neste trabalho.
Participaram desta pesquisa seis estudantes do Primeiro Ciclo, sendo dois do 1.
o
ano,
105
dois do 2.
o
ano e dois do 3.
o
ano. Algumas das atividades foram criadas pela
pesquisadora e outra foi extraída do teste de Van Hiele, pois este teste utilizado por
estes pesquisadores traz elementos que nos auxiliaram a desvelar o pensamento
matemático dos estudantes. As atividades envolveram a representação por desenho,
o reconhecimento e a explicação de algumas figuras geométricas pelos estudantes,
sendo elas triângulos, quadriláteros, quadrados e retângulos.
Na primeira atividade, de desenho, a estudante A e o estudante F só
souberam fazer uma representação de triângulo. Os demais estudantes fizeram uma
tentativa de representar um triângulo diferente do que haviam feito anteriormente.
A estudante E trocou triângulo por retângulo. No desenho de quadrados, novamente a
estudante A só fez uma tentativa de representação, e o estudante F fez retângulos,
em vez de quadrados. Na representação de retângulos, a estudante E fez a troca
novamente e representou triângulos, e o estudante F fez um círculo.
Na atividade 2 (Apêndice 1), todos os estudantes afirmaram que os
desenhos B e E são triângulos. Além disso, todos os estudantes afirmaram que o
desenho A não era triângulo porque “faltava um pedaço”, referindo-se ao menor dos
lados do quadrilátero. Os desenhos C e D foram também circulados pela estudante D.
No segundo exercício desta atividade, todos os estudantes circularam o desenho R
como quadrado, e os desenhos P e Q não foram circulados pelos estudantes. Já o
desenho S foi circulado somente pelo estudante F, e o desenho T somente pela
estudante D. O estudante F também circulou o desenho U como quadrado e a
estudante E circulou X como quadrado. No terceiro exercício, com exceção do
estudante F, todos os demais circularam o desenho U como retângulo. O estudante F
circulou os desenhos que estavam próximos da palavra retângulo, circulando portanto
os desenhos Q, V e X como retângulos. Os estudantes A, B, C e D circularam o
desenho Y como retângulo, porém ao ser retomado o fato de o triângulo não poder
ser virado e o retângulo poder, as estudantes A e C disseram que haviam circulado
errado o desenho.
106
Na atividade 3 (Apêndice 2), somente as estudantes D e E consideraram
que o primeiro desenho representava um quadrado. O desenho B só foi considerado
como retângulo pelos estudantes D e F. Já os desenhos C e D só foram consi-
derados triângulos pela estudante D, já que os demais estudantes afirmavam que o
desenho estava virado e, por essa razão, não poderia ser triângulo. O desenho E foi
considerado triângulo pelos estudantes B, D, E e F, já que eles afirmaram que ele se
parece com um triângulo, ou seja, é um protótipo. O desenho F só foi considerado
triângulo pela estudante D.
Por fim, foi solicitado aos estudantes que explicassem o que entendiam por
triângulo, quadrado e retângulo. Durante a explicação dos estudantes fui sugerindo
contraexemplos. A título de ilustração: quando os estudantes afirmaram que um
triângulo tinha que ter três pontas e três riscos ligando as pontas, perguntava se o
desenho C da atividade 2 não era triângulo. Com isso, eles complementavam sua
explicação, de acordo com o que eles acreditavam que era um triângulo.
A partir da análise das atividades, identificou-se, assim como observaram
Pirola e Brito (2005), que estes estudantes só reconhecem triângulos quando estes
são acutângulos isósceles ou equiláteros. Além disso, para alguns dos estudantes
entrevistados a base precisa ser paralela à margem inferior da folha, deixando de
ser triângulo se a folha for virada. Todos os estudantes demonstraram desconhecer
o termo quadrilátero. Este fato já era esperado por nós, já que este termo não é
utilizado nos primeiros anos do ensino fundamental. Solicitamos que desenhassem
um quadrilátero justamente para verificar se alguma criança já conhecia este termo,
o que não ocorreu. Desse modo, nas atividades 2 e 3 e na atividade de explicação
não foi mais indagado a eles sobre quadriláteros.
Percebeu-se que, apesar de não utilizarem a linguagem matemática, os
estudantes se referem muito às pontas, ou seja, aos vértices dos desenhos. Explicam,
por exemplo, que o triângulo é uma figura com “três pontas e três riscos ligando as
pontas”. Assim como para os triângulos, os estudantes só reconhecem quadrados e
retângulos se estes tiverem a base paralela à margem da folha. Alguns deles
107
demonstraram, ainda que não utilizando a linguagem matemática, a necessidade de
que o retângulo tenha os quatro ângulos retos, explicando que os lados estavam
“tortos”. Percebeu-se também que certos estudantes sentiram a necessidade de que o
quadrado tivesse quatro lados de mesma medida.
É interessante observar a comparação feita pelos estudantes de que o
quadrado é menor e o retângulo é mais comprido. Consideramos que esta comparação
entre as figuras geométricas é essencial no trabalho de alfabetização matemática, pois
só assim os estudantes estarão realizando uma leitura e uma escrita com compreensão.
Ouvir como os estudantes compreendem cada uma das figuras geométricas foi muito
importante. Ao apresentarmos contraexemplos, os estudantes iam complementando sua
fala, trazendo mais elementos para explicar cada uma das figuras. Acreditamos que
este momento é relevante para que o estudante possa refletir sobre os conhecimentos
que já adquiriu. Por sua vez, o professor pode, por meio de exemplos e contraexemplos,
mostrar elementos essenciais para a definição de cada uma das figuras geométricas,
evitando que os estudantes construam um conceito equivocado de cada uma
das figuras.
A presente pesquisa permitiu observar o quanto as diferentes manifestações
dos estudantes são importantes para a construção de conceitos geométricos, já que
somente alguns questionamentos dirigidos a eles possibilitaram que modificassem suas
respostas, mostrando que havia contradições nessas manifestações. Observou-se
também que, embora em diferentes manifestações eles demonstrassem ter conheci-
mento elementar dos conceitos geométricos em questão, em alguns momentos
apresentavam dúvidas, desenhando de maneira correta mas mostrando equívocos
ao explicarem oralmente seus desenhos.
As diferentes manifestações dos estudantes foram bastante úteis, pois
através do reconhecimento de figuras geométricas (atividades 2 e 3) foi possível
observar elementos que não haviam sido identificados na representação por desenhos
(atividade 1). Da mesma forma, quando foi solicitado aos estudantes que explicassem
como era cada uma das figuras geométricas, eles demonstravam que nem todos os
108
conceitos considerados importantes por eles eram citados. Sendo assim, a pesquisa
nos indica a necessidade de buscar diferentes elementos para desvelar o pensamento
matemático de cada estudante, o que nos levou a observar com mais atenção os
elementos considerados por eles.
Notou-se que alguns estudantes modificavam sua explicação de algumas
figuras no decorrer das atividades, ao refletirem sobre sua ação. Com isso, nos
questionamos: se somente o diálogo e alguns questionamentos já fizeram com que
estudantes refletissem sobre ideias matemáticas que estavam construindo, será que
outros questionamentos não possibilitariam uma aprendizagem mais significativa de
conceitos geométricos? A presente pesquisa não buscou avaliar a aprendizagem de
conceitos matemáticos por parte dos estudantes, mas, sim, observar a compreensão que
demonstram ter de algumas figuras planas. Não deixamos de perceber o movimento de
aprendizagem que ocorreu nas situações de diálogo entre os estudantes e a pesquisadora.
Sendo a alfabetização matemática, segundo Danyluk (1998), um fenômeno que
trata da compreensão, da interpretação e da comunicação dos conceitos matemáticos
ensinados na escola e tidos como iniciais para a construção do conhecimento
matemático, pudemos perceber que, ao relatarem como compreendem cada uma das
figuras geométricas apresentadas, os estudantes fazem a interpretação e a comunicação
dos conceitos geométricos ali envolvidos, estando portanto em processo de alfabetização
matemática em geometria. O diálogo com os estudantes nos permitiu observar o
processo de alfabetização matemática em que eles estão envolvidos, já que estão
aprendendo a ler e a compreender as primeiras noções de lógica, aritmética e geometria.
A pesquisa possibilitou observar as manifestações orais e escritas desses
estudantes, bem como perceber que eles já compreendem alguns conceitos matemáticos
referentes à geometria, como citado anteriormente. Também se observou que é
interessante o professor identificar como o estudante explica cada uma das figuras,
para que se tenha uma "pista" da dificuldade ou facilidade que ele terá ao interagir
com esse conceito e poder construí-los nos outros níveis de dificuldade, tal como
afirmaram Pirola e Brito (2005). Assim, este trabalho traz alguns dos possíveis
109
questionamentos a serem feitos com estudantes em processo de alfabetização
matemática e que podem ser considerados como uma primeira identificação de ideias
matemáticas que cada um dos estudantes tem das figuras geométricas em questão.
Buscou-se, também, como sugere Gonçalez e Brito (2005), conferir uma maior
importância aos diferentes procedimentos utilizados pelos estudantes para dar uma
resposta. Com isso, espera-se contribuir para que o trabalho com a alfabetização
matemática conduza a um maior diálogo entre professor e estudante durante a
aprendizagem da geometria, pois a partir do conhecimento geométrico apresentado por
este o professor poderá buscar exemplos e contraexemplos que auxiliem o estudante
a compreender a linguagem geométrica, evitando, assim, que ele reconheça as
figuras geométricas utilizando-se apenas de exemplos protótipos. Ademais, é importante
ressaltar que se a alfabetização matemática envolve a compreensão, a interpretação
e a comunicação dos conceitos matemáticos, as manifestações dos estudantes, tanto
orais quanto escritas, são possibilitadoras para que essa alfabetização matemática
ocorra de modo contundente nos primeiros anos do ensino fundamental.
110
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113
APÊNDICES
114
APÊNDICE 1
ATIVIDADE 2
20
20
Utilizamos, do teste básico de Van Hiele, somente as três primeiras questões, já que as duas
últimas questões (4 e 5) envolvem assuntos de que não tratamos nesta pesquisa.
115
APÊNDICE 2
ATIVIDADE 3
A)
B)
C)
D)
E)
F)
116
APÊNDICE 3
ATIVIDADES DO ENSAIO DA ESTUDANTE G
TRANSCRIÇÃO DO ESTUDO-PILOTO REALIZADO COM A ESTUDANTE G NO
DIA 10DE OUTUBRO DE 2008
P
21
: Você sabe o que é um triângulo?
G: (faz que sim)
P: Então desenhe para mim um triângulo.
G: Tipo assim?
P: Desenhe aqui dentro um triângulo.
G: Assim?
P: Isso, do jeito que você quiser.
G: (desenha em 1, virando a folha)
P: Esse é um triângulo?
G: (faz que sim)
P: Então agora eu vou pedir para você desenhar um outro triângulo, só que esse triângulo
tem que ser diferente daquele que você já desenhou. Sabe desenhar um triângulo
diferente?
G: (faz que não)
P: Tente fazer.
G: De lado.
P: De lado? Então faça!
G: (desenha em 2)
P: E você sabe o que é um quadrado?
G: (faz que sim)
P: Então desenhe para mim aqui um quadrado.
G: (desenha em 3, virando a folha)
P: E sabe fazer um quadrado diferente?
G: (faz que sim)
P: Quero ver um quadrado diferente.
G: (desenha em 4)
P: E sabe desenhar um quadrado diferente desse (3) e desse (4) também?
G: (faz que não)
21
Serão utilizadas, na transcrição das atividades, a letra P para se referir à pesquisadora e a inicial
do nome do(a) estudante.
117
P: Não quer tentar?
G: Quero.
P: Mas tem que ser diferente desse e desse. Tente fazer.
G: (desenha em 5)
P: Esse é um quadrado diferente?
G: Sim.
P: Agora eu vou pedir para você desenhar um retângulo. Como que é um retângulo?
G: (desenha em 6, virando a folha)
P: Esse é um retângulo?
G: É.
P: E um retângulo diferente desse aí?
G: (desenha em 7, virando a folha)
P: Sabe fazer um retângulo diferente desses dois?
G: (faz que sim)
P: Sabe? Então desenhe um retângulo diferente.
G: (desenha em 8)
P: Muito bem. Por que esse aqui é um retângulo?
G: Não sei.
P: Não sabe?
P: Agora eu vou pedir para você o seguinte: quero que você veja nessas figuras, aqui, e
faça um círculo para mim em volta do que é triângulo (teste de Van Hiele).
G: Tipo esse (aponta B)?
P: Não sei, o que você achar que é triângulo você faz um círculo.
G: (circula B)
P: Tem mais algum?
G: (aponta para as demais linhas)
P: Aqui, só nessa linha. Não tem mais nenhum triângulo?
G: Nenhum.
G: Ah, aqui tem (circula E).
P: E aqui, nessa linha, eu vou pedir para você circular o que é quadrado.
G: (circula R)
P: Tem mais algum quadrado?
G: Tem, mas esse aqui é diferente (apontando para T).
P: Esse é quadrado, mas é diferente? E será que ele é quadrado ou não é?
G: É.
P: Então circule.
G: (circula T)
P: Agora, nessa linha aqui, eu vou pedir para você circular o que é retângulo.
118
G: (circula Y)
P: Tem mais algum retângulo?
G: Não.
P: Mais nenhum?
G: (faz que não)
P: Agora eu vou pedir para você me mostrar aqui, nessa sala, alguma coisa que se parece
com um quadrado.
G: O relógio, em volta dele.
P: Tem mais alguma coisa que se parece com um quadrado?
G: Aquele livro (o livro tem formato retangular).
P: E o que se parece com um retângulo?
G: Esse aqui (aponta o quadro); o mural.
P: E tem alguma coisa na sala que se parece com um triângulo?
G: (faz que não)
P: Não tem nada que se parece com um triângulo?
G: Não (realmente não havia).
TRANSCRIÇÃO DO ESTUDO-PILOTO REALIZADO COM A ESTUDANTE G NO DIA 23 DE
OUTUBRO DE 2008
P: Que figura que é essa? Não sabe que figura é essa?
G: (faz que não com a cabeça)
P: E essa aqui, que figura que é essa?
G: A mesma que essa (apontando para a folha 1).
P: A mesma? Mas você não sabe que figura que é essa?
G: Não.
P: Não lembra o nome dessa figura?
G: Não.
P: E essa aqui (3)?
G: Quadrado.
P: Quadrado? Por que ele é um quadrado?
G: (faz com a cabeça que não sabe)
P: Não sabe por que ele é um quadrado?
G: Não.
P: Por que você desenhou essa figura para ser um quadrado?
G: Não sei.
P: E esse quadrado (4) está diferente desse aqui (3)?
G: É, um está mais magrinho.
P: Ah, um está mais magrinho....
119
G: E esse aqui (3) é assim, ó! (mostrando que fez com a folha na horizontal).
P: Ah, você fez esse com a folha deitada. E por que você fez esses risquinhos aqui (5) no
quadrado?
G: Para fazer diferente.
P: E essa figura aqui (6), que figura que é essa?
G: Retângulo.
P: Esse é um retângulo? Por que é um retângulo?
G: (faz que não sabe com a cabeça)
P: Por que você fez essa figura quando eu pedi um retângulo?
G: Não sei.
P: Não sabe?
G: Já fiz!
P: E esses aqui (7 e 8) são iguais? Ou são diferentes?
G: São diferentes, esse aqui era assim (8) (mostrando que foi feito na vertical) e esse daqui
era assim (7) (mostrando que foi feito na horizontal).
P: Então eles são diferentes porque eles estão em posições diferentes, é isso?
G: É.
P: Agora eu vou perguntar dessa atividade aqui, lembra? Eu pedi para você circular para
mim os triângulos e você circulou para mim esse (B) e esse (E). Esse aqui (A), ele é
triângulo?
G: Não, porque ele tem aqui (mostrando o lado menor).
P: E esse aqui (C), ele é triângulo?
G: Não, porque ele está diferente.
P: Ele está diferente como?
G: Ele está assim bem fininho e os outros são maiores.
P: E se ele está fininho ele não pode ser triângulo?
G: Não, porque tem que estar para cima e ele está para baixo.
P: Triângulo é virado para cima e ele está para baixo?
G: Sim.
P: E esse aqui (D), ele é triângulo?
G: Não.
P: Não? Por que ele não é triângulo?
G: Tem que estar virado para baixo e tem isso (apontando para os lados menores). Tinha
que estar virado para cima e tem esse negocinho.
P: Agora nessa linha eu pedi para você circular para mim o que era quadrado e você
circulou esses dois (R e T). Esse aqui (T) é quadrado?
G: Sim.
P: Mas ele está virado! Mesmo virado ele é quadrado?
120
G: Sim.
P: E esse aqui também é quadrado (R)?
G: Sim.
P: E por que esse aqui (P) não é quadrado?
G: Porque ele é um círculo!
P: E esse aqui (Q), por que ele não é quadrado?
G: É um retângulo.
P: E esse aqui (S), por que ele não é um quadrado?
G: Porque ele é um... não lembro.
P: Não lembra o nome? E nessa linha eu pedi para você circular o que fosse retângulo e
você circulou o Y. Esse aqui (U) é retângulo?
G: Sim.
P: É? E por que você não circulou?
G: Porque eu esqueci.
P: Você quer circular agora?
G: Sim.
P: Então circule com lápis de cor.
G: (circula).
P: E esse aqui (V), ele é retângulo?
G: Não.
P: Por que não?
G: Porque ele está assim (apontando para o lado não-perpendicular à base).
P: E quando ele está assim ele não é retângulo?
G: Não, só se for assim (fazendo a representação com o dedo de um lado perpendicular
à base).
P: E esse aqui (X), ele é retângulo?
G: Quadrado.
P: É quadrado?
G: Sim.
P: Esse aqui (Z) é retângulo?
G: Igual esses aqui (apontando para a primeira linha, para o B e o E).
P: Agora a gente vai fazer uma outra atividade (Apêndice 2). Esse aqui (A) é quadrado?
G: É. Só tem uma perninha aqui que é assim (referindo-se ao lado menor).
P: E com essa perninha, assim, ele continua sendo quadrado?
G: Continua.
P: Continua? Por que ele continua sendo quadrado?
G: Porque ele já está assim (referindo-se ao formato da figura), só falta essa pontinha.
P: E sem essa pontinha ele é quadrado?
121
G: (fica em dúvida)
P: Você acha que é ou não?
G: Acho que é.
P: O que eu preciso ter para ter um quadrado?
G: (não responde)
P: Tem que ser parecido com esse?
G: (faz que sim)
P: E esse aqui (B), ele é um retângulo?
G: É.
P: Por que ele é retângulo?
G: Porque é igual aquele (apontando para o quadro). É só virar ele assim de lado.
P: Então ele é retângulo?
G: É.
P: E esse aqui (C), ele é triângulo?
G: É.
P: Por que ele é triângulo?
G: Porque ele está assim (virando a folha de ponta cabeça).
P: E desse jeito, assim (folha sem virar), ele é triângulo?
G: Sim.
P: E esse aqui (D)?
G: Sim. Não, não é!
P: Não? Por que ele não é triângulo?
G: Tem uma diferença.
P: Qual é a diferença?
G: Um está assim, o outro está com a pontinha aqui em cima, o outro lá embaixo.
P: E esse aqui (E), ele é triângulo?
G: É.
P: Por que ele é triângulo?
G: Porque está bem certinho.
P: E esse aqui (F), é triângulo?
G: Não.
P: Por que ele não é triângulo?
G: Porque ele está virado para baixo e está muito fininho.
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APÊNDICE 4
ATIVIDADES DO ENSAIO DA ESTUDANTE M
TRANSCRIÇÃO DO ESTUDO-PILOTO REALIZADO COM A ESTUDANTE M NO DIA 10 DE
OUTUBRO DE 2008
P: Eu vou pedir para você fazer alguns desenhos para mim. Você gosta de desenhar?
M: Sim.
P: Você sabe o que é um triângulo?
M: (faz que não com a cabeça)
P: Não sabe? Não tem nem idéia? Você tenta desenhar um triângulo para mim?
M: Aqui?
P: Aqui dentro você tem que desenhar um triângulo.
M: Grande?
P: Do tamanho que você quiser.
M: (desenha em 1)
P: Esse é um triângulo?
M: (não responde que sim nem que não)
P: Sim ou não?
M: Sim.
P: E você sabe desenhar um triângulo diferente para mim?
M: Não. Deitado?
P: Um triângulo que tem que ser diferente desse aqui.
M: Pode ser deitado?
P: Pode.
M: (desenha em 2)
P: E você sabe desenhar um outro triângulo ainda, diferente desse?
M: (desenha em 3)
P: Por que esse aqui é um triângulo?
M: É legal!
P: Mas por que você fez essa figura quando eu te pedi para fazer um triângulo? O que um
triângulo tem?
M: Isso aqui (aponta os lados).
P: E esse aqui (desenho feito por ela em 2), também é um triângulo?
M: Não.
P: Por que ele não é um triângulo?
M: (não responde)
P: Mas você não disse que esse aqui era um triângulo?
M: É.
P: E agora não é mais?
132
M: É.
P: E esse aqui (mostrando o desenho feito em 3), também é um triângulo?
M: (faz que sim)
P: Agora eu vou pedir para você desenhar aqui um quadrado.
M: (desenha em 4)
P: Agora eu vou pedir para você desenhar um quadrado diferente desse aqui.
M: (desenha em 5)
P: Ele está diferente desse aqui?
M: Está.
P: Sabe desenhar um quadrado diferente desses dois?
M: Sim.
P: Então desenhe um quadrado diferente.
M: (desenha em 6)
P: Por que esse aqui (mostrando o desenho feito em 4) é um quadrado?
M: Porque é muito animado.
P: Por que esse aqui (mostrando o desenho feito em 5) é um quadrado?
M: Também.
P: Agora eu vou pedir para você desenhar um retângulo. Sabe desenhar um retângulo?
M: Uma bola.
P: (não concordei nem discordei) Desenhe um retângulo.
M: (desenha em 7)
P: Agora eu vou pedir para você desenhar um outro retângulo.
M: (desenha em 8) Agora você não precisa falar!
P: Esse aqui tem que ser diferente desses dois.
M: (desenha em 9)
P: Por que esse aqui é um retângulo?
M: Animado.
P: O que tem que ter para ser um retângulo?
M: Não sei.
P: Aqui tem um monte de figuras (teste de Van Hiele). Você vai fazer um círculo em volta
dos triângulos. Só do que é triângulo. O que você acha que é triângulo você faz um
círculo em volta.
M: (circula B e E)
P: Tem mais algum triângulo?
M: Não.
P: Então aqui, dessas aqui, você vai fazer um círculo em volta do quadrado.
M: Não tem mais quadrado, só esse (apontando para R).
P: Só esse? Então circula esse.
M: Vou fazer um quadrado.
P: Não tem mais nenhum quadrado aqui?
M: Não.
133
P: E aqui eu quero que você faça um círculo para mim em volta do retângulo.
M: Aqui?
P: O que é retângulo?
M: Isso (aponta para Y).
P: Então faz um círculo em volta do retângulo.
M: (circula Y)
P: Tem mais algum retângulo?
M: Não.
P: Não? Nenhum?
M: (faz que não)
P: Aqui na sala, onde que tem alguma coisa parecida com um quadrado?
M: (aponta o relógio, que tem mesmo a forma de um quadrado)
P: O que mais?
M: Cartaz (o calendário, que tem o formato retangular).
P: E o que tem parecido com um retângulo?
M: Janela (a janela é formada por um retângulo e meia circunferência).
TRANSCRIÇÃO DO ESTUDO-PILOTO REALIZADO COM A ESTUDANTE M NO DIA 23 DE
OUTUBRO DE 2008
P: Lembra dessas atividades que a gente fez aqui?
M: Lembro.
P: Lembra que você fez essa figura quando eu pedi para você fazer um triângulo e você
fez esse aqui (1)? Depois eu pedi para você fazer um triângulo diferente e você fez esse
(2). Por que esses dois triângulos são diferentes?
M: Não sei.
P: Lembra que eu pedi para você: "Faça um triângulo diferente", e você fez esse aqui (2)?
Por que eles são diferentes?
M: Animado.
P: Como assim, animado? Me explique o que é animado.
M: Feliz.
P: Feliz? Esse triângulo é feliz?
M: Sim.
P: Depois você fez esse outro triângulo, aqui (3), e você falou que era diferente desses
dois. Lembra disso?
M: Lembro.
P: Por que ele é diferente?
M: Porque é animado também.
P: Mas por que você acha que ele é animado?
M: Fica ali, feliz.
134
P: E esse aqui (4)?
M: Agora o quadrado.
P: Isso, daí você fez esse outro quadrado (5). Por que eles são diferentes?
M: Estão "feliz".
P: Esse quadrado (4) é diferente desse (5). Por quê? O que ele tem de diferente?
M: Fácil.
P: E esse quadrado (6) ainda é diferente desses dois (4 e 5). Por que ele é diferente?
M: Não sei!
P: Então vamos ver o retângulo. Por que esse retângulo (7) é diferente desse (8)?
M: Está feliz!
P: Por que esses dois (7 e 8) são diferentes?
M: Porque... não sei!
P: E esse aqui (9), é diferente por quê?
M: Não sei também.
P: Aqui eu pedi para você circular os triângulos. Lembra que você circulou para mim esses
dois triângulos (B e E)?
M: Sim.
P: Por que esse aqui (A) não é triângulo?
M: Porque não.
P: Por que você disse que esse aqui não era triângulo?
M: Não sei.
P: Por que ele não é triângulo?
M: É o A.
P: Mas por que o A não é um triângulo?
M: Não sei.
P: Ele tem alguma coisa para não ser triângulo?
M: Não.
P: Ele tem alguma coisa diferente que não é triângulo?
M: Não.
P: E esse aqui (C), por que ele não é triângulo?
M: É quadrado.
P: É quadrado? Por que esse aqui não é triângulo?
M: Porque sim.
P: Por que ele não é triângulo?
M: Não sei.
P: E esse aqui (D), por que ele não é triângulo?
M: Não sei também.
P: Aqui eu pedi para você circular os quadrados. Lembra que você falou que iria fazer um
quadrado em volta do quadrado? Por que esse aqui (P) não é quadrado?
135
M: Porque ele é o "O".
P: E esse aqui (Q), por que ele não é quadrado?
M: Não sei. Não sei tudo!
P: (sobre atividades do Apêndice 2). Esse aqui (A) é um quadrado?
M: É!
P: É um quadrado? Por que ele é um quadrado?
M: Porque sim. Posso fazer o desenho?
P: Pode.
P: E esse aqui (B), ele é um retângulo?
M: Não.
P: Por que ele não é um retângulo?
M: É!
P: Ele é um retângulo ou não é?
M: É.
P: Por que ele é um retângulo?
M: Não sei.
P: Como você sabe que ele é um retângulo?
M: É que eu sei, mas eu não sei.
P: E ele é um retângulo?
M: É.
P: E esse aqui (C), ele é triângulo?
M: É.
P: Por que ele é triângulo?
M: Não sei também.
P: E esse aqui (D), é triângulo?
M: Não. É!
P: É ou não é?
M: É!
P: Por que ele é?
M: Não sei!
P: E esse aqui (E), é triângulo?
M: Não sei.
P: Não sabe se é triângulo ou não?
M: É.
P: Ele é triângulo? Por que ele é?
M: Não sei também!
P: O que tem um triângulo para ser triângulo? O que um triângulo tem?
M: Não sei.
136
137
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139
140
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APÊNDICE 5
ATIVIDADES DO ENSAIO DO ESTUDANTE R
TRANSCRIÇÃO DO ESTUDO-PILOTO REALIZADO COM O ESTUDANTE R NO DIA 10 DE
OUTUBRO DE 2008
P: Você sabe o que é um triângulo?
R: (faz que sim)
P: Sabe? Então vou pedir para você desenhar para mim um triângulo.
R: (desenha em 1, virando a folha).
P: Você sabe fazer para mim um triângulo diferente desse aqui (1)? Tente fazer um
triângulo diferente.
R: (desenha em 2)
P: E você sabe fazer um outro triângulo diferente desses aqui?
R: (faz que sim)
P: Então faça um triângulo diferente desses dois.
R: (desenha em 3)
P: Isso, por que esse aqui (desenho feito em 3) é um triângulo?
R: Porque vai ser uma casa.
P: E você sabe o que é um quadrado?
R: (faz que sim)
P: Então desenhe para mim aqui um quadrado.
R: (desenha em 4, virando a folha)
P: Sabe fazer um quadrado diferente? Desenhe para mim um quadrado diferente desse.
R: (desenha em 5)
P: Consegue fazer um outro quadrado diferente?
R: (faz que não)
P: Não quer tentar?
R: Não.
P: Não? Por que esse aqui (desenho feito em 4) é um quadrado?
R: Porque vai ser uma casa.
P: Também porque vai ser uma casa?
R: (faz que sim)
P: Agora eu vou pedir para você desenhar um retângulo.
R: (desenha em 6)
P: Agora vamos desenhar um retângulo diferente desse aí?
R: (desenha em 7, virando a folha)
P: Sabe desenhar um outro retângulo diferente?
148
R: (faz que sim)
P: Então desenhe para mim, aqui, um retângulo diferente desses dois.
R: (desenha em 8)
P: Por que esse aqui (desenho feito em 8) é um retângulo? Por que quando eu pedi um
retângulo você desenhou esse (6), esse aqui (7)? Por que esses aqui são retângulos?
R: Não sei.
P: Mas sabe que é um retângulo?
R: Sim.
P: Está vendo essas figuras aqui na primeira linha (teste de Van Hiele)? Eu vou pedir para
você circular para mim os triângulos. Quais forem triângulos você faz um círculo em volta.
R: (circula B e E)
P: Tem mais algum triângulo aqui? Só nessa linha, tem mais algum?
R: Não.
P: E aqui, nessa segunda linha, vou pedir para circular quadrados.
R: (circula R e T)
P: Tem mais algum quadrado?
R: Não.
P: E aqui, na terceira, eu vou pedir para circular retângulos.
R: (circula U e Y)
P: Agora me diga: por que esse aqui (A) não é triângulo?
R: É meio torto.
R: (figura C) Ele é de ponta-cabeça.
R: (figura D) Porque tem esse negócio.
P: Por que não é quadrado?
R: (figura P) Porque é um círculo.
R: (figura Q) Porque ele é um quadrado mas não tem aqui. (desenhando com o dedo lados
paralelos ao ângulo reto).
R: (figura S) Porque tinha que passar aqui (no meio).
P: Por que não é retângulo?
R: (figura V) Porque tem que desenhar aqui (referindo-se ao lado que não forma ângulo reto).
R: (figura X) Porque tem que desenhar aqui e aqui (referindo-se a lados perpendiculares
às paralelas da horizontal).
R: (figura Z) Porque tem que desenhar aqui e aqui para cima (referindo-se a paralelas às
retas perpendiculares do triângulo).
149
TRANSCRIÇÃO DO ESTUDO-PILOTO REALIZADO COM O ESTUDANTE R NO DIA 23 DE
OUTUBRO DE 2008
P: Lembra dessas atividades que a gente fez aqui?
R: Sim.
P: Aqui eu pedi para você desenhar um triângulo e você desenhou esse aqui (1). Depois
eu pedi um triângulo diferente e você desenhou esse (2). Por que esse aqui (2) é
diferente desse (1)?
R: (não responde)
P: Por que eles são diferentes? O que eles têm de diferente?
R: (não responde)
P: Não sabe o que eles têm de diferente? Igual jogo dos sete erros: o que um é diferente
do outro?
R: (não responde)
P: Por que um é diferente do outro?
R: (não responde)
P: E esse aqui (3) ainda é diferente. Por que esse aqui (3) é diferente desse (1) e também
diferente desse (2)?
R: Porque é de lado.
P: Ah, porque esse é de lado, e esse (2) é de pé. E esse aqui (1)?
R: De pé também.
P: E essa aqui (4), lembra que figura que é essa?
R: Retângulo.
P: Esse é um quadrado. Eu pedi para você desenhar um quadrado e você desenhou essa
figura. Ele é um quadrado?
R: É.
P: Depois você desenhou esse quadrado diferente (5). Por que esse quadrado é diferente?
R: Porque as duas pontas são assim (quadrado representado com lados não paralelos à
margem da folha).
P: E mesmo as duas pontas sendo assim ele continua sendo quadrado?
R: Sim.
P: E essa figura aqui (6), que figura que é essa?
R: É um retângulo.
P: E esse retângulo (6) é diferente desse (7)?
R: Sim.
P: Por que ele é diferente?
R: Porque um está em pé e o outro deitado.
P: E esse retângulo aqui (8), é diferente desses dois?
150
R: Sim.
P: Por quê?
R: Porque ele é deitado.
P: Mas esse aqui (6) também é deitado. Você fez dois deitados?
R: Sim.
P: E esses dois (6 e 8) são diferentes?
R: (faz que não com a cabeça)
P: São iguais?
R: Sim.
P: Lembra dessa atividade aqui que você circulou para mim (teste de Van Hiele)?
R: Sim.
P: Por que esse aqui (A) não é triângulo?
R: Porque ele é assim, esse é mais comprido e é de lado.
P: Eu vou pedir para você desenhar como ele tinha que ser para ser um triângulo.
R: Tá (desenha em 10).
P: E esse (C) é triângulo?
R: Não.
P: Por que ele não é triângulo?
R: É mais comprido e é de ponta-cabeça.
P: E não pode ser mais comprido?
R: Não.
P: E esse aqui (D) por que ele não é triângulo?
R: Porque tem esse negócio.
P: Mas se não tivesse esse negócio (escondi com o dedo) ele seria triângulo?
R: Sim.
P: E esse (P), por que ele não é quadrado?
R: Porque ele tinha que ser assim (apontando para a figura R).
P: E esse (Q), por que ele não é quadrado?
R: Está faltando uma outra parte.
P: E esse (S), por que ele não é quadrado?
R: Porque ele é mais comprido.
P: E mais comprido não pode?
R: Não.
P: Esse aqui (T), por que ele é quadrado?
R: Porque está virado, mas ele é um quadrado.
P: Mas esse aqui (C) você não falou que está de ponta-cabeça?
R: Sim.
151
P: De ponta-cabeça esse aqui (C) não pode, mas esse aqui (T) pode?
R: Sim.
P: Esse aqui (U) você falou que era retângulo. Por que esse aqui (V) não é retângulo?
R: Porque tem que fazer outra parte.
P: E sem essa outra parte ele não é retângulo?
R: Não.
P: E esse aqui (X), por que ele não é retângulo?
R: Porque tem que desenhar aqui e aqui.
P: Desse jeito que ele está aqui ele não é retângulo?
R: Não.
P: E esse aqui (Z), ele é retângulo?
R: Não.
P: Por que ele não é retângulo?
R: Porque tem que terminar a outra parte.
P: Eu quero que você diga para mim, aqui, se essa figura (A) é um quadrado (Apêndice 2)?
R: Não.
P: Por que ela não é um quadrado?
R: Porque tem que fazer aqui.
P: Aqui onde? Mostre para mim, faça um risco onde tem que fazer.
P: E esse aqui (B), ele é retângulo?
R: Não.
P: Por que ele não é retângulo?
R: Porque não tem aqui.
P: Então termine para mim.
P: E esse aqui (C), ele é um triângulo?
R: Não.
P: Por que ele não é triângulo?
R: Porque ele tinha que estar assim (fazendo a representação com o dedo).
P: Então desenhe para mim, aqui, como ele tinha que ficar.
P: E esse aqui (D), ele é um triângulo?
R: Não.
P: Por que ele não é um triângulo?
R: Porque é muito comprido aqui e aqui também.
P: Desenhe para mim, então, como tinha que ser o triângulo.
P: E esse aqui (E), ele é um triângulo?
R: Não.
P: Por que não?
152
R: Porque ele está de lado.
P: Então desenhe para mim como ele tinha que ser.
P: E esse aqui (F), é um triângulo?
R: Não.
P: Por que não?
R: Porque é muito comprido e tinha que ser de pé.
P: Então faça para mim como ele tinha que ser.
P: Você lembra que quando eu pedi para você fazer um triângulo você me disse que esse
aqui era triângulo porque ele ia ser uma casa. Por quê? Você faz a casa com triângulo?
Como você faz? Vou pegar uma outra folha para você.
R: (vai explicando e desenhando) Tem um triângulo, daí um quadrado aqui, outro
quadrado aqui, mais um quadrado, mais um quadrado, mais um quadrado.
P: Agora, olhando aqui na sala, me diga alguma coisa que se parece com um quadrado.
R: O quadro.
P: O que mais se parece com um quadrado?
R: Cartaz.
P: O cartaz com o calendário? Ele é um quadrado?
R: Não, mas parece.
P: Parece um quadrado, mas ele não é um quadrado? O que ele é, então?
R: Um retângulo.
P: E o que se parece com um retângulo aqui na sala?
R: Caixinha vermelha (que tem formato retangular).
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
APÊNDICE 6
ATIVIDADES DA ESTUDANTE A
164
165
166
167
APÊNDICE 7
ATIVIDADES DA ESTUDANTE B
168
169
170
171
172
173
174
175
176
APÊNDICE 8
ATIVIDADES DA ESTUDANTE C
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
APÊNDICE 9
ATIVIDADES DA ESTUDANTE D
187
188
189
190
191
192
193
194
APÊNDICE 10
ATIVIDADES DA ESTUDANTE E
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
APÊNDICE 11
ATIVIDADES DO ESTUDANTE F
205
206
207
208
209
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